DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORES Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente que contenga mayor o menor número de vectores. • Si el sistema se sustituye por otro que tenga un número mayor de vectores, el procedimiento se denomina descomposición. • Si el sistema se sustituye por otro que tenga un numero menor de vectores, el procedimiento se denomina composición. Para la descomposición y composición rectangular de vectores consideraremos el vector fuerza.
FUERZA Es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo.
El proceso que permite que cualquier vector puede descomponerse en dos vectores perpendiculares recibe el nombre de descomposición y los vectores obtenidos se denominan componentes rectangulares. Apoyándonos en la trigonometría se describirá el procedimiento general para la descomposición de un vector “F” en sus componentes rectangulares. En la siguiente figura el vector “F” representa, la magnitud, dirección y sentido correspondiente. y F θ o
x
En esta figura se indica el mismo vector con dos perpendiculares trazadas desde su extremo a los ejes x y y respectivamente, quedando construido un rectángulo, en donde la diagonal es el vector F y sus fuerzas componentes Fx y Fy, cuya suma vectorial es equivalente al vector F. B
Fx
C
F Fy
Fy
θ
o
Fx
A
O entre sí, Fx los triángulos A Con Fx y Fy perpendiculares OAC y OBC son triángulos rectángulos equivalentes, siendo F y = OB y F x = OA . Por trigonometría tenemos:
Cos θ =
cateto adyacente Fx = ∴Fx = F cos θ hipotenusa F
Sen θ =
cateto opuesto Fy = ∴Fy = F senθ hipotenusa F
Donde theta (θ) es el ángulo entre el vector y la parte positiva el eje x medido en dirección opuesta a las manecillas del reloj. El signo de una componente puede ser determinado de un diagrama de vectores, de acuerdo a las cuatro posibilidades que a continuación se muestra en el siguiente cuadro.
θ
Cuadrante
Fx
Fy
0 a 90°
I
+
+
90° a 180°
II
-
+
180° a 270°
III
-
-
270° a 360°
IV
+
-
Ahora lo demostramos en las siguientes figuras:
90° +
+ 90° Fy
θ + 0° 360°
180° Fx
Fy Fx
270° Cuadrante I
Fx
0° 360°
270° Cuadrante II
90°
180°
θ
180° -
90°
θ
Fy
- 270° Cuadrante III
0° 360°
180°
θ
Fy
270° Cuadrante IV
0° + 360° Fx
Ejercicios resueltos 1. Determina gráfica y analíticamente las componentes en x y en y de una fuerza de 250 N, actuando en una dirección de 47° respecto de la horizontal. a) Cálculo gráfico: • • • • • • •
Traza los ejes cartesianos como marco de referencia. Elige una escala convencional. En este caso 1 cm : 50 N Indica la dirección en que se aplica la fuerza midiendo un ángulo de 47º con tu transportador. En esa dirección dibuja un vector de 5 cm de longitud que de acuerdo a la escala elegida representa 250 N. A partir del extremo del vector traza dos líneas perpendiculares al eje en x y en y respectivamente formando un rectángulo. Dibuja los vectores Fx y Fy que representan las componentes rectangulares del vector F. Determina la magnitud de Fx y Fy, midiendo ambos vectores de acuerdo a la escala elegida. Recuerda que en este ejemplo cada cm representa 50 N.
y F = 250 N Fy
Fy
θ = 47° Fx
x
b) Cálculo analítico Datos
Fórmula
Desarrollo
F = 250 N θ = 47° Fx = ? Fy = ?
Fx = F cos θ Fy = F sen θ
Fx = F cos θ Fx = (250 N)(cos 47°) Fx = (0.6819)(250 N) Fx = 170.475 N Fy = F sen θ Fy = (250 N)(sen 47°) Fy = (0.7313)(250 N) Fy = 182.825 N
2. Determina gráfica y analíticamente las componentes en x y en y de una fuerza de 150 N, actuando en una dirección de 130° respecto de la horizontal. a) Cálculo gráfico:
y F = 150 N Fy θ = 130° Fx
x
b) Cálculo analítico: Datos
Fórmula
Desarrollo
F = 150 N θR = 130° Fx = ? Fy = ?
Fx = F cos θ Fy = F sen θ
Fx = F cos θ Fx = (150 N)(cos 130°) Fx = (-0.6427)(150 N) Fx = -96.405 N Fy = F sen θ Fy = (150 N)(sen 130°) Fy = (0.7660)(150 N) Fy = 114.906 N
3. Calcular las componentes x y y de una fuerza resultante de 30 N y que forma un ángulo de 210° con la dirección positiva del eje x. Cálculo gráfico:
y
Fx Fy
30°
F = 30 N
θ = 210°
x
Cálculo analítico Datos
Fórmula
Desarrollo
F = 30 N θR = 210° Fx = ? Fy = ?
Fx = F cos θ Fy = F sen θ
Fx = 30 N (cos 210°) Fx = (-0.8660)(30 N) Fx = - 25.980 N Fy = 30 N(sen 210°) Fy = (-0.5)(30 N) Fy = -15 N