Üçgenler

ÜÇGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR ORTA TABAN

STEWART TEOREMİ TEOREMİ

A A [DE]: orta taban

≈

D

k

2k

x2 =

b

x

b2.m + c 2.n – m.n m+n

|BC| = 2|DE|

≈

B

c

[DE] // [BC]

E

n

B m D

C

C

(Orta noktaları görünce birleştirip orta taban yapmaya çalışalım.)

Özel olarak ikizkenar üçgende Stewart teoremi daha kısa olarak:

İÇ AÇIORTAY TEOREMİ TEOREMİ

A A

A

c

c

b

m

n

N

B

C

b

N

b

x

b

.K

nA

B

x 2 = b2 – m.n

..

..

n

B m D

C

a

C

MENELAUS TEOREMİ TEOREMİ

(K : iç açıortayların kesim noktası)

|AK|

|nA |2 = b.c – m.n

=

|KN|

c +b a

DIŞ DIŞ AÇIORTAY TEOREMİ TEOREMİ A ..

.

c

x

b

a

B

b d = c d+a

d

a a

g

e

a+ b E

f

F

c

.

Va

D

d

a2 2

f

= 1

•

b

•

a

g h

= 1

a ≥ b ≥ c ⇒ Va ≤ Vb ≤ Vc B a

D

ya da

c

P

C

b

C

a

CARNOT TEOREMİ TEOREMİ

4(Va2 + Vb2 + Vc2) = 3( a2 + b2 + c2 )

A

A

NOT: |AD| =

B

|BC|

≈

F

.

f

5Va2 = Vb2 + Vc2

Va

≈

B

Aynı mantıkla… d

e

2 muhteşem üçlü

D

.

A

f

a c.e . =1 b d f

E

F

k

B

d+ c

a.c.e = b.d.f

e

2v a 2 = b2 + c 2 − G

e

D

A

b

•

C

A

2k

c d

SEVA (CEVA) TEOREMİ TEOREMİ

KENARORTAY TEOREMİ TEOREMİ

c

d

b

B

•

ya da

h

d

D

x 2 = d.(d + a) – b.c

C

A

eks TR em yayınları

c b = m n

D

D a2 +

C

1

d

.E E

c

. a

e

.

.

f

b

C

c2 +

e2 =

B b2 +

a

F

b

D c C

d2 + f2 celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar

DİK ÜÇGEN ÜÇGEN

A

z

x

hipotenüs dik kenarlar

A

z2 = x2 + y2 (pisagor teoremi)

.

B

A p2 + 1 2

p

x.y 2

Alan(ABC) =

C

y

GENELLEME: 2

GENELLEME: 1

z x, y

.

B

max {x, y, z} = z

a2+b2 2ab

.

C

2

p −1 2

B

a2 – b2

C

ÖKLİ KLİD BAĞ BAĞINTILARI: (Dikmeden dikme) A 60°

45°

2x

x

.

x 2

x

.

30°

x 3 30º, 60º, 90º dik üçgeni

75°

.

45°

x

45º, 45º, 90º dik üçgeni

.

.

4x

b

x

c

h

15°

15º, 75º, 90º dik üçgeni

p

ABC ikizkenar dik üçgen

A x 5

2x

x 3

x

B

30º, 30º, 120º ikizkenar üçgeni

C

A 75°

2 2

3 −1

A Va: kenarortay c

B

C

3 +1

3

5

7

A

24

15

[AC] ⊥ [BD] ise

d

a2 + b2 = c2 + d2 H

.

B

.

12

4

C

H x D

b2 – c 2 2.a

a

17

8

.

.

.

25

ha: yükseklik x=

b 13

b

va

ha

KENARLARI TAMSAYILI BAZI Dİ DİK ÜÇGENLER ÜÇGENLER

5

C

F

B

.

15° B

A( ABC) 2 (eş üçgen taşıma…)

A(BEDF) =

.

.

C

[ED] ⊥ [DF] ise,

E

eks TR em yayınları

30°

|AD| = |DC|

D ≈

30°

B

.

x

120°

b2 = p.(p+k)

IV) h.a = b.c

≈

x

II)

C

k

H a

A A

h2 = p.k

III) c2 = k.(k+p)

.

B

I)

D

c

(pisagor teoreminden)

a C

41

9

61

11

.

.

.

85

13

.

84

60

40

29

20

BDC üçgeni yukarı katlanırsa 21 A

145

17

.

181

19

35

180

C

b ve katları…

.

.

144

37

c

12

B

2

.

H

[AH] ⊥ [BD] a2 + b2 = c2 + d2

d a D

celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar (Bir önceki şekilde ABH üçgeni sağa katlanırsa)

A

A

≈

.D

F

≈

[ BEF ≅

≈ ≈

D

.

≈

E |DB|2 + |AC|2 = |DC|2 + |AB|2

.

Simetri ekseni

d

C

B

CDF olduğuna

dikkat edelim. ]

C

B

H

Bir ikizkenar üçgende uzunlukları eşit kenarlara ait yüksekliklerin uzunlukları da eşittir.

Bir ikizkenar üçgenin tabanında alınan herhangi

A A

.

O

r

çizilen dikmelerin uzunlukları

|EB| = |BD| = r

F E

bir noktadan eşit kenarlara

A(ABC) = m.n

m

n

r

.

r = u – (m + n) u=

.

B r D

C

E

a+b+c 2

.

.

B

toplamı eş yüksekliklerden

H

birinin uzunluğuna eşittir.

D

|AB| = |AC| ise |FD| + |FE| = |BH|

C

F

A A

A

.H .

.

D

B c

b

d

a

.

B

a

H

c

C

d

.

C a2 + b2 = c2 + d2 (pisagor teoreminden)

a2 + b2 = c2 + d2

eks TR em yayınları

b

K

P

üzerinde alınan bir noktadan x+ y

ikizkenarlara çizilen paralellerin

x+y

F

toplamı ikizkenarlardan birinin

E

x y

m( B ) = m( C ) hb= hc , Vb= Vc , nB = nC

uzunluğuna eşittir.

[DF] // [AC] ve [DE] // [AB]

C

D

B

|AB| = |AC| ise

İkizkenarlara ait kenarortaylar (Vb, Vc) birbirine eşittir.

≈

≈

.

.

C

B

A

≈

≈

A

İkizkenarlara ait açıortaylar (nb, nc) birbirine eşittir.

b

İkizkenarlara ait yükseklikler (hb, hc) birbirine eşittir.

B

(A merkezli b yarıçaplı çember veya tepeden

b

x

dikme çizilerek de x

n m D x2 = b2 – m.n

C

bulunabilir.)

D A

|AB| = |AC| ise

a

|AH| = ha= nA= Va

.

H

|DE| + |DF| = |AB|

İkizkenar üçgende tepeden tabana çizilen açıortay, kenarortay, yükseklik aynı doğru üzerindedir.

..

B

İkizkenar üçgende taban

A

İKİZKENAR ÜÇGEN ÜÇGEN A

H’

C

B

.

|AB| = |AC| ise |KH| – |KP| = |BH′|

h = b+

F h

C B

Simetri ekseni

3

a 2

b

.

.

E

H

C celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar

EŞKENAR ÜÇGEN ÜÇGEN

BENZERLİ BENZERLİK VE EŞ EŞLİK

İkizkenar üçgenin tüm özelliklerini gösterir.

[ED] // [BC] ise

A

a2 3 Alan( ABC) = 4

60°

a

a

60°

h=

60°

a

B

A

C

a 3 2

| AE | | AD | | ED | = = | AB | | AC | | BC |

.

G

= diklik merkezi.

uzunluğuna eşittir. x + y + z = |AB|

z

G : ağırlık merkezi ise x = y = z = a/3

C

F a

A

a

.

P .

H

B

x + y + z = |AH| = h =

Alanları eşittir

c

D

C

[AB] // [EF] // [DC] F

E

| EF | =

a 3 2

D

A C

[AB] // [EF] // [DC]

E

y

z

x B

120°

a

B

F 1 1 1 = + x y z

C ya da

x=

y.z y+z

x; y ile z nin harmonik ortasının yarısıdır.

C

K

A

z D

E

C

y

a

a

2.a.c a+c

|EF|: a ile c nin harmonik ortası

B

a

z .

a

a2 3 4

C a

A

A

A( ABC) =

B

C

a.h (Benzerlikten) a+h x; a ile h nin harmonik ortasının yarısıdır.

ABC eşkenar üçgen

y .

x

E

paralellerin toplamı bir kenarın

G y

B

H

KDEF kare ise x =

bir noktadan kenarlara çizilen

x

RE x KA

a

Eşkenar üçgen içinde alınan

D E

D

C

A

h x

.

B

G:ağırlık merkezi = i.t.ç.m.

D

F h

= çevrel çemberinin merkezi

E

.

B

K

= iç teğet çemberin merkezi

eks TR em yayınları

.

A

A

Eşkenar üçgende ağırlık merkezi

..

F

C

B

ha = hb = hc = Va = Vb = Vc = n A = nB = nC

A

| AE | | AD | = | EB | | DC |

D

E

x

ABCD paralelkenar ise

F

x 2 = y.( y + z )

B

a

A

C

4

B

celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar

ALAN HESABI

A

A

A G .

B .

B’

|BB’|+ |AA’|+ |CC’| = 3|GG’| (benzerlikten)

.

C’

. .

A’ G’

D.

.

H

.

F

C

B

. .

B

A

H H; ABC nin diklik merkezi (yüksekliklerin kesim noktası) Heron formülü (üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin alanı)

C

B

C

E

|BE|. |EC| = |EH|. |EA|

H .

.G P.

K .

.

G ağırlık merkezi ise

C

a+b+c 2 u : yarı çevre

A G: ağırlık merkezi, |BK| + |HC| = |AP| dir. (Benzerlikten)

U=

c

b

Benzer iki üçgenin çevreleri oranı benzerlik oranına

a

B

eşittir.

C

Alan(ABC) = u.(u − a).(u − b).(u − c)

Benzer iki üçgenin karşılıklı açıortayları oranı benzerlik oranına eşittir.

A

E

benzerlik oranına eşittir.

Benzer iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri oranı benzerlik oranına eşittir.

Benzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranının

eks TR em yayınları

Benzer iki üçgenin karşılıklı kenarortayları oranı

a

B

D

[EA] // [BD] // [FC] ise h.a Alan(ABCD) = 2

h .

F

C A

E

karesine eşittir.

a

B

D

[EA] // [BD] // [FC] ise h.a. sin α Alan(ABCD) = 2

h

Benzer iki üçgenin iç teğet çemberlerinin yarıçapları

α

oranı benzerlik oranına eşittir.

F

C

Benzer iki üçgenin dış teğet çemberlerinin

A

yarıçapları oranı benzerlik oranına eşittir.

[DE] // [BC] ise Benzer iki üçgenin çevrel çemberlerinin yarıçapları

h

oranı benzerlik oranına eşittir.

A

Çapraz açı

x

y

z

C

C

[DE] // [BC] ise |AB| = |CD| ve

α

2α α + 3β β = 180º

D

h

⇒β = θ

≈ D

≈

B

h.a 2

A

(benzerlikten)

A

β

Alan( ADC) =

E

B

x 2 = y.(y + z)

D

a

.

α

α B

D

C

E

Alan(ADC) =

h.a. sin α 2

α

⇒(benzerlikten)

θ

a

B

5

C celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar A

A K

DEFK dikdörtgeninin

.

60º 60º

alanı en büyük

F

.

y

değerini aldığında

z

x

K (dolayısı ile de F)

.

orta nokta olur.

.

D

B

B

C

E

A c

.

B

Alan(ABC) =

b

O

R

[ A(ABD) + A(ADC) = A(ABC) ]

a.b.c 4.R

A S G

F

C R: çevrel çemberin yarıçapı

a

C

D 1 1 1 = + x y z

S

G: ağırlık merkezi S

E S

S

S

C

D

B

ALAN PARSELLEME (BÖ (BÖLME) Açıortay üzerinde alınan bir noktadan kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan

A A

B

b.S

c.S

b

a.S

..

a

C

A Alan( ABC) = ( S1 + S2 )

S1 F

pa

B

na

B

r

C A

~

S

D

B

S2

E G

S

C

C

E

Alan( ABDC) =

| AD | . | BC | 2

D

E

S

P

B

C

H

d

A

c

D

.

S = A ise a.b = c.d

a

b

S

A

A

B

G: ağırlık merkezi

~ F

(Benzerlikten)

G: ağırlık merkezi

S

G S

Alan(BEDF) = 2 S1.S2

D e elk ral

2

eks TR em yayınları

c

S

Genelleme

C

A

Alan( ABDC) =

| AD | . | BC | . sin x 2

A a

S = A ise

A

b

D

a.c = b.d

D

d

P

S B

E

c

x B

C

6

H

C celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

NOT: b.c. sin α Alan(ABC) = 2

A

A

α b

T.A

y

c

E

c

A(ABC)

b

x.y b.c

x

D B

=

C

F

Aynı Aynı mantı mantıkla aş aşağıdaki ğıdaki pratik yollar çıkarı karılabilir… labilir…

C

B PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

A b S1

a

S1 + S2 = (b + c).(a + d)S

E c

S2

A

S1 + S2 + S3 = (b+c+e).(a+d+f)S

d

F e

Örnek.

S1 = a.bS

D

K f

S3

E

3n

5k

A( ABC)

=

2.n.k 15.n.k

=

2 15

k

D

C

B

T.A

2n

F 4S

Örnek:

F 2k

S1 = 2k.2n = 4S S1 + S2 = 3k.5n = 15S S1 + S2 + S3 = 5k.6k = 30S K n

S3

eks TR em yayınları

2k S 2n 1 D E k S2 3n

11S

PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

D S2

c

S3 E

b

D 3k C

S1 = 2m.3k = 6S

2m S1

S3 = b.c(e + f)S

24S

S2 = 3m.8k = 24S

E

C

3m

A(ABC) = (a + b).(c + d).(e + f)S

S3

S1 + S2+ S3 = 11k.5m = 55S

S2

A

25S

8k

B

5S

Örnek:

A 12S

n

S1

D 2n B

B 6S

S2 = a.f(d + c)S

F

a

B

S1 + S2+ S3 = (a+d)(b+c)S a

Örnek.1

S1 = e.d(a + b)S

d

S1

S2 = a.bS

S2

A A

S1 = c.dS

S3

b

PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

ABCD yamuk

S1

E 15S

e

C

D d c

C

B

f

C

B

A

3k

m S3 m

E

2k

4S ABCD yamuk

D 2a C

S2 = 2n.3k.2m = 12S F

S2

Örnek.2

S1 = m.n.5k = 5S

2n S 1

S1 = 2a.2n = 4S

E

S3 = m.2k.3n = 6S

n 3n

C

6S A(ABC) = 5k.2m.3n = 30S ⇒ Taralı alan = 30S − 23S = 7S

A

S2 = 3n.5a = 15S

S3

F

S1 + S2+ S3 = 7a.6n = 42S S2

B

5a

23S

15S

7

celal.isbilir@gmail.com

Üçgenler hakkında genel hatırlatmalar PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

c

D

PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

F

S2

S1

a+b

C

d

b

S1

S2 = d.bS

E

C

d

S1 = (a + f)S

S2

S2 = (e + b)S

S3

S3 = (c + d)S

S3 = a.(c + d)S

a

c+d

A

ABCD paralelkenar

D f F e

S1 = c(a + b)S

E S3

ABCD paralelkenar

a

B

G b H c B

A(ABCD) = 2(a + b).(c + d)S

Örnek:

6S

Örnek.1

3n

D

15S

F

S2

S1

5k

S1

S2 = 2n.3k = 6S S3 = 5n.2k = 10S A

3a

D

F

2k

C

2a

k E

S3 = 3S

A ABC bir üçgen S1 S3

D

M

S2

B

S2 = 2a.k = 2S

[DE] // [BC] ise S S 3 1 = S S

E

2

4

S4

C

F

PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

B

5a

S2 = 3S

S1 = 3a.2k = 6S

k A

S3

PRATİ PRATİK Bİ BİLGİ LGİ

ABCD paralelkenar

S2

S1

S2

G k H k B

3k

eks TR em yayınları

2S

6S

C

10S

A(ABCD) = 2.5n.5k = 50S ⇒ Taralı alan = 50S − 31S = 19S

Örnek.2

E 2k

S1 = 4S

S1 = 3n.5k = 15S

3k

B

5n

D k F 2k

ABCD paralelkenar

E 2k

S3

A

C

2n

Çevre uzunlukları eşit olan üçgenler içinde alanı en büyük olan eşkenar üçgendir.

A(ABCD) = 2.5a.2k = 20S ⇒ Taralı alan = 20S − 8S = 12S

Çevre uzunlukları eşit olan dörtgenler içinde alanı en büyük olan karedir. Çevre uzunlukları eşit olan beşgenler içinde alanı en büyük olan düzgün beşgendir.

S

Örnek.3

3b

D 6S

F b S2

S1

2k

ABCD paralelkenar

C

S2 = b.k = S

k

A

2b

T

2b

B

Altı Altın üçgen üçgen

36°

S3 = 2b.k = 2S

E S3

ALTIN ÜÇGEN; ÜÇGEN; A

S1 = 3b.2k = 6S

k

5 +1

5 +1

2S 72°

72°

A(ABCD) = 2.4b.2k = 16S ⇒ Taralı alan = 16S − 9S = 7S B

8

18°,36° ,72°,54°… gibi 3 ün katı olan açıların trigonometrik oranlarını hesaplamada çok kullanışlı bir üçgendir.

2

C celal.isbilir@gmail.com