PRINCIPIO DE TORRICELLI
E
n los capítulos anteriores, estudiamos que existen reducciones en los diámetros de las tuberías que conducen un líquido con la finalidad de aumentar su velocidad, sin embargo, ¿sabes cuál es la causa que hace que el agua se conduzca a través de la tubería hasta salir por la manguera del jardín, por la regadera del baño o por cualquier llave? ¡Es muy simple! En las ciudades se almacena el agua en grandes tanques que son situados en lo alto de una colina o bien en torres especiales; desde donde, la gravedad, se encarga de conducirla por tuberías hasta las industrias, comercios, hogares o parques. A esta forma de distribución del agua se le llama sistema por gravedad.
La ley física que sustenta esta acción se denomina: PRINCIPIO DE TORRICELLI La velocidad que adquiere un líquido, contenido en un depósito abierto, al salir por un orificio pequeño, es igual a la velocidad que adquiere un cuerpo en caída libre, soltado desde la superficie libre del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.
El Físico y Matemático Italiano, Evangelista Torricelli (1608 - 1647), lo formuló y viene a constituir una aplicación directa del Principio de Bernoulli, aunque los trabajos de Bernoulli se desarrollaron aproximadamente cien años después.
La representación matemática de Principio de Torricelli está basada en la aplicación de la fórmula del Principio de Bernoulli. Para encontrar la fórmula, analizaremos la siguiente figura.
La velocidad v2 con la que sale el líquido por la perforación b es igual a la velocidad que adquiere un cuerpo en caída libre, desde una altura igual a la de la superficie del líquido en el punto a hasta el centro del orificio en el punto b. Tomando como referencia los puntos A y B ubicados, uno en la superficie y el otro en la perforación, observamos que la presión externa que actúa en cada uno de ellos es la presión atmosférica. Es decir, la presión en el punto A es igual a la presión en el punto B. Utilizando la ecuación del Principio de Bernoulli PA + ½ ρvA2 + ρghA = PB +½ ρvB2 +ρghB Como el volumen es muy grande con relación a la perforación, que es pequeña, el nivel del líquido baja lentamente y, vA se considera igual a cero.
Considerando también que PA = PB, la ecuación del principio de Bernoulli se reduce a:
ρghA = ρghB + ½ρvB2 2
vB =
2
vB =
despejando vB2
2( ρghA − ρghB )
factorizando en el paréntesis
ρ
2 ρg ( hA − hB ) ρ
simplificando
vB = 2 g ( hA − hB ) 2
haciendo h = hA - hB
2
despejando v queda
vB = 2 gh
v=
2 gh
Donde: v = la velocidad de salida del agua g = aceleración de la gravedad h = la altura, del centro del orificio la superficie del agua La fórmula anterior nos indica la velocidad de salida del agua por el orificio. Como puedes observar, es la misma fórmula que indica la velocidad de un cuerpo, en caída libre.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
A una barrica para añejar vino, que tiene una altura de 3 m, se le hacen tres orificios, exactamente a la mitad, cuya suma de áreas de sección transversal es de 0.4 cm 2 ¿Qué cantidad de vino fluye por los orificios si la barrica se encuentra totalmente llena? Datos
Fórmulas
A = 0.4 cm2 Q =? h = 1.5 m
v =
Desarrollo v=
2 gh
2(9.8m / s 2 )(1.5m)
v = 5.422 m/s Q=Av Q = (0.4x10-4 m2) (5.422 m/s)
Conversión
Q = 2.168x10-4 m3/s
1 m −4 2 0.4 cm 2 = 0.4 x10 m 4 2 1x10 m 2
2. A un tanque de 2 m de altura se le conecta un tubo de 43 mm de diámetro, en el centro del fondo. ¿Qué velocidad tendrá el agua al fluir por el orificio, si el tanque se encuentra totalmente lleno?. Si el primer tubo es conectado a otro de 18 mm de diámetro, ¿cuál será la velocidad que adquirirá el agua? Datos h1 = 2 m D1 = 43 mm v1 =? D2 = 18 mm v2 =?
Fórmulas v=
Desarrollo v=
2 gh
A1v1 = A2v2 A v2 = 1 v1 A2 πD 2 A=
2(9.8 m / s 2 )(2 m)
v = 6.26 m/s
4 2
D v2 = 1 2 v1 D2
( 43 mm ) (6.26 m / s ) = (18 mm ) 2
v2
2
v2 = 35.724 m/s