Formulario di analisi matematica by Evangelista della Ventura

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Indice Formulario Analisi 1. Serie Numeriche a. Serie geometrica b. Serie armonica generalizzata c. Proprietà delle serie d. Studio del carattere di una serie e. Criteri f. Serie a segni alterni g. Convergenza assoluta di una serie h. Convergenza totale di una serie 2. Serie di potenze a. Determinazione dell’insieme di convergenza 3. Serie di funzioni a. Determinazione dell’insieme di convergenza b. Proprietà delle serie di funzioni 4. Serie di Taylor a. Criteri di analiticità b. Formula di Taylor‐Mc Laurin 5. Sviluppi in serie notevoli 6. Proprietà degli o piccoli 7. Funzioni trignometriche a. Relazioni trigonometriche b. Formule parametriche per sen(x) e cos(x) c. Trasformazioni particolari di sen(x) e cos(x) d. Valori principali delle funzioni trigonometriche e. Formule per risoluzione triangoli f. Risoluzione di un triangolo obliquangolo g. Teorema di Carnot h. Teorema di Briggs i. Applicazione dei logaritmi per la risoluzione di problemi di trigonometria 8. Integrali a. Integrali immediati b. Integrali particolari c. Integrali definiti particolari d. Integrali per sostituzione e. Integrali per parti f. Tabella di integrali indefiniti g. Integrali definiti h. Integrazione mediante razionalizzazione i. Sommabilità i. Algoritmi per la verifica della sommabilità di una funzione j. Integrali impropri particolari

10.

11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

k. Integrali dipendenti da parametri Curve a. Versore tangente b. Equazione della tangente in t0 c. Curvatura d. Raggio di curvatura e. Inviluppo di una famiglia di curve f. Evoluta di una curva g. Cerchio osculatore h. Lunghezza di una curva i. Baricentro di una curva piana j. Curve nello spazio Superfici a. Versore normale b. Equazione del piano tangente c. Superfici particolari i. Superfici grafico di f(x,y) ii. Superfici cilindriche iii. Superfici di rotazione d. Orientamento delle superfici Funzioni implicite a. Definenti curve nel piano i. Studio della curva implicita b. Definenti superfici nello spazio i. Studio della superficie implicita c. Definenti curve spaziali i. Studio della curva spaziale ii. Procedura per parametrizzare una curva spaziale d. Inviluppi di curve, Evoluta Integrali curvilinei Integrali superficiali Integrale curvilineo di una forma differenziale Circuitazione Teorema di Stokes nel piano Teorema di Stokes nello spazio Campi vettoriali nel piano Campi vettoriali nello spazio Calcolo della funzione potenziale per campi conservativi Teorema della divergenza nel piano Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie Teorema della divergenza nello spazio Integrali doppi a. Domini normali b. Calcolo degli integrali doppi c. Formule di riduzione d. Casi particolari

25.

26. 27. 28. 29. 30.

31. 32.

33.

34.

35.

e. Formule di Gauss‐Green f. Cambiamento di variabile Integrali tripli a. Domini normali nello spazio b. Formule di Gauss‐Green c. Cambiamento di variabile d. Formule di riduzione e. Casi particolari Calcolo delle aree Calcolo di volumi Aree di figure piane Volumi di solidi Limiti di funzioni di una variabile a. Limiti notevoli b. Regole di derivazione per funzioni di una variabile c. Derivazione di valori assoluti Limiti di funzioni di due variabili Derivate parziali a. Differenziabilità b. Equazione piano tangente c. Derivata direzionale d. Metodo per la determinazione per massimi e minimi relativi di una funzione di 2 variabili e. Massimi e minimi assoluti f. Massimi e minimi vincolati per funzioni di due variabili Riassunto e raccolta delle formule di geometria analitica a. Geometria del piano i. Trasformazioni di coordinate ii. Retta iii. Curve di 2° ordine – Coniche b. Elementi di geometria analitica nello spazio i. Rette e piani nello spazio ii. Superfici nello spazio c. Funzioni di due o più variabili Equazioni differenziali a. Metodi di risoluzione b. Equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti c. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti d. Equazioni del secondo ordine di tipo particolare Derivate delle funzioni più comuni

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686 Parte terza

5.2. Integrali per sostituzione Sc F(y) e primiliva Ji ./

(I),

(ioe

F lv)

allora, operando la soslituzione y

--+

Inr) dy

y(x), si ha

F ll(x)] = \;ry(x )] y' (x ) dx dai momento che dy

d((y(x))

dy dx dx

dx.

La precedente rel azione [oroisce un metoda immediato per trovare la primitivu della funzione g(x) = f[y(x)] . y'(x)

e nota

!a pnmltJ va F(y) della funzione fey). Ad esempio, consideriamo !'integra!e indefinito \ senn x cosxdx. senx si ha y'(x) = cosx e !'integra!e considerato si puo scrivere

Ponendo y(x) nella forma :

\ senn x cosx dx che

e risolto

= \yn y' dx = \yll dy,

dalla funzione F(y) = (n

y<n + l ) =

sen(n+l) x.

Come altro esempio, consideriamo !'integrale .:'.,

\ tgx dx. Operando la sostituzione y = cosx si ha y ' (x) = - senx e !'integrale considerato si puo scrivere nella forma:

= \

sen x dx = \ _ a~~路

. cos."'.路

- [- I ~ .d.

5.3. Integrali per parti Questa tecnica di integrazioce si basa

lIa s-;;g ;;o:e [Or:::L:1. :

\f(X) g' (x) dx = \ f dg = f(x) g(x) -

~f' (x) g (x ) dx: ,

in cui il fattore f( x) si dice fattore finito e 1a quantita g! (x) dx faltore diffe renziale . "101 . 11,

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........... _

...

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;t""I 'In' PC'nr~,,cinTi ;:~

Richiami di matematica 687 integranda, un faltore finito ed uno differenziale, in modo tale da ricondursi ad integrali noti. Per ese mpio, calcoliamo !' integrale: 2

\ x In x dx in ..:ui lny

PUQ

essere co nsiderato fattore finito e xed)"

(_;0 ) fattore

differen

zi2.!c . In _cg ran do per pa rti si h a: \ .,.: Inx dx

= \ inx d

(,~J

.~-.

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_X3' _ In x _ \ __:_3 _1 dx

, -'

In:.: -

= __

~ -~)

d(lnx)

1 ).

('In x - -3

Come altro esem pio, consideriamo l'integrale

x senx dx ,

in cui x PUQ essere considerato [attore finito e sen x dx renziale. Integrando per parti si ha:

- x cos x

x senx dx = - \ x d(cosx)

-j- cos x

d(cosx) [attore diffe

dx = - x cos x

5.4. Tabella di integrali indefiniti Funzione presente nell'integrando

lntegrali inde finiti

x n +1

[

1xndx

\~ x

(n - _) x

,- ~-,- : d:.'..

~ ... -T"'-:

+ ~x -

'_y.

- dx \ II

*' - 1]

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(n =

lnlAI .

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=i= 1]

+ sen x

688 Parte terza

Fun zione presc ntc nc Win tcgranuo

lnt..:grali inddiniti

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(II -

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1 [ (n1 - 4) A" ~

[ x dx _

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I .i ,1,, !

(n -

i~ . f

(II -

7 -

IX" ] 1) A"- I

~Ja (n - J) A" 3

(n - 2) A"

3 r A \" -A--7l-J--

x3 dx _

\~= J xA

__ 1

~ [~I ~ 1+ 2~x

__ .1_. ~

;X ; '" _ \

x- A-

Binomi del tipo (a + x), (b + x)

;;:

...:1

dx (b -1- x)

xdx

a + x) (b + x)

- (-.a--:- b ,-I In

:! - - y

I =:: a

-,.--- [al.nl a:: :d - b ' (a - b)

_ _ _.

+ x)

13:,-"

[ _.l. _ :

1-.i.. 1 -

_ _ - 10

(a + ' x). dx = x,.. ta - - .) In .- - X (b T x)

In A

i2;: ]

I I]

~:]

_~[~ -~lnl~l] cc". x

1nl~1 x

1[~= :? A .' A2 ) Av-

J a A2 + 3 ~ A _

-7 [In I ~ 1+

I :;3

a (n - 1) An

Ie-

Y '

]

Richiami di matematica 68Y Fun zionc prc Se nk ndl'imcgranLio

Imeg rali inLicflniti

elx

- -----+ ( b-a)(b+.'. )

(a + x)( b-'-·xr

~ .\

- (- .17--b-)2;- (, "

(o- a)"

8 (x'

+-, artg

x dx - 1 In (2 -a+x 2) ·A 2

- -12A

( x

dx _ J~-

-47

x x - ct artg a

x2AdX

x 1 x 2A + 2 ('( 2.:r.g c::

' .? dx = -' ,' _ c: \. A 2 2 -

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\ x dx

J A2

--=

(dx J XA2

~,-

2A -,- -2- I:-,_-! 1

U-

1 =

-r; .!

2 (X2 A

(Xl

a2 + x" / 1

+ 2"dl

~x )~

------

--,,- + --- arto 0

b -,- x

'-\ ~ = - 1 art'-' _, , A (X '" ex 1

~x I

b -,-y

2_~ In I a ~ x I

- - - _ . _ + - - - - - ---- - - - - -- - - _._

2 a>

(a-br'

x 2 (X2 A

690 Parte taza - - - - - - - - - - - - - - - - -.------ Funzionc presentc nell'in{cgrando

In{~grali

ind cfiniti

- -- -- - -- - - - - - -- - - - .------- --

CC -

\~ _ :~ A

- --,-cex

\ ,,:~-,:2

- -4- - - 4- - - - . artg a x 2a A 2 a) ~ a

1n 1 I a+x ' -dx - -_- - .\ A 2ex a-x

-\' ----:;r-dx \

2 a2 A

,~-

\ x :x [ x dx

\' x dx r-~;r

3x + 8 ex4 A

4 Cf,z A2

3 16 a5 In

a+x a-x

1 1a2 - x 21 - Tin

_ _ -_1_ 2A

- 47 x + ~ 10

( x dx

+~ In I-ex-+-x-, 4 aJ a- X

_ _X,'_

x ex

art!!

-~.

I a-x a+x I

=~ _ _ 1nl~1 2A 4a a-x

\ X3;x

)~~

~ xd~2

10 I A 1

~ + _1_ 10 I A I

( x dx J A2

Tar 2

~2 A

I ~2 x I 2

(X2

+ 2

\+=-

dx 2 \ x A2

-a-~x-, + -2-~Y-~A- +

_ x A

+-1-. 10 2a

a+x x

(X -

/ex) In

I-:-!-=-:~-:

Richiami di matematica 691

Funzion c prcscntc nc lJ'intcgranuo

[n kgrali indcilniti

," dx

\ -- =

;

P-)'-

a '( -

( lj' '"

II1

-l en)" -

2ax + p

art"

"(4 a '(

W) I"" <

1 2a y ,~- ( p2_4Cf.'dl2 "" " I :: ax - G - It (J.- - 4 eel)' , J. ,

W" >

4 cq]

'j-

I I - -P- \"-dx

x dx _ -1- I I1 A - A

xA~'(

2a _ A

px + 2y 2

_I_In x 2y A

p_\ dx 1A

2 '{

1+ =7-r x

\~ 1 r)

1 r~ 7[r

__3 ~] ,.0 1

:x = r 1 r

•

1\ x

rdX

xr a ln ( ) =-2---2x+r

a> 0 r> 0

~ rdx

~r +

T 2

In (x

+ r)

69 2 Parte terz a Fun zio ne presente ne II'in teg rando

[n tcgrali indc Ilniti

-- - -- - -- - -, - - ---- -

'\- )

I 3 3, 3 """"4 x r +""8 a" x r + - 8-

. r ax =

+ r)

xr odx = - _ )

,.3 dx

r - a In

a x+, r

r3 =-+ a2 r -a 3 In I- a + r 3 x

\4x 0>

In (x

= ..;

J.,) - 0 2

\ x rdx

(J =

- -

\~ , p

+ In (x + r)

= Inlx+pl

xdx --=p p

=_+

\ Y~d( 2

Xdx= -xp - +a- In I :t" +p I \

( ,

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' dx - = -1areas - a \ -x p _ a x

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--y- -

a p

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~ "

l a l.

areas -

In Ix -

)

,-I

I: 3 ,- xP - g " o-' - I I P-, d.'C = 4 xP; - ,0' - ,

IX Pdx

x p dx

P -5

Ri chiami di m atematica 693

Fllnzi onc prcsc ntc nc ll' intcgran do

Intcg rali indcfini ti

pdx

. --

a areos

= p -

pdx

+ Inl x+ pi

arse n

1+1

-m (

x dx

) ---;;>

m a2 2

xm 2

x a

- - - +-- arsen (~

I a ±m I

r-x

__ 1 In

) xm

( dx m J~ = -77 .

mdx

• 1

xm 2

a 2

x a

= - - +-- arsen

A. u..' (

\ x mdx J

\ r m dx - -mdx -x\

3 X m -4-

+ - 8 a x m + - 8 a arsen .

x m3

= - - 4-

a2 x m

a+m = m - a In --x

x a

+-- arsen8

694 Parte terza Funzione prese nte ne ll' integrando

Intcg rali indcfin iti

'\" m) dx

3m)

.se , j..

+ m I

a In - x足

- cos..:

\ senx dx Y

+ a-0 In

\_ sen - --" a dx

x sen x dx

- a cos 足

senx - x cosx

\ x 2 senx dx = 2x senx - (x 2 - 2) cosx

_...!:.... _ sen 2 x

] sen x x -

[

x 4

] x sen x x -

x sen 2 x _ cos 2 x

4 8

x - -6- -

JX 2 sen 2 xdx

sen 3 x dx = 3

xsen xdx

- cosx

xcos3 x

-tg

1 + senx "'dx

1 - senx = tg

cos -

(n x ) 4+2

--~T tg ( ~

sen x dx

senx

1I -

1cosx dx

(n4-2

x ) = X+Lg (n 4-T

senx dx

I + sen x

cosx

x I ) 4 -8 sen2x-

(

= senx

x dx a

x cosx dx

a sen 足

cosx

+ x senx

~ )

x cos 2 x

Richiami di matematica 695 Funzion ~ prese ntc ncll'integranuo

lntegrali indefinili

'\ X COS 2 \'

(.'(2 - 2)

se ox

se n2x

,足

\ cos" x dx

C05.'(

xsen2.\ 4

'( 1

+ --:.:.~.:....-~ +

dx = -'-'-

cos2x 8

\ cos 3 X dx = sen x dx

CO 52 X

1 + cosx

tgx

tg足 2

I \

x - ct a "" 2

COS X

cos x dx

1 + cosx

x = x' - t g2足

cosx dx

1 - cosx

[

1senx cosx dx

senx e cosx

1[ senx C05 2 X dx

dx senx cosx

- X -

sen 2 X

= -

ctgT

cos 3 X

In! tgx!

senx cos 2 X

= --+In t gX1 cosx

696 Parte terza Funzionc prc scntc ne ll'integrando

Intcgrali ind d initi

cly

- - - + In 19 (4n +-2 x ) I senx I

se n2 xcosx ,

sen- x

C05-

- 2 ctg 2x

senx dx cosx

-lnlcos xl

sen 2 x dx cosx

tgx - x cosx dx

Inlsenxl

senx cos 2 X dx se nx

- ctgx x

tg x

senx dx 1 ± cos x

=+=

cos x dx 1 ± senx

± In

dx = -

In / cos x I

) tg x

In (1 ± cosx)

senx)

\ tg 2 x dx

i _ 1_ _ l 19x

tgx

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tg x - x

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± 1 -

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~ f'1-"C", .....

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arsen xdx = x arsen X + 'II') a - x 2 a a

Richiami di matematica 697 j,

Funzionc presenlc ncll"inlcgranuo

Inlc grali inuclinili

\ x arsen x dx \ areos ~ dx

x areos -;

~ x-)

a-)

J a2 -

I .

)

\ x areos ---;; dx = -2- - -4- areos ---;; \

J artg ---;; dx = x artg ---;; -

x artg ---;; dx =

J a- -

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1 (X·' + a 2) artg ---;; X 2"

- -2

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= -;.

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1 + eX

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X -

+ xy

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lnx

+ 1 (a co· x + senx

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r\ X inx dx

= -,,-lnx - -11

698 Parte terza

Funzionc: prc:sc:ntc neJl ' integranuo

[nlcgrali indc ftnili

- - -- - -- -- ------:"

x J = -3-

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Inx

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- - x

1(in .x}

- -

x (In x )2 - 2x lnx

b x ) dx

+b bx In

+ 2x

+ bx)

- x

5.5 , Integrali definiti Se f(x) e una funzione continua nell'intervallo [a, b] ed F(x) sua primitiva, risulta:

Lf(X) dx = F(b) - F(a)

If(x) dx

[F(x)]~.

Nell'integrazione per sostituzione, laddove si operi la sostituzione x per cui:

II(X)

dx =

e la

= q>

(t)

f[q> (t)] <p' (I) dl

e si voglia J'integrale defmito nell'intervallo [a, b 1 della variabile x, occorre proce dere come segue: • " IJ)

•0

\ IV ) a~-r: .,

= \ f( 'P(t )] qi ( i ) dr ) hI

doe

dove ia fun zione 1V (x ) I il1\'crs-a deUa f), Riportiamo alcuni integTali definj i nore oli: r ~

sinn x dx

~12

," ) ,

\ sin n x dx = \ cos 2 n x dx = ~o Jo

\ fl/2

(

2 ;:

2· 4 ' 6 ' . ' . ' (n - 1) 3 ' 5 , 7, ,.. . n

cos x dx =

con n ink ro

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3 ·5,7 , ... ' (n - 1) '1

(

dispari

n nari

Richiami di matematica 699

\' nsin a x sin b x dx "' 0

eon a 'f- b

"' 0

- 00

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dx = - 1

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Incos a x eos bx dx

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> 0;

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a > 0;

a a

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-0

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i nt ~r o

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Un numero comp/esso A scrive nella forma

e una coppia A

Se a

0 e b

ordinata di numeri reali che di soli to si

== a+ib

0 si ha il numero complesso nullo N == O.

Se b = 0 e a 'f- 0 il numero eomplesso si riduee al :;'li,,:O i',, 'l, A = a; in particolare se b = 0 e a = 1 il numero complesso si riduce all';,,';:'! ! '~' ,:i , UR = 1. Se a = 0 e b =t= 0 il numero comp/esso A = i b si dice ii:;!i {l '~ ii l!:.·: . ) 'U f} ; in particolare se a = 0 e b = 1 il numero complesso si riduce all' !llilu !l:!!I' :I'.: ii U:)'/U UI = i, I! numero complesso A* =

i b viene detto UJ/11/'/,'sso cOnii!.'H Ii O di A = a

a -

+ i b.

6.1. Dejinizioni dell'algoritmo complesso Dati due nume ri complessi A == a + i b e B == c + i d si definiscono Ie opera 7ioni : Som m a a fgebrica di due numeri complessi : A

-. Prodolf o di due numeri complessi: A· B

= (ac -

B = (a

bd)

i(b

+ i(ad + be)

Casi particolari notevoli: A2

= a 2 - b2 + i 2 a b

(± UR )2

uli

(± 1)2

quadrato di un generico numero complesso 1

quadrato dell'unita reale

1 quadrato dell'unita immaginaria, II quadrato de!l'unita immaginaria vale - 1; e il quadraw di un qualunque

numero ib imrnaginario puro e negativo : = ib )- = - b= . In effe

complessi sana stati introdotti per dar s:g ificato J.lroperaz i o:l~

drata dei numeri rea/i negat ivi .

(±

(± i)2

- Reciproco di un numero complesso:

zione comport a che

+ib

. Q est de'- '.

A .A = 1

- Modulo di un numero complesso:

Si verifica fa cilmente che A · A *

IAI2: il modulo quadrato di un numero como .

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RIASSUNTO E RACCOLTA

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·1

DELLl~

FORMULE DI GEOMETRIA . ANALITICA

Geomctria del piano

PREMESSA. - Indichiamo con Pi> P z ,'" i pllnti di coordinate (;r ll YI)' (XZI Yz) ... ; con r, r' .... Ie rette di equazioni ax + by + 0 = 0, ax + b'y + 0' = U ... oppure Y = ma; + I), y = mIx + ql'" .

1. Trasformazione di coordinate - \Puntl. Per traslazione di w,'s'i: x=X+tL Y = Y + b Per rotazione:

x = X ('os ex - l ' sen ex y = X sen ex y cos IX

Per traslazione e rotazione insieme: ;c = a + X cos cx - Y sen

{

y = b

sen ex + Y cos ex Trastormazione di coordinate cartesiane in polari e viceversa:

e = I V x~ +

) Punto

('he

tang rp = .~ .

divide

X·

yZ I

~ x

= 12

cos rp

( y

sen rp

un .segmento

estremi

PI == (xu

yd,

PI == (X2' yz) in parti proporzionali a m e 11: nYI+ myz nxl mx2 X=

y= l1+m n+m P = Punto media del segmento 1 (~, YI), P l = (xz, Y2): YI+ y, xI + :v, Y=-2 x=-2Distanza di due punti: ------~~-----= P1P1 = V(XZ-xl)z+ (Y~-Yl)2

'iJ

~, 11

"';<

t--J

555

()

() 2. Retta. '

', ' .

, ;

ax+by+c=O

:<. iFdr~~' ridotta: , Y = mx + q

Forma segmentaria:

Forma norm ale:

Forma 'generale: ' "

( )

- + - =1 P q

x cos rp

+ Y sen tp -

:z;

-1

+'"

tang w =

y.- y, x 3- X, Y,-Y, = XI-X,;

oppure:

X2+ y2+ mx

111.)=111.2

+ ny + p

n ' {J = .- - ,l r = 2.

= - -2 ,

+ YIY +

(x + Xl)

liJqwtZiontJ della retta paralkla condotta da PI =. (Xl' Yl): YI) = 0

+ '2n (y

~2 +~2 a

punto P

I tAW + 1

bit .11

v(i 2 + b2

== (xlJ

La semidistanza jaeale '

c ~ . ...;a2

Tangente all'ellisse neZ punta PI:'

cia una retta r: , r

Yl)

\JJ

XIX

+ y,yi =

c) Iperbole. Xl

' yI

- - -

b ' <love a e b sono 10 lunghezze dei semiassi (trasverso e non tra.~lJerso). aX

a ~ L +- ~ A ~ ~ ( >/ 1 + c.Lx. t- e) 1- ~

""U

+ YI) + p = 0

e=-<1 a

Eccentricita:

X2~Xl

' d~ ' lmxl-Yl+ q/ VI + mi .

e il ra.ggio.

='1

Y-Yl = X-Xt

tin

V0.:.2 + fJ2- p

dove a c b sono Ie lunghezze dei semia.~si.

/IJ'lttll¥t(/'ItO della retta individuata da duepunti P 1 = (4' YI), /'. • (.fla, fl. );

Iii.

= 0

b} Ellisse.

Y - YI= m(x - Xl)

11Jqu(JzionlJ deUa retta perpendicolare condotta da P I ,= (Xu Yl): . . 1 . b(w- ro,d II(Y - Yl} = 0 Y ~ YI = - - (x -Xl) . : m

O' .W'I UI(I

(0.:, (J) e raggio r:

Tangente al cerchio nel punto PI == (Xl) y.}

1 111.2

XIX

Y~- YI

dove 0.: e {J sono Ie coordinate del centro ed r 711'1 =

+ b(y -

3. Curve di 2° ordine - Coniche.

0.:

aa'+ bb'= 0

11 1 =

4 YI x 2 Y2 1X, Y3

oppure

da cui:

Oomlizione di perpendicolarita:

(I(W -

' Yl+ Y2+ Y3 3

(x - 0.:)2+ (Y- {J)2= r2

m,. 1 + m,.m, 1n 2-

Oondizione di parallelismo: llb'- a'b

Xl +XI + J

a.) Equazione del cerchio ' di .centro C

ab'~ a'b

aa'

Condizione di allineamenta di tre punti:

A ngolo di due rette r, r':

tang w

Coordinate del bariccntrodi un triangolo:

n = 0

dovo p e q SODO Ie Iunghezze dei scgmenti staccati dalia retta sugli assi, a partire daJl'originej rp e l'n.ngolo della. normale aUa. retta can l'as80 x, ed n e Ill. distanza dell'origine daUa retta.

t;.), J.U ". -, ..

-=- 0

6: G":- 4~ <2 557

:. 'i n

D->O f).

' :=:'

,:J

6..(C

._') _t

-::.>

." D. \F" \J .~

~ c..,u •.'",cL...

::!7 ,Q.E..t\,')'V<.

~: )

J.1 .' ~

fA ,~ljmidiHton.za

focaz.,

I v' a Z + b 2 1

Andamento della cuna, seg110 (positivo, negativo) 0 valorc nullo ehe puO assumere l'ordvnala y di un pU'YIlo della parabola al variare dell' ascissa:

. .\

e=!!.>l a

/':tlIJfl7l t ri IIi ta:

·1

Gli aaiTllliti 8ono:

. ~

b ±-x a

Ll XIX 'lhY = 1 "(t2- b2

PI:

. .{

I 1

aV2. Ecce'YItricita: e

I I

= V2

(concavita in alto)

Nfl/IlI'" NNr

A IIml,,"' .. 11

a<O

(conca,vitil. in basso)

~. Semidi~tanza focale: c = 2 v'1kl () ; :n ....., (); Tangenti del p1tnto PI: Ylx

+ xIY =

//l l1lill

A: /1'

2px

(~ ,

(p = parametro)

0); la direttrice

"nll tl' lI1t /ll rid/It 1lm'abola

'1 ',l ll l/fJ'III,; tI,,[ /11Into

e eguale

P,: YIY = p(x

= _

a uno: e

v /I'

" ',,/jlllll

+ XI)

"" 'I'1111j//III/

'\J -t:

'1:':/1

Jf /llIr

4ac- b2 4a

sia:

. xl < x < x 2

ossia interna aU'intel'vallo c) L 'ordinata Y X

e Julia

per

=:21

x 2 )·

(XI!

x2 X

nel punto

Hegna concorde

= x2 • concorde

con a.

ill

Equazione geneNJle di una conica e ceRno di discussione.

f(x, y)

= aa;z+ 2bxy + cyz+

2d.l::

+ 2ey + f =

Condizione aflinche rapprcsenti un eerchio:

+ 1)

b= 0

a=c

Condizione aflinehe rappresenti u'YIa clliRse:

4ac - b2-1 4a

Y + YI . 11Il/"" I'I: - 2= aa;.x

sempre che Ia

Ll < 0: La. eu l"Va. non taglia Passe . x. L'ordi."ata y e .~empre di sey/l.o

= 1.

y = aa;2+ bx + c ~ 4ac - b2) ( __ 2a' 4a

!!... (_ ~a'

L'ordinata !J ~ ,~empre di con a ed e. nulla solo per X

ft) '·IIf,.. IIOI,. "lin !lRlle parallew all'asse y:

V",'Ullfl

J .= 0: IJa parabola c ta,ngcnte all'asse dj asciJ:isa x == Xl = X z ·

£) '·"rf, lm l l' n:{l:n:tlt all'asse e alIa tangente nel vertice:

u) L'ordinata di Y e di segno discorde con a

a>O

del pun to PI: XlX - YlY = a 2

ossia esterna all'intervallo (xu x t ):

11) '1""'I",ttl '~'J"ilatera rijerita ai propri asintoti:

~ia.: ;1]

(Iras1/CYso e non trasverso) sono eguali e di 11~'YIghezza a.

I,., HII~"idiHt(mzlt fo cale e: c = ,I /ll" IlIti : :If + x. Tangenti

x nci duepunti

X2 •

di un puntodella parabola concorde con a scmpi'e che la sua ascissa

y2= a 2

x~ 111'"/11 i l/ 8N i

a,scissa a;. e

a) L'ord'inata

tI) 'I"'rl."l,, "'l"ilatera riferita ai propri IWli:

> 0; La. curva e scga,t.a (bll'asse (j j

,.·1.

'l'an y l':lItf. aU'ipm'lio7c nel p1tnto

(~)

()

ac - b2

+ 2" X + a;.) + c

Condizione aflinche rappresenti una iperbole:

ac- b2 < 0

559

(...

;-;"

ÂŤ)

" ~~.

(" \

)

~"J

Condizione affinche rappresenti una iperbole equilatera:

~ .. ".

Condizione affincM la conica 8i apezzi in due reUe:

:'"

e = dl

Indi Cc

Eq7laziolle della tangente neZ punto P I ,=

Yl):

(Xl'

ax1x + b(y\x + XxY) + CYIY + d(x + Xx) + e(y + yd Diametro fklla conica coniugato alZa retta y = ~:

i I .J

ax + by + d + m(bx Diametro coniugato all'a38e x:

+ cy + e)

+f =

ax+by+d=O .1>iametro coniugato all'a38e y:

+ cy + e = "0

Coonlinate del centro fklla conica" Sono date dalla. 8oluzione del

'I'

HiM.mna:

I ax+by+d=O I bx+cy+e=O

l ~

I j 1[: f

,!l

, ;1

. ', \

ac-b 2 = 0

. ,

a+o=O . Condizione affinche rappresenti una parabola: "

. J ~.

. '. :,: .

'iJ

li d)

I ~ '

f .~

,r ~

·I

•

1 I' \.:

.' n~~l_~. ' spa,~jo

!\ (

L, I

C 1l0nlill3 t e cartesiane nello spazio~ .'

'IIii

~; I U

Iitoltl t.: ;ls:;egnata, per

segmenti, un'unita di misura.

~, II

Sia P un punto qualunque del-

10 spazio: per P conduciamo i piani p'lralleli ai tre piani coordinati yz. ZX, xy, i quali tagliano gli assi p, , / x, y, z, rispettivamente nei punti - - l' A, B, C. Indichiamo con a, b, c, , rispettivamente, Ie misure con se gno dei tre segmenti or~' htati () y~ . 013, OC ·~rispetto all'u ita prefis , sata). .,.. . . L I tre numeri ,t .------- l', nuti si dicono coor siane ortogonali'del p~to P e', .vo I' if', (•• 1 lendo specificare, prim seconda e I", r ll I " p lo' llll ol III '\ " 1 IHJlltn P, 0 anche. ascissa . ordinala e qL la di P. VI 11 1111 1' '' , '1 '1 1 ' II I" il ri o!;"i pWHO P della spazio corrisponde tina terna "I , /( III I /1i ,Ii lilli / fi li i /'1'(1 1; (k coordinate di P).

.. - -'- - -:;i ~

I; I':I.

. Ie"

j ~\ i '. ~ I:•.

·~ ~l H' ~ "' ,

'1.

¥ :~ I :~ II: '., !i,.l .-.

.'i(

Ii, . I.

1,' \\.

'" Id'II <J\

t ::

_ __

~)"'__<~

)

Infatti, sugli assi x, y , z si prendano rispettivamente i pU:nti A, B, C in modo che risulti, in valore e ' segn~, OA = a; OB = b, OC = c. Conduciamo poi per A il piano perpendicolare all 'a sse x, per B il piano perpendicolare a\l'asse y e per C il piano . perpendi:

In base a questa corrispondenza biunivoca po ssiamo parlare indif ferentemente . di punti dello spazi o 0 di terne o rdinate di numeri real i, identificando il p~mto 'con la relativa terna,' escrivere:

." i lis ·.illo ne llo spazio tre rette orientate x. y;z uscenti da uno 1'111111) O. non complanari e a due a due ortogonali. Queste.tre )C·II,· V"III~""I) d(; lle assi coordinati; il punto 0 si dice origine delle ",,".\111.111' cd i tn; piani x y, y z. zx si indicano con il nomedi piani ,,,, i,,lilltlli (11/'. (j.t).

:i Ii

.. Viceversa,. dati tre numeri reali .. qualunque a, b, . c, ..essi sono Ie coordinate (prima,. seconda· e . terza, rispettivamente) ' di un unico e determinato punto Pdello spazio.

: .I,~· ,-."

spazio

.. Possiamo quindi dire: fi ssalo nello spazio . un sis tema cartesiano di riferimento,. esiste una ' corrispo~denza biunivoca fra i punti della spazio e leterne ordinat e di numeri reali_

§ l. -: Rette:e piani nello spazio . I.

colareall'asse z.· Questi' tre piani si incon-tranci j~ un unico pun to' P dello ' spazio avente, pe;coordinate i tre numeri assegnati a, h. c.

:"' :. "

(' j,

( 'j

Elemenli di geomelria\ <> ilica

CAPlTOLOVI

',. ;.. ..,....-. .'E1 ementl di ·:geometria :'an.-a1itica

! ·

," '.~ 1.

OA,

pea, h. c),

per indicare che P

e il

punto della spazio di co():dinate a, b. c (I) .

Se conveniamo .. come faremo sempre nel seguito, che Ie rctte paral\ele agli assi siano orie ntate concordement e ad essi, allora Ie .misure dei lali dell a:; spezza ta OAP,P (fig. 6.1) .sono Ie coordinate del puntO Peper questa ragionc tal e spczzat a chiamas i la spezzata costrut· tri.~ed·eile coordinate d e l -punto.P. . I punti del piano coorc;linato xy hanno la terza coo r dina~a nulla quelli del piano zx hann'o la seconda' coordinata nulla (y = 0 ), e quel\i del piano yi han~o nulla la prima coordinata (x = 0) .

= 0);

I punti dell'assex ha nno nulla Ja seconda e . la. te rza coordinata (y z = 0); quelli d~l\'a s se y hanno nulla la - pri~a cia tena coot· dinata (x = z = 0), ed infine i punti dell'asse Z hanno nulla la prima e la seconda coordinata (x= y =

L'origineha nulle .tutte e tre le coordinate: Si osservi infine che i piani coo rdin a ti dividono 10 spazio in otto regioni (triedri); a 'ciascuna regione co rrispondono partico lari segni

(I) II lelt o n: ' d eye '-rrcor d ~ ;:e "ell': il prim o num e ro che si scrive indica semp re la coordinat a del punto misu ra ta suU' asse x. il secondo numero Ja coor din a ta mi surata s uli 'asse y ed il te rzo 13 cco l'dinac a misurata sull'asse z.

f1;

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.'J.!:

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> 286

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-~''' :'1£<' ,": 'i. ·,"

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:':'). ~.' ~,~ . ;.~ ,

.,,". Capitoloseslo

Elementi di

----------------~----------~~~~~~~

-~'~;:-r.;~'-:.:. ~. ; .

(' ", geom}i~lj

' "

.... ,

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· ·'::.:':i.'i: ~I.; ~: , '

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'-::- ".""

.~ :.

::-.; " :-.- :,

allalitic<- nello spazio

~ . ./287

,.1 Jltli

tll l'lI i I

PCI' Ie coordinate: Cosl' un punto, :che si :trovinel triedro formato dalle st:JIlirelte ·. positive" x, y , z, ha: Ie, tre' coordinate" positivc) mentre::o.un

plill to appartenente al triedro fonnato dalla sein:retta" negativa: del"

I'<l S~ t: x e dalle semirette positive y, z, ha la prima coordinata nega liva k altre due p6sitive, ecc:- .. " " ::

In coordinate cartesiane ortogona/i, la distanzadi 'due punti e data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra Ie coordinate dello stesso , nome. . , , In . pa~icolare;- la · distanza di un punto P(x, Y.z) dall'origine, e data da: ,

e ,I

vale a 'dire: ';

I '

:,"

. -:

-:. :

~~.;

.. I.......

. ::! _' iJ!..1 ~ :.. . ,I.; : '- "' : I ~;: · ..;t ..-; ::

:.~

...;

Di~taI1za di due. punti.Punt~.,medio .. d~j ,~~ segmento~: ,!;

. ./

~ ',

....

-. 1 :- " ,1 - "

•. ;

t , , '

• _.

Esempio. - La distanca dei due punti: PI (2, 5, - 2). P2 (3, 4. 1)

e (Xl' Yl. Zl)' rispettivamente, Ie coordinate ,di due • :~: . punti PI e Pl' - Vogliamodetenrii ',., nare la distanza :' (in: valore.. asso P2 luto) d = PIP l di questi due punti, -'. f . I .espressaper mezi6delle loro co Pi 1 ordlnate.Castruita:' la; 'fig: - '6.2 ' e chiaro ch~ le:to'ordin;t~ 'dei punti : -";Q , P; . P;, proiezioni ortogonali suI I I I I I I piano xy dei punti PI e Pl , sono I I 1 1 rispet tivamen te: , I ,', , "

•

)

71""

I '

, p;

~III!I : 11'lIImr

fI:

IJi

I ~l H Ili

ii' II I~

" I. i

Ii'

' :j';

.:' ; . ~= _(~;" ~~!Y

;'.~r~

):;''::'' ''

J110111"(', dal triangolo rettangolo PIQPi si ha:

:: ~::

.:~ ~, cP ~P.P; =P;(i+-(fP;',, : - . ~~~

. , . . . " .,.

I', ,= PiP; e QP,'=

= v(xl -

•

xjl + (Yl - y,)2 +

. -

l .'.j

_ ',-,'., - . ''' '''' '

. • ,

•• ~~ :

_1!

•

-'.'

•

'I '

•

(Zl ~ ZI?'j .. :,

. ,'; l~ ;: . '...

:1 ",I ,

z;,-",'ndefiniti:~

•

~ .

. :",;.!.

.' !j . ' J I,

Vogliamo ora dirnostrar'e che nello spazio, ove sia fis !;a to un si . sterna d 'as si cartesiani ortogonali, un piano si puo rappresentare ana litic a rnente mediante un ' equazione k. :._deI " tipo:.: " ':;."

....._. -,. , I

.... ...: ,;:' .- ,'." :.; .: '" . .; . .i: .:- ' i '-=. :.

1:" (jJl'H~ "dfl :

Equazione -cartesiana del piano.

Nel Vol.: Algebra, cap.' XV, :abbicimo 'visto come una retta si possa rappresentare analiticamente mediante un'equazione del tipo ax + by + c = 0 , nel senso che tutti e soltantb i punti di questa retta hanno ' coo-rdinate - che soddisfano quella equazione, z

+G; ~:YI'j;.· , : ~.~;~:i.:/_;~~ ... :,'~ , -

il l~

,;,

5 . . 9 .".' : 1 2 2' -

Ci~.y;) , .,,:

e quindi, ' per' la formula che da .la distariia di due 'puntidel-piano xy eVoL i', Cap~ ; :X, n. 6); si ha~ '

... _~

Fig. 6.2

(i,;yJ , - :

~2)l +14 - 5}l + (I + 2)1 = YTI .

Per esempio. Ie coordinate del punto medio del segmento avente pe r estn:! mi i punti PI e Pz delJ'esempio precedente, sono:

p'1 - --, ).

,.'

.;": i::.

ax "

; .. : : .. ~ .

. ! I ~ I ~ . : .: J _

_. .

-; :.>-: I.::.! :"':'":

: , ' .- • "

COS) pure, Ie coordinate del punto rne'dio M del segrnento di estre mi : PI (Xl> Yl ZI) e P2 (X2' Y2, zz), sono date da (Vol. I, Cap. X, n. 8): (2) X ,lf = XI + X z YM = y, +iyz ZM = z, + Zz 2 2 2

I, ,I

d =

/'1

t , ... ._- ... _...

)

= VXl +.)12 +Zl .

Fj~~at;) .nello spazio un sistema cliassi 'c~rt~si~niortogoriali; ' di10 '00 (XI' YI ,ZI)

)

I ,:. ,

.. ;::.

x Fig. 6.3

.':.n)

•

+ by + cz + d = 0 ,

nel senso che tufti e :solt a nto . i punti di questopiano ha~no coordinate che ,soddisfano questa,·equazione. :', .:.1::',

..!1 '

',; 4.

\',:

. ~. ;"

', "

.~ .~

:,,'.

' ; ~ :,

'l: :' ;·:,,~ : :,::,:::~:-:_'- :-_

()

2XIl

.- ' ~ '.' .~ ... ,J~ .....' t;.-' . --r-•

' Capitolo 'usra

£lementi di

gej~~jia anal.

nello spalio

)

289

A tale scopo consideriamo un piano

da tn: suoi punti non allineati:

(fig, fl .3), "

IT .

(Xl' YI' ZI)'

Tale piano P2

(X2 ,

individuato

'-1)' P 3 (X 3' Y3' Zj),

Y2',

Esempio. - Scrivere /'equazione cartesian a del piano passante per' i tre punti P,(1, -2, 1), P1 (3, 1, -2) , P J (2, 4,3) .

l'l:rche un qualsiasi altro punto P(x, y, z), stia sui plano'n, esso devt: l'isultare complanare con i tre punti PI, ' P2 , ' Pj. Si'dimostra che '-;tJlldi zione necessaria e ' sufficiente affinche il punto P apparte'nga ' al piano 1t e che Ie sue coordinate (x, y, z) soddisfino la seguente

<.' qU<.I '(. IOIlt:: ,

" Xl

. ,~l

. x) " Y)

(.1 )

. 1...

X '

che sviluppato secondo gli eJementi della prima riga dil:

1= O.

24x - 7y

Pms iarno quindi dire che . tutti e soltanto i punti del piano ;r I' ~:r coordinate terne di numeri che sostituiti ordinatame nte al 1,,, ',111 delle variabili x"y, z soddisfa~o l'equazione (3). ,!

11:111111)

ax I'n

ragione la (3) si chiama equazione cartesiana del piano

qll <.:sla

it determinante 'che sta a' primo ' me';rib~6 ' della (3) 1:11 clementi della prima riga, e ponendo:

- 47 = O.

t: _

Si pub, infine, vedere facilmente chi! il risultato preced e nte s i pu b invertire, cioe che ogni equazione del tipo (4), con a, b, c, d numeri reali qualunque, e i primi tre non tuttiinulli, rappresenta un piano. In aItre parole si dimostra ·che Ie infinite solu zioni dell'equ az ione:

!t JI

+ 9z

+ by + cz + d

= 0,

rappresentano coordinate di punti giacenti tutti su uno stesso piano. Riassumendo possiamo dire:

SVd"I'I'HTlUO 1'l. I/lIlI ij

. :1, ..

= I ~l ', Zl '

c ..; "

" Z) -

'y;;

Iii ( I) ~ I 1' 111';

I'", .

I b 1- "

»)

Xl ',

HI 'Il' , IVt,; J't:

y, ,II .

X-z

I" . d, =

Y) , ,1, ,.. -,

1. _' 1

Y'y-

Yz , Zz Yl

' ~ .'

fil ,

Ad ogni piano dello spazio si puo associareuna equazione di primo grado in tre variabili, e, reciprocament~,- ad ogni equazionediprimo grado in tre variabili si pliO associare un piano, ,_ .. _

Abbiamo' poi vis to, nel: numero precedente" come·_data 'un piano median te Ie coordinate di tre suoi' punti se ' ne possa , scrivere: l'equa

zione corrispondente.

Viceversa, per in-di viduare il piano rappresenta to dall'equazi o ne_ (4) basta trovare tre soluzioni di tale equazione, .:ille qualicorrispon dono tre punti del piano cercato, punti che individuanu co mpletamente

il piano.

sotto la forma -seguente: Esempio. - Sia data /'equazione (' ):

(.f)

I 1;\ , .....,

/ Vel

ax 11j" ',i lllll1' I I<I\J

+ by + cz + d

;,bbiamo: ' .'

On'" III lltI,'

1",lIld

/ / t' I/ "

= 0.

s i I)UO rappresentare medIante lIn'eQ4azione di primo x , y, z.

111 1 ''' 1:11 ill:

(I)

': )x

+ 2y + z - 6 = O.

(I) Ricordiamo che per trovare ' una soluzione· qualunque della equazione considerata si devono attribuire a due variabili, ad es ., alia , x e y, valori ad, arbitrio, e poi determinare il corrispondente valore della z. 10. Z~tJimer·Scag{jantj. Argomenri di Ana li~'i

______---"'\." .~ ).

(, 'J 290 ,

Capitola sesto ·

"i;".

Elementi di ge(f j [ia ana r' ," a ,,<!I/o JPllzio

'r.> ~"

!~ .. ~.

f~':

j;-'

Tre soluzioni di questa equazione 50no:

X=1

I 1

y=l

{

:: {

z =, -

z·= 1

(

rappresenta, come sappiamo, una retta r; ' ,la stessa equazione ~ inter. pretata nello spazio rappresenta un piano che passa per questa retta r ed e parallelo alI'asse z.

.::~:'

= 2

y = 1 {

Osserviamo poi che se e. anche d = 0, cioe se iI piano presentato dalI'equalione:

- 2,

aile quali corrispondono nello spazio i tre punti PI(l, I, 1), P 2(1, 2, - I), PJ(2, I, - 2), II piano PIP)p} e quello che ha per equazione la (I).

(7)

ax + by

= 0,

rap

.' . ,

allora esso passa per I'as se z, perche Ie coordinate di ogni punta di questa asse soddisfano l'equazione (7).

Piani in posizioni particohiri,

Similmente Ie equaz(oni:

NcIl'equazione del piano:

(5)

+ by + cz + d

_ J

• •J

= 0,

aJcllni Jei coefficienti possono essere nuIli; non tutti pero e nemmen(1 I

primi Ire assieme. I) Supponiamo sia d

= 0;

l'equazione assume la forma: ,

ax+by+cz=O, ~~; .·

= y=

• . '-;:'

•

+ cz + d = 0,

"", 0 " .

rappresentano rispettivamente pianiiparalleli all'asse y e all'asse x. Dunque: se nell'equa zione di un piano manca /Ina variabile; il piano e parallelo all'asse che corris ponde alla variabile mancante; se manca inoltre anche il'termine noto, allora l'asse stesso grace suI piano.

3) Se nell'equazione di un piano mancano due variabili, ad es. a = 0, b = 0, cioe ]'equazione del piano e:

J ..

cz + d = 0,

se ' nelJ'equazione di un piano "manca il termine noto, il pllssa per :l'origine delle coordinate. ';, " I ~, ;,~ ' ~" " ., :; .....':1:

1)1I11(1'IC:'" IliflY/() :

+ cz + d

I • •

(: iI pi;UH) (.;orrispondente passa per Torigine delle coordinate, perche i v"jo l'i : x 0, 0, i 0 (coordinate dell'origine);soddisfano I'equa~ , J u n e (.:o n s iderata.

ossia : '

-~ c '

) Sin (; -::: 0, a ~ 0, b ~ 0, d;,e 0, in 'modo che il piano ha la esso risulta parallelo sia all'asse x che al]'asse y, e quindi al piano coordinato xy.

nq ll llllOll c : "

, ".,J"

((I )

+ by + d

'. ' , .•

;

= O.

Sf l)Rllcrvi che il piano rappresentato ' dall'equazione (6) non puo I' a~sc z perche un punto qualunque di questa asse ha cl,nl'dillala una tema ordinata di numeri del tipo (0" 0, . h),~. 'jI" '111 II IIt11 C ri non soddisfano l'equazione (6). Dunque il piano in

Dunque: se nell'equazione di un piano mancano due variabili, il piano e parallelo al piano coordinaro che corrisponde aile due varia bili mancanri.

II" IH I I III/ e

il i ll t'

qU ("fHloO('

e )Jl/raUdo

1'( I/lIllll IlIO

all'aSse' z.

" ,,;" .:;

qllindi dire che l'equaziom! (6)

In particolare:

" ,:

inte'rpr~t~'ta nel pianc; xy

• i¥

- '- --'-

.-. -

- ---- ..

---- - -- ------. -- - . ---- - -----. ~~.----.- -

.--- - ----------- - --- --.---.--.--.. .~--.

.;s~

(

. · .."

292

~ L >\'I:

:", ,', .

(~:.' ;'"~~' ,.. "

'~:::'OIO:~'O ': C I.·' ;,,~,:::,g,C2,,;.."., ~

e I'equazione

del. piano xy; y

e :'equazione

del piano

xz;

= 0,

", :

= 0,

6 + 6 - 3S + 23

J·1

= O.

mentre nel secondo

d a c b \ I CC:U I\H~ 1't:qtJ':l zione (5) puC> scriversi sotto la forma :

a , b c x+-Y+-z-l=:O - d - d -d

= 0,

-,.!

. • 2) Scrivere l'equazion e segmetllaria del piano di equazione ge nerale :

5x - 3y + 2z -9 = O. Detti : A(p, 0, 0), 8(0, q, 0), C(O, O~ r), punti d'intersezione del piano rispet. tivamente con gli assi coo rdinari x , j, z, si ha : 1

5p - 9 = 0 ,

- 3q - 9

= 0,

2r - 9

= 0,

da cui s i ricava: 9

p = -.

quindi l'equ az ione segmen ta ria

- 3:

G3)

9 r == - ; 2

~ + _y_ +_z_ 9 - 3 9 5 2

Fig. 6.4

293

'i;su lta :

- 3 - 4 + 2S + 23 = 41

C3S0

lin c lli si .-j,·a va : p =

Infatti , nel primo caso s i ha :

del piano yz.

i:~

nello spazio .

4) Se nelI'equazione (5) tutti i coefficienti sono diversi dazero, il piano corrispondente non risulta ne parallelo ad alcun asse ne pa ssa per ]'origine delle coordi. nat e. Esso percib taglia gli assi in. Ire , punti distinti A. B. C. Le ' mi. z sure p = OA, q = OB, r = OC dei C scgmenli orientati, di origine 0 , c he il piano stacca sugJi assi car. , t(;sialli s i dico no intercette del pia· ' 110, (fig. 6.4), Siccome i punti: II (fI, 0, 0), B (0, q, 0), C (0, 0, r), B s tallJlO su I piano, allora Ie coordi. y lIal e di qucsti punti soddisfano I'C1lu;\zin nc (5) del piano, cioe ri slilln: A II' I- d == 0, bq + d = 0,

,,::' .'::;'" i·-·

4a J) Verificare che il punto P(2, - 3, - 7) giace sui piano di equazione: 3x - 2y + )z + 23 = 0, ment re il punto Q( -1. 2,5) non giace su tale pia no.

.;- -

Esempi.

. :'-.;

e X

e l'equazione

,'1-,::.

".. ~ "" t"· "'" " ". :.4:J..tL-. ':: " .. .' .:

. . \".

" '>{

= I.

Scri~ere l'equazioned..el pianoche pass~ per il punto P (2,

t, 1)

e 'che

stacca sugli ass; d elle .:c e y segmen ti rispellivamen.te di misura eguale a I e a-I.

E~ sendo in questo ca so

d el tipo:

I, q

I, il piano cercato ha una equa iio ne

~+-.L+.£=I, I

- I

:d II I! ' dove r si deve ' dererminare in m o do che I'equazi o ne risulti sodd is fatta dalle

x~z

(H) "'I I! (. 1

•1'

-+-+-=1 p q r .1 11,'

" 'II/IU/O II C

:::oordinate del punto P

(2, 'f , I) ; cioe de ve risultare: 2 I · I - - - + -=1 I 2 r

segmentliria del piano.

•

•... ,

...

".::~

"J: { .I.' .JLEJ:'~·~:~·· · ~ · ·:

~It

()

....___ . . ..4. :_ .. _~._

-~"_:.:":

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2~94~~~~-::-:-:-:-::-:-:-~

'-".,":'-a .;.-._,.~..-... .

(!f,~'\ \"!_:-./

-' -~ -. ~ .:.--'::;-'~::...::':-' .:-

.... ":"

,'':''

Capitola seSto

da cui si ricava:

oj . ;

E/emenri di

:~ • .J.~ .::

.- ... ~>. ,;,"

!··.:;:~I( ; . .i.._:"••::••

• ': ;'''':.'. ~ . ~-:

geo\r~"'-(~ia

ana/it

'\ ' j

nello spazio

un piano passante 'per la

·; 1, ',

r: "

x - y + _z_

-2

IIII.i: I

e dunque:

=1"

2y -

z ...:

2'':;' 0·,

Equazioni generali e ridotte di una retta dello spazio cartesiano. .. .,. . ,., .~, .. " '

Per rappresentare analiticamente una rdta ·· r della spazio carte siano, conduciamo per la retta r due piani distinti Jr, Jr l e scriviamo il sistema formato con Ie loro ·equazioni:

ax: + by

(9)

{

2x -

ossia:

+ ez + d = 0 , .. alx+ b,y + elz + d, = 0, ·

,~ ",p'''

si . pu6

'r~isolven~

rispettoalle variabili .xe y. regol~ di CRAMER) si ottiene: X

(10)

Risolve:ndol~ . (~on

+ XI III Z, + \' 1'

, \' -

e posto :

I = _b~, .-:- ~,~ ab , - alb

III

{!,c.'.- ,a c ,. a 1)

1 _ .

a.!J

bd, - bId

=:: - - - - -. ,

ab, - alb

y, =

aid -

ad,

ab, - alb

II sistema (10), csscndo equiv alen te al si stema (9), rappresenta anch'esso la rett a r ,

Le equazioni (10) si dicono equazioni ridotte della retta, mentre Ie (9) si chiarnano cquazioni g~nerali della retta, Si osservi chc Ie cqua'lioni del :sistema (10), prese isolatamente, rappresentano i pi a ni passanti per la retta r e paralleli rispettiva

J)lIllque: una retta nello spazio

e rappresentata

da dllc equazioni

iii IJI'illlu grado, Ie qua/i, presf; ' isolatamcnte, rappresentano ciascuna .

= lz.

{

Si vede COS! che una retta dello spazio viene ad essere rapprcscntata come intersezione di due piani,

E. ovvio inoltre osservare che la retia r puo essere I lI l'pn:scntala analiticamente dalle ·equazioni di due ' piani qualun·que .... . :.: !"I',s" n t i per essa,

Per questa ragione Ie equazioni (9) si dicono equazioni della retta .r.

l:It\, 6 ,S

:~~.

Siccome le equazioni del sistema (9) rappresentano, separatamente , due piani che si interseeano lungo la retta r allora, . come sappiamo (Vol. I, Cap, VIII), i coefficienti delle variabili nonso~o proporzionali ,', .. , d . a·' b ' , 'I·a b 1 0·' '·1' , ('9) epe~clo:, supposto a eS" " a; ,-;C .~-' elOe: a bl~'; ,: 1 ,.slstem~~

ove si

gni pumo P della retta r appartiem' simulta!1<':'lInl'nt<.: · ai t1u~' piani Jr, ITl (fig, 6.5), e quindi Ie sue coordinate soddisfano il si s te ma, Viceversa, una soluzione del sistema (9) rap~ presenta Ie coordinate di un punto 6 ·che appa~, tiene simultaneamente ai due piani, e percio appar Jr l ticne alia loro retta intersezione r, r Vediamo 'quindi che lutl! e soltanto i punti della retta r hanno per coordinate terne ordinate di. nu !" l' meri che sostituiti rispt!ltivameme cii "posto delle variabili ' x, : y, z nel' sistema (9) 10' soddisfano, .. ,\.,L

295

retta (,), .

r = - 2,

L'equazione domandata

: ,"

(') Per delermin a te k . cuo rdinate di lin punto !,ellerico della retta rappre sentata dalle equazioni (9) si deve trovare, evidentemente, una soluzione qual siasi del sislema (9) , A tale scopobasta dare ad una delle variabili. ad esempio. alia Z, un valore arbitrario; il sistema (9) diventa aHora un sistema di due equazioni con due incognite e permette di determinare i due numeri x e che assieme al valore Jissato per la z costituiscono Ie coordinate di un punto della retta,

•

:.-....

)

296

Elementi di

'Capitolo sesto

..... .:

mente alI'asse y (perche nella prima equazione manca la y) e alI'asse x (perche nella seconda equazione manca la x) (I),

',' ) _ ...~

) tria anal" '-a nello spazio

5i trova:

53 x=-z+

Se nelle (10) poniarno z = 0, cioe facciamo sistema con requa zione del piano xy, otteniamo : x = X, , y;:::; y" Z ::::: 0; dunque: x, e Y, sana Ie primeduecoardinaie del punto d'inci:mtradella ' retta r con if piano xy" , ,,' '" Si osservi infine che gli assi coordinati x, y, z hanno, rispettiva mente, Ie seguenti equazioni:

{

y=~z+! 11

. 7 '

ehe sono Ie equazioni ridotte della retta eonsiderata ,

.2) Verifieare che il punto P(J, 2, 3) appartiene alia retta r:

=0 Z = 0;

y = 0 {

x=O

X {

z = 0;

+ 4y + 2: - 15

= O.

e poi determinare Ie coordinate d ei punt; d'illcontro di questa retta con eoordinati,

piani

I1 punlo P(I,2 . 3) appafliene alia relta r perchc risulta:

I) Determillare Ie equadoni ridotte della retta c/le ha Ie seguenti equa

z.ioni generali :

y - 3z - 2 = 0

/2 1 / = - 7 '" 0 ,I'I 'd sistema prece ente 3 - 2 scritto so Ito Ja forma seguente :

-j 'I

il sistem a ri5petto ad x e y. Si Irova: x = - 5, Y = 5,. .: .-" 0, In modo a n alogo

si jjrocede per avere Ie . coordinate dei punti d 'ineontrQ della r co n i piani zx

e yz, ponendo nel s is lema considerato la prima voila y .= 0, e la secollda x = O.

51, '

', Ivere nspetto ' puo, nso

Se si vok sse ora trovare Ie coo,'dinate del. punto d'incontro della retta r

con il piano di equazione x - .V + 2< + I = 0, basta risolvere il seguente s istema:

2x + 3y -

2x+ y' = 2+

+ 8 + 6 - 15

Per avere ora Ie coordinate del punto d 'incontro della retta' r con il piano

.'. ij - ~ "lluu " : l.\

xy basta nel sistema d a to porre : = 0 (equ azione del piano xy), e poi risolvere

3x - 2y + z + I = 0 ,

ltd x e y,

2+6-3 - 5=0; .. { ' 2x

5= 0

{

Esempi, •

2x + 3y -

{ )' = 0 ,

{

3x - 2y = ' - I - z,

+ 41' + 2z = IS

x -

<= 5

.v +

2z = - I ,

I ~ ~

Si trova : x

y= -

z =-.

(') Sf.) I: / a b / = 0, ' allora il sistema (9) non si puo risolvere rispetto a, b,

I ,

.111ll \I " I I" I.lIi

!1:

l llq lQ II O

I: I,

,I rl'\ I', " I

i.1

dlle nllre variabili, ad es, se

.3) Scriver e requa,Jone ditl piano cht' passa per la retia r di equaz ioni :

~, ~

e: / a,a e,e

•

3x -

/ '" 0, 10 si risolve rispetto a x {

r Ie f' '1l1 ilf.iuni ridotte della retta assumono la forma: '

{ xz

:, "

I ·

Y c quindi Ie equazioni ridotte della retta non si possono piu

~ l~ tlV t' 1 Q ~ (l llu la forma (10) , In questa caso bisogna risolvere il sistema (9)

I:' I

.t,

= l'y = m'y

+ x; + z;,

e paral/elo

+ 8~ - 1 = 0

+ 5y -

4< + 9 ':' 0,

aU'asse z.

L'equazione del piano cereato 3x - y

+ 8z - I +

del tipo:.· t (x

+ Sy

- 4z

+ 9) = 0,

• .... - _.. -- .......

- -- -- - --- ~- -~

.~-~~-'T""~~ ...,._.__~~

.. (')

' J.

.:..::{. ~:: {• .'j'.{'.-.\ y":Y.[ :. '--:-2.'••~_:"-.:.C·",:"".. I : ·. ~ ..] ::.t .\. .~.. -

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2~9~8_ _ __

i:::i.:J ~:: ~::·; ·_

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!..'-J.i.

, _

(\ .i:~ ~~ )

~ :,: .: ~.,,;. ~

• •

• .. 1.

_~ .'_" .~ ··::_~W: " ." " < ....,

Capitolo'sesio

ove bisogna determinare t in modo ehe l'equazione venga a mane are del aer.. mine con la z (vedi n. 3), cioe in modo ehe risulti nullo il eoefficiente della {,

.......:•. " ,'':_ : • •. ; .. .. _ .

~.,

I i"

Elementi di geo;' , '.Jia analit

ullo spazio

'..

) 299

----~--------------------------~~. . ~

,-, ~

darsi a ' questa parofa e la (2) si chiama equazione cartesiana della superfici~

Deve quindi essere: 8 - 4t = 0" L'equazione ehiesta

ossia:

Si presentano aHora anche nella spazio, come nel piano; due ordini di problemi; precisamente:

= 2,

e: ' . 5x

' 1) Definita una . slIperficie come fuogo geometrico, scriverne fa equazione cartesiana;

+ 9y + 17 = 0 ,

.' " 2) Assegnata una sllperficie mediante fa sua eqLlazion~ carte· siana, studiarne fe prOprielG.

Un esempio del primo problema .e gia stato considerato al n . 7, qua{ldo abbiamo dimostrato che ogni piano (che e una panicolare superficie) e rappresentato da un'equ a zione di primo grado. Nei numeri successivi tratteremo proL:emi sia del ' primo che del secondo tipo,

§ 2. - Superfic:ie nello spazio 6.

La nozione di superfide.

}

f 1

fissato nello spazio un sistema' d'assi cartesiani ortogonali, ;)bbi,uno vistt) che Ie infinite solu~ioni didl'equazione:, ' '" .

Una superficie si dice algebrica se e rappresentabile mediante un'equazione' cartesiana: '

(I)

...

~ -;

'F(x,y, z)= 0,

rHJlpn:~ l: lIt(Jno coordinate di punti che stanno tutti su uno stesso p I.J IlO If .

I'c r

(al <;

ragione la (I) t: detta cquazione cartesiana del piano

il cui primo membro e un polinomio di un certo gr ado n, nelle variabili x, y, z. It grado. del polinoinio si chiama ordlne 0 anchc grado della superficie algebrica,

Tr,

Le superficie algebric he del priinO· ordine sono COll::.id,'riamo ora, ptu In generale, una qualsiasi . equazione in I" , i,, <. ol1 l1 iIC x , y, z che indichiamo con:

F (x, y, z)

l ,

" Ill'p,,!I/ III1JO 1'11<:

ill ' l

piani.

Le superficie algebriche del. secondo oi-dine si chiamano- qua· driche , Fra esse ved remo esserci anche la sfera. Le superficie no~ algebriche si dicono trascendentl.

= 0,

tale equazione ammetta soluzioni.

/I IlIlI g" .I t·; p"Jlti dello spazio Ie cui coordinate soddisfano la (2), ' ,1. '· 1 I"" " 'lIltllli, ,': una superficle S 'nel sensointuicivo che suol

Equazione cartesiana della superficie sferica (0 sfera). : .:

Si chiama"come e nota, superficie sferica. (0 sfera) it fuo go de; punti' della spazio equidislanli da un punto fisso dello cen/~o .

' \'

.-<lil

Classificazione delle superficie in algebrichee trascen denti.

•

. j{ .' ,r ,

' ~')

. '. •

'~: .• ' . ~. , . •~ ;~ID~:~

t . ....: • . ,

,",;" .: ••

." Q,5 " ,. ~ , i;-iSJ :; ~';

I.'~'

C. 300 'f f

La superficie sferica e quindi individuata quando e noto, il centro C ed iI raggio,

Facciamo allora nello spazio un sistema d'assi cartesiani ortogona Ii Oxyz:, vogliamo determinare l'equazione della sfera di centro C (a, (J, y) e raggio r, cioe vogliamo determinare un'equazione in tre variabili che risulti soddisfatta da tutti e soli i punti della sfera considerata.

I I ! I

Capitolo sesto

A tale scopo osserviamo che un punto P (x, y, z:) appartiene alla supcrficie sferica in discorso soltanto quando la sua distanzadal centro C i.: t:guale ad r, cioe soltanto quando risulta:

PC =

Essendo (vedi n. 2)

,1 " "

a'l + (y

PC = V(x -

+ (z:

- fJ'I

- y'/,

II fHlrtto P (x, y, z) sta sulla sfera soltanto quando Ie sue coordinate (.t , y, z) soddisfano I'equazione:

( \)

(x .,.. a?

+ (y

{J'I + (z:

Y'I

, , Ji'';y '.' ~-':''

........ ... .. . , ......

_ .'t _

~ ·.4:~'~~j!l:.~:~:·~- '·:;

r ,''l Eiementi di geo'ntd'ria analitk_ nella spazio

·.:;:i.. .•,;:r:.c......~.: /.

)

variabili x, y, z:, e percio possiamo dire che la sfera algebrica del secondo ordine (vedi n. 7);

e una

301.

superncie

2) manca dei termini xy, yz:, z:x; 3) i coefficienti di X2, f, Z2 so no eguali (che ' siano eguali ad uno non e essenziale, perche se essi valessero k r' 0, basterebbe divi. dere il primo membro dell'equaziont' per k). Pertanto abbiamo: Una sfera e rappresentata analiticamente da una equazione alge. brica di :zo grado nelle variabili x, y,Z:, mancante dei termini xy, yz, lX, ed avente eguali i coefficienti di A 2 , f e Z2.

Viceversa, si riconosce, con 10 stesso ragionamento che abbiamo svolto per Ia circonferenza (vedi Vol. I, Cap. XVI, n. 2), che una equaz:io. ne del tipo: \ xl + y + z:2 + ax + by + cz + d = 0, rappresenta una sfera soltanto quando risulta:

:7l'

(f J+ (~ J+ (~ J-

> O.

,; 11<' I· ;tppllnto I' equaz:ione cartesiana della sfera considerata.

!:':", in pa rticolare, il centro C e nell'origine 0, I'equazione (3) si li el,u

In tal caso Ie coordinate del centro sono:

ldlH. "

('I)

, H)

( ~, - ~, -

+ yl + z:2 = r /.

II,

2{J

= b,

- 2y

= c,

+ {J2 + r

i +

,{.

. ,.

Iii

-t

.I,' ( I ...

'11I("';la

\I /I ' h ll"

111<: 111

z.2

+ ax +

+ cz + d

= O.

c<]uazione ha Ie seguenti particolarita: b 1'0

~). 2

Esempj.

• I) L'equazione della sfera di centro C (2, - 5, I) e raggio 3

un polinomio di secondo grado . nelle ' .

'~J(~)' + (~)' +(f]'

= d,

( I t I i ,4 111-'

cioe Ie meta, cambiate di segno, dei coefficienti di x, y, z: alla prima potenza, e il raggio e dalO da:

t;vlhlppiamo la (3) e poniamo: , I II

,. !t:

~ .

(x - 2}l

+ (y + 5)2 + (z -

I}l = 9.

-:. ,

""')...~

( .j

(

I'o. __ .~ •

:.' 302.

I .j

t..UP" UtU

Elementi di g{

yesro

j triQ an,

:Q nello spazio

" .

~~ .

303

.'.

-I

rand o Ie curve che si . o ttengon o intersecando la superficie co n j piani paralleli ai piani coordina ti .(fig . 6.6).

• 2) L'equazione:

, )

x2 +

+ ,2 + 4x + Y ~ 2z + 2 = 0 ,

+ 1. +

rappresenta una sfera perche risulta: 4

Ii ce ntro d; ;I'a sfera

e (-

+; f.

2, -

1- '2 =

~ > O. 4 '

ed ilraggio yale':

r ' ~ '''213 , .

• 3) S c rivere.. i'equa,ione

della

che pr...SSeJ per i

stera

punti:

(6)

. i

xl + ; + l2 + ax + by + Cl + d

! HIIII :1

= 0,

- +~=

Bisogna determinare a, b, c, d in modo che I'equazione:

1 aUII :

Pos to .:: = 0 nella (5), si ' ot.

tien e:

A (I, 1, 2),

8 (0, - I, I), C(2, 0, 3), D(!. 0, I).

InlerScchi:lmo innanzi tutt o

l't:lli:;so id t: con iI piano ' x)', .che

h:l pc.:r eq uazi one, come sappiamo,: . ~ =0. .i

I ·1

Fig. 6.6

che, ' intcrpret 3til sui pian o ' xv, e I'eq uazi o ne della cu!'va secondo c ui il pian o xy ta gli a l'e llis so ide (5).

['i,IIJli soddi s fatta dalle coordinate dei punti A, B, C, D. Deve quindi risultare :

La (6) rapprcsenta una ~lIisse dl semiassi a e b.

+ b + 2c + d = -

Un pian o parallelo al pi ano .ry, di equ3.zione .:: k, tagli a 1'e1lis. soide lungo una c UI'v a che prOietlala ortogonalmente sui pian o .ly ha J'equazione: .

-b+c+d=-2 {

+ 3c + d =

,I,·\L,

JU .'lulv clIJ o iI sist e ma si trov a: a '.1'<; (':. chic"I" e quindi: Xl

)'1

II -

+ d =-

I, b

- 13

(7)

5, d

+ y -' 5, + 4 = O.

4, c I'equazionc

...

k1 <-.2

chc per / k / < c rapprcsenl a l'ellisse:

(8 )

{(I

I) .

,.::

-+ -= 1 ([~ .. ill

1':IIi!>s(li dc.

kl ) + .

(I ~ 7

y (

k2) = ,

1.:---;:;.

cui semiassi "algono :

S i • -Ililllllft dli :;soide fa superficie di equazione: ,.r1

J .\ I'll '" .,

I I

10) r;

-+ -+-=1 al bl c1

(',)

fit

1)\'<:';[;\

{( V'

slIperficie s i riconosce facilm e~.~e conside-

k'.

r '

k' 1 ,

Pc.:!' Ik/ > (' la (7 ) no n a mmc.:ltc.: soluzioni rc.:ali , il che vuol dire che i d ue piani z = c e Z = - c incontrano I'ellisso ide ciascuno in un so l pun to, e precisamente: il prim o nel punto (0, 0, c), ed il secondo nel punto (0,. 0, -c).

Pe r > L' la (7) non ammet Ie soluzioni re ali il che vuol dire c h e i pi a ni che distano dal piano xy per piu di c 0 per menu di _ c

•

: l

I ... I,

(-...,

~.'-

, ' , ';

•• "

1)1

':~·l.f ~

"l ',':"

.' !:. ~ ~ ~ . ', I -

. ,"

; .

.•:,,1

~ .~: ;: '_J~@~~ ~~r~~~;;;··~·j\·:>.: '.. _.':'~ ..

' t';

Capitolo sesto'

non tagliano la superficie. Percio 1a superficie i due piani z = c e Z = - c.

j i

tutta compresa fra

II!

I segmenti AA', BB', CC' si chiamano assi dell'ellissoide; e a, b, c sonG Ie htnghezze dei semiassi.

.<k

+y + -..

S..:

II . ,

= c,

I'equazione (5) diviene: Xl

~tl

+ / + ~l

(' '''P(lI<: :;t.:!1t3

III.

xl a

l 1

+ ( I+"d k

)

+"d;'

- l+ - = 1 l

] +"d'

vanno crescendo al c resccre in valore assoluto di k, vale a dire, mentre il piano z = k si allontana daJ piano xy.

0 - ----;c- al

Cl'

b2 '

la quale' per Ihl ,e . b esempre una iperbole, mentre per h I'equazione si riduce alia:

0) taglia I'iperboloide lunge I'ellisse:

il cui asse trasverso AA' sta sull'asse X, mentre I'asse non tra sverso sta sull'asse z. L'intcrsezionc. dell'iperboloide col piano ·Y .=. h si proietta ortogo nalmente sui piano Xl nella curva di equazio'ne:

V ]

] ,

II piano xz(y = 0) taglia I:iperboloide lungo I'iperbole:

-+-'----= 1 l

kl) +"d

(]

cui semiassi:

.' ;( I'i';,l/I/t/ iperboloide ad una falda la stlperficie di equazione:

--,

I pl'..Iwloidc ad una faida.

II 1'1 .'"'' \ 1'( ;.

r! '

cioe:

una sfera di raggio a e centro I'origine .

1'1)

. VI

-+---'::'::1+ l l

,:: toto/lila at torno all'asse z.

II piano z = k incontra I'iperboloide. lunge l'elli sse la cui proie

zione ortogonale suI piano xy ha I'equazione:

l: : -".:.'13..•, .\ i

305

. . , .• ~ I ..'.~ "

di semiassi a e b, che si dice ellisse di gola dell'iperboloide, perch e si

riconosce essere la piu piccola ellisse tracciata sulla superficie .

Casi particolari si ottengono supponendo due o . tre assi eguali fr:l 101'0. Se e a = b, allora il piano: = 0 ed i piani ad esso paralleli l"gli ;l(lo 1'<.:lIissoidc lungo circonferenze; quindi I'ellissoide, la cui equa l. i() Ill: i::

.t ..~_,::.:_ . '.4

Sezionando l'ellissoide con i piani paralleli agli altri due piani coardinati si hanri6co'nClusioni analoghe, ed e chiaro allora che la forma dell'ellissoide e 'quella disegnata nella figura 6.6.

)

~j.~ .~',:;~ .., ;~; .! -~.:;

J',: , : '

E1ementi di geometria ana/ilica nello spazio

Si osservi allcora che variando k da 0 a c (0 da 0 a - c) i semiassi dell'e llisse (8) variano, decrescendo, dai val~ri a e b a zero.

" ':" , 'j . ..I ___ ~~;_

304

':::_ ~ ~~ '£i~:..~::'~' ,:.

(';' ..}\

che rappresenta la coppia di rette di equazioni:

~ +~= 0,

•

!..: a

.:...~ = O. c

± b

)

306

~ ..

Capitolo sesto

)

. 30~

faide distinte (fig. 6.8), ciascuna delle quali ha la fonna di coppa convessa indefinita. ,'I

' :~---~ I

' .-'

~~--~~'~

(

Elementi di i~dnetria anc · .'a nello spazio

I '

I I I

I .

Fig . 6.7 Fig. 6,8

A cIlIwlllsioni analoghe si arriva tagliando la superficie con iLpia II< I

Y l, e t.:U[I piani ad esso paralleli;

fO('llI<1

(,.1 .

"('I (/ '

dell'iper~~Ioide ad una faida

e quella

h) L'iperboloide a due falde ha tre piani di simmelria muluamcnle perpendi colari; nel sistema di coordinate secllo qucsli piani coint.:ido no con i piani coordinati .

descritta nella fig.

b ~ i ha I'iperboloide ad una falda rotonda.

c) Le sczioni con njani paralleli al piano xz sorio" iperhuli. t.:OS·1 pure con piani paralleli al piano yz; mentrc Ic sczioni con piani parallc Ii al piano xy dove inc',ntrano la superficic (ciol: ocr z = Ihl > c) sono

ellissi.

IpCl ·holoidc a due faIde.

J ,.

d) Nel casoin CUl·a ~ b I'jperboloidc l: una supcrrieic gener<d;l dalla rOlazione di un 'i perbole inlorno a lI'assc ' z.

. '/ ~ It ill I//(} il'nboloide a due faide fa superficie di equazione:

~+~-~~-I I

I ~. I

12.

II!

II)

I 'q ' l'! I" t1"id(' ;\ due falde

Paraboloide ellittico. Si chiama paraboloide ellittico fa super[icie eli eqlwziulle:

II( ' ~

.' ; j

II V. \ t.

una superficie composta da due

= _i'p + iq

2z .

•

(p> 0; q > 0) .

(

~ ~----~--------~~----------~

'I,

Elementi di

Capitolo sesto

geoi("':'~

, ': 309

analilica nello spazio

)

--,

Si prova che: a) II paraboloide ellittico ha

la forma di una coppa convessa

indefinita (fig. 6.9), nel semispazio'

z ~ O.

b) Esso ha due piani di sim

metria perpendicolari tra lora; nel

sistema Ji coordinate scelto que

sli piani coincidono con i piani xz

e Y l.·

I 1

/ I I

. . . . . . . - ___ L-! I

I x

Fig. 6.10 Fig. 6.9

c ) 1I punto che coincide con l'origine delle coordinate si chiama

c) II paraboloide iperbolico ha la forma di

vertice (kl paraboloide ellittico; i numeri p e q sono detti i suoi para metr;.

L'origine delle coordinate tipico punto di sella .

d) Le SC Zlolli con piani, sia paralleli al piano Xl, sia paralleli al pi<lllo Yl. SUllO l)Qrabule; mentre Ie sezioni con piani paralleli al piano xy, di equaJ:iolli l. = h, sono. ellissi se h > 0; per h < 0 tali piani non inlelst:l.a tlo I" s lIpcrri c ie.

all'asse delle

r_, 2p

l'i1;{111111

Ruotando gli assi .

e Y di ~ intorno all'asse 4

si lrova che anche'

J'equazione l = xY rappresenta un particolarc paraboloide iperbolico. II lenore prccisi, come esercizio, i Jcttagli .

intorno

~~l

Superficie rotonde.

.: Una superficie si dice dirotazione 0 rotonda quando c generata da una curva che ruoti attorno ad una rettafiss~:' dettaasse, con la quale ' la cUn'a sia rigidamcnte collegata. Ogni punto della cUn'a descrive un circolo, detto parallelo della superficie, chc sta in. un piano perpendicolare all'assc cd ha il centro sull'assc . Ipiani passanti per l'asse tagliano la superficie lUngo curve lutte eguali, che si uicono meridian! della superfi c ie.

I'ar"holoidc ipcrbolico la superficie di equalione:

~;i III(lV: 1 (II(' (IiI'"

(p> 0, q> 0).' ,

(•. 10):

Premesso cia, considcriamo ora una curva y. giacen'ie 'sul piano di equazione :

:' (I{W,jil'i( ' t· il(lcrsecata dai piani paratleli al piano xy secon .1" 1,"'I/,,,/i, (' .!,II I'i :llii J'ar;,IIc1i sia al piano Xl. sia al piano Yl, secondo II) I",

(10)

IJ{lIn/ II '/",

c un

I..

1. (

lal

vertice della superfi ci e ed esso

rotazione.

P"I'aholoide iperbolico. Si

».

14. 11_

sella

d) Questa superficie non pub esstre gcnerata come superficie di

iI) Sc I) -'- II, il paraboloide ellittico si pub consiuerare come una

/' sl.Ipcri'icie generala dalla rotazione della parabola

e il

I') I :,'" ... 1""",,,'.1( ' .lIl t: piani di simmetria mUtuamente perpendico i. (. '1" 11" i l ' I,lIli \ ,', C' yz.

Yl,

!(y,z)=O.

e determiniamo I'equazione della superficie generata da y ruotando

•

.... .....~ ..

..•.

(

310

1.,

:r '

Capitolo sesto

l.._•.

I, allorno all'asse z. A tale scopo sia M(y" z,) un pun to di y e P(x, y, z) il punto cia esso dedolto mediante una certa rotazione attorno all'asse z (vedi fig. 6.11). z Ri co rdanclo che M e P si tro· va no sopra uno s te sso piano pa· rallelo al pi a no xy e sono equidi· s tanli clal punlo Q(O, 0, z) in cui q ue l piano tagli a I'asse Z, si ha: QM = QP,

II ,

[

Per quanta

e stato

detta si ha , immediatamente:

che

e I'equaziane

dell'ellissoide rotondo . (vedi n . 9).

.2) Scrivere l'equazione della supeijicie g~nerata dalla rotazione della iper· ,

l l,

I, attorno ' al/'asse · z.

Si ha: X2

+/ '

che

e I'equ azione

x Fig. 6.11

y, = ±

Yx l + i

.3) Scrivere l'equazione della superficie generata dalla rotazione della para bola ~ = y2, atlomo al/'asse z.

Si ha :

z = x2 + che

{fYI' ZI)

{( ± \rr +7, z) = 0 ,

(1 2)

l''' k bc J' i:

1111 Pllllt o qu a lunque della superficie;:possiamo dire 1" 'qll;)l.iollt: d e lla superficie di rotazione" giacche, vice.; VI'I , . , t , " H ili p\llll l> k ' :lIi coordinate verificano . la (12) appartiene; "vid"II! "\I WI, k, :.1 1.1 ~ IIJ H'lfici e di rotazione .

cll c 1., ' ( 12)

l!',

;

01111'1' ... .

;

'"i

15.

ciIindro.

1'1111/ 0 V I .

•

I) ,; , ' II" "" ;- ",,' 10 ,:1'" 1,· ,l..tlll yl

~ -.()

1" ""1"

TEOREMA, ' :'

( 13)

1"10-11 ' 1' 1

I I

Superficie cilindrica

Premesso cio,vogliamo dimostrare ilseguente:

,[,.1/" s f,lll c r/icie rotonda generata da una curviz del ' It! ,/I(t '[ " , //(11; (1 (( 0 1'110 all'asse z, si ottiene sostituendo nella "lf llll ll'lI l' d el/a t!!I 'VlI III P() :; IO della Y fa ± 'yJ? + y . 1:('II I /fl lI l l''' '

della 'superficie chia mata parabolaIde rotonda.

Si chiama superficie cilindri'c~ 0 cilindro una qllafunque sup erfi c ie che possa .p ensarsi generala conducendo dai punti di urla curva Ie parallele ad una direzion e fissa ;, In ' altre parole; la superficie cilindrica e ogni superficie generata da una retta che si muove [ungo una curva, mantenendo costante la sua direzione. ' La curva si chiama direttrice e la retta genenitrice della superficie c ilindrica .

j ,

e l'equazione

y2,

= 0,

(: ci dl ,'IIIt:lllci o in qUe'Sla h :)oslituzione (II) si deduce che Ie coordi nate tid )Hlllln }' soddisfaioo ]'equazione:

,.,'

dell'iperboloide ad un a falda roto ndo (vedi n. 10).

Si ccom.: il r.unt o M Sla sulla curva y di equazione (10), e:

e Lj llindi :

-----=1,

-,,

( I ))

yl Z2 -'. - , -'~ a!.. ,c 2

bole del piano yz, 'di 'equazibne:

.) 0 fJ =

311

Z + yZ z! x__ +_=1. a1 c1

y, ,

....\

Elem enti di gCCJ..ia analitim nello spazio

I·

\'1 , ,Ii ,"1 "" ' " 111 1": ill

super{icie generata dalla rotazione dell'ellis se, c2

I. atlorno all'asse z.

•

L'equazione: f(x, y)

= O.

(

Capiro{o sesto

312

P 'i

rappresenta nella spazio una super/ieie eilindriea eon Ie generalriei parallele all'asse z (I).

Richiamiamo innanzi tutto l'attenzione dellettore su questo fatto: l'equazione (13), interpretata suI piano xy, rappresenta, come sap piamo, una certa curva I costituita da tutti e soltanto quei punti del piano xy Ie cui coordinate soddisfano la (13). La stessa equazione interpretata nella spazio ·rappresenta invece · il luogo gcometrico dei punti della spazio Ie cui prime due coordi nate sodJisfano la (13). 5i tracta allora di provare che questo luogo geometrico !;upcrficie c ilindrica colle generatrici p"3rallele all'asse z. A tale scopo, se Q(xo , Yo)

e un

punto qualunque della curva I

Oglli pLllltu di questa retta avendo Ie prime due coordinate eguali y", appal'tiene percio al Juogo geometrico cercato.

a xo ,

sa, sc Pea,

P. y) e un

Dunque: Nello spazio una equazione eonlenenle due sole variabili rappre senta una superfieie eilindrica, Ie eLli generalrici sonG parallele al/'asse della variabile mancante.

Dimostriamo ora che: Cequazione: (15)

l(x)=O,

rappresenla nello spazio

I }al PlIlito Q conduciamo (fig. 6.12) la retta r para!lela a!l'asse z.

('V"l

313

una

I(xo, Yo) = 0 .

Vi,

'\/

Elemenri di geo;;;eiria analirica nello snazio

punto del luogo geometrico, cioe se

gruppo di piani paml/eli al piano yz.

Infatti, se Xu e una soluzione reale dell'cquazionc (15), tutti i punti del piano X = Xo hanno come primLl coordinata il numcro x o , e quind\ appartengono al luogo rappresentato dalla (IS), Tale luogo georl1l.: trico c percio costituito da tanti piani, parallcli al piano yz, qualltc sono ;,: soluzioni rcal i C) dell'eq uazione (IS). Analoga interpretazione sussiste per Ie equazioni della forma 1(.1') == 0, I(z) =

e: Dunque:

I(a,p)

( J" )

= 0,

la III ()j<"l.i()IIC oltogonale P' di tale punto suI piano xy, avendo per co()rdill;ll,' i Illl!ll t: li a. p, sta allora, per la (14), sulla curva I. Ne segue'cheil pun to P sta su una retta parallela alI'asse z e passante per un punto P' della curva t.

. r I'(a, (I, y)

'--

( )

I..

1"(iI, Ii) --- ,, (jCto , Yo)

hI', (,, 12. (')

AIl'I!,

Nello spazio IIna equaz.ione COl1lel1enle una sola variabile rappre grLlppo di piall; paral/eli al piano coordinalo delle variabili ni(lIICanli.

)C/!I/l lin

" " " . ','IIlln,dc, '-' he

Quindi il luogo geometrico cercato e costituito dai punti delle rette parallele alI'asse . z, condotte per i punti dellacurva piana I; e con cio resta provato' il teorema enunciato.

EsempL •

L'equazione: x2

\.2

(JZ

.- -- + "--Z =

sui piano xy, I'equazione di una ellisse; nello ~pazio rappresenta il cilindro avente quell'ellisse per diretlrice e con' Ie generatrici parallele all'asse z,

.2) L'equazione: yl =

Analoga interpretazione sus siste per Ie equazioni della for ma fey, z) = 0, I(x, z) = o.

J'cquazione abbia soluzioni reali.

•

al ,

(I) Ammesso, s'inlende, che l'equazione abbia soluzioni rei;lli,

.'.::

. . -- ( ,

-.1 ,

---

-----

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•

314

.'.

. ~ ..

'\~·. ·i

,. ~

: Capitolo sesto

. i . . ~ . \'~

: " ~ . :: . .>,

,.. --'-CAPITOLO 'VII

e. suI piano Yl. I'equazione di una parabola ; nello spazio rappresenta : il ;c'if~dro avente quella parabola per direttrice e con Ie generatrici para lIe Ie illI'asse x. ,

~~ "

: " :

. :'

. ~: .. ;::

.3) L'equazione :

.: ,

;,;"{;, :; ~'. r. ~>~~';

9 = O. '"

Xl -

rappresenta nello spazio i due piani

':>\';~

x = 3.

.;: ',:', ~ .i:.:: ._;",

x = - ' 1 ' - ..

:; !':4;; !2:Gr~~i(l

:',

' - ."

Cono del secondo ordine. ~

:! . ~

i ..... •

Si chianra cono ' (0 sliperficie (;ol1/(:a) did 2~ o'rdilie:la s//pe;ficie eqllaziol7e: •

•

•••• •

.. .

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'; z- :':= 0

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" i : .:;: "

:.i·- ·:: Funii6rii

.di ··due~ o'piil\ra~i.~Q.ili

! ",-: :', "', .-1.

--:.1', ~

.·

... 'f

~;~n~nurnericoreale.

:(:

...

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.... : ", i'~

.' :-:,':'j; . '1

~; ,

. . \ ,r ;\ ~.

. - I " ':

,I, ' t , .

i (.

Lo studio deJle funzion( 're~li dj " ~na v;riabile reale c staID preceduto da alcune nozioni sugJi insiemi di ·punti di una retta. Cosi pure; allo ~ studio: di alcuni concetti sulle funzioni reali di due o .pili \'ariabili reali, facciamo preccderc I'esposizione delle nozionipiu semplici...rcJativc agli insicmi di punti , dcgli spazi (reali)'a due-6 piu dimension L" . ........- . . . .'. '.-

.•• f)

~ .-

::'c;::,,;

. ••. 1 ~ :

~~ ::..::::.. :., ' ~ .;~~:; ' ,~:

16.

,' . >:~:-::;:

:i~fl '_ ' ;-:"'~":

''I; '

.'. .: ~·l ·~.::' !'BJ..l ..-

. ·· 'St.;l: ;· : ~ . . .: . .:

.~ ~

Su un piano, fissiamo ' un •sistema diassicartesiani 'o'r'to'gonali

:,'

Oxy...Come ,f! noto;' ad . ogni. coppia :ordina tadi numeri reali.: (x, y) cor· risponde iI pun to P del piano _avente·x come . ascissa e y come . ordi nata; viceversa, ad ogni punto P del piano corrisponde una cop pia

, f' • .:.

ordinata di nUll?eri reaICche :s'o no Ie coord inatecartesiane deipunto. " .' : \1 ~~ ~', \ '; : ,~ ~~i '\ ;)" ( \; , .

'.,\';;'

.\Jf

..... ,:.:

, .:~ ·:t )

Questa corrlspondenza biunivocafra i puntidel piano . ele· cop pie ordinate di numeri'-re'a li giustifica Jaseguente definizione: ·:~ •. :

1 :~":"' \ , :',('.-::

; ~~

._" ,-",

';: : ,.,'"

·.il

. ':'.':

j'..)

.•. ~ . •

j:'

:;)

'.':":::,':';-:., .'

:.. sr'

chiama plano nurnerlco : reale (0 spazio ' numerico reale !. bidi mensionale) la totalita delle ' coppie o'fdinat'e (x;' y) ' di nim-iiiT-i ' reali.

Si prova che (fig , 6.13) : a) Se un punt o qual s iasi P (di stinto Jall'origine delle coordina

te) giace s u ques ta s upe rfi cie. an

. che tutti i p u nti della retta OP ap- .

partellgono a tale s uperfi cie,

Tale spazio viene, di soli to, indicato .con Rl e le coppie or~inat~ di numeri reali, cioe gli elementi di Rl?sf';chiaman'o:~an'ch'ecpuiiti del piano numerico reale. . , ;",

·":'.E .. ·

;' ,1'

:>~

;r· \··:':.s . ...J!:'

:, t,::. .'::

, ';:-:'

Un, insieme: qualunque di coppie ai. .numeri . reali. (x;: Y) J e.' un ,in· sieme di punti del piano numerico reale, entr~ il :quale. variaiL punto variabile P(x, y) . Tale insieme verdi anche detto, brevcmente, insieme " fi ' .... i : r1':' piano. . Dati 'due punti PI(XI, Yl) e J:i;(x;', Y2) del piano, si ~hia~i lora dl. stanza il numero non negativo: c;:'.•

,h ) Ogni pia no l = :17 ,c 0,; ta

~·L1pe rfi cie:·.coni ca secondo

g lia: un'c1li sse Ji cquaz ion e:

(1 2

I' -'-

11 2 :0:

('2

I... ' .

Fig. 6.13-

;

c) Sc a = h, I'd'i ssc di cui al punto b) euna circonferenz~ con iI centro sull'a sst: z, [n tal caso il co no si dice circolare. .1

. ":.I:: ~ :'\

.-:!

'v'

~.;

.,. :....: :

. '.' .

,'.

V (Xl - X\)2 + (y2 _ YI)l.

,:.-

'. ~

~ J

d ': · :;·i ::'

'.: 1ii'.; i ,-,' ;.:.: ....·2

:.~': ~

.: ::'. ,

VI. ALCUNE

APPENDI '

Sa. Parabola di :-l'eile y

y=zi" u { x=13,

y=/2.

Ii,

1'1

Ii;

ji'

i !:

,i::~ i

{ x=12, 11= IJ.

'01

•

I. Parabola y=x 2.

y=~

y=x'.

I I

3. 'per hole eq u i la lera

2. Parabola cu

bir.a

!:\' : :'11;

8b. Parahola semieu bica y2=z] 0

'nVE 1l\IPOnTANTI

"at'"

9. Sinusoide e eosinusoide

y=senx ed y=cosz.

I ,

t,. Gralko oella run zionc

Iraziona

5. Versiera d'Agnesi

1 1+z2 .

11=-;2

I I

.! 10. Tangrntoide e cotangentoidc

J1l -, 0, '

~·X

y = 19.r cd y = rIg z

n. Parabola

,i ,I

iI....G if'-J

(rn

7. Parabola eu biea

mo slIpcrio re)

, .'r

y=0·

Y= r x.

~ 479

APPEl\' .

.PPEND}e}

1t. Gralici (lelle fllmioni

y = sec x cd y = cosec x.

13. :-: ..afici delle fllnzioni trigonometriche inverse y = Arctg x cd y = Arcctg x.

.J::. co

y-'~~r.

I .~

,Ii'

rc ct9

\ 2

- l~ -2"

~ec

'\ -, I \ \ -2 -J -f,

\1 1 " X ./

~ rr

,'rr

X '\ I\ \

lr JIf

Stf

. I

H 11

-7(

f :

12. Grafici delle (undoni trigonome triche inverse y=Arcscnx ed y=Arccosx.

j : !

2,,1>-1

14. Grafici dJllc fllnzioni cSJlonenziali y=e:!l" cd y =rX .

,I ,i f

!I-Arc 3tn r

II'I

-D \)-.:;

ItR2

-181

r-·

APPENDlCI

APPEND1CT

--;;z - b2 = t 19. Ellisse z2

'- 10

~+b2-

oppu re

y=t -xl •

(per il ramo destro).

x = acbt. { y = b sh t

{z=aC031. y=bsenl.

16. Cm·va di Gauss

15. Curva logaritmicil y=lnx.

20. Iperbole

,t'

I, •

'.. 1

22. Folium d i Car lesio

%3+

y3 -3axy=0

oppure x=~

2 \. Po fa bola y2 =2px.

{

17. Granci delle rllnzioni iperboliche I

23. Cissoide di Dioc\e 3 y2 = _x _ oppure a-x

y=sh x

== ==

y=tb

1 +t2

_ti _ _ ' ;

lv- c,~ r

OM·AB

== tx+r x

eX_e- X

-.1

- ;!

i'..~

../1

'o/,"~-r :c

-'~

I II ,I

x J

-2

-J

-, -5

.. i

t"+rx ed

•

-'.WI

y=cthx == eX+e

1....Qj

e· 'C_~-x.

IY=~

(calenaria).

3al 2

eX_e- X

y =ch x

+,2 r~~ al

3al

18. Granci delhi funzioni iper boliche

-'.83

API'ENDI CI "l'l'fSNDI CI

25. Lemniscnln di Ber noulli

24. Slrofoide , a+x y'l.=x 2 - - . a-x

(z2

+ V'l )2 = a! (z2 -=- y!)

oppure

31. Spirale iperbolica

= 0 2 COS 2cp.

30. Spirale d'Arcbimede

r = ·ocp (r '\.

> 0),

r=-(r .->0) .

1 / .<:

~---

.....

27. I pocicloide (asle roidc)

x=a cos 3

{

::!u. Cicio ide

"y = a sen 2

x=a (I-sen I),

3 I

oppure

32. Spirale logarilmica

xJ+yJ=a J

{ y=a (I-cos I).

33. Hosa a tr!cl foglie

r=t°'l'.

r,,- a SCfl ~cp

y tJ

..-

I I

" '-,310 . 110.'01 a quattro

~9. Evolvcnte Jel cerchio

foglie

z=a(cosl+,scnl). { y = o (sen I - I co" I).

28 . Carcl ioide r=a(l+c(J ~ If')'

= a I se n

20 x

'..:

t.ss -0

(V,

<[ > 0).

4RG

:!(,

-----

-~ -- .

T i,po d:1 eq \.Ie; z.;0 ~

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y+xy-y=x

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Zllft) 2

-Zl(f)

(t)

Y=Z(t)

Z" (r)

-/tt-) +

0"-

(r)

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jo~,

/t) -

2 ( (-) ~ ~

Richiami di matematica 703

揃,

Si verifiea imme diatamente ehe

e quindi

Pe r es e mpio, consideriamo l'equazion e ditTerenzi ale: dy dl

--+av=bl -

Si pU G integrare moltipli eando ambo

con a e b costanti. me mbri pe r e a'dl ed integrando:

b eat (-I - - + c 2

da cui

b (I y = ---;-

I) + ce. -

- ---;-

7.4. Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti d 2y dl "

dy dl

--.,- + 2 a - - + b y

- 0 -

Si dimostra facilmente ehe la funzione y ferenziale purche:

m2 + 2 a m + b = 0

con a e b costanti reali.

e mt

e soluzione deJI'equazione

dif足

(equazione algebrica associata)

Dette rill ed m2 Ie soluzioni dell'equazione algebrica la solu zione completa del足 l'equazione differenziale

dove C1 e C2 sono due costanti arbitrarie (tante quanto ferenziale ). Poicbe:

e l'ordine de[['equazione dif足

si possono avere tre possibiliUt: i) a2 ii)

> b, = b,

e quindi due radici re ali dell'equazione algebrica e quindi una sola radice reale; la soluzione

e in

questo caso

.' .

704 Parte terza iii) a e

0, ~ quindi radici compicssc. D'::110 a 2

Y (I}

0' - ()[

y (i )

(' -

(c,

i, /I/[

- n"

si ha

l"" e - 1/11)

ovve ro <11 (

A cos n I

+ B sc n II I )

dove A .:: B sana due cos lanli arbilraric . Se maoca il termine conlenen!.:: la derivata prima aJla fo rma

0) l 'cq ua z i on~

si riu uce

el 2 \,

- --2-+ b l'= 0. dl

Se b > 0, si pan.::, di solita b

足

w ,

e quindi :

d 2 \i

- -',- + w2 y = 0 , dt"

la cu i sol uzione

e: yCt)

Acosw t+ Bsenwt= Cse nCw t+<p)

dove C e <p sana costanti arbitrarie.

7.5. Equazioni del secondo ordine di tipo pm揃ticolare Salvo il caso in cui I'equazion e sia esprimibile solo in forma impli ci ta, la piu genera Ie equazione differenziale del secondo ordine e del tipo

dove Ie una qualunque fun zi one. Non es istono tecniche elementari di tipo gene足 rale per risolvere questa equazione; tuttav ia possono esse re trattate semplicemente alcune sue forme particolari: i) Equazione del tipo

Questa equazione si risolve quadrando due volte : dy

-- =

y =

FCt) + CI .

~ [FCr ) + cll

dove dr

+ C2

ii) Equazioni del tipo

Si pone dy

xC t ) ;

e dunque dx dt .

=-足

FCt)

\/CI) dt

Richiami di matematica 705 L'cquazion e difTerenzi<lle diviene:

dx ed

fit,',)

cosi ricondotta a una equazione dilTeren zia le dd primo ordin e, iii ) eq uazioni del tipo

Ponendo dy dl

= x(1) ,

si ha d 2y ------;;(2 =

dx dt

dy dt

dx dy

d.\

= -ely

Sostituendo nella nostra equazione, questa di viene dx dy,x=f(Y)

che rappresenta una equazione difTerenziale del primo ordine a variabili separabili. Separando e integrando, si ha

x = F(y)

+ Cl

dove

F(y)

~f(Y) dy

da cui dy

= (i'f =

r----~-

Âą,; 2 F (y) + 2

che rappresenta anch'essa un'equazione del primo ordine a variabili separabili, ed dunque immediatamente ricondotta alia quadratura.

IV) Equazioni del tipo 2

d y

(dy )

dT =f~'dt

i ~

Mediante la sostituzione dy

- dt

= xCt) .,

si ha dx dt

dy dx - -d-y- . -dt-

= ~ .

x ;

e dunque dx

~,x=f

L'equazione del secondo ordine

e cosi

(y) ,x

ricondotta a una del primo ordine.

i ~

684 Parte terza

Nella tabella che segue raccogiiamo Ie derivate /' (x ) di alcune fra Ie pill sem足 plici funzioni lex)

I(x)

j' (x)

. ;;

IJ.

nx"-\

~ ------

reale quaiunque; in panicolare:

n intero qualunque

~~- - -

-- ---- - -- -~ -

, I \In- \ y =-x

x-\In

=nrx~ =--;-x

y = lnx

I L----- - - -- I y = sin x

-\ In-\ n

y' = _1_

n intero

! x -r- -- -- - - -- -- - - - --------足 y' = cosx

1- - -- ----- ----t-- -- - - - -- 足 I y = cosx y ' = - sinx ,

Y = tgx

cos 2 X = I

+ tg 2 x I

------- - - 1

足

y = cotgx

y =

1 = - (1 sin 2 x

+ cotg 2 x)

I I

-t

y = arcsinx

y:'

y = artgx

1 1 + x2

y = arcotgx

y' =

- 1 1+ x2

Y = [f(x)]n

Y =

[f(x)]'P(x)

- 1

y = arcosx

n [f(x)t- 1 oJ'(x) [f(x)]'P(x)

[<p(XJ(~'(X)

+ <p'(x) lnJ(X)]

da cui:

! ;

- - -- --_.-----,

y =

= XX

+ lnx)

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