ÜÇGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR ORTA TABAN
STEWART TEOREMİ TEOREMİ
A A [DE]: orta taban
≈
D
k
2k
x2 =
b
x
b2.m + c 2.n – m.n m+n
|BC| = 2|DE|
≈
B
c
[DE] // [BC]
E
n
B m D
C
C
(Orta noktaları görünce birleştirip orta taban yapmaya çalışalım.)
Özel olarak ikizkenar üçgende Stewart teoremi daha kısa olarak:
İÇ AÇIORTAY TEOREMİ TEOREMİ
A A
A
c
c
b
m
n
N
B
C
b
N
b
x
b
.K
nA
B
x 2 = b2 – m.n
..
..
n
B m D
C
a
C
MENELAUS TEOREMİ TEOREMİ
(K : iç açıortayların kesim noktası)
|AK|
|nA |2 = b.c – m.n
=
|KN|
c +b a
DIŞ DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ TEOREMİ A ..
.
c
x
b
a
B
b d = c d+a
d
a a
g
e
a+ b E
f
F
c
.
Va
D
d
a2 2
f
= 1
•
b
•
a
g h
= 1
a ≥ b ≥ c ⇒ Va ≤ Vb ≤ Vc B a
D
ya da
c
P
C
b
C
a
CARNOT TEOREMİ TEOREMİ
4(Va2 + Vb2 + Vc2) = 3( a2 + b2 + c2 )
A
A
NOT: |AD| =
B
|BC|
≈
F
.
f
5Va2 = Vb2 + Vc2
Va
≈
B
Aynı mantıkla… d
e
2 muhteşem üçlü
D
. A
f
a c.e . =1 b d f
E
F
k
B
d+ c
a.c.e = b.d.f
e
2v a 2 = b2 + c 2 − G
e
D
A
b
•
C
A
2k
c d
SEVA (CEVA) TEOREMİ TEOREMİ
KENARORTAY TEOREMİ TEOREMİ
c
d
b
B
•
ya da
h
d
D
x 2 = d.(d + a) – b.c
C
A
eks TR em yayınları
c b = m n
D
D a2 +
C
1
d
.E E
c
. a
e
.
.
f
b
C
c2 +
e2 =
B b2 +
a
F
b
D c C
d2 + f2 celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar
DİK ÜÇGEN ÜÇGEN
A
z
x
hipotenüs dik kenarlar
A
z2 = x2 + y2 (pisagor teoremi)
.
B
A p2 + 1 2
p
x.y 2
Alan(ABC) =
C
y
GENELLEME: 2
GENELLEME: 1
z x, y
.
B
max {x, y, z} = z
a2+b2 2ab
.
C
2
p −1 2
B
a2 – b2
C
ÖKLİ KLİD BAĞ BAĞINTILARI: (Dikmeden dikme) A 60°
45°
2x
x
.
x 2
x
.
30°
x 3 30º, 60º, 90º dik üçgeni
75°
.
45°
x
45º, 45º, 90º dik üçgeni
.
.
4x
b
x
c
h
15°
15º, 75º, 90º dik üçgeni
p
ABC ikizkenar dik üçgen
A x 5
2x
x 3
x
B
30º, 30º, 120º ikizkenar üçgeni
C
A 75°
2 2
3 −1
A Va: kenarortay c
B
C
3 +1
3
5
7
A
24
15
[AC] ⊥ [BD] ise
d
a2 + b2 = c2 + d2 H
.
B
.
12
4
C
H x D
b2 – c 2 2.a
a
17
8
.
.
.
25
ha: yükseklik x=
b 13
b
va
ha
KENARLARI TAMSAYILI BAZI Dİ DİK ÜÇGENLER ÜÇGENLER
5
C
F
B
.
15° B
A( ABC) 2 (eş üçgen taşıma…) A(BEDF) =
.
.
C
[ED] ⊥ [DF] ise,
E
eks TR em yayınları
30°
|AD| = |DC|
D ≈
30°
B
.
x
120°
b2 = p.(p+k)
IV) h.a = b.c
≈
x
II)
C
k
H a
A A
h2 = p.k
III) c2 = k.(k+p)
. B
I)
D
c
(pisagor teoreminden)
a C
41
9
61
11
.
.
.
85
13
. 84
60
40
29
20
BDC üçgeni yukarı katlanırsa 21 A
145
17
.
181
19
35
180
C
b ve katları…
.
. 144
37
c
12
B
2
. H
[AH] ⊥ [BD] a2 + b2 = c2 + d2
d a D
celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar (Bir önceki şekilde ABH üçgeni sağa katlanırsa)
A
A
≈
.D
F
≈
[ BEF ≅
≈ ≈
D
.
≈
E |DB|2 + |AC|2 = |DC|2 + |AB|2
.
Simetri ekseni
d
C
B
CDF olduğuna
dikkat edelim. ]
C
B
H
Bir ikizkenar üçgende uzunlukları eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları da eşittir.
Bir ikizkenar üçgenin tabanında alınan herhangi
A A
.
O
r
çizilen dikmelerin uzunlukları
|EB| = |BD| = r
F E
bir noktadan eşit kenarlara
A(ABC) = m.n
m
n
r
.
r = u – (m + n) u=
. B r D
C
E
a+b+c 2
.
.
B
toplamı eş yüksekliklerden
H
birinin uzunluğuna eşittir.
D
|AB| = |AC| ise |FD| + |FE| = |BH|
C
F
A A
A
.H .
.
D
B c
b
d
a
. B
a
H
c
C
d
.
C a2 + b2 = c2 + d2 (pisagor teoreminden)
a2 + b2 = c2 + d2
eks TR em yayınları
b
K
P
üzerinde alınan bir noktadan x+ y
ikizkenarlara çizilen paralellerin
x+y
F
toplamı ikizkenarlardan birinin
E
x y
m( B ) = m( C ) hb= hc , Vb= Vc , nB = nC
uzunluğuna eşittir. [DF] // [AC] ve [DE] // [AB]
C
D
B
|AB| = |AC| ise
İkizkenarlara ait kenarortaylar (Vb, Vc) birbirine eşittir.
≈
≈
.
. C
B
A
≈
≈
A
İkizkenarlara ait açıortaylar (nb, nc) birbirine eşittir.
b
İkizkenarlara ait yükseklikler (hb, hc) birbirine eşittir.
B
(A merkezli b yarıçaplı çember veya tepeden
b
x
dikme çizilerek de x
n m D x2 = b2 – m.n
C
bulunabilir.)
D A
|AB| = |AC| ise
a
|AH| = ha= nA= Va
. H
|DE| + |DF| = |AB|
İkizkenar üçgende tepeden tabana çizilen açıortay, kenarortay, yükseklik aynı doğru üzerindedir.
..
B
İkizkenar üçgende taban
A
İKİZKENAR ÜÇGEN ÜÇGEN A
H’
C
B
.
|AB| = |AC| ise |KH| – |KP| = |BH′|
h = b+
F h
C B
Simetri ekseni
3
a 2
b
.
.
E
H
C celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar
EŞKENAR ÜÇGEN ÜÇGEN
BENZERLİ BENZERLİK VE EŞ EŞLİK
İkizkenar üçgenin tüm özelliklerini gösterir.
[ED] // [BC] ise
A
a2 3 Alan( ABC) = 4
60°
a
a
60°
h=
60°
a
B
A
C
a 3 2
| AE | | AD | | ED | = = | AB | | AC | | BC |
.
G
= diklik merkezi.
uzunluğuna eşittir. x + y + z = |AB|
z
G : ağırlık merkezi ise x = y = z = a/3
C
F a
A
a
.
P . H
B
x + y + z = |AH| = h =
Alanları eşittir
c
D
C
[AB] // [EF] // [DC] F
E
| EF | =
a 3 2
D
A C
[AB] // [EF] // [DC]
E
y
z
x B
120°
a
B
F 1 1 1 = + x y z
C ya da
x=
y.z y+z
x; y ile z nin harmonik ortasının yarısıdır.
C
K
A
z D
E
C
y
a
a
2.a.c a+c
|EF|: a ile c nin harmonik ortası
B
a
z .
a
a2 3 4
C a
A
A
A( ABC) =
B
C
a.h (Benzerlikten) a+h x; a ile h nin harmonik ortasının yarısıdır.
ABC eşkenar üçgen
y .
x
E
paralellerin toplamı bir kenarın
G y
B
H
KDEF kare ise x =
bir noktadan kenarlara çizilen
x
RE x KA
a
Eşkenar üçgen içinde alınan
D E
D
C
A
h x
.
B
G:ağırlık merkezi = i.t.ç.m.
D
F h
= çevrel çemberinin merkezi
E
. B
K
= iç teğet çemberin merkezi
eks TR em yayınları
.
A
A
Eşkenar üçgende ağırlık merkezi
.. F
C
B
ha = hb = hc = Va = Vb = Vc = n A = nB = nC
A
| AE | | AD | = | EB | | DC |
D
E
x
ABCD paralelkenar ise
F
x 2 = y.( y + z )
B
a
A
C
4
B
celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar
ALAN HESABI
A
A
A G . B . B’
|BB’|+ |AA’|+ |CC’| = 3|GG’| (benzerlikten)
. C’
. . A’ G’
D.
.
H
.
F
C
B
. . B
A
H H; ABC nin diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası) Heron formülü (üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin alanı)
C
B
C
E
|BE|. |EC| = |EH|. |EA|
H .
.G P.
K .
.
G ağırlık merkezi ise
C
a+b+c 2 u : yarı çevre
A G: ağırlık merkezi, |BK| + |HC| = |AP| dir. (Benzerlikten)
U=
c
b
Benzer iki üçgenin çevreleri oranı benzerlik oranına
a
B
eşittir.
C
Alan(ABC) = u.(u − a).(u − b).(u − c)
Benzer iki üçgenin karşılıklı açıortayları oranı benzerlik oranına eşittir.
A
E
benzerlik oranına eşittir. Benzer iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri oranı benzerlik oranına eşittir. Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının
eks TR em yayınları
Benzer iki üçgenin karşılıklı kenarortayları oranı
a
B
D
[EA] // [BD] // [FC] ise h.a Alan(ABCD) = 2
h .
F
C A
E
karesine eşittir.
a
B
D
[EA] // [BD] // [FC] ise h.a. sin α Alan(ABCD) = 2
h
Benzer iki üçgenin iç teğet çemberlerinin yarıçapları
α
oranı benzerlik oranına eşittir.
F
C
Benzer iki üçgenin dış teğet çemberlerinin
A
yarıçapları oranı benzerlik oranına eşittir.
[DE] // [BC] ise Benzer iki üçgenin çevrel çemberlerinin yarıçapları
h
oranı benzerlik oranına eşittir.
A
Çapraz açı
x
y
z
C
C
[DE] // [BC] ise |AB| = |CD| ve
α
2α α + 3β β = 180º
D
h
⇒β = θ
≈ D
≈
B
h.a 2
A
(benzerlikten)
A
β
Alan( ADC) =
E
B
x 2 = y.(y + z)
D
a
.
α
α B
D
C
E
Alan(ADC) =
h.a. sin α 2
α
⇒(benzerlikten)
θ
a
B
5
C celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar A
A K
DEFK dikdörtgeninin
.
60º 60º
alanı en büyük
F
.
y
değerini aldığında
z
x
K (dolayısı ile de F)
.
orta nokta olur.
.
D
B
B
C
E
A c
.
B
Alan(ABC) =
b
O
R
[ A(ABD) + A(ADC) = A(ABC) ]
a.b.c 4.R
A S G
F
C R: çevrel çemberin yarıçapı
a
C
D 1 1 1 = + x y z
S
G: ağırlık merkezi S
E S
S
S
C
D
B
ALAN PARSELLEME (BÖ (BÖLME) Açıortay üzerinde alınan bir noktadan kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan
A A
B
b.S
c.S
b
a.S
..
a
C
A Alan( ABC) = ( S1 + S2 )
S1 F
pa
B
na
B
r
C A
~
S
D
B
S2
E G
S
C
C
E
Alan( ABDC) =
| AD | . | BC | 2
D
E
S
P
B
C
H
d
A
c
D
.
S = A ise a.b = c.d
a
b
S
A
A
B
G: ağırlık merkezi
~ F
(Benzerlikten)
G: ağırlık merkezi
S
G S
Alan(BEDF) = 2 S1.S2
D e elk ral
2
eks TR em yayınları
c
S
Genelleme
C
A
Alan( ABDC) =
| AD | . | BC | . sin x 2
A a
S = A ise
A
b
D
a.c = b.d
D
d
P
S B
E
c
x B
C
6
H
C celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
NOT: b.c. sin α Alan(ABC) = 2
A
A
α b
T.A
y
c
E
c
A(ABC)
b
x.y b.c
x
D B
=
C
F
Aynı Aynı mantı mantıkla aş aşağıdaki ğıdaki pratik yollar çıkarı karılabilir… labilir…
C
B PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
A b S1
a
S1 + S2 = (b + c).(a + d)S
E c
S2
A
S1 + S2 + S3 = (b+c+e).(a+d+f)S
d
F e
Örnek.
S1 = a.bS
D
K f
S3
E
3n
5k
A( ABC)
=
2.n.k 15.n.k
=
2 15
k
D
C
B
T.A
2n
F 4S
Örnek:
F 2k
S1 = 2k.2n = 4S S1 + S2 = 3k.5n = 15S S1 + S2 + S3 = 5k.6k = 30S K n
S3
eks TR em yayınları
2k S 2n 1 D E k S2 3n
11S
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
D S2
c
S3 E
b
D 3k C
S1 = 2m.3k = 6S
2m S1
S3 = b.c(e + f)S
24S
S2 = 3m.8k = 24S
E
C
3m
A(ABC) = (a + b).(c + d).(e + f)S
S3
S1 + S2+ S3 = 11k.5m = 55S
S2
A
25S
8k
B
5S
Örnek:
A 12S
n
S1
D 2n B
B 6S
S2 = a.f(d + c)S
F
a
B
S1 + S2+ S3 = (a+d)(b+c)S a
Örnek.1
S1 = e.d(a + b)S
d
S1
S2 = a.bS
S2
A A
S1 = c.dS
S3
b
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
ABCD yamuk
S1
E 15S
e
C
D d c
C
B
f
C
B
A
3k
m S3 m
E
2k
4S ABCD yamuk
D 2a C
S2 = 2n.3k.2m = 12S F
S2
Örnek.2
S1 = m.n.5k = 5S
2n S 1
S1 = 2a.2n = 4S
E
S3 = m.2k.3n = 6S
n 3n
C
6S A(ABC) = 5k.2m.3n = 30S ⇒ Taralı alan = 30S − 23S = 7S
A
S2 = 3n.5a = 15S
S3
F
S1 + S2+ S3 = 7a.6n = 42S S2
B
5a
23S
15S
7
celal.isbilir@gmail.com
Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
c
D
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
F
S2
S1
a+b
C
d
b
S1
S2 = d.bS
E
C
d
S1 = (a + f)S
S2
S2 = (e + b)S
S3
S3 = (c + d)S
S3 = a.(c + d)S
a
c+d
A
ABCD paralelkenar
D f F e
S1 = c(a + b)S
E S3
ABCD paralelkenar
a
B
G b H c B
A(ABCD) = 2(a + b).(c + d)S
Örnek:
6S
Örnek.1
3n
D
15S
F
S2
S1
5k
S1
S2 = 2n.3k = 6S S3 = 5n.2k = 10S A
3a
D
F
2k
C
2a
k E
S3 = 3S
A ABC bir üçgen S1 S3
D
M
S2
B
S2 = 2a.k = 2S
[DE] // [BC] ise S S 3 1 = S S
E
2
4
S4
C
F
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
B
5a
S2 = 3S
S1 = 3a.2k = 6S
k A
S3
PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ
ABCD paralelkenar
S2
S1
S2
G k H k B
3k
eks TR em yayınları
2S
6S
C
10S
A(ABCD) = 2.5n.5k = 50S ⇒ Taralı alan = 50S − 31S = 19S
Örnek.2
E 2k
S1 = 4S
S1 = 3n.5k = 15S
3k
B
5n
D k F 2k
ABCD paralelkenar
E 2k
S3
A
C
2n
Çevre uzunlukları eşit olan üçgenler içinde alanı en büyük olan eşkenar üçgendir.
A(ABCD) = 2.5a.2k = 20S ⇒ Taralı alan = 20S − 8S = 12S
Çevre uzunlukları eşit olan dörtgenler içinde alanı en büyük olan karedir. Çevre uzunlukları eşit olan beşgenler içinde alanı en büyük olan düzgün beşgendir.
S
Örnek.3
3b
D 6S
F b S2
S1
2k
ABCD paralelkenar
C
S2 = b.k = S
k
A
2b
T
2b
B
Altı Altın üçgen üçgen
36°
S3 = 2b.k = 2S
E S3
ALTIN ÜÇGEN; ÜÇGEN; A
S1 = 3b.2k = 6S
k
5 +1
5 +1
2S 72°
72°
A(ABCD) = 2.4b.2k = 16S ⇒ Taralı alan = 16S − 9S = 7S B
8
18°,36° ,72°,54°… gibi 3 ün katı olan açıların trigonometrik oranlarını hesaplamada çok kullanışlı bir üçgendir.
2
C celal.isbilir@gmail.com