Equacions de primer grau by 5minutsciencia

Equacions i sistemes de primer grau

1. Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució 2. Equacions de primer grau amb dues incògnites 3. Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Resolució gràfica 4. Tipus de sistemes 5. Resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau 6. Resolució de problemes

A mitjan segle IX, el matemàtic àrab Muhammad ibn Musa al-Hwarizmi va publicar a Bagdad, la capital de l’imperi islàmic, el llibre Hisab a-jabr w’almuqabala. Aquest text va representar el naixement de l’àlgebra i l’origen del nom d’aquesta branca de les matemàtiques. La seva influència en el desenvolupament de l’àlgebra a tot Europa, a partir del segle X, va ser molt gran. La paraula al-jabr es refereix a dos dels passos que fem quan procedim a resoldre equacions: • la transposició de termes d’un membre a l’altre de la igualtat • la multiplicació dels dos membres per un mateix nombre per aïllar la incògnita La paraula al-muqabala indica: • la reducció dels termes semblants en els dos membres d’una equació D’aquesta manera, al-jabr i al-muqabala unides per w’, que vol dir «i», donaven nom al procediment de resolució d’equacions i van ser l’antecedent de la nostra paraula àlgebra.

QÜESTIONS identitats o equacions. algèbriques següents són • Digues si les igualtats Justifica les respostes: b) x + 6 = –2 2 2 a) (x – 3) = x + 9 2 16 d) (x + 4) · (x – 4) = x – c) 2 · (x – 7) = 2x – 14 igualtats següents: or de a es verifiquen les val in qu a r pe na mi ter • De c) a : 48 = –1 b) 9 – 0,1a = 8 a) 8 : a = –4 s e es dedueixen d’aquest algèbric les igualtats qu e atg gu llen en sa res • Exp enunciats: ble del mateix nomn nombre, obtenim el do d’u le trip l de 9 tem res a) Si bre. 5. res enters consecutius és b) La suma de dos nomb dos nombres és 21. c) El triple de la suma de e verifiquin l’equació de nombres racionals qu • Determina tres parells x + y = 12. resultat, obtenim i Manel i sumant 790 al l’av de at l’ed 9 r pe nt • Multiplica anys té l’avi Manel? scobrir Amèrica. Quants de va lom Co è qu en y l’an im els marmana i entre tots dos ten ge va me la e qu s mé ys y de traspàs. Quina • Jo tinc dos an de febrer quan no és an s me el té s die e qu ys teixos an ana, quina edat té? edat tinc? I la meva germ

OBJECTIUS • Resoldre equacions de primer grau amb una incògnita. • Reconèixer una equació de primer grau amb du es incògnites, trobar-ne sol ucions i representar-le s en un sistema de coorde nades cartesianes. • Identificar un sistem a de dues equacions amb dues incògnites i classifi car-lo d’acord amb les seves solucions. • Resoldre sistemes de dues equacions amb du es incògnites utilitzant el mètode gràfic o qualsevo l dels mètodes algèbrics. • Aplicar les equacions i els sistemes d’equacion s de primer grau a la resolució de problemes.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució

Observa les igualtats següents: 6 · 3 + 4 : (–4) = (–2)2 – 13 · (–1) m igualtat numèrica (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 3x – 4 = 2

m igualtats algèbriques o literals

Ja saps que la primera igualtat és numèrica i que les altres dues igualtats són igualtats algèbriques o literals, ja que en un dels dos membres o bé en tots dos hi apareixen expressions algèbriques. La igualtat algèbrica (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 es verifica per a qualsevol valor de x. Es tracta d’una identitat. La igualtat algèbrica 3 · (a + b) = 3a + 3b també és una identitat, ja que es compleix per a qualssevol valors numèrics que assignem a a i a b.

Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres.

La igualtat algèbrica 3x – 4 = 2 només es verifica per a x = 2, ja que 3 · 2 – 4 = 2. No existeix cap altre valor de x que transformi aquesta igualtat algèbrica en una igualtat numèrica. Es tracta d’una equació. 3x – 4 = 2 és una equació de primer grau amb una sola incògnita, la x. El grau d’una equació fa referència a l’exponent al qual està elevada la incògnita. En aquest cas és 1, per això és una equació de primer grau. Té només una solució, x = 2. Aquesta equació és una igualtat algèbrica que només es compleix per a un determinat valor de la lletra que apareix en els seus membres. La incògnita d’aquesta equació és la lletra que hi ha escrita a la igualtat algèbrica. x = 2 és la solució d’aquesta equació, ja que és el valor numèric de la incògnita que verifica la igualtat algèbrica.

Propietats de les igualtats Totes les igualtats verifiquen sempre aquestes dues propietats: • Si sumem un mateix nombre als dos membres d’una igualtat, s’obté una nova igualtat. Si x = y m x + a = y + a Si x = y m x · a = y · a, on a ≠ 0

• Si multipliquem els dos membres d’una igualtat per un mateix nombre diferent de zero, s’obté una nova igualtat. En el cas de les equacions, l’aplicació d’aquestes propietats ens permet transformar qualsevol equació en una altra de més senzilla que té la mateixa solució que l’equació inicial, i que diem que és equivalent a la primera.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Resolució Observa aquesta equació: 5x – 1 = 2x – 10 Primer membre

La podem resoldre aplicant les propietats de les igualtats que acabem de veure. Sumem 1 i restem 2x als dos membres, per aconseguir que els termes en x quedin tots en un membre i que els nombres quedin a l’altre.

Segon membre

A la pràctica, això equival a fer una transposició de termes, és a dir, passar el 2x del segon membre al primer i el –1 del primer membre al segon, de manera que quan es canvia un terme de membre, cal canviar-lo de signe: 5x – 2x = –10 + 1 3x = –9

5x – 1 + 1 – 2x = 2x – 10 + 1 – 2x 5x – 2x = –10 + 1 Reduïm els termes semblants: 3x = –9 Dividim entre 3 els dos membres per trobar la solució de l’equació o, 1 és el mateix, multipliquem per : 3 3x 9 =– 3 3

Finalment, el coeficient de x, 3, que multiplica el primer membre, passa al segon membre dividint, i d’aquesta manera s’obté la solució de l’equació: x=

–9 3

x = –3

x = –3 Obtenim la mateixa solució. A partir d’ara, utilitzarem la transposició de termes sempre que es tracti de resoldre una equació de primer grau amb una incògnita, ja que resulta un mètode més senzill i més curt. Les equacions 5x – 1 = 2x – 10 i 3x = –9 són equivalents, perquè tenen la mateixa solució: x = –3.

Si a = 0 i b = 0, llavors 0x = b no té solució

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució. Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la incògnita que veriﬁca la igualtat.

Solucions Així, el procediment per resoldre una equació es basa a aplicar les propietats de les igualtats, que ens permeten obtenir equacions equivalents més senzilles. Sempre és possible transformar l’equació inicial en una altra d’equivalent del tipus ax = b, on x sigui la incògnita i a i b siguin dos nombres enters. En resoldre l’equació ax = b, ens podem trobar amb tres situacions diferents: b • Si a ≠ 0, l’equació té una única solució: x = . a • Si a = 0 i b ≠ 0, l’equació és de la forma 0x = b. No hi ha cap valor numèric de x que verifiqui aquesta igualtat. En aquest cas, l’equació no té solució. 41

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

• Si a = 0 i b = 0, obtenim una igualtat del tipus 0x = 0. Aquesta igualtat es verifica per a qualsevol valor de x, ja que qualsevol nombre multiplicat per zero dóna com a resultat zero. Així doncs, no és una equació, és una identitat. Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solució o bé no en té.

Sempre podem esbrinar si hem resolt correctament una equació: només cal substituir la incògnita de l’equació inicial pel valor numèric que hem obtingut com a solució, efectuar els càlculs corresponents als dos membres de la igualtat i comprovar que es verifica. x = –3 és la solució de l’equació 5x – 1 = 2x – 10, ja que verifica la igualtat. Fixa’t-hi: 5 · (–3) – 1 = –15 – 1 = –16 2 · (–3) – 10 = –6 – 10 = –16 Vegem com es resolen algunes equacions de primer grau amb una incògnita. Fixa’t bé en els passos que cal seguir per resoldre-les correctament. • Resolem l’equació 5 – 3 · (x + 6) = 7 · (x – 1). Primerament, apliquem la propietat distributiva als dos membres de la igualtat: 5 – 3x – 18 = 7x – 7 Transposem els termes i reduïm els termes semblants: –3x – 7x = –7 – 5 + 18 m –10x = 6 m x =

6 3 =– –10 5

3 La solució de l’equació és x = – . 5 • Ara resoldrem l’equació

2 · (x – 1) 6 + 2x – = 4. 9 3

Apliquem la propietat distributiva per treure el parèntesi: 2x – 2 6 + 2x – =4 9 3 Tot seguit busquem el m. c. m. dels denominadors. Es dedueix fàcilment que és 9. Si multipliquem els dos membres de l’equació per 9, obtenim una equació equivalent sense denominadors: 9·

( 2x9– 2 – 6 +32x ) = 9 · 4 m (2x – 2) – 3 · (6 + 2x) = 36

Apliquem novament la propietat distributiva, transposem termes i reduïm els termes semblants: 56 = –14 2x – 2 – 18 – 6x = 36 m 2x – 6x = 36 + 2 + 18 m –4x = 56 m x = –4 L’equació té com a solució x = –14. • Observa l’equació (x – 2)2 – (x + 2) · (x – 3) = x – 2. Per resoldre-la, cal realitzar en primer lloc les operacions indicades en el primer membre. Hem de desenvolupar el quadrat d’una diferència. A més, cal anar amb compte amb el signe menys que precedeix el segon parèntesi. Així:

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

x2 – 4x + 4 – (x2 – 3x + 2x – 6 ) = x – 2 x2 – 4x + 4 – x2 + 3x – 2x + 6 = x – 2 Obtenim termes amb x2: sembla que aquesta equació sigui de segon grau.

Cal que recordis els productes notables o identitats notables:

Transposem els termes semblants:

Quadrat d’una suma:

x2 – 4x – x2 + 3x – 2x – x = –2 – 4 – 6 En el primer membre apareix x2 – x2, que és zero. Així, obtenim: –12 –4x = –12 m x = =3 –4 La solució és x = 3.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrat d’una diferència: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma per diferència: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

activitats resoltes 1. Resol les equacions: a)

(

) ( ) (

2 1 1 3 x 1 1 · x– – · +5 =4· x– 3 2 4 5 3 5 2

)

Apliquem la propietat distributiva per treure parèntesis i simplifiquem sempre que sigui possible: 4x 1 1 x 4 x 1 x x– – –3= x–2m – – –3= –2 5 3 6 5 5 3 6 5

Recorda

1 x x= 3 3

El mínim comú múltiple dels denominadors es pot deduir fàcilment: és 30. Multipliquem els dos membres de l’equació per 30 per obtenir una equació equivalent sense denominadors: 10x – 5 – 6x – 90 = 24x – 60 Transposem termes, reduïm els termes semblants i aïllem la incògnita: 35 –7 10x – 6x – 24x = –60 + 5 + 90 m –20x = 35 m x = = –20 4 –7 La solució de l’equació és x = . 4 b)

5x + 30 x 1 + x– =0 6 2 3 Per obtenir una equació equivalent sense denominadors multipliquem els dos membres de l’equació pel mínim comú múltiple dels denominadors, que és 6. 3x + 2x – 5x – 30 = 0 3x + 2x – 5x = 30 m 0x = 30 No hi ha cap valor de x que multiplicat per zero doni 30. Aquesta equació no té solució.

4 3 = x–1 x–2 Es tracta d’una equació en forma de proporció. Per tant, podem aplicar la propietat fonamental de les fraccions equivalents per tal de treure els denominadors: a c si = , llavors es verifica que a · d = b · c. b d Així:

4 3 = m 3 · (x – 1) = 4 · (x – 2) x–1 x–2

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Ara resolem l’equació: 3x – 3 = 4x – 8 m 3x – 4x = –8 + 3 m –x = –5 m x = 5 La solució de l’equació és x = 5.

2. Aïlla la lletra x en cadascuna de les igualtats següents: a) ax – 1 = bx + 2 b) ax + c = d – bx a) Primer transposem els termes que contenen x al primer membre de la igualtat: ax – 1 = bx + 2 m ax – bx = 2 + 1 Tot seguit, traiem factor comú x m x · (a – b) = 3 Ara, aïllem la x m x =

3 a–b

b) Procedim de la mateixa manera que en l’apartat anterior: ax + c = d – bx m ax + bx = d – c m m x · (a + b) = d – c m x =

d–c a+b

Equacions de primer grau amb dues incògnites

Considerem la igualtat x + 2y = 4. Es tracta d’una equació de primer grau amb dues incògnites, ja que els exponents de les incògnites x i y són iguals a la unitat. Els valors numèrics de x i y que satisfan la igualtat són les solucions de l’equació. Quantes solucions té aquesta equació? Com les podem trobar? Podem recórrer al tempteig, però aquest procediment és força llarg i pesat. És més pràctic donar valors numèrics qualssevol a una de les dues incògnites, normalment la x, i determinar els valors numèrics corresponents de l’altra incògnita, y, que verifiquen la igualtat. m 0 + 2y = 4 m 2y = 4 m y = 2 5 – Si x = –1 m –1 + 2y = 4 m 2y = 5 m y = 2 – Si x = 2 m 2 + 2y = 4 m 2y = 2 m y = 1 – Si x = 0

– Si x = –2 m –2 + 2y = 4 m 2y = 6 m y = 3 – Si x = 4

m 4 + 2y = 4

m 2y = 0 m y = 0

Observa que les incògnites x i y poden prendre qualsevol valor numèric que sigui un nombre racional. Per tant, no hi ha cap més restricció per als valors numèrics de les incògnites x i y que la que estableix l’equació. No acabaríem mai de trobarne solucions. Cada solució d’aquesta equació està formada per un parell de nombres x i y, on el valor de la incògnita y depèn del valor que hem assignat a la incògnita x.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

x = 0, y = 2 x = –1, y =

5 2

Aquestes són cinc de les moltes solucions que verifiquen l’equació x + 2y = 4.

x = 2, y = 1 x = –2, y = 3 x = 4, y = 0

Atès que x pot prendre qualsevol valor numèric i a cada valor de x li correspon un valor de y, podem afirmar que l’equació x + 2y = 4 té un nombre il·limitat de solucions. Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del tipus ax + by = c, on a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents de zero i x i y són les incògnites. Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions.

Podem donar una interpretació gràfica de les solucions d’una equació de primer grau. Per fer-ho, començarem representant les solucions obtingudes en un sistema de coordenades cartesianes. Assignarem a cada solució de l’equació, formada per un parell de nombres x i y, el punt del pla de coordenades (x, y). En el nostre cas, per a les cinc solucions trobades, tindrem aquests cinc punts: y

Solució equació x + 2y = 4

Coordenades del punt

x = 0, y = 2

P1 (0, 2)

x = –1, y =

5 2

P4 (–2, 3)

( )

P2 –1,

5 2

x = 2, y = 1

P3 (2, 1)

x = –2, y = 3

P4 (–2, 3)

x = 4, y = 0

P5 (4, 0)

P2 (–1, 5 ) 2

P1 (0, 2) P3 (2, 1) P5 (4, 0)

x x + 2y = 4

Quan representem aquests cinc punts en un sistema de coordenades cartesianes, observem que els cinc punts estan alineats. Si busquem unes quantes solucions més, i representem les coordenades dels punts gràficament, veurem que els nous punts obtinguts també estan alineats amb els que ja havíem representat. Quan representem gràficament en un sistema de coordenades cartesianes les solucions de l’equació x + 2y = 4, obtenim una sèrie de punts que pertanyen a la mateixa recta. Cada solució de l’equació es pot representar per un punt d’aquesta recta. De la mateixa manera, cada punt de la recta té unes coordenades (x, y), els valors de les quals són una solució de l’equació donada. En general, qualsevol equació de primer grau amb dues incògnites té un nombre il·limitat de solucions, la representació gràﬁca de les quals són punts que pertanyen a una mateixa recta.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

activitats resoltes 3. El restaurant Can Tripaire té un menjador per a 40 comensals. El dia de la Festa Major, 40 persones dinen al menjador, distribuïdes en taules de 4 i 2 persones. Quantes taules plenes de cada tipus hi pot haver al menjador? Si llegim l’enunciat detingudament, veiem que tenim dues incògnites per esbrinar: el nombre de taules per a quatre persones i el nombre de taules per a dues persones. El problema és que només tenim una condició: el nombre de persones que hi ha en total al menjador és 40. Anomenem: x m nombre de taules de 4 places m Hi ha 4x comensals en taules de 4. y m nombre de taules de 2 places m Hi ha 2y comensals en taules de 2. Segons l’enunciat, escrivim la igualtat 4x + 2y = 40. El nombre de taules de cada tipus no pot ser un nombre qualsevol. Per tant, aquesta igualtat és una equació, perquè només es verifica per a uns determinats valors de x i de y. Es tracta d’una equació de primer grau amb dues incògnites. Com podem trobar els valors numèrics de x i y que verifiquen aquesta igualtat? És a dir, com podem obtenir la solució o les solucions d’aquesta equació? Podem recórrer al tempteig, però hem de tenir en compte que x i y només poden ser nombres naturals. Si considerem, per exemple, x = 7, aleshores: 4 · 7 + 2y = 40 m 28 + 2y = 40 m 2y = 12 m y = 6 Així, x = 7 i y = 6 és una solució de l’equació 4x + 2y = 40. Per tant, també és una resposta possible al problema, ja que 4 · 7 + 2 · 6 = 28 + 12 = 40, i a més, tant 7 com 6 són nombres naturals. Podem afirmar que al menjador hi pot haver 7 taules de 4 places i 6 taules de 2 places. També són solucions de l’equació els parells de valors següents: x = 2 i y = 16

x = 3 i y = 14

x=6iy=8

x = 4 i y = 12

x = 5 i y = 10

x=8iy=4

Fixa’t que no hi ha cap altre parell de valors més que també pugui ser solució de l’equació. Aquest problema té més d’una solució possible. Per saber quantes taules de cada tipus hi ha realment al menjador, l’enunciat ens hauria de donar una altra condició per al nombre de taules de 4 i 2 places. Per exemple, ens podria dir que hi ha el doble de taules de dues places que de quatre places. Segons aquesta segona condició, de totes les solucions possibles només n’hi ha una que verifiqui les dues condicions a la vegada: x = 5, y = 10 És a dir, hi ha 5 taules de 4 persones i 10 taules de 2 persones.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Resolució gràﬁca

Com podem saber si les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen alguna solució en comú? Un mètode podria consistir a buscar unes quantes solucions de cadascuna de les dues equacions i veure si n’hi ha alguna que les verifica alhora. Aquest mètode no és gaire aconsellable, ja que podem passar-nos molta estona buscant aquest parell de valors i no trobar-los, encara que existeixin. Podem representar gràficament les solucions de les dues equacions en un mateix sistema de coordenades cartesianes. D’aquesta manera, si tenen una solució en comú, les dues rectes es tallaran en un punt, les coordenades del qual seran solució de cadascuna de les dues equacions.

Dos punts determinen una recta.

Atès que es tracta de representar una recta en cada cas, ens limitarem a trobar només dues solucions per a cada equació, perquè una recta queda determinada si se’n coneixen dos punts. x + 2y = –1 x=1

1 + 2y = –1 m 2y = –2 m

y = –1

x = –3

–3 + 2y = –1 m 2y = 2 m

y=1

Els dos punt que hem de representar són: A1 (1, –1), A2 (–3, 1). 2x – y = 8 x=5

10 – y = 8 m –y = –2 m

y=2

x=0

0 – y = 8 m –y = 8 m

y = –8

Els dos punt que hem de representar són: B1 (5, 2), B2 (0, –8). Les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen una solució en comú, perquè les rectes que contenen les seves solucions es tallen en un sol punt. Podem determinar quina és aquesta solució observant en la gràfica quines són les coordenades d’aquest punt comú a les dues rectes. Tal com podem veure en la gràfica, el punt d’intersecció és P (3, –2). Comprovem que, efectivament, x = 3 i y = –2 és la solució comuna a les dues equacions donades: x + 2y = –1

2x – y = 8

3 + 2 · (–2) = 3 – 4 = –1

2 · 3 – (–2) = 6 + 2 = 8

Les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8, considerades alhora, constitueixen un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. L’escrivim:

x + 2y = –1 2x – y = 8

on x = 3 i y = –2 és la solució del sistema.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites consisteix a trobar els valors d’aquestes incògnites que veriﬁquen a la vegada les dues equacions.

Quan trobem la solució del sistema a partir de la representació gràfica de les solucions de cadascuna de les equacions, diem que hem resolt el sistema gràficament.

activitats resoltes 4. Resol gràficament el sistema

2x – y = 3 . 2x + y = –3

Representem gràficament les solucions de les dues equacions en un mateix sistema de coordenades cartesianes. Tal com hem fet abans, ens limitarem a trobar només dues solucions per a cada equació. 2x – y = 3 x=2 x = –1

4 – y = 3 m –y = –1 m –2 – y = 3 m –y = 5 m

y=1 y = –5

Els dos punts que hem de representar són: A1 (2, 1) i A2 (–1, –5). 2x + y = –3 x=1 x = –3

2 + y = –3 m –6 + y = –3 m

y = –5 y=3

Els dos punts que hem de representar són: B1 (1, –5) i B2 (–3, 3). Representem-ho gràficament:

Les dues rectes es tallen en el punt P (0, –3). Comprova que, efectivament, x = 0 i y = –3 és la solució comuna a les dues equacions donades.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Tipus de sistemes

En representar en una mateixa gràfica les solucions de les dues equacions de primer grau amb dues incògnites que formen el sistema, podem trobar-nos amb tres situacions diferents. Tot seguit les estudiem.

Les dues rectes es tallen en un punt 3x – 2y = 8 4x + y = 7

3x – 2y = 8

3x – 2y = 8 x=4

12 – 2y = 8 m –2y = –4 m

y=2

x=0

0 – 2y = 8 m –2y = 8 m

y = –4

Hem de representar els punts: A1 (4, 2) i A2 (0, –4). O

4x + y = 7

x=3

12 + y = 7 m

y = –5

x=0

0+y=7m

y=7

Hem de representar els punts: B1 (3, –5) i B2 (0, 7).

4x + y = 7

Les dues rectes es tallen en un punt. Les coordenades del punt en què es tallen són la solució del sistema. Aquest sistema d’equacions té una única solució. Diem que és compatible determinat.

Sistema compatible determinat Les dues rectes es tallen en un punt. El sistema té solució única.

Les dues rectes són paral·leles x+y=7 x + y = –2 x+y=7 x=0

0+y=7m

y=7

x=4

4+y=7m

y=3

Hem de representar els punts: A1 (0, 7) i A2 (4, 3). x + y = –2 x=1

1 + y = –2 m

y = –3

x=0

0 + y = –2 m

y = –2

Hem de representar els punts: B1 (1, –3) i B2 (0, –2). Les dues rectes no tenen cap punt en comú. El sistema no té solució. Diem que és incompatible. De fet, només cal fixar-se en el sistema proposat per veure que no pot tenir solució. Si dos valors numèrics x i y sumen 7, és impossible que aquests mateixos valors verifiquin també la condició de sumar –2.

Sistema incompatible Les dues rectes són paral·leles. El sistema no té solució.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Les dues rectes són coincidents x–y=3 –2x + 2y = –6 x–y=3 x=0

0 – y = 3 m –y = 3 m

y = –3

x = –2

–2 – y = 3 m –y = 5 m

y = –5

Representem els punts A1 (0, –3) i A2 (–2, –5). –2x + 2y = –6 x=0

0 + 2y = –6 m 2y = –6

y = –3

x=4

–8 + 2y = –6 m 2y = 2

y=1

Hem de representar els punts B1 (0, –3) i B2 (4, 1). Sistema compatible indeterminat Les dues rectes són coincidents. Nombre il·limitat de solucions.

Podem veure fàcilment que les dues equacions són equivalents. La segona equació s’obté de multiplicar tots els termes dels dos membres de la primera per –2. És per aquest motiu que en representar-les obtenim la mateixa recta.

Qualsevol solució de la primera equació és solució de l’altra, i també del sistema. Per tant, es tracta d’un sistema amb un nombre il·limitat de solucions. Diem que és compatible indeterminat. En definitiva, en la resolució de qualsevol sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites, només ens podem trobar amb un dels tres casos que hem analitzat. Abans de resoldre un sistema cal observar-lo bé, ja que molt sovint els sistemes compatibles indeterminats i els incompatibles es poden identificar a cop d’ull. En cas que no sigui així, segur que el sistema és compatible determinat. activitats resoltes 5. Determina el valor numéric de a i b en els sistemes

d’equacions següents, perquè les solucions siguin les indicades en cada cas: a)

x + ay = 12 2x – by =12

Solució: x = 8, y = 1.

3x – by = 1 ax + 4y = 3

No té solució.

2x + 3y = 4 ax + by = 12

Té infinites solucions.

a) Per trobar a i b, podem substituir en les dues equacions la x per 8 i la y per 1. Així: 8 + a = 12 m a = 4 2 · 8 – b = 10 m 16 – b = 10 m –b = –6 m b = 6 Per a a = 4 i b = 6, el sistema té solució x = 8 i y = 1.

b) El sistema no té solució, és incompatible. Les dues rectes que resulten de la representació gràfica de les solucions respectives són paral·leles. Podem identificar els valors de a i de b mentalment. Així, si prenem a = –3 i b = 4, obtenim un sistema incompatible. També obtenim un sistema incompatible per als valors a = 3 i b = –4. c) Si ha de tenir infinites solucions, el sistema ha de ser compatible indeterminat, és a dir, les dues rectes que resulten de la representació gràfica de les solucions respectives han de ser coincidents. Podem esbrinar mentalment els valors de a i de b. Atès que 12 és el triple de 4, llavors donem els valors a = 6 i b = 9, i obtenim dues equacions equivalents, la segona de les quals s’obté de multiplicar tots els termes dels dos membres de la primera per 3.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau

Ja hem vist que un sistema de dues equacions amb dues incògnites sempre es pot resoldre gràficament. La representació gràfica ens informa si existeix o no un punt de tall entre les dues rectes representades, és a dir, ens indica si el sistema té una única solució, si té un nombre il·limitat de solucions o bé no té solució. Si es tracta d’un sistema amb una única solució, la representació gràfica no ens proporciona amb exactitud les coordenades del punt de tall de les dues rectes, és a dir, la solució del sistema, especialment quan una de les coordenades o bé totes dues no són nombres enters. Podem tenir dificultats a l’hora de donar la solució del sistema amb precisió, encara que treballem amb paper mil·limetrat. En tot cas, ens proporciona una solució aproximada del sistema. Podem evitar aquesta dificultat utilitzant els mètodes algèbrics per resoldre sistemes. Tots tres persegueixen el mateix objectiu: transformar el sistema de dues equacions amb dues incògnites en un altre d’equivalent en el qual una de les equacions tingui una sola incògnita. Es tracta dels mètodes que anomenem de reducció, igualació i substitució. Tot seguit resoldrem per aquests tres mètodes algèbrics el sistema: 2x – y = 3 4x + 3y = –4

Mètode de reducció Aquest mètode de resolució es basa en una propietat que hem utilitzat molt sovint: es tracta de sumar membre a membre dues igualtats per obtenir una altra igualtat. Cal aconseguir que, quan sumem membre a membre les dues equacions que formen el sistema, en resulti una equació amb una sola incògnita. Això només succeeix quan els coeficients d’una de les dues incògnites són nombres oposats.

a=b +c=d a+c=b+d

En cas que sigui així, perfecte. Però, quan no és així, llavors cal multiplicar els dos membres d’una de les equacions o bé de totes dues pel nombre o els nombres convenients per aconseguir el nostre objectiu. Ho apliquem al sistema:

2x – y = 3 4x + 3y = –4

Si multipliquem per 3 la primera equació, obtenim una equació equivalent a l’anterior i aconseguim que els coeficients de y siguin dos nombres oposats: 2x – y = 3 4x + 3y = –4

multipliquem per 3 la primera equació

6x – 3y = 9 4x + 3y = –4 10x + 0y = 5

Així, sumant membre a membre les equacions, obtenim una equació amb una sola incògnita: 10x = 5

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Aquesta equació i una altra qualsevol del sistema formen un nou sistema equivalent a l’original. 2x – y = 3 2x – y = 3 2x – y = 3 m m 1 10x = 5 4x + 3y = –4 x= 2 Aquests tres sistemes són equivalents. 1 Ara substituïm la x per a la primera equació del sistema, per trobar la y: 2 1 –y = 2 y = –2 1–y=3 2· –y=3 2 m m m 1 1 1 1 x= x= x= x= 2 2 2 2 La solució del sistema és x =

1 i y = –2. 2

Comprovem les solucions: 1 2 · – (–2) = 1 + 2 = 3 2x – y = 3 2 m 1 4x + 3y = – 4 4 · + 3 · (–2) = 2 – 6 = – 4 2

Mètode d’igualació Si a = b i a = c, aleshores b = c.

Aquest mètode consisteix a aïllar la mateixa incògnita, la que resulti més fàcil, de cadascuna de les equacions, i a igualar les expressions obtingudes en cada cas. Aquestes expressions es poden igualar, perquè el valor de la incògnita ha de ser el mateix en les dues equacions del sistema. Apliquem-ho al sistema:

2x – y = 3 4x + 3y = – 4

Aïllem x en totes dues equacions: 3+y x= 2x – y = 3 2x = 3 + y 2 m m –4 – 3y 4x + 3y = – 4 4x = – 4 – 3y x= 4 Igualem les dues expressions obtingudes: 3+y –4 – 3y = m 6 + 2y = –4 – 3y m 5y = –10 m y = – 2 2 4 Ja hem aconseguit una equació de primer grau amb una incògnita, en aquest cas y. Aquesta equació forma amb qualsevol de les anteriors un sistema equivalent a l’original. y = –2 y = –2 y = –2 y = –2 y = –2 m m m m 1 4x + 3y = –4 4x + 3 · (– 2) = –4 4x – 6 = –4 4x = 2 x= 2 La solució del sistema és x =

1 i y = –2. 2

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Mètode de substitució En aquest cas, aïllem una de les incògnites d’una de les dues equacions i substituïm l’expressió obtinguda per a aquesta incògnita en l’altra equació. Això és possible perquè el valor de la incògnita ha de ser el mateix en les dues equacions del sistema. Evidentment, en aquest cas també és recomanable aïllar la incògnita que resulti més fàcil. Per exemple, podem aïllar y de la primera equació: 2x – y = 3 –y = 3 – 2x y = –3 + 2x m m 4x + 3y = – 4 4x + 3y = – 4 4x + 3y = – 4 Ara substituïm aquesta expressió en la segona equació del sistema, i obtenim una equació de primer grau amb una sola incògnita, x. Procedim com en els dos mètodes anteriors: 4x + 3 · (–3 + 2x) = –4 m 4x – 9 + 6x = –4 m 10x = 5 m x =

1 2

1 1 x= x= 1 x= 1 x= 2 m m m 2 2 2 1 y = –3 + 2 · y = –3 + 2x y = –3 + 1 y = –2 2 La solució del sistema és x =

1 i y = –2. 2

La solució del sistema no depèn del mètode triat per resoldre’l. Per tant, podem triar el mètode que ens convingui més.

En resoldre algèbricament un sistema, podem trobar-nos amb una d’aquestes tres situacions: Sistema compatible determinat: ax = b o cy = d amb a ≠ 0 i c ≠ 0 Sistema compatible indeterminat: 0x = 0 o 0y = 0 Sistema incompatible: 0x = b o 0y = d amb b ≠ 0 i d ≠ 0

Fins ara, tots els sistemes que hem resolt eren de la forma: ax + by = c dx + ey = f

amb a, b, c, d, e i f nombres enters.

Però, de la mateixa manera que en les equacions de primer grau amb una incògnita, podem trobar sistemes les equacions dels quals tinguin parèntesis, denominadors, etc. 53

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

activitats resoltes 6. Resol el sistema següent: 3 · (x – 2y) x – 10 = 5 3 x–1 y+3 – =x–y 2 3 Primerament, apliquem la propietat distributiva per treure el parèntesi de la primera equació: 3x – 6y x – 10 = 5 3 x–1 y+3 = =x–y 2 3 Multipliquem els membres de cada equació pel m. c. m dels denominadors respectius i obtenim el sistema equivalent:

amb tres incògnites. El podem resoldre utilitzant els mètodes explicats anteriorment. Fem servir el mètode de reducció, que és el més fàcil i ràpid. Fixa’t-hi: Sumem la primera i la tercera equacions i obtenim una nova equació equivalent a les anteriors, que relaciona la x i la y. x+ y+z= 6 2x + 3y – z = 5 3x + 4y / = 11 Sumem la segona equació amb la tercera, multiplicant prèviament la segona equació per 2. Obtenim una nova equació equivalent a les anteriors i que també relaciona la x i la y. 3x – y + 2z = 7 2x + 3y – z = 5

4x + 6y – 2z = 10

3 · (3x – 6y) = 5 · (x – 10) 3 · (x – 1) – 2 · (y + 3) = 6 · (x – y) Ara tornem a aplicar la propietat distributiva, fem la transposició de termes i reduïm els termes semblants per tal d’arribar a obtenir un sistema equivalent més senzill, del tipus que hem resolt fins ara. 9x – 18y = 5x – 50 m 3x – 3 – 2y – 6 = 6x – 6y 4x – 18y = –50 m –3x + 4y = 9

2x – 9y = –25 m –3y + 4y = 9

Fixa’t que hem dividit els dos membres de la primera equació per 2. Per resoldre el sistema pel mètode de reducció, podem multiplicar la primera equació per 3 i la segona per 2: 6x – 27y = – 75 m –6x + 8y = 18 \ –19y = –57 m

–19y = –57 y=3 m m –3x + 4y = 9 –3x + 4y = 9

y = 3 y=3 y=3 m m m –3x + 12 = 9 –3x = –3 x = 1

La solució del sistema és x = 1 i y = 3.

7. Resol el sistema:

x+y+z=6 3x – y + 2z = 7 2x + 3y – z = 5

Resoldre aquest sistema consisteix a trobar els valors de x, y i z que verifiquen alhora aquestes tres igualtats. Es tracta d’un sistema de tres equacions de primer grau

3x – y + 2z = 7

7x + 5y

/ = 17

Ara podem resoldre el sistema format per les dues noves equacions obtingudes, multiplicant la primera equació per 7 i la segona per –3: 3x + 4y = 11 7x + 5y = 17

21x + 28y = 77

–21x – 15y = –51 /

13y = 26 m y = 2

Sustituïm y per 2 a la primera equació: 3x + 8 = 11 m 3x = 3 m x = 1 Ja sabem que x = 1 i y = 2. Per determinar el valor de z, podem substituir x i y en qualsevol de les tres equacions inicials. Escollim la primera, ja que és més senzill: x + y + z = 6 m 1 + 2 + z = 6 m z = 3 La solució del sistema és: x = 1, y = 2 i z = 3. Comprovem que aquesta solució verifica les altres dues equacions inicials: 3x – y + 2z = 7 m 3 · 1 – 2 + 2 · 3 = 3 – 2 + 6 = 7 2x + 3y – x = 5 m 2 · 1 + 3 · 2 – 3 = 2 + 6 – 3 = 5 Fixa’t que hem aplicat el mètode de reducció tres vegades. Les equacions escollides en cada cas podien haver estat unes altres, però això no fa variar la solució del sistema. Convé triar sempre les que requereixen menys transformacions. Ja veus que no hi ha una única manera de resoldre aquest sistema. També podríem haver resolt el sistema utilitzant el mètode de substitució o el d’igualació, però el procediment és força més complicat.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Resolució de problemes

Els sistemes d’equacions poden ser molt útils a l’hora de plantejar la resolució de molts problemes en què apareixen dues incògnites. De la mateixa manera que succeix amb els problemes que resolem mitjançant una equació de primer grau amb una incògnita, en primer lloc haurem de traduir l’enunciat del problema al llenguatge algèbric. A diferència de les equacions, en el cas dels sistemes haurem de determinar dues incògnites, de manera que també caldran dues equacions per arribar a trobar el valor nùmeric de cada incògnita. Resoldrem alguns problemes per veure-ho millor. – En Joan Andreu ven dues classes de cafè: cafè natural a 4,50 €/kg i cafè torrefacte a 3,20 €/kg. Quants quilograms de cafè de cada tipus ha d’agafar per aconseguir una barreja amb un preu de venda que resulti a 4 €/kg, si la barreja ha de contenir 3 kg més de cafè natural que de torrefacte i el propietari de la botiga no vol tenir pèrdues ni beneficis en aquesta operació? Primer de tot, cal determinar les incògnites. Anomenem: x m nombre de quilograms de cafè natural y m nombre de quilograms de cafè torrefacte La primera condició: a la barreja hi ha d’haver 3 kg més de cafè natural que de torrefacte. Plantegem l’equació: x=y+3 Com que no vol obtenir ni pèrdues ni beneficis, llavors cal que es verifiqui aquesta segona condició: l’import de la venda dels x kg de cafè natural i dels y kg de cafè torrefacte separadament ha de ser igual a l’import de la venda dels (x + y) kg de barreja. Això ens porta a plantejar aquesta segona equació: 4,50x + 3,20y = 4 · (x + y) Com que cal que aquestes dues condicions es verifiquin a la vegada, escrivim el sistema que resulta de considerar les dues equacions plantejades anteriorment: x=y+3 4,5x + 3,2y = 4 · (x + y) Operem per tal d’obtenir sistemes equivalents: x=y+3 x=y+3 m 4,5x + 3,2y = 4x + 4y 0,5x – 0,8y = 0 Resolem el sistema per substitució: x=y+3 x=y+3 x=y+3 m m m 0,5 · (y + 3) – 0,8y = 0 0,5y + 1,5 – 0,8y = 0 –0,3y = –1,5

x=y+3 x=y+3 x=5+3 x=8 m m –1,5 m y=5 y=5 y=5 y= –0,3

La solució del sistema és x = 8 i y = 5. 55

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

En definitiva, en Joan Andreu ha d’agafar 8 kg de cafè natural i 5 kg de cafè torrefacte per obtenir una barreja que costi 4 €/kg. Comprovem-ho:

8–5=3 4,5 · 8 + 3,2 · 5 = 36 + 16 = 52 4 · (8 + 5) = 4 · 13 = 52

Aquest problema també es pot resoldre amb una sola equació. Fixa’t que si considerem la primera condició del problema podem anomenar: x – 3 m nombre de quilograms de cafè torrefacte x m nombre de quilograms de cafè natural Si tenim en compte la segona condició del problema, aleshores podem plantejar l’equació següent: També podríem anomenar: x + 3 m quilograms de cafè natural x m quilograms de cafè torrefacte

4,5x + 3,2 · (x – 3) = 4 · (x + x – 3) Resolem l’equació: 4,5x + 3,2x – 9,6 = 4 · (2x – 3) m 7,70x – 9,6 = 8x – 12 7,70x – 8x = –12 + 9,6 m –0,30x = –2,4 m x = 8 Calen 8 kg de cafè natural i 5 kg de cafè torrefacte per fer la barreja a 4 €/kg. La resposta al problema no depèn del mètode emprat per resoldre’l.

Et recomanem, però, que si la informació de l’enunciat del problema ho permet, utilitzis per resoldre’l el plantejament d’una equació amb una sola incògnita. Ja has vist que alguns problemes es poden resoldre indistintament mitjançant una equació de primer grau amb una incògnita o bé mitjançant un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Tot depèn de si una de les condicions del problema permet relacionar de manera senzilla les dues incògnites o no. Vegem un exemple de problema que és millor resoldre mitjançant un sistema d’equacions. – Un nombre consta de dues xifres que sumen 6. Si sumem la tercera part d’aquest nombre i la sisena part del que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres, obtenim 15. Quin és aquest nombre? En fer la traducció algèbrica, cal anar amb molt de compte: cal diferenciar molt clarament entre el que és el nombre i el que són les seves xifres. Vegem-ho amb un exemple:

Cal diferenciar: Nombre de dues xifres: xy Les xifres del nombre: x i y Valor del nombre: 10x + y

Si agafem el nombre 45, està format per dues xifres, 4 i 5. Les dues xifres sumen 4 + 5 = 9, però cal tenir present que el valor d’una xifra en un nombre depèn de la posició que hi ocupa. D’aquesta manera, el nombre 45 es pot escriure així: 45 = 4 · 10 + 5 · 1, ja que 4 és la xifra de les desenes i 5 és la xifra de les unitats. Per tant, si representem per x la xifra de les desenes i per y la de les unitats, tenim: Primera condició: la suma de les xifres és igual a 6 m x + y = 6. Segona condició: la suma de la tercera part del nombre amb la sisena part del que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres és igual a 15.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Continuant amb l’exemple anterior, si invertim l’ordre de les xifres del nombre 45 obtenim el nombre 54. En general, quan invertim l’ordre de les xifres d’un nombre de dues xifres, la xifra de les desenes passa a ser la xifra de les unitats i a l’inrevés. Per tant, si x representa la xifra de les desenes i y, la de les unitats, el nombre que busquem es pot representar per l’expressió 10x + y, i el que resulta d’invertir l’ordre de les xifres, per 10y + x. Segons l’enunciat, es verifica que: 10x + y 10y + x + = 15 3 6 Com que les dues condicions s’han de complir simultàniament, escrivim el sistema format per les dues equacions plantejades i el resolem: x+y=6 x+y=6 m m 10x + y 10y + x 20x + 2y + 10y + x = 90 + = 15 3 6 m

x+y=6 x+y=6 m 21x + 12y = 90 7x + 4y = 30

Resolem el sistema per reducció multiplicant la primera equació per –7: –7x – 7y = –42 x+y=6 x+y=6 x+4=6 m m m m 7x + 4y = 30 –3y = –12 y=4 y=4 _______________ / –3y = –12 m

x=2 y=4

El nombre de dues xifres que verifica les condicions de l’enunciat és 24. Comprovem-ho: 2 + 4 = 6

24 42 + = 8 + 7 = 15 3 6

Fixa’t que en aquest cas, ateses les condicions de l’enunciat, no hem tingut més remei que plantejar un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites.

activitats resoltes 8.

La base d’un rectangle és 3 cm més gran que l’altura. Si augmentem en 2 cm la longitud de la base i l’altura d’aquest rectangle, la seva àrea augmenta en 26 cm2. Quines són les dimensions del rectangle inicial?

Podem anomenar x la longitud de la base o bé la longitud de l’altura. El resultat final és independent d’aquesta tria. Si decidim que x és la mesura de l’altura expressada en centímetres, aleshores la base farà 3 cm més i, per tant:

Hem de trobar les dues dimensions del rectangle: la base i l’altura. Tenim dues incògnites, però les podem expressar utilitzant-ne una de sola, perquè hi ha una condició que les relaciona: la base del rectangle mesura 3 cm més que l’altura.

x m mesura de l’altura en centímetres x + 3 m mesura de la base en centímetres Com que es tracta d’un problema geomètric, és aconsellable dibuixar-ne les figures.

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Això ens ajudarà a visualitzar millor la situació que planteja el problema.

Àrea rectangle petit: A1 = x · (x + 3) = 4 · 7 = 28 m 28 cm2 A2 – A1 = 54 cm2 – 28 cm2 = 26 cm2 Podríem haver anomenat x la base del rectangle, i x – 3, l’altura. El valor d’aquesta x ens donaria un resultat diferent, però les dimensions del rectangle serien les mateixes i, per tant, l’àrea també. Aquest problema també es pot resoldre mitjançant el plantejament d’un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites. Per exemple, si anomenem x la longitud de la base del rectangle inicial i y l’altura, plantegem el sistema següent: x=y+3 (x + 2) · (y + 2) – xy = 26

També cal que les unitats de mesura siguin coherents. Si no és així, hem de fer les transformacions necessàries. En el nostre cas, les longituds estan expressades en centímetres, i l’àrea, en centímetres quadrats. Per tant, no cal fer transformacions. Si augmentem en 2 cm la base i l’altura del rectangle inicial, n’obtenim un altre de més gran, les dimensions del qual seran: x + 2 m mesura de l’altura en centímetres x + 5 m mesura de la base en centímetres Com que l’enunciat del problema diu que en augmentar les dimensions del rectangle inicial obtenim un rectangle més gran que té 26 cm2 més que l’anterior, ja tenim la condició: l’àrea del rectangle gran menys l’àrea del rectangle petit és igual a 26 cm2. Per trobar l’àrea d’un rectangle només cal multiplicar les seves dues dimensions. Per tant: Àrea del rectangle petit, A1 = x · (x + 3) Àrea del rectangle gran, A2 = (x + 2) · (x + 5) Ara plantegem l’equació: A2 – A1 = 26 cm2 (x + 2) · (x + 5) – x · (x + 3) = 26 x2 + 5x + 2x + 10 – x2 – 3x = 26 m 4x = 16 m x = 4 L’altura del rectangle mesura 4 cm, i la base, 7 cm. Comprovem-ho: Àrea rectangle gran: A2 = (x + 2) · (x + 5) = 6 · 9 = 54 m 54 cm2

Comprova que la solució d’aquest problema no depèn del mètode emprat per resoldre’l.

Dos nombres enters sumen 45. Si dividim l’un per l’altre, obtenim 2 de quocient i 6 de residu. Quins són aquests nombres? Primera condició: si els dos nombres sumen 45, podem anomenar x el primer, i 45 – x, el segon. Segona condició: si dividim l’un per l’altre, obtenim 2 de quocient i 6 de residu. x

45 – x m x = (45 – x) · 2 + 6

Resolem l’equació: x = (45 – x) · 2 + 6 m x = 90 – 2x + 6 m 3x = 96 m m x = 32 Si x = 32, llavors 45 – x = 45 – 32 = 13. Els dos nombres són 32 i 13. 4 tal que si restem 5 cinc unitats de cadascun dels seus dos termes 3 resulti una nova fracció equivalent a . 4

10. Busca una fracció equivalent a

Anomenem x el numerador de la fracció buscada i y el denominador. Així, la fracció és

x . y

Primera condició: la fracció és equivalent a x 4 = y 5

4 : 5

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Segona condició: si restem cinc unitats al numerador i del denominador d’aquesta fracció, la nova fracció 3 resultant és equivalent a : 4 x–5 3 = y–5 4

4x – 20 = 3y – 15

y + z = 26

20x – 16y =

–20x + 15y = –25

Amb aquestes tres condicions, plantegem un sistema de tres equacions de primer grau amb tres incògnites. Apliquem el mètode de reducció per resoldre el sistema:

5x – 4y = 0

x–y=2

4x – 3y = 5

y + z = 26

Resolem el sistema per reducció, multiplicant la primera equació per 4 i la segona per –5:

x–y=2

x–z=6

4 · (x – 5) = 3 · (y – 5)

5x – 4y = 0

– En Joan té 2 anys més que la Maria:

– La Carme té 6 anys menys que en Joan:

5x = 4y

Fixa’t que l’enunciat ens planteja tres condicions:

– Les edats de la Carme i la Maria sumen 26 anys:

Les dues condicions s’han de verificar alhora. Plantegem el sistema: x 4 = y 5 x–5 3 = y–5 4

x–z=6

Sumem membre a membre la primera equació i la segona, per obtenir una equació equivalent a les anteriors que relacioni la x i la z:

– y = –25 x–y

–y = –25 5x = 4y

m La fracció

y = 25 5x = 4 · 25

y = 25 x = 20

20 x és . 25 y

Comprovem-ho:

20 4 20 – 5 15 3 = ; = = . 25 5 25 – 5 20 4

= 2

y + z = 26 x / + z = 28 Sumem membre a membre l’equació obtinguda i la tercera equació del sistema: x + z = 28 x–z= 6 2x / = 34 m x = 17 Substituïm x en la primera equació per trobar y:

11. En Joan té dues germanes: la Maria i la Carme. Es-

x – y = 2 m17 – y = 2 m y = 15

brina les edats de cadascú sabent que en Joan té 2 anys més que la Maria, que les edats de la Carme i la Maria sumen 26 anys i que la Carme té 6 anys menys que en Joan.

Substituïm y en la segona equació per trobar z:

L’enunciat fa referència a tres persones l’edat de les quals desconeixem. Podem representar per:

La solució del sistema d’equacions és:

x: edat d’en Joan y: edat de la Maria z: edat de la Carme

y + z = 26 m 15 + x = 26 m z = 11

x = 17, y = 15 i z = 11. Les edats dels tres germans són: en Joan té 17 anys, la Maria en té 15 i la Carme, 11.

Activitats

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Proposades 1. Donades les igualtats següents, indica en cada cas si es tracta d’una identitat o d’una equació. En el cas que sigui una equació, troba’n la solució. a) 3 · (x + 1) = 2 · (x – 2)

2. Indica quin dels valors proposats per a x és solució de cadascuna de les equacions següents: a) 2 · (x + 1) – 5x = 3 – 2 · (x – 1) 3 x = –3 x=3 x= 4 1 b) · (x – 2) + 2 · (3 – x) = 8 2 1 x = –2 x=0 x= 2 3. Resol les equacions següents: a) 7 + 3 · (2 + x) – 3x = 2x + 9

( 13 – 1,5x)

6. Troba quatre solucions per a cadascuna de les equacions següents: a) 3x – 4y = 1

b) x – 3y = 0

c) –x + y = –1

d) 4x – 5y = –20

7. Esbrina si els valors de x i y donats són solució de cadascuna d’aquestes equacions: 7 a) 3x – 7y = 4 x=0 y= 4 1 x=2 y=6 b) x + y = 7 2 c) x – y = 9 x = 10 y = –1 1 y=0 d) 5x – 1 = y x= 5 8. Indica quins dels parells de valors següents són solució de l’equació 7x – 3y = 4: b) x = 1, y = 1

2 2 c) x = , y = – 7 3

x – 3 1 – 2x – = –2 · (1 – x) 2 6

( 12 )

e) (2x – 5) · (1 – x) = (4 – 2x) · x – f)

1 x 5 x+ – x–5=0 2 3 6

a) x = 4, y = –8

x–3 x–1 c) – = –1 2 7 d)

f) (x – 2) · x – x2 = 0 g)

b) (a – 5) · 2 + 3 · (2a – 1) = 2a – 13 2x 5x = c) x + 5 3 2 d) p – 25 = (p + 5) · (p – 5)

b) 2,5 – x = 6 ·

e) (x – 2) · (x + 2) = x · (x – 1)

9. En representar gràficament les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites, hem obtingut aquesta recta. Indica quatre solucions d’aquesta equació. y

–3 · (x + 3) 5 · (x – 1) = 4 2

4. Aïlla x en cadascuna de les igualtats següents: a) ax + b = 0 c)

a b = x c

b) ax + b = x d)

–1 1 = a x

5. Resol les equacions següents: a) 1 – (3x – 2) – 2 · (x – 1) = 5 · (1 – 2x) b) x + 5 · (x + 3) = 3 · (2x + 4) c)

2x + 4 x–1 = 5 3

d) (x + 1)2 – x 2 = 9

10. Esbrina, sense dibuixar-la, si la recta que resulta de representar gràficament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa per cadascun dels punts següents: 13 a) P1 (4, 1) b) P2 –1, 3

(

c) P3 0,

–11 3

)

(

d) P4 (4, –1)

)

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Act ivit ats

11. Troba tres solucions de l’equació 4x – 6y = 10 i comprova que també són solucions de l’equació 2x – 3y = 5. Sabries esbrinar el motiu d’aquesta coincidència? 12. Representa gràficament les solucions de l’equació –6x + y = 7. Quin és el nombre mínim de solucions que cal trobar per fer-ne la representació gràfica? Justifica’n la resposta. 13. La representació gràfica d’una equació de primer grau amb dues incògnites passa pels punts P1 (2, –3) i P2 (–4, 2). Representa gràficament algunes de les moltes altres solucions d’aquesta equació. 14. Resol gràficament els sistemes d’equacions següents: a)

x – 2y = –7 4x – y = 0

19. Resol per igualació els sistemes següents: a)

2x – y = 1 7x – 9y = –2

x – 6y = 4 2x – 3y = 11

x – 3y = 1 5x + 3y = –13

2x + 3y = 4 6y + 4x = 9

20. Resol per substitució els sistemes següents: a)

2x – 3y = –2 4x + 5y = 40

5x – y = 23 3y – x = –13

2x + 3y = 15 –3y – 2x = 9

y – 3x = 0 3x – y = 0

21. Resol pel mètode més adequat els sistemes següents: a)

4y – 3 · (x – 2) = –10 3 · (x – y) – 8 = 2x – y

x+2 y–5 = 3 6 2 · (x + 2) = y – 5

x+y+z=9 27x + 9y + 3z = 93 8x + 4y + 2z = 36

2x – 2y = 6 x–y=3

x+y=5 3x – 3y = 9

x – 2y = 0 2x + y = 0

3x – 2y = 3 x+y=6

y–x=0 2x + y = 3

2x + 5y = 7 és compati4x – py = 14 ble indeterminat. Quin és el valor de p?

15. Sabem que el sistema

7x + y + 3z = 52 d) 4x – 5y + 6z = 13 x + 15y – 9z = 52

16. Troba el valor de m i n perquè x = 1, y = 2 sigui la 2x + y = n solució del sistema y 4x – = m 2

22. En temporada de rebaixes, en Jordi compra un microones i li fan un descompte del 12 %. Si paga 237,60 €, quin era el preu de venda del microones abans de les rebaixes?

17. Indica de quin tipus és cadascun dels sistemes següents, sense fer-ne la representació gràfica:

23. La raó entre dos nombres és

6x + 15y = 21 2x + 5y = 7

x+y=8 2x + 2y = 5

3x + y = –5 x – y = –3

x – 2y = 4 –x + 2y = –4

18. Resol per reducció els sistemes següents: a)

x–y=5 x+y=3

x + y = 25 2x – y = 35

–3x + 6y = –9 x + 7y = –3

x – 3y = 10 3x + 4y = 4

5 . Si restem 10 al 3 primer i sumem 10 al segon, la raó s’inverteix. Quins són aquests nombres?

24. Una garrafa és plena de vi. Se’n treu la tercera part i, després, la meitat del que hi queda. Si en finalitzar la segona extracció encara queden 24 L a la garrafa, quina quantitat de vi hi havia al principi? 25. Un pare té actualment 5 vegades l’edat del seu fill. D’aquí a tres anys, la seva edat només serà quatre vegades superior. Quina edat té ara cadascú?

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

26. Dos nombres sumen 70. Si dividim el més gran entre 10 i el més petit entre 3 i sumem els quocients, el resultat és 14. Quins són aquests nombres? 27. Si augmentem en 3 cm el costat d’un quadrat, obtenim un altre quadrat l’àrea del qual supera en 51 cm2 la del quadrat original. Quant mesura el costat del primer quadrat? 28. Divideix el nombre 571 en dues parts tals que si dividim la gran entre la petita s’obtingui 3 de quocient i 87 de residu. 29. Un comerciant compra dos rellotges per 3 000 € i els ven per 3 225 €. Quant ha pagat per cada rellotge, si en la venda del primer hi ha guanyat el 20 % i en la del segon hi ha perdut el 5 %? 30. La diferència entre dos nombres és 9. Si dividim l’un entre l’altre, obtenim 2 de quocient i 3 de residu. Quins són aquests nombres? 31. L’import de dues factures puja 2 750 €. Si en l’una ens haguessin fet un descompte del 5 %, i en l’al-

Act ivit ats

tra, del 10 %, hauríem pagat 2 550 €. Determina l’import de cada factura. 32. Quina és l’edat dels pares de la Mariona sabent que el pare té tres anys més que la mare i que la setena part de l’edat del pare més la desena part de l’edat de la mare és 15. 33. En una taula d’un bar es consumeixen 3 cafès i 2 ensaïmades i es paguen 7,60 €. En una altra taula consumeixen 2 cafès i 3 ensaïmades i paguen 8,40 €. Quin és el preu d’un cafè en aquest bar? I d’una ensaïmada? 34. En un parc hi ha pins, avets i alzines. Quants exemplars de cada espècie hi ha al parc, si sabem que el nombre d’avets i de pins junts suma 27, que el nombre d’avets i d’alzines junts és 22 i que el nombre de pins i d’alzines junts és 25. 35. En Marc ha fet tres exàmens de matemàtiques. La suma de les tres notes és 18. La primera nota supera la segona en dos punts. La diferència entre la tercera nota i la segona és d’un punt. Quines són les notes obtingudes pel Marc si la nota d’un examen és de 10 punts com a màxim?

Reforç 1 5 , – , –1 i 0 són les solucions de 2 3 les equacions següents. Relaciona cada equació amb la seva solució:

1. Els nombres

a) 6 · (x – 1) = x + 3 · (x – 2) b) 2x + 1 = x +

d) 3 + (x – 1) · (x + 4) = (x +2) · (x – 2) 2. Resol les equacions següents: a) 3 · (x – 3) – 4 · (2 – 3x) = 2 · (1 – 2x)

( ) (

3 1 = 2x + 5 x–1

e) 5 + x2 = (x – 2)2 f ) (3x – 2) · 8 – 4 · (5 + 6x) = 6 · (4 – x) g) 10 – x2 = 4x – (x – 3)2

3 2

c) 4 – 2 · (x + 3) = 13 – 5 · (x + 4)

)

2 x x 1 x · –3 =2· – – 3 5 3 2 5 x–2 x–4 x–3 – – =0 2 4 3

(

x+4 x 2 – 2 · (x – 5) = –5 · – 3 15 5

)

3. Esbrina si els valors de x i y proposats són solució de cadascuna de les equacions següents: a) 7x + 2y = 26 x=–

1 i y = 13 7

27 1 iy=– 7 2

b) 2x – 5y = –1 x=0iy=5

x = –5 i y = –

9 5

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Act ivit ats

4. Troba cinc solucions per a cada una de les equacions: a) 2x – 2y = 0

11. Resol per reducció els sistemes següents: –5x + 9y = 4 a) 2x – 7y = –5

b) 3x + y = 20 c) 2x – y = 5

d) 3x + 2y = 10

2x y 11 + = 2 6 b) 3 5 y–x= 2

13x + 19y = 32 39x – 7y = 32

e) x – 4y = 12 12. Resol algèbricament els sistemes següents: 5. Troba el valor de m perquè l’equació 5x – my = 18 tingui com a solució x = 3 i y = 1. 6. Representa en una mateixa gràfica algunes de les solucions de les equacions –4x + y = 9 i –3x + y = 7. Tenen cap solució en comú? Comprova la teva resposta resolent algèbricament el sistema d’equacions. 7. Digues de quin tipus són els sistemes següents: a)

2x + 5y = 7 4x + 10y = 14

x–y=7 –2x + 2y = 0

x–y=4 2x – y = 8

x+y=7 x–y=1

8. Troba el valor de m perquè el sistema següent sigui incompatible: 2x + y = 5 4x + 2y = m Comprova la solució resolent el sistema algèbricament. 9. Resol per igualació els sistemes següents: a)

–2x + y = 11 4y + 3x = 22

–7y + 2x = 3 –4x + 14y = 2

x – y = –2 6x = 5y

10. Resol per substitució els sistemes següents: a)

2x + 3y = 2 –6y – 6x = 1

2x – y = y y = 1,5x + 7

2x – y – 3 = 0 3 · (x – 2) = x + y

3x – 4y = 13 a) y + 1 x – 3 = 5 2

x = y 2 9 x – y – 14 = 0

2 · (x + 2) – y = –5 y–5 x+2= 2

13. Resol algèbricament els sistemes següents: x – 2y = –10 a) x 3 = y 4

2x + y – z = 7 y–z=1 3z – y = 1

x–1 – y+3 =x–y 2 3 b) y x+ =2 3 x+y=1 d) y + z = 9 x+y+z=0

14. Per una bicicleta rebaixada el 8 % hem pagat 115 €. Quin era el preu abans de la rebaixa? 15. Troba dos nombres enters consecutius que sumin 60. 16. El perímetre d’un rectangle fa 28 cm. Calcula l’àrea d’aquest rectangle sabent que una de les seves dimensions és 4 cm més gran que l’altra. 17. Determina una fracció tal que, en sumar 2 al seu numerador, es transformi en 1, i en sumar 5 al de1 nominador, s’obtingui una fracció equivalent a . 2 18. Un pare té 49 anys, i el seu fill, 26. Quants anys fa que l’edat del pare era el doble de la del fill? 63

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

19. La Mercè té 20 monedes a la seva guardiola, unes de 50 cèntims i unes altres de 20 cèntims. Quantes monedes té de cada tipus si sumen un total de 5,50 €? 20. Un nombre consta de dues xifres que sumen 9. Troba’l sabent que supera en 9 unitats el nombre que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres. 21. Per tancar una finca rectangular, s’utilitzen 1 300 m de filat. Calcula les dimensions del terreny sabent que si tingués 100 m menys de llargada i 100 m més d’amplada, seria quadrat. 22. Un comerciant té dues classes de sucre de canya, l’una a 2 €/kg i l’altra a 2,50 €/kg. Quants quilograms de cada classe ha de barrejar per obtenir 80 kg de sucre a 2,20 €/kg si no pretén guanyar ni perdre diners en l’operació?

1. Aïlla la lletra x en cadascuna de les igualtats següents: a) 2ax = ax + 3b b) qx + 2x – a = 3x + 2c

(

)

a a a 37a – 2x – + 4x – = 3x – 5 10 4 20

2. Resol: a)

3 2 = –2 · (2 + 3x) –4 · (x + 3)

b) (2x + 1)2 – (2x – 1)2 = 208

1+ x 2 x 1– 2

5 3

d) –9 · (x + 4) · (x – 5) = 3x · (2 – 3x) e)

23. Uns pantalons i una americana valen 210 €. Quin és el preu de cada peça de roba si el preu dels 3 pantalons és del de l’americana? 7 24. En Martí té una gallina, un gos i un gat. Ajuda’l a esbrinar el pes de cada animal si sap que la gallina i el gos pesen conjuntament 10 kg; el gos i el gat, 11 kg, i la gallina i el gat, 7 kg. 25. Busca dos nombres tals que si sumes 7 al primer, obtens el segon, i si afegeixes 3 al segon, obtens el doble del primer. 26. En una parada del mercat hi ha llebres i galls dindi. Si en total es compten 23 caps i 68 potes, quantes llebres i quants galls dindi tenen per vendre?

Ampliació

c) x –

Act ivit ats

1 x+3 x–2 · (3x + 1) – – =x+5 3 5 10 x+ 1 2 2x – 1 =0 – 4 3

1 =1+ 1 1 x+ 1+ 2 3 x–3 x–5 = h) x–4 x–6 g) 1+

3. Troba el valor de m perquè l’equació: x+2 m · (1 – 2x) x–3 – = 3 6 2 tingui com a solució x = –2. 4. Representa en una mateixa gràfica algunes de les solucions de les equacions següents: x–y=4

x + 2y = 10

x+y=0

Determina les coordenades dels tres vèrtexs del triangle que determinen les rectes representades corresponents. 5. La representació gràfica de l’equació ax + by = 15 passa pels punts de coordenades P1 (2, –1) i P2 (–2, –29). Troba els valors de a i b. 6. Sigui el sistema:

x – 2y = 8 mx – 4y = 16

Quin ha de ser el valor de m perquè el sistema sigui compatible indeterminat?

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Act ivit ats

7. Considera el sistema:

x–y=4 3x – 3y = m

Quins valors pot tenir m perquè el sistema sigui incompatible? 8. Resol algèbricament els sistemes següents:

x–7 – y–6 =x–y–1 11 3 x + y – 2 11 = x–y+1 2 x–2 =5 y+1

12. Un venedor ha fet un viatge amb cotxe. Ha dividit el trajecte en dues etapes: en la primera ha consumit la meitat de la benzina que tenia al dipòsit, i en la segona, la meitat de la que hi quedava. Si al dipòsit de l’automòbil hi han quedat encara 10 L de carburant, quants litres de benzina ha consumit en cada etapa? Quants quilòmetres ha recorregut en total si el cotxe consumeix una mitjana de 6,25 L cada 100 km? 13. Dos comerciants compren, respectivament, 90 i 100 llaunes de conserva a 3 € la unitat. El primer les ven 0,50 € més cares que el segon, però els dos hi guanyen el mateix quan les venen. Troba el preu de venda que ha establert cada comerciant.

(x – 2)2 – 3y = x2 – 24

1 + 1 =5 x y 1 1 – = –1 x y 2 + 3 =2 x y 7 6 3 – = x y 2

9. Resol els sistemes d’equacions següents:

x – y +z=7 2 3 y z x + + = 11 2 3 x z +y– =5 3 2 x + 2y 7 = 5x + 6z 9

3x + 4z 8 = x + 2y 7 x + y + z = 128

10. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la diferència entre els seus quadrats és 384. Quins són aquests nombres? 11. En una fracció, el denominador és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al numerador, la fracció que en resulta és igual a la inversa de la fracció original. Quina és aquesta fracció?

14. Les edats d’una mare i el seu fill sumen 83 anys. Quan la mare tenia l’edat del fill, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrina l’edat de cadascun. 15. Esbrina l’edat del pare de la Gemma sabent que el nombre que expressa els anys que té és 6 vegades la suma de les seves dues xifres, i que fa 9 anys la seva edat s’expressava amb les mateixes xifres que les de l’edat que té ara. 16. El perímetre d’un rectangle fa 22 cm. En augmentar 3 cm una de les dimensions del rectangle i 2 cm l’altra, la seva àrea augmenta 32 cm2. Determina les longituds dels costats d’aquest rectangle. 17. Esbrina la quantitat de diners que tenen tres persones sabent que si afegim al que té la primera la meitat del que tenen les altres dues juntes, resulten 150 €; si afegim al que té la segona la meitat del que tenen les altres dues juntes, obtenim 165 €; sumant el que té la tercera i la meitat del que tenen les altres dues juntes, resulten 185 €. 18. Un lladre fuig a 70 km/h, i 90 km més enrere el persegueix un policia a 85 km/h. Quan i on l’atraparà? 19. Els costats d’un triangle mesuren 13 cm, 14 cm i 17 cm. Amb centre als seus tres vèrtexs dibuixem tres circumferències que són tangents entre si, dues a dues. Determina els radis de les circumferències. 65

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Act ivit ats

Avaluació Indica quina resposta és la correcta. 1. La solució de l’equació

x+3 1+x 2x + 3 – = és: 2 6 3

a) 1

5. Si la diferència entre dos nombres és 500 i el gran l’anomenem x, l’altre nombre es pot representar per: a) 500 – x b) x – 500

b) –4 c) x + 500 c) 0 d) 250 d) cap de les anteriors 6. Una solució de l’equació 7x + 2y = 26 és: 2. Si x és un nombre parell, aleshores la tercera part del nombre parell anterior a x és: a) 3 · (x – 2) b)

x–2 3

x–1 3

x 3

3. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la diferència entre els seus quadrats, 384. Quina equació ens pot ajudar a trobar aquests nombres? a) x2 – (x + 4)2 = 384 b) x2 – (x – 4)2 = 384

a) x = 2, y = 7 13 2 5 c) x = 3, y = 2 b) x = 0, y =

d) x = 4, y = –2

7. La recta que resulta de representar gràficament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa pel punt: a) P (1, –4)

( 113 )

b) Q 0,

( 112 )

c) R 0, c) (x – 4)2 – x2 = 384 d) x2 + (x – 4)2 = 384 4. La igualtat

d) S (4, –1)

8. Una de les solucions de l’equació 5x – by = 18 és x = 3 i y = 1. Podem afirmar que:

(x + 2) · (x – 2) = (x – 3) · (x + 1) + 2x – 1: a) És una equació, però no té solució.

a) b =

1 3

b) No és equació, és una identitat.

b) b = 3

c) És una equació de solució x = 0.

c) b = –3

d) És una equació de solució x = 3.

d) b = 0

EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

Act ivit ats

9. La solució del sistema

x–y=7 és: 2x + 3y = 1

a) x = 4, y = –3 b) x =

5. L’edat d’un pare de família és el triple de la del seu fill, i d’aquí a 16 anys només serà el doble. Quants anys té cadascú? Podem trobar l’edat del fill resolent l’equació 3x + 16 = 2 · (x + 16).

22 13 ,y= – 5 5

6. Les dues rectes que resulten de representar gràficament les dues equacions d’un sistema es tallen en el punt P (3, –2).

c) x = 0, y = 7 d) x =

22 13 ,y= 5 5

Pot ser que una de les equacions sigui 4x – 2y = 15.

10. Sabem que el sistema tible.

2x + y = 5 és incompa4x + 2y = p

Podem afirmar que:

7. Una solució de l’equació –3x – y = –7 és: 1 11 x=– , y=– 2 2

a) p = 10 b) p pot ser qualsevol nombre excepte 10. c) p pot ser qualsevol nombre parell.

8. El sistema d’equacions patible.

2x – y = 4 és incom4x – 2y = 8

d) p pot ser qualsevol nombre senar.

Indica si les afirmacions següents són certes o falses: 1. Una igualtat sempre té dos termes.

9. En Jordi té monedes de 5 cèntims i de 20 cèntims. Si en total disposa de 26 monedes i d’1,70 €, quantes monedes de cada tipus té? Podem trobar la resposta resolent el sistema: x + y = 26 5x + 20y = 170

2. Si aïllem x en la igualtat a · (x + b) = c, obtenim: x=

3. La igualtat

c–b a

x x 7x + = és una equació. 3 4 12

4. Si aïllem x en la igualtat

1 b = , obtenim: ax c

c x= ab

2x + 4y = 7 10. El sistema d’equacions és compatible x + 2y = 8 indeterminat.