Ecuaciones de primer grado
Contenidos de desarrollo
Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Expresiones algébricas Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación Igualdades y ecuaciones Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Resolución de ecuaciones. Regla del producto Problemas: técnicas y estrategias con ecuaciones
Ecuaciones de primer grado
1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico
El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros
Ancho
Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol.
Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son:
El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.
x
Largo
2x + 10
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Lenguaje ordinario
2. El lenguaje algebraico: algunos ejemplos
Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 2
a + 2 (Hemos llamado a al número)
Un número disminuido en 5
c – 5 (Llamamos c al número) x
Perímetro del cuadrado de lado x
4x
El cuadrado de un número
x2
El cuadrado de un número menos el mismo número El número natural siguiente al número n Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía:
x
x x
x2 – x n+1 x + 12 13 – x
Al-Khuwrizmi
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3. Expresiones algebraicas
Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: b ·h Área de un rectángulo: a · b Área del triángulo: 2 h
b
b (t = tiempo en horas) a La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones:
1 · x2 · y1
x2 · y1 x2 · y
1. El factor 1 no se escribe. 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 5 · a · b · c3 3. El signo de multiplicación no suele ponerse.
x2 y 5abc3
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4. Valor numérico de una expresión algebraica
Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2. Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:
x
x2 x
A = x2 = 42 = 16
16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4. Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6
para x = 2, es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 para x = 10, es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4
2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a2 + b2 para a = 4 y b = 10 es: 5 · 42 + 102 = 5 · 16 + 100 = 180
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5. Suma y resta de expresiones algebraicas
Dos segmentos miden 5x y 3x, respectivamente. x
x
x 5x
x
x
x
x 3x
x
¿Cómo podríamos expresar su longitud total? Suma:
Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: x
x
x 5x
x
x
x
x 3x
x
5x + 3x = 8x
¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? x
x
2x Observación:
5x
x
x 3x
x
Resta: 5x – 3x = 2x
Para que dos expresiones puedan sumarse o No se pueden2 sumar 2x + x restarse es necesario que sean semejantes. Se deja indicado
Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes.
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6. Igualdades y ecuaciones
La balanza está equilibrada. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). Toda igualdad tiene dos miembros. El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha.
10 + 2 = 4 + 8 1er miembro
2º miembro
Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1.
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7. Ecuaciones
La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo. A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x. Tendremos la igualdad: x + 100 = 350
x
Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita, porque su valor es desconocido. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Para practicar Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades: a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21 El signo “por”, ×, x = 4, pues: 4 +3=7
y = 6, pues: 6–2=4
x = 7, pues: 7 · 3 = 21
se sustituye por un punto: “·”
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8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14 Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de menos es que la llamemos x, y o t). Son ecuaciones de primer grado con una incógnita. Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1. Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer grado con una incógnita: x
2
x+2=5
5
x x x
x
8
x+x+x=x+8 3·x=x+8
No son de primer grado las ecuaciones: x2 = 9 6 · t2 + 2 · t + 2 = 0
x 4
x x x x1
x+4=x+x+x+x+1 x+4=4·x+1 2 · x3 = 250
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9. Solución de una ecuación
¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.? Platillo izquierdo: x + 100 Platillo derecho: 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación:
x + 100 = 500 + 200
La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700
El valor x = 600 es la solución de la ecuación. La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.
Ejemplo pues
La solución de la ecuación 2x – 2 = x + 12 es x = 14 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26
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10. Ecuaciones equivalentes
La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3: Sustituyendo:
a) 4 + 4x = 25 – 3x b) 7x + 4 = 25
4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro
Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: Ecuación dada: 2ª ecuación:
8x = 16
Su solución es x = 2. (¿Es cierto?)
Le sumamos 2 a cada miembro
2 + 8x = 2 + 16
2 + 8x = 18
Restamos 6x a cada miembro
3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x
2 + 2x = 18 – 6x
Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones.
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Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas.
11. Resolución de ecuaciones. Regla de la suma
Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.
x + 5 = 10 + 5 Luego:
x = 10 Regla de la suma
Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Primero. Segundo.
Para resolver la ecuación Restamos 8: Restamos x:
2x + 8 = x + 25 + 8 2x = x + 25 x = 25 La solución es x = 25
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12. Resolución de ecuaciones. Regla del producto
Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:
4x = 20
Hemos dividido por 4
Luego:
x=5 Regla del producto
Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Ejemplo: Primero. Segundo. Tercero.
Para resolver la ecuación Restamos 3: Restamos 2x: Dividimos por 2
4x + 3 = 2x + 9 4x = 2x + 6 2x = 6 x =3 La solución es x = 3
–3 –2x :2
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13. Aplicación de las reglas. Ejemplos
La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas. Practiquemos con dos ejemplos: Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x Sumamos 3: Restamos 2x: Dividimos entre 3:
Ejemplo 2. Multiplicamos por 9: Dividimos entre 2: Comprobamos:
5x = 2x + 3 3x = 3 x=1
Nota: El signo de la multiplicación no suele ponerse ni entre las letras ni entre números y letras. 5·x 5x
2x =4 Resuelve la ecuación: 9 2x 9· = 9 ·4 9 2 ·18 36 = =4 9 9
2x = 36 x = 18
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14. Resolución de ecuaciones (I)
Ecuaciones con paréntesis Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15 Para resolverla se siguen los siguientes pasos: 10x – 25 = 15 Suprimir el paréntesis: Sumamos 25: 10x = 40 Dividimos entre 10:
x=4
Para resolver ecuaciones: 1.º Suprime los paréntesis. 2.º Aplica la regla de la suma. 3.º Aplica la regla del producto. Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1) 14x – 7 = 12x + 3 Suprimir el paréntesis: Sumamos 7: 14x = 12x + 10 Restamos 12x: 2x = 10 Dividimos entre 2: x=5
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Ejercicio 1
Ecuación con paréntesis:
15. Resolución de ecuaciones (II)
3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x
1º. Quitar paréntesis: 2º. Operar 5x – 4x: 3º. Restar x 4º. Sumar 21 5º. Dividir por 2
Ejercicio 2
Ecuación con denominadores:
1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 2º. Restar 30: 3º. Operar 3x – 2x
3x – 21 = 5x – 5 – 4x 3x – 21 = x – 5 2x – 21 = – 5 2x = 16 x=8
x 5 x + − =5 4 2 6 3x + 30 – 2x = 60 3x – 2x = 30 x = 30
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16. Técnicas y estrategias
PROBLEMA
Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana? INCÓGNITA
Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x Lenguaje algebraico
DATOS
Actualidad Dentro de x años ECUACIÓN
Edad de Iván Edad de Rocío Edad de Iván Edad de Rocío
La edad de Iván es doble que la de Rocío:
12 2 12 + x 2+x 12 + x = 2(2 + x)
12 + x = 4 + 2x Paréntesis: 12 = 4 + x Restar x: 8=x Restar 4: Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
COMPROBACIÓN
Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años.
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17. Resolución de problemas (I)
Problema: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Primero:
Interpretación del enunciado
Lenguaje algebraico
x 39
Edad de Jorge La madre de Jorge tiene 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge Segundo:
3x – 6
Plantear la ecuación
Son iguales 3x – 6 = 39
Tercero:
Resolución de la ecuación
3x = 45 x = 15
Sumar 6 Dividir por 3 Cuarto:
Jorge tiene 15 años
Comprobación.
3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39
Correcto
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18. Resolución de problemas (II)
PROBLEMA
El largo de un campo de fútbol es el doble que su ancho. Para cercarlo se han necesitado 270 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del campo? LEE Y COMPRENDE EL ENUNCIADO
El largo del campo es doble que el ancho El perímetro del campo es 270 m. ELIGE UNA ESTRATEGIA
Hacemos un dibujo para representar la situación. 2x
Indicamos el ancho así: x El largo será: 2x La suma de los cuatro lados, el perímetro, será: x + 2x + x + 2x = 270 m RESUELVE EL PROBLEMA
Hay que calcular el largo y el ancho.
x
x x
x
Hay que resolver la ecuación: x + 2x + x + 2x = 270 m Sumamos las x: 6x = 270 Dividimos por 6: x = 45 2x = 90 Las dimensiones del campo de fútbol son: 90 m de largo y 45 m de ancho. Comprueba que el resultado es correcto.