Elettromagnetismo cap 1 2

1.1

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1. Aspetti fenomenologici Introduzione all’elettromagnetismo Tutti i fenomeni della realtà quotidiana sono di natura elettromagnetica L’interazione elettromagnetica è molto più intensa di quella gravitazionale: Rapporto tra la forza elettrica e gravitazionale tra due protoni:

|Fe|/|Fg| = 1036 La materia è stabile grazie alla sostanziale neutralità elettrica

Differenza tra Meccanica ed Elettromagnetismo Meccanica:

la forza è dominante

Elettromagnetismo

i campi sono dominanti

Cenni storici L’esistenza di fenomeni elettrici è nota dall’antichità Elektron = ambra in greco

Studio sistematico dalla II metà del 700 Coulomb, Faraday, Maxwell

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1.2

Elettrizzazione per strofinio Se strofiniamo una bacchetta di ambra (plastica) o vetro con un panno questa attrae piccoli pezzi di carta Una bacchetta di ambra attrae una bacchetta di vetro sospesa ad un filo e respinge una bacchetta di ambra Esistono cariche di 2 tipi che chiamiamo + e –

Alcuni materiali non si caricano per strofinio Questo avviene perché le cariche si disperdono (conduttori) Se consideriamo un conduttore con un manico isolante questo si carica per strofinio

Isolanti e conduttori (struttura microscopica) La materia è costituita da atomi: Nucleo con protoni e neutroni (mp=mn=10-27kg, carica +) Elettroni (me = 10-30 kg, carica -) A = numero di massa, Z = numero atomico Le proprietà della materia sono determinate dagli elettroni Negli isolanti gli elettroni sono “legati” agli atomi o alle molecole Nei conduttori gli elettroni degli “orbitali esterni” sono liberi di muoversi in tutto il materiale

Conservazione della carica Nell’elettrizzazione per strofinio la carica viene ridistribuita

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1.3

Alcuni elettroni (ad esempio 106) si trasferiscono dal vetro al panno (carica -) o dal panno all’ambra (carica +) La carica NON si crea ma si ridistribuisce Quando si generano delle particelle a partire da energia (creazione di coppie e+ e-) la carica si conserva (qtot = 0) La conservazione della carica deriva da una simmetria della natura

Quantizzazione della carica Da raffinati esperimenti si è osservato che le cariche libere sono multiple della carica fondamentale (carica e dell’elettrone e del protone) e = 1.6 10-19 C

Questa carica è così piccola che negli esperimenti usuali la carica può essere considerata continua Esperimento di Millikan → misura della carica dell’elettrone

L’elettroscopio a foglie L’elettroscopio a foglie mette in evidenza la presenza di cariche su un materiale (isolante o conduttore) Funziona anche senza contatto. Come e’ possibile ?

Induzione elettrostatica

L’induzione elettrostatica permette di caricare un conduttore senza contatto

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1.4

La carica elettrica come grandezza fisica Definizione: Un insieme di enti costituisce una classe di grandezze fisiche quando tra gli enti è possibile stabilire relazioni di confronto (uguale, maggiore e minore) ed effettuare le operazioni di somma e differenza (e quindi di prodotto per un numero e di rapporto)

L’elettroscopio consente di effettuare operazioni di confronto tra le cariche possedute da due corpi Possiamo sommare le cariche o meglio dividerle per un fattore arbitrario (mediante ridistribuzione su conduttori uguali) ⇒ La carica e’ una grandezza fisica

Per misurarla usiamo un procedimento indiretto considerando la forza che si esercita tra due corpi carichi (forza di Coulomb) In questo modo sarebbe possibile definire la carica elettrica come grandezza derivata È preferibile definire la carica come grandezza fondamentale In realtà si definisce come grandezza fondam. la carica per unità di tempo (intensità di corrente)

2.5

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2. Il campo elettrostatico Legge di Coulomb Per studiare la legge di Coulomb usiamo una bilancia di torsione F=k

q1q2 ur 2 r

ATTENZIONE: La forza agente su una carica elettrica è data da questa espressione solo se la carica è ferma (elettrostatica) Si noti la dipendenza della forza elettrica dall’inverso del quadrato della distanza. Verifica indiretta (Th. di Gauss) La forza è centrale come la forza gravitazionale La forza è attrattiva o repulsiva a seconda del “segno” delle cariche Diverse espressioni della costante k Sistema c.g.s.

k=1

Sistema Internazionale fondamentale (coulomb)

⇒ carica = unità derivata k = 1/(4πε0) ⇒ Carica unità

In realtà come unità fondamentale si definisce l’ampere (A) = 1 coulomb/1 secondo ε0 = 8.85 10-12 C2 kg-1m-3s2 [oppure più usualmente Farad/m]

F=

1 q1q2 1 q1q2 r12 u = r 4πε0 r12 2 12 4πε0 r12 2 r12

2.6

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La forza tra due cariche di 1 C ad un metro è di 109 N !!

Il coulomb è una unità molto grande In un sistema di riferimento cartesiano: Fx =

q1q2 x1 − x 2 4πε0 (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 1 2 1 2 1 2

[

]

32

Fy = ...

Fz = ...

Il principio di sovrapposizione Il legame tra forze e carica è lineare ⇒ Vale il principio di sovrapposizione Legge di composizione vettoriale per la forza agente tra più cariche

F=

1 4πε0

qqi ri ∑ r2 r i i i

Il campo elettrostatico Nella legge di Coulomb possiamo pensare che una carica elettrica generi una perturbazione nello spazio (campo elettrico) e che l’altra carica ne risenta gli effetti Per definire il campo elettrico dividiamo la forza per una carica sonda q0 che deve essere molto piccola

2.7

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E( x, y, z ) =

F( x, y, z ) 1 qq0 1 q = u = ur r 2 2 q0 4πε 0 r 4πε0 r

Scomposizione nelle componenti cartesiane: E x ( x, y, z ) =

x − x1 q 4πε0 (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 1 1 1

[

]

32

E y ( x, y, z ) = ...

E z ( x, y, z ) = ...

Unità di misura:

newton/coulomb (N/C) = kg m s-2 C-1

Piu’ usualmente:

volt/metro (V/m)

Ovviamente F = q0 E Anche per il campo E vale il principio di sovrapposizione Distribuzione di cariche puntiformi:

E=

1 4πε0

qi ri ∑r2 r i i i

Distribuzione continua di cariche (volume): ρ = coulomb/metro3

E( x, y, z ) =

1 ρ( x ′, y ′, z′)dx ′dy ′dz′ ur ∫ 2 4πε0 τ r

Distribuzione continua di cariche (superficie): σ = coulomb/metro2

2.8

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E( x, y, z ) =

1 σ( x ′, y ′, z′)dS ur ∫ 2 4πε 0 Σ r

Distribuzione lineare di cariche: λ = coulomb/metro

E( x, y, z ) =

1 λ( x ′, y ′, z′)dL ur ∫ 2 4πε0 L r

Il campo elettrico si rappresenta con le linee di forza e, come vedremo con le superfici equipotenziali Le linee di forze escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative Le linee di forze si incontrano solo in corrispondenza delle sorgenti e si chiudono all’infinito Esempi di campi elettrici: Carica puntiforme, 2 cariche uguali, 2 cariche diverse, strato di cariche con distribuzione uniforme

Il lavoro della forza elettrica La forze elettrica è centrale ⇒ il campo elettrostatico è conservativo Consideriamo una carica q0 che si muove nel campo E generato da una carica q. Il lavoro della forza elettrica è:

dL = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds = q0 E

qq0 r ⋅ ds = q0 E ds cos ϑ = dr 2 r 4πε0r

2.9

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L A →B =

B

∫A

F ⋅ ds =

qq0 4πε0

B dr

∫A r 2

=

qq0  1 1   −  4πε0  rA rB 

Se il punto B è all’∞: L p→∞ =

qq0 1 4πε0 r

Definiamo potenziale elettrostatico V in un punto P del campo generato da una carica puntiforme il lavoro che la forza del campo compie quando la carica + unitaria si sposta da P al riferimento (∞) V(p) =

q 1 4πε 0 r

Differenza di potenziale tra 2 punti del campo: B

∆V = VB − VA = − ∫ E ⋅ ds A

Lavoro che la forza elettrica compie quando una carica q0 si sposta dal punto A al punto B:

L A →B = −q0 ∆V = q0 (VA − VB ) = − ∆U Il segno (-) che compare nella formula precedente dipende dal fatto che ad un lavoro positivo della forza del campo corrisponde una diminuzione di energia potenziale In un punto generico del campo:

U(p) = q0 V(p)

Se il campo è generato da più cariche puntiformi o da una distribuzione continua di cariche il potenziale si calcola con il principio di sovrapposizione

2.10

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V=

1 4πε0

qi ∑r i i

V=

1 ρ( x ′, y ′, z′)dx ′dy ′dz′ 4πε0 ∫τ r − r′

La circuitazione del campo elettrostatico lungo un percorso chiuso è sempre nulla:

∫ E ⋅ ds = 0 Si può dimostrare facilmente dividendo in 2 tratti un qualsiasi percorso chiuso

Il campo elettrostatico è conservativo Questa circostanza più che un vantaggio è un limite perché una carica in moto lungo un circuito chiuso non compirebbe lavoro Non funzionerebbe nessuna macchina elettrica

In condizioni non statiche il campo elettrico non è conservativo Legame tra potenziale e campo elettrostatico: Per la definizione di potenziale

dV = −E ⋅ dr = −(E x dx + E y dy + E z dz )

V deve essere una funzione continua e derivabile ⇒ dV =

∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Quindi Ex = −

∂V dx ∂x

Ey = −

∂V dy ∂y

Ez = −

∂V dz ∂z

2.11

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E = −grad V

E = −∇V

Interpretazione geometrica del gradiente: Il gradiente fornisce la direzione di massimo incremento di una funzione scalare, il verso dell’incremento positivo ed il tasso di incremento

∇V =

∂V ∂n

derivata normale

Teorema del gradiente: dV = −E ⋅ ds = gradV ⋅ ds = ∇V ⋅ ds ∆V = VB − VA =

B

∫A ∇V ⋅ ds

Operatore ∇:

∇=

∂ ∂ ∂ ux + u y + uz ∂x ∂y ∂z

Può essere scritto anche in altri sistemi di coordinate.

Formalmente si presenta come un vettore che deve essere applicato ad uno scalare o moltiplicato per un altro vettore In coordinate sferiche:

∇=

∂ 1∂ 1 ∂ ur + uϑ + uφ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂φ

La relazione tra potenziale V e campo E è utile per calcolare il campo Si calcolano gli integrali di sovrapposizione di una funzione scalare (V) e si ottenere il vettore E tramite la relazione:

2.12

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E=-gradV Rappresentazione di un campo mediante le superfici equipotenziali Ortogonalità delle linee di forze e delle superfici equipot.

Esempi illustrativi di sup. equipotenziali

Il teorema di Gauss Definiamo una quantità che deriva da un parallelo idrodinamico e prende il nome di flusso di un vettore attraverso una superficie Dato un campo vettoriale v si definisce flusso elementare del vettore v attraverso la supeficie infinitesima dS il prodotto: v

ϑ

dϕ v = v ⋅ uN dS un

uN normale alla superficie dS

dS

d

v

= v cos ϑdS

Il flusso attraverso una superficie estesa S e' dato dall'integrale v

= ∫ v ⋅ uN dS S

Data una superficie chiusa S, si dice flusso uscente del vettore v l’integrale esteso alla superficie chiusa v

= ∫ v ⋅ uN dS S

uN normale uscente

2.13

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Consideriamo una carica puntiforme q ed una superficie sferica con centro in q e raggio R Il flusso uscente del vettore E attraverso la superficie vale: ϕE =

∫S

E ⋅ uN dS = E ∫ dS = S

(

)

1 q q 2 4 π R = 4πε0 R 2 ε0

Il flusso non dipende da R, ma solo dalla carica contenuta entro la superficie

G G

R M

Il risultato ottenuto vale in generale per qualunque superficie chiusa

G

Consideriamo una generica superficie chiusa S che contenga una carica puntiforme m e calcoliamo il flusso di E un

dΩ = angolo solido sotto il quale la superficie infinitesima dS e’ vista dal punto P r = distanza dell’elemento di superficie dS da P

ur dω

M

l’elemento di superficie dS può essere scritto come dΩ =

r 2 dΩ dS = cos ϑ

dScos ϑ r2

Integriamo lungo la superficie chiusa S q cos ϑdS S 4πε r 2 0

φ = ∫ E ⋅ uN dS = ∫ S

ϑ

ds

2.14

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q r 2 dΩ q φ=∫ cos ϑ = S 4πε r 2 cos ϑ 4πε0 0

∫4π

dΩ =

q ε0

Il teorema di Gauss può essere applicato anche a cariche distribuite con densità ρ il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa e' pari all'integrale della densità di carica esteso al volume racchiuso dalla superficie ϕ=

1 ε0

∫Vol ρ(r )dr

Il teorema di Gauss consente di calcolare E in tutti i casi in cui il sistema presenta particolari simmetrie Campo elettrico di una sfera con densità di carica ρ omogenea e raggio R Le linee di forza del campo sono radiali per simmetria il campo E è lo stesso in tutti i punti di una qualunque sup. sferica concentrica con m Applichiamo il teorema di Gauss ad una generica superficie sferica di raggio r Per r<R si ha

φ=

1 ε0

∫τ

4πr 2 E =

ρ(r )dr 1 4 3  πr ρ ε0  3 

2.15

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E =

ρr 3ε 0

Per r>R 4πr 2 E =

q ε0

E=

1 q 4πε0 r 2

Il campo gravitazionale generato da una distribuzione sferica di carica m è uguale al campo che la stessa carica genererebbe se fosse tutta nel centro

E( r )

V( r )

1 ∝ r2

∝r

∝r

1 ∝r

2

r

R

r

Strato di carica Campo nell’intorno di uno strato sup. di carica E1 ⋅ ds1 + E 2 ⋅ ds 2 = E t1 ds − E t 2 ds = 0 E t1 = E t 2

(

)

E1 ⋅ u1 dS + E 2 ⋅ u2 dS = En2 − En1 dS = En2 − En1 =

σ ε0

In definitiva: E 2 − E1 =

σ un ε0

E2

+ + + + + + + + + +

σ dS ε0 + + + + + + + + + +

E1

2.16

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Le proprietà del campo elettrico in forma locale Teorema di Gauss Flusso attraverso un parallelepipedo infinitesimo ∂A   dφ = − A ⋅ u x dydz +  A + dx  ⋅ u x dydz + ... ∂x   dφ =

∂A x dxdydz + ... ∂x

 ∂A x ∂A y ∂A z   dxdydz dφ =  + + ∂y ∂z   ∂x dφ = div A dτ = ∇ ⋅ A dτ

Avendo posto:  ∂A x ∂A y ∂A z   div A =  + + ∂y ∂z   ∂x La divergenza di un vettore A in un punto P rappresenta il flusso del vettore A attraverso la sup. che racchiude un elemento di volume dτ nell’intorno di P diviso il volume dτ

Per un volume esteso: Il flusso che attraversa elementi di volume adiacenti si elide ⇒ resta solo il flusso attraverso la superficie laterale

φ( A ) =

∫Σ A ⋅ undS = ∫τ∇ ⋅ A dτ

(Th della divergenza)

2.17

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Il flusso di un vettore A attraverso una superficie chiusa Σ è pari all’integrale della div A nel volume racchiuso dalla superficie Σ Per il campo elettrico: φ(E) =

∫Σ

E ⋅ un dS = ∫ ∇ ⋅ E dτ =

Quindi: ∇ ⋅ E =

τ

ρ ∫τ ε 0 dτ

ρ ε0

Nel vuoto: ∇ ⋅E= 0

Conservatività del campo elettrico Rotore di un campo vettoriale Circuitazione lungo un percorso rettangolare element. ⊥ z dCz = A x ( x, y )dx + A y ( x + dx, y )dy − A x ( x, y + dy )dx − A y ( x, y )dy =

[

]

= [A x ( x, y ) − A x ( x, y + dy )]dx + A y ( x + dx, y )dy − A y ( x, y ) dy = =−

∂A y ∂A x dydx + dydx ∂y ∂x

 ∂A y ∂A x  dxdy dC z =  − ∂y   ∂x

Componente secondo z del vettore

rot A

2.18

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ux ∂ rot A = ∇ × A = ∂x Ax

uy ∂ ∂y Ay

uz ∂ ∂z Az

Componenti del rotore:  ∂A z ∂A y   ∂A y ∂Ax   ∂A x ∂A z   u z   ux +  ∇×A =  − − − u y +   ∂z  ∂x  ∂y   ∂z  ∂y  ∂x dC = A ⋅ dl = ∇ × A ⋅ n dS = rot A ⋅ n dS

La circuitazione di un vettore A lungo una linea che contorna una superficie infinitesima è data dal flusso del rotore del vettore A attraverso la superficie La componente del rot A lungo una certa direzione è data dal rapporto della circuitazione di A lungo il contorno di una superficie infinitesima ortogonale alla direzione e l’area della superficie Viceversa il rotore di un campo indica la direzione lungo la quale deve essere presa la normale ad una superficie infinitesima per ottenere la massima circuitazione lungo una linea che la contorna Teorema di Stokes:

∫ rot A ⋅ n dS = ∫ A ⋅ dl

Σ

∀ Σ concatenat a con C

C

La circuitazione di un campo vettoriale lungo una linea chiusa C è uguale al flusso del rotore del campo attraverso qualsiasi superficie Σ concatenata con la linea C

2.19

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Nel caso del campo elettrico, poiché la circuitazione è sempre nulla si ha anche: rot E = 0

∇×E = 0

Identità vettoriale: rot E = rot( grad V ) ≡ 0

∇ ×E = ∇ ×∇ V = 0