Caderno Matemática 9º Ano - 1º Bimestre by Fabio Eva

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:55 Página I

Orientação para o Professor – Matemática – 9.º ano – 1.º Bimestre AULA 1

AULA 15

Pré-requisito: Comparação de números naturais. Objetivo: Identificar números pertencentes a uma linguagem simbólica. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro. Instruções: No calendário da Fórmula 1 – 2004 serão 18 GPs, dos 16 GPs da Fórmula 1 – 2003 exclui-se o GP da Austria e incluem-se os GPs da China, do Bahen e da Bélgica. Sugestão para trabalho: Escrever em notação científica as medidas dos comprimentos de pista e do percurso total de cada GP.

Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro. AULAS 16 e 17 Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULAS 2 e 3

AULAS 18 e 19

Pré-requisito: Comparação de números naturais. Objetivo: Diferenciar números naturais, de inteiros, de racionais e de irracionais. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULAS 4 e 5

Pré-requisito: Decomposição de radicais, perímetro e áreas de figuras geométricas. Objetivo: Adicionar e subtrair radicais semelhantes. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Sistematizar os conjuntos numéricos Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro. AULA 6

AULAS 22 e 23

Objetivo: Descobrir a notação científica. Instruções: Seguir as orientações do caderno do aluno, partes A e B.

AULAS 7 e 8 Pré-requisito: Operações com números racionais. Objetivo: Resolver problemas escrevendo os dados e o resultado em notação científica. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULA 24 Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Desenvolver o quadrado da soma e da diferença de dois termos envolvendo números reais. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULAS 9 e 10 Pré-requisito: Números reais. Objetivo: Representar na reta real subconjuntos de . Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULA 25 Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Desenvolver o produto da soma e da diferença de dois termos e quadrado da soma de três termos envolvendo números reais. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULA 11 Objetivo: Descobrir propriedades dos radicais.

AULA 26

AULAS 12 e 13

Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Desenvolver o quadrado da soma e da diferença de dois termos envolvendo números reais. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Aplicar o Teorema de Pitágoras. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro. Instruções: Recortar as peças do quebra-cabeça que está no final do caderno e montar com os alunos durante a aula.

AULA 27 AULA 14 Pré-requisito: Operações com números reais. Objetivo: Desenvolver o produto da soma e da diferença de dois termos e o quadrado da soma de três termos envolvendo números reais. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2014_Tony 27/07/13 08:30 Page II

AULAS 28 e 29 Pré-requisito: Manusear compasso. Objetivo: Traçar duas circunferências secantes, tangentes e exteriores, e determinar o centro de uma circunferência. Procedimento-destaque: Exercícios que deverão ser resolvidos individualmente.

兹苵苵4,

兹苵苵4 , – 兹苵苵4,

– 兹苵苵 4

–

兹苵苵苵 30 , –

± 兹苵苵 4,

10)

(兹苵苵苵 12 + 2)

= 16 + 8兹苵苵 3

11)

(兹苵苵苵 12 – 2)

= 16 – 8兹苵苵 3

12)

(兹苵苵苵 12 + 2).(兹苵苵苵 12 – 2) = 8

13)

(兹苵苵苵 18 + 兹苵苵 8)

= 50

14)

(兹苵苵苵 18 – 兹苵苵 8)

15)

(兹苵苵苵 18 + 兹苵苵 8 ).(兹苵苵苵 18 – 兹苵苵 8 ) = 10

16)

(2兹苵苵5 + 2x)

= 20 + 4x2 + 8兹苵苵 5x

17)

(2兹苵苵5 – 2x)

= 20 + 4x2 – 8兹苵苵 5x

18)

(2兹苵苵5 – 2x).(2兹苵苵5 + 2x) = 20 – 4x2

19)

(6 + 兹苵苵苵 27 )

= 63 + 36 兹苵苵 3

20)

(6 – 兹苵苵苵 27 )

= 63 – 36 兹苵苵 3

21)

(6 + 兹苵苵苵 27 ).(6 – 兹苵苵苵 27 ) = 9

22)

(4x + 兹苵苵8 )

= 4x2 + 8 + 16兹苵苵 2x

23)

(4x – 兹苵苵8 )

= 4x2 + 8 – 16兹苵苵 2x

24)

(4x + 兹苵苵8 ).(4x – 兹苵苵8 ) = 16x2 – 8

25)

(6兹苵苵2 + 4)

= 72 + 48兹苵苵 2

26)

(6兹苵苵2 – 4)

= 72 – 48兹苵苵 2

27)

(6兹苵苵2 + 4).(6兹苵苵2 – 4) = 56

AULAS 30 e 31 Objetivo: Descobrir relações entre ângulos em circunferências. Instruções: Usar transferidor.

AULAS 32 e 33 Pré-requisito: Ângulos. Objetivo: Determinar ângulos central e inscrito numa circunferência. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro.

AULAS 34 e 35 Pré-Requisito: Ângulo inscrito e central. Objetivo: Determinar a medida de um ângulo. Procedimento-destaque: Exposição e exercícios, que poderão ser resolvidos em duplas, grupos de três ou quatro. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1.

medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

7 2 –––兹苵苵 2

350兹苵苵 2

2,5

50兹苵苵苵 89

2,5

250

dimensões reais (m) 3,5 m × 3,5 m

quarto cozinha

2,5 m × 2,5 m

banheiro

2 m × 1,5 m

ASALA = 8,5

cm2

64 –––– 4

4 ––– 81

4 –––– , 81

81 –––– , – 4

4 –––– 64

4 ––– , 81

64 –––– , – 4

49 –––– 7 81 ––– , 4

250

兹苵苵苵 89 ––––– 2

64 –––– 4

área (m2) 12,25 6,25 3

m2 m2

desenho

ASALA = 8,5 m2 real

4 –––– 64

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:55 Página III

28)

(3x + 2 ).(3x – 2 ) = 9x2 – 2

29)

(3x + 2 )

= 9x2 + 2 + 6 2x

30)

(3x – 2 )

= 9x2

(

38) 2p = ( 150 + 40 + 2 20 ) cm = (5 6 + 2 10 + 4 5 )cm 39) 2p = 3( 3000 ) cm = 3 . 10 30 cm = 30 30 cm

+ 2 – 6 2x

10 + 2 5 + 2 2 40) 2

40 + 8 + 20 40 + 2 + 5

(

)

41) 2 10 + 2 + 5

(

)

42) 7 2 + 2 5

(

)

(

)

31) 2p = 8 + 34 cm 32) 2p = 6 + 3 2 cm

34) 2p = 6 + 2 5 cm

(

)

35) 2p = 2 + 2 2 + 2 5 cm

(

98 + 20

43) 6 2 + 2 10

33) 2p = 4 + 2 2 cm

72 + 40

44) 9 2 + 3 5

162 + 45

45) 5 10 + 2

250 + 2

46) 4 5 = 80

)

36) 2p = 2 + 2 5 cm

47)

)

37) 2p = 8 + 8 2 cm

equações

x + 8 = 13

S = {5}

S=Ø

S = {5}

x + 23 = 0

S=Ø

S = {– 23}

S=Ø

S = {– 23}

2x = 23

S=Ø

S = {11,5}

S=Ø

S = {11,5}

x2 = 23

S=Ø

S = {– 23, 23}

48) A = 4 cm2

2p = 4 2 + 4 cm

49) A = 3 cm2 9 50) A = –––– 8

2p = 2 2 + 6 cm

3 cm2

2p = 5,5 + 1,5 3 cm

51) A = 4,75 cm2

2p = 4 2 + 5 cm

52) A = 3 cm2 11 53) A = –––– 3 cm2 8

2p = 6 cm

54) A = 4 cm2

2p = 6 + 2 2 cm

73)

36 –––– , 16

74)

60 –––– , – 2

75) ±

64,

16 –––– , – 36

49 –––– e – 16

2 –––– 60

36 ––– , 16

16 ––– , 36

16 –––– , – 49

76) todos

2p = 6,5 + 0,5 3 cm

77)

medidas reais m

400

2p = 7 cm

500

3 cm2 57) A = 1,125

2p = 6,5 + 0,5 3 cm

100 97

58) ( F )

59) ( V )

60) ( F )

61) ( F )

62) ( V )

63) ( V )

64) ( V )

65) ( V )

89 ––––––– 2

20 87

66) ( F )

67) ( V )

68) 64

69) ±

3 34

300 34

185 ––––––– 2

50 85

13 55) A = ––– 8

3 cm2

2p = 7,5 + 0,5 3 cm

5 56) A = ––– 4

3 cm2

70) ±

71)

64, 16 –––– 49

36 –––– , 16

16 –––– , – 36 72) –

49 –––– 16

64 III

16 –––– 49

49 –––– 16

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:55 Página IV

78)

79)

∈

∉

∈

∉

∈

– 23

∉

∈

∉

∈

∉

∈

11,5

∉

∈

∉

∈

– 23

∉

∈

∉

∈

País Austrália

7,68 .

3,3 . 105

Barein

6,78 . 102

Itália

3,01 . 105

Espanha

5,06 .

Mônaco

1,95 . 100

Alemanha

3,57 . 105

Canadá

9,97 . 106

Estados Unidos

9,37 . 106

França

5,44 . 105

Reino Unido

2,44 . 105

Alemanha

3,57 .

Turquia

7,79 . 105

Bélgica

3,05 . 104

Itália

3,01 . 105

China

9,54 . 106

Japão

3,73 . 105

Brasil

8,55 . 106

16 < 272 < 17 82) 7 < 60 < 8 23 < 540 < 24 83) 8 < 68 < 9 24 < 612 < 25 84) 5 < 32 < 6 16 < 288 < 17

14 < 208 < 15 87) 7 < 52 < 8 21 < 468 < 22

des. real des. real des. real

88) 4 < 18 < 5

des.

8 < 72 < 9

real

89) 4 < 18 < 5

des.

12 < 162 < 13

real

90) a) Construção feita pelo aluno. b) Construção feita pelo aluno. 91) a) Construção feita pelo aluno. b) Construção feita pelo aluno.

105

9,30 . 104

81) 8 < 68 < 9

86) 7 < 52 < 8

105

Hungria

16 < 260 < 17

17 < 306 < 18

106

Malásia

60 < 8 80) 7 <

85) 5 < 34 < 6

Superfície em notação científica

92) med ( ^x) = 60°

med ( ^y ) = 90°

93) med ( ^x ) = 60° 94) med ( ^x ) = 105°

med ( ^y ) = 30°

95) med ( ^x ) = 63°

med ( ^y ) = 117°

96) a) b)

des.

97)

real des.

98)

real des.

99)

real des.

100)

real des.

101)

real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:55 Página V

110) a) x + 20 = 35 102)

b) x + 15 = 0 d) x2 = 15

c) 2x = 15 x

∈

∉

∈

∉

– 15

∉

∈

∉

∈

7,5

∉

∈

∉

∈

∉

– 15

∉

∈

∉

∈

∉

∈

∉

103)

104)

105) 2p = 8 10 cm 106) 2p = 2( 40 + 90 ) cm = 2 . (2 10 + 3 10 ) cm = 10 10 cm 15 cm = 6 15 cm 107) 2p = 3 . 2

111) a) x + 70 = 70

108)

d) x2 = 70

c) 2x = 77 x

∈

∉

∈

– 13

∉

∈

∉

∈

– 4, 3

∉

∈

∉

∈

∉

∈

– 13

∉

∈

109)

∉

– 70

∉

∈

∉

∈

38,5

∉

∈

∉

∈

– 70

∉

∈

∉

∈

112) a) *

∉

– 10

∉

∈

∉

∈

– 3, 3

∉

∈

∉

∈

∉

∈

–3

∉

∈

∉

∈

b) x + 70 = 0

(2 3 + 2 2 )2 = 20 + 8 6 (10 8 + 20)2 = 400 + 800 + 800 2 = = 1200 + 800 2

(10 5 + 10 3 ).(10 5 – 10 3 ) = (10 5 )2 – (10 3 )2 = = 500 – 300 = 200 2

= 125 – 50 = 75 e)

∉

∈

20 –

∉

∈

(5 5 + 5 2 ) . (5 5 – 5 2 ) = (5 5 ) – (5 2 )

( 6 + 3 + 1)2 = 6 + 3 + 1 + 6 2 + 2 6 + 2 3 = 2 + 2 6 + 2 3 = 10 + 6 2

3 ) = 4x 2 + 8 3 x + 12 f) (2x + 2 g)

(10 8 + 20x )2 = 400x2 + 400 8 x + 800 2 x + 800 400x2 + 800

(2 6 + 2 3 + 2x )2 = 18 + 8 6 x + 8 3x= = 24 + 12 + 4x2 + 8 2 + 8 6 x + 8 3x = 36 + 4x2 + 24 2

= 125 –

( 5x ) . (5 5 – 5x ) = (5 5 ) – (5x ) 25x 2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:55 Página VI

짰 (AMB ) = 160° 짰 med (ANB) = 200° ^ med (E V2F) = 120° 짰 med (CMD) = 210°

^ ) (ANB = 80° ^ med (AMB) = 100° 짰 med ( ELF ) = 240° ^ med (C V1D) = 105°

113) a) med

med

med ( x^) = 67°30’

med ( y^ ) = 45° 짰 ( AMB ) = 135° ^ med (C MD) = 22°30’

^ ) (A PB = 67°30’ 짰 med (CND) = 45°

114) med

(EV^ 1F) = 90° 짰 med (EMF ) = 180° 짰 med (AMB) = 80° ^ med (BPC) = 20°

115) med

116) med med

med

(EV^ 2F) = 90° ^ med (APB) = 40° 짰 med (BNC) = 40° ^ med (ADB) = 40° med

짰 (AMB ) = 120°

med

짰 (ANC ) = 60°

(^x) = 30°

med

(^y) = 60°

117) x

∈

∉

∈

∉

– 13

∉

∈

∉

∈

– 4, 3

∉

∈

∉

∈

∉

– 13

∉

∈

– 10

∉

∈

∉

∈

– 3, 3

∉

∈

∉

∈

∉

∈

∉

–3

∉

∈

∉

∈

∉

∈

∉

– 20

∉

∈

118)

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 10:59 Página A1

ci a

t m át e

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C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:00 Página 1

Aula

Sistema de numeração decimal Data: _____/_____/_____ Observe o mapa-múndi e os países destacados onde se realizaram os GPs de Fórmula 1 de 2004.

1. Introdução A medida do comprimento da pista de Interlagos, correspondente a uma volta, é de 4 309 m. Observando o desenho da pista, como determinamos sua escala?

2. Sistema de numeração decimal autódromo[de aut(o)- + -dromo]: conjunto de pistas e edifícios para corrida de automóveis. circuito[do latim circuitu]: linha que limita qualquer área fechada, contorno, perímetro. percurso[do latim percursu]: distância percorrida, trajeto.

Observe os desenhos dos circuitos dos GPs de Fórmula 1 de 2004, com a medida do comprimento da pista correspondente a uma volta, o número de voltas, o comprimento total do percurso e os países onde ocorrem, em ordem cronológica.

5303 m

58 voltas

5543 m

56 voltas 310,408 km

5417 m

57 voltas

307,574 km

308,769 km

4933 m

62 voltas 305,846 km

5148 m

60 voltas

308,880 km

4730 m

65 voltas 307,450 km

4361 m

70 voltas

305,270 km

3370 m

78 voltas

73 voltas

306,016 km

262,860 km

4192 m

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:00 Página 2

6973 m 4441 m

70 voltas

3975 m

67 voltas

308,460 km

5340 m

58 voltas

309,720 km

306,458 km

5793 m

53 voltas

307,029 km

310,870 km

44 voltas

266,325 km

4309 m 5141 m

4574 m

60 voltas

67 voltas

Observe a tabela da população (em milhões de habitantes) dos seis países mais populosos do mundo e a tabela da superfície (km2) dos seis países que possuem a maior superfície.

5451 m

56 voltas 305,256 km

País

População em milhões de hab.

China Índia Estados Unidos Indonésia Brasil Federação Russa

1237 1 004 281 212 169,4 147,7 2

306,812 km

5821 m

71 voltas

53 voltas

305,939 km

308,513 km

País

Superfície km2

Federação Russa

1 7075 400

Canadá

9 970 610

China

9 536 499

Estados Unidos

9 372 614

Brasil

8 547403,5

Austrália

7 682 300

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Observe a tabela dos países em que se localizam os GPs de F1–2005, sua população (em milhões de habitantes), superfície (km2), suas respectivas capitais e a cidade onde é disputado o GP em ordem cronológica.

Temporada 2005 – Fórmula 1 País

População Superfície em milhões km2 de hab.

Capital

Camberra

Temporada 2005 – Fórmula 1

Localidade onde ocorre o GP-F1

País

População Superfície em milhões km2 de hab.

Capital

Localidade onde ocorre o GP-F1

Melbourne

Austrália

14,3

7 682 300

Malásia

22,6

329 758

Barein

0,6

678

Manama

Itália

57,5

301 302

Roma

Ímola

Espanha

39,9

505 954

Madri

Barcelona

Mônaco

0,032

1,95

Alemanha

356 733

Berlim

Nüburg

Canadá

9 970 610

Ottawa

Montreal

Estados Unidos

285,9

9 372 614

Washington

Indianápolis

França

59,9

543 965

Paris

Magny-Cours

Reino Unido

59,5

244 100

Londres

Silverstoneville

Alemanha

356 733

Berlim

Hockenheim

Hungria

9,9

93 033

Budapeste

Turquia

65,5

779 452

Ancara

Istambul

Itália

57,5

301 302

Roma

Monza

Bélgica

10,3

30 518

Bruxelas

Francorchamps

Brasil

169,4

8 547 403,5

Brasília

São Paulo

Japão

127,3

372 819

Tóquio

Suzuka

China

1237

9 536 499

Pequim

Xangai

Kuala Lumpur Kuala Lumpur

Cidade de Mônaco Monte Carlo

Exercícios da aula 1. Sendo x o número total de voltas de cada GP e y a medida (m) do comprimento da pista relativa a uma volta, assinale com × no quadrado, os circuitos de F-1, tal que 50 < x < 65 e 5000 < y < 5500.

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 4

Qual é o GP em que é dado o maior número de voltas?

GP de Mônaco.

Existe alguma relação entre o número de voltas de um circuito e o comprimento da respectiva pista? Se existe, qual é?

RESOLUÇÃO: Ao longo dos 3000 km do percurso do rali, os cinco pneus percorreram no total 4.3000 km = 12000 km. Assim, o número de quilômetros que cada pneu percorreu foi 12 000 km ÷ 5 = 2400 km Resposta: E

Sim, o circuito onde é dado o maior número de voltas é o que possui a menor medida do comprimento de pista.

(PUC) – Ao longo dos 3 000 km do percurso de um rali, um competidor usou os quatro pneus e mais o estepe de seu carro. Se todos os cinco pneus rodaram a mesma quilometragem, o número de quilômetros que cada um deles percorreu foi a) 600 b) 750 c) 1 200 d) 1 500 e) 2 400

Existe alguma relação entre o menor número de voltas de um circuito e o comprimento da respectiva pista? Explique.

Desafio

Sim, pois o circuito de Spa (Bélgica) em que são dadas 44 voltas com percurso de 6973 m possui o menor número de voltas e a maior medida do comprimento de pista.

Qual é o GP cuja medida do percurso total é a menor de todas? Qual é a medida total (m) de todo o percurso? GP de Mônaco, 262860 m.

Aulas

2 Os números reais 3 Data: _____/_____/_____ O conjunto formado por todos esses números é chamado conjunto dos números naturais e é representado por . Assim: = {0, 1, 2, 3, 4, …} No 7.º série, você aprendeu os números inteiros relativos:

1. Introdução Todo número real pode ser escrito na forma fracionária? E os números irracionais podem ser escritos na forma de fração?

…, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

2. Números reais Representação dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais por conjuntos

O conjunto formado por todos esses números é chamado conjunto dos números inteiros e é representado por . Assim:

= {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

No 6.º ano, você aprendeu os números naturais:

Você já viu os números inteiros não nulos:

0, 1, 2, 3, 4, …

…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, … 4

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 5

O conjunto formado por todos esses números é representado por *. Assim: * = {…, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, …} Os números inteiros não positivos:

* = {x ∈ x ≠ 0} ou – {0} Os números racionais não positivos são: 5 1 …,– 3,…, – –– ,…,– 1,…, – –– ,…,0 2 3 O conjunto formado por todos esses números é representado por

…, – 3, – 2, – 1, 0 O conjunto formado por todos esses números é representado por _.

Assim: _ = {…, – 3, – 2, – 1, 0} Os números inteiros estritamente positivos:

1 5 _ = …,– 3,…, – –– ,…,– 1,…, – –– ,…,0 3 2 _ = {x ∈ x ⭐ 0}

1, 2, 3, … O conjunto formado por todos esses números é representado por +*.

1 3 0,…, –– ,…,1,… –– ,…,2,… 2 2

Assim: + = * Os números inteiros não negativos: *

O conjunto formado por todos esses números é representado por +:

0, 1, 2, 3, … O conjunto formado por todos esses números é representado por +.

+ =

Assim: + = {0, 1, 2, 3, …} Observe que + = . E os números inteiros estritamente negativos:

Excluindo o zero dos números racionais não negativos, obtemos os racionais positivos. O conjunto formado por todos esses números é representado por * , ou seja, +

+* = {x ∈ x > 0}

No 8.º ano, você viu os números irracionais, que são os números decimais não exatos e não periódicos com infinitas casas decimais, ou seja, números que não podem ser escritos na forma de fração.

5 1 1 3 …,– 3,…, – –– ,…,– 1,…, – –– ,…,0,…, –– ,…,1,… –– ,…,2,… 2 3 2 2

Exemplos:

2 = 1,4142135623…

O conjunto formado por todos esses números é chamado conjunto dos números racionais e é representado por .

infinitas casas decimais não periódicas

3 = 1,7320508075…

infinitas casas decimais não-periódicas

Estamos dizendo que o conjunto dos números racionais p são todos os números fracionários na forma –– q , sendo p e q

7,07007000700007… infinitas casas decimais não periódicas

5 = 2,2360679775…

números inteiros com q não nulo. Os números racionais não nulos:

infinitas casas decimais não periódicas

5 1 1 3 …,– 3,…, – –– ,…,– 1,…, – –– ,…,0,…, –– ,…,1,… –– ,…,2,… 2 3 2 2 O conjunto formado por todos esses números é representado por *:

_* = {x ∈ x < 0}

Assim: *_ = {…, – 3, – 2, – 1} Os números racionais relativos são * todos os números inteiros; * todos os números decimais exatos com uma quantidade finita de casas decimais; * todas as dízimas periódicas (números decimais não exatos), simples e compostas, ou seja:

p ∈ e q ∈ *

Excluindo o zero dos números racionais não positivos, obtemos os racionais negativos. O conjunto formado por todos * esses números é representado por _ , ou seja,

O conjunto formado por todos esses números é representado por _* .

3 1 0,…, –– ,…,1,…, –– ,…,2,… 2 2 + = {x ∈ x ⭓ 0}

…, – 3, – 2, – 1

p x = ––– q

Os números racionais não negativos são:

Assim: + = {1, 2, 3, …} Podemos representar {1, 2, 3, …} por *.

6 = 2,4494897427… infinitas casas decimais não periódicas 0,10203040506070…

5 1 1 3 * = …,– 3,…, – –– ,…,– 1,…, – –– ,…, –– ,…,1,… –– ,…,2,… ou 2 3 2 2

infinitas casas decimais não periódicas 5

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 6

Entre dois números reais, existem infinitos números reais. Assim, se torna impossível marcarmos todos os números reais na reta numérica, mas podemos, por exemplo, escrever em linguagem simbólica entre quais inteiros consecutivos está compreendido um número decimal não exato ou irracional.

Da mesma maneira que existe oposto de um número racional, também existe oposto de um número irracional, ou 2 é – 2, o oposto de 3 é – 3, o oposto seja, o oposto de de 7 é – 7, e assim por diante. Assim, podemos representar o conjunto dos números irracionais por:

Entre quais inteiros consecutivos está compreen3 dido ––– ? E seu inverso? 4

I = {…, – 3, …, – 2, …, 2, …, 3, …} ou I = {…, ⫾ 3, …, ⫾ 2, …}

3 4 – Observe que ––– = 0,75 e ––– = 1,3. 4 3

1 Você já viu que o inverso de 2 é ––– , o inverso de – 2 é – 2

3 4 Em linguagem simbólica, 0 < ––– < 1, 1 < ––– < 2. 4 3

1 1 1 – ––– , o inverso de 7 é ––– , o inverso de – 7 é – ––– . 2 7 7

Da mesma maneira que temos os subconjuntos de , *, +, *+, _ e _* , temos os subconjuntos de , *, +, *+, _

Podemos também escrever 1 1 1 1 2 – 1 = ––– , (– 2)– 1 = – ––– , 7 – 1 = ––– , (– 7)– 1 = – ––– 2 2 7 7

e _* . Representando na forma de conjunto os subconjuntos de , temos: Conjunto dos números reais não nulos

A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é igual ao conjunto dos números reais. Assim: = II Dizemos que todo número racional é um número real e que todo número irracional é um número real.

* = {x ∈ x ≠ 0} ou – {0} Conjunto dos números reais não negativos

+ = {x ∈ x ⭓ 0}

2? E de – 2? O inverso de 7 é igual à sétima parte de 7? O inverso de 2 é Qual é o inverso de

Conjunto dos números reais estritamente positivos

+* = {x ∈ x > 0}

1 1 2 é – ––– . ––– , o inverso de – 2 2

Conjunto dos números reais não positivos

_ = {x ∈ x ⭐ 0}

Podemos também escrever

( 2)– 1 =

1 2 –––– , – 2

(

)– 1= –

1 –––– ? 2

Conjunto dos números reais estritamente negativos

_* = {x ∈ x < 0}

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT9F101

Exercícios da aula 1. Coloque V ou F

e) 2 – 1 é um número irracional. ( F )

a) – 7 é um número inteiro, mas não é natural. ( V )

6 é um número real. ( V ) f) –

1 b) – ––– é um número racional, mas não é um 7 número irracional. ( V ) c) d)

1 g) –––– é um número inteiro. ( F ) 9

40 ––– é um número irracional. ( F ) 10

9 é um número racional. ( F ) h) –––– 2

121 é um número real. ( V ) 6

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 29/07/10 13:04 Página 7

d) racionais que representam números decimais não exatos.

2 –––– é um número racional, mas não é um número 兹苵苵9 inteiro. ( V )

25 –––– 9

j) O inverso de 7– 1 é um número natural. ( V )

e) inteiros, mas não são naturais. – 兹苵苵苵 25

25 –––– , 4

Para os radicais: 9 ––– , – 25 representam números

2 ––– e 16

25 , – – 兹苵苵苵

a) naturais.

兹苵苵苵 25

b) inteiros.

± 兹苵苵苵 25

4 –––– , 25

16 ––– , 2

f) racionais, mas não são inteiros.

兹苵苵苵 25 ,

25 –––– , 4

25 ––– escreva quais 9

4 –––– , – 25

9 –––– e 25

25 –––– 9

g) reais, mas não são racionais. 16 –––– , – 2

2 –––– 16

h) reais, mas não são irracionais. ± 兹苵苵苵 25 , – 兹苵苵苵 25

c) inteiros negativos.

i) reais.

25 ––– , 4

4 ––– , 25

25 –––– , – 9

9 –––– 25

todos

Desafio É possível escrever (兹苵苵 7)

–1

na forma fracionária com numerador irracional e denominador racional? Sim,

兹苵苵7

–––– .

Sistematização dos 4 conjuntos numéricos

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

⺡=

Existe um número natural cuja soma com dois resulta nove? Se existe, esse número é real? Existe um número inteiro cuja soma com sete resulta zero? Existe um número racional cuja soma com um sétimo resulta zero? Existe um número irracional cujo quadrado é igual a sete? Se existe, esse número é real?

2. Sistematização numéricos

dos

冦

p x = ––– p ∈ ⺪ e q ∈ ⺪冨 q

冧

Dizemos que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros e este, por sua vez, está contido no conjunto dos números racionais e representamos:

⺞傺⺪

⺪傺⺡ ⇒

⺞傺⺡

está contido Dizemos que o conjunto dos números racionais contém o conjunto dos inteiros e este contém o conjunto dos números naturais e representamos:

conjuntos

sistematizar [de sistemat(o)- + -izar]: reduzir diversos elementos a um conjunto de elementos.

⺡傻⺪

⺪傻⺞ ⇒

⺡傻⺞

contém

Observe os conjuntos:

⺞ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é igual ao conjunto dos números reais.

⺪ = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} 7

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 8

Assim: = Em diagrama:

4 – 1; …; 0; 1; ––– ; … é possível a resolução da equação, pois 3 2.

–––2 = 7. 7

Representando geometricamente o conjunto-solução da equação na reta, temos:

Temos que

Qual(is) o(s) número(s) que elevado(s) ao quadrado dá(dão) 7?

Você pode verificar que todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e que, portanto, todo número natural é racional. Usamos os símbolos contido ( ) e contém ( ) quando nos referimos à relação entre dois conjuntos; existem os símbolos não contido ( ) e não contém ( ), também usados quando nos referimos à relação entre dois conjuntos.

A equação que representa o problema, x2 = 7, é chamada de grau. Podemos escrevê-la como sendo 1x2 = 7. Observe que o coeficiente de x2 é igual a 1 e o maior expoente do x é 2. 2.o

Não existe um número natural cujo quadrado seja igual a sete.

Considerando os números naturais 0, 1, 2, 3, …, qual é o número cuja soma com um resulta oito? E o número cuja soma com sete resulta sete?

Considerando os números irracionais …, –

7, …, – 2, …,

2, …, 7, … é possível a resolução da equação x2 = 7, pois 2 2 ( 7 ) = 7 . 7 = 49 = 7 e (– 7 ) = (– 7 ) . (– 7) = = 49 = 7 Assim, x = 7 ou x = – 7

Escrevendo as equações do 1.o grau que representam os problema: x + 1 = 8, temos que x = 7, e x + 7 = 7, temos que x = 0. Observe que 0 e 7 são números naturais. Representando geometricamente o conjunto-solução de cada equação na reta, temos:

Da união dos números racionais com o irracionais temos os números reais. Representando geometricamente o conjunto-solução de cada equação na reta, temos:

Qual é o número cuja soma com sete resulta zero? É possível resolver as equações x + 7 = 7, x + 1 = 8, x + 7 = 0, 2x = 7 e x2 = 7 considerando os números reais. Você já viu a representação dos números racionais na reta numérica. Observe o conjunto-solução das equações do 1.o grau com uma incógnita em seus conjuntos-universo:

Escrevendo a equação do 1.o grau que representa o problema:, x + 7 = 0, temos que x = – 7. Observe que – 7 não é natural. Considerando os números inteiros … – 2, – 1, 0, 1, 2, … é possível a resolução da equação, pois – 7 + 7 = 0. Representando geometricamente o conjunto-solução da equação na reta, temos:

Qual é o número cujo dobro é igual a sete? Escrevendo a equação do 1.o grau que representa o 7 7 problema: 2x = 7, temos que x = ––– . Observe que ––– não 2 2 3 é inteiro. Considerando os números racionais …; – ––– ; …; 2

x+7=7

S = {0}

x+1=8

S = {7}

x+7=0

S = {– 7}

2x = 7

x2 = 7

U=I

S = { 7 , – 7}

–––2 7

Considerando os números reais, qual(is) o(s) número(s) cuja soma de seu(s) quadrado(s) com um resulta zero? 8

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 9

No próximo caderno, você verá se é possível a resolução desse problema. Observe a representação de alguns números irracionais e racionais na reta numérica real. No próximo caderno, você vai estudar a representação geométrica dos intervalos da reta. Observe a tabela com o conjunto-solução de cada equação do 1.o grau nos conjuntos-universo, , , , I e .

equações

x+7=7

S = {0}

S=Ø

S = {0}

x+1=8

S = {7}

S=Ø

S = {7}

x+7=0

S=Ø

S = {– 7}

S=Ø

S = {– 7}

2x = 7

S=Ø

7 S = ––– 2

S=Ø

7 S = ––– 2

x2 = 7

S=Ø

{ 7, – 7 }

Quando nos referimos à relação de um elemento para com um conjunto, usamos os símbolos pertence (∈) e não pertence (∉). Exemplos: 0 ∈

7 ∈

–7 ∉

3,5 ∉

0 ∈

7 ∈

–7 ∈

3,5 ∉

0 ∈

7 ∈

–7 ∈

3,5 ∈

0 ∉

7 ∉

–7 ∉

3,5 ∉

0 ∈

7 ∈

–7 ∈

3,5 ∈

7 ∉ 7 ∉ 7 ∉ 7 ∈ 7 ∈

– 7 ∉ – 7 ∉ – 7 ∉ – 7 ∈ – 7 ∈

Entre dois números reais, existem infinitos números reais. Assim, se torna impossível marcarmos todos os números reais na reta numérica, mas podemos, por exemplo, escrever entre quais inteiros consecutivos está compreendido um número racional ou irracional.

Exercícios da aula 1.

Escreva a equação que cada sentença representa e determine o conjunto-solução de cada uma, completando a tabela para os conjuntos-universo dados. a) A soma de um número com vinte é igual a setenta e um. b) A soma de um número com cinquenta e um é igual a zero. c) O dobro de um número é igual a cinquenta e um. d) O triplo de um número é igual a cinquenta e um. e) O quadrado de um número é igual a cinquenta e um.

equações

x + 20 = 71

S = {51}

S=Ø

S = {51}

x + 51 = 0

S=Ø

S = {– 51}

S=Ø

S = {– 51}

2x = 51

S=Ø

S = {25,5}

S=Ø

S = {25,5}

3x = 51

S = {17}

S=Ø

S = {17}

x2 = 51

S=Ø

S = {– 51, 51 }

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Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma, completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos , +, _, +, _, I e . a) A soma de um número com um é igual a vinte e sete. b) A diferença entre um número e um é igual a vinte e um negativo. c) O dobro de um número é igual a vinte e um. d) O quadrado de um número é igual a vinte e um. equações

x + 1 = 27

∈

∉

∈

∉

∈

∉

x – 1 = – 21

– 20

∉

∈

∉

∈

∉

∈

2x = 21

10,5

∉

∈

∉

∈

∉

– 21

∉

∈

∉

∈

∉

∈

∉

x2 = 21

Desafio A soma do quadrado de um número com um é igual a 29. Qual é o número? Este número é racional, real ou irracional? x = 28 = 2 7

2 7∈I

2 7∈

2 7∉

Aula

Laboratório de Matemática Data: _____/_____/_____

Descobrindo notação científica Material: lápis e borracha. Procedimento: em duplas. Escreva cada número do retângulo azul usando potências de 10, completando o retângulo verde com números racionais e o retângulo marrom com potências de 10 com expoentes inteiros.

Parte A Para cada número escrito no primeiro retângulo verde que for maior que 10, reescreva-o usando novamente potências de 10 para que o número do segundo retângulo verde, se houver, seja menor que 10 e efetue o produto entre as potências de 10. 700

102

7000

103

77000

103

7,7

101

103

7,7

104

780

101

7,8

101

7,8

102

17600

176

102

1,76

102

1,76

104

789000

789

103

7,89

102

103

7,89

105

780,5

7,805

102

7000,55

7,00055

10 3

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Parte B Para números racionais do retângulo azul maiores que 0 e menores que 1, escreva no primeiro retângulo verde números inteiros e no retângulo marrom, com potências de 10, expoentes inteiros e no segundo retângulo verde, se houver, com números decimais maiores que 1 e menores que 10 e efetue o produto entre as potências de 10. 0,07

10 – 2

0,007

10 – 3

0,00077

10 – 5

7,7

101

10 – 5

7,7

10 – 4

0,78

10 – 2

7,8

101

10 – 2

7,8

10 – 1

0,00176

176

10 – 5

1,76

102

10 – 5

1,76

10 – 3

0,000789

789

10 – 6

7,9

102

10 – 6

7,89

10 – 4

Conclusão: Para os números inteiros maiores que um, colocamos a vírgula entre o primeiro e o segundo algarismo da esquerda e o expoente do 10 é positivo, sendo igual à quantidade de casas depois da vírgula; e se for número decimal maior que 1, deslocamos a vírgula para a esquerda entre o primeiro e o segundo algarismo e o expoente do 10 é positivo, sendo igual à quantidade de casas deslocadas à esquerda até a vírgula. Para os números maiores que zero e menores que um, deslocamos a vírgula depois do primeiro algarismo não nulo à direita e o expoente do 10 é negativo e igual à quantidade de casas que a vírgula se deslocou para a direita.

Aulas

7 Notação científica 8 Data: _____/_____/_____ 1. Introdução Sol

Um grão de arroz tem massa média de 20 mg. Um pacote de 5kg tem em média quantos grãos de arroz? Quantos pacotes de 5kg de arroz totalizam a massa da Terra? Como escrevemos os dados do problema e a resposta em notação científica?

Núcleo

2. Notação científica

Localização do Sol na Via Láctea – Vista de perfil (esquerda) e frontalmente (direita). Na escala da galáxia, todo o Sistema Solar fica representado por um ponto.

notação[do latim notatione]: sistema de representação ou designação convencional científica[do latim scientificu]: que tem o rigor da ciência. Observe nossa galáxia e a localização do Sol. Sol

Grupo Local

Via Láctea

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:01 Página 12

de representação abreviada de números é denominado de notação científica.

Sol no braço da Galáxia

A medida do diâmetro equatorial da Terra é de aproximadamente 12756 km. A medida do comprimento de um tipo de caneta fechada com tampa é 15 cm. De quantas canetas deste tipo, colocadas uma atrás da outra, precisaríamos para totalizar o diâmetro equatorial da Terra? Como resolvemos o problema com os dados em notação científica?

Sistema Solar

A nossa visão do Cosmos pode ser encarada como um quebra-cabeças em que as peças se encaixam umas nas outras.

Escrevendo as duas medidas em notação científica, 12 756 km = (1,2756.104)km 15 cm = (1,5 . 101) cm

Já sabemos que os astros estão agrupados em galáxias que têm bilhões de estrelas e quantidades enormes de matéria interestelar, formando nuvens de gases e que muitas dessas estrelas formam sistemas de planetas, satélites e cometas. A Terra faz parte de uma galáxia — a Via Láctea — formada por, aproximadamente, cento e cinquenta bilhões de estrelas, das quais cerca de seis mil são visíveis a olho nu. Nossa galáxia tem formato de espiral, com um diâmetro de cem mil anos-luz. Ano-luz é uma unidade de medição de grandes distâncias. Cada ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano, a trezentos mil quilômetros por segundo. Assim, a distância percorrida pela luz em um ano é de, aproximadamente, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Uma das estrelas dessa galáxia é o Sol, uma estrela anã, de cor amarelada e de quinta grandeza. Dele, recebemos luz e calor e sem ele nenhuma forma de vida existiria na Terra. Assim, o Sistema Solar (onde se encontra a Terra), como você pode ver, é constituído pelo Sol — nossa estrela —, por outros oito planetas, satélites, asteroides e meteoritos. Ele representa um pequeno ponto da Via Láctea — a Galáxia.

Terra.

Você já viu que 1 km tem 100 000 cm e que 1 cm tem 1 –––––––– km. 100000 Escrevendo em cm a medida do diâmetro da Terra e em km a medida do comprimento da caneta, 12 756 km = (12756 . 100000)cm = (12756 . 105) cm 15 cm =

15 ––––––– 100 000

km = 0,00015 km

Como escrevemos em notação científica a medida do diâmetro da Terra em cm? E do comprimento da caneta?

Qual é o modo mais fácil de representarmos os números que exprimem a quantidade de estrelas e a velocidade da luz no vácuo, com poucos algarismos e facilitando os cálculos?

Para a medida do diâmetro da Terra, (12756 . 105) cm, temos que: 12756 = 1,2756 . 104

A quantidade de estrelas é de cento e cinquenta bilhões: 150 000 000 000.

Quantos zeros? Como abreviamos a escrita desse número?

Substituindo 12756 por 1,2756 . 104, (1,2756 . 104 . 105) cm = (1,2756 . 109) cm

Temos que: 150 000 000 000 = 15 . 10 000 000 000 = 15 . 1010

Para a medida do comprimento da caneta,

Como escrevemos 15 como o produto de dois números, sendo o primeiro maior que um e menor que dez e o segundo com potência de 10?

0,00015 km =

Observe que 15 = 1,5 . 10 Assim, 150 000 000 000 = 1,5 . 101 . 1010 Você já viu que no produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Assim: 150 000 000 000 = 1,5 . 1011 Para a velocidade da luz no vácuo: km km km 300 000 ––– = (3 . 100 000) ––– = (3 . 105) ––– s s s Esse método

1 = 15 . ––– 105

15 ––––––– 100 000

km = 15

1 ––––––– 100 000

km =

km = (15 . 10–5) km = (1,5 . 101 .10– 5) km

1 1 1 Não esqueça que ––– = 10–1, –––– = ––– = 10 –2 10 100 102 Observe que 101 . 10 – 5 = 101 + (– 5) = 101 – 5 = 10– 4, pois 1 1 101 . ––––––– = 101 . –––––––––– = 100 000 10 . 10 000 12

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1 1 1 = 10 . ––– . ––––––– = ––––––– = 10– 4 10 000 10 000 10

10 – 1 ––––– 101

= 10 – 1 : 101 = 10 – 1 – (+ 1) = 10 – 1 – 1 = 10 – 2

Assim, 0,00015 km = (1,5 . 10– 4)km

10 – 2 ––––– 10 – 1

= 10 – 2 : 10 – 1 = 10 – 2 – (– 1) = 10 – 2 + 1 = 10 – 1

10 – 1 ––––– 10 – 2

= 10 – 1 : 10 – 2 = 10 – 1 – (– 2) = 10 – 1 + 2 = 101

O quociente entre a medida do diâmetro equatorial da Terra e a medida do comprimento da caneta numa mesma unidade de medida é igual ao número total de canetas, ou seja, (1,2756 . 104) km 0,8504 . 104 –––––––––––––––– = –––––––––––– (1,5 . 10– 4) km 10 – 4

No problema, efetuando primeiramente o produto das potências de 10 no numerador 8,504 . 10 – 1 . 104 8,504 . 10 3 –––––––––––––––– = –––––––––– = 8,504 . 103 . 104 = 10 – 4 10 – 4

Escrevendo em notação científica 0,8504, temos: 0,8504 = 8,504 . 10 –1; substituindo 0,8504 por

= 8,504 . 107 ou efetuando o quociente entre as potências de 10 com expoentes inteiros negativos 8,504 . 103 . 104 = 8,504 . 107

8,504 . 10 –1 . 104 8,504 . 10–1, temos ––––––––––––––– . 10 – 4

Como efetuamos as operações entre as potências de 10? Temos que:

10 – 1

104

10–1+4

Observe que:

103

10 4 ––––– = 104 . 104 = 108 e 10 – 4

10– 1 103 Qual é o valor de –––––– ? E de –––––– ? 10 – 4 10 – 4

Precisaríamos de 8,504 . 107 canetas colocadas uma seguida da outra para totalizar o diâmetro equatorial da Terra.

Observe que: 1 101 ––––– = 10 : 10– 1 = 10 : ––– = 10 . 10 = 100 = 102 10 10–1

Mas, afinal de contas, são quantas canetas? 8,504 . 107 = 8 504 . 10 – 3 . 107 = 8504 . 104 = = 85 040 000 São oitenta e cinco milhões e quarenta mil canetas.

1 10 1 1 1 10– 1 ––––– = ––– : ––– = ––– . ––– = ––– = 10–2 10 1 10 10 100 101

Quais as regras para representarmos um número em notação científica? É possível representarmos números muito pequenos em notação científica?

1 10– 2 101 ––––– = 10 – 2 : 10– 1 = 10– 2 : ––– = 10– 2 . ––– =10– 1 10 10– 1 1

Para os números inteiros maiores que um, colocamos a vírgula entre o primeiro e o segundo algarismo da esquerda e o expoente do 10 é positivo, sendo igual à quantidade de casas depois da vírgula; e se for número decimal maior que 1, deslocamos a vírgula para a esquerda entre o primeiro e o segundo algarismo e o expoente do 10 é positivo, sendo igual à quantidade de casas deslocadas à esquerda até a vírgula. Para os números maiores que zero e menores que um, deslocamos a vírgula depois do primeiro algarismo não nulo à direita e o expoente do 10 é negativo e igual à quantidade de casas que a vírgula se deslocou para a direita.

1 10– 1 ––––– = 10 – 1 : 10– 2 = 10– 1 . ––––– = 10– 1 . 102 = 101 10– 2 10– 2

Descobriu a regra? Você já viu que na divisão de duas potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Assim: 101 ––––– 10–1

10 – 1 ––––– = 10– 1 . 104 = 103 10 – 4

= 101 : 10 – 1 = 101 – (– 1) = 101 + 1 = 102

Podemos representar um número em notação científica por x . 10n, com 1 ⭐ x < 10 e n ∈ .

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT9F102

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Exercícios da aula 1.

Leia o texto e os dados numéricos dos planetas para responder cada item. Podemos dizer que há dois grupos de planetas: os terrestres e os jupiterianos. Os terrestres são pequenos e densos, ricos em elementos pesados como níquel e ferro. São eles: Mercúrio, Vênus, Terra e Marte. Os planetas jupiterianos são grandes e pouco densos, ricos em elementos gasosos como hidrogênio e hélio. São eles: Júpiter, Saturno, Urano e Netuno.

• Velocidade de translação: 29,79 km/s • Distância média do Sol: 149 600 000 km • Temperatura na superfície: –70°C a 50°C • Área das superfícies de terra: 148 000 000 km2 • Área das superfícies de água: 364 000 000 km2 • Área total da Terra: 512 000 000 km2 • Volume: 1 083 000 000 km3 • Massa aproximada: 6 sextilhões de toneladas

Mercúrio, o mais próximo do Sol

Marte, o planeta vermelho

Dados Numéricos • Número de satélites: 0 • Diâmetro: 4 878 km • Rotação (dia): 58 dias e 16 horas • Translação (ano): 87,97 dias • Distância média do Sol: 57 910 000 km • Velocidade de translação: 47,89 km/s • Temperatura na superfície: –180°C a + 430°C

Dados Numéricos • Número de satélites: 2 • Diâmetro: 6 786 km • Rotação (dia): 24 horas 37 minutos • Translação (ano): 686,98 dias • Velocidade de translação: 24,13 km/s • Distância média do Sol: 227 940000 km • Temperatura na superfície: –120°C a + 25°C

Júpiter, o gigante dos mundos Vênus, o planeta misterioso – Estrela D’alva ou Vésper Dados Numéricos • Número de satélites: 16 • Diâmetro equatorial: 142 984 km • Diâmetro polar: 133 708 km • Rotação (dia): 9 horas 55 minutos • Translação (ano): 11,86 anos • Velocidade de translação: 13,06 km/s • Distância média do Sol: 778 330 333 km • Temperatura no topo das nuvens: –150°C

Dados Numéricos • Número de satélites: 0 • Diâmetro: 12 103 km • Rotação (dia): 243,01 dias • Translação (ano): 224,7 dias • Velocidade de translação: 35,03 km/s • Distância média do Sol: 108 200 000 km • Temperatura na superfície: 465°C

Saturno, a joia do sistema solar Dados Numéricos • Número de satélites: 18 • Diâmetro equatorial: 120 536 km • Diâmetro polar: 108 728 km • Rotação (dia): 10 horas 40 minutos • Translação (ano): 29,46 anos • Velocidade de translação: 9,64 km/s • Distância média do Sol: 1 426 980 000 km • Temperatura no topo das nuvens: –180°C

Terra, o planeta azul Dados Numéricos • Número de satélites: 1 • Diâmetro polar: 12 713 km • Diâmetro equatorial: 12 756 km • Circunferência polar: 40 009 km • Circunferência equatorial: 40 076 km • Rotação: 23h56min • Translação: 365,26 dias 14

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Urano, o planeta verde-azulado Dados Numéricos • Número de satélites: 15 • Diâmetro equatorial: 51 118 km • Diâmetro polar: 49 946 km • Rotação (dia): 17 horas 14 minutos • Translação (ano): 84,01 anos • Velocidade de translação: 6,81 km/s • Distância média do Sol: 2 870 990 000 km • Temperatura no topo das nuvens: – 210°C

• Velocidade de translação: 4,74 km/s • Distância média do Sol: 5 913 520 000 km • Temperatura na superfície: – 220°C a) Escreva, em notação científica, a distância média (km e m) entre o Sol e a Terra. (1,496 . 108) km = (1,496 . 1011) m

b) Escreva, em notação científica, a área total (km2) da Terra. 5,12 . 108 km2

Netuno, descoberto por cálculos Dados Numéricos • Número de satélites: 8 • Diâmetro equatorial: 49 528 km • Diâmetro polar: 48 600 km • Rotação (dia): 16 horas 7 minutos • Translação (ano): 164,79 anos • Velocidade de translação: 5,43 km/s • Distância média do Sol: 4 497 070 000 km • Temperatura no topo das nuvens: – 210°C

c) Escreva, em notação científica, a medida da massa aproximada da Terra em t, kg e g. (6 . 1021)t = (6 . 1024)kg = (6 . 1027) g d) Escreva em notação científica a área total (km2) das superfícies de água do planeta Terra. 3,64 . 108 km2

e) Quantos carros de comprimento médio igual à 0,004 km, colocados um após o outro são necessários para totalizar o diâmetro equatorial da Terra? Resolva o problema em notação científica.

Plutão, um planeta anão Em reunião realizada pela União Astronômica Internacional em agosto de 2006, ficou estabelecida uma nova definição de planeta, criando o chamado planeta anão. Alteraram a condição de Plutão de planeta, para planeta anão. Dentro dessa classificação, dois novos planetas anões foram encaixados, Ceres, o maior dos asteroides que orbita no cinturão entre Marte e Júpiter e Xena, 2003 UB 313 (provisoriamente chamado Xena – leia-se Zina) encontrado dentro do Cinturão de Kuiper, conjunto de astros de pequeno porte onde se incluem os cometas.

nc = (12756 km) ÷ (0,004 km) = 3189 . 103 = 3,189 . 106

f) Complete a tabela, escrevendo em notação científica, a distância média (em km e m) do Sol com arredondamento de duas casas decimais, aos dois planetas mais próximos do Sol.

“Plutão tem duas características dos planetas comuns, mas a sua órbita não é mais limpa, se sobrepondo à de Netuno, cumprindo rota diagonal em relação aos outros planetas.”

Planetas mais próximos

(O Estado de S.Paulo, 25/08/2006).

Dados Numéricos • Número de satélites: 1 • Diâmetro: 2 284 km • Rotação (dia): 6 dias 9 horas • Translação (ano): 248,54 anos 15

Distância média do Sol

Mercúrio

5,79 . 107 km

5,79 . 1010 m

Vênus

1,08 . 108 km

1,08 . 1011 m

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Observe a tabela da população (em milhões de habitantes) dos seis países mais populosos do mundo e a tabela da superfície (km2) dos seis países que possuem a maior superfície. Escreva em notação científica, com arredondamento de duas casas decimais, a população e a superfície de cada país.

País

População em milhões de hab.

China Índia

População em notação científica

1237

1,24 . 109

1 004

109

1,00 .

Estados Unidos

281

2,81 . 108

Indonésia

212

2,12 . 108

Brasil

169,4

1,69 . 108

Federação Russa

147,7

1,48 . 108

País

Superfície km2

Superfície (km2) em notação científica

Federação Russa 1 7075 400

1,71 . 107

Canadá

9 970 610

9,97 . 106

China

9 536 499

9,54 . 106

Estados Unidos

9 372 614

9,37 . 106

8 547403,5

8,55 . 106

7 682 300

7,68 . 106

Brasil Austrália

(OBMEP) – Arnaldo disse que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. O Professor Piraldo o corrigiu e disse, corretamente, que um bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre o valor correto de um bilhão e a resposta de Arnaldo? a) 1 000 b) 999 000 c) 1 000 000 d) 999 000 000 e) 999 000 000 000 RESOLUÇÃO: Arnaldo disse que 1 bilhão = 1 000 000 × 1 000 000 = 1 000 000 000 000 = 1012. O Professor Piraldo corrigiu-o, dizendo que 1 bilhão = 1 000 × 1 000 000 = 1 000 000 000 = 109. A diferença é: 1012 – 109 = 109(103 – 1) = 999 × 109 = 999 000 000 000 Resposta: E

Desafio Um grão de arroz tem massa média de 20 mg. Quantos grãos de arroz uma saca de 60 kg tem em média ? 20 mg = 2 . 10 mg

3000 000 = 3 . 106 grãos

1kg = 1 . 10 kg

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:03 Página 17

Aulas

9 Números reais – intervalos 10 Data: _____/_____/_____ 1. Introdução

Conjunto dos números reais não positivos:

Qual é a representação na reta real de A = {x ∈ x > 2} e B = {x ∈ 1 < x < 3}? E de A B e B A? E a representação de

Conjunto dos números reais estritamente negativos:

x–3 C = x ∈ – 2 < –––––– < 1 2

_ = {x ∈ x ⭐ 0} _* = {x ∈ x < 0} Observe a representação na forma de conjunto e de intervalo e na reta numérica real dos subconjuntos de , *, +, *+ , _ e _* .

2. Subconjuntos de

{x ∈ x ≠ 0} =

]– ∞, 0[ ]0, + ∞[

Você já viu os seguintes conjuntos numéricos:

infinito

= {0, 1, 2, 3, 4, …} = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

p x = ––– p ∈ e q ∈ * q

{x ∈ x ⭓ 0} = [0,

+ ∞ [ = [0, + ∞) inclui o zero

Em diagrama:

{x ∈ x > 0} = ] 0,

+ ∞ [ = (0, + ∞) exclui o zero

{x ∈ x ⭐ 0} = ]–

∞ , 0] = (– ∞, 0]

Observe que:

{x ∈ x < 0} =

Utilizando os símbolos e , temos:

+ +* _ _*

* + +* _ _*

Sendo a, b ∈ , com a < b, observe os subconjuntos de e a representação na reta real. [a, b] = {x ∈ a ⭐ x ⭐ b}

Da mesma maneira que temos os subconjuntos de , *, +, *+, _ e _* , temos os subconjuntos de , *, +, *+, _ e _* .

]– ∞ , 0[ = (– ∞, 0)

inclui a

= {x ∈ x ≠ 0} ou – {0}

inclui a

Conjunto dos números reais não negativos:

+ = {x ∈ x ⭓ 0} Conjunto dos números reais estritamente positivos:

]a, b[ = {x ∈ a < x < b}

+* = {x ∈ x > 0}

exclui a 17

inclui b

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:03 Página 18

exclui a

Qual é a representação na reta real de A B e A B?

exclui b

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e B. Representa-se por A B. Simbolicamente A B = {x x ∈ A e x ∈ B} A reunião (união) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A B.

[a, b[ = [a, b) = {x ∈ a ⭐ x < b} exclui b

Simbolicamente A B = {x x ∈ A ou x ∈ B} ]a, b] = (a, b] = {x ∈ a < x ⭐ b} inclui b

[a, + ∞[ = [a, + ∞) = {x ∈ x ⭓ a} A = {x ∈ x ⭓ 1} B = {x ∈ – 2 x ⭐ 2}

]a, + ∞[ = (a, + ∞) = {x ∈ x > a}

A B = {x ∈ 1 ⭐ x ⭐ 2}

exclui a

B A = {x ∈ x – 2} ]– ∞, a] = (– ∞, a] = {x ∈ x ⭐ a}

Qual é a representação na reta real de A – B e B – A?

]– ∞, a[ = (– ∞, a) = {x ∈ x < a}

A diferença entre A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representando por ⲩAB. Simbolicamente ⲩAB = A – B = {x x ∈ A e x ∉ B}. A diferença entre B e A é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

Observe como representamos simbolicamente os intervalos de .

O conjunto B – A é também chamado de conjunto complementar de A em relação a B, representando por ⲩBA. Simbolicamente ⲩBA = B – A = {x x ∈ B e x ∉ A}. A = {x ∈ x ⭓ 1}

B = {x ∈ – 2 x ⭐ 2} A = {x ∈ x ⭓ 1} B = {x ∈ – 2 x ⭐ 2} A – B = {x ∈ x 2}

C = {x ∈ – 1 ⭐ x 2}

B – A = {x ∈ – 2 x 1} A – B = {x ∈ x 2} B – A = {x ∈ – 2 x 1}

D = {x ∈ – 2 x 1} 18

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:03 Página 19

Qual é a representação na reta real de B C e B C?

Qual é a representação na reta real de x+1 x ∈ 1 < –––––– < 2 ? 2

Multiplicando por 2 cada termo da desigualdade, temos: x–1 2 . 1 < 2 . –––––– < 2 . 2 2

2<x+1<4 Subtraindo um de cada membro, temos: 2–1<x+1–1<4–1 1<x<3

{x ∈ – 2 x ⭐ 2} {x ∈ – 1 ⭐ x 2} Observe que quando unimos B com C, temos que 2 ∈ B e 2 ∉ C; na união, 2 ∈ B C, na intersecção, de B com C temos que 2 ∈ B e 2 ∉ C, na intersecção 2 ∉ B C.

Na reta real:

Qual é a representação na reta real de {x ∈ x ⭐ – 2 ou x ⭓ 2}, {x ∈ – 2 < x < 2}, {x ∈ x < – 2 ou x >

] 1,3 [

2} e {x ∈ – 2 ⭐ x ⭐ 2}?

Qual é a representação na reta real de

x ∈ – 1 ⭐

] – ∞, – 2] [2, + ∞[

x–1 –––––– < 1 2

Multiplicando por 2 cada termo da desigualdade, temos: x–1 2 . (– 1) ⭐ 2 . –––––– < 2 . 1 2

] – 2, 2[

Qual é a representação na reta real de

–2⭐x–1<2

{x ∈ x < – 2 ou x > 2} e {x ∈ – 2 ⭐ x ⭐ 2}?

Somando um a cada membro, temos: –2+1⭐x–1+1<2+1 –1⭐x<3

] – ∞, – 2[ ou ]2, + ∞[

Na reta real:

[ – 1,3 [

[ – 2, 2]

Exercícios da aula 1.

Represente na reta real e na forma de intervalo os subconjuntos: a) {x ∈ – 7 x 7}

-8

-6

-4

-2

]– 7, 7]

b) {x ∈ – 2 x 0}

-3

-2

-1

-3

-2

-1

[– 2, 0]

c) {x ∈ – 1 x 3} ]– 1, 3]

d) {x ∈ x 3}

-3

-2

-1

]– ∞, 3]

e) {x ∈ x – 2 ou x 0}

-3

-2

-1

]– ∞, – 2] [0, + ∞)

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:04 Página 20

Dados os subconjuntos de , A = [– 4, 2] e B = ]0, 4], determine A B, A B, A – B e B – A representando-os na reta real e na forma [a, b], ]a, b[, [a, b[ ou ]a, b]. -3

-4

-2

-1

A B

[– 4, 4]

]0, 2]

A -B

[– 4, 0]

B -A

]2, 4]

Dados os subconjuntos de , A = [– 2, 3] e B = ]– 4, – 1], determine A B, A B, A – B e B – A, representando-os na reta real e na forma [a, b], ]a, b[, [a, b[ ou ]a, b]. -4

-3

-2

-1

A B

AÈB

]– 4, 3]

AÇB

[– 2, – 1]

A-B

]– 1, 3]

B-A

]– 4, – 2[

Represente na reta real e na forma de intervalo os subconjuntos. a)

x–4 x ∈ – 5 < –––––– – 2 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

]– 6, 0]

x∈ 0

x+3 –––––– 3 2

-3

-2

-1

[– 3; 3[

Desafio Qual é a representação de A B, dados os conjuntos A = [– 6, 5[ e B = (– ∞, – 6]? 20

A B = {–6}

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2014_Tony 25/07/13 16:22 Page 21

Aula

Laboratório de Matemática

Data: _____/_____/_____

Descobrindo propriedades dos radicais Material: lápis e borracha. Procedimento: em duplas.

Parte A Escreva cada radical como o produto de dois outros radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata. Não esqueça que: radical índice 100 10 100 2 ––– = ––––––– = ––– = 2 49 = 7 raiz 25 5 25 radicando

100 = 25 . 4 = 25 . 4 = 5 . 2 = 10

4 . 2 =

. 2

4 . 3 =

. 3

. 2

9 . 2 =

4 .

5 =

27 . 3 =

8 .

. 5

. 3

2 =

. 2

Parte B Escreva cada número fora do radical como uma raiz exata e efetue as operações entre os radicais, obtendo no radical um único radicando.

7 . 2

= 49 . 2 = 98

3 . 5

= 9 . 5 = 45

10 . 2 3

2 . 5

= 100 . 2 3

4 2 –––– = –––– = 2 2

= 200

9 3 –––– = –––– = 2 2

= 8 . 5 = 40

––– 4 ––– = 2 2

––– 9 ––– = 4,5 2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:04 Página 22

Parte c Complete os

com números naturais.

64 = 2

64 = 2 3

8 =

64 = 2

256 = 2

16 = 2

256 = 256 = 2

= 8

= 2

= 16

= 2 . 2 . 2 =2

= 2 4

=2 =2

= 2

. 2

= 8

64 = 6

. 2

= 4 = 2

= 2

= 4

Conclusão: Sendo n e m números naturais maiores que um e x e y números reais maiores que zero, complete os

x.y =

(

)

x x –– = –––––– y n

m.n

x =

y Sendo n um número ímpar natural maior que um e x um número real menor que zero, complete os

(

x) =

x 22

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:04 Página 23

Geometria – 12 Teorema de Pitágoras

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

Em um triângulo retângulo, os lados formados pelos ângulos retos são chamados de catetos; o terceiro lado que forma o triângulo retângulo, que é oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa.

Como verificamos se o encontro de duas paredes da sala de aula forma um ângulo reto?

2. Teorema de Pitágoras teorema[do grego theórema]: proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente, necessita de demonstração. cateto[do grego káthetos]: qualquer um dos lados adjacentes ao ângulo reto de um triângulo retângulo. hipotenusa[do grego hypoteínousa]: lado oposto ao ângulo reto em um triângulo retângulo.

O ΔDEF é retângulo isósceles e o ΔABC é retângulo escaleno. Sobre as medidas reais de cada lado do ΔABC, que representa o telhado, construímos um quadrado de medida igual ao lado, obtendo: No ΔABC, os segmen— — tos AB e AC são catetos e — o segmento BC é hipotenusa. No ΔABC, vamos cha— mar de a o segmento BC, de — b o segmento AC e de c o — segmento AB. Determinando a área de cada quadrado, e sabendo que a área de é 1 cm2 e a área de é 0,25 cm2, temos:

Observe o telhado das casas de um quadro de parede.

Para as medidas reais do telhado, representado pelo ΔABC: = 25 cm2 b2 = 16 cm2 c2 = 9 cm2

Observe que: = 25

42 = 16

Podemos escrever 9 + 16 = 25 32 + 42 = 52

( )

52 = 42 + 32

— Como determinamos a med(AB) no ΔABC, dadas as — — medidas do cateto AC e da hipotenusa BC?

— Para as medidas reais do ΔABC, qual é a med AB , — — sabendo que med AC = 3 cm e med BC = 5 cm? — Para as medidas reais do ΔDEF, qual é a med EF , — — sabendo que med DE = med DF = 2 cm?

( )

32 = 9

( )

— Sendo med( BC) = 5 cm, — — med( AB) = 3 cm e AC = b: a2 = b2 + c2 52 = b2 + 32 25 = b2 + 9 25 – 9 = b2 + 9 – 9 16 = b2 b = ± 16 b=±4 b = – 4 não convém, pois b>0 b=4 — med ( AB) = 4 cm

( )

Sejam os triângulos ABC e DEF.

O ΔABC é retângulo em A e o ΔDEF é retângulo em D. 23

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:05 Página 24

No 8.º ano, você viu, com medidas de comprimento, que, num triângulo retângulo, o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos dois lados menores. Observe os quadrados MNOP e RSTU de lados (b + c) e as áreas das figuras geométricas que formam cada um. A área do quadrado MNOP é dada pela soma das áreas de Q1, T1, T2, T3 e T4, ou seja, AMNOP = Q1 + T1 + T2 + T3 + T4 =

No ΔDEF, os segmentos DE e DF são catetos e EF é hipotenusa. No ΔDEF, vamos chamar de x o segmento EF, de y o segmento DF e de z o segmento DE. Como o triângulo DEF é retângulo isósceles, em relação aos lados x, y e z, podemos escrever x 2 = y 2 + z2 x2 = y2 + y2 ou

bc bc bc bc = a2 + ––– + ––– + –– + ––– = 2 2 2 2

EF, FG, GH, HE, sendo E, F, G e H pontos médios dos lados do quadrado DLMN. A área do quadrado EFGH é a metade da área do quadrado DLMN, ou seja,

A área do quadrado RSTU é dada pela soma das áreas de Q2, Q3, T1, T2, T3 e T4, ou seja, ARSTU = Q2 + Q3 + T1 + T2 + T3 + T4 =

ADLMN 16 cm2 AEFGH = ––––––––– = –––––––– = 8 cm2 2 2 Para as medidas reais do telhado, representado pelo ΔDEF, temos x 2 = 8 cm2 y 2 = 4 cm2 z 2 = 4 cm2 A área do quadrado de lado x é igual à soma das áreas dos quadrados de lados y e z. Podemos escrever 8=4+4 8 = 22 + 22

bc bc bc bc = b2 + c2 + ––– + ––– + ––– + ––– = 2 2 2 2 bc = b2 + c2 + 4 . ––– = 2 2 2 b + c + 2 . bc

Você já viu que se a medida da área de um quadrado é igual

A área do quadrado MNOP é igual à área do quadrado RSTU, ou seja, AMNOP = ARSTU. Comparando I e II, temos:

a 8 cm2, seu lado mede 8 cm.

a2 + 2bc = b2 + c2 + 2bc

Quais os números que elevados ao quadrado dão 8? São dois os números que elevados ao quadrado dão 8: – 8 e 8. Por tratar-se de um problema de Geometria, não convém – 8. 8, pois 8 . 8 = 82 = 8 Temos que x =

a2 + 2bc – 2bc = b2 + c2 + 2bc – 2bc a2 = b2 + c2

x 2 = 2y 2 ou x 2 = 2z 2

O quadrado EFGH é resultante da união dos segmentos

bc = a2 + 4 . ––– = a2 + 2 . bc 2

Assim,

x2 = z2 + z 2

Enunciando o Teorema de Pitágoras: “Se um triângulo é retângulo, então o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

Para as medidas reais do desenho, como fazemos para calcular a — med (EF) no ΔDEF, dadas as medidas dos — — catetos DE e DF?

No próximo caderno você irá ver outra demonstração do Teorema de Pitágoras. Sobre as medidas reais de cada lado do ΔDEF, que representa o telhado, construímos um quadrado de medida igual ao lado, obtendo:

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔDEF: x2 = y2 + z2 x2 = 22 + 22 x2 = 4 + 4

x2 = 8 x = ± 8 8 não convém x = – — 8 cm med ( EF) =

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:05 Página 25

Para as medidas do desenho na proporção 1:2, — como fazemos para calcular a med (AB) no ΔABC, — dadas as medidas do cateto — AC e da hipotenusa BC?

Observe que y 2 = 1 cm2 z 2 = 1 cm2 x 2 = 2 cm2 ADLMN 4 cm2 AEFGH = ––––––––– = –––––––– = 2 cm2 2 2

Como calculamos a — med (BC) no ACB?

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔABC: a2 = b2 + c2 2,52 = b2 + 1,52 6,25 = b2 + 2,25 6,25 – 2,25 = b2 + 2,25 – 2,25

4 = b2 b = ± 4 b = – 4 não convém b=2

— Temos que BC é hipotenusa do ΔACB — e AE é cateto no ΔAED. Aplicando o Teorema de Pitágoras nos ΔACB e ΔAED ΔABC a2 = 1,52 + 22 a2 = 2,25 + 4 a2 = 6,25 6,25 a = ±

— med ( AB) = 2 cm Para as medidas do desenho do telhado, representado pelo ΔABC, temos 4 + 2,25 = 6,25 22 + 1,52 = 2,52 ou 2,52 = 22 + 1,52

Para as medidas do desenho na proporção 1:2, — como fazemos para calcular a med EF no ΔDEF, — — dadas as medidas dos catetos DE e DF?

( )

a = ± 6,25 pois a > 0 a=

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔDEF: x2 = y2 + z2

x2 = 2

x2 = 12 + 12

x = ± 2

x2 = 1 + 1

x = – 2 não convém

25 625 –––– ⇒ a = ––– 10 100

⇒ a = 2,5

— med( BC ) = 2,5 cm O Teorema de Pitágoras foi aplicado, para números naturais, depois para os racionais positivos e muito tempo depois para os irracionais.

— 2 cm med ( EF ) =

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT9F103

Exercícios da aula 1.

No revestimento de paredes de casas e prédios, usa-se um azulejo de dimensões indicadas no desenho. Calcule a medida real e do desenho da diagonal do azulejo.

Calcule a medida real (cm) da diagonal de cada foto.

— 74 cm med ( DB) = — med ( GE ) = 5 cm — med ( LI ) = 2 2 cm — med(AB ) = 2,5 cm desenho — med(AB ) = 25 cm real 1:2 25

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Um avião levanta vôo, conforme figura abaixo. Quando percorrer 1500 m, em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião?

x = 900m m

6cm

1:20000

— Calcule a medida real (m) da diagonal AC do prédio.

73 — med ( BC) = –––––– m

73 — med ( CE ) = –––––– m

x = 2 10 cm 10 m x = 20

6cm

Desafio

1:1000 2cm

(PUC) – Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora e Y, à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que, às 15 horas de certo dia, Y estava exatamente 72 milhas ao sul de X e que, a partir de então, Y navegou em linha reta para o leste, enquanto que X navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y, em milhas, era a) 45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58

Calcule a medida do perímetro do desenho do envelope sabendo que ΔADE ≅ ΔBFC.

RESOLUÇÃO: Sendo A e B, respectivamente, as posições dos navios X e Y às 15 horas de um certo dia, e C e D, respectivamente, as posições dos navios X e Y às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, ou seja, 2 horas e 15 minutos mais tarde 2p = 26 cm

9 ––– de hora , temos: 4

Calcule as medidas reais(m) x e y de uma “tesoura” de madeira usada na construção do madeiramento de um telhado. Obs.: Desconsideramos a espessura das vigas para os cálculos.

I) Com velocidades constantes de 16 milhas por hora e 12 milhas por hora, respectivamente, os navios X e Y percorrem AC e BD. Assim, temos:

9 AC = ––– . 16 = 36 milhas 4 B

9 BD = ––– . 12 = 27 milhas 4

II) No triângulo retângulo BCD, temos: (CD)2 = (BD)2 + (BC)2, com BC = AB – AC = 36 Assim, (CD)2 = 272 + 362 ⇒ CD = 45 milhas Resposta: A

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Aula

Operações com números reais Data: _____/_____/_____ y2 = 12 + 32 ⇒ y2 = 1 + 9 y2 = 10 ⇒ y = ± 10 y = – 10 não convém, pois y > 0 y = 10 A medida do outro segmento é diagonal de um retângulo de lados 2 cm e 1 cm ou a hipotenusa de um triângulo retângulo escaleno de catetos 2 cm e 1 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinamos a diagonal z.

1. Introdução Qual é a expressão numérica que representa a soma de todos os segmentos de cor marrom na face das duas letras, sabendo que

tem aresta igual a 1 cm,

escrevendo a adição de dois radicais?

z2 = 12 + 22 ⇒ z2 = 1 + 4 z2 = 5 ⇒ z = ± 5 z = – 5 não convém, pois z > 0 z = 5 Nas duas letras temos oito vezes o segmento x, cinco vezes o segmento z e duas vezes o segmento y; escrevendo a expressão algébrica e numérica que representa a soma dos 15 segmentos, temos: 8x + 5z + 2y = 8 2 + 5 5 + 2 10

2. Operações com números reais Observe os segmentos na face das duas letras.

Qual é a expressão numérica que representa a soma de todos os segmentos de cor marrom na face das duas letras, sabendo que 1 cm?

Escrevendo cada número fora do radical como uma raiz exata e efetuando as operações entre os radicais, de forma a obter no radical um único radicando, qual é a expressão numérica que representa a soma desses segmentos?

tem aresta igual a

Temos que

Separando os segmentos de mesma medida com os seus respectivos cubos, obtemos três tipos de segmentos distintos: Você pode observar que a medida do menor segmento marrom na face das letras é a diagonal de um quadrado de lado 1 cm ou a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles de cateto 1 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinamos a diagonal x.

64 = 8, 25 = 5 e 4=2 substituindo na expressão numérica: 8 2 + 5 5 + 2 10 = 64 . 2 + 25 . 5 + 4 . 10 = = = 128 + 125 + 40 Assim: 128 + 125 + 40 8x + 5z + 2y =

x2 = 12 + 12 ⇒ x2 = 1 + 1 ⇒ x2 = 2

Você já viu que o produto de dois radicais de mesmo

2 ⇒ x = – 2 não convém, pois x > 0 ⇒ x = 2 x = ±

índice é igual ao radical de mesmo índice do produto dos radicandos.

A medida do maior segmento é a diagonal de um retângulo de lados 3 cm e 1 cm ou a hipotenusa de um triângulo retângulo escaleno de catetos 3 cm e 1 cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determinamos a diagonal y:

x . y = x . y x e y são números reais maiores que zero ou x ∈ + e y ∈ + 27

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:05 Página 28

Exercícios da aula 1.

Determine a expressão numérica que representa a soma dos segmentos de cor marrom na face de cada letra, sabendo que tem aresta igual a 1 cm, escrevendo o número fora de cada radical como uma raiz exata e efetuando o produto entre os radicais, de forma a obter no radical um único radicando.

5 5 = 125

7 2 = 98

5 2 + 2 5 = 50 + 20

3 10 + 2 5 = 90 + 20

2 2 + 2 10 + 2 5 = 8 + 40 + 20

4 2 + 2 10 = 32 + 40

Desafio Qual é a expressão numérica que representa a soma das medidas reais dos segmentos de cor marrom na face dos três números, escrevendo a adição de dois radicais?

10 2 + 7 10 = 200 + 490

1:2 28

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:12 Página 29

Aula

Geometria – Aplicações do Teorema de Pitágoras Data: _____/_____/_____

1. Introdução Qual é a medida real da diagonal no cruzamento da Rua 3 com a Av. 1 da cidade de Rio das Quadras?

2. Aplicações do Teorema de Pitágoras Observe a região central da cidade de Rio das Quadras. Você já viu que, na cidade de Rio das Quadras, os quarteirões possuem a mesma área e que, na Rua 0 e na Av. 0, a largura é igual a 20 m, enquanto nas demais ruas e avenidas é de 10 m.

— Qual é a med (BC ) no desenho? E a real? Qual é a medida do perímetro do ΔABC no desenho? E a medida real? — No desenho, med ( AC) = 1cm e equivale a uma medida real de 20 m. Para as medidas do desenho, no ΔBAC, AB e AC são — catetos e BC é hipotenusa. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: x2 = 12 + 12 x2 = 2 x = ± 2 x = – 2 não convém, pois x > 0 x = 2 Para as medidas reais, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: — — med(AB ) = med(AC) = 20 m x2 = 202 + 202 ⇒ x2 = 400 + 400 ⇒ 800 ⇒ x2 = 800 ⇒ x = ± x = – 800 não convém, pois x > 0 x = 800

Podemos escrever 800 como o produto de três radicais, sendo duas raízes exatas e uma raiz irracional?

Um acidente ocorrido no cruzamento da Rua 0 com a Av. 0 fez a CET (Companhia de Engenharia de Tráfego) interditar o tráfego colocando um cordão de isolamento, conforme a figura.

Temos que 800 = 8 . 100 = 2 . 4 . 100 2.4 29

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 29/07/10 13:05 Página 30

800 400 200 100 50 25 5 1

x.y = x . y , com x ∈ ⺢+,

Você já viu que y ∈ ⺢+.

Podemos escrever a propriedade para x, y e z,

x.y.z = x . y . z , com x ∈ ⺢+, y ∈ ⺢+, z ∈ ⺢+. Para 800, temos:

800 = 2 . 4 . 100 = 2 . 4 . 100 =

2 2 2 2 2 5 5

— med(BC) =

= 2 . 2 . 10 = 2 . 10 . 2 = 20 2

800 = 22 . 22 . 21 . 52 Podemos escrever 800 = 2= = 22.22.21.5

= 22 . 22 . 2 . 52 = = 2 . 2 . 2 . 5 = 4 . 5 . 2 = 20 2 Assim, —

2 cm no desenho. A medida real de BC é

800 m = 20 2 m.

Como fazemos para obter 800, dado 20 2?

A medida do perímetro do ΔABC no desenho é 2p = (1 + 1 + 2 ) cm = (2 + 2 ) cm.

O número fora do radical é 20. Escrevendo 20 como uma raiz exata, obtemos 20 2 = 400.

Não esqueça que 2 + 2 ≠ 2 . 2.

20 2 = 2 : multiplicando os radicais, obtemos

A medida real do perímetro do ΔABC é

400 . 2 = 800

2p = 20 m + 20 m + 20 2 m=

Podemos decompor 800 em fatores primos,

= 40 m + 20 2 m = (40 + 20 2 ) m.

202 .

Exercícios da aula 1.

— Calcule a medida da diagonal BC e o perímetro do ΔABC, — no desenho (cm) e real (m), sendo med (AB) = 1 cm e — med(AC) = 0,5 cm.

— Calcule, na forma de fração, a medida (AC) da diagonal — da tecla do interfone e da diagonal (BD) do Edifício Brasília da cidade de Rio das Quadras.

— 13 med( AC) = ––––– cm 2

1:2000 5 — med( BC ) = ––––– cm 2 2p =

desenho

3 5 ––––– + ––– cm = 2 2

5 +3 –––––––– 2

— 5m med( BC ) = 10

real

2p = (30 + 10 5 )m

real

— med( BD) = 9 2 cm

desenho

Desafio Qual é a medida do segmento AB no desenho (cm) e real (m) da região da cidade de Rio das Quadras? — med(AB ) = 2,2 2 cm — med(AB ) = 220 2m

desenho real

1:10000 30

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:12 Página 31

Geometria – Aplicações do 16 Teorema de Pitágoras

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

A D

Observe os barquinhos.

ΔABH,

temos

med( HB )

que

cm,

Qual é a medida do lado de cada triângulo? Quais lados representam números racionais? E irracionais?

med( AH ) = 4 cm, e queremos determinar med( AB). No

2. Operações com números reais

ΔDHF, temos que med( HF ) = 2 cm, med( DF ) = 4 cm e queremos determinar med ( DH ).

Você já viu que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras em triângulos retângulos. Observe os barquinhos.

No ΔABH, sendo AB = x e no ΔDHF, DH = y, aplicamos o Teorema de Pitágoras para determinar x e y. A D

x y

Qual é a medida do segmento DH do ΔDEF? E do segmento AH do ΔABH?

O ΔDEF é equilátero e o ΔABH é escaleno. — — — No ΔABH, os segmentos AB e BH são catetos e AH é hipotenusa. — — — No ΔDEF, os segmentos DE, EF e FD são lados do triângulo. Os ΔDHE e ΔDHF são congruentes por LAL: — — — ^ ^ ED ≅ FD E DH ≅ FDH HD é lado comum.

Determinando a hipotenusa no ΔABH:

Determinando o cateto no ΔDHF:

x2 = 22 + 42 ⇒ x2 = 4 + 16

42 = 22 + y 2 ⇒ 16 = 4 + y 2

x2 = 20 ⇒ x = ± 20

16 – 4 = 4 – 4 + y 2 12 = y 2 ⇒ y = ± 12

Observe que, por tratar-se de um problema de geometria,

Para determinar a medida do segmento AH no ΔABH, aplicamos o Teorema de Pitágoras. O segmento DH é a altura do ΔDEF. Para determinar a medida do segmento DH, aplicamos o Teorema de Pitágoras no ΔDHF. No ΔDHF os segmentos FH e DH são catetos e DF é hipotenusa.

20 não convém e y = – 12 também não convém. x = – Assim, x = 20

y = 12

Não esqueça que: 2

20 . 20 = ( 20 ) 31

= 202 = 400 = 20

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:12 Página 32

2 (– 20 ) . (– 20 ) = (– 20 ) = 202 = 400 = 20 2

12 . 12 = ( 12 )

No próximo caderno você irá comparar radicais de índices diferentes. 3

= 122 = 144 = 12

Qual raiz é maior 7 ou 7?

Como escrevemos 12 como o produto de dois

2 (– 12 ) . (– 12 ) = (– 12 ) = 122 = 144 = 12

radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata,

20 e 12 são números irracionais. Como todo irracional

20? extraindo a raiz exata? E

é real, podemos escrever:

20 ∈

12 ∈

raiz radicando

12 = 1 . 12 = 2 . 6 = 2 . 2 . 3 = d . 3

números cujo quadrado é igual a 12?

20 = 1 . 20 = 2 . 10 = 2 . 2 . 5 = d . 5

Na calculadora temos:

4 é quadrado perfeito:

20 = 4,4721359…

Você já viu que

Podemos escrever

12 = 1 . 12 = 2 . 6 = 4 . 3 20 = 1 . 20 = 2 . 10 = 4 . 5

20 ≅ 4,47

Usando o radical com radicando quadrado perfeito, temos:

Entre quais inteiros consecutivos está 12? E 20?

12 = 4 . 3

Os divisores inteiros de 12 são ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 Os divisores inteiros de 20 são ± 1, ± 2, ± 4, ± 5, ± 10, ± 20 Os divisores naturais de 12 e 20 são D(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12 42 = 16

2 ( 12 ) = 12

2 ( 20 ) = 20

20 = 4 . 5

Extraindo as raízes quadradas exatas

12 = 2 . 3

20 = 2 5

temos que: — med(DH ) = 12 cm = 2 3 cm — med(AH) = 20 cm = 2 5 cm Assim,

D(20): 1, 2, 4, 5, 10, 20 Temos que 32 = 9

x . y = x . y com x ∈ + e

y ∈ +

infinitas casas decimais não periódicas

Arredondando com duas casas decimais:

12 ≅ 3,46

49 = 7

Observe que

dois números cujo quadrado é igual a 20 e os dois

infinitas casas decimais não periódicas

Não esqueça que:

20 e – 12. Quais são os O mesmo dizemos para –

12 = 3,4641016…

radical

índice

52 = 25

logo 9 < 12 < 16 e 16 < 20 < 25 Colocando em cada número, as desigualdades continuam verdadeiras.

16 < 20 < 25

Assim, 3 < 12 < 4

e 4 < 20 < 5

12 e 20 com duas casas decimais: substituindo 3 < 12 < 4

≅ 3,46

e 4 < 20 < 5

Verificando o Teorema de Pitágoras para os ΔAHB e ΔDHF, temos: para ΔABH

≅ 4,47

12 < 4 < 20 < 5 Assim, 3 <

2 ( 20 ) = 42 + 22 ⇒ 202 = 42 + 22

Para comparar radicais com o mesmo índice, o maior é o que possui o maior radicando e o menor é o que possui o menor radicando.

para ΔDHF 42 = 22 + 32

2 ( 12 ) ⇒ 42 = 22 + 122

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2014_Tony 25/07/13 16:22 Page 33

Você já viu que

( x )

x2 =

202 = 20

122 = 12, pois

400 = 20

144 = 12

20 = 22 . 5

x , com x ∈ ⺢+,

12 = 22 . 3 Temos que:

20 = 22 . 5 = 22 . 5 = 2 5

Assim,

12 = 22 . 3 = 22 . 3 = 2 3

20 = 42 + 22 ⇒ 20 = 16 + 4

22 = 2

42 = 22 + 12 ⇒ 16 = 4 + 12

Observe que: 2 . 5 = 2 . 2,2360679775… = 4,4721359… = 20

Observe uma regra prática para decompor o radicando de raízes quadradas não exatas.

infinitas casas decimais não periódicas

Exemplo: a)

3 = 2 . 1,7320508075… = 3,464106… = 12 2 .

No 6.º ano, você já aprendeu a decompor um número natural em fatores primos.

infinitas casas decimais não periódicas

Decompondo 20 e 12, temos 20 2 10 2 5 5 1

12 2 6 2 3 3 1

infinitas casas decimais não periódicas

Arredondando com três casas decimais, temos: 2 . 5 ≅ 2 . 2,236 ≅ 4,472 e

2 . 3 ≅ 2 . 1,732 ≅ 3,464 Assim,

20 ≅ 4,472

12 ≅ 3,464

Exercícios da aula 1.

Usando o Teorema de Pitágoras, calcule a medida dos segmentos indicados em cada triângulo, escreva o radical como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata.

ΔABH — 5 cm med(AB) = 3

ΔDEH — 3 cm med( DH) = 3

1:1

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:12 Página 34

Para cada item, calcule as medidas reais e do desenho dos segmentos indicados em cada triângulo usando o Teorema de Pitágoras; escreva o radical como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata e determine entre quais inteiros consecutivos cada raiz está compreendida. ΔACH — med(AC) = 80 cm = 4 5 cm 8 < 80 < 9

ΔDEH — med( EH) = 1:2

= 4 3 cm

6 < 48 < 7

48 cm

1:3 b)

5 < 34 < 6

des.

11 < 136 < 12

real

c) 6 < 40 < 7 18 < 360 < 19

d) 4 < 21 < 5

des.

13 < 189 < 14

real

des. real

Desafio Qual é a medida real (em cm) do perímetro de ΔDEH do exercício 1, se a escala for 1:2? — — — med(DE) + med( EH) + med( HD) = 12 + 6 + 6 3 cm = (18 + 6 3 cm

(

)

e) 5 < 32 < 6 11 < 128 < 12

des. real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:12 Página 35

Operações 18 com números reais

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

x2 = 12 + 12 x2 = 2

Assim

x = ± 2 x = – 2 não convém x = 2 Temos que o perímetro da figura 1 é dado por

Qual é o perímetro do “mapa de São Paulo” em cada mosaico?

1 2

2. Operações com números reais Observe as figuras figura 1

2p = (1 + 2 + 1 + 2+1+

+ 2 + 1 + 2 ) cm =

1 1

figura 2

= (4 + 4 2 ) cm

Para determinar a área da figura 2, devemos determinar a altura de um triângulo equilátero de 2 cm de lado, pois a área de um triângulo é dada pelo semiproduto da base pela altura. Observe que os ΔAEH e ΔADH são congruentes — por LAL, AH é lado comum ^ ^ E HA ≅ D HA — — EH ≅ DH

Qual é o perímetro da figura 1? E da figura 2? Qual é a área de cada figura? Cada quadrado da figura 1 possui lado igual a 1 cm e cada triângulo da figura 2 também possui lado igual a 1 cm. C

Os ΔAEH e ΔADH são retângulos. Separando os — — triângulos, med (AE) = 2 cm, med (HE) = 1 cm. — — — O segmento AE é hipotenusa e AH e EH são catetos do triângulo retângulo.

A área da figura 1 é equivalente à área de 1 quadrado de 2 cm de lado e a área da figura 2 é equivalente à área de 3 triângulos equiláteros com lado de 2 cm, ou equivalente à área de um trapézio na base maior de 4 cm e de 2 cm na base menor. A área da figura 1 é igual a 4 cm2 e o perímetro da figura 2 é 10 cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔAEH, temos: 22 = y2 + 12 ⇒ 4 = y2 + 1 ⇒ 4 – 1 = y2 + 1 – 1 3 = y2 ⇒ y = ± 3 3 não convém, pois y > 0 y = –

Como determinamos o perímetro da figura 1 e a área da figura 2?

y = 3

–– Na figura 1, o segmento BC é diagonal de um quadrado de 1 cm de lado, ou seja, é hipotenusa do ΔABC.

— 3 cm Temos med (AH) = A área da figura 2 é equivalente à área de um trapézio de

Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔABC, temos:

base maior de 4 cm, de base menor de 2 cm e de altura de 3 cm. Você já viu que a área de um trapézio é dada por: (x + y) . z ATrapézio = –––––––––– 2

— — med (AB) = med (AC) = 1 cm

C1_9°Ano_MAT_PROF_2012_DANIEL 02/08/11 19:12 Página 36

Qual é a área e o perímetro da figura?

A área hachurada é igual à metade da área da figura 2, assim, 3 3 A = ––––– cm2. 2

Assim: AT =

3 cm (4 cm + 2 cm). –––––––––––––––––– 2

6 3 cm2 = ––––––––– 2

figura 3

ATrapézio = 3 3 cm2

Observe que:

A área da figura é equivalente à área de 3 triângulos equiláteros de 2 cm de lado. Como a medida da altura de um triângulo equilátero de 2 cm de lado é igual a 3 cm,

O perímetro (2p) da figura 3 é dado

b.h 3 cm 2 cm . AΔADE = ––––– = ––––––––––––– 2 2

por: 6 cm + 3 cm = 2p = (6 + 3 ) cm

AΔADE = 3 cm2 Afigura = 3 . AΔADE = 3 . 3 cm2

Exercícios da aula 1.

Calcule a medida do perímetro e da área do desenho das figuras, sabendo que cada quadrado tem 1 cm de lado e cada triângulo equilátero tem 1 cm de lado.

d) 9 3 A = ––––– cm2 8

a) 2p =

A = 3 cm2 2p = (4 2 + 2) cm

e) b)

9 + 3 3 ––––––––– 2

A = 1,375 3 cm2 2p = 6,5 + 0,5 3 cm

A = 3,5 cm2 2p = (6 + 3 2 ) cm

f) c)

A = 3 + 1 cm2

A = 3,75 cm2

2p = 4 + 2 2 cm

2p = 4 2 + 5 cm

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 37

(UNESP) – Considere um quadrado subdividido em quadradinhos idênticos, todos de lado 1, conforme a figura. Dentro do quadrado encontram-se 4 figuras geométricas, destacadas em amarelo. A razão entre a área do quadrado e a soma das áreas das 4 figuras é a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5

2.1 d) S4 = 5 . 1 2 + –––––– = 6 2 e) S = 7 2 = 49 Assim, S –––––––––––––––––– S1 + S2 + S3 + S4

49 ––––––––––––––– 3 9 2 + –– + –– + 6 2 2

49 = ––– = 3,5 14

Resposta: B RESOLUÇÃO: Sendo S1, S2, S3, S4 as áreas das figuras S4

destacadas em amarelo e S a área do quadrado, temos: 2.2 a) S1 = –––––– = 2 2

c) S3 =

(2 + 1) . 3 ––––––––––– 2

1.3 3 b) S2 = –––––– = –– 2 2 9 = –– 2

Desafio Qual é a medida da área (cm2) e do perímetro (cm) da figura sabendo que cada quadrado tem 1 cm de lado e cada triângulo equilátero têm 1 cm de lado? A = (2 + 3 ) cm2 2p = (6 + 2 2 ) cm

Operações 20 com números reais

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução 1cm

2cm

3cm

2cm

3cm

1cm

figura 1

figura 3

Qual é a sentença matemática que representa o perímetro da figura 1? E das figuras 2 e 3? Qual é a sentença matemática que representa a soma das áreas hachuradas das figuras 1, 2 e 3? E a diferença entre as áreas das figuras 3 e 2? 37

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 38

para a figura 2:

2. Operações com números reais – adição e subtração de radicais semelhantes

2p = 4 . ( 6 + 3 ) cm = (4 6 + 4 3 ) cm para a figura 3: 2p = 4 . ( 8 + 2 ) cm = (4 8 + 8 ) cm

Observe as figuras:

Podemos decompor 8 = 4 . 2 = 2 2 O perímetro da figura 3 pode ser escrito assim: 2 + 8 ) cm = (8 2 + 8 ) cm 2p = (4 . 2 As áreas totais de cada figura hachurada são dadas por: A1 = (9 + 8 + 24 + 48 ) cm2 A2 = (9 + 72 ) cm2 A3 = (12 + 128 ) cm2

Qual é a soma das áreas das figuras 2 e 3? E das figuras 1 e 2? A2 + A3 = (9 + 72 + 12 + 128 )cm2 =

figura 1

72 + 128 )cm2 = (21 + Podemos decompor

72 e 128

72 = 23 . 32 = 22 . 2 . 32 = 6 2 128 = 27 = 26 . 2 = 23 . 2 = 8 2 Observe que: 72 + 128 ≠ 200 2 + 8 2 ) cm2 = Temos que: A2 + A3 = (21 + 6 2 ) cm2 = (21 + 14 A1 + A2 = (9 + 8 + 24 + 48 + 9 + 72 ) cm2 = figura 2

8cm

8 + 24 + 48 + 72 ) cm2 = (18 + Podemos decompor:

2cm

8 = 23 = 22 . 2 = 2 2 24 = 23 . 3 = 22 . 2 . 3 = 2 6

8cm

48 = 24 . 3 = 24 . 3 = 4 3

Temos que:

2 + 2 6 + 4 3 + 6 2 ) cm2 = A1 + A2 = (18 + 2 = (18 + 8 2 + 2 6 + 4 3 ) cm2 2cm

Qual é a diferença entre as áreas A3 e A2? A3 – A2 = [12 + 128 – (9 + 72 )] cm2

figura 3

= (12 + 8 2 – 9 – 6 2 ) cm2 = (3 + 2 2 ) cm2 Veja outro exemplo:

Qual é o perímetro de cada figura? Você já viu que o perímetro de um quadrado de lado x é dado por 4 . x.

32 + 18 = 4 2 + 3 2 = 7 2 32 – 18 = 4 2 – 3 2 = 1 2

Assim, para a figura 1:

Dois triângulos T1 e T2 possuem lados de medidas: — — 18 cm, med( BC) = 32 cm e ΔT1: med( AB) = — 50 cm. med( AC) =

2 + 6 ) cm = (4 + 4 2 + 4 6 ) cm 2p = 4 . (1 + 38

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 39

— ΔT2: med( PQ) = — 75 cm med( RQ) =

—

27 cm, med( QR) = 48 cm e

50 = 2 . 52 = 52 . 2 = 5 2 27 = 33 = 32 . 3 = 3 3

Qual é o perímetro do ΔT1 e do ΔT2?

48 = 24 . 3 = 24 . 3 = 4 3

Observe que:

75 = 52 . 3 = 52 . 3 = 5 3

18 + 32 ≠ 50 32 + 50 ≠ 82 27 + 48 ≠ 75 48 + 75 ≠ 123

Temos que: 2pΔ1 = (3 2 + 4 2 + 5 2 ) cm = 12 2 cm 3 + 4 3 + 5 3 ) cm = 12 3 cm 2pΔ2 = (3

Decompondo cada um dos radicais

18 = 32 . 2 = 32 . 2 = 3 2

Não se esqueça de decompor os radicais e somar ou subtrair os radicais semelhantes.

32 = 25 = 24 . 2 = 4 2

Exercícios da aula Para cada exercício, quando possível, decomponha os radicais e reduza os radicais semelhantes. 1.

Determine o perímetro de um quadrado ABCD, sendo — med( AB) = 20 cm.

Determine o perímetro de um triângulo equilátero ABC, — sendo med(AB) = 45 cm. 2p = 3 . 45 cm = 9 5 cm

2p = 4 20 cm = 8 5 cm

Determine o perímetro de um retângulo MNOP, sendo — — med( MN ) = 20 cm e med( NO ) = 80 cm.

2p = 2( 20 + 80) cm = 2 . (2 5 + 4 5 ) cm = 12 5 cm

Determine o perímetro de um triângulo escaleno PQR, — — sendo med( PQ ) = 12 cm, med( QR) = 27 cm e — 48 cm. med( RP ) = 2p = 9 3 cm

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2013_Tony 03/09/12 08:11 Page 40

Determine o perímetro de um paralelogramo FGHI, sendo — — med( FG) = 1000 cm e med( GH) = 2000 cm.

Determine o perímetro de cada triângulo sabendo que a medida do lado de cada quadrado é igual a 1 cm. a) ΔRDS

2p = 2 . ( 1000 + 2000) cm = 2 . (10 10 + 20 5 ) cm = = (20 10 + 40 5 ) cm

(

2p = 3 2+

10 + 2 ) cm

b) ΔRDB

Qual é o perímetro (em cm) de um retângulo PQRS, sendo — med( PQ ) = ( 12 + 20) cm e — med( QR) = ( 27 + 45) cm? 2p = (10 3 + 10 5 ) cm

2p =

( 34 + 2 + 3 2 ) cm

c) ΔGHU 7.

Determine o perímetro de um dodecágono regular de lado — — AB de med(AB ) = ( 200 – 180 ) cm. 2p = 12 . (10 2 – 6 5 ) cm = (120 2 – 72 5 )cm

(

)

2p = 4 + 4 2 cm

Desafio Qual é o perímetro de um icoságono regular, cujo lado tem medida ( 40 + 80 ) cm? 40

2p = (40 10 + 80 5 ) cm

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 41

Aplicações do 22 Teorema de Pitágoras

Aulas

Data: _____/_____/_____ Separando a sala, o quarto, a cozinha e o banheiro, temos:

1. Introdução Qual é a medida real do desenho de cada uma das diagonais da planta abaixo? Qual é a medida da área total da planta no desenho (cm2) e a real (m2)? 2cm d1 1,5cm

1cm

Cozinha

Quarto d4

2cm d2

1cm

d3 W.C.

W.C.

Sala

1cm

1,5cm

1 : 200

O quarto é representado por um quadrado cuja diagonal 2 cm. Observe que a medida da diagonal do quadrado mede 3 é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos x. A sala, a cozinha e o banheiro são representados por retângulos cujas diagonais são hipotenusas de triângulos retângulos escalenos. Determinando a largura (y) da cozinha, pelo Teorema de Pitágoras, temos: 2 y2 + 32 = ( 13) y2 + 9 = 13 y2 = 4 y = ± 4 y=±2

2. Aplicações do Teorema de Pitágoras Observe a planta abaixo.

y = – 2 não convém, pois y > 0 y=2 A medida da largura (y) da cozinha é a mesma do banheiro; assim, podemos determinar a medida da diagonal do banheiro pelo Teorema de Pitágoras. s2 = y2 + (2,5)2

Quais as medidas do desenho e as medidas reais das diagonais da sala e do banheiro, da largura da cozinha e do comprimento do quarto? Qual é a medida da área total da planta no desenho 2 (cm )? E a medida real (m2)?

4 25 s2 = ––– + ––– 1 4

Desconsiderando a largura das paredes, para determinar a diagonal da sala (z) precisamos do comprimento e da largura da sala. Observe que o comprimento da sala é a largura do quarto e a largura do banheiro é igual a da cozinha.

16 + 25 s2 = ––––––– 4

s2 = 22 + 2,52 s2 = 4 + 6,25

5 ––– 2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 42

41 s2 = –––– 4 41 ––– 4

s=±

41 ––– 4

s=–

não convém, pois s > 0

s = –––––– 2

s2 = 10,25

z=–

s = ± 10,25

1525 ––––– = 100

não convém, pois z > 0

s = – 10,25 não convém,

61 ––– 4

61 z = ––––– 4

1025 1025 ––––– = ––––––– = 100 100

61 61 5 = –––––– = –––– 10 2

61 z = –––––– 2

25 . 41 = ––––––––––– = 100

25 . 61 ––––––––––– = 100

Construindo uma tabela com as dimensões e áreas do desenho e outra com as dimensões reais do quarto, sala, cozinha e banheiro, temos:

5 41 41 = –––––– = –––– 10 2

dimensões do desenho (cm) área (cm2) 3 cm × 3 cm quarto 9 cm2 3 cm × 2,5 cm sala 7,5 cm2 2 cm × 3 cm cozinha 6 cm2 2,5 cm × 2 cm 5 cm2 banheiro

Não esqueça que, efetuando os cálculos com números decimais que não são quadrados perfeitos, escrevemo-los na forma de fração. Determinando o comprimento ou largura (x) do quarto, pelo Teorema de Pitágoras, temos: 2 2) x2 + x2 = (3 2

2x2 = ( 9 . 2)

Observe que a escala é 1:100, ou seja, cada 1 cm corresponde a 100 cm = 1 m.

2x2 = ( 18 ) 2x2

= 18

quarto sala cozinha banheiro

x2 = 9 ⇒ x = ± 9 x = – 9 não convém, pois x > 0 ⇒

x=3

Para determinar a medida da diagonal da sala (z), precisamos das medidas x e w. Temos que: w + x = 3 + 2,5

w + 3 = 3 + 2,5 logo w = 2,5

área total

Aplicando o Teorema de Pitágoras: z2 = x2 + w2 para x = 3 e w = 2,5 z2 = 32 +

9 25 z2 = ––– + ––– 1 4 36 + 25 z2 = –––––––– 4 z=±

61 ––– 4

desenho (cm2)

real (m2)

27,5 cm2

27,5 m2

Podemos representar a área total pela expressão algébrica (x + y) . (w + x); para x = 3, y = 2 e w = 2,5. Temos (3 + 2) . (2,5 + 3) = 5 . 5,5 = 27,5.

área (m2) 9 m2 7,5 m2 6 m2 5 m2

Assim, a área total da planta no desenho e a real são iguais à soma das áreas, ou seja:

como x = 3, temos

5 ––– 2

dimensões reais (m) 3m×3m 3 m × 2,5 m 2m×3m 2,5 m × 2 m

ou z2 = 32 + 2,52

A medida da diagonal do quarto no desenho, em cm, é 2. A escala é 1:100; assim, a medida real da diagonal 3

z2 = 9 + 6,25

61 100 do quarto, em cm, é 100 .3 2 = 300 2, da sala, –––––––– = 2 = 50 61, da cozinha, 100 13, e do banheiro,

z2 = 15,25 z = ± 15,25

41 100 –––––––– 2

z = – 15,25

= 50 41. Escrevendo o número fora do ra-

dical como uma raiz exata e efetuando as operações entre os radicais para obter no radical um único radicando, temos:

não convém, pois z > 0 42

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 43

Construindo uma tabela com as medidas das diagonais no desenho (cm) e as reais (cm), temos:

2 = 3002 . 2 = 90000 . 2 = 180000 300

medidas das diagonais

100 61 –––––––– = 50 61 = 502 . 61 = 2500 . 61 = 152500 2

desenho(cm)

real (cm)

real (m)

quarto

3 2

180000 = 300 2

3 2

sala

61 ––––– 2

152500 = 50 61

61 ––––– 2

cozinha

130000 = 100 13

banheiro

41 ––––– 2

102500 = 50 41

41 ––––– 2

100 13 = 1002 . 13 = 10000 . 13 = 130000 100 41 –––––––– = 50 41 = 502 . 41 = 2500 . 41 = 102500 2

Exercícios da aula 1.

Observe a planta abaixo e complete a tabela em relação às medidas do desenho e real, escrevendo quando possível o radical com um radicando ou como um produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra irracional, extraindo a raiz exata.

1:100

medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

3 2

180000 = 300 2

500

2,5

250

500

d10

100000 = 100 10

medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

4 2

320000 = 400 2

Desafio Com relação ao exercício 1 da aula, qual é a área total da cozinha real no desenho? 43

7,5 cm2 desenho 7,5 m2 real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 44

Aula

Operações com números reais – produtos notáveis (I) Data: _____/_____/_____

1. Introdução

22 + 6 + 6 + 32 = =

Qual é a sentença matemática que representa a área de cada figura hachurada?

= 2 + 6 + 6 + 3 = 5 + 2 . 6 O quadrado da soma de 2 com 3 é o resultado de uma 2

soma elevada ao quadrado, ou seja, ( 2 + 3) . 2

( 2 + 3 )

= ( 2 ) + 2. 2 . 3 + ( 3)

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Quadrado da diferença de dois termos

2. Operações com números reais – produtos notáveis

Observe na figura a área hachurada.

Quanto é o quadrado da diferença entre 3 e 2?

produto[do latim productu]: resultado de uma multiplicação. notável[do latim notabile]: digno de nota. hachurar[do francês hachurer]: fazer traços equidistantes (paralelos) em um desenho.

Observe que o quadrado da diferença entre 3 e 2 é diferente da diferença dos quadrados entre 3 e 2. quadrado da diferença:

Quadrado da soma de dois termos

( 3 – 2 )2

Observe na figura as áreas dos dois quadrados Q1 e Q2 e dos retângulos R1 e R2.

diferença dos quadrados: ( 3 )2 – ( 2 )2

Quanto é o quadrado da soma de 2 com 3?

Assim:

Observe que o quadrado da soma de 2 com 3 é diferente da soma dos qua2 com 3. drados de quadrado da soma:

A área hachurada é um quadrado de lado 3 – 2 Escrevendo a expressão numérica que representa a área hachurada, temos:

( 2 + 3 )

soma dos quadrados:

( 2 )2 + ( 3 )2 2

( 3 – 2 )2 = = ( 3 – 2 ).( 3 – 2)= 2 2 = ( 3 ) – 3 . 2 – 2 . 3 + ( 2 ) =

Assim:

3 – 2 ≠ 3 – 2

= 32 – 6 – 6 + 22 =

2 + 3 ≠ 2 + 3

= 3 – 6 – 6 + 2 = 5 – 2 . 6

A expressão da área total (At) do quadrado formado pode ser escrita pelo quadrado da soma da medida do lado dos quadrados Q1 e Q2, ou seja:

O quadrado da diferença entre 3 e 2 é o resultado de uma 2

3 – 2) . diferença elevada ao quadrado, ou seja, ( Assim:

( 2 + 3 )2 = ( 2 + 3 ) . ( 2 + 3 ) = = ( 2 )2 + 2 . 3 + 3 . 2 + ( 3 )2 =

3 – 2 = 3 – 2. 3 . 2 + 2 44

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 45

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

No Portal Objetivo Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”, digite MAT9F104

Exercícios da aula 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a) 3

( 8 + 2 )2 = 8 + 8 + 2 = 18 (3 + 3 )2 = 12 + 6 3

(3 – 3 )

( 8 – 2 )2 = 8 – 8 + 2 = 2

= 12 – 6 3

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 46

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos.

a) 2

1:5

1:4

(4 3 – 4 2 )2 = 80 – 32 6

(10 + 5 8 )2 = 100 + 200 2 + 200 = 300 + 200 2

Desafio 2 2

Qual é o produto notável que representa a área total da figura hachurada no desenho e real?

3 R2

2 –––– + –––– 2 2

(5 3 + 5 2 )2

desenho

real

1:10

Aula

Operações com números reais – produtos notáveis (II) Data: _____/_____/_____

1. Introdução

Qual é a expressão numérica que representa a área de cada figura hachurada?

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 47

2. Operações com números reais – produtos notáveis produto[do latim productu]: resultado de uma multiplicação. notável[do latim notabile]: digno de nota. hachurar[do francês hachurer]: fazer traços equidistantes (paralelos) em um desenho.

Produto da soma pela diferença de dois termos Observe na figura os quadrados de áreas 3 e 2 e os retângulos de áreas

3 . 2 e 2 . 3.

A área hachurada é um retângulo de dimensões

Qual é o quadrado da soma de 2, 3 e 5? Observe que o quadrado da soma de 2, 3 e 5 é 2, 3 e 5. diferente da soma dos quadrados de 2 2 2 soma dos quadrados: ( 2 ) + ( 3 ) + ( 5)

( 3 + 2) e ( 3 – 2), ou seja,

( 3 + 2) . ( 3 – 2).

Desenvolvendo o produto da soma pela diferença entre x e y, temos:

( 2 + 3 + 5 )2 2 2 2 2 Assim: ( 2 + 3 + 5 ) ≠ ( 2 ) + ( 3 ) + ( 5 ) quadrado da soma:

Escrevendo a expressão numérica que representa a área

( 3 + 2 ) . ( 3 – 2 ) = 2 2 = ( 3 ) – 3 . 2 + 2 . 3 – ( 2) =

total (At) da figura hachurada pela soma de suas partes e como um todo, temos:

( 2 )2+ ( 3 )2 + ( 5 )2 + 2. 2 . 3 + 2. 2 . 5 + 2 . 3 . 5 é ( 2 + 3 + 5 ) . ( 2 + 3 + 5)

0 = ( 3 ) – ( 2 ) = 32 – 22 = 3 – 2 = 1 2

O produto da soma pela diferença entre 3 e 2 é igual à

Assim, a expressão da área total (At) do quadrado pode ser

diferença entre os quadrados de lados 3 e 2 , ou seja:

escrita pelo quadrado da soma da medida do lado dos quadrados Q1, Q2 e Q3, ou seja:

( 2 + 3 + 5 )2 = = ( 2 + 3 + 5 ) . ( 2 + 3 + 5) = 2 2 = ( 2 ) + 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 2 + ( 3) + 2 + 3 . 5 + 5 . 2 + 5 . 3 + ( 5) =

3 + 2 . 3 – 2 = 3 – 2 = 2

= 2 + 6 + 10 + 6 + 3 + 15 + 10 + 15 + 5 = = 10 + 2 6 + 2 10 + 2 15

O produto da soma de dois termos pela diferença desses termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

2 , 3 e 5 é o resultado de 2 uma soma elevada ao quadrado, ou seja, ( 2 + 3 + 5) . O quadrado da soma de

Quadrado da soma de três termos

( 2 + 3 + 5 )2 = ( 2 )2 + ( 3 )2 + ( 5 )2 +

Observe na figura as áreas dos três quadrados Q1, Q2 e Q3 e dos retângulos R1, R2, R3, R4, R5 e R6.

2 . 3 + 2 . 2 . 5 + 2 . 3 . 5 + 2 .

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2014_Tony 25/07/13 16:22 Page 48

Exercícios da aula 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

(1 + 2 + 3 )2 = 1 + 2 + 3 + 2 2 + 2 6 + 2 3 = 2 + 2 6 + 2 3 = 6 + 2

(3 + 3 ) . (3 – 3 ) = 32 – ( 3 )2 = 6

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos.

( 5 + 3 ) . ( 5 – 3 ) = ( 5 )2 – ( 3 )2 = 2

1:2

(2 6 + 2 2 ) . (2 6 – 2 2 ) = 24 – 8 = 16

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 49

Desafio 2 Q1

0,5

Qual é o produto notável que representa a área total da figura hachurada no desenho e real?

0,5

1:6 2

1 –––– + 1 + –––– 4 2

3 3 2 + 6 + –––– 2

desenho

Aula

real

Operações com números reais – produtos notáveis (III) Data: _____/_____/_____ Observe que o quadrado da soma de x com 2 é diferente da soma dos quadrados de x com 2.

1. Introdução x

quadrado da soma:

Qual é a expressão algébrica que representa a área da figura hachurada?

(x + 2 )2 soma dos quadrados: x2 + ( 2)

Assim:

2. Operações com números reais – produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos

x + 2 ≠ x2 + 2

A expressão da área total (At) do quadrado formado pode ser escrita pelo quadrado da soma da medida do lado dos quadrados Q1 e Q2, ou seja:

Observe na figura as áreas dos dois quadrados Q1 e Q2 e dos retângulos R1 e R2.

(x + 2 )2 = (x + 2 ) . (x + 2 ) = 2 = x2 + x . 2 + 2 . x + ( 2) =

Qual é o quadrado da soma de x com 2?

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 50

2. A área hachurada é um quadrado de lado x –

2 x + 2 x + 22 = = x2 + =

+ 2 x + 2x+2=

+ 2 2x+2

2 é o resultado de uma 2 soma elevada ao quadrado, ou seja, (x + 2) . O quadrado da soma de x com

Escrevendo a expressão numérica que representa a área hachurada, temos:

(x + 2 )2 = x2 + 2. x . 2 + ( 2 )2 O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

( x – 2 )2 = (x – 2 ) . ( x – 2 ) = 2

= x2 – x . 2 – 2 . x + ( 2) =

Quadrado da diferença de dois termos Observe na figura a área hachurada.

= x2 – 2 x – 2 x + 22 =

Qual é o quadrado da diferença entre x e 2?

= x2 – 2 2 x – 22 = x2 – 2 2x+2

Observe que o quadrado da

O quadrado da diferença entre x e

diferença entre x e 2 é diferente da diferença dos

diferença elevada ao quadrado, ou seja, ( x – 2) .

2. quadrados entre x e

Assim: 2

( x – 2 )2 diferença dos quadrados:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

2 – ( 2)

x – 2 ≠ x2 – 2

Assim:

x – 2 = x 2 – 2. x . 2 + 2

quadrado da diferença:

2 é o resultado de uma

Exercícios da aula 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a) x

(x – 3 )2 = x2 – 2 3 x + 3 (x + 3 )2 = x2 + 2 3 x + 3

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 51

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a) x

1:4

( 8 + x )2 = 8 + 4 2 x + x2 (4x – 4 3 )2 = 16x2 – 32 3 x + 48

1:5

(5 8 + 10x )2 = 200 + 200 2 x + 100x2

( 8 – x )2 = 8 – 4 2 x + x2

Desafio 2 2

Qual é o produto notável que representa a área total da figura hachurada no desenho e a área real?

x R2

x –––– + –––– 2 2

desenho

(5 2 + 5x )2 R1

real

1:10

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 52

Aula

Operações com números reais – produtos notáveis (IV) Data: _____/_____/_____

1. Introdução 2 2

x R2

O produto da soma de dois termos pela diferença desses termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Qual é a expressão algébrica que representa a área de cada figura hachurada?

Quadrado da soma de três termos Observe na figura as áreas dos três quadrados Q1, Q2 e Q3 e dos retângulos R1, R2, R3, R4, R5 e R6.

2. Operações com números reais – produtos notáveis Produto da soma pela diferença de dois termos Observe na figura os quadrados de áreas x2 e 2 e os retângulos de áreas x . 2 e 2 .x. A área hachurada é um retângulo de dimensões

(x + 2 ) e (x – 2 ), ou

Quanto é o quadrado da soma de 2, x e 5? Observe que o quadrado da soma de 2, x e 5 é diferente da soma dos quadrados de 2, x e 5. 2 2 2 2 ) + x + ( 5) soma dos quadrados: (

seja,

(x + 2 ) . (x – 2 ).

( 2 + x + 5 )2 2 2 2 Assim: ( 2 + x + 5 ) ≠ ( 2 ) + x2 + ( 5) quadrado da soma:

Desenvolvendo o produto da soma pela diferença entre x e 2 , temos:

Escrevendo a expressão numérica que representa a área total (At) da figura hachurada pela soma de suas partes e como um todo, temos:

( x + 2 ).( x – 2 ) = x2 – x . 2 + 2 . x – ( 2 )2 = 2 = x2 – ( 2 ) = x2 – 22 = x2 – 2 O produto da soma pela diferença entre x e

2 é igual à

diferença entre os quadrados de lados x e 2 , ou seja:

( 2 )2 + x2 + ( 5 )2 + 2. 2 . x + 2. 2 . 5 + 2.x . 5 ( 2 + x + 5 ) . ( 2 + x + 5 )

Assim, a expressão da área total (At) do quadrado pode ser escrita pelo quadrado da soma da medida do lado dos quadrados Q1, Q2 e Q3, ou seja:

(x + 2 ) . (x – 2 ) = 2 )2 = x 2 – (

( 2 + x + 5 )2 = ( 2 + x + 5 ).( 2 + x + 5 ) = 2 x + 10 + x 2 + 5 x + x . 5 + 10 + = 2 + + x2 + 5 = 7 + 2 2 x + 2 5 x + 2 10 + x2 52

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:13 Página 53

2 , x e 5 é o resultado de uma soma elevada ao quadrado, ou seja, O quadrado da soma de

( 2 + x + 5 )2.

( 2 + x + 5 )2 = ( 2 )2 + x2 + ( 5 )2 + 2 . 2 .x + 2 . 2 . 5 + 2 .x . 5 O quadrado da soma de três termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, mais o quadrado do terceiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo terceiro termo, mais duas vezes o produto do segundo termo pelo terceiro termo.

Exercícios da aula 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

( 5 + x ) . ( 5 – x ) = ( 5 )2 – x2 = 5 – x2

(2x + 3 ) . (2x – 3 ) = 4x2 – 3 d) b)

( 6 + x + 1)2 = 6 + x2 + 1 + 2 6 x + 2 6 + 2x = 6 x + 2 6 + 2x = 7 + x2 + 2

(x + 3 + 2 )2 = x2 + 5 + 2 3 x + 2 2 x + 2 6

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 54

Desafio Qual é o produto notável que representa a área total da figura hachurada no desenho e a área real?

x 2 –––– + y + ––– 2 2

(5 2 + 10y + 5x)2

desenho

real

1:10

Desenho 28 Geométrico – Circunferências

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

Traçando o contorno de uma moeda, como determinamos seu centro com régua e compasso? O contorno das moedas possui elementos que dão a ideia de circunferências tangentes, externas, internas e secantes? Você é capaz de identificá-las? Qual é a relação da distância entre o centro de duas circunferências com o raio de cada uma? 54

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 55

b) Traçando as retas s, t e u à circunferência C1, secante, tangente e externa, respectivamente

2. Traçando circunferências circunferência [do latim circumferentia]: contorno de um círculo. círculo [do latim circulu]: superfície plana e fechada, limitada por uma circunferência. corda[do latim chorda]: segmento determinado por dois pontos quaisquer da circunferência. raio[do latim radiu]: segmento com uma extremidade no centro e outra na circunferência. diâmetro[do latim diametru]: corda que passa pelo centro da circunferência. secante[do latim secante]: designativo da reta que intercepta uma curva em dois pontos distintos. tangente[do latim tangente]: que tange ou tangencia. concêntrico[do latim concentricu]: que tem o mesmo centro.

Trace uma circunferência: C1(O1, r1). Trace uma corda, PT, que passe ou não pelo centro O1. Trace uma reta s que — contém PT. Unindo os pontos O1 e T, determine O1T. Por T, trace um ângulo reto de vértice T. Trace a reta t perpendicular ––– a O1T que passa por T. Trace uma reta u com todos os pontos exteriores à C1. A reta s e a circunferência C1 têm dois pontos em comum, a reta t e a circunferência C1 têm um ponto comum e a reta u e a circunferência C1 não têm pontos comuns. Estando uma reta e uma circunferência contidas num mesmo plano, temos:

a) Traçando diâmetro, raio e corda de uma circunferência C

Uma reta é secante à circunferência quando intercepta a circunferência em dois pontos distintos. Uma reta é tangente à circunferência quando intercepta a circunferência em um único ponto, chamado ponto de tangência.

Em relação ao exemplo, sendo r1 o raio da circunferência C1 e d a distância da reta à circunferência,

Trace uma circunferência de centro O e raio r, C(O,r). — Trace um segmento PQ que não passe pelo ponto O. Trace a — mediatriz de PQ determinando na circunferência os pontos R e — — S e em PQ o ponto M. Trace os segmentos OP e QO e os — — segmentos PS e QS. — — — — Os segmentos OS, OR, OP e OQ são raios da — —— — circunferência C. Os segmentos PQ, RS, PS e QS são cordas — da circunferência C. O segmento RS é diâmetro da circun-

s é secante a C1 s C1 = {P,T} d<r

t é tangente a C1 t C1 = {T} d=r

u é externa a C1 u C1 = Ø d>r

c) Determinando uma circunferência por três pontos não colineares

ferência C. — — — Observe que med ( SO ) + med (OR) = med ( SR ) — — — SO e OR são raios da circunferência C e SR é diâmetro. — — — Sendo SO ≅ OR = r e SR = d, temos: r + r = d,

— Trace o segmento PQ (corda da circunferência) e depois — — encontre o ponto M em PQ traçando a mediatriz de PQ.

ou seja,

A medida do diâmetro de uma circunferência é igual ao dobro da medida do raio.

d = 2r

d r = ––– 2 — Trace o segmento RQ (corda da circunferência) e depois — — encontre o ponto N em RQ traçando a mediatriz de RQ.

O diâmetro é a maior corda de uma circunferência. Todo diâmetro é corda, mas nem toda corda é diâmetro.

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 56

f) Traçando duas circunferências C1 e C2 secantes

— Encontre o ponto O1, intersecção das mediatrizes de PQ e — RQ. Com a ponta de metal em O1 e abertura até P ou Q ou R, trace a circunferência C1.

Trace com o compasso uma circunferência, C1(O1,r1), com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Trace uma reta que passe por O1 e, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à distância entre os centros O1 e O2, encontre o ponto O2 em r. Com a ponta de metal em O2 e abertura igual à medida de r2, trace C2.

d) Traçando duas circunferências, C1 e C2 tangentes externas

As circunferências C1 e C2 são secantes, pois têm em comum somente os pontos A e B. A distância entre os pontos O1 e O2 é menor que a soma das medidas dos raios e maior que a diferença entre as medidas dos raios da maior e da menor circunferência, ou seja, r1 – r2 < d < r1 + r2.

Trace com o compasso uma circunferência, C1(O1,r1), de raio r1, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Marque um ponto P em C1 e trace a reta r que passa por P e O1 e, com abertura igual à medida de r2 e ponta de metal em P, encontre o ponto O2 (exterior a C1) em r. Com a ponta de metal em O2, trace a circunferência C2.

g) Traçando duas circunferências, C1 e C2, externas

As circunferências C1 e C2 são tangentes externas e têm um ponto (P) único em comum e os demais pontos de C2 são pontos externos de C1. A distância entre os centros O1 e O2 é igual à soma das medidas dos raios, ou seja, d = r1 + r2.

Trace com o compasso uma circunferência, C1(O1,r1), com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Trace uma reta r que passe por O1 e, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à distância entre os centros O1 e O2, encontre o ponto O2 em r. Com a ponta de metal em O2 e abertura igual à medida de r2, trace C2.

e) Traçando duas circunferências, C1 e C2 , tangentes internas

As circunferências C1 e C2 não têm pontos comuns, os pontos de uma são externos à outra e a distância entre os centros O1 e O2 é maior que a soma das medidas dos raios, ou seja, d > r1 + r2.

h) Traçando duas circunferências, C1 e C2, internas

Trace com o compasso uma circunferência, C1(O1,r1), de raio r1, com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1. Marque um ponto P em C1 e trace a reta r que passa por P e O1 e, com abertura igual à medida de r2 e ponta de metal em P, encontre o ponto O2 (interior a C1) em r. Com a ponta de metal em O2, trace a circunferência C2.

As circunferências C1 e C2 são tangentes internas e têm um ponto (A) único em comum e os demais pontos de C2 são pontos internos de C1. A distância entre os centros O1 e O2 é igual à diferença entre as medidas dos raios da maior e menor circunferência, ou seja, d = r1 – r2. 56

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 57

As circunferências C1 e C2 não têm pontos comuns; os pontos de C1 são internos a C2 e a distância entre os centros O1 e O2 é menor que a diferença entre as medidas dos raios da maior e da menor circunferência, ou seja, d < r1 – r2.

i) Traçando circunferências concêntricas

Com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r2, trace com o compasso uma circunferência, C2. As circunferências C1 e C2 são internas, não têm pontos em comum, possuem o mesmo centro e a distância entre os centros O1 e O2 é nula, ou seja, d = 0. Seu traçado só será perfeito se você tiver em mãos todo o material de Desenho Geométrico.

Trace com o compasso uma circunferência, C1(O1,r1), com a ponta de metal em O1 e abertura igual à medida de r1.

Viu como é fácil?

Exercícios da aula 1.

Trace uma circunferência, C1, de 2 cm de raio e três retas r, s e t com r ⊥ s e s ⊥ t secante, tangente e externa a C1, respectivamente.

Trace duas circunferências, C1 e C2, concêntricas, de raios r1 = 2 cm e r2 = 2,5 cm, respectivamente.

Trace duas circunferências, C1 e C2, tangentes externas, de raio r1 = 2 cm e com distância de 3 cm entre os centros O1 e O2.

Trace duas circunferências, C1 e C2, tangentes internas, de raio r1 = 2 cm e com distância de 1 cm entre os centros O1 e O2.

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 58

Trace uma circunferência, C1, que passe pelos pontos R, S e T.

Trace duas circunferências C1 e C2 externas de raios r1 = 3 cm e r2 = 2 cm, sendo a distância entre os centros, O1 e O2, d = 4 cm.

Trace três circunferências C1, C2 e C3 de raios r1 = 3 cm, r2 = 1,5 cm e r3 = 1,5 cm, sendo C1 e C2, C1 e C3 tangentes internas e C2 e C3 tangentes externas.

Trace duas circunferências, C1 e C2, internas de raios r1 = 4 cm e r2 = 1 cm, sendo a distância entre os centros, O1 e O2, d = 2 cm.

C1 C3 C2

Desafio Sendo C1 e C2 circunferências concêntricas de raios r1 e r2, respectivamente, é possível traçar uma circuferência C3 de raio r3 tangente a C1 e C2? Se possível, qual é a relação entre a distância dos centros de C1 a C3? E de C2 a C3 com seus respectivos raios? — O2O3 = r2 + r3

— O1O3 = r1 – r3

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 59

Aulas

30 Laboratório de Matemática 31 Data: _____/_____/_____ c)

Descobrindo relações entre ângulos em uma circunferência Material: transferidor, régua, lápis e borracha. Procedimento: em duplas.

Parte A Para cada circunferência, meça com o transferidor os

짰 med(AMB)

= 90°

^ med(BAR)

= 45°

ângulos indicados e complete as tabelas, sabendo que a medida

짰

do arco AMB (AMB) corresponde à medida do ângulo central ^ ) (AOB em graus. a)

^ med(AOB)

= 60°

^ med(AOB) = 60°

^ med(AVB)

= 30°

^ med(B AR) = 30°

e) 짰 med(AMB) = 80°

^ med(AOB)

= 90°

^ med(AVB)

= 45°

짰 med(CND ) = 20°

med(AV1B) = 45°

^ med(C BD) = 10°

^ med(ACB) = 40°

^ med(C PD) = 30°

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2016_Tony 31/08/15 11:35 Página 60

짰 med(AMB)

= 120°

^ med(ABF)

^ med(PAB)

= 60°

^ med(A PB)

짰 med(ANB)

= 240°

짰 med(AMB)

= 30°

^ med(ADB)

= 15°

짰 med(CND)

= 150°

^ med(C BD)

= 75°

^ med(C PD)

= 90°

= 120°

Conclusão: = 60° ^ β ^ = ––– α 2

짰

AMB ^ = ––––––– α 2

짰

CND + AMB ^ = ––––––––––––– α 2

짰 med(AMB) = 120°

^ med(C BD)

^ med(A CB)

^ med(APB)= 30°

= 60°

= 30°

짰 med( CND) = 60°

h) 짰 med(CND )

= 60°

^ med(C BD)

= 30°

짰 med(AMB) = 120° ^ med(ADB)

= 60°

^ med(C PD)

= 90°

짰 짰

AMB – CND ^ = ––––––––––––– α 2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 61

Geometria – ângulos e arcos 32 de uma circunferência

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da circunferência.

As fotos possuem elementos que dão a ideia de ângulo em circunferência. É possível identificar ângulo central? E inscrito?

A medida em graus de um arco de circunferência é independente de seu tamanho e corresponde à medida do ângulo central. 짰 ( AMB ) = med ( 짰 DRC) = 90° e 짰 짰 med ( ANB) = med ( DSC) = 270° med

^ ^ Observe os ângulo BV1A, BV2A e o arco

2. Ângulos e arcos em circunferência

짰 ( BMA ):

ângulo[do latim angulu]: região entre duas semirretas distintas e de mesma origem. arco[do latim arcu]: segmento de uma circunferência. inscrito[do latim inscriptu]: traçado dentro. excêntrico[do latim excentricu]: desvio ou afastamento do centro. circunferência [do latim circumferentia]: contorno de um círculo. círculo [do latim circulu]: superfície plana e fechada, limitada por uma circunferência.

a) Ângulo central e inscrito Observe os ângulos e arcos em cada foto.

^ Qual é a relação entre o ângulo BV1 A com o arco 짰 짰 ^ AMB ? E entre o ângulo BV2 A e o arco AMB ?

(

)

(

)

^ ^ Os ângulos BV1A e BV2A têm vértices na circunferência e seus lados são secantes a ela.

짰 짰 Qual é a medida dos arcos AB e CD? A medida do 짰 ^ ângulo central AOB é igual à medida do arco AB ? E a ^ medida do ângulo central COD é igual à medida do arco 짰 CD ?

Ângulo inscrito numa circunferência é o ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. 짰 Você viu no laboratório que med AMB = 90°. ^ ^ Os ângulos inscritos BV1A e BV2A determinam na circun짰 ferência o mesmo arco AMB .

(

짰 짰 Para diferenciarmos os arcos AB e CD maior e menor, 짰 짰 짰 짰 colocamos letras e escrevemos AMB, ANB, DRC e DSC.

(

)

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 62

(

) 짰 med(AMB)

^ Observe que med BV1A = 90° ^ = med BV2A = ––––––––––– = –––– = 45° ou 2 2

(

)

^ b

^ a

짰 ^ med AMB = 2 . med BV1A =

(

)

(

O triângulo OPA é isósceles, pois OP ≅ OA. M ^ ^ Assim: α = OPA = OAP ^ B AOB é ângulo externo ao ^ ^ ΔOPA e OPA e OAP são

)

ângulos internos não adja-

)

^ = 2 . med BV2A = 2 . 45° = 90°

centes.

b) Ângulo de segmento

(

짰 ^ Observe o ângulo B AE e o arco AMB :

(

^ Assim: med AOB

)

(

^ = med OPA

)

(

^ + med OAP

)

^ β ^ ^ ⇒α ^ = ––– seja, β = 2α 2 짰 AMB α = –––––– 2

짰 ^ Como AMB = β, temos que: A

^ a

^ Qual é a relação entre o ângulo BAE e o 짰 arco AMB?

^ O ângulo E AB tem vértice na circunferência, sendo um dos lados secante e o outro tangente à circunferência.

med (

(

)

(

)

Como

)

(

)

(

)

짰 ^ ^ ^ ^ ^ =α ^ +α ^ e β α = β1 + β2 e AMB = β 1 2

^ ^ ^ ⇒α ^ = β . temos que: β = 2 α ––– 2

)

Observe as demonstrações de cada caso de ângulos em

circunferência.

^ a 2

Ângulo central e inscrito Sendo o ponto O centro da circunferência, queremos de짰 AMB monstrar que α = –––––––– . 2

(

^ ^ ^ + 2α ^ = 2 . (α ^ +α ^ ). β1 + β2 = 2α 1 2 1 2

)

(

^ ^ ^ ^ =α ^ +α ^ e β α = β1 + β2 1 2

^ ^ ^ +α ^ = 2α ^ e β ^ ^ ^ β1 = α 1 1 1 2 = α2 + α2 = 2α2

짰 ^ med AMB = 2 . med E AB = 2 . 30° = 60°

(

^ ^ α^ 2 = OPB = OBP

^ ^ ^ med BOM = med OPB + med OBP , ou seja,

짰 med AMB 60° ^ med E AB = ––––––––––– = ––––– = 30° ou 2 2

)

^ b2

^ ^ ^ Assim, med AOM = med OPA + med OAP e

Observe que:

(

^ ^ α^ 1 = OPA = OAP

M Assim:

ao ΔPOB

)

(

^ b

^ ^ AOM é ângulo externo ao ΔPOA e BOM é ângulo externo

Você viu no laboratório que = 60° e ^ med E AB = 30°. 짰 ^ O ângulo E AB determina na circunferência o arco AMB.

(

OP ≅ OA ≅ OB.

Ângulo de segmento é todo ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência, sendo um dos lados secante e o outro tangente à circunferência. 짰 AMB

são isósceles, pois

^ b1

^ a 1 ^ a 2

Os triângulos POA e POB

)

^ b

^ ^ a a 1 B

짰 AMB ^α = ––––––– 2 짰

A ^ ^ ENA α2 = OPA = –––––––

짰 ^ EAB ^α = E PB = ––––––– 1 2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:14 Página 63

^ =α ^ –α ^ , temos que: Como α 1 2

↔ ↔ AE é tangente e AB é secante.

짰 짰 짰 짰 AMB ^ = EAB – ENA = AMB , ou seja, ^ α ––––– –––––– ––––– α = ––––––– 2 2 2 2

O ΔAOB é isósceles, pois OA ≅ OB. ^ ^ Assim: ^γ = OAB = ABO.

Quando um ângulo inscrito e um ângulo central determinam o mesmo arco na circunferência, a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente.

^ ^ + ^γ = 90° e ^γ + ^γ + β Temos que: α = 180°. Substituindo ^γ por 90° – ^α, temos: ^ ^ 2 . (90° – α) + β = 180°, ou seja, 180° – 2^α + β = 180°.

Ângulo de segmento Sendo o ponto O centro da circunferência, queremos demonstrar que

^ ^ g b ^g

짰

M B

^ 짰 Como β = AMB

^ a

짰 AMB ^α = ––––––– 2

E α = AMB . –––––––

Quando um ângulo de segmento e um ângulo central determinam um mesmo arco na circunferência, a medida do ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco correspondente.

Exercícios da aula Para cada figura, determine a medida dos ângulos ou arcos.

짰 med AMB = 180°

( ) ^ med (AV1B) = 90° ^ med (AV2B) = 90°

( ) ( ) ^ med (AV1B) = 45° 짰 med (AMB) = 90° ^ med (AV2C) = 60° 짰 med (ABC ) = 120° ^ med C V1D = 30° 짰 med CND = 60°

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:19 Página 64

짰 med AMB = 150°

( ) ^ med (AV2B) = 75° ^ med (V1BV2) = 30°

( (

( ) ^ med (E AC) = 75° ^ med F AB = 60°

)

^ med AV1B = 75° 짰 med V1NV2 = 60°

)

짰 med AMB = 120° 짰 med ANC = 150°

( (

) )

Desafio (

)

^ Qual é a med APB ,

( )

)

^ sendo med AMB = 160° e 짰 med CND = 60°?

(

( ) 짰 med (CMD ) =

^ med AV1B = 50° 160°

110°

짰 med AMB = 100°

( ) ^ med (C V2D) = 80°

Geometria – ângulos e arcos 34 de uma circunferência

Aulas

Data: _____/_____/_____

1. Introdução

2. Ângulos e arcos em circunferência

As fotos possuem elementos que dão a ideia de ângulo em circunferência. É possível identificar ângulo excêntrico interior?E exterior?

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:19 Página 65

a) Ângulo excêntrico interior e exterior

Ângulo excêntrico externo é o ângulo que tem como vértice um ponto da região exterior de uma circunferência e lados secantes ou tangentes à circunferência.

짰 짰 ^ Observe os ângulos APB e os arcos AMB e CND:

짰 Você viu no laboratório que med AMB = 120° e 짰 med CND = 60° e que a medida do ângulo excêntrico interno ^ ^ APB é 90° e a medida do ângulo excêntrico externo APB é 30°. 짰 짰 짰 ^ Observe os ângulos APB e os arcos AMB, ANC e ANB.

(

Qual é a relação entre os 짰 짰 arcos AMB e CND com o ângulo

^ APB

(

cada

)

figura? figura 1 –– –– Na figura 1, os segmentos AD e CB são cordas da circunferência e a intersecção das cordas é o ponto P. Os ^ ^ ^ ^ ângulos C PD, BPD, BPA e APC são ângulos excêntricos figura 3

internos de vértice P.

짰 짰 Qual é a relação entre os arcos AMB e ANC com ^ o ângulo APB? Na figura 3, o ponto P é exterior à circunferência e o ângulo ^ BPA é excêntrico externo de vértice P cujos lados são tangentes e secantes.

figura 2 Na figura 2, o ponto P é exterior à circunferência e o ângulo ^ B PA é excêntrico externo de vértice p cujos lados são secantes. ^ Observe que para o ângulo excêntrico interno APB 짰 짰 med AMB + med CND ^ med APB = –––––––––––––––––––––––– = 2

(

)

(

)

(

)

figura 4

짰 Qual é a relação entre os arcos ANB e 짰 ^ AMB com o ângulo APB?

120° + 60° 180° = ––––––––––– = ––––– = 90° e 2 2 para o ângulo excêntrico exterior 짰 짰 med AMB – med CND ^ med APB = –––––––––––––––––––––––– = 2

(

)

(

)

(

Na figura 4, o ponto P é exterior à circunferência e o ângulo ^ BPA é excêntrico externo de vértice P, cujos lados são

)

tangentes.

짰 Você viu no laboratório que med AMB = 180° e 짰 med ANC = 90° e que a medida do ângulo excêntrico externo ^ APB é 45°, sendo um lado do ângulo tangente e outro secante. 짰 Você viu no laboratório que med AMB = 240° e 짰 med ANB = 120° e que a medida do ângulo excêntrico ^ externo APB é 60°, sendo os dois lados dos ângulos tangentes.

(

60° 120° – 60° = –––––––––– = ––––– = 30° 2 2

Ângulo excêntrico interno é o ângulo que tem como vértice um ponto da região distinta do centro interior da circunferência.

(

)

(

)

) )

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:19 Página 66

^ Observe que para o ângulo APB, cujos lados são secante e tangente,

(

)

^ med APB =

짰 짰 med AMB – med ANC –––––––––––––––––––––––– 2

(

180° – 90° –––––––––––– 2

)

(

)

^ ^ ^ ACB é ângulo externo ao ΔBCP, e CBP e CPB são ângulos internos não adjacentes. ^ ^ ^ ^ = C BP β = ACB α

(

)

짰 AMB ^ β = –––––– 2

90° = –––––– = 45° e que para o ângulo 2

짰 짰 med AMB – med ANB –––––––––––––––––––––––– 2

(

)

(

)

(

^ ^ ^ Assim, med ACB = med CBP + med C PB

^ APB, cujos lados são tangentes, ^ med APB =

)

^ γ^ = C PB

)

짰 ^α = CNA –––––– 2

^ ^ ^ ^–α ^ Como β = α + γ, temos que γ^ = β 짰 짰 AMB CNA ^γ = –––––– – –––––– 2 2

240° – 120° 120° = ––––––––––– = –––––– = 60°. 2 2

짰 짰 AMB CNA ^γ = –––––– – –––––– 2 2

Observe as demonstrações de cada caso de ângulos em circunferência.

Ângulo excêntrico interior Sendo o ponto O o centro da circunferência, queremos demonstrar que 짰 짰 ^γ = AMB + CND . –––––––––––– 2

Sendo o ponto O o centro da circunferência, queremos de짰 짰 AMB – CND monstrar que γ^ = –––––––––––––– 2

^ ^ ^ C PD é ângulo externo ao ΔCPD, e PCA e PAC são ângulos internos não adjacentes. ^ ^ ^ ^ ^ = PAB β = ACP α γ^ = D PC ^ ^ ^ Assim, med DPC = med ACP + med PAB 짰 짰 AMB CND ^ ^ β = –––––– α = –––––– 2 2

(

)

(

)

(

)

^ ^ ^ ACB é ângulo externo ao ΔBCP, e C AP e APC são ângulos internos não adjacentes. ^ ^ β = ACB

짰 짰 AMB CND ^ ^ Como ^γ = β + α, temos que: ^γ = –––––– + –––––– 2 2

^ ^ = C AP α

(

)

(

^ γ^ = APC

)

(

^ ^ ^ Assim, med ACB = med CBP + med C PB 짰 AMB ^ β = –––––– 2

짰 짰 AMB + CND ^γ = ––––––––––––––– 2

Ângulo excêntrico exterior

짰 ^α = CND –––––– 2

^ ^ ^ ^–α ^ Como β = α + γ, temos que: γ^ = β

Sendo o ponto O o centro da circunferência, queremos demonstrar que

짰 짰 AMB CND γ = –––––– – –––––– 2 2

짰 짰 ^γ = AMB – CNA –––––––––––– 2

짰 짰 AMB CND ^γ = –––––– – –––––– 2 2

)

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:19 Página 67

^ ^ β = ABF

^ ^ = BAP α

(

)

(

^ γ^ = APB

)

(

^ ^ ^ Assim, med ABF = med BAP + med APB 짰 AMB ^ β = –––––– 2

)

짰 ^ = ANB α –––––– 2

^ ^ ^ ^–α ^ Como β = α + γ, temos que: γ^ = β 짰 짰 AMB ANB γ^ = –––––– – –––––– 2 2

Sendo o ponto O o centro da circunferência, queremos demonstrar que 짰 짰 AMB – ANB ^γ = –––––––––––– 2

짰 짰 AMB ANB ^γ = –––––– – –––––– 2 2 A medida de um ângulo excêntrico externo é igual à semidiferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.

^ ^ ^ A BF é ângulo externo ao ΔAPB, e BAP e APB são ângulos internos não adjacentes.

Exercícios da aula Para cada figura, determine a medida dos arcos ou ângulos indicados. 1.

짰 med AMB = 60°

(

)

짰 med CND = 40°

(

)

()

med ^x = 30°

()

med ^y = 50° 짰 med ANC = 80°

짰 med AMB = 180°

med ( x^) = 50°

med ( y^ ) = 90°

짰 med AMB = 144° 짰 med( CND) = 108°

med x^ = 54° med y^ = 126°

(

짰 med AMB = 100°

(

)

(

)

짰 med CND = 40°

(

)

()

med x^ = 30°

()

med ^y = 50°

(

)

() ( )

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:19 Página 68

med AMB = 135°

(짰 )

짰 med CND = 90°

^ med(APB) = 60°

med ( x^ ) =

med ( y^ ) =

med ( x^) = 240°

67°30’

(

)

112°30’

med ( y^ ) = 90°

7. 짰 med AMB = 144°

(

)

()

med x^ = 36° 짰 med( CND) = 72°

med ( y^ ) = 72°

짰 med AMB = 180°

짰 med CND = 60°

x^ = 60°

med ( y^ ) = 30°

(

)

(

짰 med CND = 108° 짰 med(AMB) = 180°

)

(

)

Desafio ^ Com relação ao exercício 5 da aula, qual é a medida do ângulo ADC? 68

(

)

^ med ADC = 22°30’

() med ( y^ ) = 36°

med x^ = 144°

C1_9°Ano_MAT_PROF_2012_DANIEL 02/08/11 19:12 Página 69

Revisão Data: _____/_____/_____ 1.

Observe a planta e complete a tabela em relação às medidas do desenho e real.

naturais.

inteiros.

inteiros negativos.

racionais que representam números decimais não exatos.

inteiros, mas não são naturais.

racionais, mas não são inteiros.

reais, mas não são racionais.

reais, mas não são irracionais. Para os exercícios de 10 a 30, desenvolva os produtos notáveis, escrevendo quando possível os radicais na forma mais simples.

10) 11) medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

12) 13)

14) 15)

16) z

17)

18) 19) 20)

área (m2)

dimensões reais (m)

21)

quarto

22)

cozinha

23)

banheiro

24) Qual é a área da sala no desenho e real?

25) 26)

Enunciado para os exercícios 2 a 9. Para os radicais: –

81 4 ––– , ––– , – 4 81 representam números

64 –––– , 4 4 ––– e 64

30, –

27)

49 ––– , 7

28)

4 escreva quais

29) 30) 69

2 ( 12 + 2) = 2 ( 12 – 2) = ( 12 + 2).( 12 – 2) = 2 ( 18 + 8) = 2 ( 18 – 8) = ( 18 + 8 ).( 18 – 8) = (2 5 + 2x)2 = (2 5 – 2x)2 = (2 5 – 2x).(2 5 + 2x) = 2 (6 + 27 ) = 2 (6 – 27 ) = (6 + 27 ).(6 – 27 ) = 2 (4x + 8 ) = (4x – 8 )2 = (4x + 8 ).(4x – 8 ) = (6 2 + 4)2 = (6 2 – 4)2 = (6 2 + 4).(6 2 – 4) = (3x + 2 ).(3x – 2 ) = (3x + 2 )2 = (3x – 2 )2 =

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:20 Página 70

Enunciado para os exercícios 31 a 37. Calcule a medida do perímetro (cm) de cada triângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras. 31) ΔACD

35) ΔOPQ

32)

36)

ΔCDE

ΔIMJ

33)

ΔBSG

34)

ΔONQ

37) ΔFUQ

38. Determine o perímetro de um trapézio isósceles PQRS, sendo — — — — med(PQ ) = 150 cm, med(SR ) = 40 cm e med(QR) = med(PS) = 20 cm. — 3000 cm. 39. Determine o perímetro de um triângulo equilátero ABC, sendo med(AB) =

Enunciado para exercícios de 40 a 46. Determine a expressão numérica que representa a soma dos segmentos de cor marrom na face de cada letra, sabendo que tem aresta igual a 1 cm, escrevendo o número fora de cada radical como uma raiz exata e efetuando o produto entre os radicais, de forma a obter no radical um único radicando.

40)

41)

42)

44)

45)

46)

43)

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:20 Página 71

47. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o conjunto-solução de cada uma completando a tabela para os conjuntos-universo dado. a) Um número somado com oito é igual a treze. b) Um número somado com vinte e três é igual a zero. c) O dobro de um número é igual a vinte e três. d) O quadrado de um número é igual a vinte e três. equações

56.

Enunciado para os exercícios 48 a 57 Calcule a área e o perímetro das figuras. 48.

57.

49.

Enunciado para os exercícios de 58 a 67 Coloque V ou F 50.

51. 58) 6– 1 é um número irracional. ( 59) – 7 é um número real. (

52.

)

1 60) –––– é um número inteiro. ( 7

53.

)

7 é um número racional. ( 61) –––– 2

)

62) – 13 é um número inteiro mas não é natural. (

)

1 63) – ––– é um número racional, mas não é um 13 número irracional. ( ) 2 64) –––– é um número racional, mas não é um número 13

54.

inteiro. (

)

65) O inverso de 13– 1 é um número natural. (

55.

66)

67)

70 ––– é um número irracional. ( 10

441 é um número real. ( )

)

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2016_Tony 31/08/15 11:35 Página 72

Enunciado para exercícios de 68 a 76. Para os radicais:

36 –––– , 16

16 64, – – 兹苵苵苵 ––– , – 49 representam números

70. racionais que representam números decimais exatos.

16 –––– , 36

2 ––– e 60

60 ––– , 2

兹苵苵苵 64,

71. racionais que representam números decimais não exatos. 72. inteiros, mas não são naturais.

49 ––– escreva quais 16

73. racionais, mas não são inteiros. 74. reais, mas não são racionais.

68. naturais.

75. reais, mas não são irracionais.

69. inteiros.

76. reais.

77. Observe a planta abaixo e complete a tabela em relação às medidas reais. Medidas reais m

d1 d2 d3 d3 d5 78. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos , +, _, +, _, e . a) Um número menos cinco é igual a é vinte e três. b) Um número mais vinte e três é igual a zero. c) O dobro de um número é igual a vinte e três. d) O quadrado de um número é igual a vinte e três. x

País Austrália

km2

notação científica

7 682 300 329 758

Barein

678

Mônaco

79. Complete a tabela escrevendo a superfície dos países do GP-Fórmula 1 – 2005 em notação científica com arredondamento de duas casas decimais.

Superfície em

Malásia Espanha

Superfície

505 954 1,95

Alemanha

356 733

Canadá

9 970 610

Estados Unidos

9 372 614

França

543 965

Reino Unido

244 100

Hungria

93 033

Turquia

779 452

Bélgica

30518

Itália

301 302

China

9 536 499

Japão

372 819

Brasil

8 547 403,5

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:21 Página 73

Enunciado para os exercícios de 80 a 89. Calcule as medidas reais e as do desenho dos segmentos indicados em cada triângulo, usando o Teorema de Pitágoras escreva o radical como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata e determine entre quais inteiros consecutivos cada raiz está compreendida.

80.

84.

88.

81.

82.

85.

86.

83.

87.

89.

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:22 Página 74

짰 93. med AMB = 120°

(

90. a) Trace duas circunferências, C1 e C2, tangentes externas de raio r1 = 2 cm e distância entre os centros O1 e O2, d = 4 cm. b) Trace duas circunferências, C1 e C2, tangentes internas de raio r1 = 2,5 cm e distância entre os centros O1 e O2, d = 1 cm.

)

91. a) Trace uma circunferência C1 que passa pelos pontos R, S e T.

med ( x^ ) =

(짰 )

94. med AMB = 60°

짰 med CND = 90°

(

)

b) Trace duas circunferências, C1 e C2, concêntricas de raios r1 = 2,5 cm e r2 = 1,5 cm, respectivamente.

Enunciado para exercícios 92 a 95. Determine a medida dos ângulos indicados. 짰 92. med AMB = 120° 짰 med CND = 60°

( (

) )

짰 med DPB = 120°

(

)

med ( x^ ) = 짰 95. med AMB = 162°

(

med ( x^) =

)

med ( y^ ) = 짰 med CND

(

med ( y^ ) = med ( x^ ) = 74

med ( y^ ) =

)

= 72°

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:22 Página 75

96. Represente na reta real. a)

x–3 x ∈ – 3 < –––––– – 2 2

x∈ 1

x+4 –––––– 2 2

107. Determine o perímetro de um triângulo equilátero ABC, — sendo med(AB) = 60 cm.

108. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma, completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos , , , I e . a) A soma de um número com treze é igual a trinta. b) A soma de um número com treze é igual a zero. c) O triplo de um número é igual a treze. d) O quadrado de um número é igual a treze.

Enunciado para os exercícios de 97 a 104. Represente na reta real os subconjuntos: 97. {x ∈ – 1 x 2}

109. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma, completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos *, *, *, I e *. a) A soma de um número com dez é igual a dez. b) A soma de um número com dez é igual a zero. c) O triplo de um número é igual a dez. d) O quadrado de um número é igual a nove. e) O quadrado de um número é igual a vinte.

98. {x ∈ – 3 x 2}

99. {x ∈ x 1}

100. {x ∈ – 3 x 3}

101. {x ∈ – 1 x 2}

102. {x ∈ – 2 x 2}

103. {x ∈ x 3}

110. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos , , , , + e – a) Um número somado com vinte é igual a trinta e cinco. b) Um número somado com quinze é igual a zero. c) O dobro de um número é igual a quinze. d) O quadrado de um número é igual a quinze.

104. {x ∈ x – 2 ou x 1}

Enunciado para os exercícios de 105 a 107. Para cada exercício, quando possível, decomponha os radicais e reduza os radicais semelhantes.

105. Determine o perímetro de um quadrado ABCD, sendo — med( AB) = 40 cm. 106. Determine o perímetro de um retângulo MNOP, sendo — — 40 cm e med( NO ) = 90 cm. med( MN ) =

–

. 75

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:22 Página 76

111. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos *, *, *, e *. a) Um número mais setenta é igual a setenta. b) Um número mais setenta é igual a zero. c) O dobro de um número é igual a setenta e sete. d) O quadrado de um número é igual a setenta. *

* 1:10 d)

112. Para cada item, escreva o produto notável que representa a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

1:5 e)

1:2

1:10 3

1:2

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:23 Página 77

1:10

짰 b) med AMB = 135°

(

)

짰 med CND = 90°

(

)

1:2 i)

med ( x^) =

med ( y^ ) =

Enunciado para exercícios 114 e 115. Determine a medida dos ângulos indicados. 114. 1:5

113. Para cada figura, determine a medida dos ângulos ou arcos. 짰 a) med AMB =

( ) 짰 med (ANB) = 200° ^ med (E V2F) = 120° 짰 med (CMD) =

( ) ^ med (AMB) = 짰 med ( ELF ) = ^ med (C V1D) = 105°

^ med ANB = 80°

( ) 짰 med (CND) =

^ med A PB = 67°30’

짰 med AMB =

( ) ^ med (C MD) =

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2016_Tony 31/08/15 11:35 Página 78

115.

( ) 짰 med (EMF ) = 짰 med (AMB) = ^ med (BPC) =

^ med E V1F = 90°

( ) ^ med (APB) = 40° 짰 med (BNC) = 40° ^ med (ADB) = ^ med E V2F =

116. Determine a medida dos ângulos indicados. 짰 med AMB = 120°

(

)

짰 med ANC = 60°

(

)

()

med ^x =

()

med ^y =

118. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma, completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos +, –, + e –. a) A soma de um número com dez é igual a dez. b) A soma de um número com dez é igual a zero. c) O triplo de um número é igual a dez. d) O quadrado de um número é igual a nove. e) O quadrado de um número é igual a vinte.

117. Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma, completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos +, –, + e –. a) A soma de um número com treze é igual a trinta. b) A soma de um número com treze é igual a zero. c) O triplo de um número é igual a treze. d) O quadrado de um número é igual a treze.

–

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:24 Página 79

Tarefa

Aula 1

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1. Sendo x o número total de voltas de cada GP e y a medida (m) do comprimento da pista relativo a uma volta, assinale com × no quadrado os circuitos de F-1, tal que 65 < x < 78 e 3369 < y < 5000.

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:24 Página 80

Tarefa

Aulas 2 e 3

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1. Coloque V ou F

Para os radicais: –

36 –––– , 4

a) 5– 1 é um número irracional. ( F ) 9 4 –– , –– , – 4 9 sentam números

15 é um número racional. ( F ) b) –––– 3 c) O inverso de 11– 1 é um número natural. ( V )

36 –––– 4

c) inteiros negativos. – 9

e) – 11 é um número inteiro mas não é natural. ( V )

36 –––– 4

b) inteiros. 9 , – 9,

d) – 9 é um número real. ( V )

d) racionais que representam números decimais não exatos.

196 é um número real. ( V )

4 ––– , – 9

4 ––– 36

e) inteiros, mas não são naturais. – 9

1 g) –––– é um número inteiro. ( F ) 10

f) racionais, mas não são inteiros.

10 –––– 2

é um número racional mas não é um h) reais, mas não são irracionais.

número inteiro. ( F ) j)

4 ––– 9

g) reais, mas não são racionais. 12, –

2 –––– 3

4 –––– , – 36

9 ––– , – 4

1 h) – ––– é um número racional mas não é um 5 número irracional. ( V )

10 ––– , 2

9 escreva quais repre-

4 ––– e 36

a) naturais.

12, –

50 ––– é um número irracional. ( V ) 20

± 9,

9 ––– , 4

i) reais.

todos

4 ––– , 9

36 –––– , – 4

4 –––– 36

C1_9°Ano_MAT_PROF_2012_DANIEL 02/08/11 19:12 Página 81

Tarefa

Aulas 4 e 5

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____

a) b) c) d)

1.Escreva a equação que cada sentença representa e determine o conjunto-solução de cada uma completando a tabela para os conjuntos-universo dado. Um número somado com dois é igual a treze. x + 2 = 13 Um número somado com onze é igual a zero. x + 11 = 0 O dobro de um número é igual a onze. 2x = 11 O quadrado de um número é igual a cinquenta e um. x2 = 51 equações

U=⺞

U=⺪

U=⺡

U=⺙

U=⺢

x + 2 = 13

S = {11}

S=Ø

S = {11}

x + 11 = 0

S=Ø

S = {– 11}

S=Ø

S = {– 11}

2x = 11

S=Ø

S = {5,5}

S=Ø

S = {5,5}

x2 = 51

S=Ø

S = {– 51, 51}

2.Escreva a equação que cada sentença representa e determine o valor de x de cada uma completando a tabela com ∈ ou ∉ em relação aos conjuntos ⺞, ⺪+, ⺪_, ⺡+, ⺡_, I e ⺢. a) b) c) d)

Um número menos cinco é igual a vinte e dois. Um número mais nove é igual a zero. O dobro de um número é igual a nove. O quadrado de um número é igual a seis.

equações

⺞

⺪+

⺪–

⺡+

⺡_

⺢

x – 5 = 22

∈

∉

∈

∉

∈

x+9=0

–9

∉

∈

∉

∈

∉

∈

2x = 9

4,5

∉

∈

∉

∈

– 6

∉

∈

∉

∈

x2 = 6

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2013_Tony 03/09/12 08:21 Page 82

Tarefa

Aulas 7 e 8

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ b) 30 cm = (3 . 10– 1)m = (3 . 102)mm 1.Observe a ficha técnica do telescópio espacial Wire e leia o texto para responder cada item.

diâmetro do telescópio

c) 540 km = (5,4 . 105)m = (5,4 . 108)mm

Abertura do telescópio

O OBSERVAT A ÓRIO DO UNIVERSO

altitude do observatório

T Telesc ópio espacial Wire W

á obter dados á Data prevista para o lanç n amento hoje, à (hor çã ão quatro meses

d) 250 kg = (2,5 . 105)g = (2,5 . 108)mg massa do telescópio

2.Um grão de arroz tem massa média de 20 mg. Um pacote de 1kg tem em média quantos grãos de arroz? Como escrevemos em notação científica os dados do problema na unidade de medida indicada e a resposta?

FICHA TÉCNICA Instrumento de observaçã a o: telescó âmetro Massa: 250kg Órbita: 540km de altitude Custo: ões (projeto, construção e operação)

Rastreador de estrelas

20 mg = 2 . 10 mg 1kg = 1 . 100 kg 50 000 = 5 . 104

Painéis solares

O lançamento está previsto para meia-noite (horário de Brasília). O satélite deverá ser colocado em órbita por um foguete Pegasus, da empresa Orbital Sciences (EUA). Diferentemente de outros lançadores, que partem de uma rampa em terra, o Pegasus é disparado a aproximadamente 12km de altitude por um avião Lockheed L-1011.

3.Complete a tabela escrevendo a população dos países do GP-Fórmula 1 – 2005 em notação científica com arredondamento de duas casas decimais. País

Origem do Universo O Wire será o primeiro aparelho lançado pelo programa Origens, da Nasa, voltado para estudar as origens e a formação do Universo. Além de menor do que o famoso telescópio espacial Hubble, e de ter uma vida útil bem menor do que a dele, o Wire, cujo projeto e construção custaram US$ 50 milhões, também é muito mais barato. Lançado em 1990, o Hubble custou US$ 1,5 bilhão. O Wire foi desenvolvido para operar em órbita porque a radiação infravermelha não é completamente observável por telescópios situados na Terra. O Wire deverá também recolher informações sobre o cinturão de asteroides no Sistema Solar e mapear regiões de formação de estrelas na Via Láctea. Os dados poderão servir também para que se entenda um pouco da formação do próprio Universo. “Qualquer informação sobre a formação de corpos importantes para a formação do Universo, como as galáxias, fornecerá bons indícios sobre a própria formação do cosmos”, diz Klafke.

População em milhões de hab.

População em notação científica

Austrália

14,3

1,43 . 107

Malásia

22,6

2,26 . 107

Barein

0,6

6 . 105

Itália

57,5

5,75 . 107

Espanha

39,9

3,99 . 107

Mônaco

0,032

3,2 . 104

Canadá

3,1 . 107

Estados Unidos

285,9

2,86 . 108

França

59,9

5,99 . 107

Reino Unido

59,5

5,95 . 107

Alemanha

8,2 . 107

Hungria

9,9

9,9 . 106

Folha de S. Paulo, 1/3/99

Turquia

65,5

6,55 . 107

Em relação ao texto e à ficha técnica, escreva em notação científica todas as medidas de comprimento em metros e milímetros e todas as medidas de massa em gramas e miligramas e a indicação de cada uma. a) 12 km = (1,2 . 104)m = (1,2 . 107)mm

Bélgica

10,3

1 . 107

Brasil

169,4

1,69 . 108

China Japão

altitude de disparo

1237 127,3

1,24 . 109 1,27 . 108

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:24 Página 83

Tarefa

Aulas 9 e 10

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Represente na reta real e na forma de intervalo os subconjuntos: -3

-4

a) {x ∈ – 4 x 4}

-2

-1

[– 4, 4[

b) {x ∈ – 1 x 6} -6

-5

-3

-4

-2

-1

]– 1, 6] -5

c) {x ∈ – 5 x 0}

-3

-4

-2

-1

[– 5, 0[ -3

d) {x ∈ x – 2}

-2

-1

(– ∞, – 2] -5

e) {x ∈ x 4 ou x 5}

-3

-4

-2

-1

(– ∞, 4[ ]5, + ∞)

Dados os subconjuntos de , A = [– 3, 2[ e B = ]1, 4], determine A B, A B, A – B e B – A, representando-os na reta real e na forma [a, b], ]a, b[, [a, b[ ou ]a, b]. -4

-3

-2

-1

AÈB

[– 3, 4]

AÇB

]1, 2[

A-B

[– 3, 1]

B-A

[2, 4]

Represente na reta real e na forma de intervalos os subconjuntos. a)

x x ∈ – 2 ––– + 1 0 2

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-8

-6

-4

-2

]– 6, – 2]

x+5

x ∈ 5 –––––– 7 2

[5, 9[

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:24 Página 84

Tarefa

Aulas 12 a 14

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.No revestimento de pisos usa-se um ladrilho conforme desenho. Calcule a medida da diagonal do azulejo no desenho e a medida real. — med(AB ) = 1,25 cm

Determine a expressão numérica que representa a soma dos segmentos de cor marrom na face de cada letra, sabendo que

tem aresta igual a 1 cm, escrevendo o

número fora de cada radical como uma raiz exata e efetuando o produto entre os radicais, de forma a obter no radical um único radicando.

desenho

— med(AB) = 50 cm real

a) 2.Calcule a diagonal da face de um dado de aresta igual a 2 cm, escrevendo o radical de dois modos diferentes: com um único radicando e como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra irracional, extraindo a raiz exata. 8 2 + 2 10 = 128 + 40 =

( )

— med AC =

8 cm = 2 2 cm 5 2 + 2 5 = 50 + 20

3.Calcule a medida real e do desenho da — diagonal AC de um tabuleiro de xadrez, sabendo que, no desenho, o quadrado onde se localiza a torre é de 0,5 cm × 0,5 cm. Escreva o radical de dois modos diferentes: com um único radicando e como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra irracional, extraindo a raiz exata.

( ) — med(AC ) =

— med AC = 4 2=

7 2 + 2 5 = 98 + 20

32 cm desenho

16 2 = 512 cm

6 2 + 2 10 = 72 + 40

real

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2016_Tony 31/08/15 11:35 Página 85

Tarefa

Aulas 15 a 19

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.Usando Teorema de Pitágoras, calcule a medida do desenho (cm) e real(m), da diagonal de um quarteirão da cidade de Rio das Quadras e o perímetro do ΔABC. Dados: –– AB = 2 cm –– AC = 2 cm

3.Para cada item, calcule a medida dos segmentos indicados em cada triângulo; usando o Teorema de Pitágoras escreva o radical como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata e determine entre quais inteiros consecutivos cada raiz está compreendida.

— med( BC ) = 2兹苵苵 2 cm des. — med( BC ) = 100兹苵苵 2 m real — — — med( AB) + med( BC) + med( CA) = (4 + 2兹苵苵 2 ) cm des. — — — med( AB) + med( BC) + med( CA) = (200 + 100兹苵苵 2 ) m real

2.Usando o Teorema de Pitágoras, calcule a medida do desenho (cm) e a medida real(m) da diagonal do estacionamento Pare Logo da cidade de Rio das Quadras e o perímetro do ΔABC. Sendo: –– –– AB = BC = 5 cm

— med(AB) = — med( DH) =

ΔABH ΔDEH 4 < 6 <

兹苵苵苵 20 兹苵苵苵 40

兹苵苵苵 40 cm 兹苵苵苵 20 cm

= 2兹苵苵苵 10 cm

1:1

= 2兹苵苵 5 cm

< 5 < 7

4.Calcule as medidas reais e do desenho dos segmentos indicados em cada triângulo usando o Teorema de Pitágoras; escreva o radical como o produto de dois radicais, sendo uma raiz exata e outra não exata, extraindo a raiz exata e determine entre quais inteiros consecutivos cada raiz está compreendida. a)

— 2 cm desenho med(AC ) = 5兹苵苵 — med( AC) = 100兹苵苵 2 m real — — — med( AB) + med( BC ) + med( CA) = (10 + 5 兹苵苵 2 ) cm des. — — — med( AB) + med( BC ) + med( CA) = (200 + 100兹苵苵 2 ) cm real 85

4 < 兹苵苵苵 21 < 5

des.

9 < 兹苵苵苵 84 < 10

real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:25 Página 86

5.Calcule a medida do perímetro e da área do desenho das figuras, sabendo que cada quadrado tem 1 cm de lado e cada triângulo equilátero tem 1 cm de lado. a)

6 < 40 < 7

des.

160 < 13 12 <

real

A = 2,5 cm2

3 3 A = ____ cm2 4

2p = (4 + 3 2 ) cm

2p = (4 + 3 ) cm

A = 3 cm2

A = 3,25 cm2

2p = (4 + 3 ) cm

2p = (3 + 5 2 ) cm

1:2 ΔACH — med(AC) =

80 cm

A = 3,25 cm2

A = 3,5 cm2

2p = (4 2 + 5) cm

2p = (5 2 + 2) cm

= 2 20 cm

8 < 80 < 9

ΔDEH — med( EH) =

28 cm

= 2 7 cm

28 < 6 5 <

A = 3,5 cm2

A = 2 3 cm2

2p = (7 2 + 2) cm

2p = 10 cm

C1_9o_Ano_Matematica_PROF_2016_Tony 31/08/15 11:35 Página 87

Tarefa

Aulas 20 e 21

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Determine o perímetro de um quadrado ABCD, sendo — med(AB) = (兹苵苵苵 20 + 兹苵苵苵 75) cm.

2p = (8兹苵苵 5 + 20兹苵苵 3 ) cm

Determine o perímetro de um dodecágono regular, sendo — med( AB) = ( 兹苵苵苵 80 – 兹苵苵苵 20 ) cm. 2p = 24兹苵苵 5 cm

Determine o perímetro de um retângulo MNOP, sendo — — med( MN ) = 兹苵苵苵苵苵 120 cm e med( NO ) = 兹苵苵苵苵苵 150 cm. 2p = (4兹苵苵苵 30 + 10兹苵苵 6 ) cm

Determine o perímetro de um trapézio isósceles MNOP, — — — sendo med( MN) = 兹苵苵苵 90 cm, med( NO ) = med( PM ) = — 60 cm e med( PO ) = 兹苵苵苵 40 cm. = 兹苵苵苵 2p = (5兹苵苵苵 10 + 4兹苵苵苵 15 ) cm

Determine o perímetro de um quadrilátero ABCD, sendo — — med( AB) = 兹苵苵苵 20 cm, med( BC) = 兹苵苵苵 40 cm, — — med(CD) = 兹苵苵苵 60 cm e med(DA) = 兹苵苵苵 80 cm.

Calcule a medida do perímetro (cm) de cada triângulo, aplicando o Teorema de Pitágoras. a) ΔSGC

b) ΔFGH

2p = (6兹苵苵 5 + 2兹苵苵苵 10 + 2兹苵苵苵 15 ) cm

Determine o perímetro de um pentágono regular ABCDE, — sendo med( AB) = ( 兹苵苵苵苵 120 + 兹苵苵苵苵 140 ) cm.

(

)

2p = 5 + 兹苵苵苵 13 cm

2p = 5(2兹苵苵苵 30 + 2兹苵苵苵 35 ) cm = (10兹苵苵苵 30 + 10兹苵苵苵 35 ) cm

(

)

2p = 4 + 2兹苵苵 2 + 2兹苵苵苵 10 cm

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:25 Página 88

Tarefa

Aulas 22 e 23

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Observe a planta abaixo e complete a tabela em relação às medidas do desenho (cm) e real (cm). 4cm

4cm d2

medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

2cm 3cm

Cozinha

500

2 5

200000 = 200 5

500

2 2

80000 = 200 2

Quarto

d4 2cm

3cm W.C.

Sala

W.C. 2cm

1 : 100

Observe a planta e complete a tabela em relação as medidas do desenho e real. medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

200

400

300

3 2

300 2

diagonais

medidas do desenho (cm)

medidas reais (cm)

cozinha

2 5 = 20

200 5 = 200000

sala

3 2 = 18

300 2 = 180000

quarto

3 2 = 18

300 2 = 180000

banheiro

2 2 = 8

200 2 = 80000

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:25 Página 89

Tarefa

Aula 24

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho e a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

1:5

( 2 + 1)2 = 3 + 2 2 (5 2 + 5)2 = 75 + 50 2

desenho real

1:2

( 6 + 3 )2 = 9 + 6 2 (2 6 + 2 3 )2 = 36 + 24 2

desenho real

d) 2

b) 6

( 2 – 1)2 = 3 – 2 2 (10 2 – 10)2 = 300 – 200 2

1:4

( 6 – 3 )2 = 9 – 6 2 (4 6 – 4 3 )2 = 144 – 96 2

1:10

desenho real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:25 Página 90

Tarefa

Aula 25

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho e a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

1:5 1:2

(1 + 2 + 6 )

(2 + 3 ) . (2 – 3 ) = 1 (10 + 5 3 ) . (10 – 5 3 ) = 25

desenho real

2 + 2 6 + 4 3= = 1 + 2 + 6 + 2 = 9 + 2 2 + 2 6 + 4 3

desenho

1:10

( 2 + 1) . ( 2 – 1) = 1 (10 2 + 10) . (10 2 – 10) = 100 1:4

( 6 + 3 ) . ( 6 – 3 ) = 3

desenho

desenho real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2012_DANIEL 04/08/11 18:24 Página 91

Tarefa

Aula 26

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho e a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

1:3

(兹苵苵6 + x )2 = 6 + 2兹苵苵6 x + x2

1:2

desenho

(兹苵苵8 + x)2 = 8 + 4兹苵苵2 x + x2 (2兹苵苵8 + 2x)2 = 32 + 16兹苵苵2 x + 4x2

desenho real

b) 6

1:5

(兹苵苵6 + 兹苵苵3 ) . (兹苵苵6 – 兹苵苵3 ) = 兹苵苵苵 6 2 – 兹苵苵苵 32=3

1:10

2 (兹苵苵2 + 1) . (兹苵苵2 – 1) = 兹苵苵苵 22 –1 =1 (10兹苵苵2 + 10) . (10兹苵苵2 – 10) = 200 – 100 = 100

desenho

desenho real

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Tarefa

Aula 27

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

Para cada item, escreva o produto notável que representa a área do desenho e a área real da figura hachurada e desenvolva esses produtos. a)

1:3

(2x + 3 ) . (2x – 3 ) = 4x2 – 3 (6x + 3 3 ) . (6x – 3 3 ) = 36x2 – 27

1:2

desenho real

(x + 2 + 8 )2 = x2 + 2 + 8 + 2 2 x + 4 2 x + 8 = 2x+8 = x2 + 10 + 6

= x2 + 18 + 6 2x

desenho

x 8

1:10 x

( 8 + x) . ( 8 – x) = 8 – x2 (10 8 + 10x) . (10 8 – 10x) = 800 – 100x2

1:4

( 6 + x ) . ( 6 – x ) = 6 – x2

desenho

desenho real

C1_9°Ano_MAT_PROF_2011 28/07/10 11:25 Página 93

Tarefa

Aulas 28 e 29

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 1.

Trace uma circunferência C1 de raio 3,5 cm e três retas s, t e r sendo secante, tangente e externa a C1, respectivamente.

Trace uma circunferência C1 que passa pelos pontos R, S e T.

× T

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Trace três circunferências C1, C2 e C3 de raio r1 = 4 cm, sendo C1 e C2 tangentes internas e C2 e C3 tangentes externas, sendo a distância (d) entre os centros O1 e O2 igual a 2 cm e O2 e O3 igual a 5 cm.

C1 C3 C2

Trace três circunferências C1, C2 e C3 de raios r1 = 4 cm, r2 = 3 cm e r3 = 2 cm, respectivamente, sendo C1 e C3, concêntricas e C2 e C3 externas, sendo a distância entre os centros O1 e O2 d = 6 cm.

C2 C3

O1 O3

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Tarefa

Aulas 32 e 33

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 3. Determine a medida dos ângulos indicados em cada figura. 1.

짰 med AMB = 210°

( ) ^ med (AV2B) = 105° ^ med (AV1B) = 105°

짰 med AMB = 270°

( ) ^ med (BAO) = 45° 짰 med (CND) = 120°

( ) ^ med (C PD) = 60° ^ med (C DP) = 90°

^ med E AB = 135°

2. 4.

( ) ( ) ^ med (F AB) = 112°30’ ^ med E AB = 67°30’ 짰 med AMB = 135°

짰 med AMB = 300°

(

)

(

)

^ med A PB = 150°

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Tarefa

Aulas 34 e 35

Matemática Data: _____/_____/_____ Nome: ____________________________________ Sala: _____ 3.

짰 med AMB = 140°

(

)

짰 med ANC = 40°

(

)

Determine a medida dos ângulos indicados. 1.

짰 med AMB = 45°

(

)

짰 med CND = 225°

(

)

med ( x^) = 50° med ( x^) = 135°

med ( y^ ) = 45°

짰 med AMB = 72°

짰 med CND = 72°

med ( x^) = 36°

med ( y^ ) = 72°

(

)

(

짰 med AMB = 96°

(

)

med ( y^ ) = 40° 짰 med CND = 24°

(

)

med ( x^) = 36° 96

med ( y^ ) = 48°