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CONTENIDO TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................ 1 1.
ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA............................................................................................. 1
2.
ÁNGULOS................................................................................................................................. 1
3.
ANTES DE EMPEZAR. ............................................................................................................... 2
4.
a)
Agudos ................................................................................................................................. 5
b)
Rectos .................................................................................................................................. 6
c)
Obtusos ............................................................................................................................... 6 TRIÁNGULOS............................................................................................................................ 6
Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo............................................................................................... 9 5.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS............................................................................................. 9
6.
Ejemplos ................................................................................................................................ 10
7.
. Teorema de Pitágoras ......................................................................................................... 15
EJERCICIOS RESUELTOS ..................................................................................................................... 16 EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS............................................................. 20
TRIGONOMETRÍA 1. ORÍGEN DE LA TRIGONOMETRÍA La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. 2. ÁNGULOS Asociada tradicionalmente a un capítulo tan importante de la actividad humana como es el de la observación astronómica, la noción de ángulo es básica en geometría (y obviamente en trigonometría). Su aparente sencillez no ha de ocultar el hecho de que el tratamiento de los ángulos como magnitudes susceptibles de ser medidas encierra una considerable complejidad; en efecto, un sistema de medición de los ángulos que permita compararlos eficazmente con otras magnitudes geométricas, como la longitud o la superficie, requiere tratarlos como magnitudes lineales, lo que sólo se consigue adecuadamente asociándolos a arcos de circunferencia. Pero el cálculo de la longitud de la circunferencia hace
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intervenir una magnitud irracional, el número pi; esto implica que cuestiones aparentemente sencillas, como por ejemplo la división de un ángulo cualquiera en tres partes iguales, no puedan resolverse fácilmente mediante una construcción geométrica que se sirva exclusivamente de la regla y el compás. Dados tres puntos distintos, M, N y R, consideremos las dos semirrectas NM y NR del plano que contiene a los tres puntos; dichas semirrectas poseen un origen común N y dividen al plano en dos regiones, cada una de las cuales se denomina ángulo. Las semirrectas son los lados del ángulo y su origen común es el vértice. 3. ANTES DE EMPEZAR.
La trigonometría nace con la observación de los fenómenos astronómicos. El primer antecedente escrito de la trigonometría lo encontramos en el problema 56 del papiro de Rhind. Escrito por Ahmés alrededor del 1800 a.C. transcribiendo otro del 500 a.C.
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En el conjunto megalítico de Stonehenge (Gran Bretaña), construido entre 2200 y 1600 a.C., la alineación de dos grandes piedras indica el día más largo del año.
En la antigua Babilonia se introdujo la medida del ángulo en grados. La división de la circunferencia en 360º, probablemente va unida a la del año en 360 días. Así, como el sol recorre una circunferencia en un año, un grado sería el recorrido en un día.
Con la cultura griega la trigonometría experimentó un nuevo y definitivo impulso. Aristarco de Samos (s. III a.C.) halló la
distancia
al
sol
y
a
la
luna
utilizando triángulos. Hiparlo de Nicea (s. II a.C.) es considerado como el “inventor”
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de la trigonometría. Ptolomeo, en el siglo II, escribió el “Almagesto” que influyó a lo largo de toda la Edad Media.
El desarrollo de la trigonometría debe mucho a la obra de los árabes, quienes transmitieron a Occidente el legado griego. Fueron los primeros en utilizar la tangente. Hacia el año 833, Al-Kwuarizmi construyó la primera tabla de senos.
En Europa se publica en 1533, el primer tratado de trigonometría: “De trianguli omnia modi, libri V”. Escrito en 1464 en Köningsberg, por Johann conocido como el Regiomontano.
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Müller,
Newton utiliza en 1671 las coordenadas polares. La física de los fenómenos ondulatorios, como el producido por una cuerda que vibra, llevó a Euler (1707-1783) al estudio de las funciones trigonométricas.
Hoy, en nuestros días, las utilidades de la trigonometría abarcan los más diversos campos: de la topografía a la acústica, la óptica y la electrónica
A continuación estudiaremos un poco sólo los ángulos que contienen los triángulos.
a) Agudos Son aquellos ángulos que miden más de 0º pero menos de 90º. Son característicos de los triángulos acutángulos.
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b) Rectos Son aquellos ángulos que miden 90º. Son característicos de los triángulos rectángulos.
c) Obtusos Son aquellos ángulos que miden más de 90º pero menos de 180º. Son característicos de los triángulos obtusángulos.
4.
TRIÁNGULOS
El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más en general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono. Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el
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llamado teorema de Pitágoras) que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales. I.
CLASIFICACIÓN POR LADOS
a. Isósceles
Se llama triángulo isósceles al que tiene dos lados iguales; el tercer lado se llama base. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales; recíprocamente, si dos ángulos de un triángulo son iguales, los lados opuestos a dichos ángulos también serán iguales.
b. Equilátero
Se llama triángulo equilátero al que tiene los tres lados iguales. Como un triángulo equilátero es isósceles para cualquier par de lados, resulta que los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales; recíprocamente, si los tres ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es equilátero. Cabe mencionar que al triángulo que tiene los tres ángulos iguales se llaman, como se acaba de mencionar, triángulo equilátero, pero también es llamado equiángulo.
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c. Escaleno
Cuando un triángulo tiene sus tres lados distintos entre sí se llama escaleno.
II.
CLASIFICACIÓN POR ÁNGULOS
a) Acutángulo Un triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (mayor que 0º pero menor que 90º) se llama acutángulo.
b) Rectángulo Cuando uno de los ángulos es recto (igual a 90º), se llama rectángulo.
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c) Obtusángulo Cuando uno de los ángulos es obtuso (mayor que 90º pero menor que 180º), el triángulo se llama obtusángulo.
5. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS La trigonometría es el estudio de la relación entre los lados y los ángulos del triángulo rectángulo. Muchas
aplicaciones
de
la
trigonometría
dependen de esta relación. A estas relaciones las denominamos funciones trigonométricas. Sea el triángulo ABC un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el vértice C. Sus lados a y b son sus catetos y el lado c la hipotenusa. Cada ángulo, en el triángulo tiene un lado opuesto, lado de frente al ángulo, y un lado adyacente, lado que forma parte del ángulo en cuestión. De la forma en que ha sido configurado el triángulo en este ejemplo, el vértice A tiene al cateto a como lado opuesto y al cateto b como lado adyacente. De igual forma el vértice B tiene al cateto b como lado opuesto y al cateto a como
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lado adyacente. Los lados opuestos y adyacentes se intercambian entre sí para los dos ángulos que no son el ángulo recto en el triángulo rectángulo. En el caso del ángulo recto, hay que notar que tiene como lado opuesto a la hipotenusa y no tiene lado adyacente. El identificar los lados opuestos y adyacentes respecto a un ángulo es sumamente importante a la hora de definir las funciones trigonométricas. En esta unidad solamente definiremos las tres funciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas son las convenientes y utilizadas en Física para resolver problemas. Estas son:
6. Ejemplos a. Seno Se define la función seno (sen) de un ángulo como la proporción que existe entre el lado opuesto y la hipotenusa. Matemáticamente esta proporción se expresa como:
Donde el símbolo θ se utiliza para denotar el ángulo que estaremos considerando.
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Observa la figura de la izquierda. En ella hay un triángulo con unas cantidades medidas. Sea el ángulo igual a 30° y su lado opuesto igual a 5 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el seno de 30° es: El procedimiento para calcular el seno sería:
Los valores de las funciones trigonométricas no tienen unidades ya que se cancelan. También son independientes del tamaño del triángulo. El seno de 30° siempre es igual a 0.5. El triángulo que mejor nos muestra esta relación es:
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b. Coseno La función coseno (cos) se define como la proporción entre el lado adyacente y la hipotenusa. Esta función se expresa como:
Sea el ángulo igual a 45° y su lado opuesto igual a 7 cm y la hipotenusa igual a 10 cm, entonces el coseno de 45° es:
Puedes notar que se utilizó la función de
Esta se lee "coseno inverso" pero su significado es el el recíproco de la función lo cual representa un número que nos da el ángulo correspondiente. Puedes usar la calculadora para obtener el resultado. El triángulo básico que mejor nos muestra esta relación es:
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c. Tangente La función tangente se define como la proporción entre el lado opuesto y el adyacente. Esta función se expresa como:
Sea el ángulo igual a 60° y su lado opuesto igual a 8 cm y el adyacente igual a 4.62 cm, entonces la tangente de 60° es:
Puedes usar la calculadora para revisar los cálculos aquí demostrados y sustituir otras cantidades en los ejemplos demostrados. El mejor triángulo que representa la situación del ejemplo es:
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7. . Teorema de Pitágoras Los lados de un triángulo rectángulo se pueden relacionar entre sí por medio del teorema de Pitágoras.
La ecuación que
describe esa relación es la siguiente: c2 = a2 + b2 No importa el tamaño del triángulo,
la
proporción existente entre los lados, a partir de un ángulo de referencia, se mantiene constante. Esto es, dibuja dos triángulos rectángulos de diferente tamaño con uno de sus ángulos iguales. Mide los lados de cada triángulo y establece la proporción para cada lado según se definen las funciones trigonométricas y verás que las proporciones entre
los
dos
triángulos
se
mantienen
independientemente del tamaño del triángulo. Sea ABC un triángulo rectángulo con lados a, b y c, como muestra la figura superior de la derecha. Si el lado c es la hipotenusa, entonces: c² = a² + b² Si el cateto a = 2 cm y el cateto b = 3 cm, entonces c² = a² + b² c² = (2 cm) ² + ( 3 cm)² c² = 4 cm² + 9 cm²
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c² = 13 cm² c = 3.6 cm
EJERCICIOS RESUELTOS 1) Se conocen la hipotenusa y un cateto:
Ej em p lo :
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 2 8 0 m .
s en B = 28 0/41 5 = 0.6 747
B = a r c s en 0 .67 47 = 4 2° 25 ′
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C = 90° - 4 2° 25 ′ = 4 7° 3 5 ′
c = a cos B
c = 41 5 · 0. 7381 = 30 6. 3 1 m
2) Se conocen los dos catetos:
Ej em p lo :
Resolver el triángulo conociendo:
b = 3 3 m y c = 21 m .
tg B = 33/2 1 = 1 .57 14
B = 5 7° 3 2 ′
C = 90° − 57° 3 2′ = 32 ° 2 8′
a = b /s en B
a = 3 3/0. 834 7 = 3 9. 12 m
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3) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:
Ej em p lo :
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 2 2° .
C = 90° - 2 2° = 6 8 °
b = a s en 22 °
b = 45 · 0 .3 746 = 16 .8 5 m
c = a c o s 22 °
c = 4 5 · 0 .92 72 = 4 1. 72 m
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4) Se conocen un cateto y un ángulo agudo:
Ej em p lo :
Re s ol v e r el t ri án gu l o c on o ci en d o :
b = 5 .2 m y B = 37 º
C = 90° - 3 7° = 5 3 º
a = b /s en B
c = b · c o tg B
a = 5.2/ 0. 601 8 = 8 .6 4 m
c = 5.2 · 1.3 270 = 6. 9 m
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EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
5) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos
6) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
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