Tesi Astrofisica by fabio ciomei

DEGLI STUDI DI PISA UNIVERSITA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN FISICA

Tesi di Laurea

SVILUPPO DI UN SISTEMA DIDATTICO INTEGRATO PER L'ANALISI DI IMMAGINI

Candidato : Fabio CIOMEI

Relatori: Dott.ssa Rosa Poggiani Chiar.mo Prof. Federico Ferrini

Anno accademico 1998/1999

Indice

Introduzione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1. La fotometria stellare : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.1. Fotometria ed evoluzione stellare : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 1.2. Rivelatori per fotometria : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 1.3. Fotometria di apertura e fotometria con PSF tting : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19 1.3.1. Fonti di rumore nelle CCD : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 1.4. Fotometria fuori dall'atmosfera terrestre: l'Hubble Space Telescope : : : : : : 24 Appendice: principali caratteristiche delle CCD usate in astro sica : : : : : : : : : : : 26 2. Stato dell'arte del software esistente : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 2.1. DAOPHOT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 2.1.1. Ricerca di oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 2.1.2. PSF tting e catalogazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 34 2.1.3. Stima del fondo cielo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 36 2.1.4. Metodi particolari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37 2.2. ROMAFOT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 2.2.1. Ricerca degli oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 2.2.2. PSF tting e catalogazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 2.2.3. Stima del fondo cielo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 2.2.4. Metodi particolari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 40 2.3. DoPHOT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 2.3.1. Ricerca di oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 2.3.2. PSF tting e catalogazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 2.3.3. Stima del fondo cielo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 2.3.4. Metodi particolari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 43 2.4. Stellar Photometry Software (SPS) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 2.4.1. Ricerca di oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 2.4.2. PSF tting e catalogazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 2.4.3. Stima del fondo cielo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 2.4.4. Metodi particolari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 2.5. CAPELLA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 2.5.1. Ricerca di oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47

2.5.2. PSF tting e catalogazione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 49 2.5.3. Stima del fondo cielo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 2.5.4. Metodi particolari : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 2.6. Confronto delle caratteristiche dei vari software : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54 3. Nuovi algoritmi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 3.1. La ricerca in condizioni di campo a ollato: confronto delle tecniche : : : : : 59 3.1.1. Ricerca diretta dei massimi locali : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 3.2. Algoritmo Open/Close. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61 3.3. Analisi con trasformata di Wavelet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64 3.3.1. Studio analitico della trasformata di Wavelet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67 3.3.2. Scelta del parametro di scala : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 3.3.3. Analisi con trasformata di Wavelet della PSF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69 3.3.4. Stima del rumore introdotto dalla Wavelet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70 3.3.5. Analisi numerica con trasformata di Wavelet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71 3.4. E etto dell'applicazione di ltri : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 3.4.1. Filtro passa alto : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 3.4.2. Filtro passa banda, ltro ottimale e minimi quadrati della PSF : : : : : : : 73 3.5. Metodi di deconvoluzione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74 3.5.1. Campionamento delle immagini : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76 3.5.2. Soluzioni dell'equazione di convoluzione : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 77 3.5.3. L'algoritmo CLEAN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 78 3.5.4. Criteri di convergenza per l'algoritmo CLEAN : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 3.5.5. Il Metodo di Massima Entropia : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 82 3.5.6. Deconvoluzione algebrica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 83 3.6. Ricerca di sorgenti deboli : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84 3.6.1. Misura della somiglianza : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84 3.6.2. Modellizzazione del fondo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85 3.6.3. Simulazioni e risultati : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86 3.7. Confronto delle caratteristiche degli algoritmi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 4. Il programma TransVEGA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93 4.1. Caratteristiche del programma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94 4.1.1. Uso didattico : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94 4.1.2. Il front-end LabVIEW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94 4.2. La pre-riduzione delle immagini : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 4.2.1. Caricamento e studio preliminare di un'immagine : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98 4.2.2. Pulizia dell'immagine : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101 4.3. Il trattamento e l'analisi dell'immagine : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103 4.3.1. Operazioni di ltering : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104

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4.4. Ricerca della Point Spread Function : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111 4.4.1. Modelli di Point Spread Function : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 111 4.4.2. L'algoritmo di adattamento della PSF : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113 4.5. Ricerca e catalogazione degli oggetti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 116 4.5.1. Ricerca dei massimi locali : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 4.5.2. Miglioramento della stima dei parametri : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122 4.5.3. Sottrazione delle migliori stime e ricerca iterativa : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124 4.6. Calcolo delle magnitudini strumentali. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128 4.6.1. Integrazione dei pro li. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128 4.6.2. Istogrammi, funzione di luminosit a. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129 5. Analisi di immagini simulate e di immagini reali : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133 5.1. Il programma SimulImage per la generazione di immagini simulate : : : : : 133 5.1.1. Generazione automatica di pi u immagini : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 5.1.2. Generazione di immagini singole simulate : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 5.1.3. Generazione frame con stelle singole e aggiunta stelle ad immagini reali 138 5.2. Analisi di immagini simulate con DAOPHOT e TransVEGA : : : : : : : : : : : 138 5.3. Analisi di immagini reali con DAOPHOT e TransVEGA : : : : : : : : : : : : : : : 152 5.3.1. NGC458, NGC1831, NGC2159 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 154 5.3.2. NGC1856, NGC1903, NGC1958 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 6. Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini : : : : : : : : : : : : : : : : : 167 6.1. Immagini da microscopio a forza atomica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 167 6.2. Conteggio di corpuscoli e cellule : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 172 6.3. Microcalci cazioni : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174 Conclusioni : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179 A. Sorgenti dei programmi LabVIEW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181 B. Sorgenti dei programmi C : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 197 Ringraziamenti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 211

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Introduzione In questo lavoro di tesi e stato sviluppato un software in ambiente Windows per l'analisi di immagini, astro siche e non, completamente interattivo utilizzando il linguaggio gra co LabVIEW, vista la sua di usione nell'ambiente della ricerca e dell'industria, la sua modularit a e l'interfaccia gra ca. Lo scopo fondamentale era quello di ottenere un prodotto utilizzabile in ambito didattico per illustrare i metodi, tipici e non, della fotometria stellare in campi aperti e a ollati. Abbiamo posto un particolare accento agli algoritmi di ricerca degli oggetti sovrapposti, dimostrando che possono essere applicati anche ad immagini di tipo diverso da quello astro sico. La essibilit a e la modularit a del programma realizzato permettono il coinvolgimento attivo degli studenti: vengono, infatti, presentati alcuni possibili miglioramenti e la possibilit a di aggiungere moduli, che dovrebbero essere realizzati dagli stessi studenti, in ambito didattico, utilizzando il programma come ambiente di sviluppo. I capitoli sono stati organizzati nel seguente modo: Nel capitolo 1 viene introdotto il problema della fotometria stellare e la sua importanza per la sica stellare, assieme ad un breve sommario delle principali caratteristiche dei rivelatori usati nell'acquisizione di immagini astronomiche, con particolare riguardo per le CCD che oggi rappresentano lo standard dei rivelatori astronomici. In questa parte sono anche introdotte le tecniche fondamentali usate per l'analisi fotometrica. Nel capitolo 2 sono descritte le caratteristiche principali dei software pi u usati per la fotometria stellare. Visto il possibile uso didattico del software, e stato ritenuto opportuno condensare e discutere criticamente le tecniche usate dai vari programmi. Difatti tali programmi utilizzano algoritmi molto diversi tra loro ed in genere l'applicazione di tali algoritmi non e trasparente all'utente. Seguendo questo schema sono introdotti

8 nel capitolo 3 alcuni algoritmi di nuova concezione che si prestano particolarmente a identi care gli oggetti, nella fattispecie la trasformata di Wavelet e gli algoritmi di deconvoluzione gi a noti nel campo dell'image restoration. Tale parte della tesi pu o essere un utile manuale per chi si avvicina all'analisi di immagini in campo astro sico. Nel capitolo 4 viene descritto il programma realizzato, chiamato TransVEGA. Vengono descritte e illustrate tutte le operazioni: la lettura di le in formato FITS (standard in astro sica), la pre-riduzione delle immagini, le operazioni di ltraggio delle immagini con ltri di vario genere, la costruzione della forma analitica del pro lo stellare medio, la ricerca e la catalogazione degli oggetti trovati e la loro sottrazione dall'immagine. E inoltre previsto l'uso iterativo dei risultati ottenuti per migliorare la fase di ricerca e catalogazione. Il programma permette poi di rappresentare i dati raccolti in forma di istogramma per classi di luminosit a (funzione di luminosit a). Tutti i dati memorizzati possono essere salvati su le in formato ASCII e sono quindi utilizzabili liberamente da altri software. Nel capitolo 5 sono raccolti i risultati ottenuti analizzando immagini simulate e reali. Per il test del programma e stato realizzato un software aggiuntivo che permette di generare immagini simulate di campi stellari, o aggiungere stelle simulate a immagini preesistenti. Queste immagini simulate (sia di campi a ollati che aperti) sono state usate per veri care la bont a delle soluzioni con un riscontro oggettivo che non e possibile avere con le altre immagini reali di ammassi che sono state analizzate. I risultati della fase di ricerca degli oggetti sono stati in ne confrontati con quelli del programma standard DAOPHOT. Nel capitolo 6 vengono introdotti alcuni usi alternativi del programma, come l'analisi di immagini generate da Microscopi a Forza Atomica e di origine biologica e medica. Due brevi sezioni in appendice includono in ne i sorgenti dei programmi realizzati e una loro breve descrizione.

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La fotometria stellare

1.1 Fotometria ed evoluzione stellare L'esecuzione di misure sempre pi u accurate dei parametri stellari e di fondamentale importanza in campo astro sico per il confronto e la veri ca di modelli stellari che descrivono l'universo come ci appare. La determinazione della magnitudine visuale e del colore delle stelle appartenenti a strutture di vario tipo e il punto di partenza per la calibrazione delle scale di distanza e, attraverso i modelli, per lo studio dell'evoluzione temporale delle strutture e delle stelle stesse. La fotometria rappresenta l'insieme di tecniche sviluppate per misurare i ussi luminosi che ci arrivano da una determinata direzione; nel caso della fotometria stellare si misurano i ussi luminosi che arrivano da una singola stella. Normalmente l'aspetto dei dati risultato di un'osservazione astronomica e un'immagine (oggi, come vedremo in seguito, realizzata soprattutto per mezzo di CCD), quindi la fotometria stellare richiede molto di pi u di una misura di usso per ricavare informazioni sulle singole stelle; ogni immagine raccolta pu o contenere migliaia di stelle che devono essere riconosciute come tali (evitando artefatti di varia natura), separate (in molte zone delle immagini i campi sono a ollati, cio e le stelle sono parzialmente o totalmente sovrapposte) e misurate attraverso procedure che, come vedremo (capitoli 2 e 3) possono essere molto complesse. I collegamenti tra la sica stellare e la fotometria sono molto stretti ed hanno alla loro base il diagramma colore/magnitudine (Color Magnitude Diagram, CMD nel seguito)

Cap.1 La fotometria stellare

che presenta i risultati delle misure di fotometria in un modo direttamente confrontabile con le teorie dell'evoluzione stellare. Il CMD rappresenta le stelle che hanno caratteristiche comuni da studiare, nel piano colore/magnitudine. De niamo come magnitudine il rapporto tra il usso luminoso L di una sorgente (espresso ad esempio in mJ2 s ) e un usso di riferimento L0 espresso in scala logaritmica, cio e: (1:1:1)

m = 2:5 log

L L0

dove L0 rappresenta la calibrazione eseguita attraverso stelle standard di magnitudine ben conosciuta. Il rivelatore usato per misurare il usso ha una banda passante nita, per cui il segnale ricevuto e l'insieme di tutte le frequenze comprese in questa banda; per ottenere risultati omogenei e confrontabili tra loro ci sono standard che de niscono ltri particolari che lasciano passare solo bande ben precise. Le di erenze di magnitudine tra vari ltri (con bande diverse) si de niscono indici di colore e rappresentano l'ascissa del CMD; l'ordinata e invece rappresentata dalla magnitudine. I sistemi standard di ltri si dividono in 3 categorie principali, suddivise per larghezza della banda passante: Larghezza di banda

Nome ltri

Autori (data)

Broadband (100 nm)

UBV RI RI

Johnson & Morgan (1951)

uvby uvgriz DDO

Stromgren (1966) Thuan-Gunn (1976)

(vari)

per righe di emissione

Intermediate-band (10nm)

Narrow-band (1nm)

Kron

Tab. 1.1: Sistemi standard di ltri, da [Bessell92]. Le magnitudini m sono quindi misurate con uno o pi u di questi ltri. Di solito si usano

ltri broadband e la magnitudine di riferimento usata e quella del ltro V (visibile), da cui m = mV . Come indice di colore e molto usato mB mV (blu e visibile) o pi u

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brevemente B V , (perch e la sensibilit a massima delle lastre fotogra che e in questi campi di frequenze), ma recentemente si cominciano ad usare U V (ultravioletto e visibile), V I (visibile e infrarosso) perch e le CCD sono pi u sensibili a queste frequenze di quanto non lo fossero le lastre fotogra che. E necessario misurare, in aggiunta agli oggetti che costituiscono lo scopo della misura, molte stelle campione di cui si conoscono le caratteristiche di colore, questo per ottenere un'opportuna calibrazione ([Da Costa92]). Le caratteristiche principali di un CMD sono riportate in g. 1.1. Le regioni indicate nella gura saranno discusse in dettaglio nel seguito. E di grande importanza lo studio dei CMD degli ammassi globulari in quanto queste strutture isolate permettono un confronto diretto tra stelle che hanno propriet a simili (dovute all'omogeneit a della materia in cui e nato l'ammasso) e et a simili (si ipotizza che la fase di nascita delle stelle in un ammasso globulare sia unica). Gli studi e ettuati su questi ammassi di stelle con parametri omogenei ci permette, attraverso modelli, di trovare l'et a, il contenuto metallico e di elio, quantit a importanti oltre che per la sica stellare anche per la cosmologia.

14.0 15.0 16.0

AGB

M68

BHB

RGB

RHB

17.0 18.0

SGB

19.0 20.0 21.0 22.0 â&#x2C6;&#x2019;0.2

MS 0.0

0.2

0.4 Bâ&#x2C6;&#x2019;V

0.6

0.8

1.0

Fig. 1.1: CMD dell'ammasso globulare M68.

Cap.1 La fotometria stellare

Il CMD presenta molte informazioni rilevanti per la sica stellare: l'indice di colore pu o difatti essere messo in relazione allo spettro di emissione delle stelle (con buona approssimazione emissione di corpo nero). Nel caso dell'indice B V una stella con B V basso avr a uno spettro spostato verso il blu e quindi una temperatura super ciale pi u alta di una stella con indice alto (rossa). Vista la buona approssimazione dello spettro delle stelle a quello di corpo nero si de nisce una temperatura eĂ&#x2020;cace per ogni indice di colore. In questo modo si ha una corrispondenza biunivoca tra indice di colore e temperatura eĂ&#x2020;cace Te , parametro utile nei modelli evolutivi perch e collegato ad altri parametri sici rilevanti dalla legge di Stefan-Boltzmann. Si ottiene quindi per il usso totale emesso da una stella di raggio R: (1:1:2) L = 4 R2 Te 4 E da notare che il usso e una grandezza molto diversa dalla magnitudine, infatti m dipende dalla distanza della sorgente e dal tipo di ltro (mV per il ltro V ad esempio), mentre L no. Si pu o comunque scrivere una relazione tra queste grandezze, infatti si pu o correggere mV per l'incompletezza della radiazione raccolta aggiungendo una correzione bolometrica (BC ): (1:1:3)

mbol = mV + BC

e correggendo poi per la distanza, creando una magnitudine (detta assoluta) in cui tutte le stelle appaiono come viste da una distanza standard di 10 parsec (modulo di distanza DM ): (1:1:4)

Mbol = mbol

Con questa elaborazione il CMD ricavato dalle osservazioni viene messo in corrispondenza ad un CMD ottenuto con parametri teorici, quali il usso totale emesso dalla stella e la sua temperatura eĂ&#x2020;cace (o super ciale). E chiaro dunque perch e attraverso lo studio morfologico dei CMD ottenuti dallo sviluppo di modelli teorici e da quelli derivati dalle osservazioni si possono ricavare informazioni sull'evoluzione delle stelle nell'universo e di conseguenza sull'evoluzione dell'universo stesso. Vediamo alcuni punti salienti del CMD ([Castellani85]):

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MS (Main Sequence): comprende stelle in combustione di idrogeno nel nucleo. La

posizione di questa sequenza e molto in uenzata dalla composizione chimica (sia elio che metalli), mentre l'estensione in luminosit a dipende dall'et a delle stelle. Il confronto tra sequenze principali di ammassi globulari e un primo indicatore della distanza dell'ammasso.

TO (Turn-O ): punto in cui le stelle abbandonano la sequenza principale a causa

dell'esaurimento dell'idrogeno nel nucleo. Il TO risulta correlato in maniera complessa alla metallicit a e all'et a dell'ammasso, ed e quindi un valore molto importante nello studio degli ammassi globulari.

SGB (Sub Giant Branch): in questa regione la stella inizia a bruciare idrogeno in un

guscio esterno al nucleo iniziale (shell burning). L'indicazione dell'et a e del contenuto chimico e ottenuta studiando la forma della curva; anche se l'informazione appare essere poco quantitativa e importante notare che non dipende dal modulo di distanza.

RGB (Red Giant Branch): comprende le stelle in fase di combustione dell'idrogeno

in shell. In questa zona la stella ha una struttura quasi totalmente convettiva e la sua posizione nel CMD dipende essenzialmente dal contenuto di metalli.

HB (Horizontal Branch): cos chiamato perche la mV e praticamente indipendente

dal colore. Consiste in una fase di doppia combustione, elio al centro e idrogeno in shell. La luminosit a di questa fase dipende essenzialmente dalla massa del nucleo di elio (per un ssato valore dell'elio originale), mentre il colore dipende dalla massa dell'inviluppo di idrogeno. Queste quantit a teoriche sono facilmente correlabili con et a, contenuto in elio iniziale e metallicit a. Molto importante e anche la piccola zona tra il margine destro del BHB e quello sinistro del RHB in cui si veri cano fenomeni di instabilit a radiale (pulsazioni) che de niscono le variabili di tipo RR Lyr ; vista l'alta luminosit a di questa zona, le variabili sono degli ottimi indicatori di distanza ([Hanes78]).

Cap.1 La fotometria stellare

AGB (Asymptotic Giant Branch): fase seguente all'esaurimento dell'elio al centro, in

cui avviene una combustione in shell dell'elio. In questa fase i tempi evolutivi sono brevi e quindi si prevede una evidenza osservativa ridotta; piccoli gruppi sono comunque presenti all'innesco della shell di elio (l'evoluzione rallenta), la luminosit a di queste zone e molto importante per lo studio dell'eĂ&#x2020;cienza dei meccanismi convettivi (core overshooting e semiconvezione indotta). In parallelo al CMD e di grande utilit a un altro diagramma, la funzione di luminosit a (Luminosity Function, LF) de nito come il numero di stelle per intervallo di magnitudine in funzione della magnitudine. In sica stellare di solito viene de nita come il numero di stelle per intervallo di magnitudine e volume di spazio in funzione della magnitudine ([Snel98]) e pu o essere confrontato, con particolari accorgimenti, con la Initial Mass Function (IMF) che esprime la distribuzione teorica della massa alla nascita dell'ammasso globulare. In questa tesi presentiamo gli strumenti esistenti per la misura e l'analisi di dati astro sici, fornendo alcune nuove soluzioni, un programma didattico per l'analisi di immagini da noi costruito e alcuni risultati ottenuti con il suo uso. Alla luce della discussione pi u sopra, osserviamo che la fotometria stellare richiede molte propriet a per poter avere una elevata precisione nella determinazione dei principali parametri osservativi e per veri care i vari apetti delle teorie, ad esempio gap evoluzionistici o deviazioni dovute a piccole di erenze di composizione chimica. i) Grande range dinamico: per ottenere misurazioni valide su un ampio campo di valori di magnitudine, che include anche stelle a basse luminosit a e nane bianche. ii) Alta risoluzione: per risolvere zone con alta densit a di stelle (ammassi globulari, nucleo galattico) o oggetti di usi (nebulose, galassie) dotate di strutture molto ni. iii) Alta risoluzione spettrale: per ottenere informazioni dettagliate sugli spettri stellari

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e quindi sulla composizione chimica delle stelle per costruire modelli pi u dettagliati. La fotometria stellare richiede inoltre rivelatori capaci di osservare pi u stelle alla volta per poter eseguire misure in tempi brevi. Come e naturale, e importante anche disporre di un elevato numero di osservazioni per avere campioni statistici rappresentativi, questo rappresenta in un certo senso il punto cruciale che riassume tutte le richieste.

1.2 Rivelatori per fotometria La misurazione delle caratteristiche stellari ha radici antichissime, ma soltanto con l'avvento delle prime lastre fotogra che (intorno al 1840) e stato possibile registrare permanentemente le immagini delle stelle nella regione di spettro che va dall'ultravioletto all'infrarosso (100 1000 nm). Nonostante una costante evoluzione (la sensibilit a e migliorata negli anni di vari ordini di grandezza), le lastre ormai vengono usate solo in casi particolari. I vantaggi della lastra fotogra ca (plates) sono la grande super cie esposta (anche 50 cm2 ) e l'elevata granularit a (oltre 1010 pixel equivalenti). Inoltre le lastre permettono lunghe esposizioni, anche di ore, utili per piccoli ussi. Il principale svantaggio consiste nella non linearit a e nella diĂ&#x2020;colt a di calibrazione. Come spiegato in precedenza, la misura delle magnitudini stellari richiede un'elevata precisione, diĂ&#x2020;cile da ottenere con le lastre. In aggiunta a ci o le lastre hanno una bassissima eĂ&#x2020;cienza quantica (intorno all'1%) e un range dinamico limitato. L'informazione contenuta in una lastra e legata alla densit a dell'emulsione, attraverso la relazione: I (1:2:1) d = log I0 dove I; I0 sono l'intensit a trasmessa e quella incidente. Questa informazione e trasfor-

Cap.1 La fotometria stellare

mata in informazione numerica utilizzando i microdensitometri, il che comporta una operazione in pi u oltre all'osservazione. Le lastre restano comunque insostituibili per i larghi campi dei telescopi Schmidt, come e dimostrato dalle survey dell'intero cielo (Palomar Sky Survey per l'emisfero boreale ed ESO (Cile) e AAT (Australia) per l'emisfero australe). Un'evoluzione della lastra fotogra ca e l'electronic camera (electronographic tube): l'immagine e formata su un fotocatodo dove vengono generati fotoelettroni che vengono accelerati e messi a fuoco magneticamente o elettrostaticamente no a formare l'immagine su di una lastra fotogra ca. Lo strumento ha il vantaggio di poter rivelare deboli livelli luminosi anche senza i lunghi tempi di integrazione delle lastre. La capacit a di integrazione e comunque eccellente, ed aĂ&#x2020;dabile anche su tempi di pi u notti. Il numero di pixel e inferiore a quello delle lastre. Analogamente alle lastre, richiede uno stadio di digitalizzazione con un particolare microdensitometro (microfotometro). La di usione dei fotomoltiplicatori dopo la seconda guerra mondiale ha permesso la nascita della fotometria fotoelettrica. Per molti aspetti, i fotomoltiplicatori possono essere considerati i rivelatori ideali: la soglia e praticamente nulla perch e e possibile rivelare singoli fotoni, la risposta e veloce e lineare su un lungo intervallo di usso. La linearit a della risposta permette di ottenere calibrazioni molto aĂ&#x2020;dabili e precise. La fotometria fotoelettrica e per o intrinsecamente lenta poich e viene osservata una sola stella alla volta. Per ci o che riguarda la fotometria stellare, occorre disporre di uno strumento che abbia anche la capacit a di formare un'immagine, in aggiunta ai vantaggi dei fototubi. La situazione e cambiata con la di usione su larga scala delle chargecoupled-device (CCD) negli anni ottanta. Le CCD riuniscono molti vantaggi: - una elevata eĂ&#x2020;cienza quantica, che pu o arrivare anche a circa l'80% ; - una ottima linearit a, che permette una determinazione immediata delle magnitudini relative delle varie stelle nell'immagine, con una sola operazione di calibrazione per

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completare l'analisi. La linearit a permane anche con un elevato numero di cariche per pixel (4 105 ), permettendo lunghe esposizioni; - un elevato range dinamico, che permette di raggiungere un buon rapporto segnale/rumore per le stelle. Questo signi ca poter utilizzare una sola immagine sia per stelle molto deboli che per quelle luminose, inoltre gli oggetti deboli mantengono ancora una discreta risoluzione in intensit a, il che permette di lavorare con livelli di fondo cielo alti; - una elevata risoluzione spaziale (anche 107 pixel). La super cie totale esposta e al pi u di qualche cm2 , poich e i pixel hanno dimensioni tipiche di 10 20 m. Le CCD attualmente usate in astronomia hanno dimensioni da 512 512 a 4096 4096 pixel. - un'uscita digitale integrata sul chip, fondamentale vantaggio rispetto alle lastre nella semplicit a d'uso e nella riduzione dei passi necessari tra misura e trattamento dei dati. Un parametro molto importante per la CCD di uso astronomico e la capacit a di riempimento (Full Well Capacity, FWC): indica la massima quantit a di elettroni accumulabile in un singolo pixel (capacit a sica dovuta alla grandezza del pixel). In media si hanno valori di ' 100000 500000 elettroni ([Janesick92]). Questo numero rappresenta il limite della saturazione sica per la CCD e pu o limitare la durata dell'esposizione. Le pi u usate nel campo del visibile e ultravioletto sono le CCD in silicio, mentre per l'infrarosso ci sono oggetti ibridi (InSb, HgCdTe) o le CID (charge injection devices) con l'elettronica costruita negli stessi materiali fotoconduttivi. Il primo uso astronomico delle CCD risale al 1973 ad opera del JPL. Tutte le caratteristiche delle CCD, al contrario degli altri rivelatori proposti, sono in continua e rapida evoluzione e quei pochi svantaggi elencati sono destinati a scomparire entro breve tempo, cos come miglioreranno ulteriormente i vantaggi ([L ena86]). Descriviamo ora brevemente alcune caratteristiche delle CCD. In una CCD il pro-

Cap.1 La fotometria stellare

cesso di rivelazione e formazione dell'immagine coinvolge quattro passi, ognuno con una eÆcienza propria: i) Trasformazione dell'intensit a di fotoni raccolti su ogni pixel in elettroni. ii) Raccolta delle cariche nella zona di accumulazione. iii) Trasferimento della carica: scorrimento degli elettroni prodotti da un pixel all'altro verso i circuiti di misura (vedi g. 1.2). iv) Misura della carica ad opera dell'elettronica presente sul chip stesso della CCD (digitalizzazione). Zona di raccolta elettroni

Elettrodi di trasferimento

Righe

1, 2, ... (n-1), n 1

1, 2, ... (n-1), n

PIXEL

Lettura parallela 1

Lettura seriale n, n, ... n, (n-1), (n-1), ... (n-1) ..., 2, 2, ... 2, 1,1, ... 1 Colonne

Fig. 1.2: Schema di funzionamento di una CCD. Ognuna di queste fasi e caratterizzata da alcuni parametri: - EÆcienza quantica (Quantum EÆciency, QE): misura le perdite di fotoni dovute a ri essioni, assorbimento, perdite di portatori ed altre cause. Dipende anche dalla lunghezza d'onda dei fotoni incidenti, di solito e almeno del 60% e pu o arrivare anche al 90%. - EÆcienza della raccolta di carica (Charge Collection EÆciency, CCE): misura la di u-

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sione e la ricombinazione delle cariche nel substrato della CCD, di solito e molto alta. - EĂ&#x2020;cienza del trasferimento di carica (Charge Transfer EĂ&#x2020;ciency, CTE): indica l'ef cienza nello scorrimento della carica da un pixel all'altro. Anche in questo caso si arriva oltre il 99.9%.

1.3 Fotometria di apertura e fotometria con PSF tting Esistono due metodi fondamentali per la misura della magnitudine di una stella a partire dall'immagine CCD: la fotometria di apertura e la fotometria con PSF tting. Nella fotometria di apertura si somma il contenuto dei pixel che de niscono una stella ponendo un diaframma (apertura) circolare per mascherare le altre stelle e un rivelatore sensibile solo al usso integrato dell'intera apertura (fotometro fotoelettrico). Con questo sistema si ottengono misurazioni di elevata precisione (' 0:001 mag, [L ena86]: gli standard fotometrici sono realizzati in questo modo). Questo sistema si rivela ineĂ&#x2020;ciente nel caso di stelle troppo vicine per essere risolte con un diaframma, o addirittura sovrapposte come accade spesso nei nuclei degli ammassi globulari: queste zone vengono de nite come campi a ollati (crowded elds). Si de nisce campo moderatamente a ollato quello in cui alcuni pixel di una stella danno contributo anche ad altre. Si de nisce campo fortemente a ollato quello in cui tutti i pixel danno contributo almeno ad un'altra stella e molti pixel a parecchie stelle. Campi non a ollati sono chiamati aperti. Risultati pi u accurati per immagini CCD possono essere ottenuti usando la forma analitica del pro lo della stella (PSF tting) che viene usata come modello per la ricerca di oggetti nell'immagine. La PSF (Point Spread Function) e una funzione bidimensionale che rappresenta la convoluzione tra le funzioni di trasferimento dell'atmosfera, dell'ottica del telescopio e del rivelatore con la sorgente stellare. Non sempre questa funzione pu o essere ritenuta costante su tutta l'immagine. Questo e il principale riferimento della fotometria di ricostruzione: ottenere una buona PSF permette una ottimale ricerca degli

Cap.1 La fotometria stellare

oggetti nell'immagine. Un importante parametro che incontreremo spesso in seguito riguardo alle PSF e la larghezza a met a altezza (Full Width Half Maximum, F W HM ): indica la larghezza di una funzione, tale parametro pu o essere de nito per ogni pro lo che abbia un massimo centrale ed e molto usato per descrivere le dimensioni degli oggetti nelle immagini stellari in campi a ollati. Per una distribuzione gaussiana F W HM = 2:355 . Un catalogo di questi oggetti con gli opportuni parametri di ricostruzione permette il calcolo della magnitudine di ogni stella. Questo sistema ha il vantaggio di misurare contemporaneamente molti oggetti (diminuendo gli errori dovuti alle condizioni atmosferiche variabili che rimangono uniformi su tutta l'immagine). Esistono molti software che implementano algoritmi opportuni, discussi nei capitoli 2 e 3, per la fotometria di campi generici e di ammassi globulari. Per questi ultimi occorrer a eseguire la ricostruzione simultanea della PSF di pi u stelle visto l'a ollamento. E da notare che parte del fondo del cielo che circonda le stelle visibili contiene anche stelle troppo deboli per essere rivelate: ci o contribuisce ad aumentare le uttuazioni del fondo stesso. A ci o bisogna aggiungere gli aloni delle stelle pi u intense. Le caratteristiche delle CCD e gli algoritmi di ricostruzione permettono con questo sistema di arrivare ad una buona precisione (' 0:01 mag, [L ena86]). I continui miglioramenti nell'elettronica dei rivelatori a CCD e la velocit a con cui si ottengono un gran numero di informazioni con una sola esposizione (il tempo ai grandi telescopi e molto costoso) rendono questo tipo di fotometria la pi u usata.

1.3.1 Fonti di rumore nelle CCD Le CCD sono rivelatori di tipo photon counting, quindi la principale sorgente di rumore e legata alla statistica di Poisson. Se n e il numero di conteggi del segnale, la deviazione p standard (r.m.s.) e n, quindi il rapporto segnale/rumore in presenza del solo rumore

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poissoniano sarebbe: (1:3:1)

S n p = p = n: N n

Introducendo le variabili q (numero di elettroni per unit a digitale) e x (numero di unit a digitali corrispondenti al segnale), il rapporto segnale/rumore pu o essere scritto come: (1:3:2)

S p = qx N

poich e n = q x. Ci sono in ogni caso altre sorgenti di rumore: - Il read-out noise (RO) e il livello di rumore associato all'ampli cazione della carica della CCD. Valori tipici sono qualche elettrone o decine di elettroni r.m.s. ([Janesick92]). Il RO non pu o essere inferiore al livello di discretizzazione dell'ADC. Il contributo del read-out noise al rumore pu o essere scritto come: (1:3:3)

NRO = Npix R

dove Npix e il numero di pixel corrispondente all'area e ettiva dell'oggetto sulla CCD, R il rumore di read-out misurato in elettroni. - Rumore dovuto al fondo del cielo (sky level): e il rumore pi u diĂ&#x2020;cile da valutare in quanto dipende molto dalle condizioni in cui si e ettua l'esposizione. Di solito viene valutato facendo una media sul valore dei pixel del fondo nella zona dove si intende operare l'integrazione dei conteggi di una sorgente. Il contributo del rumore del fondo del cielo pu o essere scritto come: (1:3:4)

NSL = Npix B

dove B e il numero di conteggi corrispondenti al fondo.

Cap.1 La fotometria stellare

- Rumore dovuto alla corrente oscura (Dark Current): e dovuto ad un e etto di polarizzazione, causato dal contributo termico al numero di elettroni. Pur essendo pochi gli elettroni prodotti (' 10 e /ora) in media si hanno piccole zone calde in cui la produzione e notevolmente pi u alta; in queste zone dovr a essere considerato l'ulteriore rumore e opportunamente detratto. Bisogner a inoltre stare attenti a non confondere questi hot peak con raggi cosmici, molto simili. Il contributo della dark current e dato da: (1:3:5)

NDC =

Npix D

dove D e il numero di conteggi dovuto alla corrente oscura. - Rumore introdotto nella digitalizzazione della carica: e dovuto alle approssimazioni nel calcolo delle unit a digitali (specialmente in caso di ADU abbastanza grandi). Durante la conversione si pu o avere arrotondamento verso il basso di frazioni virtuali di unit a digitali (di per se non frazionabili) che durante l'integrazione portano errori anche di unit a reali. In pratica se abbiamo 332568 elettroni in un pixel e questo deve essere digitalizzato a 16 bit con q = 10 elettroni/ADU, il numero di unit a digitali sar a: N 332568 (1:3:6) x= = = 33256:8 ) xdigital = 33256 q 10 il valore frazionario 0:8 viene arrotondato, ma nelle operazioni di scorrimento la somma di questi arrotondamenti pu o risultare maggiore di 1 e quindi comparire come errore nella quantit a q x. Il contributo del rumore di digitalizzazione pu o essere espresso come percentuale Sp del fondo B : (1:3:7)

NAD =

Npix Sp B:

Siccome queste fonti di rumore si possono considerare indipendenti tra loro possiamo scrivere un'espressione per il rapporto segnale/rumore sommando quadraticamente i contributi di una integrazione ([Howell92]). In questo caso l'espressione quotata in letteratura per il rapporto segnale/rumore e: qx S =q (1:3:8) N q x + Npix R2 + B 2 + D2 + (Sp B )2

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dove i simboli rappresentano:

x unit a digitali raccolte dalla sorgente Npix numero di pixels usati per la misura della sorgente R livello rumore di lettura (RO) (elettroni r.m.s. / pixel / lettura) B livello del fondo cielo (elettroni r.m.s. / pixel) D livello corrente oscura (elettroni r.m.s. / pixel) Sp errore percentuale sulla conversione q guadagno della CCD (elettroni / ADU)

Quando q x Npix R2 + B 2 + D2 + (Sp B )2 ritroviamo l'espressione corrispondente al caso poissoniano ideale. Questo e ci o che avviene con l'osservazione di una sorgente brillante, cio e con elevato rapporto segnale/rumore. Si noti che se esprimiamo i conteggi q x; R; B; D come prodotti del rate di conteggio per il tempo di esposizione, otteniamo un'espressione del tipo: (1:3:9)

t S =p N

+ t + Ă&#x2020;t2

dove il termine in Ă&#x2020; e solitamente trascurabile tranne nei casi di fondo cielo elevato, che p non sono rilevanti ai nostri ni. Quindi il rapporto segnale/rumore migliora come t. Si nota che, nei limiti della linearit a della CCD il rapporto segnale/rumore aumenta con l'aumentare del tempo di esposizione (segnali pi u intensi), ma bisogna valutare caso per caso la possibilit a di e ettuare pi u esposizioni brevi o una lunga esposizione in dipendenza di altri fattori (stabilit a delle condizioni di esposizione).

Cap.1 La fotometria stellare

1.4 Fotometria fuori dall'atmosfera terrestre: l'Hubble Space Telescope Uno dei principali difetti dell'osservazione da terra e la presenza dell'atmosfera che modi ca le misure in maniera sostanziale. Recentemente lo sviluppo dei voli spaziali ha permesso la messa in orbita di molti strumenti destinati alla ricerca scienti ca: nel campo dei raggi X e (Einstein, Beppo-Sax), infrarosso (IRAS), ultravioletto (OAO, IUE). Le capacit a di questi strumenti superavano di gran lunga quelle di analoghi terrestri per l'evidente mancanza di assorbimento da parte dell'atmosfera, ma per altri versi erano limitati per le piccole dimensioni del rivelatore. Con l'avvento dell'HST (Hubble Space Telescope) la comunit a scienti ca ha a disposizione uno strumento che compete con i telescopi ottici terrestri e per alcune caratteristiche li supera (infrarosso). Dotato di uno specchio da 2.4 metri questo telescopio permette di raggiungere i limiti ottici in fatto di risoluzione. L'assenza dell'atmosfera modi ca radicalmente l'aspetto delle stelle registrate sulle CCD dell'HST rispetto a quello che avrebbero nelle misure a terra (PSF). Questa particolarit a richiede quindi uno studio dettagliato dei nuovi pro li delle stelle. In particolare bisogna notare che la WFPC2 (Wide Field Planetary Camera 2) e composta di quattro CCD: uno di questi (PC1) permette la massima risoluzione angolare (0.04375 arcsec) e un campo di 35 arcsec, gli altri tre (WF2,3,4) coprono un campo maggiore (77 arcsec) e hanno una risoluzione angolare di 0.09625 arcsec. Queste caratteristiche sarebbero ottime per un rivelatore terrestre ma per l'HST rappresentano invece un limite che non permette un buon campionamento delle immagini. Infatti l'HST essendo limitato solo dalla di razione (considerando perfette le ottiche) ha una risoluzione massima (resolving power) data da:

(1:4:1)

' d = 0:053 arcsec = 633nm d = 2:4m

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1 arcmin WF2 800x800 0.096 arcsec PC1 800x800 0.044 arcsec

WF3

WF4

800x800

0.096 arcsec

Fig. 1.3: Campo delle CCD della WFPC2.

dunque le immagini riprese con la PC1 e a maggior ragione quelle riprese con le WF non rispettano il criterio di Nyquist di almeno 2 campioni per oggetto; in pratica la PSF dell'HST e inferiore ad un pixel delle proprie camere. Questo problema pu o essere aggirato studiando un numero abbastanza alto di stelle che occupano posizioni diverse rispetto ai bordi dei pixel; in questo modo si pu o ricavare una PSF media. Risulta invece molto problematico trovare la PSF di una singola stella: il metodo usato pu o sembrare contrario alla logica, ma i risultati ottenuti sono e ettivamente migliori. Si usa una tecnica di dithering-displacement su diverse immagini che altrimenti sarebbero state identiche, lo spostamento e di frazioni di pixel (opportunamente scelto) e la media di queste immagini fornisce risultati fotometrici pi u accurati (pi u pixel per la PSF). Inoltre la non perfetta conoscenza del at eld della WFPC2 (non tutti i pixel sono analizzati) pu o essere aggirata con un dithering-displacement di alcuni pixel (interi) per distribuire casualmente gli e etti del at eld e quindi migliorare la media nale delle immagini ([King99]).

Cap.1 La fotometria stellare

Per quanto riguarda il limite di magnitudine l'HST vede un cielo molto pi u scuro di quello terrestre (specialmente nell'infrarosso) e quindi pu o arrivare no a 4 magnitudini oltre le migliori misure da terra. Nonostante i problemi, dovuti ai limiti dei rivelatori utilizzati, l'HST si dimostra il pi u potente strumento singolo per la fotometria accurata di ammassi globulari, la ricerca di ammassi globulari in altre galassie, l'osservazione planetaria e la ricerca nel profondo cielo (deep eld).

Appendice: principali caratteristiche delle CCD usate in astro sica Dopo aver visto i parametri caratteristici interni delle CCD occupiamoci della quarta fase (misura della carica), dove l'elettronica di conversione ha una grande importanza: Unit a di conversione A/D (Analog to Digital Unit, e /ADU): indica il numero di elettroni (e quindi fotoni) per ogni unit a numerica digitale (Digital Numbers, DN) in uscita. Con q si indica l'unit a di conversione (o guadagno) quindi 1 DN corrisponde a q elettroni. Questa quantizzazione introduce un errore di q=2 elettroni (arrotondamento), inoltre il massimo numero di elettroni misurabili per pixel diventa S = q 2N , dove N e il numero di bit del convertitore A/D (questo valore e pi u basso del FWC). Valori tipici di ADU sono 1:5 10 elettroni. Saturazione: e un limite che si raggiunge in due casi; quando il segnale in elettroni supera il limite dovuto all'ADU e al numero di bit della conversione, la CCD perde quindi la sua linearit a. Questo limite si raggiunge intorno a 216 1 DN = 65535 DN per una CCD a 16 bits. Il secondo caso si presenta solo quando viene superata la FWC e gli elettroni prodotti fuoriescono dal pixel modi cando la forma degli oggetti e rendendo quasi inservibile l'immagine. Overscan: e una polarizzazione indotta dalla lettura per scorrimento della CCD, infatti

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il valore in elettroni (o unit a digitali) relativo a zero fotoni e molto diverso da zero e viene sommato ad ogni pixel. Il valore dell'overscan e molto variabile e richiede una misura per ogni esposizione, di solito e dell'ordine del centinaio di DN. Bias: nel caso che l'overscan non sia un valore costante su tutti i valori dei pixel (o perlomeno molto uniforme) e necesssario ricorrere ad un immagine di bias. Bisogna anche veri care che il bias sia stazionario nel tempo; di solito si usa fare una media su diverse immagini di bias. Queste misure sono molto importanti per ottenere una buona fotometria perch e in uenzano fortemente il valore del fondo. Guadagno ( at eld): questo parametro, misurato da un'immagine, e il pi u importante per la calibrazione della CCD. Serve a stabilire, pixel per pixel, l'eĂ&#x2020;cienza della CCD (il suo guadagno); non importa quale sia la sorgente di queste di erenze (infatti questa misura deve essere eseguita prima di ogni esposizione per considerare qualsiasi variazione avvenuta tra una esposizione e l'altra). Per ottenere un buon at eld e necessaria una sorgente luminosa estesa uniforme e con uno spettro simile a quello degli oggetti da osservare (questo e molto diĂ&#x2020;cile da ottenere, [Gilliland92]).

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Bibliogra a

[Bessel92] Bessell M.S., Photometric systems { IAU Colloquium No. 136 (1992) [Castellani85] Castellani V., Astro sica stellare { Zanichelli (1985) [Da Costa92] Da Costa G.S., Basic Photometry techniques { ASP Conf. Series Vol. 23 (1992), 90 [Gilliland92] Gilliland R.L., Details of noise sources and reduction processes { ASP Conf. Series Vol. 23 (1992), 68 [Hanes78] Hanes D., Madore B., Globular clusters { Cambridge University Press (1978), cap. 2 [Howell92] Howell S.B., Introduction to di erential time-series astronomical photometry using CCD { ASP Conf. Series Vol. 23 (1992), 105 [Janesick92] Janesick J., Elliott T., History and advancements of large area array scienti c CCD imagers { ASP Conf. Series Vol. 23 (1992), 1 [King99] King I.R., The observational approach to populations in globular clusters { Globular clusters, X Canary Island Winter School of Astrophysics, edited by Roger Mar tinez C., Fourn on Perez I., S anchez F., Cambridge University Press [L ena86] L ena P., Observational Astrophysics { A&A library, Springer-Verlag (1986) [Snel98] Snel R.C., Crowded eld photometry and luminosity function analysis as probe of galactic evolution { Thesis, Lund observatory (1998)

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Stato dell'arte del software esistente

Il continuo e rapido sviluppo degli strumenti di calcolo elettronico ha permesso la realizzazione di molti package per l'analisi delle immagini astro siche, al punto che, anche per un semplice campo aperto nessuno usa pi u strumenti manuali per l'integrazione delle sorgenti luminose delle lastre fotogra che e men che mai per immagini CCD. In questo capitolo analizzeremo il funzionamento dei software pi u usati nel campo della fotometria stellare. Per rendere pi u confrontabili i vari approcci ai problemi abbiamo raggruppato le caratteristiche dei vari software in base ad alcune categorie ben precise comuni alla maggior parte dei programmi. Vediamo in particolare queste categorie: i) Ricerca di oggetti di interesse e trattamento fonti di rumore: la ricerca degli oggetti consiste nella rivelazione e localizzazione di zone brillanti all'interno dell'immagine. A questo livello si possono anche usare algoritmi che permettono, oltre alla identi cazione degli oggetti, anche una classi cazione almeno parziale, distinguendo le immagini stellari vere da: - picchi di luminosit a dovuti al rumore - galassie o oggetti stellari di usi - eventi generati da raggi cosmici incidenti sul rivelatore. Inoltre l'algoritmo di identi cazione degli oggetti dovrebbe anche indicare se un oggetto apparentemente esteso consiste di due o pi u oggetti stellari sovrapposti. E molto utile disporre di informazioni sulle caratteristiche della CCD usata, quali la lista dei pixel

Cap.2 Stato dell'arte del software esistente

difettosi, il read-out noise, il fattore di conversione di elettroni in unit a digitali (ADU), la regione di linearit a, soprattutto quando si intenda studiare oggetti di debole luminosit a. Per quanto riguarda il rumore non esistono modi giusti per eliminare tutte le fonti ed e sempre molto complesso anche solo quanti carle. I vari software forniscono infatti stime per queste sorgenti di rumore molto varie. Comunque il trattamento e ottenuto attraverso una fase di preprocessing dell'immagine che tende a diminuirne l'e etto sugli oggetti di interesse. ii) PSF tting e catalogazione degli oggetti trovati: questa e la parte pi u standard dei programmi di analisi fotometrica. Il principio della ricostruzione del pro lo e applicata nei modi pi u diversi con funzioni pi u o meno complesse, ma e teso al risultato di massima somiglianza con l'immagine originale. Per quando riguarda la catalogazione, a seconda delle informazioni raccolte durante l'adattamento si ottengono classi cazioni diverse (dimensioni, rotondit a, ecc.) che possono essere utilizzate in campi diversi da quello stellare o comunque per riconoscere l'attendibilit a di una sorgente di tipo stellare. iii) Stima del fondo del cielo: e un parametro fondamentale che pu o essere considerato una sorta di rumore intrinseco, la sua valutazione richiede molte ipotesi; il risultato e quindi un valore medio che pu o essere calcolato localmente (per le diverse zone dell'immagine) o globalmente. I programmi di analisi forniscono stime concettualmente abbastanza diverse di questo parametro. iv) Metodi particolari: oltre ai risultati essenziali per l'analisi fotometrica molti programmi forniscono ulteriori dati derivanti da metodi particolari usati nelle tre fasi precedenti. Questi metodi possono servire in particolari casi a migliorare l'analisi in zone particolarmente diĂ&#x2020;cili.

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2.1 DAOPHOT Il programma DAOPHOT ([Stetson87]) e stato sviluppato al Dominion Astrophysical Observatory (Canada), con un particolare accento alla fotometria in campi densamente popolati. La precisione stimata per il programma e ' 0:02 magnitudini.

2.1.1 Ricerca di oggetti L'algoritmo di DAOPHOT per la ricerca di oggetti si muove pixel per pixel sull'immagine provando ad adattare un pro lo gaussiano in una piccola regione attorno al pixel centrale. Se c' e una stella centrata su questo pixel, l'adattamento sar a buono e con un valore dell'intensit a positivo, altrimenti no. Occorre fornire come parametro di partenza la F W HM della gaussiana. La ricerca in questo modo e ottimizzata per oggetti di tipo stellare. Se H e l'immagine risultante da questo adattamento (con intensit a e dimensioni comparabili a quella originale), la ricerca dei massimi equivale alla ricerca degli oggetti candidati: si noti infatti che gli oggetti di usi (raggio ) e oggetti puntiformi (raggio ) hanno valori di H minori degli oggetti stellari alla scala prescelta (r ' ). Oggetti sovrapposti sono risolti poich e i picchi della matrice H sono pi u stretti di quelli dell'originale. Si noti che l'adattamento con il metodo dei minimi quadrati sull'intensit a della gaussiana usato da DAOPHOT e equivalente al processo di convoluzione dell'immagine originale con una gaussiana troncata e abbassata in modo da avere volume nullo. Come stima preliminare del fondo del cielo, ottenuta da una zona di cielo libera da stelle, pi u grande della stella, si usa la moda (valore pi u probabile), in totale abbiamo

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per l'intensit a di una stella: (2:1:1)

A X i;j

Iij

A modaB (Ikl )

dove A rappresenta l'area della zona di misura delle intensit a della stella (Iij , vedi g. 2.1) e modaB (Ikl ) la moda dell'intensit a nella zona B .

B (fondo cielo)

A (stella)

Code di altre stelle

Fig. 2.1: Zone di integrazione del fondo. La moda, secondo l'autore, minimizza l'errore per un dato intervallo di con denza (maximum likelihood). Inoltre l'approccio e il trattamento del rumore e adeguato al problema in quanto stima il contributo delle altre stelle (code) e non solo il rumore aggiunto di origine non stellare. Infatti nel considerare gli e etti indesiderati e logico supporre che ogni stella sia disturbata non solo dal rumore dovuto a tutte le sorgenti non stellari, ma anche, soprattutto in campi a ollati, dalle code delle stelle vicine.

2.1.2 PSF tting e catalogazione In DAOPHOT occorre usare una PSF nota e sarebbe di grande utilit a usare la stessa PSF indipendentemente dal frame da ridurre, ma in pratica questo e possibile solo per le

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immagini dell'HST (o almeno dovrebbe essere). Per immagini acquisite con telescopi terrestri bisogna adottare PSF diverse per ogni immagine. Il programma cerca di usare una soluzione mista tra l'approccio analitico (uso di una gaussiana bivariata) e quello empirico (interpolazione dei residui). Il programma esegue dapprima un adattamento con la gaussiana bivariata, che viene usata come prima approssimazione; si esegue poi una interpolazione bivariata cubica sui residui, che permette un buon aumento di accuratezza. Per ogni oggetto vengono usati al minimo 5 parametri (H; x0 ; y0 ; x ; y ) rispettivamente l'intensit a e la posizione del centroide e 2 parametri di forma della gaussiana bivariata. Abbiamo allora 5N parametri per N stelle e quindi una quantit a di operazioni dell'ordine di O(N 5 ) se trattiamo l'intera immagine, mentre usando piccole \ nestre" abbiamo (per 5 parametri): (2:1:2)

5 #

N5 = O 4

O(N 5)

con un notevole risparmio di tempo di calcolo. Viene quindi usata una procedura che raggruppa le stelle. Si usano due parametri per decidere quando una stella e isolata o appartiene ad un gruppo: Image radius (IR): distanza tra il centro della stella pi u luminosa alla zona dove l'intensit a si confonde con il livello del fondo; Fitting radius (F R): distanza tra il centro della stella e la zona dove termina l'adattamento ( tting).

Generalmente F R e pi u piccolo di IR. E opportuno usare un F R piccolo per ridurre gli errori dovuti al fondo del cielo e la presenza di stelle non catalogate. L'adattamento procede quindi con queste operazioni: si calcolano i residui come di erenza fra l'immagine originale D e (PSF)IR , la PSF adattata usando come regione utile l'image radius. I residui ottenuti compresi entro il tting radius vengono usati per correggere i parametri: (2:1:3)

D (PSF)IR = residui

) (residui)F R = correzioni ai parametri:

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De niamo separazione critica (CS ) la somma IR + F R: quando la separazione tra due stelle e minore della separazione critica si esegue il raggruppamento (grouping) e quindi le stelle saranno adattate insieme con un opportuno algoritmo. La fase di raggruppamento procede con la ricerca nell'area intorno alla prima stella per una grandezza pari alla separazione critica: se e sola ci si ferma, se si incontra una CS di un'altra stella si unisce alla prima a formare un gruppo. Alla ne di questo processo si cercano sovrapposizioni tra altre stelle e la seconda del gruppo, no ad esaurimento. Per ogni stella del catalogo si procede in questo modo, formando cos gruppi di stelle o stelle isolate. Raggio = Separazione critica

Fitting Radius Image Radius

Gruppo

Isolata

Fig. 2.2: Parametri di raggruppamento. Viene a questo punto eseguito l'adattamento come gi a descritto e il risultato viene sottratto all'immagine originale (entro 1 IR). I residui vengono utilizzati per generare correzioni al centroide e alla stima del fondo, verranno usati per le successive iterazioni per ricavare le derivate parziali rispetto ai parametri.

2.1.3 Stima del fondo cielo La stima del fondo cielo viene di solito considerata una funzione polinomiale della posizione e adattata insieme alle stelle aumentando di 3 il numero dei parametri (il fondo viene considerato un piano inclinato). Due sono per o i modi in cui DAOPHOT stima il

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fondo, modi abbastanza diversi che si adattano a diverse condizioni dell'immagine: i) Adattamento simultaneo della stella e del fondo cielo (uso di un piano inclinato): il metodo e sconsigliato dall'autore perch e i punti disponibili per una stima corretta sono limitati a meno di non usare un grande F R, scelta gi a discussa precedentemente. ii) Uso del livello trovato durante la fase di ricerca degli oggetti, cio e la moda. Questa scelta o re il vantaggio di poter usare un F R pi u piccolo. I migliori risultati si ottengono con metodi misti; infatti la moda come estimatore comincia a non essere aĂ&#x2020;dabile per fondi molto inclinati (grande variabilit a) e, in quel caso, conviene usare il primo metodo.

2.1.4 Metodi particolari Per de nire bene quali oggetti sono realmente stelle si usano due parametri: la sharpness (0 1) indica quanto sono \aĂ&#x2020;lati" i pro li, ed e de nito come la di erenza tra il valore del pixel centrale e la media dei restanti pixel usati nell'adattamento. La roundness ( 2 2) indica la \rotondit a" degli oggetti ed e de nita come il rapporto tra la di erenza delle dimensioni orizzontale e verticale degli oggetti e la media delle dimensioni. Per gli oggetti stellari i due parametri valgono rispettivamente ' 0:5 e ' 0. Il programma di Stetson presenta molti altri accorgimenti atti a rendere pi u precisa e completa la fotometria; sono soluzioni di solito empiriche che vengono usate solo in casi particolari e che non modi cano comunque l'algoritmo centrale che abbiamo presentato precedentemente. - Weighting: tiene conto delle sorgenti di errore della CCD (come la non linearit a), e un algoritmo empirico. - Assisting convergence: evita soluzioni dell'adattamento oscillanti con una pesatura dipendente dalla distanza dei pixel dal centro.

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- Bad data: pesatura dinamica dei dati inutilizzati, attraverso una estrapolazione, permette di utilizzare anche le stelle saturate. - Reject star: vengono imposti dei limiti alle iterazioni degli adattamenti e attraverso un processo manuale vengono risolti i casi pi u duri di non convergenza.

2.2 ROMAFOT ROMAFOT ([Buonanno83]) nasce per la fotometria di campi popolati misurati da lastre fotogra che microscansionate. Prevede quindi una trasformazione densit a/intensit a e una precisione stimata ' 0:02. Anche ROMAFOT usa un'espressione analitica per la PSF.

2.2.1 Ricerca degli oggetti Per trovare gli oggetti si esegue una ricerca dei massimi su sottoimmagini, de nendo come oggetti candidati i massimi locali al di sopra della soglia di ricerca. I pixel saturati vengono riconosciuti e memorizzati come un unico oggetto. Si de nisce un action radius (AR) come la distanza del centro dal punto in cui l'intensit a e una frazione ssata della stella pi u debole, si de nisce inoltre una action area AA = AR2 . Attraverso queste due grandezze si de nisce una soglia fotometrica di valore superiore a quella di ricerca che de nir a le zone dove verr a eseguito l'adattamento.

2.2.2 PSF tting e catalogazione L'algoritmo di adattamento dei pro li stellari viene realizzato usando la somma di una funzione tipo piano inclinato per il fondo e una PSF che pu o essere una funzione

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gaussiana bivariata o di Mo at: (2:2:1)

F (x; y; P1 ; P2 ; ; Pk ) = Psky + PSFstar I0 PSFMo at r2 = x2 + y 2 star = 2

r 1 + 2

Stella giaâ&#x20AC;&#x2DC; analizzata o â&#x20AC;&#x2DC;â&#x20AC;&#x2DC;bucoâ&#x20AC;&#x2122;â&#x20AC;&#x2122; 2 FWHM

Stella analizzata e accettata Stella analizzata e non risolta

2 FWHM

Fig. 2.3: Un tipico gruppo di stelle e la sua analisi con ROMAFOT. dove il piano rappresenta l'interpolazione del fondo cielo e delle code delle stelle vicine. Per quanto riguarda la sovrapposizione delle stelle viene studiata attraverso l'action area (AA): oggetti di intensit a superiore alla soglia fotometrica hanno le AA parzialmente sovrapposte devono essere quindi raggruppate e adattate insieme no ad un limite

ssato di oggetti per gruppo, dovuto all'esigenza di ridurre il tempo di calcolo. Ci sono tre casi che si presentano durante il raggruppamento: a) numero di oggetti intersecati limite ) unico gruppo da adattare. b) numero di oggetti intersecati > limite ) si usa un'approssimazione: si fa un \buco" (una zona circolare di dimensioni vicine alla F W HM della PSF media con intensit a uguale a quella del fondo locale) in corrispondenza degli oggetti meno sovrapposti, in questo modo si arriva al numero limite per il raggruppamento e si pu o fare l'adattamento. c) numero di oggetti intersecati ' limite ) si alza il limite del gruppo.

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Ogni gruppo costituir a quindi una nestra con \buchi"; per le stelle singole la grandezza della nestra sar a 4 F W HM , mentre per i gruppi sar a l'intero gruppo pi u una cornice 1 di 2 F W HM . Questo scelta limita le uttuazioni nei risultati dell'adattamento a ' 100 di magnitudine. L'algoritmo di adattamento viene e ettuato direttamente una sola volta per ogni gruppo, le stelle gi a risolte che appartengono ad un gruppo sono sottratte con la loro approssimazione analitica e non appaiono negli altri gruppi che le contengono.

2.2.3 Stima del fondo cielo Per la stima del fondo del cielo occorre distinguere il vero fondo cielo e quello costituito dalle code di stelle distanti ma luminose. Questo e un punto cruciale perch e le code devono essere considerate in quanto parte dell'immagine; d'altra parte rimangono pochi pixel per stimare il fondo vero e proprio che comunque non pu o essere considerato costante e nel caso di ammassi globulari e addirittura molto variabile. Restano quindi pochi pixel anche per stimare il fondo calcolando la moda. Si associa allora un valore del fondo del cielo a partire da un numero di 5 10 cerchi concentrici (con centro il centro dell'ammasso) e si trova la moda in ogni anello come stima del fondo da fornire in ingresso all'algoritmo di adattamento.

2.2.4 Metodi particolari Viene usato un particolare parametro per riconoscere le stelle da altri oggetti: si fa un gra co con semi-interquartile dell'istogramma dei residui versus deviazione standard dei dati dell'adattamento. Questo misura lo sparpagliamento dell'istogramma dei residui; alti valori di entrambi i paramentri indicano oggetti estesi e di usi.

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Fig. 2.4: Semi-interquartile vs. Gra co Deviazione standard.

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2.3 DoPHOT 2.3.1 Ricerca di oggetti La ricerca di oggetti in DoPHOT ([Schechter93]) e una semplice ricerca di massimi sopra una certa soglia, ma non viene e ettuata in un solo passaggio: viene costruita un'immagine residua (working image) da dove sono state tolte le stelle gi a trovate e adattate. In questa nuova immagine, abbassando iterativamente la soglia, vengono cercate le altre stelle. Con questa procedura c' e un certo pericolo di formazione di stelle fantasma (artefatti). Dal punto di vista della completezza possiamo dire che le stelle raccolte dal programma non sono tutte e alcune non rappresentano vere stelle. Le magnitudini sono inoltre spostate di una quantit a proporzionale al logaritmo dell'inclinazione della retta numero di oggetti/magnitudine. Gli oggetti che non permettono la classi cazione perch e non convergono o hanno un rapporto S/N troppo basso vengono segnati come \disattivati" e non vengono sottratti all'immagine.

2.3.2 PSF tting e catalogazione Viene analizzata la possibilit a di un adattamento non analitico che usi direttamente i pixel dell'immagine, ma non funziona bene con immagini sottocampionate e troppo a ollate. La PSF e una funzione gaussiana bivariata sviluppata in serie (terzo ordine) pi u due parametri ulteriori e un fondo (piano). Con questo tipo di funzione rimangono grossi residui che vengono utilizzati per cercare altre stelle, anche se c' e pericolo di formare stelle fantasma; bisogna controllare a mano. Viene costruita un'immagine (array noise) dove vengono aggiunte (in parte e in quadratura) gli oggetti sottratti all'originale: in questo modo controllando la zona si pu o notare se si tratta di una stella vera o no.

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Con questo sistema si ottiene un pro lo adattato per ogni stella e un'immediata sottrazione dall'immagine originale. Visto l'alto numero di parametri e abbastanza facile fornire una classi cazione degli oggetti trovati: viene calcolata una dimensione media stellare e classi cati come oggetti estesi quelli che la superano ampiamente; allo stesso modo vengono valutati a mano la forma dell'oggetto e la sua estensione (vengono trattate in maniera diretta anche le stelle doppie). Sotto una certa soglia vengono usate funzioni da adattare pi u semplici che cercano solo intensit a e centro dell'oggetto. Viene previsto anche l'uso di un parametro estensione che misura il miglioramento dell'adattamento se viene aumentata o diminuita l'area totale dell'oggetto in ogni passo dell'algoritmo dei minimi quadrati.

2.3.3 Stima del fondo cielo Per ogni oggetto il programma fornisce una stima del fondo cielo. Si pu o quindi costruire un modello per tutto il frame. Il pi u semplice e un piano, ma vengono usati anche metodi pi u complessi (per l'HST). Queste stime vengono comunque controllate ripetendo l'adattamento con il fondo cielo stimato mediato con quello adattato. Questo diminuisce gli e etti di cambiamenti non previsti nel fondo modellato (riduce il numero di oggetti spuri). Un modo per modellare il fondo, utile nel caso di fondo variabile su scala maggiore della F W HM , e un ltro median che riproduce il fondo cielo come se non ci fossero stelle. Comunque tutti questi accorgimenti vengono utilizzati nell'adattamento oggetto per oggetto.

2.3.4 Metodi particolari In caso di cambio della soglia di ricerca o dei parametri di riconoscimento, o per immagini diverse solo per il seeing vengono riutilizzate le posizioni gi a trovate; nel caso di immagini di scarsa qualit a con controparti migliori ( ltri di tipo diverso) questo pu o mi-

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gliorare molto l'adattamento. Vengono inoltre tagliate le zone di cielo con stelle saturate (non sempre in maniera ottimale). Internamente il programma divide le intensit a per 100 e lavora con il logaritmo dell'intensit a al centro come parametro per la risoluzione di stelle doppie. Il programma si presta molto alla classi cazione oltre che alla fotometria stellare. Ci sono alcune somiglianze con gli algoritmi di deconvoluzione (vedi capitolo 3).

2.4 Stellar Photometry Software (SPS) 2.4.1 Ricerca di oggetti La ricerca degli oggetti in SPS ([Janes93]) viene eseguita attraverso la cross-correlation tra l'immagine e la PSF prodotta dall'analisi di alcune stelle isolate, come descritto nel seguito. Si pu o partire comunque anche senza una PSF calcolata. Si ottiene in questo modo un'immagine con i coeĂ&#x2020;cienti di correlazione in cui cercare i massimi al di sopra di una certa soglia, ssata dall'utente: i punti di massimo rappresentano con alta probabilit a oggetti stellari candidati. Per iniziare SPS consiglia un correlation radius CR ' 21 (F W HM )P SF ; il CR rappresenta il parametro che ssa le dimensioni della matrice di correlazione. Questo sistema permette automaticamente l'eliminazione di oggetti non stellari (sia puntiformi, come i raggi cosmici, sia estesi, come galassie, ecc.) perch e oggetti a bassa correlazione. Questo dovrebbe diminuire il numero di oggetti spuri. Comunque non vengono utilizzati ltri particolari per rimuovere o modellare il rumore: il procedimento di correlazione evita la maggior parte dei problemi. Una volta eseguito l'adattamento di un certo numero di stelle si procede con la ricerca di altre stelle nell'immagine residua (cio e quella rimasta dopo la sottrazione delle stelle gi a adattate).

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2.4.2 PSF tting e catalogazione La forma analitica degli oggetti stellari scelta da SPS e una somma di gaussiane circolari pi u una serie di residui interpolati bilineari. La prima volta si cercano stelle per ottenere buoni parametri per la ricerca degli oggetti; il risultato e una forma che pu o essere approssimativamente gaussiana. I residui si ottengono sottraendo la migliore curva gaussiana dal pro lo vero. Per migliorare la precisione i residui sono calcolati al decimo di pixel e pesati con la luminosit a della stella. Il tipo di funzione usato nell'adattamento e a quattro parametri compreso il livello del fondo (calcolato separatamente); questo non permette uno studio morfologico degli oggetti, anche se il tipo di ricerca e ettuato elimina molti oggetti non stellari. In casi particolari e possibile inserire dall'esterno alcuni dei parametri e sempli care l'adattamento. In ogni caso viene fornita una stima dell'errore su ogni parametro. L'adattamento a minimi quadrati viene e ettuato stella per stella ed in caso di affollamento vengono sottratte le stime migliori delle stelle, con un processo iterativo si migliora il risultato ricalcolando tutte le stelle collegate. Questo procedimento (relaxation method) si basa sul fatto che ogni stella ha una luminosit a che dipende da se stessa e dai suoi vicini. Questo metodo richiede da 2 a 5 iterazioni ed e molto pi u veloce del raggruppamento e dell'adattamento simultaneo ( tting radius ' 2 F W HM ). Non c' e un limite al numero di stelle collegate da ricalcolare ma in pratica viene limitato a 100. Il procedimento viene eseguito in ordine decrescente di luminosit a (stimate dal ciclo precedente o da fotometria d'apertura). Questo ordinamento ra orza il metodo descritto adattando per prime le stelle pi u intense e permettendo una stima migliore delle vicine deboli. L'algoritmo dei minimi quadrati e inoltre pesato con un ltro sul tipo di quelli usati

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da Stetson, in cui i vari pixel hanno un peso che dipende dalla varianza, stimata con un modello: (2:4:1)

2 2 2 pix = sky + RN +F

1 + 2 F 2 + P2 SF (F e =adu flat

sky )2 +

X k

c2Fk

Dove F = usso su un pixel in unit a dello strumento, sky = livello medio del fondo cielo, la sommatoria nale rappresenta il contributo delle stelle vicine ottenuto dall'errore sulla magnitudine della k-esima stella moltiplicata per il valore della propria PSF nello stesso punto.

2.4.3 Stima del fondo cielo Per SPS ci sono tre possibilit a di stima del fondo cielo: i) Gi a calcolato in precedenza e sottratto all'immagine. Questo metodo pu o essere usato quando si conosce a priori il fondo cielo per mezzo di un'analisi precedente. ii) Una costante aggiunta al t di ogni stella. Questo metodo e quello normalmente usato da molti programmi (vedi DAOPHOT, ROMAFOT), ovviamente il calcolo e appesantito da questo ulteriore parametro ma e un metodo necessario quando i campi hanno fondi fortemente variabili. iii) Moda dei pixel intorno alla stella. Per calcolare questo valore si usano dei cerchi concentrici esterni alla zona dove si integra la luminosit a della stella (inner radius 6 8 pixel) ed entro un raggio speci cato (outer radius 20 25 pixel). Questo terzo metodo e quello adottato per campi molto a ollati perch e fornisce una buona stima in quanto il numero di pixel utilizzati e abbastanza alto (' 1000 1500 pixel). In un tipico caso se il fondo cielo e 100 elettroni con ' 10 cercando la sky da una zona di 1000 pixel otteniamo: (2:4:2)

p 1 ' 0:03 ) sky ' 0:3: 1000

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2.4.4 Metodi particolari Il calcolo della PSF e molto utile in campi fortemente a ollati, ma il programma fornisce anche un metodo non analitico per trovare la magnitudine di stelle in campi aperti: speci cando un'apertura, in cui misurare la luminosit a, il programma centra la stella e attraverso il conteggio dei pixel in anelli concentrici fornisce una fotometria d'apertura. Il pro lo della stella viene ricostruito con un adattamento quadratico (interpolazione) tra i vari raggi misurati; di questa interpolazione vengono conservati anche gli errori accumulati che forniscono l'incertezza dei risultati. Quando fosse possibile utilizzare questo metodo per ogni stella del frame si ottiene un pro lo medio iterato su tutte le stelle; questo permette un miglioramento della stima e la possibilit a di utilizzare i risultati per una iniziale forma della PSF per la fase di adattamento. Il vantaggio della fotometria di apertura di non conoscere a priori la forma della PSF permette di lavorare anche su frame non a fuoco o distorti (la forma non deve essere a simmetria radiale), l'unica diĂ&#x2020;colt a e la ridotta eĂ&#x2020;cienza in campi molto a ollati.

2.5 CAPELLA 2.5.1 Ricerca di oggetti La ricerca degli oggetti in CAPELLA ([Debray94]) consente una parziale classi cazione morfologica. I parametri tipici della ricerca sono: intensit a centrale, posizione, curvatura locale, pro lo minimo, ellitticit a. Fase 1) ricerca delle sorgenti di usso: si applica un ltro derivative e si cercano i massimi locali (livello 0 dopo l'applicazione del ltro) con soglia posta a 3:2 volte la de-

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viazione standard dell'intensit a della parte meno a ollata dell'immagine. La ricerca dei massimi e fatta confrontando direttamente gli otto pixel vicini per veri care che il punto sia un massimo locale. Con questi accorgimenti la possibilit a di ottenere oggetti fantasma e molto ridotta. Alla ne di questa fase si fornisce una prima stima dell'intensit a e della posizione degli oggetti. Fase 2) misura dei parametri: vengono rilevati i parametri ancora non stimati (per il pro lo minimo vedi PSF tting). Dopo questa fase si possono fare ricerche sulla morfologia degli oggetti. Fase 3) validazione degli oggetti: dal confronto dei parametri trovati con alcuni di riferimento si possono ri utare oggetti che non soddisfano particolari criteri. Bisogna notare che la semplicit a del metodo di ricerca degli oggetti e dovuto in gran parte alla qualit a del ltraggio del rumore (vedi stima del fondo cielo) che aumenta notevolmente il rapporto S/N. Per ottenere questo risultato e quindi migliorare la discriminazione degli oggetti viene usato un ltro LoG (Laplacian of Gaussian detto anche Mexican Hat) di rapida implementazione: x2 +y2 1 x2 + y 2 2 2 (2:5:1) I (x; y; ) = 2 e 2 4 2 Il funzionamento ottimale di questo ltro passa banda si ottiene con un supporto (grandezza della matrice di convoluzione) di almeno 10 e la massima risposta e per oggetti con F W HM = 2:82 . Questo ltro ha la capacit a di migliorare la risoluzione se gli oggetti sono di forma abbastanza gaussiana, rimuovendo strutture di ampia scala (passa alto) e di piccola scala grazie alla parte gaussiana (passa basso). L'incremento di risoluzione e particolarmente evidente quando F W HMLoG F W HMP SF . La soglia per la ricerca di oggetti viene invece determinata in base ad una stima e ettuata in zone dell'immagine libere da stelle (o quasi) dove viene calcolata la deviazione

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standard.

2.5.2 PSF tting e catalogazione Il procedimento per trovare una buona funzione descrivente il pro lo stellare e abbastanza diverso dal solito; infatti invece di usare un modello di pro lo (MP) si cerca un pro lo campionato (SP, pro lo minimo) ottenuto dallo studio di stelle abbastanza isolate. Basandosi sul campione dei dati questo pro lo viene ben ricostruito nel caso in cui F W HM 2:4 pixel (campi ben campionati).

6 0 1 0 0 01 1 01 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 0 0 0 0 0 0 1 01 1 01 1 01 1 01 1 0 1 0 1 0 1 0 0 01 1 01 1 0 1 0 1 0 1 21 0 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 01 01 01 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 01 1 0 1 1

4 3

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 00 11 0 1 00 Valore minimo 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Altri valori 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 111111111111111111111 000000000000000000000

Fig. 2.5: Costruzione del pro lo minimo della PSF. Lo studio del pro lo minimo viene e ettuato su cerchi concentrici, mediando i minimi livelli di luminosit a a distanze ssate e poi interpolando per avere un pro lo continuo. Questo sistema e pi u sensibile di quello modellato (ci sono pi u parametri) anche se meno so sticato di quello di DAOPHOT. La PSF nale e ottenuta con una tecnica detta trimmed mean che elimina i casi di pro lo minimo troppo distanti dalla media. La creazione di un pro lo medio campionato permette di eseguire la fase 3 della ricerca e di discriminare gli oggetti fantasma confrontando i pro li e scartando quelli troppo diversi. Una volta ottenuta una buona PSF il programma procede con l'analisi dell'immagine.

Cap.2 Stato dell'arte del software esistente

Vista la buona precisione della posizione delle stelle gi a ottenuta (vedi paragrafo seguente) si pu o usare un adattamento lineare per trovare l'intensit a (la posizione e ssa) e quindi la luminosit a delle stelle. Vengono costruite diverse immagini (layers) e le stelle vengono analizzate una per volta. In pratica ogni volta che la PSF e stata interpolata alla stella questa viene sottratta all'immagine; per poter fare questo semplicemente dobbiamo per o ottenere tutte stelle separate. Le immagini da costruire sono composte in questo modo: i) Stelle gi a isolate (o quasi). Non ci sono problemi a costruire questo layer. ii) Componenti pi u luminose di stelle raggruppate. iii) Componenti deboli di stelle raggruppate. La suddivisione dei pixel tra i vari layers e aĂ&#x2020;data ad un parametro di sovrapposizione che analizzeremo nel prossimo paragrafo. Le stelle del primo layer sono interpolate direttamente, de nitivamente sottratte all'immagine originale e catalogate. Quello che rimane viene ancora suddiviso in 3 layers e si procede in questo modo no all'esaurimento delle stelle isolate (primo layer). I restanti layers vengono analizzati attraverso un metodo iterativo diverso (l'algoritmo up and down) che ha come risultato la misura delle stelle del secondo layer; a questo punto il terzo layer diventa il punto di partenza per una ulteriore suddivisone, no all'esaurimento di tutti gli oggetti riconosciuti. Vediamo in particolare le caratteristiche di questo sistema di catalogazione: i) Non occorre conoscere il numero di stelle nel frame o nella nestra di lavoro, infatti ogni stella viene calcolata separatamente. ii) La posizione e l'intensit a degli oggetti non sono accoppiate. Vengono stimate in due momenti diversi. iii) La posizione e l'intensit a degli oggetti sono indipendenti dalla stima del fondo. In-

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fatti viene sottratta precedentemente alla stima degli altri parametri. iv) La posizione e accuratamente stimata da un processo iterativo (vedi paragrafo successivo). v) La fotometria viene aggiornata ogni volta che si trova un nuovo oggetto non visibile in precedenza. Dopo la sottrazione del primo e del secondo layer e infatti possibile effettuare una nuova ricerca di oggetti sul terzo layer e ripetere il procedimento. vi) L'accuratezza pu o essere veri cata ad ogni passo, controllando l'assenza di artefatti. Questo grazie al calcolo oggetto per oggetto.

2.5.3 Stima del fondo cielo CAPELLA e un programma specializzato nel trattamento di fondi irregolari di campi densamente popolati e adotta diversi accorgimenti per stimare il fondo cielo. Riduzione dati preliminare: sottrazione del rumore di fondo attraverso una stima fatta su una griglia di larghezza 3 4 F W HM (dipende dalla qualit a dell'immagine). Viene preso il minimo valore per ogni maglia della griglia come stima del fondo cielo in quella zona, viene fatto anche un ltro median per limitare l'e etto degli estremi. Questi dati vengono poi passati per un ltro passa banda (cuto a 1/4 della massima frequenza spaziale), vengono rimossi altri difetti e adattata con interpolazione cubica alle dimensioni dell'immagine originale. A questo punto si pu o sottrarre questa \immagine" di fondo all'immagine originale. Trattamento dei lamenti: se nell'immagine ci sono strutture a lamento queste vengono rimosse dopo una prima ricerca degli oggetti e relativo adattamento: infatti dopo aver rimosso le stelle adattate quello che rimane viene passato attraverso un ltro passa alto, per rimuovere il rumore e i residui dovuti a stelle non riconosciute, e questa immagine viene rimossa dall'originale. L'immagine risultante pu o a questo punto essere utilizzata per un'ulteriore ricerca di oggetti.

Cap.2 Stato dell'arte del software esistente

2.5.4 Metodi particolari Miglioramento nella stima della posizione delle stelle: quando la posizione dei massimi non e conosciuta accuratamente si pu o migliorare la stima massimizzando la correlazione tra la PSF e l'immagine dell'oggetto. Questo viene realizzato lavorando con risoluzioni inferiori al pixel e interpolando i risultati ottenuti e fornisce precisioni migliori di 81 di pixel per stelle non sovrapposte. Per migliorare ulteriormente questo risultato viene anche usato un peso statistico per i vari pixel: (2:5:2)

w(i; j ) =

2 (i; j )

dove (i; j ) e la varianza del rumore nel pixel (i; j ). Questo peso serve a minimizzare il brusco cambiamento del valore di in prossimit a di stelle molto luminose; il suo contributo e comunque molto piccolo e di diĂ&#x2020;cile stima, infatti questo parametro non viene incluso durante la fase di PSF tting ma solo per questo particolare algoritmo di centratura. Note sull'uso dell'interpolazione lineare per posizione, intensit a e fondo: l'applicabilit a dell'interpolazione lineare richiede alcune supposizioni i) Le stelle devono essere separate. questo si realizza grazie alla separazione in layers. ii) Il fondo deve essere costante. Per come e costruita l'immagine il fondo cielo e assente. iii) Il rumore nella zona d'integrazione deve essere gaussiano additivo non correlato. Questo risultato viene raggiunto con l'utilizzo di una opportuna zona di integrazione contenente solo pixel di una stella per evitare correlazioni. Il parametro di sovrapposizione: per quanti care la sovrapposizione tra 2 o pi u stelle si de nisce un parametro che dipende dalla posizione e dall'intensit a delle componenti

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sovrapposte cos de nito: (2:5:3)

ck=m =

P i;j h(i P m ; j Am i;j h2 (i

m ) h(i k ; j m ; j m )

k )

dove Ak e l'intensit a della stella sovrapposta e Am quella della stella centrale, h(i m ; j m ) rappresenta la PSF calcolata nei vari punti dove si esegue la sommatoria (zona di sovrapposizione). Quando ci sono pi u stelle sovrapposte si de nisce: (2:5:4)

cm =

X k

ck=m

e da notare che ck=m 6= cm=k . La suddivisione tra i diversi layer usando questo parametro e la seguente:

cm < 0:01 (2:5:5)

0:01 < cm < 0:1

cm > 0:1

Stelle separate (primo layer ) Stelle moderatamente sovrapposte Stelle sovrapposte:

Le prime due fasce sono calcolate e sottratte, per l'ultima si ricorre all'algoritmo up and down. Algoritmo up and down: Questo algoritmo permette di separare le stelle sovrapposte (layer 2 e 3) attraverso la stima successiva delle varie componenti che vengono ripetutamente sottratte ai due layers, prima dal secondo e poi dal terzo, da cui il nome up and down. La convergenza di queste iterazioni e una stima delle intensit a delle varie componenti pi u luminose, mentre nell'immagine residua rimane tutto quello che non era stato rilevato in precedenza. Pur essendo semplice concettualmente l'algoritmo e di complessa implementazione perch e richiede altri algoritmi per la determinazione delle zone dove e ettuare le prime stime della PSF (zone meno a ollate). Il gra co stella{PSF: e un aiuto per capire la bont a dell'adattamento della PSF. In pratica il gra co pone le intensit a reali del pro lo stellare a confronto con le corrispondenti della PSF ricostruita; il risultato e una disposizione di punti quasi rettilinea.

Cap.2 Stato dell'arte del software esistente

Fig. 2.6: Gra ci stella{PSF, caso disturbato e caso pulito. La forma di questo gra co e l'inclinazione della retta di regressione permette inoltre di capire, dopo un breve studio comparativo, se l'oggetto in questione e di tipo stellare o no, fornendo un metodo manuale di validazione dei dati.

2.6 Confronto delle caratteristiche dei vari software I programmi che abbiamo presentato nei precedenti paragra usano tecniche diverse tra loro per arrivare a risultati molto simili. Cercheremo in una tabella di esporre le varie caratteristiche per poter confrontare e capire dove e quando un programma risulta migliore di altri. Le righe della tabella saranno cos organizzate: a) livello di crowding per cui il programma e ancora eĂ&#x2020;ciente b) tipo di trattamento del fondo cielo c) PSF usate: forma e altre caratteristiche d) livello di precisione (magnitudine)

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e) limiti del programma (oggetti deboli, problemi particolari) f) tempi di calcolo, complessit a degli algoritmi.

DAOPHOT a b c d e f

ROMAFOT

DoPHOT

SPS

CAPELLA

alto

ssato (moda), calcolato prima

alto medio basso piano inclinato, piano costante,

ssato (moda), calcolato per ogni stella calcolata per ogni stella calcolato prima

alto calcolato (median) e sottratto

analitica (gaussiana) + residui

analitica (Mo at)

campionata (interpolazione cubica)

buona stelle ai bordi, oggetti deboli alti

analitica (gaussiana ellittica)

buona oggetti deboli

media stelle fantasma

alti

medi

analitica (gaussiana) + residui media riconoscimento non stelle bassi

buona stelle ai bordi alti

Tab. 2.1: Caratteristiche dei software di analisi. Osserviamo quindi che in condizioni di basso o medio crowding pu o essere conveniente usare SPS o DoPHOT, visto anche i tempi di calcolo non elevati, con l'avvertenza che si possono trovare artefatti. Dall'altro lato, DAOPHOT, ROMAFOT e CAPELLA lavorano in modo eĂ&#x2020;ciente a crowding molto alti a prezzo di tempi di calcolo relativamente elevati. Occorre comunque notare che oggetti deboli o sui bordi dell'immagine sono critici per tutti i software. Possiamo quindi concludere che la ricerca di oggetti deboli e il reale problema per questo tipo di analisi di immagini.

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Bibliogra a

[Buonanno83] Buonanno R., Buscema G., Corsi C.E., Ferraro I., Iannicola G., Automated photographic photometry of stars in globular clusters { A&A 126 (1983), 278 [Debray94] Debray B., Llebaria A., Dubout-Crillon R., Petit M., CAPELLA: software for stellar photometry in dense eld with an irregular background { A&A 281 (1994), 613 [Janes93] Janes K.A., Heasley J.N., Stellar Photometry Software { PASP 105 (1993), 527J [Schechter93] Schechter P.L., Mateo M., Saha A., DoPHOT, a CCD photometry program: description and tests { PASP 105 (1993), 1342S [Stetson87] Stetson P.B., DAOPHOT: A computer program for crowded- eld stellar photometry { PASP 99 (1987), 191

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Nuovi algoritmi

Abbiamo visto quale importanza riveste l'algoritmo di ricerca degli oggetti nell'analisi di immagini astro siche. A questo proposito analizzeremo alcuni metodi recentemente proposti per la ricerca di oggetti, con particolare accento alle tecniche speci che per la ricerca in campi a ollati e per oggetti deboli, frontiera dei software esistenti.

3.1 La ricerca in condizioni di campo a ollato: confronto delle tecniche Il problema fondamentale nella ricerca di oggetti e l'elevata dinamica che compromette la rivelazione di oggetti deboli in presenza di anche pochi oggetti brillanti. Infatti per una CCD a 16 bit di risoluzione abbiamo un rapporto tra il pi u piccolo segnale rilevabile (1 DN) e il massimo (65535 DN) che espresso in decibel e (3:1:1)

65535 10 log 1

' 48 dB

e evidente che la coda di un oggetto A cento volte pi u intenso di un altro oggetto B pu o essere ancora dello stesso ordine di intensit a di B e quindi comprometterne la rivelazione. Per quanto il riconoscimento manuale sia un ottimo metodo in casi particolarmente diĂ&#x2020;cili, non e comunque proponibile per immagini di ammassi globulari con migliaia di oggetti di cui ricavare la posizione: e quindi necessario trovare un eĂ&#x2020;ciente metodo automatico di ricerca. Inoltre, quando l'a ollamento e particolarmente alto, si genera un altro problema, quello degli artefatti; infatti in particolari punti i contributi delle code di stelle luminose formano picchi che possono essere scambiati per stelle. Questi artefatti

Cap.3 Nuovi algoritmi

di solito aumentano di numero all'aumentare delle stelle identi cate. Durante la ricerca bisogna quindi prestare attenzione a cercare oggetti che \somigliano" e ettivamente a stelle. Bisogna ricordare inoltre che per quanto riguarda il rapporto S/N esiste un valore limite (teorico) che impedisce di trovare stelle al di sotto di una certa soglia: considerando il rumore poissoniano del fotoconteggio e quello intrinseco del rivelatore otteniamo un livello che e il limite inferiore di discriminazione degli oggetti. In presenza di code di stelle luminose questo limite aumenta. L'assunzione fondamentale delle analisi che seguono e che i frame siano ben campionati (well sampled: questo signi ca che ogni oggetto di tipo stellare deve avere una F W HM di circa 3 5 pixel e quindi che ricopra un'area di almeno 10 20 pixel. In precedenza abbiamo visto che questa misura della F W HM e soddisfatta nei frame realizzati da osservatori terrestri e che soltanto i frame dell'HST non soddisfano questo valore. La grandezza della stella sul frame sar a il punto di partenza per la costruzione di ltri e algoritmi per la ricerca (scala degli oggetti). In questo ambito e molto usato il concetto di frequenze spaziali che corrisponde alla versione bidimensionale della frequenza temporale della trasformata di Fourier per segnali unidimensionali: (3:1:2)

) f~(!) F T [I (x; y )] ) I~(u; v ) F T [f (t)]

oggetti che occupano un'ampia zona del frame avranno quindi componenti a bassa frequenza spaziale, cio e le loro caratteristiche variano lentamente spostandoci sul frame; al contrario oggetti con piccola area rappresentano brusche variazioni sul frame e quindi alte frequenze spaziali.

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3.1.1 Ricerca diretta dei massimi locali Il metodo di ricerca dei massimi locali (local maxima, LM) direttamente sull'immagine originale e il pi u semplice, e per immagini non troppo a ollate e rumorose, e anche il pi u eĂ&#x2020;cace ed e usato infatti dal alcuni software descritti nel capitolo 2. Comunemente per ottenere un basso livello di artefatti si usa una soglia al di sotto della quale non si rivelano picchi; questo diminuisce la sensibilit a (poche stelle deboli sono rivelate) ma rende molto pi u sicuri i risultati ottenuti. Tutti i metodi di ricerca considerati nel seguito utilizzano i massimi locali, la di erenza sta nella fase di precedente elaborazione dell'immagine che e tesa a ridurre gli e etti delle sorgenti non stellari (artefatti, rumore) ed a evidenziare quelli stellari. In [Snel96] sono riportate prove e ettuate su campi arti ciali che evidenziano una forte dipendenza del metodo dalla scelta della soglia. Su un'immagine di prova contenente 1022 stelle il numero di artefatti (816) e molto pi u alto di quello degli oggetti reali trovati (391).

3.2 Algoritmo Open/Close. In [Lea89] viene presentato un modo di ricerca degli oggetti che si di erenzia fortemente dagli altri per l'uso della sola aritmetica intera, permettendo una riduzione del tempo di calcolo. La ricerca degli oggetti viene fatta in pi u passaggi con una soglia che varia localmente nel frame. Alla base degli algoritmi open e close ci sono le operazioni binarie di erosion e dilation che tendono ad erodere o dilatare un oggetto in base alle seguenti regole:

Cap.3 Nuovi algoritmi

Original image

Eroded image

Dilated image

Structure element

Opened/Closed image

Opened image

Closed image

Fig 3.1: E etto delle operazioni su una immagine. Stabilita una soglia, l'immagine viene binarizzata (tutto ci o che e sotto la soglia vale 0, ci o che e sopra 1) e confrontata pixel per pixel con una struttura di 3 3 pixel (structure element di grandezza paragonabile alla F W HM di una stella per frame ben campionati). Si avranno allora rispettivamente: i) erosion: ogni volta che la struttura e completamente contenuta in un oggetto si assegna il valore 1 al centro della struttura, altrimenti si assegna 0. ii) dilation: ogni volta che la struttura ha almeno un pixel in comune con l'oggetto si assegna 1 al centro della struttura, altrimenti si assegna 0. Queste due semplici e complementari operazioni permettono, attraverso la loro combinazione, di rimuovere oggetti troppo piccoli e addolcirne i contorni oppure di riempire i buchi dentro e tra gli oggetti. De niamo l'operazione open come una erosione seguita da una dilatazione, e l'operazione close come una dilatazione seguita da una erosione. Le operazioni di open e close ripetute su immagini binarizzate a diversi livelli di soglia costituiscono il nucleo dell'algoritmo open/close teso alla separazione tra fondo e oggetti.

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Immagine originale

BIN

Soglia iniziale minima

Immagine binaria

Opening

Nessuna oscillazione

Closing Oscillazioni

Immagine con oggetti e fondo separati (finale)

Incremento soglia

Fig 3.2: Schema del processo iterativo di open/close. L'algoritmo si ferma quando l'immagine non cambia ulteriormente, questo signi ca che l'immagine binaria risultante rappresenta la separazione tra fondo e oggetti. L'alternanza di open e close e la variazione della soglia tendono a far oscillare verso intensit a pi u alte o pi u basse la separazione tra gli oggetti e il fondo. Il procedimento si ripete no a quando non si trova una soglia tale per cui l'oscillazione si azzera: questa soglia e quella ottimale per la ricerca di oggetti. L'algoritmo e assimilabile ad una convoluzione: infatti le operazioni open e close si possono considerare ltri particolari. Il vantaggio di questa tecnica e l'uso della soglia variabile che modi ca il ltro ad ogni iterazione. Nonostante i molti passaggi, la semplicit a dell'algoritmo e l'uso di aritmetica intera lo rendeno concorrenziale rispetto agli altri metodi di ltraggio. E possibile usare anche matrici di dimensione superiore alla 3 3 per rilevare oggetti estesi. La forma di questa matrice (structure element) e quadrata e non permette di riconoscere oggetti oblunghi (galassie, lamenti). La scelta della soglia iniziale e del suo incremento si basano su una misura del minimo

Cap.3 Nuovi algoritmi

dell'immagine (Sminima ) e su una misura del rumore nel frame, eseguita con tecniche standard (questa misura determiner a l'incremento da utilizzare nelle iterazioni). La soglia nale dovr a essere una stima dell'intensit a dei bordi degli oggetti. Il numero di passaggi minimo per convergere e due, quindi la soglia (S ) al limite sar a: (3:2:1)

S = Sminima + 2 s

dove (3:2:2)

s = parte intera

I (x; y )

con I (x; y ) valore medio della radice quadrata dell'intensit a calcolata nel frame di interesse. Questa e una sovrastima dell'errore sul tipo della deviazione standard dei conteggi distribuiti in modo Poissoniano. Ovviamente incrementi pi u piccoli portano ad un numero di iterazioni maggiore ma spesso allo stesso risultato nale. Per diminuire gli e etti degli oggetti troppo luminosi, che spostano la soglia troppo in alto nascondendo cos gli oggetti deboli, l'immagine viene suddivisa in sottoimmagini dopo una prima binarizzazione. Le sottoimmagini vengono poi sottoposte all'algoritmo di open/close separatamente, ognuna con una soglia propria. L'analisi dell'algoritmo permette una stima dei tempi di calcolo che pu o essere espressa in questi termini: (3:2:3)

' n i b + b4

dove n = numero di pixel dell'immagine (' 105 ), i = numero di iterazioni (10 100), b = numero medio di sottoimmagini usate in una iterazione (' 20). Nonostante la semplicit a del metodo, esso risulta competitivo con DAOPHOT ([Stetson87]): nonstante non individui le stelle troppo vicine agli oggetti luminosi, a parit a di tempo impiegato, trova alcune stelle che per DAOPHOT o sono sotto soglia o troppo vicine ai bordi.

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3.3 Analisi con trasformata di Wavelet Abbiamo gi a sottolineato come il problema fondamentale nella ricerca degli oggetti nelle immagini sia la presenza del rumore e l'eventualit a che gli oggetti di interesse siano a scale diverse. Anche nella ricerca di oggetti di scala ssata e comunque sempre utile disporre di metodi che permettono una riduzione del fondo. Vediamo come e possibile realizzare questo risultato usando una particolare trasformazione dell'immagine: la trasformata di Wavelet. Si de nisce la trasformata di Wavelet di una funzione F rispetto alla Wavelet G l'insieme delle funzioni:

(3:3:1)

1 T (x) = p

Z x

t x F (x)G dt x

dove la Wavelet G e scalata del fattore . Notare che la Wavelet e di fatto un ltro a scala variabile. Esistono in nite funzioni G che hanno le caratteristiche per formare una base di Wavelet: importante caratteristica di queste funzioni di base e l'integrale nullo, necessario per la completezza della base. Soltanto alcune funzioni di questo tipo per o hanno particolarit a che le rendono adatte all'analisi di immagini astronomiche.

Cap.3 Nuovi algoritmi

1000

40000 500

20000

0 5

5 10

10 15

20 30

25 50 35 70

20 30

LoG

40 30

50 60

35 70

3000 2000

200000

1000

100000

0 5

5 10

10 15

0 10

25 40 30

50 35 70

Morlet

40 30

50 35 70

Fig. 3.3: Funzioni di Morlet e LoG e loro FT. La forma preferita per selezionare stelle e quella gaussiana che ovviamente non ha integrale nullo: si usano allora funzioni simili, quali la Morlet Wavelet GM e la Mexican Hat Wavelet GMH (LoG, Laplacian of Gaussian): x2 +y2 x2 +y 2 1 e 2 2 : GM (x; y; ) = C e 2 2 (3:3:2) x2 + y 2 x2 + y 2 2 2 GMH (x; y; ) = 2 e 2 Dalla trasformata di Fourier di queste due Wavelet possiamo comprendere il funzionamento della trasformata di Wavelet: al variare di si ha una variazione della larghezza

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di banda e quindi una selezione pi u o meno stretta di determinate frequenze spaziali, ovvero delle dimensioni dell'oggetto. La ricerca di oggetti diviene quindi una ricerca di massimi locali nell'immagine trasformata. Vedremo nel seguito i dettagli dell'operazione.

3.3.1 Studio analitico della trasformata di Wavelet In [Coupinot92] viene discussa l'applicazione della trasformata di Wavelet ad immagini di campi non a ollati, e si dimostra la possibilit a di realizzare la fotometria automaticamente sull'immagine trasformata. Assumiamo un pro lo gaussiano per l'oggetto originale:

E a 22 2 e = x2 + y 2 a2 dove E e l'intensit a del picco, a e il parametro di larghezza della gaussiana. Costruiamo l'immagine rilevata come convoluzione con la funzione di trasferimento D( ) del sistema atmosfera/strumento (e tutti gli altri e etti): (3:3:3)

O( ) =

I ( ) = O( ) D( )

(3:3:4)

ipotizzando che anche D( ) sia gaussiana (ipotesi generalmente valida) cio e: 1 b 22 e b2 dove b indica l'allargamento introdotto dal sistema atmosfera/strumento. Quindi l'oggetto nell'immagine e descritto da: (3:3:5)

D( ) =

E c 22 e c2 con c2 = a2 + b2 . La trasformata analitica di Wavelet diventa quindi:

(3:3:6)

(3:3:7)

I ( ) =

T ( ) = I ( ) M ( ) = E C 2

dove M ( ) = C e

2 2

1 e 2 2 2

2 1 c2 + 2 e c2 + 2

e la Morlet Wavelet.

2 1 c2 +2 2 e c2 + 2 2

Cap.3 Nuovi algoritmi

Il massimo della funzione T ( ) si trova al centro dell'oggetto ( = 0), e il suo valore e proporzionale al massimo dell'oggetto originale E . Ci o spiega come la ricerca di oggetti dell'immagine originale possa essere eseguita cercando i massimi locali dell'immagine trasformata. Inoltre la proporzionalit a di T ad E fa s che il valore del massimo nell'immagine trasformata sia utile per ottenere le propriet a fotometriche dell'immagine iniziale. Per ricavare la scala c e l'intensit a E dell'oggetto si pu o studiare l'isofota nulla T ( 0 ) = 0. Questo metodo non e il migliore perch e usa solo una piccola parte dell'informazione contenuta nella Wavelet. Usando l'integrale P della parte positiva della Wavelet si ottengono risultati migliori: (3:3:8)

P = E C e

20 c2 +2 2

20 c2 + 2

dove 0 e il raggio dell'isofota nulla. Con opportune manipolazioni algebriche, cio e sostituendo = c= si ottiene: (3:3:9)

2 =

20 2 + 2 2 2 = ( + 2)( + 1) ln 2 2 + 1

e dividendo per l'intensit a del picco E , otteniamo una relazione interessante: (3:3:10)

( 2 + 1) +1 P = 2 C 2 E ( + 2) 2 +2

quindi oggetti della stessa scala ( = c= costante) mantengono il loro rapporto di intensit a di picco anche nella trasformata di wavelet. L'errore trasmesso da un'incertezza nel parametro si propaga nella stima della magnitudine: (3:3:11)

m =

2 + 1 5 2 ln 2 +2

' 2

dove il valore approssimato vale per ' 1, cio e quando la scala della wavelet e molto vicina a quella degli oggetti. Quando l'errore relativo sulla stima di e del 5% si ottiene un'incertezza m = 0:05.

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3.3.2 Scelta del parametro di scala L'obiettivo dell'analisi con la trasformata di Wavelet e la ricerca di oggetti di una scala ssata, non sempre nota a priori. Occorre quindi trovare un metodo per decidere quando la trasformata T e la migliore ottenibile, cio e quella che estrae dal rumore il maggior numero di oggetti di tipo stellare. Questo e possibile de nendo un parametro di contrasto: (3:3:12)

T (0) 2 C C= = I (0) ( 2 + 1)( 2 + 2)

Il contrasto e massimo per C = 2= 2 , = c= = 21=4 = 1:189 e vale 1.078. Vediamo quindi che la ricerca e ottimale per oggetti con scala c ' , ma il metodo e eĂ&#x2020;cente anche a scale relativamente diverse. Calcolando la scala per cui il contrasto si dimezza, otteniamo dei margini di ricerca che si estendono da a=2 a 3a. Quindi il metodo permette di riconoscere oggetti con scale dell'ordine di quella ssata, ma il contrasto e tale che oggetti puntiformi quali i raggi cosmici od oggetti molto di usi vengono eliminati. Anche il fondo lentamente variabile (tipico degli ammassi globulari) viene ridotto notevolmente in quanto la trasformata di Wavelet lo tratta come un oggetto molto ampio e quindi lontano dalla scala degli oggetti di cui si sta eseguendo la ricerca (contrasto basso).

3.3.3 Analisi con trasformata di Wavelet della PSF Disponendo di un pro lo analitico degli oggetti da ricercare, possiamo calcolare la trasformata di Wavelet di questa PSF e cercare di adattarla alla trasformata di Wavelet dell'immagine. Anche per pro li diversi dalla gaussiana si pu o usare questo metodo. Il risultato di questa operazione sar a una relazione tra la grandezza degli oggetti reali e la F W HM delle funzioni che meglio adattano la trasformata di Wavelet degli oggetti stessi (gaussiane equivalenti). Questo metodo non dipende dalla luminosit a intrinseca

Cap.3 Nuovi algoritmi

dell'oggetto e pu o essere usato per creare una curva di calibrazione che fornisce la grandezza di un oggetto attraverso la funzione che meglio si adatta alla sua trasformata di Wavelet. Inoltre attraverso la funzione adattata si pu o calcolare anche la magnitudine, che risulta essere la magnitudine della gaussiana equivalente pi u una quantit a che dipende dalla grandezza dell'oggetto. Pur essendo pi u complesso come implementazione questo tipo di analisi porta il vantaggio di una completa libert a nella forma degli oggetti e pu o quindi essere applicato alla ricerca di oggetti di varia natura.

3.3.4 Stima del rumore introdotto dalla Wavelet La trasformata di Fourier della trasformata di Wavelet e data da: (3:3:13)

T~ (! ) = F~ (! ) G~ (! )

dove T~ (! ) e la trasformata di Fourier della trasformata di Wavelet, F~ (! ) quella dell'originale e G~ (! ) la trasformata di Fourier della funzione di Wavelet G . Questa relazione vale anche per il rumore contenuto nel frame originale, e quindi se calcoliamo la deviazione standard del frame originale otteniamo che nell'immagine trasformata il rumore e direttamente proporzionale a quello dell'originale (3:3:14)

< jG~ (!)j >

se G(! ) e una funzione di Morlet otteniamo

T = F

= 1:023= .

Il metodo presentato applica in maniera analitica la trasformata di Wavelet alle immagini, e con opportune assunzioni ottiene risultati di rilievo in campi aperti con fondi variabili. Il problema di questo approccio alla trasformata di Wavelet sono i campi fortemente a ollati: infatti le simulazioni e ettuate ([Coupinot92]) si concentrano sull'analisi di campi arti ciali aperti dove, in presenza di fondi irregolari, i risultati sono superiori

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a quelli del programma di riferimento DAOPHOT. Il metodo usato in [Coupinot92] si dimostra molto generale ed infatti altre prove su immagini reali vengono fatte com M31, galassia nella quale la trasformata di Wavelet trova particolare utilit a nella ricerca di ammassi globulari, e VV 523, galassia irregolare in cui studia strutture ni invisibili ad una normale analisi.

3.3.5 Analisi numerica con trasformata di Wavelet Un interessante metodo alternativo nell'uso della trasformata di Wavelet e riportato in [Borissova97]. La trasformata e ottenuta con un ltro convolutivo di 5 5 pixel che rappresenta la scala degli oggetti da rivelare. I pro li delle stelle sono considerati gaussiani. L'uso di un particolare ltro numerico per realizzare la trasformata di Wavelet evita i problemi dovuti alla sempli cazione, introdotta da [Coupinot92] (contributi solo gaussiani), per ottenere una soluzione analitica. Le prove e ettuate consistono in simulazioni numeriche di campi pi u o meno a ollati di cui sono conosciute le esatte posizioni e intensit a degli oggetti. I risultati ottenuti da Borissova, soltanto nella ricerca di oggetti, sono ampiamente superiori a quelli di DAOPHOT utilizzato direttamente, sia in campi a ollati che a basse luminosit a. Per quanto riguarda l'analisi di immagini reali viene analizzato NGC6229, un ammasso globulare abbastanza denso in cui la tecnica usata produce notevoli miglioramenti nella fotometria del nucleo aumentando la completezza del CMD.

Cap.3 Nuovi algoritmi

3.4 E etto dell'applicazione di ltri Come abbiamo ricordato in precedenza la ricerca dei massimi locali pu o essere preceduta dall'applicazione di un ltro. Vediamo l'e etto di alcuni dei ltri pi u noti sul frame arti ciale composto da 1022 stelle gi a utilizzato nella ricerca dei massimi locali ([Snel96]). Nelle gure che seguono le funzioni spaziali sono rappresentata nel piano (x; y ) e quelle dello spettro in frequenza nel piano delle frequenze spaziali (u; v ).

3.4.1 Filtro passa alto

0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500

-10000 -20000 -30000 -40000 -50000 -60000 -70000 -80000 -90000

5 0

5 10

25 15

Fig 3.4: Filtro passa alto; forma spaziale e spettro in frequenza (gaussiano). Un ltro passa-alto (High Pass, HP) con frequenza spaziale di taglio di poco inferiore alla F W HM degli oggetti viene ottenuto attraverso l'immagine di una gaussiana di 5 5 pixel usata come ltro nello spazio della frequenza. Il valore scelto per le dimensioni della matrice e relativo a immagini ben campionate. Questo ltro migliora abbastanza i risultati riducendo i contributi dovuti alle lente variazioni del fondo cielo che potevano mascherare o spostare le stelle. Il ltro HP limita anche l'e etto delle code di stelle

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molto brillanti (di grande estensione e quindi di bassa frequenza spaziale). Il problema di questo tipo di ltraggio e l'apparire di anelli neri (pixel con intensit a negativa) attorno agli oggetti luminosi: questo impedisce la ricerca di oggetti deboli in questa zona. La dimensione della zona scura dipende dalla scelta del ltro e soprattutto dall'estensione della funzione che rappresenta il ltro. Il numero di oggetti riconosciuto nelle immagini arti ciali e pi u alto (590) rispetto al semplice metodo dei LM e il numero di artefatti paragonabile al numero degli oggetti reali, ma drasticamente minore a quello dei LM (625).

3.4.2 Filtro passa banda, ltro ottimale e minimi quadrati della PSF

La logica evoluzione del ltro HP e un ltro che elimini anche le brusche variazioni dovute al rumore, cio e un ltro passa banda (Band Pass, BP) che contenga un limitato numero di frequenze, caratteristiche degli oggetti da rilevare. Per ottenere questo risultato si considera un ltro Low Pass (LP), ottenuto con una gaussiana come ltro spaziale, lo si tronca ad un certo raggio e lo si sostituisce con una parte negativa in modo che l'integrale sia nullo (Truncated Lowered Gaussian Filter, TLGF).

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

0.6 0.4 0.2 0

-5 -4

5 -3

0 4 -2

5 10

10 15

-1

-2 0

-4

25 15

Fig 3.5: Gaussiana troncata e suo spettro.

Cap.3 Nuovi algoritmi

Questo tipo di ltro ha quindi due limiti in frequenza, uno superiore, che e lo stesso del

ltro LP e dipende dalla F W HM della gaussiana utilizzata nella convoluzione, e uno inferiore, che deve essere determinato in base al contenuto spettrale della forma stellare (PSF) e che de nisce il raggio di troncamento della gaussiana. Nelle prove realizzate da [Snel96] e stato usato un raggio di 1:5 = 0:637 F W HM : per campi ben campionati questo signi ca un raggio di circa 2.9 pixel. Se si conosce esattamente il contenuto spettrale della forma stellare si pu o migliorare ulteriormente il TLGF creando un ltro che contenga solo quelle frequenze caratteristiche. Questo e il principio del ltro ottimale (Matched Filtering, MF): occorre quindi partire con una approssimazione dello spettro, utilizzando la PSF stimata come ltro spaziale nella convoluzione. I risultati ottenuti con il TLGF sono simili a quelli del ltro HP (538), ma la diminuizione del contributo del fondo riduce ulteriormente il numero di artefatti (150). Secondo la teoria, l'adattamento della PSF prevista con il pro lo degli oggetti, utilizzando il metodo dei minimi quadrati e equivalente al ltro ottimale. Nel caso dei minimi quadrati per o l'uso di alcuni accorgimenti aggiuntivi, quale l'assunzione logica che l'intensit a dei pixel sia sempre non negativa rendono il metodo leggermente pi u insensibile agli artefatti. I risultati comunque sono molto simili a quelli del ltro ottimale realizzato con un TLGF (535 oggetti, 145 artefatti).

3.5 Metodi di deconvoluzione Riportiamo per completezza i metodi di deconvoluzione di interesse molto attuale soprattutto nel caso dell'image restoration ([Bracewell]). Al contrario dei metodi n qui visti la deconvoluzione non consiste nell'applicazione di un ltro ma in un complesso algoritmo iterativo. Supponendo che l'immagine che deve

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essere trattata sia il risultato di una convoluzione tra un insieme di delta di Dirac centrate nella posizione delle stelle e la PSF dovuta a tutti i passaggi intermedi (atmosfera, rivelatore, ecc.), l'algoritmo si propone di ricavare l'insieme delle delta procedendo a ritroso.

Immagine originale

Ricerca Massimi locali Immagine con Î´ in posizioni ipotetiche

Immagine residua

Immagine ricostruita

Migliore stima della PSF

Modifiche alla PSF e alla posizione delle Î´

Stima iniziale

Fig. 3.6: Schema dell'algoritmo di deconvoluzione. Per l'uso di questo metodo occorre quindi conoscere perfettamente la PSF, come nel metodo del ltro ottimale, ma in questo caso la limitata risoluzione ed il rumore dell'immagine non permettono una perfetta ricostruzione dell'immagine deconvoluta come previsto nello schema (cio e non si possono ottenere oggetti perfettamente puntiformi). Questi, ed altri, problemi rendono l'immagine deconvoluta di diĂ&#x2020;cile lettura; operazioni di preprocessing del fondo possono aiutare a diminuire la presenza degli anelli scuri attorno alle stelle luminose che avevamo anche nel MF. I risultati ottenuti con immagini arti ciali sono molto critici e dipendono fortemente dalla scelta della PSF e dal numero di iterazioni del processo: prove e ettuate sull'immagine arti ciale con 1022 stelle da [Snel96] mostrano che una deconvoluzione ben calibrata fornisce un numero di oggetti reali (539) vicino a quello del MF ma un minor numero di artefatti (119). Nell'analisi di immagini reali (ammasso globulare M15) i risultati sono praticamente gli stessi del MF.

Cap.3 Nuovi algoritmi

Gli algoritmi di deconvoluzione vengono usati soprattutto per migliorare i dati relativi a misure interferometriche radioastronomiche, che presentano campionamenti non sempre continui ed omogenei. Comunque in linea di principio l'uso di questi algoritmi anche per immagini nel campo ottico e di una certa utilit a: analizzeremo nel seguito il funzionamento di alcune formulazioni dei due algoritmi di deconvoluzione pi u importanti, CLEAN e MEM (Maximum Entropy Method).

3.5.1 Campionamento delle immagini Le dimensioni delle immagini e la loro risoluzione pongono dei limiti alle frequenze spaziali in esse contenute, pi u precisamente se consideriamo una immagine composta da Nl Nm pixel ognuno di dimensione l m abbiamo: 1 1 umax umin 2 l Nl l (3:5:1) 1 1 vmax vmin 2 m Nm m dove (u; v ) rappresentano le coordinate nello spazio delle frequenze e quindi umax ; vmax rappresentano i limiti superiori di frequenza per l'immagine e umin ; vmin quelli inferiori. Nello spazio delle frequenze spaziali (u; v ) possiamo quindi scrivere per ogni punto (ur ; vr ) l'intensit a come: (3:5:2)

V (ur ; vr ) = V^ (ur ; vr ) + (ur ; vr )

dove r indica l'r-esimo campione e quindi il punto nello spazio delle frequenze corrispondente al punto (lr ; mr ) nello spazio delle posizioni, V^ il dato reale (da ricostruire) e un errore distribuito normalmente. Nel caso di campionamento non uniforme, possiamo pensare ad una funzione peso W (u; v ) de nita come: (3:5:3)

X r

Wr Ă&#x2020; (u ur ; v vr )

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che quindi vale zero dove non ci sono campioni e Wr altrove, e ricondurci al caso di campionamento uniforme. Allora l'intensit a nel piano (u; v ) pu o essere scritta:

V (u; v ) = W (V^ + ):

(3:5:4)

Tornando nel piano (l; m) della posizione questa relazione diventa: (3:5:5)

Ip;q =

X p0 ;q0

p0 ;q q0 I^p0 ;q0

+ Ep;q

( )

dove B rappresenta il pro lo dovuto ai limiti del campionamento, ed E il rumore aggiunto (rappresenta il contributo del errore nel campo delle frequenze). L'equazione sopra descritta e il punto di partenza per gli algoritmi di deconvoluzione: infatti Ip;q rappresenta l'immagine disponibile e I^p0 ;q0 quella da ricostruire. In questo procedimento la scelta di W e decisiva per un miglioramento del rapporto S/N dell'immagine. Il problema della ricostruzione dell'immagine e quindi ricondotto a quello dell'inversione dell'equazione ( ).

3.5.2 Soluzioni dell'equazione di convoluzione L'ipotesi fondamentale per costruire un'algoritmo di inversione dell'equazione ( ) e l'unicit a della soluzione cercata I^. Qualsiasi segnale I^ = I^0 + Z in cui la parte Z contiene frequenze non campionate (W = 0) non porta contributo nella convoluzione con B . In conseguenza di questo le nostre soluzioni saranno del tipo I^ + Z , de nite cio e a meno di una costante. Chiameremo I^ soluzione principale e Z distribuzione invisibile. La parte invisibile di questa soluzione pu o essere considerata conseguenza di due fatti: la limitata copertura in frequenza e un campionamento incompleto. Il primo fattore causa una degradazione della risoluzione, di solito ben conosciuta e accettabile. Il secondo fattore e invece pi u diĂ&#x2020;cile da stimare: sar a cura dell'algoritmo ricercare una distribuzione invisibile che meglio si adatta al problema.

Cap.3 Nuovi algoritmi

Per ricostruire una distribuzione invisibile plausibile e necessario fornire all'algoritmo delle condizioni al contorno opportune, cio e informazioni sulla forma e sulle dimensioni (supporto) degli oggetti che si devono cercare. Ci o permette di trovare soluzioni complete al problema della deconvoluzione.

3.5.3 L'algoritmo CLEAN L'algoritmo CLEAN originale prevede che l'immagine sia formata da un piccolo numero di sorgenti puntiformi in un campo vuoto. Un metodo iterativo trova la posizione e l'intensit a degli oggetti in questo campo. L'immagine cos ottenuta e composta da: i) sorgenti puntiformi (restored) convolute con una funzione di riferimento (clean beam, cio e la stima iniziale della PSF) per diminuire l'e etto delle alte frequenze; ii) un'immagine con i residui, di erenza tra i dati modellati e l'originale. Vediamo in pratica alcune realizzazioni di questo algoritmo: a) H ogbom (1974): Questa e stata la prima realizzazione dell'algoritmo e in pratica le successive realizzazioni sono modi che e perfezionamenti di questo metodo. i) Si cerca il massimo assoluto nell'immagine (I0 ). ii) Si sottrae all'immagine originale una forma approssimata dell'oggetto (I0 B ), dove B e la PSF iniziale e un fattore 1 (loop gain, cio e un parametro che regola l'intensit a della sottrazione per ogni ciclo). ii) Si iterano i punti i e ii no al raggiungimento di una soglia minima speci cata; questa fase pu o essere e ettuata anche su una parte dell'immagine. iv) Terminata l'operazione di ricerca si genera un'immagine (I^0 ) facendo la convoluzione tra gli oggetti trovati e una PSF ideale (clean beam), di solito una gaussiana ellittica centrata sulla PSF iniziale approssimata. v) Si sommano i residui dell'immagine originale all'immagine ricostruita I^0 (immagine

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CLEAN). La fase v) pu o essere omessa, ma in genere permette alcune veri che del buon andamento della deconvoluzione. b) Clark (1980): gran parte dell'algoritmo di H ogbom richiede calcoli di convoluzioni, Clark sostituisce alla convoluzione una pi u eĂ&#x2020;ciente FFT usando solo una parte della PSF iniziale approssimata (patch). l'algoritmo e composto da due cicli: i) si seleziona una parte della PSF iniziale, no ad includere il pi u alto lobo esterno (cio e il primo picco al di fuori di quello centrale); ii) si selezionano i picchi nell'immagine con intensit a (in rapporto a quella del massimo assoluto dell'immagine) superiore a quella del pi u alto lobo esterno della PSF (in rapporto al suo picco). Questo ssa una soglia che non dipende dall'utente ma dalle caratteristiche dell'immagine. iii) Con gli oggetti selezionati in ii) si esegue un CLEAN di H ogbom. Il limite a cui fermarsi e dato dalla richiesta che i picchi rimanenti non vengano selezionati nella fase ii). Le sorgenti puntiformi trovate (immagine I^) in questo modo vengono immessa in un altro ciclo: i) Si esegue la trasformata di Fourier della I^ (FFT), e si moltiplica per W = FFT(B ). ii) Si antitrasforma il risultato e si sottrae dall'immagine originale. Gli errori dovuti alle approssimazioni della PSF iniziale sono corretti nelle successive iterazioni del primo ciclo. c) Cotton{Schwab (1984): e molto simile all'algoritmo di Clark ma permette una maggior precisione di calcolo usando, in particolari casi, la trasformata di Fourier non discreta. Inoltre ha la possibilit a di ridurre pi u campi simili tra loro eseguendo il primo

Cap.3 Nuovi algoritmi

ciclo indipendentemente sui campi e lavorando insieme invece nel secondo ciclo. Questa versione dell'algoritmo CLEAN viene usato soprattutto in immagini con un alto numero di sorgenti confuse come nel radio a bassa frequenza.

3.5.4 Criteri di convergenza per l'algoritmo CLEAN L'algoritmo CLEAN pu o essere instabile e quindi non portare ad una soluzione unica in tempi brevi: ci sono alcuni criteri che devono essere soddisfatti perch e qyesto non succeda. i) La PSF iniziale deve essere simmetrica; ii) la PSF iniziale deve essere semide nita positiva; cio e gli autovalori devono essere maggiori o uguali a zero. iii) L'immagine originale non deve contenere frequenze spaziali diverse da quelle della PSF iniziale. Questi criteri sono soltanto indicativi, infatti un'analisi completa degli errori per l'algoritmo CLEAN non esiste. In pratica gli errori di calcolo producono la maggior parte dei problemi e solo un'analisi caso per caso pu o dire se l'algoritmo converger a o no. Notiamo che la suddivisione in piccole zone dell'immagine pu o ottenere risultati migliori in casi di grande a ollamento: dal punto di vista della convergenza questo pu o aiutare, ma rende l'analisi degli errori comunque pesante. Un parametro importante per la qualit a del risultato della deconvoluzione e : infatti il numero di sottrazioni NCL e il guadagno di anello determinano quanto in profondit a si spinge CLEAN. Per ogni sorgente trovata da CLEAN il residuo sar a: (3:5:6)

R = (1 )NCL

ovviamente la perfetta conoscenza della forma dell'oggetto richiede soltanto un passaggio e una = 1 . Di solito si usano dei valori compresi tra 0:1 e 0:25; valori pi u bassi non

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producono e etti signi cativi sulla deconvoluzione. La scelta del numero di iterazioni massimo e invece direttamente collegato alla qualit a dell'immagine (campionamento, rumore di fondo) ed e inutile aumentare troppo questo valore perch e la ricerca nel rumore di fondo pu o causare la divergenza dell'algoritmo. Vediamo in ne alcune caratteristiche della PSF ripulita che deve rappresentare in maniera ragionevole l'immagine degli oggetti deconvoluti: i) La sua trasformata dovrebbe essere unitaria nella regione campionata di frequenze. ii) La sua trasformata dovrebbe tendere a zero il pi u rapidamente possibile al di fuori della regione campionata. iii) Qualsiasi lobo negativo dovrebbe produrre e etti comparabili con il livello del rumore nell'immagine CLEAN. In pratica la costruzione di una PSF ideale deve essere un buon compromesso tra risoluzione e qualit a apparente dell'immagine; nella maggior parte dei casi si usano gaussiane ellittiche della grandezza del lobo principale della PSF iniziale o direttamente la parte centrale della PSF iniziale troncata al primo zero. Delle tre condizioni volute la prima e quella che pi u facilmente viene rilasciata per la sua evidente diĂ&#x2020;colt a di realizzazione. L'uso dell'algoritmo CLEAN, come abbiamo visto e molto complesso, in de nitiva l'uso dell'esperienza e di analisi di tipo Monte Carlo e necessaria per valutare i risultati ottenuti. Le varie instabilit a contribuiscono ad aumentare le diĂ&#x2020;colt a di ottenere procedimenti univoci di applicazione. Vedremo ora come risolvere alcuni di questi problemi con l'uso dell'algoritmo MEM.

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3.5.5 Il Metodo di Massima Entropia I problemi riscontrati con l'algoritmo CLEAN sono dovuti al fatto che una procedura genera l'immagine ripulita, non esiste quindi nessuna equazione che lega i dati di partenza con l'uscita. Questo difetto come abbiamo visto non permette un'analisi dell'errore. Il metodo di massima entropia (Maximum Entropy Method, MEM) non e procedurale, infatti l'immagine prodotta in accordo con i dati e entro i livelli di rumore e quella che massimizza l'entropia. La grandezza entropia e de nita come quella che se massimizzata produce un immagine (deconvoluta) positiva e con i pixel nel campo pi u ristretto di valori (compressione) compatibilmente con i dati iniziali. La compressione permette di avere immagini pi u addolcite, cio e pi u realistiche. Molte sono le de nizioni dell'entropia, una delle pi u usate e: (3:5:7)

X k

Ik ln

Ik Mk e

dove Mk e un'immagine di partenza che contiene informazioni sulla forma degli oggetti, ma che pu o essere a bassa risoluzione. La richiesta che l'immagine sia positiva non permette ovviamente un adattamento simultaneo esatto per tutti i punti (oggetti) si cercher a quindi un risultato che soddisfa un certo 2 vicino al valore previsto: (3:5:8)

2 =

X r

jV V^ j : 2 V

Massimizzare H con questa condizione su 2 produce un immagine che si adatta molto bene agli oggetti man non alle zone vuote dell'immagine, questo e dovuto alla mancanza di informazioni spaziali nella de nizione dell'entropia. Questo difetto si pu o evitare imponendo un certo usso proveniente dalle zone vuote dell'immagine e cercando immagini che soddisfano questa richiesta. Gli algoritmi di tipo MEM sono stati realizzati

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in varie versioni e usati spesso per la deconvoluzione di immagini radio e per mosaici di immagini; in questi casi l'immagine di partenza Mk pu o essere quella rilevata con una singola antenna radio e confrontata con quella prodotta dall'interferenza di una schiera di antenne. Nel caso non ci sia un immagine a bassa risoluzione come riferimento si pu o usare un'immagine piatta con usso totale uguale a quello speci cato; la stima del usso totale e importante per ottenere un'immagine ragionevole ma non richiede una grande precisione perch e e usata solo nella de nizione di Mk . Nella procedura di adattamento dell'algoritmo MEM abbiamo visto che si raggiunge una precisone limitata, questo nell'immagine nale produce una polarizzazione (bias), che e la media d'insieme del rumore, diversa da zero. Anche in questo caso la scelta di una buona immagine di partenza pu o aiutare, ad esempio il risultato di una precedente analisi MEM convoluta con una gaussiana; in questo caso solo le frequenze spaziali pi u alte saranno polarizzate. In generale il MEM e pi u veloce quando le immagini superano una certa misura (' 1 milione di pixel), per immagini con pi u di 100 milioni di pixel l'analisi con CLEAN diventa addirittura improponibile. La loso a della ricerca della massima entropia e sicuramente pi u solida del semplice metodo iterativo dell'algoritmo CLEAN, infatti mentre quest'ultimo non viene utilizzato in altri campi, il MEM comincia ad essere utilizzato largamente anche per la sua indipendenza dal tipo di informazioni da cercare nell'immagine (per il CLEAN queste devono essere puntiformi).

3.5.6 Deconvoluzione algebrica Il problema generale della deconvoluzione pu o essere anche a rontato in maniera diretta scrivendo la relazione che lega i vettori immagine: (3:5:9)

A S =D

dove D rappresenta i dati osservati grezzi, A la PSF iniziale (in una opportuna forma)

Cap.3 Nuovi algoritmi

e S le intensit a delle delta di Dirac da ricavare. E evidente che si pu o ricavare S semplicemente invertendo la relazione: (3:5:10)

S=A

e altrettanto evidente che la matrice A e quasi certamente singolare e che esistono in nite soluzioni all'equazione precedente (vedi distribuzione invisibile). Studiando particolari forme per A e ponendo opportune condizioni al contorno (necessarie comunque anche per MEM e CLEAN), si pu o comunque risolvere direttamente questa equazione. Il vero problema diventa a questo punto di tipo computazionale; infatti la maggior parte degli algoritmi di inversione di matrice richiede tempi dell'ordine di N 3 , dove N e il numero di elementi della matrice da invertire. Nel nostro caso A contiene circa N = n2 pixel, dove n e il numero di pixel dell'immagine: il numero di operazioni da compiere per risolvere questa equazione e quindi ' n6 . Per adesso con questo metodo, teoricamente molto valido, si analizzano immagini con non pi u di 10000 pixel ([Cornwell97]).

3.6 Ricerca di sorgenti deboli Quando i normali programmi di analisi hanno rivelato tutte le stelle rimane un fondo che per de nizione il programma ritiene dovuto solo al fondo cielo e alla somma dei vari rumori (strumentali e non). In e etti l'immagine che rimane dopo aver sottratto tutte le PSF delle stelle rilevate non contiene solo rumore ma anche la luminosit a (bassa) di stelle che non e possibile rilevare. E molto importante ricostruire anche queste stelle, nel caso di ammassi globulari, in quanto danno un contributo sostanziale al CMD. Il metodo usato dal programma LUMINOUS per trovare la funzione di luminosit a (Luminosity Function, LF) delle stelle deboli consiste nel confrontare l'immagine residua ottenuta con una simulata e supporre che se appaiono simili esse devono avere la stessa LF. Questo algoritmo, permette un miglioramento di due magnitudini nella LF rispetto ai programmi convenzionali. Vediamo come nel dettaglio viene raggiunto questo risultato.

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3.6.1 Misura della somiglianza La somiglianza tra un'immagine simulata e quella reale e misurata attraverso l'analisi degli istogrammi dell'intensit a dei pixel (che sono indipendenti dalla posizione delle singole sorgenti). Il parametro usato e quindi dato da: (3:6:1)

2 =

1 N

iX 0 +N i=i0

(Ri Si )2 Ri + Si

dove N e il numero di classi dell'istogramma, i0 e l'intensit a della prima classe, Ri ; Si sono i conteggi negli istogrammi dell'immagine reale e simulata. Il parametro 2 e uguale ad uno per immagini statisticamente equivalenti.

3.6.2 Modellizzazione del fondo Poich e le stelle da rivelare hanno la stessa intensit a delle uttuazioni del fondo il rumore deve essere stimato con molta cura. Occorre quindi includere tutti i contributi descritti nel capitolo 1. Alla funzione di luminosit a trovata con la normale fotometria (Ri ) occorre sommare: dark image, at eld, poisson noise, read-out noise, bias, CRE (Cosmic Rays Event), eventuali altri e etti del detector, quali la non linearit a ecc. Oltre a sommare tutti i possibili rumori si prova iterativamente a sommare sorgenti non rivelate in precedenza, cio e la coda mancante della LF. L'istogramma (simulato) risultante dovrebbe essere simile a quello dell'immagine reale. Vediamo quali sono le propriet a che deve avere l'immagine per garantire il funzionamento del metodo sopra esposto.

Cap.3 Nuovi algoritmi

i) Le immagini da confrontare devono avere funzioni di luminosit a simili. ii) L'immagine deve contenere solo stelle: sono considerati solo 3 parametri per la normale ricerca, le coordinate e l'intensit a di ogni sorgente. Oggetti estesi (galassie e altro) non identi cate rappresentano comunque una piccola quantit a e la LF non dovrebbe essere disturbata dalla loro presenza. iii) Le stelle deboli (non identi cate) devono essere distribuite uniformemente nel frame. Per gli ammassi globulari, presi interamente, questo non e vero, la distribuzione segue un modello opportuno e deve essere considerata. iv) La PSF deve essere costante su tutto il frame. Questo e abbastanza veri cato nella parte centrale del frame e per immagini riprese da terra. v) La distribuzione delle intensit a (dei fotoni) del fondo deve essere poissoniana. vi) Il read-out noise deve essere distribuito normalmente. vii) Il fondo cielo deve essere uniforme. Queste ultime tre propriet a vengono controllate direttamente attraverso l'analisi dell'immagine e sono generalmente veri cate. L'algoritmo richiede un certo numero di dati in ingresso che sono disponibili dalla normale fotometria, ma di solito la precisione richiesta e maggiore di quella per la normale fotometria; questo e dovuto al procedimento strettamente statistico dell'algoritmo che utilizza come informazioni basilari quelle che normalmente per altri programmi sono semplici correzioni da applicare (read-out noise, bias, at eld).

3.6.3 Simulazioni e risultati Per veri care la funzionalit a ed il livello di precisione dell'algoritmo viene generato un frame (800 800) con stelle simulate e opportuno rumore, no alla 24-esima magnitudine. Viene costruita la LF analizzando l'immagine con DAOPHOT e si trova che la completezza inizia a scendere intorno alla 20-esima magnitudine. L'analisi fatta con

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LUMINOUS riesce a ricostruire la LF no al limite ma con forti deviazioni dovute alla correlazione negative tra le classi adiacenti della LF (in pratica si osserva una mancanza di oggetti in una classe e una sovrabbondanza di oggetti in quella adiacente, questo e dovuto a piccoli errori nel calcolo dell'intensit a di alcune sorgenti, che seppur piccolo pu o spostare grandi quantit a di pixel da una classe a l'altra). Utilizzando un ltro smoothing, in cui ogni punto e sostituito dal punto medio delle magnitudini (ascissa) e dalla media pesata sui conteggi (ordinata), si ottiene un accordo quasi perfetto (in e etti la media corregge la correlazione negativa tra le classi). La variazione dei dati di queste simulazioni permette di studiare come si propagano gli errori di stima dei vari parametri utilizzati per LUMINOUS. Errori nella stima del bias modi cano drasticamente la LF (anche di un fattore 2) quando ci si spinge a magnitudini molto alte. Anche una errata stima del RO fornisce risultati simili. Nel caso della PSF bisogna trovare un compromesso sul raggio d'azione: un valore troppo grande elimina troppe stelle deboli (che rientrano nelle lunghe code), mentre uno troppo basso pu o non essere buono perch e elimina troppo le code dall'adattamento lasciando troppa luminosit a al fondo, gli autori dell'algoritmo suggeriscono di usare ' 3 F W HM . La variazione di linearit a dell ADC comporta particolari problemi perch e sposta un certo numero di pixel da una classe all'altra della LF, provocando uno shift nella LF; questo comporta una diminuizione della signi cativit a dell'adattamento della LF (l'incertezza sui valori aumenta no a renderli inutilizzabili). Nonostante la normale forma delle LF sia abbastanza rettilinea (crescente con la magnitudine) prove fatte con forme diverse dimostrano che l'algoritmo e abbastanza robusto e quindi ricostruisce anche forme diverse da quella tipica. L'incremento dell'a ollamento (ottenuto variando la F W HM da 1:5 pixel a 11 pixel) produce e etti devastanti. Infatti la confusione dovuta a questo a ollamento consente ancora di migliorare i risultati

Cap.3 Nuovi algoritmi

di DAOPHOT (che si ferma intorno alla 18-esima magnitudine), ma supera di poco la magnitudine 21, sopra questo valore i risultati sono inutilizzabili per l'entit a dell'errore sulla misura. Come ultima prova l'uso di valori diversi per l'ADU (guadagno della CCD) non comporta variazioni nell'analisi ottenuta con LUMINOUS. L'algoritmo sembra rispettare le aspettative e viene messo alla prova con immagini reali (HST): i risultati sono un numero doppio di stelle rilevato, con un incremento di circa 2 magnitudini nella funzione di luminosit a. E inoltre evidente un limite a questo procedimento in quanto l'incertezza sui risultati cresce molto rapidamente (pi u della LF) e quindi oltre una certa magnitudine si ottengono dati totalmente inattendibili ([Snel97]).

3.7 Confronto delle caratteristiche degli algoritmi Anche se gli algoritmi presentati sono molto eterogenei, sia per il campo di utilizzo che per le tecniche usate, pu o essere di una certa utilit a una breve descrizione di alcune loro caratteristiche messe a confronto. Nella seguente tabella le righe saranno cos organizzate: a) campo di applicazione: e la parte speci ca in cui l'algoritmo agisce tra le varie fasi dell'analisi di una immagine, b) complessit a: fornisce una prima indicazione sulla possibilit a di utilizzare l'algoritmo in modo semplice (piccola routine aggiuntiva) o complesso (programma completo). Viene indicato anche se l'algoritmo e di tipo iterativo, c) vantaggi e d) svantaggi: queste due voci servono per decidere quando un'algoritmo pu o essere utilizzato al posto di un altro valutando caso per caso la necessit a e la disponibilit a dei dati da esaminare.

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a b c d

ltri

Wavelet

deconvoluzione

89 LUMINOUS

ricerca soglia bassa, iterativo aritmetica intera

preprocessing medio bassa miglioramento qualit a dell'immagine

preprocessing medio alta scelta della scala, miglioramento qualit a dell'immagine

preprocessing alta, iterativo pulizia del frame ottenuto

postprocessing alta, iterativo completezza della LF

l'immagine deve essere processata ulteriormente

comparsa di artefatti

necessit a di ricerca dalla scala

conoscenza PSF, false soluzioni

notevoli conoscenze dei tipi di rumore del frame

Tab. 3.1: Caratteristiche dei vari algoritmi trattati. Nel seguito ci siamo concentrati sull'implementazione della Wavelet Transform in un software integrato da noi realizzato, viste le ottime propriet a nella selezione di oggetti a scale diverse e nel migliorare la qualit a delle immagini (eĂ&#x2020;ciente rimozione del fondo).

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Bibliogra a

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Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

Il programma TransVEGA

Abbiamo visto nei precedenti capitoli che vi sono molti algoritmi per a rontare il problema della fotometria stellare. Il contributo di questa tesi a questo insieme di metodi e il programma TransVEGA (Transform to Visualize & Enhance Graphical Analysis) in cui sono applicate tecniche, pi u o meno nuove, per formare un software che permette una completa analisi di immagini astro siche. Lo scopo era quello di realizzare un programma che fosse essibile, di uso trasparente per l'utente e con una interfaccia gra ca. La scelta dell'ambiente di sviluppo e caduta su LabVIEW (versione 5.0) su sistema operativo Windows 95/98 per vari motivi ([Johnson94]): - e un ambiente di sviluppo integrato che permette l'acquisizione, il salvataggio, l'analisi e la visualizzazione dei dati; - e modulare e strutturato; - e un linguaggio gra co, che permette un rapido sviluppo delle applicazioni; questo aspetto permette inoltre una certa facilit a d'apprendimento, utile visto il possibile uso didattico; - e un ambiente che include anche l'interfaccia utente gra ca, facilmente programmabile; - permette di richiamare codice scritto in altri linguaggi (sotto forma di DLL, Dynamic Linked Library o CIN, Code Interface Node); - comunica con altri ambienti di sviluppo. Di fatto LabVIEW e uno standard sia nella ricerca che nell'industria, e pu o essere utilizzato sia per piccole che per grandi applicazioni ([RefLV]). Abbiamo utilizzato anche

Cap.4 Il programma TransVEGA

alcune librerie gra che di LabVIEW (IMAQ Vision 4.0 [Imaq96]) e per alcuni algoritmi il linguaggio C, integrando le DLL nel programma LabVIEW. Il risultato e stato un prodotto modulare che permette ulteriori miglioramenti e aggiunte con un piccolo sforzo, risultato diĂ&#x2020;cile da ottenere con un normale software scritto in C o FORTRAN. Vista la destinazione d'uso del software realizzato possiamo pensare che il programma si trovi in una fase di testing.

4.1 Caratteristiche del programma 4.1.1 Uso didattico Uno degli scopi fondamentali della tesi era di realizzare un prodotto che non presentasse troppi processi automatici ma rendesse partecipe l'utente del maggior numero di operazioni possibile. La scelta di LabVIEW e stata dettata anche dal fatto che nell'ambiente didattico dei corsi di laboratorio di Fisica viene gi a utilizzato con successo. E stata realizzata la massima visibilit a nel processo di calcolo fornendo un ampio numero di parametri disponibili nei vari passaggi. Questo tipo di costruzione e la modularit a dei vari sottoprogrammi rendono il software adatto sia all'uso didattico, che come front-end per implementare algoritmi propri anche avanzati. Il modo di presentazione dei dati, sia in ingresso che in uscita, permette una interattivit a completa: questo e molto importante sia per l'utente che per un insegnante che deve spiegare il funzionamento degli algoritmi. Inoltre ogni passaggio viene e ettuato in sottoprogrammi separati e si possono salvare le immagini modi cate in qualsiasi momento.

4.1.2 Il front-end LabVIEW L'organizzazione generale del programma e ottenuta attraverso pannelli con pulsanti

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relativi alle varie funzioni che richiamano altri pannelli. Questo sistema di men u successivi e molto pratico perch e permette una suddivisione delle varie fasi dell'elaborazione.

FITS file operations

Preprocessing

Load & Save file

Image elaboration

Header & Data display

Statistics

Analyze

Filtering PSF fitting

Crop image

Object search

Palette elaboration

Object fit & subtract

SimulImage

Single star Single image Multiple image

Fig. 4.1: Schema dei pannelli principali e pannello iniziale. Il primo pannello (FITS le operations) racchiude tutte le operazioni che riguardano i

le in formato FITS (Flexible Image Transport System [NOST95]). Il formato FITS viene letto e convertito nel formato interno (formato AIPD a singola precisione), l'utente ha la possibilit a di leggere l'header del le, che contiene numerose informazioni sull'immagine, in particolare sull'organizzazione, la quantit a e il tipo di dati. Inoltre si possono visualizzare i dati numerici che compongono la matrice immagine. Il formato interno dell'immagine sar a quello usato in tutte le altre sezioni del programma. Sempre in

Cap.4 Il programma TransVEGA

questo pannello si possono e ettuare operazioni di ritaglio dell'immagine (crop).

Fig. 4.2: Pannello FITS le operations. L'uso di questa prima parte del programma e in pratica quello di convertire e ispezionare l'immagine per capirne le caratteristiche e quindi le successive fasi di elaborazione. In ausilio a questo viene anche la funzione Statistics che fornisce numerose informazioni sull'immagine e che vedremo meglio nel pannello Preprocessing.

Fig. 4.3: Pannello view header e display image.

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Operazione fondamentale per le successive elaborazioni e il salvataggio delle immagini convertite dal formato FITS: la scelta del formato di salvataggio e abbastanza ampia, quello basilare e l'AIPD (formato interno del programma), e possibile salvare i dati anche in formato BMP o TIFF a 256 livelli di grigio per compatibilit a con molti programmi di gra ca commerciali. Gli altri formati sono: FITS oating point, single precision (con la possibilit a di aggiungere commenti propri), RAW e TXT. Questi due ultimi sono utili per rileggere le immagini con un qualsiasi software che abbia accesso ai le, infatti il formato RAW e una rappresentazione binaria dei valori dei vari pixel dell'immagine, mentre il formato TXT e la matrice di dati in formato ASCII che pu o essere letta da un qualsiasi programma di elaborazione testi o tabelle (ad es. Word o Excel).

Fig. 4.4: Pannello delle funzioni Save. Nel pannello Save sono riportati anche i modi standard per chiamare i le delle immagini, nomi che serviranno durante la procedura automatica di preparazione del frame.

Cap.4 Il programma TransVEGA

4.2 La pre-riduzione delle immagini Da questo pannello si possono e ettuare le operazioni di pulitura del frame dopo aver studiato in dettaglio le caratteristiche dell'immagine.

Fig. 4.5: Pannello delle funzioni Preprocessing.

4.2.1 Caricamento e studio preliminare di un'immagine La funzione principale di questo pannello e Statistics (vedi g. 4.6), che fornisce informazioni dettagliate sul contenuto dell'immagine e permette di decidere tutte le successive elaborazioni. Vengono fornite, sotto forma di un istogramma che indica la quantit a di pixel per ogni tonalit a di grigio, informazioni statistiche sull'immagine. Sono riportati inoltre i valori di luminosit a minima, massima, media e la deviazione standard della media oltre all'area dell'immagine (in pixel). Lo studio di questi dati permette di decidere

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quando un frame di bias e abbastanza uniforme oppure se i valori del frame sono in qualche modo errati per un difetto della CCD o della codi ca.

Fig. 4.6: Pannello della funzione Statistics. L'opzione Showline (vedi g. 4.7) permette la selezione e la visualizzazione di un pro lo di intensit a lungo una linea arbitraria tracciata sull'immagine: questo permette di controllare il pro lo degli oggetti che compongono l'immagine, di valutarne l'a ollamento ed eventuali difetti della CCD (pixel danneggiati o saturati).

Fig. 4.7: Pannello della funzione Showline. Un'altra funzione che sar a quasi sempre presente in tutti i pannelli e Palette elaboration. Questo tasto accede ad un pannello dal quale possiamo cambiare i parametri di

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Cap.4 Il programma TransVEGA

visualizzazione dell'immagine in una nestra separata, senza alcuna modi ca dei dati originali dell'immagine che continua ad essere visibile nella propria nestra.

Fig. 4.8: Pannello delle funzioni Palette elaboration. I parametri modi cabili in questo pannello sono molti e servono per soddisfare i bisogni dell'occhio umano, che apprezza molto bene forme e colori che si trovano in ristretti campi di frequenza (colore) e luminosit a. Variando la luminosit a, il contrasto e il fattore gamma dell'immagine si possono rendere visibili all'occhio un maggior numero di particolari, la relazione tra intensit a dei pixel dell'immagine originale e quella visualizzata nella nestra Image for display e sempre visibile nel gra co LUT plot. Cambiando la palette dei colori tra i cinque tipi a disposizione si possono ottenere contrasti cromatici che esaltano particolari nascosti. Le cinque palette fornite sono: i) Grey: palette con scala di grigi lineare. ii) Binary: palette con colori molto contrastati per visualizzare di erenze nette (immagini binarizzate). iii) Gradient: palette che contiene tutti i colori visibili a sfumare, utilizza al massimo le propriet a di discriminazione del colore dell'occhio. iv) Rainbow: palette simile a gradient ma con una diversa disposizione dei colori. v) Temperature: palette con colore rosso dominante, simula la colorazione di un corpo

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caldo che emette. Essenziale e poi la modalit a negative che inverte l'ordine dei colori trasformando il nero in bianco e viceversa: questo permette di cambiare il rapporto chiaro/scuro dell'immagine e rende visibili, ad esempio, piccoli oggetti neri su fondo bianco, quando, per le particolari caratteristiche dell'occhio, piccoli oggetti bianchi su fondo nero non sono visibili. Particolare attenzione merita la funzione Histogram equalization che modi ca la distribuzione delle intensit a luminose rendendole uniformemente distribuite (vedi l'istogramma della funzione Statistics): questa equalizzazione rende visibile allo stesso modo ogni variazione di luminosit a dell'immagine.

Originale

Grey

Binary

Equalizzata

Gradient

Rainbow

Temperature

Fig. 4.9: E etto dell'equalizzazione su una immagine e scelta delle palette. Ultima funzione, ma non per questo meno importante, e lo Zoom: questa manopola serve per regolare l'ingrandimento dell'immagine visualizzata sia per la nestra Image for display che per l'originale, nella nestra selezionata viene fornita l'indicazione dell'ingrandimento e delle scrollbar permettono di spostarsi nell'immagine qual ora fosse pi u grande della nestra che la contiene.

102

Cap.4 Il programma TransVEGA

4.2.2 Pulizia dell'immagine Dopo aver studiato visivamente e con i vari strumenti a disposizione i frame da analizzare, compresi quelli che riguardano bias e at eld, occorre combinare tutti i dati per ottenere una, o pi u, immagini pulite. Il metodo usato per questo processo e la parte pi u standard e automatica di tutto il programma. Essenzialmente le immagini at eld e bias costituiscono la calibrazione del rivelatore usato per acquisire l'immagine: come abbiamo gi a visto nel primo capitolo il at eld rappresenta il guadagno del rivelatore per ogni pixel, l'immagine andr a quindi pesata con questi dati. Il bias e invece il fondo dovuto all'elettronica del rivelatore e ad altre sorgenti (vedi sempre il primo capitolo) e deve essere sottratto dall'immagine. La procedura e automatizzata fornendo una nomenclatura ben precisa per i nomi dei

le da usare in modo che il pannello Image elaboration proceda autonomamente alla creazione di un'immagine pulita.

Fig. 4.10: Pannello della funzione Image elaboration. Il pannello richiede il numero di immagini di bias e at eld da mediare e i nomi base di questi oltre a quello dell'immagine grezza; i nomi devono seguire le seguenti regole

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##-F-nomefile.APD ##-B-nomefile.APD ##-I-nomefile.APD ##-C-nomefile.APD ##-W-nomefile.APD

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Immagine FLAT FIELD numero ## Immagine BIAS numero ## Immagine GREZZA numero ## Immagine CORRETTA (pulita) numero ## Immagine FILTRATA (wavelet o altro) numero ##.

Tab. 4.1: Nomenclatura dei le per Image elaboration. Il pannello permette di elaborare immagini di bias oppure di inserire un livello sso da sottrarre (quando il bias e molto uniforme); in ogni caso il calcolo e ettuato e il seguente (4:2:1)

I <B> <F >

dove il simbolo < F > indica il valore del at eld medio normalizzato ad 1, < B > il valor medio dei frame di bias (o il singolo valore impostato) e C ed I l'immagine pulita e quella grezza rispettivamente. Quando si hanno vari frame che rappresentano la stessa immagine questi possono essere ripuliti singolarmente e analizzati singolarmente. Eventuali confronti verranno fatti dopo l'analisi. Le immagini generate con questa procedura sono pronte per essere sottoposte alle altre operazioni e verranno da ora in poi chiamate immagini originali.

4.3 Il trattamento e l'analisi dell'immagine Questa sezione e il cuore del programma e racchiude le operazioni fondamentali per l'elaborazione dell'immagine, la ricerca di oggetti e la loro catalogazione.

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Cap.4 Il programma TransVEGA

Fig 4.11: Pannello di analyze. Il principio fondamentale dell'analisi fotometrica e la ricerca di oggetti di natura stellare in un'immagine che in pratica pu o contenere decine di tipi di oggetti diversi (raggi cosmici, galassie, difetti del rivelatore, luminosit a di usa, artefatti, ecc.); e quindi evidente la necessit a di trovare metodi, almeno in parte automatici, che permettono una parziale discriminazione tra ci o che e interessante (il segnale stella) e ci o che non lo e (genericamente rumore). L'obiettivo di solito viene raggiunto attraverso l'uso di particolari sistemi di ltri che cercano di riprodurre quello che di solito fa il sistema occhio-cervello: isolare gli oggetti che hanno una forma che ricorda una stella. In e etti la parte pi u complessa di questi algoritmi e proprio la trasformazione della frase forma che ricorda una stella in operazioni numeriche computabili.

4.3.1 Operazioni di ltering Sotto il nome di ltering abbiamo riunito alcune delle operazioni di ltraggio standard e alcuni nuovi algoritmi descritti nel capitolo 3. Il pannello ltering lavora usando

ltri convolutivi, cio e l'immagine viene combinata attraverso un prodotto di convolu-

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zione con un'immagine base (mask) di dimensione variabile (dimensione della matrice di convoluzione) e forme diverse (tipo di ltro).

Fig. 4.12: Pannello della funzione ltering. I ltri standard possono risultare molto utili per la pulizia dell'immagine e sono in generale utili a livello didattico. Il principio su cui si basano tutti i ltri usati e la convoluzione espressa dalle seguenti relazioni: Z y+ny Z x+nx

(4:3:1)

y ny

F (X; Y ) G(X

x nx yX +ny xX +nx

i=y ny j =x nx

x; Y

y; i ) dX dY = W (x; y; i )

F (Xj ; Yi ) G(Xj

x; Yi y; i ) = W (x; y; i )

la prima rappresenta la convoluzione dell'immagine F (x; y ) con il ltro G(x; y; i ), nel caso continuo e la seconda nel caso discreto, che e quello usato da TransVEGA per le immagini; i rappresentano i parametri del ltro, quindi la sua forma e le sue peculiari qualit a, quali la caratteristica di eliminare i contributi di oggetti di piccola taglia (tipo raggi cosmici) o altri difetti del frame.

106

Cap.4 Il programma TransVEGA

Una importante caratteristica dei ltri usati e la normalizzazione, infatti Z Z

(4:3:2)

jG(x; y; i )j2 dx dy = 1:

Ogni pixel dell'immagine ltrata avr a un valore che e una specie di valor medio dei vicini, ognuno pesato con il valore del punto corrispondente nel ltro: vedremo ltro per ltro il risultato di questa convoluzione e i suoi vantaggi applicandolo a una semplice immagine di prova di 256 256 pixel contenente 50 stelle con pro lo gaussiano di F W HM = 5. { Filtro Gaussian L'applicazione di questo ltro all'immagine di prova determina un'allargamento nell'immagine della singola stella. I parametri di questo ltro sono le dimensioni della matrice di convoluzione e la F W HM della gaussiana. Per ottenere buoni risultati la matrice di convoluzione deve essere almeno 3 volte la F W HM , in questo modo sul bordo della matrice di convoluzione il valore della funzione gaussiana e praticamente zero, infatti ad un lato del ltro, cio e a 1:5 F W HM ' 3:5 il valore del pro lo gaussiano vale 0.003 volte il massimo centrale: nel caso in gura e stata usata una matrice 15 15 e una F W HM = 5. Questo ltro pu o essere usato per ricondurre immagini con pro li non molto regolari a forma gaussiana o usando una F W HM molto grande (' 10 F W HM delle stelle del frame) per studiare il fondo mediato da questo ltro (vedi anche ltro Smoothing).

150 100 50 0 5 10 15

0 10

20 30

25 40 30

50 35 70

Fig. 4.13: Immagine originale e ltrata con Gaussian.

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{ Truncated Lowered Gaussian Filter (TLGF) Nonostante la somiglianza con il ltro gaussian il risultato della convoluzione con una gaussiana troncata ad un certo raggio ed esternamente al raggio sostituito un valore costante minore di zero (in modo da rendere il volume totale zero) e abbastanza diverso. Le stelle vengono ancora allargate ma intorno ad ogni stella si formano zone di intensit a pi u bassa della media del fondo (che appare grigio). Anche in questo caso vale la regola di 3 F W HM per le dimensioni della matrice di convoluzione; il taglio della gaussiana e posto a 0:637 F W HM , cio e 1:5 (quindi a circa met a della larghezza della gaussiana che si azzera a ' 3 ). L'e etto di questo ltro e quello di rendere pi u ripidi i pro li delle stelle e di rendere quindi pi u facile la ricerca di massimi locali (nell'immagine F W HM = 5).

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -8 -7 -6 -5 -5

-4 -3 -2

0 -1 0

Fig. 4.14: Immagine originale e ltrata con il Truncated Lowered Gaussian Filter. { Filtro Mo at Abbiamo inserito questo ltro in quelli disponibili all'utente per completezza, in quanto la somiglianza della funzione di Mo at con la gaussiana rende gli e etti del ltro molto simili a quelli del gaussian: I0 r2 = x2 + y 2 (4:3:3) I (r; ; ) = 2 + s r 1 + 2 In pratica per o la presenza di un parametro in pi u, il , permette di variare la forma della funzione e ottenere un e etto di allargamento maggiore che con la gaussiana

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Cap.4 Il programma TransVEGA

(nell'immagine F W HM = 5, = 2). Lo studio del fondo mediato, ottenuta con F W HM alta e basso pu o essere una applicazione di questo ltro. La funzione di Mo at e usata da alcuni programmi di fotometria come forma della PSF di una stella al posto della semplice gaussiana.

2 1 0 -1 -2 -3 -8 -7 -6 -5 -5

-4 -3 -2

0 -1 0

Fig. 4.15: Immagine originale e ltrata con Mo at. { Filtro Smoothing Questo e un ltro molto particolare: l'unico parametro che lo de nisce e la grandezza della matrice di convoluzione, che risulta composta tutta da 1 (prima della normalizzazione). L'e etto e quello di sostituire il valore di un pixel con la media dei valori nella zona de nita dalla matrice di convoluzione. Di solito il ltro si applica con dimensioni della matrice di convoluzione molto grandi per ottenere immagini uniformi o quasi che rappresentano le variazioni del fondo e dove le stelle, di piccole dimensioni, contribuiscono poco ai valori dei singoli pixel. Nella gura la matrice e di 15 15 pixel.

104 103 102 101 100 99 98 97 96 0

5 0 5

10 10 15

Fig. 4.16: Immagine originale e ltrata con Smoothing.

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{ Filtro Gradient Abbiamo introdotto questo tipo di ltro per usi che esulano da quello dell'analisi di immagini astro siche di tipo stellare. Il nome del ltro descrive la sua funzione: il risultato e un'immagine con intensit a proporzionale alla derivata lungo una certa direzione. L'uso di questo ltro pu o essere la ricerca di bordi di oggetti (ad esempio ammassi non risolti o galassie). Il parametro F W HM e qui sostituito dall'angolo (in gradi) della direzione della derivata. Le dimensioni della matrice di convoluzione determinano la \scala" su cui viene calcolata la derivata: matrici di varie dimensioni forniscono valori di derivata mediati su un numero di pixel uguale alla dimensione della matrice.

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -1.5 -1 -0.5 0

0.5 1

0.5 1.5 1

2 1.5

2.5 3

Fig. 4.17: Immagine originale e ltrata con Gradient. { Filtro Laplacian Anche il questo caso il nome del ltro e esplicativo: l'intensit a di ogni pixel e proporzionale alla derivata seconda dell'immagine (al laplaciano). Nel caso delle stelle si ottiene un anello scuro in corrispondenza della massima inclinazione del pro lo e un massimo in corrispondenza del picco. L'e etto e simile a quello del TLGF, ma senza l'allargamento dovuto alla gaussiana. E molto usato come ltro prima della ricerca di massimi locali (i picchi sono ripidi). La dimensione della matrice di convoluzione determina il numero di pixel su cui mediare il valore della derivata seconda. Il ltro applicato ad oggetti estesi fornisce un'immagine dei bordi degli oggetti (con-

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Cap.4 Il programma TransVEGA

tour); questo e molto utile per delimitare varie zone di una galassia.

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -4 -3 -2 -1 -5

0 1 2

0 3 4

Fig. 4.18: Immagine originale e ltrata con Laplacian.

{ Filtro Morlet e Mexican Hat (WT)

Questi due ltri riassumono molte delle caratteristiche dei ltri precedenti; l'uso delle funzioni di Morlet e Mexican Hat (LoG) a diversi valori del parametro F W HM realizza immagini che compongono la trasformata di Wavelet. La teoria di questo tipo di ltro (presentata nel cap. 3) ci dice che oggetti di forma e dimensione simile a quella della funzione di base della Wavelet (nel nostro caso Morlet o LoG) saranno \evidenziate": variando quindi la scala della Wavelet (la sua F W HM ) si trovano nell'immagine originale gli oggetti che hanno forma e dimensione simile a quella della funzione di base. La scelta della funzione di base e dovuta alla somiglianza con i pro li gaussiani propri delle stelle, ma ben si adatta anche alla ricerca di oggetti estesi come galassie e ammassi globulari.

Questo ltro e simile a quello usato da Borissova (visto nel capitolo 3), ma permette una maggiore essibilit a avendo la possibilit a di variare interattivamente il parametro di scala e le dimensioni della matrice di convoluzione. Nell'immagine F W HM = 5.

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3000 2000 1000 0 5 10 15

0 10

20 30

25 40 30

50 35 70

Fig. 4.19: Immagine originale e ltrata con Morlet.

4.4 Ricerca della Point Spread Function Il metodo su cui si basano quasi tutti i programmi di analisi fotometrica e quello di ipotizzare che la forma degli oggetti del frame abbia una espressione analitica. Nel programma sono previsti due tipi di funzioni che verranno usate per diverse condizioni del frame.

4.4.1 Modelli di Point Spread Function Il primo tipo di funzione adatta a descrivere il pro lo di una stella e la gaussiana bivariata circolare: (4:4:1)

I (r; ) = I0 e

r2 2 2

r2 = x2 + y 2

dove s rappresenta il livello del fondo cielo. Si pu o pensare che l'immagine prodotta su una CCD sia di questa forma dopo il passaggio nell'atmosfera e nelle ottiche del telescopio. Il parametro fondamentale della gaussiana e la sua larghezza espressa da ; questo parametro di larghezza e facilmente collegabile alla F W HM , valore che pu o essere de nito per qualsiasi funzione che abbia una forma a \campana". Utilizzando la F W HM

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Cap.4 Il programma TransVEGA

possiamo confrontare funzioni che dipendono da parametri diversi. Il valore di F W HM per la gaussiana bivariata circolare e

(4:4:2)

F W HM = 2 2 ln 2 = 2:355

quindi una tipica stella con F W HM = 5 pixel avr a come modello di PSF una gaussiana con = 2:123. Un'altro tipo di funzione che ben si adatta ai pro li stellari, con particolare riguardo ai campi a ollati, e la funzione di Mo at. (4:4:3)

I (r; ; ) =

I0 + s 1 + r22

r2 = x2 + y 2

Il motivo che porta alla scelta di questa funzione e puramente empirico, la sua forma e molto simile a quella di una gaussiana, ma attraverso il parametro si pu o variare la lunghezza delle code della funzione. L'uso di code che vanno a zero meno rapidamente e molto utile quando si cerca di adattare il pro lo di stelle con molte compagne vicine che aumentano il livello del fondo. 1 0.9 0.8

Gaussiana Moffat Î˛=5 Moffat Î˛=2

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -10

-5

Fig. 4.20: Sezione massima di gaussiana e Mo at (vari ) F W HM = 5. Anche per questa funzione e facilmente de nibile il parametro F W HM che per o risulta

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

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dipendere sia da che da

(4:4:4)

F W HM = 2 2

per confrontare il valore di F W HM della Mo at con quello della gaussiana vediamone il valore per alcuni in funzione di , infatti il valore di e di solito ssato manualmente mentre viene usato come parametro libero.

F W HM

2:00 1:29 1:02 0:87 0:77 0:70

Tab. 4.2: Valori di F W HM della Mo at in funzione di . Nel seguito, e no ad altra indicazione, lavoreremo con ammassi di stelle, quindi con oggetti della stessa scala.

4.4.2 L'algoritmo di adattamento della PSF

Fig. 4.21: Pannello di PSF tting. Ottenere buoni parametri per la PSF e una condizione necessaria per eseguire la ricerca automatica di stelle in frame di campi a ollati; bisogna allora procedere manualmente

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Cap.4 Il programma TransVEGA

alla ricerca nel frame di stelle isolate su cui e ettuare l'adattamento di una delle funzione scelte. Il programma PSF tting permette interattivamente ed in tempo reale di scegliere una stella, adattare una funzione gaussiana bivariata circolare o di Mo at e salvare i risultati ottenuti. Il metodo usato per l'adattamento della PSF e quello della ricerca della minima perdita quadratica (minimo 2 ); se It (xi ; yj ) rappresenta l'intensit a del pixel (xi ; yj ) dell'immagine reale e Im (xi ; yj ; k ) quella del modello con parametri k abbiamo: (4:4:5)

2 =

A X i;j

It (xi ; yj ) Im (xi ; yj ; k ) 2 :

I parametri k che rendono minimo il 2 sono quelli che forniscono la migliore stima per il modello del pro lo stellare. Il numero di parametri k che compaiono in questa espressione dipende dal tipo di modello utilizzato, ma quelli liberi per entrambi i casi sono 5:

signi cato posizione centro x posizione centro y intensit a massima livello del fondo larghezza

nome parametro X0 Y0 I0 s

Tab. 4.3: Parametri liberi dei modelli di PSF. Per il modello con funzione Mo at il parametro viene ssato prima dell'adattamento perch e la coppia = lasciata libera non converge verso un minimo della funzione 2 . Per quanto riguarda il parametro s abbiamo scelto di considerare il fondo come una costante in quanto la zona dove si e ettua l'adattamento (indicata con A nell'espressione del 2 ) racchiude sempre una zona molto piccola (' 400 pixel); quindi il fondo varier a poco in questa zona.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

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Il metodo usato per minimizzare la quantit a 2 e il Downhill Simplex: questo algoritmo scritto in linguaggio C e derivato da [Recipes97] ed e molto pratico in presenza di funzioni da minimizzare con molti parametri (il metodo di base e indipendente dal numero di parametri). Il principio di funzionamento e semplice e pu o essere spiegato geometricamente se si limitano i parametri liberi a due, x1 ; x2 ; in questo caso possiamo rappresentare la funzione z = 2 (x1 ; x2 ), da minimizzare, come una super cie in uno spazio tridimensionale. Partendo da un punto scelto opportunamente sul piano (x1 ; x2 ) (le condizioni iniziali) si costruisce un simplex, cio e un tetraedro i cui vertici toccano la super cie z = 2 (x1 ; x2 ) e che contiene il punto iniziale. Attraverso operazioni di trasformazione di questo tetraedro (traslazioni, ribaltamenti e deformazioni) si cerca di spostare il simplex verso il vertice con il valore di z pi u basso, cio e verso il minimo della funzione 2 (downhill). L'algoritmo si ferma quando la di erenza di \altezza" tra i vari vertici del tetraedro e inferiore ad un certo valore ssato: questo signi ca che il simplex si trova in un minimo della funzione. Questo metodo funziona perfettamente anche quando il tetraedro si muove in pi u di tre dimensioni, come nel nostro caso, ma e ovviamente impossibile visualizzarne l'interpretazione geometrica. I risultati ottenuti con questo metodo tendono a rendere minimo il valore della funzione 2 , ma non ci forniscono informazioni sulla qualit a dell'adattamento ottenuto. E necessario quindi costruire un indice che fornisca questa informazione. Se chiamiamo la migliore stima dei parametri î abbiamo che 2 ( î ) e la perdita quadratica minimizzata (detta devianza residua): l'adattamento e tanto migliore quanto pi u piccola e la devianza residua. Un indice normalizzato e allora il coeĂ&#x2020;ciente di determinazione: 2 ( î ) (4:4:6) R2 = 1 PA 2 i;j It (xi ; yj ) It dove la quantit a al denominatore e la devianza delle osservazioni It (xi ; yj ) (immagine

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Cap.4 Il programma TransVEGA

reale), cio e la somma degli scarti al quadrato fra i dati e la loro media I t . E evidente che R2 1 e che se l'adattamento e perfetto 2 ( ^i ) = 0 e R2 = 1. Inoltre, sotto certe condizioni si pu o dimostrare che la devianza residua 2 ( ^i ) non pu o essere maggiore della devianza al denominatore, il che garantisce che R2 0. Questa condizione e per esempio che la funzione Im (xi ; yj ; k ) sia del tipo: (4:4:7)

Im (xi ; yj ; k ) = 0 + I~m (xi ; yj ; k 1 )

cio e che abbia un intercetta, proprio come accade con il parametro s dei modelli da noi utilizzati. Se cos non e pu o avvenire che R2 sia negativo. Nel caso regolare R2 = 0, cio e quando la devianza residua e uguale alla devianza delle osservazioni, i valori adattati del modello sono: (4:4:8)

Im (xi ; yj ; ^k ) = I t

quindi il modello e un'immagine costante. Dunque se il coeĂ&#x2020;ciente di determinazione e zero l'adattamento e \cattivo", nel senso che il modello adattato non e dissimile da un modello nullo ([Marchetti]). Il valore di R2 ha un signi cato non assoluto che dipende molto dall'applicazione. Per certi dati viene ritenuto 0.5 un buon adattamento, mentre per altri si cercano valori di R2 maggiori di 0.95. Il valore migliore dipende dalla quantit a di rumore ineliminabile presente nell'immagine studiata: sono quindi da attendersi valori pi u bassi di R2 per livelli di a ollamento pi u alto, cio e qundo vi sono maggiori disturbi alla stella da adattare dovuti alle code delle altre stelle.

4.5 Ricerca e catalogazione degli oggetti Dopo aver ricavato pi u informazioni possibile sulle caratteristiche degli oggetti di un dato frame, l'analisi procede con la ricerca della posizione delle probabili stelle e della

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loro intensit a. Il lavoro di preriduzione e la creazione di immagini opportunamente

ltrate serve ad agevolare questa ricerca, evidenziando gli oggetti di natura stellare. La fase di ricerca si articola in almeno due passi che possono essere ripetuti per aumentare la completezza dei dati.

Fig. 4.22: Il pannello della ricerca di oggetti.

4.5.1 Ricerca dei massimi locali L'algoritmo usato per la ricerca degli oggetti di tipo stellare nei frame si basa sull'analisi del gradiente della matrice che rappresenta l'immagine. Questo gradiente viene ottenuto calcolando le derivate parziali numeriche per mezzo di un polinomio di secondo grado che interpola un certo numero di punti (zona di calcolo) lungo ognuno uno dei due assi dell'immagine e dal valore della derivata di questo polinomio ricavare i punti di estremo (zeri della derivata) della matrice immagine. Le matrici gradiente cos ottenute conterranno punti con valore zero (entro una certa

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Cap.4 Il programma TransVEGA

tolleranza) per entrambe le coordinate: questi punti soddisfano la condizione necessaria di estremo per la funzione. Immagine binaria massimi locali

Originale 4

-1

-2

-3

-4

-2

-3

-4

-2

-4

dz/dx

dz/dy

-2

-4

-6

-8 -4

-2

Fig. 4.23: Costruzione dell'immagine delle derivate parziali. Una semplice veri ca dei vicini del punto scelto ci conferma se il pixel rappresenta un massimo, un minimo o un punto di sella.

Massimo : P > 1,2,3,4 1

2 Minimo : P < 1,2,3,4 Sella

: punti > P e punti < P

4 Zona di calcolo

Fig. 4.24: Condizioni sui vicini del punto di estremo.

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L'algoritmo per il calcolo della derivata parziale lungo uno degli assi cerca comunque gli zeri della derivata soltanto per i punti di massimo (derivata seconda negativa) quindi la veri ca e limitata ai soli punti della gura che non sono compresi nell'algoritmo di derivazione (solo i punti in croce).

Durante la ricerca dei picchi nel frame e molto facile incorrere in artefatti, infatti il rumore di fondo e la struttura stessa dell'immagine (alto crowding) possono formare picchi fantasma che non rappresentano oggetti reali. Esistono inoltre difetti del rivelatore che lasciano tracce reali sul frame e che con questo metodo di ricerca non vengono discriminati. Tutti questi problemi, come abbiamo gi a visto, dovrebbero essere risolti in fase di ltraggio; in e etti tutti i tipi di ltraggio riportati tendono a ridurre il numero di artefatti e difetti del frame (compresi i raggi cosmici) e la ricerca di oggetti in questa immagine ripulita fornisce buoni risultati. Si rende per o evidente un problema ulteriore: l'attenuazione dei picchi degli oggetti che non soddisfano le caratteristiche richieste e sempre proporzionale all'intensit a dell'oggetto stesso. In questo modo un raggio cosmico, di intensit a 100, che viene ridotto di un fattore 10 dal ltro, ed una stella debole di intensit a 10, lasciata invariata dal ltro avranno entrambi intensit a 10:

Prima del filtro 3

CRE

Dopo il filtro 3

stella

-4

-4 -3

-3 -2

-2 -1

-1 0

0 1 2 3 4

-2

-4

-6

1 2 3 4

-2

Fig. 4.25: E etto di un tipico ltro per immagini stellari.

-4

-6

120

Cap.4 Il programma TransVEGA

si realizza un'attenuazione di un fattore 10 per l'oggetto indesiderato, ma il frame risultante sottoposto all'algoritmo di ricerca dei massimi locali trova ancora due picchi della stessa intensit a e quindi due possibili oggetti: alzando la soglia di ricerca si eliminerebbe il CRE, ma anche la debole stella. E evidente che si deve trovare un ulteriore parametro per la ricerca che discrimini gli oggetti, non in base all'intensit a assoluta del frame ma in base al rapporto tra frame ltrato e originale. E stato allora introdotto un nuovo parametro, chiamato resistenza, de nito come: If (xmax ; ymax ) (4:5:1) 0 I0 (xmax ; ymax ) dove If e I0 sono le matrici del frame ltrato e originale rispettivamente, mentre xmax e ymax rappresentano le coordinate di un massimo trovato dall'algoritmo del gradiente (una possibile stella). Dato che per costruzione l'immagine ltrata copre lo stesso range di intensit a dell'immagine originale, il valore della resistenza potr a andare da un minimo di 0 (attenuazione massima del ltro, bassa resistenza dell'oggetto) ad un massimo maggiore di 1 (alta resistenza al ltro): se il ltro e ben costruito gli oggetti interessanti avranno una resistenza vicina all'unit a. I vantaggi di questo metodo sono notevoli in quanto si riduce drasticamente il numero di artefatti e si rende quasi sempre super uo l'uso di una soglia di ricerca che limiterebbe il numero di oggetti trovati a bassa luminosit a ma buoni. La parte del programma che si occupa di questa ricerca utilizza quindi due immagini, quella originale e quella ltrata. La ricerca dei massimi nell'immagine ltrata genera una maschera booleana in cui i massimi locali valgono 1 e tutti gli altri punti 0: l'immagine

ltrata viene quindi trattata con questa maschera e poi passata alle altre fasi (immagine binaria). L'interazione con la fase di ricerca e molto completa: possiamo variare la soglia di ricerca, cio e il livello sopra il quale viene e ettuata la ricerca dei massimi locali nell'immagine ltrata e la resistenza massima (soglia di resistenza); i risultati della ricerca sono visibili attraverso l'elenco degli oggetti trovati, che contiene la posizione,

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l'intensit a del picco originale e il valore della resistenza di ogni oggetto e attraverso il numero di oggetti trovati (reali) e quello degli oggetti trovati senza limitazione di resistenza (totali). Il confronto tra queste due quantit a pu o essere molto utile per valutare il limite del contributo del rumore agli oggetti cercati; infatti se diminuiamo lentamente il valore di resistenza si vede un aumento improvviso nel numero di oggetti trovati (reali) rispetto al totale, questo signi ca che siamo scesi troppo nella soglia di resistenza. L'istogramma del numero di oggetti per classe di resistenza, presente nel pannello, fornisce un ausilio importante per la ricerca di questa soglia: alcune semplici prove ci permettono allora di trovare il valore ottimale di resistenza per la ricerca del maggior numero di oggetti con il minimo contributo di artefatti. Ultimo parametro di questa importante parte del programma e la quantit a border che indica la grandezza della zona di calcolo per l'algoritmo del gradiente e la dimensione della zona da ri lare nell'immagine binaria in cui si e ettua la ricerca: la necessit a della ri latura (che e ssata a 1:5 border ) e dovuta all'apparizione di artefatti lungo i bordi generati dalla modalit a di costruzione delle immagini ltrate (convoluzione). La grandezza della quantit a border deve essere non inferiore alla F W HM , in questo modo il calcolo del gradiente si estende su tutto il picco degli oggetti cercati, o comunque almeno 1=3 della dimensione della matrice di convoluzione del ltro usato (se la matrice di convoluzione non e quadrata si usa la dimensione massima).

valore del picco zero

(0,0)

(0,0) Prima della rifilatura

Dopo la rifilatura

Fig. 4.26: E etto della ri latura sui bordi dell'immagine.

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Cap.4 Il programma TransVEGA

Quando si ritiene che gli oggetti trovati siano quanto di meglio si possa ottenere i dati possono essere salvati in un le ASCII, ordinati per intensit a del picco decrescenti, per essere utilizzati in ulteriori elaborazioni ( le TBL). # stella

coordinata X

coordinata Y

Intensit a

Resistenza

12950.6

0.54

148

341

11560.3

0.78

101

210

10090.7

1.01

...

....

...

Tab. 4.2: Esempio di le TBL.

4.5.2 Miglioramento della stima dei parametri

Fig. 4.27: Pannello del programma di Find & Subtract. Il le di dati ( le TBL) in uscita dalla fase di ricerca fornisce una stima della posizione e dell'intensit a degli oggetti trovati basato sull'immagine originale e ltrata: i valori di queste grandezze non sono quindi ricavate da una ricostruzione dell'oggetto ma soltanto da una prima stima dei suoi parametri. Infatti la posizione dei picchi ha una precisione

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di 1 2 pixel (dovuta all'algoritmo numerico di derivazione) mentre l'intensit a del picco e semplicemente quella del pixel centrato in questo modo. Per migliorare queste stime e opportuno usare il metodo di adattamento utilizzato per la ricerca della PSF: in questo caso la posizione e l'intensit a del picco trovate durante la ricerca forniscono la stima iniziale per l'algoritmo di adattamento, mentre la F W HM e data dalla PSF media gi a ricavata. L'unico parametro da aggiungere e la dimensione della sottomatrice in cui e ettuare il calcolo. La scelta della dimensione della sottomatrice dipende molto dai risultati ottenuti durante la ricerca della PSF media; infatti sottomatrici di 3 4 volte la F W HM media delle stelle del frame sono un buon valore per questo parametro. E comunque evidente che valori pi u piccoli di questo parametro aiuterebbero la convergenza eliminando le altre stelle dalla sottomatrice, ma questo signi cherebbe anche utilizzere pochi pixel per valutare il fondo rendendo il risultato poco attendibile; un valore troppo grande provocherebbe l'e etto contrario, l'adattamento sarebbe completamente distorto dalla presenza di altre stelle nella sottomatrice (questo e sempre vero nel caso di campi molto a ollati).

finestra stretta

finestra giusta

finestra larga

Oggetto da migliorare

Fig. 4.28: Esempi di sottomatrici di varie dimensioni. Nella ricerca dei nuovi parametri per gli oggetti possiamo scegliere come considerare la quantit a F W HM : infatti durante la ricerca della PSF media questo parametro era

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Cap.4 Il programma TransVEGA

libero e il suo adattamento ha fornito proprio la dimensione media della PSF, ora durante questa nuova fase possiamo scegliere se tenerla ssata al valore gi a trovato, e questo e il caso di immagini di campi molto a ollati in cui l'adattamento tenderebbe ad \allargare" la forma della stella per inserire anche i vicini, oppure lasciarla ancora libera nei casi in cui le stelle siano abbastanza isolate o nel frame ci sia una forte variabilit a della F W HM . Come durante la ricerca della PSF media anche qui e molto importante il parametro R2 che ci fornisce informazioni sulla somiglianza tra la funzione adattata e l'immagine originale della stella. Visto che l'adattamento viene eseguito oggetto per oggetto ci saranno molti casi in cui R2 sar a basso per problemi di crowding: poniamo allora un limite a questa quantit a oltre il quale i nuovi parametri adattati per la stella (posizione, intensit a) sono attendibili; questa soglia e detta soglia di somiglianza. Per ottenere parametri migliorati anche per le stelle rimanenti si proceder a in modo iterativo ripetendo l'algoritmo appena descritto.

4.5.3 Sottrazione delle migliori stime e ricerca iterativa Il le di dati ( le TBL) con le stime delle posizioni e delle intensit a viene aggiornato nella procedura di miglioramento dei parametri, ma, come abbiamo visto, sono pochi gli oggetti che raggiungono un adeguato livello di aĂ&#x2020;dabilit a (R2 grande). Per ovviare a questo problema abbiamo deciso che se una stella luminosa ha un buon adattamento (cio e i suoi parametri stimati forniscono un R2 alto) pu o essere de nitivamente sottratta dal frame originale e i suoi dati registrati in un le riservato e cancellati dal le TBL. Il vantaggio di questo metodo e il progressivo diminuire dell'a ollamento ogni volta che una stella viene sottratta: l'ordinamento del le TBL per intensit a decrescenti fa s che per prime vengano sottratte le stelle pi u luminose. Nella fase di miglioramento dei parametri abbiamo posto una ulteriore soglia (soglia di adattamento) che limita la ricerca di parametri migliori alle stelle che superano una certa intensit a: questo serve a

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diminuire i tempi di calcolo, in quanto sotto una certa soglia le probabilit a di ottenere un adattamento aĂ&#x2020;dabile e molto bassa, specialmente in campi molto a ollati. Il valore di questa soglia e in percentuale del valore d'intensit a del massimo picco trovato e pu o essere tenuta bassa nel caso di campi poco a ollati. 7

non adattate adattate

Soglia di adattamento

0 -10

-8

-6

-4

-2

Fig. 4.29: Tipici pro li di un frame con scelta delle stelle da adattare.

Inoltre l'algoritmo di PSF tting e avvantaggiato se l'oggetto da adattare e il pi u luminoso della sottomatrice, in quanto e stato scritto proprio per cercare il picco pi u intenso: con l'ordinamento dato alle stelle ogni sottomatrice dovrebbe contenere una stella centrale pi u luminosa delle altre, infatti tutte quelle pi u luminose che potrebbero essere nella sottomatrice sono gi a state sottratte.

In questo modo viene costruita una tabella che contiene i dati degli oggetti che superano il test sulla soglia di adattamento e sulla soglia di somiglianza e che quindi vengono sottratte dall'immagine e dal le TBL. La nuova tabella viene salvata nel le TBF (tabella

nale) mentre una nuova tabella TBL conterr a le stelle sotto la soglia di adattamento o con basso R2 . I valori delle due soglie sono a discrezione dell'utente che pu o scegliere caso per caso i valori pi u opportuni.

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Cap.4 Il programma TransVEGA

Tabella TBL (in uscita dal SEARCH)

Tabella TBF (in uscita da SUBTRACT)

9001

9000.45

8911

6540.34

6544

5341.78

5340

2910.20

4560

4560 2

8911

3455

3455 5

4560

3455

2780

2001

2922

soglia di ADATTAMENTO 2800

2922

2780

2001

2 R > soglia di somiglianza

..... ..... n

521 n

521

intensitaâ&#x20AC;&#x2DC; Nuova tabella TBL

Fig. 4.30: Flusso dei dati tra le varie tabelle.

La creazione della nuova tabella TBL e accompagnata dalla creazione di una nuova immagine da cui sono state sottratte le stelle della tabella TBF: a tutti gli e etti questa nuova immagine pu o essere considerata un punto di partenza sia per la procedura di miglioramento dei parametri, che per una eventuale nuova fase di ricerca e ltraggio. Infatti si possono utilizzare le nuove immagini per molte sessione di sottrazione delle migliori stime e arrivati ad un limite di luminosit a (soglia minima) fermarsi. Il limite della soglia minima ci dice che l'immagine rimasta e costituita da oggetti molto deboli mai rilevati nelle fasi di ricerca precedenti e che quindi pu o essere vantaggioso ripetere l'operazione di ltraggio e ricerca di oggetti e costruire una tabella TBL completamente nuova. la tabella TBF viene dunque costruita a blocchi, uno per ogni sessione di nd & subtract e conterr a informazioni sulla posizione, l'intensit a, il valore di R2 , della F W HM ed eventualmente di per ogni stella sottratta.

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# stella coordinata X

coordinata Y

Intensit a

F W HM

12.45

58.43

12950.6

0.74

5.2

148.21

341.89

11560.3

0.78

5.7

101.20

210.54

10090.7

0.65

4.7

...

....

...

Tab. 4.3: Esempio di le TBF. Riassumiamo l'intero procedimento in uno schema che rende evidente il carattere iterativo del processo. La presenza di cinque soglie indipendenti e controllabili dall'utente che sono: - soglia di ricerca, - soglia di resistenza (fase di ricerca dei massimi locali), - soglia di adattamento, - soglia di somiglianza (fase di miglioramento della stima dei parametri), - soglia minima (controllo manuale dell'intensit a minima degli oggetti adattati e sottratti), e di una operazione di ltraggio, con altri parametri controllabili dall'utente, rende questo metodo di analisi fotometrica molto essibile e completamente controllabile; questo permette una maggior comprensione dei procedimenti usati durante l'elaborazione e una completa partecipazione dell'utente all'analisi, che era lo scopo desiderato per un sistema didattico.

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Cap.4 Il programma TransVEGA

ordinamento intensitaâ&#x20AC;&#x2DC; Immagine originale

Ricerca di oggetti

creazione file TBL

Soglia di RESISTENZA Soglia di RICERCA

Fit multiplo a 4/5 parametri Soglia di ADATTAMENTO Soglia di SOMIGLIANZA

creazione file TBF II stima dei parametri FINALE

Immagine filtrata I stima dei parametri creazione nuovo file TBL

SOGLIA MINIMA

Nuova immagine originale

Fig. 4.31: Schema generale di una sessione di analisi.

4.6 Calcolo delle magnitudini strumentali. 4.6.1 Integrazione dei pro li. I parametri ottenuti attraverso le varie operazioni di analisi forniscono un'ottima stima per la posizione e l'intensit a del picco della stella. L'informazione essenziale per la sica stellare e la magnitudine della stella, cio e il usso luminoso totale emesso dalla stella in un determinato campo di frequenze: nella fotometria stellare consideriamo questo usso proporzionale alla luminosit a totale di tutti i pixel che costituiscono la stella, e di conseguenza la luminosit a totale della PSF della stella. Per ottenere i valori di magnitudine delle stelle trovate dobbiamo allora integrare il pro lo della PSF: il risultato L sar a proporzionale alla luminosit a totale Ls della stella e dopo una opportuna trasformazione: (4:6:1)

ms = 2:5 log(Ls ) + K

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il valore ms sar a la magnitudine strumentale delle stelle; la costante K rappresenta l'eventuale calibrazione da ottenere con metodi standard, quale il confronto con stelle campione misurate con metodi fotoelettrici. L'integrazione del pro lo non deve essere eseguita realmente in quanto sia per il pro lo gaussiano che per quello di Mo at: (4:6:2)

Ig (r; ) = I0 e Im (r; ; ) =

r2 2 2

1 + r22

r 2 = x2 + y 2

il valore dell'integrale, calcolato no all'in nito (le due funzioni vanno rapidamente a zero all'in nito) e direttamente proporzionale a I0 e solo la funzione di Mo at e dipendente in qualche modo da : (4:6:3)

Ls = =

Z 2 Z

Ig (r; ) d dr / I0 Im (r; ; ) d dr / I0 ( )

Per la funzione di Mo at la dipendenza da ha poca rilevanza in quanto il fattore ( ) sar a lo stesso per tutto il frame (infatti il usato e di solito costante su tutto il frame). I le TBL e TBF conterranno quindi informazioni proporzionali alla luminosit a totale di ogni stella: questa grandezza strumentale avr a poi bisogno di una opportuna calibrazione se dovr a essere confrontata con altri dati.

4.6.2 Istogrammi, funzione di luminosit a. Per meglio analizzare i dati raccolti durante l'elaborazione delle immagini abbiamo realizzato un programma (a cui si accede attraverso il pannello di object search & t) per costruire istogrammi dalle varie colonne delle tabelle TBL, TBF e dal formato COO di DAOPHOT: il programma costruisce e visualizza l'istogramma delle colonne prescelte, speci cando il numero di classi dell'istogramma, vi applica, se richiesta, la trasformazione in magnitudine strumentale e permette di salvare i risultati in un le DAT in formato ASCII per un eventuale uso da parte di altri programmi.

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Cap.4 Il programma TransVEGA

Fig. 4.32: Pannello del programma histogram analysis. Un notevole uso di questo programma e la costruzione dell'istogramma delle intensit a delle stelle (funzione di luminosit a) che riveste una notevole importanza per la sica stellare, come gi a ricordato nel primo capitolo , ma anche per studiare l'andamento del numero di oggetti al variare del parametro di resistenza o della posizione nel frame.

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Bibliogra a

[Imaq96] IMAQ Vision for LabVIEW v.4.0, Reference manual { National Instruments Corporation (1996) [Johnson94] Johnson G.W., LabVIEW graphical programming { McGraw-Hill (1994) [Marchetti] Marchetti G.M., Dipartimento di Statistica, Universit a degli studi di Firenze { comunicazione privata [NOST95] De nition of the Flexible Image Transport System (FITS) { NASA/Science OĂ&#x2020;ce of Standards and Technology (1995) [Recipes97] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P., Numerical recipes in C, Second edition { Cambridge University Press (1997) [RefLV] Masschaele B., Mondelaers W., Lahorte P., Fast on-line charged particle tracing in real magnetic elds { Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A 427 (1999), 350 Bertuzzi Ch., Fontaine J., Frances J.C. Guiard-Marigny A., Josa F., Vadon M., Use of LabVIEW as local supervision for the LEP cooling and ventilation control system { International Conference on Accelerator and Large Experimental Physics Control Systems, Chicago, USA 30/10-03/11 1995 Casey H.M., Developments Towards Autonomous Operation of laser interferometric Gravitational Wave Detectors { Ph.D. Thesis (1999)

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Analisi di immagini simulate e di immagini reali

Per valutare l'eĂ&#x2020;cienza e i limiti dei metodi usati nella ricerca degli oggetti e nel ltraggio delle immagini, abbiamo inizialmente applicato l'analisi a campi simulati. L'analisi di campi simulati risulta essere un metodo oggettivo per studiare le caratteristiche degli algoritmi usati: e quindi molto importante realizzare vari tipi di campi simulati con caratteristiche vicine a quelle ottenibili realmente. Per raggiungere questo risultato abbiamo realizzato un programma, integrato in TransVEGA, per la generazione di immagini simulate.

5.1 Il programma SimulImage per la generazione di immagini simulate Il programma di generazione di immagini simulate si basa su tre componenti costituenti le immagini stellari reali: le stelle, considerate con pro lo gaussiano o di Mo at, il fondo, che pu o essere considerato distribuito in modo poissoniano con l'eventuale aggiunta di un piano, e i difetti, qui introdotti come raggi cosmici (CRE). Per ognuna di queste componenti si possono speci care vari parametri (tabella 5.1), quindi i frame generati potranno simulare zone che vanno dagli ammassi molto aperti e fondo basso e uniforme a zone fortemente a ollate.

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Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

Componenti

Tipo di costruzione

Parametri

stelle

Gaussiana, Mo at

F W HM , , numero, intensit a massima

fondo

distribuzione poissoniana

valore medio,

piano inclinato uniforme inclinazione massima difetti

raggi cosmici

numero di CRE

Tab. 5.1: Componenti dell'immagine simulata. Descriviamo in dettaglio alcuni altri parametri disponibili: - Dimensioni della matrice: indica la grandezza dell'immagine generata in pixel, le dimensioni prede nite sono 512 512 pixel (quelle di una CCD tipica). - Percentuale di vuoto: indica la grandezza del bordo (per distribuzioni uniformi), in percentuale sulle dimensioni della matrice, in cui non compaiono stelle; pu o essere utile per avere una zona in cui sicuramente l'immagine e composta dal solo fondo. - Tipo di distribuzione: Per simulare meglio campi aperti o fortemente a ollati (tipo ammasso globulare) si pu o scegliere se distribuire le stelle nel frame in modo uniforme o gaussiano con centro nel centro dell'immagine. In questo ultimo caso si pu o speci care anche un parametro di concentrazione c, che de nisce il valore della larghezza della distribuzione a : (5:1:1)

a =

n 6c

dove n e la dimensione della matrice (quadrata). All'aumentare di c le stelle si concentrano, aumentando l'a ollamento della zona centrale. Per c = 1 le stelle si distribuiscono

no al bordo dell'immagine: in questo caso n = 6 a , cio e le stelle saranno nella zona che va dal centro no a 3 a , valore per cui la probabilit a di avere una stella e ridotta all'1%. Il numero di stelle previsto per il frame sar a quindi sempre compreso nell'intervallo 3 a dal centro dell'immagine: all'aumentare del parametro c la grandezza delle zone si riduce

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e l'a ollamento delle stelle aumenta. Notare che questo parametro non e correlato alla concentrazione degli ammassi globulari de nita da [King78], cio e al parametro: r (5:1:2) ck = log t rc dove rt rappresenta il raggio limite oltre il quale le stelle non sono pi u legate gravitazionalmente all'ammasso (quindi di fatto il bordo dell'ammasso) e rc rappresenta il raggio del nucleo (core) de nito come la distanza dal centro a cui la luminosit a vale la met a di quella al centro. Il parametro di King e di fatto un parametro di forma. Nel nostro caso infatti questo valore e costante in quanto la forma dell'ammasso simulato e gaussiana:

F W HM = 1:177 a 2 (5:1:3) rt = 3 a 2 3 a cgk = log = log(2:458) = 0:406 F W HM Il parametro c non rappresenta quindi un parametro assoluto, ma la concentrazione dal punto di vista del numero di pixel a disposizione per una singola stella, che e il fattore che pi u in uenza le capacit a degli algoritmi di ricerca degli oggetti. Secondo il parametro c il numero di pixel S a disposizione per ogni stella e: rc =

n2 1 / 2 4Nc c2 dove n rappresenta la dimensione del frame (quadrato) e N il numero totale di stelle del frame. (5:1:4)

Il modo in cui viene costruita l'immagine e simile a quello con cui le stelle vengono de nitivamente sottratte nell'analisi. Invece di sottrarre la stella questa viene aggiunta: si genera una matrice vuota delle dimensioni prescelte e ad ogni iterazione si somma una matrice delle stesse dimensioni contenente una stella in una posizione casuale con intensit a casuale. La stella occupa quindi tutta la matrice e non viene troncata ad un certo raggio ssato, questo fa s che si formino gli stessi e etti di sovrapposizione delle code che si presentano nella realt a: infatti anche se il contributo del pro lo gaussiano o

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Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

di Mo at e minimo a distanza di alcune F W HM pu o accadere che la somma di migliaia di questi contributi posso far apparire questo contributo in modo apprezzabile. L'uso per le immagini della notazione oating point, single precision ci permette di non perdere questi piccoli contributi. Durante questa fase viene anche salvato un le INF contenente le informazioni sulla posizione e l'intensit a di ogni stella generata, che servir a poi per riferimento. Una volta sommate tutte le stelle, si aggiunge, in un unico passaggio, una matrice di valori distribuiti in modo poissoniano (il fondo), poi un numero stabilito di CRE (sotto forma di gaussiane di grande intensit a con F W HM di 1 pixel) in posizioni casuali e in ne un piano inclinato con inclinazione casuale. file INF

gaussiana bivariata matrice vuota

posizione casuale

fondo Poissoniano

# stelle

raggio cosmico

piano inclinato

posizione casuale

inclinazione casuale

immagine simulata completa

# raggi cosmici

parametri vari

media del fondo

quantitaâ&#x20AC;&#x2DC;

inclinazione massima

Fig. 5.1: Schema del procedimento di generazione dei frame simulati. La generazione dei numeri casuali necessari per questo algoritmo e stata e ettuata con programmi scritti in linguaggio C e poi integrati in LabVIEW. Le distribuzioni che vengono prodotte sono ([Recipes97], vedi parte B): - Uniforme: per le coordinate dei centri delle stelle generate (campi uniformi) - Gaussiana: per le coordinate dei centri delle stelle generate (campi gaussiani) - Esponenziale: per le intensit a delle stelle, con questa distribuzione si simula, in modo approssimativo, l'andamento della quantit a delle stelle in rapporto alla loro intensit a. - Poissoniana: per simulare il fondo cielo (fotoconteggi). Vediamo ora le varie modalit a di generazione delle immagini: MultiImage, SingleImage, SingleStar.

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5.1.1 Generazione automatica di pi u immagini

Fig. 5.2: Pannello del programma SimulImage. Dal pannello principale si accede al programma SimulImage, dove si pu o selezionare la modalit a di funzionamento: frame multipli (MultiImage), frame singolo (SingleImage) e singole stelle (SingleStar). Il modo MultiImage consiste nel generare pi u immagini in sequenza automatica con parametri diversi, infatti nel pannello iniziale vengono richieste le informazioni principali per generare tutte le immagini (vedi anche SingleImage); una volta messo in funzione le immagini verranno generate e salvate su disco automaticamente. Durante l'elaborazione un pannello indica l'immagine in costruzione, i suoi parametri e il numero di stelle gi a generate.

5.1.2 Generazione di immagini singole simulate Selezionando questa opzione si accede ad un pannello (simile a quello che appare durante la generazione delle immagini con MultiImage) in cui possiamo agire direttamente

138

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

per variare i parametri della simulazione di un singolo frame.

Fig. 5.3: Pannello del programma SingleImage.

5.1.3 Generazione frame con stelle singole e aggiunta stelle ad immagini reali Questa modalit a ha un triplice uso: si possono generare immagini con una o pi u stelle posizionate in punti e con intensit a decisi dall'utente, aggiungerle ad immagini gi a esistenti, oppure applicare delle maschere uniformi ( at patch) di dimensioni ssate per eliminare eventuali disturbi o difetti (stelle di campo, difetti della CCD). Per questa modalit a si pu o scegliere se aggiungere il fondo poissoniano e il piano inclinato all'immagine o no, questo pu o essere utile nel caso l'immagine esista gi a e quindi abbia un fondo proprio.

Fig. 5.4: Pannello del programma SingleStar.

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139

5.2 Analisi di immagini simulate con DAOPHOT e TransVEGA Abbiamo confrontato gli algoritmi di ricerca di oggetti implementati nel programma TransVEGA con la procedura FIND di DAOPHOT, che e considerato uno standard per questo tipo di analisi ([Stetson87]). Il programma DAOPHOT e ettua una ricerca di massimi locali dopo aver ltrato l'immagine con un particolare ltro. Il modo in cui DAOPHOT procede poi nell'analisi dell'immagine (sottrazione delle stime iterativamente) presuppone varie fasi di ricerca dopo ogni sottrazione. Il programma da noi realizzato e ettua un'unica ricerca di oggetti e solo in casi particolari un'altra fase (quando si scende sotto la soglia minima). Il confronto che abbiamo e ettuato riguarda soltanto la prima fase di ricerca ed e stato e ettuato in ambiente MIDAS/ESO sotto Linux per il programma DAOPHOT. Le immagini simulate costruite per veri care il funzionamento di TransVEGA sono di due tipi: cinque campi con stelle distribuite uniformemente e cinque con stelle distribuite in modo gaussiano, entrambi con intensit a massima di 60000 ADU; quindi e stato utilizzato quasi tutto il range dinamico di una CCD a 16 bit. L'analisi compiuta con TransVEGA consiste in una operazione di ltraggio e nella fase di ricerca vera e propria. Il ltraggio viene eseguito con un ltro di Morlet (Wavelet Transform) con F W HM uguale a quella del frame in esame (che e conosciuta esattamente) e una grandezza della matrice di convoluzione di almeno 3 F W HM . Se calcoliamo il numero di pixel per stella S , come de nito in precedenza, per i cinque frame simulati con distribuzione gaussiana otteniamo (n = 512 e N = 2500):

0.70 1.00 1.25 1.50 1.75

168 82

Tab. 5.2: Numero di pixel per stella in funzione della concentrazione.

140

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

nome frame fondo cielo # stelle distribuzione stelle F W HM 3U

500

2500

uniforme

500

2500

uniforme

500

2500

uniforme

500

2500

uniforme

500

2500

uniforme

5G1

500

2500

gaussiana c = 0:70

5G2

500

2500

gaussiana c = 1:00

5G3

500

2500

gaussiana c = 1:25

5G4

500

2500

gaussiana c = 1:50

5G5

500

2500

gaussiana c = 1:75

Tab. 5.3: Parametri dei frame generati arti cialmente.

considerando che ogni stella ha una F W HM = 5 e chiamando isolate due stelle di uguale intensit a quando i centri distano pi u di F W HM=2 risulta che il numero di pixel occupati As da una singola stella simulata al raggio rm = F W HM=2 e:

(5:2:1)

As = rm 2 =

F W HM 2 4

' 20

quindi nei frame simulati, aumentando la concentrazione, ci sono probabilit a sempre pi u alte di trovare stelle parzialmente sovrapposte: questo e proprio il tipo di immagine che interessa per testare gli algoritmi di ricerca degli oggetti. E da notare che i frame con distribuzione gaussiana riproducono abbastanza bene ammassi globulari reali.

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141

Per la fase di ricerca abbiamo bisogno di speci care alcuni parametri: - border: viene posto uguale alla F W HM del frame, che e conosciuta a priori, come descritto nel capitolo 4 - soglia di ricerca: il livello zero indica la separazione tra oggetti signi cativi alla scala della Wavelet e quelli non signi cativi - soglia di resistenza: questo parametro di nuova introduzione varia da frame a frame; empiricamente lo studio dell'istogramma della soglia di resistenza permette di trovare il valore ottimale per avere basso numero di artefatti. Valori tipici di questa soglia sono tra 0:03 e 0:5. Come vedremo nel seguito, il valore di questo parametro deve essere determinato attraverso correzioni successive. Per la ricerca con il programma FIND di DAOPHOT sono stati usati i parametri standard di ricerca del programma, variando soltanto la F W HM , che e stata adattata a quella conosciuta per ogni frame. Per tutte le immagini e stato impostato un valore di soglia (threshold) uguale a quello consigliato tradizionalmente per DAOPHOT da [Iraf92], cio e 3:5 , dove indica la deviazione standard del fondo cielo (per le immagini p simulate questa e ' s, dove s e il valore medio del fondo cielo). Gli unici altri parametri modi cati, in conformit a alle caratteristiche dei frame, sono stati ([Iraf92]): - HIGH good data: massimo valore accettabile dell'intensit a del frame, posto a 60000 ADU per i frame simulati e 30000 per quelli reali - LOW good data: minimo valore accettabile dell'intensit a del frame, posto a 7 . Per DAOPHOT il valore di risulta dipendente dall'a ollamento del frame, ma e comunque vicino a quello previsto del frame simulato. Per TransVEGA, il valore di non e particolarmente rilevante perch e la trasformata di Wavelet rimuove automaticamente il fondo. I risultati dell'analisi e ettuata sono presentati nelle tabelle 5.4 e 5.5: i valori tra

142

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

parentesi (nelle colonne DAOPHOT e TransVEGA) indicano la quantit a di stelle che hanno una stella corrispondente nel le INF generato durante la creazione dei frame simulati. Questa corrispondenza viene misurata con uno scarto di 2:5 pixel nella posizione per DAOPHOT, mentre e di soli 2 pixel per TransVEGA. L'aumento della tolleranza a 2:5 pixel non porta un aumento apprezzabile di stelle corrispondenti per TransVEGA, ma lo porta per DAOPHOT. Il valore di F W HM=2 = 2:5 pixel e il massimo ammissibile, perch e rappresenta la distanza per cui la stelle occupa l'area As : se l'errore compiuto sulla posizione e maggiore non e possibile decidere se la stella identi cata e quella corretta o una sua vicina. Se indichiamo con nt il numero di stelle identi cate nel frame, con nc quelle corrispondenti a stelle reali e n il numero totale reale delle stelle del frame (2500 nelle nostre simulazioni) le colonne P1 e P2 rappresentano in percentuale i rapporti:

(5:2:2)

P1 =

nc nt

P2 =

nc n

le di erenze tra i due programmi sono notevoli. Osserviamo che TransVEGA identi ca le stelle introducendo pochi artefatti rispetto a DAOPHOT. E quindi provata l'eĂ&#x2020;cienza della trasformata di Wavelet per separare gli oggetti dal fondo e fra di loro. Ovviamente le immagini simulate hanno un andamento abbastanza regolare della forma delle stelle e del fondo. Comunque i frame simulati sono abbastanza simili ad immagini reali acquisite in condizioni medie di osservazione. Nella prima parte di g. 5.5a sono mostrate le prestazioni di TransVEGA e DAOPHOT in funzione della F W HM . Si noti come l'algoritmo di TransVEGA sia abbastanza stabile, conservando un buon rapporto tra numero di oggetti corrispondenti e numero di oggetti identi cati. Invece DAOPHOT diventa meno eĂ&#x2020;ciente al diminuire della F W HM , dove aumentano gli artefatti.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

143

L'andamento generale della seconda parte della g. 5.5a dimostra che il numero di oggetti corrispondenti a stelle reali trovati da DAOPHOT e quasi costante nei frame con distribuzione gaussiana (12 16 % circa), mentre per TransVEGA il numero di oggetti mostra una forte diminuzione all'aumentare dell'a ollamento. Questo suggerisce che gli oggetti identi cati da DAOPHOT sono soprattutto artefatti.

4500

oggetti identificati oggetti corrispondenti

4000

2000

3500

3000

DAOPHOT

1500

TransVEGA

2500

2000

1000

1500

1000

500

0 1

FWHM crescente

5g1

5g2

5g3

5g4

5g5

affollamento crescente

Fig. 5.5a: Andamento del numero di oggetti al variare dei parametri di simulazione. Le di erenze descritte sono particolarmente evidenti nell'istogramma per la posizione x degli oggetti identi cati nei frame con distribuzione gaussiana ( g. 5.5b). Le stelle identi cate da TransVEGA sono concentrate intorno alla posizione 256 (centro del frame), mentre per DAOPHOT la distribuzione degli oggetti identi cati e quasi uniforme. Questo suggerisce che la maggior parte degli artefatti sia dovuta ad oggetti deboli e uttuazioni del fondo.

144

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

5G1 TransVEGA 5G1 DAOPHOT

50 45 40 35 30 25 20 15 10 0

100

200

300

400

500

5G2 TransVEGA 5G2 DAOPHOT

50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

5G3 TransVEGA 5G3 DAOPHOT

50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

5G4 TransVEGA 5G4 DAOPHOT

60 50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

5G5 TransVEGA 5G5 DAOPHOT

60 50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

Fig. 5.5b: Istogramma del numero di oggetti identi cati al variare della posizione x nei frame simulati con distribuzione gaussiana.

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145

La quantit a Res. in tabella indica il valore della soglia di resistenza, scelto in base all'analisi dell'istogramma della resistenza presente nel pannello della ricerca di oggetti. In gura 5.6 sono riportati tre esempi di istogramma. Il numero di oggetti per classe di resistenza Sres e stato calcolato no al valore di 0.5. Vediamo che il numero di oggetti diminuisce bruscamente all'aumentare del valore della soglia di resistenza. Costruendo 1 si osserva un brusco cambiamento dell'andamento, questa un gra co con i valori Sres di erenza tra le due zone di resistenza indica il passaggio dagli oggetti riconosciuti come fondo (con soglia di resistenza bassa) a gli oggetti reali (il cui numero diminuisce molto pi u lentamente al variare della soglia di resistenza). Come si pu o notare dagli istogrammi, le distribuzioni hanno un picco per piccoli valori di resistenza, dopo il quale decrescono rapidamente. Come gi a introdotto nel capitolo 4, la parte dell'istogramma con bassi valori di resistenza corrisponde ad oggetti che riteniamo essere artefatti o raggi cosmici.

# oggetti vs. resistenza

1 / #oggetti vs. resistenza

900

0.5

800 0.4

700

soglia di resistenza = 0.09

600

0.3

500 0.2

400 300

0.1

200 100

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.5

250

0.4

soglia di resistenza = 0.06 200

0.3

150

0.2

100

0.1

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.5

1400

0.5

1200

0.4

soglia di resistenza = 0.075

1000

0.3

5g5

800 600

0.2

400

0.1

200

0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Fig. 5.6: Istogramma del numero di oggetti trovati al variare della resistenza.

146

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

4u Fig. 5.7a: Immagini dei frame 3U, 4U (distribuzione uniforme) e istogramma delle intensit a.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

6u Fig. 5.7b: Immagini dei frame 5U, 6U (distribuzione uniforme) e istogramma delle intensit a.

147

148

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

7u Fig. 5.7c: Immagine del frame 7U (distribuzione uniforme) e istogramma delle intensit a.

frame DAOPHOT P1 % P2 % TransVEGA P1 % P2 % Res. 3U

4419 (796)

18.0

31.8

2077 (1978)

95.2

79.1 0.09

3191 (543)

17.0

21.7

1768 (1535)

86.8

61.4 0.10

1888 (379)

20.1

15.2

1453 (1437)

98.9

57.5 0.06

1558 (308)

19.8

12.3

1189 (985)

82.8

39.4 0.07

1192 (229)

19.2

9.2

983 (940)

95.6

37.6 0.04

Tab. 5.4: Tabella dei risultati delle analisi dei frame con distribuzione uniforme.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

5g1

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

5g2 Fig. 5.8a: Immagini dei frame 5G1, 5G2 (distribuzione gaussiana) e istogramma delle intensit a.

149

150

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

5g3

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

5g4 Fig. 5.8b: Immagini dei frame 5G3, 5G4 (distribuzione gaussiana) e istogramma delle intensit a.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

151

600 500 400 300 200 100 0 1000

10000

5g5 Fig. 5.8c: Immagine del frame 5G5 (distribuzione gaussiana) e istogramma delle intensit a.

frame DAOPHOT P1 % P2 % TransVEGA P1 % P2 % Res. 5G1

1790 (339)

18.9

13.6 1353 (1272) 94.0

50.9

0.05

5G2

2006 (398)

19.8

15.9 1060 (1049) 99.0

42.0

0.06

5G3

2094 (363)

17.3

14.5

875 (838)

95.8

33.5

0.06

5G4

2204 (300)

13.6

12.0

655 (639)

97.6

25.6 0.075

5G5

2171 (289)

13.3

11.6

587 (539)

91.8

21.6 0.075

Tab. 5.5: Tabella dei risultati delle analisi dei frame con distribuzione gaussiana.

152

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

5.3 Analisi di immagini reali con DAOPHOT e TransVEGA nome frame ltro F W HM DAOPHOT TransVEGA Resistenza NGC458

NGC1831

NGC2159

3.6

931

1009

0.07

3.4

876

1027

0.07

3.4

652

1003

0.05

3.25

744

1115

0.05

3.25

423

421

0.06

3.3

408

380

0.06

3.3

2093

2132

0.08

3.25

2085

2298

0.06

2089

2255

0.06

1921

2358

0.05

1498

1645

0.05

2.9

1506

1670

0.05

3.3

1102

1408

0.06

3.2

1161

1377

0.07

3.1

1018

1328

0.06

3.2

1016

1320

0.06

2.9

760

740

0.06

2.8

795

782

0.06

Tab 5.6: Analisi di frame reali (fondo basso). Per l'analisi di frame reali abbiamo usato le immagini fornite dal Dott. V. Ripepi ([Ripepi]), relative ad osservazioni e ettuate nel 1996 presso l'osservatorio olandese de

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

153

La Silla (Cile) che dispone di un ri ettore di 91cm di diametro. Tutte i frame sono stati trattati con immagini di bias e at eld con il programma TransVEGA e poi analizzate come gi a descritto per i frame simulati. Le immagini sono relative a tre ltri: Blu (B), Visibile (V), e Infrarosso (I). nome frame ltro F W HM DAOPHOT TransVEGA Resistenza NGC1856

NGC1903

NGC1958

3.5

3390

1924

0.15

3.5

3803

2178

0.16

3.5

3451

2089

0.15

3391

2101

0.14

3.3

2685

2227

0.09

3.2

4660

2545

0.24

3.3

4361

2379

0.24

3.1

4579

2707

0.22

3.1

4630

2593

0.23

3997

2303

0.16

2.9

3838

2381

0.15

3.3

4689

2632

0.23

3.3

4768

2570

0.25

3.4

4216

2314

0.22

3.2

4757

2637

0.23

2.9

4172

2550

0.14

4117

2425

0.15

Tab 5.7: Analisi di frame reali (fondo alto). I risultati delle analisi sono illustrati nelle tabelle 5.6 e 5.7. La divisione in due gruppi di queste immagini e dovuta ad una netta di erenza nei valori del parametro di resi-

154

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

stenza applicati durante la ricerca con TransVEGA, di erenza che si riscontra anche in un'analisi visuale dei frame: il primo gruppo ha un fondo medio pi u basso. Analizziamo ora nel dettaglio i risultati ottenuti frame per frame: abbiamo costruito per ogni immagine l'istogramma della resistenza (come gi a visto per i campi simulati) e quello con il numero di oggetti per posizione (coordinata x), per il confronto tra DAOPHOT e TransVEGA.

5.3.1 NGC458, NGC1831, NGC2159 Questi sono i frame disponibili con il fondo migliore, cio e abbastanza basso ( g. 5.11a, b, c). In questi casi i risultati di DAOPHOT e TransVEGA sono confrontabili. Il parametro di resistenza mostra il tipico andamento osservato anche nei frame simulati, la soglia per questi frame e entro il valore 0.08 ( g. 5.12). Per questo gruppo di frame il confronto con DAOPHOT mediando le due immagini dello stesso ltro ci fornisce i seguenti valori per il rapporto percentuale: (5:3:1)

P3 =

nT V nDAO

nome frame ltro P3 % nome frame ltro P3 % nome frame ltro P3 % NGC458

112.67

V I

NGC1831

106.03

151.72

96.39

NGC2159

123.07

115.04

130.19

110.35

97.88

Tab. 5.8: Andamento del rapporto percentuale P3 nei frame con fondo migliore.

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155

Il numero di oggetti trovati da TransVEGA e quasi sempre superiore a quello di DAOPHOT: il guadagno di TransVEGA aumenta con il passaggio da infrarosso a visibile per poi decrescere per il ltro blu, questo e etto pu o essere dovuto alla diversa qualit a del frame per i tre ltri.

160

P 3

NGC458 NGC1831 NGC2159

140

120

DAOPHOT

100

B 0 0.5

V 1.5

I 2.5

3.5

Fig. 5.9: Andamento del rapporto percentuale P3 nei frame degli ammassi NGC 458, NGC 1831, NGC 2159.

Anche in questo caso lo studio dell'istogramma della posizione x degli oggetti nei frame ( g. 5.10) ci fornisce alcune indicazioni: le stelle sono concentrate intorno alla zona centrale del frame (come si nota nelle immagini degli ammassi in esame). La di erenza pi u evidente rispetto ai frame simulati dello stesso tipo e che la distribuzione e evidente sia per TransVEGA che per DAOPHOT. I risultati ottenuti per questo tipo di frame con fondo migliore sono molto simili per entrambi i programmi. Osserviamo che l'istogramma del parametro di resistenza ( g. 5.12) per i tre ammassi conferma la notevole somiglianza nel tipo e nella qualit a del fondo.

156

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

TransVEGA DAOPHOT

NGC 458

100

200

300

400

500

NGC 1831

60 50 40 30 20 10 0 0

100

200

300

400

500

NGC 2159

35 30 25 20 15 10 5 0 0

100

200

300

400

500

Fig. 5.10: Istogramma del numero di oggetti al variare della posizione x per gli ammassi NGC 458, NGC 1831, NGC 2159.

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NGC 458

NGC 1831

Fig. 5.11a: Frame NGC 458, g. 5.11b: Frame NGC 1831.

157

158

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

NGC 2159 350

+ NGC 458 X NGC 1831 * NGC 2159

300 250 200 150 100 50 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Fig. 5.11c: Frame NGC 2159, g. 5.12: Istogramma del parametro di resistenza.

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159

5.3.2 NGC1856, NGC1903, NGC1958 Per questi frames il fondo appare meno uniforme e pi u elevato rispetto agli altri ( g. 5.15a, b, c), tutte condizioni che tendono a produrre una notevole quantit a di artefatti. I risultati ottenuti con i due programmi di eriscono notevolmente: la soglia di resistenza e quasi sempre superiore a 0.1 ( g. 5.16), quindi vengono eliminati da TransVEGA molti degli oggetti trovati da DAOPHOT. Anche in questo caso possiamo costruire il rapporto percentuale P3 con la media sui frame dello stesso ltro: nome frame ltro P3 % nome frame ltro P3 % nome frame ltro P3 % NGC1856

57.03

V I

NGC1903

54.58

60.53

71.23

NGC1958

55.01

57.55

55.18

59.78

60.02

Tab. 5.9: Andamento del rapporto percentuale P3 nei frame con fondo peggiore. Dai risultati ottenuti con i frame simulati possiamo ipotizzare che il divario tra le prestazioni di DAOPHOT e quelle di TransVEGA in questi frame sia dovuto a falsi oggetti trovati da DAOPHOT. Infatti anche nei frame simulati il rapporto tra gli oggetti trovati dai due programmi era in media del 50% e dai riscontri e ettuati su questi frame sappiamo che gran parte degli oggetti rilevati da DAOPHOT erano artefatti. Le di erenze tra i vari ltri sono anche in questo caso imputabili a di erenze di qualit a tra i frame relativi a ltri diversi (questo si nota anche dal diverso valore di soglia di resistenza).

160

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

100

NGC1856 NGC1903 NGC1958

DAOPHOT

P 3 80

B 0 0.5

V 1.5

I 2.5

3.5

Fig. 5.13: Andamento del rapporto percentuale P3 nei frame degli ammassi NGC 1856, NGC 1903, NGC 1958. Anche in questo caso lo studio dell'istogramma della posizione x degli oggetti nei frame ( g. 5.14) ci fornisce alcune indicazioni. Le stelle identi cate da TransVEGA sono ancora concentrate intorno alla zona centrale del frame (ma in modo meno pronunciato che nei frames precedenti), mentre le stelle identi cate da DAOPHOT sono distribuite quasi uniformemente. Si nota dall'istogramma della resistenza ( g. 5.16) che i frames sono ragionevolmente simili, ma il parametro di resistenza e notevolmente pi u elevato a causa del maggior rumore. Possiamo concludere quindi che gli algoritmi implementati in TransVEGA si rivelano particolarmente eĂ&#x2020;cienti sotto due punti di vista: - garantiscono una identi cazione aĂ&#x2020;dabile degli oggetti nella zona densamente popolata, dove riescono a separare anche stelle parzialmente sovrapposte, - garantiscono inoltre un numero di artefatti relativamente basso nelle regioni a bassa luminosit a.

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161

100

TransVEGA DAOPHOT

NGC 1856

90 80 70 60 50 40 30 20 0

100

200

300

400

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30

500

NGC 1903

100

200

300

400

500

130

NGC 1958

120 110 100 90 80 70 60 50 40 0

100

200

300

400

500

Fig. 5.14: Istogramma del numero di oggetti al variare della posizione x per gli ammassi NGC 1856, NGC 1903, NGC 1958.

162

Cap.5 Analisi di immagini simulate e di immagini reali

NGC 1856

NGC 1903

Fig. 5.15a: Frame NGC 1851, g. 5.15b: Frame NGC 1903.

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163

NGC 1958 350

+ NGC 1856 X NGC 1903 * NGC 1958

300 250 200 150 100 50 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Fig. 5.15c: Frame NGC 1958, g. 5.16: Istogramma del parametro di resistenza.

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165

Bibliogra a

[Iraf92] Massey P., Lindsey D.E., A user's guide to stellar CCD photometry with IRAF { School of Physics and Astronomy, the Florence & George Wise observatory. The Raymond and Beverly Sackler Institute of Astronomy. Tel Aviv University (1992) [King78] King I., Globular clusters { Cambridge University Press (1978), cap. 13 [Recipes97] Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P., Numerical recipes in C, Second edition { Cambridge University Press (1997) [Ripepi] Ripepi V., Osservatorio astronomico di Capodimonte, Napoli { comunicazione privata [Stetson87] Stetson P.B., DAOPHOT: A computer program for crowded- eld stellar photometry { PASP 99 (1987), 191

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167

Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini

Gli algoritmi implementati nel corso della tesi non sono limitati all'applicazione nel solo campo astro sico. L'abilit a dell'algoritmo di identi care oggetti anche sovrapposti pu o essere molto utile anche in situazioni tipo cell counting. Un esempio di questo tipo e dato dal conteggio di corpuscoli in una capsula Petri. Inoltre in molte applicazioni industriali e necessario riconoscere oggetti tipo grani di piccole dimensioni. In ne, alcune patologie, quali le calci cazioni nelle mammogra e, appaiono come oggetti luminosi su un fondo generalmente a basso contrasto. Abbiamo quindi provato ad applicare la Wavelet Transform ad esempi dei tipi citati. I risultati ottenuti su alcune immagini di test sono particolarmente promettenti.

6.1 Immagini da microscopio a forza atomica Abbiamo trovato in rete alcune immagini realizzate con un Microscopio a Forza Atomica (AFM) relative allo studio dei modi di aggregazione dei punti quantici generati dalla deposizione di InAs su super ci di GaAs e AlGaAs ([AFM00]). Per tutte le immagini e stato seguito il procedimento di analisi usato nel capitolo 5. Le dimensioni dell'immagine sono di 512 512 pixel, con pixel di dimensioni reali di 3.9nm. Come si pu o vedere per le prime due immagini ( g. 6.1, 6.2) e stato possibile contare manualmente, con una certa precisione, il numero di oggetti presenti (colonna a, tab. 6.1): possiamo considerare questo valore come un riferimento per le analisi. I risultati ottenuti per l'immagine A sono molto buoni, considerando che gli oggetti

168

Cap.6 Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini

sul bordo sono diĂ&#x2020;cilmente identi cabili con un ltro convolutivo di Morlet (Wavelet Transform). immagine

F W HM dimensioni (nm) border resistenza

' 217 200 B (6.2) ' 269 240

0.10

C (6.3)

0.04

A (6.1)

{

1485

Tab. 6.1: Risultati dell'analisi delle immagini del AFM.

La dimensione media degli oggetti e 10 pixel, quindi anche se il pro lo non e gaussiano e stato scelto un valore della F W HM = 10. Proprio la necessit a di trovare oggetti vicino al bordo ha fatto ridurre il valore del parametro border alla met a del valore consigliato. Il numero di oggetti trovati (colonna b) identi cati con l'algoritmo e vicino a quello trovato manualmente se non si considerano oggetti troppo vicini al bordo.

Fig. 6.1: Immagine A, InAs su GaAs a 500Ă&#x2020; C.

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

169

300

intensitaâ&#x20AC;&#x2DC;

resistenza 250

60 200 50

150

30 100 20 50 10

0 105

0 110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Fig. 6.1a: Istogramma di intensit a e resistenza per gli oggetti trovati. Anche nell'immagine B i risultati sono molto buoni, la forma degli oggetti e completamente diversa da quella dell'immagine A, ma comunque abbastanza tondeggiante da essere rilevata dal programma.

Fig. 6.2: Immagine B, InAs su AlGaAs a 500Ă&#x2020; C.

170

Cap.6 Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini

Gli istogrammi di intensit a e di resistenza mostrano una notevole uniformit a della luminosit a degli oggetti, ben visibile dalle immagini e una bimodalit a nell'andamento della resistenza. La soglia di resistenza e stata scelta eliminando la prima parte dell'istogramma, poich e rappresenta con grande probabilit a artefatti di vario genere, generati dal fondo variabile. 70

400

intensitaâ&#x20AC;&#x2DC;

resistenza

350

300 50 250 40 200 30 150 20 100

0 100

0 110

120

130

140

150

160

170

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Fig. 6.2a: Istogramma di intensit a e resistenza per gli oggetti trovati.

L'immagine C presenta parecchie di erenze rispetto alle altre due: il numero di oggetti e notevolmente maggiore e ogni oggetto e pi u piccolo. Nonostante la presenza di alcuni oggetti pi u grandi, non rilevanti per l'analisi, la dimensione media degli altri oggetti e comunque molto uniforme, intorno a 7 pixel (F W HM = 7).

La quantit a border e stata ridotta di conseguenza a 4 pixel mentre la soglia di resistenza mostra ancora una bimodalit a, anche se meno accentuata, da cui si ricava una soglia pi u bassa (0.04).

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

171

Fig. 6.3: Immagine C, InAs su AlGaAs a 530Ă&#x2020; C. 300

160

intensitaâ&#x20AC;&#x2DC;

resistenza

140

250 120 200 100

150

60 100 40 50 20

0 90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Fig. 6.3a: Istogramma di intensit a e resistenza per gli oggetti trovati.

172

Cap.6 Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini

6.2 Conteggio di corpuscoli e cellule Un'altro tipo di immagini che ben si presta ad un'analisi con TransVEGA e il conteggio di piccoli corpuscoli o di cellule che di solito viene realizzato manualmente. In queste immagini gli oggetti interessanti appaiono come macchie pi u scure del fondo: una semplice inversione dei valori di intensit a dell'immagine rende possibile l'analisi con il programma TransVEGA (che cerca i massimi d'intensit a).

Fig. 6.4: Immagine A, alghe microscopiche. Gli oggetti dell'immagine A ( g. 6.4) sono alghe microscopiche di forma rotondeggiante ([Glasbey95]), ma con un andamento della luminosit a super ciale che non e certamente gaussiano. La dimensione di questi oggetti e molto uniforme attorno a 20 pixel, abbiamo quindi usato una F W HM = 20 e anche per questa immagine, vista la presenza di oggetti vicini al bordo, un border molto piccolo, di soli 8 pixel. L'uso di un border cos piccolo crea un problema: l'analisi del gradiente dell'immagine viene calcolato interpolando i valori di intensit a per una dimensione pari a border (vedi capitolo 4), in questo caso gli oggetti sono molto pi u grandi di questa quantit a e soprattutto non hanno un solo picco

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

173

all'interno della loro super cie. Questo provoca per alcuni oggetti un riconoscimento multiplo, con due picchi all'interno dello stesso corpuscolo. Il valore di soglia di resistenza abbastanza alto (1.1) e dovuto alla combinazione del valore del fondo (grigio, alto) e alla forma degli oggetti (uniforme) che fa s che gli oggetti abbiano resistenza molto alta e una marcata bimodalit a.

Fig. 6.5: Immagini B, C, D, capsule Petri. Le immagini B, C, D ( g. 6.5) rappresentano colture di batteri in una capsula Petri a vari stadi di crescita ([MACE00]). La qualit a delle immagini e bassa, ma comunque suĂ&#x2020;ciente ad un'analisi con TransVEGA: la F W HM degli oggetti e al minimo 2.5 pixel, cio e leggermente sotto il limite del buon campionamento, ma abbastanza per il riconoscimento degli oggetti. Per l'immagine B e stato necessario compiere uno studio particolare per la presenza di oggetti a varie scale. Le quattro analisi realizzate sono relative a quattro valori di F W HM usati nel ltro di Morlet e nelle nostre intenzioni avrebbe dovuto selezionare gli oggetti a quella scala. In pratica il risultato si ottiene usando una soglia di ricerca pi u alta del valore zero normalmente usato e non usando la soglia di resistenza. Questo problema e dovuto alla poca di erenza tra le varie forme degli oggetti che mostrano un

174

Cap.6 Estensione degli algoritmi ad altri tipi di immagini

contrasto molto simile, ma valori massimi abbastanza diversi da poter essere selezionati da una soglia. immagine

A (6.4)

B (6.5)

C D

F W HM border resistenza soglia/max 20

1.1

{

90/255

{

90/255

{

90/255

{

90/255

2.5

0.41

{

2.5

0.35

{

' 50 9

' 92 105 ' 160 175

I valori numerici trovati per questa immagine ci dicono che i risultati ottenuti per gli oggetti pi u grandi possono includere alcuni degli oggetti a scala pi u piccola e viceversa (la somma dei quattro valori e pi u grande del numero e ettivo di oggetti). Per le immagini C e D e stato usato il normale metodo della soglia di resistenza, che come gi a spiegato, e alto perch e gli oggetti hanno valori di resistenza molto simili tra loro (la bimodalit a e molto accentuata). Il numero di oggetti trovati e compatibile con quello vero, l'eccesso e probabilmente dovuto a riconoscimenti multipli ed e etti del bordo.

6.3 Microcalci cazioni Un aspetto rilevante dell'imaging medico e dato dalla ricerca di calci cazioni in mammogra e. E opportuno, per questo tipo di indagine, disporre di algoritmi che lavorino anche su scala variabile, come la Wavelet Transform implementata in TransVEGA. Per dimostrare il funzionamento di questo ltro abbiamo usato una mammogra a estratta da [MIAS94] con risoluzione di 200 m per pixel. Questa immagine e corredata di infor-

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

175

mazioni sulla posizione ed estensione di due microcalci cazioni che attraverso il ltraggio sono messe in evidenza, risultando pi u luminose del resto dell'immagine. La F W HM del ltro usato e stata di 7 pixel e la matrice di convoluzione di 21 21 pixel.

Fig. 6.6: Parte di mammogra a contenente microcalci cazioni, prima e dopo il ltraggio. Risulta particolarmente evidente l'e etto del ltro se osserviamo l'immagine in negativo dopo aver binarizzato l'immagine ltrata (soglia ssata a zero, come descritto nel capitolo 4).

Fig. 6.7: Immagine ltrata e binarizzata (negativa).

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177

Bibliogra a

[AFM00]

AFM Images of Self Organised InAs/GaAs Quantum Dots, http://www.sp.phy.cam.ac.uk/.if10004/AFM/index.html ~

[Glasbey95] Glasbey C.A., Horgan G.W., Image Analysis for the Biological Sciences { Wiley (1995) [MACE00] Bacterial colony counting machine, http://www.colonycount.com/mace examples.html

[MIAS94] Suckling J. et al, The Mammographic Image Analysis Society Digital Mammogram Database, Exerpta Medica { International Congress Series 1069 (1994), pp. 375-378

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179

Conclusioni

La realizzazione del programma TransVEGA ha richiesto un notevole impegno per realizzare un prodotto nito utilizzabile da una vasta gamma di utenti. I risultati, per quanto riguarda l'applicazione degli algoritmi usati per l'identi cazione degli oggetti, sono stati pi u che soddisfacenti. Il completamento della seconda fase dell'analisi, quella della stima e sottrazione delle stelle, potrebbe rendere il programma competitivo con alcuni dei software standard in uso nell'ambiente astro sico. Per il futuro di questo programma sono sicuramente interessanti le possibili applicazioni al di fuori dell'ambito astro sico, arricchendo il numero di ltri disponibili e aggiungendo moduli per l'analisi morfologica degli oggetti, non prevista inizialmente tra gli scopi di questo lavoro.

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181

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

La maggior parte del programma TransVEGA e stata scritta in linguaggio LabVIEW. Questo comporta alcuni problemi nel riportare su carta i sorgenti dei vari programmi: ogni sottoprogramma (chiamato Virtual Instrument o brevemente VI in LabVIEW) e descritto da un pannello visibile all'utente e da un diagramma, quindi da immagini. Ognuno di questi diagrammi contiene delle icone che rappresentano blocchi del programma. Alcune particolari strutture (sequence e case) eseguono istruzioni diverse in sequenza o in funzione di un parametro: quindi le istruzioni non sono visibili contemporaneamente nell'immagine.

Fig. A.1: Esempio di struttura case e sequence. Queste strutture si comportano come fogli di un blocco che pu o essere sfogliato. Oltre al diagramma generale vengono quindi visualizzate di seguito anche gli altri fogli di queste particolari strutture. Per illustrare completamente il programma sarebbero necessarie molte decine di pagine di diagrammi: qui di seguito riportiamo parte o tutto il diagramma dei pi u importanti VI realizzati e uno schema generale dei collegamenti tra i vari VI.

182

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.2: Gerarchia dei VI del programma TransVEGA.

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Fig. A.3: Diagramma principale del programma TransVEGA.

183

184

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.4: Diagramma dei VI FITS le operation e preprocessing.

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Fig. A.5: Diagramma dei VI analysis e multi image.

185

186

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.6: Diagramma del VI per la lettura dell'header FITS.

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Fig. A.7: Diagramma dei VI per la lettura dei dati FITS e del ltering.

187

188

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.8: Diagramma del VI di single image.

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Fig. A.9: Diagramma del VI per il cropping delle immagini.

189

190

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.10: Diagramma dei VI di image elaboration e salvataggio FITS.

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Fig. A.11: Diagramma del VI di Psf tting.

191

192

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.12: Diagramma dei VI di Palette elaboration, Lut control e con gurazione.

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Fig. A.13: Diagramma dei VI di Object search e del calcolo della PSF.

193

194

A. Sorgenti dei programmi LabVIEW

Fig. A.14: Diagramma del VI di ricerca dei massimi.

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Fig. A.15: Diagramma dei VI di t & subtract.

195

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197

B. Sorgenti dei programmi C

Le librerie DLL (Dynamic Linked Library) realizzate in C per il programma TransVEGA sono due: random generators.dll e fit library.dll, utilizzate rispettivamente per la generazione di numeri casuali e per il calcolo dell'adattamento di una funzione gaussiana o di Mo at. La libreria random generators.dll contiene le seguenti funzioni visibili dall'esterno: - ran1(long *i): genera un numero casuale distribuito uniformemente tra 0 e 1, i rappresenta il seme del generatore - expdev(long *i): genera un numero casuale distribuito secondo un'esponenziale decrescente - gasdev(long *i): genera un numero casuale distribuito in modo normale con media 0 e varianza 1 - poidev(float x,long *i): genera un numero casuale distribuito in modo poissoniano con media x. #include <windows.h> #include <math.h> #include "random.h" #define PI 3.141592654 /* Funzione GAMMA */ float gammln(float xx) { double x,y,tmp,ser; static double cof[6]={76.18009172947146,-86.50532032941677, 24.01409824083091,-1.231739572450155, 0.1208650973866179e-2,-0.5395239384953e-5}; int j; y=x=xx;

198

B. Sorgenti dei programmi C

tmp=x+5.5; tmp -= (x+0.5)*log(tmp); ser=1.000000000190015; for (j=0;j<=5;j++) ser += cof[j]/++y; return -tmp+log(2.5066282746310005*ser/x);

} /* Funzione che restituisce valori distribuiti ESPONENZIALMENTE */ float APIENTRY expdev(long *idum) { float APIENTRY ran1(long *idum); float dum; do { dum=ran1(idum); } while (dum == 0.0); return -log(dum); } /* Funzione che restituisce valori distribuiti GAUSSIANAMENTE */ float APIENTRY gasdev(long *idum) { float APIENTRY ran1(long *idum); static int iset=0; static float gset; float fac,rsq,v1,v2; if (iset == 0) { do { v1=2.0*ran1(idum)-1.0; v2=2.0*ran1(idum)-1.0; rsq=v1*v1+v2*v2; } while (rsq >= 1.0 || rsq == 0.0); fac=sqrt(-2.0*log(rsq)/rsq); gset=v1*fac; iset=1; return v2*fac; } else { iset=0; return gset; } } /* Funzione che restituisce valori distribuiti POISSONIANAMENTE */ float APIENTRY poidev(float xm, long *idum) { float gammln(float xx); float APIENTRY ran1(long *idum); static float sq,alxm,g,oldm=(-1.0); float em,t,y; if (xm < 12.0) { if (xm != oldm) { oldm=xm; g=exp(-xm); }

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99 em = -1; t=1.0; do { ++em; t *= ran1(idum); } while (t > g); } else { if (xm != oldm) {

do {

return em;

}

oldm=xm; sq=sqrt(2.0*xm); alxm=log(xm); g=xm*alxm-gammln(xm+1.0);

do { y=tan(PI*ran1(idum)); em=sq*y+xm; } while (em < 0.0); em=floor(em); t=0.9*(1.0+y*y)*exp(em*alxm-gammln(em+1.0)-g); } while (ran1(idum) > t);

} #define IA 16807 #define IM 2147483647 #define AM (1.0/IM) #define IQ 127773 #define IR 2836 #define NTAB 32 #define NDIV (1+(IM-1)/NTAB) #define EPS 1.2e-7 #define RNMX (1.0-EPS) /* Funzione che restituisce valori distribuiti UNIFORMEMENTE */ float APIENTRY ran1(long *idum) { int j; long k; static long iy=0; static long iv[NTAB]; float temp; if (*idum <= 0 || !iy) { if (-(*idum) < 1) *idum=1; else *idum = -(*idum); for (j=NTAB+7;j>=0;j--) { k=(*idum)/IQ; *idum=IA*(*idum-k*IQ)-IR*k; if (*idum < 0) *idum += IM; if (j < NTAB) iv[j] = *idum; }

199

200

B. Sorgenti dei programmi C iy=iv[0]; }

k=(*idum)/IQ; *idum=IA*(*idum-k*IQ)-IR*k; if (*idum < 0) *idum += IM; j=iy/NDIV; iy=iv[j]; iv[j] = *idum; if ((temp=AM*iy) > RNMX) return RNMX; else return temp;

} #undef #undef #undef #undef #undef #undef #undef #undef #undef #undef

IA IM AM IQ IR NTAB NDIV EPS RNMX PI

La libreria fit library.dll contiene le seguenti funzioni visibili dall'esterno: - fit(int funk,float *imatrix,int *dim,float *par,int npar,float epar,float *chi, int *call): questa funzione esegue l'adattamento a minimi quadrati completa con i seguenti parametri = tipo di funzione da interpolare (0 = gaussiana, 1 = Mo at) imatrix = matrice in ingresso dim = vettore con dimensioni X; Y di imatrix par = vettore parametri (in/out) npar = numero di parametri epar = parametro esterno ssato ( , pu o essere zero per la gaussiana) chi = scarto quadratico risultante in uscita (minimo) call = numero di iterazioni richieste per la convergenza

funk

- fits(int

funk,float *imatrix,int *dim,float *par,int npar,float epar,float epar1,

float *chi, int *call):

stesso adattamento ma con un parametro ssato in pi u (il pa-

Tesi di Laurea { Candidato: Fabio CIOMEI { anno 1998/99

201

rametro ) = parametro esterno ssato ( , pu o essere zero per gaussian) epar1 = parametro esterno ssato ( ) epar

- gaussian(float nel punto (x; y )

*par,int npar,float x,float y):

calcola il valore di una curva normale

= coordinata centro X par[1] = coordinata centro Y par[2] = ampiezza massima par[3] = valore del fondo par[4] = parametro di larghezza npar = numero di parametri (per controllo errori)

par[0]

- moffat(float *par,int npar,float di Mo at nel punto (x:y ) = coordinata centro X par[1] = coordinata centro Y par[2] = ampiezza massima par[3] = valore del fondo par[4] = parametro di larghezza par[5] = parametro di larghezza

par[0]

#include #include #include #include #include #include #include #include

<windows.h> <stdio.h> <time.h> <stdlib.h> <math.h> "util.h" "util.c" "fit.h"

beta,float x,float y):

calcola il valore di una curva

202 #define GET_PSUM \

B. Sorgenti dei programmi C

for (j=0;j<=(ndim-1);j++) {\ for (sum=0.0,i=0;i<=ndim;i++) sum += p[i][j];\ psum[j]=sum;} #define SWAP(a,b) {swap=(a);(a)=(b);(b)=swap;} #define NMAX 5000 int APIENTRY fit( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float *chi, int *call) /* funk = tipo di funzione da interpolare (0=gauss,1=moffat,2=lorentz) imatrix = matrice in ingresso dim = vettore con dimensioni X,Y di imatrix par = vettore parametri (in/out) npar = numero di parametri epar = parametro esterno fissato (puo`essere zero per gaussian) chi = scarto quadratico risultante in uscita (minimo) call = numero di iterazioni richieste per la convergenza return value = 0 tutto ok, 1 errore */ { void amoeba(float **p, float y[], int ndim, float epar, float ftol, int funk, float *imatrix, int *dim, int *nfunk ); float squaresum(int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar); int i,j; float **vertici; /* sono le coordinate dei vertici del simplex (ndim+1) */ float *vvertici; /* sono i valori della funzione nei vertici del simplex */ vertici=matrix(0,npar,0,npar-1); vvertici=vector(0,npar); for(j=0;j<npar;j++) { for(i=1;i<(npar+1);i++) { vertici[i][j]=par[j]; } vertici[0][j]=par[j]*.5; vertici[j+1][j]=.1+par[j]*1.5; /* Variazione parametri 50% - 150% */ } for(i=0;i<(npar+1);i++) { vvertici[i] = squaresum(funk, imatrix, dim, vertici[i], npar, epar); } /* finita la preparazione dei paramentri da passare ad AMOEBA si comincia! */ amoeba(vertici, vvertici, npar, epar, (float).001, funk, imatrix, dim, call); for(j=0;j<npar;j++) { par[j]=vertici[0][j]; } *chi=vvertici[0]; return ( 0 ); }

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int APIENTRY fits( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float epar1, float *chi, int *call) /* funk = tipo di funzione da interpolare (0=gauss,1=moffat,2=lorentz) imatrix = matrice in ingresso dim = vettore con dimensioni X,Y di imatrix par = vettore parametri (in/out) npar = numero di parametri epar = parametro esterno fissato (beta, puo`essere zero per gaussian) epar1 = parametro esterno fissato (sigma) chi = scarto quadratico risultante in uscita (minimo) call = numero di iterazioni richieste per la convergenza return value = 0 tutto ok, 1 errore */ { void amoebas(float **p, float y[], int ndim, float epar, float epar1, float ftol, int funk, float *imatrix, int *dim, int *nfunk ); float squaresums(int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float epar1); int i,j; float **vertici; /* sono le coordinate dei vertici del simplex (ndim+1) */ float *vvertici; /* sono i valori della funzione nei vertici del simplex */ vertici=matrix(0,npar,0,npar-1); vvertici=vector(0,npar); for(j=0;j<npar;j++) { for(i=1;i<(npar+1);i++) { vertici[i][j]=par[j]; } vertici[0][j]=par[j]*.5; vertici[j+1][j]=.1+par[j]*1.5; /* Variazione parametri 50% - 150% */ } for(i=0;i<(npar+1);i++) { vvertici[i] = squaresums(funk, imatrix, dim, vertici[i], npar, epar, epar1); } /* finita la preparazione dei paramentri da passare ad AMOEBA si comincia! */ amoebas(vertici, vvertici, npar, epar, epar1, (float).001, funk, imatrix, dim, call); for(j=0;j<npar;j++) { par[j]=vertici[0][j]; } *chi=vvertici[0]; return ( 0 ); } /* Calcola il quadrato di un numero floating point */ float sq( float x ) { return ( x*x ); }

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B. Sorgenti dei programmi C

float APIENTRY gaussian( float *par, int npar, float x, float y ) /* Calcola il valore di una gaussiana con parametri (x0,y0,A,s,f) al punto (x.y) */ { float x0 = par[0]; /* coordinata centro X */ float y0 = par[1]; /* coordinata centro Y */ float amp = par[2]; /* ampiezza massima */ float back = par[3]; /* valore del fondo */ float sigma = par[4]; /* parametro di larghezza */ float sq(float x); if (npar != 5) return(0); else return( fabs(back)+fabs(amp)*(float)exp(-(sq(x-x0)+sq(y-y0))/(sigma*sigma)) ); } float APIENTRY moffat( float *par, int npar, float beta, float x, float y ) /* Calcola il valore di una moffat con parametri (x0,y0,A,s,b,f) al punto (x.y) */ { float x0 = par[0]; /* coordinata centro X */ float y0 = par[1]; /* coordinata centro Y */ float amp = par[2]; /* ampiezza massima */ float back = par[3]; /* valore del fondo */ float sigma = par[4]; /* parametro di larghezza 1 */ /* beta = par[5]; parametro di larghezza 2 (fissato) */ float sq(float x); if (npar != 5) return(0); else return (float)( fabs(back)+fabs(amp)/pow(1+(sq(x-x0)+ sq(y-y0))/(sigma*sigma),beta) ); } float APIENTRY lorentz( float *par, int npar, float gamma, float x, float y ) /* Calcola il valore di una gaussiana con parametri (x0,y0,A,s,f) al punto (x.y) */ { float x0 = par[0]; /* coordinata centro X */ float y0 = par[1]; /* coordinata centro Y */ float amp = par[2]; /* ampiezza massima */ float back = par[3]; /* valore del fondo */ float sigma = par[4]; /* parametro di larghezza 1 */ /* gamma = par[5]; parametro di larghezza 2 (fissato) */ float sq(float x); if (npar != 5) return(0); else return (float)( fabs(back)+fabs(amp)/pow(1+(sq(x-x0)+ sq(y-y0))/(sigma*sigma),gamma) ); } void amoeba(float **p, float y[], int ndim, float epar, float ftol, int funk, float *imatrix, int *dim, int *nfunk) /* Calcola il minimo simplex della funzione squaresum (1 parametro fisso) */ { float amotry(float **p, float y[], float psum[], int ndim, int funk, float *imatrix, int *dim, float epar, int ihi, float fac); float squaresum(int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar); int i,ihi,ilo,inhi,j; float rtol,sum,swap,ysave,ytry,*psum; psum=vector(0,ndim-1); *nfunk=0; GET_PSUM

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}

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for (;;) { ilo=0; ihi = y[0]>y[1] ? (inhi=1,0) : (inhi=0,1); for (i=0;i<=ndim;i++) { if (y[i] <= y[ilo]) ilo=i; if (y[i] > y[ihi]) { inhi=ihi; ihi=i; } else if (y[i] > y[inhi] && i != ihi) inhi=i; } rtol=2.0*fabs(y[ihi]-y[ilo])/(fabs(y[ihi])+fabs(y[ilo])); if (rtol < ftol) { SWAP(y[0],y[ilo]) /* mette il punto migliore come vertice 0 */ for (i=0;i<=(ndim-1);i++) SWAP(p[0][i],p[ilo][i]) break; } if (*nfunk >= NMAX) exit(1); *nfunk += 2; ytry=amotry(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, ihi,-1.0); if (ytry <= y[ilo]) { ytry=amotry(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, ihi,2.0); } else if (ytry >= y[inhi]) { ysave=y[ihi]; ytry=amotry(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, ihi,0.5); if (ytry >= ysave) { for (i=0;i<=ndim;i++) { if (i != ilo) { for (j=0;j<=(ndim-1);j++) p[i][j]=psum[j]=0.5*(p[i][j]+p[ilo][j]); y[i]=squaresum(funk,imatrix,dim,psum,ndim,epar); } } *nfunk += ndim; GET_PSUM } } else --(*nfunk); } free_vector(psum,0,ndim-1);

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B. Sorgenti dei programmi C

void amoebas(float **p, float y[], int ndim, float epar, float epar1, float ftol, int funk, float *imatrix, int *dim, int *nfunk) /* Calcola il minimo simplex della funzione squaresum (2 parametri fissi) */ { float amotrys(float **p, float y[], float psum[], int ndim, int funk, float *imatrix, int *dim, float epar, float epar1, int ihi, float fac); float squaresums(int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float epar1); int i,ihi,ilo,inhi,j; float rtol,sum,swap,ysave,ytry,*psum; psum=vector(0,ndim-1); *nfunk=0; GET_PSUM for (;;) { ilo=0; ihi = y[0]>y[1] ? (inhi=1,0) : (inhi=0,1); for (i=0;i<=ndim;i++) { if (y[i] <= y[ilo]) ilo=i; if (y[i] > y[ihi]) { inhi=ihi; ihi=i; } else if (y[i] > y[inhi] && i != ihi) inhi=i; } rtol=2.0*fabs(y[ihi]-y[ilo])/(fabs(y[ihi])+fabs(y[ilo])); if (rtol < ftol) { SWAP(y[0],y[ilo]) /* mette il punto migliore come vertice 0 */ for (i=0;i<=(ndim-1);i++) SWAP(p[0][i],p[ilo][i]) break; } if (*nfunk >= NMAX) exit(1); *nfunk += 2; ytry=amotrys(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, epar1, ihi,-1.0); if (ytry <= y[ilo]) { ytry=amotrys(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, epar1, ihi,2.0); } else if (ytry >= y[inhi]) { ysave=y[ihi]; ytry=amotrys(p,y,psum,ndim,funk,imatrix,dim, epar, epar1, ihi,0.5); if (ytry >= ysave) { for (i=0;i<=ndim;i++) { if (i != ilo) { for (j=0;j<=(ndim-1);j++) p[i][j]=psum[j]=0.5*(p[i][j]+p[ilo][j]);

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y[i]=squaresums(funk,imatrix,dim,psum,ndim,epar,epar1); }

} *nfunk += ndim; GET_PSUM

} } else --(*nfunk);

} free_vector(psum,0,ndim-1);

} #undef SWAP #undef GET_PSUM #undef NMAX /* Estrapola un nuovo e migliore simplex per la funzione (1 parametro fisso) p = matrice con vertici iniziali (ndim + 1)*(ndim) y = vettore con valori di funk in vertici (ndim + 1) psum = ? ndim = numero di parametri funk,imatrix,dim = funzione da minimizzare (quali sono i parametri?) epar = parametro fissato (beta) ihi, fac = parametri vari */ float amotry(float **p, float y[], float psum[], int ndim, int funk, float *imatrix, int *dim, float epar, int ihi, float fac) { float squaresum( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar ); int j; float fac1,fac2,ytry,*ptry; ptry=vector(0,ndim-1); fac1=(1.0-fac)/ndim; fac2=fac1-fac; for (j=0;j<=(ndim-1);j++) ptry[j]=psum[j]*fac1-p[ihi][j]*fac2; ytry=squaresum(funk,imatrix, dim, ptry,ndim, epar); if (ytry < y[ihi]) { y[ihi]=ytry; for (j=0;j<=(ndim-1);j++) { psum[j] += ptry[j]-p[ihi][j]; p[ihi][j]=ptry[j]; } } free_vector(ptry,0,ndim-1); return ytry; }

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B. Sorgenti dei programmi C

/* Estrapola un nuovo e migliore simplex per la funzione (2 parametri fissi) p = matrice con vertici iniziali (ndim + 1)*(ndim) y = vettore con valori di funk in vertici (ndim + 1) psum = ? ndim = numero di parametri funk,imatrix,dim = funzione da minimizzare (quali sono i parametri?) epar = parametro fissato (beta) epar1 = parametro fissato (sigma) ihi, fac = parametri vari */ float amotrys(float **p, float y[], float psum[], int ndim, int funk, float *imatrix, int *dim, float epar, float epar1, int ihi, float fac) { float squaresums( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float epar1 ); int j; float fac1,fac2,ytry,*ptry; ptry=vector(0,ndim-1); fac1=(1.0-fac)/ndim; fac2=fac1-fac; for (j=0;j<=(ndim-1);j++) ptry[j]=psum[j]*fac1-p[ihi][j]*fac2; ytry=squaresums(funk,imatrix, dim, ptry,ndim, epar, epar1); if (ytry < y[ihi]) { y[ihi]=ytry; for (j=0;j<=(ndim-1);j++) { psum[j] += ptry[j]-p[ihi][j]; p[ihi][j]=ptry[j]; } } free_vector(ptry,0,ndim-1); return ytry; } float squaresum( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar ) /* Calcola lo scarto quadratico, restituisce -1 se c'e` errore (1 parametro fisso) */ { int i,j; float chi = 0.0; if ( imatrix != NULL ) { for (i=0;i<dim[0];i++) { for (j=0;j<dim[1];j++) { switch( funk ) { case 0 : chi += sq((gaussian(par,npar, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break;

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case 1 : chi += sq((moffat(par,npar,epar, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break; case 2 : chi += sq((lorentz(par,npar,epar, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break; default : return (-1.0); }

} } return ( chi );

} else return ( -1.0 );

} float squaresums( int funk, float *imatrix, int *dim, float *par, int npar, float epar, float epar1 ) /* Calcola lo scarto quadratico, restituisce -1 se c' errore (2 parametri fissi) */ { int i,j; float chi = 0.0; float ipar[5]; for (i=0;i<4;i++) { ipar[i]=par[i]; } /* nuovi parametri */ ipar[4]=epar1; if ( imatrix != NULL ) { for (i=0;i<dim[0];i++) { for (j=0;j<dim[1];j++) { switch( funk ) { case 0 : chi += sq((gaussian(ipar,npar+1, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break; case 1 : chi += sq((moffat(ipar,npar+1,epar, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break; case 2 : chi += sq((lorentz(ipar,npar+1,epar, (float)i, (float)j) imatrix[i*dim[1]+j])); /* Nota bene l'indice */ break; default : return (-1.0); } } } return ( chi ); } else return ( -1.0 ); }

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Ringraziamenti

Vorrei ringraziare prima di tutto i miei genitori: ho lavorato a questa tesi per molto tempo (e non solo a quella!) e loro non mi hanno mai messo fretta, anche se a dire il vero sarebbe stato giusto farlo. Un ringraziamento d'obbligo va a Barbara Frigerio, la mia danzata, che mi ha sostenuto, sopportato, coccolato, rimproverato e quant'altro di cui avevo bisogno per tutto questo tempo. Una donna veramente paziente, credo proprio che dovrei sposarla! Che ne dici Barbara? Ora arrivano le dolenti note, i ringraziamenti agli amici che ho frequentato e che frequento: a meno di non scrivere un'appendice alla tesi non posso citarvi tutti. Quelli che sanno di dover essere ringraziati si considerino ringraziati. Per quanto riguarda l'aiuto tecnico vorrei ringraziare: i tecnici dei laboratori di sica, Carlo Bianchi, Virginio Merlin e Fabrizio Tellini, il personale della biblioteca interdipartimentale, Franca Bellani, Gloria Bonanni e Paolo Vuolo, i colleghi dell'istituto di astronomia, Dott.ssa Scilla Degl'innocenti, Dott. Pier Giorgio Prada Moroni, e il Prof. Bruno Barsella Ringrazio inoltre per la disponibilit a data a utilizzare le sue immagini il Dott. Vincenzo Ripepi. In ne un ringraziamento molto particolare va ai miei relatori: al Prof. Federico Ferrini per la ducia accordatami e alla Dott.ssa Rosa Poggiani per le costruttive discussioni che hanno portato a questo lavoro.

Errata corrige

Tesi di Laurea – Fabio CIOMEI

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Testo

Correzione

32 50 63 64 77 79 80 87 87 174

applicata è rendeno nonstante del errore immessa qyesto negative piccolo può -

applicato e rendono nonostante dell’errore immesse questo negativa piccoli possono Tab. 6.2: Risultati dell’analisi delle immagini A, B, C, D

10 3 10 terz’ultima 5 16 6 2 4-5 3