Pd logica

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Segundo cuatrimestre

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Alonso Lujambio Irazábal SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR Rodolfo Tuirán Gutiérrez PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA COORDINACIÓN GENERAL Manuel Quintero Quintero COORDINACIÓN ACADÉMICA Soila del Carmen López Cuevas DISEÑO INSTRUCCIONAL Karla Contreras Chávez EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS Brenda Mariana Cruz Reyes AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: Mtra. Elsa Marlene Escobar Cristiani

Secretaría de Educación Pública, 2010

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Contenido I.

Información general de la asignatura……………………………………………………………....4

II.

Competencia(s) a desarrollar……………………………………………………………………….5

III.

Temario………………………………………………………………………………………………..6

IV.

Metodología de trabajo…………………………………………...………………………………..10

V.

Evaluación……………………………………………………………...……………………………11

VI.

Material de apoyo………………………………………………………….………………………..12

VII.

Desarrollo de contenidos por unidad………………………………………..……………………13

Unidad 1. Conjuntos……………………………………………………………………….……………….13 Unidad 2. Lógica clásica…………………………………………………………………………………...46 Unidad 3. Análisis de argumentos………………………………………………………………………...85 Unidad 4. Métodos de demostración y formalización lógica……………………………………........123

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I. Información general de la asignatura A. Ficha de identificación Nombre de la Licenciatura o Ingeniería Nombre del curso o asignatura Clave de asignatura Seriación Cuatrimestre Horas contempladas

Matemáticas Lógica 050910208 Sin seriación 2 72

B. Descripción Las matemáticas además de su carácter abstracto se distinguen por su alto grado de rigor lógico, así como por el carácter irrefutable de sus conclusiones. A Euclides debemos ésta presentación estrictamente lógico deductivo de teoremas a partir definiciones, postulados y axiomas, de la matemática contemporánea.

Así pues, la minuciosidad y fuerza de las demostraciones matemáticas hacen indispensable el estudio de la lógica para la adquisición y el manejo del conocimiento matemático a nivel superior, así como para la aplicación del mismo en el campo laboral. Es, por ello, que la asignatura de Lógica está diseñada para estudiantes de matemáticas y cuenta con un enfoque demostrativo, es decir, el interés principal se dirige hacia el análisis y la construcción de argumentos por parte de los estudiantes con el propósito de que adquieran la habilidad para demostrar, base fundamental de la matemática contemporánea.

La asignatura se ubica en el segundo cuatrimestre, después de las asignaturas de tronco común, y es pertinente porque sirve como antesala para que el alumno pueda abordar el estudio de las materias de los siguientes cuatrimestres con la profundidad que corresponde al estudio de las matemáticas en el nivel superior.

La asignatura representa una base fundamental en el desarrollo del futuro egresado de Matemáticas, ya que el alcance de las competencias le permitirán realizar hipótesis de trabajo y demostraciones de las mismas, proponer métodos y modelos matemáticos para la resolución de problemas, crear estrategias didácticas, expresar teorías y desarrollar investigaciones en el ámbito de las matemáticas.

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Además de formar un campo específico de estudio dentro de la matemática, la lógica también se encuentra estrechamente relacionada con todas las áreas de ésta carrera, ya que provee al estudiante del pensamiento crítico y analítico para desenvolverse en los contenidos de la matemática superior.

C. Propósito La asignatura de Lógica tiene como propósito fundamental proporcionar a los estudiantes las herramientas de la lógica formal con el fin de desarrollar en ellos la abstracción y el rigor lógico suficientes para comenzar su camino por el mundo de las demostraciones, base fundamental de la matemática contemporánea.

II. Competencia(s) a desarrollar Competencia general 

Utilizar el lenguaje formal de la lógica para expresar teorías, hipótesis y demostraciones matemáticas a través de estrategias didácticas, desarrollo de investigaciones y diseño de modelos en el ámbito de las matemáticas.

Competencias específicas 

Establecer conjuntos para fundamentar el lenguaje matemático a través de relaciones con la vida cotidiana.



Traducir proposiciones por medio del lenguaje formal de la lógica clásica como puente de comunicación para la adquisición de conocimiento matemático.



Determinar el valor de verdad de una proposición, a través del uso de las conectivas lógicas, para adquirir las bases de la evaluación de la validez de un argumento.



Demostrar una proposición por medio de la construcción de argumentos para la adquisición de conocimiento matemático.

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III. Temario Unidad 1. Conjuntos 1.1. Conjuntos 1.1.1. Paradojas, la dificultad de definir un conjunto 1.1.2. ¿Qué es un conjunto?

1.1.3. ¿Cómo expresar conjuntos?

1.1.4. Subconjuntos 1.2. Operaciones con conjuntos 1.2.1. Unión 1.2.2. Intersección 1.2.3. Resta 1.2.4. Complemento 1.3. Diagramas de Venn 1.3.1. Diagramas de Venn, ¿qué son?

1.3.2. Operaciones con conjuntos y diagramas de Venn

Unidad 2. Lógica clásica 2.1. Lógica clásica 2.1.1. ¿Qué es la lógica?

2.1.2. ¿Qué es la lógica clásica?

2.1.3. El argumento 2.2. Lenguajes 2.2.1. Lenguaje natural 2.2.2. Lenguaje formal 2.2.3. Metalenguaje 2.2.4. El lenguaje de las matemáticas

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2.3. El lenguaje formal de la lógica clásica 2.3.1. El alfabeto: Signos de la lógica clásica 2.3.2. La gramática: Sintaxis de la lógica clásica 2.3.3. Traducción entre lenguajes

Unidad 3. Análisis de argumentos 3.1. Identificación de un argumento y sus partes 3.1.1. Discurso argumentativo y no argumentativo 3.1.2. Reconocimiento de premisas 3.1.3. Reconocimiento de conclusiones 3.2. Verdad y validez 3.2.1. Verdad 3.2.2. Validez 3.3. Criterios de verdad y equivalencias lógicas 3.3.1. Criterios de verdad para las conectivas lógicas a) Negación b) Disyunción c) Conjunción d) Condicional 3.3.2. Criterios de verdad para cuantificadores a) Bicondicional b) Cuantificadores 3.3.3. Equivalencias lógicas 3.3.4. Tablas de verdad 3.4. Deducciones naturales 3.4.1. La inferencia o ¿qué es una deducción natural?

3.4.2. Verdades lógicas 3.4.3. Regla de deducción natural proposicionales a) La suposición b) El Modus Ponendo Ponens c) El Modus Tollendo Tollens 7 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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d) La reducción al absurdo e) La doble negación f) El silogismo hipotético g) La prueba del condicional h) La introducción de la conjunción i) La eliminación de la conjunción j) La introducción de la disyuntiva k) El Modus Tollendo Ponens l) El silogismo disyuntivo m) Definición del bicondicional 3.4.3. Regla de deducción natural cuantificacionales a) Para el Cuantificador Universal b) Para el Cuantificador Existencial

Unidad 4. Métodos de demostración y formalización lógica 4.1. Validez argumentativa 4.1.1. Argumentos válidos 4.1.2. Falacias y argumentos no válidos 4.1.3. Consistencia lógica 4.2. Métodos de demostración 4.2.1. Directo 4.2.2. Contrapositivo 4.2.3. Por casos 4.2.4. Reducción al absurdo 4.2.5. Inducción matemática 4.2.6. Contraejemplos 4.2.7. Heurística 4.3. Formalización lógica 4.3.1. Lenguaje 4.3.2. Estructura 4.3.3. Interpretación 8 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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4.3.4. Fórmulas y bloques 4.3.5. Valuaciones 4.3.6. Satisfacibilidad 4.3.7. Consecuencias lógicas y tautologías

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IV. Metodología de trabajo Se espera que los alumnos sean capaces de aplicar lo aprendido, tanto en su ámbito académico, como en el personal y, más adelante, en el profesional. Por lo anterior, la práctica constante es necesaria.

Para el logro de la competencia general es fundamental que los conceptos y procedimientos presentados se ejerciten todo el tiempo, se espera que los estudiantes no sólo comprendan los contenidos, sino que sean capaces de aplicarlos en las situaciones específicas que enfrentarán a lo largo de su trayectoria, tanto académica como profesional.

Para ello, la estrategia metodológica de enseñanza-aprendizaje estará basada en el estudio de casos en los cuales los estudiantes ejercitarán el uso y la aplicación de los conocimientos lógicos y del lenguaje formal.

Con el objetivo de desarrollar las habilidades de comunicación lógica y de promover el aprendizaje colaborativo, se utilizarán herramientas que propicien el intercambio de ideas con estructura argumentativa, como son los foros y las bases de datos.

En cuanto al facilitador, éste desempeñará un papel preponderante durante el curso, pues se espera no sólo que retroalimente las diversas actividades, sino que sea un personaje activo en las bases de datos y los foros creados para la discusión argumentativa, a través de la moderación y la ubicación de los aciertos y errores en el análisis argumentativo, así como en la evaluación de premisas.

Finalmente, se propondrán una serie de ejercicios, no obligatorios, con la finalidad de que el estudiante practique constantemente.

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V. Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Física, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas cada una de las unidades, dentro del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizar la actividad correspondiente.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.

RECURSOS Y HERRAMIENTAS

VALOR

Actividades formativas (envíos a taller y tareas).

20%

Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro, blog, wiki, base de datos).

20%

Autoevaluaciones de unidad.

20%

E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje.

40%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD. 11 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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VI. Materiales de apoyo Bibliografía básica 

Amor Montaño, J. A. La enseñanza del análisis lógico. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/amor.htm



Amor Montaño, J. A. Lógica clásica de primer orden. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/05-1/0428Amor.ppt



Enderton, H. B. (2004). Una introducción matemática a la lógica. México: Instituto de Investigaciones Filosóficas, Universidad Nacional Autónoma de México.



Harnández Deciderio, G. y Rodríguez Jiménez, G. (2008). Lógica ¿para qué? México: Pearson Prentice Hall.



Huertas, A. y Manzano, M. (2004). Lógica para principiantes. Madrid: Alianza Editorial.



Ivorra Castillo, C. Lógica y teoría de conjuntos. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf



Sánchez, C. H. (2006). Lógica Informal: una alternativa para la enseñanza de la lógica. Lecturas Matemáticas. Colombia: Sociedad Colombiana de Matemáticas, Apuntes.

Bibliografía complementaria 

Amor Montaño, J. A. (1992). Antología de Lógica Matemática. México: Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.



Amor Montaño, J. A. (1993). Lógica proposicional dentro de la lógica de primer orden. México: Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.



Amor Montaño, J. A. (1997). Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias. México: Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.



Carroll, L. (2002). El juego de la lógica y otros escritos. Madrid, España: Alianza Editorial.



Martínez Sánchez, J. (1973). Conjuntos. México: Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Estudios Superior.



Zubieta Russi, G. (2002). Lógica deductiva. México: Sociedad Matemática Mexicana.

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DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD

Unidad 1. Conjuntos Presentación de la unidad Teoría de Conjuntos Cada cuerpo tiene su armonía y su desarmonía.

En algunos casos la suma de armonías puede ser casi empalagosa.

En otros el conjunto de desarmonías produce algo mejor que la belleza.

Mario Benedetti Inventario I. Viento del exilio.

En su libro Los elementos, Euclides hace una presentación formal de algunos resultados de la matemática de su época. Euclides parte de ciertas definiciones, cinco axiomas y ocho nociones comunes a partir de los cuales construye todo un edificio de proposiciones a modo de teoremas con demostraciones.

Esta presentación de los resultados de la matemática, se quedó como herencia de Los elementos y gracias a ella, las matemáticas fueron adquiriendo un alto grado de rigor lógico así como un carácter irrefutable en sus afirmaciones.

Por ello, la minuciosidad y fuerza de las demostraciones matemáticas hacen indispensable el estudio de la lógica para la adquisición y manejo del conocimiento matemático a nivel superior, así como para su aplicación en el campo laboral.

No existen recetas, prescripciones, fórmulas, pócimas ni conjuros para aprender a demostrar, ni en matemáticas ni en ninguna otra ciencia. Pero sí es posible adquirir las bases para que tú mismo puedas desarrollar el ―arte‖ del razonamiento matemático, a fin de que puedas hacer frente al lenguaje matemático y a las técnicas lógicos deductivos de demostración que enfrentarás más adelante. En este curso de lógica estudiaremos justamente esas bases.

En esta unidad veremos, a grandes rasgos, qué es un conjunto y algunas operaciones entre conjuntos para que puedas aplicar estas herramientas a la lógica proposicional. Es así que no profundizaremos en la Teoría de Conjuntos, otra rama de las matemáticas que requeriría de un curso completo para introducirte en ella.

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Propósitos de la unidad En esta unidad: 

Utilizarás conjuntos para representar situaciones de tu vida y de las matemáticas.

Competencia específica Establece conjuntos para fundamentar el lenguaje matemático a través de relaciones con la vida cotidiana.

1.1. Conjuntos Se cuenta que entre los habitantes de un pequeño pueblo hay uno y solo un barbero. Es un hombre alto y fornido, de aspecto bonachón y de apariencia muy pulcra. Es también un hombre reconocido y respetado en el pueblo por la calidad de su trabajo.

Este barbero nunca tiene problemas con su trabajo y por la perfección del mismo, la mayoría de los hombres del pueblo son asiduos clientes de él. Además, no cobra un precio excesivo, pero eso sí, tiene dos reglas: 1) Para afeitar a alguien: esa persona no se debe afeitar a sí misma.

2) Afeitar a todos los que no se afeiten a sí mismos. ¡Y claro! Como es el único barbero del pueblo puede darse el lujo de seleccionar. Por eso, el barbero afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, y sólo a ésos.

1.1.1. Paradojas, la dificultad de definir un conjunto Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos. Los objetos que forman dicha colección se llaman elementos. Por colección entendemos una agrupación.

Por ejemplo: Los alumnos de tu grupo forman un conjunto, tus calcetines forman otro conjunto –y creo que todos tendrán al menos un par de calcetines–, y tus zapatos de tacón forman otro conjunto –¡pero yo no tengo zapatos de tacón!, dirán algunos (y seguramente en mayor parte los hombres). Bueno, eso no importa, entonces tu conjunto será el conjunto vacío–.

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Esta idea intuitiva de conjunto conlleva algunos inconvenientes, como que agrupación, colección y conjunto pueden considerarse sinónimos, así que técnicamente, estamos encerrados en un círculo vicioso cuando definimos un conjunto de esta manera.

Por otro lado, a partir de esta definición se generaron algunas paradojas dentro de la teoría. Una paradoja es una afirmación que a la vista parece verdadera, pero que presenta una contradicción para el sentido común y resulta absurda para la intuición.

La paradoja del barbero: un ejemplo clásico de paradoja. Regresemos al cuento del principio.

Un día un pequeño del pueblo le preguntó a su papá: – ¿y? ¿Quién afeita al barbero?

–Pues se afeita a sí mismo, respondió el papá muy seguro, completamente convencido de su afirmación.

En principio, parecería razonable que el barbero se afeite a sí mismo, a fin de cuentas, ¿para qué es barbero si no?

Pero si el barbero se afeita él mismo, entonces viola su primera regla, ya que sólo afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. ¡Cierto! Entonces el barbero no se afeita a sí mismo.

Ahora, si el barbero no se afeita a sí mismo, entonces viola su segunda regla, ya que el barbero afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos, y él es uno de los que no se afeitan a sí mismos. ¡Cierto! Entonces el barbero se afeita a sí mismo. ¡O sea que si el barbero se afeita a sí mismo no debe afeitarse a sí mismo! ¡Pero si el barbero no se afeita a sí mismo, entonces debe afeitarse a sí mismo!

Esta paradoja fue publicada en 1918 por el matemático y filósofo inglés Bertrand Russell.

La estructura de esta paradoja es similar a la de otra paradoja, también de Russell, originada en la definición intuitiva de conjuntos. Si un conjunto es una agrupación de elementos ¿cuál es el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos?

Analiza esta paradoja y explica por qué representa un problema para la definición intuitiva de conjuntos.

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Actividad 1. Foro: Paradojas Participa en el foro con tus compañeros sobre el debate de la lectura ―Verdadero y falso y todo lo contrario‖.

Verdadero y falso y todo lo contrario Paradojas que casi vuelven locos a los matemáticos

Claudia Hernández García

Igual que un buen truco de ilusionismo, una paradoja matemática nos despierta la curiosidad. El resultado parece imposible. Queremos saber cómo nos están tratando de engañar. Pero a diferencia de los magos, los matemáticos no necesitan guardar el secreto.

NO TENÍA CASO permanecer varado en aquella carretera solitaria con el coche sin combustible. A Juan no le quedaba más remedio que recorrer a pie los 1 000 metros que lo separaban de la gasolinera. Para que el camino no le pareciera tan largo, decidió concentrarse en llegar a la mitad del trayecto (500 metros).

Una vez ahí, se ocuparía de la mitad restante. Pero antes debía llegar a la mitad de la mitad (250 metros). Y para llegar ahí, primero tenía que alcanzar los 125 metros (la mitad de la mitad de la mitad). Cuanto más lo pensaba, más lejana le parecía la gasolinera, porque sin importar qué distancia se le ocurriera, siempre había un punto medio al que tenía que llegar primero. Además, si siempre se podía sacar mitades, ¿cuál era el primer punto del trayecto? ¿Por dónde empezar el viaje a la gasolinera?

Juan se dio cuenta de que para llegar hasta allá tenía que pasar por un número infinito de puntos, y que lo tenía que hacer en un tiempo finito si quería salir de ahí antes del anochecer. ¿Se puede pasar por un número infinito de puntos en un tiempo finito? Si no se pudiera, el movimiento sería imposible. Juan nunca pensó que una tarea tan sencilla como caminar a la gasolinera pudiera complicarse tanto. La primera versión de este problema la propuso un filósofo griego del siglo VI a. C. llamado Zenón de Elea. Su intención al plantearlo era tratar de demostrar que las nociones del espacio y del tiempo comunes en su época eran erróneas. Zenón quería atacar la noción de muchos filósofos contemporáneos suyos de que el espacio se podía dividir indefinidamente, en partes tan pequeñas como se quisiera. El problema se conoce como paradoja de Zenón y le sirvió a éste para concluir que el movimiento era sólo una ilusión... y para 16 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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confundir a los matemáticos durante siglos.

Es, pero no es El término paradoja viene del griego para, ―más allá de‖ y doxa, ―lo creíble‖. Aunque esta idea puede tener muchos significados, lo común a todas las paradojas es que son argumentos que parecen lógicos, pero cuya conclusión va en contra del sentido común. En un sentido amplio, como el que empleamos en el lenguaje cotidiano, llamamos paradojas a afirmaciones que parecen no tener sentido. Por ejemplo: José es “chiva” de corazón, pero en el clásico siempre le va al América.

También solemos llamar paradojas a razonamientos que, aunque parecen estar bien construidos, concluyen algo absurdo: Un helado de chocolate es mejor que todo el dinero del mundo, porque nada es mejor que todo el dinero del mundo y un helado de chocolate es mejor que nada.

Pero no son paradojas en el sentido matemático riguroso de la lógica. La primera afirmación puede considerarse una inconsistencia porque Juan no puede decidirse por un equipo, o una contradicción porque los que le van a las ―chivas‖ no deberían irle al América.

El segundo ejemplo es un tipo de argumento al que los matemáticos llaman falaz. El razonamiento es impecable porque si suponemos que las razones que lo sustentan son verdaderas, la conclusión también tiene que ser verdadera. Sin embargo, llegamos a un absurdo porque no es así, es decir, estas razones que lo justifican son falsas, o simplemente absurdas. No se puede decir que nada sea mejor que todo el dinero del mundo ni que un helado de chocolate sea mejor que nada.

Realmente no son afirmaciones verdaderas.

Las afirmaciones a las que nosotros llamamos paradojas en lenguaje cotidiano por lo general se pueden desenmarañar.

Para los matemáticos, en cambio, las únicas afirmaciones que se consideran paradojas son las que no podemos explicar sin llegar a una contradicción. Oraciones como este enunciado es falso son las que verdaderamente han puesto a los matemáticos de cabeza. Veamos por qué.

La paradoja del mentiroso Si el enunciado este enunciado es falso es verdadero, entonces lo que afirma es cierto y por lo tanto tiene que ser falso. Pero si es falso, lo que afirma no es verdad, es decir, no es cierto que sea falso y por lo tanto 17 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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tiene que ser verdadero. Cuando se trata de decidir si el enunciado es falso o verdadero se llega a una contradicción: el enunciado es verdadero sólo si es falso y viceversa. Epiménides, un poeta griego que vivió en Creta en el siglo IV a. C., propuso esta paradoja en su versión original: Todos los cretenses son mentirosos. Los griegos estaban intrigados. A primera vista el enunciado no parece problemático. Podría ser verdadero o falso. Sin embargo, no podía ser verdadero ni falso sin ser contradictorio porque quien lo enunció es un cretense. La dificultad está en la autorreferencia: este enunciado habla de sí mismo, y eso es lo que causa los problemas porque, al ser cretense quien lo enuncia, se convierte en otro ejemplo de la paradoja del mentiroso. A este tipo de enunciados se les conoce también como antinomias. Hoy decimos que son ―indecidibles‖ porque no se puede determinar si son verdaderos o falsos sin llegar a contradicciones.

Otro ejemplo de antinomia son estas dos oraciones que, si bien no hablan de sí mismas, juntas generan una versión de la paradoja del mentiroso: A: El enunciado B es falso.

B: El enunciado A es verdadero.

Si A es verdadero, entonces B es falso. Y dado que B es falso, entonces A tiene que ser falso. Pero si A es falso, entonces B es verdadero. Y como B es verdadero, entonces A tiene que ser verdadero. Si no entendiste a la primera, te sugiero que vuelvas a leer la explicación. Recuerda que eso es lo que generan las paradojas: confusión.

Aunque estos dos enunciados no hablan de sí mismos, ambos cambian el valor de verdad del otro. Por lo tanto, no es posible decidir si son verdaderos o falsos sin caer en un círculo vicioso.

Dime cómo hablas y te diré qué me dices Algunas paradojas se resuelven al introducir la idea de metalenguaje, concepto desarrollado a mediados del siglo XX por el matemático polaco Alfred Tarski. Él sugirió que las afirmaciones simples y llanas, como ―las hojas de los árboles son verdes‖, están formuladas en un lenguaje objeto. Para poder hablar de la verdad o falsedad de esta afirmación es necesario utilizar un lenguaje que hable del lenguaje, es decir, un metalenguaje. La frase ―el enunciado 'las hojas de los árboles son verdes' es verdadero‖ está expresada en un metalenguaje porque se refiere a la verdad o falsedad (el valor de verdad) de un enunciado en lenguaje objeto.

Para hablar sobre el valor de verdad de este metalenguaje se necesita un metalenguaje más elevado.

Como los peldaños de una escalera infinita, a cada lenguaje objeto le corresponde un metalenguaje que está por encima y él mismo es el metalenguaje de un lenguaje que está por debajo. Ésta es una teoría que los lógicos y lingüistas desarrollan en conjunto.

Cuando se mezclan lenguajes objeto con metalenguajes podemos llegar a conclusiones realmente absurdas: 18 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Romeo ama a Julieta Julieta es una palabra de siete letras Por lo tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras Considerando esta idea de los distintos niveles de lenguaje podemos decir que la paradoja A: El enunciado B es falso B: El enunciado A es verdadero realmente no lo es, pues B es un enunciado escrito en un lenguaje objeto y A es un enunciado escrito en un metalenguaje que habla sobre el valor de verdad del enunciado B. Cada uno de estos enunciados está hablando, literalmente, en un lenguaje distinto. ¿Crees poder explicar por qué no puede ser una palabra de quien Romeo está enamorado? Va una pista: cada enunciado habla de una Julieta distinta. Ya encarrerados, ahí te va otro. Cuando un enunciado es falso, su negación es verdadera, ¿no? Sin embargo, considera estas dos afirmaciones: Esta oración tiene seis palabras (falso: tiene cinco).

Esta oración no tiene seis palabras (¡falso también!).

El problema, claro, es que ―esta oración‖ se refiere a oraciones distintas en cada uno de estos enunciados.

La crisis de los barberos Yo rasuro a todos los hombres del pueblo que no se rasuran a sí mismos y sólo a ellos. ¿Podríamos decir si este enunciado es verdadero o falso? La respuesta es que no. Si este barbero se rasura solo, entonces es uno de los hombres que se rasuran a sí mismos, es decir, es de los que él no rasura. Traducción: si se rasura solo, entonces no se rasura solo.

En cambio, si no se rasura solo, pertenece al conjunto de los hombres a los que él tiene que rasurar. Así que si no se rasura solo, entonces tiene que rasurarse solo. Bertrand Russell propuso esta paradoja del barbero en 1901 para señalar una falla que había descubierto en la teoría de conjuntos.

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Los conjuntos están compuestos de elementos. Por ejemplo, podemos decir que el conjunto A contiene los elementos 0, 1 y 2, y que B tiene los elementos 3, 4 y B. Se dice que A no pertenece a sí mismo como elemento porque A no está entre los elementos del conjunto A. En cambio B sí se contiene a sí mismo porque aparece entre sus elementos. De cualquier conjunto se puede decir que pertenece a sí mismo o que no.

Lo que hizo Russell hace 100 años fue meter en un conjunto llamado R a todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Por ejemplo, como A no se pertenece a sí mismo, A tiene que ser elemento de R. Pero B sí pertenece a sí mismo, por lo tanto, no es elemento de R. El problema surge cuando se trata de decidir si este conjunto R pertenece a sí mismo o no.

Si R no es elemento de R, entonces tiene que entrar en R porque no se contiene a sí mismo. Y si R es elemento de R, entonces no puede entrar en R porque pertenece a sí mismo. Es decir, R pertenece a R si y sólo si R no pertenece a R. Con esta paradoja se establece una correspondencia entre las paradojas semánticas y las de la teoría de conjuntos: cada afirmación sobre la verdad o falsedad de otra tiene su equivalente en la teoría de conjuntos y viceversa. Por ejemplo, en el caso de la paradoja del mentiroso, la afirmación este enunciado es falso puede traducirse como este enunciado es un elemento del conjunto de todos los enunciado falsos y no deja de ser una paradoja. Si este enunciado pertenece al conjunto de los enunciados falsos, entonces lo que afirma es verdadero y por lo tanto no puede pertenecer al conjunto de los enunciados falsos. Y si el enunciado no pertenece al conjunto de los enunciados falsos, entonces lo que afirma es falso, y por consiguiente debe pertenecer al conjunto de los enunciados falsos.

Esta correspondencia intercambia ser verdadero o falso por pertenecer o no a un conjunto. Cada paradoja semántica tiene su análoga en la teoría de conjuntos y cada paradoja de la teoría de conjuntos tiene su análoga semántica.

Aunque las paradojas no dejaban de ser paradojas, la analogía sirve para trasladar la idea de los metalenguajes de Tarski a la teoría de clases de Russell. La teoría russelliana ordena a los conjuntos en jerarquías de clases. En el nivel más bajo se encuentran las propiedades de los elementos. En el segundo nivel están las propiedades de conjuntos que se forman con esos elementos.

En el siguiente nivel aquéllas de los conjuntos que se construyen con esos conjuntos, y así sucesivamente.

Como los conjuntos de un nivel son los elementos del nivel inmediatamente superior, las propiedades de un conjunto pertenecen a una clase y las de un conjunto de conjuntos corresponden a la clase inmediatamente superior. De esta manera se sustituye la idea del ―conjunto de conjuntos‖ por la de ―la clase de conjuntos‖, que equivaldría a decir que el enunciado este enunciado es falso realmente no es un enunciado del lenguaje objeto, sino uno del metalenguaje.

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Esta teoría hace desaparecer la paradoja porque en un mismo nivel ya no se permite hablar de que un conjunto es miembro de sí mismo o de que no lo es. No tiene sentido, pues sería como decir que un elemento es miembro de sí mismo (y los elementos sólo pueden pertenecer a los conjuntos). Sin embargo, no es una teoría elegante como Russell pensaba que las teorías matemáticas debían ser. Le parecía muy rebuscada y tramposa porque elimina por completo a los conjuntos que ocasionaban los problemas.

Además, esta restricción representó un enorme problema para la solidez de las matemáticas. Una vez que se descubrió que la lógica que sostenía todo el edificio matemático permitía inconsistencias de esta magnitud, las demostraciones ya no podían ser confiables. Los fundamentos de las matemáticas se encontraban en un oscuro túnel que no parecía tener salida hasta que en 1940 el matemático austriaco Kurt Gödel publicó un importante trabajo.

En matemáticas se parte de principios básicos para obtener resultados nuevos. Lo que Gödel demostró es que hay proposiciones que no se pueden demostrar o refutar a partir de dichos principios. En particular, no se puede demostrar si los principios mismos son contradictorios o no y, en consecuencia, nada asegura que no generen contradicciones. Esto no significa que las matemáticas estén llenas de errores o que se vayan a derrumbar, simplemente quiere decir que hay piedras en el camino, como la paradoja de Russell, que no se pueden evitar. Las paradojas en las matemáticas no son sólo juegos. Cada una puede provocar la reflexión alrededor del razonamiento deductivo. Estudiadas y debatidas por los matemáticos de todo el mundo en todas las épocas, muchos de los grandes avances de las matemáticas se han debido a los innumerables intentos por resolver las paradojas clásicas. Son una gran influencia para la filosofía de la matemáticas porque nos hacen ver que éstas no son una disciplina acabada en la que ya nada queda por hacer. Hay preguntas paradójicas que siguen sin respuesta y problemas en los que los matemáticos siguen trabajando porque todavía es posible plantear preguntas.

Y el camino...

Para los matemáticos griegos, que no tenían un verdadero concepto de convergencia o infinito, la paradoja de Zenón era incomprensible. La consideraban una falacia porque el movimiento sí es posible, pero realmente nunca pudieron explicar dónde estaba el error del argumento. Durante siglos fue considerada una curiosidad filosófica hasta que en el siglo XIX se demostró un resultado que sirve para resolverla: si sumas 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … y sigues sumando mitades de mitades de mitades hasta el infinito, el resultado, contra toda expectativa, no es infinito. Es igual a 1. En otras palabras, aunque Juan tiene que recorrer un número infinito de distancias cada vez más pequeñas, la suma de esa infinidad de distancias equivale a la distancia total que hay que recorrer, no a una distancia infinita como se creía en tiempos de Zenón. Así que Juan podía llegar a la gasolinera y no tenía por qué pasar la noche en la carretera.

Claudia Hernández García es matemática. Trabaja en el Departamento de Contenidos del museo Universum.

Recuperado desde: http://www.comoves.unam.mx/archivo/matematicas/77_paradojas.html 21 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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1.1.2. ¿Qué es un conjunto?

En la actualidad, un conjunto se define de manera axiomática.

Un axioma es un principio básico que se asume como verdadero sin necesidad de requerir de demostración alguna.

Esto significa que cualquier objeto que cumpla una serie de axiomas establecidos podrá ser llamado conjunto. De hecho, la Teoría de Conjuntos es una de las ramas axiomáticas de la matemática moderna.

En Teoría de Conjuntos, dicha axiomatización ayuda a solventar los problemas antes vistos. Sin embargo, no contamos con las bases matemáticas suficientes para presentar un conjunto en su forma axiomática.

Por ello, usaremos para nuestros fines dicha noción común de conjunto como una colección de objetos. Por otro lado, es la definición inicial de Cantor.

Georg Cantor fue un matemático alemán (1845-1918), que es considerado el padre de la teoría moderna de conjuntos. Uno de los propósitos de Cantor era fundamentar toda la matemática de su época.

Para ello escogió el concepto de conjunto y se ocupó de la formalización de la Teoría de Conjuntos.

―Un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo‖ (Manzano, p. 168).

1.1.3. ¿Cómo expresar conjuntos?

Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y los elementos con minúsculas. Cuando un objeto es elemento de un conjunto se utiliza el símbolo elemento

para representar eso y se escribe

que se lee: el

pertenece al conjunto .

22 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Existen diferentes maneras de especificar un conjunto. Aquí usaremos las llaves

y los diagramas de

Venn que veremos un poco más adelante. Las llaves se utilizan colocando dentro de ellas los elementos de conjunto, ya sea uno por uno o especificando una característica. Por ejemplo:

Así, podemos escribir que

, es decir, tú perteneces al conjunto cuyos elementos son estudiantes de

la ESAD. Dos conjuntos que son importantes son: el conjunto vacío y el conjunto universal.

El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos, ¡ni uno solo! Su símbolo es .

Así, podemos decir que

.

¡Pon mucha atención!, adentro de las llaves no se escribe nada porque el conjunto vacío no tiene ningún elemento. Si tú escribes así

significa que es el conjunto que

tiene como elemento al conjunto vacío. Éste no es un conjunto vacío, es un conjunto con un elemento:

,y

. Quizá te parezca algo confuso, pero piénsalo

así: no es lo mismo tener una caja completamente vacía que una caja donde adentro tienes una caja vacía.

En matemáticas se utilizan símbolos específicos para denominar algunos conjuntos de números por la importancia que estos conjuntos tienen.

En cálculo deberás ver más especificaciones acerca de todos estos conjuntos, ya que los utilizarás cotidianamente a lo largo de toda tu carrera.

23 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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1.1.4. Subconjuntos Se dice de un conjunto

que es subconjunto de un conjunto , si todos y cada uno de los elementos de

son también elementos del conjunto .

Por ejemplo:

Tenemos que

es subconjunto de

conjunto de las manzanas, y

, pues todas y cada una de las manzanas verdes pertenecen al

es subconjunto de , ya que todos y cada uno de los alumnos del grupo en

el que estás estudiando son a la vez alumnos de la ESAD. Pero

no es subconjunto de

, pues ninguna

manzana verde es alumna de la ESAD. El símbolo que denota que un conjunto es subconjuntos de otro es el siguiente:

. Mientras que se usa

para expresar que un conjunto no es subconjunto de otro.

Entonces, las frases anteriores se escriben de la siguiente forma: y

, que se lee:

y lo leemos así:

es subconjunto de . Para denotar que

, que se lee:

es subconjunto de ,

no es subconjunto de

escribimos:

,

no es subconjunto de .

Relaciones interesantes de los números son las siguientes:

e

, pero

y

.

El conjunto vacío

y el conjunto Universal

¡Pon mucha atención!, no es lo mismo

son subconjuntos de todo conjunto que

. Un conjunto puede ser subconjunto de un conjunto

pero un conjunto también puede ser elemento de un conjunto.

24 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Por ejemplo:

Algunas de las relaciones que podemos encontrar son las siguientes: , porque todos los elementos de , porque hay elementos en

son también elementos de .

que no están en . Por ejemplo

, pero

.

es

un conjunto que a la vez es elemento de un conjunto. , porque todos los elementos de , porque hay elementos de Pero ¡no te confundas! Aunque que en

son también elementos de .

que no son elementos de . Por ejemplo y

pero

aparecen en ambos conjuntos, en

.

son elementos, mientras

todos juntos forman un conjunto que es elemento de .

Así que

y como elemento no puede separarse, por eso

.

Quizá te parezca un poco confuso porque estamos acostumbrados a pensar en elementos como individuales y en conjuntos como pluralidades. Y no solemos considerar que un conjunto puede también ser elemento de otro conjunto. No te preocupes, recuerda que la práctica hace al maestro y realiza ejercicios por tu cuenta.

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1.2. Operaciones con conjuntos Consideremos los siguientes conjuntos:

¿Qué podemos hacer con ellos?

Podemos, por ejemplo, pensar quiénes serían todos los estudiantes de la SEP y de la UNAM al mismo tiempo, o qué estudiantes de México son estudiantes de la UNAM, o qué estudiantes de México no son alumnos de la SEP. En el primer caso se trata de una unión de conjuntos, en el segundo caso estamos pensando en una intersección y en el tercer caso en el complemento de un conjunto.

1.2.1. Unión La unión de dos o más conjuntos es el conjunto que contiene a todos los elementos de los conjuntos que se unen. Si algún elemento se repite entonces debe ponerse sólo una vez. La unión se denota con el símbolo

.

La unión es como una o del lenguaje que usas para hablar, en ella están todos los elementos que están en un conjunto o en otro, como cuando te dan a escoger: ―¿quieres chocolate o café?‖, tú puedes escoger del conjunto de todos los chocolates y del conjunto de todos los cafés, es decir, todos los chocolates y todos los cafés están en el conjunto del que puedes escoger.

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Entonces,

Ya que todos los alumnos de la ESAD son también alumnos de la SEP. Es decir,

y por eso el

conjunto más grande es igual a la unión, pues para que no haya repeticiones se expresa una sola vez a los alumnos de la ESAD como alumnos de la SEP. Y

Puede suceder que algunos alumnos de la ESAD sean a la vez alumnos de la UNAM, pero esto no sucede en todos los casos. Por ello, no puede reducirse el conjunto unión. Para no repetir alumnos, los únicos que se quitan son los estudiantes de la UNAM que hayan aparecido como estudiantes de la ESAD, pero esto sólo en caso de que se haga una lista de todos los alumnos.

1.2.2. Intersección La intersección de dos o más conjuntos es el conjunto que contiene a todos los elementos de uno de los conjuntos que están también en todos los demás conjuntos que se intersecan. Es decir, la intersección está formada por aquellos elementos que aparecen al mismo tiempo en todos los conjuntos que se intersecan.

La intersección se denota con el símbolo .

La intersección es como una y del lenguaje con el que hablamos, en ella están todos los elementos que están en un conjunto y en el otro al mismo tiempo, como cuando te piden requisitos para algún trámite: ―traer credencial y acta de nacimiento‖. Habrá un conjunto de personas que lleven credencial y otro 27 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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conjunto de personas que llevan acta de nacimiento. Pero sólo podrán hacer el trámite aquellas personas que estén en ambos conjuntos, es decir, que lleven credencial y acta de nacimiento.

Entonces:

Puede pasar que algunos estudiantes de la SEP sean extranjeros.

Ya que todos los alumnos de la ESAD son al mismo tiempo alumnos de la SEP, aunque no todos los estudiantes de la SEP estudien en la ESAD.

Porque puede haber estudiantes mexicanos que no están en México, sino haciendo sus estudios en el extranjero. También hay estudiantes en México que no son mexicanos, sino extranjeros haciendo sus estudios en el país.

28 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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1.2.3. Resta La resta de un conjunto conjunto

menos otro conjunto

que no están en el conjunto

. La resta de

menos

es el conjunto que contiene a todos los elementos del

. Es decir, a

se representa como

se le quitarían los elementos de la intersección .

Esta operación es como la resta en el lenguaje común, es decir, al conjunto que están en el conjunto , es justamente

se le quitan los elementos

.

Por ejemplo:

En este ejemplo, los alumnos de las primarias y secundarias pertenecen a la SEP pero no a la ESAD, así que están en el conjunto resta

, aunque no son todos.

Puesto que todos los alumnos de la ESAD son estudiantes de la SEP, entonces cuando quitamos los alumnos de la SEP a los alumnos de la ESAD nos queda el conjunto vacío.

Esto nos deja a los estudiantes de la UNAM que se encuentran en el extranjero, sean mexicanos o no.

1.2.4. Complemento Cuando

es igual al conjunto universal

Esta resta será

y es quitarle

que necesitaría el conjunto simbolizar también como

, la resta

se conoce también como el complemento de .

al conjunto universal, es decir, está formada por aquellos elementos

para llegar a ser igual al conjunto universal

. En este caso,

se puede

.

29

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1.3. Diagramas de Venn ¿Existirá alguna otra forma de representar conjuntos?

Ya vimos que los conjuntos se pueden representar con letras mayúsculas y que si quieres especificar sus elementos lo haces entre llaves. Algunas veces, hacer una representación gráfica puede ayudarnos a visualizar mejor.

1.3.1. Diagramas de Venn, ¿qué son?

Un diagrama de Venn es una representación gráfica de un conjunto.

1.3.2. Operaciones con conjuntos y diagramas de Venn Imaginemos que tenemos dos conjuntos: El conjunto A

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que en este caso será azul.

Y el conjunto B

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que en este caso será amarillo.

Al juntar los conjuntos nos quedaría verde en medio, ya este color se obtiene de la unión del azul y el amarillo.

32 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Unión La unión de esos dos conjuntos es todo lo que está de cualquier color, es decir, está en A, o sea que es azul, o está en B, o sea que amarillo; pero puede estar en A y en B al mismo tiempo, es decir, ser azul y amarillo al mismo tiempo, verde.

Intersección Por otro lado, la intersección de esos dos conjuntos será sólo lo que está de color verde, es decir, todo lo que está en A, o sea que es azul, pero que al mismo tiempo está en B, o sea que al mismo tiempo es amarillo. Y lo que es azul y amarillo al mismo tiempo es verde.

33 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Resta La resta de

menos , es decir,

, será únicamente lo que está en amarillo. Como a los elementos de

B se le quitan los elementos de A entonces la resta es todo lo que tiene sólo color amarillo… La sección verde tiene dos colores, azul y amarillo, así que esto no forma parte de la resta.

34 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Complemento El complemento de , es decir,

, será todo lo que no tenga color azul. Al conjunto universal

se le quitan

los elementos de .

El azul y el verde tienen azul, por eso los quitamos y nos queda la sección lila, que está afuera de ambos conjuntos, y la parte de color amarillo.

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Tú puedes colocar cualesquiera elementos dentro de tus conjuntos. Pero debes fijarte que quede bien establecido donde deben ir.

Por ejemplo, si tienes un conjunto A de números pares y un conjunto B de números impares, la intersección estará vacía. Para indicar que la intersección está vacía puedes no colocar ningún elemento en ella, o bien poner los conjuntos separados.

Actividad 2. Conjuntos Es momento de entregar las actividades que se te proporcionaron a lo largo de la unidad.

Actividad 3. Operaciones entre conjuntos Resuelve los ejercicios de opción múltiple que te presentamos en el aula virtual, para repasar las operaciones entre conjuntos.

Autoevaluación Participa en la autoevaluación para poner a prueba los conocimientos adquiridos hasta el momento.

Evaluación de la unidad: Manipulación de conjuntos Tipo de actividad: Sumativa/Portafolio Descripción: Evaluar el dominio de la competencia a través de una serie de ejercicios cuyo contenido son los tópicos relacionados con los conjuntos.

Instrucciones: 1. Lee el documento ―El gran Hotel Cantor, un hotel infinito‖ y realiza los siguientes ejercicios.

2. Escribe cinco conjuntos que no sean numéricos y que se mencionen en la lectura, a los cuales llamarás A1, A2, A3, A4 y A5. Utiliza la simbología de conjuntos para expresarlos.

3. Escribe cinco conjuntos que sean numéricos y que se mencionen en la lectura. A éstos llámalos B 1, B2, B3, B4 y B5. Utiliza la simbología de conjuntos para expresarlos.

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4. Escribe tres conjuntos relacionados con los conjuntos del ejercicio 1 y que puedas encontrar en tu vida diaria. Llámalos C1, C2 y C3. Utiliza la simbología de conjuntos para expresarlos.

5. Escribe tres conjuntos relacionados con los conjuntos del ejercicio 2 y que encuentres en el contenido de tus otras materias. Llámalos D1, D2 y D3. Utiliza la simbología de conjuntos para expresarlos.

6. Da tres elementos de cada uno de los conjuntos que tienes. Utiliza la simbología de elemento de un conjunto para expresarlos.

7. Da tres subconjuntos de cada uno de los conjuntos que tienes. Utiliza la simbología de subconjunto para expresarlos.

8. Realiza un diagrama de Venn que contenga todos los conjuntos A, otro para los conjuntos B, otro para los conjuntos C y uno más para los conjuntos D. En cada diagrama representa los elementos y los subconjuntos que mencionaste en los ejercicios 5 y 6.

9. Realiza las siguientes operaciones:

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El Gran Hotel CANTOR Un hotel infinito Juan Manuel Ruisánchez Serra ¿TE IMAGINAS LOS INFINITOS PROBLEMAS DE UN HOTEL CON UN NÚMERO INFINITO DE HABITACIONES, QUE SUELE LLENARSE CON UN NÚMERO INFINITO DE HUÉSPEDES? LA HISTORIA empezó cualquier día de un año perdido en el pasado, cuando dos arquitectos ambiciosos planeaban construir un hotel muy grande:

—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1 000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2 000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con...

Y así siguieron discutiendo por horas, hasta llegar a la conclusión de que la única manera de tener un hotel grande de veras era construyendo uno que tuviera un número infinito de habitaciones.

La obra duró muchos años, pero, al final, ahí estaba: el Gran Hotel Cantor.

En poco tiempo, el hotel obtuvo fama no sólo por ser el más grande del mundo, sino también por ser uno de los lugares más extravagantes para vacacionar. Gente de todo el mundo llegaba al hotel para hospedarse aunque fuera sólo una noche.

Aunque parezca increíble, había días en que el hotel estaba lleno, pese a lo cual seguía entrando gente que no se quedaba sin habitación.

Quizá se pregunten por qué sé tanto del Gran Hotel Cantor, pero no es ningún misterio: mi papá trabajó ahí durante algunos años; era el recepcionista.

Le encantaba contarme historias del hotel. Mi favorita era la del nombre: se llamaba Gran Hotel Cantor en honor a Georg Cantor, que fue un matemático ruso que inventó el infinito, según mi papá. A mí me sonaba 39 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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como si el tal Cantor fuera un dios, porque eso de inventar el infinito... (luego me enteré que, en realidad, lo que había hecho era una teoría que justificaba la existencia del infinito). Sin embargo, la historia favorita de mi papá era la de la noche en que se volvió millonario. Creo que yo la escuché doscientas veces por lo menos y, gracias a eso, puedo contarla ahora con tanta claridad.

Lo primero en la historia era la regla más importante para los huéspedes: "Si una persona decide quedarse en el hotel, debe aceptar que pueda ser transferida de habitación varias veces a lo largo de su estancia".

Luego empezaba a contar la parte que a mí me gustaba más: Era uno de esos días en que el hotel estaba lleno. A lo largo del día, me gustaba pensar en las historias de la gente que se quedaba en el hotel (debo confesar que yo nunca pude imaginarme el hotel lleno, pero le creía a mi papá; además, éramos millonarios y nunca encontré ninguna otra razón que explicara ese hecho).

En el curso de capacitación para los trabajadores, nos habían enseñado algunos trucos para aceptar más gente cuando el hotel estuviera lleno.

—Ay, papá ¿a poco metías gente en un cuarto que ya estaba ocupado? (A mi papá le gustaba que le preguntáramos siempre lo mismo, como si fuera la primera vez que nos contaba la historia).

—No, claro que no. Déjame contar la historia completa para que veas lo que hacía. El hotel, como dije, estaba lleno ese día. A media tarde llegó un señor a pedir un cuarto. Normalmente, cuando el hotel estaba lleno, cobrábamos un poco más caro, pues había que compensar de alguna manera el trabajo que representaba un cambio de habitación.

Al informarle esto, el señor me dijo que no importaba, pero que por favor le diera un cuarto en el primer piso, pues sufría de vértigo y no resistía los elevadores.

—No se preocupe, señor; espere un momento por favor.

—El primer truco que aprendí fue cómo acomodar a un huésped si el hotel estaba lleno. En mi escritorio había un micrófono que se oía en todas las habitaciones, el cual utilizaba para indicar los cambios de habitación (lo del micrófono me lo sabía de memoria, pero él me lo repetía como si fuera su primer día en el trabajo y acabara de descubrirlo), así que lo encendí para anunciar el primer cambio del día: "Buenas noches, amables huéspedes del Gran Hotel Cantor. Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una mudanza. Por favor revisen el número de su habitación, ahora súmenle uno y cámbiense a la habitación correspondiente. Muchas gracias y que pasen buena tarde."

—Señor, su habitación es la 1, por el pasillo a la derecha. Le recuerdo que su estancia en el hotel está sujeta a cambios de habitación, aunque 40 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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trataré de mantenerlo en la planta baja, no se preocupe.

Y así le di alojamiento al nuevo visitante.

—Pero, papá, si todos le sumaron uno al número de su cuarto, entonces el que estaba en el último cuarto se quedó sin lugar.

—No, porque el hotel era infinito, no había último cuarto y todos se podían recorrer un número sin que nadie se quedara sin cuarto (tampoco esto lo entendía, pero él lo decía con tanta seguridad, que yo le creía).

Las agencias de viajes, que reservaban lugar para grandes excursiones, tenían una hora específica de llegada: las 20 horas. A mí me gustaba atenderlos bien, así que todos los días, a las 19:30, revisaba si había alguna reservación y, en caso de que hubiera, dejaba las habitaciones disponibles para que los nuevos huéspedes no tuvieran que esperar. Ese día había una reservación para un número infinito de personas, así que realicé la segunda mudanza del día y dejé libres las habitaciones que necesitaría.

—¿Cómo, papá? ¿No se suponía que el hotel tenía sólo una infinidad de cuartos? Tú ahora me dices que, en realidad, tenía dos infinidades.

—No, no, yo no dije eso.

—Pero si el hotel estaba lleno, entonces había una infinidad de huéspedes y llegó otra infinidad, y tú los alojaste a todos.

—Sí, así es; ése era el segundo truco que nos habían enseñado, que en realidad no era muy complicado: lo que hice fue encender el micrófono y pedirles a los huéspedes que multiplicaran el número de su habitación por dos y se cambiaran al cuarto que tuviera el nuevo número. De esa manera, sólo estaban ocupadas las habitaciones con números pares, pues todos los números multiplicados por dos son pares, y quedaban libres las que tenían números impares, y cada colección era una infinidad de habitaciones.

—Entonces podías meter dos excursiones infinitas al mismo tiempo al hotel.

—Sí, pero eso no quiere decir que el hotel tenga dos infinidades, sino que es una característica maravillosa que se tiene por el simple hecho de ser infinito.

A las 20 horas en punto llegó la representante de la agencia de viajes y le indiqué las habitaciones que le correspondían. Desde ese momento, no hubo nada demasiado interesante que contar, hasta que se acercó la hora de cerrar la recepción (las 22 horas). Eran las 21:53, me acuerdo bien, y yo estaba acomodando todo para irme, cuando entró una señorita con cara de preocupación.

—Buenas noches, señorita ¿en qué puedo ayudarla?

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— Tengo un problema grandísimo. Se me juntaron un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una y, por supuesto, no tengo dónde alojarlas. Yo sé que aquí es necesario reservar si la excursión es muy grande, pero esta vez es una emergencia.

—¿Así que un número infinito de excursiones con un número infinito de personas cada una? Déjeme pensar...

—Por favor, si no me voy a quedar sin trabajo (a mi papá le encantaba hacerse el héroe cuando me contaba sus historias).

—Ya sé qué vamos a hacer, pero recuerde que cuando el hotel está lleno la tarifa es un poco más alta.

—Sí, sí, no se preocupe por eso; de hecho, hice una colecta de un peso por cada turista de las excursiones y ese fondo es para usted si me da las habitaciones.

—Espere un momento, por favor.

Volví a encender el micrófono para anunciar la última mudanza del día, sólo que esta vez no me comuniqué con todas las habitaciones, sino sólo con las que estarían implicadas en el cambio.

—Pero ¿cómo, papá? ¿Tenías que meter un número infinito de excursiones con un número infinito de personas y ni siquiera usaste todas las habitaciones del hotel?

—Sí. Eso de GRAN Hotel Cantor no era nada más porque sí.

Encendí el micrófono de modo que sólo las habitaciones con número primo o alguna potencia de primo pudieran oírlo:

"Buenas noches, amables huéspedes del Gran Hotel Cantor. Disculpen las molestias que podamos causarles, pero necesitamos realizar una última mudanza esta noche. Les pedimos por favor que se acerquen a su puerta, donde encontrarán un cuadro con indicaciones sobre su número de habitación.

Como pueden observar, el número de su habitación se puede escribir como un número elevado a alguna 42 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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potencia, tal como se lee en el inciso c), es decir, "su número de habitación es de la forma pn y, en seguida, se da el número particular de cada habitación escrito de esa manera. La mudanza consiste en realizar la siguiente operación: si su cuarto es pn, su nuevo cuarto será p2n. Recuerden que para cualquier duda, pueden marcar al 00 y preguntar el nuevo número de su habitación. Gracias y buenas noches."

En esos momentos era cuando más aliviado me sentía de ser recepcionista y no telefonista del hotel.

—Están listas, señorita. Sus habitaciones son todas aquéllas cuyos números son potencias impares de números primos; aquí tiene una lista más detallada.

—Muchísimas gracias. Ahora, aquí tiene usted un cheque por la cantidad que reunimos entre nuestros turistas. Muchas gracias de nuevo.

—De nada, señorita, gracias a usted.

Y así fue que...

—No, no, no, espérate, papá. Explícame cómo cupieron todas esas personas en esos cuartos.

—Ah, pues es muy fácil, fíjate: hay un número infinito de números primos, así que a cada excursión le asigné un número primo. Después, cada primo tiene un número infinito de potencias impares, así que en cada habitación con un número que fuera una potencia impar de un número primo acomodé a una persona de cada excursión. Y así cupieron todos.

—Sí, creo que ya entendí... ¿Y como ya eras millonario, dejaste de trabajar ahí?

—No, seguí trabajando ahí durante tres años. Me gustaba. Lo que pasó fue que hubo un complot de 43 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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hoteleros para cerrar el Gran Hotel Cantor. Lo peor fue que no sólo lo cerraron, sino que, además, derribaron ese maravilloso edificio. Ni modo.?

Juan Manuel Ruisánchez Serra es matemático, egresado de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Es profesor en el Colegio Madrid y escribe en la revista Correo del maestro Recuperado desde: http://www.comoves.unam.mx/articulos/hotel/hotel1.html

Consideraciones específicas de la unidad Empieza a trabajar la evidencia de la unidad desde el principio, de acuerdo a cada tema que vayas viendo.

Si revisas la evidencia, es larga y conviene que la vayas trabajando parte por parte y se la envíes al facilitador para que te la vaya revisando.

Fuentes de consulta 

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Amor Montaño, J. A. La enseñanza del análisis lógico. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/amor.htm

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Amor Montaño, J. A. Lógica clásica de primer orden. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/05-1/0428Amor.ppt

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Amor Montaño, J. A. (1997). Teoría de Conjuntos para Estudiantes de Ciencias. México: Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.

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Benedetti, M. (2004). Inventario 1. México: Alfaguara.

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Falletta, N. (2000). Paradojas y Juegos. Barcelona, España: Gedisa.

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Huertas, A. y Manzano, M. (2004). Lógica para principiantes. Madrid, España: Alianza Editorial.

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Ivorra Castillo, C. Lógica y Teoría de Conjuntos. Recuperado el

15 de julio de 2010, de

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44 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

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Struik, D. J. (1994). Historia concisa de las matemáticas. México: Instituto Politécnico Nacional.

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Zubieta Russi, G. (2002). Lógica Deductiva. México: Sociedad Matemática Mexicana.

45 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Unidad 2. Lógica clásica Presentación de la unidad El sentido común es el menos común de los sentidos.

En alguna ocasión escuché decir a alguien que Bertrand Russell expresó la frase que precede a estas líneas. Si lo dijo Russell o no, no es relevante. Lo interesante de la frase es que plasma de una forma divertida algo que nos sucede muchas veces: pensar que todos razonamos de la misma manera.

Quién no ha dicho alguna vez, por ejemplo, ―eso no tiene sentido‖ o ―lo lógico era hacer tal o cual cosa‖.

Decimos este tipo de expresiones para referirnos a algo que llamamos sentido común. Y entendemos por sentido común, por razonable, por lógico, a aquello que parecería ser evidentemente correcto para la mayoría de las personas, un resultado que se supone es esperable.

Hablando de resultados esperados, y como dicen que una imagen vale más que mil palabras, ve la siguiente imagen y escribe la primera frase que te haya venido a la mente.

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La mayoría de las personas piensa que todos razonamos de la misma manera y que por eso aquello esperado por uno debe ser esperado por todos. Sin embargo, en una gran cantidad de ocasiones no sucede así.

Para que todos razonemos de la misma manera sería indispensable ponerse de acuerdo en cuanto a las reglas válidas del razonamiento. Esto es, sería necesario estudiar lógica. Ahora bien, para el estudio de la lógica, en cualquiera de sus formas, colores y sabores, se requiere de la lógica clásica. Y para comenzar por el principio, estudiaremos el vocabulario y la gramática de la lógica clásica.

Así, en esta unidad estudiaremos algunos tipos de lenguajes y sus diferencias. A partir de ello definiremos el alfabeto y la gramática de la lógica clásica. Analizaremos también las ventajas que este lenguaje ofrece sobre el lenguaje natural.

Propósito de la unidad En esta unidad: 

Utilizarás el lenguaje formal de la lógica clásica para representar enunciados del lenguaje natural y de las matemáticas.

Competencia específica Traduce proposiciones por medio del lenguaje formal de la lógica clásica como puente de comunicación para la adquisición de conocimiento matemático.

2.1. Lógica clásica Todos los hombres que vivieron antes de los tiempos de los griegos admitieron el supuesto de que la Tierra era plana, como de hecho parece ser si prescindimos de pequeñas irregularidades, como son las montañas y los valles. Si alguien anterior a los griegos pensó de otra manera, su nombre no ha llegado hasta nuestros días, ni su pensamiento, registrado de algún modo, ha logrado sobrevivir.

Ahora bien, si la Tierra fuese efectivamente plana, una de las conclusiones que parece casi inmediata es que tuviese un fin, sea del tipo que fuese.

Termina de leer este texto de Isaac Asimov en El Universo, si es de Alianza Editorial, en la edición de 1996, lee de la página 11 a la 17. Si es otra versión busca al capítulo 1. La Tierra, y lee las secciones: La Tierra plana y La Tierra esférica.

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1. La Tierra Introducción En los últimos años, los descubrimientos que los astrónomos han logrado hacer a distancias inimaginables del espacio exterior han suscitado una curiosidad inusitada no ya en ellos mismos, sino en el público en general.

Conceptos como las quásar y los púlsars son hoy de la máxima actualidad. Y unos puntos de luz que se encuentran a miles de billones de kilómetros de la Tierra hacen que los científicos se devanen los sesos acerca del pasado remoto y del lejano futuro del Universo. ¿Se extiende el Universo hasta el infinito o existe, por el contrario, un fin en alguna parte? ¿Se expande y contrae el Universo como un acordeón, invirtiendo en cada uno de estos movimientos miles de millones de años? ¿Se expande y contrae el universo como un acordeón, invirtiendo en cada uno de estos movimientos miles de millones de años? ¿Hubo un momento en que explotó definitivamente? ¿Será que los fragmentos errantes, productos de esta explosión, se estén alejando unos de otros, hasta que ese fragmento en que habitamos se encuentre prácticamente solo en el Universo? ¿Tiene el Universo capacidad de renovarse? ¿Es eterno, sin origen ni fin?

En este aspecto, nuestra generación es una generación afortunada, pues estamos presenciando un período de la astronomía en el que las respuestas a tales preguntas, así como a otras muchas iguales inquietantes, quizá se encuentren de hecho al alcance de la mano.

Por otro lado, esta situación era totalmente inesperada. Los objetos celestes que están abriendo nuevas posibilidades y perspectivas a los astrónomos eran del todo desconocidos antes de la década de 19601969. Los cohetes y satélites que hoy en día proporcionan tal abundancia de datos a estos científicos no empezaron a lanzarse sino en los años cincuenta. Y los radiotelescopios, que desvelaron misterios insospechados del Universo, no conocieron su existencia hasta los años 140-50.

Es más, si retrocedemos 2.500 años y nos situamos hacia el 600 a. J., comprobamos que todo el Universo que conocía el hombre de aquellos tiempos se reducía a un trozo de tierra plana, que, por añadidura, tampoco era demasiado extenso.

Esto es, más o menos, lo que el hombre de nuestros días sigue siendo capaz de percibir de un modo directo: un trozo de tierra plana; sobre su cabeza, naturalmente, el cielo con pequeños objetos luminosos que brillan sobre él. Por otro lado, tampoco parece que el cielo se extienda muy por encima de nuestras cabezas.

Entonces ¿en virtud de qué proceso del raciocinio fueron disipándose en una lejanía cada vez más remota los estrechos límites visibles para el ojo humano, hasta el punto de que no hay ya mente capaz de concebir el tamaño de este Universo al que nos estamos refiriendo ahora, ni siquiera de imaginar la tremenda insignificancia de nuestro entorno físico al lado de él?

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En este libro pretendo seguir los pasos que el hombre ha ido dando con el fin de ampliar y profundizar su comprensión del Universo como un todo (―cosmología‖), así como el origen y evolución de éste (―cosmogonía‖).

La Tierra plana En el año 600 a. J., el Imperio Asirio acaba de caer. En su época de auge había abarcado una longitud máxima de unos 2.200 kilómetros, extendiéndose desde Egipto hasta Babilonia. Este imperio no tardó en ser reemplazado por otro, el Imperio Persa, que llegó a abarcar una longitud máxima de 4.800 kilómetros, desde Cirenaica hasta Cachemira.

No cabe duda de que las gentes que habitaban en tales imperios carecían en absoluto de toda noción, siquiera vaga, acerca de la extensión de los dominios; se contentaban simplemente con vivir y morir en su terruño y, en ocasiones señaladas, a desplazarse desde la propia aldea a la vecina. No ocurría lo mismo con los mercaderes y soldados, quienes seguramente sí tenían alguna idea de la inmensidad de estos imperios y de la extensión, aún mayor, de las tierras que quedaban más allá de sus fronteras.

En los imperios de la Antigüedad tuvo que haber hombres que se ocuparan de lo que cabría considerar el primer problema cosmológico que se le plantea al erudito: ¿Tiene la Tierra un fin?

Indudablemente, ningún hombre de los tiempos antiguos llegó jamás al fin de la Tierra, por muy lejos que viajara. Algunos llegaban a alcanzar la costa de un océano cuyos límites se perdían detrás del horizonte, pero una vez embarcados y navegando en alta mar comprobaban que tampoco así llegaban al fin. ¿Significaba esto que tal fin no existía?

La respuesta dependía de la forma general que se atribuyera a la Tierra.

Todos los hombres que vivieron antes de los tiempos de los griegos admitieron el supuesto de que la Tierra era plana, como de hecho parece ser si prescindimos de pequeñas irregularidades como son las montañas y los valles. Si algún antiguo anterior a los griegos pensó de otra manera, su nombre no ha llegado hasta nuestros días, ni su pensamiento, registrado algún modo, ha logrado sobrevivir.

Ahora bien, si la Tierra fuese efectivamente plana, una de las conclusiones que parece casi inmediata es que tuviese fin, sea del tipo que fuera. La posibilidad alternativa a este corolario es que se tratase de una superficie plana que se extendiera sin límites; en otras palabras, una superficie de extensión infinita. Pero este concepto es sumamente molesto: a lo largo de la Historia, el hombre ha tratado siempre de rehuir el concepto de infinitud, ya sea del espacio o del tiempo, como algo imposible de concebir y entender y, por ende, como un concepto con el que es fácil trabajar ni razonar.

Por otra parte, si la Tierra tuviera efectivamente un fin –si fuese finita– surgirían otras dificultades. ¿No se caería la gente al acercarse demasiado a él?

Naturalmente, podría suceder que la tierra firme se encontrara rodeada por completo de océanos, de suerte que nadie pudiera aproximarse al fin, a menos que fletara un barco con este propósito y navegara hasta perder de vista el continente, y más allá aún. Todavía en tiempos de Colón esta idea constituía, en efecto, un motivo nada irreal de pánico para muchos marineros.

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Sin embargo, la idea de una barrera acuática protectora de la humanidad planteaba otro problema. ¿Qué era lo que impedía que el océano se derramase por los bordes, dejando la Tierra en seco?

Una posible solución a este dilema consistía en suponer que el cielo era una coraza resistente –aspecto que, en efecto, tiene a primera vista– y que ésta descendía hasta unirse con la Tierra por todas partes, como efectivamente parece ocurrir. En este caso cabría concebir el Universo en su totalidad como una especie de caja cuyos lados y parte superior abombados estuviesen constituidos por el cielo, mientras que el fondo plano fuesen los mares y la tierra firma sobre los cuales viven y se mueven el hombre y todos los demás seres. ¿Qué forma y tamaño tendría un ―Universo-caja‖ semejante?

A muchos este Universo se les antoja en forma de tablón rectangular. Un accidente interesante de la Historia y de la Geografía es que las primeras civilizaciones establecidas en los ríos Nilo, Éufrates y Tigris, e Indo estuviesen separadas en Este y Oeste, no en Norte y Sur. A esto hay que añadir además el que el Mar Mediterráneo se extienda también de Levante a Poniente. Por ello, los escasos conocimientos geográficos de los primeros pueblos civilizados encontraron menos dificultad para propagarse en dirección Este-Oeste que en dirección Norte-Sur. Sobre esta base parece razonable, pues, imaginar el ―Universocaja‖ como mucho más alargado de Este a Oeste que de Norte a Sur. Los griegos en cambio demostraron poseer un sentido mucho más desarrollado de las proporciones geométricas y de la simetría al concebir la Tierra como un disco circular, con Grecia, naturalmente, en el centro. Este disco plano estaba formado en su mayor parte por tierra firme, con un borde de agua (―el Río Océano‖) a partir del cual el Mar Mediterráneo penetraba hacia el centro.

Hacía el año 500 a. J., Hecateo de Mileto (cuyas fechas de nacimiento y muerte se desconocen), el primer geógrafo científico entre los griegos, estimó que el disco circular debía de tener un diámetro de unos 8.000 kilómetros como máximo, lo cual suponía unos 51.000.000 de kilómetros cuadrados para la superficie de la Tierra plana. Por muy grande, e incluso enorme, que les pareciera esta cifra a los contemporáneos de Hecateo, lo cierto es que no representa más que una décima parte de la superficie real de la Tierra.

Pero prescindiendo de su tamaño y de su forma, ¿cómo se sostenía el Universo-caja en un sitio fijo? En la concepción de la Tierra plana, que es la que ahora nos ocupa, ―abajo‖ indica una dirección concreta; todos los objetos pesados y terrenos caen ―hacia abajo‖. ¿Por qué no ocurre entonces lo mismo con la Tierra?

Cabría suponer que el material del que está compuesto la Tierra plana, el suelo que pisamos, se extiende hacia abajo son límite. Pero en este caso nos veríamos enfrentados de nuevo con el concepto de infinito.

Con el fin de soslayarlo puede imaginarse la Tierra apoyada sobre algo. Los hindúes, por ejemplo, la concebían sustentada por cuatro pilares.

Más ello no hacía sino posponer la dificultad. ¿Sobre qué se apoyaban los cuatro pilares? ¡Sobre elefantes! ¿Y sobre qué descansaban estos elefantes? ¡Sobre una tortuga gigante! ¿Y la tortuga? Nadaba en un océano gigantesco. Y este océano…

En resumen, la hipótesis de una Tierra plana, por más que pareciera pertenecer al terreno del sentido común planteaba de un modo inevitable dificultades filosóficas sumamente serias.

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La Tierra esférica De hecho, para alguien que tuviese los ojos bien abiertos la idea de una Tierra plano no podía resultarle de sentido común. Pues si esto fuera así, desde cualquier pinto de esta Tierra plana deberían observarse las mismas estrellas en el cielo (quizá con pequeñas diferencias debidas a la perspectiva). Ahora bien, una de las experiencias registradas por todo navegante es que cuando el barco llevaba rumbo Norte, ciertas estrellas desaparecían detrás del horizonte meridional y otras nuevas aparecían detrás del horizonte meridional y otras nuevas aparecían por el septentrional. Cuando se navegaba rumbo al Sur la situación era la inversa. Este fenómeno admitía una explicación muy sencilla suponiendo que la Tierra curvaba en la dirección Norte-Sur. (El hecho de si existe o no un efecto similar en dirección Este-Oeste quedaba oscurecido por el movimiento general Este-Oeste del cielo, que describía una vuelta completa cada veinticuatro horas.)

De acuerdo con estas observaciones, el filósofo griego Anaximandro de Mileto (611-546 a. J.) sugirió que los hombres vivían sobre la superficie de un cilindro curvado hacia el Norte y hacia el Sur. Según los conocimientos actuales, él fue el primero en sugerir para la superficie de la Tierra una forma distinta de la plana. Esta idea surgió posiblemente hacia el año 550 a. J. Pero la idea de la Tierra cilíndrica tampoco bastaba. Un hecho observado por quienes vivían a orillas del mar y trabajaban continuamente con barcos era el siguiente: los barcos que navegaban rumbo a alta mar no iban reduciéndose de tamaño paulatinamente hasta desvanecerse en un punto infinitesimal, como cabría esperar si la Tierra fuese plana, sino que desaparecían cuando aún poseían un tamaño sensiblemente mayor que el de un simple punto; y lo primero que desaparecía era el caso, como si el barco estuviese descendiendo por una colina. Esto era, ni más ni menos, lo que cabría esperar si la superficie de la Tierra fuese curva. Pero había más, y es que los barcos desaparecían de modo muy similar cualquiera que fuese el rumbo que llevaran.

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En consecuencia, la Tierra se curvaba no sólo en dirección Norte-Sur, sino en todas direcciones por igual.

Y la única superficie que se curva en todas direcciones por igual es la de la esfera.

Por otro lado, los astrónomos griegos también pensaron que la mejor forma de explicar los eclipses de Luna era suponiendo que ésta y el Sol ocupaban lados opuestos de la Tierra y que era sombre de este planeta la que, proyectada por el Sol, caía sobre la Luna y la eclipsaba. La proyección de esta sombra siempre era circular, independientemente de las posiciones que la Luna y el Sol ocupasen respecto a la Tierra. El único cuerpo sólido que proyecta una sombra con sección transversal circular en todas direcciones es la esfera.

Así pues, una observación más minuciosa revelaría que la superficie de la Tierra no es plana sino esférica.

El hecho de que parezca plana se debe únicamente a que la esfera es tan grande que la curvatura de la pequeña porción visible a simple vista es demasiado suave para detectarla.

Según los conocimientos actuales, la primera persona que sugirió que la Tierra era una esfera fue el filósofo griego Filolao de Tarento (480-? a. J.), quien formuló la idea hacia el año 450 a. J. El concepto de la Tierra esférica acabó de una vez para siempre con todos los problemas relativos al ―fin‖ de este planeta, y ello sin introducir el concepto de infinito. La esfera tiene una superficie de tamaño finito, pero esta superficie no posee un fin; es finita pero limitada.

Aproximadamente un siglo después de Filolao, el filósofo griego Aristóteles de Estagira (384-322 a. J.) hizo un compendio de las consecuencias que se derivaban de la esfericidad de la Tierra.

El concepto ―abajo‖ debía considerarse no como una dirección fija y precisa, sino como una dirección relativa. Pues si se tratase de una dirección fija, como a veces pensamos que es cuando señalamos hacia nuestros pies, entonces cabría esperar que la esfera entera de la Tierra se desplomase hacia abajo indefinidamente, o bien hasta llegar a descansar sobre algo que fuera sólido y tuviera una extensión infinita en dirección hacia abajo.

Supongamos, por el contrario, que nos limitamos a definir la palabra ―abajo‖ como dirección que apunta hacia el centro de la Tierra. Al decir que, en virtud de las leyes naturales, los objetos ―caen hacia abajo‖, queremos significar que su tendencia natural es caer hacia el centro de la Tierra. En tal caso, los objetos no caerían fuera de la Tierra, ni los antípodas tendrían la sensación de andar cabeza abajo.

La Tierra en sí tampoco puede desplomarse, pues todas y cada una de sus partes han caído ya el máximo posible, es decir, se han aproximado al máximo al centro de la Tierra. De hecho, ésta es la razón de que la Tierra tenga que ser una esfera, pues este cuerpo geométrico se caracteriza por la propiedad de que la distancia total de todas y cada una de sus partes al centro de dicho cuerpo es menor que en cualquier otro sólido del mismo tamaño pero forma distinta.

Así pues, podemos afirmar que hacía 350 a. J., ningún científico dudaba ya de que la Tierra fuese una esfera. Desde entonces, este concepto ha sido admitido en todo momento por cualquier hombre culto del mundo occidental.

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La idea era tan satisfactoria y estaba tan exenta de paradojas que fue aceptada aun en ausencia de pruebas de carácter directo. Una prueba de este tipo no llegaría hasta el año 1522 d. J. (dieciocho siglos después de Aristóteles), cuando la única nave que logró sobrevivir a una expedición mandada en principio por el navegante Fernando Magallanes (1480-1521) arribó al puerto, tras haber descrito por primera vez una vuelta a la Tierra: de este modo quedaba demostrado de una manera directa que aquélla no era plana.

Hoy día se ha demostrado la esfericidad de la Tierra sobre el principio real de ―ver es creer‖. Durante los últimos años de la década de 1940-49 se consiguió lanzar cohetes a una altura suficiente para tomar fotografías de vastas porciones de la superficie terráquea; estas fotografías demostraron de un modo visible la curvatura esférica2.

El tamaño de la Tierra Una vez establecido el carácter esférico de la Tierra, el problema de su tamaño adquiría una importancia mayor que nunca. Determinar las dimensiones de una Tierra plana y finita habría supuesto una tarea en extremo ardua, como no fuese que alguien se la recorriera de punta a punta. Una Tierra esférica, en cambio, produce efectos que varían directamente con el tamaño de la esfera.

Por ejemplo, si la esfera terráquea fuese enorme, los efectos producidos por su esfericidad serían demasiado pequeños para detectarlos de un modo fácil. La visión de las estrellas no cambiaría sensiblemente cuando el observador se trasladase unos cuantos cientos de kilómetros hacia el Norte o hacia el Sur; los barcos no desaparecerían por el horizonte cuando el observador estuviera percibiendo todavía una imagen suficientemente grande para ser visible, no éste vería ocultarse primero el caso y luego el velamen; y, por último, la proyección de la sombra de la Tierra sobre la luna parecería recta, pues la curvatura de dicha sombra sería muy pequeña y, por tanto, indetectable.

En otras palabras, el mero hecho de que los efectos de la esfericidad fuesen perceptibles significaba que la Tierra era una esfera, pero también que se trataba de una esfera de tamaño más bien moderado: ciertamente grande, pero no gigantesco.

Ahora bien, ¿cómo podría medirse este tamaño con cierta precisión? Los geógrafos griegos lograron establecer un límite inferior. Hacia el año 250 a. J., estos hombres sabían por experiencia que hacia Poniente la tierra se extendía algo más allá del Estrecho de Gibraltar, y que hacía Levante llegaba hasta la India, con una distancia máxima de unos 9.600 kilómetros (cifra muy superior a la estimación, aparentemente generosa, que hiciera Hecateo dos siglos y medio antes). Puesto que al cabo de dicha distancia la superficie de la Tierra no había vuelto evidentemente, al punto de partida, el perímetro del planeta tenía que ser superior a los 9.600 kilómetros; pero cuánto mayor era algo que no podía precisarse.

El primero en sugerir una respuesta basada en la observación fue el filósofo griego Eratóstenes de Cirene (276-196 a. J.). Este filósofo sabía (o se lo comunicaron que en el solsticio vernal, el 21 de junio, cuando el sol de mediodía se encuentra más cerca del cénit que en ningún otro día del año, este astro pasaba justamente por el cénit sobre la ciudad de Syene, en Egipto (la moderna Assuan). Este hecho podía constatarse sin más que clavar un palo vertical en el suelo y observar que no proyectaba sombra alguna.

Por otro lado, repitiendo la misma operación en Alejandría, situada unos 300 kilómetros al norte de Syene,

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el palo proyectaba una corta sombra, la cual venía a indicar que en aquel lugar el sol de mediodía se encontraba algo más de 7 grados al sur del cénit.

Si la Tierra fuese plana, el sol luciría simultáneamente sobre Syene y Alejandría, prácticamente en línea perpendicular sobre ambas. El hecho de que el Sol brillase justo encima de una pero no de la otra demostraba de por sí que la superficie de la Tierra se curvaba en el espacio que mediaba entre ambas ciudades. El palo clavado en una de las ciudades no apuntaba, por así decirlo, en la misma dirección que el otro. Uno de ellos apuntaba al Sol, el otro no.

Cuanto mayor fuese la curvatura de la Tierra, mayor sería la divergencia entre las direcciones de los dos palos y mayor también la diferencia entre las longitudes de ambas sombras. Aunque Eratóstenes demostró cuidadosamente todos sus cálculos por métodos geométricos, nosotros prescindiríamos de esta demostración y diremos simplemente que si una diferencia de algo más de 7 grados corresponde a 800 kilómetros, una diferencia de 360 grados (una vuelta completa alrededor de una circunferencia) debe representar cerca de 40.000 kilómetros si queremos conservar una proporción constante.

Conocida la circunferencia de una esfera, también se conoce su diámetro. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida por ∏ (―pi‖), cantidad que vale aproximadamente 3.14. Eratóstenes concluyó, por tanto, que la Tierra tenía una circunferencia de unos 40.000 kilómetros y un diámetro de unos 12.800 kilómetros.

El área de la superficie de tal esfera es de 512.000.000 kilómetros cuadrados, aproximadamente, cifra que equivale por lo menos a seis veces la superficie máxima conocida en los tiempos antiguos. Evidentemente, la esfera de Eratóstenes se les antojaba algo desmesurada a los griegos, pues cuando más tarde los astrónomos repitieron las observaciones y obtuvieron cifras más pequeñas (29.000 kilómetros de circunferencia, 9.100 de diámetro y 256.000.000 de kilómetros cuadrados de superficie), dichas cifras fueron aceptadas sin pensarlo dos veces. Estas cifras prevalecieron a lo largo de toda la Edad Media y fueron utilizadas por Colón para demostrar que la ruta occidental desde España a Asia era una ruta práctica para los barcos de aquel tiempo. En realidad no lo era, pero su viaje se vio coronado por el éxito debido que el lugar donde Colón creía que estaba Asia resultó estar ocupado por las Américas.

No fue sino en 1522, con el regreso de la única nave sobreviviente de la flota de Magallanes, cuando quedó establecido de una vez para siempre el verdadero tamaño de la Tierra, así a Eratóstenes.

Las últimas mediciones dan la cifra de 40.067,96 kilómetros para la longitud de la circunferencia de la Tierra en el Ecuador. El diámetro de la Tierra varía ligeramente según la dirección debido a que nuestro planeta no es una esfera perfecta; la longitud media de este diámetro es de 12.739,71 kilómetros. El área de la superficie es 509.903.550 kilómetros cuadrados.

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Actividad 1. Foro: La frase de la imagen Participa con tus compañeros en el foro sobre las imágenes de nuestra vida cotidiana que nos permiten estudiar su lógica.

2.1.1. ¿Qué es la lógica?

Es la disciplina encargada de estudiar los métodos y principios que distinguen un razonamiento correcto o válido de uno incorrecto. ―Yo la caracterizo [a la lógica] como el estudio de los conjuntos de creencias consistentes porque pienso que de esta forma es más fácil al comienzo y porque se sabe que los dos planteamientos son equivalentes‖ (Manzano, p. 3).

Existen diferentes tipos de lógica. Aquí estudiaremos la lógica clásica.

2.1.2. ¿Qué es la lógica clásica?

En este curso pensaremos a la lógica clásica como el estudio de los argumentos o razonamientos deductivos correctos.

2.1.3. El argumento La oveja negra En un lejano país existió hace muchos años una Oveja negra. Fue fusilada.

Un siglo después, el rebaño arrepentido le levantó una estatua ecuestre que quedó muy bien en el parque.

Así, en lo sucesivo, cada vez que aparecían ovejas negras eran rápidamente pasadas por las armas para que las futuras generaciones de ovejas comunes y corrientes pudieran ejercitarse también en la escultura.

Augusto Monterroso.

La oveja negra y demás fábulas

Un argumento es un proceso en el cual se relaciona un conjunto de proposiciones, llamadas premisas, con otro conjunto de proposiciones, llamadas conclusiones.

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Llamaremos proposición a un enunciado en el cual se afirma o se niega algo. Por ello, una proposición es susceptible de ser verdadera o falsa, aunque no siempre tengamos las herramientas suficientes para determinar este valor.

Dado que un argumento no es una afirmación, de ellos no se debe decir que son verdaderos o falsos. Esto lo estudiarás más adelante.

Por ejemplo: ―¡Oh, la luz!‖ o ―¿Cuántos años tienes?‖ son enunciados que no afirman ni niegan nada y, por tanto, no son proposiciones.

En cambio, ―mi carro es negro‖, ―México no es un país de América‖ o ―la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa‖ son enunciados que sí niegan o afirman algo, por tanto, son proposiciones.

Estos últimos enunciados pueden ser verdaderos o falsos. De hecho, ―la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa‖ es un teorema matemático, así que lo que expresa es verdadero. Pero México es un país de América, así que de hecho, la negación ―México no es un país de América‖ resulta ser falsa. Y por otro lado, como no conocen mi carro, no serán capaces de determinar si la afirmación ―mi carro es negro‖ es verdadera o falsa.

Compara la definición que hemos dado con la aplicación cotidiana de la palabra argumento.

Argumento: Razonamiento que se emplea para probar o demostrar una proposición, o bien para convencer a alguien de aquello que se afirma o se niega.

Razonamiento: Acción y efecto de razonar. Serie de conceptos encaminados a demostrar algo o persuadir al interlocutor.

Razonar: Reflexionar, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Exponer razones para probar o apoyar algo. Valerse de la razón para juzgar una cosa. Argumentar.

Diccionario de la Lengua Española, Diccionario Larousse. ¿Te parecen muy distintas?

La argumentación se presenta en nuestra vida de forma frecuente, aunque no nos demos cuenta de ello.

Cuando discutimos, argumentamos al presentar nuestras razones acerca del porqué de nuestra opinión o 56 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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para dar razones en contra de lo que dice nuestro interlocutor; argumentamos también cuando queremos convencer a alguien de hacer o pensar de un cierto modo, cuando deseamos obtener algo, incluso nos argumentamos a nosotros mismos para justificar por qué era mejor actuar como lo hicimos y no de otra manera, para descartar opciones o para justificar una decisión tomada.

El siguiente es un ejemplo de un argumento: ―Buenas noches, mi nombre es… Yo estoy muy atrasada, sin que suene a pretexto, porque he tenido mucho trabajo, estoy en el sector turístico y 1) estamos en temporada alta, 2) no me agradan mucho las matemáticas (esto no quiere decir que no voy a seguir adelante), y 3) como ya llego muy tarde me fui por las materias más fáciles. Pero si me dan la oportunidad de recuperarme, también el fin de semana me pongo al corriente. De antemano por el apoyo, gracias.‖ Fue utilizado por un alumno de la ESAD, ¿cuál piensas qué fue el propósito de ese argumento?

En una argumentación, las premisas y las conclusiones se encuentran relacionadas entre sí de tal manera que las premisas apoyan a las conclusiones.

La conexión lógica entre las premisas y la conclusión se llama inferencia.

El razonamiento deductivo es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos, y en el que las premisas intentan garantizar plenamente las conclusiones.

Cuando esto se logra, es decir, cuando en un argumento o razonamiento deductivo las conclusiones se siguen necesariamente de las premisas (sean éstas suposiciones o hechos), entonces se dice que es un argumento o razonamiento deductivo correctoy que las conclusiones son consecuencias lógicas de las suposiciones o hechos. ¿A qué nos referimos con ―garantizar plenamente la conclusión‖?

A que si las premisas son verdaderas la conclusión será necesariamente verdadera.

Que las premisas garanticen la necesidad de la conclusión es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas son sucesiones de argumentos, y éstos deben ser argumentos correctos.

Resulta obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no.

A continuación, como ejemplo de un argumento deductivo, y de la rigurosidad de los argumentos matemáticos, te presentamos la proposición 4 del libro primero de Los Elementos, de Euclides: 57 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Proposición 4 Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también las respectivas bases igualesi, y un triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por todos iguales, serán también iguales respectivamente.

Sean ABΓ, ∆EZ, dos triángulos que tienen los dos lados AB, AΓ iguales a ∆E, ∆Z, respectivamente, es decir AB a ∆E y AΓ a ∆Z, y el ángulo BAΓ igual al ángulo E∆Z.

Digo que también la base BΓ es igual a la base EZ y que el triángulo ABΓ será igual al triángulo AEZ y los ángulos restantes, subtendidos por los lados iguales, serán también iguales respectivamente, es decir, el (ángulo)ii ABΓ (igual) al (ángulo) ∆EZ, y el (ángulo) AΓB (igual) al (ángulo) ∆ZE.

Pues si se aplica el triángulo ABΓ al triángulo ∆EZ y el punto A se coloca sobre el punto ∆ y la recta AB sobre la recta ∆E, coincidirá también el punto B sobre el punto E por ser igual AB a ∆E; al coincidir también AB con ∆E la recta AΓ coincidirá también con ∆Z por ser igual el ángulo BAΓ al EAZ; de modo que también el punto Γ coincidirá con el punto Z por ser igual a su vez AΓ a AZ. Pero también el punto B había coincidido con el punto E; de modo que la base BI coincidirá con la base EZ ([pues si habiendo coincidido el punto B con el punto E y el punto Γ con el punto Z, no coincide la base BΓ con la base EZ, dos rectas encerrarán un espacio; lo cual es imposible. Por tanto, coincidirá la base BΓ con la base EZ])iii y será igual a ella [N.C. 4]; de modo que también el triángulo entero ∆EZ y será igual a él, y los ángulos restantes coincidirán con los ángulos restantes y serán iguales a ellos, el (ángulo) ABΓ al (ángulo) ∆EZ y el (ángulo) AΓB al (ángulo) ∆ZE.

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Por consiguiente, si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también las respectivas bases iguales y un triángulo será igual al otro y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, serán también iguales, respectivamente. (Aquello que debía demostrarse.)

Sin embargo, muchas veces resulta incluso complicado identificar las premisas y la conclusión en un argumento, más aún determinar si éste es correcto o no.

Para lograr este objetivo, es decir, para garantizar plenamente que en nuestros argumentos la conclusión esté basada en las premisas, la lógica clásica utiliza un lenguaje formal propio definido.

2.2. Lenguajes Este tipo es una mina No sabemos si fue a causa de su corazón de oro, de su salud de hierro, de su temple de acero o de sus cabellos de plata.

El hecho es que finalmente lo expropió el gobierno y lo está explotando.

Como a todos nosotros.

Luisa Valenzuela Relatos vertiginosos

2.2.1. Lenguaje natural Llamamos lenguaje natural al que utilizamos para comunicarnos y expresarnos habitualmente. El español, el francés y el alemán son tres lenguajes naturales.

2.2.2. Lenguaje formal Un lenguaje formal es aquél que presta atención a la forma o estructura y no al contenido ni al significado de las palabras, en contraste con el lenguaje natural, en el cual el contenido y el significado sí son relevantes.

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En los lenguajes formales, a diferencia de los lenguajes naturales, la precisión ayuda a eliminar ambigüedades. Por ejemplo, alguien te cuenta que ayer Pedro vio a Laura con los lentes puestos, ¿eres capaz de determinar quién llevaba los lentes puestos?, ¿Pedro o Laura?

O como aquella historia que cuenta que tres bellas hermanas conocieron a un joven y apuesto muchacho, casi, casi galán de telenovela. Todo un donjuán, y también como galán de telenovela, el chico salía con las tres porque las tres le parecían sumamente agradables.

Con el tiempo las tres se enamoraron perdidamente del muchacho… Y, como no resistieron más la situación, le pidieron al muchacho que les dijera claramente a cuál de las tres amaba.

El joven, hábil en cuestiones del lenguaje, les entregó la siguiente décima:

Tres bellas que bellas son me han exigido las tres que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón si obedecer es razón digo que amo a Soledad no a Julia cuya bondad persona humana no tiene no aspira mi amor a Irene que no es poca su beldad Con la décima les dio también el consentimiento para que las hermanas pusieran los signos de puntuación, según ellas entendieran. Claro que cada una tuvo su propia lectura.

Soledad la leyó de la siguiente manera: Tres bellas, que bellas son, me han exigido las tres, que diga de ellas cuál es 60 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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la que ama mi corazón.

Si obedecer es razón digo que amo a Soledad, no a Julia, cuya bondad persona humana no tiene; no aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad.

Mientras que Julia lo leyó de la siguiente forma: Tres bellas, que bellas son, me han exigido las tres, que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón.

Si obedecer es razón digo que, ¿amo a Soledad?

No. A Julia, cuya bondad persona humana no tiene; no aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad.

Pero Irene la leyó de la siguiente forma: Tres bellas, que bellas son, me han exigido las tres, que diga de ellas cuál es la que ama mi corazón.

Si obedecer es razón digo que, ¿amo a Soledad?

No. ¿A Julia, cuya bondad 61 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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persona humana no tiene?

No. Aspira mi amor a Irene, que no es poca su beldad.

Como la duda persistía, pese a los esfuerzos de todas (más no del joven, claro), las hermanas suplicaron al muchacho que pusiera él mismo los signos y dejara en claro su decisión. Como todo un donjuán, esquivó con signos ortográficos cualquier compromiso y puntuó sus versos de la siguiente forma: Tres bellas, que bellas son, me han exigido las tres, que diga de ellas cual es la que ama mi corazón.

Si obedecer es razón digo que, ¿amo a Soledad?

No ¿A Julia, cuya bondad persona humana no tiene?

No ¿Aspira mi amor a Irene? ¡Qué! ¡No! Es poca su beldad.

Y como en telenovela, el muchacho tuvo que huir de la ciudad después de semejante desprecio. Pero el verdadero final de esta historia nos trae una moraleja (al menos mí moraleja) y es que en lógica no pasan este tipo de ambigüedades.

2.2.3. Metalenguaje Romeo ama a Julieta Julieta es una palabra de siete letras Por tanto, Romeo ama a una palabra de siete letras.

José Alfredo Amor, Antología de lógica matemática, p. 179.

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Desde luego, tú no pensarías así porque tendrías claro que al decir Julieta no nos referimos a la palabra, sino a la muchacha cuyo nombre es Julieta. Esto nos lleva a dos niveles diferentes del lenguaje: el lenguaje y el metalenguaje. Podemos usar el lenguaje para hablar de muchas cosas: personas, colores, animales, matemáticas e incluso del lenguaje mismo.

Cuando vamos a hablar de un lenguaje, al lenguaje del cual hablamos lo llamamos lenguaje objeto, mientras que el lenguaje que usamos para hablar del lenguaje objeto se conoce como metalenguaje.

Esto te quedará claro si piensas en cómo aprender otro idioma. Imagina que deseas aprender ruso. En los primeros niveles, cuando aún no dominas el idioma, si te explican algo de gramática rusa lo harán en español.

El español será el metalenguaje, pues es el lenguaje que utilizaremos para estudiar otro lenguaje, en este caso el ruso. Mientras que el ruso es el lenguaje objeto, es decir, es el lenguaje que estamos estudiando (digamos que es nuestro objeto de estudio).

En este curso, estamos utilizando el español para hablar de la lógica. El español es el metalenguaje y la lógica es el lenguaje objeto.

2.2.4. El leguaje de las matemáticas Para el estudiante de matemáticas, y en general de ciencias relacionadas con la matemática, es importante saberse expresar en dicho lenguaje para comprender la estructura lógica de las demostraciones hasta llegar a ser capaz de realizarlas él mismo.

He aquí unos ejemplos de tales demostraciones, tomados del libro de Michael Spivak, Cálculo Infinitesimal.

TEOREMA 4 (Teorema del valor medio) Si

es continua en

y derivable en

, entonces existe un número

en

, tal que

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Demostración Sea

Evidentemente, h es continua en

y derivable en (a, b), y

En consecuencia, podemos aplicar el teorema de Rolle a

y deducir que existe algún

en

tal que

De modo que

TEOREMA 2 (Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal)

Si

es integrable sobre

y

para alguna función , entonces

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DEMOSTRACIÓN Sea

una partición cualquiera de

. Según el teorema del valor medio existe un punto

tal que

Si

Entonces evidentemente

es decir,

Sumando estas ecuaciones para

obtenemos

de manera que

para toda partición

Pero esto significa que

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Por ello, el deseo de aprender a demostrar está muy presente. Este deseo proviene del hecho de que durante sus años de estudio, al estudiante se le enseña la manipulación mecánica de los términos matemáticos, pero no el razonamiento analítico necesario. Así que confunde la memorización y el tratamiento formal, pero mecánico, de datos, con la habilidad de razonar correctamente.

La mala noticia es que no hay recetas, prescripciones, fórmulas, pócimas ni conjuros para aprender a demostrar en matemáticas, ni en ninguna otra ciencia. La buena noticia es que sí es posible dar las bases para que tú mismo puedas desarrollar el ―arte‖ del razonamiento matemático, a fin de que puedas hacer frente al lenguaje matemático y a las técnicas lógico-deductivas de demostración.

Para lograr realizar una demostración, en primer lugar debes aprender el lenguaje con el que vas a comunicarte, porque ¿cómo esperas siquiera leer en un lenguaje que no comprendes? Y ni que hablar de poder demostrar algo.

El lenguaje de la matemática es un lenguaje formal basado en el de la lógica clásica. Por ello, es importante que aprendas a traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje lógico formal y viceversa.

El lenguaje formal de la lógica clásica es muy limitado y, por eso, es imposible formalizar todas las expresiones del lenguaje natural. Sin embargo, gracias a esas limitaciones gana precisión, por lo cual limita las ambigüedades.

Por ejemplo, en el enunciado ―Pedro vio a Laura con sus anteojos‖ no sabemos si Pedro usa anteojos y a través de ellos vio a Laura o si la que usa anteojos es Laura y cuando Pedro la vio ella los llevaba puestos.

El lenguaje formal permite precisar qué es lo que se desea decir a modo de evitar ambigüedades. Sin embargo, en el camino se pierde la riqueza del lenguaje natural. Por ello, los lenguajes formales se utilizan en disciplinas en las cuales es necesario tener rigor.

Imagina una poesía en lenguaje formal. ¿Cómo sería éste? ¿Crees que expresaría todo lo que el autor quiere transmitir?

Por ello, pese a que el lenguaje formal permite tener un mayor rigor, no sería ideal poder comunicarnos únicamente en ese lenguaje.

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Actividad 2. Wiki: Lenguaje natural y formal Es momento de construir en equipo el sentido e importancia que tiene para los matemáticos el lenguaje natural y formal.

2.3. El lenguaje formal de la lógica clásica

A continuación tomaremos la proposición “no existe ningún XY” lo que nos indica que no hay nada en la celdilla noroccidental; es decir, que la celdilla noroccidental se encuentra vacía”, o que se puede representar colocando en ella una ficha gris.

Lewis Carroll

El juego de la Lógica Sería como decir que da lo mismo afirmar que ―me gusta cuanto tengo‖ que ―tengo cuanto me gusta‖ […]

La Liebre de Marzo en Alicia en el País de las Maravillas De Lewis Carroll

2.3.1. El alfabeto: Signos de la lógica clásica El lenguaje formal de la lógica está formado por:

1. Proposiciones fijas: letras mayúsculas A, B, C,…

2. Parámetros de predicado: letras mayúsculas del alfabeto P, Q, R,….

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No es en realidad que las primeras letras del abecedario sean usadas para proposiciones y las últimas para predicados.

La diferencia entre las proposiciones fijas y los predicados es que las proposiciones fijas aparecen como bloques representados por mayúsculas, mientras que los predicados se refieren a las relaciones entre los elementos que forman una proposición.

Debes tener bien claro lo anterior, pues en realidad puedes utilizar cualquier letra mayúscula tanto para proposiciones fijas como para predicados. Sin embargo, los predicados irán acompañados de los elementos que se están relacionando.

Ejemplos: Cuando aparezca la letra mayúscula sola indicará que se refiere a una proposición como un solo bloque: V: Pedro vio a Laura con los lentes Mientras que cuando la letra mayúscula aparece acompañada de parámetros de constantes o variables, entonces, presta atención a las partes que la forman y a las relaciones que existen entre ellas. La proposición anterior quedaría expresada de la siguiente forma: VL(p,l) donde

o bien

V(p,l) y L(p)

VL: Ver con lentes V: Ver y

L:traer lentes.

Este tipo de expresiones ganan mayor precisión.

3. Parámetros de constante: letras minúsculas a, b, c,….

4. Variables individuales: x, y, z, w,….

Aquí sucede igual que en el caso de las proposiciones y los predicados. Es decir, en realidad puedes utilizar cualquier letra minúscula para referirte a las variables y a las constantes. Y eso sí, tener claro si se trata de una variable o de una constante. Sin embargo, lo más común es usar letras como x, y o z para variables.

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Ejemplos: x: persona cualquiera, en este caso x es una variable. x: Xavier, podemos identificarlo con la x porque es la primera letra de su nombre, sin embargo, en este caso es una constante, nos referimos exactamente a la persona que se llama Xavier.

5. Símbolos de conectivos lógicos: , , , , , = : Es el símbolo de negación. P se lee como ―no P‖ : Es el símbolo de disyunción entre dos proposiciones.

P  Q se lee como ―P o Q‖ : Es la conjunción P  Q se lee como ―P y Q‖ : Indica una situación condicional.

P  Q se lee ―Si pasa P, entonces pasa Q‖ : Indica una situación bicondicional.

P  Q se lee ―Pasa P si y solamente si pasa Q‖ =: Es el símbolo de la igualdad.

A = B se lee ―A es igual a B‖ Es el símbolo de la conclusión. Éste se lee como ―por lo tanto‖

6. Símbolos de cuantificación: ,  : Es el cuantificador universal. xP(x) se lee ―Todo x cumple P‖, o bien, ―Para todo x sucede que P‖ 69 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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: Es el cuantificador existencial. xP(x) se lee ―Existe una x que cumple P‖

7. Símbolos auxiliares: ), (

2.3.2. La gramática: Sintaxis de la lógica clásica La sintaxis es el conjunto de reglas que definen las secuencias correctas de los elementos de un lenguaje.

Las reglas de construcción en el lenguaje de la lógica clásica serán las siguientes: Todo parámetro de proposición y de predicado aplicado a constantes o variables y toda igualdad de constantes o variables, es una fórmula (atómica).

Si  y  son fórmulas, entonces: (), (  ), (  ), (  ) y (  ) son fórmulas. *Si  es una fórmula y x es una variable entonces (x) y (x), son fórmulas.

Ejemplos: A(x,y): x ama a y S(x): x se suicida Éstos son predicados aplicados a variables, por tanto, son fórmulas atómicas. r: Romeo j: Julieta Éstas son constantes, por tanto, no son fórmulas.

A(r,j): Romeo ama a Julieta Éstos son predicados aplicados a constantes, por tanto, son fórmulas. Y también lo son:  A(r,j): Romero no ama a Julieta

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A(r,j)  A(j,r): Romeo ama a Julieta y Julieta ama a Romeo A(r,j)   A(r,j): Romeo ama a Julieta o Romeo no ama a Julieta  A(j,r)  S(r): Si Julieta no ama a Romeo, entonces Romeo se suicida A(j,r)  A(r,j): Julieta ama a Romeo si, y sólo si, Romeo ama a Julieta xA(x,j): existe alguien que ama a Julieta xA(x,r): Todos aman a Romeo Actividad 3. Tipos de lógica Ahora debes entregar las actividades que se te han presentado hasta el momento.

2.3.3. Traducción entre lenguajes Lo que hicimos en los ejemplos de arriba fue no sólo determinar algunas fórmulas sino traducir.

Para poder comunicarnos, en un lenguaje natural al igual que en matemáticas y en lógica, es necesario entender qué es lo que se está diciendo. Para ello, traducimos.

Si escuchamos algo, traducimos, por ejemplo, enunciados a un lenguaje que comprendamos.

Posteriormente, si deseamos decir algo a alguien más que no entienda nuestro lenguaje, entonces traducimos también del lenguaje que nosotros comprendemos al lenguaje del otro.

En lógica sucede lo mismo, debes tener bien claro qué es lo que dicen los enunciados para que comprendas, por ejemplo, el contenido de un argumento o bien lo que te está diciendo un texto. Y también debes saber escribir lo que deseas decir para que sea riguroso y comprensible para todos.

Aquí te presentamos algunas formas de decir cosas básicas. Posteriormente, tú deberás realizar la traducción de otras proposiciones. a) Hay al menos un individuo que posee la propiedad P

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b) Hay al menos dos individuos que poseen la propiedad P:

c) Hay a lo sumo un individuo que posee la propiedad P:

d) Hay a lo sumo dos individuos que poseen la propiedad P:

e) Hay exactamente un individuo que tiene la propiedad P:

f) Afirmativa Universal: ―Todo S es P‖

g) Negativa Universal: ―Ningún S es P‖

h) Afirmativa existencial: ―Algún S es P‖

i) Negativa existencial: ―Algún S no es P‖

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Nos podemos auxiliar de los diagramas de Venn para representar ciertas proposiciones. Los diagramas representarán los conjuntos de los individuos de los cuales estamos hablando y no las proposiciones que hacemos acerca de dichos individuos.

Por ejemplo, pintemos de azul el conjunto de las aves y de amarillo el conjunto de las cosas que vuelan.

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Sabemos que algunas aves vuelan y también que hay cosas que vuelan y que no son aves, como los aviones y los helicópteros.

Así que en la intersección de ambos conjuntos, que será verde, están las aves que vuelan.

Pero éstos sólo son conjuntos, no hemos afirmado nada acerca de ellos.

Como la intersección no es vacía, entonces sí podemos afirmar que:

donde:

Entonces la proposición

dice que ―existe algo o alguien que es ave y vuela‖, o bien, ―existe

un elemento que pertenece al conjunto de las aves y que al mismo tiempo pertenece al conjunto de las cosas que vuelan‖… ―existe un ave que vuela‖.

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Actividad 4. Preposiciones Entrega las actividades que se te han proporcionado a lo largo del tema.

Autoevaluación Ingresa a la autoevaluación para verificar lo aprendido hasta el momento.

Evaluación de la unidad: Uso de la lógica clásica Tipo de actividad: Sumativa/Portafolio Descripción: Por medio de una lectura se deben identificar los elementos de la lógica clásica.

Instrucciones: Lee el texto ―Funciones matemáticas ¿con qué se comen?‖ y realiza los siguientes ejercicios.

1. Extrae y escribe del texto (no necesariamente escritos tal cual vienen en el texto): - Un argumento que concluya la importancia de las funciones para el ser humano.

- Un argumento que concluya que la asociación que asigna 1 a los números pares del 1 al 10 y 2 a los números impares del 1 al 10, siendo el dominio A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y el contradominio B = {1, 2, 3] es una función.

2. Identifica de qué tipo de argumentos se trata cada uno de los anteriores.

3. Identifica, a lo largo del texto, seis enunciados que sean proposiciones.

4. Identifica, a lo largo del texto, seis enunciados que no sean proposiciones.

5. Identifica dos situaciones dentro del texto en las que se utilice metalenguaje.

6. Hablando de funciones numéricas, la frase ―de lo complejo a lo simple‖, ¿se refiere a los números complejos?, ¿de qué tipo de lenguaje se trata?

7. Dentro del texto, la frase ―de la vista nace el amor‖, ¿a qué se refiere?, ¿de qué tipo de lenguaje se trata?

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Traducción 8. Traduce al lenguaje formal la definición de función que viene en el texto.

En matemáticas una función consta, dicho de manera más o menos formal, de dos conjuntos, A y B, y una regla de asociación entre ellos con las siguientes dos propiedades: i) Para cada elemento de A existe un elemento de B que es su asociado. ii) No hay elementos de A que tengan más de un asociado.

Al conjunto A se le conoce como el dominio de la función y al conjunto B como el contradominio.

Define los términos que vas a utilizar para tu traducción, es decir, los símbolos de proposición, de constante, de predicado, etc.

9. Representa con diagramas de Venn la traducción que acabas de hacer.

10. Traduce al lenguaje natural tres expresiones matemáticas que encuentres en el texto.

funciones MATEMÁTICAS

¿Con qué se comen?

Ignacio Barradas LA CIENCIA, COMO LA CONOCEMOS HOY EN DÍA, NO SERÍA CONCEBIBLE SIN EL CONCEPTO DE FUNCIÓN, UNA FORMIDABLE HERRAMIENTA MATEMÁTICA QUE NOS PERMITE EXPRESAR MUCHAS LEYES DE LA NATURALEZA Y SOLUCIONAR MULTITUD DE PROBLEMAS PRÁCTICOS EN LAS MÁS DIVERSAS DISCIPLINAS

NO ES FÁCIL explicar el éxito de los humanos como especie sin reflexionar sobre cuáles características le han permitido conquistar la superficie terrestre y quizá en un futuro, otros mundos. Mucho se ha dicho sobre su capacidad de crear herramientas, de hablar, de pensar en forma abstracta, de hacer arte. Una característica común a todas estas y muchas otras actividades, es la de asociar cosas de cierta categoría, con cosas de otra categoría. Se producen herramientas porque se les asocia con procesos útiles para el desarrollo de algún trabajo. Para hablar, asociamos sonidos a conceptos en nuestra mente, los cuales a su vez están asociados a ideas u objetos del mundo que nos rodea. "El mundo" para el ser humano es una gran colección de asociaciones. En ejemplos más concretos, podemos ver que nuestra tendencia a asociar unas cosas con otras es muy generalizada. Asociamos nombres distintos a lo que percibimos como sabores o colores diferentes. A cada momento en el tiempo asignamos un número del 1 al 12 o del 1 al 24 para saber qué hora es y subdividimos incluso esas unidades para hacer asociaciones cada vez más 76 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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precisas. A cada objeto le asignamos textura, color y dimensiones para des-cribirlo.

Son numerosos los diferentes tipos de asociaciones que manejamos. Algunas son bastante libres, por ejemplo, asociamos en el lenguaje varias palabras (sinónimos) al mismo objeto. Otras son de un tipo especial, por ejemplo las llamadas "asociaciones uno a uno", aquellas en las cuales para cada elemento de la primera categoría existe uno y exactamente uno de la otra categoría que le corresponde. Tal es el caso de las coordenadas geográficas fuera de los polos; hay una correspondencia entre cada punto en la Tierra y una única terna de valores: longitud, latitud y altitud. ¿Será posible clasificar los diferentes tipos de asociaciones que manejamos y obtener mediante su estudio información adicional? La respuesta es sí, y es el concepto matemático de función el que permite tal estudio.

La función de la función En matemáticas, el concepto de función se utiliza para describir relaciones entre elementos de conjuntos.

En este contexto a los elementos se les llama variables, pues al describir la relación entre ellos, se considera que se les puede ir variando o tomando uno primero y otro después. El término función tiene una historia larga y su significado se ha ido modificando para describir cosas cada vez más generales. Fue introducido por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes, quien lo usó para designar la potencia "n" de una variable "x", lo que hoy en día escribiríamos como , sólo que en aquel entonces esta notación no era usual. De hecho, fue Descartes uno de los in-troductores de tal manera abreviada de escribir. Años más tarde, en 1694, el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz usó el término función para referirse a distintos aspectos de una curva. No fue sino hasta el siglo XIX, concretamente en 1829, que otro matemático alemán, Peter Dirichlet, introdujo los conceptos de variable dependiente e independiente de una función entre los conjuntos A y B de números. El término de variable independiente se usa aún hoy en día para denotar a los elementos del conjunto A, ya que aunque el elemento elegido puede variar sobre todos los elementos de A, esa variación es independiente de cuál sea la relación entre los dos conjuntos. El término variable dependiente se aplica a los elementos de B. Esto subraya el hecho de que dependen de la elección que se haya hecho del elemento en A y de la relación entre los dos conjuntos.

En el curso del siglo XIX e inicios del XX, después de la introducción de la teoría de conjuntos, se vio que resultaba conveniente definir el concepto de función en una forma que incluyera no sólo a funciones numéricas, sino asociaciones mucho más generales.

Guadalajara = f (Jalisco) En matemáticas una función consta, dicho de manera más o menos formal, de dos conjuntos, A y B, y una regla de asociación entre ellos con las siguientes dos propiedades: i) Para cada elemento de A existe un elemento de B que es su asociado. ii) No hay elementos de A que tengan más de un asociado.

Al conjunto A se le conoce como el dominio de la función y al conjunto B como el contradominio.

Como ejemplo de función podemos considerar al conjunto A como el de los números enteros del 1 al 10 y a B como el conjunto de los números 1, 2 y 3. Una -regla de asociación puede ser: si un número es par, se asocia al 2, si es impar se asocia al 1.

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Ésta es una asociación de A a B que tiene las propiedades para ser una función; a cada elemento de A le corresponde uno y sólo uno de los elementos de B. En este caso no sólo hay elementos de B que están asociados a más de un elemento de A, sino que también hay un elemento en B, el 3, que no se asocia a ninguno de los elementos de A. Esto no es problema, pues en la definición de función no se pidió que los elementos de B estuvieran asociados a sólo un elemento de A o siquiera a elementos diferentes.

Es también importante observar que si los conjuntos A o B en la definición de una función cambian, la función cambia. Esto parecería una distinción ociosa, pero cuando se estudian tipos especiales de funciones, se ve que su distinción puede depender fuertemente de los conjuntos A y B, y no solamente de la regla de asociación, pues si se desea que una cierta propiedad se cumpla para todos los elementos de A o B, el verificarlo dependerá de quién es A o quién es B. Aunque en matemáticas se trabaja la mayor parte del tiempo con funciones que asocian valores numéricos con valores numéricos, una función puede estar definida entre cualesquiera dos conjuntos. Considérese por ejemplo, al conjunto A como la totalidad de estados de la República Mexicana y al conjunto B como la totalidad de ciudades del país. La regla de una función entre estos dos conjuntos podría ser que a cada estado le corresponda su ciudad capital. Dado un estado, siempre hay una ciudad que es su capital, es decir, se satisface la condición i). La condición ii) también se cumple, pues no hay estados de la República con dos o más capitales. En el conjunto B hay muchas ciudades más que las capitales, por lo que no todos los elementos de B están asociados a alguno de A, pero sí todos los de A a alguno de B. Si se toma un elemento x del conjunto A y se quiere denotar su asociado "y" en B bajo la función f, se acostumbra escribir y = f (x), lo cual se lee como "y es función de x". Cada vez que se sustituya un valor de x, se obtendrá el correspondiente asociado, según la regla dada por la función. En el ejemplo de los estados y sus ciudades tendríamos Guadalajara = f (Jalisco) y Morelia = f (Michoacán).

Funciones numéricas En un gran número de casos, cuando se aplica el concepto de función para describir situaciones reales, los conjuntos A y B entre los que se define la función, resultan ser conjuntos de números; a instantes del tiempo asignamos temperaturas, valores de velocidad, humedad, etc. En general, la variable independiente será una cantidad tal como tiempo, tamaño, posición, etc., y la variable dependiente será alguna propiedad que le asignemos, como la temperatura, la edad, etc. En dichos casos hablamos de funciones numéricas y la citada regla de asociación vendrá dada con frecuencia por una fórmula, del tipo f(x) = - 3x + 5, lo que debe ser entendido así: cada vez que se elija un valor -numérico x de A, le corresponderá el número que se obtenga de sustituir x en la fórmula. Por ejemplo, si el conjunto A es el de todos los números positivos, al 5 se le asociará el 15, ya que al sustituirlo en la fórmula se obtiene -3(5)+5 = 25-15+5 = 15. En el mismo ejemplo f(3) = 5, ya que encontrarían los asociados de los demás elementos.

-3(3)+5 = 5. De la misma manera se

Una razón muy importante de que las reglas de asociación vengan dadas a menudo en forma numérica es que la ciencia en su versión actual intenta describir todo no sólo cualitativamente sino también cuantitativamente; un evento se considera mejor entendido si se le pueden asociar cifras y, mejor aún, si se pueden hacer predicciones de valores de las variables involucradas. Por ejemplo, en la meteorología nos interesa saber los valores de temperatura, humedad, velocidad de viento, etc. que predominarán en una 78 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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cierta región en los días venideros. En la economía nos interesaría saber cómo van a variar los precios de bienes y servicios para invertir en la opción más prometedora. En la química se desea saber cuánto de tal o cual sustancia y a qué temperatura, presión, etc. generará tal cantidad de otra sustancia.

La utilidad de las funciones es muy amplia y variada. Imaginemos, por ejemplo, que se desea saber la concentración de un contaminante en el lecho de un río, por ejemplo, del cadmio. Para ello se realizan un cierto número de mediciones a intervalos de tiempo conocidos y se miden algunas otras variables como son temperatura, densidad, volumen de agua que fluye, etc. Al analizar los datos se da uno cuenta de que las cantidades parecen cumplir una cierta regla, la cual se puede expresar en términos de una función. Con algunas pruebas estadísticas se puede saber si la función que se cree que describe la relación entre las variables ajusta bien a los puntos obtenidos en la medición. Si así fuera el caso, se supone que la función será entonces útil para obtener valores de las concentraciones de cadmio, incluso para rangos de valores diferentes a los que se midieron. Por ejemplo, se podría querer saber qué concentraciones hubo entre dos instantes de tiempo en los que sí hubo mediciones. A dicho proceso se le conoce como "interpolación". Si se deseara saber qué valores de la concentración de cadmio se tendrán para valores más allá del periodo de tiempo en el que se midió, el proceso se llama "extrapolación".

El retrato de una función

Esta gráfica es un ejemplo de cómo crece una población en función del tiempo.

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Esta gráfica puede ser sólo una recta o la representación de fenómenos como el movimiento de un objeto a velocidad constante y la fuerza que ejerce un resorte comprimido.

Una parábola puede representar el movimiento de un objeto en caída libre o la resistencia del aire que 80 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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experimenta un avión en función de su velocidad.

¿Función o ecuación?

En muchos casos concretos la regla de asociación de una función viene dada en forma de una fórmula o ecuación. Esto hace en ocasiones difícil distinguir los conceptos de función y ecuación. Ya vimos que una función consta de un par de conjuntos y una regla de asociación. En el caso de la ecuación tenemos solamente una igualdad entre dos expre-siones que normalmente involucra cantidades desconocidas, llamadas también variables. Las variables se denotan usualmente por las últimas letras del alfabeto (otra idea original de Descartes). Así, por ejemplo, las ecuaciones + x - 4 = 8, y = sen (x), y x = cos (y + z)/4 son ecuaciones en una, dos y tres variables, respectivamente. Se dice que una ecuación se satisface si al reemplazar las variables con los valores correspondientes la igualdad se verifica. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 13 se satisface para x = 4.

Así pues, aunque los conceptos de ecuación y el de función están fuertemente relacionados, es importante distinguir que en el primer caso se trata sólo de una igualdad, mientras que en el segundo se involucran dos conjuntos y una regla de asociación, que puede venir dada en forma de ecuación. Así, por ejemplo, tenemos que para un triángulo de base b, altura h y área A, se satisface la siguiente ecuación A = bh.

Esta expresión en particular nos dice que el valor del área de un triángulo está en función de su base y su altura. Aunque para describir eso como una función necesitamos especificar qué elementos constituyen a los conjuntos A y B. Sin conjuntos en los cuales esté definida la relación tenemos una ecuación, no una función.

De la vista nace el amor

A menudo se indica una función por medio de su gráfica. Esto tiene razones prácticas de ser y resulta muy cómodo. Tal es el caso de mediciones de temperatura, -presión, altura de las mareas o velocidad del viento, por mencionar sólo algunos ejemplos.

El ser humano tiene una gran habilidad para interpretar la información que se le presenta en forma visual.

Si vemos la gráfica de un proceso, tal como la de la variación de la temperatura diaria en un lugar o la del indicador bursátil, podemos reconocer ciertas tendencias. De la misma manera, si queremos recalcar tendencias en el comportamiento de un fenómeno, ya sea oscilatorio, o de incremento o decremento, lo podremos argumentar presentando la información en forma gráfica, es decir, mostrando la gráfica de lo que creemos que es la función que describe el proceso. Quien haya visto una gráfica del crecimiento de la población en nuestro país o en el mundo se podrá dar cuenta inmediatamente que muestra lo que los demógrafos llaman crecimiento exponencial, es decir, un crecimiento cada vez más rápido. ¿Cómo se grafica una función? Veamos un par de ejemplos. Si se tiene una función, f, para la cual tanto el conjunto dominio de la función, A, como el con-tradominio, B, son conjuntos de números, podemos recurrir a las ideas de la geometría analítica para representarla gráficamente. Para ello se utilizan las llamadas 81 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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coordenadas cartesianas: se trazan dos rectas perpendiculares, la primera de las -cuales se dibuja por lo general horizontalmente y se denota como el eje x, la recta vertical se denota como eje y. Estando ambos ejes marcados cada uno por una unidad específica (de distancia, tiempo, etc.) y subdivididos en las fracciones que sea necesario, se procede a buscar todos los puntos de coordenadas (x,y) donde y = f (x).

Por ejemplo, la gráfica de la función y = 2x es una recta que pasa por el origen (el punto donde x y y son iguales a cero) y que tiene pendiente 2; es decir, cualquier punto de la recta se encuentra al doble de distancia del eje horizontal que del vertical. La función cuadrática y = a + bx + , con c diferente de 0, es una parábola.

La función y = 2x podría representar la posición de un objeto que se mueve a velocidad constante (en el eje x se representa el tiempo y en el eje y la posición), o bien la fuerza ejercida por un resorte comprimido (el eje x corresponde a qué tan comprimido está y el eje y a la fuerza que el resorte ejerce). La función cuya gráfica es una parábola puede ser la representación de la distancia (eje y) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo (eje x), o la resistencia del aire (eje y) que afecta a un avión en función de la velocidad (eje x) a la que va.

De lo complejo a lo simple El estudio de las funciones desde el punto de vista matemático es muy importante, ya que en muchas ocasiones no basta con un análisis visual del comportamiento de una función. Con frecuencia quisiéramos sacar más información de los datos representados. Esto se logra aplicando diferentes técnicas de las matemáticas, como son el cálculo diferencial e integral, las ecuaciones diferenciales, la estadística o el álgebra. Para ello es importante definir la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones. ¿Qué ventajas hay en definir funciones nuevas a partir de las originales? Pues bien, habiendo definido estas nuevas funciones se tiene ahora la oportunidad de hacer "álgebra de funciones". Esto tiene aplicaciones muy importantes. Piénsese que se estudia un fenómeno y que se tiene la sospecha de que los datos que se están observando o midiendo son el resultado de la superposición de varios fenómenos. En tal caso, la función que se ajuste a los datos medidos, será el resultado de la suma de varias funciones más. El encontrar dichas funciones puede significar descomponer el fenómeno observado en partes que lo constituyen. Esto quiere decir entender un problema complejo como suma de partes más simples.

Existen muchos tipos de funciones y su clasificación tomaría mucho espacio, baste decir que un tipo muy importante es aquel cuya regla de asociación no se define en forma explícita, sino a través de alguna condición que la función debe satisfacer. Usualmente esto corresponde a una ley de la naturaleza. Más aún, se puede decir que el cálculo diferencial e integral fue inventado para encontrar funciones que satisficieran ciertas leyes de la naturaleza. En muchos casos, resolver un problema científico consiste en encontrar la función que relaciona dos o más variables: las leyes de Kepler , por ejemplo, describen las órbitas de los planetas, es decir, son reglas de asociaciones representadas como ecuaciones que describen cómo se mueven los planetas alrededor del Sol. Una de ellas nos permite calcular el tiempo que tardan los planetas en recorrer su órbita completa en función de la distancia promedio a la que se encuentran del Sol. Las leyes que aprendemos en las clases de química y física que vienen expresadas en términos de fórmulas nos dicen que cada una de las variables es función de las otras. Así, sabiendo por 82 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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ejemplo que la ley de Ohm se expresa como V = IR, donde V es el voltaje en un circuito, I la intensidad de corriente, y R la resistencia, si conocemos cualesquiera dos de las variables involucradas, la otra es función de ellas, y podemos calcularla.

El concepto de función es pues no sólo uno de los pilares de la matemática moderna, sino de la ciencia en su conjunto. Sin él no se podría concebir la construcción del conocimiento científico como se hace hoy en día.

Ignacio Barradas es doctor en matemáticas y biología. Realiza su trabajo científico en el Centro de Investigación en Matemáticas (CIMAT), en Guanajuato, Gto. Retomado desde: http://www.comoves.unam.mx/articulos/funciones/funciones1.html

Consideraciones específicas de la unidad Empieza a trabajar la evidencia de la unidad desde el principio, de acuerdo a cada tema que vayas viendo.

Porque si revisas la evidencia, es larga y conviene que se vaya trabajando parte por parte y que se la envíes al facilitador para que la vaya revisando.

También recuerda trabajar tus lecturas y los ejercicios sugeridos, ya que serán necesarios para las actividades posteriores.

Fuentes de consulta 

Amor Montaño, J. A. (1992). Antología de Lógica Matemática. México: Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.

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Amor Montaño, J. A. La enseñanza del análisis lógico. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/amor.htm

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Amor Montaño, J. A. Lógica clásica de primer orden. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/05-1/0428Amor.ppt

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Asimov, I. (1996). El Universo. México: Alianza Editorial.

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Carroll, L. (2004). Alicia en el país de las maravillas. México: Editorial Andrés Bello.

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Real Academia Española (1992). Diccionario de la Lengua Española. Madrid: Real Academia Española.

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Lógica Programa desarrollado

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Harnández Deciderio, G. (2008). Lógica ¿para qué? México: Pearson Prentice Hall.

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Huertas, A. y Manzano, M. Lógica para principiantes. Madrid, España: Alianza Editorial.

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Monterroso, A. (2000). La oveja negra y demás fábulas. México: Fondo de Cultura Económica.

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Rowling, J. K. (2004). Harry Potter y el prisionero de Azkaban. Barcelona: Publicaciones Salamandra.

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S. a. (1992). Pequeño Larousse Ilustrado. México: Larousse.

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Spivak, M. (1992). Cálculo Infinitesimal. México: Editorial Reverté.

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Zavala, L. (2002). Relatos Vertiginosos. Antología de cuentos mínimos. México: Alfaguara.

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Zavala Ruiz, R. (1995). El libro y sus orillas. México: Universidad Nacional Autónoma de México.

84 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Unidad 3. Análisis de argumentos Presentación de la unidad

Morir de un asesinato moral, al no tener armas argumentativas para defenderse, es lo peor que le puede pasar a un intelectual.

Humberto Granados El filósofo declara, relato de un duelo existencial

Desde que somos pequeños en la escuela nos enseñan que el ser humano es un animal racional. Si buscamos en el diccionario la palabra hombre encontramos definiciones como las siguientes o muy parecidas: Ser animado racional. Ser dotado de inteligencia y de un lenguaje articulado. El lenguaje, cualquiera que éste sea, sirve para expresarnos y comunicarnos con los demás. Podemos transmitir emociones, acciones, chistes, órdenes, etc. Entre todas esas cosas que podemos comunicar, una de las más importantes son las ideas, tanto las nuestras como las de los demás.

Volviendo al diccionario, en la definición de idea encontramos: Primero y más obvio de los actos del entendimiento. Representación de una cosa en la mente. ¿Y en mente y entendimiento?

Mente: Inteligencia, pensamiento. Potencial intelectual del alma.

Entendimiento: Razón humana.

El punto relevante aquí es que tanto el ser humano como los lenguajes que éste crea están asociados con la racionalidad de las personas.

85 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Actualmente consideramos que el ser humano es un animal racional. Pero esto no es algo nuevo, desde los griegos, la capacidad intelectual ha sido considerada como una facultad propia del hombre. De hecho, entendemos por razón esa capacidad racional –intelectual– de las personas, así como también a una justificación que damos de algo. Y entendemos por capacidad racional a la habilidad de dar razones, es decir, tanto de utilizar nuestra racionalidad como de dar razones para algo.

Seguramente alguna vez has escuchado o has dicho frases como: ―¡Es un irracional!‖, al referirnos a una persona que no entiende razones o actúa sin pensar, por puro impulso.

MAFALDA… ¡Porque lo digo yo, que soy tu madre!...

Mafalda: –Pero… ¿por qué tengo qué hacerlo?

Mamá: –¡Porque lo digo yo, que soy tu madre!

Mafalda: –Si es cuestión de títulos yo soy tu hija, y nos graduamos el mismo día.

86 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Quino Bien, gracias. ¿Y usted?

87 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Por eso, es justo nuestra racionalidad la que nos impulsa a buscar razones que apoyen nuestros actos y nuestros pensamientos, cosa que llamamos argumentar. Y para no ser víctimas de ―un asesinato moral‖, como el que menciona Granados, debemos aprender a analizar los argumentos, tanto los que nosotros presentamos como los que nos presentan, para no caer en falsas conclusiones.

En esta unidad iniciarás el camino que te permitirá determinar si un argumento es correcto o no, y que te proveerá de las bases de la demostración formal. Primero, aprenderás a reconocer con mayor precisión el discurso argumentativo y sus partes. Después, estudiarás la diferencia entre verdad y validez, para finalmente aplicar los criterios de verdad, para determinar la verdad de una afirmación, y las reglas de deducción natural, para realizar una deducción que te permita probar una conclusión con base en ciertas premisas.

Propósito de la unidad En esta unidad: 

Determinarás las premisas y la conclusión de un argumento, analizando el valor de verdad de dichas proposiciones, para crear tus propios argumentos con base en una deducción que te permita probar una conclusión a través de ciertas premisas.

Competencia específica Determina el valor de verdad de una proposición, a través del uso de las conectivas lógicas, para adquirir las bases de la evaluación de la validez de un argumento.

3.1. Identificación de un argumento y sus partes Era un camino rural privado. Un cartel decía: ―Camino privado –Puente bajo– ¡No entrar!‖. Cuando el agente Longarm pasó por debajo del puente señaló hacia arriba y le explicó al Dr. J. L. Quicksolve: –Los sospechosos de un intento de robo tomaron por este camino. Uno de nuestros autos los persiguió hasta aquella última curva, pero los sospechosos lo obligaron a salir del camino con su camión. Todo pasó demasiado rápido como para tomar el número de la matrícula. La patrulla de refuerzo llegó unos cinco minutos después. Se detuvo un minuto para ver que el primer agente estuviera bien. Después siguió. Pasó debajo de este puente, pasó otra intersección, y dobló por la curva siguiente, donde encontró un camión como el que describió el primer agente. Estaban cargando un compresor de aire portátil. Decían que acababan de pinchar un neumático.

–¿Usted cree la historia del neumático?– preguntó el Dr. Quicksolve.

88 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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–Bueno, dijeron que tenían un neumático muy desinflado. No hay manera de verificarlo. Pero lo extraño es que pretendían no haber tomado el camino privado. Decían que sabían que el camión era demasiado alto para pasar por debajo del puente. Lo medimos y tenían razón. Era demasiado alto. No podían haber pasado, así que los dejamos ir.

–Vuelvan a alcanzarlos– dijo con rapidez el Dr. Quicksolve.

Puente bajo Logic, juegos de lógica

3.1.1. Discurso argumentativo y no argumentativo Como vimos en la unidad pasada, un argumento es un proceso en el cual se relaciona un conjunto de proposiciones, llamadas premisas, con otro conjunto de proposiciones, llamadas conclusiones, de tal manera que las premisas apoyan a las conclusiones.

Para analizar un argumento debemos tener claro que hay una diferencia entre verdad y validez. Y al hablar de validez y verdad es necesario reconocer primero cuáles discursos son argumentativos y cuáles son las partes que lo forman.

No siempre es fácil identificar cuando un discurso es un argumento, más allá de que éste sea correcto o no, y tampoco reconocer cuáles son las premisas y las conclusiones de éste.

Existen discursos para relatar, definir, describir, cotejar o explicar, entre otras cosas. Los discursos argumentativos los identificaremos en tanto reconozcamos que tienen el propósito de apoyar una idea o posición, o bien, cuando queremos demostrar algo.

Por fin, según el cable, la semana pasada la tortuga llegó a la meta.

En rueda de prensa declaró modestamente que siempre temió perder, pues su contrincante le pisó todo el tiempo los talones.

En efecto, una diezmiltrillonésima de segundo después, como una flecha y maldiciendo a Zenón de Elea, llegó Aquiles.

Augusto Monterroso, La oveja negra y otras fábulas

89 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Esturión m. (lat. sturio). Pez ganoideo de cinco metros de longitud cuyos huevos sirven para preparar caviar.

Pequeño Larousse ilustrado La deriva es el límite siguiente:

La plaza tiene una torre, la torre tiene un balcón, el balcón tiene una dama, la dama tiene una flor.

Fragmento de La plaza de Antonio Machado Una vez identificado el argumento, debemos reconocer cuáles son las partes que lo forman para posteriormente poder determinar su validez.

3.1.2. Reconocimiento de premisas Los términos premisa y conclusión son relativos, pues una proposición puede ser conclusión en un argumento y premisa en otro.

Una proposición es una premisa cuando aparece como supuesto del argumento, y es una conclusión cuando se deduce de las proposiciones que aparecen como premisas.

Las premisas y las conclusiones no deben ser identificadas por su contenido ni por su ubicación dentro del discurso. Premisas y conclusiones pueden aparecer en cualquier lado del discurso, no es necesario que la conclusión aparezca al final del argumento antecedido por las premisas. Algunas expresiones pueden ayudarnos a identificar las partes del argumento.

90 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Las siguientes expresiones al comienzo de una proposición indican una premisa: puesto que, ya que, como, en tanto que, por cuanto, viendo que, a partir de que, y, pero.

Aunque éstas no son las únicas, no te confíes.

3.1.3. Reconocimiento de conclusiones Frases que expresen conclusión al principio de una proposición indican justamente una conclusión del argumento. Por ejemplo: por lo tanto, por ende, así que, de ahí que, en consecuencia, se deriva, por consiguiente, como resultado, luego, entonces, llegamos a la conclusión.

Actividad 1. El discurso argumentativo Participa en el foro de discusión sobre el discurso argumentativo.

3.2. Verdad y validez Todos mienten Doctor House

Quizá alguna vez hayas escuchado la frase del Dr. House. Y tal vez en algunas de esas ocasiones hayas confundido la verdad de las premisas de un argumento con que de ellas se sigue la verdad de la conclusión ¡Cuidado! Esto no necesariamente es así, como estudiarás más adelante, puede haber argumentos cuyas premisas sea falsas y cuya conclusión sea verdadera.

Además, aunque sea poco intuitivo, la falsedad de las premisas y de la conclusión no afecta directamente al hecho de que el argumento esté correctamente estructurado. En lógica, un argumento correcto será aquel del cual la conclusión se derive lógicamente de las premisas y no es válido agregar cosas que no se tienen en las premisas, a menos que sirvan de apoyo y luego se eliminen, lo cual verás más adelante, en las deducciones lógicas.

Quizá el siguiente chiste te parezca un poco exagerado, pero un poco así funciona la lógica: Dice un chiste que un biólogo, un ingeniero, un físico y un matemático viajaban por Escocia en un tren cuando a través de la ventanilla del tren vieron una oveja negra. Entonces el biólogo dijo: "¡Qué interesante!

En Escocia todas las ovejas son negras", a lo que el ingeniero respondió: "¡No, no! ¡En Escocia hay un campo en el que todas ovejas son negras!". El físico se levantó y dijo: "¡No, no! En Escocia existe al menos 91 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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un campo, que contiene al menos una oveja negra‖. A lo que el matemático respondió exaltado: ―¡Claro que no!, En Escocia existe al menos un campo, que contiene al menos una oveja negra uno de cuyos lados, al menos, es de color negro".

Sólo habla de lo que tiene, y lo que se deduce es correcto o incorrecto, no importa si lo que se dice es verdadero o falso. A continuación estudiarás la diferencia.

3.2.1. Verdad Una proposición puede ser verdadera o falsa en tanto afirma o niega algo. Por ello, la verdad de una proposición se relaciona con su contenido, es decir, con lo que significa aquello que afirma o niega.

Por ejemplo, si dices: ―el escudo nacional tiene un águila devorando a una serpiente‖, lo que dices es verdadero, es decir, ésta es una afirmación verdadera. Y si dices: ―cuando llueve no hay nubes‖, lo que dices es falso, es decir, ésta es una afirmación falsa.

De ahí que para determinar el valor de verdad de una proposición esté involucrada la interpretación de la misma. Es importante tener claro esto. Por ejemplo, la proposición acuerdo a cómo se interpreten tanto Si

es ―un avión‖ y

como

puede ser verdadera o falsa de

.

es ―volar‖, entonces, la proposición diría que todo avión vuela, lo cual es

verdadero.

Si

es ―un camión‖ y

es ―volar‖, entonces, la proposición diría que todo camión vuela, lo cual es falso.

Si

es ―un número natural‖ y

es ―ser primo‖, la proposición diría que todo número natural es primo, lo

cual es falso.

Si

es ―un número natural‖ y

es ―no ser irracional‖, la proposición diría que todo natural no es

irracional, lo cual es verdadero.

Una interpretación para el lenguaje formal consiste de un conjunto de objetos, llamado universo de la interpretación, y de relaciones, operaciones y elementos particulares de ese universo de la interpretación.

92 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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En los ejemplos anteriores, los objetos del universo de la interpretación son: 1. los aviones 2. los camiones 3. los números naturales 4. los números Un elemento particular en 1 sería, por ejemplo, el Concord, mientras que en 2 puede ser el camión que tomas para ir a trabajar, en 3 sería el 5, que es un primo particular, y en 4 puede ser

, que es un

irracional particular.

3.2.2. Validez En cambio, dado que un argumento es una relación entre proposiciones, no afirma ni niega nada, por lo cual, no puede ser ni falso ni verdadero. Si la relación entre las proposiciones que forman las premisas y las proposiciones que forman la conclusión es correcta, se dice que el argumento es válido o correcto, en caso contrario, el argumento es inválido o incorrecto. Esto lo verás con más detalle en la unidad 4.

Lo que podríamos decir es que la conclusión a la cual lleva el argumento es falsa o verdadera, pero no el argumento en sí.

3.3. Criterios de verdad y equivalencias lógicas García: −¡Estoy loco! ¿Verdades valen tan poco?

Tristán: −En la boca mentirosa. […]

Lucrecia: −De modo que, son saber su engañoso proceder, como tan firme porfía, casi me tiene dudosa.

Jacinta: −Quizá no eres engañada, que la verdad no es vedada

93 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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en la boca mentirosa. […]

Lucrecia: Y porque su falsedad conozcas, escucha y mira si es mentira la mentira que más parece verdad. […]

García: −¡Ésta es verdad, vive Dios!

Jacinta: −Hacedle vos que lo crea ¿Qué importa qué verdad sea, si el que la dice sois vos?

Que la boca mentirosa incurre en tan torpe mengua, que, solamente en su lengua es la verdad sospechosa. […]

Tristán: −Y aquí verás cuán dañosa es la mentira; y verá el senado que, en la boca del que mentir acostumbra, es la verdad sospechosa.

La verdad sospechosa Juan Ruiz de Alarcón

Ya vimos que una proposición puede ser verdadera o falsa. Si sabemos el contenido exacto de la proposición, entonces podemos saber si ésta es verdadera o falsa. Pero ¿qué sucede en una proposición formal? Es decir, cuando lo que importa es la forma de la proposición más que su contenido, ¿cómo podemos determinar el valor de verdad de dicha proposición?

94 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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3.3.1. Criterios de verdad para las conectivas lógicas En boca del mentiroso lo cierto se hace dudoso Refrán popular

Supongamos que P y Q representan afirmaciones expresadas en el lenguaje analítico y que respecto a una interpretación dada son verdaderas, o falsas. Entonces… a) Una negación

se denota por

. Ésta es verdadera en una interpretación dada, si P es falsa con

respecto a esa interpretación.

La negación

,

, es falsa en una interpretación dada si P es verdadera con respecta a esa

interpretación.

Por ejemplo, si dices: ―yo soy alumno de la ESAD‖, lo que dices es verdadero. Pero si dices: ―yo no soy alumno de la ESAD‖, es una negación que es falsa.

Por ejemplo, supón que

Entonces

diría que no sucede que tu facilitador es alumno de la ESAD.

La proposición

dice que tu facilitador es alumno de la ESAD. Ésta proposición es falsa, mientras que

su negación, es decir,

, es verdadera.

b) Una disyunción

se denota por

. Ésta es verdadera en una interpretación dada si P es

verdadera con respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación. No necesariamente al mismo tiempo, pero queda incluida la posibilidad de que ambas, P y Q, sean verdaderas al mismo tiempo en esa interpretación.

La disyunción

,

, es falsa en una interpretación dada si ambas, P y Q, son falsas en esa

interpretación.

Por ejemplo, supón que

y

mientras que 95 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

diría que: ―o sucede que tu facilitador es alumno de la ESAD o sucede

Entonces la proposición

que tu facilitador es facilitador de la ESAD. Y sabemos que tu facilitador es facilitador de la ESAD, por lo tanto disyunción

es verdadera, de ahí que la

también lo sea.

c) Una conjunción

se denota por

. Ésta es verdadera en una interpretación dada si ambas,

tanto P como Q, son verdaderas al mismo tiempo en esa interpretación.

Una conjunción

,

, es falsa en una interpretación dada si alguna de las dos, o P o Q, es falsa en

esa interpretación.

Supón que

y mientras que diría que: ―sucede que tu facilitador trabaja en la SEP y al mismo

Entonces la proposición tiempo es facilitador de la ESAD‖.

Sabemos que tu facilitador es facilitador de la ESAD y que por ello trabaja en la SEP, por tanto, verdadera y también

es verdadera, de ahí que la conjunción

d) Una condicional

se denota por

es

también lo es.

. Ésta es verdadera en una interpretación dada

si no sucede que P es verdadera y Q es falsa, al mismo tiempo, en esa interpretación.

La condicional

,

, es falsa en una interpretación dada si P es verdadera en esa

interpretación y al mismo tiempo Q es falsa en esa interpretación. e) Una bicondicional

se denota por

. Ésta es verdadera en una interpretación dada

si ambas, tanto P como Q, son verdaderas al mismo tiempo en esa interpretación, o bien si ambas, tanto P como Q, son falsas en esa interpretación.

Una bicondicional

,

, es falsa en una interpretación dada si alguno de los dos, o P o

Q, es verdadero en esa interpretación y el otro es falso en esa misma interpretación.

96 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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3.3.2. Criterios de verdad para cuantificadores a) Una cuantificación existencial

se denota como

. Ésta es verdadera

en una interpretación dada si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q para ese individuo es verdadera en esa interpretación. Es decir, si existe un individuo que cumple Q. Una cuantificación existencial

,

, es falsa en una interpretación dada si Q

es falsa para todos los individuos de la interpretación. Es decir, ninguno de los individuos de dicha interpretación cumple Q. b) Una cuantificación universal

se denota por

. Ésta es verdadera en una

interpretación dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera en esa interpretación y respecto a cada uno de ellos. Es decir, si todos los individuos cumplen Q. Una cuantificación universal

,

, es falsa en una interpretación dada Q es falsa al

menos para un individuo de la interpretación. Es decir, si existe al menos un individuo que no cumpla Q.

3.3.3. Equivalencias lógicas Dadas dos proposiciones P y Q, si bajo cualquier interpretación ambas son verdaderos, o bien ambas son falsos, se dice que P y Q son lógicamente equivalentes, o bien, que P es lógicamente equivalente a Q y se denota como Así pues, si P es verdadera entonces Q es verdadera, si Q es verdadera entonces P es verdadera, si P es falsa entonces Q es falsa, y si Q es falsa entonces P es falsa, sin importar cuál sea la interpretación que se haga de P y Q. Entonces, P y Q serán lógicamente equivalentes.

Cuando dos proposiciones P y Q son lógicamente equivalentes entonces puede sustituirse una por la otra debido a que tienen el mismo significado y el mismo valor de verdad.

Algunas de las equivalencias lógicas más utilizadas son: 1) (P  Q)



(Q  P)

2) (P  Q)



( P  Q) 97

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3) (P  Q)



(P  Q)

4) x P(x)



x P(x)

5) x P(x)



x P(x)

6) x (P  Q)(x)



(x P(x)  x Q(x))

7) x (P  Q)(x)



(x P(x)  x Q(x))

8)   P



P

9) (P  Q)



(P  Q)

−Primera Ley de De Morgan−

10) (P  Q) 

(P  Q)

−Segunda Ley de De Morgan−

11) (P  Q) 

(P Q)

12) (P  Q) 

(P  Q) (Q P)

13) x P(x) 

x P(x)

14)  x P(x) 

x P(x)

Ejemplos OJO: Es muy común tener confusiones con los cuantificadores. Algunos ejemplos de esto es creer que las siguientes son equivalencias lógicas… ¡PERO MUCHO CUIDADO!, ya que no lo son: x (P  Q)  x P  x Q x (P  Q)  x P  x Q

3.3.4. Tablas de verdad Las tablas de verdad son tablas en las cuales se expresa el valor de verdad de cada una de las partes de la afirmación, por ejemplo de P y de Q, y de ahí se deriva el valor de la proposición compuesta por conectivos y cuantificadores.

Las tablas de verdad básicas de los conectivos son: 98 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

La negación

V

F

F

V

Esta tabla podría leerse de la siguiente manera: si P es verdadera entonces será falso que no sucede P, y si P es falsa entonces será verdadero que no sucede P. La disyunción

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

La conjunción

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

La condicional 99 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

La bicondicional

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Para realizar la tabla de una proposición más compleja, sólo debemos ir desglosándola en sus partes. Por ejemplo, si tenemos la proposición

, tenemos que: P

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

100 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Ya que la conjunción es verdadera sólo cuando ambas partes son verdaderas, mientras que la condicional es verdadera cuando el antecedente, es decir, lo que va antes de la flecha, es verdadero y el consecuente, es decir, lo que va después de la flecha, es verdadero, o bien, cuando el antecedente es falso no importa el valor del consecuente.

Lo que nos dice la tabla de verdad es que dicha afirmación siempre será verdadera.

Por ejemplo, supón que:

La proposición

dice que ―ser animal y ser mortal implica ser animal‖, lo cual es verdadero, ya

que de entrada ser animal implica ser animal.

Actividad 2. Criterios de verdad Es momento de entregar las actividades que se te han presentado hasta el momento.

3.4. Deducciones naturales En cierto jardín toda flor es roja, amarilla o azul y los tres colores están representados.

Un experto en estadística visitó una vez el jardín e hizo la observación de que cada vez que uno recogía tres flores, por lo menos una de ellas resultaba ser roja. Un segundo experto visitó el jardín y observó que cada vez que uno recogía tres flores, por lo menos una resultaba ser amarilla.

Dos estudiantes de lógica escucharon esto y se pusieron a discutir. El primer estudiante dijo: −De aquí se sigue que cada vez que uno recoge flores, una resulta ser azul, ¿no es cierto?−. El segundo estudiante dijo: −¡Por supuesto que no!−.

Raymond Smullyan Caballeros bribones y pájaros egocéntricos

101 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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3.4.1. La inferencia o ¿qué es una deducción natural?

Deducir es obtener conclusiones a partir de ciertos supuestos o hipótesis. Cuando la deducción se realiza con base en ciertas reglas de la lógica, se le conoce como deducción natural.

Una inferencia o deducción natural es la derivación de una conclusión, a partir de ciertas premisas, mediante reglas lógicas de derivación, inferencia o deducción.

3.4.2. Verdades lógicas Una verdad lógica es una fórmula del lenguaje formal que es verdadera bajo cualquier interpretación del lenguaje, es decir, son verdades necesarias.

Las verdades lógicas no son reglas de derivación ni equivalencias. Sin embargo, pueden ser introducidas en cualquier paso de una deducción natural dado que son verdaderas bajo cualquier interpretación del lenguaje.

Las verdades lógicas más utilizadas son las siguientes: a) El principio de identidad Ésta nos dice que cualquier proposición se implica a sí misma, o bien, es necesariamente igual a sí misma.

La identidad la denotaremos como I dentro de una deducción.

(P  P), o bien, P = P. Cuando se trata de proposiciones cuantificacionales, la identidad adquiere la forma x (x = x) b) El principio de la no contradicción Comenzaremos por definir una contradicción: Una contradicción es la conjunción de una proposición y de su negación, formalmente tendríamos P  P, lo cual es contrario a la lógica. ¡Sería tanto como decir que uno es y no es al mismo tiempo!

El principio de la no contradicción nos dice que ninguna proposición puede ser al mismo tiempo verdadera y falsa. Quien dice que sucede algo y al mismo tiempo que no sucede algo se contradice. La no contradicción la denotaremos como: C dentro de una deducción.

102 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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(P  P) Cuando se trata de proposiciones cuantificacionales, el principio de la no contradicción adquiere la forma x [P(x)  P(x)] c) El principio del tercero excluido Ésta nos dice que una proposición es, o bien verdadera, o bien falsa, pero no ambas al mismo tiempo. Ese tercer caso es el que se excluye.

P  P Cuando se trata de una proposición cuantificacional, el principio del tercero excluido adquiere la forma x [P(x)  P(x)].

Cuando en una tabla de verdad todas las entradas finales son verdaderas, la proposición es una tautología, es decir, lo que dice siempre será verdadero bajo cualquier interpretación.

Si por el contrario, todas las entradas finales son falsas, entonces la proposición es una contradicción, es decir, será falsa con cualquier interpretación.

Finalmente, si algunas entradas de la tabla son verdaderas y otras falsas, entonces la proposición es contingente, es decir, algunas veces será verdadera y otras falsa.

Las verdades lógicas son tautologías.

Consideremos las siguientes proposiciones:

103 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Realicemos la tabla de verdad de cada una de ellas para determinar si son tautologías, contradicciones o contingencias:

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

104 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

F

De las tablas de verdad podemos apreciar que:

Es una contradicción, ya que todas las entradas finales de su tabla de verdad son falsas.

Pero:

Es una tautología, pues todas las entradas finales de la tabla son verdaderas.

Mientras que:

Es contingente, es decir, no se puede decidir si es falsa o verdadera, ya que en algunos casos es falsa y en otros es verdadera.

105 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

3.4.3. Reglas de deducción natural proposicionales a) La Suposición Esta regla permite introducir una proposición cualquiera en cualquier paso del argumento. Puede parecer que introducir una afirmación cualquiera compromete la verdad de la conclusión. Sin embargo, la suposición no implica que una conclusión sea verdadera, sino que sería verdadera en el caso de que la suposición fuera verdadera.

A la suposición la denotaremos por S dentro de una deducción natural. b) El Modus Ponendo Ponens (P  Q) P Q

El Modus Ponendo Ponens consiste en una implicación del tipo (P  Q), tal que si tenemos como premisas (P  Q) y P, nos permitirá concluir Q. P se denomina antecedente del condicional, mientras que Q será el consecuente del condicional.

Al Modus Ponendo Ponens lo denominaremos MP dentro de una deducción natural. c) El Modus Tollendo Tollens (P  Q) Q

P Esta regla nos permite concluir la negación del antecedente de un condicional si se tiene como premisa la negación del consecuente de dicho condicional. Es decir, dados (P  Q) y Q , entonces concluimos P. 106 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

El Modus Tollendo Tollens se basa en la primera equivalencia lógica que dice que (P  Q)



(Q

 P) Al Modus Tollendo Tollens lo denotaremos por MT dentro de una derivación natural. d) La reducción al absurdo Es fácil de entender, aunque complicada para definir. Esta regla nos permite deducir  P a partir de un conjunto de premisas originales. Suponiendo P y llegando a una contradicción, ya sea de P o de alguna de las premisas originales, podemos concluir que nuestra suposición fue falsa, así que podemos afirmar su negación, es decir,  P. Esta regla se basa en el principio de la no contradicción, (P  P), y en el principio del tercero excluido, P  P. e) La doble negación P

P

P

P

Esta regla indica que la negación de la negación de una proposición es igual a la afirmación de tal proposición. Es decir, de la premisa P se concluye P. Del mismo modo, dada la afirmación de la premisa P se puede concluir su doble negación P. A la doble negación la denotaremos como DN dentro de una derivación natural. f) El silogismo hipotético (P  Q) (P  Q)

(P  R) 107 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

Según esta regla, dadas dos proposiciones condicionales de la forma (P  Q) y (Q  R) podemos concluir que (P  R).

Al silogismo hipotético lo denotaremos como SH dentro de una deducción natural. g) La prueba del condicional (P  Q) (R  Q) Según esta regla, dadas dos proposiciones condicionales de la forma (P  Q) y (R  Q) podemos concluir que (R  P) suponiendo el antecedente del segundo condicional.

Esta regla, al igual que el silogismo hipotético, nos permite concluir una proposición condicional a partir de otras dos dadas como premisas. La diferencia entre el silogismo hipotético y la prueba condicional es que en la prueba condicional las premisas parecen no estar directamente conectadas, es decir, el consecuente del primer condicional es distinto al antecedente del segundo condicional, cosa que sí sucede en el silogismo hipotético.

A la prueba condicional la denominaremos PC dentro de una deducción natural. h) La introducción de la conjunción P Q

PQ Esta regla nos permite unir proposiciones a través de la conjunción si esas proposiciones están dadas como premisas.

108 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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A la Introducción de la conjunción la denominaremos I  dentro de una deducción natural. i) La eliminación de la conjunción PQ

PQ

P

Q

Gracias a que la conjunción requiere de ambas partes para ser verdadera, esta regla nos permite derivar cualquiera de las proposiciones de una conjunción si se tienen dicha conjunción como premisa.

A la eliminación de la conjunción la denominaremos E  dentro de una deducción natural. j) La introducción de la disyunción P

PQ Gracias a que la disyunción sólo requiere de una de las partes para ser verdadera, esta regla nos permite derivar una disyunción si contamos con una de los disyuntos como premisa.

La introducción de la disyunción la denotaremos como I  dentro de una deducción natural. k) El Modus Tollendo Ponens PQ P

Q Como una disyunción es verdadera cuando se tiene al menos una de los dos disyuntos, la regla permite concluir uno de dos disyuntos cuando se tiene negado el otro dentro de las premisas.

109 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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El Modus Tollendo Ponens lo denotaremos como MTP dentro una deducción natural. l) El silogismo disyuntivo PQ PR QS

RS

Si se tienen como premisas una disyunción y dos condicionales tales que sus antecedentes sean cada una de los disyuntos, entonces es posible inferir la disyunción de los dos consecuentes de los condicionales. Al silogismo disyuntivo lo denotaremos como SD dentro de las deducciones naturales. m) Definición del bicondicional Si se tiene el bicondicional P  Q, entonces se tienen cada uno de los condicionales PQQP De la misma manera, si se tienen cada uno de los condicionales P  Q  Q  P, entonces se tiene el bicondiconal P  Q. Ésta, más que una regla es una definición que nos explica cómo deben considerarse las proposiciones bicondicionales P  Q. La definición del bicondicional la denotaremos como DB dentro de una deducción natural.

110 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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3.4.4. Reglas de deducción natural cuantificacionales Para el Cuantificador Universal a) Eliminación del Universal x P(x)

P(m) −para cualquier m que sea elemento del conjunto sobre el cual estamos proponiendo la propiedad−.

La regla de Eliminación del Universal permite concluir una propiedad sobre un miembro de un conjunto cuando tenemos como premisa una proposición universal que establece la propiedad para todos los elementos del conjunto del cual se trate.

A la Eliminación del Universal la denotaremos como E  dentro de una deducción natural. b) Introducción del Universal P(x1)  P(x2)  P(x3)  P(x4) …  P(xi) −para cualquier i número natural que determine los elementos del conjunto−

x P(x)

111 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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La Introducción del Universal permite concluir una propiedad sobre todos los miembros de un conjunto cuando se tienen como premisas las distintas proposiciones que establecen el cumplimiento de la propiedad para cada uno de los miembros del conjunto.

A la Introducción del Universal la denotaremos como I  dentro de una deducción natural.

Para el Cuantificador Existencial a) Introducción del Existencial x P(x)

x P(x) La Introducción del Existencial permite concluir la existencia de un elemento, dentro de un conjunto, que cumple una propiedad P, con base en la premisa de que todos los miembros del conjunto cumplen dicha propiedad.

La Introducción del Existencial se denotará como I  dentro de las deducciones naturales. b) Eliminación del Existencial x P(x)

P(a) La Eliminación del Existencial permite suponer la existencia de un elemento constante a, dentro de un conjunto, que cumple una propiedad P, con base en la premisa de que existe al menos un elemento dentro del conjunto que cumple dicha propiedad.

La Eliminación del Existencial se denotará como E  dentro de las deducciones naturales.

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Lógica Programa desarrollado

Ejemplo de Deducción Natural

1

[1]

Premisa

1

[2]

E

1

[3]

1

DB 2 1

[4]

E

3

1

[5]

E

3

6

[6]

6

[7]

E

1, 6

[8]

MP 4 y 7

1, 6

[9]

1

[10]

11

[11]

11

[12]

E

1, 11

[13]

MP 5 y 12

1, 11

[14]

1

[15]

Suposición

I

6

8 PC 6 - 9

Suposición

I

11

13 PC 11 - 14 113

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1

[16] I

1

[17]

10 y 15

DB 16

Toda suposición hecha debe desaparecer en la conclusión, se dice que debe ser descargada. Por ejemplo, la suposición del paso [6] se descarga en la prueba condicional del paso [10]. Se establece es un condicional según el cual, todos los individuos que cumplan F, entonces, deberán cumplir G. Esto no garantiza la existencia que supone el paso [6], de ahí que se descargue la necesidad de tal existencia.

Actividad 3. Tablas de verdad Es momento de entregar las actividades que se te presentaron a lo largo del tema.

Autoevaluación Recuerda resolver los ejercicios planteados en la autoevaluación para verificar tu grado de alcance en los temas estudiados.

Evaluación de la unidad: Evaluación de premisas en un argumento Tipo de actividad: Sumativa/Portafolio Descripción: Lectura de un texto.

Instrucciones: 1. Leer el texto de Issac Asimov ―La máquina que ganó la guerra‖.

2. Identifica, en lo que viste, tres partes en las cuales no se presente un discurso argumentativo.

3. En cada una de dichas partes, explica por qué no se usa el discurso argumentativo e indica de qué tipo de discurso se trata.

4. Identifica y transcribe los dos argumentos contrapuestos que se presentan en el capítulo.

5. Determina las premisas y la conclusión de dichos argumentos.

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6. Identifica los conectivos que te dieron pie para saber cuáles eran las premisas y cuál era la conclusión (por ejemplo, como, en tanto que, en consecuencia, por lo tanto, etc.).

7. Describe un argumento que se presente, distinto a los contrapuestos que no forman parte del tema central.

8. Identifica las premisas y la conclusión de dicho argumento.

9. Describe los conectivos que te dieron pie para saber cuáles eran las premisas y cuál era la conclusión (por ejemplo, como, en tanto que, en consecuencia, por lo tanto, etc.).

10. Escribe seis proposiciones tales que, basados en la trama, pueda decirse de dos de ellas que son verdaderas, de dos de ellas que son falsas y de dos de ellas que no pueda determinarse si son verdaderas o falsas.

11. Escribe dos verdades lógicas que encuentres en los diálogos.

12. Formaliza cada uno de los argumentos contrapuestos, de tal manera que, mediante una deducción lógica, se llegue a la conclusión. Da la definición de tus términos del lenguaje.

13. En cada argumento, escribe dos proposiciones que sean equivalentes a cada una de las premisas.

14. Realiza una deducción lógica con dichas equivalencias.

15. Obtén, de las formalizaciones dadas, tres proposiciones: una tautológica, una contradictoria y otra contingente. Demuestra lo anterior por medio de la tabla de verdad correspondiente.

16. ¿Cuál piensas tú que es la máquina que ganó la guerra? Haz un análisis y desarrolla tu propio cierre del caso.

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La máquina que ganó la guerra La celebración duraría mucho tiempo e impregnaba la atmósfera aun en las silenciosas honduras de las cámaras subterráneas de Multivac.

Ante todo, se notaba el aislamiento y el silencio. Por primera vez en un decenio, los técnicos no daban mil vueltas de un lado a otro de los órganos vitales del gigantesco ordenador, las luces tenues no parpadeaban y el flujo de información estaba detenido, ni entraba ni salía.

No permanecería detenido mucho tiempo, por supuesto, pues las necesidades de la paz serían apremiantes. Pero durante un día, tal vez durante una semana, incluso Multivac podría celebrar la gran ocasión y descansar.

Lamar Swift se quitó la gorra militar y miró el largo y desierto corredor principal del enorme ordenador. Se sentó con aire cansado en el taburete giratorio de un técnico y el uniforme, con el que nunca se había sentado cómodo, se le pobló de arrugas.

—Lo echaré de menos, de un modo un tanto perverso —comentó—. Cuesta recordar los tiempos en que no estábamos en guerra con Deneb y ahora me parece antinatural estar en paz y mirar las estrellas sin angustia.

Los dos hombres que acompañaban al director ejecutivo de la Federación Solar eran más jóvenes que él.

Ninguno parecía tan melancólico. Ninguno parecía tan absolutamente cansado.

John Henderson, de labios finos, no pudo contener el alivio que sentía en medio del triunfo y dijo: —Están destruidos. Destruidos. Es lo que me digo una y otra vez y no puedo creerlo. Hablamos mucho y durante muchos años de la amenaza que se cernía sobre la Tierra y todos sus mundos, sobre todos los seres humanos, y siempre era verdad, palabra por palabra. Y ahora nosotros seguimos vivos y los denebianos están aplastados y destruidos. Ya no habrá amenaza, nunca más.

—Gracias a Multivac— asintió Swift, con una serena mirada al imperturbable Jablonsky, que durante toda la guerra había sido el principal intérprete del oráculo de la ciencia—. ¿Verdad, Max? Jablonsky se encogió de hombros. Automáticamente fue a coger un cigarrillo, pero decidió no hacerlo.

Entre los miles que vivían en los túneles de Multivac, era el único al que se permitía fumar, aunque hacia el final había realizado denodados esfuerzos para no hacer uso de ese privilegio.

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—Bueno, eso es lo que dicen ellos.

Su gordo pulgar apuntó hacia arriba.

— ¿Celoso, Max? — ¿Porque ovacionan a Multivac? ¿Porque Multivac es el gran héroe de la humanidad en esta guerra? — El curtido rostro de Jablonsky cobró un aire desdeñoso—. ¿En qué me afecta? Qué Multivac sea la máquina que ganó la guerra, si eso les place.

Henderson miró de soslayo a los otros dos. En ese breve intervalo que los tres habían buscado en un rincón apacible de una metrópoli enloquecida, en ese entreacto entre los peligros de la guerra y las dificultades de la paz, cuando por un instante todos podían hallar sosiego, sólo era consciente del peso de la culpa.

Y de pronto ese peso le resultó abrumador. Tenía que liberarse de él, quitárselo de encima junto con la guerra.

—Multivac no tuvo nada que ver con la victoria —declaró—. Es sólo una máquina.

—Una máquina grande —preciso Swift.

—Sólo una máquina grande, entonces. No es mejor que los datos que recibió.

Se calló turbado por sus propias palabras.

Jablonsky lo miró. Volvió a hacer el ademán de coger un cigarrillo y se arrepintió de nuevo.

—Nadie lo sabe mejor que tú. Tú proporcionaste los datos. ¿O sólo quieres atribuirte el mérito?

—No —protestó Henderson—. No hay merito. ¿Qué sabes de los datos que debió utilizar Multivac?

Predigeridos en cien ordenadores auxiliares de la Tierra, de la Luna, de Marte e incluso de Titán. Y Titán siempre retrasado y siempre esa sensación de que sus cifras introducirían una tendencia imprevista.

—Enloquecería a cualquiera —dijo Swift comprensivamente.

Henderson sacudió la cabeza.

—No fue sólo eso. Admito que hace ocho años, cuando reemplacé a Lepont como jefe de programadores, me encontraba nervioso. Pero en esa época reinaba cierta euforia. Aún era una guerra a distancia, una 117 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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aventura sin peligro real. No habíamos llegado al punto en que intervenían naves tripuladas y las distorsiones interestelares podían engullir un planeta entero si se apuntaban correctamente. Pero entonces cuando comenzaron las verdaderas dificultades… —Con ira, pues por fin se la podía permitir, declaró—: ¡No sabéis nada de ello!

—Bien, pues cuéntanoslo. La guerra ha terminado. Hemos vencido —lo alentó Swift.

—Así es. —Henderson movió la cabeza afirmativamente. Tenía que recordar que la Tierra había vencido, de modo que todo había sido para bien—. Bueno, los datos perdieron sentido.

— ¿Perdieron sentido? ¿Lo dices literalmente? —se alarmó Jablonsky.

—Literalmente. ¿Qué esperabas? El problema con vosotros dos era que no estabais metidos hasta el cuello. Tú nunca te ibas de Multivac, Max, y tú, director, no abandonabas la Mansión más que en vistas oficiales, en las que veías exactamente lo que ellos querían que vieses.

—Pero no era tan ingenuo como crees —replicó Swift.

—¿Sabes en qué medida —se disparó Henderson —los datos concernientes a nuestra capacidad productiva, a nuestro potencial de recursos, a nuestros combatientes, en suma todos los datos decisivos para el esfuerzo bélico se había vuelto indignos de confianza durante la última mitad de la guerra? Los líderes, tanto los civiles como los militares, se empeñaban en proyectar su imagen mejorada, como quien dice, así que ocultaban lo malo y exageraban lo bueno. Hicieran lo que hiciesen las máquinas, quienes los programaban e interpretaban sus resultados tenían que pensar en su propio pellejo y en los competidores.

No había modo de detener aquello. Yo lo intenté y fracasé.

—Por supuesto —trató de consolarlo Swift—. Ya imagino que lo intentarías.

Jablonsky decidió encender el cigarrillo.

—Pero supongo que le suministraste datos a Multivac para programarlo. No nos hablaste de que fueran indignos de confianza.

— ¿Cómo podía decirlo? Y si lo decía ¿cómo ibais a creerme? —se irritó Henderson—. Todo nuestro esfuerzo bélico dependía de Multivac. Era la gran arma de nuestro bando, pues los denebianos no contaban con nada parecido. ¿Qué otra cosa mantuvo nuestra moral frente a la catástrofe, sino la certeza de que Multivac siempre predeciría y frustraría toda maniobra denebiana y siempre llevaría a buen término

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nuestras maniobras? ¡Santo Espacio! Una vez que nuestra distorsión espía fue eliminada del hiperespacio, carecíamos de datos denebianos fiables para alimentar a Multivac y no nos atrevimos a revelarlo al público.

—Eso es verdad —corroboró Swift.

—Pues bien —prosiguió Henderson—, si os decía que los datos no eran fiables, ¿qué habríais hecho, salvo reemplazarme negándoos a creerme? No podía permitirlo.

— ¿Qué hiciste? —quiso saber Jablonsky.

—Como hemos vencido, os diré lo que hice. Corregí los datos.

— ¿Cómo? —se interesó Swift.

—Por intuición, supongo. Los barajaba hasta que parecían correctos. Al principio ni me atrevía; retocaba un poco aquí y un poco allá para corregir imposibilidades obvias. Como el mundo no se derrumbó, me volví más osado. Hacia el final ni me importaba. Escribía los datos necesarios a medida que se iban necesitando. Incluso le pedí al Anexo Multivac que me preparase datos de acuerdo con un patrón de programación que yo había diseñado para ese propósito.

— ¿Con cifras aleatorias? —preguntó Jablonsky.

—En absoluto. Introduje varias tendencias necesarias.

Jablonsky sonrió inesperadamente, y sus ojos oscuros centellearon bajo las arrugas de los párpados.

—Tres veces me presentaron informes sobre utilización autorizada del Anexo, y los dejé pasar. Si hubiera importado, lo habría investigado y te habría localizado, John, averiguando así lo que hacías. Pero nada relacionado con Multivac importaba en esos días, de modo que te saliste con la tuya.

— ¿Qué quieres decir con que Multivac no importaba? —se mostró suspicaz Henderson.

—Que no importaba. Si te lo hubiera contado en ese momento, te habría ahorrado sufrimientos, pero también si tú me hubieras dicho lo que hacías me los habrías ahorrado a mí. ¿Qué te hizo creer que Multivac funcionaba, fueran cuales fuesen los datos que le proporcionabas?

— ¿No funcionaba? —se asombró Swift.

—Pues no. No funcionaba con fiabilidad. A fin de cuentas, ¿dónde estaban mis técnicos en los últimos años de la guerra? Os lo diré; se encontraban alimentando ordenadores en mil dispositivos espaciales. ¡Se 119 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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habían ido! Yo tenía que apañármelas con muchachos en quienes no podía confiar y con veteranos que no estaban actualizados. Además, ¿creéis que podía fiarme de los componentes en estado sólido que salían de los criógenos en los últimos años? En los criógenos no estaban en mejor situación que yo en cuanto a su personal. A mí no me importaba que los datos que se proporcionaran a Multivac fuesen o no fiables. Los resultados no lo eran. Eso sí que lo sabía.

— ¿Qué hiciste? —quiso saber Henderson.

—Lo mismo que tú, John. Introduje un factor modificador. Ajustaba las cosas por mera intuición. Y así fue como la máquina ganó la guerra.

Swift se reclinó en la silla y estiró las piernas.

—Cuántas revelaciones. Ahora resulta que el material que se me entregaba para guiarme en las decisiones no era sino una interpretación humana de datos preparados por humanos. ¿No es así?

—Eso parece —asintió Jablonsky.

—Entonces, hice bien al no fiarme mucho de ellos.

— ¿No te fiabas de ellos?

Jablonsky, a pesar de lo que acababa de contar, se sintió insultado profesionalmente.

—Me temo que no. Multivac parecía decir: ataca aquí, no allá; haz esto, no lo otro; espera, no actúes. Pero yo nunca tenía la certeza de que estuviera diciendo lo que aparentaba decir o de que quisiera decir lo que decía. Nunca tenía esa certeza.

—Pero el informe final siempre estaba claro —se defendió Jablonsky.

—Para quienes no tenían que tomar la decisión, quizá. Para mí, no. El horror de la responsabilidad de semejante decisión era insoportable, y ni siquiera Multivac bastaba para eliminar ese peso. Pero lo cierto es que mis dudas estaban justificadas y eso me causa un gran alivio.

Entusiasmado con tal conspiración de confesiones mutuas, Jablosnky optó por prescindir de la categoría de su director ejecutivo.

— ¿Y qué hiciste, Lamar? Al fin y al cabo tuviste que tomar decisiones. ¿Cómo?

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—Bien, es hora de regresar, pero… Os lo contaré primero. ¿Por qué no? Utilicé un ordenador, Max, sólo que uno más antiguo que Multivac, mucho más antiguo.

Buscó en su bolsillo los cigarrillos y sacó un paquete junto con un poco de calderilla; monedas anticuadas, que databan de los años anteriores a la época en que la escasez de metal alentó la creación de un sistema crediticio ligado a una red informática.

Swift sonrió tímidamente.

—Sigo necesitándolas para que el dinero me parezca sustancial. A un viejo le cueste abandonar sus hábitos de juventud.

Se puso un cigarrillo entre los labios y fue guardando las monedas en el bolsillo, una por una.

Retuvo la última moneda entre los dedos, mirándola distraídamente.

—Multivac no es el primer ordenador, amigos, ni el más conocido ni el más eficaz para eliminar de los hombres de los ejecutivos la carga que supone tener que tomar importantes decisiones. Una máquina ganó la guerra, en efecto, John. Al menos, un muy sencillo dispositivo de cálculo, que yo utilizaba cada vez que tenía que tomar una decisión realmente difícil.

Con una sonrisa nostálgica, arrojó la moneda al aire. El metal produjo un destello en el aire al girar y la moneda cayó en la palma extendida de Swift, que cerró la mano y la apoyó en el dorso de la mano izquierda, ocultando la moneda con la derecha.

— ¿Cara o cruz, caballeros?

Retomado de: Asimov, I. (2005). Cuentos completos I. España: Byblos. Pág. 790-796.

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Consideraciones específicas de la unidad Empieza a trabajar la evidencia de la unidad desde el principio, de acuerdo a cada tema que vayas viendo.

Si revisas la evidencia, es larga y conviene que la vayas trabajando parte por parte y que se la envíes al facilitador para su revisión.

También recuerda trabajar tus lecturas y los ejercicios sugeridos, ya que serán necesarios para las actividades posteriores.

Fuentes de consulta 

Amor Montaño, J. A. La enseñanza del análisis lógico. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de



http://www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/amor.htm



Amor Montaño, J. A. Lógica clásica de primer orden. Recuperado el 6 de septiembre de 2010, de www.filosoficas.unam.mx/~Tdl/05-1/0428Amor.ppt



Amor Montaño, J. A. (1993). Lógica proposicional dentro de la lógica de primer orden.

México: Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.



Granados, H. (2010, 6 de septiembre). El filósofo declara, relato de un duelo existencial.

Gaceta UNAM, 4, 273. México: Universidad Nacional Autónoma de México.



Monterroso, A. (2000). La oveja negra y demás fábulas. México: Fondo de Cultura Económica.

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Secretaría de Educación Pública. (1984).

Español. Tercer grado. Lecturas. México:

Secretaría de Educación Pública. 

Real Academia Española. (1992). Diccionario de la Lengua Española. Madrid, Real Academia Española.

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Ruiz de Alarcón, J. La verdad sospecha.



S. a. (1991). Logic. Juegos de lógica. España: Zugareto Ediciones.

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S.a. (1992). Pequeño Larousse Ilustrado. México: Larousse.



Quino. (2004). Bien, gracias. ¿Y usted? México: Tusquets Editores.



Smullyan, R. (2002). Caballeros bribones y pájaros egocéntricos. Barcelona: Gedisa.

122

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Unidad 4. Métodos de demostración y formalización lógica Presentación de la unidad ―Hemos de reconocer que, como instrumento de investigación, el método puramente deductivo es del todo inadecuado. […] a la hora de investigar, el factor psicológico es sumamente importante […].

Tener un conjunto de elementos indefinibles, axiomas, postulados o símbolos que indiquen relaciones lógicas, no basta, por sí sólo, para desarrollar una teoría matemática. Si únicamente dispusiera de esto, el matemático sería incapaz de dar un solo paso.

Ante un ilimitado número de posibilidades combinatorias, resulta esencial, si se quiere desarrollar algo nuevo, poseer una aguda percepción para saber seleccionar aquellas que sean realmente útiles e interesantes a nuestro propósito.‖ Profesor E. W. Hobson

El curioso mundo de las matemáticas de David Wells

En esta unidad estudiaremos las bases de las demostraciones matemáticas, que utilizarás durante toda tu carrera cuando debas realizar la demostración de un teorema o de una proposición matemática que se te presente.

Pero no te confíes cuando no debas demostrar un teorema y hagas caso omiso de todo lo que aprenderás en este curso. Todas estas herramientas son indispensables al momento de enfrentar cualquier problema, ya sea de la escuela, del trabajo o de tu vida personal, porque te permiten localizar errores, inconsistencias y puntos débiles (tanto del problema como de las posibilidades que se te presentan para salir adelante), a la vez que te ayudan a enfocarte en lo que tienes para hallar soluciones.

123 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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En particular, las bases de las demostraciones matemáticas te permitirán estudiar y realizar hipótesis de trabajo, proponer modelos matemáticos para la resolución de problemas, crear estrategias didácticas para una mejor enseñanza y comprensión de los temas, así como estudiar y desarrollar investigaciones.

Es cierto, no siempre aplicarás las demostraciones de forma explícita, pero deberás practicarlas para hacerte hábil en su uso, porque hay dos cosas que no es posible enseñar a través de un curso: el ingenio y la capacidad de análisis, como bien expresa el profesor Hobson en el pequeño extracto que leíste al principio. Éstos sólo se adquieren con la práctica.

Quizá algunas veces desearás tener una lámpara mágica que al frotar te apareciera un genio que, o bien te enseñe a demostrar en matemáticas, o bien realice las demostraciones que tú necesitas. Por eso, te lo repetimos por ―enésima‖ vez en este curso: no existen recetas, prescripciones, fórmulas, pócimas, genios de lámparas mágicas ni conjuros para aprender a demostrar, ni en matemáticas ni en ninguna otra ciencia.

Tu deseo proviene, seguramente, de que a lo largo de tu trayectoria escolar te han enseñado matemáticas como una manipulación mecánica de conceptos y fórmulas, pero raramente obtuviste el apoyo necesario para desarrollar tu lado analítico y tu capacidad de razonamiento correcto. ¡No te desesperes! Lo que sí te es posible adquirir son las bases para que tú mismo puedas desarrollar el ―arte‖ del razonamiento matemático, a fin de que puedas hacer frente al lenguaje matemático y a las técnicas lógico-deductivas de demostración que enfrentarás más adelante. Claro que para ello necesitarás mucha práctica.

Primeramente veremos cómo la validez de un argumento depende de la estructura lógica de éste y no del valor de verdad de las proposiciones que lo componen. Posteriormente, analizaremos algunas falacias relacionadas con las estructuras lógicas, para así adentrarnos en los tipos de demostración más utilizados dentro de la matemática, sin el peligro de cometer algún error. Finalizaremos nuestro recorrido con la formalización de algunos conceptos estudiados a lo largo del curso. Esta última parte representa el estudio de la lógica a través de la estructura lógica formal.

Pero para comenzar con el desarrollo de tus habilidades de razonamiento, lee el siguiente fragmento del libro El hombre que calculaba, de Malba Tahan, y encuentra la solución al problema.

124 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Propósito de la unidad En esta unidad: 

Realizarás una demostración aplicando los métodos de demostración y la deducción natural, para expresar y aprehender conocimiento matemático.

Competencia específica Demuestra una proposición por medio de la construcción de argumentos para la adquisición de conocimiento matemático.

4.1. Validez argumentativa Silogismo 1: Imagínate un pedazo de queso suizo, de aquellos bien llenos de agujeros.

Cuanto más queso, más agujeros.

Cada agujero ocupa el lugar que en el que habría queso.

Así, cuantos más agujeros, menos queso.

Cuanto más queso, más agujeros y cuantos más agujeros menos queso.

Conclusión: Cuanto más queso menos queso.

Silogismo 2: Dios es amor.

El amor es ciego.

Steve Wonder es ciego.

Conclusión: Steve Wonder es Dios.

Silogismo 3: Me dijeron que Yo soy nadie.

Nadie es perfecto.

Luego, yo soy perfecto.

(Conclusión 1) Pero, solo Dios es perfecto.

Por lo tanto, Yo soy Dios. (Conclusión 2) Si Steve Wonder es Dios ¡¡¡Yo soy Steve Wonder !!! (Conclusión 3) ¡¡¡Uchas!!! ¡¡¡Soy ciego!!! (Conclusión 4)

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4.1.1. Argumentos válidos Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre

Sócrates es mortal.

Todos los múltiplos de 4 son pares 5 es múltiplo de 4

5 es par.

Suele suceder que las personas pensemos que el segundo argumento es falso. Sin embargo, hemos visto que la verdad y la falsedad se aplican exclusivamente a las proposiciones. En el segundo argumento podemos decir que la segunda premisa y que la conclusión son falsas. Pero decir que el argumento es falso es un error lógico.

Entonces, podríamos pensar, si de los argumentos se dice que son correctos o válidos, o bien incorrectos o inválidos, el segundo argumento es inválido. ¡Falso! Los dos argumentos presentados arriba son válidos, aunque la conclusión del segundo caso sea falsa.

Un argumento es correcto, o válido si, y sólo si, la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Es decir, la validez o corrección de un argumento depende únicamente de su estructura lógica y no de su contenido.

Por forma entendemos la estructura lógica del argumento, del mismo modo que la estructura de una figura plana cerrada de tres lados es necesariamente un triángulo, sin importar que éste pueda ser pintado de rojo, de azul o de amarillo.

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Así pues, decimos que un argumento deductivo es válido cuando el paso de las premisas a la conclusión es necesario. Y el paso necesario no depende del contenido del argumento, sino de la estructura del mismo, es decir, de la forma lógica en la que se relacionan los elementos que integran el argumento.

Imagina que tienes estas tres líneas

Y que vas a formar una figura plana cerrada con ellas. La única estructura que podrías formar es un triángulo

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Es un hecho que puedes tener las mismas líneas de colores diferentes y la única forma en la cual embonarían sería el triángulo.

Bueno, pues el triángulo es como la estructura lógica del argumento. Dos de sus lados vendrían a ser las premisas y el otro la conclusión.

El color de cada línea sería como el contenido de las proposiciones que forman el argumento. Y como viste, no importa el color de las líneas, es decir, no importa el contenido, la forma siempre es un triángulo, es decir, la estructura lógica sería correcta o válida.

Cuando hablamos del contenido de las proposiciones nos referimos a la interpretación que se dé. Y como la validez no depende del contenido de las premisas ni de la conclusión, esto quiere decir que para cada interpretación del lenguaje respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera.

Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no existe ninguna interpretación para la cual suceda que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.

Obsérvese que en un argumento correcto, si las premisas son verdaderas con alguna interpretación, la conclusión será necesariamente verdadera con esa misma interpretación. Más no significa esto que un argumento sea correcto cuando las premisas son necesariamente verdaderas, es decir, verdaderas para cualquier interpretación. Por tanto, en un argumento correcto es posible que la conclusión sea falsa de acuerdo con alguna interpretación. En ese caso al menos una de las premisas debe ser falsa con la misma interpretación.

Y bien, ¿cuál es la estructura de los argumentos que vimos al principio?

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Todos los hombres son mortales Sócrates es un hombre

Sócrates es mortal.

Todos los múltiplos de 4 son pares 5 es múltiplo de 4

5 es par. Ésta es una combinación entre la eliminación del cuantificador universal y el Modus Ponens, que es una estructura lógica correcta o válida.

x [P(x)  Q(x)] P(x)

P(s) Se tienen dos interpretaciones, la primera de las cuales tiene una conclusión verdadera y la segunda una conclusión falsa. Para que la conclusión de la segunda interpretación sea falsa, es necesario que al menos una de las premisas sea falsa, ya que como el argumento es válido, si todas las premisas fueran verdaderas, la conclusión sería necesariamente verdadera. En el ejemplo, la segunda premisa es falsa.

Por su estructura, únicamente de los argumentos de tipo lógico se dice que son válidos o correctos. En el caso de argumentos no deductivos, como los inductivos o los analógicos, no podemos hablar de validez, ya que la conclusión no se sigue de forma necesaria de las premisas. De ellos podemos decir que su estructura es aceptable y para evaluar la aceptabilidad de la estructura de un argumento no deductivo debemos tomar en cuenta el contenido de sus afirmaciones.

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Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que, como vimos, las pruebas en matemáticas son argumentos o sucesiones de argumentos, y éstos deben ser argumentos correctos. Resulta obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no lo es. Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos: correctos con conclusión verdadera, correctos con conclusión falsa, incorrectos con conclusión verdadera e incorrectos con conclusión falsa. (Aquí verdadera o falsa es con respecto a la interpretación usual o intencional.)

4.1.2. Falacias y argumentos no válidos Si el argumento es incorrecto lo único que podemos decir es que hay una interpretación para la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa, pero con otras interpretaciones puede suceder cualquiera otra posibilidad. Ejemplos de lo anterior, con la interpretación intencional para verdadero o falso, son los siguientes: Todos los mamíferos son animales El avestruz no es un mamífero

El avestruz no es un animal Éste es un argumento incorrecto con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Todos los pingüinos son ovíparos La boa es ovípara

La boa es un pingüino

Éste es otro argumento inválido con premisas verdaderas y conclusión falsa.

Todos los mamíferos son animales Las bicicletas no son mamíferos 130 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Las bicicletas no son animales Éste es un argumento incorrecto con premisas y conclusión verdaderas.

Todos los animales que no comen carne son carnívoros El lobo no come carne

El lobo es carnívoro Éste es un argumento no válido con premisas falsas y conclusión verdadera.

Las estructuras de los argumentos incorrectos provienen de las falacias lógicas.

Una falacia es un argumento que se presenta como válido pero que en realidad no lo es. Existen falacias formales, las cuales dependen de la estructura del argumento, y falacias informales, las cuales dependen del contenido de las proposiciones que forman el argumento. Es decir, en las falacias formales la invalidez del argumento se debe a la forma lógica que tiene éste y no del contenido de las premisas y ni del de la conclusión. En tanto que en las falacias informales, la invalidez del argumento sí depende del contenido de las premisas y de la conclusión. Esto significa que en una falacia formal, la conexión entre las premisas y la conclusión no es lógicamente adecuada, o bien, la conclusión no se sigue lógicamente de las premisas.

Aquí trataremos las falacias más comunes, las formales nos van a interesar más porque

en los

argumentos matemáticos la fuerza del argumento depende más de su forma que de su contenido. a) Afirmación del consecuente (falacia formal) En la cual se toma una condicional de la forma (P  Q), y se usa la segunda afirmación, es decir, Q, para concluir la primera, es decir, P.

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Ejemplo: Todos los números impares son primos 5 es primo

5 es impar Argumento inválido con premisas falsas y conclusión verdadera. b) Negación del antecedente En ésta se toma la condicional (P  Q), y se usa la negación del antecedente, es decir no P, para concluir el consecuente, es decir, Q. Ejemplo: Si estudias entonces vas a la fiesta ¡No estudias!

No vas a la fiesta.

Argumento incorrecto con premisas verdaderas y conclusión falsa… ¡Sí voy a la fiesta! Je, je.

Actividad 1. Foro: El amor es una falacia Participa en el foro de discusión sobre la lectura ―El amor es una falacia”.

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“EL AMOR ES UNA FALACIA” Por MAX SCHULMAN TRADUCCIÓN DE ANA MARIA VICUÑA N. NOTA INTRODUCTORIA “El amor es una falacia” (Love is a Fallacy) es un relato de ficción tomado de la popular novela “Los muchos amores de Dobie Gillis” de Max Schulman.

La historia ofrece una ilustración encantadora, aunque extrema, de cómo los razonamientos falaces pueden afectar nuestra vida cotidiana y nos recuerda, también, las limitaciones del razonamiento lógico.

Escrita en los comienzos de la década del 50, pueden percibirse en ella algunas resonancias del machismo típico de la época.

EL AMOR ES UNA FALACIA Yo era frío y lógico. Agudo -calculador, perspicaz, certero y astuto- todo eso era yo. Mi cerebro era tan poderoso como dínamo, tan preciso como las balanzas de un químico, tan penetrante como el bisturí de un médico. Y ¡piensen en esto!- sólo tenía 18 años.

No sucede a menudo que alguien tan joven tenga un intelecto tan gigantesco. Tomen, por ejemplo, a Petey Bellows, mi compañero de cuarto en la universidad. La misma edad, el mismo origen social, pero tonto como un buey. Un tipo bastante agradable, pero sin nada en la cabeza. Del tipo emocional. Inestable. Impresionable. Y lo peor de todo, esclavo de la moda. Opino que las modas son la verdadera negación de la razón. Ser barrido y arrastrado por cada nueva locura que llega, rendirse a la idiotez sólo porque todos los demás lo hacen – esto, para mí, es el pináculo de la irracionalidad. Sin embargo, no lo era para Petey.

Una tarde encontré a Petey tirado en su cama con una expresión tal de desesperación en la cara, que inmediatamente diagnostiqué apendicitis.

- “ No te muevas”, le dije. “No tomes ningún laxante. Llamaré a un médico”.

- “Mapache”, murmuró con voz ronca.

- “¿Mapache?” pregunté, deteniéndome en mi carrera.

- “Quiero un abrigo de mapache”, se lamentó Petey.

Me di cuenta de que su problema no era físico, sino mental.

- “¿Por qué quieres un abrigo de mapache?”

- “Debí haberlo sabido”, gritó, golpeándose las sienes. “Debí haber sabido que volverían, cuando el charleston volvió.

Como un estúpido, gasté todo mi dinero en textos de estudio y ahora no puedo comprarme un abrigo de mapache.”

- “¿Quieres decir”, dije incrédulamente, “que la gente realmente está usando abrigos de mapache de nuevo?”

- “Todos los grandes hombres del campus los usan. ¿Dónde has estado tú?”

- “En la biblioteca”, dije, nombrando un lugar no frecuentado por los grandes hombres del campus.

Petey saltó de la cama y se paseó por el cuarto.

- “ Tengo que tener un abrigo de mapache”, dijo apasionadamente. “ ¡Tengo que tenerlo!”

- “Pero, ¿por qué, Petey? Míralo desde una perspectiva racional. Los abrigos de mapache son insalubres. Echan pelos.

Huelen mal. Pesan demasiado. Son desagradables de ver. Son...”

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“Tú no entiendes”, me interrumpió con impaciencia. “Es lo que hay que hacer. ¿No quieres estar en el boom?”

- “No”, respondí con toda verdad.

- “Bueno, yo sí”, declaró. “Daría cualquier cosa por un abrigo de mapache. ¡Cualquier cosa!”

Mi cerebro, ese instrumento de precisión, comenzó a funcionar a toda máquina.

- “¿Cualquier cosa?”, pregunté, mirándolo escrutadoramente.

- “Cualquier cosa”, respondió en vibrantes tonos.

Golpeé mi barbilla pensativamente. Sucedía que yo sabía cómo poner mis manos sobre un abrigo de mapache. Mi padre había tenido uno en su época de estudiante. Ahora estaba en un baúl en el altillo de mi casa. También sucedía que Petey tenía algo que yo quería. No lo tenía exactamente, pero tenía primer derecho sobre ello. Me refiero a su chica, Polly Espy.

Por mucho tiempo yo había ambicionado a Polly Espy. Permítaseme enfatizar que mi deseo por esta joven no era de naturaleza emocional. Ella era, por cierto, una chica que excitaba las emociones, pero yo no era alguien que fuera a dejar que mi corazón gobernara sobre mi cabeza. Yo quería a Polly por una razón astutamente calculada, enteramente cerebral.

Yo era un estudiante de primer año de leyes. En pocos años saldría a practicar la abogacía y estaba bien consciente de la importancia de contar con el tipo adecuado de esposa para promover la carrera de un abogado. Los abogados exitosos que yo había observado estaban, casi sin excepción, casados con mujeres hermosas, gráciles e inteligentes.

Con una sola omisión, Polly llenaba estas características perfectamente.

Era hermosa. No era aún de proporciones perfectas, pero yo estaba seguro de que el tiempo supliría la falta. Ella ya tenía todos los atributos necesarios para lograrlo.

Era grácil. Con grácil quiero decir llena de gracia. Tenía una distinción al caminar, una libertad de movimiento, un equilibrio, que claramente indicaban la mejor educación. En la mesa, sus modales eran exquisitos. Yo la había visto en el restaurante de la esquina del campus, comiendo la especialidad de la casa -un sándwich que consistía en trozos de carne asada, salsa, nueces picadas y una gran porción de chucrut-, sin ni siquiera humedecerse la punta de los dedos.

Inteligente no era. De hecho, se orientaba en la dirección opuesta. Pero yo pensaba que, bajo mi tutela y guía, se pondría más despierta. En todo caso, valía la pena intentarlo. Después de todo, es más fácil hacer inteligente a una hermosa niña tonta que hacer hermosa a una fea niña inteligente.

- “Petey”, le dije, “¿estás enamorado de Polly Espy?”.

- “Pienso que es una chica aguda”, contestó, “pero no sé si llamarlo amor. ¿Por qué?”

- “¿Tienes”, le pregunté, “algún tipo de arreglo formal con ella? Me refiero a sí estas pololeando con ella, o algo por el estilo.”

- “No. Nos vemos bastante, pero ambos tenemos otras citas. ¿Por qué?”

- ¿“Existe”, pregunté, “otro hombre por el cual ella sienta algún cariño particular?”

- “No, que yo sepa. ¿Por qué?”

- “En otras palabras”, dije con satisfacción, “si tú estuvieras fuera del cuadro, el campo estaría libre. ¿No es así?”

- “Supongo que sí. Pero, ¿qué estas tramando?”

- “Nada, nada”, dije inocentemente, y saqué mi maleta del closet.

- “Oye”, me dijo, agarrándome del brazo con gran desesperación, “cuando estés en tu casa, ¿no podrías conseguir algo de plata con tu viejo, ¿podrías? ¿Y prestármela para que yo pudiera comprarme un abrigo de mapache?”

- “Puedo hacer algo mejor que eso”, dije haciéndole un misterioso guiño, cerré la maleta y me fui.

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- “ ¡Mira!” le dije a Petey, cuando volví el lunes en la mañana, y abrí de golpe la maleta dejando ver el objeto grande, peludo y deportivo que mi padre había usado en su Stutz Beercat en 1925.

- “¡Por Santo Toledo!”, gritó Petey reverentemente. Hundió sus manos en el abrigo de mapache y luego hundió su cara y repitió “¡por Santo Toledo!” quince o veinte veces.

- “¡Oh! Eso es terrible”, gimoteó.

- “Sí, es terrible”, acepté, pero no es un argumento. El hombre nunca respondió la pregunta del patrón sobre sus méritos. En vez de eso, apeló a la piedad del patrón. Cometió la falacia Admisericordiam, ¿comprendes?”

- “¿Tienes un pañuelo?”, dijo Polly entre sollozos.

Le alargué un pañuelo y traté de evitar gritar, mientras ella se enjugaba los ojos.

- “Ahora”, dije, en un tono cuidadosamente calculado, “discutiremos la Falsa Analogía. Aquí tienes un ejemplo: A los estudiantes se les debería permitir consultar sus textos de estudio durante los exámenes. Después de todo, los cirujanos tienen rayos X para guiarlos durante una operación, los abogados tienen sus escritos para guiarlos durante un juicio y los constructores tienen planos para guiarlos cuando construyen una casa. Entonces, ¿por qué los estudiantes no pueden mirar sus textos durante los exámenes?”

- “¡Fantástico!”, dijo Polly con entusiasmo. “Es la idea más sensa que he escuchado en años.

- “Polly”, le dije exhausto, “el argumento está completamente malo. Los doctores, los abogados y los constructores no están dando exámenes para probar cuánto han aprendido, pero los estudiantes, sí. Las situaciones son totalmente diferentes y no puedes establecer una analogía entre ellas.”

- “ De todos modos, creo que es una buena idea”, dijo Polly.

- “Tonterías” murmuré. Pero, seguí avanzando resueltamente. “Ahora examinaremos la Hipótesis contraria a los hechos.”

- “Suena exquisita”, respondió Polly.

- “Escucha: Si Madame Curie no hubiera dejado por casualidad una placa fotográfica en un cajón junto a un trozo de pechblenda, el mundo actual no conocería el radio.”

- “Es verdad, es verdad”, exclamó Polly, asintiendo con la cabeza, “¿Viste la película? Me fascinó. Ese Walter Pidgeon es un sueño. Quiero decir que me trastorna.”

- “Si te puedes olvidar del señor Pidgeon por un momento”, dije con frialdad, “me gustaría hacerte notar que esa afirmación es una falacia. Tal vez Madame Curie habría descubierto el radio en una fecha posterior, o tal vez otra persona lo habría descubierto. Un montón de cosas podrían haber pasado, tal vez. No puedes empezar con una hipótesis que no es verdadera y luego deducir alguna conclusión que pueda ser sostenida a partir de ella.”

- “Deberían hacer más películas con Walter Pigdeon” dijo Polly. “ Ya casi no lo puedo ver nunca.”

Una oportunidad más, decidí. Pero sería la última. Hay un límite para la resistencia humana.

- “La próxima falacia se llama Envenenar el pozo”, anuncié.

- “¡Qué amor!”, gorjeó Polly.

- “Dos hombres están participando en un debate. El primero se levanta y dice: “Mi opositor es un conocido mentiroso.

Ustedes no pueden creer una sola palabra de lo que va a decir...”, ahora Polly, piensa. Piensa bien. ¿Qué esta mal?”

La observé con atención mientras su linda frente se arrugaba en un esfuerzo de concentración. De pronto, un leve resplandor de inteligencia --el primero que yo veía-- se asomó por sus ojos.

- “¡No es justo!”, exclamó, con indignación. “No es justo en lo más mínimo. ¿Qué oportunidad tiene el segundo hombre, si el primero lo llama mentiroso, incluso antes de que empiece a hablar?”

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- “¡Correcto!” grité, saltando de felicidad. “Cien por ciento correcto. No es justo. El primer hombre ha envenenado el pozo antes de que cualquier persona pudiera beber de él. Ha imposibilitado la defensa de su oponente antes de que éste haya podido siquiera empezar. Polly, estoy orgulloso de ti.”

- “Mmm”, murmuró, enrojeciendo de placer.

- “Ya ves, querida, que estas cosas no son tan difíciles. Todo lo que tienes que hacer es concentrarte. Pensar examinar- evaluar. Veamos, revisemos todo lo que hemos aprendido.”

- “Estoy lista”, dijo ella, haciendo un grácil movimiento en el aire con la mano, invitándome a disparar.

Fortalecido al constatar que Polly no era totalmente estúpida, empecé un largo y paciente repaso de todo lo que le había enseñado. Una, otra, y otra vez, le cité las instancias, le indiqué las faltas, martillando sin descanso. Era como cavar un túnel. Al principio, todo era trabajo, sudor y oscuridad. No tenía idea de cuándo alcanzaría la luz, o siquiera si la alcanzaría. Pero yo persistía. Machacaba, arañaba, raspaba y, finalmente, fui recompensado. Vi una grieta de luz que luego se fue agrandando, y el sol se derramó por ella haciéndolo brillar todo.

Cinco agotadoras noches tomó este trabajo, pero valió la pena. Había logrado convertir a Polly en una persona lógica, le había enseñado a pensar. Mi trabajo había terminado. Por fin, ella era digna de mí. Ahora, era una esposa apropiada para mí, la anfitriona adecuada para mis muchas mansiones, la perfecta madre para mis acaudalados hijos.

No se debe pensar que yo no sentía amor por esta niña. Muy por el contrario. Tal como Pigmalion amaba a la mujer perfecta que había modelado, así amaba yo a la mía. Había llegado el momento de que nuestra relación cambiara de académica a romántica.

- “Polly”, le dije la próxima vez que nos sentamos bajo nuestro roble, “esta noche no vamos a hablar de falacias.”

- “¡Qué pena!”, dijo ella, desilusionada.

- “Querida”, le dije, obsequiándole mi mejor sonrisa, “ya hemos pasado juntos cinco noches. Nos hemos llevado espléndidamente bien. Es evidente que estamos hechos el uno para el otro.”

- “Generalización apresurada”, exclamó ella. “¿Cómo puedes afirmar que estamos hechos el uno para el otro sobre la base de solo cinco citas?”

Reí para mis adentros con placer. La querida niña había aprendido bien su lección.

- “Querida”, dije, acariciando su mano con pequeños golpecitos tolerantes, “cinco citas es más que suficiente.

Después de todo, no es necesario comerse toda la torta para saber que está buena.”

- “Falsa analogía”, respondió Polly prontamente. “Yo no soy una torta, soy una niña.”

Sonreí para mis adentros con un poco menos de placer. La querida niña había aprendido su lección tal vez demasiado bien. Entonces decidí cambiar de táctica. Obviamente, el mejor abordaje era una simple, firme y directa declaración de amor. Me detuve un momento, mientras mi potente cerebro elegía las palabras adecuadas. Entonces comencé: - “Polly, te amo. Tú representas todo el mundo para mí, y la luna y las estrellas y todas las constelaciones del espacio exterior. Por favor, querida mía, di que aceptarás ser mi novia. Si no lo haces, mi vida carecerá de sentido.

Languideceré, me rehusaré a comer y vagaré por la faz de la tierra como el viejo casco de un barco, tambaleante y con los ojos vacíos.”

“Listo”, pensé, cruzando los brazos. Esto debería lograrlo.

- “Ad misericordiam”, dijo Polly.

Rechiné los dientes. Yo no era Pigmalion, sino Frankenstein. Había creado un monstruo y éste me tenia agarrado del cuello. Desesperadamente, luché contra la ola de pánico que me inundaba. A toda costa tenía que mantener la calma.

- “Bien, Polly”, dije, esforzándome por sonreír, “realmente aprendiste tus falacias”.

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- “¡Por supuesto que sí!”, dijo, con un vigoroso movimiento de cabeza.

- “¿Y quién te las enseñó, Polly?”

- “Tú fuiste.”

- “Correcto. Por lo tanto, me debes algo, ¿no es cierto, querida? Si yo no hubiera aparecido, tú nunca habrías aprendido nada acerca de las falacias.”

- “Hipótesis contraria a los hechos”, replicó Polly al instante.

Sacudí con violencia el sudor de mi frente.

- “Polly”, gruñí, “no debes tomar estas cosas tan literalmente. Quiero decir que esto es solo materia de clases y tú sabes que las cosas que se aprenden en la escuela no tienen nada que ver con la vida.”

- “ Dicto simpliciter”, dijo ella, levantando burlonamente un dedo hacia mí.

Esa fue la gota que rebalsó el vaso.

- ¿Serás mi novia o no?”

- “No”.

- “¿Por qué no?”

- “Porque esta tarde le prometí a Petey Bellows que sería su novia.”

Caí hacia atrás abrumado por la infamia de Petey. Después que me prometió, que hizo un trato conmigo, que me dio la mano. “¡Qué rata!”, chillé, pateando el pasto.

- “No puedes irte con él, Polly. Es un mentiroso. Un tramposo. Es una rata.”

- “Envenenar el pozo”, dijo Polly. “Y deja de gritar. Creo que gritar también debe ser una falacia.”

Con un enorme esfuerzo de voluntad, modulé mi voz y dije: - “Muy bien. Eres una persona lógica. Miremos las cosas lógicamente. ¿Cómo pudiste escoger a Petey Bellows en lugar de escogerme a mí? Mírame: soy un estudiante brillante, un gran intelectual, un hombre con el futuro asegurado. Mira a Petey: un cabeza confusa, un atado de nervios, un tipo que nunca sabrá de dónde obtendrá su próxima comida. ¿Podrías darme una razón lógica por la cual deberías convertirte en la novia de Petey Bellows?”

- “Por supuesto que puedo”, dijo Polly. “Tiene un abrigo de mapache.”

- “¿Lo quieres?”, le pregunté.

- “¡Claro que sí!” gritó, apretando la grasienta piel contra su cuerpo.

Luego, una mirada prudente apareció en sus ojos: - “¿ Qué quieres a cambio?”

- “A tu chica”, dije, sin escatimar palabras.

- “¿Polly?”, dijo, en un horrorizado suspiro, “¿quieres a Polly?”

- “Así es.”

Lanzó el abrigo lejos y dijo resueltamente: - “¡Jamás!”

Yo me encogí de hombros.

- “Okey”, le dije, “si no quieres estar en el boom, es asunto tuyo.”

Me senté en una silla y me hice el que leía un libro, pero con el rabillo del ojo me mantuve vigilante, observando a Petey. Era un hombre destrozado. Primero miró el abrigo, con la expresión de un hambriento ante la vitrina de una pastelería.

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Después se dio vuelta y levantó la barbilla resueltamente. Luego, volvió a mirar el abrigo, aún con mayor deseo reflejado en su rostro. Luego se volvió nuevamente, pero ya no con tanta resolución. Finalmente, ya no dio vuelta la cara, sino que se quedó mirando fijamente el abrigo, enloquecido por el deseo.

- “ No es que yo estuviera enamorado de Polly”, dijo con voz ronca. “O que estuviera pololeando con ella, o algo por el estilo.”

- “Es cierto”, murmuré.

- ¿Qué es Polly para mí o yo para ella?”

- “Nada”, respondí yo.

- “Ha sido sólo una relación casual –sólo unas pocas risas, eso es todo.”

- “Pruébate el abrigo”, dije.

Aceptó. El abrigo sobresalía por arriba de sus orejas y caía hasta abajo, hasta la punta de sus zapatos. Se veía como una montaña de mapaches muertos. “Me queda estupendo”, dijo feliz. Me levanté de la silla.

- “¿Es un trato?”, pregunté, extendiéndole la mano. Tragó saliva.

- “Es un trato”, dijo, apretando mi mano.

Tuve mi primera cita con Polly la tarde siguiente. Fue una especia de examen. Yo quería averiguar cuánto tendría que trabajar para lograr que su mente llegara al nivel que yo quería.

Primero la llevé a comer.

- “Fue una comida deli”, dijo, cuando salimos del restaurante. Después, la llevé al cine.

- “Fue una película sensa”, dijo, al salir del teatro. Luego, la llevé a casa.

- “Lo pasé super”, dijo al despedirse.

Volví a mi cuarto con el corazón apesadumbrado. Había subestimado gravemente la magnitud de mi tarea. La falta de información de esta niña era espeluznante, y tampoco bastaría simplemente con proporcionarle información.

Primero había que enseñarle a pensar. Éste parecía un proyecto de no escasas dimensiones y, al principio, estuve tentado de devolvérsela a Petey. Pero, luego, empecé a pensar en sus abundantes encantos físicos y en su manera de caminar cuando entraba a una habitación y en su manera de manejar el cuchillo y el tenedor, y decidí hacer un esfuerzo.

Procedí en esto, como en todas las cosas, sistemáticamente. Le di un curso de lógica. Resulta que yo acababa de tomar un curso de lógica, de modo que tenía todos los datos en la punta de los dedos.

- “Polly”, le dije, cuando la pasé a buscar para nuestra siguiente cita, “esta noche iremos a caminar y conversaremos” - “¡Ah, fantástico!”, dijo.

Una cosa debo decir de esta niña, es difícil encontrar otra tan fácil de agradar. Nos fuimos al parque, el lugar de citas del campus, y nos sentamos bajo un añoso roble. Ella me miró expectante y preguntó: - “¿De qué vamos a conversar?”

- “De lógica”.

Lo pensó por un momento y decidió que le agradaba.

- “¡Sensa!”, dijo.

- “La lógica”, dije yo, aclarándome la garganta, “es la ciencia del pensamiento. Antes de que podamos pensar correctamente, debemos aprender primero a reconocer las falacias más comunes de la lógica. Nos ocuparemos de ellas esta noche”.

- “¡Bravo!” gritó, aplaudiendo con anticipado placer.

Yo sentí encogérseme el corazón, pero continué valientemente.

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- “Primero”, dije, “examinemos la falacia Dicto Simpliciter.”

- “¡De todos modos!” rogó Polly, batiendo sus pestañas con entusiasmo.

- “Dicto Simpliciter es un argumento basado en una generalización no limitada. Por ejemplo: El ejercicio es bueno. Por lo tanto, todos deberían hacer ejercicio.”

- “Estoy de acuerdo”, dijo Polly con entusiasmo. “ Me refiero a que el ejercicio es maravilloso. Quiero decir que mantiene el cuerpo en forma y todo.”

- “ Polly”, le dije amablemente, “el argumento es una falacia. El ejercicio es bueno es una generalización no limitada.

Por ejemplo, si sufres de una enfermedad al corazón, el ejercicio es malo para ti, no bueno. A muchas personas sus médicos les prohiben hacer ejercicios. Es necesario limitar la generalización, diciendo que, generalmente, el ejercicio es bueno, o que, para la mayoría de las personas, el ejercicio es bueno. De lo contrario, estarás cometiendo Dicto Simpliciter. ¿Te das cuenta?”

- “No”, confesó. “Pero es super. ¡Haz más!”

- “Sería mejor si dejaras de tironearme la manga”, dije y, cuando dejó de hacerlo, continúe: - “A continuación, veamos la falacia llamada Generalización Apresurada. Escucha atentamente: Tú no sabes hablar francés. Por lo tanto, debo concluir que nadie en la universidad de Minnesota sabe hablar francés.”

- “¿De veras?”,dijo Polly, incrédula, “¿nadie?”

Oculté mi desesperación.

- “Polly, es una falacia. La conclusión se alcanza demasiado apresuradamente. Hay demasiado pocas instancias para apoyar tal conclusión.”

- “¿Conoces más falacias?”, preguntó ansiosamente. “¡Esto es más entretenido que ir a bailar!” Luché con una ola de desesperación. No estaba llegando a ninguna parte con esta niña, absolutamente a ninguna parte. Sin embargo, si hay alguien persistente, ese soy yo. Así es que continúe: - “Ahora nos corresponde Post hoc. Escucha esto: No llevemos a Bill a nuestro picnic; cada vez que salimos con él, llueve.”

- “Conozco a alguien igual”, exclamó. “Es una chica de mi pueblo, Eula Becker se llama. Nunca falla. Cada vez que la llevamos a un picnic...”

- “Polly”, la interrumpí, cortante. “Es una falacia. Eula Becker no es causa de que llueva. No tiene ninguna relación con la lluvia. Si le echas la culpa a Eula Becker, eres culpable de Post hoc.”

- “No lo volveré a hacer”, prometió, contrita. “¿Estás enojado conmigo?”

- “No, Polly, no estoy enojado”, suspiré.

- “Entonces, cuéntame mas falacias.”

- “Bueno”, dije. “Veamos Premisas Contradictorias.”

- “Sí. Veámoslas”, dijo guiñando los ojos con placer. Yo fruncí el entrecejo, pero seguí adelante.

- “Aquí tienes un ejemplo de Premisas Contradictorias: Si Dios puede hacerlo todo, ¿podría hacer una piedra tan pesada que Él mismo no fuera capaz de levantarla?”

- “Por supuesto que sí”, respondió.

- “Pero, si puede hacerlo todo, puede levantar la piedra”, dije.

- “Sí”, dijo pensativa. “Bueno, entonces supongo que no puede hacer la piedra.”

- “Pero, Él puede hacerlo todo”, le recordé.

Se rascó su preciosa y vacía cabeza.

- “Estoy tan confundida”, admitió.

139 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

- “Por supuesto que lo estás. Porque cuando las premisas de un argumento son contradictorias entre sí, no puede haber argumento. Si existe una fuerza irresistible, entonces no puede existir un objeto inamovible. Si existe un objeto inamovible, entonces no puede existir una fuerza irresistible. ¿Entiendes?”

- “Cuéntame más de este tema tan agudo”, dijo ansiosamente.

Consulté mi reloj.

- “Pienso que basta por esta noche. Te llevaré a casa ahora y tú repasas todas las cosas que aprendiste. Tendremos otra sesión mañana por la noche.”

La fui a dejar a los dormitorios de las niñas, donde me aseguró que había tenido una noche perfectamente sensa, y me fui malhumorado a mi cuarto. Petey estaba roncando en su cama, con el abrigo de mapache arrollado a sus pies como una gran bestia peluda. Por un momento consideré la posibilidad de despertarlo y decirle que podía tener a su chica de vuelta. Me parecía evidente que mi proyecto estaba fatalmente destinado al fracaso. La chica simplemente tenía una cabeza a prueba de lógica.

Pero después lo reconsideré. Ya había perdido una noche. Podría perder otra. ¿Quién sabe? A lo mejor, en alguna parte, en el extinto cráter de su cabeza, algunas pocas brasas aún ardían en silencio. Tal vez, de alguna manera, yo podría hacerles salir fuego. Admito que no era un prospecto forjado con esperanza, pero decidí hacer un último intento.

Sentados bajo el roble, la noche siguiente, le dije: - “Nuestra primera falacia de esta noche se llama Ad misericordiam.” Ella tembló de gusto.

- “Escucha atentamente”, dije: Un hombre solicita trabajo. Cuando el patrón le pregunta cuáles son sus méritos, replica que tiene esposa y seis hijos en casa, que la esposa es inválida sin remedio, los niños no tienen qué comer, ni qué ropa ponerse, ni zapatos en los pies. No hay camas en la casa, ni carbón en la despensa y está comenzando el invierno.”

Una lágrima rodó por cada una de las rosadas mejillas de Polly.

140 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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4.1.3. Consistencia lógica El dilema del cocodrilo Un cocodrilo atrapó a un bebé humano que jugaba en la orilla del río Nilo. La madre le suplicó que le devolviera a su hijo. −Muy bien −dijo el cocodrilo−, si eres capaz de vaticinar lo que haré, te devolveré al niño. Pero si adivinas mal, lo comeré para el almuerzo. −¡Devorarás a mi niño! −clamó la madre, desesperada. −Pues bien−dijo el astuto cocodrilo−, no puedo devolverte a tu bebé porque en ese caso te obligaré a mentir y ya te he dicho que si tu afirmación es falsa devoraré al niño. −Nada de eso −dijo la inteligente madre−, porque si devoras a mi bebé me harás decir la verdad, y me prometiste que si decía la verdad me devolverías al bebé. Sé que eres un cocodrilo honrado, que sabe cumplir su palabra.

Nicholas Falleta Paradojas y juegos La inconsistencia argumentativa se presenta cuando en un argumento admite al mismo tiempo tanto una proposición P como su negación P. La consistencia se utiliza tanto para argumentos como para conjuntos de proposiciones. Si en un argumento, o en un conjunto de proposiciones, no se presenta al mismo tiempo tanto una proposición como su negación, entonces se dice que el argumento, o el conjunto de premisas, es consistente.

Actividad 2. Falacias Entrega las actividades solicitadas hasta el momento.

4.2. Métodos de demostración Cuando digo que la mula es parda, es porque traigo los pelos en la mano Refrán Popular

Antes de estudiar los diferentes métodos de demostración matemática, hay algo que es importante destacar: ¿Por qué tenemos certeza de que nuestro método deductivo es confiable? ¿Estamos justificados lógicamente para confiar en dicho método? Preguntas como éstas han rondado los terrenos de la filosofía.

141 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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4.2.1. Directo Consiste en aplicar las premisas tal y como se encuentran planteadas, sin necesidad de usar la negación de la conclusión ni la suposición de la negación de alguna de las premisas. Así, se usan las premisas que se tienen de forma directa, aplicando el Modus Ponens en la deducción natural de la conclusión.

(P  Q) P

Q TEOREMA 4 (Teorema del valor medio) Si

es continua en

y derivable en

, entonces existe un número

en

, tal que

Demostración Sea

Evidentemente, h es continua en

y derivable en (a, b), y

142 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Lógica Programa desarrollado

En consecuencia, podemos aplicar el teorema de Rolle a

y deducir que existe algún

en

tal que

De modo que

Lo que acabas de hacer fue demostrar la forma

, la cual se conoce como ley de De

Morgan para el complemento de la unión de conjuntos.

4.2.2. Contrapositivo Este método es para afirmaciones de la forma "si P entonces Q" y consiste en suponer "no Q", es decir, la negación del consecuente de la implicación, y demostrar con esta suposición extra, que "no P", es decir, la negación del antecedente de la implicación. Así pues, lo que se hace es probar: "si no Q entonces no P‖ (Q  P), que es lógicamente equivalente a la afirmación original, como vimos en la unidad pasada; es decir, el enunciado Modus Tollens (P  Q)



(Q  P), que es universalmente válido. Éste es un ejemplo de la utilidad de las

verdades y las equivalencias lógicas.

(P  Q) Q

P Teorema: Todo número primo mayor que 2 es impar.

Demostración Por demostrar que Si p es un número primo mayor que 2, entonces p es impar.

143 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Sea p un número par, entonces, n

, tal que p = 2n y n>1, pues si n=1 entonces p sería igual a 2.

Entonces, p tiene el menos tres divisores: 1, 2 y p.

Por tanto, p no es primo. Es decir, no existen números primos mayores que 2 que sean pares.

Queda entonces demostrado que si p es un número primo mayor que 2, entonces p es impar.

Lo que acabas de hacer fue demostrar la forma

, la cual se conoce como ley de De

Morgan para el complemento de la intersección de conjuntos.

4.2.3. Por casos Si se quiere probar una afirmación P, y hay una serie de afirmaciones, que serán los casos, R1, R2, ..., Rn, con n > 2 o n = 2, tales que agotan todas las posibilidades, es decir, no hay ninguna otra opción posible y necesariamente se cumple una de ellas, entonces el enunciado R1  R2  R3  …  Rn es universalmente válido.

Si además se prueba que: si R1 entonces P y que si R2 entonces P, ..., y que si Rn entonces P, puede entonces concluirse en forma correcta que P, ya que no existe ningún otro caso, necesariamente se cumple uno de estos y cada uno de ellos implica P, probándose de esta forma que (R1  R2  R3  …  Rn)  P (R1  P) (R2  P) (R3  P) …

(Rn  P)

(R1  R2  R3  …  Rn)  P

P −dado que R1, R2, …, Rn son las únicas posibilidades− 144 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Un ejemplo de este método es la demostración del Teorema de Rolle que viste en Cálculo: Teorema de Rolle Sea

una función continua en el intervalo cerrado

Entonces, existe un número

en

y derivable en el intervalo abierto

. Si

tal que

Realizaremos la demostración por medio de una serie de casos particulares que nos aseguren la validez del teorema.

Las hipótesis son: 

es continua en el intervalo cerrado



es derivable en el intervalo abierto



.

.

Y vamos a demostrar que existe un número

Dado que

es derivable en el intervalo

en

,

tal que

existe para todos los puntos de dicho intervalo, sea

un

punto cualquiera del intervalo abierto, puede suceder uno de los siguientes casos: Caso 1 , si esto ocurre, entonces

sería una función constante, de la unidad anterior sabemos que la

derivada de una constante es cero, por lo cual se tendría que

Para todo

en

.

Caso 2

145 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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, si esto ocurre, como bajo

es continua, la imagen de cada uno de los puntos del intervalo abierto

existen. Debido a esto debe existir algún punto

por lo que

en

tal que

es un máximo relativo de , a su vez, por ser derivable,

para todo

de

,

existe y por el teorema de

los valores extremos, es igual a cero. Es decir, Caso 3 , este caso es similar al anterior.

4.2.4. Reducción al absurdo El método de reducción al absurdo nos permite probar una afirmación P a partir de la suposición de una proposición de la negación de P, es decir, P. De tal forma que esta suposición nos permite concluir una de las siguientes afirmaciones: a) Q, contradictoria a una afirmación Q ya demostrada anteriormente, lo cual implica una contradicción. b) R  R, lo cual conlleva una contradicción. c) P, lo cual es también una contradicción, dado que se supuso P se tendría P  P Por el principio de la no contradicción, estos tres casos no son posibles, de donde quedará demostrada la proposición P, ya que la suposición de su negación P llevó a negar una verdad lógica, lo cual no puede darse porque una verdad lógica es siempre necesaria.

Ejemplo: Demostrar que

es un número irracional.

Supongamos que la raíz de dos es un número racional, entonces, existen dos enteros p y q tales que y q es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad, supongamos que p y q son primos relativos, es decir, que no comparten ningún factor común. Si fuera el caso de que p y q compartieran un factor común, entonces podríamos simplificar la fracción

a una nueva fracción en la que p y q fueran primos relativos.

146 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Elevando al cuadrado obtenemos que

Multiplicando ambos lados de la igualdad por

Como la expresión

tenemos que

es par, entonces tenemos que también lo es

, lo cual implica que p es par, pues

de no ser p par su cuadrado tampoco lo sería.

Entonces, n

, tal que p = 2n. Así, la expresión

se transforma en

Y dado que

Entonces

De donde

Por lo que q es también par, ya que de no ser así su cuadrado tampoco lo sería.

Dado lo anterior, p y q son pares, por lo cual tienen como factor común al 2! Por tanto,

es un número

irracional.

En matemáticas se utiliza el símbolo ―!‖ para indicar una contradicción.

147 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Actividad 3. Foro: Demostraciones Participa en el foro sobre las demostraciones.

4.2.5. Inducción matemática Es un método que permite demostrar afirmaciones acerca de los número naturales. El principio de inducción matemática dice que una proposición se cumple para todo número natural n si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1. La proposición se cumple para n = 1 2. La veracidad de la proposición para cualquier número natural n = k implica su veracidad para el número n = k + 1.

Así pues, si se demuestra que una proposición acerca de los naturales se cumple para 1, y luego, suponiendo que dicha proposición es válida para n = k se demuestra que es válida para n = k + 1, entonces, la proposición natural se cumplirá por todos los números naturales.

Ejemplo: Probar que la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es igual a

Condición 1: Para n=1 tenemos que

=

= 1.

Por otro lado,

Por tanto, para n=1 se cumple la igualdad.

148 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Condición 2: Supongamos entonces que para n = k se tiene la igualdad

Probemos que

Sabemos que

Ya que por suposición teníamos que

Entonces, realizando las operaciones y factorizando, se obtiene que

149 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Que justamente es lo que se desea probar.

Por tanto, para cualquier número natural, se tiene que: la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales es igual a

4.2.6. Contraejemplos Cuando quieres probar que una proposición es falsa, puedes hacerlo demostrando su negación por cualquiera de los métodos anteriores, o bien, por medio de un contraejemplo.

Un contraejemplo es un ejemplo particular para el cual la proposición no se cumple. Por ejemplo, si quieres probar que no todos los animales son mamíferos te basta dar un ejemplo de un animal que no sea mamífero: una rana es un contraejemplo de que todos los animales son mamíferos.

Ejemplo: La suma de dos números compuestos siempre es un número compuesto.

Contraejemplo: Sean a = 8 y b = 9.

Sabemos que tanto a como b son números compuestos, ya que pueden ser expresados como el producto de primos. a = 8 = (2) (2) (2)

y

b = 9 = (3) (3)

Pero a + b = 8 + 9 = 17, donde 17 resulta ser un número primo.

Por tanto, la suma de números compuestos no siempre es un número compuesto.

4.2.7. Heurística La palabra heurística proviene del griego heuriskein que significa descubrir o encontrar. Actualmente, se entiende por heurística las estrategias, métodos, criterios y trucos usados para hacer más sencilla la solución de un problema, ya sea este complejo o no.

150 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Hasta aquí has estudiado varios métodos de demostración. Y ¿qué relación tiene la heurística con todo esto? Que estos métodos, aplicados de forma estricta y rigurosa, muchas veces no te permiten ver la solución de tu problema ni te llevan a ella, o al menos no de una manera sencilla. Vimos que, en los procesos de descubrimiento y demostración, la creatividad es un ingrediente muy importante. Aquí entre la heurística, analizando esos procesos creativos.

Algo que suele suceder en el proceso de descubrimiento de una demostración es que ésta se da justo al revés de como se presenta lógicamente la deducción organizada, ya terminada y rigurosa.

Analizar el resultado al cual deseas llegar puede proporcionarte algunas ideas heurísticas acerca de cómo resolver el problema. Este es un método que aprenderás con la práctica. Algunas veces te servirá ir conectando proposiciones desde la conclusión hasta las premisas, para encontrar el camino que te lleva de las premisas a la conclusión. Esto es como si te imaginaras un lugar del mundo en el cual te gustaría estar.

Parado en ese lugar traza una ruta que te lleve hasta el lugar en el cual te encuentras. Es como ir en sentido contrario, pero te ayuda a visualizar los puntos por los cuales es necesario que pases y que tal vez tú no estabas considerando.

A continuación te presentamos una serie de pequeños problemas para que analices los pasos que te llevaron a resolverlos: Hay tres hermanos llamados John, James y William. John y James (las dos jotas) siempre mienten, pero William siempre dice la verdad. Los tres son indistinguibles por su apariencia. Un día me encuentro con uno de los tres hermanos en la calle y quiero averiguar si es John (porque John me debe dinero). Sólo puedo hacerle una pregunta de aquellas que se responden por sí o por no, y que no tenga más de dos palabras ¿Qué puedo preguntar?

JOHN, JAMES Y WILLIAM Raymond Smullyan Supongamos que cambian las condiciones anteriores haciendo a John y a James veraces y a William mentiroso. Nuevamente me encuentro con uno de ellos y quiero averiguar si es John ¿Hay alguna pregunta de dos palabras que se responde por sí o por no, y que me permita lograrlo?

UNA VARIANTE Raymond Smullyan 151 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Ahora tenemos sólo dos hermanos (gemelos idénticos). Uno de ellos se llama Arthur y el otro tiene un nombre distinto. Uno de los dos siempre miente y el otro siempre dice la verdad, pero no sabemos si Arthur es el mentiroso o el veraz. Un día me encuentro con los dos hermanos juntos y quiero averiguar cuál de ellos es Arthur. Nótese que no me interesa averiguar quién miente y quién dice la verdad, sino sólo saber quién es Arthur.

Sólo está permitido hacerle una pregunta que se pueda responder por sí o por no a uno de ellos y la pregunta debe contener un máximo de tres palabras ¿Qué pregunta puedo hacer?

UNA ADIVINANZA MÁS SUTIL Raymond Smullyan Actividad 4. Inducción matemática Es momento de entregar cada una de las actividades elaboradas hasta el momento.

4.3. Formalización lógica 4.3.1. Lenguaje Consta de los símbolos de predicado, de función y de constante, así como del total de los símbolos del lenguaje de primer orden que vimos en la unidad 2 Variables: x0, x1, x2, x3, x4, …

Constantes: a, b, c, …

Símbolos de predicados: P, Q, R, …

Símbolos de funciones: f, g, h, …

Cuantificadores: Conectivos lógicos: Símbolo de igualdad: =

152 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Auxiliares: ), ( Un término es una variable, una constante, o un predicado o una función aplicados a variables o constantes.

4.3.2. Estructura Las estructuras algebraico-relacionales corresponden a las interpretaciones de los términos, y se denotan con letras góticas Una estructura

, etc. es una cuarteta

A es l universo de

= <A, R, O, E>, donde:

y es un conjunto no vacío.

R es una colección (no necesariamente no vacía) de relaciones sobre los elementos de A, que son la interpretación de los símbolos de predicado.

O es una colección (no necesariamente no vacía) de operaciones sobre A, que son la interpretación de los símbolos de función.

E es una colección (no necesariamente no vacía) de elementos de A, que son la interpretación de los símbolos de constante.

4.3.3. Interpretación La interpretación de los términos corresponde al contenido que se le da a éstos.

Si t es un término del lenguaje L, y

es una estructura de interpretación para L con S una sucesión de

elementos del universo A de la estructura, denotamos con tA(S) a la interpretación del término t en la estructura

con la sucesión S.

4.3.4. Fórmulas y bloques Una expresión del lenguaje L es una sucesión finita de elementos de L. Por ejemplo, P

QQ es una

expresión del lenguaje L. Fórmulas 153 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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1. Todo símbolo de enunciado es una fórmula.

Obsérvese que en este caso se encuentran los enunciados aplicados a términos del lenguaje, así como la igualdad aplicada a términos del lenguaje.

2. Si

y

son fórmulas, entonces también lo son

3. Sólo las expresiones formadas con el paso 1 y 2 son fórmulas.

Observa que no todas las expresiones son fórmulas.

4.3.5. Valuaciones Sea F el conjunto de todas las del lenguaje L. Una valuación v es una función v definida sobre el conjunto F y que toma valores en {0, 1} v: E

{0, 1}

de acuerdo con el valores de verdad de cada fórmula de F, tal que si la fórmula es verdadera v le asigna 1 y si es falsa le asigna 0.

Sean

, cualesquiera fórmulas del conjunto F, valuación v para los conectivos lógicos está dada de la

siguiente manera:

1 v(

)=

1 si v( ) = 0 0 si v( ) = 1

2 v[

] = 1 si v( ) = 1 y v( ) = 1 0 en cualquier otro caso

3 v[

] = 0 si v( ) = 0 y v( ) = 0 154

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Lógica Programa desarrollado

1 en cualquier otro caso

4 v[

] = 0 si v( ) = 1 y v( ) = 0 1 en cualquier otro caso

5 v[

] = 1 si v( ) = v( ) 0 en cualquier otro caso

4.3.6. Satisfacibilidad Se dice que una valuación v satisface una fórmula

si y solamente si v( ) = 1.

es satisfacible si y solamente si existe una valuación v que la satisfaga.

Una fórmula Si

es un conjunto de fórmulas, es decir,

, decimos que v satisface

si v( ) = 1 para toda

,y

― satisface ‖ o bien ― es satisfecha por ‖.

escribimos

es proposicionalmente satisfacible si y solamente si hay una valuación que satisface .

Una fórmula no será llamada ni verdadera ni falsa, sino ―satisfacible‖ o ―no satisfacible‖ por la valuación v.

4.3.7. Consecuencias lógicas y tautologías Sean satisface

y

, se dice que

es consecuencia lógica de

si y solamente si toda asignación v que

satisface también a .

Las fórmulas pueden dividirse en: tautológicas, contingentes y contradicciones o no satisfacibles, según sean satisfechas por todas, algunas o ninguna valuación respectivamente. es una tautología si y solamente si toda valuación la satisface. Esto se denota por 155 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Decimos que

y

, fórmulas cualesquiera dadas, son equivalentes si y solamente si

. La

equivalencia se denota como Actividad 5. Cuento lógico y teorema matemático Elabora y entrega cada uno los elementos solicitados en la actividad.

Autoevaluación Participa en la autoevaluación de la última unidad, para verificar lo aprendido a lo largo del estudio de la asignatura.

Evidencia de aprendizaje: Recapitulación Tipo de actividad: Sumativa/Portafolio Descripción: Integrar cada uno de los temas a lo largo del estudio de la asignatura.

Instrucciones: Realiza las lecturas seleccionadas y luego realiza las actividades que se piden.

1. En no más de dos cuartillas, desarrolla la relación entre las lecturas de Ruisánchez, Borges y BartleSherbert y lo que estudiaste en el curso: conjuntos, lógica clásica, análisis de argumentos y métodos de demostración.

2. De cada una de las lecturas extrae dos conjuntos y dos argumentos que se mencionen. De los argumentos, indica las premisas y la conclusión.

3. Con la información de la lectura de Bartle-Shebert responde las preguntas y resuelve los ejercicios que se plantean a continuación: -¿Qué tipo de demostraciones se utilizan en el texto? Para cada tipo de demostración que menciones, indica la parte del texto en la cual se localiza y explica por qué es una demostración de esa clase.

156 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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-Demuestra que el conjunto de los números racionales es contable, es decir, se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales.

-Demuestra que el conjunto de los números irracionales es no contable, es decir, no se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números naturales. ¿Qué se deduce de las demostraciones anteriores acerca del infinito?

-Realiza las demostraciones que se piden en los ejercicios 2.4 y 2.5.

-Realiza las demostraciones del teorema 2.5.5 yd el corolario 2.5.6.

En cada una de las demostraciones indica: los conjuntos que utilizaste, las premisas con las que cuentas, la conclusión a la que deseas llegar y el tipo de demostración que utilizaste.

EL LIBRO DE ARENA

... thy rope of sands...

George Herbert (1593-1623)

La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes... No, decididamente no es éste, more geometrico, el mejor modo de iniciar mi relato. Afirmar que es verídico es ahora una convención de todo relato fantástico; el mío, sin embargo, es verídico.

Yo vivo solo, en un cuarto piso de la calle Belgrano. Hará unos meses, al atardecer, oí un golpe en la puerta. Abrí y entró un desconocido. Era un hombre alto, de rasgos desdibujados. Acaso mi miopía los vio así. Todo su aspecto era de pobreza decente. Estaba de gris y traía una valija gris en la mano. En seguida sentí que era extranjero. Al principio lo creí viejo; luego advertí que me había engañado su escaso pelo rubio, casi blanco, a la manera escandinava. En el curso de nuestra conversación, que no duraría una hora, supe que procedía de las Orcadas.

Le señalé una silla. El hombre tardó un rato en hablar. Exhalaba melancolía, como yo ahora.

–Vendo Biblias –me dijo.

157 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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No sin pedantería le contesté: –En esta casa hay algunas biblias inglesas, incluso la primera, la de John Wiclif. Tengo asimismo la de Cipriano de Valera, la de Lutero, que literariamente es la peor, y un ejemplar latino de la Vulgata. Como usted ve, no son precisamente Biblias lo que me falta.

Al cabo de un silencio me contestó: –No sólo vendo Biblias. Puedo mostrarle un libro sagrado que tal vez le interese. Lo adquirí en los confines de Bikanir.

Abrió la valija y lo dejó sobre la mesa. Era un volumen en octavo, encuadernado en tela. Sin duda había pasado por muchas manos. Lo examiné; su inusitado peso me sorprendió. En el lomo decía Holy Writ y abajo Bombay.

–Será del siglo XIX –observé.

–No sé. No lo he sabido nunca –fue la respuesta.

Lo abrí al azar. Los caracteres me eran extraños. Las páginas, que me parecieron gastadas y de pobre tipografía, estaban impresas a dos columnas a la manera de una Biblia. El texto era apretado y estaba ordenado en versículos. En el ángulo superior de las páginas había cifras arábigas. Me llamó la atención que la página par llevara el número (digamos) 40.514 y la impar, la siguiente, 999. La volví; el dorso estaba numerado con ocho cifras. Llevaba una pequeña ilustración, como es de uso en los diccionarios: un ancla dibujada a la pluma, como por la torpe mano de un niño.

Fue entonces que el desconocido me dijo: –Mírela bien. Ya no la verá nunca más.

Había una amenaza en la afirmación, pero no en la voz.

Me fijé en el lugar y cerré el volumen. Inmediatamente lo abrí. En vano busqué la figura del ancla, hoja tras hoja. Para ocultar mi desconcierto, le dije: –Se trata de una versión de la Escritura en alguna lengua indostánica, ¿no es verdad?

–No –me replicó.

Luego bajó la voz como para confiarme un secreto: –Lo adquirí en un pueblo de la llanura, a cambio de unas rupias y de la Biblia. Su poseedor no sabía leer.

Sospecho que en el Libro de los Libros vio un amuleto. Era de la casta más baja; la gente no podía pisar su sombra, sin contaminación. Me dijo que su libro se llamaba el Libro de Arena, porque ni el libro ni la arena tienen ni principio ni fin.

Me pidió que buscara la primera hoja.

158 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Apoyé la mano izquierda sobre la portada y abrí con el dedo pulgar casi pegado al índice. Todo fue inútil: siempre se interponían varias hojas entre la portada y la mano. Era como si brotaran del libro.

–Ahora busque el final.

También fracasé; apenas logré balbucear con una voz que no era la mía: –Esto no puede ser.

Siempre en voz baja el vendedor de biblias me dijo: –No puede ser, pero es. El número de páginas de este libro es exactamente infinito. Ninguna es la primera; ninguna, la última. No sé por qué están numeradas de ese modo arbitrario. Acaso para dar a entender que los términos de una serie infinita admiten cualquier número.

Después, como si pensara en voz alta: –Si el espacio es infinito estamos en cualquier punto del espacio. Si el tiempo es infinito estamos en cualquier punto del tiempo.

Sus consideraciones me irritaron. Le pregunté: –¿Usted es religioso, sin duda?

–Sí, soy presbiteriano. Mi conciencia está clara. Estoy seguro de no haber estafado al nativo cuando le di la Palabra del Señor a trueque de su libro diabólico.

Le aseguré que nada tenía que reprocharse, y le pregunté si estaba de paso por estas tierras. Me respondió que dentro de unos días pensaba regresar a su patria. Fue entonces cuando supe que era escocés, de las islas Orcadas. Le dije que a Escocia yo la quería personalmente por el amor de Stevenson y de Hume.

–Y de Robbie Burns –corrigió.

Mientras hablábamos yo seguía explorando el libro infinito. Con falsa indiferencia le pregunté: –¿Usted se propone ofrecer este curioso espécimen al Museo Británico?

–No. Se lo ofrezco a usted –me replicó, y fijó una suma elevada.

Le respondí, con toda verdad, que esa suma era inaccesible para mí y me quedé pensando. Al cabo de unos pocos minutos había urdido mi plan.

–Le propongo un canje –le dije–. Usted obtuvo este volumen por unas rupias y por la Escritura Sagrada; yo le ofrezco el monto de mi jubilación, que acabo de cobrar, y la Biblia de Wiclif en letra gótica. La heredé de mis padres.

–A black letter Wiclif! –murmuró.

159 Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

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Fui a mi dormitorio y le traje el dinero y el libro. Volvió las hojas y estudió la carátula con fervor de bibliófilo.

–Trato hecho –me dijo.

Me asombró que no regateara. Sólo después comprendería que había entrado en mi casa con la decisión de vender el libro. No contó los billetes, y los guardó.

Hablamos de la India, de las Orcadas y de los jarls noruegos que las rigieron. Era de noche cuando el hombre se fue. No he vuelto a verlo ni sé su nombre.

Pensé guardar El libro de arena en el hueco que había dejado el Wiclif, pero opté al fin por esconderlo detrás de unos volúmenes descabalados de Las mil y una noches.

Me acosté y no dormí. A las tres o cuatro de la mañana prendí la luz. Busqué el libro imposible, y volví las hojas. En una de ellas vi grabada una máscara. El ángulo llevaba una cifra, ya no sé cuál, elevada a la novena potencia.

No mostré a nadie mi tesoro. A la dicha de poseerlo se agregó el temor de que lo robaran, y después el recelo de que no fuera verdaderamente infinito. Esas dos inquietudes agravaron mi ya vieja misantropía.

Me quedaban unos amigos; dejé de verlos. Prisionero del Libro, casi no me asomaba a la calle. Examiné con una lupa el gastado lomo y las tapas, y rechacé la posibilidad de algún artificio. Comprobé que las pequeñas ilustraciones distaban dos mil páginas una de otra. Las fui anotando en una libreta alfabética, que no tardé en llenar. Nunca se repitieron. De noche, en los escasos intervalos que me concedía el insomnio, soñaba con el libro.

Declinaba el verano, y comprendí que el libro era monstruoso. De nada me sirvió considerar que no menos monstruoso era yo, que lo percibía con ojos y lo palpaba con diez dedos con uñas. Sentí que era un objeto de pesadilla, una cosa obscena que infamaba y corrompía la realidad.

Pensé en el fuego, pero temí que la combustión de un libro infinito fuera parejamente infinita y sofocara de humo al planeta.

Recordé haber leído que el mejor lugar para ocultar una hoja es un bosque. Antes de jubilarme trabajaba en la Biblioteca Nacional, que guarda novecientos mil libros; sé que a mano derecha del vestíbulo una escalera curva se hunde en el sótano, donde están los periódicos y los mapas. Aproveché un descuido de los empleados para perder el Libro de Arena en uno de los húmedos anaqueles. Traté de no fijarme a qué altura ni a qué distancia de la puerta.

Siento un poco de alivio, pero no quiero ni pasar por la calle México.

Bartle, Robert G. y Sherbert, Donald R. Introducción al análisis matemático de una variable

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Consideraciones específicas de la unidad Empieza a trabajar la evidencia de la unidad desde el principio, de acuerdo a cada tema que vayas viendo.

Si revisas la evidencia, es larga, por eso, conviene que la vayas trabajando parte por parte y se la envíes al facilitador para su revisión.

Recuerda trabajar tus lecturas y los ejercicios sugeridos, ya que serán necesarios para las actividades.

Y si deseas acercarte más a la heurística y la resolución de problemas, lee el libro Cómo plantear y resolver problemas, de George Polya. Lo puedes encontrar en la Editorial Trillas (México, 2005).

Fuentes de consulta 

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Es la primera vez que utiliza la palabra basis (base) en los Elementos. Proclo explica que se refiere al lado que está al mismo nivel que la vista, o al tercer lado cuando se han mencionado ya los otros dos. No es una explicación satisfactoria, porque el término aparece también en contextos donde dicho significado no tendría sentido y se aplica también a la base de los paralelogramos. El uso del término debe provenir más bien de la práctica de trazar el lado en cuestión horizontalmente y el resto de la figura sobre él. Se hablaba de la base de una figura en el mismo sentido que la de la base de cualquier otra cosa. Por ejemplo, el pedestal de una columna. ii Euclides emplea con frecuencia braquilogías para referirse a los ángulos. La expresión más frecuente es hé hypò seguido de las tres letras que definen las rectas que comprenden el ángulo; por ej. hé hypò BAΓ. La expresión más completa sería hé hypò sòn BA, AΓ periekhoméné gonía («el ángulo comprendido por las rectas BA, AΓ»). Otra expresión utilizada con frecuencia es hé pròs tói seguido de la letra del vértice. Por ejemplo, hé pròs tó A «el ángulo correspondiente a A». iii Heiberg interpreta el texto traducido entre corchetes considerándolo una interpolación temprana. El texto de Al-Nayrizi no da las palabras en este lugar sino después de la cláusula que marca la conclusión ∙Q | D∙, señal de que se trata de un escolio.

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