Resolu¸c˜ ao de Problemas Lista 02
Solu¸ c˜ oes dos Exerc´ıcios de Divisibilidade 1. Prove que se n ´e ´ımpar (a) n2 − 1 ´e divis´ıvel por 8; Demonstra¸c˜ ao. Como n ´e ´ımpar, temos que n = 2q + 1 para algum q ∈ Z. Assim, n2 − 1 = (2q + 1)2 − 1 = 4q 2 + 4q + 1 − 1 = 4q 2 + 4q = 4q(q + 1). Como q e q + 1 s˜ao consecutivos, um deles tem que ser par. Logo, n2 − 1 ´e divis´ıvel por 8.
(b) n3 − n ´e divis´ıvel por 24; Demonstra¸c˜ ao. Usaremos o fato que se a, b s˜ ao primos entre si, ent˜ao c ´e divis´ıvel por ab se, e somente se, c ´e divis´ıvel por a e por b. Assim, para mostrar que n3 − n ´e m´ ultiplo de 24, basta mostrar que n3 − n ´e m´ ultiplo de 3 e de 8, uma vez que 3 e 8 s˜ao primos entre si. Observe que n3 − n = n(n2 − 1). Como n ´e ´ımpar, segue do exerc´ıcio anterior que n3 − n ´e divis´ıvel por 8. A divisibilidade por 3 decorre do lema dos restos. De fato, se n ≡ 0 mod 3, n3 − n ser´a m´ ultiplo de 3, claramente. Se n ≡ 1 mod 3, temos que n3 − n ser´a m´ ultiplo de 3, j´ a que 13 − 1 ≡ 0 mod 3. Se n ≡ 2 mod 3, temos que n3 − n ser´a m´ ultiplo de 3, j´a que 23 − 2 ≡ 0
mod 3,
completando assim a prova.
(c) n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + 1 ´e divis´ıvel por 12.