Expressions algebraiques by 5minutsciencia

Recordes què és…?

Expressió algebraica És una combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques. Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma Si a, b i c són tres nombres qualssevol, es compleix que: a · (b + c) = a · b + a · c Multiplicació de potències El resultat de multiplicar potències d’igual base és una potència la base de la qual és la mateixa i l’exponent és la suma dels exponents. an · am = am + n Divisió de potències El resultat de dividir potències d’igual base és una potència la base de la qual és la mateixa i l’exponent és la diferència dels exponents. am = am – n an

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:80

21/4/08 04:58:17

5 EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques en què es fan servir lletres per a representar relacions aritmètiques. De la mateixa manera que en l’Aritmètica, les operacions fonamentals de l’Àlgebra són l’addició, la sostracció, la multiplicació i la divisió. L’Aritmètica, no obstant això, no és capaç de generalitzar les relacions matemàtiques, com el teorema de Pitàgores, que diu que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa. L’Aritmètica només dóna casos particulars d’aquesta relació, per exemple, 3, 4 i 5, ja que 32 + 42 = 52. L’Àlgebra, per contra, pot donar una generalització del tipus: a 2 + b 2 = c 2. L’Àlgebra es considera l’idioma de les Matemàtiques, i per això ha anat evolucionant al llarg del temps gràcies a l’estudi de molts matemàtics.

Els objectius d’aquesta Unitat són: • Expressar algebraicament enunciats verbals simples. • Dominar la jerarquia d’operacions aritmètiques i aplicar-la en operacions amb expressions algebraiques.

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:81

21/4/08 04:58:40

WEB

EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES. EL LLENGUATGE ALGEBRAIC L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i lletres per a representar relacions aritmètiques. Per exemple, per a expressar l’àrea d’un rectangle de costats a i b es té:

http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Interpretacion_expresiones_ algebraicas_d3/indice.htm Activitats interessants per a familiaritzar-se amb l’ús de lletres com una generalització dels nombres, visualitzant les operacions algebraiques elementals. A més, hi trobarem activitats interactives per a treballar altres aspectes del tema: valors numèrics, identitats…

Àrea = costat × costat

A=a×b a

Si a = 6 cm i b = 4 cm, l’àrea és 6 × 4 = 24 cm2. Observa que hem generalitzat l’expressió del càlcul de l’àrea d’un rectangle mitjançant lletres. Cada lletra representa un costat.

http://www.juntadeandalucia. es/averroes/iesdiegogaitan/ departamentos/departamentos/ departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/ recurso/index.htm

Les expressions algebraiques, o llenguatge algebraic, s’utilitzen per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

Pàgina de José Antonio Ortega amb activitats interactives molt interessants per a treballar tots els conceptes de la unitat.

a) Si considerem que x és la capacitat en litres d’un embassament, expressem x el doble d’aquesta capacitat com 2x i la meitat com . 2

Exemples:

b) L’àrea d’un cercle s’expressa com / · r 2, on r representa el radi del cercle. CD A la pestanya Activitats/ Unitat 1 trobaràs l’activitat Relació unitat 5, per a repassar el llenguatge algebraic.

L’Àlgebra és la branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de nombres i lletres per a representar relacions aritmètiques. Una expressió algebraica és la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

Exercicis 1 Si en una llibreria el preu d’un llibre és x euros i el de cada bolígraf és 7 € menys, expressa algebraicament el que costen:

2 Si x és un nombre natural, escriu les expressions algebraiques que representen:

a) Quatre llibres.

b) La tercera part d’aquest.

b) Deu bolígrafs.

c) El seu cub.

c) La meitat del que costen sis llibres.

d) El seu anterior.

d) Cinc llibres més tres bolígrafs.

e) El seu posterior.

e) Cinc llibres amb un descompte de 3 €.

f) El seu triple més tres unitats.

f) Dos bolígrafs i sis llibres.

g) La meitat del seu triple.

g) Tres bolígrafs i dos llibres.

h) El quàdruple més quatre unitats.

h) Sis llibres i un bolígraf.

i) El doble del seu posterior.

a) El doble d’aquest nombre.

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:82

21/4/08 04:58:44

VALOR NUMÈRIC D’UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA L’expressió algebraica següent descriu la suposada despesa que puc fer en una fruiteria en funció del nombre de quilos de tomàquets que compri i si demano el lliurament a domicili: 2,3 `/kg

Tomàquets

Comanda a domicili

1€

2 €/kg

1,9 `/kg

2 `/kg

2x + 1

1,6 `/kg

Anomenem x la quantitat de tomàquets que compro. L’expressió algebraica associada a aquesta situació és: 2x + 1. En substituir x per un nombre i fer operacions s’obté un altre nombre, que s’anomena valor numèric de l’expressió algebraica. En el cas que siguin dos quilos, és a dir, si x = 2: WEB

2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5 €. El valor numèric és 5 €. El valor numèric d’una expressió algebraica s’obté calculant les operacions aritmètiques d’aquesta expressió i substituint les lletres per nombres. Fixa’t bé en els exemples següents: a) Si x = 2, el valor numèric de 3x 2 – 2x es: 3 · 22 – 2 · 2 = 8. b) Si el costat d’un quadrat és 3 cm, la seva àrea és A = l · l = 3 · 3 = 9 cm2. c) Si x = –2, el valor numèric de 2x 2 és: 2 · (–2)2 = 2 · 4 = 8.

http://descartes.cnice.mecd.es/ materiales_didacticos/potencia/ index.htm http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Potencias_y_raices/potencias2. htm Pàgines amb activitats per a repassar les propietats de les potències, que les introdueix amb exemples per a obtenir-ne l’expressió algebraica. http://descartes.cnice.mecd.es/ materiales_didacticos/enteros2/ opcombin.htm

Valor numèric d’una expressió algebraica és el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.

Activitats per a repassar la jerarquia d’operacions.

Exercicis 3 Calcula el valor numèric de les expressions algebraiques següents per als valors que es donen: a) 12x + y xy 3 c) (2x)2 b)

si x = 2, y = 3

4 Troba l’expressió algebraica que representa l’àrea de la figura següent i calcula’n el valor numèric, sabent que les bases mesuren 5 cm i que l’altura dels dos triangles és 7 cm. h

si x = 3, y = 4

si x = 2

a –b si a = 4, b = 6 a 1 e) x 2 + 2y si x = 3, y = 2 3

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:83

21/4/08 04:58:45

MONOMIS I POLINOMIS

Les expressions algebraiques que estan formades només per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres s’anomenen monomis. Per exemple,

1 y 4Î x , no són monomis. 2x

Són monomios: 3x 2, 4x, 7x 2y 3. Tingues en compte

En cada monomi hi ha una part numèrica que anomenem coeficient, i una part expressada amb lletres que s’anomena part literal. Cadascuna de les lletres d’un monomi s’anomena variable. La suma dels exponents de les variables que formen la part literal és el grau del monomi.

En el monomi x y el coeficient és 1, no 0.

Els monomis que tenen la mateixa part literal s’anomenen monomis semblants.

Definició En un polinomi, el terme que no té part literal s’anomena terme independent.

Per exemple: En el monomi: –7x 2y 3 es té:

Un polinomi format per dos termes s’anomena binomi. Si està format per tres termes s’anomena trinomi.

— Coeficient: –7 — Part literal: x 2y 3 — Grau: 2 + 3 = 5 — –7x 2y 3 és semblant a –2x 2y 3. — –7x 2y 3 no és semblant a 6x 3y 2.

WEB

Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants anomenats termes. El grau d’un polinomi és el grau més alt dels monomis que el formen.

http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Polinomios/monomios.htm Activitats interactives per a la classificació i operacions de monomis.

Per exemple, el polinomi P(x)= 3x 2 – 2x + 5, té tres termes i el seu grau és 2. Un monomi és una expressió algebraica formada per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres. El coeficient d’un monomi és la part numèrica d’aquest. La part d’un monomi expressada amb lletres s’anomena part literal. El grau d’un monomi és la suma dels exponents de la part literal. Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal. Un polinomi és una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants anomenats termes. El grau d’un polinomi és el més alt dels graus dels monomis que el formen.

http://www.mismates.net/ modules.php?name=Encyclope dia&op=list_content&eid=1 Pàgina de Francisco Burzy que pretén arribar a ser un diccionari de les matemàtiques que es veuen a l’ensenyament secundari. L’alumne pot investigar quines de les defi nicions d’aquest tema hi ha en aquest diccionari i completar-les.

Exercicis 5 Assenyala quants termes hi ha en cadascuna de les expressions algebraiques següents. En cas de ser polinomis, concreta de quin tipus són:

6 Descriu aquestes expressions algebraiques (monomi, binomi, trinomi, etc.), i indica la part literal, el coeficient i el grau de cada terme:

a) 3mn 2 5 c) x + 1 2 e) 7x 2z + z + 2

b) 3y 2 + 2xy – 1

a) 9a 3b 4 + 3

d) 4ab – 2b + a

c) 8z + y – 2y 5

f) 2ya

e) 7a + 4b 2a – 2b + 1

b) 4y 2z 3 – 5y 3 d) m 4 4 f) x

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:84

21/4/08 04:58:52

OPERACIONS AMB MONOMIS Els monomis són les expressions algebraiques més senzilles. És important conèixer com s’hi fan les operacions.

SUMA I RESTA DE MONOMIS Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part literal, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir-ne el resultat se sumen o resten els coeficients i es manté igual la part literal.

Reflexiona Fixa’t bé en les parts literals: No és el mateix 7x3y2 que 7x 2y3:

Exemples:

7x3y2 = 7 · x · x · x · y · y

— 7x + 2x = 9x: «7 vegades un nombre més 2 vegades aquest mateix nombre és 9 vegades aquest mateix nombre, és a dir, 9x». — 10n + 3n – n = 12n

7x 2y3 = 7 · x · x · y · y · y Sí que és el mateix x · y que y · x per la propietat commutativa de la multiplicació.

— 5a2 + 3a2 – 2a2 = 6a2. — 7x + 2y: aquesta suma de monomis no es pot fer perquè no tenen la mateixa part literal, no són termes semblants. Pot donar-se el cas que els coeficients siguin fraccions. La suma entre els coeficients haurà de fer-se com una suma de fraccions. Tingues en compte

5 3 1 x+ x= x 4 4 2

Si dins d’una suma o resta hi ha algun monomi no semblant, no s’operarà i quedarà tal com està en el resultat.

1 3 2 3 5 + = + = 2 4 4 4 4

12y + 3y + x = 15y + x

MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE MONOMIS Per a multiplicar o dividir monomis no cal que les parts literals siguin iguals. El resultat en aquests casos sempre serà un monomi. WEB

La multiplicació es fa de la manera següent: 1. Es multipliquen entre si els coeficients tenint en compte els signes dels coeficients. 2. Per a obtenir la part literal, es multipliquen les parts literals dels monomis.

http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Polinomios/monomios. htm#opmon Activitats per a practicar les operacions amb monomis.

Exemple 1 a) 2x 2 · 4x 3 · x = 2 · 4 · x 2 + 3 + 1 = 8x 6 b) –2a · 5a3 · b = –2 · 5 · a · a · a · a · b = –10a4b

Regla dels signes

+ – + – Unidad_05_2ESO.indd Sec1:85

· · · ·

+ – – +

= = = =

+ + – –

+ – + –

: : : :

+ – – +

= = = =

+ + – –

21/4/08 04:58:53

Per a fer la divisió, els passos que cal seguir són: 1. Es divideixen entre si els coeficients tenint en compte el seu signe. 2. Per a obtenir la part literal, es divideixen les parts literals dels monomis, tenint en compte com es fan les operacions amb potències.

WEB

Exemple 2

http://clic.xtec.net/db/act_ es.jsp?id=2205 Paquet d’activitats a Clic propostes per Antonio Francisco Devesa Botella, Carmen Gutiérrez Vargas, Fernando López Juárez i Rosa Fargueta Calatayud per a introduir el llenguatge algebraic i exercitar les operacions amb monomis i polinomis.

a) 2a3 : 6a =

2a3 2 3 – 1 2 2 1 2 = a = a = a 6a 6 6 3

b) 10x 4y 3 : (–2)x 2y 3 = c)

10 4 – 2 3 – 3 = –5x 2 · y 0 = –5 · x 2 · 1 = –5x 2 x y –2

4b 3 2 · 2 · b · b · b = 2 · b · b = 2b 2 = 2b 2b

http://www.jesuitasperu. org/almacen/archivos/arch171Polinomios%203.htm A la secció de recursos trobarem interessants enllaços relacionats amb monomis i polinomis.

Dos monomis només es poden sumar o restar si tenen la mateixa part literal, és a dir, han de ser semblants. Per a obtenir el resultat se sumen o resten els coeficients i es manté igual la part literal. Per a multiplicar monomis, es multipliquen entre si els coeficients tenint en compte els signes, i la part literal s’obté multiplicant les parts literals dels monomis. Per a dividir monomis, es divideixen els coeficients tenint en compte el seu signe, i la part literal s’obté dividint les parts literals dels monomis.

Exercicis 7 Troba el resultat de les operacions amb monomis següents:

9 Indica quines d’aquestes igualtats són correctes i quines són incorrectes. Raona la teva resposta:

a) 5z + 6z + z

a) 3a + a = 4a2

b) 10x 2 – 7x 2 + x 2

b) 5x + x + x = 7x

c) 6yx + 4xy + yx

1 2 1 2 x + x = x2 2 2 2 d) 2n + 3n2 – 5n2 = 0

d) 2n2m + 3n2m e)

3 x – 2x + x 4 2

e) 3zy + 5zy = 8yz f) 5x 2 + 2x = 7x 3

f) a + 3a + 9ab 10 Fes la divisió dels monomis següents: 8 Fes la multiplicació dels monomis següents: a) 5x 2 · 3x c) 2a2 · a · 5a e) 4y · 2y 2

1 b) 3b2 · b 2 d) 4y · (–4)y 2 f) 6a3 · 2a

24a4 6a2

4ab 2b

12m2 15m

–9x 2y 2 3x

12y 5 6y 2

6y 8x 3x 3y

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:86

21/4/08 04:58:54

OPERACIONS AMB POLINOMIS Fer les operacions amb polinomis és molt senzill si es domina el càlcul amb monomis.

Recorda

SUMA I RESTA DE POLINOMIS

No és 3a 2 3a + a

Per a sumar polinomis, se sumen entre si els termes semblants.

Sí és 4a No és 4a 2 b2

Exemple 3

4ab + ab Sí és 5ab

Si P(x) = 3x 2 + 10x – 7 y Q(x) = 2x 2 – 6x + 5 P(x) + Q(x) = (3x 2 + 10x – 7) + (2x 2 – 6x + 5)

No és 6ax 2 6ax + x No són monomis semblants. No es poden sumar.

3x 2 + 10x – 7 2x 2 – 6x + 5 P(x) + Q(x) = 5x 2 + 4x – 2

Per a restar polinomis, els passos que cal seguir són: Pas 1. S’ordenen els termes del polinomi de més gran a més petit en funció del grau.

WEB

Pas 2. Restar és sumar l’oposat, després es canvien els signes del polinomi subtrahend.

http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Polinomios/polinomios1. htm#suma

Pas 3. Se sumen els termes semblants dels polinomis.

Activitats interactives per a les operacions amb polinomis.

Exemple 4 P(x) = 6x 3 + 5x – 7x 2 + 7

http://www.ejercitando. com.ar/teormate/ suma%20de%20polinomios.htm

Q(x) = 2x 3 – 6x 2 + 3x – 2

P(x) – Q(x) = (6x 3 + 5x – 7x 2 + 7) – (2x 3 – 6x 2 + 3x – 2)

Activitats de suma de polinomis acompanyades de les seves propietats.

6x 3 – 7x 2 + 5x + 7 – 2x 3 + 6x 2 – 3x + 2 P(x) – Q(x) =

4x 3 – x 2 + 2x + 9

Exercicis 11 Donats els polinomis: 6

A(x) = 12x + 6x + 3x + 2 6

12 Fes la suma o resta dels polinomis:

B(x) = 4x – 4x + 2 C(x) = 4x 4 – 5x 3 + x – 1

1 4 z + 6z + 5z – 3z2 + 1 2 z + 4z + z2 3

b) (3n5 – 4n2 + 5) – (2n5 + 6n2 + 3)

Calcula les operacions següents: a) A(x) + B(x) + C(x)

b) A(x) – B(x)

c) B(x) + A(x)

d) C(x) – A(x)

c) (m3 + 3m + 7) – (m3 – 2m + 1) d) (y 10 + 3y 3 – y) + ((y 5)2 – 4y 2 + 5y + 8) 87

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:87

21/4/08 04:58:55

MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS Multiplicació d’un monomi per un polinomi

Recorda

Per a multiplicar un monomi per un polinomi s’hi aplica la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma.

a · ( b + c) = a · b + a · c

En l’exemple, 3a · (a2 + 3a + 1) cal multiplicar el monomi «3a» per cadascun dels termes del polinomi. S’opera com una multiplicació normal entre monomis: es multipliquen els coeficients respectant el seu signe i es multipliquen les parts literals:

WEB http://thales.cica.es/rd/Recursos/ rd99/ed99-0453-02/ed99-045302.html

3a · (a2 + 3a + 1) = 3a · a2 + 3a · 3a + 3a · 1 = 3a3 + 9a2 + 3a

En aquesta pàgina, Ignacio del Pino ens proporciona una interessant calculadora per a operar amb polinomis.

Multiplicació de dos polinomis Per a obtenir el resultat de la multiplicació de dos polinomis caldrà multiplicar cadascun dels monomis del primer polinomi per cadascun dels monomis del segon polinomi. Posteriorment, ens fixem si en el resultat es poden sumar monomis semblants per reduir el més possible l’expressió del polinomi resultant.

http://www.fi sicanet.com.ar/ matematica/m2_polinomios.php En aquesta pàgina hi ha exercicis per a practicar les operacions amb polinomis.

Exemple 5 Si A(x) = 3x + 4x 3 + 1 i B(x) = x + 2, calcularem A(x) · B(x) Pas 1. S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau. B(x) = x + 2

A(x) = 4x 3 + 3x + 1

Pas 2. Es col.loquen els dos polinomis un sota de l’altre. Si falta algun terme en el polinomi que se situa sobre, es posa zero o s’hi deixa un espai. 4x 3 + 3x + 1 x+2 Pas 3. Es multiplica cada monomi del segon factor per tots els termes del primer, i s’hi colloquen adequadament els graus per després sumar-los. Finalment, se sumen els termes semblants. 4x 3 + 3x + 1 x+2 8x 3 4x

+ 6x + 2 + 3x + x

A(x) · B(x) = 4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2

4x 4 + 8x 3 + 3x 2 + 7x + 2

Exercicis 13 Calcula les multiplicacions següents i redueixne al màxim el resultat: a) (–z)2 · (z 3 + z 2 – 5z)

b) 7y · (6y 2 + 3y – 3)

c) (–2m)2 · (3m2 + 2m)

d) x 6 · (2x 2 – 4x + 3)

e) 3x ·

13 x + x 2 1

1 x · (9x 2 + 27) 3

14 Tenint en compte els polinomis: 1 A(x) = 5x 5 + 3x 4 – 4x 2 + x – 2 B(x) = 3x 2 + x – 2 2 1 2 C(x) = 7x – 10x + 10 D(x) = x 2 + 2x + 2 5 Calcula: a) A(x) · B(x) b) –A(x) · C(x) c) C(x) · B(x) d) B(x) · C(x) e) A(x) · C(x) f) D(x) · C(x) g) D(x) · B(x) h) –D(x) · B(x) i) A(x) · (–D(x))

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:88

21/4/08 04:58:56

WEB

IDENTITATS NOTABLES Hi ha multiplicacions entre binomis que es poden expressar de manera senzilla sense necessitat d’operar pel procediment habitual. Aquestes multiplicacions s’anomenen identitats notables.

http://www.comenius.usach.cl/ webmat2/conceptos/encontexto/ productos_notables_contexto. htm Interessants comentaris històrics i geomètrics sobre les identitats notables. http://sipan.inictel.gob.pe/ internet/av/pnotable.htm

QUADRAT DE LA SUMA DE DOS MONOMIS 2

El quadrat d’una suma (a + b) = (a + b) · (a + b) és la multiplicació de dos binomis, i el seu resultat és a2 + 2ab + b2. Ho comprovarem fent la multiplicació entre els polinomis esmentats tal com hem après:

Interessants explicacions interactives de les identitats notables.

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + ab + ba + b2

Recorda a+b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a+b

Per exemple:

ab + b2 a2 + ab

(2x + 3)2 = (2x + 3) · (2x + 3) = (2x)2 + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9

a2 + 2ab + b2

QUADRAT DE LA DIFERÈNCIA DE DOS MONOMIS En el cas d’una diferència ocorre el mateix, però el resultat en aquest cas és: (a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – ab – ba + b2, i agrupant termes semblants tenim el resultat:

Recorda a–b a–b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

–ab + b2 a2 – ab

Per exemple:

a2 – 2ab + b2

(7 – 5x)2 = (7 – 5x) · (7 – 5x) = 72 + 2 · 7 · (–5x) + (–5x)2 = 49 – 70x + 25x 2

PRODUCTE D’UNA SUMA DE DOS MONOMIS PER LA SEVA DIFERÈNCIA En aquest cas, el producte seria (a + b) · (a – b), i el resultat és a2 – b2. Ho comprovem fent la multiplicació:

a+b

(a + b) · (a – b) = a2 – a · b + b · a – b2 = a2 – b2

a–b

Recorda

–ab – b2

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

a2 + ab

Per exemple:

a2 2

– b2

(6x + 2) · (6x – 2) = (6x) – 2 = 36x – 4 Exercicis 15 Calcula les identitats notables següents: 2

a) (x + 2)

b) (2x – 3)

c) (3x 2 – 4x)2

d) (x + 2) · (x – 2)

1 3 x – 32 2

f) (2x – 5) · (2x + 5)

16 Indica si les igualtats següents són certes: a) (5x + 8)2 = 5x 2 + 82 b)

1 2 y + 2z2 · 1 2 y + 2z2 = 4 y – 4z 1

c) (3m – m2)2 = 9m2 – 6m3 + m4 89

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:89

21/4/08 04:58:57

EXERCICIS RESOLTS 1 Fes l’operació següent: (–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2)

+ – + –

· · · ·

+ – – +

= = = =

+ + – –

(–2)x 2 · (x – 2 + 3x 2) A(x)

B(x)

El signe negatiu pertany al coeficient del monomi. No s’ha de confondre amb una resta. 1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau. A(x) = –2x 2

B(x) = 3x 2 + x – 2

2) Es col.loquen els dos factors un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi deixa un espai. 3x 2 + x – 2 –2x 2 3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi i s’hi col.loquen adequadament els graus. 3x 2 + x – 2 – 2x 2 A(x) · B(x) = –6x 4 – 2x 3 + 4x 2 2 Resol aquesta operació entre polinomis:

1 2 2 x· x + 3x + 2 2 5 1 2 2 x· x + 3x + 2 2 5 A(x)

B(x)

Recorda que per a la multiplicació de fraccions, no cal buscar el denominador comú. 1) S’ordena el polinomi col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau. A(x) =

1 x 2

B(x) =

2 2 x + 3x + 2 5

2) Es col.loquen els dos factors l’un sota de l’altre. Si algun grau no existeix s’hi deixa un espai.

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:90

2 2 x + 3x + 2 5 1 x 2

21/4/08 04:58:58

3) Es multiplica el monomi per tots els termes del polinomi, i s’hi col.loquen adequadament els graus. 2 2 x + 3x + 2 5 1 x 2 A(x) · B(x) =

1 3 3 2 x + x +x 2 5

3 Fes l’operació següent entre polinomis:

16x + 3x + 2 x2 · (x – 2x + 7) 3

A(x)

B(x)

1) S’ordenen els polinomis col.locant els termes de més gran a més petit segons el grau. A(x) = 6x 3 + 3x 2 +

1 x 2

B(x) = x 3 – 2x + 7

2) Es col.loquen els dos polinomis l’un sota de l’altre. Si hi falta algun grau del polinomi que es col.loca sobre, s’hi posa zero o s’hi deixa un espai en blanc. 6x 3 + 3x 2 +

1 x 2

x 3 – 2x + 7 3) Es multiplica cada terme del segon factor per tots els termes del primer factor, i s’hi col.loquen adequadament els graus. Es fa després la suma dels termes semblants. 6x 3 + 3x 2 +

1 x 2

x 3 – 2x + 7 42x 3 + 21x 2 + –12x 4 – 6x 3 – 6x 6 + 3x 5 + 6x 6 + 3x 5 –

1 4 x 2 23 4 7 x + 36x 3 + 20 x 2 + x 2 2

A(x) · B(x) = 6x 6 + 3x 5 –

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:91

7 x 2

23 4 7 x + 36x 3 + 20 x 2 + x 2 2

21/4/08 04:58:59

EXERCICIS PROPOSATS

Expressions algebraiques. El llenguatge algebraic

6 Copia en el teu quadern i completa la taula següent indicant el valor numèric de cada expressió:

1 La variable x representa un nombre natural. Expressa en funció d’aquest:

x = –1

x=0

a) El seu quàdruple. b) El doble del seu posterior.

x3 – x

c) La meitat del seu anterior més quatre unitats.

6x –

2 Expressa algebraicament els enunciats següents:

x · (10 – 6x)

a) Les dues terceres parts del quadrat d’un nombre.

2 · (x – 1) – 3

1 2

x=2

x2 2

b) El quadrat del doble d’un nombre. c) El triple d’un nombre més tres.

La velocitat d’un cos en moviment ve definida e per l’expressió següent: v = , on v és el valor de la velot citat esmentada, e l’espai recorregut i t el temps que ha estat en moviment. Si un cos ha recorregut 500 metres en 30 segons, quina és la seva velocitat?

d) El triple d’un nombre, més tres. 3

Expressa algebraicament l’àrea del dibuix: h c — 2

c c — 2 a

4 Expressa algebraicament el valor de la diagonal següent: a

8 Escriu les expressions algebraiques següents de manera que quedin ordenades de més petita a més gran en funció del seu valor numèric a x = –3. a) x 2 + 2x – x b) 3x 2 + 10x c) x 3 + 2x – 7 9

Troba el valor numèric en cada cas:

a) m2 + nx – m + 7; si m = 4, n = –1, x = 2 b) 2xy – x + y 2 + 2y; si x = 3, y = 5 1 2 x – 12; si m = 2, x = 2 2 d) 8y 3 – 7y 2 + y – 2; si y = –2 c) 7m –

e) x 2 + 2xy + y 2; si x = 3, y = –2 Valor numèric d’una expressió algebraica 5 Troba el valor numèric de les expressions algebraiques següents:

Monomis i polinomis

a) x 2 + 2x; si x = 2

10 Explica amb les teves pròpies paraules el significat dels termes:

b) x 2 + 2x + mx; si x = 1, m = –1

1 c) 2m + mx; si x = 2, m = 2 3 d) xy – x ; si x = 4, y = 3

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:92

a) Monomi.

b) Polinomi.

c) Terme.

d) Coeficient.

e) Binomi.

f) Factor.

21/4/08 04:59:01

11 Classifica les expressions algebraiques següents, i indica el coeficient i la part literal de cadascun dels monomis. Quants termes té cadascun? 2

a) 12x y + 15y – 2 c) x 2 + x – 2 e)

–x 2y +1 2

1 b) –2nm + x 2 3 d) x 2yz 5 3 f) ym5 – x 5

a) – c)

x yz 2

3 xy + 5 4

1 2 x2 4 d) mnx + – 2 5

b) (2xy)2 + x +

13 Descriu els polinomis següents, i indica el nombre de termes que el componen i quins són els coeficients i les parts literals de cadascun. a) A(x) = 64x 3 + 24x 2

a) 6x 2 + 3x 2

b) 5y 2 + y 2

c) m3 + 10m3 + 3m3

d) –9x 6 + 3x 6 – x 6

Opera els monomis següents:

a) (7x) · y

b) (2x 5) · x 2

c) (–2x 2) · x

c) C(x) = 8x – 28x 3 + 6x 3 – 49x 5 – 20 d) D(x) = 6x + 3x – 6x – 4

a) La part literal del terme independent és x. b) El coeficient del monomi xy2 és zero. c) Tots els binomis estan compostos per dos monomis. d) Dos termes d’un polinomi són semblants si tenen la mateixa part literal.

Fes les operacions següents:

(2z) + 3z 2 1 —z 2 3 – — xy 4 1 b) + xy 1 4 — xy 4

c) 2z · z 2 –2m3 (3m)2 · 3 m2 e) 3m · m3 – m4 Opera:

7xy + 2xy 2xy b) 2x · (5x + x 2) – x 3 + 5x 2 a)

1 2 xy2 · (2xy)

d) 4x 3 + 5x 3 e) –6m2 + m2 21

Són certes les igualtats següents? 1 xy · (2x 2y) = –x 3y 2

Operacions amb monomis

a) –

15 Quines condicions han de complir dos monomis perquè es puguin sumar o restar? Ocorre el mateix en el cas de multiplicar o dividir monomis?

1 – — m2 4 b) =1 1 2 —m 4 x2 · y2 · z2 c) = x 3y 3z 3 xyz d) 6x + 2x 2 – 6x · 2x 2 = 0

Redueix al màxim les expressions següents: 2

a) x + 3x + 5x 2 – x + 2

b) 2x 5 – x 2 + 7x 2 – x 5 – 1

c) 2x 3 – x 3 + 2

d) x 2 – 7x 2 + 30

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:93

Són certes les afirmacions següents? Raona-

1 4 2·y

b) B(x) = 6x + 3x – 5x – 4

14 les.

Calcula:

12 Classifica les expressions següents i digues quin és el coeficient i quina és la part literal de cada monomi. 2

21/4/08 04:59:02

5 22

EXERCICIS PROPOSATS

Copia en el teu quadern i uneix les columnes:

Opera:

a) 10x · (6x 2 + 3x)

1 2 xy 2

No és un monomi.

b) 6x 2 · (x 2 + x 4 + 3x 4)

–5

Encara que té igual variable no es pot sumar amb 3m.

c) 3x 2 · (2x + 3x 2 – x)

8ab + b

La part literal d’aquest monomi no existeix.

4m2

El coeﬁcient d’aquest monomi és un nombre fraccionari.

Contesta si és verdader o fals:

a) Un monomi amb coeficient negatiu no es pot multiplicar per un altre. b) El resultat de la multiplicació entre dos monomis és sempre un altre monomi.

d) 5x · (3x 2 –1) 27

Fes la multiplicació dels polinomis següents:

a) (3x + 2x 2 + 7) · (4x – 2x 2 + 3) b) (2x 3 + x) · (5x 2 – 2x + 3) c) (–3x 2 + 2) · (5x 2 + x 3 + 2) d) (2x – 2) · (3x + 3) e) (3x 4 – 2x + 5) · (x 2 – x) 28

Fes les operacions següents:

c) Per a sumar dos monomis, els coeficients han de ser iguals.

31 2

d) A l’hora de dividir polinomis, primer es divideixen els coeficients i després, la part literal.

1 2 + x + 5 2 – 1–x – 2x + 4 2

e) Per a multiplicar monomis, les parts literals han de ser semblants.

c) 2(x + y) –

1 22 x – 2x 3 – x + (x 4 + 3x 3 + 2x) 2

1 1 x– y+3 2 2

x2 1 2 – x +2 3 3 1 2 3 e) y 5 – y 5 + y 2 + 3 y 4 + y 5 – y 5 4 4 4

d) 24

Calcula mentalment:

a) 7mx 2 + x 2m – 5x 2m b) 6y + 4y – 10y

c) 4x 2 + x 2 + 5x 2

3 m(m + n2) + mn2 8 1 1 b) –4x 2 + xy – 2 · x 2 – xy + 2 2 3

d) 2 · (4xm + 5xm) Operacions amb polinomis 25

Opera:

Fes la suma o resta dels polinomis següents:

a) (2x + 3x 2 + 2) + (4x 2 + 2x + 1) b) (5m2 + 3m + m3) + (2m2 + 2m – m3)

c) [4(x + y) – 3x – y] · (2x + y) d) [3(a · b)2 + 2] · (x – 2y) 30 Opera i redueix al màxim les expressions següents: a) 5x · (x + 2) – x 2

c) (3x + 2x + 3x) – (–x + x + 2x) 94

d) (2x 3 – 2) – (3x 3 – 2x + 2)

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:94

b) x 2 · (x + 1) + x 2 c) xy + 3y · (x + y)

21/4/08 04:59:04

a) y 3 –

Fes les operacions següents entre polinomis:

a) (5a b + 2)2 = (5a2b)2 + 20a2b + 4

1 1 y · y2 + y 3 2

(2 + x)2 = 2 + 2x + x 2 c) (xy – 3x) · (xy + 3x) = x 2 y 2 – 9x 2

1 2

2 2 x – 6x · (–2x)2 + 2x 2 3

Són certes les igualtats següents? 2

b) 2 · (6 – a) + 4a – 6 + a – 4 – 6a – 4 c) 12x ·

d) (x 2 + 1) · (x 2 – 1) = x 4 – 1

3 1 3 x · (–4x 2) · – x 2 – x · (–x 2) 4 2 2

Simplifica les expressions:

x 2 + 2x + 1 x+1

(a + b) · (–b + a) a2 – b2

b) 10 · (2 – 4x) – 6 · (4x – 2)

1 1 (x + 2) · (2x + 1) 2 2 d) (3x + 2)2 + 3x 3 – 10x – 2

9x 2 – 100 3x – 10

25 – 2x + x 2 (5 – x)2

32 Fes les operacions següents i redueix al màxim l’expressió algebraica resultant. a) 4 · (x + b) + (–2) · (x + b)

c) 3(x 2 – 1) –

33 Donats els polinomis A(x) = x 2 + 4x + 4 i B(x) = = 2x 2 + x – 2, comprova que la multiplicació de polinomis compleix la propietat commutativa, és a dir, A(x) · B(x) = = B(x) · A(x). 34

39 Basant-te en les identitats notables factoritza les expressions següents: a) a 2 + 2ax + x 2

b) 4a 2 + 4a + 1

c) 81 – 4x 2

d) 9 – 6y + y 2

Opera:

1 x 2 b) (5x 2 + 3x + 2) · (4x – 3) – x 3 + 5x 4

a) 3x · (4xy + 2x) – 2 · x 2y +

c) (3x 2y + yx 2 – y) –

1 2 y + 3x + 4x 2 1

40 a)

49a2 – 25 + 5a 8a – a + 5

(64 – 16xy + x 2y 2) · (8 – xy) (8 – xy)3

d) (4a2 – b2) · (b2 + a) – (a3 + 2b4) · 3

Opera tenint en compte les identitats notables:

Identitats notables 35 Què són les identitats notables? Explica-ho ajudant-t’hi amb exemples. 36 Troba les identitats notables següents i comprova que, operant de la forma habitual, s’obté el mateix resultat. a) (3x 2 + 2)2

b) (4m2 – 2m) · (5m2 + 3m)

c) (5 – y 2)2

d) (5x – 2)2

e) (x – 4) · (x + 4)

f) (2a – 2)2

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:95

4x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 2x + 5 – 5x 3 – x 2 – 2x 4

4x + 3x + 2x

(x + 5)2 = x 2 + 10x + 25

(2a + 3b)(2a – 3b) = = 4a2 – 9b2

21/4/08 04:59:05

PER A REPASSAR EN GRUP Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes següents de la Unitat i posa’n un exemple de cadascun. CONCEPTE

CD A la pestanya Activitats/ Unitat 1 trobaràs l’activitat Resposta múltiple unitat 5, per a repassar els conceptes més importants.

CD A la pestanya Mapa del CD/Jocs matemàtics trobaràs la fitxa El regal de l’oncle Andreu, per a repassar la unitat.

DEFINICIÓ

Àlgebra

Branca de les Matemàtiques que es basa en l’ús de símbols i lletres per a representar relacions aritmètiques.

Expressions algebraiques

És la combinació de nombres i lletres relacionats mitjançant operacions aritmètiques per a expressar una situació qualsevol o per a generalitzar propietats matemàtiques.

Valor numèric d’una expressió algebraica

És el resultat que s’obté quan se substitueixen les lletres de l’expressió per nombres.

Monomi

És una expressió algebraica formada per la multiplicació de nombres, lletres o nombres i lletres.

Coeﬁcient

És la part numèrica d’un monomi.

Part literal

És la part d’un monomi expressada amb lletres.

Grau d’un monomi

És la suma dels exponents de la part literal.

Polinomi

És una expressió algebraica formada per sumes o restes de monomis no semblants.

Operacions amb monomis

— Suma — Resta — Multiplicació — Divisió Quadrat d’una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Identitats notables

Quadrat d’una diferència: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Producte de suma per diferència: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:96

21/4/08 04:59:12

CURIOSITATS, JOCS I DESAFIAMENTS FIXA-T’HI BÉ I ENCERTA! Quin és el producte de la sèrie següent? (x – a) · (x – b) · (x – c) … (x – z) El resultat de la sèrie és «0», perquè té el terme (x – x), que anul.la tot el producte.

APLICANT LÒGICA AMB LES FITXES DEL REVÉS Les fitxes del revés tenen la mateixa forma que les fitxes del joc de dames, però amb una cara blanca i l’altra negra. En una taula hi ha un nombre «x» de fitxes del revés. Només 10 tenen la seva cara blanca cap per amunt. Ens trobem davant la taula amb els ulls embenats, i el nostre objectiu és dividir totes les fitxes en dos grups, de manera que en cada grup hi hagi el mateix nombre de fitxes amb el costat blanc cap per amunt. Òbviament, no es poden mirar les fitxes. Com podem assolir l’objectiu? Simplement, cal treure 10 fitxes i donar-los la volta. Suposem que les 10 fitxes separades són b blanques i (10 – b) negres. En donar-los la volta, el nou conjunt tindrà (10 – b) blanques i b negres. A la pila originalment n’hi havia 10 de blanques i (x – 10) de negres. Per tant, com que en retirem 10 fitxes, de les quals b són blanques, en quedaran (10 – b) de blanques.

DESAFIAMENT MATEMÀTIC Posant valors a les variables Has de col.locar els valors en els llocs que figuren les variables perquè es verifiquin els resultats horitzontals i verticals.

+ a

= 10

Unidad_05_2ESO.indd Sec1:97

+ ×

– b

e =8

= 12

+ +

× ×

= 10

+ ×

h = 16

= 12 97

21/4/08 04:59:13