MATEMÁTICA Unidad 4
Resolvamos desigualdades Interpretemos la variabilidad de la información
Objetivos de la Unidad: Propondrás soluciones a problemas relacionados con desigualdades lineales y cuadráticas; y representarás los intervalos en la recta real. Aplicarás medidas de dispersión – desviaciones medias, varianzas y desviaciones típicas- a conjuntos de datos extraídos de la vida cotidiana, para interpretar críticamente la información.
55
Medidas de dispersión
Desigualdades conocimiento - apoyo
Intervalos
uso
distinción mediante
Amplitud Cuadráticas
Lineales
Desviación media
Clasificación Gráficos Operaciones a través de
mediante
Fórmulas Cálculos Aplicaciones Utilidad
Propiedades Solución Gráficas
Descripción del proyecto Analizar a través de la amplitud, la desviación media y la varianza; la variabilidad en dos o más conjuntos de observaciones. Por ejemplo, en un grupo de estudiantes de primero de bachillerato, ¿En cuál variable se esperaría mayor variabilidad: en el peso de los estudiantes o en su edad? ¿En cuál materia hay mayor dispersión de las notas: en Matemática o en Sociales?
56 Matemática - Primer Año
Varianza
Cuarta Unidad
Lección 1
Conozcamos los intervalos de números reales Motivación
L
a presión sanguínea está dada por dos números en unidades de presión (mm de Hg). Uno de ellos corresponde a la presión más alta cuando el corazón está bombeando sangre (presión sistólica Ps) y el otro, a la presión más baja cuando el corazón está relajado(presión diastólica Pd). ¿Sabes como se mide la presión sanguínea? ¿Según los datos brindados al medir la presión, sabes cuándo estás en riesgo? Si Ps es menor que 120 y Pd es menor que 80, ¡estás excelente¡ ¡normal¡ Si Ps se encuentra entre 120 – 140, y Pd entre 80 – 90, ¡cuidado¡ puedes estar padeciendo hipertensión arterial. Indicadores de logro Clasificarás y graficarás con seguridad los intervalos de números reales: cerrados, abiertos, semiabiertos; de longitud finita o infinita. Aplicarás la unión, intersección y diferencia de intervalos, con interés, en la solución de ejercicios y problemas.
Resolverás con interés problemas utilizando la unión, la intersección y resta de los intervalos.
Los intervalos en la vida diaria La vida diaria nos muestra ejemplos a cada momento sobre variables cuya interpretación se comprende mejor en forma de intervalo. Por ejemplo, el INSAFORP (Instituto Salvadoreño de Formación Profesional) ofrece algunos de sus cursos de formación, a jóvenes cuyas edades se encuentren en el intervalo de edad comprendido entre los 18 y los 25 años. La edad 18 es el límite inferior del intervalo y 25 años es el límite superior. En realidad, tu ya has trabajado con intervalos. Si recuerdas cómo hacías en la estadística descriptiva para analizar una variable cuantitativa continua, advertirás que las clases en el cuadro de distribución de clases y frecuencias son precisamente intervalos de números reales.
Primer Año - Matemática 57
UNIDAD 4 El cuadro corresponde a la estatura en metros de un grupo de estudiantes. 1.70 mts, que tiene 13 La clase 1.60 mts estudiantes, es en realidad un intervalo de números reales. El límite inferior es 1.60 y la estatura 1.70 es su límite superior.
Talla ( m ) 1.40 - < 1.50 1.50 - < 1.60 1.60 - < 1.70 1.70 - < 1.80 1.80 - < 1.90 1.90 - < 2.00
Frecuencia 2 2 13 28 10 4
1.4 - < 1.5 Se lee así: de 1.4 a menos de 1.5 ¿Crees que puedes señalar otros ejemplos? Considera la siguiente actividad.
1
Actividad
Escribe un valor límite inferior y un valor límite superior, que consideres muy razonables, en cada una de las siguientes situaciones: a)
Temperatura en grados centígrados en la playa, durante la semana santa: b) Precipitación en mm durante un mes de julio en tu ciudad natal: c) Velocidad en km/h, a que deben correr los vehículos dentro de la ciudad: d) Peso en libras de un niño salvadoreño recién nacido:
Tipos de intervalos de números reales Los intervalos son conjuntos de números reales que cumplen una cierta condición. La condición viene impuesta por los límites del intervalo. Si en la ciudad, la velocidad a que deben transitar los vehículos es de 30 km/h como límite inferior y 60 km/h como límite superior, decimos que el intervalo de velocidad para no tener problemas con la policía de tránsito es entre 30 y 60 km/h. En matemática utilizamos un lenguaje más preciso para denotar los intervalos: Sea x: velocidad en km/h a que deben andar los vehículos dentro de la ciudad.
58 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 Entonces, 30 ≤ x ≤ 60 es el intervalo de velocidad aceptado. Emplearás las relaciones de orden de los números reales para denotar los intervalos. Simbolos < ≤ > ≥
Significado Menor que
Uso x < 5: x es menor que 5, todos los menores que 5 sin incluir a 5 Menor o igual que x ≤ 8: x es menor o igual que 8, todos los menores que 8 incluyendo a 8 Mayor que x > 3: x es mayor que 3, todos los mayores que 3 sin incluir a 3 Mayor o igual que x ≥ – 2: x es mayor o igual que – 2, todos los mayores que – 2 incluyendo a – 2
Notación y clasificación La notación usual emplea los corchetes [ ] para simbolizar los conjuntos de números reales, es decir los intervalos. Al interior de los corchetes se colocan los límites del intervalo, el primero es el límite inferior y el segundo es el límite superior. El corchete [ es de apertura y el corchete ] es de cierre. Hay cuatro combinaciones que se pueden hacer con ellos y eso determina la pertenencia o no de los límites dentro del intervalo: [ m, n ]: Los dos límites pertenecen al intervalo. (Intervalo cerrado – cerrado) [ m, n [: El límite superior n, no pertenece al intervalo. (Intervalo cerrado – abierto) ] m, n ]: El límite inferior m, no pertenece al intervalo. (Intervalo abierto – cerrado) ] m, n [: Ninguno de los límites pertenece al intervalo. (Intervalo abierto – abierto)
El siguiente resumen clasificatorio te servirá de guía para aclarar las cosas. Considera que x representa cualquier número real dentro de los intervalos ( x ∈ R ). Conjunto { x ∈ R/2 ≤ x ≤ 7 }
Intervalo [ 2, 7 ]
Clasificación – Comentario Intervalo cerrado. Incluye los límites
{ x ∈ R/2 < x ≤ 7 }
] 2, 7 ]
{ x ∈ R/2 ≤ x < 7 }
[ 2, 7 [
{ x ∈ R/2 < x < 7 }
] 2, 7 [
Intervalo semi-abierto. Abierto por la izquierda No incluye el 2 Intervalo semi-abierto. Abierto por la derecha. No incluye el 7 Intervalo abierto. No incluye los límites
Primer Año - Matemática 59
UNIDAD 4 Ejemplo 1
Ejemplo 2
Escribe en notación de intervalo los siguientes conjuntos numéricos.
Para determinar la longitud de cualquier intervalo cuyos límites son números reales solo tienes que restar el límite inferior del límite superior y tomar el valor positivo de la diferencia.
a) { x
∈ R/–1 < x ≤ 4 }
b)
{ x ∈ R/0 < x < 5 }
c)
{ x ∈ R/–8 ≤ x ≤ –1 }
Solución: a) ] –1, 4 ] tiene longitud L = 4 – ( –1 ) = 4 + 1 = 5 b) ] 0 , 5 [ tiene longitud L = 5 – 0 = 5 c) ] –1, -4 ] tiene longitud L = -4 – ( –1 ) = –4 + 1 = –3;
Solución: La solución es muy simple: a) ] –1, 4 ]
b)
] 0, 5 [
c)
L=3
[ –8, –1 ]
Nota que el menor número real es el límite inferior. Por ejemplo en el literal c) ya sabemos que –8 < –1; por lo tanto sería erróneo escribir [ –1, – 8 ] ya que se contradice el orden de los números reales.
Intervalos de longitud finita e infinita Un intervalo de edad en años tal como el de los cursos de INSAFORP: [ 18, 25 ] tiene una longitud de ( 25 – 18 ) = 7 años. El intervalo de velocidad en km/h a que deben andar los vehículos en la ciudad: [ 30, 60 ] tiene por longitud ( 60 – 30 ) = 30 km/h. Debido que al graficarlo el resultado es de longitud de un número real, decimos que esos intervalos son de longitud finita.
Todos son intervalos de longitud finita.
2
Actividad
Calcula la longitud L de los siguientes conjuntos numéricos e intervalos. [ –3, 6 [
c)
[ –4, 0 ]
b) { x ∈ R/–5 < x ≤ –1 }
d)
{ x ∈ R/2 < x ≤ 7/2 }
a)
¿Cómo expresarías en notación de intervalo los siguientes conjuntos numéricos? A = { x ∈ R/x ≤ 4 } y B = { x ∈ R/x > 1 } Solo tienes un pequeño problema, ¿no es cierto?¿Cuál es el menor número que es menor o igual que 4?, ¿cuál es el mayor número que es mayor que 1?. Lo que hace la matemática para salvar este lío, es definir dos símbolos para esos dos números desconocidos: –∞ ( infinito negativo o, menos infinito ) y +∞ ( infinito positivo o, más infinito ). Utilizando estos símbolos para los intervalos se tiene:
De manera general, si tu consideras que las letras a y b denotan números reales con a < b, entonces los intervalos reales: [ a, b ], ] a, b ], [ a, b [ y ] a, b [ son llamados intervalos de longitud finita o finitos. Los intervalos del ejemplo 1: ] –1, 4 ], ] 0, 5 [, [ –8, –1 ] se clasifican como tales.
60 Matemática - Primer Año
A = { x ∈ R/x ≤ 4 } = ] –∞, 4 ] B = { x ∈ R/x > 1 } = ] 1, +∞ [ Observa que el intervalo queda abierto en el límite donde se utiliza el símbolo. En B el intervalo queda abierto a la izquierda, porque el 1 no pertenece al intervalo
UNIDAD 4 Este tipo de intervalos en los cuales uno de sus límites no es un número real se llaman intervalos de longitud infinita o infinitos. El intervalo ] –∞, +∞ [ equivale al conjunto R de todos los números reales.
3
Actividad Abierto por la izquierda
Clasifica los siguientes intervalos como abiertos, cerrados, abiertos por la derecha, abiertos por la izquierda y en atención a si son finitos o infinitos.
Finito
] 2, 7 ] b) [ –3, 6 [ c) [ 1, +∞ [ d) ] –∞, 4[ e) [ –8, 9 ] a)
Gráficas de intervalos Se elaboran trasladando los límites del intervalo a sus correspondientes puntos en la recta real. El segmento de recta entre los límites constituye la gráfica del intervalo. Por ejemplo:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
+∞
[-3,1] -4
-3
-2
-1
[-2, +∞[
+∞
Ejemplo 3: Las gráficas de los intervalos a) ] –2, 4 ] b) ] 3, 8 [ c) ] –∞, 2 ] quedan así: -∞
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
+∞
]-2,4] -∞
-2
-1
0
1
2
3
+∞
]3,8[ -∞
-2
-1
0
1
2
3
+∞
]-∞,2]
Primer Año - Matemática 61
UNIDAD 4
4
Actividad
Grafica en la recta real los siguientes conjuntos numéricos. a)
{ x ∈ R/x ≥ –1 }
b)
{ x ∈ R/–2 < x ≤ 4 }
c)
{ x ∈ R/x ≥ 0 }
d)
] –∞, –2 ]
e)
{ x ∈R/–4 < x < 3 }
Operaciones con intervalos Ya sabes que los intervalos son conjuntos de números reales, por lo tanto las operaciones usuales con conjuntos: unión, intersección, diferencia de conjuntos, se pueden realizar con los intervalos. Por ejemplo, si tenemos los intervalos M = [ 1, 5 [ y N = [ 5, 8 ], puedes concluir que si reunimos M con N obtenemos el intervalo [ 1, 8 ]. De la misma manera podemos observar que M y N no tienen números comunes, ya que el número 5 se encuentra en N pero no está en M, por lo tanto podemos decir que su intersección es vacía: Ø. Formalicemos las operaciones de la siguiente manera: Si A y B son dos intervalos de números reales, tenemos las siguientes operaciones: A ∪ B: Unión de A con B. Contiene todos los números de A más todos los números de B. A ∪ B = { x ∈ R/x ∈ A ó x ∈ B} A ∩ B: Intersección de A con B. Contiene todos los números que son comunes a A y a B. A ∩ B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∈ B} A : Complemento de A. Contiene los números que no se encuentran en A. A I = { x ∈ R/x ∉ A } I
A – B: Diferencia A menos B. Contiene los números que están en A, pero que no se encuentran en B. A – B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∉ B} Los siguientes ejemplos te servirán para aclarar las cosas. Verás que no es complicado.
62 Matemática - Primer Año
Ejemplo 4 Dados los intervalos A = ] –∞, 8 ], B = [ 3, 10 ], C = [ 0, +∞ [ , halla: a) A I b) A c)A
∪B ∩B
d) A – B e) ( A
∪ B) ∩ C
Solución: a) Los números que no están en A, son los mayores que
8. A I = ] 8, +∞ [
b) A gregando al intervalo A, los números de B se tiene:
A ∪ B = ] –∞, 10 [
c) El intervalo A tiene los números desde 3 hasta 8, que
también los tiene B. A ∩ B = [ 3, 8 ].
d) Quitando de intervalo A los números que son de B,
obtenemos: A – B = ] –∞ , 3 [
UNIDAD 4 ∪ B ya se calculó en el literal b) y tienen en común con C, los números que van desde cero a menos de 10. ( A ∪ B ) ∩ C = [ 0, 10 [
e) El intervalo A
-4
-∞
-4
-2
-2
0
0
2
2
4
4
6
6
8
8
+∞
10
Ejemplo 5 Para los intervalos A = ] 3, 5 ], B = ] 0, +∞ [ se tiene: a)
AI =] –∞, 3 ] ∪ ] 5, +∞ [
b)
A ∪ B = ] –3, +∞ [
c)
A ∩ B = ] 0, 5 ]
d)
B – A = ] 0, 3 ] U ]5, +∞ [
5
Actividad -∞
-3
0
-∞
3
8
+∞
0
3
+∞
Escribe cada uno de los resultados del ejemplo 5 en notación de conjuntos y elabora su respectivo gráfico en la recta real. Notación
Gráfico
a) b) -∞
-4
-2
0
2
4
6
8
10
c) d)
Resumen En esta lección has aprendido la notación de intervalos para los conjuntos de números reales y, a representarlos en la recta real. Has aprendido también a clasificarlos: según sus límites en intervalos abiertos, semiabiertos y cerrados; y de acuerdo a su longitud, en intervalos finitos o infinitos. Finalmente has desarrollado ejercicios para manipular los intervalos mediante las operaciones de unión, intersección y diferencia de intervalos. El siguiente resumen te puede ser muy útil. Considera a y b números reales con a < b. Intervalos
Operaciones
[ a, b ] = { x ∈ R/a ≤ x ≤ b }
A ∪ B = { x ∈ R/x ∈ A ó x ∈ B }
] a, b ] = { x ∈ R/a < x ≤ b }
A ∩ B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∈ B }
[ a, b [ = { x ∈ R/a ≤ x < b }
A I = { x ∈ R/x ∉ A }
] a, b[ = { x ∈ R/a < x < b }
A – B = { x ∈ R/x ∈ A y x ∉ B }
Primer Año - Matemática 63
UNIDAD 4
Autocomprobación El conjunto de números reales { x ∈ R/–5 < x ≤ 3 } se escribe en notación de intervalo como:
3
a)
[–5, 3 [ b) [–5, 3 ] c) ]–3, 5 ] d) ]–5, 3]
Respecto del intervalo real ] –∞, –4 ] se puede decir que es : a)
abierto a la derecha b) de longitud infinita c) finito d) cerrado a la izquierda
4
a)
] 3, 5 ] b) ] –3, 3 ] c) [ 5, 10 [ d) [ 3, 5 [
Si A = ] 3, 10 [ y B = ] –3, 5 ], entonces B – A es: a)
] 3, 5 ] b) ] –3, 3 ] c) [ –3, 5 ] d) [ 3, 5 [
2. b.
2
Si A = ] 3, 10 [ y B = ] –3, 5 ], entonces A ∩ B es:
1. d.
1
Soluciones
3. a.
4. b.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ¿Sabías qué? En todos los procesos de observación de nuestra vida diaria siempre estamos en presencia de variables reales y, en la práctica, estas variables sólo pueden tomar valores en determinados intervalos de longitud finita. La velocidad del viento, va desde la calma (0 km/h), hasta las velocidades destructivas de los huracanes con 350 km/h. Dos huracanes que han provocado más destrucción en Centro America fueron el Fifi (1975) y el Milton (1998) ¿Recuerdas algún otro huracán que haya provocado destrucción?
64 Matemática - Primer Año
Cuarta Unidad
Lección 2 Desigualdades lineales
Motivación
D
¿ ónde hay desigualdades? En el campo de los negocios tú puedes encontrar muchos ejemplos sobre estas entidades matemáticas llamadas desigualdades. Considera la siguiente situación: Roberto es un muchacho muy responsable que ha aceptado un trabajo de vendedor de pantalones, casa por casa. El dueño de la empresa que lo ha contratado le ha prometido que le pagará 8 dólares diarios por gastos de transporte y 2 dólares por cada pantalón que venda. Cada pantalón tiene un precio de 20 dólares. Roberto quiere tener al final del día, ingresos mínimos (es decir, dinero en su bolsa) de por lo menos 36 dólares. ¿Cuál es el número mínimo de pantalones que debe vender para lograr eso? Indicadores de logro Resolverás problemas, con seguridad, utilizando las desigualdades y sus propiedades. Resolverás con seguridad ejercicios y/o problemas utilizando desigualdades lineales en una variable.
Graficarás con orden y limpieza las desigualdades lineales en la recta real.
Se que tu ya pensaste una solución aritmética para la situación. Veamos:
La expresión algebraica: (2x + 8) constituye la expresión correspondiente al ingreso.
El ingreso mínimo que desea Roberto es de 36 dólares; este incluye por supuesto los 8 dólares de gastos de transporte. Por lo tanto la diferencia 36 – 8 = 28, es el ingreso por los pantalones vendidos. Si dividimos este resultado entre 2, que es lo que gana por cada pantalón vendido, obtenemos: 28/2 = 14, que es el número mínimo de pantalones que debe vender.
Esta, al ser igualada a 36, se convierte en la ecuación lineal: 2x + 8 = 36, cuya solución es, por supuesto, x = 14.
Organicemos ahora una solución algebraica. Aquí es muy importante definir una variable para la incógnita o incógnitas. Llamemos a x: “número de pantalones que vende Roberto en el día”
Para ganar “por lo menos 36 dólares”, Roberto debe vender 14 pantalones. La ecuación 2x + 8 = 36 la podemos convertir en una desigualdad, cambiando el signo = por el signo: ≥. Entonces: 2x + 8 ≥ 36 la cual llamamos desigualdad lineal. La solución de está ecuación es el conjunto de enteros: {14, 15, 16, 17,...} Si vende 15 pantalones ganaría: 2( 15 ) + 8 = 38 > 36 Si vende 16 pantalones ganaría: 2( 16 ) + 8 = 40 > 36, etc.
Primer Año - Matemática 65
UNIDAD 4 Se llama desigualdad lineal, fundamentalmente, porque la variable x que aparece en las expresiones algebraicas se encuentra elevada a la potencia uno. La forma general de una ecuación lineal se expresa: ax + b ≥ 0; con a y b que representan números reales, a≠0 Son ejemplos de ecuaciones lineales en su forma general las siguientes: Si la variable x pudiera tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales, entonces el conjunto solución de la desigualdad es el Intervalo: { x ∈ R/x ≥ 14 } = [ 14, +∞ [
Ejemplo 1 Si el dueño de la empresa contrata a nuestro amigo Roberto y éste desea ingresos diarios mayores que 306 dólares, ¿cuántos pantalones se deberían vender?
Si el símbolo de la desigualdad es > o < se dice que la desigualdad es estricta. 2x – 12 > 0; 5x + 3 ≥ 0, –4x + 8 < 0; 2x – 1 ≤ 0 2x – 12 > 0 es una desigualdad estricta en la variable x. 5y – 1 ≤ 0 es una desigualdad débil en la variable y. ¿Qué significa resolver una desigualdad.
La solución requiere la construcción de una desigualdad. ¿Qué piensas de esta? 18x > 306 Tiene sentido, ¿no te parece? Porque el dueño debe recibir 18 dólares por cada pantalón vendido. Si ahora divides entre 18 ambos lados de la desigualdad, obtienes el intervalo solución: x > 306/18 → x > 17. Se deben de vender más de 17 pantalones en el día.
Componentes de una desigualdad Una desigualdad está compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas mediante los signos de orden: < ,≤, >, ≥. Relación de orden
( 3x – 5 ) ≥ ( x + 7 )
Expresión algebraica
66 Matemática - Primer Año
En el ejemplo 1 hicimos una operación que decía: “si ahora divides entre 18 ambos lados de la desigualdad”, obtienes...en realidad esta es una operación que tu has empleado en la solución de ecuaciones, pero no hemos dicho que sea válida para resolver desigualdades (o inecuaciones como también se les da en llamar). Verás en la siguiente sección cuáles son las propiedades que podemos emplear para “resolver” una desigualdad. Diremos que un número real satisface una determinada desigualdad, si al ser sustituido en la variable, convierte a la desigualdad en una proposición verdadera, es decir en algo que es cierto.
UNIDAD 4 Por ejemplo, en la desigualdad 2x – 12 > 0, el número 7 la satisface, ya que 2( 7 ) – 12 = 2 > 0, que es una proposición verdadera. El número 4 sin embargo no la satisface, puesto que 2( 4 ) – 12 = –4 > 0, es una proposición falsa. Resolver una desigualdad significará para nosotros hallar el conjunto total de números reales que satisfacen esa desigualdad. Cuando dos desigualdades tienen la misma solución diremos que estas son desigualdades equivalentes.
Ejemplo 2 Comprueba si el conjunto numérico que acompaña a cada desigualdad se puede considerar conjunto solución de la misma. a) 3x – 15 < 0; b) 4x + 8 ≥ 0;
S = ] –∞, 5 [ S = [ –2, +∞ [
Solución: a) Es una desigualdad estricta. Debemos tomar números
menores que 5 para ver que sucede. Tomemos el número 4.99 y hagamos la sustitución: 3( 4.99 ) – 15 = –0.03 < 0 es una proposición verdadera. Lo mismo sucederá para cualquier otro número que sea menor que éste.
b) Es una desigualdad débil. El número –2 hace la igualdad a cero:
4( –2 ) + 8 = –8 + 8 = 0. Cualquier otro número mayor que – 2, dará por resultado valores mayores que cero.
Propiedades de las desigualdades Para operar con las desigualdades se emplean básicamente las mismas reglas que se utilizan con las ecuaciones para mantener la equivalencia (excepto por una que verás luego y que funciona de otra forma). Así: Se puede sumar o restar una misma cantidad a ambos lados de la igualdad (a ambos lados de la desigualdad y esta mantiene la equivalencia con la primera). x–8≥2 x –8 + 8 ≥ 2 + 8; se ha sumado 8 a ambos lados x ≥ 10; operando a ambos lados se ha obtenido la solución S = [ 10, +∞ [ Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad positiva a ambos lados de la igualdad (a ambos lados de la desigualdad y esta mantiene la equivalencia con la primera).
3x + 5 < 11 3x + 5 – 5 < 11 – 5; se resta – 5 a ambos lados para aislar a 3x. 3x < 6 3x 6 < ; Se divide entre 3 a ambos lados para dejar 3 3 sola la variable x x < 2; se llega a la última desigualdad equivalente; que resulta ser la solución. S = ] –∞, 2 [ es la solución de la desigualdad. Se puede multiplicar o dividir por una misma cantidad negativa a ambos lados de una desigualdad, siempre y cuando se invierta la relación de orden. Si la relación es < debe cambiarse por >; si la relación es ≥ debe cambiarse por ≤.
Primer Año - Matemática 67
UNIDAD 4 En los números reales la proposición: –2 < 5 es verdadera. Si la multiplicas por una cantidad negativa, por ejemplo –3, y no cambias la relación de orden, la proposición se vuelve falsa: nota ( –3 )( –2 ) < ( –3 )( 5 ) → 8 < –15 ¡falso! No debes olvidar esto. Es un error muy frecuente cuando se resuelven desigualdades. − 2x 8 − 2x < 8 → > → x > − 4 ; al dividir entre – 2, para aislar la variable, −2 −2 invertimos la relación de orden. La solución de la desigualdad es S = ] –4, +∞ [
1
Actividad
Utiliza las propiedades discutidas arriba para resolver las siguientes desigualdades: a)
5x + 4 > – 6 Resta – 4 a ambos lados y simplificar Divide a ambos lados entre 5
b)
Solución
1 − x − 5 ≥ − 11 2
Sumar 5 a ambos lados y simplificar Multiplicar por –2 a ambos lados c) 3x – 4 < 2 + x Sumar 4 a ambos lados Restar x a ambos lados Dividir entre , a ambos lados
68 Matemática - Primer Año
Solución
Solución:
UNIDAD 4 Ejemplo 3
Ejemplo 4
Resuelve las siguientes desigualdades: x a) − < 2 b) 2x + 9 < 8 – x 3
Resuelve las siguientes desigualdades: x 1 3x + 1 + ≥ a) b) 3 ≤ 2x + 5 ≤ 11 2 3 4
Solución:
x <2 3 Multiplicando por – 3 a ambos lados: x ( −3) > ( −3) 2 y simplificando tienes, 3 −3 x > − 6 S = ] –6, +∞ [ −3 a)
−
b) 2x + 9 < 8 – x
2x + 9 – 9 < 8 – x – 9 se resta 9 a ambos lados. 2x < – x – 1 2x + x < – x – 1+ x se suma x a ambos lados. 3x < – 1 1 1 x < − se divide entre 3 S = − ∞ , − 3 3
Solución:
x 1 3x + 1 + ≥ 2 3 4 Un paso inicial, y quizá el más recomendable para abordar esta desigualdad, consiste en multiplicarla por el mínimo común múltiplo de los denominadores. a)
¿Puedes decirme cuál es ese mínimo? 12 x 12 12 ( 3 x + 1) se ha multiplicado todo + ≥ 2 3 4 por 12, que es el m.c.m. Simplificando: 6x + 4 ≥ 3( 3x + 1 ) 6x + 4 ≥ 9x + 3 4 – 3 ≥ 9x – 6x una forma más rápida cuando ya se tiene alguna práctica, es la que se ha empleado en este paso. El término 6x de la izquierda se ha pasado a la derecha con el signo cambiado. El número +3 de la derecha se pasó a la izquierda como –3. 1 ≥ 3x 1 1 ≥ x La solución es S = −∞ , 3 3 b) 3 ≤ 2x + 5 ≤ 11
A este tipo de inecuación se le da en llamar inecuación simultánea. Esto significa que se debe de cumplir, al mismo tiempo, las desigualdades: 3 ≤ 2x + 5 pero también: 2x + 5 ≤ 11. Las reglas se aplican a toda la expresión de la misma manera. 3 – 5 ≤ 2x + 5 – 5 ≤ 11 – 5 –2 ≤ 2x ≤ 6 –1 ≤ x ≤ 3 se ha dividido todo entre 2. La solución es el intervalo cerrado S = [ –1, 3 ]
Primer Año - Matemática 69
UNIDAD 4 Grafiquemos desigualdades lineales Graficar una desigualdad lineal no es más que graficar en la recta real su conjunto solución. Se trata de graficar intervalos, algo que tú ya hiciste en la lección anterior.
Ejemplo 4 Resolver las siguientes desigualdades y graficar su solución: a) 2x – 3 ≥ –7
b) –1 ≤ x + 2 ≤ 3
Solución: a) 2x – 3 ≥ –7
2x ≥ –7 + 3 2x ≥ –4 x ≥ –2 -4
-3
-2
-1
0
1
2 +∞
-2
-1
0
1
2 +∞
b) –1 ≤ x + 2 ≤ 3
–1 – 2 ≤ x + 2 – 2 ≤ 3 – 2 –3 ≤ x ≤ 1 -4
2
-3
Actividad
Resuelve y grafica en la recta real las siguientes desigualdades: Solución 1 5 Resuelve: − 3 x ≤ 2 2
a) b)
Gráfica 0
Resuelve: −7 ≤ 2 x + 1 ≤ 19 0
Ejemplo 5 ¿Recuerdas a nuestro amigo Roberto al inicio de esta lección? Pues bien, Roberto ha conseguido un nuevo trabajo en el cual le van a pagar $250 al mes, más una comisión del 8% sobre sus ventas mensuales. ¿Qué ventas mensuales debería hacer Roberto para tener ingresos mensuales entre $350 y $ 420?
70 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 Solución: Digamos que y es la cantidad en dólares de las ventas mensuales de Roberto, entonces 250 + 0.08y es la expresión de sus ingresos mensuales ( recuerda que % significa por ciento y que 8% expresa 8 partes de 100, esto es 8/100 = 0.08 ). Queremos hallar el valor de y que cumple: 350 ≤ 250 + 0.08y ≤ 420 Resolviendo la inecuación tienes: 100 ≤ 0.08y ≤ 170
Restando 250 de la anterior.
100/0.08 ≤ y ≤ 170/0.08 Dividiendo por 0.08 1250 ≤ y ≤ 2125 Entonces, las ventas de Roberto deben estar entre $1250 y $2125, para que sus ingresos mensuales oscilen entre $350 y $420.
Resumen En esta lección has aprendido a resolver desigualdades lineales expresadas en su forma general: ax +b ≤ 0, pero también en su forma de desigualdad simultánea c ≤ ax + b ≤ d. Haz trabajado además la representación gráfica en la recta real de su conjunto solución. Algo muy importante que te debe quedar de estas relaciones matemáticas es que en la vida práctica las variables tienen sus límites razonables de acción, es decir que no pueden crecer más allá de una cota definida, ni decrecer indefinidamente. Un industrial que elabora un producto no puede producir más allá de cierto límite por varias razones: la maquinaria no esta diseñada para pasar cierto umbral de producción, la empresa no tiene el capital de trabajo suficiente para invertir, no hay en la empresa el personal suficiente para hacerlo, etc. Si tu examinas muchos hechos de la vida diaria te darás cuenta que para todo hay límites: en la temperatura ambiente, en el crecimiento poblacional, en los ingresos al hogar, en el gasto en energía eléctrica; y en todos los casos, tu puedes plantear una desigualdad que resuma de manera particular su comportamiento. El siguiente resumen te puede ser útil para formalizar las propiedades de las desigualdades. Considera que a, b y c representan números reales y que todas las relaciones de orden: <; >; ≤; ≥ son aplicables a las siguiente propiedades: Si a < b entonces a + c < b + c Si a < b entonces a – c < b – c Si a < b entonces a c < bc, siempre que c sea positivo Si a < b entonces a/c < b/c, siempre que c sea positivo Si c es negativo, la relación de orden se invierte en las dos propiedades anteriores.
Primer Año - Matemática 71
UNIDAD 4
3
La desigualdad: x/2 – 3 > x + 4, tiene como desigualdad equivalente: x/2 + x > 7 b) x – 3 > 2x + 8 c) x – 6 > 2x + 8 d) 3x > 11
En el oriente del país, en la época seca, las temperaturas oscilan entre los 34°C y los 42°C. ( 34 ≤ C ≤ 42 ). ¿Cuál es el intervalo equivalente de estas temperaturas en grados Fahrenheit? 9 ( Nota: F = C + 32 ), C: grados Celsius; F: 5 grados Fahrenheit)
a)
a)
[ 66, 74 ] b) [ 61.2, 71.6 ]
La solución de la desigualdad: –1 ≤ 2x – 5 < 3 es: [ –1, 3 [ b) [ 4, 8 [ c) [ –2, +∞ [ d) [ 2, 4 [ a)
4
[ 93.2, 107.6 ] d) [ 90, 100 ] c)
Considerando a, b, como números positivos con a < b, seleccione la desigualdad que NO es correcta:
2. d.
3. c.
2
a)
a + 2b < 3b
b)
a −1 b −1 d) a2 < b2 < 2 2
c)
1. c.
1
–3/5a < –3/5b
Soluciones
Autocomprobación
4. c.
UNA INVESTIGACIÓN CURIOSA Una fórmula para calcular la temperatura de la piel humana P, en grados Celsius, fue desarrollada por un investigador de nombre Vincent. Te la presento: P = 30.1 + 0.2t – ( 4.12 – 0.13t )v, donde: t: temperatura del aire en grados Celsius v: velocidad del viento en metros por segundo Pregunta: ¿a qué temperaturas t en aire quieto ( v = 0 ), es menor la temperatura de la piel que la sangre ( 37°C )? ¿Qué te parece t < 34.5°C? (Nota: recuerda v = 0)
72 Matemática - Primer Año
Lección 3
Cuarta Unidad
Resolvamos desigualdades cuadráticas Motivación
C
x
¿ rees que podemos calcular, a cuánto equivale el área sombreada respecto del área del cuadrado en la figura? Comienza por algo que para ti es evidente: Él área del cuadrado es mayor que el área del círculo. 2 π 2 x 2 x > π Esto se expresa: = x 2 4 ¿Estás de acuerdo?
x
Indicadores de logro Resolverás con seguridad, ejercicios y problemas utilizando desigualdades cuadráticas con una variable. Determinarás y explicarás otras desigualdades no lineales, con esmero y claridad.
Graficarás con orden y limpieza desigualdades cuadráticas y otras no lineales en la recta real.
Desigualdades cuadráticas en una variable π 2 2 ¿Qué puedes decir de la desigualdad x > x ? 4 π De la desigualdad x 2 > x 2 , puedes concluir que si 4 π se multiplica el área del cuadrado por , obtienes el 4 área del círculo inscrito. Por lo tanto si haces la resta π π x 2 − x 2 = 1 − x 2 > 0 , concluyes que al 4 4 π multiplicar el área del cuadrado por 1 − se 4 obtiene el área azul. π Si x = 5 entonces x2 = 25; de manera que 1 − ( 25 ) 4 es aproximadamente 0.2146 ( 25 ) = 5.365.
Si se multiplica el área de cualquier cuadrado por 0.2146 se obtine el área que está afuera del círculo y que pertenece al área del cuadrado. Notarás que el resultado que obtienes está fuertemente apoyado en una desigualdad cuya variable está elevada al cuadrado. Este tipo de desigualdad son las que desarrollarás en esta lección: son llamadas desigualdades cuadráticas en una variable. Como por ejemplo las siguientes: ( recuerda que x ∈ R ) a)
x2 − 8 ≥ 0
b) 2x2 + 6x < 0 c)
( x + 5 )( x − 2 ) ≤ 0
d) 3x2 + 13x + 4 >
Primer Año - Matemática 73
UNIDAD 4 Resolver una desigualdad cuadrática significa hallar su conjunto solución. Se emplean las mismas propiedades de orden que utilizas en las desigualdades lineales. Observa lo siguiente: Para x = 3 , x 2 = 32 = 9 ≥ 0
a) Si x es un número real, entonces ( x + 1 ) también lo
es; por lo tanto ( x + 1 )2 ≥ 0. El conjunto que satisface la desigualdad son todos los números reales: S = R
b) Es el mismo caso que en el literal “a)”, la única
Para x = − 4 , x = ( − 4 ) = 16 ≥ 0
diferencia es que la desigualdad es estricta, por lo que si x es igual a 2, la desigualdad no se satisface:
2
2
Solución:
Para x = 0 , x 2 = ( 0 )2 = 0 ≥ 0
(2 – 2)2 >0, es falsa; la solución es entonces S = R – { 2 }
Cualquier número real elevado al cuadrado es mayor o igual a cero. En general se tiene la siguiente propiedad. Si x ∈ R entonces x 2 ∈ R y x 2 ≥ 0
c) x2 ≤ 1, es igual a expresar que x2 es un número entero
entre cero y uno: 0 ≤ x 2 ≤ 1 . Verifica valores para x en el intervalo anterior. Te darás cuenta que solo cumplen la desigualdad valores de x en el intervalo [ –1, 1 ]. La solución es S = [ –1, 1 ]
Ejemplo 1 Utiliza la propiedad anterior para encontrar el conjunto solución de las siguientes desigualdades. a) ( x + 1 )2 ≥ 0
b) ( x – 2)2 > 0
1
c) x2 ≤ 1
Actividad
Utiliza la metodología del ejemplo 6, y encuentra la solución de las siguientes desigualdades cuadráticas. Explica tu forma de solución. 1 2 x ≥ 0 a) d) ( x + 2 )2 < 0 3 b)
( 2x − 4 )2 > 0
e)
c)
x 2 − 4 ≤ 0
( nota: x 2 − 4 + 4 ≤ 0 + 4 ; x 2 ≤ 4 )
x 2 + 4x + 4 ≥ 0
Solución de desigualdades cuadráticas La forma general de una desigualdad cuadrática en una variable x, se expresa donde a, b y c son números reales con (las otras relaciones de orden: también se emplean). La desigualdad x 2 + 3 x − 10 ≥ 0 , es un ejemplo en donde a = 1 , b = 3 y c = − 10 . Si falta alguna de los coeficientes b ó c se les llama desigualdades incompletas: ax 2 + c ≥ 0 y ax 2 + bx ≥ 0
74 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 Estas desigualdades se pueden abordar empleando un método de factorización, y las leyes de los signos: Si AB > 0 Entonces A > 0 y B > 0, ó bien, A < 0 y B < 0. Si AB < 0 Entonces A > 0 y B < 0, ó bien, A < 0 y B > 0.
Ejemplo 2 Encuentra al conjunto solución de las desigualdades siguientes: a) x 2 −
4 ≤ 0
b)
2x 2 + 6 x > 0
Solución: a) x
2
− 4 ≤ 0 → ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≤ 0 Aplicando leyes de los signos tienes:
Caso 1: ( x − 2 ) ≥ 0 y ( x + 2 ) ≤ 0 → ( x ≥ 2 ) y ( x ≤ − 2 ) no existe solución en este primer caso ya que no hay números reales que cumplen al mismo tiempo ser mayores o iguales que 2 y menores o iguales que –2. S1 = Ф Caso 2: ( x − 2 ) ≤ 0 y ( x + 2 ) ≥ 0 → ( x ≤ 2 ) y ( x ≥ − 2 ) los números: −2 ≤ x ≥ 2 cumplen las desigualdades por lo tanto S2 = [ –2, 2 ]. La solución es la unión de S1 con S2 . S = Ф ∪ [ −2 , 2 ] = [ −2 , 2 ] (Nota: que es el mismo ejercicio de la actividad 1)
b) 2 x
2
+ 6 x > 0 → 2 x ( x + 3 ) > 0 x ( x + 3 ) > 0 ( dividiendo entre 2 )
Caso 1: x > 0 y x + 3 > 0 → x > 0 y x > − 3 El conjunto S1 = ] 0, +∞ [ cumple con las desigualdades lineales. Caso 2: x < 0 y x + 3 < 0 → x < 0 y x < − 3 el conjunto S2 = ] –∞, –3 [ cumple los requisitos; la solución total es S = ] − ∞ , − 3 [ ∪ ] 0 , + ∞ [ que también se puede escribir S = R − [ − 3 , 0 ] . Solo los números que están entre [–3, 0] no satisfacen la desigualdad. Un método que de seguro te parecerá más práctico y con el que te sentirás más a gusto es el que se conoce como: Método del cuadro de variación. Requiere sin embargo que tú recuerdes un poco el factoreo y por supuesto que sigas aplicando las leyes de los signos.
Primer Año - Matemática 75
UNIDAD 4 A continuación unos ejemplos:
Ejemplo 3 Halla la solución de la desigualdad 3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0 1° Paso: factoriza el lado izquierdo. 3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0
( 3x )2 + 13( 3x ) + 12 ≤ 0 ( multiplicandopor3)
( 3 x + )( 3 x + ) ≤ 0 ( 3x + 12 )( 3x + 1 ) ≤ 0 3 ( x + 4 )( 3 x + 1 ) ≤ 0
( x + 4 )( 3x + 1) ≤ 0
dosnúmerosque sumados den 13 y multiplicadosden 12
( factor común 3) (dividiendoentre 3)
2° Paso: Plantea la igualdad ( x + 4 )( 3 x + 1) = 0 , y halla las “raíces”. (Raíces: valor de x, que hacen cero la ecuación). Ellas son: x + 4=0→x = − 4 3x + 1 = 0 → x = − raíces:
{
− 4, −
1 3
}
1 3
3º Paso: Representación de las raices en la recta real, para observar los tres intervalos que se forman. -4
-⅓
4° Paso: Organiza un cuadro como el siguiente, que define tres intervalos.
–∞ (x+4) ( 3x + 1 ) ( x + 4 )( 3x + 1 )
–5 – – +
–4
–3 + – –
−
1 3
1
+∞
+ + +
Se escribe cero en el lugar donde se ubica la raíz. En cada intervalo se marca el signo que toma la expresión algebraica respectiva que está escrita en la parte izquierda al evaluarla en un número que pertenece a cada intervalo(como los encerrados en círculos). El producto de los signos de las expresiones algebraicas en su respectivo intervalo se ubica en la última fila.
76 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 El producto ( x + 4 )( 3x + 1 ) es menor o igual que cero únicamente en el intervalo por 1 1 2 − 4, − lo tanto la solución de 3 x + 13 x + 4 ≤ 0 es − 4, − 3 3 Si en la expresión (x + 4) (3x + 1) sustituyes: x = − 5 , se tiene ( − 5 + 4 )( 3 ( − 5 ) + 1 ) = ( − 1 )( − 14 ) > 0 ; nocumple
x = 1 , se tiene ( 1 + 4 )( 3 ( 1 ) + 1 ) = ( 5 )( 4 ) = 20 > 0 ; nocumple
x = − 3 , se tiene ( − 3 + 4 )( 3 ( − 3 ) + 1 ) = ( 1 )( − 8 ) < 0 ; si cumple 2 10 2 2 10 x = − , se tiene − + 4 3 − + 1 = ( − 1 ) = − < 0; si cumple 3 3 3 3 3
Actividad
2
Utiliza el cuadro de variación para resolver la siguiente desigualdad: x 2 + 4 x − 21 ≥ 0 a) Factoriza:
( x + )( x − ) ≥ 0
b) Halla las raíces y escribelas en el cuadro donde corresponda, escribiendo cero donde se ubica la raíz. c) Completa el cuadro.
–∞
+∞
(x+ ) (x– ) ( x + )( x – ) d) Especifica la solución.
Otras desigualdades no lineales Algunas desigualdades tales como x 3 > 4 x , x 4 − x > 0 son llamadas desigualdades polinomiales no cuadráticas. x −1 x +4 Otras como ≥ 0, ó ≤ 1 , se llaman desigualdades racionales. x +2 x −2 La técnica del cuadro de variación es igualmente útil para resolver este tipo de desigualdades.
Ejemplo 4 Resuelve la siguiente desigualdad aplicando el método del cuadro de variación x3 > 4x.
Solución: Factoriza el lado izquierdo x 3 − 4 x > 0 → x ( x 2 − 4 ) > 0 factor común x.
x ( x − 2 )( x + 2 ) > 0 ( Diferencia de cuadrados ). Plantea la ecuación para hallar las raíces x ( x − 2 )( x + 2 ) > 0 ; los valores que hacen cero la ecuación: x = 0, x = –2, x = +2. Elabora el cuadro.
Primer Año - Matemática 77
UNIDAD 4 –2
–∞ x x–2 x+2 x( x – 2 )( x + 2 )
0
– – – –
+∞
2
– – + +
+ – + –
+ + + +
La solución viene dada por la unión de todos aquellos intervalos, cuyo producto de signos es positivo. S = ] − 2 , 0 [ ∪ ] 2 , + ∞ [ no incluye los límites de los intervalos porque la desigualdad es estricta.
Ejemplo 5 Resuelve la siguiente inecuación racional:
Solución:
2x + 4 ≤1 x −2
Es muy bueno observar desde ya, que x = 2 no puede formar parte del conjunto solución, debido a que produce una división por cero y la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales. Para iniciar la factorización realiza; 2x + 4 El lado izquierdo debe quedar como una expresión racional −1 ≤ 0 x − 2 ( 2x + 4 ) − ( x − 2) y en el lado derecho solo debe aparecer el cero. ≤ 0 ; suma de x −2 x +6 fracciones. ≤ 0 ; simplificando términos semejantes. x −2 Se consideran raíces los números que hacen cero, el numerador y el denominador: x = –6 y x = 2. El análisis del cuadro requiere que tú recuerdes las “leyes de los signos para la división”: (x+6) (x–2)
–∞
x +6 x −2
– –
+ –
+∞ + +
+
–
+
–6
2
Punto de apoyo − + = + ; = + ; + −
− + = − ; = − − +
La solución está dada por el intervalo cuya división de signos es negativa. S = [ –6, 2 [ ¿Por qué no se incluye el número 2 ?
78 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 Gráfica de las desigualdades cuadráticas Se trata, al igual que en las desigualdades lineales, de representar en la recta real, el conjunto solución.
3
Actividad
3 x 2 + 13 x + 4 ≤ 0
b)
x 3 > 4x
c)
3x − 1 ≤2 x +2
Observa lo que dice el problema: si x es la longitud del lado del cuadrado, entonces ( x + 2 ) es el ancho del rectángulo que se forma y, ( x + 5 ) es su largo. En consecuencia, el producto de los polinomios: ( x + 2 )( x + 5 ) es una expresión algebraica para el área del rectángulo. +∞ –∞ ( x + 15 ) – + + (x–8) – – + ( x + 15 )( x – 8 ) + – +
Representa en la recta real la solución de las siguientes desigualdades. a)
Solución:
De acuerdo a la información que tienes, ( x + 2 )( x + 5 ) < 130, es la desigualdad que debes resolver.
Ejemplo 6 Los lados de un cuadrado de longitud x se extienden para formar un rectángulo. Un lado se extiende 2 cm, y el otro 5 cm. Si el área del rectángulo resultante es menor de 130 cm2, ¿cuáles son las posibles longitudes de un lado del cuadrado original?
( x + 2 )( x + 5 ) < 130; x2 + 7x + 10 – 130 < 0; x2 + 7x – 120 < 0 Factorizando se tiene ( x + 15 )( x – 8 ) < 0. Las raíces para elaborar el cuadro de variación son: x = –15 y x = 8. De acuerdo al cuadro, la desigualdad es menor que cero en el intervalo ] –15, 8 [ , ¡pero cuidado! esa no es la solución del problema, porque ningún rectángulo tiene lados de longitud negativa. Las posibles longitudes están en S = ] 0, 8 [ Sustituye algunos valores del conjunto solución en la desigualdad ( x + 2 )( x + 5 ) < 130, para que compruebes si se cumplen las condiciones del problema.
Resumen En esta lección has aprendido a resolver desigualdades cuadráticas empleando, fundamentalmente, el cuadro de variación. Para su correcta aplicación debes seguir los pasos que se te han sugerido: Emplea las leyes Identifica de los signos la solución Has analizado también algunas desigualdades polinomiales (de grado mayor que 2) y las desigualdades racionales; concluyendo que el método del cuadro de variación es igualmente aplicable. Factoriza
Halla las raíces
Elabora el cuadro
Primer Año - Matemática 79
UNIDAD 4
Autocomprobación
3
Sin realizar ningún cálculo, analiza cuál de las siguientes desigualdades cuadráticas no tienen solución. ( supón que x ∈ R )
x2 + 1 > 0 x2 <0 b) 4 2 c) ( x − 3 ) > 0 d) 3 x 2 > 0 a)
2
Para resolver la desigualdad racional x ( x − 3 )( x − 2 ) ≥0 x2 − 1
¿Cuántos intervalos diferentes deben colocarse en el cuadro de variación? a)
3 b) 4 c) 5 d) 6
La solución de la desigualdad x 2 ≤ 4 x + 12 es: a)
[ –2, 6 ] b) ] –∞, 2 [ c) [ 4, 12 ] d) [ 6,+∞ [
4
La solución de la desigualdad
x −1 ≥ 0 , es: x +2
a) b)
{ x / x < − 2} { x / x > 1}
c) d)
] –2, 1 ] ] − ∞ , − 2 [ ∪ [ 1, + ∞ [
1. b.
1
Soluciones
2 . a.
3 . c.
4 . d.
MATEMÁTICA: CIENCIA DE DESCUBRIMIENTO Thomas Harriot. (Oxford, 1560 – Londres, 2 de julio de 1621) fue un astrónomo, matemático, etnógrafo y traductor inglés. Fue el creador de varios símbolos y notaciones empleados en álgebra usados hasta ahora, como los símbolos > (mayor que) y < (menor que) Qué te parece si le pones pensamiento a lo siguiente: ¿Las potencias conservan el orden? ¿Si a < b, es a2 < b2? ¿Si a < b, es a3 < b3? Verifica con números, tanto positivos como negativos y trata de ver si es posible ir generando una regla de comportamiento. ¿Si a < b, es an < bn? Es un reto. Pero tú puedes descubrir y analizar. Thomas Harriot
80 Matemática - Primer Año
Lección 4
Cuarta Unidad
Medidas de dispersión de los datos Motivación
Dos comerciantes dedicados a la venta de pescado registran una venta en libras, durante 9 días así: Vendedor A: Vendedor B:
47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47 44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47
Al observar los datos, ¿Podrías determinar cuántas libras de pescado debe tener listo de promedio diariamente cada vendedor?
Indicadores de logro Interpretarás, explicarás y valorarás el uso, utilidad e importancia de las medidas de dispersión. Calcularás, con seguridad, la desviación media de un conjunto de datos.
Aplicarás la desviación media en la resolución de problemas. Resolverás problemas de aplicación de la varianza con seguridad.
Analicemos la dispersión de los datos
La media aritmética es el punto de equilibrio de los datos. Si colocas un grupo de niños del mismo peso sobre la barra de un sube y baja, por ejemplo dos de un lado y uno del otro; la única manera de mantenerlos en equilibrio consiste en colocar a los niños, a distancias apropiadas respecto del punto de apoyo del sube y baja. Solo así el punto de apoyo se convierte en punto de equilibrio. Al calcular la media aritmética hacemos en realidad el proceso al revés, lo que encontramos es el lugar que debe ocupar el punto de apoyo para equilibrar los pesos. Si se colocan 5 libros de igual peso en una barra de madera graduada a las distancias 2, 8, 6, 5 y 9. El punto de equilibrio debe colocarse en: 2+8+6+5+9 P = =6 5
La distancia que separa a un determinado valor de su respectiva media se le llama desvío. ( 2 – 6 ), ( 8 – 6 ), son desvíos respecto de la media x = 6.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
Dada una muestra de observaciones { x1, x2, x3,...,xn } el desvío se expresa ( Xi – X ). Xi = dato, X = media aritmética. El análisis de las desviaciones de todas las observaciones, respecto de su propia media aritmética es el camino que permite obtener, como veremos en esta y las siguientes lecciones, las medidas de variabilidad más usuales en el análisis descriptivo de datos.
Primer Año - Matemática 81
UNIDAD 4 Si los desvíos son muy grandes no resulta muy difícil deducir que los datos están muy alejados de su respectiva media y que, en consecuencia, se encuentran muy dispersos. Por el contrario, si todos los desvíos son pequeños deducimos que los datos están más concentrados alrededor de su media. La suma de todos los desvíos, es igual a cero; como vemos en el siguiente ejemplo.
Punto de apoyo n
Como X =
∑X i =1
n
i
n
de aqui: ∑ X i = nX i =1
Dada la serie de valores de la muestra { 2, 8, 5, 9, 6 } comprueba que la suma de todas las desviaciones respecto de la media es igual a cero.
Es evidente que la suma de los desvíos no es una expresión útil para lo que andamos intentando, es decir, encontrar una fórmula que nos permita calcular una medida de la variabilidad de los datos de una muestra o de una población.
Solución:
Hay dos caminos a seguir con nuestros desvíos:
Ya sabemos que la media de estos datos es X = 6.
a) Convertir todos los desvíos en números positivos, esto
Ejemplo 1
n
∑ xi
x =
n
b) Elevar al cuadrado todos los desvíos ( Xi –
i =1
lo cual se vuelven positivos.
n 30 = 5 =6
∑( x i =1
i
∑ i =1
X )2, con
Estos dos caminos propuestos conducen a dos medidas de variabilidad de los datos, muy empleadas: la desviación media y la varianza.
- x ) = − 4 + 2 + ( −1 ) + 3 + 0 = 0
Xi
(Xi
−X)
2 8 5 9 6 30
2 – 6 = –4 8–6=2 5 – 6 = –1 9–6=3 6–6=0 0
La conclusión anterior es verdadera para cualquier conjunto de datos, como puedes ver a continuación. n
es tomar el valor absoluto de los desvíos. | Xi – X |
n
(x i − x ) = ∑ xi − i =1
=
n
∑x i =1
i
n
∑x i =1
− nx
= nx − nx = 0
82 Matemática - Primer Año
se distribuye la sumatoria
x se repite n veces
UNIDAD 4 ¿Por qué es importante estudiar la variabilidad?
Ejemplo 2
Hay al menos dos razones para ello: La primera es que le agrega confianza a la media aritmética como medida de tendencia central. Si la desviación es pequeña, la media se considera que representa mejor al conjunto de valores, (recuerda que una de las desventajas de la media aritmética es que se ve muy influenciada por valores extremos).
La cantidad de libras de pescado vendidas cada día, durante 9 días, por dos comerciantes de ese producto fueron registradas así:
La segunda razón es que si se tienen dos conjuntos de datos que poseen medias aritméticas iguales o muy parecidas, el análisis de la variabilidad permite apreciar el grado de dispersión; y una vez más, señalar para cuál conjunto de valores su media gana representatividad.
Vendedor A:
47, 45, 46, 49, 48, 46, 47, 48, 47
Vendedor B:
44, 47, 50, 57, 37, 44, 47, 50, 47
Determina la amplitud de las ventas en libras para ambos vendedores y comenta los resultados.
Solución: Amplitud de A = 49 – 45 = 4 libras Amplitud de B = 57 – 37 = 20 libras ¿Qué puedes interpretar a partir de la información obtenida? Si las ventas se comportan siempre de la misma manera, el vendedor A no tiene muchos problemas para definir la cantidad de producto que debe pedir a diario, ya que sus ventas están dentro de una amplitud muy pequeña (4 lbs). El vendedor B, en cambio, puede tener alguna dificultad, puesto que el recorrido de la variable “número de libras vendidas” es demasiado amplio (20 lbs). Es bueno recordarte que en estadística, el análisis descriptivo de los datos es muy importante: ¿Qué conclusiones relevantes puedes sacar?, ¿Qué comentarios importantes puedes hacer?
Amplitud o recorrido de la variable La amplitud es la medida de dispersión más simple. Se trata de hallar la longitud del intervalo que va del menor valor observado al mayor valor observado. Amplitud = mayor valor – menor valor en símbolos: A=M–m Aunque es muy fácil de calcular y comprender, constituye una primera medida de la dispersión de los datos que permite hacer comparaciones iniciales de manera rápida.
Primer Año - Matemática 83
UNIDAD 4
1
Actividad
Los ingenieros que controlan la calidad en los procesos industriales utilizan el concepto de amplitud con el propósito de definir intervalos de aceptación para un producto terminado. En un proceso de llenado de botellas con cierto líquido, se estableció que la producción está bajo control si la cantidad de líquido en las botellas se encuentra entre ciertos límites. Vamos a ver cómo se encuentran esos límites en el siguiente proceso de control. Se toman cuatro muestras de 5 botellas cada una, a las 8 AM, 9 AM, 10 AM y 11 AM, y se registra la cantidad de líquido. Lo datos son los siguientes: Hora 8 AM 9 AM 10 AM 11 AM
41 39 41 38
43 40 44 39
42 40 43 40
41 39 46 39
43 42 41 39
Calcula la media aritmética y la amplitud para cada hora: Hora 8 AM 9 AM 10 AM 11 AM
Media 42 40 43 39 164
Amplitud 2 3 5 2
Calcula la media de las medias 164 x = = 41 4 Calcula la media de las amplitudes Ā=
Ahora calcula los siguientes límites del intervalo de control. Límite inferior: Li = 41 – 0.5 Ā = Límite superior Ls = 41 + 0.5 Ā =
El intervalo de control se construye sumando y restando la mitad de Ā.
En este momento estás listo para decidir en qué horas la producción estuvo bajo control o fuera de control. Toma la media correspondiente a cada hora y observa si está fuera o dentro del intervalo [ Li , L s ]. Si está dentro, el proceso está bajo control; si está fuera, el proceso está fuera de control. ¿Hubo algunas horas en que el proceso estuvo fuera de control?, ¿cuáles fueron? Vienes de comprobar que el control estadístico de calidad no es cosa del otro mundo y que descriptores tan simples de cálculo como la media aritmética y la amplitud son los protagonistas en las decisiones. Vamos a ver ahora una medida de variabilidad más elaborada y con mayores posibilidades para el análisis.
84 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 Desviación media o desviación media absoluta Es una medida de variabilidad mejor que la amplitud, ya que toma en cuenta todos los datos para su cálculo. El procedimiento para obtenerla consiste en calcular todos los valores absolutos de los desvíos | Xi – X | y luego obtener la media aritmética de esos valores. n
DM =
∑x i =1
−x , en una muestra
n
N
DM =
i
∑x i =1
i
−x
, en una población
N
Ejemplo 3 Calcula las desviaciones medias para los datos del ejemplo número 2, que se refiere a la cantidad de libras de pescado diario que venden los comerciantes A y B. Interpreta y comenta los resultados.
Solución: Te invito a que compruebes, en principio, que las medias aritméticas de las ventas de ambos comerciantes son iguales, X A = 47 y X B = 47 . Durante los 9 días han vendido en promedio la misma cantidad de libras. Vendedor A
Vendedor B
X
Xi − X
Xi − X
X
Xi − X
Xi − X
47 45 46 49 48 46 47 48 47
0 –2 –1 2 1 –1 0 1 0
0 2 1 2 1 1 0 1 0 8
44 47 50 57 37 44 47 50 47
–3 0 3 10 –10 –3 0 3 0
3 0 3 10 10 3 0 3 0 32
8 32 = 0.889 = 3.556 DM B = 9 9 Los datos del vendedor A se desvían en menos de una libra respecto de la media 47; en cambio las cifras del vendedor B, se desvían más de 3 libras y media. ¿Qué puedes interpretar de estos datos? Se puede decir que la media aritmética del vendedor A es más representativa que la del vendedor B. Nota que este resultado está diciendo lo mismo que la amplitud en el ejemplo 2. DM A =
Primer Año - Matemática 85
UNIDAD 4 La desviación media con datos agrupados Las fórmulas de cálculo se modifican un poco debido a que se tiene que involucrar a las frecuencias absolutas de cada clase y al punto medio o marca de clase. Los desvíos | Xi – X | se entienden como el valor de la marca de clase, menos la media aritmética. Las fórmulas equivalentes so las siguientes: n
DM =
∑x i =1
i
n
N
DM =
∑x i =1
− x fi
i
− x fi
N
en una muestra e tamaño n
en una población de tamaño N
Ejemplo 4 Una muestra de camiones que utilizan combustible diesel dio los siguientes resultados de kilómetros recorridos por galón de combustible consumido. Calcula la desviación media de los recorridos. Nº de kilómetros 20 – 22 22 – 24
Nº de camiones 2 5
24 – 26
10
26 – 28
8
28 – 30
3
30 – 40
2
Solución:
86 Matemática - Primer Año
Clase
xi
fi
xi f i
xi − X
xi − X fi
20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 – 28 28 – 30 30 – 40
21 23 25 27 29 35
2 5 10 8 3 2 30
41 115 250 216 87 70 780
5 3 1 1 5 9
10 15 10 8 15 18 76
UNIDAD 4
Punto de apoyo Para datos agrupados X = sea muestra o población
∑x n
i
fi
ó según sea muestra o población X =
∑x N
i
fi
según
Los valores Xi son el punto medio de la clase. El total de camiones en la muestra es 30. 780 = 26 La media es: X = 30 76 = 2.53 kilómetros por galón. 30 No es una dispersión muy grande a pesar de que el ancho de clase de la última clase es más amplio.
La desviación media es DM =
2
Actividad
Diez expertos clasificaron un producto que se pretende sacar al mercado en una escala de 1 a 50. Sus calificaciones fueron: 34, 35, 41, 28, 26, 29, 32, 36, 38, 40. a)
¿Cuál es la amplitud de las calificaciones? b) ¿Cuál es la media aritmética? c) ¿Calcule la desviación media e interprete el resultado? d) Un segundo grupo de expertos calificó el mismo producto. La amplitud fue 8, la media 33.9 y la desviación media 1.9. Compara estas calificaciones con las del primer grupo. ¿qué concluyes?
Resumen En esta lección has aprendido a calcular dos medidas de tendencia central y a utilizar sus fórmulas tanto para una serie simple como para una serie agrupada en clase y frecuencias. Pero quizá lo más importante ha sido el saber interpretar en que consiste la variabilidad de los datos y cómo esta dispersión influye en la media aritmética. Te habrás dado cuenta que los desvíos respecto de la media aritmética son el elemento clave para la construcción de las medidas de variabilidad. Esto quedará más evidenciado en las siguientes lecciones donde estudiarás otras medidas de dispersión tales como la varianza y la desviación estándar.
Primer Año - Matemática 87
UNIDAD 4
Autocomprobación
El número de minutos que se tardaron 10 personas en instalar un dispositivo electrónico se da en la siguiente lista: 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32 y 42. Selecciona con respecto a estos datos la respuesta correcta. Para la media aritmética que proporcionan los datos la suma de los 10 desvíos no se anula. b) La media es 30. c) La amplitud es 30 d) La desviación media es 8.5
a)
10 y 10 b) 9 y 3.5
3
10 y 3.5 d) 9 y 4 c)
Una muestra de datos tiene una desviación media DM = 5, si se suma una misma cantidad B a cada uno de los datos, entonces: a)
La desviación media continua siendo igual a 5 b) La amplitud aumenta en una cantidad B c) La media de los datos no cambia d) Los desvíos se vuelven más amplios
2. c.
a)
El número de días que 8 empleados de una empresa faltaron a su trabajo, por enfermedad, durante los últimos 6 meses fueron los siguientes: 2, 0, 6, 3, 10, 4 ,1 ,2. ¿Cuál es el valor de la amplitud y la media aritmética?
1. c.
1
2
Soluciones
3. a.
EL ORIGEN DE ∑ Considera la fórmula X =
∑x
i
fi
n La letra griega sigma mayúscula que se utiliza en las fórmulas estadísticas se debe a Euler, que empezó a usarla en 1755 con estas palabras "summam indicabimus signo". En el alfabeto griego sigma es la letra “s” equivalente a la 's' de suma. Los griegos pusieron el nombre de sigma a esta letra y la giraron 90º, fue asi como adquirio la forma parecida al número 3, aunque este con el paso del tiempo perdió la primitiva angulosidad.
88 Matemática - Primer Año
Lección 5
Cuarta Unidad
varianza Motivación
L
as calificaciones obtenidas por los asistentes a un curso de capacitación de Lenguaje dividido en dos secciones son las siguientes: Sección A: 10, 5, 9, 10, 6 Sección B: 9, 7, 8, 10, 6 Si te adelanto que cada grupo tiene la misma media aritmética, ¿En cuál de las secciones existe mayor variabilidad?
Indicadores de logro Definirás, diferenciarás, denotarás y explicarás, con claridad, la varianza poblacional y la varianza muestral. Calcularás, con seguridad, la varianza poblacional y la varianza muestral para datos no agrupados y agrupados.
Viste en la lección anterior, que un camino para salvar el problema de la anulación de la suma de los desvíos con respecto a la media:
∑( x
i
−x )=0
Consistía en elevar al cuadrado todos los desvíos , con el propósito que se convirtieran en números positivos. Si a continuación realiza la suma de todos los desvíos cuadráticos para todas las observaciones:
∑( x
i
− x )2
Puedes concluir, intuitivamente, que la suma será un valor grande, si los desvíos son grandes; y será un valor pequeño, si los desvíos son pequeños.
Resolverás problemas de aplicación de la varianza, con seguridad.
Varianza poblacional y varianza de la muestra El razonamiento que se ha hecho de hacer es el que te permite construir y definir una de las medidas de variabilidad, quizá la más importante del análisis descriptivo de datos. Si {X1, X 2 , X3,..., XN}, constituye una población de N medidas, la varianza de la población no es más que la media aritmética de todos los desvíos cuadráticos. N
σ2 =
∑( x i =1
i
− µ )2
N
Primer Año - Matemática 89
UNIDAD 4 La letra griega σ 2 ( que se lee sigma cuadrado ) denota la varianza poblacional y la letra ( que se lee miu ) simboliza la media aritmética poblacional. Si { X1, X 2 , X3,..., Xn }, constituye una muestra de n medidas de una población, la varianza de la muestra es igual a la suma de todos los desvíos cuadráticos, dividida entre ( n – 1 ) n
s2 =
∑( x i =1
i
− x )2
, s2 simboliza la varianza muestral. Observa que en la fórmula
n −1 para la muestra se divide entre ( n – 1 ) y no entre n, que es el tamaño de la muestra. En Estadística, la pretensión es que la medida descriptiva (media aritmética, varianza,..) calculada en una muestra de una población, sea lo más cercana posible a la medida equivalente en la población. Si la varianza se calcula dividiendo entre n y no entre ( n – 1 ), el valor de s2 resulta más pequeño y tiene menos posibilidades de parecerse a σ 2 .
Ejemplo 1 El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de las bolsas de cereal ( en gramos ), que empacan en una determinada presentación. Deciden para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y pesarlas. Las medidas obtenidas en gramos fueron las siguientes: { 490, 500, 510, 515 y 520 }. Calcula la varianza muestral.
Solución Primero debes calcular la media 490 + 500 + 510 + 515 + 520 X = 5 2535 = = 507 5 Luego debes utilizar la fórmula para la muestra: n
s 2=
∑( x i =1
i
− x )2
n −1 Los cálculos son los siguientes: ( 490 − 507 )2 + ( 500 − 507 )2 + ( 510 − 507 )2 + ( 515 − 507 )2 + ( 520 − 507 )2 2 s = ( 5 − 1) s2 =
( − 17 )2 + ( − 7 )2 + ( 3) 2 + ( 8 )2 + ( 13 )2
4 580 289 + 49 + 9 + 64 + 169 ⇒ 145 ⇒ = 4 4
90 Matemática - Primer Año
UNIDAD 4 El valor que haz obtenido de la varianza muestral, s2 = 145, sería mucho más útil si tuviera con quien compararlo. Por ejemplo, si a nivel de la industria de ese producto, hubiera una medida aceptada de varianza poblacional. En el siguiente ejemplo de comparación de dos grupos, su utilidad aparece más evidente.
Ejemplo 2 Resuelve el planteamiento que aparece al inicio de esta lección, que se refiere a las notas en el examen de lenguaje de dos secciones de 5 estudiantes cada una, donde quieres comparar la variabilidad. Considera que cada sección representa una población.
Solución: Debemos calcular la varianza para ambos grupos: Grupo A:
∑x
10 + 5 + 9 + 10 + 6 5 N 40 = 5 =8 Organiza el siguiente cuadro de cálculo:
µ=
=
x 5 6 9 10 10 40
x –μ 5–8 6–8 9–8 10 – 8 10 – 8
(x –μ)2 9 4 1 4 4 22
Ahora efectúas los cálculos para el grupo B: Grupo B:
µ=
∑x N
9 + 7 + 8 + 10 + 6 5 40 = 5 =8 =
x 6 7 8 9 10 40
x –μ 6–8 7–8 8–8 9–8 10 – 8
(x –μ)2 4 1 0 1 4 10
Al aplicar la fórmula tienes: ( x − µ )2 ∑ 2 σ = N 10 σ2 = =2 5 Al comparar los resultados de las varianzas de ambos grupos: varianza A = 4.4, varianza B = 2, concluyes que la variabilidad es mayor en A que en B. Como las notas de ambas secciones tienen la misma media aritmética, las varianzas reflejan fielmente que la dispersión de las notas es mayor en la sección A; lo cual también se refleja en la mayor amplitud del grupo A. Podría decirse que las notas de la sección B guardan más homogeneidad.
Al aplicar la fórmula tienes:
σ = 2
σ2 =
∑( x − µ )
2
N
22 = 4.4 5
Primer Año - Matemática 91
UNIDAD 4 Fórmulas alternativas de cálculo Si el binomio que aparece en la fórmula de la varianza n
s2 =
∑( x i =1
− x )2
i
n −1
de cálculo: s = 2
1 obtienes una expresión alternativa
∑x
2 i
−
( ∑ x i )2
n
para la varianza n −1 de la muestra y una equivalente para la varianza
∑x
poblacional: σ 2 =
2 i
−
( ∑ x i )2
N
Ejemplo 3
N
Calcula la varianza de la siguiente muestra de valores { 2, 8, 5, 9, 6 }, empleando la fórmula alternativa.
Solución: Como se trata de una muestra, la fórmula que utilizarás es:
s2 =
∑x
2 i
−
( ∑ x i )2
n
n −1 Al completar la tabla y realizar los cálculos correspondientes se tiene: x 2 5 6 8 9 30
s2 =
x2 4 25 36 64 81 210
( 30 )2 5 5−1
210 −
30 5−1 30 = 4 = 7.5
Actividad
s2 =
Nota que la fórmula solo requirió dos columnas de cálculos. Muy simple, ¿no?
92 Matemática - Primer Año
1. Diez expertos calificaron un producto que se pretende sacar al mercado en una escala de 1 a 50. Sus calificaciones fueron: 34, 35, 41, 28, 26, 29, 32, 36, 38, 40. a)
Calcula la amplitud de las calificaciones b) Calcula el valor de la media c) Utiliza la fórmula alternativa y calcula la varianza 2. Encuentra la varianza de las edades, en años, de 6 estudiantes de un centro escolar: 6, 8, 9, 10,4, 5. 3. Determina en qué lugar la temperatura es más variable: Temperatura en ºC, en el país MN: 19, 19, 20, 21, 23, 23, 22, 26, 25, 26, 26, 20 Temperatura en ºC, en el país XY: 2, 3, 3, 5, 8, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 39.
UNIDAD 4 Cálculo de la varianza para datos agrupados Cuando se tienen los datos en un cuadro de distribución de clases y frecuencias, las fórmulas se modifican precisamente porque debemos hacer intervenir las frecuencias absolutas correspondientes a cada clase y el representante de la clase (más conocido como punto medio o marca de clase). Para una población:
σ2 =
∑( x − µ )
2
f
N Para una muestra: n
s2 =
∑( x i =1
i
− x )2 f
n −1
y su fórmula alternativa σ 2 =
y su fórmula alternativa s 2 =
∑x
2
( ∑ xf )2
f − N
∑x 2 f −
N
( ∑ xf )2
n −1
n
Ejemplo 4 Una muestra de camiones que utilizan combustible diesel dio los siguientes resultados de kilómetros recorridos por galón de combustible consumido. Calcula la varianza Nº de kilometros 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 – 28 28 – 30 30 – 40
x2 2 5 10 8 3 2
Los valores x corresponden en este caso al punto medio de la clase. El total de camiones en la muestra es 30. 780 La media es X = = 26 30 Al sustituir los valores en la fórmula tienes:
s2 =
20 , 582 − 29
( 780 )2 30
302 29 = 10.41 Se tiene una varianza de 10.41 kilómetros cuadrados. =
Solución: Utilizas la fórmula alternativa para calcular la varianza. ( Una sugerencia: comprueba el resultado empleando la otra fórmula, es decir la que proviene de la definición ) El cuadro que se requiere es el siguiente: Clase 20 – 22 22 – 24 24 – 26 26 – 28 28 – 30 30 – 40 Total
x 21 23 25 27 29 35
f 2 5 10 8 3 2 30
xf 41 115 250 216 87 70 780
xf2 882 2,645 6,250 5,832 2,523 2,450 20,582
Primer Año - Matemática 93
UNIDAD 4
2
Actividad
Se tomó una muestra de 50 estudiantes para conocer el grado de variabilidad de los resultados de un examen de admisión en una universidad del país. Las notas obtenidas se muestran en la siguiente tabla: Puntajes 20 – 30 31 – 39 40 – 48 49 – 57 58 – 66 67 – 75
f 2 8 12 13 10 5
Completa el cuadro que se da a continuación y calcula la varianza de los datos empleando las dos fórmulas de cálculo.
Solución:
(x − x ) (x − x )
Puntajes
f
xi
xi f
x2 f
20 – 30 31 – 39 40 – 48 49 – 57 58 – 66 67 – 75 Total
2 8 12 13 10 5 50
26 35 44 53 62 71
52
1,352
600.25
355 2,524
25,205 134,546
420.25
Comprueba que la media es: 50.48
2
i
2
i
1,200.50 1,922.00 507.00 81.25 1,322.50 2,101.25 7,134.50
( utiliza 50.5 para calcular los desvíos ) ∑( x − µ ) f el resultado es: Al emplear la fórmula σ 2 = N ( ∑ xf )2 2 x f − ∑ n Al emplear la fórmula s 2 = el resultado es: ¿Encuentras alguna n −1 ( S2 = 145.60 ) diferencia?
94 Matemática - Primer Año
2
f
UNIDAD 4
3
Actividad a) Calcula la varianza en la siguiente información
Años estudiados por 60 trabajadores de una empresa Años 2-4 5-7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 - 19 Total
Frecuencia 8 7 13 16 10 6 60
Resumen En esta lección has estudiado una de las medidas de dispersión o variabilidad de las más importantes en el análisis estadístico de datos. Se te han presentado las expresiones de cálculo para la población y para una muestra, y has podido también comprobar la coincidencia de las fórmulas alternativas de calculo, tanto para la serie simple de datos como para la serie agrupada en clases y frecuencias. Pero hay algo que quizá no has advertido de esta medida y que se puede considerar en esta etapa descriptiva como una desventaja de la varianza. Si te remites al final del ejercicio 29, leerás lo siguiente” se tiene una varianza de 10.41 kilómetros cuadrados”. Esa es la desventaja, la varianza eleva al cuadrado las unidades de la variable; y esto dificulta la comparación con la media de los datos. En la próxima unidad estudiarás la desviación típica, que no tiene ese problema ya que es la raíz cuadrada de la varianza.
Primer Año - Matemática 95
UNIDAD 4
La fórmula que utilizas para calcular la varianza para datos no agrupados que corresponden a una muestra es:
b)
c)
−
( ∑ x i )2
∑ x i2 − ∑x
f −
n
i
b)
4
n
1.5
c)
8
d)
1.2
Suponte que los precios de los pasajes de las rutas de transporte del país tienen actualmente una varianza de 50 centavos de dólar. Si se le aumentan 30 centavos al pasaje de todas las rutas, entonces la varianza de estos nuevos precios es: 50 + d) 20
50 b) 80
c)
30
− µ )2 f
Con referencia al ejercicio número 2, de arriba, suponte que las calificaciones de Juan, un amigo de Pedro, fueron de un punto menos en cada materia. ¿Cuál es la varianza de sus notas?
N
a)
3. a.
∑( x
6
a)
( ∑ x i f )2
n −1 d)
3
( ∑ x i )2
n −1 2 i
a)
N
N
Las calificaciones de Pedro, al final del año, en las 5 materias que cursó fueron: 7, 8, 7, 10, 8. Al calcular la varianza obtienes:
2. d.
a)
∑x
2 i
2
6
b)
1.5 c) 8
1. b.
1
d)
1.2
Soluciones
Autocomprobación
4. d.
RANGO INTERCUARTÍLICO La distancia entre el primer cuartil y el tercer cuartil se llama rango - intercuartílico. RI = Q3 – Q1
20
24,5
33,5
39
Xmín
Q1
Q2
Q3
96 Matemática - Primer Año
45 Xmáx
Esta medida es empleada en el análisis descriptivo para identificar valores extremos(outliers). Se calculan dos límites: f1 = Q1 – 1.5 RI y f2 = Q3 + 1.5 RI Los valores que se encuentran fuera del intervalo ( f1, f2 ) se consideran outliers. Son valores que deben revisarse pues pueden distorsionar los resultados de algunas medidas centrales o de dispersión.
Solucionario Lección 1 Actividad 1: Actividad 2: Actividad 3:
a)
28°C – 34°C c) 30 km/h – 60 km/h d) 5 lb – 9 lb a) 9 b) 4 c) 4 d) 3/2 a) b) c) d) e)
Actividad 4:
abierto por la izquierda abierto por la derecha abierto por la derecha abierto cerrado
a)
[ − 1, + ∞ [
b)
] −2, 4 ]
c)
[ 0, + ∞ [
d)
] −∞, −2 ]
e)
] −4, 3[
finito finito infinito infinito finito -1
0
-2
0
4
0
-4
-2
0
0
3
Lección 2
] −2, +∞ [ b) ] − ∞ , 12 ] c) ] − ∞ , 3 [
Actividad 1:
a)
Actividad 2:
a)
−2, + ∞ 3
b)
[ −4, 9 ]
Primer Año - Matemática 97
Solucionario Lección 3 Actividad 1: a) s = R b) s = R − {2} c) s = [ − 2 , 2 ] d) s = φ e) R Actividad 2: –∞
x +7
3
–7
+∞
x −3
– –
+ –
– +
( x + 7 )( x − 3 )
+
–
+
Actividad 3:
a)
b) c)
1 S = − 4 , − 3
S = ] −2, 0 [ ∪ ] 2, +∞ [ S = ] −2, 5 ]
Lección 4 Actividad 1: Ā = 3; Li = 39.33; Ls = 42.67; Proceso fuera de control en 10 AM y 11 AM Actividad 2: a) 15 b) 33.9 c) 4.85 d) El segundo grupo es más homogéneo
Lección 5 Actividad 1: 1. a) 15 b) 33.9 c) 23.49 2. 5.6 3. País XY Sd = 2.63, país MN Sd = 11.56, país MN es más variable Actividad 3: a) 19.97
98 Matemática - Primer Año
Proyecto Se trata de que analices la variabilidad de dos o más conjuntos de datos, a través de la amplitud y la varianza. Para ello debes consultar a todos los estudiantes de una clase de primero de bachillerato o bien de segundo, lo siguiente: Edad
( Años cumplidos )
Peso
( Libras )
Nota de tu último examen de Matemática Nota de tu último examen de Sociales Se te pide lo siguiente: ¿En cuál de las variables: edad o peso esperarías mayor amplitud? ¿En cuál de las notas de examen esperarías menor amplitud? Elabora cuadros de distribución en clases y frecuencias para cada variable y señala algunas observaciones relevantes.
Primer Año - Matemática 99
Recursos Materiales: calculadora, regla AGUILERA Liborio Raúl, Matemática Primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA, San Salvador, El Salvador 1996, 455p. BONILLA Gildaberto, Estadística, elementos de estadística descriptiva y probabilidad, UCA Editores, 6ª Edición, San Salvador, El Salvador, 1999, 558p. CHRISTENSEN, Howard B, Estadística paso a paso, Editorial Trillas, 2ª Edición. México, 1990, 682p. GALO de Navarro, Gloria, Matemática Primer año de bachillerato, UCA Editores, 1ª Edición, San Salvador, El Salvador, 2006, 604p. INFANTE Gil,Said y Zárate de Lara Guillermo, Métodos estadísticos, Editorial Trillas, , 10ª Edición, México, 2000, 643p. QUINTANA Ruiz, Carlos. Estadística Elemental, Editorial UCR. Costa Rica 2003, 320p. Enciclopedia libre Wikipedia: Estadística es.wikipedia.org/wiki/Estadística febrero 2008 http://www.actinver.com/herramientas/actinver/glosario/V.htm
100 Matemática - Primer Año