Cálculo Poliádico Tomo I Volume II by Elysio Ruggeri

LIÇÕES DE

CÁLCULO POLIÁDICO TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME II

por

Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil

Goiânia 2013

© 2013 - Elysio R. F. Ruggeri Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri Capa: Luciano Dalmiglio, Alexandre de Castro Pereira e Elysio R. F. Ruggeri

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo. Lições de Cálculo Poliádico: tomo I, volume II, álgebra / Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed. do Autor, 2013. XX, 447 p. ISBN 978-85-907001-1-1 1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares. 3. Matemática aplicada. I. Título.

CDU 514.742

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Contato com o autor: elysio.ruggeri@gmail.com

III

PREFÁCIO No volume I desenvolvemos os conceitos e as operações básicas com os mais simples dos poliádicos, os vetores e os diádicos, apontando a utilidade deles em Física sem, entretanto, fazer aplicações diretas, quase todas já conhecidas desde os tempos de Gibbs. Neste volume II, por um lado, desenvolvemos o Cap. IV – POLIÁDICOS, uma álgebra multilinear particular na visão dos matemáticos – com uma preocupação físicomatemática quase desesperada. Com efeito, do ponto de vista matemático devíamos estender conceitos e definições que generalizassem coerentemente conceitos anteriores; do ponto de vista físico, as operações deviam prestar-se à já anunciada pretensão de representação analítica das leis físicas. Para tal, fomos socorridos, em muito, por pré-claros autores de obras magistrais e de requintado conteúdo. Mas devemos estar alertas para o fato de que a Física à qual nos referimos é apenas linear na imensa maioria das vezes, ou seja, nessa Física, cartesianamente falando, “as componentes de uma grandeza física são proporcionais a todas as componentes de outras grandezas físicas”. Isso é o mesmo que dizer que, nessa Física, as leis são lineares ou, ainda, que uma grandeza física – representada por um poliádico de certa valência – é "ponderadamente proporcional" a uma ou mais grandezas – representadas por outros poliádicos de diferentes valências. Não é só essa proporcionalidade ponderada que as operações estudadas neste Tomo I se prestam a traduzir com simplicidade, mas também os casos de dependência entre as grandezas em qualquer grau. Com essas operações podemos também e principalmente, com ampla generalidade e rara simplicidade, formular a Física Não Linear. Muitos desses assuntos têm sido expostos com a utilização do Cálculo Tensorial na sua forma clássica. Por outro lado, do ponto de vista matemático, o desenvolvimento foi feito sem podar as asas da imaginação. Por força de estilo, pela suspeita da utilidade prática que pudesse vir a ter as nossas lucubrações e para ser bem leal ao leitor, devemos confessar que nem todas as operações definidas (§06 e §09) satisfazem ao importante requisito da utilidade imediata direta, mas apenas indireta. Definimo-las por analogia com outras, mas intuitivamente sentimos que em algum instante do desenvolvimento da física poderão (mais diretamente) ser necessárias. A situação é mais ou menos como a de Mendelyev que, ao sentir a falta de certos elementos em sua classificação periódica, ousou predizer a existência deles e algumas de suas propriedades; ou como aquela do descobrimento de certos cristais cuja simetria helicoidal fora antecipadamente estabelecida como "matematicamente possível". No Cap. IV podemos destacar alguns tópicos como inéditos: 1º) – a feliz concepção (§03.04) da associação de matrizes a poliádicos (por apelo ao conceito clássico de submatrizes ou blocos); 2º) – a ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada de matrizes (já apresentada de forma preliminar no Cap. II) relacionada com a multiplicação ponteada múltipla de poliádicos (§06.02); 3º) – a concepção unificada dos tensores cartesianos por métodos poliádicos (§06.05); 4º) – a introdução dos conceitos de norma, módulo e ângulo de dois poliádicos (§06.06), o que caracteriza o espaço dos poliádicos como euclidiano (no sentido da Álgebra Linear); 5º) – um estudo mais geral da isomeria – termo provavelmente introduzido por Sirotin e Chaskolskaya (bibliografia [2] do Cap. IV) – como uma generalização da operação de transposição dos diádicos (§07); 6º) – a elementar e generalíssima concepção de poliádico unidade (§08.01); 7º) – a “tabuada do um” (§08.04), que dá os produtos de poliádicos unidade de diferentes valências; 8º) – o estudo do “poliádico desvio” ou desviante (§08.05), adaptado da obra de Drew (bibliografia [1] do Cap. IV), generalização do clássico tensor desvio (de ordem 2) utilizado em Elasticidade e

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Plasticidade. Estudos originais são apresentados no §09 relativos ao conceito de espaço poliádico, ao de bases poliádicas recíprocas, às operações de multiplicação cruzada, à dupla multiplicação cruzada e à multiplicação mista de vários poliádicos, que generalizam as noções correlatas já estudas para os diádicos no §10 do Cap. II. Também originais são a pesquisa dos invariantes de um poliádico (§10), a definição de poliádico completo e seu Gésimo (§11) e a extensão aos poliádicos (§13) dos conceitos de adjunto, segundo, inverso e principal (conceitos estes já definidos por Gibbs e Moreira para os diádicos (§08, II)). Muitos desses assuntos foram desenvolvidos como preliminares à solução do problema da determinação dos autovalores e dos autopoliádicos de dado poliádico (de valência par), uma generalização do problema clássico com diádicos. Sobre os Elementos Característicos de Poliádicos (§14), cujo desenvolvimento parece depender fortemente da teoria clássica dos polinômios, não fizemos mais que interpretar geometricamente os coeficientes da equação característica de um poliádico de valência par e demonstrar o teorema CH (Caylei-Hamilton). Sabemos, porém, que diádicos e tetrádicos estão presentes nas expressões analíticas das diferentes leis que descrevem os fenômenos naturais. Ora, se, na prática, os autovalores e os autovetores de um diádico desempenham sabidamente importante papel no estudo desses fenômenos, porque não desempenharão, igualmente, os autovalores e os autodiádicos de um tetrádico? Podemos perguntar, por exemplo, em primeira instância: qual o significado (teórico e aplicado) dos autovalores e autodiádicos do tetrádico das constantes elásticas na Lei de Hooke da Teoria Linear da Elasticidade? Não reconhece o leitor que essa pergunta, teoricamente cabível, merece uma resposta judiciosa? Dentro dessa mesma linha de raciocínio – discussão do valor aplicado de generalizações de conceitos simples de reconhecida utilidade prática – devemos citar, também, o conceito de poliádico desvio (§08.05). É conhecido o valor do conceito de diádico desvio (para tensões e deformações, pelo menos) em relação às suas partes escalares, nas teorias da elasticidade e plasticidade. Não terão, também, por exemplo, os tetrádicos desvio (dos tetrádicos de Green, de Riemann-Christofel, de Hooke, apresentados neste volume), em relação às suas partes escalares e diádicas principais, algum valor prático nas respectivas teorias em que aparecem? Concebemos neste volume o tetrádico cíclico, ampliando o estudo das rotações com os tetrádicos de rotação (§14.04), estes já apresentados por Drew (o. c.) por outras vias. Não foi difícil conceber o poliádico de rotação (§15) com valência (inteira) igual a 2k para k>2. Além dos tetrádicos especiais apresentados (cuja nomenclatura, espera-se, seja do agrado do leitor), aparecem os conceitos de simetria externa dos tetrádicos, isto é, tetrádicos com planos de simetria (§17.01) e com eixos de simetria (§17.02), que atendem as necessidades práticas correspondentes a muitos materiais naturais e, mesmo, artificiais. Com os tetrádicos cíclicos, entretanto, abre-se uma nova (e mais geral) possibilidade de simetria externa de tetrádicos, cuja utilidade na física ainda não se conhece. Com o que até aqui foi apresentado e com a operação de dupla multiplicação ponteada matricial o leitor poderá, por exemplo, avaliar com facilidade as possibilidades de aplicação dessas concepções na Teoria da Elasticidade e, mesmo, expressar a clássica equação constitutiva do sólido de Hooke (§17.02). É fácil empregar esses mesmos conceitos noutras áreas da Física. Fechando a apresentação do Cap. IV devemos considerar, ainda, que é necessário

pesquisar uma interpretação geométrica das operações ponteadas e cruzadas múltiplas com poliádicos, muito semelhantes à da interpretação da multiplicação ponteada entre diádico e vetor, de resultado vetor, base da Geometria da Transformação Linear. O estudo dessa matéria – não tão elementar quanto possa parecer – precisa ser mais desenvolvida para superar o que já foi realizado nos §’s 15 e 16 do Cap. II. Numa primeira investida essas interpretações geométricas poderiam ficar restritas apenas às multiplicações ponteadas simples entre um triádico e um vetor (de resultado diádico), entre um tetrádico e um vetor (de resultado triádico) etc.. Muitas surpresas poderiam originar-se dessas pesquisas, pelas quais os físicos certamente se interessariam; estão ligadas à geometria da transformação multilinear, uma ampliação natural do Cap. III desta Álgebra, em que provavelmente se fariam necessárias certas reduções canônicas (para facilitar a descrição das transformações) e, possivelmente, uma classificação geral dos poliádicos. O capítulo V é dedicado aos poliádicos complexos. Os conceitos básicos sobre os números complexos são revistos (Ap. I) para facilitar o entendimento de sua aplicação no estudo de oscilações e composição de movimentos oscilatórios unidirecionais (Ap. II). A composição desses movimentos em duas ou em três direções exige a introdução dos vetores complexos associado a diádicos reais (§01 a §05); mas isto pode não representar toda a utilidade desses vetores. A analogia dos conceitos pode ser estendida aos diádicos complexos associados a tetrádicos reais (§06) e aos poliádicos complexos em geral (§07); ambos os temas foram apresentados de modo bem superficial. A introdução de poliádicos complexos permite explorar de modo mais objetivo a questão dos autodiádicos dos tetrádicos cíclicos e de rotação (§08), assunto já iniciado no (§14.04,IV). Fecha-se o Capítulo V com o estudo da redução normal do tetrádico completo (§09), sua decomposição polar (§10), e uma menção aos tetrádicos definidos e semidefinidos (§11). Quando se dão aos poliádicos representações cartesianas em bases convenientes, é possível expressar em forma matricial todos os conceitos vistos. Se as relações entre poliádicos são lineares e se as bases utilizadas são poliádicas, os temas podem ser vistos como na “álgebra linear” a muitas dimensões. Um dos valores da álgebra dos poliádicos está em estar ela sempre traduzindo questões de geometria entre espaços de diferentes dimensões, questões essas que vêm sendo induzidas desde a geometria euclidiana de uma, duas e três dimensões, como no volume I. É óbvio que não podemos considerar este trabalho como livro texto para algum curso, mas como relato de aprendizado, pesquisa solitária, curiosidade e de estudos realizados por pelo menos três décadas (de forma bastante intermitente). Acrescento a essas observações que o estudo de muitos temas e aplicações não estão aqui concluídos. Lamentavelmente a flecha implacável do tempo impõe dar-se a esse trabalho algum paradeiro.

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CONVENÇÕES Numerações diversas (já utilizadas no Volume I) Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico. As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo. As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos). A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira figura do § 02 do capítulo III. As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses. Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o mesmo número desta, acompanhado de um sub-índice; assim (021) é uma fórmula que deriva de (02). Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número. Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice, à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, (03)2 representa a segunda fórmula do conjunto (03). Citações e Referências Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, apesar de alguma redundância, ((02)3,§03.02,Cap.II,Vol.I) representa: a terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03 do capítulo II do volume I. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo. ABREVIATURAS CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), página 20. EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, página 9. Teor. - Teorema, página 7. Corol. - Corolário, página 8. Propr. - Propriedade, página 75. nsn - Não simultaneamente nulo, página 92. min - Minorante, Pmin (polinômio mínimo), página 86, 250. sen, co-sen, tg - linhas trigonométricas circulares, páginas 52.

VII

SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Notações não apresentadas no Volume I)

SÍMBOLOS A L F A B E T O L A T I N O

REPRESENTAÇÃO

:[B]Q [ A ] MQ LP P

[ Ι] 4

PÁGINA

Duplo produto ponteado de matrizes multiordinais

Natural

Matriz unidade de ordem 4

Negrito

1, 13

Airk, Airk, Birk, ...

Coordenadas de triádicos

Natural

Ahijk, Ahijk, ...

Coordenadas de tetrádicos

Natural

Diádico cíclico, tetrádico cíclico

Negrito

169,170

Poliádico φ de valência P (P=3, 4, ...)

Negrito

(aa*,φ), 4(aa*,φ)

φ [ φ] 2Q Ι P

Ω(i,ϕ)

r s P RT P RT ,

A L F A B E T O

r P R

s P R

|| φ|| P

& P Q

Pφ

R o

φ=

r P

Negrito

Poliádico nulo de valência P (P=3, 4, ...)

Negrito

Poliádico φ de valência P+Q

Negrito

Tetrádico de rotação (de eixo ˆi e ângulo ϕ) Transposto de R vetores de Pφ para montante (→), ou para jusante (←), e posto T. Transposto de R vetores de Pφ para montante (→), ou para jusante (←) Norma do poliádico ||Pφ||

Negrito

170, 1724

Natural

Potência ponteada Q-pla de φ

Negrito

Produto R-plo de φ por ψ (ponteado ou cruzado)

Negrito

Função P-ádica linear de argumento Q-ádico

Negrito

P-ádicos reversos

Negrito

Transposição composta com Pφ

Natural

Λ ( χ) s P

r s P R SQT

Qψ

φ e

Poliádico unidade de valência 2Q (Q=2, 3, ...)

Matriz associada ao poliádico

P+Q

G R E G O

TOM

φ •T Qψ ×S R χ

Produto misto de poliádicos

Negrito

(maj Pφ)

A-ádico majorante de φ

Negrito

(min Pφ)

A-ádico minorante de Pφ

Negrito

devA φ

Poliádico desvio de φ em relação à sua parte Aádica principal

Natural

fatA φ)

Fator desviante de φ para A-ádicos

Natural

Base diádica definida por diádicos ε1, ε2, ...

Negrito

116

A A

{ ε *}

Poliádicos - Ruggeri

VIII

ÍNDICE PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... III CONVENÇÕES................................................................................................................................................ VI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS.......................................................................................................... VII CAPÍTULO IV POLIÁDICOS § 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P........................................................................................................... 1 § 01.01 - Vetores e diádicos. ........................................................................................................... 1 § 01.02 - Geração de triádicos. ........................................................................................................ 2 § 01.03 - Geração de tetrádicos. ...................................................................................................... 2 § 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. ................................................................... 3 § 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ........................................................................................................ 4 § 02.01- Multiplicação de poliádico por número real...................................................................... 4 Produto de triádico por número real............................................................................... 4 Produto de poliádico por número real. ........................................................................... 5 § 02.02 - Adição de poliádicos. ....................................................................................................... 5 Soma de poliádicos ........................................................................................................ 5 Combinação linear de poliádicos ................................................................................... 6 § 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor................................................................ 6 Produto ponteado de poliádico por vetor........................................................................ 6 Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico..................................... 7 Função linear de argumento vetor e valor poliádico....................................................... 7 § 02.04 - Igualdade de poliádicos. ................................................................................................... 8 § 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS. ....................................................................... 9 § 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos............................................................................ 9 § 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos........................................................................... 12 § 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos........................................................................... 13 § 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos......................................................................... 14 Matriz associada a poliádico em base vetorial ............................................................... 16 Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos. ........................................................ 19 § 04 - POLIÁDICO NULO. .............................................................................................................................. 20 § 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. ...................................................................................... 22 § 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS. ................................................................................................. 24 § 06.01 - Multiplicação simples. ..................................................................................................... 24 § 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes..................................... 25 Propriedades................................................................................................................... 26 Caso de igualdade de poliádicos .................................................................................... 30 Matriz associada a produtos ponteados.......................................................................... 31 Multiplicação múltipla dupla ......................................................................................... 37 Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos ............................................................... 38 § 06.03 - Potenciação de poliádicos. ............................................................................................... 38 Propriedades................................................................................................................... 39 Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial................................................ 41 § 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. ............................................................... 41 § 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer ......................................................................... 46 § 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. ................................................ 50 § 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS. ................................................................................................................... 52 § 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. ...................................... 52 Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso.......................... 59 Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso, ....................... 59 § 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras................................................... 63 Políades quaisquer, de valências diferentes.................................................................... 63 Políades quaisquer, de mesma valência.......................................................................... 64

Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos..................................... 66 Casos particulares .......................................................................................................... 69 Produtos duplos (P+Q)-plos. .......................................................................................... 69 § 07.03 – Matrizes isômeras............................................................................................................ 70 § 08 - POLIÁDICO UNIDADE. ....................................................................................................................... 70 § 08.01 - Definição e propriedades.................................................................................................. 70 Matriz associada ao tetrádico unidade ........................................................................... 73 Propriedades do poliádico unidade. ............................................................................... 75 A transposição: uma multiplicação ponteada. ................................................................ 77 Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade................................................. 78 § 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico. ........................................................ 79 §08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade ........................................................................... 82 § 08.04 - A tabuada do um. ............................................................................................................. 83 § 08.05 - Poliádico desvio. .............................................................................................................. 86 A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico ....................................................... 86 Parte A-ádica principal de um poliádico ........................................................................ 88 § 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES.................................................................................... 91 § 09.01 - Espaço poliádico. ............................................................................................................. 91 § 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana. ............................... 97 Constituição de bases..................................................................................................... 100 Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos...................................................................... 102 Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos ........................................................... 103 Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional..................................... 104 § 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos.................................................................. 104 Propriedades................................................................................................................... 105 Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico................................................................................ 105 § 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos. ....................................................... 106 § 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos...................................................................... 107 Propriedades:.................................................................................................................. 108 § 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. ..................................... 113 Transformações Lineares entre espaços poliádicos ........................................................ 113 Cálculo do operador de uma Transformação Linear....................................................... 115 Equações poliádicas. ...................................................................................................... 116 Simplex e baricentros..................................................................................................... 117 Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico...................................................... 117 Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores. .............................................. 117 §10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS. ..................................................................................................... 120 § 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico....................................... 120 § 10.02 - Invariantes primários........................................................................................................ 122 § 10.03 - Invariantes secundários. ................................................................................................... 129 § 10.04 - Invariantes P-ários............................................................................................................ 130 § 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO. .............................................................. 131 § 11.01 - Caso geral......................................................................................................................... 131 § 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono. ..................................... 135 § 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. ..................................................... 136 § 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos............................................................. 138 § 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE)................................................................................... 140 § 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico. ...................................................................... 140 § 12.02 – Poliádicos em feixe.......................................................................................................... 141 Generalização................................................................................................................. 142 § 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL.............................................................................. 143 § 13.01 – Definições e propriedades................................................................................................ 143 Caso de poliádicos completos ........................................................................................ 146 § 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. ................................................................................ 148 § 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. ..................................................................... 152 Aspectos geométricos relativos aos tetrádico incompletos. ............................................ 152 Caracterização dos incompletos pelo adjunto. ............................................................... 156 § 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. ............................................................. 157

Poliádicos - Ruggeri

Potências ponteadas de poliádicos lineares e ortolineares .............................................. 157 Potências ponteadas de poliádicos planares e ortoplanares ............................................ 158 § 14 – TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE..................................................................................... 161 § 14.01- Tetrádico de mudança de base. ......................................................................................... 161 Definição........................................................................................................................ 161 Propriedades e invariantes primários ............................................................................. 162 Matrizes associadas a tetrádico de mudança de base ..................................................... 164 § 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade................................................................... 166 Propriedades dos tetrádicos e das transformações similares........................................... 167 § 14.03 - Transformação de coordenadas de tetrádico por uma mudança de base diádica. Tensor de quarta ordem.................................................................................... 168 § 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação......................................................................................... 170 Definição. Matriz associada. .......................................................................................... 170 Bases diádicas congruentes ou concordantes ................................................................. 173 Díade semitangente de rotação....................................................................................... 174 Bases cíclicas vetoriais e diádicas.................................................................................. 175 Tetrádicos similares mediante tetrádicos cíclicos e de rotação....................................... 178 Relações entre o tetrádico cíclico e alguns de seus invariantes. ..................................... 178 Relações entre um cíclico e os isômeros de 4I................................................................ 180 § 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação. ..................................................................................... 182 §14.06 - Generalizações. ................................................................................................................. 185 § 15 - POLIÁDICOS INTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. .......................................... 187 § 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.................................................................. 187 Decomposição aditiva de poliádicos .............................................................................. 190 § 15.02 – Simetria interna dos triádicos. ......................................................................................... 195 Dupla simetria interna. Triádicos simétricos e completamente anti-simétricos.............. 199 A simetria e a semi-anti-simetria internas dos triádicos pelas suas coordenadas. .......... 202 Triádicos internamente simétricos e semi-anti-simétricos.............................................. 205 O triádico de Civita, 3I ................................................................................................... 207 Transposições com o hexádico de Civita, 6C ................................................................. 210 § 15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. .................................................................................... 212 Estudo das simetrias pelas escritas triádicas, diádicas e vetoriais .................................. 213 Estudo da simetria pelas escritas cartesianas ................................................................. 217 Tetrádico igual ao seu reverso........................................................................................ 218 Tetrádicos diadicamente simétricos ............................................................................... 220 Tetrádicos com simetrias múltiplas e respectivas matrizes associadas........................... 221 Tetrádicos vetorialmente simétricos e simétricos ........................................................... 222 Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos ........................................................... 224 Tetrádico Elástico (simetria dupla) ................................................................................ 225 Matriz associada a tetrádico elástico referida a base ortonormada. Notação de Voigt. ............................................................................................................... 227 O tetrádico de Green (simetria tripla)............................................................................. 228 Tetrádico de Riemann–Christoffel (simetria quádrupla) ................................................ 230 § 16 – POLIÁDICOS EXTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTI-SIMÉTRICOS. ........................................ 233 § 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. ................................................................................. 233 Tetrádicos com um plano de simetria............................................................................. 235 Tetrádicos com dois planos de simetria (ou ortotrópicos) .............................................. 237 Caso do tetrádico de Green ............................................................................................ 239 § 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria.................................................................................... 241 Tetrádicos transversalmente isotrópicos......................................................................... 241 Caso de tetrádicos simétricos ......................................................................................... 242 Tetrádicos de Green Transversalmente Isotrópicos ........................................................ 244 Tetrádico Isotropicos (ou Isótropos)............................................................................... 246 Caso do tetrádico de Green Isotrópico............................................................................ 247 § 16. 03 – Hexádicos isotrópicos..................................................................................................... 249 § 17 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE POLIÁDICOS...................................................................... 249 § 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico ................................................................................ 249 § 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos ...................................................... 251

Poliádicos com autovalores nulos. Poliádicos antitriangulares. ..................................... 256 Poliádicos antitriangulares ............................................................................................. 256 § 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica. ................................................................................... 258 O Teorema de Cayley-Hamilton para poliádicos............................................................ 260 § 18 – FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS POLIÁDICOS. ............................................................ 262 § 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples. ............................................................ 262 Poliádicos com autovalores imaginários. ....................................................................... 262 Poliádicos com autovalores reais.................................................................................... 266 Caso dos poliádicos simétricos. ..................................................................................... 266 Forma espectral dos 2H-ádicos simétricos ..................................................................... 269 § 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos. ....................................................... 269 Tetrádico cíclico............................................................................................................. 269 Caso geral....................................................................................................................... 270 § 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade............................................................... 275 Autovalores e autodiádicos dos ortotrópicos.................................................................. 275 Autovalores e Autodiádicos do tetrádico transversalmente isotrópico. .......................... 276 Autovalores e autodiádicos do tetrádico isotrópico........................................................ 277 Compatibilidade de resultados ....................................................................................... 278 §19 – A DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE 2H-ÁDICOS .................................................................. 279 Sobre as leis físicas lineares ........................................................................................... 279 §19.01 – Leis do tipo: b=φ.a, ou vetor=diádico . vetor ................................................................... 281 Um teorema fundamental............................................................................................... 283 Uma solução para o problema com medidas perturbadas............................................... 284 Aplicação numérica considerando pequenas perturbações............................................. 284 Ampliação do método .................................................................................................... 285 Um exemplo numérico ................................................................................................... 287 Resumo e conclusões ..................................................................................................... 288 §19.02 – Leis do tipo: β= 4φ:α, ou diádico=tetrádico : diádico........................................................ 289 Sobre as leis físicas do tipo β= 4φ:α ............................................................................... 289 §20 – SOBRE AS LEIS FÍSICAS NÃO LINEARES........................................................................................ 290 §20.01 - Isotropias ......................................................................................................................... 290 §20.02 - Anisotropias ...................................................................................................................... 294 APÊNDICES..................................................................................................................................................... 301 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................... 309 CAPÍTULO V POLIÁDICOS COMPLEXOS VETORES COMPLEXOS E DIÁDICOS REAIS Da necessidade dos vetores complexos .......................................................................... 313 Geometria dos vetores complexos .................................................................................. 315 § 01 – IDÉIAS PRIMÁRIAS ............................................................................................................................ 315 § 01.01 – Definições........................................................................................................................ 315 § 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo.......................................................................... 316 Rememorando conceitos relativos à elipse..................................................................... 316 Elipse direcional e elíptico direcional. ........................................................................... 317 § 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo..................................................................... 319 Oposto do vetor complexo ............................................................................................. 319 Conjugado do vetor complexo. ...................................................................................... 319 § 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. ....................................................... 320 § 01.05 – Vetores complexos ortogonais. ........................................................................................ 323 Complexos polares recíprocos coplanares e elipses polares recíprocas. ......................... 323 Complexos coplanares ortogonais .................................................................................. 325 Determinação dos eixos de elipses polares recíprocas.................................................... 327 Complexos não coplanares ortogonais ........................................................................... 328 Complexos ortogonais e sistemas recíprocos no espaço................................................. 330 § 01.06 – Vetores complexos oblíquos. ........................................................................................... 331

Poliádicos - Ruggeri

XII

§ 01.07 – Exercícios. ....................................................................................................................... 331 Álgebra dos vetores complexos. ..................................................................................... 332 § 02 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ........................................................................................................ 332 § 02.01 – Adição de vetores complexos. ......................................................................................... 332 § 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo................................................. 333 § 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo ............................................................................... 335 Vetor complexo unitário e unitário de um vetor complexo ............................................ 335 § 02.04 – Forma binomial dos vetores complexos........................................................................... 336 § 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz. ......................................................................... 337 Produto e-iϕz ................................................................................................................... 337 O produto Zz e a definição de complexos paralelos ....................................................... 339 § 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo ............................................................................... 339 § 03 – MULTIPLICAÇÕES DE VETORES COMPLEXOS, PONTEADA E CRUZADA.............................. 341 § 03.01 - Produtos ponteado e cruzado............................................................................................ 341 § 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica. .................................... 344 § 03.03 – Produto misto de complexos............................................................................................ 346 Propriedades................................................................................................................... 346 § 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos ....................................................................... 347 Caso de fatores complexos paralelos.............................................................................. 347 Caso de complexos coplanares....................................................................................... 347 Caso de complexos não coplanares ................................................................................ 348 § 04 – IDENTIDADES COM VETORES COMPLEXOS................................................................................ 352 § 05 – VETORES COMPLEXOS RECÍPROCOS ........................................................................................... 354 § 05.01 – Produto cruzado de dois produtos cruzados..................................................................... 354 § 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases. ............................................................................. 355 § 05.03 – Representações cartesianas diversas. ............................................................................... 356 DIÁDICOS COMPLEXOS E TETRÁDICOS REAIS § 06 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA DOS DIÁDICOS COMPLEXOS ............................................................ 358 Idéias primárias .............................................................................................................. 358 § 06.01 – Definições........................................................................................................................ 358 § 06.02 – Operações com um diádico complexo. ............................................................................ 359 § 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. ................................................................ 361 § 06.04 – Diádicos complexos paralelos e perpendiculares............................................................. 362 § 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria Esférica. ................................................ 363 §07 – POLIÁDICOS COMPLEXOS ................................................................................................................ 369 §08 – AUTODIÁDICOS DOS TETRÁDICOS CÍCLICO E ROTAÇÃO ......................................................... 370 § 09 - REDUÇÃO NORMAL DO TETRÁDICO COMPLETO. ...................................................................... 373 §09.01 - Teoremas fundamentais. Definições.................................................................................. 373 §09.02 - Marcha de cálculo da redução normal............................................................................... 376 §09.03 - Tetrádico reto. Deformação pura....................................................................................... 376 §09.04 - Tetrádico reto e deformação de um corpo. ........................................................................ 377 § 10 - DECOMPOSIÇÃO POLAR DO TETRÁDICO COMPLETO ............................................................... 377 § 11 – TETRÁDICOS DEFINIDOS E SEMIDEFINIDOS, POSITIVOS E NEGATIVOS ............................... 380

APÊNDICES APÊNDICE I..................................................................................................................................................... 383 SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS. ......................................................................................................... 383 §I.01 – Definição, notação............................................................................................................... 383 §I.02 – Adição e multiplicação por número real.............................................................................. 383 §I.03 – Forma binomial. .................................................................................................................. 384 §I,04 – Conjugado de um complexo................................................................................................ 384 §I,05 – Multiplicação de complexos. Norma e módulo. .................................................................. 384 §I,06 – Divisão de complexos. Inverso. ........................................................................................... 384 §I,07 – Diagrama de Argand de um complexo. ............................................................................... 385 §I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. .................................................................... 386

XIII

APÊNDICE II ................................................................................................................................................... 389 OSCILAÇÕES MECÂNICAS (noções)............................................................................................................ 389 §II.01 – Movimento circular uniforme. ........................................................................................... 389 §II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. .............................................. 390 §II.03 – Movimentos oscilatórios harmônicos livres (MOH’s)........................................................ 392 Movimento vibratório harmônico .................................................................................. 392 Movimento pendular harmônico .................................................................................... 392 §II.04 – Energia no MOH livre........................................................................................................ 393 §II.05 – Os números complexos e a composição de MOH’s livres, de mesma direção. .................. 394 Composição de MOH’s livres, de mesma direção.......................................................... 395 §II.06 – Análise Harmônica............................................................................................................. 397 §II.07 – MOH’s amortecidos. .......................................................................................................... 398 §II.08 – MOH forçado. .................................................................................................................... 400 §II.09 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de mesma freqüência, mas de diferentes direções................................................................................ 404 §II.10 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de diferentes freqüências e diferentes direções. ........................................................................................ 405 APÊNDICE III .................................................................................................................................................. 411 CURVAS POLARES RECÍPROCAS (noções). ............................................................................................... 411 §III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares................................................................. 411 §III.02 – Curvas polares recíprocas. ................................................................................................ 412 §III.03 – Notas sobre a inversão ...................................................................................................... 414 BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................... 418 ÍNDICE REMISSIVO ....................................................................................................................................... 419

Tomo I, Volume I: Capítulo I – Vetores Capítulo II – Diádicos Capítulo III – Geometria das Transformações Lineares

Tomo II: Capítulo VI – Análise poliádica Capítulo VII – Campos de poliádicos

Poliádicos - Ruggeri

XIV

CAPÍTULO IV

POLIÁDICOS § 01 - POLIÁDICOS DE VALÊNCIA P. § 01.01 - Vetores e diádicos. A pista para a generalização dos conceitos estudados nos capítulos anteriores (volume I) está bem visível. A primeira generalização deve dar-se em relação às entidades; a segunda, em relação às operações com essas entidades. A entidade admitida conhecida, e introduzida na exposição sem maiores referências, é o número real. A partir de conceitos geométricos elementares, criamos uma segunda entidade: o vetor (§01,Cap.I,Vol.I). Com a concepção da multiplicidade linear vetorial e a da independência linear de vetores (§04,Cap.I,Vol.I), demos aos vetores uma expressão cartesiana geral, exposta na forma seguinte:

∀r:

r = (r. g i )g i = (r. g i )g i ,

(i=1,2,..., N e N=1, ou 2, ou 3),

(01),

onde os gi e os gi constituem sistemas recíprocos (§03,Cap.I,Vol.I), e os números reais r.gi e r.gi, as coordenadas cartesianas contravariantes e covariantes de r. A partir do conceito de vetor de um EN, como se caminhássemos passo a passo, criamos os diádicos (§02.01,Cap.II,Vol.I), e demos a eles: 1°)- uma representação (reduzida) denominada N-nomial (§02.07,Cap.II,Vol.I), exposta na forma

∀φ : φ = a i g i = b j g j ,

(i,j=1,2, ...,N),

(02),

onde os gi e gi (no caso, os conseqüentes de φ) constituem, ainda, sistemas recíprocos; e os ai e os bj (no caso, os antecedentes de φ), vetores determinados; 2°) - uma representação N2nomial, mais apropriadamente denominada representação cartesiana, e escrevemos:

∀φ :

φ = φijgig j = φijg ig j = φi jgig j = φi jgig j ,

(021),

onde os φij , φij etc. são números reais1. Não é demais relembrar que, tanto a representação N-nomial quanto a N2-nomial, são gerais e sempre possíveis.

1Essa representação é, também, denominada redução N2-nomial; mas a denominação redução é errônea uma vez que ela apresenta nove díades, isto é, o triplo das díades da redução N-nomial; logo não há redução. Gibbs denominou-a de fundamental certamente por causa da sua utilidade nas aplicações numéricas, onde intervem as coordenadas cartesianas dos vetores do motivo do diádico (§02.07,Cap.II,Vol.I).

Poliádicos - Ruggeri

§ 01 - Poliádicos de valência P.

§ 01.02 - Geração de triádicos. Consideremos, agora, um conjunto de S vetores de um EN, que representaremos por

{v1 , v 2 , ... , v i , ... v S} , e um conjunto de S diádicos gerados do mesmo EN, que representaremos por

{φ1 , φ 2 , ... , φ i , ... , φ S } , entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

∀ i , i = 1,2, ... , S

φi ⇔ vi ,

(01).

Definições: (tríades, triádicos) As entidades representadas simbolicamente pela justaposição de um diádico com um vetor, em qualquer ordem, são ditas tríades binárias. A soma simbólica das tríades binárias formadas com elementos correspondentes de um conjunto de diádicos e um conjunto de vetores,

φ1 v1 + φ 2 v 2 + ... + φS v S , ou v1φ1 + v 2 φ 2 + ... + vSφS ,

(02).

é denominada triádico. Assim, φivi e vi φi (observe as somas indicadas em i) são triádicos do conjunto dos vetores vi (de um EN) e do conjunto dos diádicos φi (gerados do mesmo EN). Da esquerda para a direita, em tríades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do triádico; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do triádico. Notação: Os triádicos serão representados por letras gregas (maiúsculas ou minúsculas), em negrito, em cujo canto superior esquerdo se disporá o número 3 (como um sobre índice): 3φ, 3α, 3Ψ etc.. Então, com os conjuntos atrás referidos, podemos gerar os triádico 3 φ=φ

vi e

3ψ = vi

φi ,

(i =1,2, ... ,S) ,

em geral distintos. A escrita (03) será dita polinomial. § 01.03 - Geração de tetrádicos. Consideremos agora dois conjuntos de S diádicos, representados por

{φ1 , φ 2 , ... , φ i , ... , φ S} e {ψ1, ψ2 , ... , ψi , ... ψS} , ou um conjunto de triádicos e um conjunto de vetores,

IV,§ 01.03

(03),

§ 01.04 - Geração de poliádicos. Valência.

{3 χ1,3 χ 2 , ... ,3 χ i , ... ,3 χ S} e {v1 , v 2 , ... , v i , ... v S} , entre os quais, por hipótese, esteja estabelecida a correspondência

∀ i , i = 1,2, ... , S

φ i ⇔ ψ i , ou

3χ

χi ⇔ vi .

Tal como anteriormente, as entidades representadas simbolicamente pela justaposição de dois diádicos, ou de um triádico e um vetor, em qualquer ordem, serão denominadas tétrades binárias. A soma simbólica das tétrades binárias formadas com elementos correspondentes de dois conjuntos de diádicos, ou de um conjunto de triádicos e um de vetores, é denominada tetrádico; escrevemos: 4α

= φ i ψi e

4 γ=3 χ

4β

χi vi e

= ψi φ i ,

4δ

δ = vi

(i = 1,2, ... ,S) ,

3χ

χi ,

(i = 1,2, ... , S) ,

(01), (02).

Assim, φi ψi e ψi φi são tetrádicos dos conjuntos dos diádicos φi e ψi , bem como 3 χ v i e v i 3χ são tetrádicos dos conjuntos de triádicos 3 χ e vetores v i . Da esquerda i i i para a direita, nas tétrades binárias, as entidades encontradas são ditas os antecedentes do tetrádico; da direita para a esquerda, são ditas os conseqüentes do tetrádico. As escritas (01) e (02) são ditas polinomiais. § 01.04 – Poliádicos: geração, notação, nomenclatura. Os vetores, os diádicos, os triádicos etc. são denominados, em geral, poliádicos. Diremos que 1 é a valência ou a ordem dos vetores (que seriam ditos, ainda, uniádicos ou monádicos); 2 é a valência dos diádicos, 3 a dos triádicos etc. Um poliádico de valência P será também denominado um P-ádico quando tivermos interesse em especificar a sua valência. Na forma de P-ades binárias, um P-ádico assim será representado: P φ = P −1 φ

vi e

P ψ = v i P −1 ψ

(i = 1,2, ..., S),

(01),

P-1φ i

e P-1ψi sendo poliádicos de valência P-1. Quando houver perigo de confusão deveremos usar a seguinte representação equivalente, Pφ

= ( P −1φ i ) v i e

Pψ =

v i ( P − 1 ψi ) ,

(i = 1, 2, ..., S),

(02),

com a finalidade de explicitar os poliádicos (antecedentes ou conseqüentes) de valência P-1. Podemos, com facilidade, definir (P + Q)-ades binárias por meio de um conjunto dado de P-ádicos, Pφ, com um conjunto de Q-ádicos, Qψ, postos em correspondência. Somando (simbolicamente) os produtos justapostos desses poliádicos em diferentes ordens, obteremos os dois poliádicos seguintes, distintos em geral, mas ambos da mesma valência, P + Q:

Poliádicos - Ruggeri

§ 02 - Operações fundamentais.

4 P+Q

α = P φi Q ψ i e

P+Q

β = Qψi

φi ,

(i = 1,2, ... , S) ,

(03),

ou, ainda, quando quisermos destacar os poliádicos antecedentes e conseqüentes das P + Q ades binárias: P+Q α

= ( P φ i )(Q ψi ) e

P+Q β

= (Q ψi )( P φ i ),

(i = 1,2, ... ,S) ,

(04).

É evidente que a expressão (04) engloba todas as anteriormente apresentadas, isto é, (04) é a expressão geral da composição de poliádicos em produto direto, em forma binária. Como um P-ádico pode, então, conforme (04), ser gerado de dois outros poliádicos cujas somas das valências seja P, digamos, P φ i = R λk S µ k i , com P=R+S e k=1,2, ...,T, escrevemos também2: P+Q α

R +S + Q α

= R λk S µ k i Q ψi ,

(05).

Em (05) temos, assim, somas simbólicas de (R+S+Q)-ades ternárias (políades ternárias). Agora, fica evidente o meio de representação de poliádicos em geral, nas formas de somas simbólicas de políades n-árias (n, qualquer, finito). Aos poliádicos podemos dar representações binárias, ternárias, quaternárias etc., isto é, pares e ímpares. Nas representações pares os poliádicos encontrados na metade das políades da esquerda para a direita são ditos os antecedentes do poliádico (e diremos: os primeiros antecedentes, os segundos antecedentes etc.); os poliádicos encontrados na outra metade das políades da direita para a esquerda são ditos os conseqüentes do poliádico (e diremos: os primeiros conseqüentes etc.). Nas representações ímpares a nomenclatura é a mesma das pares, mas os poliádicos que separam as duas metades de cada políade recebem o nome de medianos. Para i>3 as escritas dos poliádicos são ditas polinomiais.

§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. § 02.01- Multiplicação de poliádico por número real. Produto de triádico por número real. Definição: Chama-se produto do triádico, 3φ

= φ i v i ou

3ψ =

vi φ i ,

(i = 1,2, ... ,S) ,

pelo número real M, e representa-se por M 3φ, ou 3φ M, o triádico que se obtém efetuando-se as somas simbólicas de todas as suas tríades cujos diádicos ou vetores componentes sejam multiplicados por M, ou, ainda, cujos diádicos e vetores sejam multiplicados por fatores de M.

2 A representação P φ = R λk S µ i

se justifica porque para dado valor de i o poliádico correspondente, P φ , i

é, por hipótese, gerado de dois outros conjuntos de poliádicos (um de valência R, outro de valência S), a somatória em k estendendo-se de 1 até o número de poliádicos que compõe esses dois conjuntos (no caso, T).

IV,§ 02.01

§ 02.02 - Adição de poliádicos.

Assim, 3φ

= φ i v i (i = 1,2, ... ,S), M = AB ⇒ ⇒ M 3φ = ( M φ i ) v i = φ i ( M v i ) = (A φ i )( Bv i ) ,

(01);

analogamente, 3ψ =

v iφ i (i = 1,2, ... ,S), M = AB ⇒ ⇒ M 3ψ = v i ( Mφ i ) = ( M v i )φ i = ( B v i )(Aφ i ) ,

(011).

A multiplicação de triádico por número real é a operação que tem por fim gerar o triádico produto. É operação sempre possível e unívoca. O triádico M 3φ será dito paralelo a 3φ . Produto de poliádico por número real. De próximo em próximo podemos formar os produtos de número real por tetrádico, pentádicos etc. para obter os poliádicos correspondentes paralelos aos iniciais. Genericamente, para P + Q α = P φi Q ψ i com i=1,2,...,V, escreveremos:

P+ Q

α = (M P φi ) Q ψ i = P φi (M Q ψ i ) = (A P φi ) (B Q ψ i ) ,

ou, ainda, se M = A B C e

R +S+ Q

α = R λk Sµ ki

R +S+ Q

(02),

ψ i para k=1,2,...,T e i=1,2,...,V),

α = (A R λk )(B Sµ ki )(C Q ψ i ) ,

(021).

Essa operação goza das mesmas propriedades da multiplicação de diádicos por número real (§02.02,Cap.II,Vol.I). § 02.02 - Adição de poliádicos. Soma de poliádicos Chama-se soma de poliádicos de mesma valência, e dados na mesma forma binária, ao poliádico cujas políades binárias sejam as somas simbólicas das políades binárias dos poliádicos parcela. Resulta, logo, que o poliádico soma tem a mesma valência que as parcelas; diremos, eventualmente, que eles são homovalentes. A adição poliádica de poliádicos é a operação que tem por fim gerar o poliádico soma desses poliádicos. Essa operação é sempre possível, unívoca e goza, ainda, das mesmas propriedades da adição de diádicos (§04,Cap.II,Vol.I).

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§02 - Operações Fundamentais.

Combinação linear de poliádicos Estabelecidas as definições de adição e de multiplicação por número real, podemos definir o conceito de combinação linear poliádica pela expressão (polinomial): P

α = A 1 ( P φ 1 ) + A 2 ( P φ 2 ) + ... = A i ( P φ i ) (i = 1, 2, ..., S) ,

(02),

ou, ainda, não havendo perigo de confusão, na forma equivalente, P

α = A 1 P φ 1 + A 2 P φ 2 + ... = A i P φ i (i = 1, 2, ..., S) ,

(021).

§ 02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor. Chama-se produto pontuado, ou ponteado, anterior (posterior) do triádico φ = φ i v i (i = 1,2, ...,S) pelo vetor v, e representa-se por 3φ. v (v . 3φ), lendo-se triádico fi ponto v (v ponto triádico fi), o diádico definido pela expressão: 3

φ . v = φ i ( v i . v ) ou v.3 φ = ( v. φ i ) v i ,

(i = 1,2, ... ,S) ,

(01).

A multiplicação ponteada de triádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado dos mesmos, na ordem estabelecida. É uma operação sempre possível e unívoca. Essa operação goza, ainda, das mesmas propriedades da multiplicação ponteada entre diádicos e vetores, destacando-se: 1°) - o produto ponteado de qualquer triádico pelo vetor nulo é o diádico nulo; 2°) - a operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva em relação à adição de vetores:

M( 3 φ . v ) = 3 φ . ( Mv ) = ( M 3 φ ) . v

φ . ( a + b + ...) = 3 φ . a + 3 φ .b + ... ,

(02).

3°) - não é comutativa, isto é 3

φ . v ≠ v. 3 φ ,

(03),

o que é evidente pelas (01).

Produto ponteado de poliádico por vetor De próximo em próximo (com o aumento da valência dos poliádicos) podemos escrever, genericamente:

∀ v, P φ =

IV, § 02.03

P −1φ

vi :

Pφ

. v = ( P−1φ )i ( v i . v )

v . P φ = ( v . P −1 φ i ) v i ,

(04).

§02.03 - Multiplicação ponteada entre poliádico e vetor.

A multiplicação ponteada de poliádico por vetor é a operação que tem por fim gerar o produto ponteado do poliádico pelo vetor. É uma operação sempre possível e unívoca, não sendo difícil comprovar que ela goza, ainda, das mesmas três propriedades anteriormente apontadas para os triádicos. Função linear de argumento (ou variável) vetor e valor diádico Pela expressão (01), considerando 3φ independente do vetor (agora, variável) v, podemos conceber a função linear de valor diádico e de argumento vetor, λ ( v ) , isto é, uma função que transforme, de alguma maneira, um vetor num diádico, com absoluta analogia com a função linear de variável vetor e de valor vetor (§ 01, II). Escrevemos, simbolicamente,

∀ v = Vi v i :

λ ( v ) = λ (V i v i ) = V i λ ( v i )

(i = 1, 2, ..., N)

(05).

A mesma concepção é válida no sentido inverso, isto é, se v for independente dos diádicos (agora, variáveis) φi. Função linear de argumento vetor e valor poliádico Pela primeira expressão (04), P φ.v =( P −1 φ)i ( v i .v) , podemos, analogamente, conceber a função linear de valor poliádico e de argumento vetor:

∀ v = Vi v i :

φ ( v ) = P φ (V i v i ) = V i [ P φ ( v i )]

(i = 1, 2, ..., N) ,

(06),

onde, relembramos, N – a dimensão do espaço dos vetores - deve valer 1, ou 2, ou 3. Assim, a função linear poliádica age como um operador, transformando um vetor num poliádico. Teor. 1: Uma função de argumento vetor e valor poliádico, gerados na reta (N=1), no plano (N=2) e no espaço (N=3), fica perfeitamente determinada se são conhecidos os seus valores (poliádicos) para um vetor não nulo, dois vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente. Com efeito, se, por exemplo, P-1φi são três (P-1)-ádicos supostos conhecidos, valores das funções poliádicas P-1φ(vi) de três vetores independentes, vi, isto é, P −1 φ i = P−1 φ ( v i ) , então, para qualquer vetor v = Vi vi , é, conforme (05), P −1

φ ( V i v i ) = V i [ P −1 φ ( v i )] = V i ( P−1 φ i ) ,

isto é, está determinada a função P-1φ(...) porque são conhecidos os Vi e os P-1φi. Tal como demonstramos para os diádicos (§02.04,Cap.II,Vol.I), podemos demonstrar o seguinte Teor. 2: Qualquer poliádico, quando usado como pré ou como pós-fator em multiplicação ponteada por vetor, é operador de uma transformação linear;

Poliádicos – Ruggeri

§02 - Operações Fundamentais.

reciprocamente, toda transformação linear sobre vetores (na reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um poliádico para ser usado como pré ou pós-fator. O teorema direto é de demonstração evidente em vista da definição de multiplicação ponteada de poliádico por vetor. Reciprocamente, se P −1 λ( ) é uma função linear poliádica, determinada pelo conhecimento dos (P-1)-ádicos P −1 β i , transformados dos vetores independentes ai, tem-se: P −1

λ (a i ) =

P−1

βi =

P−1

β jδi j =

P −1

β j (a j . a i ) = ( P−1β ja j ). a i

(i, j = 1, 2, ..., N ) .

Assim, denotando por Pψ o poliádico dentro dos parênteses no último membro - poliádico este, conhecido, porque são conhecidos, por hipótese, os seus antecedentes e os seus conseqüentes - podemos escrever: P −1 λ(a i ) = P ψ. a i (i = 1, 2, ... , N ) . Como podemos escrever, também: P −1

λ (a i ) =

P−1

βi = δi j ( P −1β j ) = (a i . a j )

P−1

β j = a i . [a j ( P−1β j )] (i, j = 1, 2, ..., N ),

resulta, denotando-se por Pφ o poliádico dentro dos colchetes no último membro: P −1

λ (a i ) = a i .P φ

(i = 1, 2, ..., N ) .

Corol. 1: Um P-ádico, gerado de um espaço N-dimensional de vetores EN, fica perfeitamente determinado quando são conhecidos os seus produtos ponteados ((P-1)-ádicos) por N vetores independentes, quaisquer, desse espaço:

v i independentes

 P −1φ = P φ . v ⇒ i i  P −1 Pφ ⇒ ψ = v .  j j

Pφ

= ( P −1φ i ) v i

Pφ

= v j ( P −1ψ j )

(07).

Esses conceitos serão ampliados no § 06.04. § 02.04 - Igualdade de poliádicos. Definição: (poliádicos iguais) Dois P-ádicos, Pφ e Pψ, são ditos iguais, e se escreve Pφ = Pψ (lendo-se: Pádico fi igual a P-ádico psi) se, nas mesmas condições de multiplicação ponteada (anterior ou posterior), transformam um mesmo e qualquer vetor em (P-1)-ádicos iguais3: 3 Esta é uma "definição por recorrência", isto é, pressupõe conhecido o conceito de igualdade de dois poliádicos homovalentes, mas de valências menores que P. Em outras palavras, para que sejam definidos triádicos iguais é necessário o conhecimento do que sejam diádicos iguais etc.

IV, § 02.04

§ 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos.

φ =

 Pφ .v = Pψ .v ψ ⇐ ∀v ⇒ P P , v . φ = v . ψ

(01).

Teor. 1: A multiplicação direta de diádico por vetor é distributiva em relação à adição de diádicos e de vetores: 3φ

= (A i φ i )( B j b j ) = A i B j φ i b j ,

(02).

Com efeito, para qualquer v, tem-se: 3φ . v

= (A iφ i )[( B jb j ). v ] = (A iφ i )[ B j (b j . v )] .

Ora, A iφ i é uma soma de diádicos e B j (b j . v ) é uma soma de produtos de escalares. Como a operação de multiplicação de diádico por número é distributiva em relação à adição de diádicos e à adição de números, e associativa em relação à multiplicação por números, podemos escrever: 3φ . v = (A i B jφ i )(b j . v ) . Agora, lembrando a definição ((01), § 02.03), escrevemos, ainda: 3φ . v

= (A i B jφ ib j ). v ,

no segundo membro sendo imutáveis as ordens dos vetores e diádicos entre parêntesis. Mas as somas indicadas entre parêntesis representam um triádico porque são somas de produtos diretos de diádicos por vetores. Como v é um vetor qualquer, a expressão (01), tradutora da igualdade de poliádicos, implica a veracidade de (02). Corol. 1: A multiplicação direta de poliádico por poliádico é distributiva em relação à adição de poliádicos: P+Q α

= (A i Pφ i )( B jQψ j ) = A i B j Pφ i Qψ j ,

(021).

§ 03 - REPRESENTAÇÕES Ni-NOMIAIS DE POLIÁDICOS. § 03.01 - Representações N-nomiais de triádicos. Consideremos, inicialmente, os triádicos representados nas formas ((03), § 01.01), isto é, 3φ

= φivi e

3ψ =

v iφ i ,

(i = 1,2, ... , S) ,

(01).

Se {g*} e {g*} são sistemas de vetores recíprocos de EN, podemos escrever:

v i = Vi k g k = Vi k g k , (k = 1,2, ..., N) , e, então, em vista da definição de produto de triádico por número real e de ((02), §02.04):

Poliádicos – Ruggeri

.§ 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

10 3φ

= φ i ( V i k g k ) = ( Vi k φ i ) g k e

3φ

= φ i ( Vi k g k ) = ( Vi kφ i )g k , (i = 1,2, ... , S) .

Considerando que as expressões entre parênteses nos últimos membros das igualdades anteriores são combinações lineares de diádicos (§ 02.02), poderemos por4

V i kφ i = α k

V i kφ i = β k ;

então: 3φ

= α kgk = βkgk

(k = 1,2,..., N ) .

É evidente que existem relações entre os diádicos αk e β k, pois, das igualdades acima podemos deduzir, operando com os vetores recíprocos (§ 03, I):

β j = G k jα k , e sua inversa, α j = G i jβi , com Gjk=gj.gk e Gij=gi.gj ,

(02).

Poderíamos obter resultados análogos para o triádico 3ψ, dado por (01)2. Consideremos, agora, as 4 únicas reduções N-nomiais (§ 02.07, II) de cada um dos diádicos αk e β k. Ponhamos, para r,k = 1,2, ..., N nos dois sistemas recíprocos {f ∗ },{f ∗ } e {e ∗ }, {e ∗ } :

α k = a r k f r = a r k f r = e r c k r = e r c kr ,

(03),

β k = b r k f r = b r k f r = e r dkr = e r d k r ,

(031).

Então, podemos escrever: 3

φ = α k g k = (a r k f r )g k = (a r k f r )g k = (e r c k r )g k = (e r c kr )g k

e 3

φ = β k g k = (b r k f r )g k = (b r k f r )g k = (e r dkr )g k = (e r dk r )g k ,

expressões nas quais o uso dos parêntesis é irrelevante. Com efeito, temos, por exemplo:

∀r: r.3 φ = (r. a r k )f r g k = r. [(a r k f r )g k ] = r. [a r k (f r g k )] , isto é, 3

φ = ( a r k f r )g k = a r k (f r g k ) .

Então, 3

φ = α k g k = a r k f r g k = a r k f r g k = e r c k r g k = e r c kr g k ,

(04),

4 Notar que k (letra latina minúscula) é um índice. Os expoentes de potências são representados por latinas maiúsculas. Assim, a potência P de αk se escreve (α k ) P .

IV, § 03.01

§ 03.01 - Representações N-nomiais de poliádicos.

e 3

φ = β k g k = b r k f r g k = b r k f r g k = e r dkr g k = e r dk r g k ,

(041).

Notemos, por outro lado, que, por exemplo, c kr g k = d kr g k , porque das (02) escrevemos:

e r . β k = (e r . α i )G i k e, logo: (e r . β k )g k = (e r . α i )gi . Agora, considerando as (03) e as (031), comprovamos logo a tese. Analogamente comprovaríamos que c kr g k = dk r g k . Então, pondo

γ r = c k r g k = dr k g k

δ r = c kr g k = dr k g k ,

teremos novas representações para o triádico 3φ, na forma de somas de N tríades binárias: 3

φ = erγ = e δr

(r = 1,2,..., N ) .

Em resumo: 3

φ = α kgk = βkgk = er γ r = er δ r ,

(r,k=1,2,...,N)

(05).

É evidente que em todas as representações poderíamos adotar uma única base vetorial e sua recíproca, digamos {g*} e {g*}, caso em que essas representações seriam escritas apenas em função dos vetores dessas bases. Então: Teor. 1: Todo triádico gerado de um EN pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro, maneiras distintas, mas únicas, como uma soma de N tríades binárias de que antecedentes ou conseqüentes sejam N vetores independentes de EN. Definição: As expressões (05) às quais se reduzem um triádico 3φ denominam-se reduções N-nomiais do triádico. Os diádicos αk, β k, γr e δr são ditos os diádicos motivo do triádico nas respectivas bases. Diremos, também, por isso, que nas formas (05) os triádicos estão diadicamente escritos. Teor. 2: Se numa representação trinomial de um triádico, dois diádicos motivo são não paralelos, existe uma segunda redução trinomial em que dois diádicos motivo são os mesmos não paralelos da primeira redução, mas, agora, perpendiculares ao terceiro.

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Representações Ni -nomiais de poliádicos.

Com efeito, consideremos a redução N-nomial do triádico arbitrário 3φ em relação a um terceto de vetores não coplanares {e*}, 3 φ = α1e1 + α 2 e 2 + α ′3e 3 em que, por hipótese,

α1 não é paralelo a α2. Pelo Teor. 9,§10.02,Cap.II, existem números M1 e M2, e um diádico α 3 perpendicular a α1 e a α2 tais que α ′3 = M1α1 + M 2 α 2 + α 3 . Então 3

φ = α1 (e1 + M1e 3 ) + α 2 (e 2 + M 2 e 3 ) + α 3e 3 ,

ou 3

φ = α1u1 + α 2 u 2 + α 3u 3 , com u1 = e1 + M1e 3 , u 2 = e 2 + M 2 e 3 e u 3 = e 3 .

Sendo

(e1 + M1e 3 ) × (e 2 + M 2 e 3 ) . e 3 = (e1e 2 e 3 ) , concluímos que os vetores u1, u2 e u3 são não coplanares e que a expressão 3 φ = α i u i é uma autêntica redução trinomial; o que comprova o teorema. § 03.02 - Representações N2-nomiais de triádicos. Se, ainda, considerarmos que os diádicos motivo γr e δr podem ser escritos nas formas

γ r = f k m k r = f k m kr e δ r = f k n kr = f k n k r ,

(01),

então, das (04) e (041), § 03.01 e de (01) escreveremos 3φ nas 12 formas alternativas seguintes, únicas e distintas, constituindo três grupos: 1° grupo:

(021),

φ = e r c kr g k = e r c k r g k = e r dr k g k = e r drk g k ,

(022),

φ = e r f k m k r = e r f k m kr = e r f k n k r = e r f k n kr ,

(023).

2° grupo: 3° grupo:

φ = b r k f r gk = b r kf rg k = a r k f r gk = a r k f r gk ,

Definição: Qualquer uma das 12 diferentes expressões a que se reduz um triádico, representadas em (021), (022) ou (023), denomina-se redução N2-nomial desse triádico, nomenclatura esta que se justifica pelo fato de cada forma apresentar N2 parcelas. Em cada uma destas 12 novas formas de representação de um mesmo triádico, todas as parcelas são justaposições de três vetores; são tríades ternárias (§01.04). Então, triádicos são, também, somas simbólicas de (no máximo) N2 tríades ternárias. Em cada tríade, dois dos vetores são, necessariamente, vetores (independentes) de dois sistemas de vetores recíprocos (idênticos ou distintos). O terceiro vetor em cada tríade (com dois índices) está ligado ao motivo de cada diádico motivo; em seu conjunto, são ditos os vetores motivo do triádico. Por isso, diremos que um triádico, posto sob qualquer uma das formas (02), está vetorialmente (ou monadicamente) escrito.

IV, § 03.02

§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos.

§ 03.03 - Representações N3-nomiais de triádicos. Se, finalmente, considerarmos que os vetores motivo do triádico (aqueles representados com dois índices nas formas N2-nomiais) podem ser convenientemente decompostos cartesianamente em relação a novas bases recíprocas, obteremos novas representações para o triádico. A forma N2-nomial br kfr gk, por exemplo, dará, em relação aos sistemas recíprocos {e*} e {e*} (do mesmo EN de que os sistemas {f*}, {f*} e {g*}, {g*} são bases):

φ = Bi r k eif r g k = Bir k eif r g k ,

(011),

Bi r k = ei .b r k e Bir k = ei .b r k ,

(01).

sendo

Operando analogamente com as demais representações, obteremos para 3φ um total de 12 × 2 = 24 representações do tipo (011). Três são os grupos de 4 representações N2-nomiais de um triádico (§03.02): aqueles em que os vetores motivo aparecem como primeiros antecedentes, como primeiros conseqüentes e como medianos. Cada representação N2-nomial dá duas novas representações que assim podem ser escritas: - do primeiro grupo:

A i r k ei f r g k = A ir k eif r g k = A i rk eif r g k = A ir k eif r g k = ,

A i r ke

if r g k

A ir k eif r g k

(021);

A i kr ei f r g k ;

- do segundo grupo:

rki

erfkgi = B

rk i e f g i r k

= B k erf gi = B k ierf g = ,

i r k Br k e f gi

= Br k ie f g =

ki B r

(022);

e f k gi = Br ie f k g ;

- do terceiro grupo: ik r

k r i

Cr e fig k = Cr i e f gk = C = Cr

r i

rik

e fig = Cr i ke f g = C

erfigk = C k

e f g =C

r k i erf gk i r

k r i

e f g

= ,

(023).

ik r

É fácil ver que cada grupo contém uma representação do mesmo tipo, sendo, pois, idênticas. É o caso, por exemplo, das representações:

A i r k ei f r g k ,

Br k i e r f k g i ,

C r i k e r f ig k etc.

A ir k eif r g k , Br k i e r f k gi , Cri k e r f ig k

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Representações N3-nomiais de poliádicos.

Teremos, portanto, um total de 8 representações distintas. Isto, de certa forma, poderia ser previsto porque essas representações deveriam ser tantas quantas fossem as diferentes posições que os três índices podem assumir nos dois níveis, ou seja, 23 = 8. Definições: Qualquer uma das 8 diferentes expressões (02), à qual se reduz um triádico, denomina-se uma representação N3-nomial desse triádico. Os coeficientes numéricos das tríades ternárias dessas representações são ditos as coordenadas cartesianas do triádico no terceto de bases recíprocas adotado. Diremos, também, que numa qualquer das formas (02), o triádico está cartesianamente escrito. Tal como no caso dos diádicos, as coordenadas cartesianas de um triádico serão ditas: triplamente contravariantes (como Aijk), triplamente covariantes (como Aijk), uma vez contravariante e duas vezes covariante (como Aijk), uma vez contravariante, uma vez covariante, outra vez contravariante (como Aijk) etc.. Em vista das definições e das deduções feitas, podemos enunciar: Todo triádico pode ser (cartesianamente) escrito como uma combinação linear de N3 tríades ternárias cujos coeficientes são as suas coordenadas em relação aos sistemas recíprocos constituídos pelos seus antecedentes, medianos e conseqüentes. § 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos. Com um raciocínio análogo ao desenvolvido no caso dos triádicos, podemos comprovar que: 1°) - os tetrádicos têm: - 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são triádicos, - 3× 2 2 = 12 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são diádicos, - 4 × 2 3 = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são vetores, e - 2 4 = 16 representações N4- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. 2°) - os pentádicos têm: - 4 representações N-nomiais distintas em que os motivos são tetrádicos, - 3 × 2 2 = 12 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são triádicos, - 4 × 2 3 = 32 representações N3-nomiais distintas em que os motivos são diádicos, - 5 × 2 4 = 80 representações N4- nomiais distintas em que os motivos são vetores, e IV,§ 03.04

§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

- 2 5 = 32 representações N5- nomiais distintas (ou cartesianas) em que os motivos são escalares. E assim, sucessivamente. Genericamente, um poliádico de valência P tem 2×21 representações N-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-1, e que pode ser (P-1)-adicamente escrito; 3×22 representações N2-nomiais distintas em que os motivos são poliádicos de valência P-2, e que pode ser (P-2)-adicamente escrito; ... etc.; (i+1)×2i representações Ninomiais distintas (i < P) em que os motivos são poliádicos de valência P-i, e que pode ser (P-i)-adicamente escrito, isto é, triadicamente, diadicamente, vetorialmente escrito; e 2P representações NP-nomiais (cartesianas) distintas em que os motivos são escalares e que pode ser cartesianamente escrito5. A seqüência

2 × 21 , 3 × 2 2 , 4 × 23 , ..., (i + 1)2i , ..., P × 2 P −1 , 2 P dá a quantidade de escritas i-ádicas de um P-ádico, e gera a tabela seguinte, paras P = 1, 2, ...,5:

Quantidade de representações de um poliádico Valência Escrita

Cartesiana

Vetorial

2 21

Diádica

3 22

4 23

16 =

5 24

32 = 25

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

32 = 4 x 23

80 = 5 x 24

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

32 = 4 x 23

4 = 2 x 21

12 = 3 x 22

4 = 2 x 21

Triádica Tetrádica Pentádica

Se {e*} e {e*}, {f*} e {f*}, ..., {g*} e {g*}, {h*} e {h*}, são P - 1 sistemas recíprocos arbitrários de EN, dentre as múltiplas possibilidades podemos escrever, por exemplo: P

φ=

P −1

φ v h , em escrita (P - 1)-ádica,

φ=

P−2

φ v g u h , em escrita (P - 2)-ádica

.... 5 O que aqui denominamos (P - i)-adicamente escrito, Drew denomina i-adicamente escrito (Bibl. 1, item 2.8 3).

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

... P

φ=

Pφ pφ

φ jk ... rs ... u v

f j ... n r m s ... g u h v , em escrita diádica,

= a i j k ... sr ... u ve i f j ... n r m s ... g u h v , em escrita vetorial,

= A h i j k ... r s ... u v d h e i f j ... n r m s ... g u h v , em escrita cartesiana,

(01),

onde i, j, k, ..., u, v = 1, 2, ..., N (e N = 1, ou 2, ou 3). As escritas (P-1)-ádicas de um poliádico requerem apenas que os vetores presentes nas representações sejam independentes no EN. Teor. 1: Todo poliádico pode ser escrito (P-1)-adicamente com conseqüentes (ou antecedentes) vetores, tais, que um deles seja perpendicular aos outros dois. Pois, no E3, e 1 , e 2 e e 3 , com e 3 . e 1 = e 3 . e 2 = 0 constituem uma base, e P

φ=

P−1 1

α e1 +

P −1

α 2e 2 +

P−1 3

α e3 ,

constituiria uma autêntica escrita (P-1)-ádica do poliádico. Matriz associada a poliádico em base vetorial A cada uma das 16 escritas cartesianas de um tetrádico relativas a um único sistema de vetores recíprocos do E3 (por exemplo), a saber, 4

φ = A hijk e h e i e je k = A hijk e h e i e je k = A hi jk e h e i e je k = = A hijk e h e i e je k = A hijk e h e i e je k = A hi jk e h e i e je k etc.

poderemos associar uma matriz 9×9 que contenha todas as suas 34 = 81 coordenadas. Para tal vamos imaginar essa matriz subdividida em 9 blocos, ou submatrizes 3×3. Representando cada bloco pela letra B, acompanhado do primeiro e do terceiro índices faremos as seguintes associações:

1°) - Se φ = A

IV,§ 03.04

hijk

e h e i e je k ,

[

]

∗∗ 9 9

[ ] [B ] [B ] [ ] [B ] [B ] [ ] [B ] [B ]

 11  B  21 = B  31  B

12 3

3 3

3 22 3

3 3

3 32 3

13 3  3 23 3  3 33 3 

 3

§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

sendo

[B ]

hj 3

[

2°) - Se 4 φ = A hijk e h e i e je k ,

 A h1 j1  h 2 j1 = A  h 3 j1 A

]

9 4 ∗ φ∗ 9

h1 j2

A h 2 j2 A h 3 j2 A

h1 j3  A h 2 j3  A ; h 3 j3  A 

[ ] [ B ] [ B ]  [ ] [ B ] [ B ] , [ ] [ B ] [ B ] 

 B1  1 =  B21   B3 1

1 2

1 3

2 2

2 3

3 2

3 3

sendo

[B ] h

 A h1 A h1 j1 j2  =  A h2j1 A h2j2 3  A h3j1 A h3j2

A h1j3   A h2j3 ; A h3j3 

e assim sucessivamente, para todas as 16 representações cartesianas de φ . As nove submatrizes com índices h e j iguais são ditas submatrizes diagonais; os elementos destas, com i=k, em número de nove, compõem a diagonal principal da matriz associada. Esse critério de associação de matriz a poliádicos de valência quatro pode ser estendido aos de valência 6, que têm 36 = 33×33 = 27×27 = 729 coordenadas; e de próximo em próximo ao 2H-ádicos em geral. Criamos uma matriz 27×27 e a subdividimos em 9 blocos (três horizontais e três verticais) representados pela letra B acompanhada do primeiro e quarto índices da representação cartesiana correspondente, cada bloco comportando as coordenadas de cada um dos 9 tetrádicos motivo do hexádico. Assim, por exemplo, 9 9  1 9 B12 B13   B1 9 9 9 27 9 9  2 9 6 hij k l m 6 ∗ 2 2 se φ = A klm e h e i e j e e e , então φ∗ = B1 B2 B 3 , 27 9 9 9  9 9 9 3 3 3 B2 B3   B 1 9 9 9

[

sendo

[B ] h

k 9

[ [ [

 h1  B k1  =  B h2k1  h3  B k1

]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

] [B ] [B ] ] [B ] [B ] ] [B ] [B ] 3 3 3 3 3 3

3 h1 k2 3 3 h2 k2 3 3 h3 k1 3

3 h1 k3 3  3 h2 k3 3  3 h3 k3 3  

[Bhikj ] =

A hi1kj1  hi2 A kj1 A hi3 kj1 

A hi1kj2 A hi2kj2 A hi3kj2

A hi1kj3   A hi2kj3  . A hi3kj3  

Poliádicos - Ruggeri

§ 03 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

As matrizes 9x9 com índices h=k, em número de nove, são ditas submatrizes 9x9 diagonais do hexádico. A submatriz diagonal com índices i e l iguais (do tipo [Bhihi]) serão submatrizes 3x3 diagonais do hexádico; e este terá, pois, nove submatrizes 3x3 diagonais. Como cada submatriz 3x3 diagonal apresenta três elementos na diagonal principal – os números Bhijhij – tais elementos, em número de vinte e sete comporão a diagonal principal da matriz associada ao hexádico. Fica evidente o processo de representação cartesiana das 32H coordenadas de um 2H - ádico. É evidente também que outros processos poderiam ser idealizados, mas o apresentado tem a vantagem de identificação imediata dos números componentes da diagonal principal da matriz final ou das submatrizes diagonais. Representemos o tetrádico 4φ por cada uma de suas 4 escritas diádicas (ternárias), isto é, 4

φ = φ j k e j e k = φ jk e j e k = ... .

Como cada um dos seus 32 diádicos apresenta 4 representações cartesianas,

φ j k = A h i j k e h e i = A hi j k e h e i = A h i j k e h e i = A hi j k e h e i , φ j k = A h i j k e h e i = ... , concluímos que a matriz de certo nome associada a cada conjunto de 32 diádicos motivo de um tetrádico (§ 10, II) é a própria matriz de mesmo nome associada ao tetrádico. Essa propriedade é verdadeira para todos os poliádicos de valência par, 2H. Por exemplo, uma escrita H-ádica de um 2H-ádico é: 2H

φ=

φ hi j... ... u

w v

e h e i e j ... e u e v e w ,

(h, i = 1,2,3) ,

(02),

onde se evidenciam os 3H H-ádicos motivo (antecedentes) de 2Hφ. Nestas condições (de valência), e apenas nestas condições, aos H-ádicos ficam associadas matrizes quadradas 3H x 3H já que cada um tem 3H coordenadas (que formariam as linhas da matriz) e existem em número de 3H (que comporiam as colunas da matriz). Concluímos: A matriz de certo nome associada a cada conjunto de 3H H-ádicos motivo de um 2H-ádico é a própria matriz de mesmo nome associada ao 2H-ádico. Com facilidade podemos associar matrizes retangulares a poliádicos de valência ímpar. Assim, para o triádico 3φ = A hij e hei e j , aplicando critério análogo ao já utilizado no

IV,§ 03.04

§ 03.04 - Representações Ni-nomiais de poliádicos.

caso dos tetrádicos, poderíamos efetuar a seguinte associação matricial:

 A111 A112  121 A122 A  A131 A132  211 A 212 A 3 3 [ φ]9 = A 221 A 222  A 231 A 232  311 A 312 A  A 321 A 322  331 A 332  A

A113   A123  A133   1 3 A 213  [A ]3   2 3 A 223  = [A ]3  , 3 3 A 233  [A ]3   A 313  A 323   A 333 

com submatrizes 3x3 dispostas na vertical (formando blocos horizontais), sendo

[A ]

1 3 3

 A111 A112 A113    =  A121 A122 A123  , A 2    A131 A132 A133   

[ ]

3 3

 A 211 A 212 A 213    =  A 221 A 222 A 223  e A 3    A 231 A 232 A 233   

[ ]

3 3

 A 311 A 312 A 313    =  A 321 A 322 A 323  .    A 331 A 332 A 333   

Entretanto, poderíamos efetuar também a associação:

[ φ] 3

9 3

 A111 A121 A131 A112 A122 A132 A113 A123 A133    = A 211 A 221 A 231 A 212 A 222 A 232 A 213 A 223 A 223  = A ′1 A ′ 2 A ′3 A 311 A 321 A 331 A 312 A 322 A 332 A 313 A 323 A 333   

[[ ][ ][ ]]

com três submatrizes 3x3 dispostas na horizontal. Neste caso, o último índice de um elemento da matriz representa a ordem de cada bloco, o penúltimo a ordem da coluna dentro do bloco e o primeiro índice a ordem da linha no bloco. No caso dos triádicos mais duas outras associações poderiam ser efetuadas. No caso dos pentádicos, a associação matricial poderia ser realizada por procedimentos análogos, mas as matrizes associadas teriam, agora, 33=27 linhas e 32=9 colunas, ou 9 linhas e 27 colunas. É fácil deduzir que, no caso geral de um poliádico de valência ímpar 2H-1 (H=1,2, ...), as matrizes associadas teriam 3H linhas e 3H-1 colunas (ou 3H colunas e 3H-1 linhas). Representações mistas e não mistas de 2H-ádicos. A denominação "representação não mista" é muito apropriada às escritas cartesianas dos poliádicos de valência par, 2H, em que os H primeiros vetores de base de cada 2H-ade apresentem índices em níveis idênticos dos seus correspondentes nos H vetores restantes. Assim, uma representação não mista de um 2H-ádico é

A h i j ......

t ... k s u

e h e i e j ... e k e r e s e t ... e u 14243 14243 , H fatores

H fatores

Poliádicos - Ruggeri

§ 04 - Poliádico Nulo.

em que eh é o correspondente de er, ei é o de es etc. (os índices desses vetores correspondentes estando em níveis idênticos). Para os tetrádicos, por exemplo, quatro e apenas quatro das suas 16 representações cartesianas são representações não mistas (distintas):

A hijk e h e i e je k ,

A hi jk e h e i e je k e A h i j k e h e i e je k .

Outras representações de tetrádicos – todas mistas - recebem as denominações já estabelecidas. Por exemplo:

A hijk e h e i e j e k é uma representação três vezes contravariante e um vez covariante; A h i jk e h e i e je k é uma representação contravariante e três vezes covariante etc.. Os poliádicos de valência par, 2H, apresentam coordenadas não mistas duplamente homônimas porque se os seus primeiros H índices ocupam certas posições, os seus H índices correspondentes ocuparão posições idênticas. Assim, para os diádicos (H=1), elas são duplamente covariantes ( A hi ) ou duplamente contravariantes ( A hi ); para os tetrádicos elas são quadruplamente covariantes ( A hijk ), quadruplamente contravariantes ( A hijk ), ( A hi jk )

antravariantes/covariantes/contravariantes/covariantes covariantes/contravariantes/covariantes/contravariantes

( Ah ij k

ou,

finalmente,

); e assim por diante para os

demais 2H-ádicos.

§ 04 - POLIÁDICO NULO. Consideremos o seguinte triádico reduzido à forma N-nomial, 3Ο = αkgk , (k = 1, 2, ..., N); tem-se:

∀ v:

3 Ο .v = α k (g

k .v ) .

Para que o diádico resultado - o transformado do vetor mediante o triádico - seja o diádico nulo é necessário e suficiente que os diádicos αk sejam todos nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Tem-se, ainda:

∀v : v. 3 Ο = ( v.α k )g k Para que o novo (diádico) resultado seja, ainda, o diádico nulo, é condição necessária e αk sejam todos nulos. Mas como o vetor v é qualquer, é suficiente que os vetores v.α necessário e suficiente que todos os αk sejam nulos (§02.09,Cap.II,Vol.I). Faríamos as mesmas deduções caso o triádico 3Ο fosse reduzido a uma forma Nnomial com conseqüentes diádicos. Logo:

Teor. 1: A CNS para que um triádico, representado em forma N-nomial, transforme qualquer vetor no diádico nulo é que os seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.

IV,§ 04

§ 04 - Poliádico Nulo.

Definição: ( triádico nulo) O poliádico, único, de valência 3, que transforma qualquer vetor no diádico nulo, denomina-se 3-ádico nulo, triádico nulo, ou, ainda, poliádico nulo de valência 3; será representado por 3 Ο . De próximo em próximo podemos generalizar esses resultados e definir o P-ádico nulo; este será representado por P Ο .

Teor. 2: A CNS para que um P-ádico transforme qualquer vetor no (P-1)-ádico nulo é que os seus antecedentes, ou os seus conseqüentes, sejam todos nulos. Dada a arbitrariedade do vetor v, e em face da definição de igualdade de poliádicos (§02.04), concluímos que são iguais todos os poliádicos de valência P que transformam qualquer vetor no (P - 1)-ádico nulo. São, pois, poliádicos nulos: o vetor nulo, o diádico nulo, o triádico nulo etc., respectivamente de valências um, dois, três etc. É evidente que, estando um P-ádico nulo expresso em forma Ni-nomial (§03.03), todos os seus (P-i)-ádicos motivo são nulos. A matriz associada ao tetrádico nulo é a matriz zero 9×9 se os vetores recíprocos utilizados na representação cartesiana são do E3; nestas mesmas condições a matriz associada ao 2H-ádico nulo é a matriz zero 3H×3H. É evidente a demonstração do seguinte

Teor. 3:

v . P φ=

P −1 Ο,

P φ . v = P −1 Ο

⇐

∀v

P φ= PΟ

⇒

(01).

Teor. 4: ∀ P φ , a i , e i , com ( a 1a 2 a 3 ) ≠ 0 e ( e 1 e 2 e 3 ) ≠ 0 (i = 1,2,3) :

Pφ

e1 .a 1

e1 .a 2

e1 .a 3

e1 . P φ

e 2 .a1

e 2 .a 2

e 2 .a 3

e2 .P φ

e 3 .a1

e 3 .a 2

e 3 .a 3

e3 .P φ

= PΟ ,

(02),

desde que os (P-1)-ádicos da última coluna sejam os antecedentes nas políades binárias a serem formadas no cálculo desse pseudo-determinante. A demonstração é a mesma já apresentada (§02.09,Cap.II,Vol.I), bastando lá trocar-se φ por Pφ.

caso

dos

diádicos

Corol. 1: ∗

∀ {e ∗ } e {e }, e ∀ φ :

φ = ( φ . e i )e = ( φ . e )e i

(i = 1, 2 , ..., N) ,

(03).

Poliádicos - Ruggeri

§ 05 - Casos de igualdade de poliádicos.

Com efeito, para comprovar basta trocar ai por ei em (02) para se obterem os dois primeiros membros de (03); ou trocar ei por ei e ai por ei para se obterem o primeiro membro e o último.

§ 05 - CASOS DE IGUALDADE DE POLIÁDICOS. Alguns casos de igualdade de poliádicos podem ser assinalados. As demonstrações dos teoremas seguintes são as mesmas dos casos de igualdades de diádicos (§02.07,Cap.II,Vol.I).

Teor. 1: Dois poliádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos vetores antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes (antecedentes); e reciprocamente: P

φ=

ψ ⇐ g i indep. (i = 1, 2, ..., N), ,

φ=

P −1 i

α gi ,

ψ=

P −1 i

β gi , ⇒

P −1 i

α =

(01).

P −1 i

Temos, para qualquer vetor v:

v . P φ = v . P ψ,

( v . P −1 α i ) g i = ( v . P −1 β i ) g i .

Multiplicando escalarmente ambos os membros por gj e simplificando, resulta:

P −1

αj = v .

P −1

β j.

Então, lembrando a definição de igualdade de poliádicos, resulta a igualdade dos (P-1)ádicos antecedentes dos P-ádicos iguais, já que v é qualquer. A recíproca é de demonstração imediata6.

Corol. 1: Uma CNS para que dois P-ádicos sejam iguais, é que os seus antecedentes e os seus conseqüentes, em qualquer redução N-nomial, sejam respectivamente iguais. Teor. 2: Uma CNS para que dois P-ádicos gerados de EN sejam iguais, é que transformem os mesmos N vetores independentes de EN em (P-1)-ádicos iguais. Com efeito, sejam ui e ui (i = 1, 2, ..., N) sistemas de vetores recíprocos de EN. A P P condição é necessária porque, por hipótese, φ . u i = ψ . u i , P φ e P ψ sendo dois P6 Este teorema será generalizado no § 06.

IV,§ 05

§ 05 - Casos de igualdade de poliádicos.

ádicos quaisquer, mas que transformam os mesmos N vetores independentes nos mesmos (P-1)-ádicos. Então, multiplicando diretamente ambos os membros dessa igualdade por u i e somando em i, temos a igualdade poliádica:

( P φ . u i ) u i = ( P ψ . u i ) u i (i = 1, 2 , ..., N) . Mas, pelo Corol. 1 do Teor. 4 do §04, o primeiro membro é igual a P φ e o segundo é igual a P ψ ; donde a tese. A condição suficiente é de demonstração imediata. O Teor. 1 pode ser generalizado facilmente, dando lugar ao seguinte

Teor. 3: A CNS para que dois P-ádicos, escritos (P-Q)-adicamente em função de Q sistemas de vetores recíprocos, sejam iguais, é que seus (P-Q)-ádicos motivo sejam respectivamente iguais: P

φ= ψ P

∗

⇐ φ=

P−Q

∗

P− Q

ψr

∀ {n ∗ }, {n }, {m ∗ }, {m }, ... , φ , ψ : φr

s ... u

n m s ... g u h

(r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N) P

ψ=

⇒

P−Q

φr

s ... u

s ... u v

n m s ... g u h ,

P−Q

ψr

s ... u v

(02).

Com efeito, se φ = ψ , das escritas (P-Q) - ádicas desses P-ádicos em função dos mesmos Q sistemas de vetores recíprocos (como em (02)), temos P φ . h i = P ψ . h i , ou melhor:

P− Q

φr

s ... u

n m s ... g u =

P− Q

ψr

s ... u

ψr

s ... j

n m s ... g u ;

n m s ... .

também, ( P φ . h i ) . g j = ( P ψ . h i ) . g j , ou P− Q

φr

s ... j

n m s ... =

P−Q

Após Q multiplicações escalares pelos recíprocos dos primeiros conseqüentes dos poliádicos remanescentes de multiplicações anteriores encontra-se a igualdade final procurada. Reciprocamente, se são correspondentemente iguais os (P-Q)-ádicos, P−Q

φr

s ... u v

P−Q

ψr

s ... u v

( r, s, ..., u, v = 1, 2, ..., N),

então, em relação aos sistemas recíprocos {n*} e {n*}, o Teor. 1 permite escrever: P− Q

φr

s ... u v

P−Q

ψr

s ... u

n ,

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

expressão na qual está estabelecida uma somatória em r (de 1 até N). Aplicando novamente o Teor. 1 para esses novos (P-Q+1)-ádicos e adotando um novo sistema de vetores recíprocos, {m*}, {m*}, teremos: P− Q

φr

s ... u

n ms =

P−Q

ψr

s ... u

n ms.

Assim, operando com Q sistemas de vetores recíprocos, encontraremos dois P-ádicos iguais, P P φ e ψ , escritos (P-Q)-adicamente em função desses mesmos Q sistemas.

§ 06 - MULTIPLICAÇÃO DE POLIÁDICOS. § 06.01 - Multiplicação simples. As operações denominadas multiplicação ponteada e cruzada, já definidas e estudadas para os vetores e diádicos (Cap.II), já foram estendidas para os poliádicos e vetores em geral no caso de multiplicação ponteada (§02.03). Consideremos a pêntade e a tríade seguintes: abcde e xyz. Podemos efetuar com essas políades a operação de multiplicação ponteada ou cruzada, representadas indiferentemente pelo símbolo ◦, pela seguinte definição: (abcde) o (xyz) = abcd(e o x)yz , onde o produto (e◦x) é um escalar ou um vetor, conforme ◦ esteja representando a multiplicação ponteada ou a cruzada. No primeiro caso, conforme já definimos (§02.01), a posição desse produto é irrelevante (pois representa um escalar); mas no segundo - caso de multiplicação cruzada - a posição desse vetor produto no políade resultado é imutável. Concluímos, logo, que nesse segundo caso, a políade produto tem valência uma unidade menor que a soma das valências das políades fatores; no primeiro caso, a políade produto tem valência duas unidades menor que a soma das valências das políades fatores. Esses conceitos e resultados são válidos, também, quando as políades têm como primeiro conseqüente e/ou primeiro antecedente (§01.04) outras políades. Assim, por exemplo,

(abc 4 φ) o (xyα ) = abc( 4 φ o x)yα isto é, o produto ◦ do 7-ádico multiplicando (que tem um tetrádico como primeiro conseqüente) pelo tetrádico multiplicador (que, por sua vez, tem um vetor como primeiro antecedente) é uma (7 + 4 - 2)-ade no caso de multiplicação ponteada, e uma (7 + 4 - 1)-ade no caso de multiplicação cruzada. Nas aplicações, notadamente em Física, trabalhamos com triádicos, tetrádicos e, no máximo, com hexádicos, representados nas suas várias formas Ni-nomiais; podem, pois, ter como primeiros antecedentes ou primeiros conseqüentes vetores, diádicos etc., até pentádicos. Isto torna o entendimento e os resultados das operações relativamente simples em comparação com operações entre poliádicos em geral as quais aparecem com pouca freqüência; o que justifica um estudo bastante sumário.

IV,§ 06.01

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

Essas operações não são comutativas (em geral), mas são distributivas em relação à adição; podem ser estendidas aos poliádicos porque elas se distribuem em relação à adição de políades. Assim, por exemplo,

se 3φ = a ij gig j

4ψ =

α k β k , (i, j, k = 1,2, ..., Q) então

3φ .4 ψ =

a ij gi (g j . α k )β k .

De um modo geral, o primeiro conseqüente de um P-ádico multiplicando é outro poliádico (de valência menor que P); similarmente, o primeiro antecedente de um Q-ádico multiplicador é também um poliádico (de valência menor que Q). Então, de próximo em próximo, poderemos sempre calcular o produto (ponteado ou cruzado) de qualquer poliádico por outro. Particularmente, do Corol. 1 do Teor.4 do §04 podemos escrever: P

∀ φ:

φ .Ι = Ι . φ =

φ,

(01).

Ainda, ∀φ, ψ , a : i

φ × (ψ . a ) = ( φ × ψ ) . a ,

(02).

Pois, sendo φ = a i b e ψ = c j d , tem-se:

φ × (ψ . a) = φ × [c j (d j . a)] = a i (b i × c j )(d j . a) . Considerando-se a definição de produto ponteado de poliádico por vetor (§02.03), o último membro pode ser escrito na forma [a i (b i × c j )d j ] . a . Agora, considerando a definição de multiplicação simples cruzada de diádico por diádico, concluímos a veracidade de (02). É evidente, ainda, pelos mesmos motivos, que ∀φ, ψ , a :

(a . φ) × ψ = a . (φ × ψ ) ,

(03),

∀φ, ψ , a :

φ × ( ψ × a ) = (φ × ψ ) × a ,

(04),

∀φ, ψ , χ :

φ × (ψ × χ ) = ( φ × ψ ) × χ ,

(05).

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes. Consideremos as políades

abcd ... xyzw , e ... x′y′z′w′ ... d′c′b′a′ de valências P e Q, respectivamente, com, suponhamos, P > Q. Como a, b, c, ... são vetores, essas políades estão escritas em forma P-ária e Q-ária, respectivamente.

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

Definição: Chama-se produto R-plo (duplo, triplo, etc.) da P-ade abcd ... xyzw pela Qade x′y ′z ′w ′ ... d′c′b′a′ , para R ≤ Q, e escreve-se

(abcd ... ... xyzw ) 1 424 3

R o

( ... x′y ′z ′w ′ ... d ′c′b′a′), 14243

R fatores

onde ◦ é o símbolo da operação de multiplicação ponteada ou cruzada de vetores, à políade

abcd... ...(y o y ′)(z o z ′)(w o w ′) ... d ′c′b ′a′ 123 1444 424444 3 14243 , P-R fatores

R fatores

(01),

Q-R fatores

onde, a ordem dos fatores entre parênteses (vetores) deve ser mantida caso representem vetores A multiplicação R-pla de duas políades é a operação que tem por fim gerar o produto R-plo das mesmas. Quando a multiplicação R-pla é a ponteada, o produto é dito produto ponteado Rplo; quando a multiplicação é a cruzada, o produto é dito produto cruzado R-plo. Essa operação múltipla goza das seguintes Propriedades

1ª) - É sempre possível e unívoca. Com efeito, é possível porque, sendo R≤Q (será R≤P), ao (R-j)-ésimo antecedente da políade multiplicadora (no caso, a de menor valência) corresponderá sempre o j-ésimo conseqüente da políade multiplicando (no caso, a de maior valência); logo, é sempre possível a determinação tanto dos R primeiros fatores da políade produto (que são escalares ou vetores) como a dos demais, sem ambigüidade. É unívoca porque todos os fatores da políade produto, sejam eles vetores ou escalares, são determinados de forma única.

2ª) - A multiplicação ponteada R-pla de políades somente será comutativa se ambas as políades tiverem a mesma valência R. Pois,

a b c d ′ ... ... ( y ′. y)( z′. z)( w ′. w ) ... dcba , 1′4′2′ 4 3 1444 424444 3 1 424 3 Q-R fatores

R fatores

P-R fatores

é obviamente diferente de (01) onde se faça o ≡ . . Mas, R

( abcd ... ... xyzw ) ( a ′b′c′d′ ... x′y′z′w ′) = 144 42444 3 . 144424443 R fatores

R fatores

= ( a. a ′)(b.b ′)( c. c ′) ... ... ( y. y ′)( z. z′)( w. w ′) = 14444444442444444444 3 R fatores

IV,§ 06.02

(02),

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

= (a ′. a )(b ′.b)(c ′. c) ... ... ( y ′. y)( z′. z)( w ′. w ) = 144444444 42444444444 3 R fatores

= (a ′b′c′d′ ... x′y′z′w ′) . (abcd ... ... xyzw ) 144424443 144 42444 3, R

R fatores

o que comprova a propriedade.

3ª) - Para a multiplicação cruzada R-pla de políades de valência R, tem-se:

(abcd ... ... xyzw ) ×R (a′b ′c′d ′ ... x′y ′z ′w ′) = 1442443 144424443 R fatores

R fatores

= (a × a′)(b × b ′)(c × c′) ... ... (y × y ′)(z × z ′)(w × w ′) = 1444444442444444443 R fatores

= (−1) R (a′ × a)(b ′ × b)(c′ × c) ... ... (y ′ × y )(z ′ × z )(w ′ × w ). 1444444442444444443 R fatores

Para R ímpar diremos que a multiplicação cruzada R-pla de duas políades é anticomutativa; para R par, ela é sempre comutativa.

4ª) - A operação é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores escalares, o que é evidente.

Definição: Chama-se produto R-plo de um P-ádico ordem, para R≤P e R≤Q, e se indica por: Pφ

R o

Pφ

φ por um Q-ádico

Qψ

Q ψ,

ψ nessa

o poliádico que se obtém efetuando-se as somas das políades produto R-plo de cada políade de P φ por cada políade de Q ψ . A multiplicação R-pla do poliádico por fim gerar o produto R-plo deles.

Pφ

φ pelo poliádico

Qψ

ψ é a operação que tem

Essa operação é sempre possível porque é sempre possível reduzir qualquer S-ádico a uma forma que contenha R vetores de base como antecedentes ou como conseqüentes (desde que R ≤ S), o que possibilita a aplicação da definição (01). Resultam logo de (02): Pφ

Pψ= Pψ

Pφ ,

(021),

e P φ P Pψ ×

= (−1) P

Pψ P ×

Pφ

(022).

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

Pode acontecer que a representação de alguma das políades fatores contenha letras que representem outras políades, como a bc 3φ α β , em que o primeiro e o segundo conseqüentes são diádicos, o terceiro conseqüente um triádico, e os demais são vetores. Nesse caso será necessário dar aos diádicos uma representação N-nomial e ao triádico uma representação N2-nomial, ou N3-nomial, antes de proceder-se a operação. Com efeito, sem o que não se aplica a definição representada pela expressão (01). Entretanto, poderão ocorrer casos de multiplicação possíveis com políades expressas em função de outras políades, desde que haja compatibilidade da multiplicidade das operações indicadas com as valências das políades componentes das políades fatores. Exemplo: 3

7 3

abc φαβ ψ γ δ y z. . Nesta multiplicação ponteada 7-pla, os três primeiros conseqüentes da políade multiplicando têm valências 2, 2 e 3; os três primeiros antecedentes na políade multiplicadora têm valências 3, 2 e 2. Em ambos os casos, a soma das valências é 7, e as valências se correspondem em ordem inversa; o que possibilita escrever, imediatamente: 3

7 3

abc φαβ ψγ δ yz= . 3

3 3

= a b c( φ ψ)(α : γ )( β : δ ) y z = ( φ ψ)(α : γ )( β : δ ) a b c y z . . . Com efeito, se pusermos, para atender às condições da definição (01): 3

φ = d e f , α = g h , β = i j, e

ψ = k l m , γ = n o , δ = p q,

escreveremos: 3

7 3

abc φαβ ψγ δ yz= . 7

=abcdefghij k l m n o p q y z = a b c ( d.k )( e.l )( f.m )( g.n )( h.o)( i.p )( j.q) y z. 14243 . 14 4244 3 7 fatores

7 fatores

Mas

(d e f g h i j) 7. (k l m n o p q ) = (d.k )(e.l )(f.m )(g.n )(h.o )(i.p )( j.q ) = [(d.k )(e.l )(f.m )][(g.n )(h.o )][(i.p )( j.q )] = [(d e f )

3 .

(k l m )][(gh ) : (no )][(ij) : (pq )],

resultado que comprova a assertiva. Outros casos de multiplicação poderão ocorrer em que o cálculo do produto poderá ser conduzido de maneira bastante próxima da anteriormente considerada, eventualmente sem uma simplificação satisfatória. Exemplo:

a b c 3φ α 5β

IV,§ 06.02

6 o

ψ γ 3δ x y z w .

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos e matrizes.

Nesse caso a soma das valências dos dois primeiros conseqüentes da políade multiplicando, 7, é maior que R = 6; e a soma das valências dos dois primeiros antecedentes da políade multiplicadora, 4, é menor que R. Ponhamos, então, para podermos aplicar (01),

α = d e,

β = f g h i j,

ψ = k l,

γ = m n,

δ = o p q.

Teremos:

a b c3 φ α 5 β

6 o

ψγ 3 δ x y z w = abc 3 φd (efghij)

6 o

(klmnopqxyz w ) =

= a b c 3 φ d (e f g h i j) o6 (k l m n o p ) q x y z w = = a b c 3 φ d [(e o k )(f o l )(g o m )(h o n )(i o o )( j o p )] q x y w É impossível descobrir dentro dos colchetes operações simples ou múltiplas envolvendo todas as políades componentes das políades fatores que possam simplificar o resultado. Essas multiplicações nem sempre são associativas, mesmo nos casos em que os fatores têm as mesmas valências. Entretanto, para os poliádicos de valência par, 2H, em multiplicação H-pla (ponteada ou cruzada), é fácil comprovar que: 2H α H o

( 2H β

H 2H γ ) o

= ( 2H α

H 2H β) H 2H γ o o

(03).

Em algumas ocasiões estaremos efetuando multiplicações com poliádicos expressos em formas Ni-nomiais em relação aos mesmos sistemas recíprocos de vetores; o que, em geral, reduz substancialmente os cálculos a efetuar e os resultados. Exemplos 1: (nos quais {g* } e {g*} são sistemas recíprocos) 1.1) - Seja calcular 3 φ : ψ , sendo 3φ

= Fi jk gig jg k e ψ = P r s g r gs .

Tem-se, aplicando a definição (01): 3

φ : ψ = Fi jk gig jg k : P rs g r gs = = Fi jk P rs g i (g j .g r )(g k .gs ) = Fi jk P rs δ jr δ ks g i = = Fi jk Pj k gi = Ci g i , sendo Ci = F i jk P j k . 1.2) - Se 4 φ = a rs t g r g sg t e 3

ψ = Pijk g i g jg k , então: r t

a) - 4 φ . 3 ψ = Pi k a s δ r i δ

i k

δ t k = Pi k a j

(vetor);

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

b) - 4 φ

× 3ψ ×

= Pi jk a rs t g r (g s × gi )(g t × g j )g k (pentádico).

Teor. 1: (produto ponteado nulo) Pβ Q

Q χ = P−Q Ο

⇐ ∀

Qχ

P β= PΟ .

⇒

Pois, sendo P

φ = a i b jc k ... y i z j w k ... 14243

χ = y′ u z′v w ′ w ... , 14 4244 3

Q fatores

deve ser P

φ Q.

χ = a i b jc k ... (y i .y ′ u )(z j .z ′v )(w k .w ′ w ) ... = 1444442444443

P −Q

Ο.

Q fatores escalares

Nenhum dos fatores escalares de cada políade é necessariamente nulo, porque o poliádico multiplicador é qualquer. Então, para que o poliádico produto seja nulo, cada políade do poliádico multiplicando deve ter um vetor fator nulo, o que implicará a sua nulidade. A demonstração da recíproca é imediata.

Definição: (poliádicos perpendiculares) Se o produto ponteado Q-plo de dois Q-adicos é nulo eles são ditos ortogonais ou perpendiculares. Caso de igualdade de poliádicos

Teor. 2: A CNS para sejam iguais dois P-ádicos, P φ e P ψ , é que nas mesmas condições de multiplicação ponteada R-pla (P, Q ≥ R), seus produtos por um Q-ádico qualquer sejam (P + Q - 2 R)-ádicos iguais:

 P φ R.   Pφ= P Q ψ ⇐ ∀ χ ⇒  Q R  χ .  A condição é necessária, porque se, digamos,

( P φ − P ψ ) R.

Qχ = Pψ R Qχ

ψ .

(04).

P φ = Q χ R P ψ. P

χ .

φ R.

Q χ = P + Q − 2R Ο

χ = P ψ R.

χ , então:

condição que só se verifica se o poliádico entre parênteses for o poliádico nulo de valência P (Teor. 1); o que implica a tese. A condição suficiente é de demonstração evidente7. 7 No caso particular em que Q = 1, o poliádico é um vetor e o teorema fica reduzido à definição de § 02.04.

IV,§ 06.02

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

Matriz associada a produtos ponteados. Sejam Pα

α=A

h j ... r t i k s

(R ≤ P),

e h e i ... e k ... e r e s e t 14 4244 3 R fatores

e Q

β=B

k 1 ... s1 j1 r1

t 1 i1

(R ≤ Q)

e k ... e 1 e s e 1 e j e 1 e h , 1 1 11 44244 3 1

R fatores

Tem-se: P

α .

R Q

β=

A hi jk ... r s t

R fatores 644 4 7444 8

k 1 ... s1 j1 h1 r1 t 1 i1

δ kk ... δ rr1 δ s s δ 1

t1 t

e e i e j ... e j e i1 e h . 1 1h44 42444 3 1 P+Q-2R fatores

Efetuando-se as somas indicadas resulta: P

α R.

Representando por C hi j

β = A hi jk ... r s t ... j1 h1 i1

k ... s j1 h1 r t i1

e h e i e j ... e j e i1 e h . 1

a coordenada geral do produto, a lei geral de formação

dessas coordenadas é dada por:

C hi j ....

j1 h 1 i1

= A hi jk ... r s t B

k ... s

j1 h1

r t i1

(05).

Teor. 3: Quando os poliádicos são ambos de mesma valência par, 2H, e a multiplicação ponteada é H-pla (metade da valência), a matriz mista 3H x 3H de certo nome, associada ao poliádico produto (numa certa base vetorial), é igual ao produto, na mesma ordem, das matrizes 3H x 3H homônimas das matrizes associadas a cada poliádico (na mesma base vetorial): 2H

α H.

β=

⇒

[ 2H α ] 3H . [ 2H β ] 3H = [ 2H γ ] 3H , 3

(051).

Com efeito, tendo os poliádicos valências pares iguais, e estando escritos em formas cartesianas homônimas numa mesma base vetorial, os i-ésimos dos H conseqüentes do 2Hádico multiplicando têm seus índices em níveis opostos aos dos índices dos (H - 1)-ésimos antecedentes do 2H-ádico multiplicador. Na expressão cartesiana do produto ponteado Hplo desses poliádicos ocorrerão necessariamente H deltas de Kronecker que acarretam as igualdades desses índices assim correspondentes nas expressões cartesianas de cada poliádico. Como índice(s) repetido(s) em níveis diferentes implica somatório, a expressão encontrada do produto impõe que a composição da matriz produto seja realizada da mesma maneira como se multiplicam ordinariamente as matrizes. De fato, pois os H últimos índices das coordenadas numa linha qualquer da matriz multiplicando são iguais aos H primeiros índices de uma coluna qualquer da matriz multiplicadora.

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

Exemplos 2: 2.1) - Se 4 Η = H h i j k e h e i e j e k e

Γ = G r s t u e r e s e t e u , tem-se:

 H1111 H1112   H1211 H1212 [ 4 Η ∗∗ ∗∗ ] =   ... ...   H 33 H 33 12  11

... H1133   ... H1233   ... ...   ... H 3333 

G1111 G1112 ... G1123 ... G1133    G1211 G1212 ... G1223 ... G1223  . [ 4 Γ ∗∗ ∗∗ ] =   ... ... ...    G 33 G 33 ... G 33 ... G 33  12 23 33   11 Sendo 4φ

φ = 4Η : 4Γ = Hh ij k G

jk tu

e h e i e t e u = ( H h i 11 G 11 t u + H h i 12 G 12 t u + + ... + H h i 3 3 G 3 3t u )e h e i e t e u = F h it u e h e i e t e u ,

tem-se, por exemplo:

F 1223 = ( H 12 11 G 11 23 + H 12 12 G 12 23 + ... + H 12 3 3 G 3 323 ) elemento esse igual ao produto da segunda linha de [4H****] pela sexta coluna de [4Γ****]. 2.2) - Se 7 Η = H h ij kl mn e h e i e j e k e l e m e n e

Γ = Grs

t v u w

e r e se t e u e v e w ,

então: 7

Η 3. 6 Γ = H hi j kl mn G rs

t v u w

δ r l δ msδ t n e h e i e j e k e u e v e w =

= H h ij

k m l n

G l mn uv w e h e i e j e k e u e v e w .

No caso geral de poliádicos de valências distintas em multiplicação ponteada de qualquer ordem, o estabelecimento da matriz associada ao produto requer uma ampliação da operação de dupla multiplicação ponteada matricial estuda no §09.11,Cap.II,Vol.I; pois, apenas com esta operação e com a multiplicação ponteada (simples) de matrizes, nem sempre é vantajosa, ou possível, a representação matricial desses produtos.

Definição: Diremos que duas matrizes são multiordinais quando os números de linhas e colunas de uma são múltiplos dos seus correspondentes da outra.

IV,§ 06.02

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

Assim, são multiordinais as matrizes [B] QP (de P linhas e Q colunas) e [ A ] MQ se L e M são LP inteiros. É evidente que a matriz [ A ] MQ pode ser decomposta em LM blocos de P linhas e LP Q colunas, isto é, [ A ] MQ é uma matriz de L linhas e M colunas cujos elementos são LP matrizes Aij de P linhas e Q colunas.

Definição: Chama-se duplo produto ponteado das matrizes multiordinais [ A ] MQ e LP

[B] QP nessa ordem, e representa-se por [ A ] MQ : [B] QP , à matriz de L LP linhas e M colunas cujos elementos sejam os duplos produtos ponteados de cada submatriz [ A ij ] QP de [ A ] MQ , com i = 1, 2, ..., L e j = 1, 2, ..., M, LP pela matriz [B] QP . Assim,

 [A11 ]Q P  [A ]Q  21 P  ...  [ Q  A L1 ]P

[A12 ]QP [A 22 ]QP ...

[A L2 ]QP

... ...

[A1M ]QP   [A 2M ]QP 

... ...   Q ... [A LM ]P  LP

[ ] [ ]

Q  Q  A 11 P : [ B] P Q  Q =  A 21 P : [ B] P  ... Q  Q  A L1 P : [ B] P

[ ]

: [B]QP =

[A ] [A ]

12 P Q 22 P

[A ]

Q : [ B] P

...

[ B] QP

...

... Q

L2 P

...

Q : [ B] P

...

[A ] [A ] 1M

[A ] LM

Q  : [ B] P  P Q Q : [ B] P  . P  ... Q Q : [ B] P  L P

A dupla multiplicação ponteada de matrizes multiordinais é a operação que tem por fim determinar o duplo produto ponteado dessas matrizes. Essa operação é sempre possível, unívoca, comutativa, distributiva em relação à adição de matrizes, mas em geral não é associativa. Exemplo 3 (numérico):

1 4 3 5 

2 −1 2 −1

3=3x1

3 1 2  1x2 + 4x1 0 :  1  =  3x2 + 5x1 1 2 0 4=2x2

2x2 + (-1)x1 2x2 + (-1)x1

3x2 + 0x1  6 = 1x2 + 0x1 11

3 3

6 . 2 

Com essa operação de dupla multiplicação ponteada matricial de matrizes multiordinais, as matrizes associadas aos produtos ponteados de poliádicos podem ser escritas com facilidade. De imediato devemos observar que quando a multiplicação

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

ponteada entre os poliádicos é simples, as matrizes dos poliádicos fatores são multiplicadas em multiplicação matricial simples; quando essa multiplicação é no mínimo dupla, as matrizes dos poliádicos são multiplicadas na forma dupla. Exemplo 4: Consideremos o produto de valor diádico

ψ = 3 φ . r = ( A ijk e i e j e k ) . ( R m e m ) , ou seja, ψ = A ijk R k e i e j . A matriz associada ao diádico ψ pode ser expressa na forma

[ ψ∗∗ ] 33

 A 111  A 112  113 A  211 A  =  A 212  A 213  A 311  A 312  A 313 

A 121 A 122 A 123 A 221 A 222 A 223 A 321 A 322 A 323

3=3x1

A 131  A 132   A 133 1 R  231  A  1  A 232  : R 2  , A 233   R 3  3 A 331  332  A A 333  9=3x3

ou, na forma 9=3x3

[

]

3 ψ∗∗ 3

 A 111 A 112 A 113 A 121 A 122 A 123 A 131 A 132 A 133  3 =  A 211 A 212 A 213 A 221 A 222 A 223 A 231 A 232 A 233  : R1 R 2 R 3 . 1  A 311 A 312 A 313 A 321 A 322 A 323 A 331 A 332 A 333  3=3x1

[

]

Devemos observar que, nesse exemplo, cada coordenada do diádico produto é função de todas as coordenadas do vetor fator. Exemplo 5: O produto 3 α : β , com 3 α = A ijk e i e j e k e β = B rs e r e s , é o vetor

v = A ijk B jk e i = V i e i . Matricialmente a expressão acima pode ser representada na forma:

V   1 V  2  V3  3

ou, na forma

IV,§ 06.02

 A 111  A 121  A 131  A 211 =  A 221  A 231  A 311  A 321  A 331

A 112 A 122 A 132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

1x3

A 113  A 123  A 133  B A 213   11 223 A  : B 21  A 233   B 31 A 313  A 323  A 333  3x3

B12 B 22 B 32

B13   B 23 ,  B 33  3

§ 06.02 - Multiplicação múltipla simples e dupla de poliádicos.

]

V2 V3 1 = 9 = 3x3

A111 A112 A113 A211 A212 A213 A311 A312 A313   = A121 A122 A123 A221 A222 A223 A321 A322 A323 A131 A132 A133 A231 A232 A233 A331 A332 A333  3 =1x3

B11 B12 B13 : B21 B22 B23 , B31 B32 B33 3

não sendo estas as únicas formas. Observemos que, também nesse exemplo, cada coordenada do vetor produto é função de todas as coordenadas do diádico fator. Exemplo 6: Para esses mesmos poliádicos temos, por outro lado: 3

φ = 3 α . β = A ijk B ks e i e j e s ,

expressão poliádica esta cujo equivalente matricial é

[ 3 φ] 39

 A 111  A 121  131 A  211 A  =  A 221  A 231  A 311  A 321  A 331 

A 112 A 122 A 132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

A 113  A 123   A 133 3  B B B  A 213  11 12 13   A 223  .  B 21 B 22 B 23  . A 233   B 31 B 32 B 33  3 A 313  323  A A 333  9

Observa-se, nesse caso, que cada coordenada do triádico produto não é função de todas as coordenadas do diádico fator (apenas de algumas). Outros exemplos com poliádicos de valências maiores e com multiplicações ponteadas de maiores ordens poderiam ser facilmente estabelecidos, como a seguir. Exemplo 7: Se 4 α = A hijk e h e i e j e k e β = B rs e r e s , então

4 α : β = A hijk B

jk e h e i

. A matriz associada ao

produto pode ser calculada em função das matrizes associadas aos fatores por dois caminhos:

[ 4 α : β]=  A1111  A1121  1131  A 2111 A = A 2121 A 2131  A 3111  3121  A 3131  A

A1112 A1122 A1132 A 2112 A 2122 A 2132 A 3112 A 3122 A 3132

uma matriz 3x3; e

A1113 A1123 A1133 A 2113 A 2123 A 2133 A 3113 A 3123 A 3133

A1211 A1221 A1231 A 2211 A 2221 A 2231 A 3211 A 3221 A 3231

A1212 A1222 A1232 A 2212 A 2222 A 2232 A 3212 A 3222 A 3232

A1213 A1223 A1233 A 2213 A 2223 A 2233 A 3213 A 3223 A 3233

A1311 A1321 A1331 A 2311 A 2321 A 2331 A 3311 A 3321 A 3331

A1312 A1322 A1332 A 2312 A 2322 A 2332 A 3312 A 3322 A 3332

3x3

A1313  A1323   A1333  3 2313  B11 B12 B13  A  A 2323  : B21 B22 B 23  , B B B  A 2333   31 32 33  3 3313  A  A 3323  3333 A  3x3 ,

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

 A1111  A1211  1311  A 2111 A 2211 A A 2311 A 3111  3211 A 3311 A

A1112 A1212 A1312 A 2112 A 2212 A 2312 A 3112 A 3212 A 3312

A1113 A1213 A1313 A 2113 A 2213 A 2313 A 3113 A 3213 A 3313

A1121 A1221 A1321 A 2121 A 2221 A 2321 A 3121 A 3221 A 3321

A1122 A1222 A1322 A 2122 A 2222 A 2322 A 3122 A 3222 A 3322

A1123 A1223 A1323 A 2123 A 2223 A 2323 A 3123 A 3223 A 3323

A1131 A1231 A1331 A 2131 A 2231 A 2331 A 3231 A 3231 A 3331

A1132 A1232 A1332 A 2132 A 2232 A 2332 A 3132 A 3232 A 3332

A1133   B11  A1233   B12     A1333   B13  A 2133   B21  A 2233  .B22  , A 2333   B23  A 3133   B31     A 3233   B32  3333 A  9  B33  9

uma matriz 9x1. Deve ser observado que as matrizes associadas aos poliádicos num caso e noutro são montadas por caminhos diferentes; a do segundo caso corresponde ao critério adotado no (§03.04) para ser usada em multiplicação ordinária. Deve ser observado também que, decomposta a matriz associada no primeiro caso em 9 submatrizes 3x3 – compondo-se, assim uma matriz 3x3 cujos elementos são matrizes 3x3 –, as submatrizes são formadas com as linhas da matriz do segundo caso. Nota: A segunda maneira de calcular-se o produto ponteado dos poliádicos deste exemplo 7 requer representações de poliádicos em bases poliádicas, como veremos oportunamente (§09.02).

Exemplo 8: Se 4 α = A hijk e h e i e j e k e 4 β = Brstu e r ese t e u , então 4 α : 4 β = A hirs Brstu e h ei e t e u . A matriz associada ao produto, de elemento genérico Chitu, pode ser calculada em função das matrizes associadas aos fatores devidamente preparadas. Montemos, a partir da matriz 9x9 [Ahijk] associada a 4α (segundo o critério adotado no §03.04), a submatriz 3x3: Ahirs, tendo o par (h,i) fixo, digamos h=1, i=2; ou seja, a matriz: A12rs. Essa matriz será montada, evidentemente, com os elementos da segunda linha do primeiro bloco horizontal de [Ahijk]. Montemos também, a partir da matriz 9x9 [Brstu] associada a 4β , a submatriz 3x3, digamos Brs23, com os elementos da terceira coluna do segundo bloco vertical. Temos então as matrizes: 12rs

A1211 A1212 A1213  ] = A1221 A1222 A1223   1231 1232 1233  A A  A 

 B1123 B1223 B1323  e [B rs23 ] = B 2123 B 2223 B 2323  , B   3123 B3223 B3323 

cujo duplo produto (duplo), [A12rs]:[Brs23], dá como resultado o número C1223 que, na matriz 9x9 associada ao produto (duplo) dos tetrádicos, deve ocupar posição no primeiro bloco horizontal (1), segunda linha (2), segundo bloco vertical (2) e terceira coluna (3). Compare este resultado com o obtido no exemplo 2.1. Consideremos agora a matriz 27x3 cujos elementos sejam as matrizes 3x3 do tipo [A12rs] dispostas na vertical, ou seja, a matriz cujos 9 elementos sejam, ordenadamente: [A11rs], [A12rs], ..., [A33rs]. Consideremos também, analogamente, a matriz a matriz 3x27 cujos elementos, dispostos na horizontal, sejam, ordenadamente, as matrizes 3x3: [Brs11],

IV,§ 06.02

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos.

[Brs12], [Brs13], ..., [Brs33]. Nestas condições é possível calcular o duplo produto dessas matrizes – uma matriz 9x9 – posto que seus elementos correspondentes sejam todos de ma ordem. Tem-se:

[A11rs ]  12rs  [A13rs ] [A ] : [[Brs11 ] [Brs12 ] [Brs13 ] ... [Brs33 ]] =  ...  [A 33rs ]   [A11rs ] : [Brs11 ]  12rs [A ] : [Brs11 ]  13rs = [A21rs ] : [Brs11 ] [A ] : [Brs11 ] ...  [A 33rs ] : [B ] rs11 

[A11rs ] : [Brs12 ] [A12rs ] : [Brs12 ] [A13rs ] : [Brs12 ] [A 21rs ] : [Brs12 ] ... 33rs [A ] : [Brs12 ]

[A11rs ] : [Brs13 ] ... ... [A11rs ] : [Brs33 ]  [A12rs ] : [Brs13 ] ... [A12rs ] : [Brs33 ] [A13rs ] : [Brs13 ] ... [A13rs ] : [Brs33 ] ,  ... ... ...  ... ... ...  [A 33rs ] : [Brs13 ] ... [A 33rs ] : [Brs33 ]

sendo esta a matriz (9x9) associada ao duplo produto dos tetrádicos. Notar que a multiplicação simples entre matrizes, realizada no exemplo 2.1, pode ser substituída por uma multiplicação dupla apresentada neste exemplo. Em muitas situações as submatrizes originadas do “preparo” de uma matriz 9x9 podem assumir formas simples (matrizes zero, unidade, simétricas etc.), casos em que a obtenção do produto pode ser mais rápida e menos cansativa pelo caminho aqui apresentado. No §14.02 faremos uma aplicação dessa operação. * Multiplicação múltipla dupla

Definição: Os produtos duplos (P+Q)-plos entre políades (de valências não menores que P+Q), são definidos pela expressão: Q

(rst... ...cba

...efg) oP ( ... uvx ...yzw ...lmn ) =

123 1 424 3 P fatores

= rst...

Q fatores

1 424 3 123 Q fatores

P fatores

(06),

...(c*y )(b*z )(a*w ) ...(e o u )(f o v )(g o x) ...lmn 144 42444 3 144424443 P fatores

Q fatores

na qual, como sempre, os sinais ◦ e ∗, distintos, podem representar tanto a multiplicação ponteada quanto a cruzada, e as ordens dos fatores são imutáveis, excetuado para os fatores produto ponteado. A multiplicação múltipla dupla, (P+Q)-pla, entre poliádes é a operação que tem por fim determinar o produto (P+Q)-plo dessas políades. O produto duplo (P+Q)-plo dos poliádicos de valência P+Q+A e P+Q+B, com A>1 e B>1, é um poliádico de valência no mínimo igual a 3P+A+B, ou 3Q+A+B.

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

Propriedades dos produtos duplos (P+Q)-plos

1°) - A multiplicação (P+Q)-pla de poliádicos de valência pelo menos iguais a P+Q é sempre possível e unívoca; 2°) - É operação não comutativa em relação às políades e em relação aos símbolos operatórios ( oQ e ∗P ); 3°) - A multiplicação (P+Q)-pla é distributiva em relação à adição de políades e associativa em relação a fatores numéricos. Desta última propriedade podemos estender a operação acima definida para os poliádicos, isto é, podemos definir os produtos duplos (P+Q)-plos entre poliádicos e a multiplicações (P+Q)-plas entre poliádicos. Não vamos detalhar o estudo desta operação porque ela não apresenta utilidade prática. * § 06.03 - Potenciação de poliádicos. Definiremos duas potências distintas para dado poliádico, a partir das definições de multiplicações múltiplas (com poliádicos iguais), todas elas, entretanto, tendo como resultado um poliádico de mesma valência que o poliádico dado. Esse condicionante limita a quantidade dessas potências a não mais que duas. Recordemos inicialmente que as multiplicações múltiplas, quando possíveis, em geral não são associativas, mas há exceções (§06.02). Particularmente,

( 2H φ H. (P φ

φ ) H.

φ =

P P φ) P P φ × ×

φ H. ( 2H φ H.

Pφ P ×

(P φ

P P φ) ×

φ ),

Definição: Chama-se potência ponteada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do . 2H poliádico de valência par φ , e representa-se por 2H φ Q (lendo-se: fi 2H, Q ponto), o poliádico (de valência 2H) produto ponteado H-plo de Q fatores 2H φ: 2H φ

2H φ

φ H. 2H φ H. ... H. 2H φ , 1444 424444 3

(01),

Q fatores

lendo-se o segundo membro na forma:

IV,§ 06.03

φ H ponto

φ , H ponto

φ , ... .

§ 06.03 - Potenciação de poliádicos.

Chama-se potência cruzada Q-pla (ou potência de expoente Q>1) do P

poliádico de valência P,

φ , e representa-se por

φ Q (lendo-se: fi P, Q P

cruz), o poliádico (de valência P) produto cruzado P-plo de Q fatores φ : P

φ Q = P φ ×P P φ ×P ... P φ , 144 42444 3

(02).

Q fatores 2H

Por definição, toma-se φ 1 = φ porque não existe produto múltiplo com um só fator. Para Q=2,3,4 ... as potências assumem os nomes de quadrado, cubo, quarta × . 4 potência etc. Assim 4 φ 2 e 4 φ 2 são os quadrados ponteado e cruzado de φ .

4φ

. 2

4 φ •3 3φ

Denominaremos também, simplesmente, a potência ponteada, de potência; assim . = 4 φ : 4 φ é o quadrado de 4 φ , 8 φ 2 = 8 φ 4. 8φ é o quadrado de 8 φ , ×

= 4 φ : 4 φ : 4 φ é o cubo ponteado de φ ; 3 φ 2 = 3 φ

3 3 φ ×

é o quadrado cruzado de

etc.. Propriedades

1ª) - As potenciações são sempre possíveis e unívocas. 2ª) - As potências pares são positivas; as ímpares têm o sinal da base: •

(− 2 H φ) Q = (−1) Q 3ª) - Tem-se:

•

φ ( A + B) ≡

φ ( A + B) =

•

φQ ,

(− 2 H φ) Q = (−1) Q

•

φ ( A+B) = ×

•

φA ×

φ ( A+B) =

φAB

φ ( AB) = ( 2H φ A ) B ≡

φA

φQ ,

(04).

•

H 2H B φ •

H 2H B φ ×

(05).

o o

Pois, aplicando a definição (01) escrevemos, para o caso de potência ponteada: 2H

. φ (A + B) =

φ H. 2H φ ... H. 2H φ = 14 4 42444 3 A + B fatores

φ . φ ... H 2H φ H. 14 4424.44 3

H 2H

A fatores

φ H. 2H φ ... H. 2H φ = 14 442444 3

. φ .

2H A H 2H B

B fatores

Para o caso da potência cruzada a demonstração é semelhante.

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

Tem-se, ainda aplicando a definição (01): 2H

. φ (AB) =

φ H. 2H φ ... H. 2H φ = 144 42444 3 AB fatores

φ . φ ... H 2H φ H. 144424. 44 3

φ H. 2H φ ... H. 2H φ H. ... H. 2H φ H. 2H φ ... H. 2H φ , 14 442444 3 14442444 3

H 2H

A fatores

com B fatores formando potências com A fatores. Reaplicando a definição (01), .

encontramos em cada grupo de A fatores,

φ , e em todo o segundo membro, um produto .

múltiplo ponteado H-plo dos poliádicos demonstradas de forma análoga.

φ ; donde, então, a tese. As demais fórmulas são

As fórmulas do conjunto (05) podem ser generalizadas com facilidade; tem-se: 2H

. φ (A + B+C+...) =

2H ( A + B+...) ×

o o

2H AK

. φ B H.

φ ( ABC...) ≡ Como casos particulares, temos: φ (KA) =

= 2H φ ( A + B+...) = 2H φ A

. φ A H.

φ ABC... =

. φ C H. ...

H 2H ×B H φ × ×

oo o

φ AB C

... ,

(06).

...

2H KA

××

φ (KA) = P φ AK = P φ KA ,

(07).

K} fatores 2H

φ(A

K o

)

o o o

φ AAA

o 2H +1 (KA)×

...

, 2H +1

o o AK ∗

φ∗

o o KA ∗

2H +1

φ∗

Exemplo: ×

φ = 4 φ ×4 4 φ ×4 4 φ ×4 ... ×4 4 φ = 14444244443

4 8

4 (2×4)×

××

4 24

×××

××

= 4 φ 222 = 4 φ 42 .

8 fatores

4ª) - A potenciação R-pla ponteada ou cruzada de poliádicos de mesma valência é distributiva em relação à multiplicação múltipla de mesmo nome desses poliádicos:

IV,§ 06.03

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

( 2H φ H. (P φ

. ψ) R = ×

P P ψ) R ×

. φR ×

= Pφ R

. ψR = ×

. ψ R H.

P P R ψ ×

= Pψ R

. φR ,

(08),

P P R φ ×

(09).

Pois

( 2H φ H.

2H ψ) R.

= ( 2H φ H. =

2H φ

2H ψ) H

2H H . ( φ .

2H ψ) H

H 2H φ

H 2H ψ H

2H ψ

H 2H H . ... . ( φ .

ψ . ...

2H ψ)

ψ =

2H φ H 2H ψ,

φ .

existindo, neste último membro, R fatores φ e R fatores ψ . Como essas multiplicações são comutativas (todos os poliádicos têm a mesma valência par, 2H, e a multiplicação é H2H 2H pla) poderemos agrupar todos os φ ou todos os ψ como primeiros fatores; e escreveremos:

(

H 2H

φ .

. R 2H H 2H H H 2H H 2H H 2H H H 2H ψ) = ( φ . φ . ... . φ ) . ( ψ . ψ . ... . ψ), 1444424444 3 14444244443 R fatores

R fatores

donde a tese. Analogamente pode ser demonstrada (09). Potenciação ponteada poliádica e potenciação matricial. Em vista do Teor.3, §06.02, a expressão matricial do 2H-ádico potência ponteada Q de um 2H-ádico, é obtida multiplicando-se, na forma clássica, a matriz do 2H-ádico base por ela própria Q vezes; então, em coordenadas cartesianas, a matriz associada a um poliádico potência é obtida pela potenciação matricial:

. [( 2H φ ) Q ] =[ 2H φ ] . [ 2H φ ] . ... . [ 2H φ ] =[ 2H φ ]Q , 1444 424444 3

(11).

Q fatores

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico. A operação de multiplicação ponteada permite generalizar a noção de função vetorial linear (de valor vetor) e argumento vetor criada no Cap. II,Vol.I, geometricamente estudada no Cap. III,Vol.I, e a noção de função poliádica linear (de valor poliádico) e argumento vetor criada no §02.03. Recordemos inicialmente que uma função é um liame entre duas entidades (variáveis), no caso, entre um poliádico, digamos P φ , com outro poliádico, digamos Q χ . O mesmo liame deve existir, equivalentemente, entre as coordenadas cartesianas desses

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

poliádicos (em bases vetoriais recíprocas quaisquer previamente estipuladas). Quando essas coordenadas estão ligadas por funções lineares (caso em que só aparecem com expoente um nessas funções), dizemos que a função que liga esses poliádicos é linear, tem argumento poliádico (ou a variável independente é um poliádico) e valor poliádico (a variável dependente é um poliádico); representamos isso, sinteticamente, escrevendo: P

φ=

Λ ( Q χ) ,

em que P Λ ( ) é o símbolo usado para representar a função linear de valor poliádico de valência P.

Teor. 1: Se certo poliádico P φ é função linear de certo poliádico Q χ e, digamos, P≥Q, então existe um e apenas um poliádico S′ ψ que não depende de Q χ nem de P φ , e certa ordem S ≤ S ′ de multiplicação ponteada, com S ≤ Q tais, que P φ = S′ ψ S. Q χ , ou seja: P

φ = PΛ ( Q χ), P ≥ Q

⇒

⇒ ∃ S′ ψ indep. de P φ e Q χ, e S ≤ S′, S ≤ Q

φ = S′ ψ S. Q χ,

(01).

Se P φ é função linear de Q χ , com P≥Q, então, em bases vetoriais recíprocas arbitrárias, cada uma das 3P coordenadas de P φ é uma combinação linear única de pelo menos 3S das 3Q coordenadas de Q χ (∀S ≤ Q) ; e os coeficientes dessa combinação não dependem das coordenadas de P φ , nem das de Q χ . Escrevendo Pφ

φ = F ab ...

f r ... u g s t

e a e b ... e f e g e r e s ... e t e u 14243 (Q − S) fatores

e ordenando as coordenadas de Q χ , de que dependem as de P φ para que se correspondam com os primeiros S índices da expressão cartesiana, escrevemos também: Qχ

χ = X mn ...

p r ... u q s t

e m e n ... e p e q e r e s ... e t e u 14243 . (Q −S) fatores

Então existe um e um único conjunto de coeficientes de proporcionalidade, C a b ...

f m p , g n .... q

com P+Q - 2S índices tais, que

F ab ...

f r ... u g { s t

= C

Q − S indices

IV,§ 06.04

m p n .... q

b ... g 123

P − (Q − S) indices

m p r ... u n ... q s t ,

123

S indices

(011),

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

expressão em que, para dado conjunto de P-(Q-S) índices a,b,...,f,g, e os (Q-S) outros r,s,...,t,u, está estabelecida uma somatória nos S índices (repetidos) m,n,...,p,q através dos 3P-Q+2S coeficientes C a b ... fg m n .... pq (que não dependem dos X mn ... pq rs ...tu nem dos

F ab ...

f r ... u g s t

). Esta expressão (011) representa um sistema de P-(Q-S) equações lineares

com P incógnitas (os números C) Assim, multiplicando ambos os membros de (011) pela P-ade de base

ea e b ... e f eg e r es ... e t e u 14243 Q-S

e somando em a, b, ...f, g, r, s, ..., t, u teremos formado no primeiro membro o poliádico P φ . Aplicando propriedades dos vetores recíprocos e lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02), o segundo membro pode ser escrito na forma:

Ca b ...

f x z g y .... w

ea e b ... e f eg e xe y ... e ze w S. X mn ... pq rs ... tu e me n ... e peq e r es ... e t e u , 14243 14 4244 3 S

ou seja, na forma de um produto ponteado S-plo do poliádico de valência S'= P – Q + 2S, único (para dado S), S′

ψ = C a b ...

f x z g y .... w

123

e a e b ... e f e g e x e y ... e z e w 14243 S fatores

S fatores

pelo poliádico

χ ; o que comprova a tese.

Notas: Q

1 - Se cada coordenada de φ é função de todas as coordenadas de χ , então, na demonstração anterior deverá ser S=Q, logo S'=P+Q; 2 - Os exemplos 2, 3 e 4 apresentados no §06.02 mostram algumas situações particulares relativas a esse teorema.

Para P e Q variáveis até 4, logo S' variável até 7, podemos organizar a Tabela 5 apresentada no final do capítulo, que mostra alguns modos (não todos) de expressão da função linear P φ = PΛ ( Q χ ) . De um modo geral, se 2Q é a valência de um poliádico (logo Q ≥ 0, finito), e se J é a ordem de multiplicação ponteada múltipla entre poliádicos (logo J ≥ 0, finito) , então, para qualquer K tal que 2Q + K

deve ser

J 2J − K χ, .

−2Q ≤ K ≤ J ,

(02), (03).

Com efeito, além das condições já estabelecidas para J e Q, a possibilidade da operação (02) impõe ainda que:

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

1ª condição: J ≤ 2J − K , ou seja, simplificando, K ≤ J ; 2ª condição: J≤2Q+K, ou, K≥J-2Q, isto é, K≥-2Q (porque J ≥ 0 ), devendo notar-se que para Q = 0 deve ser K ≤ J (primeira condição) e K ≥ J (segunda condição), isto é, apenas J = K. Logo, nos casos em que K ≠ J deve ser Q > 0. Para as funções de valor poliádico de valência ímpar, 2H+1, devemos ter, analogamente, 2H +1+K

ψ .J

2J − K

χ,

(021),

o que exige seja

− (2H +1) ≤ K ≤ J ,

(031).

Como de costume, representemos por X e C poliádicos de valência zero (escalares) tais que C não seja função de X. Representemos, ainda, por x e c os poliádicos de valência um (vetores) tais, que c não seja função de x, e assim sucessivamente. Genericamente, então, sejam Q χ e Q ψ dois poliádicos independentes de valência Q. Para dado H, somando todos os poliádicos obtidos de (02) atribuindo-se a J e K todos os valores possíveis, encontramos: 2H φ

2H ψ

+ψ

X+

2H − 2

+ ... + +

2H −1 ψ 2H −1

χ+c H +1 ψ

χ+C

:χ +

ψ 3. χ +

χ+

H +1 χ + H ψ

2H + 2 ψ 2H +4

2H − 2 ψ χ + ... + H −1 ψ H +1 χ + H ψ H χ + H +1 ψ H −1 χ + ... +

H −1

2H +1 ψ

ψ:

ψ .x+

H + 2 χ + H -1 ψ

: 3 χ + ... +

2H + 2

H +5

2H +1

H +1 ψ

ψ 3. 4 χ + ... +

χ + ... + 3 ψ 3.

2H +3

ψ .χ+

2H −1

ψ . 3χ +

2H − 2

H + 3 χ + ... + ψ

3+ H χ + H ψ

4+ H χ + ... + ψ

ψ 3.

H +6

χ + ...

2H χ + c

ψ . 4χ +

. 2H +1 χ + :

2H + 2 χ +

χ+ (04),

e assim sucessivamente. Logo, se um poliádico 2H φ é função linear de poliádicos 2J − K χ de valências 0, 1, 2, ... (finita), existem poliádicos 2H +K ψ de valências 0, 1, 2, ... com os quais é possível expressar aquela linearidade na forma da expressão (04) que pode ser escrita, ainda, resumidamente, na forma finito 2H

φ=

∑

J,K =0

IV,§ 06.04

2H +K

ψ .J

2J −K

χ ,

(041),

§ 06.04 - Função poliádica linear e argumento poliádico.

satisfeitas as condições (03). Com base em (021) e (031) podemos escrever também para os poliádicos de valência ímpar finito 2H +1

φ=

∑

2H +1+ K

ψ .J

2J −K

χ ,

(042).

J,K =0

As formas (041) e (042) são as formas mais gerais de expressar a linearidade da dependência de 2H φ , ou de 2H +1 φ com os demais poliádicos. Com outras palavras podemos dizer que se, por exemplo, 2H

φ=

Λ (X, x, χ, 3 χ, ...) ,

(05),

então podemos escrever (04) para representar 2Hφ. Mas é óbvio que poderíamos ter vários argumentos escalares, vários vetores, vários diádicos etc. Escreveríamos, então, a expressão correlata de (04), 2H

φ=

ψi Xi +

2H +1

ψ j. x j +

2H +1

ψ k: χ k + ... ,

para i = 1, 2, 3, ..., M;

j = 1, 2, 3, ..., P;

k = 1, 2, 3, ..., Q etc.,

desde que tivéssemos M grandezas escalares X, P vetoriais x, Q diádicas χ etc.. Até o momento pudemos apenas comprovar a existência dos poliádicos 2Hψ, 2H+1ψ, ..., mas não sabemos ainda como determiná-los. * Expressões do tipo (05) são utilizadas com freqüência em Mecânica do Contínuo, sendo especialmente úteis no estudo geral das equações constitutivas8. Na Física, em geral, é comum expressões em que H ≤ 2, J ≤ 2, logo - 4 ≤ K ≤ 2; raramente encontramos J = 4. Alem disso, nem sempre o poliádico é função de vários poliádicos, sendo comum expressarse um poliádico de certa valência em função de outros poliádicos de valências não maiores. Por exemplo: 1)- Em Elasticidade expressamos o diádico das tensões, Σ, em função do diádico das deformações, Ε, conforme a lei de Hooke, na forma

Σ = 4H : Ε,

(06);

2)- Em Física de Cristais podemos citar vários exemplos de leis lineares (usando notações clássicas):

ξ = Ι + 4π α,

d = d 0 + ξ . e,

e = η . d,

Ε = τΘ + e . 3 δ + 4 Ζ : Σ ,

(07),

8Ver, por exemplo, Eringen, A. C., Mechanics of Continua, Robert E. Krieger Publishing Company, 1980, Capítulo 5.

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

onde ξ é o diádico permitividade dielétrica, α o diádico suscetibilidade dielétrica, d e d0 os vetores de indução elétrica, e o vetor campo elétrico, η o diádico impermeabilidade dielétrica, Θ o escalar variação de temperatura, τ o diádico expansão térmica, 3δ o triádico piezelétrico e 4Ζ o tetrádico de compliência. Mas se formos estudar a atividade acústica dos cristais, encontraremos um pouco mais de dificuldades9. Em cristais não centro simétricos e em corpos girotrópicos a preponderância da dispersão espacial na propagação de ondas elásticas causa atividade acústica. Nesse caso, a lei de Hooke (já citada), numa primeira aproximação, deve ser posta na forma:

Σ = 4 H : Ε + 5 Φ .3 ∇Ε ,

(08),

onde 5Φ é o pentádico de giração acústica e ∇Ε é o triádico gradiente do diádico das deformações. Nota: Oportunamente (§ 09.06) poderemos entender as leis (06), (07) e (08) como transformações lineares, tal como já interpretamos expressões parecidas envolvendo diádicos e vetores. No caso dos vetores, os diádicos são interpretados como operadores de transformações lineares, transformando vetores (pacientes) em vetores (operados). Na lei (06), por exemplo, 4H opera uma transformação linear no campo diádico das deformações e o transforma no campo diádico das tensões. Na lei (08), o campo das tensões é uma superposição de duas transformações lineares: uma idêntica à anteriormente citada, regida por 4H, e uma segunda, regida pelo pentádico 5Φ, tendo o campo triádico ∇Ε Ε por paciente.

§ 06.05 – Tensores cartesianos de ordem qualquer Consideremos as expressões cartesianas de um triádico relativas a duas bases vetoriais {a*} e {b*} do E3: 3 φ = A ijk a i a ja k = B rst b r b sb t , às quais correspondem, respectivamente, as matrizes associadas:

[ A∗∗∗ ] 39

 A111  A121   A131  A 211  =  A 221  A 231  A 311  321 A  A 331

A112 A122 A132 A 212 A 222 A 232 A 312 A 322 A 332

3= 3x1

A113  A123   A133  A 213   A 223  A 233  A 313   A 323  A 333 

9=3x3

[ B∗∗∗ ] 9 3

 B111 B  121  B131  B211  =  ...  ...  ...   ...  B331

B112 B122 B132 ... ... ... ... ... ...

3= 3x1

B113  B123   A133  ...   ...  B233  ...   ...  B333 

9=3x3

Ora, se esse triádico é uma entidade cuja existência independe de bases, entre as suas matrizes associadas (em diferentes bases) deve existir uma relação. De fato, sendo 9 Sirotin e Chaskolskaya, o. c., seção 83.

IV,§ 06.05

§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer.

A ijk = a i a ja k .3

3φ ,

ou seja, A ijk = a i a ja k 3. b r b s b t B rst ,

podemos escrever, em forma matricial,

[ A ∗∗∗ ] 39

     =     

[ M 111∗∗∗ ] 9 [ M 112∗∗∗ ] 9 [ M 113∗∗∗ ] 9  3 3 3 [ M 121∗∗∗ ] 9 [ M 122∗∗∗ ] 9 [ M 123∗∗∗ ] 9  3  ... ... [ M 131∗∗∗ ] 9  3  211 ∗∗∗ ... ... [M ] 9  3

[

... M 331∗∗∗

]9 [ 3

3 9=3x3

... M 332∗∗∗

]9 [ 3

... M 333∗∗∗

]

[

: B∗∗∗

]9 , 3

(01),

  9  81=9x9 3

expressão na qual

[M ijk∗∗∗ ]39

 a i a ja k 3. b1b1b1 a i a ja k 3. b1b1b 2 a i a ja k 3. b1b1b 3     a i a ja k .3 b1b 2 b1 a i a ja k .3 b1b 2 b 2 a i a ja k .3 b1b 2 b 3     a i a ja k 3 b1b 3b1  ... ... . , =  a i a ja k 3 b 2 b1b1  ... ... .     ... ... ...   a i a ja k 3 b 3b 3b1 a i a ja k 3 b 3b 3b 2 a i a ja k 3 b 3b 3b 3  . . .  

(02).

Reciprocamente, se entre dois conjuntos de 27 números Aijk e Brst, referidos cada um a uma base, existe uma relação do tipo (01) em que as submatrizes 9x3 [Mijkrst] são definidas por (02) - os elementos das quais são definidos por multiplicações ponteadas triplas entre os vetores das bases - dizemos que esses conjuntos constituem um tensor cartesiano de ordem 3. Com outras palavras, dizemos que um tensor de ordem 3 é uma entidade - um conjunto de 33 números - que, numa mudança de base, se comporta exatamente como os triádicos cuja existência independa de bases. Por isso mesmo, todo tensor de ordem 3 pode sempre ser convenientemente representado por um triádico, mas nem todo triádico pode ser um tensor. Para os tetrádicos podemos deduzir expressões análogas. Se 4

φ = A hijk a h a i a ja k = B rstub r b sb t b u , então A hijk = a h a i a ja k .4 b r b s b t b u B rstu .

Se, por exemplo,

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

[ A ∗∗∗∗ ] 99

 A 1111   A 1211   A 1311 =  A 2111   ...  3311 A

A 1112 A 1113 ... A 1133   A 1212 A 1213 ... A 1233   A 1312 A 1313 ... A 1333   e A 2112 ... ... ...   ... ...   A 3312 A 3313 ... A 3333  9

[ B∗∗∗∗ ] 9 9

 B1111   B1211   B1311 =  B 2111   ...   B 3311

B1112 B1113 ... B1133   B1212 B1213 ... B1233   B1312 ... ... B1333   , .. ...   ... ... ...   B 3312 B 3313 ... B 3333  9

então

[ A ∗∗∗∗ ] 39

     =     

[ M 1111∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1211∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1311∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 2111∗∗∗∗ ] 9 9

[

... M 3311∗∗∗∗

[ M 1112∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1212∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1312∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 2112∗∗∗∗ ] 9

]9 [ 9

... M 3312∗∗∗∗

[ M 1113∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1213∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 1313∗∗∗∗ ] 9 9 [ M 2113∗∗∗∗ ] 9

]9 [ 9

. .. M 3313∗∗∗∗

]9 9

[ ] 9  9 ... [ M 1233∗∗∗∗ ]  9 9 1333 ∗∗∗∗ ... [ M ]9  9 ... [ M 2133∗∗∗∗ ] 9

9 81=9x9

... M 1133∗∗∗∗

... ... 3333 ... M ∗∗∗∗

[

]

[

]9 9

: B∗∗∗∗ ,

  9  81=9x9 9

sendo

[M hijk∗∗∗∗ ]99

 a h a i a ja k .4 b1b1b1b1 a h a i a ja k   a h a i a ja k .4 b1b 2 b1b1 a h a i a ja k =  ...  a h a i a ja k 4 b 3b 3b1b1 a h a i a ja k . 

4 1 1 1 2 h i j k 4 1 1 3 3 . b b b b ... a a a a . b b b b   4 1 2 1 2 h i j k 4 1 2 3 3 . b b b b ... a a a a . b b b b  .  ... ... ...  4 b 3 b 3 b 1b 2 ... a h a i a j a k 4 b 3 b 3 b 3 b 3  . . 

Podemos, agora, conceber o tensor cartesiano de ordem 4 e concluir que numa mudança de base, ele se comporta exatamente como o tetrádico cuja existência independa de bases, ou, ainda, que todo tensor de ordem 4 pode sempre ser convenientemente representado por um tetrádico. É fácil generalizar esses resultados para os poliádicos e para os tensores (cartesianos) de um modo geral. As expressões matriciais correspondentes podem ser escritas, evidentemente, com alguma simplicidade, embora bastante longas posto que as ordens das matrizes, bem como as ordens das multiplicações ponteadas entre os vetores de base, vão aumentando significativamente.

IV,§ 06.05

§ 06.05 - Tensores de ordens quaisquer.

Se nos reportarmos, agora, ao §02.04,Cap.III,Vol.I, e compararmos as expressões matriciais (031), (081) e outras lá deduzidas - pelas quais são caracterizados os tensores de ordens 1 e 2 - com as que acabamos de deduzir para os tensores de ordens 3, 4 etc., veremos que não existe homogeneidade entre elas. Com efeito, as relativas aos tensores de ordens 1 e 2 são definidas pelas operações clássicas de multiplicação matricial, enquanto que as relativas aos tensores de ordens mais elevadas são definidas pelas duplas multiplicações matriciais. Mostraremos, agora, que esse segundo modo de proceder é geral e suficiente para a caracterização dos tensores. Ponhamos, então, no caso dos vetores e dos diádicos:

v = A i a i = B r b r , donde A i = ( a i .b r ) B r ; e

φ = A ij a i a j = B rsb r b s , donde A ij = ( a i a j : b r b s ) B rs .

Por consideração da definição de dupla multiplicação matricial, podemos escrever: - no caso dos vetores: 1=1x1

 A1  A 2   3 A 3

  a 1 .b 1     a 1 .b 2    1 3     a .b    a 2 .b 1  =  a 2 .b 2  :  a 2 .b 3       a 3 .b 1    a 3 .b 2    a 3 .b 3   9=3x3

B   1  B2  ;  B 3  3

- no caso dos diádicos: sendo 3

[ A ∗∗ ] 33

 A 11 A 12 A 13  =  A 21 A 22 A 23   31 32 33  A A A 3

[B ]

∗∗ 3

 B B B 3  11 12 13  =  B 21 B 22 B 23  ,  B 31 B 32 B 33  3

então

[

]

3 A ∗∗ 3

[ [ [

 11∗∗  M  =  M 21∗∗   M 31∗∗ 

] [M ] [M ] ] [M ] [M ] ] [M ] [M ] 3

3 3 3 3 3

12∗∗

22∗∗

32∗∗

3 3 3 3 3

13∗∗

23∗∗

33∗∗

3  9=3x3 3 3



3  3

[ ], 3

: B∗∗



3  9=3x3

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 - Multiplicação de poliádicos.

com 3

[M ] ij∗∗

3 3

 ( a i a j ) 2 (b1b1 ) ( a i a j ) 2 (b1b 2 ) ( a i a j ) 2 (b1b 3 )  . . .    i j 2 2 1 i j 2 2 2 i j 2 2 3  =  ( a a ) . ( b b ) ( a a ) . ( b b ) ( a a ) . (b b )  .    ( a i a j ) .2 (b 3b 1 ) ( a i a j ) .2 (b 3b 2 ) ( a i a j ) .2 (b 3b 3 )  3

É evidente que essas novas formas de expressão das relações matriciais entre as coordenadas dos vetores e dos diádicos se enquadram no sistema geral deduzido anteriormente para triádicos, tetrádicos etc.. De fato, para o poliádico de valência par, 2H (com H = 1, 2, ... ), as suas matrizes associadas nas bases {a*} e {b*} têm, ambas, 3H linhas e 3H colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32H colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3H linhas e 3H colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados 2H-plos entre 2H-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Para o poliádico de valência ímpar, 2H-1 (com H = 1, 2, ...), as suas matrizes associadas nas bases {a*} e {b*} têm, ambas, 3H linhas e 3H-1 colunas. A matriz de transformação de uma matriz associada na outra tem 32H linhas e 32(H1) colunas e as submatrizes que a constituem, todas com 3H linhas e 3H-1 colunas, têm seus elementos definidos como produtos ponteados (2H-1)-plos entre (2H-1)-ades compostas ordenadamente com os vetores das bases. Mostraremos oportunamente (§14) que para os poliádicos de valência par existem expressões similares às apresentadas no (§02,Cap.III,Vol.I) relativas aos diádicos. Por ora, com relação ao modo como se conectam as coordenadas de um poliádico numa e noutra base vetorial, devemos nos contentar com os resultados gerais encontrados, facilmente computáveis. § 06.06 - Norma e flecha de poliádico. Ângulo de dois poliádicos. Consideremos um poliádico genérico, P φ , associado a um vetor não nulo e1 de E1, e sua escrita (P-1)-ádica P

φ=

P −1

α 1 e 1.

Tem-se, sempre: P

φ P. P φ = ( P −1 α 1 P.

P −1 1

α )( e1 ) 2 ,

(01).

Analogamente, em relação a dois vetores não paralelos de E2, escrevendo-se, P

φ=

P −1

α 1e 1 +

P −1

α 2e2 ,

temos também: P

φ P. P φ = ( P −1 α1 P.-1

P −1 1

α )(e1 ) 2 + ( P −1 α 2

P-1 P −1

+ 2( P −1 α1 P.-1 IV,§ 06.06

α 2 )(e 2 ) 2 +

P −1

α 2 )(e1 .e 2 )

(02).

§ 06.06 - Norma e módulo de poliádico. Ângulo de dois poliádicos.

Recorrendo ao Teor.1,§03.04, podemos escrever, para vetores não coplanares do E3, φ= α e1 + P −1 α 2 e 2 + P −1 α 3e 3 , resultando, pois, P −1 1

φ P. P φ = = ( P −1 α1 P.-1

P −1 1

α )(e1 ) 2 + ( P −1 α 2

+ 2( P −1 α1 P.-1

P −1

P-1 P−1

α 2 )(e 2 ) 2 + ( P −1 α 3

P-1 P −1

α 3 )(e 3 ) 2 +

(03).

α 2 )(e1 .e 2 ) + ....,

Teor. 1:

∀ Pφ :

Pφ P Pφ

> 0,

(04).

Consideremos a primeira associação, dada por (01), entre poliádicos e um vetor do E1. Para triádicos, caso P = 3, (04) é evidente já que as normas de diádicos (§07.07,Cap.II,Vol.I) e vetores são números positivos. Consideremos a segunda associação, dada por (02), entre poliádicos e vetores do E2. Para os casos P=1 e P=2 a desigualdade (04) já é nossa conhecida. Para o caso P=3 temos: 3 φ 3 3φ .

=|| α1 || || e1 || + || α 2 || || e 2 || +2(α1 : α 2 )(e1.e 2 ) .

Ora, − | α 1 || α 2 |≤ α 1 : α 2 ≤| α 1 || α 2 | e − | e1 || e 2 |≤ e1 . e 2 ≤| e1 || e 2 | . Logo 3 φ 3 3 φ ≥|| α 1 .

|| || e1 || + || α 2 || || e 2 || +2 | α1 || α 2 || e1 || e 2 |

ou seja, 3 φ 3. 3 φ ≥ (| α1 || e1 | + | α 2 || e 2 |) 2 , o que comprova (03) para P=3. A associação dada por (03) pode ser demonstrada analogamente. Para o caso P=3, com triádico e vetores do E3, temos: 3 φ 3 3 φ =|| α1 || || e || + || α 2 || || e || + || α 3 || || e || + . 1 2 3

+ 2(α1 : α 2 )(e1.e 2 ) + 2( α 2 : α 3 )(e 2 .e 3 ) + 2(α 3 : α1 )(e 3 .e1 ) e sendo − | α1 || α 2 || e1 || e 2 |≤ (α1 : α 2 )(e1.e 2 ) ≤| α1 || α 2 || e1 || e 2 | etc., vem, analogamente à dedução anterior, 3 φ 3 3 φ ≥|| .

α1 || || e1 || + || α 2 || || e 2 || + || α 3 || || e 3 || +2 | α1 || α 2 || e1 || e 2 | +...

isto é, 3 φ 3. 3 φ ≥ (| α1 || e1 | + | α 2 || e 2 | + | α 3 || e 3 |) 2 . Para P=4 (associação entre triádicos e vetores do E3), escritos os triádicos na forma de uma soma de um triádico planar com um triádico linear, perpendiculares entre si, é válida também (04) já que (03) equivale a somar uma parcela positiva a uma expressão positiva do tipo (02)10.

10 Isto significa, na linguagem da Álgebra Linear, que o espaço dos triádicos com a operação de multiplicação escalar, definida como uma multiplicação ponteada tripla, é um espaço euclidiano, isto é, os triádicos têm quadrado escalar positivo (ou norma positiva).

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

Definamos 3φ .3 3φ como a norma de 3 φ e ponhamos 3φ .3 3φ = ||3 φ || . Definamos também o módulo do triádico 3 φ com a raiz quadrada positiva da sua norma e ponhamos

|3 φ |= + ||3 φ || . Então: ∀3 φ,3 ψ : Com efeito, seja escalar. Tem-se: 3

φ 3• 3 ψ < |3 φ | |3 ψ | ,

(05).

γ = 3 φ + X 3 ψ , em que 3 φ e 3ψ são triádicos quaisquer e X um

γ .3 3 γ = ( 3 φ .3 3φ ) + 2 X ( 3 φ .3 3 ψ) + X 2 ( 3 ψ .3 3 ψ)

Como as normas dos triádicos são números positivos, o trinômio do segundo grau acima tem discriminante negativo; logo ( 3 φ 3• 3 ψ ) 2 − ||3 ψ || ||3 φ ||< 0 , donde a comprovação de (05). Então,

∀3 φ,3 ψ :

-1 ≤

φ 3• 3 ψ ≤1, | φ | |3 ψ | 3

(051),

isto é,

dados dois triádicos quaisquer, existe um ângulo - que denominaremos ângulo dos dois triádicos - cujo co-seno vale o triplo produto ponteado desses triádicos dividido pelo produto dos seus módulos. Com estes resultados alcançados podemos prosseguir a demonstração do teorema para os tetrádicos. Recairemos em situação idêntica em que definiremos a norma de um tetrádico, o ângulo de dois tetrádicos etc.. Em geral, então, escreveremos:

∀ Pφ , P ψ :

Pφ P Pψ =

|P φ | |P ψ | cos( P φ ,P ψ) ,

(06),

tornando-se evidente o significado da notação cos(Pφ, Pψ). Esses conceitos, de natureza algébrica, serão utilizados mais à frente (§ 09.06) para associar a um poliádico uma “flecha” de natureza idêntica à dos vetores.

§ 07 - POLIÁDICOS ISÔMEROS. § 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão. Se 3

φ = α k g k = g k γ k = a kr f r g k ,

então para qualquer vetor v podemos escrever: IV,§07.01

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

φ . v = α k ( g k . v ) = ( v. g k )α k = v. ( g k α k ) ≠ v. 3 φ ,

v. 3 φ = ( v. g k ) γ k = γ k ( g k . v ) = ( γ k g k ) . v ≠ 3 φ . v Analogamente, para qualquer diádico ψ = a i b i , escrevemos: 3

φ : ψ = ( a kr f r g k ) : ( a i b i ) = a kr ( f r . a i )( g k .b i ) = (b i a i ) : ( g k f r a kr ) = ψ T : ( g k f r a kr ).

Assim, para os triádicos, diádicos e vetores, tal como já sucedera com diádicos e vetores (§02,05,Cap.II,Vol.I), constatamos a necessidade da criação de novos triádicos, a partir do triádico dado, obtidos por operações algo parecidas com a transposição para os diádicos; seriam estes os triádicos

g k α k , γ k g k e g k f r a kr . Similarmente, se 4

φ = 3 α k g k = α k β k = a kr s e s f r g k ,

então, para quaisquer

ψ = aibi ,

3χ

= r mn u m v n ,

escrevemos: 4

φ . v = 3 α k ( g k . v ) = ( v. g k ) 3 α k = v. ( g k 3 α k ) ,

φ : ψ = α k ( β k : ψ) = ( ψ : β k )α k = ψ : ( β k α k ) ,

ou, ainda, 4

φ : ψ = α k ( β k : ψ) = ( β k T : ψ T )α k = (α k β k T ) : ψ T ,

e 4

3 3 χ .

= (a

k s r 3 e f gk ) . r s

=(r

m r n k s .e )( u m .f )( v .g k ) a r n s

= ( v .g k )( r n

= a

(r n u m v ) = a

m r k s .e )( u m .f ) a r n s

k s r 3 [ ( g k e sf ) . r

n m

k s r 3 ( e sf g k . r

= χ 3

3 .

r nu m v ) =

( e sf g k a

k s ) r

= ( v r n u m ) . ( g k e sf a

( v r n u m ) = (a

n m

k s r 3 g ef ) . r k s

k s ) r

n m

( v r n u m ).

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

Definição: Chama-se transposta múltipla para montante (ou dianteira) de R vetores e posto T≥R da políade P-ária (de valência P>R), P

φ = a b c d ... v x y z w ,

e representa-se por s

φ R T = (a b c d ... v x y z w ) R T ,

a políade que se forma, a partir da políade P-ária dada, inserindo-se o conjunto dos seus R primeiros vetores conseqüentes, sem alterar-lhes a ordem nesse conjunto, entre os conseqüentes de postos T e T+1 da políade paciente11, mantendo-se a ordem das demais letras: s

φ R T = ( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) R T = a b c ... r s ... v x y z w t u ... 14243 14 4244 3 , fatores3 R fatores 144 42R444

(01).

T fatores

Definição: Analogamente se define e se representa a transposta múltipla para jusante (ou traseira), de R vetores e posto T: r

φ R T = (a b c ..... r s t u ...... v x y z w ) R T = ... r s t a b c ... u ... v x y z w 123 12 4 4 3 , R4 fatores R fatores 1 42443

(02).

T fatores

Quando, numa transposição, o posto T é igual à valência P, escrevemos, simplesmente:

( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) 14243 R fatores

( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) 14243

r R

s R

= s t u ... v x y z w a b c ... r 14243 , R fatores

=... v x y z w a b c ... r s t u ... , 14243

R fatores

(021),

R fatores

e a denominamos simplesmente de transposição múltipla de ordem R para montante ou para jusante. Poremos, por definição, P

s 0

φ =

r 0

φ =

s P

φ = φ =

r P

φ ,

(022);

com os símbolos acima estaremos, pois, representando a transposição idêntica. Para os 2Q-ádicos existem as transposições especiais de Q vetores para montante ou 11 A noção de posto é óbvia: é o lugar entre letras na representação de uma políade.

IV,§ 07.01

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

para jusante, casos especiais de (021) em que P=2Q, R=Q; e escrevemos: r 2Q Q

φ =

s 2Q Q

φ ≡

φ ,

2Q T

(031).

No §15 estudaremos os caso de igualdade entre poliádicos isômeros. Um caso especial de igualdade está relacionado com os 2Q-ádicos tais, que 2Q

φ=

2Q T

φ = − 2Q φ T ,

(032),

casos em que os 2Q-ádicos serão ditos, respectivamente: simétricos e anti-simétricos. Com base nas definições (023) é fácil comprovar que

∀ Q ψ:

1 ψ sim = ( Q ψ T + Q ψ ) 2

∀ Q ψ:

1 ψ ant = ( Q ψ T − Q ψ ) , 2

(033),

são Q-ádicos simétrico e anti-simétrico, respectivamente; o que justifica a notação. Políades reversas

Definição: Chama-se políade reversa de dada políade P-ária aquela cujos vetores fatores sejam os da primeira, mas dispostos em ordem inversa. Assim a reversa de abcd é dcba; e vice-versa. r P

Quando necessário, para especificar políades reversas, usaremos as notações: s

φ e

φ.

A transposição múltipla para montante ou para jusante de R vetores e posto T de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a transposta de mesmo nome dessa políade. A reversão de uma políade é a operação que tenha por fim determinar a sua reversa. A operação de transposição múltipla generaliza a operação de transposição para a díade, pois r s ( ab ) T = ba = ( ab ) 1 = ( ab ) 1 , (04); identifica-se também com a reversão, isto é

r s T (a b) = b a = (a b ) = (a b ) ,

(041).

As operações de transposição e de reversão estendem-se ao P-ádico P φ transpondose e revertendo-se, respectivamente, cada uma de suas díades na sua representação P-ária, e somando-as em seguida; obtêm-se, então, os poliádicos transpostos para montante ou para jusante de P φ , de R vetores e posto T e os poliádicos reversos. Os transpostos de

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

poliádicos são representados por s P

reversos por φ

s RT

s P

r RT

s RT

r RT

; os transpostos correspondentes dos

Exemplos: 1) – Sendo 9 φ = abcdexyzw , tem - se: 9

s 26 r 37

= ( abcdexyzw ) = ( abcdexyzw )

s 26

= abczwdexy;

r 37

= dexyabczw. r

2) - ( a b c d e f ) 2 = e f a b c d, e ( a b c d e f ) 2 = c d e f a b . 3) - No caso do triádico parágrafo, temos:

φ = α k g k = g k γ k = a kr f r g k , referido no início deste r

φ 1 = g k α k , 3 φ 1 = γ k g k , 3 φ = g k f r a kr ; 4 no caso do tetrádico φ = 3 α k g k = α k β k = a kr s e s f r g k , 3

s 1

r 3

φ = gk α = φ ,

s 2

r 2

s 1

φ = β kα = φ , α β k T = φ 2 , a

k s r

s 1

g k e sf = φ 3 .

4) - Não é difícil comprovar-se que r

(Ι × P φ)12 = −(P φ1 × Ι )( P −1) , P

(05),

s 1

de onde podemos também deduzir, trocando φ por φ : s r

(Ι × P φ 1 ) 12 = −( P φ × Ι ) (P −1 ) ,

(051).

Então, para P = 2 (diádicos), temos, dentre outras fórmulas: r

(Ι × φ)12 = −(φT × Ι )1 ,

(052),

5) - Transposição de um triádico resultado de produtos com três diádicos:

∀φ, ψ , χ :

[φ × (ψ

× ×

χ)]1 = ψ × (φ. χ) T − χ × (φ.ψ ) T ,

(053).

Transposição simples e composta As transposições múltiplas definidas serão denominadas, também, de simples para diferençá-las da composta, isto é, de uma transposição (múltipla) realizada sobre uma transposição (múltipla) anteriormente executada. Escreveremos, por exemplo, para as

IV,§ 07.01

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

transposições compostas de ordens Q e R: s s s s P φQ R ≡ ( P φQ ) R ,

r s r s P φQ R ≡ (P φQ ) R

etc ,

(06).

No primeiro exemplo, indicamos uma transposição para montante sobre P φ (o que gera um poliádico P χ , diferente de P φ ), seguida de uma transposição, também para montante, sobre P χ . No segundo exemplo, a primeira transposição é para jusante, a segunda é para montante. Exemplos: ss

1) -

(abcdxyz ) 2 3 = (yzabcdx ) 3 = bcdxyza ,

isto é, ss

(abcdxyz ) 2 3 = (abcdxyz ) 1 . s s

2) -

( abcdxyz) 3 5 = ( xyzabcd) 5 = zabcdxy ,

isto é, s s

( abcdxyz) 3 5 = ( abcdxyz) 1 . s r

3) -

( abcdxyz) 3 5 = ( xyzabcd) 5 = cdxyzab ,

isto é, s r

( abcdxyz) 3 5 = ( abcdxyz) 2 . r

( abcd) 4 = abcd = ( abcd) 4 ,

4) -

(abcd ) 6 = (abcd) 4 2 = (abcd) 2 = cdab, r

(abcd ) 8 = (abcd) 4 4 = (abcd) ( 2×4 ) = abcd, r

5) -

(abcd) 3 = dabc = (abcd) 4 3 = (abcd) 1 ,

( abcd) 3 = ( abcd) ( 4 − 3 ) . s

6) -

( abcd) 3 = bcda = ( abcd) ( 4 − 3 )

Estes exemplos podem ser generalizados pelas fórmulas seguintes

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

r (KP)

r r Q R s r Q R

= φ P

s s Q R

r Q s Q

s (R + Q)

r (R + Q)

r (R − Q)

= φ = φ

s (KP)

= φ

s s R Q

r r R Q

s (Q − R)

= φ = φ

(07);

(071);

(08);

= φ (K inteiro ou K = 0), P

= φ P

= φ

s (P − Q) r (P − Q)

(09);

(10);

(11).

Pelas fórmulas (07) e (071) são resolvidos os problemas da composição de transposição quando ambas são de mesma natureza, podendo a ordem resultante ser maior que a valência do poliádico a transpor (ver exemplo 4). Convenção Convencionando-se que uma transposição de ordem negativa deva ser entendida como uma transposição de mesma ordem em sentido contrário, isto é, que: P

φ −Q = P φ Q ,

(12),

os dois últimos membros de (08) tornam-se equivalentes. A fórmula (12) resolve, pois, o problema da composição de transposições de naturezas diferentes (exemplo 3). Poderíamos também dizer, em relação aos dois últimos membros de (08), que a seta indicativa da transposição resultante é a da transposição correspondente ao minuendo. Assim, por exemplo, r

sendo ( abcd) 3 = ( abcd) 4 3 , porque ( abcd) 4 = abcd , resulta: r

( abcd) 3 = ( abcd) (4 − 3) = ( abcd) (3 − 4) = ( abcd) 1 = ( abcd) − 1 . Pela fórmula (09) pode-se determinar o transposto de um poliádico em que a ordem da transposição é um múltiplo inteiro da valência do poliádico; o que, evidentemente, é uma transposição idêntica. As fórmulas (10) e (11) resultam logo das anteriores, porque, lembrando (03) e em seguida aplicando (08), temos: r s r P φ Q =( P φ P ) Q

IV,§ 07.01

= P φ (Q − P ) = P φ (P − Q ) ,

(121).

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

Analogamente, P

s Q

=( P φ P ) Q = P φ

r (P − Q)

= Pφ

s (Q − P)

(122).

Poderemos, também, efetuar transposições compostas de ordens e postos diferentes, para montante e para jusante, representadas genericamente pelas expressões: P

r r Q R ST

s r Q R ST

r s Q R ST

etc.

Alguns casos particulares merecem destaque por sua utilidade prática. Assim, exporemos as Fórmulas de transposições compostas sobre um triádico e seu reverso todas de ordem 1 e postos 2 ou 3, que se demonstram facilmente: 3

ss 3 12 12

φ= φ r 3 12

r r 3 12 12

= φ

ss 3 12 1

= φ

rs 3 12 12

s 3 1

sr 3 12 12

ss 3 11

= φ

rr 3 11

φ = φ

s 3

sr 3 12 1

φ= φ

(14);

= φ ,

(15);

s r 3 1

= φ 2,

(16);

s s 3 12

= φ

= φ ,

rs 3 12 1

rr 3 1 12

= φ

(13);

s r 3 1 s s 3 1

= φ

φ = φ

sr 3 11

= φ ,

sr 3 1 12

= φ

r 3 1

s 3 1 12

= φ

rr 3 12 1

s 3 12

rs 3 11

= φ r

= φ

(17); ss 3 1 12

= φ

(18);

Estas fórmulas são válidas para qualquer triádico; então, para o triádico reverso de 3φ podemos escrever, ainda, dentre outras fórmulas: s 3

s ss 3 12 12

s rr 3 12 12

s rs 3 11

φ= φ

= φ

r 12

s ss 3 12 1

s rs 3 1 12

s 3

= φ

s sr 3 11

= φ ,

(131);

r 3 1

= φ ,

(141).

Exporemos também, a seguir, algumas formulas, sem demonstração. Fórmulas de transposições compostas sobre um tetrádico e seu reverso, de diversas ordens e diversos postos: 4

φ = 4φ

ss 12 12

= 4φ

rr 12 12

= 4 φ 1 1 = 4 φ 1 1,

(19),

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

r r 12 2 s s 12 2

rr 12 1 rs 12 1

ss 12 1 sr 12 1 r r 12 2 3 s s 12 2 3

s 2

= 4φ 3 , s

= φ ,

(22),

r 2

= 4φ 3 ,

(23),

= φ ,

(24),

s 4

r 1

= 4φ1,

= 4φ r r 2 312

(21),

r 23

s 2

= 4φ 3 ,

= 4φ s

(20),

r 12 s 12

(25),

= 4φ = 4φ s

= 4φ

sr 131

ss 212

(26),

rr 212

(27),

(28),

e várias outras. * Exercícios: 1 - Comprovar que, de (052), considerando-se (18), pode deduzir-se: s

( Ι × φ ) = − φ T × Ι , ou, Ι × φ = −( φ T × Ι ) ,

(29).

2 – Mostrar que: 3 φ : (Ι × a)

φ Ι

=− 3 φ 12 .a , *

(30).

Isomeria

Definições: (Isômeros, isomeria) Um poliádico e todos os seus transpostos e reversos são ditos isômeros uns dos outros. Então, poliádicos isômeros são aqueles que se escrevem com os mesmos vetores, diádicos, triádicos etc., mas em ordens diferentes.

Isomeria é a parte da álgebra dos poliádicos que tem por finalidade o estudo das propriedades dos poliádicos isômeros bem como das propriedades das operações com isômeros. IV,§ 07.01

§ 07.01 - Transposição múltipla para montante e para jusante. Reversão.

Verificam-se as seguintes propriedades:

1ª) - Uma transposição para montante ou para jusante com R vetores é operação equivalente a R operações sucessivas para montante ou para jusante com apenas um vetor: r Pφ R

rrr

= Pφ 1 1 1 ... 1

s Pφ R

sss

= Pφ 1 1 1 ... 1 .

Assim, por exemplo, 5

r 3

r 1

φ = ( abcde) = ( deabc) = ( cdeab ) = (bcdea ) P

r R

rr 11

= ( abcde)

rrr 111

s R

Logo: φ e φ , qualquer que seja R, são duas permutações, em geral distintas, P sobre a escrita vetorial de φ . Analogamente, uma transposição para montante (jusante) de R vetores e posto Q é operação equivalente a R transposições sucessivas para montante (jusante) com um vetor e posto Q: r P φ RQ

R vezes 67 4 4 8

r r r P φ 1Q 1Q ... 1Q

s Pφ RQ

R vezes 67 4 4 8 s s

= P φ 1Q 1Q ... 1Q

2ª) - Uma transposição para montante de R vetores e posto T sobre uma Pade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus antecedentes e à transposição para montante (ou para jusante) de ordem R (ou T-R) da T-ade formada pelos seus conseqüentes. Pois, aplicando as definições e, depois, as fórmulas (10) e (11), temos:

s RT

T fatores 644 4 7444 8

= ( a b c ... r s t u ...... v x y z w ) 14243

s RT

− T7 fatores 6P4 48

= a b c ... r s ... v x y z w t u ... = 14 4244 3

R fatores

= ( a b c ... r s)( t u ..... .... v x y z w ) 14 4244 3 12 4 4 3 14 4244 3 P − T fatores

T− R fatores

R fatores

(T− R)

R fatores r

= ( a b c ... r s)( t u ..... ... v x y z w ) 14 4244 3 1444 424444 3 P − T fatores

s R

T fatores

Analogamente, uma transposição para jusante de R vetores e posto T sobre uma P-ade é operação equivalente à conservação da (P-T)-ade formada pelos seus conseqüentes e à transposição de ordem R (ou T-R) para jusante (ou para montante) da T-ade formada pelos seus antecedentes:

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 – Poliádicos isômeros

r RT

T fatores 6444 7444 8

= ( a b c .... .... r s t u ...... v x y z w ) 1424 3

r RT

P − T7 fatores 644 448

= (... r s t a b c ...) u ... v x y z w = 12 4 4 3 12 4 4 3 T− R fatores R fatores

R fatores T fatores 644 7448

r R

= ( a b c ... ... r s t ) ( u ..... .... v x y z w ) . 12 4 4 3 144424443 P − T fatores

R fatores r R

s R

φ T e φ T são duas permutações, em geral distintas, sobre a escrita P vetorial de φ . Com efeito, a transposição sobre a políade fator não conservada gera políades distintas. Logo:

s P

φ , reversa de φ , representam novas permutações, em geral distintas, sobre a escrita P vetorial de φ . 3ª) - As duas propriedades anteriores aplicadas à políade P

Com efeito, pois P

r R

s P

r R

s P

r RT

r r ( T − Q )T Q T

≠ φ , φ

r RT

≠ φ

, ... .

4ª) - Tem-se: P

∀ φ , T ≥ Q:

φ= φ

r r Q T ( T − Q )T

= φ

s s ( T − Q )T Q T

= φ

s s Q T ( T − Q )T

(30).

Com efeito, pela propriedade 2ª podemos decompor univocamente o P-ádico no P T P− T produto direto de um T-ádico por um (P-T)-ádico, escrevendo φ = ψ χ para T ≤ P, caso em que a transposição de Q vetores e posto R sobre

φ é equivalente a uma

transposição de ordem Q sobre ψ se Q ≤ T ≤ P. Logo, P

Mas, segundo (11),

r QT

= ψ ψ

r Q P− T

r r Q ( T− Q )

χ T

= ψ P

e rs QQ

r r Q T ( T − Q )T

= ψ T

; e segundo (08), ψ

r r Q T ( T − Q )T

= ψ

P−T

r r Q ( T− Q ) P − T

r s Q Q

= ψ ; logo:

χ = φ,

o que justifica os dois primeiros membros de (20). Como, por (071), P

r r Q T ( T − Q )T

= φ

r r ( T− Q )T Q T

justifica-se, também, o terceiro membro de (30). Para se comprovarem os dois últimos membros de (30) basta que se considere a IV,§07.01

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras. P− T

decomposição φ = α β e se leve em conta que as transposições de ordens Q e T - Q T para montante são realizadas apenas sobre β porque Q≤T.

5ª) - Existem, no máximo, P! políades isômeras de valência P. Com efeito, imaginada uma políade escrita vetorialmente, todas as suas isômeras (as transpostas e as reversas) podem ser obtidas por permutação circular dos vetores; com o que se obtêm P! permutações. As tabelas 1 e 2 apresentadas em apêndice, no final deste capítulo, apresentam todas as isômeras de uma tríade e uma tétrade, políades estas de maior utilidade nas aplicações. § 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras. Políades quaisquer, de valências diferentes. Pondo T fatores 64444 74444 8 P

φ = abc ... e fg ... l mn ... pqr ... yz , onde T ≤ P, 0≤ Q, 1424 3 144 42444 3 Q fatores

Q fatores

têm-se as isômeras P

r QT

= fg ... lmn... p ab ... e qr ... yz , 1442443 12 4 4 3 1 424 3 T - Q fatores

s ( P − T)P−Q

(A),

Q fatores P-T fatores fatores 6P-T 47 48

= ab ... e qr ... yzfg ...4444 lmn... 3 p , 1444 42

(B),

P - Q fatores

e a fórmula geral

∀ P, Q, T com T ≤ P P

r QT

Q+ P − T

e 0 ≤ Q: Q+ P− T

ψ =

Q+ P− T

s (P − T)P − Q

(01).

Com efeito, considerando (A), escrevemos: P

r QT

Q+ P − T

Q+ P− T

ψ = fg ... lmn ... p ( ab ... eqr ... yz

Q+ P − T

ψ ),

ou, ainda, lembrando que a multiplicação múltipla entre parênteses é comutativa (§06.02) e que o resultado é um número:

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

r QT

Q+ P − T

Q+ P− T

ψ =

Q+ P− T

Q+ P − T

ab ... eqr ... yzfg ... lmn ... p .

Agora, considerando (B) temos, logo, (01). Analogamente,

∀ P, Q, T com T ≤ P P

v (P − T)P − Q

e 0 ≤ Q:

Q+ P − T

Q+ P− T

ψ =

Q+ P− T

Q+ P−T

s QT

(011).

Para P=T resultam, de (01) e (011), respectivamente:

∀ P φ , Q ψ:

r Q

ψ =

ψ Q.

ψ =

ψ Q.

φQ ,

(012).

Para a multiplicação cruzada, considerando a sua eventual anticomutatividade e lembrando que o produto (Q+P-T)-plo é um (Q+P-T)-ádico, deduzimos, sucessivamente: P

s Q T Q + P-T Q + P -T ψ ×

= (−1) Q+ P −T fg...lmn...p ( Q + P-T ψ = (−1) Q+ P -T ( Q + P-T ψ

Q + P -T ×

ab...eqr...yz ) = r

ab...eqr...yzfg...lmn...p) ( Q+ P -T )

ou, ainda, considerando (B) e efetuando uma transposição para montante, de ordem Q+P-T:

∀ P, Q, T com T ≤ P e 0 ≤ Q : (P φ

r QT

s Q+ P−T Q+ P−T (Q + P − T ) ) ψ ×

= (−1) Q + P −T

s Q + P − T P (P − T )P −Q , φ ×

(02).

Q + P −T

= (−1) Q

Q P φ, ×

(021),

ψ ) Q = (−1) Q

s Q P Q φ ×

(022).

Para P=T resulta, logo: r

∀ P φ, Q ψ : P

( P φQ P

s Q Q Q ψ ) ×

s Q

e, trocando-se nesta fórmula φ por φ :

∀ P φ, Q ψ :

( P φ Q×

Políades quaisquer, de mesma valência. Independentemente de ◦ representar × ou . é fácil comprovar a validade da fórmula

IV,§ 07.02

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

∀ P β, P µ, T :

β oP P µ =( P β

r r r Q T P P Q T (T -Q )T µ ) o

(03), P

a transposição no segundo membro sendo irrelevante no caso de ◦ ≡ . . Trocando-se µ por r P

(T − Q)T

em (03) e lembrando-se ((20),§07.01), resulta:

∀ P β, P µ, T :

β oP P µ

r (T − Q )T

= (P β

r r QT P P (T − Q )T µ ) o

(04),

ou, ainda, especificamente:

β .P

e P

r (T − Q)T

r P P (T-Q )T µ ×

r QT P P

= Pβ

= (P β

µ,

r (T-Q )T P P µ ) ×

r QT

(041), ,

(042).

Considerando-se ((11),§07.01) e fazendo-se T = P em (04) resulta:

∀ P β, P µ, T :

s P P Q µ o

= (P βQ

s P P Q µ ) o

(05),

ou, especificamente: P

β P.

µ Q = P β Q .P

µ,

(051),

s P P Q µ ) , ×

(052).

e P

Trocando β por β

s P P Q µ ×

r (T − Q)T

∀ P β, P µ, T : donde, P

e P

= (P βQ

em (03), obtemos: P

r (T -Q )T P P µ o

r (T− Q)T P P

r (T -Q )T P P µ ×

=( P β oP P µ

µ = P β P.

=( P β ×P P µ

r QT

r r QT (T-Q )T

)

(06), (061),

(062).

Fazendo-se P = T nas fórmulas (06), tem-se:

∀ P β, P µ, Q : s

βQ

P P µ o

µ = P β P.

=( P β oP P µ Q ) Q ,

(07),

µQ,

(071),

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

βQ

P P µ ×

=( P β ×P P µ Q ) Q ,

(072).

É válida também a fórmula análoga a (03),

∀ P β, P µ, Q, T : P

Trocando-se em (08) β por β

β oP P µ =( P β

s (T − Q)T

s r s Q T P P Q T (T -Q )T µ ) o

(08).

e relembrando (20), § 07.01 resulta:

∀ P β, P µ, Q, T :

s (T -Q )T

P P µ o

s s P P QT (T -Q )T µ ) o

=( P β

(09),

donde P

s (T-Q )T

s (T -Q )T

P P µ o

P P µ ×

s P P QT µ o

= Pβ

=( P β

s s P P QT (T -Q )T µ ) ×

(091), ,

(092).

Analogamente ao caso anterior, fazendo P = T em (09) obtemos:

∀ P β, P µ, Q :

βQ

P P µ o

s r P P Q Q µ ) o

=( P β

(10),

e, especificamente, P

βQ

P P µ •

= Pβ

s P P Q µ •

(101),

e P

βQ

P P µ ×

= (P β

s r P P Q Q µ ) , ×

(102).

Exemplos para simples comprovação: Tem-se, para 4∆ = zwxy e 4 E = abcd : 4

∆

r 2

4 4 Ε .

4 1 4 4 ∆ × Ε

= ( z. c)( w. d)( x. a )( y. b ) = zwxy

= (yzwx )

4 ×

4 .

cdab = ∆

s 4 4 2 Ε , .

(abcd) = (y × a)(z × b )(w × c)(x × d ) = s

= [(z × b )(w × c)(x × d )(y × a)]1 = [(zwxy )

4 ×

(bcda)]1 =( 4∆

etc.. Produtos múltiplos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Conforme (01) e (011), podemos escrever: IV,§ 07.02

r s 4 4 1 1 Ε ) ×

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

∀ P, Q, T com T ≤ P T− Q

T− Q

α = Pφ

β= φ P

r QT

e 0 ≤ Q : P − ( T− Q)

P − ( T− Q)

r (P − T)P − Q

P − ( T− Q)

ψ =

P − ( T− Q)

R +S − V

P − ( T− Q)

s (P − T)P − Q

s QT

;

∀ 0 ≤ S, V ≤ R: R

r SV

R +S − V

R + S− V

α=

s (R − V)R − S

Logo, para R + S - V = T - Q podemos escrever: R

r SV

T− Q

[

r QT

=[ R

r SV

T− Q

P − ( T− Q)

[

= [ Pφ

P − ( T− Q)

ψ] =

P − ( T− Q)

r (P − T)P − Q

s QT

s (P − T)P − Q

T−Q R

]

s (R − V)R − S

R − ( T − Q)

, (111),

] =

P − ( T− Q) P − ( T − Q)

T− Q R

ψ]

s (R − V)R − S

β,

(112).

Para T - Q = R e, portanto, S = V, temos os escalares:

∀

µ, φ , P

P− R

ψ, Q:

. [

P− R

r QR +Q

P− R

s (P − Q − R)P − Q

ψ] = ,

]

R R

(121),

µ= A

∀

µ , P − R ψ, Q:

= [ Pφ

. [

r (P − Q − R)P − Q

P− R

s QR+Q

] = ,

ψ]

µ= B

(122).

Fazendo-se R = P - Q, (121) e (122) dão:

Poliádicos - Ruggeri

§ 07 - Poliádicos isômeros.

∀

P− Q

µ , P φ , P − R ψ:

P− Q

µ , Q ψ , P φ:

P−Q

( PφQ

ψ) = (

φ)

P−Q

P− Q

µ , (13 ), 1

∀

P−Q

(

φQ ) = (Pφ

ψ)

P− Q

P−Q

µ,

(132).

Considerando, ainda, que: P

P P α ×

= (−1) P

P P µ ×

então, denotando por α a políade entre parêntesis no primeiro membro de (022), temos:

∀ P µ, P φ, Q ψ :

( P φ Q×

P ×

ψ ) = (−1) P +Q ( Q ψ

s r Q P Q Q P P φ ) × µ ×

(141);

analogamente, deduzimos:

∀ P µ, P φ, Q ψ :

(Q ψ

P ×

Q P φ) ×

= (−1) P +Q ( P φ Q

s Q Q Q P P ψ ) µ × ×

(142).

Assim, aplicando (102) a (141) e (07) a (142), podemos deduzir:

∀ P µ, P φ, Q ψ : [ P µ

P ×

(Q ψ

∀ P µ, P φ, Q ψ : [ P µ

P ×

(Q ψ

s Q P φ)]Q ×

r Q P Q φ )] ×

= (−1) P +Q ( Q ψ

s s Q P Q P P Q φ ) × µ ×

(151),

r Q Q P P Q ψ ) µ × ×

(152).

= (−1) P +Q ( P φ Q

Produtos mistos ponteados ou cruzados com três poliádicos. Procuremos, agora, algumas expressões de produtos múltiplos compostos, de nomes diferentes, com políades isômeras12. São eles: R

R •

(P φ

Q Q ψ) ×

R ×

(P φ

Q Q ψ) • .

O primeiro é uma (P - R)-ade se P ≥ Q, ou uma |Q - R|-ade se P ≤ Q. A segunda é uma |R |P - Q||-ade, mas P ≠ Q e R ≤ |P - Q|. Tem-se, aplicando (012)1 ao primeiro produto:

∀ R χ, P φ, Q ψ , P > R :

R •

(P φ

r Q Q ψ ) =( P φ Q× Q ψ ) R ×

em seguida, aplicando (022) aos parênteses do segundo membro:

12 Existem expressões mais gerais que o leitor poderá pacientemente encontrar.

IV,§ 07.02

R R χ; •

§ 07.02 - Expressões de produtos múltiplos de políades isômeras

∀ R χ, P φ, Q ψ , P > Q + R : R

(P φ

R •

Q Q ψ) = ×

(−1) Q ( Q ψ

r s , Q P Q (Q + R ) R R φ ) χ × •

(16).

Aplicando (021) ao segundo produto, escrevemos: R

(P φ

R ×

Q Q ψ) •

= (-1) R [( P φ

r s Q Q ψ ) R ×R R χ]R •

ou, efetuando em ambos os membros uma transposição para jusante de ordem R:

∀ R χ, P φ, Q ψ , P > Q + R : R

r Q Q ψ) R •

χ ×R ( P φ

= (−1) R ( P φ

Q Q ψ)R ×

R R χ ×

(17).

Casos particulares Alguns casos particulares podem ser deduzidos dessas expressões gerais. Assim, para R = Q, temos de (16) e de (17), respectivamente:

∀ R χ, P φ, Q ψ , P > 2Q :

Q •

(P φ

χ ×Q ( P φ

r s Q P Q (2Q ) φ ) ×

Q Q ψ) = ×

(−1) Q ( Q ψ

r Q Q Q ψ ) •

= (−1) Q ( P φ

Q Q χ •

r Q Q Q Q Q ψ ) χ • ×

(181), (191).

Para R = Q = P/2 (logo, P é par), temos, de (181), e (191), respectivamente:

∀ Q χ, 2Q φ, Q ψ :

∀ Q χ, 2Q φ, Q ψ : [ Q χ

Q •

( 2Q φ

Q Q ψ) = •

(−1) Q ( Q ψ

r Q 2Q ( φ Q• Q ψ )]Q ×

s Q 2Q Q Q Q φ ) • χ ×

= (−1) Q ( 2Q φ

Q Q ψ ) ×Q Q χ , •

(182); (192).

Para R = Q = P só podemos operar em (181); e deduzimos,

∀ R χ, P φ, P ψ :

P P ( φ P× P ψ ) = •

(−1) P ( P ψ

P P φ) •P P χ ×

(183),

Produtos duplos (P+Q)-plos. Não é difícil comprovar a seguinte fórmula para produtos duplos: R

Q o P ∗

ψ = Rφ

s QP + Q

Q o P ∗

r QP+Q

(23).

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Para P = Q = H = 2H

1 1 R= S 2 2 φ

H o H ∗

ψ=

s 2H H 2H

H o H ∗

r H 2H

s 2H H

H o H ∗

ψH ,

(231).

* Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas: × P φ ×

Ι P

× ×

r 1

=− P φ 2 + ΙΙ : P φ ,

(20);

s 1

Ι =− P φ 2 + P φ : ΙΙ ,

Ι Ι .4 P φ =

(201);

φ 4 4. Ι Ι ,

(21);

Ι : P φ : Ι = Ι Ι .4 P φ 2 ,

(22).

* § 07.03 – Matrizes isômeras. Vimos (§03.04) como associar uma matriz a um poliádico (estando este escrito cartesianamente). A matriz de qualquer um dos isômeros de um poliádico é formada com as coordenadas desse poliádico dispostas, porém, em postos diferentes. As matrizes associadas a poliádicos isômeros são ditas matrizes isômeras e podem ser determinadas facilmente.

§ 08 - POLIÁDICO UNIDADE. § 08.01 - Definição e propriedades. Sejam {e 1 e 2 ... e N } e {e 1 e 2 ... e N } sistemas de vetores recíprocos em EN (N = 1, ou 2, ou 3). O diádico cujos antecedentes e conseqüentes sejam vetores recíprocos correspondentes de sistemas recíprocos quaisquer é o diádico unidade, único, que se representa por Ι (§02.09,Cap.II,Vol.I). Para N=3,

Ι = e i e i = e 1 e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 = e j e j = e 1e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 ,

(01),

sendo, em geral:

∀ v:

v = v. Ι = ( v.ei )ei = ( v.ei )ei

(i = 1,2,..., N ) ,

(02).

Temos também:

∀

IV,§ 08.01

φ:

φ . Ι = Ι .Q φ = Q φ ,

(03).

§ 08.01 - Definição e propriedades.

Consideremos, então, a políade: P

φ = rst ... lmnabc ... xyz 1424 3 Q fatores

e Q sistemas de vetores recíprocos de EN,

{e ∗ } e {e∗ }, {f ∗ } e {f ∗ }, ..., {g ∗ } e {g ∗ }, {h ∗ } e {h ∗ } . Em vista de (02), P φ pode ser escrita na forma: P

φ = rst ... lmn ( a. e i ) e i (b. f j ) f j ... ( y. g v ) g v ( z. h w ) h w

dentre as 2Q formas possíveis. Como os produtos entre parênteses são números, podemos acomodá-los convenientemente na expressão e escrever: P

φ = rst ... lmn(a. e i )(b. f j ) ... ( y. g v )( z. h w ) e i f j ... g v h w 14 4244 3 , Q fatores

ou, ainda, lembrando a definição de produto ponteado múltiplo de poliádicos (§06.02): P

φ=[(rst ... lmnabc ... xyz) Q. (e i f j ... g v h w )] e i f j ... g v h w 14243 14 4244 3 142 4 43 4 Q fatores

Q fatores

Ora, dentro dos primeiros parênteses encontramos P φ . Dentro dos segundos parênteses encontramos a políade que se obtém da políade externa aos colchetes por simples contraposição dos índices das letras. Em outras palavras: os vetores que ocupam os mesmos postos nestas políades são correspondentemente recíprocos nos sistemas aos quais pertencem. Podemos escrever, mais uma vez relembrando a definição de produto ponteado Q-plo de poliádicos: P

φ= P φ Q. (e i f j ... g v h w e i f j ... g v h w ) 14243 14 4244 3 , Q fatores

Q fatores

o poliádico multiplicador tendo valência 2 Q. Analogamente podemos comprovar que Pφ

= (eif j ... g vh w eif j ... g v h w ) Q. P φ 14243 144244 3 , Q fatores

Pφ= Pφ Q

i f ... g v h e f j ... g h w ) . (e1 j w i v 4 4244 3 14 4244 3

Q fatores

e Pφ

= (eif j ... g v h w eif j ... g vh w ) Q. P φ 14 4244 3 14 4244 3 . Q fatores

Q fatores

É evidente que os mesmos resultados poderiam ser deduzidos se Pφ fosse um poliádico e não apenas uma políade. Então, como os produtos ponteados múltiplos Q-plos

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

dos 2Q-ádicos entre parêntesis são iguais, qualquer que seja o poliádico Pφ, resulta que tais poliádicos são todos iguais para cada Q (conforme Teor.2,§06). Deve ser observado que a assertiva independe dos Q sistemas recíprocos de vetores adotados. Dada a arbitrariedade desses sistemas recíprocos, resulta ser único o referido 2Q-ádico; será denotado por 2Q Ι .

Definição: (poliádico unidade) O 2Q-ádico da forma 2Q

Ι = e i f ... g v h e f j ... g h w ) = (e i f j ... g v h w e i f j ... g v h w ) 14 4244 3 14 4244 3 , 14243 14 4244 3 Q fatores

Q fatores

(04),

Q fatores

em que {e ∗ } e {e ∗ }, {f ∗ } e {f ∗ }, ..., {g ∗ } e {g ∗ }, {h ∗ } e {h ∗ } são sistemas de vetores recíprocos em EN, e que transformam um poliádico nele mesmo, é denominado poliádico unidade, ou 2Q-ádico unidade, ou ainda, idem-fator de valência 2Q. Então, como propriedade característica do 2Q-ádico unidade resulta a expressão: P

∀ φ:

Q 2Q

Ι=

φ Q•

Ι .

φ = φ,

P≥Q

(05).

* Exercício 1: Provar que: 2Q

φ Q•

2Q 2Q ψ •

ψ.

* Além do diádico unidade (01), com duas representações distintas, cada uma com 31 = 3 parcelas, temos também: o tetrádico unidade, 4

Ι = e i f je i f j = e i f je i f j = e i f je i f j = e i f je i f j,

(06),

ou, em relação aos mesmos tercetos recíprocos: 4

j i

Ι = e i e e e j = e i e je e = e e je i e = e e e i e j .

(061),

com 4 (2Q, Q=2) representações distintas, cada uma com 9 (3Q, Q=2) parcelas; o hexádico unidade, 6

Ι = e i f jg k e i f jg k = e i f jg k e i f jg k = e i f jg k e i f jg k = = e i f jg k e i f jg k = e i f jg k e i f jg k = e i f jg k e i f jg k =

(062),

= e i f jg k e i f jg k = e i f jg k e i f jg k , com 8 (2Q, Q=3) representações distintas, cada uma com 33 = 27 (3Q, Q=3) parcelas etc.. IV, § 08.01

§ 08.01 - Definição e propriedades.

* Exercício 2: Provar que: u. 4 Ι.v = vu =( 4 Ι.u).v ,

(b.φ × c). 4 Ι.a = ab.φ × c ,

a.(u. 4 Ι × φ.v ) = ua × φ.v ,

c. 4 Ι × (a.φ).φ.b =

a.(u.φ× 4 Ι.v) = va × u.φ ,

r −(φ T × φ T ) 1 : abc

c. 4 Ι × a.φ.b = a × φ.bc .

* Matriz associada ao tetrádico unidade É fácil escrever uma das matrizes mistas (§ 03.04) associadas ao tetrádico unidade. Temos, por exemplo: 4I

= e je k e jek = A hi jk eh eie je k , sendo A hi jk = δ h jδ ik .

Então, utilizando a mesma notação do §03.04, deve ser:

 h δ  j h [B j ] =  0   0 1 0 0  0 1 0 0 0 1 0 0 0  [ 4 Ι ∗∗∗∗ ] 99 =  0 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0

0 δ

h j

0 0 0 1 0 0 0 0 0

  h 0 =δ j Ι,  h δ j  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0  0 0 0  0 , 0 0  0 1

É fácil comprovar que qualquer que seja a escrita cartesiana de correspondentes são todas iguais à matriz unidade 9×9, isto é,

(063).

Ι , suas matrizes

[ 4 Ι ∗∗∗∗ ] = [ 4 Ι ∗∗∗∗ ] = [ 4 Ι ∗∗∗∗ ] = [ 4 Ι ∗∗∗∗ ] ≡ [ 4 Ι ],

(064).

* Exercícios: 3 – Tem-se os isômeros com 4I: r 4 13

Ι = e je i e i e j = e j Ι e j ,

r 4 23

= e i e i e je j = Ι Ι ,

(065),

e ∀φ: r 4 13

Ι : φ = φT ,

r 4 23

Ι : φ = φEΙ ,

1 4 4 1r3 ( Ι + Ι ): φ = φ sim , 2

(− 4 Ι 13 + 4 Ι 23 ): φ = φ ×× Ι ,

(066).

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

4 – Igualdades matriciais:

[11] [12] [13]  1 0 0 0 1 0      [ΙΙ ] = [21] [22] [23], com [11] = 0 0 0, [12] = 0 0 0 etc. , [31] [32] [33] 0 0 0 0 0 0 r 2

∀φ:

[ φ ] = [φ ] : [ 4 Ι 3 ]

(067).

s 1

[φ ]T = [ φ ] : [ 4 Ι 3 ] ,

(068),

e r 1 [φ sim ] =[φ] : ([ 4 Ι ] +[ 4 Ι 2 3 ]) , 2

(069).

6 – Observe-se que:

∀φ:

φ = φ : 4Ι

[φ] ≠ [φ] : [ 4 Ι ] = (Tr[φ]) [Ι ] = φ E [Ι ] ,

(0610).

Poderia parecer que as igualdades poliádicas acarretassem correspondentes matriciais. O leitor não deve estranhar eventualmente esses resultados matriciais porque as valências dos poliádicos fatores são diferentes (veja Teor. 3, §06.02). 7 - Demonstrar que 4

s r 1 Ι = [(ΙΙ ) 13 + (ΙΙ ) 13 ] 2

e generalizar: 2H

s s r r s r 1 Ι = [( ΙΙ ... Ι ) 13 ... (H-2 )2H -3 (H-1 )2H-1 + ( ΙΙ ... Ι ) 13 ... (H-2 )2H -3 (H-1 )2H -1 ] . 1 2 3 1 2 3 2 H fatores H fatores r

8) - Comprovar que os isômeros 4 Ι , 4 Ι 13 , 4 Ι 23 têm módulo igual a 3 e formam entre si ângulos iguais cujo co-seno é igual a 1/3 (ou seja, 70°31'43,61") e tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §09. 9) - Comprovar que: 9.1) - 6I e os 14 tetrádicos seguintes são isômeros distintos: r

( 4 ΙΙ ) 2 3 = I I I ,

Ι 4Ι , s 13

( Ι Ι) , 4

r 35

s 15

( 4 Ι Ι ) =( 4 Ι Ι ) , r

(Ι Ι Ι ) 1 = (Ι Ι Ι ) 1 ,

( 4 Ι Ι )13 = (Ι 4 Ι )13 = (Ι 4 Ι )12 = (Ι Ι Ι )14 , r 25

(Ι Ι ) =( Ι Ι ) 4

s 23

r 23

r 15

(Ι 4 Ι ) , r

(Ι Ι Ι )

ΙΙ ,

r 14 s

(Ι 4 Ι ) ,

(Ι 4 Ι ) 1 =( 4 Ι Ι ) 1 ,

(Ι 4 Ι ) 2 4 , s

( 4 Ι Ι ) 35 =( 4 Ι Ι )15 ;

9.2) - que todos têm módulo igual a 27 , formam entre si o mesmo ângulo cujo co-seno é igual a 1/9 (ou seja 83°37'14,27") e tal como no exercício anterior, tentar interpretar geometricamente essa questão antes de estudar o §08.03 e o §09. *

IV, § 08.01

§ 08.01 - Definição e propriedades.

No caso particular de bases ortonormadas em E3, {ˆi , ˆj, kˆ } , {aˆ , bˆ , cˆ} , {rˆ , sˆ, tˆ} e outras, os poliádicos unidade têm uma única representação: Ι = $i $i + $j $j + k$ k$ , ou Ι = aˆ aˆ + bˆ bˆ + cˆ cˆ ,

(07),

Ι = $i a$ $i a$ + $i b$ $i b$ + $i c$ $i c$ + $$ b$ + $j c$ $j c$ + + $j a$ $j a$ + $j bj $ $ b$ + k$ c$ k$ c$ , + k$ a$ k$ a$ + k$ bk

(08),

Ι = $i a$ r$ $i a$ r$ + $i a$ s$ $i a$ s$ + $i a$ t$ $i a$ t$ + $ $ $i br $ $ + $i bs $ $ $i bs $ $ + $i bt $ $ $i bt $$ + + $i br + $i c$ r$ $i c$ r$ + $i c$ s$ $i c$ s$ + $i c$ t$ $i c$ t$ + + $j a$ r$ $j a$ r$ + ... ... .

(09).

Propriedades do poliádico unidade. Uma escrita do 2Q-ádico unidade requer Q somatórias (com Q pares de índices), cada qual estabelecida por uma repetição de índices (em níveis diferentes) entre cada um dos seus i-ésimos antecedentes e o seu correspondente (2Q + 1 - i)-ésimo recíproco conseqüente. Se representarmos por

Q∗ = Q i j

v ....u

= e i f j ...g u h v

a Q-ade formada pelos antecedentes e por

Q∗ = Q i j ...u v = e i f j ...g u h v , a Q-ade formada pelos conseqüentes (a letra Q já define a valência dessa políade), então 2Q

Ι = Q ∗Q∗ = Q i j...u v Q i j ...u v = e i f j ...g u h v e i f j ...g u h v = ∗

= Q Q ∗ = Q i j...u v Q i j...u v = e f j ... g h v e i f ... g u h ,

(10).

Logo, de (05) deduzimos:

∀

φ:

φ = ( P φ Q. Q∗ ) Q∗ = ( P φ Q. Q∗ ) Q∗ ,

(101).

Os poliádicos unidade gozam das seguintes propriedades:

1ª) - Uma mesma transposição, arbitrária, realizada simultaneamente sobre cada uma das Q-ades de um 2Q-ádico unidade não lhe altera o valor. Com efeito, como a construção de um 2Q-ádico unidade requer que vetores correspondentes de uma e outra Q-ade sejam recíprocos, uma mesma transposição sobre ambas as Q-ades não altera essa condição.

2ª) - Cada Q-ade que compõe o 2Q-ádico unidade pode ser decomposta arbitrariamente em produtos diretos de uma A-ade, uma B-ade, uma C-ade etc., desde que A + B + C + ... = Q.

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Pois, escrevendo: j m Q ∗ = Qi k l

p n ...

r q

t s

= A ij B k l m C n . . . R pq r s t S v

(11),

com A*=Aij (díade), resulta

B*=Bklm (tríade),

Q∗ = A ∗ B∗ C∗ ... R ∗S ∗ ;

ou, então, escrevendo:

Q∗ = Q i j klmn ... ,

(111),

e fazendo A*=Aij (díade), B*=Bklm (tríade), resulta:

∗

∗ ∗

Q = A B C ... R S . 3ª) - O tetrádico unidade é igual à soma dos produtos diretos dos diádicos de uma base pelos seus correspondentes recíprocos: 4

Ι = εrεr = εrεr ,

Se para o tetrádico qualquer, 4φ, diádicas (notar que os ((08),§10.02,Cap.II,Vol.I): 4

φij

são

(r = 1, 2, ..., 9),

(12).

φ = φ i j e i e j (i, j = 1,2,3) é uma de suas escritas diádicos),

podemos

φ = [ε r (ε r : φ i j )]e i e j = [ε r (ε r : φ i j )]e i e j ,

escrever,

aplicando

(r = 1, 2, ..., 9) .

Lembrando a definição de multiplicação ponteada múltipla simples (§06.02), escrevemos: 4

φ = ε r ε r : φ i je i e j = ε r ε r : φ i je i e j = ε r ε r : 4 φ = ε r ε r : 4 φ .

Mas, por (05), 4 φ = 4 φ : 4 Ι = 4 Ι : 4 φ ; e pelo teorema da igualdade de poliádicos (Teor.2,§06.02) resulta a tese. Essa propriedade será generalizada com facilidade pelo Teor. 2 no §09.02. 4ª) - Se P ≥ R e Q ≥ R:

∀ P φ, Q ψ : ( P φ

R 2R Ι ) •R Q ψ ×

= Pφ

R Q ψ ×

(13).

De fato, o primeiro membro não se altera com a outra associação possível dos fatores. Então, aplicando (05) ao segundo fator encontramos (13). Esta fórmula generaliza algumas já conhecidas envolvendo vetores e diádico unidade, como ((01)2 e (021),§06.02,Cap.II,Vol.I) para P=Q=R=1 e P=R=1 e Q=2.

IV, § 08.01

§ 08.01 - Definição e propriedades.

A transposição: uma multiplicação ponteada.

Teor. 1: ∀ P φ ≠ Ο e P ≤Q : 2Q Ι P

r 2Q Ι = ( P φ 2(Q − P) Ι ) PQ

P φ= P φ P

≠

2Q − P Ο

(14).

Calculando o produto ponteado P-plo da políade φ = a b c ... n p q pelo 2Q-ádico unidade escrito na forma (10),§08.01, P

φ P.

Ι = P∗ (Q − P)∗ P ∗ (Q − P )∗ , temos:

Ι =( P φ .P P∗ )(Q − P)∗ P∗ (Q − P)∗ = (Q − P)∗ [( P φ .P P∗ ) P ∗ ](Q − P)∗

Por força de ((101),§08.01) os P fatores vetores intermediários (entre colchetes) são a própria expressão da políade. Os Q - P outros fatores de um lado e do outro desta políade constituem políades recíprocas. Podemos escrever, efetuando uma transposição para montante, de ordem P - Q e posto Q,: P

φ .

P 2Q

r ∗ PQ

Ι = [ φ ( Q − P )∗ ( Q − P ) ] P

=( φ P

2(Q − P)

Ι)

r PQ

Como também podemos escrever, pela propr. 1ª dos poliádicos unidade (§ 08.01): 2Q

∗

Ι = ( Q − P ) ∗ P∗ ( Q − P ) P ,

o produto ponteado P-plo deste poliádico unidade pela políade apresentará na extrema direita o escalar com P fatores, P∗ .P P φ = P φ .P P∗ , que pode ser convenientemente alocado entre os fatores do poliádico produto. Poderemos, assim, escrever:

Ι P. P φ = ( Q − P )∗ [( P φ .P P ∗ ) P∗ ]( Q − P )∗ . Ora, reaplicando (021),§08.01, encontramos a políade dentro dos colchetes; logo: 2Q

Ι .P

φ = ( Q − P )∗ P φ ( Q − P )∗ = ( P φ

2(Q − P)

Ι)

r PQ

É evidente dos resultados a que chegamos que o poliádico resultante da operação é sempre diferente do poliádico nulo de valência compatível, exceto se o poliádico de partida é o poliádico nulo.

Corol. 1: Fazendo P = 2T e trocando Q por Q + T em (01), temos:

∀

φ, T ≤ Q : 2(Q +T)

Ι .

2T 2T

φ=

φ .

2(Q +T)

Ι =( φ 2T

2(Q −T)

Ι)

r 2TQ + T

≠

Ο,

(141).

A utilização da fórmula (14) requer apenas seja obedecida a condição de ser a ordem da multiplicação menor ou igual que a metade da valência do poliádico unidade, o que, no caso, está satisfeita; de fato, 2T ≤ Q + T se T ≤ Q.

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Corol. 2: Fazendo 2Tφ = 2TΙ em (011), temos:

Ι 2T .

2(Q+T)

Ι=

Ι 2T .

2(Q+T)

Ι = ( 2Q Ι )

r TQ

(142);

e trocando nesta, T por Q–T, com Q≥ T: 2(2Q − T)

2(Q − T) 2(Q − T)

2(Q − T)

Ι=

2(Q − T) 2(2Q − T)

Ι = ( 2Q Ι )

(Q − T) Q

(143).

De fato, operando no penúltimo membro de (141), teremos:

( 2T Ι

2(Q −T)

Ι)

r 2TQ +T

= [TT ∗ (Q − T)∗ (Q − T)∗ ] = [TQ − T)∗ T∗ (Q − T)∗ ]

r 2TQ +T

r TQ

= (Q − T)∗ TT ∗ (Q − T) ∗ ] =

r 2Q TQ

Ι ,

o que comprova a primeira fórmula. A comprovação da segunda fórmula é imediata.

Teor. 2: (a transposição como multiplicação ponteada múltipla) Tem-se:

∀

φ ,Q ≥ T :

Q Q

φT = s T

φ =

r 2Q TQ

φ=

Q Q

φ=

Q Q

r 2Q (Q − T)Q

φ Q. Q

r 2Q (Q − T)Q

r Q 2Q TQ

φ .

φ (Q− T)

φ (Q− T) ,

(15).

Com efeito, podemos escrever, por exemplo: 2Q

r TQ

Q Q

φ = ( Q − T)∗ T∗ [ T∗ ( Q − T)∗ Q.

φ],

donde, aplicando ((04),§07.02) e em seguida ((05),§08.01): 2Q

r TQ

Q Q

φ = [ Q φ T Q. ( Q − T)∗ T∗ ]( Q − T)∗ T∗ =

φ T Q.

Ι =

φT ,

Analogamente podemos comprovar as demais fórmulas13. No final deste capítulo r apresentamos na Tabela 6 um quadro com alguns valores do poliádico

2Q TQ

Propriedades da transposição sobre poliádicos unidade.

1ª) - O transposto para montante (jusante) de S + T vetores e posto Q do 2Qádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, dos seus transpostos para montante (jusante) de S e T vetores e posto Q: r 2Q (S+T)Q

w 2Q (S+T)Q

= =

r 2Q SQ

r Q 2Q TQ

s 2Q SQ

s Q 2Q TQ

= =

r 2Q TQ

r Q 2Q SQ

s 2Q TQ

s Q 2Q SQ

(16).

(161).

13 A transposição como resultado de uma multiplicação ponteada múltipla por alguns poliádicos especiais será vista no §15.02.

IV, § 08.01

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico.

Podemos escrever, lembrando ((071),§ 07.01): r 2Q TQ

. (

r 2Q SQ

Q Q

φ) =

r 2Q TQ

r Q S

r r S T

φ = ( φ ) =

r (S+T)

r 2Q (S+T)Q

φ.

Associando no primeiro membro e considerando a arbitrariedade de Qφ resulta logo (03). Analogamente demonstra-se (161).

2ª) - O transposto de posto Q de S vetores para jusante e T vetores para montante do 2Q-ádico unidade é igual ao produto ponteado Q-plo, em qualquer ordem, do transposto de T vetores e posto Q para montante desse poliádico pelo seu transposto de S vetores e posto Q para jusante: r 2Q (S− T)Q

r 2Q SQ

s Q 2Q TQ

s 2Q TQ

r Q 2Q SQ

(17).

A demonstração é análoga à do teorema anterior. No §15.01 (Teor.8) apresentaremos as CNS para que 2Q-ádicos tenham cruzado nulo e no §10.01 mostraremos que escalar e cruzado de poliádicos são invariantes. § 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o Q-vec de um 2Q-ádico.

Definição: (ponteado e Q-vec de uma 2Q-áde) Chamam-se: ponteado (ou escalar) e Q-vec (ou Q-ade) da 2Q-áde 2Q

φ = a b ... l m n p ... y z 14243 14243 , Q fatores

Q fatores

e representam-se, respectivamente, por 2Q φ E e 2Q φ V , o produto de todos os fatores que se obtêm multiplicando ponteadamente (para o ponteado) e cruzadamente (para o Q-vec) cada um dos seus Q primeiros antecedentes pelos seus correspondentes Q + 1 - i primeiros conseqüentes: φ E =(a. n)(b.p ) ... (l .y )(m.z ) ,

(01),

φ V = (a × n)(b × p) ... (l × y )(m × z ) ,

(02).

Lembrando a definição dos produtos ponteado e cruzado múltiplos (§06.02) podemos escrever: 2Q φ E = (ab...lm ) Q. (np...yz ) , (011), e 2Q φ V = (ab...lm ) Q× (np...yz ) , (021). O escalar e o Q-vec de um poliádico

φ são, respectivamente, as somas dos produtos

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

ponteados e cruzados múltiplos de todas as suas 2Q-ades. Por exemplo: se 4 φ = A i j k m e i e j e k e m , então: 4 φ V = A i j k m ei e j ×× e k e m ou 4 φ V = A i j k m (ei × e k )(e j ×e m ) . De (01) e (02) deduzimos imediatamente, para 2Q-ades e 2Q-ádicos: 2Q

φ TE =

φE

φ TV = (−1) Q

φV ,

(03),

igualdades que se comprovam facilmente por serem: a multiplicação ponteada de vetores comutativa e a multiplicação cruzada anti-comutativa. Partindo das fórmulas (03) podemos demonstrar o seguinte

Teor.1: O escalar de um 2Q-ádico é igual ao produto ponteado (comutativo) 2Q-plo desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

∀

φ:

2Q 2Q

Ι=

Ι 2Q.

φ=

φE,

(04).

O Q-vec de um 2Q-ádico é igual ao produto misto (Q+Q)-plo (nem sempre comutativo) desse poliádico pelo 2Q-ádico unidade:

∀

φ:

φV =

Q • Q ×

Ι = (-1) Q

Q • Q ×

φ ,

2Q T

(05).

Com efeito, deduzimos, sucessivamente, no caso do escalar, usando a representação simbólica para o 2QΙ (§08.01): 2Q φ 2Q 2Q Ι

φ .

Ι = a b ... l m n p ... y z 14243 14243 Q fatores

2Q Q

Q ∗Q Q ∗ =

Q fatores

=[(a b ... l m ) Q.

={[(a b ... l m ) Q.

Q ∗ ][(n p ... y z ) Q.

Q ∗ ] Q Q ∗ } Q. (n p ... y z ) = .

=(a b ... l m ) Q. (n p ... y z )=(a.n)(b.p ) ... No caso do Q-vec, temos: 2Q

Q • Q ×

Ι = a b ... l m n p ... y z 14243 14243 Q fatores

IV, § 08.02

Q fatores

Q • Q ×

Q ∗ ]=

Q ∗ QQ∗ =

§ 08.02 - O escalar (ou ponteado) e o cruzado de um poliádico.

= [(a b ... l m )

Q ×

[ (n p ... y z ) Q.

Q∗

Q∗ ] = ,

= (a b ... l m)

(n p ... y z ) = (a × n)(b × p) ... =

Q ×

(06).

φV

Tem-se, ainda, de (06): 2Q

φ V = (−1) Q (n × a)(p × b) ... = (−1) Q (np... yz ) 1442443 1 424 3 Q fatores

Q ×

(ab ... lm )

Q fatores

donde, 2Q

φ V = (−1) Q [ Q Q ∗

Q∗

Q •

(n p ... y z )]

= (−1) Q Q Q ∗ Q Q ∗

Q • Q ×

Q ×

(a b ... l m ) =

(n p ... y z )(a b ... l m) = (−1) Q

Q • Q ×

2Q T

Teor. 2: (escalar e Q-vec do poliádico unidade) O escalar do 2Q-ádico unidade é a potência Q de N; o seu Q-vec é o Qádico nulo: 2Q

Ι E =N Q ,

Ι V = QΟ ,

(07).

O produto ponteado Q-plo de duas Q-ades pertencentes a Q-plas recíprocas (logo, de índices diferentes) é o produto dos Q deltas de Kronecker formados com os pares de índices correspondentes: Q Q i j k ... l mn Q. Q Q rs t ... uv w =δ ir δ js δ kt ... ; se os índices são iguais esse produto ponteado é o ponteado do 2Q-ádico unidade, e tem-se: 2Q

Ι E = Q Q i j k ... l mn Q.

Q i j k...

l n i j k Q m =δ i δ j δ k ...= N×N×N × ... = N

Se pusermos, como em ((04),§08.01), 2Q

Ι = e i f ... g v h e f j ... g h w ) 14243 14 4244 3 , Q fatores

para i, j, ..., w=1, 2, ..., N,

Q fatores

a aplicação da definição (02) a cada uma das 2H-ádes de poliádico unidade dá: 2Q

Ι V = (e i × e i )(f j × f j )... (g v × g v )(h w × h w ) .

Observando que dentro de cada um dos parênteses temos o vetor do diádico unidade relativo a vetores de EN, e lembrando que este é o vetor nulo, temos comprovado a tese.

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

§08.03 - Isômeros distintos do poliádico unidade Consideremos o 2QΙ posto na forma (04),§08.01, ou seja 2Q

Ι = e i f ... g v h e f j ... g h w ) = (e i f j ... g v h w e i f j ... g v h w ) 14 4244 3 14 4244 3 . 14243 14 4244 3 Q fatores

Q fatores

Havendo 2Q letras indexadas (ou índices) para a formação dos isômeros de 2QΙ, haverão (2Q)! agrupamentos possíveis dessas letras que suporemos listados. Dentre esses agrupamentos, muitos representarão o próprio 2QΙ em vista da possibilidade das letras indexadas de dois tercetos recíprocos, independentemente da posição dos índices, ocorrerem nas mesmas casas em cada um dos dois conjuntos de Q letras, como em 2Q

Ι = ei g v ...f j e i g v ...fj j= ei g ...f e g v ...f j . v j i 1 424 3 123 Q fatores Q fatores

Com as Q letras e, f, ... podemos formas Q! permutações e como a posição dos índices é irrelevante estaremos formando permutações com objetos iguais (pois, para esse efeito, ei tem o mesmo significado que ei, etc.). Então o número de agrupamentos iguais a 2QΙ é 2Q Q!. Consideremos agora os seguintes isômeros, distintos de 2QI, digamos

e i e i ...f j g v f j ...gj v g v g v ...f j ei f j ...e i 424 3 123 = ... . 1 424 3 123 = 1 Q fatores Q fatores

Q fatores

Fazendo o mesmo raciocínio anterior, comprovamos que este isômero aparecerá também na mesma quantidade 2Q Q! dentre todos os (2Q)! agrupamentos já estabelecidos. Isto significa que dentre todos os (2Q)! agrupamentos listados haverá apenas (2Q)!/2Q Q! distintos. Sendo

(2Q)! 2Q(2Q -1)(2Q - 2)(2Q - 3)(2Q - 4)...[2Q - (2Q - 3)][[2Q - (2Q - 2)][2Q - (2Q -1)] = 2 Q Q! 2 Q (Q)(Q -1)(Q - 2) ... (3)(2)(1) tem-se, fatorando 2 em Q fatores no denominador (em 2Q, em (2Q-2) etc., em 2Q-(2Q4)=2x2 e em 2Q-(2Q-2))=2x1, simplificando os fatores comuns entre o novo numerador e o denominador e lembrando a definição de semi-fatorial (!!), vem:

(2Q)! 2 Q Q!

= (2Q −1)(2Q − 3)...(3)(1) = (2Q −1)!! .

Assim, diádicos, tetrádicos e hexádicos – os poliádicos de maior valência utilizados na prática - têm, respectivamente, 1, 3 e 15 isômeros distintos. No §09 poderemos comprovar, por inspeção, que esse isômeros são também todos independentes nas suas respectivas categorias; o que, entretanto, não ocorre exatamente com os 105 isômeros de 8I.

IV,§ 08.03

§ 08.04 - A tabuada do um.

Teor. 1: ∀ Pφ ≠ PΟ ,

Q<P, Q≥1, P≥1, P

φ .P

Ι=

2(P − Q)

s (P − Q)Q

φ,

(01).

Escrevamos a políade qualquer na forma composta de três políades P

φ = r s ... 123

n p ... 123

x y ... 123 ;

P − Q fatores 2Q − P fatores P − Q fatores

e o 2Q-ádico unidade (ver §08.01) na forma 2Q

Ι = ( P − Q) ∗ ( 2Q − P ) ∗ ( P − Q) ∗ ( 2Q − P ) ∗ . 14444244443 P fatores

Então: P

Ι=

( r s ... ) P −.Q (P − Q)∗ 144424443

( n p ... ) 2Q.− P (2Q − P )∗ 144442 44443

P − Q fatores

(x y ... ) P −.Q (P − Q)∗ (2Q − P)∗ . 144424443

2Q − P fatores

P − Q fatores

Com os dois conjuntos de P - Q números podemos escrever, lembrando o Teor.2,§08.02:

(r s ... x y ...)

2(P − Q) 2(P − Q)

Ι=

= (r s ... x y ...) E = (r.x)(s.y ) ... =

2(P − Q)

(A).

(r s ... x y ...),

Agora, acoplando convenientemente os 2Q - P números restantes com os 2Q - P vetores da políade (2Q - P)*, e observando que essa políade assim formada é a políade (intermediária) de 2Q - P fatores do poliádico base, escrevemos: P - Q fatores 2Q - P fatores 6 474 86 474 8 P

P 2Q Ι .

2(P-Q)

2(P-Q) .

(rs ... xy ... np ... ) = 14442444 3

2(P-Q)

s 2(P-Q) P ( P − Q )Q φ .

Q fatores

o que conclui a demonstração do teorema, pois, por ((05),§08.01) a comutatividade está comprovada. Nota: Esse teorema não garante a não nulidade do produto, pois para Q ≤ P e P φ ≠ Ο poderá acontecer que o produto seja o poliádico nulo. Exemplo: para P=2, Q=1, tem-se φ :I=φE, o escalar de φ podendo ser nulo.

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Corol. 1: A CNS para que seja nulo o produto ponteado P-plo de P φ ≠ P Ο pelo 2Q-ádico unidade, com Q ≤ P , é que dentre os seus P-Q primeiros antecedentes e os P-Q primeiros conseqüentes exista ao menos um par de vetores correspondentes (os de ordens i e P-Q+1-i) que sejam perpendiculares. A demonstração é garantida por (A) e o Corol.1 do Teor.1,§08.02.

Teor. 2: Para H≥1; 2P≥H, 2Q≥H, (ou P≥1 e Q≥1) 2P H 2Q Ι Ι •

r r 2(P + Q - H) Ι PP + Q- H ( Q - H )Q + 2(P -H)

(02).

Usando o modo simplificado de representação dos poliádicos unidade pelos grupos de políades recíprocas, escrevamos: 2PI=ABA*B* e 2QI=CDC*D*, as políades A, B, C e D tendo, respectivamente, P-H vetores, H vetores, H vetores e Q-H vetores. Então: 2P Ι H 2Q Ι =ABA*(B* H C)DC*D*; e agrupando convenientemente o escalar entre • • parênteses, observando que B B ∗ •H C =C, vem: 2P Ι •H 2Q Ι =ACA*DC*D*. Entretanto, podemos escrever, aplicando os conceitos de transposição seguidamente: r

ACA*DC*D*= (DACA * C * D*)(Q - H )Q+2(P-H) = ( ACDA∗C∗D∗ )P(P+Q-H) (Q − H )Q+2(P-H) . Este resultado demonstra o teorema uma vez que dentro dos parênteses reconhecemos o poliádico unidade de valência 2(P+Q-H). Notas: 1 - Poderíamos dar à expressão (02) uma representação equivalente acoplando o escalar (B*.C) após o fator D na expressão 2P Ι •H 2Q Ι =ABA*( B∗ •H C )DC*D*. 2 – Releva observar que o produto 2H Ι H• 2Q Ι não é comutativo em geral, exceto para valores particulares de H, por exemplo, H=P, ou H=Q, cujos resultados são conhecidos.

De (02) podemos deduzir, sem dificuldades que: P=Q≥1, H≥1, 2P≥H:

2P H 2P Ι Ι •

r r 2(2P - H) Ι P2P-H ( P − H )3P− 2H

(03).

Os casos extremos são: Q=P=1, H=2, com I . I=I e P=Q=2, H=2, 4I : 4I= 4I, P=Q=3, r r

H=2, 6I : 6I= 8 Ι 3415 Pondo H=Y≥1 e 2P-Y=X, resulta, somando membro a membro: 2P=X+Y – o que significa que X e Y são de mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Assim: P+QH=2P-H=2P-Y=X e Q-H=P-Y=(X+Y)/2-Y=(X-Y)/2≥0., X-Y sendo par. Então, sendo 2PY=X e P-Y=(X-Y)/2 vem, somando membro a membro: 3P-2Y=[2X+(X-Y)]/2, ou seja par/2=inteiro.

IV,§ 08.04

§ 08.04 - A tabuada do um.

A fórmula (03) fica, assim, reduzida a: X+Y Y X+YΙ Ι •

X ≥Y: Exemplos:

2X Ι (

X + Y r) ( X − Y ) 2 X 2 (3X− Y)/2

(031).

r r

Para X=3, Y=1 tem-se: 4 Ι . 4 Ι = 6 Ι 2 314 ; para X=4 e Y=2, 6 Ι : 6 Ι =8 Ι 34 15 ; para X=2 e r r

Y=2, 4 Ι : 4 Ι = 4 Ι 2 20 2 = 4 Ι . Os casos de multiplicação com X≤Y são resolvidos pelo teorema seguinte.

Teor. 3: Para X≤Y e X e Y de mesma paridade (logo X+Y é par, bem como Y-X) X+Y

Ι Y.

X+Y

Ι= 3

Y− X 2X 2 Ι,

(04).

Consideremos a L-ade (com L≥2B e B≥1, logo L≥2): i

L∗ = ei f j ... k f l r m sh t ... ... n pq u e sua recíproca L*= e f j ... k f l m sh ... ... n p q . 1 424 3 1 424 3 1 424 3 1 424 3 B fatores

B fatores

Fazendo i, j, ..., p, u = 1, 2, 3, ..., o produto direto dessas políades representará o 2L-ádico unidade, isto é, 2L

j f s p Ι = e i f ... k l r m h t ... ... n q u e f j ... k f l m sh ... ... n p q 424 3 1 424 3 1 424 3 1 424 3 1 B fatores

B fatores

Considerando as B-ades recíprocas

B∗ = r qo k ...y v z w e

B∗ = rq o k ... y v z w

e o 2(L + B)-ádico unidade correspondente (2(L+B)≥6B), isto é,

2( L+B)

∗

Ι = L∗ B∗ L B ,

temos: 2(L+B)

L+2B 2(L+B)

Ι = L∗ B∗ L∗ B∗

L+2B

L ∗ B ∗ L∗ B∗

O 2L-ádico produto terá a L-ade L* por antecedentes, a L-ade lr ms ht ... np qu B* por conseqüentes e o fator numérico (r q .e i ′ )(o k .f j′ )...(y v .k f ′ )(z w .l r ′ )(e i .m s ′ )(f j.h t ′ )... 1444442444443 B fatores

...(n p .y v ′ )(q u .z w ′ )(rq .e i ′ )(o k .f j′ )...(y v .k f ′ )(z w .l r ′ ) 1444442444443 B fatores

Agrupando convenientemente, aos pares, os 2B fatores, escrevemos:

(r q . e i' )(e i' . rq )(o k . f j' )(f j' . o k ) ... (y v . k f' )(k f' . y v )(z w . l r' )(l r' . z w ) .

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Cada par de fatores é igual a três, pois, por exemplo,

(r q . e i' )(e i' . rq ) = [(r q . e i' )e i' ]. rq = r q . rq = 3 . Logo, o produto desses 2B fatores é 3B. Acoplando convenientemente os 2L fatores restantes do grande fator numérico do poliádico produto aos vetores da sua L-ade antecedente, escrevemos: (m s ′ .ei )e i (h t ′ .f j )f j ... ... (n p ′ .k f )k f (q u ′ .l r )l r (r q ′ .m s )m s (o k ′ .h t )h t ... ... (y v ′ .n p )n p (z w ′ .q u )q u = m s' h t' ... n p ′q u ′ r q ′ o k ′ ... y v ′ z w ′ 144244 3 144244 3 L − B fatores

pois m s' h t' ...n p' q u' B ∗m s h t ...n p q u B ∗ é o 2L-ádico

× 2LΙ,

Então o poliádico resultante é 3B

B fatores

unidade. Assim, da identidade: 2(L+B)

L+2B 2(L+B)

Ι = 3B

Ι,

fazendo L+2B=Y e L=X, donde B=(Y-X)/2 e 2(L+B)=X+Y≥6B (desigualdades que acarretam Y≤2X), encontramos (04). Com as fórmulas deduzidas podemos montar um quadro que dê o resultado da multiplicação múltipla T-pla do poliádico unidade de valência 2R pelo poliádico unidade de valência 2Q; para abreviar denominá-lo-emos de tabuada do um. Esta tabuada está apresentada na Tabela 3 no final deste capítulo. * Exercícios: Comprovar as seguintes fórmulas: 12-

4 4

Ι ×× Ι = ΙΙ - (ΙΙ ) 1 = ΙΙ − (ΙΙ ) 1 Ι

× ×

Ι =( 4 Ι

× ×

r 2

Ι ) =( 4 Ι

× ×

(05);

s 2

Ι ) = −( 4 Ι

× ×

Ι)

s 1

(06).

* § 08.05 - Poliádico desvio. A-ádicos majorantes e minorantes de um poliádico Fazendo-se A=2Q-P (logo, A+P e A-P são pares), o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.03) é escrito na forma: A+P Ι P P φ

Ι . φ = P φ P.

A+P Ι

Ι = (P φ

A−P Ι)

e o A-ádico definido pela fórmula ((01),§08.04), na forma

IV,§ 08.05

r PA+P 2

, se A-P≥2

(01);

§ 08.05 - Poliádico desvio.

A+P Ι P P φ

Pφ P A+P Ι

Ι . φ= φ .

Ι=

P−AΙ

87 s ( P − A ) P+A Pφ 2 2

P−A

, se P-A≤2

(011).

Definição: (A-ádicos majorantes e minorantes de um P-ádico) Os A-ádicos A(maj Pφ) e A(min Pφ) dados por (01) e (011), respectivamente, P são denominados os A-ádicos do P-ádico φ : majorantes no primeiro caso (porque A-P≥2), minorantes no segundo caso (porque P-A≤2). Exemplos: (apresentados na tabela seguinte) A-ádicos majorantes de Pφ:

( maj P φ )

A≥P

φ : Ι = (φ Ι )

Escrita poliádica 6

... 3

3φ 3 8 Ι

3φ 3 10 Ι

= (3 φ 4Ι ) 35 = (4 Ι 3φ )2 ...

4 φ 4 10 Ι

= (4 φ Ι )45 = ( 4 φ Ι ) 1

...

... A-ádicos minorantes de Pφ:

( min P φ )

A≤P

Ι : φ=φ

s 3φ 12

= ( 3φ Ι ) 34 = ( 3φ Ι ) 1

...

r 24

...

r 23

Escrita poliádica

Ι :

3φ 3 4 Ι

4φ 4 4Ι = 4Ι 4 4φ = 4φ . s . r E s 4 13 4 13 4 1 6 4 4 φ = φ E = φ E3 = Ι . φ 1

...

Vê-se que o escalar de φ é o seu minorante 0-ádico (ou minorante escalar). P

Teor. 1: (majorantes de 2PΙ)

∀A ≥ 2P :

2A ( maj 2P Ι )

Ι =

r 2A Ι PA

(02).

Trocando A por 2A, P por 2P e φ por I em (01), temos: 2A

(maj

Ι ) =( 2P Ι

2(A - P)

Ι ) ( 2P )A + P .

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádico unidade.

Lembrando a notação estabelecida no §08.01 para escrita compacta do poliádico unidade, escrevemos:

( 2P Ι

r 2(A − P) Ι )(2P )A +P

= [P∗P∗ ( A − P )∗ ( A − P)∗ ](2P )A+P = r

= ( A − P)∗ P∗P∗ ( A − P )∗ = [P∗ ( A − P)∗ P∗ ( A − P )∗ ]PA , donde, logo, (02) já que o poliádico unidade entre colchetes tem valência 2A. * Exemplos: 4

r 1

( maj Ι ) = 4 Ι 2 ,

r 2

( maj 4 Ι ) = 6 Ι 3 ,

( maj 6 Ι ) = 8 Ι

r 34

etc .

Teor. 2: Se A>P e A+P é par (logo, A-P é par), todo poliádico de valência P é A−P

equivalente a 3 2 avos do produto ponteado A-plo do (A+P)-ádico unidade pelo seu A-ádico majorante:

∀ P φ:

A− P 3 2

A + P Ι A A ( maj P φ )

= Pφ ,

(03).

Com efeito, lembrando a definição de majorante (fórmula (01)) e considerando que a multiplicação múltipla de poliádicos é operação associativa, temos:

A−P 3 2

A +P

Ι A. ( A +P Ι P. P φ ) =

A−P 3 2

( A +P Ι A.

A +P

Ι ) P. P φ .

Como por hipótese A≥P e A+P é par, podemos calcular o produto múltiplo entre parêntesis aplicando ((04),§08.04); em seguida, simplificando e lembrando ((05),§08.01) encontramos (03). Parte A-ádica principal de um poliádico Então, se A<P e A+P é par (logo, P-A é par), todo poliádico de valência P é diferente dos 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo dos seus correspondentes (A+P)ádicos unidade e A-ádicos minorantes; e escrevemos:

A < P e A + P = par,

IV,§ 08.05

1 P−A 3 2

A +P Ι A

A (min P φ )

≠

Pφ

2P Ι P

Pφ

(04).

§ 08.05 - Poliádico desvio.

Definição: (parte A-ádica principal de um poliádico) Para A < P, o P-ádico igual os 3(P-A)/2 avos do produto ponteado A-plo do (A + P)-ádico unidade pelo A-ádico minorante do poliádico Pφ será dito a parte A-ádica principal desse poliádico; e será representado por P φ prA :

∀ P φ, A < P e A + P = par :

1 P−A 3 2

A+P Ι A

A (min P φ )

Pφ

prA

(05).

Para A=0 tem-se a parte escalar principal de Pφ, também dita a parte esférica de Pφ: P

φ pr0 = (

1 3

P/2

φE ) P Ι ,

donde

1 φ pr0 = ( φ E ) Ι , 3 *

φ pr0 = (

1 32

φ E ) 4 Ι etc.

Exercício 1: Comprove que o escalar, o escalar do adjunto e o 3P-ésimo de respectivamente: PφE, (PφE)2/3P/2 e (PφE/3P/2)3. * De (04), (05) e (011) deduzimos:

A < P e A + P = par,

φ prA = (

A +P

P−A 3 2

A A+P Ι ) P. P φ .

≠

φpr0 são,

P P φ .

ou, ainda, por ser Pφ arbitrário:

A < P e A + P = par,

(

A +P

P−A 3 2

Ι A.

A+P

Ι)≠

Ι .

Ponhamos, para

A < P e A + P = par,

(fat A 2P Ι ) =

Ι−

A+P

P−A 3 2

A A+P Ι, .

(06).

Denotando-se, ainda, por (dev A P φ) o produto ponteado P-plo de (fat A 2 P Ι ) por Pφ, de (06) e (05) resulta:

(fat A 2 P Ι ) P. P φ = P φ − P φ prA = (dev A P φ) ,

(07).

Definições: (poliádico desvio e fator desviante) O P-ádico ( dev A P φ ) , visto como a diferença entre o poliádico Pφ e sua parte

A-ádica principal, é denominado poliádico desvio de Pφ em relação à sua

Poliádicos - Ruggeri

§ 08 - Poliádicos Unidade.

parte A-ádica principal. O 2P-ádico (fat A 2 P Ι ) que, por multiplicação

ponteada P-pla por Pφ, dá o desvio desse poliádico em relação à sua parte A-ádica principal, será dito o fator desviante de 2PI para A-ádicos. Exemplos: Fator desviante de

Ι para A-ádicos: (fat A 2 P Ι ) , (A+P=par)

A (< P)

(fat A 2 P Ι )

(fat 0 4 Ι ) = 4 Ι − 1 Ι Ι 3 1 4 6 4 (fat 1 Ι ) = Ι − Ι . 4Ι 3 (fat 0 8 Ι ) = 8 Ι − 1 4 Ι 4 Ι 9 1 8 8 ( fat 2 Ι ) = Ι − 6 Ι : 6 Ι 3 10 10 ( fat 0 Ι ) = Ι − 1 6 Ι . 6 Ι 9 1 10 10 ( fat 3 Ι ) = Ι − 8 Ι 3. 8 Ι 3 12 12 ( fat 0 Ι ) = Ι − 1 6 Ι 6 Ι 27 1 12 12 ( fat 2 Ι ) = Ι − 8 Ι : 8 Ι 9 1 12 12 ( fat 4 Ι ) = Ι − 10 Ι 4. 10 Ι 3

2 5

1 3

0 2 4 P

P-ádico desvio de φ em relação à sua parte A-ádica principal: ( dev A P φ ) P

A≤P

Representação de ( dev A P φ )

φ − 1 φE Ι 3 4 4 4 1 φ− φE Ι 9

2 6

1 6 Ι : 6Ι 3

4φ−

0 2 4

6φ−

= fat 2 8 Ι

4 4φ ⋅

6 6 φ − 1 φE Ι 27

1 8 Ι : 8Ι 9

1 3

4 4φ .

6 6φ .

10 Ι 4 10 Ι 6

Ι .

= fat 2 12 Ι

6φ

6 6φ ⋅

φ = fat 4 12 Ι

6 6φ ⋅

... Para A=0 tem-se o desvio de Pφ em relação à sua parte escalar (ou esférica). Muito utilizados na prática são os diádicos desvio (H=2). * IV,§ 08.05

§ 09.01 - Espaço Poliádico.

Exercício 2: Demonstrar que: Ι Ι : fat 0 4 Ι = (fat 0 4 Ι ) : Ι Ι = 4 Ο . * Teor. 3: A parte A-adica principal de um P-ádico e o seu fator desviante para Aádicos são P-ádicos ortogonais: P

φ prA

P .

dev A P φ = 0 ,

(08).

Do primeiro e último membros de (07) escrevemos: P

φ prA

P .

dev A P φ = P φ prA

P .

(fat A 2 P Ι ) P. P φ ,

donde, associando e considerando (06): P

φ prA

P .

dev A P φ = P φ prA

P 2P . ( Ι−

1 P −A 3 2

A+P

A A+P Ι ) P. P φ .

Lembrando que A<P e aplicando ((04), §08.04) para o subtraendo dentro dos parênteses, com X=P e Y=A, concluímos que é nulo o 2P-ádico entre parênteses; o que comprova (08)

Corol. 1: No espaço dos P-ádicos, um P-ádico qualquer, sua parte A-ádica principal e seu fator desviante para A-ádicos formam um triângulo retângulo de que o P-ádico é hipotenusa.

§ 09 - ESPAÇO POLIÁDICO. BASES. OPERAÇÕES. As noções de espaço de vetores e de diádicos - casos particulares da noção mais geral de "espaço linear ou vetorial" - são, evidentemente, estendidas aos poliádicos. Com efeito, pois para estes já estão definidas as operações de adição e de multiplicação por número real, e estas gozam das propriedades requeridas para poder-se enquadra-los como mais um caso particular daquela noção geral. § 09.01 - Espaço poliádico. Seja 3 αi

α = A i j k r e je k e r

(i = 1, 2,..., G; j, k, r = 1,2, ..., N) ,

(01),

uma representação de um dos triádicos de dado conjunto de G deles, em relação às bases vetoriais recíprocas do EN, {e*} e {e*} (valendo lembrar que N=1, ou 2, ou 3). A combinação linear desses triádicos,

3αi

= 3Ο ,

(i=1, 2, ..., G)

(02),

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

em que os Mi são G incógnitas, é equivalente ao sistema de N3 equações algébricas lineares

Ai jkr Mi = 0

(i = 1,2, ..., G; j, k, r = 1,2, ..., N) ,

(021).

A matriz desse sistema não difere da sua correspondente (023), § 10.01, II - caso dos diádicos - senão pelas suas ordens e pela estrutura de suas colunas. Com efeito, aqui os elementos da i-ésima coluna são as N3 coordenadas do triádico 3αi,

A i111 , A i112 , A i113 , A i121 , A i122 , A i123 , A i13 1 , ... , e a matriz é de ordem N3 x G. É evidente que no caso dos tetrádicos será Mi 4αi=4Ο e a matriz correspondente, de ordem N4 x G, terá por i-ésima coluna as N4 coordenadas do tetrádico 4αi de dado conjunto de tetrádicos, isto é,

A i1111 , A i1112 , A i111 3 , A i1121 , A i1122 , A i1123 , A i11 31 , ... (em número de N4=14, ou 24, ou 34). No caso geral de um conjunto de H-ádicos ordenados será Mi Hαi= HΟ e as equações correspondentes a (01) e (021) serão: H αi

= A i j k ... uv w e j e k ... e u e v e w 1424 3

A i j k ...

v M u w i

(022).

H índices

Então, analogamente ao caso dos diádicos, a matriz associada ao poliádico de valência H de um conjunto de G desses H-ádicos terá a ordem NH x G (com NH=1H, ou 2H, ou 3H). Se a ordem do principal dessa matriz for P, então: 1°) - Se for P = G, o sistema admitirá apenas as soluções nulas, isto é, a combinação Mi Hαi só será possível para os Mi simultaneamente nulos. Nesse caso os G poliádicos serão ditos linearmente independentes e constituirão uma base do espaço a que pertencem; este terá a dimensão G e será denotado por HEG, sendo G≤NH. As bases serão representadas, como habitualmente, inserindo seus poliádicos ordenados entre chaves, por exemplo, {Hε1, Hε2, ..., HεG}. Como o maior valor possível de G é NH, concluímos:

No espaço HEG uma base é definida por, no máximo, NH H-ádicos, isto é, por no máximo N3 triádicos para o espaço dos triádicos, N4 tetrádicos para o espaço dos tetrádicos etc., com N=1, ou 2, ou 3. A todos os valores de G inferiores a NH (1H, ou 2H, ou 3H) corresponderão subespaços do espaço dos H-ádicos. Em resumo: G≤NH, e não obstante essa desigualdade, todos os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço. 2°) - Se for P < G, isto é, se a matriz associada aos G poliádicos tem o principal do grau menor que G, a combinação Mi Hαi = 0 é possível para os Mi não simultaneamente nulos (nsn); nesse caso os poliádicos pertencerão a um subespaço do espaço dos H-ádicos e P será a sua dimensão (apenas P dentre os G H-ádicos entrarão na composição de uma base para esse sub-espaço).

IV,§ 09.01

§ 09.01 - Espaço poliádico.

Fica, pois, demonstrado o seguinte

Teor. 1: Se Hφ é um H-ádico e {Hε1, Hε2, ..., HεG}, para G ≤ NH, é uma base de um subespaço HEG do H E N H (espaço dos H-ádicos), ambos quaisquer, existe um e um único conjunto de G números Mi tal que Hφ = Mi Hεi:

∀ H φ,{H ε1 , H ε 2 , ..., H ε G ,} : ∃M i (i = 1,2, ..., G), G ≤ N H |

φ = Mi H εi ,

(03).

Com outras palavras diríamos, também:

Todo H-ádico de um HEG do espaço dos H-ádicos (G ≤ NH) pode ser representado como uma combinação linear única dos H-ádicos de uma base desse subespaço. Os G números Mi que em relação a uma base H-ádica {Hε*} de um HEG determinam univocamente um H-ádico do mesmo, são ditos as coordenadas cartesianas desse H-ádico naquela base. A expressão Hφ = Mi Hεi é dita, então, a decomposição cartesiana do Hádico na base {Hε*}. Tal como já se dera com os vetores, a todo H-adico referido a uma base H-ádica poderemos associar uma matriz linha, ou coluna, cujos elementos sejam as coordenadas desse H-ádico naquela base.

Definição: Denominaremos matriz métrica de um conjunto

ψ i (i = 1, 2, ..., G) de G

poliádicos de valência H, a matriz G x G

 H ψ H Hψ 1 . 1  H ψ 2 H H ψ1  .  ...    H ψ H Hψ  G . 1

ψ1 H .

ψ2 H .

ψ2

...

ψ2

...

... H

ψG H .

... H

ψ2

...

ψG    H H H ψ2 ψG  . , ...   H ψ G H H ψ G  . H

ψ1

H H

(04).

Os elementos da matriz (04) poderiam ser facilmente calculados se os H-ádicos estivessem referidos a bases vetoriais recíprocas do EN, pois, então (§ 06.02), seriam iguais aos produtos duplos das matrizes de nomes contrários associadas aos H-ádicos. Considerando que podemos escrever, Hαn

nj k

...

u we ek v j

... e u e v e w ,

o elemento genérico da matriz métrica dos G H-ádicos

H αi

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

H αn H Hαi

nj k

...

u w v

A i jk ...

onde n, i = 1,2, ..., G,  j, k, ..., u, v, w = 1,2, ..., N.

v , u w

Então, considerando (022), o sistema (02) pode ser escrito também na forma

(H αn

H H αi )M

nj k

u w v

...

(A i jk ...

v M ) u w i

(05).

Para que esse sistema admita apenas a solução trivial é CNS que a matriz associada aos G H-ádicos seja regular. Assim, fica demonstrado o seguinte

Teor. 2: A CNS para que um conjunto de G H-ádicos de um HEG constitua uma base desse espaço é que a matriz métrica desse conjunto seja regular. * Exercício 1: r 4 13

r 4 23

Mostrar que a matriz métrica do conjunto Ι , Ι , Ι 4

9 3 3 é 3 9 3 . 3 3 9

Sugestão: aplique apenas a definição de matriz métrica, fórmula (04). Exercício 2: Provar que

A 4 Ι + B 4 Ι 13 + C 4 Ι 2 3 = 4 Ο

⇒

A=B=C=0,

o que significa que I e seus dois isômeros definem uma base de um espaço particular de tetrádicos – dito espaço de tetrádicos isotrópicos – isto é, aqueles postos na forma 4

φ = A 4 Ι + B 4 Ι 13 + C 4 Ι 2 3

em que A, B e C são números reais (assunto a ser estudado no §16). Sugestão: calcule o produto ponteado quádruplo da igualdade dada por cada um dos isômeros, constitua três equações lineares em A, B e C e conclua a tese. * Teor. 3: O determinante da matriz métrica de uma base poliádica pode ser considerado sempre positivo. Com efeito, se esse número (não nulo) fosse negativo - caso em que a base se diria negativa - poderíamos reordenar os seus poliádicos (já previamente ordenados) alternandoos de forma que a nova ordenação apresente um número ímpar de inversões em relação à anterior. Teríamos uma nova base cuja matriz métrica seria a matriz da antiga base com linhas (ou colunas) alternadas (um número ímpar de vezes). Logo, seu determinante será o mesmo determinante da antiga com o sinal trocado, isto é, positivo.

IV,§ 09.01

§ 09.01 - Espaço poliádico.

Definição: (norma e módulo de base) O determinante, sempre positivo, da matriz métrica de uma base { H ε 1 H ε 2 ... H ε G } será denominado a norma dessa base e será representado por ||Hε*||; a raiz quadrada positiva da norma será denominada o módulo da base e será representada por |Hε*|. * Exercício 3: (independência dos 15 isômeros de 6I). No enunciado do Exercício 9 do §08.01 foram listados os 15 isômeros distintos de 6 I, tendo sido solicitada, inclusive, a comprovação de que todos eles têm a mesma norma 27 e seus produtos sextuplos iguais a 3. Comprove, então: a) - que os elementos da diagonal principal da matriz métrica 15x15 (simétrica) do conjunto são iguais a 27 e os demais elementos iguais a 3; b) - que o determinante dessa matriz é igual a 23x315x814; c) – que a introdução de qualquer outro isômero na lista dos 15 acarretará matriz métrica não regular para esse conjunto (pois o determinante 16x16 desse conjunto terá necessariamente duas linhas ou colunas iguais).

Teor. 4: Se {Hε*} é uma base de um HEG e Ai são G números dados, existe um e um só H-ádico de HEG, Hχ, tal que: H

χ H.

ε =

H i

ε .

H i H H

χ = Ai

(i = 1,2, ..., G) ,

(06).

Se Hψ é um poliádico qualquer de um HEG onde elegemos arbitrariamente uma base {Hε*}, e se M1, M2, ..., MG são as coordenadas desse poliádico nessa base, podemos escrever (Teor. 1): H

ψ H.

ε = Mk

H i

H k H H i

(i, k = 1, 2, ..., G).

ψ H. H ε i por Pi, as G equações acima, uma correspondente a cada valor de i, constituem o sistema Representando-se os números

( H ε 1 H H ε 1 ) M + ( H ε 1 H H ε 2 ) M + ... + ( H ε 1 H H ε G ) M = P1 . 1 . 2 . G  ( H ε 2 H H ε 1 ) M + ( H ε 2 H H ε 2 ) M + ... + ( H ε 2 H H ε G ) M = P 2  . 1 . 2 . G  , ...  ( H ε G H. H ε 1 ) M 1 + ( H ε G H. H ε 2 ) M 2 + ... + ( H ε G H. H ε G ) M G = P G

(061).

Esse sistema tem determinante (do grau G) não nulo porque os εi constituem uma base de H EG (Teor. 2). Existe, pois, uma correspondência biunívoca entre os conjuntos dos Mi e o dos Pi. Trocando-se, no sistema, os termos independentes pelos números Ai, dados, os G novos números, Qi, que lhes correspondem, constituirão as coordenadas de um e um único H-ádico que, na base {Hε*}, satisfará (06).

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Corol. 1: Se {Hε*} é uma base de um HEG, existe um e um só conjunto de H-ádicos desse HEG, {Hχ*} tal, que H

χ j H.

ε = A i j , (i, j = 1,2, ..., G),

H i

(07),

os Aij sendo G2 números dados. H

Com efeito, para dado j escreveríamos:

χ j = M jk H ε j ; e o sistema equivalente a

(061) seria escrito na forma:

M j k H ε k H.

ε = Ai j .

H i

Para todos os j's, o sistema seria escrito na forma matricial

[ E ]∗∗ . [ M ∗∗ ] = [ A ∗ ∗ ] ,

(071),

em que

[ E] ∗∗

 H ε1 H H ε1 .  H 2 H H 1  ε . ε = ...   H ε G H H ε1  .

 M 11 M 12  M M 22  21  ...  ...   M G1 M G2

...

. ε ...

... ...

...

H 1 H H 2

H 2 H H 2

H G H H 2

... M 1G   ... M 2G    = [ M] ∗∗ ... ...   ... M GG 

[ A] ∗∗

ε   H 2 H H G ε . ε  , ...  H G H H G ε . ε  ε

H 1 H H G

 A1 A1 2  1  2 A A 22  1 =  ... ...   A G A G 1 2

... A 1G    ... A 2G  , ... ...   ... A GG 

(072).

−1

Como [E]** é regular, tem-se: [ M ∗∗ ] = [ E ]∗∗ . [ A ∗ ∗ ] , e os Hχj estão todos determinados.

Corol. 2: Se G poliádicos Hχj de um HEG satisfazem o sistema (07), em que os Aij são G2 números dados, a CNS para que eles constituam uma base de HEG é que a matriz G x G, [A] **, seja regular. Pois, sendo H

IV,§ 09.01

χ j = M jk H ε j , tem-se:

χ j H.

χ r = M j k ( H ε k H.

ε ) M ir .

H i

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

Então a matriz métrica do conjunto dos Hχj pode ser escrita na forma

[ H χ ]∗∗ = [ M ]∗∗ . [E ∗∗ ] . [M ]∗∗ , de onde se conclui que | H χ ∗∗ | = | M ∗∗ |2 | E ∗∗ | . Agora se torna evidente que | H χ ∗∗ | = 0 ⇔ | M ∗∗ | = 0 , o que demonstra o teorema. Notas: 1 - Vimos no §08.03 que a quantidade de isômeros do 6I é 5!!=15 e que, por inspeção, é possível constatar que eles são distintos. O processo apresentado nesse Exercício 3 pode servir de "crivo" para eliminar algum suposto isômero de 6I diferente de qualquer um dos 15 citados. 2 – Ainda no §08.03 informamos que nem todos os 7!!=105 isômeros distintos de 8I são independentes. É trabalhoso verificar que apenas 91 são independentes. Para a aplicação do "crivo" seria necessário calcular os produtos de cada isômero por todos os demais para compor a matriz associada ao conjunto deles e, em seguida, comprovar que o posto dessa matriz é 91. Essa matriz deverá apresentar 105-91=14 linhas ou colunas iguais que devem ser eliminadas para se selecionarem os isômeros componentes da base do espaço dos r

hexádicos da forma 8 φ = A18Ι + A 28Ι 12 + ... em que os A1, A2 ... são números reais, cada número multiplicando um dos 91 isômeros. Esse é o espaço dos octádicos isotrópicos que não tem tanta utilidade prática como o dos hexádicos isotrópicos (ver §16 e §20).

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

Teor. 1: Se {Hε*} é uma base de um HEG, existe uma e apenas uma base {Hε1, Hε2, ..., Hε } nesse subespaço tal, que G

ε .

H i H H

ε j = δi j ,

(i, j = 1, 2, ..., G),

(01),

onde os deltas são os deltas de Kronecker14. Com efeito, a matriz associada aos deltas de Kronecker é a matriz unidade G x G cujo determinante é +1. Então, pelo Corol. 2 do Teor. 3, os H-ádicos Hεj constituem uma base do subespaço; e são os únicos a satisfazerem (01).

Definições: As bases {Hε1, Hε2, ..., HεG} e {Hε1, Hε2, ..., HεG} de um HEG - que representaremos sintética e respectivamente por {Hε*} e {Hε*} - cujos Hádicos satisfazem (01) serão denominadas bases H-ádicas recíprocas de H EG. Suas matrizes métricas, regulares, serão representadas por [HE] ** e H [ E] **.. H-adicos de bases recíprocas que apresentem o mesmo índice são ditos homólogos; os de índices diferentes não homólogos. Por (01) concluímos logo, para i≠j:

14 É dispensável nova definição dos deltas de Kronecker com a finalidade de ampliar o conceito introduzido no § 04.02,I.

Poliádicos - Ruggeri

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Num HEG, um H-ádico de uma base é perpendicular a todos os H-adicos não homólogos da base recíproca, logo perpendicular ao subespaço HEG-1 do qual estes últimos constituem base. Resulta imediatamente de (03), § 09.01 e de (01), que

∀ H φ,{H ε ∗},{H ε∗ } de um H E G : (i = 1, 2, ..., G), H

φ =( φ H

H H εi )H εi .

=( φ H

(011).

H H i H ε ) εi .

* Exercício 1: Comprovar que (com H=4 e G=3) os tercetos

{

r r r v v v 1 4 1 4 1v3 1 4 2r 3 1 1 1 Ι; Ι ; Ι } e { (4 4 Ι − 4 Ι 13 − 4 Ι 2 3 ); (− 4 Ι + 4 4 Ι 13 − 4 Ι 2 3 ); (− 4 Ι − 4 Ι 13 + 4 4 Ι 2 3 )} 3 3 3 10 10 10

constituem sistemas recíprocos no 4E3 dos isômeros do tetrádico unidade (logo, base do espaço dos tetrádicos isotrópicos, como será visto no §16.02). * Teor. 2: O poliádico unidade de valência 2H de um 2H E G (G≤ N2H) é igual à soma dos produtos justapostos de cada H-ádico de uma base de um HEG pelo Hádico homólogo da base recíproca:

∀ {H ε ∗ },{H ε ∗ }: De (011) podemos escrever

φ=

Ι= H

εjHεj

(j = 1,2, ..., G) ,

(02).

φ H. ( H ε j H ε j ) . Lembrando que por (05) § 08.01,

escrevemos, ainda:

∀ H φ:

H 2H

Ι=

Ι H.

φ=

concluímos a veracidade de (02).

Teor. 3: Todo poliádico de valência par, 2Hφ, de um 2H E G (G≤N2H), pode ser decomposto numa soma de G produtos diretos de poliádicos de valência H de dois conjuntos em um HEG, um deles constituindo uma base desse HEG. Sejam dois conjuntos arbitrários de P poliádicos de valência H de um HEG,

{ H α 1 , H α 2 , ...,

IV,§ 09.02

α P ,} e { H β 1 , H β 2 , ...,

β P ,} .

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

A soma dos produtos justapostos, espaço,

αi

β i (i = 1, 2, ..., P), é um poliádico arbitrário desse

φ . Se { H ε ∗ } e { H ε ∗ } são bases H-ádicas recíprocas desse mesmo espaço

podemos escrever, aplicando (011): H

β i = ( H β i H.

Então, reescrevendo-se a expressão de 2H

ε j ) Hε j

(j = 1, 2, ..., G).

φ e agrupando convenientemente, vem:

φ = [ H α i ( H β i H.

ε j )] H ε j =

γ j Hε j ,

(03),

expressão que comprova o teorema. Evidentemente, se escrevêssemos: H

β i = ( H β i H.

ε ) Hε j

H j

teríamos uma nova forma de representação de 2H

φ = [ H α i ( H β i H.

ε )] H ε j =

H j

H j H

(j = 1, 2, ..., G),

φ,

ε j onde (i = 1, 2, ..., P) e (j = 1, 2, ..., G), (04),

pela qual também se demonstra o teorema. Pondo, conforme o Teor. 1, § 09.01, H

γ j =Ckj

Hε

Hδj

= D kj

Hεk

para k=1,2, ...,G,

e substituindo essa expressão em (03) e (04), deduzimos: 2H φ = C k

Hε Hε j , k

(j,k=1,2,...,G)

(031),

2H φ = D j H ε k H ε j k

(j,k=1,2,...,G)

(041).

Definição: (representações) As formas (03) e (04) denominam-se representações G-nomiais do poliádico de valência 2H no 2H E G 2 ; as (031) e (041) são representações cartesianas G2-nomiais nas bases H-adicas recíprocas {Hε*} e {Hε*} de um HEG; as representações (011) são representações cartesianas de Hφ em base H-adica. No § 03.04 associamos uma matriz (retangular ou quadrada) a poliádicos quando representados cartesianamente em bases vetoriais recíprocas (das quais extraímos políades recíprocas de base). Com as generalizações agora introduzidas – criação de novos espaços e

Poliádicos - Ruggeri

100

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

suas bases – podemos associar por (011) uma matriz coluna com G linhas a um H-adico representado numa base H-adica, sua i-esima linha sendo a coordenada H φ H. H ε i . Para os poliádicos de valência par, por exemplo, quando representados na forma G2nomial (031), ou na forma (041), podemos também associar a matriz quadrada GxG com as respectivas coordenadas (Ckj ou Dkj). Assim, num HEG, conforme a conveniência, pode-se associar aos poliádicos de valência K (par ou ímpar, pouco importa) uma matriz coluna com G linhas (para G≤K) se a base é K-ádica. Aos poliádicos de valência 2H, particularmente, poderemos associar uma matriz quadrada GxG (com G≤NH, com N=1, ou 2, ou 3) se a base é H-adica (representação H-adica), ou uma matriz G2xG2 (com G2≤N2H) se a base é vetorial (representação cartesiana). As matrizes associadas a poliádicos podem apresentar formas mais simples em situações particulares. Esse assunto será estudado no §16.02 e §16.03.

Teor. 4: São inversas as matrizes métricas de bases poliádicas recíprocas. Aplicando (011) podemos escrever (01) na forma

[( H ε i H.

ε ) ε k ] H.

H k H

ε j = δi j,

ou seja, operando,

( H ε i H.

ε )( H ε k H.

H k

ε j ) = δi j .

Ora, a expressão obtida representa a soma (no índice k) dos produtos dos elementos da iésima linha da matriz [HE]** pelos seus correspondentes da coluna j da matriz [HE]**. Para todos os valores de i e de j esta expressão representa, então, o produto das mencionadas matrizes, produto esse igual à matriz unidade de ordem H; essas matrizes são, pois, inversas. Como poderíamos escrever, também:

( H ε j H.

ε k )( H ε k H.

ε ) = δi j ,

H i

concluímos, analogamente, que o produto das matrizes é comutativo, o que completa a demonstração. Constituição de bases Tal como no caso dos diádicos é fácil demonstrar o seguinte

Teor. 5: Constituem bases de um HEG os conjuntos (de H-ádicos) obtidos substituindo-se qualquer H-ádico de uma base desse espaço pelos seus correspondentes recíprocos.

IV,§ 09.02

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

101

Assim, se {Hε*} e {Hε*} são bases recíprocas de um HEG,

{H ε1 , H ε 2 , ..., H ε G } e {H ε1 , H ε 2 , ..., H ε G } são também bases desse espaço, embora não recíprocas. Partindo do Teorema 5 é fácil demonstrar o seguinte

Corol. 1: É sempre possível constituir uma base H-ádica de um HEG, a partir de uma base dada do mesmo, substituindo-se um, dois, três etc. H-ádicos dessa base por H-ádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos. Teor. 6: Todo poliádico de um HEG pode ser decomposto numa soma de T<G poliádicos de mesma valência, um deles perpendicular a outros T-1 não paralelos. Consideremos as bases H-ádicas recíprocas {Hε*} e {Hε*} de um HEG. Pelo corolário do Teor. 4, constitui uma base desse espaço o conjunto formado por T H-ádicos quaisquer de {Hε*} (logo, não paralelos), digamos Hε1, Hε2, ..., HεT, com os G-2 outros não homólogos da base {Hε*} (aos quais Hε1, Hε2, ... são perpendiculares). Ora, qualquer Hφ pode ser decomposto cartesianamente nessa base (Teor. 1, § 09.01) e escrito na forma: Hφ

= M1

Hε 1

+ M2

Hε

+ ... + M T

H εT

+ M T +1ε T +1 + ... + M G

Hε

+ ... + M T

H εG ,

∀ Hφ ,

ou seja, na forma: Hφ

= M1

Hε 1

+ M2

H εT

Hε ,

em que Hε, por ser uma combinação linear de H-ádicos perpendiculares a Hε1, Hε2, ..., é perpendicular a esses H-ádicos. Em resumo:

∀ H φ, ∃ M1 , M 2 , ..., M T , H ε1 , H ε 2 , H ε, ..., H ε T , H

ε |

φ = M1 H ε1 + M 2 H ε 2 + ... + M T H ε T + sendo H ε H.

ε1 =

ε H.

ε,

ε 2 = ... = H ε H.

(05). H

ε T = 0,

Teor. 7: Se {Hε1, Hε2, ..., HεG} e {Fε1, Fε2, ..., FεS} são, respectivamente, bases dos espaços HEG e FES (G ≤ NH e S ≤ NF), então o conjunto de GxS poliádicos de valência H+F, HεkFεm para k=1, 2, ..., G e m=1, 2, ..., S, constitui base num H+F EGxS.

Poliádicos - Ruggeri

102

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Com os recíprocos das bases dadas podemos constituir o conjunto de GxS poliádicos ε εj, com i=1, 2, ..., G e j=1, 2, ..., S. Tem-se, então a expressão:

H iF

H i F

εj

H+F H ε k Fε m .

= (H εi

H H ε k )( F ε j .

F F m ε ) .

= δi k δ j m ,

pela qual vemos que os conjuntos Hε1Fε1 , Hε1Fε2, ... e Hε1 Fε1, Hε1 Fε2, ..., constituem sistemas de (H+F)-ádicos recíprocos de um H+FEGxS; logo, formam bases. Nota: A recíproca do Teor. 7 não é verdadeira. Por exemplo: para dado espaço triádico construído com vetores do E3 e com características tais que a sua dimensão seja um número primo (digamos, onze) – o que é sempre possível porque esse número deve ser menor que 27 - pode não existir um 2EG que satisfaça as condições do teorema.

Cálculo cartesiano de sistemas recíprocos Os H-ádicos Hε1, Hε2, ... HεG (com G≤NH) são linearmente independentes em um subespaço e estão referidos a uma base H-diádica { H µ ∗ } desse subespaço. Os Hεs constituem, também, uma base no subespaço, cujo sistema recíproco quer-se expressar cartesianamente em relação à base { H µ ∗ } . Conforme (01)1, a expressão cartesiana de Hεu em termos das suas coordenadas covariantes é H ε u = ( H ε u H. H µ i ) H µ i , com u,i=1,2, ...,G. Se Hε1, Hε2, ... HεG são os Hádicos recíprocos dos H-ádicos dados, então escrevendo Hεi em termos das suas coordenadas contravariantes, isto é, H ε u = ( H ε u H. H µ j ) H µ j e observando que Hε

εu

H Hε . v

= δ uv podemos escrever, para u,v=1,2, ...,G:

 H ε 1 H• H µ 1 H H H  ε 2 • µ1  ... H H H  ε G • µ 1

ε1 H ε2 H

H H µ2 • H H µ2 •

ε1 H ... ε 2

...

ε G H• H µ 2

 H ε 1 H• H µ 1 H 1 H H 2 ε • µ .  ... H 1 H H G  ε • µ

...

ε2 H 2 ε H

εG

  .  ...  H H µ G  •

H H µG • H H µG •

H H 1 µ • H H 2 µ •

...

ε 2 H• H µ G

...

εG H G ε H

εG

 1    = 0  ... ...   H H G µ   0 • H H 1 µ • H H 2 µ •

0 1 0 0  , ... ... ...  0 0 1G 0

ou, sinteticamente, [E**].[E**]=[I]G, onde as matrizes [E**], [E**] e [I]G têm representação evidente: as linhas de [E**] são formadas com as coordenadas covariantes dos Hεu e as linhas de [E**] com as coordenadas contravariantes dos Hεv. Deduzimos, facilmente, [E**]=[E**]-1, pois [E**] é regular (por hipótese os Hεu formam uma base).

IV,§ 09.02

(06),

§ 09.02 - Bases poliádicas recíprocas. Representações G-nomial e cartesiana.

103

Se escrevêssemos Hεu em coordenadas contravariantes, H ε u = ( H ε u H. H µ i ) H µ i e os recíprocos dos Hεv em coordenadas covariantes seria, analogamente: [E**].[E**]=[I**]G, as linhas de [E**] sendo formadas com as coordenadas covariantes de Hεv (as incógnitas) e as colunas de [E**] com as coordenadas contravariantes de Hεu. Então: [E**]=[E**]-1,

(07).

Isômeros do hexádico unidade e seus recíprocos Como aplicação, para calcular cartesianamente o sistema recíproco do conjunto dos 14 isômeros de 6I, listados no Exercício 9 do §08.01, dispostos na tabela seguinte r

4 (4 Ι Ι )23 I I

(I I )

w 12

ΙΙ 4

(I Ι Ι ) 7

r 14

( 4 Ι Ι )13

(4 Ι Ι )23

(Ι Ι ) 4

r 23

(Ι Ι Ι )

Ι =( 4 Ι Ι ) 14 8

r 1

(Ι Ι ) 4

( 4 Ι Ι )15 (Ι 4 Ι ) 2 4 9

r 15

( Ι Ι) 4

12 w 1

( Ι Ι )15

dados em relação a uma base vetorial nas formas v

( 4 Ι Ι ) 23 = e i e i e je je k e k ,

I 4 I = e k e k e i e jei e j ,

(Ι 4 Ι ) 12 = e i ei e k e je je k etc.,

poderíamos aplicar o critério exposto nesta seção. Entretanto, vamos fazê-lo por outro caminho utilizando os resultados expostos no referido Exercício 9 do §08.01, consubstanciado na matriz métrica determinada no Exercíco 3 do §09.01. Nesse caso, invertendo aquela matriz métrica obtemos a matriz simétrica 15x15, denotada por [Metr Isom]-1:  22 − 1 − 1 ... − 1 − 1 − 1 22 − 1 − 1 − 1  1 − 1 − 1 22 ... − 1 − 1 [Metr Isom]−1 =  , 552  ... ... ... ... ... ...  − 1 − 1 22 − 1   − 1 − 1 − 1 ... − 1 22  a qual, conforme o Teorema 4, é a matriz métrica da base recíproca da base definida pelos isômeros. Então podemos escrever, denotando a coluna dos hexádicos isômeros por {6Iisom} e a dos seus recíprocos por {6Iisom}rec :

{6 Ι isom }rec = [Metr Isom]−1.{6 Ι isom } . Assim, por exemplo: r

( 4 Ι 2 3 Ι ) rec = s

(( 4 Ι Ι ) 2 ) rec =

r r s r s r 1 [22( 4 Ι 2 3 Ι ) −( 4 Ι Ι ) 2 −( 4 Ι Ι )13 − ... − (Ι 4 Ι ) 1 − (Ι 4 Ι 13 ) 2 4 ] , 552 r r s r s r 1 [− 4 Ι 2 3 Ι + 22( 4 Ι Ι ) 2 −( 4 Ι Ι ) 13 − ... − (Ι 4 Ι )1 − (Ι 4 Ι 13 ) 2 4 ] , 552

e outros.

Poliádicos - Ruggeri

104

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Novas operações com poliádicos de um espaço G-dimensional. Todas as operações já definidas para diádicos (§11, §12, II) podem ser estendidas aos poliádicos. É o que faremos a seguir, sem delongas, uma vez que as demonstrações dessas propriedades são análogas às dos diádicos.

§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos

Definição: (produto cruzado) Chama-se produto cruzado de G - 1 poliádicos de valência H de um HEG, H 1 H 2 α , α , ..., H α G −1 , nessa ordem, para 2 ≤ G-1 ≤ NH-1 (ou 3≤ G ≤ NH, logo N=2 ou 3), e representa-se por < H α 1 H α 2 ... H α G −1 > , o H-ádico do H EG que, em relação às bases recíprocas arbitrárias desse espaço, { H ε ∗ }, { H ε ∗ } (de módulos | H ε ∗ | e | H ε ∗ | ), é definido pelo determinante simbólico:

α 1 H α 2 ...

α G −1 >= ε

H 1

α 1 H. H ε 1 H 2 H H 1 = |H ε ∗ | α . ε

... α

...

α 1 H. H ε 3 ...

...

H 3

α 1 H. H ε 2 H 2 H H 2 α . ε

H 2 H

H G

α 1 H. H ε G H 2 H H G , (01), α . ε H

...

G −1 H H 1

...

G −1 H H 2

G −1 H H 3

...

G −1 H H G

que convencionaremos desenvolver segundo a regra de Laplace pelos elementos da primeira linha. Em vista da arbitrariedade da base, podemos escrever, também: <

α 1 H α 2 ...

α G −1 >= H

H ∗

= | ε | H

ε1

α . ε1 α 2 H. H ε 1 1 H H

H H

α . ε2 α 2 H. H ε 2

... H

ε2

1 H H

ε3

...

α . ε3 ... 1 H H

...

G −1 H H

ε1

G 1 H H

α . εG , α 2 H. H ε G

(011).

...

G −1 H H

ε2

G −1 H H

ε3

...

α G −1 H. H ε G

Deve ser observado que o produto cruzado não está definido para G<3 e que esta definição, para H=1, encampa a definição de produto vetorial posto em forma cartesiana (§04.03,Cap.I,Vol.I,T.I).

IV,§ 09.03

§ 09.03 - Multiplicação cruzada múltipla de poliádicos.

Para

αi =

105

ε (i = 1, 2, ..., G - 1) resulta de (01), aplicando ((01), § 09.02):

H i

ε ...

H G −1

ε 2 ...

H 1 H 2

>= |

H ∗

ε |ε G ,

(02).

ε ∗ |ε G ,

(021).

Analogamente, obtemos:

ε1

ε G −1 >= |

A multiplicação cruzada de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o produto cruzado desses poliádicos. Essa operação, ou o seu resultado, gozam das seguintes

Propriedades

1ª) - O produto cruzado é nulo: a) - se um dos poliádicos é o poliádico nulo; b) - se dois poliádicos são paralelos; c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais poliádicos fatores. Com efeito, em qualquer um dos casos o determinante (01) seria nulo porque uma de suas linhas seria uma combinação linear de linhas paralelas. 2ª) - Alternância: Permutando-se dois poliádicos contíguos quaisquer de dado produto cruzado, o novo produto cruzado é igual ao anterior com o sinal trocado, pois essa operação equivale a alternar duas linhas paralelas do determinante (01). Genericamente, diríamos:

O produto cruzado de poliádicos troca de sinal tantas vezes quantas forem as inversões contadas entre os poliádicos em relação a uma ordem préfixada. 3ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição, ou, ainda, é uma operação linear. 4ª) - G-1 poliádicos de um espaço G-dimensional e seu produto cruzado não nulo são linearmente independentes nesse espaço. Cruzado e Q-vetor de um 2Q-ádico A dimensão do espaço dos 2Q-ádicos (logo, vetores excluídos) é N2Q=G2 com G=NQ e N=2 ou 3. Eles podem ser escritos em forma G-nomial em função de Q-ádicos de base. Algumas dimensões (N2Q) e valores de G para N=2 e 3, com Q=1,2,3,4, estão apresentados na tabela a seguir. Dimensões (N2Q) e valores de G=NQ Q=1 Q=2 Q=3 Q=4 N N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ N2Q G=NQ 2 4 2 16 4 64 8 256 16 3 9 3 81 9 729 27 6561 81 2Q-ádico diádico tetrádico hexádico octádico Poliádicos - Ruggeri

106

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

É óbvio que os subespaços terão dimensões menores. Consideremos o 2Q-ádico: 2Qφ=Qψi Qεi com i=1,2,...,N2Q. Cada 2Q-áde de 2Qφ define um subespaço bidimensional 2QE2 de 2Q E N Q . O produto cruzado do antecedente pelo conseqüente de cada 2Q-áde, do tipo <Qψ Qε>, é um Q-ádico ortogonal ao plano da 2Q-áde Q Q ψ ε e gera com ela um subespaço tridimensional do mesmo 2Q E N Q .

Definição: (cruzado de um 2Q-ádico) O Q-ádico soma desses Q-ádicos produtos assim determinados, <Qψi Qεi>, é, por definição, o cruzado do 2Q-ádico.

ψi

É importante observar que o cruzado de um 2Q-ádico não tem haver com o Q-vetor gerado do mesmo 2Q-ádico, isto é:

× Q × εi

2Q Q iQ Q i × Q < >=< ψ 44 ε3 ε i4 = 2Q ψ4×42 i>≠ 1 V, 14φ4 424 4φ3 Q-ádico

(03),

Q-ádico

exceto para Q=1 porque as fórmulas (01) e (011) se identificam com as correspondentes cartesianas do produto vetorial de vetores. Assim, excepcionalmente para os diádicos:

< φ >=<{ ai e i > = a i × e i = φ{ V , vetor

(031).

vetor

§ 09.04 - Multiplicação cruzada múltipla dupla de poliádicos.

Definição: (duplo produto cruzado múltiplo) Chama-se duplo produto cruzado múltiplo, H π , de G-1 poliádicos, H

α1 ,

α 2 , ...,

α G −1 ,

de um HEG-1 (3≤G≤NH), um produto cruzado desses poliádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado

< H β1

β 2 ...

β G −1 > ;

e escrevemos: H

π =< H α 1

α 2 ...

α G −2 < H β 1

β 2 ...

β G −1 >> .

A multiplicação cruzada dupla de poliádicos é a operação que tem por fim determinar o duplo produto cruzado desses poliádicos. É válida para os poliádicos fórmula análoga à demonstrada para os diádicos (§ 12, II):

∀ Hα1 ,

α 2 , ..., H

IV, § 09.04

π =<

α G − 2 e H α G −1 =<

α 1 H α 2 ...

α G −2 <

β1 β

H 1 H

β 2 ...

β G −1 >:

β G −1 >=

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

H 1

α1 H. H β1 = H α 2 H. H β1 ... H

α G − 2 H.

H 1

β2

α1 H. H β 2 H 2 H H 2 α . β ... H

α G −2 H.

β3

...

α1 H. H β 3 ...

...

H H

...

107

β G −1 H 1 H H G −1 α . β H 2 H H G −1 α . β H

...

H 2

α G −2 H.

H 3

...

α G −2 H.

(01),

H G −1

os Hβ i devendo forma uma base (num 2EG-1) cuja recíproca tem por módulo | Hβ *|.

Multiplicação cruzada dupla com um produto cruzado Uma aplicação interessante dessa operação aparece no estudo do produto cruzado de um Q-ádico dado, Qρ, pelo Q-ádico cruzado < Qαi Qµi > com (i=1,2,...,G e G≤NQ) do dado 2Q-ádico 2Qφ= Qαi Qµi. Tem-se, então aplicando (01):

< Q ρ< Q α i Q µ i >>=

Q Q

αi

µi Q Q µi .

Q Q i α .

donde, desenvolvendo o determinante:

< Q ρ< Q α i Q µ i >>=Q ρ Q. ( Q µ i Q α i − Q α i Q µ i )= Q ρ Q. ( 2Q φ T − 2Q φ). Para qualquer 2Qφ, o 2Q-ádico: 2QφT Então, lembrando ((033),§07.01):

φ é anti-simétrico, pois

< Q ρ< 2Q φ >>= 2 Q ρ Q.

φ ant = −2

φ ant

φ -

2Q T

Q Q ρ, .

φ=-(2QφT -

φ ) T.

(02).

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

Definição: (produto misto) Chama-se produto misto múltiplo de G H-ádicos H α 1 , H α 2 , ..., H α G de um H EG (3≤G≤NH, N>1), nessa ordem, e representa-se por ( H α 1 H α 2 ... H α G ) , o escalar definido como o produto ponteado H-plo do produto cruzado múltiplo dos G-1 primeiros (que é um H-ádico) pelo último; e escrevemos:

( H α 1 H α 2 ...

α G ) =<

α 1 H α 2 ...

α G −1 > H.

αG ,

(01).

A multiplicação mista múltipla de vários poliádicos é a operação que tenha por fim determinar o produto misto desses poliádicos. Deve ser observado que o produto misto não está definido para NH≤3 (devendo ser, pois, N=2, ou 3 e H≥2). Se { H ε ∗ } e { H ε ∗ } são base H-ádicas recíprocas do HEG, então para H

αi =

ε (i = 1, 2, ..., G),

H i

Poliádicos - Ruggeri

108

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

temos, lembrando (02), § 09.03:

(

ε ...

H ∗

ε )= |

H 1 H 2

ε |,

H G

(02).

Analogamente podemos comprovar que

(

ε1

ε 2 ...

εG ) = |

ε ∗ |,

(021).

De (01), aplicando (011), § 09.03, podemos concluir:

∀G:

( H α 1 H α 2 ...

α G ) = ( −1) G −1 ( H ε 1 H ε 2 ...

α 1 H. H ε 1 H 2 H H α . ε1 H

α 3 H. ...

α G H.

α 1 H. H ε 2 H 2 H H α . ε2 H

ε1

α 3 H. H ε 2 ...

ε1

α G H.

ε ).

H G

α 1 H. H ε 3 H 2 H H α . ε3

...

α 3 H. H ε G ...

...

α G H.

ε2

α G H.

α 1 H. H ε G H 2 H H α . εG H

...

ε3

(03).

εG

ou, ainda,

∀G:

( Hα1

Hα 2 H

α 1 H.

H 1

= (−1) G −1 ( H ε 1 H

α 1 H.

Hε

H 2

Hε

ε 2 ...

εG ) .

α 1 H.

H 3

...

α 1 H.

H α 2 H Hε 2

H α 2 H Hε 3

...

H α2 H Hε G

H α 3 H Hε1

H α 3 H Hε 2

...

H α 3 H Hε G

...

H α G H Hε1

...

H α G H Hε 2

H α G H Hε 3

...

H α G H Hε G

Propriedades:

1ª) - Um produto misto de vários poliádicos é nulo: a) - se um dos poliádicos é nulo; b) - se dois deles são paralelos; c) - se existe uma combinação linear qualquer entre eles.

IV, § 09.05

H G

H α 2 H Hε1

Hα G )

α ...

, (031).

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

109

2ª) - A operação é linear:

( H α1

α 2 , ..., (B

β+C

γ ), ... ,

α G ) = B( H α 1

α 2 , ...,

β , ...,

αG ) + ,

+ C( α H

1 H

α , ... , 2

γ , ... ,

(04).

α ) G

3ª) - A alternância: Um produto misto troca de sinal se alternamos dois quaisquer dos seus poliádicos. Logo:

No HEG, uma permutação circular dos fatores muda G - 1 vezes o sinal de um produto misto de poliádicos, e, portanto,

Nos HEG, com G = ímpar, o produto misto de G poliádicos de valência H é invariante numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal. Logo, lembrando propriedades do permutador a G índices (§14,II), podemos escrever:

∀G:

( Hα i Hα j ... Hα m ) = εij ... m ( H ε1 Hε 2 ... Hε G ) ,

(05).

Teor. 1: São números recíprocos os produtos mistos de H-ádicos de bases recíprocas (H≥2) de qualquer HEG (3≤G ≤ NH, N=2, ou 3):

(

ε ...

H 1 H 2

ε )(

H G

ε1

ε 2 ...

εG ) = 1 ,

(06).

Conforme o Teor.3, § 09.02, as matrizes métricas de bases recíprocas são inversas. Então são números inversos os seus determinantes, isto é, os seus módulos (§ 09.01). Logo, multiplicando membro a membro (02) por (021), encontramos (06).

Teor. 2:

∀ 3 < G ≤ N H , i = 1,2,..., G, {H ε ∗ },{H ε ∗ } : H

ε i = ( −1) i(G −1)

H i +1 H i + 2

(

ε ... H ε G H ε 1 ... H ε i-2 H ε i −1 > , ε ... H ε i −1 H ε i H ε i +1 ... H ε G )

H 1 H 2

(07),

Poliádicos - Ruggeri

110

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

ε j = ( −1) j(G −1)

ε j+1 H ε j+ 2 ...

( ε 1 ε 2 ... H

εG

ε 1 ...

ε j− 2

ε j−1 ε j ε j+1 ... H

H H

ε j−1 >

εG )

(071);

ou H

ε i = ( −1) i + G <

ε j = ( −1) j+ G

ε ... H ε i −1 H ε i +1 ... ( H ε 1 H ε 2 ... H ε G )

H 1 H 2

ε 1 H ε 2 ...H ε j−1H ε j+1 ... ( ε 1 ε 2 ... H

ε >,

H G

εG >

εG )

(08),

(081).

Consideremos a expressão evidentemente verdadeira para dado i: H i +1 H i + 2

(

ε ...

H G H 1

...

ε )=

H i-1 H i

H i +1 H i + 2

...

ε ...

H G H 1

H i-1

> .

ε ≠0

H H i

Então: H i +1 H i + 2

< <

H i +1 H i + 2

... H ε G H ε 1 ... H ε i-1 > H ... H ε G H ε 1 ... H ε i-1 H ε i ) .

ε = 1,

H i

isto é, para aquele valor fixo de i, o primeiro H-ádico fator no primeiro membro é o H-ádico recíproco do segundo, H ε i . Transpondo-se para as primeiras posições os i últimos fatores do produto misto, esse produto trocará de sinal G-1 vezes para cada fator transportado, isto é, trocará de sinal i(G-1) vezes; o que comprova (07) e, por analogia, (071). Agora escrevemos, transportando os (i-1) últimos fatores do numerador para as primeiras posições: H i +1 H i + 2

H i −1

ε ...

= ( −1)

( i −1)( G − 2 )

H G H 1

...

H 1 H 2

ε ...

H i −1 H i +1

...

H G

justificando-se o expoente da potência de (-1) porque o numerador tem G-1 fatores e cada vez que se transporta um fator para a primeira posição ele troca de sinal G-2 vezes. O expoente de -1 será, pois, (i − 1)(G − 2) + i(G − 1) = 2( iG − i + 1) − (i + G) , ou seja, i + G, o que comprova (08). É fácil comprovar-se (081).

Resulta imediatamente de (08) e (081) que

ε ... H ε i −1

H 1 H 2

IV, § 09.05

H i +1

... H ε G > H. <

ε 1 H ε 2 ...H ε j−1 H ε j+1 ...H ε G >= δ ij ,

(09).

§ 09.05 - Multiplicação mista múltipla de poliádicos.

111

Com efeito, pré multiplicando pontual e H-plamente (08) por (081) obtemos, no primeiro membro, δ ij (uma vez que as bases são recíprocas). Conforme (06), o produto dos denominadores do segundo membro vale 1. O expoente de -1 é 2G+i+j. Portanto, o sinal do segundo membro será positivo se i = j, o que comprova (09) para i = j. Se for i ≠ j, esse segundo membro é nulo porque δ ij = 0, sendo irrelevante o valor de (- 1) i+j. Logo (09) é válida para i e j quaisquer.

Teor. 3:

∀

φ ... H φ G ; H ψ 1 H ψ 2 ... H ψ G de H E G :

H 1 H 2

( H φ1 H φ 2 ... H φ G )( H ψ 1 H ψ 2 ... H ψ G ) =

φ .

H 1 H H H

2 H H 3 H H

1 1

H 1 H H

φ .

H 1 H H

φ .

...

H 1 H H

φ .

...

φ .

...

H H

2 H H 3 H H

... H

...

G H H

2 H H

G H H

φ .

2 H H 3 H H

(10).

... H

...

G H H

De fato, fazendo H α i = H φ i (i = 1, 2, ..., G) em (03), H α i = H ψ i em (031) e multiplicando membro a membro as expressões obtidas encontramos no primeiro membro o primeiro membro de (10). O segundo membro tem sinal positivo, (- 1) 2(G -1). Como o produto dos produtos mistos das bases recíprocas neste segundo membro vale 1, resta-nos comprovar que o produto dos determinantes que aí ocorrem é igual ao determinante do segundo membro de (10). Ora, o produto da i-ésima linha do determinante de (03) pela jésima coluna do determinante de (031) em que se tenham trocado previamente linhas por colunas é, já representando o resultado numa expressão com soma em k:

( H φ i H.

ε )( H ε k H.

H k

ψj) =

φ i H.

ψj

Fazendo, agora, i, j = 1, 2, ..., G, podemos montar e justificar o determinante (10).

Teor. 4: É um invariante o produto misto de poliádicos. Representemos por ( H α 1

α 2 ...

α G )ε e ( H α1

α 2 ...

α G ) µ os produtos

mistos dos mesmos poliádicos em relação a duas bases {H ε ∗ } e {H µ ∗ } do HEG. O primeiro produto é dado por (03). Conforme (031), podemos escrever o segundo na forma:

Poliádicos - Ruggeri

112

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

( H α1 H α 2 ... H α G ) ε = (−1) G −1 ( H µ1 H µ 2 ... H µ G ) = α1 H. H µ1 α 2 H. H µ1 = H α 3 H. H µ1 ... H G H H 1 α . µ

α1 H. H µ 2 α 2 H. H µ 2 H 3 H H 2 α . µ ... H G H H 2 α . µ

Multiplicando por ( H µ 1

µ 2 ...

α1 H. H µ 3 α 2 H. H µ 3 ...

... ... ...

α G H.

...

H 3

α1 H. H µ G α 2 H. H µ G H 3 H H G . α . µ ... H G H H G α . µ H

µ G ) ambos os membros dessa igualdade, vem:

( H α1 H α 2 ... H α G ) ε ( H µ1 H µ 2 ... H µ G ) = α1 H. H µ1 H 2 H H 1 α . µ H 3 H H 1 α . µ ... H G H H 1 α . µ

α1 H. H µ 2 H 2 H H 2 α . µ H 3 H H 2 α . µ ... H G H H 2 α . µ

α1 H. H µ 3 H 2 H H 3 α . µ ...

α1 H. H µ G H 2 H H G α . µ H 3 H H G , α . µ ... H G H H G ... α . µ

α G H.

... ... ...

H 3

(A).

Analogamente, multiplicando por ( H µ 1 H µ 2 ... H µ G ) ambos os membros de (03) e aplicando (10), ao primeiro fator do segundo membro, temos:

( Hα1

α 2 ...

α G )ε ( H µ1

µ 2 ...

µG ) =

H µ1 H H ε1

H µ1 H H ε 2

H η1 H H ε 3

H µ 2 H H ε1

H µ2 H Hε 2

H µ 2 H Hε3

H µ 3 H H ε1

H µ3 H Hε 2

...

H µ G H H ε1

H µG H Hε2

...

H µ1 H H ε G

...

H µ2 H HεG

...

H µ3 H HεG

... H µG H Hε3

...

H µG H HεG

ε 1 H.

α1

ε 1 H.

α2

ε 1 H.

α3

...

ε 1 H.

αG

ε 2 H.

α1

ε 2 H.

α2

ε 2 H.

α3

...

ε 2 H.

αG

ε 3 H.

α1

ε 3 H.

α2

...

ε 3 H.

αG

... H

IV, § 09.05

ε G H.

...

... H

α1

ε G H.

... H

α2

ε G H.

α3

...

ε G H.

αG

, (B).

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

113

Ora, em (B), o produto da i-ésima linha do primeiro determinante fator pela j-ésima coluna do segundo determinante fator vale, já representando o resultado com uma soma em k:

( H µ i H.

ε )( H ε k H.

H k

φ j).

µ i H. H φ j . Mas esse é o elemento da iésima linha e j-ésima coluna do determinante (A). Então, igualando os primeiros membros e cancelando-lhes o fator comum (não nulo), comprovamos a igualdade dos produtos mistos. Portanto, o produto misto dos poliádicos independe das bases em relação às quais ele é calculado; é, pois, um invariante.

Então, conforme (011), § 09.02, esse produto vale

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico. Nesse instante o leitor está convidado a fazer uma incursão ao § 10.03 do Capítulo II para rever a introdução que fizemos das idéias primárias principais no espaço diádico. Por analogia, o leitor verá que aqui também, a rigor, devemos postular a existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços como regiões definidas por um, dois, ... G+1 pontos dados, com dimensões zero, um, dois, ..., G, respectivamente. Nesses espaços, entretanto, representados genericamente por HEG, habitam os poliádicos de valência H. A teoria a ser aqui exposta seria, em resumo, a mesma exposta no referido parágrafo. Tornam-se necessárias apenas pequenas (e até raras) adaptações nos enunciados de teoremas e notações. Basicamente devemos estar atentos para a troca de biflecha por Hflecha, N2 por NH e para a generalização da tabela relativa ao número de espaços fronteira de dimensão R de um paralelotopo. Ficará por conta do leitor essa tarefa um tanto trabalhosa.

Transformações Lineares entre espaços poliádicos Um importante conceito (ou operação) a generalizar é o de transformação linear entre poliádicos de valência H de um espaço em poliádicos de valência R de outro espaço. Essa transformação é representada genericamente pela expressão R

φ=

R+H

H .

χ,

(01),

na qual o poliádico R + H ψ , cuja valência é a soma das valências dos demais poliádicos, é operador da transformação. Em geral, Hχ e Rφ são poliádicos variáveis; quando a transformação está representada na forma indicada, Hχ pode ser tratado como a variável independente e Rφ a dependente. Do ponto de vista geométrico podemos entender a expressão (01) como a transformação (linear) de pontos do espaço dos H-ádicos (com até 3H dimensões se os poliádicos são gerados do E3) em pontos do espaço dos R-ádicos (com até 3R dimensões), operada por R + H ψ , espaços esses que têm pelo menos um ponto comum. Para tal basta que imaginemos aplicadas ao ponto comum dos espaços (eleito como uma origem comum) as flechas dos poliádicos correspondentes (§06.06).

Poliádicos - Ruggeri

114

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Muitas das leis lineares da Física podem ser representadas por uma equação poliádica do tipo (01) para diferentes valores de R e H. Em geral os poliádicos Hχ e Rφ constituem campos15 porque as grandezas correspondentes variam de ponto para ponto no espaço físico considerado (uma massa material, por exemplo) e são relacionadas por uma propriedade física do espaço considerado. Assim, podemos entender essas leis como transformações lineares entre os campos representados por Hχ e Rφ operadas pelo poliádico representante de alguma propriedade física do meio onde prevalece a lei. Algumas novas características devem ser imediatamente adicionadas; por exemplo, a invertibilidade da equação (01). Pois, devendo ser possível expressar também Hχ em função de Rφ, deve existir ainda a lei H

χ=

H+R

ψ ′ R.

φ,

(02).

Então, por substituição de (02) em (01) e por associação, vem: R

φ=

R +H

H .

( H+R ψ ′

H .

φ) = ( R + H ψ

H .

H+R

ψ′ )

H .

φ,

isto é, R +H

H .

H+R

ψ′ =

Ι,

(03).

Por outro lado, substituindo (01) em (02) e operando analogamente obteríamos: R +H

ψ′

R .

H+R

ψ=

Ι,

(04).

Interpretamos as expressões (03) e (04) dizendo que as propriedades que correlacionam os campos Hχ e Rφ nas leis físicas lineares que expressam uma variável em função da outra são “pseudoinversas”; quando R=H essas propriedades são realmente inversas, ou, o que é o mesmo, os poliádicos que as representam são inversos, conforme definiremos no § 13. Em Elasticidade, por exemplo, para R=H=2, (01) é a lei de Hooke que correlaciona o diádico de tensões (2φ) com o de deformações (2χ); 4ψ é o tetrádico de rigidez (stiffness, em Inglês) e 4ψ’ é o de flexibilidade (compliance, em Inglês). Demonstremos o seguinte

Teor. 1: (teorema fundamental) Qualquer poliádico de valência R+H, usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla por poliádicos de valência H, é operador de uma TL entre o espaço destes e o espaço dos poliádicos produto. Reciprocamente, toda TL dos poliádicos de valências H nos poliádicos de valência R pode ser univocamente representada por um poliádico de valência R+H, para ser usado como pré-fator em multiplicação ponteada múltipla. O teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação ponteada múltipla e das interpretações geométricas já introduzidas.

15 Esse conceito será rigorosamente definido no Tomo II.

IV, § 09.06

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

115

Reciprocamente, se existe uma transformação linear entre os poliádicos Hχ (de um EA) e os Rφ (de um REB) e se é sabido que, nesta transformação, certos A R-ádicos independentes (§09.01) de HEA, Hχ1, Hχ2, ..., RχA, têm como transformados certos A Hádicos Rφ1, Hφ2, ..., HφA de HEB, então o operador da transformação, H+Rψ, está determinado: H

R +H

ψ = R φ u H χ u , (u=1,2,...,A)

(05),

os poliádicos Hχ1, Hχ2, ..., HχA constituindo os recíprocos (§09.02) dos H-ádicos Hχ1, Hχ2, ..., χA.

Cálculo do operador de uma Transformação Linear Quer-se determinar o 2H-ádico 2HH que transforme G(≤NH) H-ádicos dados, linearmente independentes, Hε1, Hε2, ..., HεG, obedecendo à expressão H σ u = 2 H H H. H ε u (u=1,2,...,G), sendo dados, também, os G transformados Hσ1, Hσ2, ..., HσG. Supõe-se, ademais, que os H-ádicos sejam todos dados por suas representações cartesianas em relação a uma base H-ádica do espaço, { H µ ∗ } , de recíproca { H µ ∗ } . Podemos escrever, conforme o Teor. 1: recíprocos dos εu. Como H

2H H

=( H σ u

Hσ

σu

2H H

=( H σ

σ u H. H µ i ) H µ i

Hσ

H ε u , em que os Hεu são u H u ( H u H H µ ) H µ j , resulta: ε ε . j

H H µ i )( H ε u H H µ ) H µ ˆ i Hµ j, . . j

(i,j=1,2, ..., G).

A matriz mista associada a 2HH em relação às bases H-ádicas recíprocas é, então:

 ( H σ H H µ 1 )( H ε u H. H µ ) ( H σ u . 1 u   ( H σ u H. H µ 2 )( H ε u H. H µ 1 ) ( H σ u  ...  ( H σ u H. H µ G )( H ε u H. H µ 1 ) ( H σ u

HH 1 H u HH µ )( ε . µ 2 ) ... ( H σ u H. H µ 1 )( H ε u . HH 2 H u HH µ )( ε . µ 2 ) ... ( H σ u H. H µ 2 )( H ε u .

...

HH µG )  .  H H µG ) .

  H µ G )( H ε u H H µ )  . G  ...

H H µ G )( H ε u H H µ )...( H σ H . . 2 u .

na expressão de cada um de seus elementos estando estabelecida uma soma em u. Essa matriz pode ser fatorada no produto das matrizes quadradas

 H σ 1 H. H µ 1 H H H 2  σ1 . µ  ... H H H µG σ 1 . 

Hσ

σ2 H σ2

H H µ1 . H Hµ2 .

...

Hσ

H H µ1 . H Hµ2 .

H ε1

H Hµ . G H Hµ . G

    ... ...  H H H G ... σ G . µ 

σG H ... σ G

...

Hσ

σ2

H H µG .

H ε1

H Hµ . 2 H Hµ . 2

...

 H ε 1 H. H 2 H ε . .  ... H G H .  ε

Hµ

µ1 H µ1

ε H 2 ε

Hµ

H εG

µ1

H Hµ . 2

ε H ... ε 2 ...

H εG

  .  ...  H Hµ  . G

Poliádicos - Ruggeri

116

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Então, sinteticamente, [2HH**]=[HΣ**].[HE**], as matrizes fatores tendo representação evidente: a i-ésima coluna de [HΣ**] é formada com as coordenadas contravariantes de Hσi e a j-ésima linha [HE**] com as coordenadas covariantes de Hεj. Voltaremos a esse assunto no §19 deste capítulo para uma aplicação em Elasticidade.

Equações poliádicas. Consideremos a expressão poliádica

H α H H ρ =1 .

em que

α é um poliádico

constante e ρ um poliádico variável no EG. Esta expressão é uma equação poliádica uma vez que apenas certo conjunto de H-ádicos a satisfaz. Para H=2 esta equação já é nossa conhecida (§ 16.03, II), podendo representar uma reta para G=2, um plano para G=3, um 3espaço para G=4 etc.. H

Vamos dar inicialmente uma expressão cartesiana à equação. Uma base no espaço EG pode ser imaginada como as suas correspondentes no espaço dos vetores e diádicos, ou seja, como um conjunto de G H-ádicos independentes (§ 09.01) cujas H-flechas estejam todas aplicadas num mesmo ponto arbitrário do espaço, ou ponto origem. Se, em relação a essa base, Hα tem G coordenadas (A, B, C, ..., L) e, na base H-ádica recíproca (§ 09.02), Hρ tem (G) coordenadas X,Y,Z, ..., W, então a equação cartesiana correspondente a H α H H ρ =1 (de um (G-1)-espaço) é AX + BY + CZ + ... + LW = 1 . Essa equação é tão . H

válida do ponto de vista algébrico quanto a do plano (em três dimensões) no espaço dos vetores, ou do plano no espaço diádico. Diríamos que X,Y,Z, ...,W são números que, para o dado conjunto A,B,C, ...,L, satisfazem perfeitamente a referida equação. Por outro lado, o conceito de módulo de um poliádico e a desigualdade de Schwarz entre dois poliádicos - com os quais comprovamos a existência de um ângulo definido por esses poliádicos (§ 06.06) - permite dar uma interpretação geométrica à equação H α H H ρ =1 tal como a sua correspondente dos vetores e diádicos. Uma infinidade de H. flechas satisfaz a equação, todas elas sendo paralelas ao (ou contidas no) subespaço ortogonal a Hα, subespaço esse tal, que a origem esteja distante dele de um comprimento d igual ao inverso do módulo de Hα. Como, agora, G ≤ NH, a referida equação pode ter alguns significados. Se G=2 a equação é a da reta ortogonal ao H-ádico fixo Hα à distância d da origem; se for G=3, a equação é de um plano ortogonal a Hα à distância d da origem; se for G=4, a equação é a do 3-espaço ortogonal a Hα à distância d da origem etc.. É fácil, também, justificar que a equação H ρˆ H. H ρˆ = 1 , em que H ρˆ é um poliádico unitário variável cuja H-flecha tem origem aplicada num ponto arbitrário do espaço (com até 3H dimensões se esses poliádicos são gerados do E3), representa uma superfície esférica de raio unitário e centro naquele ponto. Já vimos que a equação rˆ.φ.rˆ = 1 representa, no espaço tridimensional (bidimensional) dos vetores, uma quádrica (cônica) centrada na origem comum dos vetores

IV,§ 09.06

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

117

unitários variáveis rˆ , podendo ser, pois, um (uma) elipsóide (elipse) ou um (uma) hiperbolóide (hipérbole). Na oportunidade (§ 09.07, II) não conseguimos estender outros conceitos ao espaço diádico por falta dos recursos algébricos ora adquiridos. Assim, H ˆ H 2H ρ . φ H. H ρˆ = 1 representa um hiperquádrica centrada num espaço de NH dimensões, ou uma hipercônica centrada, em subespaços. Para H=2 a citada equação é a das quádricas fechadas no espaço diádico. Esse assunto pode ser mais bem desenvolvido, mas não o faremos aqui.

Simplex e baricentros No espaço dos poliádicos, os simplex são definidos tal como no espaço diádico; seus elementos: vértices, lados, faces, 3-espaços, 4-espaços etc., bem como o conceito de baricentro, aparecem da mesma forma. Assim, todas as propriedades estabelecidas para os simplex e a grande multiplicidade de baricentros no espaço diádico são igualmente válidas no espaço poliádico. Vamos nos dispensar dessa penosa tarefa.

Trigonometria Plana e Esférica do espaço poliádico. Calculando a norma de

H φ= Hα +H

β temos:

|| H φ ||=|| H α || + || H β || +2| H α || H β | cos( H α, H β) , ou melhor,

| H φ | 2 =| H α | 2 + | H β | 2 +2| H α || H β | cos( H α, H β) . Vemos, assim, que os H-ádicos são somados geometricamente como os vetores, ou seja, no espaço poliádico a soma de duas poliflechas pode ser representada graficamente pela regra do paralelogramo, mas não dispomos de recursos geométricos para a resolução gráfica desse problema quando o espaço tem dimensão maior que três. Na expressão acima reconhecemos uma generalização da “fórmula de Carnot” da Trigonometria Plana. Na verdade, todas as fórmulas da Trigonometria Plana são válidas no espaço poliádico. E muito mais: sobre a superfície esférica do espaço poliádico de dimensão G existem “subespaços esféricos” de dimensão G-J (J=1,2, 3, ...,G) cuja trigonometria pode também ser desenvolvida via a álgebra dos poliádicos. Isto é, cada conjunto de j pontos (0<j<NH) da superfície esférica

H ρ H. H ρ

= 1 - e existem C Nj H deles – define com o centro

dessa superfície um HEj que tem em comum com ela um HE

N H −J

são “os

N H −J

N H −J ;

estes C Nj H subespaços

do triângulo esférico”. Esse assunto poderá ser desenvolvido em

maior extensão.

Projeções no espaço dos 2H-adicos. 2H-adicos menores. Vimos (§ 15,II) como são feitas as projeções de diádicos sobre um subespaço paralelamente a outro subespaço e como se apresentam as matrizes associadas a essas projeções, conhecida a matriz associada ao diádico. As projeções dos 2H-adicos podem ser feitas de modo inteiramente análogo.

Poliádicos - Ruggeri

118

§ 09 - Espaço Poliádico. Bases. Operações.

Vamos induzir o processo de generalização de conceitos a partir da consideração dos tetrádicos (H=2). Consideremos a representação 9-nomial 4 φ = α i ε i com i=1,2,...,9 em relação à base diádica {εε*} e a correspondente cartesiana, em relação à base vetorial {e*}, 4 φ = A rs e e e t e v em que, sendo α i = A rsi e e e ε = E e t e v , a matriz associada a 4φ tv r s r s i itv em relação à base vetorial {e*} é A rs tv = A rsi E itv , com r,s,t,v=1,2,3. Em forma matricial escrevemos:

 A 111  121 A  A 131 [A]∗∗∗∗ =  211 A  ...  331 A

A 112

A 113

A 114

A 122

A 123

A 124

A 132 A 212

... ...

... A 332

...

... A 119   E 111  ... A 129  E 211 A 139   E 311 . ... A 219  E 411 ... ...   ...  ... A 339   E 911

E 112

E 113

E 121

E 212

E 213

E 221

E 312

E 313

E 412 ...

...

E 912

E 913

...

... E 133  ... E 233  ...  .  ... ...   ... E 933 

Essas matrizes 9x9 podem ser imaginadas subdivididas em nove submatrizes 3x3 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco horizontal dentro da matriz e o segundo, a ordem da linha dentro desse bloco. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco vertical dentro da matriz e o terceiro a ordem da coluna dentro do bloco. Para que a matriz [A]**** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal (ou na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical) é necessário que a matriz multiplicando (multiplicadora) tenha apenas zeros na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal (na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical). Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φ paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base tem por antecedentes eres e conseqüentes etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-9=72 dimensões. Para que a matriz [A]**** tenha elementos nulos na s-esima linha do seu r-esimo bloco horizontal e na v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a s-esima linha do seu resimo bloco horizontal e a sua v-esima coluna do seu t-esimo bloco vertical simultaneamente nulas. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φ paralelamente ao subespaço cujos índices das tétrades locais de base se iniciem por eres e os que se findem por etev, sobre o subespaço complementar que tem 81-17=64 dimensões; esse tetrádico pertence a um 4E64. Se fizermos a projeção de 4φ paralelamente ao subespaço cujas tétrades locais de base iniciem por eres ou er'es' e terminem por etev ou et'ev', sobre o subespaço complementar que tem 81-17-15=49 dimensões, obteremos um tetrádico de um 4E49; e assim sucessivamente até obtermos os tetrádicos em subespaços com 81- 17-15-13-...-3=1 dimensão, isto é tetrádicos de 4E1. Vê-se, assim, que as matrizes (quadradas) associadas aos tetrádicos projeção de um tetrádico dado – ou seja, as projeções desse tetrádico paralelamente a certo j-espaço, sobre o (k=81-j)-espaço complementar - são formadas como se formam os menores de um

IV,§ 09.06

§ 09.06 – Algumas considerações sobre a geometria do espaço poliádico.

119

determinante. As matrizes associadas aos tetrádicos do 4E64 têm por determinante os menores do grau 8 extraídos da matriz associada ao tetrádico, e são tantos quantos são as combinações de 9 objetos tomadas um a um, C91=9; as matrizes associadas aos tetrádicos do 4 E49 são do grau 7, em número de C92=36 etc.. Por isso mesmo denominaremos esses tetrádicos de "tetrádicos menores" do tetrádico dado; existem em número total de 291=511. Os tetrádicos menores correspondentes a tétrades (ou grupo de tétrades) com pares de índices repetidos na mesma seqüência (e1e3e1e3, e3e2e3e2, e1e1e1e1 etc.) serão denominados "tetrádicos menores diagonais". As considerações até aqui feitas à partir de todo o espaço dos tetrádicos (de 81 dimensões) são válidas também à partir de um G-espaço tetrádico qualquer (dentre os já considerados), com G≤81. Na prática trabalha-se mais freqüentemente com os subespaços de dimensões 82=64, 72=49, ..22=4 e 12=1. O caminho para a generalização é bem visível. Consideremos a representação 3Hnomial 2H φ = H α z H ε z com z=1,2,...,3H na base H-adica {Hε*} e a correspondente cartesiana, na base vetorial {e*}, índices) em que, sendo a

H αz

2H φ = A ij ... m

uv...w e i e j ...e m e

= A ij...kz e i e j ...e k e

Hε

u e v ...e w

(com 2 grupos de H

= E zuv...w e u e v ...e w , a matriz associada

φ na base vetorial {e*} tem elemento genérico A ij...kuv...w = A ij...kz E zuv...w , com

i,j,...k,u,v,...,w=1,2,3. Em vista da somatória em z, essa matriz é o produto de duas matrizes 3Hx3H, cujos elementos são definidos por H+1 índices. Essas matrizes 3Hx3H podem ser subdivididas em 9 submatrizes 3H-1x3H-1 cada uma. Na matriz multiplicando o primeiro índice das coordenadas representa a ordem do bloco primário horizontal (de 3H-1 linhas) dentro da matriz; o segundo, a ordem de um bloco secundário de 3H-2 linhas dentro do bloco primário etc.; o último índice representará a ordem da linha dentro do bloco de ordem 3H com apenas uma linha. Na matriz multiplicadora o segundo índice representa a ordem do bloco primário vertical dentro da matriz (com 3H-1 colunas); o terceiro, a ordem de um bloco secundário de 3H-2 colunas dentro do bloco primário etc., o último índice representando a ordem da coluna dentro do bloco de ordem 3H-1 com apenas uma coluna. Isto é equivalente a subdividir a matriz em 9 blocos, cada bloco em nove outros blocos, cada um destes em outros nove e assim por diante até que os blocos sejam constituídos por um único elemento. Para que uma linha da matriz [A]**...***...* seja constituída apenas por zeros, basta que a linha correspondente da [A]**...* seja constituída de zeros; o mesmo se dando com a matriz E**...* se se pretende que uma coluna da matriz [A]**...***...* seja constituída apenas por zeros. Em relação ao sistema global, a matriz do primeiro caso é a matriz associada ao tetrádico projeção de 2Hφ paralelamente ao subespaço cuja tétrade local de base inicie-se por e i e j ...e k , sobre o subespaço complementar que tem 32H-3H dimensões. Podem ser feitas as mesmas considerações em relação à matriz do segundo caso. Para que a matriz [A]**...***...* tenha elementos nulos em toda uma linha e em toda uma coluna é suficiente que as matrizes multiplicando e multiplicadora tenham, respectivamente, a linha e a coluna correspondentes com elementos todos nulos. Em relação ao sistema global, essa matriz é a matriz associada ao tetrádico projeção de 4φ paralelamente ao subespaço cujos H primeiros índices das 2H-ades locais de base iniciem-

Poliádicos - Ruggeri

§ 10 - Invariantes dos poliádicos.

120

se com os índices da linha considerada de [A]**...*; e os H últimos índices com os índices correspondentes da coluna de E**...*, sobre o subespaço complementar que tem 32H-3H-3H1=32H-2x3H-1 dimensões. Os 2H-adicos assim obtidos pertencem a algum 2H E 3 H −1 . Se fizermos a projeção de 4φ paralelamente ao subespaço cujas 2H-ades locais de base iniciemse por eiej ... ek ou ei'ej' ...ek' e findem-se por euev...ew ou eu'ev'...ew', sobre o subespaço complementar que tem 32H-4x3H-4 dimensões, obteremos 2H-adicos de algum 2H E 3 H −2 ; e assim sucessivamente até obtermos os 2H-adicos dos

E1 .

Pelas mesmas razões expostas para o caso dos tetrádicos, os poliádicos projeção serão denominados "poliádicos menores", dentre os quais se destacam os "poliádicos menores diagonais".

§10 - INVARIANTES DOS POLIÁDICOS. § 10.01 - Invariância do escalar, do Q-vec e do cruzado de um 2Q-ádico. Consideremos a seguinte escrita arbitrária de um 2Q-ádico, 2Q φ

φ = a i ... l j

m j1 m1 i1 ... l1

b i ... p l q m r i1 s j1 ... y l1 z m1 1424 3 1442443 , Q −1 fatores

i, j, ... = 1, 2, ..., S,

(01),

Q fatores

onde S é um número finito positivo qualquer. Temos, pois, no segundo membro de (01), S2Q parcelas 2Q-ades. Lembrando ((05),§08.02), o produto múltiplo misto (Q+Q)-plo de 2Qφ pelo 2Q-ádico unidade, isto é, 2Q φ

Q . Q ×

2Q 2Q Ι

Ι , com

Ι = e r f ... g k h e f s ... g h t 14243 14 4244 3 , Q fatores

Q fatores

é o cruzado de 2Qφ (§08.02), 2QφV, sendo, no caso, 2Q

φV =

•

Q ×

m j

Ι = (a i ... l i 1... l 1 × e r )( b i × f s ) ... (p l × g k )(q m × h t ) 1 1444 41 4444424444444443 Q fatores i

(02).

(r 1 .e r )(s j .f s ) ... (y 1 .g k )(z m .h t ), 1 44244444 1 43 14444 Q fatores

Acoplando convenientemente os Q produtos ponteados aos Q produtos cruzados e destacando fatores, vem: 2Q

φ V = a i ... l

m j1 m1 i1 ... l1

× [e r (e r .r 1 )] b i × [f s (f s .s j )] ... 1

.... p l × [g k (g k .y 1 )] q m × [h t (h t .z m )], 1

IV,§ 10.01

§ 10.01 - Invariância do escalar e do cruzado de um 2Q-ádico.

121

ou melhor, j

φ V = (a i ... l

m j1 m1 i1 ... l1

× r 1 )( b i × s j ) ... (p l × y 1 )(q m × z m ) , 1

(03).

Como também podemos escrever o 2Q-ádico unidade permutando o grupo dos conseqüentes com o grupo dos antecedentes, resulta: 2Q

φV =

• 2Q Ι = 2Q Ι Q ×

r Q • 2Q φ Q

= (-1) Q

Q ×

• 2Q φ Q ,

(04).

Q ×

Teor. 1: (invariância) São invariantes o ponteado, o Q-vetor e o cruzado de um 2Q-ádico. Podemos representar os Q conseqüentes do 2Q-ádico (01), em relação a Q sistemas recíprocos {e*}, {e*}, {f*}, {f*}, ... , nas formas: l

z m = ( z m . h q ) h , y 1 = ( y 1 . g ) g p ... s j = ( s j . f s ) f , r 1

= ( r 1 . e ) e r , (A),

e todos os seus antecedentes, excetuado o primeiro, nas formas

= ( q . h 1 ) h q , p l = (p l . g p ) g 1

... b = (b . f 1 ) f s ,

(B).

Então, uma escrita vetorial arbitrária do poliádico é 2Q

φ=v

s1 q1 r p ... p1 s ... q

f s ... g 1 h q e r f r ... g p h q 1 1 14 4244 3 ,

(C),

Q fatores

sendo

q1 r

... p1

s ...

p q

= j

(a i

m j1

( e r .r 1 )

... l i1 ... l1 i s1

( b .f )

( f s .s j ) 1

...

(D). l1

(p l .g p )

(g . y )

... ( q .h )

( h q . z m ), 1

Calculando o produto misto (Q + Q)-plo de encontramos: 2Q

φ V′ = ( v

s1 q1 r p ... p1 s ... q

2Qφ,

dado por (C), pelo 2Q-ádico unidade, p

× e r )(f s × f r ) ... (g 1 × g p )(h q × h q ) , 1

(031).

Se esse produto for um invariante, isto é, se independer das formas pelas quais se possam escrever os 2Q-ádicos fatores, os primeiros membros de (03) e (031) deverão ser iguais; e

Poliádicos - Ruggeri

122

§10 - Invariantes dos poliádicos.

de fato são. Calculando-se o primeiro antecedente do produto misto múltiplo pela expressão (D), substituindo-se o resultado em (031) e destacando-se os vetores fatores, vem: 2Q

φ V ′ = {(a i ... l j

m j1 m1 i1 ... l1

× [e r (e r .r 1 )]}{[( b i .f 1 )(f s ] × [f s (f s .s j )]} ... 1

... {[(p l .g p )(g ] × [g p )(g p .y )]}{[(q m .h )(h q ] × [h q )(h q .z m )]}, 1

ou seja, lembrando as expressões (A) e (B): 2Q

φ V ′ = (a i ... l j

m j1 m1 i1 ... l1

× r 1 )( b i × s j ) ... (p l × y 1 )(q m × z m ). 1

A comparação dessa expressão com (03), confirma a nossa assertiva relativamente à invariância do produto misto múltiplo do poliádico 2Qφ por 2QΙ, logo de 2QφV. O caminho para a demonstração da invariância do escalar do poliádico é, agora, evidente, uma vez que a simples substituição do sinal de multiplicação cruzada pelo sinal de multiplicação ponteada não altera o raciocínio exposto. É evidente ainda que o cruzado do 2Q-ádico qualquer 2Qφ é um invariante. De fato, a parte anti-simétrica desse 2Q-ádico independe, obviamente, de qualquer representação Gnomial (=2QφT-2Qφ); e ((02),§09.04) mostra que o produto cruzado duplo <Qρ<2Qφ>> é um Q-ádico único, porque 2Qφant transforma o Q-ádico qualquer Qρ em Q-ádicos iguais.

§ 10.02 - Invariantes primários Da tríade 3 φ = abc podemos obter duas díades, dois vetores e um número, assim especificados, representados e denominados: - Díades: 3

φ V = a × bc , primeira díade, 1

φ V = ab × c , segunda díade; 2

- Vetores: 3

φ E = a • bc , primeiro vetor, 1

φ E = ab • c , segundo vetor; 2

- Escalar: 3

(1)

= ( abc) , primeiro escalar. *

Exercício: Comprovar que: ( 3 ψ : Ι ) × a = −a× 3 ψ E 2 e ( 3 ψ : Ι ).a = −a. 3 ψ E 2 . *

IV,§ 10.02

§ 10.02 - Invariantes primários.

123

Analogamente, para a tétrade 4 φ = abcd , temos: - Tríades: 4

φ V = a × bcd , primeira tríade, 1

φ V = ab × cd , segunda tríade, 2

φ V = abc × d , terceira tríade;

- Díades:

φ E = a • bcd , primeira díade,

φ E = ab • cd , segunda díade,

φ E = abc • d , terceira díade; 3

- Vetores: 4 4

φ φ

= ( abc) d = 4 φ

(1)

= 4φ

1 1

= a (bcd) = 4 φ

(2)

VE 2

, primeiro vetor,

2 1

= 4φ 2

, segundo vetor.

3 2

Esses vetores, díades, tríades etc. assim obtidos serão denominados primários para distingui-los de outros similares existentes que receberão outras denominações. Essas denominações, notações e conceitos podem ser estendidos para uma Q-ade qualquer, como, também, para Q-ádicos. Representando uma Q-ade, cujo P-ésimo antecedente seja o vetor n, por Q φ = abcd ... lmnrst

... xyz,

P - esimo antecedente ↑

a P-ésima (Q - 1)-ade de

φ é

φ V = abcd ... jm(n × r )st ... xyz . Analogamente, a P-ésima P

(Q - 2)-ade de

φ será: φ

= abcd ... lm ( n. r ) st ... xyz ; e a P-ésima (Q - 3)-ade

(P)

= abcd ... lm ( nrs) t ... xyz .

Assim, uma Q-ade tem Q-1 políades de valência (Q-1), Q-1 políades de valência (Q2) e Q-2 políades de valência (Q-3), todas denominadas, também, primárias; as mesmas quantidades de poliádicos existem para Q-ádicos e a eles estendemos as mesmas denominações. Então, um Q-ádico tem 3Q-4 poliádicos primários cujas valências são, no mínimo, igual a Q-3.

Poliádicos - Ruggeri

124

§10 - Invariantes dos poliádicos.

Teor. 2: O P-ésimo poliádico primário de uma combinação linear de poliádicos é a combinação linear correspondente dos P-ésimos poliádicos primários dos poliádicos da combinação:

(A Q φ + B Q ψ)

= A Qφ

(A Q φ + B Q ψ) ( A Q φ + B Q ψ)

φ e

= A Qφ P

= A Qφ

(P)

+ B Qψ

(01),

+ B Qψ

(011),

+ B Qψ ,

(012).

( P)

(P)

Com efeito, pois sendo sempre possível escrever vetorialmente os Q-ádicos ψ em termos dos mesmos Q-1 sistemas recíprocos ((01), § 03.03), temos:

φ = ai

k ...

ψ = bi

s ... u ... r

k ... j

e f j ... n r m ... g h v ,

s ... u ... r

e f j ... n r m ... g h v

A Q φ + B Q ψ = (A a i

k ...

s ... u ... r

+ B bi

k ... j

s ... u ... r

) e f j ... n r m ... g h v . i

Logo:

( A Q φ + B Q ψ ) V = (A a i j k ... ... r s ... u v + B b i j k ... ... r s ... u v ) e i f j ... n r × m s ... g u h v = P

= A a i j k ... ... r s ... u v e i f j ... n r × m s ... g u h v + + B b i j k ... ... r s ... u v e i f j ... n r × m s ... g u h v = = A Qφ

+ B Qψ

Analogamente podem ser demonstradas as demais fórmulas.

Corol. 1: As operações de cálculo de invariantes primários são lineares. Teor. 3: (invariância) São invariantes todos os 3Q-4 poliádicos primários de um Q-ádico. Consideremos o poliádico qualquer, de valência Q-1 e S vetores vi: Q

IV,§ 10.02

φ=

Q −1

φ , definido por, digamos, S poliádicos

αiv

i = 1,2, ..., S ,

Q −1

(A).

§ 10.02 - Invariantes primários.

125

O seu P-ésimo (Q-1)-ádico primário é Q

Q −1

αi

se P < Q − 1,

(A'),

ou Q

Q −1

φV = P

αi × vi

se P=Q-1,

(A"),

Reduzindo esse mesmo poliádico a uma forma (Q-1)-nomial de que os conseqüentes sejam os vetores de base {g*} de EN, isto é, Q

Q −1

φ=

βkg

k = 1,2, ..., N ,

(B),

o seu P-ésimo (Q - 1)-ádico primário é Q

′ =

Q −1

βk

se P < Q − 1,

(B'),

β × g k se P = Q − 1 ,

(B"),

ou Q

φV ′ =

Q −1 k

Ora, em relação aos sistemas recíprocos {g*} e {g*} podemos escrever:

v = ( v . g k )g i

i = 1, 2, ..., S

k = 1, 2, ..., N ;

então, Q

φ=

Q −1

α i ( v . g k )g i

i = 1,2,... , S; k = 1, 2, ..., N ,

(C).

De (B) e (C), lembrando o Teor.1, § 05, resulta: Q −1

βk =

Q −1

α i (v . g k ) , i

(D),

isto é, o poliádico Q−1 β k é uma combinação linear dos S poliádicos Q−1 α i . Pelo Teor. 1, Q −1 k β = Q−1 α i ( v . g k ) , ou seja, multiplicando diretamente ambos os membros por gk V

e somando em k:

Q −1

βk g = V

Q −1

α i v . Então, considerando-se (A') e (B'), resulta: V

′ , isto é, se P<Q-1 o P-ésimo (Q-1)-ádico de

φ independe da forma sob a

qual este se apresente, sendo, pois, um invariante. Se multiplicarmos vetorialmente ambos os membros de (D) por gk, se somarmos em k e agruparmos convenientemente no segundo membro, teremos: Q −1 k

β × gk =

Q −1

α i × [( v i .g k )g k ] ,

ou seja, observando que dentro dos colchetes temos vi: Q −1 k

β × gk =

Q −1

αi × vi .

Poliádicos - Ruggeri

126

§10 - Invariantes dos poliádicos.

Então, considerando (A") e (B"), concluímos que o mesmo resultado anteriormente obtido vale também para P = Q-1. Às mesmas conclusões poderíamos chegar, com o raciocínio exposto, se em vez de calcular o P-ésimo (Q-1)-ádico de Q φ , calculássemos o seu P-ésimo (Q-2)-ádico. Consideremos agora, em EN, as duas escritas vetoriais arbitrárias seguintes de um poliádico Q φ : Q

φ=w

φ=v

i k ... s j ... r t ...

i1 k 1 ... j1

... r1

t 1 ...

a i b c k ... l m s n ...

i, j, ... = 1, 2, ..., N ,

(E),

a i b j1 c k ... l r1 m s n t 1 ...

i 1 , j1 ,... = 1, 2, ..., N ,

(F).

Se os vetores l r e l r1 ocupam os postos de ordem P, então o P-ésimo (Q-3)-ádico de calculado por (E), é Q

φ (P) = v

i k ... s j ... r t ...

i, j, ... = 1, 2, ... , N ,

a i b c k ... ( l m s n ) ...

φ,

(E'),

e calculado por (F), Q

φ (P) ′ = w

i1 k 1 ... j1

... r1

t 1 ...

i 1 , j1 ,... = 1, 2, ..., N .

a i b j1 c k ... ( l r1 m s n t1 ) ... 1

Ora,

= ( a . a ) a i , b j1 = (b j1 .b j )b , ...

(F');

então, de (E) e (F) deduzimos, aplicando o Teor. 3, § 05:

k ... j

s ... r

t ...

k 1 ... j1

... r1

( a i . a )(b j1 .b j ) ... ,

t 1 ...

(G).

Assim, alocando-se os escalares convenientemente, levando-se (G) a (E'), tem-se: Q

φ (P) = w

k 1 ... j1

... r1

t 1 ...

( a . a ) a i (b j1 . b j )b ... i1

... ( l r1 . l r ) ( m . m )( n t 1 . n t )( l m s n ) ... s1

Agora, reconsiderando-se as igualdades (F') e observando-se que

( l r1 m s n t 1 ) = ( l r1 . l ) ( m s . m s )( n t 1 . n )( l r m n t ) , r

concluímos que

(P)

′ , isto é, o P-ésimo (Q-3)-ádico de um poliádico pode ser

calculado por qualquer uma de suas escritas vetoriais, sendo, pois, um invariante.

IV,§ 10.02

§ 10.02 - Invariantes primários.

127

Corol. 1: Se dois poliádicos são iguais, iguais são os seus invariantes primários correspondentes. Corol. 2: São invariantes os poliádicos primários dos isômeros de dado poliádico. Pois cada isômero é um poliádico que, por isso mesmo, apresenta poliádicos primários invariantes. É evidente que muitos dos invariantes primários dos isômeros de um poliádico são idênticos aos seus próprios invariantes. Por exemplo: se 3 φ = a i jb i c j , então, 3

r 1

j i

φ = bic a

φE = φ

r 1

, mas φ

r 1

não se identificam com nenhum

dos invariantes primários de 3 φ .

Teor. 4: (quantidade de invariantes primários) Os poliádicos primários invariantes, distintos, de um Q-ádico e seus isômeros (Q≥2) são em número de: Q −1

1º) - A Q

2C Q2

= Q!, de valência (Q-1), opostos (aos pares) e formam

conjuntos de (Q-1)! isômeros; Q− 2

2°) - A Q

1 Q! , de valência (Q-2) e formam C 2Q conjuntos de (Q2

2)! isômeros; −3 3°) - A Q = Q

1 Q! , opostos (aos pares), de valência (Q-3) para Q≥3. 6

Com efeito, um Q-ádico tem Q! isômeros. Como cada isômero tem (Q-1) postos (para a formação de invariantes), forma-se um total de Q!(Q-1) poliádicos primários invariantes de valências Q-1. Mas, como a cada (Q-1)-ádico primário corresponde um oposto (por inversão das letras do produto cruzado), tem-se 1 Q ! (Q − 1) poliádicos opostos 2

de valências (Q-1). Como a dado par de vetores em produto vetorial (em certa ordem) corresponde (Q-1)! isômeros distintos, no máximo, existirão 2C 2Q conjuntos de poliádicos isômeros de valências Q-1. Como a multiplicação ponteada é comutativa, com pares de vetores podemos formar C 2Q conjuntos distintos (uma vez que estes diferem pela natureza), a cada conjunto correspondendo tantos (Q-2)-ádicos quantas são as permutações das (Q-2) outras letras. Então, o total de (Q-2)-ádicos distintos obtidos é C 2Q × PQ − 2 , ou seja16, A QQ − 2 . Com as permutações cíclicas e anticíclicas das letras de um produto misto, obtemos 16 Na Análise Combinatória são clássicas as fórmulas: C p × P = A p e C p = C n − p . n p n n n

Poliádicos - Ruggeri

128

§10 - Invariantes dos poliádicos.

apenas um par de números opostos. Com Q letras podem ser formados C 3Q produtos mistos e com cada produto misto obter PQ − 3 (permutações de Q-3) poliádicos opostos de valências (Q-3); ou seja, pelos mesmos motivos anteriormente expostos, com 3 letras dentre Q, podemos obter C 3Q × PQ − 3 = A QQ − 3 pares de (Q-3)-ádicos opostos. Notas: 1ª) - As tríades isômeras têm 3 vetores invariantes diferentes (um paralelo ao seu antecedente, outro ao seu mediano e outro ao seu conseqüente) e 12 díades invariantes (3 pares de díades opostas e 3 pares de transpostas). As tétrades isômeras têm 4 pares de vetores opostos (cada par paralelo a um vetor de sua escrita vetorial), 6 pares de díades transpostas (cada díade formada com um par de vetores de sua escrita vetorial) e 12 conjuntos de 6 tríades isômeras, ou 36 pares de tríades opostas. 2ª) - Os triádicos isômeros têm: 3 vetores invariantes distintos, cada um sendo uma combinação linear dos seus antecedentes, dos seus medianos e dos seus conseqüentes; tem também 12 diádicos invariantes ... . Os tetrádicos isômeros têm 4 pares de vetores invariantes, opostos, distintos, cada par sendo uma combinação linear dos seus primeiros antecedentes, dos seus segundos antecedentes, dos seus primeiros conseqüentes e dos seus segundos conseqüentes; têm também 12 conjuntos de diádicos ... .

* Exercícios: Comprovar que, para vetores, diádicos e poliádicos quaisquer: 1) - para os vetores, (r × Ι ).v = r × v ; para os diádicos (φ × Ι ).ψ = φ × ψ . 2) - para os vetores, (r × Ι ) V = −2r ; para os poliádicos:

( P φ × Ι) V

P−1

= −2 P φ ,

(02);

3) - para os diádicos φ T − φ = Ι × φ V ; para os poliádicos, ∀ P φ : P

r 1

φ 2 − P φ = Ι × P φV , 1

P s P

r 1

s 1

φ 2 − P φ = P φV × Ι , 2

s P

φ − φ = Ι × φV , P

4) - para os diádicos φ P

× ×

φ − P φ 1 =− P φ V × Ι ,

(03);

Ι = −φ T + φ E Ι ; para os poliádicos:

s 1

v 1

φ ×× Ι = − P φ 2 + P φ E Ι ,

Ι ×× P φ = − P φ 2 + Ι P φ E ,

P −1

(04).

5) – são válidas as seguintes fórmulas s r 4 1

φ − 4φ

r 23

r 2

= (Ι × 4 φ V ) 3 ,

(05);

φ : Ι = φE , 3 4

Ι : φ = φE ,

× ×

(06),

s 1

Ι =− 3 φ + 3 φ E Ι ,

(07),

ΙV : φ = φV,

(08),

Ι E = Ι, 2

IV,§ 10.02

(09),

§ 10.03 - Invariantes secundários. 4

φ : Ι = 4φ E ,

Ι : 4φ = 4φE

(11),

(Ι × Ι ) : (Ι × Ι ) = 2Ι ,

(12),

(Ι × Ι ) × 4 Ι ×

φV

(10), 1

ΙV = 4ΙV = − Ι × Ι , 1

129

3 .

(Ι × Ι ) = 6 , r

(13),

=( 4 φ+ 4 φ 2 ) −( 4 φ 1 + 4 φ 1 ) ,

(14).

§ 10.03 - Invariantes secundários. Por força do Teor.3, § 10.02 os invariantes primários de um poliádico qualquer são novos poliádicos; logo, estes também admitirão invariantes primários, aos quais denominaremos invariantes secundários do primeiro. Assim, por exemplo, o escalar e o vetor do primeiro diádico do triádico 3 φ = a i b c j , são: 3 φ V E = a i j × b i .c j e 3 φ V V = (a i j × b i ) × c j , sendo, ainda, nesse caso j i

1 1

particular, 3

φ V E = φ (1) ,

(01),

1 1

e 3 φ V1V1 = b i (c j .a ij ) − a i j (b i .c j ) , isto é, 3

r 3 1

φV V = φ

1 1

− φE ,

(02).

Com esse exemplo simples vê-se que os invariantes secundários de um poliádico podem constituir novos poliádicos invariantes; todos eles, entretanto, se expressarão como funções dos invariantes primários.

Exemplos: 3 i j 1) - O vetor do segundo diádico de φ = a jb i c é 3

φ V V = a i j × (b i × c j ) = b i (c j .a ij ) − (a i j .b i )c j , 2 1

donde 3

φV V = φ 2 1

2) - O primeiro diádico do triádico

r 1 E2

− φE ,

(03).

φ V = a i j k × b i c jd k , invariante do tetrádico 1

φ=a

i k j bic dk j

é 4 φ V V = (a i j k × b i ) × c jd k pode ser escrito na forma: 1 1

φ V V = (c . a 1 1

k j

)b i d k − (b i . c ) a

i k dk . j

Poliádicos - Ruggeri

§ 10 - Invariantes dos poliádicos.

130

Mas, sendo j

( c .a

i k )b i d k j

= b i ( c .a

i k )d k j

= φ

r 13

e (b i . c ) a

resulta: 4

= 4φ

r 2

1 1

k j

− 4φ

dk = a

k j

(b i . c ) d k = φ E , 2

(04).

Para φ = Ι , considerando-se (09), §10.02, tem-se, de (04): 4

ΙV V = 1 1

r 4 23 Ι E 2

− Ι E = I −ΙΙ =Ο Ο,

(05).

§ 10.04 - Invariantes P-ários. Os poliádicos de valência maior que três admitem, ainda, invariantes terciários, 4 i k j quaternários etc. Assim, por exemplo, para o tetrádico φ = a j b i c d k , temos: 4

φ V = a i j k × b i c jd k ,

φV V = aijk × bic j × d k 1 2

e 4

φ V V V = (a i j k × b i ) × (c j × d k ) = (a i j k b i d k )c j − (a i j k b i c j )d k , 1 2 1

ou melhor, 4

= φ 4

VV V

1 2 1

s 1

(1)

− 4φ

(1)

Dezenas de fórmulas análogas às encontradas até aqui, envolvendo os invariantes de um poliádico e os invariantes de seus isômeros, poderiam ser deduzidas sem dificuldades, porém não sem algum trabalho. Com as indicações apresentadas, o leitor poderá encontrar aquela que possa lhe interessar mais de perto numa particular aplicação.

Exercícios: Demonstrar as seguintes fórmulas: 4

4 4 Ι ×

s 1

r 1

s 1

= 4 φ E 4 Ι − 4 φ 2 + (Ι 4 φ 2E ) 3 − (Ι 4 φ 2E ) 2

(α

× ×

ΙΙ )

4 4 χ ×

rs 131

( 4 α ×× 4 β) ×4 4 Ι =( 4 β ×× Ι ) : α + α 4 β V + (α ×

IV,§ 10.04

4 4 φ) E ×

4 4 Ι ×

=α

× ×

s 1

(ΙΙ − 4 Ι 2 ) ,

= −α T : 4 χ E + α E 4 χ E E , s T 4

(4 φ

αΙ

=( 4 φ E ) 2 + ( 4 φ :

3 1

r s 1 β 2V ) 1 2

r 2 4 φ) E −( 4 φ E3 ) 2E 1

r 1

+( 4 β 2V × α T ) 1 , 2

r 2 −( 4 φ E3 ) 2E 2

§ 11.01 - Caso geral.

131

§ 11 - POLIÁDICO COMPLETO. G-ÉSIMO DE UM POLIÁDICO. § 11.01 - Caso geral. Consideremos o poliádico escrito nas formas G-nomiais 2H α

Hα i Hε

H β Hε i i

α , de valência par, pertencente a um =

Hε H γ i i

Hε i Hδ i

EG (G≤N2H),

(i = 1, 2, ..., G),

(01),

em que { H ε ∗ } e { H ε ∗ } são bases H-ádicas recíprocas (§ 09.02) geradas com vetores de EN. Escrevemos, então, as relações evidentes: 2H α H Hε

Hβ

Hε

( H γ j H. Hε i ) = ( H δ k H. Hε i ) H ε k

(i, j, k = 1, 2, . G),

(011),

das quais deduzimos, considerando as (01):

∀i, r, s = 1,2, ... , G):

β i H.

ε =

H r

γ r H.

εi

β i H.

εs =

δ s H.

ε i , (02).

Fazendo-se i, r = 1, 2, ..., G na primeira das igualdades (02), resulta: H

β 1 H.

H 1

β 1 H.

ε2

...

β 1 H.

εG

β 2 H.

H 1

β 2 H.

ε2

...

β 2 H.

εG

... H

β G H.

... ε

H 1

β G H.

... H

ε2

...

... H

β G H.

εG

ε 1 H.

H 1

ε 1 H.

γ2

...

ε 1 H.

γG

ε 2 H.

H 1

ε 2 H.

γ2

...

ε 2 H.

γG

... H

ε G H.

... H

γ1

ε G H.

... H

γ2

...

(021),

... H

ε G H.

γG

ou seja, conforme ((10), § 09.05):

( H β1

β 2 ...

β G )( H ε 1

ε ...

H 2

ε )=

H G

= ( H ε1

ε 2 ...

ε G )( H γ 1

γ 2 ...

(022),

γG)

o que justifica exigir-se G≥3. Assim, 3≤G≤3H, ou N=3 porque H pode ser igual a 1.

Poliádicos - Ruggeri

132

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Analogamente, fazendo i, s = 1, 2, ..., G na segunda das equações (02) podemos montar um determinante, escrevê-lo na forma de um produto de produtos mistos e simplificar o fator comum ( H ε 1 H ε 2 ... H ε G ) para obter:

( H β1

β 2 ...

β G ) = ( H δ1

δ 2 ...

δG ) ,

(023).

Como temos, também: 2H

α H.

ε =

H i

αi =

ε j ( H γ j H.

ε )=

ε ( γ k H.

H i

H k H

ε )

H i

(i, j, k = 1, 2, . G),

deduzimos, analogamente aos casos anteriores:

∀i, r, s = 1,2, ..., G): Hα i H Hε r

ε =

H γ r H Hε i

( H α1

Hα i H Hε

εr =

Hδ

δ r H.

Hε i

(03).

Então:

α 2 ...

αG ) = (H γ1

γ 2 ...

γG) ,

(031).

( H α1

α 2 ...

α G )( H ε 1

= ( H ε1

ε 2 ...

ε ...

εG ) =

ε )( H δ 1

H 2

H G

δ 2 ...

(032).

δG )

De (01), considerando-se (022), (023), (031) e (032) resulta demonstrado o seguinte

Teor. 1: Para todo poliádico 2H α de um 2H E G (3≤G≤3H), escrito nas 4 formas Gnomiais com antecedentes ou conseqüentes independentes, são iguais o produto misto dos G H-ádicos antecedentes pelo produto misto dos G Hádicos conseqüentes correspondentes. Definição: (G-ésimo de um 2H-ádico) O número a que se refere o Teor. 1 será denominado o G-ésimo do 2H-ádico no 2HEG (3≤G≤3H), e o representaremos por 2HαG. No 3-espaço o G-ésimo de um 2H-ádico denomina-se terceiro; no 4-espaço, quarto etc.. Em resumo: 2H

αG = = ( H β1

Hβ

β 2 ...

Hβ

β G )( H ε 1

= ( H ε1

IV,§ 11.01

Hε

Hε 2

ε ...

ε 2 ...

Hε

Hε G )

ε G )( H γ 1

Hγ 2

γ ...

Hγ G )

§ 11.01 - Caso geral.

= ( H α1

α 2 ...

α G )( H ε 1

ε 2 ...

133

εG ) = ,

=( ε H

ε ...

1 H 2

ε )( δ 1

H G

δ 2 ...

(04).

δG )

Pelas (04) fica evidente o seguinte

Teor. 2: Se os H-ádicos de uma escrita G-nomial de um 2H-ádico são linearmente independentes, então são também linearmente independentes os H-ádicos de todas as suas outras escritas G-nomiais. Definição: (poliádicos completos) O 2H-ádico de um 2HEG que, escrito G-nomialmente, tem os seus antecedentes e conseqüentes linearmente independentes, é dito completo; se antecedentes ou conseqüentes são linearmente dependentes, o 2H-ádico é dito incompleto. Se um 2H-ádico, por hipótese pertencente a um 2HEG, for incompleto, ele pertencerá, na verdade, a um 2HEG-1 e a sua escrita G-nomial poderá ser reduzida a uma escrita (G-1)nomial. Portanto, estando assegurada a pertinência de certo 2H-ádico a um 2HEG, esta assegurada também a completeza desse poliádico apenas no 2HEG (mas não no 2H E 3 H ) Considerando novamente as (04) podemos enunciar:

Teor. 3: A CNS para que um 2H-ádico de um espaço G-dimensional (3≤G≥3H) seja completo é que o seu G-ésimo seja diferente de zero: 2H α

é completo ⇐

2H α ∈ 2H E

2H α

⇒

≠0,

(05).

Teor. 4: É um invariante o G-ésimo de um poliádico no seu G-espaço. Com efeito, se, além das representações (01), escrevêssemos, em relação a bases Hádicas recíprocas { H Γ∗ } e { H Γ ∗ } do espaço G-dimensional a que pertence 2H α , 2H

α=

H i H

Γi =

µi

Γi =

Γi

ηi =

Γi

ξi

(i = 1, 2, ..., G),

escreveríamos, também: 2H

α G = ( H λ1 H λ2 ... H λG )( H Γ1 H Γ2 ... H ΓG ) = = ( H Γ1 H Γ 2 ... H Γ G )( H µ1 H µ 2 ... H µ G ) = ...

Poliádicos - Ruggeri

134

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Temos: 2H

α=

α H.

Ι=

α H. ( H ε i

εi ) =

= ( 2H α H.

λ j ( H Γ j H.

Γk )

ε ) εi =

H i H

Γk =

α i ( H ε i H.

Γk )

Γk ,

donde, 2H

α H.

ε =

H r

λ j ( H Γ j H.

ε ) =

H r

αr, e

α H.

Γs =

α i ( H ε i H.

Γs ) =

H s

para (i, j, k = 1, 2, . G). Se o 2H-ádico é completo podemos escrever, em relação à base {Hε*}, lembrando (03) e (04), § 13, II: H Γ1 H H ε

H Γ1 H H ε

H Γ2 H H ε

H Γ2 H Hε

ε 1 ...

H Γ2 H Hε

...

( H λ1 H λ1 λ

λ ...

H λG )

=( H α 1 H α 1 α

α ...

HαG )

ε1

Γ G H.

ε1

Γ G H.

ε 2 ...

ε 1 ...

εG

... H

Γ G H.

εG

ou, aplicando (092), § 13, II:

( H λ1

λ ...

H 1

λ ) =( H α 1

H G

α 1 ...

α G )( H Γ 1

Γ 2 ...

Γ G )( H ε 1

ε 2 ...

εG ) .

Logo: 2H

α G = ( H λ1 Γ

λ ...

H 1

=( H α 1

λ ) ( H Γ1

H G

α 1 ...

Γ2 ...

α G )( H ε 1

ΓG ) =

ε 2 ...

εG ) =

αG

isto é, o G-ésimo de um 2H-ádico, calculado em relação à base {Hε*}, é igual ao calculado em relação a qualquer outra base.

Corol. 1: A completeza de um 2H-ádico no seu desse poliádico.

EG é uma propriedade invariante

É evidente que todos os poliádicos menores de dado 2H-adico de um 2HEG (§ 09.06) são incompletos nesse espaço, podendo ser completos nos seus respectivos subespaços. *

Exercício: Estudar as relações entre o G-ésimo de um 2H-adico e os G-ésimos de seus isômeros. * IV,§ 11.01

§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (para G = 9); o nono.

135

§ 11.02 - Caso dos tetrádicos (H=1) gerados do E3 (para G = 32); o nono. 4

Por sua relevância, consideraremos o caso particular de um tetrádico dado por suas 4 representações diádicas: 4

α = α mi e m e i = α mi e m e i = α m i e m e i = α m i e m e i ,

α quando

i,m=1,2,3,

das quais podemos deduzir as respectivas representações cartesianas quando efetuamos as substituições dos seus antecedentes por suas expressões cartesianas seguintes:

α mi = A jkm i e j e k = A jk mi e j e k = A jkm i e j e k = A jkm i e j e k ,

(011),

α mi = A jkm i e j e k = A jkm i e j e k = A jkm i e j e k = A jk m i e j e k ,

(012),

α m i = A jkm i e je k = A jk m i e je k = A jkm i e je k = A jkm i e je k ,

(013),

α m i = A jkm i e je k = A jkm i e je k = A jkm i e je k = A jk m i e je k ,

(014),

onde todos os índices variam de 1 a 3. O produto misto dos antecedentes pode ser calculado aplicando-se as fórmulas (13), (131), (14) e (141) do § 13, II. Temos:

(α 11α 12 ... α 33 ) = ( e∗ e∗ )| A ∗∗ ∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗ ∗ ∗ | = ( e∗ e∗ )| A

∗ |= ∗∗∗

( e∗ e∗ )| A

∗

(021);

(α 11α 21 ... α 33 ) = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗ ∗ ∗ | ,

(022);

(α 11α 12 ... α 33 ) = ( e∗ e∗ )| A ∗∗ ∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ |,

(023);

(α 11α 12 ... α 33 ) = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | ,

(024);

∗∗

ou seja, em função das coordenadas cartesianas: 4

α 9 =| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ ) 2 | A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | ,

(031);

α 9 =| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ ) 2 | A ∗∗∗∗ | = ( e∗ e∗ )( e∗ e∗ )| A ∗∗∗∗ |,

(032);

e outras análogas. Como se vê, tal como no caso dos diádicos, o nono de um tetrádico é igual ao determinante de qualquer uma de suas matrizes mistas associadas (§ 03.04), e apenas destas, ou seja: 4

α 9 =| A ∗∗ ∗∗ |=| A ∗∗∗ ∗ |=| A ∗ ∗∗ ∗ |=| A ∗∗ ∗∗ | ,

(033).

Poliádicos - Ruggeri

136

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

Particularmente,

Ι 9 = 1,

4 1ˆ3

= −1,

r 4 23

= 1,

(034).

§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico. Tal como no caso dos diádicos (§ 09.03, II), existem relações entre as diferentes matrizes associadas a um tetrádico, relações essas que podem ser estendidas aos poliádicos em geral. No que segue todos os índices assumem valores no conjunto 1, 2 e 3. Assim, por exemplo, das representações: 4α

= α mi e mei = A jkm i e je k e mei = A jk mi e je k e mei ,,

(01),

deduzimos

A jkm i = 4 α .4 e je k e mei = A rs tu e r ese t e u .4 e je k e mei = (02).

= A rs tu δrj (es .e k )δtmδui = A js mi (es .e k ), Podemos, então, estabelecer uma relação entre as matrizes:

A1111  1 A121 A 1  1311 A 211 ∗ [A ∗∗∗ ] = A 2211  A 2311  1 A 311 A 3211  1 A 331

A1112 A1212 A1312 A 2112 A 2212 A 2312

A1113 A1213 A1313 A 2113 A 2213 ...

A1121 A1221 A1321 A 2121 ...

A1122 A1222 A1322 ... ...

A1123 A1223 A1323 ...

A 3312

A 3313

A 3321

...

A1131 A1132 A1231 A1232 A1331 A1332 ... ... ...

A 3323

A1133   A1233  A1333   ...  ...  , ...    ...   A 3333 

(03),

 A1111  21  A1 1 A 3 1  1 111  A 21 [A ∗∗∗∗ ] = A 2211   A 2311  31 A3 1 A 321 1  31  A 3 1 IV,§ 11.03

A1112 A121 2 A1312 A 2112

A111 3 A1213 A1313 ...

... ...

...

A 33 12

A 33 13

A1121 ... A1221 ... ... ... ... ... ...

...

... ...

... ... ... ... ... ...

A 3323

A1133   A1233  A1 333   ...  ...  , ...    ...   A 3333 

(031),

§ 11.03 - Relações entre as matrizes associadas a um tetrádico.

137

associadas ao tetrádico conforme exposto no § 03.04. . Com efeito, tem-se:

[ A ∗∗∗ ∗ ] 99 = [ B] 99 .[ A ∗∗∗∗ ] 99 ,

(04),

com

     0 [B] =  0  0   0  0  0 

0 0 0

    0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0     0 0 0

0 0 0 M 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

    0 0 0

0 0 0    

0 0 0 M

0  0  0   0  0  , 0      

a submatriz M sendo

 e1 . e1 [M ] = e 2 . e1  e 3 . e 1

e1 . e 2 e2 . e2 e3 . e2

e1 . e 3  e2 . e3  ,  e3 . e3 

isto é, a matriz métrica da base vetorial. Notando-se que a submatriz [M] e as submatrizes nulas da matriz [B] podem ser escritas nas formas

 e1e : e e e1e : e e e1e : e e   e 2 e : e e e 2 e : e e e 2 e : e e  1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 3 3  1 1 1    1 1 1 2 2 2    [ M ] = e e 2 : e1e1 e e 2 : e1e 2 e e 2 : e1e 3 = e e 2 : e 2 e 1 e e 2 : e 2 e 2 e e 2 : e 2 e 3  =      e1e 3 : e1e1 e1e 3 : e1e 2 e1e 3 : e1e 3   e 2 e 3 : e 2 e 1 e 2 e 3 : e 2 e 2 e 2 e 3 : e 2 e 3   e 3e : e e e 3e1 : e 3e 2 3 1  3 1 =  e e 2 : e 3e1 e 3e 2 : e 3e 2  e 3e : e 3 e 3e : e e  3 1 1 3 3 2

e 3e1 : e 3e 3   e 3e 2 : e 3e 3 , e 3 e 3 : e 3 e 3 

 e 1e : e e e 1e1 : e 2 e 2 2 1  1 1 [0] =  e e 2 : e 2 e 1 e 1 e 2 : e 2 e 2  e 1e : e e e 1e : e e  3 2 1 3 2 2

e 1e 1 : e 2 e 3   e 1e 2 : e 2 e 3  , e 1 e 3 : e 2 e 3 

 e 1e : e e e 1e1 : e 3 e 2 3 1  1 1 [0] =  e e 2 : e 3 e 1 e 1 e 2 : e 3 e 2  e 1e : e e e 1e : e e  3 3 1 3 3 2

e 1e1 : e 3 e 3   e 1 e 2 : e 3 e 3  etc., e 1 e 3 : e 3 e 3 

Poliádicos - Ruggeri

138

§ 11 - Poliádico completo. G-ésimo de um poliádico.

vemos que

| B| = ( e ∗ e ∗ )( e ∗ e ∗ ) ,

(05).

Tomando, então, os determinantes de ambos os membros de (04), e considerando (05), vem: | A ∗∗∗ ∗ | = ( e ∗ e ∗ )( e ∗ e ∗ )| A ∗∗∗∗ |, (06), relação essa que juntaremos ao conjunto das (03), § 11.02. Das várias relações entre as matrizes associadas a um tetrádico poderíamos determinar todas as relações entre os respectivos determinantes, isto é, as relações (02) e (03), § 11.02. Da análise destas relações, concluímos a veracidade do seguinte

Teor. 5: A CNS para que um tetrádico seja completo é que seja diferente de zero o determinante de qualquer uma de suas matrizes associadas. Por esse teorema vemos que um poliádico projeção de dado 2H-adico, pertencendo a certo subespaço, nem sempre é incompleto, mas são incompletos necessariamente todos os poliádicos menores do dado 2H-ádico (§ 09.06). Esses menores, por outro lado, nos seus respectivos subespaços, referidos a bases locais, são completos, isto é, os determinantes das suas matrizes (quadradas) associadas (mistas) – menores extraídos da matriz associada ao poliádico dado – são necessariamente diferentes de zero.

§ 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos.

Teor. 1: Se um 2Hφ não nulo transforma (por multiplicação ponteada H-pla) qualquer H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de HEG, então o operador 2Hφ é necessariamente incompleto:

∀ 2H φ ≠

2H Ο

e ∀ H ψ ∈ 2H E G :

2H φ H H ψ

= HΟ

⇒

2H φ

=0,

(01).

Consideremos as escritas G-nomiais de 2H φ e H ψ , cujos conseqüentes sejam Hádicos de uma base, digamos, 2H φ = H α i H ε i e H ψ = M j H ε j com i, j = 1, 2, ..., G. Temos, então, 2H φ H H ψ

= HΟ = M j Hα j ,

isto é, os G poliádicos (de valência H) da escrita G-nomial de dependentes; logo, esse poliádico é incompleto.

(011), 2H

φ são linearmente

Teor. 2: Se 2H φ é completo e transforma um H-ádico de um HEG no H-ádico nulo de H EG, então esse H-ádico é o próprio H-ádico nulo:

∀

IV,§ 11.04

2H φ

≠ 0,

2H φ H H ψ = H Ο

⇒ Hψ= HΟ ,

(02).

§ 11.04 – Produtos de poliádicos completos e incompletos.

139

Escrevendo 2H φ e H ψ como na demonstração do teorema anterior, devemos verificar (011). Como os diádicos do último membro são linearmente independentes todos os coeficientes M devem ser nulos, o que acarreta a nulidade de H ψ .

Teor. 3: O G-ésimo de um produto ponteado H-plo de dois 2H-adicos é igual ao produto dos seus G-ésimos. Pondo, em escrita H-adica: 2H

φ=

αi

εi

ψ=

H j H

βj

com i, j = 1, 2, ..., G,

temos: 2H

φ H.

ψ=

α i δi j

βj =

αi

βi

Então:

( 2H φ H.

2H ψ )

= ( H α1

Hα2

Hα 2

... H α G ) ( H β1 H β 2 ... H β G ) =

... H α G )( H ε 1 H ε 2 ... H ε G )( H ε 1

Nos dois primeiros fatores detectamos o G-ésimo de 2H ψ.

Hε2

... H ε G )( H β1 H β 2 ... H β G ) .

φ; nos dois últimos o G-ésimo de

Corol. 1: O produto ponteado múltiplo H-plo de dois 2H-ádicos em que um é completo é um 2H-ádico completo ou incompleto conforme o outro fator seja completo ou incompleto. Nota: Poderíamos fazer, também, as demonstrações desses teoremas recorrendo às representações cartesianas dos poliádicos, ou, ainda, às matrizes de um mesmo nome associadas a esses poliádicos nas mesmas bases vetoriais recíprocas. Com efeito, nesse caso, a matriz (de mesmo nome que as anteriores) associada ao produto H-plo é o produto das matrizes daqueles poliádicos (§ 06.02). Se essas matrizes são as mistas, esses determinantes são os G-ésimos dos 2H-ádicos, caso em que o produto será nulo ou não conforme um dos G-ésimos fatores seja nulo ou não.

Teor. 4:

∀ X ≠ 0 e 3 ≤ G ≤ NH :

(X 2H φ) G = X G

A proposição é evidente, pois sendo

φ=

αi

2H φ H

(03).

ε i uma escrita G-nomial do

poliádico, o G-ésimo de X φ não diferiria do G-ésimo de φ senão pelo fator XG pois este é o fator por que diferem os produtos mistos dos antecedentes de X 2Hφ e 2Hφ. 2H

Poliádicos - Ruggeri

140

§ 12 – Poliádicos de Moreira (ou em feixe).

§ 12 – POLIÁDICOS DE MOREIRA (OU EM FEIXE). § 12.01 – O grupo ortocêntrico do espaço poliádico. Vamos interpretar geometricamente a anulação do cruzado do 2Q-ádico unidade já estabelecida pela fórmula ((07), § 08.02). Para tal escreveremos o poliádico unidade numa forma G-nomial com antecedentes e conseqüentes recíprocos num QEG, isto é, 2Q Ι = Q ε i Q ε i com i = 1, 2, ..., G (N≤ G ≤ NQ); e admitiremos extendida ao espaço dos poliádicos de valência par maior que dois, sem demonstração, os conceitos geométricos estabelecidos para o espaço dos diádicos17. Imaginemos inicialmente aplicados os Q-ádicos recíprocos de um sistema num mesmo ponto arbitrário do espaço. O cruzado de qualquer 2Q-ádico unidade é o cruzado nulo QΟ. De fato, por ser 2QΙ diádico simétrico e por consideração de ((033),§07.01): < 2Q Ι >=<Q ε i Q ε i >= Q Ο . Decorre dai que os cruzados das 2Q-ades binárias

ε1 , Q ε 2 Q ε 2 etc. formam um contorno Q-ádico fechado num subespaço denotado por contido no QEG. Como cada cruzado (um Q-ádico componente do contorno fechado) é perpendicular ao plano da 2Q-áde correspondente, decorre ainda que esses planos têm um Q E1 (reta) comum ortogonal ao espaço que contém o contorno fechado. Em outras palavras, os planos das 2Q-ades formam um feixe no QEG e a charneira desse feixe, denotada por e), é perpendicular ao subespaço QESG-1 que contém o contorno fechado, isto é: Q 1 Q

Q S E G-1

Teor. 1: Os planos definidos por retas homólogas de sistemas de Q-ádicos recíprocos formam um feixe (ou têm reta comum). Definição: (eixo e espaço de sistemas recíprocos) Denominaremos a reta e) e o espaço QESG-1 atrás referidos de eixo e (G-1)espaço do sistema de Q-ádicos recíprocos. O cruzado < Q ε1 Q ε1 > , por exemplo, é perpendicular ao plano da díade O Q-ádico

Q 1

é perpendicular ao

Q 1 Q

EG-1 definido por ( Q ε 2 Q ε 3 ... Q ε G ) e

ε1 .

ε1 é

perpendicular ao E G-1 definido por ( ε ε ... ε ) . Logo o cruzado < ε ε1 > é, necessariamente, paralelo à reta interseção dos espaços homólogos 2QEG-1 e 2QE*G-1. O mesmo acontece com os cruzados das demais 2Q-ádes. Logo: Q *

Q 2 Q 3

Q G

Teor. 2: As interseções dos espaços homólogos recíprocos pertencem a um mesmo QEG-1.

1 Q

EG-1 de sistemas de Q-ádicos

Apliquemos, agora, os Q-ádicos recíprocos de um sistema em pontos distintos D e D’ de uma reta paralela ao eixo desse sistema. Por força do teorema 2, os pares de retas homólogas de cada 2Q-áde se interceptam necessariamente; sejam A1, A2, ..., AG os correspondentes pontos de interseção de cada par, todos, evidentemente, pertencentes a um mesmo QES’G-1 paralelo ao QESG-1. Seja, ainda, H a interseção do eixo e) com QES’G-1. 17 O leitor poderá executar essa penosa tarefa por analogia com o que foi estabelecido para o 2EG com G≤9 (§10, Cap.II,Vol.I,T.I)

IV, § 12.01

§ 12.02 – Poliádicos em feixe.

141

Como Q ε1 e Q ε1 são respectivamente perpendiculares aos homólogos 2QEG-1 e E G-1 que lhes correspondem, o plano definido por e) e A1, ou plano (DD’A1), além de ser perpendicular ao QES’G-1 do sistema (por conter uma reta perpendicular a esse espaço) é também perpendicular ao QEG-2, comum a QEG-1 e QE*G-1, definido pelos pontos A2A3 ...AG. Seja A’1 o ponto de interseção de QEG-2 com o plano definido por e) e A1. Então: 1) – tal plano é seção reta do (G-1)-edro formado pelos (G-1)-espaços Q ˆ '1 D′ = γ1 o “ângulo (G-1)homólogos ( ε 2 Q ε 3 ... Q ε G ) e ( Q ε 2 Q ε 3 ... Q ε G ) ; seja DA 2Q *

edro” correspondente; 2) – a aresta DA1 do (G+1)-edro A1A2 ... AGD é ortogonal ao seu espaço oposto A2A3 ... AG; 3) – deduções análogas podem ser feitas em relação aos demais (G-1)espaços homólogos (relativos às demais 2Q-ádes), o que nos permite concluir que D’ é o ponto comum às G+1 alturas do (G+1)-edro A1A2 ... AGD. Então:

Teor. 3: Os (G+1)-edros A1A2 ... AGD e A1A2 ... AGD’, associados ao sistema de Qádicos recíprocos {Q ε ∗ } e {Q ε ∗ } são (G+1)-edros ortocêntricos, D’ sendo o ortocentro de A1A2 ... AGD e D o de A1A2 ... AGD’. Resta agora observar que o conjunto dos G+2 pontos: D, D’, A1, A2, ..., AG, é tal que qualquer um deles é ortocentro do (G+1)-edro definido pelos demais; tal conjunto será denominado, por analogia com conceito clássico já apresentado (§03.02,I, §03.03,I e (§03.03,II), o grupo ortocêntrico de (G+1)-edros do espaço poliádico. * Exercício: (desafio) Demonstrar que um (G+1)-edro tem uma superfície esférica inscrita e G+1 exinscritas (isto é, tangentes a uma face e aos prolongamentos das outras G). O centro da superfície esférica inscrita é o incentro do (G+1)-edro e os centros das ex-inscritas, os seus ex-incentros. Demonstrar, então, que num (G+1)-edro o incentro e os G ex-incentros formam um grupo ortocêntrico. * § 12.02 – Poliádicos em feixe. No espaço dos H-ádicos, dois quaisquer deles, Hα1 e Hε1, definem um plano. Se três quaisquer dos H-ádicos de dois pares, (Hα1,Hε1) e (Hα2,Hε2), são não coplanares, eles têm uma reta comum distinta do suporte de qualquer um deles. Consideremos G pares quaisquer de H-ádicos de um HEG: (Hα1,Hε1), (Hα2,Hε2), ..., H GH ( α , εG), cujos planos formem um feixe, e tais que os conjuntos {Hα1, Hα2, ..., HαG} e {Hε1, H ε2, ..., HεG} sejam linearmente independentes. Qualquer um dos conjuntos define uma base do HEG. Apliquemos todos os H-ádicos co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, ponto esse pertencente à charneira do feixe. Podemos constituir, em O, o 2H-ádico completo: 2H

M= Hαi Hεi

(i=1, 2, ..., G),

(01),

e procurar traduzir algebricamente a condição geométrica imposta para a sua formação. Os

Poliádicos - Ruggeri

142

§ 12 – Poliádicos em feixe.

cruzados (§ 10.01) de todas as 2H-ádes parcela, < Hα1Hε1>, < Hα2Hε2>, ..., co-iniciais em O, devem pertencer a um espaço de dimensão G-1 ao qual é perpendicular a charneira do feixe, porque cada cruzado é perpendicular a um plano do feixe; vamos denotar esse espaço por H M E G-1. Então, por ser <2HM>= <Hαi Hεi>= <Hα1 Hε1>+<Hα2 Hε2>+ ...,

(02),

o cruzado de 2HM fecha a poligonal (contida num HE(O)G-1, o índice (O) indicando a ligação desse espaço com o ponto O) definida pelos cruzados das 2H-ádes quando estes são dispostos consecutivamente (a origem de um sendo a extremidade do outro). Dada a arbitrariedade do ponto O pode-se enunciar, em resumo:

Se os planos das 2H-ádes de um 2H-ádico completo formam um feixe, o cruzado desse 2H-ádico e os cruzados de suas 2H-ádes, dispostos consecutivamente, definem uma poligonal fechada contida num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe. Os suportes dos H-ádicos antecedentes e conseqüentes de cada 2H-ade de 2HM haverão de se interceptar quando forem aplicados em pontos D e D’, respectivamente, da charneira do feixe. Denotando-se por Ai a interseção de Hαi com Hεi para i=1, 2, ..., G resulta que todos os G pontos Ai são linearmente independentes num HEG-1 que é ortogonal à charneira do feixe, logo paralelo ao HE(O)G-1 do feixe relativo a O. Para H=1 (no espaço 1 E3 dos vetores) vimos que o simplex formado pelos quatro pontos A1, A2, A3, e D (ou D’) era um ortoquadrângulo (ou um tetraedro cujos lados opostos eram ortogonais). Aqui também, qualquer que seja H > 1, sendo independentes os G+1 pontos A1, A2, ..., AG e D (ou D’), eles constituirão um simplex especial, um orto-(G+1)-ângulo. Assim, Hαi, para i= 1, 2, ..., G, será ortogonal ao HEG-2 (definido pelos G-1 pontos A2, ..., AG) que lhe é oposto.

Generalização Esse processo de geração de orto-(G+1)-ângulos pode ser generalizado. Podemos escrever um 3H-ádico na forma 3H φ = H α ij H ε i H ε j para i,j = 1, 2, ..., G (com G ≤ NH), os H-ádicos Hεi constituindo uma base num HEG. Para i ≠ j, cada 3H-áde constituinte de 3Hφ definirá um 3HE3 (um subespaço no 3H E G 3 ); para i = j, as 3H-ades correspondentes definirão 3H-ades planares. Suponhamos agora que todas as 3H-ádes de 3Hφ tenham um 3HE2 (plano) comum, isto é, formem um feixe cuja charneira seja esse plano. Consequentemente as 3H-ades de 3Hφ com índices iguais ( H α11 H ε1 H ε1 , H α 22 H ε 2 H ε 2 etc.) estão contidas na charneira e seus cruzados são nulos (porque duas das H-ádes são iguais). Os cruzados de todas as demais 3H-ádes estarão contidos num HEG-1 ao qual é ortogonal a charneira do feixe. Dispostos esses cruzados consecutivamente nesse espaço, o cruzado de 3Hφ fechará a poligonal por eles definida. Os demais conceitos, operações etc. aparecem como nos casos anteriores.

Definição: (poliádicos de Moreira, ou em feixe) Os poliádicos assim constituídos serão denominados "poliádicos de Moreira", ou “poliádicos em feixe”; a eles estará associado um orto(G+1)-ângulo.

IV,§ 12.02

143

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

§ 13 - ADJUNTO, SEGUNDO, INVERSO E PRINCIPAL. § 13.01 – Definições e propriedades. Consideremos o 2H-ádico genérico de um

E G (3≤G≤N2H), escrito G-nomialmente

em relação às H-ádicas recíprocas { H ε ∗ } e { H ε ∗ } , digamos na forma: 2H 2H

Representemos por 2H

φG =

φ=

~ G

εi

βi

(i = 1, 2, ..., G),

(01).

φ o 2H-ádico

1 < H β i H β j ... H β m >< H ε i (G − 1)! 1442443

ε j ... H ε m >

G −1 fatores

(i≠ j≠ ... ≠m = 1, 2, ..., G),

(02),

soma de G! políades de valência H (porque esse é o número de permutações que podemos formar com os G H-ádicos distintos de base, em cada permutação entrando apenas G - 1 dos ~

H-ádicos). Para dado G e dado 2H φ do espaço, 2H φ G é único. Além disso, ou ele é o 2Hádico nulo se dois quaisquer dos H β 's são paralelos, ou um 2H-ádico em que, para certo conjunto de valores atribuídos aos índices i, j, ..., m, as H-ades

βi

β j ...

βm >

εi

ε j ...

εm >

estão bem definidas, as últimas sendo paralelas aos H-ádicos da base { H ε ∗ } . Logo, para cada conjunto i, j, ..., m (e existem G! deles), o produto justaposto das H-ades em referência forma uma 2H-ade binária do espaço G-dimensional se o conjunto dos < H βi H β j ... H β m > não pertencer a um mesmo subespaço de dimensão menor que G-1. O poliádico

~ 2H φ G

é, pois, uma soma de G H-ades binárias, cada uma se

correspondendo com um H-adico da base recíproca {H ε ∗ } . Com efeito, conforme (05), § 09.05, escrevemos:

< H ε i H ε j ... H ε m >= ε ij ... mn ( H ε 1 144244 3 123 G -1 fatores

Hε

... H ε G ) H ε n

G índices

Então, ~ 2H φ G

1 ( H ε Hε ... Hε )ε 1 2 G ij ... mn < (G − 1)!

Hβi H β j

... H β m >

Hε n ,

(021).

Para certo valor de n, as G! parcelas (não nulas) das somas indicadas corresponderão a i ≠ j ≠ ... ≠ m ≠ n. Como G! é par, metade das parcelas é obtida com as permutações cíclicas dos índices 1, 2, ..., G e a outra metade com as permutações anticíclicas. Entretanto, a cada parcela obtida com uma permutação cíclica corresponde uma parcela igual com uma permutação anticíclica. Por exemplo, para n = 2, num espaço 7-dimensional, são iguais:

IV, § 13.01

144

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

ε 3456712 <

β3 H β4

ε1765432 <

H 1 H 7 H

β >

H 2

β3 >

H 2

β7 >

H 2

H 5 H

β6

H 7 H 1

β6

H 5 H 4 H

β4

H 5 H 6 H

ε .

De fato, tem-se para a primeira

ε1345672 <

H 1 H 3 H

ε ;

a segunda podendo ser escrita sucessivamente, nas formas equivalentes

ε 3176542 <

β3

β1

β7

β6

= ε 3417652 < = ε 3451762 <

β5 H

β3

β4 > H

β4

H β 3 H β 4 H β 5 H β1 H β 7 H β 6

= ε 3457612 <

ε =

H 2

β1

β >

β7

β6

β5 >

Hε 2

ε = ... =

H β 3 H β 4 H β 5 H β 7 H β 6 H β1

ε =

H 2

β >

Hε 2 ,

pois se houver troca de sinal de um permutador para o seguinte, haverá também troca de sinal no produto cruzado (o que não altera o sinal final do produto). Então, para dado n, temos (G - 1)! parcelas iguais. Calculemos essas somas para n = 1. Temos, de (021), escrevendo as (G - 1)!/2 primeiras parcelas com as permutações cíclicas dos índices e depois as outras tantas com as permutações anticíclicas:

ε ij ... m1 < H β i H β j ... Hβ m > H ε1 = [ε 23 ... G1 < Hβ 2 H β 3 ... H β G > + + ε 34 ... G21 < Hβ 3 Hβ 4 ... H β G H β 2 > + ... + ε G ... 321 < H β G ... H β 3 H β 2 > + + ε G ... 321 < H β G ... H β 3 H β 2 > + ε 2G ... 431 < H β 2 H β G ... H β 4 H β 3 > + ... + + ε 34 ... G21 < H β 3 H β 4 ... H β G

β > + ε 23 ... G1 < H β 2 H β 3 ... H β G >] H ε1 .

H 2

Evidenciam-se as igualdades das parcelas eqüidistantes dos extremos. Além disso, conforme propriedades do comutador a G índices (§ 14, II):

ε 23 ... G1 = ε 23 ... G1  ε = ( −1) G − 2 ε 23 ... G1 = ( −1) G ε 23 ... G1  34 ... G21 ... ε G ... 321 = ( −1) (G − 2)(G − 2) ε 23 ... G1 = ( −1) G ε 23 e, conforme propriedades dos produtos cruzados,

IV,§ 13.01

... G1

;

§ 13.01 – Definições e propriedades.

145

< H β 2 H β 3 ... H β G > = < H β 2 H β 3 ... H β G >  H 3 H 4 β ... H β G H β 2 > = (−1) G − 2 < H β 2 H β 3 H β 4 ... H β G > = < β  = (−1) G < H β 2 H β 3 ... H β G >  ... < H β G ... H β 3 H β 2 > = (−1) (G − 2)(G − 2) < H β 2 H β 3 H β 4 ... H β G > =  = (−1) G < H β 2 H β 3 ... H β G >  Logo, ε ij ... m1 < H β i Hβ j ... H β m > H ε1 = ε 23 ... G1 [1 + 1 + ... + 1] < H β 2 H β 3 ... H β G > H ε1 . 14243 (G −1)! parcelas 2

Com as permutações anticíclicas obtemos outras (G-1)!/2 parcelas. É fácil, agora, obter os resultados correspondentes para n = 2, 3, ... . Então: 2H

φ G = ( H ε1

ε 2 ...

ε G )[ε 23 ... G1 <

β2

β 3 ...

+ ε 34 ... G12 <

β3

βG >

β 4 ...

ε +

H 1

βG

+ ... + [ε 123 ... G <

β1 >

β1

ε +

H 2

β 2 ...

β G −1 >

ε ].

H G

Mas

ε = ( −1) G −1 ε 123 ... G = ( −1) G −1  23 ... G1  2(G −1) ε ε 123 ... G = ε 123 ... G = 1  34 ... G12 = ( −1)  ... ε = 1;  12 ... G  por isso, 2H

φ G = ( H ε1

ε 2 ...

ε G )[( −1) (G −1) < + <

β2

β3

β 3 ...

β 4 ...

+ ( −1) (G −1) <

βG >

βG

β 4 ...

ε +

H 1

β1 >

βG

ε +

H 2

β1

β2 >

ε +

H 3

+ ... + < H β1 H β 2 ... H β G −1 > H ε G ] .

Poliádicos - Ruggeri

146

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

Pondo H

( H

( (

ε 2 ...

ε 3 ...

ε 4 ...

εG

ε1

ε G −1 ) <

βG

ε1 ) <

β2

β 3 ...

βG > =

ε1

ε2 ) <

β 3 ...

βG

β1 > =

ε2

ε3) <

β 4 ...

βG

β1

β G −2 > =

β ′G −1,

β ′1 , H

β ′2

β2 > =

β ′3

....

(

εG

ε 1 ...

(

ε1

ε 2 ...

β 1 ...

εG ) <

β1

φG =

β2

β 3 ...

β G −1 > =

β ′G ,

(03),

resulta 2H

tal é a representação G-nomial de

β ′i H ε i

(i = 1, 2, ..., G),

(031);

φ G com conseqüentes independentes.

Definições: (adjunto e segundo) Chama-se adjunto de um poliádico de valência par,

φ , de um

~ G

(3≤G≤ NH), e representa-se por 2H φ , os 1/(G - 1)! avos da soma dos produtos justapostos de todos os produtos cruzados dos G - 1 conseqüentes (antecedentes) pelos correspondentes produtos cruzados dos G - 1 antecedentes (conseqüentes) de uma escrita G-nomial desse 2H-ádico com antecedentes (conseqüentes)independentes. O transposto de ordem H do adjunto de um 2H-ádico 2H φ será dito o segundo desse 2H-ádico e será representado por 2H φ 2 , sendo, então: 2H φ

~r 2H φ GH

~s 2H φ GH

~ 2H φ GT

Caso de poliádicos completos Suponhamos que o poliádico 2H φ posto na forma (01) tenha conseqüentes independentes. Nesse caso, lembrando (01), § 09.05, as expressões (03) podem ser escritas nas formas:

( (

IV,§ 13.01

ε 2 ...

ε 3 ...

εG

ε 1 )(

ε1

β2

ε 2 )(

β 3 ...

βG

β1 )

β1

β1 =

β2 )

β2 =

β 1′ , H

β ′2

§ 13.01 – Definições e propriedades.

147

e assim sucessivamente. Então, lembrando que

∀G ≤ 3 H :

( H ε1

Hε

... H ε G )( H β1

Hβ 2

... H β G ) =

2H φ

e que H

(

ε 2 ...

εG

ε 1 )(

β2

ε 3 ...

β 3 ...

εG

φG

ε1

βG

β1 ) =

ε 2 )(

β 3 ...

φ=

βG

β1

β 2 ) = ... ,

resultam: 2H

φG =

βi Hεi

(i = 1, 2, ..., G),

(04),

(i = 1, 2, ..., G),

(041).

e 2H

φ2 =

φG

H i H

βi

Temos, ainda, 2H

φ H.

βi

ε =

H i

ε j ( H β j H.

β i ) H ε i = δ ij H ε j H ε i =

ε j ) H β j = δ ij H β j H β i =

εi

H i

ε =

Ι,

βi

H i

β =

Ι,

e H

βi

H i

H 2H

φ=

β i ( H ε i H.

(05).

Os resultados obtidos sugerem escrever:

∀ e denominar

φ=

φ G ≠ 0:

φ −1 de inverso ou recíproco de

φ . Então,

∀ G ≤ 3H ,

εi

2H −1

β (i = 1,2, ..., G),

H i

φ com

φ G ≠ 0:

φ H.

2H −1

βi

2H −1 H 2H

H i

(06),

φ=

Ι,

(07).

φG

Ι,

(08).

Combinando (06) com (05), escrevemos:

∀ G ≤ 3H ,

φ com

φ G ≠ 0:

φ H.

~ 2H G

φ =

~ 2H G H 2H

φ=

A regra para a constituição do inverso de dado poliádico é análoga à correspondente dos diádicos (§ 08.01, II):

Dado um 2H-ádico completo em forma G-nomial, o seu inverso (em forma G-nomial) se obtém do seu transposto de ordem H onde se substituam (os Hádicos) antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes recíprocos.

Poliádicos - Ruggeri

148

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

O transposto de ordem H do inverso de representado por 2H φ P , sendo, pois, 2H

φP =

φ será dito o principal de

φ −1T , ou,

φPT =

φ , e será

φ −1

(09).

Podemos deduzir também, facilmente: 2H

φ2

H 2H T φ • 2H

φ 2H .

φT

H 2H φ2 •

φ2 = G

φ2 =

φG

φG = 2H

φG

φ 2 H.

Ι,

(10),

φ,

(11),

φP,

(12).

A multiplicação ponteada 2H-pla de ambos os membros de (12) por considerando (11):

φG =

φ 2H.

φG

φ 2H.

φ dá,

φP,

ou, simplificando: 2H

Estas fórmulas (§08,Cap.II,Vol.I,T.I).

generalizam

φP = G , todas

(13). as

correspondentes

obtidas

Exercício: Dentre as inúmeras propriedades do recíproco, do adjunto etc. de um completo, demonstre que num espaço G-dimensional: 1) – o recíproco do produto ponteado H-plo de dois 2H-ádicos completos é um 2Hádico completo, igual ao produto ponteado H-plo desses mesmos poliádicos em ordem inversa:

( 2H α H. 2H β ) −1 = 2H β −1 H. 2H α −1 . 2) – O G-esimo do inverso de um poliádico é igual on inverso do seu G-esimo: ∀

2H α

α G ≠ 0,

2H β

β G ≠ 0:

( 2H φ −1 ) G = ( 2H φ) G −1 . (Sugestão: recorrer ao Teor. 3, § 11.04) *

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto. Calculemos o ponteado (§ 08.02) do adjunto de (031), § 13.01 temos: ~ 2H φ G

IV,§ 13.02

H β H Hε ′i . i

φ no espaço de dimensão G. De

(i = 1, 2, ..., G),

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto.

seja

149

φ completo ou não. Das (03), § 12.01 deduzimos:

- em relação a

β ′1 :

( Hε 2

ε 3 ...

εG

ε 1 )(

H 2 H 3

( Hε 2

ε 3 ...

εG

ε 1 )(

H 2 H 3

( ε2

ε 3 ...

εG

ε 1 )(

H 2 H 3

- em relação a

β1′ H.

H 2

H G

β 1′ H.

H G

ε )=

βG

H 1

β ...

βG

H 2

... β ...

βG

ε )=

β 4 ...

βG

H 1 H 1

β 4 ...

βG

H 1 H 2

β 4 ...

βG

H 1 H G

ε , ε

β ′2 : H

εG

ε 1 H ε 2 )(

H 3 H

( H ε 3 H ε 4 ...

εG

ε 1 H ε 2 )(

H 3 H

( H ε 3 H ε 4 ...

εG

ε 1 H ε 2 )(

H 3 H

H 1

β ...

( H ε 3 H ε 4 ...

- em relação a

β1′ H.

β′2 H.

H 1

β ′2 H.

H 2

β′2 H.

H G

ε , ε

β ′G :

( H ε 1 H ε 2 ...

ε G )(

H 1 H

( H ε 1 H ε 2 ...

ε G )(

H 1 H

β G −1 H ε 1 ) =

β′G H.

H 1

β G −1 H ε 2 ) =

β ′G H.

H 2

β G −1 H ε G ) =

β′G H.

H G

β 2 ...

...

( H ε 1 H ε 2 ...

ε G )(

H 1 H

β 2 ...

ε .

Aplicando ((10), §09.05) e lembrando ((01), §09.02) para o cálculo de cada um dos produtos de produtos mistos acima, temos: - em relação a

β ′1 : β1′ H. H ε 1 − ( H ε 1 H ε 3 ... H ε G )( H β 2 H β 3 ... H β G ) = H β1′ H. H ε 2 ( Hε 2

ε 3 ...

ε G )(

β2

β ...

H 3

βG ) =

β )=

...

( −1) 3G −1 (

ε 1 H ε 2 ...

ε G −1 )(

H 2 H

β 3 ...

H G

β1′ H.

ε ,

H G

(011);

Poliádicos - Ruggeri

150

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

- em relação a

β ′2 :

( −1) 2G −1 (

ε 3 H ε 4 ...

−=

( H ε 3 H ε 4 ...

β′2 H.

εG

ε 2 )(

ε =(

H 1

ε 1 )(

β′2 H.

H 3 H

ε2

β 3 H β 4 ... H

ε 3 ...

β 4 ...

βG

ε = ( H ε 1 H ε 3 ...

H 2

β )=

ε G )(

H 1 H 3

H G H 1

β ...

β 3 ...

β ),

H G

β )=

H 1

ε G )(

H 1 H

β G ),

( H ε1 H ε 2 H ε 3 ... H ε G −1 )( H β 3 H β 4 ... H β G H β1 ) = (012); Hβ

= β′2 . H

- em relação a

H HεG

= ( −1) G − 2 ( H ε1 H ε 2

Hε

H β1 H β 3 ... H β G

... ε G )( β

β )

β ′G :

( −1) G −1 ( H ε 2 ...

ε G )(

( −1) G + 2 ( H ε 1 H ε 3 ...

H 1 H

ε G )(

β 2 ...

H 1 H

H G −1

β 2 ...

β G −1 ) =

β′G H. H

H 1

β′G H.

H 2

...

( H ε 1 H ε 2 ...

ε G −1 )(

β ...

H G −1

H 1 H 2

β ′G H.

ε ,

H G

(01G).

Temos, por outro lado: Hε

H β1

Hε

H β2

...

Hε

H βG

Hε

H β1

Hε

H β2

...

Hε

H βG

ε 1 H.

2H φ

φG =

ε 2 H.

ε 1 H.

ε 2 H.

... H

ε G H.

... β

H 1

ε G H.

ε 1 H.

ε 2 H.

... H

β2

(02).

... H

ε G H.

β ...

H G

...

βG

Sendo 2H

φG E =

β ′i H.

+ ( H ε 1 H ε 3 ...

ε i = ( Hε 2

ε 3 ...

ε G )( H β1 H β 3 ...

resulta demonstrado o seguinte

IV,§ 13.02

ε G )( H β 2 β )+(

H G

H 3

ε 1 H ε 2 ...

β )+ H

ε G )( H β1 H β 2 ...

β G ),

§ 13.02 - O ponteado e o G-ésimo do adjunto.

151

Teor. 1: O escalar do adjunto de um 2H-ádico no espaço G-dimensional é igual à soma dos (G) menores diagonais de grau G-1 do seu G-ésimo. * As colunas do adjunto Adj(2H φ G ) são18: 1ª coluna:

( Hε2

ε 3 ... H ε G )( H β 2 H β 3 ... H β G )

− ( H ε1 H ε 3 ... H ε G )( H β1 H β 3 ... H β G ) ... (−1) G +1 ( H ε1 H ε 2 ... H ε G −1 )( H β 2 H β 3 ... H β G ); 2ª coluna:

−( (

ε2

ε1

ε 3 ...

ε G )( H β 1

β 3 ...

βG )

βG ) ,

(021),

... ( −1) G + 2 (

ε1

ε 2 ...

ε G −1 )( H β 1

β 3 ...

βG )

etc.. Substituindo as (011), (012), ..., (01G), nestas expressões, vem:

Adj(

β1′ H.

H 1

β ′2 H.

H 1

...

β′G H.

H 1

β 1′ H.

H 2

β′2 H.

H 2

...

β ′G H.

H 2

φG ) =

... H

β1′ H.

...

H G

β′2 H.

...

H G

...

... H

β′G H.

H G

Então,

Adj( 2H φ G ) = ( H β ′1

β ′2 ...

β ′G )( H ε 1

ε ...

H 2

ε ),

H G

ou melhor, considerando (04), § 12.01: 18 Notar que estamos nos referindo ao adjunto de um determinante.

Poliádicos - Ruggeri

152

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal. ~

Adj( 2H φ G ) = ( 2H φ G ) G ,

(03).

A fórmula (03) traduz o seguinte

Teor. 2: Num espaço G-dimensional, o G-ésimo do adjunto de um 2H-ádico qualquer é igual ao adjunto do G-ésimo desse poliádico. Um 2H-ádico tem C GH subespaços de dimensão G, isto é, C 1 H = 3 H subespaços de 3

dimensão 1, C 2H de dimensão 2 etc. O próprio espaço é o seu subespaço de dimensão 3 H . 3

Os Teor.1 e 2 são válidos em qualquer um desses 2 3 − 1 subespaços (estamos excluindo o subespaço de dimensão zero).

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares. Consideremos um poliádico qualquer de valência 2H de um G-espaço (3≤G≤NH), escrito em forma G-nomial (§ 09.02 ) em relação à base H-adica arbitrária {Hε*} 2H

φ = H α i H ε i com i=1,2, ..., G,

(G≤NH)

(01).

Se 2Hφ é incompleto (Teor. 3, § 11),

( H α 1 H α 2 ... H α G ) = 0 ,

(02),

o que exige 3≤G (conforme a definição de produto misto de poliádicos, § 09.05). A expressão (02) significa que os H-adicos Hαi pertencem (ou são paralelos) a um mesmo Pespaço, com P≤G-1 (logo P≥2); mas isto não significa que o poliádico em si seja k-planar, isto é, menor de algum outro poliádico (§ 09.06).

Aspectos geométricos relativos aos tetrádico incompletos. Recordemos inicialmente que com vetores de um EN (N=1, ou 2, ou 3) geramos diádicos de um 2 E N 2 e que, com diádicos de um 2EG (G ≤ N2), geramos tetrádicos de um 4

EG2 . Teor. 1: A todo tetrádico gerado de um

E N 2 , mas pertencente a um

E G 2 , com G

= N -J ≥ 1 (logo, J≤ N -1) está associado um e um único par de EG. 2

Sejam:

φ = ε i β i (i = 1, 2, ..., G) uma redução G-nomial arbitrária do tetrádico 4φ

gerado de um

E N 2 com antecedentes independentes, e β) o 2EG (G = N2 – J e J < N2) ao

qual pertencem os seus conseqüentes. Esse tetrádico - que pertence ao

E G 2 - transforma,

por multiplicação ponteada dupla posterior, qualquer diádico ρ gerado do 2 E N 2 no diádico

IV,§ 13.03

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares.

153

ρ' do 2EG, β), pois, ρ′ = ρ : 4 φ = (ρ : ε i )β i (e os β i pertencem a β)). Então 4φ transforma qualquer 2EG, γ), definido por G diádicos linearmente independentes ρj, no próprio β). Suponhamos agora que a redução seja 4 φ = µ i γ i (i = 1, 2, ..., G) com os µi linearmente independentes, logo com os γi pertencentes a um 2EG denotado por β'). Então, o 2 EG, γ), anteriormente considerado deve ser transformado no 2EG γ') dos seus novos conseqüentes γ1, γ2, ..., γ G . Como a transformação regida por 4φ é unívoca, o transformado de γ) é um só, isto é: o 2EG a que pertencem os conseqüentes de 4φ, em qualquer redução Gnomial, com antecedentes independentes, é único. Se fizéssemos a redução G-nomial de 4φ com conseqüentes independentes – operação sempre possível – os antecedentes de 4φ deveriam pertencer a um mesmo 2EG, digamos α), porque, por hipótese, 4φ pertence a um 4 E G 2 . Procedendo como anteriormente comprovaríamos que α) é único. Então, não obstante os antecedentes (um par) de duas reduções G-nomiais arbitrárias de um mesmo tetrádico serem correspondentemente diádicos diferentes, esses diádicos pertencem a um mesmo 2EG. O mesmo ocorre com os conseqüentes de 4φ. Logo, a todos os tetrádicos gerados de um 2 E N 2 , mas pertencentes a um 4 E G 2 estão associados dois 2EG, em geral distintos.

Definição: Os 2EG associados a um tetrádico de um 4 E G 2 são ditos os 2EG do tetrádico. Interseção e paralelismo dos 2EG associados a um tetrádico incompleto. Os 2EG associados a um tetrádico de um 4 E G 2 estão contidos num (ver § 10.03,II): 1) – se for G+G+1=2G+1>N2 eles terão em comum um 2 E 2G − N 2 , isto é:

Se 2G+1>N2, os 2EG associados a um tetrádico de um

E N 2 . Assim

E G 2 se

interceptam segundo um E 2G − N 2 . Para N=3 (espaço tridimensional dos vetores), por exemplo, e, digamos, G = 6 (caso do espaço diádico simétrico): os 2E6 associados a um tetrádico (não simétrico) de um 4E36 (seria um 4E21 se ele fosse simétrico) se interceptam segundo um 2E3. 2) – se for 2G–2<N2, os 2EG não terão ponto comum. Nesse caso: - Dois 2E4, ambos contidos num 2E4+4-R, sem ponto próprio comum, são (R+1)/4 paralelos se têm um 2ER impróprio comum; - Dois 2E3, ambos contidos num 2E3+3-R, sem ponto próprio comum, são

Poliádicos - Ruggeri

154

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

(R+1)/3 paralelos se têm um 2ER impróprio comum; - Dois 2E2, ambos contidos num 2E2+2-R, sem ponto próprio comum, são (R + 1)/2 paralelos se têm um 2ER impróprio comum; - Dois 2E1, ambos contidos num 2E1+1-R, sem ponto próprio comum, são (R + 1)/1 paralelos se têm um 2ER impróprio comum. No caso 1), em que os 2EG se interceptam, o produto cruzado dos antecedentes e o produto cruzado dos conseqüentes são diádicos ortogonais a cada um dos 2EG. O ângulo formado por esses dois produtos cruzados é suplementar do ângulo forma pelos 2EG. Assim, pode acontecer que o ângulo dos 2EG seja: de um reto, caso em que o tetrádico será dito ortoG-planar; ou de dois retos, caso em que ele será dito uniG-planar. Quando G=1 o tetrádico é linear, podendo ser ortolinear se o 2E1 dos antecedentes é ortogonal ao 2E1 dos conseqüentes, ou unilinear se esses 2E1 são paralelos. O teorema 1 e os conceitos vistos podem ser facilmente estendidos aos 2H-ádicos em geral. A representação G-nomial dos 2H-adicos incompletos pode ser reduzida a um número de H-ades menor que G. Com efeito, se dentre os G-1 poliádicos Hαi do G-espaço não existir combinação linear, eles constituirão uma base do mesmo. Então, escrevendo um deles como uma combinação linear dos demais, por exemplo, Hα

G =A

j Hα j

para j=1,2, ...,G-1, vem:

φ = H α 1 H ε1 + H α 2

ε + ... + ( A j H α j ) H ε G ;

H 2

ou seja, desenvolvendo e agrupando convenientemente, 2H = H φ α 1 ( H ε1

+ A1 H ε ) + H α 2 ( H ε 2 + A 2 H ε ) + ... + H α G -1 ( H ε G -1 + A G −1 H ε G ) .

Os G-1 poliádicos conseqüentes de 2Hφ são necessariamente dependentes de um mesmo (G-1)-espaço porque o produto cruzado deles é um poliádico do G-espaço. De fato, pondo H µ j = H ε j + A j H ε G , tem-se (§ 09.03): Hε

Hε

...

Hε

G −1

Hε

...

< H µ1 µ 2 ...H µ G −1 >= ( H ε1 ε 2 ...H ε G ) 0

...

A2 ,

... 0

...

... 1

A G −1

ou seja, desenvolvendo,

< H µ1 H µ 2 ...H µ1G −1 >= ( H ε1 H ε 2 ...H ε G ) [( −1) G +1 H ε G + ( −1) G A G −1 H ε G −1 + ... + A1 H ε1 ]. Ora, os dois fatores no segundo membro são não nulos; o primeiro porque é o produto misto

IV,§ 13.03

§ 13.03 – Poliádicos incompletos planares e lineares.

155

dos poliádicos da base escolhida, o segundo porque é uma combinação linear dos poliádicos da base recíproca. Por conseguinte, 2Hφ, incompleto no G-espaço, é completo no (G-1)espaço; diremos que ele é planar com grau de nulidade 1, ou 1-planar. Se, subsistindo (02), dentre os G-1 poliádicos Hαi do (G-1)-espaço existir alguma combinação linear - digamos HαG-1 e HαG-2 sendo paralelos, caso em que poderemos escrever: HαG-1= k HαG-2 - então G-2 dentre os G-1 poliádicos constituirão uma base porque

( H α1 H α 2 ...H α G -1 ) = 0 . Nesse caso, 2Hφ é dito planar com grau de nulidade 2, ou, 2planar, sendo completo no seu (G-2)-espaço. Se, de outro lado, dentre os G poliádicos que satisfazem (02), existir uma dependência linear entre apenas três deles, digamos entre HαG-2, HαG-1 e HαG - caso em que um deles (digamos HαG) poderá ser expresso em função dos outros dois (eles são coplanares ou de um mesmo 3-espaço) - então os G-1 poliádicos Hαi (i=1,2, ...,G-1) serão dependentes de um subespaço, G-2 quaisquer deles constituirão uma base do mesmo e, portanto, pertencerão a um (G-2)-espaço. Nesse caso, então, 2Hφ é planar com grau de nulidade 3, ou 3-planar. É evidente que essa análise pode ser ampliada por consideração de dependências lineares entre 4 ou mais dos poliádicos Hαi, entre dois (ou mais) grupos dentre os mesmos H αi, cada um com uma relação de dependência. As relações de dependência vão simplificando a escrita G-nomial de um poliádico (não nulo) 2Hφ à medida que o seu grau de nulidade vai aumentando; isto significa, concomitantemente, que ele pertence a espaço de dimensão cada vez menor, podendo chegar-se ao caso extremo em que todos os seus poliádicos motivo, Hαi, sejam paralelos, tendo, então, grau de nulidade máximo, G-1; nesse caso o poliádico será dito (G-1)-planar ou, simplesmente, linear; e sua escrita G-nomial é monomial (tendo apenas uma políade). Se um poliádico linear tiver ponteado (ou escalar) nulo (§ 08.02), o seu antecedente será perpendicular ao seu conseqüente e ele será dito ortolinear. Se um 2H-adico linear tiver cruzado nulo (§ 10.01) o seu antecedente será paralelo ao seu conseqüente e ele será dito unilinear. Se um poliádico tem grau de nulidade J, a sua escrita G-nomial é reduzida à escrita P-nomial 2H

φ=

α j H µ j com j=1,2, ..., P= G-J,

(03);

e ele é dito P-planar. O H-adico < H α 1 H α 2 ...H α P > é, por definição (§ 09.03), ortogonal ao subespaço do qual o conjunto

α 1 , H α 2 , ..., H α P é base; analogamente com relação ao H-adico

< H µ 1 µ 2 ...H µ P > . Se esses H-adicos forem ortogonais, isto é, < H α 1 H α 2 ...H α P >

H •

< H µ 1 µ 2 ...H µ P > =0,

(04),

diremos que 2Hφ é ortoplanar (ou ortoP-planar se quisermos indicar a dimensão do espaço Poliádicos - Ruggeri

156

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

a que pertence) e que o espaço dos seus antecedentes é ortogonal ao espaço dos seus conseqüentes.

Caracterização dos incompletos pelo adjunto.

Teor. 1: Uma CNS para que um 2H-adico de um 2H E G (3≤G≤N2H) seja incompleto é que o seu produto ponteado H-plo pelo seu adjunto seja o 2H-adico nulo: 2H φ

2H φ

⇔

2H φ H .

~ 2H φ G

2H Ο ,

(05).

O teorema direto é de demonstração evidente em vista de ((08), §13.01), pois = 0 . Reciprocamente, se 2H φ H .

~ 2H φ G

então, ainda conforme ((08), §13.01),

~ 2H Ο = 2H φ G H 2H φ . 2H φ

2H Ι = 0 ,

ou seja,

2H φ

=0 e

2H φ

incompleto.

Teor. 2: Se um 2H-adico de um adjunto são nulos.

E G (3≤G≤N2H) é linear, o seu G-ésimo e o seu

De fato, se o poliádico é linear os seus antecedentes (ou os seus conseqüentes) numa escrita G-nomial arbitrária são paralelos; logo o seu G-ésimo – produto múltiplo misto dos antecedentes pelo produto múltiplo misto dos conseqüentes - é evidentemente nulo. Como o antecedente (ou o conseqüente) do seu adjunto é o produto cruzado múltiplo dos seus antecedentes (conseqüentes) este será um H-ádico nulo (por ser um produto cruzado de poliádicos paralelos); logo o adjunto é o 2H-ádico nulo.

Corol. 1: As CsNsSs para que um 2H-ádico de um 2H E G (3≤G≤N2H) seja planar com grau de nulidade J (ortoplanar), são que seu G-ésimo seja nulo e seu adjunto linear (ortolinear) num (G-J)-espaço. φ um poliádico de um 2H E G e 2H φ = H α i H ε i com i=1,2, ..., G, (3≤G≤32H), a sua escrita G-nomial em relação à base H-ádica arbitrária {Hε*}. Se 2Hφ é planar e tem grau de nulidade J, os seus antecedentes são dependentes de um HEP, com P=G-J, seu G-ésimo é nulo – ele é incompleto no 2H E G - e pode ser escrito na forma (03). Então, considerando a definição ((02), §13) do adjunto, escrevemos: Seja

φP =

1 < H α i H α j ... H α k >< H µ i H µ j ... H µ k > (P − 1)! para i≠j...≠k e i,j, ...,k=1,2,...P=G-J,

IV,§ 13.03

(061).

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos.

157

O poliádico 2Hφ é completo no HEP. Sendo,

< H α i H α j ...H α k >= ε ij...k < H α 1 H α 2 ...H α P > e H

< H µ i µ j ...H µ k >= ε ij...k < H µ 1 µ 2 ...H µ P > ; então, com P-1 índices i,j,...k, 2H

φP =

1 ε ij...k ε ij...k < H α 1 H α 2 ... H α P >< H µ 1 H µ 2 ... H µ P > , (P − 1)!

(062).

Lembrando propriedade ((15),§14,II) dos permutadores a vários índices, vem, finalmente, 2H

φP =

P < H α 1 H α 2 ... H α P >< H µ 1 H µ 2 ... H µ P > , (P − 2)!

o que mostra, evidentemente, que

(05),

φ P é linear.

A condição é suficiente porque se o poliádico tem G-esimo nulo, os seus antecedentes são dependentes de um mesmo subespaço, podendo ser planar com certo grau de nulidade, ou linear. Mas linear ele não pode ser porque, pelo Teor. 2, o seu adjunto seria o poliádico nulo e este deve ser linear num (G-J)-espaço, por hipótese. Então o grau de nulidade do poliádico planar é J. O mesmo raciocínio pode ser aplicado no caso de o poliádico caso em que o seu adjunto será, obviamente, ortolinear.

Corol. 2: As CsNsSs para que um 2H-ádico de um G-esimo e seu adjunto sejam nulos.

φ ser ortoplanar,

E G seja linear são que seu

As condições são necessárias pelo Teor. 2. As condições são suficientes porque se um 2H-ádico de um 2H E G tem G-esimo nulo ele é planar com grau de nulidade J<P, ou linear (J=1). Mas, pelo Corol. 1, tendo esse poliádico adjunto nulo, ele não pode ser planar; logo, deve ser linear.

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos. Potências ponteadas de poliádicos lineares e ortolineares

Teor. 3: A potência ponteada H-pla de dado 2H-ádico linear é um 2H-ádico paralelo ao 2H-ádico dado: se 2Hφ é linear, então

•

φQ = K

φ (K=escalar constante).

Poliádicos - Ruggeri

158

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

Consideremos o poliádico linear sucessivamente: 2H

•

φ 2 = A2 (H ε

H H µ) H ε H µ • 2H

•

φ 3 =C

φ = A Hε

= A (H ε

φ H•

µ , com

H H µ ) 2H φ •

•

φ=C

φ Q = C Q-1

φ 2 = C2

H H µ •

= K . Tem-se,

φ (com C=AK);

φ;

etc., 2H

•

φ.

Corol. 1: O quadrado ponteado de qualquer 2H-ádico ortolinear é o 2H-ádico nulo: Se 2Hφ é ortolinear, então

•

φ2 =

Ο.

Pois seria, pela demonstração anterior, K = 0, isto é, C = 0.

Corol. 2: O produto ponteado H-plo de duas potências ponteadas quaisquer de dois 2H-ádicos lineares é um 2H-ádico paralelo ao produto ponteado Hplo dos 2H-ádicos base: 2H

•

φα

H H ψ •

• β

Sejam 2H φ = A H ε H ε ′ e pelo teorema demonstrado, 2H

•

=R 2H

ψ = B Hµ

φ α = C α-1

φ H•

φ e

(R=escalar constante)

µ ′ dois 2H-ádicos lineares base. Sendo,

•

ψ β = D β-1

φ H•

deduzimos: 2H

•

φα

H 2H ψ •

• β

= C α-1D β-1

φ H•

ψ=R

ψ.

Potências ponteadas de poliádicos planares e ortoplanares

Lema 4: Se 4ψ e 4ψ' são tetrádicos K-planares e pertencem ambos a um 4

produto ponteado duplo deles é um tetrádico K-planar de E G

IV,§ 13.04

EG , o

§ 13.04 – Potências ponteadas de poliádicos incompletos.

159

Ponhamos 4 ψ = α k β k e 4 ψ ′ = α ′k β′ k para k=1, 2, ..., G-K, pois ambos são Kplanares, isto é, os subespaços diádicos dos seus antecedentes são idênticos, bem como os dos seus conseqüentes. Então: 4

ψ : 4 ψ′ = α k (β k : α′j )β′ j = α k β''k , com β ''k = (β k :α' j )β′ j = C k jβ′ j ,

o produto deles tendo, pois, por antecedentes os αk e por conseqüentes os β ''k que são combinações lineares dos β 'k. Logo, esse produto é k-planar.

Teor. 5: Se 4ψ é um tetrádico ortoplanar pertencente a um

E G , o seu quadrado

ponteado também é ortoplanar, mas pertencente a um E 2G - N 2 . Seja 4ψ=α αkβ k uma representação de um tetrádico ortoplanar com k=1, 2, ..., G, 4 (3≤G≤N , com N=2 ou N=3). O subespaço dos diádicos antecedentes de 4ψ, de G dimensões, é ortogonal ao subespaço dos seus conseqüentes (também de G dimensões) e ambos estão contidos no espaço dos tetrádicos que tem dimensão N4. Por ser G+G+1>N2, isto é, G>(N2-1)/2, o subespaço dos antecedentes e o dos conseqüentes de 4ψ têm um subespaço diádico em comum (Teorema, §10.03 ,II), de dimensão G+G+N2=2G-N2. Sobre cada reta interseção desses subespaços (em número de 2G-N2) podemos escolher diádicos λu (u=1, 2, ..., 2G-N2) como parte de uma base a ser completada para referir o espaço dos tetrádicos. O espaço complementar do 2 4

E 2G - N 2 , a este ortogonal, é o

E N 2 −( 2G − N 2 ) , isto é,

E 2(N 2 −G) . Por ser 2(N2-G)+G+1>G, isto é, 2N2>G-1, os subespaços dos antecedentes de

ψ e o subespaço complementar

E 2G - N 2 têm um subespaço em comum (conforme o

mesmo teorema anteriormente citado), de dimensão 2(N2-G)+G-N2=N2-G. Sobre as retas interseção desses subespaços poderemos escolher outros N2-G diádicos, digamos os diádicos νv (v=1, 2, ..., N2-G), para compor a base pretendida. Procedemos analogamente com relação ao subespaço dos conseqüentes de 4ψ e sua interseção com o subespaço complementar, escolhendo outros N2-G diádicos µw (w=1, 2, ..., N2-G) para compor a base. Vale observar que as direções desses diádicos de base estão todas bem definidas, os ν e os µ sendo ortogonais aos λ, e ortogonais entre si, porque eles pertencem a subespaços ortogonais (por hipótese o tetrádico é ortoplanar). Apenas os módulos dos diádicos dessa base ortogonal são arbitrários, podendo, sem qualquer prejuízo, ser considerados unitários. Adotaremos essa hipótese. Podemos escrever:

α k = (α k : νˆ s )νˆ s + ( α k : λˆ r ) λˆ r (no subespaço dos antecedentes),

Poliádicos - Ruggeri

160

§ 13 - Adjunto, segundo, inverso e principal.

β k = (β k : µˆ t )µˆ t + (β k : λˆ u ) λˆ u (no subespaço dos conseqüentes), com s,t = 1, 2, ..., N2-G e r, u = 1, 2, ...,2G-N2, valendo observar que as coordenadas de αk em relação aos diádicos de base µˆ t são todas nulas (os µˆ t são ortogonais ao subespaço dos antecedentes), bem como as de β k em relação aos diádicos νˆ s . •

O quadrado ponteado de 4ψ é, então, escrito na forma 4 ψ 2 = α k (β k : α i )β i , com k, i = 1, 2, ..., G. Mas, lembrando as expressões de αk e β k acima escritas e observando que os duplos produtos νˆ s : µˆ t , νˆ s : λˆ u e λˆ r : µˆ t são todos nulos quaisquer que sejam os índices, tem-se:

β k : α i = (β k : λˆ u )(λˆ u : α i ) , uma vez que λˆ r : λˆ u = δ ru (os δru são os deltas de Kronecker). Então: 4

• ψ 2 = α k (β k : λˆ u )(λˆ u : α i )β i = ( 4 ψ : λˆ u )(λˆ u : 4 ψ ) ,

com u= 1, 2, ..., 2G-N2. Para cada valor de u está definido um diádico antecedente para • 4 ψ 2 , e um diádico conseqüente. Como o antecedente de 4 ψ : λˆ u é uma combinação dos • antecedentes de 4ψ, e λˆ u : 4 ψ é uma combinação linear dos conseqüentes de 4ψ, 4 ψ 2 é um tetrádico ortoplanar com 2G-N2 antecedentes e 2G-N2 conseqüentes, o que demonstra o teorema.

Notas: 1 - O quadrado do ortoplanar 4ψ , este com grau de nulidade N2-G, é, então, um ortoplanar com grau de nulidade N2-(2G-N2)=2(N2-G), isto é: Se um tetrádico é ortoplanar e tem grau de nulidade J, o seu quadrado é ortoplanar e tem grau de nulidade 2J. Assim, por exemplo, o quadrado do tetrádico ortoplanar com grau de nulidade 4 é um tetrádico linear, isto é, se 4 ψ = α1β 1 + α 2 β 2 + α 3β 3 + α 4β 4 + α 5β 5 seu quadrado é do tipo 4

•

ψ 2 = (A1α1 + A 2 α 2 + A 3 α 3 + A 4 α 4 + A 5 α 5 ) (B1β1 + B 2β 2 + B 3β 3 + B 4 β 4 + B 5β 5 )

os coeficientes A1, A2, ... e B1, ... sendo escalares bem determinados e fixos. Esse caso de potência de tetrádico ortoplanar tem como similar o caso de potência de diádico ortoplanar referido no Corol. 2, Teor. 4, §05.04, II. 2 – O lema 4 e o teorema 5 podem ser facilmente estendidos aos 2H-ádicos. Conforme observamos no §09.06 (início), todos os resultados obtidos para o espaço dos diádicos (que têm até nove dimensões) podem ser estendidos aos espaços com um número finito qualquer de dimensões. Isto equivale a considerar espaços H-ádicos de G dimensões com 3≤G≤NH, escrever 2Hψ =HαkHβ k com k=1,2,...,G etc..

IV,§ 13.04

§ 14.01- Tetrádico de mudança de base.

161

§ 14 – TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE. § 14.01- Tetrádico de mudança de base. Definição Sendo µ = ri e i (i = 1, 2, 3) o diádico de mudança da base {e*} para a base {r*}, então, ri = µ .e i ; µ −1 = e i r i é o diádico de mudança da base {r*} para a base {e*}. Em geral, todo diádico completo é um diádico de mudança de base. Se φ e ψ são similares mediante µ, conforme definido (§02,III),

φ = µ . ψ. µ −1 e ψ = µ −1 . φ . µ ,

(01).

Tem-se: φ = r j ( e j . ψ. e i ) r i = ( ψ : e j e i ) r j r i , ou seja, r

φ = ψ : (µµ −1 )13 , pois µµ −1 = rje je i r i e (µµ −1 ) 13 = e je i rjr i , ou, ainda,

s −1 13

φ = ( µµ )

(02);

w 1

: ψ pois r j r i e j e i = ( µµ −1 ) 3 .

Analogamente tem-se: ψ = e i (r i .φ.rj )e j = (φ : r i r j )e i e j = e i e j (r i r j : φ) , isto é,

ψ = φ : ( µ −1 µ )

r 13

= ( µ −1 µ )

s 13

: φ,

o que se comprova facilmente. De µµ −1 = rje je i r i podemos deduzir: 4

µ = ( µµ −1 )

r 13

= e je i r jr i

(i, j = 1, 2, 3),

(03),

sendo, como é fácil demonstrar:

( µµ −1 )

s 13

Então

φ = ψ : 4µ =

( µ −1 µ )

µ2 ,

r 13

µ2 : ψ

s 4

µ,

s 1

µ 2 = ( µ −1 µ ) 3 .

s 4

ψ = φ : 4µ =

µ2 : φ .

Sendo, ainda, φ = (φ : r i rj )(e i e j : e me n )rmr n , vem: s

resultando, assim, que 4 µ e s 4

φ = (φ : 4 µ ) : 4 µ = φ : 4 µ : 4 µ = s 4

µ2 : 4µ2 : φ ,

µ são inversos, pois

µ : 4 µ = (r i rje i e j ) : (e me n rmr n ) = r i rjri r j = 4 Ι ,

Poliádicos - Ruggeri

162

§ 14 – Transformações por similaridade.

ou, ainda, s 4

µ : 4µ =

µ2 : 4µ2 =

Ι=

µ : 4µ =

s 4

µ2 : 4µ2.

Em resumo: r

µ −1 = (µ −1µ )13 = 4 µ = r i rje i e j (i, j = 1, 2, 3),

(04),

Definição: (tetrádico de mudança de base) Se µ for um diádico de mudança de base (um completo qualquer), os tetrádicos inversos: 4

µ = ( µµ −1 )

r 13

s 4

r 1

µ = ( µ −1 µ ) 3 ,

(05),

serão ditos os tetrádicos de mudança de base associados a µs e µ-1, respectivamente; vice-versa, µ e µ-1 serão ditos associados a 4 µ e 4 µ . Como (04) é conseqüência de (01), podemos escrever:

φ = µ . ψ. µ −1

⇔

φ = ψ : 4µ =

µ 2 : ψ,

(06),

ψ = µ −1.φ.µ ⇔ ψ = φ : 4 µ = 4 µ 2 : φ ,

(07).

Em resumo: Se um diádico φ é similar a um segundo, ψ, mediante o completo µ, isto é, φ = µ . ψ. µ −1 , então φ ér a transformação linear de ψ (por multiplicação ponteada dupla) pelo tetrádico 4 µ = ( µµ −1 ) 13 para ser usado como pós-fator: φ = ψ : 4 µ ; ou pelo seu transposto, 4

µ 2 = ( µµ −1 ) 13 , para ser usado como pré-fator: φ = 4 µ 2 : ψ . s

Notar que se α = 4 η : β , então α = β T : 4 η2 = ηT : β T : ηP = (η−1.β .η) T , isto é, αT é similar a β mediante η-1.

Propriedades e invariantes primários Particularmente, poderá ser φ=ψ ψ=µ (pois existe a identidade evidente µ=µ.µ.µ-1), de onde resulta: µ = µ : 4 µ . Tem-se, ainda: 4

Logo:

IV,§ 14.01

µ:µP=ejei(rjri:rkek)=ejeiδjk(ri.ek)=ej (ej.ri)ei=µ µP.

§ 14.01- Tetrádico de mudança de base.

163

Teor. 1: Todo tetrádico de mudança de base opera como o tetrádico unidade (4Ι) sobre o seu diádico de mudança associado, µ, em multiplicação ponteada dupla posterior, ou sobre o principal de µ, µP, em multiplicação ponteada anterior:

∀µ, com µ 3 ≠ 0 :

µ = µ : 4 µ ,  µ P = 4 µ : µ P

(08).

Invariantes Dentre os invariantes de um tetrádico de mudança de base (§10.01) destacam-se o ponteado e o cruzado (§ 08.02). Tem-se:

µ E = µ E µ -1E = µ E µ PE ,

(09),

µ V = −µ V µ -1V = µ V µ PV ,

(10).

e 4

Pois de (03), escrevemos: 4

µ o = e jei oo rjr i = (e j o rj )(ei o r i ) = µ Toµ -1o = rjr i oo e jei = (rj o e j )(r i o ei ) = µ o µ P o

(11),

expressão da qual podemos deduzir (09) e (10) conforme façamos ◦ ≡ ., ou ◦ ≡×. Aplicando (06)1, para ψ = − µ V µ −1V temos, lembrando ((17),§08.01,II) e ((02)1,§08.02,II):

− (µ .µ V )(µ -1V .µ −1 ) = (µ .µ V )(µ PV .µ −1 )

(12),

− (µ −1.µ -1V )(µ V .µ ) = (µ −1.µ PV )(µ V .µ )

(12)1.

Existem as seguintes relações entre µ, µT, µP, µ-1, 4µ e seus invariantes 4 µ V1 e 4 µ V3 (§10.02):

∀r, µ :

(r × Ι ) : 4 µ = −r . 4 µ V1 = µ . (r × µ −1 ) = (µ × r ) . µ −1 ,

(13),

µ : (r × Ι ) =− 4 µ V3 . r = µ T . (r × µ P ) = (µ T × r ) . µ P ,

(13)1.

Com efeito, [(r × e i )e i : e je k ]r jr k = (r × e i . e j )r jr i . Mas,

(r × e i . e j )r jr i = r j (e j.r × e i )r i = (r je j ).(r × e i )r i ; logo: (r × e i . e j )r jr i = r j (e j × r . e i )r i .

Poliádicos - Ruggeri

164

§ 14 – Transformações por similaridade.

Lembrando que µ = ri e i e µ −1 = e i r i , as relações a que chegamos permitem comprovar a veracidade das fórmulas (13). Analogamente podemos demonstrar a validade das (13)1. Para r = µ V , particularmente, caso em que, conforme ((01),§06.04,II)

µV × Ι = µT − µ

µ × µ V = µ.(µ T − µ) ,

temos, de (13), ou aplicando ((06)1,§14.01):

(µ V × Ι ): 4µ = µ.(µ T − µ ).µ −1 ,

(14).

É fácil ver que o nono do tetrádico de mudança de base é igual ao produto dos módulos das bases diádicas que o definem. De fato, consideremos o tetrádico escrito na forma (03), mas vendo suas tétrades como tétrades binárias. Isto significa entender suas díades antecedentes e conseqüentes como díades das bases diádicas geradas das bases dadas (e suas recíprocas) {e1, e2, e3} e {r1, r2, r3}, respectivamente. O nono do tetrádico (ver (04),§11.01) é igual ao produto dos produtos mistos das díades antecedentes e conseqüentes, produtos esses que são iguais aos módulos das bases que lhes correspondem, isto é: 4 µ 9 =| e∗e∗ | | r∗r ∗ | , (15). Para um µ qualquer, tem-se: 4

µ E1 = (e j.e i )rjr i = δ ji rjr i = ri r i = Ι e 4 µ E3 = e je i (rj.r i ) = e je i δ ji = e i e i = Ι .

Da identidade Ι=µ.Ι.µ-1 resulta:

Ι = Ι : 4 µ = 4 µ E1 . Da mesma forma: 4

µ : Ι= 4µ E3 = Ι .

Assim:

Teor. 2: O primeiro e o terceiro escalares de todo tetrádico de mudança de base, 4µ, são iguais ao diádico unidade; a transformação deste por aquele, em multiplicação ponteada dupla anterior ou posterior, é operação idêntica:

∀µ, com µ 3 ≠ 0 :

Ι = Ι : 4 µ = 4 µ : Ι = 4 µ E1 = 4 µ E 3 ,

(16).

Matrizes associadas a tetrádico de mudança de base De uma base vetorial dada podemos gerar uma base diádica associada (§10.02,II); e seus diádicos componentes (todos lineares) podem ser denotados por pelo menos três critérios: o de Voigt, o moderno e o “preparado”, resumidos na Tabela 7 “Critérios para

IV,§ 14.01

§ 14.01- Tetrádico de mudança de base.

165

numeração de diádicos de base”, auto-explicativa, apresentada em Apêndice. Considerando-se, então, o tetrádico de mudança da base {e} para base {r}, dado por (03), poderíamos escrevê-lo na forma de tétrades binárias (§01.03) 4

µ = µ u ηu ,

(u=1,2,3,4,...,9),

(17),

em que, usando notação preparada (Tabela 7), os diádicos µu formando o conjunto µ1, e1e2=µ µ2, e1e3=µ µ3, e2e1=µ µ4, ...} e os diádicos ηv o conjunto {r1r1=η η1, r1r2=η η 2, {e1e1=µ 3 1 r1r =η η3, r2r =η η4, ...}. Os recíprocos desses sistemas estão bem determinados; tem-se: µ1=e1e1, ..., µ4=e2e1, ... e η1=r1r1, ..., η4=r2r1, ... . Podemos escrever 4µ numa forma cartesiana qualquer, digamos, 4

µ = e je i rjr i = (rj.e k )(r i .e m )e je i e k e m = (rjr i : e k e m )e je i e k e m ,

(i,j,k,m=1,2,3),

(18).

Com a notação adotada podemos escrever o último membro de (18) na forma (η ηu:µ µv)µ µuµv, u v ou na forma Muvµ µ . As matrizes associadas a 4µ são diferentes em função da notação desejada. Usar quatro índices significa adotar o critério já está estabelecido no §03.04. Interessando uma representação em bases diádicas, dois índices apenas podem ser utilizados. Assim, adotando-se a notação preparada, a matriz duplamente covariante associada a 4µ será:

[ 4 µ ∗∗ ]prep

 M11 M12  M 21 M 22 M =  31 M 41  ...   M 91 M 92

M13 M 23

M 93

M14 ... M19   ... M 29   .    ... M 99 

Com as notações de Voigt e moderna essas matrizes são, respectivamente:

[ 4 µ ∗∗ ]Voi

 M11 M16 M15 M18 ... M13   M11 M14 M16 M14 ... M13      ... M 63  ... M 43  M 61 M 66 M 65 M 41 M 44 M 46 M  M M  =  51  e [ 4 µ ∗∗ ]mod =  61 64 .  M 81  M 71   ...   ...      ... M 33  ... M 33  M 31 M 36 M 35  M 31 M 34 M 36

Tais matrizes são as “matrizes covariantes de mudança da base {η η*} para a base {µ*}”. Deve ser observado que os índices u e v poderão ser dispostos em níveis quaisquer, conforme as conveniências. O que importa é a aplicação correta da correspondência estabelecida (pela citada Tabela 7).

Poliádicos - Ruggeri

166

§ 14 – Transformações por similaridade.

§ 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade. Consideremos dois diádicos completos, φ e ψ, similares mediante o diádico µ de mudança de base referido no parágrafo anterior.

Teor. 1: Se φ = µ . ψ . µ −1 , com φ3 ≠ 0 e ψ 3 ≠ 0 , então 4

φ = 4 µ −1 : 4 ψ : 4 µ para

φ = (φφ −1 ) 13 e

ψ = (ψψ −1 ) 13

(01).

Tem-se:

φ = µ . ψ . µ −1 = ri (e i .ψ.e j )r j = ri (ψ : e i e j )r j e

φ −1 = µ . ψ −1 . µ −1 = rk (e k .ψ −1.e m )r m = rk (ψ −1 : e k e m )r m . Logo: r

φ = (φφ−1 ) 13 = (ψ : e i e j )(ψ −1 : e k e m )r jrk ri r m = r jrk (e i e je k e m

4 •

ψψ −1 )ri r m ,

r ou, ainda, efetuando transposição 13 dentro dos parênteses: 4

φ = r jrk [e je k e i e m

4 •

(ψψ −1 ) 13 ]ri r m .

Observando a presença de 4ψ dentro dos colchetes, e lembrando que o produto ponteado quádruplo pode ser escrito na forma de duas multiplicações ponteadas duplas, escrevemos, finalmente: 4

φ = r jrk (e je k : 4 ψ : e i e m )ri r m .

No segundo membro vemos o tetrádico 4ψ pós-multiplicado duplamente por 4µ e prémultiplicado por 4µ-1 (conforme (03) e (04), § 14.01); o que acarreta a veracidade de (01). Notar que φ = µ . ψ . µ −1 acarreta

φ = 4 µ −1 : 4 ψ : 4 µ , e não 4 φ = 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 .

Vamos, agora, estender o conceito de similaridade (de dois diádicos φ e ψ, mediante µ) a dois tetrádicos 4φ e 4ψ mediante um tetrádico 4µ, com a seguinte

Definição: Se 4µ é um tetrádico de mudança de base e 4φ e 4ψ são tetrádicos entre os quais existe a relação 4

IV,§ 14.02

ψ = 4 µ : 4 φ : 4 µ −1 ,

(02),

§ 14.02- Transformação de tetrádicos por similaridade.

167

então diz-se que 4ψ é obtido de 4φ mediante uma transformação similar na qual 4µ é o tetrádico de transformação. O tetrádico 4ψ é dito, ainda, similar a 4φ mediante 4µ.

É evidente que se 4ψ é similar a 4φ mediante 4µ, então 4φ é similar a 4ψ mediante µ , pois −1

µ −1 : 4 ψ : 4 µ = ( 4 µ −1 : 4 µ ) : 4 φ : ( 4 µ −1 : 4 µ )

ou seja, 4

φ = 4 µ −1 : 4 ψ : 4 µ ,

(021).

Propriedades dos tetrádicos e das transformações similares. Consideremos agora dois tetrádicos, cada um referido a uma base diádica, escritos, por exemplo, nas formas enanomiais 4φ=ρiαi e 4ψ=εiβi (i=1,2,...,9) com antecedentes independentes. O tetrádico de mudança da base {ε*} para a base {ρ*} é 4µ=ρiεi e seu principal (§13.01) é 4 µ P = ρ i ε i . Tal como comprovado para os diádicos, podemos, também, comprovar para os tetrádicos o seguinte

Teor. 2: A CNS para que dois tetrádicos, 4φ =ρiαi e 4ψ = εiβi, reduzidos a formas eneanomiais com antecedentes independentes e distintos, sejam similares, é que os conseqüentes de 4φ (diádicos αi) sejam transformados dos conseqüentes de 4ψ (diádicos βi) mediante o principal (4µP) do tetrádico (4µ) de mudança da base dos antecedentes de 4ψ (diádicos εi) para a base dos antecedentes (ρi) de 4φ. Teor. 3: Se dois tetrádicos são similares, são iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às suas respectivas partes espaciais; e reciprocamente. Consideremos as reduções eneanomiais arbitrárias já citadas dos tetrádicos similares φ e 4ψ, com antecedentes independentes, e o tetrádico de mudança de base, 4µ. Podemos escrever: 4 φ = (α i:ρ j )ρ i ρ j , e 4 ψ = (β m:ε n )ε m ε n , 4

expressões estas que representam as formas cartesianas mistas de φ e ψ nas suas respectivas bases ({ρ } e {ε }). Devemos comprovar que αi:ρj = βi:εj para todo i e j. Por hipótese * * 4 φ=4µ:4ψ:4µ-1; logo:

(α i : ρ j )ρ i ρ j = 4 φ = = (ρ i ε i ):[(β m:ε n )ε m ε n ]:(ε jρ j ) = = (β m:ε n )δ i m δ n jρ i ρ j = (β i:ε j )ρ i ρ j .

Poliádicos - Ruggeri

168

§ 14 – Transformações por similaridade.

Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos a tese. Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas de dois tetrádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares. Ponhamos: 4ψ

= A i jε i ε j e 4 φ = Bi jρ i ρ j , com A

= B j.

Sendo 4 µ = ρ i ε i , tem-se: 4µ

=ρ i ε i , ρ i = 4 µ:ε i e ρ j = 4 µ P:ε j .

Logo: 4φ

φ = A i j ( 4 µ:ε i )( 4 µ P :ε j ) = 4 µ:(A i j ε i ε j ): 4 µ TP .

Lembrando que 4 µ P T = 4 µ −1 , resulta: 4 φ= 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 , isto é, 4φ e 4ψ são similares. Como as bases a que se referem os Teoremas 1 e 2 são arbitrárias podemos enunciar:

Corol. 1: A CNS para que dois tetrádicos sejam similares mediante certo tetrádico 4 µ, é que as suas matrizes mistas homônimas, nas bases que definem 4µ, sejam iguais: 4

φ = 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 , ou

ψ = 4 µ −1 : 4 φ : 4 µ ⇔

⇔ [Bi j ] = [A i j ], ou [Bi j ] = [A i j ] ,

(i,j=1,2,3,...,9),

(03).

Corol. 2: Se 4φ é reduzido a uma forma cartesiana mista e é similar com 4ψ mediante 4µ, então 4ψ é redutível a uma forma cartesiana mista homônima com as mesmas coordenadas de 4φ e os seus antecedentes (conseqüentes) são os transformados dos antecedentes (conseqüentes) correspondentes de 4φ mediante 4µ-1 (4µT) usado como pré-fator:

φ = φ i j ρ i ρ j e 4 φ = 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 ⇒

4φ

⇒ 4 ψ = φ i j ε i ε j com ε i = 4 µ −1 : ρ i (logo, ε j = 4 µ T : ρ j ),

(04).

§ 14.03 - Transformação de coordenadas de tetrádico por uma mudança de base diádica. Tensor de quarta ordem. Consideremos o tetrádico 4φ representado por suas coordenadas em duas bases diádicas dadas, quaisquer, {µ*} e {η η*} e correspondentes recíprocas {µ*} e {η η*}, nas formas: 4

IV,§ 14.03

φ=Apuµpµu=Bvqηvηq, com u,v,p,q=1,2,3,4,...,9.

§ 14.03 – Transf. de coord. de tetr. por mud. de base diádica. Tensor de quarta ordem.

169

Tem-se, então, ∀s,r=1,2,...,9: (Apuµpµu) ou seja, observando-se que ηvηq

4 •

(η ηsηr)=Bvqηvηq

4 •

(η ηsηr),

ηsηr=δvsδqr e efetuando as somas indicadas: (η ηs:µp)Apu(µu:ηr)=Bsr,

(01).

Dentro dos segundos parênteses estão os elementos Mur (u-ésima linha e r-ésima coluna) da matriz 9x9 de mudança da base {η η*} para a base {µ*}, [M**]; logo, Apu(µu:ηr) representa o produto da p-ésima linha da matriz preparada 9x9 das coordenadas de 4φ, [A**], pela résima coluna da matriz [M**] de mudança. Esse produto é, pois, o elemento da p-ésima linha e v-ésima coluna da matriz produto. Os elementos dentro dos primeiros parênteses devem, então, pertencer à s-ésima linha e p-ésima coluna da inversa da matriz de mudança. De fato, pois, é  η1 : µ1  2 η : µ1  η3 : µ1  4 η : µ1  η9 : µ 1 

η1 : µ 2 η1 : µ 3 ... η1 : µ 8 η1 : µ 9   µ1 : η1  η2 : µ 2 η2 : µ 3 ... η2 : µ 8 η2 : µ 9  µ 2 : η1 ... η3 : µ 2 η3 : µ 9 .µ 3 : η1  ... ...  µ 4 : η1 ...   9 9 9 ... η : µ 8 η : µ 9  µ 9 : η1 η : µ2

µ1 : η2 µ1 : η3 ... µ1 : η8 µ1 : η9   µ 2 : η2 µ 2 : η3 ... µ 2 : η8 µ 2 : η9  ... µ 3 : η2 µ 3 : η9  = [I ] .  ... ...  ...  9 9 9 ... µ : η8 µ : η9  µ : η2

Então, (01) pode ser escrita na forma sintética: [M**]-1.[A**].[M**]=[B**],

(02),

donde, por inversão [A**]=[M**].[B**].[M**]-1,

(021).

A lei (02) possibilita determinar a matriz [B**] das coordenadas de um tetrádico numa base diádica {η η*} conhecida, a partir da matriz [A**] das coordenadas deste mesmo tetrádico em outra base diádica {µ*} também conhecida, logo com matriz [M**] de mudança das bases conhecida. O mesmo, mutatis mutandis, se pode dizer da lei (021). As leis (02) e (021) definem a similaridade entres as matrizes [A**] e [B**]. Nota: As leis (02) e (021) são formalmente idênticas às leis (07) e (071), §02.04,III vistas para o caso dos diádicos. Aqui determinamos a transformação das coordenadas de um tetrádico (num espaço de até 81 dimensões) por uma mudança de base diádica, enquanto que lá determinamos a transformação das coordenadas de um diádico (num espaço de até 9 dimensões) por uma mudança de base vetorial.

Poliádicos - Ruggeri

170

§ 14 – Transformações por similaridade.

Tensor cartesiano de quarta ordem A dedução de (02) e sua inversa requereu postular que o tetrádico fosse a mesma entidade em relação às duas bases diádicas especificadas. Isto é o mesmo que dizer que as coordenadas Apu e Brq fossem relativas à mesma entidade denominada tetrádico e denotada por 4φ. Entretanto, dados ao acaso dois conjuntos ordenados de 81 números, cada conjunto referido a uma base diádica e representado por uma matriz 9x9, estes poderão não definir uma mesma entidade, um tetrádico. Definirão, apenas, quando tais conjuntos satisfizerem as leis inversas (02) e (021). Tal é precisamente a condição para que qualquer um dos conjuntos (ou qualquer uma das matrizes), em relação à correspondente base diádica, represente um tensor (cartesiano) de quarta ordem. Se 4µ é o tetrádico de mudança da base {η η*} para a base {µ*}, isto é, µs=4µ:ηs, então s 4 -1 r µ=µsη e µ =η ηrµ para s,r=1,2,...,9. Pré e pós-justapondo a ambos os membros de (01) os diádicos µs e µr, somando em r e em s e agrupando, temos:

(µsηs):(µpApuµu):(η ηrµr)=Bsrµsµr, ou melhor, 4µ: 4φ: 4µ-1= Bsrµsµr. O primeiro membro diz que (o tensor de quarta ordem) 4φ é similar ao tetrádico indicado no segundo membro. Mas, em relação à base {µ}, esse tetrádico deve ter matriz associada idêntica a [A**] (Corol. 1, Teor. 3, §14.02). Resulta, assim, que 4µ: 4φ: 4µ-1= 4φ, ou 4µ-1: 4φ: 4 µ= 4φ. Assim (tal como concluímos para os diádicos, §02.04,III):

tensores de quarta ordem são tetrádicos auto-similares mediante qualquer tetrádico de mudança de base. § 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação. Definição. Matriz associada. Sejam {a,b,c) e (a*,b*,c*) sistemas recíprocos aplicados num ponto arbitrário O. A esse sistema está associado o cíclico

 (cc ∗ , ϕ) = cc∗ + cosϕ (Ι − cc∗ ) + senϕ (ba∗ − ab ∗ ) ,

(01),

com o inverso

 (−cc1 ∗ , ϕ) = cc∗ + cosϕ (Ι − cc∗ ) + sen(-ϕ) (ba∗ − ab∗ ) ,

(01)1,

que rodam elipticamente os vetores do plano (a, b), com origem em O, em torno do seu eixo c tendo a elipse (E) de semi-diâmetros conjugados a e b (e centro O) como referência (ver §05.02,A,III). Consideremos ainda a circunferência (O) de centro O, projeção paralela da elipse (E) segundo c, e cujo raio tomaremos como unidade de comprimento. Nesta projeção, aos semidiâmetros conjugados a e b de (E) correspondem, na circunferência, raios vetores unitários ortogonais ˆi e ˆj , respectivamente. Fica, assim, caracterizado o diádico de rotação:

Ω (kˆ , ϕ) = kˆ kˆ + cosϕ( Ι − kˆ kˆ ) + senϕ (ˆjˆi − ˆiˆj) , IV,§ 14.04

(02),

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

171

e seu inverso

Ω (−kˆ1, ϕ) = kˆ kˆ + cosϕ( Ι − kˆ kˆ ) + sen(−ϕ) (ˆjˆi − ˆiˆj) ,

(02)1,

r de eixo kˆ (unitário de c) e ângulo ϕ, que faz corresponder o raio r de (O) que faz o ângulo ϕ com î , com o raio vetor r(ϕ) da elipse (E) de argumento ϕ. Se µ é o diádico de mudança da base ortonormal { î , ˆj, kˆ } para a base {a, b, c}, isto é, se a=µ. î , b= µ. ˆj e c=µ. kˆ , donde µ = aî + bˆj + ckˆ e µ −1 = îa∗ + ˆjb ∗ + kˆ c∗ ,

(03),

então

Ω (kˆ ,ϕ) = µ . ( cc∗ ,ϕ) .µ −1 ,

(04),

ou seja: o diádico de rotação é similar ao diádico cíclico mediante µ. Então, conforme Corol. 1 do Teor. 3, §14.02, a matriz mista associada ao cíclico na base {a, b, c} deve ser igual à matriz mista associada ao de rotação na base { ˆi , ˆj, kˆ }, o que confirma as evidências expressas por (01) e (02), pois:

[ (cc ∗ , ϕ) ]abc

cosϕ − senϕ = senϕ cosϕ 0  0

0 0 = [Ω (kˆ , ϕ) ]ˆiˆjkˆ . 1

Em vista de (04) e do Teor. 1, §14.02, concluímos que os tetrádicos: r

 (cc ∗ , ϕ) = ( (cc ∗ , ϕ)  (cc ∗ , ϕ) −1 ) 13

Ω (kˆ , ϕ) = (Ω (kˆ , ϕ) Ω (kˆ , ϕ) −1 )13 ,

(05)

- aos quais daremos os nomes de tetrádico cíclico e tetrádico de rotação, respectivamente são similares mediante 4µ, isto é: 4

Ω (kˆ , ϕ) = 4 µ −1 : 4  (cc ∗ , ϕ) : 4 µ ,

 ( cc ∗ , ϕ) = 4 µ : 4 Ω (kˆ , ϕ) : 4 µ −1 ,

(06).

Considerando (01), (01)1 e as (05) deduzimos: 4

Ω ( kˆ , ϕ) = kˆ kˆ kˆ kˆ + cosϕ(kˆ îkˆ î + kˆˆjkˆˆj + îkˆ îkˆ + ˆjkˆˆjkˆ ) + + senϕ(kˆ îkˆˆj − kˆˆjkˆ î + îkˆˆjkˆ − ˆjkˆ îkˆ ) + , + cos 2 ϕ(îîîî + îˆjîˆj + ˆjîˆjî + ˆjˆjˆjˆj) + sen 2 ϕ( îîˆjˆj − îˆjˆjî − ˆjîîˆj + ˆjˆjîî ) +

(06)1.

+ senϕcosϕ( îîîˆj − îˆjîî + îîˆjî + îˆjˆjˆj − ˆjîîî − ˆjˆjîˆj). e

Poliádicos - Ruggeri

172

§ 14 – Transformações por similaridade.

[ 4 Ω (cc ∗ ,ϕ) ]∗∗∗∗ = c∗ccc∗ + cosϕ(c∗aca∗ + c∗bcb ∗ + a∗cac∗ + b∗cbc∗ ) + + senϕ(c∗acb∗ − c∗bca∗ + a∗cbc∗ − b ∗cac∗ ) + + cos 2 ϕ(a∗aaa∗ + a∗bab ∗ + b ∗aba∗ + b ∗bbb ∗ ) +

(06)2.

+ sen 2 ϕ(a∗abb ∗ − a∗bba ∗ − b∗aab ∗ + b ∗baa ∗ ) + senϕcosϕ(a∗aab ∗ − a∗baa∗ + + b∗abb ∗ − b ∗bba ∗ + a∗aba ∗ + a∗bbb ∗ − b ∗aaa∗ − b ∗bab ∗ ). Pelo Corol. 1 do Teor. 3, §14.02 a matriz mista associada ao tetrádico cíclico, [ (cc∗, ϕ) ]****, deve ser igual à matriz (mista ou não) associada ao tetrádico de rotação. É fácil comprovar que essas matrizes são iguais, sendo, de fato (ver §03.04):

[ 4 Ω (kˆ ,ϕ) ]ˆiˆjkˆ = [ 4 (cc∗ ,ϕ) ]abc =  cos2 ϕ senϕ cosϕ 0 senϕ cos ϕ sen 2ϕ 0 0 0 0   2 2 0 − sen ϕ senϕ cosϕ 0 0 0 0 − senϕ cos ϕ cos ϕ  0 0 cos ϕ 0 0 senϕ 0 0 0   2 2 0 cos ϕ senϕ cosϕ 0 0 0 0 , − senϕ cos ϕ − sen ϕ =  sen 2ϕ 0 0 0 0 − senϕ cos ϕ 0 − senϕ cos ϕ cos2 ϕ   0 0 − senϕ 0 0 cosϕ 0 0 0   0 0 0 0 0 0 cosϕ senϕ 0   0 0 0 0 0 0 − senϕ cosϕ 0   0 0 0 0 0 0 0 0 1 

(07),

matriz essa para ser usada em multiplicação ordinária. Para operar-se com multiplicação matricial dupla (§06.02), a matriz mista (07) deve ser preparada e posta na forma 27x3:

[D1] [D ] [4  ] =  2  , caso em [4 : ψ] = [4] : [ψ]=  ...    [D9]

[D1] [D ]  2  : [ψ]  ...    [D9]

(08);

ou na forma 9x9:

[D1][D2][D3]   4 4 [D4][D5][D6] , caso em que [  : ψ] = [ ] : [ψ]= [D7][D8][D9]

[D1][D2][D3]   [D4][D5][D6] :[ψ], [D7][D8][D9]

sendo

 cos 2 ϕ senϕ cos ϕ  [D1 ] = senϕ cos ϕ sen 2 ϕ 0 0  IV,§ 14.04

 − senϕ cos ϕ cos 2 ϕ 0   0 , [D 2 ] =  − sen 2 ϕ senϕ cos ϕ 0 0 0  

0  0 , 0 

(081),

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

− senϕ cos ϕ − sen 2ϕ  [D4] =  cos2 ϕ senϕ cos ϕ  0 0 

0 0 cos ϕ [D 3 ] = 0 0 senϕ  , 0 0 0   

 sen 2ϕ − senϕ cos ϕ  [D5] = − senϕ cos ϕ cos2 ϕ  0 0  0  0 [D7] =  0 0 cos ϕ senϕ

173

0  0 = [D2]T , 0 

0 0 0 − senϕ  0 , [D 6 ] = 0 0 cos ϕ  , 0 0 0    0 

0 0  0 0 = [D3]T , [D8] =  0 0 − senϕ cos ϕ 0

0 0 0 0 0 = [D6]T e [D9] = 0 0 0 , 0 0 1 0

(082).

Bases diádicas congruentes ou concordantes Para simplificar as escritas usaremos doravante as notações compactas:

 (cc ∗ , ϕ) ≡ ,

Ω (kˆ , ϕ) ≡ Ω , 4

Ω (−kˆ1, ϕ) ≡ Ω −1

 -1 ≡ -1 , (cc ∗ , ϕ)  ( cc ∗ , ϕ) ≡ 4  ,

Ω ( kˆ , ϕ) ≡ 4 Ω , etc.

Considerando duas bases vetoriais congruentes (§06.02,III,vol.I), para as quais o diádico de mudança de base, µ, é um diádico de rotação (Teor.6,§06.01,III,vol.I), então: µ = Ω = Ω P . Logo, o tetrádico de rotação 4Ω (associado ao diádico de rotação Ω) goza da propriedade fundamental (idêntica à propriedade fundamental dos diádicos de rotação): 4

ΩT = 4Ω-1 = 4 Ω , com

Ω : 4 Ω T = 4 Ω T : 4 Ω= 4 Ι

(09).

Com efeito, se {u1, u2, u3} e {u’1, u’2, u’3} são bases congruentes podemos escrever: Ω=uiu’i

(i = 1, 2, 3,),

(10);

então, r

Ω = (u i u′i u′ ju j ) 13 = u′i u′ ju i u j e

s r ′ ′ Ω −1 = 4 Ω = u r usu ru s = 4 Ω 2 ≡ 4 Ω T ,

(11).

Notar que, dadas duas bases vetoriais congruentes, o diádico e o tetrádico de rotação correspondentes estão determinados; mas o contrário não é verdadeiro, isto é, podem existir infinitos pares de bases vetoriais congruentes associadas a um mesmo diádico de rotação e a um mesmo tetrádico de rotação. Por outro lado, supostos dados cartesianamente, em relação à mesma base, um diádico de rotação e o tetrádico correspondente, é sempre possível escrevê-los nas formas (10) e (11). Da base vetorial {u1, u2, u3}, como visto (§10.02,II), podemos gerar a base diádica {µ1, µ2, µ3, ..., µ9} com µu=uiuj, ao par i,j correspondendo o número u com a convenção

Poliádicos - Ruggeri

174

§ 14 – Transformações por similaridade.

moderna: 1→1,1; 2→2,2; 3→3,3; 4→1,2; 5→2,3; 6→1,3; 7→2,1; 8→3,2; 9→3,119. Se a base vetorial {u’1, u’2, u’3} é congruente com {u1, u2, u3}, a base diádica dela derivada, {µ’1, µ’2, µ’3, ..., µ’9}, é também congruente com {µ1, µ2, µ3, ..., µ9}. Pois, digamos

µ’4:µ’9=u’1u’2:u’3u’3=(u’1.u’3)(u’2.u’3)=(u1.u3)(u2.u3)=u1u2:u3u3= µ4:µ9, o mesmo acontecendo com todos os demais pares. Decorre dessas representações que o tetrádico de rotação, associado a um diádico de rotação Ω relativo a bases vetoriais congruentes {u} e {u’}, pode ser escrito na forma geral 4 Ω=µ’uµu para u=1,2,...,9, pois de (111), para qualquer u, µ’u = 4Ω:µu. Deve ser lembrado que: s

1) - embora 4 µ : 4 µ = 4 Ι (se µ é diádico de mudança entre bases vetoriais quaisquer), apenas no caso de ser µ = µ P , isto é, no caso de bases congruentes, é que r

µ=4Ω, com 4 µ 2 = 4 µ ;

2) – a todo par de bases vetoriais congruentes (bem como ao par correspondente de bases diádicas congruentes) está associado um diádico (ou tetrádico) de rotação com eixo kˆ e ângulo ϕ bem determinados, mas existem infinitos cíclicos de eixo kˆ e parâmetro ϕ, pois seu autovetor relativo a +1 pode ser qualquer vetor (logo, arbitrário); 3) – De bases vetoriais ortonormadas geram-se bases diádicas também ortonormadas (um caso particular de bases diádicas congruentes). *

Exercícios: 1 - Demonstrar que a CNS para que um tetrádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu principal: 4µ= 4Ω ⇔ 4µ= 4µP. 2 – Demonstrar que o nono de um tetrádico cíclico é igual a ±1. Comprovar também esta assertiva pelo cálculo do determinante da matriz mista (07). * Díade semitangente de rotação Os tetrádicos de rotação podem ser caracterizados de forma mais simples. Tem-se, para expressão do cruzado do tetrádico de rotação dado por (11), 4 Ω = u ′ i u ′ j u i u j : 4

Ω V = (u ′ i × u i )(u ′ j × u j ) = Ω V Ω V ,

(12),

ΩV sendo o vetor do diádico de rotação Ω. Tem-se, também, para expressão do ponteado (ou escalar) de 4Ω: 4

Ω E = (u ′ i .u i )(u ′ j .u j ) = Ω E Ω E = (Ω E ) 2 ,

19 Ver a Tabela “Critérios para numeração de diádicos de base” apresentada em Apêndice.

IV,§ 14.04

(121).

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

175

Então, tal como o vetor semitangente de rotação, q, caracteriza univocamente o diádico de rotação Ω ((13),§06.01,III), da mesma forma a díade unilinear ξ=qq caracteriza univocamente o tetrádico de rotação 4Ω pois:

ξ = qq =

Ω VΩ V

(1 + Ω E )

= tg 2

ϕ ˆˆ kk , 2

(13).

Bases cíclicas vetoriais e diádicas Consideremos o diádico cíclico (01) e geremos das bases recíprocas a que ele se refere, a base diádica seguinte (onde c = kˆ ), conforme visto: µ1=a*a, µ2=a*b, µ3=a*c, µ4=b*a, µ5=b*b, µ6=b*c, µ7=c*a, µ8=c*b, µ9=c*c,

(14),

cuja recíproca é composta pelas díades: µ1=aa*, µ2=ab*, µ3=ac*, µ4=ba *, µ5=bb*, µ6=bc*, µ7=ca*, µ8=cb*, µ9=cc*,

(141),

sendo

Ι = µ1 + µ5 + µ9 = µ1 + µ5 + µ 9 ,

(142).

Escrevemos, então, o cíclico na forma:

 (µ 9 , ϕ) = µ 9 + cosϕ (µ1 + µ 5 ) + senϕ (µ 4 − µ 2 ) ≡ ,

(15).

Por agrupamento conveniente podemos também escrever (01) na forma

 (cc ∗ , ϕ) = cc∗ + br(∗ϕ) + ar(∗ϕ + π/2) ≡ , o terceto dos conseqüentes sendo c ∗ = c ∗  ∗ ∗ ∗ , r(ϕ) = cosϕ b + senϕ a  ∗ ∗ ∗ r(ϕ+ π/2) = −senϕ b + cosϕ a

(16),

(17),

e seus recíprocos

c = c  , r( ϕ) = cosϕ b + senϕ a  r( ϕ + π/2) = −senϕ b + cosϕ a

(171).

Resulta dessas representações que  roda ciclicamente a base {c, r(ϕ),r(ϕ+π/2)} na base{c, b,

Poliádicos - Ruggeri

176

§ 14 – Transformações por similaridade.

a}, pois

c =.c ,

b =.r( ϕ) ,

a =.r(ϕ + π/2) .

Então, o cíclico é um diádico de mudança de base (da base (171) para a base {c,b,a}) e o tetrádico 4  ( cc ∗ , ϕ) a ele associado é r

 = (  −1 )13 = [(cc∗ + br(∗ϕ) + ar(∗ϕ + π/2) )(cc∗ + r( ϕ) b ∗ + r( ϕ + π/2) a∗ )]13 ,

isto é, operando, agrupando adequadamente e considerando as (06): 4

 = r(∗ϕ + π/2) r( ϕ + π/2) µ1 + r(∗ϕ + π/2) r(ϕ)µ 2 + r(∗ϕ + π/2)cµ 3 + r(∗ϕ) r( ϕ + π/2) µ 4 + + r(∗ϕ) r( ϕ)µ 5 + r(∗ϕ) cµ 6 + c∗r( ϕ + π/2) µ 7 + c∗r( ϕ)µ 8 + c∗cµ 9 )

(18).

Considerando as (14), (141), (17) e (171) podemos, ainda, escrever esse tetrádico na forma: 4

 = µ 9µ 9 +

+ cosϕ (µ 3µ 3 + µ 6µ 6 + µ 7µ 7 + µ 8µ 8 ) + senϕ (µ 3µ 6 − µ 6µ 3 + µ 7 µ 8 − µ 8µ 7 ) + + cos 2 ϕ (µ1µ1 + µ 2µ 2 + µ 4µ 4 + µ 5µ 5 ) + sen 2 ϕ (µ1µ 5 − µ 2µ 4 − µ 4µ 2 + µ 5µ1 ) + + senϕcosϕ (µ1µ 2 + µ1µ 4 − µ 2µ1 + µ 2µ 5 − µ 4µ1 + µ 4µ 5 − µ 5µ 2 − µ 5µ 4 ) ,

(19).

Observemos de (171) que r(ϕ) e r(ϕ+π/2) são semidiâmetros conjugados da elipse (E) de que b e a são, também, semidiâmetros conjugados. Analogamente, de (17) vemos que r*(ϕ) e r*(ϕ+π/2) são semidiâmetros conjugados da elipse (E*) de que b* e a* são semidiâmetros conjugados. Observemos, ainda, que a díade µ9=cc* é ortogonal a todas as oito díades antecedentes em (18), exceto a c*c=µ9 (na última parcela), isto é:

r(∗ϕ + π/2) r(ϕ + π/2) : cc∗ = 0 = r(∗ϕ + π/2) c : cc∗ = r(∗ϕ)r( ϕ + π/2) : cc∗ = r(∗ϕ + π/2) r(ϕ) : cc∗ = = r(∗ϕ) r( ϕ) : cc∗ = r(∗ϕ) c : cc∗ = c∗r( ϕ + π/2) : cc∗ = c∗r( ϕ) µ8 : cc∗

Então essas oito díades definem uma base do 8-espaço diádico ortogonal à díade µ9; denotemo-la por {B(φ)} e ponhamos:

{B ( ϕ) } = {r(∗ϕ+ π/2) r(ϕ+π/2) , r(∗ϕ) r( ϕ) ; r(∗ϕ+ π/2) r( ϕ) , r(∗ϕ) r( ϕ+ π/2) ; r(∗ϕ) c, r(∗ϕ+ π/2) c; c∗r( ϕ) , c∗r( ϕ+ π/2) } . Fazendo-se o parâmetro ϕ variar de 0 a 2π rd, os pares de semidiâmetros conjugados (r(ϕ), r(ϕ+π/2)) e (r*(ϕ), r*(ϕ+π/2)) de (E) e (E*), respectivamente, descrevem as elipses correspondentes. Por analogia com o caso dos vetores vem s seguinte

IV,§ 14.04

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

177

Definição: As oito díades definidoras de {B(φ)} formam quatro pares de díades semidiâmetros conjugados (díades cujos argumentos diferem de ± π/2 rd) de uma mesma hiperelipse do 8-espaço a que pertencem. Esses pares de díades estão separados por ponto e vírgula na expressão de {B}. Nesta mesma hiperelipse podemos determinar novos pares de semidiâmetros conjugados, interessando, particularmente, os correspondentes a ϕ=0 rad. Deduzimos, assim, da expressão {B(ϕ)}, considerando as expressões (17), (171) e (14), as expressões dos pares de semidiâmetros conjugados: { r(∗π/2)r( π/2) = a∗a = µ1 , r(∗0) r( 0) = b ∗b = µ 5 }, { r(∗π/2)r( 0) = a∗b = µ 2 , r(∗0) r( π/2) = b ∗a = µ 4 }, { r(∗0) c = b ∗c = µ 6 , r(∗π/2) c = a∗c = µ 3 }, { c∗r( 0) = c∗b = µ 8 , c∗r( π/2) = c∗ a = µ 7 },

(20).

Os resultados obtidos indicam que a oito díades µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6, µ7 e µ8, todas ortogonais a µ9 (=cc*), definem o mesmo 8-espaço ortogonal a µ9 (posto constituírem base derivada de {B(ϕ)}). Neste 8-espaço diádico, a hiperelipse que contém as extremidades das 8 díades da base {B} contém ainda as extremidades das 8 díades µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, µ6, µ7 e µ8 constituintes de uma base {B(0)}. As díades de {B(ϕ)} e {B(0)} definem, pois, quatro conjuntos de quatro pontos, cada conjunto pertencendo a um 4-espaço contido no 8-espaço (§10.03,II). Chegaríamos aos mesmos resultados por consideração dos vetores e díades recíprocas dos conjuntos considerados. Assim, o conjunto:

{B∗ } = {r( ϕ+ π/2) r(∗ϕ+π/2) , r( ϕ) r(∗ϕ) ; r( ϕ+ π/2) r(∗ϕ) , r( ϕ) r(∗ϕ+ π/2) ; r( ϕ) c∗ , r( ϕ+ π/2) c∗ ; cr(∗ϕ) , cr(∗ϕ+ π/2) } . que é ortogonal à díade µ9 (=c*c) seria o recíproco do conjunto {B} etc.

Definições: Pares de bases vetoriais, como {c, r(ϕ),r(ϕ+π/2)} e {c, b, a}, definidas por (17) e (171), ou suas correspondentes recíprocas, são ditas bases cíclicas vetoriais 20. Pares de bases diádicas, como a {B} acrescida da díade µ 9=c*c, e {µ1, µ2, µ3, µ4, ...,µ9}, ou suas correspondentes recíprocas, são ditas bases diádicas cíclicas. 20 Esta nomenclatura (para o caso dos vetores) é adaptada da utilizada por Sirotin, Yu, I. e Chaskolskaya, M. P., em “Fundamentals of Crystal Physics”, Mir, 1982, Sec. 46.

Poliádicos - Ruggeri

178

§ 14 – Transformações por similaridade.

Tetrádicos similares mediante tetrádicos cíclicos e de rotação Dois tetrádicos podem, então, se relacionar por uma expressão do tipo ((02,§14.02) em que 4µ seja um tetrádico (de rotação) 4Ω de mudança entre bases (diádicas) congruentes. Como bases vetoriais cíclicas nunca são congruentes nem ortogonais, as bases diádicas cíclicas delas geradas também nunca serão congruentes nem ortogonais. Assim, um tetrádico de mudança entre bases diádicas cíclicas é sempre um tetrádico cíclico. Daí as seguintes definições:

Definição: (tetrádicos congruentemente e ciclicamente similares) Tetrádicos 4ψ e 4φ similares, ou que se correlacionem pela expressão 4 ψ = 4 µ : 4 φ : 4 µ −1 são ditos congruentemente similares (ou, simplesmente, rodados circularmente) se 4µ é um tetrádico de rotação; são ditos ciclicamente similares (ou rodados ciclicamente) se 4µ é um tetrádico cíclico. Quando as bases vetoriais congruentes são ortonormadas, os diádicos delas provenientes são também ortonormais; por isto mesmo são ortogonais os tetrádicos de rotação provenientes destes. Neste caso, os tetrádicos similares 4ψ e 4φ são ditos ortogonalmente similares.

Relações entre o tetrádico cíclico e alguns de seus invariantes. Algumas relações a serem estabelecidas para os tetrádicos cíclicos valerão também para os tetrádicos de rotação, pois estes são casos particulares daqueles. Assim, o escalar e o cruzado (uma díade) de um tetrádico cíclico podem ser expressos em função do escalar e do cruzado (um vetor) do seu diádico cíclico associado e correspondente inverso. De fato, temse:

 4  E = ( E ) 2 = (1 + 2cosϕ) 2 , 4   V = − V  -1V

(21).

A comprovação da primeira expressão pode ser feita calculando-se diretamente o traço da matriz mista (07) ou aplicando-se a definição à expressão (06)2, ou, mesmo, a (19). A comprovação da segunda poderia ser muito trabalhosa (e até penosa), se fossemos calcular as expressões dos dois membros, por consideração de (01), (01)1 e (06)2, e verificar a igualdade das mesmas (o que pode ficar como exercício para o leitor). Entretanto, se lembrarmos que esses tetrádicos são tetrádicos de mudança de base, são válidas para eles as expressões gerais ((09), (10), §14.01) que comprovam imediatamente as citadas fórmulas. Para os tetrádicos de rotação a expressão do cruzado em (21) se simplifica um pouco porque, conforme (09), o inverso do tetrádico de rotação é igual ao seu transposto. Tem-se:

IV,§ 14.04

Ω E = (Ω E ) 2 = (1 + 2cosϕ) 2

Ω V = −Ω V Ω TV = Ω V Ω V = 4sen 2ϕ kˆ kˆ

(21)1,

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

179

resultados estes que podem ser comparados com (12) e (12)1. No espaço dos diádicos, a díade kˆ kˆ define o eixo de rotação de 4 Ω . Consideremos o produto ponteado do cíclico pelo seu vetor. Conforme a fórmula geral ((01),§08.02,II) tem-se:

. V = 2 V = V . = −

~ V,

(22).

Mas, conforme ((10),§08.01,II), o vetor indicado no último membro de (22) é igual ao produto do terceiro do cíclico (que é igual a +1) pelo vetor do seu inverso, ou simplesmente, igual ao vetor do seu principal. Então:

. V = V . = − -1V = PV ,

(23),

donde, trocando o cíclico pelo seu principal no primeiro membro e no último, depois comutando no primeiro membro formado e utilizando resultados já conhecidos:

 P . PV = PV . P = V = − −1V . P T = − P T . −1V = − −1V . −1 = − −1 . −1V . Logo:

 -1V . -1 = -1 . -1V = − V ,

(23)1.

Para quaisquer vetores v e w a díade vw é um tensor; e para qualquer tetrádico de µ.v)(w.µ-1), operação essa mudança de base 4µ, tem-se: vw:4µ= vw:ejeirjri=(v.ej)rj(w.ei)ri=(µ 4 -1 que é comutativa: µ:vw=(µ µ.v)(w.µ ). Como vw é similar a sí própria mediante qualquer diádico µ de mudança de base, vw:4µ=vw, ou 4µ:vw=vw. Para 4 µ = 4  , v = V e w = -1V tem-se, então:

 V  -1V : 4  = 4  :  V  -1V = (. V )( -1V . -1 ) = ( -1V . -1 )(. V ) = = -1V  V = V  -1V

(24),

ou seja, lembrando (212) e interpretando geometricamente:

o tetrádico cíclico, em multiplicação anterior ou posterior, transforma a sua díade invariante 4  V na sua oposta. Para os tetrádicos de rotação, (24) é escrita na forma

Ω V Ω V: 4 Ω = Ω V Ω V ,

(24)1,

pois Ω -1V = Ω V . Então:

o tetrádico de rotação, em multiplicação posterior, não movimenta o seu cruzado invariante.

Poliádicos - Ruggeri

180

§ 14 – Transformações por similaridade.

Como o cíclico um tetrádico de mudança de base, ((08),§14.01) permite concluir que

o tetrádico cíclico, em multiplicação posterior, não movimenta o seu cíclico associado, e em multiplicação anterior não movimento o principal do seu cíclico associado, isto é:

 : 4  =

 :  P = P

(25).

Essa propriedade é válida evidentemente para as rotações circulares (caso em que Ω=Ω ΩP):

Ω : 4Ω = Ω = 4Ω : Ω ,

(25)1,

isto é,

um tetrádico de rotação não movimenta o seu rotor (ou diádico de rotação) associado. Considerando ainda 4  escrito na forma (19) temos, lembrando que os escalares dos diádicos da base diádica {µ µ1, µ2,..., µ9} são: 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, operando e simplificando: 4

 E 3 = µ 9 + µ1 + µ 5 = Ι .

Da mesma forma poderíamos calcular o diádico primeiro escalar do cíclico e encontrar como resultado o diádico unidade. Em resumo: 4

 E 3 = 4  E1 = Ι ,

(26),

resultado válido também para os tetrádicos de rotação: 4

Ω E 3 = 4 Ω E1 = Ι ,

(26)1.

Relações entre um cíclico e os isômeros de 4I Vamos considerar um cíclico escrito na forma (19) e determinar a que diádico é transformado o diádico unidade quando o cíclico é usado como pré-fator e como pós-fator. Temos, evidentemente, considerando os resultados anteriores: 4

 : Ι =4  E 3

Ι : 4  = E1 ,

isto é: 4

IV,§ 14.04

 : Ι=4 E3 = Ι = Ι : 4 ,

(27),

§ 14.04- Tetrádicos cíclicos e de rotação.

181

resultado também válido para os tetrádico de rotação: 4

Ω : Ι = 4 Ω E3 = Ι = Ι : 4 Ω ,

(27)1. r

Consideremos um diádico qualquer φ e os isômeros 4I, 4 Ι 13 e 4 Ι 2 3 (ver §07); temos, 4 pondo I=urusurus: r

φ : 4 Ι 13 = φ : (u su r u r u s ) = (φ :u su r )u r u s = (φT :u r u s )u r u s = φ T , r 4 13

Ι : φ = (u s u r u r u s ) : φ = u su r (u r u s : φ) = u su r (u s u r : φ T ) = φ T

e r

r 4 23

φ : 4 Ι 2 3 = φ : (Ι Ι ) = (φ E ) Ι ,

: φ = ( Ι Ι ) : φ = ( φ E )Ι .

Calculemos o duplo produto do tetrádico cíclico, posto na forma (19), pelo isômero

r 4 13

Ι . Considerando os resultados acima deduzidos, vem, facilmente: r

 : 4Ι 13 = 4 12

r 4 13

Ι : 4  = 4 12 ,

 : 4Ι 13 ≠ 4Ι 13 : 4  ,

sendo

(28).

Calculemos agora o duplo produto de 4  por 4 Ι 2 3 . Como o duplo produto de um conseqüente qualquer do cíclico pelo isômero é igual ao diádico unidade multiplicado pelo seu escalar, das nove parcelas do resultado da operação apenas as relativas aos índices 1, 5 e 9 serão não nulas, resultando

 : Ι Ι = [µ 9 + (cos 2ϕ + sen 2ϕ)(µ1 + µ 5)] Ι = (µ 9 + µ1 + µ 5) Ι .

Analogamente, temos:

Ι Ι : 4  = [µ 9 + (cos2ϕ + sen 2ϕ)(µ1 + µ 5)] Ι = (µ 9 + µ1 + µ 5) Ι . Recorrendo a (14), (141) e (142), temos, em resumo:

 : Ι Ι = Ι Ι : 4 = Ι Ι ,

(29).

É óbvio que as igualdades (28) e (29) são válidas para o tetrádico de rotação, para o s

qual Ω 12 = 4 Ω 12 . Então: 4

Ω : 4Ι 13 = 4Ι 13 : 4 Ω = 4 Ω 12 = 4 Ω 12 ,

(28)1,

e 4

Ω : Ι Ι = Ι Ι : 4Ω = Ι Ι ,

(29)1.

Poliádicos - Ruggeri

182

§ 14 – Transformações por similaridade.

Exercícios: 1 - Demonstrar que: r

 : 4 Ι 2 3 : 4  −1 = 4 Ι 2 3 = Ι Ι , e

Ω : 4 Ι 2 3 : 4 Ω −1 = 4 Ι 2 3 = Ι Ι

(30),

2 - Demonstrar que os rodados de diádicos simétricos (anti-simétricos) são diádicos simétricos (anti-simétricos). * § 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação. Ponhamos r

Ω (uˆ ,ϕ) = [Ω (uˆ ,ϕ) Ω T (uˆ ,ϕ) ]13 = [Ω (uˆ ,ϕ) Ω (uˆ ,− ϕ) ]13

para explicitar o eixo e o ângulo de rotação de Ω, os mesmos de 4 Ω . Quando escrevemos Ω ( uˆ ,ϕ) na sua forma normal, Ω (uˆ ,ϕ) = uˆ i uˆ ′ i , um dos vetores antecedentes pode ser considerado unitário do seu eixo (e os outros dois, além de perpendiculares entre si, seriam também perpendiculares ao eixo). Nesse caso, se, por exemplo, uˆ 1 = uˆ ′1 , os demais unitários estariam rodados do ângulo ϕ no plano de uˆ 2 e uˆ 3 . Assim, se dois diádicos de rotação têm o mesmo eixo, mas ângulos de rotação diferentes, α e β, eles podem sempre ser escritos nas formas:

Ω (uˆ ,α ) = uˆ i uˆ ′ i , sendo Ω T (uˆ ,α ) = uˆ ′ i uˆ i = Ω −1 (uˆ ,α ) = Ω (uˆ ,− α ) , e Ω (uˆ ,β) = uˆ j vˆ ′ j ; os tetrádicos associados a Ω T$

( u ,α )

eΩ

( u$ ,β )

são, então:

Ω (uˆ ,− α ) = uˆ i uˆ j uˆ ′ i uˆ ′ j e

Ω (uˆ ,β) = vˆ ′ r vˆ ′ s uˆ r uˆ s .

Logo, 4

Ω (uˆ ,β) : 4 Ω (uˆ ,− α ) = vˆ ′ r vˆ ′ s (uˆ r uˆ s : uˆ i uˆ j )uˆ ′ i uˆ ′ j ,

donde, operando e simplificando: r

Ω (uˆ ,β) : 4 Ω (uˆ ,− α ) = vˆ ′ i vˆ ′ j uˆ ′ i uˆ ′ j = (uˆ ′ i vˆ ′ i vˆ ′ j uˆ ′ j ) 13 .

Mas, para os diádicos de rotação, conforme (§ 06.03.B, III):

Ω ( uˆ , − α ) . Ω (uˆ ,β) = uˆ ′i (uˆ i .uˆ j ) vˆ ′ j = uˆ ′i vˆ ′i = Ω (uˆ ,β − α ) ;

IV,§ 14.05

§ 14.05 - Produto de tetrádicos de rotação.

183

então: 4

Ω (uˆ ,β) : 4 Ω (uˆ ,− α ) = 4 Ω (uˆ ,β−α ) ,

(01),

isto é:

O duplo produto ponteado de dois tetrádicos de rotação de mesmo eixo é um tetrádico de rotação de mesmo eixo que os fatores e ângulo de rotação igual à soma algébrica dos ângulos de giro dos rotores associados aos tetrádicos fatores. Definição: (quadrantais e biquadrantais) Os tetrádicos associados a rotores quadrantais e biquadrantais representados por 4 Ω ( u$ ,π / 2 ) e 4 Ω ( u$ ,π ) - denominam-se, respectivamente, tetrádicos quadrantais e biquadrantais. Lembrando (§ 06.04, III) que Ω ( aˆ ,π ) = 2aˆ aˆ − Ι , temos: r

Ω

= [Ω

( a$ ,π )

Ω T$

( a ,π )

1 $ $ $ $ − 2 ae $ ae $ i − 2 e i ae $ a$ + 4 Ι , ] 3 = 4 aaaa i i

(02).

Para um segundo biquadrantal de eixo de unitário b$ temos, analogamente: 4

r 13 T Ω $ = [Ω $ Ω $ ] ( b ,π ) ( b ,π ) ( b , π )

$ $ $ $ − 2 be $ be $ i − 2 e i be $ b$ + 4 Ι , = 4 bbbb i i

(021).

Teor.1: (direto) O duplo produto ponteado de dois tetrádicos biquadrantais é um tetrádico de rotação de eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo de rotação igual ao dobro do ângulo formado por esses eixos: 4

Ω (aˆ ,π) : 4 Ω

(bˆ ,π)

= 4Ω

(kˆ , 2 ϕ )

, com sen 2ϕkˆ = aˆ × bˆ

(03).

Conforme o Corol 1, Teor. 3, §06.03,A, III, temos, para expressão do produto de dois diádicos biquadrantais de eixos a$ e b$ , produto esse de eixo k$ e ângulo 2ϕ (igual ao dobro do ângulo formado pelos eixos dos rotores fatores):

Ω

( k$ , 2ϕ )

=Ω

( b$ ,π )

$ $ − Ι ) . ( 2 aa $ $ − 2 aa $$ +Ι. $ $ − Ι ) = 4( a.b $ $ )ba $ $ − 2 bb . Ω $ = ( 2 bb ( a ,π )

Logo,

Poliádicos - Ruggeri

184

§ 14 – Transformações por similaridade.

Ω

( k$ , 2ϕ )

Ω T$

( k , 2ϕ )

$ $ $ $ − 8( a.b $ $ $ $ − 8 ( a.b $ $ $ $ + 4( a.b $ $Ι − $ $ )baaa $ $ ) 2 baab $ $ )babb $ $ )ba = 16( a.b

$ $ $ $ + 4bbaa $ $ $ $ + 4bbbb $$$$− , $ $ ) aaab $ $ $ $ + 4aaaa $ $ $ $ + 4aabb $ $ $ $ − 2aa $ $ Ι − 8 ( a.b $ $ )bbab −8( a.b

(A).

$ $ Ι + 4 ( a.b $ $ + ΙΙ $ $ ) Ιab $ $ − 2Ιaa $ $ − 2 Ιbb −2bb Por outro lado, de (02) e (021), operando e simplificando, temos: 4

Ω $ : 4Ω ( a ,π )

( b$ ,π )

$ $ ) 2 aabb $ $ $ $ − 8( a.b $ $ ) aaba $ $ $ $ − 8 ( a.b $ $ ) aaab $ $ $ $ + 4 aaaa $$$$ + = 16( a.b

$ i + 4abab $ $ $ $ + 4baba $ $ $ $ +, $ $ $ $ + 4 ( a.b $ $ ) ae $ be $ $ $ $ − 2ae $ ae $ i − 8 ( a.b $ $ )babb $ $ ) abbb −8( a.b i i

(B).

$ $ $ $ − 2be $ be $ i − 2e i be $ b$ + 4 Ι $ $ ) e i ae $ b$ − 2e i ae $ a$ + 4bbbb +4 ( a.b i i i i Transpondo em ordem 1 e posto 3, em ambos os membros de (A), obtemos a expressão do tetrádico de rotação 4 Ω ( k$ , 2ϕ) associado ao rotor Ω ( k$ , 2ϕ ) , expressão esta idêntica ao segundo membro de (B); o que comprova (03).

Teor. 2: Dado um tetrádico de rotação, é sempre possível decompô-lo no duplo produto ponteado de dois tetrádicos biquadrantais cujos diádicos rotores (biquadrantais) associados tenham por produto o rotor associado ao tetrádico dado. Com efeito, seja Ω

(kˆ , 2 ϕ )

o rotor associado ao tetrádico de rotação dado, 4 Ω ( k$ , 2ϕ) .

Pelo Corol 1, Teor. 14, § 06.03,A, III é sempre possível decompor Ω ( k$ , 2ϕ ) no produto de dois rotores biquadrantais Ω ( a$ ,π ) e Ω (b$ ,π ) cujos eixos definam um plano ortogonal ao seu eixo e cujo ângulo seja ϕ; escrevemos, então:

Ω

( k$ , 2ϕ )

=Ω

( b$ ,π )

$ $ − Ι ) . ( 2 aa $ $ − 2 aa $$ +Ι. $ $ − Ι ) = 4( a.b $ $ )ba $ $ − 2 bb . Ω $ = ( 2 bb ( a ,π )

A expressão de 4 Ω ( k$ , 2ϕ) é, então, o transposto de ordem 1 e posto 3 do segundo membro de (A). Formando, agora, os tetrádicos de rotação: Ω ( a$ ,π )

Ω ( b$ ,π ) ,

Ω ( a$ ,π )

Ω ( b$ ,π ) ,

associados a

e efetuando o seu duplo produto ponteado, obtemos a expressão (B), cujo

segundo membro é idêntico ao de 4 Ω ( k$ , 2ϕ) .

IV,§ 14.05

§14.06 - Generalizações.

185

Outros teoremas, análogos aos já demonstrados para os diádicos de rotação, podem ser estendidos aos tetrádicos de rotação.

Teor. 3: Se a$ e c$ são dois vetores unitários respectivamente ortogonais aos eixos dos tetrádicos de rotação, 4 φ e 4 ψ , e que formem com a normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de rotação desses tetrádicos, então o duplo produto ponteado 4 φ : 4 ψ é um tetrádico de rotação cujo ângulo de rotação é igual ao dobro do ângulo formado por a$ e c$ . Definição: O vetor semitangente de rotação do rotor associado a um tetrádico de rotação será dito, também, o vetor semitangente de rotação desse tetrádico. Como o vetor semitangente de rotação de um diádico de rotação (§ 06.03, III) determina univocamente esse diádico (e a rotação), o mesmo se dá com o tetrádico, evidentemente.

Teor. 4: O vetor semitangente de rotação do duplo produto ponteado de dois tetrádicos de rotação é igual ao vetor correspondente do duplo produto ponteado dos rotores associados aos tetrádicos fatores.

§14.06 - Generalizações. Os conceitos vistos neste §14 são generalizáveis. Assim, se os tetrádicos 4 φ e 4 ψ são similares mediante 4 µ , isto é, se existe (08), §14.01, então: r

φ = 4 ψ 4 ( 4 µ 4 µ −1 ) 2 6 , .

(01).

Com efeito, pois sendo: 4

µ = e je i r jr i

µ −1 = r k rn e k e n ,

temos, de (08), § 14.01, operando e agrupando convenientemente: 4

φ = e je i ( r jr i : 4 ψ : r k rn ) e k e n .

Podemos escrever o número entre parênteses na forma

ψ 4 ( r jr i r k rn ) e dispô-lo .

convenientemente na expressão anterior. Assim, 4

φ = 4 ψ 4 r jr i r k rn e je i e k e n , .

Poliádicos - Ruggeri

186

§ 14 - Poliádicos de rotação.

o que comprova (01) uma vez que o octádico fator é r

r jr i r k rn e je i e k e n = ( e je i r jr i r k rn e k e n ) 2 6 = ( 4 µ 4 µ −1 ) 2 6 . Analogamente poderíamos comprovar que r

φ = ( 4 µ −1 4 µ ) 2 6 4 4 ψ , .

(011),

e que r

ψ = 4 φ 4 ( 4 µ −1 4 µ ) 2 6 = ( 4 µ 4 µ −1 ) 2 6 4 4 φ , . .

(02).

Pondo r

µ = ( 4 µ 4 µ −1 ) 2 6 ,

tem-se

µ −1 = ( 4 µ −1 4 µ ) 2 6 ,

(03),

pois 8

µ .4 8 µ −1 = (r jr i r k rn e je i e k e n ) .4 (e k′e n′e j′e i′r k′ rn′ rj′ r i′ ) = rjr i r k rn r jri rk r n = 8 Ι .

Quando as duas bases associadas ao completo µ são ortonormadas, µ é um diádico r

de rotação e 4 µ = ( µ µ −1 ) 13 é um tetrádico de rotação, 4 Ω . Analogamente, 8µ, dado por (03) é um octádico de rotação, 8 Ω . Lembrando que similaridade é conceito aplicável a poliádicos de valência par, podemos generalizar os resultados obtidos na forma da seguinte expressão: 2H

φ=

µH .

ψH .

µ −1 =

ψ H ( 2H µ .

µ −1 ) H 3H =

ψ 2H .

µ,

(04).

Sendo r

µ = ( 2H µ 2H µ −1 ) H 3H ,

4H µ

µ −1 = ( 2H µ −1

µ ) H 3H

(05).

Os poliádicos de rotação têm valência 2H (H = 1, 2, 3, ...); podemos representá-los, H

em geral, por 2 Ω . É possível estender aos poliádicos de rotação teoremas relativos a produtos, associar-lhes eixos, ângulos etc.

Teor. 1: Se 2Hφ e 2Hψ são similares mediante 2Hµ, se Hµ é autodiádico de 2Hψ relativo ao autovalor A, então H ε = 2H µ H. H µ e A são, respectivamente, autoHdiádico e autovalor correspondentes de 2Hφ:

IV,§ 14.06

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.

2H 2H

φ= ψ

H 2H ψ H. 2H µ −1  .  H

H H µ .

=A µ



⇒

φ H. ( 2H µ

H H µ) .

187

= A( 2H µ

H H µ) .

H 2H φ H. .

( 2H µ

= A Hε .

Temos: 2H

H H µ .

= ( 2H µ −1

ou, ainda, considerando que

H 2H H 2H φ . µ ) H. H µ .

H H µ .

A Hµ =

µ −1

H H µ) , .

= A Hµ :

µ −1

H 2H H φ . .

( 2H µ

H H µ) .

Agora, pré-multiplicando pontual e H-plamente ambos os membros por 2Hµ, vem:

H H µ .

φ H. ( 2H µ

H H µ) , .

φ H.

ε = A Hε ,

isto é, Hε é auto diádico de 2Hφ correspondente ao autovalor A.

Corol.: 2H-ádicos similares mediante 2Hµ têm os mesmos autovalores e autoHádicos transformados mediante 2Hµ..

§ 15 - POLIÁDICOS INTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTISIMÉTRICOS. § 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros. Consideremos as políades aaaa, abab e abcabcabc . Temos, evidentemente: r

aaaa = ( aaaa ) 1 = ( aaaa ) 1 = ( aaaa ) 2r = ( aaaa ) 2 = . . . = = ( aaaa )

s Q

= ( aaaa ) Q , ∀ Q.

Com Q≤4 evidentemente. Temos, ainda: r

abab = ( abab ) 2 = ( abab ) 2 = ( abab ) 4 = ( abab ) 4 , mas, r r s s 1 1 3 abab ≠ ( abab ) = ( abab ) = ( abab ) = ... = ( abab ) .

Para uma 9-ade, escrevemos: r

abcabcabc = ( abcabcabc) 3 = ( abcabcabc) 3 = ( abcabcabc) 6 = . . . ,

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

188

Mas r

abcabcabc ≠ ( abcabcabc) 2 , abcabcabc ≠ ( abcabcabc) 4 etc. . 4

Consideremos agora a tétrade φ = abab − baba . Temos: 4

φ 1 = baba − abab =− 4 φ= 4 φ 3 =− 4 φ 2 .

Pelos exemplos simples apresentados, constatamos a existência de poliádicos iguais a alguns de seus transpostos de diferentes ordens, com o mesmo sinal ou com o sinal trocado.

Teor. 1: Se um P-ádico é igual ao seu transposto de ordem Q para jusante, com certo sinal, ele é igual também ao seu transposto de mesma ordem para montante e mesmo sinal: P

∀ φ , Q:

φ=± φ

r Q

⇔

s Q

φ=± φ ,

(01).

A demonstração é imediata, pois, ar transposição de Q vetores para montante na r w w P P Q igualdade φ = ± φ dá: ( P φ )Q = ± ( P φ Q ) Q = ± Pφ . A demonstração da recíproca é análoga.

Definição: (poliádicos Q-adicamente simétricos e não simétricos) Se um poliádico P φ for tal, que P

r Q

então diremos que contrário, isto é, P

diremos que assimétrico).

= P

r R

φ,

logo, também

s Q

(02),

φ é Q-adicamente simétrico internamente; do

≠

φ , logo, também

s R

≠

(021),

φ é R-adicamente não simétrico internamente (ou

De outra forma, e com símbolos, escrevemos: P

IV,§ 15.01

Q - adicamente sim. R - adicamente assim.

⇔ ⇔

φ P

r Q

r R

= ≠

φ= P

φ≠

s Q

φ , P

s R

φ ,

(03), (031).

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.

189

Definição: (poliádico Q-adicamente anti-simétrico) Se um poliádico P φ for tal, que P

r Q

=−

φ , logo, também

s Q

=−

(04),

então diremos que P φ é Q-adicamente anti-simétrico internamente. Com outras palavras e com símbolos, escrevemos: P

⇔

Q - adicamente antisim.

Devemos notar, entretanto, que poderá ser P

adicamente simétrico, isto é, φ

r Q

s Q

≠

φQ = − Pφ = PφQ,

r Q

s Q

sem que

(051). P

φ seja Q-

φ.

Em resumo: P

φ = P φQ

r P Q

φ = P φ Q = P φ = P φ ( 2Q ) = ...

⇒

(052).

Aplicando (121) e (122), § 07.01 escrevemos também: r

φQ =

φQ

⇒

φ=

φ (2Q) =

r Q

ou, ainda, de (053), por ser P φ = P φ r

φQ =

φQ = ≠

φ (3Q) = P

φ=

φ (2Q) =

φ (3Q) =

r (2Q)

= φ P

r Q

φ (2Q − P) ≠ (053);

s Q

φ (3Q − P) =

φ (3Q − P) ≠

s (2Q)

≠ s (3Q)

φ ,

: r

φ (2Q − P) = P

= Pφ r

rr (2Q)Q

r (2Q − P)

s (2Q − P)

(054),

e assim sucessivamente21. Um poliádico Q-adicamente anti-simétrico é também KQ-adicamente simétrico para r todo K par, e KQ-adicamente anti-simétrico para todo K ímpar. Pois, de deduzimos, sucessivamente: P

r (2Q)

r Q

=−

=− φ

r (3Q)

r (2Q)

= − φ , ou seja, r Q

= − φ , ou seja, − φ

r (3Q)

r (2Q)

φ=−

= φ, P

r Q

= φ = − φ , etc.

21 O caso P = N Q, N inteiro, é irrelevante.

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

190

Definição: (poliádico simétrico) r Se for 2Q φ = 2Q φ Q diremos simplesmente que o poliádico 2Q φ = 2Q φ T

internamente, e escreveremos 2Q φ

que

; se for

2Q φ

é simétrico

r 2Q φ = − 2Q φ Q

, diremos

2Q φ = − 2Q φ T 22.

é anti-simétrico internamente, e escreveremos *

Exercício: Provar que: a) - (2Q φ

Q 2Q T β) •

= 2Q φT

4Q Q 2Q 2Q 2Q Ι • φ • ψ

b) -

Q 2Q T β , •

= 2Q ψ Q•

2Q T

e escrever essas expressões para Q=1 e 2. *

Decomposição aditiva de poliádicos Temos, evidentemente:

∀

O poliádico P

r r Q Q

( φ + φ )

φ e Q≤P:

φ +

r Q

φ +

r Q

rr QQ

1 P 1 ( φ + PφQ ) + (Pφ − PφQ ), 2 2

φ=

é Q-adicamente simétrico se P

. De acordo com (053), φ P

r r Q Q

( φ + φ )

r Q

φ +

rr QQ

(06).

φ Q = P φ Q . Com efeito,

= φ

r (2Q)

φ . Logo,

φ,

igualdade que satisfaz (03). P

Se φ

r Q

s Q

φ , o poliádico φ −

r r Q Q

r Q

( φ − φ ) = φ − φ

rr QQ

r Q

=−

é Q-adicamente anti-simétrico, pois P

φ +

r Q

=− ( φ −

r Q

φ ),

igualdade que satisfaz (05). Os mesmos resultados anteriores poderiam ser obtidos com transposições para montante, isto é, ∀

φ e Q≤P:

φ=

1 P ( φ + 2

φQ) +

1 P ( φ − 2

φQ ),

(061).

22 No §07.01 fizemos menção rápida a esses poliádicos, aos quais nos referimos apenas como "simétricos" e "anti-simétricos". Estas, na verdade, são as nomenclaturas mais usuais, sendo usado o termo "internamente" apenas quando é necessário um destaque.

IV,§ 15.01

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.

191

caso em que o primeiro e o segundo rpoliádicos parcelas seriam Q-adicamente simétrico e s P

anti-simétrico respectivamente, se φ

φ .

Definições: ( partes simétrica e anti-simétrica) r s P

Quando P φ é um poliádico tal que φ ∀

φ e Q≤P:

1 P ( φ + 2

φ=

φ , a expressão: P

φQ) +

1 P ( φ − 2

φQ )

recebe o nome de decomposição aditiva desse poliádico; os poliádicos r

1 (Pφ +PφQ ) e 2

1 (Pφ − P Q ), φ 2

respectivamente Q-adicamente simétrico e Q-adicamente anti-simétrico, são denominados as partes Q-simétrica e Q-anti-simétrica do poliádico P φ que será dito, então, separável23. Para os poliádicos de valência par, 2Q φ , as partes Q-adicamente simétrica e Q-adicamente anti-simétrica serão ditas simplesmente, partes simétrica e anti-simétrica de 2Q φ . Teor. 2: A CNS para que a soma (diferença) de dois poliádicos de valência par seja um poliádico simétrico (anti-simétrico) é que as suas partes anti-simétricas (simétrica) seja poliádicos opostos: 2Q

φ ± 2Q ψ = ±( 2Q φ ± 2Q ψ ) T

⇐ ∀

φ,

ψ ⇒ (062),

1 2Q 1 ( φ m 2Q φ T ) = m ( 2Q ψ m 2Q ψ T ), 2 2 expressão em que os sinais se correspondem. Com efeito, pois, se transposição de termos: demonstra analogamente.

2Q φ ± 2Q ψ = ± ( 2Q φ ± 2Q ψ ) T

2Q φ m 2Q φ T

= m 2Q ψ + 2Q ψ T

= ± 2Q φ T + 2Q ψ T

= m ( 2Q ψ m 2Q ψ T )

tem-se, por

. A recíproca se

Nas aplicações são comuns os poliádicos de valência par P=2H, com Q=H, caso em que 2H

1 1 φ = ( 2H φ + 2H φ T ) + ( 2H φ − 2 2

φ ),

2H T

(063).

23 A nomenclatura é de Drew (ver bibliografia)

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

192

A primeira parcela em (063) é um 2H-ádico simétrico; a segunda, anti-simétrico. Sejam

∀ P φ , T:

φ = T ψ i j k ...

n m

e i f j g k ... u m v n 1442443 ,

(07),

P − T fatores

e P

φ = e i f j g k ... u m v n 1442443

χ i j k ...

n m

P − T fatores

(071),

duas das representações T-nomiais de Pφ em relação aos P - T sistemas recíprocos de vetores {e*} e {e*}, {f*} e {f*} etc.. Nesses sistemas, os poliádicos T i k T i k ψ j ... m n e χ j ... m n são os T-ádicos motivo de Pφ por montante e por jusante, respectivamente.

Teor. 3: Para Q < T < P, a CNS para que um poliádico Pφ, dado por (07) (ou (071)), seja igual ao seu transposto de ordem Q e posto T para jusante (montante), com o mesmo sinal ou com o sinal contrário, é que os seus T-ádicos motivos por montante (jusante) sejam Q-adicamente simétricos ou anti-simétricos internamente, respectivamente: P

∀ φ , T, Q, Q < T < P: P

φ = ± Pφ

ou, P

φ = ±Pφ

r QT

s QT

⇔ ⇔

ψ i j k ...

χ i j k ...

n m

= ± ( T ψ i j k ... = ± ( T χ i j k ...

r n Q

) ,

s n Q m

) ,

(08),

(081)24.

No caso de transposição para jusante, P

r QT

= ( T ψ i j k ...

r n Q m

)

e i f j g k ... u m v n . 1442443 P − T fatores

Então, igualando membro a membro esta expressão com (07) resulta logo, necessária e suficientemente, a expressão (08). Faríamos a mesma demonstração no caso da transposição para montante.

Corol. 1: Se os T-ádicos motivos de Pφ por montante são respectivamente iguais aos seus T-ádicos por jusante, com os mesmos sinais ou com os sinais contrários, Pφ é igual aos seus transpostos de ordem Q e posto T por montante e por jusante com os mesmos sinais ou com os sinais 24 Nos casos de igualdade de T com Q, ou de T com P, (08) e (08 ) são expressões evidentes. 1

IV,§ 15.01

§ 15.01 - Casos de igualdade entre poliádicos isômeros.

193

contrários: T

i k j

...

n m

=±

i k j

...

⇔

n m

φ=±

r QT

=±

s QT

(09).

Pois, se T ψ i j k ... m n = T χ i j k ... m n , os segundos membros de (08) e (081) são equivalentes, isto é, (08) e (081) são simultâneas; donde, então, (09). Reciprocamente, se P φ = ± P φ

r QT

s QT

= ± Pφ

, de (08) e (081) escrevemos:

φ = T ψ i j k ... m n e i f jg k ... u m v n = ± P φ QT = ± ( T ψ i j k ... m n ) Q e i f jg k ... u m v n ,

φ = e i f jg k ... u m v n T χ i j k ... m n = ± P φ QT = ±e i f jg k ... u m v n ( T χ i j k ... m n ) Q ,

donde a tese.

Definições: (poliádicos Q-adicamente simétricos ou anti-simétricos no posto T) r Os poliádicos

φ tais, que

φ = Pφ

são ditosr Q-adicamente simétricos

por montante no posto T; os tais que φ = − P φ T são ditos Q-adicamente anti-simétricos por montante no posto T. Analogamente são definidos os poliádicos Q-adicamente simétricos e anti-simétricos por jusante no posto T. P

Os 2Q-ádicos simétricos (anti-simétricos) são Q-adicamente simétricos (antisimétricos) no posto 2Q. Nas aplicações (especialmente com espaços diádicos) são úteis certas relações entre os 2H-ádicos anti-simétricos, seus H-adicos associados (§ 10.01) e H-ádicos quaisquer.

Teor. 4: Os 2H-ádicos anti-simétricos gerados com vetores do E1 ou do E3 são incompletos; gerados com vetores do E2 são completos em geral. De fato, o espaço dos 2H-ádicos gerados com vetores do EN tem dimensão N2H e seus subespaçoços, dimensões G≤N2H. Sendo 2HA = - 2HAT os G-ésimos em subespaços obedeceriam a condição 2HAG=(-1)G (2HAT)G=(-1)G 2HAG que também deve valer para G=N2H. Ora, para N=3, G=32H é ímpar e em 2H E 3 2H os anti-simétricos têm G-ésimo nulo e são incompletos; mas poderão ser completos em subespaços de dimensão G=par≤32H. Para N=2, 22H é par e em 2H E 2 2H os anti-simétricos terão G-ésimo em geral não nulo e serão completos em geral; mas poderão ser incompletos em subespaços de dimensão G=ímpar≤22H.

Teor. 5: Todo 2H-ádico anti-simétrico de um 2H E N 2H com N ímpar, pode ser escrito numa forma (NH-1)-nomial de que antecedentes e conseqüentes são H-ádicos

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

194

de um mesmo

E N H −1 .

Ponhamos, em redução NH-nomial: 2H A = H α i H ε i (i=1, 2, ..., NH). Sendo NH ímpar, logo N=1, ou 3, o poliádico é incompleto (Teor. 4), isto é, os seus antecedentes pertencem a certo H E N H −1 uma vez que seus conseqüentes são independentes. Então existem números A1, A2, ..., A N H −1 não simultaneamente nulos, tais, que Ai Hαi = HΟ (i=1, H

2, ..., NH-1). Extraindo-se o valor de substituindo-se na de 2H

A = H α1 ( H ε1 −

A1 A NH

αN

dessa expressão (supõe-se A N H ≠ 0 ) e

Α, resulta:

ε N H )+ H α 2 ( H ε 2 −

A2 ANH

ε N H ) + ...+ H α N

os conseqüentes dessa representação devendo pertencer a um

−1 H

( ε N H −1 −

A N H −1 H A NH

εNH ) ,

E' N H −1 . Mas, devendo ser

− 2H A T = 2H A , resulta que antecedentes e conseqüentes pertencem a um mesmo subespaço, isto é, H E N H −1 ≡ H E' N H −1 ; em outras palavras: o 2H-ádico anti-simétrico é

uniespacial (seu espaço tendo dimensão NH-1).

Definição: ( H E N H −1 de um anti-simétrico) O espaço

E N H −1 , com N ímpar, ao qual pertencem antecedentes e

conseqüentes de qualquer redução NH-nomial de um 2H-ádico antisimétrico, será dito “o H E N H −1 do anti-simétrico”. Teor. 6 O cruzado de qualquer 2H-ádico anti-simétrico de um ímpar, é ortogonal ao seu

E N 2H , com N =

E N H −1 .

Consideremos ((02),§09.04 ), a saber,

< H ρ< 2H φ >>= 2 H ρ H. válida para qualquer Hρ de um

φ ant = −2

φ ant

H H ρ, .

(10),

E G com G≤NH onde opere 2Hφ. Se este for anti-simétrico,

isto é, para 2Qφant=2QA e N=ímpar, 2QA será incompleto (Teor.4); e seus antecedentes e conseqüentes pertencerão ao seu H E N H −1 (Teor. 5). Ora, para qualquer Hρ de H E N H , <Qρ<2QA > será (por definição do produto) ortogonal a Hρ e a <2QA >. Logo, <2QA > será ortogonal ao seu H E N H −1 , c.q.d.

IV,§ 15.01

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

Corol. 2 Qualquer 2H-ádico anti-simétrico de um transforma qualquer ρ de H

195

E N 2H , com N = ímpar

E N H num H-ádico do seu espaço

E N H −1 .

Pois os dois primeiros membros de (10) mostram que o transformado de Hρ é um Hadico do espaço dos antecedentes 2Qφant=2QA.

Corol. 3: Num 2H E N H com N= ímpar 2H

A =− 2H A T e < 2H A >= Q Ο

⇔

A = 2Q Ο

(11).

Teor. 7: A CNS para que um 2Q-ádico seja simétrico é que seu cruzado seja o Qádico nulo. Consideremos ((02),§09.04 ), a saber,

< Q ρ< 2Q φ >>= 2 Q ρ Q. válida para qualquer Hρ de um

φant = −2

φant

Q Q ρ, .

E G com G≤NQ, onde opere 2Qφ. Para 2QφT=2Qφ (2Q-ádicos

simétricos), 2Qφant=2QΟ e <Qρ<2QA >=QΟ. Dada a arbitrariedade de Hρ, <2QA >=QΟ. A recíproca é verdadeira, pois se o cruzado do qualquer 2Qφ é o Q-ádico nulo, então para qualquer Hρ de um Q E G com G≤NQ, onde opere 2Qφ é Q ρ Q. 2Q φ ant = Q Ο . Então: 2Q

φ ant = 2Q Ο e, portanto, 2QφT=2Qφ.

Assim, o cruzado de um diádico (que é idêntico ao seu vetor) é o vetor nulo (conforme já sabíamos) se o diádico é simétrico. O cruzado de um tetrádico simétrico é o diádico nulo, mas seu diádico (ou 2-vetor) é não nulo em geral. De outro lado, é não nulo o cruzado de um tetrádico anti-simétrico (como também já sabíamos), mas seu diádico (ou 2vetor) é o diádico nulo.

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos. A aplicação aos triádicos dos conceitos gerais expostos no § 14.01 pode originar propriedades particulares que apresentam interesse em aplicações práticas, especialmente em Física de Cristais; permite também introduzir nomenclaturas mais adequadas e sugestivas. Podemos escrever um triádico de diversas maneiras (§ 03). Destaquemos as representações contravariantes do triádico 3φ pelas suas escritas diádica, vetorial e cartesiana seguintes, em relação a uma única base vetorial: 3

φ = α ek = a

e je k = A

ijk

e i e je k ,

(i, j, k=1, 2, ..., N)

(011).

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

196

Para o que nos interessa analisar, é mais adequada a escrita vetorial duplamente homônima (duplamente contravariante ou covariante) combinada com a escrita cartesiana triplamente homônima (triplamente contravariante ou covariante, § 03). Entretanto, o leitor poderá comprovar facilmente que tudo o que deduzirmos para o triádico, com essas representações, será válido para qualquer outra representação. De outro lado, devemos nos lembrar (Teor. 7, § 09.02) que a dimensão X do espaço 3 EX criado dependerá das dimensões do 1EN e do 2EY dos quais se origina. Por exemplo: para N=3 e Y=6 (caso de diádicos internamente simétricos, §10.02, II), será X=18. Mas dado um 3EX qualquer, construído com vetores do E3, poderá não ser possível determinar um Y. Em qualquer um dos casos, entretanto, o número de coordenadas independentes do triádico será sempre igual à dimensão do espaço a que pertence. Das (011) podemos deduzir: 3

r 12

s 12

=α =a

ek = A

ijk

eiek e j ,

(031),

e je k e i ,

(041),

e k = e ja

eke j = A

r 1

φ = e je k a

ijk

e je i e k ,

(021),

s 3 1

φ = e k α k = e k a j k e j = A i j k e k ei e j ,

(051),

Se mantivermos as posições dos índices mudos poderemos mudar-lhes os nomes sem que isso implique alteração das somatórias. Por isso, poderemos escrever, em coordenadas cartesianas (no caso, contravariantes): 3 3

ijk

e i e je k ,

(01),

jik

e i e je k ,

(02),

φ =A

kij

e i e je k ,

(03),

φ=A r 12

r 1

s 12

φ =A

s 1

ikj

e i e je k ,

(04),

jki

e i e je k ,

(05).

Como caso particular da fórmula geral (012), § 07.02 resulta (para Q = 1) que:

O produto ponteado de um vetor por um triádico é igual ao produto ponteado do seu transposto de ordem 1 para jusante, por esse mesmo vetor: r

∀ 3 φ, r : IV, § 15.02

r. 3 φ = 3 φ 1 . r ,

s 3

φ . r = r. 3 φ 1 ,

(06);

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

197

vice-versa, o produto ponteado de um triádico por um vetor é igual ao produto ponteado desse vetor pelo transposto de ordem um para montante do triádico. Além disso, se um triádico é vetorialmente simétrico (conforme (03),§ 15.01), 3

r 1

s 1

φ= φ = φ ,

(07),

caso em que r.3φ=3φ.r. Em geral,

∀ 3 φ, r :

φ.r ≠ r. 3 φ ,

(061).

É evidente que se todos os diádicos antecedentes de um triádico são simétricos (antir r simétricos), então

φ= φ 2(

φ = − φ 2 ); se todos os diádicos conseqüentes são 3

s 12

s 1

simétricos (anti-simétricos), então φ = φ ( φ = − φ 2 ).

Definição: (triádicos diádica e internamente simétricos) 3 Os triádicos φ tais, que: 3

r 1

s 1

r 1

1º) - φ = φ 2 , ou φ = − φ 2 , vetorialmente simétricos (ou antisimétricos) por montante no posto 2 serão ditos, simplesmente, diádica e internamente simétricos por montante, ou diádica e internamente antisimétricos por montante, respectivamente; 3

s 1

2º) - φ = φ 2 , ou φ = − φ 2 serão ditos diádica e internamente simétricos por jusante, ou diádica e internamente anti-simétricos por jusante, respectivamente. Teor. 1: A CNS para que um triádico seja vetorialmente simétrico, é que o seu reverso o seja: 3

r 1

φ= φ = φ

s 1

s 3

⇔

s 3

r 1

s 3

s 1

φ= φ = φ ,

(08).

Com efeito, temos, efetuando uma transposição de ordem 1 e posto 2 para jusante, seguida de uma transposição de ordem 1 para jusante nas igualdades que expressam a simetria vetorial do triádico: rr 3 12 1

rr r 3 1 12 1

= φ

sr r 3 1 12 1

= φ

Obtemos logo a expressão da tese, pois: r r 3 12 1

s s 3 1

= φ ,

rr r 3 1 12 1

s r 3 1

= φ

sr r 3 1 12 1

= φ.

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

198

A recíproca se demonstra analogamente, bastando efetuar-se nas igualdades que expressam a simetria vetorial do triádico reverso do triádico dado uma transposição de ordem 1 e posto 2 para montante, seguida de uma transposição de ordem 1 para jusante. Nota: 3

r 1

φ =

s 1

⇒

3 1 3 1 φ= φ = φ ,

(3φ é vetorialmente simétrico)

(081),

o que se comprova facilmente efetuando-se uma transposição de ordem um para jusante na expressão tradutora da hipótese. Mas r 3 1

s 3 1

φ =− φ

⇒

φ= Ο,

(082).

Com efeito, efetuando uma transposição para jusante e outra para jusante, temos: rr 3φ 1 1

= − 3φ , ou

s 3φ 1

= − 3 φ; e

rs 3φ 1 1

= − 3φ 1 1 , ou

3φ

= − 3φ 1 ,

donde φ = − φ , ou

φ= Ο.

Teor. 2: A CNS para que um triádico seja diadicamente (anti-simétrico) simétrico por montante ou por jusante é que o (oposto do) seu reverso seja vetorialmente simétrico por jusante ou montante, respectivamente: 3

r 3 12

φ= ± φ

⇔

s 3 12

φ= ± φ

⇔

s 3 1

s 3

r 3 1

s 3

φ = ± φ,

(09),

φ = ± φ,

(091).

Demonstraremos apenas (09). Efetuando uma transposição de ordem 1 para montante em ambos os membros da igualdade que expressa a anti-simetria e a simetria diádica do triádico por montante, temos: s 3 1

rs 3 12 1

φ =± φ

donde

s 3 1

s 3

φ =± φ .

Reciprocamente, efetuando uma transposição de ordem 1 para jusante em ambos os r s 3 1

s 3

s r 3 1

membros de φ = ± φ , temos: φ = ± φ , donde a tese, porque ± φ

3 1

= ± φ 2.

Analogamente podemos demonstrar (091).

Corol. 1: A CNS para que o reverso de um triádico seja diadicamente (anti-simétrico) simétrico por montante ou por jusante é que o (oposto do) reverso desse triádico seja igual ao seu transposto de ordem 1 para montante ou para jusante, respectivamente: s 3

IV,§ 15.02

s r 3 12

φ= ± φ

⇔

s s 3 1

s 3

φ = ± φ,

(10),

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos. s 3

s s 3 12

φ= ± φ

s r 3 1

⇔

199 s 3

φ = ± φ,

(101).

Com efeito, o Teor. 2 é válido para qualquer triádico, particularmente para o seu reverso.

Teor. 3: É nulo todo triádico diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante e anti-simétrico (simétrico) por jusante: r

± 3 φ 12 = m 3 φ 12

⇒

φ = 3Ο ,

(11).

Pois efetuando uma transposição de ordem 1 e posto 2 para jusante nas expressões s 3

3 1

da hipótese, temos: φ = − φ . Efetuando-se agora, nesta expressão, uma transposição de r 3 1

s 3 1

r 3 1

ordem 1 para montante, resulta: φ = − φ . Logo, φ = − φ = φ , e (082) garante ser 3 φ = 3Ο . Dupla simetria interna. Triádicos simétricos e completamente anti-simétricos. As várias condições apresentadas por ums triádico, a saber: 3

1°)- de ser igual ao seu reverso: φ = φ ; r 3 1

s 3 1

2°)- de ser vetorialmente simétrico: φ = φ = φ ; 3°)- de ser diadicamente simétrico: 3

r 3 12

-por montante: φ = φ , s 3 1

- por jusante: φ = φ 2 ; 4°)- de ser diadicamente anti-simétrico: 3

r 3 12

-por montante: φ = − φ , 3

s 3 12

- por jusante: φ = − φ , serão ditas condições de simetria interna desse triádico. Existem, pois, C 26 = 15 maneiras distintas de um triádico apresentar dupla condição de simetria as quais podem ser reunidas metodicamente nos 5 grupos seguintes: r

 3 φ = 3 φ1 = 3 φ1 r 3  φ = 3 φ 1s2 r w s  3 3 1 3 1 Grupo I: 3 φ = 3 φ e  3 φ = 3 φ 12 ; Grupo II: φ = φ = φ r 3 3 12  φ = − φw  3 φ = − 3 φ 12 

 3 3 12  φ = φs  3 φ = 3 φ 12 r ;  3 3 12  φ= − φ w 3 3 12 φ = − φ 

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

200

Grupo III:

r 3 12

φ= φ

3φ

Grupo V:

 3 3 12  φ= φ r 3 1  φ = − 3 φ 2 ; Grupo IV: w 3 3 12 φ = − φ 

= − 3φ 12

3φ

s 3 12

φ= φ

3  φ = − 3 φ 12 w ;   3 φ = − 3 φ 12

= − 3φ 12 .

Por força Teor. 3 a terceira condição do grupo III e a primeira condição do grupo IV devem ser abandonadas. Por evidência, também devem ser abandonadas as segundas condições desses mesmos grupos. Restam, pois, 11 condições. Para o grupo I temos, para todos os casos: 3φ

= 3φ

r 3φ 1

⇒

= 3φ 12

s 3φ 1

= 3φ 12 ,

(12).

Exercício: Mostrar, a partir de (12), que: r

∀ 3φ = 3 φ :

s r 1 1 s 1 1 1 φ = ( 3 φ+ 3 φ 2 ) + ( 3 φ+ 3 φ 1 ) − ( 3 φ 1 + 3 φ 2 ) , 2 2 2

(121).

* Resulta, então, para o grupo I, considerando as imposições complementares (12): 1) - da primeira condição: 3φ

= 3φ 1 = 3φ 1 = 3φ 12 = 3φ 12 = 3φ ,

(13).

Definição: (triádico simétrico) Um triádico igual ao seu reverso e vetorialmente simétrico (logo, diadicamente simétrico por montante e por jusante) será dito completamente simétrico, ou, simplesmente, simétrico. s 3

r 3 12

2) - da segunda condição: φ = φ = φ = 3 φ 1 . Considerando (12) vê-se que o triádico é simétrico, resultando demonstrado o seguinte 3

Teor. 4: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e igual ao seu reverso é simétrico. 3)- da terceira condição resulta também, tal como no caso anterior, que o triádico satisfaz a (13). Logo:

IV,§ 15.02

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

201

Teor. 5: Todo triádico diadicamente simétrico por jusante e igual ao seu reverso é simétrico. 4) - as duas últimas condiçõess devemr ser descartadas. Com efeito, da r quarta, r considerando (12), escrevemos: r r 3

3 12

φ= φ

3 12

1 donde 3 φ 1 = − 3 φ = − 3 φ 2 , ou

3 1

φ= φ=− φ

= − φ

3 12

= − φ

. O Teor. 3 permite concluir que o triádico é o triádico nulo, o que é absurdo. Analogamente provaríamos que a quinta condição deve ser descartada. Para o grupo II temos, para todos os casos (Teor. 1): 3

r 3 1

s 3 1

φ= φ = φ

⇔

s 3

s r 3 1

r 3 12

s s 3 1

φ= φ = φ = φ

s 3 1

= φ 2,

(14).

Resulta, então, das condições complementares: 1) - da primeira equivalente a (13). Logo:

condição:

r 3 1

s 3 1

r 3 12

φ= φ = φ = φ

s 3

s 3 1

= φ = φ 2,

sistema

Teor. 6: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e vetorialmente simétrico é simétrico. 2) - da segunda condição, tal como deduzido no caso anterior, concluímos:

Teor.7: Todo triádico diadicamente simétrico por jusante e vetorialmente simétrico é simétrico. 3) - da terceira condição e de (14), vem: 3

r 3 1

r 3 12

s 3 1

φ= φ = φ =− φ

s 3 12

=− φ

s 3

=− φ ,

(141).

Definição: (triádico semi-anti-simétrico) Um triádico igual ao oposto do seu reverso e vetorialmente simétrico (logo, diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante) será dito semi-anti-simétrico. Logo:

Teor. 8: Todo triádico vetorialmente simétrico e diadicamente anti-simétrico por montante é semi-anti-simétrico. 4)- da quarta condição e de (141), deduzimos: 3

r 3 1

s 3 1

s 3 12

φ= φ = φ =− φ

r 3 12

=− φ

s 3

=− φ ,

(142).

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

202

Logo:

Teor. 9: Todo triádico vetorialmente simétrico e diadicamente anti-simétrico por jusante é semi-anti-simétrico. Para o único caso do grupo III temos, lembrando que devem subsistir, nesse caso, (09) e (091): 3

r 3 12

s 3 12

φ= φ

= φ

s 3

r 3 1

s 3 1

φ= φ = φ .

Das primeiras igualdades deduzimos: r 3 1

rr 3 12 1

φ = φ

sr 3 11

= φ

s 3 12

r 3 1

φ = φ

= φ.

Logo o triádico satisfaz (13). Então:

Teor. 10: Todo triádico diadicamente simétrico por montante e por jusante é simétrico. Para o grupo V, temos: 3

r 3 12

φ= − φ

s 3 1

= − φ 2 , donde

sr 3 12 1

s 3 12

r 3 1

φ = − φ

= − φ

s 3

= − φ e

s 3 1

s 3

s 3 1

φ = − φ= − φ 2.

Logo, esse triádico satisfaz (141). Então:

Teor. 11: Todo triádico diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante é semianti-simétrico. A simetria e a semi-anti-simetria internas dos triádicos pelas suas coordenadas. Consideremos um triádico gerado com vetores do E3. Podemos dividir as suas 3 = 3 = 27 coordenadas triplamente homônimas25, numa mesma base vetorial, em três classes, conforme a natureza dos algarismos que compõem os índices dessas coordenadas: 3 (AR) 3

- Classe I: algarismos não repetidos. São elas:

123

, A

231

, A

312

e A

321

, A

132

, A

213

;

- Classe II: com 2 algarismos repetidos. São elas:

A 112 , A 121 , A 211

A 113 , A 131 , A 311

A 221 , A 212 , A 122

A 223 , A 232 , A 322

A 331 , A 313 , A 133

A 332 , A 323 , A 233 ;

25 O que vale para esse tipo de coordenadas vale para qualquer outro tipo.

IV,§ 15.02

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

203

- Classe III: com 3 algarismos repetidos. São elas:

111

222

333

Podemos, agora, analisar as várias condições de simetria.

Teor. 12: Se um triádico é igual ao seu reverso, são iguais as suas coordenadas cartesianas triplamente homônimas, numa mesma base, cujos índices estejam em ordem inversa; e reciprocamente: 3

s 3

φ= φ ijk

Com efeito, pois deve ser A

⇔

e i e je k = A

ijk

kji

e k e j e i ; e como uma somatória não se

altera apenas pela troca da notação dos índices repetidos (mantidas as suas posições), o kji último membro pode ser escrito na forma A e i e j e k , donde a tese. Reciprocamente, se ijk

entre as coordenadas de um triádico subsistem as relações A ijk kji A e i e j e k = A e k e j e i , e o triádico é igual ao seu reverso.

kji

, subsistem também

Corol. 1: Se um triádico é igual ao seu reverso ele tem, no máximo, 18 coordenadas independentes. Pois, nesse caso, os diádicos de montante e jusante do triádico são simétricos e a dimensão do espaço corresponde é 18. Suas coordenadas são: - da classe I são apenas 3:

123

321

, A

231

132

, A

312

213

;

- da classe II são apenas 12:

A 112 = A 211 ; A 121 ; A 113 = A 311 ; A 131 ; A 221 = A 122 ; A 212 ; A 223 = A 322 ; A 232 ; A 331 = A 133 ; A 313 ; A 332 = A 233 ; A 323 ; - da classe III são apenas 3:

111

, A

222

e A

333

Assim, teremos, no máximo, 3 + 12 + 3 = 18 coordenadas não nulas.

Teor. 13: Se um triádico é vetorialmente simétrico são iguais as suas coordenadas

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

204

cartesianas homônimas, numa mesma base, cujos índices formem uma permutação circular; e reciprocamente: 3φ

3φ

= 3φ 1 = 3φ 1

⇔

Ai j k = A j k i = A k i j .

(15).

A proposição direta decorre imediatamente de (01), (03) e (05). Temos: = A i j k ei e je k = A j k ie je k ei = A k i je k eie j , já que a notação dos índices mudos não altera

a somatória, apenas a sua posição. Mas sendo, por hipótese, A i j k = A rj k i = A k i j , s podemos escrever 3φ = A i j k ei e je k = A i j k e je k ei = A i j k e k eie j , ou seja, 3φ = 3φ 1 = 3φ 1 ; e a proposição recíproca é verdadeira.

Corol. 1: Se um triádico é vetorialmente simétrico ele tem, no máximo, 11 coordenadas independentes. Pois, devendo as coordenadas do triádico satisfazer (15), podemos constatar que: - as da classe I são apenas 2:

123

231

312

e A

321

132

213

;

- as da classe II são apenas 6:

112

211

= A

121

221

122

= A

212

331

133

= A

313

; A

113

; A

223

; A

332

e A

333

3 11

= A

131

322

= A

233

= A

;

232

323

;

- as da classe III são apenas 3:

111

, A

222

Assim, teremos, no máximo, 2 + 6 + 3 = 11 coordenadas não nulas. Nota Pode-se constatar aqui, facilmente, que, escrito o triádico na forma trinomial

φ = α ek

(k=1, 2, 3) e cada antecedente na forma eneanomial α k = A ijk e e (i, j= 1, 2, 3), as i j matrizes associadas a esses antecedentes são: uma simétrica e duas não simétricas (com alguns elementos de umas, iguais aos de outras), o que impossibilita a fixação de um único espaço (diferente do 2E9) a que poderiam pertencer todos os antecedentes.

Teor. 14: Se um triádico é diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante ou por jusante, são iguais (opostas) as suas coordenadas homônimas, numa mesma base, cujos índices apresentem, respectivamente, os últimos ou os primeiros algarismos iguais e os outros dois alternados; e reciprocamente: IV,§ 15.02

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

φ=± φ 3

r 12

φ=± φ

⇔ s 12

⇔

ijk

=±A

ijk

jik

=±A

205

ikj

(151), .

(152).

Com efeito, para o caso dos triádicos diadicamente simétricos (anti-simétricos) por ijk jik montante, (01) e (02) implicam A = ± A , o que demonstra a primeira parte do teorema direto. Para o caso de simetria (anti-simetria) por jusante, (01) e (04) acarretam ijk ikj A = ± A , o que demonstra a segunda parte. A recíproca se demonstra como na demonstração do Teor. 13.

Corol. 1: Um triádico diadicamente simétrico (anti-simétrico) por montante ou por jusante tem, no máximo, 18 (9) coordenadas independentes. Com efeito, como todos os seus diádicos antecedentes (por hipótese, existentes) sejam simétricos (anti-simétricos), ou todos os seus conseqüentes, o número máximo de coordenadas independentes é seis (três) para cada diádico, ou seja, 18 (9) no total.

Triádicos internamente simétricos e semi-anti-simétricos. Qualquer dupla simetria implica que o triádico seja simétrico ou semi-anti-simétrico, conforme os Teor. 3 a 11.

Teor. 15: Se um triádico é simétrico (semi-anti-simétrico), são iguais (números opostos) as suas coordenadas homônimas, numa mesma base, cujos índices apresentem os últimos algarismos iguais com os outros dois primeiros alternados e os primeiros algarismos iguais com os dois últimos alternados: 3

φ=

r 3 12

s 3 12

r 3 1

s 3 1

s 3

= φ = φ

= φ

⇔ ,

⇔ 3

r 3 12

φ= − φ

r 3 1

φ =

ijk

s 3 1

= A

jik

ikj

s 3

= − φ

jki

⇔ .

⇔

ijk

= − A

jik

jki

= − A

ikj

Esse teorema resulta da aplicação simultânea dos Teor. 13 e 14 (duas condições de simetria simultâneas).

Corol. 1: Um triádico simétrico tem 10 coordenadas independentes; um semi-antisimétrico, apenas uma. Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

206

Pois as coordenadas da classe I são: uma no caso de simetria,

123

231

312

321

= A

132

213

;

uma no caso de semi-anti-simetria: A1 2 3 = A 2 3 1 = A 3 1 2 = − A 3 2 1 = − A1 3 2 = − A 2 1 3 ; as da classe II são apenas 6, no caso de simetria:

112

211

121

e A

113

221

122

212

331

133

313

3 11

131

e A

223

322

232

e A

332

233

323

e todas nulas, no caso de semi-anti-simetria; as da classe III são 3, no caso de simetria:

111

, A

222

e A

333

;

e todas nulas no caso de semi-anti-simetria. No total temos, então, 10 coordenadas independentes, no máximo, no caso de simetria; e apenas uma no caso de semi-antisimetria. A um triádico simétrico está, pois, associada a matriz coluna cujos elementos são matrizes simétricas 3x3, assim representadas:

A111 A112 A113   A122 A123  ,   A133   sim.

A112 A122 A123   A 222 A 223  ,   A 233   sim.

A113 A123 A133   A 223 A 233  ,   A 333   sim.

suas coordenadas independentes sendo: 1) – da primeira matriz: as três da primeira linha, as duas apresentadas na segunda linha e na terceira, num total de 6; 2) – da segunda matriz: as apresentadas na quinta e sexta linhas; 3) – da terceira matriz: a da última linha. A um triádico semi-anti-simétrico, analogamente, está associada a matriz coluna cujos elementos são matrizes anti-simétricas 3x3, assim representadas:

0   0 0  123 0 A  ,  anti 0 

 0 0 - A123    0 0 ,  anti 0   

 0 A123  0  anti 

0  0 . 0 

Nota: Podemos resumir as conclusões relativas às coordenadas independentes de um triádico,

IV,§ 15.02

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

207

em função das várias condições de simetria por ele apresentada, da seguinte maneira: se um triádico é diadicamente simétrico (anti-simétrico) ele tem, no máximo, 18 (9) coordenadas independentes; se ele é vetorialmente simétrico ele tem, no máximo, 11 coordenadas independentes; se ele tem uma dupla simetria (de qualquer natureza) ele poderá ser: simétrico, e terá, no máximo, 10 coordenadas independentes; ou completamente anti-simétrico, e terá uma coordenada independente.

O triádico de Civita, 3I 3

Os triádicos semi-anti-simétricos serão representados por Α , Β etc.; as suas coordenadas contravariantes independentes, por A*, B* etc., e as covariantes por A*, B* etc. , respectivamente. Assim, em relação às bases recíprocas {e*} e {e*}, escrevemos: 3

A = A ∗e1e 2 e 3 + A ∗e 2 e 3e1 + A ∗e 3 e1e 2 − A ∗e 3 e 2 e1 − A ∗ e1e 3 e 2 − A ∗ e 2 e1e 3 ,

A = A ∗e1e 2 e 3 + A ∗e 2 e 3e1 + A ∗e 3 e1e 2 − A ∗e 3 e 2 e1 − A ∗ e1e 3 e 2 − A ∗ e 2 e1e 3 .

Com a definição dos permutadores (§ 04.02, I), podemos expressar os triádicos completamente anti-simétricos numa forma mais compacta. Ponhamos: 3

E ∗ = ε ijk e i e je k = e1e 2 e 3 + e 2 e 3 e1 + e 3 e1e 2 − e 3e 2 e1 − e1e 3 e 2 − e 2 e1e 3 ,

(16),

e 3

E ∗ = ε ijk e i e je k = e1e 2 e 3 + e 2 e 3 e1 + e 3 e1e 2 − e 3e 2 e1 − e1e 3 e 2 − e 2 e1e 3 ,

(161).

Multiplicando ambos os membros de (16) por (e1e2e3) e os de (161) por (e1e2e3), temos:

(e1e 2 e 3 ) 3 E ∗ = (e1e 2 e 3 )ε ijk e i e je k

(e1e 2 e 3 ) 3 E ∗ = (e1e 2 e 3 )ε ijk e i e je k .

Lembrando, conforme ((04) e (041), § 04.02, I), que

(e1e 2 e 3 )ε ijk e k = e i × e j

(e1e 2 e 3 )ε ijk e k = e i × e j ,

(e1e 2 e 3 )ε ijk e i = e j × e k

(e1e 2 e 3 )ε ijk e i = e j × e k ,

e que, ainda,

escrevemos:

(e 1e 2 e 3 ) 3 E ∗ = e i e j e i × e j = e j × e k e j e k e

(e1e 2 e 3 ) 3 E ∗ = e i e je i × e j = e j × e k e je k . Ora, considerando o tetrádico unidade (§ 08.01) e seus invariantes denominados primeiro e terceiro triádicos (§ 11.02), temos: 4

Ι V = e i e je i × e j = e i e je i × e j , 3

Ι = e i e je e = e e e i e j , 4

Ι V = e i × e je i e j = e i × e je i e j ; 1

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

208

logo, lembrando (11),§ 10.02:

(e1e 2e3 ) 3 E∗ = 4 Ι V3 = 4 Ι V1 = (e1e 2e 3 ) 3 E∗ = −Ι × Ι ,

(17).

Definição: (triádico de Civita) O triádico (17), por ser um invariante do tetrádico unidade, é universal; será denominado triádico de Civita e representado por 3 Ι , isto é, 3

Ι = 4 Ι V3 = 4 Ι V1 = −Ι × Ι = (e1e 2 e 3 ) 3 E ∗ = (e1e 2 e 3 ) 3 E ∗ , ∀{e ∗ } ,

(171).

Então,

∀ 3A :

A = A ∗ 3 E ∗ = A ∗ 3 E ∗ = A ∗ (e1e 2 e 3 ) 3 Ι = A ∗ (e1e 2 e 3 ) 3 Ι ,

(18)26,

donde,

A ∗ (e1e 2 e 3 ) 1 = = (e1e 2 e 3 ) 2 = , A ∗ (e1e 2 e 3 ) (e1e 2 e 3 ) 2

(19).

Não é difícil comprovar, lembrando (11) e (12), (§ 10.02), que o triádico de Civita goza das seguintes propriedades: 3

Ι .3 Ι = Ι × Ι × Ι = 3 E∗ . 3 E ∗ = 3 E∗ . 3 E ∗ ,

∀{e ∗ } ,

Ι : 3 Ι = 2Ι = 3 Ε ∗ : 3 Ε ∗ = (Ι × Ι ) : (Ι × Ι ) ,

3 3 Ι •

= 6 = 3Ε∗

3 3 ∗ Ε •

= (Ι × Ι ) 3• (Ι × Ι ) ,

(20).

Então deduzimos, das igualdades (18), considerando (20)3:

A∗ =

1 3 A 6

3 3 ∗ E •

e A∗ =

1 3 A 6

3 3 E∗ , •

(201).

* Exercício: Determinar a matriz 9x3 associada ao tetrádico de Civita em bases vetoriais quaisquer. *

Teor. 16:

∀v:

Ι . v = − v × Ι = v .3 Ι ,

(21).

Pois, considerando (171) e (18), operando e agrupando convenientemente, vem:

26Por (17 ) vemos que o triádico de Civita é um tensor; por (18) vemos que os triádicos semi-anti-simétricos 1 não o são.

IV,§ 15.02

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

209

Ι . v = 4 Ι V1 . v = e i × e je i (e j . v ) = −( v . e j )e j × e i e i = −[( v . e j )e j ] × e i e i ,

donde os dois primeiros membros de (21) porque dentro dos colchetes temos v ((071), § 03.03,I) e o segundo fator do produto vetorial é Ι. Analogamente,

v. 3 Ι = v. 4 Ι V = ( v. e i )e je i × e j = −e je j × e i (e i .v) = −Ι × v , 3

donde, então, os dois últimos membros de (21), posto que, conforme ((08), § 06.01, II), Ι× v = v×Ι . Corol. 1: O produto vetorial de dois vetores quaisquer numa certa ordem vale o produto ponteado do primeiro pelo triádico de Civita e pelo segundo vetor nessa ordem, com o sinal trocado:

∀r, v :

− r × v = r. 3 Ι .v = v × r ,

(211).

Teor. 17:

∀ Α = −Α T :

Α=

1 3 Ι . ΑV 2

Α V = 3Ι : Α ,

(22).

Como o diádico Ι × v é anti-simétrico ((12),§06.01,II), (21) garante ser

Ι . ΑV

anti-simétrico. O vetor de Ι . Α V pode ser calculado facilmente de (21) e de ((011), § 3

06.03, II). Temos: ( 3 Ι . Α V ) V = −(Ι × Α V ) V = 2Α V . Então os diádicos anti-simétricos: Α e

13 Ι . A V , têm o mesmo vetor. Pelo Corol. 2, Teor.7, § 04.02, II, esses diádicos são iguais, 2 o que comprova (22)1. Temos, ainda, considerando (171) e (161): 3Ι:A

= (e1e 2 e 3 )ε ijk e i e j e k : A rs e r e s = (e1e 2 e 3 )ε jki A jk e i ,

isto é, lembrando ((04), §04.02),

3Ι:A

= A jk e j × e k = A V , o que conclui a demonstração

do teorema. *

Exercício: Provar que: 3

3 3 3 . φ = φ V1E

Para 3 φ = abc , 3 Ι

3 3 × φ=

3 .

abc = abc

( 3 φ V1 × Ι ) 1 − Ι 3 φ V1 ,

3 3 Ι ×

= Ι × 3 φ V2 − ( 3 φ V1 × Ι ) 1

Teor. 18:

∀φ : Ponhamos,

redução

φ : 3Ι = φV = − 3Ι : φ , trinomial

arbitrária,

(23).

φ = eia i

segundo

(171),

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

210 3

Ι = −e r e r × e je j . Tem-se, sem delongas: φ : 3 Ι = −δ ir a i .e r × e je j = −(a i × e i .e j )e j = e i × a i = φ V . Analogamente se demonstra a parte restante de (23).

Transposições com o hexádico de Civita, 6C Por definição, hexádico de Civita, que denotaremos por 6C, é o produto justaposto de dois triádicos de Civita, logo simétrico: 6 C = 3Ι 3Ι , (24), podendo-se, conforme (17)1, escrevê-lo sob a forma: 6

C = Ι × Ι Ι × Ι = 3 E∗ 3 E∗ = 3 E∗ 3 E∗ ,

(25).

As fórmulas (20) permitem determinar alguns de seus invariantes primários e secundários.

Teor. 19: (transposições sobre um P-ádico) Trasnsposições sobre um P-ádico podem ser obtidas como produtos ponteados triplos de isômeros do hexádico unidade pelo P-adico (P≥3): P

φ 3. 6 Ι = P φ

φ 3. 6 Ι 12 = P φ 12

φ 3. 6 Ι 12 = P φ 2312

φ 3. 6 Ι 13 = P φ 3. 6 Ι 13 = P φ 13

φ 3. 6 Ι 23 = P φ 3. 6 Ι 23 = P φ 23 ,

3 P P . φ= φ

r 6 12 3 P Ι . φ

= P φ 12 ,

s s

s 6 12 3 P Ι . φ

= P φ 2312

= (e i e je k )e i e k e j

3 .

r r

r s 6 13 3 P Ι . φ = 6 Ι 13 3. P φ

r 6 23 3 P Ι . φ

Tem-se, por exemplo, pondo : 6 Ι = e i e je k e i e je k e s 6 12 3 P Ι . φ

= 6 Ι 23

φ = emenep

3 P . φ

P −3 mnp

(e m e n e p ) P −3 φ mnp = e m e p e n

= P φ 23 ,

(26)

P −3 mnp

= P φ 13 ,

r r

= P φ 231 2

Analogamente se demonstram as demais fórmulas.

Teor. 20: (expressões de 6C em função de isômeros de 6I) Tem-se: s

C =( 6 Ι + 6 Ι 13 + 6 Ι 23 ) −( 6 Ι + 6 Ι 13 + 6 Ι 23 ) 12 ,

IV,§ 15.02

(27),

(28).

§ 15.02 – Simetria interna dos triádicos.

211

De fato, considerando o hexádico na forma (25) e considerando (17)1, vem: 6

C = Ι × Ι Ι × Ι = e i (e i × e j )e j e r (e r × e s )e s = ε ijp ε rsq e i e p e je r e q e s .

Desenvolvendo o produto dos permutadores na forma do determinante de Gram (§04.02,I), tem-se: 6

C = eie pe jeie pe j + eie pe je pe jei + eie pe je jeie p − − eie je pe peie j − eie pe jeie je p − eie pe je je pei s 6 23

cuja primeira parcela é 6Ι. A segunda parcela é, trivialmente, r 6 23

escrevendo-se I na forma Ι = e p e je i e e e , tem-se: Ι 6

p j i

o hexádico relativo à segunda parcela de 6C, ou seja, análise com as demais parcelas podemos escrever: s

s s

etc. Entretanto,

= e i e p e je e e que é exatamente p j i

s 6 23

Ι = 6 Ι 23 . Efetuando a mesma r

r r

C= 6 Ι + 6 Ι 13 + 6 Ι 23 − 6 Ι 12 − 6 Ι 1312 − 6 Ι 2312 = 6 Ι + 6 Ι 13 + 6 Ι 23 − 6 Ι 12 − 6 Ι 1312 − 6 Ι 2312 ,

tornando-se fácil, agora, comprovar (27) e (28).

Teor. 21: (produtos de Pφ por 6C) Tem-se, ∀ P φ : r

C 3. P φ =( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) −( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) 12 ,

φ 3. 6 C =( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) −( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) 12 ,

(29).

(30).

Estas fórmulas são de dedução imediata, bastando escrever 6C nas formas (27) e (28) e efetuar as operações indicadas aplicando as fórmulas (26). *

Exercício

1 – Se, por definição: 4 S = 4 Ι − 4 Ι 12 , então: r

S : P φ = P φ − P φ 12

φ : 4 S = P φ − P φ 12

C : P φ = 4 S : ( P φ + P φ 13 + P φ 23 )

φ : 6 C = ( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) : 4 S *

Observemos que r

φ = P φ 12

⇔

r P 13

r v

φ = P φ 2312

φ 23 = P φ 1312 ,

(31),

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

212

φ = P φ 12

s P 13

⇔

s s

φ = P φ 2312

φ 23 = P φ 1312 ,

(32).

Somando membro a membro as igualdades (31) conclui-se que é nulo o segundo membro de (29). Resultado análogo pode ser obtido somando membro a membro as igualdades (32). Assim,

Teor. 22:

P- 6

Ο,

(33),

P φ = P φ 12 ⇒ φ 6. 6 C = devendo observar-se que a recíproca não é verdadeira, isto é:

P- 6

Ο,

(34),

φ = P φ 12

⇒

6 P . φ

( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) −( P φ + P φ 13 + P φ 23 ) 12 = P Ο , não acarreta necessariamente nenhuma das simetrias (31) isoladamente. A mesma observação é válida para o outro caso.

§ 15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos. Como vimos (§ 03), podemos escrever um tetrádico de diversas maneiras. Destaquemos as representações contravariantes do tetrádico 4φ pelas suas escritas: triádica (binária necessariamente), diádica (ternária), vetorial (quaternária necessariamente) e cartesiana. São elas, em relação a uma mesma (e única) base: 4

φ = φ ek = α

e je k = a

hij

eheie j = (01).

= ehβ

ek = eh ψ = ehei γ

hijk

e h e i e je k ,

Para o que nos interessa analisar são adequadas as escritas multiplamente homônimas (contravariantes, como as (01)), triádicas, diádicas, vetoriais e cartesianas. Entretanto, o leitor poderá comprovar facilmente que tudo o que deduzirmos para o tetrádico, com essas representações, será válido para qualquer outra representação. Das (01) podemos deduzir: 4

r 1

φ = e h e i e ja

hij

=β

ek eh = ψ e h = ei γ

eh = (02),

=A 4

s 1

φ = e k φ = e kα

hijk

e i e je k e h = A

hij

ehei = e k ehβ

hijk

ek e heie j = A

e j = e ja

khij

e h e i e je k ,

= (03),

IV,§ 15.03

ijkh

e h e i e je k ,

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

r 2

s 2

φ = φ = e je k α

= e i e ja

hij

213

eh = (04),

hijk

= γ ehei = A 4

r 12

= φ

r k12

ek = α

jkT

e je k = e h a

hij

e je k e h e i = A

jkhi

e h e i e je k ,

eie j = (05),

= eieh γ 4

s 12

= α

eke j = a

hij

hijk

=A 3

e h e je i = e h ψ

s h 12

e i e h e je k = A

ihjk

e heiek e j = A

hikj

e i e je h e k = A

ijhk

ehekeie j = A

hjki

e h e i e je k ,

= (06),

hijk

ehek = A

hijk

= ehei γ 4

r 13

= φ

r k1

ek = eheia

hij

hiT

e h e i e je k ,

ej = (07),

=β 4

s 13

= a

hij

e je h e i = e h e k β

= eh ψ 4

r 23

= φ

s k1

e h e i e je k ,

s h1

e k = e jα

(08), hijk

ek = eia

hij

e h e i e je k ,

ehe j = (09),

s 23

= a

hij

e i e je h = e h ψ

s h2

hijk

ei = A

hijk

e je h e i e k = A

ijhk

e h e je k e i = A

hkij

e h e i e je k ,

= (10).

= ehγ

e h e i e je k ,

Estudo das simetrias pelas escritas triádicas, diádicas e vetoriais

Teor. 1: Se os triádicos de montante (jusante) de um tetrádico são vetorialmente simétricos, esse tetrádico é vetorial e diadicamente simétrico por jusante (montante) no posto 3; e reciprocamente: 3 3

r k1

φ = φ = φ h

r h1

φ = ψ = ψ

s k1

s h1

⇐ ∀ ⇐ ∀

4 4

3 k

φ = φ ek ⇒ φ = 3

φ = eh φ ⇒

φ =

4 4

φ φ

r 13

s 13

r 2

s 23

= φ 3, = φ ,

(11); (111).

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

214

r k1

s k1

Pois, se φ = φ = φ a comparação dos segundos membros de (01)1, (07) e (08) implica imediatamente (11). Demonstramos a recíproca analogamente. Sendo iguais os primeiros membros de (01)1, (07) e (08) temos, igualando os seus segundos membros: r s 3

φ e k = φ e k = φ e k , donde, imediatamente, a tese. Com raciocínio análogo demonstraríamos (111).

Corol. 1: Se um tetrádico é igual aos seus transpostos de ordem 1 e posto 3 e ordem 2 e posto 3, ambos para jusante (montante), o reverso desse tetrádico é igual aos seus transpostos de ordem 1 e posto 3 e ordem 2 e posto 3, ambos para montante (jusante); e reciprocamente:

4  φ =  4  φ =

φ φ

r 13 s 13

φ φ

r 23 s 23

s 4

⇔

Pois, sendo 4

s 4

⇔

φ = φ

r 13

s 4

φ =

s 4

φ =

φ φ

s 13 r 13

s 4

φ φ

s 23 r 23

(112).

r 23

= φ ,

temos, revertendo todos os membros: s 4φ

Sendo 4

r 13

r s r s = ( 4 φ 13 ) = (4 φ 2 3 ) . s 4

( φ ) = φ

s 13

resulta logo a tese. 4

r 23

s 4

( φ ) = φ

e s 13

s 23

Analogamente, se fosse φ = φ = φ , por reversão de todos os membros encontraríamos a nova tese. Podemos demonstrar a recíproca analogamente.

Teor. 2: Se os triádicos de montante (jusante) de um tetrádico são diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por montante (jusante) esse tetrádico é, respectivamente, diadicamente simétrico ou diadicamente antisimétrico por montante (jusante); e reciprocamente: 3

r 3 k12

φ = ± φ

ψ = ± ψ

s h12

⇐ ∀ ⇐ ∀

3 k

φ = φ ek ⇒ 3

φ = eh ψ ⇒

r 3 k12

r 12

s 12

φ = ± φ ,

(12); (121).

Pois, se φ = ± φ , a igualdade dos segundos membros de (01) e (05) implica a igualdade dos primeiros; donde, então, (12). A recíproca é de demonstração evidente.

IV,§ 15.03

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

215

Corol. 1: Se um tetrádico é diadicamente simétrico ou anti-simétrico por montante (jusante), o seu reverso é, respectivamente, diadicamente simétrico ou anti-simétrico por jusante (montante); e reciprocamente: 4

φ=± φ 4

r 12

s 4

⇔

s 12

s 4

⇔

s 4

s 12

s 4

r 12

φ=± φ φ=± φ

(122).

Teor. 3: Se os triádicos de montante de um tetrádico são diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por jusante, então seus triádicos de jusante são, respectivamente, diadicamente simétricos ou diadicamente anti-simétricos por montante; e reciprocamente: 3

s 3 k12

φ = ± φ

⇐ ∀

3 k

φ = φ ek = eh ψ ⇒

r 12

= ± ψ ,

(13).

Considerando o quinto membro de (01), escrevemos: 4

φ = ehβ 3

s 3 k12

e h , sendo φ = e h β

Como, por hipótese, φ = ± φ 3

, deduzimos: β

ψ = (± β

kh T

ψ =β

= ( ± β 3

) ek = ψ

r h 12

ek .

) . Logo:

Definições: (tetrádicos internamente simétricos ou anti-simétricos pelo centro) Os tetrádicos cujos triádicos de montante (jusante) são diadicamente simétricos por jusante (montante) são ditos diádica e internamente simétricos pelo centro. Os tetrádicos cujos triádicos de montante (jusante) são diadicamente anti-simétricos por jusante (montante) são ditos diádica e internamente anti-simétricos pelo centro. Todas as simetrias consideradas a seguir são internas, o que nos permitirá simplificar a linguagem.

Teor. 4: Se o tetrádico 4φ é diadicamente simétrico ou diadicamente anti-simétrico pelo centro, então: 4

s 4

φ = ± φ

rs 131

s 4

= ± φ

sr 131

, ou,

s 4

φ = ± φ

s 4

rs 131

Pois, sendo, por exemplo, conforme (13), ψ = ± ψ (01): 3

± e h ψ = e h 3ψ

r h12

= φ

= ± φ

r h12

sr 131

(14).

, temos, conforme (112) e

= ± φ.

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

216

Teor. 5: Se são iguais os transpostos de ordem 1 de um tetrádico, para montante e jusante, esse tetrádico é simétrico; e reciprocamente: r 4 1

φ = 4 φ1

s r 4 1

φ = 4 φ1

⇔

s 4

⇔

φ = 4 φ 2 = 4 φ 2 = 4φT s

(15),

φ = 4 φ2 = 4φ2 = 4 φT ,

(151).

Pois, efetuando-se transposições de ordem 1 para jusante e montante nas expressões das hipóteses em (15), vem: rr

φ 11 = 4 φ 11 ,

ou ,

φ2 = 4φ

ou ,

φ = 4φ2 ,

donde a tese. Trocando-se em (15), o tetrádico pelo seu reverso tem-se logo (151). A recíproca se demonstra analogamente.

Teor. 6: Se um tetrádico é vetorialmente simétrico, são iguais os seus triádicos correspondentes de montante e de jusante; e reciprocamente: 4 s 4

φ = φ =

4 s 4

φ1 = φ

r 1

4 s 4

φ1 ⇐ φ

s 1

4 s 4

⇐

φ =

φ i e i = e i 3 ψi ⇒ s 3

φ = ei φ

s 3

ψi =

s 3

ψ ei ⇒ i

3 s 3

φi ,

(16).

Teor. 7: Se um tetrádico (expresso em escrita diádica ternária) é simétrico, são iguais os seus diádicos correspondentes de montante e de jusante; e reciprocamente: 4 s 4

φ = φ =

4 s 4

φ φ

r 2 r 2

= =

s 4 2

s s 4 2

⇐ ⇐

4 s 4

φ = α eie j = eie j β φ = e i e j (α )

⇒ α

= β

= ( β ) e je i ⇒ α

ij T

Nota: r s 4 φ = 4 φ 2 = 4 φ 2 = 4 φ T com 4 φ = α i β = β α i não implica i i porque a sua escrita não é diádica ternária mas binária.

= β

necessariamente

(17).

α = β i

Teor. 8: Se os triádicos de montante e de jusante de um tetrádico são correspondentemente reversos, esse tetrádico é igual ao seu reverso; e reciprocamente: 3

IV,§ 15.03

s 3

= ψ ou

s 3 k

⇔

φ =

s 4

φ,

(18).

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

217

Com efeito, pois escrevendo s

φ = e h 3 ψ h = 3 φ k e k , tem-se 4 φ = 3 ψ h e h = e k 3 ψ k ;

donde, considerando-se as hipóteses: s 4

φ =

φ ek = ek ψ

φ.

A recíproca é demonstrada analogamente.

Estudo da simetria pelas escritas cartesianas As coordenadas cartesianas de um tetrádico (numa mesma base vetorial) são tantas quantas são os arranjos com repetição de três objetos tomados quatro a quatro, isto é, 4 4 (AR) = 3 = 81 . Consideremos coordenadas não mistas, por exemplo, as duplamente 3 covariantes, dentre os quatro tipos possíveis (§03.04); o leitor poderá comprovar que tudo o que deduzirmos considerando estas coordenadas valerá também para as coordenadas duplamente contravariantes. Vamos dividi-las em 4 classes, conforme a natureza dos algarismos que compõem os seus índices (necessariamente repetidos): Classe I: com uma quadra de algarismos repetidos. São elas: A1111, A2222 e A3333,

(191),

em número de 3; Classe II: com um terceto de algarismos repetidos. São elas: com o número 1: A1112, A1121, A1211 e A2111 (4 agrupamentos com o número 2) A1113, A1131, A1311 e A3111 (4 agrupamentos com o número 3), com o número 2: A2221, A2212, A2122 e A1222 (4 agrupamentos com o número 1) A2223, A2232, A2322 e A3222 (4 agrupamentos com o número 3), com o número 3: A3331, A3313, A3133 e A1333 (4 agrupamentos com o número 1) A3332, A3323, A3233 e A2333 (4 agrupamentos com o número 2),

(192),

em número de 24;

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

218

Classe III: com uma dupla de algarismos repetidos. São elas: com o número 1: A1123, A1213, A1231, A2311, A2131 e A2113 A1132, A1312, A1321, A3211, A3121 e A3112, com o número 2: A2213, A2123, A2132, A1322, A1232 e A1223 A2231, A2321, A2312, A3122, A3212 e A3221, com o número 3: A3312, A3132, A3123, A1233, A1323 e A1332 A3321, A3231, A3213, A2133, A2313 e A2331;

(193),

em número de 36; Classe IV: com duas duplas de algarismos repetidos. São elas: com os números 1 e 2: A1122, A1212, A1221, A2211, A2121 e A2112 ; com os números 2 e 3: A3322, A3232, A3223, A2233, A2323 e A2332 ; com os números 3 e 1: A3311, A3131, A3113, A1133, A1313 e A1331 ,

(194),

em número de 18. Total: 3 + 24 + 36 + 18 = 81.

Tetrádico igual ao seu reverso

Teor. 9: Se um tetrádico é igual ao seu reverso, são iguais as suas coordenadas cartesianas não mistas cujos índices estejam em ordem inversa; e reciprocamente: s

φ = 4φ

⇔ A hijk = A kjih ,

(20).

Com efeito, pois se

φ = 4 φ , deve ser A hijk e h e i e je k = A hijk e k e je i e h . Com uma

somatória não se altera pela troca da notação dos índices, desde que se mantenham as suas posições, A hijk e h e i e je k = A kjih e h e i e je k ; donde, então A hijk = A kjih . A recíproca pode ser

IV,§ 15.03

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

219

demonstrada analogamente.

Corol. 1: Se um tetrádico é igual ao seu reverso ele tem 45 coordenadas independentes. Pois, - as da classe I são: A1111, A2222, A3333; - as da classe II são: A1112 = A2111, A2221 = A1222, A3331 = A1333,

A1121 = A1211, A2122 = A2212, A3133 = A3313,

e e e

A1113 = A3111, A1131 = A1311; A2223 = A3222, A2322 = A2232; A3332 = A2333, A3233 = A3323,

num total de 12; - as da classe III são: com o número 1: A1123 = A3211, A1213 = A3121, A1231 = A1321 A1132 = A2311, A1312 = A2131, A2113 = A3112 com o número 2: A2213 = A3122, A2123 = A3212, A2132 = A2312 A2231 = A1322, A2321 = A1232, A1223 = A3221 com o número 3: A3312 = A2133, A3132 = A2313, A3123 = A3213 A3321 = A1233, A3231 = A1323, A1332 = A2331 num total de 18. - as da classe IV são: A1122 = A2211, A3322 = A2233, A3311 = A1133,

A1212 = A2121, A3232 = A2323, A3131 = A1313,

A1221 = A2112; A3223 = A2332; A3113 = A1331;

num total de 12. Logo, o número de coordenadas independentes é 3 + 12 + 18 + 12 = 45. * Exercício 1: Determine, em base vetorial arbitrária, a matriz associada ao tetrádico que é igual ao seu reverso. *

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

220

Tetrádicos diadicamente simétricos Denotemos por 4C um tetrádico que opere transformações lineares de um 6-espaço de diádicos simétricos, Eu, para um 9-espaço de diádicos não simétricos, Σu; então: Σ u = 4 C : Ε u . Se, de algum modo, soubermos que a certos Eu, conhecidos e independentes (logo, u=1, 2, ..., 6), correspondem certos Σu também conhecidos (não necessariamente independentes), a transformação estará determinada, ou, ainda, 4C estará determinado (conforme Teor. 1, § 06.04); tem-se: 4

C = ΣuΕu ,

(u=1,2,...,6),

(21),

onde, relembramos, os diádicos Ε1, Ε2, ..., Ε6 são os recíprocos dos Ε1, Ε2, ..., Ε6 (§ 09.06). Como os diádicos Ε1, Ε2, ... são também simétricos, o tetrádico 4C é diadicamente simétrico por jusante. * Exercício 2: Comprovar que qualquer matriz não mista 9x9 associada ao tetrádico 4C (§03.04) tem a segunda coluna igual à quarta (pois Chi12=Chi21), a terceira igual à sétima (pois Chi13=Chi31) e a sexta igual à oitava (Chi23=Chi32). Esse tetrádico é, pois, incompleto (o principal do determinante de sua matriz não mista é de ordem não maior que seis) e apresenta não mais que 54 coordenadas independentes.

Exercício 3: Seja dado (em coordenadas contravariantes) o tetrádico simétrico por jusante: 4 φ=Aijmneiejemen= Aijmneiejenem, em que a base {e1,e2,e3} é qualquer. Desta base podemos deduzir (§10.02,II) a base diádica simétrica µ1=e1e1, µ2=e2e2, µ3=e3e3, µ4=(e1e2+e2e1)/ 2 , µ5=(e2e3+e3e2)/ 2 , µ6=(e1e2+e2e1)/ 2 , usando a notação moderna. Então: 4φ=eiejαij=eiejαijT, para i,j=1,2,3, os 9 diádicos αij sendo simétricos (αij=αijT ) e

αij=Aij1µ1+ Aij2µ2+ Aij3µ3+

Aij4µ4+

Aij5µ5+

Aij6µ6.

Exercício 4: Se o tetrádico 4φ do exercício 3 for dado pelas coordenadas (agora, mistas) na forma 4 ijmn φ=A eiejemen= Aijmneiejenem, então:

αij=Aij1µ1+ Aij2µ2+ Aij3µ3+

Aij4µ4+

Aij5µ5+

Aij6µ6,

sendo {µ1, µ2,...,µ6} a base diádica recíproca da base referida no exercício 3 e Aijr=Aiju(µu : µr), ou Aijr=Aiju(µu : µr). *

IV,§ 15.03

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

221

Suponhamos, agora, que os poliádicos em pauta estejam associados a fenômenos físicos, e a transformação linear entre os espaços deve existir nos dois sentidos (podemos afirmar que qualquer um dos diádicos é função do outro). Então deve existir um tetrádico 4 C’ que opere transformações lineares de um 9-espaço de diádicos não simétricos, Σv, para um 6-espaço de diádicos simétricos, Ev sendo: Ε v = 4 C′ : Σ v (logo, v=1, 2, ..., 9). Se soubermos que a nove certos Σv, conhecidos e independentes, correspondem certos Εv também conhecidos, simétricos, mas não necessariamente independentes, a transformação estará determinada, ou, ainda, 4C’, simétrico por montante, estará determinado (conforme o mesmo Teor. 1, § 06.04, já citado); então: 4

C′ = Ε v Σ v ,

(v=1,2,...,9),

(211).

Esse tetrádico também é incompleto porque seus antecedentes pertencem a um 6-espaço; apresenta, como o anterior, não mais que 54 coordenadas independentes. * Exercício 5: Quais as características de uma matriz não mista associada ao tetrádico 4C’ simétrico por montante?

Exercício 6: Dê uma representação para o tetrádico 4

φ=Aijmneiejemen= Aijmnejeiemen= Aijmneiejemen= Aijmnejeiemen,

simétrico por montante, em relação às bases diádicas recíprocas referidas no exercício 2. *

Tetrádicos com simetrias múltiplas e respectivas matrizes associadas. As 11 possibilidades seguintes, apresentadas por um tetrádico quanto a sua igualdade com seus isômeros, a saber: 1°) - de ser igual ao seu reverso: 4

s 4

φ= φ

2°) - de ser vetorialmente simétrico, (logo, simétrico): r

φ = 4 φ1 = 4 φ1 = 4 φ 2 = 4 φ 2 = 4 φT .

3°) - de ser simétrico (mas não necessariamente vetorialmente simétrico): r

φ = 4 φ 2 = 4 φ 2 = 4 φT .

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

222

4°) - de ser diadicamente simétrico: 4

- por montante: φ = φ

r 12

s 12

s 4

rs 131

- por jusante: φ = φ - pelo centro: φ = φ

s 4

= φ

sr 131

5°) - de ser vetorialmente simétrico no posto 3 e diadicamente simétrico no posto 3: 4

- para montante: φ = φ 4

- para jusante: φ = φ

s 13

r 13

= φ 4

= φ

s 23

r 23

6°) - de ser diadicamente anti-simétrico: 4

- por montante: φ = − φ

r 12

s 12

s 4

rs 131

- por jusante: φ = − φ - pelo centro: φ = − φ

s 4

=− φ

sr 131

serão denominadas as condições de simetria desse tetrádico. P Existem, pois, C11 (1<P<11) maneiras distintas de um tetrádico apresentar condição

P-pla de simetria, ou seja: 55 condições duplas, 165 condições triplas, 330 condições quádruplas, 462 condições quíntuplas, etc.. Outras condições de simetria poderiam ser impostas e isto poderia ampliar ainda mais a discussão destas questões; assim, por exemplo, a imposição de que o tetrádico seja igual a uma combinação linear de alguns dos seus isômeros.

Tetrádicos vetorialmente simétricos e simétricos

Teor. 10: Se um tetrádico é vetorialmente simétrico (logo, simétrico) são iguais as suas coordenadas cartesianas cujos índices formem uma permutação circular; e reciprocamente: 4

r 1

s 1

r 2

φ= φ = φ = φ = φ

IV,§ 15.03

s 2

⇔

A h i j k = Ai j k h = A j k h i = A k h i j,

(22).

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

223

O teorema direto decorre imediatamente da igualdade dos últimos membros das expressões (01), (02), (03) e (04). Reciprocamente, acoplando aos quatro membros das novas hipóteses, em (22), a tétrade eheiejek e novamente recorrendo a expressões análogas às (01) a (04) encontramos a tese.

Corol. 1: Os tetrádicos vetorialmente simétricos (logo, simétricos) têm 24 coordenadas independentes. Com efeito, as coordenadas da classe I são 3; as da classe II são apenas 6: 1112, 1113, 2221, 2223, 3331,e 3332; as da classe III são 9: três correspondentes às duplas de números 1, A1123 = A1231 = A2311 = A3112 ,

A1132 = A1321 = A3211 = A2113,

A1213 = A2131 = A1312 = A3121, três análogas correspondentes à dupla de números 2 e três à dupla de números 3; as da classe IV são apenas 6, duas correspondentes às duplas de números 1 e 2, A1122 = A1221 = A2211 = A2112 e A1212 = A2121; e outras 4 correspondentes às outras duas duplas. Logo, as coordenadas independentes são em número de 3 + 6 + 9 + 6 = 24. *

Exercício 7: Determine, em bases vetoriais arbitrárias, a matriz associada ao tetrádico (22). *

Corol. 2: Se um tetrádico é simétrico, são iguais as suas coordenadas cujos índices tenham o par de algarismos de montante comutado com o par de algarismos de jusante; e reciprocamente: r

φ = 4 φ2 = 4 φ2 ≡ 4φT ⇔

Ah i jk = A jk h i ,

(221).

A demonstração é evidente por (22). Nota: Deve ser lembrado que um tetrádico simétrico não é necessariamente vetorialmente simétrico, pois, conforme (15), r 4 φ = 4φ2

s 4φ2

≡ 4φT

⇔

r 4 φ1

s 4 φ1

, mas

r 4 φ1

s 4 φ1

≠ 4φ .

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

224

Corol. 3: Os tetrádicos simétricos têm 45 coordenadas independentes. Pois esses tetrádicos têm: 3 coordenadas independentes na classe I; 12 na classe II: A1112 = A1211,

A1121 = A2111 ,

A1113 = A1311,

A1131 = A3111, com o terceto 111 etc.;

18 na classe III: A1123 = A2311, A2131 = A3121,

A1213 = A1312 ,

A2113 = A1321

A1231 = A3112,

A1132 = A3211 (para a dupla 11) etc.;,

12 na classe IV: A1122 = A2211,

A1212 ,

A1221 = A2112,

A2121, (com as duas duplas 11 e 22) etc..

Obtemos então, um total de 3 + 12 + 18 + 12 = 45 coordenadas. As suas matrizes associadas (duplamente homônimas) A****, A****, A****, A****, são sempre simétricas. Devemos observar – tal como já observamos para o caso dos diádicos (§ 09.09,II) – que, embora o tetrádico seja simétrico, as sua matrizes mistas (§ 03.04): A****, A****, A****, A****, A****, A****, A****, A****, A****, A****, A**** e A**** são não simétricas em geral (exceto quando é ortonormada a base vetorial em relação à qual se expressa cartesianamente o tetrádico). * Exercício 8: Determinar, em relação a uma base vetorial arbitrária, a matriz associada ao tetrádico (221). *

Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos Consideremos um tetrádico simétrico que possa estabelecer a proporcionalidade entre um diádico não simétrico Σ e um diádico simétrico Ε, qualquer, pela lei Σ = 4 C : Ε = Ε : 4 C T , subsistindo ainda entre eles a igualdade w = Σ : Ε ; w é, pois, uma variável escalar. Podemos escrever: w = Ε : Σ = Ε : 4 C : Ε = Ε : 4 C T : Ε , donde concluirmos que 4 C = 4 C T . Suponhamos agora que subsistam as igualdades Σ j : Ε k = Σ k : Ε j para quaisquer valores j,k=1,2,...,6 (isto é, entre os pares de diádicos supostos conhecidos). Provemos mais uma vez que 4C deve ser simétrico. Com efeito, como os E’s constituem base (no espaço diádico simétrico) podemos escrever: ∀ Ε : Ε = (Ε : Ε w )Ε w . Então temos, sucessivamente, considerando (21) e as igualdades subsistentes: 4 CT

IV,§ 15.03

: Ε = (Σ u : Ε)Ε u = (Σ u : Ε w )(Ε : Ε w )Ε u = (Σ w : Ε u )(Ε : Ε w )Ε u .

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

225

Agrupando convenientemente no último membro, e lembrando que 4 Ι = Ε u Ε u , resulta: 4 CT

: Ε = (Ε : Ε w )(Σ w : Ε u )Ε u = (Ε : Ε w )Σ w .

O último membro desta igualdade é precisamente o duplo produto ponteado de 4C por E, o que conclui a demonstração uma vez que, sendo E qualquer, os tetrádicos que os transformam em diádicos iguais devem ser iguais (Teor. 2, § 06.02). Em Elasticidade o escalar w representa a densidade de energia armazenada no ponto do corpo. A igualdade Σ j : Ε k = Σ k : Ε j traduz a seguinte propriedade:

a densidade de energia armazenada num ponto, calculada com a tensão nesse ponto e a deformação de um outro ponto, é igual à densidade de energia neste segundo ponto calculada com a tensão nesse ponto e com a deformação correspondente ao primeiro ponto. Definição: (tetrádico simétricos de um lado só) Tetrádicos simétricos e diadicamente simétricos por montante ou por jusante serão denominados tetrádicos simétricos de um lado e representados por 4C. Assim, os tetrádicos simétricos de um lado só são definidos por r

C = 4 C T = 4 C12 , ou

C = 4 C T = 4 C 12

(23).

Exercício 9: Um tetrádico simétrico de um lado tem não mais que 36 coordenadas independentes uma vez que na sua matriz simétrica 9x9 a segunda coluna (ou linha) é igual à quarta, a terceira é igual à sétima e a sexta é igual à oitava. *

Tetrádico Elástico (simetria dupla) O tetrádico que estudaremos a seguir rege transformações lineares dentro do espaço dos diádicos simétricos (desse espaço nele mesmo), embora não estejamos exigindo, ainda, que ele seja simétrico.

Definição: (tetrádico elástico) Tetrádicos diadicamente simétricos por montante e por jusante serão denominados tetrádicos elásticos e representados por 4L. Assim,

L = 4 L12 = 4 L12 ,

(24),

e pelo Corol. 1 do Teor. 2: s 4

L = 4 L12 = 4 L12 ,

(241).

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

226

Então:

Se um tetrádico é elástico, o seu reverso também é elástico. Teor. 12: Um tetrádico elástico é igual ao transposto do seu reverso: s

L = 4 LT = 4 L2 = 4 L2 ,

(25);

O reverso de um tetrádico elástico é igual ao seu transposto: s 4

L= 4 LT = 4 L2 = 4 L2 , Com efeito, transpondo em (24) e lembrando que rr

(251). s

∀ 4 φ : 4 φ 122 = 4 φ 12 e 4 φ 122 = 4 φ 12 , vem: 4 L2 = 4 L122 = 4 L12 = 4 L122 = 4 L12 ; logo, de (241), decorre (251). Analogamente podemos demonstrar (25).

Teor. 13: São iguais as coordenadas de um tetrádico elástico cujos índices apresentem permutados o par de algarismos de montante, ou o par de algarismos de jusante (ou ambos): r

L = 4 L12 = 4 L12

⇔

L hijk = L ihjk = L hikj = L ihkj ,

(26).

Com efeito, pois os seus diádicos de montante e de jusante são simétricos.

Corol. 1: Um tetrádico elástico tem 36 coordenadas independentes. Com efeito, listando as coordenadas de um tetrádico elástico, levando em conta as relações (26), encontramos 3 coordenadas independentes na classe I, 12 na classe II, 12 na classe III e 9 na classe IV. *

Exercício 10: Determine a matriz (9x9) associada a um tetrádico elástico, quando este é referido a bases vetoriais quaisquer. Comprove que a segunda coluna é igual à quarta, a terceira é igual à sétima e a sexta é igual à oitava, o mesmo acontecendo com as correspondentes linhas. *

IV,§ 15.03

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

227

Matriz associada a tetrádico elástico referida a base ortonormada. Notação de Voigt. O tetrádico elástico, 4L, é operador das transformações entre diádicos simétricos. A notação das coordenadas deste tetrádico pode ser substancialmente simplificada posto que (§09.02) podemos referir o espaço diádico a bases diádicas ortonormadas {µˆ 1 , µˆ 2 , ..., µˆ 6 } geradas de uma base vetorial ortonormada {ˆi , ˆj, kˆ } , isto é,

µˆ 1 = ˆiˆi , µˆ 4 =

µˆ 2 = ˆjˆj , 1 ˆ ˆ ˆˆ ( jk + kj), 2

µˆ 3 = kˆ kˆ , µˆ 5 =

1 2

(kˆ ˆi + ˆikˆ )

µˆ 6 =

1 ˆˆ ˆ ˆ ( i j + ji ) . 2

Sejam Ε u = E pu µˆ p , Σ u = Squ µˆ q para u,p,q=1, 2, ..., 6 as escritas cartesianas dos seis pares de diádicos, relativas à base diádica, com os quais caracterizaremos 4L. Os recíprocos dos Εu podem ser representados na forma Ε u = E pu µˆ p . Logo, conforme (21), 4

L = Squ E pu µˆ q µˆ p , ou, 4 L = Lqp µˆ q µˆ p com

Lqp = Squ E pu ,

(27).

Assim, na base diádica, a matriz 6x6 associada a 4L, [L**], tem na sua q-ésima linha e pésima coluna o elemento Lqp, isto é,

 L11  21 L  L31 [L** ] =  41 L  ...  L61

L12 ... L15 L22 ... L25 ... ... ... L62 L65

L16   L26  L36   , sendo, [L**]=[S**].[E**] L46  ...  L66 

(271),

com

 S11  2 S 1  S3 [S** ] =  41 S 1  S5  1  S61

S12 S13 ... S16   S 22 S 23 ... S 26  S33 ... S36   S 42 S 43 ... ...  S56  6 S2 ... S66 

 E11  12 E  E13 [E ** ] =  14 E  ...  E16

E 21 ... E 51 E 22 ... E 52 ... ... ... E 26 E 56

E 61   E 62  E 63  . E 64  ...  E 66 

As relações entre as coordenadas (271) de um tetrádico na base diádica {µˆ ∗ } e as

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

228

coordenadas (191), (192), ... na “base vetorial” (com suas quatro classes), podem ser traduzidas pela igualdade matricial seguinte:

 L11 L12 ... L15 L16    21 22   ... L25 L26   L L  L31 ... L36    41 = L46    L ...  ... ... ...     61 62  L L L65 L66  

A1111 A 2211 A 3311 2 A 2311 2A1311 2A1211

A1122 A 2222 A 3322 2 A 2322 2 A 3122 2 A1212

A1133 A 2233 A 3333 2A 2333 2A 3133 2 A1233

2A1123 2 A 2223 2A 3323 2A 2323 2A 3123 2A1223

2A1131 2 A 2231 2 A 3331 2A 2313 2A 3131 2A1231

2 A1112   2 A 2212  2 A 3312  , 2A 2312  2A 3112  2A1212 

(28).

O tetrádico de Green (simetria tripla) O tetrádico elástico não é necessariamente simétrico, isto é, em geral

r 4 2

L ≠ L = 4 L2 , ou 4 L ≠ 4 LT , mas poderá sê-lo; nesse caso ele será igual ao seu reverso também. 4

Definição: (tetrádico de Green) Denominaremos tetrádico de Green ao tetrádico elástico simétrico (ou igual ao seu reverso); o representaremos por 4 G e suas coordenadas por Ghijk.. Então:

G = 4 L12 = 4 L12 = 4 L2 = 4 L2 = 4 L = 4 L2 = 4 L2 ,

(29).

Essa condição de simetria imposta ao tetrádico elástico implica uma redução do número de suas 36 coordenadas independentes.

Teor. 14: O tetrádico de Green tem 21 coordenadas independentes. De fato, da escrita cartesiana em relação à base vetorial vemos que: - as da classe I são 3: G1111, G2222, G3333; - as da classe II são 6: G1112 = G1121 = G1211 = G1113 = G1131 = G1311 = G2221 = G2212 = G2122 = G2223 = G2232 = G2322 = G3331 = G3313 = G3133 = G3332 = G3323 = G3233 =

IV,§ 15.03

G2111, G3111, G1222, G3222, G1333, G2333;

§15.03 – Simetrias internas dos tetrádicos.

229

- as da classe III são 6: - duas com a dupla de números 1: G1123 = G1132 = G2311 = G3211, (o par 11 aparece a montante ou a jusante), G1213 = G2113 = G1231 = G1312 = G1321 = G3112 = G3121 = G2131, - duas com a dupla de números 2: G2213 = G2231 = G1322 = G3122, G2123 = G1223 = G2132 = G2321 = G2312 = G3221 = G3212 = G1232; - duas com a dupla de números 3: G3312 = G3321 = G1233 = G2133, G3132 = G1332 = G3123 = G3231 = G3213 = G2313 = G2331 = G1323; - as da classe IV são 6: G1122 = G2211, G1212 = G2112 = G1221 = G2121 (com as duplas 11 e 22), G3322 = G2233, G3232 = G2332 = G3223 = G2323 (com as duplas 22 e 33), G1133 = G3311, G1313 = G3113 = G1331 = G3131 (com as duplas 33 e 11). A matriz do tetrádico de Green caracteriza-se, pois, pela igualdade da segunda com a quarta, da terceira com a sétima e da sexta com a oitava colunas e linhas. A “inconveniência” dos quatro índices não mais existirá se referirmos os diádicos às bases diádicas; de fato, nesse caso constataremos apenas que a matriz 6x6 associada é simplesmente simétrica, isto é Lpq=Lqp. A igualdade (29) é traduzida simplesmente na forma

L11        

L12 ... L15 22 L ... L25 ... ... sim.

L16  G11 G12 G13 2G14 2G15 2G16     L26  G 22 G 23 2G 24 2G 25 2G 26 L36  G33 2G34 2G35 2G36 , = ...   2G 44 2G 45 2G 46  ...   2G55 2G56  L66  2G66 

(30).

Nota: Justifica-se a nomenclatura adotada por ter sido Green quem primeiro introduziu na Teoria da Elasticidade a função densidade de energia de deformação - expressão do trabalho, W, realizado pelas forças elásticas num sólido carregado – que, em notação poliádica é escrita na forma 1 1 4 4 4 W= Σ : Ε = Ε : G : Ε , sendo Σ = G : Ε = Ε : G , 2 2 onde Ε é o diádico (simétrico) das deformações e Σ o diádico (simétrico) das tensões.

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

230

Tetrádico de Riemann–Christoffel (simetria quádrupla) Denominaremos tetrádico de Riemann-Christoffel, e o denotaremos por 4ℜ com coordenadas covariantes Rhijk, ao tetrádico com as 4 condições seguintes de simetria: 4

r 12

s 12

r 2

s 2

s 13

s 23

ℜ =− ℜ =− ℜ = ℜ = ℜ = − ( ℜ + ℜ ) ,

(31).

O primeiro membro, o segundo e o terceiro dizem que o tetrádico de Riemann é diadicamente anti-simétrico por montante e por jusante; o primeiro membro, o quarto e o quinto dizem que esse tetrádico é diadicamente simétrico. O primeiro membro e o último dizem que é nula a soma d0 triádico de jusante de 4ℜ (ou de montante, em vista da simetria) com os seus dois transpostos de ordem 1. Com efeito, pois pondo: s

s 1

então (por ser 4 ℜ + 4 ℜ 3 + 4 ℜ

s 23

ℜ = e h 3 ψ h , temos: 4 ℜ 13 = e h 3 ψ h 1

ℜ 23 = e h 3 ψ h 1 ;

= 4 Ο ), 3

ψ h + 3 ψ h1 + 3ψ h1 = 3Ο .

Esse tetrádico, assim constituído à luz da teoria dos poliádicos, é o correspondente poliádico do clássico tensor de Riemann-Christoffel da Geometria Riemaniana aplicado ao caso particular da Geometria Euclidiana27. As coordenadas covariantes das classes I e II do tetrádico de Riemann são todas nulas em face da anti-simetria. As coordenadas da classe III relativas à dupla de números 1 são: R1213 = - R2113 = - R1231 = R1312 = - (R1321 + R1123), R2131 = - R1231 = - R2113 = R3121 = - (R2113 + R2311), R3112 = - R1312 = - R3121 = R1231 = - (R3211 + R3121); Como –R1321=-R2113=R1213, resulta das primeiras igualdades: R1123=0; logo, temos uma só coordenada não nula: R1231 = R2113 = ... = - R2131 = ... , posto que as coordenadas R1123, R3211 e R2311 são nulas. Como o mesmo resultado pode ser obtido com as outras duas duplas, concluímos existirem 3 coordenadas independentes nessa classe: R1231, R2321 e R2331.

27 Em Geometria Riemaniana a introdução do tetrádico de Riemann é feita por outras vias e as igualdades (31) aparecem como propriedades (ver, por exemplo: Santos, C. C., Introdução ao Cálculo Tensorial e à Geometria Riemaniana, Imprensa da UFMG, 1960).

IV,§ 15.03

§ 15. 03 – Simetria dos tetrádicos.

231

As coordenadas da classe IV com as duas duplas de números 1 e 2 são: R1212 = - R2112 = - R1221 = - (R1221 + R1122), e R2121 = - R1221 = - R2112 = - (R2112 + R2211). Sendo –R1221=R1212, resulta das primeiras igualdades: R1122=0. Portanto, existe uma só coordenada não nula: R1212 = - R2112 = - R1221 = R2121, isto é, temos 3 coordenadas não nulas nessa classe: R1212, R3131 e R2323.

O tetrádico de Riemann tem, pois, não mais que 6 coordenadas independentes; sua matriz associada é a indicada a seguir (composta considerando os pares de índices 12, 23 e 31): 0 0 0 0 0 0 0 0 0  R R1231 − R1223 0 1212 − R1231 − R1212 0 R1223   R 3131 R1231 0 − R 2331 − R 3131 R 2331 0   R1212 0 − R1223 − R1231 R1223 0   (311). 0 0 0 0 0 ,   R 2323 R 2331 − R 2323 0   sim. − R 3131 − R 2331 0   R 2323 0    0  Como os diádicos de jusante e montante de 4ℜ são anti-simétricos ele se presta a reger transformações lineares entre espaços de diádicos anti-simétricos, isto é, para α e β anti-simétricos, β= 4 ℜ : α . Podemos, pois (§ 09.02), adotar uma base vetorial ortonormada {ˆi , ˆj, kˆ } para a sua representação ou a base diádica anti-simétrica do espaço dos diádicos anti-simétricos (associada à base vetorial),

1 ˆ ˆ ˆˆ ( jk − kj), αˆ 1 = 2

1 ˆˆ ˆ ˆ (ki − ik ) αˆ 2 = 2

1 ˆˆ ˆ ˆ ( ij − j i ) , αˆ 3 = 2

(32).

Se α u = A u i αˆ i e β u = B u jαˆ j (para u,i,j=1,2,3) são as representações cartesianas de três pares de diádicos que se correspondem da transformação, e se, digamos, os primeiros são independentes, então 4 ℜ = β u α u , ou, em coordenadas cartesianas: 4

ℜ = B u j A ui αˆ jαˆ i = R ji αˆ jαˆ i , donde R ji = B u j A ui ,

(33).

Como o tetrádico é, por hipótese, simétrico, a matriz a ele associada na base diádica é

Poliádicos - Ruggeri

§ 15 - Poliádicos internamente simétricos e anti-simétricos.

232

simétrica (Rji=Rij), sendo

[ ℜ] 4

{αˆ }

 R 11 R 12 R 13    = R 22 R 23  , sim. R 33   

(331).

Substituindo-se as expressões (34) na expressão do tetrádico em (35), e comparando-se a nova matriz obtida (referida à base {ˆi , ˆj, kˆ } ) com (33 ), resultam as igualdades: 1

2R11=R1212,

2R22=R3131,

2R23=R1231,

2R33=R2323, 2R31=R2312,

2R12=R3123.

O escalar (ou ponteado) de 4ℜ, 4ℜE, é o traço da matriz, isto é, 4

ℜ E = R ji αˆ j : αˆ i = R 11 + R 22 + R 33 ,

(332).

O cruzado de 4ℜ (um tetrádico) é nulo porque ele é simétrico; seu primeiro e terceiro escalares, 4 ℜ E1 , 4 ℜ E3 - diádicos, conforme sabemos, §10.02 - são ambos nulos porque os escalares dos diádicos de base são nulos (esses diádicos são anti-simétricos).

Por (33) podemos calcular facilmente 4 ℜ E 2 , isto é, o segundo escalar de 4ℜ; tem-se, simplesmente:

ℜ E2 = R ji αˆ j . αˆ i . Esse diádico é simétrico, pois (sendo anti-simétricos os

diádicos de base), 4

ℜ E2 = R ji αˆ j . αˆ i = R ji (αˆ i . αˆ j ) T , ou seja, 4 ℜ E2 T = R ij αˆ i . αˆ j = 4 ℜ E2

posto que Rji=Rij.

Por outro lado, sendo

1 αˆ 1 . αˆ 1 = − (ˆjˆj + kˆ kˆ ) , 2

1 αˆ 2 . αˆ 2 = − (kˆ kˆ + ˆiˆi ) , 2 1 αˆ 2 . αˆ 3 = kˆˆj , 2

podemos escrever:

IV,§ 15.03

1 αˆ 3 . αˆ 3 = − (ˆiˆi + ˆjˆj) 2

1 αˆ 3 . αˆ 1 = ˆikˆ , 2

1 αˆ 1 . αˆ 2 = ˆjˆi , 2

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria.

233

2 4 ℜ E = −(R 22 + R 33 )ˆiˆi − (R 33 + R 11 )ˆjˆj − (R 11 + R 22 )kˆ kˆ + 2

1 23 ˆˆ ˆ ˆ 1 1 R (kj + jk ) + R 31 (îkˆ + kˆ î ) + R 12 (îˆj + ˆjî ) 2 2 2

Então, considerando (332), a matriz associada a 4 ℜ E 2 , na base {ˆi , ˆj, kˆ } , é

[

2 4 ℜ E2

O diádico

]

{ˆiˆjkˆ }

 R 11 1 R 12  2 = (Tr 4 ℜ)[Ι ] +  R 22 sim. 

1 R 31   2 1 R 23  ,  2 33  R 

(34).

ℜ E 2 , é o correlato do tensor de Ricci na Teoria Geral da Relatividade;

seu escalar (ou traço, posto que as bases são ortonormadas) é a chamada curvatura escalar do espaço riemaniano; neste espaço, entretanto, ele não é nulo necessariamente por estarmos tratando de um problema geométrico qualquer. O leitor interessado poderá determinar o auto sistema desse diádico e procurar interpretar geometricamente os resultados obtidos. Evidentemente, poderá, também, discutir esses mesmos conceitos na Teoria da Relatividade Geral. Assim prosseguindo, montamos o quadro "simetria e anti-simetria dos tetrádicos pelas coordenadas", apresentado na Tabela 4 no final deste capítulo.

§ 16 – POLIÁDICOS EXTERNAMENTE SIMÉTRICOS E ANTISIMÉTRICOS. Conforme vimos, as coordenadas de um poliádico são relativas a certo sistema de referência; logo, uma mudança de sistema acarreta necessariamente uma mudança das coordenadas. Inversamente, poderemos impor a certo poliádico a condição de ficar invariante para certas mudanças particulares de sistemas de referência, ou, o que é o mesmo, para certas transformações geométricas. Nesse caso o poliádico apresentará outras simetrias, além das internas, se estas já estiverem fixadas. Isto significa, em outras palavras, novas reduções na quantidade das suas coordenadas independentes. As simetrias dos diádicos já foram estudadas no §02.05 do Capítulo III do volume I.

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria. Seja R' o ponto simétrico do ponto R paralelamente a uma direção e3 e em relação a um plano do qual fixamos dois vetores arbitrários não paralelos, e 1 e e 2 . Os vetores e1, e2 e

e 3 definem uma base no espaço tridimensional dos vetores. Então podemos escrever:

Poliádicos - Ruggeri

234

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

r = R iei

r ′ = R 1e 1 + R 2 e 2 − R 3 e 3 .

Sendo R i = r.e i , o diádico que executa a simetria de R em relação ao plano é

µ = e1e1 + e 2 e 2 − e 3e 3 = Ι − 2e 3e 3 ,

(01)

pois

r ′ = (r.e1 )e1 + (r.e 2 )e 2 − (r.e 3 )e 3 = r.µ T = µ.r . Diremos que o diádico definido por (01) rege uma transformação de pontos por simetria em relação ao plano ( e1 , e 2 ) paralelamente a e3; denominá-lo-emos um diádico

de reflexão. Tem-se:

µ.µ = (Ι − 2e 3e 3 ).(Ι − 2e 3e 3 ) = Ι − 4e 3e 3 + 4e 3e 3 , isto é,

µ = µ −1 , sendo, ademais:

µ .e 3 = −e 3 ,

µ .e 2 = −e 2 e

µ .e1 = −e1 .

O diádico µ é, então, tônico (§ 04.01,B, III); seus autovalores são 1, 1, - 1 e seus autovetores correspondentes são (os arbitrários escolhidos) e1 , e 2 e e 3 . Esse diádico pode ser entendido também como o diádico de mudança da base {e 1 , e 2 ,− e 3 } para a base

{e1 , e 2 , e 3 } , ou, ainda, da base {e1 , e 2 , e 3 } para a base {e 1 , e 2 ,− e 3 } , o que confirma ser µ = µ −1 , com µ 3 = −1 (o que é fácil comprovar). Temos (§09.02,III):

[µ ]∗∗

1 0 0  = 0 1 0  = [µ −1 ]∗∗ 0 0 − 1

Seja R" o simétrico de R' em relação a um ponto arbitrário que tomaremos como origem. Temos:

r ′′ = − r ′ = ( − µ ) . r ,

(02),

com

− µ = −e1e − e 2 e + e 3e e 1

IV,§ 16.01

[-µ]∗∗

 − 1 0 0 =  0 − 1 0 = [−µ −1 ]∗∗ e (−µ) 3 = (−1) 3 µ 3 = 1 .  0 0 1

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria.

235

Sendo

(Ι − 2e1e1 ).(Ι − 2e 2 e 2 ) = Ι − 2e 2 e 2 − 2e1e1 = (Ι − 2e 2 e 2 ).(Ι − 2e1e1 ) , resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação ao plano coordenado ( e 2 , e 3 ) paralelamente a e1 e em relação ao plano ( e 3 , e1 ) paralelamente a e2. Por outro lado, sabemos que poderíamos escrever (02) na forma r ′′ = −r ′ = µ .(−r ) . Então, a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( e1 , e 2 ) , paralelamente à direção e3. Finalmente, observemos que por ser

r′′′ = −r = (−Ι ).r = (Ι − 2e 2e 2 ).(Ι − 2e1e1 ).(Ι − 2e 3e3 ).r , resulta que A simetria de um ponto em relação ao plano (e1,e2) paralelamente a e3 , seguida de uma simetria em relação ao plano (e2,e3) paralelamente a e1, esta seguida de simetria em relação ao plano (e3,e1) paralelamente a e2, é equivalente a uma inversão central.

Tetrádicos com um plano de simetria Em geral, sendo µ = r je j um diádico de mudança de base (com inverso µ −1 = e jr j ) , o tetrádico de mudança de base que lhe é associado (§ 15.01) é r

µ = (µµ −1 ) 13 = e je i r jr i , donde,

µ −1 = r s rt e s e t .

Aqui interessa considerar o caso em que µ é definido por (01); daí dizer-se que seu tetrádico associado, 4µ, rege simetria de tetrádicos (ou pontos no espaço tetrádico) em relação ao plano ( e1 , e 2 ) , paralelamente à direção e3. Nesse caso, 4µ

= e1e1e1e1 + e1e 2 e1e 2 − e1e 3e1e 3 + e 2 e1e 2 e1 + e 2 e 2 e 2 e 2 − e 2 e 3e 2 e 3 − − e 3e1e 3e1 − e 3e 2 e 3e 2 + e 3e 3e 3e 3 . Definição: Diz-se que um tetrádico apresenta um plano de simetria quando ele é similar a si próprio mediante o tetrádico que rege simetria (de pontos, ou tetrádicos, no espaço tetrádico) em relação a esse plano paralelamente a certa direção. Impondo a condição de que o tetrádico genérico

4ψ

= Puvst e u e v e s e t (expresso em

coordenadas mistas, por exemplo) seja similar a si próprio mediante 4 µ - caso em que ele apresenta o plano de simetria ( e1 , e 2 ) se r1 = e1 , r2 = e 2 , e r3 = − e 3 - escrevemos:

Poliádicos - Ruggeri

236

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

ψ = 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 ; ou seja, operando e simplificando: Puvst e u e v e s e t = Puvst e u e v e s e t ,

(03).

Para u = t = 3, temos:

P3vs3 e 3e v e s e 3 = P3vs3 e 3e v e s e 3 , donde, somando: - para v = s e v, s ≠ 3, temos identidades; - para v = 3 ≠ s (logo, s = 1, 2) temos:

P33s3 e 3e 3e se 3 = − P33s3 e 3e 3e se 3

∴

P33s3 = − P33s3 = 0 para s = 1,2 .

- Para v = s = 3 temos:

Pu33t e u e 3e 3e t = Pu33t e u e 3e 3e t , donde, somando: - para u = t e u, t ≠ 3, temos identidades; - para u = 3 ≠ t (logo t = 1,2) temos:

-P333t e 3e 3e 3e t = P333t e 3e 3e 3e t

∴

P333t = 0 para t = 1,2 ;

∴

Pu333 = 0 para u = 1,2 .

- para t = 3 ≠ u (logo u = 1,2)

-Pu333 e u e 3e 3e 3 = Pu333 e u e 3e 3e 3 Para u = 3, e v, s, t ≠ 3 (logo v, s, t = 1,2) temos

− P3vst e 3e v e se t = P3vst e 3e v e se t

∴

P3vst = 0 para v,s, t = 1,2.

∴

Puvs3 = 0 para v,s, u = 1,2.

∴

Pu3st = 0 para u,s, t = 1,2.

Para t = 3, v, s, u ≠ 3 (logo v, s, u = 1,2)

− Puvs3 e u e v e se 3 = Puvs3 e u e v e se 3 Para v = 3 e u, s, t ≠ 3 (logo u, s, t = 1,2) temos:

Pu3st e u e 3e se t = − Pu3st e u e 3e se t Para s = 3, u, v, t ≠ 3 (logo u, v, t = 1,2) temos:

Puv3t e u e v e 3e t = − Puv3t e u e v e 3e t IV,§ 16.01

∴

Puv3t = 0 para u, v, t = 1,2.

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria.

237

Esses resultados permitem enunciar um teorema que dita uma regra para a escrita das coordenadas do tetrádico.

Teor. 1: (regra) Se 4 ψ = 4 µ : 4 ψ : 4 µ −1 , com 4

µ = ( µµ −1 )

caso em que

r 13

= e je i r jr i

r1 = e1 , r2 = e 2 e r3 = − e 3 ,

ψ apresenta o plano de simetria ( e1 , e 2 ) , então são nulas

todas as suas coordenadas cujos índices apresentem o algarismo 3 repetido um número ímpar de vezes. Logo:

Corol. 1: Se um tetrádico (sem simetria interna) apresenta um plano de simetria ele tem 41 coordenadas independentes. Pois serão nulas 16 coordenadas dentre as 24 da classe II e 24 dentre as 36 da classe III. A matriz associada ao tetrádico

ψ (tetrádico esse que apresenta o plano ( e1 , e 2 )

como seu plano de simetria), para ser usada em multiplicação ordinária, é, pois:

[ 4 ψ ]∗∗∗∗

 P1111  21  P1 1  0  11 P2 1 = P2211   0   0  0  31  P3 1

P1112 P1 212 0 11 P2 2 P2212 0 0 0 P3312

0 0 P1313 0 0 P2313 P3113 P3213 0

P1121 P1221 0 P2121 P2221 0 0 0 P3321

P1121 P1 212 0 12 P2 2 P2222 0 0 0 P3322

0 0

P1323 0 0 P2323 P3123 P3223 0

P1331 0 0 P2331 P3131 P3231 0

P1332 0 0 P2332 P313 2 P3232 0

P1133   P1233  0   P213 3  P2233  , 0   0  0   P3333 

(04).

Tetrádicos com dois planos de simetria (ou ortotrópicos) Suponhamos que um dos planos de simetria seja o do caso anterior, isto é, ( e1 , e 2 ) . Se considerarmos, além disso, que o tetrádico (sem simetrias internas) apresenta, também, simetria em relação ao plano ( e 2 , e 3 ) , deveremos anular todas as coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 1 um número ímpar de vezes na matriz (04). Portanto, sendo nulas as coordenadas:

P11s 1 = P1s1 1 = P111s = Ps 111 = P1vs t = Puvs 1 = Pu1s t = Puv1 t = 0 , onde devemos fazer u, v, s, t = 2, 3, resulta que dentre as 41 coordenadas não nulas da Poliádicos - Ruggeri

238

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

primeira simetria devemos eliminar: 1°) - 4 relativas à primeira condição: P1121 = P1211 = P1112 = P2111 já que todas as demais já foram contadas na primeira; 2°) - 16 relativas à segunda condição: P1 222 = P1332 = P1233 = P1323 (referentes a

P1vs t = 0 ) etc.; Logo:

Se um tetrádico (sem simetria interna) apresenta dois planos de simetria ele tem 21 coordenadas independentes, porque do total das 81 coordenadas, 40 da primeira simetria e 20 da segunda são nulas. As 21 coordenadas não nulas do tetrádico que apresenta os planos de simetria ( e1 , e 2 ) e ( e 2 , e 3 ) são, pois: - todas as da classe I; - nenhuma da classe II. Com efeito, nela os índices ocorrem com um terceto de algarismos repetidos. Eliminando-se por evidência os índices com tercetos 111 e 333 (contíguos ou não) restariam as coordenadas cujos índices apresentem o terceto 222. Mas desses só devemos considerar (nessa classe) os índices cujo quarto algarismo seja 1 ou 3, caso em que todos são nulos; - nenhuma da classe III. Pois nessa classe os índices ocorrem em duplas de algarismos repetidos. Consideremos, por exemplo, a dupla 11. Os demais algarismos deverão ser necessariamente 2 e 3. Mas em qualquer um desses agrupamentos ocorrerá o algarismo 3 uma única vez, o que implica serem as coordenadas todas nulas. Analogamente para os outros casos; - todas as da classe IV. Aqui os índices são formados com duas duplas de algarismos repetidos. Logo, nenhuma coordenada se anula. A matriz correspondente é:

[

ψ ]∗∗∗∗

IV,§ 16.01

 P 11  1 1  0   0  0  = P2211   0  0   0  31  P3 1

P1122

P1212

P1221

P1313

P1331

P2121

P2222

P2332

P211 2 0

P2323

P3113

P3131

P3232

P3223

P3322

P1133   0   0  0   P2233 ,  0  0   0   P3333 

(05).

§ 16. 01 - Tetrádicos com planos de simetria.

239

Definição: (tetrádicos ortotrópicos) Os tetrádicos que apresentam simetria em relação a dois planos são denominados ortotrópicos. A simples inspeção da matriz (05) - matriz das coordenadas de um tetrádico que apresente dois planos de simetria - mostra que esse tetrádico apresenta também o terceiro plano coordenado como um plano de simetria. Com efeito, todas as coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 2 um número ímpar de vezes já estão nulas. Logo:

Se um tetrádico apresenta dois planos de simetria, ele apresenta um terceiro necessariamente. Caso do tetrádico de Green Pela sua importância em aplicações (espacialmente em Elasticidade) vamos estudar o tetrádico de Green que, por definição, apresenta as simetrias internas definidas pelo Corol. 3 do Teor. 10, §15.03; nesse caso é apropriado o uso de bases vetoriais ortonormadas, desaparecendo, inclusive, a diferença entre coordenadas covariantes, contravariantes e mistas. Usaremos, por isso, doravante as coordenadas covariantes ou contravariantes.

Teor. 2: Se um tetrádico de Green apresenta um plano de simetria, ele tem 13 coordenadas independentes. Com efeito, supondo que o seu plano de simetria seja o plano (ˆi , ˆj) , os resultados encontrados anteriormente determinam que sejam nulas todas as suas coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 3 um número ímpar de vezes. Então, pelo Teor.14, § 15.03, das 21 coordenadas listadas devemos eliminar as 8 coordenadas nulas seguintes: - 4 da classe II:

G1113 = AG1131 = G1311 = G3111 = 0 , G 2223 = G 2232 = G 2322 = G3222 = 0 , G3331 = G3313 = G3133 = G1333 = 0 , G3332 = G3323 = G3233 = G 2333 = 0 ; - 4 da classe III:

G1123 = G1132 = G 2311 = G3211 = 0 , G1213 = G 2113 = ... , G 2213 = ... , G 2123 = ...

Poliádicos - Ruggeri

240

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

São, então, não nulas as coordenadas seguintes: G1111, G2222, G3333 (da classe I), G1112, G1222 (da classe II), G1233, G2331 (da classe III) G1122, G1212, G2233, G2323, G1133 e G3131. A matriz (simétrica) das coordenadas é, então:

G1111 G1112 0 G1112  G1212 0 G1212   G3131 0  G1212  4  [ G]∗∗∗∗ =    sim.    

G1122 0 0 0 G1222 0 0 0 0 G 2331 G3131 G 2331 G1222 0 0 0 G 2222 0 0 0 G 2323 G 2331 G 2323 G3131 G 2331 G 2323

G1133  G1233  0   G1233  G 2223 ,  0  0   0   G3333

(06).

Lembremo-nos de que, por ser o tetrádico de Green simétrico e diadicamente simétrico por montante e jusante, ele pode ser referido a uma base diádica ortonormada {µˆ 1 , µˆ 2 ,..., µˆ 6 } associada à base vetorial {ˆi , ˆj, kˆ } que gerou a matriz (06). Nesse caso,

G11 G12 G13 0 0 2G16    G 22 G 23 0 0 2G 26   G33 0 0 2G36 [4 G]{µˆ} =  , 2G 44 2G 45 0    sim. 2G55 0    2G66 

(061),

matriz idêntica a (30),§15.03 onde se façam G14=G15= G24=G25= G34=G35= G46=G56=0.

Teor. 3: Se um tetrádico de Green apresenta dois planos de simetria ele tem 9 coordenadas independentes. Supondo que um dos planos de simetria fosse (ˆi , ˆj) , prevaleceriam os resultados anteriores e a matriz do tetrádico seria (06). Se o segundo plano for, digamos, (ˆj, kˆ ) , bastará anular em (06) as coordenadas cujos índices apresentem repetido o algarismo 1 um número ímpar de vezes; e obteremos:

IV,§ 16.01

§ 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria.

241

0 0 G1122 0 0 0 G1133  G1111 0  0 G 0 G1212 0 0 0 0 0  1212   0 0 G1313 0 0 0 G1331 0 0    0 0 0 0   0 G1212 0 G 2112 0 0 0 G 2222 0 0 0 G 2233 , [4 G]∗∗∗∗ = G 2211 0   0 0 0 0 G 2323 0 G 2323 0   0  0 0 G3113 0 0 0 G3113 0 0    0 0 0 0 G3223 0 G3223 0   0   0 0 G3322 0 0 0 G3333 G3311 0

(07).

Em relação à uma base diádica ortonormada {µˆ 1 , µˆ 2 ,..., µˆ 6 } escrevemos:

G11 G12 G13 0 0 0    22 23 G G 0 0 0    G33 0 0 0  [4 G]{µˆ} =  , 2G 44 0 0    sim. 2G55 0    2G66

(071).

Os tetrádicos de Green que apresentam dois planos de simetria são denominados tetrádicos ortotrópicos.

§ 16. 02 – Tetrádicos com eixos de simetria. Tetrádicos transversalmente isotrópicos

Definição: Diz-se que um tetrádico 4 ψ apresenta simetria em relação a dado eixo, de unitário k$ , quando ele é ortogonalmente similar a si próprio mediante um tetrádico de rotação 4 Ω ( k$ ,ϕ) cujo eixo é o eixo dado e o ângulo de rotação é qualquer; e escrevemos: 4

ψ = 4Ω

( k$ ,ϕ )

: 4ψ :

Ω −1$ , ( k ,ϕ )

(01).

Pondo, conforme (02), § 06.03, III:

Ω (kˆ ,ϕ) = kˆ kˆ + (î î + ˆj ˆj) cos ϕ + (ˆj î − î ˆj) sen ϕ , temos:

Ω (Tkˆ ,ϕ) = Ω (−kˆ1,ϕ) = kˆ kˆ + (î î + ˆj ˆj) cos ϕ + (î ˆj − ˆj î ) sen ϕ .

Poliádicos - Ruggeri

242

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

Conforme (01), § 15.02, é 4

Ω = (ΩΩ −1 )

r 13

r 1

= (ΩΩ T ) 3 .

Substituindo nesta expressão as de Ω e ΩT, obtemos a expressão cartesiana de 4Ω e, logo, a matriz associada a esse tetrádico de rotação, para ser usada em multiplicação ordinária; tal é precisamente a matriz dada por ((07),§14.04). A inversa dessa matriz, relembremos, pode ser obtida simplesmente substituindo-se na sua própria expressão, ϕ por - ϕ. Observemos que a equação (01) pode ser também escrita na forma (ainda geral):

Ω (kˆ ,ϕ) : 4 ψ = 4 ψ : 4 Ω (kˆ ,ϕ) T , (011). . Existindo a intenção de calcular os produtos indicados pelas multiplicações duplas das matrizes, a matriz multiplicando de cada produto (em cada membro) deve ser preparada pelas linhas e a multiplicadora pelas colunas. Assim, as submatrizes da matriz de rotação ((07),§14.04), são as matrizes 3x3 [Du] (u=1,2,...,9) indicadas em (082),§14.04. Como devemos utilizar a transposta da matriz de rotação como matriz multiplicadora no segundo membro de (011), devemos preparar esta transposta por colunas. É fácil comprovar que as colunas preparadas de [Ω ΩT] são as próprias matrizes [Du] onde se substitua ϕ por -ϕ, matrizes estas que denotaremos por [ D u ]; decorre então, de (011): 4

[D1 ]  [C1 ]  [D 2 ] [C 2 ] [D ] : [[L ] [L ] [L ] ... [L ]] = [C ] : [D1 ] [D 2 ] [D 3 ] ... [D 9 ] , 1 2 3 9  3   3   ...   ...  [D 9 ] [C9 ]

[

]

(02),

as matrizes 3x3 [Fu] e [Cu] resultando da preparação das linhas e colunas, respectivamente, matriz 9x9 associada a 4φ , base ortonormada {ˆi ˆj kˆ } , cujo elemento genérico á Auv com u,v=1,2,3,4,...,9. As matrizes [Lu] e [Cu] em geral são diferentes para cada valor de u, mas serão iguais se o tetrádico for simétrico.

Definição: (tetrádico transversalmente isotrópico) Tetrádicos que apresentem um eixo de simetria serão denominados tetrádicos transversalmente isotrópicos. A nomenclatura provém do fato desses tetrádicos apresentarem simetria em relação a todas as direções (definidas por um ângulo qualquer, ϕ) contidas num plano ortogonal ao eixo; por isso, esse plano é denominado “plano de isotropia” do tetrádico. Esses tetrádicos serão denotados genericamente por 4φtr.

Caso de tetrádicos simétricos A matriz associada a um tetrádico simétrico transversalmente isotrópico, 4φtr, é uma matriz simétrica (completa, sem elementos nulos) de elemento genérico Aij=Aji para

IV, § 16.02

§ 16. 02 - Tetrádicos com eixos de simetria.

243

i,j=1,2,...,9, tendo, pois 45 elementos. Nove elementos compõem à diagonal principal, ou primeira diagonal: A11, A22, ..., A99; oito compõem a segunda diagonal: A12, A23, A34, ..., A89; sete a terceira diagonal: A13, A24, A35, ..., A79; e assim sucessivamente. A sétima diagonal é composta por A17, A28 e A29, a oitava por A18 e A29 e a nona apenas por A19. No caso de tetrádicos simétricos é [Lu]=[Cu]=[Fu]; donde podermos escrever (02) na forma compacta: Du : Fv= D v : Fu,

(021),

para todo u,v=1,2,...,9. As submatrizes Fu em ambos os membros da igualdade acima devem ser preparadas pelas linhas (ou pelas colunas) de [4φ] para se efetuarem as duplas multiplicações (§06.02, Exemplo 6); são as seguintes:

 A11 A12 A13   A 12 A 22 A 23   A13 A 23 A33  [F1 ] =  A14 A15 A16  , [F2 ] = A 24 A 25 A 26  , [F3 ] =  A34 A 35 A36  , A A A  A A A  A A A   17 18 19   27 28 29   37 38 39   A 14 A 24 A 34   A 15 A 25 A 35   A 16 A 26 A 36  [F4 ] = A 44 A 45 A 46  , [F5 ] = A 45 A 55 A 56  , [F6 ] = A 46 A 56 A 66  , A A A  A A A  A A A   47 48 49   57 58 59   67 68 69   A 17 A 27 A 37   A 18 A 28 A 38   A 19 A 29 A 39  [F7 ] = A 47 A 57 A 67  , [F8 ] = A 48 A 58 A 68  , [F9 ] = A 49 A 59 A 69  . A A A  A A A  A A A   77 78 79   78 88 89   79 89 99  Em (021) temos 81 igualdades que acarretarão valores particulares para as diversas coordenadas do tetrádico que apresente o eixo kˆ como eixo de simetria. Efetuando-se esses cálculos obtemos os resultados expressos na Tabela 8 – Tabela de Resultados - apresentada em apêndice. A adoção de dois índices apenas para indicar as coordenadas de 4φtr foi feita apenas para facilitar os longos cálculos resumidos na Tabela 8. A matriz (com duplo índice) associada ao tetrádico simétrico transversalmente isotrópico é representada por

[ 4 φ tr ] ijk

A 11 A 12 0 - A 12  A 22 0 A 24  A 33 0  A 22  =   sim.   

A 15 A 12 0 - A 12 A 11

0 0 0 A 19  0 0 0 0  0 A 37 A 38 0   0 0 0 0  0 0 0 A 19  , A 33 - A 38 A 37 0  A 77 0 0   A 77 0  A 99 

(022),

Poliádicos - Ruggeri

244

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

devendo ser lembrada identidade apresentada no pé da Tabela 8, isto é: A22+A24=A11-A15,

(023).

Concluímos, assim que um tetrádico simétrico transversalmente isotrópico tem 10 coordenadas não nulas independentes (as 11 presentes na matriz (022), menos uma eliminada pela igualdade (023)). * Pretendemos, agora, retornar à notação com quatro índices para retomar os estudos que vínhamos procedendo. Em outras palavras, em função dos resultados obtidos (com dois índices) pela imposição da auto-similaridade de 4φ na rotação de eixo kˆ e ângulo qualquer, pergunta-se: qual seria a matriz associada a 4φ, correspondente a (022), com elementos denotados com quatro índices e dentro do critério adotado para associação de matriz a tetrádico (§03.04)? Pelas convenções adotadas, deveremos trocar o índice u por um par hi e o índice v por um par jk, ou seja: 1 por 11, 2 por 12, 3 por 13, 4 por 21, 5 por 22, 6 por 23, 7 por 31, 8 por 32 e 9 por 33. Assim, por exemplo, o elemento A47 da matriz representada com dois índices é o elemento A2131 da mesma matriz representada com quatro índices (ambos ocupando a mesma posição ou posto nas matrizes). Tem-se, então:

[ 4 φ tr ] ijk

A 1111 A 1112 0 - A 1112  A 1212 0 A 1221  A 1313 0  A 2121  =   sim.   

A 1122 A 1112 0 - A 1112 A 1111

0 0 0 0 0 A 1313

0 0

A 1331 A 1332 0 0 0 0 - A 1332 A 13317 A 3131 0 A 3131

A 1133  0  0   0  A 1133  , 0  0   0  A 3333 

(03),

as igualdade correspondentes a (022) sendo: A2121+A1221=(A1111-A1122)/2,

(031).

Tetrádicos de Green Transversalmente Isotrópicos Consideremos o caso particular dos tetrádicos de Green com as simetrias internas dadas por ((29),§15.03) (tetrádicos simétricos, bem como simétricos por jusante e montante), que apresentam ainda um eixo de simetria; serão denotados por 4 G tr . Como visto, as simetrias do tetrádico de Green acarretam a igualdade da segunda com a quarta, da terceira com a sétima e da sexta com a oitava colunas e linhas da sua matriz associada, referida à mesma base ortonormada {ˆi ˆj kˆ } . Sendo este um caso particular do caso anteriormente estudado (simetria simples), teremos apenas que traduzir as

IV, § 16.02

§ 16. 02 - Tetrádicos com eixos de simetria.

245

igualdades das colunas e linhas acima especificadas. Resultam as seguintes igualdades: A12=0, A38=0, A22=A24 e

A33=A37=A77,

ou A1112=0, A1332=0, A1212=A1221=A2121 e

A1313=A1331=A3131,

diminuindo a quantidade de coordenadas distintas em (022) ou em (03) de 11 para 6. Prevalecem ainda as igualdades correspondentes a (023) e (031), isto é: A22=(A11-A15)/2 e A1212=(A1111-A1122)/2. Resulta, então que um tetrádico de Green transversalmente isotrópico apresenta 5 coordenadas independentes, que representaremos por G1111,

G1122,

G1133,

, G1313,

G3333,

assim dispostas na sua matriz representativa:

0 0 G 1122 0 0 0 G 1133  G 1111 0  G 1212 0 G 1212 0 0 0 0 0   G 1313 0 0 0 G 1313 0 0    G 1212 0 0 0 0 0   4 [ G tr ] =  G 1111 0 0 0 G 1133  ,  G 1313 0 G 1313 0   sim. G 1313 0 0    G 1313 0   G 3333  

(032),

sendo G1212=(G1111-G1122)/2,

(033).

Portanto,

Os tetrádicos de Green transversalmente isotrópicos, com eixo de simetria kˆ , têm 21 coordenadas não nulas na base {ˆi ˆj kˆ } , mas apenas 5 delas são independentes. Lembrando que os tetrádicos de Green podem ser referidos à base diádica simétrica {µˆ 1 , µˆ 2 ,..., µˆ 6 } , deduzida do terceto {ˆi ˆj kˆ } , e que em relação a essa base as coordenadas do tetrádico podem ser consideradas com apenas dois índices (§15.03), a matriz associada a 4G é, então (com os 5 elementos independentes G11, G33, G55, G15, G12 e G13):

Poliádicos - Ruggeri

246

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

[ 4 G ]{µˆ }

0 0  G 11 G 12 G 13 0  G 11 G 13 0 0 0   G 33 0 0 0  , = 4G 55 0 0   sim. 4G 55 0    4G 66 

(034),

G66=(G11-G12)/2,

(035).

sendo Nota: Deve ser observado que todos os resultados deduzidos são relativos à base vetorial

{ˆi , ˆj, kˆ } a que se refere o diádico de rotação Ω (kˆ ,ϕ) . Tetrádico Isotropicos (ou Isótropos)

Definição: (tetrádico isotrópico) Tetrádicos que apresentem qualquer eixo como eixo de simetria são ditos tetrádicos isotrópicos (ou isótropos). As expressões (28)1 e (29)1 demonstradas no §14.04 mostram que 4I e seus dois r

isômeros distintos 4 Ι 13 e 4 Ι 23 = Ι Ι são tetrádicos isotrópicos, isto é, para qualquer 4Ω: 4

r 4 13

r 4 23

Ι = 4 Ω : 4 Ι 13 : 4 Ω −1 ,

Ι = 4 Ω : 4 Ι : 4 Ω −1 ,

Ι = 4 Ω : 4 Ι 23 : 4 Ω −1 .

Multiplicando a primeira dessas equações pelo escalar não nulo e arbitrário A, a segunda pelo não nulo B, a terceira pelo não nulo C e somando membro a membro, vemos r

que o tetrádico 4 φ = A 4 Ι + B 4 Ι 13 + C 4 Ι 23 é isotrópico (logo, simétrico porque os tetrádicos parcelas que o definem são simétricos). r

Vimos no Exercício 2, §09.01 que os tetrádicos 4 Ι , 4 Ι 13 e 4 Ι 23 são independentes e definem uma base dos tetrádicos isotrópicos. No Exercício 1 do §09.02 vimos que r

| 4 Ι |=| 4 Ι 13 |=| 4 Ι 23 |= 3

r 4 4 13 Ι .

= 4Ι

r 4 4 23 Ι .

= 4 Ι 13

r 4 4 23 Ι .

ou seja, que a base não é ortogonal. Assumindo tetrádicos de base com módulo 1, seus recíprocos foram determinados, e são: r r 1 ( 4 4 Ι − 4 Ι 13 − 4 Ι 2 3 ) , homólogo de 4I/3; 10 r r r 1 ( − 4 Ι + 4 4 Ι 13 − 4 Ι 2 3 ) , homólogo de 4 Ι 13 /3; 10 r r r 1 ( − 4 Ι − 4 Ι 13 + 4 4 Ι 2 3 ) , homólogo de 4 Ι 23 /3. 10

IV, § 16.02

§ 16. 02 - Tetrádicos com eixos de simetria. r

247

Então as coordenadas do isotrópico 4 φ/ 3 na base {4I/3, 4 Ι 13 /3, 4 Ι 23 /3} são:

A = 4φ B = 4φ

4 .

r r r 1 1 (4 4 Ι − 4 Ι 13 − 4 Ι 23 ) = (4 4 φ E − 4 φ 12E − 4 φ E1E ) , 10 10

r r 1 (− 4 Ι + 4 4 Ι 13 − 4 Ι 23 ) 10

C = 4φ

4 .

r r 1 (− 4 Ι − 4 Ι 13 + 4 4 Ι 23 ) . 10

* Exercício Comprove que em espaço isotrópico 2D os pares

1 4 4 2r 3 { I, Ι } 3

r r 1 { (3 4 Ι − 4 Ι 2 3 ) , ( − 4 Ι + 3 4 Ι 2 3 )} 8

formam sistemas recíprocos. * Caso do tetrádico de Green Isotrópico Na lei de Hooke da Teoria da Elasticidade dos corpos isotrópicos o tetrádico que conecta os diádicos simétricos de tensão ( Σ = Σ T ) e deformação ( Ε = Ε T ), em transformação linear, é um tetrádico de Green isotrópico (denotado por 4 G iso .). Então, sendo Σ = 4 G iso : Ε , deduzimos, com A, B e C a determinar: r

(A 4 Ι + B 4 Ι 13 + C 4 Ι 2 3 ) : Ε = (A + B)Ε + CΕ E Ι , porque r 4 13

Ι : Ε = e je i ei e j : Ε = e je i (e je i : Ε T )= 4 Ι : Ε T = 4 Ι : Ε = Ε

r 4 23

Ι : Ε = Ι Ι : Ε = ΕEΙ .

Um tetrádico isotrópico que reja uma transformação linear do espaço dos diádicos simétricos nele próprio é dependente apenas de dois parâmetros independentes (pertence a um espaço tetrádico de dimensão 2); esses parâmetros são A+B e C. Pondo A+B=2µ e C=λ resulta: 4 G iso = 2µ 4 Ι + λ Ι Ι , (04); e a lei de Hooke pode, então, ser escrita na forma clássica

Σ = 2µΕ + λΕ E Ι ,

(05).

* Exercício 1: Definindo k=λ+2µ/3, mostre que: 4Giso=k I I+2µ fat0 4I, em que fat0 4I (= 4I-II/3, ver §08.05) é o fator desviante de 4I para escalares.

Exercício 2: Como 4Giso é definido em função de dois tetrádicos invariantes (I I e fat0 4I), o seu inverso também pode ser definido em função desses mesmos invariantes. Demonstre que:

Poliádicos - Ruggeri

248

§ 16 – Poliádicos externamente simétricos e anti-simétricos.

G iso −1 =

1 1 ΙΙ+ fat 0 4 Ι 9k 2µ *

Vamos agora verificar as expressões (04) e (05) aplicando o método que vínhamos utilizando para a determinação da matriz associada aos tetrádicos transversalmente isotrópicos, ortotrópicos etc. Se considerarmos, então, um tetrádico de Green com simetria em relação aos eixos $i e k$ e com rotações arbitrárias, concluiremos que as suas coordenadas independentes são apenas duas, digamos: G 1111 e G 1122 . Pondo

G 2323 = G 1313 = G 1212 = µ = 1 (G1111 − G 1122 ) , 2 G1111 = λ + 2µ = G 2222 = G 3333 e G 1122 = G 1133 = G 2233 = λ caso em que G1111=λ+2µ=G2222=G3333, a matriz associada ao tetrádico será

[ 4 G ]iso

λ + 2µ 0 0 0 λ  µ 0 µ 0   µ 0 0  µ 0  = λ + 2µ    sim.    

0 00 0 00 0µ0 0 00 0 00 µ0µ µ0 µ

(06), (061),

     0  µ ,  0  0   0   λ + 2µ  0 0

(07).

Assim,

os tetrádicos isótropos têm 21 coordenadas não nulas: 9 na diagonal principal e 6 pares fora dela. Aplicando a definição de produto ponteado duplo entre matrizes multiordinais (§ 06.02), é fácil comprovar que a clássica lei de Hooke generalizada da Teoria Linear da Elasticidade pode ser escrita matricialmente na forma:

[ Σ ] = [ 4 G iso ] : [ Ε ],

(08),

em que [ Σ ] e [ Ε ] são as matrizes

Σ  XX Σ YX  Σ  ZX

IV, § 16.02

Σ XY Σ YY Σ YZ

Ε Σ XZ    XX Σ YZ  e  Ε YX   Σ ZZ   Ε ZX

Ε XY Ε YY Ε YZ

Ε XZ   Ε YZ  .  Ε ZZ 

§ 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico.

249

De fato, lembrando que a matriz associada ao tetrádico unidade (§ 08.01) é a matriz unidade 9 x 9, e considerando que

 1 0 0  0 0  0  r  [Ι Ι ] =[ 4 Ι 2 3 ] =   sim.    podemos escrever, em forma matricial:

0 0 0 0

1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0  0 1 , 0 0 0 1

(09),

[ 4 G iso ] = λ[ 4 Ι 23 ] + 2µ[ 4 Ι ] ,

(10).

Aplicando (065) e (067), §08.01 para o diádico simétrico das deformações, isto é, sendo

[ 4 Ι 2 3 ] : [Ε ] = Ε E Ι ,

[4 Ι] : [Ε] = [Ε] ,

é fácil comprovar, a partir de (10), que a lei de Hooke generalizada pode ser realmente escrita na forma proposta (08).

§ 16. 03 – Hexádicos isotrópicos. Problemas análogos aos estudados com os tetrádicos isotrópicos deverão ser resolvidos com os hexádicos se existir a pretensão da abordagem de problemas elásticos não lineares. Nesse caso a relação tensão x deformação seria: Σ = 4 G iso : Ε + Ε : 6 G iso : Ε , o hexádico podendo ser considerado simétrico por montante e jusante em vista da simetria de Ε; e pelo centro em vista da simetria de Σ. Dentre os 15 isômeros de 6I apenas 6 serão necessários para expressão da lei, mas os coeficientes da segunda parcela serão bem complicados. O assunto pode ser mais detalhado nos cursos de Teoria de Elasticidade não Linear, mas voltaremos ao assunto no §20.

§ 17 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE POLIÁDICOS. § 17.01 – Polinômio mínimo de um poliádico Os poliádicos a considerar neste parágrafo são os de valência par, 2H. Para o 2H-ádico 2Hφ define-se o conceito de polinômio poliádico inteiro do grau Q, e representa-se por PQ(2Hφ), pela expressão

PQ ( 2H φ ) = C 0

Ι + C1

φ + C2

•

φ + C3

2H 2

•

φ + ... + C Q

2H 3

•

φ ,

2H Q

(01),

em que as potências são definidas como em ((01), §06.03). Por estar associada a 2Hφ, em relação a uma determinada base H-ádica, uma matriz quadrada 3Hx3H, [2Hφ], fica também associada a cada potência de 2Hφ a potência de mesmo expoente de [2Hφ]. Assim, à (01) está Poliádicos - Ruggeri

250

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

associado o polinômio inteiro matricial:

[ PQ ( 2H φ )] = C 0 [ 2H Ι ] + C1 [ 2H φ ] + C 2 [ 2H φ ]2 + C 3 [ 2H φ ]3 + ... + C Q [ 2H φ]Q ,

(011).

Tal como demonstrado para os diádicos, podemos demonstrar para os 2H-ádicos o seguinte

Teor. 1: Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente nulos, C0, C1, C2, ..., C N 2 , tais, que para qualquer 2Hφ gerado de EN,

Ι + C1

φ + C2

•

φ + C3

2H 2

•

φ + ... + C N 2

2H 3

φN =

Ο,

(02),

ou, em forma matricial, 2

C 0 [ 2H Ι ] + C1 [ 2H φ ] + C 2 [ 2H φ ]2 + C 3 [ 2H φ ]3 + ... + C N 2 [ 2H φ ] N = [ Ο ] ,

(021).

•

Se trocarmos, no polinômio (01), ordinário)

φ Q por XQ, obteremos o polinômio (escalar,

PQ ( X ) = C 0 + C1X + C 2 X 2 + C 2 X 2 + ... + C Q X Q ,

(03),

que será denominado polinômio escalar associado ao polinômio poliádico (01). A situação inversa nem sempre é verdadeira, mas poderá sê-lo. Assim, dado um polinômio como (03), diremos que ele anula o poliádico 2Hφ se (02), ou (021) forem verificadas. Então:

Corol. 1: Dado um poliádico qualquer 2Hφ, gerado de EN, o grau do polinômio real que anula 2Hφ não é maior que N2H. Pode provar-se que, existindo o polinômio do menor grau que anula dado 2H-ádico, ele é único. Esse polinômio será dito o polinômio mínimo de 2Hφ e denotado por Pmin(2H)φ φ.

Teor. 2: O polinômio mínimo de um 2H-ádico é fator de qualquer polinômio que anule esse 2H-ádico. Seja Q o grau de um polinômio associado a um 2H-ádico (que, portanto anula esse 2H-ádico), com Q maior que o grau do polinômio mínimo que, por hipótese, existe. Seja, então, R o grau do polinômio restante ao dividirmos o polinômio associado (do grau Q) pelo polinômio mínimo. Escreveríamos: PQ ( X ) = Q(X).Pmin (X) + R R (X) , uma identidade que deve ser satisfeita pelo 2H-ádico28; vale, pois, a igualdade:

PQ ( 2H φ) = Q( 2H φ)

H •

Pmin ( 2H φ) + R R ( 2H φ) .

28 Essa assertiva pode ser demonstrada, não sem alguma dificuldade.

IV, § 17.01

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos.

251

Assim, substituindo-se X por 2Hφ e observando que Pmin(2Hφ) = 2HΟ, RR(2Hφ) = 2HΟ. Logo, RR(X) é um polinômio de grau menor que o de Pmin(X) que anula 2Hφ. Mas, como esse polinômio não é o polinômio mínimo (e este, Pmin(X), é único), deve ser RR(2Hφ) = 2HΟ • necessariamente; isto é: PQ ( 2H φ ) = Q( 2H φ ) 2H Pmin ( 2H φ ) , ou seja, Pmin(2Hφ) é fator de

PQ(2Hφ).

Tal como para os diádicos, concluímos:

Corol. 1: Qualquer polinômio poliádico é equivalente a um polinômio poliádico de grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo.

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos O problema, aqui, tal como no caso dos diádicos, consiste em, sendo dado um poliádico de valência par de um espaço G-dimensional, 2H φ , saber em que condições esse poliádico transforma, por multiplicação ponteada H-pla, um H-ádico não nulo, H ψ , em um poliádico paralelo a H ψ . Em outros termos: se X é um número, será possível a expressão: 2H

φ H.

ψ = X H ψ ?,

(01).

Se (01) for possível, deverá ser

( 2H φ − X 2H Ι ) H.

ψ = HΟ ,

(011).

Ora, para que (011) seja possível o 2H-ádico dentro dos parênteses deve ser incompleto (Teor. 1, § 11.04), isto é, o seu G-ésimo deve ser nulo (Teor. 3, § 11.01). Pondo, em relação às bases H-ádicas recíprocas { H ε ∗ } e { H ε ∗ } , 2H

φ=

εi

βi

Ι=

a condição (011) implica, então, que o 2H-ádico H

εi H

H i

εi

(i = 1, 2, ..., G),

(02),

α i , com

α i = Hβ i − X H ε i ,

(021),

α 1 H α 2 ... H α G ) = 0 . Então, aplicando (03), § 09.05, e H 1 H H considerando que H α1 H. H ε1 = H β1 H. H ε1 − X, α . ε 2 = H β1 H. H ε 2 , ... , temos: seja incompleto, isto é, que (

Poliádicos - Ruggeri

252

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

β . ε1 − X H 2 H H β . ε1 ... H G H H β . ε1

β . ε2 H 2 H H β . ε2 − X ... H G H H β . ε1

H 1 H H

β . εG β 2 H. H ε G =0, ... ... ... H β G H. H ε G − X H 1 H H

... ...

(03).

O determinante (03) representa a CNS para que (01) seja possível. Com efeito, que a condição é necessária já está demonstrado. Reciprocamente, verificando-se (03), é nulo o produto misto H-plo dos H-ádicos H α i dados por (021). Então o 2H-ádico H ε i Hα i é incompleto e (011) - portanto, também (01) – verifica-se para algum

ψ não nulo.

O determinante (03), que será denominado o G-ésimo característico de 2H φ no EG, é equivalente a uma equação algébrica do grau G que pode ser escrita na forma dita mocha29: 2H

- XG + −

2H φ

X G −1 −

∑ diag

2H φ

∑ diag

2H φ

X G −2 +

∑ diag φ + ∑ diag φ

X G −3 + ... −

G −3

X3 +

X2 −

G −2

~ 2H φ G

X+

2H φ

(04),

cujos coeficientes têm sinais alternados e o significado explicado a seguir. Na equação formada o termo independente de X é o próprio determinante (03) em que se cancele X, isto é (§ 11.01), 2H φ G . Esse determinante pode ser entendido como a soma dos menores do grau G extraídos do determinante

φ G , ou seja, ele próprio; ou

ainda, como a soma dos G-ésimos dos menores diagonais do grau G (um único menor) extraídos de 2H φ . O coeficiente de X é a soma dos C1G menores diagonais do grau G - 1 extraídos de planares de

2H 2H

φ G , isto é, a soma dos (G - 1)-ésimos dos 2H-adicos menores diagonais 1-

φ (§ 09.06), ou ainda, o escalar de

~ 2H φ G

(§ 13.02). O coeficiente de XJ

(para J>1) é a soma dos menores diagonais do grau G-J extraídos do determinante ou seja, a soma dos (G-J)-ésimos dos que representaremos por

C GJ

∑ diag( 2H φ

2H-adicos menores diagonais J-planares de

G -J )

. O coeficiente de X

diagonais do grau 1 do determinante, é o escalar de

G-1

φG,

φ,

, soma dos menores

φ.

Vê-se por (04) que existe um polinômio do grau não maior que NH que anula 2Hφ; é o polinômio característico de 2Hφ. A equação (04) é a equação característica do poliádico 2H φ no 2HEG; o polinômio correspondente (do grau G) é um candidato ao polinômio mínimo de 2Hφ. 29 Um polinômio do grau H é dito mocho quando o coeficiente do seu termo do mais alto grau é i gual a ±1.

IV,§ 17.02

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos.

253

Representemos por X1, X2, ..., XG as raízes (reais ou complexas) da equação característica, a que denominaremos os autovalores ou valores característicos de 2H φ . Cada autovalor torna possível (01), a cada um correspondendo pelo menos certo H-ádico H ψ ; resta, então, determinar esse H-ádico – problema sempre possível - a que denominaremos autoH-ádico(s), ou H-ádico(s) próprio(s) de 2H φ 30. Nota: Se um autoH-ádico pudesse ser o auto H-adico nulo, o valor de X poderia ser um número qualquer; excluímos o H-ádico nulo como um autoH-ádico. Para Hψ não nulo poderíamos dividir ambos os membros de (01) por seu módulo, o que estabeleceria uma relação unívoca entre um autovalor e o unitário de um autoH-ádico.

Podemos traduzir matricialmente a equação (011). Se, em relação a bases vetoriais recíprocas {e ∗ } e {e ∗ } , 2H

φ = A h i ... kmrs .... tu e h e i ... e k e m e r e s ... e t e u , 14 4244 3

ψ = P x y ... zw e x e y ... e z e w 14 4244 3

H fatores

são as representações cartesianas do poliádico dado, 2H φ , e da incógnita H ψ - o primeiro com G2H coordenadas, o segundo com GH) - temos para expressão do poliádico característico relativo ao autovalor X: 2H φ − X 2H Ι

Ι = (A h i ... kmrs .... tu e h e i ... e k e m − X e r e s ... e t e u )e r e s ... e t e u , .

Ainda, lembrando que (em função dos deltas de Kronecker)

e r e s ... e t e u = δ rhδ si ... δ tk δ um e h e i ... e k e m , podemos escrever, 2H

φ−X

Ι = (A h i ... km rs .... tu − X δ rs δ si ... δ tk δ um )e h e i ... e k e m e r e s ... e t e u .

Como a multiplicação ponteada H-pla de escrevemos, finalmente:

φ−X

Ι por

ψ é o H-ádico nulo,

(A h i ... km rs .... tu − X ε rs ε si ... ε tk ε um ) P rs ... tu = 0 , com

(h, i, ..., k, m, r, s, ..., t, u = 1, 2, ..., G),

(05).

30 Kelvin foi o precursos desses estudos em Elasticidade. Ver: Mehrabadi, Morteza M. and Cowuin, Stephen C., "Eigentensors of Linear Anisotropic Elastic Materials", Q. J. Mech. Appl. Math, vol. 43, Pt 1, 1998, Oxford University Press.

Poliádicos - Ruggeri

254

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

O sistema homogêneo (05) - representação cartesiana da equação poliádica (011) – tem G equações e G incógnitas. O seu determinante é precisamente o G-ésimo de 2H φ − X 2H Ι . Sendo nulo este determinante (por ser incompleto o poliádico), vemos que o sistema admite solução não trivial. A cada uma das G raízes simples da equação característica de 2H φ , isto é, a cada X simples, corresponderá a solução desse sistema que define coordenadas de um autoH-ádico de 2H φ em relação à base adotada. Se certa raiz X for múltipla de grau de multiplicidade k, o que indicaremos por X(k), o sistema homogêneo correspondente, (05), apresentará tantas soluções independentes quantas forem a diferença entre k e o posto de [ 2 H φ − X 2H Ι ] 31. Quando essa diferença é igual a k, o autovalor correspondente é dito regular. * Para um tetrádico qualquer, por exemplo, o sistema (05) pode ser representado pelo produto da sua matriz mista [A****] associada em relação às bases recíprocas {e ∗ } e {e ∗ } pela coluna das coordenadas duplamente contravariantes do autodiádico ψ em relação às mesmas bases, na forma 11 11 11  A 11 − X A 12 A 13 A 21  11  A12 A1212 − X A1213 A1221 11  13 13  A13 A 12 A 13 − X 11   21 21 A 12 ...  A 11  22 ...  A 11  23 ... ...  A 11  31 ...  A 11  32  A 11  33 33  A 3311 A 12 A 13 ...

...

... ...

...

... ...

33 32

  P11  0       A12 33   P12  0       13 13    0  A 33  P      21  0  ...  P      22    ...  .  P  =  0 .   23    ...   P  0    31      P  0    32    ...   P  0       33 A 33 − X   P 33  0  A

11 33

Particularmente, podemos escrever o mesmo sistema (05) para o caso de um tetrádico cíclico (H=2), N=3 e G =9 (isto é, 32), cuja matriz mista associada, [ ]****, em relação à base {a, b, c} (e sua recíproca), é dada por ((07),§14.04). Nesse caso, a coluna relativa ao autodiádico deve ser escrita com as coordenadas mistas contravariantescovariantes do mesmo em relação às mesmas bases. Sinteticamente,

([ ]∗∗∗∗ − X[4 Ι]∗∗).{P∗∗} = {0} ,

(06).

31 Essas propriedades são conhecidas dos cursos de Álgebra. O posto de uma matriz é o grau do determinante não nulo do maior grau que se possa extrair dessa matriz.

IV,§ 17.02

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos.

255

Se, entretanto, 2H φ estiver referido à base H-ádica {Hε*}, com a qual pudemos expressa-lo na forma (02), as notações são simplificadas de modo substancial. Assim, se escrevêssemos, usando coordenadas contravariantes (§03.04): H β i = F ij H ε j e H

ψ = Pr

ε r para i,j,r,s=1, 2, ...,G, (G≤ NH), seria

φ = F ij

εi

ε j ; e a equivalente

matricial de (05) seria,

F13 F11 − X F12  21 22 F − X F 23  F  F 31 F 32 F 33 − X  41 ...  F  ... ...  G 1 G 2 F FG3  F

  P1   0   P    ...   2  0 34 3G   P3   0  F ... F .  =   , ... F 4G      ...   ...  ...     GG ... F − X  PG   0  F14 ...

F1G

F 24

F 2G

(07).

Existem algumas propriedades gerais de fácil demonstração, aqui apresentadas como exercícios. Conforme a ocasião poder-se-á optar por escrever o sistema (011) na forma de multiplicação dupla de matrizes (§06.02,IV), devendo-se previamente preparar as matrizes dando-lhes uma das formas ((08),§14.04,IV). Assim agiremos para a resolução do presente problema no momento oportuno (§08,V), pondo (07) na forma  cos 2 ϕ − X sen ϕ cos ϕ     sen 2 ϕ   sen ϕ cos ϕ     0 0     − sen ϕ cos ϕ − sen 2 ϕ   2   cos ϕ − X sen ϕ cos ϕ   0 0   0 0 0        0 0 0        cos ϕ − X sen ϕ 0  

0   0  0  0   0  0 

 − sen ϕ cos ϕ cos 2 ϕ − X   2 sen ϕ cos ϕ  − sen ϕ   0 0   sen 2 ϕ − sen ϕ cos ϕ   2  − sen ϕ cos ϕ cos ϕ − X   0 0  0 0  0     0 0  0    − sen ϕ cos ϕ − X 0 

0   0  0  0   0  0 

0 0 cos ϕ − X       0 0 sen ϕ     0 0   0  0 0 − sen ϕ       0 0 cos ϕ − X     0 0   0  0   0 0       0   0 0     0 0 1 − X   

 P 11 P 1 2 P 13   0 0 0          :  P 21 P 22 P 23  =  0 0 0  ,     P 3 P 3 P 3  0 0 0    2 3  1

* Exercícios: 1) – Os autovalores de 2H-ádicos transpostos (ver §15.01) são iguais; logo, poliádicos transpostos têm a mesma equação característica. 2) – Os tetrádicos característicos (e, portanto, os autovalores) de tetrádicos similares (ver §14.01) são idênticos. 3) – Quaisquer que sejam 2Hφ e 2Hψ, 2H φ H• 2H ψ e 2H ψ H• 2H φ têm a mesma equação característica. 4) – Todo 2Hφ de um 2HEímpar tem ao menos uma raiz real.

Poliádicos - Ruggeri

256

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

•

5) – Para K>0, os autoH-ádicos de 2H φ K e 2Hφ são paralelos, mas os autovalores do primeiro são as potências K-ésimas dos autovalores do segundo. Se 2Hφ é completo a proposição anterior é igualmente válida para K<0. 6) – Se 2Hφ e 2Hψ são similares mediante 2Hµ (ver §15) e se Hα é autoHádico de 2Hψ correspondente ao autovalor A, então 2H µ •H H α a A são autoH-ádico e autovalor de 2Hφ. *

Poliádicos com autovalores nulos. Poliádicos antitriangulares.

Teor. 1: A CNS para que um 2H-ádico seja orto(NH-J)-planar é que ele seja (NH-J)planar e tenha J autovalores nulos. Se um 2H-ádico é orto(NH-J)-planar, seu adjunto é orto(NH-J)-linear (Corol. 1, Teor. 2, §13.03 para G=NH). Então, conforme a equação característica, 2H φ N H = 0 (o seu NHésimo é nulo),

~ 2H φ G

= 0 (o escalar do seu adjunto é nulo),

∑ diag 2H φ G −2 = 0 , ...

∑ diag 2H φ G −J = 0 são nulos, o que acarreta a existência de J autovalores nulos. Reciprocamente, se um 2H-ádico tem J autovalores nulos, o seu NH-ésimo e o escalar do seu adjunto etc. são nulos necessariamente. Então, o mesmo Corol. 1, Teor. 2, §13.03 para G=NH garantem ser esse 2H-ádico orto(NH-J)-planar. * Exercício: 7 - Se dois 2H-ádicos são similares e um deles é orto(NH-1)-planar, então o outro também é orto(NH-1)-planar. *

Teor. 2: A CNS para que um 2H-ádico seja orto(NH-J)-linear é que ele seja (NH-J)linear e tenha J autovalores nulos. A demonstração deste teorema pode ser feita por caminho idêntico ao anterior.

Poliádicos antitriangulares O 2H-ádico a que se refere o Teor. 1 pertence a um espaço

E N 2H −J e, nesse

espaço, ele é completo. Se todos os NH autovalores de um 2H-ádico são nulos – o que é possível, sem que ele seja o 2H-ádico nulo – a matriz associada a esse poliádico numa base qualquer é da forma antitriangular, isto é, são nulos todos os elementos dessa matriz situados na diagonal principal e numa das bandas triangulares; e ele pertence a um espaço 2HEG com G = 3H(3H1)/2. Apenas as matrizes antitriangulares apresentam equação característica com

IV,§ 17.02

§ 17.02 – Equação característica, autovalores e autopoliádicos.

257

coeficientes simultaneamente nulos (exceto o coeficiente do termo de mais alto grau, evidentemente). Os 2H-ádicos dessa natureza serão denominados, como os diádicos (caso H=1), poliádicos antitriangulares; e serão denotados por 2Hφatr. &

φatr pertence a um 2HEG então, necessariamente, 2H φ atr G = 2H Ο , isto é, a potência ponteada de expoente G de 2Hφatr (§ 06.03) é o 2H-ádico nulo. Conforme a natureza de um 2Hφatr poderá acontecer que, para algum expoente menor que G, sua potência ponteada seja ainda o 2H-ádico nulo (caso em que, necessariamente, a potência de expoente G se anula). Se um

Assim, por exemplo, se as matrizes mistas [M] e [M'] associadas a dois tetrádicos antitriangulares num 4E6 (G=6, H=2), 4φ e 4φ', referido à base diádica {εε1, ε2, ..., ε6} e sua recíproca, são

0 A 1 0 0  0 0 [M ] =  0 0 0 0  0 0

E1  0 A -A A -A B   0 0 0 B -B A  E2    0 0 0 B -B A  E3   e [M ′] =   E4  0 0 0 0 0 A  0 0 0 0 0 A  E5     0  0 0 0 0 0 0 

então a sexta potência de M e a segunda de M' são a matriz zero: [M]6=[0] e [M']2=[0], quaisquer que sejam os elementos dessas matrizes. No primeiro caso o polinômio mínimo do 2H-ádico (§17.01) é Pmin( 2H φ )=X6, isto é, esse é o polinômio do menor grau que anula o 2H-ádico. No segundo caso, um caso particular do primeiro, Pmin( 2H φ )=X2. Por qualquer um dos exemplos acima vemos que os tetrádicos antitriangulares são ortoplanares (ver final §09.06), a rigor (62- 15)-planares, e têm escalar nulo. No primeiro caso, por exemplo, 4φ tem 36-21=15 parcelas: 4

φ=A1ε1ε2+ B1ε1ε3+...+ E1ε1ε6+ B2ε2ε3+ C2ε2ε4+ D2ε2ε5+ E2ε2ε6+...+ E5ε5ε6

e tem escalar trivialmente nulo. Como qualquer diádico ortogonal ao subespaço 2E5 dos antecedentes é paralelo a ε6 e qualquer diádico ortogonal ao subespaço (também um 2E5) dos conseqüentes é paralelo a ε1, então, por serem estes ortogonais (posto que pertençam a sistemas recíprocos), resulta que os referidos subespaços de 4φ também o são. Logo, 4φ é (62- 15)-planar e tem escalar nulo. * Exercício 8: Se dois 2H-ádicos são similares e um deles é orto(GH-J)-planar, ou orto(GH-J)-linear ou antitriangular, então, correspondentemente, o outro também é orto(NH-J)-planar, orto(NH-J)-linear ou antitriangular. *

Poliádicos - Ruggeri

258

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica.

Teor. 1: Se os autovalores de um 2H-ádico são simples (logo, distintos), os autoHádicos que lhes correspondem são independentes. Essa propriedade é válida, como já demonstrado, para H=1 (caso dos diádicos, (§ 03.03, III)); para um H qualquer e G-1≤NH (e N=1, ou 2, ou 3), isto é, para os 2H-ádicos pertencentes a um subespaço de dimensão G, é válida também, evidentemente. Essa propriedade é válida, ainda, para G=2, caso em que teríamos dois autovalores apenas, X1 e X2. Pois se os autoH-ádicos correspondentes, Hψ1 e Hψ2 fossem paralelos (logo, não independentes) existiria um número K tal que H ψ 2 = K H ψ 1 . Então por multiplicação, 2H

φ H.

ψ2 = K

φ H.

ψ1 ,

isto é, lembrando a relação (01) e o paralelismo admitido:

X 2 H ψ 2 = X1 (K H ψ 1 ) = X1 H ψ 2 , isto é, X1=X2, o que é absurdo. Suponhamos que a propriedade fosse verdadeira para G-1 quaisquer autovalores simples e seus correspondentes auto H-adicos, com G-1<NH uma vez que NH é a dimensão do espaço dos H-ádicos. Suponhamos, ainda, que existissem G números Cu, não simultaneamente nulos, tais que Cu H ψ u = H Ο para u=1, 2, ..., G, (01), caso em que os G autoH-ádicos seriam linearmente dependentes. Então, multiplicando-se ambos os membros dessa igualdade por 2Hφ vem:

H .

ψu =

Ο = Cu Xu ψ u ,

(02).

Multiplicando (01) por XG e subtraindo-se o resultado de (02) vem

C u (X G − X u )ψ u =

Ο,

(u=1,2, ..., G-1)

(03).

Como os G-1 auto H-adicos são independentes por hipótese, (03) só será verdadeira se os coeficientes forem simultaneamente nulos, o que acarreta C1=C2= ...=CG-1=0. Nesse caso (01) mostra que deverá ser, também, CG=0, isto é, que os G autoH-ádicos sejam independentes. Notas: 1 – O teorema 1 não seria verdadeiro se um autoH-ádico pudesse ser o autoH-ádico nulo. 2 – O recíproco desse teorema não é verdadeiro, isto é, um 2H-adico pode admitir autoHádicos independentes sem que seus autovalores sejam simples. Um exemplo óbvio é o do 2H-ádico unidade que apresenta o autovalor 1 com grau de multiplicidade NH, a esse autovalor correspondendo um H-ádico qualquer do espaço.

IV,§ 17.03

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica.

259

Sendo independentes os autoH-ádicos de 2H φ , correspondentes a autovalores regulares, podemos escrever (sejam esses autovalores simples ou múltiplos): 2H

φ H.

ψ 1 = X1 H ψ 1 ,

φ H.

ψ2 = X2

ψ2 ,

2H φ H H ψ

= XG

Hψ

Vemos, à luz do conceito de Transformação Linear (§ 09.06), que 2H φ transforma H-ádicos independentes de certo subespaço em H-ádicos independentes (no caso, os mesmos Hádicos), devendo pois, nessa hipótese, ser completo. Então, se os recíprocos dos autoHádicos são Hψ1, Hψ2, ..., o teorema fundamental relativo a transformações lineares (Teor.1, § 09.06) permite escrever:

φ = Au H ψu H ψ u ,

u=1,2, ..., G,

(04).

Definição: (forma tônica ou espectral) Os 2H-ádicos (completos) de um 2HEG que podem ser reduzidos à forma (04) são ditos tônicos; a forma (04) em si é dita forma tônica do 2H-ádico, ou forma espectral. Tal como no caso dos diádicos, vemos pela relação espectral (04) que

Teor. 2: Se 2H φ apresenta autoH-ádicos independentes, e se referirmos o espaço à base por eles definida, a sua matriz associada é diagonal e os elementos (diagonais) desta matriz são os autovalores de 2H φ . Escrevemos:

[ 2H φ]{

H ψ}

 X1 0 0 0  X2 0 0   X3 0 = X4   ... ... ... ...   0 0 0 0

... ... ... ... ... ...

0  0  0  . 0  ...   X N H 

Nota: O Teor. 2 diz que a existência de apenas autovalores simples para um 2H-ádico é uma condição suficiente para que a sua matriz associada seja diagonal; mas essa condição não é necessária, isto é, existem 2H-ádicos com autovalores múltiplos aos quais é possível associar uma matriz diagonal, ou dar-lhes uma representação espectral (e o poliádico unidade é o exemplo mais trivial).

Suponhamos que todos os autovalores de um poliádico 2Hφ de um G-espaço sejam regulares (§17.02), cada um com um grau de multiplicidade. A cada autovalor corresponde um número de autoH-ádicos independentes igual ao seu grau de multiplicidade. Como esses

Poliádicos - Ruggeri

260

§ 17 - Elementos característicos de poliádicos.

G autoH-ádicos, em conjunto, são também independentes, formam uma base para o Gespaço a que pertence 2Hφ. Particularmente um X(α) poderia ser nulo, a este autovalor podendo-se associar qualquer conjunto de α H-ádicos independentes entre si e independentes dos demais autoH-ádicos de 2Hφ. Tendo um 2H-ádico autovalores regulares (eventualmente algum nulo) ele será sempre diagonalizável. Resulta, então, afinal:

Teor. 3: A CNS para que um 2H-ádico (completo ou não) admita uma representação espectral – logo, uma matriz associada diagonal – é que ele tenha autoHádicos independentes. O Teorema de Cayley-Hamilton para poliádicos. Podemos escrever a equação característica de simplificada

φ , isto é, ((04),§17.01), na forma

- A G X G + A G −1 X G −1 − A G − 2 X G − 2 + ... − A 1 X + A 0 = 0 , em que os coeficientes são, naturalmente, os mesmos de ((04),§17.01). Em face da definição ((02), §14), o adjunto de 2H φ − X 2H Ι , isto é, ( 2H φ − X 2H Ι )~ , é um polinômio do grau G - 1 em X e pode ser escrito na forma:

( 2H φ − X

2H Ι )~= 2H β

β0 −

2H β

β1X +

β 2 X 2 − ... − 2H β G − 2 X G − 2 +

2H β

β G −1 X G −1 .

2H β

Aplicando a esse poliádico a relação ((08), §13), temos:

( 2H φ + X

2H Ι ) H

. (

2H β

β0 −

2H β

β1 X +

β 2 X 2 − ... − 2H β G − 2 X G − 2 +

2H β

β G −1 X G −1 ) =

2H β

= [−A G X G + A G −1 X G −1 − A G − 2 X G − 2 + ... + A 2 X 2 − A 1 X + A 0 ]

2H Ι

Ι.

Operando e agrupando convenientemente vem:

( 2H φ H.

2H β

β 0 − A 0 2H Ι ) −( 2H φ H.

2H β

β1 − 2H β 0 + A 1 2H Ι )X +

+( 2H φ H. 2H β 2 − 2H β1 − A 2 2H Ι )X 2 + ... +[ 2H φ H. + [ 2H φ H.

2H β

β G -1 −

2H β

β G - 2 − A G -1 2H Ι ]X G -1 + [ −

2H β

β G -2 −

2H β

β G -3 − A G - 2 2H Ι ]X G - 2 +

β G −1 − A G 2H Ι ]X G =

2H Ο.

Para que esse polinômio, cujos coeficientes são 2H-ádicos independentes, seja o 2H-ádico nulo, é necessário e suficiente que as suas NH coordenadas (escalares) sejam polinômios identicamente nulos, ou seja, que todos os coeficientes (2H-ádicos) desse polinômio sejam poliádicos nulos; donde podermos escrever:

IV,§ 17.03

§ 17.03 - Forma espectral. Redução Tônica.

261

 2H φ H. 2H β 0 = A 0 2H Ι,   2H φ H 2H β − 2H β = − A 2H Ι, . 1 0 1   2H H 2H β 2 − 2H β 1 = A 2 2H Ι  φ .  ...,   2H H 2H β G - 2 − 2H β G −3 = A G - 2 2H Ι  φ .  2H H 2H β G -1 − 2H β G − 2 = A G -1 2H Ι  φ .   − 2H β G −1 = A G 2H Ι onde já levamos em conta que o produto ponteado H-plo de qualquer poliádico de valência 2H pelo 2H-ádico unidade é o próprio poliádico. Isto posto, pré-multipliquemos ponteada e H-plamente: a primeira igualdade pelo 2H-ádico unidade; a segunda pelo poliádico 2H φ ; a terceira pelo quadrado ponteado (§ & & 06.03) de 2H φ , 2H φ 2 ; a quarta pelo cubo ponteado desse mesmo poliádico, 2H φ 3 , e assim & sucessivamente, a última parcela sendo multiplicado por 2H φ G . Aplicando (03), § 06.02 podemos associar os fatores em cada equação, obtendo em ambos os membros potências ponteadas de 2H φ como novos fatores. Somemos, então, membro a membro os resultados obtidos já simplificando as parcelas simétricas que ocorrem no primeiro membro; resulta dessas operações:

- 1A G 2H φ G + A G −1 2H φ (G −1) − ... + A 2 2H φ 2 − A 1 2H φ + A 0 2H Ι = &

2H Ο ,

(05).

A expressão (05) significa que a equação característica de 2H φ é satisfeita quando se substituem as potências indicadas de X por potências ponteadas de 2H φ , isto é, fica demonstrado o seguinte

Teor. 4: (Cayley-Hamilton) Todo poliádico satisfaz sua própria equação característica. Sejam α1, α2, ..., αk os graus de multiplicidade dos autovalores X1, X2, ..., Xk de 2Hφ supostos regulares. Se escrevermos a equação característica na forma conhecida (X-X1)(XX2)...(X-XG) valerá também a equação poliádica

( 2H φ − X 1

2H Ι ) α1 H

•

( 2H φ − X 2

2H Ι ) α 2 H

•

...

H •

( 2H φ − X k

2H Ι ) α k

2H Ο ,

(06),

em que os fatores podem entrar em qualquer ordem. Mas para os valores p1 ≤ α1, p2 ≤ α2, ..., pk ≤ αk poderá acontecer que

( 2H φ − X 1

2H Ι ) p1 H

•

( 2H φ − X 2

2H Ι ) p 2 H

•

...

H •

( 2H φ − X k

2H Ι ) p k

2H Ο

Ο.

Poliádicos - Ruggeri

262

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

Os menores valores de p1, p2, ..., pk determinarão o polinômio mínimo de 2Hφ, isto é,

Pmin ( 2 H φ) = (X − X 1 ) p1 (X − X 2 ) p 2 ...(X − X k ) p k ,

(061).

Considerando novamente ((08),§13) - isto é, considerando que o produto (comutativo) ponteado H-plo de um 2H-ádico de um 2HEG pelo seu adjunto é igual ao seu G-ésimo pelo 2H-ádico unidade de 2HEG – resulta:

Teor. 5: O produto ponteado H-plo de qualquer característico de um 2H-ádico pelo seu adjunto é o 2H-ádico nulo:

( 2H φ − X

Ι)

H •

( 2H φ − X

Ι )~=

Ο,

(07),

posto que os característicos são incompletos. De (06) e (07) deduzimos ainda, e finalmente:

Teor. 6: O adjunto de qualquer um dos característicos de um 2Hφ é igual ao produto ponteado H-plo de todos os seus demais característicos em qualquer ordem:

( 2H φ − X G

Ι )~= ( 2H φ − X1

Ι)

H •

( 2H φ − X 2

Ι)

H •

...

H •

( 2H φ − X G-1

Ι) ,

(08).

§ 18 – FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS POLIÁDICOS. § 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples. Poliádicos com autovalores imaginários. Vimos que, num espaço de dimensão ímpar, um poliádico de valência par deve apresentar pelo menos um autovalor real. É o que vamos considerar a seguir. É conveniente lembrar que se um autovalor é um número complexo (ou imaginário) o seu conjugado também é um autovalor. No espaço de dimensão 32H=9H, com poliádicos gerados do E3, um 2H-adico tem, então, um autovalor real e (32H − 1)/2 pares de autovalores complexos conjugados.

Teor. 1: Se A é autovalor real de 2HΓ e z1=M1+iN1, z2=M2+iN2, z3=M3+iN3, z4=M4+iN4 ... zG=MG+iNG e seus conjugados (com G=(N2H-1)/2) são seus autovalores imaginários, existem bases H-ádicas recíprocas {Hε*} e {Hε*} em relação às quais 2HΓ fica reduzido à forma cartesiana mista

IV, § 18.01

§ 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples.

263

Γ = A H ε1 H ε1 + M1 ( H ε 2 H ε 2 + H ε 3 H ε 3 ) + M 2 ( H ε 4 H ε 4 + H ε 5 H ε 5 ) + ... + + M G ( H ε 2G H ε 2G + H ε 2G +1 H ε 2G +1 ) + (01), + N1 ( H ε 3 H ε 2 − H ε 2 H ε 3 ) + N 2 ( H ε 5 H ε 4 − H ε 4 H ε 5 ) + ... + + N G ( H ε 2G +1 H ε 2G − H ε 2G H ε 2G +1 ),

ao qual, na referida base, fica associada a matriz (2G+1)(2G+1)

[ 4 Γ]{ε}

A 0  0 M1  0 N1 0 0 = 0 0 ... ... 0 0  0 0

0 − N1 M1 0 0 ... 0 0

0 0 0 M2 N2 ... 0 0

0 0 0 − N2 M2 ... 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... 0 MG 0 NG

0  0  0  0  , 0  ...  − NG  M G 

(011).

Como A é raiz simples, 2HΓ-A2HI é um 2H-ádico (NH-1)-planar, a ele estando associado um par de 2HEG com G=N2H-1. Sejam, então, {Hε2, Hε3, ..., HεG} G-1 H-adicos arbitrários, ordenados e independentes, do HEG dos antecedentes de 2HΓ-A2HI. Seja, ainda, H ε1 um H-ádico ortogonal ao HEG dos conseqüentes de 2HΓ-A2HI, mas tal, que o conjunto {Hε1, Hε2, Hε3, ..., HεG} seja direto. Então:

(2H Γ − A 2H Ι) H• Hε1 = HΟ , isto é, Hε1 é um autoH-ádico de 2HΓ correspondente ao autovalor A. Se {Hε1, Hε2, ..., HεG} é o sistema recíproco de {Hε1, Hε2, Hε3, ..., HεG}, os H-ádicos {Hε2, ..., HεG} estão contidos no H EG definido pelos conseqüentes de 2HΓ-A2HI e Hε1 é ortogonal ao HEG definido pelos antecedentes de 2HΓ-A2HI. Os conseqüentes de 2HΓ-A2HI, desconhecidos, são combinações lineares de pelo menos um par de H-ádicos da base {Hε2, ..., HεG} com coeficientes que se determinam impondo-se a condição de que A, z1, z2, ... sejam os autovalores de 2HΓ. Podemos, assim, escrever: 2H

Γ-A 2HI= Hε2(P2 Hε2+ P3 Hε3)+ Hε3(Q2 Hε2+ Q3 Hε3)+ + Hε4(R4 Hε4+ R5 Hε5)+ Hε5(S4 Hε4+ S5 Hε5)+ ... ... ...+ HεG (VG HεG+ VG+1 HεG+1)+ HεG+1(WG HεG+ WG+1 HεG+1),

estando a determinar os coeficientes P2, P3, Q2, Q3, .... Um dos coeficientes da combinação Poliádicos - Ruggeri

264

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

P2 Hε2+ P3 Hε3, bem como das demais, é arbitrário, podendo ser fixado de antemão. Ponhamos, então: P2=P, P3=-N1, Q2=N1 e Q3=Q, ficando a determinar nessa dupla, P e Q. Procedendo analogamente com as demais duplas, temos: 2H

Γ-A 2HI= Hε2(P Hε2 - N1 Hε3)+ Hε3(N1 Hε2+ Q Hε3)+ + Hε4(R Hε5 - N2 Hε6)+ Hε5(N2 Hε5+ S Hε6)+ ... ... ...+ HεG (V HεG - NG/2 HεG+1)+ HεG+1(NG/2 HεG+ W HεG+1).

A matriz mista associada a 2HΓ nas bases recíprocas {εε*} e {εε*} é, agora:

[ 4 Γ ]{ε}

0 0 0 0 0 0 0  A 0 0 0 0 0   0 P + A − N1 0 N1 Q+A 0 0 0 0 0  0 0 0 R + A − N2 0 0 0  ; = 0 0 N2 S+ A 0 0 0  0 ... ... ... ... ... ... ...  ... 0 0 0 0 0 V + A − N G/2  0  0 0 0 0 0 0 N G/2 W + A 

e seus autovalores são: A, 1 (2A + P + Q − − 4 N1 2 + (P − Q) 2 ) , 2

1 ( 2A + P + Q + − 4 N1 2 + ( P − Q) 2 ) 2

1 ( 2A + R + S − − 4 N 22 + ( R − S) 2 ) , 2

1 ( 2A + R + S + − 4 N 22 + ( R − S) 2 ) 2

..... 1 ( 2A + V + W − − 4 N G/2 2 + ( V − W ) 2 ) , 2

1 ( 2A + V + W + − 4 N G/2 2 + ( V − W ) 2 ) . 2

Mas esses autovalores devem ser idênticos a A, z1, z2, ...e seus conjugados. Para a primeira dupla podemos escrever: 1 ( 2A + P + Q − − 4 N1 2 + ( P − Q) 2 ) = M1 − i N1 2

e 1 (2A + P + Q + − 4 N1 2 + (P − Q) 2 ) = M1 + i N1 . 2

Somando e depois subtraindo membro a membro essas expressões, resultam:

2A + P + Q = 2 M1

− 4 N1 2 + ( P − Q ) 2 ) = 2i N1

Quadrando a segunda igualdade e simplificando resulta P=Q. Logo, da primeira, M1=P+A. IV, § 18.01

§ 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples.

265

De modo análogo podemos comprovar que R=S, M2=R+A, ..., V=W, MG=V+A; o que comprova o teorema. Não é difícil, agora, demonstrar o teorema recíproco:

Teor. 2: (recíproco) Todo 2H-ádico redutível à forma cartesiana mista (01) tem A, z1=M1+i N1, ... e seus conjugados por autovalores e Hε1 por autoH-ádico relativo a A. Os teoremas 1 e 2 podem ser resumidos de outra maneira pelo seguinte

Corol. 1: A CNS para que um 2H-ádico tenha apenas uma raiz real, A, é que ele seja redutível à forma cartesiana (01) em que {Hε*} e {Hε*} são bases recíprocas e N1≠0, N2≠0, ..., NG/2≠0. * Não é difícil ver que, tendo um 2H-ádico três autovalores reais apenas, ele poderia ser escrito numa forma análoga a (01). Observando que, agora, G=(NH-3)/2, seria: 2H

Γ = A H ε1 H ε1 + B H ε 2 H ε 2 + C H ε 3 H ε 3 + M1 ( H ε 4 H ε 4 + H ε 5 H ε 5 ) + M 2 ( H ε 6 H ε 6 + H ε 7 H ε 7 ) + ... + + M G ( H ε 2G H ε 2G + H ε 2G +1 H ε 2G +1 ) + + N1 ( H ε 5 H ε 4 −

ε 4 H ε5 ) + N 2 (H ε7 H ε6 −

ε 6 H ε 7 ) + ... +

+ N G ( H ε 2G +1 H ε 2G −

ε 2G H ε 2G +1 ),

e a matriz associada (muito parecida com (011)),

[ 4 Γ ]{ε}

A 0  0  0 = 0   ... 0   0

B 0

− N1

... ...

...

0  0  0   0  . 0   ...  − NG   M G 

Poliádicos - Ruggeri

266

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

Poliádicos com autovalores reais.

É fácil ver, dos teoremas anteriores, que quando o poliádico só apresenta raízes reais A1, A2, A3, ..., AG-1, AG, com G=NH ele pode ser escrito na forma dita diagonal, tônica ou espectral: 2H

φ = A i H ε i H ε i com i=1, 2, 3, ...,G e G=NH,

(02),

ao qual está associada uma matriz evidentemente diagonal. Observa-se de imediato que:

Teor. 3: Se um 2H-ádico tem autovalores simples, os seus autoH-ádicos e os do seu transposto constituem sistemas recíprocos. Se um 2H-ádico é sabidamente tônico, é possível diagonalizá-lo. A diagonalização de um poliádico é o processo através do qual se diagonaliza esse poliádico.

Teor. 4: A CNS para que um 2H-ádico seja diagonalizável é que os seus autoHádicos sejam linearmente independentes. A condição é necessária porque se 2Hφ é diagonalizável podemos escrevê-lo na forma tônica (02) em que antecedentes e conseqüentes são sistemas recíprocos, logo independentes. Reciprocamente, se um 2Hφ tem autoH-ádicos independentes, existentes as relações 2H

H H ε1 •

= A 1 H ε1 ,

H H ε2 •

= A 2 H ε 2 , ...

H H εG •

= AG H εG ,

com G=NH. A cada igualdade podemos fazer corresponder o H-ádico recíproco do H-ádico que nela aparece. Acoplemos a ambos os membros de cada uma dessas igualdades o Hádico recíproco que lhe corresponde. Somemos agora membro a membro e observemos que, (por associação) no primeiro membro, fica estabelecido o produto ponteado H-plo de 2Hφ pelo 2H-ádico unidade, isto é, é o próprio 2Hφ. Encontramos então a forma tônica de 2Hφ, o que mostra ser o 2H-ádico diagonalizável. * Exercício 1: Demonstrar que todo 2H-ádico diagonalizável é um poliádico em feixe (§12). * Caso dos poliádicos simétricos.

Teor. 5: Os autovalores do poliádico simétrico 2Hφ são números reais. IV, § 18.01

§ 18.01 – Redução de poliádicos com autovalores simples.

267

Mesmo sendo A um autovalor complexo do poliádico podemos escrever a igualdade que expressa essa condição, 2H

φ H.

χ = A Hχ

(03),

a qual mostra que as coordenadas do autoH-ádicos devem ser, necessariamente, números complexos (porque as coordenadas no segundo membro são números complexos e as do 2H-adico, números reais). Podemos, pois, escrever o autoH-ádico na forma H

χ = Hα + i Hβ ,

os H-ádicos Hα e Hβ sendo reais32. Isto nos leva a definir o H-ádico

α − i H β como o

conjugado de Hχ (por analogia com os números complexos) e representá-lo por H

H H χ .

χ . Então,

= || H α || + || H β ||> 0 ,

isto é, a norma de Hχ é igual à soma das normas de Hα e Hβ . Por outro lado, temos: 2H

φ H. ( H α + i H β) =

φ H.

α + i 2H φ H. H β =

φ H.

α − i 2H φ H. H β ,

isto é, 2H

φ H. ( H α + i H β) =

φ H.

χ,

χ = ( M + iN ) ( H α +i H β) = ( M H α − N H β ) − i(M H β + N H α ) = = ( M − iN )( H α −i H β ) = A

χ.

Tomando-se os conjugados (dos H-ádicos) de ambos os membros em (03) e considerando os resultados acima, vem 2H

φ H.

χ = A Hχ ,

(031),

Sabemos (da Teoria das Equações) que se o complexo A é raiz de uma equação, o seu conjugado, Ā é também raiz dessa equação. De (031) concluímos, então, que ao autovalor Ā de 2Hφ corresponde o autoH-ádico H χ ; portanto: a autovalores conjugados de um poliádico correspondem auto poliádicos conjugados. Ora, sendo, então, 2H

φ H.

χ = A Hχ

φ H.

χ = A Hχ ,

32 A teoria dos poliádicos complexos será motivo do Capítulo V.

Poliádicos - Ruggeri

268

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

a consideração da simetria de 2Hφ permite escrever que H

H 2H H H φ . χ .

= Hχ

H 2H H H φ . χ .

H H χ .

= AHχ

H H χ, .

ou seja, considerando que H χ H. H χ ≠ 0 : A= Ā. Assim, o autovalor genérico A é um número real, o que demonstra o teorema.

Teor. 6: A dois autovalores simples do poliádico simétrico ádicos ortogonais.

φ correspondem autoH-

Escrevamos (01) para dois autovalores simples (distintos), A1 e A2, aos quais correspondem os auto H-adicos Hχ1 e Hχ2: 2H

φ H.

χ1 = A 1

χ1 e

φ H.

χ2 = A2

χ2 .

Então, H

χ2

H 2H H H φ . χ1 .

= A2

χ2

H H χ1 .

χ1

H 2H H H φ . χ2 .

= A1

χ1

H H χ2 , .

e, por serem H

χ2

H 2H H H φ . χ1 .

= H χ1

H 2H H H φ . χ2 .

χ2

H H χ2 .

=0.

H H χ1 .

= H χ1

H H χ2 .

tem-se, também

(A1 − A 2 ) H χ1 Sendo A1≠A2 resulta

χ1

H H χ2 .

= 0 , isto é, os autoH-ádicos são ortogonais.

Corol. 1: Se os autovalores do poliádico simétrico 2Hφ são regulares, seus autoHádicos são ortogonais entre si e independentes. Pois a certo autovalor simples de 2Hφ corresponde um autoH-ádico que (pelo teorema anterior) é ortogonal ao autoH-ádico relativo a qualquer um dos outros autovalores; alem disso, pelo Teor.1 do §17.01 esses auto H-adicos são independentes. * Os autoH-ádicos característicos ( φ-A1 2HI, 2Hφ-A2 2HI etc.) de 2H-ádicos simétricos são uni(NH-NH-1)-planares. Notando que G=NH-NH-1 é par para N>1, os subespaços HEG dos seus antecedentes e conseqüentes numa escrita G-nomial qualquer são confundidos. Então esses subespaços se interceptam dois a dois segundo as direções dos autoH-ádicos do poliádico. * 2H

IV, § 18.01

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos.

269

Forma espectral dos 2H-ádicos simétricos

Encontramos, assim, um resultado geral de notável importância para as transformações lineares entre espaços H-ádicos, regidas por 2H-ádicos simétricos. Dividamos ambos os membros de (01) pelo módulo do autoH-ádico correspondente e escrevamos todas as expressões análogas para todos os autovalores simples de 2Hφ. Como os recíprocos dos unitários dos autoH-ádicos se confundem com esses unitários, podemos escrever, aplicando o teorema fundamental da TL (Teor. 1, § 09.06), 2H

φ = Ai

χi

Hˆ

χi

Hˆ

(i=1,2, ..., 3H),

(04).

Tal é a representação espectral dos poliádicos simétricos. Um resultado de uso prático imediato para H=2 pode ser comprovado imediatamente por evidência: se os diádicos χi forem simétricos, o tetrádico simétrico 4φ será também diadicamente simétrico por montante e por jusante. § 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos. Tetrádico cíclico

Consideremos o tetrádico cíclico cuja matriz mista associada, [ ]****, em relação à base {a, b, c} (e sua recíproca), é dada por ((07),§14.04). Procuram-se os valores de X que anulam o seu nono característico, isto é, o determinante cos2 ϕ − X

senϕ cos ϕ

− senϕ cos ϕ cos ϕ − X 2

senϕ cos ϕ

sen 2ϕ

− sen ϕ

senϕ cos ϕ

senϕ

cos ϕ − X

− senϕ cos ϕ

− sen ϕ

cos ϕ − X senϕ cos ϕ

sen 2ϕ

− senϕ cos ϕ

− senϕ cos ϕ cos2 ϕ − X

− senϕ

cos ϕ − X

senϕ

− senϕ cos ϕ − X 0

= 0,

0 1− X

sinteticamente representado por

| [ ]∗∗∗∗ − X[4 Ι]∗∗ |= 0 ,

(01).

O determinante característico permite concluir imediatamente que X=1 é um autovalor porque 1 o anula (a última linha, ou última coluna torna-se nula). Além disso, esse determinante tem posto 6 porque (para X=1) a primeira linha é igual à quinta multiplicada por (-1) e a segunda é igual à quarta. É facílimo comprovar que o determinante remanescente (proveniente da eliminação da primeira linha, da segunda, da última e das correspondentes colunas) é igual a sen2φ(cosφ-1)2≠0 (porque φ≠0), tendo, então, posto 6. Então, o grau de multiplicidade da raiz 1 é igual a 3.

Poliádicos - Ruggeri

270

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

Considerando que cosϕ-e±iϕ= m isenϕ podemos concluir que a sétima e oitava linhas (bem como a terceira e a sexta) são proporcionais (uma é igual à outra multiplicada por i). Logo e±ϕ são raízes duplas. Não é difícil comprovar que e+2iφ e e-2iφ são autovalores simples33. Em resumo: existem poliádicos que apresentam autovalores múltiplos (nulos ou não, reais ou complexos). Caso geral

Em geral, se certo autovalor X de um 2Hφ de um G-espaço tem grau de multiplicidade k (k<G, evidentemente), o sistema homogêneo (05) que lhe corresponde apresentará tantas soluções (autoH-ádicos) independentes quanto for a diferença d entre G e o posto de |2Hφ-X 2HΙ|. Isto é equivalente a dizer que o subespaço a que pertence o característico 2Hφ-X 2HΙ tem dimensão d=G-posto de |2Hφ-X 2HΙ|. No caso do tetrádico cíclico, como visto, k=3, G=9 e d=9-6=3. Agora, é fácil entender que quando d=G-1 o característico 2Hφ-X 2HΙ correspondente ao autovalor X(k) é poliádico linear (a ele estando associadas duas retas); se d=G-2, esse poliádico característico é planar (a ele estando associado um par de planos); se d=G-3, é 3espacial (a ele estando associado dois 3-espaços) etc.. Mas devendo ser d≤k, o poliádico característico 2Hφ-X 2HΙ será no máximo k-espacial. Quando, para certo X(k), k=G-posto de |2Hφ-X 2HΙ|, dizemos que X é autovalor regular, a 2Hφ-X 2HΙ estando associados k autoHádicos independentes, a cada autoH-ádico estando associados dois k-espaços. Para d≤k, os dois d-espaços associados ao autopoliádico poderão ser ortogonais, caso em que ele será dito um ortoH-ádico, tendo escalar nulo (necessariamente). Esses dois d-espaços poderão, ainda, ser coincidentes, caso em que o autoH-ádico será dito um uniHádico, tendo cruzado nulo. * 2H

Se um 2H-ádico de um EG tem apenas um autovalor simples, digamos XG, e os demais com grau de multiplicidade G-1, então, 2H

Por ser

φ − XG

Ι≠

φ − X G −1

Ι=

φ − X G −2

Ι = ... =

φ − X1

Ι,

(01).

Ι E = G , e pondo X1=X2=...=XG-1=X , vem:

( 2H φ − X G

Ι ) E = (X1 + X 2 + ... + X G −1 ) + X G − GX G = (G − 1)(X − X G ) ≠ 0 ,

(02);

( 2H φ − X

Ι ) E = X1 + X 2 + ... + X G −1 + X G − GX = − (X − X G ) ≠ 0 ,

Das expressões (02) e (021) concluímos que nenhum dos característicos de poliádico antitriangular ou ortolinear porque estes têm escalar nulo.

33 Só estaremos aptos para tratar dos autodiádicos do cíclico no capítulo seguinte.

IV, § 18.02

(021); φ é um

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos.

271

Alem disso,

<( 2H φ − X

Ι ) >=< 2H φ > ,

<( 2H φ − X G

e reciprocamente. Então, os característicos de simétrico.

Ι ) >=< 2H φ > ,

φ são simétricos se, e apenas se,

(03); 2H

φ é

Teor. 1: Se um 2H-ádico de um 2HEG tem apenas um autovalor simples, XG, os demais com grau de multiplicidade G - 1 e apenas um autoH-ádico independente, o característico 2H φ − X G 2H Ι não pode ser ortoplanar nem linear. De fato, se o referido característico fosse ortoplanar, seu adjunto – produto ponteado H-plo de todos os demais característicos - seria ortolinear, isto é, esse adjunto teria escalar nulo; então:

[( 2H φ − X G −1

Ι)

H •

( 2H φ − X G −2

Ι)

H •

....

H •

( 2H φ − X1

Ι ) ]E = 0 .

Desenvolvendo os produtos indicados temos: G -1

•

2H φ (G −1)

−(

∑

G -1

•

2H φ (G − 2)

∑ XX)

G -1

− 1(

•

2H φ (G − 3)

− ... +

123 ) ∑ XX...X

2H φ

φ E + (X 1 X 2 ...X G −1 )G = 0,

1 G - 2 fatores

a primeira somatória representando a soma de todos os autovalores (exceto XG), a segunda representando a soma dos produtos dois a dois desses mesmos autovalores etc.. Denotemos por: G

∑ ( X j ) G−1 a soma das potências de expoente G-1 de todos os autovalores (inclusive XG); j=1 G

∑ ( X j ) G −2 a soma das potências de expoente G-2 de todos os autovalores (inclusive XG) j=1

etc.. Agora, escrevamos 2Hφ em forma espectral, 2H φ = X i ...,G são os autoH-adicos do 2H-ádico. É fácil ver que 2H

•

φ 2 = (X i ) 2

εi H εi ,

•

ε i H ε i , em que os Hεi, para i=1, 2,

φ 3 = (X i ) 3

εi H εi

etc..

Tomando os escalares desses diádicos e substituindo esses valores na expressão atrás deduzida vem, para j variando de 1 até G-1:

Poliádicos - Ruggeri

272

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

∑

(X j )G −1 − (

j=1

G −1

∑ ∑ X)

(X j )G − 2 + (

j=1

∑

XX)

∑ (X ) j

G −3

− ... +

j=1

G −1

XX...X 123 )(

∑ X ) + (X X ...X

1 G - 2 fatores

j=1

G −1 )G

= 0.

Para elucidar, consideremos o caso particular dos diádicos (H=1) com G=3. Se A, B e C são os autovalores desse diádico e C é simples:

A 2 + B 2 + C 2 − ( A + B)( A + B + C) + 3AB = (C − A )(C − B) = 0 , No caso particular dos tetrádicos (H=2) com digamos, G=4, temos, denotando por A, B, C e D os seus autovalores:

A 3 + B3 + C 3 + D 3 − ( A + B + C)( A 2 + B 2 + C 2 + D 2 ) + + (AB + BC + CA)(A + B + C + D) - 4ABC = (D − A )( D − B)( D − C) = 0. Por indução completa podemos comprovar a identidade: G

∑

(X j ) G −1 − (

j=1

G −1

∑ ∑ X)

(X j ) G −2 + (

j=1

+ (-1) G −2 (

G −1

∑

XX )

∑

XX...X 123 )(

1 G -2 fatores

G −3

− ... +

j=1

1 G −1

∑ (X )

∑ X ) + (−1) j

G −1

( X1X 2 ...X G −1 )G =

j=1

= ( X G − X1 )( X G − X 2 )...( X G − X G −1 ) ,

(04).

Frente ao problema que estamos discutindo essa identidade é um absurdo uma vez que ela requer sejam os autovalores todos iguais entre si (XG, por hipótese, é autovalor simples). Logo, o característico 2H φ − X G 2H Ι não pode ser ortoplanar. Esse mesmo característico não pode ser linear porque seu adjunto deveria ser o 2Hadico nulo que também tem escalar nulo; o que também é absurdo.

Teor. 2: Sendo o característico

φ − XG 2HΙ é planar e os demais característicos:

φ − X1 2H Ι = 2H φ − X 2 2H Ι = ... ... = ser X1= X2 = ... = XG-1) : 2H

φ − X G −1 2H Ι , lineares e iguais (por

1°) – o polinômio mínimo de 2Hφ (o mesmo de 2HφT ) é Pmin(2Hφ)=(X-XG)(X-Xj) para qualquer j≠G,

IV, § 18.02

(05);

§ 18.02 – Redução dos poliádicos com autovalores múltiplos.

273

2°) – 2Hφ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma diagonal 2H

φ = X1 ( H ε1 H ε1 + H ε 2 H ε 2 + ...+ H ε G −1 H ε G −1 ) + X G H ε G H ε G ,

(06),

em que os Hεi e os Hεi são sistemas recíprocos arbitrários com a condição de que HεG e HεG sejam ortogonais, respectivamente, aos subespaços dos antecedentes e conseqüentes do característico 2H φ − X G 2H Ι ; 3°) – Os H-ádicos Hεi e Hεi são os autoH-ádicos de correspondentes aos mesmos autovalores34, isto é: 2H 2H

φT

φ •H

ε i = X1

H H εi •

= X1

H H

εi

φ •H

εG = XG

2H T H H φ • εG

= XG

φ T,

εG ,

∀i = 1,2,..., G − 1 ,

(07).

εG ,

∀i = 1,2,..., G − 1 ,

(071).

No caso, por termos G-1 autovalores iguais, o produto dos característicos de escrito na forma

( 2H φ − X G Mas, sendo 2H φ − X1 14.03). Logo:

Ι)

H •

( 2H φ − X1

•

Ι ) ( G −1) =

φé

Ο.

Ι linear, sua potência ponteada é paralela a si próprio (Teor. 3, §

( 2H φ − X G

Ι)

H •

( 2H φ − X1

Ι) =

Ο.

O polinômio escalar associado a essa identidade é (05), precisamente o polinômio mínimo (do 2º grau) de 2Hφ. Sejam {Hε1, Hε2, ..., HεG-1} poliádicos arbitrários e independentes do subespaço dos conseqüentes do 1-planar 2H φ − X G 2H Ι . O produto cruzado deles, denotado por HεG, pertence ao espaço de dimensão G e é ortogonal ao subespaço dos conseqüentes. Seja HεG um poliádico ortogonal ao subespaço dos antecedentes de 2H φ − X G 2H Ι e de módulo ajustado de forma a que

εG

base para o G-espaço porque

H H G ε • 2H

= 1 . O conjunto {Hε1, Hε2, ..., HεG-1, HεG} forma uma

φ − XG

Ι não é ortoplanar, por hipótese ( se ele fosse

ortoplanar εG pertenceria ao subespaço dos conseqüentes de 2H φ − X G 2H Ι ). Então é possível determinar a base recíproca correspondente, {Hε1, Hε2, ..., HεG-1, HεG}, à qual HεG deve pertencer necessariamente porque esse poliádico satisfaz a igualdade H ε G •H H ε G = 1 H

e é ortogonal ao subespaço dos conseqüentes de H-ádicos { ε , ε , ..., ε H 1 H 2

H G-1

φ − XG

Ι (logo, ortogonal a todos os

} desse subespaço).

Decorre dessas considerações que

φ − XG

Ι é uma combinação linear dos 2H-

34 Notar que, embora apenas XG seja autovalor simples, os autoH-ádicos Hεi existem distintos.

Poliádicos - Ruggeri

274

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

ádicos Hε1Hε1, Hε2Hε2, ..., HεG-1HεG-1. Pondo 2H φ

φ − XG

2H Ι

Ι = K1

H ε1 H ε 1

+ K 2 H ε 2 H ε 2 + ... + K G −1 H ε G −1 H ε G −1 ,

vemos que 2H

φ = ( K j + X G ) ( H ε j H ε j ) + X G H ε G H ε G para j=1,2,...,G-1.

Mas, para qualquer j, os autovalores devem ser iguais (apenas XG é autovalor simples). Assim, K1=K2=...=KG-1, o que justifica (06). A terceira parte do teorema é, por conseguinte, evidente.

Corol. 1: Se XG, XG-1, ..., XG-J são J+1 (J+1<G) autovalores simples do 2Hφ de um 2H EG, e os demais são tais que existam α iguais a A, β iguais a B, ..., λ iguais a L, com α+β+ ... +λ=G-(J+1) e α≥β≥...≥λ, então, devendo ser planares os característicos 2H φ − X G 2H Ι , 2H φ − X G -1 2H Ι ... e lineares os demais característicos: 1°) – o polinômio mínimo de 2Hφ é Pmin(2Hφ) =(X-A)(X-B) ... (X-L)(X-XG-(J+1))... (X-XG-1) (X-XG),

(08);

2°) – 2Hφ pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma diagonal

φ = A ( H ε 1 H ε 1 + H ε 2 H ε 2 + ...+ H ε α H ε α ) +

2H φ

+ B( H ε α +1 H ε α +1 + H ε α + 2 H ε α + 2 + ...+ H ε α +β H ε α +β ) + ,

+ .... + + L( H ε α +β +...+1 H ε α +β +...+1 + H ε α +β +...+ 2 H ε α +β +...+ 2 + ...

(09);

...+ H ε α +β+...+ λ H ε α +β+...+ λ ) + X G - J H ε G - J H ε G - J + .... + X G H ε G H ε G 3°) – quanto aos autoH-adicos: 2H

φ •H

ε1 = A H ε1 , ...,

φ •H

ε α +1 = B H ε α+1 , ..., 2H φ •H

φ •H

εα = A H εα ; H

ε α +β = B H ε α +β ,

...

φ •H

IV, § 18.02

H H ε α +β+...+1 • H

= L ε α +β+...+1 , ...,

ε G −J = X G -J

ε G −J + ....+ 2H φ •H

H H ε α +β+...+λ • H

εG = XG

= L ε α +β+...+λ H

εG ,

(10).

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade.

275

O produto dos característicos pode ser escrito na forma

( 2H φ − A

•

Ι) α

H •

( 2H φ − B

•

Ι) β

H •

....

H •

( 2H φ − L

•

Ι) λ

H •

( 2H φ − X G -J

H •

....

H •

( 2H φ − X G

Ι)

Ι) =

Ο,

ou, considerando o Corol. 2, Teor. 3, § 14.03:

( 2H φ − A

Ι)

H •

( 2H φ − B

Ι)

H •

....

H •

( 2H φ − L

Ι ) •H ( 2H φ − X G -J

Ι) .

H •

....

H •

(

φ − XG

Ο.

A essa identidade está associado o polinômio escalar (08), que é o polinômio mínimo de 2H φ. As demais partes da proposição podem ser demonstradas como no teorema anterior. § 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade. Autovalores e autodiádicos dos ortotrópicos

A equação característica de um ortotrópico pode ser obtida diretamente de ((071), § 16.01), sendo fácil deduzir que X4=2G44, X5=2G55 e X6=2G66 são três dos seus autovalores aos quais correspondem, respectivamente, os autodiádicos µˆ 4 , µˆ 5 e µˆ 6 . Os demais autovalores do ortotrópico, X1, X2 e X3, são as raízes do determinante formado com as três primeiras linhas e três primeiras colunas da matriz ((071),§16.01). Se pusermos

− B = G11 + G 22 + G 33 , C = G 22 G 33 + G 33 G 11 + G11G 22 − (G 23 ) 2 − (G 31 ) 2 − (G 12 ) 2 e

− D = G 11 G 22 G 33 + 2G 23 G 31 G 12 − G 11 (G 23 ) 2 − G 22 (G 31 ) 2 − G 33 (G 12 ) 2 , a equação será escrita na forma X3+BX2+CX+D=0; e se substituirmos X por Y-B ela assumirá a forma Y3+PY+Q=0, com 3P=B2-3C e 27Q=B3-9BC+27D. Como sabemos que essa equação apresenta raizes reais, deve ser 27Q2+4P3<0. Assim, calculando-se

Q cos ϕ 0 = 3 −3 2P P

ϕ (P <0), escrevemos X = 2 − 3 cos , onde ϕ = 2Kπ + ϕ 0 . P 3

Atribuindo-se a K os valores 0, 1 e 2, teremos as três raízes. Desconhecem-se expressões analíticas simples para exprimir os autodiádicos correspondentes.

Poliádicos - Ruggeri

276

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

Autovalores e Autodiádicos do tetrádico transversalmente isotrópico.

Ponhamos (034),§16.02)) na forma

[ 4 G ]{µˆ }

a j g 0 0 0   a g 0 0 0     c 0 0 0  = , 2d 0 0    sim. 2d 0    a − j 

(03).

A equação característica do tetrádico transversalmente isótropo, posta na forma

X 6 − LX 5 + MX 4 + NX 3 + PX 2 − QX + R = 0 ,

(031),

tem os seguintes coeficientes:

L = 3a + c + 4d − j M = − j2 − 4dj − cj − 2aj − 2g 2 + 4d 2 + 4cd + 12ad + 3ac + 3a 2 N = − j3 + 4dj2 + cj2 + aj2 − 4g 2 j + 4d 2 j + 4cdj + 8adj + 2acj + a 2 j + 8dg 2 + + 4ag 2 − 4cd 2 − 12ad 2 − 12acd − 12a 2 d − 3a 2 c − a 3 P = a 3 c + 4a 3d + 12a 2 cd + 12a 2 d 2 + 12acd 2 − 2a 2 g 2 − 16adg 2 − 8d 2 g 2 − a 2 cj − 4a 2 dj − − 8acdj − 8ad 2 j − 4cd 2 j + 4ag 2 j + 16dg 2 j − acj2 − 4adj2 − 4cdj2 − 4d 2 j2 − − 2g 2 j2 + cj3 + 4dj3 Q = 4a 3cd + 4a 3 d 2 + 12a 2 cd 2 − 8a 2 dg 2 − 16ad 2 g 2 − 4a 2 cdj − 4a 2 d 2 j − 8acd 2 j + 16adg 2 j + + 16d 2 g 2 j − 4acdj2 − 4ad 2 j2 − 4cd 2 j2 − 8dg 2 j2 + 4cdj3 + 4d 2 j3 R = 4a 3 cd 2 − 8a 2 d 2 g 2 − 4a 2 cd 2 j + 16ad 2 g 2 j − 4acd 2 j2 − 8d 2 g 2 j2 + 4cd 2 j3 . Esta equação tem dois autovalores duplos, X1=X2=2d e X3=X4=a-j; e dois autovalores simples,

X 5 = 1 (a + c + j + (a + c + j) 2 − 4(ac − 2g 2 + cj) 2 e

X 6 = 1 (a + c + j − (a + c + j) 2 − 4(ac − 2g 2 + cj) . 2 IV, § 18.03

§ 18.03 – Redução dos tetrádicos de uso em Elasticidade.

277

Os autodiádicos de coordenadas (0,0,0,1,0,0) e (0,0,0,0,1,0), ou seja: µˆ 4 e µˆ 5 , são relativos ao autovalor duplo 2d; e os de coordenadas (0,0,0,0,0,1) e (-1,1,0,0,0,0), ou seja: µˆ 6 e −µˆ 1 + µˆ 2 , relativos a a-j. Ao autovalor simples X5 corresponde o autodiádico (α-β, β,1,0,0,0), com

α = − 1 (B + B 2 + 8g 2 ) , 2g

−β =

4g 2 − 2 j(B + B 2 + 8g 2 ) 4gj + 2g(B′ + B 2 + 8g 2 )

sendo

B = −a + c − j ,

B′ = a − c − j .

Ao autovalor X6 corresponde o autodiádico (α’-β’, -β’,1,0,0,0) com

α ′ = − 1 (B − B 2 + 8g 2 ) , 2g

β′ =

4g 2 − 2 j(B − B 2 + 8g 2 ) 8gj + 2g(B′ + B 2 + 8g 2 )

Autovalores e autodiádicos do tetrádico isotrópico

De (07),§ 16.02)) podemos deduzir a matriz associada a 4Giso em relação à base diádica {µˆ 1 , µˆ 2 ,..., µˆ 6 } :

[ 4 G ]{µˆ }

λ λ + 2µ λ  λ + 2 µ λ   λ + 2µ =   sim.  

0 0 0 0 0 0  0 0 0 , 2µ 0 0  2µ 0   2µ

(04).

Sendo 4Giso 6 o determinante de 4Giso, isto é, o sexto de 4Giso, 4

G iso 6 = 32µ 5 (3λ + 2µ)

e ~ 4 ∑ diag 4 G iso 5 = 4 G iso E = 48µ (5λ + 2µ) ,

∑ diag 4 G iso 4 = 240µ 3 (λ + µ)

etc.,

a aplicação de (04),§17.02 para o caso (G=6, H=2) dá a equação característica do tetrádico isótropo:

X 6 − 3(λ + 4µ)X 5 + 30µ(λ + 2µ)X 4 − 40µ 2 (3λ + 4µ)X 3 + + 240µ 3 (λ + µ)X 2 − 48µ 4 (5λ + 4µ)X + 32µ 5 (3λ + 2µ) = 0 ,

(05),

que tem uma raiz simples, X1=3λ+2µ, e uma raiz quíntupla, 2µ. À raiz simples corresponde

Poliádicos - Ruggeri

278

§ 18 – Formas e reduções canônicas dos poliádicos.

o autodiádico

εˆ 1 =

1 3

(µˆ 1 + µˆ 2 + µˆ 3 ) =

1 3

Ι,

(06),

e a cada uma das raízes quíntuplas os diádicos

εˆ 2 =

1 6

(−µˆ 1 − µˆ 2 + 2µˆ 3 ) =

1 6

(−Ι + 3µˆ 3 ) ,

εˆ 3 = 1 (−µˆ 1 + µˆ 2 ) , 2

εˆ 4 = µˆ 4 ,

εˆ 5 = µˆ 5 ,

εˆ 6 = µˆ 6 ,

(07).

Esses diádicos, conforme já comprovamos, formam uma base ortonormada; o que pode ser verificado facilmente35. Compatibilidade de resultados

A expressão espectral de 4Giso é 4G

iso

= (3λ + 2µ ) εˆ 1εˆ 1 + 2µ ( εˆ 2 εˆ 2 + εˆ 3 εˆ 3 + ...εˆ 6 εˆ 6 )

iso

= 3λεˆ 1εˆ 1 + 2µ ( εˆ 1εˆ 1 + εˆ 2 εˆ 2 + εˆ 3εˆ 3 + ...εˆ 6 εˆ 6 ) .

ou melhor,

Lembrando que

µˆ 1 = ˆiˆi , ..., µˆ 4 =

1 ˆ ˆ ˆˆ ( jk + kj) , ..., Ι = ˆiˆi + ˆjˆj + kˆ kˆ e 4 Ι = εˆ 1εˆ 1 + ... + εˆ 6 εˆ 6 , 2

deduzimos: 4G

iso

= λ( 3 εˆ 1 )( 3 εˆ 1 ) + 2µ 4 Ι ,

ou seja, considerando (06): 4G

iso

= λ Ι Ι + 2µ 4 Ι ,

precisamente a fórmula ((04),§ 16.02) já deduzida por outras vias.

35 Para um estudo amplo dos autodiádicos de tetrádicos, com vistas à aplicação em Geofísica, ver: Helbig, K., Foundations of Anisotropiy for Exploration Seismics, Handbook of Geophysical Exploration, Volume 22, Chapter 11, Pergamon, 1994, ISBN 0-08-037224-4.

IV, § 18.03

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos

279

§19 – A DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DE 2H-ÁDICOS Sobre as leis físicas lineares

Os fenômenos físicos se passam em domínios geométricos, D, uni, bi ou tridimensionais, supostamente determinados em relação a dado e conveniente sistema de coordenadas S. Assim, D pode ser uma curva, uma superfície, ou uma região do espaço. Dizemos que D é campo de uma grandeza G quando a cada ponto de D está associado um e um único valor para G, seja esta de natureza escalar, vetorial, diádica etc36. A trajetória de um corpo, por exemplo, é campo dos vetores: força atuante, aceleração e velocidade desse corpo. Nos campos existem as variáveis de campo (como forças, tensões, deformações, deslocamentos etc.) e grandezas físicas eventualmente constantes, todas sempre representadas por poliádicos de diferentes valências, como R Σ (de valência R), H ε (de valência H), etc. Na maioria dos casos esses poliádicos são tensores. Todas as grandezas físicas podem ser representadas por tensores de diferentes ordens, ou por poliádicos de diferentes valências. O escalares são poliádicos de valência zero, os vetores têm valência um, os diádicos têm valência dois etc.. Os escalares (trabalho, energia, temperatura, entropia etc.) e os vetores (força, velocidade, aceleração, campo elétrico etc.) são bem conhecidos da mecânica elementar e do eletromagnetismo. Alguns diádicos são também conhecidos como tensões e deformações na teoria da elasticidade (TE) e mecânica dos fluidos; outros, como a permitividade dielétrica, a impermeabilidade dielétrica, a difusividade térmica etc. são conhecidos na física dos cristais. Os triádicos são pouco comuns; talvez o mais conhecido seja o triádico piezelétrico (dos cristais de rocha). Dentre os tetrádicos os mais conhecidos são: os de rigidez e flexibilidade (na TE), o de elasto-resistividade, o piezo-otico, o eletro-otico (física de materiais) e o de curvatura, ou de Riemann, em geometria diferencial. Dizemos que um poliádico (dependente) R Σ é proporcional a um segundo (independente), H ε , quando cada coordenada de R Σ , relativa a uma base vetorial arbitrária (§09), é proporcional ao conjunto de todas as coordenadas de H ε , cada uma delas participando com certo peso (em geral, constante). A proporcionalidade entre duas quantidades físicas é expressa por uma lei física linear. Pelo Cálculo Poliádico esta proporcionalidade é formulada como uma multiplicação ponteada múltipla (§06.04) na forma R Σ = R + H G H. H ε onde a valência do poliádico R+HG é a soma das valências dos outros dois. As coordenadas de R+HG definem os quinhões com os quais as coordenadas do poliádico independente entram na constituição de cada coordenada do poliádico dependente. Para R=H a proporcionalidade existe entre duas variáveis de campo da mesma valência. Vamos concentrar atenção nesse tipo de proporcionalidade, expressa por

36 Esse conceito será apresentado precisamente no Capítulo VII do Volume III (Tomo II).

Poliádicos - Ruggeri

280

Σ=

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

H H ε .

, e postular a existência de uma função de valor escalar, 2W, entre os

poliádicos dependente e independente: dessa função acarreta a simetria de

H H Σ .

= 2W = H ε

H 2H G H. H ε .

G , isto é, a igualdade do poliádico de

. A existência

proporcionalidade com seu transposto (ver Nota,§15.03): 2H G = 2H G H . Muitas leis físicas são expressas com essa condição, com H=1 (envolvendo vetores e tensores de ordem dois), ou H=2 (envolvendo tensores de ordem dois e de ordem quatro). Relações entre poliádicos simétricos podem ser expressas em relação a uma base vetorial arbitrária, mas é sempre mais vantajoso procurar uma base poliádica conveniente. Particularmente, quando possível, a base H-ádica ortonormal definida pelos autoH-ádicos de 2H G é preferível (§09.02). Alguns dos mais interessantes casos de proporcionalidade entre poliádicos ocorrem na TE. Para H=2, 2W é a densidade de energia armazenada em cada ponto de um corpo em estado de tensão; para H=1, 2W é a tensão normal. Para um H qualquer, os conceitos de tensão normal e tangencial são estendidos com os nomes de valor radial a valor tangencial de 2H G . Valores radiais e tangenciais estacionários em um ponto de um campo conduzem à generalização de teoremas clássicos conhecidos na teoria das tensões, como as quádricas de Cauchy e Lamè e a representação plana de Mohr. Do círculo de Mohr podemos deduzir um critério geral de proporcionalidade, relacionado com os critérios de falha na teoria dos materiais (veremos isso no Tomo II). Quando as bases diádicas são usadas no estudo de uma lei natural, com H=2, é necessário introduzir um novo espaço 9-dimensional estritamente ligado ao problema central. Este espaço leva-nos ao uso intuitivo de conceitos de Geometria Euclidiana 9dimensional. Os principais conceitos dessa geometria euclidiana foram estabelecidos no §10.03 a §10.05,II,vol.I. Não é muito simples estabelecer a Geometria Analítica Ndimensional associada às leis físicas lineares. Entretanto, ela aparece imediatamente quando se olha a lei física linear como uma transformação linear (um mapeamento) do espaço definido por um dos poliádicos no espaço definido pelo outro através de um poliádico operador (o poliádico de proporcionalidade), tal como nos cristais de rocha uma deformação provocada resulta no aparecimento de um campo elétrico criado por intermediação do seu triádico piezelétrico. Alguns aspectos da geometria oculta nessas leis sugerem interessantes experimentos para definir o poliádico operador da TL. Havendo medições, logo incerteza, vem à baila a necessecidade de uma estatística poliádica para definir valores prováveis. O objetivo principal neste parágrafo é: a) – mostrar que a expressão matemática de toda lei linear na física do continuo (particularmente para H=1, i.e., quantidades vetoriais ligadas por diádicos e para H=2, ou seja, diádicos ligados por tetrádicos), pode ser entendida de forma unificada quaisquer que sejam as grandezas envolvidas, tal como uma equação é utilizada independentemente do problema que deu origem a ela; b) – apresentar um método que permita determinar indiretamente o operador da TL por meio de medições diversas de pares correspondentes das grandezas envolvidas. Este método é algébrico, mas pode ser interpretado geometricamente; é baseado numa síntese do Cálculo Poliádico com a Geometria Analítica Euclidiana multidimensional.

IV,§19

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a, ou vetor=diádico . vetor.

281

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a, ou vetor=diádico . vetor

Exporemos aqui as concepções publicadas em artigo do autor37 em torno do tema, adaptando-as ao contexto. No caso aqui interessado, ao ponto genérico P de um domínio D estão associadas as grandezas representadas pelos vetores a e b. Uma lei física linear que correlacione essas grandezas é de um dos dois tipos seguintes:

b = Ka , ou b = φ . a ,

(01),

onde K é uma grandeza escalar e φ uma grandeza diádica (ou tensorial de ordem 2), ambas não dependentes de a, nem de b. As grandezas K e φ são, por exemplo, características de um material que ocupe o espaço D, para o qual são válidas as leis (01), ou apenas uma delas. Dizemos, muitas vezes, quando não existe perigo de confusão, que a e b constituem campos (a existência de D ficando subentendida). A grandeza representada por φ, por não depender do ponto (poderá ser uma constante ou depender do tempo), não constitui um campo. A principal lei da Mecânica, classicamente representada por f=Ma, é do primeiro tipo, M representando a massa de um corpo. Ainda na Mecânica, a lei da dinâmica do corpo rígido, j=I . w – onde j é o momento angular (ou momento da quantidade de movimento do corpo), w a velocidade angular do corpo (em torno de um eixo) e I é o diádico (simétrico) de inércia do corpo (um tensor) – é uma lei do segundo tipo. Muitos exemplos poderiam ser citados na área da Física. Em Engenharia, uma lei do segundo tipo é a clássica lei de Darcy de percolação da água nos materiais permeáveis. Nesse caso, o diádico φ representa a condutividade hidráulica do material (um tensor) que, submetido a um gradiente hidráulico b num ponto, permite a percolação da água com uma velocidade a (nesse mesmo ponto). Em muitas situações, especialmente na prática da Engenharia, podemos admitir (por algum motivo que não interessa discutir aqui) a validade das leis (01); mas não se conhecem de antemão as grandezas K e φ que, então, devem ser determinadas experimentalmente. Portanto, medições são necessárias e suas incertezas não podem ser negligenciadas em geral. O procedimento utilizado de praxe para a resolução do problema consiste, assim, em se fazerem medidas diversas das grandezas vetoriais a e b, quando possível, e tratá-las estatisticamente para se determinarem os valores de K e φ que, segundo algum critério adequado (o de minimização do quadrado de alguma norma, por exemplo) melhor se adaptem ao conjunto das medidas. A lei do tipo b=Ka diz que os vetores a e b devem ser paralelos, e que |b|=K|a|. Com uma série de medições de |b| e |a| não será difícil encontrar um valor adequado para K. Se a e b deverem ter o mesmo sentido, deverá ser K > 0; em caso contrário, será K < 0. O 37 Ruggeri, E. R. F., Determinação experimental de lei física linear que correlacione duas grandezas vetoriais, REM – R. Esc. Minas, Ouro Preto, 60(3):513-518, jul. set. 2007.

IV,§ 19.01

282

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

problema da determinação da direção comum a a e b, não é, assim, de solução imediata, mas um tratamento adequado dos dados resolverá o problema com alguma facilidade (o que não nos interessa no presente). A lei do tipo b = φ . a é, evidentemente, mais complexa que a anterior. Neste estudo mostraremos como encontrar boas determinações de φ mediante certos pressupostos. Quando φ não apresenta particularidades a solução é mais simples; mas, em geral, nas leis físicas, φ é um diádico simétrico (φ φ = φT), o que exige um condicionamento a mais na formulação da solução. Alem disso, devemos notar que, em Física, as grandezas vetoriais a e b têm o mesmo status, isto é, tanto podemos expressar b em função de a, como a em função de b. Isto significa que φ deve ser invertível, ou completo, devendo, pois, ter terceiro (ou determinante) diferente de zero (§08,II,vol.I). Devemos considerar ainda que as medidas dos vetores a e b devem ser feitas, geralmente, por suas coordenadas em relação a um mesmo sistema de referência S. Nesse caso podemos dar à forma b = φ . a de representação da lei, forma essa que independe de qualquer sistema de referência, uma representação matricial válida apenas no sistema S. As coordenadas dos vetores poderão ser organizadamente dispostas em matrizes colunas 3x1; e o diádico φ, por uma matriz simétrica e invertível 3x3 (§09,II,vol.I). Nas condições expostas, a lei b = φ . a pode ser entendida de dois modos, úteis em muitas situações. No modo algébrico vemos um conjunto de três números variáveis – as coordenadas A1, A2, A3 de a – se transformar em um conjunto de três outros números, também variáveis – as coordenadas B1, B2, B3 de b – mediante a matriz constante [φ] associada à grandeza φ, de elementos φij; e escrevemos:

 B1   φ11  B  = φ  2   21  B 3  φ 31

φ12 φ 22 φ 32

φ13   A 1  φ 23 .A 2  , com φij=φji φ 33   A 3 

(i,j = 1, 2, 3),

(02).

Fazendo diversas medições dos pares de tercetos Ai e Bi, deveremos determinar o conjunto dos seis números: φ11, φ12=φ21, φ13=φ31, φ23=φ32, φ22 e φ33, que satisfaz (02). No modo geométrico podemos entender a lei b = φ . a como a transformação linear do vetor a do espaço no vetor b do espaço, mediante o operador φ (§02.04,II,vol.I); ou, em relação ao ponto P, a transformação (linear) da extremidade do vetor a (suposto aplicado em P), na extremidade do vetor b (também suposto aplicado em P). Visto de outra forma, poderemos sempre fazer a imagem de todos os vetores a e b (dos campos já definidos) aplicados em um mesmo ponto arbitrário do espaço (eventualmente exterior a D). As extremidades dos vetores a e b ocupariam cada um uma região do espaço – a hodógrafa do vetor; diríamos que essas hodógrafas se correspondem linearmente mediante o operador φ38. 38 Decorreria disso uma série de propriedades. Por exemplo: três pontos colineares numa região seriam colineares na outra; um fragmento de plano numa região seria um fragmento de plano na outra etc..

IV, §19.01

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a ou vetor=diádico . vetor

283

Um teorema fundamental

Suponhamos agora que, de alguma forma, sejam conhecidos três pares de vetores: (a1, b1), (a2, b2) e (a3, b3) que devam estar correlacionadas mediante a lei geral b = φ . a cujo operador (simétrico e invertível) pretendemos determinar. Vamos considerar inicialmente que todos os vetores tenham sido determinados com precisão, sem erros. Nestas condições podemos aplicar aos conjuntos o corolário 2 do teorema 1 do §02.03 do Cap. II, vol. I, sintetizado pela expressão seguinte: se bi = φ . ai

com i = 1, 2, 3,

(a1a2a3)≠0,

então:

φ = biai ,

(03),

onde os ai são os vetores recíprocos dos ai. Vemos por (03) que, não havendo erros na determinação dos pares (ai, bi), o diádico simétrico φ está determinado. Como, por hipótese, os bi são independentes, φ é completo. Cabe registrar que o teorema sintetizado por (03) é geral, não exigindo que φ seja simétrico. Por outro lado, se φ=φ φT, seu vetor é nulo (e reciprocamente), isto é, φ = φT

⇔ φ V = b i × ai = o ,

(04),

o que nos leva a concluir que, nesse caso, os tercetos (ai, bi) não são totalmente arbitrários. Consideremos, em relação ao sistema S, o terceto de vetores ai: (1; 0; 1), (2; 1; -1), (0; 1; 2) e o terceto de vetores bi: (2; 0; 5), (-4, 1; 3), (7; -4; 3). Os recíprocos dos a’s são: (3; -4; 2)/5, (1; 2; -1)/5, (-1; 3; 1)/5 (§03.03 e §04.04,I,vol.I). Então,

3  2  − 4 7  − 1 1 1        [φ φ] = ( 0[3 − 4 2] +  1 [1 2 − 1] + − 4[− 1 3 1] =  1 − 2 − 1 , 5 5  3   3   3 − 1 2 

(05).

A verificação da expressão (02) pode ser feita imediatamente multiplicando-se [φ φ] pelas colunas dos b’s. A solução apresentada é perfeita do ponto de vista matemático. Na realidade, em vista da necessidade de medições das grandezas, medições essas realizadas por pessoas, seguindo algum método e utilizando instrumentos e equipamentos, aquelas medidas dos vetores são perturbadas por erros, isto é, as medidas são incertas. Suponhamos, então, que aqueles mesmos vetores, agora incertos e denotados por amedi e bmedi, tenham as seguintes coordenadas: amed1≡(0,97; 0; 1,02), amed2≡(2,02; 0,97; -0,99), amed3≡(0; 1,05; 1,94),

e bmed1≡(1,90; 0; 5,25), bmed2≡(-3,94; 1,03; 2,82), bmed3≡(6,60; -4,08; 3,21).

Os a’s apresentam perturbações da ordem de 5% para mais ou para menos; e os b’s, da ordem de 7%.

Poliádicos - Ruggeri

284

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

Se a perturbação nos vetores ai não tirou deles a característica de independentes (não coplanares), e no exemplo isso acontece porque o produto misto dos novos a’s é diferente de zero (ele é igual a 4,997), eles admitem os recíprocos: amed1≡(0,584; -0,784; 0,424), amed2≡(0,214; 0,376; -0,204), amed3≡(-0,198, 0,604; 0,188).

Ao aplicarmos o teorema expresso por (03), e seguirmos os mesmos passos de cálculo atrás apresentados, encontramos:

− 1,04 1,02 2,85      [φmed ] =  1,03 − 2,08 − 0,98 ,    3,04 − 1,11 2,26 

(051).

Vê-se, assim, que as perturbações nas medidas destruíram a esperada simetria que a matriz [φ φmedi] deveria apresentar. Sendo absolutamente necessário que a matriz solução do problema seja simétrica, dever-se-á procurar algum método convincente que, tornando-a simétrica, aproxime-a do seu verdadeiro valor dado por (05). Nesse caso, se essa matriz existir e se for determinada, ela deverá ser a que melhor se adapta ao conjunto das medidas efetuadas vetores a’s e b’s. Uma solução para o problema com medidas perturbadas

Uma solução rápida para o problema consiste em aceitar a parte simétrica de φmed como solução do problema, ou seja (φ φmed)sim, responsabilizando sua parte anti-simétrica, (φ φmed)ant, pelas incertezas. Como as medidas amedi e bmedi contêm erros, por melhor que seja a determinação do diádico φ para a escrita da lei deveremos escrever, para qualquer medida: bi = (φmed )sim . ai + di para i = 1, 2, 3, os vetores di representando os vetores erros em relação ao (φ φmed)sim solução. Esta solução parece simplista à primeira vista, mas pode ser demonstrado (e faremos isso no Tomo II) que ela pode ser gerada pela aplicação do método dos quadrados mínimos aplicado aos vetores erros. Aplicação numérica considerando pequenas perturbações

Para o caso do exemplo numérico apresentado, com pequenas perturbações, tem-se:

− 1,04 1,02 2,95    1   T [φ] = ([φmed] + [φmed ] ) =  1,02 − 2,08 − 1,05 , 2    2,95 − 1,05 2,26 

IV, §19.01

(06).

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a ou vetor=diádico . vetor

285

A incerteza de [φ] é dada pela matriz

 0 − 0,01 − 0,09   1   T [Incerteza φ] = ([φmed ] − [φmed] ) = 0,01 0 0,07  , 2   0,09 − 0,07 0 

(061).

cuja norma é igual a 0,026. Se [φ] é uma avaliação adequada, conforme o critério adotado, então bcalci=[φ].amedi. Assim,

− 4,03 {bcalc2} =  1,08  ,  2,70 

 1,99  {bcalc1} = − 0,08 ,  5,16 

 6,79  {bcalc3} = − 4,21 ,  3,28 

são melhores avaliações para bmed1, bmed2 e bmed3, respectivamente, às quais correspondem os vetores erros: d1≡(-0,09; 0,08; 0,09),

d2≡(0,09; -0,05; 0,12),

d3≡(-0,19; -0,06; -0,07),

de normas respectivamente iguais a 2,26 x 10-2 , 2,5 x 10-2 e 4,5 x 10-2. Sendo

− 0,375 − 0,349 0,327 [φ] = − 0,349 − 0,715 0,124 ,  0,327 0,124 0,073 −1

podemos obter, também, melhores avaliações: acalc1, acalc2 e acalc3 para os a’s medidos; sendo {a calci } = [φ] −1 .{b medi } , encontramos:

 1,006   2,042   0      {acalc1} = − 0,013 , {acal2} =  0,990  , e {acalc3} = 1,008 .  1,003  − 0,958 1,889 Os vetores erros correspondentes e os respectivos ângulos poderiam ser avaliados como anteriormente. Ampliação do método

Suponhamos que fosse viável a determinação (medição) de M>3 pares de vetores correspondentes (a, b). Poderia haver entre eles até CM3 tercetos com vetores a’s linearmente independentes, mas, por hipótese, existe pelo menos um terceto nessas condições.

Poliádicos - Ruggeri

286

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

Uma primeira alternativa para a resolução do problema consiste em se selecionarem os N tercetos de pares que apresentem a’s linearmente independentes (logo, 1 ≤ N ≤ CM3) e com cada terceto determinar-se uma matriz (φ φmed)sim como indicado anteriormente. Far-seia, em seguida, uma estatística com essas matrizes, determinando-se uma matriz média e uma matriz de variância/covariância. Uma segunda alternativa consiste em tratar os dados simultaneamente, determinando-se uma única matriz (simétrica) que melhor se ajuste aos dados. Como visto, pretende-se determinar um diádico φ que satisfaça a igualdade

b j = φ . a j para j = 1, 2, ..., M (M=finito>3). Para facilidade das medições, como sempre, esses vetores estão referidos a uma base ortonormada e são representados por suas coordenadas, isto é, a equação vetorial pode ser representada por uma equação matricial da forma {b} = φ.{a} onde {b} e {a} são matrizes colunas 3x1 ({b} e {a} sendo conhecidas) e [φ φ] – a incógnita - uma matriz simétrica 3x3. O conjunto dessas M equações pode ser representado na forma compacta [B] = [φ] . [A], sendo [B] e [A] de ordem 3xM. As colunas de [B] são formadas com as coordenadas dos vetores b’s; da mesma forma, as colunas de [A] são formadas com os vetores a’s. Seja φmed o diádico que, tal como anteriormente, melhor vai adaptar-se ao conjunto das medidas a ponto de poder escrever-se, com um bom ajuste: b j = φmed . a j . Operando vetorialmente podemos acoplar a ambos os membros dessa igualdade o vetor aj, e depois somar membro a membro todas as igualdades assim obtidas. Escrevemos, então:

b ja j = φmed . a ja j (soma em j), e pondo: A = ajaj = a1a1+ a2a2+...+ aMaM e B = = bjaj = b1a1+ b2a2+...+ bMaM

vem,

B = φmed . A , Multiplicando ponteadamente ambos os membros de (07) por AT resulta:

(07).

B . AT = (φ φmed . A) . AT.

Observando que é possível associar no segundo membro, e que o produto A . AT é diádico simétrico e completo39, deduzimos, facilmente, pós multiplicando ambos os membros por (A . AT)-1:

φmed = B . AT. (A . AT)−1 ,

(08).

O diádico φmed em geral não é simétrico, mas se procedermos como anteriormente, 39 A demonstração dessa assertiva é demonstrada em apêndice no artigo em referência, estando também exposta mais à frente neste parágrafo.

IV, §19.01

§19.01 – Leis do tipo: b=φ.a ou vetor=diádico . vetor

287

consideraremos que sua parte simétrica seja o melhor ajuste aos dados a ponto de representar com boa aproximação a transformação pretendida. Da mesma forma, a sua parte anti-simétrica representará a medida da incerteza de φmed. A expressão diádica (08) pode ser traduzida matricialmente de forma idêntica:

[φ med ] = [B] . [A]T . ([A] . [ A]T ) −1 ,

(071),

as matrizes sendo assim compostas: - a matriz [B], de ordem 3xM, tem por colunas as coordenadas dos vetores bmed; - a matriz [A], de ordem 3xM, tem por colunas as coordenadas dos vetores amed; - a matriz [φ φmed] é quadrada de ordem 3. φmed]sim e Calculada [φ φmed], proceder-se-á como anteriormente, calculando-se [φ [φ φmed]ant. A solução exposta, como a anterior, não está respaldada por um critério convincente de que a matriz calculada seja realmente a que melhor se adapte às medidas realizadas. No Tomo II, quando pudermos recorrer às derivadas, faremos essa comprovação. Um exemplo numérico

Aos dados do exemplo numérico apresentado (três vetores a’s linearmente independentes) vamos juntar o novo par de medidas dos vetores: amed4 ≡ (2,07; 2,91; 1,02) e bmed4 ≡ (3,80; -5,15; 5,30), caso em que M = 4 e 1 ≤ N ≤ 4. Então,

0 2,07 0,97 2,02  [A] =  0 0,97 1,05 2,91 , 1,02 - 0,99 1,94 1,02 

1,90 - 3,94 6,60 3,80  [B] =  0 1,03 - 4,08 - 5,15 . 5,25 2,82 3,21 5,30 

Logo, considerando (071):

9,306 7,983 1,101   0,399 [A].[A] = 7,983 10,512 4,045 , ([A].[A])-1 = − 0,361  0,149  1,101 4,045 6,825 T

 1.750 [B].[A] = − 8,580  21,760 T

14.166 − 18,271 21.529

22.519  − 14,188 14,197 

− 0,361 0,449 − 0,208

0,149  − 0,208 , 0,246 

− 1,047 1,047 2,848  [φmed ] =  1,045 − 2,160 − 0,968 .  3,041 − 1,131 2,260 

A matriz que melhor se ajusta ao conjunto das quatro medidas, [φ φmed]sim, e sua incerteza, [Inc φmed]=[φ φmed]ant, são, então:

Poliádicos - Ruggeri

288

§19 – A determinação experimental de 2H-ádicos.

− 1,047 1,046 2,945  [φmed ]sim =  1,046 − 2,160 − 1,049  2,945 − 1,049 2,260 

− 0,0007 0,097   0 e [Inc φmed] =  0,0007 0 − 0,082 , − 0,097 0,082 0 

(17).

A matriz obtida, [φmed]sim, pode ser comparada com a matriz não perturbada (05) levando-se em conta os percentuais de perturbação praticados (até 5% para os a’s e até 7% para os b’s). Resumo e conclusões

Sendo certo que a lei representativa do fenômeno em estudo é do tipo linear: b = φ . a, com φ = φT, pretende-se determinar a matriz simétrica associada ao diádico φ em relação a uma base escolhida. Para isso é necessário que sejam efetuadas as medidas de três pares de vetores correspondentes (b, a), cada par relativo a um ponto do domínio em que ocorre o fenômeno, com a condição adicional de que os vetores a’s sejam linearmente independentes. Seguindo-se, então, o roteiro apresentado, chega-se à matriz solução do problema. Ora, existindo incerteza nas medidas efetuadas para se determinarem os vetores, existirá também uma incerteza na matriz calculada associada à grandeza φ. Podemos conhecer as incertezas com que são medidos os vetores, pois estas são funções dos métodos e instrumentos utilizados para as determinações; mas não dispomos ainda de argumentos que permitam correlacionar a incerteza de φmed com as incertezas dos amed’s e dos bmed’s. Os valores obtidos para [φmed]sim mostram que seus elementos podem estar determinados com incerteza aproximadamente igual à soma das incertezas dos vetores, mas isso poderá não ser válido se as incertezas dos vetores forem maiores. Uma estimativa da incerteza de φmed pode ser obtida pela diferenciação de (07), assunto que será discutido no Tomo II. APÊNDICE (do referido artigo) Para provar que [A].[A]T é regular basta expressar os quatro vetores a’s na base definida pelos três primeiros. Nesse caso, se {a1, a2, a3} é o sistema recíproco de {a1, a2, a3}, então

1 0 0 a 4 .a1   1 + (a 4 .a1 ) 2 (a 4 .a1 )(a 4 .a 2 ) (a 4 .a1 )(a 4 .a 3 )      [A] = 0 1 0 a 4 .a 2  e [A].[A]T = (a 4 .a1 )(a 4 .a 2 ) 1 + (a 4 .a 2 ) 2 (a 4 .a 2 )(a 4 .a 3 ) . 0 0 1 a .a 3  (a .a1 )(a .a 3 ) (a .a 2 )(a .a 3 ) 1 + (a .a 3 ) 2  4 4 4 4 4    4  Calculando o determinante de [A].[A]T encontra-se o valor 1+(a4.a1)2+(a4.a2)2+(a4.a3)2, trivialmente diferente de zero. No caso de dispormos de cinco ou mais medidas poderíamos demonstrar a não nulidade do determinante de A.AT seguindo caminho idêntico, não sem um trabalho substancial a mais. *

IV, §19.01

§19.02 – Leis do tipo: β= 4φ:α, ou diádico=tetrádico : diádico

289

§19.02 – Leis do tipo: β= 4φ:α, ou diádico=tetrádico : diádico Sobre as leis físicas do tipo β= 4φ:α

Se substituirmos no §19.01 o vetor a pelo diádico α, o vetor b pelo diádico β , o diádico φ pelo tetrádico 4φ e o símbolo operatório (.) por (:) obteríamos as leis: β = K α e β = 4φ : α ,

(01),

onde K é uma grandeza escalar e 4φ uma grandeza tetrádica (ou tensorial de ordem 4), ambas não dependentes de α, nem de β . Em geral α e β são funções de ponto e o domínio D onde estão definidas constituí campo delas. As grandezas K e 4φ são características de um material que ocupe o volume definido por D, sendo, em geral, constantes, podendo ser, em algumas situações, funções do tempo. Nesses casos a lei (01) constitui uma transformação linear de α em β (§09.06). Escolhida uma base vetorial para referir D, as leis (01) podem ser expressas matricialmente uma vez que a cada um dos poliádicos nela presentes é possível associar uma matriz (§03.04); a operação matricial a utilizar-se é a multiplicação dupla (§06.02). Se da base vetorial gera-se uma base diádica (§09.02), pode-se também referir os poliádicos a essa base; o que acarretará uma matriz coluna associada aos diádicos e uma matriz quadrada ao tetrádico. Nesse caso a operação entre as matrizes correspondentes em (01) é a multiplicação matricial ordinária. Na maioria dos casos os diádicos presentes nas leis físicas apresentam simetria interna (§02.05, III, Vol. I). Os tetrádicos, além de apresentar simetria interna (§15.03), apresentam também simetria externa em relação a eixos (§16.01) ou a planos (§16.02). Isto imputa características especiais a esses poliádicos, logo também às suas matrizes Possivelmente a lei mais conhecida do tipo (01) é a chamada lei de Hooke generalizada na teoria da elasticidade. O tetrádico que define esta lei é o tetrádico de Green (§15.03) que é: 1) - internamente simétrico por jusante, montante e simétrico, conforme ((29), §15.03); 2) – e tem alguma simetria externa, o que acarreta igualdade de algumas de suas coordenadas. Os diádicos: α e β , são os tensores (internamente simétricos) de tensão e deformação. Todo o raciocínio desenvolvido no §19.01 pode ser desenvolvido aqui também com as devidas mudanças. Disporemos das matrizes representativas de medidas diversas dos pares correspondentes α e β (na lei de Hooke) em relação a alguma base vetorial (ou da base diádica gerada da vetorial) com a pretensão de determinar a matriz relativa ao tetrádico que melhor se ajuste ao conjunto de todos os pares (α α ,β β ) medidos. Poderemos, mais uma vez, conforme o exposto em §09.01, simular o estudo considerando medidas certas dos pares e depois, medidas incertas (com perturbações conhecidas). Na prática desconhecemos os valores certos. Algum método pode estar disponível para a determinação da grandeza α e outro para a sua correspondente, β , pelos quais, possivelmente, poderemos gerar um modo de avaliar as incertezas correspondentes40. Com isso garantimos apenas que, com alguma probabilidade de acerto, os valores verdadeiros das coordenadas dos diádicos medidos possam estar situados dentro de intervalos 40 Ruggeri, E. R. F., Uma tentativa de cálculo da incerteza do tensor de tensões medido pelo método das almofadas, CBdB - Congresso Brasileiro de Barragens, Goiânia, 2005.

Poliádicos - Ruggeri

290

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

conhecidos. Em resumo: com as medidas realizadas deveremos calcular uma medida para o tetrádico; e com as incertezas das medidas dos diádicos calcular a incerteza associada ao tetrádico calculado.

§20 – SOBRE AS LEIS FÍSICAS NÃO LINEARES §20.01 - Isotropias

Os poliádicos simétricos isotrópicos (psi) têm muita utilidade para expressar as equações constitutivas de um material, ou seja, equações que correlacinem duas variáveis do campo definido por certa massa desse material. As formas expostas anteriormente estabelecem transformações lineares entre as grandezas envolvidas, sendo, evidentemente, formas particulares de expressão. Com os mesmos poliádicos e suas simetrias internas e externas é possível estabelecer formas não lineares, ou seja, equações que estabeleçam, em particular, transformações quadráticas entre duas variáveis vetoriais e duas variáveis diádicas, podendo ser escritas nas formas gerais:

u = a + φ . v + 3 φ : vv

σ = ε 0 + 4 H : ε + 6 H .4 εε ,

(01),

em que a letra ε0 denota um diádico constante, a vetor constante, u, v vetores variáveis, ε0 denota o diádico constante, σ e ε diádicos variáveis e φ, 3φ, 4H e 6H poliádicos constantes ou, em muitas questões, variáveis com o tempo. É evidente que as transformações lineares são casos particulares. Deve ser observado que na expressão de σ em (01) não aparecem poliádicos de valência ímpar. Uma expressão geral para estabelecer a dependência de σ com ε é

α = ε 0 + φ . ε + 3 H : aε + 4 H : ε + 4 F 3. εε+ 5 H 3. aε + 5 H .4 aεε+ 6 H .4 εε ,

(02),

que não acrescenta mais generalidade que a indicada em (01). De fato, a segunda parcela representa uma relação linear com ε, mas não expressa que cada coordenada de σ é uma combinação linear de todas as coordenadas de ε, o que está expresso pela quarta parcela. A terceira parcela é de forma idêntica à segunda, pois 3H : aε= a. 3H . ε e a. 3H é um diádico. A sexta parcela não deve ser contemplada porque é sempre possível reduzi-la à forma 4F:ε. A sétima parcela é equivalente à quinta porque 5 H .4 aεε = a . 5 H 3. εε= 4 G 3. εε , devendo, por isso, ser descartada. Podemos escrever a equação de valor diádico em (01) na forma ainda mais ampla seguinte, onde só aparecem poliádicos de valência par, além dos diádicos σ, ε e H:

σ = H + 4 H : ε + 6 H .4 εε+8 H 6. εεε+10 H 8. εεεε + ...+ 2 H H

2(H-1) εεε ... ε . 1 23

+ ... ,

(03).

H -1 fatores

A questão física do problema está em determinar os poliádicos constantes em (03) – todos, exceto σ e ε - para que a equação traduza adequadamente o comportamento de um material

IV, §20.01

§20.01 – Isotropia

291

frente à ação de estímulos (campos de forças, campos magnéticos, campo de temperaturas etc.); ou para que a equação possa representar as relações entre as variáveis em algum fenômeno. Considerações físicas de várias naturezas estabelecem diretrizes para se determinarem os tipos de simetria (internas e externas) dos poliádicos envolvidos nas equações (03). Não é tarefa simples estudar e discutir todas essas possibilidades com as equações quadráticas, tão pouco como na forma mais geral (03). Como visto, quando o modelo linear é satisfatório para representar o comportamento de algum material, o tetrádico 4H – representando alguma propriedade do material - pode assumir diferentes formas; uma delas é relativa à isotropia. Nesse caso, o tetrádico deve ser similar a si próprio em qualquer rotação (qualquer eixo é um eixo de simetria), decorrendo disso (§16.02) sua representação na forma de uma combinação linear de 4I e seus dois isômeros (§07.01 e §08). O mesmo critério pode ser aplicado quando 2H pode ser expresso como uma potência inteira de dois (2H=2P, como H=4, P=3 ou H=8 e P=4 etc.) porque 2QH H seria similar a ele próprio mediante um poliádico de rotação 2 Ω (§14.06), mas as demais parcelas em (03), com H ímpar, não podem ser consideradas. Interessando um modelo apenas quadrático, por exemplo, caso em que além de H=2 se deve também considerar a parcela relativa a H=3, a questão não tem solução pelo caminho atrás indicado. Um caso que apresenta muita aplicação é aquele, que discutiremos em seguida, em que as variáveis σ e ε devam conservar os mesmos autovetores, como acontece nos modelos lineares, a despeito dos termos quadráticos. Nesse caso, a seguinte proposição vai nos ajudar na solução do problema.

Teor. 1: Se dois diádicos diagonalizáveis têm os mesmos autovetores, o produto ponteado deles é comutativo. De fato, pois podem ser escritos nas formas espectrais Aieiei e Bjejej, tornando-se evidente a igualdade do produto deles, Ai Bi eiei, em qualquer ordem. Apliquemos o Teor. 1 à expressão (03) impondo a condição de que σ e ε tenham os mesmos autovetores qualquer que seja ε. Tem-se, pré e pós multiplicando ambos os membros por ε e subtraindo-se membro a membro as expressões obtidas: r

Ο = ε.(H − H 12 ) + ε.( 4 H − 4 H 12 ) : ε + ε.( 6 H − 6 H 12 ) .4 εε + r

+ ε.(8 H −8 H 12 ) 6. εεε + ε.(10 H −10 H 12 ) 8. εεεε + ...+ ε.( 2 H H − 2 H H 12 )

2(H-1) .

εεε ... ε + ... 123 H-1 fatores

Como ε é arbitrário a nulidade da expressão exige que 2H H = 2H H 12 para H=1,2,3,4, .... , o que implica σ=σ σT e, consequentemente, ε=εεT porque ambos os diádicos devem ter os mesmos autovetores. Assim, por ser H constante, a primeira parcela implica que H=σ0I. A segunda parcela diz que o tetrádico 4H deve ser simétrico por montante e jusante; a terceira parcela diz que 6H deve ser simétrico por montante, por jusante e pelo centro; etc. Sendo,

Poliádicos - Ruggeri

292

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

ainda, σ:ε=εε:σ (com ambos os diádicos simétricos), (03) acarreta:

0 = ( 4 H − 4 H T ) 4. εε +( 6 H − 6 H T ) 6. εεε + ... , ou seja, que além das simetrias já referidas, todos os poliádicos em (03) são simétricos. Tendo em vista as aplicações, vamos considerar (03) com apenas três parcelas (modelo quadrático), substituir o tetrádico e o hexádico envolvidos pelos poliádicos isotrópicos de mesma valência (§08.01 e §09.02), e impor as condições de simetria. Assim, H será substituído por σ0I, 4

r 4 13

(04),

r 4 23

H por A 4 Ι + B Ι

+C Ι

e, lembrando a tabela apresentada no §16.03, 6H por s

B1( Ι Ι Ι )+B2 ( Ι 4 Ι ) +B3 (Ι (Ι Ι ) 1 ) +B4 ( 4 Ι Ι )+B5 ( 4 Ι Ι )13 +B6 ( Ι Ι Ι )1 12 +B7 ( 4 Ι 12 Ι )+ r r 6 2 3 12

+ B9 ( Ι

Devendo ser

sr ( 4 Ι Ι )1312

ΙΙ

)+B10 2H H

+B8 6 Ι + s r s r r +B11 ( Ι )+B12 ( 6 Ι 13 )+B13 ( Ι Ι Ι )1 )+B14 ( 6 Ι 2 3 )+B15( 6 Ι 1312 ). r 6 12

= 2H H 12 , obtém-se: r

- para H=2: 4 H = (A + B) 4 Ι 13 + C 4 Ι 2 3 , rr 4 13 12

uma vez que Ι

r 4 13

r 4 12

= Ι = Ι e

r r 4 2 3 12

(05),

=4 Ι 23 ;

- para H=3: 6

H = B1( Ι Ι Ι )+B2 ( Ι 4 Ι ) +B3 (Ι (Ι Ι ) 1 ) +(B4 +B7)( 4 Ι Ι )+(B5+B10) ( 4 Ι Ι )13 + r

+(B6+ B13) ( Ι Ι Ι )1 +(B8+B11) 6 Ι + (B9 +B14 )( 6 Ι 2 3 )+(B12+B15) ( 6 Ι 13 ),

(06),

porque, por força das simterias, devem ser: r

( 4 Ι 2 3 Ι )12 = I I I , ( 4 Ι Ι )12 = Ι 4 Ι , (I 4 I 12 )12 = I 4 I 12 = I (I I )1 ,

etc.

A substituição desses valores de 4H e 6H, dados por (05) e (06), em (03), gera diádicos parcelas paralelos a I, a ε, e a ε.ε=ε2, multiplicados por coeficientes que ou são constantes, ou são funções de invariantes de ε. De fato, pois para os tetrádicos tem-se: Ι :ε = ε , e para os hexádicos: 4

r 4 Ι 13

Ι : ε = εT = ε ,

Ι Ι Ι .4 εε = (ε E ) 2 Ι , 4 Ι Ι .4 εε = ε E ε , r 6 Ι 2 3 4 εε = ε 2 , .

IV, §20.01

r 4 23

Ι :ε = Ι Ι:ε = (ε E )ε ; s

Ι ( 4 Ι .4 εε) = Ι || ε ||= Ι | ε |2 , Ι ( Ι Ι )1

s ( 4 Ι Ι ) 13 .4 εε = ε . ε s 6 Ι 13 4 εε = ε ε . . E

= ε2 ,

r (Ι Ι Ι ) 14 .4

4 .

εε = Ι || ε ||= Ι | ε |2 ,

εε = ε 2 ,

6 4 Ι.

εε = ε 2 ,

§20.01 – Isotropia

293

Então, agrupando e substituindo relações entre constantes por novas constantes, obtemos a forma final de expressão de σ em função de ε:

σ = (σ 0 + S1ε E + S2 ε E 2 + S3 || ε ||) Ι + (S4 + S5ε E )ε + S6 ε 2 ,

(07),

com um total de seis coeficientes. A expressão (07) deve ser suficiente para satisfazer muitas necessidades físicas. Podemos observar, de passagem, que a consideração de (04) e (05) leva-nos à lei linear σ − σ 0 Ι = (A + B)ε + Cε E Ι , ou, o que é o mesmo, na forma conhecida em Elasticidade σ − σ 0 Ι = 2µ ε + λε E Ι , (08), com λ e µ constantes. Seguindo a mesma linha de raciocínio, poderíamos introduzir os isômeros do octádico unidade em nossos cálculos, para expressar o diádico σ na forma de um polinômio do terceiro grau em ε com coeficientes semelhantes aos da equação (07), mas certamente mais complicados. Como ε satisfaz a equação de Cayley-Hamilton, que é do terceiro grau, poderemos substituir o termos deste grau por um novo polinômio do segundo. Assim, reduziremos o polinômio do terceiro grau, obtido na primeira operação, a um polinômio do segundo grau com novos coeficientes (cada coeficiente sendo, ainda, função dos invariantes de ε e suas potências). O problema agora consiste na determinação das constantes S, a partir da equação (07), supondo conhecidos pares (σ σ, ε) na menor quantidade possível. É fácil ver, analizando as matrizes dos sistemas passíveis de serem formados, que algumas alternativas são descartáveis: 1 - Apenas um par (σ σ, ε), expressos cartesianamente em relação aos autovetores, é insuficiente porque só forneceria três equações, logo apenas três para a matriz do sistema (as outras três linhas seriam nulas). Se o par fosse expresso em bases quaisquer a matriz formada ainda teria determinante nulo, pois suas três primeiras colunas seriam iguais (bastando, para comprovar, evidenciar εE na primeira coluna, seu quadrado na segunda e ||εε|| na terceira). 2 - Com os autovalores primários (escalar, escalar do segundo e terceiro) poder-seia obter três equações e com cada um dos autovetores, outras três equações que determinariam as seis linhas da matriz. Mas estas seis equações não seriam independentes porque, por exemplo, a equação relativa à tomada de escalar forneceria uma linha para a matriz que seria a soma das três linhas relativas às equações correspondentes aos autovetores. 3 – Tomar os escalares de seis pares de medidas é insuficiente porque a primeira coluna da matriz do sistema seria proporcional à quarta, a segunda à quinta e a terceira à sexta. Seja (σ σ(1), ε(1)) um par que deva satisfazer a (07). Tendo eles os mesmos autovetores e denotando seus autovalores com índices em romano, pode-se escrever:

Poliádicos - Ruggeri

294

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

 σ (1)I − σ 0  ε (1)E     σ (1) − σ  = ε (1)  II 0   E σ (1) − σ  ε (1)  III 0   E

(ε (1)E ) 2 || ε (1) ||

ε (1)I

ε (1)E ε (1)I

(ε (1)E ) 2 || ε (1) ||

ε (1)II

ε (1)E ε (1)II

(ε (1)E ) 2 || ε (1) || ε (1)III

ε (1)E ε (1)III

 S1    S2  (ε (1)I ) 2     S3  (ε (1)II ) 2  .   ,  S  4 (ε (1)III ) 2       S  5 S   6

sistema insuficiente para a resolução problema. Não é difícil comprovar que, para dois pares, a matriz do sistema é degenerada, tornando-se necessária a consideração de mais um par que satisfaça (07). O novo sistema, agora com nove equações, pode ser escrito na forma compacta: {σ}19 = [m]96 .{S}16 em que as matrizes têem significado evidente. A matriz [m] poderá ter posto 6, sendo extremamente trabalhoso estabelecer a priori as condições para que isso aconteça. Nesse caso a 6x6, [m]T.[m], será invertível, sendo, então:

{S} = ([m]T .[m]) −1.[m]T .{σ} . §20.02 - Anisotropias

Na lei ((07),§20.01), como imposto, os diádicos σ e ε têm os mesmos autovetores, traduzindo a isotropia da relação entre eles. Em outras palavras, isto significa que se nˆ é um autovetor de ε, os vetores que se obtêm multiplicando ponteadamente ambos os membros da expressão da referida lei por este vetor, são vetores paralelos a nˆ . A introdução de alguma parcela no segundo membro desta lei, definida por algum diádico simétrico, P, que não tenha os mesmos autovetores que ε, significa que σ. nˆ poderá ser paralelo a nˆ se σ e ε tiverem nˆ como autovetor comum, mas nˆ não mais é paralelo ao vetor calculado no segundo membro. A presença de P na expressão da lei destroi a isotropia antes existente, logo, expressando anisotropia. Vamos então estudar, no estilo dos poliádicos, uma forma de traduzir a anisotropia, apresentada por Sedov41 que a atribui a M. Feigen. Seja S um diádico simétrico com autovalores distintos A, B e C e autovetores unitários correspondentes ˆi , ˆj e kˆ . Com esses autovetores gera-se a base diádica ortonormada

µˆ 1 = ˆiˆi , µˆ 2 = ˆjˆj, µˆ 3 = kˆ kˆ , µˆ 4 =

1 ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆˆ ˆ ˆ (ij + ji ), µˆ 5 = ( jk + kj), µˆ 6 = (ki + ik ) 2 2 2

em relação à qual S e um segundo diádico simétrico, P, com autovetores não todos coincidentes com os de S, podem ser escritos nas formas:

41 Segundo Sedov, L. I., Foundations of the Non-Linear Mechanics of Continua, Pergamon Press, 1965, section I.6 (Library of Congress Catalog Card no. 64-23713), o processo é devido a Feigen, M., Inelastic behaviour under combined tension or torsion, Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech (1954).

IV, §20.02

§20.02 - Anisotropias

S = Aµˆ 1 + Bµˆ 2 + Cµˆ 3

295

P = xµˆ 1 + yµˆ 2 + zµˆ 3 + Xµˆ 4 + Yµˆ 5 + Zµˆ 6 .

O conjunto de seis diádicos simétricos: {I, S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2} constitui uma base para o espaço. De fato, sendo

S 2 = A 2µˆ 1 + B2µˆ 2 + C 2µˆ 3 ; S.P + P.S = 2Axµˆ 1 + 2Byµˆ 2 + 2Czµˆ 3 + AXµˆ 4 + BYµˆ 5 + CZµˆ 6 S 2 .P + P.S 2 = 2A 2 xµˆ 1 + 2B 2 yµˆ 2 + 2C 2 zµˆ 3 + A 2 Xµˆ 4 + B2 Yµˆ 5 + C 2 Z µˆ 6 pode ser montada a matriz M, 6x6, associada ao conjunto (§09.01). Disponhamos na primeira coluna as coordenadas de I, na segunda as coordenadas de S e nas demais colunas, as coordenadas dos diádicos na ordem estabelecida no conjunto. Disponhamos essas coordenadas por linhas, em cada coluna, na ordem 11, 22, 33, 12, 23 e 31. Tem-se, então:

1 A A 2  2 1 B B 1 C C 2 [M ] =  0 0 0 0 0 0  0 0 0

2Ax 2A 2 Xx   y 2By 2B2 y  z 2Cz 2C 2 z  , X AX A 2X  Y BY B2 Y  Z CZ C 2 Z  x

que pode ser posta na forma:

[A]3x3  [V] [M ] =  3x3 , [ 0 ]  3x 3 [B]3x3  em que

1 [V] = 1 1 

A B C

 x 2Ax 2A 2 x  X A2    B 2  , [A] =  y 2By 2B2 y  e [B] = Y Z C 2   z 2Cz 2C 2 z    

AX BY CZ

A 2 X B2 Y  , C 2 Z 

a expressão de [A] não tendo significado para o cálculo do determinante de [M]. De fato, aplicando para isso o teorema de Laplace, obtém-se: det[M] = det[V].det[B] . O determinante de [V] é do tipo Vandermonde, sendo: det[V]=(C-A)(A-B)(B-C). Evidenciando o fator comum X aos elementos da primeira linha de det[B], Y aos elementos da segunda e Z aos da terceira, virá: det[B]=X Y Z δ, sendo: δ=det[V]. Em resumo: det[M]= X Y Z (C-A)2 (A-B)2 (B-C)2, com det[M]≠0 se X ≠0, Y ≠0 e Z≠0 (os autovalores de S são simples por hipótese).

Poliádicos - Ruggeri

296

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

Seja P = Psrˆsrˆs (soma em s) a representação espectral do diádico simétrico qualquer, P. Se det[M]=0 por ser, digamos, X = 0, ou seja, se P:µˆ 4 = ˆi.P.ˆj = 0 , então: P (ˆi.r )(r .ˆj) = 0 . Se nenhum dos Ps é nulo, em cada parcela da soma indicada (em s) deve s

haver um fator nulo para que a soma se anule. Assim, na primeira parcela deverá ser: î.rs = 0 , ou rs .ˆj = 0 , caso em que, correspondentemente, rˆs deve ser paralelo ao plano ( ˆj, kˆ ), ou paralelo ao plano ( kˆ , î ), qualquer que seja s. Deduziríamos o mesmo resultado se Y =0, ou se Z=0. Em resumo: se det[M]=0 (e os Ps não nulos), um autovetor de P deve ser paralelo a um dos planos definidos pelos autovetores de S. Como os diádicos são simétricos e seus autovetores são ortogonais entre si, todo autovetor de P é paralelo ao plano de dois dos autovetores de S. Se, digamos X=0=Y, então Ps (î.rs )(rs .ˆj) = 0 e Ps (î.rs )(rs .kˆ ) = 0 . Pela primeira condição, como visto, rˆs deve ser paralelo ao plano ( ˆj, kˆ ), ou paralelo ao plano ( kˆ , î ), qualquer que seja s. Pela segunda, rˆs deve ser paralelo ao plano ( kˆ , î ), ou paralelo ao plano ( î , ˆj ). Então, necessariamente, algum rˆs deve ser paralelo a um autovetor de S porque deve ser paralelo a um par de planos definido pelos autovetores de S. Assim, dados dois diádicos simétricos e completos P e S, qualquer diádico do espaço diádico simétrico pode ser decomposto em relação à base definida por {I, S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2}. Esta base é não ortonormada, podendo ser determinado seu sistema recíproco {I*, S*, S2*, ...} para que as coordenadas de um diádico simétrico qualquer, φ, possam ser calculadas por aplicação da fórmula geral de decomposição cartesiana (§09.01): φ=(φ φ:I*)I+(φ φ:S*)S+(φ φ:S2*)S2+(φ φ:P*)P+ ... .,

(01).

As linhas de [M]-1 definem as coordenadas dos diádicos da base recíproca em relação à base vetorial { ˆi , ˆj , kˆ }, devendo ser lembrado que elementos fora da diagonal principal devem ser divididos por 2 . Denotando-se então por m(i) a matriz 3x3 a ser formada com os elementos da i-ésima linha de [M]-1 e por m(i)jk o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de m(i), tem-se:

 m (i )11  m (i ) = m (i )12 / 2   m (i )13 / 2 

m (i )12 / 2 m (i ) 22 m (i ) 23 / 2

m (i )13 / 2   m (i ) 23 / 2  ,  m (i ) 33  

- Para i=1 encontra-se:

m (1)11 = −

IV, §20.02

bc , (a − b)(c − a )

m (1) 22 =

ca , (a − b)(b − c)

m (1) 33 = −

ab , (c − a )(b − c)

§20.02 - Anisotropias

m (1)12 =

bc [−bcx (b − c) + ac( y − 2x )(c − a ) + ab(z − 2x )(a − b)] , (a − b ) ( c − a ) 2 ( b − c ) X 2

m (1) 23 = −

m (1)13 =

297

ac [acy(a − c) + ab(z − 2 y)(a − b) + bc( x − 2 y)(b − c)] (a − b ) 2 ( b − c ) 2 (a − c ) Y

1 ; (c − a )(b − c) Z

para i=2:

m ( 2)11 =

b+c , (a − b)(c − a )

m ( 2)12 =

− 2ax (b − c)(b + c) 2 + a 2 [2x (b 2 − c 2 ) + bc( y − z)] + bc[b 2 ( x + z) − c 2 ( x + y)] (a − b ) 2 (c − a ) 2 ( b − c ) X

m ( 2) 23 =

2by(b − c)(c 2 − a 2 ) − a 3[ −2by + c( y + z)] + ac[−2bcy + c 2 ( x + y) + b 2 ( z − x )] (a − b) 2 (c − a )(b − c) 2 Y

m ( 2) 31 =

2cz(b 2 − a 2 )(b − c) − ab[c 2 ( y − x ) − 2bcz + b 2 ( x + z)] + a 3[−2cz + b( y + z)] (a − b)(c − a ) 2 (b − c) 2 Z

m ( 2) 22 =

c+a (a − b)(c − a )

m ( 2) 33 =

a+b (c − a )(b − c))

para i=3:

m (3)11 = 0 = m (3) 22 = m (3) 33 , m (3)12 = −

bc ca , m ( 3) 23 = − , (a − b)(c − a )X (a − b)(b − c)Y

m ( 3) 31 = −

ab (c − a )(b − c) Z

para i=4:

m ( 4)11 = 0 = m ( 4) 22 = m ( 4) 33 , m ( 4)12 = −

bc ca a+b , m ( 4) 23 = − , m ( 4) 31 = − (a − b)(c − a )X (a − b)(b − c)Y (c − a )b − c()Z

Poliádicos - Ruggeri

298

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

para i=5:

m (5)11 = 0 = m ( 5) 22 = m ( 5) 33 , m (5)12 =

b+c c+a a+b , m (5) 23 = , m (5) 31 = (a − b)(c − a )X (a − b)(b − c)Y (c − a )(b − c) Z

para i=5:

m (5)11 = 0 = m ( 5) 22 = m ( 5) 33 , m (5)12 =

b+c c+a a+b , m (5) 23 = , m (5) 31 = (a − b)(c − a )X (a − b)(b − c)Y (c − a )(b − c) Z

para i=6:

m ( 6)11 = 0 = m ( 6) 22 = m ( 6) 33 , m ( 6)12 = −

1 1 1 , m ( 6) 23 = − , m ( 6) 31 = − (a − b)(c − a )X (a − b)(b − c)Y (c − a )(b − c) Z

Numericamente, por lado, o problema é relativamente fácil de ser resolvido uma vez que a inversa de [M] pode ser calculada com o uso de um programa computacional adequado. O procedimento para a montagem das matrizes (numéricas) é análogo ao exposto.

Exemplo:

2 Seja S = îî + 3ˆjˆj + 4kˆ kˆ a expressão espectral de S e [P] = − 1  1 matriz associada certo diádico P na base {î , ˆj, kˆ } . Em relação à base diádica

−1

1 − 1 a − 1 2  2

ortonormada

definida pelos µˆ i as coordenadas de P são: X'=2, Y'=2, Z'=2, X = − 2 = Y e Z = 2 . A matriz associada ao conjunto {I, S, S2, P, S.P+P.S, S2.P+P.S2} na base diádica {µ µ} é regular, sendo :

IV, §20.02

§20.02 - Anisotropias

1 1 1 [ M ] = 0  0 0

1 3 4 0 0 0

299

 2 −2 1 − 2 −3 2 −5 2   7 5  4 8 2 7 2 − − − 5 2  3 3 3  6 2  1 2 4 4   1  1 1 2 2 2 9 2 12 36  − − − − 2   6 2 3 3 3 16 2 16 64   −1 =  1 3 5  , [ M ]   0 − 2 − 4 2 − 10 2 0 0 0   2 2 2  0 − 2 − 7 2 − 25 2   2 2 7 5  0 2 5 2 17 2   0 0 0 − − − 3  6 2 2 2  1 1 1   0 0 0  3 2 6 2 2 2  

e det[M]=72 2 . Assim, em relação à base vetorial:

5   2 − 1 − 5 − 7 6 8 3  1 6 − 2 3 −1      ∗ 2∗ [ΙΙ ] =  − 1 − 2 − 3 , S =  8 3 5 2 7 3  , S = − 2 3 − 1 2 − 1 3 , − 5 − 3 1   5  − 1 − 1 3 7 3 − 4 3 1 

[ ]

∗

[ ]

 0

1 2 5 2 0 3 2 , 5 2 3 2 0 

[P ] = 1 2 ∗

[(S.P + P.S) ] ∗

−2 3 −5 4  0  = − 2 3 0 − 7 12 − 5 4 − 7 12 0 

[(S .P + P.S ) ] 2

2 ∗

 0 1 6 1 4 = 1 6 0 1 12 . 1 4 1 12 0 

Por simples inspeção das matrizes literais e numéricas verificam-se as seguintes propriedades (conhecidas da teoria): 1 – Os traços de todas as matrizes são iguais a zero porque estes representam os duplos produtos ponteados do diádico unidade da base original por todos os diádicos da base recíproca; é excessão o traço de I* que deve ser igual a 1. 2 – Por serem recíprocas as bases, os duplos produtos ponteados de cada diádico de uma base pelo seu homólogo são iguais a um e pelos não homólogos são iguais a zero. * Para completar o exemplo vamos determinar as coordenadas do diádico φ em relação à base diádica, conhecendo-se sua matriz associada

1 3 4  [φ] = 3 1 0 em relação à base {ˆi , ˆj, kˆ } . 4 0 1 

Poliádicos - Ruggeri

300

§20 – Sobre as leis físicas não lineares.

Vem, então:

1 3 4   2 − 1 − 5  φ:Ι ∗ = 3 1 0: − 1 − 2 − 3 = −45 , φ : S ∗ = 56 , φ : S 2 ∗ = −12 , φ : P ∗ = −23 , 4 0 1 − 5 − 3 1  φ : (S . P + P. S) ∗ = −14 , φ : (S 2 . P + P. S 2 ) ∗ = 3 . Assim: φ = −45Ι + 56S − 12S 2 − 23P − 14(S.P + P.S ) + 3(S 2 .P + P.S 2 ) , expressão que pode ser vericada matricialmente considerando as matrizes dos diádicos expressos na base vetorial {ˆi , ˆj, kˆ } . Além das matrizes de S, P e I tem-se também:

1 0 0   4 −4 5   4 − 10 17      2 2 [S ] = 0 9 0  , [S.P + P.S] = − 4 12 − 7 , [S .P + P.S ] = − 10 36 − 25 . 0 0 16  5 − 7 16   17 − 25 64  2

* Retomaremos oportunamente o problema em estudo com a consideração de outras questões e conceitos, especialmente: funções poliádicas, das quais expressões como ((08),§20.01) e (01) são casos particulares, derivadas dessas funções, e campo de poliádicos, assuntos a serem abordados nos Capítulos 6 e 7 do Tomo II (vol. III).

IV, §20.02

Apêndices

301

APÊNDICES TABELA 1

AS ISÔMERAS DE UMA TRÍADE E UMA TÉTRADE

ESCRITA DAS ISÔMERAS DIRETAS Tetrádica

Triádica r 3

_ r 3

r 4 r 4 r 4 r 4

r 3

r 2

r 4

s 2

r 3

r 4

s 1

r 4

r 12

φ = φ φ = φ

r 4 r 4 r 4 r 4 r 4 r 4 r 4

φ φ φ φ φ φ

r 12

βa

bca

r 2

r 3

s 1

s 3

s 12

cα

cab

αγ

abcd

ψa

βδ

bcda

γα

cdab

δβ

dabc

αTγ

bacd

β δT

bcad

cαd

cabd

αγ

abdc

r 3

d φ r 3

r 13

r 3

r 23

r 3

s 12 s 13 s 23

φ 12 d = 3 φ 2 d r

φ1 d r

φ2 d r

a 3 ψ 12 r

a 3ψ1 r

δTβ

adbc

aγ b

acdb

a 3ψ1 r r 3 1

r 3

s 1

rs 131

d φ = ψ a

dβa

dbca

rs 12 13

bdac

φ φ

s 3

r 3

r 4

abc

s 2

a ψ= φd

r 1

φ = φ

αc=aβ

r 3

φ = φ = φ

Vetorial

r 1

φ = φ = φ

r 3

Diádica

Poliádicos - Ruggeri

302

Apêndices.

TABELA 2

AS ISÔMERAS DE UMA TRÍADE E UMA TÉTRADE ESCRITA DAS ISÔMERAS REVERSAS Tetrádica

Triádica s 3

_ s 3

s 4 s 4 s 4 s 4

s 1

s 3

r 2

r 3

s 12

s 2

s 3

r 1

r 3

r 12

a 3ψ

δTβT

adcb

αTγ T

badc

φd

β Tδ T

cbad

γ Tα

dcab

δ βT

dacb

d α Tc

dbac

γ αT

cdba

β Tδ

cbda

b γ Ta

bdca

a βTd

acbd

s 3

φ 3 =4 φ1 s 4

φ 12

s 4 s 4

φ 13

s 3

φ 23 s 3

ψ 12 a

s 3

φ 13

d 3φ 2

φ 12

φ 131

d 3φ 1

s 4

d 3 φ 12 = d 3 φ 2

φ 23

s 4

acb

dcba

φ2 =4 φ2 s

βTγ T

aβ

cba

bac

d 3φ = 3 ψ a

φ1 =4 φ 3

Vetorial

α c

φ = φ = φ s

cα = β a

φ = φ = φ

s 3

Diádica

ψ1 a s

ψ1 a

r 1

r 3

a ψ = φ

s 12

φ 12 13

IV, Apêndices

cadb

Apêndices

303

TABELA 3

TABUADA DO UM 2R

Ι T.

(empregando fórmulas do §08.04)

2Q 2R T 2 1 2

2 2

4 1 2

4 6 1

r 8 46

3 Ι

( Ι Ι)

s 13

( Ι Ι)

5 6 8 1

6 7 8

s 10 6 7

r 6 12

Ι E = 27

s 10 1

6 6

s 58

( Ι

r = 4 12

r 12 1011

Ι E = 81

Ι)

( Ι Ι)

s 611

s 610

s 8 15

s 1

= Ι

s 8 24

s 10 13

s 16 913

s 8 12

3( Ι)

27 ( Ι )

s 59

s 10 34

r 8 24

= Ι

s 6 23

s 8 1

9 ( Ι)

( Ι Ι)

(Ι Ι )

r 14 7 9

( Ι Ι)

s 14 811

Ι = Ι

s 12 7 9 10

Ι s 46

= Ι Ι

r 10 15

r 6 23

( Ι Ι)

s 8 23

s 47

( Ι Ι)

3 ( Ι)

s 34

9 ( Ι)

s 35

r 12 68

s 6 12

= Ι Ι

r 8 14

r 4 12

r 10 57

r 6 13

= Ι Ι

ΙE = 9 6

r 4 12

Ι Ι

s ( 4 Ι 2 Ι )13

3 4

s 18 1015

r 14 1112

s 10 12

s 6 12

Poliádicos - Ruggeri

304

Apêndices.

TABELA 4

SIMETRIA E ANTI-SIMETRIA DOS TETRÁDICOS (pelas coordenadas)

Discriminação

Condição de simetria

s 4

igual ao reverso vetorialmente simétrico

φ= φ

r 1

s 1

r 2

s 2

φ= φ = φ

φ = φ

RiemannChristophel

IV, Apêndices

s 23

r 4 23

r 12

s 12

rs 131 r 2

s 4

= − φ s 4

s 4

s 2

r 2

s 2

G= G = G

sr 131

s 2

r 12

H = H =

E= E = E = E

Green

φ = − φ

r 2

s 4

sr 131

s 4

= φ

diadicamente antisimétrico jusante

r 13

s 4

φ = − φ

diádico reverso

s 4

s 13

φ= − φ

s 12

diadicamente antisimétrico montante

φ = φ

rs 131

φ= φ

vetorial e diadicamente simétrico por montante no posto 3 vetorial e diadicamente simétrico por jusante no posto 3

TOTAL

s 4

diadicamente simétrico jusante

φ= φ

III

φ= φ

r 12

diadicamente simétrico centro

s 2

diadicamente simétrico montante

diadicamente antisimétrico centro

φ= φ = φ = φ = φ

diadicamente simétrico

Elástico

Número máximo de coordenadas independentes por classe

= E

s 12

r 2

ℜ = −4 ℜ = −4 ℜ = 4 ℜ = s

s 1

s 2

= 4 ℜ2 = − ( 4 ℜ 3 + 4 ℜ 3 )

Apêndices.

305

TABELA 5

FUNÇÃO LINEAR DE ARGUMENTO POLIÁDICO, DE VALOR POLIÁDICO P

φ = S′ ψ S• Q χ

com

S’=P-(Q-2S), para P,Q,S’≤ 5

P≥Q

S≤Q

S ′ = P − Q + 2S

Expressão Poliádica

ψ. x

ψ.x Cχ

ψ.χ

ψ 3. 3χ

ψ:χ

ψ 4. 4χ

cx 3

ψ: χ

ψ 3. 3χ

ψx 4

ψ.x cχ

ψ.χ

ψ: χ

C 3χ

ψ . 3χ

ψ : 3χ

C 4χ

ψ . 4χ

ψ : 3χ 3

ψx

ψ.x ψχ

ψ.χ

x 3χ

Poliádicos - Ruggeri

306

Apêndices.

TABELA 6

QUADRO DE VALORES DE

r 2Q TQ

Transposições no poliádico unidade como multiplicações ponteadas múltiplas entre poliádicos unidades (fórmulas obtidas de (012),§08.03)

Q 1 2

r 11

Ι =Ι :

r 4 Ι 12

2 3

r 2Q TQ

r 4 Ι 22

r 6 23

2 3 4

r 8 24

r 8 34

...

IV, Apêndices

r 8 44

= Ι : 6Ι 4 8 • Ι

= Ι : 8Ι

= 4 Ι .4

= 6 Ι = 4 Ι .6

r 8 14

4 5

r 6 33

Ι=Ι

= 4Ι=4 Ι

r 6 13

= Ι :

= 6 Ι .6

...

= 4 Ι .4

= 8 Ι = 8 Ι 8.

Ι 16

Apêndices

307

TABELA 7

CRITÉRIOS PARA NUMERAÇÃO DOS DIÁDICOS DE BASE (com um índice só)

eiej (ou eiej, ou eiej, ou eiej) →εu (ou εu) Referência: constituição da matriz 3x3, §14.01

i =1 i=2 i =3

j=1

j= 2

j= 3

11 21 31

12 22 32

13  23 33

elemento genérico ij: i= índice indicativo de linha; j = índice indicativo de coluna

Índice u substitutivo do par ij Notação preparada

1 4  7

2 5 8

3 6 9

Notação de Voigt

Notação moderna

1 9  8

1 7  9

5 4 3

6 2 7

6 5 3

4 2 8

Tabela de correspondências Referência

Preparada

Voigt

Moderna

Notas: - As notações de Voigt e moderna atendem mais objetivamente aos casos em que existe simetria interna nos diádicos (§02.05,III) e tetrádicos (§15.03) a considerar. - A notação preparada é geral e simplifica o processo de preparação das matrizes para multiplicação dupla (§06.02). Nos casos de simetria interna, as matrizes associadas aos tetrádicos terão a segunda coluna igual à quarta, a terceira igual à sétima e a sexta igual à oitava (Exercício 2, §15.03) .

Poliádicos - Ruggeri

308

IV, Apêndices

TABELA 8

TABELA DE RESULTADOS (§16.02) Du : Fv = Dv : Fu 8

Identidade

0=0

Identidade

(1)

A16=0

(1)

A4=-A12

0=0

(1)

Identidade

A26=0 A13=0 A23=0

A25=A12

(1)

0=0

Identidade

0=0

A36=0

A34=A26

A35=-A16

0=0

(1)

A45=A14

0=0

Identidade

(1)

Identidade

0=0

A45=-A25

(1)

0=0

(1)

A55=A11

0=0

Identidade

A36=0

0=0

A46=-A23

A56=A13

0=0

Identidade

A78=0e

Identidade

A17=0 A18=0 A27=0

-A27=A17+A18

A67=-A38

A47=A28

A57=-A18

0=0

A78=0

A88=A77

Identidade

0=0

A28=0

A68=A37

A48=-A27

A58=A17

0=0

A79=0

0=0

A39=0

Identidade

A59=A19

A89=0

Identidade (1): A22+A24=A11-A15

A29=0

Identidade

A66=A33

A69=0

A49=-A29

u / v

Apêndices

309

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA A maioria dos livros deste ramo da matemática aplicada trata apenas dos vetores e dos diádicos. Em geral são livros introdutórios ao cálculo tensorial embora este, originalmente, tenha sido estabelecido em outro contexto, em estilo bem marcante.

Cálculo Poliádico 1 - 1961 - DREW, T. B., Handbook of Vector and Polyadic Analysis, Reinhold Publishing Corporation, New York, Chapman & Hall, Ltd., London, 103 p.. Nesta obra encontramos boas contribuições ao desenvolvimento do Cálculo Poliádico. Desde o início, são introduzidas operações no campo complexo. Não pudemos compartilhar dessa idéia por causa dos critérios didáticos adotados para apresentação da matéria. Desta obra utilizamos o estudo provavelmente original dos poliádicos desvio (ou desviantes), algumas nomenclaturas (valência, poliádicos separáveis e poucas outras) e pouquíssimas notações que nos pareceram simples e sugestivas (indicar a valência de um poliádico no canto superior esquerdo da letra, por exemplo). Lamentavelmente a notação de Drew relativa à transposição poliádica é algo complexa do ponto de vista tipográfico e foi rejeitada. Esta obra de Drew é mencionada na bibliografia do livro de Ben-Menahem, A. e Singh, S. J., Seismic Waves and Sources, Springer-Verlag, 1981 (ISBN 3-540-90506-5), onde "The dyadic approach is used for elegance and brevity".

Física de Cristais 2 – 1982 – SIROTIN,Yu. I. and SHASKOLSKAYA, M. P., Fundamentals of Crystal Physics, translated from Russian by Valentina Snigirevskaya, Mir Publishers, Moscow, 654 p. Nesta obra encontramos alguns dos assuntos aqui tratados e alguns aqui não tratados por me parecerem bem específicos para esta área da Física. O Cálculo Poliádico é certamente mais útil em Física dos Cristais do que para estudo de qualquer outra matéria em virtude da diversidade das propriedades (térmicas, óticas, elétricas, magnéticas etc.) dos cristais, e por serem estes meios anisotrópicos por natureza. As bases recíprocas de vetores são denominadas nesta obra de bases covariantes e contravariantes e estão estritamente ligadas aos eixos cristalográficos que, em geral, por não serem triortogonais, motivam o uso dos vetores recíprocos. As simetrias internas e externas dos tensores podem ter sido definidas para satisfazer as necessidades da Cristalografia (conceitos que puderam ser estendidos para alguns materiais) etc.. Os autores não utilizam a nomenclatura empregada nestas "Lições"; referem-se aos poliádicos em geral como tensores. Isto é uma realidade, até certo ponto, uma vez que nem todo poliádico é um tensor. Assim, não é aconselhável confundir um poliádico de rotação, ou um poliádico de mudança de base, com um tensor porque é com esses poliádicos que se IV - Bibliografia

310

Bibliografia

vai caracterizar um tensor.

Mecânica do Contínuo

Muitas obras têm sido publicadas sobre a Mecânica do Contínuo; esta trata de problemas mais avançados da física e problemas requintados de mecânica dos materiais. Nestas searas, muito especialmente nas questões envolvendo formulações não lineares, aparecem grandezas de várias ordens e os poliádicos vêm à tona (em geral com o nome de tensores). Nos dois preciosos livros mencionados a seguir o autor (Sedov) trabalha com o que aqui chamamos de representação cartesiana de um poliádico em base vetorial, e com bases vetoriais covariantes e contravariantes, aqui denominadas recíprocas. Todas as deduções feitas indicialmente (na forma da índole do cálculo tensorial) e todas as representações têm suas correspondentes poliádicas compactas. 3 – 1965 – SEDOV, L. I., Foundations of the Non-linear Mechanics of Continua, International Series of Monographs in Interdisclipary and Advanced Topics in Science and Engineering, Pergamon Press, Oxford, 252 p.. 4 – 1971 - SEDOV, L. I., A couse in continuum mechanics, Wolters-Noordhoof Publishing, Groningen, The Netherlands, volume I, 242 p.. Chapter 2, section 2.4.

Alguns autores preferem o uso de uma notação mista vetorial e indicial, que bem poderia ser substituída pela notação poliádica. Devemos citar as grandes e magistrais obras seguintes: 5 – 1967 – ERINGEN, A. C., Mechanics os Continua, John Wiley, reeditado em 1980 por Robert E. Grieger Publishing Co, 592 p.. 6 - 1971 – LANDAU, L. et LIFCHITZ, E., Mécanique des Fluides, Editions MIR, Moscow, 669 p.. Junte-se a esta obra praticamente toda a coleção de física teórica da Landau e Lifchitz. 7 – 1998 – ERINGEN, A. C., Microcontinuum Field Theories, volumes I - 325 p., volume II - 340 p., Springer, New York. 8 – 2001 – ERINGEN, A. C., Nonlocal Continuum Field Theories, 374 p., Springer, New York. A maioria dos autores utiliza a notação ⊗ com a finalidade de representar um IV, Bibliografia

Bibliografia

311

“produto diádico” de dois vetores (Sedov é uma exceção), a nosso ver “sobrecarregando” as expressões com um símbolo simplesmente dispensável; usam ainda o sinal ∧ para indicar a multiplicação vetorial, contrariamente ao × aqui adotado (seguindo sugestão de Gibbs). Citamos: 9 – 1999 – CHADWICK P., Continuum Mechanics, Dover, Mineola, 187 p., Edição original de 1976 por George Allen and Unwin Ltd, London. 10 – 1980 – SPENCER, A. J. M.,Cintinuum Mechanics, Dover, Mineola, 183 p.. Edição original de 2004 pela Dover.

Cursos de pequena duração, em nível de mestrado, com utilização do CP, podem ser apreciados em: 11 – 1977 – SIELAWA, J. T., Métodos Matemáticos da Mecânica do Continuum, Notas de aulas, curso MAT 230, publicado em forma de apostila pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP. Neste trabalho é apresentada uma pequena introdução aos poliádicos visando a sua utilização no tema, mas a abordagem tem o forte estilo tensorial evitado nestas "Lições". A convivência com seu autor, entretanto, foi bastante útil no tocante às aplicações. 12 - 1999 – MASE, T. G., and MASE, G. E., Continuum Mechanics for Engineers, CRC Press. Livro didático com tênue uso dos diádicos. 13 – 1967 – CHOU, P. C. and PAGANO, N. J., Elasticity (Tensor, dyadic, and Engineering Approaches), Van Nostrand, 290 p.. Livro didático que, ao final, apresenta um exposição interessante da Elasticidade com o uso da notação diádica.

Para aplicação em Geofísica, ver os dois trabalhos de peso seguintes: 14 – 1981 - BEN-MENAHEN, A. and SINGH, S. J., Seismic Waves and Souces, SpringerVerlag, 1108 p. (ISBN 3-540-90506-5), Os autores se apoiam na obra de Drew [1], tratam todo o tema com base no Cálculo Poliádico, e dizem que ... "The dyadic approach is used for elegance and brevity". 15 – 1994 – HELBIG, K., Foundations of anisotropy for exploration seismics, 486 p., (ISBN 0 08 037224 4), Handbook of Geophysical Exploration, volume 22, Pergamon.

Poliádicos - Ruggeri

312

Bibliografia

Nesta excelente obra são apresentadas, em linguagem e notação tensoriais, diversas questões teóricas tratadas nestas "Lições", além de aplicações em Geofísica. Com o autor, pessoalmente, tomei conhecimento dos trabalhos pioneiros de Lord Kelvin quanto à interpretação (para mim ainda não integralmente discutida) dos conceitos de autovalores e autodiádicos de tetrádicos em elasticidade.

V - Bibliografia

CAPÍTULO V

POLIÁDICOS COMPLEXOS VETORES COMPLEXOS E DIÁDICOS REAIS Da necessidade dos vetores complexos Consideremos ((01),§03.03,III,vol.I), qual seja, a equação característica geral do diádico φ,

X3 − φEX2 + φ~E X − φ3 = 0 ,

(01),

que admite pelo menos uma raiz real, aqui denotada por A. Fatorando (01), escrevemos:

(X − A)[X 2 + (A − φ E )X + A(A − φ E ) + φ ~E ] = 0 ,

(02),

devendo ser, necessariamente (para que seja nulo o resto da divisão do primeiro membro de (01) por X-A):

A 2 (A − φ E ) + Aφ ~E = φ 3 ,

(021).

Logo, a fatoração de (01) pode ser escrita, ainda, na forma:

(X − A)[X2 + (A − φE)X +

φ3 ]= 0, A

(03),

A fatoração do trinômio quadrático entre colchetes em (03) mostra que se

(

A − φE 2 φ3 ) < , 2 A

(031),

o diádico φ apresentará, necessariamente, autovalores complexos conjugados. É fácil verificar a condição (031) no caso dos exercícios 1 e 2 do §03.03, III, vol. I. O caso dos diádicos cíclicos e de rotação, aqui utilizados nas formas ((01) e (02), §06.01, III, vol. I), a saber,

(cc*,ϕ)= cc∗ + cosϕ(aa ∗ + bb ∗ ) + senϕ(ba ∗ − ab ∗ )

(04),

Poliádicos - Ruggeri

314

Da necessidade dos vetores complexos

$ $ + cos ϕ ( $$ Ω( k$ ,ϕ) = kk ii + $$ jj) + sen ϕ ( − $$ ij + $$ ji ) ,

(041),

é particularmente interessante. O escalar A=+1 é autovalor desses diádicos, conforme visto na referida seção; terceiro deles também é igual a +1 e o escalar é 1+2cosφ. Como esses valores satisfazem (031), os demais autovalores são complexos conjugados; esses podem ser calculados por (03) e são e-iφ e eiφ. Para completar a determinação do auto-sistema de φ (§03.03,III) resta a determinação dos autovetores correspondentes aos autovalores complexos. Sejam (L;M;N) as coordenadas do autovetor correspondente a eiφ referido às bases recíprocas {a, b, c} e {a∗, b∗, c∗} no caso do cíclico . Devemos resolver o sistema homogêneo:

(cos ϕ − eiϕ)L − (senϕ)M + (0)N = 0 (−isenϕ)L − (senϕ)M = 0   iϕ , ou ( sen ϕ ) L + (cos − e ) M + ( 0 ) N = 0  (senϕ)L + (isenϕ)M = 0 . i ϕ (0)L + (0)M + (1 − e )N = 0 (1 − eiϕ)N = 0  A última equação mostra que N=0, pois φ≠0. A primeira e a segunda, por evidência de senφ dão M+iL=0, ou seja, M=-iL para L arbitrário. Assim, o autovetor correspondente ao autovalor eiφ é expressão do tipo L(a-ib), ou simplesmente, a-ib, ainda desconhecida no Cálculo Poliádico. Não é difícil comprovar, seguindo-se o mesmo caminho, que o autovetor de φ relativo ao autovalor e-iφ é a+ib. Em resumo: aos autovalores

eiϕ  − iϕ de φ correspondem autovetores e

a − ib em que i2=-1, a + ib 

(05).

ˆ ˆ No caso dos diádicos de rotação Ω(kˆ , ϕ) os autovetores seriam: ˆi − iˆj . i + ij Algumas questões que poderiam ser postas nesse instante não teriam respostas satisfatórias pelo desconhecimento de expressões do tipo a-ib em que a e b são vetores (reais). Por exemplo: serão os autovetores a+ib e a-ib ortogonais, paralelos ou oblíquos? A idéia dos diádicos cíclicos e de rotação já foi estendida aos tetrádicos cíclicos e de rotação (§14.04,IV), mas a teoria ainda não está completa a ponto de satisfazer necessidades práticas, isto é, de aplicações; é preciso desenvolver uma teoria adequada de vetores complexos. * Pudemos utilizar a teoria dos números complexos (ver Apêndice I) para facilitar a composição de oscilações de mesma direção (Ap.II,§02.05). A composição de oscilações de uma mesma grandeza oscilatória em duas ou três direções pode ser realizada com facilidade através dos vetores complexos cuja teoria não é tão elementar quanto a dos números complexos.

§ 01.01 – Definições

315

Mas é precisamente dentro da mesma linha de estruturação da álgebra dos números complexos que podemos estruturar a dos vetores complexos, a dos diádicos complexos etc.; afinal um número complexo é um poliádico complexo de valência zero (um escalar complexo). Muito embora um número complexo não represente nenhuma grandeza física, nem tampouco o representa o poliádico complexo, muitos problemas físicos podem ser resolvidos vantajosamente com o uso deles. Tal como argumentado no caso dos números complexos, não devemos definir um vetor (ou diádico) complexo como toda expressão da forma a+ib (ou diádico α+iβ β ), em que a e b (α α e β ) são vetores (diádicos) reais e i2=-1, se não estiver previamente definido o que seja o símbolo ib (ou iβ β ). O caminho a seguir é bem próximo daquele adotado para a estruturação dos números complexos, mas nem todas as propriedades e operações dos números são estendidas para vetores complexos, nem tampouco para os diádicos complexos etc.; é preciso, pois, verificar o que é comum a todos os “elementos complexos” e o que não o é. Criaremos, assim, o vetor complexo, o diádico complexo e em geral, o H-ádico complexo (ou poliádico complexo) com valências 1, 2, etc.. Com a teoria dos poliádicos complexos pretendemos, assim, ampliar a do número complexo e o faremos introduzindo, necessariamente, as direções inerentes aos mesmos. O conhecimento das idéias e operações básicas relativas aos poliádicos reais (Cap. IV) é fundamental para o entendimento deste capítulo. Existem figuras geométricas, e algumas transformações entre essas figuras, diretamente relacionadas com as entidades “vetor complexo” e “diádico complexo” particularmente; vamos estudá-las e utilizá-las na resolução dos problemas físicos. A álgebra definida com esses poliádicos particulares também está associada com essas transformações, como veremos. Por motivos didáticos, e até para facilitar o entendimento, vamos desenvolver os conceitos e operações gradativamente, iniciando com os vetores complexos posto que, conforme já observamos, os escalares complexos constituem tema clássico, bem conhecido e bem explorado. Geometria dos vetores complexos

§ 01 – IDÉIAS PRIMÁRIAS § 01.01 – Definições.

Definição: (vetor complexo) Chama-se vetor complexo, z, a todo par ordenado a e b de vetores reais, e se representa por z = (a, b ) , ao qual se atribuem as seguintes propriedades: 1ª) – a que cria o vetor complexo nulo – vetor este que se representa pelo símbolo ο (ômicron) - e que encampa o conjunto dos vetores reais,

(a, o) = a , donde (o, o) = ο (vetor complexo nulo),

(01);

Poliádicos - Ruggeri

316

§ 01 – Idéias primárias

2ª) – a que estipula um critério de igualdade, que escrevemos na forma

(a, b) = (a ′, b ′) se a = a ′ e b = b ′ ,

(011).

O primeiro vetor do par é denominado o antecedente ou a parte real do complexo; o segundo, conseqüente, ou a parte imaginaria. A três vetores complexos ordenados, z1 = (a1 , b1 ) , z 2 = (a 2 , b 2 ) , z 3 = (a3 , b 3 ) , podemos associar dois diádicos escritos em forma trinomial em relação a uma base {e1 , e 2 , e 3 } arbitrariamente escolhida. Se, digamos, ambos tiverem por antecedentes os vetores dessa base, um deles, α, terá por conseqüentes, ordenadamente, os vetores a1, a2 e a3 das partes reais dos complexos; o outro, β , os vetores b1, b2 e b3 das partes imaginárias dos mesmos. Inversamente, poderemos fazer a mesma associação. Assim, simbolicamente:

z1 = (a1 , b1 ), z 2 = (a 2 , b 2 ), z 3 = (a 3 , b 3 ) α = ei a i  e {e , e , e } arbitrária ⇔  β = ei b i  1

(i =1,2,3),

(02).

Um conjunto de três vetores complexos será dito planar, uniplanar, ortoplanar, linear, unilinear, ortolinear etc. conforme os diádicos a eles associados sejam, simultaneamente, planares, uniplanares, ortoplanares, lineares etc. Mas nada impede que um dos diádicos seja digamos planar e o outro completo etc. Todos os conceitos característicos dos diádicos são estendidos aos conjuntos de até 3 vetores complexos tais como: invariantes, autovalores, autovetores etc.. Ainda por extensão de idéias, a todo diádico φ, gerado de um EN, escrito em forma polinomial arbitrária φ = a j b j com j=1, 2, ..., P, podemos associar um vetor complexo z φ cujo antecedente e cujo conseqüente sejam iguais, respectivamente, à soma dos antecedentes e à soma dos conseqüentes do diádico dado: φ = a jb j

⇒

zφ = (

∑a ,∑b j

(021).

Como veremos (§02.01), essa associação equivale a gerar de φ o complexo soma dos complexos associados a cada uma de suas díades. § 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo. Rememorando conceitos relativos à elipse. Denominaremos raio vetor, r, de uma elipse, todo vetor de origem no seu centro O e extremidade num qualquer dos seus pontos (Figura 01.01). Corda RS de uma elipse é o segmento que une dois pontos, R e S, dessa elipse. Diâmetro de uma elipse é toda corda, como VV' ou UU', que passe pelo seu centro; semidiâmetro é a metade de um diâmetro. VI,§01.02

§ 01.02 – Elipse direcional de um vetor complexo.

317

Uma propriedade fundamental dos diâmetros é a de que os pontos médios M, M' ... das cordas paralelas a uma direção definida por um vetor unitário vˆ estão situadas sobre um diâmetro UU'. Os diâmetros como VV' e UU', que gozam da propriedade de conter os pontos médios das cordas que são paralelas ao outro são denominados diâmetros conjugados.

Os vetores de origem O e extremidades em U e V são ditos vetores semidiâmetro conjugados. Quando os pontos R e S de uma corda se confundem com o seu ponto médio a corda é tangente à elipse. Então um diâmetro, como UU', passa pelos pontos de contato U e U' das tangentes paralelas ao seu diâmetro conjugado VV'. Numa elipse existem apenas dois diâmetros conjugados ortogonais: o maior, AA', e o menor, BB'; denominam-se eixo maior e eixo menor da elipse. Os pares de pontos (A, A') e (B, B'), extremidades do eixo maior e do eixo menor de uma elipse, respectivamente, denominam-se vértices dessa elipse. Elipse direcional e elíptico direcional. Dados dois vetores não paralelos, u e v, existe uma e uma única elipse, (E*), que os tem como vetores semidiâmetro conjugados. Gibbs denominou essa elipse de elipse direcional do vetor complexo z=(u,v), sendo ela, também, direcional da díade δ(u,v). A elipse direcional está para o vetor complexo (ou díade), assim como a direção está para o vetor real, devendo ser observado, de imediato, que nem tudo o que se passa no campo real pode ser repassado igualmente para o campo complexo42. Como veremos (§01.04), todo vetor real ortogonal ao plano de um vetor complexo será ortogonal a esse complexo. Por outro lado, os vetores reais paralelos ao plano de um vetor complexo não são necessariamente paralelos a esse vetor complexo. O vetor real unitário ortogonal ao plano de um complexo, e de mesmo sentido que o vetor de sua díade (u×v) será dito o elíptico direcional do complexo, ou simplesmente, o elíptico do complexo. Se α é um parâmetro que varia no intervalo fechado (-2π,+2π), o vetor (de origem fixa, no centro da elipse)

r(α ) = cosα u + senα v ,

(01),

42 Por exemplo: se dois vetores reais são paralelos, eles têm a mesma direção; e reciprocamente. Veremos oportunamente (§ 04.03) que se dois vetores complexos são paralelos eles têm elipses direcionais homotéticas, mas essa condição não é suficiente para que dois vetores complexos sejam paralelos.

Poliádicos - Ruggeri

318

§ 01 – Idéias primárias

é um raio vetor da elipse direcional do complexo (u,v); α é o argumento ou fase de r(α)43. Para α=0, r(0)=u; para α=π/2, r(π/2)=v; o vetor u é denominado o vetor de fase da elipse. Para α qualquer, o vetor semidiâmetro conjugado correspondente a r(α) é obtido dando-se um acréscimo de π/2 radianos ao argumento, sendo, então,

r( π/ 2+ α ) = −senα u + cosα v ,

(011).

Com efeito, considerando a propriedade elementar das elipses (teorema de Apolonius) segundo a qual a área do paralelogramo construído sobre dois vetores semidiâmetro conjugados quaisquer é constante (igual à área do retângulo circunscrito a essa elipse), escrevemos: r( α ) × r(α ′) = u × v , onde α´ é o argumento do vetor semidiâmetro conjugado de r(α). Então, considerando (01),

r( α) × r( α′) = u × v = (senα′cosα - senαcosα′) u × v = sen(α′ − α)u × v , isto é, sen(α´-α)=1, ou seja α´=α+π/2. Observando-se o plano de dado complexo z=(u,v) do semi-espaço em que está situado o seu elíptico, o sentido segundo o qual se deve girar o seu antecedente, u, do menor ângulo, para que a direção deste coincida com a do seu conseqüente, será dito o sentido positivo de rotação nesse plano, ou seja, é o sentido trigonométrico (ou anti-horário); esse mesmo sentido de giro será dito, ainda, a orientação (ou sentido positivo) do vetor complexo (Figura 01.02); o sentido contrário será dito negativo. Assim, em relação ao antecedente do complexo tomado como (lado) origem de ângulos, os ângulos terão abscissas (angulares) positivas quando medidos no sentido positivo de rotação, ou, o que é o mesmo, quando esses ângulos têm a “mesma orientação do complexo”. Quando o argumento α de um raio vetor recebe acréscimos positivos (negativos) este vetor roda no sentido positivo (negativo). Vetores complexos particulares e suas elipses Não existindo dependência entre o antecedente e o conseqüente de um complexo, ele é dito linear ou elipticamente polarizado. A um vetor complexo linear estão associados e bem determinados: o plano definido pelo seu antecedente e pelo seu conseqüente, e a direção da normal a esse plano (definida pelo seu elíptico). Sempre que nos referirmos a um vetor complexo, ficará subentendido que ele seja linear, exceto se houver menção explicita em contrário.

43 Se α fosse função de uma variável t, digamos α=ωt+α0 com ω e α0 constantes, o vetor (01) seria a solução geral da equação (vetorial) diferencial &r&( t ) + ω2r ( t ) = o , onde o par de pontos representa derivada segunda em relação a t.

V,§01.02

§ 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo

319

Como definido (§01.01), quando o antecedente e o conseqüente de um complexo são paralelos, ele e a sua díade associada são ditos unilineares ou, ainda, unilinearmente polarizados; sua elipse direcional é degenerada num par de retas coincidentes e seu elíptico é indeterminado. Ao complexo unilinear está associada, pois, uma direção real bem determinada (a direção comum do seu antecedente e seu conseqüente).

Se o antecedente de um complexo é perpendicular ao conseqüente, o complexo é dito ortolinear. Se o módulo do antecedente de um complexo ortolinear é igual ao módulo do conseqüente, esse complexo e sua díade associada são ditos circulares ou, ainda, circularmente polarizados; e sua elipse direcional é uma circunferência. Os complexos circulares podem, então, ser escritos na forma geral (Rî , Rˆj) em que R é o raio da sua circunferência direcional e î e ˆj dois vetores unitários ortogonais ( î.ˆj = 0 ).

§ 01.03 – Oposto e conjugado de um vetor complexo.

Oposto do vetor complexo

Definição: (oposto de um vetor complexo) Chama-se vetor complexo oposto de um vetor complexo (u, v ) , e denota-se por −(u, v) , o vetor complexo (−u,− v ) :

−(u, v) = (−u,− v) ,

(01).

Resulta, logo, que a um vetor complexo e seu oposto corresponde a mesma díade e que vetores complexos opostos têm a mesma elipse direcional e o mesmo elíptico (ou mesmo sentido). Conjugado do vetor complexo.

Definição: (conjugado do vetor complexo) Chama-se complexo conjugado de um complexo dado, (u,v), e denota-se por (u,v)-, o vetor complexo (u,-v):

(u, v) − = (u,− v) ,

(03).

Vemos, assim, que um vetor complexo está para o seu conjugado assim como sua díade está para a sua oposta; o que significa, também, que complexos conjugados têm elípticos opostos (ou sentidos opostos). Assim, se na elipse de um complexo os raios vetores rodam num sentido anti-horário quando o argumento cresce, na elipse do seu conjugado rodam no sentido horário se o argumento também cresce (Figura 01.03).

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320

§ 01 – Idéias primárias

Como o conjugado do conjugado de um complexo é o próprio complexo, um complexo e seu conjugado são autoconjugados. § 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos. Dois vetores complexos dados ao acaso podem não ter elipses direcionais paralelas a um mesmo plano.

Definição: Dois vetores complexos serão ditos coplanares se suas elipses direcionais forem paralelas a um mesmo plano. É importante assinalar algumas características dos vetores complexos coplanares com respeito às suas elipses direcionais. Antes, é conveniente uma breve recapitulação do conceito de transformação de figuras por homotetia e rotação. Exercício 1: Comprovar que os dois autovetores a+ib e a-ib do diádico cíclico, referidos pela expressão (05) na introdução a este capítulo, relativos aos autovalores (complexos conjugados) e-iφ e eiφ, são os vetores complexos coplanares conjugados (b,-a) e (b,a). Homotetia e rotação Sejam dados três pontos S, A e A’ sobre um eixo r de origem S e um plano α que contenha r. Chama-se homotetia de centro S a transformação em α que converte A em A’ e tal que a todo ponto B de α faça corresponder um ponto B’ do eixo SB de origem S tal, que:

SA = SB = G = constante , SA' SB'

(08),

os segmentos SA , SB , ... sendo orientados sobre os seus respectivos eixos (todos com origem S). O número G, positivo ou negativo, é a característica ou a razão da homotetia. Se os pontos A, B, ... pertencessem a uma figura F de α, os pontos A’, B’ ... pertenceriam à figura F’ homotética de F em α, pela razão G. Se a figura F fosse uma elipse e o centro de uma homotetia com essa elipse fosse seu próprio centro, a figura homotética de F, F’, seria V,§01.04

§ 01.04 – Vetores complexos coplanares oblíquos e paralelos.

321

ainda uma elipse; uma seria sempre “interna” à outra e as retas suporte dos seus eixos seriam coincidentes necessariamente. A homotetia requer igualdade de orientação das figuras homotéticas, pois, em caso contrário, as igualdades (08) não serão verificadas. Um plano orientado é todo plano sobre o qual se tenha estabelecido um sentido positivo de rotação. Sejam dados sobre um plano orientado α), um ponto fixo O e dois pontos A e A’ tais, que OA=OA’. Chama-se rotação de centro O a transformação (biunívoca) no plano que: 1) - ao ponto A faz corresponder o ponto A’; 2) - a todo ponto B do plano faz corresponder um ponto B’ com OB=OB’; 3) - o ângulo orientado BOB’ seja congruente com o ângulo ABA’. O ângulo ABA’ (positivo ou negativo) chama-se amplitude da rotação. Efetuando–se uma mesma rotação (de centro O e amplitude ϕ) sobre todos os pontos de uma figura F obtém-se a figura F’ que é dita “figura rodada” de F pela citada rotação. As rotações são regidas pelos diádicos de rotação (). A figura roto-homotética de uma figura plana F, é a figura F’, de mesma orientação que F, produto comutativo de uma rotação (no sentido positivo ou no negativo) por uma homotetia, ambas de mesmo centro realizadas sobre F. Quando a amplitude é de ±π/2 rad as figuras são ditas orto-homotéticas. Podemos considerar, então, inicialmente, duas relações fundamentais entre as elipses direcionais de dois vetores complexos: 1) – a elipse de um deles não tem nenhum haver com a elipse do outro; 2) – as elipses direcionais são roto-homotéticas, com centro no centro comum delas e razão de homotetia G. No caso 1) os complexos são apenas coplanares, não existindo nenhuma outra relação particular entre eles; são ditos oblíquos. Um exemplo para o caso 2) é apresentado na Figura 01.04, feita em escala, podendo ser verificado graficamente que o ângulo de rotação é de 30° e a razão da homotetia G=1,7.

Definição: (vetores complexos paralelos) Dois vetores complexos (coplanares) serão ditos paralelos se tiverem elipses direcionais roto-homotéticas. Resulta imediatamente da definição que complexos paralelos têm necessariamente a mesma orientação (ou mesmo elíptico), pois, do contrário, suas elipses não são homotéticas. A definição aplica-se também para o caso G=1 (elipses coincidentes). Assim, embora sejam coincidentes as elipses direcionais de um vetor complexo e seu conjugado, esses vetores não são paralelos porque suas elipses não têm a mesma orientação. A mesma observação é feita em relação aos complexos circulares. *

Poliádicos - Ruggeri

322

§ 01 – Idéias primárias

Exercício 2: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido no Exercício 2, não são paralelos. * Notas: 1 – Dois vetores reais estão sempre contidos num plano, mas nem sempre os vetores complexos (pois a cada um está associado um plano). Dois vetores complexos coplanares (de planos confundidos), bem como dois vetores reais, nem sempre são paralelos. 2 - O conceito dual de vetores reais paralelos (de mesmo sentido ou sentidos opostos) é o de vetores complexos (coplanares) com elipses direcionais roto-homotéticas (de mesmo elíptico).

O vetor real nulo é paralelo a qualquer vetor real. Dualmente, o vetor complexo nulo é paralelo a qualquer vetor complexo. A excentricidade, T, de uma elipse de centro S e foco F é igual ao quociente da sua semidistância focal, c=SF, para o seu semieixo maior, a=SA=BF (Figura 01.05); logo 0≤T(=c/a)≤1. Se b=SB é a medida do seu semi-eixo menor, a 2 = b 2 + c 2 . Então, sendo H o quociente do semi-eixo menor para o semi-eixo maior, 1 − T 2 = H 2 , com 0≤H≤1. Elipses roto-homotéticas apresentam o mesmo H, logo a mesma excentricidade T, como as concêntricas de vértices A’, B’ e A, B apresentadas na Figura 1.5, com SA=1, SB=H, ângulo de giro=30° e razão de homotetia G=1,7. Dessas considerações resulta demonstrado o seguinte teorema.

Teor. 1: Se a e b são os semi-eixos: maior, de unitário î , e menor, de unitário ˆj , da elipse direcional de um complexo, qualquer complexo que lhe seja paralelo é também paralelo ao complexo (î, Hˆj) = (î , 1 − T 2 ˆj) , com H=b/a e î.ˆj = 0 . Definição: (excêntrico) O complexo (î, 1 − T 2 ˆj) , do qual î e ˆj sejam unitários do eixo maior e do menor, respectivamente, da elipse direcional de excentricidade T do complexo z, será dito o excêntrico de z. O Teor. 1 deve ser adaptado ao caso dos complexos circulares, para os quais H=1 (pois, a=b), ou T=0. Assim:

V,§01.04

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais.

323

se zˆ =( ˆi , ˆj ) é um complexo circular (de raio unitário), todos os complexos paralelos existentes no plano de zˆ , tendo o mesmo elíptico de zˆ , são paralelos a zˆ . A Figura 01.06 mostra uma visão espacial de um conjunto de vetores complexos (ui,vi) paralelos de mesmo elíptico eˆ . Todas essas elipses devem ter a mesma excentricidade (seus semi-eixos são proporcionais), podendo cada uma estar rodada de um ângulo diferente das outras. Os antecedentes ui dos complexos não são paralelos necessariamente, nem os vi, seus conseqüentes, mas seus excêntricos são roto-homotéticos. Um conjunto de vetores circulares terá visual idêntico desde que se troquem as elipses por circunferências, os raios ortogonais de umas estando rodados no mesmo sentido em relação aos seus correspondentes de outras.

No caso dos complexos oblíquos, poderiam existir situações particulares, como: a) – as retas-suportes dos eixos correspondentes das elipses são rodadas e as elipses não são homotéticas; b) – as retas-suportes dos eixos não correspondentes das elipses são coincidentes (logo, não são homotéticas).

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais. A interpretação geométrica da ortogonalidade dos vetores complexos no caso geral é um pouco mais complexa que a interpretação relativa ao paralelismo. Vamos considerar inicialmente a ortogonalidade dos complexos coplanares. Complexos polares recíprocos coplanares e elipses polares recíprocas. Consideremos o vetor semidiâmetro r( α ) = cosαu + senαv da elipse (E) do complexo z=(u,v), cuja fase α, relembremos, está referida ao vetor de fase u (§01.02). A r(α) corresponde um e apenas um vetor semidiâmetro r ∗ ( α ) = cosαu ∗ + senαv ∗ , também de fase α (referido a u*), de uma segunda elipse (E*), de mesma orientação que a primeira, da qual os semidiâmetros conjugados u* e v* compõem o sistema recíproco de {u,v}. As elipses (E) e (E*) são polares recíprocas e, sem apresentar muitos detalhes (por não ser Poliádicos - Ruggeri

324

§ 01 – Idéias primárias

oportuno), são exibidos dois exemplos (em escala) nas Figuras 01.07.a e b. A elipse de maior semi-eixo é (E), a de menor semi-eixo é (E*). No Apêndice III apresentamos os principais conceitos geométricos relacionado com este interessante e curioso capítulo da geometria (a teoria das polares recíprocas).

Como é fácil comprovar, os vetores r(α), r*(α) e seus correspondentes conjugados são tais, que r(α ) .r(∗α ) = 1 = r( π / 2+α ) .r(∗π / 2+ α ) ,  r(α ) .r(∗π / 2+α ) = 0 = r( π / 2+ α ) .r(∗α )

(01).

Então, constituem sistemas recíprocos (no plano de (E)) os pares de semidiâmetros conjugados

{r(α) , r(π/2+α) } de (E)

* ∗ , r∗ {r(α) (π/2 + α) } de (E ),

isto é,

a um par de vetores semidiâmetros conjugados da elipse (E) do complexo z=(u,v) corresponde um e apenas um par de vetores semidiâmetros conjugados na sua polar recíproca (E*), isto é, na elipse direcional do complexo z*=(u*,v*) definido pelo par recíproco de (u,v). Qualquer uma das Figuras 01.07.a ou b pode ser usada para representar dois pares de vetores recíprocos. Fixemos arbitrariamente um vetor u em (E), tracemos a tangente à elipse pela extremidade de u e uma paralela a ela pelo centro. O vetor v (conjugado de u) está determinado (pois a rotação positiva é a correspondente ao sentido anti-horário). As interseções das normais a u e a v, conduzidas pelo centro, com a elipse (E*) definem as extremidades dos vetores recíprocos u* e v*. O leitor poderá, agora, descobrir um modo de confirmar essas assertivas pelo desenho. É evidente que os resultados deduzidos se aplicam igualmente para o caso dos complexos circulares, devendo ser lembrado que: 1) - a elipse direcional (E) será substituída por uma circunferência (C); 2) - a polar recíproca de (C) é a circunferência (C*) de raio inverso do raio de (C); 3) - semidiâmetros conjugados em (C), como Rˆi e Rˆj , são raios

V,§01.05

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais.

325

perpendiculares; 4) – o par recíproco de ( Rˆi , Rˆj ) é o par ( R -1 ˆi , R -1 ˆj ). Assim:

a um par de raios vetores conjugados (ortogonais) da circunferência (E) do complexo circular z = (Rî , Rˆj) corresponde um e apenas um par de raios vetores conjugados (ortogonais) na sua circunferência polar recíproca (E*), circunferência direcional do complexo z ∗ = (R -1î , R -1ˆj) definido pelo par recíproco de ( Rî , Rˆj ). Definição: (vetores complexos polares recíprocos) Dois vetores complexos coplanares, cada um definido por um par dos vetores constituintes de sistemas recíprocos de vetores reais (coplanares), serão ditos polares recíprocos nesse plano.

Notas: 1 – Elipses recíprocas não podem ser confundidas com elipses inversas, especialmente porque a polar recíproca de uma elipse é uma elipse, e sua inversa, uma quártica (ver Ap.III, § 03). 2 - Tampouco se poderá confundir complexos autoconjugados (§01.03) com complexos polares recíprocos. 3 – A um vetor real, dentre os vetores paralelos a uma mesma direção, corresponde um e apenas um vetor real recíproco do primeiro (§03.01,I,vol.I). A duas duplas recíprocas de vetores reais coplanares corresponde uma dupla de vetores complexos polares recíprocos. 4 – Veremos oportunamente que a um par de vetores complexos de planos distintos corresponderá um par de vetores complexos polares recíprocos; e a um terceto, um terceto polar recíproco. Mas vetores complexos polares recíprocos não poderão ser confundidos com vetores complexos recíprocos (ver §05.02) que têm outro significado.

Complexos coplanares ortogonais Se a e b são os semi-eixos maior e o menor da (E) de z, os semi-eixos de sua polar recíproca (E*), elipse de z*, são os vetores recíprocos dos anteriores, a* e b*; e tem-se:

a. a∗ = 1 = b. b ∗ ,  ∗ a. b = 0 = a∗. b

(02).

Como a é perpendicular a b (a e b são semi-eixos) e a b* (pela segunda das igualdades (02)), a deve ser paralelo a a*. Pela primeira das igualdades (02), o ângulo entre a e a* é agudo; logo, a e a* têm o mesmo sentido. Pelos mesmos motivos, b e b* são paralelos e têm o mesmo sentido. Como, então, |a| |a*|=1 e a é semi-eixo maior de (E), a* deve ser o semieixo menor de (E*); logo, (E) e (E*) têm semi-eixos maiores ortogonais (o que pode ser verificado pelas Figuras 01.07). Em resumo: | a || a∗ |=| b || b ∗ |= 1 , ou, para certo R>0,

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§ 01 – Idéias primárias

|a| |b| | a || b | = ∗ = R , donde ∗ ∗ = R 2 ∗ |b | |a | | b || a |

(03),

| b | | b∗ | = | a | | a∗ |

(031).

Conforme (03), a constante R deve ser diferente de 1 se os vetores complexos z e z* não são circulares (§01.02). Conforme (031) as elipses (E) e (E*) têm a mesma excentricidade (pois têm o mesmo H) e são orto-homotéticas; logo, os complexos não podem ser paralelos (exceto se forem circulares). Existe, evidentemente, uma infinidade de vetores complexos paralelos ao complexo z*=(u*,v*) polar recíproco de z=(u,v); são todos aqueles cujas elipses direcionais sejam roto-homotéticas com a de z* (logo, todas com o mesmo elíptico (§01.04)). Como z é qualquer, bem como seu polar recíproco z*, e em vista da orto-homotetia de suas elipses direcionais, emitiremos a seguinte definição.

Definição: (vetores complexos coplanares ortogonais) Dois vetores complexos coplanares serão ditos ortogonais se a elipse direcional de um deles for roto-homotética da polar recíproca da elipse direcional do outro. Imediatamente podemos concluir:

Teor. 1: Dois complexos circulares paralelos são também ortogonais, porque a circunferência recíproca de um deles é necessariamente roto-homotética da circunferência do outro. A definição dada, de caráter geométrico, poderia ser substituída pela seguinte:

Dois vetores complexos coplanares são ditos ortogonais se os seus antecedentes e conseqüentes constituem, correspondentemente, sistemas recíprocos no plano deles, ou vetores roto-homotéticos destes. Assim, seja z=(u,v) um complexo elipticamente polarizado, de elipse (E), e z*=(u*,v*) o seu polar recíproco, de elipse (E*). Sejam ainda: w um vetor ortogonal a u e v, e (u*,v*,w*) o sistema recíproco de (u,v,w). O cíclico (§05.02,A,III, Vol. I)

(w*w,ϕ)=w*w+cosϕ (I-w*w)+senϕ (v*u-u*v), para qualquer ϕ, “roda” elíptica e positivamente u* e v* nos vetores semi-conjugados de (E*): r*(ϕ)= cosϕu*+senϕv* e r*(ϕ+π/2)= cosϕv*-senϕu*. Então H(w*w, ϕ), com H real, roda u* e v* da amplitude ϕ e amplia de H os seus módulos. Assim, os vetores: V,§01.05

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais.

u’=H(w*w, ϕ).u*==Hr*(ϕ)

327

v’=H(w*w, ϕ).v*=H r*(ϕ+π/2)

são roto-homotéticos de u* e v* e o complexo z’=(u’,v’) é ortogonal a z. Dado um complexo z, existe, pois, uma infinidade de vetores complexos coplanares com z e ortogonais a z. Pois, se z1 é perpendicular a z*, z1= H1(ϕ1, w w*).z*; . z2 é perpendicular a z*, z2= H2(ϕ2, w * * w*).z . Então, z =(1/H2) (-ϕ2, w w*).z2, z1 =(H1/H2) (ϕ1-ϕ2, w w*).z2 e z1 é perpendicular a z2. Conseqüentemente, existem infinidades de vetores complexos coplanares ortogonais entre si, ou mutuamente ortogonais. As mesmas conclusões são válidas para os complexos circulares quando, então, as elipses dão lugar às circunferências. * Exercício 3: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido no Exercício 2, não são ortogonais. * Determinação dos eixos de elipses polares recíprocas Se α0 é a fase de a (em relação a u) na elipse (E) de z, a de b é α0+π/2; então:

a = cosα 0u + senα 0 v

b = −senα 0u + cosα 0 v ,

(04).

Logo:

a. b = 0 = (cosα 0u + senα 0 v).(−senα 0u + cosα 0 v) = 1 = sen2α 0 ( v 2 − u 2 ) + cos2α 0 u.v . 2 Uma expressão análoga pode ser escrita para a* e b* envolvendo a fase α*0, u* e v*. Dessas expressões deduzimos:

ctg 2α 0 =

u2 − v2 2u .v

ctg 2α ∗0 =

u∗ − v∗ , 2u ∗ .v ∗ 2

(05),

e com elas podemos determinar os semi-eixos posto que, estando dados u e v (logo, também u* e v*) poderemos calcular a fase α0. Então deduzimos:

u = cosα 0a + senα 0b e

v = −senα 0a + cosα 0b ,

(06).

e fórmulas análogas para u* e v* em função de a* e b*. * Exercício 4: A partir de (05), demonstre que os semi-eixos de elipses polares recíprocas apresentam fases iguais. * Se dois vetores complexos, z e z’, forem dados por suas respectivas elipses direcionais (E) e (E’), ambas de mesmo elíptico e de semi-eixos respectivos (a,b) e (a’,b’)

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§ 01 – Idéias primárias

com a>b e a’<b’, isto é, com semi-eixos maiores ortogonais (como nas Figuras 1.7), estes vetores serão ortogonais se, e apenas se, existirem as igualdades: aa’=bb’=G. Nesse caso, e apenas nesse caso, será a’=Ga* e b’=Gb*, com aa*=1=bb*, a elipse (E*), de semi-eixos (a*,b*), sendo: homotética de (E’), de mesmo elíptico que (E’), polar recíproca de (E), e de mesmo elíptico que (E). Como o vetor real nulo é ortogonal a qualquer outro, concluímos que o vetor complexo nulo é ortogonal a qualquer complexo. Complexos não coplanares ortogonais A introdução do conceito de complexos ortogonais pelos complexos coplanares é didática; vamos ampliar o conceito. Sejam eˆ e eˆ ′′ os elípticos dos complexos não coplanares z=(u,v) e z’’=(u’’,v’’), respectivamente. Disponhamos a elipse direcional (E’’) de z’’, digamos, de forma que seu centro se encontre sobre o suporte do elíptico eˆ de z, elíptico este aplicado no centro da elipse (E). A projeção ortogonal de z’’ sobre o plano de z é um complexo z’ cuja elipse direcional (E’) é a projeção ortogonal de (E) sobre aquele plano. A elipse (E*), polar recíproca de (E), tem posição definida no plano de z. A posição e a forma de (E’) – que dependem, evidentemente de (E’’) – poderão ter algum relacionamento com (E*); por exemplo, sendo (E’) roto-homotética com (E*), logo, tendo o mesmo elíptico que (E*). Se isto ocorrer, os complexos z* e z’ serão paralelos. Como z* é ortogonal a z (no plano a eles comum), segue-se, por transitividade, que z’ é ortogonal a z. Esta relação especial entre as elipses direcionais de dois complexos não coplanares z e z’’ é que vai caracterizar a ortogonalidade deles. Por isso vamos emitir a seguinte

Definição: Diremos que dois complexos não coplanares são ortogonais se a elipse projeção ortogonal da elipse direcional de um deles sobre o plano do outro for roto-homotética (logo, de mesmo elíptico) que a polar recíproca da direcional deste. Apelando para o conceito de complexos coplanares ortogonais, esta definição é equivalente à seguinte:

Diremos que dois complexos não coplanares são ortogonais se um deles for perpendicular à projeção ortogonal do outro sobre o seu plano. Gibbs, sem levar em conta uma possível rotação existente entre elipses homotéticas, preferiu a seguinte definição (mais restrita):

Dois complexos não coplanares são ortogonais se a elipse de um deles e a elipse direcional do outro, projetada sobre o plano do primeiro, são homotéticas, têm a mesma orientação e têm seus eixos maiores perpendiculares.

V,§01.05

§ 01.05 – Vetores complexos ortogonais.

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Oportunamente será justificada a introdução da rotação na nossa definição. Na definição de Gibbs, impor a condição de “mesma orientação” é dispensável porque, sem ela, conforme já enaltecemos, não haveria homotetia. Nada impede que a projeção z’ de z’’ sobre o plano de z seja um complexo circular e que o próprio z seja circular. Assim,

o vetor z’’, elipticamente polarizado num plano oblíquo ao do circular z, será ortogonal a z se sua projeção z’ sobre o plano de z for um complexo circular paralelo ao polar recíproco de z, z*. Resulta dessas considerações geométricas que se dois complexos são circulares, mas de planos não paralelos, a elipse projeção de um deles sobre o plano do outro, associada a um vetor complexo elipticamente polarizado, jamais será homotética com a elipse deste; isto é:

Teor. 2: Se dois complexos circulares são não coplanares, eles não podem ser ortogonais. Disponhamos as elipses direcionais dos complexos ortogonais coplanares e não circulares z1 e z2 de forma que o centro comum delas esteja situado sobre a normal ao plano da circunferência (C) de z3, conduzida pelo centro de (C). Pode acontecer que a projeção ortogonal de z1, digamos, sobre o plano de z3, seja um complexo circular (com circunferência de raio igual ao menor semi-eixo da elipse de z1) e de mesmo elíptico que z3. Então, conforme definição, z3 é perpendicular a z1. Mas, nesse caso, a projeção de z2 será necessariamente uma elipse porque sua elipse é roto-homotética com a de z1 (no plano desses complexos). Em resumo: os coplanares z1 e z2 são perpendiculares, e se o elipticamente polarizado z1 e o circular z3, não coplanares, são perpendiculares, z2 e z3 são, necessariamente, não perpendiculares. Então:

Teor. 3: Se dois complexos coplanares são ortogonais, apenas um deles poderá ser ortogonal a um complexo circular de plano não paralelo ao plano que lhes é comum. Seja r uma reta do plano α da elipse direcional (E*) dos polares recíprocos z* de z (de plano α). Existe uma dupla infinidade de elipses roto-homotéticas com (E*), isto é, uma dupla infinidade de vetores coplanares com z e ortogonais a z (tal com em um plano ortogonal a um vetor real existe uma dupla infinidade de vetores reais ortogonais ao primeiro). Algum vetor complexo y cujo plano β (distinto de α) contenha r, ou alguma paralela a r, poderá ter por projeção ortogonal sobre α um complexo cuja elipse direcional seja uma das elipses roto-homotéticas de (E*). Nesse caso, y será perpendicular a z (embora não coplanar com z). Como cada elipse roto-homotética de (E*) pode ser considerada projeção ortogonal de uma elipse de β, e como a cada elipse de β corresponde uma infinidade de complexos (paralelos entre si), resulta que existe em β uma infinidade de vetores complexos (paralelos entre si) todos ortogonais a z.

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§ 01 – Idéias primárias

Da mesma forma, em qualquer plano de um feixe de planos de charneira r existe uma infinidade de vetores todos ortogonais a z. Essa imagem tem análoga, no espaço dos vetores reais, segundo a qual existem infinidades de vetores contidos em planos paralelos entre si (a charneira do feixe sendo uma reta imprópria), mas todos ortogonais a certo vetor. Em resumo: a cada plano (real) da charneira de eixo r contido em α corresponde uma infinidade de vetores complexos paralelos entre si, todos ortogonais a z (de plano α). Mas os complexos de cada plano não são necessariamente perpendiculares. O eixo menor de cada elipse roto-homotética de (E*) poderá servir de charneira de um feixe de planos sobre cada um dos quais existirá uma infinidade de vetores ortogonais a z. Analogamente com relação ao eixo maior, mas isto não implica ortogonalidade de vetores complexos cujas elipses pertençam a planos de um e outro feixe. Consideremos dois complexos ortogonais, coplanares ou não. Quantos complexos existirão (se é que existem!) simultaneamente ortogonais aos dois primeiros? Buscaremos resposta a essa pergunta no §02. Complexos ortogonais e sistemas recíprocos no espaço Consideremos os sistemas arbitrários de vetores recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*} e o par de vetores complexos não coplanares z3=(a,b) e z3*=(a*,b*). Seja z’3=(a3,b3) a projeção ortogonal (paralela a c*) do complexo z3* sobre o plano de z3. Podemos escrever para certos escalares L e M: a∗ = a 3 + Lc∗ e b ∗ = b 3 + Mc ∗ , (07). Então:

a.a∗ = 1 = a.a 3 = b.b ∗ = b.b 3

b.a∗ = 0 = b.a3 = a.b∗ = a.b 3 .

Estas igualdades demonstram que z’3=(a3,b3) e z3=(a,b) são polares recíprocos (no plano deles), sendo, pois, polares recíprocas as suas elipses. Logo, por definição, z3 é perpendicular a z3* (no espaço) e a z’3 no plano, mas z’3 não é perpendicular a z3*. Os mesmos resultados poderiam ser deduzidos para os outros dois pares homólogos nos sistemas recíprocos. Logo:

Teor. 4: A projeção ortogonal da elipse direcional do complexo definido por um par qualquer de vetores de um de dois tercetos (de vetores) recíprocos, sobre o plano da elipse do par homólogo do outro terceto, é polar recíproca desta. Em outras palavras:

Teor. 5: O complexo definido por um par qualquer de vetores de um de dois tercetos de vetores recíprocos é sempre ortogonal ao vetor complexo definido pelo par homólogo do outro terceto. V,§01.05

§ 01.07 – Exercícios.

331

§ 01.06 – Vetores complexos oblíquos. Vetores complexos não paralelos nem ortogonais serão ditos oblíquos; em geral, suas elipses direcionais não guardam entre si qualquer relação (nem mesmo se os complexos forem coplanares). Entretanto, sabemos que através de rotações e homotetias podemos levar uma elipse a assumir diferentes posições no seu plano; e nesses casos, evidentemente, cada elipse será direcional de um novo vetor complexo e poderá ter alguma relação com a elipse de partida. Essas operações sobre os vetores complexos e suas interpretações geométricas serão estudadas do §02 em diante. * § 01.07 – Exercícios. 1) – Provar que é nula a soma dos vetores coiniciais no centro de uma elipse e extremidades situadas em três dos seus pontos cujos argumentos estejam em progressão aritmética de razão 2π/3. Solução: Somando os vetores s(α) e s(α´), dados por ((01), § 01.02) vem, evidenciando os fatores comuns no segundo membro: s (α ) + s (α′) = (cosα + cosα ′)u + (senα + senα ′) v . Então, aplicando fórmulas trigonométricas clássicas relativas a somas de senos e soma de co-senos, simplificando e reconsiderando ((01), § 01.02), obtemos:

s (α ) + s (α′) = 2cos A relação entre α e α´ tal, que 2cos

α − α′ s ((α +α′) / 2) . 2

α - α′ = −1 , é α − α ′ = 4π / 3 , donde 2 α + α ′ 2π = + α′ . 2 3

Então,

s (α ) + s (α′+ 2 π / 3) + s (α′+ 4 π / 3) = o , o que demonstra o teorema direto. Reciprocamente, sejam u e v são dois semidiâmetros conjugados quaisquer de uma elipse. Os vetores posicionais de três dos seus pontos cujos argumentos sejam α, α+2π/3 e α+4π/3 são:

s (α ) = cosαu + senαv ,

1 1 s (α + 2 π/3) = − (cosα + 3senα)u + ( 3cosα − senα) v 2 2

s (α + 4 π/3) = −

1 1 (cosα − 3senα)u − ( 3cosα − senα) v. 2 2 Poliádicos - Ruggeri

332

§ 02 – Operações fundamentais

Somando membro a membro essas expressões reencontramos (01), que é a expressão da tese. 2) – Demonstrar que

As elipses de vetores semidiâmetros conjugados u, v e u+v e u-v têm o mesmo elíptico e são homotéticas de razão de homotetia paralelos os vetores complexos (u,v) e (u+v,u-v)).

2 (logo, são

Demonstração: Se representarmos por a e b os vetores semi-eixo da elipse de semidiâmetros conjugados a e b, podemos escrever:

u = cosαa + senαb

v = cos(α + π / 2)a + sen(α + π / 2)b .

Então, somando e depois subtraindo membro a membro essas igualdades, evidenciando os vetores a e b e aplicando fórmulas trigonométricas encontramos: u + v = 2 (cosβ a + senβ b)  − u + v = 2 [cos(β + π / 2)a + sen(β + π / 2)b], sendo β = α + π / 4 . Esses resultados mostram que u+v e –u+v são semidiâmetros conjugados da elipse cujos semi-eixos são

2 ae

2 b. Além disso, sendo

(u + v) × (−u + v) = 2u × v , vemos que as elipses direcionais de (u,v) e (u+v, -u+v) têm o mesmo elíptico, o que comprova finalmente a proposição. Álgebra dos vetores complexos.

§ 02 – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS § 02.01 – Adição de vetores complexos.

Definição: (soma de dois vetores complexos) Chama-se soma dos complexos (u,v) e (u´,v´), e denota-se por (u, v) + (u ′ + v ′) , o complexo que tem por antecedente e conseqüente, respectivamente, a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes dos vetores parcela:

(u, v) + (u ′, v ′) = (u + v, u ′ + v ′) , A definição pode ser estendida para um número finito de parcelas.

V,§02.01

(01).

§ 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo

333

A adição de complexos é a operação que tem por fim gerar a soma desses complexos. Propriedades formais da adição de complexos 1ª) – É sempre possível e unívoca (o que é evidente); 2ª) – É comutativa:

(u, v) + (u ′, v ′) = (u ′, v ′) + (u, v ) ,

(02),

o que se comprova imediatamente pelo segundo membro de (01). 3ª) – É associativa:

(u, v) + (u ′, v ′) + (u ′′ + v ′′) = (u ′, v ′) + (u, v ) + (u ′′ + v ′′) = ... ,

(03).

4ª) – Subtração: Chama-se diferença de dois complexos ordenados o complexo soma do primeiro (minuendo) com o oposto do segundo (subtraendo); a operação correspondente é a subtração, operação inversa da adição. 5ª) – Soma de um complexo com o complexo nulo:

(u, v) + (o, o) = (u, v) ,

(04).

6ª) – É evidente que os vetores semidiâmetros conjugados da elipse direcional da soma de dois complexos são as somas (vetoriais) dos semidiâmetros conjugados correspondentes dos vetores parcela. § 02.02 – Multiplicação de vetor complexo por número complexo Definição

Definição: (produto) Chama-se produto do número complexo Z = (A, B) pelo vetor complexo

(u, v ) , e denota-se por Z(u, v) ≡ (u, v) Z , o vetor complexo definido por Z(u, v) = (A, B)(u, v ) = (Au − Bv, Bu + Av) ,

(01).

A multiplicação de número complexo por vetor complexo é a operação que tem por fim determinar o produto do número pelo vetor. Essa operação encampa a operação de multiplicação de número complexo por vetor real (bastando fazer-se v=o em (01)).

Poliádicos - Ruggeri

334

§ 02 – Operações fundamentais

Propriedades Formais

1ª) – A operação é sempre possível e unívoca. 2ª) – Sendo i unidade imaginária, tem-se:

iv = (o, v) ,

(02),

pois, sendo i=(0,1) e v=(v,o), deduzimos, aplicando (01):

iv = (0,1)( v, o) = (0v − 1o,1v + 0o) = (o, v) . Ao vetor complexo iv está associada a díade nula; conseqüentemente, seu elíptico é indeterminado.

3ª) – Associatividade em relação a fatores escalares complexos:

Z1[Z 2 (u, v)] = ( Z1 Z 2 )(u, v) = Z 2 [Z1 (u, v)] = ... ,

(03).

4ª) – Distributividade em relação à adição de vetores ou de números complexos:

Z[(u, v) + (u ′ + v ′)] = Z(u, v) + Z(u ′ + v ′) ,

(04),

(Z1 + Z 2 )(u, v) = Z1 (u, v) + Z 2 (u ′ + v ′) ,

(05).

Pois, aplicando ((01), § 02) e (01), tem-se:

(A, B)[(u, v) + (u ′ + v ′)] = [A(u + u ′) − B( v + v ′)], [A( v + v ′) + B(u + u ′)] , ou melhor, operando no último membro e reaplicando ((01), § 02):

(A, B)[(u, v) + (u ′ + v ′)] = (Au − Bv, Av + Bu) + (Au ′ − Bv ′, Av ′ + Bu ′) , Agora, reaplicando (01) às duas parcelas do último membro comprovamos (04). É fácil comprovar-se (05). 5ª) – Outras propriedades são facilmente demonstráveis, como:

∀Z : Zo = o ; ∀z : 0z = o ; Zz = o

⇒

Z = 0, ou z = o ;

Z(-z ) = -Zz = (− Z)z etc...,

V,§02.02

(07).

§ 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo.

335

§ 02.03 – Norma e Módulo de vetor complexo

Definição: (norma) Chama-se norma de um vetor complexo (u,v), e denota-se por ||u,v||, a soma das normas de suas partes real e imaginária:

|| u, v ||=|| u || + || v || ,

(01).

Resulta imediatamente da definição que a norma de um vetor complexo é um número estritamente positivo, anulando-se se, e somente se, esse complexo é o complexo nulo.

Definição: (módulo) Chama-se módulo de um vetor complexo (u,v), e denota-se por |u,v|, a raiz quadrada positiva da sua norma: | u, v |= || u, v || = || u || + || v || ,

(02).

A norma da díade uv associada ao complexo (u,v) é um conceito diferente da norma do vetor complexo pois

|| uv ||= u 2 v 2 e | uv |=| u || v | ,

(021).

Teor. 1: A norma de um complexo qualquer é igual à do seu oposto; analogamente, o módulo:

∀u, v :

|| u,v ||=|| -u,-v ||

| u, v |=| −u,− v | ,

(02).

Pois, tem-se:

|| u, v ||=|| u || + || v ||=|| −u || + || − v ||=|| −u,− v || . Analogamente demonstraríamos a igualdade dos módulos.

Teor. 2: São iguais as normas e os módulos de complexos conjugados:

|| u, v ||=|| u,− v ||

| u, v |=| u,− v | ,

(03).

A demonstração desse teorema é evidente. Vetor complexo unitário e unitário de um vetor complexo

Definição: (vetor unitário imaginário) Chama-se vetor unitário imaginário o par (o, vˆ ) , onde vˆ é um vetor unitário real.

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336

§ 02 – Operações fundamentais

O vetor unitário real uˆ é o vetor complexo definido por (uˆ , o) . Ambos os unitários, real e imaginário, serão ditos vetores complexos unitários; a esses complexos, na teoria dos diádicos, corresponde a díade nula. A norma e o módulo de um vetor complexo unitário podem ser determinados imediatamente; tem-se:

|| o, vˆ ||=|| o || + || vˆ ||= 1,

| o, vˆ |= 1

|| uˆ , o ||=|| uˆ || + || o ||= 1,

| uˆ , o |= 1 ,

(04).

Partindo das expressões da norma e do módulo do complexo (u,v), deduzimos:

z u v =( , ) 2 2 2 |z| u +v u + v2

z |= |z|

u2 v2 + = 1. u2 + v2 u2 + v2

Então, qualquer que seja o vetor complexo não nulo, z, existe um vetor complexo de módulo um, que denotaremos por zˆ e que denominaremos unitário do complexo z, que goza da propriedade ∀z :

zˆ =

z , |z|

(06).

Logo:

Todo vetor complexo é paralelo ao seu unitário. À díade uv associada ao complexo (u,v) corresponde também a díade unitária uˆ vˆ , sendo uv =| u || v | uˆ vˆ . * Exercício 1: Comprove que os autovetores complexos (b,-a) e (b,a) do diádico cíclico, referido 1 1 no Exercício 2, postos na forma (b, a) e (b,−a) são vetores unitários. 2 2 * § 02.04 – Forma binomial dos vetores complexos Tem-se sempre:

(u, v) = u + iv ,

onde

i = −1 ,

Com efeito, considerando ((01),§02.01) e ((02),§ 02.02), podemos escrever:

(u, v) = (u, o) + (o, v ) = u + iv .

V,§02.04

(01).

§ 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz.

337

Teor. 1: As operações de adição de vetores complexos e multiplicação de vetor complexo por número complexo podem ser efetuadas escrevendo-se os números e os vetores nas suas formas binomiais como se tratasse de polinômios reais:

(u, v) + (u ′ + v ′) = (u + iv) + (u ′ + iv ′) ,

(021),

(A, B)(u, v) = (A + iB)(u + iv) ,

(022).

De fato, pois

(u + iv) + (u ′ + iv ′) = (u + u ′) + i( v + v ′) = (u + u ′, v + v ′) , expressão idêntica a ((01), § 03). Analogamente deduzimos, lembrando que i2=-1:

(A + iB)(u + iv) = Au − Bv + i(Av + Bu) = (Au − Bv, Av + Bu) , expressão idêntica a ((01), § 04.01).

Teor. 2:(conjugado do produto de um número por um vetor) O conjugado do produto de um número complexo por um vetor complexo é igual ao produto do conjugado desse número pelo conjugado do vetor:

∀ Z = A + iB e z = u + iv :

(Zz ) − = Z − z − ,

(03).

Pois, sendo

Zz = Au − Bv + i(Av + Bu ) , donde ( Zz ) − = Au − Bv − i(Av + Bu) , tem-se, agrupando e evidenciando neste último membro:

( Zz ) − = A(u − iv) − iB(u − iv) = (A - iB)(u − iv) = Z − z − . § 02.05 – Interpretação geométrica do produto Zz. Produto e-iϕz O

número

complexo

(cos ϕ,−senϕ) = cos ϕ − isenϕ = e -iϕ = cisϕ

costuma ser

denominado de cíclico; ϕ é o seu argumento ou fase. A cada valor do argumento corresponde um número complexo. O diagrama de Argand desse complexo (Ap.I,§01.07) é uma circunferência de centro na origem dos eixos e raio unitário (seu módulo e igual a 1), a cada ponto da qual corresponde um valor do argumento.

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338

§ 02 – Operações fundamentais

) Tem-se, denotando por z (−ϕ) o produto de e-iϕ pelo vetor complexo z = u + iv :

) z (− ϕ) = e -iϕz = (cosϕ − isenϕ)(u + iv) = cosϕu + senϕv + i[sen(−ϕ)u + cosϕv] ,

(01),

ou melhor,

) z ( − ϕ) = r(ϕ) + ir(ϕ + π / 2) ,

(02),

sendo, evidentemente,

r(ϕ) = cosϕu + senϕv

r(ϕ+ π / 2) = cos(ϕ + π/2)u + sen(ϕ + π/2) v ,

(03),

semidiâmetros conjugados da elipse direcional de z (§01.02), tal como u e v (Figura 02.01). Logo, z e ) z (−ϕ) =e-iϕz são paralelos (§01.04). Seja w um vetor qualquer não coplanar com u e v, e (u*,v*,w*) o sistema recíproco de (u,v,w). É fácil ver que r(ϕ) e r(ϕ+π/2) são os “rodados” elíptica e positivamente de u e v pelo cíclico

(ww*,-ϕ)=ww*+cosϕ(I-ww*)+senϕ(vu*-uv*), usado como pré-fator em multiplicação ponteada (§05.02,A,III, Vol. I); isto é: r(ϕ)=(ww*,-ϕ).u

r(ϕ+π/2)=(ww*,-ϕ).v.

Alem disso, a área do setor elíptico descrito por u (ou por v), na rotação regida pelo cíclico - área pontilhada indicada na Figura 02.01 - está para a área de toda a elipse assim como ϕ está para 2π: área setor elíptico ϕ = . 2π área elipse Em resumo:

Teor. 1: O produto do cíclico e-iϕ pelo complexo z é paralelo a z; e a dois quaisquer semidiâmetros conjugados de e-iϕ z correspondem os semidiâmetros conjugados de z que, rodados ciclicamente da fase ϕ>0 no sentido positivo (em relação a z), descrevem, cada um, um setor (elíptico) cuja área esta para a área de toda a elipse assim como o argumento de ϕ está para 2π. Em outras palavras, diremos que o (escalar) cíclico e-iϕ aplicado a um vetor complexo z transforma (elipticamente) esse complexo num outro cuja elipse direcional é coincidente com a de z, os vetores semidiâmetros conjugados que o definem sendo estabelecidos de acordo com o enunciado do teorema 1. V,§02.05

§ 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo.

339

) Quando um vetor complexo z (ϕ) , de mesma elipse direcional que um segundo vetor complexo z, tem seus semi-diâmetros conjugados (que o definem) rodados de certa fase ) ϕ>0 na elipse de z, dizemos que z (ϕ) está em relação a z; quando está rodado em sentido contrário dizemos que está retardado da fase ϕ<0 em relação a z. O Teorema 1 aplica-se também ao caso dos complexos circulares, substituindo-se: semidiâmetro pode ser substituído por raio, rodar ciclicamente da fase ϕ por rodar circularmente do ângulo ϕ etc. Quando necessário, o complexo z pode ser expresso em função do seu excêntrico zexc (§01.04) na forma z =| a | e -iϕ z =| a | e -iϕ (ˆi + i 1-T 2 ˆj) , exc

) havendo, pois, relações semelhantes entre z, z (ϕ) e zexc. * Exercício: A circunferência principal (C) de uma elipse (E) é coplanar com (E), é concêntrica com ela e tem raio igual ao seu semi-eixo maior. Sejam Q, P e P’ três pontos de mesma abscissa OM (Figura 02.02); o primeiro, da elipse (Eexc) de zexc, o segundo, da elipse (E) de z e o terceiro de (C). Comprovar que:5

MP = H = b MP' a

MQ 1 = . MP a

* O produto Zz e a definição de complexos paralelos Se, agora, escrevermos o complexo Z na forma exponencial, Z=|Z|e-iϕ, conforme exposto no Ap.I,§01.08, concluiremos que os complexos z e Zz (elípticos ou circulares) são ainda paralelos porque suas elipses direcionais são homotéticas de razão |Z|. Essa conclusão é totalmente compatível com a definição geométrica de complexos paralelos (§01.04): o fator (escalar) cíclico de Z, e-iϕ, é responsável pela rotação (cíclica) do vetor complexo z e o módulo de Z, |Z|, é responsável pela homotetia entre as elipses de z e Zz. § 02.06 - Axial e fásico de um vetor complexo Procuremos agora, por aplicação direta do Teor. 1, § 02.05, resolver o problema que consiste em determinar o cíclico e -iα 0 que multiplicando z=(u,v) transforme-o no complexo cujos semidiâmetros conjugados sejam os vetores semi-eixos a e b da elipse direcional de z. Deve ser, então:

e -iα 0 (u + iv ) = a + ib ,

Poliádicos - Ruggeri

340

§ 02 – Operações fundamentais

onde devemos supor α0≠0 e α0≠π/2 pois, do contrário, u e v já seriam coincidentes com a e b, e não teríamos problema algum a resolver. Então, conforme ((03),§ 02.05) deve ser: a = cosα 0 u + senα 0 v  b = −senα 0 u + cosα 0 v = cos( α 0 + π/2)u + sen( α 0 + π/2) v,

expressões já nossas conhecidas ((04),§01.05). Deduzimos, então, sem delongas, lembrando que a.b=0: 1 (u 2 − v 2 )sen2α = (u.v)cos2α , (03). 0 0 2 Se | u |≠| v | é sempre possível determinar o ângulo de fase α0 (a menos de um número inteiro de π/2 radianos), isto é,

| u |≠| v |

⇒

tg2α 0 = 22u.v 2 , u −v

(031),

pois α0≠0 e α0≠π/2 (u.v≠0 e u e v não são semi-eixos). Nestas condições, sendo z elipticamente ou linearmente polarizado, é possível determinar-se α0. Se, porém, contrariamente ao caso anterior, z é tal que u.v=0 ( u ⊥ v ), e devendo ser, ainda, α0≠0 e α0≠π/2, então de (03) concluímos que: | u |=| v | (pois sen2α0≠0). Nesse caso – em que z é um complexo circularmente polarizado - α0 é indeterminado, podendo assumir qualquer valor diferente de 0 e π/2. Se, finalmente, u=v, caso em que z é linearmente polarizado com u.v=u2, (03) mostra que cos2α0=0, ou seja α0=45° e Z = (1 + i) 2 / 2 .

Definições: (fásico e axial de um vetor complexo) O vetor complexo cujo antecedente e cujo conseqüente sejam, respectivamente, os vetores semi-eixo maior e menor de dado vetor complexo z elipticamente polarizado é denominado o axial de z. Ao cíclico que transforma, por multiplicação, dado complexo z elipticamente polarizado, no seu axial, denominaremos o fásico de z. Consideremos agora dois complexos paralelos, z = u + iv e z ′ = u ′ + iv ′ de fásicos e-iψ e e-iψ´ e axiais a + ib e a ′ + ib ′ respectivamente. Podemos escrever a ′ = ρa e b′ = ρb , desde que ρ seja a razão da homotetia de suas elipses direcionais. Deduzimos, então:

e -iψ′ z ′ = a ′ + ib ′ = ρ(a + ib) = ρe -iψ z , donde

z ′ = ρe -i(ψ − ψ ') z . V,§02.06

§ 03.01 - Produtos ponteado e cruzado.

341

Portanto existe um (e um único) complexo Z = ρe -i(ψ − ψ ') tal, que z´=Zz. Assim,

Teor. 2: Dados dois complexos paralelos, z e z´, de fásicos e-iψ e e-iψ´ respectivamente, e elipses homotéticas de razão ρ, existe um e um único número complexo Z = ρe -i(ψ − ψ ') tal, que z´=Zz. Resulta dos teoremas 1 e 2:

Corol. 1: A CNS para que dois vetores complexos sejam paralelos é que tenham em comum um fator numérico complexo. Como duas circunferências concêntricas, coplanares e igualmente orientadas relativas a dois vetores complexos circularmente polarizados são trivialmente homotéticas resulta:

Corol. 2: A CNS para que dois vetores complexos circulares sejam paralelos é que seus elípticos sejam iguais. Nota: Dois complexos, z1 e z2, com elipses direcionais coincidentes (casos em que os complexos são coplanares), não são paralelos necessariamente porque nem sempre podemos escrever z1=Zz2. É o caso, por exemplo, dos complexos conjugados z1=u+iv e z2=u-iv que têm a mesma elipse direcional, mas elípticos opostos. Em geral, os complexos coplanares da forma u+iv e Au+Biv, eventualmente com elípticos iguais (A e B do mesmo sinal), mas com A≠B (as elipses não seriam homotéticas), não são paralelos.

§ 03 – MULTIPLICAÇÕES PONTEADA E CRUZADA

VETORES

COMPLEXOS,

§ 03.01 - Produtos ponteado e cruzado

Definição: (produtos: ponteado e cruzado) Chamam-se produto ponteado e produto cruzado dos vetores complexos z1 = u1 + iv1 e z 2 = u 2 + iv 2 , e denotam-se, respectivamente por z 1. z 2 e

z1 × z 2 , o número complexo z1. z 2 = (u1. u 2 − v '. v 2 ) + i(u1. v 2 - v1.u 2 ) ,

(011),

e o vetor complexo

z1 × z 2 = (u1 × u 2 − v1 × v 2 ) + i(u1 × v 2 - v1 × u 2 ) ,

(012).

Poliádicos - Ruggeri

342

§ 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

As multiplicações correspondentes são as operações que têm por fim determinar os respectivos produtos. Tal como na teoria dos vetores reais, se denotarmos por ◦ tanto o sinal de multiplicação ponteada quanto o de multiplicação cruzada, escreveremos as fórmulas tradutoras das definições acima pela expressão

z1 o z 2 = (u1 o u 2 − v1 o v 2 ) + i(u1 o v 2 - v1 o u 2 ) ,

(01).

Propriedades formais das multiplicações 1ª) – São associativas em relação a fatores numéricos complexos,

(Z1z1 ) o ( Z 2 z 2 ) = ( Z1Z 2 )(z1 o z 2 ) = Z1 ( Z 2 z1 o z 2 ) = ... ,

(02),

e distributivas em relação à adição de vetores complexos,

z o ( z1 + z 2 ) = z o z1 + z o z 2 ,

(03).

2ª) – A multiplicação ponteada é comutativa; a cruzada é anti-comutativa:

z 1. z 2 = z 2 . z 1

z 1 × z 2 = −z 2 × z 1 ,

(04).

Aplicando a definição (01), escrevemos:

z 2 o z1 = (u 2 o u1 − v 2 o v1 ) + i(u 2 o v1 - v 2 o u1 ) ,

(013).

Como a multiplicação ponteada de vetores reais é comutativa, a expressão acima não diferirá de (011) quando fizermos ◦≡., mas trocará de sinal ao fazermos o ≡ × porque a multiplicação cruzada de vetores é anti-comutativa; o que comprova as (04). Das (04) vem logo, fazendo z2=z1=z=u+iv:

z.z = (u 2 − v 2 ) + 2i(u. v ) , e

∀z :

z×z = o ,

(041), (042).

Resulta imediatamente de (041) que

É nulo o quadrado ponteado de um complexo circularmente polarizado. Reciprocamente, resulta ainda de (041):

Se o quadrado ponteado de um vetor complexo (não nulo) é igual a zero, ele é circularmente polarizado. V,§03.01

§ 03.01 - Produtos pontuado e cruzado

343

Pois devendo ser u 2 − v 2 = 0 e 2u.v = 0 , resulta | u |=| v | e u ⊥ v (ver final do §01.02). Assim,

Teor.1:(quadrado do circular) A CNS para que um vetor complexo (não nulo) seja circularmente polarizado é que seja nulo o seu quadrado ponteado. 3ª) – O produto ponteado de um vetor complexo pelo seu conjugado é igual à sua norma; o produto cruzado é um vetor complexo puro paralelo ao seu elíptico:

∀ z = u + iv :

z. z ∗ =|| z ||= u 2 + v 2 ,

z × z∗ = 2 i u × v ,

(05).

As demonstrações correspondentes são evidentes em vista das fórmulas (01). Resulta imediatamente de segunda igualdade (05) que

Se um complexo é unilinear (ou unilinearmente polarizado) é sempre nulo o produto cruzado dele pelo seu conjugado. A recíproca dessa propriedade é verdadeira:

Se for nulo o produto cruzado de um complexo pelo seu conjugado, esse complexo é unilinearmente polarizado. Logo:

Teor. 2: A CNS para que um complexo seja unilinearmente polarizado é que seja nulo o produto cruzado dele pelo seu conjugado. 4ª) – O conjugado do produto de certo nome (ponteado ou cruzado) de dois vetores complexos é igual ao produto de mesmo nome dos conjugados desses mesmos vetores na mesma ordem:

(z1 o z 2 )∗ = z1∗ o z 2∗ ,

(06).

Pois, aplicando a definição de conjugado ao produto definido por (01) vem, sem delongas:

(z1 o z 2 )∗ = u1 o u 2 − v1 o v 2 − i(u1 o v 2 + v1 o u 2 ) = = u1 o u 2 − u1 o (iv 2 ) + i[ v1 o (iv 2 ) − v1 o u 2 ] = [u1 o (u 2 − iv 2 )] − i[ v1 o (u 2 - iv 2 )], donde, evidenciando o vetor complexo comum às duas parcelas, comprovamos (06). Trocando z1 por z1* em (06), vem: (z1∗ o z 2 )∗ = z1 o z 2∗ ,

(061),

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344

§ 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

sendo, ainda

|| z1∗ o z 2 ||=|| z1 o z 2 ∗ || ,

(062),

5ª) – São nulos os produtos ponteado e cruzado de qualquer vetor complexo pelo complexo nulo:

z. o = 0

z×o = o ,

(07).

§ 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica.

Teor. 3: A CNS para que dois vetores complexos sejam paralelos é que seja nulo o produto cruzado deles:

z1 || z 2

⇔

z1 × z 2 = o ,

(08).

Se um dos complexos é nulo a demonstração é evidente. Se os vetores z1 e z2 (não nulos) são paralelos, então, pelo Corol. 1 do Teor. 2 do § 03.03, existe um número complexo Z tal, que z1=Zz2, donde, então, z1 × z 2 = Zz 2 × z 2 = o , ou seja, conforme (042),

z1 × z 2 = o . Reciprocamente, se z1 × z 2 = o , podemos escrever, pondo z j = u j + iv j : u1 × u 2 − v1 × v 2 = o  u1 × v 2 − v1 × u 2 = o. A primeira equação do sistema acarreta a coplanaridade dos complexos porque o produto cruzado dos seus antecedentes, u1×u2, e o dos seus conseqüentes v1×v2 devem ser paralelos (logo, ortogonais a um mesmo plano). Somando e subtraindo membro a membro as equações do sistema podemos transformá-lo no sistema equivalente

(−u1 + v1 ) × (u 2 + v 2 ) = o  (u1 + v1 ) × (−u 2 + v 2 ) = o. Esse novo sistema mostra que u1+v1 e –u1+v1 são vetores paralelos a –u2+v2 e u2+v2, respectivamente. Pelo exercício 2, § 01, a elipse de z1, de semidiâmetros conjugados (u1,v1), é homotética de razão 2 com a do complexo (u1+v1,-u1+v1), ambas tendo o mesmo elíptico. Da mesma forma são elipses coplanares, têm elípticos iguais e são homotéticas de razão 2 a elipse do complexo z2=(u2,v2) e a do complexo (u2+v2,-u2+v2). Logo, as elipses de z1 e z2 são também coplanares, têm elípticos iguais e são homotéticas (pouco importando a razão da homotetia); isto é, esses complexos são paralelos.

Teor. 4: E nulo o produto ponteado de vetores complexos ortogonais. É evidente o teorema porque, sendo ortogonais os complexos (§01.05), os vetores que os definem devem ser paralelos e proporcionais a pares de vetores homólogos de V,§03.02

§ 03.02 - Paralelismo e ortogonalidade de complexos em forma algébrica.

345

sistemas recíprocos de vetores, isto é: um complexo é da forma (Pu,Pv) e o outro da forma (Qu*,Qv*)=(PQ-PQ,0)=0, {u,v,w} e {u*,v*,w*} sendo algum terceto de vetores recíprocos. Nota: A recíproca deste teorema não é verdadeira, isto é, pode ser nulo o produto ponteado de dois vetores complexos sem que eles sejam ortogonais; o produto de um complexo circular por si próprio é um exemplo (Teor. 1).

* Consideremos os tercetos recíprocos {u,v,w} e {u*,v*,w*}. Com o primeiro terceto podemos constituir os vetores complexos z1=(v,w),

z2=(w,u)

e z3=(u,v);

e com o segundo, os pares correspondentes proporcionais aos recíprocos homólogos: z1*=(Mv*,Mw*),

z2*=(Nw*,Nu*)

z3*=(Pu*,Pv*).

Tem-se, então: z1.z1*=0=z2.z2*=z3.z3* e (z1.z2*)/N=i=(z1.z3*)/P=(z2.z3*)/P =(z2.z1*)/M=(z3.z1*)/M=(z3.z2*)/N. * Teor. 5: (direto) Se dois complexos são paralelos e circulares, então o produto ponteado deles é igual a zero. Sejam z=(u,v) e z’=(u’,v’) complexos paralelos; e ponhamos (Corol.1, Teor.2, § 03.03), z’=Zz para algum número complexo Z≠0. Então: z.z’=Zz.z. Se z é circular, z’ também o é, e z.z=0 (Teor. 1); logo z.z’=0.

Teor. 6: (recíproco) Se dois complexos são paralelos e o produto ponteado deles é igual a zero, então eles são circulares. Sejam z=(u,v) e z’=(u’,v’) complexos paralelos; e ponhamos z’=Zz para algum número complexo Z≠0. Então, se z.z’=0 é Zz.z=0, isto é, z.z=0 e pelo Teor. 1 z é circular.

Corol. 1: A CNS para que dois complexos paralelos sejam circulares é que o produto ponteado deles seja igual a zero. * Exercício: De todos os vetores reais contidos no plano de dado complexo não degenerado, apenas aqueles ortogonais ao seu conseqüente admitem produto ponteado real com o complexo dado. *

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346

§ 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

Teor. 7: A CNS para que um vetor complexo seja nulo é que seja nulo o produto ponteado dele pelo seu conjugado:

z =o

⇔

z.z =o ,

(11).

Se z=o, o teorema é evidente. Reciprocamente, se z . z = o , tem-se: u 2 + v 2 = 0 , o que é possível apenas se os vetores u e v são nulos, ou z=ο ο. § 03.03 – Produto misto de complexos Chama-se produto misto de três vetores complexos z1, z2 e z3, nessa ordem, e indicase por (z1z2z3), o produto ponteado do produto cruzado dos dois primeiros (que é um vetor) pelo terceiro:

(z1z 2 z 3 ) = z1 × z 2 .z 3 ,

(01);

o produto misto é, pois, um número complexo. A multiplicação mista de três vetores complexos é a operação que tem por fim determinar o produto misto desses vetores. Propriedades Pondo: z j = (a j , b j ) para j=1,2,3, tem-se:

(z1z 2 z 3 ) = z1 × z 2 .z 3 = (a1 × a 2 − b1 × b 2 , a1 × b 2 + b1 × a 2 ).(a 3 , b 3 ) , a parte real desse número complexo sendo Re( z1z 2 z 3 ) = (a1a 2a 3 ) − (b1b 2a 3 ) − (a1b 2b 3 ) − (b1a 2b 3 ) = = (a1a 2a 3 ) − (a1b 2 b 3 ) − (a 2 b 3b1 ) − (a 3b1b 2 )

(02),

e a parte imaginária Im(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2 b 3 ) − (b1b 2b 3 ) + (a1b 2a 3 ) + (b1a 2a 3 ) = = −(b1b 2 b 3 ) + (b1a 2 a 3 ) + (b 2 a 3a1 ) + (b 3a1a 2 )

(03).

As propriedades dessa operação decorrem das propriedades das duas operações utilizadas para a sua definição; e todas são idênticas à da multiplicação mista de vetores reais. Assim: 1) – É sempre possível e unívoca, o que é evidente; 2) – Um produto misto não se altera mantendo-se a posição das letras e alternando-se os símbolos operatórios:

(z1z 2 z 3 ) = z1 × z 2 .z 3 = z1.z 2 × z 3 ,

V,§03.03

(04).

§ 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos.

347

Para a comprovação da propriedade basta desenvolver o produto do último membro de (04) e comparar suas partes real e imaginária com as expressões (02) e (03). 3) – Um produto misto de vetores complexos não se altera quando se permutam ciclicamente os vetores que o compõem:

(z1z 2 z 3 ) = (z 2 z 3 z1 ) = (z 3 z1z 2 ) ,

(05),

mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:

(z 3 z 2 z1 ) = (z1z 3z 2 ) = (z 2 z1z 3 ) = −(z1z 2 z 3 ) ,

(06),

Esta propriedade pode ser demonstrada a partir de (02) e (03) efetuando-se uma mesma permutação nos vetores de todos os produtos mistos indicados e aplicando propriedades da multiplicação mista dos vetores reais. * Exercício 1: Comprove que o produto misto dos autodiádicos do cíclico, referidos nos Exercício 1 do §02.03, é igual a –i. * § 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos Caso de fatores complexos paralelos É evidente que um produto misto é nulo sempre que dois dos fatores sejam paralelos, pois com permutação dos símbolos operatórios ocorrerá necessariamente um produto cruzado com os vetores paralelos (Teor. 3, §03.02). Logo para que um produto misto seja não nulo não pode haver nenhum fator nulo uma vez que o complexo nulo é paralelo a qualquer vetor. Consideremos o produto misto nulo, com fatores iguais, z1.(z1 × z 2 ) = 0 , expressão em que usamos os parênteses apenas para destaque. A nulidade desse produto não implica a ortogonalidade de z1 com z1×z3 porque um produto ponteado pode ser nulo sem que os vetores fatores sejam ortogonais (ver Nota, Teor. 4, §03.02). Entretanto, não obstante a nulidade do produto, nada impede que os vetores z1 e z1×z2, ou z2 e z1×z2 sejam ortogonais, bastando, para tal, que a projeção da elipse direcional de um deles sobre o plano do outro seja roto-homotética com a elipse deste. Pode acontecer até que z1 ⊥ z1×z2 e z2 ⊥ z1×z2. De fato, basta que a projeção da elipse de z1×z2 sobre os planos das elipses de z1 e z2 seja simultaneamente roto-homotética com as elipses de z1* e z2*. Caso de complexos coplanares Por outro lado,

para que seja nulo um produto misto de vetores complexos não paralelos é suficiente que os vetores complexos fatores sejam coplanares.

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348

§ 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

De fato, pois nesse caso os vetores (reais) fatores de todos os produtos mistos componentes da parte real (02) e da parte imaginária (03) do produto são nulos. Mas a condição de coplanaridade não é necessária para que o produto misto seja nulo. Caso de complexos não coplanares - Com antecedentes e/ou conseqüentes não coplanares

Teor. 1: Se z j = (a j , b j ) para j=1,2,3, se (a1a 2a 3 ) ≠ 0 e se φ = b i a i é o diádico que transforma os antecedentes dos complexos nos seus conseqüentes, então:

Re(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2a 3 )(1 − φ ~E )  ,  Im(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2 a 3 )(−φ 3 + φ E )

(07).

φ3 = (b1b 2b 3 )(a1a 2a 3 ) = (b1b 2b 3 ) /(a1a 2a 3 ) e φ E = bi .ai . De (03) deduzimos imediatamente: Im(z1z 2 z 3 ) = −φ 3 (a1a 2a 3 ) + (b i . a i )(a1a 2a 3 ) ; o que comprova a segunda das fórmulas (07). Tem-se:

Tem-se ainda:

φ~ =

1 1 1 (a i × a j ) [(b i a i )×× (b ja j )]T = (a i × a j )(b i × b j ) = (a1a 2 a 3 )[ 1 2 3 (b i × b j )] . 2 2 2 (a a a )

Recorrendo à expressão sintética ((04)1, §04.02,I, vol. I) e calculando o escalar de φ ~ vem:

φ ~E = 1 (a1a 2a3 )εijk a k .(b i × b j ) = 1 (a1a 2a 3 )εijk (a k b i b j ) . 2 2 Desenvolvendo as somas indicadas (nos índices i, j e k) e aplicando propriedades da multiplicação mista de vetores resulta:

φ ~E =

1 [(a b b ) + (a 2b 3b1 ) + (a 3b1b 2 )] . (a1a 2a 3 ) 1 2 3

Podemos agora escrever a expressão (02) na forma Re(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2a 3 ) − (a1a 2a 3 )φ ~E ,

idêntica, precisamente, à primeira das fórmulas (07). Torna-se evidente, então, a veracidade do seguinte

V,§03.04

§ 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos.

349

Corol. 1: A CNS para que seja nulo o produto misto dos complexos z j = (a j , b j ) com antecedentes independentes, é que o diádico φ = b i a i , que transforma seus antecedentes nos seus conseqüentes, seja tal, que φE=φ φ3 e φ ~E = 1 . De fato, se o produto misto é nulo, o Teor. 1 garante a existência das condições requeridas porque a parte real e a parte imaginária do produto misto dos complexos devem ser simultaneamente nulas. A recíproca é evidente porque, se φE=φ φ3 e φ ~E = 1 , as partes real e imaginária do produto são nulas, conforme (07); e o produto é nulo. Se os conseqüentes dos vetores complexos forem independentes, e se ψ = a jb j é o diádico que transforma seus conseqüentes nos seus antecedentes, valeriam as fórmulas:

Re(z1z 2 z 3 ) = (b1b 2b 3 )(ψ 3 − ψ E )  ,  Im(z1z 2 z 3 ) = (b1b 2b 3 )(−1 + ψ ~E )

(08).

Analogamente ao corolário anterior, podemos enunciar:

Corol. 2: A CNS para que seja nulo o produto misto dos complexos z j = (a j , b j ) com conseqüentes independentes é que o diádico ψ = a jb j , que transforma seus conseqüentes nos seus antecedentes, seja tal, que ψE=ψ ψ3 ~ e ψ E = 1. Devemos considerar o caso em que os antecedentes e os conseqüentes dos vetores complexos sejam independentes. Nesse caso, existe o diádico (completo) de mudança de base µ = a i b i que transforma os bi nos ai, cujo inverso transforma os ai nos bi. Valem, então, as seguintes fórmulas:

Re(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2a 3 )(1 − µ ~E ) = (b1b 2b 3 )(µ -13 − µ -1E )  ,  Im(z1z 2 z 3 ) = (a1a 2a 3 )(−µ 3 + µ E ) = (b1b 2b 3 )(−1 + µ E µ -13 )

(09).

Se for nulo o produto misto dos vetores, então µE=µ µ3 e µ ~E = 1 , sendo fácil comprovar-se que estas conseqüências são equivalentes à nulidade dos segundos fatores nos últimos membros de (09). Logo:

Corol. 3: A CNS para que seja nulo um produto misto de complexos com tercetos de antecedentes e conseqüentes independentes é que o diádico de mudança dos vetores de um terceto nos vetores do outro tenha escalar igual ao terceiro e que o escalar do seu adjunto valha +1.

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350

§ 03 – Multiplicações de vetores complexos, ponteada e cruzada

Em qualquer um dos três casos vistos – em que é nulo o produto misto dos complexos – a equação característica do diádico (§03.03,III) que transforma um terceto no outro é: (Γ3 − X)(X 2 + 1) = 0 , em que Γ é igual a φ, ou ψ, ou µ, pois deve ser ΓE=Γ Γ3 e Γ ~ E = 1 Os autovalores são, pois: Γ 3, X1=Γ

X2=+i=eiπ/2

X2=-i= e-iπ/2.

Então Γ é diádico ciclotônico (Teor. 1, §04.01,A,III, vol. I). Por ter ângulo de giro igual a π/2 rad (X2 e X3 são imaginários puros), Γ é tônico quadrantal (§06.03,A,III, vol. I). Em resumo:

Teor. 2: A CNS para que seja nulo um produto misto de vetores complexos com tercetos de antecedentes e/ou conseqüentes independentes é que o diádico que transforma um terceto no outro seja um tônico quadrantal. Interpretação geométrica Seja u um autovetor de Γ correspondente ao autovalor real X1. Constituamos com u e dois outros vetores arbitrários v e w, ambos do plano do uniplanar Γ-Γ Γ3I, a base {u,v,w} cuja recíproca é {u*,v*,w*}. Podemos, assim, escrever:

Γ = Γ3uu∗ − vw∗ + wv ∗ ,

(10).

que pode ser fatorado na forma

Γ = T.Q = Q.T com

T = Γ3uu∗ + vv∗ + ww ∗ (tônico)

Q = uu ∗ − vw ∗ + wv ∗ (quadrantal),

(11).

Decomponhamos um vetor qualquer do espaço, r, numa componente paralela a u, r’=(r.u*)u, e outra, r”, contida no plano definido por v e por w. Seja E” a elipse homotética da elipse direcional do complexo (v,w) que contenha a extremidade de r”. Conforme sabemos (§05.02,A,III, vol I)44, se o quadrantal Q é usado com pré-fator, ele translada r’ e transforma r” (da elipse E”) no seu vetor conjugado. O tônico T é inerte com relação a r” (T.r”= r”); atua simplesmente sobre r’ distendendo ou contraindo seu módulo Γ3 vezes, e Γ3 r’). mudando seu sentido se Γ3<0 (T.r’=Γ Observemos que o teorema 2 exige que os vetores antecedentes do terceto complexo, ou os conseqüentes, ou ambos, sejam não coplanares. Resta, então, analisar a possibilidade de nulidade de produto misto com tercetos de antecedentes e de conseqüentes não independentes (coplanares ou colineares). 44 No §05.02,A,III deve ser considerado ϕ=π/2 rad para que o cíclico seja um quadrantal.

V,§03.04

§ 03.04 – Nulidade do produto misto de complexos.

351

- Com antecedentes e conseqüentes coplanares Dentre estes tercetos de vetores complexos devemos considerar apenas aqueles cujos planos sejam não paralelos, pois, do contrário, os complexos seriam coplanares (o plano dos antecedentes seria coincidente com o dos conseqüentes) e admitiriam sempre um produto misto nulo. Tampouco necessitaríamos considerar os vetores complexos cujos antecedentes fossem paralelos entre si, bem como os conseqüentes, pois estes seriam também coplanares. Consideremos, então, o produto misto dos complexos:

z j = (a j , b j ) , j=1,2,3, com (a1a 2a 3 ) = 0 , (b1b 2b 3 ) = 0 e ∀j, aj≠o e bj≠o,

(12),

produto este cuja parte real e parte imaginária estão dadas por ((02) e (03),§03.03). Denotemos por α) o plano que contem os vetores a’s e por aˆ o unitário da sua normal; seja β) o plano que contem os vetores e bˆ o unitário de sua normal. Conforme ((02) e (03),§03.03) escrevemos: Re(z1z 2 z 3 ) = −(a1b 2 b 3 ) − (a 2b 3b1 ) − (a 3b1b 2 ) = a 0 .bˆ ,

o vetor a 0 - pertencente ao plano α) – sendo −a 0 =| b 2 || b 3 | sen(b 2 , b 3 )a1 + | b 3 || b1 | sen(b 3 , b1 )a 2 + | b1 || b 2 | sen(b1 , b 2 )a 3 ,

(13);

e Im(z1z 2 z 3 ) = (b1a 2a 3 ) + (b 2a 3a1 ) + (b 3a1a 2 ) = b 0 .aˆ ,

o vetor b 0 - pertencente ao plano β) – sendo b 0 =| a 2 || a3 | sen(a 2 , a 3 )b1 + | a 3 || a1 | sen(a 3 , a1 )b 2 + | a1 || a 2 | sen(a1 , a 2 )b 3 ,

(14).

Os planos α) e β) são não paralelos, por hipótese. Se (z1z 2 z 3 ) = 0 , então Re( z1z 2 z 3 ) = 0 e Im(z1z 2 z 3 ) = 0 ; e reciprocamente, isto é:

a .bˆ = 0 (z1z 2 z 3 ) = 0 ⇔  0 . b 0 .aˆ = 0 As condições simultâneas indicadas no lado direito da expressão acima existirão desde que a0 e b0 sejam simultaneamente paralelos a aˆ × bˆ , ou seja, paralelos à interseção dos planos α) e β). Logo:

Teor. 3: Se um terceto de vetores complexos z1, z2 e z3 satisfaz (12), a CNS para que o produto misto deles seja nulo é que os vetores não nulos a0 e b0 dados por (13) e (14) sejam paralelos à interseção dos planos α) e β) que contêm seus antecedentes e conseqüentes, ou,

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352

§ 04 – Identidades com vetores complexos

A CNS para que seja nulo um produto misto de vetores complexos com tercetos de antecedentes e conseqüentes dependentes de planos distintos e nenhum deles nulo é que os vetores a0 e b0 dados por (13) e (14) sejam paralelos à interseção desses planos.

§ 04 – IDENTIDADES COM VETORES COMPLEXOS Apresentamos no Capítulo I do Volume I algumas identidades vetoriais (das quais, inclusive, geramos algumas identidades algébricas). Por exemplo:

F(a, b, x, y ) ≡ (a × b).(x × y ) =

a.x a.y , de valor escalar, b.x b.y

g(a, x, y ) ≡ a × (x × y ) = (a.y )x − (a.x)y , de valor vetor,

(01);

(02),

e outras. As identidades de valor escalar poderiam ser reunidas sinteticamente numa expressão geral do tipo L(a,b, ..., x, y, ...)=0,

(03),

l(a,b, ..., x, y, ...)=o,

(031),

e as de valor vetor numa do tipo

em que 0 e o são, respectivamente, o escalar zero e o vetor zero, L representando uma função linear de valor escalar e l uma de valor vetor, ambas com argumentos (vetores) a, b, ..., x, y, .... Se, digamos, em (01) substituirmos o argumento x por Ar+Bs, virá:

F(a, b, x, y ) = F(a, b, (Ar + Bs), y ) ≡ (a × b).((Ar + Bs) × y ) , ou, operando no último membro:

(a × b).((Ar + Bs) × y ) = A(a × b).(r × y ) + B(a × b).(s × y ) = AF(a, b, r, y ) + BF(a, b, s, y ) . Concluímos: a identidade (01) é linear no argumento x.

Definição: (função linear) Uma função (de valor escalar ou valor vetor) é linear num argumento vetor x quando a substituição desse argumento por uma combinação linear de outros vetores com certos coeficientes torna essa função uma combinação linear de funções idênticas desses outros argumentos, com os mesmos coeficientes.

V,§04

§ 04 – Identidades com vetores complexos.

353

Para a função g definida em (02), teríamos:

g(a, (Ar + Bs), y ) ≡ a × ((Ar + Bs) × y ) = Ag (a, r, y ) + Bg(a, s, y ) ,

(04).

É válido, pois, o seguinte princípio:

Em geral, toda identidade vetorial linear válida para vetores reais é válida também para vetores complexos, não sem algumas exceções, e desde que a função (F ou g) não indique “tomar o conjugado” de algum vetor complexo envolvido.

Identidades com vetores complexos Assim, são válidas as fórmulas apresentadas a seguir que, a título de exercício, podem ser desenvolvidas escrevendo-se cada vetor em forma binomial e aplicando-se em seguida o conceito de função linear.

Fórmula do duplo produto vetorial:

∀z1 , z 2 , z 3 :

z1 × (z 2 × z 3 ) = (z1.z 3 )z 2 − (z1.z 2 )z 3 ,

(05).

Se z2=z3 o duplo produto é nulo. Se, digamos, z1=z2=z, tem-se:

z × (z × z 3 ) = (z.z 3 )z − (z.z )z 3 ,

(051).

Essa fórmula, em vetores reais, permite decompor o vetor z3 na direção de z e da normal a z (porque p = z × (z × z 3 ) é perpendicular a z). Ela é verdadeira para vetores complexos, mas o vetor p não é necessariamente perpendicular a z3, embora seu produto ponteado por z3 seja nulo (ver Nota, Teor. 4, §03.02). Se, em particular, z é um complexo circular, p = z × (z × z 3 ) = (z.z 3 )z . A CNS para que o complexo p seja perpendicular a z é dada pela própria definição de complexos ortogonais: a projeção da elipse direcional de p sobre o plano de z deve ser roto-homotética com a elipse direcional do polar recíproco z* de z; ou, o que é o mesmo, a projeção ortogonal p’ de p sobre o plano de z deve ser um complexo roto-homotético com z*. Se nˆ é o elíptico de z, tem-se, tal como para os vetores reais: p′ = p − (p.nˆ )nˆ . Deduzimos, então, sucessivamente, considerando (051), observando que z.nˆ = 0 e denotando por z3’ a projeção de z3 sobre o plano de z:

p′ = (z.z 3 )z − (z.z )z 3 + (z.z )(z 3.nˆ )nˆ = (z.z 3 )z − (z.z )z ′3 , pois z ′3 = z 3 − (z 3.nˆ )nˆ . Se a elipse de p’ for roto-homotética com a de z*, p’ será perpendicular a z, isto é, p’.z=0 necessariamente, bem como p.z=0. Em resumo:

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354

§ 05 – Vetores complexos recíprocos.

1 – o produto misto p.z = z × (z × z 3 ).z é sempre nulo por ter dois fatores iguais (a

z), mas isto não implica que p = z × (z × z 3 ) seja perpendicular a z; 2 - se a projeção ortogonal da elipse de p = z × (z × z 3 ) sobre o plano de z for rotohomotética com a de z* - caso em que p e z são perpendiculares e p.z=0 - a expressão (051) permitirá decompor z3 segundo um vetor paralelo a z (se z.z≠0, ou seja, se z é não circular) e um vetor p perpendicular a z. De fato, seria:

z3 =

(z.z 3 ) 1 z− p , com z.z≠0, p = z × (z × z 3 ) e p.z=0. (z.z ) (z.z )

Se z for circularmente polarizado essa decomposição não será possível (pois z.z=0). Se z é qualquer (circular ou não) e se a projeção ortogonal da elipse de

q = z × (z ∗ × z 3 ) sobre o plano de z for roto-homotética com a de z* - caso em que q e z são perpendiculares e q.z=0 - a expressão q = (z.z 3 )z ∗ − (z.z ∗ )z 3 permitirá decompor o z3 (que é qualquer) segundo um vetor paralelo a z* (já que z.z*≠0) e um vetor q perpendicular a z. Então, seria:

z3 =

z.z 3 z.z ∗

z∗ −

1 z.z ∗

, com z.z*≠0, q = z × (z ∗ × z 3 ) e p.z=0.

Fórmula do produto escalar de dois produtos vetoriais:

∀z1 , z 2 , z 3 , z 4 :

(z1 × z 2 ).(z 3 × z 4 ) =

z1.z 3 z 2 .z 3

z1.z 4 , z 2 .z 4

(06).

Fórmula de Lagrange:

| z1 × z 2 |2 =| z1 |2 + | z 2 |2 − | z1.z 2 − |2 ,

(07),

sendo oportuno observar-se que o segundo fator na última parcela refere-se ao conjugado do complexo z2. Para a demonstração desta fórmula parte-se do cálculo da norma do produto cruzado z1 × z 2 , aplica-se propriedade do conjugado de um produto ((06),§03.01) e em seguida a fórmula (06).

§ 05 – VETORES COMPLEXOS RECÍPROCOS § 05.01 – Produto cruzado de dois produtos cruzados Ponhamos z1 × z 2 = w e apliquemos a fórmula do duplo produto cruzado à expressão w × (z 3 × z ) . Teremos, sem delongas, quaisquer que sejam os vetores:

w × (z 3 × z ) = (w.z )z 3 − (w.z 3 )z . Sendo w.z = (z1 × z 2 ).z = (z1z 2 z ) e w.z 3 = (z1z 2 z 3 ) , obtemos:

V,§05.01

§ 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases.

355

(z1 × z 2 ) × (z 3 × z ) = (z1z 2 z )z 3 − (z1z 2 z 3 )z ,

(01).

Ponhamos, agora, z 3 × z = u ; temos:

(z1 × z 2 ) × u = (z1.u)z 2 − (u.z 2 )z1 = (z1z 3 z )z 2 − (z 2 z 3 z )z1 ,

(02).

De (01) e (02) deduzimos, então:

(z1z 2 z 3 )z = (zz 2 z 3 )z1 + (zz 3z1 )z 2 + (zz1z 2 )z 3 . § 05.02 – Vetores complexos recíprocos. Bases. Para (z1z 2 z 3 ) ≠ 0 podemos escrever a expressão a que chegamos na forma:

z = [z.

z 2 × z3 z ×z z ×z ]z + [z. 3 1 ]z 2 + [z. 1 2 ]z 3 , (z1z 2 z 3 ) 1 (z1z 2 z 3 ) (z1z 2 z 3 )

(01).

Tal como na teoria dos vetores recíprocos reais, poremos:

z1 =

z 2 × z3 , (z1z 2 z 3 )

z2 =

z 3 × z1 (z1z 2 z 3 )

z3 =

z1 × z 2 , (z1z 2 z 3 )

(02),

sendo fácil mostrar que também poderíamos escrever:

z1 =

z 2 × z3 , (z1z 2 z 3 )

z2 =

z 3 × z1 (z1z 2 z 3 )

z3 =

z1 × z 2 , (z1z 2 z 3 )

(021).

Aos vetores z1, z2 e z3 definidos por (02) denominaremos o sistema de vetores complexos recíprocos do terceto dado z1, z2, z3. Pelas fórmulas (021) o terceto z1, z2, z3 e também recíproco de z1, z2 e z3. Por (01) vemos que o vetor z, qualquer que seja ele, pode ser decomposto segundo cada um dos vetores do terceto dado z1, z2, z3, ou z1, z2 e z3, cujo produto misto é diferente de zero. Mantêm-se, assim, para os vetores complexos os mesmos conceitos e as mesmas nomenclaturas utilizadas no caso dos vetores recíprocos reais, como: espaço complexo linear, vetores complexos de base, vetores complexos linearmente independentes etc.. A expressão (01) passa, então, a ser escrita na forma

z = (z.z1 )z1 + (z.z 2 )z 2 + (z.z 3 )z 3 = (z.z i )z i ,

(03),

no último membro de (03) estando definida uma somatória (em relação ao índice repetido) para i=1,2,3. Expressão como (05) será dita a decomposição cartesiana do complexo z na base vetorial complexa {z1,z2,z3}. A mesma nomenclatura se aplica à expressão

z = (z.z1 )z1 + (z.z 2 )z 2 + (z.z 3 )z 3 = (z.z i )z i ,

(031).

Poliádicos - Ruggeri

356

§ 05 – Vetores complexos recíprocos

Dois tercetos de vetores complexos recíprocos gozam da propriedade fundamental:

(z1z 2 z 3 )(z1z 2 z 3 ) = 1 ,

(04),

cuja demonstração é simples. Para calcular inteligentemente o produto misto (z1z 2 z 3 ) em função dos vetores reais de cada complexo, basta que se recorra às fórmulas já deduzidas nos parágrafos anteriores. A decomposição cartesiana (03) e a (031) expressam o complexo z nas bases complexas recíprocas {z1,z2,z3} e {z1z 2 z 3} , suas coordenadas sendo os números complexos z.zi e z.zi; é uma forma homogênea de representação. Mas pode ser vantajosa a representação do vetor z em bases reais recíprocas. Para tal, basta representar antecedentes e conseqüentes de cada vetor complexo em bases reais.

Exercício 1: Foi justificado na Introdução que os autovetores do diádico cíclico

(cc*,ϕ)= cc∗ + cosϕ(aa ∗ + bb ∗ ) + senϕ(ba ∗ − ab ∗ ) , são os vetores complexos,

1 1 (b + ia) e (b − ia) . 2 2

c, Comprove que seus recíprocos são:

c *,

1 ∗ 1 ∗ (b − ia∗) e (b + ia∗) . 2 2

§ 05.03 – Representações cartesianas diversas. Consideremos as bases reais recíprocas {e1,e2,e3} e {e1,e2,e3}. Podemos dar ao antecedente e ao conseqüentes do complexo zj=(aj,bj) as expressões cartesianas: a j = (a j.e k )e k = (a j.e k )e k e b j = (b j.e t )e t = (b j.e t )e t . Ponhamos: aj.ek=Akj, aj.ek=Akj etc. Então, aplicando propriedades das operações de multiplicação de vetor por numero, deduzimos as seguintes expressões para zj:

z j = (A kje k , B kje k ) = (A kj , B kj )e k , ou z j = (A t je t , B t je t ) = (A jt , B t j )e t ,

(01).

Nestas representações, evidentemente, as coordenadas dos vetores complexos são números complexos (ver o Apêndice I para rápida revisão). Todas as operações com vetores complexos poderão ser realizadas como se esses vetores fossem vetores reais representados cartesianamente, aplicando todos os conhecimentos adquiridos no Cap. I do Vol. I. Tem-se, por exemplo, para expressão do produto misto dos vetores do terceto, aplicando ((04)2,§04.03,I,Vol.I):

V,§05.03

§ 05 – Vetores complexos recíprocos

A11 + i B11 A12 + i B12 A13 + i B13 (z1z 2 z 3 ) = (e1e 2e 3 ) A 21 + i B21 A 22 + i B22 A 23 + i B23 , A 31 + i B31 A 32 + i B32 A 33 + i B33

357

(02).

Sabemos (da teoria dos determinantes) que quando uma coluna j (ou linha) de um determinante é uma soma de termos ele pode ser desdobrado numa soma de determinantes de mesma ordem, a coluna j de cada um desses determinantes sendo formada com uma parcela da soma e as demais colunas (ou linhas) com as mesmas colunas do determinante incial. Assim, se ∆ é o (número complexo) valor do determinante em (02), a sua primeira coluna desdobra-se, podendo-se escrever:

A11 A12 + i B12 A13 + i B13 B11 A12 + i B12 A13 + i B13 ∆ = A 21 A 22 + i B22 A 23 + i B23 + i B21 A 22 + i B22 A 23 + i B23 . A 31 A 32 + i B32 A 33 + i B33 B31 A 32 + i B32 A 33 + i B33 Aplicando novamente a propriedade para cada um dos determinantes formados encontrarse-á como resultado final duas somas de quatro determinantes, uma representando a parte real e outra a parte imaginaria de ∆. Dai em diante não será difícil detectar nas expressões obtidas os produtos mistos de (tercetos de) antecedentes e conseqüentes dos vetores complexos. Por este caminho comprova-se a validade de ((02) e (03), §03.03). Consideremos agora o terceto de complexos zj=(aj,bj) com (a1a2a3)≠0 e seja φ=bjaj o diádico a ele associado. Em relação às bases reais recíprocas {e1,e2,e3} e {e1,e2,e3} este pode ser escrito na forma φ=(bkek).(ejaj), ou seja, na forma do produto do diádico β =bkek pelo diádico α=ejaj. Dando-se a α e β representações cartesianas podemos escrever, por exemplo: φ = (Bkje k )(A tje t ) = Fkt e k e t , com Fkt = BkjA tj . Ao diádico φ está, pois, associada a matriz produto da matriz 3x3, B**, associada ao terceto bj, dispondo-se as coordenadas de bj na j-ésima linha, pela matriz 3x3, A**, associada ao terceto aj, dispondo-se as coordenadas de aj na j-ésima coluna. Três outras representações poderiam ser adotadas, como sabemos (§09,II, vol. I). Pela representação cartesiana do diádico associado a um terceto de complexos poderemos deduzir ou comprovar todas as propriedades de operações com vetores complexos. Mas poderá não ser nada fácil a demonstração de alguns resultados. Por exemplo: experimente o leitor comprovar (pelos métodos cartesianos) o Corol 1, Teor. 1, §03.03,A. Em outras palavras: qual a CNS para que seja nulo o determinante em (02) com a condição de que (a1a2a3)≠0? Este problema é um bom exemplo para valorizar os métodos vetoriais. Na prática com as representações cartesianas, evidentemente, aplicar-se-ão propriedades já demonstradas vetorialmente. *

Exercício: Os antecedentes aj e conseqüentes bj de um terceto de vetores complexos zj são dados por suas coordenadas contravariantes em relação a uma base arbitrária: a1=(1;0;0), a2=(0;0;1/S), a3=(0;R;0)

b1=(P;0;0), b2=(0;-R;1), b3=(0;0;1/S),

com R e S finitos e não nulos. Demonstre que os antecedentes são independentes e que z2 e z3 são paralelos (logo, é nulo o produto misto deles). Escreva a expressão cartesiana

V,§05.03

358

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

contravariante/covariante do diádico φ associado aos complexos e demonstre que esse diádico é um quadrantal. *

DIÁDICOS COMPLEXOS E TETRÁDICOS REAIS

§ 06 – ÁLGEBRA E GEOMETRIA DOS DIÁDICOS COMPLEXOS Idéias primárias § 06.01 – Definições.

Definição: (diádico complexo) Chama-se diádico complexo, Ζ, a todo par ordenado α e β de diádicos reais, e se representa por Ζ = (α, β) , gozando das seguintes propriedades: 1ª) – a que cria o diádico complexo nulo – diádico este que se representa pelo símbolo Ο (ômicron maiúsculo) - e que encampa o conjunto dos diádicos reais,

(α, Ο) = α , donde (Ο, Ο) = Ο (diádico complexo nulo),

(01);

2ª) – a que estipula um critério de igualdade, que escrevemos na forma

(α, β) = (α′, β′) se α = α′ e β = β′ ,

(011).

O primeiro diádico do par é denominado o antecedente ou a parte real do diádico complexo45; o segundo, conseqüente, ou a parte imaginaria. A 9 dc ordenados, Ζ1 = (α1 , β1 ) , Ζ 2 = (α 2 , β 2 ) ,..., Ζ 9 = (α 9 , β 9 ) , podemos associar dois tetrádicos escritos em forma eneanomial em relação a uma base diádica {ε1 , ε 2 , ..., ε 9 } arbitrariamente escolhida. Se, digamos, ambos tiverem por antecedentes os diádicos dessa base, um deles, 4α, terá por conseqüentes, ordenadamente, os diádicos α1, α2, ..., α9 da parte real de cada dc; o outro, 4β , os diádicos β 1, β 2, ..., β 9 da parte imaginária de cada um dos mesmos complexos. Inversamente, poderemos fazer a mesma associação. Assim, simbolicamente:

Ζ1 = (α1, β1), Ζ2 = (α2, β2), ..., Ζ9 = (α9, β9) 4α = εiαi  e {ε1, ε2, ..., ε9} arbitrária ⇔  4β = εiβi

(i =1,2, ..., 9),

(02).

45 Usaremos doravante as referências nc, vc e dc para número complexo, vetor complexo e diádico complexo, no singular ou no plural.

V,§06.01

§ 06.02 – Operações com um diádico complexo.

359

Um conjunto de 9 dc será dito k-planar, k-uniplanar, k-ortoplanar, k-linear, k-unilinear, k-ortolinear etc. conforme os diádicos reais a eles associados sejam, simultaneamente, kplanares, k-uniplanares, k-ortoplanares, k-lineares etc (§13.03,IV). Mas nada impede que o conjunto dos diádicos antecedentes de uma enúpla de dc’s seja completo e o outro, digamos, k-planar etc. Diremos que uma enúpla de dc’s é k-planar, k-uniplanar etc. se os conjuntos dos seus antecedentes e conseqüentes forem simultaneamente k-planares, kuniplanares etc. Dois dc particulares merecem destaque: um é o dc unidade real, (I,O); o outro é o dc unidade imaginária (O,I) cujas propriedades serão vistas à frente.

§ 06.02 – Operações com um diádico complexo. Vamos definir conceitos e operações para os dc como as definidas para os vc. Assim, vamos admitir o conceito de oposto e conjugado de dc e estabelecer as definições de adição de dc, multiplicação direta de vc por vc (que é uma díade complexa), multiplicação de dc por nc, multiplicação ponteada de dc por vc e por dc etc.. Vamos operar com essas expressões como se fossem polinômios considerando sempre que i2=-1, e a questão da comutatividade. Alem dessas operações comuns podemos definir também as operações simples e duplas com os dc (as ponteadas e as cruzadas, basicamente) para as quais se aplicarão propriedades conseqüentes às já estabelecidas para os diádicos reais (§07,II,vol. I). Particularmente, tem-se, em multiplicação ponteada simples: ∀ Ζ = (α, β ) :

Ζ . (Ι , Ο ) = Ζ .

Exercício 1: Consideremos o cíclico (§05.02.a,III)

(cc*,ϕ)= cc∗ + cosϕ(aa ∗ + bb ∗ ) + senϕ(ba ∗ − ab ∗ ) . Comprove a veracidade dos seguintes produtos ponteados desse cíclico pelos seus autovetores:

(cc*,ϕ).c=c, (cc*,ϕ).

1 1 (b + ia) =e-iφ (b + ia) , 2 2

(cc*,ϕ).

1 1 (b − ia) =eiφ (b − ia) . 2 2

Calcule também os produtos ponteados do transposto do cíclico pelos recíprocos dos seus autovetores. Então, mostre que o tetrádico cíclico e o de rotação podem ser escritos nas formas espectrais seguintes:

Poliádicos - Ruggeri

360

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

(cc*,ϕ)= cc∗ + e−iϕ

b + ia b∗ − ia∗ iϕ b − ia b∗ + ia∗ +e , 2 2 2 2

Ω(kˆ , ϕ) = kˆ kˆ + e− iϕ

ˆj + iî ˆj − iî iϕ ˆj − iî ˆj + iî +e . 2 2 2 2

Exercício 2: Todos os conceitos emitidos para os diádicos reais são estendidos aos diádicos complexos pois um diádico complexo é uma combinação linear de diádicos reais que tem por coeficientes 1 e i. Comprove, então, as seguintes fórmulas: 2.1 – Transposto e conjugado de um dc: Sendo (α, β) T = (α T , β T ) resulta: [(α, β).(α′, β′)]T = (α′, β′) T .(α, β) T . Se (α α,β β ) é simétrico, (α α,β β )=(α α,β β )T; se (α α,β β ) é anti-simétrico: (α α,β β )= - (α α,β β ) T. Sendo z vetor complexo, comprove que: T

(α α,β β ).z=z. (α α,β β )T para qualquer (α α,β β ) e z . ( α , β ) = (α , β ) . z . O diádico complexo (α α,β β ) igual ao transposto do seu conjugado é dito hermítico. Comprove também que um diádico complexo (α α,β β ) é hermítico se, para qualquer vetor complexo z, z . (α, β) . z é um número real . 2.2 – Dupla multiplicação cruzada de dc pelo diádico unidade:

(α, β) ×× (Ι , Ο ) = −(α, β) T + (α E , β E )Ι , donde (Ι , Ο ) ×× (Ι , Ο) = 2Ι ; 2.3 – Escalar, vetor e terceiro de um dc:

(α, β)E = (αE, βE) = (α, β) : (Ι, Ο) , donde (Ι , Ο) : (Ι , Ο ) = 3 ; (α, β)V = (αV, βV) . Então, a CNS para que um dc seja simétrico é que seu vetor seja nulo, (α, β)3 = (α 3 − α:β 2 ,−β 3 + β :α 2 ) . 2.4 – Segundo e principal de um dc:

(α, β) 2 = (α 2 − β 2 , α××β) ;

(α, β)P =

(Ι − β2 . αT) . α2 . (α3 − α : β2 ,−β3 + β : α2)

Escrevendo-se α=ajej e β =bjej, os vetores complexos associados a (α α,β β ) são os zj=(aj,bj) e o denominador na expressão de (α α,β β )P representa o produto misto desses três vc. Nesse caso, conforme ((01),§ 03.03,A), deverá ser (z1z2z3)≠0, ou seja (α α,β β )3≠0 para que exista (α α,β β ) P.

V,§06.02

§ 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo.

361

§ 06.03 – Elipsóide direcional de um diádico complexo. Consideremos o dc Ζ = (α, β) e expressemos os diádicos em forma trinomial em relação a uma base {e1,e2,e3}. Sendo, então, α=ajej e β =bjej, escreveremos, relembrando que está definida a operação de multiplicação direta de vetor complexo por vetor complexo: Ζ=(aj,bj)ej, ou, Ζ=zjej com zj=(aj,bj). Concluímos, assim, que o terceto de vc zj é o representante do dc Ζ em relação à referida base. Imaginemos agora os antecedentes e os conseqüentes do terceto zj aplicados num ponto O qualquer do espaço. A cada vc z corresponde uma elipse direcional. Como um elipsóide fica definido por 6 pontos quaisquer do espaço (três quaisquer deles não colineares), concluímos que as extremidades dos antecedentes e conseqüentes do terceto de vc estão contidas num mesmo elipsóide centrado em O, as elipses direcionais dos vc definindo seções diametrais desse elipsóide. Em resumo:

Em relação a uma base vetorial real {e1,e2,e3}, todo diádico complexo Ζ = (α, β) =(aj,bj)ej fica definido por um terceto de vc zj, com zj=(aj,bj), sendo possível associar-lhe um elipsóide que admita por seções diametrais as elipses direcionais dos vc que o definem.

Se uˆ j é o elíptico da elipse de zj, ao diádico ν = uˆ je j denominaremos o elíptico de Ζ. Se ν for completo não existirão vc paralelos. Se ν for planar, mas não linear, apenas dois vc serão paralelos (pois terão a mesma elipse direcional); e se ν for linear, os três vc serão paralelos (pois terão a mesma elipse direcional). Quando ν é incompleto o elipsóide de Ζ é indeterminado. Consideremos agora o dc Ζ’=e-iϕΖ. Tem-se, operando: Ζ’=(cos ϕ, -senϕ)(α α,β β )=(cos ϕ α+ senϕ β , -senϕ α+ cos ϕ β ), ou Ζ’=(ρ ρ(ϕ),ρ ρ(ϕ+π/2)). Se o parâmetro ϕ for variável de 0 a 2π rad e os três vetores antecedentes do diádico ρ(ϕ)=cosϕ α+senϕ β são aplicados em O, as extremidades desses vetores pertencem ao elipsóide de Ζ. De fato, se ρ=rjej é a redução trinomial ρ em relação à base adotada, temos: r(ϕ)jej=(cosϕ aj+senϕ bj)ej, donde, para j=1,2 e 3: r(ϕ)j =cosϕ aj+senϕ bj. Ora, a extremidade do vetor rj pertence à elipse direcional de zj; logo pertence ao elipsóide qualquer que seja j. Assim,

aos dc Ζ e Ζ’ estão associados o mesmo elipsóide.

Poliádicos - Ruggeri

362

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

Por analogia com a teoria dos vc podemos dizer que, estando o diádico ρ(ϕ) aplicado em O, a sua extremidade é um ponto do elipsóide de Ζ. Diremos ainda, por definição, que, em 2E2 – o espaço diádico 2E2 definido por α e β (§09,IV) - esses diádicos definem uma elipse E de que são semidiâmetros conjugados. O diádico ρ(ϕ) será, assim, raio diádico de E de argumento ϕ e o diádico ρ(ϕ+π/2) o raio diádico conjugado do primeiro; este estará contido no plano tangente ao elipsóide de Z conduzido pela extremidade de ρ(ϕ) e será tangente à elipse E.

§ 06.04 – Diádicos complexos paralelos e perpendiculares. É evidente que ao dc Ζ’’=Ke-iϕ Ζ estaria associado o elipsóide roto-homotético de razão K do elipsóide de Ζ.

Definição: (dc paralelos) Diádicos complexos com elipsóides associados roto-homotéticos serão ditos paralelos. Ora, Ke-iϕ é a representação de certo nc Z (de módulo K e argumento ϕ). Resulta, então, que o elipsóide associado ao dc Z"=Z Ζ é homotético de razão K do associado ao dc Z. Reciprocamente, se dois dc diferem por um fator escalar complexo, seus elipsóides são roto-homotéticos. Logo,

Teor.1: Uma CNS para que dois dc complexos sejam paralelos é eles admitam um número complexo por fator. * Os diádicos não paralelos, α e β , definidores do 2E2 já mencionado no § 06.03 e no qual constituem uma base, admitem um par recíproco, α* e β * pertencente ao mesmo 2E2 (§09.02,IV). Sejam Z=(α α,β β ) e Z*=(α α*,β β *) os diádicos complexos por eles definidos. Em 2E2 β *) serão ditas elipses polares as elipses definidas pelos pares recíprocos (α α,β β ) e (α α*,β recíprocas; estas são seções dos elipsóides direcionais Q e Q* associados aos dc. Seja ϖ o diádico ortogonal a α e β , e {α α*,β β *,ϖ ϖ*} o sistema recíproco do terceto 2 2 {α α,β β ,ϖ ϖ} que define um E3 que tem E2 por subespaço. As bases {ϖ ϖ,ρ ρ*(ϕ),ρ ρ*(ϕ+π/2)} e {ϖ ϖ*,α α*,β β *} do 2E3 são cíclicas (§14.04,IV); e o tetrádico cíclico 4

= ϖϖ + ρ (ϕ) ∗ α + ρ (ϕ+ π/2) ∗β

roda a segunda sobre a primeira, isto é: 4

 : ϖ* =ϖ ϖ,

 : α* = ρ * (ϕ )

 : β * = ρ*(ϕ+π/2)

ρ*(ϕ),ρ ρ*(ϕ+π/2)) é rodada da elipse direcional do dc Então, no 2E2, a elipse direcional do dc (ρ * * (α α ,β β ).

V,§06.04

§ 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria esférica

363

Se H é um número real, o tetrádico H4 transforma por dupla multiplicação ponteada o dc Z*=(α α*,β β *) no dc (ρ ρ*(ϕ),ρ ρ*(ϕ+π/2)). Conseqüentemente, a elipse de Z* é rodada 4 * * ρ (ϕ),ρ ρ (ϕ+π/2)), seus raios diádicos conjugados correspondentes tendo por H  na elipse de (ρ sido ampliados H vezes. Em outras palavras: o dc Z' definido pelos diádicos α'=H4:α*=Hρ ρ*(ϕ) e β '=H4:β *=Hρ ρ*(ϕ+π/2) é roto-homotético de Z*. Por analogia com os vc diremos geometricamente, por

Definição: (dc ortogonais) Dois dc, no 2E2 que definem, serão ditos ortogonais se a elipse associada a um deles for roto-hometética da polar recíproca da elipse associada ao outro. Algebricamente, vemos que se dois dc Z e Z' são ortogonais, o duplo produto ponteado deles é igual a zero:

Z : Z'=0. § 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria Esférica. É geometricamente inteligível que um dos vc que compõem um dc possa ser circular, caso em o plano de sua circunferência direcional é uma seção diametral do elipsóide que lhe é associado. Um elipsóide qualquer pode ter até duas seções diametrais circulares de mesmo raio. Diádicos complexos que, reduzidos a uma forma trinomial, têm vetores complexos motivos circulares de mesmo raio são ditos diádicos complexos esféricos. Justifica-se a nomenclatura pelo fato das extremidades dos três antecedentes e conseqüentes dos vc que constituem o dc serem pontos de uma mesma superfície esférica de certo raio R. Existem, entretanto, dois graus de liberdade, uma vêz que 4 pontos bastam para definir-se uma superfície esférica. Isto significa que entre os seis vetores que definem o dc (ou a sua superfície esférica) existem duas relações; por exemplo: dois dos vetores complexos são paralelos, o que significa que os dois pares de vetores que os definem são coplanares (logo, são rodados por um nc cíclico) *

Exercício: Comprovar que o diádico complexo que, em redução trinomial arbitrária, tem por vc's motivos

z 1 = (aˆ 1 ,

2 2 2 3 2 1 (aˆ + aˆ 3 )) , z 2 = (aˆ 2 , (aˆ + aˆ 1 )) e z 3 = (aˆ 3 , (aˆ + aˆ 2 )) 2 2 2

é um diádico esférico completo (o produto misto (z1z2z3) é diferente de zero). *

Poliádicos - Ruggeri

364

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

Os vetores reais componentes dos vc de um dc esférico ρ devem ter o mesmo módulo, digamos R (as elipses direcionais dos vc devem ser circunferências). A superfície esférica de ρ é, pois, homotética com a superfície esférica do dc ρˆ cujos vc tenham por vetores componentes os unitários dos vetores reais que definem ρ. A circunferência direcional do vc zj=(aj,bj) de ρ=zjej e a sua correspondente de ρˆ = (aˆ j , bˆ j ) são igualmente orientadas, tendo, pois, os mesmo elíptico kˆ j = aˆ j × bˆ j .

Triângulo esférico As três circunferências direcionais de ρˆ se cortam duas a duas em três pares de pontos diametralmente opostos da superfície esférica de raio unitário: (A, A'), (B,B') e (C,C'). Estes pontos definem os triângulos esféricos46 de vértices A, B, C e A', B', C' e, conseqüentemente os triedros (com uma face curvilínea) de vértice O e arestas retilíneas OA (oposta de OA'), OB etc. Os triedros OABC e OA'B'C' são diferentemente orientados. Os arcos de circunferência máxima: AB (da circunferência de z3), BC (da circunferência de z1) e CA (da circunferência de z2) são as arestas curvilíneas do tetraedro OABC ou os lados c, b e a, respectivamente, do triângulo ABC (Figura 06.01). Como o raio da superfície é igual a um, os lados do triângulo (os arcos) são representados pelos respectivos valores dos ângulos centrais em radianos. É costume denominar os ângulos formados pelas arestas (retilíneas) de um triedro de faces desse triedro. Logo, as faces do triedro OABC são os lados do triângulo esférico ABC. É fácil estender os conceitos de bissetriz, mediana e altura de um triângulo retilíneo para o triângulo esférico, bastando considerar conceitos análogos relativos aos triedros. Assim, planos bissetores, medianos e planos altura do triedro OABC interceptam a superfície esférica segundo arcos de circunferência máxima que são bissetrizes, medianas e alturas do triângulo esférico ABC. A seminormal a uma face do triedro OABC é a perpendicular OA' a OBC que fura a superfície esférica em A', estando do mesmo lado que a aresta OA do triedro OABC. Da mesma forma são determinados os outros dois pontos, B' e C', relativos às faces CA e AB, respectivamente. Os três pontos A', B' e C' definem um novo triângulo esférico A'B'C'. Se se procedessem as mesmas operações com o A'B'C' ficaria univocamente determinado ABC; por isto ABC e A'B'C' são ditos suplementares (um do outro). Justifica-se o nome porque os ângulos diedros de um triedro são suplementares dos ângulos diedros correspondentes das faces do seu suplementar. Resulta dessas considerações as seguintes relações para os triângulos suplementares: A+a'=B+b'=C+c'+A'+a=B'+b=C'+c=π, 46 Triângulo esférico é a figura definida pelos pontos de interseção de três arcos de circunferência máxima de uma superfície esférica.

V,§06.05

§ 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria esférica

365

de onde deduzimos imediatamente: 2p'=a'+b'+c'=2π-(A+B+C-π). Como sabemos da Geometria: "a soma das faces de um triedro é menor que quatro retos" (ou 2π radianos) concluímos, logo, que "a soma dos lados de um triângulo esférico – seu perímetro, por definição – é menor que 2π radianos. Então, da última relação podemos concluir que A+B+C-π=ε>0. ou seja:

a soma dos ângulos intercetos de um triângulo esférico é maior que π radianos, diferentemente do triângulo retilíneo. O número ε é denominado excesso esférico do triângulo. Vamos supor, sem perda de generalidade que os elípticos das circunferências direcionais estejam todos apontando para o exterior do tetraedro OABC. Assim,

aˆ = −

1 ˆ2 ˆ3 k ×k , sen A

bˆ = −

1 ˆ 3 ˆ1 k ×k , sen B

cˆ = −

1 ˆ1 ˆ 2 k ×k , sen C

(01).

Como os ângulos entre os unitários exteriores são suplementares dos ângulos diedros A, B e C das faces do triedro,

kˆ 2 . kˆ 3 = −cosA ,

kˆ 3 . kˆ 1 = −cosB ,

kˆ 1. kˆ 2 = −cosC < 0 ,

(02),

aˆ . bˆ = cos c ,

(03).

sendo, ainda:

bˆ . cˆ = cos a ,

cˆ . aˆ = cos b ,

O produto misto (aˆ bˆ cˆ ) = V é igual ao volume do paralelepípedo construído sobre os unitários fatores, sendo

bˆ × cˆ = −sena kˆ 1 ,

cˆ × aˆ = −senb kˆ 2

aˆ × bˆ = −senc kˆ 3 ,

(04).

Logo, denotando o sistema recíproco de { aˆ , bˆ , cˆ } por {a, b, c} , vem:

a=−

sen a ˆ 1 k , V

b=−

sen b ˆ 2 k e V

c=−

sen c ˆ 3 k , V

(05).

Poliádicos - Ruggeri

366

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

Relações dos senos O produto vetorial (aˆ × bˆ ) × (aˆ × cˆ ) pode ser calculado de dois modos diferentes. Tem-se, considerando as (04) e em seguida as (02):

(aˆ × bˆ ) × (aˆ × cˆ ) = −sen c sen b kˆ 3 × k 2 = −sen b sen c sen A aˆ . Tem-se ainda, aplicando a fórmula do duplo produto vetorial:

(aˆ × bˆ ) × (aˆ × cˆ ) = (aˆ bˆ cˆ )aˆ = V aˆ Logo:

sen a sen b sen c sen a . = V sen A Efetuando-se cálculos análogos deduziríamos mais duas relações com o mesmo primeiro membro. Assim,

sen a sen b sen c = = , sen A sen B sen C

(06),

relações conhecidas como "relações dos senos".

Relações entre três lados e um ângulo Seja B1 a projeção ortogonal de B sobre OA e C1 a de C. Tem-se: OB = OB1 + B1 B e OC = OC1 + C1C , igualdades que multiplicadas escalartmente membro a membro dão:

bˆ . cˆ = OB1 . OC1 + B1 B . C1C . Observando-se que OB1=cos c, OC1=cos b, B1B=sen c, C1C=sen b, que o ângulo entre B1B e C1C é igual a A, e lembrando a primeira das fórmulas (03), resulta:

cos a = cos c cos b + sen c sen b cos A , havendo mais duas relações análogas que podem ser obtidas por caminho idêntico. Tem-se, assim, as as relações seguintes entre três lados de um triângulo e um ângulo interceto:

V,§06.05

§ 06.05 – Diádicos complexos esféricos e Trigonometria esférica

367

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A  cos b = cos c cos a + sen c sen a cos B , cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C 

(07).

Relação entre cinco elementos: três lados e dois ângulos Expressando cartesianamente o vetor kˆ 1 em relação à base {a,b,c} escrevemos:

kˆ 1 = (kˆ 1. a)aˆ + (kˆ 1. b)bˆ + (kˆ 1. c)cˆ . Substituindo-se nesta igualdade os produtos entre parênteses por consideração das (05) e em seguida aplicando as (02), vem:

sen a sen b sen c kˆ 1 = aˆ − cos C bˆ − cos Bcˆ . V V V O produto escalar de ambos os membros dessa igualdade por cˆ e depois por bˆ , a consideração das (03) e a observação de que o primeiro membro se anula, dão:

sen a cos b = sen c cos B + sen b cos a cos C . e

sen a cos c = sen b cos C + sen c cos a cos B . Tais fórmulas expressam relações entre três lados e dois ângulos do triângulo esférico, sendo possivel obter-se, ainda mais duas de cada tipo. Em resumo:

sen a cos b = sen c cos B + sen b cos a cos C  sen b cos a = sen c cos A + sen a cos b cos C , sen a cos c = sen b cos C + sen c cos a cos B 

(08),

sen c cos a = sen b cos A + sen a cos c cos B  sen b cos c = sen a cos C + sen c cos b cos A , sen c cos b = sen a cos B + sen b cos c cos A 

(08)1.

Relações entre um lado e três ângulos Desenvolvendo o produto escalar membro a membro das duas primeiras fórmulas de (01), considerando a terceira de (03) e utilizando fórmula conhecida da álgebra dos vetores, vem:

Poliádicos - Ruggeri

§ 06 – Álgebra e geometria dos diádicos complexos

aˆ .bˆ = cos c =

1 1 kˆ 2 .kˆ 3 (kˆ 2 × kˆ 3 ).(kˆ 3 × kˆ 1 ) = senAsen B senAsen B kˆ 3 .kˆ 3

368

kˆ 2 .kˆ 1 , kˆ 3 .kˆ 1

ou seja, lembrando as (02): cosc senA senB = cosAcosB + cosC , isto é:

cosc senA senB − cosAcosB = cosC . Similarmente poderiam ser deduzidas mais duas fórmulas análogas. Temos, assim, o grupo das fórmulas que expressam relação entre um lado do triângulo esférico e e três ângulos intercetos: cosA = −cosB cosC + senB senC cosa  cosB = −cosA cosC + senA senC cosb , (09). cosC = −cosA cosB + senA senB cosc 

Quadrilátero esférico As quatro circunferências concêntricas relativas a quatro vetores complexos circulares definidos por vetores unitários se interceptam duas a duas (Figura 06.02) segundo quatro diâmetros de uma superfície esférica (de raio unitário), estabelecendo dois conjuntos de quatro pontos diametralmente opostos: A, B, C, D e A', B', C' e D'. Cada conjunto define um quadrilátero esférico de que são os vértices. Os arcos de circunferência máxima compreendidos entre dois vértices de um conjunto são os lados do quadrilátero correspondente e os ângulos definidos pelas tangentes aos arcos, os seus ângulos. Os lados AC e BD são lados opostos, bem como BC e AD; AB e CD são as diagonais. Os ângulos são também os ângulos diedros dos planos que contêm as circunferências. Sejam OA = aˆ , OB = bˆ , etc. os vetores unitários posicionais dos vértices de ABCD em relação ao centro O da superfície. Tem-se, conforme sabemos:

(aˆ × bˆ ).(cˆ × dˆ ) =

aˆ .cˆ aˆ .dˆ = (aˆ .cˆ )(bˆ .dˆ ) − (bˆ .cˆ )(aˆ .dˆ ) , bˆ .cˆ bˆ .dˆ

(10).

Vamos dar sentido aos unitários das normais kˆ 1 e kˆ 4 aos planos das diagonais AB e CD de modo que o ângulo α entre esses vetores seja o ângulo diedro dos planos das respectivas circunferências. Sejam, então

aˆ × bˆ = sen AB kˆ 1 e cˆ × dˆ = sen CD kˆ 4 .

V,§06.05

§ 07 – Poliádicos complexos

369

Os produtos escalares no segundo membro de (10) são os co-senos dos arcos (ou ângulos centrais correspondentes). Então:

sen AB sen CD cos α = cos AC cosBD − cos BC cos AD , igualdade que traduz um teorema devido a Gauss:

O produto dos co-senos de dois lados opostos de um quadrilátero esférico menos o produto dos co-senos dos outros dois lados opostos é igual ao produto dos senos das diagonais pelo co-seno do ângulo entre elas.

§07 – POLIÁDICOS COMPLEXOS Os H-ádicos complexos podem ser definidos da mesma forma como os nc, os vc e os dc. Podem, também, ser reduzidos a formas trinomiais de que antecedentes sejam (H-1)ádicos, ou a formas trinomiais etc. conforme as reduções a serem impostas aos seus antecedentes e conseqüentes (ver §03.03,IV). Para os pc são definidas, ainda, todas as operações já definidas para os poliádicos reais e as propriedades dessas operações são conseqüência daquelas operações com os poliádicos reais. Particularmente interessante é a representação vetorial em que um H-adico tem 3H-1 vetores antecedentes. Como cada H-ádico do par de H-ádicos definidores do H-ádico complexo tem 3H-1 vetores antecedentes uma representação mista desse pc é, por exemplo, HΖ

= (a hi j k ... p , b hi j k ... p ) e h e i e j ... e p 14243 ,

(01),

(H -1 fatores)

em que, entre parênteses, estão representados os 3H-1 vetores complexos associados ao HZ em relação à base vetorial {e1,e2,e3} e sua recíproca. O espaço dos poliádicos complexos (pc), entretanto, tem uma estrutura mais complexa que a dos nc, dos vc e dos dc. A cada um dos vc em (01) está associada uma elipse direcional que poderia ser imaginada traçada no espaço dos vc. O espaço dos nc é de dimensão 30=1 ; o dos vc é de dimensão 31=3 e o dos dc, 32=9. Ao nc está associado um ponto; ao vc está associada uma elipse direcional e ao dc um elipsóide. O que estaria associado ao H-ádico complexo? Notemos que a figura associada a cada um desses elementos complexos tem a dimensão da valência do poliádico correspondente: ponto, correspondente à valência zero do nc, linha (elipse), correspondente à valência um do vetor e superfície (elipsóide), correspondente à valência dois do diádico. Por indução, vemos que um “espaço de dimensão H” corresponderá à valência H do pc cujo espaço tem dimensão 3H. Assim, se os vetores antecedentes e conseqüentes de cada vc que define HZ forem aplicados num mesmo ponto desse espaço, as suas extremidades pertencerão a um espaço de dimensão H.

Poliádicos - Ruggeri

370

§08 – Autodiádicos dos tetrádicos cíclico e rotação

De modo inteiramente análogo aos casos anteriores poderemos definir o H-ádico direcional do H-ádico complexo em referência; será o H-ádico Hν

= uˆ hi j k ... p e h e i e j ... e p 14243 (H-1 fatores)

em que os vetores unitários antecedentes são os elípticos da elipse direcional de cada um dos vc que definem o pc. Aos triádicos, por exemplo, estarão associados, um espaço 3D e se uˆ hi são os 3H-1 unitários das elipses direcionais de seus vc antecedentes (na representação do tipo (01)), então o triádico 3 ν = uˆ hi e h e i será o triádico direcional do triádico complexo em referência.

§08 – AUTODIÁDICOS DOS TETRÁDICOS CÍCLICO E ROTAÇÃO Os tetrádicos cíclicos foram definidos no §14.04,IV e apresentam interesse em muitas questões da física-matemática. Vimos (§17.02,IV) que o cálculo dos autodiádicos do cíclico está resumido na resolução do sistema homogêneo de equações

([ ]∗∗∗∗ − X[4 Ι]∗∗).{P∗∗} = {0} ,

(01),

cujo determinante, nulo, dá origem à equação característica do tetrádico. Já comprovamos (§18.02,IV) que dentre os nove autovalores do tetrádico cíclico (ou do tetrádico de rotação), o escalar +1 é triplo, os complexos eiφ e e-iφ são duplos e os complexos e2iφ e e-2iφ, simples. Agora estamos aptos para tratar da determinação dos autodiádicos do tetrádico cíclico; e o faremos por inspeção inteligente do sistema (01) pondo a matriz do primeiro membro sob a forma ((08),§14.04,IV), a saber:

 cos 2 ϕ − X sen ϕ cos ϕ 0        sen 2 ϕ 0   sen ϕ cos ϕ      0 0 0      − sen ϕ cos ϕ − sen 2 ϕ 0      2   cos ϕ − X sen ϕ cos ϕ 0     0 0 0    0 0 0        0 0 0         cos ϕ − X sen ϕ 0  

V,§08

 − sen ϕ cos ϕ cos 2 ϕ − X 0      2 sen ϕ cos ϕ 0   − sen ϕ    0 0 0    sen 2 ϕ − sen ϕ cos ϕ 0      2  − sen ϕ cos ϕ cos ϕ − X 0     0 0 0   0 0  0     0 0 0      − sen ϕ cos ϕ − X 0 

0   0  0 0   0  0

0 cos ϕ − X     0 sen ϕ      0 0  0 − sen ϕ     0 cos ϕ − X     0 0   0 0 0          0 0 0       0 0 1 − X   

 P 11 P 1 2 P 13   0 0 0          :  P 21 P 22 P 23  =  0 0 0  ,     P 3 P 3 P 3  0 0 0    2 3  1

§08 – Autodiádicos dos tetrádicos cíclico e rotação

371

Que o diádico cc* (correspondente a P11=0=P12=...=P32 e P33=1) é autodiádico relativo ao autovalor triplo X(3)=1 é evidente, uma vez que a substituição de X por 1 no sistema torna-o uma identidade. Após a substituição de X por 1 no sistema, considerando que cos2φ-1=-sen2φ, vê-se que todas as submatrizes passam a ter traço nulo, o que significa que o diádico aa*+bb* (correspondente a P11=1=P22 e P12=0=P13=...) é autodiádico. Observando-se ainda que os elementos da primeira linha e segunda coluna, e os da segunda linha e primeira coluna de todas as submatrizes são números iguais, vê-se que o diádico ab*-ba* (correspondente a P12=1=P21 e P11=0=P13=...) também é um autodiádico. Esses resultados mostram que 1 é autovalor regular. Vamos agora substituir X por eiφ no sistema, observando que cosφ-eiφ=-isenφ. Nesse caso vemos que o diádico complexo cb*–ica*=c(b*–ia*) é autodiádico (correspondente a P31=-i, P32=1, P11=0=P12=...), bem como é autodiádico o complexo (b-ia)c* correspondente a P13=-i, P23=1, P11=0=P12=...; esses resultados mostram ainda que eiφ é autovalor regular. De modo análogo, substituindo-se X por e-iφ e observando-se que cosφ-e-iφ=isenφ, pode ser verificado que cb*+ica*=c(b*+ia*) é autodiádico (correspondente a P31=i, P32=1, P11=0=P12=...), bem como (b+ia)c* correspondente a P13=i, P23=1, P11=0=P12=...; esses resultados mostram que e-iφ também é autovalor regular. Finalmente, vamos substituir X por e2iφ e observar que cos2φ-e2iφ=sen2φ-isen2φ. Então vamos concluir que –aa*-iab*-iba*+bb*=(b-ia)(b*-ia*) é autodiádico correspondente a P11=-1=-P22, P12=-i=P21 e P13=0=P21=.... Da mesma forma pode ser comprovado que (b+ia)(b*+ia*) é autodiádico. Em resumo, os autodiádicos do tetrádico cíclico são:

cc*, aa*+bb* e ab*-ba*, o primeiro linear e os demais planares, relativos ao autovalor triplo 1; c(b*–ia*) e (b-ia)c*, lineares, relativos ao autovalor duplo eiφ; c(b*+ia*) e (b+ia)c*, lineares, correspondentes ao autovalor duplo e-iφ; (b-ia)(b*-ia*), planar, correspondente ao autovalor simples e2iφ; (b+ia)(b*+ia*), planar, correspondente ao autovalor simples e-2iφ, todos os autovalores sendo regulares. A escrita dos autodiádicos do tetrádico de rotação é imediata e pode ser obtida como caso particular do cíclico porque o primeiro é definido em função dos vetores da base ortonormada auto-recíproca {ˆi, ˆj, kˆ} . São eles:

kˆ kˆ , îˆj − ˆjî , îî + ˆjˆj , o primeiro é unilinear e os demais uniplanares, correspondente ao autovalor 1;

Poliádicos - Ruggeri

372

§ 09

- Redução normal do tetrádico completo. Decomposição polar.

kˆ (ˆj − iî) e (ˆj − iî)kˆ = [kˆ (ˆj − iî)]T , planares, com planos interceptando-se segundo kˆ , correspondentes ao autovalor duplo eiφ;

kˆ (ˆj + iî) e (ˆj + iî)kˆ = [kˆ (ˆj + iî)]T , planares, com planos interceptando-se segundo kˆ , correspondentes ao autovalor duplo e-iφ;

(ˆj − iî)(ˆj − iî) e (ˆj + iî)(ˆj + iî) , ambos uniplanares, com plano ortogonal a kˆ , correspondentes aos autovalores simples e2iφ e e-2iφ, respectivamente. * Exercício 1: Se ψ representa um autodiádico qualquer, calcule os produtos

:ψ = Ο e

Ω : ψ = Ο dos tetrádicos cíclico e de rotação, dados por ((06)1 e (06)2, §14.04), pelos correspondentes autodiádicos, comprovando a lei ((01),§17.02) para H=2. * Vamos observar inicialmente que os infinitos diádicos paralelos a dado autodiádico são todos autodiádicos também. Podemos, então, escolher aquele que tenha módulo igual a 1, mas isso nem sempre é prático. No caso do tetrádico de rotação poderíamos adotar como autodiádicos os seguintes, todos unitários47 e nem todos ortogonais entre si: 1°) - os diádicos reais: kˆ kˆ ,

1 ˆˆ ˆ ˆ 1 ˆˆ ˆˆ (ij − ji) , (i i + jj) . 2 2

Esses diádicos são auto-recíprocos no subespaço que definem. São ortogonais entre si, e ortogonais a todos os demais autodiádicos; 2°) - os diádicos complexos:

1 ˆˆ ˆ 1 ˆ ˆˆ k(j − ii) e seu transposto (j − ii)k ; 2 2 1 ˆˆ ˆ 1 ˆ ˆˆ k(j + ii) e seu transposto (j + ii)k . 2 2

Esses dois pares de diádicos são recíprocos no subespaço que definem e são ortogonais a todos os demais autodiádicos. Vale notar que kˆ é autovetor do diádico de rotação (que gera o tetrádico), bem como os vetores complexos

(ˆj − iˆi) / 2 e (ˆj + iˆi) / 2 ;

1 ˆ ˆ ˆ ˆ (j − ii)(j − ii) 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ (j + ii)(j + ii) . 2

Esses são recíprocos entre si no espaço que definem, são ortogonais a todos os demais, são ambos unilineares e os vetores que os definem são autovetores do diádico de rotação.

47 Convém lembrar que o módulo de um diádico complexo é obtido pelo duplo produto ponteado dele pelo seu conjugado.

V,§08

§ 09.01

– Teoremas fundamentais. Definições.

373

§ 09 - REDUÇÃO NORMAL DO TETRÁDICO COMPLETO. §09.01 - Teoremas fundamentais. Definições. Consideremos a transformação linear regida pelo tetrádico completo, qualquer, 4ψ, usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente do 2E8-esférico de raio unitário, definido pelo diádico unitário posicional ρˆ de origem no centro O da hipersuperfície, por hipótese coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante 4ψ, e ρ’ é o seu vetor-posição de origem O, escrevemos:

ρ′ = 4ψ : ρ , ou, ρˆ = 4ψ−1 : ρ′ donde

ρ′ : (4 ψ : ψT)−1 : ρ′ = 1 ,

(01).

Tal é a equação do 2E8-elipsóide transformado do 2E8-esférico esférico. Se π) é o 2E8 tangente ao 2E8-esférico em P, então o seu transformado, π'), é o 2E8 tangente ao 2E8-elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse 2E8 teria mais um ponto comum (ao menos), Q, com o 2E8-elipsóide. Como a transformação direta e a inversa são unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a π) e ao 2E8-esférico, o que é impossível (o 2E8-esférico e π) só tem P por ponto comum). Então, a todo 2E8-cúbico circunscrito ao 2E8-esférico corresponde um e um único E8-oblíquo circunscrito ao 2E8-elipsóide; e às nove direções ortogonais que ligam os pontos de concurso das diagonais dos 2E7 opostos (regulares) do 2E8-cúbico, correspondem nove direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais dos 2 E7 opostos do 2E8; e vice-versa. 2

Logo:

ao 2E8-paralelotopo reto, único, que circunscreve o 2E8-elipsóide, corresponde um e um único 2E8-cúbico circunscrito ao 2E8-esférico. Sejam εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 os unitários posicionais dos centros dos nove 2E8 quaisquer do 2

E8-cúbico circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } seja direto.

Se, então, µ1′ , µ′2, ..., µ′9 são os diádicos posição (co-iniciais em O e eneaortogonais) dos centros das nove 2E7 correspondentes do 2E8-paralelotopo circunscrito ao elipsóide, podemos escrever: µ1′ =4 ψ : εˆ1 , µ′2 =4 ψ : εˆ 2 ,... . Então:

ψ = µ1′εˆ1 + µ′2εˆ 2 + ... + µ′9εˆ 9 ,

(02),

é uma forma eneanomial de 4ψ. Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas.

Poliádicos - Ruggeri

374

- Redução normal do tetrádico completo. Decomposição polar.

§ 09

Temos, assim, demonstrado o seguinte

Teor. 1: É sempre possível reduzir um tetrádico completo a uma forma eneanomial de que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e os antecedentes (conseqüentes) um conjunto eneaortogonal. Sendo:

ψ9 = (µ1′µ′2...µ′9)(εˆ1εˆ 2...εˆ 9) = (µ1′µ′2...µ′9)

vemos que { µ1′ , µ′2, ..., µ′9 } é nono positivo ou negativo conforme 4ψ9 seja positivo ou negativo. Associemos às direções dos nove semi-eixos do 2E8-elipsóide os unitários εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 correspondentes aos unitários εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 , tais que { εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 } seja direto; então:

∀ 4ψ, com 4ψ9 ≠ 0 :

ψ = L1 εˆ1′ εˆ1 + L2 εˆ′2 εˆ 2 + ... + L9 εˆ′9 εˆ 9 ,

(03),

onde L1, L2,...,L9 são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semieixos do 2E8 elipsóide. Resulta, então, demonstrado o seguinte

Corol. 1: É sempre possível reduzir um tetrádico completo a uma soma de nove tétrades cujos antecedentes e conseqüentes sejam duas nônuplas ortonormadas diretas de diádicos e cujos coeficientes sejam números finitos e não nulos. Definição: (forma e redução normal) A forma (03) de redução do tetrádico completo 4ψ, em que { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } e { εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 } são duas nônuplas diretas ortonormadas e L1, L2, ... L9 são números finitos não nulos, denomina-se forma normal do completo 4ψ. Redução normal é o conjunto das operações através das quais se reduz um tetrádico completo à sua forma normal. Sendo, ainda 4

ψ 9 = L1 L2 ...L9 (εˆ 1′ εˆ ′2 ... εˆ ′9 ) = L1 L2 ...L9 ,

vemos que: 1°) - Se for 4ψ9 > 0, dois casos podem acontecer: ou existe um número ímpar de coeficientes positivos, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, apenas L1>0,

V,§09.01

§ 09.01

- Teoremas fundamentais. Definições.

375

escrevemos:

ψ = + | L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | (−εˆ′2 )εˆ 2 + ...+ | L9 | (− εˆ′9) εˆ 9 ,

caso em que o nono { εˆ1′ , - εˆ′2 , ..., - εˆ′9 } ainda é direto48; no segundo caso, escrevemos:

ψ = +(| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | εˆ′2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ 9) .

2°) - se for 4ψ9<0, dois outros casos podem se dar: ou existe um número ímpar de coeficientes negativos, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L1<0, escrevemos:

ψ = −[| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | (−εˆ′2 )εˆ 2 + ...+ | L9 | (− εˆ′9) εˆ 9] ,

sendo ainda direto o nono dos antecedentes; e no segundo caso,

ψ = −(| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | εˆ′2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ 9) .

Temos assim demonstrado o seguinte

Teor. 2: Todo tetrádico completo pode ser reduzido a uma soma de nove tétrades de que antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:

∀4 ψ, com 4ψ9 ≠ 0 :

ψ = ± (| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | εˆ′2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ 9) ,

(04).

Deve ser observado que na forma normal de 4ψ, (03), os módulos dos coeficientes da forma - valores dos semi-eixos do 2E8-elipsóide transformado do 2E8-esférico de raio unitário pelo tetrádico 4ψ: 4ψT - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2, M2 e N2 do tetrádico 4ψ : 4ψT (ou do 4ψT : 4ψ), correspondentes ao sistema direto dos autodiádicos unitários εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 (ou dos εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 ), não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do tetrádico 4ψ. Com efeito, pois

ψ : 4ψT = (| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | εˆ′2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ 9) : (| L1 | εˆ1 εˆ1′ + | L2 | εˆ 2 εˆ′2 + ...+ | L9 | εˆ 9 εˆ′9 ) ,

ou, operando e simplificando:

ψ : 4ψT = | L1 |2 εˆ1′ εˆ1′+ | L2 |2 εˆ′2 εˆ′2 + ...+ | L9 |2 εˆ′9 εˆ′9 , Procedendo analogamente, podemos escrever:

(05),

ψ : 4ψ = | L1 |2 εˆ1 εˆ1+ | L2 |2 εˆ 2 εˆ 2 + ...+ | L9 |2 εˆ 9 εˆ 9 ,

(06).

4 T

48 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.

Poliádicos - Ruggeri

376

§ 09

- Redução normal do tetrádico completo. Decomposição polar.

Então:

(4 ψ : 4ψT)−1 =

1 1 1 εˆ′ εˆ′ + 2 2 εˆ′2 εˆ′2 + ... + 9 2 εˆ′9 εˆ′9 , 1 2 1 1 |L | |L | |L |

(07),

Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos tetrádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).

§09.02 - Marcha de cálculo da redução normal. Uma marcha de cálculo da redução normal do tetrádico completo não difere em quase nada da apresentada para dos diádicos (§07.02,Cap.III,Vol.I,T.I); e não a repetiremos.

§09.03 - Tetrádico reto. Deformação pura. Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo tetrádico completo pode ser reduzido à forma dita normal,

∀ 4ψ, com 4ψ9 ≠ 0 :

ψ = L1 εˆ1′ εˆ1 + L2 εˆ′2 εˆ 2 + ... + L9 εˆ′9 εˆ 9 ,

(01),

onde { εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 } e { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } são dois nonos ortonormados diretos e L1, L2, ..., L9 são números reais. Vimos também que:

ψ : 4 ψT =

1 1 1 εˆ′ εˆ′ + εˆ′ εˆ′ + ... + 9 2 εˆ′9 εˆ′9 , | L1 |2 1 1 | L2 |2 2 2 |L |

ψ : 4ψ = | L1 |2 εˆ1 εˆ1+ | L2 |2 εˆ 2 εˆ 2 + ...+ | L9 |2 εˆ 9 εˆ 9 ,

4 T

(02), (021),

Os tetrádicos 4ψ : 4ψT e 4ψT : 4ψ, distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos (iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de 4ψ) e seus autodiádicos unitários são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de 4ψ. Estenderemos essas características dos tetrádicos 4ψ : 4ψT e 4ψT : 4ψ para tetrádicos em geral com a seguinte

Definição: (tetrádico reto) Denominam-se tetrádicos retos os tetrádicos da forma

∆ = L1 εˆ1 εˆ1 + L2 εˆ 2 εˆ 2 + ... + L9 εˆ 9 εˆ 9 com L1, L2, ... L9>0,

(03),

e { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } nono ortonormado direto. Resultam logo os seguintes teoremas:

Teor. 1: O duplo produto ponteado de qualquer tetrádico pelo seu transposto é tetrádico reto.

V,§ 09.02

§ 10 - Decomposição polar do tetrádico completo.

377

Teor. 2: A CNS para que um tetrádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os autovalores todos positivos. Com efeito, se um tetrádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores (L1,L2, ..., L9) são todos positivos. Reciprocamente, se um tetrádico é simétrico e tem todos os seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } é o nono ortonormado direto formado pelos seus autodiádicos. Os diádicos retos são casos particulares dos tetrádicos tônicos. (§17.03). A descrição das TL’s por eles regidas é idêntica à dos diádicos tônicos (§04.01.B,III,vol.I) com a particularidade de que, por serem L1,L2, ..., L9>0, as coordenadas homônimas (na base dos autodiádicos unitários) dos diádicos transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas) se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções L1:1, L2:1, ...,L9:1. Assim, se ν = V1εˆ1 + V2εˆ 2 + ... + V9εˆ 9 e ν′ = V′1εˆ1 + V′2εˆ 2 + ... + V′9εˆ 9 e ν′ = 4∆ : ν , então

V′1 L1 V′2 L2 V′9 L9 = , = , ... 9 = . 1 2 1 V 1 1 V V §09.04 - Tetrádico reto e deformação de um corpo. Precisamente o fato de serem os autovalores do tetrádico reto, números todos positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico de deformação no espaço dos diádicos. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um paralelelotopo de conteúdo positivo (§16.05,II,vol.I) antes da transformação seria negativo após a transformação; então, no problema que estivéssemos estudando, esse volume teria se anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível. Essas considerações físicas sugerem a seguinte

Definição: (deformação pura) A transformação regida pelo tetrádico reto é denominada deformação pura; L1,L2, ..., L9 são os valores principais da deformação e as direções de εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 , as direções principais da deformação.

§ 10 - DECOMPOSIÇÃO POLAR DO TETRÁDICO COMPLETO Se ψ é um tetrádico completo qualquer e

ψ = L1 εˆ1′ εˆ1 + L2 εˆ′2 εˆ 2 + ... + L9 εˆ′9 εˆ 9

é a sua redução normal (§08.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):

ψ = ± (| L1 | εˆ1′ εˆ1+ | L2 | εˆ′2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ 9)

(01),

Poliádicos - Ruggeri

378

§ 10 - Decomposição polar do tetrádico completo.

onde { εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 } e { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } são dois nonos ortonormados diretos. De (01) podemos escrever, qualquer que seja o completo ψ:

ψ = ± (| L1 | εˆ1′ εˆ1′+ | L2 | εˆ′2 εˆ′2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ′9) : (εˆ1′ εˆ1 + εˆ′2 εˆ 2 + ... + εˆ′0 εˆ 9) ,

(02),

ψ = ±(εˆ1′ εˆ1 + εˆ′2 εˆ 2 + ... + εˆ′0 εˆ 9) : (| L1 | εˆ1′ εˆ1′ + | L2 | εˆ′2 εˆ′2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ′9) ,

(021).

ou 4

Ora, o tetrádico

Ω = εˆ1′ εˆ1 + εˆ′2 εˆ 2 + ... + εˆ′0 εˆ 9

- o mesmo fator nos segundos

membros de (02) e (021) - é um tetrádico de rotação (§14.04,IV) e opera, pois, uma rotação; ele transforma um dos nonos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto { εˆ1′ , εˆ′2 , ..., εˆ′9 } é rodado de { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } por 4Ω e que { εˆ1 , εˆ 2 , ..., εˆ 9 } é rodado de { εˆ1′ , T −1 εˆ′2 , ..., εˆ′9 } por Ω = Ω . O diádico semi-tangente de 4Ω, ξ,

- que determina a rotação

((13),§14.04,IV) – é

ξ=

Ω VΩ V ϕ = tg2 kˆ kˆ , 2 2 (1 + Ω E)

(03).

Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos e representam uma deformação pura (§08.03). Em (02), as direções principais da deformação são as de $i ' , $j' e k$ ' , enquanto que em (021) essas direções são as de $i , $j e k$ ; em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos. Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de direções no espaço. Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.

Teor. 1: Todo tetrádico completo é redutível ao produto de um tetrádico de rotação por um tetrádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo ou negativo. Denotando por 4∆′ e 4∆ os tetrádicos retos em (02) e em (021), respectivamente, escrevemos, então:

ψ = 4Ω : 4∆ = 4∆′ : 4Ω ,

Corol. 1: O tetrádico 4∆ é ortogonalmente similar a 4∆' mediante 4ΩT.

V,§ 10

(04).

§ 10 - Decomposição polar do tetrádico completo

379

Com efeito, pré-multiplicado escalar e duplamente o segundo e o terceiro membro de (04) por ΩT, deduzimos:

∆ = 4ΩT : 4∆′ : 4Ω ,

(041),

o que, conforme (§14.02), demonstra a proposição.

Teor. 2: Todo tetrádico completo, 4ψ, pode ser decomposto nos produtos (04), onde 4 Ω é um tetrádico de rotação e 4∆ e 4∆’ diádicos retos de autovalores iguais e positivos e autodiádicos unitários rodados por 4Ω. Definição: (decomposição polar ou multiplicativa) A decomposição de 4ψ em que 4Ω aparece como pré-fator é denominada decomposição direita de 4ψ; a outra, é denominada decomposição esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições polares (ou multiplicativas) do tetrádico. A decomposição polar de um tetrádico - de importante utilidade em Física - pode ser assim interpretada geometricamente:

A transformação regida pelo tetrádico completo, 4ψ, reduzido à forma normal 4 ψ = L1 εˆ1′ εˆ1 + L2 εˆ′2 εˆ 2 + ... + L9 εˆ′9 εˆ 9 é equivalente à deformação pura regida pelo tetrádico reto

∆ =| L1 | εˆ1 εˆ1+ | L2 | εˆ 2 εˆ 2 + ...+ | L9 | εˆ 9 εˆ 9 ,

precedida da rotação (rígida) regida pelo tetrádico rotor

Ω = εˆ1′ εˆ1 + εˆ′2 εˆ 2 + ... + εˆ′0 εˆ 9 ;

ou à rotação regida por 4Ω seguida da deformação pura regida pelo tetrádico reto

∆′ =| L1 | εˆ1′ εˆ1′ + | L2 | εˆ′2 εˆ′2 + ...+ | L9 | εˆ′9 εˆ′9 ,

ambas seguidas ou não de inversão de direções. Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço diádico) regida por um tetrádico consiste no produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo diádico semitangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções. A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem; entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a deformação pura

Poliádicos - Ruggeri

380

§ 11

– Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos.

seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do tetrádico de rotação, usado como pósfator.

§ 11 – TETRÁDICOS DEFINIDOS E SEMIDEFINIDOS, POSITIVOS E NEGATIVOS Teor. 1: Se ∆ é um tetrádico reto, então: ∀ρ ≠ Ο :

ρ : 4∆ : ρ > 0 ,

(01).

De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:

ρ : 4∆ : ρ = L1(ρ : εˆ1)2 + L2(ρ : εˆ 2)2 + ... + L9(ρ : εˆ 9)2 > 0 uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são não negativas e não nulas simultaneamente. Em geral, tetrádicos 4φ para os quais, para qualquer ρ≠Ο Ο, ρ : 4φ : ρ>0, são ditos tetrádicos definidos positivos; é o caso dos tetrádicos retos. Os tetrádicos 4φ para os quais, para qualquer ρ, ρ : 4φ : ρ≥0, são ditos tetrádicos Ο, ρ : 4φ : ρ=0, mas pode também ser semi-definidos positivos. Vale observar que, para ρ=Ο 4 ρ : φ : ρ=0 para algum ρ≠Ο Ο; é o caso, por exemplo, dos tetrádicos retos gerados de um E2. Se o oposto de um tetrádico é um tetrádico definido positivo (semidefinido positivo), ele é dito definido negativo (semidefinido negativo). Seja 4φ um tetrádico simétrico semi-definido positivo – logo, com autovalores (reais) Xi (i=1,2,.., 9) e autodiádicos εˆ i unitários e ortogonais entre si (Teor. 5 e 6, §18.01,IV) – que podemos escrever, então, na forma tônica 4φ = Xiεˆ iεˆ i . Sendo:

∀ρ,

ρ : 4φ : ρ = Xi(ρ : εˆ i)2 > 0 ,

segue-se que X1≥0, X2≥0 e X3≥0. Existe, pois, o tetrádico, denotado por 4φ1/2, tal que

4 1/ 2

= Xi εˆ i εˆ i ,

(02),

evidentemente simétrico semi-definido positivo. O quadrado de φ , isto é, φ : φ é igual a 4φ. O tetrádico 4φ1/2 é único pois se existisse um segundo, digamos 4ψ (≠ 4φ1/2), tal que 4ψ2 = 4φ, então, sendo µˆ um autodiádico de 4ψ relativo ao autovalor A≥0, 4 1/2

V,§ 11

4 1/2

§ 11

– Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos. ψ : µˆ = Aµˆ ,

381

•

ψ 2 : µˆ = A2 µˆ =4 φ : µˆ .

Assim, o autodiádico µˆ de 4ψ relativo ao autovalor A é autodiádico de 4φ relativo ao autovalor A2. Portanto, cada autovalor de 4ψ é a raiz quadrada positiva de um autovalor de 4 φ; e 4ψ = 4φ1/2, isto é, 4φ1/2 é único. Dado o tetrádico φ = X i eˆ i eˆ i , simétrico semidefinido positivo, o diádico φ1/2, dado por (05) e, também, simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva. Se um tetrádico 4φ = Xiεˆ iεˆ i , simétrico semidefinido positivo, é completo (nenhum dos seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada, dada por (05), que admitirá inversa, isto é:

φ=4 φT, 4φ9 ≠ 0

⇒

φ = Xi εˆ i εˆ i,

4 1/ 2

= Xi εˆ i εˆ i e

4 −1 / 2

1 εˆ i εˆ i , Xi

(03).

Os tetrádicos 4ψ: 4ψT e 4ψT: 4ψ são simétricos semidefinidos positivos; e se 4ψ9≠0, são simétricos definidos positivos.

Exercício: (adaptado de Chadwick49) Seja dado um tetrádico 4φ= 4φT (simétrico). Então, para qualquer tetrádico 4ψ = 4ψT ≠Ο Ο (simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o tetrádico 4S= 4ST (simétrico) tais, que 4

ψ=A 4φ+ 4S, com

4 4 • S

= 0 (4φ é ortogonal a 4S),

(04).

Provar, ainda, que se 4φ1= 4φ1T≠Ο Ο, 4φ2= 4φ2T≠Ο Ο e se 4µ é ortogonal a 4φ1 (4µ : 4φ1=0) para 4 4 4 4 4 4 todo µ ortogonal a φ2 ( µ • φ2 = 0) , então φ1 é paralelo a 4φ2. Solução: Podemos reduzir 4φ à sua forma tônica: 4φ = Xiεˆ iεˆ i em que (i=1, 2, ... , 9) e os Xi não são simultaneamente nulos. Logo: 4 2&

φ = (Xi)2εˆ iεˆ i

e, portanto, (4φ2)E=(X1)2+(X2)2+...+(X9)2>0. Sendo 4φ≠Ο Ο, &

(4 φ2)E = 4φ •4 4φ = ||4 φ ||≠ 0 . A recíproca é verdadeira. 49 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)

Poliádicos - Ruggeri

382

§ 11

– Tetrádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos.

Então, para qualquer 4ψ= 4ψT, o número A = (4 φ

4 4 4 2& • φ) /( φ )E

está univocamente

determinado, bem como o tetrádico simétrico S= ψ-A φ. Da primeira igualdade, porém, deduzimos: 4

(4 φ

4 4 • ψ)

= A (4 φ

4 4 • φ)

, ou seja, ,

Agora, considerando a segunda igualdade, deduzimos: Esses resultados comprovam (04).

4 4 • S

=0.

= 0 (4φ é ortogonal a 4S).

Se em (04) fizermos 4ψ= 4φ1= 4φ1T e 4φ= 4φ2= 4φ2T, escreveremos: 4φ1=A 4φ2+ 4S, 4 φ2 •4 4S = 0 . Então, 4φ1 •4 4S = 0 porque 4φ1 •4 4µ = 0 . Isto significa que

com 4

4 4 4 • ( ψ − A φ)

4 4 • S

V,§11

= || S || = 0 , ou seja, 4S= 4Ο e, pois, 4φ1=A 4φ2 (4φ1 é paralelo a 4φ2).

§I.02 – Adição e multiplicação por número real..

383

APÊNDICES

APÊNDICE I

SOBRE OS NÚMEROS COMPLEXOS. O conhecimento da teoria básica dos números complexos é um pré-requisito para o entendimento deste capítulo.

§I.01 – Definição, notação. Chama-se número complexo, Z, a todo par ordenado A e B de números reais, e se representa por Z=(A,B), gozando das seguintes propriedades: 1) – a que cria o número complexo nulo – número esse que se representa pelo símbolo Ο (ômicron maiúsculo) – e que encampa o conjunto dos números reais: (A,0)=A, donde (0,0)=Ο (número complexo nulo),

(01);

2) – a que estipula um critério de igualdade entre dois complexos Z=(A,B) e Z’=(A’,B’), que escrevemos na forma: (A,B)=(A’,B’) se A=A’ e B=B’,

(011).

Havendo N números complexos a considerar, usaremos também a notação indicial escrevendo: Zj=(Aj,Bj) para j=1,2,...,N. Dentre os números complexos não nulos existem dois números especiais: (1,0)=1, chamado unidade real; e (0,1), chamado unidade imaginária e que se representa por i.

§I.02 – Adição e multiplicação por número real. Chama-se soma dos complexos Z=(A,B) e Z’=(A’,B’), e se indica por Z+Z’, o complexo (A+A’,B+B’). A operação de adição de complexos tem por fim a determinação da soma deles. Esta operação é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição de reais. Chama-se produto de um complexo Z=(A,B) pelo número real M, e se indica por MZ, ou ZM, ao complexo (MA,MB). A operação de multiplicação de complexo por número real tem por fim a determinação do produto deles. Esta operação é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição de reais e de complexos.

Poliádicos - Ruggeri

384

Apêndice I - Sobre os números complexos.

§I.03 – Forma binomial. Considerando as operações anteriores podemos dar a um complexo Z=(A,B) a forma binomial seguinte: Z=A+iB, pois: Z=(A,B)=(A+0,0+B)=(A,0)+(B×0-0×1,B×1+0×0)=(A,0)+(B,0)(0,1)=A+Bi. A forma binomial sugere denominar A a parte real do complexo; e B a parte imaginária. Quando conveniente escreveremos: Zre=A e Zim=B.

§I,04 – Conjugado de um complexo. Chama-se conjugado de um complexo Z=A+iB, e se indica por Z*, o complexo Z =A-iB. Resultam, logo: Ο*=Ο e Z**=Z. *

§I,05 – Multiplicação de complexos. Norma e módulo. Chama-se produto dos complexos Z1=A1+iB1 e Z2=A2+iB2, e indica-se (como ordinariamente) por Z1Z2, ao complexo obtido multiplicando-se os binômios como habitualmente, mas considerando que i2=ii=-1: Z1Z2=(A1+iB1) (A2+iB2)=(A1A2-B1B2)+i(A1B2+B1A2), destacando-se: (Z1Z2)re= A1A2-B1B2

(Z1Z2)im= A1B2+B1A2.

O produto de qualquer complexo pelo seu conjugado é denominado norma desse complexo, e se indica por ||Z||, sendo: ||Z||=ZZ*=Z*Z=A2+B2>0. A raiz quadrada positiva da norma de um complexo é denominada o módulo desse complexo, escrevendo-se: |Z|= || Z || . Um complexo Z é se, e somente se, ||Z||=0.

§I,06 – Divisão de complexos. Inverso. Chama-se quociente do complexo Z1=A1+iB1 pelo complexo Z2=(A2+iB2), e se Z indica como habitualmente por Z1/Z2 ou 1 , ao complexo: Z2

Z1 A + iB1 (A 1 A 2 + B1 B 2 ) + i((B1 A 2 − A 1 B 2 ) . = 1 = Z 2 A 2 + iB 2 (A 2 ) 2 + (B 2 ) 2 Resulta da definição que:

Z1 Z1 Z 2 ∗ Z 1 Z 2 ∗ = = Z 2 Z 2 Z 2 ∗ || Z 2 ||

O complexo Z-1 é denominado o inverso de Z.

V,Ap.I,§06

( Z) −1 ≡ Z −1 =

1 Z∗ A − iB . = = Z ZZ ∗ (A) 2 + (B) 2

§I,07 – Diagrama de Argand de um complexo.

385

Exercícios: Para quaisquer complexos Z, Z1, Z2: 1) - Zre=(Z+Z*)/2 e Zim=(Z-Z*)/2i; 2) - |Z1Z2|=|Z1||Z2|; 3) - |Z1/Z2|=|Z1|/|Z2| se, e apenas se, Z2≠Ο. *

§I,07 – Diagrama de Argand de um complexo. Tal como a cada ponto de um eixo se pode associar um número real, a cada ponto de um plano se pode associar um número complexo; e reciprocamente. De fato, para isso, basta utilizar-se um par de eixos cartesianos ortogonais de origem O, Ox e Oy. Dado o complexo Z=A+iB podemos marcar em representação gráfica o ponto Z de coordenadas (A,B) a que se denomina imagem do complexo Z (Figura 1.1.a); inversamente a cada ponto do plano podemos fazer corresponder um número complexo. Então, ρ=OZ é o módulo de Z. Sendo θ o ângulo que OZ faz com o eixo Ox, considerado positivo quando medido no sentido trigonométrico, tem-se tgθ=B/A e

ρ = A 2 + B 2 . O eixo Ox costuma ser denominado eixo real; e Oy eixo imaginário. De outro lado, poderíamos dar a Z a imagem representada pelo vetor OZ = z no mesmo diagrama anterior; e escreveríamos, então: z = Aˆi + Bˆj , desde que ˆi fosse um vetor unitário associado ao eixo Ox e ˆj associado a OY. A figura obtida com as representações de um número complexo no plano cartesiano costuma ser denominada: diagrama de Argand do complexo (Figura I.1.a). Vários complexos podem ser representados num mesmo diagrama. O vetor soma de dois complexos obtém-se, assim, como o vetor soma dos vetores reais associados a cada complexo no diagrama de Argand (Figura I.1.b). É simples, também, representar no diagrama de Argand um complexo e seu conjugado (Figura I.1.c)

Figuras 1.1 – Diagramas de Argand de um complexo * Exercício: Mostrar que |Z1+Z2|<|Z1|+|Z2| e generalizar. *

Poliádicos - Ruggeri

386

Apêndice I - Sobre os números complexos.

§I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo. Notando que A=ρcosθ e B=ρsenθ, podemos escrever: Z=ρ(cosθ+isenθ)

Z*=ρ(cosθ-isenθ).

Considerando os desenvolvimentos em série de MacLaurin das funções seno, co-seno e eiθ, quais sejam: cosθ=1-θ2/2!+θ4/4!-θ6/6!+..., senθ=θ-θ3/3!+θ5/5!-θ7/7!+... e eiθ=1+iθ-θ2/2!-iθ3/3!+ θ4/4!+iθ5/5!-... deduzimos facilmente a fórmula de Euler: eiθ=cosθ+isenθ. É evidente, então, trocando-se θ por -θ, que e-iθ=cosθ-isenθ. Assim, Z=A+iB=ρeiθ

Z=A-iB=ρe-iθ.

A representação ρeiθ de A é denominada representação exponencial ou polar; θ é o argumento ou ângulo de Z. * Exercícios: 1) – Para qualquer θ: |eiθ|=1; 2) – Se θ é muito pequeno (da ordem de no máximo 3π/180 rad), eiθ=1+iθ; 3) – Para qualquer θ: cosθ=(eiθ+e-iθ)/2 e senθ=(eiθ-e-iθ)/2i. * Podemos interpretar graficamente a exponencial eiθ da representação polar de Z como um operador (de rotação) que gira, no sentido trigonométrico, um segmento de comprimento igual ao módulo ρ de Z, este disposto, antes da rotação, paralelamente ao eixo real, de um ângulo igual ao argumento θ de Z (Figura I.2). Então, o vetor z representativo de Z, com origem em O’, é a rotação do vetor real ρ ˆi realizada pelo operador eiθ. Uma das vantagens da adoção da representação polar está na determinação (gráfica e algébrica) dos produtos e quocientes de números complexos. Tem-se, para o produto: Z1Z2=ρ1(cosθ1+isenθ1) ρ2(cosθ2+isenθ2)= =ρ1ρ2 (cosθ1cosθ2--senθ1isenθ2)+i(cosθ1senθ2--senθ1cosθ2), ou, lembrando fórmulas trigonométricas clássicas: Z1Z2=ρ1ρ2 [(cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)]= ρ1ρ2 e i( θ1 + θ 2 ) . Similarmente deduzimos, ara o quociente:

V,Ap., §I,08

§I,08 – Forma polar ou exponencial de um complexo.

387

Z1 ρ (cos θ1 + isenθ1 ) ρ1 (cos θ1 + isenθ1 ) (cos θ1 − isenθ1 ) = 1 = = Z 2 ρ 2 (cos θ 2 + isenθ 2 ) ρ 2 (cos θ 2 + isenθ 2 ) (cos θ 2 − isenθ 2 ) =

ρ1 [(cos θ1 cos θ 2 + senθ1senθ 2 ) + i(senθ1 cos θ 2 − senθ 2 cos θ 2 )] = ρ2 =

ρ1 ρ [(cos(θ1 − θ 2 ) + i(sen (θ1 − θ 2 )] = 1 e i (θ1 −θ2 ) . ρ2 ρ2

Em resumo: se Z1 = ρ1 e iθ1 e Z 2 = ρ 2 e iθ2 , então: Z1 Z 2 = ρ1ρ 2 e i( θ1 + θ2 ) e

Z1 ρ1 i (θ1 − θ2 ) = e . Z2 ρ2

Decorre então que se Z=ρeiθ, tem-se: Zeiϕ=ρei(θ+ϕ). Assim, o vetor z ′ = OZ′ , que representa Zeiϕ no diagrama de Argand, pode ser obtido pela rotação do vetor z (que representa Z) de um ângulo ϕ no sentido positivo se ϕ>0. (Figura I.3 ), ou no sentido negativo se ϕ<0 (Figura I.4).

A interpretação geométrica do produto de dois complexos é análoga, pois poderíamos escrever: Z1Z 2 = ρ1 (eiθ1 Z 2 ) , expressão que mostra podermos girar o vetor representativo de Z2 do ângulo (θ1) de Z1 (e obtemos, assim, o vetor relativo ao complexo dentro dos parênteses), e depois simplesmente ampliar de ρ1 o módulo desse vetor girado. A interpretação geométrica do quociente pode ser feita de modo inteiramente análogo à do produto. Podemos escrever:

Z1 1 = ( Z1 e −iθ2 ) , Z2 ρ2 ou seja: para obter-se o quociente podemos girar o vetor z1 representativo de Z1, de θ2 no sentido negativo, e depois reduzir de ρ2 o modulo desse vetor rodado. *

Poliádicos - Ruggeri

388

Apêndice I – Sobre os números complexos

Para o que nos interessa nos parágrafos seguintes esses conhecimentos sobre os números complexos são suficientes. Mas o leitor deve estar ciente de que operações como potenciação, radiciação e logaritmação são, ainda, definidas para os números complexos, todas passíveis de interpretação geométrica.

V,Ap. I,§08

389

Ap. II – Oscilações mecânicas.

APÊNDICE II OSCILAÇÕES MECÂNICAS (noções). Oscilação, ou movimento oscilatório (ou vibratório) é todo movimento, ou mudança de uma variável de estado (uma grandeza) de um sistema físico, que se repete com o tempo. As oscilações ditas mecânicas são os movimentos pendulares, movimento dos êmbolos dos motores de combustão interna, as vibrações das cordas, das hastes e das placas, a vibração dos terrenos e poucos outros. No eletromagnetismo aparecem as oscilações eletromagnéticas. As oscilações são ditas periódicas quando o(s) valor(es) da(s) grandeza(s) física(s) que oscila(m) se repete ao cabo de intervalos de tempo iguais. Alguns movimentos periódicos serão estudados a seguir. §II.01 – Movimento circular uniforme. Um ponto apresenta um movimento circular quando sua trajetória é uma circunferência. Seja (C) uma dessas circunferências com centro O e raio R. Para descrever-se analiticamente esse movimento é necessário fixar, em primeiro lugar, o sentido do movimento sobre a circunferência. Para isso adotamos dois semi-eixos cartesianos Ox e Oy positivos, arbitrários, mas ortogonais, de origem em O, ao semi-eixo Ox estando associado o vetor unitário ˆi e ao Oy o unitário ˆj (Figura II.1). Suponhamos que o sentido do movimento seja aquele que leva Ox a coincidir com Oy quando rodado no sentido trigonométrico (ou anti-horário) para quem observa o plano do semi-espaço para o qual aponte ˆi × ˆj mas no sentido oposto ao desse vetor. Este sentido de movimento é dito positivo; o sentido contrário é dito negativo. A posição do ponto P (que gira num sentido qualquer) ndado instante poderá ser fixada pelo ângulo ϕ - dito abscissa angular instantânea de P (Figura II.2) – que o raio vetor de P (vetor de origem O e extremidade P, módulo R) faz (nesse instante) com o semi-eixo Ox (lado origem dos ângulos). A abscissa angular de um ponto é dita positiva quando o eixo Ox deve ser girado no sentido positivo para coincidir (em direção e sentido) com o raio vetor do ponto; é dita negativa em caso contrário. Estando o ponto em movimento, o ponto de início da marcação dos tempos poderá ser um ponto P0 cuja abscissa angular ϕ0 seja conhecida; esse instante é dito instante inicial. ) Se dt é o tempo necessário para que, a partir de P, o ponto descreva o arco dP , no ) sentido positivo, a velocidade escalar instantânea do ponto em P é v= dP /dt, ou seja, v=Rdϕ/dt (para ϕ medido em rad). A grandeza dϕ/dt que descreve o modo de variação do

V,Ap. II,§01

390

Apêndice II – Oscilações mecânicas

ângulo central com o tempo é denominada velocidade angular instantânea do ponto (ou do movimento) e é denotada por ω. Assim, ω=dϕ/dt=v/R. Quando ω é constante (ou v é constante) o movimento é dito circular uniforme, sendo, então, ϕ=ωt+ϕ0, pois sendo dϕ=ωdt, tem-se, por integração: ϕ=ωt+C, valendo C=ϕ0 pata t=0. O ângulo ϕ é dito a fase instantânea do movimento, e ϕ0 a fase inicial.

§II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme. Vamos examinar o movimento da projeção Q do ponto P do movimento circular do item anterior sobre o eixo Ox (como bem poderia ser sobre o eixo Oy). É fisicamente evidente que ao movimento circular de P fica associado um movimento oscilatório de Q em torno da posição central O. Quando o movimento circular é uniforme, o oscilatório associado denomina-se movimento oscilatório harmônico. Como Q seja a projeção instantânea de P sobre Ox, a abscissa instantânea ou elongação de Q em relação a O é: x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0),

(01).

A elongação terá, então, um valor máximo igual a R; este é dito a amplitude da oscilação. A lei (01) é dita a resposta da partícula às causas (geralmente forças e deslocamentos) que a põe em oscilação. As causas iniciais apenas originam a oscilação livre da partícula; causas seguintes (forças externas ao movimento iniciado) acarretam a oscilação forçada da partícula. A expressão da fase, ϕ=ωt+ϕ0, mostra que a cada unidade de tempo passada corresponde (numericamente) um acréscimo de ω radianos à fase, pois para t=t+1 seria ω’=ω(t+1)+ϕ0, isto é ω’=ϕ+ωx1. Então, quanto tempo T será necessário para que a fase seja aumentada de 2π rad? Tem-se, tal como anteriormente: ϕ+2π=ω(t+T)+ϕ0=ωT+ϕ, donde T=2π/ω. T representa, então, o tempo que o ponto P (em movimento circular uniforme), depois de ter passado por certa posição em certo sentido, demora para retornar a essa mesma posição e no mesmo sentido. O mesmo conceito pode ser aplicado ao movimento oscilatório de Q: T representa o tempo que Q (em oscilação), depois de ter passado por certa posição em certo sentido, demora para retornar a essa mesma posição, chegando no mesmo sentido. Esse tempo é denominado o período do movimento (circular, ou do oscilatório). Ora, se decorrem T segundos para que P (circulando), ou o ponto Q (oscilando), dê uma revolução completa, em um segundo P dará ν=1/T revoluções e Q, ν oscilações. De fato, da proporção simples: T (segundos) _______ 1 (revolução) 1 (segundo) _______ ν (revoluções), deduzimos: Tν=1, ou ν=1/T=ω/2π. O número ν (de revoluções) é a freqüência angular do movimento circular, conceito este que é estendido apenas com o nome de freqüência (ou, às vezes, freqüência natural) do movimento oscilatório. A velocidade angular ω de um movimento circular costuma ser estendida aos movimentos oscilatórios com o nome de

V,Ap.II, §02

§II.02 – Um movimento oscilatório associado ao circular uniforme.

391

freqüência cíclica. As fases do movimento oscilatório são indicadas no diagrama da Figura II.3, dito “diagrama de fases”, o eixo das ordenadas estando graduado em v/ω. Vemos pela lei: x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0) que, na oscilação, a elongação é anulada quando a fase instantânea (φ) é igual a um número ímpar de π/2 rad, isto é, ϕ=(2k+1)π/2 com k=0,±1,±2, ...; então, ωt=(2k+1)π/2-ϕ0. Para a elongação máxima (x=xmax=R), a fase instantânea ϕ=ωt+ϕ0 deve ser igual a um número inteiro de π rad, ϕ=k’π, com k’=0,±1,±2, ..., ou seja, para ωt=k’π-ϕ0. O gráfico indicativo da variação da elongação (ou deslocamento) de Q com o tempo, por unidade de R, é dito “diagrama de deslocamentos” do movimento oscilatório e está indicado na Figura II.5. A velocidade instantânea de Q é v=dx/dt=-ωRsen(ωt+ϕ0), o sinal negativo mostrando que, para aquele instante, o ponto pode estar se deslocando em sentido contrário ao do eixo Ox. O gráfico indicativo da variação de -v/ω de Q com o tempo (|v/R|≤1) é dito “diagrama das velocidades” do movimento oscilatório e está indicado na Figura II.4. A aceleração é: a=d2x/dt2=-ω2x, ou &x& + ω 2 x = 0 , o sinal negativo indicando que, em qualquer instante, a aceleração de Q tende sempre a frenar o movimento (como se O exercesse atração sobre Q). Vê-se, assim, que x=Rcos(ωt+ϕ0), envolvendo duas constantes (ω e ϕ0), é a solução geral da equação diferencial &x& + ω 2 x = 0 . Diagrama de Fases

Diagrama de velocidades −vêw

0.5

t 10

-0.5

-1

Figura II.3

Figuras II.4

Diagrama de deslocamentos

Figura II.5

Poliádicos - Ruggeri

392

Apêndice II – Oscilações mecânicas

§II.03 – Movimentos oscilatórios harmônicos livres (MOH’s). No movimento circular uniforme estudado no item anterior não foi feita nenhuma referência ao esforço que pusesse o ponto P (ou Q) em movimento. Vamos agora discutir dois outros tipos de movimento oscilatório cujas causas estarão bem evidentes; são: o vibratório harmônico e o pendular harmônico.

Movimento vibratório harmônico Consideremos a situação ideal em que uma massa m de centro O esteja presa entre duas molas retilíneas, mecânica e geometricamente idênticas. Fixemos as extremidades dessas molas e associemos ao seu eixo um semi-eixo com origem em O e sentido positivo da esquerda para a direita. Vamos supor que esse conjunto esteja apoiado sobre uma mesa e que seja desprezível o atrito (estático ou dinâmico) entre a massa e a mesa, bem como da mola com a mesa (Figura II.6). Desloquemos a massa para o lado positivo do semi-eixo dos x e seja x o deslocamento correspondente a uma força f aplicada à massa. Supomos que as duas molas, uma comprimida e a outra tracionada, reajam elasticamente a esse esforço aplicando sobre a massa uma força que seja proporcional ao deslocamento por esta sofrido. As forças (internas) de reação das molas são, então, escritas na forma f=-kx, k sendo uma constante característica da mola, o sinal negativo indicando que a força atua em sentido contrário ao sentido positivo do eixo Ox. O valor máximo de f se dará para x=R (Figura II.6). Sob a ação de f a massa entrará em movimento de retorno à sua posição inicial, ou posição de equilíbrio, com uma velocidade crescente desde zero. Ao passar pela posição inicial (de equilíbrio) a força f terá se anulado, mas a reserva de velocidade da massa, -v, faz com que ela ultrapasse a posição de equilíbrio, movimentando-se até o ponto (de abscissa –x) oposto ao ponto de partida. Isto, evidentemente, só acontecerá se pudermos desprezar (em uma situação ideal) a resistência que o ar (força externa) possa exercer sobre o movimento da massa (outras forças externas, como as de atrito com a mesa já não existem). É evidente que, agora, por estar a mola da esquerda comprimida e a da direita tracionada, todo o movimento é reiniciado da esquerda para a direita. Tal movimento é dito vibratório harmônico.

Movimento pendular harmônico Um segundo exemplo de MOH livre é o pendular plano, realizado por uma massa m fixa à extremidade P de um fio (ou de uma haste) que tem fixa a outra extremidade C (tudo livre da resistência do ar). Supõe-se que a massa do fio (ou da haste) seja desprezível em relação a m. Este pêndulo também é chamado de pêndulo matemático (Figura II.7).

V,Ap.II, §03

§II.04 – Energia no MOH livre.

393

A posição vertical do fio estendido, CO (O≡P), é uma posição de equilíbrio (tal como a da massa m no movimento vibratório no ponto O). A trajetória de m devida a qualquer deslocamento é, a rigor, um arco de circunferência. Mas para um comprimento adequado de fio e um deslocamento inicial suficientemente pequeno de m, o ângulo central PCO de vértice em C poderá ser suficientemente pequeno para que se possa confundir, sem perigo de precisão, o arco OP com a corda OP. Isto significa que, para pequenos deslocamentos angulares da massa m (da ordem de π/180 rad para um lado e outro de CO), tudo se passa como se m descreve-se um movimento vibratório em torno de O. A semelhança deste movimento com o vibratório anteriormente descrito é flagrante. Mas aqui a força f é a componente do peso relativo à massa m segundo a tangente ao arco de circunferência na posição genérica P, uma força praticamente horizontal (Figura II.6). A outra componente desse peso, na direção do fio, apenas traciona o fio e tem módulo praticamente igual à força peso da massa. A força f, embora não seja de natureza elástica, tem comportamento semelhante por depender linearmente da amplitude; forças desse tipo são ditas quasielásticas. Forças elásticas e quasielásticas atuantes sobre pontos materiais geram movimentos oscilatórios. Sendo x a elongação de P relativa a uma abscissa angular (instantânea) ϕ (Figura II.6), tem-se, sendo k uma constante (da mola no caso do movimento vibratório): f=-kx, com k>0. Mas, também, f=ma, em que a é a aceleração de m. Como esta aceleração valha d2x/dt2, ou, simplesmente &x& , resulta &x& = −(k/m) x . Como k e m são quantidades positivas, podemos por k/m=ω2, e a equação diferencial torna-se: &x& + ω 2 x = 0 . Toda a nomenclatura utilizada para o movimento oscilatório, bem como a interpretação física das quantidades envolvidas, pode ser repassada ao movimento pendular. Particularmente, por ser ω=2π/T, tem-se: T = 2π m/k .

Exercício: Mostrar que o período T de oscilação de um pêndulo matemático de comprimento l é igual a 2π l/g , onde g é a aceleração da gravidade.

§II.04 – Energia no MOH livre. Qualquer que seja o movimento oscilatório, uma força f (externa) quasielástica atua no ponto (ou partícula) em movimento, no ponto genérico P de elongação x, sendo f=-kx. Essa partícula apresenta, pois, uma energia potencial instantânea EP (energia devida à sua posição) equivalente ao trabalho realizado por f até a passagem da partícula por P. A variação dessa energia em P, dEP, para um deslocamento elementar -dx de posição da partícula (na direção da força f, pois f aponta sempre para a posição de equilíbrio), é igual à variação do trabalho realizado por f nessa mudança de posição. Logo, dEP=f(-dx), ou seja, por ser f=-kx: EP=C+kx2/2. Como para x=0 é EP=0 (porque f se anula) então, para qualquer x, EP=kx2/2. A representação gráfica da variação de EP com x é a parábola de eixo OEP indicada na Figura II.8. Como a elongação tem valor máximo igual à amplitude R, resulta: 0≤EP≤kR2/2. Poliádicos - Ruggeri

394

Apêndice II – Oscilações mecânicas

Por outro lado, pelo fato da partícula ter velocidade variável, ela apresenta energia cinética variável (energia devida ao movimento). Em P, durante o deslocamento elementar de f, ocorrido no intervalo de tempo dt, a velocidade variou da quantidade dv; a aceleração a está, então, definida por a=dv/dt. Como f=ma (lei de Newton), f=mdv/dt. Como o espaço percorrido pela partícula no intervalo dt é dx’=vdt, o trabalho realizado por f é dEc=f.dx’=fvdt, ou, lembrando que fdt=mdv: dEc=mvdv. A energia cinética instantânea é, então: Ec= C’+mv2/2. Como para v=0 (elongação máxima) a energia cinética é nula, resulta que no ponto genérico da trajetória, no qual a velocidade da partícula é v, Ec=mv2/2. Por ser x=Rcos(ωt+ϕ0), é x& = v = -ωRsen (ωt + ϕ 0 ) . Logo: EC=mω2R2sen2(ωt+ϕ0)/2

EP=kR2cos2(ωt+ϕ0)/2.

Como k=mw2 (ver §II.03), deduzimos: EC+EP=Etot=kR2/2= constante, constante essa (igual ao valor máximo da energia potencial) que permanecerá constante durante todo o tempo em que ocorrer a oscilação. Quando EP é máxima (na posição de elongação máxima), EC=0 (pois, para essa posição, é v=0). Ao contrário, EC será máxima quando EP tornar-se um mínimo, o que ocorre para x=0. Assim, no gráfico da variação da energia potencial com x (Figura II.8), a diferença entre kR2/2 e EP corresponde à energia cinética da massa para o deslocamento x.

§II.05 – Os números complexos e a composição de MOH’s livres, de mesma direção. Relembremos que todo número complexo Z=(A,B) pode ser escrito nas formas binominal e polar seguintes: Z=(A,B)=A+iB=R(cosθ+isenθ)=Reiθ, com R = A 2 + B 2 . Como a elongação de todo MOH livre pode ser escrita na forma x=Rcosϕ=Rcos(ωt+ϕ0), deduzimos que a todo movimento desta natureza podemos associar o número complexo cuja parte real seja x, isto é, x=(Rcosϕ+iRsenϕ)re=( Re i (ωt + ϕ0 ) )re. As operações de adição e multiplicação definidas para os números complexos mostravam que é possível substituir o penoso cálculo dos resultados (somas e produtos) com linhas trigonométricas por cálculos com exponenciais. Assim, a substituição de x pela parte real do complexo Reiϕ pode apresentar vantagens frente aos problemas de “composição de movimentos” em que uma mesma massa execute até três movimentos independentes e simultâneos, em direções diferentes (o que será explorado mais à frente). Em relação a um movimento apenas, realizado por uma partícula, o quadrado da amplitude, por exemplo – ao qual é proporcional a energia total da partícula – é o produto de Reiϕ pelo seu conjugado (§I.05). Que resultado prático poderíamos obter com o produto

Z' = Ae iα 0 e iϕ com A real? Ora, este seria equivalente à consideração de uma oscilação em V,Ap.II,§ 05

§II.05 – Composição de MOH’s de mesma direção e números complexos.

395

que a amplitude fosse o número complexo Z 0 = Ae iα 0 . Mas

Z' = Ae i (ϕ+ α 0 ) = Ae i (ωt + ϕ0 + α 0 ) . Logo, sendo Z' re = A cos(ωt + ϕ 0 + α 0 ) , concluímos que Z’re representa um movimento oscilatório cuja amplitude é A, e que tem uma fase inicial ϕ0+α0.

Composição de MOH’s livres, de mesma direção Imaginemos que, num sistema físico, uma partícula execute dois movimentos vibratórios de mesma direção, aos quais estejam associados os complexos:

Z1 = R 1 e iϕ1 e Z 2 = R 2 e iϕ2 , com ϕ1=ω1t+ϕ01 e ϕ2=ω2t+ϕ02. Quais são as características do movimento resultante? O movimento resultante tem elongação x dada pela parte real de Z1+Z2, isto é, x=(Z1+Z2)re. Conforme exposto no §I.07, se construirmos os diagramas de Argand desses complexos, representando graficamente os vetores reais z1 e z2 associados a esses complexos (Figura II.9), o vetor z, soma de z1 com z2, está associado ao complexo Z soma de Z1 com Z2. A parte real de Z, isto é, Zre=R cosϕ, descreve a variação da elongação do movimento resultante. A amplitude R desse movimento é |z|, isto é, R2=|z|2=|z1|2+|z2|2+2|z1||z2|cos(ϕ2-ϕ1), ou R2=|R1|2+|R2|2+2|R1||R2|cos(ϕ2-ϕ1); e a fase ϕ é tal, que (por projeção sobre o eixo real): |z|cosϕ=|z1|cosϕ1+|z2|cosϕ2, ou cosϕ=(R1cosϕ1+R2cosϕ2)/R, ou, ainda, tgϕ=(R1senϕ1+R2senϕ2)/(R1cosϕ1+R2cosϕ2). Sendo: ϕ2-ϕ1=(ω2-ω1)t+(ϕ20-ϕ10), vemos que R é função do tempo e só seria constante se fosse ω2=ω1. A velocidade angular da partícula, ou seja, a freqüência cíclica com que gira o vetor z no diagrama de Argand, ϕ& = ω , não é constante. O movimento composto não é, pois, harmônico (§II.02). *

Exercício: As elongações de dois MOH’s livres, de mesma direção, são dadas por: x1=R1cosϕ1 e x2=R2cosϕ2, com ϕ1=ω1t+ϕ01, ϕ2=ω2t+ϕ02 e ω1 e ω2 não variáveis com o tempo. Se ω1≠ω2, demonstre que: 1) – o quadrado da freqüência cíclica ω do movimento composto é dado por

ω2 =

(ω1 R 1senϕ1 + ω 2 R 2 senϕ 2 ) 2 (R 1senϕ1 − R 2 senϕ 2 ) 2 − 4R 1 R 2 cos ϕ1 cos ϕ 2

;

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396

Apêndice II – Oscilações mecânicas

2) – a amplitude R (variável) do movimento composto satisfaz as desigualdades: R1+R2≥R≥|R1-R2|; 3) – se R1=R2, então: 3.1) – a amplitude do movimento resultante é R=|2R1cos(ω2-ω1)t/2|; 3.2) – o módulo da amplitude se repetirá a cada τ segundos conforme a lei τ=2π/(ω2-ω1), e com freqüência ν igual à diferença das freqüências dos movimentos parcelas, ν2 e ν1 (ν=ν2-ν1); 3.3) – o vetor amplitude (no diagrama de Argand) gira com a velocidade (ω1+ω2)/2, sendo x=Rcos[(ω1+ω2)t/2+(ϕ10+ϕ20)]; 3.4) – Se ω1 difere muito pouco de ω2, ou seja, ω’=ω2-ω1 é muito pequeno em relação a ω2+ω1, demonstre que o movimento resultante pode ser considerado praticamente harmônico, tendo freqüência cíclica (ω1+ω2)/2 e amplitude (que não permanece constante, mas varia periodicamente) dada pelo item 3.1. Analise, então, o gráfico elongação x tempo desse MOH livre (Figura II.10), com: R1=R2=2, ω1=1,4 rad/s e ω2=1,2 rad/s, para 20<t<100. 4

100

-2

-4

Figura II.10 Este MOH livre – conhecido por pulsação – tem amplitude variável com certo ritmo (no caso, de 0 a 4, conforme item 3.1) e freqüência |ω1-ω2|/2π que é chamada freqüência da pulsação. 3.5) - Na escala em que foi feita a Figura II.10, alguns efeitos não podem ser observados. Por exemplo: parece que em todos os pontos da curva a tangente apresenta uma variação contínua. Observe, porém que, por exemplo, para t1=15,71 s, t2=47,12 s, t3=78,53 s etc. (a cada τ=10π s, conforme item 3.2), a elongação é anulada e a tangente à curva apresenta uma mudança brusca de direção (ver detalhe nas Figuras II.11 e II.12, feitas em escala adequada). Interprete fisicamente essa constatação geométrica de descontinuidade

V,Ap.II,§05

§II.06 – Análise Harmônica.

397

para a velocidade. Comprove (derivando a expressão de x) que o valor do módulo da velocidade nesses pontos de descontinuidade são todos iguais a aproximadamente 0,2577. 0.04

0.08

0.02

0.06 0.04

14.5

15.5

16.5 0.02

-0.02 -0.04

46.2

46.4

46.6

46.8

47.2

47.4

-0.02

-0.06

-0.04

-0.08

Figura II.11

Figura II.12 *

§II.06 – Análise Harmônica. Quando se compõem oscilações harmônicas com amplitudes e freqüências cíclicas distintas obtêm-se oscilações não harmônicas (a amplitude, a freqüência e a fase inicial resultantes sendo funções do tempo). Assim, para x1=R1cosϕ1 e x2=R2cosϕ2, com ϕ1=ω1t+ϕ01, ϕ2=ω2t+ϕ02 e x=x1+x2=R(t)cos[ω1t+ϕ(t)],

(01),

tem-se: R2(t)=R12+R22+2R1R2 cos[ψ(t)-ϕ10], tgϕ(t)=[R1senϕ10+R2senψ(t)]/[R1cosϕ10+R2cosψ(t)] e ψ(t)=(ω2-ω1)t+ϕ20. Se for |dA/dt|<<ωRmax e |dϕ/dt|<<ω, diremos que a oscilação do tipo (01) é oscilação modulada. Se for ϕ=constante a oscilação será dita de amplitude modulada; e se for R=constante, de fase ou freqüência modulada. * O conceito de elongação (uma distância) de uma oscilação pode ser substituído por uma grandeza física qualquer, valendo para estas as mesmas interpretações para aquelas. É evidente que tal “grandeza periódica” deve ter significado físico. Dada uma grandeza periódica, de período T, denotada por G(t), é possível representá-la na forma de uma série de Fourier, isto é, uma soma de uma infinidade de oscilações harmônicas simples cujas freqüências sejam múltiplos de uma freqüência de base (ou fundamental), ω=2π/T. Assim,

G(t) =

A0 2

∞

∑ A cos(nωt + ϕ ) n

n =1

para a qual, sendo:

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398

Ap. II – Oscilações mecânicas.

an = 2 T

∫

T/2

G(t)cos(nωt) dt , com n=0,1,2,.. e b n = 2 T − T/2

∫

T/2

−T/2

G(t)sen(nωt) dt ,

calculam-se

An = a n 2 + bn 2

e ϕ n = arctg

an . bn

O problema consistirá, então, em encontrar uma série de Fourier correspondente a dada oscilação; encontrar esta série significa realizar uma análise harmônica da oscilação. As parcelas da série cujas freqüências cíclicas são ω, 2ω, ..., são ditas, respectivamente: a primeira harmônica da oscilação (ou harmônica fundamental), a segunda harmônica etc..

§II.07 – MOH’s amortecidos. Os estudos anteriores foram feitos impondo “condições ideais” que, na prática, não se verificam senão com alguma aproximação. Poderíamos considerar agora a presença real das forças (externas) de atrito (digamos, de uma massa com uma superfície plana) e da resistência do ar (digamos de uma massa de pêndulo com o ar). Essas forças provocam um amortecimento da oscilação, provocando a diminuição gradativa da elongação da massa com o passar do tempo; daí a razão do nome. Vamos considerar o caso freqüente de massa (ou partícula) que oscila imersa num meio fluido (ar e líquidos, por exemplo). Além das forças quasielásticas, sempre presentes no movimento, devemos considerar ainda essas “forças de resistência”, fr, que, via de regra, variam com a velocidade do movimento. Consideraremos apenas as forças fr do tipo proporcional à velocidade, v = x& , isto é, f r = − rx& , sendo r>0 um “coeficiente de resistência”, o sinal negativo indicando que fr atua em sentido contrário ao da velocidade. Assim, a lei de Newton correspondente à posição genérica da massa m com elongação x deve ser escrita na forma: m&x& = −rx& − kx , ou &x& + (r / m) x& + (k / m) x = 0 . Como r e k são grandezas positivas, podemos por ω02=k/m

2β=r/m,

(01),

resultando:

&x& + 2β x& + ω 0 2 x = 0 . Pela troca da variável x na variável ξ através da relação X=ξe-βt,

(02),

deduzimos:

x& = e −βt ξ& − β e −β ξ

&x& = e −βt &ξ& − 2β e −βt ξ& + β 2 e −βt ξ .

Então a equação diferencial do movimento torna-se: &ξ& − 2βξ& + β 2 ξ = −ω 0 2 ξ + 2β 2 ξ − 2βξ& , ou &ξ& + (ω 2 − β 2 )ξ = 0 , (03). 0

V,Ap.II,§07

§02.-07 – MOH’s amortecidos.

399

Para que o movimento seja um MOH, basta que ω02>β 2, ou seja, que se possa escrever: ω2=ω02-β 2,

(04),

caso em que ele é dito um MOH amortecido. *

Exercício: Comprovar que nos MOH’s amortecidos: T =

2πm km − r 2 / 4

* Para o MOH amortecido podemos então escrever a solução de (03) na forma: ξ=R0 cos(ωt+α0), com R0 e ω constantes. Então, mudando novamente para a variável antiga (x), x=R0 e-βt cos(ωt+α0),

(05),

isto é, um movimento amortecido é equivalente a um MOH livre cuja amplitude R0e-βt diminui com o passar do tempo. Se T (determinado conforme o último exercício) é o período (o tempo) que separa duas amplitudes sucessivas, isto é, R0e-βt e R0e-β(t+T), então:

R 0 e −βt R 0e

−β ( t + T )

= ln e βT = βT = λ > 0 .

A constante (positiva) λ é denominada de decremento logarítmico da oscilação. Podemos, então, escrever a expressão (05) da elongação do movimento na forma x=R0e-λt/Tcos(2πt/T+α0),

(06).

A amplitude inicial de um MOH amortecido é R0e-λt/T=R0 (pois t=0). Então, depois de um número K de oscilações, ou melhor, KT segundo depois, essa amplitude RK será RK= R0e-λk =R0/eλK,

(07),

isto é, após K oscilações a amplitude inicial terá diminuído eλK vezes.

Poliádicos - Ruggeri

400

Apêndice II – Oscilações mecânicas

* Exemplo: Na Figura II.13 encontra-se o gráfico elongação (em ordenadas) x tempo do MOH amortecido com R0=4, α0=0,7 rad, β=0,05, ω=1,2 rad/s, logo T=10π/6 e λ=0,2618, donde x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7). 3 2 1 10

-1 -2 -3

Figura II.13 Notar que, para α0≠0, a elongação nunca atinge o valor de R0, iniciando-se com R0cosα0. *

§II.08 – MOH forçado. Consideremos o MOH amortecido estudado no item anterior. Pretendemos agora introduzir um segundo esforço exterior ao movimento (o primeiro, a resistência do meio fluido, já está presente) tal, que permita obter-se ao final um MOH de amplitude constante. Esse esforço funcionará, então, como uma “força excitatriz” complementar, variável certamente com o tempo e deverá ser, possivelmente, periódica. Seja ela dada na forma fexc=Fexccos(ϕ-ϕ0)= FexccosΩt, sua freqüência cíclica Ω podendo ser a mesma do MOH amortecido que estamos modificando, e Fexc>0 sua amplitude. A expressão da lei de Newton para o caso é m&x& = −rx& − kx + f exc , ou

m&x& + rx& + kx = f exc ,

(01).

A solução geral dessa equação é a soma da solução geral de equação m&x& + rx& + kx = 0 correspondente ao MOH amortecido, isto é, de xamo==R0e-λt/Tcos(2πt/T+α0), com uma solução particular qualquer, x0(t); então: x=xamo+x0(t). Ao cabo de certo tempo (a rigor, um tempo infinito), xamo torna-se muito pequeno frente a x0(t), isto é, após um tempo suficientemente longo, a elongação do movimento passa a ser praticamente representada por x0(t). Como temos a pretensão de que x0(t) =Rcosϕ, com ϕ=Ωt+ϕ0, seja uma solução particular da equação diferencial (01) – problema possível desde que seja possível determinar as duas constantes R e ϕ0 – deveremos substituir em (01) as derivadas de x em relação ao tempo. Encontramos: (-mΩ2+k)Rcosϕ-rΩRsenϕ=Fexc cos(ϕ-ϕ0),

V,Ap. II,§08

§II.08 – MOH forçado.

401

ou, dividindo ambos os membros por mR, considerando as expressões ((01), §II.06) e expandindo a expressão de cos(ϕ-ϕ0): (ω02-Ω2)cosϕ-2βΩsenϕ=(cosϕ cosϕ0+senϕ senϕ0)Fexc/mR. Para que esta expressão seja uma identidade, qualquer que seja Ωt, os coeficientes de senϕ e cosϕ em ambos os membros devem ser idênticos, isto é: ω02-Ω2=cosϕ0Fexc/mR

-2βΩ=senϕ0Fexc/mR.

Dividindo essas expressões membro a membro, obtemos: tgϕ0=-2βΩ/(ω02-Ω2),

(02).

Elevando ao quadrado ambos os membros dessas mesmas expressões, somando membro a membro e depois explicitando R, obtemos:

Fexc m (ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4β 2 Ω 2

(03).

Então, a expressão da elongação dessa oscilação estabilizada é

x 0 ( t ) = Rcosϕ =

Fexc cos(Ωt + ϕ 0 ) m (ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4β 2 Ω 2

(04),

e sua principal característica está em que, pelo fato de fexc ser periódica e iniciar com o valor Fexc, as amplitudes da oscilação vão aumentando paulatinamente com o tempo até atingirem o valor dado por (03). Insiramos no exemplo numérico do MOH amortecido do item anterior onde β=0,05 Ns/kgm, α0=0,7 rad, ω=Ω=1,2 rad/s as condições: Fexc/m=0,85 N/g. Resultam: R=0,85 e ϕ0=1,55 rad. Logo: x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7)+0,85cos(1,2t+1,55). A Figura II.14 mostra a tendência para a estabilização; a Figura II.15 mostra que para t≅50 s a oscilação já está praticamente estabilizada. 4

-2

-4

Figura II.14

Figura II.15 Poliádicos - Ruggeri

402

Apêndice II – Oscilações mecânicas

Consideremos uma oscilação com ω=1,2 rad/s e Ω=1,5 rad/s, admitindo-se k/m=ω02=2,24688 (o que acarreta ϕ0=1,55 rad, conforme (02)) e Fexc/m=0,85 (o que acarreta R=0,85 dado por (03)). Com isto podemos escrever: x=4e-0,2618tcos(1,2t+0,7)+0,85cos(1,5t+1,55). A Figura II.16 mostra o gráfico elongação x tempo dessa oscilação. Observa-se uma ligeira perturbação inicial nas elongações, até os 40s; depois, até os 60s, uma tendência à estabilização, e aos 80s uma oscilação praticamente estabilizada. 4

-2

-4

Figura II.16 Temos, para o caso: R = 0,85 / (ω 0 2 − Ω 2 ) 2 + 4β 2 Ω 2 com ω02=2,24688. Se fizermos β variar aos saltos e representarmos as variações de R em ordenadas (entre 1,4669 e 1,955) com as variações de Ω (entre 1,0 e 1,645) para cada valor de β, obteremos o gráfico da Figura II.17.

1.5

0.5

1.1

1.2

1.3

Figura II.17

V,Ap. II,§08

1.4

1.5

1.6

§II.08 – MOH forçado.

403

Quando Ω<<ω0, é R≅Fexc/mω02=Fexc/k. Pondo Ω4 em evidencia dentro do radicando de (03), vemos que, quando ω0<<Ω, esse radicando tende para Ω4 porque ω02/Ω2 tende para zero; e β 2/Ω2, com mais forte razão, tende também para 0 (porque ω02>β 2, ver §II.06). Logo, quando ω0<<Ω: R=Fexc/mΩ2. O valor máximo da amplitude, Rmax, corresponde ao valor Ω0 de Ω que minimize o radicando, ou seja, que anule a sua derivada em relação a Ω; encontra-se:

Ω 0 = ω 0 2 − 2β 2 ou Ω 0 = ω 2 − β 2 ,

(05).

No exemplo, Rmax≅5,6766, e por ser β muito pequeno, Ω0≅ω0=1,499. As Figuras II.18 e II.19 mostram as variações de R2 (em ordenadas) com Ω02 nos intervalos indicados nas escalas. 0.35

0.35

0.3

0.3 0.25

0.25 0.2

0.15

0.2

0.1

0.15 0

0.5

1.5

2.5

Figura II.18

0.5

1.5

Figura II.19

O valor Rmax é atingido para Ω02=ω2-β 2, sendo Rmax=Fexc/(2mβω),

(06).

Consideremos a situação em que β seja muito pequeno, ou β→0, caso em que Rmax→∞. Relembrando ((01),§II.06), vemos que essa situação corresponde a considerar coeficiente de resistência r muito pequenos (ou tendentes para zero) ou forças de resistência muito pequenas. Se as demais grandezas presentes na expressão (06) são constantes, Rmax pode tornar-se muito grande, isto é, as oscilações deixam de ser pequenas. Mas nesse caso (06) não e mais válida porque a teoria aqui desenvolvida não é aplicável. Por outro lado, considerando que Rmax requer seja Ω dado por (05), vemos que variando a freqüência cíclica da força excitatriz, fazendo-a aproximar-se do valor Ω0, a amplitude da oscilação correspondente sofre aumentos bruscos. Nessa situação dizemos que a oscilação apresenta o fenômeno da ressonância; Ω0 é a freqüência cíclica de ressonância (ou Ω0/2π é a freqüência de ressonância). As curvas que representam as variações de Rmax com Ω, apresentadas nas Figuras II.18 e II.19 são ditas curvas de ressonância.

Poliádicos - Ruggeri

404

Apêndice II – Oscilações mecânicas

§II.09 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de mesma freqüência, mas de diferentes direções. Uma mesma partícula poderá executar movimentos oscilatórios simultâneos em até três direções, representadas estas por vetores unitários quaisquer eˆ k (k=1,2,3), cada movimento admitindo uma amplitude e uma fase inicial próprias. O vetor posicional r da partícula será dado, então, pelo vetor soma dos posicionais dessa partícula relativos a cada movimento:

r = a k cos(ωt − ϕ0k )eˆ k ,

(01),

expressão em que está estabelecida uma soma em i. Ora, tal vetor é a parte real do vetor complexo

z = (a k e iϕ0k eˆ k )e -iωt ,

(02),

porque sendo

e iϕ0k = cos ϕ0k + i senϕ0k e e −iωt = cos ωt − i senωt , vem, multiplicando membro a membro essas expressões:

e −i( ωt −ϕ0k ) = cos ϕ0k cos ωt + senϕ0k senωt − i (cos ϕ0k senωt − senϕ0k cosωt) , donde, lembrando fórmulas trigonométricas:

e −i( ωt −ϕ0k ) = cos(ωt − ϕ0k ) − i sen(ωt − ϕ0k ) . Ponhamos (02) na forma

z = (u + iv )e -iωt , com u = a k cos ϕ0k eˆ k e v = a k senϕ0k eˆ k ,

(03).

O vetor complexo u+iv – o valor de z para t=0 – é paralelo a z, sendo dito às vezes o vetor complexo amplitude da oscilação. É evidente que a cada terceto de pares (ak,ϕ0k) corresponde um vetor complexo amplitude. Se, de algum modo, for dado o vetor complexo z, na forma (03), associado a um movimento oscilatório em três direções dadas eˆ k , então: 1) – dadas as amplitudes ak para cada direção, será possível determinar as fases iniciais correspondentes; 2) – ou dadas as fases iniciais, será possível determinar as amplitudes. Essas conclusões são evidentes a partir das expressões de u e v. Em outras palavras, dizemos que o movimento oscilatório mais geral, em três dimensões, de freqüência ω, pode ser definido por um vetor complexo na forma (03), como estudado no

V,Ap.§II.09

§II.10 – Os vetores compl e a composição de MOH’s livres de dif freqüências e dif direções.

405

§02.05 do Cap. V. O fator e-iωt é o cíclico de z e ωt=ϕ é sua fase; e z pode ser escrito na forma ((02), §02.05,V) em que r(ϕ) e r(ϕ+π/2) são dados por ((03), §02.05,V). A trajetória descrita pela partícula é a elipse direcional de z, da qual u e v são vetores semi-diâmetros conjugados e cujo ponto genérico é definido pelo vetor r(ϕ). A velocidade da partícula no ponto r(ϕ) é dada pelo vetor r&(ϕ) = dr / dt que é tangente à elipse pela extremidade de r(ϕ) (logo, paralelo a r(ϕ+π/2)). Para ωt=0 é r& = ωv e para ωt=π/2 é -ωu. Assim, para r=u o movimento tem o sentido de v e para r=v, o sentido de –u. Em geral é relevante a determinação do vetor complexo axial de z (§02.06,V), isto é, o vetor cujo antecedente a e cujo conseqüente b sejam os semi-eixos menor e maior da elipse de z. Para essa determinação, basta calcular o fásico de z, isto é, o cíclico e -iωt 0 que multiplicando z transforma-o em a+ib. Conforme visto, calcula-se

tg 2ωt 0 =

2u.v 2u.v , donde, 2ωt 0 = arc tg 2 , 2 u −v u − v2

(04),

resultando

a = cos ωt 0 u + sen ωt 0 v e

b = −sen ωt 0 u + cos ωt 0 v = = cos (ωt 0 + π / 2)u + sen (ωt 0 + π / 2) v

(05).

Em resumo: da expressão da oscilação posta na forma (03), toma-se para ωt0 qualquer um dos valores 0≤ωt0≤2π dado por (04) que é substituído em (05) para se obterem a e b. Então:

z 0 = (a + ib)e −iωt 0 . É a expressão da oscilação referida aos eixos principais da elipse direcional de z (ou de z0 posto que ambos sejam paralelos).

§II.10 – Os vetores complexos e a composição de MOH’s livres de diferentes freqüências e diferentes direções. Poucos resultados gerais podem ser antevistos quanto à solução desse problema. É comum a composição de oscilações com diferentes freqüências em direções ortogonais Ox e Oy, caso em que as coordenadas do ponto genérico da partícula no movimento resultante em torno da origem seriam:

x = a 1 cos(ω1 t − α1 ) ,   y = a 2 cos(ω2 t − α 2 )

(01).

As equações (01) são, assim, as equações paramétricas da trajetória. A natureza dessa trajetória depende dos valores das freqüências ω1 e ω2. Os resultados listados a seguir podem ser demonstrados analiticamente: Poliádicos - Ruggeri

406

Apêndice II – Oscilações mecânicas

1 – Se a relação das freqüências é um número incomensurável (irracional ou transcendente) a trajetória nunca se fecha porque o movimento resultante não é periódico (Figuras a seguir); 1.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-1.5 -1

-0.5

0.5

-1

-0.5

0.5

2 – Se a relação das freqüências é comensurável, o movimento é periódico e o período resultante é o menor múltiplo comum entre ω1 e ω2. Por exemplo: se ω1=0,2 e ω2=0,3, então o período resultante é 0,6. A trajetória é sempre fechada e sua forma pode variar muito, conforme a relação entre as freqüências; essas trajetórias são conhecidas como "Figuras de Lissajous". 2.1 – Se um dos períodos, digamos ω2 (segundo Huey), é o dobro do outro, enquanto segundo o eixo Huey a partícula efetua uma vibração, segundo Ox efetua duas. A curva está inscrita num retângulo em que o lado relativo à freqüência menor (eixo Ox) é o dobro do outro, a curva tendo com Ox dois pontos de contato de cada lado do eixo Oy (Figuras seguintes, para diferentes fases iniciais). 1.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-1.5 -1

-0.5

0.5

-1

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-0.5

0.5

-1.5 -1

V,Ap.II,§10

-0.5

0.5

-1

-0.5

0.5

§II.10 – Os vetores compl e a composição de MOH’s livres de dif freqüências e dif direções.

407

2.2 – Se as oscilações têm freqüências proporcionais a 2 e 3, digamos ω1=2 (segundo Ox) e ω2=3, haverá dois pontos de contato com o eixo Oy (de cada lado do eixo Ox) e três com Ox (Figuras seguintes, para diferentes fases iniciais). 1.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-1.5 -1

-0.5

0.5

1.5

-1

-0.5

0.5

-1

-0.5

0.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-1.5 -1

-0.5

0.5

O mesmo problema pode ser resolvido em três direções ortogonais com as equações

x = a1 cos(ω1t − α1 )   y = a 2 cos(ω2 t − α 2 ) , z = a cos(ω t − α ) 3 3 3 

(02).

Em geral as trajetórias são curvas (espaciais) complexas. A seguir apresentam-se dois exemplos, ambos com amplitudes iguais a um, o primeiro com freqüências proporcionais a 1, 2 e 3, o segundo com freqüências proporcionais a 1, é fechada; a do segundo é aberta. - 1 - 0 . 5 1

2 e

3 . A trajetória do primeiro

1 0

0 . 5

0.5

1 0

0 -0.5

- 1 -1 1 2 0.5 0 0 -0.5 -1 - 2

-1 -0.5 0 0.5 1

Poliádicos - Ruggeri

408

Apêndice II – Oscilações mecânicas

Uma partícula pode oscilar com diferentes freqüências e diferentes amplitudes em até três direções arbitrárias definidas por unitários rˆ 1 , rˆ 2 e rˆ 3 . Seu vetor posicional na oscilação resultante é definido por (01), r = a k cos(ωk t − ϕ0 k )rˆ k , para k=1,2,3, vetor esse que pode ser igualado à parte real do vetor complexo

z = (a k e iϕ0k rˆ k )e -iωk t = a k e −i( ωk t −ϕ0k ) rˆ k ,

(02),

pois seria

z = a k [cos(ω k t − ϕ 0 k ) − isen (ω k t − ϕ 0 k )]rˆ k . Notar que (02) difere de ((02),§II.09) pelo fato de ser ω1≠ω2≠ω3, ou seja, por existir soma em k em (02). Pondo

z = z je

− ωj t

(03),

com

z 1 = a 1e iϕ01 rˆ 1 = a 1 (cos ϕ 01 + isenϕ 01 )]rˆ 1 , z 2 = a 2 e iϕ02 rˆ 2 = a 2 (cos ϕ 02 + isenϕ 02 )]rˆ 2 z 3 = a 3 e iϕ03 rˆ 3 = a 3 (cos ϕ 03 + isenϕ 03 )]rˆ 3 ,

(04),

vemos que o movimento oscilatório em estudo pode ser definido pelo vetor complexo z dado por (03) em que os vetores complexos parcelas, z1, z2 e z3 representam oscilações nas direções dadas rˆ 1 , rˆ 2 e rˆ 3 isoladamente, conforme visto no §II.09. Se as direções de rˆ 1 , rˆ 2 e rˆ 3 são tomadas como referência recaímos no problema inicial mesmo que as direções não sejam ortogonais. Poder-se-á, em caso contrário, decompor os unitários em relação a vetores de uma base ortonormal e calcular as novas expressões para as oscilações em relação a essas direções.

§II.11 – Grandezas físicas oscilatórias No movimento oscilatório, x – a abscissa da partícula – é um escalar (uma distância); e na composição de movimentos em direções diferentes a posição da partícula é definida por um vetor r. Em ambos os casos, x e r são funções periódicas. Todos os conhecimentos até aqui adquiridos dão suporte a novas questões em Física, precisamente em relação aos fenômenos em que algumas grandezas postas em jogo têm variação periódica. São as grandezas escalares e vetoriais, conhecidas e abundantes. Mas

V,Ap.II,§11

§II.11 – Grandezas físicas oscilatórias.

409

existem também as grandezas diádicas (ou tensoriais de segunda ordem). Vamos denotar as grandezas escalares na forma geral oscilatória

V(P, t) = A(P)cos[ωt-ϕ(P)] ,

(01),

em que V(P,t), A(P) e ϕ(P) são notações usadas para dizer-se que V é uma grandeza escalar que varia com o instante t e com o ponto considerado no estudo do fenômeno físico de que participa. A(P) é a amplitude da oscilação de V, variando apenas com o ponto; e ϕ(P) é a fase da oscilação. As grandezas vetoriais oscilatórias são representadas de forma análoga às escalares:

v(P, t) = C k (P)cos[ω k t-ϕ k (P)]eˆ k ,

(k=1,2,3),

(02),

destacando-se cada coordenada de v(P,t) como funções escalares de P e T, sendo, pois, Ck(P) a amplitude na direção de eˆ k , ωk a correspondente freqüência etc. Se nos lembrarmos de que um diádico φ, agora representante de certa grandeza diádica, pode ser escrito em forma trinomial de que, digamos, os conseqüentes são vetores de base, os seus antecedentes serão vetores representados por funções periódicas, caso em que a grandeza diádica é oscilatória. Assim,

φ(P, t ) = v k (P, t)eˆ k ,

com

v k (P, t) = C kj (P)cos[ωkj t-ϕ kj (P)]eˆ j

(k=1,2,3),

(03),

notando-se que cada vk é uma oscilação composta de três outras oscilações. A forma (03) é a representação duplamente covariante de φ(P,t), existindo ainda a contravariante e as mistas.

Poliádicos - Ruggeri

410

V,Ap.II,§11

Apêndice II – Oscilações mecânicas

§III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares.

411

APÊNDICE III CURVAS POLARES RECÍPROCAS (noções). Para melhor entendimento e apreensão da teoria dos vetores complexos recíprocos é mister o conhecimento dos seus princípios geométricos básicos.

§III.01 – Razão anarmônica de quatro pontos colineares. Dados quatro pontos quaisquer colineares de um eixo orientado (de origem arbitrária), A, B, C e D, chama-se razão (ou caterna) anarmônica desses quatro pontos, e representa-se por (AB,CD), o número X tal, que

X = (AB, CD) = AC . BD , AD BC

(01).

É evidente que os segmentos referidos na definição (01) são orientados, o que significa que X pode assumir valores positivos e negativos. *

Exercícios: 1) – Mostre que: a) – (AB,CD)=(CD,AB)= (BA,DC)= (DC,BA)=(AB,DC)-1; b) – (AB,CD)+(AC,BD)=1. 2) – Supondo A, B e C fixos, determine os valores de (AB,CD) para D variável, ocupando as posições: D≡A, D≡B, D≡C. Qual é a posição de D quando (AB,CD) recebe os valores ∞, 1 e 0? * Uma caterna (AB,CD) é dita harmônica quando o seu valor é igual a -1, caso em que

AC = − BC , AD BD

(01).

* Exercícios: 3) - Se a, b, x e x’ são as abscissas dos pontos A, B, X e X’ em relação ao ponto médio de AB tomado como origem O de abscissas, então, por ser a=-b, será xx’=a2. 4) – Prove que o ponto X, conjugado harmônico de X’ em relação a A e B, pode ser obtido pela projeção do ponto de contato T da tangente conduzida por X’ à circunferência de diâmetro AB, sobre a reta AB (Figura III.1). Essa construção já foi utilizada para a determinação do recíproco de um vetor no espaço dos vetores colineares (§03.01,I,Vol.I).

V,Ap.III,§01

412

Apêndice III – Curvas polares recíprocas (noções)

§III.02 – Curvas polares recíprocas. Seja (C) uma circunferência de centro O, raio K, e R um ponto qualquer no plano de (C). A reta que une O a R corta (C) em dois pontos F e F’ diametralmente opostos; mas uma reta variável, r), que não contenha O, cortará (C) em pontos M e M’ variáveis (Figura III.2). Se R’ é o conjugado harmônico de R em relação a M e M’, dizemos que R e R’ são conjugados harmônicos em relação a (C). Quando a reta r) gira em torno de R, interceptando sempre (C), os pontos M e M’ se deslocam sobre (C) e R’ se desloca sobre uma reta p) perpendicular a OR, cortando-a no ponto R0 conjugado harmônico de R em relação a F e F’ (prove isso!). A reta p) é dita a polar de R em relação a (C). Prove que, inversamente, dada (C) e uma reta p) que intercepte (C) em pontos T e T’, a perpendicular a p) conduzida por O, bem como as tangentes a (C) por T e T’, passarão necessariamente por um ponto R do plano de (C); este é dito o pólo de p). Não é difícil comprovar que: 1) – a circunferência de diâmetro RR’ é ortogonal a (C), isto é, as tangentes a essas circunferências nos seus pontos de interseção são ortogonais; 2) – tem-se, vetorialmente:

OR . OR' = K 2 ,

(01).

A cada ponto R de uma curva (S) do plano que (C) corresponde uma polar p) que contem o seu conjugado harmônio R’ em relação a (C). Em outras palavras: com o processo de construção apresentado, fazendo R deslocar-se continuamente sobre (S), obter-se-á uma família de polares que tangenciará uma curva (S’), dita a envoltória da família. É possível provar que quando (S) é uma elipse, essa envoltória é também uma elipse; ambas são polares recíprocas. A Figura III.3 apresenta a elipse (E) de semi-eixos: a=2,10 e b=1.2, para K=0,82 (=raio da circunferência), devendo ser observado que os semi-eixos da polar recíproca (E*) são: 1/a e 1/b, ampliados de H=K2=0,6427. Quando a>K>b – caso em a circunferência corta as duas elipses recíprocas (em 4 pontos de cada uma, simétricos em relação à origem) – o problema não tem solução para os pontos das elipses interiores à circunferência; é o caso apresentado na Figura III.4, para (E) com a=2,1, b=0,7 e K=1, (E*) tendo, então, semi-eixos 0,476 e 1,429. Quando a<K (logo K>b), o problema não tem nenhuma solução no campo real (ambas as elipse serão internas à circunferência).

V, Ap.III,§02

§III.02 – Curvas polares recíprocas.

413

Figura III.3 Elipses polares recíprocas em relação à circunferência de centro na origem e raio K=0,82 – Os pontos de contato das tangentes à circunferência, conduzidas por um ponto qualquer da elipse externa, determinam uma reta (a polar do ponto) que é tangente à elipse interna.

Figura III.4 Elipses polares recíprocas em relação à circunferência de centro na origem e raio K=1 ilustrando o caso b<K – Nesse caso, não existe solução para pontos interiores à circunferência. Os pontos de contato das tangentes à circunferência, conduzidas por um ponto qualquer da elipse com o menor dos semi-eixos, determinam uma reta (a polar do ponto) que é tangente à elipse de maior semi-eixo.

* Exercício: Comprovar, no caso da Figura III.4, que as tangentes à circunferência nos seus pontos de interseção com a elipse (E) são também, tangentes à elipse (E*). Quais os arcos correspondentes dessas elipses? *

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414

Apêndice III – Curvas polares recíprocas (noções)

§III.03 – Notas sobre a inversão Sobre um eixo (reta orientada) definido pelo ponto origem O e um ponto P qualquer, digamos com abscissa positiva, consideremos o ponto P’ (que, obviamente, existe), tal, que, para dado número H (positivo ou negativo)

OP.OP' = H ,

(01).

Se H>0, P’ tem abscissa positiva necessariamente; e vice-versa. A expressão (01) representa, assim, uma transformação de pontos P do espaço em pontos P’. Vamos considerar aqui apenas os pontos de um plano com H>0. A transformação dos pontos P de um plano em pontos P’ desse mesmo plano, por obediência a (01) é denominada inversão plana de centro O e potência H; os pontos P e P’ são ditos pontos inversos (em relação a O e potência H). 2

Sendo, então, H>0, os pontos P2 tais, que OP = H = ( H ) 2 = K 2 são pontos que se correspondem consigo mesmos; são “pontos duplos” e pertencem todos à circunferência do plano, de centro O e raio K = H , que será denotada por (C*) e denominada “circunferência de inversão”. Vamos determinar graficamente pontos correspondentes na inversão de centro O e potência H. Tracemos a circunferência de inversão e conduzamos-lhe uma tangente pelo ponto P dado. A projeção P0 do ponto de contato dessa tangente sobre o eixo OP, conforme exercício 4, §III.01, é o conjugado harmônico de P em relação à circunferência de inversão; e conforme o exercício 3 se pode escrever: OP.OPo = ( H ) 2 = H = K 2 . Esta é a equação (01) para P0≡P’ (conjugado harmônico coincidente com o inverso), ou a equação (01) do §III.02. Fica, pois demonstrada a seguinte propriedade:

O inverso de um ponto numa inversão é seu conjugado harmônico em relação à circunferência de inversão. Consideremos agora o conjunto dos pontos P de uma elipse (E) de centro O, e determinemos os seus inversos na inversão de centro O e potência H (dada). Com o procedimento gráfico já estabelecido não será difícil visualizar a inversa da elipse, curva essa que denotaremos por (E-1). Que curva será essa? Na Figura III.5 apresentamos, em certa escala: 1) - as elipses polares recíprocas (E) e (E*) já vistas na Figura III.3, de equações paramétricas referidas aos semi-eixos:

x = 2,1 cos t (E) ≡  ,  y = 1,2 sent

V,Ap. III,§03

x = 0,39 cos t (E ∗ ) ≡   y = 0,68 sent

(02),

§III.03 – Notas sobre a inversão.

415

para semi-eixos a=2,1, b=1,2 e K=0,82, ou H=K2=0,6724 (logo, a*=H/a=0,32 e b*=H/b=0,56); 2) – a circunferência (C) de raio K, de equações paramétricas:

x = 0,82 cos t ( C) ≡   y = 0,82 sent ; 3) – a quártica (E-1), inversa de (E), de equações paramétricas:

 K 2 acost 1,412cost = x = 2 2 2 2 a cos t + b sen t 4,41cos 2 t + 1,44sen 2 t   (E − 1 ) ≡   K 2 b sent 0,807cost y = . = 2 2 2 2  a cos t + b sen t 4,41cos 2 t + 1,44sen 2 t

Figura III.5 Na Figura III.6, em escala diferente da anterior para melhorar a informação, apresentamos apenas a elipse (E*) e a (quártica) inversa de (E), (E-1).

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416

Apêndice III – Curvas polares recíprocas (noções)

Figura III.6 Na Figura III.7, também em escala diferente das anteriores, mostramos com mais precisão o que se passa nas proximidades do vértice relativo ao semi-eixo menor de (E*).

Figura III.7

V,Ap.III,§03

§III.03 – Notas sobre a inversão.

417

* Exercício: Comprovar que a quártica (E-1) tem por equação cartesiana 2 y2 (x 2 + y 2 ) 2 = K 4 ( x 2 + 2 ) , a b

e que ela admite tangentes verticais nos pontos de interseção com a circunferência de centro O e raio K 2 / b 2 e nos pontos em que y=0.

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Bibliografia

BIBLIOGRAFIA Os livros de Drew e de Sirotin e Chaskolskaya ([1] e [2], respectivamente, da bibliografia do Capítulo IV) não tiveram a menor influência na teoria exposta neste capítulo porque aqui todos os conceitos são suportados por interpretações geométricas. Números e vetores complexos são bastante utilizados em estudos de vibrações e ondas, tanto em Mecânica quanto em Eletromagnetismo. [1] – Lindell, I. V., Methods for Electromagnetic Fiel Analysis, Capítulos 1 e 2, Helsinki University of Technology, Oxford University Press, second edition, 1995, IEEE ISBN 07803-1155-8. [2] – Stone, J. M., Radiation and Optics (An Introducyion to the Classical Theory), Capítulos 1 e 2, University of California, McGraw-Hill Book Company, 1963, Library of Congress Catalog Card Number 62-21791. [3] – Fowles, G. R., Introduction to Modern Optics, Capítulos 1 e 2, University of Utah, Holt, Rinehart and Winston, segunda edição, 1975, ISBN 0-03-089404-2.

Outros autores primam pela exposição dos fenômenos vibratórios do ponto de vista físico. [4] – Bruhat, G., Optique, Cous de Physique Générale, Masson et Cie Éditeurs, quarta edição (revista e completada por A. Kastler), Capítulos 2 e 3, 1954. [5] – Frish, S. e Timoreva, A., Curso de Física general, Tomo I, Tercera Parte, Vibraciones y ondas, Editorial MIR.

V,Ap.III,Bibliografia

ÍNDICE REMISSIVO A adjunto de um poliádico.................................... 146 caract. de um inc. pelo adjunto .................... 156 o pontuado e o G-ésimo do .......................... 148 anisotropia ........................................................ 294 antitriangulares (poliádicos).............................. 256 autopoliádicos de um poliádico ........................ 251 autovalores de um poliádico ............................. 251

B baricentros ........................................................ 117 bases cícl. vet. e diád. .................................... 175, 177 de vetores complexos ................................... 355 diádicas concordantes .................................. 173 poliádicas norma e módulo ........................................ 95 recíprocas cálculo................................................ 102 constituição ........................................ 100 def. ....................................................... 97 reciprocas G-nomiais ................................ 99

C campo de uma grandeza .......................................... 279 conjugado de número complexo .................................... 384 de vetor complexo ........................................ 319 coord. cart. ............................................................ 1 contrav. e cov. de vetor .................................... 1 cruzado anulação do ... do pol. unid. ......................... 140 de um pol. anti-sim. ..................................... 194 de um pol. sim.............................................. 195 de um tetr. cíclico......................................... 178 de um tetrádico .................................... 174, 179 do tetr. de Riem.-Christ................................ 232 duplo produto ... múltiplo ............................ 106 inv. do ... de um pol. .................................... 120 prod. ... de dois prod. cruz............................ 354 prod. misto com três pol................................. 68 prod. mult. com três pol. ................................ 66 produto................................................... 25, 104 produto ... de poliádicos............................... 105 produto ... de vetores complexos.................. 341

D decomposição aditiva........................................ 191 decomposição cartesiana de poliádico.................................................... 93 de vetores complexos ................................... 355 desviante fator................................................................ 90 desvio poliádico desvio ............................................. 86 díades

semidiâmetros conjugados............................177 semi-tang de rotação .....................................174 diádicos cíclicos..................................................326, 359 de base ..........................................159, 174, 232 critérios para numeração..................165, 307 de reflexão ....................................................234 motivo.............................................................14 motivo de triádicos .........................................11 diádicos complexos............................................315 antec. ou parte real........................................358 conseq. ou parte imag. ..................................358 def.................................................................358 elipsóide direcional.......................................361 elíptico direcional .........................................361 esféricos ........................................................363 hermíticos .....................................................360 k-palanares, k-ortopl. etc. .............................359 nulo...............................................................358 operações ......................................................359 transp., dupla multiplic. cruz. etc.............360 paralelos........................................................362 unidade real e imag.......................................359 Drew, T. B. ........................................................309

E elipses excentricidade...............................................322 homotéticas...................................328, 332, 341 polares recíprocas .................................328, 330 def............................................................323 eixos.........................................................327 raio vetor.......................................................318 rememorando conceitos ................................316 roto-homotéticas ...........................322, 328, 329 semidiâmetros conjugados............................338 equação característica de diádico .....................................................313 de matrizes antitriang....................................256 de poliádico ..................................251, 252, 255 de tetr. isotr...................................................277 de tetr. ortotr. ................................................275 de tetr. transv. isotr. ......................................276 escalar de poliádico ....................................................79 espaço de um pol. anti-sim. ...............................194 espaço poliádico base.................................................................92 geometria ......................................................113 grupo ortocêntrico.........................................140 projeções.......................................................117 teor. fundamental ..........................................114 trigonom. plana e esférica .............................117

F fator desviante de poliádicos ...............................89

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figura rodada..................................................... 321 figuras orto-homotéticas ................................... 321 forma binomial de números complexos................................. 384 de vetor complexo ........................................ 337 forma espectral ou tônica .......................... 258, 259 função poliádica linear de argumento poliádico............................ 41, 45

de número complexo.....................................384 de vetor complexo.........................................335 números complexos .....V, 267, 314, 315, 334, 356, 383, 386, 388, 394 cíclico, arg., diagr. de Argand.......................337 forma binomial .............................................384

O octádico de rotação ............................................186

G-ésimo de 2H-ádicos....................................... 132 Gibbs, J. W. ............... III, IV, 1, 311, 317, 328, 329

paralelotopo (ver vol. I) .............................113, 373 partes simétrica e anti-simétrica ........................191 plano orientado ..................................................321 políades prod. múlt. com pol. isômeras.........................63 reversas ...........................................................55 ternárias ............................................................4 transp. composta .............................................56 transposição múlt............................................54 poliádico característico ..............................253, 262 poliádico desvio...................................................89 poliádicos ..............................................................4 adição ...............................................................5 ajunto e segundo ...........................................146 anteced. e conseq. .............................................4 antitriangulares .............................................256 autopoliádicos de um ....................................251 autovalores de um .........................................251 base.................................................................92 casos de igualdade ....................................22, 30 com auto valores reais...................................266 com autovalores imaginários ........................262 com autovalores mult....................................269 com autovalores nulos ..................................256 com autovalores simples ...............................262 comb. linear ......................................................6 completos e incompletos...............................133 complexos.............................................313, 369 coord. cart. ......................................................93 de Moreira ............................................140, 142 def., geração......................................................3 desvio e fator desviante...................................89 determinação experimental ...................279, 290 diádicos....................................................281 tetrádicos..................................................289 elementos característicos ..............................249 em feixe ........................................................141 equação característica ...................................251 equações poliádicas ......................................116 escritas polinomiais ..........................................4 espaço poliádico .............................................91 ext. sim. e anti-sim........................................233 forma espectral ou tônica..............................258 função linear de arg. vetor ................................7 G-ésimo característico de um........................252 G-ésimo de ...................................................132 igualdade ..........................................................8 inv. P-ários....................................................130 inv. prim. dos isômeros.................................127

H hermítico........................................................... 360 hexádicos de Civita def. .......................................................... 210 em função dos isôm. de 6I ....................... 210 matriz assoc. .................................................. 18 hexádicos isotrópicos........................................ 249 homotetia .......................................... 320, 331, 340 def. ............................................................... 320 orto-homotetia.............................................. 326

I identidades com vetores complexos .................. 352 invariância a completeza de um poliádico ...................... 134 do prod. misto múlt...................................... 111 invariantes de pol. .......................................................... 124 dos poliádicos .............................................. 120 o pont. e o cruz. de pol. ................................ 121 primários de pol. .......................................... 122 inverso de um poliádico .................................... 147 isomeria .............................................................. 60 isômeros do hexádico unidade ...................... 95, 103, 210

L leis físicas lineares.............................................. 279 físicas não lineares ....................................... 290

M matriz(es) assoc. a prod. pont. ........................................ 31 assoc. ao poliádico unidade............................ 73 duplo produto pontuado ................................. 33 isômeras ......................................................... 70 matriz métrica de P poliádicos ....................... 93 métrica de hexádicos isômeros..................... 103 multiordianais ................................................ 32 medida(s) incerta(s) ...................................................... 283 Moreira, L. C. M......................................... IV, 142 multiplicid. linear vetorial..................................... 1

N nono de um tetrádico ............................................ 135 norma

inv. primários............................................... 122 inv. secundários ........................................... 129 inverso.......................................................... 147 isomeria.......................................................... 60 majorantes e minorantes................................. 87 matria assoc. em base vet............................... 16 medianos .......................................................... 4 menores........................................................ 120 multiplic. (P+Q)-plas................................................. 38 casos de multiplic...................................... 28 cruz. múlt. ............................................... 104 cruz. múlt. dupla ..................................... 106 mista mult. .............................................. 107 mult. dupla ................................................ 37 múltipla ..................................................... 25 pontuada por vetor ...................................... 7 simples ...................................................... 24 norma, flecha e ângulo ................................... 50 nulo ................................................................ 21 operações ......................................................... 4 multipl. por n. real....................................... 4 operador de uma transf. linear.......................... 7 parte A-ádica principal................................... 88 partes Q-adic. sim. e Q-adic. anti-sim.......... 191 perpendiculares .............................................. 30 polinômio mínimo........................................ 250 pont. e Q-vec de um poliádico ....................... 79 potenciação .................................................... 38 potenciação pont. e cruz. Q-pla...................... 38 prod. justapostos .............................................. 3 prod. mult. com 3 poliádicos ....................................... 66 prod. por n. real................................................ 5 produto de compl. e incompl........................ 138 Q-adic sim. e antisim. .................................. 188 Q-adic. sim e Q-adic. anti-sim no posto T ... 193 quadro quant. escritas .................................... 15 redução tônica ou espectral .......................... 258 reduções canônicas ...................................... 262 representações bin., tern., quatern. etc. ............................... 4 mista e não mista....................................... 19 Ni-nomiais................................................. 14 simetria interna .................................... 187, 190 simétricos autovalores .............................................. 266 forma espectral........................................ 269 transp. de ordem negativa .............................. 58 transposição múltipla ..................................... 54 unidade 2QI a tabuada do um ........................................ 83 def. ............................................................ 72 escalar e Q-vec .......................................... 81 fator desviante........................................... 90 majorantes e minorantes............................ 87 prod. mult. com os .................................... 84 propriedades.............................................. 75

transp. sobre o............................................78 valência.............................................................3 valência ímpar, matriz assoc...........................18 poliádicos em feixe............................................140 poliádicos incompletos planares e lineares.........................................152 potências pontuadas......................................157 de planares e lineares ...............................158 de pol. lin. e ortol. ....................................157 polinômio mínimo de poliádico.........................250 potenciação pol. e matric. ....................................41 principal de um pol. completo ...........................148 quadrado de compl. circular ..............................342 quadriláteros esféricos .......................................368

Q Q-vec de um 2Q-ádico ..............................................79 de um poliádico ..............................................80 do poliádico unidade.......................................81 inv. do ... de um pol. .....................................120

R red. normal do tetr. completo.............................373 redução tônica (ou espectral). ............................258 reduções canônicas ............................................262 reversão de políade ou de poliád..........................55 rotação geometria ......................................................320 octádico ........................................................186 roto-homotetia ...................................................321

S segundo de um poliádico ...................................146 sim. int. por coord. cart. tetrádicos ..............................................212, 217 triádicos ................................................195, 202 simplex ..............................................................117 sistemas recíprocos de poliádicos.........102, 124, 140, 247, 257, 273 de vetores.1, 10, 15, 29, 70, 125, 170, 192, 324, 325, 330, 338 de vetores complexos ....................330, 354, 355

T tensor cart. de quarta ordem ....................................168, 170 de várias ordens ..............................................46 e dupla multiplic. de matrizes .........................49 teorema de Cayley-Hamilton .............................260 tétrades binárias .............................................................3 tetrádicos retos e deformação pura ...........................376 anteced. e conseq. .............................................3 autovalores e autodiádicos isotr..........................................................277 ortotrópicos..............................................275 transv. isotr. .............................................276 característicos ...............................................255 ciclicamente similares...................................178

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cíclicos ......................................................... 170 autodiádicos .................................... 370, 371 autovalores (mult.) .................................. 269 def. .......................................................... 171 e rel. com os isôm. de 4I .......................... 180 matriz assoc............................................. 172 rel. com seus inv. .................................... 178 com eixos de sim.......................................... 241 com planos de sim........................................ 233 completos CNS para que.......................................... 138 decomp. polar.......................................... 377 def. .......................................................... 133 redução normal........................................ 373 congruentemente similares........................... 178 cruzado de um.............................................. 174 de mudança de base def. .......................................................... 162 matriz ...................................................... 164 propr. e inv. prim. ................................... 162 de rotação decomposição.......................................... 184 def. .......................................................... 171 duplos prod. pont. de............................... 182 eixo de rotação ........................................ 179 matriz assoc............................................. 172 vetor semi-tang de rot.............................. 185 def. ................................................................... 3 elástico ......................................................... 225 escrita polinomial............................................. 3 estudo sim. pelas coord. ............................... 217 com dois planos de sim. .......................... 237 com sim. múlt. ........................................ 221 com um plano de sim. ............................. 235 de Green isotrópicos .................................. 246, 247 ortotrópicos ........................................ 241 transv. isotr......................................... 244 de Green (sim. tripla) .............................. 228 de Riem.-Christ. (sim. quadr.)................. 230 diadic. sim............................................... 220 igual ao seu reverso................................. 218 matriz assoc. tetr. elástico ....................... 227 sim. e diadic. sim. ................................... 224 vet. sim. e sim. ........................................ 222 fórmulas de transp. compostas ....................... 59 incompletos aspectos geométricos............................... 152 def. .......................................................... 152 inters. e paral. de esp. assoc. ................... 153 int. sim. ou anti-sim. pelo centro.................. 215 isotrópicos...................................................... 94 isotrópicos na T. da Elasticidade.................. 248 matriz assoc. .................................................. 17 tetr. elástico, not. de Voigt ...................... 227 menores........................................................ 119 na T. Elast. - redução ................................... 275 o nôno de um ............................................... 135

quadrantais e biquadrantais def............................................................183 duplo prod. de..........................................183 redução normal marcha de cálculo ....................................376 relação entre as matrizes assoc......................136 similares def............................................................167 mediante tetr. cicl. e de rot.......................178 transf. de coord. por mud. de base ................168 transf. por simil.............................................166 transformação linear cálculo do operador de uma ..........................115 entre espaços poliádicos................................113 por similaridade ............................................161 transformações similares def.................................................................167 propr. ............................................................167 transposição de ordem negativa...........................................58 de pol. com o hex. de Civita .........................210 múlt. de pol.....................................................54 simples e composta de políades ......................56 tríades binárias .............................................................2 ternárias ....................................................12, 14 triádicos .................................................................2 anteced. e conseq. .............................................2 com dupla sim. int. .......................................199 completamente sim. ......................................200 coord. cart. ......................................................14 coord. tripl. contrav. e cov. .............................14 de Civita .......................................................208 diad. e intern. sim. ........................................197 diadicamente sim. ...........................................11 escrita polinomial .............................................2 fórmulas de transp. composta .........................59 geração..............................................................2 multiplic. pontuada por vetor............................6 nulo.................................................................21 redução trinomial............................................11 repr. N2-nomiais..............................................12 repr. N3-nomiais..............................................13 repr. N-nomiais.................................................9 semi-anti-sim. ...............................................201 vetores motivos ...............................................12 triângulos esféricos ............................................364

V valência..................................................................3 valores caract. (ou autovalores) .........................253 vetores argumento ou fase.........................................318 semidiâm. conjug..........................317, 324, 332 vetor de fase..................................................318 vetores complexos..............................313, 347, 357 adiant. ou retard. da fase ..............................339 adição, def., propr. ........................................332 álgebra dos....................................................332

antec. ou parte real ....................................... 316 axial e fásico ................................................ 339 circulares ou circ. polarizados...................... 319 CNS para paral............................................. 344 conjugado..................................................... 319 conseq. ou parte imag. ................................. 316 copl., polares recipr...................................... 323 coplanares .................................................... 320 coplanares ortog. .......................................... 326 coplanares, oblíquos e paral. ........................ 320 dec. cart. em bases rec. compl...................... 355 def. ............................................................... 315 elipse direcional ........................................... 317 elipticamente polarizados............................. 318 elíptico direcional ................................ 317, 328 excêntrico..................................................... 322 forma binomial............................................. 336 geometria ..................................................... 315 identidades com ........................................... 353 duplo prod. vetorial................................. 353 prod. esc. de dois prod. vet...................... 354 multiplic. pont. e cruz. ................................. 341 multiplic. por num. complexo def., propr................................................ 333 interpret. geom. ....................................... 337

não coplanares ortogonais.............................328 norma e módulo ............................................335 nulos .............................................................315 oblíquos ........................................................331 oposto e conjugado .......................................319 ortolineares ...................................................319 paral. e circulares ..........................................345 paralelos def............................................................321 e o produto Zz ..........................................339 polares recíprocos .........................................325 prod. misto CNS nulidade...........................................349 def............................................................346 nulidade ...................................................347 interpr. geom.......................................350 recíprocos .....................................................355 repr. cart. diversas.........................................356 sentido positivo.............................................318 sistema recíproco no espaço..........................330 sistemas recíprocos no plano ........................326 unilineares.....................................................319 unitário de um...............................................335 unitários imag. ..............................................335

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