Tens def em maciços 08 12 2008 rev ago 2013 by Elysio Ruggeri

TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM

MACIÇOS

Concepções Métodos Experimentação Tecnologia Perspectiva

por

Elysio R. F. Ruggeri Engenheiro Civil

Goiânia – GO 2008

Tens Def Maciços - Ruggeri

19/08/13 10:20

APRESENTAÇÃO.

Um dos principais fenômenos na área da engenharia é o da deformação dos corpos naturais quando sujeitos à ação de estímulos. É imperiosa a previsão do desempenho mecânico, térmico, elétrico, ótico etc. desses corpos para toda a sua vida útil. Isso pode ser feito preliminarmente apenas com lápis e papel, para que, a partir desse conhecimento, se concretizem ulteriormente os engenhos desenvolvidos pela nossa imaginação criadora. E o meio mais barato para obter-se essa previsão está em estabelecer uma teoria que, pela lógica, pelo bom senso e pela verificação experimental, nos ofereça alguma possibilidade de êxito. Por encontrarmos na Teoria da Elasticidade apoio adequado para muitas dessas previsões, conceitos práticos dessa teoria serão apresentados na parte I deste trabalho, nos Capítulos I, II e III. Esse modo de proceder tem sido satisfatório em muitas situações na área da engenharia das estruturas e dos materiais (como no caso das edificações, das pontes, das aeronaves, das embarcações etc.). Entretanto, com os maciços rochosos – materiais naturais complexos com os quais devemos conviver em muitas obras de engenharia – a teoria que permite essa previsão de desempenho ainda não está disponível, constituindo um desafio ao engenheiro. O estabelecimento dessa teoria parece ser mais uma epopéia cujo fim não se consegue vislumbrar. Para os maciços de concreto essa questão é relativamente simples, mas torna-se complicada quando se levam em conta as propriedades reológicas do concreto, ou sejam, as propriedades que variam com o tempo. O presente trabalho é de caráter didático e destinado aos técnicos do DCT que militem nos laboratórios ou no campo. Nele relatamos com pormenores quase tudo o que descobrimos e aprendemos entre os anos 2001 e 2008 no Laboratório de Mecânica de Rochas do Departamento de Apoio e Controle Técnico de Furnas Centrais Elétricas SA, em Goiânia (GO). As informações e os argumentos aqui expostos podem ser apenas alguma possível contribuição ao problema da previsão de desempenho mecânico de um maciço rochoso. Mas é oportuno registrar que a constatação da eficácia da teoria e dos métodos utilizados, devendo ser feitos por via experimental, ainda está por fazer-se. Justifica-se isso porque verificação experimental requer muito tempo e algum investimento em dinheiro para a realização das muitas medições em laboratório ou em campo. É certo que o primeiro evento nesta epopéia está no estabelecimento da teoria explicativa do fenômeno. Assim, por exemplo, suspeita-se que para muitos maciços seja válida a aplicação dos conceitos básicos da Teoria da Elasticidade, muito embora a exigida continuidade de estrutura do material não exista. Para contornar essa situação cria-se o modelo teórico do “contínuo equivalente” ao maciço pela substituição dos seus “planos de descontinuidade” (que devem se distribuir regularmente por toda a massa) pelos “planos de simetria elástica” do contínuo (agora, um meio periódico). Isto lembra a estrutura dos cristais, apesar de não ser precisamente a mesma coisa. O que aqui exporemos é parte de um trabalho mais amplo que estamos preparando. Aqui não se fará uma apresentação formal, tampouco a discussão, da teoria certa aplicável

III

aos maciços. Mas podemos adiantar que medições cuidadosas de tensões e deformações, realizadas em maciços, não permitem aceitar que um corpo tipo Contínuo, Homogêneo Isotrópico Linear Elástico - de sigla: CHILE, sugerida por Hudson e Harisson 1 - possa representar adequadamente um maciço rochoso. Um modelo tipo CHALE, por outro lado, onde o A se refere a anisotrópico, pode ser adequado como um “contínuo equivalente”. O sucesso desse modelo pode estar assim, na forma de entender os conceitos de homogeneidade, continuidade etc., nas propriedades mecânicas que devam ser determinadas e nos métodos adequados para se efetuarem essas medidas. Para tal cria-se um maciço rochoso ideal (algo estatístico), com a finalidade de definir seus planos de simetria elástica. Um estudo nosso, em andamento, esta em, tendo por suporte um método matemático apropriado, desenvolver um caminho prático para a determinação in situ do tetrádico dos módulos (constantes) elásticos do maciço: é o tensor de quarta ordem que correlaciona tensão com deformação e que define a lei de Hooke. A determinação do tetrádico dos módulos elásticos requer avaliações de pares correspondentes de diádicos de tensões e deformações em pontos diversos de um maciço (rochoso ou de concreto). Métodos para tais medições serão tratados na parte II, Capítulos IV (O método dos macacos planos) e V (O método do pressiômetro). No Capítulo VI veremos como calcular esses tensores (em qualquer maciço), tensores esses que são o ponto de partida para a determinação do tetrádico. Isto mostra as conseqüências dessas medições, ressalta a sua importância e, portanto, impõe responsabilidades aos laboratoristas. Para os maciços isotrópicos (como parecem ser os de concreto), esse tetrádico é uma combinação linear do tetrádico unidade, 4I, e seu isômero I I (sendo I o diádico unidade). Os coeficientes dessa combinação são as constantes de Lamè (ou o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson), facilmente determináveis em laboratório para uma amostra de rocha ou concreto, mas de determinação praticamente impossível para um elemento representativo de volume do maciço rochoso (ver item I,1.2). O cálculo do tensor das tensões nesses maciços isotrópicos pode ser feito indiretamente pela aplicação da lei de Hooke (Capítulo III), o que requer estimativa prévia do tensor de deformações e das constantes elásticas. Nesse caso, a estimativa do tensor das deformações pode sr feita experimentalmente com dados obtidos pelo método da célula triaxial (ou STT), também descrito no Capítulo IV da parte II. Pelo método da célula gera-se uma lista de elongações; pelo método dos macacos planos gera-se uma lista de tensões normais e, com alguma adaptação (como novidade), também uma lista de elongações. Em ambos os casos, as medições são feitas diretamente nas estruturas em estudo, utilizando-se almofadas e extensômetros adequadamente instalados nos arredores do "ponto" interessado da mesma. Em ambos os casos as listas de dados (medições) são o ponto de partida para a solução do problema de cálculo dos tensores de tensão e deformação, se previamente fixadas as posições dos aparelhos. Quantidade eventualmente abundante de aparelhos com posições bem definidas, mas inadequadas, podem não permitir uma solução para o problema. É possível justificar a quantidade necessária de aparelhos, mostrar como se processarem as medições pelo método dos mínimos quadrados e apresentar as condições geométricas a que devam satisfazer as 1

Hudson, J. A. and Harrison, J. P., Engineering rock mechanics, Pergamon, 2 nd edition, 2000, Chapter 10.

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posições dos aparelhos registradores para que o problema tenha solução sempre. Mas isto requer conhecimentos de matemática além dos requeridos para o presente curso. Com as duas listas (de tensões normais e elongações) geradas pelo método dos macacos podemos determinar os pares correspondentes de tensores tensão/deformação. Então, finalmente, dispondo-se desses pares para no mínimo seis pontos distintos do maciço, e supondo-se válido o modelo CHALE, mostramos que é possível determinar o tetrádico de rigidez desse maciço, qualquer que seja o seu grau de anisotropia. Essa determinação - a maior das preocupações - foi por nós proposta pelo “Projeto Hooke” (projeto ANEEL, desenvolvido dentro do DCT entre 2002 e 2205), mas não conseguimos ser conclusivos face às dificuldades matemáticas operacionais encontradas. Conhecimentos estatístico-matemáticos, recentemente adquiridos, aumentam as esperanças da solução final do problema. A apresentação do método correspondente está fora do escopo deste trabalho, mas as atividades fundamentais para se atingir esse objetivo – tema principal deste trabalho – estarão expostas com muitos detalhes em aulas expositivas e em laboratório. A rigor, parece ser inadmissível uma isotropia para maciços rochosos, e possivelmente para maciços de concreto. Entretanto, pode existir alguma situação em que as diferenças entre os valores de algumas das constantes elásticas determinadas sejam tão pequenas que a consideração da anisotropia possa ser considerada irrelevante. Essa possibilidade é teoricamente possível, mas se esse for o caso, será necessária a comprovação experimental dessa situação. O que se repugna, parafrazeando Galileo, é o ato de fé de postular-se que algum maciço (de concreto CCR, maciço rochoso ou aterro) seja isotrópico quando isso devia ser ato de experimentação possivel. Essa pequena digressão por esses temas complexos revela a importância das atividades das nossas equipes de medição, seja em laboratório, seja em campo. É preciso lembrar que todos os pedidos dos nossos clientes, em geral urgentes, e todas as nossas respostas, podem orientar trabalhos de escavação, tratamento de fundações, projetos em desenvolvimento etc. Assim, a presteza do trabalho dessas equipes e sua acuidade, combinada com responsabilidade, são sempre esperadas. Justifica-se, assim, a capacitação das mesmas com cursos como o que aqui propomos. * Em outubro de 2007, depois da nossa participação no Encontro Técnico da Divisão de Concreto do Departamento de Apoio e Controle Técnico do DCT.C, dedicamos aos participantes desse Encontro umas notas intituladas “Teoria da elasticidade – Notas sobre o essencial, para principiantes”. Estamos inserindo aquelas notas quase integralmente a este curso. Particularmente úteis são os esclarecimentos feitos à época, na apresentação daquele trabalho; e aqui, a seguir, o inserimos “ipsis verbis”. Escrevemos: “Em primeiro lugar, foi possível constatar neste Encontro que não conhecemos integralmente os “critérios” e “modelos” utilizados pelo projetista ao elaborar o projeto das nossas barragens. Logo, não podemos saber o que, de fato, é necessário medir, e quando

medir, durante as fases de construção e operação das estruturas; nem tampouco, podemos comparar alguma medição feita com os valores esperados pelo projeto. Em segundo lugar, pudemos observar que nas apresentações em que se poderia esperar menção às funções de ligação entre “propriedades de materiais” (no caso do Encontro Técnico, o CCR) e “modelagem de projeto”, estas não apareciam. Vamos justificar tudo isto com alguns exemplos. 1) - Podemos determinar, em laboratório (aplicando métodos tradicionais e consagrados), o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto (a ser) utilizado num ponto de uma barragem (pela coleta e ensaio de corpos de prova). Com a medição, em campo, do tensor das deformações no mesmo ponto (com os extensômetros tipo Carlson, por exemplo) poderemos calcular, pela aplicação da lei de Hooke, o tensor correspondente de tensões (se a citada lei foi utilizada pelo projetista, como uma “equação constitutiva” do CCR). Pergunta-se: a) - Será este tensor “muito próximo” do tensor esperado pelo projetista, isto é, do valor que ele poderia ter previsto, pelo cálculo, no projeto? b) – Será possível fazer a medição direta do tensor de tensões em campo e encontrar compatibilidade de resultados entre valores medidos, calculados e modelos admitidos pelo projetista? 2) – Podemos determinar, em laboratório, a resistência ao cisalhamento (esperada) apresentada por uma camada do CCR a ser aplicado na construção de um bloco da barragem, numa elevação qualquer. Podemos fazer, ainda, em laboratório, a mesma determinação (de resistência ao cisalhamento) para a junta de concretagem entre duas camadas de CCR, variando inclusive as “condições” dessa junta. Pergunta-se: a) - Serão idênticos os valores obtidos (na camada e na junta)? b) - Quais valores serão próximos daqueles esperados pelo modelo do projeto? c) – O procedimento de “preparação” dessas juntas, eventualmente excessivamente esmerado, não estará onerando a obra? d) - O que acontecerá com essa resistência em presença da água que percola (geralmente não considerada em laboratório)? 3) – É da mais alta importância a resistência ao cisalhamento de junta na interface concreto e rocha de fundação para a análise da estabilidade da barragem. Pergunta-se: a) Se existir método para tal medição, o “medido” será comparável ao esperado pelo projetista, ou estará muito além do esperado, contribuindo para o aumento da segurança, mas onerando a obra? b) - A medição desta resistência é feita regularmente, em diferentes seções e os valores são tratados adequadamente? 4) – É possível que, algum dia, já tenha sido medido o tensor de tensão num concreto, no seu contato com a fundação rochosa. Pergunta-se: o CCR que se pretende utilizar tem resistência compatível, ou tem resistência de sobra, onerando a obra? Vê-se, face ao exposto, que não tem sentido a posse de medições, determinações e previsões preliminares à preparação do projeto sem que tudo esteja compatível com o projeto. E mesmo que todos esses trabalhos sejam aproveitados inteligentemente pelo projetista (e cabe a Furnas o acompanhamento dos mesmos), a execução dos serviços deve ser feita: 1) - dentro de uma combinação estabelecida; 2) – com a previsão e instalação adequada de instrumentos de medição na obra. Isto, além de coerente, parece óbvio, mas

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pode não acontecer; e nesse caso só existe uma conseqüência: altos coeficientes de segurança e obras mais caras. Em resumo. Entendemos que os trabalhos do DCT, numa situação ideal, por força dos seus bem dotados laboratórios e pessoal treinado e especializado, devam ser “compartilhados” e “integrados” com ações no projeto, na execução, na operação e na auscultação continua para análise da segurança. O truncamento de alguma dessas atividades, se já devidamente concatenadas, caracterizará o estabelecimento de certa “miopia” na empresa com relação à sua fonte de resultados (a geração de energia); e o agravamento disto pode levar a algum grau de cegueira. A busca de todos nós pela citada “situação ideal” começa pela procura continua de “cultura geral” dentro do nosso meio de vida, o DCT. Provocar e incentivar a unificação do nosso ”pensar técnico” e de ação do pessoal da organização é uma missão de alto nível. Missão penosa esta, pois não temos o direito de desconhecer as reais capacidades do nosso pessoal, tampouco das nossas instalações. Ao contrário, todos devem se empenhar na busca de novos horizontes que possam justificar o compromisso técnico do DCT com a empresa e com a sociedade. Isto pode e deve ser perseguido. O leitor poderá observar, com a leitura dos próximos parágrafos, que este nosso trabalho é integrado por um pouco de ciência, de técnica e de boa dose de espiritualidade aberta, franca e honesta. Este é um bom (senão o único) caminho para o encontro de uma convivência profissional salutar e o (sempre badalado) desenvolvimento. Apenas por isto esperamos que estas Notas possam ser úteis a todos os funcionários do DCT. Que todos possam se interessar por exercer a engenharia procurando integração técnica perfeita e continuada entre proprietário, projetista, consultores e construtores. Sendo estas Notas uma comunicação técnica interna, lembramos a todos que os contatos, para tirar dúvidas ou sugerir correções, podem ser feitos pelo ramal interno do autor no DCT: 6375; ou, para pessoal externo, pelo sistema microondas: 87-6375. Discussões que possam ser mais acaloradas deverão ser feitas por escrito, por gentileza, apenas porque “as palavras vão, os escritos ficam”. Cordiais saudações a todos e bom proveito.” * Finalmente, fechando a apresentação deste curso, nossos técnicos devem se lembrar de que muitas das decisões técnicas relativas a alguma obra são feitas com base em resultados de ensaios. Estes resultados podem criar alternativas, mudar procedimentos, fechar questões em aberto. Indiretamente, os resultados dos trabalhos vão influir, em algum grau, na segurança e no custo da obra. Isto basta para justificar investimento em capacitação de pessoal e seu contínuo desenvolvimento. Que este curso possa ter algum valor para os nossos técnicos e, muito mais, servir de estímulo a uma busca para o entendimento cada vez maior dos problemas de engenharia. E. Ruggeri dez/2008

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AGRADECIMENTOS

A FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA por ter propiciado condições de desenvolvimento dos estudos e pesquisas relatados neste texto e pela autorização da sua divulgação interna. Ao Engenheiro Geólogo João Luiz Armelin por ter facilitado minhas buscas de informações, pelas oportunidades de discussão e pela parceria em muitas das pesquisas aqui relatadas. Ao Técnico Especializado Nilvane Teixeira Porfírio, pelo entusiasmo, dedicação e inteligência com que conduziu a maioria dos ensaios realizados, seja em laboratório ou em campo, e pelo zelo quase que obsessivo com a qualidade das medições. A todos os participantes das equipes que trabalharam nas várias campanhas de ensaios.

O autor.

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SUMÁRIO APRESENTAÇÃO. ................................................................................................................................................. II AGRADECIMENTOS.......................................................................................................................................... VII

PARTE I CONCEITOS PRÁTICOS DE ELASTICIDADE CAPÍTULO I O PROBLEMA ESTRUTURAL I.1 – CORPOS MATERIAIS .................................................................................................................................... 1 I.1.1 – Definição, formas............................................................................................................................. 1 I.1.2 - Propriedades físicas e químicas. ERV............................................................................................... 2 I.2 – ESTRUTURAS ................................................................................................................................................ 3 I.2.1 - Interligação das estruturas ................................................................................................................ 3 I.2.2 - Esforços exteriores nas estruturas ..................................................................................................... 4 Esforços nas barragens de concreto ...................................................................................................4 I.3 - APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ESTRUTURAL .................................................................................... 4 I.3.1 - Alternativas possíveis ....................................................................................................................... 4 Os laboratórios com modelos reduzidos ............................................................................................5 Modelos teóricos disponíveis ............................................................................................................5 I.4 - LABORATÓRIOS DE ENSAIOS .................................................................................................................... 6

CAPÍTULO II OS TENSORES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO II.1 - SISTEMA DE COORDENADAS. VETORES. ............................................................................................... 9 II.2 - HIPÓTESES BÁSICAS INICIAIS ................................................................................................................ 10 II.3 - TENSOR DE DEFORMAÇÕES ................................................................................................................... 10 II.3.1 – Elongação ..................................................................................................................................... 11 II.3.2 – Distorção ...................................................................................................................................... 12 II.3.3 – O tensor de deformações............................................................................................................... 13 Matriz associada ..............................................................................................................................13 Principal invariante .........................................................................................................................14 Autovalores e autovetores ...............................................................................................................14 II.3.4 – Cálculo da elongação relativa a uma direção qualquer ................................................................. 15 II.4 - TENSOR DE TENSÕES. .............................................................................................................................. 16 II.4.1 – Vetor tensão.................................................................................................................................. 17 II.4.2 – Tensão normal e tensão tangencial ............................................................................................... 17 Matriz associada ..............................................................................................................................18 II.4.3 – O tensor de tensões ....................................................................................................................... 18 Invariante principal .........................................................................................................................18 Autovalores e autovetores do tensor das tensões .............................................................................19 II.4.4 – Cálculo da tensão normal numa direção qualquer ......................................................................... 19 II.5 – MEDIÇÃO DE TENSORES. ........................................................................................................................ 20 II.6 – O CÁLCULO DOS VALORES E DIREÇÕES PRINCIPAIS. ..................................................................... 20 II.6 – AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR. ................................. 23 §II.6.1 – Campos tridimensionais.............................................................................................................. 23 §II.6.1 – Campos bidimensionais .............................................................................................................. 33 §II.6.3 – Campos unidimensionais ............................................................................................................ 35

CAPÍTULO III A LEI DE HOOKE III.1 - NOVA HIPÓTESE BÁSICA SOBRE OS MATERIAIS .............................................................................. 37 III.2 – OS TENSORES NA TRAÇÃO SIMPLES ISOTÉRMICA.......................................................................... 37 III.2.1 - Conexão entre os tensores de tensão e deformação ...................................................................... 38 Módulo de Elasticidade ...................................................................................................................38 Coeficiente de Poisson ....................................................................................................................39 As constantes de Lamè. ...................................................................................................................39 III.3 – OS TENSORES NA COMPRESSÃO SIMPLES ISOTÉRMICA................................................................ 40 III.4 – OS TENSORES NA COMPRESSÃO COMBINADA COM CISALHAMENTO. ...................................... 40 III.4.1 – Sistemas de referência adotados .................................................................................................. 41 III.4.2 - O tensor das tensões ..................................................................................................................... 42 III.4.3 - O tensor das deformações ............................................................................................................ 42 III.4.4 - O cisalhamento simples. Módulo de cisalhamento. ...................................................................... 43 A constante  de Lamè, ou Módulo de Cisalhamento. ....................................................................43 III.4.5 – Superposição dos efeitos e conexão entre os tensores ................................................................. 43 III.5 – A LEI DE HOOKE ...................................................................................................................................... 44 III.5.1 – Forma geral da lei para os materiais até agora estudados ............................................................ 44 III.5.2 – Linearidade física ........................................................................................................................ 45 III.5.3 – Homogeneidade........................................................................................................................... 45 III.5.4 – Isotropia e anisotropia ................................................................................................................. 45 III.6 - A ANISOTROPIA DENOMINADA ISOTROPIA TRANSVERSA ............................................................ 46 III.7 - A ANISOTROPIA DENOMINADA ORTOTROPIA .................................................................................. 49 III.8 – APLICAÇÃO AO CASO DAS BARRAGENS DE CONCRETO ............................................................... 51 III.9 – EFEITO DA UMIDADE.............................................................................................................................. 53 III.10 – HIDRÁULICA DOS MATERIAIS ............................................................................................................ 53 III.11 – O PROJETO HOOKE E AS BARRAGENS DE CONCRETO ................................................................. 53 III.12 – PERSPECTIVAS ....................................................................................................................................... 55

PARTE II INTERPRETAÇÃO DE ENSAIOS CAPÍTULO IV O MÉTODO DA CÉLULA TRIAXIAL E O DOS MACACOS PLANOS. IV.1 – HIPÓTESES BÁSICAS DE TRABALHO. ................................................................................................. 63 IV.2 - SISTEMAS DE REFERÊNCIA GLOBAL E LOCAL. ................................................................................ 65 IV.3 – O MÉTODO DO “OVERCORING” OU SOBREFURAÇÃO..................................................................... 66 IV.3.1 – Descrição sumária. ...................................................................................................................... 66 IV.3.2 – Células em estruturas de concreto. .............................................................................................. 70 IV.4 – O MÉTODO DOS MACACOS PLANOS. .................................................................................................. 70 IV.5 – MÉTODOS DUAIS E PROCESSAMENTO UNIFICADO. ....................................................................... 72 IV.6 – OS MODELOS MATEMÁTICOS. ............................................................................................................. 73

CAPÍTULO V O MÉTODO DO PRESSIÔMETRO V.1 - GENERALIDADES ...................................................................................................................................... 79 V.2 - PRESSIÔMETRO ......................................................................................................................................... 79 V.2.1 – Nomenclatura ............................................................................................................................... 79 V.2.2 – Setor técnico de utilização. Maciço. ............................................................................................. 79

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X V.2.3 – Finalidade dos pressiômetros. ....................................................................................................... 79 V.2.4 – Os aparelhos idealizados. ............................................................................................................. 80 V.2.5 – Operação. ..................................................................................................................................... 80 V.2.6 – O sistema de compressão (apenas para compor o funcionamento do pressiômetro) ..................... 81 V.2.7 – Vantagens dos aparelhos propostos .............................................................................................. 81 V.3. - COLETA DE DADOS E CÁLCULO DOS TENSORES ............................................................................. 82 V.3.1 – Sistema de referência ligado ao pressiômetro ............................................................................... 82 V.3.2 - Generalidades ................................................................................................................................ 83 V.3.3 – O cálculo. ..................................................................................................................................... 83 V.2.4 – O método de medição das tensões normais e elongações. ............................................................ 85 Pinos de referência ..........................................................................................................................85 Deslocamentos diferentes em direções diferentes. ...........................................................................85 Recomposição do estado de tensão na rocha. ..................................................................................85 Recomposição do estado de deformação na rocha. ..........................................................................86 V.2.5 – O uso simultâneo dos dois pressiômetros. Vantagens. .................................................................. 87 V.2.6 – O cálculo dos tensores. ................................................................................................................. 87

CAPÍTULO VI O CÁLCULO DA MATRIZ ASSOCIADA A UM DIÁDICO VI.1 – CONVERSÃO DE COORDENADAS. ....................................................................................................... 91 VI.2 – POSIÇÃO DE PROBLEMAS. .................................................................................................................... 92 VI.3 – RESOLUÇÃO DO 1 PROBLEMA. ........................................................................................................... 93 VI.3.1 – Especificação da direção do eixo do furo. ................................................................................... 93 VI.3.2 – Especificação das direções dos aparelhos. ................................................................................... 93 As direções dos extensômetros em relação a O'xyz. ........................................................................94 As direções das almofadas em relação a O'xyz. ...............................................................................96 VI.3.3 – Lista das medições. ..................................................................................................................... 96 VI.3.4 – Estimação do diádico em relação ao referencial local. ................................................................ 97 Teoria. .............................................................................................................................................97 Mínimos quadrados. ...................................................................................................................... 100 VI.3.5 – Estimação do diádico em relação ao referencial global. ............................................................ 103 VI.3.6 – O cálculo do diádico, na prática. ............................................................................................... 103

CAPÍTULO VII VALORES E DIREÇÕES PRINCIPAIS VII.1 – RESOLUÇÃO DO 2 PROBLEMA. ........................................................................................................ 107 VII.2 – RESOLUÇÃO DO 3 PROBLEMA. ........................................................................................................ 107

APÊNDICES APÊNDICE I ......................................................................................................................................... 109 TRIGONOMETRIA BÁSICA. ............................................................................................................... 109 APÊNDICE II........................................................................................................................................ 157 VETORES (com aplicações). .................................................................................................................. 157 APÊNDICE III ...................................................................................................................................... 187 ANÁLISE COMBINATÓRIA BÁSICA, MATRIZES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE EQUAÇÕES, AUTO VALORES E AUTOVETORES, DERIVADAS........................ 187 APÊNDICE IV ...................................................................................................................................... 237 PROBABILIDADES, MÍNIMOS QUADRADOS e REGRESSÕES ..................................................... 237

ANEXOS ........................................................................................................................... 283 ANEXO I. .............................................................................................................................................. 283 Comitê Brasileiro de Barragens ....................................................................................................................................... 283 XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens ........................................................................................................... 283 Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005 ........................................................................................................................... 283

MEDIÇÃO DE TENSÕES PELO MÉTODO SFJ NO MACIÇO DA UHE SERRA DA MESA ..................................................................................................................................................... 283 Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri ................................................................................................................................. 283 Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. ....................................................................................................... 283 Nilvane Teixeira Porfírio................................................................................................................................................. 283 Técnico Especializado - FURNAS Centrais Elétricas S.A. .............................................................................................. 283

ANEXO II. ............................................................................................................................................. 300 Comitê Brasileiro de Barragens ....................................................................................................................................... 300 XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens ........................................................................................................... 300 Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005 ........................................................................................................................... 300

TENSÕES IN SITU, EM ESTADO TRIPLO ......................................................................................... 300 (UMA APLICAÇÃO AO MACIÇO ROCHOSO DA UHE DE SERRA DA MESA) ............................ 300 (UM DEPOIMENTO BASEADO EM MEDIÇÕES) ............................................................................. 300 Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri ................................................................................................................................. 300 Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas S.A. ........................................................................................................... 300

ANEXO III. ........................................................................................................................................... 317 Comitê Brasileiro de Barragens ....................................................................................................................................... 317 XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens ........................................................................................................... 317 Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005 ........................................................................................................................... 317

UMA TENTATIVA DE CÁLCULO DA INCERTEZA DO TENSOR DE TENSÕES MEDIDO PELO MÉTODO DAS ALMOFADAS .................................................................................. 317 Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri ................................................................................................................................. 317 Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. ....................................................................................................... 317

ANEXO IV. ............................................................................................................................................ 333 Artigo apresentado no Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas ............................................................ 333

ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES ................................................................... 333 Elysio R. F. Ruggeri........................................................................................................................................................ 333 Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. ....................................................................................................... 333

ANEXO V............................................................................................................................................... 342 Painel apresentado no Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas ............................................................ 342

ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES ................................................................... 342 Elysio R. F. Ruggeri........................................................................................................................................................ 342 Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. ....................................................................................................... 342

ANEXO VI. ............................................................................................................................................ 347 Artigo sumetido à REM – Revista Escola de Minas em 02/01/2006 ................................................................................ 347 Referência da publicação: REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 60(3), jul. set. 2007 ............................................................ 347

DETERMINACÃO EXPERIMENTAL DE LEI FÍSICA LINEAR QUE CORRELACIONE DUAS GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS ........................................................ 347 Elysio R. F. Ruggeri........................................................................................................................................................ 347 Furnas Centrais Elétricas SA ........................................................................................................................................... 347

ANEXO VII ............................................................................................................................................ 359 Artigo apresentado no 1 Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas ....................................................... 359

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São Paulo - 2004 ............................................................................................................................................................. 359

DESENVOLVIMENTO DE CÉLULA TRIAXIAL PARA DETERMINAÇÃO DE TENSÕES IN SITU ................................................................................................................................ 359 João Luiz Armelin........................................................................................................................................................... 359 FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A ........................................................................................................................ 359 Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6340 – Fax.: 62 239 6500 – armelin@furnas.com.br ................................................................................................................................................... 359 Sérgio Veiga Fleury ........................................................................................................................................................ 359 FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A ........................................................................................................................ 359 Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6498 – Fax.: 62 239 6500 – sergiovf@furnas.com.br .................................................................................................................................................. 359 André Pacheco de Assis .................................................................................................................................................. 359 Universidade de Brasília – Dep. de Engenharia Civil e Ambiental – FT – Programa de PósGraduação em Geotecnia................................................................................................................................................. 359 70910-900, Asa Norte, Brasília-DF, Tel.: 61 273 7313 – aassis@unb.br ......................................................................... 359

PARTE I CONCEITOS PRÁTICOS DE ELASTICIDADE CAPÍTULO I O PROBLEMA ESTRUTURAL (Generalidades) I.1 – CORPOS MATERIAIS (conceito, estrutura interna) I.1.1 – Definição, formas Corpo material é a designação genérica dos corpos naturais. Os corpos materiais apresentam: forma exterior, que se define com o auxilio da Geometria (em geral pela Geometria Analítica); forma interior (ou estrutura interna), que se define com o auxílio da Física e da Química. As formas exteriores de uso mais corrente dos corpos naturais (para efeito de engenharia) são denominadas: Barras: quando os corpos têm duas dimensões da mesma ordem de grandeza e a terceira muito maior que as anteriores. As barras se associam de várias maneiras. Exemplos: as vigas (simples e contínuas), os pórticos (planos e espaciais), as treliças (planas e espaciais) e outras. Superficiais: quando os corpos têm duas dimensões da mesma ordem de grandeza e a terceira muito menor que as duas primeiras. Quando não têm curvatura são denominados: chapas e placas (ou lajes); Quando têm curvatura são denominados: membranas e cascas. São cascas: os reservatórios cilíndricos, esféricos; coberturas e chaminés em forma de parabolóides, etc. Sólidos maciços: quando os corpos têm as três dimensões lineares da mesma ordem de grandeza. Exemplos: os blocos, muitas peças de máquinas (bloco de motor, virabrequim), os cilindros grossos (eixos), as chapas grossas (para revestimentos) etc.

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As formas interiores, quando observadas a olho nu, são ditas: Continuas quando apresentam um aspecto físico homogêneo (no conceito vulgar). Como exemplo, temos os corpos constituídos de: aços, concretos, plásticos, algumas rochas, alguns solos. Descontínuas quando apresentam vazios em alguns pontos (buracos ou trincas), ou traços (riscos) que indiquem mudança. São exemplos os corpos constituídos pelas madeiras, os maciços rochosos, muitos cristais, vigas compostas de dois ou mais materiais (vigas sanduíche) e outros. A forma interior de um corpo, quando observada com uma lupa, poderá receber uma classificação diferente da anterior porque, possivelmente, vazios e trincas poderão ser perceptíveis. É evidente que essa forma interior poderá ser ainda classificada apenas como descontínua, tudo dependendo do instrumento de observação (microscópio, difratômetro de raio X etc.), porque os corpos são formados por moléculas e estas por átomos, existindo vazios entre os átomos. I.1.2 - Propriedades físicas e químicas. ERV. A forma interior de um corpo tem influência praticamente total nas suas propriedades físicas (bem como sobre as propriedades químicas, elétricas e outras). Dentre as propriedades físicas, vamos destacar aqui, em vista dos materiais com que trabalhamos e do modo como estes irão trabalhar nas construções (no caso, nas barragens), apenas as propriedades mecânicas. As propriedades mecânicas dos corpos materiais são caracterizadas de forma macroscópica, isto é, por meios que não levam em consideração o comportamento das suas moléculas e átomos, mas o comportamento de um “grande pacote” de moléculas, ou certa massa desse material. É certo que, para certos problemas resolvidos pela engenharia estrutural, a estrutura interna dos materiais nunca é observada com lupa ou microscópios. Entretanto, a estrutura interna (vista à lupa ou ao microscópio) é relevante no tocante ao envelhecimento dos materiais porque havendo possibilidade de modificação dessa estrutura ao longo do tempo, suas propriedades podem variar. Nesse caso, a resposta da estrutura à ação dos mesmos esforços de quando concebida pode alterar-se significativamente. Em qualquer caso (e em qualquer época), para que de uma massa de material se possa gerar uma medida que represente uma propriedade sua, é necessário que essa massa possa de fato representar esse material como um todo (para a referida propriedade). Por exemplo: apenas 1 litro de uma argamassa (com certa idade) pode representar algumas de suas propriedades, mas 1 litro de um concreto massa (com certa idade), utilizável em barragens, não consegue representar, evidentemente, as suas propriedades. Para representar as propriedades destes concretos com um pouco mais de certeza torna-se necessário utilizar uma quantidade bem maior de material (uns 100 litros, talvez). A menor quantidade (massa) de um corpo material que possa representar, em média, algumas de suas propriedades mecânicas, denomina-se um elemento representativo de volume (ERV) desse material para essa propriedade.

Qual o ERV aceitável para um maciço rochoso? E o de uma barragem de concreto? Como dito, O ERV depende da propriedade a analisar. A rocha de um maciço pode ter composição idêntica quando são analisadas amostras de rocha da ordem de 100 litros. Mas volumes dessa ordem não serão suficientes pode caracterizar suas propriedades mecânicas. O mesmo raciocínio é aplicável aos concretos. I.2 – ESTRUTURAS (conceito, ligações, esforços, laboratórios) Construção Uma construção é um sistema de corpos materiais (sólidos ou fluidos) associados de modo que o conjunto seja apto ao desempenho de certa função. Projetar Projetar uma construção é prever a associação dos seus sólidos componentes de modo a atingir, ao menor custo possível, os objetivos: funcional (com uma finalidade) e estrutural (pela manutenção de sua forma e de sua posição no conjunto), dentre outros. Estruturas A funcionalidade costuma ser estudada na Arquitetura (para as edificações), pela Hidráulica (caso dos vertedouros) etc. A questão estrutural cabe à Mecânica das Estruturas. As estruturas são as partes resistentes de uma construção, as que são responsáveis pelo seu equilíbrio. São blocos de fundação, vigas, pilares, lajes e paredes de uma casa de força, de um edifício (de comando nas barragens). São, ainda, e principalmente para nós: os “muros de reservatório” (denominados genericamente de barragens), os maciços rochosos de fundação e os maciços rochosos das ombreiras. I.2.1 - Interligação das estruturas As estruturas podem interligar-se de diferentes maneiras. Nas barragens de concreto, os chamados “blocos” são estruturas, bem como a fundação rochosa. Digamos que, num bloco, o “paramento de montante” seja um retângulo de 15m de largura por 50m de altura e que sua seção transversal seja um triângulo de 30m de base (logo 50m de altura). Que tipo de ligação tem esse bloco com a fundação (o maciço rochoso)? Esta é uma ligação dita em “engastamento” (ou de terceira espécie). Numa treliça comum de cobertura, as “barras” da treliça (feitas geralmente com cantoneiras) são ligadas umas às outras por “rotulas”, como se fosse uma união através de porca/parafuso (as barras podendo rodar em torno do parafuso). Essa é a “ligação rotulada” (ou de segunda espécie). Uma longarina (viga longitudinal) de uma ponte pode apoiar-se num “encontro” (um pórtico, ou um muro) sobre rolos livres ou placas de neoprene; estes permitem deslocamento da longarina apenas na direção do seu eixo; essa ligação é chamada de “apoio simples” (ou de primeira espécie). No outro ponto extremo da longarina, para fixála, nenhum deslocamento é permitido, mas pode aceitar-se que seu eixo torne-se curvo nas proximidades desse ponto, essa curva – dita linha elástica da viga - estando contida num plano vertical.

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A ligação de um pilar de edifício com um bloco de fundação é ligação do tipo engastamento (terceira espécie), mas numa torre de transmissão essa ligação poderia ser do tipo rótula (segunda espécie). I.2.2 - Esforços exteriores nas estruturas Em qualquer caso de atuação de uma estrutura, ela estará submetida à ação de esforços - ditos cargas - sejam estes exteriores à mesma, como o peso de pessoas e veículos, ou provenientes de sua interligação com corpos adjacentes (outras estruturas) componentes de uma construção. As cargas são, geralmente, forças concentradas num “ponto” (expressas em kgf, em tf ou em N), ou distribuídas sobre uma área (e expressas em kgf/cm2, tf/m2, ou MPa=10kgf/cm2). Quando partes de uma estrutura estão submetidas a temperaturas diferentes, outros esforços podem ser introduzidos, além dos ditos anteriormente. Os valores das cargas podem ser sempre estimados com razoável acerto. Esforços nas barragens de concreto No caso das barragens de concreto as cargas atuantes principais são: o peso próprio, o empuxo hidrostático e a sub-pressão (Figura I.1). O peso próprio, como o próprio nome diz, é devido ao peso da barragem e atua verticalmente de cima para baixo; o empuxo é o esforço que as águas do reservatório vão exercer perpendicularmente ao paramento de montante (em geral é força horizontal); a sub-pressão atua no contato da barragem com a fundação e no sentido vertical de baixo para cima. É obvio que o peso próprio é força favorável à estabilidade da barragem e que as outras são desfavoráveis (e que, por isso mesmo, devem ser combatidas). O peso próprio e o empuxo são determinados com facilidade e boa precisão; a sub-pressão não é determinada com precisão havendo, inclusive, muita discussão quanto à sua distribuição ao longo do topo da fundação. Todas essas forças apresentam valores máximos no contato com a fundação. É impossível combater o empuxo (que, em qualquer elevação h, vale h,  sendo o peso específico da água = 1.000 kgf/m3), mas a sub-pressão pode ser aliviada pela construção de drenos na fundação. Detalhes sobre o cálculo dessas forças e a atuação delas serão vistos mais à frente. I.3 - APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ESTRUTURAL - Um corpo material, com a sua forma exterior e a interior, ligado ao terreno ou a outro corpo material, estará sujeito à ação de esforços conhecidos. - Quer-se prever (tudo o que for possível) sobre o desempenho desse corpo quando ele for posto a “trabalhar” realmente. I.3.1 - Alternativas possíveis São duas as possibilidades de previsão do desempenho do “corpo carregado” (ou corpo em carga):

1 – Simulando, de alguma maneira, o “fenômeno” em laboratório, em escala natural se possível, ou construindo um “modelo reduzido”; 2 – Utilizando teorias, com suas hipóteses básicas e suas fórmulas, que sejam consagradas pelo uso (confiáveis). Os laboratórios com modelos reduzidos Em muitas situações os modelos reduzidos permitem avaliar qualitativa e quantitativamente o desempenho de um corpo material. São utilizados quando se desconhece qualquer outro meio que possa fornecer uma resposta mais rápida para o problema (da previsão de comportamento). Por exemplo: 1) - como descrever o fluxo das águas no vertedouro de uma barragem, ou ao longo do paramento de uma ensecadeira para efeito de desvio de um rio? 2 - Qual é a granulometria ideal do material (e que gere os menores custos) a ser lançado no rio no momento do fechamento final (geralmente os últimos 50m) da ensecadeira de desvio (momento em que o fluxo do rio apresenta-se com as maiores velocidades)? Desconhecemos teoria que possa prever satisfatoriamente o comportamento de uma barragem de enrocamento. Recorremos, então, a experiências de laboratório que possam gerar pelo menos alguns dados que sirvam de orientação aos projetistas e de subsídios para resolver algum problema durante a construção. Os estudos empíricos são, obviamente, caros e geralmente demorados (o que pode causar elevação de custos das obras). Teorias confiáveis, eventualmente existentes, que possam simular a solução desses problemas, certamente são preferíveis em relação aos estudos empíricos; apenas porque essas teorias dão respostas de forma mais rápida (as teorias podem ser complicadas e podem complicar os cálculos, mas os computadores fazem contas rapidamente e não tomam conhecimento de fórmulas complicadas). O fluxo das águas nas vizinhanças da barragem é também um problema relevante e complexo. Nem sempre existem modelos teóricos que possam fazer previsões com razoável acerto. Recorre-se, então, aos modelos reduzidos. Para atender essas necessidades, Furnas dispõe de laboratórios em Jacarepaguá, na cidade do Rio de Janeiro. Modelos teóricos disponíveis As teorias disponíveis nos cursos de engenharia estão expostas nas disciplinas chamadas: Resistência dos Materiais, Mecânica das Construções (ou das Estruturas), Estabilidade das Construções, Mecânica dos Sólidos, Mecânica dos Fluidos, e poucas outras. Para o entendimento perfeito dessas teorias é necessário bom embasamento físico (especialmente de Mecânica Teórica) e matemático (Cálculo Infinitesimal, Cálculo Matricial, Geometria Analítica e Cálculo Tensorial (ou Poliádico)). Uma disciplina que encampa a Resistência dos Materiais é a Teoria da Elasticidade, estudada apenas nos cursos de pós-graduação em estruturas. Em geral, a Teoria da Elasticidade, por si só, não resolve todos os problemas complexos em engenharia uma vez que ela é uma mecânica de sólidos e não pode aplicar-se aos fluidos. Há cerca de 50 anos as bases dessas teorias vêm sendo unificadas na chamada Mecânica do Contínuo, disciplina

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estudada, também, nos cursos de pós-graduação e da qual fazem parte: a Teoria da Elasticidade (e suas parentes, a Teoria da Plasticidade, da elasto-plasticidade e outras) e a Mecânica dos Fluidos (dentre outras disciplinas de Física Aplicada). Em todas essas disciplinas existe uma sinergia entre a Matemática e a Física. A Matemática representa uma condição necessária para as pretendidas previsões de comportamento dos corpos materiais; a Física representa a condição suficiente e é, sem dúvida, a mais importante, embora em muitas situações as dificuldades matemáticas possam ser muito expressivas. I.4 - LABORATÓRIOS DE ENSAIOS O enfoque físico do problema está estritamente relacionado com um laboratório de ensaios porque para cada “estrutura interna” de material corresponde: 1 – a determinação experimental (medição) das propriedades físicas que possam interessar e as condições em que essas propriedades sejam válidas para que a forma e a posição da estrutura sejam preservadas no tempo; 2 - uma teoria adequada (quando for o caso da utilização de uma teoria na previsão do comportamento) que ditará as propriedades mecânicas (características do material) que devam ser medidas. No caso das barragens, a necessidade dos laboratórios é indiscutível, mas o uso das informações obtidas com o mesmo deve ser realizado com muita cautela e com sabedoria. Vamos ilustrar nossa preocupação com o argumento seguinte, real e simples. Com que finalidades são extraídos os corpos de prova, nas concretagens, em obra? Resposta óbvia: 1) - para, com uma quantidade adequada desses corpos e com procedimentos adequados de cura e ensaios dos mesmos, determinar as propriedades mecânicas do concreto correspondente lançado no bloco, em várias idades (com 7 dias, com 14 dias etc.); 2) – comparar esses resultados com os admitidos em projeto quando do dimensionamento da obra. O traço desse concreto, por outro lado, já foi especificado por estudos (bem) anteriores à construção, para que ele apresentasse as características desejadas no momento do lançamento e no futuro (obra feita, em operação). Pergunta-se: a) - será este concreto (no lançamento) idêntico ao estudado? b) – Haverá compatibilidade de resultados se os corpos de prova da fase de estudos tiverem dimensões diferentes daqueles da época da concretagem? Muitas outras questões poderiam ser levantadas, mas não discutiremos esses assuntos aqui por não serem oportunos.

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CAPÍTULO II OS TENSORES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO II.1 - SISTEMA DE COORDENADAS. VETORES. Suporemos em tudo o que seguirá que já tenhamos elegido um sistema de coordenadas cartesianas – dito, global para referir todos os fatos que ocorrerem em relação ao corpo a ser estudado; por exemplo, para determinar a posição de qualquer um de seus pontos. Os sistemas de coordenadas serão representados por O-X1X2X3 (ou O-XYZ), O sendo sua origem e OX1 (ou OX), OX2 (ou OY), OX3 (ou OZ) os seus eixos graduados em escala natural (Figura II.1) com as “ponteiras” apontando num sentido escolhido arbitrariamente (de modo conveniente) e de forma que o conjunto seja “direto” (obedecendo a regra do observador, ver Ap. II, item 1). Para especificar graficamente a direção de um eixo, usa-se uma pequena flecha disposta sobre o mesmo, de comprimento igual a um, com origem em O e com a ponteira apontando no mesmo sentido da ponteira do eixo; tem-se ai um vetor unitário positivo; se o sentido adotado fosse contrário ao do eixo, teríamos a imagem de um vetor unitário negativo. A cada eixo do sistema de coordenadas corresponde um vetor unitário positivo; estes – ditos vetores de base - são perpendiculares entre si e serão representados por eˆ 1 , eˆ 2 e eˆ 3 ; ou, no caso de uso da notação O-XYZ: ˆi, ˆj, kˆ (ver Ap. II). Um vetor unitário uˆ qualquer (diferente dos vetores unitários dos eixos), com origem no ponto O e apontando num certo sentido no espaço, pode ser decomposto segundo as direções de cada um dos eixos coordenados. Para isso, basta fazer as projeções ortogonais da extremidade de uˆ sobre cada um dos eixos. Se A1 for a medida da projeção OA1 de uˆ sobre o eixo OX1, A2 a medida da projeção OA2 sobre o eixo OX2 e A3 sobre o eixo OX3 (Fig. II,2), escreveremos:

uˆ  A1eˆ 1  A 2 eˆ 2  A 3eˆ 3 ,

(01).

No caso do vetor unitário uˆ as medidas A1, A2 e A3 podem ser determinadas com muita facilidade porque se U é o ponto extremidade de uˆ , o triângulo OA1U é um triângulo retângulo e o cateto OA1 – que A1 tem por medida - é igual ao co-seno do ângulo 1 (ver Ap. I) que fazem entre si os vetores unitários uˆ e eˆ 1 . Aplica-se o mesmo raciocínio para interpretar as duas outras projeções. Assim, podemos escrever (01) na forma:

uˆ  cos1eˆ 1  cos 2 eˆ 2  cos  3eˆ 3 ,

(02).

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Quando forem dados os ângulos 1, 2 e 3, seus co-senos poderão ser obtidos pelas calculadoras. Um ponto qualquer sobre a reta OP terá um vetor posicional OP ; e se X1, X2 e X3 são as coordenadas de P podemos escrever:

OP  X1eˆ 1  X 2 eˆ 2  X 3eˆ 3 ,

(03).

O ponto P do corpo de uma barragem é definido precisamente por uma expressão como a (03). Acontece apenas que X1, X2 e X3 devem variar dentro de certos intervalos, aos extremos dos quais corresponderão pontos das “fronteiras” da barragem (planos geralmente, podendo ser, ainda, superfícies curvas). Em um bloco, por exemplo, pode ser adotada a representação indicada na Figura II.3. II.2 - HIPÓTESES BÁSICAS INICIAIS Admitiremos válidas as hipóteses H1 e H2 seguintes: H1 – Os corpos materiais são contínuos, isto é, têm estrutura interna contínua. Por mais próximos que estejam dois pontos de um corpo ainda existe entre eles pelo menos mais um ponto. Os sistemas de coordenadas são utilizados para representar as posições dos pontos de um sólido; e estas coordenadas, por força de H1, variam continuamente. H2 – Em um corpo sólido, existem forças de atração entre dois quaisquer dos seus “pontos próximos”, e o conjunto (neutro) de todas essas forças dá ao sólido a forma que tem. As forças a que se referem H2 serão denominadas “forças internas” entre pontos; e por força de H1, estas forças variam continuamente dentro do sólido. Haverá regiões em que essas forças internas são mais intensas que em outras. A rigor essas hipóteses não podem ser válidas, exceto com alguma aproximação. O fato é que algumas conseqüências delas provenientes são verificadas experimentalmente com uma precisão satisfatória do ponto de vista prático em engenharia 1. II.3 - TENSOR DE DEFORMAÇÕES Seja P o “ponto genérico” de um sólido antes da atuação das cargas 2 (atuação gradual, por hipótese); e, com origem neste ponto, imaginemos uma base de vetores diferentes do terno { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 } (Figura II.4). O ponto P e as extremidades desses vetores – pontos 1, 2 e 3, respectivamente extremidades de rˆ1 , rˆ2 e rˆ3 - são os vértices de um tetraedro P123 que vamos apelidar de “tri-retângulo” porque as faces desse tetraedro que têm o ponto comum P 1

Deve existir igual espectativa em relação à duvidosa isotropia de algum material (ver Apresentação). No caso das barragens esse ponto corresponde à barragem pronta com o reservatório vazio (que vai encher-se gradualmente). 2

– faces P12, P23 e P31 - são triângulos retângulos isósceles (os catetos têm medidas iguais a 1). Quando as cargas (empuxo e subpressão) atuam na barragem pronta, seus pontos são deslocados (ao longo do tempo), cada um passando a ocupar (ao cabo de certo tempo) uma posição final que não mais se alterará se as cargas atuantes (empuxo) não forem alteradas; nessas condições, dizemos que o corpo estará em equilíbrio. Dizemos, ainda, que o corpo sólido foi deformado (por ação das cargas); mas, em geral, a sua forma não difere muito da forma original (tudo dependendo do material de que é feito o sólido e dos valores das cargas). Além disso, é evidente que dois corpos com a mesma forma exterior inicial (digamos, dois cubos) e sujeitos às mesmas cargas, vão deformar-se diferentemente se as formas interiores (estruturas internas) deles forem diferentes. Sejam: P‟, 1‟, 2‟ e 3‟ as posições finais de P, 1, 2 e 3 (Figura II.5). Podemos dizer que o tetraedro tri-retângulo P123 foi deslocado para a posição P‟1‟2‟3‟. Esses deslocamentos diferem de um ponto P para outro ponto Q do corpo. As distâncias iniciais, em P, todas iguais a 1, mudaram-se; e cada uma passou a ter um valor diferente da outra (P‟1‟P‟2‟P‟3‟). Da mesma forma, os ângulos retos iniciais em P (todos iguais) assumiram valores diferentes na nova posição do tetraedro; e cada ângulo passou a ter um valor diferente do outro; sejam eles: ‟12=‟21=ângulo de P‟1‟ com P‟2‟, ‟23=‟32=ângulo de P‟2‟ com P‟3‟ e ‟31=‟31=ângulo de P‟3‟ com P‟1‟, todos medidos em radianos. II.3.1 – Elongação Dois pontos quaisquer de um sólido, mas próximos (como P e 1, P e 2 ou P e 3), definem uma direção antes da aplicação das cargas; e, como visto, existe uma variação de distância entre eles depois de cessados os deslocamentos conseqüentes à ação das cargas. Definição: (elongação) Chama-se elongação no ponto P e na direção (inicial) rˆ1 o quociente entre a variação de distância ocorrida entre os pontos P e 1 (diferença P1–P’1’) e a distância inicial entre esses mesmos pontos (no caso, igual a um). Denotando-se por 1 a variação da distância, a elongação (no ponto P e na direção rˆ1 ) será 1 (porque a distância inicial é igual a 1). Analogamente, no ponto P e nas direções rˆ2 e rˆ3 as elongações serão 2 e 3. As elongações são adimensionais, ou seja, são representadas apenas por um número (não têm unidade de medida). Como os deslocamentos dos pontos de um sólido em geral são muito pequenos, as variações de distâncias entre pontos são também muito pequenas. Isto significa que as elongações são números extremamente pequenos, geralmente da ordem de 10 -3 a 10-5. A elongação é também chamada de deformação unitária, deformação específica e alongamento unitário

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A definição acima é a utilizada tradicionalmente em Mecânica de Rochas onde a encurtamentos de distâncias (P‟1‟<P1) correspondem elongações positivas; e a alongamentos, elongações negativas. Na teoria das estruturas a diferença P1–P‟1‟ referida na definição é substituída por P‟1‟–P1, caso em que a encurtamentos de distâncias (P1<P‟1‟) correspondem elongações negativas. Então existe uma diferença apenas de sinal entre uma definição e outra. Em resumo: em Mecânica de Rochas os encurtamentos são considerados positivos, enquanto que na Teoria de Estruturas esses encurtamentos são negativos. Os extensômetros são os aparelhos que permitem a determinação direta das elongações nos sólidos; e existem em vários tamanhos (como os strain gages, que são relativamente pequenos; e os extensômetros Carlson, que são relativamente grandes). Mas as elongações podem, também, ser determinadas medindo-se diretamente a variação de distância entre dois pontos com o uso dos alongâmetros (o que requer, evidentemente, acesso aos pontos); os pontos da parede de uma galeria, por exemplo. Descrição, detalhes e operações com extensômetros, rosetas de extensômetros e alongâmetros são abordados em aulas práticas. * II.3.2 – Distorção Duas direções consideradas por um ponto P de um corpo, antes da aplicação das cargas (digamos, antes do enchimento de um reservatório), definem um ângulo. Cessados os deslocamentos (cheio o reservatório), essas mesmas direções definirão outro ângulo. Definição: (distorção) Chama-se distorção no ponto P do corpo, entre duas direções ortogonais quaisquer por P, a variação do ângulo reto ocorrido entre elas (depois de cessados os deslocamentos), expresso em radianos. Denotando-se a distorções em P, em relação aos pares de direções ( rˆ1 , rˆ2 ), ( rˆ2 , rˆ3 ) e ( rˆ3 , rˆ1 ), por 12=21, 23=32 e 31=13, respectivamente, serão:

12  21 

    12   21 , 2 2 23  32 

    23   32 , 2 2 13  31 

    13   31 . 2 2

As distorções (como as elongações) são adimensionais, ou seja, são representadas apenas por um número (as medidas das variações dos ângulos, em radianos). Por serem pequenos os deslocamentos de pontos, as variações dos ângulos retos também são pequenas, ou seja, os ‟s são números muito pequenos (da mesma ordem de grandeza das elongações). A elongação representa, então, variação de distância entre dois pontos próximos; a distorção representa variação do ângulo reto de duas direções. Para um tetraedro, são três as elongações (positivas ou negativas) e três as distorções (também positivas ou negativas); e elas bastam para definir a forma, agora deformada, do tetraedro tri-retângulo inicial.

* Desconhecemos aparelhos que possam determinar diretamente as distorções entre pontos relativamente próximos. Mas estas podem ser determinadas indiretamente, por triangulação. A triangulação consiste em determinar todos os elementos de um triângulo quando três deles são dados, um dos quais devendo ser um elemento linear (ver Ap. I). Assim, primeiro medimos com um alongâmetro os lados de um triângulo aproximadamente retângulo escolhendo por vértices três pontos do corpo de prova (em laboratório) ou no maciço (em campo) antes da aplicação dos esforços. Com esses três pontos determinamos o ângulo interno inicial correspondente à hipotenusa. Este será relativamente próximo de 90 (ou /2 radianos) porque não conseguimos concretizar esse ângulo na prática. Depois de cessados os deslocamentos conseqüentes à atuação das cargas, medimos novamente aqueles mesmos lados e calculamos o ângulo oposto ao lado correspondente à “hipotenusa” do triângulo inicial que terá sofrido, certamente, uma variação. * II.3.3 – O tensor de deformações Os seis números adimensionais acima referidos, em conjunto, definem as medidas de uma entidade matemática associada ao ponto P do sólido deformado, chamada tensor de deformação (do ponto P). Deve ser observado, imediatamente, que o tensor de deformação não é, obviamente, uma propriedade do corpo; ele é conseqüência das propriedades mecânicas do material e das cargas atuantes. Pela exposição feita, se considerarmos outro tetraedro de mesmo vértice P, mas com arestas definidas por vetores unitários diferentes dos rˆ1 , rˆ2 e rˆ3 , obteremos outro conjunto de seis medidas (três elongações e três distorções). Serão esses números medidas de outro tensor de deformações no ponto P? Resposta: NÃO! O tensor de deformações do ponto P pode ter uma infinidade de conjuntos de seis medidas, pois o tetraedro tri-retângulo escolhido no ponto P é arbitrário. Recorrendo a conceitos e raciocínios um pouco mais complexos, poderíamos provar que todos esses conjuntos têm, necessariamente, algumas características comuns, ou melhor, alguns invariantes (que independem do tetraedro de partida). Matriz associada Um conjunto de medidas de um tensor de deformações é, então, relativo a dado ponto P do corpo deformado e a um terno (qualquer) de vetores unitários rˆ1 , rˆ2 e rˆ3 que defina um tetraedro tri-retângulo (de vértice em P). Esse conjunto pode ser organizado adequadamente numa matriz simétrica 3x3 (ver Ap. III). Para lembrar que os elementos dessa matriz são relativos ao sistema local de vetores { rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 }, por convenção, assim a escrevemos, usando um índice r (externo às chaves):

  1 1 []r    21 2 1  2 31 

1  2 12 2 1  2 32

1   2 13 1  , sendo, como visto, 12=21, 23=32 e 31=13.  2 23  3  r

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Precisamente por causa das igualdades acima, dizemos, ainda, que a matriz []r é simétrica e que o tensor de deformações é simétrico. A diagonal principal da matriz é ocupada pelas elongações relativas às direções ortogonais; as demais posições, pelas distorções entre essas direções. Principal invariante A principal característica comum a todas as matrizes que comportam medidas do tensor de deformações no ponto P do sólido (feito com um dado material e para o carregamento especificado) é o traço delas que, por definição, é igual à soma dos elementos da diagonal principal de cada uma. Escrevemos: Tr[]r=1+2+3. Dizemos que o traço da matriz (ou do tensor) é um invariante. Esse invariante não é o único exibido por []r, mas é o mais importante. Autovalores e autovetores Suponhamos que dispuséssemos de vários conjuntos de seis medidas do mesmo tensor de deformações no (mesmo) ponto P do sólido (feito com um dado material e para o carregamento especificado), medidas essas feitas em laboratório ou em campo, com cada um dos quais constituíssemos uma matriz simétrica. Constataríamos, então, que entre as medidas dos (três) elementos da diagonal principal dessas matrizes existiria uma série, digamos a série dos 1, cujos valores tenderiam a ser menores que todos os outros (das outras séries); e outra série, digamos a dos 3, cujos valores tenderiam a ser maiores que todos os outros. Dizemos que, em qualquer ponto de um sólido “carregado”, as elongações tendem para dois valores extremados e para um valor intermediário. Observaríamos, ainda, que enquanto as elongações vão tendendo para seus valores extremados, as distorções (12, 23 e 31) vão tendendo para zero simultaneamente. Usando recursos matemáticos poderíamos provar que, do ponto de vista teórico, isso deve realmente acontecer, mas não podemos garantir que isso já foi algum dia verificado experimentalmente (em laboratório, pelo menos). Essa verificação pode ser relativamente simples, eventualmente onerosa, não fossem essas medidas acompanhadas de incertezas (erros). É devido às incertezas que, por exemplo, os traços de todas essas matrizes em geral diferem (não exageradamente, eventualmente). O que foi dito acima significa, em outras palavras, que por cada ponto P de um dado “sólido carregado” existe um terno de direções ortogonais segundo as quais as elongações são extremadas e a distorções são simultaneamente nulas. Essas direções são ditas as direções principais de deformação no ponto P. Os vetores unitários que definem as direções principais no ponto P são ditos os autovetores do tensor nesse ponto e os valores das elongações, elongações principais ou autovalores do tensor no ponto. Se pˆ i denota o vetor unitário da direção principal i (logo, i=I,II,III, pois existem três delas), e este é definido por seus co-senos diretores (cosφi1, cosφi2, cosφi3) em relação ao sistema local de base { rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 }, adotado (item 1), e se a pˆ i corresponde o autovalor Pi, então pode ser comprovado que:

[] . pˆ i  Pi pˆ i ,

 1  12  31   cos  i1   cos  i1    12 2  23 . cos  i2  Pi cos  i2 .   31  23 3  cos  i3 cos  i3   

II.3.4 – Cálculo da elongação relativa a uma direção qualquer Voltaremos ao assunto dos autovalores e autovetores mais à frente (Cap. VII) para mostrar a sua grande utilidade nos projetos de engenharia. Por ora devemos apresentar apenas um problema importante, a ser resolvido de passagem: é o da determinação, no ponto P, da elongação relativa a uma direção qualquer, direção essa dada pelos co-senos diretores (cosφ1; cosφ2; cosφ3) do vetor unitário que a define, nˆ , em relação à base do referencial local { rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 }. Tal como podemos obter, digamos, 1 (elongação relativa à direção rˆ1 ) pela expressão

 1  12  1  1 0 0.  12  2    31   23  

   

 31  1   23 .0 ,  3  0

em que (1; 0; 0) é a matriz coluna dos co-senos diretores de rˆ1 em relação à referida base, podemos também escrever:

 1  12  13     cos 1  n  cos 1 cos 2 cos 3.   12 2  23 . cos 2 ,   13  23 3  cos 3    ou seja, desenvolvendo as operações indicadas e usando parênteses para destacar os coeficientes dos elementos da matriz [ε]:

n  (cos 2 1)1  (cos 2 2)2  (cos 2 3)3   (cos 1 cos 2)12  (cos 2 cos 3)23  (cos 3 cos 1)31. Esta expressão será da maior importância para entender alguns passos de cálculo de incógnitas referidas em todos os problemas nos projetos em desenvolvimento no laboratório de MR. Tais problemas podem ser repassados da mesma forma para o laboratório de concreto visando aplicações aos maciços de concreto. Notas: 1 - Já vimos que é muito mais fácil medir a elongação relativa a uma dada direção do que medir distorção relativa a um par de direções ortogonais dadas. A equação acima mostra que se medirmos as elongações  relativas a pelo menos seis direções convenientemente escolhidas pelo ponto P poderemos calcular (resolvendo um sistema de pelo menos 6 equações com 6 incógnitas) todos os elementos da matriz [ ], ou seja o tensor de deformações do ponto P, em relação à base vetorial local { rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 }. 2 - Uma vez determinada a matriz acima referida, poderemos, por meio dela certamente, procurar caminhos que permitam o cálculo dos valores principais das elongações e as direções principais, posto que estes existam sempre.

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II.4 - TENSOR DE TENSÕES. Consideremos o mesmo corpo sólido do item II.3, as mesmas forças nele atuantes, todos referidos ao mesmo sistema global de coordenadas O-X1X2X3 com seus vetores de base eˆ 1 , eˆ 2 e eˆ 3 , desde o início até o final dos deslocamentos (conseqüentes às deformações). Consideremos no mesmo ponto genérico P do corpo, antes da atuação das cargas, o novo tetraedro tri-retângulo P 1 2 3 cujos vértices 1 , 2 e 3 sejam as extremidades dos vetores locais opostos de P1  sˆ1 , P2  sˆ2 e P3  sˆ3 . Tais vetores unitários serão, agora, normais às faces do tetraedro P 1 2 3 e exteriores a ele. Ao final dos deslocamentos (que ocorrem devido à ação das cargas), como visto, esse tetraedro terá se transformado em P' 1' 2 ' 3' (Figura II.6), e diferirá muito pouco do inicial P 1 2 3 (como visto). Com alguma aproximação (se os deslocamentos forem suficientemente pequenos) podemos aceitar a idéia de que o unitário sˆ1 ainda seja ortogonal à face P' 2 ' 3' , que sˆ 2 seja ortogonal à face P' 3'1' e sˆ3 ortogonal à face P'1' 2 ' , unitários esses todos exteriores ao tetraedro P' 1' 2 ' 3' . Isto significa, em outras palavras, admitir que (aproximadamente) os vetores unitários sˆ 2 e sˆ3 estão contidos na face P' 2 ' 3' . Vamos considerar dois corpos feitos com o mesmo material, com formas exteriores diferentes, sujeitos ao mesmo carregamento, mas referidos a um mesmo sistema de coordenadas. O tetraedro do ponto P de um dos corpos vai deslocar-se de alguma maneira. O mesmo ponto P do outro, deslocar-se-á de maneira diferente do primeiro. É o caso intuitivamente considerado, por exemplo, de um tetraedro num ponto P de um pilar de concreto, de seção quadrada e o do mesmo tetraedro, do mesmo ponto P, de um pilar de seção em T em concreto e de mesma área que o quadrado. Consideremos agora os pontos interiores ao tetraedro P' 1' 2 ' 3' , bem próximos da face P' 2 ' 3' , e os pontos exteriores ao mesmo tetraedro, mas também bem próximos da face considerada. Por conseqüência da hipótese H2 (item 2), os pontos interiores agem sobre os pontos exteriores com forças que, digamos, procuram aproximá-los de si. Como conseqüência da lei de Newton (da ação e reação) os pontos exteriores reagem a esse estímulo procurando, também, aproximar de si os pontos interiores. Assim, visualizando o tetraedro isoladamente (Figura II.7), vemos um conjunto de pequenas forças agindo sobre esse tetraedro através da face P' 2 ' 3' . O mesmo vai acontecer em todas as outras faces. Esses quatro conjuntos de pequenas forças reativas tentam, em conjunto, apenas nas proximidades do ponto P, restituir a forma original do tetraedro tri-retângulo ligeiramente deformada. Podemos aceitar a idéia de que o efeito mecânico do conjunto de forças de cada uma das três faces ortogonais seja equivalente ao da resultante delas – que denotaremos por f1, f2 e f3 - como se essas resultantes estivessem aplicadas no centro de gravidade da face correspondente. Para certos materiais isso pode ser razoavelmente verdadeiro, real, mas para outros pode não ser suficientemente exato. Os primeiros são tratados como “corpos

clássicos”; os segundos como “corpos Cosserat”. Os maciços rochosos parecem comportarse muito mais como corpos Cosserat do que como clássicos. No que segue consideraremos apenas os corpos clássicos. II.4.1 – Vetor tensão Definiremos como vetor tensão numa face qualquer, o quociente das forças interiores atuantes nesta face (ou da resultante delas) pela área desta face. Escreveremos, então: f f f 1  1 , 2  2 e 3  3 . A1 A2 A3 Unidade de tensão: Se as forças são expressas em kgf e as áreas em cm2, as tensões são expressas em kgf/cm2; se as forças são expressas em N (newtons) e as áreas em m2, as tensões ficam expressas em Pa (Pascal), ou N/m2. Como 1kgf10N, 1m2=104cm2, 1kN=103N, resulta que 1kgf/cm2=105Pa. Sendo 1MPa=106 Pa, deduzimos que 1MPa=10 kgf/cm2. II.4.2 – Tensão normal e tensão tangencial Podemos decompor o vetor tensão 1, digamos, relativo à face P' 2 ' 3 ' , em duas parcelas: uma paralela ao vetor sˆ1 , logo ortogonal à face, e outra contida na face (ver Ap. II, item 4). Sejam S1 e S´ as projeções ortogonais da extremidade do vetor 1 sobre o suporte de sˆ1 e sobre a face P' 2 ' 3 ' , respectivamente (Figura II.8). Denotando por 1 o vetor de origem no cg da face, G1, e extremidade em S‟; e por 11 o segmento de origem G1 e extremidade S1, escrevemos: 1  11sˆ1  1 (pois G1S1  11sˆ1 ). Para as demais faces podemos escrever expressões análogas: 2  22sˆ2  2 e 3  33sˆ3  3 e dar interpretação análoga para 22, 33, 2 e 3. A componente 11sˆ1 de 1, por ser ortogonal à face P' 2 ' 3 ' , é uma tensão normal; e pelo fato de estar apontando para fora do tetraedro (caso da Figura II.8), ela indica que (nesta face) o tetraedro está em parte tracionado por 1; se estivesse apontando em sentido contrário o tetraedro estaria comprimido por 1. A tensão 1 sugere um “corte” ou “cisalhamento” so sólido pela face P' 2 ' 3 ' no sentido de 1 (indicado na Figura II.8); por isso, esse vetor tensão é denominado vetor tensão de cisalhamento na face. Este, entretanto, pode ser decomposto segundo duas outras direções quaisquer; mas para facilitar a interpretação mecânica se sua ação ele é decomposto segundo sˆ 2 e sˆ3 . Projetando 1 sobre os suportes desses vetores unitários podemos escrever, sem delongas: 1  12sˆ2  13sˆ3 . Logo: 1  11sˆ1  12sˆ2  13sˆ3 . As mesmas interpretações são cabíveis quando decompomos os vetores tensão correspondentes às outras duas faces ortogonais segundo as normais e segundo os pares de vetores unitários dessas faces. Ao final, escreveríamos:

2  21sˆ1  22sˆ2  23sˆ3

3  31sˆ1  32sˆ2  33sˆ3 .

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Matriz associada O tetraedro P'1' 2' 3' está em equilíbrio sob a ação dos três vetores tensão: 1, 2, 3, do vetor tensão atuante na quarta face (face 1' 2' 3' ), e do seu vetor peso. Por hipótese, estamos muito longe da “ruptura” do material. Pode provar-se que o vetor peso do tetraedro é uma quantidade muito pequena em relação às forças relativas às tensões (as forças f1, f2 e f3); pode, por isso, ser desconsiderada no estudo do equilíbrio. Pode comprovar-se ainda que 12=21, 23=32 e 31=13 e que as tensões (de cisalhamento) de cada par, atuando em faces ortogonais, ou são concorrentes na aresta de interseção dessas faces, e serão positivas, ou são divergentes delas e serão negativas (caso de 23 e 32, Figura II.9). Estamos, assim, em relação às tensões, frente a uma situação análoga à do caso das deformações. Poderíamos com outros raciocínios, mostrar que o conjunto das seis medidas basta para caracterizar uma nova grandeza associada ao ponto P, grandeza essa que depende de P, da geometria (forma) do corpo e das cargas (não dependendo do material do corpo, contrariamente ao caso das deformações). Essas medidas dessa grandeza, que são relativas ao sistema de referência local adotado, com vetores de base { sˆ1 , sˆ 2 , sˆ3 }, podem ser organizadas na forma de uma matriz simétrica (com índice s externo às chaves):

    []s     , com 12=21, 23=32 e 31=13.   s II.4.3 – O tensor de tensões A grandeza tratada no final da seção anterior é o tensor das tensões (devendo ser observado que esse tensor não é uma propriedade do corpo, tal como o tensor de deformações). Dizemos também que esse tensor é simétrico. Os elementos da diagonal principal da matriz são as tensões normais relativas às direções sˆ1 , sˆ 2 e sˆ3 ; as demais são tensões de cisalhamento que atuam nos planos das faces do tetraedro. Na face ortogonal à direção sˆ1 atuam as tensões cisalhantes  12 e  13 nas direções de sˆ 2 e sˆ3 respectivamente (mas, em geral 12≠13). A mesma observação é válida em relação às outras duas faces. Assim, para i ou j=1,2,3, tem-se, em resumo: 1) - ii representa a tensão (normal) atuante na face ortogonal à direção do unitário sˆi e na direção do unitário sˆi ; 2) - ij representa a tensão de cisalhamento atuante na face ortogonal à direção i, na direção j, sendo: ij=ji. Logo, ij e ji atuam em planos ortogonais, podendo provar-se que suas setas representativas ou são concorrentes na aresta de interseção dessas faces, e nesse caso serão positivas, ou são divergentes delas e serão negativas. Invariante principal Se tivéssemos adotado outro conjunto de unitários ortogonais pelo ponto P teríamos obtido outras medidas de tensões normais e tensões tangenciais (logo, outra matriz,

digamos [‟]) que representariam ainda, o mesmo tensor de tensões (porque este, como dito, para um mesmo corpo, só depende de P, da geometria do corpo e das cargas). Tal como no caso das deformações, essas matrizes [], [‟], ..., teriam algo em comum, isto é, apresentariam invariantes, qualquer que fosse o tetraedro tri-retângulo (ou terno de vetores escolhido no ponto P). O mais importante desses invariantes é o traço dessas matrizes, que escrevemos na forma: Tr[]=11+22+33. Ainda como no caso das deformações, vários conjuntos de seis medidas passíveis de obter-se em laboratório (ou em campo) – e com cada um dos quais constituiríamos uma matriz – seriam certamente “acompanhados” de incertezas (erros); por isso, os traços de todas essas matrizes só seriam iguais com alguma aproximação. Autovalores e autovetores do tensor das tensões Com as devidas adaptações, tudo o que foi dito para o tensor das deformações é válido também para o tensor das tensões. Assim, por cada ponto P de um “sólido carregado” existe um terno de direções segundo as quais as tensões normais são extremadas e as tensões tangenciais são simultaneamente nulas. Estas direções são ditas as direções principais de tensão no ponto P; e os valores das tensões normais, tensões normais principais no ponto P. * Exercício: Como as tensões tangenciais podem ser nulas, positivas ou negativas, elas devem apresentar um valor extremado. Quais seriam estes valores? Em que condições (ou direções) ocorreriam? * Tal como no caso das deformações, se qˆ i é o vetor unitário da direção principal i das tensões (logo, i=I,II,III, pois existem três delas), definido por seus co-senos diretores (cosi1, cosi2, cosi3); e se a qˆ i corresponde o autovalor Qi, então:

[]. qˆ i  Qi qˆ i ,

  13  cos i1 cos i1 12 22 23 . cos i2  Qi cos i2 . 13 23 33 cos i3 cos i3

II.4.4 – Cálculo da tensão normal numa direção qualquer Da mesma forma como no caso das deformações, podemos resolver o problema da determinação da tensão normal relativa a uma direção qualquer definida por um vetor unitário nˆ , em relação à base local { sˆ1 , sˆ 2 , sˆ3 }, dado pelos co-senos diretores da direção (cos1; cos2; cos3). Existe fórmula idêntica à vista anteriormente:

n  (cos 2 1) 1  (cos 2 2) 2  (cos 2 3) 3   (2 cos 1 cos 2) 12  (2 cos 2 cos 3) 23  (2 cos 3 cos 1) 31. Vale, ainda, fazer a mesma consideração já feita em relação às deformações, ou seja, de que essa expressão será da maior importância para entender alguns passos de cálculo das incógnitas referidas em todos os problemas nos projetos em desenvolvimento no laboratório

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de MR. Desconhecemos meios que sejam práticos e simples para a medição de tensões de cisalhamento. A equação acima mostra que se medirmos as tensões normais n relativas a pelo menos seis direções convenientemente escolhidas pelo ponto P poderemos calcular (resolvendo um sistema de pelo menos 6 equações com 6 incógnitas) todos os elementos da matriz [], ou seja, o tensor de tensões do ponto P em relação à base vetorial local { sˆ1 , sˆ 2 , sˆ3 }. Uma vez determinada essa matriz, poderemos calcular ainda, seguindo os caminhos já apontados no caso das deformações, os valores principais das tensões normais e as direções principais, posto que estes existam sempre. Mas, serão essas direções as mesmas das deformações? NEM SEMPRE! Nem para os corpos clássicos, nem para os corpos Cosserat (ver a introdução do §II.4). Mas serão as mesmas, seguramente (e isto é fácil de demonstrar), para os corpos isotrópicos (conceito a ser apresentado no Capítulo III). II.5 – MEDIÇÃO DE TENSORES. O laboratório de MR tem prestado serviços em diferentes projetos da empresa (ou de clientes) para a determinação das direções e tensões principais em maciços rochosos, mas apenas tensões. De passagem, observe o leitor que essas medições independem da anisotropia (ver Capítulo III) do material. Estamos desenvolvendo instrumentos e métodos que poderão permitir medições análogas para as deformações, independentemente das tensões, mas simultaneamente com as tensões, ou seja, num mesmo “ponto” do material (e praticamente no mesmo instante). Estas medições, por outro lado, se feitas em quantidade adequada, permitirão a determinação de toda a anisotropia do maciço dentro da hipótese de que o mesmo siga a lei de Hooke (as tensões são proporcionais às deformações). A lei de Hooke, o modo de determinação da anisotropia de um maciço (de rocha, solo ou concreto) e a nova instrumentação aqui referida – que se originou da nossa insistência na procura do êxito do Projeto Hooke (um projeto Aneel) - são assuntos do Capítulo III. II.6 – O CÁLCULO DOS VALORES E DIREÇÕES PRINCIPAIS. Vimos (item III.3.3.3) que se pˆ é vetor unitário que define uma direção principal para o tensor de deformações, então [] . pˆ  P pˆ , P sendo o valor principal correspondente. Na prática ocorre sempre o seguinte problema: supondo conhecida uma das matrizes associadas ao tensor de deformações num dado ponto do corpo, matriz [] no caso, quer-se determinar P e o correspondente pˆ . Vamos resolver esse problema relativo a um caso real, supondo que, por um método qualquer (o método da célula STT, que será estudado no capítulo seguinte) tenhamos determinado que o tensor de deformações de certo ponto de um maciço seja

67,6 []  29,8 17,0

29,8  20,2  16,0

17,0   16,0 .  7,0 

Então, se x, y e z denotarem os co-senos diretores da direção principal pˆ deveremos escrever:

67,6 29,8  17,0

29,8  20,2  16,0

17,0  x x  16,0.y  Py , z  7,0  z

67,6  P  29,8   17,0

29,8  20,2  P  16,0

17,0  x 0  16,0 .y  0 ,  7,0  P z 0

(01).

Supondo provisoriamente conhecido o valor de P, vemos que a determinação de x, y e x fica na dependência da solução de um sistema homogêneo de três equações algébricas lineares (ver Ap. III). Mas para que esse sistema admita solução diferente sa dolução nula é condição necessária e suficiente que seu determinante – dito determinante característico da matriz do tensor - seja nulo, ou seja,

67,6  P 29,8 17,0

29,8  20,2  P  16,0

17,0  16,0  0 .  7,0  P

Como na verdade não conhecemos P, o desenvolvimento desse determinate leva-nos à chamada equação característica do tensor, uma equação do terceiro grau em P:

P3  40,40 P2  3.130,36 P  11.904,1  0 , que, resolvida pelos métodos da álgebra, apresenta três raízes reais 4: P1=78,3941

P2=-41,6407

P3=3,64665.

Assim, para P=78,3941 o sistema (01) pode ser escrito na forma

 10,79  29,8   17,0

29,8  109,38  16,0

17,0  x 0  16,0 .y  0 , ou  85,39 z 0

 10,79x  29,8y  17z  0  29,8x  109,38y  16,0z  0 .  17,0x  16,0y  85,39z  0

e deve apresentar solução diferente da solução nula. Na verdade, se o vetor de coordenadas (x0, y0, z0) for uma solução, então, se k é um número real qualquer, o vetor paralelo k(x0, y0, z0) também será solução, isto é, o sistema apresenta uma infinidade de vetores soluções todos paralelos. Um desses vetores pode ser obtido fixando-se um valor qualquer para uma das incógnitas, digamos z=1. Tem-se, então:

Pode demonstrar-se que, por ser a matriz simétrica, essas raízes são necessariamente números reais.

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 10,79x  29,8y  17,0  29,8x  109,38y  16,0  17,0x  16,0y  85,39 e qualquer par (x,y) que satisfizer duas dessas equações satisfará também necessariamente a outra. Consideremos então a primeira e a terceira, e resolvamos o sistema

 10,79x  29,8y  17,0 , 17,0x  16,0y  85,39  digamos pelo método da eliminação. Extraindo o valor de y na primeira tem-se:

y

1 (17,0  10,79x) ; 29,8

e substituindo-se na segunda vem, efetuando contas e simplificando: (17,0  29,8-16 10,79) x = 29,8  85,39-16,0  17,0. Logo: x=6,805. Com este valor de x e com z=1 podemos calcular y em qualquer equação. Encontra-se: y=1,8935. Assim, o vetor de coordenadas x=6,677, y=1,8935 e z=1 é vetor solução do sistema (verifique isso). Qualquer vetor paralelo a esse será também solução do sistema, sendo particularmente interessante o seu unitário, que é o vetor que caracteriza a direção comum a toso os vetores solução; as coordenadas deste são os co-senos diretores da direção. Para determinar esse unitário devemos primeiro calcular o módulo do vetor encontrado que é igual a

(6,677)2  (1.8935)2  (1)2  49,1676  7,012. Então o vetor unitário solução do sistema, correspondente a P=78,39 tem co-senos diretores

6,677  0,9522 , 7,012

1,8935  0,2700 7,012

1  0,1426 . 67,012

Em resumo: a P=78,39 corresponde a direção própria (0,9522; 0,2700; 0,1426). Fazendo cálculos análogos com cada um dos outros dois autovalores encontramos: a P2=-41,6407 corresponde a direção própria (0,3000; -0,8018; -0,5172); a P3=3,64665 corresponde (0,025; -0,535; 0,844)

Pode verificar-se agora a ortogonalidade desses vetores: por exemplo: (0,3000; -0,8018; -0,5172)x(0,025; -0,535; 0,844)= =0,3000x0,025+0,8018x0,535-0,5172x0,844= -5x10-50. Se, agora, no ponto considerado, considerarmos como tetraedro para análise das deformações antes da atuação das cargas, aquele cujas arestas são os autovetores unitários da matriz (ou as direções principais do ponto), veremos que, depois de cessados os deslocamentos do corpo, apenas os comprimentos desses vetores mudaram (seus ângulos tendo permanecido iguais a 90). De forma inteiramente análoga, podemos efetuar cálculos de valores e direções principais se o tensor considerado fosse o das tensões; o que é perfeitamente dispensável. II.6 – AS QUÁDRICAS DE CAUCHY, DE LAMÈ E A REPRESENTAÇÃO DE MOHR. Diz-se que certa região do espaço (como o espaço ocupado por um campo) é campo de uma propriedade ou grandeza quando a todo ponto dessa região está associado um valor dessa propriedade segundo lei conhecida. Assim, um campo material carregado é campo do vetor deslocamento, do tensor de tensões e do tensor de deformações (pelo menos), embora não disponhamos aqui de conhecimento suficiente para fixar a lei com que cada uma dessas grandezas esteja associada ao ponto. Em geral esses campos são tridimensionais, mas podem ser bidimensionais e até unidimensionais. Por exemplo, o campo das tensões em uma barra tracionada é unidimensional, enquanto que o das deformações é tridimensional. Otto Mohr foi o alemão que conseguiu dar uma interpretação geométrica para todos os resultados obtidos até agora, seja para o campo das tensões ou para o das deformações. Em vista da generalidade da teoria que exporemos, vamos mudar um pouco a notação e considerar apenas um tensor para o ponto sem especificar a sua natureza. Da mesma forma, os unitários dos vetores arestas do tetraedro qualquer do ponto, serão denotados por { ˆi, ˆj, kˆ }. §II.6.1 – Campos tridimensionais Se, então, em relação à base vetorial { ˆi, ˆj, kˆ } do ponto, S é a matriz 3x3 associada a um tensor S do ponto genérico O do campo, então, na direção arbitrária dada, {N}, esse tensor tem um vetor “projeção” p N , representado por uma coluna {P N} em relação à base, dado por:

 p N1  S11 S12 S13   n1  {PN }  S.{N} , ou p N 2   S21 S22 S23 .n 2  , (Sij=Sji)  p N 3  S31 S32 S33   n 3 

(01);

e a projeção desse vetor projeção sobre {N} é o escalar:

Tens Def Maciços - Ruggeri

ρ N  {N} S.{N}  N  n1 n 2 T

S11 S12 S13   n1  n 3 .S21 S22 S23 .n 2  S31 S32 S33   n 3 

(02).

Se S admitir inversa (ou o tensor S admitir inverso), de (01) podemos escrever:

S-1.{p N }  {N} e {p N }T .(S-1 ) T  {N}T , donde, considerando que {N}T.{N} = 1:

{p N }T .(S-1 ) T .S-1 .{p N }  1 . Lembrando que (S-1 ) T  (ST ) 1  S-1 virá, finalmente:

L  {p N }T .S-2 .{p N }  1 ,

(03).

De (02), similarmente, escrevemos:

Q  {Y}T .S.{Y} 

N  1 , N

(04),

expressão em que {Y} é o vetor, paralelo a {N}, cujo módulo é o inverso da raiz quadrada do módulo de , isto é,

{Y} 

1 ||

.{N} ,

(05).

Quando {N} (ou nˆ ) varia, assumindo todas as posições possíveis em torno de O, isto é, quando sua extremidade descreve a superfície esférica de centro O e raio unitário, as extremidades P e Y dos vetores OP e OY descrevem, respectivamente, as superfícies (03) e (04). Tais superfícies são quádricas centradas em O. A primeira, (03), representativa das variações dos módulos de p N , é um elipsóide denominado elipsóide de Lamè. A segunda, (04), representativa das variações de  com a direção e denominada quádrica de Cauchy ou quádrica indicatriz, poderá ser um elipsóide ou um hiperbolóide (de uma ou duas folhas) conforme os valores das componentes do tensor em O; por esta razão o tensor S é denominado elíptico ou hiperbólico, correspondentemente. As interseções dessas quádricas com o plano definido pelos vetores p N e nˆ estão esquematizadas na Figura II,10.

Imaginando-se traçadas as quádricas (03) e (04) relativas ao ponto O do campo, os módulos de p N e |n|, ambos relativos à dada direção {N}, poderão ser obtidos facilmente. Com efeito, para |n| bastará determinar o ponto Y onde a direção {N} fura a quádrica indicatriz, escrevendo-se então, a partir da expressão (05):

N 

1 OY

Para p N bastará determinar sua direção já que o módulo do vetor OP é igual ao segmento OP. Essa direção é a da normal ao plano diametral da quádrica Q relativo à direção {N}. Com efeito, denotando simbolicamente por Q(y1,y2,y3) = 0 a equação de Q, a equação do plano diametral de Q relativo a {N}, de ponto corrente y1,y2,y3 , será:

y1.Qy1 (n 1 , n 2 , n 3 )  y 2 .Qy2 (n 1 , n 2 , n 3 )  y 3 .Qy3 (n 1 , n 2 , n 3 )  0 , ou melhor:

 Qy (n )   1  {Y} .Qy 2 (n )  {Y}T .{Qy (n )}  0 . Q  ( n )   y3  T

Mas:

S11n1  S12n 2  S13n3 {Q}  2 S21n1  S22n 2  S23n3  2 S.{N} , e, de (01): {Q}  2{p N } . S31n1  S32n 2  S33n3 Obtemos então, finalmente, a equação do plano: {Y}T .{p N }  0 . A normal a este plano terá seus co-senos diretores proporcionais aos coeficientes da equação do plano, isto é, às componentes de p N ; ou melhor, p N será ortogonal ao plano diametral de Q relativo à direção {N}. O sinal de n e o sentido de p N dependerão da natureza da quádrica Q. Representando por Q+ e Q- a quádrica indicatriz (04), correspondentes aos sinais (+) e (-), respectivamente, podemos concluir: 1ª) - Se Q+ for uma elipsóide real, Q- não terá representação por tratar-se de um elipsóide imaginário. Nesse caso será:

N  1 , N

Tens Def Maciços - Ruggeri

isto é, n > 0 independentemente da direção {N}. O ângulo  (Figura II,10) de p N com {N} será sempre agudo; 2ª) - Se Q- for elipsóide real, Q+ será elipsóide imaginário e será n < 0. O ângulo  de p N com {N} será obtuso; 3ª) - Se Q+ for um hiperbolóide de uma folha (Figura II,11.a), Q - será o hiperbolóide conjugado de Q+ (Figura II,11.b), com duas folhas. Ambos estarão separados no espaço (Figura II,11.c) pelo cone assíntota comum, C, de equação: C  {Y}T .S.{Y}  0 .

O ponto Y, interseção de {N} com Q, poderá estar sobre Q+, sobre Q-, ou, mesmo, poderá não existir (quando {N} for paralelo a qualquer geratriz do cone). No primeiro caso, o ângulo  de p N com {N} será agudo; no segundo, obtuso; e no terceiro, reto, pois se, para essas direções, n = 0, então

p N  N (isto é, pN é ortogonal a {N}). O cone

assíntota estabelece, assim, a transição dos ângulos de p N com {N}. A cada ponto O do campo estão, pois, associadas duas quádricas: o elipsóide de Lamè e a quádrica de Cauchy. Tais quádricas podem ser representadas de forma mais simples – pela sua equação reduzida – se o espaço em torno de O for referido ao triedro, denominado principal, formado pelo terno de eixos ortogonais coincidentes com os eixos da quádrica de Cauchy5. Nesse caso as equações (03) e (04) serão escritas nas formas respectivas:

L p  {p N }T .S-2 p .{p N } e 5

Esses conceitos são conhecidos do estudo das Quádricas em Geometria Analítica.

(03.a)

Q p  {Y}T .Sp .{y}  1  0 ,

(04.a),

onde Sp, a nova matriz associada ao diádico S – denominada a principal do ponto O – tem forma diagonal:

S1 0 S p   0 S 2  0 0

0 0  S3 

(06).

Verifica-se para as coordenadas S1, S2 e S3 – denominadas coordenadas radiais principais do diádico no ponto – que, em geral (mas não necessariamente):

S3  S2  S1 ,

(07).

Relembrando (05) e (02) e representando genericamente por {N} o unitário de qualquer das três direções dos eixos, tem-se:

 N  {N}T .S p .{N}  S1 n 12  S 2 n 22  S3 n 32 ,

(08).

De modo análogo, tem-se:

p 2N  {N}T .S 2p .{N}  S12 n 12  S 22 n 22  S32 n 32   2N   2N ,

(09),

onde n é componente transversal do tensor relativa a {N}. Diante do exposto verificamos existir, para todo ponto de um campo de tensores simétricos, a correspondência: {N}  (, |  |) . Com efeito, a cada {N} corresponde um  único vetor p N para o tensor S. O vetor p N tem uma projeção  N =N {N}, seu valor  algébrico N sendo dado por (08), e uma componenete  N ; o quadrado de p N e seu relacionamento com suas componentes é dado por (09). A correspondência no sentido inverso, entretanto, não é unívoca.

  Ora, sendo ortogonais e únicos os vetores  N e  N , no ponto considerado de D,  pode concluir-se que no plano de coordenadas || (onde  é a medida algébrica de  ) o  ponto (  N ,|  N |) descreverá certa área quando {N} variar continuamente assumindo todas  as posições possíveis em torno do ponto (pois p N é função de dois parâmetros). A determinação analítica dessa área pode ser conseguida por consideração do sistema de equações:

Tens Def Maciços - Ruggeri

{N}T .{N}  1  n 2  n 2  n 2 1 2 3   2 2 T , { N } S .{ N }    S n  S n  S3 n 3 2  1 1 2 2  2 2 2 2 2 2 {N}T .S 2 .{N}   2   2  S1 n 1  S 2 n 2  S 3 n 3

(10),

linear em n 1 2 , n 22 e n 32 . A resolução do sistema (10) fornece:

(S1  S3) (S1  S2)n1 2  (  S2) (  S3)  2  2 2 (S3  S2) (S1  S2)n 2  (  S3) (  S1)   2 (S1  S3) (S2  S3)n1  (  S1) (  S2)  2 

(11),

ou, se S1  S2  S3  0,

 2 n1    2 n 2    2 n1  

(  S2) (  S3)  2 (S1  S3) (S1  S2) (  S3) (  S1)  2 (S3  S2) (S1  S2) (  S1) (  S2)  2 (S1  S3) (S2  S3)

(11)1.

Por deverem ser positivos os números n 1 2 , n 22 e n 32 , devem ser, necessariamente:

(  S2) (  S3)  2  0  2 (  S3) (  S1)    0 ,  (  S1) (  S2)  2  0 

(12),

já que, por denominação conveniente dos eixos pode sempre admitir-se: S1 > S2 > S3,

(13).

A primeira das equações (12) pode ser escrita, também, evidentemente, na forma:

S S S S (  S2) (  S3)  2  ( 3 2 )2  ( 3 2 )2, 2 2 ou melhor, após sucessivas transformações no primeiro membro da inequação:

2  ( 

S3  S2 2 S3  S2 2 ) ( ) 2 2

(14).

A inequação (14) representa, pois, no plano  |  | (Figura II,12) pontos não interiores

semi-circunferência

centro

C23  ((S2  S3 ) / 2 ; 0)

raio

R 23  (S2  S3 ) / 2 . Interpretação análoga, “mutatis mutandis”, pode dar-se às demais inequações do sistema (12), a segunda representando pontos não exteriores à semicircunferência de centro C13= ((S1+S3)/2,0) e raio R13  (S1  S3 ) / 2 e a terceira, pontos não interiores à semi-circunferência de centro C12= ((S2+S1)/2 ;0) e raio R21  (S1  S2) / 2 . Como os pares (,||) devem satisfazer às inequações simultâneas (12), suas imagens no plano  x  serão pontos da área hachurada representada na Figura II,12, onde, a cada N corresponderá um ponto, compatível com a correspondência {N}  (, |  |) . A representação plana do que se passa no ponto O do campo em relação a  e , atrás indicada, denomina-se representação de Mohr; as circunferências fronteiras representadas pelas inequações (12), circunferências de Mohr; e o plano  x , plano de Mohr. Assim, se, em relação a determinado sistema global de referência, se faz associar, a dado ponto O do campo, um tensor S (segundo certa lei)6, os métodos vistos nos parágrafos anteriores permitem determinar os valores radiais  e tangenciais  extremos de S no ponto O. Então, no plano de Mohr será possível traçar os três círculos que delimitam a área tal que, a cada direção nˆ considerada por P, corresponda um ponto N dessa área (Figura II,13) e, portanto, um par (,).

sem os cálculos de  N

Mostraremos agora como determinar, no plano de Mohr, o ponto N correspondente a dada direção {N} por O e  N . Para isso, refiramos o espaço em torno de O ao triedro

principal desse ponto. Uma direção {N} qualquer fica definida pelos ângulos 1 e 3 que fazem essa direção com as direções em que se verificam o maior (S 1) e o menor (S3) dos valores das coordenadas radiais  de S, respectivamente (Figura II,14), pois o terceiro ângulo (de {N} com a direção em que se desenvolve a coordenada radial principal intermediária de S), fica condicionado a obedecer à relação:

cos 21  cos 22  cos 23  1

(15).

Em vista da simetria dos valores dos módulos de  e  de S no ponto O em relação aos planos principais, simetria essa representada geometricamente pelo elipsóide de Lamè, na forma da equação (08), os anglos  poderão se medidos em qualquer sentido a partir dos eixos principais correspondentes, bastando considerar os valores não maiores que /2 rad. 6

Geralmente é o tensor representante de certa grandeza física, como tensão, deformação, condutividade elétrica, etc.

Tens Def Maciços - Ruggeri

Além disso, interessando apenas o conhecimento do módulo do valor da coordenada tangencial , será suficiente a consideração dos semicírculos superiores na representação de Mohr, que correspondem aos  positivos. Procuremos, inicialmente, o lugar geométrico dos pontos do plano de Mohr relativos a direções igualmente inclinadas sobre o eixo principal de índice 3. Com outras palavras, pergunta-se: quando o ponto N (Figura II,14) que caracteriza a direção ON, descrever o paralelo A1NA2 da superfície esférica de centro O e raio unitário (3=constante), que curva descreverá o mesmo ponto N no diagrama de Mohr? Obtém-se a equação dessa curva, com muita simplicidade, por eliminação de n1 e n2 do sistema (10), resultando:

2  ( 

S1  S2 2 S2  S1 2 ) ( )  cos 23(S1  S3) (S2  S3) 2 2

(16),

que é a equação de uma circunferência de centro no ponto médio C12 do segmento S1S2 e cujo raio é a raiz quadrada do segundo membro de (16).

No plano de Mohr, conforme a Figura II,15, conduzamos por (S 1;0) a semi-reta r3 de inclinação 1 em relação ao eixo O, semi-reta esta que corta as circunferências (C13, R13) e (C12, R12) em A2 e A1, respectivamente. Sendo S2A1 e S3A2 perpendiculares à mesma reta r3 (por serem projetantes das extremidades dos diâmetros das circunferências C 13 e C12 sobre r3), serão paralelas entre si e paralelas à mediatriz de A1A2 que, por sua vez, contém necessariamente, C32. Tem-se, então, sucessivamente, da Figura II,15:

S3  S2 2 ) cos 21 , 2

(17.a),

A1A 2 2 S3S2 2 S S ) ( ) sen 21 )( 1 2 ) 2 (1  cos 21 ), 2 2 2

(17.b),

C32A12  C32S1 .cos 21  (S1 

( 2

C32A1  C32A12  (

A1A 2 2 S2  S3 2 ) ( )  (S1  S3 ) (S2  S3 )cos 21 , (17.c). 2 2

Assim o raio da circunferência (16) é

C32A1 conforme se conclui por comparação

do segundo membro de (16) com (17.c). Vejamos entre que limites variará o raio

C32A1 :

para 3=0,

C32A1  (

S2  S3 2 S  S2 )  (S1  S3 ) (S2  S3 )  S1  3  C32S1 ; 2 2

para 2=0,

C32A1 

S2  S3 S  S2  S2  3  C32S2 . 2 2

Vislumbra-se, assim, a possibilidade de graduar-se a circunferência (C12, R12) em 1 , para tornar imediata a localização (aproximada) do lugar geométrico (16). Para tal ˆ 12A1 é igual a 21. deverá ser observado que o ângulo central S1C Procederemos de modo análogo com relação a inclinação principal 3 que deve satisfazer a desigualdade:

3 de N sobre o eixo

3  π/2  1 para que (15) seja possível.

O lugar dos pontos do plano de Mohr, representativo das coordenadas radiais  do tensor S relativos a direções igualmente inclinadas sobre o eixo principal 3, será a circunferência:

2  ( 

2 S2  S1 2 S1  S2 2 ) ( )  cos 23 (S1  S3 ) (S1  S2 )  C12B2 2 2

(18).

A intersecção das circunferências (16) e (18) dará, evidentemente, a imagem do ponto N da superfície esférica de raio unitário (Figura II,15), no plano de Mohr. Vamos cotar 3 sobre a semicircunferência (C32, R32) nos mesmos moldes da ˆ 32A2 é operação já estudada sobre a semicircunferência (C12, R12), observando que S3C igual a 23. Então, para dado 1 (que define A1) e dado 3 (que define B2) bastará determinar a interseção das circunferências (C23, C23A1 ) e (C12, C12B2 ) para encontrar-se o ponto N ao qual corresponde o par (,). Tensores de revolução As coordenadas radiais principais do tensor simétrico de um ponto qualquer de um corpo carregado, todas reais, conforme sabemos, podem diferir pelo sinal e pelo valor absoluto.

Tens Def Maciços - Ruggeri

Se essas coordenadas são todas de mesmo sinal, o diádico é dito elíptico, porque a quádrica indicatriz que lhe corresponde é um elipsóide e as três circunferências de Mohr que lhes correspondem estão todos de um mesmo lado do eixo O (caso das Figuras II,13 e 15). Se uma das coordenadas tem sinal diferente do das outras duas, o tensor é dito hiperbólico ( a quádrica indicatriz é um hiperbolóide) e duas das circunferências de Mohr cortam o eixo O. No caso de tensor elíptico vê-se que, relativamente a qualquer direção considerada pelo ponto, a coordenada radial  correspondente tem o sinal comum das coordenadas principais. No caso de tensor hiperbólico vê-se facilmente que os valores radiais  podem ser positivos, negativos e nulos; estes últimos correspondem aos pontos do eixo O compreendidos entre dois círculos de Mohr e se referem às direções paralelas as geratrizes do cone assíntota. Quando nenhuma das coordenadas principais é nula, o tensor é completo e duas formas particulares são interessantes na prática: 1ª) O tensor esférico, que corresponde ao caso em que todas as coordenadas principais são iguais. O elipsóide de Lamè a ele correspondente é a superfície esférica de raio s= S1= S2= S3, cuja equação se obtém de (03.a). Observando que S=s I, virá:

{p N }T .

1 I{p N }  1 s2

p1 2  p 22  p32  s 2 .

A equação da quádrica indicatriz que lhe corresponde obtém-se de (04.a), resultando: 1 y1 2  y 22  y 32  ( ) 2 , s isto é, uma superfície esférica de centro em O e raio 1 / s . A representação das variações de  e  em torno do ponto considerado, isto é, o diagrama de Mohr correspondente, fica reduzido a um ponto situado sobre o eixo , de abscissa s = S1 = S2 = S3. Para qualquer {N}, tem-se: | p |   s e =0. N

2ª) O diádico de revolução, que corresponde ao caso em que duas das coordenadas principais são iguais, por exemplo: S1 = S2 = s. A equação do elipsóide de Lamè 1 obtém-se de (04.a): p1 2 p 22 p 32  2  2  1. s2 s s3 A quádrica indicatriz também é de revolução, pois tem por equação:

sy1 2  sy 22  s3 y32  1. Se s = S1 = S2 tem o mesmo sinal de S3, o tensor é elíptico; em caso contrário é hiperbólico. Na representação de Mohr, o conjunto das três circunferências fica reduzido a apenas uma (pois R12=0 e C12S1S2), conforme ilustrado na Figura II,16. A área hachurada 1

É a superfície que se obtém fazendo a elipse x 2 2 / s 2  x 32 / S32 1 dar um giro completo em torno de

OX3.

da Figura II,13 (ou da Figura II,16) fica reduzida aos pontos da circunferência de maior raio. §II.6.1 – Campos bidimensionais Nos pontos do domínio de definição de um campo bidimensional (uma superfície), um dos eixos de um sistema de referência a adotar no ponto genérico – digamos o de número 3 - é, naturalmente, a normal à superfície-domínio pelo ponto; os outros dois eixos estarão contidos no plano tangente. Em relação a esse sistema, a matriz associada ao diádico do ponto terá a forma

S11 S12 0 S  S21 S22 0 . 0 0 0 Na representação geométrica do que se passa no ponto genérico, a quádrica de Cauchy e a de Lamè se transformam em superfícies cilíndricas cujas geratrizes são paralelas à normal à superfície. Assim, o cilindro de Cauchy terá por equação:

Q  {Y}T .S.{Y}  1,

{Y} 

com,

1 N

.{N};

e o cilindro de Lamè:

L  {p }T .S -2 .{p }  1 , N

em ambos os casos sendo:

 n1  {N}  n 2  , com {N}T .{N}  1.  n 3  Referindo os cilindros acima ao triedro principal do ponto (de que um dos eixos é o eixo 3), suas equações se simplificam; e são escritas nas formas:

Q  {Y}T .Sp .{Y}  1 e L  {p N }T .S p -2 .{p N }  1 onde, agora,

S1 0 Sp   0 S2  0 0

0 0 , 0

(01).

Em vista dessa característica dos tensores, expressa por (01), alguns autores costumam dizer que, em geral, um tensor é planar num ponto do campo quando uma de suas coordenadas radiais principais é nula nesse ponto. Em relação ao triedro principal do ponto do domínio superficial do campo, o cilindro Q terá por equação:

S1y1 2  S2 y 22  1, Tens Def Maciços - Ruggeri

e será elíptico (de seção elíptica) se S1 e S2 forem de mesmo sinal; será hiperbólico se S1 e S2 tiverem sinais contrários. Considerando ((01), de II,6.1) e estando S escrito na forma (01), tem-se:

p1  S1n1 ,

p 2  S2 n 2 ,

donde, 2 1 s 2 1



2 2 s 2 2

n

2 1

n

2 2

 1 n

2 3

 sen 2  , 3

ou melhor,

(S sen )2 1



2 2

(S sen )2 2

1

(02).

Esta equação representa uma família de elipses concêntricas e coaxiais (Figura II,17), de parâmetro n3=sen3, com semi-eixos iguais a:

S sen 1

e S sen . 2

Para cada valor de sen3, isto é, para todas as direções N igualmente inclinadas sobre OX3, no ponto, corresponde uma elipse no plano 1-2, dada por (02). Aos unitários {N}, com n3 = 0 (unitários situados no plano 1-2), corresponderá a “elipse limite” do feixe, a “elipse de Lamè”, de semi-eixos S1 e S2 (Figura II,17). Representação de Mohr A representação de Mohr num ponto de um campo de tensor planar pode ser obtida imediatamente, sem dificuldades, tal como nos casos anteriores. Ocorrerá aqui, apenas, uma pequena singularidade: uma das coordenadas radiais principais do tensor é nula. Três casos poderão, então, acontecer, considerando que |S1||S2||S3|: 1 caso: S1<0, S2<0, S3=0;

2 caso: S3<0, S2=0, S1>0;

3 caso: S3=0, S2>0, S1>0,

cujas correspondentes representações de Mohr estão indicadas nas Figuras II,18.a, b e c.

O fato mais significativo a ser assinalado nesse caso de tensor planar está nos diferentes valores máximos que a coordenada transversal do diádico pode assumir, pois estes dependem dos sinais das coordenadas radiais não nulas. Tem-se:

1 caso:  max 

| S1 | , 2

2 caso:

1 max  (| S3 | S1 ) , 2

3 caso:

1 max  S1 . 2

Se não forem consideradas direções com componente perpendicular ao plano do campo no ponto, as coordenadas (,) dos pontos da circunferência de Mohr de maior diâmetro representarão todos os valores radiais e transversais passíveis de ocorrerem no ponto. Assim, nesse caso (e apenas nesse caso), torna-se irrelevante a área compreendida entre as três circunferências de Mohr (cujos pontos têm coordenadas também passíveis de ocorrerem para direções que apresentem componentes na direção ortogonal ao plano do campo no ponto). §II.6.3 – Campos unidimensionais Um último tipo de campo que interessa aqui abordar, por sua simplicidade e utilidade, é o campo unidimensional ou campo linear (não necessariamente retilíneo). Referindo esse campo, no seu ponto genérico, ao triedro de Frenet-Serret desse ponto (um triedro de que um dos vetores seja o tangente à curva), então, se S 1 for a coordenada radial do diádico na direção da tangente à curva, o tensor correspondente terá matriz associada (principal) do tipo:

S1 0 0 S P   0 0 0 .  0 0 0 Esse tensor admite, evidentemente, duas coordenadas radiais principais nulas 1. A quádrica de Cauchy sofre uma dupla degeneração e se transforma num par de planos paralelos, perpendiculares a curva-domínio do campo (Figura II,19), simétricos em relação à origem, distando entre si de 2 / S1 . Com efeito, tem-se,

Q  {Y}T .S.{Y}  1  y1 2S1  1  0 , donde,

y1  

| S1 |

O elipsóide de Lamè degenera-se num par de segmentos situados sobre o eixo OX1, pois resulta da expressão geral p  S.{N} :

p1  S1 obtida para n1=1. Os pontos do plano de Mohr que correspondem ao campo linear são aqueles pertencentes à circunferência que passa pela origem, tendo diâmetro S1. Isso pode ser Pode também definir-se um corpo linear como aquele que admite, em todo ponto de seu domínio, duas coordenadas radiais principais nulas. 1

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deduzido do sistema ((11), item II.6.1), impondo as condições n 2 = n3 = 0 e S2 = S3 = 0. Com efeito, de qualquer das duas últimas equações daquele sistema, deduzimos:

(-S1 )   2  0 , ou, melhor,

 2  ( -

S1 2 S )  ( 1 )2 , 2 2

que é a equação da circunferência representada na Figura II,20.

CAPÍTULO III A LEI DE HOOKE III.1 - NOVA HIPÓTESE BÁSICA SOBRE OS MATERIAIS Para alcançar os nossos objetivos finais, devemos avançar um pouco mais também com a exposição teórica. Vamos, então, introduzir a nova hipótese básica seguinte: H3 – Os corpos materiais são elásticos, isto é, deformam-se por ação das “cargas”, mas podem retomar suas formas originais quando as cargas são removidas, desde que, em nenhum dos seus pontos, as tensões principais extremas ultrapassem certos limites. Os solos não podem ser classificados como elásticos por motivos óbvios, constatados experimentalmente, mesmo porque os solos não são sólidos. Mas é o caso da maioria das rochas, dos concretos, dos aços, das madeiras e outros materiais nas condições usuais de trabalho, quais sejam: tensões “relativamente baixas” (da ordem de não mais que 20 a 30% da tensão de ruptura) e “deformações pequenas” (menores que 0,001=10 -3). III.2 – OS TENSORES NA TRAÇÃO SIMPLES ISOTÉRMICA Como vimos, no ponto genérico do corpo carregado ocorrem associadas duas grandezas físicas representadas pelos tensores de tensão e deformação (itens II.3 e II.4). Nos casos simples de solicitação (ou carregamento) e para os corpos com geometria simples, em forma de barra, podemos fazer uma experiência que pode mostrar com facilidade algum relacionamento entre os dois tensores: é a tração simples isotérmica de uma barra de aço de construção. Para estudar o problema, comecemos pela escolha de um sistema de coordenadas e seus vetores de base (como na teoria exposta). Vamos adotar o eixo da barra, na máquina de tração, como eixo dos X3 (ou Z) com vetor de base rˆ3 ; na seção transversal da barra – um círculo - com origem no centro desse círculo, escolhamos à vontade os dois outros eixos, ortogonais entre si, com vetores rˆ1 e rˆ2 . Verifica-se que, nesse caso, o tensor das tensões num ponto qualquer da barra (mesmo não coincidente com o seu eixo) tem a forma

0 0 0  [ ]  0 0 0  , com 3=-F/A, 0 0    F sendo a força que a máquina (através de suas “garras”) aplica à barra e A a área do círculo seção transversal da mesma. Essa tensão é de tração; logo, negativa pela convenção (razão do sinal na expressão de 3). Pela teoria exposta, o eixo da barra, nestas condições de solicitação, já é uma direção principal do tensor de tensões, bem como as outras duas escolhidas arbitrariamente, ao longo das quais as tensões normais são nulas (ver item II.4.3).

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O que terá acontecido com o tetraedro tri-retângulo relativo ao ponto genérico da seção com arestas unitárias defindas pelo vetores da uma base local ( rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 }? Ora, intuitivamente, reconhecemos que a aresta rˆ3 alongou-se, digamos da quantidade -|3|; e que as duas outras se encurtaram igualmente de alguma quantidade, digamos =1=2. Ainda intuitivamente pensando, reconhecemos não haver motivo (em função da solicitação) para que os ângulos retos fossem alterados; logo, os ‟s (distorções) são todos nulos. Então a matriz associada ao tensor de deformações em relação à base adotada é da forma

 0 0  []  0  0  , em que =1=2>0 (encurtamento) e 3<0 (estiramento). 0 0    Assim, quaisquer que sejam rˆ1 e rˆ2 , o tetraedro local adotado é o principal do ponto (ver item II.3.3). Existem meios laboratoriais para se medirem as elongações; estes meios serão discutidos em outras palestras. III.2.1 - Conexão entre os tensores de tensão e deformação Os conceitos introduzidos, de tensão e deformação, sugerem a existência de uma relação entre os tensores, pois ambos se referem ao mesmo tetraedro tri-retângulo inicial. Esta relação de fato existe e só pode ser estabelecida por recorrência às propriedades mecânicas do material, até aqui ainda desconhecidas. Como estabelecê-la no caso da tração (ou compressão) simples? A pista mais evidente é a “por via experimental”. Módulo de Elasticidade Se traduzirmos o que se passou em um ensaio de tração mediante um gráfico, dispondo em abscissas as elongações (variáveis) medidas 3 e em ordenadas as correspondentes tensões normais (variáveis) 3, veremos alguma colinearidade dos pontos de coordenadas (3, 3), ou seja, que eles se apresentam situados aproximadamente sobre uma reta que passa pela origem dos eixos (pois para tensões nulas não deve haver deformação)1. Mas isto só acontecerá se qualquer das tensões normais 3 (ou qualquer das correspondentes forças F de tração aplicadas pela máquina), durante esse período de solicitação, não ultrapassarem determinado limite. De fato, pois além desse limite – denominado limite de elasticidade do material - constata-se que os pontos (, ) começam a afastar-se em demasia da dita reta média. Esse período de trabalho do material, aquém do seu limite de elasticidade, será dito o período elástico de trabalho do material. Ponhamos, então 3=E3, e extraiamos do gráfico o valor de E. Se as escalas com que são feitos os gráficos são idênticas, E será a tangente do ângulo de inclinação da reta sobre o eixo dos ‟s (ver Ap. II, item 6). Alem de positivo, E>0, esse número é expresso nas mesmas unidades em que a tensão está expressa (MPa, por exemplo); é denominado módulo de elasticidade do material. Esse número é um dos que servem para caracterizar o material. 1

Ver exemplo e detalhes em: Equipe de Furnas, Editor Wlaton Pacelli de Andrade, Concretos: massa, estrutural, projetado e compactado co rolo, Editora Pini, 1997, São Paulo. Trataremos da “regressão” no Apêndice IV.

Coeficiente de Poisson Podemos ainda traduzir por gráficos o que se passou ao longo do ensaio anterior, em termos de deformações. Para isso, podemos construir um gráfico com os valores das elongações medidas  (negativas) em ordenadas e os valores das correspondentes 3 (positivos) em abscissas e ver que os pontos de coordenadas (,3) também estarão posicionados sensivelmente sobre uma reta. Vamos representar por  a tangente do ângulo que essa reta faz com o eixo dos 3. Esse número , além de positivo, >0, é adimensional (é um número puro). Então, =-|3|=3 (porque 30),

ou, ainda,

  . 3

O número  é denominado coeficiente de Poisson do material. Este coeficiente determina o quanto um material se contrai (elongação positiva) na direção perpendicular ao eixo distendido (ou com elongação positiva); ou o quanto o material se distende na seção ortogonal ao eixo em que ocorre encurtamento (ou elongação negativa). Esse efeito de encurtamento (ou contração) e alongamento (ou expansão) da seção transversal dos corpos na tração ou compressão é denominado efeito Poisson. O coeficiente de Poisson é mais um número que poderá caracterizar o material “ferro de construção”. Mas, bastarão esses dois números para caracterizar esse material, do ponto de vista mecânico, trabalhando à temperatura constante? E se a temperatura fosse variável? As constantes de Lamè. Vamos agora mostrar que a matriz do tensor das tensões – no caso de tração isotérmica - pode ser expressa linearmente em função da matriz do tensor de deformações através das duas características mecânicas do material: E e . Para ficar mais inteligível a dedução, vamos criar duas outras constantes para o material,  e , denominadas constantes de Lamè, ambas positivas (logo, com +>0), assim relacionadas com E e  (por definição):



 2(  )

E  2(1  ) .

Dessas expressões podemos deduzir:



E 2(1  )



 E (1  )(1  2)

esta última exigindo que 0<<1/2. Considerando a definição de  vista atrás, deduzimos não trivialmente, partindo da expressão de : 2+Tr[]=0. Da expressão de E, mais uma vez considerando a definição de  e a nova expressão a que chegamos, deduzimos: 3=23+Tr[]. O leitor poderá resolva esses dois pequenos problemas algébricos a título de exercício. Então, poderemos escrever, para a solicitação axial (por tração ou por compressão):

Tens Def Maciços - Ruggeri

0 0 0   0 0  1 0 0 0 0 0   2 0  0   Tr[]0 1 0 ,       0 0  3  0 0  3  0 0 1 ou seja, com notação matricial:

[]  2[]  Tr[][ ] . onde [I] é a matriz unidade. A substituição de  e  pelos seus valores vistos atrás, em função de E e , resolvem o problema proposto. Exemplos dessas constantes, para rochas e concretos, podem ser apreciados na Tabela I apresentada no final deste capítulo. III.3 – OS TENSORES NA COMPRESSÃO SIMPLES ISOTÉRMICA Se substituirmos a barra redonda de ferro (de construção) do ensaio no item anterior por um bloco cúbico de concreto (ou argamassa), e efetuarmos uma compressão (em vez de tração), os resultados permanecerão qualitativamente os mesmos; apenas os valores dos 3‟s e dos 3‟s e  deverão ser adaptados para que não sejam ultrapassados os trechos retilíneos dos gráficos. Dever-se-á também levar em consideração os sinais das variáveis envolvidas (elongações e tensões normais). III.4 – OS TENSORES CISALHAMENTO.

COMPRESSÃO

COMBINADA

COM

Vamos, então, ensaiar um bloco cúbico de 25 cm de aresta e centro O, em condições parecidas com o ensaio da barra de ferro, agora com uma máquina para ensaio de cisalhamento em laboratório (Foto), servo-controlada, para até 50 t de força na vertical e até

Máquina de cisalhamento do laboratório de MR do DCT.

1 - Cisalhamento hidr. da normal 2 - Rótula 3 - Célula de carga da normal 4 - Base dos roletes 5 - Placa 6 - Caixa superior da cisalhante

7 - Caixa fixa 8 - Pino 9 - Célula de carga da cisalhante 10 - Cilindro hidr. da cisalhante 11 - Cilindro hidr. escravo

LVDT 2

1.102

01 SERVO 1

SERVO 2

Condicionador de Sinais de Deslocamento Serie 7

03 SOL. 1

SOL. 2

LVDT 1

LVDT'S 5 e 6

LVDT 4

10 09

---

LVDT 3

SERVO 3

SOL. 3

Esquema construtivo da máquina de cilhamento do laboratório de MR do DCT.

100 t na horizontal; o eixo vertical segundo o qual se aplica uma força secundária constante será dito o eixo vertical da máquina. O corpo de prova é alojado dentro de caixas, disposto com um par de faces horizontais, logo perpendiculares ao eixo vertical da máquina; e um par de faces verticais ortogonais ao eixo horizontal da máquina (o eixo principal) pelo qual será aplicada uma força horizontal ao cubo (ver esquema). Existem muitos detalhes de funcionamento que poderão ser vistos e justificados em laboratório. As cargas verticais, iguais em módulo, de sentidos opostos e uniformemente distribuídas sobre as faces horizontais do bloco, geram tensões de compressão nas seções horizontais do mesmo. As forças horizontais, distantes entre si de alguns poucos centímetros (entre caixas 6 e 7, no esquema), iguais em módulo, com sentidos opostos e uniformemente distribuídas sobre as faces verticais carregadas do bloco, geram tensões horizontais de cisalhamento no mesmo, que podem variar continuamente em módulo. III.4.1 – Sistemas de referência adotados Em primeiro lugar vamos estabelecer um sistema de referência ligado ao bloco cúbico. Poderemos adotar os três eixos OX 1, OX2 e OX3 com origem no centro do bloco, paralelos às arestas do cubo e sentidos fixados para que O-X1X2X3 seja direto. Podemos também estabelecer um sistema de referência O-x1x2x3 fixo, ligado à máquina de ensaio, com as seguintes características: 1 – no eixo vertical da máquina, a carga vertical aplicada ao cubo (qualquer que seja a posição deste em relação à maquina), deverá passar por O; esta vertical descendente será considerada como eixo Ox 3 (ou Oz) e o eixo Ox2 (ou Oy) terá a direção do eixo das forças horizontais com sentido arbitrado; 2 – o terceiro eixo, OX1 (ou OX), será disposto ortogonalmente aos anteriores de forma que o triedro de arestas Ox1, Ox2, Ox3 seja direto.

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Em vista dos sistemas adotados, seus eixos serão sempre todos coincidentes em direção (pois ambos são triortogonais), mas não necessariamente com os mesmos nomes (letras e índices), tudo dependendo do modo como se dispôs o bloco na máquina. Vamos eliminar a descrição detalhada da aparelhagem (que será feita em aula prática) e simplesmente supor que os dois ternos de eixos são coincidentes em origem e eixos, isto é, OX1 é coincidente com Ox1, OX2 coincidente com Ox2 e OX3 coincidente com Ox3. Nesse caso, as faces horizontais do cubo estarão sujeitas à ação de uma tensão vertical, 3, fixa e determinada. Um par de faces horizontais, paralelas ao plano 12 (ou xy), estará sujeito à ação de uma tensão horizontal variável de cisalhamento, |32|, porque a direção do cisalhamento (nesse plano) é a do eixo OX2. III.4.2 - O tensor das tensões Imaginemos agora um tetraedro tri-retângulo P123 no centro P do cubo, tal que os vetores unitários dos eixos – vetores eˆ 1 , eˆ 2 e eˆ 3 - sejam exteriores às faces. O tensor de tensões correspondente está definido e pode ser escrito na forma

0 0 0   0 0 0   0 0 0  []  0 0  23   0 0 0   0 0  23  , 0  32  3  0 0  3  0  32 0  sendo  3  V / A  0 (compressão), com V=carga aplicada vertical (escolhida, expressa em kgf) e distribuída sobre a área A=25 2cm2=625cm2; e  23   32  H / A' , com força horizontal H variável (em kgf), A‟=parte da metade da área da face (em cm2) sobre a qual se distribui H. Deve ser observado que a aplicação de |32| acarreta a existência de |23| na expressão do tensor. III.4.3 - O tensor das deformações Podemos também escrever o tensor de deformações, pois 3 pode também ser medido, e uma única vez. De fato, essa elongação é constante porque, intuitivamente analisando, se as tensões não ultrapassarem o limite de elasticidade do material, a variação de comprimento que a tensão tangencial (variável) provoca na aresta eˆ 3 é desprezível frente à que 3 produz. Ainda intuitivamente, vemos que o único par de direções que apresentará distorção é o par ( eˆ 2 , eˆ 3 ). No caso, apenas o unitário eˆ 3 muda de posição sem sair do plano ( eˆ 2 , eˆ 3 ), o vetor eˆ 2 mantendo-se paralelo a si mesmo. Logo:

     0   0 0   0 0  0 0      1 1  [  ]  0   23   0  0   0 0  23  , 2 2      0 0  3   1 0 1     0  0 32 3  32  2   2  sendo 3>0 (encurtamento), <0 (alongamento) , 23/2<0 (o ângulo de 90 diminuiu de valor).

III.4.4 - O cisalhamento simples. Módulo de cisalhamento. Supondo provisoriamente eliminado o esforço V, o tensor de deformações ficaria reduzido apenas à segunda parcela (variável) da expressão matricial acima. Pelo conhecido ensaio de cisalhamento simples será possível estabelecer uma relação entre os valores H das forças horizontais aplicadas e os valores correspondentes dos deslocamentos relativos , na direção 2, entre dois pontos quaisquer A e B especificados sobre uma vertical qualquer das faces do outro par de faces verticais livres de forças (Figura III.3). Mas, em vez das forças H aplicadas, é melhor considerar as tensões correspondentes, porque que as frações das áreas (iguais) A‟ das faces verticais sobre as quais atuam as forças (paralelas ao plano X1OX3) são conhecidas. No gráfico Hx, com H em ordenadas, seriam determinados pontos de coordenadas (H,) que, verifica-se, estão praticamente situados sobre uma reta que passa pela origem. Por métodos estatísticos (mínimos quadrados, Apêndice IV) poder-se-á ajustar uma reta “média” ao conjunto, extraindo-se daí o coeficiente angular da mesma (a tangente do ângulo  de inclinação dessa reta sobre o eixo dos ). Assim, para um H qualquer, ao qual corresponde um , seria H=tg . Como AB vai inclinar-se de 23 para um dado valor de H (ao qual corresponde certo ), será 23=/AB. Então, considerando a expressão de H, deduzimos: AB tg  H A' .  23     23 , ou  23  G  23 , com G  A' AB AB tg AB tg Os resultados acima são válidos para um ensaio de cisalhamento feito na ausência da tensão de compressão 3. O encurtamento na direção vertical provocado pela tensão vertical tem influência desprezível sobre as medições anteriores, desde que os valores das tensões não ultrapassem o limite de elasticidade do material, isto é, desde que, após o descarregamento, o cubo de prova retome sua forma original. A constante  de Lamè, ou Módulo de Cisalhamento. As constantes elásticas de Lamè,  e , foram introduzidas por definição em função de E e  e a elas não foi dado nenhum significado. Poremos =G, constante essa que, no ensaio de cisalhamento simples, correlaciona a tensão de cisalhamento com a distorção correspondente. Assim:  23  G  23    23 . A constante de Lamè  é, geralmente, conhecida como módulo de elasticidade transversal do material. III.4.5 – Superposição dos efeitos e conexão entre os tensores Vamos agora superpor os efeitos de compressão e cisalhamento simples e procurar a relação existente entre os tensores de tensão e deformação nesse caso de solicitação (compressão combinada com cisalhamento). Podemos substituir a primeira parcela do tensor por expressão idêntica à já obtida anteriormente (item 6.2, caso de tração simples adaptado para compressão simples). Então:

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0 0 0  0 0 0  0 0 0   0 0  1 0 0 0 0 0  []  0 0  23   0 0 0   0 0  23   2 0  0   Tr[]0 1 0  0 0  23  . 0 32 3  0 0 3  0 32 0  0 0 3  0 0 1 0 32 0  Considerando os resultados do estudo da solicitação por cisalhamento simples vem (produza as passagens intermediárias como exercício):

0   0 1 0 0   []  2 0   23 / 2  Tr[]0 1 0 , 0  23 / 2 3  0 0 1 * III.5 – A LEI DE HOOKE

ou seja,

[]  2[]  Tr[][ ] .

III.5.1 – Forma geral da lei para os materiais até agora estudados Encontramos no item III.4.5 expressão idêntica à apresentada quando do estudo da tração da barra, mas existe uma pequena diferença: as matrizes [] e [] num caso e outro são diferentes, pois cada uma se refere a um tipo de solicitação do corpo. É fácil comprovar que, combinando outros casos de solicitação axial com outros casos de cisalhamento simples obteríamos sempre a mesma forma geral da expressão apresentada, mas em cada caso os tensores têm uma matriz representativa. Superpondo todos os casos possíveis – o que é sempre possível, desde que o sistema de referência seja o mesmo e as somas algébricas das tensões de mesmo nome de cada estado parcela sejam, ainda, valores relativamente pequenos para que o material trabalhe sempre dentro do seu período elástico (tensões bem menores que a tensão de ruptura do material) – obteremos a expressão geral,

[]  2[]  Tr[][ ] ,

(01),

mas serão

    []     , com 12=21, 23=32 e 31=13    e

  1 1 []    21 2 1  2  31 

1 1   12  13  2 2  1 2  23  , sendo, como visto, 12=21, 23=32 e 31=13, 2  1   32  3  2 

A relação (01) entre tensão e deformação é conhecida como lei de Hooke para os referidos materiais. Ocorre, porém, que (01) é apenas uma forma ainda particular de expressão da lei de Hooke. A lei tem, na verdade, uma utilidade bem maior, sendo aplicável a materiais de estrutura interna um pouco mais complexa que a das barras de ferro, dos blocos de argamassa e concreto, das rochas sãs e outros. É o que mostraremos nas seções seguintes.

III.5.2 – Linearidade física Quando o comportamento mecânico de um material é explicável por uma relação linear entre os tensores de tensão e deformação – ou a lei de Hooke, como vimos atrás, em várias situações particulares - dizemos que ele apresenta linearidade física. Mas deve ser observado que existem materiais (elásticos) para os quais a relação tensão-deformação não seja linear; nesse caso dizemos que esses materiais apresentam não linearidade física, e deles não vamos nos ocupar aqui. III.5.3 – Homogeneidade Os materiais utilizados para exemplificar a teoria que está sendo exposta apresentam constantes elásticas (tradutoras de suas propriedades mecânicas) que independem do ponto onde estejamos considerando os tensores de tensão e deformação; e vamos continuar considerando provisoriamente apenas esses tipos de materiais. Assim, introduziremos uma nova hipótese para a nossa exposição. H4 - Os corpos de que trataremos são homogêneos em relação a uma propriedade mecânica, isto é, essa propriedade tem sempre o mesmo valor para qualquer translação que se imagine em um volume (de sua massa) não menor que o seu ERV (elemento representativo de volume, ver a 1ª Parte). Essa hipótese justifica, por exemplo, a possibilidade das propriedades “corpos de prova” extraídos de uma massa de concreto em fabricação (com sejam não menores que um ERV do concreto em referência) representar as desse mesmo concreto em qualquer ponto onde ele seja aplicado numa propriedade não varia com o ponto.

(médias) dos volumes que propriedades estrutura. A

Essa mesma hipótese explica por que se podem estender as propriedades de uma amostra de barras (ensaiada numa máquina de tração) para todas as barras de ferro produzidas num processo em uma fábrica e utilizadas na execução de um corpo (um pórtico, por exemplo). III.5.4 – Isotropia e anisotropia Os materiais que vínhamos considerando até aqui gozam de uma propriedade singular: as suas constantes elásticas (E e , ou  e =G), além de não variarem com o ponto em que sejam requeridas para uso na lei de Hooke, também não variam com a direção em que sejam consideradas por esse ponto. Detalhando um pouco mais essa informação, diríamos que o fato de uma propriedade não variar com o ponto onde é considerada não implica que essa propriedade deva não variar com a direção em que seja considerada em torno desse ponto. Intuitivamente sentimos que isso não deve acontecer, por exemplo, com os aços e argamassas isoladamente, mas deve acontecer, por outro lado, com uma amostra de rocha R que apresente camadas paralelas constituídas da mesma rocha R. Um corpo de prova cúbico da rocha R, sem camadas, apresentaria (possivelmente) um módulo de elasticidade e um coeficiente de Poisson qualquer que fosse a sua posição na máquina de compressão e cisalhamento. Nas mesmas condições de solicitação de um corpo de prova moldado com as mesmas dimensões do anterior, mas que apresentasse camadas paralelas, outros resultados seriam certamente obtidos (e possivelmente aqueles dois números sós não seriam suficientes para expressar o comportamento mecânico da rocha estratificada). Tens Def Maciços - Ruggeri

Para separar uma classe de materiais de outras classes, dentro dessa possibilidade de variação das propriedades mecânicas, diremos que os primeiros materiais (como os aços, os concretos, alguns solos, poucas rochas e outros) são mecanicamente isotrópicos; e todos os demais (alguns dos quais serão apresentados mais à frente, mas, em especial, os maciços rochosos e os maciços de concreto), ditos anisotrópicos. Podemos comprovar que a lei de Hooke para materiais isotrópicos (conforme exposta no item III.5.1) pode também ser escrita nas formas (equivalentes à anterior):

  1    2    2  2    3     2 23   31  sim. 12 

0 0 0 2

0 0 0 0 2

0   1  0   2  0   3  . 0   23 0  31 2 12

1    E  E  E 0 0 0    1   0 0 0   1    1 E E  2  1  2   0 0 0     3   E . 3  , 23   1  0 0  23 31 G   31 12 1  sim. 0   12 G   1   G  que podem ser justificadas algebricamente (faça isso como exercício) partindo-se da lei como expressa no item III.5.1. Ainda como exercício, podemos partir da primeira expressão matricial acima para chegar à segunda utilizando as relações entre as constantes, apresentadas no item III.2.1 (as constantes de Lamè). De imediato devemos informar que cada material anisotrópico pode apresentar um “tipo” de anisotropia. Nestas palestras vamos fazer referência apenas aos tipos de anisotropia que os materiais do nosso “dia a dia” possam apresentar, destacando-se o CCR. III.6 - A ANISOTROPIA DENOMINADA ISOTROPIA TRANSVERSA Consideremos dois corpos homogêneos em relação às suas propriedades mecânicas (propriedades que não variam com o ponto considerado do material, item III.5.3). Para fixar idéias, consideraremos duas pilhas de tábuas, V1 e V2 (Figura III.4), construídas com a mesma madeira, com as mesmas medidas (espessura de mercado=2,5cm), todas aparelhadas, lixadas, que serão coladas umas às outras (de um mesmo modo e com a mesma cola), como se formassem vigas idênticas externamente. Vamos adotar imediatamente um sistema de referência para a pilha V1. A vertical descendente será o eixo OX3 que será perpendicular às faces coladas; o eixo OX1 será paralelo à linha de comprimento predominante das tábuas e o terceiro eixo, OX 2, tem, obviamente, a direção da linha de comprimento intermediário (largura) das tábuas. Esta

viga terá seção retangular de 15 cm (de largura) na direção OX 2, 30cm (de altura) na direção OX3 e 317, 21cm (de comprimento) na direção OX1. A espessura das tábuas, como se vê, é submúltiplo de 15, logo também de 30. Para a viga da pilha V2 – que terá as mesmas medidas da viga da pilha V1 - vamos adotar os mesmos eixos, acarretando, então, eixo OX2 perpendicular às faces coladas. Esta viga terá comprimento (vão) na direção OX 1 de 317,21 cm e seção retangular de 15 cm (de largura) na direção OX 2 por 30 cm (de altura) na direção OX3. Ambas as vigas, simplesmente apoiadas nas suas extremidades e geometricamente idênticas, deverão suportar carga equivalente à de uma parede de 1m de altura apoiada ao longo de todo o comprimento (de 317,21 cm) da viga. Qual delas apresentará a maior flecha no ponto médio do vão (maior deslocamento), e por quê? Responda isso intuitivamente. Um corpo de prova cúbico de aresta 15 cm, extraído da viga V1 e indicado por CP1, com faces paralelas aos planos coordenados locais, será idêntico a um corpo de prova cúbico, de aresta 15 cm, extraído da viga V2 e indicado por CP2, com faces paralelas aos eixos coordenados locais. Ensaios de compressão e cisalhamento realizados com esses dois corpos de prova deverão indicar propriedades mecânicas idênticas; mas, embora tenham a mesma forma exterior e a mesma estrutura interior, trabalharão de modo diferente conforme os esforços que os solicitarem. Ensaios com o corpo de prova V1 1 - Um ensaio de compressão simples, com força aplicada segundo o eixo OX 3 (ou sobre o plano X1OX2), com o corpo de prova CP1 de V1, revelará um módulo de elasticidade E‟ e um coeficiente de Poisson ‟, cujos significados físicos estão expostos nos ensaios referidos nos itens III.2 e 3, isto é: E‟ = módulo de elasticidade do material (argamassa estratificada) para tensões normais (de tração ou compressão) atuantes sobre os planos das camadas. Dizemos também que E‟ é o módulo de elasticidade do material na direção ortogonal ao plano das camadas. A elongação (positiva, ocorre encurtamento) na direção 3 será então 3/E‟; ‟ = coeficiente de Poisson para caracterizar elongações (encurtamentos ou alongamentos) em qualquer direção no plano das camadas quando tensões normais são aplicadas sobre esses planos. Nesse caso, as elongações nas direções 1 e 2 serão iguais a -‟ 3/E‟ (sinal negativo, pois ocorrem alongamentos nessas direções). μ‟ não vai expressar-se aqui igual a E‟/2(1+‟), como em III,2.1 e III.4.4, porque as condições não são as mesmas dos referidos ensaios (aqui, o material é estratificado na direção perpendicular à que se refere E‟). Para determinar μ‟, ou G‟, recorremos a um ensaio de cisalhamento simples com tensão 23 (ou 13), com plano do binério de cisalhamento X1OX3 (ou plano X2OX3) ortogonal ao plano de estratificação. Assim:

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G‟ = módulo transversal (ou módulo de cisalhamento) para plano de binério cisalhante ortogonal ao plano da estratificação; e será G‟=23/23=13/13. Os tensores de tensões e deformações relativos a esse ensaio estão apresentados na segunda e na terceira colunas da quinta linha da Tabela II; os mesmos tensores relativos ao ensaio de cisalhamento estão apresentados nas terceira e quarta linhas e quinta e sexta colunas da mesma tabela. 2 - Um ensaio de compressão do CP1 segundo o eixo local OX 1 (ou OX2) revelará: E = módulo de elasticidade do material para tensões normais (de tração ou compressão) atuantes ortogonalmente ao plano 23, ou plano 13; ou, o que é o mesmo, para tensões normais paralelas aos planos das camadas. Dizemos também que E é o módulo de elasticidade do material em qualquer direção paralela ao plano das camadas, devendo ser observado, mesmo intuitivamente, que EE‟ (e até, que E‟E);  = coeficiente de Poisson para caracterizar elongações (encurtamentos ou alongamentos) em qualquer direção no plano ortogonal ao das camadas quando tensão normal atua em plano paralelo ao plano das camadas, sendo ‟. Nesse ensaio, sim, G poderá ser expresso em função de E e  pela fórmula G= E/2(1+). Aplicação de tensão de cisalhamento 12 paralelamente ao plano X2OX3 (ou X1OX3) revelará também o valor G. Mas a deformação segundo o eixo OX3 deverá ser calculada com a fração ‟1 de tensão (como se essa tensão estivesse atuando segundo o eixo OX3) e módulo E‟. Os tensores de tensão e deformação relativos a esse ensaio estão apresentados na segunda e na terceira colunas da terceira linha da Tabela II; os mesmos tensores relativos ao ensaio de cisalhamento estão apresentados na quinta e sexta colunas da quarta linha da mesma tabela. Ensaios análogos relativos à direção 2 são desnecessários, evidentemente. Em resumo: um material como uma estrutura interna em forma de placas paralelas haverá de apresentar cinco constantes elásticas independentes E, E‟, , ‟ e G‟, com os significados atrás mencionados. Esses resultados todos estão apresentados na Tabela II. Ensaios com o corpo de prova V2 Os ensaios possíveis com o CP2 são os mesmos feitos com o CP1 e dão resultados idênticos; pois a compressão do CP1 segundo OX3 é equivalente à compressão do CP2 segundo Ox2, o cisalhamento do CP1 de plano paralelo a X1OX2 é idêntico ao cisalhamento do CP2 de plano paralelo a x1Ox3 etc. A lei de Hooke correspondente Para o caso de material transversalmente isotrópico, a lei de Hooke pode ser encontrada sem dificuldades superpondo seis estados de solicitação do CP1, isto é, superpor causas e respectivos efeitos. Para tal, bastará somar algebricamente todos os tensores de tensão (terceira, quarta e quinta linhas, e segunda e quinta colunas) para obter-se o tensor total de tensões; e todos os tensores de deformação (terceira, quarta e quinta linhas, e terceira e sexta colunas) dos estados parcelas para obter-se o tensor total de deformações. Essas equações são as seguintes:

1  1 / E  2 / E  3 / E 2  1 / E  2 / E  3 / E    / E   / E   / E 3 1 2 3 ,    / G 23 23  31  31 / G 12  12 / G ou, escritas em forma matricial:

0 0   1   1   1 / E   / E   / E 0 0 0  2   2     / E 1 / E   / E 0  3    / E   / E 1 / E 0 0 0 . 3  .  23   0 0 0 1 / G 0 0  23 31  0 0 0 0 1 / G 0  31 12  0 0 0 0 0 1 / G 12 Vê-se que essa representação da lei de Hooke tem estrutura muito parecida com a da mesma lei para materiais isotrópicos, mas é um pouco mais complexa. Deve ser observado, também, que os tensores de tensões e deformações estão ambos referidos ao mesmo sistema de coordenadas (porque cada um dos estados parcelas de tensão e deformação está referido a esse sistema). Conseqüentemente, os elementos da matriz de conexão do tensor de tensões com o tensor de deformações estão também referidos a esse sistema. De fato, por exemplo: o módulo E‟ é característico do material na direção normal ao plano das camadas, bem como E é característico do (mesmo) material em qualquer direção paralela ao plano das camadas. Esse aspecto é de significado intuitivo. Para expressar o tensor de tensões em função do de deformações é necessário inverter a matriz das constantes elásticas na expressão acima. Os elementos C ij podem ser escritos, não sem algum trabalho; estão apresentados na Tabela IV. III.7 - A ANISOTROPIA DENOMINADA ORTOTROPIA Vamos agora criar um novo tipo de anisotropia combinando a estratificação anteriormente referida com uma nova estratificação cujo plano seja perpendicular ao primeiro. Admitiremos que num mesmo plano haja vazios (descontinuidades) localizados com alguma regularidade e que não atravessam necessariamente as camadas (ortogonais) anteriormente referidas. Admitiremos, ainda, que dentro de ERV (I.1.2) existam alguns desses planos. Essas descontinuidades para os maciços rochosos serão discutidas em outras palestras. Um material que apresente a estrutura interna descrita acima possui dois planos de simetria elástica (podendo provar-se que, automaticamente, apresentam três); é dito um material ortotrópico. Para escrever-se a lei de Hooke para esse material é necessário raciocinar do mesmo modo como o fizemos para o caso dos materiais transversalmente isotrópicos. DecompõeTens Def Maciços - Ruggeri

se um estado de tensão em seis estados parcelas, escrevem-se as expressões dos tensores de deformação correspondentes (levando-se em conta os efeitos Poisson) e superpõem-se os resultados. Devemos considerar que o material possui três módulos de elasticidade, um para cada direção; sejam eles: E1, E2 e E3. Quando o plano X2OX3 recebe a ação da tensão normal 1 ocorre um alongamento diferenciado de suas dimensões nas direções 2 e 3, por efeito Poisson; denotemos por 12 o coeficiente na direção 2 e por 13 o mesmo coeficiente na direção 3. Raciocinemos analogamente para os dois outros casos e usemos notações análogas. Quando atua apenas a tensão normal 1, o tensor no ponto P‟ é representado pela matriz indicada na segunda coluna da terceira linha da Tabela II. Na direção 1 ocorre a elongação 1/E1 (encurtamento) e nas direções 2 e 3 as elongações (estiramentos) -121/E1 e -131/E1. Então está determinado o tensor de deformações para essa solicitação parcial, e o apresentamos na terceira coluna da terceira linha da Tabela III. Quando atua apenas a tensão normal 2 ocorrem elongações análogas; seriam elas: 2/E2 na direção 2 (encurtamento), -212/E2 na direção 1 (estiramento) e -232/E2 na direção 3 (estiramento), 21 e 23 sendo os coeficientes de Poisson no plano 13 nas direções 1 e 3. Ao atuar apenas a tensão normal 3 obtemos expressões análogas para as elongações. As expressões correspondentes às distorções nos ensaios de cisalhamento podem ser escritas por evidência uma vez que a cada plano coordenado corresponderá um módulo de cisalhamento G. Os tensores de tensões e deformações correspondentes estão apresentados na quinta e na sexta colunas da terceira, da quarta e da quinta linhas da Tabela III. Podemos, assim, escrever a lei de Hooke, como sempre, aplicando a superposição dos efeitos. Então, as expressões das deformações são:

1  1 / E 1   21 2 / E 2   31 3 / E 3   2   12 1 / E 1   2 / E 2   23 3 / E 2  3   131 / E 1   23 2 / E 2   3 / E 3 ,   23   23 / G 23  31   31 / G 31   12  12 / G 12 ou, escritas em forma matricial:

  21 / E 2   31 / E 3 0 0 0   1   1   1 / E 1      / E 1 / E   / E 0 0 0    2  2 32 3  2   12 1   3     13 / E 1   23 / E 2 1/ E3 0 0 0   3    .  . 0 0 0 1 / G 23 0 0   23    23     31   0 0 0 0 1 / G 31 0    31       0 0 0 0 0 1 / G 12   12    12   Como a matriz 6x6 das constantes elásticas deve ser simétrica, resulta que:

 12  21 ,  E1 E2

 23  32 ,  E2 E3

 13  31 .  E1 E3

Concluímos, assim, que os materiais ortotrópicos são caracterizados por nove constantes elásticas: três módulos de elasticidade (E1, E2, E3), três coeficientes de Poisson (12, 23, 31) e módulos de cisalhamento (G12, G23, G31). As expressões que fornecem as tensões em função das deformações com coeficientes Cij que são apresentados na Tabela V. Os cálculos desses coeficientes ficam por conta do leitor. III.8 – APLICAÇÃO AO CASO DAS BARRAGENS DE CONCRETO Qualquer que seja a natureza de uma barragem de concreto (gravidade, arco, contraforte e outras) parece ser inevitável a sua concretagem por camadas. Os planos (sensivelmente) paralelos das camadas de concretagem serão planos de simetria elástica incorporados ao corpo da barragem porque, provavelmente, existirá sempre uma diferença de comportamento entre qualquer camada e a junta existente entre camadas consecutivas. Esse corpo material – barragem de concreto – diferirá do corpo material denominado viga V1, idealmente construída (item III.6), apenas pelo modo de atuação dos esforços. Em V1 a carga linearmente distribuída, devida ao peso da parede, aplicava-se perpendicularmente ao plano das tábuas, isto é, na vertical (direção 3) e no sentido descendente. Num dada seção horizontal de profundidade h de uma barragem hipotética (Figura III.5), há cargas exteriores que agem perpendicularmente ao plano das camadas (na direção da vertical e sentido descendente, ou direção 3); são devidas ao peso próprio (e variam com a altura h de concreto acima do local em estudo) e algumas sobrecargas (devidas a guindastes, trânsito de veículos etc.). A carga atuante principal, até a seção horizontal considerada, é devida ao empuxo das águas quando o reservatório está cheio. Esta é uma carga do tipo “distribuída em forma de triângulo retângulo” e, na seção vertical, aplica-se segundo um dos catetos, perpendicularmente à superfície (geralmente plana) do paramento de montante da barragem (paramento molhado). O vértice desse triângulo retângulo de plano vertical fica situado na profundidade da seção horizontal considerada. Fazendo-se um gráfico em escala, a medida do cateto perpendicular ao paramento molhado (no nível da seção horizontal) tem o valor da pressão: h,  sendo o peso específico da água (1.000 kgf/m3). Supondo um paramento vertical, o empuxo é horizontal tendo a direção 2 (do fluxo). A direção 1 (horizontal) é a da normal à seção vertical da barragem.

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Vamos imaginar um ponto P‟ no plano da seção horizontal à profundidade h (Figura III.6), e um tetraedro P'1 2 3 com a face 1 2 no plano da seção, face 2 3 contendo o empuxo e face 3 1 (ortogonal ao empuxo). As únicas tensões atuantes nesse tetraedro genérico são: a) - a tensão de cisalhamento 32 na face horizontal 1 2 (perpendicular à direção 3) na direção 2; b) – a tensão normal 3 sobre a face horizontal (na direção 3). A matriz associada ao tensor das tensões desse ponto é, então:

0 0 0  []  0 0 23 . 0 32 3  Quais as deformações que ocorrem com esse tetraedro? Na direção 3 ocorre 3; por efeito Poisson ocorrerão elongações iguais 1=2=‟3 nas direções 1 e 2; e entre as direções 2 e 3 ocorre a distorção 23. Então a matriz associada ao tensor de deformações do P‟ é

3 0 0  []   0 3  23 .  0 32 3  A lei de Hooke aplicável ao caso é extraída da Tabela II: 1  1 / E   2 / E  3 / E   2  1 / E   2 / E  3 / E 3  1 / E   2 / E  3 / E ,   23   23 / G    / G   31 31 12  12 / G

 / E  / E 0 0 0   1   1   1 / E         / E 1 / E   / E 0 0 0   2   2     3    / E   / E 1 / E 0 0 0   3    .  , 0 0 1 / G 0 0   23    23   0    0 0 0 0 1 / G 0   31   31     0 0 0 0 1 / G   12   12   0

mas nesse caso em pauta o sistema acima fica reduzido porque os esforços exteriores atuantes geram tensores de tensão e deformação com muitos elementos nulos. Tem-se:

1  3 / E 2  3 / E    / E , ou 3 3 32  32 / G

0 0  0   1   1 / E   / E   / E 0 0 0  0   2     / E 1 / E   / E 0  3    / E   / E 1 / E 0 0 0 . 3  . 32   0 0 0 1 / G 0 0  32 0  0 0 0 0 1 / G 0   0   0   0 0 0 0 0 1 / G  0 

Conseqüentemente, necessitaremos de não mais que três constantes elásticas - o módulo de elasticidade E‟, o coeficiente de Poisson ‟ e o módulo transversal G‟ - para caracterizar o comportamento da barragem. Quando se admite que o CCR seja material isotrópico, suas constantes são duas: E e  (G aparecendo por conseqüência). Como visto, o material: concreto moldado em camadas, é diferente do material de cada camada. Embora as constantes de um tenham

significado parecido com as do outro, elas têm valores diferentes. O concreto em si pode ser considerado um material isotrópico, mas um concreto feito em camadas não. Intuitivamente pode ser aceita a ideia de que E‟ do CCR seja menor que o E do concreto em si, bem como as demais constantes; uma medição em laboratório confirmaria a hipótese. Uma questão interessante pode surgir: qual é a diferença entre os valores? É evidente que as diferenças estarão na forma de ligação de uma camada com outra, tal como na viga formada com tábuas (item III.6). Naquele caso, se as tábuas tivessem apenas um contato simples sua resistência (digamos ao cisalhamento) teria certo valor, bem menor do que se fossem coladas. Mas a pergunta a responder é: a expectativa do projeto, em termos de segurança, é alcançada em obra? Como no dimensionamento da obra, na fase de projeto, já se definem dimensões e propriedades para os materiais para alcançar-se certo nível de segurança considerado satisfatório, todo o que superar esses valores poderá ser considerado oneroso. Há, pois, que comparar-se o que se faz em obra com o que é considerado em projeto e realmente necessário. As barragens em arco, ou em arco gravidade, por estarem submetidas a outros esforços além dos especificados para as barragens gravidade, jamais poderão ser consideradas isotrópicas. De fato, pois havendo compressão na direção 1 e cisalhamento nas seções verticais serão necessários os cinco parâmetros elásticos para bem caracterizar o desempenho do maciço. III.9 – EFEITO DA UMIDADE É evidente que se as juntas estabelecidas entre camadas de concreto não forem protegidas contra a percolação de águas o valor de G‟ poderá ser substancialmente diminuído. Para combater essa eventual diminuição, algumas operações podem ser previstas em projeto (como introduzir uma “espessura de impermeabilização” no paramento de montante). De qualquer forma, é justificável um estudo da variação do módulo de cisalhamento dos concretos com a umidade presente numa junta, em maior ou menor grau, estudos esses que poderiam ser estendidos aos materiais ortotrópicos. III.10 – HIDRÁULICA DOS MATERIAIS Justifica-se ainda, em laboratório, um estudo hidráulico-mecanico dos materiais transversalmente isotrópicos e dos ortotrópicos. Uma adaptação nos permeâmetros clássicos poderá levar-nos à determinação do tensor de permeabilidade do material. Esse assunto poderá ser apresentado em outra palestra. III.11 – O PROJETO HOOKE E AS BARRAGENS DE CONCRETO Um dos interesses do Projeto Hooke, por nós idealizado em 2001, era detectar a consistência que deveria existir no comportamento de um maciço rochoso, que bem poderia ser um maciço de CCR, quando se admitia válida a lei de Hooke. Vejamos alguns detalhes.

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Imagine o leitor que seja possível medir, num “ponto” de um maciço (na verdade, num pequeno volume do material, não menor que o seu ERV) os tensores de tensão e deformação. Suponha, ainda, que sejam conhecidas as constantes elásticas do mesmo, entendido como um material isotrópico (conhecemos, pois, seu módulo de elasticidade e seu coeficiente de Poisson, ou as constantes de Lamè). Se for válida a lei de Hooke deverá haver consistência entre as medidas feitas, ou seja, estas medidas deverão satisfazer a lei, escrita na forma matricial compacta: []  2[]  Tr[][ ] , ou na forma apresentada no item III.5.4 (mais interessante neste momento):

  1    2    2  2    3     2 23   31  sim. 12 

0 0 0 2

0 0 0 0 2

0   1  0   2  0   3  . . 0   23 0  31 2 12

É evidente que isto poderia ocorrer apenas de modo aproximado por causa das incertezas presentes nas medições feitas. As incertezas das medições causam sérios problemas de análise. Vamos, agora, desenvolver outro raciocínio. Suponhamos ter medido pelo menos seis pares de tensores tensão/deformação, um par em cada ponto do sólido; e que, digamos, os tensores de deformação do conjunto sejam independentes. Isto significa que o determinante 6x6 cujas colunas sejam formadas com os elementos das matrizes colunas desses tensores é diferente de zero. Com essas medições poderíamos escrever a lei de Hooke seis vezes (uma para cada caso), ou num pacote matricial equivalente e único, na forma

 (1)1 (2)1  (3)1 (23)1 (31)1 (12)1 

(1)2 (1)3 ... ... (1)6  (2)2  (3)2 ... ...   (23)2 ... (31)2 ...  (12)2 (12)3 (12)4 (12)6

   2    2      2   sim.  

0 0 0 2

0 0 0 0 2

0   (1)1 0   (2)1 0   (3)1 . 0  (23)1  0 (31)1 2 (12)1

(1)2 (1)3 ... ... (1)6  (2)2  (3)2 ... ...  , (23)2 ... (31)2 ...  (12)2 (12)3 ... ... (12)6

onde os elementos da primeira coluna, com índice 1 fora dos parênteses, se referem aos tensores da primeira medição; os elementos da segunda coluna, com índice 2, os da segunda medição, e assim por diante. Como, por hipótese, os seis tensores de deformação são independentes o determinante da matriz 6x6 das deformações medidas, denotada por [], no segundo membro, é diferente de zero. Isto significa que esta matriz é invertível. Deduzimos, então, imediatamente, por multiplicação de ambos os membros da expressão

acima por [E]-1, a expressão da matriz das constantes elásticas. A matriz obtida, entretanto, não apresentará a forma esperada, cheia de elementos nulos; tampouco será simétrica porque as incertezas eliminam drasticamente essa possibilidade. Torna-se necessário, assim, recorrer a outros recursos que possibilitem uma análise da influência das incertezas. De qualquer forma, entreve-se uma excelente oportunidade para a determinação da matriz das constantes elásticas de um maciço, em alguma região dele, onde se possam efetuar as referidas medidas. Havendo possibilidade de medição das mesmas constantes por outros caminhos, em laboratório, por exemplo, emergirá a questão da consistência das hipóteses admitidas (de que o material segue a lei de Hooke, de que ele é isotrópico, ou transversalmente isotrópico etc.). Apresentamos aqui apenas as idéias principais em torno de um grande problema. Os métodos de medição dos tensores precisam sofrer refinamentos para a diminuição das incertezas e o tratamento científico dessas incertezas ainda não está muito esclarecido (até, mesmo, do “Guia para expressão da Incerteza de medição” de 1996, do INMETRO). Parece que o Projeto Hooke, já administrativamente concluído, continuará aberto por um bom tempo. Durante o seu desenvolvimento foi gerado, dentro dos laboratórios de MR do DCT, um novo método para a medição dos tensores (de tensão e de deformação), baseado em um novo instrumento (um pressiômetro). Pelo método já clássico entre os geotécnicos - chamado método das almofadas – determina-se apenas o tensor das tensões. Pelo método e pelo aparelho gerados, a expectativa é sombria e os custos são bem menores que os praticados com o método clássico. O método atrás referido apresenta ainda grande possibilidade de aplicação nas barragens de concreto. Os tensores poderão ser medidos e comparados com os esperados no projeto. O modelo de Hooke poderá ser afiado após discussão dos resultados experimentais obtidos in situ. Como os ensaios a serem realizados não são destrutivos, será possível determinar a evolução das constantes elásticas do concreto no tempo, ou seja, analisar o seu envelhecimento. III.12 – PERSPECTIVAS Os campos de estudo e pesquisa apresentados estão todos em aberto e poucas atividades têm sido feitas no sentido de desenvolvê-los. Os métodos são novos, a aparelhagem é nova (existe pedido de patente do pressiômetro por parte de Furnas) e tudo parece promissor. Na pior das hipóteses, dentro de um ambiente de estudos e pesquisa – características tradicionais do DCT – tudo deve ser levado a um resultado técnico final justificado por considerações convincentes. Entendemos isso como um convite desafiante, que eleva o nome do DCT apenas pela qualidade dos trabalhos que podem ser desenvolvidos; e elevará muito mais se os resultados práticos intencionados lograrem algum êxito.

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TABELA I * MATERIAIS SUPOSTOS ISOTRÓPICOS

CONSTANTES ELÁSTICAS Material

R O C H A

Procedência

de Engenharia Mód. Elastic., E (em GPa)

Lamè (calculado, em GPa)

Coeficiente Poisson, υ

λ=υE/ [(1+υ)(1-2υ)]

μ (ou G)=E/ [2(1+υ)]

Metamórfica.

Anfibólito

Miranda

76,0

0,22

24,5

31,1

Metamórfica

Clorita

Corumbá I

130,9

Metamórfica.

Gnaisse

Fumaça

28,2

0,22

9,1

11,6

Sedimentar

Metarenito

Salto Caiabís

40,0

0,24

14,9

16,1

Sedimentar

Arenito

Capanda

52,2

Sedimentar

Quartizito

Bocaina

56,4

0,11

7,2

25,4

Magmática

Gabro

Canabrava

107,7

0,17

23,7

46,0

Magmática

Basalto

Itaipu

70,8

Magmática

Granito

Serra Mesa

41,1

0,21

12,3

17,0

Corumbá (Tab 6.4)

35,0

0,18

8,3

14,8

Simplício (Tab. 6.8a)

19,5

0,19

5,0

8,2

Cana-Brava (Tab. 6.8a)

8,9

0,24

3,3

3,6

Cana-brava (Tab.6.8b)

25,2

0,15

4,7

11,0

Tucurui (Tab. 6.9)

40,4

0,24

15,0

16,3

Tucurui (Tab. 6.9)

30,8

0,19

7,9

12,9

Tucurui (Tab. 6.9)

30,6

0,10

3,5

13,9

34,7

0,24

12,9

14,0

25,3

0,17

5,6

10,8

18,1

0,20

5,0

7,5

17,1

0,24

6,4

6,9

quartizito gnaisse xisto

C O N C R E T O

Tipo

gnaisse metagrauvaca metagrauvaca metagrauvaca basalto basalto granito basalto

Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias CCR 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias Convenc. 28 dias CCR – 28 dias

Itaipu (Tab. 6.10a) Itumbiara (Tab. 6.10a) Serra Mesa (Tab. 6.10a) Itumbiara (Tab. 6.10b)

* Dados extraídos de: Equipe de Furnas, Editor Walton Pacelli de Andrade, Concretos: massa, estrutural, projetado e compactado com rolo, Editora Pini, 1997, São Paulo.

TABELA II

LEI DE HOOKE MATERIAL: TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO Tensões aplicadas

Tensor de tensões

Tensor de deformações

1 0 0    0 0 0  0 0 0

0  1/E 0 σ1  ν/E 0    ν ' /E

0 0 0    0  2 0  0 0 0

0    / E 0 2 1/ E 0    ' / E 

0 0 0    0 0 0  0 0 3 

0    ' / E 0 3   ' / E 0   1 / E

 0 0 | 13 |    0 0 0  | 13 | 0 0 

1  0 0 | 13 |  0 0 0  G |  | 0 0   13 

 0 | 12 | 0   | 12 | 0 0  0 0 0

1  0 | 12 | |  | 0 G  012 0 

0  0 0   0 0 |  23 |  0 |  23 | 0 

0  1 0 0 0 0 | 23 |  G 0 |  | 0  23  

E,υ

E,

E‟,‟

G‟

0 0 0

G‟

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TABELA III

LEI DE HOOKE MATERIAL ORTOTRÓPICO Tensões aplicadas

Tensor de tensões

Tensor de deformações

1 0 0    0 0 0  0 0 0

 1  0 0   E1       12 1 0  E1       13 1   E1 

0 0 0    0  2 0  0 0 0

 12 2  0   E1 0   2 0   E 2       23 2   E 2 

0 0 0    0 0 0  0 0 3 

 133  0 0  E 1   233   0 E2   3    E3  

 0 0 13 0 0 0 13 0 0 

1  0 0 13 0 0 0 G13  0 0   13 

 0 12 12 0  0 0

1  0 12  0 G12  012 0 

0 0 0

0 0 0  0 0 23 0 23 0 

0 0 0

1 0 0 0  0 0   G23 0  023  23 

TABELA IV

LEI DE HOOKE MATERIAL TRANVERSALMENTE ISOTRÓPICO VALORES DAS CONSTANTES Cij São 5 as constantes elásticas: E, E‟, , ‟, e G‟ e têm os significados seguintes: E‟ = módulo de elasticidade (ou de Young) para tensão normal aplicada ortogonalmente ao plano das placas (ou plano de isotropia); E = módulo de elasticidade (ou de Young) para tensão normal aplicada paralelamente ao plano das camadas;  = coeficiente de Poisson para caracterizar elongações (encurtamentos ou alongamentos) em qualquer direção no plano ortogonal ao das camadas quando tensão normal atua em plano paralelo ao plano das camadas, sendo ‟; ‟ = coeficiente de Poisson para caracterizar elongações (encurtamentos ou alongamentos) em qualquer direção no plano das camadas quando tensões normais são aplicadas sobre esses planos. G‟ = módulo transversal (ou módulo de cisalhamento) para plano de binários cisalhantes ortogonal aos planos da estratificação.

Para:

1 / E   / E   / E tr    / E 1 / E   / E ,   / E   / E 1 / E podem ser aplicadas seguintes expressões:

C11 

1 1 2 (  )  C22 , trE E E

C31 

 (1  )  C23 , trEE

C33  C12 

1 (1  2) , trE2

1 2 1 (  ) trE E E

C44  C55  C66  G .

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TABELA V

LEI DE HOOKE MATERIAL ORTOTRÓPICO VALORES DAS CONSTANTES C’ij São 9 as constantes elásticas: E1, E2, E3, 23, 31, 12, G23, G31, e G12, e têm os significados seguintes: Ei = módulo de elasticidade (ou de Young) na direção i; ij= coeficiente de Poisson, sendo

 12  21  , E1 E2

 23  32  , E2 E3

 13  31  . E1 E3

Gjk = módulo de elasticidade transversal no plano jk

Para:

1 / E1  12 / E1  13 / E1    12 / E1 1/ E2   23 / E 2 ,  13 / E1   23 / E 2 1/ E3 podem ser aplicadas seguintes expressões:

C11 

 2 1 1 (  23 ) , E 2 E 3 E2

C 23 

1 1 1213  23 1 13 23 12 (13  12 23 ) , C12  (  ) , C 31  (  ) E1 E 2 E1 E1 E2 E1 E2 E3

C 44  G 23 ,

C 55  G 31 ,

C 22 

 2 1 1 (  13 ) , E1 E 3 E1

C 66  G12

C 33 

 2 1 1 (  12 ) , E1 E 2 E1

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PARTE II INTERPRETAÇÃO DE ENSAIOS

CAPÍTULO IV O MÉTODO DA CÉLULA TRIAXIAL E O DOS MACACOS PLANOS. IV.1 – HIPÓTESES BÁSICAS DE TRABALHO. O trato de muitos problemas de engenharia requer a aplicação da Mecânica do Contínuo que, pelo próprio nome, postula a continuidade de estrutura e composição dos materiais no sentido matemático. Apesar disso não se verificar a rigor, é vantajozo porque permite o desenvolvimento de uma teoria cujo objetivo é explicar fenômenos aproximadamente e facilitar a obtenção de previsões. Para isso, introduz-se, nessa mecânica, o conceito de “continuidade tecnológica” para os materiais, conseguindo-se prever valores de variáveis que, medidas em laboratório ou em campo, têm apresentado concordância razoável. Nesse sentido, medidas com fluidos apresentam concordâncias com previsões teóricas bem superiores que com sólidos; e dentre esses estão na rabeira os concretos e os geomateriais (solos, rochas e geotexteis). As rochas são, seguramente, os materiais menos concordantes (melhor seria dizer os mais discordantes), a ponto de tentarse desenvolver uma “mecânica de grãos ou do descontínuo”, em contra posição à do contínuo, que se ajuste melhor à sua natureza. A homogeneidade física dos materiais está intimamente relacionada com a continuidade; em geral, quanto mais contínuo é um material, mais homogeneidade física ele apresenta. Mais uma vez os geomateriais estão na rabeira no tocante à aproximação com as abstrações teóricas. O conceito de homogeneidade, entretanto, é mais amplo e mais complexo do que a mencionada homogeneidade física vulgarmente concebida: é um conceito aplicável a toda propriedade de um material. Um material é dito homogêneo em relação a certa propriedade quando esta é um invariante sob qualquer translação nesse material, ou seja, a propriedade tem o mesmo valor (é a mesma) em qualquer local (ponto) considerado de uma massa desse material. Após a aceitação desse conceito, uma “coluna de ar” (material) de alguns quilômetros de altura não é homogênea em relação à composição (propriedade), embora no conceito vulgar ela seja “fisicamente homogênea” (pela visão). Por isso, é fácil aceitar que os fluidos são candidatos bem mais fortes à homogeneidade que os sólidos. Na tentativa de conceber um modelo matematicamente utilizável de material contínuo e homogêneo, introduzimos no jargão da engenharia o conceito de “partícula” ou “ponto material”. Essa partícula pode ter alguns milímetros cúbicos ou alguns metros cúbicos de volume, tudo podendo depender da natureza do material e de sua quantidade num problema em estudo. O ponto material poderá ser fixado, por exemplo, como o centro de gravidade do volume considerado. Essa partícula é a menor porção da massa de um corpo, constituído de certo material, cujas propriedades, estatisticamente determinadas, sejam homogêneas; a partícula é o próprio ERV (ver item I.1.2). Como conseqüência dessa “concepção aproximada”, uma partícula não tem individualidade porque parte dela pode ser considerada parte da partícula vizinha. Com certa variância admissível (umas pequenas, outras maiores), a Mecânica do Contínuo é utilizável com uma possibilidade de acerto, relativamente às medições de campo ou laboratório, que é função da referida variância.

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De outro lado, existem materiais que exibem propriedades estruturais que variam continuamente com a direção considerada em torno de um ponto. Há também materiais que exibem propriedades invariantes apenas para uma, duas, três ou um número finito (geralmente pequeno) de direções distintas. Essas direções são especificadas segundo um plano ortogonal a uma segunda direção, digamos definida por nˆ ; esta é dita um eixo de simetria do material para aquela propriedade. Quando existem N ângulos naquele plano (definindo direções em relação às quais as propriedades do material são invariantes), dizemos que o eixo nˆ é N-ário (binário, ternário, e outros). Há a possibilidade de qualquer direção (eixo) do espaço ser um eixo de simetria do material; nesse caso ele é dito isótrópico. Então, para certa propriedade, o material isótrópico é tal que a referida propriedade é invariante em qualquer rotação. Quando um material apresenta uma propriedade invariante apenas em relação a algumas rotações (de eixos e ângulos bem determinados) ele é dito anisotrópico em relação à tal propriedade. Exemplos: uma massa de concreto é isotrópica, mas poderá não o ser um bloco com várias camadas de um mesmo concreto. Um maciço rochoso poderá ser isotrópico para qualquer propriedade, mas não o será um maciço visivelmente estratificado. Usaremos aqui a (parte da Mecânica do Contínuo denominada) Teoria da Elasticidade (ver 1ª Parte). Por isso mesmo, suporemos que os maciços (de concreto e de rocha) aqui considerados sejam: 1) - elásticos, porque poderão retomar suas formas originais quando forem eliminadas as cargas que suportam (e aqui não estão enquadrados os solos); 2) – de comportamento físico e geométrico lineares, isto é, as deformações a que estão sujeitos são extremamente pequenas e existe proporcionalidade entre o diádico (ou tensor) de tensão () e o de deformação () mediante o tetrádico (ou tensor de quarta ordem) de rigidez (4G); 3) – estatisticamente homogêneos em relação às suas propriedades, como: composição, textura, grau de fraturamento, porosidade, permeabilidade e outras, especialmente a rigidez definida por 4G; isto é, essas propriedades deverão ser as mesmas em qualquer partícula (ou ERV); 5) – isotrópicos em relação à sua estrutura interna, isto é, estas propriedades são invariantes numa partícula em relação a qualquer rotação1; dentre as suas 21 coordenadas (muitas nulas), 4G apresenta apenas duas constantes elásticas independentes, sendo comumente usadas as “constantes de engenharia” denominadas módulo de elasticidade (E) e coeficiente de Poisson (), como visto no item III.2. As determinações experimentais que aqui serão utilizadas seriam logicamente impossíveis sem a aceitação desses conceitos aproximados. Assim é que, na estrutura de concreto de uma barragem, por exemplo, uma partícula (ERV) pode ter seguramente 125 litros (um cubo de aproximadamente 50 cm de aresta); enquanto que num maciço rochoso não seria nenhuma heresia falar-se de uma partícula de 1.000 m3 (um bloco cúbico de 10 m de aresta). Estas hipóteses simplificadoras viabilizam fazer-se medição local de uma propriedade, seja numa galeria (em suas paredes, piso, teto) ou num furo de sondagem de pequeno diâmetro (feito à superfície ou no interior de uma galeria). As mencionadas determinações – importantes para a orientação dos projetos ou a verificação de desempenho das estruturas concebidas com rochas, concretos e solos – são imprescindíveis e podem ser caras. Torna-se, pois, necessária, uma avaliação prévia da possível utilidade do modelo concebido, particularmente a “condição de partícula” da amostra ou do local onde se queira fazer a determinação (do diádico de tensão ou do 1

Isto significa que, duas expressões cartesianas do mesmo diádico (de tensão ou deformação) numa partícula, cada uma relativa a um sistema de referência, são apenas expressões diferentes da mesma grandeza; uma expressão pode ser obtida da outra por uma simples rotação dos diádicos.

diádico de deformação). Com efeito, somente dessa maneira os resultados obtidos (nesses locais) poderão ser extrapolados para toda a estrutura. A compatibilidade entre o tamanho do instrumento disponível para uma medição e o tamanho da amostra do material, por exemplo, pode ser uma questão fundamental quanto à confiabilidade dessas medições. Isto, em muitas situações, tem gerado dúvidas que ainda persistem. Alguns exemplos serão citados em aula prática. IV.2 - SISTEMAS DE REFERÊNCIA GLOBAL E LOCAL. Como preliminar à resolução e à descrição do problema da medição devemos estabelecer com muito rigor os sistemas de referência aos quais serão referidos pontos, por seus vetores posicionais, e direções, por seus vetores unitários. Para facilitar medições em campo, simplificar os cálculos em escritório e evitar confusões, três sistemas de referência geralmente são usados nesses trabalhos: o cartesiano triortogonal (direto) O-XYZ, de vetores unitários Iˆ (relativo a OX), Jˆ (relativo a OY) e ˆ (relativo a OZ); o sistema esférico, de coordenadas (R,,) e vetores unitários K ˆ , ˆ e ˆ ; e o cilíndrico, de coordenadas (r,,z) de unitários (triortogonais) (triortogonais) R

rˆ relativo a Or, ˆ relativo a O e kˆ relativo a Oz (Figura IV.2.1).

O ponto origem, O, pode, eventualmente, em certos problemas, ser considerado irrelevante (quando não interessa a medição de distâncias absolutas), como no caso presente; ele deve ser considerado o centro da superfície esférica de raio unitário ligada ao sistema esférico. O eixo OZ tem, geralmente, por direção, a vertical do lugar (de trabalho); seu sentido positivo pode ser escolhido convenientemente em função da natureza do serviço a realizar: o ascendente, por exemplo, ou o descendente, com o qual aqui trabalharemos. Em engenharia de barragens, sempre que possível, o sentido positivo do eixo OY deve ser o do fluxo (das águas); consequentemente o sentido positivo do eixo OX fica determinado (porque o sistema O-XYZ deve ser direto). No sistema esférico,  varia de 0 a 360 e representa longitudes; nesse caso basta que , que representa co-latitudes, varie de 0 a 90 de um lado e outro do plano XOY para varrer-se completamente o espaço1. 1

Pode fazer-se com que os campos de variação dos ângulos fiquem invertidos, o que é irrelevante. É costume, ainda, fazer-se com que co-latitudes e longitudes variem de 0 a 180 especificando-se os sentidos em que foram (ou

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Na prática de campo (sobretudo em trabalhos geotécnicos) a nomenclatura do sistema esférico costuma ser mudada: as co-latitudes passam a ser denominadas mergulhos e as longitudes, azimutes. Azimutes e mergulhos serão ditos, aqui, as coordenadas geotécnicas de uma direção. O eixo OX é adotado como direção norte-sul, e seu unitário Iˆ deve apontar para o norte magnético. Os azimutes () são medidos positivamente (no plano horizontal XOY) no sentido horário (o trigonométrico é o anti-horário), desde OX, para quem observa o plano do semi-espaço em que se encontra OZ (logo, de OX para OY no “sentido mais próximo”); variam de 0 a 360, para dispensar-se o uso de mais alguma informação para especificá-los (como azimute leste ou oeste). Azimutes menores que 180 indicam vetores unitários de direções pertencentes ao mesmo semi-espaço (relativo ao plano ZOX) em que se encontra Jˆ . O mergulho é definido pelo ângulo que uma direção faz com o plano horizontal XOY e varia de 0 a 90; mergulho positivo indica vetor unitário ˆ (abaixo do situado no semi-espaço (relativo a XOY) em que se encontra o unitário K plano horizontal); mergulho negativo indica vetor no semi-espaço oposto. Nota: Para alguma medição poder-se-á, evidentemente, adotar um sistema idêntico ao geotécnico, mas com um norte fictício (não magnético). Todas as operações poderão ser realizadas sem qualquer inconveniente, pois o sistema adota é legítimo. Mas este será um sistema local sem “amarração” com o sistema geotécnico apenas por faltar o norte magnético. Poder-se-á, ainda, usar nomenclatura idêntica, mas com a ressalva de que mergulhos e azimutes são fictícios (são relativos a eixo norte-sul etc. arbitrados)1. No sistema cilíndrico, o eixo Or faz um ângulo  com o eixo OX. O ângulo  é medido positivamente quando, observado o plano XOY do semi-espaço em que se encontra OZ e Or gira no sentido horário. O unitário ˆ (do eixo O), perpendicular a Or, aponta no sentido dos  crescentes. O eixo Oz deve coincidir integralmente com OZ. O unitário rˆ (do eixo Or) deve ter sentido tal que o sistema O-rz seja direto (Figura I.2.1). Um sistema será dito global quando todos os eventos devem ser a ele referidos para efeito de análise (comparações, por exemplo). É assim denominado para diferençá-lo de referenciais (cartesianos, esféricos e cilíndricos) de uso prático em recintos particulares, i.e., dos referenciais locais. Por “transformação de coordenadas” ou por “mudança de base”, poder-se-á passar um evento de um sistema de referência para outro (Ap.II, item 6.4). IV.3 – O MÉTODO DO “OVERCORING” OU SOBREFURAÇÃO. IV.3.1 – Descrição sumária. O “método da sobrefuração” – conhecido internacionalmente por “método “overcoring” - pode utilizar a célula dita STT (de “Stress Tensor Tube”) para a determinação determinação (experimental) do diádico das deformações numa partícula 2 de devem) ser considerados os ângulos: norte e sul para as co-latitudes (diz-se, então, latitude norte e latitude sul) e leste ou oeste para as longitudes (longitude leste e longitude oeste). 1 É recomendável, pois, alguma cautela, quanto a nomenclaturas e critérios de medição de ângulos. 2 Doravante, para simplificar a linguagem, usaremos o termo ponto para representar a partícula concebida no item 1.

uma estrutura (embora leve o nome de tensão). Existem vários tipos, descritos em várias publicações [ , , , ]. A célula aqui referida tem a forma de um tubo cilíndrico. Na superfície lateral interior desse tubo são colados alguns extensômetros (strain gauges). Esses extensômetros, de dimensões reduzidas, podem fornecer diretamente medidas de elongações do material em estudo (Fig. IV.3.1) desde que o tubo seja colado à parede de um furo praticado nesse material (pela sua superfície lateral exterior, evidentemente). Nestas condições – célula e geomaterial trabalhando solidariamente - a célula deve ser feita com um material cuja rigidez não interfira na deformabilidade do geomaterial; deve, por isso, ter um módulo de elasticidade relativamente pequeno frente ao do geomaterial. Em toda célula instala-se imediatamente um referencial cartesiano local, O‟xyz da seguinte maneira: origem O‟ arbitrária; o eixo O‟z coincidente com o eixo do tubo e unitário kˆ apontando num sentido arbitrado; eixos O‟x e O‟y, de unitários ˆi e ˆj , arbitrariamente dispostos na seção transversal do tubo, mas de forma tal que o sistema O‟xyz seja direto (Figura IV.3.1). Recordemos que a elongação, denotada por , também denominada elongação especifica, é, por definição (item II.3.1), a variação de distância por unidade de distância entre dois pontos “próximos” na partícula. Por conseguinte, a elongação varia com o ponto escolhido (a partícula) e com a direção considerada pelo ponto, sendo, pois, uma grandeza função de ponto e variável com a direção. Isto significa, simplesmente, que devemos considerar um ponto (da partícula) do material e uma direção, representada pelo vetor unitário nˆ , em relação à qual se queira determinar a elongação; então, ao longo dessa direção (no ponto) disporemos o extensômetro. Escrevemos, então, na forma de operações entre diádico e vetores,   nˆ ..nˆ , ou, ainda, na forma que usaremos mais à frente,    : nˆ nˆ . Essas representações são muito úteis para desenvolvimento de texto, teoria e interpretações geométricas. Para efeito de cálculo, o que também será visto mais à frente, é cômodo a tradução dessas operações com operações matriciais (ver item II.3.4) quando vetores é diádicos são referidos à base vetorial local. * Vamos associar conceitos geométricos à elongação. Imaginemos que pelo ponto P que vínhamos considerando fossem consideradas várias direções e que nˆ representasse a direção genérica. Sobre a reta suporte dessa direção marquemos o ponto P n tal que PPn  1 |  n | , o que é sempre possível para n0. Da definição   nˆ ..nˆ deduzimos, então:

nˆ | n |

..

nˆ | n |

 1 ,

(01).

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Como, então, por (01), a elongação seja uma forma quadrática ternária, vê-se que quando nˆ varia (em direção), o ponto Pn descreve uma quádrica centrada em P uma vez que  é uma constante no ponto. Essa quádrica, sempre real (por tratar-se de um problema real), poderá ser um elipsóide (Figura IV.3.2) se para nenhuma direção corresponder n<0, ou um hiperbolóide de uma ou duas folhas se para alguma direção ocorrer n<0. Neste último caso, as duas folhas admitem um “cone assíntota” que separa no espaço as direções correspondentes a tração e compressão do material. * Os extensômetros elétricos têm a forma de uma placa retangular fina cujo maior lado tem de 10 a 20 mm. Para efeito de posicionamento geométrico, o centro e o eixo maior desse retângulo são o centro e o eixo do extensômetro (Fig. IV.3.3). Após a colagem de um extensômetro, o seu eixo torna-se um arco de elipse; a tangente a esse arco pelo centro é a direção segundo a qual o extensômetro fornecerá a medição de elongação. Os eixos de três extensômetros podem ser concorrentes num ponto da parede do cilindro; nesse caso temos instalado ali uma “roseta” de extensômetros; o ponto de concurso dos seus eixos é o centro da roseta e os centros dos extensômetros estão alinhados sobre uma mesma geratriz (Fig. I.3.4).

Numa roseta de três extensômetros, de centro C, os centros dos extensômetros podem ficar dispostos simetricamente em relação à seção transversal da célula, conduzida por C. Nas rosetas, os extensômetros costumam fazer entre si ângulos múltiplos de 45. Há fabricantes que, superpondo partes dos quatro extensômetros, fazem com que os mesmos tenham um mesmo centro. Menos mal seria – posto que o furo não possa ter diâmetro nulo - que cada extensômetro estivesse associado a uma geratriz e seus centros pertencessem todos a uma mesma seção transversal da célula, caracterizando uma “montagem anelar” de extensômetros. Com efeito, pois, assim, estaríamos registrando elongações em direções diversas por pontos tão próximos do centro da seção transversal quanto menor fosse o diâmetro do furo. Essa montagem não implica um encurtamento excessivo do cilindro; este deve ter um comprimento suficiente para que, na sobrefuração subseqüente (uma das atividades exigidas pelo método), os seus extremos não causem perturbação nas medições segundo o anel. Em qualquer caso pretende-se que tudo se passe como se o “ponto” onde se queira determinar o diádico de deformações seja um ponto do eixo da célula, que está muito “próximo” de todos os extensômetros (a uma distância igual ao raio do furo). A direção “por esse ponto” - ou, o que é a mesma coisa, por “um ponto C próximo”, pertencente à superfície lateral do cilindro e em relação à qual será medida a elongação - é definida por

um vetor unitário nˆ , imaginado aplicado em C, que está contido no plano tangente ao cilindro. As coordenadas cilíndricas de C são: r, , z e os vetores unitários do sistema cilíndrico aplicados em C são: rˆ , ˆ e kˆ , o plano tangente contendo ˆ , kˆ e nˆ . Logo, nˆ pode ser expresso em função de ˆ e kˆ pelas linhas trigonométricas do ângulo que nˆ faça com, digamos, ˆ ; tal ângulo é, precisamente, o mergulho de nˆ : . Por outro lado, como podemos expressar ˆ em função de ˆi e ˆj pelas linhas trigonométrica de , podemos, também, definir essa direção em relação ao referencial local, O‟xyz. Resolveremos esse problema no item III.3.2. * Para simplificar cálculos, os extensômetros das rosetas costumam ser colados com centros sobre uma mesma geratriz, abaixo e acima de uma dada seção transversal; o que, evidentemente, acarreta a introdução de mais uma pequena “hipótese simplificadora”. Isto pode ser evitado pela montagem anelar. A simplificação consiste em se poderem considerar os unitários das direções, em cada roseta, pertencentes todos a um mesmo plano tangente ao cilindro (pela geratriz que define a roseta), caso em que todos terão o mesmo azimute (em relação ao referencial local). Uma disposição de extensômetros, sugerida pelo LNEC e muito próxima da montagem anelar, considera três seções transversais próximas, uma com cinco, uma com dois e outra com três extensômetros. As direções desses extensômetros são definidas por vetores unitários cada um paralelo a um dos dez eixos (de simetria) de terceira ordem de um icosaedro, ou de um dodecaedro, circunscrito a uma superfície esférica de raio unitário; tais vetores formam entre si ângulos iguais a aproximadamente 4148‟. Essa disposição parece ser interessante porque não admite extensômetros paralelos (o que seria um desperdício) e permite uma coleta bem distribuída de dados na seção transversal. Mas esse requinte pode ser conseguido por critérios mais simples. * Construída a célula em laboratório, passa-se ao serviço de campo (de coleta de dados) que consiste, basicamente, em colá-la num ponto da parede de um furo circular (eventualmente muito profundo) de diâmetro adequado, praticado no material, ponto esse onde está “instalado” um tensor de deformações que se pretende determinar. O posicionamento da célula em torno do eixo do furo e a própria colagem – em presença da fiação ligada aos extensômetros - são operações delicadas que requerem alguma precisão e cuidados. Nas barragens, essas operações são relativamente baratas uma vez que todas elas podem ser feitas nas galerias existentes, com boas condições de trabalho. Os fios elétricos ligados aos extensômetros (emergentes ao interior da galeria pelo próprio furo) são conectados a um aparelho registrador portátil (caixa de leitura) que, provido de “memória”, armazena os dados sem necessidade de anotações, diminuindo as possibilidades de erro grosseiro. A posição da célula em relação ao sistema global pode ser qualquer. Há, porém, uma posição especial, que pode simplificar alguns cálculos, não sendo difícil executá-la em campo: consiste em, rodando a célula em torno do seu eixo O‟z, fazer com que o seu eixo O‟x se torne paralelo ao plano horizontal XOY do sistema global; as expressões dos unitários locais em relação aos globais serão apresentadas no item III.3.1. Um dispositivo eletrônico foi desenvolvido com a finalidade de determinar-se o azimute do eixo O‟x em

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relação ao norte magnético; depois, com operações topográficas simples poder-se-á determinar o norte magnético em relação a qualquer outro referencial. Executa-se um furo de sondagem de diâmetro HX (cerca de 100 mm) até aproximadamente 25 cm do centro P da partícula (onde se pretende medir o diádico de deformações). Daí em diante executa-se um segundo furo, coaxial com o anterior, de 50 cm de profundidade e diâmetro EX (cerca de 38 mm). À meia altura desse furo (no ponto P) será colada a célula à rocha numa posição conhecida. Passa-se, então, à operação de sobrefuração, isto é, dá-se continuidade à furação do furo de diâmetro HX (cujo fundo deve atingir alguns poucos centímetros abaixo do fundo da célula colada). O segundo furo executado (pela sobrefuração) certamente causa na partícula uma ligeira perturbação das tensões naturais instaladas, estas representadas pelo diádico  0 (relativamente próximo do natural, ver item I.2); o primeiro furo, nem tanto, porque o fundo deste está a 25 cm de distancia de P (ponto interessado). Esse diádico  0 não é, então, o que atua na partícula no momento da colagem. De fato, por ter havido uma concentração de tensões nas vizinhanças do furo este novo diádico, , poderá diferir substancialmente do natural. A continuação do primeiro furo causará uma nova perturbação na partícula remanescente. A liberação (isolamento) do cilindro vazado provocado pela segunda furação (a reperfuração, continuação do primeiro furo), resulta num alívio das tensões na face externa desse pequeno cilindro de rocha. Assim, as tensões correspondentes ao diádico  provocarão deformações (elongações e distorções) na parede interna do dito cilindro; as elongações serão registradas pelos extensômetros ali colados. Se, com essas elongações medidas, for possível determinar o diádico de deformações,  (ao qual corresponde ), e se por métodos independentes puderem ser determinadas as constantes elásticas do material 1, a lei de Hooke preencherá as condições restantes para a determinação de . IV.3.2 – Células em estruturas de concreto. O método da célula foi concebido para uso em maciços rochosos; é útil em estudos de fundação de barragens e projetos de mineração. O método tem sido utilizado em estruturas prontas de concreto, por adaptar-se bem, talvez até de forma mais eficiente que nas estruturas em rocha. A célula tem a mesma utilidade que a clássica e consagrada roseta com extensômetros Carlson, utilizada em barragens de concreto, com a grande diferença de poder ser instalada em qualquer ponto e em qualquer instante, sem interferir significativamente no andamento dos trabalhos de construção. Uma comparação dos custos finais estimados entre as instalações das rosetas Carlson e células triaxiais pode levar-nos a estudar a possibilidade da “substituição técnica” das mesmas. Essa substituição depende de vários fatores que aqui não listaremos; destacam-se, por evidência, durabilidade e eficiência. IV.4 – O MÉTODO DOS MACACOS PLANOS. O método dos macacos planos – também conhecido por método SFJ - foi idealizado para a aferição do diádico de tensões de um ponto de um maciço rochoso, geralmente a 1

As constantes elásticas são determinadas por um ensaio biaxial executado com o cilindro vazado proveniente da sobrefuração.

alguma profundidade, com o uso de equipamentos do tipo serra (para corte de rocha), motores, macacos hidráulicos e operadores; requer, por isso mesmo, acesso ao ponto por meio de galerias. A seguir faremos uma descrição sucinta do método; uma descrição detalhada pode ser apreciada no artigo do autor, apresentado no Anexo I. Imaginemos uma galeria cilíndrica, de seção circular, de cerca de 3 m de diâmetro, por exemplo; é um furo, como o furo de instalação da célula triaxial do item anterior. Vamos considerar o caso de uma galeria de eixo obliquo em relação ao sistema global. A origem, O, de um sistema escolhido para referência (Fig. IV.4.1) pode ser o centro da seção transversal (circular); o eixo da galeria pode ser o eixo OZ, de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da mesma; os eixos OX e OY, de unitários ˆi e ˆj , respectivamente, são instalados na seção transversal de modo que o triedro OXYZ seja direto e OX seja horizontal (logo, ˆj aponta para o piso da galeria1). Ao longo da geratriz do cilindro relativa a um ponto qualquer, A, do perímetro da seção (Fig. IV.4.1), vamos “construir” uma roseta de aparelhos. Desta vez, as medidas lineares dessa roseta serão bem superiores às das rosetas da célula STT (mas elas são geometricamente semelhantes). Essas rosetas serão destinadas a medir o “campo local de tensões”, isto é, o diádico de tensão, , que está associado a uma “partícula local”, das vizinhanças de A, com cerca de 3 m3 de volume (ver item IV.1), diádico esse que será referido ao sistema de referência acima especificado. A roseta é construída sobre um plano tangente à parede cilíndrica da galeria, sendo constituída de quatro “painéis”, i.e., retângulos pertencentes ao plano tangente ao cilindro pela geratriz considerada, de cerca de 30 cm por 90 cm, cujo eixo maior faz um ângulo determinado com a geratriz. Na Fig. IV.4.1 mostramos um painel apenas com o eixo maior paralelo ao eixo do furo. Vamos medir a distância (cerca de 20 cm) entre dois pontos 1 e 2 escolhidos sobre esse painel, digamos situados sobre a geratriz relativa ao ponto A. Esta geratriz tem azimute  determinado em relação a ˆi . Abre-se entre esses pontos, com uma serra apropriada, um rasgo de plano paralelo ao plano da seção, logo de vetor unitário normal kˆ . Verifica-se que, rapidamente, a distância entre os pontos varia; diminui quando a rocha está comprimida, aumentando quando esta tracionada. O processo em descrição é aplicável somente aos maciços comprimidos. No rasgo vamos introduzir uma “almofada” – uma bolsa metálica fechada, em forma de semicírculo, de espessura ligeiramente menor que a do rasgo – e para dentro dela, através de um macaco, vamos injetar óleo. Pressionando o óleo para o interior da almofada, conseguimos aplicar, gradualmente, uma tensão normal às paredes do rasgo (uma compressão, por convenção, positiva), cujo valor último seja o necessário para que a distância entre os pontos reassuma o valor inicial (o que ocorrerá por ser a rocha elástica, por hipótese). Esse valor último da tensão aplicada – resultado da divisão do esforço 1

No caso de galeria inclinada, piso são os pontos da geratriz de azimute 90.

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(registrado) aplicado pelo macaco pela área da superfície lateral da almofada - será o da tensão normal ao plano do rasgo, que denotaremos por kk. Escrevemos:  kk   : kˆ kˆ , o diádico  sendo a nossa incógnita ( kˆ e kk são conhecidos: o primeiro por ter sido escolhido e o segundo por ter sido medido). Consideremos agora dois novos pontos sobre um segundo painel preparado sobre o mesmo plano tangente (logo, relativo à mesma geratriz anterior), de direção definida por um unitário nˆ que faz um ângulo  com o unitário kˆ . Em relação aos unitários do sistema cilíndrico ligado ao ponto A (ver iten IV.2 e IV.3.1), o unitário dessa direção é nˆ  sen ˆ  coskˆ . Abrimos novo rasgo de plano perpendicular a nˆ (logo, perpendicular ao plano tangente). Ocorre variação de distância entre os pontos. A pressurização da almofada introduzida no rasgo de normal nˆ permitirá, como anteriormente, determinar o valor  da tensão normal relativa; e escrevemos uma nova expressão na qual é desconhecida apenas a nossa incógnita:    : nˆ nˆ . Percebe-se facilmente que, havendo espaço (distância) suficiente na direção OZ, dentro da “partícula”, poderemos fazer tantas determinações de tensão normal quantas forem possíveis. Tudo se passa, pois, como se tivéssemos realmente construído uma grande roseta de “tensômetros” (como nas células STT são construídas as rosetas de extensômetros, item IV.3.1, mudando-se apenas as escalas). As mesmas operações realizadas sobre os painéis da geratriz do ponto A podem ser executadas sobre painéis que podem ser preparados para outras geratrizes. Agora, as operações podem tornar-se ainda mais complicadas. Essas determinações com novas rosetas são imprescindíveis uma vez que apenas desse modo conseguiremos obter medições em três dimensões1. Três a quatro medições de tensões normais ao longo de cada geratriz podem compor uma boa “lista” de medidas. Na parte III veremos como processar essas medidas; desse estudo deduziremos, ainda, as condições a que devem satisfazer as posições relativas dos aparelhos para que o problema tenha solução sempre. Os painéis e os rasgos em cada painel devem ser escolhidos de forma a não se repetirem rasgos paralelos (ou direções paralelas, nˆ ) porque, para estes, as tensões normais seriam as mesmas (pelo menos teoricamente). Quando o fundo da galeria (o furo) faz parte da partícula considerada (é uma parede rochosa), um ou dois dos painéis podem ser considerados nessa parede se for conveniente do ponto de vista operacional. IV.5 – MÉTODOS DUAIS E PROCESSAMENTO UNIFICADO. Os métodos apresentados (do STT e do SFJ) apresentam dualidade nos seus aspectos essenciais. Em ambos o caso se pode falar de um furo circular (de diâmetro 38 mm ou 3000 mm) que, na maioria das vezes, é vertical no caso das células, mas oblíquos no caso dos macacos. Os aparelhos podem ser vistos, também, como duais: extensômetros de um lado, almofadas do outro, ambos constituindo “rosetas” dispostas segundo uma geratriz (de um cilindro), todas “dentro de uma partícula, ou ERV”. 1

Mesmo com um número muito grande de medidas realizadas num só painel é impossível a determinação do diádico de tensões.

Segundo cada um dos métodos, a cada aparelho está associada uma direção bem determinada, nˆ i , e à qual esta ligada a propriedade medida (que é uma função de ponto): elongação i na direção nˆ i , e tensão normal i sobre um plano ortogonal à direção nˆ i . Esses aspectos duais entre os métodos permitirão entender melhor por que e como o processamento dos dados que será feito à frente pode ser aplicado aos dois casos. Matematicamente falando, estaremos tratando, de um modo unificado, uma lista de medidas de “projeções radiais” (elongações ou tensões normais) de um mesmo diádico (o de tensões ou o de deformações), relativa a N direções conhecidas. IV.6 – OS MODELOS MATEMÁTICOS. Em ambos os casos de medição dos tensores (de tensão e deformação) a compatibilidade das medidas com a lei de Hooke deve ser verificada. Pelo método da célula STT mede-se o tensor de deformações e se os valores das constantes elásticas do material relativas à sua anisotropia não estiverem disponíveis não se poderá calcular o tensor das tensões corresponde ao tensor das deformações então determinado. Pelo método dos macacos temse determinado apenas o diádico de tensões; e, tal como anteriormente, não existirá meio de se calcular o tensor das deformações se os valores das constantes elásticas do material relativas à sua anisotropia não estiverem disponíveis. É um ato de grande coragem postular a isotropia de um maciço e determinar suas constantes elásticas utilizando os testemunhos dos furos executados, extrapolando os resultados do método das células para todo um maciço rochoso. É ato da mais absoluta bravura extrapolar os do segundo. Com efeito, se executarmos uma determinação local de tensões e deformações pelo método das células (admitindo-se linearidade e isotropia), encontraremos o mesmo diádico de tensões já encontrado pelo método dos macacos?. Podemos confirmar experimentalmente que existe discordância. Uma discordância expressiva entre as medições atrás mencionadas invalidaria a conjectura do modelo isotrópico. Qual seria, então, o “grau de anisotropia” do maciço? Qual a real importância do conhecimento da anisotropia de um maciço? Uma simples medição de tensões pelo método dos macacos, mesmo que muito bem feita, seria o bastante paras as necessidades do projeto a realizar? Podemos mostrar, frente ao modelo linear e anisotrópico, que um conjunto de seis medições do tensor de tensões pelos macacos planos, cada uma em um ponto (de um mesmo ERV do maciço, ou de diferentes ERVs), seriam suficientes para a predição da “anisotropia” do mesmo, isto é, para que fossem determinadas todas as suas constantes elásticas. Esses valores seriam, ainda, aproximados, mas teriam um respaldo científico. Estas constantes, evidentemente, serão verdadeiras, reais, se as demais hipóteses dentro do modelo (proporcionalidade entre tensão e deformação, por exemplo) puderem ser aceitas. Dentro das condições expostas, é evidente que esse segundo modelo seria bem menos vulnerável que o da isotropia por poder retratar a realidade com muito maior aproximação. A solução desse problema – o cálculo em si das constantes a partir dos tensores medidos - não será discutida nem realizada aqui, por dois motivos. Primeiro, porque esse problema ainda não está satisfatoriamente resolvido do ponto de vista matemáticoestatístico. Segundo, porque sua resolução extrapola os objetivos estabelecidos para o presente curso. Entretanto, muito trabalho ainda está sendo realizado na procura de solução cientificamente satisfatória para esse problema.

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CAPÍTULO V O MÉTODO DO PRESSIÔMETRO V.1 - GENERALIDADES Durante a fase de execução do Projeto Hooke – um projeto Aneel iniciado em 2003 e concluído em 2006 – vislumbramos a possibilidade da medição simultânea dos tensores de tensão e deformação em um “ponto” de um maciço pela utilização de um pressiômetro. A implementação do método e a construção do pressiômetro constituiram um novo projeto que intitulamos “Projeto Pressiômetro” ao qual ainda não se pode dar atenção adequada. A descrição feita a seguir é uma reprodução da documentação enviada ao setor competente de Furnas para providenciar um pedido de registro de patente. V.2 - PRESSIÔMETRO V.2.1 – Nomenclatura Os pressiômetros descritos neste documento são de dois tipos: um denominado P100, ou pressiômetro de quadrante, e outro P200 ou pressiômetro de octante. V.2.2 – Setor técnico de utilização. Maciço. Os aparelhos a serem descritos são utilizados no setor de Engenharia, área de Mecânica dos Sólidos em geral. São aplicados em regiões (dos sólidos) em estado de compressão. Particularmente, destaca-se a sua utilização em Estruturas de Concreto (barragens, em particular) e em Mecânica de Rochas (fundações e ombreiras de barragens; escavações em rocha, subterrâneas ou a céu aberto, para obras civis ou minerações). Usaremos aqui a expressão genérica: “maciço” quando quisermos nos referir a essas estruturas. V.2.3 – Finalidade dos pressiômetros. O pressiômetro de octante (P200) destina-se a medir, com um só experimento e em quatro estágios sucessivos, as tensões normais de compressão e as correspondentes elongações relativas a dois pares arbitrários de direções ortogonais. A cada direção correspondende um estágio e estas direções estão contidas numa porção plana de parede de uma galeria existente num maciço. A elongação aqui referida é também dita: deformação unitária, sendo, por definição, a variação de distância por unidade de distância entre dois pontos muito próximos (prédeterminados no plano a que se refere o parágrafo anterior). O pressiômetro de quadrante (ou P100) destina-se a efetuar as mesmas medidas que o anterior (tensões normais e elongações) num mesmo local, mas em dois experimentos

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independentes, cada experimento se correspondendo com um par arbitrário de direções ortogonais. V.2.4 – Os aparelhos idealizados. Os aparelhos – enquadrados na categoria geral dos pressiômetros - têm forma de um cilindro com altura H até 300 mm e diâmetro D até 200 mm. Nos desenhos de título P100 Pressiômetro de Quadrante, de números 1 a 10 apresenta-se um pressiômetro com H=300 mm e diâmetro D=100 mm. Nos desenhos de título: P200 – Pressiômetro de octante, apresenta-se um pressiômetro com H=300 mm e diâmetro D=100 mm. O P100 é composto por: uma peça monolítica, seu “tronco”, cuja frente e fundo imitam flanges, e quatro “escotilhas”. O desenho 1 mostra o P100 em perspectiva e vista expandida. O tronco do P100, vista no desenho 2, será construído a partir de um tarugo cilíndrico maciço de aço com 100 mm de diâmetro. Para efeito de descrição, o tarugo será disposto com eixo em posição vertical. Por simples corte no tarugo, serão executados dois pares de câmaras opostas, apresentados no desenho 3, as câmaras de cada par sendo comunicantes, como indicado no desenho 4. As faces: superior e inferior do tarugo fazem o papel de flanges (com 8,8 mm de espessura, conforme desenho 2). Em volta dos flanges, e nas porções planas da peça tronco, serão executados furos com rosca (desenho 5) para receber parafusos Allen que fixarão as (quatro) escotilhas nessa peça. As escotilhas - que procuram fechar hermeticamente as câmaras – têm por estrutura um quadro perimetral em aço - com cerca de 5,1 mm de espessura e 8,8mm de largura, aparafusado à peça tronco, desenhos 6, 9 e 10) - e por face uma membrana de borracha flexível adequadamente fundida contra o quadro (desenho 8). Para efeito dessa fundição serão utilizadas duas “formas” (ou moldes), de alumínio, cujas formas e dimensões são apresentadas nos desenhos 9 e 10. O P200, visto em perspectiva e vista expandida no desenho 1 é um aparelho idêntico ao P100 e tem as mesmas finalidades que o P100. Por ter diâmetro (externo) de 198,7 mm, e para se tornar mais leve, é construído na forma de um cilindro vazado com diâmetro interno de 100 mm (desenhos 2, 4 e 5). A tampa, ou parte superior, e fundo, ou parte inferior, fazem o papel de flanges e compõem a “peça tronco” do pressiômetro. No corpo da peça tronco (que tem diâmetro de 100 mm) serão executados quatro pares de câmaras opostas e comunicantes (desenho 3). As câmaras serão fechadas pela frente através de “escotilhas” (desenho 6). As escotilhas têm por estrutura um quadro lateral em aço – com 7,0 mm de espessura e 11,2 mm de largura - e miolo em borracha flexível fundida contra o quadro e a ele ligado por uma tela fina de aço; são muito parecidas com as do P100 (desenho 6). Dois dos lados do quadro são retilíneos e paralelos, os outros dois sendo arcos de circunferência paralelos. Na estrutura das escotilhas (quadro) existem furos por onde passarão parafusos Allen que as fixarão no corpo do pressiômetro (desenhos 2, 3 e 4). Para execução da fundição da borracha na estrutura das escotilhas serão utilizados moldes em alumínio (desenhos 7, 8 e 9). V.2.5 – Operação. A admissão de óleo para o interior das câmaras comunicantes é feita por um furo existente no flange tampão; por um segundo furo, neste mesmo flange, será expulso o ar interior às câmaras. Ao final dessa operação um dos furos será fechado; o outro se prestará

a receber uma mangueira de borracha que sairá de um “distribuidor” de óleo que compõe o sistema de compressão do pressiômetro, a ser descrito mais à frente. Os aparelhos serão dispostos dentro de furos de 100 mm e 200 mm de diâmetro, furos esses praticados numa parede de um maciço (comprimido) e à profundidade adequada (em torno de 300 a 320 mm da superfície do maciço). Por compressão do óleo nas câmaras do pressiômetro, pressionar-se-á também a rocha através das membranas de borracha de cada câmara, gradativamente, com incrementos de tensão da ordem de 2 Mpa a cada 5 minutos (durante os quais serão realizadas outras operações a serem descritas no item “Coleta de dados e cálculo dos tensores”). Interessa, particularmente, pressionar a parede do furo segundo dois pares de direções ortogonais previamente escolhidas, a cada par de câmaras opostas correspondendo uma direção. Por meio de uma válvula disposta na saída do já referido distribuidor de óleo do sistema de compressão poder-se-á eliminar a compressão da rocha, num certo estágio (definido por algum critério), na direção correspondente a um par qualquer de câmaras opostas. Dá-se, então, continuidade à compressão simultânea nas três direções restantes (a cada uma correspondendo um par de câmaras) até que se atinja (por algum critério) um segundo estágio, quando então será acionada uma segunda válvula. E assim se prossegue até o quarto estágio. V.2.6 – O sistema de compressão (apenas para compor o funcionamento do pressiômetro) O sistema de compressão do óleo nas câmaras é composto por uma bomba hidráulica manual, um reservatório de óleo, mangueiras para resistir pressão de até 80 Mpa e uma caixa distribuidora de óleo. Esta caixa é feita em aço e deve ter resistir com segurança adequada a referida pressão. Apresenta quatro tubos de saída, na extremidade de cada um sendo adaptada uma válvula. Cada válvula estará comunicante com um par de câmaras opostas do pressiômetro através de uma mangueira flexível de alta resistência e poderá, a qualquer instante e simultaneamente, impedir a injeção de óleo ao par de câmaras e manter a pressão nela existente. V.2.7 – Vantagens dos aparelhos propostos O método tradicional de obtenção de dados (tensões normais) para o cálculo do tensor (plano) de tensões num “ponto” da parede de uma galeria num maciço rochoso (o método das almofadas de pequena área, ou método SFJ) exige, dentre outras atividades, a preparação de quatro painéis retangulares de cerca de 0,30m por 0,90 m cada um, ou seja, de 1,08 m2 de área (4 x 0,27 m2). Esta preparação (corte da rocha e controle de inclinação de planos) tem um significado expressivo no custo final de obtenção dos dados, seja pelo desgaste e tempo de uso de equipamentos (motores, serra diamantada etc.), seja pelo tempo de execução. Em vista da relativamente grande quantidade de atividades envolvidas, acarreta muita incerteza nos valores coletados. Com a utilização de um pressiômetro do porte do P200, aqui apresentado, a área a ser preparada é a correspondente a apenas um quadrado de 0,60 m de lado, ou sejam: 0,36 m2, precisamente um terço da anterior. O equipamento mais oneroso utilizado nessa operação é um extrator de pequeno porte para execução de furo raso de 200 mm de diâmetro. As operações exigidas, além de serem menores em quantidade do que no caso

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tradicional, são bem mais simples, acarretando, assim, incertezas menores para as medidas coletadas. Nos métodos tradicionais os dados (tensões normais) são coletados para calcular-se apenas o tensor (plano) das tensões numa área de parede de cerca de 0,90 m de largura por cerca de 3,00 m de comprimento (que devemos assimilar a um “ponto”). Com o uso do pressiômetro esse “ponto” estará dentro de uma área bem menor que a anterior (área de 0,60m por 0,60m). Além disso, com o método aqui apresentado, ao mesmo tempo em que se determina o tensor de tensões (objeto único do método das almofadas), determina-se também o tensor de deformações no mesmo “ponto” (questão não contemplada no método das almofadas). Com a utilização de um pressiômetro do porte do P100, aparelho este que opera dentro de um furo de 100mm de diâmetro, existe por um lado uma vantagem maior, em relação ao P200, que está precisamente em executar-se um furo com diâmetro muito menor, sendo, por isso mesmo, mais fácil e barato. Com este aparelho, entretanto, não conseguimos fazer mais que duas medidas de tensões normais, enquanto que no primeiro caso, fazemos quatro num só ensaio. As outras duas medições apenas serão conseguidas mediante a execução de um segundo ensaio no mesmo furo, tendo-se o cuidado de girar o pressiômetro P100 em torno do seu eixo, de um ângulo conhecido em relação à posição anterior. Uma vantagem do ensaio com o P200, em relação ao ensaio com o P100, está em, terminado o quarto estágio, termos reconstituído integralmente o estado original da rocha antes da execução do furo. Existe outra vantagem no uso consecutivo dos dois pressiômetros; esta será apresentada no documento “Coleta de dados e cálculo dos tensores”. As vantagens dos aparelhos propostos e do método proposto são, evidentemente, de grande expressão. V.3. - COLETA DE DADOS E CÁLCULO DOS TENSORES V.3.1 – Sistema de referência ligado ao pressiômetro O pressiômetro P100 (ver item V.2.4) tem câmaras em quadrantes; o P200 em octantes. Em qualquer um dos dois pressiômetros podemos eleger três direções ortogonais para “direções de referência” e com elas constituir um sistema de “eixos de referência”. O eixo do cilindro que dá forma ao pressiômetro (qualquer um deles) será adotado como eixo 3; a sua origem pode ser qualquer ponto desse mesmo eixo (escolhido oportunamente, quando necessário, conforme as conveniências) e o seu “sentido positivo” será adotado do fundo para a tampa. Os outros dois eixos, 1 e 2, serão, assim, paralelos ao plano de uma seção transversal qualquer do pressiômetro; e estarão marcados na face externa da tampa. O plano que contem os eixos 1 e 3 divide câmaras opostas ao meio; o mesmo com relação ao plano que contem os eixos 2 e 3. O sentido positivo dos eixos estará assinalado com o sinal +1 e +2 sobre a tampa.

Para facilitar a exposição e melhor justificar os cálculos apresentados a seguir, associaremos ao eixos +1, +2 e +3 os vetores unitários ˆi , ˆj e kˆ , respectivamente. No plano 1-2 os ângulos serão medidos sempre a partir do eixo 1 e serão ditos positivos quando medidos no sentido trigonométrico (ou anti-horário) para quem observa o plano do semiespaço para o qual aponta o unitário kˆ . V.3.2 - Generalidades Os pressiômetros P100 e P200 operam dentro de furos cilíndricos de 100 e 200 mm, respectivamente. Esses furos são executados com eixo ortogonal ao plano de um painel de 0,60m por 0,60m, preparado na parede da galeria. No centro desse painel serão determinados os tensores de tensão e deformação. Como operam por expansão da borracha flexível, aplicarão pressões paralelas ao plano 1-2 apenas. Sendo esses pressiômetros, por construção, divididos em pares de câmaras opostas que podem trabalhar independentemente uma da outra (ver item V.2.4), as pressões por eles aplicadas à rocha poderão ter valores diferentes para pares distintos de câmaras opostas. Numa seção do pressiômetro, paralela ao plano 1-2, cada par de câmaras opostas tem uma direção bem determinada em relação ao sistema de referência 1-2-3; mais especificamente, um ângulo polar múltiplo de 45 medido no plano 1-2. Logo, a tensão normal aplicada à rocha e a direção correspondente estarão determinadas. V.3.3 – O cálculo. Seja P um ponto qualquer de um sólido elástico em estado de tensão. A tensão normal med n sobre um elemento plano que contenha P é função do vetor unitário nˆ que especifica a direção da normal a esse plano. Se  é o tensor de tensões em P, então

 med n  nˆ ..nˆ ,

(01).

Analogamente, se  é tensor de deformações em P, então a elongação med n (variação de distância por unidade de distância) na direção nˆ é dada por expressão idêntica a (01):

 med n  nˆ ..nˆ ,

(02).

As expressões (01) e (02) independem de sistemas de referência, mas podemos dar a elas uma representação matricial quando adotamos um particular sistema. Em relação ao sistema ligado ao pressiômetro, o tensor  - representado por uma matriz simétrica 3x3 – terá elementos nulos na terceira linha (logo, também na terceira coluna) posto não existir tensão nenhuma atuante na parede da galeria. Resta, então, para a sua perfeita caracterização, a determinação dos três outros elementos. As mesmas considerações são válidas com relação ao tensor de deformações uma vez que também não existe qualquer tipo de deformação em relação aos pontos da parede da galeria. Assim,

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 1 []123  12  0 

12 2 0

0 0 0

 1 []123  12  0 

12 2 0

0 0 , 0

(03),

sendo (conforme se sabe), 1 e 2 tensões normais, 12 tensão tangencial, 1 e 2 elongações, e 12 uma distorção. Visto que as tensões normais aplicadas pelo pressiômetro contra a rocha são relativas aos unitários nˆ contidos no plano 1-2, podemos escrever, para o pressiômetro P200:

nˆ 1  ˆi , nˆ  ˆj , 2

2 ˆ ˆ (i  j) , 2 2 nˆ 4  (i  ˆj) , 2

nˆ 3 

ou sejam,

1 {nˆ 1 }  0 , 0

0  {nˆ 2 }  1 , 0

 2 2   {nˆ 3 }   2 2  0   

  2 2   {nˆ 4 }   2 2  ,  0   

(04).

Então de (01), (02), (03) e (04) resulta:

 1  1  3  1 1 1    2    1 3 1 1 .{ med } ,   4  0 2 2  2  12 

(05),

em que {med} é a matriz coluna de elemento genérico med i das tensões normais medidas nas direções nˆ i (i=1,2,3,4). Podemos deduzir expressão absolutamente análoga para o cálculo dos elementos do tensor de deformações. Tem-se:

 1  1  3  1 1 1    2    1 3 1 1 .{ med } ,   4  0 2 2  2  12  {med} sendo a matriz coluna de elemento genérico med direções nˆ i (i=1,2,3,4).

(06),

das elongações medidas nas

Com o pressiômetro P100 poder-se-á fazer cálculo análogo, devendo observar-se, apenas, que a obtenção dos dados para o cálculo final – a saber, as colunas {med} e {med} – deverá ser realizada em duas etapas. Na segunda etapa dever-se-á girar o pressiômetro em torno do seu eixo de um ângulo igual a 45 para que se obtenham med3, med4, med3 e med4. V.2.4 – O método de medição das tensões normais e elongações. Pinos de referência Imaginemos que antes da perfuração do furo dentro do qual instalaremos o pressiômetro, tenhamos chumbado na rocha, ao longo de cada uma das quatro direções nˆ i , três pinos de referência de cada lado do ponto P, assim denominados: A i, Bi e Ci no sentido de nˆ i e A‟i, B‟i e C‟i no sentido contrário. Suponhamos que com a utilização de um mesmo alongâmetro (para conseguirmos a mesma precisão) possamos fazer as medidas das distâncias AiA‟i, BiB‟i e CiC‟i - todas superiores a 100 mm caso utilizemos o P100, ou superiores a 200mm caso utilizemos apenas o P200 - para que esses pinos fiquem convenientemente distantes da parede do furo (a ser executado posteriormente). Teremos cravado, assim, 24 pinos em dois pares de direções ortogonais e deveremos fazer 12 leituras de distâncias (três para cada direção). Outra possibilidade de disposição dos pinos, a ser testada, consiste em dispor pinos adicionais situados entre a parede de um furo de 25,4 mm, a ser previamente perfurado ao de 200 mm, e a parede desse último. Essa operação permite uma determinação mais real do tensor de deformações relativo ao centro do furo e que deverá ser comparada com a determinação feita com os pinos exterios ao furo de 200 mm. Haverá muita diferença? Como os pinos exteriores ao furo de 200 mm de diâmetro estarão pelo menos 4,7 diametros distante do centro do furo de 25,4 mm, existe grande possibilidade de não se movimentarem quando da execução do primeiro furo. Estaríamos, então, praticamente, no primeiro caso de determinação dos tensores (como se o primeiro furo não existisse). Deslocamentos diferentes em direções diferentes. Ao efetuar-se um furo percebe-se (através de medição) que a distância entre os pinos próximos varia não só ao longo da perfuração, mas principalmente, após a conclusão da perfuração, apresentado tendência para certo limite. De fato, ao cabo de certo tempo pósperfuração – tempo esse variável de um maciço para outro conforme a natureza do material e seu estado de compressão – anotam-se as diferentes distâncias atingidas entre pontos, cada uma relativa a uma das direções. Comparando as medidas, verifica-se, de fato, que distâncias eventualmente iguais, em diferentes direções, antes da perfuração, são diferentes depois de cessados os deslocamentos; o que caracteriza dependência da elongação com a direção considerada em torno do ponto P. Recomposição do estado de tensão na rocha. O fato de observarmos deslocamentos diferentes em direções diferentes já seria suficiente para levantar-se a suspeita de que o mesmo poderia acontecer com as tensões normais nas direções correspondentes; isto pode ser comprovado experimentalmente da seguinte maneira.

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Executado o furo e cessados os deslocamentos dos pinos, introduzimos o pressiômetro no mesmo e, gradualmente, aplicamos pressões na rocha, medindo, a cada incremento de pressão (da ordem de 2 Mpa), as distâncias P i1P‟i1, Pi2P‟i2 e Pi3P‟i3 para i=1,2,3,4. Em algum instante, para certo valor da pressão aplicada e para certa direção (certo i), verifica-se que as distâncias correspondentes assumirão seus valores iniciais (ou valores muito próximos destes); o que decretará o fim de um primeiro estágio da compressão. Deveremos anotar o valor dessa pressão (média), med i - dita pressão de restituição para a direção i - e manter invariável, daí em diante, a pressão de restituição sobre a rocha nessa direção; o que é conseguido fechando-se, no distribuidor do sistema de compressão, o registro de admissão de óleo para as câmaras correspondentes (ver item V.2.6). Em vista da distância entre os pinos chumbados, em diferentes direções, essa operação parece ser realmente possível conforme constatações experimentais realizadas por outros caminhos. Continuando a aplicação incremental de pressão aos três pares de câmaras (opostas) restantes, e operando como anteriormente, deveremos atingir, para uma segunda direção, o estado inicial dos pinos, decretando o final do segundo estágio de compressão; neste momento deveremos anotar a pressão de restituição correspondente e fechar, no distribuidor, o respectivo registro de admissão de óleo para as câmaras. Assim agindo em relação às demais direções, teremos atingido, ao final do quarto estágio, o estado original de solicitação da rocha, no ponto, antes da execução do furo. Verificaremos, assim, que a cada direção em torno do furo corresponde uma tensão normal bem determinada, med i (exceto por incertezas das medições), com a quais poderemos calcular o tensor de tensões pela equação (05). Recomposição do estado de deformação na rocha. É evidente que ao recompor-se o estado de tensão na rocha, conforme o item anterior, o estado de deformação fica também recomposto. A elongação num ponto P, relativa a dada direção, entretanto, deve ser avaliada pela variação de distância entre dois pontos que estejam o mais próximo possível de P. Uma estimativa razoável da elongação em P, relativa à direção nˆ i , seria a determinada pelos pontos Ai e A‟i; seja ela A. Com os pontos Bi e B‟i poderíamos obter uma nova avaliação daquela elongação, bem como com os pontos Ci e C‟i, mas não tão boas quanto a primeira. Por outro lado, se construirmos um gráfico marcando em ordenadas os valores das elongações calculadas e em abscissas os valores das distâncias dos pontos Ai, Bi e Ci ao ponto P, a interseção de uma curva (no máximo do 2 grau) interpolada entre esses três pontos com os eixos coordenados daria um valor med i em ordenadas possivelmente mais real para a elongação relativa ao ponto P e uma distância neutra (a partir da qual deslocamentos de pinos seriam nulos) em abscissas. A determinação dessas quatro elongações (uma para cada direção) permitirá a aplicação da equação (06) para o cálculo do tensor de deformações. Notas 1 - É evidente, face ao método proposto, que pinos adicionais poderiam gerar resultados mais expressivos para o cálculo dos tensores. No caso particular do tensor de deformação, isso permitiria o ajuste de uma curva de

grau superior ao segundo (por dispormos de mais pontos), o que, possivelmente, tornaria mais real o valor de med. 2 – A interseção da curva referida no item anterior com o eixo das abscissas indica o ponto a partir do qual não se perceberia variação sensível de distância (o que corresponde a =0). Essa previsão poderia ser verificada em campo. A situação inversa, isto é, o conhecimento prévio do ponto a partir do qual os deslocamentos são inferiores à sensibilidade do alongâmetro, seria desejável; isto acrescentaria mais uma condição à determinação da curva ajustada e melhoraria a determinação do valor da elongação (que supomos verdadeiro). V.2.5 – O uso simultâneo dos dois pressiômetros. Vantagens. O uso simultâneo dos dois pressiômetros (em dois furos com o memo eixo, item V.2.5) tem algumas vantagens, embora os ensaios venham a ser mais demorados e, logo, mais caros. Em primeiro lugar aparece a possibilidade de se fazerem independentemente duas determinações dos tensores. Alem disso, estudos outros podem ser feitos com as medidas obtidas. Em segundo lugar aparece a possibilidade de recuperar-se um testemunho em forma de cilindro vazado (diâmetro interno de 100 mm e externo de 200 mm) na superfície media do qual (um cilindro de 150 mm de raio) poderemos ter chumbado (de início) pinos de referência. Esse cilindro assim instrumentado e recuperado poderá ser observado ao longo do tempo para estudo das deformações de segunda ordem (ainda por medição de distância entre os pinos) que, sabemos, ocorrem (e cujo valor não importa aqui ressaltar). Para efeito do estudo das deformações de segunda ordem, entretanto, poderá ser utilizado também o cilindro vazado con furo interno de 25,4 mm e extermo de 200 mm a que já nos referimos, especialmente porque este já porta três pinos de referência usados para a primeira determinação do tensor de deformações (ver item V.2.4). V.2.6 – O cálculo dos tensores. As operações de cálculo, organização de tabelas de dados e resultados, traçado a apresentação de gráficos etc., serão realizadas com o uso de um software produzido com exclusividade (ver item “Software”). Parte desses procedimentos está exposta nos capítulos VI e VII seguintes.

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CAPÍTULO VI

O CÁLCULO DA MATRIZ ASSOCIADA A UM DIÁDICO VI.1 – CONVERSÃO DE COORDENADAS. A determinação de direções em campo pode ser mais simples com o uso das coordenadas geotécnicas (I.2). Para os cálculos com vetores e diádicos, são mais atraentes as coordenadas cartesianas; torna-se necessária, pois, a conversão dessas coordenadas. Construamos um cubo do qual uma das diagonais seja o vetor unitário de azimute e mergulho dados,  e , e cujas faces sejam paralelas aos planos coordenados do sistema OXYZ. O ângulo da projeção desse unitário, sobre o plano horizontal, com o eixo OX (medido no sentido horário a partir de OX quando se observa o plano XOY do semi-espaço em que se encontra OZ), é o azimute dado; as projeções dessa projeção sobre os eixos OX e OY são os co-senos diretores, cos e cos, do unitário. A projeção do unitário sobre o eixo OZ, cos , é o terceiro co-seno diretor. Então,

cos   cos  cos  ,

cos   sen  cos  ,

cos   sen  ,

(VI.1.1).

Podemos, ainda, resolver o problema inverso, isto é, dados os co-senos diretores (cos, cos, cos), determinar as coordenadas geotécnicas, (,). Por (VI.1.1) a solução é evidente: dividindo a segunda das igualdades pela primeira, tem-se:

tg 

cos  , cos 

donde,

   0  k 180  ,

(VI.1.2),

em que 0 é a menor determinação (algébrica) de  e k é inteiro ou nulo. Assim, pode-se calcular tg com os módulos de cos e cos e determinar 0 (positivo). Se for cos>0 e cos>0,    0 (k=0); se for cos>0 e cos<0,    0  180  (k=1); se for cos<0 e cos>0, então    0  360  (k=2); se for cos<0 e cos<0,    0  180  (k=1). Exercício: São dadas, em relação ao sistema de coordenadas apresentado no texto, as coordenadas geotécnicas de três furos de sondagem: N 1(228, 005), N2(107, 027) e N3(169, 052), cujos co-senos diretores dos respectivos vetores unitários quer-se calcular na hipótese de que esses vetores estejam apontando para o fundo dos furos. Solução: Aplicando (VI.1.1) tem-se: para o furo N1: cos=cos228cos5=-0,66658; cos= sen228cos5=-0,74032; para o furo N2: cos=cos107cos27=-0,26051; cos= sen107cos27=0,85207; para o furo N3:

cos=sen5=0,08716;

cos=sen27=0,45399;

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cos=cos169cos52=-0,60435; cos= sen169cos52=0,11747;

cos=sen52=0,78801.

VI.2 – POSIÇÃO DE PROBLEMAS. A interpretação dos dados (a lista, IV.3.1 e IV.4) pode ser conseguida pela resolução paulatina e didática dos problemas seguintes. 1 problema: Estimar um diádico (de tensões ou de deformações) numa partícula de um material, a partir de uma lista de medidas de projeções radiais do diádico (elongações ou tensões normais) segundo N (6) direções (não paralelas)1. Se numa lista de N (6) direções, duas delas são paralelas, pode considerar-se a média aritmética das leituras como a leitura relativa àquela direção 2. Mas havendo numa lista medidas relativas a apenas 5 direções não paralelas, ela não conterá dados em quantidade suficiente para a resolução do problema (uma vez que o diádico tem seis coordenadas independentes). A solução deste 1 problema representa, praticamente, toda a solução do problema geral. O mérito dessa solução está em, a partir das projeções radiais de um diádico, ajustarse o "mais provável" diádico às medições dessas projeções. A matriz associada a esse diádico ajustado tem por elementos: projeções radiais, i.e., elongações ou tensões normais, nos postos da diagonal principal e projeções transversais, i.e., distorções ou tensões cisalhantes, nos demais postos. O ajuste – que é feito pelo método dos mínimos quadrados – seria o substituto de instrumentos (se existissem) e medições correspondentes de projeções transversais relativas a pares de direções ortogonais que pudessem ser consideradas no interior do furo. 2 problema. Calcular os elementos característicos do diádico estimado no 1  problema. Os elementos característicos são os autovalores e autovetores do diádico. Tais elementos sintetizam, praticamente, toda a solução do problema, pois representam os valores extremados das tensões normais ou deformações que o material esta suportando e as direções relativamente às quais tais valores ocorrem. 3 problema: (caso das células) Com os resultados do 1 problema, ou do 2, isto é, conhecido o diádico das deformações (o principal ou outro qualquer), calcular o diádico de tensões correspondente pela lei linear de Hooke admitindo-se que as constantes elásticas do material tenham sido previamente determinadas em laboratório por métodos independentes daqueles que deram origem à lista do primeiro problema.

Duas direções paralelas devem indicar a mesma elongação e a mesma tensão normal numa partícula, o que, evidentemente, é irrelevante. 2 Se alguma direção pode ser considerada "especial", a instalação de mais de um aparelho relativo a essa direção pode ser plenamente justificada.

Para resolver esse problema pode utilizar-se a lei de Hooke em forma matricial, ou na forma das equações equivalentes conhecidas. Deve notar-se que não há referência à eventual isotropia do material, mas às suas constantes elásticas. 4 problema: (caso dos macacos) Mostrar que, pelo método dos macacos planos, é possível determinar-se, também, o diádico das deformações da partícula. Em seguida, com seis pares independentes (  ;  ) de diádicos, um par para um mesmo ou diferentes ERVs de um maciço, mostrar como calcular as constantes elásticas do maciço suposto anisotrópico. O método de cálculo que apresentaremos é geral, aplicável aos maciços com qualquer grau de anisotropia. Na seção correspondente justificaremos as condições geométricas, a serem satisfeitas pelas direções dos aparelhos em seu conjunto, para que essa determinação seja sempre possível. A relevância desse problema impõe sua solução numa parte III para o presente trabalho. VI.3 – RESOLUÇÃO DO 1 PROBLEMA. VI.3.1 – Especificação da direção do eixo do furo. No método da célula, como vimos (IV.3.1), o eixo da célula, coincidente com o do furo, é especificado por um vetor unitário kˆ disposto arbitrariamente no espaço em relação ao referencial OXYZ (ver IV.2), e apontando, por convenção, no sentido do avanço da furação. A direção do eixo está, pois, definida por um azimute  e um mergulho . Pelas equações (VI.1.1) poderemos calcular os co-senos diretores de kˆ , que, vetorialmente, é escrito na forma ˆ , (VI.3.1). kˆ  cosIˆ  cosJˆ  cosK No método dos macacos planos o eixo da galeria é definido da mesma forma, sendo, na maioria das vezes, horizontal; conforme já estabelecemos (IV.4), esse eixo tem unitário kˆ , vetor esse que também é definido por (VI.3.1). VI.3.2 – Especificação das direções dos aparelhos. Para facilitar o trabalho do cálculo das direções dos vários extensômetros em relação a OXYZ – referencial esse em relação ao qual são feitas as análises dos dados e resultados de cálculos – instala-se na célula um sistema local arbitrário de referência, O'xyz, com vetores unitários ˆi , ˆj e kˆ cujas direções são escolhidas convenientemente de forma a aproveitar eventuais particularidades da direção do furo. Se, por exemplo, o furo é vertical, podemos adotar O'xyz com eixos paralelos aos de OXYZ, caso em que Iˆ = ˆi etc.. A origem O' é um ponto qualquer do eixo do furo.

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No caso geral, a primeira simplificação consiste em adotar o suporte de kˆ como eixo. Uma segunda, sempre possível, consiste em dispor um dos outros dois eixos no plano horizontal, caso em que os unitários locais terão azimutes e mergulhos (medidos da mesma forma como no sistema OXYZ) funções do azimute e do mergulho do eixo do furo1 (Figura VI.3.1). Tem-se:

ˆi  senIˆ  cosJˆ ,

ˆ kˆ  coscos Iˆ  cossen Jˆ  sen K e

ˆj  kˆ  ˆi = cossenIˆ  sensenJˆ  coskˆ . Então a matriz de mudança da base local para a base global – uma matriz de rotação – é

 ˆi.Iˆ R  ˆj.Iˆ kˆ .Iˆ 

ˆi.Jˆ ˆj.Jˆ kˆ .Jˆ

ˆi.K ˆ   sen - cos  0  ˆj.K ˆ   cos sen sensen - cos  , ˆ  cos cos  sencos  sen  kˆ .K 

(

VI.3.2)

Tendo-se a matriz coluna das coordenadas de um vetor qualquer na base local, {v}, a matriz coluna das suas coordenadas na base global, {V}, é dada por:

{V}  [R]T .{v} ; inversamente, {v}  [R].{V}

(VI.3.3).

Analogamente, tendo-se a matriz associada a um diádico na base local, [‟], a matriz associada ao mesmo diádico na base global, [], é dada por: []  [R]T .[].[R] ; inversamente, [R].[].[R]T  []

(VI.3.3‟).

Havendo, então, dois sistemas de referencia, OXYZ e O'xyz, poder-se-á, conhecidas as coordenadas dos unitários dos extensômetros em relação a O'xyz, determinar essas mesmas coordenadas em relação a OXYZ (Anexo I). O mesmo raciocínio e as mesmas fórmulas podem ser utilizados no método dos macacos planos, valendo lembrar apenas que, agora, as direções a serem consideradas são as das normais aos planos das almofadas. As direções dos extensômetros em relação a O'xyz. Uma geratriz qualquer do cilindro é determinada pelo seu azimute local, ' (Figura VI.3.2). Num ponto P da geratriz de azimute ' está colado um extensômetro (de centro P), 1

A fixação dessas direções no campo pode ser um pouco trabalhosa (quando necessária), mas é compensadora. Alem disso, não é absolutamente necessário que elas sejam triortogonais; nesse caso, porem, os cálculos tornamse apenas bem mais longos.

sendo irrelevante (nesse instante) a especificação da elevação de P. A seção normal à célula, por P, é paralela a xOy e o plano tangente ao cilindro pela geratriz ' (que é ortogonal a xOy) contem o unitário da direção do extensômetro colado em P. O ângulo do unitário com o eixo O'z, ou com kˆ , será o complemento do mergulho '. Nestas condições, denotando-se por nˆ (, ) o vetor unitário da direção do extensômetro, nˆ (, )  coscos  ˆi  sencos ˆj  sen kˆ ,

(VI.3.4).

Na prática, a lista das elongações é gerada por ensaios realizados com duas a três rosetas, cada roseta correspondendo-se com uma geratriz, conforme a distribuição adotada para a célula (ver III.3.1). Denotaremos por nˆ i , para i=1, 2, ..., N, os unitários dos aparelhos que entrarão no processamento dos dados1; a cada valor de i corresponderá um par (i‟, i‟). A representação cartesiana do vetor nˆ i , na base local {ˆi, ˆj, kˆ } , é, conforme (3.4),

nˆ i  cosi cos i ˆi  seni cos  ˆj  sen i kˆ ,

(VI.3.5).

Exemplo: Para a avaliação das tensões instaladas na Casa de Força de uma Usina Hidrelétrica, quatro anos após a sua construção, foi utilizado o método das células, tendo sido instaladas células em três furos verticais. Os eixos locais foram tomados paralelos e igualmente orientados com os eixos globais. As células são idênticas; seus extensômetros foram dispostos numa forma padrão com azimutes e mergulhos pré-fixados. Os co-senos diretores dos unitários dos extensômetros (que podem ser calculados por (VI.3.5), tal como no exercício do item VI.1), estão dispostos na Tabela I. TABELA I - Unitários dos eixos dos extensômetros. (Coordenadas geotécnicas e co-senos diretores)

nˆ i i 1 2 3 4 5 6 7

Coordenadas Geotécnicas () ‟ ‟ 180 0 90 45 90 0 45 315 0 45

Co-senos diretores (x 105) cos‟cos‟ -100000 0 -70711 0 0 70711 50000

sen‟cos‟ 0 0 0 100000 70711 70711 50000

Observações sen‟ 0 100000 70711 0 70711 0 70711

Paralelo a OX Paralelo OZ Paralelo a XOZ Paralelo OY Paralelo a YOZ Paralelo a XOY No espaço

Constata-se, no caso, que nˆ 1nˆ 2 nˆ 4 nˆ 1 , nˆ 3 nˆ 6 , nˆ 1nˆ 5 . Constata-se, ainda, a coplanaridade dos vetores de índices (2,4,5), (2,6,7) e (1,3,4,6).

Neste momento eliminam-se os extensômetros avariados ou aqueles cujas leituras devam ser descartadas.

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As direções das almofadas em relação a O'xyz. No método dos macacos, tal como no caso das células, é possível estabelecer os unitários das direções normais aos planos das almofadas, direções essas em relação às quais são determinadas as tensões normais. Escolhe-se uma geratriz qualquer do cilindro pelo seu azimute local, '. Aplaina-se uma porção de superfície de rocha – um “painel” retangular de cerca de 30 cm por 90 cm – do plano tangente ao cilindro que contem a geratriz ', de forma que o eixo maior do retângulo seja coincidente com essa geratriz (Figura VI.3.3). Num ponto P da geratriz imagina-se aplicado o vetor unitário da direção definida por dois pontos do painel (dois pinos cravados na rocha, dentro do painel), próximos de P, cuja distância (de cerca de 20 cm) é medida. Com um serra circular abre-se um rasgo na rocha, por P, perpendicularmente à direção do unitário, logo, de plano normal ao plano tangente (ou plano do painel). Sejam, então, conforme já convencionado (I.2), rˆ e ˆ os vetores unitários, na seção transversal ao cilindro por P; o primeiro, de origem O e sentido coincidente com OP, o segundo, tangente à seção, apontando no sentido dos ‟ crescentes. Se ' é o mergulho do vetor unitário da normal ao plano da almofada (i.e., o ângulo desse vetor com o plano XOY), seu ângulo com o eixo O'z, ou com kˆ , será o complemento do mergulho. Nestas condições, denotando-se por nˆ (, ) tal unitário, ele será escrito precisamente na forma (II.3.4). VI.3.3 – Lista das medições. A elongação teoricamente verdadeira, no método das células, relativamente à direção nˆ , é o número  n  nˆ ..nˆ , em que  é o diádico de deformações teoricamente verdadeiro. Havendo certamente desvios entre os valores teóricos e os medidos, (justificados por vários argumentos, como: imperfeição no posicionamento correto dos extensômetros dentro do furo, colagem adequada dos mesmos às paredes do cilindro etc.), os valores medidos, En, serão, então, os teóricos, acompanhados de um erro “e” que, a priori, não é possível avaliar. Escrevemos:

n  En  en ,

(III.3.5).

As mesmas observações, mutatis mutandis, podem ser feitas em relação à lista de tensões normais relativamente ao ensaio com macacos planos. À (II.3.5) corresponderia, então,

 n  Tn  e n , em que Tn é a tensão normal medida numa almofada e n a tensão normal teórica.

(III.3.5‟),

Se não houvesse erros nas medições relativas a cada direção nˆ , os pontos Pn, definidos por nˆ / |  n | , pertenceriam todos à quádrica centrada (II.3.1). Havendo erros, os pontos En, marcados sobre nˆ de forma que PEn sejam iguais aos valores medidos, distribuem-se em torno dessa quádrica, estando distantes do correspondente P n da quantidade en=PEn-PPn. A forma geral de uma lista de valores medidos poderá ter, então, a forma apresentada na Tabela II seguinte, em que o número do aparelho corresponde-se com o unitário da sua direção na Tabela I1: TABELA II Elongações (ou Tensões normais) medidas Especificação do local: Data: ......... Operador: Número do aparelho E (ou T) Observações n1 n2 ... nN

VI.3.4 – Estimação do diádico em relação ao referencial local. Teoria. O que estabelecermos para estimar o diádico das deformações será válido, igualmente, para o estabelecimento do diádico de tensões2. Em relação ao terno de vetores de base {ˆi, ˆj, kˆ } , podemos representar o diádico das deformações nas formas:

  ε11îî  ε12îˆj  ε13îkˆ  ε 21ˆjî  ε 22ˆjˆj  ...  1 ˆˆ ˆ ˆ  ε11îî  ε 22ˆjˆj  ε 33kˆ kˆ  ε12 (îˆj  ˆjî )  ...  ε11îî  ...  2 ε12 (ij  ji )  ... 2 Ao diádico , na base {î, ˆj, kˆ } , está associada a matriz

ijk

      sim. 

     .   

Se definirmos uma base diádica ortonormada local, {ˆ 1 , ˆ 2 , ...,ˆ 6 }  {ˆ  } , para o espaço dos diádicos simétricos do maciço, pelas expressões:

1 2

Essa informação tem, aqui, apenas valor didático. Na verdade, esse processo é válido para qualquer poliádico.

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ˆ 1  ˆiˆi , ˆ 2  ˆjˆj, ˆ 3  kˆ kˆ , 1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆˆ ˆ ˆ , ˆ 4  ( jk  kj), ˆ 5  (ki  ik ), ˆ 6  ( i j  ji ) 2 2 2

(III.3.6),

escreveremos, simplesmente,

   i ˆ i ,

i=1, 2, ..., 6,

(III.3.7),

desde que substituamos os pares de índices das coordenadas de  por um único número dentro da convenção (de Voigt): 11 por 1, 22 por 2, 33 por 3, 23 por 4, 31 por 5, 12 por 6 e escrevamos, por definição:

1  ,  2    ,  3   ,  4  2 ,  5  2 ,  6  2 ,

(III.3.8).

A matriz coluna 6x1 associada ao diádico  (na base diádica) é, então,

T  

        ,

(III.3.9).

Dada uma direção qualquer,

nˆ  cosˆi  cosˆj  coskˆ , o diádico unilinear ˆ  nˆ nˆ , em relação à base diádica {ˆ  } , tem por expressão

ˆ  cos 2  ˆ 1  ...  2coscos ˆ   ...

(III.3.10);

e a matriz coluna, { ˆ }, associada a esse diádico nessa base é

ˆT  cos2

cos2  cos2

 cos cos

coscos



cos cos  ,

(III.3.10‟),

Uma elongação (ou, uma tensão normal) é a projeção radial do diádico de deformações (ou de tensões) na direção de um diádico unilinear unitário, como ˆ ; escrevemos:

 n   : ˆ ,

ou, para tensões,

 n   : ˆ .

Particularmente, 1   : ˆ 1 ,  2   : ˆ 2 etc.. O valor teórico de uma elongação qualquer pode ser escrito na forma (da dupla multiplicação de matrizes, ou multiplicação termo a termo, na base {ˆi, ˆj, kˆ } ),

  1  n      

 

6

2



 5    cos 2  cos cos  cos cos       4 : cos 2  cos cos   ,    cos 2   3    

(III.3.11),

ou, ainda, na forma

 n  {ˆ }T .{}  {}T .{ˆ } ,

(III.3.11‟),

se os diádicos estão expressos na base diádica {ˆ  } ). Desenvolvendo-se (III.3.11), substituindo-se o valor teórico de n pelo medido e seu respectivo erro, isto é, levando-se em conta a (III.3.5), vem:

E n  cos 2  1  cos 2  2  cos 2   3     ( 2coscos )    ( 2coscos)    ( 2coscos)  e n ,

(III.3.12),

Considerando-se medições em relação a N direções, nˆ i , as N expressões (III.3.12) obtidas podem ser escritas na forma matricial

{E}1N  [ N]6N .{}16  {e}1N , ou, simplesmente, {E}  [ N].{}  {e}

(III.3.13),

em que a matriz [N] tem a estrutura

 cos2α1 cos2β1   cos2α2 cos2β2  2 ...  cos α3  2  cos α4   ...    2 2 cos α N cos β N

cos γ1

2cosβ1cosγ1

2cosγ1cosα1

2cosα1cosβ1 

cos2γ2

2cosβ2cosγ2

2cosγ2cosα2

2cosα2cosβ2 

cos γ3

2cosβ3cosγ3

...

cos γ N

...



   ,  ...     2cosα Ncosβ N  ...

(III.3.131),

sendo

{E}T  E1

... E N  ,

{e}T  e1 e 2

... e 6  ,

e {}T dada por (III.3.9).

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100

A matriz [N], conhecida, é função exclusiva das direções dos extensômetros; os elementos da sua j-ésima linha são as coordenadas de ˆ i  nˆ i nˆ i em relação à base diádica

{ˆ  } , conforme (III.3.10‟). Consequentemente, a característica1 de [N] será seis se dentre os N diádicos ˆ 1 , ˆ 2 , ... existirem seis linearmente independentes. Mínimos quadrados. Dispomos de uma matriz coluna, {E}, de N linhas, cujos elementos são as elongações medidas segundo cada uma das N direções. Podemos, agora, procurar uma matriz coluna {} que, condicionada a satisfazer (III.3.13), possa tornar os elementos da coluna dos erros os menores possíveis, isto é, que se ajuste às medições de forma a tornar os erros os menores possíveis em seu conjunto. Esse ajuste significa, geometricamente falando, que devemos determinar a quádrica centrada (II.3.1) que mais bem se aproxime do conjunto dos pontos E n determinados experimentalmente. Isto significa ainda, analiticamente falando, impor a condição de que a soma dos quadrados dos erros, Z2, - um número positivo, soma dos quadrados das distâncias entre os En e os correspondentes Pn - seja um mínimo. Deduzimos, de (III.3.13):

Z 2  {e}T .{e}  {E}T .{E}  2{E}T .[N].{}  {}.[N]T .{} ,

(III.3.14).

O valor de {} que torna Z2 estacionária (no caso, um mínimo) deve ser determinado com a condição d(Z2)=0. Resulta, então, de (III.3.14), por diferenciação:

d(Z 2 )  2({E}T .[N]  {}T .[N]T .[N]).d{}  0 . Como a matriz coluna d{} representa, na diferenciação, uma variação arbitrária do diádico das deformações, a matriz entre parênteses (ou sua transposta) deve ser nula necessariamente, isto é,

[ N]T .{E}  [ N]T .[N].{} . Como se vê, a solução do problema requer a inversão da matriz 6x6, [A], [A] = [N]T.[N],

(III.3.15),

que denominaremos matriz dos aparelhos, tornando-se necessário saber em que condições essa matriz é regular (Anexo II). Sendo [A] regular, pondo-se

[C]  [A]1.[N]T ,

(III.3.16),

{}  [C].{E} ,

(III.3.17),

resulta,

o que, finalmente determina {}. 1

A característica de uma matriz é o grau do determinante não nulo do maior grau que se pode extrair dessa matriz.

101

* Exercício 1. Calcular a matriz dos aparelhos (extensômetros), [A], listados na Tabela I. Solução: A partir dos co-senos diretores listados na Tabela I calculamos os elementos da matriz [N]76 apresentados na Tabela III: TABELA III - Elementos da matriz [N]76

nˆ i

cos2i

1 2 3 4 5 6 7

cos2i

100000 0 50000 0 0 50000 25000

0 0 0 100000 50000 50000 25000

cos2i 0 100000 50000 0 50000 0 50000

2 cosi cosi

2 cosi cosi

2 cosi cosi

0 0 0 0 70711 0 50000

0 0 -70711 0 0 0 50000

0 0 0 0 0 70711 35355

Agora, calcula-se [A] por (III.3.15):

0,125 - 0,22855 1,5625 0,3125 0,375  1,5625 0,375 0,47855 0,125  1,7500 0,60355 0,60355 A   0,75 0,25  sim. 0,75  

0,53033 0,53033 0,17678 . 0,125  0,17678 0,625 

Exercício 2. Com a matriz dos aparelhos, [A], do exercício anterior, calcular as coordenadas do diádico de deformações para cada uma das três listas de medições de elongações apresentadas na Tabela IV. TABELA IV - Listas de medições de elongações. Profundidade (m)

4,15 4,65 5,15

Elongações medidas E (x 106)

E1 50 35 63

E2 -10 4 -5

E3 11 8 24

E4 59 38 39

E5 31 25 18

E6 49 32 64

E7 27 15 16

Solução: Tendo [A], calculamos [A]-1:

A1

1,59714 0,42137 - 0,698479 - 0,147914 1,47647  1,23205 - 0,200716 - 0,675501 0,637735  1,284750 - 0,517782 - 1,24209  2,249870 - 0,384554  sim. 3,34996  

- 1,90323 - 1,39148 0,854482 ; 0,50394  - 2,31326 4,70748 

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e, por (III.3.16) calculamos [C]:

 1,59714  0,42137  - 0,698479 [C]   - 0,147914  1,47647   - 1,90323

- 0,698479 - 0,200716 1,284750 - 0,517782 - 1,242090 0,854482

- 0,594698 - 0,340622 1,17143 - 0,060926 - 2,25160 1,11135

0,42137 1,23205 - 0,200716 - 0,675501 0,637735 - 1,39148

- 0,243146 0,0380143 0,175889 0,994265 - 0,574101 0,0878406

- 0,33654 - 0,157222 0,154616 - 0,055366 - 0,578626 1,68135

0,146779  - 0,197845 - 0,160258  0,646082  0,572357   0,363233 

Por (III.3.17) calculamos, então, a matriz coluna das coordenadas do diádico  referida à base diádica {*}. Para referi-las à base {ˆi, ˆj, kˆ } que, no problema em apreço, coincide com a base do sistema global OXYZ (ver seção 1), devemos considerar que as distorções referidas à base {*} estão multiplicadas por 2 . Obtêm-se, então, com outras palavras, as coordenadas do próprio diádico de deformações, apresentadas na Tabela V: TABELA V Profundidade (m)

4,15 4,65 5,15

11 85,0959 49,4710 82,7061

22 80,1516 51,0277 54,8815

33 -38,0262 -10,4466 -19,6442

23 1,98757 O,2587 -6,9620

13 48,3711 19,8500 22,5236

12 -55,6228 -32,276 -26,0018

Exercício 3. Com o primeiro dos diádicos de deformações determinado no exercício anterior: 1) - calcular os erros cometidos em cada uma das medições correspondentes realizadas; 2) – calcular a elongação na direção do extensômetro nˆ 5 , calc, e comparar esse valor com o seu correspondente medido; 3) – calcular a distorção entre as direções (ortogonais) nˆ 2 e nˆ 7 ,

27. Solução: 1)- Tem-se, de (III.3.13):

{e}  {E}  [ N].{} , ou,

0 0 0 0 0   50   1  35 0 1 0 0 0   85   28   10  0 80   0 0,5 0  0,70711 0   11   0,5  21  1 0 0 0 0 . 38   21  e 10 6   59    0 0,5 0,5 0.70711 0 0  2   9   31   0    48   6  49 0 , 5 0 , 5 0 0 0 0 , 70711    56  15   0,5 0,5 0,35355     27  0.25 0,25 0,5

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2) - Para a direção nˆ 5 , por exemplo, cujos co-senos diretores encontram-se na Tabela I, tem-se:  85  56 48   0   calc (10 6 )  0 0,70711 0,70711. 80 2 .0,70711  23 . sim.  38 0,70711  O valor correspondente medido é 3110-6; a diferença é aceitável. 3) – A distorção solicitada é dada por

 85  56 48   0,5   27 (10 6 )  0 0 1. 80 2 . 0,5   1,87 ; sim.  38 0,70711  e por ser negativa, corresponde a um fechamento do ângulo inicial (de 90) das direções. Esta medida é dada em radianos e equivale a 0,39‟‟ (trinta e nove centésimos de segundo). VI.3.5 – Estimação do diádico em relação ao referencial global. Operando com as bases diádicas local e global, podemos escrever:

{}gl  [M].{}loc ,

(III.3.18),

onde {}gl e {}loc são as matrizes coluna 6x1 das coordenadas do diádico (de deformações ou de tensões) em relação aos referenciais global e local, respectivamente, e [M] é a matriz (de rotação) de mudança da base local para a base global (ver Anexo I). Então, substituindo (III.15), (III.16) e (III.17) em (III.3.18), vem:

{}gl  [C]gl .{E} ,

(III.3.19),

com

[C]gl  [M].([ N]T .[N]) 1 .[N]T ,

(III.3.20).

Com a matriz [C]gl e com a matriz coluna das medidas pode-se, pois, expressar o diádico pesquisado diretamente na base diádica global. Para uma campanha de ensaios com células triaxiais idênticas em furos igualmente inclinados em relação ao referencial global, a matriz [C] gl é única. O uso da expressão (III.3.19) é extremamente útil quando a campanha deve ser executada com furos verticais, o que é uma prática comum. A mesma observação anterior deve ser feita com relação às campanhas com macacos planos. Estudar as pequenas diferenças relativas aos eixos. VI.3.6 – O cálculo do diádico, na prática. O raciocínio e o método expostos para o cálculo dos diádicos (de tensão ou deformação) são gerais; além de valerem para furos e galerias inclinados em relação ao referencial global (ver I.2), valem também para células (cilíndricas) quaisquer, com número qualquer de rosetas e um número qualquer de aparelhos em cada roseta. Poderemos aplicá-

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los, então, tanto no estudo de planos inclinados no interior de minas como nos túneis inclinados de tubulação forçada nas hidrelétricas. É freqüente, entretanto, a necessidade da avaliação de tensões e deformações em furos verticais, galerias horizontais, shafts (poços verticais de grandes diâmetros), seja em maciços de minas ou de fundações de barragens. O referencial em relação ao qual será feita a análise das tensões e deformações – o referencial que aqui chamamos: global - é de livre escolha e não importa leva-lo em conta neste momento. O fato é que, num processo de medição com a célula, todos os diádicos podem ser referidos inicialmente ao sistema local de coordenadas instalado na célula (ver I.3.1), ou na seção da galeria (ver I.4); assim foram resolvidos todos os exercícios propostos. A partir desses dados – i.e., das coordenadas de vetores e diádicos em relação ao referencial global escolhido e do sistema local “amarrado” em relação ao global - e com mudança de base (Anexo I), um analista poderá referir vetores e diádicos ao sistema que lhe convier. Ora, estando as direções dos aparelhos referidos ao sistema local, a matriz [C] que, em última instância, resolve o problema da estimação do diádico (seja ele o de tensões ou o de deformações), será função exclusiva da célula utilizada (e respectivas rosetas) e dos painéis (e respectivos rasgos para alojamento de almofadas). Isto induz a utilização de uma mesma metodologia de trabalho, quaisquer que sejam os locais em que devam ser executados os ensaios, uma vez que o cálculo das coordenadas do diádico, por aplicação de (II.3.17), só depende da matriz coluna dos valores medidos (de elongação ou de tensão normal). A metodologia de trabalho consiste, basicamente, em: a) – No caso das células: 1) – Utilizar sempre uma mesma célula, pois [C] depende exclusivamente disso; 2) – Utilizar sempre o mesmo sistema de referência ligado à célula; b) – No caso dos macacos: 1) – Construir sempre as mesmas rosetas de almofadas num plano tangente (ver I.4) e planos tangentes de mesmo azimute, porque [C] só depende das direções de almofadas em cada roseta; 2) - Utilizar sempre o mesmo sistema de referência ligado à partícula (ou ERV). Uma primeira vantagem dessa metodologia está na eliminação de prováveis erros grosseiros e ganho em produtividade uma vez que, estando estabelecida uma rotina, a equipe executora dos trabalhos pode preocupar-se apenas com a produção. Uma segunda vantagem está na possibilidade de desenvolvimento de métodos para a eliminação de uma equipe auxiliar de topografia.

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CAPÍTULO VII VALORES E DIREÇÕES PRINCIPAIS VII.1 – RESOLUÇÃO DO 2 PROBLEMA. A solução desse problema é sobejamente conhecida e trabalhosa. Bons softwares podem executar essa tarefa em fração de segundos. Vale lembrar que os autovetores do diádico de deformações estarão referidos à base vetorial local, {ˆi, ˆj, kˆ } que, em geral, é rodada em relação à global. Como as análises são feitas em relação à base global, é necessário efetuarse uma mudança da base. Exemplo: Os elementos característicos (ou auto sistemas) dos diádicos encontrados no exercício 2 do item II.3.4 estão dispostos na tabela VI. TABELA VI - Auto sistemas dos diádicos do exercício 3 do item II.3.4 Elementos característicos I Autovalores II III cos I cos cos Auto cos II cos Vetores cos cos III cos cos

Diádico 1 145 -58 40 0,747194 -0,636651 0,190728 0,372016 0,162844 -0,913830 0,550732 0,753762 0,358521

Diádico 2 85 24 -18 0,713311 -0,685226 0,147150 -0,606702 -0,708837 -0,359808 -0,350855 -0,167379 0,921349

Diádico 3 103 40 -24 0,851349 -0,490959 0,184836 0,484539 0,870952 0,081640 -0,201065 0,020057 0,979373

Exercício: Calcular as coordenadas geotécnicas dos autovetores do exemplo anterior. VII.2 – RESOLUÇÃO DO 3 PROBLEMA. Em geral interessa conhecer o diádico principal das tensões; por conseguinte devemos usar a lei de Hooke utilizando o diádico principal de formações. Em função das constantes de Lamè,  e , a lei é escrita na forma matricial:

[]  2[]  (tr[])[ I] , onde

2 

E 1 



(III.5.1),

E , (1  )(1 - 2)

(III.5.2),

E e  sendo o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material, dados por hipótese.

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A lei de Hooke pode, também, ser escrita na forma equivalente,

 I  2I  (tr[]) ,  II  2II  (tr[]) ,  III  2III  (tr[]) ,

(III.5.3).

Exercício: Calcular as tensões principais relativas às deformações principais citadas em II.4 supondo que o material seja um concreto com coeficiente de Poisson 0,17 e os seguintes módulos de elasticidade: relativo ao diádico 1, E=21.000 MPa; relativo ao diádico 2, E=18.600 MPa; relativo ao diádico 3, E=20.000 MPa. Solução: Utilizando as (III.5.2), encontramos: Diádico 1 Diádico 2 Diádico 3

2 (Mpa) 18.261 16.174 17.391

 (Mpa) 4.623 4.094 4.403

Agora, utilizando as (III.5.3) podemos calcular as tensões principais (em Mpa) em cada um dos casos; encontramos: 1) – relativo ao diádico 1: 2) – relativo ao diádico 2: 3) – relativo ao diádico 3:

3,23; -0,47; 1,32; 1,97; 0,86; 0,09; 2,43; 1,28; 0,11.

109

APÊNDICES APÊNDICE I TRIGONOMETRIA BÁSICA. A origem da palavra A palavra trigonometria é a fusão de trígono com metria; a primeira significa triangular, a segunda, medida. Ao pé da letra, a palavra significaria “medidas dos triângulos”. De fato, esse foi o objetivo principal da criação da trigonometria: a resolução dos triângulos. Resolver um triângulo, em resumo, é a operação que consiste em se determinarem todos os seus elementos principais (lados e ângulos) quando forem dados elementos do mesmo, em quantidade necessária e suficiente. Caráter prático da Trigonometria A idéia básica consistiu, de um lado, em criar as chamada funções circulares fundamentais: o seno e o co-seno de um ângulo (depois, criar funções derivadas destas) e tabelar os valores dessas funções para que se tornasse prático o cálculo de todos os elementos de um triângulo (ângulos internos, externos, lados, área etc.). De outro lado, tornou-se necessário especificar rigorosamente os “dados” para que o problema tivesse solução sempre (por exemplo: entre os dados, um deles pelo menos deve ser um elemento linear). Sabendo como calcular os elementos de um triângulo, seria relativamente simples calcular os elementos de um quadrilátero (que pode ser dividido em dois triângulos) e outros polígonos, isto é, seria possível calcular áreas de terrenos, efetuarem-se partilhas etc. Este é o caráter prático da trigonometria.

1ª PARTE – RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS 1 – Triângulo: nomenclaturas e notações São vários os elementos de um triângulo. Os que vão nos interessar mais diretamente são: os ângulos internos e externos, os lados, as alturas, as medianas, as mediatrizes de cada lado, as bissetrizes de cada ângulo, o raio do círculo circunscrito, o raio do círculo inscrito. Os triângulos podem ser: retângulos, isósceles, eqüiláteros e quaisquer. Os triângulos retângulos têm um ângulo igual a 90 graus (), ou /2 radianos (rd); logo, os outros dois são agudos. O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa; os outros dois denominam-se, catetos. Escolhido um ângulo agudo, um dos catetos lhe é oposto; o outro, lhe é adjacente. Os triângulos isósceles têm dois lados iguais (bem como iguais os ângulos opostos a esses lados). Os triângulos eqüiláteros têm os três lados (ou ângulos) iguais.

2 – Funções goniométricas de um ângulo agudo 2.1 - O seno, o co-seno e a tangente de um ângulo Consideremos um triângulo retângulo qualquer ABC de ângulo reto em A (que será denotado por r ABC); e sejam β, , b e c, respectivamente, os ângulos internos e as medidas dos lados opostos aos vértices B e C (Figura 2.1). Tens Def Maciços - Ruggeri

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Definições: Chama-se seno do ângulo agudo β, e denota-se por senβ, a relação entre o cateto oposto a β (ou B) e a hipotenusa a; chama-se coseno desse mesmo ângulo, e denota-se por cosβ, a relação entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Então:

sen 

cateto oposto b  , hipotenusa a

cos 

cateto adjacente c  , hipotenusa a

(01).

Resultam logo das definições: 1) – por ser 0β/2, é b<a e c<a, ou seja: 0senβ1 e 0cosβ1;

(02).

Assim, são válidas as igualdades: senβ=0,43678, cosα=0,89341, mas não são válidas as igualdades: senβ=1,23568, cosα=2,0034. 2) – por aplicação do teorema de Pitágoras:

a 2  b 2  c 2 , ou seja, considerando (01): a 2  (cos 2   sen 2 ) a 2 . Por ser a0:

sen 2   cos 2   1 ,

(03).

Assim, por exemplo, se senβ=0,43678, então: cosβ=0,80922... . Uma função goniométrica de muita utilidade é derivada das duas anteriores. Definição: Chama-se tangente do ângulo agudo β, e denota-se por tgβ, a relação entre o cateto oposto a β (ou b) e o cateto adjacente (c). Então, considerando as (01) escrevemos:

tg 

cateto oposto sen b , cateto adjacente c cos

(04).

Assim, por exemplo, considerando os exemplos numéricos anteriores, sendo senβ=0,43678 e cosβ=0,80922, então: tgβ=0,53975... . Considerando (02) vemos que, se fizermos β variar (considerando triângulos retângulos variáveis), quando β se aproximar de /2 rd (β/2), tgβ começará a assumir valores muito grandes, tão grandes quanto mais β se aproximar de /2 (tgβ). De fato, porque os valores de cosβ vão diminuindo, tendendo para 0, enquanto que os valores de senβ vão tendendo para 1. Assim: para 0β/2, é 0tgβ,

(05)1.

Por exemplo, para β=89, sen89=0,99985, cos89=0,01745 e tg89=57,28996. Interprete isto geometricamente com o auxílio da Figura 2.1.

No item 5.1 vamos ampliar um pouco esta desigualdade, bem como as desigualdades (02).

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Exercício: Existindo duas relações entre senβ, cosβ e tgβ, é possível expressar uma delas em função das outras duas. Mostre que:

tg 

sen 1 - sen 2 

1 - cos 2  , cos 

tg 

cos  

1 1  tg 2 

sen 

tg 1  tg 2 

(06).

Como exposto de início poderíamos apenas tabelar, digamos os valores de senβ para ter os valores de cosβ pela (03) e tgβ pela primeira das (06). Para facilitar cálculos expeditos se tabelam os valores das três funções. Mais simples é obter-se qualquer um desses valores pelas calculadoras eletrônicas. O problema passa a ser, então, como expressar senβ em função de β (o que será visto mais à frente).

2.2 – Funções inversas Na introdução dos conceitos anteriores partimos de um triângulo retângulo dado e definimos o seno e o co-seno dos seus ângulos (agudos). Imaginemos um triângulo retângulo cuja hipotenusa seja igual a um, cujos catetos (de medidas a e b), devendo atender o teorema de Pitágoras, satisfazem a relação a 2+b2=1. Então, conforme (01), o ângulo β, oposto ao cateto b, deve ser tal que seu seno valha b (posto que a hipotenusa é igual a 1). Exprimiremos isso sinteticamente dizendo β é o ângulo cujo seno é o número b; e abreviaremos isto escrevendo:

sen  b

   ang sen b ,

(07).

   arc cos c ,

(08);

   arc tg t ,

(09).

Da mesma forma:

cos  c e

tg  t

As igualdades (07) são ditas inversas, isto é, uma é a inversa da outra; o mesmo se diz das igualdades (08) e (09).

2.2 – Tábuas e calculadoras. Os valores do seno e do co-seno dos ângulos podem estar disponíveis em “tábuas”, ou tabelas, ou em calculadoras eletrônicas cujo uso é mais prático. Em geral, os senos e os cosenos são números com muitas casas decimais. Por isso, as tábuas costumam indicar como o algarismo da última casa foi forçado: se para mais levam uma barra superior, se para menos uma inferior; o que nem sempre está explícito nas calculadoras. As calculadoras, porém, oferecem senos e co-senos com muitas casas decimais (pelo menos oito), ficando em geral bem acima das necessidades práticas; mas nem sempre isso pode satisfazer. Tal como podemos encontrar nas tábuas e calculadoras as funções goniométricas dos ângulos, podemos encontrar também encontrar os ângulos correspondentes a dados os valores das funções. Assim, tábuas e calculadoras fornecem valores de funções inversas.

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Pelas tábuas a determinação da função inversa é evidente (pois os caminhos são inversos). Nas calculadoras as funções seno, co-seno e tangente são “funções diretas”; para determinação da função inversa é necessário acionar a tecla de função inversa (geralmente indicada como “shift”), como indicado passo a passo nos respectivos manuais.

2.3 - O seno, o co-seno e a tangente do complemento de um ângulo. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180 (ou  rd), o ângulo agudo relativo ao vértice C do r ABC, , é agudo, dito complementar de β; isto é, a soma dele com β é igual a /2 rd. Aplicando as definições (01) do item 2.1 a esse ângulo  vem:

sen  sen(90 - ) 

cateto oposto AB  , hipotenusa BC

ou seja, sen(90-β)=cosβ. Da mesma forma concluiríamos que cos=senβ; logo, considerando (04), item 2.1: tg= cosβ/senβ. Em resumo: Se β+=90, então:

sen  sen(90 - )  cos ,

cos  cos(90 - )  sen

tg  tg(90 - )  1 , tg

(10).

3 – As funções goniométricas interpretadas como funções circulares. 3.1 – A circunferência trigonométrica A circunferência trigonométrica é a circunferência de raio igual a um e sobre a qual se fixa como positivo o sentido de percurso que permita deixá-la à esquerda. Sobre esta circunferência, cujo centro será denotado por O, escolhe-se arbitrariamente um raio OA para “lado origem” de ângulos, todos com vértice em O. O “lado extremidade” de um ângulo qualquer cortará a circunferência trigonométrica em um ponto M. Quando se percorre a circunferência no sentido positivo o arco OA e o ângulo central que lhe corresponde, AOM, são ditos positivos; percorrendo-se em sentido contrário, os arcos e os ângulo correspondentes são negativos; logo, esses ângulos, em módulo, são replementares (a soma dos módulos deles é igual a 360). Nessas condições os arcos e correspondentes ângulos são ditos orientados. Consideremos agora dois eixos ortogonais Ox e Oy de origem O, o suporte de um deles, digamos eixo Ox, sendo coincidente com OA. As extremidades de todos os arcos positivos e menores que 90 pertencerão ao “primeiro quadrante” definido pelos eixos.

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3.2 – As funções, no primeiro quadrante Consideremos a Figura 3.2 onde indicamos um arco AM do primeiro quadrante de uma circunferência trigonométrica, ao qual corresponde o ângulo central β, e as projeções OP e PM de OM sobre os eixos coordenados. Sejam T e S os pontos de interseção de OM com as tangentes à circunferência, conduzidas por A e B; e S‟ a projeção de S sobre o eixo Ox. Podemos destacar nesta figura três triângulos retângulos aos quais vamos aplicar as definições resumidas em (01). Do rOPM resultam: OP=cosβ, PM=senβ, razão pela qual o eixo Ox é dito eixo dos co-senos e Oy eixo dos senos. Da semelhança desse triângulo com rOAT resulta: AT=senβ/cosβ=tgβ (pois OA=1) decorrendo a nomenclatura “tangente” do fato de ser AT tangente à circunferência. Como rOAT é semelhante também as rOBS (porque são iguais os ângulos alternos internos definidos pela transversal OS às retas paralelas OA e BS) resulta ainda que BS=1/tgβ=OS‟. Vê-se graficamente que para os ângulos do primeiro quadrante as funções seno, co-seno e tangente são sempre números positivos. Quando MA, isto é, β0, tem-se: senβ0, cosβ1, tgβ0, sendo fácil ver que S e S‟  , ou 1/tgβ. Quando MB, isto é, β90, M, T  e S  B, S‟  O, isto é: senβ1, cosβ0, tgβ, 1/tgβ 0.

3.3 – Valores notáveis das funções no primeiro quadrante Embora não possamos construir um polígono regular com um número qualquer de lados, inscrito ou circunscrito na circunferência trigonométrica, podemos imaginá-lo; mas essa construção é possível para o triângulo, o quadrado, o pentágono, o hexágono e o decágono (dentre outros). A cada lado ln=AB (Figura 3.3) de um polígono regular de n lados inscrito ou circunscrito na circunferência trigonométrica corresponde um ângulo central da mesma igual a 360/2n, ou 180/n e um apótema pn1. Então: O seno e o co-seno do semiângulo central, β, de algum polígono regular inscrito na circunferência trigonométrica são iguais respectivamente ao semi-lado e ao apótema: senβ=ln/2 e cosβ=pn.

Exercício: Comprove geometricamente as expressões dos lados dos polígonos regulares de n lados indicados na Tabela seguinte

O apótema de um polígono regular é a distância do centro da circunferência circunscrita ao lado.

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Valor do lado ln do polígono regular inscrito numa circunferência de raio r n

1 10  2 5 r 2

10 15

Au= 1 ( 5  1) r 2

(segmento áureo do raio)

1 ( 10  2 5  3  15 ) 4

Tendo as expressões dos lados dos polígonos regulares inscritos na circunferência trigonométrica e aplicando a propriedade enunciada podemos comprovar os valores da tabela abaixo

n 3

Seno, co-seno e tangente de ângulos notáveis. 180/n sen (180/n) cos (180/n) 1/2 60 3/2

tg (180/n)

45

2/2

30

1/2

3/2

1/ 3

18

( 5  1) / 4

( 10  2 5 ) / 4

4. Resolução dos triângulos retângulos Se dispusermos de uma tabela de senos apenas, teremos dados necessários para o cálculo dos triângulos retângulos, mas eles não são suficientes. Os vértices e os comprimentos dos lados serão denotados como na Figura 4.1, os ângulos (agudos) internos serão denotados por B e C. Devemos, pois considerar os quatro casos seguintes.

I – São dados: um lado e um ângulo 1 Caso: a hipotenusa a e o ângulo B Nesse caso vamos calcular: c=a cosB, buscando cosB na calculadora (ou na tabela). Temse, em seguida: C=90-B; e todos os elementos principais do triângulo estão calculados.

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2 Caso: o cateto b e o ângulo B Calcularemos a hipotenusa pela expressão: a=b/senB buscando senB na calculadora. Em seguida podemos calcular o elemento restante por c=a cosB; ou, alternativamente, calcular C=90-B e em seguida c=b tgC buscando tgC na calculadora.

II – São dados: dois lados 3 Caso: a hipotenusa a e o cateto b Tem-se: senB=b/a, podendo-se agora calcular B com a calculadora usando a tecla shift (função inversa para seno). Tem-se, logo C=90-B e c=a senC. Alternativamente podemos calcular c  a 2  b 2 . 4 Caso: os dois catetos b e c Tem-se, por exemplo: tgB=b/c, calculando-se B pela tecla shift na calculadora. Logo, temse: C=90-B e a  b 2  c 2 .

Nota: Supõe-se que o calculista esteja familiarizado com as operações que podem ser realizadas na sua calculadora, assunto que poderá ser discutido em aulas práticas de exercícios. Uma delas consiste em expressar os ângulos calculados em graus, minutos e segundos, ou em radianos. Uma operação que pode ser causa de erros é a introdução do valor do ângulo na calculadora para obter-se o seu seno, co-seno ou tangente.

5. As funções no segundo quadrante 5.1 – Consideração de ângulos obtusos. A introdução da circunferência trigonométrica, dos ângulos (e arcos) orientados, e o sistema de eixos coordenados permitem ampliar os conceitos de seno e co-seno de um ângulo para ângulo obtuso; basta considerar ângulo cujo lado extremidade intercepte a circunferência em ponto M do segundo quadrante (Figura 5.1). Para unificar as definições chamaremos seno e co-seno do ângulo (orientado) β a ordenada e a abscissa, respectivamente, do ponto M devendo-se, então levar em conta os sinais dessas coordenadas. Assim, um ângulo obtuso tem seno positivo (medida de MP) e

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co-seno negativo (medida de OP). A tangente é definida tal como anteriormente. Logo, a tangente de um ângulo obtuso é um número negativo (e tem a medida do segmento AT). Vê-se, graficamente, que os ângulos do segundo quadrante têm por seno um número sempre positivo e por co-seno e tangente números sempre negativos. Quando MA‟ isto é, β180 tem-se: senβ0, cosβ-1, tgβ0, sendo fácil ver que S e S‟  , ou 1/tgβ. Agora, então, as desigualdades (02) e (05) do item 2.1 devem ser ampliadas, isto é: para /2β:

0senβ1,

-1cosβ0 e -tgβ0;

(01).

Prevalece, porém, a igualdade (03) do mesmo item 2.1 independentemente dos sinais do seno e do co-seno. Exercício: Comprove que para /2β e as igualdades (06), item 2.1 tornam-se.

tg 

sen 1 - sen 2 

, tg  

1 - cos 2  tg 1 , cos    , sen   , (02). cos 1  tg 2  1  tg 2 

5.2 – As funções de ângulos suplementares Se dois ângulos β‟ e β, de mesmo lado origem, são suplementares (a soma deles é igual a 180), seus lados extremidade cortam a circunferência trigonométrica em pontos M‟ e M, respectivamente, situados simetricamente em relação ao eixo dos senos. Se β‟>β, M está entre A e M‟ quando se percorre a circunferência no sentido positivo (Figura 5.2). Então: β‟=180-β. Por serem iguais r OPM e r OP‟M‟ deduzimos, considerando os sinais dos co-senos: sen(180-β)=senβ,

cos(180-β)=-cosβ,

tg(180-β)=-tgβ,

(03).

Essas fórmulas dispensam o tabelamento das funções goniométricas para 90β180, evidentemente. As funções inversas para o caso. Nos itens 2.1 e 2.1 mostramos como determinar um ângulo (do primeiro quadrante) a partir do valor conhecido do seno, do co-seno ou da tangente desse ângulo. Estamos agora frente um problema ligeiramente diferente do primeiro, que apresenta duas soluções: dado o seno de um ângulo, calcular o ângulo. Uma solução pode ser encontrada se considerarmos que o ângulo é do primeiro quadrante; outra solução é o ângulo suplementar do primeiro, que pertence ao segundo quadrante (a primeira das fórmulas (03) garante isso). Logo: Determinado um ângulo do primeiro quadrante cujo seno esteja dado, o suplemento deste ângulo (um ângulo do segundo quadrante) também terá por seno o número dado.

117

Outro tanto não se dá com as outras duas funções porque se o co-seno ou a tangente de um ângulo menor que 180 é um número negativo, esse ângulo é do segundo quadrante necessariamente; e o problema só tem uma solução. Por outro lado, como um triângulo não apresenta ângulos maiores que 180, o estudo das funções para ângulos maiores que este não é relevante, no momento. Para estudo de outros assuntos (estudo de vibrações e ondas, por exemplo) essa questão torna-se importante, mas não a estudaremos aqui.

5.3 – As funções de ângulos cuja diferença é 90. Se a diferença de dois ângulos, β e β‟, é igual a 90, um deles é maior que 90, digamos β‟, e o outro é menor que 90, necessariamente. Então: β‟-β=90 e os pontos M e M‟, extremidades dos arcos AM e AM‟, pertencem ao primeiro e segundo quadrantes, respectivamente (Figura 5.3). Sejam P e P‟ as projeções ortogonais de M e M‟ sobre o eixo dos co-senos. O r OAM é igual ao r OP‟M‟ porque têm a mesma hipotenusa (OM=OM‟=1) e ângulos correspondentes, de vértices em M e M‟, iguais (por serem ângulos de lados perpendiculares). Logo, por serem, em grandeza e sinal: senβ‟=sen(90+β)=cosβ e cosβ‟=senβ, resultam: sen(90+β)=cosβ,

cos(90+β)=-senβ,

logo

tg(90+β)=-1/tgβ

(04).

6 – Resolução dos triângulos quaisquer 6.1 – As alturas de um triângulo Como sabemos, altura de um triângulo, relativa a um vértice, é a distância desse vértice ao lado oposto. A Figura 6.1 mostra a altura hc do ABC, relativa ao vértice C, podendo ser este acutângulo ou obtusângulo. Esta altura forma com lados concorrentes em C dois triângulos retângulos para os quais podemos escrever: hc=a senB=b senA,

(01),

fórmulas essas válidas para A e B agudos ou obtusos posto que, sendo esses ângulo suplementares, seus senos são iguais (item 5.2). Analogamente podemos escrever: ha=b senC=c senB

hb=a senC=c senA,

(02).

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6.2 – Teorema dos senos Das igualdades que expressam as três alturas de um triângulo em função dos lados e dos senos dos ângulos internos deduzimos:

a  b  c , senA senB senC

(03).

expressões que traduzem analiticamente o seguinte teorema, chamado teorema dos senos, ou lei dos senos: Os comprimentos dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos.

6.3 – Casos de resolução de triângulos em que se aplicam a lei dos senos. A lei dos senos permite calcular um triângulo quando se conhece um lado e o ângulo oposto a esse lado pelo menos. Nesse caso passamos a conhecer o valor da proporção expressa por (03) bastando determinar, com o auxílio da calculadora, o seno do ângulo dado. Logo, dado mais um elemento do triângulo, com as mesmas (03) poderão ser calculados os demais elementos. 1 Caso: dois ângulos e o lado oposto a um deles, digamos A, B e a. Sendo, então, k=a/senA, podemos calcular imediatamente: b=k senB. Como A+B+C=180 temos logo C. A última das relações (03) fornece, assim: c=k senC. Exercício: Calcular o triângulo do qual se conhecem: A=5815‟, B=6720‟ e a=45m. (Respostas: C=5425‟, b=48,83m e c=43,03m) 2 Caso: os lados a e b e o ângulo oposto a um deles, digamos A. Das duas primeiras igualdades (03) podemos obter imediatamente o valor de B, pois senB=b senA/a. Caímos, agora, no 1 caso, pois já temos A, B e a. Discussão: Que valor de B devemos adotar? O agudo B ou seu suplemento (pois ambos têm o mesmo seno)? Em primeiro lugar devemos verificar que na igualdade acima b senA/a1, ou b senAa. Isto significa, conforme (01), que hca. Se b senA=a, senB=1, logo B=90; e o triângulo é retângulo. Se b senA<a, existe solução, mas pode haver dois ângulos, B 1 e B2, suplementares, que tenham o mesmo seno. Para ver se serão válidas as duas soluções devemos construir geometricamente esse triângulo.

119

Se o ângulo A for agudo o problema admitirá duas soluções se for a<b e os triângulos solução são AB1C e AB2C (Figura 6.2); ou uma só em caso contrário (e B será agudo). Se o ângulo A for obtuso, haverá apenas uma solução se for a>b (Figura 6.3) e B será agudo. Exercícios: 1 - Resolver um triângulo sendo dados: 1.1 )- a=10, b=15 e A=48. (Resposta: o problema não tem solução) 1.2 )- a=10, b=15 e A=3520‟. (Resposta: B1=6011‟, B2=11949‟ e os dois ângulos são válidos. C=?, c=?) 1.3 ) - a=13, b=4, A=5308‟ (Resposta: B1=1415‟, B2=16545‟, mas só é válido B1. C=?, c=?) 2 - A circunferência circunscrita ao triângulo ABC é a circunferência definida pelos seus vértices; seja r seu raio. Demonstre que o valor da proporção (03) é igual a 2r, isto é:

a  b  c  2r , senA senB senC

(031).

(Pista: Trace o diâmetro BD e considerando o r BDC (com D=A) escreve o valor de senA)

6.4 – Teorema do co-seno. Como preliminar ao estabelecimento do teorema do co-seno, devemos estabelecer um importante teorema de geometria algumas vezes dito “generalização do teorema de Pitágoras”. Consideremos um triângulo qualquer ABC, seja hb sua altura relativa ao vértice B e denotemos por m e n, respectivamente, as projeções ortogonais dos lados a e c sobre o lado b (Figura 6.1). Se o triângulo é acutângulo (figura I) m+n=b; se obliquângulo é b=n-m e A é agudo, ou b=m-n e A é obtuso (figuras II, ou III). Para as figuras I e II (em que A é agudo) escrevemos: a2=hb2+m2=(c2-n2)+(b-n)2=b2+c2-2bn,

(04);

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120

para a figura III (em que A é obtuso): a2=hb2+m2=(c2-n2)+ (b+n)2= b2+c2+2bn,

(05),

sinal , se A  90   a2=b2+c22bn, com sinal -, se A  90  ,   n  0, se A  90 (Pitágoras ) 

(06),

ou, em resumo:

o que, de fato, generaliza o teorema de Pitágoras. Notar que em vez de (04) podemos escrever também: a2=hc2+q2=(b2-p2)+(c-p)2=b2+c2-2cp,

(07),

desde que p e q sejam as projeções dos lados b e a sobre c e hc a .altura relativa ao vértice C. Da mesma forma obteríamos: a2=b2+c2+2cp,

(07 1).

Então: O quadrado do lado oposto a um ângulo agudo (ou obtuso) de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos (ou mais) o duplo produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. Exercício: Dadas as três medidas dos lados de um triângulo mostre como se pode reconhecê-lo como acutângulo, retângulo ou obliquângulo, sem construí-lo graficamente. A expressão (06), e suas análogas (07) e (07 1), é fundamental para a demonstração do teorema do co-seno. Vamos expressar trigonometricamente a projeção n de c sobre b por simples aplicação da definição de co-seno; temos, simplesmente: n=c cosA se A<90 (caso das figuras I e II); e n=-c cosA se A>90 porque, nesse caso, cosA é negativo (ver item 5.1). Assim, qualquer que seja o ângulo A (agudo, reto ou obtuso) é válida a seguinte expressão trigonométrica denominada “lei dos co-senos” para os triângulos: a2=b2+c2-2bc cosA,

(08),

b2=c2+a2-2ca cosB,

(081),

c2=a2+b2-2ab cosC,

(08 2).

e suas análogas:

121

A lei dos co-senos pode ser assim enunciada: O quadrado do lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos o duplo produto desses lados pelo co-seno do ângulo compreendido entre eles.

6.5 – Casos de resolução de triângulos em que se aplicam a lei dos cosenos. Notando que o teorema do co-seno correlaciona três lados do triângulo e um ângulo, podemos destacar mais dois outros casos de resolução de triângulos, como uma continuação daqueles apresentados no item 6.3. 3 Caso: os lados b e c e o ângulo compreendido A. A fórmula (08) dá, logo, o valor de a. Tendo este já calculado caímos no 2 caso exposto no item 6.3 Exercício: Resolver o triângulo do qual se dão: b=50 cm, c=40 cm e A=2930‟. (Respostas: a=24,86 cm, B=98 e C=5230‟) 4 Caso: os lados a, b e c. Das fórmulas (08), (081) e (082) podemos obter os ângulos, pois conhecemos seus co-senos: 2 2 2 cosA  b  c  a , 2bc

2 2 2 cosB  c  a  b , 2ca

2 2 2 cosC  a  b  c , 2ab

(09).

Exercício: Resolver o triângulo do qual se conhecem: a=13 cm, b=4 cm e c=15 cm. (Resposta: A=5308‟, B=1415‟ e C=11237‟)

7 – Exercícios diversos 7.1 – Cálculo trigonométrico da área de um triângulo. Comprove que se de um triângulo se conhecem: a) - dois lados b e c e o ângulo compreendido, A, então a sua área S pode calculada pela fórmula: S=bc senA/2. b) – os ângulos A e B e o lado a, então S=a2 senB senC/(2 senA). c) – os lados a e b e o ângulo oposto a um deles, digamos A, então a área é calculada pela fórmula de Heron:

S  p(p - a)(p - b)(p - c) , em que p=semi-perímetro do

triângulo=(a+b+c)/2. (Sugestão: considerar as (09) e S dada pelo item a) deste exercício).

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7.2 – Cálculo trigonométrico de medianas e bissetrizes. a) - A mediana ma de um triângulo, relativa ao vértice A, é a distância de A ao ponto médio do lado oposto, a. Calcule ma quando um triângulo está dado pelos lados a e b e o ângulo compreendido C, e comprove que

ma 

b2  c2  a 2 2 4

b) – O comprimento de bissetriz ba de um triângulo (ou, simplesmente bissetriz), relativa ao vértice A, é a distância de A ao ponto interseção da bissetriz do ângulo A com o lado oposto ao vértice A. Calcule ba quando um triângulo está dado pelo lado b e os ânguloa A e C, e comprove que 2 ba  bcp(p  a) , bc em que p é o semi-perímetro. 7.3 – É possível resolver triângulos fora dos (quatro) casos aqui especificados, não sem alguma astúcia. Resolva o triângulo do qual são dados: a) - a, A e ha; b) - ha, hb.e a; c) – os lados a e b e a mediana concorrente mc.

2ª PARTE – PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES CIRCULARES Para atender necessidades físicas diversas (estudo de movimentos vibratórios, ondas, correntes alternadas etc.), geométricas (resolução de quadriláteros, por exemplo), equações algébricas (do terceiro grau, por exemplo, que nos será útil) e, mesmo, de matemática avançada (séries, por exemplo) é necessário ampliar o conceito de função goniométrica visto na 1ª Parte. Mas vamos ampliar apenas o suficiente para que possam ser entendidas as soluções de alguns problemas tratadas nos nossos laboratórios e em campo.

8 – Função de ângulos quaisquer 8.1 – As funções de ângulos do 3 quadrante e do 4 Consideremos a configuração trigonométrica fundamental representada por uma circunferência trigonométrica e um par de eixos cartesianos ortogonais Oxy pra referir os pontos da mesma. Tendo sempre o raio OA como lado origem dos ângulos, os lados extremidades dos ângulos menores que 180 cortam a circunferência em pontos do primeiro ou do segundo quadrantes; tais ângulos são ditos convexos. Podemos ampliar o conceito de ângulo introduzindo os ângulos côncavos, ou os ângulos orientados (positivos e negativos) maiores que 180; estes poderão ser, então, maiores que 3 retos, ou 270, 4 retos ou 360 e até maiores que 360. É possível trabalhar, então, com ângulos com uma medida qualquer, digamos 500, 750, 1200 etc.. É geometricamente evidente que à extremidade M‟ de um arco côncavo do 3 quadrante, ou ângulo central ‟ (Figura 8.1), corresponde a extremidade M de um arco do 1 quadrante, ou ângulo , pontos esses

123

diametralmente opostos; assim, a diferença entre esses ângulos correspondentes é igual a 180, ou seja: ‟-=180. Da mesma forma, à extremidade M‟ de um arco do 4 quadrante, ou ângulo central ‟ (Figura 8.2), corresponde também a extremidade M de um arco do 1 quadrante, ou ângulo , esses pontos sendo simétricos em relação ao eixo dos co-senos; nesse caso a soma desses ângulos é igual a 360, ou seja: ‟+=360. Têm-se então da Figura 8.1: sen(β+180)=-sen β,

cos(β +180)=-cos β,

(01);

e por divisão, tg β = sen(β +180)/ cos(β +180),

(01 1).

Da Figura 8.2 obtemos: sen(360- β)=-sen β

cos(360- β)=cos β,

(02);

e por divisão, -tg β = sen(360- β)/ cos(360- β),

(02 1).

Podemos também determinar facilmente as funções de ângulos negativos mediante as mesmas funções dos seus opostos, não sendo difícil verificar-se que: sen(-β)=-sen β,

cos(-β)=cos β

tg(-β)=-tg β,

(03).

8.2 – As funções de ângulos que diferem de 90 Se dois ângulos positivos, β e β‟ correspondentes a arcos de extremidades M e M‟ (Figura 8.3), diferem de 90, um deles é maior que 90, digamos β‟>90; então: β‟=90+ β. Logo a extremidade do arco correspondente a β‟ será um ponto do 2, 3 ou 4 quadrante conforme sejam, respectivamente, 90< β‟ <180, 180< β‟ <270, ou 270< β‟ <260. Em qualquer um desses casos já sabemos determinar as funções de β‟. Tem-se, por inspeção da Figura 8.3: sen(90+ β)=cos β,

cos(90+ β)=-sen β,

(04)

e por divisão (05).

tg(90+α)=-1/tgα,

Trocando β por -β nas (04) e considerando as (03) deduzimos: cos(90-β)=sen β,

sen(90- β)=cos β

tg(90- β)=1/tg β,

(06).

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8.3 – As funções de ângulos quaisquer. As funções seno e co-seno de um ângulo menor que 360 foram definidas pelas coordenadas da extremidade do arco que lhe corresponde na circunferência trigonométrica. Como um ângulo β qualquer (maior que 360) pode sempre ser escrito na forma β=kx360+φ, com φ<360, existirá sempre um ângulo menor que 360, no caso φ, cujo seno ou co-seno seja igual ao de β, desde que estendamos as definições para qualquer ângulo. Isto é o que se deve fazer para tornar os conceitos mais gerais, pouco importando se os ângulos a considerar sejam positivos ou negativos. Encontrar as funções trigonométricas (seno, co-seno e tangente) de ângulos maiores que 360 torna-se, então, um problema resolvido, em vista da fórmula geral: β=kx360+φ, com φ<360. De fato, a função de β de certo nome (seno, co-seno ou tangente) é igual à função de mesmo nome de φ. Essas funções são casos especiais das funções ditas periódicas, isto é, funções que adquirem o mesmo valor quando a variável (no caso, β) varia de uma quantidade fixa, chamada período da função. Assim, dizemos que o período das funções seno e co-seno é 360, ou 2 radianos; mas o período da tangente é de  rd. As representações gráficas das funções seno, co-seno e tangente – curvas denominadas: senóide, co-senóide e tangentóide – estão apresentadas pelas curvas a), b) e c) indicadas na Figura 8.4, em que os eixos dos x estão graduados em radianos. a)

-4

0.5

-2

-4

-2

-0.5

-1

c) 40

-3

-2

-1

-20

-40

Figura 8.4 Deve ser observado que quando o valor do ângulo se aproxima de +90 (/2 rd  1,5708 rd), ou de -90, a tangente se torna um número muito grande.

125

Restaria, então, representar de um forma mais simples expressões dos tipos sen(kx90α), sen (kx180α),

sen(kx360α),

cos(kx90α), etc.

As soluções desses problemas estão sintetizadas Trigonométricas” apresentada no final deste Apêndice.

tabela

“Fórmulas

9 – Fórmulas para funções da soma de dois ângulos Em muitas situações pode ser necessário determinar o seno, o co-seno ou a tangente da soma de dois ângulos quaisquer em função dos senos e co-senos desses ângulos. Põem-se assim o seguinte problema geral: supostos conhecidos os senos, os co-senos e as tangentes dos ângulos α e β, calcula o seno, o co-seno e a tangente de αβ.

9.1 – Seno e co-seno da soma. Representemos no círculo trigonométrico o ângulo β correspondente ao arco de extremo M cujas projeções sobre os eixos são, cosβ e senβ (Figura 9.1). Rodemos o r OPM no plano, em torno de O, de um ângulo α. O eixo Ox irá a Ox‟; P vai a P‟ (sobre Ox‟) e M a M‟ (sobre a circunferência), de sorte que OP‟=cosβ e P‟M‟=senβ. Vamos agora projetar o r OP‟M‟ sobre o eixo dos senos, escrevendo que: projx OM‟=projx OP‟ +projx P‟M‟. Ora, por inspeção da Figura 9.1, tem-se, facilmente: projx OM‟=sen(α+β);

projx OP‟= OP‟ senα

projx P‟M‟=P´M‟ cosα,

justificando-se esta última igualdade porque o ângulo de vértice M‟, de lados perpendiculares a OP e OP‟, é igual a α. Então:

sen (  )  sen cos   sen cos  ,

(01).

Fazendo-se a projeção do mesmo triângulo sobre o eixo dos co-senos, vem: projy OM‟=projy OP‟ +projy P‟M‟, ou cos(α+β)= OP‟ cosα+ P´M‟ senα. Notando que a projeção de P‟M‟ tem sentido contrário ao do eixo Ox, resulta:

cos(  )  cos  cos   sensen ,

(02).

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126

9.2 – Seno e co-seno da diferença. As fórmulas (01) e (02) foram deduzidas considerando β>0, mas o método da projeção poderá ser aplicado, também, caso seja β<0; nesse caso obteríamos:

sen (  )  sen cos   sen cos  ,

(03).

cos(  )  cos  cos   sensen ,

(04).

Podemos englobar as fórmulas (01) e (03) numa única:

sen (  )  sen cos   sen cos  ,

(05);

cos(  )  cos  cos   sensen ,

(06).

bem como (02) e (04) em

9.3 – Tangente da soma e da diferença. Dividindo-se membro a membro (05) por (06), e depois se dividindo numerador e denominador pelo produto cosαcosβ (não nulo sempre que α90 e β90), vem:

tg(  ) 

tg  tg , 1  tgtg

(07).

9.4 – Outras fórmulas de uso comum. Fazendo α=β em (05), (06) e (07), considerando apenas o sinal +, obtemos as fórmulas que permitem calcular as funções circulares do arco 2α conhecidas as do arco α. Tem-se:

sen 2 

2tg 1  tg  2

cos 2 

1  tg 2  1  tg  2

tg2 

2tg 1  tg 2 

(08).

Considerando a fórmula fundamental sen 2   cos 2   1 tem-se também:

cos 2  1  2sen 2  ,

cos 2  2 cos 2   1 ,

(09).

Das (09) podemos então, deduzir:

tg 2   1  cos 2 , 1  cos 2

(10).

127

Por escolha conveniente de fórmulas do conjunto (05) e (06) podemos obter, somando-as ou subtraindo-as membros a membro, as expressões das somas e diferenças de senos e co-senos:

sen (  )  sen (  )  2sen cos  sen (  )  sen (  )  2 cos  cos  , cos(  )  cos(  )  2 cos  cos 

(11).

cos(  )  cos(  )  2sensen

Exercícios: 1) – Consideremos um triângulo ABC cujo perímetro será percorrido no sentido positivo (partindo de A, indo a B e depois a C). Consideremos ainda um eixo de origem no vértice A, perpendicular ao lado BC e orientado de A para esse lado. A projeção de AB sobre este eixo será positiva, a de BC será nula e a de CA negativa. Como o circuito ABC é fechado, a soma (algébrica) dessas projeções é igual a zero. O mesmo raciocínio pode ser feito em relação ao eixo conduzido pelo vértice B nas mesmas condições anteriores. Mostre que, com essas projeções é possível deduzir a lei dos senos dada por (03), item 6.3. 2) – Nas mesmas condições do exercício anterior, considere as projeções dos lados sobre o eixo de origem A e sentido coincidente com o do lado AB (de A para B). Obtenha mais duas equações de projeção (do contorno fechado ABC) sobre os eixos de origem B e C orientados de B para C e de C para A, respectivamente. Multiplique a primeira equação de projeção por c, a segunda por b e a terceira por a. Mostre, então, que por diferença entre pares dessas três expressões é possível deduzir as leis dos co-senos, (08), (081) e (083) do item 6.4. 3) – Desafio. Faça agora a projeção do contorno fechado ABC sobre o eixo coincidente com a bissetriz do ângulo interno A, com origem no vértice A, e sentido de A para o lado correspondente BC. Faça também a projeção do mesmo contorno sobre o eixo ortogonal ao primeiro, mas rodado de 90 no sentido positivo. Deduzir, então as fórmulas de Mollweide:

cos( A  B )  2   sen C  2    de onde deduzimos a fórmula de Neper :  A  B sen ( ) ab  2  c C  cos 2  ab  c

a  b  tg( A  B ) tg C . ab 2 2

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128

10 – Resolução dos quadriláteros 10.1 – Dados necessários. Seja ABCD um quadrilátero convexo; AC e BD são as suas diagonais e qualquer uma delas o divide em dois triângulos. Assim, AC define os triângulos ABC e CAD; BD define ABD e BCD. Aparentemente, três elementos de cada triângulo (logo seis elementos ao todo, dentre os quais um pelo menos deve ser uma lado) seriam necessários para determinar o quadrilátero. Mas ABC, além de ter o lado AC comum com CAD, tem também o lado AB comum com ABD e CAD tem o lado CD comum com BCD; isto é, dois triângulos quaisquer (dentre os quatro) têm um lado comum. Logo, bastará sejam dados três elementos de um triângulo e dois do outro para que o quadrilátero esteja determinado, mas pelo menos um dos dados deve ser um lado. Como são muitos os caso de resolução de quadriláteros, vamos escolher para resolução apenas os casos que tenham uma utilidade prática imediata (geralmente em Topografia).

10.2 – Problema de Snellius. Um problema preliminar ao de Snellius está em determinar a distância de dois pontos que se avistam, mas entre os quais exista um obstáculo (um buraco profundo, um rio, uma defensa militar etc.), ou mesmo, porque essa distância seja muito grande e impede praticamente uma medida direta da mesma. Para fixar idéias vamos considerar que entre os pontos A e C, cuja distância quer-se determinar (Figura 10.2), exista um (largo) rio de difícil transposição em linha reta. Usamos um artifício interessante que consiste em eleger um ponto auxiliar, B, na margem em que estamos, cuja distância c a A seja de fácil medição e do qual possamos avistar C. Assim, visando dos pontos A e B o ponto (inacessível) C poderemos resolver o triângulo então definido pelo lado AB (medido) e pelos ângulos adjacentes a esse lado: A e B. Basta calcular C=180-(A+B) e depois aplicar a lei dos senos para termos os comprimentos dos outros dois lados (particularmente a distância AB pretendida). O problema de Snellius está em determinar a distância entre dois pontos C e D numa margem do rio, avistados desde dois outros A e B da outra margem. Esse problema tem ˆC e solução porque pela solução do primeiro problema já temos três elementos: c=AB, AB ˆ C . Ao resolvermos problema análogo ao primeiro com os pontos A, B e D βA= BA

ˆ D e   AB ˆ D . Isso significa juntaremos ao conjunto de dados dois novos ângulos: BA B que poderemos calcular o lado CD do triângulo CBD, pois do primeiro problema já ˆ B = AB ˆ C - AB ˆ D ; basta aplicar conhecemos BC=a, do segundo, DB=a‟ e, por diferença: CD a lei dos co-senos.

129

É evidente que a aplicação do método exposto (independentemente da existência de rios, crateras e outros acidentes) a dada região poderia, por exemplo, levar-nos ao traçado do contorno dessa região e ao cálculo de sua área. Se os pontos de partida estivessem determinados em relação a um sistema qualquer de referência, os vértices de todos os triângulos ou quadriláteros interessados dentro dessa área estariam determinados. Ao final dos cálculos dos lados dos triângulos seria conveniente a medição real de um ao caso para comparar o resultado medido com o calculado. Estamos agora em condição de resolver numericamente o problema do 3 TP. Notar que esses problemas são resolvidos “em planta”, o que significa que as distâncias são medidas na horizontal. As visadas são feitas num plano vertical, interessando apenas o azimute dessa visada. A diferença de azimute dos dois pontos visados dará os ângulos pretendidos no problema, tal como se procede em Topografia.

10.3 – Solução trigonométrica do “problema da carta” (ou de Potenot). Um navio esta ao mar e nele está disponível uma carta (um mapa) e instrumentos para medição de ângulos. Três pontos em terra, A, B e C (Figura 10.3), visíveis do navio, estão sinalizados na carta. O chamado problema da carta consiste em determinar a posição D do navio na carta disponível e suas distâncias aos pontos em terra. Existe uma solução gráfica para esse problema utilizando o conceito de arco capaz de um ângulo. Isto permite solução com uma precisão muito satisfatória para algumas ˆ B podemos ˆ B e D= CD necessidades práticas. Se de D medimos os ângulos D= AD construir o arco capaz do ângulo D em relação ao lado AB como indicado na Figura 10.4 e arco capaz correspondente ao ângulo D em relação ao lado BC. A interseção dos dois arcos determinará a posição do navio. Pretendendo-se uma solução com maior precisão, é necessário usar recursos trigonométricos, mas deve supor-se que os dados sejam precisos para que haja alguma coerência (dados precisos, método preciso, resultado preciso). Assim, está dado com precisão o triângulo ABC (isto é, pela carta são conhecidos com precisão os seus lados e os seus ângulos). A mesma medição de ângulos utilizada no processo gráfico é utilizada no processo trigonométrico. Como a soma doa ângulos internos de um ˆD , quadrilátero convexo é igual a 360, pondo A  BA

ˆ D e B  AB ˆ C , deduzimos que C  BC

A  C  360  (B  D  D) . Aplicando o teorema dos senos aos triângulos BDA e BDC vêm:

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130

senA 

DB senD AB

senC 

DB senD . BC

Dividindo membro a membros essas igualdades, resulta:

senA  m , senC n

(01),

em que m=BC senβD

n=AB senD

medidas estas conhecidas (pois são conhecidos BC, AB e os ângulos medidos D e D). Assim, o problema proposto fica reduzido ao cálculo dos ângulos A e C conhecida a soma deles e a razão dos seus senos. Aplicando propriedades, a proporção (01) pode ser escrita na forma:

2sen ( A  C ) cos( A  C ) tg( A  C ) m  n  senA  senC  2 2 2 ,  m  n senA  senC 2 cos( A  C )sen ( A  C ) tg( A  C ) 2 2 2

(02).

Desta última igualdade tem-se, então, a tangente da metade da diferença A-C (pois A+C é conhecido); logo tem-se A-C. Reconsiderando o valor de A+C podemos calcular os valores de A e C. Passamos agora ao cálculo das distâncias de D a A, B e C. Estas podem ser obtidas pela aplicação do teorema dos senos aos triângulos ABD e BDC. Exercícios: 1) – Comprovar que o quadrado da área S do quadrilátero é dado por

S 2  (p  a )( p  b)( p  c)( p  d)  abcd cos 2 A  C , 2

(03).

2) - Os quadriláteros inscritíveis são aqueles cujos vértices são pontos de uma mesma circunferência (Figura 10.5). Os comprimentos dos seus lados são: a, b, c e d e seu perímetro, 2p=a+b+c+d; seus ângulos internos são A, B, C e D, sendo A+C=B+D=180. 2.1) – Aplicando o teorema dos co-senos aos triângulos ABD e CBD comprovar que:

cos A 

a 2  b 2  (c 2  d 2 ) e similares, 2(ab  cd )

(04);

131

2.2) – A partir das fórmulas anteriores, comprovar que:

(p  c)( p  d) e similares, cos 2 A  2 ab  cd

(05);

(p  b)( p  a ) e similares, ab  cd

(06);

sen A  2

2.3) – Por divisão membro a membro das fórmulas obtidas selecionadas convenientemente:

tg A  2

(p  a )( p  b) e similares, (p  c)( p  d)

(07);

As fórmulas acima se prestam a calcular os ângulos internos de um quadrilátero inscritível quando são conhecidos os seus lados. 2.4) – A área S do quadrilátero inscritível é dada por

S  (p  a )( p  b)( p  c)( p  d) ,

(08).

2.5) - O quadrilátero articulado é aquele cujos lados têm comprimento constante, mas ângulos variáveis. Comprove que: dentre todos os quadriláteros com os mesmos lados, o de área máxima é o inscritível. RESULTADOS DOS TP’s Nas tabelas seguintes estão resumidos alguns dos resultados encontrados nos vários trabalhos práticos desenvolvidos em sala. Nas Tabelas I, II e III e IV são apresentados os resultados do 2 TP. Delas constam as medidas dos elementos do quadrilátero apresentado em sala, e realizadas pelos alunos em sala. Esses valores serão utilizados no Apêndice IV como lista de dados para a resolução de problemas de Estatística e Probabilidade. Encontram-se ainda nestas Tabelas as medidas dos elementos do quadrilátero obtidas diretamente do Autocad. Nas Tabelas V e VI encontram-se valores calculados de diversos elementos do mesmo quadrilátero a partir de “médias” das medidas realizadas. A partir da resolução de triângulos quaisquer, é possivel a comparação entre valores calculados e medidos, a verificação de algumas propriedades do quadrilátero por comparação de medidas calculadas e medidas etc.. Exemplos típicos de cálculo são apresentados nas páginas seguintes.

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132

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS (nesta tabela os sinais se correspondem) tg 

sen cos 

sen()  sen

sen2  cos2   1 1 1  tg 2  cos2 

sen(90  )  cos  cos(90  )  sen

cos(180  )   cos 

cos(270  )  sen

tg()  tg

tg(90  )  1 / tg

tg(180  )  tg

tg(270  )  1 / tg

k   (k  par)  (1) 2 sen sen(kx 90  )   k 1  2 cos  (k  ímpar)   (1)

k 1    (1) 2 sen cos(kx 90  )   k  2   (1) cos 

tg tg(kx 90  )   1 / tg

cos(  )   cos  cos   sensen

tg(  ) 

tg  tg 1  tgtg

sen  sen  2sen



cos 2  cos2   sen2 tg2 

    cos 2 2

2tg 1  tg 2

cos 2  1  2sen2 1  cos 2 tg 2  1  cos 2

sen(360  )  sen cos(360  )  cos  tg(360  )  tg

(k  ímpar)

sen(kx180  )  (1)ksen

(k  par)

cos(kx180  )  (1)k cos 

(k  par) (k  ímpar)

sen2  2sen cos 

    cos 2 2

cos  cos  2 cos



cos()  cos 



sen(  )   sen cos   sen cos 

sen(270  )   cos 

sen(180  )  sen

tg(kx180  )  tg

sen2 

2tg 2

1  tg 

tg2 

cos 2 

1  tg 2 2

1  tg 

2tg 1  tg 2

    sen 2 2

Triângulo:

sen  sen  2 cos cos  cos  2sen

    sen 2 2

sen2A  sen2B  sen2C  2senBsenCcos A

sen(kx 360  )  sen cos(kx 360  )  cos  tg(kx 360  )  tg

sen(  )  sen(  )  2sen cos sen(  )  sen(  )  2 cos  cos cos(  )  cos(  )  2 cos  cos cos(  )  cos(  )  2sensen

A+B+C=180:

tgA  tgB  tgC  tgA tgB tgC cos2 A  cos2 B  cos2 C  2 cos A cos B cos C  1

a b c    2r senA senB senC

a2  b2c2  2bc (cos A)

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MÓDULO I (Terceira parte do livro – Apêndices)

1 TRABALHO PRÁTICO (1 TP)

OBJETIVO DO TP Esse TP é um “trabalho para casa” e deve ser realizado imediatamente. O triângulo é figura geométrica básica de que trata a Trigonometria. Por falta de tempo neste curso, suporemos conhecidos do aluno os elementos fundamentais de um triângulo e as nomenclaturas clássicas utilizadas, como: lado, ângulos internos e externos, bissetrizes internas e externas etc. Por isso, o aluno deverá fazer uma revisão rápida sobre o significado desses elementos à volta do triângulo e, se possível, deverá mantê-los de memória. Vamos julgar satisfatória a revisão feita de forma a entender todos os conceitos tratados na tabela de convenções anexa. É conveniente que cada aluno porte sempre essa tabela durante o curso para eventual consulta.

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GEOMETRIA DO TRIÂNGULO E DO QUADRILÁTERO NOTAÇÃO N o t a ç ã o A , B e C  ( A B C )  r

( A B C ) a , b e

Significado

Vértices de um triângul o, ou ângulos internos

Triângul o ABC

Triângul o retângul o ABC

Lados opostos aos vértices A, B e C

c h a

, h b

Alturas relativa s aos vértices A, B e C

h c

A ’ h

, B ’ h

Projeções dos vértices A, B e C sobre os lados opostos

135 C ’ h

b a

, b b

Bissetriz es internas relativas aos vértices A, B e C

b c

b ' a

, b ’ b

Bissetriz es externas relativas aos vértices A, B e C

b ’ c

A ’ b

, B ’ b

e C ’

Interseç ões das bissetri zes relativa s aos vértices A, B e C com seus lados opostos

m a

, m b

Medianas relativa s aos vértices A, B e C

m c

A ’ m

, B ’ m

Pontos médios dos lados a, b e c

C ’

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136

( O , R )

Circuncí rculo de centro O (circunc entro, ponto de encontro das mediatri zes) e raio R

M a

= O A ’ m

, M b

= O B ’

Mediatri zes relativa s aos lados a, b e c

. . .

( I , r )

( I a

, r a

) , ( I b

, r b

) e ( I c

Incírcul o de centro I (incentr o, ponto de encontro das bissetri zes) e raio r Exincírcul o (ou círculo exinscrito exterior ) de centro Ia (exincentro , ponto de encontro da bissetri z interna relativa a A com as exterior es

137 r c

)

relativa s a B e C) e raio ra; etc. Ortocent ro, ou ponto de encontro das alturas Baricent ro, ou ponto de encontro das medianas

 ( A ’ h

B ’ h

Triângul o órtico do (ABC)

C ’ h

)

2 p = a + b + c A B C H s  A B C D A C B D E

Perímetr o de um triângul o Grupo ortocênt rico (ou órtico) de pontos Área do triângul o Quadrilá tero de vértices A, B, C e D Primeira diagonal Segunda diagonal Interseç ão dos lados opostos AB e CD

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138

F E F

Interseç ão dos lados opostos BC e DA Terceira diagonal

A 1

, B 1

, C 1

Pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA

e D 1

A 1

C 1

Medianas

B 1

D 1

N I R M

Reta de Gauss

Área do quadrilá tero

NOTAS: 1 – Os pontos e segmentos referidos nesta tabela são os mais conhecidos e os mais utilizados na geometria do triângulo, mas existem muitos outros para estudos mais avançados. 2 – O aluno deve inteirar-se da definição dos mesmos em algum bom livro de Geometria Elementar.

MÓDULO I (Terceira parte do livro – Apêndices)

2 TRABALHO PRÁTICO Dados:

139

Estará à disposição dos alunos, no Laboratório de Mecânica de Rochas, um quadrilátero desenhado em papel comum, no formato A3, para que cada um faça, com o escalímetro (ou régua milimetrada) e o transferidor fornecidos pelo instrutor, as medidas dos elementos listados a seguir: Lados: AB, BC, CD e DA; Diagonais: AC, BD e EF; Medianas: A1C1, B1D1 Ângulos internos: A, B, C e D e ângulos externos Ae, Be, Ce e De; Ângulos internos dos quatro triângulos em que se poderia dividir o quadrilátero:  A e  A em torno de A, cuja soma é A;  B e  B em torno de B, cuja soma é B etc. As medidas  A ,  A ... não deverão ser ajustadas de modo a haver compatibilidade em torno de cada vértice. Coordenadas cartesianas dos vértices A, B, C e D em relação aos eixos ortogonais indicados. Notas: 1 - Todas as medidas deverão ser anotadas a tinta na ficha que cada aluno receberá, medidas essas que participarão de TP‟s seguintes. 2 - Todas as medidas serão feitas em duas vezes, mas em ocasiões diferentes, a cada ocasião correspondendo uma ficha. 3 – Ao terminar as medições, o aluno deverá apagar todas as indicações auxiliares (pontos médios, por exemplo) que possa ter registrado no papel A3 (para não condicionar as medidas do próximo aluno). Essas indicações, portanto, deverão ser feitas a lápis (nunca a tinta) e de leve.

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CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I: MATEMÁTICA BÁSICA BÁSICA

TRIGONOMETRIA

2 TRABALHO PRÁTICO – MEDIDA DOS ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO L e i t u r a : p r i m e i r a  s e g u n d a 

Aluno:

C o o r d e n a d a s C a r t e s i a n a s D o s

X = A

Y = X =

Â n g u l o s d o

= I n t e r n o s

Y = X =

C Y = D

B = C = D

q u a d r i l á t e r o

= A E x t e r n o s

= B e

= C e

141 = = V é r t i c e s L a d o s D i a g o n a i s

D e

= = A B

B C

C D

D A

A C

B D

E F

Medianas

Â n g u l o s i n t e r n o s

 A B C  A C D  B C D







 = D =  D

d o s t r i â n g u l o

 B D A





A =

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142 s e m q u e s e p o d e d i v i d i r o q u a d r i l รก t e r o Notas:

143

CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I: MATEMÁTICA BÁSICA BÁSICA

TRIGONOMETRIA

2 TRABALHO PRÁTICO – MEDIDA DOS ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO L e i t u r a : p r i m e i r a  s e g u n d a 

Aluno:

C o o r d e n a d a s C a r t e s i a n a s D o s

X = A

Y = X =

Â n g u l o s d o

= I n t e r n o s

Y = X =

C Y = D

B = C = D

q u a d r i l á t e r o

= A E x t e r n o s

= B e

= C e

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144 = = V é r t i c e s L a d o s D i a g o n a i s

D e

= = A B

B C

C D

D A

A C

B D

E F

Medianas

Â n g u l o s i n t e r n o s

A B C A C D B C D







 = D =  D

d o s t r i â n g u l o

B D A





A =

145 s e m q u e s e p o d e d i v i d i r o q u a d r i l á t e r o Notas:

TABELA I CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I – TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE MEDIDAS DE ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO - ÂNGULOS Aluno

Ângulos internos

Ângulos externos

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A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 MĂŠdia Desvio Coef. Var. Autocad

147 TABELA II CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I - TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE MEDIDAS DE ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO - ÂNGULOS de TRIÂNGULOS Aluno

A

 ABC B

C

A

 ACD C

B

 BCD C

D

B

 BDA D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Média Desvio Coef. Var. Autocad

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TABELA III CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I – TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE MEDIDAS DE ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO - LADOS, DIAGONAIS, MEDIANAS Aluno

Lados AB

Diagonais BD

Medianas A1C1 B1D1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Média Desvio Coef. Var. Autocad

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TABELA IV CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I – TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE MEDIDAS DE ELEMENTOS DO QUADRILÁTERO COORDENADAS DE VÉRTICES Aluno

Vértices YB XC

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Média Desvio Coef. Var. Autocad

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TABELA V CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I – TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE ELEMENTOS LINEARES CALCULADOS DO QUADRILÁTERO (a partir de médias)

Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

NOTAS:

Lados AB

Diagonais BD

Medianas A1C1 B1D1

151 TABELA VI CURSO: TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM MACIÇOS

MÓDULO I - TRIGONOMETRIA BÁSICA - 2 TP

LISTA DE ELEMENTOS CALCULADOS DOS TRIÂNGULOS, DADAS AS MÉDIAS DOS LADOS Aluno

 ABC âng int A

Área sABC

 ACD Mediana mC

Bissetriz bB

Área sACD

 BCD R

altura hB

Bissetriz bC

 BDA r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Autocad Média Desvio Coef. Var. Autocad

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3 TRABALHO PRÁTICO Objetivo: resolução do “problema de Snellius” e outros. Posição do problema: Uma equipe de topografia, estando na margem direita de um rio, pretende determinar a distância entre os pontos C e D situados na margem esquerda (Figura 01). Devido a corredeiras intensas no local, a equipe não tem acesso a essa margem esquerda, mas descobre que, na margem em que se encontra: 1) - os pontos C e D podem ser visados com facilidade; 2) – pode efetuar medidas de distância e ângulos.

Desenvolvimentos: 1 - Uma solução teórica para o problema já foi vista em sala de aula. Esta solução considera a medida do lado AB do quadrilátero ABCD e dos ângulos internos em volta dos vértices A e B. Partindo destes dados é possível calcular a distância CD (problema de Snellius). Faça isto considerando a média dos valores (de AB e de ângulos) que você mediu no quadrilátero apresentado no 2 TP e registrou em suas duas fichas. 2 – Calcule então todos os demais elementos do quadrilátero ABCD e compare-os, correspondentemente, com as médias das medidas que você realizou no 2 TP. 3 – Sendo (220,452; 27,258) e (310,391; 140,357), respectivamente, as coordenadas cartesianas (x,y) de A e B, em metros, em relação ao sistema indicado na Figura 01, calcule as de C e D e compare os resultados com as médias correspondentes obtidas das suas fichas no 2 TP. 4 – Calcule de alguma maneira a área do quadrilátero, e verifique este valor por outro caminho. 5 – Verifique se o quadrilátero ABCD é inscritível e justifique sua resposta.

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4 TRABALHO PRÁTICO Objetivo: resolução do “problema da carta (ou de Potenot)”. Posição do problema:

Um navio esta ao mar e nele está disponível uma carta (um mapa) e instrumentos para medição de ângulos. Três pontos em terra, A, B e C, visíveis do navio, estão sinalizados na carta (Figura 01). O chamado problema da carta consiste em determinar a posição D do navio na carta disponível. Desenvolvimentos: 1 – Como visto em sala, o problema tem solução gráfica. Adotando um sistema de coordenadas (em escala conveniente), loque os pontos A, B e C pelas suas coordenadas calculadas no 3 TP, fazendo um desenho. Agora, tudo se passa como se tivéssemos em mãos o tal “mapa”. Ponha em prática a referida solução gráfica (para determinar D, no desenho) utilizando as médias dos ângulos D e D que você deixou registrado nas suas duas fichas (no 2 TP). 2 – Determine graficamente coordenadas diversas, distâncias, ângulos etc. do quadrilátero obtido e compare esses valores com os calculados no 3 TP e com os que você mediu e anotou na sua ficha no 2 TP. 3 – Existem diferenças entre as medidas de elementos geométricos correspondentes. Faça uma discussão com os colegas do grupo quanto ao que se poderia esperar de algum trabalho a ser executado com base nas medidas calculadas e medidas. Por exemplo: o que significaria a diferença de posição de D determinado nas condições do 3 TP e nas condições deste TP?

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APÊNDICE II VETORES (com aplicações). 1 – Sistema de coordenadas Suporemos em tudo o que seguirá que já tenhamos elegido um sistema de coordenadas cartesianas – dito, global - para referir todos os fatos que ocorrerem em relação ao corpo a ser estudado; por exemplo, para determinar a posição de qualquer um de seus pontos. Os sistemas de coordenadas serão representados por O-X1X2X3 (ou O-XYZ), O sendo sua origem e OX1 (ou OX), OX2 (ou OY), OX3 (ou OZ) os seus eixos graduados em escala natural (Figura 01). A “ponteira” de um eixo pode apontar para um sentido, dito positivo, escolhido arbitrariamente, mas de modo conveniente. Um sistema será dito “direto”, se seus eixos estiverem orientados (pelas ponteiras) segundo a regra do observador (um indivíduo, com os pés em O, com o corpo dirigido segundo OZ e voltado para o interior do triedro, deve ver OX à sua direita e OY à sua esquerda). Podemos graduar um eixo com o auxílio de uma régua comum fazendo o zero da régua coincidir com a origem O do eixo. Nesse caso a unidade de medida da régua (o cm) é, também, a do eixo. 2 – Vetor: definição, notação Dois dados pontos A e B do espaço definem uma reta sobre a qual pode fixar-se um sentido de percurso do segmento AB (dentre os dois possíveis). Graficamente, o sentido escolhido é feito antepondo-se uma seta ao ponto ao qual se chega. Na Figura 02 o sentido escolhido é o de A para B; dizemos que AB é um segmento orientado, ou um vetor, A sendo sua origem e B sua extremidade. Denotamos o vetor de origem A e extremidade B por AB , usando seta e letras em negrito; a reta definida pelos pontos A e Bé dita a reta-suporte do vetor AB .Se todos os eixos do sistema de coordenadas utilizado para referir pontos do espaço são feitos com a mesma escala, a distância gráfica entre os pontos A e B pode ser medida utilizando-se a mesma escala; essa distância (sempre positiva) é o módulo do vetor AB e se denota por | AB | . Em física (e também em engenharia) os vetores podem representar as chamadas grandezas vetoriais, como: as forças, as velocidades, as acelerações e outras, posto que estas só fiquem perfeitamente caracterizadas quando se especificam: seu módulo (ou intensidade), direção e sentido. As tensões têm um significado muito parecido, mas devemos de imediato observar que existem algumas diferenças a serem apontadas oportunamente. Em um mesmo gráfico e utilizando as mesmas escalas é possível representar vetores de diferentes tipos: velocidade, força etc., seus significados e unidades ficando subentendidos.

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Em alguns problemas de física o vetor pode ser considerado fixo (origem e extremidade fixas). Em outros problemas o vetor pode ser considerado “aplicado” em qualquer ponto do espaço desde que seja deslocado paralelamente a si próprio. Há ainda problemas em que seja conveniente considerar um vetor como “deslizante” sobre a sua reta suporte, como no caso das forças. Quando o vetor a ser considerado não pertence a nenhuma dessas classes especiais, ele costuma ser dito um vetor livre (sendo igual a si próprio quando se translada pelo espaço afora). Os vetores deslizantes têm muito significado em Mecânica onde uma pequena teoria é desenvolvida para os mesmos. 3 - Igualdade de vetores. Tipos. O conceito é intuitivo. Dois vetores livres 1 AB e AB são iguais se têm a mesma direção (as retas suporte dos vetores são paralelas), o mesmo sentido (o sentido positivo sobre uma é idêntico ao da outra) e o mesmo módulo (| AB |=| AB |). Para dois vetores terem a mesma direção basta que suas retas-suporte sejam paralelas. Existem vetores não iguais que têm retas-suporte paralelas; estes são ditos vetores paralelos. Dois vetores paralelos que tenham ainda o mesmo módulo, mas sentidos contrários, são ditos vetores opostos. Vetor nulo (ou vetor zero) é o vetor cujo módulo é igual a zero. Graficamente, a origem desses vetores é coincidente com a extremidade; pode se denotado por AA, CC... , ou, simplesmente, por o. O vetor cujo módulo é igual a um é dito um vetor unitário. Esse vetor é apropriado para representar uma direção (uma reta) no espaço e o usaremos muito durante o curso. São denotados por letra minúscula do alfabeto latino, em negrito, encimadas por um acento circunflexo (como eˆ 2 , uˆ etc.) Aos vetores são estendidos todos os conceitos relacionados com as retas na geometria euclidiana, como: projeção, ortogonalidade, paralelismo, concorrência, ponto comum etc. Requer-se, por isso, que o aluno esteja familiarizado com a geometria. Particularmente, o ângulo de dois vetores é o menor dos ângulos de que se deveria girar um dos vetores (em qualquer sentido) para que ambos coincidissem em direção e sentido. Logo, o ângulo de dois vetores é sempre menor que 180 (Figura 03).

Doravante, quando nos referirmos a vetores, sem maiores especificações, suporemos tratar-se de vetores livres.

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4 – Operações elementares com vetores. Duas são as operações elementares a serem definidas para os vetores: a adição e a multiplicação por número real. 4.1 - Adição Sejam dados dois vetores quaisquer, AB e CD , nessa ordem; e disponhamos esses vetores consecutivamente no espaço, ou seja, de forma que a origem, C, do segundo seja coincidente com a extremidade, B, do primeiro (Figura 04). Chama-se soma de AB com CD , e indica-se por AB  CD , ao vetor cuja origem seja a origem do primeiro e extremidade, extremidade do segundo, quando estes vetores são dispostos consecutivamente no espaço. Assim,

AB  CD  AD . Na Figura 04 indicamos propositalmente um sistema de coordenadas para evidenciar que a definição dada independe de sistema de coordenadas, mas apenas dos vetores parcela. A adição de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o vetor soma desses vetores. Esta operação pode ser estendida para mais de dois vetores. Na prática é muito conveniente entender a definição dada como a aplicação da regra do paralelogramo, pois, de fato, o vetor soma pode ser entendido como uma das diagonais do paralelogramo “construído sobre os vetores a somar” (Figura 05). Aliás, essa definição nasceu dentro dos laboratórios de física. De fato, verificase em laboratório que o efeito combinado de duas forças atuantes em um “ponto” equivale mecanicamente ao mesmo efeito de uma única força atuando sobre o ponto, desde que esta seja obtida das outras duas segundo a regra do paralelogramo. Propriedades: 1) – É comutativa: AB  CD  AD  CD  AB ; 2) – É associativa: (AB  CD)  EF  AD  EF  AF  AB  (CD  EF)  AB  CF 3) – Soma com o vetor nulo: AB  CC  AB  o  AB 4) – Chama-se diferença dos vetores AB e CD , nessa ordem, e denota-se por

AB  CD a soma de AB com o vetor oposto a CD . Não é difícil comprovar que se uma das diagonais do paralelogramo construído sobre os vetores AB e CD é o vetor soma, a outra diagonal é, necessariamente, o vetor diferença. * Exercício: O ângulo formado por dois dados vetores a e b é de 37, sendo |a|= 4 e |b| =7. Calcular |s|=|a+b|, |d|=|a-b| e os ângulos de s e d com a. Faça uma figura e compare as medidas gráficas com os resultados correspondentes calculados. *

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4.2 – Multiplicação de vetor por número real Seja dado um número real qualquer, M, não nulo, positivo ou negativo. Seja dado, também, um vetor não nulo qualquer, AB , cujo módulo é | AB |. Chama-se produto de M por AB o vetor com as seguintes características: 1ª) – que seja paralelo a AB (logo, sua direção está definida); 2ª) – que tenha por módulo o produto |M| | AB |; 3ª) – que tenha o mesmo sentido de AB se M>0, ou sentido contrário se M<0. A operação de multiplicação de vetor por número real é a que tem por fim determinar o produto desse vetor pelo número real. Propriedades: 1ª) - É sempre possível e unívoca (não admite dois resultados); 2ª) – E associativa em relação a fatores numéricos: M(N AB)  (MN) AB 3ª) - É distributiva em relação à adição de números: (M  N  ...) AB  M AB  N AB  ... 4ª) - É distributiva em relação à adição de vetores: M(AB  CD)  M AB  M CD . * Exercício: Mostrar que: A: A o = o;  AB : 0 AB =o; MAB  o  M  0, ou AB  o . * 4.3 – Decomposição cartesiana de um vetor. Consideremos um sistema cartesiano direto (item 1) com três eixos, O-xyz. A um eixo qualquer podemos associar graficamente um vetor unitário com origem em O e com a ponteira apontando no mesmo sentido da ponteira do eixo; tem-se ai, então, um vetor unitário positivo (Figura 01); se o sentido adotado fosse contrário ao do eixo, teríamos a imagem de um vetor unitário negativo. Sistemas cartesianos positivos, ou bases vetoriais positivas A cada eixo do sistema de coordenadas podemos fazer corresponder um vetor unitário positivo; esses – ditos vetores de base - são perpendiculares entre si e serão representados por eˆ 1 , eˆ 2 e eˆ 3 (Figuras 01 e 06); ou, também, correspondentemente, por ˆi, ˆj, kˆ . Na escolha dos eixos e dos vetores de base, é conveniente aquela disposição dos vetores (ou dos eixos) que siga a chamada “regra do observador” (item 1); nesse caso temos um sistema cartesiano, também dito positivo e uma base vetorial dita base positiva. Os triedros indicados nas Figuras 01, 02 e 06 são todos positivos. * Exercícios: Comprove que: a) – toda vez que se inverte o sentido de um eixo de um sistema positivo, obtém-se um novo sistema que deixa de ser positivo; b) – toda vez que se invertem os sentidos de um par de eixos de um sistema positivo, obtém-se um novo sistema que também é positivo.

161

c) – toda vez que se invertem os sentidos de todos os eixos de um sistema positivo, obtém-se um novo sistema que é negativo. * Decomposição de vetores em bases positivas Qualquer vetor (não unitário) sobre um eixo, digamos, o vetor OA1  a1 sobre o eixo OX1, com origem em O e sentido concordante com eˆ 1 , terá em geral um comprimento (um módulo) diferente de 1. Se |A1| for a distância (medida na régua) de A1 até O, podemos escrever: a1  A1eˆ1 , em que A1 é um número algébrico, sendo positivo se a1 e eˆ 1 têm o mesmo sentido e negativo em caso contrário. Um vetor unitário qualquer (diferente dos vetores unitários dos eixos), aˆ  OA , com origem no ponto O e apontando no sentido de O para A, pode ser decomposto segundo as direções de cada um dos eixos coordenados. Para isso, basta fazer as projeções ortogonais do ponto A, extremidade de aˆ , sobre cada um dos eixos. Se o ponto A1 for essa projeção sobre o eixo OX1, A2 sobre o eixo OX2 e A3 sobre o eixo OX3 (Figura 06), e se o número real A1 for a abscissa do ponto A1, A2 a do ponto A2 e A3 a de A3, as duas operações estudadas permitem que escrevamos:

aˆ  A1eˆ1  A 2eˆ 2  A3eˆ 3 ,

(01).

No caso do vetor unitário aˆ , as abscissas A1, A2 e A3 podem ser determinadas com muita facilidade porque o triângulo OA1A é um triângulo retângulo e o cateto OA1 – que tem A1 tem por medida - é igual ao co-seno do ângulo 1 que fazem entre si os vetores unitários aˆ e eˆ 1 . Aplica-se o mesmo raciocínio para interpretar as duas outras projeções. Assim, podemos escrever (01) na forma:

aˆ  cos1eˆ1  cos 2eˆ 2  cos 3eˆ 3 ,

(02).

Quando forem dados os ângulos 1, 2 e 3, seus co-senos poderão ser obtidos pelas calculadoras, mas é preciso observar que

cos 21  cos 2 2  cos 2 3  1 ,

(021).

De fato, pois o vetor aˆ é diagonal do paralelepípedo cujas arestas são cos1, cos2 e cos3 (e sabemos que o quadrado da diagonal de um paralelepípedo retângulo é igual à soma dos quadrados de suas arestas). * Exercício: Comprovar que se 1=60 e 2=45 são dois dos ângulos diretores de uma direção, o terceiro ângulo é 60 ou 180- 60=120. *

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Um ponto qualquer, P, sobre a reta OA terá um vetor posicional OP (Figura 06). Como os vetores OP e OA são paralelos podemos escrever: OP | OP | OA | OP | aˆ . Então, considerando (02):

OP | OP | (cos1eˆ1  cos 2eˆ 2  cos 3eˆ 3 ) , ou seja, alicando propriedades da multiplicação de vetor por número real:

OP  (| OP | cos1 )eˆ1  (| OP | cos 2 )eˆ 2  (| OP | cos 3 )eˆ 3 ,

(03).

Se X (ou X1), Y (ou X2) e Z (ou X3) são as coordenadas de P, isto é, as projeções ortogonais de OP sobre os eixos coordenados (Figura 07), então:

OP  X1eˆ1  X 2eˆ 2  X3eˆ 3 ,

(04),

Resultado da igualdade das expressões (03) e (04) que: X  X1 | OP | cos 1  (041). Y  X 2 | OP | cos  2 ,  Z  X 3 | OP | cos  3 A expressão (04) é a decomposição cartesiana do vetor OP na base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }; os números X1, X2 e X3 são ditos, ainda, as coordenadas cartesianas do vetor em relação ao sistema cartesiano, ou em relação à base vetorial { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }. Assim, uma decomposição cartesiana exige referência a um sistema cartesiano de coordenadas e seus vetores de base. Deve ser observado que os vetores X1eˆ1 ,

X 2eˆ 2 e X 3eˆ 3 compõem, por adição, conforme (04), o vetor OP ; são ditos, por isso, as componentes cartesianas desse vetor na base { eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 }. Não se deve confundir componente com coordenada, pois componente é um vetor e coordenada é um número (ligado a uma direção). Exercícios: 1) – Dois dos ângulos diretores de uma reta que passa pela origem de um sistema cartesiano são: 1=60 e 2=45. Quais são as coordenadas cartesianas do ponto dessa reta distante 6 unidades da origem? 2) – As coordenadas de um ponto de uma reta que passa pela origem de um sistema de coordenadas são: (3; 3 2 ;3). Quais são os ângulos diretores dessa reta. 3) – São dados: a) - dois dos ângulos diretores de uma reta que passa pela origem de um sistema de coordenadas: 1=60 e 2=45; b) - as coordenadas de um ponto dessa reta: (3; 3 2 ;3). Qual é a distância desse ponto à origem? 4 – A projeção do vetor força f, de módulo 5 2 , sobre o plano O-xy do sistema cartesiano O-xyz de vetores de base (ˆi, ˆj, kˆ } é o vetor 3ˆi  4ˆj . Qual é a expressão cartesiana de f e quais são os ângulos que f faz com os eixos coordenados?

163

4.4 – As operações elementares em coordenadas cartesianas. Nesta seção vamos trabalhar com os vetores quando estes estão dados pelas por suas coordenadas cartesianas, ou pelas coordenadas da sua origem e sua extremidade. Sejam: A(A1,A2,A3), B(B1,B2,B3) as coordenadas cartesianas do ponto origem A e ponto extremidade B do vetor AB . Sendo a e b os vetores posicionais de A e B, tem-se: AB  b  a (Figura 08). Construamos o paralelepípedo que tenha AB por diagonal e faces paralelas aos planos coordenados. Torna-se evidente que podemos escrever sempre a fórmula geral:

AB  (B1  A1)eˆ1  (B2  A2)eˆ2  (B3  A3)eˆ3  b  a ,

(05),

em que os módulos das coordenadas de AB (|B1-A1|, ...) são as medidas das arestas do paralelepípedo construído. Então, para o vetor CD escreveríamos, analogamente:

CD  (D1  C1 )eˆ1  (D2  C2 )eˆ 2  (D3  C3 )eˆ 3 ,

(06),

e poderíamos evidentemente, construir paralelepípedo parecido com o da Figura 08, mas apenas parecido porque as medidas de suas arestas ((|D 1-C1|, ...) são diferentes das correspondentes do caso anterior. Não é difícil, mas trabalhoso, reconhecer que o vetor s  AB  CD tem por coordenadas os números: (B1-A1+D1-C1), segundo Ox, (B2-A2+D2-C2), segundo Oy ..., ou seja, que são as somas (algébricas) das coordenadas de mesmo nome dos vetores parcela. O mesmo raciocínio é aplicado ao analisar-se o cálculo da diferença dos vetores. O cálculo do vetor soma de dois vetores dados depende, pois, das circunstâncias em que os vetores (livres) são dados: 1) – pelas coordenadas de sua origem e sua extremidade em relação a um sistema cartesiano; 2) – sem usar nenhum sistema cartesiano, tendo, porém, alguma figura (ou corpo rígido) como referência (como no Exercício do item 4.1). 5 – Outras operações úteis com vetores. Definiremos mais duas operações muito úteis em toda a física e em toda a engenharia, as quais, aliás, nasceram também por necessidade da própria física. 5.1 – Multiplicação escalar de vetores Sejam dados dois vetores a e b pelos seus módulos (|a| e |b|), sentidos e pelo ângulo  que determinam. Chama-se produto escalar desses vetores, e denota-se por a.b, o número igual ao produto dos seus módulos pelo co-seno do ângulo entre eles. Assim,

a . b | a | | b | cos ,

(01).

A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto escalar deles.

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164

Propriedades 1) – É operação sempre possível e unívoca. 2) – É comutativa: a.b=b.a. 3) – Vetores ortogonais Pela definição (01), o produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do módulo de um deles pela projeção do outro sobre a reta suporte do primeiro. Logo, se dois vetores são ortogonais, o produto escalar deles é igual a zero. A recíproca desta propriedade é verdadeira: se é nulo o produto escalar de dois vetores, eles são ortogonais: a.b  0  a  b , (02). 4) – A operação é associativa em relação a fatores numéricos: M(a.b)=(Ma).b=a.(Mb) 5) – É distributiva em relação à adição de vetores: M(a+b+...)=Ma+Mb+... Norma e módulo de um vetor Nada impede que o vetor b seja o próprio a. Apenas nesse caso seria válido falar sobre o quadrado do vetor a, também dito, a norma do vetor a e que se denota por ||a||. Assim, ||a||=a.a. Então, se a≠o, ||a||>0. Portanto o módulo de um vetor é igual à raiz quadrada positiva da sua norma. Em resumo: a≠o  ||a||=a.a>0

|a|= a.a . Ainda, a.a=0  a=o,

(03).

* Exercícios: 1 – Calcular o produto escalar dos vetores do exercício do item 4.1. Tem-se: a.b=47cos37= 22,36179 ... 2 – Calcular, ainda, o produto escalar do vetor soma desses vetores s=a+b, pelo vetor diferença d=a-b. * Como calcular o produto escalar de dois vetores quando eles estão dados por suas coordenadas cartesianas em relação a uma base positiva {î, ˆj, kˆ } ? Nesse caso vamos escrever suas expressões cartesianas e, aplicando as propriedades vistas, operar como se estivéssemos trabalhando com polinômios. Sendo v e w quaisquer e v  V1î  V2ˆj  V3kˆ , w  W1î  W2ˆj  W3kˆ , tem-se:

v.w  (V1ˆi  V2ˆj  V3kˆ ).(W1ˆi  W2ˆj  W3kˆ ) . Ao se efetuarem as operações vão aparecer os produtos escalares dos vetores de base entre si. É conveniente ter-se a seguinte tabela de produtos de cor:

165

Produto escalar dos vetores de base

ˆi ˆj kˆ

ˆj

ˆi 1

kˆ 0

Então:

v.w  V1W1  V2 W2  V3W3 , isto é: o produto escalar de dois vetores, dados por coordenadas cartesianas em relação a uma mesma base, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas de mesmo nome. 5.2 – Multiplicação vetorial de vetores Sejam dados ainda dois vetores a e b pelos seus módulos (|a| e |b|), sentidos e pelo ângulo  que determinam. Chama-se produto vetorial desses vetores, e denota-se por ab, o vetor que tenha as seguintes características: sua direção é a do unitário nˆ cuja reta suporte é a normal ao plano definido por a e b; seu sentido deve ser fixado de forma que o triedro {nˆ , a, b} seja positivo; seu módulo seja o número igual ao produto dos módulos dos vetores pelo seno do ângulo entre eles. Então,

a  b | a | | b | sen nˆ ,

(01).

A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o produto vetorial deles. Como o número que multiplica nˆ no segundo membro de (01) é sempre positivo seja  um ângulo agudo ou obtuso, confirma-se que o sentido do produto vetorial é sempre coincidente com o do unitário nˆ que faz com que o triedro {nˆ , a, b} seja sempre positivo. Propriedades 1) – A operação é sempre possível e unívoca. 2) – É anti-comutativa: ab=-ba. 3) – Vetores paralelos O produto vetorial é numericamente igual ao módulo da área do paralelogramo construído sobre os vetores fatores. De fato, pois pondo |a| |b| sen= |a| h, com h=|b| sen, resulta que o módulo é igual ao produto da base |a| do paralelogramo construído sobre os vetores a e b pela sua altura. Logo, se dois vetores são paralelos, o produto vetorial deles é igual a zero porque o paralelogramo nesse caso tem altura nula. A recíproca desta propriedade é verdadeira: se é nulo o produto vetorial de dois vetores, eles são paralelos:

a  b  o  a || b ,

(02).

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166

4) – A operação é distributiva em relação a fatores numéricos: M(ab)=(Ma)b=a(Mb) 5) – É distributiva em relação à adição de vetores: a(v+w+...)=av+aw+... * Exercícios: 1 – Comprove que: (a+b)(a-b)=2ab. 2 – Comprove a identidade de Lagrange: (a.b)2+(ab)2=a2b2. * Poderia acontecer que os vetores fatores estivessem dados por suas expressões cartesianas em relação a dado sistema de coordenadas e correspondentes vetores de base, digamos {î, ˆj, kˆ } . Nesse caso, como calcular o produto vetorial deles? Ponhamos: a  A1î  A 2ˆj  A3kˆ e b  B1î  B2ˆj  B3kˆ e indiquemos os cálculos a fazer. Vem: a  b  (A1î  A 2ˆj  A3kˆ )  (B1î  B2ˆj  B3kˆ ) . Vamos agora aplicar a propriedade 5) da operação, isto é, vamos somar os produtos vetoriais de cada parcela do vetor a por todas as parcelas do vetor b (como se tratasse de multiplicação de polinômios), não sem observar que aparecerão produtos vetoriais entre os vetores de base ( î  î, î  ˆj etc.) . Os resultados desses produtos podem ser facilmente deduzidos e devem ser mantidos de cor; estão apresentados na tábua abaixo: Produtos vetoriais de vetores de base

ˆi ˆj kˆ

ˆi

ˆj

kˆ

kˆ - ˆj

- kˆ ˆj

ˆi

- ˆi

Concluindo os cálculos, encontramos:

a  b  (A2B3  A3B2)ˆi  (A3B1  A1B3)ˆj  (A1B2  A2B1)kˆ ,

(03)1.

6 – Aplicações 6.1 – Preliminares Uma função entre duas variáveis é qualquer condição que estabelece uma relação entre elas. Exemplos: 1) - a temperatura (primeira variável) registrada por um termômetro no DCT varia com o tempo (segunda variável); 2) – o encurtamento (variável) que um corpo de prova cúbico apresenta na direção de uma aresta varia com a tensão aplicada (variável) sobre um par de faces opostas ortogonais a essa aresta. 1

Ver Exemplo 3, item 2.2, Apêndice III,

167

A função pode ter expressão matemática e esta pode ser dos tipos: polinomial: linear: ax+by+c=0, ou y=mx+n; quadrático: y=ax2+bx+c; cúbico: y=ax3+bx2+cx+d; etc. transcendente: exponencial: y=ax+b trigonométrica: y=a cosx+b, y=a cos2x+b etc. outros, onde as letras a, b, c, m e n representam constantes (números dados). Existem também funções entre três variáveis, como a área de um retângulo (primeira variável) que é igual ao produto dos seus lados (duas variáveis); ou de quatro variáveis, como o perímetro de um triângulo (variável) que é igual à soma dos seus três lados (mais três variáveis). A função linear entre três variáveis, Ax+By+Cz+D=0 tem muita utilidade. Vamos nos ocupar apenas dos casos simples do tipo polinomial linear com duas e com três variáveis. 6.2 – Diversas formas da equação da reta no plano Equação explicita ou reduzida Consideremos num plano um sistema de coordenadas O-xy de vetores de base {ˆi , ˆj} e seja kˆ o unitário da normal ao plano. Suponhamos dados dois pontos A e B por seus vetores posicionais a e b, respectivamente (Figura 10), sendo:

a  0,7î  1,5ˆj e b  2,6î  3,1ˆj Liguemos os pontos A e B prolongando o traço nos dois sentidos, e consideremos um ponto qualquer P(x,y) dessa reta. Então, o vetor posicional p de P terá por expressão cartesiana: p  xî  yˆj . Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma reta, o vetor fixo AB e o vetor variável AP são sempre paralelos necessariamente (pouco importando se eles têm ou não o mesmo sentido). Por isso, pela propriedade 3 da multiplicação vetorial (item 5.2), o produto vetorial desses vetores deve ser nulo: AB  AP  o , ou, conforme item 4.4: (b-a)(p-a)=o. Tem-

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168

se: b-a=(2,6-0,7) î +(3,1-1,5) ˆj e p-a=(x-0,7) î +(y-1,5) ˆj . Então: [(2,6-0,7) î +(3,11,5) ˆj ][(x-0,7) î +(y-1,5) ˆj ]=o. Operando como se tratasse de polinômios (ver item 5.2), aplicando a tábua de multiplicação vetorial entre os vetores de base, resulta [(2,6-0,7) (y-1,5) -(3,1-1,5)(x-0,7)] kˆ =o. Como o vetor kˆ não pode ser nulo, então o fator numérico que o multiplica deve ser nulo para que o resultado seja o vetor nulo. Assim: (2,6-0,7) (y-1,5) -(3,1-1,5)( x-0,7) =0,

(01),

ou seja, efetuando as contas e aproximando os resultados numéricos até a quarta decimal: y=0,8421x+0,9105,

(02).

Devemos observar que um par qualquer de números (x,y) não satisfaz a expressão (02), por exemplo (0;1) pois para x=0 ela diz que y deve ser igual a 0,9105 e não 1. Diz-se, por isso que (02) é uma equação nas duas variáveis, isto é, ela só é satisfeita para certos pares (x,y) e não para qualquer par. Dizer-se que (02) é uma equação significa dizer que todos os pontos situados sobre a reta definida por A e B têm coordenadas que satisfazem (02) e que todos os pontos do plano não pertencentes à referida reta não satisfazem (02). Por isso, (02) é dita a equação da reta definida pelos pontos A e B. Vamos agora escrever (02) na forma (possível, evidentemente) da proporção

m

y  1,5 , x  0,7

(03),

com

3,1  1,5  m  0,8421 , 2,6-0,7≠0 e x-0,7≠0, 2,6  0,7

(04).

Observemos que o numerador da fração no primeiro membro de (04) é igual à diferença entre as ordenadas dos pontos A e B; e o denominador é a diferença entre as abscissas desses mesmos pontos. Logo, conforme a Figura 10, m é igual à tangente do ângulo  que a reta faz com o eixo Ox; mas esse ângulo deve ser orientado porque m pode ser nulo, positivo e negativo. O número m=tg é dito o coeficiente angular da reta. O ângulo , a inclinação da reta, pode ser entendido como o ângulo menor que 180 de que se deva girar a reta, no sentido horário, para que esta se torne paralela ao eixo Ox. Se uma reta tem coeficiente angular positivo sua inclinação sobre o eixo Ox é um ângulo agudo, pois m=tg (Figura 11.a). Se uma reta é paralela ao eixo Ox seu coeficiente angular é nulo, ou sua inclinação sobre o eixo Ox é igual a zero; e sua equação reduzida torna-se y=n. Isto significa que todo ponto da reta tem ordenada constante e igual a n. Vice-versa, toda equação do tipo y=n

169

representa uma reta paralela ao eixo Ox conduzida pelo ponto de coordenadas x=0 e y=n (Figura 11.b). Se uma reta é perpendicular ao eixo Ox, seu coeficiente angular é infinito; o que significa, conforme (05), que n tende para infinito, bem como y. Isto significa que, para certo valor de x, y pode assumir qualquer valor positivo, nulo ou negativo (Figura 11.c). No exemplo, a equação da reta seria x=0,7. Se o coeficiente angular de uma reta é negativo, sua inclinação sobre o eixo Ox é um ângulo maior que 90 (Figura 11.d).

Operando em (03), escrevemos: y  1,5  m(x  0,7) , ou

y  mx  n , com n  1,5  0,7m

(05).

O ponto Q em que a reta intercepta o eixo Oy tem abscissa zero e ordenada OQ dita ordenada na origem. Deduzimos da Figura 10:

tg 

1,5  OQ , donde, então: OQ=1,5-0,7m. 0,7

Resulta, assim, que o termo independente de x, n, na equação (05), é a ordenada na origem da reta. A equação de qualquer reta que passe pela origem é do tipo y=mx (n=0); reciprocamente, toda equação do tipo y=mx representa uma reta que passa pela origem. Toda equação do tipo y=mx+n, com m e n independentes de x e y (constantes, por exemplo), é dita equação reduzida ou explícita de uma reta. Equação geral Como a equação da reta é uma equação linear em x e y, podemos escrevê-la na forma, dita equação geral: Ax+By+C=0

(06).

Se C=0 a reta de equação geral Ax+By=0 passa necessariamente pela origem do sistema de coordenadas (porque para x=0 é y=0). Reciprocamente, se uma reta passa pela origem, sua equação geral apresenta C=0. Se denotarmos por a um vetor constante, como w  Aˆi  Bˆj , e por r  xˆi  yˆj o vetor posicional do ponto genérico de uma reta, então a equação geral (06) da reta poderá ser escrita na forma: w.r=-C, (06 1).

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170

Como C é constante e r.w é a projeção de r sobre w, resulta que w é um vetor perpendicular à reta em questão. Equação segmentária Se C≠0 podemos escrever a equação geral da reta na forma dita segmentária:

x y  1, a b

(07),

C C e b A B

(08).

com

a

Para se passar da equação segmentária dada para a geral, bastará que se faça: A=b, B=a

e C=-ab,

(09).

É fácil comprovar-se que a equação geral da reta (01) é -1,6x+1,9y-1,73=0, e que a equação reduzida é



y x   1. 1,08 0,91

Vê-se por (07) que, para y=0, é x=a; e para x=0, é y=b. Então a e b são as medidas dos segmentos (orientados) de origem O cujas extremidades são os pontos de interseção da reta com os eixos Ox e Oy, respectivamente (Figura 11); ou seja, a e b são a abscissa e a ordenada na origem, o que torna a equação segmentária muito prática para interpretações. É fácil constatar esses resultados com o exemplo numérico apresentado e pela Figura 10. Se C≠0, equação vetorial (061) pode ser escrita na forma:

(

w ).r  1 , C

(071),

sendo



w A B 1 1  ( ˆi  ˆj)  ˆi  ˆj . C C C a b

Obviamente, (071) tem (07) por expressão cartesiana. Nota: Deve ser observado que, quando as equações de duas retas estão dadas em relação ao mesmo sistema de coordenadas, é comum utilizarem-se as mesmas letras x e y como notação para as coordenadas do ponto corrente de qualquer uma delas. Mas deve ficar claro que o par (x,y) que satisfizer uma das equações poderá não satisfazer a outra equação. É o que se passa nos exercícios seguintes. *

171

Exercícios: 1) – Paralelismo de retas Comprove que a condição necessária e suficiente para que as retas Ax+By+C=0 e A‟x+B‟y+C‟=0 sejam paralelas é que os coeficientes de x e y sejam proporcionais, isto é:

A B  ; A B e para que sejam coincidentes é que

A B C   A B C Verifique se são paralelas as retas: x-y/2=2, y=2x+1 e y-3=2(x-1). 2) – Comprove que, se os pontos P0≡(x0,y0), P1≡(x1,y1), P2≡(x2,y2) estão alinhados, então:

x0 y0 1 x1 y1 1  0 . x 2 y2 1 3) – Interseção de retas Sejam duas retas dadas por suas equações gerais: Ax+By+C=0 e A‟x+B‟y+C‟=0. Então o ponto de interseção dessas retas é obtido solucionando-se o sistema de equações

Ax  By  C ,  Ax  By  C assunto que será estudado no item 4.3 do Apêndice III, mas que, nesse caso, pode se resolvido com muita facilidade. Qual a condição para que as três retas: Ax+By+C=0, A‟x+B‟y+C‟=0 e A”x+B”y+C”=0 sejam concorrentes? Pense nisso provisoriamente até que venhamos a estudar a matéria do mencionado item 4.3 do Apêndice III. * Equação normal Tracemos pela origem a reta normal à definida pelos pontos A e B (Figura 12). Seja w ˆ o unitário (de sentido arbitrário) que define essa direção e d a distância da origem à reta. As projeções dos vetores posicionais de A, B e R sobre a normal (ou sobre a reta suporte de w ˆ ) são iguais a d, evidentemente. Essa propriedade é traduzida por uma multiplicação escalar de vetores: (10). d  a.w ˆ  b.w ˆ  r.w ˆ ,

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172

A inclinação de w ˆ sobre o eixo Ox é 90+, seja  agudo ou obtuso (mas sempre positivo), desde que se dê a se a w ˆ o sentido indicado na Figura 12. Logo, a expressão cartesiana de w ˆ pode ser escrita facilmente, sendo:   w ˆ  cos(90  )ˆi  sen(90  )ˆj , ou melhor, w ˆ  sen ˆi  cos ˆj .

Logo:

d  (xˆi  yˆj).(sen ˆi  cos ˆj) , e a equação da reta é:

sen x  cos y  d  0 ,

(11).

A equação (11), expressão cartesiana da equação vetorial (10), é dita equação normal da reta. Podemos escrevê-la na forma: y=tg x + d/cos e comparar essa equação com a explicita (05). Resultam: m=tg e n=d/cos, resultados esses que poderiam ainda ser deduzidos da Figura 12. Em resumo: São quatro as formas de equações da reta: explícita (05), geral (06), segmentária (07) e normal (11). As relações entre os vários coeficientes de x, y e termo independente são:

a

C d ,  A sen

b

C d  n, B cos 

m  tg  

A b  , B a

(12).

6.3 – Duas formas de equação cartesiana do plano Equação geral do plano Não é difícil, agora, encontrar a equação do plano (no espaço, é evidente). Sejam dados os pontos P1, P2 e P3 do espaço por suas coordenadas cartesianas em relação ao sistema O-xyz: P1≡(x1,y1,z1), P2≡(x2,y2,z2) e P3≡(x3,y3,z3). Tais pontos definem um e apenas um plano no espaço. Seja P o ponto genérico desse plano, de coordenadas (x,y,z), como indicado na Figura 13. Os vetores PP1 , P1P2 e P1P3 são vetores do plano definido pelos pontos dados. Então, o produto vetorial de dois quaisquer deles, digamos P1P2 e P1P3 , por ser um vetor ortogonal ao plano, é ortogonal ao terceiro PP1 . Como o produto escalar de dois vetores ortogonais é igual a zero (ver item 5.1, propr. 3), é válido o seguinte “produto misto” nulo: (P1P2  P1P3 ).PP1  0 .

173

As expressões cartesianas desses vetores (ver item 4.3) são:

P1P2  (x 2  x1 )î  (y 2  y1 )ˆj  (z 2  z1 )kˆ , P1P3  (x 3  x1 )î  (y 3  y1 )ˆj  (z 3  z1 )kˆ PP1  (x1  x)î  (y1  y)ˆj  (z1  z)kˆ . O produto vetorial P1P2  P1P3 é um vetor que não depende de x, nem de y, nem de z; depende apenas das coordenadas dos pontos P 1, P2 e P3. O resultado do produto misto será, então, uma expressão do tipo Ax+By+Cz+D=0,

(01),

onde os coeficientes A, B, C e D são números obtidos como resultados de operações entre as coordenadas dos pontos P1, P2 e P3. A equação (01) é a equação geral dos planos. * Se denotarmos por w o vetor constante, como w  Aˆi  Bˆj  Ckˆ , e por r  xˆi  yˆj  zkˆ o vetor posicional do ponto genérico de um plano, então a equação geral (01) do plano poderá ser escrita na forma vetorial: w.r=-D,

(01 1).

Como D é constante e r.w é a projeção de r sobre w, resulta que w é um vetor perpendicular ao plano em questão. * Exemplo: Sejam: P1(1;-2;3), P2(1;-1;1), P3(2;-4;7).Tem-se:

P1P2  (1-1) ˆi +(-1+2) ˆj +(1-3) kˆ ,

P1P3  (2-1) ˆi +(-4+2) ˆj +(7-3) kˆ ,

P1P2  0 ˆi + ˆj -2 kˆ ,

P1P3  ˆi -2 ˆj +4 kˆ .

Logo, operando e aplicando a tábua de multiplicação vetorias entre os vetores de base (ver item 5.2):

P1P2  P1P3 =(0 î + ˆj -2 kˆ )( î -2 ˆj +4 kˆ )=0 î -2 ˆj - kˆ . Devemos agora efetuar o produto escalar desse vetor por PP1 , produto esse que deve ser igual a zero; tem-se:

(P1P2  P1P3 ).PP1  0 = (0ˆi  2ˆj  kˆ ) .[ (1  x)ˆi  (2  y)ˆj  (3  z)kˆ ].

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174

Utilizando os resultados da tábua de multiplicação escalar entre vetores de base (ver item 5.1), resulta:

0(1  x)  2(2  y)  (3  z)  0 , ou, 0x  2 y  z  1  0 , equação geral do plano (Figura 13.a), com A=0, B=2, C=1 e D=1. * Equação segmentária do plano Podemos escrever a equação do plano na forma dita segmentária:

x y z    1, a b c

(02),

pois da equação geral podemos escrever:

x y z    1. D D D    A B C Na equação segmentária, então, é:

a

D , A

b

D , B

c

D , C

(03).

Como o eixo Ox intercepta o plano num ponto L (Figura 13) do qual duas coordenadas são nulas, yL=zL=0, da equação segmentária (02) deduzimos logo o valor da terceira coordenada: xL=a=-D/A. No exemplo dado, esse ponto está em (menos) infinito porque, na equação geral, A=0; logo o plano é paralelo ao eixo Ox. Analogamente, o ponto M em que o eixo Oy intercepta o plano tem coordenadas x M=zM=0; logo, yM=b=-D/B; no exemplo, yM=-0,5. O ponto N em que o eixo Oz intercepta o plano é z N=c=-D/C, sendo, no exemplo zN=-1. * Se D≠0, equação vetorial (011) pode ser escrita na forma:

(

w ).r  1 , D

sendo



w A B C 1 1 1  ( ˆi  ˆj  )  ˆi  ˆj  kˆ . D D D D a b c

Não é difícil concluir que (021) tem (02) por expressão cartesiana. *

(021),

175

Pela equação segmentária torna-se evidente que se dois planos

x y z x y z   1 e   1 a b c a  b c são paralelos, os coeficientes de suas equações segmentárias devem ser proporcionais, ou seja a b c   . a  b c A recíproca é verdadeira: se os coeficientes de duas equações segmentárias de um plano são proporcionais, esses planos são paralelos. Exercício: Comprove que a condição necessária e suficiente para que os planos A B C   Ax+By+Cz+D=0 e A‟x+B‟y+C‟z+D‟=0 sejam paralelos é que: . A B C Equação normal e distância de um ponto a um plano Denotemos por w ˆ o unitário da normal ao plano de equação segmentária

x y z    1, a b c por W a interseção da normal com o plano, e por d a distância OW (da origem ao plano). Se ,  e  são os ângulos diretores da normal, então (ver item 4.3):

w ˆ  cosˆi  cosˆj  coskˆ ,

(04).

O triângulo OWL é retângulo (ângulo reto em W). Como sua hipotenusa é a, resulta que OW=d=a cos. Analogamente comprova-se que: OW=d=b cos

OW=d=c cos.

Dessas expressões deduzimos imediatamente que 1 d2  , (05), 1 1 1   a 2 b2 c2 e extraindo delas os valores de a, b e c, substituindo-os na equação segmentária e efetuando algumas operações elementares concluímos que: x cos+y cos+z cos=d,

(06).

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A equação (06) é equivalente à equação vetorial

w ˆ .r  d ,

(061).

A equação cartesiana (06) é dita a equação normal do plano, sendo algo parecida com a equação normal da reta; a equação vetorial (06 1) é a equivalente vetorial de (06). Na equação normal de um plano, um tanto obscuramente, os coeficientes são os co-senos diretores da normal a esse plano e o termo independente a distância da origem ao mesmo; isso é mostrado muito claramente pela equação vetorial (06 1). * Na equação vetorial segmentária do plano, (02 1), o vetor w  Aˆi  Bˆj  Ckˆ é definido com os coeficientes da equação geral e é, como visto, ortogonal ao plano; esses coeficientes são denominados, às vezes, coeficientes diretores. Logo w é paralelo a w ˆ , isto é, w | w | w ˆ . Então (021) pode ser escrita na forma

(

|w| w ˆ ).r  1 , D

(022).

Considerando (061), a equação normal do plano poderia ser escrita na formavetorial:

w ˆ .r  1 , d

(062).

Logo, de (022) e (062), deduzimos:

d

D |D| ,  |w| 2 A  B2  C2

(07).

Assim, se um plano for dado por sua equação geral Ax+By+Cz+D=0 podemos considerar as igualdades (03) para determinar a, b e c e a igualdade (07) para determinar d. Como cos=D/A, cos=D/B etc., conclui-se que: Dado um plano por sua equação cartesiana geral, para formar sua equação cartesiana normal basta dividir ambos os membros da geral pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos coeficientes, com o sinal + ou -, de modo que resulte positivo o segundo membro. Este expressará, então, a distância da origem ao plano. Exemplo: Seja o plano de equação geral 2x-3y+6z=5. A raiz quadrada da soma dos seus coeficientes,

22  (3) 2  62 , é 7. Logo, sua equação normal é 2 3 6 5 x y z 5 x  y  z  , ou    7 7 7 7 7 7 7 7 ( ) 2 3 6

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sendo

7 5 7 5   2,5 b     1,666... , 2 7 3 7 5 7 5 c    0,8333... e d   0,71428... , 6 7 7 a

conforme ilustrado nas Figura 14.a. Distância de um ponto qualquer a um plano Sejam dados: o plano de equação normal (061), w ˆ .r  d , e o ponto de vetor posicional r0 cuja distância  ao plano quer-se determinar. Os vetores w ˆ e r0 definem um plano no qual podemos destacar W (interseção de w ˆ com o plano dado) e a projeção ortogonal W 0 de P0 sobre o suporte de w ˆ (Figura 15). A projeção d0 de r0 sobre w ˆ (ou OW0) é dada por d 0  r0.w ˆ . Estando dada a equação (d conhecida), a distância procurada está determinada: =d0-d, o que resolve o problema. De outra forma, ponhamos, então,

w ˆ .r0  d ,

(08),

e suponhamos agora que o plano esteja dado por sua equação geral (011), w.r=-D. Sendo, como visto, w paralelo a w ˆ , é w | w | w ˆ . Lembrando (07) tem-se, por substituição em (08):



w . r0 | D | , |w|

(081).

Se P0(x0,y0,z0), a forma cartesiana de (081) pode ser escrita facilmente:



Ax0  By0  Cz0 | D | A2  B2  C2

(082).

Com (082) calcula-se, pois, a distância de P0(x0,y0,z0) ao plano dado por sua equação cartesiana geral Ax+By+Cz+D=0. Exemplo: Consideremos o plano (do exercício anterior) de equação geral 2x-3y+6z=5 e o ponto P0(3;1;1) cuja distância ao plano se quer determinar. Aplicando (08 2), devemos considerar: A=2, B=-3, C=6, D=-5 (sendo |D|=5), x0=3, y0=1 e z0=1. Resulta: =4/7.

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6.4 – Mudança de sistema de coordenadas Um ponto P, visto no espaço, tem existência independente de qualquer sistema de coordenadas; portanto, igualmente, um vetor PQ visto no espaço, porque este é definido por dois pontos (P e Q) e seu sentido (de P para Q) também independe de sistemas de coordenadas. É ai que esta uma das vantagens em trabalhar-se com vetores: tudo o que se expressa vetorialmente independe de sistemas de referência. Tudo o que independe de sistemas de coordenadas é dito um invariante; então, um vetor é um invariante. Existem grandezas físicas - uma força, por exemplo - cuja natureza impõe que não deva depender de sistemas de referência. De fato, pois uma força tem certa intensidade, é aplicada em certa direção e em certo sentido; por isso mesmo pode ser representada graficamente por um vetor com certo módulo, certa direção e certo sentido. Muitas outras grandezas físicas têm natureza idêntica à da força, como a velocidade, a aceleração, o momento de uma força em relação a um ponto etc.. Existem grandezas um pouco mais complexas que as grandezas vetoriais que são definidas por um terno de vetores e não apenas por um vetor. O exemplo mais simples entre nós é a tensão cuja conceituação é apresentada no Capítulo II do presente curso. Entretanto, não obstante esses importantes conceitos emitidos, na prática da física ou da engenharia, em vista das medições que se fazem necessárias, o uso de sistemas de coordenadas é inevitável. Em verdade, na prática da engenharia, nada se consegue sem o uso de algum sistema de coordenadas. Quando o tempo deve ser levado em consideração, usamos um “sistema de referência” que é a composição de um sistema de coordenadas cartesianas com seus vetores de base e um cronômetro para marcar-se o tempo. Coordenadas de um ponto Por sua simplicidade, vamos inicialmente discutir um problema geométrico em relação a uma mudança de sistema de referência. Para isso devemos considerar dois dados sistemas (triortogonais) S e S‟, o primeiro com vetores de base {î, ˆj, kˆ } , o segundo com vetores de base {î, ˆj, kˆ } , ambos com origem O. Dizer-se que os sistemas S e S‟ são dados significa dizer que existem relações entre seus vetores de base, ou, ainda, que é possível expressar cartesianamente os vetores de um sistema em relações aos vetores de base do outro. Digamos que estejam dados os ângulos de cada um dos vetores da base {î, ˆj, kˆ } com cada um dos vetores da base {î, ˆj, kˆ } . Denotemos por i, i e i os ângulos de î com î ,

ˆj e kˆ , respectivamente; por j, j e j os ângulos de ˆj com ˆi , ˆj e kˆ etc., como indicado na Figura 1. Então, as seguintes expressões são simultâneas:

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î  cosiî  cosiˆj  cosikˆ  ˆj  cos jî  cos jˆj  cos jkˆ ,  kˆ   coskî  coskˆj  coskkˆ

(01).

* Sejam (x,y,z) e (x‟,y‟,z‟) as coordenadas de um ponto P em relação a S e a S‟, respectivamente. O vetor posicional de P é o mesmo independentemente do sistema considerado. Então:

r  xî  yˆj  zkˆ  xî  yˆj  zkˆ  . Se substituirmos nessa expressão os vetores î , ˆj e kˆ  por suas expressões já determinadas, virá:

r  xî  yˆj  zkˆ  xî  yˆj  zkˆ   x(cos iî  cosiˆj  cosikˆ )  y(cos  jî  ...... No segundo e no quarto membros temos dois vetores expressos na base do sistema S. Sendo iguais esses vetores, podemos igualar suas coordenadas de mesmo nome. Obtemos o seguinte sistema:

x  xcos i  ycos  j  zcos k  y  xcos i  ycos  j  zcos k ,  z  xcos i  ycos  j  zcos  k

(02).

Vê-se, assim, que para um mesmo ponto (o ponto P) existem as relações (02), bem determinadas, entre as suas coordenadas. As (02) resolvem o seguinte problema: dadas as coordenadas (x‟,y‟,z‟) de um ponto P em relação ao sistema S‟, determinar as coordenadas desse mesmo ponto em relação ao sistema S. Em outras palavras: dois ternos quaisquer de números, dados ao acaso, um relativo ao sistema S, outro relativo ao sistema S‟, podem não satisfazer o sistema (02); logo, não podem representar as coordenadas do mesmo ponto do espaço em relação a S e a S‟. * Poderíamos, analogamente ao caso anterior, expressar os vetor da base S em relação aos vetores da base S‟. Teríamos:

î  cosiî  cos jˆj  coskkˆ   ˆj  cosiî  cos jˆj  coskkˆ  ,  kˆ  cosiî  cos jˆj  cos kkˆ 

(011).

Substituindo esses valores no segundo membro da expressão de r, operando, evidenciando termos e igualando as componentes de mesmo nome, encontramos as relações seguintes, muito parecidas com as (02): Tens Def Maciços - Ruggeri

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x  xcos i  ycosi  zcos i  y  xcos  j  ycos j  zcos  j ,  z  xcos k  ycosk  zcos  k

(021).

As (021) resolvem problema análogo ao já resolvido pelo sistema (02): dadas as coordenadas (x,y,z) de um ponto P em relação ao sistema S, determinar as coordenadas desse mesmo ponto em relação ao sistema S‟. Esse problema é inverso do anterior. * Esses resultados mostram claramente a veracidade do raciocínio feito anteriormente, e o reforçam. Segundo esse raciocínio, dois ternos quaisquer de números, dados ao acaso, um relativo ao sistema S, outro relativo ao sistema S‟, podem não satisfazer o sistema (02), logo também o seu inverso (021); então, não podem representar as coordenadas do mesmo ponto do espaço em relação a S e a S‟. * Podemos agora aplicar os mesmos métodos em relação ao par de pontos do espaço P e Q que definem o vetor PQ . Como as coordenadas (u,v,w) desse vetor em S são iguais às diferenças das coordenadas de mesmo nome dos vetores OQ e OP em S, nessa ordem, deduzimos que, sendo (u‟,v‟,w‟) as coordenadas de PQ em S´:

u  ucos i  vcos  j  wcos k  v  ucos i  vcos  j  wcos k ,  w  ucos i  vcos  j  wcos  k

(03).

Com igual raciocínio podemos escrever as igualdades inversas das (03), praticamente idênticas a (021):

u  ucos i  vcosi  wcos i  v  ucos  j  vcos j  wcos  j ,  w  ucos k  vcosk  wcos k

(031).

Tal como no caso dos pontos, dois ternos quaisquer de números, um relativo a S, outro a S‟, podem não satisfazer os sistemas inversos (03) e (03 1); e por isso mesmo esses ternos podem não representar o mesmo vetor. É precisamente esta condição que permitirá chamar-se o vetor de tensor de ordem um. É também esse o caminho pelo qual poderemos caracterizar o tensor de ordem dois ou diádico que é motivo de nossas preocupações nos Capítulos II, III e outros. *

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Imaginemos dois pesquisadores que, independentemente, estejam estudando um mesmo problema. Cada um determinou as coordenadas de certo vetor (comum a ambos) em relação ao seu sistema de referência, no seu laboratório. Se, com boa aproximação e com instrumentos compatíveis em termos de precisão, calibração etc., ambos tiverem realizado corretamente medidas do mesmo vetor (digamos, uma força) o que se poderá esperar desses resultados? Para verificar se os resultados se referem de fato à mesma entidade, será necessário efetuar-se uma mudança de base para que com as medidas de um deles se possam calcular as medidas esperadas do outro. Isto significa aplicar as fórmulas (03), ou as (03 1). A compatibilidade desses resultados permitirá afirmar que se trata do mesmo vetor ou tensor de ordem um. Voltaremos a esse assunto no Apêndice III onde, com o auxílio da álgebra das matrizes, poderemos dar significado mais interessante para os sistemas de equações obtidos e estender os conceitos para os tensores de ordem dois.

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5 TRABALHO PRÁTICO Este TP será desenvolvido com o gráfico do quadrilátero ABCD motivo do 2 TP; e os dados de partida são as coordenadas dos vértices desse quadrilátero determinados pelo Autocad, constantes da última linha da Tabela IV do Apêndice I (Trigonometria). 1ª Parte do TP: Problemas: 1) – Determinar as equações cartesianas: geral, explicita, segmentária e normal dos quatro lados do quadrilátero ABCD. Calcular as coordenadas dos pontos E e F de interseção desses lados e compará-las com as seguintes, fornecidas pelo Autocad: E (29,70; 20,30) e F(4,50; 24,50). 2) – Calcular as coordenadas dos pontos médios das três diagonais e as do ponto de interseção das medianas. Comprovar que esses quatro pontos são colineares. (Resp.: ponto médio de EF: X = 16,68 cm ; Y = 22,42 cm; ponto médio de AC: X = 15,95 cm ; Y = 9,51 cm; ponto médio de BD: X = 16,15 cm ; Y = 13,04 cm) 3) – Comprovar que as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero são (15,59;13,19).

2ª Parte do TP: Corta-se o papel A3 em que foi desenhado o quadrilátero ABCD segundo os lados AD e CD, rodando-se o triângulo ACD solto em torno do lado AC de forma que ele se disponha em um plano ortogonal ao plano do papel. Tem-se formado o tetraedro ABCD, com duas faces ortogonais ACD e ABC, essa contida no plano do papel. Sendo possível, cole um retalho de papel por traz do desenho e complete o reticulado do sistema de coordenadas eliminado quando do dobramento. Problemas: 3) – Determine as equações cartesianas: geral, explicita, segmentária e normal das quatro faces tetraedro ABCD formado; 4) - Determine a distância da origem a cada um desses planos e a distância de C à face ABD. 5) – Calcule o volume de ABCD.

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APÊNDICE III ANÁLISE COMBINATÓRIA BÁSICA, MATRIZES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE EQUAÇÕES, AUTO VALORES E AUTOVETORES, DERIVADAS.

1 – Análise combinatória básica. 1.1 – Arranjos simples Sejam dados n objetos distintos; as letras a, m, o e r da palavra amor, por exemplo. Podemos formar conjuntos diversos de agrupamentos ordenados com essas letras, todos os agrupamentos tendo algumas características comuns, como: conter todas as letras (em qualquer ordem). Um desses agrupamentos seria a própria palavra amor; outro seria roma; outro, ramo e outros que nem existem no dicionário, como mrao. Vamos estabelecer um critério de formação de agrupamentos ordenados bem diferente do anterior. Em primeiro lugar, nesse novo, podemos considerar agrupamentos com 1, 2, 3 ou 4 letras; enquanto que, no anterior, em cada agrupamento entravam todas as letras. Em segundo lugar, vamos formar agrupamentos, digamos de três objetos, e considerar como distintos, ou diferentes, dois agrupamentos com os mesmos três objetos, mas em ordens diferentes, como: rom e mro; ou com pelo menos um objeto diferente, como: rmo e rma, ou rmo e mra etc.. Com as 4 letras é possível, pois, formar alguns agrupamentos desse tipo. Antes de contar esses agrupamentos, vamos ampliar esse conceito com a seguinte definição. Definição: Chamam-se arranjos simples de n objetos p a p (p=1, ou 2, ou 3, ..., ou n), quaisquer agrupamentos ordenados de p objetos que se possam formar com os n objetos dados considerando diferentes aqueles cujos objetos diferirem pela natureza ou pela odem em que foram dispostos. O número de arranjos de n objetos agrupados p a p que se podem formar com os n objetos distintos dados é denotado por Anp, ou Apn . No exemplo, esse número seria A43; n=4 letras, formando grupos de 3. Dizer-se que dois agrupamentos diferem pela natureza significa dizer que em um deles aparece um objeto que não aparece nos outros, como em rmo e rma. Ao considerarmos p=1 teremos, evidentemente, n agrupamentos. No exemplo teremos quatro agrupamentos: a, m, o e r, que atendem à definição dada. Ao considerarmos p=2 teremos os seguintes agrupamentos: am, ao, ar, mo, mr, or, que diferem pela natureza; e: ma, ao, ra, om, rm e ro, que diferem entre si pela natureza e dos anteriores pela ordem. Temos um total de 12.

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Ao considerarmos p=3 teremos os seguintes agrupamentos: amo, moa, oam e os de ordem invertida:, oma, aom e mao; amr, mra, ram e os de ordem invertida: rma, arm, mar; aor, ora, rao e os ordem invertida: roa, aro e oar; mor, orm, rmo e os de ordem invertida: orm, mro, e omr. Encontramos, assim, um total de 24 agrupamentos. Para p=4 teremos ainda 24 agrupamentos; são eles: amor, aorm, armo e os de ordem invertida: aorm, amro, e aomr; mora, mrao, maor e os de ordem invertida: maro, moar, mroa; etc. Vamos agora desenvolver um método geral de contagem dos arranjos de n objetos p a p. Imaginemos dispostos em uma linha todos os arranjos dos n objetos p-1 a p-1, num total de Apn 1 . Faltará em cada agrupamento formado n-(p-1) dos objetos dados. Debaixo de cada um dos arranjos alinhados, estes formado com p-1 objetos, formemos uma coluna com n-(p-1) linhas acrescentado ao arranjo de partida cada um dos n-(p-1) objetos ausentes. Como por hipótese, havíamos disposto em linha todos os Apn 1 dos objetos, teremos assim formado um quadro com o número total Apn de todos os arranjos p a p. Então:

Apn  [n  (p  1)]Apn -1 , o primeiro fator indicando o número de linhas e o segundo o número de colunas do quadro. Como A0n  1 , correspondente ao agrupamento vazio, com nenhuma letra, podemos escrever, partindo da fórmula encontrada:

A1n  nA0n  n ,

A2n  (n  1)A1n  n(n  1) ,

A3n  (n  2)A2n  n(n  1)(n  2) ,

e assim por diante. Resulta então a fórmula geral:

Apn  n(n  1)(n  2)...[n  (p  1)] ,

(01).

Exemplos: 1) - Com as letras da palavra amor podemos formar 432 arranjos simples com 3 letras, o que confirma o resultado encontrado anteriormente. 2) - Quantos números com p=4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9? Resposta: 10987=5.040. 3) – Quantos conjuntos distintos de p=3 letras podemos formar com as letras a, b, c, ...j, k, l, ..., x, y, z e w num total de 27? Resp.: 272625=17.550. 4) – Quantas placas distintas de veículos contendo 3 letras dentre as 27 listadas no exemplo anterior e 4 dos 10 números de 0 a 9? Resp.: 373635=46.620. *

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1.2 - Permutações simples Os arranjos simples de n objetos n a n constituem agrupamentos especiais nos quais, como visto, entram todos os objetos em qualquer ordem. Definição: Dados n objetos distintos, chama-se permutação desses n objetos a qualquer agrupamento deles em que entre todos os objetos. O número total de permutações de n objetos é representado por Pn, e pode ser determinado imediatamente pela (01) onde se faça p=n. Tem-se:

Pn  n(n  1)(n  2)...3  2 1 . Para simplificar a representação do número de soluções P n adotou-se um simbolo que representasse o produto de todos os números inteiro de 1 até n: n!, que se lê: n fatorial, ou fatorial de n. Assim, Pn=n!, (02). Uma permutação qualquer de n objetos pode ser considerada, por simples escolha, como fundamental; é apenas uma permutação de referência. Digamos, dentre as permutações com as letras a, m, o e r, a permutação fundamental poderia ser amor, como também poderia ser roma ou qualquer outra permutação possivel. Ao se formarem as permutações com n objetos, cada objeto ocupará todos os postos possiveis. Então, em relação à permutação escolhida como fundamental, dado objeto numa permutação qualquer pode estar na posição dianteira ou trazeira em relação a outro dado objeto da permutação fundamental. Por exemplo: na permutação mroa, a letra a esta na dianteira de r enquanto que na fundamental (amor) ela está na trazeira. Definição: Dada uma permutação qualquer de n objetos, diz-se que há uma permanência da ordem de dois objetos quaisquer quando eles ai aparecerem na mesma ordem que estam na permutação fundamental. No exemplo dado acima, na permutação mroa as letras o e m aparecem na mesma ordem em que aparecem na fundamental amor: de fato, m está antes de r; então houve permanência. Mas o mesmo não ocorre com as letras a e r; logo, não houve permanência. Definição: Dada uma permutação qualquer de n objetos, diz-se que há uma inversão da ordem de dois objetos quaisquer quando eles ai aparecerem em ordem inversa à que se encontram na permutação fundamental. No mesmo exemplo acima (permutação mrao e fundamental amor) existe inversão entre as letras: m e a, r e a, r e o. Definição: Diremos que w é o número de inversões de uma permutação quando o número total de inversões contadas de cada objeto para todos os seguintes for igual a w. Tens Def Maciços - Ruggeri

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Ainda no último exemplo, o número total de inversões na permutação mrao é 3: uma de m para a, outra r para a e outra de r para o. Esses conceitos permitem classificar as permutações em: “de classe par” ou “de classe ímpar” conforme o número total de inversões que nela ocorra seja par ou ímpar. Um teorema, devido a Bézout, diz que toda vez que numa permutação qualquer se permutam dois objetos entre si, objetos consecutivos ou não, ela muda de classe. Demonstre isso. *

1.3 - Combinações simples Definição: Chamam-se combinações simples de n objetos p a p, aos diversos agrupamento de p objetos que se podem formar com os objetos dados considerando distintos aqueles que diferirem pela natureza dos seus objetos, cada objeto figurando uma só vez em cada agrupamento. O número das combinações de n objetos p a p é representado por Cpn . Imaginemos dispostos em linha todas as combinações de n objetos p a p, Determinemos as Pp=p! permutações de todos os objetos de cada uma dessas combinações e disponhamos estas permutações em coluna, cada uma ocupando uma linha. Ora, o quadro obtido é o dos Apn pois qualquer um dos agrupamentos de uma coluna do quadro difere dos demais da mesma coluna pela ordem dos seus objetos; e diferem, ainda, de qualquer agrupamento de outra coluna pela natureza dos seus objetos. Como o total de agrupamentos do quadro é igual ao número P p de linhas vezes o número Cpn de colunas, resulta: Apn  Pp Cpn . Assim,

Cpn 

Apn n(n  1)(n  2)...(n  p  1) .  Pp p!

Multiplicando o numerador da fração no segundo membro por (n-p)! devemos também multiplicar o denominador para que ela não se altere. Então:

Cpn 

n(n  1)(n  2)...(n  p  1)(n  p)! . p!(n  p)!

Como o novo numerador é igual a n!, obtemos finalmente a fórmula de larga aplicação:

Cpn 

n! , p!(n  p)!

(03).

Para garantir a existência de uma combinação com zero objetos põe-se, por definição: C0n  1 .

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Exercícios: 1) – Comprove que: Cpn  Cnn  p e Cpn  Cpn 1  Cpn 11 (relação de Stiefel). 2) – O Triângulo de Pascal é uma tabela na qual, para diversos valores de n, se tem o total das combinações de n objetos p a p, com p=0,1,2,... Construa um Triângulo de Pascal para n até 10.

2 – Determinantes. 2.1 – Matriz quadrada Uma grade, também dita grelha, ou quadro, é uma figura geométrica plana formada por duas famílias de retas paralelas eqüidistantes. As p retas de uma família, ditas linhas da grade, em geral cortam ortogonalmente as q retas da outra, estas ditas as colunas da grade, em pq pontos; tais pontos são chamados vértices, ou postos da grade. Uma matriz é um conjunto de objetos, em geral números e vetores 1, alocados organizadamente em uma grade. As nomenclaturas dos elementos da grade: linhas, colunas e postos, são transferidas integralmente para as matrizes. Particularmente, linhas e colunas de uma matriz são ditas as “filas” dessa matriz. Quando pq a matriz é dita retangular; em caso contrário, quadrada. As matrizes são denotadas pelas letras maiúsculas do alfabeto latino, A, B C, ..., dispostas entre colchetes: [A], [B], .... Vamos nos referir a uma matriz [A] de p linhas e q colunas na forma: “matriz pxq [A]”. Os objetos de uma matriz serão, em geral, representados com as letras minúsculas correspondentes à utilizada para representá-la: matriz [A], de objetos a; matriz [B], de objetos b, ..., mas com dois índices. Os índices têm por função alocar organizadamente os objetos na matriz; são “índices literais” ou “índices numéricos”, dispostos no lado inferior direito da letra minúscula representativa dos objetos, ocuparão duas “casas” distintas num mesmo nível ou em níveis diferentes, e serão escritos em tipo cerca de 30% menor que o da letra, como: a ij, a14, a23, a25 ou a34 , nunca a 12 , a 52 etc.. Agora, para alocar os objetos na matriz: 1) - numeramos as linhas da matriz de cima para baixo de 1 até p, e as colunas, da direita para a esquerda de 1 até q; 2) – dispomos o elemento aij na i-esima linha e j-esima coluna. Assim, escreveremos: [A]=[aij] etc.. Exemplo numérico: - uma matriz 2x3 [A], de números:

1,2  3.1 0.5 [ A]    , com a11=1,2; a12=-3.1, a13=0,5, a21= 2 etc.  2 0  1 Os objetos das matrizes linhas ou das matrizes colunas podem, eventualmente, receber apenas um índice por motivos óbvios, pois só têm uma linha ou uma coluna. Exemplo: - matriz 1x3 [U], de vetores:

[U]  u1 u 2 u 3  . 1

Não é comum usar vetores como elementos de matrizes, mas nós os usaremos aqui com algumas vantagens.

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Uma matriz [A]=[aij] é escrita, em forma cheia, como representado a seguir, onde faltam alguns elementos: a11 a12 a13  a 23 a 21 a 31 a 32 [A]   a 41 a 42   a 63 a 61

a14 a16   a 24 a 25 a 26 a 34 a 35 a 36 ,   a 54  a 65 

(01).

Nesta seção as matrizes que nos interessam são as quadradas. As matrizes em geral serão consideradas no item 3. * Exercício: Complete a representação da matriz apresentada acima.

2.2 – Definição de determinante É prudente fazer-se, de imediato, a advertência de que matriz é conceito totalmente distinto de determinante. Uma matriz numérica é um conjunto ordenado de números dispostos numa grade; determinante, como será definido, é um número só. Toda matriz quadrada [A] de ordem n, de elementos aij, apresenta um determinante, denotado por det[A], ou |a|: um número que se deduz dessa matriz segundo uma regra específica de operação entre os seus elementos. Assim, por definição,

det[ A] 

 (1)

( 1 , 2 ,... n )

a 11 a 2 2 ...a n n ,

(02),

a somatória estendendo-se para todas as permutações α1, α2, ..., αn dos elementos 1, 2, ..., n, k valendo 0 se a permutação é de classe par e 1 se é de classe ímpar (ver seção 1.2). A ordem n da matriz é dita, por conveniência, o grau do determinante. O número det[A] é, então, uma somatória de n! parcelas, pois, como visto na seção 1.2, com os ‟s podemos formar Pn=n! permutações. A parcela correspondente à diagonal principal da matriz é chamada termo principal do determinante e a ele corresponde a permutação fundamental dos ‟s; a parcela correspondente à diagonal secundária, chama-se termo secundário. O determinante de uma matriz com um só elemento é igual a esse elemento. Aplicando-se a definição (02) podemos deduzir que a matriz 2x2

a 12  a [A]   11 , tem por determinante: det[A]=a11a22- a12a21, a 21 a 22  sustificando-se o sinal negativo da segunda parcela porque o número total de inversões nessa parcela é ímpar (igual a 1, índice 21).

193

Da mesma forma, a matriz 3x3

 a 11 a 12 [A]  a 21 a 22 a  31 a 32

a 13  a 23  , tem por determinante: a 33 

det[A]=a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21-a31a22a13-a32a23a11-a33a12a21, não sendo dificil justificar os sinais negativos. Os determinantes das matrizes de até ordem 3 podem ser calculados aplicando-se uma regra equivalente à definição (01), denominada regra de Sarrus. Segundo esta regra (Figura 1): 1)- repetem-se a primeira e a segunda colunas ao lado da terceira; 2)- calcula-se a soma dos produtos dos elementos da primeira, segunda e terceira diagonais descendentes; 3)calcula-se, analogamente, a soma dos produtos dos elementos da primeira, segunda e terceira diagonais ascendentes; 4)- subtrai-se a segunda soma da primeira. Nota: A regra de Sarrus não se aplica aos determinantes de ordem maior que três. Exemplos numéricos:

2 1  1) - [A]    3  1

 det[A]=2x(-1)-3x1=-5;

1  1 4 2) - [A]  3 0 2  det[A]=1x0x1+(-1)x2x1+4x(-1)x3-1x0x4-(-1)x2x1-1x(-1)x3=01  1 1 2-12-0+2+3=-9. 3) - O produto vetorial indicado em (03), 5.2, Ap. II, onde {ˆi, ˆj, kˆ} é base positiva pode ser escrito na forma: ˆi ˆj kˆ

a  b  A1 A2 A3 . B1 B2 B3

2.3 - Propriedades Vamos destacar, sem demonstração, apenas algumas das propriedades dos determinantes. P1 – Se os elementos forem todos do primeiro grau, o determinante é um polinômio do grau n; P2 – Num determinante de grau superior a 1, há tantos termos positivos quanto negativos; P3 – Em cada parcela do determinante figura um e um só elemento de cada linha e de cada coluna;

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194

P4 – Se todos os elementos de uma fila de um determinante são nulos, esse determinante é nulo; P5 – O valor de um determinante não muda quando permutamos as linhas com as colunas de mesma ordem; P6 – Se os elementos de um mesmo lado da diagonal principal são todos nulos, esse determinante fica reduzido ao termo principal; P7 – Se os elementos de um mesmo lado da diagonal secundária são todos nulos, 2

esse determinante fica reduzido ao termo secundário, dotado do sinal (1) C n ; P8 – Quando se permutam duas filas paralelas de um determinante ele muda de sinal; P9 – Todo determinante que tenha duas filas paralelas iguais é nulo; P10 – Se multiplicarmos ou dividirmos os elementos de uma fila por um número k, o determinante ficará multiplicado ou dividido por k; P12 – Um determinante que tenha duas filas paralelas proporcionais é nulo; P13 – É nulo o determinante no qual uma fila seja uma combinação linear dos elementos de outras filas paralelas; P14 – O valor de um determinante não muda se a uma fila somarmos (ou subtrairmos) uma fila paralela; Exercícios: 1) – Aplicando as propriedades P9 e P10, mostrar, sem desenvolver, que são nulos os determinantes:

1 tg 2  1 / cos 2  1 1 tg 2  1 / cos 2  ., x 2 ay 1 tg 2  1 / cos 2 

x x3 by

x 1 x . y

2) – Comprovar, aplicando propriedades, que

1 2 cos 2  2 2  1 2 cos 2 1 1

sen sen  sen (  ) ; 1

bc a a b ca b  4abc ; c c ab

a 1 b x c x2

xn x n 1  0 x n2

(para x0);

1 1 1 1 1 a1 1 1 1 1 a 2 ... ... ... 1 1 1

... 1 ... 1 ... 1  a 1a 2 ...a n , ... ... ... 1  a n

1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x ... ... ... 1 1 1

... ...

1 1 1  ( x  n ) x n 1 . ... ... ... 1  x

2.4 – Menores. Menores diagonais. Cofator. Chama-se determinante menor de um determinante dado a qualquer determinante que dele provenha por supressão de umas tantas linhas e igual número de colunas.

195

Exemplo: Se no determinante:

1 2 4 1 4  2 1 2 2 2 3 3 3 3 1 5 1  3 1 3 0 1 2 0 1 suprimirmos as linhas de ordens 1, 3 e 5 e as colunas de ordens 2, 3 e 4, obteremos o menor  2 2 . Ordem de um menor é soma das ordens de todas as linhas e colunas que entram 5 3 na sua formação; no exemplo, o menor é de ordem 1+3+5+2+3+4=18. Um menor de um determinante chama-se menor diagonal quando a sua diagonal principal for constituída de elementos da diagonal principal do determinante dado. O menor citado no exemplo não é diagonal, mas o é o menor de ordem 8:

1 2 2 1 1 3 . 1 0 1 Diz-se que um menor CM é complementar ou cofator do menor M de um determinante , quando CM é formado pelos elementos comuns às linhas e colunas suprimidas para a formação de M precedido do sinal + ou – conforme a ordem de M seja 2 4 1 par ou ímpar. No exemplo, o cofator de  2 2 (de ordem 18) é + 3 3 3 . 5 3 1 2 0 * Exercício: Demonstre que: 1) – um menor qualquer de um determinante e o seu cofator têm suas ordens de mesma paridade; 2) - todo menor diagonal é de ordem par. * Os conceitos de menor e cofator são importantes para o cálculo dos determinantes de graus elevados. Demonstra-se, então, o seguinte teorema. Teorema (Lapalace) Um determinante qualquer é igual à soma de todos os produtos dos Cnp menores que se obtêm em p de suas filas pelos seus respectivos cofatores. Assim, seja calcular

1  0 4 3

0 1 1 3 1 2 0 3

2 4. 5 2

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196

Vamos selecionar as duas primeiras colunas, com as quais podemos obter C 42 menores do grau 2, isto é, 6. Aplicando o teorema de Laplace escrevemos:



1 0  2 5 1 0 3 4 1 0 3 4 0 11 2 0 1 1 2 4 1 1 2 .  .  .  .  .  .  0 1 3 2 4 1 3 2 3 0  2 5 4 13 2 3 0  2 5 3 0 3 4

 1x(19)  1x(6)  0  (4)(4)  (3)x9  (3)(2)  19  6  16  27  6  36. De uso mais comum é o corolário seguinte deste teorema. Corolário 1: Todo determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos seus respectivos cofatores. * Exercício: Aplique este corolário para confirmar o resultado do cálculo anterior. * A propriedade seguinte (um outro corolário do teorema de Laplace) é também muito útil na prática do cálculo dos determinantes. Corolário 2: Se todos os elementos de um fila de um determinante são nulos, exceto um, esse determinante é igual ao produto desse elemento pelo seu cofator. Utilizaremos ainda, para comprovar outras propriedades dos determinantes um terceiro corolário do teorema de Laplace. Corolário 3: A soma dos produtos dos elementos de um fila de um determinante pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela à primeira é igual a zero. * Exemplo:

2 1 3 4 e Consideremos, por exemplo, a segunda linha do determinante:    2 1 3 4 2 os cofatores dos elementos da primeira linha; estes são:

1 4 ,  2 4 e 2 1 . 4 2 3 2 3 4

Tem-se: -2x 1 4 +1x(   2 4 )+4x(  2 1 )=(-2)x18+1x(-16)+4x5=0, 4 2 3 2 3 4

197

como queríamos verificar. * Existem outros meios para se calcular um determinante de ordem elevada (aplicação do teorema de Hoüel e da regra de Chió, por exemplo).

2.5 – Produto de determinantes. Chama-se produto de dois determinantes A e B, de mesmo grau n, o determinante P, do grau n, cujo elemento pij , da i-esima linha e j-esima coluna, seja a soma dos produtos dos elementos da linha i de A pelos correspondentes elementos da coluna j de B.

1 3 5 4 1 2 Exemplo: se A   2 4 3 e B  3 2  5 , então os elementos de P são: 2 0 2 4 2 0 p11=1x4+3x3+5x(-4)=-7; p12=1x(-1)+3x2+5x2=5; 2)x4+4x3+3x(-4)=-8; etc. Assim:

p13=1x2+3x(-5)+5x0=-13;

p21=(-

 7 15  13 P   8 16  24  2016 , 16 6 4 resultado que pode ser confirmado, pois P deve ser igual a AxB. De fato, tem-se: A=-42 e B=48. * Exercício: Procure um artifício que permita calcular o produto de dois determinantes de graus diferentes. *

2.6 – Determinantes: adjunto e recíproco. Como visto (item 2.4), cada elemento de um dado determinante tem o seu cofator, conceito que, aliás, foi fundamental para o cálculo desse determinante aplicando o Corolário 1 do Teorema de Laplace. Chama-se determinante adjunto de um determinante dado, , e se denota por ~, o determinante que se obtém de  substituindo-se cada um de seus elementos pelo respectivo cofator. Exemplo:

 6  19 9 6 2 4 1 2 4 ~ 13  7   19 13 10 Se   3 0 2 então:   2 2 3 5 4 10  6 9 7 6

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198

Lembrando o Corolário 1 do Teorema de Laplace vemos que, se multiplicarmos  por ~, o produto dos elementos da primeira linha pela primeira coluna será igual a , bem como o da segunda linha pela segunda coluna e o da terceira linha pela terceira coluna. Lembrando o Corolário 3 vemos que a soma dos produtos dos elementos da primeira linha de  pelos correspondentes elementos da segunda coluna de ~ é igual a zero; da mesma forma, é igual a zero a soma dos produtos dos elementos da primeira linha de  pelos correspondentes elementos da terceira coluna de ~. Esses mesmos resultados são válidos para a soma dos produtos dos elementos da segunda linha de  pelos elementos da primeira coluna de ~ etc. Logo: Teorema: O produto (comutativo) de um determinante  de ordem n pelo seu adjunto ~ é igual à potência n de : ~

.   .  n ,

(01).

Logo: Corolário: O adjunto de um determinante do grau n é igual à potência n-1 desse determinante: ~

  n 1 ,

(02).

* Exercício: Confirme (01) e (02) com o determinante do exemplo dado. * Uma matriz quadrada pode ter determinante nulo e não nulo; no primeiro caso ela é dita singular ou degenerada; no segundo completa ou não degenerada. Exemplo de matriz degenerada:

1 3 1 1 3  1   sendo [A]  2  1 5  , tem - se : det[ A]  2  1 5  0 . 1 0 2  1 0 2 Consideremos o determinante adjunto ~ do determinante  de uma matriz não degenerada (logo 0). Nestas condições, 0, existe um novo determinante que se obtém de ~ dividindo todos os seus elementos por ; vamos denotá-lo por -1. Ora, dividir todos os elementos de um determinante do grau n por um número k significa dividir cada uma de suas filas (linhas ou colunas) por esse número. Nesse caso, conforme a propriedade P10 (item 4.2) o determinante ficará dividido por k n, ou seja, por n. O determinante assim obtido é, então, ~ dividido por n, isto é: ~

1  n , 

(03).

199

Por substituição de (02) em (03) deduzimos facilmente:

. -1   -1 .  1 ,

(04).

Em vista da propriedade (04) o determinante -1 é denominado o determinante recíproco ou inverso de . *

2.7 – Exercícios (Determinantes notáveis) Determinantes notáveis são os determinantes que se apresentam sob uma forma especial; por isso mesmo permitem um cálculo quase que imediato. Determinante de Vandermond. É o determinante do tipo

1 a 2 V(a , b,...,p)  a ... a n 1

1 b b2 ... b n 1

1 c c2 c n 1

... 1 ... p ... p 2 , ... ... ... p n 1

(05).

Teorema: O determinante de Vandermond é igual ao produto de todos os binômios que se obtêm subtraindo cada letra de todas as seguintes: V(a,b,...,p)=[(b-a)(c-a) ... (p-a)] [(c-b)...(p-b)] [... ,

(05 1).

Exercícios:

1) - Comprovar que 1 2x 4x 2  2x3 ;

1 3x 9x 2 2) - Mostrar que os valores de x que anulam o determinante

1 2 4 1 3 9 1 5 25 1 x x2

8  27 125 x3

são 2, -3 e 5; 3) – Demonstrar que V(1,2,3,...n)=1!2!3!...(n-1)!.

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200

Determinante secular. É o determinante do tipo

a1  X b1 c1 a2 b2  X c2 S  a3 b3 c3  X ... ... ... an bn cn

... p1 ... p2 ... p3 , ... ... ... p n  X

(06).

Na prática interessa mais de perto os determinantes seculares simétricos, isto é, os determinantes S tais, que a2=b1, a3=c1, ...an=p1, b3=c2, etc. Em qualquer caso, porém, é válida a seguinte propriedade. Teorema: O determinante secular de ordem n é o polinômio:

S   n   n 1X   n 2 X 2  ...  0 X n ,

(061),

em que n é determinante S quando se cancela X; n-1 é a soma dos menores diagonais do grau n-1 de n; n-2 é a soma dos menores diagonais do grau n2 de n etc. e 0=1. * Exemplo:

S

1 X 2 1 1 2 1 2 2X 1  2 2 1  ( 2 1  1  1  1 2 )X  (1  2  1)X 2  X 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1  X 1 1 1

ou S=X3+4X2-X-9. * Exercício: Comprovar, aplicando a propriedade (06 1), a resposta do quinto determinante do exercício 2 apresentado no item 4.2:

1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x ... ... ... 1 1 1

... ...

1 1 1  ( x  n ) x n 1 . ... ... ... 1  x *

201

Determinante ortogonal. É o determinante do tipo

a1 a2 R  a3 ... an

b1 b2 b3 ... bn

c1 c2

... ... ... ... ...

p1 p2 ... , ... pn

(07),

cujos elementos satisfaçam as n condições seguintes: (a1)2  (a2)2  ...  (an)2  1  (b1)2  (b2)2  ...   (bn)2  (c1)2  (c2)2  ...  (cn)2  ...

(071)

e as Cn2 outras,

a1b1  a2b2  ...  anbn  0  a1c1  a2c2  ...  ancn  ...   b1c1  b2c2  ...  bncn  ...

(072)

O determinante R pode ser escrito também na forma

a1 b1 R  c1 ... p1

a2 b2 c2 ... p2

a3 b3 c3

... ... ... ... ...

an bn cn , ... pn

(073).

Então, multiplicando (07) por (073), e considerando as igualdades (071) e (072),vem:

0 ... 0

R 0

1 ... 0  1 ,

... ... ... ... ... 0

0 ... 1

expressão que traduz a seguinte propriedade dos determinantes ortogonais: O valor de um determinante ortogonal é +1 ou -1. Oportunamente daremos uma interpretação geométrica para o determinante ortogonal. Tens Def Maciços - Ruggeri

202

3 - Matrizes Vimos na seção 2.1 a definição de matriz, alguma nomenclatura e a notação utilizada; é recomendável uma revisão daquela seção nesse instante.

3.1 – Igualdade de matrizes. Duas matrizes de mesma ordem têm sempre elementos que se correspondem, isto é, têm elementos de mesmos índices; são elementos diferentes que ocupam os mesmos postos. Dadas duas matrizes, [A] e [B], de mesma ordem mxn, diremos que elas são iguais se seus elementos correspondentes forem iguais. * Exemplo: Que valores devem ser dados às letras m e n para que sejam iguais as matrizes

2  m 3  1 [ A]     4 2 5 

 1 3 n  [B]   ?  4  2 6  n

Devem ser: 2+m=-1, -1=n e 5=6+n, isto é: m=-3 e n=-1. * Em geral, escrevemos: Se [A]  [a ij ] e [B]  [b ij ] , para i=1,2,...,p e j=1,2,...,q, diremos que essas matrizes são iguais, e escreveremos [A]  [a ij ]  [B]  [b ij ] , se a ij  b ij , qualquer que seja o par i,j.

3.2 – Matrizes especiais Os elementos aij de uma matriz quadrada [A] de ordem n, correspondentes a i=j, ocupam a sua diagonal principal; os elementos aij tais, que i+j=n+1 ocupam a sua diagonal secundária. Os elementos aij e aji – cujos índices estão invertidos – ocupam posições simétricas na matriz [A] em relação à diagonal principal. Assim, a 23 é simétrico de a32 (e vice-versa). Se, para dada matriz quadrada, verificar-se a igualdade aij=aji para todos os valores de i e j, diremos que esta matriz é simétrica. Assim, é simétrica a matriz

 1 2 3  [A]   2 0.5  5 .  3  5 4 

203

Se verificar-se a igualdade aij=-aji para certa matriz, ela será dita anti-simétrica e todos os elementos da sua diagonal principal serão nulos necessariamente. Pois devendo ser a11=-a11, resulta: a11=0; o mesmo se dando com todos os elementos da diagonal principal. Assim é anti-simétrica a matriz

 0 1 2  [B]   1 0  3 .  2 3 0  Quando, ao contrário da matriz anti-simétrica, são nulos todos os elementos de uma matriz, exceto os da diagonal principal, dizemos que essa matriz é diagonal. Exemplo:

2 0 [ D]   0  0

0   1 0 0  . 0 3,1 0   0 0 3 2 0 0

Em algumas situações uma matriz diagonal, como a [D] acima, pode ser representada na forma compacta: [D]=diag(2; -1; 3,1;

2 ).

Quando são iguais todos os elementos de uma matriz diagonal, ela é dita uma matriz escalar; e o valor único dos elementos é dito o escalar da matriz. Exemplo:

 3,1 0  [ A]    , cujo escalar é -3,1.  0  3,1 Se o escalar de uma matriz diagonal é igual a 1 ela é dita uma matriz unidade (cuja ordem é a ordem da matriz diagonal correspondente). As matrizes unidade são sempre denotadas por [I], a sua ordem ficando implícita quando não houver perigo de confusão. Assim, 1 0 0 1 0   [1],  , 0 1 0 0 1 0 0 1  

etc. são matrizes unidades de ordens 1, 2, 3, ....

Qualquer matriz com elementos todos nulos é dita matriz zero. As matrizes zero são denotadas por [0], ou, quando não houver perigo de confusão, por 0 simplesmente.

3.3 – Operações com matrizes. 3.3.1 – Adição e subtração de matrizes Chama-se soma das matrizes [A]=[aij] e [B]=[bij] de mesma ordem pxq, a matriz pxq [C]=[cij] cujo elemento cij é igual à soma dos elementos correspondentes aij e bij das matrizes [A] e [B] (que são ditas parcelas da matriz soma). Assim:

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204

 a 11  b11 a  b 21  21 [A]  [B]  a 31  b 31   ...  a p1  b p1 

a 12  b12 a 13  b13 ... a 1q  b1q  a 22  b 22 a 23  b 23 ... a 2q  b 2q  a 32  b 32 a 33  b 33 ... a 3q  b 3q  ,  ... ... ...  a p 2  b p 2 a p3  b p3 ... a pq  b pq 

(01).

A adição de duas matrizes é a operação que tem por fim determinar a soma delas. * Exemplo numérico:

 1 3 1   0  1 2 Se [A]    e [B]   1  3 2 , 0 2  1     então:

 1  0 3  1 1  2   1 2 3 [A]  [B]    .  0  1 2  3  1  2  1  1 1 * Propriedades da adição A adição de matrizes goza das seguintes propriedades: 1 – É associativa: [A]+([B]+[C])=([A]+([B])+[C]; 2 – É comutativa: [A]+[B]=[B]+[A]; 3 – Adição com a matriz zero: [A]+[0]=[A] A diferença de duas matrizes é definida analogamente à soma: [A]-[B]=[C] com [cij]=[aij-bij]. A operação correspondente chama-se subtração das matrizes e goza das mesmas propriedades da adição. Exemplo:

 1  0 3  1 1  2   1 4  1 para as mesmas matrizes anteriores: [A]  [B]    .  0  1 2  3  1  2  1 5  3 3.3.2 – Multiplicação de matriz por número Chama-se produto do número M pela [A], e se indica por M[A], à matriz de mesma ordem que [A] cujos elementos são os elementos correspondentes de [A] multiplicados pelo número M. * Exemplo:

1  1 2  3x1 3x (1) 3x 2 3  3 6  se [A]   e M=3, então: M[A]     . 3 0 5 3x3 3x 0 3x5 9 0 15

205

* Essa operação goza das seguintes propriedades: 1) – produto pelo número 1: 1[A]=[A]; 2) – produto pelo número 0: 0[A]=[0]; 3) – associatividade: Nx(M[A])=(NxM)[A]); 4) – distributividade em relação à adição de números: (M+M)[A]=N[A]+M[A]; 5) – distributividade em relação à adição de matrizes: M([A]+[B])=M[A]+M[B]. 6) - Se [A] é matriz quadrada de ordem p, então det(M[A])=M p det[A], pois todos os elementos de det[A] forma multiplicados por M. A matriz –[A]=(-1)[A] é denominada oposta de [A], sendo: [A]-[B]=[A]+(1)[B]=[A]-[B]. 3.3.3 – Multiplicação de matrizes Consideremos duas matrizes [A] e [B], mas tais, que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda; por exemplo:

 1 1  1 2   [ A]    e [B]   0  , 3 0 5  1 

(02).

O elemento aij - da i-esima linha e j-esima coluna de [A] - tem um elemento correspondente na j-esima coluna de [B]. Notar que j foi repetido nessa expressão. Se fixarmos um valor para i, digamos i=1, então cada elemento da primeira linha de [A] tem um correspondente na coluna de [B]. Assim, 1 se corresponde com -1, -1 se corresponde com 0 e 2 se corresponde com 1. Da mesma forma cada elemento da segunda linha de [A] tem o seu correspondente em [B]. Podemos então definir um produto de [A] por [B] como sendo uma matriz com o número de linhas de [A] (no caso, duas) e uma única coluna, o elemento da primeira linha da matriz produto 2x1 sendo igual à soma dos produtos de cada elemento dessa linha pelo seu correspondente de [B]. O elemento da segundo linha da matriz produto seria obtido analogamente. Assim, se indicarmos o produto de [A] por [B] por [A][B] teremos:

1x (1)  (1) x 0  2x1 1 [A][ B]    .  3x (1)  0x 0  5x1  2 Podemos agora expressar pela multiplicação de matriz quadrada por matriz coluna os resultados encontrados na seção 6.4 do Apêndice II relativos a mudanças de sistemas de coordenadas. Por exemplo, o sistema (01) lá exposto, é escrito na forma:

 ˆi   cos i ˆ    j    cos  j kˆ  cos k  

cos i cos  j cos k

cos i  ˆi    cos  j  ˆj  , cos  k kˆ 

(021).

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206

Se a matriz [B] tivesse duas colunas procederíamos de forma análoga. Por exemplo: se fossem

  1 4 1  1 2   (03), [ A]    e [B]   0 5 , 3 0 5    1 6 a matriz produto teria, agora, primeira coluna igual à obtida anteriormente, mas uma segunda coluna diferente. Assim: 1 1x (4)  (1) x5  2x 6 1 11 [A][ B]    . 2 3x 4  0x5  5x 6  2 42 Vamos agora generalizar esses procedimentos por uma definição que englobe quaisquer matrizes com a única condição de que o número de colunas da primeira matriz [A] seja igual ao número de linhas da segunda [B].

Chama-se produto da matriz [A]=[aij] pela matriz [B]=[bjk] para as quais j=1,2,...q (a primeira tem q colunas e a segunda q linhas), à matriz [C]=[cik] tal que

c ik  a i1b1k  a i 2 b 2k  a i3 b 3k  ... a iq b qk Esta definição engloba os exemplos apresentados. De fato, no primeiro caso, i=1,2 e j=1,2,3: a matriz [A] tem três duas linhas e colunas; e k=1 pois a matriz [B] (alem de ter três linhas) tem apenas uma coluna. No segundo exemplo: i=1,2, j=1,2,3 para [A] e j=1,2,3 e k=1,2 para [B]. Resulta da definição que a matriz produto tem tantas linhas quantas forem as linhas de [A], e tantas colunas quantas forem as colunas de [B]. Exemplo: sendo

3 [ A]   1

2 1 2 8 1 e [B]   0  4 0 3  3

 1  3 , 1  1

(04),

tem-se:

3x(1)2x(3)8x1  1x1  11 0   3x2  2x1  8x0  1x3 [A][B]     1x2  (4)x1  0x0  3x3 1x(1)  (4)x(3)  0x1  3x1  7 14 A multiplicação matricial é a operação que tem por fim determinar o produto de duas matrizes e, quando possível, goza das seguintes propriedades: 1) – Em geral, não é comutativa: [A][B][B][A], nem mesmo quando as matrizes são quadradas. Mas [A][I]=[I][A] qualquer que seja (de ordem compativel com a de I);

207

2) – É associativa: [A]([B][C])=([A][B])[C]; 3) – É associativa em relação a fatores numéricos: M([A][B])=(M[A])[B]; 4) – É distributiva em relação a fatores matriciais: ([A]+[B])[C]=[A][C]+[B][C], ou [C]([A]+[B])=[C][A]+[C][B]; 5) – Se [A][X]=[0] qualquer que seja [X], então [A]=[0] necessariamente (mas isto não significa que não existam matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula de ordem compatível). * Exercícios: 1) – Expressar matricialmente o sistema de equações lineares:

a 11x  a 12 y  a 13z  b1  a 21x  a 22 y  a 23z  b 2 a x  a y  a z  b 32 33 3  31 2) - São dadas as matrizes:

[A]  1 3

2 e [B]  5 4 7

6 , 8

(05).

a) – Comprovar que [A][B][B][A]; b) – Comprovar que [A][I]=[I][A], [B][I]=[I][B], ([A][B])[I]=[I]([A][B]). c) – Comprovar numericamente que det([A][B])=det[A]xdet[B]=det([B][A]). 3) – Formas quadráticas. a) - Se x y é uma matriz linha em que x e y são números variáveis, desenvolva a expressão matricial denominada “forma quadrática binária”:

F  x

a 12  x  a y  11   y . a a 12 22   

b) – Para quais pares de valores (x;y) a forma acima assume o valor 1? Qual o significado geométrico disso?

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c) – A expressão:

F  x

a11 a12 a31x   y z a12 a 22 a 23y . a31 a 23 a33z

é uma “forma quadrática ternária”. Qual o significado do conjunto de ternos (x;y;z) que a satisfazem para F=1? 4 – Potenciação matricial. O produto de uma matriz quadrada [A] por ela própria um número n de vezes é a sua potência enésima, que se denota por [A]n. Mantêm-se as mesmas nomenclaturas da álgebra ordinária dos números: quadrado, para n=2; cubo para n=3 etc.. Prove que: a) - [A]p[A]q=[A]p+q e ([A]p)q=[A]pq; b) – Se [A] é matriz escalar, de escalar M, então: [A]p=Mp[I]; c) – ([A]p)T=([A]T)p 5) – Se T  cos   sen , mostre que T.T =T+.  sen cos   6) – Chamaremos matriz anti-triangular de ordem n, e a denotaremos genericamente por Aant(n), a matriz quadrada cujos elementos são nulos, exceto pelo menos um dentre os situados abaixo (ou acima) da diagonal principal. Comprove, então que:

0 0 0 0 0   n n sendo Aant(2)    , Aant(2) =[0] para n>1; se Aant(3)  a 0 0 , então Aant(3) =[0] para a 0   b c 0 n>2; generalizar. 3.3.4 – Transposição matricial. Duas matrizes são ditas transpostas quando as linhas de uma são, na mesma ordem, as colunas da outra. Então [A]=[aij] e a matriz de elementos [aji] são transpostas; denotaremos [aji] por [A]T. Exemplo: as matrizes

1  1 2  1 [ A]    e  1 3 0 5  2

3 1 0 são transpostas, isto é: [A] T   1  2 5

Da mesma forma:

 1   se [B]   0  , então: [B]T   1  1 

1 .

3 0 . 5

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Transposição de uma dada matriz [A] é a operação que consiste em determinar uma matriz que seja transposta com [A], isto é, determinar [A] T. Essa operação goza das seguintes propriedades: 1) – Se uma matriz [A] é simétrica, ela é igual à sua transposta: [A]=[A] T; se [B] é anti-simétrica, ela é igual ao oposto de sua transposta: [B]=-[B]T; 2) – Transposta do produto de um número por uma matriz: (M[A]) T=M[A]T; 3) – A transposição dupla de uma matriz é operação invariante: ([A] T)T=[A]; 4) – A transposta de uma soma (diferença) de matrizes é a matriz soma (diferença) das transpostas das matrizes parcelas: ([A][B])T=[A]T[B]T; 5) – A transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas dessas matrizes multiplicadas em ordem inversa: ([A][B]) T=[B]T[A]T. De fato, o elemento da linha i e coluna j da matriz ([A][B]) T é igual ao elemento da linha j e coluna i da matriz [A][B]: Aj1b1i+ Aj2b2i+ Aj3b3i+... Ajpbpi. Esta expressão é evidentemente, a soma dos produtos dos elementos da linha i da [B]T pelos seus correspondentes da coluna j de [A]T; isto é, é igual ao elemento comum da matriz [B]T[A]T. 6) – Os determinantes de matrizes transpostas são iguais. Logo, considerando o exercício 3 do item 4.3, o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. 7) – A soma (diferença) de qualquer matriz com a sua transposta é matriz simétrica (anti-simétrica). Pois, se [C]=[A]+[A]T tem-se, sucessivamente: [C]T=([A]+[A]T)T=([A]T+([A]T)T=([A]T+[A]=[C]. Analogamente se demonstra o caso de anti-simetria. 8) – O produto de qualquer matriz (quadrada) pela sua transposta é matriz simétrica. Pois, se [D]=[A].[A]T, vem: [D]T=([A].[A]T)T=([A]T)T[A]T=[A][A]T=[D]. 9) – Decomposição aditiva das matrizes quadradas: Qualquer matriz quadrada pode ser decomposta na soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica. Pois qualquer que seja a matriz quadrada [A], tem-se sempre: [A]=([A]+[A])T/2+([A]-[A])T/2. A primeira parcela, simétrica (pela propriedade 7), é dita a parte simétrica de [A]; a segunda, anti-simétrica (pela mesma propriedade), é dita a parte anti-simétrica de [A].

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Exercícios: 1 - Considerando as matrizes (04) do item 5.3, calcular: a) – 2[A]+3[B]T; b) – ([A]-2[B]T)(3[A]T+[B]); c) – [C]=([A][B])2 e [D]=([B][A])2 2 – Considerando as matrizes quadradas (05) do item 5.3: a) – calcular [F]=([A]+[B])([A]-[B]) e comprovar que ([A]+[B])([A][B])[A]2-[B]2. b) – calcular [F]3.

x 3 – Comprovar que, em multiplicação, as matrizes  3y comutam com a matriz 0 3

y  x x y  e  x  y y  3x

1 . 1

4) – Estabelecer as condições para que a matriz produto de duas matrizes simétricas seja simétrica. 3.3.5 – Matriz adjunta e matriz inversa. É fácil constatar que se

1 [ A]   2  3

2 4 5

3 1  5 e [B]   3  2 6 

3 3 1

2  1 , 0 

(06),

então:

1 [A][B]  0 0

0 1 0

0 0  [B][ A] , 1

(07),

isto é existem matrizes quadradas cujo produto é comutativo e igual à matriz unidade de ordem compatível. Denomina-se inversa de uma dada matriz quadrada a uma segunda matriz que comute com a primeira e cujo produto seja igual à matriz unidade de ordem compatível. Denotaremos a inversa de [A] por [A]-1, de sorte que: [A][A]-1=[A]-1[A]=[I],

(08).

211

A inversão matricial é a operação que consiste em determinar a inversa de uma dada matriz. Teorema: Toda matriz não degenerada admite uma e uma única inversa Consideremos a matriz, por hipótese não degenarada,

 a 11 a [A]   21 ...  a n1

a 12 a 22

a 1n  a 2n  ,  a nn 

... ... ... ...

a n2

det[A]0.

Chama-se adjunta de [A], que se indica por [A]~, a matriz obtida de [A]T substituindo-se nesta cada elemento pelo seu cofator extraído de det([A] T). Denotemos por Aij o cofator do elemento aij em [A]T. Então, de

 a 11 a [A] T   12 ...  a  1n

a 21 a 22 .. a 2n

... ...

A 21 A 22 ... A 2n

...

a n1  a n2  ...   a nn 

deduzimos:

 A 11 A [A]~  12 ...  A  1n

...

A n1   ,  A nn 

sendo, por exemplo,

A 12  (1)

1 2

a 21 a 23 ... a 2n

a 31 a 33 ... a 3n

... ...

a n1 a n3

...

a nn

;

A 13  (1)

1 3

a 21 a 22 ... a 2n

a 31 a 32 ... a 3n

... ...

a n1 a n2

...

a nn

etc.. Observemos que os números Aij de [A]~ são cofatores dos elementos aij de [A]. Assim, o número

a ij A jk  a i1A1k  a i 2 A 2k  a i3 A 3k  ... a in A nk representa a soma dos produtos dos elementos da linha i de [A] pelos elementos da coluna k de [A]~. Para concluir os cálculos vamos nos lembrar de dois teoremas conhecidos na teoria dos determinantes: 1) – a soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de um

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determinante pelos seus cofatores é igual a esse determinante; 2) - a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) de um determinante pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero. Então, para i=k, temos:

a 1j A j1  a 11A11  a 12 A 21  a 13A 31  ... a 1n A n1  det[A] ,

a 2 j A j2  a 21A12  a 22A 22  a 23A 32  ... a 2n A n 2  det[A] etc. Para ik, temos:

a 1j A j2  a 11A12  a 12A 22  a 13A 32  ... a 1n A n 2  0 , a 2 j A j1  a 21A11  a 22A 21  a 23A 31  ... a 2n A n1  0 ,

a 1j A j3  a 11A13  a 12A 23  a 13A 33  ... a 1n A n3  0 etc. Assim, multiplicando [A] por [A]~, obteremos uma matriz cujos elementos da diagonal principal (de índices iguais) são todos iguais a det[A], e todos os demais são nulos; ou seja, obteremos uma matriz escalar (ver item 3) cujo escalar é det[A]. Escrevemos: [A][A]~=det[A] [I],

(09).

Conseqüentemente se multiplicarmos a matriz [A]~ pelo inverso de det[A], ou seja, se dividirmos todos os elementos de [A]~ por det[A], obteremos a inversa de [A] pois o produto de [A] por esta matriz é igual à matriz unidade. Poderíamos fazer raciocínio análogo ao estudar o produto de [A] ~[A]; concluiríamos que: [A]~[A]=det[A] [I],

(09 1),

o que conclui a demonstração do teorema. * Exemplo numérico: Seja comprovar que em (07), [B] e [A] são inversas, isto é, ambas satisfazem a igualdade (08). Esquema:

1 de [A]   2  3

2 4 5

3 1  5 , escreve-se: [A] T  2 3 6 

2 4 5

3 5 . 6

Calculam-se os cofatores dos elementos de [A]T. Tem-se:

A11  (1)11  4 5

5  24  25  1 , 6

A12  (1)1 2 2 3

5  15  12  3 , 6

213

 4  10  12  2 , A13  (1)13 2 3 5 Tem-se, ainda:

A 21  (1) 21  2 5

3  15  12  3 , etc.. 6

det[A]=1x(-4)x6+2x(-5)x3+3x5x(-2)-3x(-4)x3-5x(-5)x1-6x2x(-2)=1. Logo: [B]=[A]-1. * Propriedades da inversão Podem ser comprovadas as seguintes propriedades: 1) - O determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante dessa matriz: det[A]-1=1/det[A],

(10);

2) – A inversa de um produto de matrizes em certa ordem é igual ao produto das inversas das matrizes multiplicadas em ordem inversa: ([A][B])-1=[B]-1[A]-1,

(11).

3) – A transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta dessa matriz: ([A]-1)T=([A]T)-1,

(12).

4) – Se [A][X]=[0] e [A] é não degenerada, então [X]=[0]; mas se [A][X]=[0], pelo menos uma das matrizes fatores deve ser degenerada. * Exercícios: 1) – Mostre como resolver por meio das matrizes e operações com matrizes o sistema de equações apresentado no exercício 1 do item 5.3. 2) - Prove que: a) - [A]-p[A]-q=[A]-(p+q) e ([A]-p)q=[A]-pq; b) – Se [A] é matriz escalar, de escalar M, então: [A]-p=M-p[I]; c) – ([A]-p)T=([A]T)-p.

1 1  1 1 1 1  1 1  x 3) – Mostre que a matriz 1 1 1  y 1  é invertível se xyz0. 1 1 1 1  z 

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x 4) – Mostre que a matriz  x x  x

a a a x b b  é invertível se x0, xa, xb e xc. x x c x x x 

5) – As matrizes A, B, C e X seguintes são quadradas e invertíveis. Resolva as equações em X: AX=B;

XA=B;

X-1A=B;

(AX)T=B;

(AX)-1=B;

[(AX)-1B]T=C.

3.3.6 – Matriz ortogonal Consideremos a matriz

1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 / 2 0  1/ 2      T [R ]   1 / 2  1 / 2 1 / 2  cuja transposta é [R ]  1 / 2  1 / 2  1 / 2  . 1 / 2 1 / 2   1 / 2  1 / 2  1 / 2   0  Calculando-se a inversa, [R]-1, verificamos que ela é igual a [R]T. Concluímos, assim, que existem matrizes cuja transposta é igual à inversa. Estas matrizes gozam, pois, da propriedade fundamental: [R][R]T=[R]T[R]=[I],

(13).

Cada coluna de qualquer matriz 3x3 pode ser assimilada às coordenadas de um vetor numa dada base vetorial. Assim, em relação a essa base, a qualquer matriz 3x3 estão associados três vetores que podem eventualmente estar dispostos no espaço de um modo especial; poderiam, por exemplo, ser ortogonais entre si. Na seção 6.4 do Apêndice II tratamos do problema da mudança de sistemas ortogonais de coordenadas e respectivas bases vetoriais. As expressões lá deduzidas puderam ser expressas em forma matricial, como exposto na seção 3.3.3; mas agora vamos afirmar que a matriz que transforma um terno de vetores no outro é uma do tipo [R}. Vejamos por quê. As matrizes [R] que gozam de (13), gozam ainda das seguintes propriedades: 1) – As linhas de [R] representam vetores unitários e ortogonais entre si. Vamos considerar duas linhas quaisquer, digamos a primeira e a segunda. Em [R] T essas linhas são a primeira coluna e a segunda. Na formação do produto [R][R] T deveremos multiplicar a primera linha de [R] pela primeira coluna dde [R] T, caso em que obteremos o quadrado do primeiro vetor que deve valer 1 (porque [R][R] T=[I]); logo esse vetor tem módulo 1. Da mesma forma, o produto da segunda linha de [R] pela segunda coluna de [R] T devendo valer 1 implica que o módulo desse segundo vetor também é igual a 1. Ao multiplicarmos a primeira linha de [R] pela segunda coluna de [R] T devemos obter resultado igual zero, o que significa que esses vetores são ortogonais (além de cunitários. O mesmo raciocínio permite concluir que a terceira linha de [R] representa um vetor unitário ortogonal aos outros dois simultaneamente.

215

Em geral, se ai1, ai2 e ai3 são os elementos da linha i de [R], os da coluna j são a j1, aj2 e aj3, o produto da linha pela coluna sendo, então: ai1 aj1+ ai2 aj2+ai3 aj3, que, segundo (13), deve valer 0 se ij, ou 1 se i=j. Para i=j o produto calculado (igual a 1) é o de um vetor por si próprio, isto é, sua norma; para ij esse produto é o de dois quaisquer deles (logo, ortogonais). Em vista dessa propriedade característica de [R], ela é dita matriz ortogonal. De outro lado, os resultados deduzidos na seção 6.4 do Apêndice II, truaduzidos matricialmente por (021) da seção 3.3.3, mostram que a matriz que transforma o terno dos vetores ortogonais de uma base no terno dos vetores ortogonais da outra base é uma matriz ortogonal. Em Geometria comprova-se que, por movimento de rotação, o terno dos vetores de uma base pode ser superposto com os vetores da outra base. Por isso, uma matriz como [R] costuma ser denominada também de matrizes de rotação, conforme o contexto. 2) – O determinante de uma matriz ortogonal é um determinante ortogonal (ver item 4.6)., isto é: det[R]=1. 3) – A transposta e a inversa de [R] gozam também da propriedade (13). Da fato, para comprovar basta substituir em (13) [R] por [R] T e [R] por [R]-1.

4 – Sistemas de equações algébricas lineares. 4.1 – Conceitos preliminares Uma expressão algébrica é um conjunto de letras e números submetidos às diversas operações definidas na Álgebra. Exemplos: x/(x-1), 2x, senx+cosx, ax(x-y)+2, etc. Quando uma letra de uma expressão pode representar um número qualquer de um conjunto ela é dita variável e em geral as representamos pelas últimas letras do alfabeto latino: x, y, z ...; quando uma letra deve representar apenas um valor, ela é dita um parâmetro e a representamos por uma das primeiras letras do alfabeto (a, no último exemplo). Termo é uma expressão algébrica na qual não haja interposição do sinal + ou do -. O primeiro e o segundo exemplos são termos, o terceiro e o quarto exemplos têm dois termos. Chama-se coeficiente de um termo a expressão formada pelo conjunto de letras e números do termo em que não figurem as variáveis (já especificadas) do mesmo. No último exemplo, o coeficiente do primeiro termo é a. O conjunto das variáveis do termo é dito parte literal. Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal (quaisquer que sejam os seus coeficientes).

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Os termos são classificados conforme o quadro sinóptico que segue.

  Inteiros  Racionais  Algébricos  Fracionári os Termos  Irracionai s   Transcende ntes  Um termo é algébrico quando suas variáveis estão submetidas somente às operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação; é transcendente quando suas variáveis estão sujeitas também a outras operações, como logarítmação e linhas trigonométricas (como o termo 2a(lgx)/y). Um termo algébrico é dito racional quando suas variáveis não estão sujeitas à operação de radiciação. Exemplos: x a , 1/x2; é irracional quando suas variáveis estão sujeitas à operação de radiciação, com x , y1/3. Um termo racional é dito fracionário quando suas variáveis estão submetidas à divisão, como a/x, x/y2; é dito inteiro quando suas variáveis não estiverem submetidas à divisão, como axy, xb lga. Diz-se que um termo é do grau m em relação a uma letra x quando, trocando-se nele x por x, o novo termo formado valha o primeiro multiplicado por m. Assim, ax2y/z é do grau 2 em relação a x porque a(x)2y/z=2 (ax2y/z). Esse mesmo termo é do grau -1 em relação a z e do grau 1 em relação a y. O grau do termo, entretanto, é a soma dos graus das suas variáveis (no exemplo, 2+1-1=2) As expressões algébricas podem ser classificadas de dois pontos de vista principais: 1) - quanto ao número de termos, em: monômios, binômios, trinômios e polinômios em geral, conforme tenham um termo, dois, três ou vários, respectivamente; 2) – quanto à classificação dos seus termos, recendo os mesmos nomes destes (ver quadro sinóptico). Um polinômio inteiro numa variável x é uma expressão da forma P(x)=a0xm+a1xm-1+a2xm-2+...+am-1x+am, cujos termos são todos inteiros. Lembremo-nos que nesta expressão, os coeficientes são parâmetros e x é uma variável. Chama-se valor numérico de uma expressão algébrica para um conjunto de valores atribuídos às suas variáveis, ao número algébrico que se obtém substituindo-se as letras pelos seus valores, e efetuando-se as operações indicadas. Chama-se igualdade a um conjunto de duas expressões algébricas separadas pelo sinal =. A expressão que fica à esquerda denomina-se primeiro membro; a que fica à direita, segundo membro. As igualdades são classificadas em: identidades e equações.

217

Identidades são as igualdades que têm sempre o mesmo valor numérico quaisquer que sejam os valores atribuídos às letras, como: sen2=2sencos, (x+a)2=x2+2ax+a2, (x+y)(x-y)=x2-y2. Sistemas de equações lineares Equações são igualdades cujos dois membros só assumem o mesmo valor numérico para alguns valores particulares das letras, como 2x-1=3 que só se verifica para x=2, ou 2x3y=1 que só se verifica para os pares x=2, y=1, ou x=5, y=3 e outros mais. Numa equação, as letras cujos valores se determinam afim de que a igualdade se verifique são denominadas incógnitas. Resolver uma equação é a operação que consiste em determinar os valores das incógnitas afim de que a igualdade se verifique. Uma equação que admite mais de uma solução é dita uma equação indeterminada, como a citada equação 2x-3y=1. As equações são classificadas como as expressões algébricas, isto é, como os termos. Vamos destacar apenas as equações algébricas racionais e inteiras com uma, duas, até três incógnitas (x, y e z) e todas do primeiro grau; são, em resumo equações dos tipos: ax+b=0,

ax+by+c=0

ax+by+cz+d=0.

Se estas equações estiverem referidas a sistemas cartesianos de coordenadas, a primeira equação representará um ponto sobre o eixo dos x com abscissa –b/a. A segunda equação e a terceira representarão, respectivamente, uma reta e um plano (ver itens 6.2 e 6.3 do Apêndice II). Uma equação com só uma incógnita é de solução imediata. A equação linear com duas incógnitas, como vimos, apresenta pares de números como solução. Podemos representar graficamente uma dessas equações, digamos a equação 2x-3y=1, num plano onde já tenhamos traçado um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais O-xy (Figura 6.1). As coordenadas de todos os pontos da reta representada na figura satisfazem a equação. A equação linear com três incógnitas, digamos 3x+2y+z=3, apresenta ternos de números como solução (como: 0;0;3, ou 1;0;0, ou 0;3/2;0 e outros). A representação gráfica desta equação em relação ao sistema de coordenadas O-xyz (no espaço) é o plano indicado na Figura 6.2. As coordenadas de todos os pontos do plano representado na figura satisfazem a equação.

4.2 – Sistemas de equações lineares As equações x+2y=7 e x+y=4 são satisfeitas pelos mesmos valores x=1 e y=3. As equações 5x-2y+2z=2, 3x+y+4z=-1 e 4x-3y+z=3 são satisfeitas para x=0, y=-1 e z=0. Da

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mesma forma, as cinco equações: x+y+z=2, x-y+x=3, 3x+y+z=1, 2x+2z=5 e 4x+2z=4 são satisfeitas para os valores x=y=-1/2 e z=3 das incógnitas. Verifique estas assertivas. Existem, pois, conjuntos de várias equações com várias incógnitas que apresentam uma solução comum. Definem-se como equações simultâneas todas as equações que puderem admitir uma solução comum. As equações simultâneas são representadas entre chaves e dizemos que elas constituem um sistema de equações (com duas, três ou mais equações e duas, três etc. incógnitas). Com a representação

x  2 y  7 temos, pois, um sistema de duas equações (algébricas lineares) com duas  x  y  4 incógnitas; Com

5x  2 y  2z  2  3x  y  4z  1 temos um sistema de três equações com três incógnitas; 4 x  3 y  z  3  e com

x  y  z  2 x  y  z  3  3x  y  z  1 temos um sistema de 5 equações com três incógnitas. 2 x  2 z  5  4 x  2z  4 Nos dois primeiros exemplos – em que o número de equações é igual ao número de incógnitas – o sistema é dito completo; no terceiro exemplo, onde o número de equações é maior que o de incógnitas, ele é dito incompleto. Os sistemas em que o número de equações é menor que o de incógnitas é dito indeterminado por apresentar uma infinidade de soluções. Quando duas equações não admitem solução comum elas são ditas incompatíveis. * Exercício: Nos exemplos de sistemas de equações apresentados, cada equação representa, como visto, uma reta no sistema de coordenadas cartesianas O-xy, ou um plano no sistema O-xyz. Qual o significado geométrico da solução desses sistemas?

219

4.3 – Resolução dos sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas Em geral, resolver um sistema de equações é a operação que consiste em determinar todas as soluções comuns às equações. Os sistemas abaixo,

x  2 y  7 (I)  x  y  4

 x  3 y  8 (II)  2 x  y  5

admitem a mesma solução: x=1 e y=3. Sistemas que admitem a mesma solução são ditos equivalentes. Para se resolver um sistema procura-se transformá-lo num equivalente que apresente solução mais fácil de ser determinada, até se chegar a um sistema do tipo

x  1 (III)  y  3 que é equivalente ao sistema (I), ou ao (II), e é de “solução trivial”. As transformações dos sistemas são feitas baseadas em certos princípios que podem ser demonstrados. 1 princípio: um sistema de duas equações com duas incógnitas é equivalente ao sistema que dele se obtém substituindo cada equação por uma combinação linear das equações dadas, desde que o determinante dos multiplicadores seja diferente de zero. Ponhamos as duas equações do sistema na forma

ax  by  c  0 .  a x  b y  c   0 A primeira equação será substituída por m(ax+by-c)=0 somada com n(a‟x+b‟yc‟)=0. A segunda equação será substituída por m‟(ax+by-c)=0 somada com n‟(a‟x+b‟yc‟)=0, mas deve ser m n  0 . O sistema equivalente ao anterior será então: m' n '

m(ax  by  c)  n (a x  b y  c )  0 .  m' (a x  b y  c )  n ' (ax  by  c)  0 Com alguma astúcia, quem calcula esse novo sistema poderá chegar a um sistema bem mais simples que o anterior e terá a chance de encontrar a solução rapidamente.

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Vamos aplicar esse princípio para a solução de (I). Vamos substituir a primeira equação por ela própria multiplicada por +1 somada com a segunda multiplicada por -1; e a segunda equação pela soma da primeira multiplicada por -1 e ela própria multiplicada por 2. O determinante dos multiplicadores é

1 1  1  0 . 1 2 Assim procedendo a primeira equação será substituída por x+2y-7+(-x-y+4)=0, ou y-3=0; e segunda por –x-2y+7+2x+2y-8=0, ou x-1=0. Assim, obtivemos imediatamente o sistema (III). Esse modo de calcular nem sempre conduz de imediato a um resultado satisfatório. Na prática, o princípio é aplicado na forma de casos particulares. Assim, por exemplo: num sistema de duas equações com duas incógnitas podemos: 1) - conservar uma das equações e substituir a outra por sua soma ou diferença com a anterior; 2) – substituir uma equação pela sua soma com a outra e esta por sua diferença com a anterior 2 princípio: um sistema de duas equações com duas incógnitas é equivalente ao sistema que dele se obtém resolvendo uma das equações em relação a uma das incógnitas e substituindo na outra equação esta incógnita pela expressão encontrada. Assim, por exemplo, extraindo-se o valor de y na segunda equação do sistema (II) tem-se: y=5-2x; e substituindo-se esse resultado na primeira, vem: -x+3(5-2x)=8, donde, simplificando, x=1. Substituindo-se o valor encontrado na segunda equação (y=5-2x) deduzimos y=3. Esse é o método da substituição. 3 princípio: um sistema de duas equações com duas incógnitas é equivalente ao sistema que dele se obtém resolvendo as duas equações em relação à mesma incógnita, igualando-se em seguida essas duas expressões (que dá uma equação do primeiro grau) De fato, da primeira equação do sistema (I) tem-se: x=7-2y; e da segunda: x=4-y. Então: 72y=4-y, ou simplificando: y=3. Logo: x=1. Esse é o método da comparação. Discussão da solução Existem outros processos para a resolução desses sistemas, decorrentes todos desses princípios (redução ao mesmo coeficiente, Bézout, artifícios); o que aqui não será abordado. Pondo o sistema na forma geral

ax  by  c ,  a x  b y  c'

(01),

221

reconhece-se que a sua solução geral é

x  cb 'bc' ab 'ba '

y  ac 'ca ' , ab 'ba '

(01 1),

mas requer-se, evidentemente, que ab‟-ba‟0, Cramer notou que o divisor comum de x e y é o determinante   a b dos a ' b' coeficientes das incógnitas, dito determinante do sistema; notou ainda que os numeradores são também os determinantes  x  c b e  y  a c que provêm de  trocando a c' b' a ' c' coluna dos a‟s pela coluna dos c‟s e a coluna dos b‟s pela coluna dos c‟s, respectivamente. Assim, y  x x e y , (01 2).   Este é o método de Cramer do qual geramos a regra de Cramer (enuncie esta regra em função dos resultados obtidos). Este método é muito útil para a operação de discussão do sistema. Discutir um sistema de duas equações com duas incógnitas é formular todas as hipóteses sobre os coeficientes dados a fim de verificar-se a natureza das soluções. Duas casos podem acontecer: 1) – a solução será determinada e única se =ab‟-ba‟0, isto é, se o determinante do sistema for diferente de zero; nesse caso as duas retas terão apenas um ponto comum. Diremos que o sistema é compativel; 2) – Se =0, duas outras situações poderão ocorrer: 2.1) - As frações (011), ou as (012), serão indeterminadas se os numeradores forem também nulos, e a solução será indeterminada. Isto significa que x e y poderão ter valores quaisquer. Geometricamente, isto equivale a dizer que as retas são coincidentes. Diremos ainda que o sistema é indeterminado. 2.2) - As frações (011), ou as (012), terão valor infinito se seus numeradores forem não nulos, e a solução não existirá. Geometricamente, isto equivale a dizer que as retas são paralelas. Diremos ainda que o sistema é incompativel. Em resumo:

Se Δ  ab'-ba'  0  solução determinad a e única; o sistema é compatível ( as retas não são paralelas) Numerador  0  solução indeterminada, o sistema é indeterminado  (as equações são idênticas, as retas são coincident es)  Se Δ  0   Numerador  0  solução infinita ou não existe, o sistema é absurdo  (as retas são paralelas)

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Exercícios: 1) - Comprove que o sistema apresentado no exercício do item 4.2 é geometricamente do tipo indicado na Figura 4.5.

x  y  4 x  y  4 2) - Faça os gráficos correspondentes aos sistemas  e  e x  y  5 2x  2 y  8 encontre as suas soluções. Confirme geometricamente: a) - que o primeiro sistema é absurdo (ou incompatível) e tem solução infinita; b) - que o segundo sistema tem solução indeterminada (ou uma infinidade soluções) porque as equações são idênticas (ou as retas são idênticas). 3) - Verifique a coerência dessas interpretações com os exercícios propostos no item 6.2 do Apêndice II.

4.4 – Resolução dos sistemas de três equações lineares com três incógnitas Todos os conceitos, definições e princípios podem ser estendidos sem dificuldades para os sistemas de três equações com três incógnitas, do tipo:

ax  by  cz  d  a ' x  b' y  c' z  d' , a" x  b" y  c" z  d" 

(02).

Decorre disso a validade dos métodos também. No método da substituição extraímos o valor de uma incógnita numa das equações e substituímos o resultado nas outras duas, reduzindo o sistema de três equações para um outro equivalente de duas equações com duas incógnitas (aplicando, em seguida, os procedimentos vistos no item 4.3). No método da comparação extraímos o valor de uma mesma incógnita em todas as equações e igualamos os resultados dois a dois, obtendo um sistema equivalente de duas equações com duas incógnitas (que se resolve, como anteriormente). Interessante é o método de Cramer do qual geramos a seguinte regra: o valor de cada incógnita é uma fração cujo denominador é o determinante do sistema e cujo numerador é o determinante que dele provém substituindose nele a coluna formada com os coeficientes dessa incógnita, pela coluna formada com os termos conhecidos das equações. Escrevemos, como anteriormente:

223

x

x , 

y

y 

z

z , 

(021).

Exemplo: Resolver o sistema

x  y  z  2  2 x  3 y  z  5 3x  2 y  3z  2  1 1 1 2 1 1 Tem-se:   2 3  1  15  0 . Logo: x  1 5 3  1   1 (15)  1 ,  15 3 2 3 2 2 3 1 2 1 y  1 2 5  1   1 (30)  2 ,  3 2 3 15

1 1 2 z 1 2 3 5   1 (45)  3  3 2 2 15

A discussão dos sistemas de três equações com três incógnitas é feito do mesmo modo como para os sistemas de duas equações com duas incógnitas. A interpretação geométrica deve ser adaptada, mas é muito parecido com a relativa ao sistema de duas equações e duas incógnitas. Lembrando que cada equação do sistema pode ser representada por um plano referido ao sistema cartesiano O-xyz, devemos considerar dois grandes casos passíveis de ocorrerem: 1) – Quando 0, ou quando o determinante do sistema é diferente de zero, a solução existe, determinada e única. Os três planos têm um e apenas um ponto comum cujas coordenadas são a solução do sistema (Figura 4.8). Dizemos que o sistema é compatível. 2) - Quando =0 dois sub-casos podem ocorrer: 2.1) - Os numeradores das frações são também iguais a zero. Nesse caso os três planos têm uma reta comum (isto é, formam um feixe de planos) e o terno de coordenadas de qualquer ponto desta reta é solução do sistema; o sistema admite uma infinidade de soluções. Dizemos que o sistema é indeterminado (Figura 4.9) pois suas equações são idênticas. 2.2) - Os numeradores das frações são diferentes de zero. Nesse caso os três planos são paralelos (Figura 4.10), isto é, o ponto comum a eles é ponto do infinito, logo com coordenadas infinitas. Como esse ponto não existe na realidade, dizemos que a solução não existe e que o sistema é incompatível ou absurdo.

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Podemos escrever o sistema (02) na forma matricial seguinte:

 a b c  x  d  a b c.y  d ,      a b c z d

(03).

Supor 0 é supor que a matriz dos coeficientes (cujo determinante é o determinante do sistema) é uma matriz regular. Então, conforme visto no item 3.3.5, 1

x  a b c   d  y  a b c . d ,       z a b c d

(04).

Por (04) podemos obter imediatamente os valores das incógnitas. Todas as interpretações geométricas dadas anteriormente podem ser feitas pela expressão matricial (04), bastando recorrer à teoria exposta no item 2; mas não faremos isso aqui.

4.5 – Resolução dos sistemas homogêneos Sistemas como (01) e (02), em que os segundos membros são nulos, são ditos sistemas homogêneos. Estes são, pois, do tipo:

ax  by  0  a x  b y  0

ax  by  cz  0  a ' x  b' y  c' z  0 , a" x  b" y  c" z  0 

(05);

o primeiro representa retas passando pela origem; o segundo, planos passando pela origem. A solução segundo Cramer mostra que, se for 0, as incógnitas deverão ser todas nulas necessariamente, o que é evidente por (02 1) porque a coluna dos termos independentes é a matriz zero. Nesse caso, as retas (pela origem) são distintas; os plano também. Mas o que poderia acontecer se fosse =0? Consideremos o sistema com duas incógnitas, com =0, mas com a condição adicional de que o cofator de pelo menos um de seus elementos seja diferente de zero; digamos o cofator de b‟, isto é, a0. Nesse caso, a primeira equação pode ser escrita na forma x=(-b/a)y. Como, por hipótese, deve ser x0 e y0 (do contrário estaríamos no caso anterior), deve ser também (-b)0, isto é, o cofator de a‟ (que é igual a –b) é diferente de zero. Assim, y x  , (06), cofator de a' cofator de b' e o sistema admite uma infinidade de soluções (x sendo proporcional a y). Essas soluções são as coordenadas de qualquer ponto da reta cuja equação é (06), ou seja, reta que passa pela origem e pelo ponto de coordenadas (cof a,cof b). *

225

Consideremos agora o sistema com três incógnitas, com =0, e com a condição adicional de que o cofator de pelo menos um de seus elementos seja diferente de zero, digamos o de c: a b  0 . Resolvamos o sistema constituído pelas duas primeiras a ' b' equações imaginando z como parâmetro (como se z fosse conhecido). Teríamos:

- cz b b c - c' z b' b ' c' x  z cof c" cof c"

a - cz a c a' - c' z a' c' y  z cof c" cof c"

ou, considerando :

x  cof a" z cof c"

y  cof b" z cof c"

Se todos os cofatores forem diferentes de zero poderemos escrever a proporção

x  y  z k 0, cof a" cof b" cof c"

(07),

k sendo uma constante arbitrária (mas não nula). Mas as equações (07) são as equações da reta que passa pela origem e pelo ponto de coordenadas (cof a, cof b, cof c). Essa reta é a charneira dos três planos. Se um dos cofatores for nulo, digamos cof a, então a incógnita correspondente, x, será nula porque por (07) seria: x=k cofa. Nesse caso, as (07) são as equações da reta que passa pela origem e pelo ponto (0, cof b, cof c), ou seja, uma reta do plano coordenado (y,z). Essa reta é a charneira dos três planos. Ora, os dois cofatores: cof a e cof b, não podem ser nulos simultaneamente, pois do contrário seriam x=y=z=0, o que é contra a hipótese. Exemplo: Seja resolver os sistemas:

2 x  y  z  0  (I) 3x  2 y  z  0 ,  x  y  2z  0 

x  y  3z  0  (II) 4x  2 y  6z  0 , x  5y  15z  0 

x  y  z  0  (III)  x  y  z  0 , 2 x  2 y  2 z  0 

x  y  3z  0  (IV) 2x  y  z / 6  0 5x  5y  15z  0  Para o sistema (I), tem-se: =10. A solução é a solução trivial: (0;0;0). Não existe reta comum aos três planos, apenas o ponto origem.

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Para o sistema (II) tem-se: =o, porque a terceira coluna é igual à segunda multiplicada por -3. O cofator de 15 é 6; o de -5 é 18 e o de 1 é 0. Logo: x=0,

y z  k. 18 6

Temos a solução: (0; y=3z;z), ou, para k=1: (0;18;6), ou, ainda, para k=1/6: (0;3;1). O sistema é indeterminado. Os três planos têm em comum a reta y=3z, isto é, os planos formam um feixe cuja charneira é a reta y=3z. As coordenadas de qualquer ponto dessa reta constituem uma solução do sistema. Para o sistema (III) temos: =0 (seja porque a segunda linha é igual à primeira multiplicada por -1; ou porque a terceira linha é igual à primeira multiplicada por 2). Escolhendo a terceira linha como referência, vemos que os cofatores dos coeficientes de x, y e z são todos nulos. Logo a solução é indeterminada (as três equações são idênticas): as coordenadas de qualquer ponto do plano x-y+z=0 são solução do sistema. O sistema (IV) tem =0 (a primeira linha é proporcional à terceira). Além disso, em relação à terceira linha vê-se que os cofatores dos coeficientes de x, y e z são todos diferentes de zero: cof a=19/6, cof b=37/6 e cof c=1. Isto nos permite concluir que as coordenadas de qualquer ponto da reta de equações:

x y z   k, 19 / 6 37 / 6 1

(08),

é solução do sistema. Essa reta passa pela origem e pelo ponto de coordenadas (19/6; 37/6; 1). Os planos relativos à primeira e terceira equações são idênticos e têm a reta (08) comum com o plano relativo à segunda equação. * Exercício: Esboce as figuras correspondentes a cada um dos sistemas do exemplo, confirmando as respectivas soluções. *

5 – Autovalores e autovetores Consideremos o produto da matriz

 2 1 0   1  A 9 4 6  pela matriz coluna {v1 }    1  .  8 0  3  4 / 3 Tem-se, efetuando as contas:

3  1  A.{v1 }    3  3  1   3{v1 } .  4  4 / 3

227

Vê-se pelo resultado encontrado que existem matrizes capazes de transformar, por multiplicação, uma matriz coluna em outra matriz coluna que apresente apenas um fator numérico comum com a primeira.

Se considerarmos agora as matrizes colunas

1 1 {v 2 }   3  e {v 3 }   1  ,  4  2

poderemos observar o mesmo fenômeno, isto é,

1 1 A.{v 2 }   3   (1)  3   (1){v 2 } e  4  4

1 1 A.{v 3 }   1    1   (1){v 3 } .  2  2

Verificamos também que não conseguimos determinar qualquer outra matriz coluna com a qual possamos encontrar resultado análogo. A ordem da matriz sugere uma quantidade igual de matrizes colunas, mas como encontrar informações seguras e gerais sobre essa questão? O problema poderia, então, ser assim colocado. Dada uma matriz quadrada de ordem 3, A, pretende-se encontrar uma matriz coluna 3x1, {v}, tal que, sendo X um número (incógnita) A.{v}=X{v}, ou, aplicando propriedades das operações estudadas, (A-XI).{v}={0}

onde I é matriz unidade de ordem três. Se L, M e N são os elementos (incógnitas) de {v}, a expressão matricial (01) é equivalente ao sistema de equações homogêneas

(a 11  X)L  a 12 M  a 13 N  0  a 21L  (a 22  X)M  a 13 N  0 , a L  a M  (a  X) N  0 32 33  31

(02).

a 11  X a 12 a 13 a 21 a 22  X a 23 , a 31 a 32 a 33  X

(03).

cujo determinante é



Como visto (itens 4.4 e 4.5), se 0 o sistema só admite a solução nula. Se 0, o sistema é indeterminado e admite uma infinidade de soluções. Assim, para que (01), ou (02), admita soluções não nulas, devemos procurar os valores de X que anulem o determinante (03), dito determinante característico da matriz A. Esse determinante, anulado, representa uma equação do 3 grau em X – também dita a equação característica de A - e admite três raízes X1, X2 e X3, dita raízes características de A, valores

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característicos de A, ou, ainda autovalores de A. Com cada um desses autovalores se poderá determinar um terno (L‟,M‟,N‟) que satisfará o sistema necessariamente, existindo ainda uma infinidade de ternos todos proporcionais a (L‟,M‟,N‟) que também satisfazem. Dentre todos esses ternos, entretanto, poderemos determinar um apenas, com a condição de que L‟2+M‟2+N‟2=1, caso em que {v} seria uma matriz coluna de elementos (L,M,N) associada a um vetor unitário; tal vetor é dito um autovetor de A, e, por definir uma direção, direção própria de A. Exemplos: 1) - Seja A   4  2 . Então: 4  X  2  0 , isso é: X(X-5)=0. Assim, os  2 1 X  2 1  números X1=5 e X2=0 são os valores característicos de A. Vamos agora levar o número X1=5 ao sistema (02) e resolvê-lo. Tem-se:

(4  5)L1  2M 1  0 L  2M 1  0 , ou  1 ,   2L1  (1  5)M1  0 2L1  4M 1  0 notando-se que apenas uma equação é independente. Arbitrando M1  1 / 5 , resulta

L1  2 / 5 , sendo (L1)2+(M1)2=1. Então:

{v1 }  1  2 , 5  1  com A{v1}= A{v1 }  1  4  2  2  1  10  (5) ( 1  2)  5{v1 } . 5  2 1   1  5  5  5  1  Levando o valor X2=0 ao sistema (02), este se resume em

(4  0)L 2  2M 2  0 4L  2M 2  0 , ou  2 ,   2L 2  M 2  0  2L 2  (1  0)M 2  0 notando-se que apenas uma das equações é independente. Arbitrando M 2  2 / 5 , tem-se

L 2  1 / 5 , sendo ainda (L2)2+(M2)2=1. Tal como anteriormente, tem-se:

{v 2 }  1 1 , 5 2 sendo A{v1}= A{v1 }  1  4  2 1  1 0  (0) ( 1 1)  0 {v 2 } . 5  2 1  2 5 0 5 2 *

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2) – Consideremos agora a matriz apresentada no início deste item 7,

 2 1 0  A 9 4 6 ,  8 0  3 com

2X 1 0 9 4X 6  0 , ou seja: X3-3X2-X+3=0. 8 0 3 X As raízes dessa equação são: X1=+3, X2=-1 e X3=+1. Com o autovalor X2, por exemplo, montamos o sistema

[2  (1)]L'M'0 N'  0  9L'[4  (1)]M'6 N'  0 , ou seja:  8L'0M'[3  (1)] N'  0 

3L'M'  0  9L'5M'6 N'  0 . 8L'2 N'  0 

Arbitremos M‟=3. Da primeira equação deduzimos: L‟=1. Logo, da terceira: N‟=-4. A soma dos quadrados vale 26. Então: L  L' / 26  1 / 26 , M  M' / 26  3 / 26 ,

N  N' / 26  4 / 26 . Verificando:

 2 1 0  1    1 1 4 6   3  1  1  3  (1)( 1  3  )  (1){v1 } . A{v1}= A{v1 }   9 26  4  26  4  8 0  3  4 26 Procedendo analogamente com os outros dois autovalores encontramos:

{v1 } 

1   1 1  1  e {v }  1  1  . 3 34 / 9   4 / 3 6  2

Exercícios: Comprovar os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes indicadas a seguir:

 7 2 0  1) -  2 6  2 .  0  2 5  1  2   2 Autovalores: 3, 6 e 9. Autovetores (não unitários): 1 2 , 1  1  e 1  2  ; 3  2  3   2 3   1       

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2  4 1 2) -  2  2  2 .  4  2 1  Autovalores: 6, -3 e -3. Autovetores (não unitários):

1  2  1 1  1  2   1  ,  2  e  2 . 3  2 3 2 3  1       

Notas: 1 – Embora as matrizes simétricas dos exercícios propostos 1 e 2 sejam diferentes, elas apresentam os mesmos autovetores e apenas um mesmo autovalor (igual a 6). 2 – É fácil comprovar que qualquer combinação linear dos autovetores (disitintos), relativos ao autovalor duplo do exercício 2 (igual a -3), também é autovetor da matriz. Existe um teorema geral que diz: se uma matriz simétrica tem um autovalor duplo, então dois vetores ortogonais quaisquer, pertencentes a um plano ortogonal ao autovetor relativo ao autovalor simples, são autovetores da matriz.

6 - Derivadas Já estabelecemos o conceito de função, e doravante vamos considerar apenas as funções que têm uma representação analítica, como: y=ax+b, y=ax 2+bx+c, y=senx, y=ln x, y=ex e outras. Quando variável x varia continuamente entre dois valores estabelecidos a variavel y assume valores que dependerão da natureza da função que a conecta com x. Por exemplo: em relação à função y=2x+1, para -1x1, tem-se: -1y3 (Figura ). Se, por algum motivo, x não pudesse assumir o valor -1 digamos, escreveríamos -1<x1; nesse caso seria: -1<y3.

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Complementos para o item 4

4.6 – Resolução dos sistemas de m equações com n incógnitas Consideremos os sistemas:

ax  by  cz  d (V) ax  by  c , (VI) ax  by  cz  d , (VII)  , a ' x  b' y  c' z  d' e

ax  by  c  (VIII) a ' x  b' y  c' , a" x  b" y  c" 

ax  by  cz  d a ' x  b' y  c' z  d'  (IX)  a" x  b" y  c" z  d" a ' ' ' x  b' ' ' y  c' ' ' z  d' ' '

Nos três primeiros temos um número de equações menor que o número de incógnitas; e no segundo, ao contrário, um número de equações maior que o número de incógnitas. Já vimos que em nenhuma equação de nenhum sistema se vai admitir que os coeficientes das incógnitas possam ser simultaneamente nulos. O sistema (V) representa uma única reta no sistema cartesiano (independentemente da existência ou não do segundo membro). As coordenadas de qualquer ponto desta reta são solução do sistema; e este é indeterminado. O sistema (VI) representa um plano e as coordenadas de um ponto qualquer desse plano são solução do sistema; o sistema é indeterminado. O sistema (VII) representa dois planos e duas situações podem acontecer: 1) - esses planos se interceptam, caso em que as coordenadas de qualquer ponto da reta interseção dos mesmos são solução do sistema, sistema esse, indeterminado.; 2) – os planos são paralelos, e a solução não existe (x, y e z são infinitos). O sistema (VIII) representa três retas, e quatro situações podem ocorrer: 1) – as retas têm um e apenas um ponto comum, e nesse caso a solução do sistema – as coordenadas do ponto comum às retas - é determinada e única; 2) – as três retas não têm ponto comum, e o sistema é impossível; 3) – as três retas são coincidentes, o que significa que as três equações são proporcionais, se reduzem a uma só e o sistema é indeterminado (as coordenadas de qualquer ponto dessa reta são solução do sistema); 4) as três retas são paralelas, o que significa que os coeficientes das incógnitas são proporcionais; como os segundos membros não o são, a solução não existe. O sistema (IX) representa quatro planos e quatro situações podem ocorrer: 1) – os planos têm um e apenas um ponto comum, e nesse caso a solução do sistema – as coordenadas do ponto comum aos planos - é determinada e única; 2) – os planos não têm

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ponto comum, isto é, o sistema é impossível; 3) – os quatro planos são coincidentes, o que significa que as quatro equações são proporcionais (o segundo membro podendo ou não ser nulo), se reduzem a uma só e o sistema é indeterminado (as coordenadas de qualquer ponto desse plano são solução do sistema); 4) os quatro planos são paralelos, isto é, os coeficientes das incógnitas são proporcionais, mas os segundos membros (não nulos) não o são; a solução não existe. Interpretações análogas poderiam ser dadas para outros sistemas com um número maior de equações. Estamos evitando referência a número maior de incógnitas para evitar recorrência a considerações de espaços de dimensão maior que três. Entretanto, vamos apresentar um método numérico geral que possa resolver os sistemas em que o número m de equações seja diferente do número n de incógnitas. Escreveremos esses sistemas na forma:

a 11x  a 12 x 2  a 13 x 3  ... a 1n x n  k 1  a 21x  a 22 x 2  a 23 x 3  ... a 2 n x n  k 2 ... ,  a p1 x  a p 2 x 2  a p3 x 3  ... a pn x n  k p ...  a m1 x  a m 2 x 2  a m3 x 3  ... a mn x n  k m

(05),

a matriz mxn, M, dos coeficientes das incógnitas, sendo:

 a 11  a 21  ... M  a p1  ... a m1 

a 12 a 22 ... a p2 ... a m2

a 13 a 23 a p3 a m3

a 14 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a 1n  a 2n  ...  , a pn  ...  a mn 

(06).

Desta matriz podemos extrair determinantes dos vários graus (suprimindo-se umas linhas e outras tantas colunas). Como os coeficientes das incógnitas não podem ser simultaneamente nulos, haverá certamente pelo menos um determinante diferente de zero.

Chama-se determinante principal dessa matriz qualquer determinante não nulo (pode haver mais de um), mas do maior grau, p, que se possa dela extrair. Logo p não pode ser menor n. As equações cujos coeficientes entram na formação do principal chamam-se equações principais e seu conjunto constitui o sistema principal. As p incógnitas cujos coeficientes entram na formação do principal, chama-se incógnitas principais do sistema; as demais incógnitas são ditas não principais. Por uma disposição conveniente das incógnitas, poderemos sempre fazer com que os elementos do principal sejam os coeficientes das p primeiras incógnitas, de forma que o principal será o determinante

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a 11 a 12 a 21 a 22  ... a p1 a p 2

... a 1p ... a 2 p 0, ... ... ... a pp

(07).

O determinante

a 11 a 12 a 21 a 22  i  ... a p1 a p 2 a i1 a i 2

... ... ... ... ...

a 1p a 2p ... a pp a ip

k1 k2 ... , kp ki

(08),

será denominado determinante característico relativo à i-esima equação do sistema (com i>p). Existem, pois, m-p determinantes característicos. Imaginando as incógnitas não principais como parâmetros, vemos, pela regra de Cramer que o sistema principal tem sempre solução. Se for n=p, isto é, se todas as incógnitas forem as principais, o sistema admitirá uma só solução. Se for n>p, isso é, se existirem incógnitas não principais, o sistema será indeterminado, ou seja, apresentará uma infinidade de soluções. Um importante teorema que aceitaremos sem demonstração diz que: Teorema: Se o característico relativo à r-esima equação (p<rm) for nulo qualquer solução do sistema principal satisfará essa equação; mas se esse característico for diferente de zero, nenhuma solução do sistema principal satisfará essa equação. Estes resultados todos são resumidos num teorema fundamental, dito teorema de Rouché: Teorema: (Rouché) A condição necessária e suficiente para que um sistema de m equações, com n incógnitas, e principal do grau p, admita solução é que todos os seus m-p determinantes característicos sejam nulos. Se a ordem p do principal for igual ao número de incógnitas, n=p, o sistema terá uma única solução. Se p<n, o sistema será indeterminado. Se um característico qualquer for diferente de zero, o sistema não admitirá solução. Resulta, assim, os seguintes passos de cálculo para a resolução de um sistema de m equações com n incógnitas. P1) – Escreve-se a matriz do sistema (matriz dos coeficientes das incógnitas) e procura-se um determinante principal ;

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P2) – Se o grau p de  for igual a n (p=n) poderá ser: a) - m=n (logo, p=m), o sistema admitirá uma única solução que pode ser obtida pela regra de Cramer; b) - m>n, existirão m-p característicos a calcular; o sistema será determinado se todos os característicos forem nulos (sistema XIII); ou impossível se algum característico for diferente de zero. P3) - Se p<n e m=p, existem n-p incógnitas não principais. Resolve-se o sistema em relação às incógnitas principais imaginando as não principais como parâmetros. O sistema é indeterminado (apresenta n-p infinidade de soluções). P4) - Se pn (ou np) e p<m, calculam-se os característicos existentes, podendo acontecer que: a) - se encontre um diferente de zero, o que caracterizará definitivamente o sistema como sem solução ou impossível; b) – os m-p sejam todos nulos, o que caracterizará o sistema como indeterminado (apresenta uma infinidade de soluções). Nesse caso, para se determinarem as soluções, passam-se as incógnitas não principais para o segundo membro no sistema principal, e resolve-se o sistema obtido em relação às incógnitas principais pelo método de Cramer. Assim, as incógnitas principais estarão expressas em função das não principais e bastará admitir um conjunto qualquer de valores a estas para se obter uma das infinitas soluções do sistema. Exemplos: Seja resolver os sistemas:

2x  y  3z  0 (X)  ,  x  5 y  4z  0

2x  3y  z  2 y  3 (XI)  3x  5y  8z  6t  10

 x  y  1 3x  5 y  7  (XII)  , 2 x  3 y  8 5x  7 y  19

x  y  3 2 x  2 y  6  (XIII)  . 3x  3y  9 5x  5y  15 Soluções: Sistema (X): P1: matriz, 2  1  3 ; P2: 2  1  11   (incógnitas principais, x e y); P3: cálculo 1 5 1 5  4 dos característicos, que são todos nulos, evidentemente. Logo o sistema é indeterminado. 3 1 2 3 4 5 1 4 2x  y  3z 19 z z e y z  5 z . Para z=11, por P3b):  , sendo x  11 11 11 11 x  5 y  4 z  exemplo, x=19 e y=5.

235

Sistema (XI): P1: matriz, 2  3 1  2 ; P2: 2  3  21    0 , p=2<n=4 e p=m 3 5 3  5 8 6  etc.

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APÊNDICE IV PROBABILIDADES, MÍNIMOS QUADRADOS e REGRESSÕES

1 – Conceitos básicos. 1.1 – Processo aleatório, evento. Jogar dados com as mãos, lançar moeda com as mãos para tirar cara ou coroa e outros “fenômenos”, são “processos aleatórios”. No primeiro exemplo podemos obter seis resultados e no segundo, dois; esses resultados são designados genericamente de “eventos”. Mas os eventos podem ser também caracterizados por grupos; por exemplo: tirar 1 ou 2 no jogo de dados, ou tirar 1, 5 e 6 etc. Nesses dois exemplos de processos aleatórios a aleatoriedade esta no movimento que uma pessoa faz para atirar o dado ou lançar a moeda, pois dois movimentos quaisquer nunca são iguais. Se os dados fossem lançados por uma máquina que funcionasse rigorosamente sempre da mesma forma, possivelmente desapareceria a aleatoriedade. No 1 TP que fizemos neste curso, na parte de revisão de Trigonometria, existiam vários processos aleatórios: as repetições de medidas de distâncias e ângulos usando os mesmos instrumentos (um escalímetro e um transferidor) utilizando-se um desenho disposto sobre uma mesa. Notar que as repetições foram executadas “sensivelmente” sob as mesmas condições, mas não “exatamente” sob as mesmas condições. O “sensivelmente”, ou o “aproximadamente” é o que teria tornado o processo aleatório. Os resultados originários desse TP (isto é, as medidas) estão apresentados na Tabela I (cada aluno tendo feito uma medida de cada distância ou ângulo em duas oportunidades distantes uma da outra).

1.2 – Variável aleatória discreta e contínua. Os resultados de cada repetição de um processo podem ser representados por uma “variável”, isto é, uma letra com a qual se possa representar qualquer um dos resultados, tal como os números compreendidos entre 0 e  2 ( 3,14159... 2  1,57079...) .podem representar as medidas de todos os ângulos agudos (em radianos). No caso do processo: “jogar dados”, os resultados podem assumir os valores: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 e podem ser representados por uma variável inteira que assuma apenas M=6 valores. No processo: efetuar medidas de distâncias, no citado TP, a variável representativa dos resultados (digamos, a medida do lado AB do quadrilátero ABCD, em metros) é ligeiramente diferente que a do caso dos dados. Pois a medida efetuada pode assumir qualquer valor maior que digamos, 110,0 m e menor que 111,0 m, sendo estimada (com o uso do escalímetro) com apenas mais um algarismo depois da vírgula. Isto estabelece “eventos possíveis”, ou seja, as M=9 medidas: 110,1 m, 110,2 m, 110,3 m, ..., 110,9 m. O Tens Def em Maciços– Ruggeri

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mesmo se poderia dizer em relação ao processo: efetuar medidas de ângulos. Um ângulo, medido em graus sexagesimais, poderia ser maior que certo valor e menor que outro, e cada medida feita estimada com apenas um algarismo depois da vírgula (como 37,4=3724‟). Vale observar que todas essas medidas poderiam ser expressas em números inteiros, bastando trocar a unidade de medida das distâncias para decímetros e a dos ângulos para minutos. Em todos os casos mencionados (jogo de dados, medida do lado do quadrilátero, ou medida de algum ângulo) os eventos possíveis (1, 2, ...,6 no caso dos dados e 1101 dm , 1102 dm, ... 1109 dm, no caso do lado AB) constituem um conjunto bem determinado e podem ser enumerados (de 1 a 6, ou de 1 a 9) sem muito trabalho. A variável aleatória associada ao processo é dita discreta. É claro, porém, que poderia haver situação em que a variável representativa dos resultados variasse numa faixa bem mais ampla de valores, com duas ou mais casas decimais, o que estabeleceria uma quantidade bem maior de eventos possíveis. Se conseguíssemos, por exemplo, efetuar medidas do lado AB do quadrilátero com um instrumento que permitisse leitura exata de uma casa decimal com estimativa da segunda, os resultados poderiam estar compreendidos entre 11005 cm e 11095 cm e teríamos M=91 valores yi possíveis: 11005 cm, 11006 cm, 11007 cm, ... 11095 cm. Em outras situações a faixa de valores admissíveis poderia ser ainda mais ampla; o que nos obrigaria a aceitar um novo tipo de variável aleatória: a variável contínua. Exercícios: 1 - Um objeto produzido em uma fábrica pode apresentar ou não algum defeito. Quer-se saber qual a chance de encontrar 5 objetos defeituosos numa partida de 150 objetos produzidos. A variável aleatória a ser considerada é discreta ou contínua? 2 - Promova uma reunião para discutir de que forma um instrumento pode interferir na classificação da variável de um processo aleatório, como na medição de uma pequena distância usando trena, escalímetro, paquímetro e alongâmetro. Variável aleatória discreta

1.3 – Notação. Vamos denotar um processo aleatório genérico por y e cada valor possível desse processo por yi, fazendo o índice i variar desde 1 até o número m de valores possíveis. O número total de repetições será denotado por n (isto é, existirão n resultados). A variável yi é, pois, uma variável aleatória discreta. Mais à frente será introduzido um artifício para tratar das variáveis contínuas.

1.4 – Probabilidade de um evento. Na prática, em qualquer atividade da vida cotidiana que envolva coleta de eventos (tipo: jogo de dados, medidas diversas, objeto com defeito em uma partida coletada arbitrariamente no processo de produção de uma fábrica etc.) interessa responder perguntas como as que seguem: 1) – qual a chance de ocorrer 3 vezes o número 6 em 5 lances com o mesmo dado honesto?; 2) – Qual a chance de se encontrar a medida 1104 dm para o lado AB do quadrilátero do TP num conjunto de 20 medidas?

239

Nas perguntas colocadas acima usamos o termo “chance” entendido no sentido vulgar, ou popular. Uma resposta popular (por puro sentimento) seria do tipo: é pouco provável que ocorra 3 vezes o número 6 em 5 jogadas de dados. Mas esta é uma afirmação vaga. Para o que nos interessa, deveríamos respondê-las com completo entendimento e com segurança, afirmando: existe uma probabilidade de 3,21% de ocorrer 3 vezes o número 6 em 5 lances. Encontrar essa afirmação, entretanto, não é tarefa fácil. Freqüência e probabilidade de um evento Alguns eventos possíveis de um processo aleatório podem aparecer muitas vezes nas n repetições. Por exemplo: 1) – numa série de 100 jogadas de dados (repetições), o número 1 (evento possível) pode ter aparecido 13 vezes, o número 2 (outro evento possível), 15 vezes, o número 3, 12 vezes etc.; 2) – na lista das medidas do lado AB do quadrilátero do TP, a medida 1103 dm (evento possível) pode ter aparecido 2 vezes apenas; a medida 1104 dm, 4 vezes etc. Vamos considerar o conjunto das n medidas do lado AB do quadrilátero (primeira coluna da Tabela I do Apêndice I). Como não poderemos estimar mais que uma casa decimal para as medidas (por causa das limitações do instrumento), os eventos possíveis (de acontecer), ou as medidas possíveis, estarão compreendidas entre 1101 dm e 1109 dm, em M=9 intervalos com 1 dm de diferença de um para outro; ou seja, as medidas são: ou 1101 dm, ou 1102 dm, ou 1103 dm etc., até 1109 dm. Falando de um modo geral, denotemos por n(yi) o número de vezes que o evento yi ocorreu no total das n repetições (medidas efetuadas). A fração n(yi)/n é denominada a freqüência relativa do evento yi; será denotada por f(yi), sendo todas menores que um e têm soma igual a um. Com os eventos de uma hipotética relativos ao lado AB podemos construir a seguinte Tabela I de freqüências. TABELA I PROCESSO ALEATÓRIO: MEDIDA DO LADO AB DO QUADRILÁTERO DO 1 TP

yi n(yi) f(yi)

1101 0 0

1102 1 0,05

1103 1 0,05

FREQÜÊNCIAS RELATIVAS 1104 1105 1106 1107 7 5 3 2 0,35 0,25 0,15 0,10

1108 1 0,05

1109 0 0

TOTAL

20 1,00

* Exercício: Construa uma tabela análoga à Tabela I com os resultados Y k (k=1, 2, ..., 20) da Tabela I dp Apêndice I. * Imaginemos agora que fosse possível continuar o processo de medição do lado AB do quadrilátero do TP para se obter um “número N muito grande”, digamos 100 vezes maior que a nossa lista. O que se poderia esperar com a nova tabela de freqüências a ser obtida? Verificar-se-ia que as freqüências mudariam, mas não se distanciariam muito dos valores indicados na Tabela I do Apêndice I. Obviamente, o conjunto das 2.000 repetições seria muito mais significativo que o primeiro (de 20 repetições). A rigor, o aumento da quantidade de eventos admite a esperança de que cada uma das freqüências tenda para Tens Def em Maciços– Ruggeri

240

valores constantes. Teoricamente devemos postular que essas freqüências tendam para limites constantes à medida que o número n de observações vá aumentando cada vez mais (tendendo para infinito). Nunca dispomos de uma quantidade infinita de eventos. Assim, devemos aceitar a idéia de que para valores de n, não inferiores a certo valor ncrit (um valor crítico), as diferenças de freqüência de um conjunto para outro maior são aceitáveis do ponto de vista do senso comum, isto é, elas conduzem a esperanças que são realidades para todos. O valor de ncrit será discutido mais tarde. Do ponto de vista formal devemos emitir a definição seguinte. Definição (probabilidade): O valor da freqüência relativa de um evento possível yi, quando o número de repetições de um processo aleatório cresce indefinidamente, é a probabilidade da ocorrência desse evento. As probabilidades dos eventos possíveis são números menores que um porque assim o são as freqüências; e a soma delas é igual a um. Nada impede que se possa expressá-las em percentagens. Assim a probalidade de obter-se o valor 1104 dm para medida do lado AB do quadrilátero do TP é de 35%. * Exercícios: A) – Eventos com igual probabilidade de ocorrerem são ditos equiprováveis. Então, sabendo-se que um dado tem 6 faces e um baralho 52 cartas mais dois coringas, perguntase: 1) - Qual é a probabilidade de ocorrer o (evento) número 1 no (processo de) lançamento de um dado? (Resp.: 1/6) 2) – Qual é a probabilidade de retirar-se de um baralho (processo) aleatoriamente embaralhado contendo dois coringas - um ás de ouros (evento)? (Resp.: 1/54) 3) – Qual a probabilidade de retirar-se um coringa de um baralho aleatoriamente embaralhado, mas que contenha apenas um coringa? (Resp.: 1/53) B) – Como no mesmo processo com n eventos, os eventos yi e yj são diferentes (um do outro), a freqüência de ocorrer um ou o outro, é igual à soma das freqüências desses eventos. Então: 1) - Qual é a probabilidade do lado AB do quadrilátero ter medida 1104 dm, ou 1105 dm? (Resp.: 0,60) 2) – Qual é a probabilidade de retirar-se um ás de ouros ou um ás de espadas de um baralho aleatoriamente embaralhado sem coringas? (Resp.: 2/52) C) – Dados dois processos aleatórios independentes y e z, provar que a probabilidade de ocorrer simultaneamente os eventos yi e zj é igual ao produto das freqüências f(yi) f(zj). Como nada impede que y e z sejam o mesmo evento, a probabilidade de ocorrer o evento yj já tendo ocorrido o evento yi é igual ao produto das freqüências f(yi)f(yj). Então, qual é a probabilidade de obter-se de um baralho aleatoriamente embaralhado, em duas retiradas com retorno da carta da primeira retirada: 1) - duas cartas de um mesmo naipe, supondo que o baralho não tenha curingas?; 2) – dois coringas? (Resp.: 1/16 e 1/27)

241

* Distribuição de probabilidades de uma variável Definição: O conjunto das m probabilidades p(yi) dos valores possíveis (yi) da variável aleatória discreta y constitui a distribuição de probabilidades dessa variável. A Tabela I, por exemplo, apresenta a distribuição das probabilidades da variável discreta “lado AB do quadrilátero”, nas condições expostas, porque que as freqüências relativas foram identificadas com as próprias probabilidades. A distribuição, entretanto, pode ser mais bem explorada para que se possam obter informações mais úteis e mais objetivas a respeito do “fenômeno” que lhe deu origem. Um primeiro passo consiste em fazer uma representação gráfica adequada da distribuição, como na Figura 01 para o caso fictício do lado AB do quadrilátero. Vê-se mais claramente que existe uma concentração de valores em torno de 1104 dm. Mas será esta uma medida adequada para o referido lado? Se algum medidor fosse executar uma medida, que valor poderia ser esperado e com qual probabilidade? Valor médio Definição: (valor médio, ou média) Chama-se valor médio, ou simplesmente média, de n repetições de um processo aleatório de variável discreta y, e denota-se por y , o número:

y

1 n Y , n k 1 k

(01),

em que os Yk são os n resultados obtidos para y. A média – que pode ser calculada com muita facilidade – é um valor adequado dos resultados e pode ser aceito como um “representante” do conjunto. Exemplo: A média das 20 medidas fictícias (resultados) do lado AB do quadrilátero do 1 TP é 1104,9 dm. * Exercício: Calcule a média dos n=20 resultados de medida do lado AB do quadrilátero ABCD relativo ao 1 TP de Trigonometria. * Tens Def em Maciços– Ruggeri

242

Como o resultado possível yi ocorreu n(yi) vezes podemos escrever (01) na forma

y

1 m  y n(yi) , n i 1 i

(02),

a somatória estendo-se agora de 1 a m porque temos m resultados possíveis (yi). Para o exemplo, teríamos:

y

1 (1  1102  1  1103  7  1104  20  5  1105  3  1106  2  1107  1  1108)  1104,9

Poderíamos ainda escrever (02) na forma: m

y   yi i 1

n(yi) m   yif(y i) , n i 1

(03).

Para o exemplo, temos:

y  1102  0,05  1103  0,05  1104  0,35  1105  0,25   1106  0,15  1107  0,10  1108  0,05  1104,9 Quando o número de resultados (repetições) aumenta indefinidamente, as freqüências relativas f tendem para as probabilidades f e o valor médio tende para um valor médio verdadeiro ou média limite, , que não se conhecerá nunca, pois

  lim y , N 

(04),

sendo, m

   yi p(yi) , i 1

(05).

Mas podemos ter a esperança de que o valor médio y , calculado com uma quantidade crítica de resultados, não difira abusivamente do verdadeiro, , considerando-o satisfatório paras as nossas necessidades. Variância e desvio padrão Cada um dos resultados de um processo de variável aleatória difere, evidentemente, da média deles, diferença essa que pode ser positiva ou negativa. Mas se pretendemos ter uma idéia de quanto os resultados diversos estão dispersos em torno da média, aquelas diferenças não ajudam muito, porque, por exemplo: a soma algébrica delas é sempre igual a zero, evidentemente. A tradução dessa idéia da dispersão, levando-se em conta a distribuição das probabilidades, pode ser efetuada com a introdução do conceito seguinte.

243

Definição: (variância) Chama-se variância de uma distribuição de probabilidades, e se denota por σ2, o número (positivo) definido pela expressão: m

2   (yi  )2 p(yi) ,

(06).

i 1

O primeiro fator de cada parcela no segundo membro representa o quadrado do desvio, em relação à média limite, de cada resultado admissível. Como é de esperar-se que este afastamento seja tanto maior quanto maior for a probabilidade de acontecer o resultado, ele deve vir multiplicado por essa probabilidade para atender essa expectativa. Definição: (desvio padrão) Chama-se desvio padrão de uma distribuição de probabilidades, e se denota por σ, a raiz quadrada positiva de sua variância. O desvio padrão pode ser calculado diretamente de (06), sendo: m

   (yi  )2 p(yi) ,

(07).

i 1

As expressões (06) e (07) definem variâncias e desvios verdadeiros que, na prática, nunca são conhecidos porque não são conhecidas as verdadeiras probabilidades. Entretanto, medidas muito próximas das verdadeiras podem ser obtidas com o uso da média y da distribuição e as freqüências relativas F(yi). Exemplo: A distribuição relativa à Tabela I tem variância 2,2375 dm2 e, portanto, desvio padrão 1,496 dm. Exercício: Calcular a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade relativa ao processo de variável aleatória lado AB do quadrilátero do 1 TP de Trigonometria. Propriedades importantes da média e desvio padrão da variável discreta Duas propriedades muito úteis da média e do desvio padrão devem ser mantidas de memória: 1) - A média de uma variável aleatória fica acrescida ou diminuída de alguma quantidade se esta mesma quantidade for, correspondentemente, aumentada ou diminuída de todos os resultados de um processo; mas a variância (logo, também o desvio padrão) fica inalterada. De fato, pois a nova deveria ser calculada por (05) onde se somasse q a todos os eventos possíveis yi. Assim,

q 

1 m 1 m q m  (y  q)p(yi)   yi p(yi)   p(yi)    q . n i 1 i n i 1 n i 1 Tens Def em Maciços– Ruggeri

244

A nova variância seria calculada aplicando-se (06) e a propriedade já demonstrada. Teríamos: m

i 1

(q)2   [(yi  q)  q]2 p(yi)   [(yi  q)  (  q)]2 p(yi) , ou m

(q)2   (yi  )2 n(yi)  2 . i 1

2) - A média e o desvio padrão de uma variável aleatória ficam multiplicados por alguma quantidade se esta mesma quantidade multiplicar todos os resultados de um processo. A nova média e o novo desvio deveriam ainda ser calculados por (05) e (07) onde se multiplicasse todos os eventos possíveis yi por, digamos, k. Assim,

k 

1 m k m  k yi p(yi)   yi p(yi)  k n i 1 n i 1

e m

i 1

(k)2   (kyi  k)2 n(yi)  K22 , donde k  k  (yi  )2 p(yi) Se os resultados do processo “medida dos lados do quadrilátero” foram expressos em metros poder-se-ia multiplicá-los todos por 10 – o que tornaria inteiros todos os resultados – e aplicar a segunda propriedade para obter-se a média e a variância dos resultados originais. O mesmo procedimento poderia ser adotado no caso dos ângulos. Além disso, por aplicação da primeira propriedade, poder-se-ia subtrair 1.100 unidades de todos os resultados para se obterem novos resultados (de mais fácil trato) compreendidos entre 0 e 9.

1.5 – Distribuições teóricas de probabilidades Distribuição binomial (ou de Bernoulli) Imaginemos um processo aleatório ao acaso (qualquer um dos já citados poderia ser considerado) com um evento A possível, bem caracterizado e com probabilidade p de ocorrer. Pergunta-se: qual é a probabilidade, denotada por pN(y), de que ocorra y≥0 resultados A (para o evento) em N repetições do processo? Este é um problema teórico (ideal) que se pode solucionar sem muita dificuldade. Cada uma das repetições pode ser entendida como um processo que é independente das demais repetições (ou processos). Como o evento A vai ocorrer com probabilidade p, por hipótese, então a “não ocorrência” de A tem probabilidade 1-p. Em todas as repetições

245

o evento A ocorreu, por hipótese, y vezes; logo a “não ocorrência” ocorreu n-y vezes. Os resultados podem ser qualquer um dos tipos seguintes:

ABAAABBA..  ..BAABBBA   ou BAAABBAB.. .ABABBBAA   etc., N

em que A aparece y vezes e B, N-y vezes. Ora, existem Cny (combinações de n objetos em grupos de y objetos, ver Apêndice III) resultados possíveis (com 0yN)1. Como em qualquer um dos resultados os eventos A e B são independentes, a probabilidade deles ocorrerem em conjunto é py(1-p)N-y. Então, a probabilidade de correr um conjunto, ou o outro conjunto, ou o outro etc. é a soma das probabilidades de ocorrer cada um dos conjuntos. Existindo Cny desses conjuntos, a probabilidade total será a procurada, isto é: Pn(y)  Cny py (1 - p)n - y , ou seja,

pn(y) 

n! py (1 - p)n - y , y!(n  y)!

(08).

Muitas distribuições reais se parecem com a dada por (08) – dita distribuição binomial2. Ela é vantajosa por ser simples quando aplicada aos casos em que n é muito pequeno. A Figura 02 mostra essa distribuição com probabilidades em ordenadas, y=0,1,2,...,16 em abscissas a mesma p=1/6 e os números de repetições em cada caso.

1 2

Ver “Tarefa extra classe” apresentada no final deste Apêndice. Distrbuição descoberta por James Bernoulli (um dos irmãos Bernoulli) no final do século XVII. Tens Def em Maciços– Ruggeri

246

Exercício: Com base em um dos gráficos da Figura 02, determine a probabilidade de ocorrer 4 vezes o número 5 em 16 lançamentos de dados. Calcule essa mesma probabilidade por (08) com o auxílio de uma calculadora. Média e desvio na distribuição binomial Na definição (05) do item 1.4 o índice i varia de 1 a m porque os yi são os eventos possíveis. Mas em (08) os eventos possíveis são todos os números de 0 a n. Então vamos calcular a media b na distribuição binomial considerando os resultados um a um (ou não agrupados), ou seja, devemos calcular: n

y 0

b   ypn(y)   [y

n! py (1 - p)n - y] . y !(n  y)!

Evidenciando-se n, p e observando que y!=y(y-1)!, vem: n

b  np  [ k 0

(n  1)! py 1 (1  p)n  y] , (y  1) !(n  y)!

expressão em que se destaca, no segundo membro, o desenvolvimento do binômio de Newton [p+(1-p)]n-1=1 (ver “Tarefa extra classe” no final deste Apêndice). Assim:

b  n p ,

(09).

A variância σb2 na distribuição binomial pode ser calculada de forma parecida com a da média, pois deve ser: n

b2   (y  )2p(y) . y 0

Desenvolvendo o quadrado e expandindo, vem: n

y0

b2   (y2  2y  2) p(y)   y2p(y)  2  y  2  p(y) . Reconhece-se a expressão da média como um fator na segunda parcela; esta vale, assim, -22n. A terceira vale 2 porque a soma das probabilidades é igual a um. Assim: n

b2   y2p(y)  2n ,

(10).

y0

Para o cálculo da primeira parcela do segundo membro de (10) vamos recorrer novamente à expressão (08) de p(y) e usar um artifício. Tem-se: n

y 0

2  y p(y)   [y(y  1)  y]p(y)   y(y  1)p(y)   yp(y) .

247

A segunda parcela no último membro é a média. Vamos calcular a primeira substituindo p(y) pela fórmula (05) do item 1.4, observando de imediato que podemos evidenciar o produto n(n-1)y2. Tem-se, então, passo a passo: n

y0

y 0

 y (y  1) p(y)   y(y  1)

n! py (1  p)n  y  y!(n  y)! n

 n (n  1) p2 

y2

(n  2)! py  2 (1  p)n  y (y  2)! (n  y)!

Notando (como indicado) que a somatória neste último membro deve ser feita de y=2 até y=N, reconhece-se com facilidade nesta somatória, mais uma vez, a expressão newtoniana da potência N-2 do binômio (p+1-p)=1. Logo, substituindo-se esse resultado em (10) e a média pelo seu valor np, vem:

b2  n(n  1)p2  np ,

(11).

O desvio padrão pode ser obtido imediatamente. * Distribuição de Poisson Quando o número de repetições é muito grande, a distribuição binomial passa a ser um pouco incomoda porque as Cny são números muito grandes, o que dificulta o cálculo das probabilidades por (08), mesmo com auxilio de calculadoras. Poisson deduziu, partindo de (08) que, nesse caso (n muito grande), a mesma probabilidade poderia ser calculada pela fórmula:

p(y) 

y   e , com p  np , y!

(12).

Na Figura 03 apresentamos uma comparação de resultados entre as suas distribuições para um mesmo valor de n (=16) e mesmo p=1/6.

Nessa distribuição a variância é igual à média, mas a demonstração disto é bem trabalhosa (e que não a faremos aqui). Então:

p2   , donde p   ,

(13). Tens Def em Maciços– Ruggeri

248

Na Figura 04 é possível observar alguma diferença entre os valores apresentados pelas distribuições para n=40; mas a binomial dá a probabilidade exata.

Por outro lado, além da vantagem da simplificação dos cálculos, a distribuição de Poisson apresenta três outras vantagens em relação à binomial: 1) – ela só depende da média (a binomial depende de n e p); 2) – em geral, n e p não são conhecidos (e  pode ser determinado com alguma facilidade); 3) – para grandes valores de  a distribuição é bem simétrica. Na Figura 05 apresentamos a mesma distribuição de Poisson da Figura 04, porém com 0y16 para destacar a tendência à simetria em relação à reta y6,2 que pode ser visualizada.

Pode ser comprovado que para valores de  bem maiores que 1 (algumas dezenas) uma expressão também aproximada para a distribuição de Poisson é 2

 1 p(y)  e 2 , com =y-, 2

onde =3,141259... e e=2,71828... .

(14),

249

Em vista de (13) podemos escrever (14) na forma: 1 y 

p(y) 

 ( 1 2 p e p 2

(15).

Distribuição de Gauss Chegamos finalmente a uma distribuição de variável discreta, ainda mais geral que as anteriores, denominada distribuição de Gauss , dada pela expressão seguinte, muito parecida com (15):

g(y) 

1 y  2 ) 

 ( 1 e 2  2

(16),

na qual σ pode assumir qualquer valor, sendo, ainda independente de . Na Figura 06 podemos comparar os gráficos das distribuições dadas por (15) e (16) para um mesmo valor de  com eventos de 0 a 16.

A Tabela II resume algumas das principais características das três distribuições de probabilidades estudadas.

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250

TABELA II DISTRIBUIÇÕES PARA VARIAVEL DISCRETA Nome

Expressão

Binomial

n! pn(y)  py (1 - p)n - y y!(n  y)!

Medidas de tendência

Validade aproximada

Algumas características

b  n p

n é relativamente pequeno (em torno de 10).

- Expressa a probabilidade verdadeira - Inconveniente para n grande (dificulta os cálculos) - Depende do conhecimento de n e p. - A distribuição não é simétrica

b2  n(n  1)p2  np cv = σb/b

p(y)  Poisson

1 y 

p(y) 

Gauss

y   e y!

g(y) 

 ( 1 2 p e p 2

p  np )2

1 y  2 ) 

 ( 1 e 2  2

p   cv = σp/p  = média Σ = desvio padrão cv = coef. variação

Para n grande, a distribuição é significativa para y n n é grande (20 acima) y<N >>1 (da ordem de 20 acima) Logo y>>1

n é qualquer

- É aproximativa em relação à binomial - Torna os cálculos mais fáceis. - Só depende do conhecimento de . - A distribuição torna-se simétrica para grandes valores de .

- Aplica-se a qualquer caso de n e y. - O desvio padrão é independente de .

NOTAS: 1) - Em todas as distribuições os eventos possíveis são: y=0,1,2,3, ...,n, todos com a mesma probabilidade p<<1 de acontecer. 2) - n é o número de repetições de um processo (como jogar dados, contar peças com defeito, tirar medidas etc.), ou o número de “fenômenos” idênticos que se repetem e onde ocorrem eventos.

Tens Def Maciços - Ruggeri

251

Variável aleatória contínua

1.6 – Variável aleatória contínua. Num processo aleatório pode ocorrer que uma variável apresente uma quantidade muito grande de valores possíveis. Este é o caso típico, e o que mais nos interessa neste curso, de variáveis que devam ser medidas repetidas vezes. Os valores possíveis aparecem em grande quantidade quando a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo relativamente amplo, digamos entre 100 e 120, podendo ser medida com algum instrumento, de milésimo em milésimo. Nesse caso, os valores possíveis são todos os números compreendidos entre 100,000 e 120,000, ou sejam, 20.000 valores. Exemplos com relativamente poucos valores possíveis já foram vistos, como as medidas de lados, diagonais e ângulos de um quadrilátero (1 TP da revisão de Trigonometria), cada um podendo assumir até 9 valores. Podem ser incluídos como “poucos valores possíveis” as medidas de distâncias de pontos diversos, em milímetros, teoricamente pertencentes a uma mesma reta paralela a uma reta fixa (como no ensaio do fraturamento hidráulico). Estas variáveis foram tratadas como discretas. As primeiras variáveis citadas – com grande número de valores possíveis – são as variáveis contínuas. Denotaremos por y a variável aleatória contínua genérica de um processo aleatório, seus valores admissíveis sendo, pois, Y 1, Y2, ..., YM-1, YM, com M muito grande (M>>m). Como no caso de variável discreta, para definir a distribuição das probabilidades do processo devemos associar a cada valor admissível Y j (j=1,2,...,M) o número de ocorrência N(Yj) desse valor – ou freqüência - em N>>M repetições do mesmo. É evidente que se M for muito grande o procedimento é inviável, mas é possível contornar a dificuldade. Poderemos predizer resultados com relativo acerto por um caminho aproximado. Este consiste em subdividir o intervalo de variação da variável em um número adequado de subintervalos de valores centrais yj e raio (ou largura) y, digamos i=10 ou i=20 subintervalos (Figura 07), e aumentar de uma unidade a freqüência desse intervalo toda vez que um resultado (medida) estiver compreendido entre yi-(y)/2 e yi+(y)/2.

Este artifício permite que caiemos no problema anterior, pois os M valores possíveis Yj (j=1,2,...,M) ficaram reduzidos aos m valores yi (i=1,2,...,m).; no caso da Figura 07, de M=20.000 para m=20. O que se deduzir para as variáveis contínuas poderá ser aplicado para as variáveis discretas com boa aproximação. Cada evento deverá agora ser denotado por {yi,y} e dir-se-á que ele pode ocorrer com a probabilidade P(yi). Se a largura y for suficientemente pequena, dy, as Tens Def Maciços - Ruggeri

252

probabilidades de diferentes resultados Yj dentro do intervalo genérico {yi,dy} deverão ser aproximadamente iguais; denotemo-las por p. Então, se for Mi o número de resultados possíveis dentro desse intervalo (de valor central yi), a probabilidade dP(yi) deverá ser aproximadamente pMi. Podemos aceitar a idéia de que o número Mi de resultados possíveis no intervalo de centro yi seja proporcional a dy porque, por hipótese, esse intervalo é “suficientemente” pequeno (no exemplo, y=1.000, mas será ele suficientemente pequeno?). Fica estabelecido, assim, um pequeno problema: a largura do intervalo deve ser suficientemente pequena para podermos prosseguir com outras considerações, mas suficientemente grande para conter um número grande, Mi, de resultados possíveis. Supondo verificada a hipótese admitida, podemos escrever que dP(yi)/dy é uma variável que independe de i; mas depende de yi necessariamente (porque dP(yi) depende de yi). Definição: À função

H(yi) 

dP(yi) , dy

i=1,2,...,m

(17),

dá-se o nome de densidade de probabilidade da variável (aleatória) y. Imaginemos o intervalo de variação da variável y dividido em certo número de intervalos pequenos y de valores centrais yi, por hipótese convenientemente escolhidos. Sejam N(yi) as freqüências e F(Yi)=P(yi) as freqüências relativas ou probabilidades encontradas. Desenhemos um gráfico em barras em que em um dos eixos, digamos o de abscissas, tenhamos marcado todos os intervalos (iguais a y) e respectivos yi; e no outro eixo, o de ordenadas, marcadas as probabilidades P(yi) (conforme item 1.4, Figura 01). O conjunto dos pontos de coordenadas (yi, P(yi)) formará uma poligonal cujos lados são muito pequenos se o y escolhido não foi muito grande. É fácil imaginar que se o y escolhido fosse ainda menor essa poligonal tenderia para uma curva contínua. Teoricamente podemos imaginar que o intervalo y possa tender para zero, y0, caso em que m. É nesse caso que representamos y por dy, a correspondente probabilidade por dP e escrevemos simbolicamente: H(y)=dP/dy. A função densidade de probabilidade é reservada à distribuição de probabilidade da variável contínua, mas é também a própria distribuição de probabilidade para os valores inteiros dessa variável. Como, na prática, não é possível imaginar-se y0, nem m, devemos trabalhar com uma aproximação experimental F(yi) para a probabilidade P(yi), isto é,

H(yi) 

F(yi) , y

é uma aproximação experimental para a função densidade de probabilidade.

(18),

253

1.7 – Média e desvio padrão da variável contínua Tal como no caso da variável discreta, a probabilidade P(a,b) de que um resultado y da variável contínua esteja compreendido entre os valores dados a e b é a soma das probabilidades de ocorrerem todos os valores yi compreendidos entre a e b. Então devemos escrever: yi  b

P(a, b)   P(yi) , yi  a

ou, lembrando (17) e (18): yi  b

P(a, b)   [H(y i)y] , yi  a

(19).

No caso teórico em que y0, a somatória em (19) tem uma infinidade de parcelas e a representamos na forma especial seguinte: b

P(a, b)   H(y)dy ,

(20).

Na Figura 07 do item 1.6 apresentamos em gráfico a distribuição teórica de probabilidades segundo Gauss indicando em ordenadas as freqüências relativas de ocorrência das (n=40) medidas de uma variável aleatória discreta de média =6,666..., cujos eventos têm a mesma probabilidade p=1/6 de ocorrer. Como nesse caso, y=1 e só ocorrem valores iguais a 0, 1, 2, ..., 16, então, numericamente H(y)=P(y), conforme (18). Se em (19) fizermos a=0 e b=4, digamos, P(0,3) será igual à área igual à soma das áreas dos quatro retângulos indicados na Figura 08 (todos com base igual a 1). Então P(0,3) é aproximadamente igual a 0,005+0,01+0,03+0,065+0,105=0,215, ou seja 21,5%. Assim, 21,5% das medidas são inferiores a 4 (ou compreendidas entre 0 e 4).

Quando a variável é contínua as probabilidades vão ser obtidas da mesma forma, apenas acontecendo que as larguras dos intervalos não são unitárias, mas quaisquer e relativamente pequenas. Tens Def em Maciços– Ruggeri

254

No caso de variável contínua a distribuição de Gauss para a ser representada por

G(y) 

1 y μ 2 ) σ

 ( 1 e 2 σ 2π

(21),

expressão idêntica à (16) onde se trocou g por G para lembrar que ela se refere à variável contínua y. O gráfico dessa distribuição não é mais dado por um conjunto finito de pontos, mas por uma curva em forma de um sino que passa por todos esses pontos podendo fornecer valores de probabilidade para intervalos y tão pequenos quanto se queira. Uma das propriedades dessa curva é apresentar um pico correspondente aproximadamente à média  e de ser quase simétrica em relação à reta y==6,666..... Ela está representada na Figura (08) para o exemplo que vínhamos utilizando, agora supondo que a variável aleatória correspondente fosse contínua. Com a distribuição de Gauss, a expressão (19), onde o fator 1 ( 2) é constante, toma a forma aproximada:

P(y) 

1 σ 2π

yb



1 yμ 2  ( ) 2 σ Δy

1  0,3989 ) 2

(

y a

(22),

para pequenos y, ou a forma exata (em que os y=dy são, agora, extremamente pequenos e N é muito grande):

P(y) 

1 σ 2π



b  1 ( y  μ )2 e 2 σ dy

(23),

Antes de procurar outros resultados (média, variância e outros) dessa importante distribuição teórica de probabilidades devemos investir um pouco mais na sua apresentação porque ela poderá (sob certas condições) representar muitas distribuições reais. Vamos determinar qual é a probabilidade de obter-se um valor para y compreendido entre a=- e b=+, ou tal que -<y<+. Isto significa, em outras palavras, determinar a probabilidade de obter-se um valor para y compreendido entre dois valores aproximadamente simétricos em relação à reta y=. Para tal determinação, basta substituir esses valores de a e b em (23), obtendo-se,

P() 

1 σ 2π

    1 ( y  μ )2 e 2 σ dy



 -

(24).

Para calcular-se com facilidade a somatória indicada no segundo membro de (24) é conveniente fazer-se uma mudança de variáveis, introduzindo uma variável reduzida, com a substituição

255

z

y dy , donde dz  .  

Assim, em função da variável reduzida z, (21) assume a forma: 1

G(z) 

 z2 1  2 z2 e  0,3989 e 2 , 2π

(25),

e (24),

P() 

1 2π



 /   1 z2 e 2 dz

 / 

(26).

A introdução da variável reduzida z significa: 1) – dar uma translação no eixo das probabilidades (eixos ordenadas) para o ponto de abscissa y=, o que torna a curva simétrica em relação a esse novo eixo; 2) – adotar  como unidade da escala de medida do novo eixo de abscissas; 3) – tornar a área total “debaixo da curva” (área compreendida entre ela e o eixo das abscissas) igual a 1 (o que não é difícil comprovar). O gráfico de distribuição normal de probabilidades (25) passa, assim, a ter forma única indicada na Figura 09.

Pode ser numericamente comprovado que, neste gráfico, a área compreendida entre a curva, o eixo z e as ordenadas z=1 e z=-1 representa 68,27% da área total (que é igual a 1); entre as ordenadas z=2 e z=-2 representa 95,45% da área total e entre z=3 e z=-3, 99,73% da área total (praticamente a área toda). Isto significa que existe a probabilidade de 68,27% de ocorrer um valor para a variável reduzida compreendido entre z- e z+; ou de 95,45% de estar compreendido entre z-2 e z+2 etc.. Não sendo possível determinar analiticamente a expressão da somatória (26), recorre-se a um tabelamento numérico pelo qual é possível fixar à vontade o intervalo de variação de z. A Tabela III exibe o valor da área compreendida entre a curva, o eixo G(z), o eixo z e a ordenada correspondente a qualquer z com 0z<4.

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256

Exercício: A média e o desvio padrão das medidas do lado AB do quadrilátero ABCD do 2 TP são: 10,75 cm e 0,03 cm, respectivamente. Pergunta-se: 1) - Qual é a probabilidade de encontrar-se uma medida de AB menor que 10,78 cm? Solução:

y - 10,75 10,78  10,75   1. 0,03 0,03 Logo, pela Tabela I, área=0,3413, ou seja a probabilidade de ser 0z1 é de 34,13%. Como interessa também valores de z menores que 10,75 cm, a probabilidade é de 84,13%. O valor da variável reduzida correspondente é z 

2) – Almejando-se uma probabilidade de 80% e valores de y superiores a 10,71, qual é o valor máximo que z deverá atingir? Solução: Para y=10,72 cm a variável reduzida é a=-1,333.... que corresponde a uma a´rea de 0,4082, ou 40,82% de probabilidade. Restam 80,00-40,82=39,18 de probabilidade que correspondem à variável z=b=1,235. Ao valor b corresponde o valor máximo que y deverá atingir: ymax=10,75+1,235x0,03=10,787 cm, resultando: 10,71z10,787. Notar que se nenhum valor de z atingir 10,787 não será possível a esperança de 80%.

1.8 – Média e desvio padrão da variável contínua, na prática. Na prática não existe “infinidade” de dados; muitas vezes, ao contrário, a quantidade de dados costuma ser insatisfatória para poderem-se predizer probabilidades com algum sucesso. Vamos considerar o caso real das 10 medidas (em cm) do lado AB do quadrilátero ABCD, realizadas pelos alunos no 2 TP deste curso. Temos ai uma amostra de uma população, as medidas sendo: 1 0 , 7 0

1 0 , 7 5

1 0 , 7 0

1 0 , 7 5

1 0 , 7 4

1 0 , 7 8

1 0 , 8 0

1 0 , 7 5

A média dessa amostra é dada por

y

1 10

i 10

 y  10,75 cm i

i 1

e desvio padrão: in

 (y  y )



i 1

n 1

 0,03 cm.

Para visualizar a distribuição dos dados organizamos um histograma. Este é um gráfico com dois eixos. No eixo das abscissas devemos marcar intervalos constantes de

1 0 , 7 5

257

variação das medidas, e respectivos pontos médios. No eixo das ordenadas marcamos as freqüências relativas dos intervalos escolhidos. A forma do histograma varia com a escolha feita da largura do intervalo. Uma inspeção rápida dos dados mostra que eles variam entre 10,70 e 10,80. Se escolhermos um intervalo de 0,10 de largura haverá intervalos com freqüência zero e a curva da distribuição foge muito da normal. Isto ocorre freqüentemente quando a quantidade de dados é pequena. Entretanto pode ser verificado que entre os valores y   e

y   estão compreendidas 7 dentre as 10 medidas (aproximadamente 68,27%, ver Figura 09); entre y  2 e y  2 estão todas as medidas. Façamos novas medidas do lado AB, juntando às 10 medidas anteriores as outras 8 seguintes: 10,69; 10,72; 10,70; 10,73; 10,74; 10,77; 10,76; 10,75; 10,75; 10,79. Teremos agora: y = 10,7435 cm e =0,030 cm. Exercícos: 1) - Resolva os mesmos problemas propostos no último exercício com a média do conjunto de 18 medidas do lado AB. 2) – Transforme o problema anterior num problema de variável discreta com distribuição binomial, resolve problemas análogos e compare os resultados.

2 – Incertezas. 2.1 – Melhor estimativa. Os valores das grandezas físicas são determinados, em geral, por um processo de medição, tal como medimos (com alguns instrumentos) as coordenadas dos vértices e os comprimentos dos lados do quadrilátero motivo do 2 TP. Por isso mesmo, sempre desconhecemos os seus verdadeiros valores. A teoria dos erros tem por objetivo estabelecer critérios para: 1) - fixar-se uma melhor estimativa para o valor de uma grandeza a partir de medições da mesma; 2) – estabelecer com que chance (probabilidade) esse valor estimado pode ser idêntico ao valor verdadeiro (que é sempre desconhecido). A probabilidade mencionada nesse segundo item é a incerteza com que se indica a melhor estimativa. Se a distribuição de probabilidades de uma amostra é aproximadamente normal, então a media dos valores é uma estimativa com 39,89% de ser verdadeira. Esse valor corresponde ao máximo de P(z) na Figura 09 do item 1.7.

2.2 – Intervalo de confiança e nível de confiança.

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Supondo que um conjunto de medidas admita uma distribuição normal (as distribuições variam com as grandezas medidas), uma estimativa delas será sempre seguida da sua confiança; e a média delas, y , é a estimativa da maior confiança. Em geral, porém, estaremos interessados em estabelecer uma faixa, eventualmente estreita, cujo ponto médio defina uma estimativa, em torno da qual queiramos considerar que o valor da grandeza possa estar situado; esse ponto médio, em geral, é a média. Isto pode ser considerado pela utilização da chamada incerteza padrão que adota o desvio padrão  como semi-largura da faixa. Assim, qualquer medida da variável aleatória y tem probabilidade de 68,47% de estar situada entre y - e y +. Utilizando a Tabela III, poderemos determinar com que chance uma medida qualquer, dada ao acaso, possa estar compreendida entre y -k e y +k com 0<k<3. Um valor de k muito bem conhecido entre os engenheiros é 1,645 para o qual corresponde a chance de 90%. Em um projeto admitiu-se que a resistência de ruptura à compressão do concreto a ser aplicado na construção seja fck após 28 dias. Para que isto seja confirmado, moldam-se alguns corpos de prova com o concreto empregado, no ato da concretagem. Estes são curados segundo critérios estabelecidos por norma e rompidos com a idade de 28 dias. Faz-se uma análise estatística com os resultados obtidos, admitindo que a amostra apresente uma distribuição normal, determinando-se assim uma resistência média y e um desvio padrão  para a amostra. O concreto será considerado de resistência satisfatório, com 90% de chance de ter a resistência especificada, se

y  1,645  fck  y  1,645 . O intervalo y -k e y +k com 0<k<3 é dito intervalo de confiança para a variável y e pode ser estabelecido para cada situação particular; a probabilidade que acompanha o intervalo é dita, também, o nível de confiança. Exercícios: 1 - Para que valor de k o nível de confiança em torno da média é de 50%? Solução: Procura-se na Tabela III o valor da variável reduzida z que corresponda ao valor 0,25 (25%) da área; encontra-se z  0,675. A esse valor de k corresponde o que se chamava de erro provável da variável (denotado por  e hoje em desuso), ou seja  = 0,675 . 2 – Se yv é o verdadeiro valor (desconhecido) de uma grandeza, que é próximo de algum y , o erro de uma medida qualquer y da grandeza é =y- y . Então =k. Limite de erro é o valor máximo admissível para o erro. Qual é o limite de erro para uma variável com distribuição normal? (Resp.: ≈3).

2.3 – Causas de erros nos TPs realizados no curso. Em geral, os instrumentos analógicos de medição são construídos de forma que o limite de erro na sua calibração seja igual à menor divisão da escala. No caso da régua, esse limite corresponderia a 1 mm e no caso do transferidor, 1. Mas isso é um pouco exagerado

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uma vez que temos sensibilidade suficiente para avaliar 0,5 mm e 0,5. Assim, no caso dos instrumentos utilizados, esses valores poderiam ser considerados como limite de erro. O desvio padrão para as medidas realizadas confirmam essa posição uma vez que o desvio encontrado foi de 0,3 mm aproximadamente. Essas questões são muito discutidas. Existem réguas de aço de 50 cm, graduada em mm, mas com graduação de 0,5 em 0,5 mm nos primeiros 10 cm porque esse é o limite de erro considerado para medidas não superiores a 10 cm. Não vamos discutir aqui as razões disto. É interessante observar, porém, algumas possíveis causas de erros na medição de um comprimento com uma régua graduada em mm: 1) – erros na graduação da escala da régua, os intervalos podendo variar com a temperatura. Nesse caso, quanto maior é a régua e maior o comprimento a medir, maiores poderão ser os erros; 2) – erros de leitura devidos à paralaxe; 3) – erro na avaliação da fração do mm; 4) – erro no posicionamento e alinhamento do objeto com a régua. Em qualquer caso, o limite de erro de calibração de uma régua graduada em mm deve ser 1 mm. Quando o comprimento a medir é bem determinado, como os que foram objeto do 2 TP, e são boas as condições de medição (iluminação, mesa de trabalho etc.) os erros na leitura são desprezíveis em relação aos erros de calibração. Isto pode ser constatado no TP. Por isso é que podemos fixar como limite de erro o limite de calibração da escala para comprimentos grandes (próximo do final da escala). Um truque consistiria em fazer indicar a escala de uma régua nos dois sentidos e fazer uma leitura com cada escala. Nesse caso poderíamos adotar como incerteza padrão a metade do limite de erro de calibração (0,5mm). As mesmas considerações poderiam ser feitas em relação aos transferidores, embora a sua construção seja mais delicada.

3 – Erros sistemáticos e estatísticos. O valor verdadeiro da medida de uma grandeza é sempre um número desconhecido. De uma “campanha de medições” extraímos um valor médio, y ; e este, conforme a quantidade e qualidade das medidas yi (i=1, 2, ..., n), pode estar mais próximo ou muito longe do verdadeiro valor. Essa “distância” existe porque em todas as n medições ocorrem erros, mesmo para n muito grande. Em uma primeira abordagem, os erros podem ser classificados em dois tipos gerais: os sistemáticos e os estatísticos. Os erros sistemáticos são aqueles que ocorrem em todas as medidas yi. Denotandose esse erro por y, podemos escrever: yi=y‟i+y, os y‟i sendo os valores das medidas caso não ocorressem esse erro sistemático. Então, y  y  y , ou seja, a media das medidas fica também afetada do erro sistemático.

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O erro estatístico, também dito erro aleatório, é aquele tipo de erro que ocorre aleatoriamente (não é constante). Assim, se os y” i são as medidas da variável y, sem erro sistemático mas com erros aleatórios, y e y  estariam aproximadamente à mesma distância do valor verdadeiro da medida porque os erros aleatórios se distribuíram aproximadamente da mesma forma em torno do valor verdadeiro. Acurácia e precisão Nas medições ocorrem os dois tipos de erros. A diferença entre uma medida qualquer e o valor verdadeiro, dita a acurácia da medida ou sua exatidão, é devida em sua maior parte ao erro sistemático. A precisão é uma forma de expressão de uma medida levando-se em conta os erros estatísticos que, em geral, são pequenos. Por isso, quando não ocorrem erros sistemáticos, ou quando esses foram minimizados por alguma medida preventiva, as medidas são mais precisas, pois são afetadas apenas pelos erros estatísticos. Assim, para que uma medida seja considerada de boa acurácia é necessário que o erro sistemático seja pequeno e que a precisão seja boa. Em outras palavras: a precisão de uma medida é uma condição necessária para que esta seja considerada boa, mas não é suficiente. Resulta dessas considerações que a acurácia, ou exatidão, de um conjunto de medidas caracteriza a qualidade final dessas medidas (porque o erro estatístico é pequeno e distribuído no conjunto).

3.1 – Erros estatísticos Certos fatores influenciam as medidas e agem de forma aleatória, como: variação de temperatura ambiente entre uma medida e outra, vibração ao medir massa com uma balança, correntes de ar atuando de forma diferente nos pratos de uma balança; e outras. Esses fatores podem ser controlados (eventualmente) a ponto de terem peso insignificante frente a outros que sejam causas de erros.

3.2 – Erros sistemáticos Um erro sistemático não pode ser eliminado simplesmente aumentando-se a quantidade de medições porque ele está presente em todas elas, conforme visto; isto complica a sua eliminação. Em geral, os sistemáticos são: - instrumentais; - ambientais; - observacionais; - teóricos; - residuais. Os erros instrumentais são resultantes das calibrações dos instrumentos utilizados nas medições e podem, inclusive, variar ao longo do tempo em função de temperatura, umidade etc. Os erros sistemáticos apresentados por uma régua, por exemplo, dependem da qualidade desta (do material de que é feita, do método de fabricação etc.). Podem ser minimizados esses efeitos pela calibração periódica dos instrumentos.

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Os erros ambientais são devidos a efeitos do ambiente em que se realizam as medições, como: temperatura, pressão, umidade, altitude etc.. Estes erros podem ser eliminados pelo conhecimento das condições ambientais e a forma como estas afetam as medições, ou pelo controle das condições ambientais. Os erros observacionais são devidos a falhas de procedimento ou falhas do instrumentista. O caso muito comum é o do erro sistemático devido à paralaxe na leitura de escalas de instrumentos: defeito no alinhamento do olho do observador, o indicador da leitura e a escala do instrumento. Outro exemplo é o disparo sistemático sempre atrazado de um cronômetro. Os erros sistemáticos teóricos resultam do uso de fórmulas aproximadas para a dedução do valor da medida. Estes existem em muitos dos ensaios que realizamos no DCT, como: na célula STT, no método das almofadas para o cálculo do tensor de tensões, no método do fraturamento hidráulico e outros. Outro erro sistemático teórico é devido à utilização de valores aproximados de grandezas em fórmulas. O valor final para a grandeza que se vai calcular por uma fórmula vem afetado de um erro que é função dos erros com que cada grandeza vá entrar nesse cálculo. Esse problema pode ser complexo e o valor da incerteza associado ao valor calculado pode ser expressivo. Em algumas situações essa estimativa do erro sistemático associado pode ser simples, mas não é o caso quando a grandeza em processo de medição é vetorial ou um tensor de ordem 2. Temos escrito alguns trabalhos em torno desse problema (ver Anexos III e VI). Se depois de tomadas todas as precauções para se tornarem mínimos os erros sistemáticos – por controles diversos e ou por correções nos valores finais - ainda houver possibilidade de ocorrência de alguns erros (agora minorados), estes serão ditos erros residuais e as incertezas correspondentes incertezas sistemáticas residuais. O termo serve para lembrar que providências foram tomadas para minimizar os sistemáticos.

3.3 – Erros grosseiros Erros grosseiros não são erros do ponto de vista da teoria dos erros; são gerados por enganos, distrações, inadvertências e causas similares. Medições com suspeitas de erros grosseiros devem ser descartadas para não mascarar as medidas confiáveis e válidas. Os erros grosseiros devem ser seguramente eliminados de qualquer procedimento de medição.

4 – Incertezas dos tipos A e B. Há erros que em certas condições são sistemáticos e em outras podem ser estatísticos. Isto desautoriza qualquer classificação de erros com pretensão de ser “geral” e aplicável a todos os casos. Não apenas para contornar essa situação, algumas organizações internacionais se juntaram, criando a “ ISO - “International Organization for Standardization” para produzir um documento que regulamentasse todos os conceitos envolvidos nas medições: o “Guia

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para expressão da incerteza de medição”. A Sociedade Brasileira de Metrologia, articulada com o Inmetro publicaram em Português o referido guia em 1996. No capítulo 2 do Guia foram definidas as incertezas tipos A e B: a primeira é a incerteza definida pela análise estatística de uma série de observações; a segunda é definida por quaisquer outros meios que não a análise estatística de alguma série de observações.

4 – Propagação de incertezas. Em muitos dos trabalhos que desenvolvemos no DCT devemos determinar a medida de uma grandeza: escalar, vetorial ou tensorial de segunda ordem que, sabemos, é função de outras grandezas (também escalares vetoriais ou tensoriais). Neste curso vamos nos referir apenas à grandeza escalar, denotada genericamente por w, que seja função de outras grandezas também escalares: x, y, z, .... Traduzimos isto, escrevendo: w=w(x,y,z,...),

(01).

Por hipótese as grandezas x, y, ... são aleatórias, passíveis de medição e apresentam incerteza do tipo A representadas pelos desvios padrões x, y, ... supostos conhecidos. Se imaginarmos uma experiência em que todas as grandezas aleatórias ficassem constantes, exceto uma delas, digamos a x, então entre os valores x0 e x0+x de x, w variaria entre certo w0 e w0+w. A razão entre as variações w de w e x de x está determinada e vale w/x, podendo ser positiva ou negativa; esse quociente, para um x muito pequeno, tendendo para zero, é chamado a derivada parcial de w em relação a x quando x assume o valor x0. O que se definiu para a grandeza x é válido também para a grandeza y e todas as outras. Diremos, assim, que w tem derivada parcial em relação a todas as outras grandezas quando x assume o valor x0, y o valor y0, z o valor z0 etc.. Pode ser demonstrado que uma aproximação para a variância de w, (w)2, correspondente aos valores: x0 de x, y0 de y, z0 de z etc.. é dada por:

w 2  (

w 2 2 w 2 2 ) x  ( ) y  ... , x y

(02),

em que as derivadas são calculadas, como visto, para x=x0, y=y0, ... (deriva-se (01) e substitui-se nessa derivada calculada x por x0, y por y0 etc.). Se w fosse função apenas de x, seria:

w 2  (

dw 2 2 dw ) x , ou w | | dx dx x

(03),

onde consideramos apenas o módulo da derivada de w em relação a x (calculada para o valor x0 de x) porque os desvios padrões  devem ser positivos. Se é sabido que a relação entre as variáveis w e x é linear, portanto do tipo w=Ax+B (com A e B constantes, A0), então, a derivada parcial de w em relação a x, para qualquer

263

valor de x, é a constante A; donde w=|A| x. Calcula-se w imediatamente, pois conhecemos x, mas desde que saibamos determinar |A|. Dizemos que x propagou-se para w segundo a lei, ou fórmula de propagação: w=|A| x. Poderíamos deduzir dezenas de fórmulas de propagação que fornecessem w em função de x, cada uma dependendo do tipo de relação que pudesse existir entre w e x.

5 – Transferência de incertezas. No item anterior as incertezas das grandezas x, y, z, ... propagam-se para a grandeza w. No caso simples apresentado (caso w=Ax+B), o desvio de w pode ser expresso diretamente em função do desvio de x. É comum a situação em que tanto w quanto x devam ser medidas, pretendo-se, com essas medidas, determinar a relação w=w(x) existente entre elas. Suponhamos que as medidas de ambas admitam uma distribuição normal e com desvios padrão conhecidos, x e w0, respectivamente. Vamos simular o fenômeno que deu origem a essas variáveis e suas desconhecidas relações fazendo uma experiência com um par genérico de valores, cada valor estando dentro do seu intervalo fisicamente possível de variação evidentemente. Efetuando-se medidas do par em torno dos valores escolhidos para a experiência, estes apresentarão médias (xi,wi) e desvios x e w. Podemos indicar em um gráfico cartesiano, com x em abscissas e w em ordenadas, o ponto P de coordenadas (xi,wi) correspondente às médias das medidas de x e w e respectivos desvios padrões, como na Figura 01. O ponto P ocupa o centro de um retângulo, que chamaremos retângulo da incerteza em P, cujos lados são as barras de incerteza. Essa experimentação seria estatisticamente idêntica, com 68,27% de chance, a qualquer outra realizada com um par (x,w) correspondente a ponto interior ao retângulo de incerteza, ou seja, com um valor de x compreendido entre x-x e x+x e com um w compreendido entre w-w0 e w+w0. Se executarmos vários experimentos, com pares variáveis (x,w) dentro dos seus intervalos de variação fisicamente possíveis, obteremos no gráfico cartesiano uma “linha” de pontos P, cada ponto com seu retângulo de incerteza; esse gráfico é dito um diagrama de dispersão. Ora, todos os pontos interiores a esses retângulos representam coordenadas possíveis de experimentos. Então concluímos que todos os experimentos admitem pontos representativos, no diagrama de dispersão, interiores a uma grande “nuvem” que delimita uma área um tanto alongada e de “diâmetro” variável uma vez que os desvios variam de uma experiência para outra. A consideração das incertezas ligadas a x e w complica sensivelmente a solução do problema da determinação da relação existente entre essas variáveis. Para simplificar a solução podemos transferir as incertezas digamos da variável x para a w, considerando que a incerteza de x tenha se propagado para w (ver item 4). Em outras palavras: podemos

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considerar os valores de x como verdadeiros, desde que ampliemos a incerteza (original) w0 de w. A expressão aproximada do valor w da incerteza ampliada de w é, então:

w 2  w02  (

dw 2 2 ) x , dx

(01).

A consideração da transferência da incerteza não acarretará mudança sensível no diagrama de dispersão; acarretará apenas um aumento na espessura da nuvem uma vez que a incerteza de w foi ampliada. O único inconveniente desse procedimento esta em não podermos determinar exatamente a derivada indicada (em 01) por não conhecermos a relação analítica existente entre w e x (justamente a nossa preocupação). Na prática esse problema é contornado por aproximações sucessivas partindo-se de um valor admissível (estimado) para a derivada, calculando-se então w. Os procedimentos restantes do processo serão analisados mais à frente.

6 – O ajuste da função, ou regressão. 6.1 – A natureza da função De imediato é necessário observar que é possível ajustar uma infinidade de curvas aos pontos de um dado diagrama de dispersão, todas igualmente satisfatórias do ponto de vista estatístico. Por outro lado, considerações de ordem física poderão sugerir caminhos aceitáveis que possam ajudar a solucionar o problema de forma rápida e também satisfatória. De fato, haverá condições em que a nuvem deva ter forma conhecida, como uma reta, uma circunferência, uma curva que deva admitir uma assíntota, uma curva que deva passar por um ponto conhecido (reta pela origem, por exemplo), e muitas outras mais. Essa possibilidade fará com que nos refiramos à função de ajuste como função verdadeira pela sua natureza. Os casos de retas, circunferências e cônicas em geral, cúbicas etc. são enquadrados no caso geral da regressão polinomial, escrevendo que

w  c0  c1x  c2x2  c3x3  ... cn xn , isto é, em que a curva de ajuste seja do enésimo grau (n inteiro). Outros são enquadrados na regressão exponencial, escrevendo-se que:

w  b ax ,

(a e b constantes),

caso que pode ser transformado no caso retilíneo se considerarmos que, tomando logaritmos de ambos os membros da expressão, podemos escrever:

lg w  x lg a  lg b , ou W=Ax+B com W=lg w, A=lg a e B=lg b. Temos também o caso de regressão com curva geométrica em que

265

w  bxa (a e b constantes), que também pode ser transformado no caso linear com lgw=lg b+a lgx; e outros mais. Nas transformações por logaritmos é conveniente um teste preliminar para verificar a dispersão das variáveis transformadas com a finalidade de decidir qual é o modelo mais adequado. Não trataremos dessas regressões neste Curso. 6.2 – Princípio da máxima verosimilhança O método de ajuste da curva de regressão aos pontos do diagrama de dispersão deve obedecer ao princípio seguinte: Se a função de regressão é verdadeira por sua natureza, os pontos do diagrama de dispersão são os que tinham a maior probabilidade de acontecer, dito princípio da máxima verosimilhança. O princípio enuncia, em outras palavras, que o conjunto de pontos do diagrama de dispersão é o mais verdadeiro possível, ou muito semelhante ao verdadeiro. Ajustada a curva à nuvem de pontos, segundo algum critério, o que se poderá predizer em relação à mesma quanto à qualidade do ajuste?. Estando definida a curva por sua natureza, restará determinar os parâmetros que a caracterizam (ver item 6.1): o coeficiente angular e a ordenada na origem, se ela for uma reta; os coeficientes c0, c1 e c2, se a curva for uma cônica; os coeficientes a e b, se a curva for uma exponencial etc.. Para conseguir-se uma função próxima da verdadeira é desejável a maior quantidade possível n de pontos, sendo, porém, imprescindível que n seja no mínimo igual à quantidade p de parâmetros a determinar. Em qualquer caso, porém, ajustada a curva de equação y=f(x), haverá em cada ponto (xi,wi) um erro i (Figura 01) dado por i=wi-f(xi), (01), o qual, admitindo distribuição normal, apresenta um intervalo de confiança de raio wi. Isto significa que 68% dos erros devem ter módulos inferiores a wi, ou seja: se for grande a quantidade de pontos no diagrama de dispersão, 68% das barras de incerteza dos valores wi devem cruzar a curva ajustada (logo, os 32% de barras restantes não deverão cruzá-la). Variável aleatória w com média e desvio conhecidos para cada par (x,w) nem sempre estão estatisticamente disponíveis, mas podem ser fixados. Nesse caso, os resultados apresentados são aplicáveis com alguma aproximação.

6.3 – O método dos quadrados mínimos

Sejam dados, então, os n pares (xi,wi) e as incertezas wi. Suponhamos ainda que já esteja definida pela natureza a curva de regressão verdadeira e que seus parâmetros estejam a determinar. Então o princípio da máxima verosimilhança (item 6.2) pode ser aplicado. Tens Def em Maciços– Ruggeri

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A probabilidade associada ao par (xi,wi) e desvio wi é dada pela lei (da distribuição normal, ver (21), item 1.7):

G(w i) 

1 σwi 2π

1 w μ  ( i i )2 2 σ wi

 Pi ,

(02),

onde i é o valor médio correspondente a wi. A probabilidade de ocorrer todos os pares de resultados (xi,wi) é o produto das probabilidades P i (ver exercício C, item 1.4) porque esses eventos são independentes. Logo, ao conjunto de todos os pontos do diagrama de dispersão está associada a probabilidade 1 i n w i  μi 2 ( ) σ wi

  1 n 1 2 P( ) e i1 2π σw1σw2...σwn

(03).

Como wi-i é o erro relativo de wi em relação à média, a substituição de i nesta expressão por f(xi) dará o erro em relação a f(xi). De acordo com o princípio da máxima verosimilhança a melhor f(x) deve tornar máxima a probabilidade P; e para que isto se verifique o expoente de e em (03) deve ser o menor possível, ou seja, in

2   ( i 1

wi  f(x i) 2 ) , σwi

(04),

deve ser mínimo. A condição final (04) justifica o nome dado ao método: dos quadrados mínimos, nome esse impropriamente denominado de: mínimos quadrados, mas de uso já está consagrado entre nós. É possível que o termo “mínimos quadrados” seja uma tradução mal feita do correspondente em inglês: “least square method”. Na prática, em muito casos reais, o experimento para a determinação do par (x i,wi) é feito uma única vez, e para os n experimentos que geram todos os pares os desvios padrões (as incertezas) podem ser considerados iguais. Nesse caso o mínimo de 2 fica reduzido ao mínimo de in

S

 [w  f (x )] , 2

(05),

i 1

ou seja, de que a soma dos quadrados dos erros entre cada wi e o correspondente valor calculado por f(xi) seja mínima, independentemente da incerteza de cada ensaio que gere wi.

6.4 – Aplicações do método dos quadrados mínimos No item anterior está exposta a essência do método dos quadrados mínimo. Ele poderá agora ser aplicado em muitas situações. 6.4.1 – Qual a melhor aproximação em n medições de um mensurando? Temos dois casos a considerar:

267

1 caso: As medidas de uma grandeza y serão feitas em condições de reprodutibilidade, isto é, por diferentes métodos, por diferentes experimentadores e por diferentes instrumentos, como na referida medição do lado do quadrilátero, embora a régua utilizada tenha sido a mesma. Essa aplicação é interessante por ser muito comum na prática e está relacionada com o trabalho de medição do lado do quadrilátero, objetivo do 2 TP realizado neste Curso. A distribuição (normal) dos erros estatísticos (ver item 3) pode ser diferente de uma medição para outra, ou seja, os i são diferentes. Mas à luz do conceito de ajuste de curvas vemos que estamos frente a uma situação particular de regressão linear em que a reta a ajustar é paralela ao eixo y, ou seja, f(x)=constante=c 0 (ver item 6.1). Em outras palavras, conforme (04) e adaptando a notação para o caso, deve ser mínimo o valor: in

2   ( i 1

yi  y 2 ) , σi

(05).

Então a derivada primeira de 2 em relação a y deve ser nula; e tem-se:

d2  (2) dy

 i 1

yi  y yi 1  (2)[ y ]0. 2 2 2 i i 1 i i 1 i



Resolvendo esta equação do primeiro grau em y, resulta: n

y

 i 1 n

 i 1

yi 2

(06).

1 i2

Resta determinar a incerteza y associada à medida y de melhor ajuste, dada por (06). A fórmula geral (02), do item 4, de propagação de incertezas pode ser escrita para o caso na forma:

y 2  (

y 2 2 y 2 2 )  ( ) 2  ... , y1 1 y2

(07),

em que cada derivada deve ser obtida de (06). Genericamente tem-se:

y 1  y j  j

1 n

 i 1

1 j

Substituindo-se esse resultado em (07) e simplificando resulta:

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y2 

 i 1

(08).

1 j

* Exercício: As medidas do lado AB do quadrilátero ABCD do 2 TP forma feitas em duas etapas; os conjuntos são não similares. Na primeira, a media das 8 medidas encontradas pela turma foi de y1= e a incerteza padrão (desvio padrão): 1= . Os valores correspondentes na segunda etapa foram: y2= e 2= . Qual é a melhor aproximação para a medida do lado? Solução: Tem-se: p1=(1/1)2= e p2=(1/1)2= . Então aplicando (06) obtemos:

y

p1y1  p2y2  p1  p2

Podemos interpretar este resultado particular dizendo que o valor encontrado para a medida é uma média ponderada das medidas encontradas nas duas etapas, os pesos tendo sido p1 e p2. Esta mesma interpretação pode ser estendida para a fórmula geral (06). A incerteza padrão correspondente é, aplicando (08):

y 2 

1  .... p1  p2

* 2 caso: Por (06) podemos calcular a melhor aproximação para um conjunto de n medidas idênticas yi de uma mesma grandeza. Assim são denominadas as medidas feitas nas mesmas condições de repetitividade, isto é, por um mesmo experimentador, nas mesmas condições e usando os mesmos instrumentos. Nestas condições podemos aceitar a idéia de que todas as medidas apresentem a mesma incerteza i. É intuitivo que, nesse caso, a melhor aproximação seja a média simples de todas as medidas: y  y . De fato, pois em (06) serão: n

 i 1

1 n  i2 2

 i 1

yi 1  i2 2

y . i 1

Se as 16 medidas relativas ao exercício anterior puderem ser consideradas todas com a mesma incerteza, encontraríamos: y = e = , valores que, evidentemente, diferem ligeiramente dos lá encontrados. Entretanto, aplicando (08) a incerteza padrão do conjunto das medidas é:

y 

  ...... n

269

6.4.2 – Função linear nos parâmetros. Podemos aplicar o método dos quadrados mínimos para ajustar uma função da variável (não aleatória) x, linear em p parâmetros, denotada sinteticamente por: f(x; a1, a2, ..., ap). Nesse problema, em outras palavras, estão dados n pares (xi, wi), as incertezas wi e uma função suposta verdadeira pela natureza, w(x)=f(x; a1, a2, ..., ap)=a0+a1 f1(x)+ a2 f2(x)+ ... + ap fp(x),

(09),

claramente linear nos parâmetros incógnitas aj, as funções fj(x) sendo conhecidas por hipótese e independentes entre si. Estaríamos, assim, resolvendo, por exemplo, o problema da regressão polinomial, citado no item 6.1, pois, de fato, faríamos: f 1(x)=x, f2(x)=x2, ..., fp(x)=xp. Mas ficam excluídos os demais casos citados no item 6.1 porque as funções não seriam lineares nos parâmetros.

Outro exemplo interessante que poderia ser resolvido pelo caminho a seguir apresentado é a regressão com f(x; a1, a2, ..., ap)=a0+a1 senx+ a2 sen2x+ ... + ap senpx. Vamos observar inicialmente que a substituição de x por x i em (09) acarretará um pequeno erro em relação ao correspondente wi medido. Em termos da variável reduzida z, pela qual os desvios padrões são tomados como unidade de medida, a expressão desse erro é dada pela soma expressa por (04) do item 6.3. Assim, e em conformidade com o método dos quadrados mínimos, os coeficientes da função f, a serem determinados, deverão tornar mínima a função in

2   [ i 1

wi  [a0  a1f1(x i)  a2f2(x i)  ...  apfp(x i )] 2 ] , σwi

(10).

Para que o mínimo se dê, as derivadas de 2 em relação a cada um dos coeficientes devem ser nulas. Tem-se, para qualquer j=0,1,2,...,p, considerando que para j=0 é f 0(xi)=1: n



 2{

i 1

wi  [a0  a1f1(x i )  a2f2(x i )  ...  a pfp(x i )] f j(xi ) } 0. wi wi

Simplificando, destacando os coeficientes nessa derivada e transpondo termos, vem: n

 i 1

f j(xi ) wi

a0 

 i 1

f1(x i )f j(xi ) wi

a1  ... 

 i 1

f j(x i )f p(x i )] ap  wi2

 i 1

wif j(xi ) wi2

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Fazendo-se então, nessa expressão geral, j=0,1,2,...,p obteremos um sistema de p+1 equações algébrica nos p+1 coeficientes da função (09) de regressão. Para simplificar a escrita poremos, para qualquer j=0,1,2,...,p: fj(xi)fj, mas f0=1. Assim:

 n   i 1  n    i 1  n    i 1 ...   n   i 1  

 

a  2 0



a0 

i 1 n

 i 1 n



a0 



a  2 0

f1f1



a  ...  2 1

f2f1

a  ...  2 1

i 1

fpf1

 i 1

a  ...  2 1



fp(x i)] ap  wi2





f1fp(x i) wi2





f2fp(x i)

fp(x i)f p

f1(x i) a1  ...  wi2

i 1 n

wi

i 1

 i 1

ap 

wi

i 1 n

ap 

wi 2 wi

f1w i 2 wi



f2w i 2

i 1

fp w i

i 1



sendo interessante observar que, para q=0,1,2,...,p, o coeficiente de a q na (k+1)-ésima equação, com k=0,1,2,...,p, é n fk(x i)f q(x i)] , (11). wi2 i 1



Esse sistema pode ser escrito sinteticamente na forma matricial [A].{a}  {b} ,

(12),

em que

 n 1  2  i 1 wi n  f1  2   i 1 wi  n f [A]   2  i 1 wi2   ...  n fp   wi2  i 1











i 1 n i 1 n i 1

f1 wi2 f1f1 2

f2f1 2

 i 1 n

f2 wi2

 i 1 n

f1f2 2

...

i 1 n

...

f2f2 2

i 1

fpf2

 i 1 n





...

 i 1

... n

 i 1

fpf1 wi

 i 1

...

 i 1

 n w  fp  i   2 a0  wi2     wi i  1    n wf  f1fp    i 1    a1  wi2  wi2   i  1   f2fp  , {a}  a 2  e {b}   n wif2  ,      wi2   i 1 wi2        ... ...        n  a  fpfp  p  wifp    wi2  wi2   i 1 

  

(13).



Notar que [A] tem p+1 linhas e p+1 colunas, o elemento da sua (k+1)-ésima linha e (q+1)ésima coluna de [A] sendo dado por (12).

271

Na hipótese de que [A] admita inversa, tem-se: (121). {a}  [A]1.{b} , Se ajk é o elemento da (j+1)-ésima linha e (k+1)-ésima coluna da matriz inversa de [A], com j,k=0,1,2,...,p, então: p

aj 

a ( 

wifk

k 0

2 wi

i 1

(14).

A incerteza para aj vem propagada das incertezas de wi. Segundo (02) do item 4, aplicada ao caso, podemos escrever:

a j

a 2  j

 (w )  i 1

(15).

A derivada de aj em relação a wi pode ser obtida diretamente de (13); tem-se:

a j  wi



a 1 fk , donde: ( j )2  ( a jkfk)( a jqfq) . 2 wi wi4 k  0 wi q 0 p

a jk

k 0



Então, aplicando propriedades de produtos de somatórias:

a j 2 1 ) wi2  ( wi wi2 k  0 p

(



a jkfka jqfq) e

q 0

 i 1

(

a j 2 ) wi2  wi

 k 0

q 0

fqfk

i 1



a jka jq(

Conforme (12), a somatória indicada entre parênteses nesta última expressão é o elemento da (q+1)-ésima linha e (k+1)-ésima coluna da A; e ajq é o elemento da (j+1)-ésima linha e (q+1)-ésima coluna de [A]-1. Efetuando-se primeiramente a soma em q, vemos que p

f qf k

i 1

  a jq(

q 0

) é o elemento da (j+1)-ésima linha e (k+1)-ésima coluna da matriz

produto de [A]-1 por [A], ou seja, jk (o delta de Kronecker). Efetuando-se agora a segunda somatória e lembrando (09), encontramos o valor de aj2: n

 i 1

(

a j 2 ) wi2  wi

a

jk jk

 a j0 j0  a j1 j1  ...  a jj ,

(16),

k 0

pois se for j=0 apenas a primeira parcela é diferente de zero, valendo a 00; se for j=1, apenas a segunda parcela será não nula, valendo a11; etc.. Assim, Tens Def em Maciços– Ruggeri

272

A variância aj2 de um parâmetro aj de uma função de ajuste do tipo (09) é o elemento ajj da diagonal principal da matriz inversa do sistema de equações (12). Chama-se covariância de um conjunto de n medidas (wi,xi), e se denota por cov(wi,xi), o número (positivo ou negativo):

cov(wi, xi) 

1 n

 (x   )(w   ) , i

(17),

i 1

onde, lembramos, x e w são as médias verdadeiras de x e w. A covariância do processo de medida das variáveis x e w é dada também por 17, mas com a condição de que n. Se em um mesmo processo tivermos mais de duas variáveis a covariância é definida para cada par de variáveis na forma (17). Os números xi-x e wi-w são os erros em relação à media; são, ainda, números pequenos com um produto ainda menor, e se distribuem em torno de zero. Quanto menor for a covariância de um conjunto de medidas tanto menor será a dispersão das medidas em torno de suas médias.

Nos experimentos (em que n relativamente pequeno) a covariância pode ser estimada pela expressão:

cov(xi, wi) 

1 n 1

 (x  x)(w  w) , i

(18),

i 1

em que x e w são as medias de x e w. A interpretação desta covariância é idêntica à definida por (17).

A covariância entre dois parâmetros aj e ak da função (09), entretanto, pode ser calculada pela expressão: n

cov(a j, a k) 

a j a k wi2 ,  w i i

 w i 1

(19),

que aceitaremos sem demonstração. Observe-se que para j=k, a covariância seria a própria variância de um coeficiente da função de ajuste. Partindo de (19) e seguindo o mesmo caminho utilizado para demonstrar (16), comprovaríamos que: A covariância cov(aj,ak) de dois parâmetro aj e ak de uma função de ajuste do tipo (09) é o elemento ajk da diagonal principal da matriz inversa do sistema de equações (12).

273

Em vista dos resultados encontrados, a matriz [A] -1 é denominada matriz de covariância da regressão, os elementos de sua diagonal principal sendo, como demonstrado, as variâncias dos coeficientes. Ajuste com incertezas iguais Se as incertezas das medidas wi são todas iguais, que o caso muito comum, o sistema (13) torna-se um pouco mais simples, sendo:

  n   n  f1  1 i 1 1 [A]  2  n w  f2  i 1  ...  n  fp   i 1

  n  a0  fp   wi      i1  i 1 n     n  a  1  f1fp  w if1      i1  i 1  , {a}  a 2  e {b}  1  n n , 2    w  w if 2  f2fp   i1    i 1  ...   ... ...    n    n   wf  a  fpfp i p  p   i1  i 1  n

   f f f f

 ... 

 f f f f

...

i 1 n

f2 ...

i 1 n

1 2

i 1 n

i 1

2 2

i 1

...

 f f f f p

i 1

p 2

i 1

...



  



(20).

Por (121) vemos que, no caso em apreço, os coeficientes da função de regressão (09) independem da incerteza w. Entretanto, como [A]-1 é proporcional a w2 e seus elementos diagonais são os próprios coeficientes, a incerteza de cada parâmetro é proporcional a w. Ainda considerando incertezas iguais, temos, considerando a função ajustada:

2 

1 in 2  {w  [a0  a1f1(xi)  a 2f2(xi)  ...  a pfp(xi)]} , σw i 1 i

(21).

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274

TABELA III (fonte: Estatística, M. Spiegel, Coleção Schaum, McGraw Hill, 1976)

A tabela permite resolver os problemas inversos seguintes: 1) – Dados dois valores a e b de z, com azb, determinar a probabilidade de um vaor de z estar compreendido no intervalo. Poderá ser, particularmente, a=0. 2) – Dado um valor az e uma probabilidade (área), determinar o valor de b tal, que azb.

275

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276

277

TAREFA EXTRA CLASSE (preliminares ao estudo do Apêndice IV)

O entendimento dos conceitos que serão apresentados neste Apêndice IV exige conhecimento prévio dos assuntos expostos a seguir. COMBINAÇÕES Todo agrupamento (ou conjunto) de p objetos distintos que podemos formar com n objetos distintos dados é denominado: uma combinação dos n objetos p a p e se denota por Cpn .

Problemas: 1) - Sejam dados 6 objetos distintos, como os que compõem a nossa tralha de estudos: Régua (ou o escalímetro) R Compasso  C Calculadora  K Transferidor  T Esquadro 45  E Borracha  B 1.1) – Quantas agrupamento que difiram pela natureza (dos seus objetos) se podem formar com os 6 objetos dados, tomados p a p, considerando: p=1, p=2 e p=3?. Quais são esses agrupamentos? 1.2) – Verificar a validade da fórmula demonstrada no Apêndice III:

Cpn 

n! n(n  1)(n  2)...[n  (p  1)]  p !(n  p) ! p!

desde que fique convencionado ser 0!=1. 2) – Por definição: C0n  1 . Assegure-se de que: 2.1) -, C1n  n

Cnn  1 ;

2.2) - Cpn  Cnn  p 2.3) - Cpn  Cpn 1  Cpn 11 (relação de Stiefel). 3) – O Triângulo de Pascal é uma tabela na qual, para diversos valores de n, se tem o total das combinações de n objetos p a p, com p=0,1,2,... Construa um Triângulo de Pascal para n até 10.

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278

BINÔMIO DE NEWTON Uma das aplicações do conceito de combinações está na forma de escrever o desenvolvimento do Binômio de Newton: (a+b) n com n inteiro, a e b números quaisquer. Comprove que:

(a  b)n  C0na0bn  C1na1bn 1  C2na2bn  2  ... Cnn  2an  2b2  Cnn 1an 1b1  Cnnanb0 , expressão que pode também ser escrita no forma sintética: k n

k n

k 0

(a  b)n   Ckna kbn  k  

n! a kbn  k k! (n  k)!

Problemas: 1) – Comprove que no binômio de Newton os coeficientes eqüidistantes dos extremos são iguais 2) – Demonstre que a soma de todos os coeficientes do Binômio de Newton é igual à potência n de 2, ou seja: k n

C0n  C1n  C2n  ...  Cnn  2  Cnn 1  Cnn   Ckn  2n . k 0

3) – Comprove que se b=1-a, então: k n



k 0

n! a kbn  k  1 k! (n  k)!

4) – Demonstre que a soma dos coeficientes de ordem ímpar do binômio é igual à soma dos coeficientes de ordem par, isto é: 2k 2k 1  Cn   Cn .

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ANEXOS

ANEXO I. Comitê Brasileiro de Barragens XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005

MEDIÇÃO DE TENSÕES PELO MÉTODO SFJ NO MACIÇO DA UHE SERRA DA MESA Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A. Nilvane Teixeira Porfírio Técnico Especializado - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

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MEDIÇÃO DE TENSÕES PELO MÉTODO SFJ NO MACIÇO DA UHE SERRA DA MESA

Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

Nilvane Teixeira PORFÍRIO Técnico Especializado - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

RESUMO

Neste trabalho apresentam-se os procedimentos, o roteiro, os critérios de cálculo e os valores obtidos das componentes dos tensores de tensão em pontos diversos de uma seção da galeria de instrumentos do maciço da UHE de Serra da Mesa, medidos pelo método das almofadas de pequena área (SFJ - small flat jack). As operações realizadas são descritas com algum detalhe, indicando-se as que podem influir de modo apreciável na incerteza das medidas realizadas e no cálculo final do tensor. ABSTRACT

This paper shows procedures, guideline, criterions for calculations and results obtained for the measured stress tensor components by the small flat jack method applied to several points of a gallery in the massive of Serra da Mesa Hydroelectric Power Plant. The procedures are detailed at some extent, outstanding some one that may have appreciated influence on the performed measures and on the stress tensor calculation.

285

INTRODUÇÃO

A partir de alguma galeria aberta num maciço rochoso é possível, em geral, escolher alguns locais onde a rocha, livre dos efeitos indesejáveis de uma escavação a fogo, permita a avaliação do tensor local de tensões. Se o maciço puder ser considerado isotrópico, não menos que dois tensores locais quaisquer seriam necessários para a determinação do tensor in situ nesse maciço, sendo mais prudente a obtenção de pelo menos três [1]. No início da escavação de um túnel longo, por exemplo, tão logo estejamos distantes do emboque, as avaliações dos tensores locais já são recomendadas, numa "seção pioneira"; mas outras avaliações em locais mais distantes do primeiro seriam também desejáveis para aumentar o tamanho da amostra, reforçando desta forma as previsões delas decorrentes. Se o objetivo é a determinação das constantes elásticas do maciço, supostamente anisotrópico – objetivo fundamental do Projeto Hooke, ora em desenvolvimento nos laboratórios de Furnas Centrais Elétricas SA, em Goiânia (GO) - torna-se necessária a adoção de pelo menos seis locais para medição do tensor de tensões e, no caso, também o tensor de deformações (sendo recomendável pelo menos sete deles). Neste trabalho vamos descrever com algum detalhe as várias operações executadas apenas para a medição local de um tensor de tensões e os cuidados adicionais realizados em relação ao modo ordinário de se efetuarem as medidas necessárias. O leitor perceberá facilmente que foi permitida uma grande flexibilidade de inclinação e posicionamento dos painéis nas paredes da galeria, pois estas foram escolhidas de forma que ficassem mais apropriadas e mais fáceis as execuções dos mesmos.

RESUMO DESCRITIVO

Existe matéria descrevendo a UHE de Serra da Mesa e o maciço em que está instalada [2]. Neste maciço à época da escavação foi também escavada uma galeria, então denominada "de instrumentação", com o objetivo de se fazerem estudos e verificações. Os principais dados técnicos sobre a usina, bem como uma perspectiva do seu circuito hidráulico e a posição da galeria de instrumentação, são apresentados na Figura 1. Esta galeria tem cerca de 20 m de comprimento, seção circular de 3,5 m de diâmetro, eixo horizontal, e foi escavada a fogo cuidadoso no granito. A Figura 2 mostra a galeria escavada. Nesta galeria foram preparados, por métodos especiais, dois trechos de seção também circular, de 3,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento cada um, denominados módulos. Para evitar perturbações nas paredes desses módulos, a escavação do miolo foi feita com cordel detonante; no perímetro, antes do fogo, foram executados furos de alívio bastante próximos.

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286

Figura 1 - Perspectiva do Circuito Hidráulico e Dados Gerais da UHE de Serra da Mesa, com a Indicação Aproximada da Posição da Galeria de Instrumentação.

Figura 2 - A galeria de Instrumentação da UHE de Serra da Mesa

287

Uma planta da galeria, sem escala, indicando as posições dos módulos 1 e 2, o eixo horizontal z está indicada na Figura 3.

Figura 3 Detalhe da Posição da Galeria Frente às Demais Escavações

Figura 3 - Detalhe da Posição da Galeria Frente às Demais Escavações SISTEMAS DE REFERÊNCIA

Instalemos na seção circular de centro O da galeria um sistema de referência com as seguintes características: origem O, eixo Oz (horizontal, logo ortogonal à seção), de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da galeria; eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox (horizontal), de unitário ˆi , escolhido de forma que o triedro O-xyz seja positivo (Figura 4). Um ponto qualquer, P, do plano da seção do túnel, pode ser definido pelo ângulo  que o raio vetor correspondente, OP, define com o eixo Ox; esse ângulo é medido positivamente no sentido anti-horário para quem observa a seção do semi-espaço em que se encontra kˆ . A cada valor de  corresponde, pois, uma geratriz do cilindro representativo do túnel, tendo sido adotadas as indicadas na Figura 4 em função de facilidades em campo. Todas essas geratriz, contidas em planos tangentes ao cilindro, são paralelas ao unitário kˆ .

Figura 4 - Sistemas cartesianos de referência e seus vetores de base:

{ˆi, ˆj, kˆ } e {rˆ , ˆ , kˆ } , instalados na galeria.

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288

Um fragmento do plano tangente (de cerca de 0,90 m no plano XY por 3,0 m na direção Z) será preparado na parede rochosa próximo ao qual serão efetuadas medições de tensões normais (de compressão) para o cálculo do tensor das tensões "relativo ao ponto P". Consideremos, assim, um ponto P (ao qual corresponde certo ) situado cerca de 0,20 m da parede, no interior do maciço (P tem coordenadas polares 1,7m e ). Consideremos, ainda, um fragmento rochoso de prisma cilíndrico reto de que P é o centro, definido pelas seguintes pares de faces paralelas: a) - fragmentos de superfície cilíndrica (aproximadamente, retângulos do plano tangente à parede da galeria), de 0,4 m de largura, medido no plano da seção, e 3,0 m de comprimento medido da direção OZ; b) - faces "trapezoidais curvilíneas" (praticamente, quadrados de 0,4 m de lado), paralelos ao plano da seção; c) – faces retangulares de 0,4 m por 3,0 m, que se intersectam no eixo da galeria. As variáveis de campo do maciço, em P (tensores de tensão e deformação, por exemplo), são, por hipótese (aproximativa), idênticas às de qualquer outro ponto pertencente ao referido fragmento rochoso. A cada valor de  corresponde, então, um fragmento rochoso de prisma reto situado no interior de uma casca cilíndrica rochosa de raio interno a=1,5 m e raio externo 1,9 m. Cada fragmento rochoso será referido a um novo sistema de referência, o "referencial do prisma", composto pelos seguintes vetores

kˆ (já definido); rˆ , ortogonal ao plano tangente – logo, pertencente ao plano da seção - de suporte coincidente com OP e sentido de O para P; e, finalmente, por ˆ tal, que ˆ , kˆ } seja positivo, isto é, ˆ aponta no sentido do crescimento de  (Figura o triedro {rˆ ,  unitários:

4).

O MÉTODO DOS MACACOS PLANOS (SMALL FLAT JACK - sfj)

O método dos macacos planos - também conhecido por método SFJ - foi idealizado para a aferição do tensor de tensões de um ponto de um maciço rochoso, geralmente a alguma profundidade, com o uso de equipamentos do tipo serra (para corte de rocha), motores, macacos hidráulicos e operadores; requer, por isso mesmo, acesso ao local através de galerias (construídas geralmente com seção circular). Internamente ao fragmento prismático rochoso relativo à geratriz do ponto genérico da seção da galeria, vamos “construir” uma roseta de aparelhos, nas proximidades de P, com a finalidade de medir o “campo local de tensões (em P)”, isto é, o "tensor de tensões, , associado ao ponto P”. A roseta é construída tendo como referência a face plana do prisma rochoso, parede da galeria. Sobre esse plano tangente preparamos quatro painéis P1, P2, P3 e P4, dispostos simetricamente em relação ao ponto P, cada painel sendo representado por um retângulo de cerca de 30 cm por 90 cm tal, que o eixo maior faça um ângulo determinado com a geratriz (Figura 5); no caso da Figura 6, para facilidade de sua execução, esse ângulo foi escolhido igual a 0º.

289

Figura 5 - Conjunto de Quatro Painéis de Duas Geratrizes

Figura 6 - Um painel paralelo ao plano tangente, com eixo maior fazendo um ângulo de 0com o eixo da galeria.

No painel P1, por exemplo, fixam-se dois pontos, 1 e 2, materializados por duas pequenas esferas cravadas nas pontas de dois pinos chumbados na rocha, distantes 20 cm um do outro e simetricamente situados sobre a normal ao eixo maior do retângulo (ou, o que é o mesmo, sobre o eixo menor do painel). A direção 1-2 é definida por um vetor ˆ 1 bem determinado. Para se obterem melhores resultados usam-se dois pares de unitário n pinos formando um retângulo: pinos 1 e 2, paralelos a 3 e 4 (Figura 5). Esses pinos têm 7 cm de comprimento, 4 cm dos quais são chumbados na rocha. Abre-se entre esses pares de pinos, com uma serra apropriada de 60 cm de diâmetro (Figura 7), um rasgo de plano ortogonal ao plano tangente. Verifica-se, com o uso de alongâmetro (Figura 8), que, rapidamente, varia a distância entre as esferas nas cabeças dos Tens Def em Maciços– Ruggeri

290

pinos, diminuindo quando a rocha está comprimida (o processo em descrição é aplicável somente aos maciços comprimidos).

Figura 7 - Operação de abertura de um rasgo na rocha.

Figura 8 - Medição da distância entre pinos com o uso de um alongâmetro munido de relógio comparador digital.

Após a estabilização da variação das distâncias entre os pontos 1-2 e 3-4, vamos introduzir no rasgo uma “almofada” (Figura 9) - uma bolsa metálica fechada, em forma de semicírculo, de espessura ligeiramente menor que a do rasgo - e, para dentro dela, através de um macaco, vamos injetar óleo (Figura 10). Pressionando o óleo para o interior da almofada – caso em que ela funcionará como um macaco plano - conseguimos aplicar,

291

gradualmente, uma tensão normal às paredes do rasgo (uma compressão que, por convenção, é positiva), cujo valor último seja o necessário para que a distância entre os pares de pinos 1-2 e 3-4 reassumam os seus valores iniciais (o que ocorrerá por ser a rocha elástica por hipótese).

Figura 9 - Introdução de uma Almofada no Rasgo

Figura 10 - Aplicação de Pressão ao Óleo no Interior da Almofada

Esse valor último da tensão aplicada (registrada por um manômetro) será próximo da tensão normal ao plano do rasgo. Essa tensão, após uma pequena correção, especificada Tens Def em Maciços– Ruggeri

292

pelo fabricante da almofada resultante do processo de calibração, terá um valor final: n1. ˆ 1 .. nˆ 1 , o Existe alguma incerteza na determinação desse valor final. Escrevemos: n1= n tensor  sendo a incógnita do problema. Repetimos as operações já descritas com um novo painel, P2, contido no mesmo plano tangente, mas ortogonal e próximo ao primeiro (um conjunto desses painéis para duas geratrizes é mostrado na Figura 5). O ângulo do eixo maior desse painel com o unitário kˆ da geratriz, suplementar do ângulo do eixo maior do painel anterior com kˆ , está bem determinado. Da mesma forma estão bem determinados os ângulos do eixo menor do painel ˆ 2 paralelo ao eixo com o referido unitário; podemos, pois, determinar um vetor unitário n menor. Abrimos novo rasgo, de plano perpendicular ao plano tangente e ortogonal a

nˆ 2 ,

entre outros novos pontos 1-2 e 3-4 (pinos) neste painel. Ocorrerá outra variação de distância entre esses pontos. A pressurização da almofada introduzida no rasgo permitirá, como anteriormente, determinar o valor da tensão normal relativa, n2. Escrevemos, então, novas expressões nas quais são desconhecidas apenas a mesma incógnita :  n2  nˆ 2 ..nˆ 2 . Havendo espaço (distância) suficiente na direção Oz, podem ser feitas tantas determinações de tensão normal quantas forem possíveis. Tudo se passa, pois, como se tivéssemos realmente construído uma grande "roseta de quatro tensômetros” ou "roseta de quatro almofadas". Devemos observar que, o aumento da quantidade de painéis acarreta um maior afastamento das almofadas em relação ao ponto P. É aceitável, porém, que dois painéis de cada lado do ponto P possam ser considerados como se fossem ambos "relativos ao ponto P". As mesmas operações realizadas sobre o painel da geratriz do ponto P (ou geratriz P) podem ser executadas sobre painéis que possam ser preparados para as geratrizes de outros pontos. Escolhemos, por facilidade de medições em campo, as geratrizes P = 1, P = 2, ..., P = 8, já indicadas na Figura 4, definidas pelos ângulos P indicados na segunda coluna do Tabela 1. Os painéis P1 e P2 são ortogonais entre si, bem como P 3 e P4. O painel P4 de qualquer geratriz é o que se situa mais próximo do fundo da galeria; P 1 é o que está mais próximo da entrada. A inclinação da normal ao plano do rasgo do painel P j, ângulo do unitário nˆ j com o unitário kˆ (para a geratriz Pj) é representado por pj; seus valores estão indicados nas colunas 3 a 6 da Tabela I. As tensões normais (de compressão), nj, existentes na rocha e relativas às direções definidas pelos nˆ j , estão listadas nas colunas 7, 8, 10 e 11 da Tabela I. Como os elementos da diagonal principal de um tensor de tensões são tensões normais e a soma delas é um invariante, resulta que n1+n2 deveria ser igual a n3+n4. As incertezas envolvidas nas medições acarretam diferença (|0|) entre essas somas, indicadas nas colunas 9 e 12 do Tabela 1, para cada geratriz. Essas diferenças, entretanto, podem ser distribuídas entre as medidas realizadas, de forma proporcional à medida, para que os

293

invariantes se igualem (última coluna). Esses novos valores das medidas (agora ajustadas) estão apresentados nas colunas 15 a 18 do Tabela 1. Existe, entretanto, o critério dos mínimos quadrados que também poderia ser aplicado. Podemos, agora, processar as medidas das tensões normais em cada painel de cada geratriz, para calcular o tensor correspondente. Por falta de espaço, não serão deduzidas, aqui, as condições a que devem satisfazer as posições relativas dos aparelhos para que o problema tenha solução sempre. De imediato podemos observar que dois rasgos quaisquer não devem ser paralelos porque, para estes, as tensões normais seriam iguais (no mínimo, com muita aproximação) e as equações correspondentes não seriam independentes. 5.

CONTROLE DA EXECUÇÃO DOS PAINÉIS

Uma única visita de uma equipe pequena de topografia ao local de realização das medidas permite resolver dois problemas fundamentais: 1) - a marcação de dois pontos de cada geratriz, diretamente na parede rochosa; 2) - a marcação de dois pontos: A e B, no teto da galeria, pertencentes a uma paralela ao eixo da mesma. Desprezamos quaisquer erros relativos a essas operações. Consideremos, então, dois pontos quaisquer de uma geratriz, R e S, situados nas vizinhanças externas ao módulo, mas tais, que A e R pertençam a uma mesma seção transversal S1, e B e S a uma mesma seção transversal S2. Por cada ponto executaremos um pequeno furo, de eixo contido no plano da seção a que pertence o ponto, para alojar um chumbador saliente (de madeira, por exemplo). Por estes chumbadores conduziremos uma linha esticada horizontal, certamente ainda não paralela à geratriz. Com dois fios de prumo (prumo de pedreiro), pendentes de A e B, de comprimento adequado, poderemos medir, com trena comum, suas distâncias à linha já esticada que simula a posição da geratriz. Havendo discordância entre as referidas medidas, procurar-se-á uma nova posição para a linha horizontal que, com a melhor aproximação possível, torne essa horizontal paralela ao eixo da galeria. Esta operação dará ao encarregado dos serviços uma noção do quanto se deverá escavar em rocha para a preparação de cada painel (todos devendo ser escavados aproximadamente paralelos ao plano tangente). Materializada, então, com boa aproximação, a geratriz na parede rochosa, passa-se ao estudo da melhor posição dos quatro painéis, e sua preparação por escavação com marteletes de pequeno porte. A vivência do encarregado, aliada a alguma sabedoria, permitirá a fixação da melhor inclinação que se deva dar aos pares de painéis ortogonais de forma a diminuir a quantidade de escavação. A experiência do marteleteiro também auxiliará no sentido de evitar-se escavação excessiva. Finda uma primeira etapa desse trabalho, executado à vista desarmada, passa-se ao seu controle com a finalidade de se detectarem eventuais empenamentos do plano preparado (caso em que o plano não é um plano) e sua inclinação em relação à horizontal (por ainda não ser paralelo ao plano tangente). O empenamento é facilmente detectado com réguas apoiadas sobre o painel. Para o controle da inclinação usamos a reta (horizontal) desse plano coincidente (ou paralela) com a geratriz da galeria (já materializada na parede).

Tens Def em Maciços– Ruggeri

294

Tabela 1 - Correção do 1 Invariante - Medições Ajustadas - Tensões em MPa10.

295

Determina-se, agora, com um goniômetro, com a precisão de um grau, o ângulo que a normal ao pretendido plano do painel faz com uma horizontal que seja ortogonal à geratriz; ou, o que é o mesmo, o ângulo dessa horizontal com uma reta de maior declive do plano (complemento do anterior). Para tal, com o auxílio de um nível de pedreiro, dispõe-se uma das arestas de um goniômetro num plano paralelo ao plano da seção - caso em que a aresta será uma reta de maior declive do plano – e, com o auxílio do mesmo nível, tornando horizontal a aresta do goniômetro antes ortogonal ao plano, efetua-se a medida, '. Esse ângulo ' deverá ser igual ao ângulo  (ou seu complemento) para a geratriz 1, suplementar de  (ou o que excede de 90) para as geratrizes 2, 3, 4, 5 e 6; etc. Estando medido esse ângulo, ', ainda distante do valor pretendido, dá-se continuidade à operação de demolição da rocha, agora uma escavação mais cuidadosa. Arrancados os excessos de rocha aqui e acolá num painel, e estando ' próximo do valor pretendido, passa-se ao revestimento desse painel com uma fina camada de argamassa que o livrará das pequenas imperfeições imputadas pela natureza do serviço, tornando-o ainda mais plano. Repetem-se as operações de medição das inclinações atrás referidas segundo três linhas quaisquer de maior declive desse plano: A, B e C, aproximadamente eqüidistantes e tão espaçadas quanto possível. Esses resultados estão apresentados no Tabela 2. Tabela 2 - Medições das Inclinações: dos Painéis (') e dos Eixos Maiores () GERATRIZ P Ângulo

2 3

7 8

P2 ' (A)

' (B)

P3 ' (C)

' (A) 68

140



 = 135o



' (C)

' (A)

' (B)



92 30' 93



120o 120o

  = 301o

45 30'

120o

165 23o

22o30' 22o30'

122 45

121o

23o

32 45

130o

100o

115o

 = 236

60o

10o

 = 210o

45o

40o 89o30'

90o

160o

70o

120o 119o30' 119o

120o 119o30' 119o30'

135o

45o

25o

147o 146o 146o30' 146o30' 146o30' 147o 146o30' 146o30' 146o 146o30' 146o30' 146o 110o

20o

150o 150o 150o30' 150o 120o

 = 334o30' 116o 116o 

' (C)

67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67o30' 75

178 o

150o

 = 180



' (B)

 = 112o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30' 22o30'



P1 ' (A) ' (B) ' (C)

 = 22 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' 67 30' o

PAINEL

35o

150o

95o 150o

150o

30o 116o 116o30' 116o30' 116o30' 116o 125o

150o

5o 150o

150o

145o

55o

116o 116o30' 116o

116o

100o

10o

150o

116o

Tens Def em Maciços– Ruggeri

296

O CÁLCULO DO TENSOR DAS TENSÕES

Vejamos, então, como calcular o tensor de tensões relativo a uma geratriz qualquer a partir de uma lista de medidas de tensões normais segundo dois pares de direções ortogonais, com tensões normais já ajustadas pela distribuição das diferenças no primeiro invariante (dados da Tabela 1). Vamos nos referir ao unitário relativo ao painel P q (para q = 1, 2, 3, 4) da geratriz P (para P = 1, 2, ..., 8) pela notação nˆ pq . Em relação ao referencial do prisma (item 3) tal unitário é escrito na forma

nˆ pq  sen pq ˆ  cos  pq kˆ ,

(1).

O tensor de tensões relativo à geratriz P é um tensor planar porque é nulo o vetor tensão relativo à face da galeria (que é ortogonal ao unitário rˆ ). Vamos representar as suas componentes na forma da matriz coluna {p}rk=[ k k]T. O vetor (1) pode ser escrito também na forma matricial [senpq cospq]. Assim, o valor da tensão normal pq sobre um elemento plano ortogonal ao vetor unitário nˆ pq pode ser escrito na forma

    sen  pq   pq  sen  pq cos  pq .  θk . ,  θk  k  cos  pq 





ou, operando, na forma

 pq  sen 2  pq    cos 2  pq  k  sen 2 pq  k . Para q = 1, 2, 3, 4 as quatro equações acima podem ser escrito de uma só vez na forma matricial seguinte:

{ pq }  [ N( pq )].{ p } ,

(2),

em que

  p1    p2  , { pq }    p3     p 4 

 sen 2  p1  2 sen  [ N( pq )]   2 p 2 sen  p3  sen 2  p 4

cos 2  p1 sen 2 p1      cos 2  p 2 sen 2 p 2    e { p }    k  , cos 2  p3 sen 2 p3    k  cos 2  p 4 sen 2 p 4 

(3).

De (2) podemos deduzir facilmente:

{ p }  [A( pq )].[ N( pq )] T .{ pq } ,

(4),

297

onde

[A( pq )]  ([ N( pq )] T .[N( pq )]) 1 ,

(5).

A inversão de NT.N será sempre possível desde que as posições das almofadas satisfaçam as condições referidas no final do item 4. Com a aplicação sistemática de (4) a todas as geratrizes escolhidas, geramos a segunda coluna da Tabela 3 de resultados com tensões na seqüência , k, k. A mudança do sistema de coordenadas do prisma para o sistema local acarreta nova expressão para os tensores; estas estão apresentadas na terceira coluna da Tabela 3, com tensões na seqüência x, y, z, yz, zx, xy. Tabela 3 - Matrizes Associadas aos Tensores de Tensão (Tensões em MPa10). Geratriz P

1 2 3

4 5 6 7 8

Referencial {rˆ ˆ kˆ } ligado ao prisma

 38,34 26,42 25,47 334,11 60,95 28,27 215,93 78,82 2,96 

3,58 51,66  1,73

 - 0,33 46,04 4,58  97,36 67,80 19,08 476,24 152,61 41,65

188,84

70,27 20,86

Referencial {ˆiˆjkˆ } ligado à galeria

 5,61 32,73 26,42 23,53 9,75 13,56 285,18 48,93 60,95 10,82 26,12 118,13 107,97 107,97 78,82  2,10  2,10 107,97  0 3,58 51,66 1,73 0 0 0,08 0,24 46,04 3,96 2,29 0,14 66,92 30,44 67,80 10,67 15,82 45,14 349,91 126,33 152,61 21,45 35,71 210,25 35,00 153,84 70,27 18,83 8,98 73,38

Pode ser demonstrado que (4) é o resultado da aplicação do método dos mínimos quadrados para um ajuste da coluna {p} aos dados, ajuste este que deverá tornar a soma dos quadrados dos erros a menor possível. Esse ajuste pode ser interpretado geometricamente. A tensão normal teoricamente verdadeira, relativamente à direção genérica nˆ , é dada por  n  nˆ ..nˆ , em que  é o tensor de tensões teoricamente verdadeiro. Se não existissem erros nas medições relativas a cada direção nˆ no plano do tensor, o ponto Qn, extremidade do vetor nˆ / |  n | de origem P, pertenceria à cônica centrada (no caso, uma elipse)

1

nˆ | n |

..

nˆ | n |

(6),

equação esta que provem por evidência de  n  nˆ ..nˆ . Havendo certamente desvios entre os valores teóricos e os medidos, os valores medidos, T n, serão, então, os teóricos, acompanhados de um erro “en” que, a priori, não é possível avaliar. Escrevemos:  n  Tn  e n .

Tens Def em Maciços– Ruggeri

298

Nesse caso, o ponto Q'n, extremidade do vetor nˆ / Tn (marcado sobre o suporte de

nˆ ), apresenta-se bem próximo da elipse

1

nˆ | Tn |

. p .

nˆ | n |

(7),

que, por sua vez, é quase coincidente com a elipse (6). A elipse (7), ajustada a um conjunto ˆ e correspondentes Tn, pelo de pontos Q'n, obtidos para diferentes vetores unitários n método dos mínimos quadrados, é tal que aproxima ao máximo os pontos Q' n da elipse ideal (6).

ESTATÍSTICA DOS TENSORES MEDIDOS

Três medidas de tensão normal bastariam para a determinação do tensor das tensões. Nesse caso, a elipse (7) estaria perfeitamente ajustada aos dados (pois seria determinada certamente), mas poderia estar relativamente afastada da elipse ideal (6). Havendo incerteza nas medidas, três medidas apenas não retratariam adequadamente o tensor mais próximo do ideal. Quanto maior a quantidade de medidas, maior a diluição das incertezas. Assim, para quatro medidas, ocorrerá um ajuste imperfeito, e o tensor das tensões poderá ser expresso por uma media (resultante do ajuste) acompanhada de um desvio padrão. A variância do erro cometido, em (MPa10)2, isto é, a soma dos quadrados dos erros, é dada por:

(s p ) 2  ({ pq }  [ N(pq )].{ p })T .({ pq}  [ N(pq )].{ p }) . Verifica-se que essa variância, para o tensor da geratriz 1, é de 10 -4 (MPa10)2. O tensor de variância/covariância do tensor {1} é dada por (s1 ) 2 ([ N(1q )]T .[N(1q )]) 1 , os elementos de sua diagonal principal sendo as próprias variâncias de {1} . Encontra-se:

{s 2 1 }  10 4 1,289 1,289 0,665T , e para desvio padrão (em MPa10) o tensor

{ 1 }  0,0113 0,0113 0,000815T . Lembrando que {1} é dado no Tabela 3, sendo, este

{1}   38,34 26,42  25,47, os coeficientes de variação são: {0,03% 0,04% 0,03%}.

299

Os valores dos coeficientes de variação permitem concluir que os valores calculados são muito bem ajustados (as variações são muito pequenas). 8.

INCERTEZAS

Não obstante serem pequenos os desvios padrões determinados no item anterior, é necessário levar-se em consideração a incerteza associada às medidas. Os fatores mais importantes a considerar são: 1) - alguma variação prescrita pelo fabricante da almofada para o cálculo da tensão normal final, para cada almofada; 2) - erro (possivelmente de até 1) no paralelismo da geratriz, concretizada na parede, com o eixo horizontal da galeria; 3) - erro (possivelmente de até 1) na inclinação , do painel com a horizontal, medida pela média dos ' indicados no Tabela 2; 4) - erro (possivelmente de até 1) na inclinação  do eixo maior do painel com o eixo kˆ e, portanto, de igual erro nos ângulos pq. Não existe, ainda, um critério, com base científica, para a estimação da incerteza associada à medida de uma tensão normal pelo método SFJ, embora alguma tentativa já esteja em andamento [3]. Como a tensão calculada é uma função linear das tensões normais medidas, não será difícil associar uma incerteza à primeira, decorrente das incertezas destas. Por (4) poder-se-á também estimar a incerteza do tensor devida à incerteza dos pq. 9.

AGRADECIMENTOS

Toda gratidão a Furnas Centrais Elétricas SA pelo patrocínio dos trabalhos. Agradecimentos à equipe de Mecânica de Rochas dos laboratórios de Furnas, situados em Goiânia GO, pelas facilidades proporcionadas, presteza e dedicação a essas delicadas medições. 10.

PALAVRAS-CHAVE

Medição de Tensões, Maciços Rochosos, Almofadas. 11.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1]

RUGGERI, E. R. F., (2005) - “Tensões in Situ, em Estado Triplo”, Congresso Brasileiro de Barragens - CBdB, Goiânia, GO.

[2]

MELLO FRANCO, J. A de, e BATISTA DOS SANTOS, L. A. C., (1994) – “O Tensor de Tensões Virgens de Serra da Mesa: sua Determinação pelo Ensaio de Fraturamento Hidráulico, Solos e Rochas”, São Paulo, 17, (3):167-180.

[3]

RUGGERI, R. R. F., (2005) - “Uma Tentativa de Cálculo da Incerteza do Tensor de Tensões Medido pelo Método das Almofadas”, Congresso Brasileiro de Barragens CBdB, Goiânia, GO.

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ANEXO II. Comitê Brasileiro de Barragens XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005

TENSÕES IN SITU, EM ESTADO TRIPLO (UMA APLICAÇÃO AO MACIÇO ROCHOSO DA UHE DE SERRA DA MESA) (UM DEPOIMENTO BASEADO EM MEDIÇÕES)

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas S.A.

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TENSÕES IN SITU, EM ESTADO TRIPLO (UMA APLICAÇÃO AO MACIÇO ROCHOSO DA UHE DE SERRA DA MESA) (UM DEPOIMENTO BASEADO EM MEDIÇÕES)

Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil – Furnas Centrais Elétricas S.A.

RESUMO

Neste trabalho apresenta-se um cálculo do tensor de tensões in situ em um elemento de volume representativo do maciço da UHE de Serra da Mesa. Para tal foram utilizados os tensores de tensão atuais relativos a alguns pontos de uma galeria do maciço, considerando estado triplo de tensão e maciço isotrópico. Destaca-se a diferença entre as fórmulas de Hiramatsu e Oka e as clássicas de Kirsch para estado plano de tensões. Os resultados obtidos são comentados em termos de concentração de tensões, incertezas, levantando-se, ainda, a questão da origem das variabilidades excessivas.

ABSTRACT

In this work it is shown an in situ stress tensor calculation with respect to a representative volume element for Serra da Mesa Hydroelectric rock mass. For tat purpose there have been utilized actual measured stress tensors in a gallery of that massive in the hypothesis of triple stress state and isotropy. One outstands differences between Hiramatsu and Oka's formulas and those of Kirsch for plane stress state. The obtained results are commented in terms of stress concentrations and uncertainties; the question related to stress variability is also stated.

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302

INTRODUÇÃO

O estudo da distribuição das tensões em torno de furo de forma circular foi resolvido satisfatoriamente por KIRSH [1]; e em torno de furos com outras formas, mais apropriadas aos trabalhos de engenharia, por GREENSPAN [2] e outros. Em ambos os casos os problemas eram planos e os materiais supostos contínuos, homogêneos, isotrópicos, lineares e elásticos. Até hoje esses estudos têm servido de base para muitos projetos de túneis e galerias de minas, não sem alguma dose de incerteza porque as condições para aplicação das equações não são adequadamente as mesmas (às vezes até muito diferentes). HIRAMATSU e OKA, [3],integrando as equações da elasticidade, resolveram o mesmo problema a três dimensões e sem maiores hipóteses simplificadoras (como: admitir que a vertical seja uma direção principal e que a tensão correspondente seja do tipo h; que as tensões horizontais para um certo h - tensões atuantes em planos verticais - sejam todas iguais etc.). O trabalho de Hiramatsu e Oka representou um passo a mais em direção à aparentemente complicada realidade dos maciços rochosos. Esse confronto é inevitável para se evadir do vulgar (empirismo); certamente, em algum instante, novas experiências e resultados práticos poderão tornar mais seguros e econômicos os projetos envolvendo maciços. As equações de Hiramatsu e Oka são análogas às de Kirsh e têm estas como caso particular quando o estado de tensão é plano e esse plano é principal. Estas equações são relações entre as componentes do tensor de tensões num ponto da parede de um furo praticado num corpo em estado triplo de tensão, e as componentes do tensor de tensões que, antes da escavação, atuavam uniformemente num elemento de volume representativo do maciço envolvendo o ponto. Nestas equações aparecem como coeficientes algumas relações entre as coordenadas polares do ponto e o raio do furo. Os pontos do corpo, adotados para o estudo aqui desenvolvido, são pontos das paredes da escavação realizada no maciço da UHE de Serra da Mesa (onde terá havido concentração de tensões). Os tensores (medidos) nesses pontos são tensores planos; o modo como foram medidos e demais informações aqui utilizadas podem ser apreciadas no artigo de RUGGERI e PROFÍRIO, [4]. Nossos cálculos, no presente trabalho, têm esses princípios como base e só poderiam ser mais amplos pela consideração de um maciço anisotrópico, problema ainda não claramente resolvido do ponto de vista teórico, nem tão pouco na parte laboratorial. A hipótese de isotropia para o maciço de Serra da Mesa foi admitida desde o início dos estudos do projeto daquela hidrelétrica, conforme FRANCO e SANTOS [5], especialmente pelo fato dele não apresentar descontinuidades sensíveis (o maciço é composto por rocha praticamente sã). Uma pesquisa (Projeto Hooke) ora em desenvolvimento nos laboratórios de Furnas Centrais Elétricas SA, em Goiânia (GO), procura determinar as constantes elásticas do maciço de Serra da Mesa, na hipótese de que o mesmo possa ser anisotrópico, através de medições dos tensores de tensão e deformação em alguns pontos do mesmo. Por esse caminho – genérico o suficiente para aplicar-se aos maciços em geral, mas não muito descontínuos - a isotropia inicialmente admitida deverá ser constatada. 2.

RESUMO DESCRITIVO

A galeria de instrumentação da UHE de Serra da Mesa tem cerca de 20 m de comprimento, seção circular de 3,5 m de diâmetro, eixo horizontal (z), e foi escavada a fogo cuidadoso no

303

granito. Nesta galeria, de uma forma toda especial, foram preparados dois trechos de seção também circular, de 3,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento cada um, denominados módulos (Figura 1).

Figura 1: Desenho indicativo da posição da galeria e dos módulos dentro da galeria.

Para evitar perturbações nas paredes desses módulos, a escavação do miolo foi feita com cordel detonante; no perímetro, antes do fogo, foram executados furos de alívio bastante próximos (Figura 2).

Figura 2: Visão da galeria escavada no maciço da UHE de Serra da Mesa, com o módulo 1 em primeiro plano. 3.

SISTEMAS DE REFERÊNCIA

Instalemos na seção circular de centro O da galeria de instrumentação um sistema de referência com as seguintes características: origem O, eixo Oz (horizontal, logo ortogonal à Tens Def em Maciços– Ruggeri

304

seção), de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da galeria; eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox (horizontal), de unitário ˆi escolhido de forma que o triedro O-xyz seja positivo (Figura 3). Um ponto qualquer da seção, P, pode ser definido pelo ângulo  que o raio vetor correspondente, OP, define com o eixo Ox; esse ângulo é medido positivamente no sentido anti-horário para quem observa a seção do semiespaço em que se encontra kˆ . A cada valor de  corresponde, pois, uma geratriz do cilindro representativo do túnel, tendo sido adotadas as indicadas na Figura 3 pelos números 1, 2, ..., 8, em função de facilidades em campo. Todas essas geratrizes, contidas em planos tangentes ao cilindro, são paralelas ao unitário kˆ .

Figura 3: Indicação dos Sistemas de Referência adotados e seus vetores de base: um ligado à galeria Oxyz; outro, Prz, ligado ao fragmento de prisma rochoso.

Na parede rochosa serão preparados quatro painéis – retângulos de 30 cm x 90 cm – todos paralelos ao plano tangente (ao cilindro) conduzido por P. Medindo-se as tensões normais atuantes nas paredes de um rasgo executado ortogonalmente ao plano de cada painel, será possível calcular o tensor das tensões correspondente ao ponto P [4]. Consideremos agora um ponto P (ao qual corresponde certo ) situado cerca de 20 cm da parede, no interior do maciço; P tem coordenadas polares 1,7m e  (Figura 3). Consideremos, ainda, um fragmento rochoso de prisma cilíndrico reto de que P é o centro, definido pelos seguintes pares de faces paralelas: fragmentos de superfície cilíndrica (que são, praticamente, retângulos paralelos ao plano tangente à parede da galeria), de 0,4 m de largura (medido no plano da seção) e 3,0 m de comprimento (medido da direção Oz); b) – faces "trapezoidais curvilíneas" (praticamente, quadrados de lado 0,4 m de lado), paralelos ao plano da seção; c) – retângulos de 0,40m de largura, medidos no plano da seção, por 3,0 m de comprimento, medidos na direção Oz, e que se intersectam no eixo da galeria. As variáveis de campo do maciço em P (tensores de tensão e deformação, por exemplo), são, por hipótese (aproximativa), idênticas às de qualquer outro ponto pertencente ao referido fragmento rochoso. A cada valor de  corresponde, então, um fragmento rochoso

305

de prisma reto situado no interior de uma casca cilíndrica rochosa de raio interno a=1,5 m e raio externo 1,9 m. Cada fragmento rochoso será referido a um novo sistema de referência, o "sistema do prisma", composto pelos seguintes vetores unitários: kˆ (já definido); rˆ , ortogonal ao plano tangente – logo, pertencente ao plano da seção - de suporte coincidente

ˆ tal, que o triedro {rˆ , ˆ , kˆ } seja

com OP e sentido de O para P; e, finalmente, por positivo, isto é,

ˆ aponta no sentido do crescimento de  (Figura 3). 4.

EXPRESSÃO ANALÍTICA DAS TENSÕES IN SITU

Consideremos o ponto genérico, P, de coordenadas polares (r,), com r > 1,5 m. Nesse ponto o tensor de tensões in situ (existente antes da execução do furo), é representado pela matriz coluna {x, y, z, yz, zx, xy} quando referido ao sistema O-xyz. Com a execução do furo de raio a esse tensor passa a ter uma nova expressão em relação a O-xyz, ocorrendo, como costumamos dizer, concentração de tensões nas vizinhanças de P. Se esse tensor perturbado, referido a P-rk é representado pela matriz {r, , k, k, kr, r}, a relação entre os mesmos é (adaptado de [3]):

 x   r       y    z   k      M (r, ).  yz   k   zx    kr        r   xy 

(1),

com

 A(r, )  B(r, ) A(r, )  B(r, ) A' (r, )  B' (r, ) A' (r, )  B' (r, )    D(r, ) D(r, ) M(r, )   0 0   0 0  M(r, )  M(r, ) 

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 F(r, )  G (r, ) 0 H(r, ) L(r, ) 0 0 0

B(r, )   C(r, )  E(r, )   , (1)1, 0  0   N(r, ) 

sendo:

1 (1  a 2 / r 2 ) , 2 1 A ' ( r , )  (1  a 2 / r 2 ) , 2

A ( r , ) 

B( r , ) 

1 (1  4a 2 / r 2  3a 4 / r 4 ) cos 2 , 2

Tens Def em Maciços– Ruggeri

306

1 (1  3a 4 / r 4 ) cos 2 , 2 D( r , )  2(a 2 / r 2 ) cos 2 , B' ( r , ) 

E( r , )  4(a 2 / r 2 ) sen 2 ,

C( r , )  (1  3a 4 / r 4 ) sen 2 ,

F( r , )  (1  a 2 / r 2 ) cos  ,

G( r , )  (1  a 2 / r 2 ) sen  , H( r , )  (1  a 2 / r 2 ) sen  ,

L( r , )  (1  a 2 / r 2 ) cos  ,

1 (1  2a 2 / r 2  3a 4 / r 4 ) sen 2 , 2 N(r, )  (1  2a 2 / r 2  3a 4 / r 4 ) cos 2 ,

M ( r , ) 

e  o coeficiente de Poisson da rocha no ponto. Se tivermos em mente as equações de Kirsch, observaremos que as equações de Hiramatsu e Oka, atendendo à tridimensionalidade do problema, apresentam uma parcela a mais tanto na expressão de r (B(r,)xy) como nas de  (C(r,)xy) e r (N(r,)xy). Isto, evidentemente, não poderá causar surpresa quanto à forma da distribuição das tensões, deformações e deslocamentos em torno do furo. Releva observar-se que, para um ponto suficientemente distante de O, a relação a/r é um número muito pequeno cujas potencias de expoentes 2 e 4 são, ainda, muito menores. Nesse caso, conforme a Teoria da Elasticidade, os r, , ... serão expressos em função dos x, y, ... como se não existisse furo, ou seja, poderemos aceitar a idéia de que os x, y, ... são as componentes do tensor de tensões sobre as faces de um grande cubo de aresta suficientemente grande em relação ao raio do furo (aresta de 12 vezes o raio, ou 18 m). Esse cubo é o volume de controle, ou elemento representativo de volume do maciço (erv), isto é, um volume de rocha cujas propriedades médias representam as propriedades médias do maciço. No caso do maciço de Serra da Mesa – um maciço geologicamente generoso esse erv poderia ser considerado um cubo cuja aresta tem comprimento bem menor que 18 m. Com outras palavras, diríamos que o tensor in situ que pretendemos calcular é relativo a um cubo que envolve folgadamente o erv do maciço. O ponto P, onde serão medidas as tensões normais para o cálculo do tensor de tensões, tem coordenadas polares: 1,7m e  porque esse ponto situa-se a cerca de 20 cm da parede para o interior do maciço. Se aplicarmos (1) para esse ponto, fazendo a=1,5m e r=1,7m, o tensor perturbado (mensurável) será representado, com boa aproximação, pela matriz coluna [0, , k, k, 0, 0] (o que é rigorosamente verdadeiro apenas na parede, isto é, para r=1,5 m). Apenas com essa medida, entretanto, não é possível o cálculo do tensor in situ (isto é, o tensor não perturbado, na fronteira do erv) pois temos em (1) um sistema de três equações lineares com seis incógnitas que, do ponto de vista físico, não deve apresentar as infinitas soluções que matematicamente apresenta (o sistema é indeterminado). Entretanto, a

307

aplicação de (1) para duas medições distintas - dois pontos distintos da seção, com diferentes 's - e, eventualmente com 's diferentes se quisermos ser mais realistas – gerará um sistema de seis equações que certamente permitirá resolver o problema (uma vez que os pontos são distintos). É aconselhável escolher pelo menos três pontos para essas determinações para ter-se a menor amostra possível. Seja N  2 o número de pontos onde foram feitas as medições. Para cada ponto deve ser válida (1), e essas 6N equações devem verificar-se simultaneamente. Podemos traduzir isso, em forma matricial, pela expressão:

{}rk  [M}.{ xyz}

(2),

expressão idêntica a (1), em que as matrizes têm as expressões seguintes: 1) - {}rk é a matriz coluna (empilhada), formada por matrizes colunas,

rk

 0      rk 1   i        rk 2  , sendo  rk i   ki  ,   ...  ki     0      rk N     0 

tendo, logo, 6N linhas; 2) – [M] é uma matriz retangular, formada por matrizes quadradas 66, tendo, pois, 6N linhas e 6 colunas,

M   M(r, 1) M(r, 2 ) ... M(r, N )  , em que as matrizes [M(r,i)] são definidas como em (1)1 onde se substitua  por i. Como facilmente se deduz de (2), a matriz coluna pretendida, {xyz}, é, então, determinada pela expressão

{xyz}  ([ M]T .[M]) 1.[M]T .{rk } ,

(3),

desde que a matriz simétrica [M]T.[M] seja invertível. Não é difícil, apenas trabalhoso, comprovar-se algebricamente que essa matriz é invertível para um número N  2 de pontos arbitrários. Pode comprovar-se que (3), deduzida diretamente de (2), é a expressão fiel da aplicação do método dos mínimos quadrados ao pretender-se determinar a matriz coluna {xyz} que melhor se adapte às 6N equações simultâneas que envolvem as tensões medidas.

Tens Def em Maciços– Ruggeri

308

MEDIÇÕES E INCERTEZAS

Para atender outros objetivos, além do aqui referido, foram determinados em Serra da Mesa, pelo método das almofadas de pequena área [4], os tensores {rk} para oito pontos distintos da seção circular da galeria, o que constitui uma amostragem generosa para a solução do problema (posto que bastassem apenas duas medições); os resultados estão apresentados na Tabela 1. Tabela 1 – Tensores planos de tensão determinados no maciço da UHE de Serra da Mesa, pelo método das almofadas em relação ao sistema P-rk de cada prisma. (Compressão +, tração -)

Geratriz (, em graus) 1 2 3 4 5 6 7 8

Tensor medido (MPa) [ k k]

22,5 112,5 135 180 210 236 301 334,5

[ [ [ [ [ [ [ [

3,834 33,411 2,159 0,358 -0,033 9,736 47,624 18,884

2,642 6,095 7,882 5,166 4,604 6,780 15,261 7,024

2,547] 2,827] 0,296] -0,173] 0,458] -1,908] -4,165] –2,086]

Essas medições, como qualquer outra, são acompanhadas de incertezas e com a determinação destas poderá ser determinada a incerteza do tensor in situ. O problema da determinação da incerteza associada a um tensor de tensões ou de deformações ainda é um problema a ser resolvido. Algumas tentativas nesse sentido têm sido feitas [6]. 6.

AS TENSÕES IN SITU REFERIDAS A Oxyz

Efetuando-se os cálculos (aqui realizados com o software Mathematica) encontramos as componentes (medidas em MPa): x=14,55

y=5,19

z=7,11 yz= -7,11

zx= -1,17

xy=4,10

(4),

referidas ao sistema O-xyz. Seus valores principais são: X=16,3,

Y=3,6

Z=6,9,

tensões essas que atuam em planos YZ, ZX e XY (ditos planos principais). As normais a esses planos são as próprias direções principais: X, Y e Z. Para caracterizá-las usamos suas coordenadas geotécnicas. Os azimutes () são medidos em relação ao eixo Ox e marcados positivamente no sentido horário para quem observa o plano zx do semi-espaço em que se encontra ˆj .; os mergulhos () são os ângulos sub-horizontais dessas direções. Encontramos os seguintes valores: 16,3



X=171

X=22

(direção X);

3,6



Y=168

Y=69

(direção Y);

6,9



Z=261

Z=1

(direção Z).

309

COMENTÁRIOS SOBRE OS RESULTADOS ENCONTRADOS

Podemos, agora, imaginar o erv submetido às ações do tensor in situ antes da execução do furo. Estas tensões atuam uniformemente no erv, isto é, em qualquer ponto do mesmo o tensor de tensões é idêntico ao in situ, {xyz}. Os tensores de tensão atuais, medidos em relação a P-rk, agora referidos ao sistema Oxyz, estão apresentados na Tabela 2. Comparando as componentes desses tensores com as suas correspondentes do "in situ", (4), vê-se que: a) - para muitas geratrizes, os valores de x foram diminuídos (alguns até anulados); b) - alguns dos y foram anulados, outros duplicados e até triplicados; c) - apenas para a geratriz 7 o valor de z foi duplicado. Em resumo: houve tanto alívio expressivo de tensões como concentrações. Tabela 2 – Tensores (planos) de tensão, determinados no maciço da UHE de Serra da Mesa, pelo método das almofadas, referidos ao sistema O-xyz. (Compressão +, Tração -).

Geratriz (, em graus) 1 2 3 4 5 6 7 8

22,5 112,5 135 180 210 236 301 334,5

[ x

Tensor medido (MPa) y z yz zx [ 0,6 3,3 2,6 [ 8,5 4,9 6,1 [ 0,8 10,8 7,9 [ 0 0,4 5,2 [ 0 0 4,6 [ 6,7 3,0 6,8 [ 5,0 12,6 15,3 [ 3,5 15,4 7,0

-2,4 -1,1 -0,2 0,2 -0,4 1,1 -2,1 -1,9

1,0 -2,6 -0,2 0 0,2 -1,6 -3,6 -0,9

xy]

-1,4] 11,8] 10,8] 0 ] 0 ] -4,5] 21,0] 7,3]

Verifica-se que a maior tensão principal atual (de compressão) ocorre para a geratriz 7; tem o valor de 31 MPa e atua em plano cuja normal tem azimute 339 e mergulho 47. Essa medida não ultrapassa 16% da resistência à compressão uniaxial de 200 MPa do granito, sendo, ademais, o dobro da maior tensão principal in situ (que é de 16,3 MPa). Todos esses valores (tensores diversos e o tensor in situ), por outro lado, apresentam, ainda, incertezas que, lamentavelmente, ainda são desconhecidas de forma precisa [6] e que, em face de condições eventualmente adversas para a perfeita medição, podem ser expressivas. Avaliadas essas incertezas, entretanto, poder-se-ia conduzir um projeto de forma segura e certamente mais econômica. 8.

TENSÕES ATUAIS VARIÁVEIS COM O PONTO CONSIDERADO

Admite-se que dentro do maciço, onde as feições geológicas forem mantidas idênticas com certa aproximação – em geral, regiões distantes dos emboques - o tensor in situ principal possa não variar significativamente, nem em magnitude, nem em direção, embora nada possamos dizer quanto à sua incerteza. Existirão, então, nesse caso, no miolo do maciço, Tens Def em Maciços– Ruggeri

310

planos preferenciais invariáveis (apesar de incertos) sobre os quais atuam tensões extremas invariáveis: são os, já ditos, planos principais XY, YZ e ZX (cujas interseções são as direções principais X, Y e Z) e as tensões normais principais X (atuante sobre YZ), Y (atuante sobre ZX) e Z (atuante sobre XY), todas já determinadas.

Figura 4: A figura procura mostrar que quando o tensor de tensões in situ é constante, os esforços em seções distantes num túnel longo podem ter valores muito diferentes. A tangente ao eixo de um túnel (ortogonal à sua seção) que deva atravessar esse maciço, porém, fará com as direções principais in situ (Figura 4) ângulos variáveis (de 0 a 180) e bem diferentes daqueles formados pelo eixo Oz ortogonal ao plano da seção pioneira, na qual formam medidas as tensões atuais (e que gerariam uma tabela, como a Tabela 2). Assim, em muitas seções do túnel a ser escavado - seção 2, por exemplo (Figura 4) atuarão tensores de tensão {rk}, pós-escavação, diferentes daqueles que poderiam ser calculados por (1) posto que o tensor in situ, referido ao novo sistema local, não seria o principal nem teria as componentes dadas por (4). De fato, pois as componentes do tensor in situ, a que se refere (4), são relacionadas com o sistema xyz; e em relação a um sistema análogo, ligado à seção do túnel num outro local interessado (no caso, seção 2), esse mesmo tensor terá certamente outras componentes. Como os revestimentos (cambotas, concreto projetado etc.), caso sejam necessários, devem resistir uma boa fração das tensões realmente atuantes {rk}, torna-se necessário, quando prático, para conseguir-se um projeto bem econômico, determinar, por trechos, as diferentes expressões do tensor in situ com as quais se calcularão (por (1), para r = a) as novas expressões dos tensores atuantes no revestimento, em cada região. Nas proximidades da seção 1 (Figura 4), por exemplo, as tensões a que estará submetido o revestimento serão, evidentemente, muito maiores que as da seção 2. Esse problema, de natureza estritamente geométrica – dado o tensor in situ referido ao sistema cartesiano de referência O-xyz, referi-lo a um segundo sistema cartesiano também dado - pode ser resolvido com muita facilidade, não sem algum trabalho. Apliquemos, então, (1) e (1)1 para uma dada seção, agora com o tensor de tensões in situ já determinado, mas referido ao sistema local da seção interessada. Suponhamos, ainda, para evitar novos cálculos, que a seção interessada fosse aquela indicada na Figura 3, para a qual o tensor in situ é dado por (4), e que a direção considerada fosse a correspondente a  = 180 (geratriz 4, Figura 3, Tabela II). Pondo a/r = 1/, vem:

311

r     1  2,5  2  1,5  4 ,   1  0,5  2  1,5  4 , k  z  2   2  13  0,38  2 y y y y etc.. Fazendo  = 1, 2, 3, ... em cada uma dessas expressões, podemos traçar os gráficos correspondentes. Temos (gráficos gerados pelo software Mathcad): 0.85

2.896

0.5 1

2.5 

1.5 

0.5 

1.5 

1.037

0.042 0.5



Gráfico r/y   13.38

1 1

0.38 

3 

4 4

Gráfico /y  

13.4

2 13.2

13.042 13



Gráfico k/y  

O gráfico r/y indica uma pequena tração (r/y =-0,042) na direção radial, para 1 <  < 1,133, bem próxima do ponto onde foram medidas as tensões. A r/y é anulada para dois valores de  (1 e 1,13) quando deveria anular-se apenas para  = 1. Essa pequena e aparente não conformidade física tem sua razão de ser em vista da aproximação admitida na formulação; é um pequeno defeito aceitável e justificado pela aderência das componentes do tensor in situ às medições realizadas. Na parede ocorreu, assim, um alívio de tensões; na fronteira do evr (r  ), r/y tende para 1, o que é compatível (r é a tensão in situ). O gráfico /y não apresenta singularidades; mostra que na parede houve uma concentração de tensões (=3y). O gráfico k/y também não apresenta singularidades: quando   , ou à distância infinita, k/y 13 (ou seja, 5,2/0,4); quando   1, k/y 13,38. ] As tensões r e  se distribuem aproximadamente segundo Kirsch, o que não se dá com a distribuição de k pois, além de k não se anular, k é variável (com r e ). 9.

ESTATÍSTICA DO TENSOR IN SITU

A variância do erro cometido, em (MPa) 2, é dada por:

s2 

1 ({}rk  [M].{xyz})T .({}rk  [M].{xyz})  117,837 . 42 Tens Def em Maciços– Ruggeri

312

A matriz de variância/covariância do tensor in situ {}xyz é dada por s 2 ([ M]T .[ M]) 1 e os elementos de sua diagonal principal são as próprias variâncias do tensor {}xyz. Tem-se:

{s 2{ xyz } }T  1,298 0,714 1,480 0,803 1,099 0,307 , o desvio padrão sendo, então, o tensor

{{

xyz }

}T  1,139 0,845 1,217 0,896 1,048 0,548.

Lembrando que o tensor in situ é dado por (14), os coeficientes de variação são: {8% 16% 17% 13% 90% 13%}. Existe a probabilidade de 95% de que o tensor in situ tenha componentes menores que as correspondentes do tensor { xyz} (+2) seguinte, definido pelo tensor médio adicionado do duplo do tensor desvio padrão, ou seja: { xyz } (+2)={16,828 6,88 9,544 5,318 4,392 5,196}, e maiores que as do tensor {}xyz(-2) definido pelo tensor médio subtraído do duplo do tensor desvio padrão: { xyz } (-2)={12,272 3,500 4,676 -4,226 -3,265 3,004}. Calculando os valores principais e as direções correspondentes desses tensores, concluímos que a maior das tensões estará compreendida entre 15,16 MPa e 22,1 MPa e que ambas apresentarão mergulho da ordem de 22 com rumos entre aproximadamente -17 e +39 em torno da média (que tem azimute em relação a Ox de 351), Figura 5. A menor delas tem valor entre 0 e 3,6 MPa (valores muito pequenos), mergulho da ordem de 65 e rumos entre +88 e -74 em torno do azimute da média que é de 168 (Figura 6); essa variabilidade de azimutes é, certamente, exagerada.

Figura 5: Esquema mostrando a faixa de variação do azimute da direção principal (mergulhos entre parênteses), dentro da qual, com 95% de certeza, ocorrerá a maior tensão principal.

313

Figura 6: Esquema mostrando a faixa de variação do azimute da direção principal (mergulhos entre parênteses), dentro da qual, com 95% de certeza, ocorrerá a menor tensão principal. A variabilidade da componente zx do tensor in situ é exorbitante (desvio padrão de 90%), possivelmente porque as tensões cisalhantes kr e r são nulas para todas as geratrizes. Entretanto, conforme a lei geral (1), no cálculo da distribuição das tensões na seção circular genérica de um túnel, essa tensão não participará das expressões locais de r, , k e r, garantindo, pois, a essas componentes, uma variabilidade razoavelmente satisfatória para efeito de dimensionamento de revestimentos. Um modo bastante prático e simples para apreciar-se a variabilidade dos resultados consiste em comparar os 48 valores das componentes (tensões) medidas (coluna {}rk) com os valores correspondentes dessa mesma coluna calculada com o tensor in situ (calculado). Esses resultados estão apresentados nas Figuras 7 e 8 seguintes onde separamos as variabilidades das tensões normais e das tangenciais, dispondo os resultados em ordem crescente em relação ao calculado.

Figura 7: Variabilidade das tensões normais em relação às medidas correspondentes, dispostas em ordem crescente das calculadas. Tens Def em Maciços– Ruggeri

314

Figura 8: Variabilidade das tensões tangenciais em relação às medidas correspondentes, dispostas em ordem crescente das calculadas. 10. CONCLUSÃO As variabilidades observadas poderiam ter diferentes origens: 1) a incapacidade do modelo admitido – leis da Elasticidade, traduzidas por (1) – para representar adequadamente o desempenho mecânico do maciço; 2) inadequação do método SFJ para a determinação das tensões; 3) a desqualificação dos instrumentos utilizados (almofadas, alongâmetros, manômetros, goniômetros etc.); 4) a inexperiência e os descuidos desavisados da equipe técnica. Não é necessário analisar os dois últimos itens, por motivos óbvios. Mesmo porque, os dados utilizados nessa análise provieram de medições requintadas, feitas com equipe experiente e uma instrumentação poderosa e confiável [4]. Poderíamos, então, imputar um certo descrédito ao método dos macacos planos de pequena área. Não sendo este o caso, por outro lado, deveríamos suspeitar da aplicabilidade do modelo de corpo contínuo, homogêneo, isotrópico, linear e elástico ao maciço em referência. Mas isso seria um exagero, seja pela reconhecida continuidade do maciço (não existem descontinuidades sensíveis), seja pela sua isotropia, pela sua linearidade física (a maior das tensões normais medidas no maciço não ultrapassou 20% da resistência à compressão uniaxial da rocha) e, mesmo, pela sua linearidade geométrica (os produtos de duas deformações são desprezados frente aos valores dessas mesmas deformações). Por ser necessária, ainda, muita pesquisa, não conseguimos ser conclusivos no assunto em pauta. Além disso, paralelamente, duas outras questões complexas e importantes, devem ser estudadas:

315

1º) – É incômodo ter que se aceitar, sem argumentos convincentes, a idéia de que o tensor de tensões in situ num maciço seja uma constante (item 8), quando poderia ser uma função de ponto. O que reforça a existência de uma lei de distribuição dessas tensões no maciço é que próximo dos afloramentos do mesmo essas tensões já são nulas. 2º) – Nenhum estudo, ou projeto, baseado em dados obtidos em laboratório ou em campo, deve desprezar as incertezas inerentes a esses dados. Essas duas assertivas, ajuizadamente respondidas, devem, possivelmente, acarretar projetos (de fundações e escavações subterrâneas ou a céu aberto) em que segurança e economia estão criteriosamente mais bem equilibrados, satisfazendo, assim, um pouco melhor, um dos mais desafiadores compromissos do engenheiro.

11. PALAVRAS-CHAVE Tensões in situ, Maciços Rochosos, Almofadas.

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] KIRSH, G. (1898) – Z. Ver Dent. Inq., vol 42. [2] GREENSPAN, Martin, (1944) – “Effect of a Small Hole on the Stresses in a Uniformly Loaded Plate”, Quarterly Appl. Math, 2, pp. 60-71. [3] HIRAMATSU, Y. and OKA, Y. (1962) – “Stress Around a Shaft or Level in Ground with a Three-Dimensional Stress State”, Mem. Fac. Engr. Kyoto, V., XXIV, Part 1, Jan. 1962, pp. 56-76. [4] RUGGERI, E. R. F. e PORFÍRIO, N. T., (2005) – “Medição de Tensões no Maciço de Serra da Mesa”, Congresso Brasileiro de Barragens – CBdB, Goiânia – GO. [5] MELLO FRANCO, J. A de, e BATISTA DOS SANTOS, L. A. C., (1994) – “O Tensor de Tensões Virgens de Serra da Mesa: Sua Determinação pelo Ensaio de Fraturamento Hidráulico, Solos e Rochas”, São Paulo, 17, (3):167-180. [6] RUGGERI, E. R. F. (2005) – “Uma Tentativa de Cálculo da Incerteza do Tensor de Tensões medido pelo Método dos Macacos Planos - CBdB, Goiânia – GO”.

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316

317

ANEXO III. Comitê Brasileiro de Barragens XXVI Seminário Nacional de Grandes Barragens Goiânia – GO, 11 a 15 de abril de 2005

UMA TENTATIVA DE CÁLCULO DA INCERTEZA DO TENSOR DE TENSÕES MEDIDO PELO MÉTODO DAS ALMOFADAS Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

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UMA TENTATIVA DE CÁLCULO DA INCERTEZA DO TENSOR DE TENSÕES MEDIDO PELO MÉTODO DAS ALMOFADAS Elysio Roberto Figueiredo RUGGERI Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

RESUMO O artigo expõe, com certo rigor matemático e detalhadamente, um processo de cálculo da incerteza associada ao tensor das tensões quando este é determinado pelo método dos macacos planos ou das almofadas. Consideram-se como fatores de incerteza o uso de diferentes almofadas, a experiência da equipe, dificuldades em se disporem os painéis de certa geratriz na inclinação adequada em relação à horizontal, possíveis erros na medição de inclinação do eixo de um painel em relação ao eixo da galeria etc. Para efeito do cálculo, fórmulas aproximadas são deduzidas a partir de conceitos teóricos e suposições que se aceitam tradicionalmente como integrantes do método das almofadas. Finalmente faz-se uma aplicação numérica a um caso concreto de medição no maciço da UHE de Serra da Mesa.

ABSTRACT

This paper shows, with some mathematical rigor and details, a way for stress tensor uncertainty calculations when this tensor is to be determined by the small flat jack method. Uncertainty factors like: the use of different small jacks, staff experience, difficulties in placing the panels of a certain generator in their appropriate deep with respect to the horizontal plane, possible errors in measuring a panel axis inclination with respect to the gallery axis etc.. Concerning calculations, approximated formulas are derived from theoretical concepts and hypothesis that are traditionally accepted as constituents of the small flat jack method. To finish, a numerical application is presented to a real case of measurement realized in the massive of Serra da Mesa Hydroelectric power plant.

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INTRODUÇÃO

O método dos macacos planos de pequena área (small flat jacks - SFJ), também conhecido como método das almofadas planas, permite o cálculo do tensor de tensões em qualquer ponto próximo da parede de uma galeria – aqui considerada de seção circular - que se possa escavar num maciço rochoso [1]. Esse tensor de tensões é planar, seu plano sendo o plano tangente ao cilindro da galeria (condição que não é absolutamente necessária). São utilizados dois sistemas de eixos cartesianos de referência (Figura 1). Um deles tem origem no centro O da seção circular da galeria, eixo horizontal Oz, de vetor unitário kˆ apontando para o fundo da mesma (entrando na folha do papel), eixo Oy vertical, de vetor unitário ˆj apontando para o piso e eixo Ox horizontal, de vetor unitário ˆi tal, que com os dois primeiros unitários formem uma base { ˆi , ˆj , kˆ } direta. Por esse sistema, um ponto P no interior do maciço, porém próximo do ponto P S da seção de raio r e ambos alinhados com O, terá coordenadas polares (r+0,20m;), o ângulo  sendo medido positivamente a partir de Ox e no sentido anti-horário para quem observa o plano Oxy do semi-espaço em que se encontra kˆ . Ligado ao ponto P estabeleceremos um segundo sistema de coordenadas, com origem P, eixo Pz paralelo a Oz com unitário kˆ , eixo Pr coincidente com OP e unitário rˆ apontando para o interior do maciço (sentido OP) e eixo O de unitário ˆ apontando no sentido do crescimento do ângulo .

Figura 1 - Sistemas Cartesianos Ortogonais de Referência Ligados ao Centro O da Seção e ao Ponto P da Seção.

Em relação ao sistema P-rk o tensor certo das tensões do ponto P – ainda uma incógnita – pode ser escrito na forma

  ˆ ˆ  kkˆ kˆ  k (ˆ kˆ  kˆ ˆ ) ,

(1),

caso em que a sua matriz associada é

0 0 0  [ rk ]  0    k  0  k  k 

(2).

Tens Def em Maciços– Ruggeri

320

Na matriz [rk] os escalares  e k são tensões normais; k é tensão tangencial. O traço de [rk] é o primeiro invariante escalar do tensor das tensões. Consideremos agora um painel retangular (de cerca de 30 cm x 90 cm) pertencente a um plano paralelo ao plano tangente à galeria (o plano ( kˆ , ˆ )) pelo ponto PS (Figura 2), visto do interior da galeria. Esse painel precisa ser preparado convenientemente (na parede rochosa) para receber pinos (fixos na rocha), os quais definem uma direção paralela ao eixo menor do painel. A distância entre esses pinos é igual a 200 mm.

Figura 2 - Posição de um Painel no Plano Tangente à Galeria pelo Ponto P onde se vai Medir uma Tensão Normal.

ˆ o vetor unitário paralelo àquela direção, o qual faz o ângulo  (medido) com kˆ . Seja n Então, (3). nˆ  sinˆ  coskˆ , Quando, usando uma serra circular, se abre um rasgo ao longo do eixo maior do painel de forma que a projeção segundo rˆ do centro do disco da serra coincida com o ponto PS, vê-se variar a distância entre os pinos. Tão logo essa distância deixe de mudar, pode introduzir-se uma almofada no interior desse rasgo e aplicar-se pressão às paredes. Nesse caso, as paredes tenderão a adquirir suas posições iniciais antes da abertura do rasgo, o mesmo acontecendo com os pinos. De acordo com o método SFJ, chegados os pinos às suas posições iniciais, pode determinar-se a tensão normal n no ponto P, relativa à direção nˆ , que ali existia antes da abertura. Assim, podemos escrever: n  nˆ ..nˆ . Desenvolvendo essa expressão obtemos:

 n  sin 2     cos 2   k  sin2  k ,

(4).

São necessárias mais duas equações independentes para constituir-se um sistema de equações algébricas lineares nas incógnitas , k e k. Isto pode ser conseguido, efetuando-se medidas análogas à anterior, com dois outros painéis próximos de P e com planos paralelos ao plano tangente, o eixo menor de um deles inclinado de ' ( ) em relação a kˆ . Para otimizar as medidas é costume, no método SFJ, usar dois pares de painéis ortogonais (Figura 3) uma vez que, com eles, é possível comparar os primeiros invariantes de cada par. Quer-se dizer que se n1 e n2 são tensões normais relativas a um par e n3 e n4 relativas a

321

um segundo par, então: n1  n 2  n 3  n 4 , igualdade que não é verificada em geral devido a erros nas medidas; dizemos que as medidas estão incompatibilizadas. Existindo pequenas diferenças entre as medidas pode efetuar-se uma achega nas mesmas de forma a tornar iguais esses invariantes, assunto que será abordado no item 3.2 à frente.

Figura 3 - Arranjo de dois pares de painéis ortogonais no plano tangente

SOLUÇÃO COM MEDIDAS COMPATIBILIZADAS

Escrevendo (4) para cada painel, obtemos, para o cálculo de {rk}, o seguinte sistema de quatro equações independentes com três incógnitas, escrito em forma matricial:

N.{rk }  {medidas } , compat

onde

 sin 2  2 cos  N  N(, ' )   2  sin '  2 cos '

  n1  cos 2 sin2        2 sin  - sin2    e  n2  , { }  , { }  rk medidas  k  n  cos 2' sin2'  compat k    3 2 sin ' - sin2'  n 4 

(5).

Resolvendo esse sistema, obtemos:

{ rk }  N.{ medidas} ,

(6),

compat

onde

N  ( NT.N)1 .NT ,

(7).

A equação (6) é obtida na hipótese de que a matriz quadrada NT.N, de ordem 3, seja invertível. É fácil mostrar que NT.N é invertível se   ‟, mesmo quando  = 0 ou ‟ = 0. É fácil, também, mostrar que (6) resulta do método dos mínimos quadrados para determinar-se a {rk} que melhor se ajuste ao conjunto das medidas. 3.

REPARANDO AS MEDIDAS

Provisoriamente vamos considerar que não existe incerteza no processo de determinação do valor da tensão normal medida especificado pelo fabricante das almofadas. Tens Def em Maciços– Ruggeri

322

3.1 - Calibração de Medidas. Variação De acordo com o método SFJ, pode ocorrer diferente variação nas medidas n1 medida, n2 medida, ..., de n1, n2, ... uma vez que podem ser usadas almofadas diferentes. Para traduzir matematicamente esta assertiva, isto é, para comparar medidas, podemos escrever que

{var comp}  Mcalibração.{medidas} ,

  n1 medida    n medida  , { medidas}   2  n medida  3    n 4 medida 

onde

(8),

e Mcalibração uma matriz diagonal 4x4, tendo um elemento igual a zero (aquele associado à almofada tomada para comparação). Os demais elementos dessa matriz são definidos comparando a performance das diferentes almofadas utilizadas com aquela tomada como referência. Isto pode ser conseguido realizando um ensaio completo com cada almofada numa mesma ranhura. Os elementos de M calibração são números muito pequenos pois a experiência mostra que apenas excepcionalmente existe diferença significativa entre as performances de almofadas feitas com um mesmo material. Assim, podemos escrever, para traduzir os acertos (com I+Mcalibração) nas tensões medidas:

{calibrada}  {medidas}  {var comp}  (I  Mcalibração ).{medidas} ,

(9).

Se não há calibração a fazer, Mcalibração=[0] e {calibrada}={medidas}. Por conseguinte podemos considerar que, para pequenas variações:

d{calibrada}  (I  Mcalibração ).d{medidas} ,

(91).

3.2 - Ajustando o Primeiro Invariante do Tensor das Tensões Poderíamos esperar uma igualdade entre as somas:

n1, 2  n1 calibrada  n 2 calibrada

n 3, 4  n 3 calibrada  n 4 calibrada

porque representam o primeiro invariante do mesmo tensor de tensões (os pares de medidas são relativos a planos ortogonais nas proximidades do ponto). O uso do método das almofadas tem mostrado, entretanto, que, após um ensaio, esses números nunca são iguais, isto é, em geral

n1, 2  n1 calibrated  n 2 calibrated  n 3 calibrated  n 4 calibrated  n3, 4 , o que nos obriga a considerar que principalmente o estado da rocha nos locais dos rasgos é o responsável por essa divergência. Esse acerto pode ser realizado pelo método que torne a soma dos quadrados dos erros existentes o menor possível, com um vínculo entre as variáveis para a satisfação da igualdade do primeiro invariante. O resultado final, em

323

resumo, consiste em distribuir o módulo da diferença

n

1, 2

 n

entre as medidas, 3, 4

somando a sua quarta parte a cada uma das leituras de soma menor e subtraindo-a de cada uma das leituras de soma maior. Denotando-se por  n calc as tensões normais ajustadas, já i

preparadas para novos cálculos, deveremos calcular os novos quatro valores pela fórmula seguinte:

  n1 calc    n calc { calc }   2   M ajuste.{ calibrada} ,  n calc   3   n 4 calc 

(10),

sendo

3  1  1 M ajuste  41  1

1 1 1  3 1 1  , 1 3  1  1 1 3 

(11).

Após o ajuste do primeiro invariante podemos escrever, guiados por (6):

{ rk calc}  N.{calc} , 4.

(12).

A INCERTEZA DE {rK calc}

Por (12) podemos determinar a variação de {rk calc}. Antes dos cálculos devemos observar que todas as variações possíveis de acontecer são iguais, independentemente de serem certas ou incertas as medidas, isto é,

d{ medidas}  d{ rk calc} . certas

4.1 - As Perturbações Principais Como estabelecido pela expressão de N em (5), por (7) e por (12), {rk calc} é uma função de seis variáveis: , ‟ e as quatro tensões normais preparadas para o cálculo e sintetizadas em {calc}. Poderíamos, desenvolvendo (12) em série de Taylor, calcular a variação de {rk calc} para certos valores das variáveis e variações d, d‟, etc.. Sob a hipótese de que as variações sejam relativamente pequenas, podemos limitar os cálculos às parcelas do primeiro grau do desenvolvimento e escrever:

d{ rk calc}  { rk geom}  { rk tensões} ,

(13),

onde

{ rk geom}  (d N).{calc}

{ rk tensões)  N.d{calc}

(14).

Tens Def em Maciços– Ruggeri

324

Os principais fatores que podem perturbar o tensor, no método das almofadas, estão relacionados: com o pessoal técnico, os instrumentos empregados e o estado da rocha no local. Desconhecemos até o momento como estimar esses distúrbios por um método científico (se é que ele pode existir). Podemos, no máximo, inferir números para avaliar as variações de leituras baseadas apenas no nosso convívio com o método, com o pessoal, instrumentos e, especialmente, com a experiência adquirida com os diferentes maciços encontrados ao longo do nosso exercício profissional. 4.2 - Perturbações nas Tensões (cálculo de { rk tensões} ) As perturbações nas tensões preparadas para cálculos, expressas por d{ calc } , podem ter duas origens: uma relativa ao pessoal técnico, { pessoal} ; outra, relativa aos instrumentos empregados, { instr} , sendo:

d{calc} = { pessoal} + {instr} ,

(15).

4.2.1 - Pessoal Técnico O pessoal técnico pode causar a perturbação definida pela matriz coluna { pessoal} , em diferentes graus, para cada medida separadamente. Não há regras para se avaliarem esses graus, mas eles devem e podem ser definidos por meio de um julgamento consciente. Temos quatro medidas a fazer. Um analista daria certo peso d i à i-esima medida (para i=1,2,3,4), a qual seria igual a 0 se a medida fosse (a seu critério) executada com perfeição, sem quaisquer dúvidas; ou seria igual a 1, 2, ... se a medida (por algum motivo) apresenta alguma pequena imperfeição proporcional ao peso. Neste caso queremos dizer que a medida obtida, digamos , poderia assumir qualquer valor na faixa -di/100, +di/100. Assim, para o conjunto das quatro medidas podemos escrever:

{ pessoal}  Dpessoal.{calc} ,

(16),

 d1 0 0 0   d 2 0 0  1  , D pessoal  .  d 3 0  100   d4  sym.

(17).

sendo

A coluna { pessoal} será, então, compreendida entre Dpessoal.{calc } e Dpessoal.{ calc } .

325

Quando não for necessário considerar diferentes di, temos:  1 0 0  1 0 d  D pessoal  1 100   sym.

isto é, se todos os di são iguais a d,

0 0 , 0  1

(171).

Finalmente, se não é necessário qualquer alusão à avaliação do pessoal, D pessoal=[0] em (16), onde [0] é a matriz zero de ordem 4. 4.2.2 - Instrumentos Tal como procedemos no parágrafo anterior, podemos proceder com relação aos instrumentos, escrevendo:

{instr}  Dinstr.{calc} ,

(18),

Dinstr tendo a mesma estrutura que Dpessoal onde se troquem pesos d por pesos t. Quando podemos admitir, para cada medida, que os instrumentos tenham o mesmo desempenho aos quais associamos o mesmo peso t, podemos simplesmente montar matriz análoga à (17 1). Se não é necessária a avaliação do desempenho dos instrumentos (t=0), D instr=[0] em (18), sendo [0] a matriz zero de ordem 4. Em resumo: na segunda das equações (14), considerando (15), (16) e (18) devemos fazer

{ rθθk tensõs }  N.(Dpessoal  Dinstr ).{ calc } ,

(19).

4.3 - Perturbações de caráter geométrico (cálculo de { rk geom} ) Pequenos desvios nas medidas dos ângulos  e ‟ – devidos simultaneamente ao pessoal e aos instrumentos empregados – contidos na expressão de d N , certamente acarretarão perturbações no valor de { rk calc } . Segundo a primeira das fórmulas (14) devemos diferenciar (61); temos:

d N  (NT .N) 1.{[dNT.N  (dN T.N) T ].N  dNT} . De (5) deduzimos: dNT  ST d  ST d , sendo

 sin2  sin2 2cos2  - sin2 sin2 - 2cos2  S  0  0     0   0

0 0  0   0   0 , S    sin2  sin2 2cos2    - sin2 sin2 - 2cos2

(20).

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326

Então,

d N  (Ad  Αd) onde

A   (NT .N)1.{[ ST .N.  (ST .N)T ].N  ST} ,

(21),

A   (N T .N)1.{[ ST .N.  (ST .N)T ].N  ST } ,

(211).

Logo, de (14):

{ rk geom}  (Ad  d).{calc} ,

(22).

Estritamente, como temos acentuado, as expressões (14) são válidas para pequenos (infinitesimais) valores de d (=d‟) e d{calc}. Com alguma aproximação, podemos determinar variações para {rk calc} nas vizinhanças de quaisquer valores de , ‟ e das tensões normais calibradas (n1, n2 etc.), dando a d, d‟, ... valores que ocorram em campo (que são suficientemente pequenos para o uso da fórmula). As maiores variações para d e d‟ podem ser consideradas iguais a até 30' (30 minutos de arco), ou /360 (0,00873 radianos), mas isso depende fortemente da equipe em operação. Por conseguinte, neste caso, { rk geom } variará na faixa definida por

{ rk geom}  0,00873.(A  ).{calc} ,

(23),

{ rk geom}  0,00873(A  ).{calc} ,

(231).

Deve ser observado que apenas uma das duas expressões (23) e (23 1) é válida. De fato, porque se ocorre um erro em  e em ' num mesmo sentido, então (23) é válida com sinal + se d e d' são positivas; ou (23) é válida com sinal – se d e d' são negativas. Similarmente, se d < 0 e d' > 0 então o sinal + deve ser considerado em (23 1), e viceversa. 4.4 - Superposição de Efeitos (cálculo de { rk calc } ) Agora estamos preparados para usar (14), mas devemos observar que { rk tensões} é fixo, enquanto { rk geom} pode assumir dois valores conforme o erro cometido com d e d'. Como não conhecemos os sinais de d e d', devemos estabelecer dois intervalos para a existência de { rk calc} : um relativo a (23), outro com (231). Esses dois intervalos são passíveis de acontecer, mas apenas um deles é verdadeiro para certo experimento. Assim, devemos escolher o intervalo que permite a maior variação.

327

5. INCLUSÃO DA INCERTEZA DEVIDA ÀS INCLINAÇÕES DOS PAINEIS Observemos inicialmente que os elementos da matriz coluna

{rk calc} , coordenadas do

ˆ kˆ } tensor das tensões relativo a uma geratriz qualquer, estão referidos à base vetorial { rˆ ligada ao prisma correspondente. Em geral, na melhor das hipóteses para efeito de análise, o tensor das tensões deve estar referido à base local { ˆiˆjkˆ } acoplada ao sistema Oxyz ligado à galeria. Assim, tornando-se necessário referir esse tensor à base { ˆiˆjkˆ }, torna-se também necessário o cálculo de nova incerteza do tensor, agora devida a erros na execução dos painéis no tocante às suas inclinações (todas teoricamente iguais a  para a geratriz correspondente). Com a ajuda da Figura 1 escrevemos:

rˆ  cosˆi  senˆj ,

ˆ  senˆi  cosˆj

kˆ  kˆ .

A matriz de mudança da base { rˆˆ kˆ } para a base { ˆiˆjkˆ } é, pois, a matriz de rotação (no plano do tensor)

 cos  sen 0 [R()]   sen cos  0 .  0 0 1 Logo,

matriz

correspondente

(2),

base

{ ˆiˆjkˆ },

dada

por:

[ijk calc ]  [R ]T .[rk calc ].[R ] . Diferenciando essa expressão obtemos: d[ijk calc ]  (d[R ]T ).[rk calc ].[R ]  [R ]T .(d[rk calc ]).[R ]  [R ]T .[rk calc ].d[R ] , ou melhor,

d[ijk calc ]  ([ R(  )]T .[ rk calc ].[R()]   [R()]T .[ rk calc ].[R(  )] )d  [R()]T .(d[ rk calc ] ).[R()]

(24),

devendo observar-se que as duas primeiras parcelas no segundo membro de (24) estão multiplicadas por d. Ora, estando já determinada a matriz [rk calc] (item 3) e sua diferencial (item 4) só nos resta especificar o valor de d para o cálculo final da incerteza associada ao tensor quando este é referido à base { ˆiˆjkˆ }. Tomando-se precauções convenientes, embora exaustivas [1], podemos admitir um valor de cerca de um grau (ou /180 rd) para d.

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328

EXEMPLOS NUMÉRICOS

Os dados para os cálculos que serão indicados a seguir foram extraídos das Tabelas 1 e 3 do artigo [1], resultados de medições executadas no maciço da UHE de Serra da Mesa. Os ângulos aqui indicados serão expressos em graus e as tensões em MPa10, exceto onde for observado de outra forma. Exemplo 1: Neste exemplo não estamos considerando a incerteza de {calc} correspondente ao processo de determinação das tensões medidas, o qual deveria ser fornecido pelo fabricante das almofadas. Escolhamos a geratriz 1 com: =22,5, =40, '=15 ([1],Tabela 1), o que nos permite escrever a matriz N exposta em (5) e calcular

N por (61).

A matriz correspondente às tensões normais medidas, apresentada na equação (8), é { medida}T  6,15 57,4 14,76 51,25 ([1], Tabela 1). Essas medidas devem ser calibradas se, por acaso, nos ensaios, foram usadas almofadas diferentes; o que não é o caso presente. Logo: {var comp}={0} porque [M]=[0], e {calibrada}={medidas}. Devemos agora fazer o ajuste dos primeiros invariantes (que, trivialmente, são diferentes, pois: 6,15 + 57,4  14,76 + 51,25). Aplicando (10) e (11), obtemos:

3  1 1 { calc }   41  1

 1 1 1   6,15   6,765  3 1 1  57,40 58,015 .  . 1 3  1 14,76  14,145      1  1 3   51,25  50,635

(Notar que esses valores diferem ligeiramente daqueles apresentados em [1], Tabela 1, porque neste foi adotado o critério do ajuste proporcional às medidas.) Podemos, agora, escrever (12),

 39,120  { rk calc }  N.{ calc }   25,660 ,   24,834

(25),

0 0  0  [ rk calc ]  0 39,120  24,834 , 0  24,834 25,660

(251),

ou seja,

matriz essa cuja incerteza devemos determinar como primeiro passo para a solução do problema. Essa incerteza, conforme (13), é a soma de duas outras: uma, devida à incerteza

329

das tensões normais medidas, { rk tensões} ; e outra, de caráter geométrico, { rk geom} , ambas apresentadas em (14). A incerteza { rk tensões} apresenta duas parcelas: uma devida ao pessoal e outra aos instrumentos, conforme (15). Vamos considerar uma equipe com alguma experiência, mas não excepcional, atribuindo-lhe um peso de 10% de forma que Dpessoal=0,1[I], sendo [I] a matriz unidade de ordem 4. Da mesma forma, quanto aos instrumentos, vamos considerar que sejam usados, mas que todos sejam calibrados e bem conservados de modo que o correspondente coeficiente avaliador de desempenho seja de 5%. Então, por (15) obtemos:

d{ calc }T  1,015 8,702 2,122 7,595 ; e, por (19),

{rk tensões}T  5,868 3,849  3,725 . A incerteza { rk geom} não pode ser desprezada porque, seguramente, são cometidos os erros abordados no item 4.2. Podemos calcular S e S' por (20) e A e A' por (21) e (21 1). Admitindo que os erros cometidos ao se medirem os ângulos  e ' sejam da ordem de 0,5, ou seja, de 0,00873 rd, a incerteza { rk geom} deverá ser considerada, conforme (23) e (231), igual à maior das determinações seguintes:

  0,433 { rk geom}1   0,433    0,117

  0,381 { rk geom}2   0,381  .   0,026 

Então, conforme (13), superpondo os efeitos, deve ser considerado (por questão de segurança) que d{rk calc}= { rk geom}1 + { rk tensões} , isto é:

d{rk calc}T  5,435 4,282  3,843 ,

(26),

0 0  0  [drk calc ]  0 5,435  3,843 , 0  3,843 4,282 

(261).

Os desvios de (26) em relação a (25), evidentemente, já são, assim, de 14%, 17% e 15%. Passemos ao cálculo final da incerteza do tensor (agora, referido à base { ˆiˆjkˆ }) incluindo a incerteza correspondente à inclinação dos painéis. A matriz de rotação, [R()] pode ser calculada para =22,5. Assim, uma vez que já dispomos de todas as matrizes parcelas e

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330

fatores, aplicamos diretamente (24). Para d=0,5 ou seja, 0,00873 rd, e relembrando que =22,5, encontramos:

 1,037  2,163 1,754 d[ ijk calc ]   2,163 4,398  3,668  ,  1,754  3,668 4,730 

(271).

Para efeito da análise final devemos calcular a matriz associada ao tensor de tensões em relação à base { ˆiˆjkˆ }. Esta é dada pela expressão [ijk calc]=[R]T.[rk calc].[R], isto é,

9,504   5,729 13,831  [ijk calc ]   13,831 33,391  22,944 ,  9,504  22,944 25,660

(281).

A matriz de incerteza do tensor de tensões, dada por (27), é a própria matriz associada ao tensor desvio padrão desse tensor. A matriz [cv%] dos coeficientes de variação é

 18 16 18 [cv%]   13 16 , sim. 18

(291).

Vale observar-se que os elementos da primeira linha e primeira coluna expressam variações que não têm significado físico porque o tensor é plano (essas variações são decorrentes apenas de mudança de sistema de referência). Existe a chance de 95% de que o tensor de tensões em referência esteja compreendido entre [ijk calc]-2[d[rk calc] e [ijk calc]+2d[rk calc], ou seja, entre

[ijk

( 2)

[ ijk

( 2)

 ]  [ijkcalc ]  2[dijkcalc ]   

3,654  9,505 5,996 24,596  15,608  , sim. 16,200

(301),

 ]  [ ijkcalc ]  2[d ijkcalc ]   

7,804  18,157 13,011 42,186  30,279 , sim. 35,120

(311),

Vamos determinar os azimutes dos autovetores em relação a Ox, medidos positivamente no sentido horário para quem observa a seção da galeria do semi-espaço em que se encontra

ˆj .

331

Os mergulhos são sub-horizontais (em relação ao plano xy). Os autovalores dos tensores ijk(-2), ijk e ijk(+2), bem como os mergulhos e azimutes dos seus autovetores, estão expostos na Tabela 1 seguinte. Essa tabela mostra claramente as faixas de variação dos autovalores, mergulhos e azimutes de qualquer valor provável do tensor do ponto, que ocorrem com uma chance de 95%. Tabela 1 - Autovalores, mergulhos e azimutes dos tensores ijk(-2), ijk e ijk(+2) Autovalores (MPa  10) ijk(-2)

ijk

-0,017 4,458 40,008

ijk(+2)

0 6,660 58,120

-0,009 8,774 76,345

Azimute () ijk(-2) 0 105 243

ijk

Mergulho () ijk(+2)

0 106 243

0 108 244

ijk(-2) 21 32 50

ijk ijk(+2) 22,5 23 34 35 47 46

As variabilidades dos autovalores de ijk(-2) e ijk(+2) em relação aos de ijk são de –49% e +32% para os autovalores intermediários e –45% e +31% para os maiores autovalores; são diferenças expressivas. As variações dos azimutes e mergulhos dos autovetores são relativamente pequenas (diferenças de, no máximo, 3). Exemplo 2: Neste exemplo vamos manter as condições gerais do exemplo 1 e introduzir a hipótese adicional de que as tensões normais finais medidas estão afetadas de uma deficiência de – 15% (estamos trabalhando a favor da segurança); o que equivale a trabalhar com as tensões medidas multiplicadas por 1,15. Nesse caso os valores ajustados serão

3  1 1 { calc }   4 1  1

 1 1 1   7,072  7,780 3 1 1  66,010 66,717 . .  1 3  1 16,974  16,267     1  1 3  58,937  58,230

A Tabela 2 seguinte apresenta o resultado final dos cálculos que podem ser processados como no exemplo 1. Tabela 2- Autovalores, mergulhos e azimutes dos tensores ijk(-2), ijk e ijk(+2)

Autovalores (MPa  10) ijk(-2) -0,233 5,849 60,950

ijk 0 7,659 66,838

ijk(+2) -0,309 9,093 73,643

Azimutes () ijk(-2) 1 65 262

ijk 0 106 243

Mergulho ()

ijk(+2) 0 90 234

ijk(-2) 22 41 62

ijk ijk(+2) 22,5 24 34 19 47 34

Observa-se que: 1) - Os autovalores de ijk são iguais aos do exemplo 1 multiplicados por 1,15 uma vez que as tensões normais medidas foram afetadas em 15%; mas apenas para estes. As variações dos autovalores de ijk(-2) são bem expressivas: o intermediário aumentou em 31% e o maior em 52%. Tens Def em Maciços– Ruggeri

332

2) - Os autovetores dos autovalores nulos se mantiveram praticamente invariantes (o que não é surpresa). Os azimutes e os mergulhos dos autovetores relativos aos maiores autovalores sofreram variação entre si de cerca  15, e também em relação aos do exemplo 1. 3) - A variabilidade dos azimutes dos autovetores relativos aos autovalores intermediários, embora não abusiva, é expressiva: de -16 até -41; a dos mergulhos ficou entre +7 e -15.

AGRADECIMENTOS

Toda gratidão a FURNAS Centrais Elétricas S.A., uma empresa que prima por superar expectativas sempre.

PALAVRAS-CHAVE

Incerteza, tensor in situ, tensor desvio padrão.

9. [1]

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

RUGGERI, E. R. F. e PORFÍRIO, N. T.(2005), “Medição de Tensões no Maciço de Serra da Mesa”, Congresso Brasileiro de Barragens - CBdB, Goiânia, GO.

333

ANEXO IV. Artigo apresentado no Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas

ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES Elysio R. F. Ruggeri Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

Tens Def em Maciços– Ruggeri

334

ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES Elysio R. F. Ruggeri1 SUMMARY In many situations, in dimensioning underground structures, the most realistic forecast of the mechanical behavior of the fractured rock masses should be done using a continuous, homogeneous, anisotropic, linear and elastic model (a CHALE model), as the isotropy could be utopian. However, one of the difficulties lies in the necessary establishment of the Law of Hooke, either for not having reliable information regarding axis and plains of elastic symmetry of the rock mass or for not being able to defend the adoption of determinable elastic constants by means of laboratory trials of body structures. The indirect determination of elastic constants of a rock mass by the measuring “in situ” of stress and strain tensors – core of the proposed method – may be a practical and economically advantageous mean in implanting and developing undertakings. This method supposes that the quoted measures are being done within a “representative volume element” of the rock mass, thus already taking into consideration its families of fractures. In this article, the method is briefly justified. Also, a discussion about some aspects related to its utility and the emergent improvement difficulties, starts. Practical fieldworks, in course, which will serve as base for new studies and communications, are being announced.

KEY WORDS: Hooke, rock mass, anisotropy.

FUNDAMENTAL HYPOTHESES (for the method development) H1 – The distribution of the fractures of a family in a representative volume element of a rock mass, besides being homogeneous (independent of the element), presents well defined average and standard deviation. H2 – The homogeneous statistical distribution of the fractures and the triple state of stress to which the rock mass is submitted should allow it to be considered as a CHALE (Continuous, Homogeneous, Anisotropic, Linear and Elastic) body for which the Law of Hooke, that expresses the proportionality (weighted average) between stresses and strains is supposedly valid. H3 – The utilization of the small flat jack (SFJ) method is accepted to determine the stress and strain Cartesian tensors in a “point” of the wall in a circular section gallery properly opened in the rock mass. . 1

FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA. – Caixa Postal 457 – CEP 74001-970 – Goiânia-GO- Brasil, Fone 62 239-6375, FAX 62 239-6300 ruggeri@furnas.com.br

335

POSITION OF THE PROBLEM Reference systems; notations We adopted an orthogonal (global) Cartesian reference system, O-xyz, with the origin in the center O of the right circular section of a gallery and base vectors: ˆi , ˆj e kˆ , respectively associated to Ox, Oy and Oz. The Oz axis is tangent to the gallery axis, Ox points to the ground and Oy is taken so that the trihedral O-xyz is positive. About the circumference section (plan O-xy) we arbitrarily chose a point, in the neighborhood of which we will measure the stress and strain tensors (or dyadics). That neighborhood is defined by a fragment of right prism, which generators are parallel to the axis of the gallery, and which base, contained in the plain of the section, is a curvilinear quadrilateral presenting two opposed sides with straight lines (supports) converging in the center O, the other two being concentric circle arches in O. The generator is about 3.0 m long; the convergent sides of the section, about 0.5 m, and the circle arches about 1.0 m. The face of the prism that contains the point is, evidently, a fragment of the wall of the gallery which can be seen, without a significant mistake, as a 1.0 m wide by 3.0 m long rectangle. To the then defined prism fragment, we associate a (local) cylindrical system of reference in relation to which we can determine, with easiness, for the SFJ method, the dyadics of stress and strain related to the chosen point. Once these dyadics are calculated (each one in its reference system), we can refer them all to the global Cartesian system by rotations of the systems. The dyadics of the point,  (stress) and  (strain), with coordinates ij and ij (for i,j=x,y,z) in relation to Oxyz, can be expressed in the form of a 3x3 symmetrical matrix [1, sections 2.5 e 3.7]. For what interests us however, it is more convenient to represent them in a dyadic base (orthonormed) of the space of the symmetrical dyadics [2],

ˆ 1  ˆiˆi , ˆ 2  ˆjˆj , ˆ 3  kˆ kˆ ,

ˆ 4 

1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆˆ ˆ ˆ ( jk  kj) , ˆ 5  (ki  ik ) and ˆ 6  ( i j  ji ) , 2 2 2

(01),

such base, as seen, generated from the vector base used to perform the measurements. In relation to that dyadic base, then, the dyadics can be represented by the column matrices 6x1 which transposes are:

{}T  1  2  3  4  5  6  and {}T  1  2  3  4  5  6  ,

(02),

as long as we utilize the notation (of Voigt): 1   xx ,  2   yy ,  3   zz ,

 4  2  yz ,  5  2  zx and  6  2  xy , and analogous representations for the strains. If desired, the dyadic of strains can be written in "engineering notation" and in relation to the orthonormed dyadic base (01), in the forms:

1   xx ,  2   yy ,  3   zz ,  4 

2 2 2  yz ,  5   zx and  6   xy . 2 2 2 Tens Def em Maciços– Ruggeri

336

The Law of Hooke Independently of any reference system, the Law of Hooke can be poliadically expressed in the form

  4F :  ,

(03),

where 4F represents the symmetric tetradic of flexibility (or compliance) of the rock mass. In relation to the orthonormed dyadic base (01), the Law of Hooke can be written in the matrix form

 1  F11 F12 F13    F22 F23  2  F33  3        4   5   sym.     6 

F14 F24 F34 F44

F15 F25 F35 F45 F55

F16   1  F26   2    F36   3  , . F46   4    F56   5  F66   6 

(04),

or, still, in the corresponding compact matrix form where the matrices have evident meaning:

{} [ 4 F].{} ,

(05).

Matrix [4F] numerically represents the whole characteristic anisotropy of the rock mass, not having, in general, any particular form as the adopted reference systems are any. It is evident that if the direction of an axis of elastic symmetry or of an elastic symmetry plain is clear, it will be possible, without damage to the generality of the method, to choose a more convenient reference system (axis coinciding with symmetry axes, for instance), a case in which the matrix will present peculiar features (with many null elements, in the case of the example). Geometrical interpretation and problem situation In the space of the symmetrical dyadics the Law of Hooke can be interpreted geometrically as a linear transformation of the space of the symmetrical dyadics in its own, which ruler is the flexibility tetradic [2]. From that point of view, the problem we intend to solve consists in determining the operator of that linear transformation knowing the corresponding pairs of stress/strain dyadics in different points of the rock mass, those dyadics which, as seen, can be determined by "in situ" measurements of normal stresses and elongations, by the SFJ method (H3 hypothesis). PROBLEM SOLUTION For being more didactic, we will first present the solution of the problem as if the measurements (the data) were the true theoretical measures of the dyadics coordinates; afterwards we shall consider that those measures are not free from the uncertainties that accompany the measurements. In the first case we will still say that the measures are

337

certain or not disturbed, unlike the second, in which they will be said uncertain or disturbed. Solution with certain measures. Let N be the number (still incognito) of points in the rock mass where we determine the corresponding stress/strain pairs of dyadics,  e  for =1,2,...,N. For each value of , that is, for each point of the rock mass, we will be able to write the Law of Hooke in form (03), or in form (05) if the dyadics and the tetradic are referred to the dyadic base (01). As, by hypothesis, the measures are correct, tetradic 4F is necessarily symmetric and for any corresponding pair (, ),   4 F :    : 4 F . For any set of six linearly independent stress dyadics (let those be the first six pairs among the N experimentally established) we can write, as we know [2]: 4

F  uu ,

(u=1,2,...,6)

(06),

the u being the reciprocal (which necessarily exist) of the (independent) u. (Reciprocal dyadics are dyadics which comply to the rule  v :  u   vu where the 's are the deltas of Kronecker). Then, being  v :  u   v : 4 F :  u , or  u :  v   u : 4 F :  v (for

 v :  u   u :  v . The reciprocal is true, that is, if  v :  u   u :  v then 4F= 4FT. In fact, as from (06) we could write, temporarily adopting

u,v=1,2,...,6), results in the u dyadics as base:

F  ( u :  v ) v  u ; then,

F T  ( u :  v ) u  v , or, considering

that  v :  u   u :  v : 4 F T  ( v :  u ) u  v . Changing, in that expression, u for v and v for u (which does not alter the sum), we find:

F T  ( u :  v ) v  u , that is, 4F = 4FT. In

summary: 4

F  4FT  v : u  u :  v ,

(u,v=1,2,...,6)

(07).

We see, thus, that we only need to measure six corresponding pairs (,), with six independent stress dyadic, to determine the tetradic of flexibility. Regarding the dyadic base (01), the six equations (05) can then be written, simultaneously, in the following compact matrix form:

[] [ 4 F].[] ,

(08),

where, remembering the form (04),  11   21     31  41  51   61

12  22  32  42  52  62

... 1i ...  2i ...  3i ... ... ...  6i

... 16   11  ...  26   21  36  , and, analogously,       31 ...   41 51 ... ...    ...  66   61

12  22 32  42 52  62

... 1i ...  2i ... 3i ... ... ... ... ...  6i

... 16  ...  26  36  ,  ...  ... ...   ...  66 

(09),

Tens Def em Maciços– Ruggeri

338

the i-th column of [E] representing j, the i-th column of [] representing j. As the 's are independent, the [] matrix is invertible. From (08) we obtain, then, the expression of [ 4F]:

[ 4 F]  [].[] 1 ,

(10).

If we had N > 6 pairs of measures (within which there were at least six pairs with independent stress dyadic), matrices (09) would have N columns each. In this case, we would post-multiply both members of (08) by []T, we would invert the [].[]T product (which, in fact, is invertible because the rank of [] is six) and we would simply write,

[ 4 F]  [].[]T .([].[]T ) 1 ,

(11).

Solution with uncertain measures In that case, what really happens in practice, (07) not necessarily subsisting, the [ 4F] matrix given by (10), or by (11), may not be symmetrical (in general it is not). As it is not fit to discuss the applicability of the CHALE model to the rock mass (H2 hypothesis), nor the measurement method (H3 hypothesis), we should consider responsible the uncertainties, present in the measurements, for the asymmetry of [ 4F]. We have two ways to follow: 1) – admit the asymmetry of tetradic 4F calculated by (10) or (11). In that case, we must accept the calculation of the strain dyadic by the   4 F :  law when a  dyadic (measured) is given, or the calculation of the stress dyadic by the inverted law   4 R :  when the  dyadic is given, enabling to prove the existence of 4R (which will be the inverse of 4F whenever the state of stress is tridimensional). This second hypothesis could be the most frequent one once the determination of the strain dyadic of a point by the STT cell is relatively simple and cheap; 2) – Try to evaluate the most significant uncertainties of the measurements and to then calculate, by (10) or (11), the certain 4F tetradic, still not symmetric, which will exist with a certain variance, but “not very asymmetric”. We will next do some considerations about this problem. Regarding measurement uncertainties. The most complicated situation for analysis is the one in which the coordinates of a measured dyadic, denoted by meas, would be affected in various grades (or weights) by each one of the coordinates of the certain dyadic, . In that case, we must admit the existence of a “disturbance tetradic”, 4D, exhibiting a 6x6 full matrix, which transforms the certain dyadic, (0), into the uncertain:  meas  4 D :  (0) . Although this tetradic may exist, its determination may be a problem of doubtful solution (if it exists) and, probably, of little reliability in practice. Let us symbolize by 4D() and 4D() the disturbance tetradics (complete) for strains and stresses, respectively; and by 4X the uncertain tetradic of flexibility. It is true that tetradics 4D() and 4D() are not scale tetradics (A4I type), for if they were, 4F and 4X would be directly proportional (parallel) and 4X would be, at least, always symmetric; which does not usually happen. If the measured dyadics, u, u, were directly proportional (parallel) to

339

the corresponding certain dyadics  (0)u ,  (0)u (each one with a proportionality factor) – let us say:

1  A1 (0)1 ,  2  A 2  (0) 2 , ...

and

1  B1 (0)1 ,

 2  B 2  (0) 2 , ... ,

even so it will always be 4X = A1/B14G = A2/B24G = ..., that is, 4X would be at least symmetric (apart the relation A/B having to be constant); which, also, is not always true. Less complicated for analysis, and perhaps closer to reality, would be the situation where each coordinate of the measured dyadic was the homonymous coordinate of the certain dyadic affected in a certain degree. This means that any of the disturbance tetradics previously considered would be diagonal with respect to the work base (whichever base it were). Although that situation is substantially simpler than the one initially considered, the problem is still complex because that tetradic would have six coordinates and its determination (if possible) may not be obtained in an easy way. Let us discuss that approach a little more. Let us calculate (the non symmetric) 4X, with the uncertain dyadics, by the same expression (11) with which 4F is calculated with the certain dyadics. If 4D() and 4D() would independ of the point where the measurements are made, the law of proportionality (Hooke) between the measured stress and strain dyadics,  meas  4 X :  meas , could be written as follows: 4

D (  ) :  ( 0)  4 X : 4 D (  ) :  ( 0 ) ,

(12),

where the usage of parentheses in the second member is irrelevant. Replacing (0) in function of (0) in (12) (according to the Law of Hooke), we have: 4

D (  ) : 4 F :  ( 0)  4 X : 4 D (  ) :  ( 0) ,

(13),

or, being (0) any dyadic, 4 D ( ) : 4 F  4 X : 4 D () . We finally obtain: 4

F  4 D ( ) 1 : 4 X : 4 D () ,

(14).

Expression (14) shows, then, how to obtain the certain flexibility tetradic knowing the disturbance tetradics of the certain stress and strain dyadics (tetradics independent of the point) and the uncertain flexibility tetradic 4X (which can be calculated by identical expression to (11)). The "disturbance factors" of the coordinates of the strain dyadic can be represented by 1+ai for i=1,2,...,6, where the ai are positive or negative random numbers (let us say, less than 20%); the factors of the stress dyadic coordinates are represented by 1+b i (the bi also being positive or negative random numbers, let us say less than 27%). As the disturbance tetradics are diagonals, they can be written as follows: 4 D ()  4   4  and 4

D ()  4   4  , where the diagonal tetradics 4 and 4 have evident representations. We

can, now, write (14) in matrix expression: Tens Def em Maciços– Ruggeri

340

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ]) 1 . [ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) ,

(15).

Being [4]+[4] a diagonal matrix and (1+a)-1=1-a+a2-a3+..., we can write (15) as follows: (16). [ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] 2 [ 4 ]3  ...).[ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) , As the ai are small numbers, their squares can be neglected with regards to themselves (0,22=0,04). In that case, we can give 4F an approximate expression in relation to 4 and 4, as follows:

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ]). [ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) ,

(17),

or, also

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ]). [ 4 X] [ 4 ]. [ 4 X].[ 4 ] ,

(18).

Expression (16), or its approximations (17) and (18), permit to calculate a value for 4F as long as 4 and 4 (which, by hypothesis, do not depend on the point) be given with some precision. FINAL CONSIDERATIONS. Way 1) – acceptance of the asymmetry - indicated in item “solution with uncertain measures”, can have its usefulness in works developed in a semi-empiric way. In these works, the Law of Hooke being known, the stress dyadic in a point of an excavation site, for instance, can be determined as long as the strain dyadic is measured in that point (let us say, using the STT cell method). The reliability of those results, in approximate terms, seems to be acceptable in the practical point of view. Way 2) – evaluation of the most significant uncertainties - is necessary when a theoretical study of the behavior (global) of the rock mass using the Linear Theory of Elasticity is made, as the use of a tetradic, not symmetrical in the Law of Hooke, could bring some disturbance to the study. We know by the Theory of Elasticity that the strain energy density function (Green) existence in each point causes the symmetry of 4F. The counter-reciprocal of this proposition must be true: the asymmetry of 4F causes the nonexistence of the strain energy density function, which, apparently, is an absurd, as we recognize the existence of energy stored in a rock mass. As (16) shows, to reach 4F from 4X, the evaluation of the disturbance tetradics is necessary, a not yet satisfactorily resolved problem. If we only have 4 and 4 estimates, we do not obtain more than one better estimate for 4F, let us say 4F´, which, even so, is not symmetric. But 4F´ will not present a "strong asymmetry" as, by hypothesis, its main causes components of asymmetry have been eliminated. In that case, can the symmetric part of 4F´ be a reasonable estimate for 4F?. By the two pointed ways we will try to obtain compatible and coherent results with information already legalized by other means regarding the rock mass of the Serra da Mesa power plant. A great series of measurements of the stress and strain dyadics is already under way, since May/2003, in an instrumentation gallery especially dug in the rock mass

341

of that plant during its construction. Those studies will be subject of future communications.

ACKNOWLEDGEMENT All gratitude to the CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL of FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA.

BIBLIOGRAPHIC REFERENCES [1] – MASE, G. E., Theory and Problems of Continuum Mechanics, Mc Graw-Hill Book Company, New York, 1970 (ISBN 07-040663-4). [2] – RUGGERI, E. R. F., Fundamentals of Polyadic Calculus, under way.

Tens Def em Maciços– Ruggeri

342

ANEXO V. Painel apresentado no Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas

ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES Elysio R. F. Ruggeri Engenheiro Civil - FURNAS Centrais Elétricas S.A.

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ABOUT A METHOD FOR THE EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE LAW OF HOOKE FOR ANISOTROPIC ROCK MASSES.

Elysio R. F. Ruggeri

1 slide: FUNDAMENTAL HYPOTHESES (for the method development) H1 – The distribution of the fractures of a family in a representative volume element of a rock mass, besides being homogeneous (independent of the element), presents well defined average and standard deviation. H2 – The homogeneous statistical distribution of the fractures and the triple state of stress to which the rock mass is submitted should allow it to be considered as a CHALE (Continuous, Homogeneous, Anisotropic, Linear and Elastic) body for which the Law of Hooke, that expresses the proportionality (weighted average) between stresses and strains is supposedly valid. H3 – The utilization of the small flat jack (SFJ) method is accepted to determine the stress and strain Cartesian tensors in a “point” of the wall in a circular section gallery properly opened in the rock mass.

2 slide: THE LAW OF HOOKE This law is written as

  4F :  ,

(01),

where  is the strain dyadic,  is the stress dyadic and 4F is the symmetric flexibility tetradic representing the elastic properties of the massive rock.

3 slide: CERTAIN 4F FROM CERTAIN MEASUREMENTS We will measure, without errors, corresponding pairs (, ), =1, 2, …, N, for a set of N points (N  6) of the massive rock, choosing among then a set of six for which the i are linearly independent. In this case there exist the reciprocals of the set i, denoted by i.. This means that: where the deltas are de deltas of Kronecker. Hence: 4

F  uu ,

(u=1,2, …, 6)

(02).

Tens Def em Maciços– Ruggeri

344

4 slide: UNCERTAIN 4F FROM UNCERTAIN MEASUREMENTS As real measurements of the pairs, meas and meas, are accompanied by errors – they are uncertain – the tetradic given by (02) and satisfying (01), which we will denote by 4X, will not be symmetric necessarily. That is: 4X is an uncertain value for 4F.

5 slide: REGARDING MEASUREMENTS UNCERTAINTIES The technical personal, instruments and procedures used for measurements are obviously independent of any reference system. We can associate to then a constant but random diagonal tetradic – we will call it disturbance tetradic - which operating on the certain values of stresses and strains, say (0) and (0), transforms then in uncertain values. If 4D and 4D are those tetradics for the strains and stresses, respectively, we can write:

 meas  4 D :  (0)

and

 meas  4 D :  (0) ,

(03),

in which case, 4

F  4 D ( ) 1 : 4 X : 4 D () ,

(04).

Expression (04) shows, then, how to obtain the certain flexibility tetradic knowing the disturbance tetradics of the certain stress and strain dyadics and the uncertain flexibility tetradic 4X (which can be calculated by identical expression to (02) with the measured dyadics).

6 slide: THE RANDOM DISTURBANCE TETRADIC AND 4F The "disturbance factors" of the coordinates of the strain dyadic can be represented by 1+a i for i=1,2,...,6, where the ai are positive or negative random numbers (let us say, less than 20%); the factors of the stress dyadic coordinates are represented by 1+bi (the bi also being positive or negative random numbers, let us say less than 27%). As the disturbance tetradics are diagonals, they can be written as follows: 4 D ()  4   4  and 4 D ()  4   4  , where the diagonal tetradics 4 and 4 have evident representations. We can, now, write (04) in matrix expression (with respect to a dyadic base):

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ]) 1 . [ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) ,

(05).

345

Being [4]+[4] a diagonal matrix and (1+a)-1=1-a+a2-a3+..., we can write (15) as follows:

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] 2 [ 4 ]3  ...).[ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) ,

(06).

As the ai are small numbers, their squares can be neglected with regards to themselves (0,22=0,04). In that case, we can give 4F an approximate expression in relation to 4 and 4, as follows:

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ]). [ 4 X] . ( [ 4 ] [ 4 ]) ,

(07),

or, also

[ 4 F]  ( [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ]). [ 4 X] [ 4 ]. [ 4 X].[ 4 ] ,

(08).

Expression (06), or its approximations (07) and (08), permits to calculate a value for 4F as long as 4 and 4 (which, by hypothesis, do not depend on the point) be given with some precision.

7 slide: FINAL CONSIDERATIONS. We could accept the calculated value of 4F with the uncertain measures (without corrections); this can have its usefulness in works developed in a semi-empiric way. In these works, the Law of Hooke being known, the stress dyadic in a point of an excavation site, for instance, can be determined as long as the strain dyadic is measured in that point (let us say, using the STT cell method). The reliability of those results, in approximate terms, seems to be acceptable in the practical point of view. The evaluation of the most significant uncertainties is necessary when a theoretical study of the behavior (global) of the rock mass using the Linear Theory of Elasticity is made, as the use of a tetradic, not symmetrical in the Law of Hooke, could bring some disturbance to the study. We know by the Theory of Elasticity that the strain energy density function (Green) existence in each point causes the symmetry of 4F. The counter-reciprocal of this proposition must be true: the asymmetry of 4F causes the non-existence of the strain energy density function, which, apparently, is an absurd, as we recognize the existence of energy stored in a rock mass. As (06) shows, to reach 4F from 4X, the evaluation of the disturbance tetradics is necessary, a not yet satisfactorily resolved problem. If we only have 4 and 4 estimates – and any random tetradic whose elements are comprised between the limits of variance are acceptable -, we do not obtain more than one (probable) better estimate for 4F, let us say 4 F´, which, even so, is not symmetric. But 4F´ will not present a "strong asymmetry" as, by hypothesis, its main causes components of asymmetry have been eliminated. In that case, can the symmetric part of 4F´ be a reasonable estimate for 4F? Intuition allow us to search

Tens Def em Maciços– Ruggeri

346

between the infinity of 4 and 4 random diagonal tetradics estimates a pair (at least ?) which could give us a symmetric 4F, for a given 4X; but, should those tetradics exist ? By the two pointed ways we will try to obtain compatible and coherent results with information already legalized by other means regarding the rock mass of the Serra da Mesa power plant. A great series of measurements of the stress and strain dyadics is already under way, since May/2003, in an instrumentation gallery especially dug in the rock mass of that plant during its construction. Those studies will be subject of future communications. 7 slide:

ACKNOWLEDGEMENT All gratitude to the CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL of FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS SA.

347

ANEXO VI. Artigo sumetido à REM – Revista Escola de Minas em 02/01/2006 Referência da publicação: REM: R. Esc. Minas, Ouro Preto, 60(3), jul. set. 2007

DETERMINACÃO EXPERIMENTAL DE LEI FÍSICA LINEAR QUE CORRELACIONE DUAS GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS Elysio R. F. Ruggeri Furnas Centrais Elétricas SA

Tens Def em Maciços– Ruggeri

348

Arquivo: Drive C, Ruggeri, Artigos, Em preparação, Operador de uma TL 02 01 06

DETERMINACÃO EXPERIMENTAL DE UMA LEI FÍSICA LINEAR QUE CORRELACIONE DUAS GRANDEZAS FÍSICAS VETORIAIS

(apresentado à REM – Revista Escola de Minas em 02/01/2006)

Elysio R. F. Ruggeri Furnas Centrais Elétricas SA

349

1 – Introdução 1.1 – Sobre as leis físicas lineares. Os fenômenos físicos se passam em domínios geométricos, D, uni, bi ou tridimensionais, supostamente determinados em relação a um dado e conveniente sistema de coordenadas S. Assim, D pode ser uma curva, uma superfície, ou uma região do espaço. Dizemos que D é campo de uma grandeza G quando a cada ponto de D está associado um e um único valor para G, seja esta de natureza escalar, vetorial, diádica etc.. A trajetória de um corpo, por exemplo, é campo dos vetores: força atuante, aceleração e velocidade desse corpo. No caso aqui interessado, ao ponto genérico P de D estão associadas as grandezas representadas pelos vetores a e b. Uma lei física linear que correlacione essas grandezas é de um dos dois tipos seguintes:

b  Ka , ou b   . a ,

(01),

onde K é uma grandeza escalar e  uma grandeza diádica (ou tensorial de ordem 2), ambas não dependentes de a, nem de b. As grandezas K e  são, por exemplo, características de um material que ocupe o espaço D, para o qual são válidas as leis (01), ou apenas uma delas. Dizemos muitas vezes, quando não existe perigo de confusão, que a e b constituem campos (a existência de D ficando subentendida). A grandeza representada por , por não depender do ponto (poderá ser uma constante ou depender do tempo), não constitui um campo. A principal lei da Mecânica, classicamente representada por f=Ma, é do primeiro tipo, M representando a massa de um corpo. Ainda na Mecânica, a lei da dinâmica do corpo rígido, j=I . w – onde j é o momento angular (ou momento da quantidade de movimento do corpo), w a velocidade angular do corpo (em torno de um eixo) e I é o diádico (simétrico) de inércia do corpo – é uma lei do segundo tipo. Muitos exemplos poderiam ser citados na área da Física. Em Engenharia, uma lei do segundo tipo é a clássica lei de Darcy de percolação da água nos materiais permeáveis. Nesse caso, o diádico  representa a condutividade hidráulica do material que, submetido a um gradiente hidráulico b num ponto, permite a percolação da água com uma velocidade a (nesse mesmo ponto). Em muitas situações, especialmente na prática da Engenharia, podemos admitir (por algum motivo que não interessa discutir aqui) a validade das leis (01); mas não se conhecem de antemão as grandezas K e  que, então, devem ser determinadas experimentalmente. Medições envolvendo incertezas em medidas são, portanto, necessárias. O procedimento utilizado de praxe para a resolução do problema consiste, assim, em se fazerem medidas diversas das grandezas vetoriais a e b, quando possível, e tratar-las estatisticamente para se determinarem os valores de K e  que, segundo algum critério adequado (o de minimização do quadrado de alguma norma, por exemplo) melhor se adaptem ao conjunto das medidas. Tens Def em Maciços– Ruggeri

350

A lei do tipo b=Ka diz que os vetores a e b devem ser paralelos, e que |b|=K|a|. Com uma série de medições de |b| e |a| não será difícil encontrar um valor adequado para K. Se a e b deverem ter o mesmo sentido, deverá ser K > 0; em caso contrário, será K < 0. O problema da determinação da direção comum a a e b, não é, assim, de solução imediata, mas um tratamento adequado dos dados resolverá o problema com alguma facilidade (o que não nos interessa no presente). A lei do tipo b =  . a é, evidentemente, mais complexa que a anterior. Neste estudo mostraremos como encontrar boas determinações de  mediante certos pressupostos. Quando  não apresenta particularidades a solução é mais simples; mas, em geral, nas leis físicas,  é um diádico simétrico ( = T), o que exige um condicionamento a mais na formulação da solução. Alem disso, devemos notar que, na Física, as grandezas vetoriais a e b têm o mesmo status, isto é, tanto podemos expressar b em função de a, como a em função de b. Isto significa que  deve ser invertível, ou completo, devendo, pois, ter terceiro (ou determinante) diferente de zero ([1], [2]). Devemos considerar ainda que as medidas dos vetores a e b devem ser feitas, geralmente, pelas “coordenadas” desses vetores em relação a um mesmo sistema de referência, por exemplo, S. Nesse caso podemos dar à forma b   . a de representação da lei, forma essa que independe de qualquer sistema de referência, uma representação matricial válida apenas no sistema S. Em relação a esse sistema os vetores poderão ser representados por suas coordenadas, organizadamente dispostas em matrizes colunas 3x1; e o diádico , por uma matriz simétrica e invertível 3x3. Nas condições expostas, a lei b   . a pode ser entendida de dois modos, úteis em muitas situações. No modo algébrico vemos um conjunto de três números variáveis – as coordenadas A1, A2, A3 de a – se transformar em um conjunto de três outros números, também variáveis – as coordenadas B1, B2, B3 de b – mediante a matriz constante [] associada à grandeza , de elementos ij; e escrevemos:

 B1   11 12  B     2   21  22  B 3   31  32

13   A 1   23 .A 2  , com ij=ji  33   A 3 

(i,j = 1, 2, 3),

(02).

Conforme mencionamos, fazendo diversas medições dos pares de ternos Ai e Bi, deveremos determinar o conjunto dos seis números: 11, 12=21, 13=31, 23=32, 22 e 33, que satisfaz (02). No modo geométrico podemos entender a lei b   . a como a transformação linear do vetor a do espaço no vetor b do espaço, mediante o operador ; ou, em relação ao ponto P, a transformação (linear) da extremidade do vetor a (suposto aplicado em P), na extremidade do vetor b (também suposto aplicado em P). Visto de outra forma, poderemos sempre fazer a imagem de todos os vetores a e b (dos campos já definidos) aplicados em um mesmo ponto arbitrário do espaço (eventualmente exterior a D). As extremidades dos vetores a e b ocupariam cada um uma região do espaço – a hodógrafa do vetor; diríamos que essas hodógrafas se correspondem linearmente mediante o operador 1. 1

Decorreria disso uma série de propriedades. Por exemplo: três pontos colineares numa região seriam colineares na outra; um fragmento de plano numa região seria um fragmento de plano na outra etc..

351

1.2 – Um teorema fundamental Suponhamos agora que, de alguma forma, sejam conhecidos três pares de vetores: (a1, b1), (a2, b2) e (a3, b3) que devam estar correlacionadas mediante a lei geral b   . a cujo operador (simétrico e invertível) se pretenda determinar. Vamos considerar inicialmente que todos os vetores tenham sido determinados com precisão, sem erros. Nestas condições podemos aplicar aos conjuntos um teorema clássico da Álgebra dos Diádicos ([1], [2], [3]), sintetizado pela expressão seguinte: se b i   . a i

com i = 1, 2, 3, e

(a1a2a3)0,

então:

  b i ai ,

(03),

onde os ai são os vetores recíprocos dos ai. Vemos por (03) que, não havendo erros na determinação dos pares (ai, bi), o diádico simétrico  está determinado. Como, por hipótese, os bi são independentes,  é completo. Cabe registrar que o teorema sintetizado por (03) é geral, não exigindo que  seja simétrico. Por outro lado, se =T, seu vetor é nulo (e reciprocamente), isto é,   T

 V  bi  ai  o ,

(04),

o que nos leva a concluir que, nesse caso, os ternos (ai, bi) não são totalmente arbitrários. Consideremos, em relação ao sistema S, o terno de vetores ai: (1; 0; 1), (2; 1; -1), (0; 1; 2) e o terno de vetores bi: (2; 0; 5), (-4, 1; 3), (7; -4; 3). Os recíprocos dos a‟s são: (3; -4; 2)/5, (1; 2; -1)/5, (-1; 3; 1)/5. Então,

[] 

3  2  4 7   1 1 1         ( 03  4 2   1 1 2  1   4 1 3 1   1  2  1 , 5 5  3   3   3  1 2 

(05).

A verificação da expressão (02) pode ser feita imediatamente multiplicando-se [] pelas colunas dos b‟s. A situação acima apresentada é perfeita do ponto de vista matemático. Na realidade, em vista da necessidade de medições das grandezas, medições essas realizadas por pessoas, seguindo algum método e utilizando instrumentos e equipamentos, aquelas medidas dos vetores são infestadas de erros, isto é, as medidas são incertas. Suponhamos, então, que aqueles mesmos vetores, agora incertos e denotados por amedi e bmedi, tenham as seguintes coordenadas: amed1(0,97; 0; 1,02), amed2(2,02; 0,97; -0,99), amed3(0; 1,05; 1,94), e bmed1(1,90; 0; 5,25), bmed2(-3,94; 1,03; 2,82), bmed3(5,61; -4,08; 3,21). Os a‟s apresentam perturbações da ordem de 5% para mais ou para menos; e os b‟s, da ordem de 7%. Tens Def em Maciços– Ruggeri

352

Como o produto misto dos novos a‟s é diferente de zero (ele é igual a 4,997), eles são independentes e admitem os recíprocos: amed1(0,584; -0,784; 0,424),

amed2(0,214; 0,376; -0,204), amed3(-0,198, 0,604; 0,188).

Ao aplicarmos o teorema expresso por (03), e seguirmos os mesmos passos de cálculo atrás apresentados, encontramos:

2,834   1,022 0,961  [ med ]   1,028  2,077  0,977 ,  3,033  1,117 2,254 

(051).

Vê-se, assim, que as perturbações nas medidas destruíram a esperada simetria que a matriz [med 1] deveria apresentar. Sendo absolutamente necessário que a matriz solução do problema seja simétrica, dever-se-á procurar algum método convincente que, tornando-a simétrica, aproxime-a do seu verdadeiro valor dado por (05). Nesse caso, se essa matriz existir e se for determinada, ela deverá ser a que melhor se adapte ao conjunto das medidas efetuadas vetores a‟s e b‟s. 2 – Uma solução analítica para o problema. Como as medidas amedi e bmedi estão infestadas de erros, por melhor que seja a determinação do diádico  para a escrita da lei deveremos escrever, para duas medidas quaisquer: bi   .. ai  di e b j   .. a j  d j para i,j = 1, 2, 3, os vetores di e dj representando vetores erros que, idealmente, permitem escrever as igualdades. Esses vetores erros são, pois: di  bi  ai ..  e d j  b j   .. a j , notando-se que na primeira expressão levamos em consideração que, por ser =T,  . ai = ai . . O produto escalar dos vetores erros é, então: di . d j  bi . b j  bi .  . a j  ai .  . b j  ai . 2 . a j .

Vamos procurar um diádico (simétrico) que torne mínimos todos os produtos escalares dos vetores erros. Isto significa que para i=j estamos minimizando as normas dos vetores erros e que, para ij, que eles (não nulos) tendam a ser ortogonais entre si (para que seu produto escalar se anule). Para tal, devemos igualar ao diádico nulo, , a derivada da expressão do produto escalar em relação ao diádico . Tem-se, conforme as regras do Cálculo Poliádico ([3]): d 4   d

d2   . 4   4  .  . Logo, bi . 4 . a j  ai . 4 . b j  ai . ( . 4 4  . ) . a j . d

Sendo bi .4  . a j  a jbi e, logo, ai . ( . 4 4  . ) . a j  a jai .    . a jai , vem: a jbi  aib j  a jai .    . a jai ,

(06).

353

Relembrando que  deve ser simétrico (=T), e observando que (a jai . )E   : aia j  ( . a j ) . ai  ( . a jai )E   : a jai ,

deduzimos, tomando o escalar em (06): a j . bi  ai . b j  2 : a jai . Pós-justapondo a ambos os membros dessa igualdade a díade ajai, agrupando convenientemente e somando em i e j, vem: a j (a j . bi )ai  a j (b j . ai )ai  2 : a jaia jai  2 , ou, finalmente, 

1 (biai  aibi ) , 2

(07).

O diádico med  biai pode ser calculado com os vetores medidos bmedi e amedi, tal como fora feito aplicando o teorema sintetizado por (03); seria o diádico tal que b medi   med . a medi (sem erros) e que, no exemplo numérico atrás apresentado, é representado pela matriz (051). O diádico med não é simétrico certamente, mas, conforme (07), o diádico que nos interessa (o procurado) deve ser a sua parte simétrica, isto é, 

1 (med  med T ) , 2

(08).

Este é, pois, o diádico simétrico que melhor se ajusta ao conjunto dos vetores medidos segundo o critério adotado, mas o faz com uma incerteza dada pela parte anti-simétrica de med, pois med   

1 (med  med T ) ; 2

isto é,

Incerteza de  = med ant =

1 (med  med T ) , (081). 2

A incerteza de  será tanto menor quanto menor for a norma de med ant. 3 – Aplicação numérica para pequenas perturbações. Para o caso do exemplo numérico apresentado, com pequenas perturbações, tem-se:

2,933   1,022 0,995 1  T ]  ([  med ]  [ med ] )   0,995  2,077  1,047 , 2  2,933  1,047 2,254 

(09).

A incerteza de [] é dada pela matriz

0,033 0,100   0 1  T Incerteza ]  ([  med ]  [ med ] )   0,033 0 0,070 , 2   0,100  0,070 0 

(091).

cuja norma é igual a 0,0319. Tens Def em Maciços– Ruggeri

354

Se [] é uma avaliação adequada, conforme o critério adotado, então bcalci=[].amedi. Assim,

 2,000  {b calc1 }   0,103 ,  5,145 

 4,005 {b calc 2 }   1,031  ,  2,679 

 6,735  {b calc3 }   4,212 ,  3,274 

são melhores avaliações para bmed1, bmed2 e bmed3, respectivamente, às quais correspondem os vetores erros: d1(-0,100; 0,103; 0,105),

d2(0,065; -0,001; 0,141),

d3(-0,225; 0,132; -0,064),

de normas respectivamente iguais a 0,032, 0,024 e 0,072. Os ângulos formados por esses vetores podem ser determinados com facilidade; o de d1 com d2 é de 73 , o de d2 com d3 é de 125 e o de d3 com d1 de 52. Sendo

[  ]

1

 0,374  0,344 0,327   0,344  0,707 0,120  ,  0,327 0,120 0,073

podemos obter, também, melhores avaliações: acalc1, acalc2 e acalc3 para os a‟s medidos; sendo {a calci }  [] 1 .{b medi } , encontramos:

 1,006   2,042  0,018     {a calc1 }   0,026 , {a cal 2 }   0,965  , e {a calc3 }  1,027  .  1,007   0,958 1,877  Os vetores erros correspondentes e os respectivos ângulos poderiam ser avaliados como anteriormente. 4 – Ampliação do método Suponhamos fosse viável a determinação de M > 3 pares de vetores correspondentes (a, b). Poderia haver entre eles até CM3 ternos com vetores a‟s linearmente independentes, mas, por hipótese, existe pelo menos um terno nessas condições. Uma primeira alternativa para a resolução do problema consiste em se selecionarem os N ternos de pares que apresentem a‟s linearmente independentes (logo, 1  N  CM3) e com cada terno determinar-se uma matriz como indicado anteriormente. Far-se-ia, em seguida, uma estatística com essas matrizes, determinando-se uma matriz média e uma matriz de variância/covariância.

355

Uma segunda alternativa consiste em tratar os dados simultaneamente, determinando-se uma única matriz (simétrica) que melhor se ajuste aos dados. Como visto, a cada medição corresponde uma equação da forma d j  b j   . a j para j = 1, 2, ..., M. Em geral, para facilidade das medições, esses vetores estão referidos a uma base ortonormada e são representados por suas coordenadas, isto é, a equação vetorial pode ser representada por uma equação matricial da forma {d}= {b} – .{a} onde {d}, {b} e {a} são matrizes colunas 3x1 ({b} e {a} sendo conhecidas) e [] – a incógnita - uma matriz simétrica 3x3. O conjunto dessas M equações pode ser representado na forma compacta d = B -  . A, sendo d, B e A de ordem 3xM. As colunas de B são formadas com as coordenadas dos vetores b‟s; da mesma forma, as colunas de A são formadas com os vetores a‟s. Então, se dT é a transposta de d: dT.d = D = BT . B – BT .  . A – AT .  . B + AT . 2 . A,

(10),

a ordem de D sendo MxM. Os elementos da diagonal principal de D representam as normas dos vetores erros; os demais representam os produtos escalares desses vetores. Podemos procurar a matriz simétrica  que torne a matriz D tão próxima da matriz zero MxM quanto possível. Isto significa que, para este valor de , a derivada de D em relação  deve ser nula, ou seja, que 2 AT .  . A = BT . A + AT . B,

(11).

A matriz simétrica 3x3 S = A . AT,

(12),

é regular porque, por hipótese, pelo menos três dentre os vetores a‟s são linearmente independentes (ver apêndice I). Pré multiplicando (11) por A, pós multiplicando por A T vem: 2 A . AT .  . A . AT = A . BT . A . AT + A . AT . B . AT, de onde deduzimos, pré e pós multiplicando ambos os membros por S -1:  = (S-1 . A . BT + B . AT . S-1)/2,

(13).

 = S-1 . A . BT, donde T = B . AT . S-1 ,

(14),

Pondo

resulta finalmente,  = ( + T)/2,

(15).

Se não houvesse incertezas a matriz  seria a solução do problema, pois seria simétrica. A incerteza com que é determinada  , isto é, a sua parte anti-simétrica, pode ser transferida para a matriz ; assim, [Inc ]=(-T)/2,

(16).

Tens Def em Maciços– Ruggeri

356

4.1 – Um exemplo numérico Aos dados do exemplo numérico apresentado no item 3 (três vetores a‟s linearmente independentes) vamos juntar o novo par de medidas dos vetores: amed4  (2,07; 2,91; 1,02) e bmed4  (3,80; -5,15; 5,30), caso em que M = 4 e 1  N. Então,

0 2,07 0,97 2,02  [A]   0 0,97 1,05 2,91 , 1,02 - 0,99 1,94 1,02

1,90 - 3,94 5,61 3,80  [B]   0 1,03 - 4,08 - 5,15 . 5,25 2,82 3,21 5,30 

Logo, considerando (12) e (14):

9,306 7,983 1,101   0,399  0,361 0,149  [S]  7,983 10,512 4,045 , [S] -1   0,361 0,449  0,208  1,101 4,045 6,825  0,149  0,208 0,246  e

3,041   0,959 1,045     0,979  2,160  1,131 .  2,592  0,968 2,260  A matriz  que melhor se ajusta ao conjunto das quatro medidas, e sua incerteza, são, assim, conforme (15) e (16):

2,817   0,959 1,012 []   1,012  2,160  1,050  2,817  1,050 2,260 

0,030 0,224   0 [Inc ]  - 0,030 0  0,082 , - 0,224 0,082 0 

(17).

A matriz obtida, [], pode ser comparada com a matriz não perturbada (05) levando-se em conta os percentuais de perturbação praticados (até 5% para os a‟s e até 7% para os b‟s). 5 – Resumo e conclusões Sendo certo que a lei representativa do fenômeno em estudo é do tipo linear: b =  . a, com  = T, pretende-se determinar a matriz simétrica associada ao diádico  em relação a uma base escolhida. Para isso é necessário que sejam efetuadas as medidas de três pares de vetores (b, a), cada par relativo a um ponto do domínio em que ocorre o fenômeno, com a condição adicional de que os vetores a‟s sejam linearmente independentes. Seguindo-se, então, o roteiro apresentado, chega-se à matriz solução do problema. Ora, existindo incerteza nas medidas efetuadas para se determinarem os vetores, existirá também uma incerteza na matriz calculada, associada à grandeza . Podemos conhecer as incertezas com que são medidos os vetores, pois estas são funções dos métodos e instrumentos utilizados para as determinações; mas não dispomos ainda de argumentos que permitam correlacionar a incerteza de  com as incertezas dos a‟s e dos b‟s. Os valores

357

obtidos para [] mostram que seus elementos podem estar determinados com incerteza igual à soma das incertezas dos vetores, mas isso poderá não ser válido se as incertezas dos vetores forem maiores.

REFERÊNCIAS 1 – Wilson, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, 1902, New Haven, Connecticut, USA. 2 – Moreira, L. C. De A., Diádicos, REM – Revista Escola de Minas, vol. XXV, n.3, 1966, Ouro Preto, MG, Br. 3 – Ruggeri, E. R. F., Tratado de Cálculo Poliádico, em preparação.

APÊNDICE I Para provar que A.AT é regular basta expressar os quatro vetores a‟s na base definida pelos três primeiros. Nesse caso, se {a1, a2, a3} é o sistema recíproco de {a1, a2, a3}, então

(a 4 .a1 )(a 4 .a 2 ) (a 4 .a1 )(a 4 .a3 )   1  (a 4 .a1 ) 2 1 0 0 a 4 .a1      (a 4 .a 2 )(a 4 .a3 ) . A  0 1 0 a 4 .a 2  e A.A T  (a 4 .a1 )(a 4 .a 2 ) 1  (a 4 .a 2 ) 2 (a 4 .a1 )(a 4 .a3 ) (a 4 .a 2 )(a 4 .a3 ) 1  (a 4 .a3 ) 2  0 0 1 a 4 .a 3  Calculando o determinante de A.AT encontra-se 0 valor 1+(a4.a1)2+(a4.a2)2+(a4.a3)2, trivialmente diferente de zero. No caso de dispormos de cinco ou mais medidas poderíamos demonstrar a não nulidade do determinante de A.AT seguindo caminho idêntico, não sem um trabalho substancial a mais.

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ANEXO VII Artigo apresentado no 1 Congresso Brasileiro de Túneis e Estruturas Subterrâneas São Paulo - 2004

DESENVOLVIMENTO DE CÉLULA DETERMINAÇÃO DE TENSÕES IN SITU

TRIAXIAL

PARA

João Luiz Armelin FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6340 – Fax.: 62 239 6500 – armelin@furnas.com.br

Sérgio Veiga Fleury FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6498 – Fax.: 62 239 6500 – sergiovf@furnas.com.br

André Pacheco de Assis Universidade de Brasília – Dep. de Engenharia Civil e Ambiental – FT – Programa de Pós-Graduação em Geotecnia 70910-900, Asa Norte, Brasília-DF, Tel.: 61 273 7313 – aassis@unb.br

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DESENVOLVIMENTO DE CÉLULA TRIAXIAL PARA DETERMINAÇÃO DE TENSÕES IN SITU João Luiz Armelin1; Sérgio Veiga Fleury2 & André Pacheco de Assis3

Resumo A necessidade de escolha de um método de determinação de tensões in situ, aplicável tanto em maciços rochosos quanto em estruturas de concreto, como as barragens, fez com que a opção do Departamento de Apoio e Controle Técnico de FURNAS – Goiânia, recaísse sobre o método da sobrefuração (overcoring), que, além de poder ser empregado nos dois meios em questão, permite intervenções discretas nas estruturas e maciços e pode ser empregado em espaços exíguos, como casas de força e galerias exploratórias em obras geotécnicas. O menor custo possibilita a realização de um número maior de determinações, suficiente para permitir uma abordagem estatística dos dados. Definido o método a ser empregado iniciou-se o desenvolvimento de uma célula triaxial para essas aplicações. Foi desenvolvido também um módulo para aquisição de dados que funciona acoplado à célula e, por fim, completou-se a validação de um programa de computador para a ordenação dos dados obtidos.

PALAVRAS-CHAVE: célula triaxial - concreto – in situ - maciços rochosos – tensões.

FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A – Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6340 – Fax.: 62 239 6500 – armelin@furnas.com.br 2 FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A – Caixa Postal 457, 74001-970, Goiânia-GO – Tel.: 62 239 6498 – Fax.: 62 239 6500 – sergiovf@furnas.com.br 3 Universidade de Brasília – Dep. de Engenharia Civil e Ambiental – FT – Programa de Pós-Graduação em Geotecnia – 70910-900, Asa Norte, Brasília-DF, Tel.: 61 273 7313 – aassis@unb.br 1

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I. INTRODUÇÃO A célula triaxial para determinação de tensões in situ em maciços rochosos e estruturas de concreto, em desenvolvimento no Centro Tecnológico de Engenharia Civil de FURNAS - Goiânia, teve como modelo de partida a célula triaxial, designada defórmetro tridimensional ou “stress tensor tube”, criada pelo Laboratório Nacional de Engenharia Civil de Lisboa, LNEC. Em seu desenvolvimento procurou-se superar alguns problemas encontrados neste modelo quando de sua utilização pela equipe técnica de FURNAS e, também, aumentar sua sensibilidade. Adicionalmente a esse desenvolvimento, aprimorou-se o sistema de transmissão e aquisição de dados que, atualmente, funciona acoplado à célula triaxial, no interior do furo, eliminando-se assim o cabo de transmissão dos dados, de utilização trabalhosa e demorada. Como parte final, foi desenvolvido um programa de computador de forma a ordenar os dados adquiridos, evitando assim um trabalho manual demorado e que, freqüentemente, conduzia a erros. Esse programa pode também calcular o tensor das tensões para meios admitidos como isotrópicos. Na fase atual os esforços concentram-se na melhoria do sistema de sobrefuração (overcoring), adaptando-se algumas peças diamantadas, sem, contudo fugir dos diâmetros usualmente empregados em sondagens.

II. EXPERIÊNCIA ANTERIOR A experiência de FURNAS na aplicação do método da sobrefuração (overcoring) está calcada na utilização do terceiro tipo de célula triaxial desenvolvido pelo LNEC. Neste modelo o elemento sensível consiste em um tubo de resina EPÓXI, com baixo módulo de elasticidade, tendo 27,2cm de altura e diâmetro de 35mm. A espessura da parede é de 2mm e, no interior dessa parede estão coladas as rosetas, cada uma com três extensômetros com grades de 5mm, dispostas segundo três geratrizes fazendo entre si ângulos de 0º, 90º e 225º respectivamente. Em cada roseta os extensômetros estão arranjados de forma que um deles tenha seu eixo longitudinal disposto paralelamente ao eixo da célula, um segundo extensômetro com seu eixo disposto ortogonalmente ao primeiro e, um terceiro, disposto a 45º ou 135º em relação ao primeiro extensômetro (Figura 1). Para simplificar cálculos, os extensômetros são colados com seus centros sobre cada uma das três geratrizes, abaixo e acima de uma dada seção transversal, o que, evidentemente, acarreta a introdução de uma pequena “hipótese simplificadora” que consiste em se poder considerar os unitários das direções, em cada roseta, pertencentes todos a um mesmo plano tangente ao cilindro, pela geratriz que define a roseta, isto é, que todos têm o mesmo azimute em relação ao referencial local. Este arranjo não configura, exatamente, uma roseta. Este tipo de célula, entre outros problemas, contém três extensômetros paralelos ao eixo do cilindro, o que restringe o número de extensômetros dispostos segundo outras direções.

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Figura 1 – Visão esquemática da distribuição dos extensômetros elétricos de uma roseta em uma célula modelo LNEC. Para superar essas deficiências esta célula evoluiu para um novo modelo, com dez extensômetros dispostos segundo as direções dos eixos de simetria de terceira ordem do dodecaedro ou do icosaedro e com seus centros contidos em três seções transversais, espaçadas 10mm uma da outra e situadas na região central da cilindro, não havendo nenhum extensômetro paralelo ao eixo da célula. Esse arranjo possibilita uma amostragem mais equilibrada do estado de tensão dada a igualdade do ângulo sólido correspondente a cada direção amostrada. Tem ainda a vantagem de permitir a determinação do estado de tensão completo desde que pelo menos seis dos dez extensômetros estejam funcionando. Embora apresente inegáveis aperfeiçoamentos, o modelo ainda não incorpora o conceito de roseta de extensômetros, o que faz com que seja susceptível às heterogeneidades da rocha à escala dos seus cristais, uma vez que os extensômetros utilizados têm bases de medida com comprimento de 4mm e não estão agrupados em “um mesmo ponto”. Durante as operações de sobrefuração (overcoring) os extensômetros, por guardarem alguma distância entre si, não são sensibilizados ao mesmo tempo, amostrando assim, a cada instante do processo, diferentes estados de tensão, nem sempre de fácil superposição. III. DESENVOVIMENTO DA NOVA CÉLULA TRIAXIAL Na célula cujo desenvolvimento é aqui relatado, o elemento sensível também é constituído por um tubo de EPÓXI, porém, com 1mm de espessura e 230mm de altura e diâmetro externo de 34,7mm, com relação altura/diâmetro igual a seis, eliminando-se assim o efeito das restrições das extremidades do tubo, que são coladas a peças rígidas, sobre a seção central onde se situam as rosetas. Estas dimensões foram definidas com base em uma modelagem numérica do tubo. As rosetas, por sua vez, são coladas na parte externa do tubo e protegidas contra a ação da umidade por uma delgada camada de EPÓXI. Cada roseta dispõe de quatro extensômetros elétricos de resistência sobrepostos a uma base comum, de forma que seus centros são coincidentes, definindo assim o centro da roseta. As três rosetas estão dispostas a θ = 0º, θ = 120º e θ = 240º, com θ aumentando no sentido horário em torno da superfície cilíndrica do tubo quando a seção transversal é observada segundo uma vista de topo. Para evitar que mais de um extensômetro tivesse seu eixo disposto paralelamente ao eixo da célula, as rosetas situadas a θ = 120º e θ = 240º foram giradas de

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30º e 15º, ambas no sentido horário, em torno do eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao eixo da célula (Figura 2). No interior da célula está alojado um pequeno paralelepípedo de rocha, proveniente do maciço no qual a célula será utilizada, com um extensômetro colado em sua superfície para correção dos efeitos de variação da temperatura (dummy gage). Nesta célula supõe-se instalado um referencial cartesiano local, Oxyz da seguinte maneira: origem O arbitrária com o eixo Oz coincidente com o eixo do tubo e unitário kˆ , apontando no sentido da extremidade inferior da célula, considerando-se que sua utilização será sempre na vertical descendente, e eixos Ox e Oy, de unitários î e ĵ, arbitrariamente dispostos na seção transversal do tubo mas de forma tal que o sistema Oxyz seja direto (Figura 2). Após a colagem de um extensômetro, o seu eixo torna-se um arco de circunferência ou de elipse. A tangente a esse arco pelo centro do extensômetro é a direção segundo a qual o extensômetro fornecerá a medição de elongação. Os eixos dos quatro extensômetros são concorrentes num ponto da parede do cilindro e, nesse caso, temos instalado ali uma roseta de extensômetros. O ponto de concurso dos seus eixos é o centro da roseta e, também, os centros dos extensômetros (Figura 2). Dessa forma, pode-se, efetivamente, introduzir o conceito de roseta de extensômetros uma vez que cada conjunto de quatro extensômetros está agrupado em torno de um “ponto” da parede da célula, diferentemente da célula anteriormente descrita em que os extensômetros tinham seus centros dispostos sobre uma geratriz da célula, porém, estavam espaçados entre si.

Figura 2 – Distribuição das rosetas na célula modelo FURNAS. Notar a rotação imposta às mesmas. Nas rosetas, os extensômetros fazem entre si ângulos múltiplos de 45. Tudo se passa como se o “ponto” onde se vai determinar o tensor de deformações fosse um ponto do eixo da célula, que está muito “próximo” de todos os extensômetros. A direção “por esse ponto” - ou, o que é a mesma coisa, por um ponto próximo, pertencente à superfície lateral do cilindro - em relação à qual será medida a elongação - é definida por um vetor unitário

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nˆ que está contido no plano tangente ao cilindro. Podemos definir essa direção em relação ao referencial local, Oxyz, através de um azimute, que é o ângulo  que define a geratriz do cilindro, e um mergulho, , que é o ângulo que nˆ faz com o plano xOy. Essa disposição parece ser interessante porque não admite extensômetros paralelos e permite uma coleta de dados bem distribuída na seção transversal. A posição da célula em relação ao sistema global pode ser qualquer. Um dispositivo eletrônico foi desenvolvido com a finalidade de se determinar o azimute do eixo O‟x em relação ao norte magnético, o que permitirá, com operações topográficas adicionais, porém simples, determinar o norte magnético em relação ao referencial global. IV. TESTES IN SITU Os testes in situ já realizados evidenciaram o aumento da sensibilidade da célula modelo FURNAS em relação à célula modelo LNEC. Esse aumento foi conseguido com a redução da espessura da parede da célula, de 2mm no modelo LNEC, para 1mm no modelo FURNAS. Os gráficos da Figura 3 permitem a visualização desse ganho de sensibilidade uma vez que correspondem ao alívio das deformações através da sobrefuração (overcoring).

Figura 3. Célula modelo FURNAS Os gráficos em questão foram elaborados a partir de resultados de ensaios in situ, em um mesmo meio rochoso e, como se pode observar, a sensibilidade da célula modelo FURNAS é cerca de seis vezes maior que a sensibilidade da célula modelo LNEC. Digno de nota também é o fato de que na célula modelo LNEC o alívio das tensões não ocorre simultaneamente para todos os extensômetros uma vez que os mesmos não estão dispostos segundo uma roseta verdadeira e sim, segundo uma geratriz (Figura 3). No caso

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da célula modelo FURNAS tal fato não se verifica, com os alívios ocorrendo todos ao mesmo tempo, como pode ser visto na Figura 4.

Figura 4. Célula modelo FURNAS V. TESTES EM LABORATÓRIO No momento em que este texto era preparado estavam em execução os testes destinados à determinação do Módulo de Young, coeficiente de Poisson e Módulo de Cisalhamento em três blocos cúbicos, com 500mm de aresta, simulando, cada um deles, o meio isotrópico, transversalmente isotrópico e ortotrópico, respectivamente. À exceção do bloco isotrópico, os dois outros blocos serão construídos com dois tipos de argamassas, com dosagens diferentes e com baixos módulos de Young, empregando para tanto aparas de borracha de pneus. No bloco transversalmente isotrópico as camadas simplesmente se alternarão e, no bloco ortotrópico haverá a inserção de um terceiro material perpendicularmente às camadas. Nos três casos os blocos estarão instrumentados com um arranjo triortogonal de extensômetros elétricos de resistência dispostos próximos ao centro de cada bloco. Numa segunda etapa, três outros blocos, similares aos anteriores, serão moldados e submetidos a um estado de tensão triaxial. Neles serão instaladas, em uma posição qualquer, células modelo FURNAS, que terão seu desempenho avaliado através de ciclos de variações desse estado de tensão em ensaio de compressão triaxial verdadeiro. Após esta fase inicial e com a fixação de um determinado estado de tensão, será executada a sobrefuração (overcoring). Os dados assim obtidos serão analisados por métodos analíticos e comparados com os resultados da modelagem numérica dos ensaios.

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VI. DESENVOLVIMENTOS ADICIONAIS Paralelamente ao desenvolvimento da célula propriamente dita, foram pesquisados e desenvolvidos produtos e dispositivos para possibilitar o emprego dessa célula e, também, minimizar os erros decorrentes de alguns processos obrigatórios dentro da seqüência necessária à realização dos testes. A experiência tem evidenciado a dificuldade representada pela necessidade de colagem de células desse tipo em superfícies úmidas como é, freqüentemente, o caso dos furos destinados a esse tipo de determinação. Neste caso, após diversos testes em laboratório, foi identificado um tipo de resina EPÓXI, disponível no mercado nacional, que possibilita uma colagem rápida e eficiente em superfícies úmidas. O primeiro modelo do módulo de aquisição de dados, que permite eliminar os cabos de condução dos sinais anteriormente utilizados, já teve sua performance avaliada com os testes realizados in situ e já estão programados alguns aperfeiçoamentos como o aumento do número de canais de 12 para 16, o que possibilitará, no futuro, o emprego de mais extensômetros, a substituição da bússola digital, de desempenho suspeito nesses casos, por um sistema a laser para o posicionamento da célula, a ampliação da capacidade de memória para possibilitar a dilatação do tempo de aquisição dos dados e o estabelecimento de um intervalo de apenas 15 segundos entre cada aquisição, em contraposição aos 30 segundos disponíveis atualmente. Estudam-se também algumas alternativas para aumentar a vida útil das atuais baterias ou sua troca por outras mais eficientes e extensômetros com resistência de 350 ohm ao invés dos 120 ohm dos extensômetros atualmente empregados, de forma a reduzir o consumo de energia no módulo. Com relação aos equipamentos destinados à sobrefuração (overcoring), encontramse em fabricação, por uma empresa nacional, coroas com diâmetro HX (98,9mm) com perfil escalonado e coroas “cegas” (destruidoras) de mesmo diâmetro. As primeiras terão como função diminuir a pressão exercida pela coroa sobre a rocha à sua frente durante a sobrefuração de forma que o bulbo de pressões assim gerado não afete os extensômetros elétricos da célula triaxial durante as determinações. Esta alteração deve-se ao fato de o diâmetro HX, adotado agora como padrão, ser menor do que o diâmetro SW (200mm), tradicionalmente empregado, o que acarreta uma proximidade maior entre a ferramenta de sobrefuração e as rosetas da célula, o que pode gerar dados espúrios. Já o segundo tipo de coroa terá a finalidade de regularizar o fundo do furo para o início da perfuração em diâmetro EX (37,7mm) onde ficará alojada a célula. Para testar o desempenho das coroas HX escalonadas quando comparadas com as coroas HX normais, estão previstos testes de sobrefuração em dois blocos cúbicos de argamassa, com 50 cm de aresta, isotrópicos, ambos instrumentados com a célula triaxial aqui descrita. VII. CONSIDERAÇÕES O desenvolvimento dessa nova célula triaxial teve o objetivo de superar algumas deficiências encontradas no modelo anteriormente utilizado por FURNAS, apresentando as seguintes melhorias: - Possibilita doze diferentes direções de medida em lugar das sete da célula anteriormente utilizada;

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- O ângulo sólido sob o qual o estado de tensão é amostrado em cada roseta é igual para as três rosetas dado que cada uma delas é constituída por uma única base com quatro grades extensométricas iguais e superpostas; - A célula é mais sensível em função da menor espessura da parede; - O alívio das tensões ocorre num único instante, para os doze extensômetros; - A célula é mais curta, exigindo, portanto, menor comprimento de sobrefuração, acarretando um menor tempo para a operação, com menor custo; - Utiliza equipamentos de sondagem dentro dos padrões rotineiramente empregados; - Com a utilização do módulo de aquisição de dados acoplado à célula sua instalação torna-se mais rápida em função da eliminação dos cabos de aquisição de dados e das hastes de posicionamento. Como pontos para avaliação durante as futuras utilizações destacam-se um eventual aumento da fragilidade da célula em função da diminuição da espessura de sua parede e a determinação das incertezas de medição a ela atribuíveis VIII. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A., por possibilitar o desenvolvimento e testes relatados, assim como sua divulgação. Os agradecimentos se estendem também ao Eng. Alessandro de Castro Dias e aos Técnicos Nilvane Teixeira Porfírio e José Donizete Piovezani pelas sugestões e dedicação com que conduziram os trabalhos. IX. BIBLIOGRAFIA Livros: [1] BERNARD, A.; STEPHANSON, O. – Rock Stress and its Measurements – Chapman & Hall -Londres, 1997 – 490 pp. Artigos em Anais de Conferências (Publicados): [2] ARMELIN, J.L.; CAPRONI JR., N.; MATOS, M.M. – Análise Comparativa de Resultados de Instrumentação para Medição de Tensões Originais em Maciços Rochosos 1º Simpósio Brasileiro de Mecânica de Rochas – ABMS/CBMR – Foz do Iguaçu, 1994 – 7 pp. [3] MATOS, M.M.; ARMELIN, J.L. – Tensões Originais do Maciço Rochoso de Serra da Mesa. – 1º Simpósio Brasileiro de Mecânica de Rochas – ABMS/CBMR – Foz do Iguaçu, 1994 – 6 pp. Relatórios Técnicos: [4] RODRIGUES, F. P.; GRAÇA, J.G.C.; PINTO, J.L.; PEDRO, J.O.; FERREIRA, M.J.E.; GROSSMAN, N.F. – Desenvolvimentos Recentes no Domínio da Mecânica das Rochas Laboratório Nacional de Engenharia Civil, LNEC – Lisboa, 1983 – 292 pp.

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[5] PINTO, J. L. – Novo Tipo de Aparelhagem para a Execução de Ensaios com o Defórmetro Tridimensional (STT) – Laboratório Nacional de Engenharia Civil, LNEC – Relatório Interno – Lisboa, 1990 – 13 pp. [6] PINTO, J. L. –Estado de Tensão em Maciços Rochosos – Laboratório Nacional de Engenharia Civil, LNEC – Relatório Interno – Lisboa, 1989 – 38 pp. [7] ROCHA, M.; SILVÉRIO, A.; PEDRO, J.O.; DELGADO, C. – A New Development of the LNEC Stress Tensor GaugeLaboratório Nacional de Engenharia Civil, LNEC – Lisboa, 1974 – 11 pp.

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A inserir no texto 1 – Resultados do Projeto Hooke. 2 – Apresentar os tensores de cada roseta em qualquer ensaio. 3 – Apresentar o cálculo do tensor das tensões no método SFJ para todo o ERV, determinando tensões e direções principais. Comparar os tensores de cada geratriz com o geral. 4 – Abordar a questão das incertezas nas medições pelos dois métodos. 5 – Inovação: apresentar o pressiômetro, metodologia etc. 6 – Verificar a possibilidade da medição do h. 7 – Item II.6 - determinação local de tensões e deformações pelo método das células (admitindo-se linearidade e isotropia), encontraremos o mesmo diádico de tensões já encontrado pelo método dos macacos?. Vamos confirmar essa discordância experimentalmente. 8 – Explorar a questão da dispensa da equipe de topografia. 9 – Entrar com os cálculos dos tensores, na forma não simétrica, como se fosse válida a mecânica Cosserat, e calcular a nova matriz das constantes elásticas. 10 – Comparar os custos de obtenção de informação pelo pressiômetro e pelas almofadas. 11 – Destacar que os métodos são aplicáveis a maciços comprimidos; nunca para barras e cascas. 12 – Simular uma análise de tensões e deformações em uma fundação de barragem considerando isotropia e anisotropia. 13 – Estudas a ortotropia com planos oblíquos de simetria elástica. 14 – Como constituir um contínuo equivalente pela injeção de calda?

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