MATEMATIKA D B H
1
Irakaslearen gidaliburua
Lander INTXAUSTI
Santiago LARRAÑAGA
erein
Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org 91 702 19 70 / 93 272 04 47).
Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza Sailak onetsia (2018-VI-7)
Azala eta liburuaren diseinua: Iturri Maketazioa: Erein Azaleko irudia eta ilustrazioak: Iván Landa © Lander Intxausti, Santiago Larrañaga © EREIN. Donostia 2018 ISBN: 978-84-9109-280-3 L.G.: SS-820/2018 EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107 20018 Donostia T 943 218 300 F 943 218 311 e-mail: erein@erein.eus www.erein.eus Inprimatzailea: Gertu Zubillaga industrialdea 9 20560 Oñati T 943 78 33 09 F 943 78 31 33 e-mail: gertu@gertu.net
Aurkibidea
Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. unitatea: Zenbakikuntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2. unitatea: Zatigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3. unitatea: Geometria planoan eta espazioan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4. unitatea: Zenbaki arrazionalak: zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
5. unitatea: Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak . . . . . . . . . . .
87
6. unitatea: Estatistika deskribatzailea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. unitatea: Aljebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8. unitatea: Funtzioak eta grafikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9. unitatea: Probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
SARRERA
Aurkezpena
Matematika DBH1 ikasmateriala DBHko lehenengo mailan Matematikarako konpetentzia lantzeko dago diseinatuta. Ikasmaterial hau Sigma proiektuaren parte da, hain zuzen ere, DBHko etapa osoan zehar Matematikarako konpetentzia mailaz maila eta modu progresiboan eskuratzeko diseinatutako ikasmaterialen proiektuaren parte. Horrenbestez, lau mailen artean lotura koherentea duen planteamendua aurkezten dugu; problemen ebazpena hartzen du oinarri eta Matematikarako konpetentzia lantzeko indarrean den legediaren araberako curriculumean proposatutako lau eduki multzo nagusiak garatzen ditu, modu progresibo eta osagarrian (zenbakikuntza eta aljebra, funtzioak eta grafikoak, estatistika eta probabilitatea eta geometria eta neurria). Gainerako diziplina konpetentzien garapenmailarekin bateratuta dago (etengabeko loturak ezarriz) eta zehar-konpetentziei egiten zaien ekarpena ere hartzen da kontuan. Problemen ebazpena hartzen du oinarri ikasmaterial honek, izan ere, problemen ebazpenean gauzatzen baita Matematikarako konpetentzia bere osotasunean. Arazo bati konponbide egokia emateko mobilizatu eta egituratzen dira beharrezko jakintzak eta abileziak, eta horrela sortu eta aplikatzen dira ideia berriak. Problemen ebazpenak ahalbidetzen du diziplinartekotasuna, proiektuen bidez lan egitea, ikerketa proposamenak egitea eta konpetentzietan oinarritutako ikasketa esanguratsua lantzea, bakarka zein taldean.
Xedea eta helburuak Honako hau da DBH etaparako sortutako ikasmaterial honen xedea: Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako ikasleek, herritar diren aldetik izan ditzaketen eguneroko beharrizanei erantzun ahal izateko, sortzen zaizkien arazoak ulertzea, deskribatzea eta horiei ebazpide egokia emateko oinarrizko jakintza matematikoa eta alor horren baliabideak modu eraginkorrean erabiltzea. Xede nagusi hori honako alderdi hauetan zehazten da: • Eduki matematikoa duten problema-egoerak identifikatzea eta estrategia egokien bidez ebaztea. • Jakintza matematikoak eskaintzen dituen baliabideak aplikatzea, bai egunerokotasunean bai hala eskatzen duten beste jakintza-esparruetan. • Jakintza eta prozedura matematikoak ezagutzea, erlazionatzea, integratzea eta balioestea, errealitatea eta norbere testuingurua ulertzeko, deskribatzeko, interpretatzeko eta komunikatzeko. • Gogoeta eta arrazoinamendua garatzea, nork bere ondorioak eta horietara iristeko prozesua justifikatzeko, eta gainerako pertsonek aurkeztutako hausnarketak, emaitzak eta ondorioak modu kritikoan aztertzea.
5
Sarrera
Matematika DBH1 ikasmateriala, DBHko etapa osorako ikasmaterialen Sigma proiektuaren zatia denez, bereak egiten ditu indarrean den 236/2015 dekretuak proposatutako curriculumak etapa honetarako Matematikaren arloan proposatzen dituen helburuekin: 1. Banaka edo taldean, eguneroko bizitzatik ateratako problemak, beste zientzia batzuetakoak edo Matematikakoak planteatzea eta ebaztea, eta zenbait estrategia aukeratzea eta erabiltzea, ebazpen-prozesua justifikatzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizartean modu eraginkorragoan jardun ahal izateko. 2. Matematikako ezagutza aplikatzea eguneroko bizitzako gertaerei eta egoerei buruzko informazioak eta mezuak ulertzeko, balioesteko eta sortzeko, eta beste ezagutza-arlo batzuetan erabilgarriak direla jakitea. 3. Elementuen, erlazioen eta propietateen ezagutza erabiliz, natura- eta kultura-inguruneko forma geometrikoak identifikatzea, errealitatea deskribatzeko, eta ezagutza geometrikoak aplikatzea inguruan dugun mundu fisikoa ulertzeko eta analizatzeko, eta hari buruzko problemak ebazteko. 4. Kalkuluak eta iritzirako kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, etab.) segurtasunez eta konfiantzaz egitea, egoera bakoitzerako prozedura egokienak (buruzko kalkulua, idatzia, kalkulagailua...) erabiliz, bizitzako egoerak interpretatzeko eta balioesteko, eta emaitzak sistematikoki berrikustea. 5. Beren adinerako egokiak diren eta emaitzak eta ondorioak argi eta garbi eta koherentziaz justifikatzeko eta aurkezteko norberaren pentsamendua adieraztea errazten duten hizkuntza arrunteko eta hizkuntza matematikoko elementuak (zenbakiak, taulak, grafikoak, irudiak) erabiliz, arrazoitzea eta argudiatzea. 6. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak (kalkulagailuak, ordenagailuak, etab.) behar bezala erabiltzea, kalkuluak egiteko, denetariko informazioak bilatzeko, tratatzeko eta adierazteko, baita Matematika ikasten laguntzeko ere. 7. Matematika kulturaren parte dela balioestea, hura erabiliz gozatzea, Matematikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea eta eskuratutako Matematikako konpetentziak aplikatzea, zenbait fenomeno sozial analizatzeko eta balioesteko; esate baterako, kultura-aniztasuna, ingurumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa, genero-berdintasuna edo bizikidetza baketsua.
Indarrean den curriculumarekiko lotura
Matematika DBH1 ikasmateriala, jakintza arlo honetarako Sigma proiektuaren baitan etapa osorako garatzen ari garen ikasmaterialekin batera, Heziberri 2020 hezkuntza-proiektuan dago oinarrituta eta bertan planteatutako erronkei aurre egiteko dago diseinatuta. Oinarrizko derrigorrezko hezkuntzaren amaieran, ikasleak izan behar duen profilera begira, Matematikari dagokion diziplina-konpetentzia egoki garatzea bilatzeaz gain, konpetentzietan oinarritutako hezkuntza-sistema batean, gainerako diziplina-konpetentziak garatzea ahalbidetzeko loturak planteatzen ditu, Matematika diziplinak berezkoak dituen elementuen bidez, eta horrek gainerako diziplina-konpetentzietan beharrezkoak diren baliabide intelektualak eskaintzen ditu eta horien garapena sakontzen lagundu. Horrekin batera, Matematikarako konpetentzia garatzeko ere etengabe jotzen da gainerako diziplina-konpetentzietara eta zehar-konpetentzietara, ikaslearen eguneroko errealitatearen esperientzian oinarritutako planteamendu praktikoaren bitartez.
6
Sarrera Horrenbestez, ikasmaterial hau, indarrean dagoen 236/2015 dekretuak bere baitan jasotzen duen curriculum orientatzailetik abiatuta, Matematikarako diziplina-konpetentziaren garapenean trebatzeko dago osatuta, eta hainbat alderditan lotura zuzena du dekretuak berak jasotzen dituen Matematikarako konpetentziaren ezaugarriekin: • Problemen ebazpenean dago oinarrituta, eta horietatik abiatuta eraikitzen da ikasketa-prozesu osoa. • Problema-egoera horiek Ikaslearen esperientzia eta testuinguru hurbila erabiltzen dute jarduera-iturri moduan. • Osagai intuitibotik abiatuta abstrakzio- eta formalizazio-prozesuak finkatzen ditu ikasketa- eta hausnarketa-prozesuan. • Matematikaren izaera instrumentalak zuzenean egiten du bat hizkuntzaren erabilera zehatz eta argiarekin, eta beste jakintza arloetarako beharrezko tresna bihurtzeaz gain, errealitatea ulertu, deskribatu eta komunikatzeko oinarrizko baliabidea bihurtzen da, baita ideien garapenerako eta hausnarketarako baliabidea ere. • Matematikarako konpetentzia garatzeko baliabide teknologikoak erabili behar dira, eta prozedurak errazteko eta gogoeta egiteko eta ideiak garatzeko bideak zabaldu behar ditu. • Problemen ebazpena problema-egoera moduan aurkeztutako proiektu txikien bidez lantzen denez, talde lana eta horri lotutako zehar-konpetentziak garatzeko testuinguru egokia sortzen dira. Ikasmaterial honek lantzen dituen edukiak eta erabiltzen dituen ebaluazio-irizpideak indarrean dagoen curriculumak proposatzen dituenetan daude oinarrituta. Horrekin batera, aipatzekoa da indarrean dagoen curriculumak enfasia jartzen duela arloen arteko loturetan eta zehar-konpetentzien garapenean. Ikasmaterial honek bere baitan hartzen du zeregin hori, eta gainerako arloekiko loturak egiteko proposamenak jasotzen ditu unitate guztietan.
Oinarrizko konpetentziak Ikasmaterial honen bidez, DBHko ikaslearen Matematikarako konpetentziaren garapena ahalbidetzeko ikasketa-prozesu bat proposatzen da, indarrean dagoen curriculumak aurreikusten duen irteera-profila osatzeko. Horretarako, ikuspuntu konstruktibista hartzen du oinarri metodologiko moduan, batetik Matematikaren ikasketari modu naturalenean doitzen zaion planteamendu pedagogikoa delako (Matematikarako konpetentzia jadanik finkatuta dagoenari konplexutasuna gehituz garatzen dugu), eta, bestetik, ikasleak bere esperientzietatik abiatuta bere ikasketa-prozesuaren protagonista izanik, modu egokian erantzuten diolako konpetentzietan oinarritutako hezkuntza-paradigma bati. Horrenbestez, problemen ebazpenean oinarritutako lan-planteamenduak egoki erantzuten die bi betebehar horiei, eta konpetentzien arabera lan egiteko (ikasteko) planteamendurako beharrezko aldaketa metodologikoa ahalbidetzen du: taldean lan egitea, problemen ebazpenean oinarritutako proiektuen arabera lan egitea edo ikasketa prozesuak abiarazteko problema egoeretatik abiatzea, besteak beste. Arestian aipatu den moduan, ikaslearen testuinguru eta esperientziatik abiatzen den eta problemen ebazpenean oinarrituta dagoen ikasketa-planteamendu batek, diziplinartekotasunera bideratzen du ikasketa-prozesua, eta horrek lotura zuzenak sortzen ditu gainerako diziplina-konpetentziekin, horiek garatzeko tresna bihurtzen baita. Zehar-konpetentziei dagokionez, Matematikarako konpetentzia garatzeak ezinbestean eskatu eta ahalbidetzen du komunikaziorako konpetentzia bere hiru dimentsioetan (hitzezkoa, hitzik gabea eta
7
Sarrera digitala), eta arloak berezkoak dituen zenbait ekarpen egiten dizkio, errealitatea eta haren konplexutasuna zehatz eta argitasunez deskribatu eta komunikatzeko baliabideak eskainiz (terminologikoak eta kontzeptuzkoak). Era berean, ikasmaterial honek planteatzen duen lan-metodologiak modu intentsiboan erabiltzen ditu Matematikak berez ezagutza-arlo moduan garatzen dituen hausnarketa eta sormena, eta horiek zuzenean eragiten dute ikasten eta pentsatzen ikasteko konpetentziaren garapenean eta ekintzailetzarako konpetentziaren garapenean. Horrekin batera, problemen ebazpenean oinarritutako taldeko zereginek, elkarbizitzarako konpetentzia garatzearekin batera, komunikaziorako konpetentzia, ikasten eta pentsatzen ikasteko konpetentzia eta ekintzailetzarako konpetentziaren garapena ahalbidetzen dute.
Landuko diren edukiak Ikasmaterial honen edukiak indarrean dagoen 236/2015 dekretuak proposatzen dituen eduki multzoen arabera antolatzen dira. Problemen ebazpena zeharkako eduki moduan erabiliko da, Matematikako lana ulertzeko eta gauzatzeko berariazko modu bat izanik, ikasmaterial honetan planteatzen den ikasketa-prozesu osoaren oinarri metodologikoa baita. Horrekin batera, eduki komunen multzoaren edukiek ere zeharkako trataera izango dute unitate guztietan. Gainerako edukiak lau multzo handitan banatu dira: Zenbakiak eta Aljebra; Geometria eta Neurria; Funtzioak eta Grafikoak; Estatistika eta Probabilitatea. Matematika DBH1 ikasmaterialeko edukien zerrenda honako hau da:
Eduki komunak: Problemen ebazpena eta gainerako eduki komunak (a) Arlo eta ikasgai guztietan komunak diren edukiak
– Informazioa identifikatzea, lortzea, gordetzea eta berreskuratzea. – Informazio-iturrien eta informazioaren beraren egokitasuna ebaluatzea. – Informazioa ulertzea (aldaratzea, sailkatzea, sekuentziatzea, aztertzea eta laburbiltzea), buruz ikastea eta azaltzea (deskribatzea, definizioak eta laburpenak egitea, azalpenak ematea, etab.). – Informazioa balioestea eta adieraztea (argudioak azaltzea, arrazoiak ematea, etab.). – Ideiak sortzea, hautatzea eta adieraztea. – Ideiak, zereginak eta proiektuak planifikatzea, eta haien bideragarritasuna aztertzea. – Egindako plangintza betetzea eta, beharrezkoa bada, hura doitzea. – Plangintzaren eta egindako lanen ebaluazioa egitea, eta hobekuntza-proposamenak lantzea. – Lortutako emaitzaren berri ematea. – Harremanak eta komunikazioa lantzea (enpatia eta asertibitatea). – Taldean ikasteko lanetan laguntzea eta elkarlanean aritzea. – Giza eskubideak eta gizartearen konbentzioak errespetatzea. – Gatazkak kudeatzea. – Norberaren gorputza erregulatzea.
8
Sarrera – Norberaren emozioak erregulatzea. – Norberaren alderdi kognitiboa erregulatzea. – Norberaren komunikazioa erregulatzea (hitzezkoa, hitzik gabekoa eta digitala). – Norberaren jokabide morala erregulatzea. – Norberaren motibazioa eta gogo-indarra erregulatzea.
(b) Matematikaren arloari berariaz dagozkion eduki komunak b.1. Problema teknologikoak ebaztea. – Problemak ebazteko metodo orokorrak (Polya, Miguel de Guzmán). – Problemak ebazteko heuristiko erabilienak: saiakuntza-errorea, problema errazago bat ebaztea, problema bat problema txikiagotan banatzea, problema birformulatzea, taulak erabiltzea, zenbaketa zehatza, diagramak edo marrazkiak. – Zenbakizko jarraibideekin, jarraibide alfanumerikoekin edo geometrikoekin lotutako problemak ebaztea. – Problemak ebaztean jarraitutako prozedura ahoz adieraztea. – Prozesua justifikatzea eta soluzioak egiaztatzea. – Datuak hipotetikoki aldatu ondoren, aieruak egitea. – Zenbakiei, neurriei, geometriari, zoriari eta abarrei buruzko ikerketa matematiko errazak egitea. – Modelizazio matematikoa egitea, benetako testuinguruetan eta testuinguru matematiko sinpleetan. b.2. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak – Zenbakizko kalkuluak, kalkulu eta grafiko estatistikoak, irudi geometrikoak eta grafiko errazak erabiltzea behar duten problemak ebaztea (Matematikaren morroiak). – Erabilitako prozesuei eta lortutako emaitzei eta ondorioei buruzko txostenak eta dokumentuak egitea. – Matematikako informazioa eta ideiak ingurune egokietan jakinaraztea eta elkarbanatzea. b.3. Jarrerak – Aieruak egiteko, galderei erantzuteko eta problemak ebazteko interesa eta norberaren ahalmenetan konfiantza izatea. – Problemen ebazpenean ideiak ekartzeko eta alderatzeko oinarrizko elementutzat hartzea taldelana. – Pertseberantzia eta malgutasuna problemen soluzioa bilatzeko eta jarraitutako prozesua eta lortutako emaitzak txukun eta argitasunez aurkezteko interesa izatea. – Eguneroko bizitzako problemei aurre egiteko Matematika garrantzitsua dela jakitea eta aintzat hartzea, eta gizarte-arazo batzuk aztertzea, Matematikaren zeregina eta eragina modu kritikoan aztertuz.
9
Sarrera
Zenbakiak eta aljebra – Zenbaki arruntak. Zatigarritasuna, multiploak eta zatitzaileak. Zenbaki lehenak eta zenbaki konposatuak. Biderkagai lehenetan deskonposatzea. Zatitzaile komunetan handiena eta multiplo komunetan txikiena. – Zatikiak eta hamartarrak eguneroko bizitzako testuinguruetan. Zatikien esanahiak eta erabilerak. Zatikien arteko eragiketak: batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa. – Zenbaki hamartarrak. Zatikien eta hamartarren arteko erlazioak. – Zenbaki negatiboak. Sarreraren beharra. Zenbakizko zuzenean adieraztea. Zenbaki osoen arteko eragiketak. Zeinuen irizpideak. Eragiketen hierarkia eta parentesien erabileraren arauak kalkulu errazetan. – Berretzaile arrunteko berreketak. Oinarrizko propietateak. – Erro karratua. Erroaren eta berreketaren arteko erlazioa. – Ikasitako zenbakiekin buruzko kalkuluak egiteko estrategiak. Kalkulu zehatza eta hurbildua. – Magnitude proportzionalak. Magnitude zuzenki proportzionalen benetako egoerak identifikatzea. Proportzionaltasunarekin lotutako problemak. – Osaketak edo aldakuntzak adierazteko ehunekoak. Ohiko ehunekoak buruz kalkulatzea eta idatziz. – Hizkuntza aljebraikoa: letren esanahia eta erabilera magnitude ezezagunak adierazteko. – Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak. – Jarraibideak ohiko hizkuntzako adierazpenak hizkuntza aljebraikoan adierazteko eta alderantziz. – Zenbakizko sekuentzietan propietateak, erlazioak eta erregulartasunak bilatzea eta adieraztea. – Formula errazetan zenbakizko balioak kalkulatzea.
Geometria eta neurria – Planoan eta espazioan irudiak deskribatzeko oinarrizko elementuak: puntuak, zuzenak, zuzenkiak, angeluak, aurpegiak, etab. – Zuzenkien eta angeluen elementuak: erdibitzailea, erdikaria. – Irudiak espazioan: poliedroak eta biraketa-gorputzak. Elementu bereizgarriak. – Irudiak planoan: triangeluak, laukiak eta beste poligono batzuk. Elementuak eta ezaugarriak. Erlazioen eta propietateen analisia: paralelotasuna eta elkarzutasuna. Sailkapena zenbait irizpideren arabera. – Poligono erregularrak. Eraikuntza eta propietateak. – Irudi lauen angeluen neurriak eta kalkulua. – Zirkunferentzia eta zirkulua. Propietateak. – Irudi lauen simetriak. Aplikazioak eta erabilerak. Mosaikoak eta haien propietateak. – Irudi sinpleen perimetroak eta azalerak kalkulatzea eta iritzira kalkulatzea, zenbait prozedura erabiliz. – Irudi lauak eta espazialak marrazteko eta neurtzeko zenbait tresna eta formatu (digitalak barne) erabiltzeko teknikak.
10
Sarrera
Funtzioak eta grafikoak – Bi magnituderen arteko korrespondentzia. Eguneroko bizitzako mendekotasun-erlazioak identifikatzea eta ahoz azaltzea. – Funtzio kontzeptua. – Datuak balio-tauletan antolatzea. – Koordenatu kartesiarrak. Enuntziatu bat eta balio-taula bat oinarri hartuta, grafiko sinpleak adieraztea. – Proportzionaltasun zuzeneko erlazioak. Balio-taula aztertuz, identifikatzea. – Taula batean aurkeztutako edo grafiko batean adierazitako informazioaren unean uneko interpretazioa eta interpretazio globala. Grafikoaren interpretazioari eragin diezaioketen distortsioak. – Software informatikoa erabiltzea (kalkulagailu grafikoak edo ordenagailua), grafikoak egiteko eta interpretatzeko.
Estatistika eta probabilitatea – Informazioa antolatzea. Esperimentu batean jasotako datuen taulak. – Maiztasun absolutuak eta erlatiboak. – Barra-, lerro- eta sektore-diagramak. Interpretazioa eta alderdi nabarmenen analisia. – Fenomeno deterministak eta ausazko fenomenoak. Ausazko fenomeno sinpleen esperimentuak. Ausazko fenomenoen portaera. Aieruak egitea. – Ausazko gertaeren maiztasun erlatiboa. Probabilitate kontzeptuaren nozio intuitiboa.
Ebaluazio-irizpideak eta ebaluazio-estrategiak
Matematika DBH1 ikasmaterialean proposatzen den ebaluazio-sistema hiru urratseko ebaluazioa da, ikaslearentzat eta irakaslearentzat ikasketa-prozesuari buruzko informazio esangarria eta baliagarria eskaintzen duena, eta ikasketa-prozesuaren eraginkortasuna hobetzera bideratuta dago. Gauzak horrela, hiru fasetako ebaluazio-sistema proposatzen da: 1. Hasierako ebaluazioa, ikaslearen gaitasun-maila kokatzeko eta ikasketa-prozesua haren egoeratik abiatuta diseinatu ahal izateko. 2. Prozesuko ebaluazioa, ikasketa-prozesua ikaslearen beharrizanen arabera doitzeko beharrezkoa den informazioa etengabe eskuratzeko. 3. Amaierako ebaluazioa, aurreikusitako estandarretan ikasleak lortutako maila erakusteko. Konpetentzietan oinarritutako ikasketa-prozesuaren ebaluazio-sistema honetan, integrazio-lana behar duten egoera konplexuak ebaztea lehenetsiko da, eduki soilak eskuratu diren baino gehiago. Hori dela eta, ikasmaterial honetan proposatzen diren ebaluazio-irizpideak 236/2015 dekretuak jasotzen dituenak dira. Lan unitate bakoitzean adierazle argiekin aurkezten dira dagozkion ebaluazio-irizpideak. Tresna horiek ikasketa-prozesuari buruzko informazioa emango diete bai ikasleari bai irakasleari. Hasierako eta prozesuko ebaluazioak egiteko, irakasleak behaketaren eta frogen bidez eskuratu ahal izango du beharrezko informazioa, eta feedback eraginkorra eskainiko dio ikasleari: talde-lanen tarteko ekoizpenak
11
Sarrera edo ikasleek egin beharreko bakarkako sakontze-jarduerak, besteak beste. Horrekin batera, unitatearen amaierako ebaluazio-froga bat izango du eskuragarri, ikaslearen lorpenak jasotzeko. Ikasleak, halaber, irakaslearengandik jasotako feedback-az gain, unitatean zehar eta unitatearen amaieran autoebaluaziorako jarduera multzo bat izango du, bere lorpen-mailaren jarraipena egin ahal izateko.
Matematika DBH1 ikasmaterialak proposatzen dituen ebaluazio-irizpideak aurkezten dira jarraian. Irizpide bakoitza adierazle multzo batean garatuko da; era horretara, ebaluazio-irizpidea jokabide behagarri bihurtzen dira, eta, horren ondorioz, horien lorpen-neurria emango dute: 1. Zenbaki arrunt, oso, zatikizko eta hamartar errazekin kalkuluak egitea, propietate garrantzitsuenak erabiliz, eta erantzun zehatza edo hurbildua behar den erabakitzea, eta kalkulatzeko modurik egokiena (buruzkoa, arkatza eta papera, kalkulagailua) segurtasunez aplikatzea. 2. Zenbaki osoen, hamartarren eta zatikizkoen arteko eragiketak behar dituzten problemak ebaztea, kalkuluak egiteko baliabide egokienak erabiliz, eta emaitza testuinguruari nola egokitzen zaion balioestea. 3. Magnitude zuzenki proportzionalekin lotutako problemak ebaztea, kalkuluak egiteko baliabiderik egokienak erabiliz, eta lortutako emaitzak interpretatzea eta balioestea. 4. Zenbakizko multzoen erregulartasunak, jarraibideak eta erlazioak deskribatzea, letrak erabiliz kantitateak adierazteko eta, hartara, zenbakizko sekuentziak adierazpenen bidez laburtzeko eta formula errazen zenbakizko balioa lortzeko. 5. Irudi lauak eta espazioko irudiak bereiztea eta deskribatzea, haien propietateak erabiliz sailkatzea, eta eskuratutako ezagutza geometrikoak aplikatuz mundu fisikoa interpretatzea eta deskribatzea, terminologia egokia erabiliz. 6. Irudi lauen luzerak, azalerak eta angeluak planteatutako egoerarako egokia den zehaztasunez iritzira kalkulatzea eta kalkulatzea, iritzirako kalkuluaren edo kalkuluaren emaitza unitaterik egokienean adieraztea, eta neurketa-prozesuak ulertzea eta inguruko problemen ebazpenetan aplikatzea. 7. Denetariko informazioak taulen eta grafikoen bidez antolatzea eta interpretatzea, mendekotasunerlazioak identifikatuz –proportzionaltasun zuzenekoak, bereziki–, eta ezagutza hori eguneroko bizitzako problemen ebazpenean aplikatzea. 8. Datuak antolatzeko eta grafiko estatistikoak sortzeko denetariko prozedurak erabiltzea, eta, lortutako emaitzak abiapuntu hartuta, arrazoizko ondorioak ateratzea. 9. Zorizko gertaeren probabilitate-nozioa esleitzea, enpirikoki lortutako maiztasun erlatiboaren kontzeptua abiapuntu hartuta, eta terminologia egokia erabiltzea. 10. Problemak modelo heuristiko bat erabiliz ebaztea: enuntziatua aztertuz, estrategia egokiak aukeratuz (saiakuntza-errorea, problema errazago bat ebaztea, problema bat problema txikiagotan banatzea, eskema bat marraztea, etab.), beharrezko kalkuluak eginez, lortutako emaitza egiaztatuz, eta, norberaren mailarako egokia den hizkuntza matematikoa erabiliz, ebazpenean zer prozesuri jarraitu zaion adieraziz. 11. Jarduera matematikoarekin lotutako jarrerak sistematikoki balioestea eta erabiltzea; esate baterako, jakin-mina, pertseberantzia eta norberaren ahalmenetan konfiantza izatea, ordena eta berrikuspen sistematikoa. Halaber, talde-lanean integratzea, besteen iritziak ikasketa-iturri gisa errespetatuz eta balioetsiz, eta helburu komun bat lortzeko lankidetzan aritzea.
12
Sarrera
Estrategia metodologiko orokorra
Matematika DBH1 Ikasmateriala Matematikako eskola-orduetan lantzeko dago diseinatuta. Unitate bakoitzak ikaslearen testuinguru eta esperientziatik abiatuko den problema-egoera bat planteatzen du, eta problema-egoera hori izango da unitatea garatzeko proiektua. Era horretara, unitateak aurrera egin ahala eskuratu eta aplikatuko dira proiektua garatzeko beharrezko baliabideak. Matematikako ikasgaia antolatzeko, lau ordu aurreikusten dira asteko. Horietatik hiru ikas-unitatea berariaz lantzeko erabiliko dira, oinarrizko egitura honekin: 1. Aurreko saioan egindakoa berrikustea (5 min) 2. Irakaslearen azalpena (10 min) eta ereduzko aplikazio-jarduerak (10 min) 3. Aplikazio-jarduerak (35 min) bakarkakoak eta binakakoak (beharrezkoa den kasuetan bateratzeak ere egingo dira talde osorako); bitartean, irakasleak ikasleen lana gainbegiratuko du. Asteko laugarren ordua problemen lantegia izango da, eta, saio honetan, asteko aurreko orduetan unitatean landutakoa aplikatzeko zereginak bideratuko dira: 4. Problemak ebazteko, bikoteka antolatuta. 5. Unitatearen proiektua edo problema-egoera ebazteko, talde txikietan (launaka/bosnaka). Problemen lantegietan ikasleek autonomia handiagoarekin lan egingo dute. Irakasleak oinarrizko zeregina aurkeztuko du, eta, behar izanez gero, ereduzko adibide bat aurkeztuko du (5-10 min). Gainerako denbora ikasleen lan autonomoan laguntzen jardungo du. Unitate bakoitzean lau jarduera-fasetan antolatuko da ikasketa-prozesua:
1. Hasierako fasea: aurrezagutzak aktibatzeko jarduerak: problema-egoera baten aurkezpena, eta egoera bera eta ebazpenerako bideari buruzko eztabaida. Adibidez, Ikastetxe bateko jantokiko janariari buruzko kexak jaso dira, eta ikasleek duten iritzia jakin behar du zuzendariak. Zer egin dezake? Nola egin dezake?… 2. Garapen-fasea:
• Irakaslearen azalpen laburrak. Oinarrizko edukien aurkezpena eta ereduzko aplikazio-jarduera zuzenak. Aldagai estatistikoak, populazioa, lagina, maiztasun-taulak, maiztasun absolutua, erlatiboa, akumulatua; estatistika-grafikoak… • Ikasleen aplikazio-jarduerak, irakaslearen ereduak oinarri hartuta (banaka edo binaka, egoera eta beharrizanen arabera). Adibidez, aldagai estatistiko motak bereiztea, populazioak eta laginak identifikatzea eta desberdintzea, maiztasun taulak osatzea…
3. Aplikazio-fasea (problemen lantegia): problemen lantegia: estatistikako problemak ebaztea, binaka. Irakasleak ereduzko problema bat aurkeztu dezake argibide orokorrak emateko, eta, ondoren, binaka ebatziko dituzte problemak modu autonomoan (irakasleak gainbegiratuta).
4. Orokortzea eta transferentzia (problemen lantegia): unitateko proiektuaren problema-egoera ebaztea. Adibidez, ikastetxeko jantokiko janariari buruz ikasleek duten iritzia jakiteko inkesta. Irakaslearen oinarrizko argibideekin, ikasleek garatu beharreko proiektua proiektuen bidezko ikasketa metodologiako pausuekin.
13
Sarrera
Aniztasunari aurre egiteko proposamenak Ikasmaterial honetan aniztasunari aurre egiteko eskaintzen diren proposamenek ikasketa-prozesua ikaslearen garapen-mailara eta beharrizanetara malgutasunez doitzea dute helburu. Horretarako, unitate bakoitzeko jarduerak bi multzotan banatzen dira: 1. Gutxieneko eskuratze-mailarako jarduerak. 2. Eskuratze-maila arrunterako jarduerak. Era berean, unitate bakoitzerako bi motako indartze-jarduera gehigarriak eskaintzen dira: 3. Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratze-maila arruntera igarotzeko urratsak egiteko balio duten jarduerak. 4. Gaitasun handiak sustatzeko sakontze-jarduerak, eskuratze-maila arrunta mailatik goragoko maila duten ikasleei erantzuna emateko.
Curriculumaren euskal dimentsioa Ikasmaterial honek bi eremu nagusitan lantzen du curriculumaren euskal dimentsioa: – Euskararen erabilera teknikoa: Matematika arloari dagokion hizkuntzaren erregistro akademikoaren erabilera berezitua lantzen da, berariazko terminologia eta adierazpen moduekin batera. – Materialak diseinatzeko erabilitako adibideek eta baliabideek lotura zuzena dute eguneroko bizitzarekin eta, ondorioz, euskal gizartearen eta kulturaren esparruetako hainbat alderdirekin.
Ikasmaterialaren osaera eta antolakuntza Sigma proiektuko ikasmaila bakoitzerako ikasmateriala honako elementu hauek osatzen dute: Oinarrizko baliabideak: – Ikaslearen liburua: Matematikarako konpetentzia eskuratzeko langaiak jasotzen ditu: oinarrizko euskarri teoriko-praktikoa eta lantze-jarduerak. – Irakaslearen gida: ikasmateriala erabiltzeko oinarrizko argibideak eta iradokizunak jasotzen ditu, unitatez unitate antolatuta. Baliabide osagarriak: – Ikaslearen online baliabideen plataforma: unitate bakoitzeko aplikazio-jarduerak jasotzen ditu. – Irakaslearen online baliabideen plataforma: unitate bakoitza lantzeko baliabide gehigarriak, ebaluazio-froga gehigarriak eta ikasleen ebaluazioa eta jarraipena egiteko aginte-panela eskaintzen du. – Problemen online lantegia: problemak ebazteko berariazko baliabidea.
14
Sarrera Era berean, Matematika DBH1 ikasmateriala 9 unitatetan dago antolatuta, eta honako hauek dira unitate bakoitzaren oinarrizko edukiak: 1. Zenbakikuntza
– Zenbaki osoak eta horien erabilera. – Zenbaki osoen arteko erlazioak. – Zenbaki osoen erabilera eguneroko bizitzan.
2. Zatigarritasuna
– Zenbaki baten multiploak eta zatitzaileak zer diren eta horiek aurkitzeko prozedurak. – Zenbaki lehenak zer diren eta zergatik diren bereziak. – Zenbaki bat zenbaki lehenen biderketa moduan deskonposatzea. – Bi zenbakiren edo gehiagoren zatitzaile komun handiena eta multiplo komun txikiena eta horiek zertarako erabil daitezkeen.
3. Geometria planoan eta espazioan
– Oinarrizko elementuak, irudiak eta gorputz geometrikoak. – Oinarrizko elementuak, irudiak eta gorputz geometrikoen ezaugarri eta propietateak.
4. Zenbaki arrazionalak: zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak – Zenbaki arrazionalak zer diren. – Noiz eta zertarako erabiltzen diren. – Zenbaki arrazionalak agertzen diren egoerak ulertzen.
– Zenbaki arrazionalen erabilera hainbat egoera deskribatu eta komunikatzeko.
5. Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak
– Perimetroa eta azalera kontzeptuak zer diren eta zertarako diren erabilgarriak. – Poligono arrunten eta zirkuluen perimetroa eta azalera kalkulatzea, dagozkien formulak aplikatuz. – Formula ezagutzen ez denean, poligonoen perimetroa eta azalera aurkitzeko estrategiak. – Poligonoak ez diren irudien perimetroa eta azalera hurbiltzeko estrategiak. – Hurbileko erreferentziak ezagutzea eta erabiltzea, perimetroarekin eta azalerarekin lotutako informazioa ulertu eta interpretatzeko. – Perimetroa eta azalera agertzen diren ingurune hurbileko problemak ebaztea. – Tresna digital egokiak erabiltzea, irudi lauak marraztu eta horien perimetroa eta azalera kalkulatzeko. – Irudi lauen simetriaren erabilera aztertzea kulturan eta artean.
15
Sarrera
6. Estatistika deskribatzailea – Informazioa antolatzea. Esperimentu batean jasotako datuen taulak. – Maiztasun absolutuak eta erlatiboak. – Barra-, lerro- eta sektore-diagramak. Interpretazioa eta alderdi nabarmenen analisia. – Batez bestekoa.
7. Aljebra
– Hizkuntza aljebraikoa: Letren esanahia eta erabilera, magnitude ezezagunak adierazteko. – Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak. – Jarraibideak ohiko hizkuntza-adierazpenak hizkuntza aljebraikoan adierazteko eta alderantziz. – Zenbakizko sekuentzietan propietateak, erlazioak eta erregulartasunak bilatzea eta adieraztea. – Formula errazetan zenbakizko balioak kalkulatzea.
8. Funtzioak eta grafikoak
– Bi magnituderen arteko korrespondentzia. Eguneroko bizitzako mendekotasun-erlazioak identifikatzea eta azaltzea. – Funtzioaren kontzeptua eta funtzioen adierazpena. – Koordenatu kartesiarrak. Enuntziatu bat eta balio-taula bat oinarri hartuta, grafiko sinpleak adieraztea. – Taula batean aurkeztutako edo grafiko batean adierazitako informazioaren interpretazio puntuala eta globala. Grafikoaren interpretazioari eragin diezaioketen distortsioak. – Proportzionaltasuna eta proportzionaltasun zuzeneko erlazioak. – Software informatikoa erabiltzea (kalkulagailu grafikoak edo ordenagailua), grafikoak egiteko eta interpretatzeko.
9. Probabilitatea
– Probabilitatearekin lotutako oinarrizko kontzeptuak eta dagokien terminologia. – Fenomeno deterministak eta ausazko fenomenoak. – Ausazko fenomenoen portaera. Aieruak egitea. – Ausazko fenomeno sinpleen esperimentuak eta probabilitateak. LaPlaceren legea. – Ausazko gertaeren maiztasun erlatiboa. Probabilitate kontzeptuaren nozio intuitiboa.
16
Sarrera Unitate bakoitza 236/2015 dekretuak aurreikusten dituen eduki multzoekin nola lotzen den jasotzen du taula honek:
Zenbakiak eta Aljebra
Geometria eta neurria
Funtzioak eta Estatistika eta grafikoak probabilitatea
Arlo guztien Matematikaren Problemen eduki arloko eduki ebazpena komunak komunak
1 Zenbakikuntza
***
*
**
**
2 Zatigarritasuna
***
*
**
**
3 Geometria planoan eta espazioan
**
*
**
**
4 Zenbaki arrazionalak
***
*
**
**
5 Perimetroa eta azalera
***
*
**
**
6 Estatistika deskribatzailea
**
*
**
**
7 Aljebra
***
*
**
*
**
**
8 Funtzioak eta grafikoak
***
*
**
*
**
**
9 Probabilitatea
**
*
**
**
***
**
*** *
***
***
17
18 2. Matematikako ezagutza aplikatzea eguneroko bizitzako gertaerei eta egoerei buruzko informazioak eta mezuak ulertzeko, balioesteko eta sortzeko, eta beste ezagutza-arlo batzuetan erabilgarriak direla jakitea.
1 Zenbakikuntza
*** ***
2 Zatigarritasuna
*** ***
3 Geometria planoan eta espazioan
*** ***
4 Zenbaki arrazionalak
*** ***
5 Perimetroa eta azalera
*** ***
6 Estatistika deskribatzailea
***
***
7 Aljebra
***
***
8 Funtzioak eta grafikoak
***
***
9 Probabilitatea
***
3. Natura- eta kultura-inguruneko forma geometrikoak identifikatzea, elementuen, erlazioen eta propietateen ezagutza erabiliz, errealitatea deskribatzeko, eta ezagutza geometrikoak aplikatzea inguruan dugun mundu fisikoa ulertzeko eta analizatzeko, eta hari buruzko problemak ebazteko.
1. Banaka edo taldean, eguneroko bizitzatik ateratako problemak, beste zientzia batzuetakoak edo Matematikakoak planteatzea eta ebaztea, eta zenbait estrategia aukeratzea eta erabiltzea, ebazpen-prozesua justifikatzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizarte-ingurunean modu eraginkorragoan jardun ahal izateko.
Sarrera Unitate bakoitza 236/2015 dekretuak aurreikusten dituen helburuekin nola lotzen den jasotzen da taula honetan:
***
***
*
4. Kalkuluak eta iritzirako kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, etab.) segurtasunez eta konfiantzaz egitea, egoera bakoitzean prozedura egokienak (buruzko kalkulua, idatzia, kalkulagailua...) erabiliz, bizitzako egoerak interpretatzeko eta balioesteko, eta emaitzak sistematikoki berrikustea.
5. Beren adinerako egokiak diren eta emaitzak eta ondorioak argi eta garbi eta koherentziaz justifikatzeko eta aurkezteko norberaren pentsamendua adieraztea errazten duten hizkuntza arrunteko eta hizkuntza matematikoko elementuak (zenbakiak, taulak, grafikoak, irudiak) erabiliz, arrazoitzea eta argudiatzea.
6. IInformazioaren eta komunikazioaren teknologiak (kalkulagailuak, ordenagailuak, etab.) behar bezala erabiltzea kalkuluak egiteko, denetariko informazioak bilatzeko, tratatzeko eta adierazteko, bai eta Matematika ikasten laguntzeko ere.
7. Matematikak eguneroko bizitzan duen zeregina balioestea, hura erabiliz gozatzea, eta Matematikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea; esate baterako, alternatibak aztertzea, hizkuntzaren zehaztasuna edo malgutasuna eta soluzioak bilatzen iraunkorra izatea.
8. Matematika kulturaren parte dela balioestea, hura erabiliz gozatzea, Matematikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea, eta eskuratutako Matematikako konpetentziak aplikatzea, zenbait fenomeno sozial analizatzeko eta balioesteko; esate baterako, kultura-aniztasuna, ingurumena errespetatzea, osasuna, kontsumoa, genero-berdintasuna edo bizikidetza baketsua.
Sarrera
*** *** ** *** ***
*** ** *** ***
*** *** *** ***
*** *** ** *** ***
** *** *** *** ***
**
***
***
***
***
**
***
*
***
***
*
***
*
***
***
***
**
***
***
19
Materialen aurkezpena Ikaslearen ikasmateriala Ikaslearen oinarrizko ikasmaterialeko unitate bakoitza sei atal orokorretan dago antolatuta:
Sarrera: unitatearen oinarrizko testuingurua aurkezten du, eta landuko diren edukiak egunerokotasunarekin lotzeko egoerak eta adibideak ematen ditu.
Problema-egoera: unitatean landuko diren edukiak zergatik diren interesgarriak eta beharrezkoak erakusten duen egoera, egunerokotasunarekin eta ikaslearen esperientziarekin lotua. Aurrezagutzak aktibatzeko erabilgarria izateaz gain, unitatea landu ahala proiektuen metodologiaren bidez ebatz daiteke.
Zer ikasiko dut: unitatean landuko diren edukien oinarrizko zerrenda, problema-egoeratik sortutako beharrizanei erantzuteko erabilgarriak.
Edukien eta aplikazio-jardueren atala: unitateari dagozkion eduki teoriko-praktikoak azaltzen dira, ikaslearentzako erabilgarriak eta aplikagarriak diren adibide eta aplikazio zuzeneko jarduerekin.
20
Jarduerak: unitatean zehar landutakoa modu praktikoan aplikatzeko jardueren multzoa. Trebakuntza-jarduerak eta problemak jasotzen dira atal honetan.
Autoebaluazioa eta unitate-amaierako testa: ikasle bakoitzak bere eskuratze-maila ebaluatu ahal izateko, edukien eskuratze-maila neurtzeko froga eta aplikazio-jardueretako trebetasun-maila neurtzeko froga.
21
Sarrera
Ikaslearentzako baliabide eta jarduera gehigarriak eskaintzen dituen online Ereingo hezkuntza plataformarekin osatzen da ikasmaterial hau: • Unitate bakoitzeko aplikazio-jarduera gehigarriak jasotzen ditu. • Unitate bakoitzeko amaierako online testa. • Problemen online lantegia: problemen ebazpena lantzeko berariazko baliabidea. Pasahitz bat emango zaizu, osagarrizko online materialetara sartzeko.
22
Sarrera
Irakaslearen baliabideak Irakaslearen baliabideak honako hauek dira: irakaslearen gida eta online plataforma. Irakaslearen gidak ikasmateriala erabiltzeko oinarrizko argibideak eta orientabide didaktikoak jasotzen ditu unitatez unitate. Irakaslearen gida ikaslearen ikasmaterialaren modu beretsuan dago egituratuta, hau da, 9 unitatetan, eta unitate bakoitzean honako atalak jasotzen dira: – Unitatearen izenburua – Aurreikusitako saio kopurua – Proposamenaren justifikazioa – Problema-egoeraren aurkezpena, testuinguruan jartzea eta helburua – Unitatearen eginkizuna – Unitatean landuko diren konpetentziak – Unitatearen helburu didaktikoak – Unitatearen edukiak – Jardueren sekuentzia – Ebaluazio-adierazleak eta -tresnak – Unitatea garatzeko materiala eta baliabide didaktikoak – Bestelako iradokizun didaktikoak – Ikaslearen ikasmaterialeko jarduera eta problemen inguruko argibideak, erantzunak eta emaitzak
Horrekin batera, online plataformak honako baliabide gehigarriak eskaintzen ditu: – Ikaslearen ikasmateriala formatu digitalean – Ikaslearen ikasmateriala osatuta formatu digitalean – Irakaslearen gida formatu digitalean – Eskolako azalpenetarako baliabide proiektagarriak – Ikasleen jarraipena egiteko aginte-panela – Ebaluaziorako baliabide gehigarriak
23
Saioak: unitate bakoitza lantzeko zenbat saio aurreikusten diren eta saio horiek zenbat aste hartuko dituzten jasotzen da atal honetan. Proposamenaren justifikazioa: unitate bakoitzean landu beharreko edukiak ikaslearen eguneroko bizitzako esperientzian nola txertatzen diren aurkezten da, hainbat adibide eta egoera arrunten bidez. Problema-egoera eta eginkizuna: unitate bakoitzak problemaegoera bat planteatzen du, ikaslearen testuinguru eta esperientziatik abiatzeko, eta arazo-egoera hori izango da unitatearen garapenerako proiektua. Era horretara, unitateak aurrera egin ahala eskuratzen eta aplikatzen joango dira proiektua aurrera eramateko behar diren baliabideak. Oinarrizko konpetentziak: ikaslearen ikasmaterialeko jarduerek, plataforma digitaleko jarduerek eta problemak ebazteko lantegiko problemek oinarrizko konpetentziei egiten dieten ekarpena jasotzen da unitatez unitate.
Helburu didaktikoak: indarrean den legediaren arabera unitate bakoitzari dagozkion helburu didaktikoak aurkezten dira.
Edukiak: unitatean lantzen diren edukiak jasotzen dira atal honetan, indarrean den legediak aurreikusitako eduki-multzoaren arabera.
24
Jardueren sekuentzia: unitate guztietan sekuentzia bat eskaintzen da, ikaslearen ikasmaterialeko jarduerak, plataforma digitaleko jarduerak eta problemak ebazteko lantegiko problemak egiteko, lau ikasketa-fase hauen arabera antolatuta: – Hasierako fasea – Garapen-fasea – Aplikazio-fasea – Orokortzea eta transferentzia Aniztasunari aurre egiteko proposamena: atal honek aniztasunari aurre egiteko eta ikaslearen beharretara eta ahalmen akademikora egokitzeko aukera ematen duen proposamen didaktikoa jasotzen du, eta, horretarako, ikaslearen ikasmaterialeko jardueren, plataforma digitaleko jardueren eta problemak ebazteko lantegiko problemen sailkapen bat eskaintzen du, lau eskuratze-maila hauen arabera: – Gutxieneko eskuratze-mailarako jarduerak – Eskuratze-maila arrunterako jarduerak – Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratze-maila arruntera igarotzeko balio duten jarduerak – Gaitasun handiak sustatzeko sakontze-jarduerak, eskuratzemaila arruntetik goragoko maila duten ikasleei erantzuteko
Ebaluazioa: indarrean den legediaren arabera aplikatu beharreko ebaluazio-irizpideak eta horietako bakoitzari dagozkion lorpen-adierazleak zehazten dira unitate bakoitzean. Horrekin batera, ebaluazio-irizpide eta lorpen-adierazle bakoitzerako ebaluazio-tresna egokienak proposatzen dira.
Materiala eta baliabide didaktikoak: atal honetan unitate bakoitza garatzeko eskaintzen diren baliabide didaktikoak jasotzen dira.
Ikaslearen ikasmaterialari eta problemei buruzko oharrak, iradokizun didaktikoak, erantzunak eta emaitzak: azken atal honetan, unitateko jardueren emaitzak jasotzeaz gain, iradokizun didaktiko zehatzak edo informazio gehigarriak biltzen dira, hala behar izanez gero.
25
1. unitatea: Zenbakikuntza Saioak 16 saio (4 aste)
Proposamenaren justifikazioa Eguneroko bizitzan mota askotako zenbakiak erabiltzen dira. Adibidez, zenbaketak egiteko, zenbaki arruntak erabiltzen dira; 0 azpitik dauden tenperaturak adierazteko, berriz, zenbaki negatiboak erabiltzen dira. Zenbakiak erabiltzean, informazio bat ematen edo jasotzen da, eta informazio hori ondo interpretatu eta erabiltzeko, garrantzitsua da jakitea zer egoeratan erabiltzen den zenbaki mota bakoitza. Gainera, zenbakiekin, gure inguruneko egoerak ezezik, gertaerak ere deskriba ditzakegu: zenbakien arteko eragiketak baliagarriak dira horretarako, eta horregatik, garrantzitsua da eragiketak, arauak eta propietateak ezagutzea.
Problema-egoera eta eginkizuna Problemen ebazpena matematikarako gaitasunaren funtsa da. Izan ere, pertsona bat matematikan konpetentea dela esango dugu, eguneroko bizitzako problema arrunt bat ebazteko bere ezagutza matematikoak integratu eta erlazionatzeko gai denean. Ebazpide hori eskuratzeak egoera ulertzea, estrategia bat eraikitzea eta aplikatzea eta prozesu guztia modu zehatz eta argian adieraztea eskatuko du. Lehenengo unitate honetan ebatzi beharreko problema-egoera honako hau izango da: Unitatea bukatzean, poster baten bitartez zenbaki osoen erabileraren adibideak erakustea izango da helburua. Zenbaki arrunten, zeroaren eta zenbaki negatiboen erabileraren bi adibide gutxienez agertu beharko dira poster horretan. Poster guztiak egindakoan, zenbaki arrunten, zeroaren eta zenbaki negatiboen erabileraren adibide guztiak bilduko dira.
Oinarrizko konpetentziak: Ondorengo taulan unitate honetan lantzen diren zereginek oinarrizko zehar konpetentziei eta berariazko konpetentziei egiten dieten ekarpena jasotzen da:
Jarduerak Zeharkako konpetentziak
Problemen lantegia
Ikaslearen liburua
Plataforma digitala
Hitzezko eta hitzik gabeko komunikaziorako eta komunikazio digitalerako konpetentzia
1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 18, 19, 21, 44, 45
1-8
1-8
Ikasten eta pentsatzen ikasteko konpetentzia
5, 6, 14, 17, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 34, 38, 39, 47, 48, 50
1-8
1-8
Ekimenerako eta espiritu ekintzailerako konpetentzia
17, 20, 28, 29, 30, 38, 41, 42
1-8
Berariazko konpetentziak Hizkuntza- eta literatura-komunikaziorako konpetentzia Matematikarako konpetentzia
26
1, 2, 5, 7, 45
1
1-8
Guztiak
Guztiak
Guztiak
1. Zenbakikuntza
Helburu didaktikoak • 1. Banaka edo taldean, eguneroko bizitzatik ateratako problemak, beste zientzia batzuetakoak edo Matematikakoak planteatzea eta ebaztea, eta zenbait estrategia aukeratzea eta erabiltzea, ebazpen-prozesua justifikatzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizartean modu eraginkorragoan jardun ahal izateko. • 2. Matematikako ezagutza aplikatzea eguneroko bizitzako gertaerei eta egoerei buruzko informazioak eta mezuak ulertzeko, balioesteko eta sortzeko, eta beste ezagutza-arlo batzuetan erabilgarriak direla jakitea. • 4. Kalkuluak eta iritzirako kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, etab.) segurtasunez eta konfiantzaz egitea, egoera bakoitzean prozedura egokienak (buruzko kalkulua, idatzia, kalkulagailua...) erabiliz, bizitzako egoerak interpretatzeko eta balioesteko, eta emaitzak sistematikoki berrikustea. • 5. Beren adinerako egokiak diren eta emaitzak eta ondorioak argi eta koherentziaz justifikatzeko eta aurkezteko, arrazoiak eta argudioak azaltzea, norberaren pentsamenduaren adierazpena errazten duten hizkuntza arrunteko eta hizkuntza matematikoko elementuak (zenbakiak, taulak, grafikoak, irudiak) erabiliz. • 6. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak (kalkulagailuak, ordenagailuak, etab.) behar bezala erabiltzea, kalkuluak egiteko, denetariko informazioak bilatzeko, tratatzeko eta adierazteko, baita Matematika ikasten laguntzeko ere. • 7. Matematikak eguneroko bizitzan duen zeregina balioestea, hura erabiliz gozatzea eta Matematikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea; esate baterako, alternatibak aztertzea, hizkuntza zehatza edo malgua erabiltzea eta soluzioak bilatzen iraunkorra izatea. • 8. Matematika kulturaren parte dela balioestea, hura erabiliz gozatzea, Matematikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea, eta eskuratutako Matematikako konpetentziak aplikatzea, zenbait fenomeno sozial analizatzeko eta balioesteko; esate baterako, kultura-aniztasuna, ingurumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa, genero-berdintasuna edo bizikidetza baketsua.
Edukiak • E1. Osoko zenbakiak: zenbaki arruntak eta osoko zenbaki negatiboak. • E2. Osoko zenbakien adierazpena zenbakizko zuzenean. • E3. Osoko zenbakien arteko eragiketak: zeinuen irizpidea, eragiketen hierarkia eta parentesien erabilera batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketetan. • E4. Berreketa eta erroketa. Berreketaren eta erroketaren arteko erlazioa. • E5. Karratu eta kubo beteak. • E6. Oinarritzat 10 zenbakia duten berreketak. Zenbakien idazkera zientifikoa. • E7. Hurbiltze-kalkulua berreketa eta erroketekin. • E8. Berreketen eta erroketen arteko eragiketak.
27
1. Zenbakikuntza
Jardueren sekuentzia: Lehenengo unitate honek ikaslearen testuinguru eta esperientziako problema-egoera bat du abiapuntu eta problema-egoera hori izango da hain zuzen ere unitatea garatzeko motibazio iturria. Era horretara, unitateak aurrera egin ahala eskuratu eta aplikatuko dira hasierako problema-egoera hori ebazteko beharrezko baliabideak. Unitate honen garapenerako proposatzen den zereginen antolakuntza jarduera fase desberdinen arabera ondorengo taulan dago jasota:
Jarduerak Ikaslearen liburua
Plataforma digitala
Hasierako fasea
1, 2, 7, 9-16, 18, 19, 21, 22, 26, 27
1-8
Garapen-fasea
3, 4, 17, 23-25, 31-48, 50
1-8
Aplikazio-fasea
5, 6, 20, 28-30
Jardueren sekuentzia
Problemen lantegia
1-8
Orokortzea eta transferentzia
1-8
Aniztasunari aurre egiteko proposamena Unitate honetan aniztasunari aurre egiteko eskaintzen diren proposamenek ikasketa-prozesua ikaslearen garapen-mailara eta beharrizanetara malgutasunez doitzea dute helburu. Horretarako ondorengo taulak jarduera eta zereginen antolakuntza proposamen bat jasotzen du.
Jarduerak Gutxieneko eskuratze-mailarako jarduerak Eskuratze-maila arrunterako jarduerak Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratzemaila arruntera igarotzeko urratsak egiteko balio duten jarduerak Gaitasun handiak sustatzeko sakontzejarduerak, eskuratze-maila arrunta mailatik goragoko maila duten ikasleei erantzuna emateko
Problemen lantegia
Ikaslearen liburua
Plataforma digitala
1-5, 7, 9, 10-16, 18, 19, 21, 22, 26, 27
1-8
1, 2
17, 20, 28, 29, 31-34, 37, 43, 44-46
1-8
3-6
6, 23-25, 30, 35, 36, 40, 47, 48, 50
7, 8
38, 39, 41, 42
8
Ebaluazioa Ebaluazio-irizpideak eta lorpen-adierazleak
Iradokizun modura, unitate honentzat ebaluazio-irizpideak eta hauei loturiko lorpen-adierazleak jasotzen dira hemen, 236/2015 Dekretutik aukeratuta (ebaluazio-irizpidearen zenbakia Dekretuan duena da). 1. Zenbaki arrunt, oso, zatikizko eta hamartar errazen kalkuluak egitea, propietate garrantzitsuenak erabiliz, eta erantzun zehatza edo hurbildua behar den erabakitzea, eta segurtasunez aplikatzea kalkulatzeko modurik egokiena (buruzkoa, arkatza eta papera, kalkulagailua).
28
1. Zenbakikuntza Unitate honetarako lorpen-adierazleak: • 1.1. Osoko zenbakiak (arruntak, negatiboak) bereizten eta erabiltzen ditu, informazio kuantitatiboa behar bezala adierazteko eta interpretatzeko. • 1.2. Osoko zenbakiak (arruntak, negatiboak) zenbakizko zuzenean ordenatzen, interpretatzen eta adierazten ditu. • 1.3. Kalkuluak eraginkortasunez egiten ditu zenbaki horiekin, buruzko kalkulua, hurbilpenezkoa, arkatza eta papera, kalkulagailua edo dagokion softwarea erabiliz. • 1.4. Eragiketen propietateak, hierarkia eta parentesien erabileraren arauak behar bezala erabiltzen ditu kalkulu errazetan. • 1.5. Berretzaile arrunta duten zenbakien berreketak kalkulatzen ditu. 10eko berreketak dituzten kalkuluak egiten ditu, eta berreketen arteko eragiketen oinarrizko arauak aplikatzen ditu. • 1.6. Zenbakien erro karratuak kalkulatzen ditu, hurbilketa bidez edo kalkulagailua erabiliz. • 1.7. Buruzko kalkuluko estrategiak garatzen ditu, eta eskatutako doitasuna balioesten du. 2. Zenbaki osoen, hamartarren eta zatikizkoen arteko eragiketak egin beharreko problemak ebaztea, kalkuluak egiteko baliabide egokienak erabiliz, eta emaitza testuinguruari nola egokitzen zaion balioestea. Unitate honetarako lorpen-adierazleak: • 2.1. Proposatutako problemen enuntziatua irakurtzen eta ulertzen du. • 2.2. Problemaren enuntziatuan datuak eta ezezagunak identifikatzen ditu. • 2.3. Problemaren ebazpenean jarraitu beharreko urratsak planifikatzen ditu. • 2.4. Problema ebazteko egin beharreko kalkuluak efikaziaz eta segurtasunez egiten ditu, baliabide egokiena erabiliz. • 2.5. Lortutako emaitzak interpretatzen ditu eta lortutako soluzioa egiaztatzen du. • 2.6. Problema ebazteko jarraitutako prozesua argi eta garbi jakinarazten eta azaltzen du. • 2.7. Jarraitutako prozesuari buruzko gogoeta egin eta ezagutza hori beste problema batzuk ebazteko erabiltzen du. 11. Jarduera matematikoarekin lotutako jarrerak sistematikoki balioestea eta erabiltzea; esate baterako, jakin-mina, pertseberantzia eta norberaren ahalmenetan konfiantza izatea, ordena eta berrikuspen sistematikoa. Halaber, talde-lanean integratzea, besteen iritziak ikasketa-iturri gisa errespetatuz eta balioetsiz, eta helburu komun bat lortzeko lankidetzan aritzea. Unitate honetarako lorpen-adierazleak: • 11.1. Badaki Matematikako eragiketak eta prozedurak menderatzea garrantzitsua dela, eguneroko bizitzako eta eskolako problemak ebazten laguntzen duten tresna direlako. • 11.2. Lanean interesa agertzen du eta etengabe saiatzen da. • 11.3. Emaitzak ordenan, argi eta garbi, eta txukun aurkezten ditu. • 11.4. Prozesuak eta emaitzak bere mailari dagokion zorroztasunez arrazoitzen eta azaltzen ditu.
29
1. Zenbakikuntza • 11.5. Talde-lanerako zereginak banatzen laguntzen du eta hartutako konpromisoak betetzen ditu. • 11.6. Alternatibak planteatzen ditu eta taldeko eztabaida-prozesua eta iritzi-trukea balioesten du, hobetzeko aukera den aldetik. • 11.7. Benetako munduko eta matematikaren munduko problemen artean loturak ezartzen ditu.
Ebaluazio-tresnak
Iradokizun modura, ondorengo taulan 236/2015 dekretuko ebaluazio-irizpide bakoitzerako aukeratutako ebaluazio-adierazleak neurtzeko erabili daitezkeen jarduerak eta baliabideak (liburukoak eta plataforma digitalekoak), autoebaluazioko itemak eta unitate amaierako testetako galderak (liburukoak eta plataforma digitalekok) aurkezten dira: Unitate amaierako testeko itemak
Jarduerak Ebaluazioirizpidea
Lorpenadierazlea
Ikaslearen liburua
Plataforma digitala
Autoebaluazioa
Ikaslearen liburua
Plataforma digitala
1.1
1, 2, 7, 9, 10-12, 18, 19, 43-46
1, 3, 4
1, 2, 4, 5, 8, 12, 13
1, 5, 6
1, 5, 6
1.2
1, 4, 8, 11
1.3
11-17, 31-33, 38-41, 48
5, 6
6, 8, 9, 10, 11
1, 2, 3, 7, 8
1, 2, 3, 7, 8
1.4
11-17, 31-33, 35-37
2, 3
7
2, 3, 4, 7
2, 3, 4, 7
1.5
18-24, 26, 34-40, 43, 47, 48
2, 3, 8
10, 12
4, 5, 7, 8
4, 5, 7, 8
1.6
22, 25, 27, 38, 39, 50
2
10
8
8
1.7
23-27, 31-37, 41-43, 47, 48, 50
2, 3, 5, 6, 7, 8
6, 8, 9, 11
2, 3, 4, 5, 7
2, 3, 4, 5, 7
2
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Irakaslearen behaketa
Plataformako erregistroa
Ikaslearen hausnarketa
Irakaslearen behaketa
Plataformako erregistroa
11
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7
Irakaslearen behaketa
Plataformako erregistroa
Ikaslearen hausnarketa
Irakaslearen behaketa
Plataformako erregistroa
1
30
3
1. Zenbakikuntza
Materiala eta baliabide didaktikoak Ikaslearentzako baliabide didaktikoak: • Ikaslearen liburuko 1. unitatea • Ikaslearen autoebaluazioa eta unitate amaierako testa • Plataforma digitaleko 1. unitateko jarduerak • Plataforma digitaleko 1. unitateko problemen lantegia • Plataforma digitaleko unitate amaierako froga Irakaslearentzako baliabide didaktikoak: • Ikaslearen liburuko 1. unitatea • Irakaslearen gidako 1. unitatea • Ikaslearen autoebaluazioa eta unitate amaierako testa • Plataforma digitaleko 1. unitateko jarduerak • Plataforma digitaleko 1. unitateko problemen lantegia • Plataforma digitaleko unitate amaierako froga • Plataforma digitaleko baliabide gehigarriak
Ikaslearen testuliburuko jardueren eta problemen inguruko komentarioak, iradokizun didaktikoak, erantzunak eta emaitzak 1. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean: 0, 10, 15, 20 0
10
15
20
Zer gertatzen da zenbakizko zuzenean eskuinerantz mugitu ahala? Zenbaki handiagoak aurkituko ditugu. 2. Adierazi zenbaki kardinalak edo ordinalak erabili diren: a) Hamabi urte ditut. Kardinala b) Atzoko lasterketan, 3. tokian heldu nintzen. Ordinala c) Errugbian, 15 jokalarik parte hartzen dute talde bakoitzean. Kardinala d) Menu horretan lau1 aukera daude bigarren2 platera aukeratzeko. Kardinala1-Ordinala2
3. a) Zenbat hamarreko ditu 45 zenbakiak? 4 Eta 315 zenbakiak? 31 b) Zenbat ehuneko ditu 714 zenbakiak? 7 Eta 1.034 zenbakiak? 10 c) Zenbat milako 13.511 zenbakiak? 13 Eta 1.010.003 zenbakiak? 1.010 4. Zenbakikuntza-sistema hamartarrean, zenbaki bat modu honetara deskonposatu daiteke: 256 = 2 × 100 + 5 × 10 + 6 = 2 • 100 + 5 • 10 + 6 Nola adieraz daitezke zenbaki hauek beste modu batera? a) 23 = 2 • 10 + 3 b) 127 = 1 • 100 + 2 • 10 + 7 c) 6.703 = 6 • 1000 +7 • 100 + 3 d) 11.222 = 11 • 10.000 + 1 • 1000 + 2 • 100 + 2 • 10 + 2 e) 2.307.002 = 2 • 1.000.000 + 3 • 100.000 + 7 • 1000 + 2
31
1. Zenbakikuntza 5. Zenbakikuntza-sistema erromatarrean letra hauek erabiltzen dira: I, V, X, L, C, D, eta M. Ezkerretik eskuinera irakurriz, letren balioa handitu ahala, batu egiten dira (LV = 55); letra batek balio handiagoko letra bat badu eskuinean, letra horri berak duen balioa kentzen dio (LIV = 54). Idatzi zenbaki hauek sistema erromatarrean: a) 11 = XI
c) 94 = XCIV
b) 87 = LXXXVII d) 204 = CCIV e) 3.333 = MMMCCCXXXIII Idatzi zenbaki hauek sistema hamartarrean: f) XXXIV = 34
h) MCMXXIV = 1.924
g) LIII = 53
i) MMXVIII = 2.018
6. Osatu taula: Zenbakikuntza-sistema hamartarrean 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a) 7 b) –7
8. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean:
–30
–1
–23
–15
7
0
–7
c) 2
29
15
10 11 100 101 110
111 1.000 1.001 1.010 1.100
9. Esan zenbaki bikote hauetan zein den handiena eta zein txikiena “<” edo “>” ikurrak erabiliz.
7. Azaldu koadernoan zer esan nahi duen “–30°”-ko tenperatura irakurketak. Azaldu zer gertatuko den igogailu batean “–4” botoia sakatzen badugu.
15
Zenbakikuntza-sistema bitarrean 0
< > >
> –1 e) 0 > –35 f) –1200 < 2
13
d) 0
–13 –3
10. Adierazi “<”, “=” edo “>” ikurrak erabiliz zer zenbakik duen balio absolutu handiena: 30
a) –1 b) –7 c) –54
11. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza, eta irudikatu esanahia zenbakizko zuzenean. a) (–3) + 8 = 5
< < >
d) 0
–13
e) 35
45
f) –1.200
12. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza: a) (+5) + (+5) = 5 + 5 = 10 b) (+7) + (+6) = 7 + 6 = 13 c) (–3) + (+9) = 6
b) 5 + (–9) = –4
d) (–12) + (–7) = –19 e) –8 + (–3) = –8 – 3 = –11
c) 2 – (+3) = –1
f) –7 + (–6) = –13 g) 3 + (–9) = 3 – 9 = –6
d) (–3) – (+2) + 7 = 2
h) –27 – 37 = –64 13. Aurkitu emaitza. a) (–2) × (–4) = 8
c) (–3) • (–2) = 6
e) (–5) • (–1) = 5
b) 4 • (–3) : (–2) = 6
d) [3 • (–2)] : 2 = –3
f) 6 : (–2) = 3
32
< =
–2
–11 –35
=
1.200
1. Zenbakikuntza 14. Aukeratu eragiketa hauen emaitza zuzena: a) 4 × (–3) + 2 = –10
17. Lau 3 dituzu honela: 3
3
3
3
b) (–2) × [(–3) + 3] = 9 15. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza: a) [4 + 2] × (–7) = –49 b) (–5) × [(–13) – (–6)] = 35 16. Jarri parentesiak toki egokian, emaitzak zuzenak izan daitezen: a) [(-3)+2] × (-5) = 5
Lau eragiketa hauek aplikatuz, (+, –, ×, ÷), zer emaitza izango da ezinezkoa? (idatzi Bai edo Ez). Kontuan izan eragiketen hierarkia 9? Bai
10? Bai
11? Ez
12? Bai
b) 4 + 13 × (4 – 2) = 30
18. Idatzi biderketa moduan biderketa hauek: 4
19. Idatzi berreketa moduan berreketa hauek:
a) 2 = 2 x 2 x 2 x 2
a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 77
b) 42 = 4 x 4
b) 10 × 10 × 10 × 10 = 104
c) 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3
c) 3 × 3 × 3 × 3 × 6 × 6 × 6 = 34 x 63
d) 53 = 5 x 5 x 5
d) 8 × 8 × 9 × 9 × 9 = 82 x 93
20. Osatu taula hau lehenengo zenbaki arrunten karratu eta kuboekin: Zenbaki arrunta
Karratua
Kuboa
1
12 = 1
13 = 1
2
22 = 4
23 = 8
3
32 = 9
33 = 27
4
42 = 16
43 = 64
5
52 = 25
53 = 125
6
62 = 36
63 = 216
7
72 = 49
73 = 343
8
82 = 64
83 = 512
9
92 = 81
93 = 729
10
102 = 100
103 = 1.000
11
112 = 121
113 = 1.331
12
122 = 144
123 = 1.728
21. Idatzi zenbaki hauek 10en berreketak erabiliz: a) 100.000 = 105
b) 70.000 = 7 × 104
22. Berreketaren eta erroketaren artean dagoen erlazioa kontuak izanik, osatu: =5 a)
zeren eta
= 9 zeren eta 92 = 81
52 = 25
c) 503.000 = 5 × 105 + 3 × 103
b)
= 20 zeren eta 202 = 400
c)
= 11 zeren eta 112 = 121
d)
= 30 zeren eta 302 = 900
33
1. Zenbakikuntza Oinarria 1 baino handiagoa bada, emaitza oinarria baino handiagoa izango da:
Oinarria 1 baino txikiagoa bada, emaitza oinarria baino txikiagoa izango da:
23.
24.
Aukeratu 1 baino handiagoa den zenbaki bat
Kalkulatu zure zenbakiaren karratua
Kalkulatu zure zenbakiaren kuboa
3
9
27
Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da? Zenbakia 1 baino handiagoa denean, karratua eta kuboa zenbakia bera baino handiagoak dira.
Aukeratu 0 eta 1 zenbakien artean dagoen zenbaki bat
Kalkulatu zure zenbakiaren karratua
Kalkulatu zure zenbakiaren kuboa
0,5
0,25
0,125
Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da? Zenbakia 1 baino txikiagoa denean, bere karratua eta kuboa bera baino txikiagoak dira.
25. Ikusi erroketetan zer gertatzen den 1 baino txikiagoak edo handiagoak diren errokizunekin. Erabili kalkulagailua. Errokizuna 1 baino txikiagoa bada, emaitza errokizuna baino handiagoa izango da.
Errokizuna 1 baino handiagoa bada, emaitza errokizuna baino txikiagoa izango da: Aukeratu 1 baino handiagoa Kalkulatu zure zenbakiaren den errokizun bat erro karratua
81
Aukeratu 0 eta 1 zenbakien Kalkulatu zure zenbakiaren artean dagoen zenbaki bat erro karratua
9
0,01
b) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da? Errokizuna 1 baino txikiagoa denean, bere erroa handiagoa da.
a) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da? Errokizuna 1 baino handiagoa denean, bere erroa txikiagoa da. 26. Adieraz itzazu kalkulu hauek berreketa bakar bat erabiliz: a) 34 • 35 = 39
e) 42 • 52 = (5 · 4)2
b) (23)2 = 26
f) (103)3 = 109
c) 23 • 22 = 25
g) 63 • 33 = (6 · 3)3
53 = 52 d) — 1
29 = 26 h) — 3
5
2
27. Sinplifikatu erroketa hauen errokizuna, adibideari jarraituz: 18 = 27 =
0,1
48 = 162 =
Jarduerak 28. Aurkitu 3, 4 eta 7 zifrak erabiliz osa daitezkeen hiru zifrako zenbaki guztiak, eta ordenatu, txikienetik handienera. 347 < 374 < 437 < 473 < 734 < 743 29. Idatzi baldintza hauek betetzen dituen zenbaki arrunt bat: • 17 baino handiagoa da • 50 baino txikiagoa da • bere zifrak biderkatuz gero, emaitza 21 da 37 30. Hiru zifrako zenbat zenbaki daude gure zenbakikuntza-sisteman? 1.000 zenbaki; txikiena 100 eta handiena 999
34
31. Kalkulatu emaitzak: a) (+4) + (–5) = –1
e) (+4) – (+3) = 1
b) (–4) + (–5) = –9
f) (–4) – (–3) = –1
c) (–4) + (+5) = 1
g) (+4) – (–3) = 7
d) (+4) + (+5) = 9
h) (–4) – (+3) = –7
32. Jarri dagokion ikurra emaitza zuzena izateko: a) (+7) – ( –2) = (+9)
c) (+7) – ( +2) = (+5)
b) (–4) – ( –3) = (–1)
d) (–4) – ( +3) = (–7)
1. Zenbakikuntza 33. Kalkulatu emaitzak: a) (–3) × (–5) = 15
i) 12 : (–2) = –6
b) (–4) • [(–1) + (–2)] = 4
j)(–7+5–2):(–1+3)= –2 7 – 11
38. Kalkulagailuaren laguntzaz, identifikatu karratu beteak, kubo beteak edo ez bata ez bestea ez direnak hurrengo zenbakien artean. Adierazi zer zenbakiren karratua edo kuboa diren, hala badira.
c) (–5) • (2+3) • (–2) = 50 k) ——— =2 –2
Adibidez: 324 karratu betea, 182
d) 3 • (–4) + 3 • (–5) = –27 l) 0,5 – [0,2 • (–10)] = 1,5
Ez karratu, ez a) 3.660 kubo bete
g) 8.000
b) 150
h) 552
c) 2.744
Ez karratu, ez kubo bete Kubo betea, 143
3 • (2 – 5) n) ———— =3
d) 125
Kubo betea, 53
j) 729
(0,25) • (2 – 10) o) —————— =4
e) 5.625 Karratu betea, 752 k) 1.000.000 Karratu betea, 10002
2–3
36 e) [3 • (–2)] – [3 • (–4)] = –18 m) –7 – ——— = –— 5 – 10 5
f) (6 – 3 + 2 – 5) • (–2) = 0 g) 5 • [(–3) + 8] = 25
– (7 – 4)
–0,5
h) (–5) • [4–7] = 15
f) 1.331
34. Zenbaki batek hainbat adierazpen izan ditzake. Esan honako adierazpenak zenbaki berdinarenak (=) edo zenbaki ezberdinenak diren (≠): a) 25 ≠ 52
f) 23 × 22 ≠ 26
b) 23 = 81
g) 103ren bikoitza ≠ 203
c) 2 × 2 × 2 ≠ 32
h) 104ren erdia = 102
d) 102 × 103 = 105
i) 103ren bikoitza ≠ 106
e) 2 × 2 ≠ 6 3
j) 10 ren erdia ≠ 5
2
4
4
35. Aurkitu eragiketa hauen emaitzak: a) 103 + 102 = 1.100
e) 24 + 22 = 20
b) 103 – 102 = 900
f) 24 – 22 = 12
c) 103 × 102 = 100.000
g) 24 × 22 = 64
d) 103 : 102 = 10
h) 24 : 22 = 4
36. Erabil ezazu berreketa bakar bat emaitza adierazteko: a) 5 × 52 × 53 × 54 = 510
Ez karratu, ez kubo bete
i) 1.444
Karratu betea, 382
Karratu betea, 272
Kubo betea, 113
39. Begiratu aurreko ariketan lortutako karratuak. Erabili hurrengo karratuak aurkitzeko. Kalkulagailua erabil dezakezu laguntza moduan. a) (0,1)2 = 0,01
f) (0,05)2 = 0,25
b) (0,5)2 = 0,04
g) (1,1)2 = 0,36
c) (0,2)2 = 0,0001
h) (0,11)2 = 0,0025
d) (0,6)2 = 1,21
i) (1,2)2 = 0,0121
e) (0,01)2 = 1,44
j) (0,12)2 = 0,0144
40. Pentsatu prozedura honetan. Hartu folio bat eta erdibitu; bi zatiak elkarren gainean jarri, eta berriro erdibituko duzu; demagun 10 aldiz errepikatzen duzula. Zenbat paper puska izango dituzu bukaeran? 1.024 paper zati 41. Karratu bete batzuen batura beste karratu bete bat da. Egiaztatu kalkulagailuaren laguntzaz: a) 32 + 42 = 52
c) 92 + 122 = 152
b) 62 + 82 = 102
d) 122 + 162 = 202
Jarri arreta adibideetan, eta erraz aurkituko dituzu beste bi adibide. 152 + 202 = 252 182 + 242 = 302
b) 3 × 32 × 33 × 34 = 310
37. Eragiketa guztietan 2 zenbakia agertzen da. Ordena itzazu txikitik handira (1etik 5era). Kalkulagailua erabil dezakezu. a) 2 × 2 × 2
2
d) (2 × 2)2
3
b) 2 + 22
1 4
e) 222
5
c) 222
Kubo betea, 203
42. 1 cm-ko aldea duten 35 kubo dituzu. Kubo handiago bat eraiki nahi duzu kubo horiekin. 1 cm-ko zenbat kubo erabiliko dituzu ahalik eta kuborik handiena eraikitzeko? 33 = 27 kubo a) 4 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko, zenbat kubo gehiago beharko dituzu? 64 – 35 = 29 b) Zenbat kubo beharko dira guztira 10 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko? 103 = 1.000
35
1. Zenbakikuntza 43. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran: a) 70.960 batuketa gisa 70.000 + 900 + 60 b) 93.124 batuketa-biderketa gisa 9 x 10.000 + 3 x 1.000 + 1 x 100 + 2 x 10 + 4 c) 600.187 berreketa gisa 6 x 105 + 1 x 102 + 8 x 10 + 7 44. Idatzi zenbaki hauek zenbakikuntza-taulan, zifra guztiekin. Mila milioien klasea E
H
Milioien klasea
B
E
H
Milakoen klasea B
E
3 × 104 6
1
105 × 10
0
5
0
3
23 × 10
75× 108
7
5
0
Esan zein den zenbaki horien magnitude ordena: 4
a ) 3 × 10 = hamar milakoa b ) 105 × 106 = ehun milioikoa
0
0
H
B
E
H
B
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
0
0
0
0
47. Mugatu bi zenbaki osoren artean berreketa eta erroketa hauen balioa. Gero, kalkulagailuarekin, kalkulatu balioak bi zifra hamartarretara biribilduz.
c) 23 × 103 = hamar milakoa
36 < (6,3)2 < 49
d) 75× 108 = mila milioikoa
9 < (3,3)2 < 16 0 < (0,75)2 < 1
45. Zenbat zifra dituzte zenbaki hauek? a) 103
4
e) 106
b) 2 × 103
4
f) 13 × 103 5
c) 12,6 × 104 6
g) 7,3 × 103 4
1 d) —
5 h) ——
2
10
1000
3 < 11
7
5<
(6,3)2 ≈ 36,69 (3,3)2 ≈ 10,89 (0,75)2 ≈ 0,56 11 ≈ 3,32
<4
30 ≈ 5,48
30 < 6
0,75 ≈ 0,87
0 < 0,75 < 1
48. Berreketen propietateak oso argi ez dituen norbaitek egin ditu eragiketa hauek. Esan zein diren zuzenak (Z) eta zein okerrak (O).
4
46. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan edo idazkera arruntean. Ondoren, ordenatu handitik (1) txikira (6).
36
Batekoen klasea
Idazkera arrunta
Idazkera zientifikoa
Ordena
500.000
5 x 105
5
4
a) 52 • 54 = 56 Z 2 2 2 b) 3 • 4 = 12 Z c) 25 • 25 = 210 Z
d) 25 • 25 = 45 e) (32)3 = 36 f) 38 : 35 = 33
Z Z Z
49. Kalkulagailua erabili gabe, saiatu kalkulu hauek egiten:
90.000
9 × 10
6
a) 2 • 72 =
d)
880.000.000
8,8 x 108
2
b) 400 : 100 =
e)
7.500.000
7,5 × 106
3
3.750.000.000 30.200.000
3,75 x 109 3,02 × 107
1 3
c) 5 • 20 = 50. Adierazi kalkulu hauek erro bakar batez. Eredu bat duzu eginda. a)
e)
b)
f)
c)
g)
1. Zenbakikuntza
U N IT ATE- AMA IERAKO TE STA 1. Aurkitu 1, 5 eta 9 zifrak erabiliz osatu daitezkeen zenbaki guztiak, eta ordenatu txikienetik handienera. Zein da handienaren eta txikienaren arteko diferentzia? (3 p.) 159 < 195 < 519 < 591 < 915 < 951 951 – 159 = 792 2. Kalkulatu emaitzak:
(4 p.)
a) (–7) + (+3) = –4
e) (–7) × (+3) = –21
b) (+7) + (+3) = 10
f) (+7) × (+3) = 21
c) (+7) – (+3) = 4
g) (–9) : (+3) = –3
d) (–7) – (–3) = –4
h) (–9) : (–3) = 3
3. Kalkulatu emaitzak:
(4 p.)
a) 3 • (–3) + 3 • (–6) = –27
d) [5 • (–1)] – [1 • (–3)] = – 2
g) (6 – 4 + 3-5) • (–7) = 0
b) 3 • [(–2) + 8] = 18
e) (–4) • [2–7] = 2
h) 12 : (–4) = –3
c) (–7 + 9 – 3) : (–2 + 5) = –1/3 f) (7–15) = 4 (–2) 4. Aurkitu eragiketa hauen emaitza:
i) 0,5 – [0,5 • (–10)] = –4,5
(4 p.)
a) 23 + 22 = 12
d) 26 : 22 = 16
b) 23 – 22 = 4
e) 102 × 102 = 10.000
c) 24 × 23 = 128
f) 104 : 102 = 100
5. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran: a) 13.034 batuketa gisa
(3 p.)
10.000 + 3.000 + 30 + 4
b) 77.377 batuketa-biderketa gisa 7 x 10.000 + 7 x 1.000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 7 1 x 105 + 2 x 104 + 3 x 103 + 4 x 102 + 5 x 10 + 6
c) 123.456 berreketa gisa
6. Zein da zenbaki hauen magnitude ordena? a) 23.476: hamar milakoa
(2 p.)
b) 1.678.003: milioikoa
7. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan: a) 300 = 3 x 10
2
8. Sinplifikatu errokizuna: a) 36 =
(3 p.) 4
b) 23.000 = 2,3 x 10
c) 70.000.000 = 7 x 107
(2 p.) b) 100 =
KALIFIKAZIOA:
37