Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honen zatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, jo Cedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).
IkasmaterialhonekHezkuntzasailarenOnespenajasodu (2022-X-5)
Maketazioa: Nagore Koch Elizegi
Ilustrazioak: Iván Landa
© Lander Intxausti
© EREIN. Donostia 2023
ISBN: 978-81-9109-618-4
L G : D 60-2023
EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 107
20018 Donostia
T 943 218 300
e-posta: erein@erein.eus www.erein.eus
Imprimatzailea: Gertu
Zubillaga industrialdea 9, 20560 Oñati
T 943 783 309 F 943 78 31 33
e-posta: gertu@gertu.net
Aurkibidea 1. Zenbakikuntza 1. Problema-egoera 14 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? ................................................................................................................................................................................ 14 3. Zenbakikuntza Sistema Hamartarra ......................................................................................................................................................................... 14 4. Nazioarteko Unitate Sistema 15 5. Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak. Zenbaki errealak 16 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa ....................................................................................................................................................................................... 35 7. Unitate-amaierako testa 37 2. Segidak eta progresioak 1. Problema-egoera ................................................................................................................................................................................................................... 40 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 40 3. Segidak 40 4. Progresio aritmetikoak ..................................................................................................................................................................................................... 43 5. Progresio geometrikoak 46 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa 50 7. Unitate-amaierako testa ................................................................................................................................................................................................... 52 3. Polinomioak 1. Problema-egoera 54 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 54 3. Aljebraren oinarrizko elementuak ............................................................................................................................................................................ 54 4. Polinomioak ............................................................................................................................................................................................................................. 56 5. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa 70 6. Unitate-amaierako testa 72 4. Ekuazioak eta ekuazio-sistemak 1. Problema-egoera ................................................................................................................................................................................................................... 74 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? ................................................................................................................................................................................ 74 3. Ekuazioak 74 4. Lehen mailako ekuazioak 76 5. Bigarren mailako ekuazioak ........................................................................................................................................................................................... 81 6. Ekuazio-sistemak 87 7. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa 100 8. Unitate-amaierako testa ................................................................................................................................................................................................ 102 5. Planoko geometria: irudi geometrikoen propietate metrikoak 1. Problema-egoera 104 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 104 3. Irudi geometrikoak ........................................................................................................................................................................................................... 104 4. Pitagorasen teorema ........................................................................................................................................................................................................ 110 5. Perimetroa eta azalera 115 6. Angelu-erlazioak 124 7. Kongruentzia eta antzekotasuna ............................................................................................................................................................................. 128 8. Antzeko irudien perimetroa eta azaleraren arteko arrazoiak 137 9. Eskalak 139 10. Transformazio geometrikoak .................................................................................................................................................................................. 140 11. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa ................................................................................................................................................................................. 152 12. Unitate-amaierako testa 157
6. Hiru dimentsioko geometria 1. Problema-egoera 160 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 160 3. Poliedroak .............................................................................................................................................................................................................................. 160 4. Biraketa-gorputzak ........................................................................................................................................................................................................... 164 5. Gorputz geometrikoen garapena planoan 166 6. Gorputz geometrikoen azalera 168 7. Gorputz geometrikoen bolumena ........................................................................................................................................................................... 174 8. Antzekotasuna gorputz geometrikoen azaleran eta bolumenean ...................................................................................................... 176 9. Lur-globoa eta koordenatu geografikoak 179 10. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa 184 11. Unitate-amaierako testa 187 7. Funtzioak 1. Problema-egoera 190 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? ............................................................................................................................................................................. 190 3. Funtzioaren definizioa ................................................................................................................................................................................................... 191 4. Funtzioen adierazpena 192 5. Funtzioen ezaugarriak 196 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa .................................................................................................................................................................................... 203 7. Unitate-amaierako testa 205 8. Funtzio linealak eta koadratikoak 1. Problema-egoera 208 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 208 3. Funtzio linealak 208 4. Funtzio koadratikoak 222 5. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa 229 6. Unitate-amaierako testa 232 10. Probabilitatea 1. Problema-egoera 274 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 274 3. Gertaerak eta zorizko esperimentuak .................................................................................................................................................................. 274 4. Probabilitatea eta haren kalkulua 280 5. Probabilitatearen kalkulua esperimentu osatuetan 285 6. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa .................................................................................................................................................................................... 292 7. Unitate-amaierako testa 294 9. Estatistika 1. Problema-egoera 236 2. Zer ikasiko dut unitate honetan? 236 3. Ikerlan estatistikoa ........................................................................................................................................................................................................... 236 4. Populazioa, banakoa eta lagina ................................................................................................................................................................................. 237 5. Aldagai estatistikoak 238 6. Maiztasuna eta maiztasun-taulak 239 7. Estatistika-grafikoak 245 8. Parametro estatistikoak ................................................................................................................................................................................................ 251 9. Zer ikasi dut? Autoebaluazioa .................................................................................................................................................................................... 267 10. Unitate-amaierako testa 271
Gida Didaktikoa
Matematika DBH3 ikasmateriala Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako 3. mailako Matematikarako konpetentziaren garapenean trebatzeko prestatuta dago. Lan hau Sigma proiektuaren hirugarren zatia da. Sigma proiektua DBH osoko matematikarako konpetentziaren eskuratze progresibo eta mailakatua bideratzeko diseinatutako ikasmaterialen proiektua da. Horrenbestez, elkarri modu koherentean lotuta dauden lau mailetarako planteamendu baten barruan dago txertatuta.
Matematika DBH3 ikasmaterialak bere egiten du Sigma proiektuaren etaparako xede hau:
Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako ikasleak, herritar gisa izan ditzakeen eguneroko beharrei erantzun ahal izateko, sortzen zaizkion arazoak ulertzea, deskribatzea eta oinarrizko jakintza matematikoa eta baliabideak modu eraginkorrean erabiltzea, arazo horiei ebazpide egokia emateko.
Xede nagusi hori honako berariazko lau helburu hauetan zehazten da:
• Eduki matematikoa duten problema-egoerak identifikatzea eta estrategia egokien bidez ebaztea.
• Jakintza matematikoak eskaintzen dituen baliabideak aplikatzea, bai egunerokotasunean, bai hala eskatzen duten beste jakintza esparruetan.
• Jakintza eta prozedura matematikoak ezagutzea, erlazionatzea, integratzea eta balioestea, errealitatea eta nork bere testuingurua ulertzeko, deskribatzeko interpretatzeko eta komunikatzeko.
• Hausnarketa eta arrazoibidea garatzea, nork bere ondorioak eta horietara iristeko prozesua justifikatzeko, eta gainerako pertsonek aurkeztutako hausnarketak, emaitzak eta ondorioak modu kritikoan aztertzea.
Oinarrizko derrigorrezko hezkuntzaren amaieran ikasleak izan behar duen irteera profilera begira, matematikarako konpetentziaren garapen egokia bilatzeaz gain, konpetentzietan oinarritutako hezkuntza-sistema baten barruan, gainerako konpetentzien garapena ahalbidetzeko loturak planteatzen ditu, matematikaren diziplinak berezkoak dituen elementuen bidez, gainerako konpetentzietan beharrezkoak diren baliabide intelektualak eskainiz eta horietan sakontzen lagunduz.
• Problemen ebazpenean dago oinarrituta, horietatik abiatuta eraikitzen da ikasketa-prozesu osoa.
• Problema horiek ikaslearen esperientzia eta testuinguru hurbila erabiltzen ditu jarduera-iturri moduan.
• Osagai intuitibotik abiatuta, abstrakzio- eta formalizazio-prozesuak finkatzen ditu ikasketa- eta hausnarketa-prozesuan.
• Matematikaren izaera instrumentalak bat egiten du modu zuzenean hizkuntzaren erabilera zehatz eta argiarekin, eta beste jakintza arloetarako beharrezko tresna bihurtzeaz gain, errealitatea ulertzeko, deskribatzeko eta komunikatzeko oinarrizko baliabidea bihurtzen da, eta baita ideien garapenerako eta hausnarketarako baliabidea ere.
• Baliabide teknologikoen erabilera eta pentsamendu konputazionala bultzatzen eta ahalbidetzen ditu, prozedurak errazteko eta hausnarketarako eta ideien garapenerako bideak zabalduz.
• Problemen ebazpena problema-egoera moduan aurkeztutako proiektu txikien bidez lantzen denez, komunikaziorako, talde-lan eraginkorrerako eta ekintzailetza sustatzeko testuinguru egokia sortzen da.
Horrekin batera, matematikarako konpetentzia garatzeko etengabe jotzen da gainerako konpetentzietara, ikaslearen eguneroko errealitatearen esperientzian oinarritutako planteamendu praktikoa eskainiz. Aipatzekoa da indarrean dagoen curriculumak enfasia jartzen duela arloen arteko loturan eta konpetentzien garapenean. Zeregin hori bere gain hartu, eta gainerako arloekiko loturak egiteko proposamenak jasotzen ditu ikasmaterial honek unitate guztietan.
Horretarako, problemen ebazpena hartzen du oinarri ikasmaterial honek. Izan ere, problemen ebazpenean gauzatzen da matematikarako konpetentzia bere osotasunean. Arazo bati konponbide egokia eman ahal izateko, beharrezko jakintzak eta abileziak mobilizatzen eta artikulatzen dira, eta horrela sortzen eta aplikatzen dira ideia berriak. Problemen ebazpenak bultzatzen du diziplinartekotasuna, proiektuen bidez lan egitea, ikerketa proposamenak osatzea eta konpetentzietan oinarritutako ikasketa esanguratsua garatzea, bakarka zein talde-lanean.
Abiapuntu horretatik, matematikarako konpetentzia lantzeko indarrean dagoen legediaren araberako curriculumean proposatzen diren eduki multzo nagusiak modu osagarrian garatzen ditu ikasmaterial honek.
Eduki multzo horiek honako 10 unitate hauetan lantzen dira Matematika DBH3 ikasmaterialean:
1. Zenbakikuntza
2. Segidak
3. Polinomioak
4. Ekuazioak
5. Planoko geometria
6. Hiru dimentsioko geometria
7. Funtzioak
8. Funtzio linealak eta koadratikoak
9. Estatistika
10. Probabilitatea
1
Zenbakikuntza
Kultura bakoitzak bere zenbakikuntza-sistemak garatu ditu historian zehar, gizakiei sortu zaizkien egoerei eta problemei erantzuteko helburuarekin. Sistema horiek ez dira baldintza beretan osatu, eta bakoitzak bere arauak ditu. Zenbakikuntza Sistema Hamartarra da arrakasta gehien izan duenetako bat, baina beste hainbat adibide daude: sistema bitarra, hamabitarra edo hogeitarra, esate baterako (azken hori euskarak berak erabiltzen duena).
Zenbakikuntza Sistema Hamartarrarekin gai gara zenbaki oso txikiak edo oso handiak erosotasunez erabiltzeko, eta Nazioarteko Magnitude Sistemaren oinarria da.
Xake-jokoarensortzaileakbereherrialdekoagintariarierakutsizionjokoa;haingustukoa izanzuenagintariak,nonsortzaileariesanbaitzionberakerabakitzekosaria.Eskaerahau egin zuen hark: xake-taulako lehenengo laukitxoan gari-ale bat jartzea; bigarrenean, bi gari-ale; hirugarrenean, lau, eta hurrenez hurren, laukitxo bakoitzean aurreko laukitxoko ale kopurua bikoizten joatea. Xake-taulan zegoen gari guztia izango zen saria. Eskaera hori betetzea, ordea, ezinezkoa zen.
Ikasmaterial honetako unitate
bakoitzaren egitura 6 ataletan dago antolatuta. Horietatik bost ikasmaterial
honetan eta jardueren atala jardueren
liburuxkako dagokion unitatean:
Sarrera: unitatearen oinarrizko testuingurua aurkezten du, eta landuko diren edukiak egunerokotasunarekin lotzeko egoerak eta adibideak planteatzen ditu.
1. Zenbakikuntza
1. Problema-egoera
Larramendi Barrena baserrian, behi bakoitzak 4 kilo pentsu jaten du egunero. 50 behi dituzte, eta 60 egunerako jana gorde dezakete mandioan. Orain, ordea, behi kopurua murriztu behar dute, eta 50 behi edukitzetik 30 behi edukitzera igaroko dira. Biltegiratzen duten pentsu kantitatea berdina izango bada, zenbat egunerako jana izango dute?
2. Zer ikasiko dut unitate honetan?
• Zenbakikuntza Sistema Hamartarraren erabilera. Nazioarteko Unitate Sistemaren erabilera. Zenbaki errealak nola erabili oinarrizko eragiketa aritmetikoetan: batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketa eta erroketa. Zenbaki eta eragiketa horien erabilera egoera errealetan. Proportzionaltasun zuzeneko eta alderantzizko proportzionaltasuneko egoerak bereizten eta ebazten.
3. Zenbakikuntza Sistema Hamartarra Oinarritzat 10 duen zenbakikuntza-sistema posizionala da Zenbakikuntza Sistema Hamartarra: • Posizionala da: zifraren balioa zenbakian duen kokapenaren araberakoa da. Adibidez, 5 zifraren balioa ez da berdina 59 eta 95 zenbakietan. Hamartarra da: zenbakia osatzen duten zifren balioa hamar aldiz handiagoa edo txikiagoa da ondoko zifrena baino. Adibidez:
44,4 Zifra honen balioa lau hamarrenena da Zifra honen balioa lau banakorena da Zifra honen balioa lau hamarrekorena da
Zenbakikuntza sistema hamartarrean 10 zifra
Problema-egoera: unitatean landuko diren edukiak lantzeko interesa eta beharra sortzen duen egoera, egunerokotasunarekin eta ikaslearen esperientziarekin lotua. Aurretiazko ezagutzak aktibatzeko erabilgarria izateaz gain, unitatea landu ahala proiektuen metodologiaren bidez ebatz daiteke.
Zer ikasiko dut: unitatean landuko diren edukien oinarrizko zerrenda, problema-egoeratik sortutako beharrizanei erantzuteko erabilgarria izango dena.
Edukien eta aplikazio-jardueren atala: unitateari dagozkion eduki teoriko-praktikoak azaltzen dira, ikaslearentzako erabilgarriak eta aplikagarriak diren adibideekin eta aplikazio zuzeneko jarduerekin.
14
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Halaber,
Batuketa gisa deskonposatuz Batuketa-biderketa gisa deskonposatuz Berreketa gisa deskonposatuz 5.230 5.000 + 200 + 30 5 × 1.000 + 2 × 100 + 3 × 10 5 × 10 + 2 × 10 + 3 × 10 307.000 300.000 + 7.000 (3 × 100.000) + (7 × 1.000) 3 × 105 + 7 × 10 Zenbakia ≠ Zifra
ezberdin erabiltzen ditugu zenbakiak idazteko (0,
eta
9).
edozein
zenbaki, Batuketa gisa deskonposatuta, batuketabiderketa gisa deskonposatuta edo oinarritzat 10 duten berreketen bitartez
adieraz dezakegu.
7.
1. Unitatea Zenbakikuntza
Unitate honetan ikurra duten jarduerak marrazketa geometrikoa egiteko softwarea erabiliz egin ditzakezu.
Jarduerak
Zenbakikuntza-sistema
1. Idatzi letraz zenbaki hauek, eta adierazi dagokien
2. Idatzi letraz zenbaki hauek, eta adierazi zein den
3. Idatzi zifrak:
a) Hogeita hamabost ehun milaren
b) Hamazortzi mila zazpiehun eta hogeitahiru
c) Hirurogeita hamasei milioi seiehun eta bi
d) Hemeretzi milaren
e) Hirurehun eta berrogeita hamazortzi f) Lau ehun milioiren
4. Futbol-talde ospetsu batek jokalari berri bat fitxatu
du; komunikabideetan adierazi du 8 zifrako soldata
duela. Zenbat irabaziko du jokalari horrek, gutxienez?
5. Deskonposatu zenbaki hauek berreketa gisa.
Nazioarteko unitate-sistema
9. Pentsatu eta erantzun:
a) Zenbat milako daude 10 unitatetan?
b) Zenbat hamarren daude 4 unitatetan?
c) Zenbat ehunen daude 14 hamarrekotan?
d) Zenbat hamar milako daude 620 milakotan?
e) Zenbat unitate daude 440 milarenetan?
f) Zenbat hamar milaren daude 2 ehunenetan?
10. Adierazi neurri bakoitza eskatzen den unitatean.
a) 0,72 kg = […] kg
b) 1.074 m = […] dam
c) 15.400 ml = […] kl
d) 1 mg = […] kg
e) 0,81 dm = […] mm
f) 974 hl = […] dl
11. Adierazi neurri bakoitza eskatzen den unitatean.
Kontuan izan magnitude bakoitzarentzat erabiltzen den zenbakikuntza-sistema (hamartarra edo hirurogeitarra).
a) 500 mg = [....] g
b) 3.030 mg = [....] g
c) 181 cm = [....] mm
d) 3 m = [....] mm
e) 33 cl = [....]
f) 500 = [....] kl
g) 4 h = [....] min
h) 90 min = [....] h
i) 2.034 kg = [....] dag
j) 1 mg = [....] kg
k) 34 hm = [....] m
l) 1 m = [....] km
m) 2,5 = [....] dl n) 20 dal = [....] kl
o) 3 min = [....] s
p) 210 min =[....] h
4
Autoebaluazioa eta unitate amaierako testa: ikasle bakoitzak bere eskuratze-maila ebaluatu ahal izateko, edukien eskuratze-maila eta aplikazio-jarduerei dagokion trebetasun-maila neurtzeko proba.
ZER IKASI DUT? AUTOEBALUAZIOA
Eginikasitakoariburuzkogogoeta.Jarri,atalbakoitzean,puntuazioazureburuari, 0tik 10era.
1. Badakit zenbaki osoak, hamartarrak, zatikiak eta ehunekoak konparatzen eta ordenatzen.
3 1 3 –0,1 % 30 –4 5
2. Badakit edozein zenbaki deskonposatzen, osatzen duten zifren magnitude-ordenaren arabera. Adibidez, 101.202 zenbakia: Batuketa moduan: . . . . . . . . . . Batuketa-biderketa moduan: . . . . . . . . . . . . . . .
Berreketak erabiliz:
3. Badakit hainbat magnituderen neurketak Nazioarteko Unitateetan eta azpi-unitateetan adierazten. 300 mg = . . . . g 175 cm = . mm 3 h = min
4. Badakit hainbat objekturen magnitudeak estimatzen: Autobus baten luzera: m Sagar baten pisua: . . . . . g Edalontzi ertain baten edukiera: . . . cl
5. Badakit zenbaki handiak zein txikiak idazkera zientifikoan adierazten.
299.792.458 m/s = . . . m/s 0,000034 g = . . . .
6. Badakit zatikiak sinplifikatzen, zatiki laburtezin baliokidea aurkitu arte.
12 42 = . . . 126 210 = . . . .
7. Badakit edozein zenbaki arrazionalaren zatiki sortzailea aurkitzen. –0,25 = – . . . . . . 3,61 = 1,72 = . . . .
8. Badakit zenbaki arrazional bera adierazpen hamartarrean, zatiki moduan edo ehuneko moduan adierazten.
2 5 = . . . = . . 0,01 = . . . . . = % 25 = . . . . . =
9. Badakit edozein batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketa edo erroketaren emaitzaren hurbilketa buruz egiten eta kalkulagailuarekin zehatz kalkulatzen.
1. Zenbakikuntza
UNITATE-AMAIERAKO TESTA
1. Deskonposatu zenbaki hauek. (4 p.)
a) Batuketa-biderketa moduan:
10.101 = 506.030 =
b) Berreketak erabiliz:
15.200.500 = 0,8007 =
2. Osatu berdinketa hauek. (4 p.)
7,02 t = kg
508 cm = m 11,5 cl = l 160 min = ordu
3. Adierazi neurri hauek idazkera zientifikoa erabiliz. (8 p.)
100.000 l = l 1.800.000 metro kilometrotan =
360.000 s = s 72.000.000 mg gramotan =
0,0001 kg = kg 6 g kilogramotan = 9 m = 3 mm 0,0000063 m kilometrotan =
4. Estimatu, unitate egokiena aukeratuz. (10 p.)
Saskibaloiko baloi baten diametroa:
Zoparako koilara baten pisua: Zure hatz lodiaren luzera: Hozkailu ertain baten edukiera:
5. Aurkitu zenbaki hauen zatiki sortzailea. (3 p.) –0,35 = –
=
35
1. Zenbakikuntza
. . . . . . . . . .
37
1,56
2,0 2
6. Ordenatu txikitik handira. (6 p.) a) 1,03 ; 1,3 1,13 3,033 ; 3,3 < < < < b) 2 · 108 0,2 · 10 ; 222 104 22 · 106 < < < b) 3 · 10–4 0,31 · 10–5 ; 31 · 10–3 3,1 · 10–4 < < < 7. Osatu sare numerikoa. (5 p.) Adierazpen hamartarra Zatiki moduan Ehunekoa 0,4 1 100 0,23 % 125 % 210
=
a) 45 b)
c)
d) 0,15 e) 17.835 f) 0,0036
magnitude-ordena:
170.075.112
7.978
a)
magnitude-ordena:
1.100 b) 5.000.099 c) 0,003; d) 507.237
Ondoren, ordenatu
handira. 200.200.200, 22.002, 200.022, 2.002, 202.002, 2.002.200, 2.220.222 6. Deskonposatu zenbaki hauek berreketa gisa. a) 151.456 b) 289 c) 46.080 d) 25.032.045 e) 367.110.023 f) 605.947
txikitik
Adierazi sistema hamartarrean berreketa gisa deskonposatutako zenbaki hauek: a) 3 • 102 + 9 • 101 + 2 • 100 b) 8 • 105 + 10 + 3 • 103 + 9 • 102 + 101 c) 7 • 104 + 10 + 2 • 101 + 1 • 100 d) 4 • 107 + 10 + 3 • 105 + 4 • 101 e) 2 • 105 + 9 • 104 + 103 + 7 • 102 + 8 • 101 + 2 • 100 f) 9 • 109 + 9 • 108 + 4 • 107 + 105 + 3 • 100 8. Zein da 4, 0, 7, 1 zifrekin osatu daitekeen lau zifrako zenbakirik handiena zifrak errepikatu gabe? Eta txikiena? Eta zifrak errepikatuz gero?
Jarduera eta problemen liburuxkako unitate bakoitzari dagokion atala.
Ikasleari baliabide eta jarduera osagarriak eskaintzen dizkion online plataforma batekin osatzen da ikasmaterial hau:
• Unitate bakoitzeko aplikazio-jarduera osagarriak
• Matematikarako konpetentziari dagokion baliabide teknologikoen erabileran trebatzeko baliabideak
• Unitate bakoitzeko online autoebaluazioa
• Problemen online lantegia: problemen ebazpena lantzeko berariazko baliabidea
1 Zenbakikuntza
Kultura bakoitzak bere zenbakikuntza-sistemak garatu ditu historian zehar, gizakiei sortu zaizkien egoerei eta problemei erantzuteko helburuarekin. Sistema horiek ez dira baldintza beretan osatu, eta bakoitzak bere arauak ditu. Zenbakikuntza Sistema Hamartarra da arrakasta gehien izan duenetako bat, baina beste hainbat adibide daude: sistema bitarra, hamabitarra edo hogeitarra, esate baterako (azken hori euskarak berak erabiltzen duena).
Zenbakikuntza Sistema Hamartarrarekin gai gara zenbaki oso txikiak edo oso handiak erosotasunez erabiltzeko, eta Nazioarteko Magnitude Sistemaren oinarria da.
Xake-jokoarensortzaileakbereherrialdekoagintariarierakutsizionjokoa;haingustukoa izanzuenagintariak,nonsortzaileariesanbaitzionberakerabakitzekosaria.Eskaerahau egin zuen hark: xake-taulako lehenengo laukitxoan gari-ale bat jartzea; bigarrenean, bi gari-ale; hirugarrenean, lau, eta hurrenez hurren, laukitxo bakoitzean aurreko laukitxoko ale kopurua bikoizten joatea. Xake-taulan zegoen gari guztia izango zen saria. Eskaera hori betetzea, ordea, ezinezkoa zen.
1. Problema-egoera
Larramendi Barrena baserrian, behi bakoitzak 4 kilo pentsu jaten du egunero. 50 behi dituzte, eta 60 egunerako jana gorde dezakete mandioan. Orain, ordea, behi kopurua murriztu behar dute, eta 50 behi edukitzetik 30 behi edukitzera igaroko dira. Biltegiratzen duten pentsu kantitatea berdina izango bada, zenbat egunerako jana izango dute?
2. Zer ikasiko dut unitate honetan?
• Zenbakikuntza Sistema Hamartarraren erabilera.
• Nazioarteko Unitate Sistemaren erabilera.
• Zenbaki errealak nola erabili oinarrizko eragiketa aritmetikoetan: batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketa eta erroketa.
• Zenbaki eta eragiketa horien erabilera egoera errealetan.
• Proportzionaltasun zuzeneko eta alderantzizko proportzionaltasuneko egoerak bereizten eta ebazten.
3. Zenbakikuntza Sistema Hamartarra
Oinarritzat 10 duen zenbakikuntza-sistema posizionala da Zenbakikuntza Sistema Hamartarra:
• Posizionala da: zifraren balioa zenbakian duen kokapenaren araberakoa da. Adibidez, 5 zifraren balioa ez da berdina 59 eta 95 zenbakietan.
• Hamartarra da: zenbakia osatzen duten zifren balioa hamar aldiz handiagoa edo txikiagoa da ondoko zifrena baino. Adibidez:
44,4
Zifra honen balioa lau hamarrenena da Zifra honen balioa lau banakorena da Zifra honen balioa lau hamarrekorena da
Zenbakikuntza sistema hamartarrean 10 zifra ezberdin erabiltzen ditugu zenbakiak idazteko (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eta 9).
Halaber, edozein zenbaki, Batuketa gisa deskonposatuta, batuketabiderketa gisa deskonposatuta edo oinarritzat 10 duten berreketen bitartez adieraz dezakegu.
14
1. Zenbakikuntza
Batuketa gisa deskonposatuz Batuketa-biderketa gisa deskonposatuz Berreketa gisa deskonposatuz 5.230 5.000 + 200 + 30 5 × 1.000 + 2 × 100 + 3 × 10 5 × 103 + 2 × 102 + 3 × 101 307.000 300.000 + 7.000 (3 × 100.000) + (7 × 1.000) 3 × 105 + 7 × 103
Zenbakia ≠ Zifra
Garrantzitsua da zenbaki baten magnitude-ordena identifikatzen jakitea, hori baita zenbaki horren tamaina emango diguna. Magnitude-ordena jakiteko, balio handieneko zifraren posizioa zehazten jakin behar dugu.
4. Nazioarteko Unitate Sistema
Magnitude bakoitzarentzat definitutako oinarrizko unitateak (metroa, segundoa, kilogramoa…) handiegiak edo txikiegiak izan daitezke neurketa batzuetarako. Adibidez, Baionatik Gasteizera dagoen distantzia neurtzeko, metroa unitate txikiegia da, baina arkatz baten luzera neurtzeko, handiegia. Horregatik, neurketak modu egokiagoan adierazteko oinarrizko unitate horientzat azpi-unitate eta multiploak definitzen dira, Sistema Metriko Hamartarrean oinarrituta: ordena bateko hamar unitatek hurrengo ordena handiagoko unitate bat osatzen dute.
Ofizialki, munduko herrialde jarraitzenguztiek
NazioartekodioteUnitate
Sistemari, hiruk izan ezik. Zein dira?
kilo baino unitate handiagoak eta mili baino txikiagoak zehazteko, mila handiz handiago edo txikiago diren unitateak definitzen dira:
Informazio digitalaren biltegiratzea neurtzeko, arruntak dira kilo baino unitate handiagoak: megabyte, gigabyte, terabyte
1. Zenbakikuntza 15
Milioikoak EM HM Milakoak E H B 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 106 105 104 103 102 101 100 5 0 2 1 2 3 2 7 4 0 4 0 4 0 4 Magnitude-ordena 502 102 ehunekoa 12.327 104 hamar milakoa 4.040.404 106 milioikoa
Mila Ehun Hamar Unitatea/ banakoa Hamarrena Ehunena Milarena Zenbaki hamartarra 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Oinarria hamar duten berreketak 103 102 101 100 10–1 10–2 10–3 Aurrizkia kilo hekto deka ez du dezi zenti mili Sinboloa k h da magnitude bakoitzari dagokion laburdura d c m
Hamabi oso zenbaki aproposa da banaketak egiteko: Adibidez, urtea
2 seihileko, lau hiruhileko, 3 lauhileko edo 6 bihilekotan banatu daiteke.
Sinboloa T
Hilabete guztiek ez dute egun kopuru bera. Gogoratzeko zein diren 31 egunekoak eta zein 30ekoak (otsaila salbuespen), hatz-koskorrak erabil ditzakezu.
Denbora magnitude berezia da; segundoa baino unitate txikiagoak adierazteko, Zenbakikuntza Sistema Hamartarraren oinarritzen gara; handiagoentzat, berriz, zenbakikuntza-sistema hirurogeitarrean eta tradizio historikoan:
5. Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak. Zenbaki errealak.
Zenbaki arrazionalak. Zatiki sortzaileak
Zatiki moduan adieraz daitezkeen zenbakiak arrazionalak dira.
Hiru motakoak izan daitezke:
Zenbaki osoak
= 10: 2 = 5
–18
6 = (–18) : 6 = –3
GOGORATU!
Zatikiek bi termino dituzte: 1 10
Izendatzailea: “10”, unitatea zenbat zati berdinetan banatu den adierazten duena.
Zenbakitzailea: “1”, zati horietako zenbat hartu diren adierazten duena.
Edozein zenbaki oso zatiki moduan adierazteko, multiploak erabiliko ditugu.
a × k = b
= zatiki moduan adierazi nahi den zenbaki osoa da;
k = edozein zenbaki arrunt da; -ren multiploa da.
Orduan, a zenbaki osoaren zatiki sortzailea b k izango da.
Zenbaki hamartar zehatzak
Z = {…–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}
• Zenbaki oso positiboen multzoa Z+ = zenbaki arrunten multzoa, N
• Zenbaki oso negatiboen multzoa Z–
Zenbaki hamartar zehatzak zatiki moduan adierazteko, izendatzaile egokia aukeratu behar da, Zenbakikuntza Sistema Hamartarraren oinarria 10 dela kontuan izanda. Zenbaki hamartarra negatiboa bada, zeinua ere kontuan hartu beharko dugu, halaber:
1,5 = 15 10 = 3 2 0,025 = 25 1.000 = 1 40 –1,7 = –17 10
• Zenbaki hamartar periodikoak
Zenbaki hamartar periodikoetan, behin eta berriz errepikatzen den zati hamartarra dago, periodoa deitzen dena. Zati hamartar osoak osatzen badu periodoa, puruak direla esaten da, eta zati hamartarraren hasieran errepikatzen ez den zifra multzo bat badago, orduan mistoak dira.
16 Bilioia
Oinarria hamar duten berreketak 1012 109 106 1 10–6 10–9 10–12
1. Zenbakikuntza
Miliarra Milioia Unitatea/ banakoa Milioirena Miliarrena Bilioirena
Aurrizkia tera giga mega ez du mikro nano piko
G M magnitude bakoitzari dagokiona μ n p
Informazioa terabyte gigabyte megabyte byte Luzera metro mikrometroa nanometroa pikometroa
1 urte = 12 hilabete 1 hilabete = 30 egun* 1 aste = 7 egun 1 egun = 24 h 1 h = 60 min 1 min = 60 s
urtea hilabetea astea eguna ordua minutua
Zenbaki hamartar periodiko puruen zatiki sortzailea aurkitzeko, periodoa osatzen duen zifra kopurua hartu behar dugu kontuan.
0,77777… = 0, 7
Zifra bakarrak osatzen du periodoa. Horrela jarduten da:
0, 7 = P deituko diogu zenbaki horri. Periodoa zifra hamartar bakarrak osatzen duela ikusita, bider 10 egiten da:
10P = 7,777… izango da
Bi zenbakien arteko kenketa egiten da:
10P – P = 7,777… – 0,777…
9P = 7
P = 7 9 da zatiki sortzailea
Egiaztatzen da 7 9 = 0, 7
0,074074074074… = 0,074
Hiru zifrak osatzen dute periodoa.
0,074 = P deituko diogu. Periodoa hiru zifraz osatuta dagoela ikusita, bider 1.000 egiten da:
1.000P = 74,074074074… izango da
Bi zenbakien arteko kenketa egiten da:
1.000P – P = 74,074074… … – 0,074074…
999P = 74
P = 74 999 da zatiki sortzailea
Egiaztatzen da 74 999 = 2 27 = 0,074
Zenbaki hamartar periodiko mistoen zatiki sortzailea aurkitzeko, periodoa osatzen ez duen zifra kopurua eta periodoa osatzen duen zifra kopurua hartu behar ditugu kontuan:
0,8333333… = 0,83
0,83 = M esango diogu.
M zenbaki periodiko purua bihurtzen da, bider 10 eginez: 10M = 8,333…
Gero, periodo berdina duen beste zenbaki bat lortzen da, bider
100 eginez:
100M = 83,333…
Bi zenbakien arteko kenketa egiten da:
100M – 10M = 83,333… – 8,333…
Zenbaki hamartar zehatzen zatiki sortzailea lortzeko:
• zenbakitzailean: zenbakia komarik gabe, osoa izango balitz bezala
• izendatzailean: zenbaki horren hamartar kopuruaren adinako berretzailea duen 10aren berreketa
Osoko zenbakiak eta zenbaki hamartar zehatzak 0 periodoa duten zenbaki hamartar periodikotzat har daitezke.
4
2 = 2,0 5 2 = 2,50
Zenbaki arrazional guztiak zenbaki hamartarrak dira eta ondorioz zatiki baten bitartez adieraz daitezke. Zatiki horri zatiki sortzailea esaten zaio.
17
1. Zenbakikuntza
Karratu perfektuak ez diren zenbakien erro karratuak
zenbaki irrazionalak
90M = 75
M = 75 90 da zatiki sortzailea
Egiaztatzen da 75 90 = 5 6 = 0,83
Sare numerikoak. Zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak
Zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak zenbaki arrazional berdinaren adierazpenak dira. Oso baliagarria da zenbaki arrazional horien adierazpen baliokideak ezagutzea.
Zatikiaren
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki batzuk ezin dira zatiki moduan adierazi: zenbaki irrazionalak dira. Horietako batzuk ezagutzen dituzu jada:
1. Zenbakikuntza 18
Nola esaten dugun
1 2
%
Erdia, erdi bat Ehuneko berrogeita hamar
1 3 0, 3 %
Herena, heren bat Ehuneko hogeita hamairu 2 3 0, 6 % 66,6 Bi heren Ehuneko hirurogeita sei 4 1 4 0,25 % 25 Laurdena, laurden bat Ehuneko hogeita bost 2 4 = 1 2 0,5 % 50 Bi laurden Ehuneko berrogeita hamar 3 4 0,75 % 75 Hiru laurden Ehuneko hirurogeita hamabost 5 1 5 0,2 % 20 Bostena, bosten bat Ehuneko hogei 2 5 0,4 % 40 Bi bosten Ehuneko berrogei 3 5 0,6 % 60 Hiru bosten Ehuneko hirurogei 4 5 0,8 % 80 Lau bosten Ehuneko laurogei 10 1 10 0,1 % 10 Hamarrema, hamarren bat Ehuneko hamar 2 10 = 1 5 0,2 % 20 Bi hamarren Ehuneko hogei 100 1 100 0,01 % 1 Ehunena, ehunen bat Ehuneko bat 2 100 0,02 % 2 Bi ehunen Ehuneko bi
izendatzailea Baliokidetzak
2
0,5
50
3
33,3
3, 5, 6,
dira:
7,…
π irrazionala da: 3,141592… balioa ezin da zatiki moduan adierazi.
2 irrazionala da: 1,4142135… balioa ezin da zatiki batekin lortu.
Zenbaki irrazionalak periodorik ez duten eta zifra hamartar infinitu dituzten zenbaki hamartarrak dira. Zenbaki irrazionalak arrazionalak baino ugariagoak dira.
Zenbaki arrazional eta irrazionalek zenbaki errealen multzoa osatzen dute.
Zenbaki errealak ordenatu eta konparatu. Zenbakizko zuzena
Zenbaki erreal bakoitza puntu bati dagokio zenbakizko zuzenean. Kontuan izan zenbaki batek (zenbakizko zuzeneko puntu batek) adierazpen ezberdinak izan ditzakeela. Zenbakiak elkarren artean konparatzean eta ordenatzean, zenbakien zuzenean zenbat eta eskuinerago kokatu, orduan eta handiagoa izango da zenbakia.
Liburu hau argitaratu den unean, π zenbakiaren 31 bilioi hamartar kalkulatu dira. Horrek ez du erabilera praktiko zuzenik, baina ordenagailuen kalkulu- ahalmena erabiltzentestatzeko da.
Zenbaki osoekin ez bezala, ezin daiteke esan zein den zenbaki hamar tar baten hurrengo zenbakia. Bi zenbaki hamartar edozein hartuta, infinitu zenbaki hamartar egongo dira bien artean:
Zenbaki baten balio absolutua zenbakiaren kokapenetik 0ra dagoen distantzia da. Aurkako zeinua eta balio absolutu berdina duten zenbakiak aurkakoak (edo simetrikoak) dira.
Zenbaki hamartarrak irakurtzeko, idazteko eta deskonposatzeko zen bakizko koadroa da erreferentzia:
–2 3 ren aurkakoa + 2 3 da
–2 3 + 2 3 = 0
-1.234ren aurkakoa 1.234 da
-1.234 + 1.234 = 0
Hiru mila ehun eta berrogeita bost koma berrehun eta laurogeita ha mahiru
1. Zenbakikuntza 19
–1 0 +1 +2 –1 4 2 4 7 4 –0,25 – % 25 0,5 % 50 1,75 % 175 % 100
Adibidez: 2,1 eta 2,2
2,11 2,111 2,10002 2,102030405….
artean:
3 1 4 5 2 9 3
Milakoak Ehunekoak Hamarrekoak Banakoak Hamarrenak Ehunenak Milarenak
3.145,293
+ 100 + 40 + 5 + 0,2 + 0,09 + 0,003 = 3 • 1000 + 1 • 100 + 4 • 10 + 5 + 2 • 1 10 + 9 • 1 100 + 3 • 1000 = 3 • 1000 + 1 • 100 + 4 • 10 + 5 + 2 • 10–1+ 9 • 10–2 + 3 • 10–3
= 3.000
• Eragiketa baten emaitza zehatza behar denean, kalkulagailua erabiliko dugu ia beti. Zure kalkulagailua erabiltzen trebatu beharko duzu.
• Kalkulagailuarekin edozein eragiketa egin aurretik, buruz hurbildu behar da emaitza.
zero koma bi edo bi hamarren esango dugu
zero koma berrogeita zortzi edo berrogeita zortzi ehunen esango dugu
0,003 = zero koma zero zero hiru edo hiru milaren esango dugu
Eragiketak zenbaki errealekin
a) Batuketa eta kenketa
Zenbaki hamartarrak batzerakoan edo kentzerakoan, zenbaki positiboekin eta negatiboekin batera lan egitea suerta daiteke. Gogoratu zenbaki positibo edo negatibo bat kentzea eta bere aurkakoa batzea gauza bera dela.
Ideia horretaz baliatzen gara kalkulagailuarekin hainbat zenbaki positiboren eta negatiboren arteko batuketak eta kenketak egiteko.
4,2 − (+0,8) − (−2,5) + (+33) − (−61,2) − (+17)
Batuketak, kenketa moduan adieraz daitezke, eta alderantziz; hori egiteko, zenbaki baten aurkako elementua erabiltzen dugu.
Kalkulagailuan tekleatuko duguna:
4,2 − 0,8 + 2,5 + 33 + 61,2 − 17 = 83,1
Eragiketan agertzen diren zenbakietako batzuk zatikiak direnean, adierazpen hamartarra erabil daiteke, baina kontuz: aukeratutako hamartar kopuruaren arabera, emaitza aldatu egingo da.
+ 1 3 ≈ 6.2 − 1.72 + 0.333 = 4,813
Ikusten denez, 4,78 ≠ 4,813 5 7 + 3 11
Lau hamartar erabiliz gero: 5 7 + 3 11 ≈ 0,7143 + 0,2727 = 0,987
Hamartar bakarra erabiliz gero 5 7 + 3 11 ≈ 0,7 + 0,3 = 1
Ikusten denez, 0,987 ≠ 1
1. Zenbakikuntza 20
6.2
1.72
bakarra erabiliz gero: 6.2 − 1.72 + 1 3 ≈ 6.2 − 1.72 + 0,3 = 4.78
hamartar erabiliz gero: 6.2 − 1.72
−
+ 1 3 Hamartar
Hiru
Emaitza zatiki moduan adierazi behar bada, orduan, izendatzaile berdina duten zatiki baliokideak aurkitu beharko dira, izendatzaileen multiplo komunetan txikiena bilatuz eta, ondoren, zenbakitzaileekin
b) Biderketa eta zatiketa
Zenbaki positibo eta negatiboak biderkatzean edo zatitzean, zeinuen araua hartu behar da kontuan. Biderkagai negatiboen kopurua bakoitia bada, emaitza negatiboa izango da, eta biderkagai negatiboen kopurua bikoitia bada, emaitza positiboa izango da.
3,5 • 2 • (–2,3) = 7 • (–2,3) = (–16,1)
3,5 • (–2) • (–2,3) = (–7) • (–2,3) = 16,1 (–3,5) • (–2) • (–2) = 7 • (–2,3) = (–16,1)
1 baino txikiagoak diren zenbaki hamartarrak biderkatzean, emaitza beste biderkagaia baino txikiagoa izango da.
10,3 > 5,15
1 baino txikiagoak diren zenbaki hamartarrak zatitzean, emaitza zatikizuna baino handiagoa izango da.
10,3 < 20,6
Zatikiak biderkatzean eta emaitza zatiki eran adierazi behar denean, zatikien zenbakitzaileak biderkatzen dira alde batetik eta bestetik, izendatzaileak:
Zatikiak zatitzean eta emaitza zatiki moduan lortu behar denean, alderantzizko zenbakiarekin egiten dugu lan. Alderantzizko zenbakiak erabiliz, zatiketa biderketa bezala adieraz daiteke:
1. Zenbakikuntza 21 biderketan edo zatiketan + –+ + –– – +
jardunez: 1,3 + 2 7 = 13 10 + 2 7 = = 91 70 + 20 70 = 111 70 5 + 1 3 + 1,1 = 6,1 + 1 3 = 61 10 + 1 3 = = 61 30 + 10 30 = 71 30
10,3 • 0,5 = 103 10 • 5 10
103 • 5 10 • 10 = 515 100 = 5,15
=
10,3
5 10 = = 103 10 × 5 10 = 103 × 10 10 × 5 = =
: 0,5 = 103 10 :
20,6
3 4 • 2 7 = = 3 • 2 4 • 7 = 6 28 = 3 14
a b zatikiaren alderantzizkoa b a da
a
b · b a = 1
Zatiki batek zenbaki oso edo hamartar bat biderkatzen edo zatitzen duenean, zenbaki horrek adierazten duen kopuru edo neurriaren eragile moduan jokatzen du.
Kalkulagailuarekin egingo ditugu ia beti zenbaki hamartarren arteko biderketak eta zatiketak, baina komenigarria da ohitura hartzea:
1) emaitza buruz hurbiltzekoa, zenbakiak biribilduz;
23,84 : 8,2 ≈ 24 : 8
391,36: 18,2 ≈ 400 : 20
2) emaitzak izan behar dituen kopuru hamartarrak egiaztatzekoa;
4,5 • 0,5 = 2,25≈ 24 : 8
391,36: 18,2 ≈ 400 : 20
4,5 • 0,5 = 2,25
hamartar bat + hamartar bat bi hamartar
Zatikiekin biderketak edo zatiketak egitean zenbaki hamartar moduan adieraztea izango da beste aukera bat, batuketan eta kenketan egin daitekeen bezala. Hemen ere aukeratutako hamartar kopuruaren arabera aldatu egingo da emaitza.
· 2 7
Hamartar bakarra erabiliz gero: 3 4 · 2 7 ≈ 0,8 · 0,3 = 0,24
Bi harmartar erabiliz gero:
· 2 7 ≈ 0.75 · 0,28 = 0,21
Ikusten denez, 0,24 ≠ 0,21
10 : 3 8
1. Zenbakikuntza 22 3 5 : 4 7 = 3 5 4 7 = 3 5 • 7 4 = 21 20 5 7 : 3 = 5 7 3 = 5 7 • 1 3 = 5 21
15 • 2 3 = = 15 • 2 3 = = 5 • 2 = 10 2 3 < 1 denez, 15 baino txikiagoa da 0,9 • 2 3 = = 0,9 • 2 3 = = 1,8 3 = 0,6 6 : 4 5 = 6 1 : 4 5 = 6 1 • 5 4 = 30 4 4 5 < 1 denez, emaitza 6 baino handiagoa da 0,2 : 4 5 = 0,2 • 5 4 = 1 4
4
3
4
3
Hamartar bakarra erabiliz gero: 10 : 3 8 ≈ 10 : 0,4 = 25
Hiru harmartar erabiliz gero: 10 : 3 8 ≈ 10 : 0,375 = 26,6
Ikusten denez, 25 ≠ 26,6
Batuketaren eta biderketaren propietateak
Batuketaren eta biderketaren propietateak kalkuluak errazago egiteko erabil ditzakegu.
c) Berreketa eta erroketa
Berreketa eta erroketa kontrako eragiketak dira:
Oinarria zenbaki positiboa denean, berreketaren emaitza positiboa izango da.
32 = 3 • –3 = 9
1,52 = 1,5 • 1,5 = 2,25
Oinarria zenbaki negatiboa denean, emaitza:
• positiboa izango da esponentea bikoitia bada.
(–2)2 = (–3) • (–3) = 9
Azalera unitateak, unitate beretan neurtutako bi neurri biderkatuz lortzen dira: unitate karratuak dira
Bolumen unitateak, unitate beretan neurtutako hiru neurri biderkatuz lortzen dira: unitate kubikoak dira
1. Zenbakikuntza 23
Batuketa Biderketa Trukakortasun-propietatea a + b = b + a a • b = b • a Elkartze-propietatea (a + b) + c = a + (b + c) (a • b) • c = a • (b • c) Banatze-propietatea a(b + c) = a • b + a • c Elementu neutroa a + 0 = a a • 1 = a Kontrako elementua a + (-a) = 0 Alderantzizko elementua a • 1 a = 1
an
n
= b < – >
b = a
BERRETZAILEA EDO ESPONENTEA
• negatiboa izango da esponentea bakoitia bada.
(–5)3 = (–5) • (–5) • (–5) = (–125)
(–0,2)5 = (–0,2) • (–0,2) • (–0,2) • (–0,2) • (–0,2) = (–0,00032)
OINARRIA BERRETURA
a zenbakia n aldiz biderkatzen dugu bere buruaz eta b zenbakia lortzen dugu.
Zatiki baten berreketa kalkulatzeko eta emaitza zatiki moduan adierazteko, zenbakitzailearen eta izendatzailearen berreketak kalkulatuko ditugu; ondoren, posible bada, zatikia sinplifikatuko dugu:
( 1 2 )2 = 12 22 = 1 4
( 2 5 )3 = 23 52 = 8 25
Zenbaki hamartarrak eta zatikiak zenbaki beraren adierazpen desberdinak direnez, egora batzuetan adierazpen bat edo bestea erabiltzeak kalkuluak erraztu ditzake:
ERROTZAILEA
0,5 = 1 2
(0,5)2 = 0,5 • 0,5 = 0,25 = 1 4 = 1 2 • 1 2 = ( 1 2 )2
ERROKIZUNA ERROA
Errokizuna positiboa eta errotzailea bikoitia denean, bi erro egongo dira:
52 = 5 • 5 = 25
(–5)2 = (–5) • (–5) = 25 Hortaz,
eta
GOGORATU! Berretzailerik ez badago, erroa karratua da
Biderkagai negatiboen kopurua bikoitia bada, positiboaemaitza da
Errokizuna negatiboa denean, bi egoera aurkituko ditugu:
• errotzailea bakoitia bada, erroa kalkulatu ahal izango dugu: (–1.000)
= (–2) ↔ (–2)
(–2)
(–2)
(–2) • (–2) = (–32)
• errotzailea bikoitia bada, erroketa ez dugu ebatziko. Hori egin ahal izateko, beste zenbaki mota bat behar da, eta aurrerago ikusiko ditugu.
1. Zenbakikuntza 24
•
• 2 •
•
•
•
25 = 5
–5 24 = 2
2
2 = 16 (–2)4 = (–2)
(–2)
(–2)
(–2) = 16 Hortaz, 16 4 = 2 eta –2
3
5
= (–10) ↔ (–10) • (–10) • (–10) = (–1.000) (–32)
•
•
•
(-4) 2 (-16) 2
n a c =
an
b =
Zatiki baten erroketa kalkulatzeko, zenbaki hamartar bihurtuko dugu askotan, eta, ondoren, erroa kalkulatuko dugu. Emaitza zatiki eran nahiko bagenu, zenbakitzailearen eta izendatzailearen erroketak egin beharko ditugu.
Berreketaren eta erroketaren propietateak
Era horretako zatiketa batean gerta daiteke zatitzailearen esponentea zatikizunaren esponentea baino handiagoa izatea. Kasu horietan, emaitzak esponente negatiboa izango du.
Berreketa batean, esponente negatiboa positibo bihurtu dezakegu, eta alderantziz, oinarriaren alderantzizkoa erabiliz:
Horrelako berreketen zatiketan ere, gerta daiteke esponente biak berdinak izatea; orduan, berretura 1 da.
1. Zenbakikuntza 25
4 5 = 0,8 ≈ 0,89 1 4 3 = 0,25 3 ≈ 0,63 2 3 = 2 3 4 7 3 = 4 7 3 3
am • an = am+n 22 • 24 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 •2 = 22+4 = 26 am: an= am an = am–n 36 : 32 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 3 • 3 = 36–2 = 3 • 3 • 3 • 3 = 34
24 25 = 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 1 2 = 2–1
a–2 = ( 1 a )2 = 1 a2 2–2 = ( 1 2 )2 = 1 4 (0,2)–1 = ( 1 0,2 )1 = 1 0,2 = 5
Normalean, kalkulagailuarekinerroak kalkulatuko ditugu, baina, aurretik, emaitza buruz saiatukohurbiltzen gara kalkulagailuarekinbeti, akatsik egin ez dugula ziurtatzeko.
Errokizuna faktoretan deskonposatu badaiteke, posible izango da erroketa sinplifikatzea faktoreen esponentea errotzailearen berdina edo handiagoa bada. 125
d) Eragiketen hierarkia
Kateatutako eragiketak agertzen direnean, emaitza ezberdinak lortzen dira eragiketak ordena berean egiten ez badira. Arazo hori ekiditeko, adostuta dago zein eragiketa egin behar diren lehenago.
1. Zenbakikuntza 26 a0 = 1 53 53 = 5 • 5 • 5 5 • 5 • 5 = 53–3= = 50 = 1 53 53 = = 53–3 = 50= 1 am • bm = (a • b)m 34 • 54 = (3 • 3 • 3 • 3) • (5 • 5 • 5 • 5)= (3 • 5) • (3 • 5) • (3 • 5) • (3 • 5) = (3 • 5)4 am : bm = (a : b)m 64 : 34 = (6 • 6 • 6 • 6) : (3 • 3 • 3 • 3) = 6 • 6 • 6 • 6 3 • 3 • 3 • 3 = (6 : 3) • (6 : 3) • (6 : 3) • (6 : 3) = (6 : 3)4 (am)n = am • n (72)3 = (7 • 7)3 = 73 • 73 = 76 a m • b m = a • b m 64 • 16 = 8 • 4 = 32 64 • 16 = 64 • 16 = 1.024 = 32 a m : b m = a : b m 36 : 4 = 6 : 2 = 3 36 : 4 = 36:4 = 9 = 3
2
53 2 = 52 2 • 5 2 = 5 • 5 2 16 3 faktore lehenetan deskonposatu ondoren 24 3 = 23 3 • 2 3 = 2 • 2 3 500 2 faktore lehenetan deskonposatu ondoren 22 • 53 2 = 22 2 • 52 2 • 5 2 = 2 • 5 • 5 2 = 10 • 5 2
faktore lehenetan deskonposatu ondoren
Lehentasun hori ez bada errespetatu behar, edo egoera argi utzi behar denean, parentesiak erabiltzen dira. Irizpide multzo horri eragiketen hierarkia edo eragiketen lehentasuna esaten zaio:
Taldekatze-ikurrak
Berreketa eta erroketak
Biderketa eta zatiketak
Batuketa eta kenketak
Zalantzarik egotekotan, eragiketak ezkerretik eskuinera ebatziko dira:
Taldekatze-ikur ohikoenak parentesiak dira, era askotakoak: [kortxeteak],(parentesiak), {giltzak}; zatikien marra horizontalak, balio absolutuaren marra bertikalekin eta erroketaren ikurrekin ere era horretara jokatzen da.
Zenbakien idazkera zientifikoa
Idazkera zientifikoa zenbaki oso handiak edo oso txikiak adierazteko modu eraginkor bat da. Adierazpen horrekin zenbakiaren magnitude-ordena azpimarratzea lortzen da. Zenbaki bat idazkera zientifikoan adierazteko, oinarria 10 duten berreketak erabiltzen ditugu eta berreketaren esponenteak ematen digu zenbakiaren magnitudeordena.
Adibidez, Lurretik Ilargira dagoen batez besteko distantzia 385.000 kmkoa da. Idazkera zientifikoa erabiliz:
Esponenteak zenbakiaren magnitude-ordena adierazten du:
5 ehun milakoak
385.000 km = 3,85 · 105 km
Idazkera zientifikoan, atal honek zifra bakarra du, eta adierazi nahi den kopuruaren edo neurketaren zifra esanguratsuena da. Zifra hamartarraren kopurua ezberdina izan daiteke.
Adierazi nahi dugun zenbakia ez bada erabilitako unitatearen neurrira heltzen, berreketaren esponentea negatiboa izango da. Adibidez:
Kalkulagailu batzuek eragiketen errespetatzenlehentasuna dute, baina beste batzuek ezkerretik eskuinera ebazten dituzte eragiketak. Garrantzitsua da jakitea nola egiten duen zure kalkulagailuak.
1. Zenbakikuntza 27
3 + 5 + 2 11 • 4 = 10 11 • 4 = 40 11 3 10 + 3 + 4 • 25 + 32 = 3 17 • 57
{ [ ( 2 + 3) : 1 3 ] • [22 + 7] • 3 } = { [ 5 : 1 3 ] • [ 11 ] • 3 } = { [ 15 • 11 ] • 3 } = 165 • 3
1l-ko bolumena metro kubikotan adierazi beharko bagenu:
Litroa metro kubikoa baino mila aldiz txikiagoa da (mila litro behar ditugu metro kubiko bat osatzeko), beraz:
1l = 1 1000 m3 = 100 103 m3 =100–3 m3 = 10–3 m3
e) Hurbilketa kalkulua. Errore absolutua eta erlatiboa.
Oso txikiak edo oso handiak diren zenbakiekin lan egitean kalkulagailua erabiltzen da emaitza zehatza lortzeko; baina, aurretik, hurbilketa bat egingo dugu buruz, kalkulagailuarekin akats larririk egin ez dugula ziurtatzeko. Hurbilketa hori egiteko, eragiketan parte hartzen duten zenbakiak biribiltzen dira, eta, horretarako, zenbakiaren zifra esanguratsuenak hartzen ditugu kontuan. Bi zifra esanguratsuenak kontuan hartzea nahikoa izaten da hurbilketa on bat lortzeko. Buruz eta kalkulagailuarekin lortzen ditudan emaitzak ez badira magnitude berekoak edo antzekoak, zerbait gaizki egin dugu.
378.234 + 124.077
Buruz egiten dugun hurbilketa:
378.234 + 124.077 ≈ 380.000 + 120.000 = 500.000
Kalkulagailuarekin lortzen dugun emaitza zehatza:
378.234 + 124.077 = 502.311
38.150.350 + 5.709.981
Buruz egiten dugun hurbilketa:
38.150.350 + 5.709.981 ≈ 38.000.000 + 5.700.000 = 43.700.000
Kalkulagailuarekin lortzen dugun emaitza:
38.150.350 + 5.709.981 = 43.860.331
Hurbilketaz kalkulatzen denean, emaitza zehatzarekiko diferentzia bat egoten da. Aurreko adibideekin jarraituz:
278.234 + 124.077
Hurbilketaz lortutako emaitza: 280.000 + 120.000 = 400.000
Kalkulagailuaz lortutako emaitza (zehatza): 402.311
Bi emaitzen arteko diferentzia: 402.311 – 400.000 = 2.311
38.150.350 + 5.709.981
Hurbilketaz lortutako emaitza: 38.000.000 + 5.700.000 = 43.700.000
Kalkulagailuaz lortutako emaitza (zehatza): 43.860.331
Diferentzia: 43.860.331 – 43.700.000 = 160.331
1. Zenbakikuntza 28
Hurbilketaz lortutako emaitzaren eta emaitza zehatzaren arteko diferentzia horri errore absolutua esaten zaio. Diferentzia positiboa edo negatiboa izan daitekeenez, kenduraren balio absolutua hartzen da kontuan.
Errore absolutuaren garrantzia emaitza zehatzaren magnitudearen araberakoa izango da. Adibidez, errore absolutua 1 bada, ez da berdina izango emaitza zehatza 5,7 bada edo 3.405 bada. Errore absolutuaren eta emaitza zehatzaren arteko erlazioari errore erlatiboa esaten zaio.
1
5,7 ≈ 0,17; errore erlatiboa % 17 ingurukoa da
1 3.405 ≈ 0,0003 errore erlatiboa % 0,03 ingurukoa da
Proportzionaltasun zuzena
Bi balio bikoteren arteko arrazoia, hau da, bi bikoteetan balioetako bat bestearekin zatitzean lortzen dugun zenbakia berdina denean, proportzioa dagoela esaten dugu.
Balio biren arteko zatiketa m n = k Arrazoia
Hortaz, m eta n balioen arteko arrazoia eta r eta s balioen arteko arrazoia berdina bada, bi zatiketen arteko berdintasuna da proportzioa:
Bi balioen arteko arrazoia bata bestearekin zatitzean lortzen dugun zenbakia da
m n = r s
Arrazoiak berdinak PROPORTZIOA m n = k r s = k
Xabierrek 1,90 m neurtzen ditu eta bere itzalak 0,95 m: 1,90 0,95 = 2
Maiderrek 1,70 m neurtzen ditu eta bere itzalak 0,85m: 1,70 0,85 = 2
Beraz, bi arrazoiak berdinak direnez, proportzioa dago: 1,90 0,95 = 1,70 0,85 m n = r s
ADI!
Arrazoien arteko berdintasuna da proportzioa. Zatiketen berdintza moduan adierazten da zenbakien arteko erlazioak nabarmentzeko.
1. Zenbakikuntza 29
Muturra
Muturra
Erdikoa Erdikoa
Proportzioak ematen digun berdintzatik ikus daiteke kanpoko gaien biderkadura erdiko gaien biderkadura berdina dela, hau da:
m · s = n · r
Horren arabera, proportzio batean, lau elementutik hiru ezagutuz gero falta dena kalkula dezakegu. Ezagutzen ez dugun balio hori lorlaugarren proportzionala kalkulatzea da:
Egoera askotan, bi balioren arteko arrazoia adierazteko ehunekoak erabiltzen dira:
20tik 3 adierazteko 3 20= 15 100
proportzioa izanik, 20tik 3 edo % 15 esatea berdina da.
Ehunekoek arrazoi ezberdinen arteko konparaketak errazten dituzte.
Proportzionaltasun zuzeneko egoerak funtzioen bitartez adieraz daitezke; arrazoiari proportzionaltasun konstantea esaten zaio.
Adibidez, kamioi kopuruaren eta gurpil kopuruaren arteko erlazioa aztertzen
Proportzionaltasun zuzeneko funtzioetan, proportzionaltasun konstanteak magnitude baten balioa beste magnitudearen balioa baino zenbat aldiz handiagoa edo txikiagoa den adierazten du.
Proportzionaltasun konstantea 6 da. Hau da, sei gurpil daude kamioi bakoitzeko.
Hortaz, kamioi kopuruaren eta gurpil kopuruaren arteko erlazioa proportzionaltasun zuzeneko funtzio baten bitartez deskriba dezakegu:
gurpil kopurua = 6 • kamioi kopurua
y = 6x
Proportzionaltasun zuzeneko funtzioak modu adieraztengrafikoandirenean, proportzionaltasun konstantea deskribatzenfuntzioa duen lerro zuzenaren malda da.
Proportzionaltasun zuzenaren aplikazioa
Fabrika batek bi egunean 800 auto ekoizten ditu. Ekoizpen hori mantenduz gero, zenbat auto ekoitziko ditu 5 egunean?
1. Zenbakikuntza 30
18 6 = x 5 → 18 · 5 = 6x → 90 = 6x → 90 6 = x → x = 153
badugu: Kamioi kopurua 1 2 3 10 Gurpil kopurua 6 12 18 60 6 1 =
=
= k = 6
12 2 = 18 3
60 10
Kamioi
42 36 30 24 18 12 6 0 6 5 4 3 2 1 Gurpil kopurua
kopurua
Unitatera laburtzea 1. Kalkulatu lehenengo magnitudeko unitate baterako bigarren magnitudearen balioa.
2. Erabili kalkulatutako balioa.
1. magnitudea: denbora, egunetan neurtuta;
2. magnitudea, auto kopurua.
Bi egunean 800 auto ekoizten badira, egun batean 400 ekoitziko dira. Beraz, bost egunean (5 • 400) 2.000 auto ekoitziko dira.
Laugarren proportzionala
Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa. Proportzionaltasun konstantea
1. Datuak antolatzen ditugu, proportzioa ezartzen dugu eta laugarren proportzionala kalkulatzen dugu.
1. Proportzioa, proportzionaltasun zuzeneko funtzio moduan adierazten dugu.
2. Proportzionaltasun konstantea kalkulatzen dugu
3. Proportzionaltasun konstantea erabiltzen dugu erantzuna lortzeko
2 800 =
x = 800 • 5
5 x
2 = 2.000 auto
Aldagaiak zehazten ditugu: Aldagai askea: denbora, egunetan neurtua = x Mendeko aldagaia: auto kopurua = y
y = k • x
800 = k • 2
k = 800
2 = 400
y = 400 • 5
y = 2.000 auto
Bi magnitude erlazionatuta agertzen direnean, bata handitzen denean bestea ere handitzen bada, ez du zertan izan proportzionaltasun zuzeneko egoera. Erlazio bakoitza aztertu behar da proportzionaltasun zuzena dagoen erabakitzeko. Adibidez:
Ahal duen lasterren korrika eginda, Mikelek 15 segundo behar ditu 100 m egiteko. Zenbat denbora beharko du 2 km egiteko?
Mikelek ezingo dio 15 segundoan 100 m egiteko abiadurari eutsi 2 km-an; ez da proportzionaltasun zuzeneko egoera bat.
Ehunekoak
Ehunekoak (edo portzentajeak, %) izendatzailea 100 duten zatikien adieraz penak dira. Zatiki horiek arrazoiak dira, eta eguneroko bizitzako propor tzionaltasun zuzeneko egoera askotan agertuko zaizkigu.
Atxaganeko herrian 2.305 biztanle dira, eta horietatik 377 herriko kiroldegira joaten dira. Aitzalde herriak 23.543 biztanle ditu eta 2.508 joaten dira herri horretako kiroldegira. Proportzionalki, zein herritako biztanleek erabiltzen dute gehiago kiroldegia?
Herri bakoitzean biztanleen zer ehuneko joaten den kiroldegira kalkulatuko dugu, eta, ondoren, bi balioak konparatzen ditugu:
Atxagane: 377 2.035 = x 100 x ≈ 18,5 % 18,5
Aitzalde: 2.508 23.543 = x 100 x ≈ 10,6 % 10,6
Proportzionalki Atxaganeko biztanleen zati handiagoak erabiltzen du kiroldegia.
= % 32 = 32 100 = ehun
1. Zenbakikuntza 31
Ehuneko hogeita hamabi
zatitan banatu eta hogeita hamabi hartu ditugu
Problema askotan erabili beharko dira ehunekoak. Horetarako zenbaki eragile bihurtu beharko dira batekotan adieraziz (proportzionaltasun arrazoi moduan).
Ehuneko bat aplikatzea
a) Eraikin batean 32 etxebizitza daude. Etxebizitzen % 60 Izartele konpainiarekin du Interneterako kontratua. Zenbat etxek dute Izartelerekin kontratua?
% 60 0,60
32 × 0,60 = 19,2 19 etxebizitzek dute kontratua Izartelerekin.
b) Sofboleko talde baten 6 jokalari lesionatuta daude, taldearen % 66. Zenbat jokalari dira guztira taldean?
% 66 0,66
6 : 0,66 ≈ 9,09 9 jokalari dira taldean.
Ehuneko baten handitzea
a) Azken egunetan, gasolinaren prezioa % 5 igo da. Gasolina litro baten prezioa 1,39 € bazen, zenbat balio du orain?
Hasierako prezioa % 100 da; % 5 handitzen bada, amaierako prezioa % 105 izango da.
% 105 1,05
1,39 × 1,05 ≈ 1,46 Gasolinaren prezioa litroko 1,46 €-koa da, orain.
b) Bidesari bat 1,50 €-koa da urtarrilean, urte berriarekin batera % 6 igo ondoren. Zenbatekoa zen bidesaria aurreko urtean?
Hasierako prezioa % 100 da; % 6 handitzen bada, urte amaierako prezioa % 106 izango da.
% 106 1,06
urte hasierako prezioa × 1,06 = 1,5
1,5 : 1,06 ≈ 1,4151 Aurreko urteko bidesaria 1,41 €k-oa zen.
1. Zenbakikuntza 32
Ehuneko baten murriztea
a) Beherapenetan, denda batek % 20ko deskontua eskaintzen du 78 € balio zuen oinetako pare batean. Zenbat balio dute orain?
Hasierako prezioa % 100 zen; beherapena % 20koa da, beraz, % 80 ordainduko dugu.
% 80 0,8
78 × 0,8 = 62,4 62,4 € ordaindu beharko dugu beherapenetan.
b) Herri baten kirol-eskaintza handia dela-eta, igerilekura joaten den pertsonen kopurua % 15 jaitsi da. Orain, 311 pertsona joaten dira. Zenbat ziren lehen?
Aurretik igerilekura joaten zen pertsona kopurua % 100 zen; % 15 jaitsi bada, orain % 85 da.
igerilekura lehen × 0,85 = 311
311 : 0,85 ≈ 365,88 Lehen 366 pertsona joaten ziren igerilekura.
Alderantzizko proportzionaltasuna
Erlazio mota honetan, aldagai askeak gora (edo behera) egiten duen adina aldiz egingo du behera (edo gora) mendeko aldagaiak. Adibidez, lan bat egiteko behar den langile kopurua bikoizten bada, denbora erdian egingo da lana; ibilgailu baten batez besteko abiadura erdira jaisten bada, bidaia bat egiteko behar den denbora bikoiztu egingo da.
Alderantzizko proportzionaltasunezko funtzioetan,
biderkatzean
1. Zenbakikuntza 33
Langile kopurua 1 2 10 Lana burutzeko denbora (egunak) 20 10 2 Batez besteko abiadura (km/h) 20 40 60 Bidaia-denbora (orduak) 6 3 2
bikoteak
lortzen dugu. Langile kopurua (aldagai askea, x ) Lana egiteko denbora (egunak) (mendeko aldagaia, y ) Balio konstantea Funtzioaren adierazpen aljebraikoa 1 20 1 • 20 = 20 x • y = 20 y = 20 • 1 x 2 10 2 • 10 = 20 10 2 10 • 2 = 20
balio
balio konstante bat
Batez besteko abiadura (km/h) (aldagai askea, x )
Bidaia-denbora (orduak) (mendeko aldagaia, y ) Balio konstantea Funtzioaren adierazpen aljebraikoa
Alderantzizko proportzionaltasunaren aplikazioa
10 oratze-makinek 30 egun behar dituzte eraikin baterako behar den hormigoia egiteko. Zenbat egun beharko dituzte 15 makinek?
Unitatera laburtzea 1. Kalkulatu lehenengo magnitudeko unitate baterako bigarren magnitudearen balioa.
2. Erabili kalkulatutako balioa.
Alderantzizko proportzionaltasun funtzioa. Alderantzizko balio konstantea
1. Ditugun datuekin, balio konstantea kalkulatzen dugu.
2. Balio konstantea erabiltzen dugu erantzuna lortzeko.
Oratze-makina bakar batek 10 aldiz denbora gehiago beharko du, hau da, 300 egun.
15 makinek hamabost aldiz denbora gutxiagoan prestatuko dute hormigoia (300 : 15), hau da, 20 egun.
10 oratze-makina • 30 egun = 300
15 oratze-makina • x egun = 300
x egun = 300 15 = 20 egun
34
1. Zenbakikuntza
20 6 20 • 6 = 120 x • y = 120 y = 120 • 1 x 40 3 40 • 3 = 120 60 2 60 • 2 = 120
