Módulo matemáticas 11° 4p by Ernesto Neira Zambrano

COLEGIO DE LA SALLE - BOGOTÁ

COLEGIO DE LA SALLE- BOGOTÁ Módulo educativo 2014

Colaboraron en esta edición Rector Hermano. William Fernando Duque Duque.

Dirección y Coordinación de Módulo Asesores Académicos y equipo docente del Departamento de Matemáticas Diseño y Diagramación Equipo Docente del Departamento de Matemáticas Elaboración

Ernesto Neira Zambrano Publicación Página web Colegio de la Salle Bogotá

*Este módulo no podrá ser reproducido de forma parcial o total, por ningún medio impreso o magnético sin permiso escrito del representante legal del Colegio De La Salle de Bogotá.

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Contenido ESTILO DE EDUCACIÓN PERSONALIZANTE ...................................................................................... 6 ENFOQUE DEL ÁREA ....................................................................................................................... 9 EJES DE FORMACIÓN EN EL ÁREA ................................................................................................. 11 COMPETENCIAS BÁSICAS DE APRENDIZAJE .................................................................................. 12 PROPÓSITOS DEL ÁREA ................................................................................................................ 14 PROPÓSITOS PARA EL GRADO UNDÉCIMO ................................................................................... 15 COMPETENCIAS ADQUIRIDAS POR UN ESTUDIANTE DEL GRADO UNDÉCIMO. .......................... 15 . 18 MÉTODO ESTUDIO RECOMENDADO PARA UNDÉCIMO EN EL ÁREA ........................................ 20 PRIMER PERÍODO ......................................................................................................................... 21 De la Malla Curricular................................................................................................................... 22 Matriz de evaluación ................................................................................................................ 23 ..................................... 24 ................................... 27 LECTURAS RECOMENDADAS primer periodo ............................................................................ 29 VIDEO TUTORIAL INECUACIONES. http://youtu.be/o6cD4QCHVD0 .......................................... 29

......................................... 30 .............................................. 30 SEGUNDO PERÍODO .................................................................................................................... 31 De la Malla Curricular.................................................................................................................... 31 Matriz de evaluación ................................................................................................................ 33

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..................................... 34 .................................. 39 LECTURAS RECOMENDADAS SEGUNDO PERIODO .................................................................... 44

......................................... 45 .............................................. 45 De la Malla Curricular................................................................................................................... 47 Matriz de evaluación ................................................................................................................ 49 ..................................... 51 LECTURAS RECOMENDADAS TERCER PERIODO ........................................................................ 55 .......................................... 56 De la Malla Curricular................................................................................................................... 57 Matriz de evaluación ................................................................................................................ 59 ..................................... 60 LECTURAS RECOMENDADAS CUARTO PERIODO ....................................................................... 64

..................................... 65 .......................................... 65 GLOSARIO .................................................................................................................................... 66 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 69

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INTRODUCCIÓN

“La Matemática es una ciencia viva, además de una herencia recibida es una ciencia que hay que construir. La matemática es una ciencia de patrones y relaciones, entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad y Competencia matemática”. El objetivo de este módulo de estudio es la implementación de herramientas y procedimientos para planificar, desarrollar y evaluar el proceso de aprendizaje de la Matemática en grado undécimo y tiene como finalidad hacer un seguimiento permanente de los avances en las competencias de área como son: el razonamiento, la comunicación y el planteamiento y solución de problemas a tiempo de apreciar la forma de modelar situaciones y de aplicar y ejecutar diferentes procedimientos, tanto numéricos como algebraicos La planificación está relacionada con la comprensión de la situación planteada para trazar un plan, buscar estrategias y tomar decisiones, la gestión de recursos incluye la optimización de los procesos de resolución de problemas a través del manejo eficiente de las TIC y la valoración de los resultados involucra; no solamente el aspecto cualitativo sino la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones inciertas con Autonomía, perseverancia y esfuerzo, actitudes asociadas con la confianza en la propia capacidad y la creencia de aprender a aprender o aprender haciendo. El Módulo es un compendio de actividades propuestas para ser abordadas a lo largo del año escolar, estructuradas en cuatro periodos, orientadas a desarrollar las competencias de aprendizaje y competencias propias del área conforme a los lineamientos curriculares exigidos por el MEN y por el PEI institucional . En este módulo se presenta información igualmente importante que orienta el proceso de aprendizaje para lograr el desarrollo integral de los alumnos, como son el estilo pedagógico, las operaciones mentales, el método de estudio del área, las lecturas y bibliografía recomendadas, haciendo uso de las nuevas tecnologías y los avances propuestos en la educación, éste propone una metodología que incorpora un ejercicio de investigación de modo ordenado, repetible y auto corregible, procesos claves como la resolución de problemas presentan una doble finalidad : situar al estudiante en el manejo de los cálculos, operaciones etc., y propiciar actividades creativas, de investigación, en donde la aplicación de un aprendizaje significativo cobra oportunidad y pertinencia y finalmente el componente comunicativo le aporta al módulo la posibilidad de lo esencial del lenguaje matemático la expresión habitual y adecuada de datos y relaciones en la organización y comunicación de resultados respetando el punto de vista de los de los demás , lo que desarrollará la propia comprensión, el espíritu crítico y la mejora de habilidades comunicativa

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ESTILO DE EDUCACIÓN PERSONALIZANTE. PRINCIPIOS

SINGULARIDAD

La persona se reconoce como un ser único, con características propias. Es un ser diferente a los demás, original e irrepetible.

AUTONOMÍA

Libertad y responsabilidad. Dimensión de la persona humana que se permite tomar decisiones sobre su acción en relación con los demás de una manera libre y responsable. Capacidad de autogobierno.

APERTURA

Dimensión mediante la cual, en un proceso de progresiva interacción e integración, toma conciencia de su acción compartida y se reconoce a sí mismo como parte de un todo. Lo anterior supone servicio, disponibilidad y liderazgo.

TRASCENDENCIA

Es la tendencia del hombre hacia un ser superior que está más allá de sus valores, para descubrirse, salir de sí mismo para comprometerse, hasta llegar a la búsqueda del valor absoluto que es Dios.

TÉCNICAS O MOMENTOS REFLEXIÓN

Momento dedicado a la oración y al testimonio.

TRABAJO PERSONAL

Actividad intelectual y experiencial. Momento dedicado a crear, consultar, investigar y aplicar.

TOMA DE

Diálogo educativo entre el alumno y el profesor, en él se comunican experiencias, aciertos y dificultades.

CONTACTO

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PUESTA EN COMÚN

Aportación de lo investigado y de lo trabajado de manera individual al grupo.

CLASE COLECTIVA

Es un momento para aclarar, complementar o corregir posibles errores. En ella se expone en forma clara una síntesis doctrinal, que sirve de base para el trabajo personal o como punto de llegada de una serie de actividades o grupales.

TRABAJO EN

Forma en valores tales como: espíritu de cooperación, fraternidad, servicio, ayuda mutua y liderazgo.

GRUPO EVALUACIÓN

Proceso sistemático de reunión de evidencias que ayudan a determinar los logros alcanzados. Valoración cualitativa del proceso de maduración de la persona.

AUTOEVALUACIÓN

Valoración de sí mismo de acuerdo con una escala de criterios.

NORMALIZACIÓN

Dominio de sí mismo y equilibrio personal.

FUNCIONES COGNITIVAS

MEMORIA

ATENCIÓN

LENGUAJE PLANEACIÓN

DESCRIPCIÓN

Capacidad de recordar una experiencia previa. Corresponde a un proceso de selección de un acontecimiento exterior (sonido, imagen, olor...) o interior (pensamiento) y del mantenimiento de este último en un determinado nivel de conciencia. Función relacionada con la forma de expresar o comunicar los pensamientos Capacidad de organizar información y hechos en un tiempo y espacio

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RAZONAMIENTO

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Función ejecutiva relacionada con la lógica. Capacidad para establecer conjeturas, relaciones y dar explicaciones coherentes según el contexto de una situación. Se relaciona con el uso de estrategias y procedimientos para abordar los problemas Capacidad para plantear diferentes estrategias para dar solución a una situación planteada Capacidad para establecer relaciones visoespaciale combinando ubicación: tiempo, espacio.

UBICACIÓN ESPACIAL

OPERACIONES MENTALES

IDENTIFICACIÓN DIFERENCIACIÓN

REPRESENTACIÓN MENTAL

COMPARACIÓN CLASIFICACIÓN SERIACIÓN PROYECCIÓN VIRTUAL

CODIFICACIÓN DECODIFICACIÓN ANÁLISIS SÍNTESIS TRASFORMACIÓN

RAZONAMIENTO TRANSITIVO

DESCRIPCIÓN Reconocimiento de la realidad por medio de sus rasgos característicos globales Reconocimiento de la realidad por sus características, pero distinguiendo las relevantes y las irrelevantes, en cada momento. Interiorización de las características de un objeto. Representación de los rasgos esenciales que permiten definir un objeto Se estudian las semejanzas y diferencias entre objetos o hechos. Requiere agudeza en la percepción Agrupación de objetos de acuerdo con sus atributos comunes. Habilidad de ordenar elementos de acuerdo a uno o más criterios Capacidad para ver y establecer relaciones entre estímulos externos; relaciones que no existen en la realidad, sino sólo potencialmente. Proyectamos imágenes, les hacemos ocupar un lugar en el espacio Permite establecer símbolos -codificación- o interpretarlos descodificación- de forma clara y precisa, sin ambigüedades Descomposición de la realidad -todo- en sus elementos constitutivos -partesUnión de las partes para formar un todo: el mismo u otro nuevo Modificación de las características de los objetos para producir representaciones de un mayor nivel de complejidad o abstracción Capacidad para ordenar, comparar y describir una relación de forma que lleguemos a una conclusión. Es una propiedad de la lógica. Es deductivo, permite la inferencia de nuevas relaciones a partir de las ya existentes. Surgen la implicaciones (Si P implica Q, Q implica R, entonces P implica R). También surgen equivalencias: (Si p = q y q = r, entonces p = r).

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RAZONAMIENTO ANALÓGICO

RAZONAMIENTO HIPOTÉTICO

RAZONAMIENTO INFERENCIAL

RAZONAMIENTO SILOGÍSTICO

RAZONAMIENTO LÓGICO

Dados tres términos, se determina el cuarto por deducción de la semejanza: Gafa es a ojo como audífono a... No vale como argumento demostrativo, pero si como descubrimiento y muestra de convicción (sol/naturaleza =hijo/padres) Operación por medio de la cual podemos predecir hechos a partir de los ya conocidos y de las leyes que los relacionan. Es la capacidad mental de realizar inferencias y predicción de hechos a partir de los ya conocidos y de las leyes que los relacionan Operación mental que nos permite realizar deducciones a partir de unas informaciones previas. Es la capacidad para realizar deducciones y crear nueva información a partir de los datos percibidos Operación mental que, a través de unas determinadas leyes, nos permite llegar a la verdad lógica, aunque no sea la verdad real. Es la culminación. Todo el desarrollo mental lleva al pensamiento lógico. Este pensamiento lógico formal consiste en la representación de acciones posibles; es el arte del buen pensar; la organización del pensamiento que llega a la verdad lógica, gracias a otras formas de pensamiento (inferencial, hipotético, transitivo, silogístico...)

Tomado del PEI : Programa de Enriquecimiento Instrumental de Reuven Feurstein.

ENFOQUE DEL ÁREA Educación Lasallista personalizante, enfocada al desarrollo de competencias matemáticas específicas, tales como: interpretar, razonar, argumentar, modelar, plantear y resolver problemas rutinarios de su entorno, inferenciales, financieros y comerciales; recolectar datos, hacer representaciones gráficas e icónicas, utilizando lenguaje simbólico, técnico y herramientas tecnológicas. Formando a la persona en: precisión, orden, rigor, rapidez y responsabilidad.

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PERFIL EN EL ÁREA

Al finalizar el proceso de la matemática en grado undécimo, el alumno del Colegio de la Salle:  Será autocrítico en el conocimiento matemático, lo socializa, lo organiza estructuralmente y lo aplica para mejorar su nivel en las relaciones interpersonales. 

Resolverá ejercicios y problemas mediante el manejo operativo, algorítmico y variacional; en diferentes contextos que permitan su propio desarrollo y lo hacen competitivo para afrontar con acierto las dificultades que se presentan en su diario vivir.

 Desarrollará alta capacidad para resolver problemas geométricos, estadísticos y comerciales, que le ayuden a entender el mundo físico y le permitan conservar y mejorar su entorno.  Empleara el análisis y la síntesis para explicar, argumentar, proponer, validar o refutar diferentes situaciones que se le planteen.  Poseerá una visión cristiana y humana que le permite a través del conocimiento matemático trascender en el medio cultural mejorando su calidad de vida y la de los demás.  Reconocerá las aplicaciones de las matemáticas a la ciencia, la tecnología y áreas afines.  Poseerá gran motivación por el estudio y aprendizaje de las matemáticas manifestando clara y abiertamente autonomía por el rigor de esta disciplina.  Establecerá condiciones a situaciones modeladas "a través del lenguaje matemático "teniendo en cuenta las restricciones y el rigor que esta disciplina exige.  Relacionara diferentes áreas del saber humano con los desarrollos de la matemática.  Desarrollará pensamiento lógico para la solución de ejercicios y situaciones problema.  Será responsable, organizado y preciso en su desenvolvimiento con la matemática.

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EJES DE FORMACIÓN EN EL ÁREA PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

Comprensión de los números y de la numeración, incluye el significado del número, la estructura del sistema de numeración, el significado de las operaciones en diversos contextos, comprensión de sus propiedades, de su efecto, las relaciones entre ellas y el uso de los números y las operaciones para la solución de problemas de la vida cotidiana y aplicaciones a otros contextos y situaciones.

PENSAMIENTO ESPACIAL, MÉTRICO Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS Y DE MEDIDA

Está relacionado con la construcción y manipulación de representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones o representaciones. Construcción de conceptos de cada magnitud, procesos de conservación, estimación de magnitudes y de rangos, selección y uso de los sistemas métricos o de medida en diversas situaciones; para formar la capacidad de ubicación espacial, el análisis abstracto de figuras, formas en el plano y en el espacio y la solución de problemas de medición.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS

DE DATOS

ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Hace referencia a la representación, lectura e interpretación de datos en un contexto determinado, el reconocimiento y análisis cuantitativo y cualitativo de: regularidades, tendencias, tipos de crecimiento, correlaciones, formulación de inferencias, descripción y análisis de eventos aleatorios; para el análisis de la información, proyección de datos, lectura crítica de las estadísticas y toma de posiciones y decisiones razonables en situaciones de azar, riesgo o ambigüedad.

Consiste en brindar a los estudiantes herramientas para el reconocimiento de regularidades y patrones, identificación de variables, descripción de fenómenos de cambio y dependencia (conceptos y procedimientos asociados a la variación directa y a la proporcionalidad; a la variación lineal, en contextos aritméticos y geométricos, a la variación inversa, al concepto de función); para formar en la generalización de patrones numéricos, geométricos, de leyes y reglas de tipo natural o social, así como la solución de problemas de razón de cambio y dependencia de variables

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COMPETENCIAS BÁSICAS DE APRENDIZAJE Las competencias matemáticas se enfocan al desarrollo de capacidades y destrezas para aplicar conocimientos y procedimientos matemáticos en distintas situaciones propias del área y de la vida cotidiana. Con las competencias matemáticas, los estudiantes desarrollan capacidades y destrezas para interpretar, analizar, razonar, comunicar ideas, representar, argumentar, modelar, plantear y resolver problemas, utilizar ayudas tecnológicas y aplicar procedimientos; al mismo tiempo brindan herramientas para formar ciudadanos reflexivos, críticos y responsables en la toma de decisiones que reflejen precisión, rigor y orden. A continuación se hace una descripción de las competencias específicas en el área que agrupan las diversas capacidades expuestas y que son objeto de evaluación en pruebas SABER.

COMUNICACIÓN

En esta competencia se valora el uso de los diferentes tipos de representación y la descripción de relaciones a partir de tablas, gráficas o expresiones simbólicas, habilidad para efectuar operaciones, estimaciones a una situación y habilidad para utilizar materiales de trabajo como regla, compás, transportador, calculadora y uso de tecnologías de información, comprendiendo las limitaciones en su aplicación.

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RAZONAMIENTO

Competencia para establecer conjeturas, relaciones y dar explicaciones coherentes según el contexto de una situación. Se relaciona con el uso de estrategias y procedimientos para abordar los problemas, la formulación de conjeturas, exploración de ejemplos, identificación de patrones y generalización de propiedades. También se evalúa la capacidad para seguir y evaluar cadenas de razonamientos, explicar en el lenguaje matemático procedimientos, validar o refutar procedimientos y conclusiones y proponer situaciones problema en un contexto.

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Competencia para planear estrategias a partir de un enunciado o situación problema, analizar y dar diferentes alternativas de solución a las diversas situaciones, identificar las relaciones en una situación, efectuar transformaciones a una situación para crear otras y dar solución pertinente de acuerdo al contexto. En esta competencia se mide la capacidad para traducir la realidad a una estructura matemática y la verificación de resultados con base en situaciones, de tal manera que se generen estrategias para resolver nuevas situaciones

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PROPÓSITOS DEL ÁREA Plantear y resolver problemas generalizados, inferenciales, comerciales, financieros y de emprendimiento, a partir de situaciones cotidianas, de otras ciencias y de la matemática misma, utilizando signos, símbolos, términos, ecuaciones, relaciones y representaciones, para comprender y tomar decisiones relacionadas con su entorno. Fomentar el uso de la argumentación, la prueba, el ejemplo y el contraejemplo a través de modelos matemáticos, para la validación o rechazo de conjeturas, realización de demostraciones y toma de decisiones, que le permitan trascender en la sociedad y en particular en la comunidad en la que se desenvuelvan. Desarrollar habilidades para la comunicación y representación de ideas, secuencias y modelos matemáticos, mediante el uso de diferentes textos como: enunciados, historias, cuadros, gráficas y notaciones simbólicas, que se presentan en la vida cotidiana. Desarrollar habilidades para encontrar diferentes caminos en la solución de operaciones y situaciones ejecutando con precisión procedimientos y algoritmos matemáticos determinando cómo, cuándo y por qué usarlos. Fomentar en los estudiantes el espíritu investigativo a través de situaciones de estadística y de lecturas de historia de la matemática con el fin de generar curiosidad, habilidad para plantear hipótesis y habilidad para hacer preguntas. Fomentar la formación humana y cristiana a través de las matemáticas, propiciando una actitud positiva frente al conocimiento que refleje orden, rigor rapidez, precisión y responsabilidad, valorando la matemática como herramienta, para el desarrollo de la ciencia y la formación del pensamiento. Fomentar el uso de la argumentación, la prueba, el ejemplo y el contraejemplo a través de modelos matemáticos, para la validación o rechazo de conjeturas, realización de demostraciones y toma de decisiones, que le permitan trascender en la sociedad y en particular en la comunidad en la que se desenvuelvan. Desarrollar habilidades para la comunicación y representación de ideas, secuencias y modelos matemáticos, mediante el uso de diferentes textos como: enunciados, historias, cuadros, gráficas y notaciones simbólicas, que se presentan en la vida cotidiana. Desarrollar habilidades para encontrar diferentes caminos en la solución de operaciones y situaciones ejecutando con precisión procedimientos y algoritmos matemáticos determinando cómo, cuándo y por qué usarlos.

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Fomentar en los estudiantes el espíritu investigativo a través de situaciones de estadística y de lecturas de historia de la matemática con el fin de generar curiosidad, habilidad para plantear hipótesis y habilidad para hacer preguntas. Fomentar la formación humana y cristiana a través de las matemáticas, propiciando una actitud positiva frente al conocimiento que refleje orden, rigor rapidez, precisión y responsabilidad, valorando la matemática como herramienta, para el desarrollo de la ciencia y la formación del pensamiento.

PROPÓSITOS PARA EL GRADO UNDÉCIMO 

Reconocer y usar el conocimiento sobre expresiones algebraicas, potencias, números reales, aplicándolo al análisis de funciones de variable real (polinómica, racionales, exponenciales y logarítmicas), para construir conceptos de nociones de límites, de derivadas y de integrales en situaciones matemáticas o de la vida real. Ejercitar al estudiante en actividades que le permitan en forma metódica y progresiva el desarrollo del pensamiento y que le permitan expresar con claridad conceptos, representar situaciones y emitir opiniones sobre diversas situaciones cotidianas.



Resolver y formular problemas en los que se usen las propiedades geométricas de las cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de dichas figuras, en contextos matemáticos y en otras ciencias.



Organizar y representar datos a partir de información dada en una situación problema rutinario, inferencial, transferencial, comercial y financiero.



Construir sus propios argumentos acerca de hechos matemáticos y compartirlos con sus compañeros en un ambiente de respeto y tolerancia.



Demostrar interés, curiosidad y el gusto por la matemática a través de actividades recreativas y de profundización.



Mostrar una actitud positiva frente al conocimiento matemático que refleje orden, rigor, rapidez y responsabilidad.

COMPETENCIAS ADQUIRIDAS POR UN ESTUDIANTE DEL GRADO UNDÉCIMO. Al finalizar el proceso de grado undécimo, el alumno es competente para acceder a estudios superiores porque: Demuestra habilidades y destrezas que le permitan, mediante el razonamiento, el análisis y la reflexión interpretar diversos modelos en términos matemáticos.

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Desarrolla procesos tanto mentales como motrices que reflejen disciplina, método y rigurosidad. pertinencia, y eficacia como resultado del proceso de formación Propone y plantea problemas prácticos y teóricos mediante su formulación matemática: simular y estructurar a partir de datos intuitivos y empíricos, partiendo de las bases matemáticas que ha adquirido durante su formación. Argumenta y justifica el porqué de los modelos matemático a utilizar en la resolución de problemas prácticos y teóricos específicos de las diferentes áreas de actividad en la que se desempeñe en relación al área y demás ciencias, utilizando lenguaje y simbología apropiados para las representaciones que requiera. Aplica y desarrolla procesos basados en la lógica matemática para dar respuestas innovadores en avances de ciencias y tecnología.

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CONTEXTO SOCIO-CULTURAL

CONOCIMIENTO INFORMAL

Viene de

Trae

ALUMNO O A través de

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

AMBIENTES COOPERATIVOS

Desarrolla

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO

PROCESOS DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO

FORMACIÓN HUMANA Y CRISTIANA

Por medio de los ejes

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS

PENSAMIENTO ESPACIAL Y MÉTRICO Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS

Para ser competente en

INTERPRETAR Y VALORAR INFORMACIÓN NECESARIA EN LA TOMA DE DECISIONES

FORMULAR Y RESOLEVER PROBLEMAS COTIDIANOS DE OTRAS ÁREAS Y DE LA MATEMÁTICA

UTILIZAR EL ANÁLISIS Y LA SÍNTESIS PARA EXPLICAR, VALIDAR O REFUTAR

EXPRESAR IDEAS UTILIZANDO LA SIMBOLIZACIÓN Y LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DOMINAR PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS Y CONOCER CÓMO, CÚANDO Y POR QUÉ USARLOS

SER ORDENADO, RESPETUOSO, HONESTO EMPRENDEDOR; CON RIGOR, PRECISIÓN Y EXACTITUD

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Un buen aprendizaje en esta área, te garantiza contar con las herramientas necesarias para enfrentar en la vida situaciones de organización lógicatey presentamos toma de decisiones para Amental, continuación una serie de resolver problemas que encontrarás tanto en la universidad como en la vida cotidiana Ahora comienzas a estudiar.

Recomendaciones que creemos te ayuden para que facilite el aprendizaje de esta área. EN CASA Establecer un horario de estudio en casa ( 20- 40 min ) Organizar un lugar adecuado libre de distractores Revisar apuntes y profundizar en conceptos y procedimientos, teniendo en cuenta:     

  

Retome algunos ejemplos modelo para realizarlos de nuevo Consulte otras fuentes de información en donde encuentre el tema trabajado Realice ejercicios a diario ( mínimo 10 ) Revise la coherencia de los procedimientos y respuestas de sus ejercicios Ante dudas que se presenten , en su tiempo de estudio, escriba las preguntas que va a llevar a la siguiente clase Confronte semanalmente sus avances con lo propuesto en planes de trabajo y matrices de evaluación Revise semanalmente el blog del grado Desarrolle los ejercicios de razonamiento propuestos

Construye tu propio horario.

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EN EL COLEGIO

Despeja tus dudas cuanto antes. Estudia con tiempo, no a última hora.

Estudia antes para que puedas preguntar al profesor.

Estudia en grupo, pero no te olvides de estudiar solo antes.

Elabore mapas conceptuales después de cada periodo TENGA EN CUENTA ADEMÁS

Pasa la meta apuntando a tu vida, no a un examen.

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MÉTODO ESTUDIO RECOMENDADO PARA UNDÉCIMO EN EL ÁREA

ACTITUDES

HÁBITOS-TÉCNICAS

METODOLOGÍA

Aprender a aprender

Repaso activo diario ejercitarse

Leer la teoría ejercicios

Aprender haciendo

Ambiente de estudio propicio. Uno a Uno con la materia.

Mapas conceptuales

Persistencia.

Aplique lo que sabe con otros.

Practique problemas.

Utilice un glosario o Diccionario

Dominar los conceptos claves, lo sabrá cuando cree Ud solo.

Asistir puntualmente a todas las clases, e ir al paso del profesor de lo contrario pregunte.

Sea recursivo y busque por lo menos dos libros que contengan la información a estudiar.

Tomar bien los desarrollar las guías.

Comparta

Aborde los temas junto a sus prerrequisitos

Repaso en grupo

Vaya más allá

Adelantarse a los temas de clase.

Prepara los anticipación

indague

Utilice la web compare con otra información de Internet

Encuentre aplicabilidad a los conceptos.

Tenga presente

La práctica hace al maestro

“Si lo veo puedo tal vez recordarlo, si lo veo y lo escucho, seguramente podrá ser de alguna utilidad, si lo veo, lo escucho y lo hago, jamás podré olvidarlo”.

Sea recursivo

Aproveche todos los recursos puestos a su disposición, guías, Bibliografía, Cibergrafía, Blog.

Ejercítese, haga simulaciones, aproveche todas las oportunidades, no deje nada para el final.

con

resolver

muchos

No se dé por vencido Disposición mental , tranquilidad y confianza apuntes,

exámenes

con

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PRIMER PERÍODO INDICADORES NÚMERICO – VARIACIONAL

Utiliza argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran inecuaciones lineales, cuadráticas y con valor absoluto.

COMPETENCIAS Solución de problemas cotidianos del área y en otras ciencias Razonamiento lógico estableciendo relaciones entre conceptos

Establece relaciones numéricas y algebraicas a partir de progresiones y series aritméticas y geométricas.

Expresar ideas utilizando la simbolización

Resuelve problemas en los que requiera de modelos de progresiones en situaciones financieras.

Dominio de procedimientos matemáticos y algebraicos

Organiza la información que se da en una situación problema que representa relaciones numéricas en la recta real. GEOMÉTRICO - MÉTRICO

Utiliza argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

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Malla

CONCEPTUALES Métodos numéricos y algebraicos. Propiedades de los números reales. Intervalo y valor absoluto.

Curricular Establece relaciones entre los conjuntos numéricos para decidir sobre su uso en diferentes situaciones tanto en matemática como en otras ciencias.

Representación gráfica de intervalos. Inecuaciones con valor absoluto Progresiones y series PROCEDIMENALES Utilización de diferentes tipos de razonamiento y métodos de prueba

Aplicación de los diferentes algoritmos matemáticos en la solución de situaciones problema Relación entre los intervalos finitos y el valor absoluto Relación entre los elementos numéricos de las sucesiones Relación de los elementos de una progresión para formular su expresión matemática. Aplicación de los modelos de progresiones para resolver situaciones financieras de interés simple y compuesto

Emplea argumentos geométricos, algebraicos, trigonométricos, de análisis, de cálculo, estadísticos y numéricos para entender el mundo físico y resolver situaciones problema de su entorno.

Desarrollo de ejercicios de razonamiento sugeridos en el blog y guías. Elaboración del glosario y mapas mentales o conceptuales Planteamiento del problema, justificación y objetivos del ejercicio de investigación. Desarrollo de talleres de preparación para prueba Saber. Interpretación e información estadística real, análisis y conclusiones a partir de la información

Utiliza diferentes formas de representación o sistemas de notación simbólica para expresar, formular, transformar, representar ideas matemáticas y sustentar puntos de vista

Esquematización de conceptos como estrategia de organización del pensamiento

Utiliza la representación como recurso para interpretar una situación problema

Desarrollo de ejercicios de aplicación del contexto real como modelo de refuerzo del tema propuestos en el blog.

Formación en la cooperación y el trabajo en equipo.

ACTITUDINALES Presentación oportuna de, trabajos, guías y actividades de clase. Fortalecimiento de habilidades de respeto y responsabilidad de las diversas actividades 22

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Matriz de evaluación

VARIACIONAL

MÉTRICO

GEOMÉTRICO

NUMÉRICO

EJE

BAJO(1.0 – 6.9)

BÁSICO (7.0 – 7.9)

ALTO (8.0 – 8.9)

SUPERIOR (9.0 – 10.0)

No utiliza argumentos de la teoría de números o sólo recurre a operaciones elementales para justificar relaciones que involucran inecuaciones lineales, cuadráticas y con valor absoluto.

Utiliza argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucra inecuaciones lineales, cuadráticas y con valor absoluto.

Emplea con habilidad y precisión argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran inecuaciones lineales, cuadráticas y con valor absoluto.

Emplea modelos algebraicos en la argumentación de la teoría de números para justificar relaciones que involucran inecuaciones lineales, cuadráticas y con valor absoluto.

Tiene dificultad para establecer relaciones numéricas y algebraicas a partir de progresiones y series aritméticas y geométricas

Organiza la información que se da en una situación problema que representa relaciones numéricas en la recta real

Aplica propiedades numéricas y domina métodos algebraicos en las relaciones que hace a partir de progresiones y series aritméticas y geométricas.

Transfiere relaciones numéricas y algebraicas a diversas situaciones y explica a otros progresiones aritméticas, geométricas y series.

Se le dificulta relacionar la gráfica de semirrectas y segmentos en la recta real con intervalos

Utiliza argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

Elabora gráficas de inecuaciones para dar solución como intervalo

Relaciona un intervalo finito abierto o cerrado con inecuaciones con valor absoluto

Se le dificulta plantear y resolver situaciones problema relacionadas con el área o no aplica las inecuaciones progresiones, sucesiones y series a situaciones financieras.

Resuelve problemas en los que requiera de modelos de progresiones en situaciones financieras

Plantea y resuelve situaciones problema relacionadas con el área y aplica a situaciones financieras, las inec uaciones progresiones, sucesiones y series con habilidad y precisión

Transfiere y explica a otros situaciones problema relacionadas con el área , aplicando con facilidad a situaciones financieras, las inecuaciones progresiones, sucesiones y series

Establece relaciones numéricas y algebraicas a partir de progresiones y series aritméticas y geométricas.

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Introducción En cursos anteriores se estudió sobre métodos para resolver inecuaciones de primer grado, se dieron bases para progresiones aritméticas y geométricas. En este período se busca profundizar sobre inecuaciones hasta llegar a aplicaciones lineales, estudiar sobre el infinito y sus conjuntos numéricos llamados sucesiones, y analizar el uso de las sucesiones

para la solución de diversos problemas

financieros. ¿Qué son? Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemáticas que representan problemas reales , por ejemplo : “ ¡Que carero es el tío del quiosco!, he salido de casa con 300 pelas , me he comprado dos paquetes de chicles y ya sólo me quedan diez duros “ No os costara mucho saber cuánto dinero me queda. Efectivamente cada paquete costó 125Ptas. Habéis resuelto una ecuación de primer grado. La ecuación que representa matemáticamente el problema anterior es: 2x + 50 = 300 ACTIVIDAD INICIAL

Encuentro 3 números reales expresados en fracción entre - 9 y 0,3 5 20 Si

a< b decidir sobre la veracidad o falsedad

 a  b b  a   0

1 1  a b

x 2  2 x  15  0 .

1 x x

3. Consulto cómo graficar las inecuaciones

- 5y <

-3,

y < 3x +5,

4 x  4 y  20 y 4x2- y< 1 2

TRABAJO PERSONAL 1 Investigo y transcribo en el cuaderno las principales propiedades de las desigualdades, para desarrollar inecuaciones de primer y segundo grado Soluciono las siguientes inecuaciones y represento su solución gráficamente:

a. 5x  3  3x  2 . b. x

f. 7 x 2  4 x  0 g. x 2  25  0

c. -5 < 3x-2 < 5.

d. 12  9 x  3  18

xx  1 0  x  5 i. 9 x 2  30 x  25

4. Encuentro el intervalo solución para cada caso

x



4  0. x  1 3x  2  0 . b. 3  x  x  3 5 x 2x  9    c. 3 4 12 15 6 5   2 d. x 1 x  2 a.

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TRABAJO PERSONAL 2

Encontrar el valor de

1. Realizo una ficha resumen en la que aparezcan las propiedades del valor absoluto. 2. Consulto cómo resolver inecuaciones con valor absoluto 3. Hallo el conjunto solución para cada inecuación



, que depende de

 , tal que x  2    4 x  8   5.Elaboro un glosario con los términos vistos en esta guía 6.Realizo un esquema, mapa mental o conceptual con el tema: representación de un número real

2x  5  5 x  8  3x  5

TRANSFERENCIA

2x 1 1 3

Aplicaciones de las inecuaciones

x 3 2

Resuelvo las siguientes situaciones problema:

4. Determino la inecuación con valor absoluto que corresponde a cada uno de los siguientes intervalos a. (4,9)

b. (-3,7)

c. [0,5]

d. [-5,8]

TRABAJO EN PAREJAS 1. Aplica las propiedades del valor absoluto para determinar el conjunto solución de cada inecuación. a.

2. Las instrucciones en una caja de película indican que ésta debe almacenarse a una temperatura entre 5ºC y 30ºC. ¿A qué rango en la escala Fahrenheit corresponden estas temperaturas?

1 x x

expresa por la fórmula:

1 1 1   R R1 R2 Si 10  R1  20 Y 20  R2  30 Encontrar el intervalo de valores para R 2. La fuerza gravitacional F ejercida por la tierra

3.¿Qué valores debe tomar x para que la

1. La resistencia de un circuito en paralelo se

Sobre un cuerpo con una masa de 100Kg Está dada por la ecuación:

expresión

esté definida? ¿por qué?

3. Demuestre que si a<b entonces se cumple:

Donde d es la distancia en Km desde el cuerpo al centro de la tierra, y la fuerza F se mide en Newton ( N). ¿Para qué intervalo de distancia la fuerza gravitacional estará entre 0.0004 y 0.01 N

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PREPARACIÓN ICFES

5. Si los estudiantes quieren una ganancia mínima de un millón de pesos por noche, el número de boletos que deben vender ejercicios y justifique cada una de sus respuestas. es 1.- Las edades de Ana y Julia están en la razón 3:5. ¿Qué A. al menos 200 edad en años tiene cada una, si la suma de sus edades es B. entre 200 y 270 C. suficiente con 150 80? D. suficiente con 250 A. 48 Ana y 32 Julia B. 32 Ana y 48 Julia 6.Resolver los siguientes ejercicios. C. 50 Ana y 35 Julia D. 30 Ana y 50 Julia 2 E. 3 1 4 2    A.    2.- El perímetro de un rectángulo es 128 cm y la razón 4 2 3 3 entre la medida de sus lados es 5:3. Al calcular su 3 2  1 área obtenemos B.     2   4 3 A 1000 centímetros cuadrados  2 3 B. 950 centímetros cuadrados 3 2 3 C. 960 centímetros cuadrados C.   9      5  4 3 4 D. 970 centímetros cuadrados 3.- Dos amigos deben repartirse $ 27.000 en razón 5:4 ¿Cuánto dinero recibe cada uno?. Marque con una X la respuesta correcta de cada uno de los

A. B. C. D.

13.000 y 14.000 16.000 y 11.000 10.000 y 17.000 12.000 y 15.000

DE ACUERDO CON EL SIGUIENTE TEXTO

Un grupo de estudiantes de ciclo 11, está negociando un contrato con una compañía de animaciones de minitka para organizar varias de ellas, durante una semana. La compañía cobra $ 600.000 por noche más 40% de la recaudación de taquilla y los estudiantes planean cobrar $ 12.000 por entrada

7.Dada la proporción

a 3  b 4

y a  b  14 entonces

el valor para a y b es a) b) c) d)

6y8 7 y 14 4y6 8 y 6.

Si en una noche se vendieron 100 boletas, se puede afirmar que los estudiantes obtuvieron una ganancia de $120.000 porque A. corresponde al total del recaudo en la taquilla. B. equivale al 60% del recaudo en taquilla menos los $ 600.000 que les cobran como base

8. Ordenar las siguientes fracciones de mayor a menor, determinar el opuesto aditivo del número mayor y el reciproco del menor.

C. corresponde al total de ingresos menos el 40% D. equivale al 40% del recaudo en taquilla más los $ 600.000 de base

9.- Resolver la siguiente ecuación:

3 2 7 10 13 , , , 4 3 8 9 12

3 2    x3 4  3 

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Introducción Con el desarrollo de la presente guía se pretende que se explore el estudio del infinito, se realice el análisis de progresiones aritméticas y geométricas y aplicar las sucesiones en la solución de problemas de interés simple y compuesto Desarrollo y aplicación TRABAJO PERSONAL 1

4. Elaborar un glosario de términos sobre progresiones aritméticas y geométricas.

1 Escribir los 5 primeros términos de las sucesiones

5. Encontrar el término 1.000 de la progresión

 1 2n  2  n  1 n

1 si n es par  n   1 si n es impar   n2

 

2. Averiguar sobre la sucesión an  1 

1  n

aritmética si el término 11 es 52 y el término 19 es 93 6. Determinar la suma de los primeros 200 números enteros positivos n

3.Encontrar el término general para cada sucesión y luego clasificarla

7. Determinar el término 15 de la progresión Geométrica

{1/3,1/6,1/12,1/24,…}

8. Hallar la progresión geométrica cuyo 2º término es 6 y tiene razón 4. 6

a) 1,3,6,10,15,21… b) 1,4,1,4,1,4,1,… c) 15,13,11,9,7…

1 2 4 d) , ,1, ,... 3 3 3 9 16 25 36 e) , , , ,... 4 8 16 32

9.Determinar el valor de:

2

i1

10 Hallar la suma S n de los primeros n términos de la serie asociada a las sucesiones propuestas a) 6, 11, 16, 21, 26, …. S11 b)

1 7 13 19 , , , ,..., 5 5 5 5

S31

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TRABAJO EN PAREJAS Hallar los tres primeros términos en una progresión geométrica cuya suma es 26 y cuyo producto es 216. El primer término de una progresión geométrica es 375 y el cuarto término es 192. Halle la suma de los 4 primeros términos. Halle un número racional cuyo valor sea 2,333…usando sucesiones TRANSFERENCIA RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Hallar los tres primeros en la progresión aritmética sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12, y el producto del primero y el segundo es 24. En una progresión aritmética, el primer término es 5 y la diferencia es 2.¿cuántos términos de esta progresión hay que sumar para obtener 2.700? Investigar qué relación tienen las progresiones aritméticas con la función lineal y qué relación tienen las progresiones geométricas con la función exponencial. ELABORE UNA PRESENTACIÓN EN COMPUTADOR PARA EXPLICAR LAS RELACIONES PLANTEADAS

Una empresa cuenta con un capital de $50´000.000. Al iniciar el año decide prestarles ese dinero a sus empleados para cubrir las cotas vencidas de sus viviendas. Dicho capital debe ser devuelto a los 18 meses, con una tasa de interés de 30% anual. ¿Cuál es el valor por concepto de intereses al finalizar el primer mes? ¿Cuál es el monto que deben pagar al final de los 18 meses? (M = C(1 + it). Un fondo de empleados presta dinero al 2% mensual de tal manera que los intereses producidos en el primer mes son capital adicional para el segundo mes y así sucesivamente. Para un préstamo de $500.000 construir una tabla que muestre el capital, los intereses y el monto de la deuda cuando han transcurrido 1mes, 2 meses, 3 meses y 4 meses. Averiguar la fórmula que se obtendría para calcular el capital en cualquier mes De la misma manera investigue cuál es la forma de hallar los intereses de manera general para cualquier mes. Con base en lo investigado resuelve: Al cabo de cuántos meses el monto de un préstamo cuyo capital inicial es de $800.000, a una tasa de interés compuesto del 2,55 mensual, será de $ 974.722

Apliquemos a la economía RAZONAMIENTO-Piensa y resuelve: A un señor le ofrecen un trabajo con un salario de 15.000 dólares anuales y le prometen aumentos anuales de 1.200 dólares. Calcular los ingresos totales a los 5 años CONSULTA: Busco información sobre historia de las sucesiones y registro 3 sucesiones curiosas, con base en la consulta, elaboro un escrito , en el cual explico las características y la manera que las formaron. Al final planteo una pregunta problema

1. Sobre una cuadrícula de 4x4, coloca 10 monedas de manera que cada fila, cada columna y cada diagonal principal tenga un número par de monedas 2. Castillo de cartas. Toma dos cartas de un naipe y forma un castillo, luego 7 cartas y forma un castillo de 2 pisos, luego 15 cartas para formar uno de 3 pisos y así sucesivamente ¿Cuántas cartas se necesitarán para hacer un castillo de 10 pisos?. Utiliza los conocimientos de sucesiones y encuentra un expresión general para averiguar el número de cartas para cualquier cantidad de pisos

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LECTURAS RECOMENDADAS primer periodo VIDEO TUTORIAL INECUACIONES. http://youtu.be/o6cD4QCHVD0 Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro. Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3 y -3 < -1 para señalar que -3 es menor que 1. Estos ejemplos se conocen como desigualdades.

Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades.

Observa que: 4 > -1, porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica. -2 < 3, porque -2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica -3 < -1, porque -3 está a la izquierda de -1 en la recta numérica 0 > -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18;

-2(x + 3) < -9.

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades: 1.

Para todo número real a, b y c, si a < b entonces: c.

Para todo número real a, b y c, donde c > 0 y a < b, entonces:

a+c<b+c y a–c<b–

3. Para todo número real a, b y c, donde c < 0, si a < b, entonces:

Véase también 

Ecuación, Desigualdad matemática y Sistema de ecuaciones.

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LECTURA SOBRE SUCESIONES INGRESE AL LINK: http://leer.es/wpcontent/uploads/web_bibliocanada/documentos/ESO3_MA_Algebra_Al_Bibliocanada.p df Realice la lectura y actividades del texto 1 páginas 1 a 9 del documento . las actividades deben quedar consignadas en la carpeta de trabajo extra clase.

Para el grado undécimo se acordó que se hiciera el ejercicio de investigación con base en dos líneas de trabajo, una sobre indagar por lo que sucede con ex alumnos y otra la relación matemática –arte. Para este período se pretende que con un grupo de máximo 4 estudiantes elijan un tema a desarrollar para y definan justificación objetivos , pregunta problema y marco teórico Es necesario indagar sobre las líneas de trabajo planteadas, formas de elegir un tema y revisar aspectos generales de una investigación, para lo cual se recomienda ingresar al blog del grado 11° y revisar en el link de ejercicio de investigación los videos allí presentados

Las actividades extra propuestas para el primer periodo son: Ingrese semanalmente al blog del grado 11°, el cual lo encuentra en www.colsalle.edu.co en el link zona académica/departamentos/matemáticas/ grado 11, y revise los videos y ejercicios resueltos expuestos allí. Elabore las actividades de razonamiento propuestas en las guías y en el blog para el período y anéxelas a la carpeta de trabajo Realizar las actividades de preparación para la prueba SABER Realice las actividades de lectura indicadas por el profesor Por lo menos una vez a la semana ingrese al link www.vitutor.com/calculo y observe los ejercicios resueltos

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SEGUNDO PERÍODO INDICADORES

COMPETENCIAS

NÚMERICO – VARIACIONAL

Razonamiento lógico

Aplica método de mayor exponente y propiedades de límites para hallar límites indeterminados de funciones indeterminadas, algebraicas, trigonométricas y trascendentes.

Capacidad para establecer conjeturas, relaciones y dar explicaciones coherentes según el contexto de una situación, empleando procesos de codificación, decodificación, análisis y síntesis.

Analiza la continuidad de una función, relacionando sus límites laterales. Aplica el concepto de límite y continuidad en la solución de problemas relacionados con el área y otras ciencias. ALEATORIO. Aplica conocimientos de estadística para resolver problemas sobre medidas sobre medidas de centralización y dispersión.

Modelación matemática Aplicación de diferentes modelos funcionales para representar situaciones del área y de otras ciencias. Solución de problemas Desarrollo de la capacidad para plantear diferentes estrategias para dar solución a una situación planteada

De la Malla Curricular CONTENIDOS

SALIDAS

CONCEPTUALES Valor numérico de funciones reales Funciones reales Composición de funciones

Encuentra y emplea modelos funcionales en el conjunto de los números reales para dar solución a situaciones problema en diferentes contextos.

Función inversa Medidas estadísticas, medidas de tendencia central, medidas de posición y medidas de dispersión.

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PROCEDIMENTALES Reconocimiento de la densidad y complitud de los reales a través de métodos aritméticos. Justificación con argumentos aritméticos de una respuesta, procedimiento y estrategia. Modelación y graficación de situaciones del mundo real, analizando las variables que definen el modelo matemático. Determinación de asíntotas verticales y horizontales. Cálculo del límite de una función real

Relaciona las características de los modelos funcionales dentro del conjunto de los números Reales para establecer generalizaciones, dar razón de procesos, sacar conclusiones y formular hipótesis.

Relaciona los elementos de la estadística y la probabilidad para analizar las tendencias de un conjunto de datos, establecer generalizaciones, dar razón de procesos, sacar conclusiones y formular hipótesis.

Análisis de la continuidad Análisis de funciones reales para determinar la clase y las condiciones para la existencia de la inversa. Desarrollo de problemas del Calendario Matemático Desarrollo de talleres de preparación para prueba Saber Desarrollo de ejercicios de razonamiento sugeridos en el blog y guías. Elaboración del glosario y mapas mentales o conceptuales Marco de referencia y cronograma del ejercicio de investigación ACTITUDINAL Análisis de diferentes caminos para encontrar la solución. Determinación de inferencias y conclusiones lógicas a partir de un gráfico. Comprobación de resultados con base en el sentido numérico. Posición crítica ante resultados estadísticos

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Matriz de evaluación

ALEATORIO

NUMÉRICO- VARIACIONAL

EJE

BAJO(1.0 – 6.9)

BÁSICO (7.0 – 7.9)

ALTO (8.0 – 8.9)

SUPERIOR (9.0 – 10.0)

Es errático en la aplicación de propiedades numéricas al calcular límite de funciones o no justifica los resultados con procedimientos completos.

Aplica método de mayor exponente y propiedades de límites para hallar límites indeterminados de funciones indeterminadas, algebraicas, trigonométricas y trascendentes.

Emplea con habilidad y precisión argumentos de las propiedades numéricas para justificar valores de expresiones que resultan al calcular límites de funciones.

Emplea modelos algebraicos en la argumentación de la teoría de números para justificar resultados en el cálculo de límites de funciones.

No relaciona los límites laterales o no grafica la función para analizar la continuidad de una función.

Analiza la continuidad de una función, relacionando sus límites laterales.

Se le dificulta interpretar situaciones problemas relacionadas con límites y continuidad de funciones

Se le dificulta relacionar conocimientos previos de la estadística

Aplica el concepto de límite y continuidad en la solución de problemas relacionados con el área y otras ciencias.

Aplica conocimientos de estadística para resolver problemas sobre medidas sobre medidas de centralización y dispersión.

Recurre a modelos funcionales para analizar continuidad de una función. Argumenta con orden la solución de situaciones relacionadas con límites y continuidad de funciones

Relaciona los elementos de la estadística y la probabilidad para analizar las tendencias de un conjunto de datos

Relaciona con facilidad los límites laterales para determinar la continuidad de funciones.

Realiza facilidad transferencias relacionadas límites continuidad funciones

con las con y de

Establece generalizaciones, da razones de procesos, saca conclusiones y formula hipótesis.

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ACTIVIDAD INICIAL

MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN

Investigar en Internet el origen del término función, destacando el aporte a la matemática de los personajes como Descartes, Leibniz, Bolzano, Dirichlet, y Euler entre otros.

Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra 1. Como expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f ( x). Ejemplo y= 2x-5

INFORMACIÓN GENERAL 2. Como fórmula, por ejemplo en el área del Una relación f entre dos conjuntos A y B es una función si a cada elemento del conjunto de partida A le asigna exactamente un elemento, llamado f(x), del conjunto de llegada B. Al conjunto A se le denomina dominio de la función, al conjunto B se le llama codominio de la función.

círculo A   r , A depende de r, en este caso se puede representar: 2

3. Como relación de variables en diferentes situaciones cotidianas, por ejemplo: 1950

año

Al conjunto de imágenes de f, formado por todos los valores de f(x), conforme varía x en todo el dominio A, se le llama rango, recorrido o conjunto imagen. A un elemento del dominio se le denomina variable independiente y a un elemento de f(x), variable dependiente. Si A y B son conjuntos o subconjuntos reales, se dice que la función f es real NOTACIÓN:

Para indicar que f es función de un conjunto A en un conjunto B se representa:

f:x

f (x)

1970

1980

1990

2000

3020

3700

4450

5300

6100

2520

La población P depende del tiempo t P(t) = n , n miles de millones. 4. Como máquina

Ejemplo

Las funciones generalmente son representadas con las letras minúsculas f, g, h.

f: A

Población millones

1960

las

Función

(entrada)

funciones

programadas

calculadora como

f(x) (salida)

, sen(x), log, etc.

5.En diagrama sagital o de flechas A

. f(x)

f. (a)

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2.Consultar en los textos del bibliobanco:

6. Como gráfica en el plano cartesiano. y

a. ¿Cómo se pueden clasificar las funciones reales? (x,f(x))

b. ¿Cuáles son los criterios para determinar cuándo una función es par, impar o simétrica?

Y = f(x)

c. ¿Qué significa que una función sea creciente o decreciente?. x

dominio

d. ¿A qué se denomina función compuesta?

Gráficamente en el plano se puede determinar si hay función trazando una paralela al eje y, si el gráfico es cortado en un sólo punto, el gráfico corresponde a una función.

e. ¿Qué procedimiento se realiza para graficar una función polinómica como

Para realizar la gráfica de una función real se asignan valores del dominio y se buscan las imágenes reemplazando en la expresión algebraica que define la función. Esto es valorar la función para elementos del dominio. Una vez valorada la función se ubican las parejas en el plano y se traza la gráfica.

Revisa en el blog videos sobre funciones

TRABAJO PERSONAL 1

f1 (x) = 5x -3

f 3 ( x)  2 x  3

c. f 4 ( x) 

g. i.

f 7 ( x)  x 3

f9 ( x)  sen2 x

f 6 ( x)  h.

Evaluar una función significa reemplazar x por el dato pedido. 1. Evaluar las siguientes funciones para cada caso

f ( x)  x 2  2 x  2, hallar f(-2), f(1/2) y

f(x+ x )

f 2 (x) = x2  x  2

f 5 ( x)  x  1

TRABAJO EN GRUPO 1

a. Dada

1. Graficar las siguientes funciones:

f ( x)  x( x  1)( x  1)?

1 2 x 4 3x  2 x3

f8 ( x)  3x1

si x  1 2 f10 ( x)    x  3 si x  1

f ( x)  x  3 , hallar: f(-1), f(1/4) y f(

b. Dada x+ x )

c. Dada f ( x)  3x  1 , hallar

d. Dada

f ( x)  x

f(g(-4))

f ( x)  f (1) x 1

y g ( x)  x 2  1 , hallar

y f(g(x))

2. Recordemos que las funciones surgen cuando hay relación de dependencia entre variables. Al representar los valores en una gráfica es posible hacer estimaciones o predicciones de otros valores.

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a) Los datos que se muestran en la tabla provienen de un experimento sobre la lactonización del ácido hidroxivalérico a 25 ºC. Dan la concentración C(t) de este ácido (en moles por litro) después de t minutos. Use los datos para trazar la gráfica de la función concentración y con base en ella estime la concentración después de 56 minutos. t

C(t)

0.0800

0.0570

0.0408

0.0295

0.0210

Si y  ax n  bx n  1  cx n  2  ...  k , Dom ( f )  R Si

y 

f ( x) , g ( x)

Dom : R  {x / g ( x )  o}

f ( x ) , Dom :  x  A / f ( x )  0}

Si y  Na

f ( x)

Si y  log x,

,N R

El rango o imagen de una función es el conjunto de elementos del codominio que son imágenes de elementos del dominio. Rango: son los y B/

b) Un recipiente rectangular para almacenamiento, con 3

su tapa superior abierta, tiene un volumen de 10 m . La longitud de la base es el doble de su ancho. El material para la base cuesta 10 dólares por metro cuadrado y el material para los lados es de 6 dólares por metro cuadrado. Exprese el costo del material como función del ancho de la base. 3. Del texto Matemáticas 11 de Larson realizar los siguientes ejercicios: a) página 32, ejercicios : 15, 16,17, 29 y 31 b) página 33, ejercicios: 39, 43, 46 y 48 a c) página 34, ejercicios 51 al 56, 63,64, 66 y 68 4. Del texto Cálculo de una variable realizar los ejercicios 18, 19, 20, 22, 23,24,25,y 26 de la página 22 INFORMACIÓN IMPORTANTE Dominio de una función: conjunto de elementos del conjunto de partida que tienen imagen en el conjunto de llegada. Cumplen que f(x) = y , y es elemento del codominio. Para hallar el dominio de una función se despeja la variable y, se analizan las condiciones de la variable x y se da el conjunto solución así:

Dom : Dom( f )

Dom :  x  A / x  0}

x  A, f ( x)  y

Para hallar el rango, se despeja la variable x y se analizan las condiciones de la variable y para evitar indeterminaciones. Función inyectiva: cuando a elementos diferentes del dominio le corresponden imágenes diferentes en el codominio Si

Si x1  x2 entonces f ( x1 )  f ( x2 )

Función sobreyectiva: Cuando el codominio es igual al rango de la función Función biyectiva: sobreyectiva

cuando

inyectiva

Algebra de funciones: consiste en encontrar la suma, resta producto o cociente entre dos funciones dadas Así que si f y g son dos funciones con dom(f)=M y dom(g)=N, se presentan las siguientes alternativas: Dom(f  g)= M  N Dom(fxg) = M  N Dom(f/g) = M  N – { x/g(x)=0 } Recuerde que para el caso de funciones compuestas rango de f = dominio de g y si

g  f(x)=g(f(x))

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4. Determinar cuáles de las siguientes funciones

FUNCIÓN INVERSA Si f es una función biyectiva con dominio A y rango M, se define su función inversa y

rango

1

con dominio M

así:

f 1 ( y)  x  f ( x)  y y  M Para hallar la función inversa de una función se procede así:   

Se escribe y=f(x) Se comprueba que la función dada sea biyectiva Se despeja x de la ecuación y = f(x) en términos de y se obtiene la expresión x =



Se intercambian x por y ( el símbolo para la variable es arbitrario) Se comprueban las condiciones:

x  3x  1

x  x2  1

5. Demostrar

f ( x)  x 3  1

que la función

biyectiva. Elaborar la gráfica. 6. Lea el numeral 1.3 y los ejemplos 6 y 7 (página 42) del texto Cálculo en una variable para realizar los ejercicios de la sección 1.3 los numerales 31 al 36 de la página 44.

1. Determinar si la siguiente tabla corresponde a

f 1 ( f ( x))  x x  A

una función inyectiva

f ( f 1 ( x))  x x  M

f(x)

1.5

2.1

3.6

5.3

2.8

2.1

Se realiza la gráfica de f simétricas a la recta y = x

y f 1 y deben ser

2. Analizar si la función f(x)= x  3x  4 definida de reales en reales es sobreyectiva y explicar la respuesta. 2

TRABAJO PERSONAL 2 1. Hallar el dominio y el rango para cada una de las funciones: ( recuerde trazar la gráfica)

a) f ( x)  x 2  5 3x  2 2x  5 e) g 2 ( x)  3x 1 c ) h( x ) 

b) g : R   1,  

a) f : R  R 

TRABAJO COOPERATIVO

f 1 (y) 

son sobreyectivas.

b) g ( x )  5  2 x d) e)

5 x2  9 h2 ( x)  log( x  2) f 2 ( x) 

2. Realizar los ejercicios 32 al 40 de la página 22 del Cálculo de Stewart 3. Determinar si la función f(x)= y trazar su gráfica.

x 2  x es inyectiva

3. Del texto Matemáticas 11 de Larson realizar los ejercicios pares del 20 al 28 de la página 32 4. Trazar la gráfica de las siguientes funciones:

x2 x  x6 f 2 ( x)  4 x  2 f1 ( x) 

4 x  9 si x  2  f3 ( x)  2 si  2  x  1  x2 si x  1 

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5. Hallar la inversa de la función

f ( x)  x  3 ,siguiendo el procedimiento dado en 2

esta guía. 6. Realizar los ejercicios 21 al 26 de la página 71 del texto de Cálculo en una variable TRANSFERENCIA En economía se define costo total F(c) como la suma de costos fijos más costos variables totales. Si el costo total excede al de los ingresos F(i) por ventas, entonces hay pérdida y si los ingresos sobrepasan a los costos, existe utilidad. Si el costo es igual a los ingresos, se dice que se encuentra en el punto de equilibrio. El ingreso por vender x unidades a p dólares es I = precio por unidad x número de unidades. La utilidad U es la diferencia entre el ingreso y el costo 1. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de U$ 15 y los costos fijos son de U$ 2000 al día. Si vende cada reloj a U$20, ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día para garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio? 2.El señor T es dueño de un edificio de apartamentos con 60 habitaciones. Él puede alquilarlas todas si fija un alquiler de U$ 200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedan vacías. En promedio por cada U$5 de incremento, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determinar la función que relacione el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías.

¿Qué alquiler mensual maximizará el ingreso mensual? ¿ Cuál es ese ingreso? 3. Realizar los ejercicios: 18,19,21,22 y 27 de la página 74 del texto Cálculo en una variable editorial Cengage Learning que se encuentra en el bibliobanco. 4. Elaborar un mapa mental o conceptual sobre el tema de funciones. 5. Elaborar con sus propias palabras un glosario de términos empleados en esta guía. RAZONAMIENTO La esfera hueca y la investigadora Dorotea Dorotea tiene una esfera que pesa 40 Kg. La coloca dentro de un cilindro lleno de agua en el que encaja perfectamente. El cilindro y su contenido pesan ahora 20 Kg más . ¿ Cuál es el volumen del cilindro? y ¿cuál es la densidad de la esfera? Lógica Para una merienda con dos mesas se tienen las siguientes cantidades de refresco: 4 botellas de 1 litro, 5 botellas de ¾ de litro, 6 botellas de ½ litro y cinco botellas de ¼ de litro. ¿ cómo repartir el refresco en las dos mesas para que a cada una le corresponda la misma cantidad? Revisar en el blog los ejercicios de razonamiento allí publicados Esta parte se entregará una semana antes de la evaluación final.

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INTRODUCCIÓN En el primer período vimos como el límite surgió a partir de la necesidad del hombre para dar repuestas a la suma de una serie infinita. Ahora ampliaremos a problemas del área y de la tangente a una curva . Esta idea de límite separa al cálculo de otras áreas de la matemática Desde el siglo V A.C. Eudoxo utilizó el método de inscripción de polígonos en un círculo para probar la fórmula

A   r 2 a este método se le conoce como exhución. La idea intuitiva del límite, hace referencia a un valor al cual nunca se llega, por ello existen la paradojas como la de Zenón de Elea, según las cuales se muestra la imposibilidad de recorrer por completo una distancia. A Newton se le atribuye la representación de funciones como series infinitas. Fue el primero en hablar explícitamente de cantidades que se acercan más a cualquier diferencia dada. Después de la invención del Cálculo en el siglo XVII, hubo un período de libre aplicación, en el cual se destaca Euler, pero fue en el siglo XIX que se retoma el rigor de la demostración movimiento encabezada por Louis Cauchy, quien definió limite en función de desigualdades delta / épsilon. El matemático Weierstrass, enunció la definición como se da hoy en día

ACTIVIDAD INICIAL- TRABAJO PERSONAL 1. Investiguemos el comportamiento de la

f ( x)  x 2  x  2

función:

para

valores

cercanos a 2.Completar la siguiente tabla y elaborar la gráfica de la función x 1.0 1.5 1.8 1.95 1.99 1.999 2.001 2.01 2.5 3.0

Con base en los resultados y en la gráfica, describir el comportamiento de f(x) cuando x se acerca a 2

2. De manera similar a la anterior analizar el comportamiento de la función para hacer una conjetura sobre su límite cuando x tiende a 1

F(x) 2.000000 2.750000 3.440000

 x 1  g ( x)   x 2  1 2

si x  1 si x  1

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3.Elaborar la gráfica de la función, analizar el comportamiento para valores cercanos a 0 por izquierda y por derecha, registrando los resultados en una tabla de valores

estimar el límite.

-,.01

-0,001

0,0001

0,01

,se prueba que existe

  0 para el  .

0,1

a ) lim  x 2  3  1 x 2

-0,1

-,.01

-0,001

0,0001

0,01

0,1

F(x)

x  b) lim  4    2 x4 2  c) lim x  4  1 x 5

d ) lim 5  5 x4

1 c) lim x 3 x  3 x F(x)

, así escogemos

en cada caso para probar el límite si

cos x  1 lim x 0 x



 =0.01

x3  3 a) lim x 0 x -0,1





5.Utilizando la definición de límite encontrar  >0

4. Completar la tabla y usar el resultado para

x F(x)

De donde x  2 

2,9

2,99

2,999

3,1

3,01

3,001

6. Consultar en Internet ¿cuáles son las propiedades de los límites de funciones y regístrelas en su cuaderno.

PARA RECORDAR

Lim f ( x)  L significa que para cada   o x c

existe un   0 tal que

DATOS IMPORTANTES

f ( x)  L   siempre que 0  x  c   OBSERVE EL SIGUIENTE EJEMPLO Usando la definición de límite, probar que

lim  3x  2   4 x 2

 3x  2   4  

siempre que 0  x  2  

Como  depende de  , se establecen relaciones entre los valores absolutos. Simplificando el primero se obtiene:  3x  2   4  3x  6  3 x  2

 ,

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Existen indeterminaciones de tipo

 ; que se elimina dividiendo cada término por la mayor  potencia de la variable.

   , que en el caso de funciones se puede eliminar reduciendo la función dada a una sola expresión

 x3  8    Lím x 2  x  2 

 Tan x 

 0 o , 0.  , cuando aparecen, se transforman a  0 efectuando operaciones en la expresión

1 , se puede obtener el límite de manera directa aplicando la siguiente transformación:

10)

x 0

2 11) lim x  3x  1  x

x 3

12)

 Sen  2 x    4x 

Lím  x 0

 Sen  2 x  

Lím  Sen  3x     x 0

13) lim  1  3x 2  x  1   x  x 3  



15) lim  2 x  1    x  2 x  4  

 3 1  cos x     4x  

Lím  x 0

Lím  sen x  x 

0 , se elimina factorizando o racionalizando 0



3x  4    3x  2 

14) lim  x 

2 x 1

2 x2

Realizar los ejercicios pares del 11 al 30 de la página 106 del texto Cálculo en una variable de editorial Cengage Learning

lim g ( x ) f ( x ) 1Realice  los ejercicios sobre límites sugeridos en el blog

lim  f ( x) g ( x )   e x c x c

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN TRABAJO COOPERATIVO

EN UN PUNTO: Una función f es continua en un punto c si se cumple:

Aplicando propiedades de los límites y técnicas para eliminar indeterminaciones, calcular los siguientes límites:

f (c) está definido

lim f ( x) existe

lim f ( x)  f (c)

x 

 x 2     x 1 

Lím 

 x 2  3x  4    Lím x 1  x 1   x2  1 1    x2  

Lím  x 0

Lím  x 

 x 4  2 x3  3x 2   x2  9 

Lím  x 3

 x 3   3x  5  2

 3 x  3   x  

Lím  x 0

x c

Lo anterior significa que existen dos límites laterales con relación al punto c. TEOREMA

lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x) x a

x a

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EN UN INTERVALO: La función f es continua en un intervalo (a , b) si lo es en todos los puntos del intervalo.

porque la discontinuidad podría eliminarse al redefinir f en 2. La discontinuidad de la primera gráfica recibe el nombre de discontinuidad infinita.

Se dice que f es discontinua en c si estando definida en un intervalo que contiene a c, f no es continua en c La discontinuidad es evitable si f puede hacerse continua redefiniendo en x=c o definirla si no lo está Definición. La recta x=a se llama asíntota vertical de la curva y= f (x) si por lo menos una de las siguientes

1  si x  0 a) f ( x)   x 2 1 si x  0

afirmaciones es verdadera:

lim f ( x)   x a

lim f ( x)  

x a

lim f ( x)  

x a

a) lim f ( x)   x a

lim f ( x)  

 x2  x  2 si x  2  b) f ( x )   x  2 1 si x  0 

TRABAJO PERSONAL

x a

lim f ( x)   x a

Analizar la continuidad de las siguientes funciones. En caso de que sean discontinuas, indicar si es evitable.

lim f ( x)  

x a

1. f ( x) 

x2  9 en el punto x = 3 2( x  3)

 x 2  2 x  2 si x  1 f ( x)   si x  1 2

 x 2  1 si x  0 f ( x)   si x  0 2 x

f ( x) 

b) lim f ( x)   x a

En la figura se muestran las gráficas de las funciones en las cuales no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agujero, una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en la gráfica 2 se conoce como evitable

x2 1 en x  1 x 1

5. Realizar los ejercicios propuestos en el blog

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TRABAJO EN PAREJAS

Divida el problema en casos ( ejemplo valor absoluto)

Comprobar la continuidad de las siguientes funciones y elaborar el gráfico para cada caso en el intervalo indicado.

Resuelva hacia atrás ( parta de la solución y llegue a los datos).

1. f ( x)  1  x

3. Llevar a cabo el plan Escribir las relaciones encontradas y realizar las operaciones correspondientes.

2. f ( x) 

1 1  x2

en el intervalo [-1,1] en el intervalo (-1,1)

3. Del texto Matemáticas 11 de Larson, desarrollar los ejercicios:

Use razonamiento indirecto negando la conclusión con contraejemplos

Mirar hacia atrás

Dar la respuesta con base en la pregunta y verificar el resultado Al revisar es posible se piense en otra solución

21,24,25,28,29,34,38, 65 y 66 de las páginas 62 y 63

MODELOS MATEMÁTICOS

4. En el texto de Larson página 69, desarrollar

a) La relación entre las escalas Fahrenheit y Celsius de temperatura está dada por la función

los ejercicios: 6, 7, 11,12, 19, 23, 27, 29, 33 y 34

F 

5. Ampliar el tema de asíntotas horizontales, consultando ejemplos 2 y 3 del libro Cálculo en una variable de ed Cengage learning 6. Revise en el blog TRANSFERENCIA

9 C  32 . 5

 Trazar la gráfica de la función. ¿Qué clase de función es?  ¿Cuál es la pendiente y qué representa?  ¿Cuánto vale el segmento desde el origen hasta el corte de la gráfica con el eje F y qué representa?

A TENER EN CUENTA Cuando se resuelven problemas es importante considerar los siguientes pasos: 1. Entender Leer y copiar el enunciado, analizando los datos y condiciones que dan y la pregunta que hacen. 2. Pensar en un plan Encontrar una relación entre la información dada y lo que se desconoce para establecer ecuaciones o inecuaciones. Si no ve la relación de manera rápida, intente una de estas ideas: Use analogías ( relacione con algo conocido semejante a lo dado). Reconozca patrones de tipo numérico, geométrico o algebraico; de ser necesario se realiza una gráfica de la situación.

b) Deben construirse cajas con la parte superior abierta a partir de trozos rectangulares de cartón cuyas dimensiones son 12 pulg. por 20pulg, recortando cuadrados en sus esquinas y doblando los lados. Elaborar un dibujo de la situación. Expresar el volumen de la caja ( V) como función del lado desconocido de los cuadrados de las esquinas.

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RAZONAMIENTO a) Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medicamento, cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f (t) del medicamento en la corriente sanguínea, después de t horas. Encuentre y explique el significado de estos límites laterales

b) En un estacionamiento se cobran 3 dólares por la primera hora (o fracción) y 2 dólares por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta un máximo diario de 10 dólares.  Graficar el costo de estacionar un automóvil como función del tiempo que permanezca allí.  Discutir las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que estacione su automóvil.

c) Explicar por qué cada función es continua o discontinua:  La temperatura en un lugar específico como función del tiempo.  La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York.  El costo de un viaje en taxi como función de la distancia recorrida. La corriente en el circuito para las luces de un cuarto como función del tiempo.

LECTURAS RECOMENDADAS SEGUNDO PERIODO Ingrese al link: http://www.educ.ar/dinamico/UnidadHtml__get__81dfd9c0-7a08-11e1-810fed15e3c494af/matematica-funciones.pdf lea los ejemplos 13 y 14 que se encuentran en las páginas 39 a 42 , realice las actividades propuestas 27 y 28 y anéxelas a la carpeta.

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Para este período se pretende que con el grupo de trabajo definido en el primer periodo, revisen y ajusten el marco teórico de su ejercicio. Y elaboren el cronograma de actividades para la toma de datos o adquisición de la información requerida. Es necesario indagar sobre las líneas de trabajo planteadas, para lo cual se recomienda ingresar al blog del grado 11° y revisar en el link de ejercicio de investigación . Este trabajo deberá anexarse a la carpeta

Las actividades extra propuestas para el periodo son: Ingrese semanalmente al blog del grado 11°, el cual lo encuentra en www.colsalle.edu.co en el link zona académica/departamentos/matemáticas/ grado 11, y revise los videos y ejercicios resueltos expuestos allí. Elabore las actividades de razonamiento propuestas en las guías y en el blog para el período y anéxelas a la carpeta de trabajo Realizar las actividades de preparación para la prueba SABER Realice las actividades de lectura indicadas por el profesor Por lo menos una vez a la semana ingrese al link www.vitutor.com/calculo y observe los ejercicios resueltos

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TERCER PERÍODO INDICADORES

COMPETENCIAS

NÚMERICO – VARIACIONAL

Razonamiento lógico- inferencial

Interpreta la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrolla métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y de otras ciencias.

Capacidad para establecer conjeturas, relaciones y dar explicaciones coherentes según el contexto de una situación, empleando procesos de codificación, decodificación, análisis y síntesis.

Analiza las relaciones propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. Resuelve problemas de optimización, en contextos matemáticos y de otras disciplinas, identificando visual, gráfica y algebraicamente las propiedades de las figuras geométricas y las curvas que se obtienen por cortes a cilindros conos y prismas.

GEOMÉTRICO MÉTRICO Aplica los conocimientos de la geometría plana y del espacio para representar las diferentes situaciones problemas. ALEATORIO. Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos y probabilísticos a partir de los resultados de estudios publicados en los medios y pruebas de estado.

Busca extraer nueva información a partir de una ya dada Modelación matemática Aplicación de diferentes modelos funcionales para representar situaciones del área y de otras ciencias. Solución de problemas Desarrollo de la capacidad para plantear diferentes estrategias para dar solución a una situación planteada Ejercitación de procedimientos Habilidad para el manejo numérico y algebraico para resolver las situaciones planteadas

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De la Malla Curricular CONTENIDOS

SALIDAS

CONCEPTUALES La variación y derivabilidad Regla de la cadena El infinito y la continuidad Análisis probabilístico.

PROCEDIMENTALES Simplificación de radicales. Aplicación de propiedades de la potenciación. Caracterización verbal de una variación y Justificación del resultado de un problema de optimización o de razón de cambio. Utilización de pasos lógicos para encontrar un resultado. Resolución de problemas de optimización, en contextos matemáticos y de otras disciplinas, identificando visual, gráfica y algebraicamente las propiedades de las figuras geométricas y las curvas que se obtienen por cortes a cilindros conos y prismas.

Encuentra y emplea modelos funcionales en el conjunto de los números reales para dar solución a situaciones problema en diferentes contextos. Emplea argumentos geométricos, algebraicos, trigonométricos, de análisis, de cálculo, estadísticos y numéricos para entender el mundo físico y resolver situaciones problema de su entorno.

Aplicación de las reglas de la derivación para resolver problemas de máximos y mínimos, tanto en matemáticas como en otras ciencias. Relación y aplicación de la derivación con conceptos de física. Resolución de problemas que involucran variación media e instantánea.

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Determinación de la gráfica de la derivada de una función a partir de la gráfica de ésta. Relación de la medición de algunas magnitudes, cuyos valores medios se definen como razones, con los conceptos de derivada. Utilización de argumentos geométricos para la relación entre varias variables. Determinación de intervalos de crecimiento y concavidad, aplicando derivación.

Utiliza diferentes formas de representación o sistemas de notación simbólica para expresar, formular, transformar, representar ideas matemáticas y sustentar puntos de vista.

Solución y planteo de problemas a partir conceptos básicos de estadística, técnicas de conteo y probabilidad. Utilización de pasos lógicos para encontrar un resultado. Desarrollo de talleres de preparación para prueba Saber

Aplica la estadística y la probabilidad para dar explicaciones de la realidad y solucionar situaciones problema en diferentes contextos

Desarrollo de ejercicios de razonamiento sugeridos en el blog y guías. Elaboración del glosario y mapas mentales o conceptuales Marco de referencia y cronograma del ejercicio de investigación ACTITUDINAL Formación en la cooperación y el trabajo en equipo. Formación de la tolerancia y la honestidad en su trabajo. Formación de la observación de regularidades en una expresión Reconocimiento de la importancia de la representación gráfica como estrategia para resolver problemas. Participación activa y responsable de las actividades de su aprendizaje, asumiendo una comunicación asertiva y aceptando la crítica.

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Matriz de evaluación EJE

BAJO(1.0 – 6.9)

BÁSICO (7.0 – 7.9)

ALTO (8.0 – 8.9)

SUPERIOR (9.0 – 10.0)

Comete errores en los métodos aritméticos al hallar las derivadas

Emplea con habilidad y precisión argumentos de las propiedades aritméticas para justificar valores de expresiones que resultan al hallar la derivada.

Propone diferentes alternativas para calcular derivadas.

NUMÉRICO- VARIACIONAL

Tiene dificultad para interpretar la derivada como razón de cambio

Tiene dificultad para establecer relaciones entre expresiones algebraicas y funciones.

Analiza las relaciones propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

Relaciona con facilidad la derivada como una razón de cambio Es hábil para establecer relaciones entre las expresiones y su gráfica

Es ordenado y preciso en la sustentación de ejercicios y problemas

Propone diferentes formas de relacionar variables.

Resuelve problemas de optimización, en contextos matemáticos y de otras disciplinas, identificando visual, gráfica y algebraicamente las propiedades de las figuras geométricas y las curvas que se obtienen por cortes a cilindros conos y prismas.

ALEATORIO

GEOMÉTRICO-MÉTRICO

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Se le dificulta aplicar propiedades geométricas al resolver problemas de optimización

Aplica los conocimientos de la geometría plana y del espacio para representar las diferentes situaciones problemas.

Aplica conocimientos de geometría para resolver en orden problemas de optimización.

Establece fácilmente relaciones geométricas en la solución de situaciones

Se le facilita la representación en el plano y el espacio

Transfiere y explica a otros compañeros situaciones problema relacionadas con optimización.

Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos y probabilísticos a partir de los resultados de estudios publicados en los medios y pruebas de estado.

Se le facilita argumentar resultados empleando razonamientos estadísticos, pero lo hace en forma desorganizada

Emplea en forma ordenada y precisa argumentos para justificar o refutar inferencias

Se le dificulta transferir conocimientos de geometría para representar situaciones Presenta dificultad para justificar o refutar inferencias en razonamientos de tipo estadístico

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INTRODUCCIÓN En este período se estudiará el concepto de derivada de una función y sus diferentes aplicaciones, desde el análisis gráfico, hasta problemas de optimización ACTIVIDAD INICIAL

1. El marcador del consumo de agua en una casa pasa de 119,5 a 136 , en 30 días, para una familia de 4 personas.

X (kilos)

¿Cuál es el consumo promedio por día de la familia, por persona en mes y en un día?

C(x)

350

700

1.050

1400

costo

2. Dada la función a. Graficar y calcular la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (-1 ,4) y (2,10) b. ¿Cómo varia y en el intervalo (0,3)? . En cualquier intervalo (a,b)? 3. Un depósito de agua tiene forma cilíndrica con 2m de radio de la base y 5m e altura. a. Encontrar una expresión para determinar el volumen del contenido en el depósito cuando la altura esté a h metros. b. Calcular la tasa media de aumento de volumen, en

cuando el nivel de agua pasa de 2m a 2,5m.

En el intervalo [2,4] c. f(x) =

f ( x)  x 2  1;

en el intervalo [1,2] y en el

intervalo [ x, x+h ] 2. Utilizar la definición de derivada para hallar la derivada de: b.

3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto indicado y comprobar la respuesta dibujando f(x) y la recta

4. Consulte en los textos de cálculo y en la red: los conceptos de variación, razón de cambio y la definición de derivada 5. Investigue en internet acerca del trabajo realizado por Isaac Newton y por Gottfried Wilhelm Leibniz sobre la derivación. Con base en lo leído y lo que vea en el período sobre derivación, realice un breve ensayo en el cual asuma una postura personal acerca de desarrollo del Cálculo. TRABAJO PERSONAL 1

en el punto (-2, -8) en el punto (0,2)

1. Hallar la variación media de cada función en el intervalo indicado a. X

F(x)

En el intervalo [1,3]

en el punto (1, ½)

4. Investigar la relación que existe entre la derivada de una función y la continuidad.

5. Elaborar un cuadro resumen en el que aparezca lo visto en clase : variación media, variación instantánea, velocidad instantánea, definición de derivada de una función y concepto de diferencial de una función en un punto.

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TRABAJO GRUPAL 1

a ) f ( x)  x  3

1. Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de la torre CN en Toronto, 450m arriba del suelo.

b) f ( x )  3 x

a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5seg? b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo? 2. El crecimiento de un cultivo de 100 bacterias se determina a partir de la función

f (t )  t 2  10t  100, en la cual t es el tiempo en minutos. Hallar la velocidad de crecimiento de esa población al cabo de 10 min 3.La corriente I de un circuito eléctrico se mide en amperios(A), la resistencia (R) del circuito se mide en ohmios(  ). En cierto circuito eléctrico la corriente está dada por

I( R) 

 x 2  2 si x  0 c) f ( x)   3 x  1 si x  0 7. Resolver los ejercicios: 7, 9,11, 13 de la página 86 del texto de Larson TRABAJO PERSONAL 2

1. Investigar en los textos y en Internet la regla para derivar: una constante, la función idéntica, del múltiplo constante, una potencia, la suma o resta de funciones, el producto de funciones , cociente de funciones , la regla de la cadena, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y de las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Cada regla deberá estar acompañada por un ejemplo. 2. Elaborar una ficha bibliográfica que incluya las principales reglas para derivar.

100 . Calcular la variación instantánea 3. Con base en la consulta encontrar la derivada R de las siguientes funciones

de I con respecto a R cuando la resistencia es de 20 

a) f ( x)  3 x

b) f ( x ) 

4.Consultar en el cálculo de Stewart

c) f ( x)  x 3/ 5

x3 c) y  3x 4  5 x 2  2

¿Cómo graficar f´(x) a partir de la gráfica de f(x)?

d ) f ( x )  3 / 2 x 4

e) f ( x)  x 1  3 x 2 

Averiguar cómo deja de ser derivable una función?¿Qué interpretación tienen las derivadas de orden superior? 5. Realizar los ejercicios del 1 al 11 de la página 162 6. Con base en lo consultado en el punto 4 del trabajo personal 1, analizar si las funciones dadas son o no derivables:

f ) f ( x) 

x3 en x 8 x2  2

g ) f ( x)  1  x 2 i)

y  10 x

h) f ( x )  ( x 3  x 2  3 x ) 2 j)

 x4  y  ln    x 1 

k ) y  log10  3 x  1

f ( x)  e

m) y  cos 3 x

y  sen x 5

o) f (t )  sent.cos t para t   / 6

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4.Encontrar la pendiente de la recta tangente a la

¿Qué temperatura presenta la piel a los 18ºC?

curva

¿Qué relación existe entre las derivadas de ambas funciones?

f ( x)   5x  2  x  5 en x  2

5. Desarrolle las actividades del blog propuestas sobre derivación y razonamiento

6.. Realice las actividades asignadas en el blog. www.colsalle.edu.co en zona académica – departamentos matemáticas 11

TRABAJO GRUPAL 2

PARA TENER EN CUENTA

Con base en el cálculo de Stewart: 1.

Realizar los ejercicios 1 al 25 páginas 187 y 188

PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

2. Realizar los ejercicios del 1 al 13 de la página 195 3. Realizar los ejercicios pares del 7 al 30 de las páginas 203 y 204 4. Realizar los ejercicios impares del 5 al 20 página 213 5. TRANSFERENCIA ( carpeta)

3x 3

b. La temperatura aproximada de la piel T, se puede expresar en términos de la temperatura E del ambiente así:

T

2. Se calcula la segunda derivada en los valores críticos para determinar máximos y mínimos relativos. 3. Se encuentran los valores de la función en los valores críticos y en los extremos del intervalo.

a. Una artesa para agua con sección vertical transversal en forma de triángulo equilátero se llena a razón de 1metro cúbico por minuto. Suponiendo que la longitud de la artesa es de 6 metros, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua en el momento que ésta alcanza una profundidad de medio metro?.

Nivel del agua

1. Se encuentran los valores críticos de la función con la primera derivada igual a 0

328 27   E  20  , T y E en grados Celsius 10 100

Derivar T en función de E

4. Se analizan los resultados obtenidos para determinar máximo y mínimo absolutos. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

El procedimiento para obtener valores máximos y mínimos tiene aplicaciones en muchas disciplinas de la vida cotidiana. Por ejemplo, búsqueda de ganancias máximas en una producción, minimizar material, encontrar máximas áreas y máximos volúmenes, etc. A pesar de la variedad de problemas y de no tener un procedimiento general para resolverlos, se sugiere la siguiente estrategia:  Trazar un esquema, de ser posible, y en él indicar las cantidades dadas. 

Escribir la expresión algebraica según los datos

Escribir E como función de T y derivar

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 3. Si la función depende de más de una variable, buscar las relaciones para dejar la función en términos de una sola variable.  4. Encontrar los valores críticos de la función y determinar cuáles son los máximos y los mínimos ( usando criterios de la primera y de la segunda derivada)  5.Verificar los valores TRABAJO PERSONAL 3 1.Determinar puntos críticos, máximos y mínimos relativos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad, puntos de inflexión, y la gráfica de: a)

f ( x)  x  4 x 4

f ( x)  x3  9 x 2  24 x  7 c)

f ( x) 

1  x 

2. Encontrar el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. 3. Se van a construir cajas con parte superior abierta a partir de trozos cuadrados de cartón de 3 pies de lado, recortando cuadrados en las esquinas y doblando hacia arriba los pedazos. Encontrar el volumen más grande que pueden tener las cajas. 4.Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular de mayor área posible si limita en la parte recta con el río. ¿Cuáles serán las dimensiones del campo? 5. Se desea producir una lata de forma cilíndrica para que contenga 1 litro de aceite. Encontrar las dimensiones que minimizarían el costo del material para fabricar las latas.

6. Un punto se mueve en línea recta de modo que su posición d en el momento t está dada por:

d  t 3  10t 2  40t  30

con d en pies y t

en segundos. ¿En qué momento la rapidez es cero? ¿En qué momento la aceleración es cero? 7. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba con una velocidad Inicial de 100 m/s. Su altura sobre el suelo t segundos después, está dada por:

h(t )  5t 2  100t

Calcular el tiempo en el que el proyectil llega al suelo de regreso y su rapidez en ese momento. 8. La derivada en cadena se usa entre otras cosas para hallar la razón de cambio de costo C con respecto al trabajo empleado L , es decir

dC dL

. El

costo C en función de la cantidad Q de producción y la producción en una función de trabajo empleado. Entonces:

función relación

costo de

dC dC dQ  . dL dQ dL

Dada La

C  12Q  2 Q  20

tiempo

previsto

Q  200t  1600 . Encontrar del costo con respecto al tiempo.

y la

producción:

la razón de cambio

dC dt

en t = 5

9. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de tal forma que su posición a los t segundos es d (t )  t  10t con d medida en centímetros y t en segundos. Calcular la rapidez instantánea y la aceleración instantánea en t = 10 s. 4

10. Con una lámina rectangular metálica de 18 pulgadas de ancho, se quiere hacer un canal para recoger aguas lluvias, doblando los dos lados hacia arriba, de modo que queden perpendiculares al resto de la lámina. ¿Cuántas pulgadas debe medir la porción que se dobla para dar al canal la capacidad máxima?

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11. Se quiere construir un tanque cilíndrico sin tapa, que tenga un volumen de 72 cm. El material que se utiliza para la base cuesta cuatro veces lo que el material para la parte curva. Si no pierde material en la construcción ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro para que el costo de fabricación sea mínimo? 12. Una empresa que produce álbumes para campeonatos de fútbol definió el costo de x álbumes con la expresión:

C ( x)  625x  0,03x 2 .

Si la fábrica

vende

durante el mes de mayo 12500 álbumes a $1.200 unidad. ¿Qué utilidad recibe la empresa? Si se venden 300 álbumes más, ¿cuál es el costo marginal de la producción? TRANSFERENCIA (carpeta) 13. Del cálculo de Stewart resolver: De la página 231 problemas 9, 15 19,20 y 21

14. El warp es un término utilizado para expresar velocidades hiperlumínicas ( superiores a la velocidad de la luz). El factor warp viene definido con relación a la velocidad de la luz así:

Vluz  W 3 .

Esto quiere

decir que el factor 1 será equivalente a la velocidad de la luz, mientras el factor 4 será 64 veces la velocidad de la luz. Según la teoría de la relatividad de Einstein, si un objeto está en movimiento y es visto por un observador en reposo, el objeto parece verse cada vez más pequeño a medida que su velocidad se acerca a la de la luz. Si una nave espacial estacionaria de 150 m de longitud viaja a una velocidad warp, su longitud en metros por un observador está dada por

L(w)  150 1  w2

entre 0 y 1. ¿Existen

puntos máximos o mínimos? ¿Qué significado tienen?. ¿ Qué sucede con la velocidad warp con factores warp mayores de 10?

De las páginas 245 y 246 los problemas 1 al 6, 12, 19 y 25

15. Realizar y agregar a la carpeta un escrito de una página sobre su postura con relación a la derivación y lo investigado en la actividad inicial

LECTURAS RECOMENDADAS TERCER PERIODO Ingrese al siguiente link: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/derivadas-crica-1.pdf

Realice la lectura de la sección 2.1.1, en la cual encontrará cuatro maneras de definir la derivada ( páginas 3 a 12) . Con base en la lectura y en la carpeta responda: Elabore un resumen de lo leído 2 . Realice el ejercicio que aparece al final de la lectura (página 12)

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Para este período se pretende que con el grupo de trabajo definido en el primer periodo, revisen y ajusten el marco teórico de su ejercicio, y con base en el cronograma presenten el informe estadístico con base en los datos que recopilaron Es necesario indagar sobre las líneas de trabajo planteadas, para lo cual se recomienda ingresar al blog del grado 11° y revisar en el link de ejercicio de investigación . Este trabajo deberá anexarse a la carpeta

Las actividades extra propuestas para el periodo son: Ingrese semanalmente al blog del grado 11°, el cual lo encuentra en www.colsalle.edu.co en el link zona académica/departamentos/matemáticas/ grado 11, y revise los videos y ejercicios resueltos expuestos allí. Elabore las actividades de razonamiento propuestas en las guías y en el blog para el período y anéxelas a la carpeta de trabajo Realice las actividades de lectura indicadas por el profesor Por lo menos una vez a la semana ingrese al link www.vitutor.com/calculo y observe los ejercicios resueltos

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CUARTO PERIODO PERÍODO INDICADORES

COMPETENCIAS

NÚMERICO – VARIACIONAL

Razonamiento lógico- inferencial

Reconoce y aplica los métodos de integración para la integral definida e indefinida de funciones.

Capacidad para dar explicaciones coherentes según el contexto de una situación, empleando procesos de codificación, decodificación, análisis y síntesis.

Resuelve problemas de movimiento y de costos aplicando integral definida.

Busca extraer nueva información a partir de una ya dada

GEOMÉTRICO MÉTRICO

Modelación matemática

Elabora la gráfica de región o del sólido al cual le hallará área o volumen respectivamente.

Aplicación de diferentes modelos funcionales para representar situaciones del área y de otras ciencias.

Utiliza la integral definida para encontrar el área de una región o bajo una curva.

Solución de problemas Desarrollo de la capacidad para plantear diferentes estrategias para dar solución a una situación planteada Ejercitación de procedimientos Habilidad para el manejo numérico y algebraico para resolver las situaciones planteadas

De la Malla Curricular CONTENIDOS

SALIDAS

CONCEPTUALES Métodos de integración. Valor numérico de una integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo del área bajo una curva. La anti derivada. Área bajo curva. Sólidos en revolución.

Maneja y utiliza con habilidad y precisión los diferentes sistemas de numeración, dominando operaciones y relaciones en la solución de situaciones que requieran métodos numéricos, geométricos y algebraicos. Encuentra y emplea modelos funcionales en el conjunto de los números reales para dar solución a 57

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PROCEDIMENTALES

situaciones problema en diferentes contextos.

Cálculo mental , utilizando racionales y radicales. Desarrollo y utilización de razonamientos inductivos para generalizar. Relación entre derivación e integración Comprobación mediante la derivación si una función es la antiderivada. Reconocimiento y aplicación de los métodos de integracón. Utilización de la integral definida para encontrar el área de una región o bajo una curva. Resolución de problemas de movimiento y de costos aplicando integral definida. Utilización de la integral definida para calcular volumen y longitud de arco. Utilización de pasos lógicos para encontrar un resultado. Desarrollo de talleres de preparación para prueba Saber

Emplea argumentos geométricos, algebraicos, trigonométricos, de análisis, de cálculo, estadísticos y numéricos para entender el mundo físico y resolver situaciones problema de su entorno. Utiliza diferentes formas de representación o sistemas de notación simbólica para expresar, formular, transformar, representar ideas matemáticas y sustentar puntos de vista. Emplea las propiedades, axiomas y teoremas de la geometría Euclidiana para interpretar, representar y describir situaciones en diferentes contextos.

Desarrollo de ejercicios de razonamiento sugeridos en el blog y guías. Elaboración del glosario y mapas mentales o conceptuales Elaboración de informe escrito y exposición del ejercicio de investigación ACTITUDINAL Concientización de las necesidades de los compañeros para apoyarlos en la consecución de sus logros. Habilidad en el cálculo y simplificación de expresiones algebraicas en la resolución de integrales definidas e indefinidas. Fortalecimiento de la autonomía y el trabajo cooperativo. Curiosidad por indagar y explorar sobre el significado y utilidad de las medidas de posición. Evidencia con su actitud el agrado por la clase y cultiva las capacidades de organización y responsabilidad.

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Matriz de evaluación

NUMÉRICO- VARIACIONAL

EJE

BAJO(1.0 – 6.9)

BÁSICO (7.0 – 7.9)

ALTO (8.0 – 8.9)

SUPERIOR (9.0 – 10.0)

Tiene dificultad para establecer relaciones entre expresiones algebraicas y las funciones que se van a integrar.

Reconoce y aplica los métodos de integración para la integral definida e indefinida de funciones.

Propone diferentes formas de relacionar y representar variables

Se le dificulta aplicar propiedades de la integral definida para hallar el área bajo curvas.

Resuelve problemas de movimiento y de costos aplicando integral definida.

Se le facilita argumentar resultados de problemas de movimiento y de costos, empleando razonamientos sobre planteamiento y solución de expresiones con los métodos de integración. Aplica conocimientos de integración definida para resolver problemas sobre áreas bajo curvas, con habilidad y en orden.

No realiza las actividades en el tiempo de clase. Requiere de permanente apoyo de compañeros para trabajar en clase.

Emplea en forma ordenada y precisa argumentos para justificar o refutar soluciones a problemas de movimiento y de costos. Explica a los demás problemas de costos y otras aplicaciones Indaga por iniciativas sobre más usos del conocimiento.

GEOMÉTRICO-MÉTRICO

Presenta fallas en métodos algebraicos. Tiene dificultad para representar la situación planteada

No realiza a tiempo las actividades de transferencia

Elabora la gráfica de región o del sólido al cual le hallará área o volumen respectivamente. Utiliza la integral definida para encontrar el área de una región o bajo una curva.

Es hábil para establecer relaciones entre las expresiones y su gráfica. Realiza todas las actividades de transferencia a tiempo.

Transfiere y explica a otros compañeros situaciones problema relacionadas con el área bajo la curva. Tiene claro cómo hacer cortes a un sólido para determinar regiones

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INTRODUCCIÓN

En este periodo se tratará el estudio de la integral indefinida, los métodos de integración por sustitución y por partes, el teorema fundamental del cálculo y su aplicación para encontrar áreas y volúmenes de regiones limitadas por curvas. ACTIVIDAD INICIAL

Consulte sobre el método que utilizaron los griegos para medir el área bajo una región curva. Consulte el aporte al cálculo integral de los siguientes personajes: Euxodo, Arquímedes, Bonaventura Cavalieri, Isaac Barrow, Bernhard Riemann, Jacobo Bernolli, Blaise Pascal , Gottfried Wilhelm, Leibniz, Joseph Fourier y Agustín Cauchy. Intercambie la información con otro compañero que usted elija, registren la teoría o aporte de cada uno en un plegable o friso y entréguelo a más tardar el 27 de septiembre (después no se recibirá)

TRABAJO PERSONAL 1 Con base en el concepto de antiderivada, encuentre la función F(x) para cada función f(x) y compruebe mediante la derivación, si la función F(x) es ANTIDERIVADA de la función f(x) correspondiente ( si F´(x) = f(x) )

Consulte en internet las reglas para derivar funciones y con base en ello y la tabla que aparece en el link que se da en el blog, elabore su ficha personal para trabajar integrales TRABAJO GRUPAL 1 1. Desarrolle

 sen x cos x dx de dos maneras distintas y

explique la diferencia de los resultados. 2. Utilizando la regla resuelva:

a. 

1 dx 2x 1

del logaritmo para la integración

  x  1 dx 2

c. 

1 dx x ln x

3. Realice los 20 primeros ejercicios que aparecen en el link del cual descargó la tabla para integrar y que está en el blog 4. Resuelva las siguientes integrales de manera directa

Si f ( x)  4 x , entonces F  x   ? Si f ( x)  3x3 , entonces F  x   ? Si f ( x)  senx , entonces F  x   ? Sif ( x)  x , entonces F  x   ? Si Encuentre 3 anti derivadas para f(x)= 2x

TRABAJO PERSONAL 2 Realice los ejercicios del 21 al 30 que se encuentran en el link: http://www.uv.es/~montes/biologia/matcero.pdf

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TRABAJO EN PAREJAS 2 1. Aplique las fórmulas de integración para resolver los siguientes ejercicios:

a.   3x 2  2 x  5 dx

b.  2 xdx

1 6  c.   3  2  2 dx x x 

1  d .    2 x  dx x  2  3x  x  4  f .  dx x  

e.   e x  3x dx g.

 3

 4 x dx

 1  i.   senx   dx 1  x2  

h.   cos x  csc 2 x  dx

j.    cos x  3sec 2 x dx

k .   sec x tan x  senx dx l.  sen 2 xdx

b. Un auto se mueve con velocidad constante de 40m/s. ¿Cuál será la posición s(t) para un tiempo t, si en t = 1s, el auto se hallaba en s = 10 m? c. Un recipiente cilíndrico de 10cm de radio y 70cm de altura(H) se llena a razón de Si después de 5min, el tanque tiene un volumen de , determine la función para h y encuentre el tiempo que tardará en llenarse el tanque. TRABAJO GRUPAL 3 1. Utilice la integración por sustitución para resolver las siguientes integrales

 5x

 sen

 1 10 x  dx

2. Encuentre el valor de C y la función particular de cada integral, con base en la condición dada:

a.   4 x 2  x  2  dx si F (2)  5 b. 

3 dx si F (1)  0 x2



4 3 c.   cos x  3sen x  dx si F ( )  3 2

cos x dx 2 x



x d.   x

e.  ecos x sen x dx



g .  3 x 2 1  x 3 dx



 sen

3x cos 3 x dx

 1

 1 2 x dx

4x 1  x2 1

 3x

1 sen    x dx l.  x2

2. Utilice el método de integración por partes

3. Resuelva los siguientes problemas:

Recuerde: elija u y dv, halle du(derivando u) y

a. La velocidad de un objeto que se mueve verticalmente está dada por V(t)= -32t +96 pies por segundo. Si su posición al cabo de tres segundos es de 256 pies, hallar la posición inicial.

 x cos x dx

TRANSFERENCIA 1

e.   e x  2 x dx si F (0)  1

x 1 dx 2x 1

 2



d .   senx  sec 2 x dx si F (0)  2

edx

v (integrando dv), para aplicar la fórmula:

 u dv  uv   v du

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2. Encuentre el área acotada por el eje x, la curva dada y  f ( x) y las rectas verticales dadas

a. y  2 x  3, x  0, x  3 b. y 

2 x  1, x  0, x  4

c. y   2 x  1 , x  1, x  3 2

d . y  senx, x  

b.  x3e x dx 2

d .  sen x dx 2

g.  j.

x

 x ln x dx

 x  2 2 x  x  x  1 e dx 3

ln x dx

TRABAJO GRUPAL 4

f .  e cox x dx

1. Elabore la gráfica, y encuentre el área entre la curva y  4  x y el eje x. 2

i.  e x dx

2. Determine el área de la región limitada por

 x sen 4 x dx 2

la gráfica de f ( x)  x  x  1 y el eje x 2



c.  sen x dx 0

e. 

4 x  1dx

  x  1 dx d .   x  2 x  3 dx 1

1 1





g.  x 1  x 2 dx 1

 x  1 x  2  dx 1

i. 

h. j.

 

0 3

3. Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f ( x)  2 sen(2 x) y el eje x de -π a π/4

artículo decorativo es .

x2 . c  5 1000

Determine cuánto aumenta el costo con un cambio de producción de 15 a 100 artículos.



en el intervalo [-1,3].

4. El costo marginal de producir x-ésimo

1. Evalúe las siguientes integrales definidas:

TRABAJO PERSONAL 3



c.  x 1  xdx

Realice los ejercicios sobre integración por partes del blog

a.   2 x  5 dx

, x

Realice los ejercicios de 35al 42 de la página 378 del Cálculo de Stewart.

Ahora resuelva las integrales:

a.  x senx dx



cos x dx sen 2 x 2

x e x dx x ln x dx

5. La temperatura promedio de una ciudad está dada por

T (t )  30  10sen

 6

t donde T está

en ºF y t en horas. Calcule la temperatura en ºC entre las 8 a.m. y las 8p.m. 6. Elabore, en su cuaderno, un mapa conceptual sobre integración

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TRANSFERENCIA 2

7. Si la aceleración está dada en función del tiempo y están relacionados por la

1. Halle la anti derivada de la función:

f x   4 x3  2 x 2  6 x  1 2.Resuelva la ecuación diferencial, teniendo en cuenta, la condición dada:

f ' x   2 x3  6 x 2  2 x  1. si f(1) = 5. 3. Halle el área comprendida entre las gráficas de las funciones: a.

f ( x)  x

y g ( x)  4 x

b. f ( x)  x  x  1 2

en el intervalo

y g ( x)  2 x 2  3



la distancia recorrida y el tiempo, si s=3, cuando t=1 8. Un tranvía parte de una estación con una aceleración: at 

  0.16  0.05t  ,

m . s2

¿Qué distancia recorre en 30 segundos?

9. La densidad de una varilla de 1 m de longitud está dada por D( x) 

1 en gramos x

por cm. Determine la función de la masa de la varilla.

 1,1

4. Evalúe la integral definida; calcule el volumen de la función: f  x 

ecuación: at   5  t halle la relación entre

 4x  2x  3 2



V    4 x 2  2 x  3 dx . 2

5. Una lancha de motor se aleja del embarcadero sobre una línea recta con una aceleración en función

Tenga en cuenta la siguiente información para resolver el problema 10. Si m(x) es el costo marginal de producir n artículos, entonces la función costo C(x) se puede determinar mediante la expresión: n

C ( x)  C (0)   m( x)dx 0

m del tiempo dada por: at   16t  5 , 2 En el 10. El costo marginal de vender x cajas s de bombillos, está dado por m tiempo t=0, la lancha tenía una velocidad de 5 , se ln  x  1 C  20  s 2 . x  1   hallaba a 12 m del muelle. Calcule la distancia S(t), hasta el embarcadero al cabo de t segundos. 6. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto de una curva está dada por:

y '  f ' x   4 x  1 . Si

Si el costo fijo es de $ 5.000 millones de pesos. ¿Cuál es el costo total de fabricar x cajas?

el punto (2,3) está

sobre la curva, halle la función y =f(x).

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11. Si se define superávit del consumidor como la cantidad de dinero ahorrada por el consumidor al comprar el artículo al precio P correspondiente a una cantidad demandada de X y está representada por el área bajo la curva de demanda

  p( x)  Pdx X

Si la demanda de un producto en dólares es:

Si una piedra arrojada desde el puente Golden Gate tiene en un instante t = 0 una velocidad de v  9,8t  8m / s . ¿Qué distancia recorre en los primeros segundos? (desprecie la fricción del aire)

13. Una epidemia afecta a una población, siendo P(t) el número de personas enfermas en un tiempo t. La epidemia a una razón de

superávit del consumidor cuando el nivel de

personas por día, si se sabe que P(0)= 100. Halle P(t) y el número de personas afectadas en 7 días.

ventas es de 500.

NOTA: Los ejercicios del 6 al 18

p( x)  1200  0, 2 x  0,0001x 2 . Encuentre el

12. Para calcular la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve con velocidad

(transferencia 2), deben desarrollarse en hoja examen oficio y entregarse a más tardar el primer viernes de noviembre ( después de esa fecha no se recibirán)

ds v  f (t ) , dt

at b



por medio de integrales, se utiliza:

f (t )dt  F (b)  F (a)

RAZONAMIENTO Y LÓGICA MATEMÁTICA. Desarrolle, en la carpeta, las actividades propuestas en el blog y debe entregarlas resueltas en hojas de examen cuadriculadas.

LECTURAS RECOMENDADAS CUARTO PERIODO Ingrese al siguiente link: http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/#introduccion_historica

Realice la lectura completa ingresando a los diferentes hipervínculos que se plantean y responda para anexar a la carpeta. Recuerde que no es cortar y pegar es con sus palabras dar explicaciones y argumentar cada respuesta

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Qué características tienen las funciones Riemann-Integrables? Qué Tipos de aproximación de la integral hay? Cuáles son las propiedades de la integral de Riemann? En qué consisten y cuál es la diferencia entre: el teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrow?. Cuál es la función de Dirichlet. Y por qué no es integrable?

Para este período se pretende que con el grupo de trabajo definido en el primer periodo, revisen y ajusten su ejercicio, y con base en el cronograma presenten el informe final con base en los datos que recopilaron para ser tenido en cuenta en la jornada cultural, si es significativo e impacta a la comunidad

Las actividades extra propuestas para el periodo son: Ingrese semanalmente al blog del grado 11°, el cual lo encuentra en www.colsalle.edu.co en el link zona académica/departamentos/matemáticas/ grado 11, y revise los videos y ejercicios resueltos expuestos allí. Elabore las actividades de razonamiento propuestas en las guías y en el blog para el período y anéxelas a la carpeta de trabajo Realice las actividades de lectura indicadas por el profesor Por lo menos una vez a la semana ingrese al link www.vitutor.com/calculo y observe los ejercicios resueltos

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GLOSARIO ANTI DERIVADA Es una función F cuya derivada es f. f debe ser continua en el intervalo definido y a F se le denomina función primitiva. ÁREA BAJO LA CURVA Región del plano limitada bien sea por una función f(x) y los ejes del plano cartesiano o entre dos funciones f(x) y g(x). CONTINUIDAD Propiedad de una función de estar definida en todo punto de su dominio, en cada uno de los cuales está definido el límite y es único. DERIVABLE Una función es derivable en un punto de su dominio si es continua en ese punto DERIVADA En una función real, es la medida de la variación con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de la variable independiente. DERIVACIÓN IMPLÍCITA Proceso de calcular la derivada de una expresión algebraica con dos variables, sin despejar la variable dependiente DOMINIO Conjunto de los valores del conjunto de partida de una función, constituyen la entrada FUNCIÓN Una función f de una variable x es una regla que asigna a cada número x en el dominio de la función un único número f(x). La palabra “único” en esta definición es muy importante. FUNCIÓN CONSTANTE Es la función que no cambia de valor sin importar lo que haga la variable

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FUNCIÓN LINEAL Es una función de la forma f(x) = mx + b donde m y b son unos números preestablecidos. Los nombres “m” y “b” son tradicionales. Este tipo son llamadas “lineales” porque sus gráficas son líneas rectas. FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función de la forma f(x) = ax2 + bx +c donde a

no es igual a cero

INECUACIÓN es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad.1 2 Si la desigualdad es del tipo del tipo

se denomina inecuación en sentido estricto y si es

se denomina inecuación en sentido amplio.3

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.4 Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.



Ejemplo de inecuación incondicional:



Ejemplo de inecuación condicional:

. .

INTEGRAL Resultado de integrar una expresión diferencial. Se dice del signo (∫) con que se indica la integración. INTEGRAL DEFINIDA: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. INTEGRAL INDEFINIDA: Conjunto de las infinitas funciones primitivas que puede tener una función

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: El método de integración por sustitución se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. INTERVALO: Subconjunto de los reales y que representan gráficamente semirrectas o segmentos

LÍMITE El límite de la función f(x) en el número real L, valor al que se acercan las imágenes F(x) cuando los valores del dominio (las x) se acercan a un valor a. 67

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OPTIMIZACIÓN Proceso mediante el cual se encuentran los máximos y mínimos de una función PROGRESIÓN. es una sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante. Se distinguen dos tipos: Progresión aritmética, aquella en que la diferencia entre sus términos es constante. Progresión geométrica, aquella en que la razón o cociente entre sus términos es constante. RANGO: Conjunto de imágenes de la función RAZÓN DE CAMBIO: Es la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se refiere a la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. Generalmente la variable que cambia se relaciona con la variación con relación al tiempo.

SERIE: Es la suma de los elementos de una sucesión su símbolo es la letra sigma

que significa

sumatoria SUCESIÓN. En matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. También el término sucesión está relacionado con las funciones cuyo dominio el conjunto de los números naturales.

SUPERFICIE EN REVOLUCIÓN: es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano en el que está la curva.

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