Marti, Peter - Baustatik (2., korrigierte Auflage) by Ernst & Sohn

Inhaltsverzeichnis

5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.5

Kra¨ftesysteme ........ 44 Gleichgewicht ........ 45 Standfestigkeit ........ 45 Lager ........ 47 Gelenke ........ 50 Schnittgro¨ssen ........ 51 Spannungen ........ 53 Grundbegriffe ........ 53 Einachsiger Spannungszustand ........ 53 Ebener Spannungszustand ........ 54 Ra¨umlicher Spannungszustand ........ 57 Differentielle Tragwerkselemente ........ 61 Gerade Sta¨be ........ 61 In einer Ebene gekru¨mmte Sta¨be ........ 62 Zusammenfassung ........ 68 Aufgaben ........ 69

Projektierung von Tragwerken ........ 11 Allgemeines ........ 11 Tragwerksentwurf ........ 13 Nutzungsvereinbarung und Projektbasis ........ 15 Zusammenfassung ........ 26 Aufgaben ........ 27

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Kinematische Beziehungen ........ 71 Grundbegriffe ........ 71 Ebener Verformungszustand ........ 72 Ra¨umlicher Verformungszustand ........ 74 Zusammenfassung ........ 76 Aufgaben ........ 77

Werkstoffbeziehungen ........ 79

4.3 4.4 4.5 4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Tragwerksanalyse und Bemessung ........ 29 Allgemeines ........ 29 Einwirkungen ........ 29 Einwirkungen und Auswirkungen ........ 29 Einwirkungsmodelle und repra¨sentative Werte ........ 30 Tragwerksmodell ........ 31 Grenzzusta¨nde ........ 32 Bemessungssituationen und Lastfa¨lle ........ 32 Nachweise ........ 33 Nachweiskonzept ........ 33 Bemessungswerte ........ 33 Nachweis der Tragsicherheit ........ 35 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit ........ 35 Bemerkungen ........ 35 Hinweise zur statischen Berechnung ........ 37 Hinweise zum technischen Bericht ........ 39 Zusammenfassung ........ 41 Aufgaben ........ 41

7.1 7.2 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.6 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.7 7.8

Grundbegriffe ........ 79 Linear elastisches Verhalten ........ 81 Ideal plastisches Verhalten ........ 83 Einachsiger Spannungszustand ........ 83 Ra¨umlicher Spannungszustand ........ 84 Fliessbedingungen ........ 85 Zeitabha¨ngiges Verhalten ........ 91 Schwinden ........ 91 Kriechen und Relaxation ........ 91 Temperaturverformungen ........ 95 Ermu¨dung ........ 95 Allgemeines ........ 95 S-N-Diagramme ........ 96 Schadensakkumulation unter Betriebslasten ........ 97 Zusammenfassung ........ 99 Aufgaben ........ 100

Statische Beziehungen ........ 43

Energieverfahren ........ 103

5.1 5.1.1

Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht ........ 43 Grundbegriffe ........ 43

8.1 8.1.1

Einfu¨hrendes Beispiel ........ 103 Statisch bestimmtes System ........ 103

Vorwort zur 2. Auflage ........ V Vorwort zur 1. Auflage ........ V ¨ HRUNG I EINFU 1

Aufgabe und Abgrenzung der Baustatik ........ 1

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Allgemeines ........ 1 Grundlagen der Baustatik ........ 1 Baustatische Verfahren ........ 2 Baustatik und Baudynamik ........ 3 Baustatik und Konstruktion ........ 4

Geschichtlicher Hintergrund ........ 5

II GRUNDLAGEN 3

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4

4.1 4.2 4.2.1 4.2.2

Baustatik. 2. Auflage. Peter Marti c 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

VII

VIII

Inhaltsverzeichnis

8.1.2 8.1.3 8.1.4 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6 8.2.7 8.2.8 8.3 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.6 8.7

Statisch unbestimmtes System ........ 105 Arbeitsgleichung ........ 106 Bemerkungen ........ 107 Variablen und Operatoren ........ 107 Einleitung ........ 107 Ebene Stabtragwerke ........ 109 Ra¨umliche Stabtragwerke ........ 111 Ebener Spannungszustand ........ 112 Ebener Verzerrungszustand ........ 113 Platten ........ 113 Dreidimensionale Kontinua ........ 115 Bemerkungen ........ 116 Prinzip der virtuellen Arbeiten ........ 117 Virtuelle Kraft- und Verformungsgro¨ssen ........ 117 Prinzip der virtuellen Verformungen ........ 117 Prinzip der virtuellen Kra¨fte ........ 117 Bemerkungen ........ 118 Elastische Systeme ........ 120 Hyperelastische Werkstoffe ........ 120 Konservative Systeme ........ 121 Linear elastische Systeme ........ 128 Na¨herungsverfahren ........ 131 Einleitung ........ 131 Verfahren von RITZ ........ 131 Verfahren von GALERKIN ........ 135 Zusammenfassung ........ 136 Aufgaben ........ 138

III LINEARE STATIK DER STABTRAGWERKE 9

9.1 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.4 9.5 10

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11

11.1 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3

Aufbau von Stabtragwerken ........ 139 Allgemeines ........ 139 Tragwerksmodellierung ........ 139 Diskretisiertes Tragwerksmodell ........ 142 Beschreibung des statischen Systems ........ 142 Knotengleichgewicht ........ 143 Statische Bestimmtheit ........ 144 Kinematische Herleitung der Gleichgewichtsmatrix ........ 146 Zusammenfassung ........ 149 Aufgaben ........ 149 Kraftgro¨ssenermittlung ........ 151 Allgemeines ........ 151 Betrachtung ausgewa¨hlter Schnittko¨rper ........ 152 Knotengleichgewicht ........ 156 Kinematische Methode ........ 158 Zusammenfassung ........ 160 Aufgaben ........ 160 Schnittgro¨ssen und Zustandslinien ........ 161 Allgemeines ........ 161 Gelenkstabwerke ........ 163 GERBERtra¨ger ........ 163 Gelenkbogen und -rahmen ........ 165 Versta¨rkte Balken mit Zwischengelenk ........ 167

11.3 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.4 11.3.5 11.3.6 11.4 11.5

Fachwerke ........ 168 Voraussetzungen und Tragwerksaufbau ........ 168 Berechnungsverfahren ........ 171 Knotengleichgewicht ........ 171 CREMONAplan ........ 173 RITTERsches Schnittverfahren ........ 174 Kinematische Methode ........ 175 Zusammenfassung ........ 176 Aufgaben ........ 177

Einflusslinien ........ 179 Allgemeines ........ 179 Einflusslinienermittlung mittels Gleichgewichtsbedingungen ........ 180 Kinematische Einflusslinienermittlung ........ 181 Zusammenfassung ........ 185 Aufgaben ........ 185

12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 13

13.1 13.2 13.2.1 13.2.2 13.2.3 13.2.4 13.2.5 13.2.6 13.2.7 13.3 13.3.1 13.3.2 13.3.3 13.3.4 13.4 13.4.1 13.4.2 13.4.3 13.4.4 13.5 13.6

Elementare Verformungen ........ 187 Allgemeines ........ 187 Biegung und Normalkraft ........ 187 Spannungs- und Verformungszustand ........ 187 Hauptachsen ........ 189 Spannungsberechnung ........ 191 Verbundquerschnitte ........ 192 Temperaturverformungen ........ 194 Ebene Biegung gekru¨mmter Sta¨be ........ 195 Praktische Hinweise ........ 196 Querkraft ........ 196 Na¨herung fu¨r prismatische Sta¨be unter spezieller Biegung ........ 196 Approximativer ebener Spannungszustand ........ 198 Du¨nnwandige Querschnitte ........ 199 Schubmittelpunkt ........ 201 Torsion ........ 202 Kreisquerschnitte ........ 202 Allgemeine Querschnitte ........ 203 Du¨nnwandige Hohlquerschnitte ........ 206 Wo¨lbtorsion ........ 209 Zusammenfassung ........ 218 Aufgaben ........ 220

Einzelverformungen ........ 223 Allgemeines ........ 223 Arbeitssatz ........ 224 Einfu¨hrendes Beispiel ........ 224 Allgemeine Formulierung ........ 225 Berechnung der Verschiebungsarbeitsintegrale ........ 225 14.2.4 Systematisches Vorgehen ........ 228 14.3 Anwendungen ........ 228 14.4 Satz von Maxwell ........ 232 14.5 Zusammenfassung ........ 233 14.6 Aufgaben ........ 233

14.1 14.2 14.2.1 14.2.2 14.2.3

Inhaltsverzeichnis

15.1 15.2 15.2.1 15.2.2 15.2.3 15.2.4 15.2.5 15.3 15.3.1 15.3.2 15.4 15.5

Verformungslinien ........ 235 Allgemeines ........ 235 Differentialgleichungen gerader Stabelemente ........ 235 Ebene Beanspruchung ........ 235 Ra¨umliche Beanspruchung ........ 237 Querkrafteinfluss ........ 237 Kriech-, Schwind- und Temperaturverformungen ........ 237 Gekru¨mmte Stabachsen ........ 237 Integrationsverfahren ........ 238 Analytische Integration ........ 238 MOHRsche Analogie ........ 240 Zusammenfassung ........ 245 Aufgaben ........ 245

16.3 16.3.1 16.3.2 16.3.3 16.3.4 16.4 16.5 16.6

Kraftmethode ........ 247 Allgemeines ........ 247 Tragverhalten statisch unbestimmter Systeme ........ 247 bersicht ........ 247 Statisch bestimmtes System ........ 248 Einfach statisch unbestimmtes System ........ 249 Zweifach statisch unbestimmtes System ........ 251 Vertiefte Analyse des einfach statisch unbestimmten Systems ........ 252 Vertiefte Analyse des zweifach statisch unbestimmten Systems ........ 256 Klassische Darstellung der Kraftmethode ........ 256 Allgemeines Vorgehen ........ 256 Bemerkungen ........ 257 Verformungen ........ 259 Einflusslinien ........ 261 Anwendungen ........ 264 Zusammenfassung ........ 274 Aufgaben ........ 276

Verformungsmethode ........ 279

16.1 16.2 16.2.1 16.2.2 16.2.3 16.2.4 16.2.5 16.2.6

17.1 17.1.1 17.1.2 17.1.3 17.1.4 17.2 17.2.1 17.2.2 17.2.3 17.2.4 17.3 17.3.1 17.3.2 17.3.3

Unabha¨ngige Stabendvariablen ........ 279 Allgemeines ........ 279 Element-Steifigkeitsbeziehung ........ 279 Stabeinwirkungen ........ 280 Algorithmus der Verformungsmethode ........ 282 Vollsta¨ndige Stabendvariablen ........ 283 Allgemeines ........ 283 Element-Steifigkeitsbeziehung ........ 284 Stabeinwirkungen ........ 285 Lagerkraftgro¨ssen ........ 285 Direkte Steifigkeitsmethode ........ 286 Inzidenztransformation ........ 286 Drehtransformation ........ 287 Algorithmus der direkten Steifigkeitsmethode ........ 288 17.4 Drehwinkelverfahren ........ 292 17.4.1 Allgemeines ........ 292 17.4.2 Grundzusta¨nde und Stabendmomente ........ 294

17.4.3 17.4.4 17.4.5 17.4.6 17.4.7 17.5 17.6 18

18.1 18.2 18.2.1 18.2.2 18.2.3 18.2.4 18.2.5 18.2.6 18.3 18.3.1 18.3.2 18.3.3 18.3.4 18.3.5 18.3.6 18.4 18.4.1 18.4.2 18.4.3 18.4.4 18.4.5 18.5 18.5.1 18.5.2 18.5.3 18.5.4 18.5.5 18.6 18.6.1 18.6.2 18.6.3 18.6.4 18.7 18.7.1 18.7.2 18.7.3 18.7.4 18.7.5 18.8 18.8.1 18.8.2 18.8.3 18.8.4 18.8.5 18.8.6

Gleichgewichtsbedingungen ........ 295 Anwendungen ........ 296 Zwa¨ngungen ........ 300 Einflusslinien ........ 305 Momentenausgleichsverfahren von CROSS ........ 307 Zusammenfassung ........ 311 Aufgaben ........ 312 Kontinua ........ 313 Allgemeines ........ 313 Stabdehnung ........ 313 Anwendungsbeispiele ........ 313 Berechnungsmodell ........ 314 Eigenspannungen ........ 316 Zwa¨ngungen ........ 317 Verbund ........ 318 Zusammenfassung ........ 322 Schubtra¨ger ........ 323 Anwendungsbeispiele ........ 323 Berechnungsmodell ........ 323 Stockwerkrahmen ........ 323 VIERENDEEL-Tra¨ger ........ 325 Sandwichplatten ........ 326 Zusammenfassung ........ 328 Biegetra¨ger ........ 328 Allgemeines ........ 328 Berechnungsmodell ........ 329 Zwa¨ngungen ........ 329 Elastische Bettung ........ 331 Zusammenfassung ........ 334 Kombination von Schub- und Biegetragwirkung ........ 335 Allgemeines ........ 335 Schubwand-Rahmensysteme ........ 336 Schubwandverbindung ........ 340 Verdu¨belte Balken ........ 344 Zusammenfassung ........ 346 Bogen ........ 347 Allgemeines ........ 347 Berechnungsmodell ........ 347 Anwendungen ........ 348 Zusammenfassung ........ 352 Ringfo¨rmige Konstruktionen ........ 352 Allgemeines ........ 352 Berechnungsmodell ........ 353 Anwendungen ........ 354 Randsto¨rungen bei Zylinderschalen ........ 355 Zusammenfassung ........ 356 Seile ........ 356 Allgemeines ........ 356 Berechnungsmodell ........ 357 Dehnstarre Seile ........ 359 Dehnsteife Seile ........ 360 Dehnsteifigkeit querbelasteter Seile ........ 362 Zusammenfassung ........ 362

Inhaltsverzeichnis

18.9

Kombination von Seil- und Biegetragwirkung ........ 363 Berechnungsmodell ........ 363 Biegesteife Zugglieder ........ 364 Ha¨ngeda¨cher und Spannba¨nder ........ 365 Ha¨ngebru¨cken ........ 370 Zusammenfassung ........ 370 Aufgaben ........ 371

18.9.1 18.9.2 18.9.3 18.9.4 18.9.5 18.10

Diskontinua ........ 373 19.1 Allgemeines ........ 373 19.2 Kraftmethode ........ 374 19.2.1 Vollsta¨ndige und globale Stabendkraftgro¨ssen ........ 374 19.2.2 Element-Nachgiebigkeitsbeziehung ........ 374 19.2.3 Stabeinwirkungen ........ 376 19.2.4 Algorithmus der Kraftmethode ........ 376 19.2.5 Vergleich mit klassischer Kraftmethode ........ 378 19.2.6 Praktische Anwendung ........ 378 19.2.7 Reduzierte Freiheitsgrade ........ 378 19.2.8 Erga¨nzende Bemerkungen ........ 381 19.3 Einfu¨hrung in die Methode der finiten Elemente ........ 383 19.3.1 Grundlagen ........ 383 19.3.2 Elementmatrizen ........ 383 19.3.3 Schubstarres Stabelement ........ 383 19.3.4 Ansatzfunktionen ........ 387 19.3.5 Bemerkungen ........ 388 19.4 Zusammenfassung ........ 388 19.5 Aufgaben ........ 389 19

IV NICHTLINEARE STATIK DER STABTRAGWERKE

20.3 20.3.1 20.3.2 20.3.3 20.3.4 20.3.5 20.4 20.5

Elastisch-plastische Systeme ........ 391 Allgemeines ........ 391 Einfach statisch unbestimmtes Fachwerk ........ 391 Einparametrige Belastung ........ 391 Zweiparametrige Belastung und Verallgemeinerung ........ 398 Balkenbiegung ........ 400 Momenten-Kru¨mmungsdiagramme ........ 400 Einfeldtra¨ger ........ 402 Durchlauftra¨ger ........ 405 Rahmen ........ 407 Bemerkungen ........ 408 Zusammenfassung ........ 408 Aufgaben ........ 409

Traglastverfahren ........ 411

21.1 21.2 21.2.1 21.2.2 21.2.3 21.2.4 21.2.5

Allgemeines ........ 411 Grenzwertsa¨tze ........ 412 Grundlagen ........ 412 Unterer Grenzwertsatz ........ 412 Oberer Grenzwertsatz ........ 413 Vertra¨glichkeitssatz ........ 413 Folgerungen aus den Grenzwertsa¨tzen ........ 413

20.1 20.2 20.2.1 20.2.2

21.3 21.3.1 21.3.2 21.3.3 21.3.4 21.3.5 21.4 21.4.1 21.4.2 21.4.3 21.4.4 21.4.5 21.5 21.6 21.6.1 21.6.2 21.6.3 21.6.4 21.7 21.7.1 21.7.2 21.7.3 21.8 21.9

Statische und kinematische Methode ........ 414 Allgemeines ........ 414 Einfeldtra¨ger ........ 415 Durchlauftra¨ger ........ 417 Ebene Rahmen ........ 418 Querbelastete ebene Rahmen ........ 423 Plastische Festigkeitslehre ........ 428 Allgemeines ........ 428 Schiefe Biegung ........ 428 Biegung und Normalkraft ........ 430 Biegung und Torsion ........ 434 Biegung und Querkraft ........ 436 Einspiellast und Traglast ........ 437 Bemessung auf minimale Eigenlast ........ 439 Allgemeines ........ 439 Lineare Zielfunktion ........ 440 FOULKES-Mechanismen ........ 440 Bemerkungen ........ 442 Numerische Verfahren ........ 444 Kraftmethode ........ 444 Traglastprogramm ........ 445 Optimale Bemessung ........ 446 Zusammenfassung ........ 448 Aufgaben ........ 449

Stabilita¨tsprobleme ........ 451 Allgemeines ........ 451 Elastisches Knicken ........ 451 Stu¨tzenbiegelinie ........ 451 Verzweigungsprobleme ........ 455 Na¨herungsverfahren ........ 456 Erga¨nzungen ........ 462 Drehwinkelverfahren ........ 467 Steifigkeitsmatrizen ........ 471 Elastisch-plastisches Knicken ........ 473 Zentrisch beanspruchte Druckglieder ........ 473 Exzentrische beanspruchte Druckglieder ........ 476 Traglast von Rahmen nach Theorie 2. Ordnung ........ 479 Biegedrillknicken und Kippen ........ 482 Grundlage ........ 482 Zentrische Belastung ........ 484 Exzentrische Belastung in starker Ebene ........ 485 Allgemeine Belastung ........ 487 Zusammenfassung ........ 490 Aufgaben ........ 491

22.1 22.2 22.2.1 22.2.2 22.2.3 22.2.4 22.2.5 22.2.6 22.3 22.3.1 22.3.2 22.3.3 22.4 22.4.1 22.4.2 22.4.3 22.4.4 22.5 22.6

¨ CHENTRAGWERKE V FLA 23

23.1 23.2 23.2.1 23.2.2 23.2.3

Scheiben ........ 493 Allgemeines ........ 493 Elastische Scheiben ........ 493 Spannungsfunktion ........ 493 Polarkoordinaten ........ 495 Ansa¨tze fu¨r Verschiebungskomponenten ........ 498

Inhaltsverzeichnis

23.3 23.3.1 23.3.2 23.4 23.4.1 23.4.2 23.4.3 23.4.4 23.5 23.5.1 23.5.2 23.6 23.7

Stahlbeton-Scheibenelemente ........ 498 Orthogonale Bewehrung ........ 498 Allgemeine Bewehrung ........ 502 Statische Methode ........ 503 Allgemeines ........ 503 Fachwerkmodelle ........ 503 Diskontinuierliche Spannungsfelder ........ 507 Stringer-Tafelmodell ........ 513 Kinematische Methode ........ 514 Anwendungen im Stahlbetonbau ........ 514 Anwendungen im Grundbau ........ 519 Zusammenfassung ........ 522 Aufgaben ........ 524

Platten ........ 527

24.1 24.1.1 24.1.2 24.1.3 24.2

Grundlagen ........ 527 Allgemeines ........ 527 Statische Beziehungen ........ 527 Kinematische Beziehungen ........ 533 Schubstarre linear elastische Platten mit kleinen Durchbiegungen ........ 535 Grundlegende Beziehungen ........ 535 Lo¨sungsverfahren ........ 537 Rotationssymmetrische Probleme ........ 538 Rechteckplatten ........ 541 Flachdecken ........ 545 Energieverfahren ........ 548 Fliessbedingungen ........ 549 Fliessbedingungen von v. MISES und TRESCA ........ 549 Stahlbetonplatten ........ 552 Statische Methode ........ 559 Rotationssymmetrische Probleme ........ 559 Momentenansa¨tze ........ 562 Streifenmethode ........ 565 Kinematische Methode ........ 569 Einfu¨hrendes Beispiel ........ 569 Berechnung der Dissipationsarbeit ........ 570 Anwendungen ........ 571 Einfluss von Querkra¨ften ........ 574 Elastische Platten ........ 574 Rotationssymmetrische v. MISES-Platten ........ 576 Stahlbetonplatten ........ 577 Membranwirkung ........ 577 Elastische Platten ........ 577 Ideal plastischer Plattenstreifen ........ 579 Stahlbetonplatten ........ 580 Zusammenfassung ........ 583 Aufgaben ........ 585

24.2.1 24.2.2 24.2.3 24.2.4 24.2.5 24.2.6 24.3 24.3.1 24.3.2 24.4 24.4.1 24.4.2 24.4.3 24.5 24.5.1 24.5.2 24.5.3 24.6 24.6.1 24.6.2 24.6.3 24.7 24.7.1 24.7.2 24.7.3 24.8 24.9 25

Faltwerke ........ 589

25.1 25.2 25.2.1 25.2.2

Allgemeines ........ 589 Prismatische Faltwerke ........ 590 Zick-Zack-Da¨cher ........ 590 Tonnenda¨cher ........ 591

25.2.3 25.3 25.4 25.5

Bemerkungen ........ 595 Nicht prismatische Faltwerke ........ 596 Zusammenfassung ........ 596 Aufgaben ........ 597

Schalen ........ 599 Allgemeines ........ 599 Membrantheorie der Rotationsschalen ........ 600 Symmetrische Belastung ........ 600 Unsymmetrische Belastung ........ 604 Membrantheorie der Zylinderschalen ........ 605 Allgemeine Beziehungen ........ 605 Rohre und Tonnenda¨cher ........ 606 Polygonale Kuppeln ........ 608 Membrankra¨fte in Schalen beliebiger Form ........ 610 Gleichgewichtsbedingungen ........ 610 Elliptische Probleme ........ 611 Hyperbolische Probleme ........ 612 Biegetheorie drehsymmetrischer Kreiszylinderschalen ........ 617 Biegetheorie flacher Schalen ........ 619 Grundlagen ........ 619 Differentialgleichung fu¨r Durchbiegung ........ 620 Kreiszylinderschalen unter asymmetrischer Belastung ........ 621 Biegetheorie symmetrisch belasteter Rotationsschalen ........ 624 Grundlagen ........ 624 Differentialgleichung fu¨r Durchbiegung ........ 624 Kugelschalen ........ 625 Na¨herung fu¨r Schalen beliebiger Form ........ 627 Stabilita¨t ........ 627 Allgemeines ........ 627 Verzweigungslasten ........ 628 Bemerkungen ........ 630 Zusammenfassung ........ 631 Aufgaben ........ 632

26.1 26.2 26.2.1 26.2.2 26.3 26.3.1 26.3.2 26.3.3 26.4 26.4.1 26.4.2 26.4.3 26.5 26.6 26.6.1 26.6.2 26.6.3 26.7 26.7.1 26.7.2 26.7.3 26.7.4 26.8 26.8.1 26.8.2 26.8.3 26.9 26.10

ANHANG A1 A2 A3 A4

Fachausdru¨cke ........ 635 Bezeichnungen ........ 641 Werkstoffkennwerte ........ 647 Querschnittswerte ........ 649

Matrizenalgebra ........ 653

A5.1 A5.2 A5.3 A5.4 A5.5 A5.6

Grundbegriffe ........ 653 Rechenregeln ........ 654 Lineare Gleichungen ........ 656 Quadratische Formen ........ 656 Eigenwertaufgaben ........ 657 Matrixnormen und Konditionszahlen ........ 658

XII

Inhaltsverzeichnis

Tensorrechnung ........ 659

A6.1 A6.2 A6.3 A6.4 A6.5

Einleitung ........ 659 Grundbegriffe ........ 659 Vektoren und Tensoren ........ 660 Hauptachsen symmetrischer Tensoren zweiter Stufe ........ 662 Tensorfelder und Integralsa¨tze ........ 662

Variationsrechnung ........ 665

A7.1 A7.2 A7.3

Extremwerte stetiger Funktionen ........ 665 Grundbegriffe ........ 665 Das einfachste Problem der Variationsrechnung ........ 666 A7.4 Zweite Variation ........ 667 A7.5 Mehrere gesuchte Funktionen ........ 668 A7.6 Ho¨here Ableitungen ........ 668 A7.7 Mehrere unabha¨ngige Variablen ........ 669 A7.8 Variationsprobleme mit Nebenbedingungen ........ 669 A7.9 Verfahren von RITZ ........ 670 A7.10 Natu¨rliche Randbedingungen ........ 671 Literaturverzeichnis ........ 673 Namensverzeichnis ........ 675 Sachverzeichnis ........ 677

Inhaltsverzeichnis

BEISPIELSAMMLUNG Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel

3.1 3.2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 12.1 12.2 12.3 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7

Nutzungsvereinbarung fu¨r das Industriegebaüde XY in Z ........ 15 Projektbasis fu¨r das Industriegebaüde XY in Z ........ 19 Winkelstu¨tzmauer ........ 45 Standfla¨che ........ 47 Stahlplatte ........ 56 Spannungstensor ........ 59 Kesselformel ........ 63 Stu¨tzlinie ........ 63 Dreigelenkbogen ........ 65 Kreisringtra¨ger ........ 67 Messnetz ........ 73 Zeitunabha¨ngige Zwa¨ngung ........ 93 Zeitabha¨ngige Zwa¨ngung ........ 93 Vorspannung ........ 94 Spannkraftverlust ........ 94 Ermu¨dung von Betonstahl ........ 98 Ermittlung innerer Kraftgro¨ssen ........ 118 Ermittlung aüsserer Verformungsgro¨ssen ........ 119 Geometrisch und stofflich nichtlineares Verhalten ........ 119 Zugstab ........ 122 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 123 Geometrisch nichtlineares Verhalten ........ 125 Kragarm ........ 125 Kragarm ........ 127 Pru¨fring ........ 127 Einfacher Balken ........ 129 Einfacher Balken ........ 131 Zugstab ........ 132 Kragarm ........ 132 Knickstab ........ 133 Querbelastete Kragstu¨tze ........ 134 Querbelasteter Druckstab ........ 136 Ebenes Fachwerk ........ 154 Ebener Rahmen ........ 155 Ebenes Fachwerk ........ 156 Ebener Rahmen ........ 156 Dreigelenkbogen ........ 158 Ebener Rahmen ........ 159 GERBERtra¨ger ........ 164 Dreigelenkrahmen mit Zugband ........ 166 Ebenes Fachwerk ........ 171 Ebenes Fachwerk ........ 173 Ebenes Fachwerk ........ 174 Ebenes Fachwerk ........ 174 GERBERtra¨ger ........ 182 Dreigelenkbogen ........ 182 Ebenes Fachwerk ........ 184 Winkelprofil ........ 190 Rechteckquerschnitt – Kern ........ 192 Stahlbetonplatte – Biegung ........ 193 Stahlbetonplatte – Schwinden ........ 194 Rechteckquerschnitt – Schubspannungsverteilung ........ 197 Breitflanschtra¨ger ........ 199 Winkelprofil ........ 200

XIII

XIV

Inhaltsverzeichnis

Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel Beispiel

13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.12 17.13 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18.10

Stab mit elliptischem Querschnitt ........ 204 Schmaler Rechteckquerschnitt ........ 205 Stahlbeton-Hohlkasten ........ 207 Zweizelliger Hohlkasten ........ 208 Tordierter - Tra¨ger – konzentrierte Belastung ........ 210 Tordierter - Tra¨ger – verteilte Belastung ........ 211 Stahlbetontra¨ger ........ 215 SIMPSONregel ........ 227 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 228 GERBERtra¨ger ........ 229 Kragarm ........ 230 Abgewinkelter Kragarm ........ 230 Ebenes Fachwerk ........ 231 Rechteckquerschnitt – Schubreduktionsfaktor ........ 231 Du¨nnwandiger Hohlquerschnitt ........ 232 Einfacher Balken ........ 238 Beidseitig eingespannter Balken ........ 238 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 239 Federnd gehaltener Balken ........ 241 Kragarm ........ 241 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 242 GERBERtra¨ger ........ 242 Ebener Rahmen ........ 259 Beidseitig eingespannter Stab ........ 260 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 261 Durchlauftra¨ger ........ 262 Beidseitig eingespannter Balken ........ 264 Unendlich langer Durchlauftra¨ger ........ 265 Durchlauftra¨ger – Auflagersenkung ........ 269 Beidseitig eingespannter Bogen ........ 270 Schief gelagerter Tra¨ger ........ 271 Kreisringtra¨ger ........ 272 Betrachtung von Teilsystemen ........ 273 Schubstarrer Kragarm ........ 282 Schubstarrer Kragarm ........ 285 Ebener Rahmen ........ 289 Unverschieblicher Rahmen ........ 296 Tribu¨nenrahmen ........ 297 Verschieblicher Stockwerkrahmen ........ 298 Unverschieblicher Stockwerkrahmen ........ 299 Unverschieblicher Rahmen – Stu¨tzensenkung ........ 301 Unverschieblicher Rahmen – gleichma¨ssige Erwa¨rmung ........ 301 Unverschieblicher Rahmen – Temperaturdifferenz ........ 303 Verschieblicher Rahmen – gleichma¨ssige Erwa¨rmung ........ 303 Dreifeldrahmen ........ 306 Durchlauftra¨ger ........ 308 Beidseitig unverschieblich gehaltener Stab ........ 315 Einseitig federnd gehaltener Stab ........ 315 Stahlbetonstu¨tze – Temperatura¨nderung ........ 316 Stahlbetonstu¨tze – Schwinden ........ 316 Ausziehen eines Bewehrungsstabs ........ 319 Stockwerkrahmen ........ 324 usserlich statisch unbestimmter VIRENDEEL-Tra¨ger ........ 325 Kunststoffplatte mit aufgeklebten Stahlblechen ........ 327 Einfacher Balken – sinusfo¨rmige Streckenlast ........ 329 Beidseitig eingespannter Stab – linearer Temperaturverlauf ........ 330

Inhaltsverzeichnis

18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 18.17 18.18 18.19 18.20 18.21 18.22 18.23 18.24 18.25 18.26 18.27 18.28 18.29 18.30 19.1 19.2 19.3 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22.10 22.11 22.12 22.13 22.14 22.14 22.15 22.16 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9 23.10

Hochhaus ........ 337 Hochhaus mit Outrigger ........ 339 Schubwand ........ 342 Schubwand – Einfluss der Wanddehnung ........ 343 Zweigelenkbogen – Gleichlast ........ 349 Zweigelenkbogen – sinusfo¨rmige Last ........ 350 Zweigelenkbogen – abschnittsweise konstante Last ........ 351 Widerlagerverschiebung eines Betonbogens ........ 352 Ausgesteiftes Rohr unter Innendruck ........ 356 Einzellitze – Gleichlast ........ 361 Einzellitze – Temperatureinwirkung ........ 361 Einzellitze – Vorspannung ........ 361 Einzellitze – halbseitig konstante Last ........ 362 Seil unter Radlast ........ 364 Spannungen in Schra¨gkabel ........ 365 Ha¨ngedach – Gleichlast ........ 366 Ha¨ngedach – einseitige Nutzlast ........ 367 Spannband – einseitige Nutzlast ........ 367 Ha¨ngedach – mittige Einzellast ........ 369 Spannband – Temperatureinwirkung ........ 369 Ebener Rahmen ........ 376 Orthogonalisierte Zwa¨ngungszusta¨nde ........ 381 Einfach statisch unbestimmter Balken ........ 386 Ungleichschenkeliges Winkelprofil ........ 429 Zweifeldtra¨ger – wiederholte vera¨nderliche Einwirkungen ........ 438 Ebener Rahmen ........ 444 Ebener Rahmen – statisches Programm ........ 445 Ebener Rahmen – kinematisches Programm ........ 446 Ebener Rahmen – minimale Eigenlast ........ 447 Querbelastete Stu¨tze ........ 453 Kragstu¨tze ........ 457 Knickstab ........ 457 Querbelasteter Druckstab ........ 458 Knickstab ........ 458 Einfach statisch unbestimmter Knickstab ........ 459 Stu¨tze mit Steifigkeitssprung ........ 460 Am Kopf belastete Kragstu¨tze ........ 460 Statisch bestimmter Rahmen ........ 461 Elastisch gestu¨tztes Sprengwerk ........ 465 Zweigelenkrahmen ........ 469 Unverschieblicher Rahmen ........ 470 Verschieblicher Rahmen ........ 470 Elastisch gehaltene Kragstu¨tze ........ 470 Kragstu¨tze ........ 479 Kippen eines - Tra¨gers ........ 488 Kippen – Verschieben des Lastangriffspunkts ........ 488 Kragarm ........ 494 Kreiszylindrisches Rohr ........ 497 Kreisbogenfo¨rmiger Balken ........ 497 Einachsige Zugbeanspruchung ........ 500 Vertikale Bo¨schung ........ 507 Streifenfundament auf TRESCA-Halbraum ........ 508 Abgestufte Zuggurtbewehrung ........ 516 Stegdruckbruch ........ 518 Dissipation an hyperbolischer Gleitlinie ........ 519 Streifenfundament auf TRESCA-Halbraum ........ 521

XVI

Inhaltsverzeichnis

24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24.6 24.7 24.8 24.9 24.10 24.11 24.12 24.13 24.14 24.15 24.16 24.17 24.18 24.19 24.20 24.21 24.22 24.23 24.24 24.25 25.1 25.2 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 26.10 26.11 26.12 26.13 A7.1 A7.2

Eckgestu¨tzte Quadratplatte ........ 530 Mittig gestu¨tzte Quadratplatte ........ 531 Eckgestu¨tzte Rechteckplatte ........ 531 Einfach gelagerte Quadratplatte ........ 549 Eingespannte Quadratplatte ........ 549 Einfach gelagerte Kreisplatte ........ 551 Eingespannte Kreisplatte ........ 552 Stahlbetonplatte – Biegebemessung ........ 555 Plattenelement unter reiner Drillung ........ 556 Eingespannte Kreisplatte ........ 560 Innen eingespannte, aussen durch mu beanspruchte Kreisringplatte ........ 560 Einfach gelagerte Rechteckplatte ........ 563 An zwei benachbarten Ra¨ndern einfach gelagerte Quadratplatte ........ 563 Einfach gelagerte, regula¨r polygonale Platten ........ 563 Kragplatten unter Einzellast am Rand ........ 565 Eingespannte Rechteckplatte ........ 571 An zwei benachbarten Ra¨ndern einfach gelagerte Quadratplatte ........ 571 Eingespannte Quadratplatte ........ 572 Plattenstreifen unter mittiger Einzellast ........ 572 Kragplatte unter Einzellast am Rand ........ 572 Flachdecke ........ 573 Semi-infinite Rechteckplatte unter Randlasten ........ 575 Beulen einfach gelagerter Rechteckplatten ........ 577 Initial verformte Rechteckplatte ........ 578 Quadratische Membran ........ 579 Tonnendach – Membrantheorie ........ 592 Tonnendach – Biegetheorie ........ 593 Kugelschalen ........ 601 Kugelbeha¨lter ........ 602 Kegelschale ........ 602 Kugelschale – Eigenlast ........ 603 Kugelschale – Winddruck ........ 604 Kegelschale – Winddruck ........ 605 Kuppel mit kreiszylindrischen Sektoren – Eigenlast ........ 609 Rohr unter Endlasten ........ 617 Kreiszylindrischer Tank ........ 618 Rohr unter Temperatureinwirkung ........ 618 Kamin unter Winddruck ........ 622 Eingespannte Kugelschale unter Innendruck ........ 626 Druckkessel ........ 626 Schubstarrer Kragarm ........ 670 Kragarm – Gleichlast und Belastung am freien Ende ........ 671

5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

Statische Beziehungen

5.1

Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

5.1.1

Grundbegriffe

Kra¨fte werden durch ihre Wirkung wahrgenommen. Sie entsprechen physikalischen Wechselwirkungen, welche Verformungs- oder Bewegungszusta¨nde von materiellen Systemen verursachen oder vera¨ndern. Die Wirkung einer Kraft ha¨ngt von ihrem Angriffspunkt, ihrem Betrag und ihrer Richtung ab. Eine Kraft kann deshalb gema¨ss Bild 5.1(a) als punktgebundener Vektor F mit Angriffspunkt A, Betrag F und Wirkungslinie f dargestellt werden. Die Wirkungslinie f und ein beliebiger Bezugspunkt O definieren eine Ebene. Denkt man sich einen mit dieser Ebene verbundenen Ko¨rper, so erkennt man, dass F eine Verdrehung des Ko¨rpers um die zur Ebene senkrechte, durch O gehende Achse n bewirken wu¨rde. Die Tendenz zur Verdrehung ist zum Betrag F und zum Abstand a der Kraft F von O proportional. Mit dem Ortsvektor r des Angriffspunkts A von F wird die Tendenz zur Verdrehung mit dem Moment MwrqF (5:1) betrags- und richtungsma¨ssig korrekt ausgedru¨ckt. Es gilt |M| = Fa, und die Vektoren M, r und F bilden eine Rechtsschraube, siehe Bild 5.1(b). Wie man sieht, bleibt das Moment M unvera¨ndert, wenn die Kraft F entlang ihrer Wirkungslinie f verschoben wird. (a)

Zu jeder Kraft F geho¨rt eine Reaktion – F mit derselben Wirkungslinie. Nach diesem sogenannten Reaktionsprinzip kann eine Kraft ohne ihre Reaktion nicht existieren.

M M

Fernkra¨fte (wie z. B. Gravitationskra¨fte) haben von ihren Reaktionen verschiedene Angriffspunkte; die Wechselwirkung zwischen zwei massebehafteten Ko¨rpern findet in der Regel ohne Beru¨hrung statt. Dagegen sind bei Kontaktkra¨ften (wie z. B. Lagerkra¨ften) die Angriffspunkte von Kraft und Reaktion zwar nicht materiell aber geometrisch identisch; die Wechselwirkung zwischen Lager und gelagertem Ko¨rper entsteht durch Beru¨hrung – wird der Kontakt aufgehoben, so verschwindet auch die Kontaktkraft. Die in der Dynamik zu beru¨cksichtigenden Tra¨gheitskra¨fte (vgl. Kapitel 8.3.4) besitzen keine Reaktionen. Sie entsprechen keinen physikalischen Wechselwirkungen, sondern sind mathematische Hilfsgro¨ssen. Kontaktkra¨fte sind im Allgemeinen als Fla¨chenkra¨fte (Fla¨chenlasten) auf einer endlichen Fla¨che verteilt. Die auf die Fla¨cheneinheit bezogene Kontaktkraft, die Fla¨chenkraftdichte dF (5:2) tw dA bezeichnet man auch als Spannungsvektor, siehe Bild 5.2(a) und Kapitel 5.2.1.

Baustatik. 2. Auflage. Peter Marti c 2014 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published 2014 by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

(b)

A f

(M ) (F )

(r)

Bild 5.1 Kraft und Moment: (a) Bezugspunkt O, Angriffspunkt A, Wirkungslinie f, Drehachse n; (b) Rechtsschraube.

5 Statische Beziehungen

(a)

(b)

dF dF dF

Bild 5.2 Verteilte Kra¨fte: (a) Fla¨chenkraftdichte; (b) Raumkraftdichte; (c) Linienkraftdichte.

Analog bezeichnet man die auf einen endlichen Raum verteilten Fernkra¨fte als Raumkra¨fte (Raumlasten) mit der Raumkraftdichte dF (5:3) qw dV siehe Bild 5.2(b). Wird schliesslich ein Ko¨rper wie ein Balken oder ein Seil als eindimensional idealisiert und wirken auf diesen verteilte Kra¨fte als Linienkra¨fte (Linien- oder Streckenlasten), gelangt man zur Linienkraftdichte dF (5:4) qw ds siehe Bild 5.2(c). Kraftbetra¨ge besitzen im SI- oder MKS-System die Einheit Newton [1 N = 1 mkgs–2 ] bzw. [kN] oder [MN]. Fu¨r Momente verwendet man dementsprechend die Einheit [Nm] bzw. [kNm] oder [MNm]. Zur Unterscheidung von Kra¨ften und Momenten werden letztere mit Doppelpfeilen dargestellt, siehe Bild 5.1(a). Fu¨r Linien-, Fla¨chen- und Raumkraftdichten resultieren die Einheiten [Nm–1 ], [Nm–2 = Pa] und [Nm–3 ]. 5.1.2

Kra¨ftesysteme

Im Folgenden betrachten wir Kra¨ftegruppen (Gruppen von Kra¨ften), deren materielle Angriffspunkte innerhalb eines beliebig abgegrenzten Ko¨rpers bzw. Systems liegen. Durch Isolation eines Ko¨rpers bzw. eines Systems (oder eines Ko¨rper- bzw. Systemteils) durch einen geschlossenen Rundschnitt gewonnene Ko¨rper nennen wir Schnittko¨rper (Abku¨rzung SK). Durch Einfu¨hren aller Kra¨fte, die auf den Schnittko¨rper wirken, erha¨lt man ein Schnittko¨rperdiagramm (Abku¨rzung SKD). Die Resultierende einer Kra¨ftegruppe erha¨lt man durch Vektoraddition u¨ber den Schnittko¨rper: X F (5:5) Rw SK

Ebenso erha¨lt man das Gesamtmoment der Kra¨ftegruppe bezu¨glich eines beliebigen Bezugspunkts O: X rqF (5:6) MO w SK

siehe Bild 5.3 und (5.1). y

Wa¨hlt man anstelle von O einen anderen Bezugspunkt Ol, so folgt gema¨ss Bild 5.3 mit rl = r – rL und (5.5) sowie (5.6) X X X (5:7) M Ol w rl q F w r q F s rL q F w M O s rL q R SK

Die Vektorpaare {R, MO} bzw. {R, MOl} nennt man Dyname der Kra¨ftegruppe in O bzw. Ol.

II GRUNDLAGEN

r ´´

z r

r´

O ´

F Bild 5.3 Schnittko¨rperdiagramm mit Bezugspunkten O und Ol.

5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

Zwei Kra¨ftegruppen sind a¨quivalent, wenn ihre Dynamen bezu¨glich eines beliebigen Bezugspunkts gleich sind. Gema¨ss (5.7) muss die quivalenz zweier Kra¨ftegruppen nur fu¨r einen Bezugspunkt nachgewiesen werden; die Identita¨t der Gesamtmomente ist dann fu¨r alle Punkte gegeben. 5.1.3

Gleichgewicht

Eine Kra¨ftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Dyname verschwindet: Rw0 , MO w 0 (5:8) Die Gleichgewichtsbedingungen (5.8) liefern bei raümlichen Kra¨ftegruppen sechs skalare Gleichungen, na¨mlich drei Komponentenbedingungen und drei Momentenbedingungen. Bei ebenen Kra¨ftegruppen reduziert sich diese Zahl auf drei, na¨mlich zwei Komponentenbedingungen in der Ebene der Kra¨ftegruppe und eine Momentenbedingung in senkrechter Richtung dazu. Gilt (5.8), so ist nach (5.7) MOl = 0. Die Komponentenbedingungen ko¨nnen folglich durch Momentenbedingungen um einen zweiten Bezugspunkt ersetzt werden. Allgemein ko¨nnen im raümlichen Fall Momentenbedingungen um sechs nicht kollineare Achsen und im ebenen Fall um drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte formuliert werden. Dies ist in der Anwendung oft einfacher als das Aufstellen der Komponentenbedingungen. Je nach Problemstellung wird man im ebenen Fall oft nur eine und im raümlichen Fall nur eine oder zwei Komponentenbedingungen durch Momentenbedingungen ersetzen, wie in Kapitel 10 weiter erlaütert. Wendet man (5.8) auf differentielle Tragwerkselemente an, entstehen Differentialgleichungen des Gleichgewichts, wie in Kapitel 5.3 ausgefu¨hrt. Bei der Definition von Schnittko¨rpern und der Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen auf dieselben macht man allgemein Gebrauch vom sogenannten Schnittprinzip : Trennt man aus einem im Gleichgewicht befindlichen und kompatibel verformten Ko¨rper oder System beliebige Teile durch fiktive Schnitte heraus, ist jeder dieser Teile im Gleichgewicht und kompatibel verformt. Auf beliebige Schnittko¨rper wirkende Kra¨fte werden als innere bzw. aüssere Kra¨fte bezeichnet, je nachdem ob der materielle Angriffspunkt der Reaktion einer Kraft innerhalb oder ausserhalb des Schnittko¨rpers liegt. Da die inneren Kra¨fte nach dem Reaktionsprinzip eine Gleichgewichtsgruppe (d. h. eine Kra¨ftegruppe im Gleichgewicht) bilden, mu¨ssen die aüsseren Kra¨fte notwendigerweise fu¨r sich im Gleichgewicht sein, wenn der Schnittko¨rper insgesamt im Gleichgewicht ist. Diese Aussage bezeichnet man als Hauptsatz der Statik. Reichen die Gleichgewichtsbedingungen – allenfalls nach geeigneter Systemzerlegung – zur Bestimmung der Unbekannten eines Problems aus, spricht man von einem statisch bestimmten, andernfalls von einem statisch unbestimmten System. 5.1.4

Standfestigkeit

Tragwerke mu¨ssen standfest sein, d. h. sie du¨rfen nicht als Ganzes versagen (z. B. durch Aufschwimmen, Abgleiten oder Kippen). Ihr Starrko¨rpergleichgewicht bzw. ihre Gesamtstabilita¨t muss gewa¨hrleistet sein (vgl. Kapitel 4.4, Grenzzustand Typ I). Beispiel 5.1 Winkelstu¨tzmauer

Die in Bild 5.4(a) dargestellte Winkelstu¨tzmauer soll bezu¨glich Kippen um den vorderen Fusspunkt O untersucht werden. Dazu betrachten wir die von ihrer Umgebung freigeschnittene (befreite) Winkelstu¨tzmauer gema¨ss Bild 5.4(b) als Schnittko¨rper und fu¨hren, um zu einem Schnittko¨rperdiagramm zu gelangen, alle auf sie wirkenden Kra¨fte ein. Dabei handelt es sich um die (auf die Einheitsla¨nge senkrecht zur yz-Ebene bezogenen) Eigenlasten der Sohlplatte (G1) und der aufgehenden Wand (G2), die auf den Sohlplattenu¨bersta¨nden ruhenden Erdlasten G3 und G4 , die aktiven und passiven Erddruckkra¨fte Ea und Ep sowie eine auf die Plattensohle wirkende Kontaktkraft A. Wasserdruckkra¨fte werden

5 Statische Beziehungen

(d)

(a)

G2 B

G4 G3 D

y O

A Ea

(c)

(b)

G2 Ea E p G3

2 Az 3a

G4 G2

(e)

G1 z

G3 Ep

Bild 5.4 Standfestigkeit einer Winkelstu¨tzmauer: (a) U¨bersicht; (b) Schnittko¨rperdiagramm; (c) Kra¨fteplan; (d) Lageplan; (e) mo¨gliche Sohldruckverteilung.

vereinfachend vernachla¨ssigt. Ferner entspricht die Rechnung mit den Erdlasten G3 und G4 einer starken Idealisierung. Tatsa¨chlich mu¨sste sich bei einem Kippversagen im Boden hinter der Wand ein keilfo¨rmiger Bruchko¨rper ausbilden. Dies wa¨re mit der Mobilisierung von weiteren, hier vernachla¨ssigten Kra¨ften verbunden; a¨hnliches gilt fu¨r die Bruchzone am vorderen Wandfuss. Die Kontaktkraft A la¨sst sich mit (5.8) z. B. durch Aufstellen der beiden Komponentenbedingungen in y- und z-Richtung sowie der Momentenbedingung um O nach Betrag, Richtung und Angriffspunkt ohne weiteres ermitteln. Alternativ kann A auch graphisch ermittelt werden. Bild 5.4(c) zeigt die zugeho¨rige Aneinanderreihung der Kraftvektoren im sogenannten Kra¨fteplan (Kra¨ftepolygon); Gleichgewicht verlangt, dass der Kra¨fteplan geschlossen ist, womit A nach Betrag und Richtung festgelegt ist. Der Angriffspunkt von A folgt aus dem Lageplan (Seilpolygon) gema¨ss Bild 5.4(d), indem man sukzessive die im Kra¨fteplan strichliert eingetragenen Zwischenresultierenden der Kra¨fte Ea und G4 etc. bildet, deren Wirkungslinien ausgehend vom Schnittpunkt A von Ea und G4 einzeichnet und zum Schnitt B mit der na¨chsten Kraft G1 bringt etc. Auf diese Weise gelangt man zum Schnittpunkt E der Wirkungslinien CE und DE von (Ea , G4 , G1 , G2) bzw. (Ep , G3), und damit ist die Wirkungslinie von A festgelegt. Standfestigkeit bedeutet, dass A an der Sohlplatte angreift, d. h. 0 J a J b, siehe Bild 5.4(d). Fu¨r den Grenzfall a = 0 (bzw. a = b) wu¨rde der Sohldruck unendlich gross, was wegen der endlichen Festigkeit des Baugrunds unmo¨glich ist. Bild 5.4(d) stellt einen praktisch mo¨glichen Fall dar, und Bild 5.4(e) zeigt eine statisch a¨quivalente lineare Sohldruckverteilung mit dem Maximalwert 2Az /(3a) bei O. Wie man sieht, ist 3a I b, d. h. im Bereich – 3a i y j – b liegt eine klaffende Sohlfuge mit verschwindender Kontaktkraft vor. II GRUNDLAGEN

5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

(a)

A G0

h G1 + G2 G0 G1 + G2 C B

(d)

(b) F

H A

I G2 D

D2 G0

D1 G1 C B a1 a0

G0 J

G 1 + G2 A

Bild 5.5 Winkel auf horizontaler Unterlage: (a) Aufriss; (b) Grundriss; (c) Kra¨fteplan; (d) Lageplan.

ber die Verteilung der Horizontalkomponente Ay von A in der Sohlfuge kann aufgrund statischer berlegungen allein keine Aussage gemacht werden. Vereinfachend kann man eine zur Verteilung von Az proportionale, im vorliegenden Fall also ebenfalls dreieckfo¨rmige Verteilung annehmen. Beispiel 5.2 Standfla¨che

Der in Bild 5.5(a) und (b) dargestellte rechteckige Winkel auf horizontaler Unterlage wird bei Al durch eine Horizontalkraft Q belastet. In Bild 5.5(b) sind die Beru¨hrungsfla¨che ABCDEF und die Standfla¨che ABCEF zu unterscheiden. Letztere ist die kleinste konvexe Hu¨lle der Ersteren. Die Standfestigkeit des Winkels kann mit einer Momentenbedingung um die Achse CE u¨berpru¨ft werden. Das treibende Moment Qh infolge Q um CE darf das widerstehende Moment G0 a0 + (G1 + G2) a1 infolge der Eigenlastanteile G0(AD1DD2), G1(D1BCD) und G2(DEFD2) nicht u¨berschreiten, andernfalls kippt der Winkel. Bild 5.5(c) und (d) illustrieren die alternative graphische berpru¨fung mit Hilfe von Kra¨fte- und Lageplan. Der Angriffspunkt J der Kontaktkraft A muss fu¨r die Standfestigkeit innerhalb der Standfla¨che liegen. Die Kontaktkraft A wird je ha¨lftig in den Endbereichen der beiden Schenkel des Winkels aufgenommen. Im Grenzfall konzentriert sie sich in den Punkten C und E, wobei dann die lokale Pressung unendlich gross wird.

5.1.5

Lager

Lager entsprechen o¨rtlich verhinderten Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten (Freiheitsgraden) von Tragwerken. Sie ko¨nnen nach den verhinderten (gefesselten) Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten bzw. den passivierten Freiheitsgraden klassifiziert werden, d. h. je nachdem, ob die Verschiebungen u, v, w und die Rotationen fx , fy , fz in x-, y-, z-Richtung mo¨glich oder verhindert sind, siehe Bild 5.6. Die Anzahl passivierter (gefesselter) Freiheitsgrade (bzw. die Anzahl der Komponenten der Lagerdyname) bezeichnet man als Wertigkeit des Lagers.

x y v

ϕx

ϕy ϕz Bild 5.6 Verschiebungen und Rotationen.

5 Statische Beziehungen

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

z Bild 5.7 Lagerbauformen: (a) Betongelenk; (b) Stahl-Linienlager; (c) Stahl-Rollenlager; (d) Gummi-Schichtlager; (e) Neotopf-Gleitlager.

Bild 5.7 zeigt einige Bauformen von Lagern. Wird das in Bild 5.7(a) dargestellte Betongelenk als (in y-Richtung langes) Linienlager ausgebildet, verhindert es die Verschiebungen u, v, w sowie die Rotationen fx und fz ; als (in y-Richtung kurzes) Punktlager sind sowohl fx als auch fz wie fy praktisch unbehindert. Beachtenswert ist, dass das Lager bezu¨glich der Kra¨fte in allen drei Richtungen zweiseitig wirkt, d. h. es ko¨nnen an dem in der Lagerfuge aufgeschnittenen Lagerko¨rper positive und negative Kra¨fte auftreten, insbesondere – wegen der die Lagerfuge kreuzenden Bewehrung – auch in z-Richtung. Das in Bild 5.7(b) dargestellte Stahl-Linienlager wirkt bezu¨glich u zweiseitig und bezu¨glich w einseitig – das Lager wu¨rde bei verschwindender Kraft in z-Richtung abheben; bezu¨glich v wirkt es entweder u¨ber Reibung oder mit seitlichen Anschla¨gen (nach berwindung des Spiels zwischen Anschlag und Lagerko¨rper) bis zu einem gewissen Betrag zweiseitig; die Rotation fy ist praktisch unbehindert, und die Rotationen fx , fz sind verhindert. Bei dem in Bild 5.7(c) dargestellten Stahl-Rollenlager sind u und fy unbehindert, und das Lager wirkt bezu¨glich w einseitig; seitliche Fu¨hrungsleisten verhindern die Verschiebung v sowie die Rotation fz ; die Rotation fx ist wegen der in y-Richtung langen Rolle verhindert. Das in Bild 5.7(d) dargestellte Gummi-Schichtlager wirkt bezu¨glich w einseitig und ermo¨glicht je nach Ausfu¨hrung die Verschiebungen u, v sowie die Rotationen fy , fx . Gleiches gilt fu¨r das in Bild 5.7(e) dargestellte Neotopf-Gleitlager. Die Betrachtung von Bild 5.7 zeigt, dass die Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten von Lagern je nach Ausfu¨hrung stets innerhalb bestimmter Grenzen und nicht absolut vorhanden oder verhindert sind. Ebenso sind die zu den verhinderten Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten geho¨rigen Komponenten der Lagerdyname auf bestimmte Grenzwerte beschra¨nkt. In der Praxis gilt es in jedem Fall, diese Grenzen sorgfa¨ltig zu beachten. In der Baustatik geht man von entsprechenden, in Bild 5.8 fu¨r den ebenen Fall dargestellten Idealisierungen aus. Bild 5.8(a) zeigt ein ein- oder zweiseitig wirkendes Gleitlager (verschiebliches Gelenklager), das lediglich w verhindert und dessen Lagerdyname auf die Kraftkomponente in z-Richtung beschra¨nkt ist. Bei dem in Bild 5.8(b) dargestellten (festen) Gelenklager ist auch u verhindert, und die Lagerdyname wird um die entsprechende Kraftkomponente in x-Richtung erweitert. Bei der in Bild 5.8(c) dargestellten (festen) Einspannung ist schliesslich auch fy verhindert; die Lagerdyname weist auch ein Moment um die y-Achse auf. Die Ausdehnung dieser Betrachtungen auf den allgemeinen ra¨umlichen Fall ist anhand von Bild 5.6 ohne weiteres mo¨glich. Die in Bild 5.8 dargestellten Lagerungsarten ko¨nnen gema¨ss Bild 5.9 statisch a¨quivalent mit Pendelsta¨ben realisiert werden. Dabei handelt es sich um gerade und gewichtslose, beidseitig zentrisch mit reibungsfreien Gelenken angeschlossene Sta¨be. Unter diesen Voraussetzungen ko¨nnen von den Sta¨ben lediglich Kra¨fte u¨bertragen werden, deren Wirkungslinien mit den Stabachsen zusammenfallen. Ein Gleitlager kann also, wie in Bild 5.9(a) gezeigt, statisch a¨quivalent durch eine Pendelstu¨tze ersetzt werden; die wegen Schiefstellung der Pendelstu¨tze infolge einer Verschiebung u auftretende Kraftkomponente in x-Richtung ist unter Annahme infinitesimal kleiner Verschiebungen (Theorie 1. Ordnung, vgl. Kapitel 6.1) im Vergleich zur Kraftkomponente in z-Richtung vernachla¨ssigbar. Die bei einem Gelenklager mo¨gliche LagerII GRUNDLAGEN

(a)

(b)

(c)

x z

Bild 5.8 Lager-Idealisierungen: (a) Gleitlager; (b) Gelenklager; (c) Einspannung.

5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

(a)

(b)

(c)

z Bild 5.9 A¨quivalente Lagerung mit Pendelsta¨ben: (a) Gleitlager; (b) Gelenklager; (c) Einspannung.

kraftkomponente in x-Richtung erfordert einen entsprechenden zweiten Pendelstab, wie in Bild 5.9(b) gezeigt. Schliesslich ist zur Realisierung einer Einspannung ein dritter Pendelstab erforderlich, wie in Bild 5.9(c) dargestellt; dabei mu¨ssen die ersten beiden Pendelsta¨be verschiedene Wirkungslinien haben, und die Achse des dritten darf nicht durch den Schnittpunkt der ersten beiden gehen, sonst wu¨rde das Lager nicht wie eine Einspannung sondern wie ein Gelenklager in diesem Punkt wirken. Fu¨r den allgemeinen ra¨umlichen Fall sind sechs Pendelsta¨be zur unverschieblichen Lagerung erforderlich. Mit der Dyname {R, MO}, den Koordinaten rij eines Punkts der Achse des Pendelstabs i sowie den Richtungskosinus cij der sechs Pendelsta¨be und den Pendelstabkra¨ften Ni gilt gema¨ss (5.5) und (5.6) 9 38 9 8 2 c1x c2x . . . c6x N1 > > Rx > > > > > > > > > > 7> 6 > > > c1y c2y . . . c6y > > > > N2 > > Ry > 7> 6 > > > > > > > 7> 6 7< N3 = < Rz = 6 c1z c2z . . . c6z 7 6 w 6 r c sr c > r2y c2z s r2z c2y . . . r6y c6z s r6z c6y 7 MOx > 1z 1y > > > N4 > > 7> 6 1y 1z > > > > > > > 7> 6 > > > > > > 4 r1z c1x s r1x c1z r2z c2x s r2x c2z . . . r6z c6x s r6x c6z 5> N M > > > > 5> > Oy > > > ; : ; : r1x c1y s r1y c1x r2x c2y s r2y c2x . . . r6x c6y s r6y c6x N6 MOz (5:9) Damit (5.9) fu¨r beliebige Dynamen eine Lo¨sung N besitzt, muss die Matrix linkerhand regula¨r sein, d. h. ihre Determinante darf nicht verschwinden. Wa¨hlt man fu¨r den ebenen Fall (drei Sta¨be in der xz-Ebene) mit Rx , Rz , MOy den Koordinatenursprung O im Schnittpunkt der Sta¨be 1 und 2 (r1 = r2 = 0) und betrachtet man den Punkt der Pendelstabachse 3 auf der z-Achse (r3x = 0, r3z 0 0), so erha¨lt man aus der um die zweite, vierte und sechste Zeile sowie die vierte bis sechste Spalte reduzierten Matrix in (5.9) die Matrix 2 3 c3x c1x c2x 4 c1z c2z (5:10) c3z 5 0 0 r3z c3x und damit die Forderung det w r3z c3x ðc1x c2z s c1z c2x Þ00 (5:11) Ohne Beschra¨nkung der Allgemeinheit kann man die x-Achse in Richtung der Stabachse 1 legen, d. h. c1x = 1, c1z = 0. Somit erha¨lt man die Forderungen c3x 0 0, c2z 0 0, d. h. die Stabachse 3 darf nicht durch O gehen, und die Sta¨be 1 und 2 du¨rfen nicht kollinear sein. Die oben aufgestellten Forderungen werden damit besta¨tigt. Oft wird man Lager nicht wie bisher vorausgesetzt als fest idealisieren ko¨nnen, sondern man hat deren Nachgiebigkeit zu beru¨cksichtigen. Zu diesem Zweck verwendet man gema¨ss Bild 5.10 entsprechende Weg- und Drehfedern und setzt im einfachsten Fall eine lineare Beziehung zwischen den Komponenten der Lagerdyname und den entsprechenden Verschiebungen und Rotationen voraus: (5:12) Ax w skx uA , Az w skz wA , MA w sky fyA Dabei bezeichnen kx , kz und ky die Weg- und Drehfedersteifigkeiten.

5 Statische Beziehungen

(a)

(b) A

(c)

ky Ax x

A ϕ yA uA

Bild 5.10 Nachgiebige Lagerung: (a) Weg- und Drehfedern; (b) Lagerdyname; (c) Lagerkinemate.

5.1.6

Gelenke

Gelenke (oder Anschlu¨sse) entsprechen o¨rtlichen Verschiebungs- und Rotationsmo¨glichkeiten im Innern von Tragwerken. Bild 5.11 zeigt baustatische Idealisierungen von Gelenken fu¨r den ebenen Fall. Man spricht von Normalkraft-, Querkraft- und Biegegelenken, je nachdem, welche Komponente der Gelenkdyname verschwindet. Wie bei den Lagern bezeichnet man mit der Wertigkeit eines Gelenks die Anzahl der Komponenten der Gelenkdyname. Einwertige Gelenke lassen sich aus den in Bild 5.11 dargestellten Grundtypen kombinieren, und die Verallgemeinerung fu¨r ra¨umlich wirkende Gelenke ist ohne weiteres mo¨glich. Biegegelenke ko¨nnen nicht nur als Vollgelenke, wie in Bild 5.12(a) dargestellt, sondern auch als Halbgelenke ausgefu¨hrt werden, siehe Bild 5.12(b). Dabei wird ein zweiter Stab an einen ungeschwa¨cht durchgehenden ersten Stab gelenkig angeschlossen. Bei Druckgliedern wie Bogen und Stu¨tzen ko¨nnen Gelenke a¨hnlich wie Lager ausgebildet werden, z. B. als Betongelenke. Bei Zuggliedern oder reinen Querkraftverbindungen kommen einfache Bolzenverbindungen sowie Schraubverbindungen mit ausreichendem Lochspiel (sogenannte Hochbaugelenke) in Frage. Bild 5.13 zeigt einige aus der grossen Vielfalt mo¨glicher Bauformen herausgegriffene Beispiele von Gelenken. Die in Bild 5.13(a) dargestellte Verbindung zweier Tra¨ger mit ausgeklinkten Enden ist beispielsweise bei vorfabrizierten Betonbauteilen weit verbreitet; je nach Ausbildung des Lagers zwischen den beiden Tra¨gern (Gelenk- oder Gleitlager) wirkt das Gelenk nicht nur als Biege-, sondern auch als Normalkraftgelenk. Der in Bild 5.13(b) dargestellte Querkraftanschluss eines Sekunda¨rtra¨gers an einen Prima¨rtra¨ger im Stahlbau wird u¨ber Laschen und Schrauben bewerkstelligt; dabei wird nur der Steg des Sekunda¨rtra¨gers angeschlossen, nicht aber seine Flansche. Bild 5.13(c) zeigt eine mo¨gliche Ausbildung eines Scheitelgelenks eines Holzbinders.

(a)

(b)

(a) (b)

N=0

V =0

M= 0 Bild 5.11 Idealisierte Gelenke: (a) Normalkraft-, Querkraft- und Biegegelenk; (b) alternative Darstellung mit Pendelsta¨ben bzw. Vollgelenk.

II GRUNDLAGEN

Bild 5.12 Biegegelenke: (a) Vollgelenk, (b) Halbgelenk

5.1 Kra¨ftesysteme und Gleichgewicht

(b)

(a)

(c)

Bild 5.13 Gelenkbauformen: (a) Verbindung ausgeklinkter Tra¨gerenden; (b) Querkraftanschluss eines Sekunda¨rtra¨gers; (c) Scheitelgelenk eines Holzbinders.

hnlich wie bei den Lagern (Bild 5.7) zeigt die Betrachtung von Bild 5.13, dass ideale Gelenkbedingungen in der Praxis nicht realisiert werden ko¨nnen. Die Verschiebungsmo¨glichkeiten sind stets nur innerhalb bestimmter Grenzen mo¨glich bzw. verhindert, und die gewollten Komponenten der Gelenkdyname sind einerseits von gewissen ungewollten Komponenten begleitet und andererseits auf bestimmte Grenzwerte beschra¨nkt. Mit einer geschickten konstruktiven Durchbildung wird man versuchen, die ungewollten Komponenten vernachla¨ssigbar klein zu halten. In jedem Fall gilt es, die konstruktiv bedingten Grenzen der Kraft- und Verformungsgro¨ssen sowie deren Konsequenzen sorgfa¨ltig zu beachten. Gelenke entsprechen wie Lager grundsa¨tzlich stets einer Schwa¨chung der Konstruktion. Sie sind konstruktiv mehr oder minder heikel auszubilden, teuer, unterhaltsbedu¨rftig und hinsichtlich Dauerhaftigkeit problematisch. Die Anordnung von Lagern und Gelenken muss deshalb in jedem Fall klar begru¨ndet sein, und bereits mit dem Tragwerkskonzept sind die notwendigen Vorkehrungen zu treffen, um ein einwandfreies Funktionieren u¨ber die geplante Nutzungsdauer zu ermo¨glichen. 5.1.7

Schnittgro¨ssen

5.1.7.1 Stabtragwerke

Trennt man einen stabfo¨rmigen Tra¨ger gema¨ss Bild 5.14 durch einen achsennormalen, ebenen Schnitt in zwei Teilko¨rper I und II , so sind an der Schnittfla¨che des Ko¨rpers I die Resultierende R und das Gesamtmoment M der inneren Kra¨fte einzufu¨hren, wobei man sich auf den Schwerpunkt O als Bezugspunkt in der Schnittfla¨che bezieht. An der Schnittfla¨che des Ko¨rpers II wirkt nach dem Reaktionsprinzip die Dyname {– R, – M}. Gleichgewicht des Ko¨rpers II erfordert nach (5.8), (5.5) und (5.6) P P sRS Fw0 , sMS rqFw0 II

mithin P Rw F

rqF

(5:13)

d. h. die Dyname {R, M}, die sogenannte Beanspruchung des Tra¨gers, ergibt sich durch Reduktion der Kra¨fte am abgeschnittenen Teil II auf den Bezugspunkt O. Fu¨hrt man ein kartesisches Koordinatensystem mit der x-Achse in Richtung der Stabachse ein, erha¨lt man als Komponenten der Resultierenden R die Normalkraft N in xRichtung sowie die Querkra¨fte Vy und Vz in y- und z-Richtung. Die entsprechenden Komponenten des Gesamtmoments M sind das Torsionsmoment T sowie die Biegemomente My und Mz .

I y

x R = ( N , Vy , Vz ) z M = ( T, M , M ) y z

Bild 5.14 Schnittgro¨ssen.

_M O

5 Statische Beziehungen

Normal- und Querkra¨fte sowie Torsions- und Biegemomente bezeichnet man als Schnittgro¨ssen. Sie sind positiv, wenn sie am positiven Schnittufer (Normale = positive x-Achse) in die positive x-, y- oder z-Richtung weisen bzw. wenn sie am negativen Schnittufer (Normale = negative x-Achse) ) in die negative x-, y- oder z-Richtung weisen. Bild 5.15 fasst am Beispiel eines - Tra¨gers die Schnittgro¨ssen mit den ihnen entsprechenden Verschiebungen u, v, w und Rotationen fx , fy , fz zusammen. Die Schnittgro¨ssen und die zugeho¨rigen Verformungsgro¨ssen sind sogenannte Zustandsgro¨ssen. Ihr Verlauf la¨ngs der Stabachse wird mit sogenannten Zustandslinien beschrieben, siehe Kapitel 11 und 15. Die Stabachse, d. h. die Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnittsfla¨chen, ist im Allgemeinen ra¨umlich oder eben gekru¨mmt, und die Querschnittsgeometrie ist im Allgemeinen entlang der Stabachse vera¨nderlich. Oft sind jedoch Achsenrichtung und Querschnittsgeometrie zumindest stu¨ckweise konstant oder sie lassen sich mit guter Na¨herung derart approximieren. Um die Idealisierung als Stab zu rechtfertigen, wird vorausgesetzt, dass die Querschnittsabmessungen (b und h in Bild 5.15) im Vergleich zu den Abmessungen entlang der Stabachse klein sind.

x (u )

y (v )

z (w)

My ( ϕ y )

T (ϕx )

Vz Mz ( ϕ z )

Bild 5.15 Zustandsgro¨ssen von Stabtragwerken.

5.1.7.2 Fla¨chentragwerke

Bei Fla¨chentragwerken tritt an die Stelle der Stabachse die Mittelfla¨che bzw. die Mittelebene als Bezugsfla¨che. Die zur Bezugsfla¨che normale Tragwerksabmessung h wird an jedem Punkt als klein im Vergleich zu den Abmessungen in der Bezugsfla¨che vorausgesetzt. In Bild 5.16 wird ein lokales, zur Bezugsfla¨che tangentiales bzw. normales kartesisches Achsensystem x, y, z eingefu¨hrt. Als Schnittgro¨ssen (Spannungsresultierende) an den Seitenfla¨chen eines (infinitesimal kleinen) Tragwerkselements mit den La¨ngen 1 in x- und y-Richtung ergeben sich die (auf die Einheitsla¨ngen bezogenen) Membrankra¨fte h=2 Ð

nx w

sx dz

ny w

sh=2

h=2 Ð

sy dz

sh=2

nxy w nyx w

h=2 Ð

txy dz

(5:14)

sh=2

die Querkra¨fte h=2 Ð

vx w

tzx dz

sh=2

vy w

h=2 Ð

tzy dz

(5:15)

sh=2

sowie die Biege- und Drillmomente mx w

h=2 Ð

sx z dz ,

sh=2

my w

h=2 Ð sh=2

sy z dz

, mxy w myx w

h=2 Ð

txy z dz

(5:16)

sh=2

Dabei werden die in Kapitel 5.2 eingefu¨hrten Normal- und Schubspannungen sx , sy , txy = tyx in der Elementebene sowie die Schubspannungen tzx , tzy senkrecht dazu verwendet. Als Einheiten der (auf die Einheitsla¨nge bezogenen) Membranund Querkra¨fte sowie der Biege- und Drillmomente ergeben sich [N/m] bzw. [Nm/ m = N] oder [kN/m] bzw. [kNm/m = kN]. Nebenbei bemerkt man, dass an den Seitenfla¨chen des Elements von Bild 5.16 wegen dessen infinitesimaler Gro¨sse keine Momente um die z-Achse auftreten.

x 1

Scheiben sind lediglich in ihrer Ebene belastete ebene Fla¨chentragwerke, in denen ein ebener, u¨ber h konstanter Spannungszustand vorausgesetzt wird (tzx = tzy = 0). Dementsprechend resultieren lediglich Membrankra¨fte nx , ny , nxy = nyx . Platten sind ebene Fla¨chentragwerke, die senkrecht zu ihrer Ebene belastet und prima¨r oder ausschliesslich durch Biege- und Drillmomente mx , my , mxy = myx sowie Querkra¨fte vx , vy beansprucht sind.

II GRUNDLAGEN

my m xy

nxy vy

nyx

nx vx

Bild 5.16 Spannungsresultierende in Fla¨chentragwerken.

m yx

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