ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Φυσικός = Natural Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται διεθνώς με το ℕ. ○ Κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο και ένα προηγούμενο φυσικό αριθμό, εκτός από το 0 που έχει μόνο επόμενο, το 1. Aν ν είναι ένας τυχαίος φυσικός αριθμός ο επόμενος του προκύπτει προσθέτοντας 1. Οπότε ο επόμενος φυσικός του ν είναι ο ν + 1 . Και αν ο φυσικός αριθμός ν δεν είναι το 0 τότε ο προηγούμενός του προκύπτει αφαιρώντας 1. Οπότε ο προηγούμενος φυσικός του ν είναι ο ν - 1 . ➯Για τη γραφή όλων των φυσικών αριθμών υπάρχουν δέκα ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Το ίδιο ψηφίο, ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό, δηλώνει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λ.π. Άσκηση: Να γραφεί με ψηφία ο αριθμός επτά εκατομμύρια δεκαπέντε χιλιάδες εννιακόσια δύο . Να γράψετε την τάξη κάθε ψηφίου του αριθμού αυτού. Οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τους άρτιους ή ζυγούς και τους περιττούς ή μονούς. ● Άρτιοι λέγονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται με το 2και ● Περιττοίεκείνοι που δεν διαιρούνται με το 2 . Άρτιοι λοιπόν είναι οι φυσικοί που είναι πολλαπλάσια του 2, ενώ περιττοί Kίντριλης Μανόλης - 7ο Γυμνάσιο Χανίων
είναι όσοι δεν είναι πολλαπλάσια του 2. Άρτιος = 2·κ , όπου κ είναι κάποιος φυσικός αριθμός. Περιττός = 2·κ + 1, όπου κ είναι κάποιος φυσικός αριθμός. Άρτιοι : 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,...... Περιττοί: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,....... Oι άρτιοι φυσικοί αριθμοί τελειώνουν σε 0, 2, 4, 6 ή 8 Οι περιττοί φυσικοί αριθμοί τελειώνουν σε 1, 3, 5, 7 ή 9.
● Σύγκριση και Διάταξη φυσικών αριθμών Δύο φυσικοί αριθμοί μπορούν πάντα να συγκριθούν μεταξύ τους Το αποτέλεσμα της σύγκρισης εκφράζεται με τα σύμβολα < , > π.χ. 312 < 325 σημαίνει ότι το 312 είναι μικρότερο από το 325
,
=.
87 > 73
σημαίνει ότι το 87 είναι μεγαλύτερο από το 73 ( βέβαια αυτό σημαίνει και ότι το 73 είναι μικρότερο από το 87)
α = 23
σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι ίσος με 23
α > 17
σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος του 17
α < 23
σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι μικρότερος του 23
17 < α < 23 α≤ 5 α≥4
σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος από 17 και μικρότερος από 23 σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι μικρότερος ή ίσος του 5 σημαίνει ότι ο αριθμός α είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 4
Αν λοιπόν ο αριθμός α είναι φυσικός και 17 < α ≤ 23 σημαίνει ότι ο α μπορεί να είναι 18, 19 , 20 , 21 , 22 , 23.(Δεν μπορεί να είναι 17 αλλά μπορεί να είναι 23) Kίντριλης Μανόλης - 7ο Γυμνάσιο Χανίων
Άσκηση: Έστω α = 87. Ποιες απ’ τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές και ποιες λάθος. α) α > 72 Σ Λ β) α + 23 < 100 Σ Λ γ) 100 > α + 23 Σ Λ δ) α + 23 = 110 Σ Λ ε) α + 2346 > 2346 Σ Λ στ) 35 < α + 3 Σ Λ ζ) 80 = α - 7 Σ Λ
Διατάσσω τους φυσικούς αριθμούς 12, 32, 27, 403, 29, 304, 34, 43 σε αύξουσα σειρά μεγέθουςσημαίνει τους γράφω από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο 12 < 27 < 29 < 32 < 34 < 43 < 304 < 403 Διατάσσω τους ίδιους φυσικούς αριθμούς σε φθίνουσα σειρά μεγέθους σημαίνει να τους γράψω από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο 403 > 304 > 43 > 34 > 32 > 29 > 27 > 12. ΠΡΟΣΟΧΗ Οι σχέσεις 18 < α > 20 , 20 > α < 12 , 12 < 16 > 15 είναι λάθος γραμμένες . Αντί 18 < α > 20 θα ήταν πιο σωστό 18 < 20 < α που τελικά σημαίνει ότι ο άγνωστος α είναι μεγαλύτερος από 20 α > 20 Αντί 20 > α < 12 θα ήταν πιο σωστό α < 12 < 20 που τελικά σημαίνει α < 12 Αντί 12 < 16 > 15 γράφουμε 12 < 15 < 16
Άσκηση: Ποιες απ’ τις παρακάτω σχέσεις δηλώνουν ότι ο αριθμός x είναι μεγαλύτερος του 7 και μικρότερος του 12; α) x > 7 < 12 β) 7 > x >12 γ) 7 < x < 12 δ) 12 > x > 7 ε) 7< x > 12 στ) 7 > x < 12 Kίντριλης Μανόλης - 7ο Γυμνάσιο Χανίων
∎ Άξονας φυσικών αριθμών Η δυνατότητα αυτή, της διάταξης των φυσικών αριθμών, επιτρέπει να τους τοποθετήσουμε πάνω σε μια ευθεία γραμμή με τον παρακάτω τρόπο: Διαλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο Οτης ευθείας, που το λέμε αρχή , για να παραστήσουμε τον αριθμό 0. Μετά δεξιά από το σημείο Οδιαλέγουμε ένα άλλο σημείο Α , που παριστάνει τον αριθμό 1 . Τότε, με μονάδα μέτρησης το ΟΑ , βρίσκουμε τα σημεία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5, … Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, … λέγονταιτετμημένες των σημείων Ο, Α, Β, Γ,... Άξονας και διάταξη
Στρογγυλοποίηση Πολλές φορές αντικαθιστούμε ένα φυσικό αριθμό με μια προσέγγισή του, δηλαδή κάποιο άλλο λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερό του. Τη διαδικασία αυτή την ονομάζουμε στρογγυλοποίηση . Για να στρογγυλοποιήσουμε ένα φυσικό αριθμό: ① Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση ② Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης. Αν αυτό είναι μικρότερο του 5(δηλαδή 0, 1, 2, 3 ή 4), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεωνμηδενίζοντα ι. Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5(δηλαδή 5, 6, 7, 8 ή 9), το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων αντικαθίστανται με μηδενικά και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1.
Kίντριλης Μανόλης - 7ο Γυμνάσιο Χανίων
Παράδειγμα: Nα στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 9573842 στις εκατοντάδες. ① Τάξη στρογγυλοποίησης εκατοντάδες Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι το 8 9573⑧42 ② Η αμέσως μικρότερη τάξη είναι οι δεκάδες και το ψηφίο που ελέγχουμε αν είναι μικρότερο του 5 ή όχι είναι το ψηφίο των δεκάδων δηλαδή το αμέσως δεξιά του ⑧ 9573⑧4 2 Είναι 4 δηλαδή μικρότερο του 5, οπότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης μένει όπως είναι ⑧ και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων, δηλαδή όλα τα ψηφία δεξιά του ⑧ τα αντικαθιστούμε με μηδενικά . Τελικά ο αριθμός στρογγυλοποιημένος στις εκατοντάδες είναι 9573800.
Παράδειγμα: Nα στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός 9573842 στις χιλιάδες. ① Τάξη στρογγυλοποίησης χιλιάδες Το ψηφίο των χιλιάδων είναι το 3 957③842 ② Η αμέσως μικρότερη τάξη είναι οι εκατοντάδες και το ψηφίο που ελέγχουμε αν είναι μικρότερο του 5 ή όχι είναι το ψηφίο των εκατοντάδων δηλαδή το αμέσως δεξιά του ③ 957 ③8 42 Είναι 8οπότε το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης από ③ αυξάνεται σε ④ και όλα τα επόμενα ψηφία που δηλώνουν μικρότερες τάξεις αντικαθίστανται με μηδενικά Τελικά ο αριθμός στρογγυλοποιημένος στις χιλιάδες είναι 9574000.
Kίντριλης Μανόλης - 7ο Γυμνάσιο Χανίων