Analise combinatória

D I S C I P L I N A

Análise Combinatória e Probabilidade

Combinações e arranjos Autores André Gustavo Campos Pereira Viviane Simioli Medeiros Campos

aula

03

Governo Federal

Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara

Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva

Ilustradora Carolina Costa

Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância – SEED Ronaldo Motta

Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Diagramadores Bruno de Souza Melo

Reitor José Ivonildo do Rêgo

Adaptação para Módulo Matemático Thaisa Maria Simplício Lemos Pedro Gustavo Dias Diógenes

Vice-Reitor Nilsen Carvalho Fernandes de Oliveira Filho Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Célia Maria de Araújo Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva

Imagens Utilizadas Banco de Imagens Sedis (Secretaria de Educação a Distância) - UFRN Fotografias - Adauto Harley MasterClips IMSI MasterClips Collection, 1895 Francisco Blvd, East, San Rafael, CA 94901,USA. MasterFile – www.masterfile.com MorgueFile – www.morguefile.com Pixel Perfect Digital – www.pixelperfectdigital.com FreeImages – www.freeimages.co.uk FreeFoto.com – www.freefoto.com Free Pictures Photos – www.free-pictures-photos.com BigFoto – www.bigfoto.com FreeStockPhotos.com – www.freestockphotos.com OneOddDude.net – www.oneodddude.net Stock.XCHG - www.sxc.hu Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Pereira, André Gustavo Campos.

Análise combinatória e probabilidade: interdisciplinar / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simioli Medeiros Campos. – Natal, RN : EDUFRN Editora da UFRN, 2006.

244p.

ISBN 85-7273-298-5 Conteúdo: 01. Aprendendo a contar. – 02. Permutações simples. – 03. Combinações e arranjos. – 04. Permutações de elementos nem todos distintos. – 05. Princípio da inclusão-exclusão. – 06. Permutações circulares. – 07. Combinações completas. – 08. Permutações caóticas. – 09. Lemas de Kaplanski. – 10. Princípio da reflexão. – 11. Princípio das gavetas de Dirichlet. – 12. Triângulo de Pascal. – 13. Binômio de Newton e Polinômio de Leibniz. – 14. Probabilidade. – 15.

Probabilidade condicional.

1. Análise combinatória. 2. Combinações e permutações. 3. Probabilidade. 4. Princípio de Dirichlet. 5. Números binomiais. I. Campos, Viviane Simioli Medeiros. II. Título.

CDD 512.81 RN/UF/BCZM 2006/ 51 CDU 517.13

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Apresentação

N

a aula 2 (Permutações simples), aprendemos que permutações simples nada mais é do que uma técnica de contagem que, basicamente, resolve o problema: de quantas maneiras podemos alocar n objetos em n lugares? Nesta aula, aprenderemos duas novas técnicas de contagem: a combinação e o arranjo, que são utilizadas para resolver o seguinte problema: de quantas maneiras podemos alocar p objetos em n lugares, sendo p<n ?

Objetivos Ao final desta aula, esperamos que você possa:

1 2

identificar se um dado problema deve ser resolvido usando combinação ou se deve ser resolvido usando arranjo; saber a diferença entre arranjo e permutação, e poder decidir se determinada questão está bem formulada ou não.

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Contextualização Você percebe alguma diferença entre as questões 1 e 2 a seguir? Será que o problema proposto nelas é o mesmo?

1.

De quantas maneiras podemos formar dentre 4 pessoas um grupo de 3?

2. De quantas maneiras podemos formar dentre 4 pessoas um grupo de 3 para preencherem os cargos de presidente, de vice-presidente e de contador de uma empresa?

Antes de prosseguir a leitura e tentar formular uma defesa que exprima seu ponto de vista, analise cada problema.

Suponhamos que os nomes das pessoas envolvidas sejam A, B, C e D. Respondendo à primeira pergunta, podemos formar os seguintes grupos:

A, B, C

A, C, D

A, B, D

B, C, D

Ou seja, podemos formar 4 grupos com 3 pessoas.

Para respondermos à segunda pergunta, podemos imaginar que as pessoas de cada grupo formado na resposta da primeira pergunta irão disputar, entre elas, as posições de presidente, vice-presidente e contador da empresa. Ou seja, no caso da segunda, devemos tomar duas decisões, quais sejam:

Decisão d1 : escolher o grupo formado por 3 pessoas, para a qual, pela resposta da pergunta 1, temos x1 = 4 possibilidades.

Decisão d2 : escolher qual o cargo que cada pessoa do grupo irá ocupar.

2

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Dado, por exemplo, o grupo A, B, C, temos as seguintes possibilidades na distribuição dos cargos: presidente

vice-presidente

contador

A

B

C

A

C

B

B

A

C

B

C

A

C

A

B

C

B

A

É importante observarmos que essas posições fazem diferença. A escolha B, A, C, por exemplo, é diferente da C, A, B. Escolhido, então, o grupo, temos 3 pessoas para ocuparem 3 lugares (cargos), ou seja, um problema de permutação simples, portanto x2 = 3! possibilidades de escolha.

Assim, pelo princípio multiplicativo, existem x1 × x2 = 4 × 3! = 4 × 6 = 24 maneiras de escolhermos 3 pessoas para preencherem os cargos de presidente, vice-presidente e contador de uma empresa, dentre um grupo de 4 pessoas.

O que estamos tentando ilustrar é que em algumas situações, os mesmos elementos estando em ordens diferentes representam resultados diferentes, já em outras, representam o mesmo resultado. Vejamos o próximo exemplo.

Suponha que três pessoas estão jogando um dado e, por sua vez, interessadas na soma dos resultados. Então, os resultados das jogadas 1º jogador

2º jogador

3º jogador

1

2

3

1

3

2

2

1

3

2

3

1

3

1

2

3

2

1

expressam o mesmo valor e podem ser considerados como o mesmo resultado, ou seja, o de que um deles tirou 1, o outro 2 e o terceiro 3, independentemente de qual deles tirou qual.

Entretanto, se eles estão disputando para ver quem tira o número maior em cada jogada, esses resultados, certamente, serão diferentes, uma vez que 3, 1, 2 – ganhou o 1º jogador

1, 3, 2 – ganhou o 2º jogador

1, 2, 3 – ganhou o 3º jogador

3, 2, 1 – ganhou o 1º jogador

2, 3, 1 – ganhou o 2º jogador

2, 1, 3 – ganhou o 3º jogador

Ou seja, os mesmos resultados têm interpretações diferentes dependendo do problema que queremos resolver.

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Combinações simples Queremos responder à seguinte questão: de quantos modos podemos escolher p objetos entre n objetos distintos dados?

Podemos ver essa questão de outra maneira: quantos subconjuntos distintos de p elementos podemos obter de um conjunto de n elementos distintos {a1 , a2 , . . . , an }?

Cada subconjunto de p elementos é chamado de combinação simples de classe p dos n objetos a1 , a2 , . . . , an .

Exemplo 1 Ache todas as combinações simples de classe 2 dos objetos a1 , a2 , a3 , a4 .

Seria natural pensarmos da seguinte maneira:

Decisão d1 : escolher o primeiro elemento, para a qual temos x1 = 4 possibilidades.

Decisão d2 : escolher o segundo elemento, para a qual temos x2 = 4 − 1 = 3 possibilidades (todos os elementos menos o escolhido na decisão 1).

Temos assim, pelo princípio multiplicativo, x1 × x2 = 4 × 3 = 12 possibilidades de tomarmos as decisões d1 e d2 . No entanto, quando fazemos uso desse princípio, contamos os subconjuntos {a1 , a2 } e {a2 , a1 } como sendo conjuntos distintos, o que não é verdade, pois não estamos interessados na ordem (quem é o primeiro e quem é o segundo) em que esses elementos aparecem no conjunto.

Ilustremos o que calcula o princípio multiplicativo. {a1 , a2 }{a1 , a3 }{a1 , a4 }

{a2 , a1 }{a2 , a3 }{a2 , a4 } {a3 , a1 }{a3 , a2 }{a3 , a4 } {a4 , a1 }{a4 , a2 }{a4 , a3 }

Ou seja, cada dupla de elementos foi contada 2 vezes (todas as possibilidades de ordenar 2 elementos), ao invés de apenas 1 vez.

4

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Dessa forma, o número que encontramos é na verdade 2 vezes o número real de possibilidades. Assim, podemos chegar ao resultado correto dividindo o que encontramos por 2: x1 × x2 4×3 número de possibilidades = = = 6.

2 2

Exemplo 2 Ache todas as combinações simples de classe 3 dos objetos a1 , a2 , a3 , a4 , a5 .

Pensando em forma de decisões, temos:

Decisão d1 : escolher o primeiro elemento para o qual temos x1 = 5 possibilidades.

Decisão d2 : escolher o segundo elemento para o qual temos x2 = 5 − 1 = 4 possibilidades.

Decisão d3 : escolher o terceiro elemento para o qual temos x3 = 4 − 1 = 3 possibilidades.

Temos, assim, pelo princípio multiplicativo, x1 × x2 × x3 = 5 × 4 × 3 maneiras de tomar as decisões d1 e d2 e d3 .

Ilustremos o que calcula o princípio multiplicativo. {a1 , a2 , a3 }, {a1 , a2 , a4 }, {a1 , a2 , a5 }, {a1 , a3 , a2 }, {a1 , a3 , a4 }, {a1 , a3 , a5 }, {a1 , a4 , a2 },

{a1 , a4 , a3 }, {a1 , a4 , a5 }, {a1 , a5 , a2 }, {a1 , a5 , a3 }, {a1 , a5 , a4 }

{a2 , a1 , a3 }, {a2 , a1 , a4 }, {a2 , a1 , a5 }, {a2 , a3 , a1 }, {a2 , a3 , a4 }, {a2 , a3 , a5 }, {a2 , a4 , a1 },

{a2 , a4 , a3 }, {a2 , a4 , a5 }, {a2 , a5 , a1 }, {a2 , a5 , a3 }, {a2 , a5 , a4 }

{a3 , a1 , a2 }, {a3 , a1 , a4 }, {a3 , a1 , a5 }, {a3 , a2 , a1 }, {a3 , a2 , a4 }, {a3 , a2 , a5 }, {a3 , a4 , a1 },

{a3 , a4 , a2 }, {a3 , a4 , a5 }, {a3 , a5 , a1 }, {a3 , a5 , a2 }, {a3 , a5 , a4 }

{a4 , a1 , a2 }, {a4 , a1 , a3 }, {a4 , a1 , a5 }, {a4 , a2 , a1 }, {a4 , a2 , a3 }, {a4 , a2 , a5 }, {a4 , a3 , a1 },

{a4 , a3 , a2 }, {a4 , a3 , a5 }, {a4 , a5 , a1 }, {a4 , a5 , a2 }, {a4 , a5 , a3 }

{a5 , a1 , a2 }, {a5 , a1 , a3 }, {a5 , a1 , a4 }, {a5 , a2 , a1 }, {a5 , a2 , a3 }, {a5 , a2 , a4 }, {a5 , a3 , a1 }, {a5 , a3 , a2 }, {a5 , a3 , a4 }, {a5 , a4 , a1 }, {a5 , a4 , a2 }, {a5 , a4 , a3 }

Nele, os subconjuntos {a1 , a2 , a3 }, {a1 , a3 , a2 }, {a2 , a1 , a3 }, {a2 , a3 , a1 }, {a3 , a1 , a2 } {a3 , a2 , a1 } foram contados como sendo conjuntos distintos.

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

5

Ou seja, para cada tripla de elementos, contamos 6 (=3!) vezes (todas as possibilidades de ordenar 3 elementos), ao invés de apenas 1 vez.

Dessa forma, o número que encontramos é na verdade 6 vezes o número real de possibilidades. Assim, podemos chegar ao resultado correto dividindo o que encontramos por 6 (ou 3!).

Número de possibilidades =

x1 × x2 × x3 5×4×3 = = 10.

3!

3!

Repetindo esse procedimento para conjuntos quaisquer com n elementos e contando as classes de ordem p, chegaremos a: n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) = p! n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) = . p!

Número de possibilidades =

Exemplo 3 No cardápio de uma festa, existem dez tipos diferentes de salgadinhos, dos quais apenas quatro são servidos quentes. O garçom deverá montar as bandejas com apenas dois tipos diferentes de salgadinhos frios e dois tipos diferentes de salgadinhos quentes. De quantos modos diferentes o garçom pode montar as bandejas?

Solução Dos 10 salgadinhos, temos 4 quentes e 6 frios. Ou seja, o conjunto dos salgadinhos frios tem 6 elementos e o conjunto dos salgadinhos quentes tem 4 elementos e o garçom tem duas decisões a tomar:

Decisão d1 : selecionar 2 tipos de salgadinhos frios dentre os 6 possíveis.

Decisão d2 : selecionar 2 tipos de salgadinhos quentes dentre os 4 possíveis.

Descobrir de quantas maneiras ele pode tomar a decisão d1 significa descobrir quantos subconjuntos distintos de 2 elementos podemos formar a partir de um conjunto com 6 elementos, ou seja,

6

x1 =

n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) com n = 6 e p = 2, o que nos leva a p!

x1 =

n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) 6 × (6 − 2 + 1) 6×5 = = = 15. p!

2!

2

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Já para a decisão d2 , significa descobrir quantos subconjuntos distintos de 2 elementos podemos formar a partir de um conjunto com 4 elementos, ou seja, x2 =

n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) agora com n = 4 e p = 2, o que nos leva a p!

x2 =

4 × (4 − 2 + 1) 4×3 n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) = = = 6. p!

2!

2

Portanto, o garçom pode montar as bandejas de x1 × x2 = 15 × 6 = 90 maneiras diferentes. n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) Podemos reescrever a expressão usando apenas p! fatorial, ou seja, n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) p!

n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) (n − p)! × p! (n − p)! n! = p!(n − p)! =

Como essa fórmula determina o número de subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos, e como cada subconjunto é chamado de combinação simples de classe p dos n objetos, denotaremos essa fórmula por n! , na qual devemos lembrar que 0 ≤ p ≤ n, já que estamos tomando p!(n − p)! subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos.

Cnp =

Observação: para p = 0, consideramos Cnp= 1, pois existe o conjunto vazio!  n!

O que nos força a definir 0! = 1 =1 .

0!n!

Outras notações encontradas para Cnp são combinação de n tomada p a p.



n p



e Cn,p , as quais são lidas como

Exemplo 4 Num hospital, há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 vagas, no banco de sangue e 2 vagas, na radioterapia. Se 6 pessoas se candidatarem para o berçário, 8, para o banco de sangue e 5, para a radioterapia, de quantas formas distintas essas vagas poderão ser preenchidas?

Solução Temos 3 decisões a tomar:

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Decisão d1 : escolher 3 pessoas para trabalhar no berçário dentre os 6 candidatos.

Decisão d2 : escolher 5 pessoas para trabalhar no banco de sangue dentre os 8 candidatos.

Decisão d3 : escolher 2 pessoas para trabalhar na radioterapia dentre os 5 candidatos.

Descobrir de quantas maneiras podemos tomar a decisão d1 significa encontrar o número de subconjuntos com 3 elementos que podemos obter dentre um conjunto de 6 elementos, ou seja, x1 = C63 =

6!

6 × 5 × 4 × 3!

6×5×4 = = = 20.

3!3!

3!3!

3!

Para a decisão d2 , queremos saber quantos subconjuntos de 5 elementos podemos obter de um conjunto de 8 elementos, ou seja, x2 = C85 =

8!

8 × 7 × 6 × 5! = = 56.

5!3!

5!3!

Finalmente, para a decisão d3 , queremos saber quantos subconjuntos de 2 elementos podemos obter de um conjunto de 5 elementos, ou seja, x3 = C52 =

5!

5 × 4 × 3! = = 10.

2!3!

2!3!

Portanto, pelo princípio multiplicativo, temos x1 × x2 × x3 = 20 × 56 × 10 = 11200 formas distintas de preencher essas vagas.

Exemplo 5 Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser formados com um baralho de 52 cartas?

Solução Em um baralho de 52 cartas, temos 4 ases. Como estamos interessados apenas nos subconjuntos que podemos obter com 3 ases, podemos então pensar que temos 2 decisões a tomar: Decisão d1 : escolher 3 ases dentre os 4 existentes.

Decisão d2 : escolher 2 cartas dentre aquelas que não são ases, neste caso, nas 48 restantes.

8

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Para escolhermos 3 ases entre os 4 possíveis, temos C43 =

4!

4! = = 3!(4 − 3)!

3!

4 × 3! = 4 possibilidades.

3!

Escolhidos os 3 ases, precisamos escolher as 2 outras cartas das 48 restantes. Assim, temos 2 = C48

48!

48!

48 × 47 × 46! = = = 1128 possibilidades.

2!(48 − 2)!

2! × 46!

2! × 46!

Portanto, temos 4 × 1128 = 4512 subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases. Às vezes, fica mais prático deixarmos o resultado em termos literais, nos utilizando da notação de combinação, ou seja, o resultado anterior ficaria bem preciso se tivéssemos 2 . escrito C43 × C48

Arranjo Vamos agora analisar a seguinte situação.

Em uma corrida, estão competindo 10 pilotos, na qual apenas os três primeiros comparecem ao podium. Então, pergunta-se: de quantas maneiras diferentes o podium pode ser montado?

Note que temos 3 decisões a tomar:

Decisão d1 : escolher dentre os 10 competidores o que ocupará o primeiro lugar no podium podium..

Decisão d2 : escolher dentre os 9 competidores restantes, já que o primeiro lugar foi ocupado, aquele que ocupará o segundo lugar do podium podium..

Decisão d3 : escolher dentre os 8 competidores restantes, já que o primeiro e o segundo lugar foram ocupados, aquele que ocupará o terceiro lugar no podium podium..

Pelo princípio multiplicativo, temos que isso pode ser feito de 10 × 9 × 8 = 720 maneiras distintas.

Suponhamos que os competidores sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I e J. Note que, quando usamos o princípio multiplicativo, as composições

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

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A, B, C A, C, B B, A, C B, C, A C, A, B C, B, A são consideradas respostas diferentes, pois estamos contando cada uma delas. E, nesse exemplo, isso deve ser feito, já que estamos interessados na ordem em que os elementos aparecem. Por exemplo, A chegar em primeiro, B em segundo e C em terceiro é diferente de A chegar em primeiro, C em segundo e B em terceiro.

Vimos que para encontrar todas as combinações simples de classe 2 dos objetos a1 , a2 , a3 , a4 , o princípio multiplicativo listou os seguintes conjuntos: {a1 , a2 }, {a1 , a3 }, {a1 , a4 } {a2 , a1 }, {a2 , a3 }, {a2 , a4 } {a3 , a1 }, {a3 , a2 }, {a3 , a4 } {a4 , a1 }, {a4 , a2 }, {a4 , a3 } Porém, no caso da combinação, cada subconjunto se repetia 2 vezes, já que não estávamos interessados na ordem em que os elementos apareciam no conjunto, e assim dividimos o número total de subconjuntos por 2. Entretanto, se considerarmos que a resposta {a1 , a2 } é diferente da resposta {a2 , a1 }, teremos, então, pelo princípio multiplicativo, 4 × 3 = 12 conjuntos.

Para encontrarmos todas as combinações simples de classe 3 dos objetos a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , listamos os subconjuntos: {a1 , a2 , a3 }, {a1 , a2 , a4 }, {a1 , a2 , a5 }, {a1 , a3 , a2 }, {a1 , a3 , a4 }, {a1 , a3 , a5 }, {a1 , a4 , a2 },

{a1 , a4 , a3 }, {a1 , a4 , a5 }, {a1 , a5 , a2 }, {a1 , a5 , a3 }, {a1 , a5 , a4 }

{a2 , a1 , a3 }, {a2 , a1 , a4 }, {a2 , a1 , a5 }, {a2 , a3 , a1 }, {a2 , a3 , a4 }, {a2 , a3 , a5 }, {a2 , a4 , a1 },

{a2 , a4 , a3 }, {a2 , a4 , a5 }, {a2 , a5 , a1 }, {a2 , a5 , a3 }, {a2 , a5 , a4 }

{a3 , a1 , a2 }, {a3 , a1 , a4 }, {a3 , a1 , a5 }, {a3 , a2 , a1 }, {a3 , a2 , a4 }, {a3 , a2 , a5 }, {a3 , a4 , a1 },

{a3 , a4 , a2 }, {a3 , a4 , a5 }, {a3 , a5 , a1 }, {a3 , a5 , a2 }, {a3 , a5 , a4 }

{a4 , a1 , a2 }, {a4 , a1 , a3 }, {a4 , a1 , a5 }, {a4 , a2 , a1 }, {a4 , a2 , a3 }, {a4 , a2 , a5 }, {a4 , a3 , a1 }, {a4 , a3 , a2 }, {a4 , a3 , a5 }, {a4 , a5 , a1 }, {a4 , a5 , a2 }, {a4 , a5 , a3 }

{a5 , a1 , a2 }, {a5 , a1 , a3 }, {a5 , a1 , a4 }, {a5 , a2 , a1 }, {a5 , a2 , a3 }, {a5 , a2 , a4 }, {a5 , a3 , a1 },

{a5 , a3 , a2 }, {a5 , a3 , a4 }, {a5 , a4 , a1 }, {a5 , a4 , a2 }, {a5 , a4 , a3 }

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Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

e dividimos o número de subconjuntos encontrados por 3! (número de subconjuntos que possuem os mesmos 3 elementos), já que a ordem dos elementos em cada subconjunto não importava. Entretanto, agora cada subconjunto com os mesmos 3 elementos representa uma resposta diferente, pois estamos interessados na ordem em que os elementos aparecem, e portanto devem ser contados, ou seja, temos 5 × 4 × 3 subconjuntos.

De forma geral, se temos n elementos e queremos considerar p desses elementos levando em consideração a ordem em que eles aparecem, teremos a mesma escolha inicial que a combinação, com a diferença de que não precisaremos dividir por p!, ou seja, número de possibilidades = n×(n−1)×· · ·×(n−(p−1)) = n×(n−1)×· · ·×(n−p+1).

E um exercício de fatorial transforma a fórmula n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) em uma expressão envolvendo apenas fatorial: n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) ×

(n − p)! n! = . (n − p)! (n − p)!

Essa fórmula determina o número de arranjos possíveis quando escolhemos de todas as formas possíveis p elementos de um conjunto de n elementos, levando em consideração que a alteração da ordem dos elementos implica um arranjo diferente do anterior. Muitos livros denotam essa fórmula por n! , na qual temos que lembrar que 0 ≤ p ≤ n, já que estamos tomando (n − p)! subconjuntos de p elementos de um conjunto de n elementos.

Apn =

Outra notação encontrada para Apn é An, p e lemos: arranjos de n tomado p a p.

Exemplo 6 A senha de uma conta bancária é formada de 6 números ou de 4 números dentre os números de 0 a 9, dependendo do banco. Os gerentes sempre aconselham não utilizar todos os números iguais.

a) Quantas senhas podem ser formadas no banco que utiliza 6 números, se a pessoa segue o conselho do gerente?

Note que a senha 123456 é diferente da senha 123465, ou seja, embora constituída pelos mesmos algarismos, a ordem as torna diferentes. Dessa maneira, temos que a quantidade de senhas distintas que podemos formar utilizando 6 dígitos é: A610 =

10!

10!

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = = = 10×9×8×7×6×5 = 151200.

(10 − 6)!

4!

4!

b) Quantas senhas podem ser formadas no banco que utiliza 4 números, se a pessoa segue o conselho do gerente?

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

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Utilizando o mesmo procedimento anterior, verificamos que o número de senhas distintas que podemos formar utilizando 4 dígitos é dado por: A410 =

10!

10!

10 × 9 × 8 × 7 × 6! = = = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040.

(10 − 4)!

6!

6!

Exemplo 7 Na corrida de São Silvestre em São Paulo, largam na equipe de elite uma média de 100 corredores. Suponha que todos eles sejam iguais tecnicamente e que é impossível um corredor que não seja da equipe de elite passar por algum deles. Sabendo que o podium tem lugar para os 6 primeiros, de quantos maneiras diferentes podemos montar esse podium, caso

a) b) c)

todos os 100 da equipe de elite terminem a prova. apenas 50 dos corredores de elite terminem a prova. apenas 20 dos corredores de elite terminem a prova.

Ora, sabendo que o podium só vai ser composto pelos corredores de elite, já que nenhum corredor do pelotão normal consegue passar por nenhum deles e que, alterando a ordem dos premiados, o podium muda, temos então 100×99×98×97×96×95×94!

100! = a) A6100 = (100−6)! = 100!

94! = 94!

100 × 99 × 98 × 97 × 96 × 95 = 858377728000 possibilidades.

50!

50×49×48×47×46×45×44! b) A650 = (50−6)! = 50! = 44! = 44!

50 × 49 × 48 × 47 × 46 × 45 = 11441304000 possibilidades.

20×19×18×17×16×15×14!

20! c) A620 = (20−6)! = 20! = 14! = 14!

20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 = 27902700 possibilidades.

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Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

Atividade 1 1 2

3 4

Um sertanejo, com família grande, resolveu que a cada dia ele mataria 3 galinhas para o almoço. Se ele possui 200 galinhas, de quantas maneiras diferentes ele pode escolher 3 galinhas para o almoço do 1º dia? E do 2º? E do 10º?

O mesmo sertanejo da questão anterior possui 10 vacas, mas ele percebeu que o leite de 4 delas é o suficiente para o consumo do dia, incluindo o leite para o queijo, manteiga e consumo das crianças. De quantos modos ele pode fazer a escolha de quais vacas ordenhar a cada dia? E se no dia seguinte ele não quiser utilizar as vacas que foram ordenhadas no dia anterior a fim de oferecer-lhes um descanso?

Um partido político recém-criado possui 10 participantes de renome nacional. Deseja-se montar uma chapa com os cargos de presidente, vice-presidente, senador, deputado federal e deputado estadual. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Na corrida de jegue de Campina Grande realizada no mês de junho, são premiados apenas os três primeiros lugares. A estimativa para o ano que vem é de 20 participantes. Admitindo que os jegues estão equilibrados em termos físicos, de quantos modos diferentes podem ser preenchidos os três primeiros lugares?

Aula 03 Análise Combinatória e Probabilidade

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Resumo Nesta aula, estudamos que, dado um conjunto de n elementos, o número de subconjuntos distintos com p elementos que podemos obter é o que chamamos de combinação de n tomado p a p. Num conjunto, a forma em que apresentamos seus termos não importa, ou seja, se mudarmos a ordem da apresentação dos elementos, o conjunto permanecerá o mesmo. Por isso, dizemos que na combinação a ordem não importa. Também estudamos que, dado um conjunto de n elementos, o número de filas com p elementos que podemos formar utilizando p elementos dos n possíveis é o que chamamos de arranjo de n tomado p a p. Agora, fica claro que com os p elementos que escolhemos podemos formar p! filas com eles, ou seja, agora a ordem dos p elementos importa.

Auto-avaliação 1 2 3

Você poderia dar dois exemplos que deixem clara a diferença entre combinação e arranjo?

Como podemos conseguir a fórmula do arranjo de n tomado p a p a partir da fórmula da combinação de n tomada p a p?

Explique, utilizando o princípio multiplicativo, que o arranjo de n tomado p a p pode ser visto como duas decisões, em que a primeira delas é uma combinação de n tomado p a p e a segunda é uma permutação de p.

Referências MORGADO, A. C. O., et al. Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção professor de matemática) TEIXEIRA, P. J. M. Problemas de geometria em análise combinatória. In: Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, 2, Salvador, 2004. Anais... Salvador, 2004.

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