Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ˙Iktisat Bölümü
˙IKT351 – Ekonometri I
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Kullanım Sartları ¸
˙Is¸ bu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından, "Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License" (CC-by-SA-3.0) lisans s¸ artları altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve ˘ geçerli lisansın korunması s¸ artıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir, ˘ stirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansı degi¸ ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne “http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz. Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Ders Planı
1
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları
2
˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
3
˙Istatistiksel Çıkarsama Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Anlamlı Basamaklar Anlamlı Basamaklar Ondalık bir sayının “anlamlı basamakları” (significant digits), o ˘ ˘ sayının kesinlik ve dogrulu guna katkıda bulunan tüm basamaklarını gösterir. Veri ve ölçümleri elde etmek için çe¸sitli süreç ve i¸slemler kullanılabilmektedir. ˘ eldeki ölçüme ait bazı rakamlar, o ölçümü elde etmek Eger ˘ için kullanılan sürecin dogruluk sınırı dı¸sındaysa, bunları kullanmanın anlamı yoktur. Örnek olarak, kol saatimize bakıp “saat 10:18:37:3” demek ˘ anlamlı degildir. Saat 10:18’dir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Anlamlı Basamakları Belirleme Kuralları 1
2
3
4
5
Sıfır olmayan tüm basamaklar anlamlıdır. Örnek: 123456 sayısının anlamlı basamak sayısı altıdır. ˙Iki sıfır-dı¸sı basamak arasındaki tüm sıfırlar anlamlıdır. Örnek: 103,406 sayısının anlamlı basamak sayısı altıdır. Ba¸staki sıfırlar anlamsızdır. Örnek: 000012 ve 0,012 için anlamlı basamak sayısı ikidir. Ondalık ayraç içeren sayılarda sondaki sıfırlar anlamlıdır. Örnek: 1,20300 için anlamlılık düzeyi altı basamaktır. Tam sayılarda sondaki sıfırlar anlamlı veya anlamsız olabilir. Örnek: (10000), (10000), (1230000) ve (100,) sayıları için anlamlılık düzeyi üçtür. Sonuncu örnekte ondalık ayraçının ˘ anlamlılık düzeyini vurgulamak için kullanılmı¸s olduguna dikkat ediniz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Bilimsel Gösterim “Bilimsel gösterim” (scientific notation), ba¸staki ve sondaki anlamlı olmayan sıfırları kullanmayarak anlamlı basamak ˘ önlemeyi hedefler. sayısındaki olası bir karı¸sıklıgı Kısaca bilimsel gösterimde tüm basamaklar anlamlıdır. “Üstel gösterim” (exponential notation) adı da verilen bilimsel gösterimde tüm sayılar a × 10b biçiminde yazılır.
Burada b bir tam sayıdır. a ise 1 ≤ |a| < 10 olan bir “oranlı sayı” (rational number) biçimindedir. Örnek: 0,00123 bilimsel gösterimi 1,23 × 10−3 ’tür. Örnek: 0,0012300 bilimsel gösterimi 1,2300 × 10−3 ’tür. ˘ dört basamaga ˘ kadar anlamlı ise Örnek: 1230000 eger 1,230 × 106 diye gösterilir. ˘ kadar anlamlıysa da 1,23 × 106 olur. Örnek: Üç basamaga Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Yuvarlama Kuralları “Yuvarlama” (rounding) kavramı anlamlı basamak kavramı ile yakından ili¸skilidir. Çe¸sitli hesaplamalarda sıradan yuvarlama yerine “istatistikçi yuvarlaması” (statistician’s rounding) yöntemini kullanmak, sonuçların yukarı “yanlı” (biased) olmasını önlemede gereklidir: 1 Tutulacak son basamak seçilir. Bir sonra gelen basamak ˘ < 5 ise tutulacak basamak degi¸ ˘ smez. eger ˘ yuvarlanırsa 0,123 olur. Örnek: 1,2345 sayısı üç basamaga ˘ yuvarlanırsa 1200000 olur. Örnek: 1230000 iki basamaga 2 Bir sonraki basamak > 5 ise tutulacak basamak bir artırılır. ˘ yuvarlanırsa 0,13 olur. Örnek: 0,126 sayısı iki basamaga 3 Bir sonra gelen basamak = 5 ise; tutulacak basamak tek ˘ stirilmez. sayıysa bir artırılır, çift sayıysa degi¸ ˘ yuvarlanırsa 14000 olur. Örnek: 13500 sayısı iki basamaga ˘ yuvarlanırsa 0,12 olur. Örnek: 0,125 sayısı iki basamaga Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Anlamlı Basamaklar ve Aritmetik Anlamlı basamaklar ile ilgili olarak, veri ve ölçümler arası ˘ aritmetik i¸slemlerinde a¸sagıdaki kurallar uygulanır: 1 ˘ Öncelikle, örnek olarak 0,12 gibi bir degerin gerçekte 0,115 ˘ unutulmamalıdır. ile 0,125 arasında oldugu 2
Toplama ve çıkarma i¸slemlerinde sonuç, girdiler içinde en az ondalık basamak içeren sayı ile aynı ondalık basamak sayısında olacak s¸ ekilde yuvarlanmalıdır. ˘ 0,25 olmalıdır. Örnek: 0,12 + 0,1277 yanıtı 0,2477 degil
3
Çarpma ve bölme i¸slemlerinde sonuç, girdiler içindeki en az anlamlı basamak içeren sayı ile aynı anlamlılık düzeyinde olmalıdır. ˘ 150 olmalıdır. Örnek: 0,12 × 1234 yanıtı 148,08 degil
4
Ancak ara i¸slemlerde izleyici basamakları elde tutmak gereklidir. Böylece yuvarlama hataları azaltılmı¸s olur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Örneklem Uzayı ve Örneklem Noktası
Örneklem Uzayı ve Örneklem Noktası “Rastsal” (random) bir deneyin olabilecek tüm sonuçlarına “örneklem uzayı” (sample space), bu örneklem uzayının her bir üyesine de “örneklem noktası” (sample point) denir. Örnek: ˙Iki madeni para ile yazı-tura atma deneyinin 4 örneklem noktalı bir örneklem uzayı vardır: Y = {YY, YT, TY, TT}
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Rastsal Olay Rastsal Olay Rastsal bir deneye ait örneklem uzayının olası her bir alt kümesine “rastsal olay” (random event) denir. Örnek: Bir yazı ve bir tura gelmesi olayı: {YT, TY} Kar¸sılıklı Dı¸slamalı Olay ˘ bir olayın olu¸smasını önlüyorsa, Bir olayın gerçekle¸smesi diger bu iki olay “kar¸sılıklı dı¸slamalı” (mutually exclusive) olaylardır. Örnek: {YY, YT, TY} ve {TT} kar¸sılıklı dı¸slamalıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ sken Rastsal Degi¸ ˘ sken Rastsal Degi¸ ˘ ˘ skene “rastsal Degeri rastsal bir deney sonucu belirlenen degi¸ ˘ sken” (random variable) denir. degi¸ ˘ skenler genellikle X , Y , Z gibi büyük harflerle Rastsal degi¸ ˘ ve aldıkları degerler de x, y, z gibi küçük harflerle gösterilir. ˘ sken ya “kesikli” (discrete) ya da “sürekli” Rastsal bir degi¸ (continuous) olur. ˘ Kesikli bir rd ancak sonlu sayıda farklı degerler alabilir. Örnek: Zar. ˘ Sürekli bir rd ise belli bir aralıkta her sayısal degeri alabilir. Örnek: Rastsal olarak seçilmi¸s bir ki¸sinin boyu. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Olasılık Konusu
Olasılık A, örneklem uzayındaki bir olay olsun. Rastsal deney durmadan ˘ yinelendiginde, A olayının gerçekle¸sme sıklık oranına A olayına ait “olasılık” (probability) denir ve P(A) ile gösterilir. P(A) aynı zamanda “göreli sıklık” (relative frequency) olarak da adlandırılır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Özellikleri Olasılıgın ˘ P(A) gerçek degerli bir “i¸slev” (function) olup, s¸ u özellikleri ta¸sır: 1 2
Her A için 0 ≤ P(A) ≤ 1’dir. (1 = %100)
A, B, C, . . . örneklem uzayını olu¸sturuyorsa s¸ u geçerlidir: P(A + B + C + . . . ) = 1
3
A, B ve C kar¸sılıklı dı¸slamalı olaylar ise s¸ u geçerlidir: P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)
Örnek: Altı yüzlü bir zarı atma deneyi dü¸sünelim: Bu deneyde örneklem uzayı= {1, 2, 3, 4, 5, 6} biçimindedir ve P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6’dır. Ayrıca, P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 olur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Olasılık Yogunluk ˙Is¸ levi ˘ skenin Olasılık Yogunluk ˘ Kesikli Bir Degi¸ ˘ skeni x1 , x2 , x3 , . . . gibi ayrık degerler ˘ X degi¸ alan bir rd olsun. f (x) = P(X = xi ) =0
i = 1, 2, . . . , n için x 6= xi için
˘ i¸slevi” (discrete i¸slevine X ’e ait “kesikli olasılık yogunluk probability density function) denir. ˘ ˘ Örnek: ˙Iki zar atıldıgında zarların toplam degerini gösteren ˘ sken X 11 farklı deger ˘ alabilir: kesikli rastsal degi¸ x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 , 36 } f (x) = { 36 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Olasılık Yogunluk İKİ ZAR TOPLAMININ KESİKLİ OLASILIK YOĞUNLUK İŞLEVİ 0,18 0,16 0,14
Göreli Sıklık
0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 2
4
6
8
10
12
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Olasılık Yogunluk
˙Is¸ levi ˘ skenin Olasılık Yogunluk ˘ Sürekli Bir Degi¸ X sürekli bir rd olsun. f (x) ≥ 0, R∞ f (x)dx = 1, −∞ Rb a f (x)dx = P(a ≤ x ≤ b)
˘ yukarıdaki ko¸sullar saglanırsa, ˘ Eger f (x)’e X ’in “sürekli olasılık ˘ yogunluk i¸slevi” (continuous probability density function) denir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Olasılık Yogunluk SÜREKLİ BİR DEĞİŞKENE AİT OLASILIK YOĞUNLUK İŞLEVİ N(0, 1) 0,4 0,35
Yoğunluk
0,3 0,25 0,2 0,15
(Toplam alan = 1)
0,1 0,05 0 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Birle¸sik Olasılık Yogunluk
˙Is¸ levi ˘ Birle¸sik Olasılık Yogunluk X ve Y iki kesikli rd olsun. f (x, y) = P(X = x ∧ Y = y), =0
X 6= x ∧ Y 6= y için
˘ i¸slevi” (discrete joint i¸slevi, “kesikli birle¸sik olasılık yogunluk probability density function) adını alır. ˘ ˘ Birle¸sik OY˙I, X ’in x degerini ve Y ’nin de y degerini aynı ˘ anda almasının birle¸sik olasılıgını gösterir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Birle¸sik Olasılık Yogunluk ˘ ˘ skenlerine ait bir A¸sagıdaki çizelgede X ve Y kesikli degi¸ ˙ birle¸sik OYI gösterilmektedir:
Y
0 1
1
X 2
3
0,2 0,1
0,3 0,1
0,1 0,2
˘ ˘ ˘ Buna göre X = 2 degerini aldıgında Y = 0 olma olasılıgı ˘ bir deyi¸sle %30’dur. f (2, 0) = 0,3 ya da diger ˘ Tüm olasılıklar toplamının 1 olduguna dikkat ediniz.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Marjinal Olasılık Yogunluk
˙Is¸ levi ˘ Marjinal Olasılık Yogunluk f (x, y) birle¸sik OY˙I’sine ili¸skin olarak f (x) ve f (y) i¸slevlerine ˘ “marjinal olasılık yogunluk i¸slevi” (marginal probability density function) adı verilir: P f (x) = y f (x, y) X ’in marjinal OY˙I’si P f (y) = x f (x, y) Y ’nin marjinal OY˙I’si
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Is¸ levi ˘ Marjinal Olasılık Yogunluk Önceki örnekteki verileri ele alalım. X ’in marjinal OY˙I’si: f (x = 1) f (x = 2) f (x = 3)
= = =
P f (x = 1, y ) Py f (x = 2, y ) Py y f (x = 3, y )
= = =
0,2 + 0,1 0,3 + 0,1 0,1 + 0,2
= = = +
0,3 0,4 0,3 1,0
˘ Aynı s¸ ekilde Y ’nin marjinal OY˙I’si de a¸sagıdaki gibidir: f (y = 0) f (y = 1)
= =
P Px f (y = 0, x ) x f (y = 1, x )
= =
0,2 + 0,3 + 0,1 0,1 + 0,1 + 0,2
= = +
0,6 0,4 1,0
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Istatistiksel Bagımsızlık ˘
˙Istatistiksel Bagımsızlık ˘ ˘ skenlerinin ancak ve ancak X ve Y rastsal degi¸ f (x, y) = f (x) · f (y) çarpımı olarak yazılabilmeleri durumunda bunlara “istatistiksel ˘ skenler denir. ˘ (statistically independent) degi¸ bagımsız”
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Istatistiksel Bagımsızlık ˘ Örnek: Bir torbada üzerlerinde 1, 2, 3 yazılı üç top vardır. Torbadan iki top (X ve Y ) yerine koyarak çekilirse, X ve ˘ Y ’nin birle¸sik OY˙I’si a¸sagıdaki gibi olur:
Y
1 2 3
1
X 2
3
1 9 1 9 1 9
1 9 1 9 1 9
1 9 1 9 1 9
Burada f (x = 1, y = 1) = 19 ’dur. P f (x = 1) = y f (x = 1, y) = 91 + 19 + 91 = 13 P f (y = 1) = x f (x, y = 1) = 91 + 19 + 91 = 13
˘ Bu örnekte f (x, y) = f (x) · f (y) olduguna göre, bu iki ˘ sken istatistiksel olarak bagımsızdır ˘ degi¸ diyebiliriz.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri
˘ ˘ zaman o dagılıma ˘ Bir olasılık dagılımı, çogu ait “beklem” (moment) diye bilinen birkaç özellik ile özetlenebilir. En yaygın kullanılan iki beklem “ortalama” (mean) (µ) ve “varyans” (variance) (σ 2 ) olarak kar¸sımıza çıkar. ˘ Ortalama aynı zamanda “beklenen deger” (expected value) olarak da adlandırılır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Beklenen Deger ˘ Beklenen Deger ˘ E (X ) Kesikli bir rd olan X ’e ait ortalama ya da beklenen deger s¸ öyle tanımlanır: P E (X ) = x xf (x) Örnek olarak, iki zarın toplamını gösteren kesikli rd X ’in ˘ olasılık dagılımını ele alalım: E (X ) =
P
x
2 3 2 1 1 + 3 36 + 4 36 + · · · + 11 36 + 12 36 =7 x f (x) = 2 36
˘ Demek ki iki zar atıldıgında gözlenecek sayıların beklenen ˘ degeri 7’dir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Beklenen Degerin Özellikleri ˘ kavramına ili¸skin bazı özellikler s¸ unlardır: Beklenen deger 1
˘ Sabit bir sayının beklenen degeri kendisidir. ˘ b = 2 ise E (b) = 2’dir. Örnek: Eger
2
˘ a ve b birer sabitse, E (aX + b) = aE (X ) + b’dir. Eger
3
˘ X ve Y bagımsız ˘ Eger rd ise, E (XY ) = E (X )E (Y )’dir. ˘ X , f (X ) olasılık yogunluk i¸slevli bir rd ve g(X ) de X ’in herhangi bir i¸sleviyse, s¸ u kural geçerlidir: P X kesikli ise, E [g(X )] = R x g(X )f (x) ∞ = −∞ g(X )f (x)dx X sürekli ise.
4
˘ g(X ) = X 2 ise: Buna göre eger P E (X 2 ) = R x x 2 f (X ) ∞ = −∞ x 2 f (X )dx Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
X kesikli ise, X sürekli ise.
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Beklenen Degerin Özellikleri
˘ Örnek: A¸sagıdaki OY˙I’yi ele alalım: x = {-2, 1, 2} f (x) = { 85 , 18 , 28 } ˘ Buna göre X ’in beklenen degeri s¸ udur: P E (X ) = x xf (x) = −2 58 + 1 81 + 2 28 = − 85
˘ Ayrıca X 2 ’nin beklenen degeri ise s¸ udur: P 2 2 E (X ) = x x f (x) = 4 85 + 1 81 + 4 28 = 29 8
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ sirlik) Varyans (Degi¸ ˘ sirlik) Varyans (Degi¸ ˘ ˘ X bir rd ve E (X ) = µ ise, X degerlerinin beklenen degerleri etrafındaki yayılımı “varyans” (variance) ile ölçülür: P X kesikli ise, var(X ) = σX2 = R x (X − µ)2 f (x) ∞ 2 = −∞ (X − µ) f (x)dx X sürekli ise. ˘ kare kökü σX , X ’e ait “ölçünlü sapma” σX2 ’nin artı degerli (standard deviation) olarak adlandırılır. ˘ Varyans ve ölçünlü sapma, her bir rastsal x degerinin X ’in ˘ ortalaması etrafında ne geni¸slikte bir alana yayıldıgının göstergesidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ sirlik) Varyans (Degi¸ ˘ bakımından varyans formülü s¸ öyle de Hesaplama kolaylıgı yazılabilir: P (Xi − E (X ))2 var(X ) = σX2 = (1/n) P 2 Xi − 2Xi E (X ) + E (X )2 = (1/n) P P P 2 = (Xi )/n − 2Xi E (X )/n + E (X )2 /n = E (X 2 ) − 2E (X )E (X ) + E (X )2 = E (X 2 ) − E (X )2 ˘ skenin varyansı Buna göre önceki örnekteki rastsal degi¸ s¸ udur: 5 2 207 29 − − = var(X ) = 8 8 64 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Varyansın Özellikleri
Varyans kavramına ili¸skin bazı özellikler s¸ unlardır: 1
Sabit bir sayının varyansı sıfırdır.
2
˘ a ve b birer sabitse, var(aX + b) = a2 var(X )’dir. Eger
3
4
˘ X ve Y bagımsız ˘ Eger birer rd ise s¸ u yazılabilir: var(X + Y ) = var(X ) + var(Y ) var(X − Y ) = var(X ) + var(Y )
˘ X ve Y bagımsız ˘ Eger birer rd ve a ile b de birer sabit ise, ˘ a¸sagıdaki kural geçerlidir: var(aX + bY ) = a2 var(X ) + b 2 var(Y )
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ sirlik) Kovaryans (E¸sdegi¸ ˘ sirlik) Kovaryans (E¸sdegi¸ X ve Y rd’lerinin ortalamaları sırasıyla µx ve µy olsun. Bu iki ˘ skenin birlikte degi¸ ˘ sirlikleri “kovaryans” (covariance) ile degi¸ ölçülür: P P cov(X , Y )= y x XY f (x, y) −µx µy X , Y kesikliyse; R∞ R∞ = −∞ −∞ XY f (x, y) dxdy−µx µy X , Y sürekliyse. Kovaryans formülü s¸ öyle de gösterilebilir: cov(X , Y ) = E [(X − µx )(Y − µy )] = E (XY ) − µx µy
˘ gibi bir degi¸ ˘ skenin varyansı aynı zamanda Görüldügü kendisiyle olan kovaryansıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Kovaryansın Özellikleri
Kovaryans kavramına ili¸skin birkaç önemli özellik s¸ unlardır: 1 ˘ X ve Y bagımsız ˘ Eger rd’ler ise kovaryansları 0 olur: cov(X , Y ) = E (XY ) −µx µy = µx µy −µx µy = 0 2
˘ a, b, c, d birer sabitse s¸ u kural geçerlidir: Eger
cov(a + bX , c + dY ) = bd cov(X , Y ) 3
˘ Bagımsız olmayan X ve Y rd’lerinin varyanslarını hesaplamak için kovaryans bilgisi de gereklidir: var(aX + bY ) = a2 var(X ) + b 2 var(Y ) + 2abcov(X ,Y )
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Ilinti Katsayısı
˙Ilinti Katsayısı “˙Ilinti katsayısı” (correlation coefficient) iki rd arasındaki ˘ ˘ dogrusal ili¸skinin bir ölçüsüdür ve [−1, 1] degerleri arasında yer alır: cov(X , Y ) cov(X , Y ) ρ= p . = σx σy var(X )var(Y ) Yukarıdaki formülden s¸ u görülebilir: cov(X , Y ) = ρσx σy
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ skenli OY˙I’sinin kendi ortalaması dolayındaki f (x) tek degi¸ “merkezi beklemleri” (central moments) s¸ öyle tanımlanır: Beklem 1. 2. 3. 4. n.
Tanım E(X E(X E(X E(X E(X
− µ) − µ)2 − µ)3 − µ)4 − µ)n
Açıklama – varyans çarpıklık basıklık –
˘ ölçer. “Çarpıklık” (skewness), bakı¸sımdan uzaklıgı ˘ incelemek için kullanılır. “Basıklık” (kurtosis), yayvanlıgı ˘ skenin normal dagılıma ˘ ˘ Rastsal bir degi¸ uyup uymadıgını anlamak için çarpıklık ve basıklık katsayılarına bakılır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Istatistiksel Dagılımlarda ˘ Çarpıklık İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLARDA ÇARPIKLIK N(9, 1) Weibull(16, 16) Ki−kare(4)
0,4 0,35
Yoğunluk
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 Sağa çarpık
Bakışımlı
Sola çarpık
0,05 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˙Istatistiksel Dagılımlarda ˘ Basıklık İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLARDA BASIKLIK 0,5
N(0; 0,75) N(0, 1) N(0; 1,25) Sivri
0,4
Yoğunluk
Normal 0,3 Yayvan
0,2
0,1
0 −6
−4
−2
0
2
4
6
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Normal Dagılım ˘ Normal Dagılım ˘ Ortalaması ve varyansı sırasıyla µ ve σ 2 olan “normal dagılım” ˘ (normal distribution) a¸sagıdaki OY˙I ile gösterilir: 1 (x − µ)2 1 f (x) = √ exp − , −∞ ≤ x ≤ ∞ 2 σ2 σ 2π ˘ Normal dagılan bir rd, X ∼ N(µ, σ 2 ) s¸ eklinde gösterilir.
˘ altında kalan alanın yakla¸sık yüzde 68’i µ ± σ Normal egri ˘ ˘ degerleri, yüzde 95 kadarı µ ± 2σ degerleri ve yüzde 99,7 ˘ kadarı da µ ± 3σ degerleri arasında yer alır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Ölçünlü Normal Dagılım ˘ Ölçünlü Normal Dagılım ˘ “Ölçünlü normal dagılım” (standard normal distribution) için µ = 0, σ 2 = 1’dir ve X ∼ N(0, 1) diye gösterilir. OY˙I’si s¸ udur: Z = x−µ f (x) = √1 exp − 12 Z 2 , σ 2π
˘ ˘ ˘ µ ve σ 2 degerleri verili ve normal dagılan X rd’si, a¸sagıdaki ˘ sken Z ’ye dönü¸stürülür: formül ile ölçünlü normal degi¸ Z = x−µ σ ˘ Örnek: X ∼ N(8, 4) olsun. X ’in [6, 12] arası degerler alma 12−8 ˘ için Z1 = 6−8 olasılıgı = −1 ve Z = = 2’dir. 2 2 2 ˘ Çizelgeden P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0,4772 oldugunu görürüz. Bakı¸sım nedeniyle P(−1 ≤ Z ≤ 0) = 0,3413 bulunur. Demek ki istenilen olasılık 0,3413 + 0,4772 = 0,8185’tir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Ölçünlü Normal Dagılım ÖLÇÜNLÜ NORMAL DAĞILIM N(0, 1) 0,4 0,35
Yoğunluk
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Normal Dagılımın Özellikleri ˘ Normal dagılıma ili¸skin bazı özellikler s¸ unlardır: 1
˘ Normal dagılımın 3. ve 4. merkezi beklemleri s¸ öyledir: 3. merkezi beklem: E (X − µ)3 = 0 4. merkezi beklem: E (X − µ)4 = 3σ 4 ˘ ˘ 3’tür. Ayrıca Buna göre, ölçünlü normal dagılımın basıklıgı ˘ 0 oldugu ˘ için “bakı¸sımlı” (symmetric) olur. çarpıklıgı
2
˘ Normal dagılan bir rd’nin tek sayılı tüm beklemleri sıfırdır. ˘ ˘ Normal rd’lerin dogrusal bile¸simleri de normal dagılır. Örnek: X1 ∼ N(µ1 , σ12 ) ve X2 ∼ N(µ2 , σ22 ) olsun. ˘ Y = aX1 + bX2 ise, Eger Y ∼ N (aµ1 + bµ2 ), (a2 σ12 + b 2 σ22 ) olur.
3
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
Merkezi Limit Kanıtsavı
“Merkezi limit kanıtsavı” (central limit theorem) günümüz olasılık kuramının yapı ta¸slarından biridir. ˘ ˘ X1 , X2 , X3 , . . . , Xn bagımsız ve benzer s¸ ekilde dagılan 2 (ortalama = µ, varyans = σ ) n sayıda rd olsun. MLK’ye göre bu rd’ler, n sonsuza giderken ortalaması µ ve ˘ varyansı da σ 2 /n olan normal dagılıma yakınsarlar. Ba¸slangıçtaki OY˙I ne olursa olsun bu sonuç geçerlidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ χ2 (Ki-Kare) Dagılımı
˘ χ2 (Ki-Kare) Dagılımı ˘ sken olsun. Bu Z1 , Z2 , Z3 , . . . , Zk , k sayıda ölçünlü normal degi¸ durumda: k X Zi2 χ2 = i=1
˘ skeni, k “serbestlik derecesi” (degrees of freedom) ile χ2 degi¸ ˘ s¸ eklinde gösterilen “ki-kare” (chi-square) dagılımına uyar.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ χ2 (Ki-Kare) Dagılımının Özellikleri
˘ Ki-kare dagılımına ili¸skin bazı özellikler s¸ unlardır: 1
2 3
˘ çarpık” (right-skewed) bir dagılımdır ˘ Ki-kare, “saga ancak serbestlik derecesi arttıkça bakı¸sıma yakla¸sır. ˘ k sd’li bir χ2 dagılımının ortalaması k, varyansı ise 2k’dir. ˘ Z1 ve Z2 iki bagımsız ˘ ˘ ˘ skeniyse, Eger dagılan ki-kare degi¸ 2 ˘ skeni olur. Z1 + Z2 toplamı da sd = k1 + k2 olan bir χ degi¸
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ χ2 (Ki-Kare) Dagılımı Kİ−KARE DAĞILIMI 0,5
Ki−kare(2) Ki−kare(5) Ki−kare(10)
Yoğunluk
0,4
0,3
0,2
0,1
0 0
5
10
15
20
25
30
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Student T Dagılımı ˘ Student T Dagılımı ˘ sken ve Z2 de Z1 ’den bagımsız ˘ Z1 bir ölçünlü normal degi¸ bir ˘ skeni olsun. Bu durumda: ki-kare degi¸ t=p
Z1 Z2 /k
˘ skeni, k sd ile “Student t” (Student’s t) dagılımına ˘ degi¸ uyar. Neredeyse tüm çalı¸smalarını “Student” takma adı ile yazmı¸s olan istatistikçi William Sealy Gosset (1876-1937) tarafından bulunmu¸stur. ˘ t dagılımının ortalaması 0, varyansı ise k/(k − 2)’dir. ˘ ˘ t dagılımı da normal dagılım gibi bakı¸sımlı ancak daha ˘ basıktır. Sd’si yükseldikçe normal dagılıma yakınsar. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Student T Dagılımı STUDENT T DAĞILIMI 0,5
t(120) t(5) t(1)
Yoğunluk
0,4
t(120) ~ Normal
0,3
0,2
0,1
0 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Fisher F Dagılımı
˘ Fisher F Dagılımı ˘ ˘ skeni olsun. Bu Z1 ve Z2 , k1 ve k2 sd’li bagımsız iki ki-kare degi¸ durumda: Z1 /k1 F = , Z2 /k2 ˘ ˘ (F distribution) biçiminde dagılır. k1 ve k2 sd’li bir “F dagılımı”
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ F Dagılımının Özellikleri ˘ F dagılımına ili¸skin bazı özellikler ise s¸ unlardır: 1
˘ ˘ ˘ çarpıktır ama k1 Ki-kare dagılımı gibi F dagılımı da saga ˘ ve k2 büyüdükçe F dagılımı da normale yakınsar.
2
˘ k2 > 2 için F dagılımının ortalaması s¸ öyledir: µ=
3
˘ k2 > 4 için F dagılımının varyansı s¸ öyledir: σ2 =
4 5
k2 (k2 −2)
2k22 (k1 +k2 −2) k1 (k1 −2)2 (k2 −4)
˘ F ile t dagılımları arasında s¸ u ili¸ski vardır: tk2 = F1,k ˘ payda sd’si k2 yeterince büyükse F ve ki-kare Eger ˘ dagılımları arasında s¸ u ili¸ski vardır: k1 Fk1 ,k2 ∼ χ2k1 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Olasılık Konusu ˘ Olasılık Dagılımlarının Beklemleri ˘ Bazı Kuramsal Olasılık Dagılımları
˘ Fisher F Dagılımı F DAĞILIMI 1,6
F(50, 50) F(50, 10) F(10, 10)
1,4 1,2
Yoğunluk
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
1
2
3
4
5
6
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Tahmin Sorunu ˙Istatistikte bilinmeyenleri tahmin etmenin genel yolu, ˘ bilinen bir olasılık dagılımından çekilen n boyutundaki rastsal örneklem verilerini kullanmaktır. ˘ sken olsun. X , OY˙I’si f (x; θ) olan bir rastsal degi¸ ˘ Burada θ, dagılıma ait herhangi bir anakütle katsayısıdır. ˘ Rastsal bir örneklem çekilip s¸ öyle bir örneklem degerleri i¸slevi geli¸stirilebilir: θˆ = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ˆ “istatistik” (statistic) veya Bize θ’nın bir tahminini veren θ’ya “tahminci” (estimator) denir ve “teta s¸ apka” (theta hat) diye okunur. “Tahmin” (estimation) denilen bu süreç iki bölüme ayrılır: “Nokta tahmini” (point estimation) “Aralık tahmini” (interval estimation) Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Nokta Tahmini ve Aralık Tahmini ˘ olarak verir. Nokta tahmini, θ’nın tahminini tek bir deger ˆ ˘ θ = 20 ise bu θ’nın nokta tahminidir. Örnek: Eger “En küçük kareler” (least squares) ve “ençok olabilirlik” (maximum likelihood) yöntemleri en yaygın kullanılan iki nokta tahmincisidir. Aralık tahmini ise öncelikle θ için θˆ1 = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ve θˆ2 = f (x1 , x2 , . . . , xn ) gibi iki tahminci tanımlar. ˘ Daha sonra, gerçek θ degerinin belli bir güvenle (olasılıkla) ˆ ˆ ˘ ˘ bulundugu [θ1 , θ2 ] aralıgı tahmin edilir. ˘ s¸ u olabilir: 19 ≤ θ ≤ 21 Örnek: θ’nın %95 güven aralıgı ˘ θ’yı içerdigi ˘ kesin olarak bilinemez. Böyle bir aralıgın ˘ θ’yı içerme olasılıgı ˘ ya 0’dır ya da 1’dir. Belirlenen aralıgın ˘ yorumu s¸ udur: Eger ˘ 100 tane böyle Öyleyse, bu aralıgın aralık hesaplanırsa, bunlardan 95’i gerçek θ’yı içermelidir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Arzulanan ˙Istatistiksel Özellikler
En küçük kareler ve ençok olabilirlik gibi tahmincilerde “arzulanan” (desired) bir takım istatistiksel özellikler vardır. Bunları iki kümede inceleyebiliriz: “küçük örneklem özellikleri” (small sample properties) “kavu¸smazsal özellikler” (asymptotic properties) Küçük örneklem özellikleri, tahmincinin sınırlı sayıda ˘ özelliklerdir. gözlemden olu¸san örneklemlerde ta¸sıdıgı Tahmincinin kavu¸smazsal ya da büyük örneklem özellikleri ˘ sonsuza yakla¸stıkça gözlenir. ise örneklem büyüklügü
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Küçük Örneklem Özellikleri Yansızlık ˘ θˆ gibi bir tahmincinin beklenen degeri ˘ Eger gerçek θ’ya e¸sitse, bu tahminciye θ’nın “yansız” (unbiased) tahmincisi denir: ˆ =θ E (θ)
ya da
ˆ −θ =0 E (θ)
Kısaca yansızlık, aynı büyüklükte farklı farklı örneklemler ˘ çekilip de katsayı tahmini yapıldıgında, bu tahminlerin ˘ ˘ anlamına gelir. ortalamasının gerçek degere yakla¸sacagı Yansızlık bir “tekrarlı örnekleme” (repeated sampling) ˘ özelligidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Küçük Örneklem Özellikleri Enaz Varyanslı Tahminci ˘ tahmincilerin θˆ1 ’in varyansı; θ’ya ili¸skin θˆ2 , θˆ3 , . . . gibi diger varyansından küçük veya ona e¸sit olsun. Bu durumda, θˆ1 ’ya “enaz varyanslı tahminci” (minimum variance estimator) denir. Enaz Varyanslı Yansız Tahminci ˘ θˆ1 ’nın varyansı θˆ1 ve θˆ2 , θ’nın iki yansız tahmincisi olsun. Eger θˆ2 ’nın varyansından küçük veya ona e¸sitse θˆ1 ’ya: “enaz varyanslı yansız” (minimum variance unbiased) ya da “en iyi yansız” (best unbiased) ya da “etkin” (efficient) tahminci denir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
˘ ˘ ve Sapma Dagılımlarda Enaz Varyans Özelligi İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLARDA ENAZ VARYANSLILIK VE YANSIZLIK N(5, 1) N(0, 4) N(0, 9)
0,4 0,35
Enaz varyanslı ancak yanlı
E(X)=0 İÇİN:
Yoğunluk
0,3 0,25 Enaz varyaslı yansız
0,2 0,15 0,1 0,05 0 −15
Yansız ancak enaz varyanslı değil
−10
−5
0
5
10
15
X Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Küçük Örneklem Özellikleri ˘ Dogrusal Tahminci ˘ örneklem gözlemlerinin dogrusal ˘ θˆ tahmincisi eger bir i¸slevi ise, ˘ (linear) tahmincisi denir. Örnek olarak: buna θ’nın “dogrusal” θˆ = (ax1 + bx2 + cx3 + . . . )
{a, b, c, . . . } ∈ R
˘ tahmincisi θ’nın dogrusal bir tahmincisidir. ˘ En iyi Dogrusal Yansız Tahminci ˘ θ’nın farklı dogrusal ˘ θˆ eger tahmincileri arasında yansız ve enaz ˆ “en iyi dogrusal ˘ yansız tahminci” varyanslı tahminciyse, θ’ya (best linear unbiased estimator), kısaca “EDYT” (BLUE) denir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Kavu¸smazsal Özellikler
Kavu¸smazsal Yansızlık n gözlemli bir örneklem için θˆn tahmincisinin “kavu¸smazsal yansız” (asymptotically unbiased) bir tahminci olabilmesi için ˘ θ’nın s¸ u ko¸sulu saglaması gereklidir: lim E (θˆn ) = θ
n→∞
ˆ ˘ bir deyi¸sle, örneklem büyüklügü ˘ artarken eger ˘ θ’nın Diger ˘ beklenen ya da ortalama degeri gerçek θ’ya yakınsıyorsa, ˆ θ tahmincisi kavu¸smazsal yansızdır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Kavu¸smazsal Özellikler Tutarlılık ˘ n artarken θˆ tahmincisi θ’ya yakınsıyorsa, Örneklem büyüklügü ˆ θ’ya “tutarlı” (consistent) tahminci denir. ˆ ˘ bir deyi¸sle, tutarlı tahmincilerde n büyürken θ’nın Diger ˘ beklenen degeri gerçek θ’ya yakla¸sır ve aynı zamanda varyansı da küçülür. Dikkat: Yansızlık ve tutarlılık özellikleri kavramsal olarak çok farklıdır. Tutarlılık yalnızca kavu¸smazsal bir özelliktir. ˘ yeterli ko¸sulu örneklem sonsuza yakla¸sırken Tutarlılıgın ˘ hem de varyansın sıfıra dogru ˘ gitmesidir. hem yanlılıgın
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Kavu¸smazsal Özellikler ˆ ˘ θˆ tahmincisinin kavu¸smazsal dagılımının varyansına, θ’ya ait “kavu¸smazsal varyans” (asymptotic variance) denir. Kavu¸smazsal Etkinlik ˆ ˘ θˆ tutarlıysa ve θ’nın ˘ tüm Eger kavu¸smazsal varyansı diger ˆ tahmincilerin kavu¸smazsal varyanslarından küçükse, θ’ya “kavu¸smazsal etkin” (asymptotically efficient) tahminci denir. Kavu¸smazsal Normallik ˘ θˆ tahmincisinin örneklem dagılımı ˘ Örneklem büyürken eger da ˘ normal dagılıma yakınsıyorsa, bu tahmincinin “kavu¸smazsal ˘ gı ˘ söylenir. normal” (asymptotically normal) dagıldı ˘ merkezi limit kanıtsavının Kavu¸smazsal normallik özelligi, bir sonucudur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Önsav Sınaması ˘ Önsav sınaması konusu a¸sagıdaki gibi özetlenebilir: ˘ sken olsun. X , OY˙I’si f (x; θ) bilinen bir rastsal degi¸ ˘ Burada θ, dagılımın herhangi bir anakütle katsayısıdır. Genellikle gerçek θ bilinemez ancak tahmin edilebilir. ˘ n büyüklügünde bir rastsal örneklem çekilerek θˆ tahmincisi bulunmu¸s olsun. Önsav sınaması yöntemi kullanılarak, anakütle katsayısı ˘ ˘ sınanabilir. θ’nın varsayılan bir θ ∗ degeriyle uyumlulugu ˆ ˘ Bunun için, eldeki θ tahmini ve bu tahminin olasılık dagılımı ile ilgili bilgi veya varsayımlardan yararlanılır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Sıfır Önsavı ve Alma¸sık Önsav
˘ Anakütle katsayısı θ’nın seçili bir θ ∗ degerine e¸sit olup ˘ sınanmak isteniyor olsun. olmadıgı Bu durumda, θ = θ ∗ savına “sıfır önsavı” (null hypothesis) adı verilir ve H0 : θ = θ ∗ ile gösterilir. Bu sıfır önsavı, H1 : θ 6= θ ∗ ile gösterilen “alma¸sık önsav” (alternative hypothesis) savına kar¸sı sınanır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
I. ve II. Tür Hatalar ˘ Sınama sonuçları degerlendirilirken dikkatli olunmalıdır. ˘ ˘ için hatalı bir Sınama sonucu bir olasılık degeri olacagı karara varılması olasıdır. ˘ H0 aslında dogruyken ˘ Eger reddedilirse, buna “I. tür hata” (type I error) denir. ˘ H0 aslında yanlı¸sken reddedilmezse, buna da “II. tür Eger hata” (type II error) denir. Çizelge: I. ve II. Tür Hatalar Gerçek Durum Karar
˘ H0 Dogru
H0 Yanlı¸s
Reddedilir Reddedilmez
I. tür hata Hata yok
Hata yok II. tür hata
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Anlamlılık Düzeyi α
˘ α ile gösterilir ve “anlamlılık Yazında I. tür hata olasılıgı düzeyi” (significance level) adıyla anılır. Önsav sınamasına klasik yakla¸sım I. tür hatanın II. türe ˘ göre daha ciddi oldugudur. Dolayısıyla, uygulamada α 0,01 veya 0,05 gibi dü¸sük bir ˘ azaltılır. düzeyde tutularak I. tür hata yapma olasılıgı ˘ ˘ ˘ (1 − α) degeri I. tür hatayı yapmama olasılıgını gösterdigi için buna “güven katsayısı” (confidence coefficient) denir. ˘ anlamlılık düzeyi α = 0,05 olarak Örnek olarak, eger seçilmi¸sse, güven katsayısı (1 − α) = 0,95 ya da %95 olur.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
˘ Anlamlılık Sınaması ve Güven Aralıgı Önsav sınamasına iki farklı yakla¸sım vardır: ˘ (confidence interval) “güven aralıgı” “anlamlılık sınaması” (test of significance) ˘ yakla¸sımında, anakütle katsayısı θ için Güven aralıgı ˆ dayanan bir %100(1 − α) aralıgı ˘ kurulur tahmin edilen θ’ya ˘ ˘ ve bunun θ = θ ∗ degerini içerip içermedigine bakılır. ˘ bulunan güven aralıgı ˘ θ ∗ ’ı içeriyorsa sıfır önsavı Eger reddedilmez, içermiyorsa reddedilir. Anlamlılık sınaması yakla¸sımında ise θ = θ ∗ varsayımına ˘ hesaplanır ve bu istatistigi ˘ elde ili¸skin bir sınama istatistigi ˘ etme olasılıgına bakılır. ˘ bu olasılık seçilen α degerinden ˘ Eger küçükse sıfır önsavı reddedilir, büyükse reddedilmez. Belli bir uygulamada bu iki yakla¸sım aynı sonucu verir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Önsav Sınaması Özet ˙Istatistiksel bir önsavın sınanmasının adımları kısaca s¸ öyledir: ¯ 1 ˘ alınır. Örnek: X Bir sınama istatistigi 2
3
4
˘ ˘ Sınama istatistiginin olasılık dagılımı belirlenir. 2 ¯ Örnek: X ∼ N(µ, σ ) Sıfır önsavı ve alma¸sık önsav belirtilir. ¯ = 75, ¯ 6= 75 Örnek: H0 : X H1 : X
Anlamlılık düzeyi α seçilir. Örnek: α = 0,05
5
˘ ˘ Sınama istatistiginin olasılık dagılımından bir %100(1 − α) ˘ kurulur ya da sıfır önsavına ili¸skin istatistik güven aralıgı ˘ hesaplanarak bunu elde etmenin olasılıgına bakılır.
6
Elde edilen sonuçlara göre sıfır önsavı reddedilir veya reddedilmez. Karar verilirken her 100 deneyde 100α kez ˘ unutulmaz. yanlı¸s karar verme riski oldugu Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)
Anlamlı Basamaklar ve Yuvarlama Kuralları ˘ Olasılık Konusu ve Olasılık Dagılımları ˙Istatistiksel Çıkarsama
Tahmin Sorunu Önsav Sınaması
Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev
Ödev Kitaptan Appendix A “A Review of Some Statistical Concepts” okunacak. Önümüzdeki Ders Ekonometri Nedir?
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bazı ˙Istatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi (sürüm 1,81)