Aulas 1 a 4 vetores

Olimpíada de Física – Aulas 1 a 4 – Vetores – Prof. Ceará Nome: 1. Grandezas Físicas: Grandeza Física é tudo aquilo que pode ser medido, direta ou indiretamente.

Ex: comprimento, tempo, distância, área, volume, velocidade, aceleração, etc.

As grandezas físicas dividem-se em 2 grupos: escalares e vetoriais.

2. Grandezas Físicas Escalares: São as grandezas que ficam completamente definidas com um número + unidade de medida (1 informação + sua respectiva unidade de medida).

Ex.: 1. Comprimento: L = 10 m 2. Área: A = 20 m² 3. Temperatura: T = 30°C 4. Energia: E = 100J 5. Tempo: t = 10s 3. Grandezas Físicas Vetoriais: São as grandezas que, para ficarem completamente definidas, necessitam de 3 informações: intensidade, direção e sentido.

As grandezas vetoriais são representadas por um agente matemático denominado vetor (flecha).

Para a soma de vetores, temos dois métodos possíveis (chamados de métodos geométricos, uma vez que utilizaremos o desenho para efetuar a soma).

I. 1º Método Geométrico: Método do Polígono: Serve para somar 2 ou mais vetores. Para somar vetores pelo método do polígono, deve-se colocar a extremidade de um vetor na origem do próximo. Ao final, liga-se a origem do primeiro vetor à extremidade do último.

Caso particular: 2 vetores:

 b

 a

α

   s  ab

OBS: A ordem dos vetores não importa (propriedade comutativa).

Intensidade do vetor resultante:

²+ ²− . . .

=

 a

 b

Vetor “a”

Vetor “b” Os vetores carregam 3 informações: I. Intensidade: Esta relacionada com o tamanho do vetor. Essa informação diz respeito ao valor da grandeza física. Para representar a intensidade (ou módulo)

Ângulo oposto ao lado desejado

(Lei dos cossenos) II. 2º Método geométrico: Método do paralelogramo: Serve para somar apenas 2 vetores. Para somar vetores pelo método do paralelogramo, devemos unir a origem dos dois vetores. Após esse procedimento, pela extremidade do primeiro vetor, traçamos uma linha paralela ao segundo.

Pela extremidade do segundo vetor, traçamos uma linha paralela ao primeiro. Ao final, ligamos a origem dos dois vetores, ao ponto de encontro das duas linhas paralelas.

   s  a  b Ponto de

 a



de um velor: | a | ou simplesmente a.

II. Direção: É indicada pela reta que compõe a flecha.

encontro

θ

III. Sentido: É indicado pela seta que compõe a flecha.

 b

Menor ângulo entre os vetores

Intensidade do vetor resultante: 4. Soma de vetores: Como os vetores possuem orientação, para soma-los, devemos levar em conta suas 3 informações (e não apenas sua intensidade).

=

²+ ²+ . . .

(Método do Paralelogramo)

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Olimpíada de Física – Aulas 1 a 4 – Vetores – Prof. Ceará Nome: OBS: Perceba que: + = 180° (ângulos suplementares) e portanto: cos = – cos

ay = a.cosα = a.senθ

  

OBS 2: Os vetores resultantes s  a  b obtidos nos dois métodos são paralelos. Ou seja, tanto faz usar o método do paralelogramo ou o método do polígono. Os dois darão o mesmo resultado.

5. Subtração de Vetores: A subtração é um caso particular da soma de vetores. Para subtrair dois vetores devemos somar o primeiro com o inverso do segundo (simétrico).

OBS: O vetor simétrico é um vetor de mesmo módulo, mesma direção, mas sentido oposto ao vetor original.

 b

   s  ab

Vetor simétrico

α

 a

²+ ²− . . .

 b

 a

y

Vetor simétrico

²+ ²+ . . .

7. Multiplicação por um Escalar (número): Ao multiplicarmos um vetor por um escalar, podemos ter, em geral, 2 possibilidades:

8. Vetores Unitários (Versores): São vetores de módulo igual a unidade (1), utilizados para indicar uma direção.

 j

Intensidade do vetor resultante:

=

ax = a.cosθ = a.senα OBS: As componentes ax e ay são chamadas de  componentes perpendiculares de a . Se imaginássemos as componentes perpendiculares   como sendo vetores ax e ay , temos soma    vetorial a = ax + ay

II. Escalar negativo (n < 1): Se o escalar for positivo, o vetor resultante (R) terá a mesma direção mas o sentido oposto ao vetor multiplicante (m).

Ponto de encontro

θ

θ

I. Escalar positivo (n > 1): Se o escalar for positivo, o vetor resultante (R) terá a mesma direção e o mesmo sentido do vetor multiplicante (m).

(Lei dos cossenos)

   s  ab

α + θ = 90° (ângulos complementares)

α

  R  n.m

Intensidade do vetor resultante:

=

 a

(Método do Paralelogramo) 6. Decomposição de vetores: Para decompor vetores, devemos observar algum ângulo de inclinação. Por exemplo:

 i

x

Para escrever um vetor qualquer através dos vetores unitários, devemos proceder da seguinte maneira:

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 a

y  a.sen j

θ



a.cos i

x

   a  a.cos .i  a.sen.j De maneira geral, a expressão geral para escrever um vetor através dos vetores unitários é:

     a  ax.i  ay.j  a.cos .i  a.sen.j Repare que as componentes perpendiculares de   a (ax e ay) multiplicam os vetores unitários i e j , indicando “quanto vale o vetor em cada direção”.

Exercícios de Aprendizagem 01. (MACKENZIE) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é:

a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6  



03. (AFA 2011) Sejam três vetores A, B e C. Os   módulos dos vetores são, A eB respectivamente, 6u e 8u.

O módulo do vetor    S  A  B vale 10u, já o módulo do vetor       D  A  C é nulo. Sendo o vetor R  B  C, tem   se que o módulo de F  S  R é igual a a) 16u b) 10u c) 8u d) 6u

04. (UNICAMP 2011) Quando um carro não se move diretamente na direção do radar, é preciso fazer uma correção da velocidade medida pelo aparelho (Vm) para obter a velocidade real do veículo (Vr). Essa correção pode ser calculada a partir da fórmula V m = V r  cos(α) , em que α é o ângulo formado entre a direção de tráfego da rua e o segmento de reta que liga o radar ao ponto da via que ele mira. Suponha que o radar tenha sido instalado a uma distância de 50 m do centro da faixa na qual o carro trafegava, e tenha detectado a velocidade do carro quando este estava a 130 m de distância, como mostra a figura a seguir.

02. (FATEC) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:

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Olimpíada de Física – Aulas 1 a 4 – Vetores – Prof. Ceará Nome: Se o radar detectou que o carro trafegava a 72 km/h, sua velocidade real era igual a a) 66,5 km/h. b) 78 km/h. c) 36 3 km/h. d) 144 / 3 km/h.

05. Dados os vetores

→

e

→

representadas na figura, determine o módulo de:

06. Escreva em cada caso a expressão vetorial que relaciona os vetores → ,→ e→ :

07. No esquema estão representados os vetores →, , , e . A relação

09. Seis vetores fecham um hexágono regular, dando resultante nula. Se trocarmos o sentido de três deles, alternadamente, a resultante terá módulo:

10. Com relação ao estudo dos vetores, resolva os quesitos abaixo: a) Num corpo estão aplicadas apenas duas forças de intensidades 12N e 8,0N. Quais as intensidades mínima e máxima da resultante dessas duas forças? b) Caso alterássemos o valor do ângulo para 120°, qual seria o novo valor da resultante entre essas duas forças?

11. Uma partícula está sob ação das forças coplanares representadas logo abaixo, sendo F1 perpendicular a F3, F2 perpendicular a F3 e F1 paralela a F2. Qual a intensidade da resultante destas forças, em Newtons?

vetorial correta entre esses vetores é:

12. (INATEL) Dois corpos A e B se deslocam segundo trajetória perpendiculares, com velocidades constantes, conforme está ilustrado na figura adiante.

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As velocidades dos corpos medidas por um observador fixo têm intensidades iguais a: V A = 5,0 m/s e VB= 12 m/s. Quanto mede a velocidade do corpo A em relação ao corpo B, ou seja, o valor da velocidade resultante da subtração do vetor velocidade do corpo A menos o vetor velocidade do corpo B?

08. No ponto B desenhado abaixo existe um corpo de massa 5kg. Dados: cos60°=0,5 e cos120°= - 0,5 a) São aplicadas duas forças de valores: IF1I=3N e IF2I=4N, que formam entre si um ângulo de 60°. Qual o valor da resultante dessas forças? b) Caso alterássemos o valor do ângulo para 120°, qual seria o novo valor da resultante entre essas duas forças?

ANOTAÇÕES

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ORIENTAÇÃO DE ESTUDOS – Prof. Ceará 1. Ler as páginas 89 a 91 e 94 a 97 do Livro 1.

2. Exercícios Tarefa: 07 a 18, 27, 28 a 34.

BONS ESTUDOS  6 Dúvidas e/ou sugestões: cearadaniel@gmail.com