Matemática para todos Fascículo
El mundo de los Números I
números
“La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas”
Carl Friedrich Gauss Matemático alemán (1777-1855)
Una flor en forma de espiral. En la corola de un girasol se forman dos grupos opuestos de espirales. Hay 34 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 55 en sentido opuesto. Estos números pertenecen a la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89... Fotografía: Rogelio Chovet
Descubriendo el mundo de los números ¿Qué tienen en común estos objetos? Todos presentan números que llevan implícita una información. En la cédula aparece el número que identifica a cada ciudadano mayor de una cierta edad. En un billete se expresa la cantidad de bolívares que representa (bolívares 500) y la serie a la que pertenece (149838217).
La etiqueta de cualquier producto en el mercado presenta en números la capacidad del envase, la fecha de expedición y la de vencimiento, así como un código de barras que identifica al producto.
Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidiana en las cuales los números están presentes. En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios del SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.
En este sistema de numeración se utilizan diez símbolos denominados dígitos o cifras que representan ideas de cantidad.
Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Es decir, la misma cifra colocada en diferente lugar representa cantidades distintas.
El valor de una cifra depende de la posición que ocupa en el número. Cada posición a la izquierda es diez veces mayor que la que le precede.
0123456789 23 32
y se utilizan las mismas cifras
es diferente de Centenas
Decenas
Unidades
3 centenas
3 decenas
2 unidades
100 10 1 3 3 2
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N ú m e r o s Prehistoria Las ideas se comunican verbalmente
ca 15000 años a.C. Paleolítico superior. La invención de marcas para contar: las muescas
e n
ca 3400 años a.C. Invención de los símbolos escritos representan ideas de cantidades. Sistema egipcio aditivo
e l ca 2000 años a.C. Símbolos escritos, sistema de numeración posicional babilónico
t i e m p o s. V d.C. Sistema posicional. Sistema de numeración maya de base 20. Sistema de numeración Inca, base 10 verbal y representación en quipú
s. XII d.C. Sistema de numeración decimal en Europa
El actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminación de muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., los chinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionales. Para escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observa los diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números. Maya
Hindú
Griego
Árabe
Egipcio
Babilónico
Binario (base 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Interesante Al tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeración hindú-arábigo, considerado como uno de los más importantes inventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú: tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicional como un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema de base 10. Observa la representación de cantidades en un quipú.
215
31
102
348
La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandes obstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar un símbolo para contar nada”. Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos 1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano). En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos y mayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura. Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una sola mirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
Descubriendo los números
Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre esta mesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que contarlos uno por uno. Una forma de contarlos es agrupándolos de 10 en 10 y pegar cada grupo de 10 en una paleta.
Luego se agrupan en cuadros de exactamente 10 paletas.
Centenas Observa que cada cuadro tiene 10 paletas y cada paleta 10 granos. Obtenemos finalmente: 2 cuadros 3 paletas 7 granos sueltos ¡Tenemos en total 237 granos! Yendo más allá En caso de poder agrupar 10 cuadros de 10 paletas en cada pila, obtenemos unidades de mil.
100
100
Unidades Decenas 7 10 10 10 2 Centenas 3 Decenas 7 Unidades
Agrupamos 1 724 granos así: 1 724 granos 172 paletas y 4 granos 17 cuadros y 2 paletas y 4 granos 1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos Unidades de mil
Centenas
Decenas
unidades
1
7
2
4
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Descubriendo operaciones: la adición Conteo de unidades sucesivas 0
1
2
3
4
5
6
7
8
4+3=7 “Sumando” con paletas y granos
5 +
5 +7 12
7
Reúno paletas y granos
165 + 72
y 165 + 72 237
Reto Cuadrado Mágico Coloca los números del 1 al 9 de manera tal que todas las columnas, filas y diagonales mayores sumen 15.
Números triangulares Representa y escribe el próximo número triangular
1
3
6
10
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Descubriendo operaciones: la sustracción 8-5=3 Quitando
Completando
Comparando
Tengo 8 caramelos y regalo 5
Tengo 5 caramelos y necesito 8
Víctor tiene 8 caramelos y María tiene 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
La sustracción ... o “pido prestado” ¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuando una sustracción? Fíjate en el ejemplo. Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en esta situación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares. Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares. ¿Qué podemos hacer? • Quitamos 2 bolívares. • Ahora para pagar los 70 restantes, sólo tengo 4 monedas de 10. • Para poder tener las 7 que necesito, cambiamos una moneda de 100 en 10 monedas de 10.
Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los “Pido prestado” al 72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares. 2 una centena
245 -72 173 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
Minuendo Sustraendo Diferencia
Descubriendo operaciones: la multiplicación 3 x 5 = 15 3 veces 5
Suma abreviada
3 filas de 5 fichas
Área de rectángulos
3x5
5+5+5
3 filas de 5 fichas
Área de rectángulos
Propiedad distributiva
(3 + 5) x 4 = (3 x 4) + (5 x 4) 8x4 = 12 + 20 32 = 32
3 3
y
5
5
4 4 4
La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números de varias cifras.
Reto Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar. 325 x 42 = 325 x (40 + 2) = (325 x 40) + (325 x 2) = (325 x 4 x 10) + 650 = (1 300 x 10) + 650 = 13 000 + 650 = 13 650
• Completa lo que falta de la tabla. • Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3, 4x4... • Sombrea en otro color los múltiplos de 5 que están entre 20 y 50. • ¿Qué observas?
1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
6
8
10 12 14 16 18 20
9
12 15 18 21 24 27 30
3
Números rectangulares Representa y escribe el próximo número rectangular
4
16 20 24 28 32 36 40
5
25 30 35 40 45 50
6
12
36 42 48 54 60
7
49 56 63 70
8
2
6
12
20
32
9 10
64 72 80 81 90
30
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100
Descubriendo operaciones: la división Dividendo Residuo
17 2
3 5
Divisor
17 = 3 x 5 + 2
Cociente
Repartiendo
Agrupando
Se quiere repartir 17 caramelos entre tres niños de manera que cada niño reciba la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos le tocan a cada niño?
¿Cuántos paquetes de tres caramelos se pueden hacer con 17 caramelos?
¡5 caramelos a cada niño! ... y sobran 2 caramelos.
¡5 paquetes! ... y sobran 2 caramelos.
Cálculo mental 2 436 : 12 2 436 = 2 400 + 36 (2 400 + 36) : 12 = 2 400 : 12 + 36 : 12 = 200 + 3 = 203 Compruebo 203 x 12 = 2 436
152 : 8 152 = 160 - 8 (160 - 8) : 8 = 160 : 8 - 8 : 8 = 20 - 1 = 19 Compruebo 19 x 8 = 152
Retos • ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmente por 7 da como resultado 10? • ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Leonardo Pisano Apodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)
Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió a leer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabaña de Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la física y otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria. A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años de edad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad. Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa del maestro su pizarra con el resultado de la suma. Observa el problema que el maestro propuso: Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 100 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100
120
Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio (de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”). Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia, donde aprendió los métodos algebraicos árabes y el sistema de numeración hindú-arábigo. Con su obra Liber Abaci, difundió en Europa la notación árabe de los números, la cual usa nueve cifras y el cero, y también la barra horizontal para escribir fracciones. Se reconocen como números de Fibonacci los números de la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los que cada número es la suma de los dos términos que lo preceden.
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Fascículo
Matemática para todos El mundo de los
números
Algoritmo de la división
Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12
• Un billete de Bs. 1 000 no lo puedo repartir entre 12. • Cambio el billete de Bs. 1 000 en 10 monedas de 100.
• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100. • Reparto entre 12. • Le toca una moneda de Bs. 100 a cada uno y sobra una moneda de Bs. 100.
• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10 monedas de Bs. 10. • Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10. • Las reparto entre 12. • Le toca una moneda de Bs. 10 a cada uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.
Bs. 100 a cada uno
1’353
12
13’53
12 1
- 12
1
Bs. 10 a cada uno
135’3
- 12
15
12 11
- 12
3
• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 en monedas de Bs. 1. • Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1 • Las reparto entre 12. • Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno y sobran 9 monedas de Bs. 1.
1353’
- 12
15
12 112
- 12
33 - 24 9 Bs. 2 a cada uno
A cada uno le toca un total de Bs. 112 y sobran 9 monedas de Bs. 1
1 353 = 112 x 12 + 9
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Números y códigos Número clave
Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información. Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos, el alfabeto griego, números romanos, el código Morse. Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, código bidimensional, etc. En esta sección hablaremos del código de barras. El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como una combinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden ser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este código proporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejo de la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificación única en cualquier parte del mundo. Por ejemplo: 3 representa el país de origen 065890 características del fabricante 000643 características del producto Para verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza las siguientes operaciones: 1)
Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.
2)
Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.
3)
Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la derecha.
4)
Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado.
Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizando en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta, además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño, ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadas por el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barras en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección de datos en los comercios e industrias.
122
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Números y deportes ¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números? ¿Qué perderíamos? • ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido? • ¿Cuándo decimos que un partido se terminó? • ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte? • ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo? • ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte? • ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato? • ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato? Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con el hecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamos de cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y el número de jugadores, entre otras cosas. Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipo va ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados? A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completo pero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números? A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dos deportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol. 7,32 m 15 m
altura del arco: 2,44 m 5,8 m
5,05 m 11,1 m
28 m
1,8 m
100 a 110 m
altura del tablero: 2,75 m
64 a 75 m
El balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar a una presión de 1,1 atmósferas. El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un peso de 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de una altura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máxima de 1,40 m.
Interesante: Un jugador de fútbol puede correr entre 11 y 13 kilómetros durante un partido completo. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
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Ventana didáctica Estrategias sugeridas al docente
Tres juegos con la calculadora La calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas, puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, para reforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategias de resolución de problemas. Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuación proponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.
El cero en no más de cinco pasos • Se juega entre dos personas. • El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900. • El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos. • Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra. Ejemplo: • El jugador A introduce el número 703 en la calculadora. • El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.
-3=
:7=
:5=
:5=
-4=
Gana el que acumule 10 puntos • Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite. • Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación. • Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se introduce 5382749. El participante reporta sólo la El participante reporta sólo la • Se pide eliminar el 7.
Eliminando cifras
operación sobre el dígito que debe ser eliminado menos siete.
Pierde un punto
operación y los dígitos con los que la hizo menos siete, cero, cero.
Ni gana ni pierde el punto
Los factores morochos
El participante reporta la operación y el número que resta menos setecientos.
Gana un punto
Gana el que acumule 10 puntos
• Cada participante trabaja con su propia calculadora. • Se propone un número que sea un cuadrado perfecto. • Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto. • Se pide que se efectúe la multiplicación. • Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo. Ejemplo: • Se propone 3969. • Se puede seguir el siguiente procedimiento: - El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto (9). Pierde dos puntos. - El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Pierde un punto. - El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Ni gana ni pierde puntos. - El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Gana un punto. - El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto. Gana dos puntos.
124
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
Tengo que pensarlo El número de la casa de Yolanda Si el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres, se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59. Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonces es un número comprendido entre 60 y 69. Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata de un número comprendido entre el 70 y el 79. ¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?
1 2 58 _ _ _ 1 3
Sumas iguales En la figura cada letra representa una cifra. Todas las cifras (1 al 9) están representadas por una letra distinta. Se sabe que la suma de cada columna o fila es igual a 13. ¿Cuál cifra representa la letra E?
Fibonacci La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe el nombre de sucesión de Fibonacci. Escribe los números que corresponden al noveno y duodécimo lugar.
C B A D G F E H I
13
13
13
123456789
= 2 000
Dos mil Utilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas los signos + - x : de tal manera que obtengas 2 000.
13
El cubo Coloca las cifras del 1 al 8 en cada vértice del cubo de tal forma que la suma de las cifras de los vértices de cada cara sea 18.
Edificio en Tokio, Japón
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125
¡A jugar! Materiales •
Dos juegos de cartas como los siguientes:
1
2
1
2
3 3
4
4 5
5 6
6
7
8
9
7
8
9
10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Versión 1 • Dos jugadores
Versión 2 • Hasta 4 jugadores
1
El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes.
1
2
El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla.
Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este caso, se necesitarían dos juegos de cartas verdes.
3
El jugador Nº 1 debe combinar los números de sus cuatro cartas verdes con operaciones aritméticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el número escrito en la carta amarilla.
2
Cada jugador toma cuatro cartas verdes y una amarilla.
3
Cada uno trata de resolver el problema planteado en la versión 1.
4
Cuando un jugador falla, el jugador a su derecha tiene la oportunidad de resolverlo y ganar un punto adicional. De fallar este también, le toca el turno al jugador de la derecha y así sucesivamente.
5
El juego termina cuando se agotan las posibilidades de resolución para todos los problemas.
4
Si resuelve el problema, gana un punto.
5
Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema, el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverlo y gana un punto si lo logra.
6
Se inicia el juego siguiente barajando las cartas y cambiando los roles de los jugadores.
Gana quien primero complete 10 puntos
Ejemplo:
3 126
4
5
9
2
Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
4 : [5 - (9:3)] = 2
Información actualizada Bibliografía De Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. Editorial Pirámide. Madrid, España. Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de la matemática. Editorial Síntesis. Madrid España. Jiménez, Douglas (1999). La aventura de la matemática. Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela. Marcano, Gisela (2001). La multiplicación (mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela. Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos (mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela. Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Números y operaciones. Editorial Síntesis. Madrid, España.
Videos
Theoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. World Publishing Tetra. EE.UU.
Donald en el país de las matemágicas. Walt Disney, EE.UU.
Páginas web
Revistas
Math resources inc : http://www.mathresources.com
Boletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT. Venezuela
Sistemas de numeración. Video de la Universidad Nacional Abierta. Caracas, Venezuela.
Teacher created materials. http://www.teachercreated.com Editorial Síntesis. http://www.sintesis.com
Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica. Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF. For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336 Marcil Avenue. Montreal, Canadá. Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. Martin D’Heres (Francia). Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá, Colombia.
Un corro alrededor del mundo Si todos los muchachos del mundo quisieran darse las manos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Si todos los muchachos del mundo quisieran ser marineros, harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas. Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda la gente del mundo quisiera darse la mano.
Resultados
Paúl Fort
El número de la casa de Yolanda: Es el 76. Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144. Sumas iguales: E vale 4. Dos mil: tiene múltiples respuestas. El cubo:
3
6 5
4
1 7
8 2
Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantes y sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es de aproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno de nosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadena que podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día, todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos. Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1
127
Ernesto Medina Dagger
La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”* Nació en Caracas en 1961. Realizó sus estudios de Física en la Universidad Central de Venezuela, graduándose con honores (summa cum laude) en 1985. Obtuvo el título de PhD en 1991 en el Instituto Tecnológico de Massachusetts. Actualmente es investigador asociado del IVIC, profesor titular de la UCV y pertenece al Sistema de Promoción del Investigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación Polar en el año 1993. Fotografía: F. Fernández
Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó a pensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como una invariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial, temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamos alrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de la original, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Física, las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación de energía (invariancia temporal), la ley de conservación de momentum (invariancia traslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). La presencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en el tiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sin embargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas de estas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían de múltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como “orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenos con que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetos y la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento de simetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomos y por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida. Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es el surgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalas. Formas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten a cualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen a patrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos como fractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza. El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los campos de la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estado sólido y fenómenos críticos. * El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento, creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros más destacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedo y Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.