Curs matematici 2 lazureanu

Universitatea Politehnica Timișoara Departamentul de Matematică Lector Dr. Cristian Lăzureanu Matematici (2) pentru studenții arhitecți

Vectori. Dreapta. Planul Izometrii Poliedre Cercul Arce Conice.

Spirale Fractali Suprafete Cuadrice Curbe in spatiu

GEOMETRIE ANALITICĂ ÎN SPAŢIU Vectori legaţi. Vectori liberi Un segment determinat de două puncte A şi B pe care fixăm un sens (de la A la B) se numeşte vector legat1 (geometric) şi notăm AB . Acest vector legat are originea A şi extremitatea B, vectorul opus lui fiind vectorul BA , cu sensul de la B la A. Direcţia vectorului AB este dată de dreapta suport a vectorului, adică dreapta determinată de punctele A şi B, iar mărimea (lungimea, norma) lui AB este egală cu distanţa de la A la B (lungimea segmentului [AB]) şi notăm | AB | sau || AB || .  Orice alt vector v din spaţiu ce are acelaşi sens, aceeaşi direcţie şi mărime



cu AB se numeşte vector liber egal cu AB . Orice vector liber v egal cu AB se reprezintă geometric, dacă îi fixăm originea, printr-un segment paralel şi congruent   cu [AB]. Practic, dacă v1 şi v2 sunt doi vectori liberi egali cu AB , unind originile, respectiv extremităţile lor, se obţine un paralelogram (Fig.1).

A

B Fig.1 Vectori legaţi. Vectori liberi

În continuare vom folosi terminologia de vector pentru ambele situaţii.  Un vector v poate fi înmulţit cu un număr  obţinându-se alt vector de  aceeaşi direcţie şi mărime egală cu |  |  | v | . Dacă numărul  este pozitiv atunci vectorul rezultat are acelaşi sens cu vectorul iniţial, iar dacă  este negativ atunci au sensuri opuse. Înmulţirea cu zero conduce la vectorul nul (de lungime 0, adică originea şi extremitatea coincid).   Doi vectori se numesc coliniari (paraleli) și notăm u || v , dacă au aceeaşi direcţie:     u || v     R* : u   v Punând doi vectori unul în continuarea celuilalt, pe aceeaşi direcţie, se obţine un segment de lungime egală cu suma lungimilor celor doi vectori (Fig.2).

Vom spune atunci că suma vectorilor AB şi BC este vectorul AC şi scriem AB +

BC = AC . Acest mod de a însuma doi vectori se generalizează în cazul în care nu au 1

Eugen Rusu, Vectori, Ed. Albatros,1976

Cristian Lăzureanu aceeaşi direcţie, obţinând regula triunghiului pentru suma a doi vectori (Fig.3).

Considerând vectorul liber egal cu BC ce are originea în A, notat AD , obţinem regula paralelogramului pentru calculul sumei a doi vectori cu aceeaşi origine:

AB + AD = AC (Fig.4).

C A

B

D

C

C A

Fig.2 Suma a doi vectori coliniari

B

Fig.3 Regula triunghiului

A

B

Fig.4 Regula paralelogramului

Doi vectori se pot însuma şi dacă au altă poziţionare în spaţiu.

Considerându-i vectori liberi, ei pot fi mutaţi astfel ca să fie în una din situaţiile de mai sus.

Din oricare formulă de însumare putem obţine formule pentru diferenţa a doi vectori. De exemplu, din AB + BC = AC rezultă BC = AC  AB .

O altă operaţie cu vectori este produsul scalar : dacă se dau doi vectori cu aceeaşi direcţie şi sens, produsul lor scalar este numărul egal cu produsul lungimilor lor, iar dacă sensurile sunt opuse, produsul scalar este acelaşi număr dar cu semnul           minus. Notăm a  b şi avem a  b  | a |  | b | , respectiv a  b   | a |  | b | .

Generalizăm definiţia de mai sus pentru vectori oarecare. Considerându-i vectori liberi, ei pot fi puşi cu aceeaşi origine A. Atunci, produsul scalar al vectorilor      u şi v este egal cu produsul scalar dintre u şi proiecţia v ' (Fig.5) a vectorului v      pe direcţia lui u : u  v  u  v ' .

A Fig.5 Proiecţia unui vector pe alt vector

Fig.6 Vectori ortogonali

Obţinem că:         u  v  u  v '  | u |  | v '| | u |  | v |  cos

adică,

    u  v  | u |  | v |  cos ,





unde  este unghiul dintre vectorii u şi v consideraţi ca segmente cu aceeaşi origine. Evident, operaţia este comutativă.

Observăm că doi vectori perpendiculari (ortogonali) (Fig.6) se     caracterizează prin produsul lor scalar egal cu zero: u  v  u  v  0 .

pag. 2

Cristian Lăzureanu

Vectori în coordonate carteziene Fixând un punct O în spaţiu, putem construi un sistem cartezian de axe de coordonate în spaţiu având originea O şi axele Ox, Oy, Oz perpendiculare două câte două (Fig.7). Ox este axa absciselor, Oy este axa ordonatelor, iar Oz axa cotelor.

Punctele de pe axa Ox au coordonatele (x,0,0), cele de pe Oy au coordonatele (0,y,0), iar cele de pe Oz, (0,0,z). Două câte două aceste axe formează planele de coordonate: xOy, în care toate punctele au cota zero, yOz, în care toate punctele au abscisa zero, respectiv zOx unde toate punctele au ordonata zero.

Considerând punctele A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c), obţinem prin paralelism P’(a,b,0) şi P(a,b,c). Pe fiecare axă considerăm câte un vector cu originea în O şi de    lungime 1 (unitatea): i , j , respectiv k (Fig.7).    Deducem că OA = a i , OB = b j , OC = c k .

Cu regula paralelogramului avem:

OA + OB + OC = OP' + OC = OP ,

deci







OP = a i  b j  ck ,

ce reprezintă scrierea unui vector din spaţiu    în funcţie de vectorii unitate i , j , k .

Fig.7

 Pentru un punct P, vectorul rP  OP

se numeşte vectorul de poziţie al punctului P. Considerând că punctul P împarte segmentul [MN] în raportul intern p (Fig.8), putem determina vectorul de poziție al punctului P în funcție de vectorii de poziție ai punctelor M și N. Avem

M

OP  OM  MP, OP  ON  NP, MP  p PN,

O

de unde obținem

OP 

P

N

Fig.8

1 (OM  p ON) .

1 p

1 În particular, dacă P este mijlocul segmentului [MN], atunci OP  (OM  ON).

2    Orice vector ce se scrie sub forma v = a i  b j  ck este considerat liber, el putând fi în acelaşi timp şi vectorul de poziţie al punctului de coordonate (a,b,c).

Se deduce imediat că













 (a i  b j  ck )   a i   b j   ck

         (a' i  b' j  c' k )  (a i  b j  ck ) = a  a' i  (b  b' ) j  (c  c' ) k pag. 3

Cristian Lăzureanu Fie punctele M(a,b,c) şi M' (a' , b' , c' ) ce determină vectorul MM' . Cum

OM + MM' = OM' , rezultă













MM' = OM' - OM  (a' i  b' j  c' k )  (a i  b j  c k )

adică formula de calcul a unui vector determinat de două puncte:

   MM'  a'-a  i  (b'b) j  (c'c) k .

Pentru a calcula produsul scalar a doi vectori, mai întâi observăm că             i  i  1, j  j  1, k  k  1, i  j  i  k  j  k  0 , vectorii fiind de lungime 1 şi doi câte doi perpendiculari. Atunci, înmulţind termen cu termen, rezultă formula de calcul în coordonate a produsului scalar a doi vectori:

      (a i  b j  ck )  (a' i  b' j  c' k )  aa'bb'cc' .

De asemenea obţinem şi formula de calcul a lungimii unui vector:

   a i  b j  ck 











a 2  b2  c2 ,



2 2 2 deoarece (a i  b j  ck )  (a i  b j  c k )  a  b  c şi, din definiţie, 2         (a i  b j  ck )  (a i  b j  ck )  a i  b j  ck .

Cum lungimea vectorului MM' este egală cu distanţa dintre M şi M' , rezultă formula de calcul a distanţei dintre două puncte M(a,b,c) şi M' (a' , b' , c' ) M M' =

(a'a) 2  (b'b) 2  (c'c) 2 .

Aplicaţie. Se consideră punctele A(4,2,0) şi B(-1,3,1). Să se determine distanţa de la A la B şi coordonatele punctului C astfel ca OACB să fie paralelogram. Să se calculeze aria paralelogramului (Fig.8). ► Cu formula distanţei dintre două puncte avem:

AB  (1  4) 2  (3  2) 2  (1  0) 2  3 3  5,196.

pag. 4

Fig.8

Cristian Lăzureanu Cu regula paralelogramului, dacă OACB este paralelogram atunci trebuie ca ď ˛ ď ˛ ď ˛ ď ˛ ď ˛ ď ˛ OA + OB = OC . Cum OA = 4 i +2 j +0 k Ĺ&#x;i OB  1i  3 j  1k , obĹŁinem: OC = ď ˛ ď ˛ ď ˛ 3 i +5 j + k , adică C(3,5,1).

Aria paralelogramului este dată de: .

Unghiul dintre vectorii OA Ĺ&#x;i OB se obĹŁine din cosď ą  Cum

OA ďƒ— OB  4(1)  2 ďƒ— 3  0 ďƒ—1  2 ,

| OB | 11, rezultă cosď ą 

OA ďƒ— OB . | OA | ďƒ— | OB |

| OA | 42  22  02  20  2 5

Ĺ&#x;i

1 3 6 , de unde sin ď ą  1  cos2 ď ą  . ObĹŁinem 55 55

A  6 6 ď € 14,697 . â–

Dreapta ĂŽn spaČ›iu ⃗⃗ , o dreaptă (D) ce are direcČ›ia dată de Considerând un vector fixat ⃗ ⃗ ⃗ acest vector (numit vector director al dreptei) este unic determinată dacă se dă un punct prin care trece. Fie acesta . Dacă este un punct oarecare ď ˛ al dreptei (D) atunci vectorii v Č™i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ sunt coliniari (Fig.9), deci există astfel ca ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ sau echivalent (D) A P ⃗ ⃗ ⃗, đ?‘Łâƒ— Fig.9 ce reprezintă ecuaČ›ia vectorială a dreptei (D). Čšinând cont de scrierea analitică a vectorilor din relaČ›ia de mai sus rezultă ecuaČ›iile parametrice ale dreptei (D): {

,

unde se numeČ™te parametru, precum Č™i ecuaČ›ia carteziană:

Pentru a scrie ecuaČ›ia dreptei ce trece prin două puncte date vector director ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Č™i , considerăm ca

AplicaČ›ie. Să se scrie ecuaČ›ia dreptei ce trece prin punctul A(1,2,3) Č™i este paralelă cu dreapta (D):

.

â–ş Cum două drepte paralele au aceeaČ™i direcČ›ie, avem că vectorii lor directori sunt coliniari. Putem considera atunci că vectorul director al dreptei (D) este vector

pag. 5

Cristian Lăzureanu director Č™i pentru dreapta cerută. Din ecuaČ›ia carteziană a dreptei (D) “recuperămâ€? ⃗⃗. (de la numitor) vectorul director: ⃗ ⃗ ⃗ Atunci ecuaČ›ia căutată este:

.â–

Planul Două drepte concurente din spaČ›iu determină un singur plan ce le conČ›ine Č™i există o infinitate de plane paralele cu acesta. Unul din aceste plane este unic determinat dacă se precizează un punct prin care trece. Fie atunci punctul prin care ⃗⃗, respectiv ⃗ ⃗⃗ vectorii trece planul Č™i ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ directori ai celor două drepte (Figura 10). Dacă este un punct oarecare al planului atunci ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Č™i există đ?œ‹ P astfel ca đ?‘Łâƒ— ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ A đ?‘Łâƒ— de unde rezultă ecuaČ›ia vectorială a planului : ⃗

⃗

⃗

⃗ ,

Fig.10

,

sau echivalent, ecuațiile parametrice ale planului : {

,

și sunt parametri.

Din construcČ›ia de mai sus deducem că orice pereche de valori ale parametrilor Č™i determină ĂŽn mod unic un punct al planului . Rezultă atunci că sistemul dat de ecuaČ›iile parametrice de mai sus, considerat ĂŽn necunoscutele Č™i , are soluČ›ie unică ceea ce conduce la condiČ›ia (de compatibilitate): unde

|

|

|

|

ce reprezintă ecuaČ›ia carteziană a planului determinat de un punct Č™i doi vectori directori necoliniari. ĂŽn particular, planele de coordonate , Č™i , fiind determinate de punctul Č™i respectiv perechile de vectori directori ⃗ Č™i ⃗, ⃗ Č™i ⃗⃗, ⃗ Č™i ⃗⃗, au ecuaČ›iile , , respectiv .

Din ecuaČ›ia carteziană de mai sus deducem ecuaČ›ia planului determinat de trei puncte necoliniare: dacă A,B,C sunt cele trei puncte atunci putem considera că ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, respectiv ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, obČ›inând vectorii directori ai planului (ABC) sunt ⃗ ecuaČ›ia |

pag. 6

|

Cristian Lăzureanu ecuaČ›ia

Considerând În particular punctele planului (ABC) devine

(numită ecuaČ›ia planului prin tăieturi), A,B,C fiind punctele de intersecČ›ie ale planului cu axele de coordonate (Figura 11). De exemplu, planul intersectează axele de coordonate respectiv ĂŽn punctele . đ?‘§ đ?œ‹

C B đ?‘Ś

A

đ?‘Łâƒ— A

P

đ?‘Ľ Fig.11

Fig.12

O situaČ›ie des ĂŽntâlnită este aceea ĂŽn care planul este determinat de un punct Č™i de un vector perpendicular pe el (numit vector normal planului). Fie ⃗⃗ vectorul normal planului punctul prin care trece planul Č™i ⃗ ⃗ ⃗ (Figura 12). Atunci pentru orice punct al planului vectorul ⃗ este ortogonal pe ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ , adică ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , rezultând astfel ecuaČ›ia canonică a planului: , respectiv ecuaČ›ia generală a planului: AplicaČ›ie. Fie trapezul dreptunghic ABCD cu unghiurile drepte ĂŽn A Č™i D, iar . ĂŽn vârfurile sale se aČ™ează vertical patru stâlpi de lungimi . Să se determine relaČ›ia dintre astfel ca vârfurile celor patru stâlpi să fie coplanare.

.

E H

G

F A

D

â–ş Considerăm sistemul cartezian de axe de C coordonate ce are ca origine punctul A Č™i ca axe B dreptele AB, AD, respectiv AE, unde E este vârful Fig. 13 stâlpului aČ™ezat ĂŽn A (Figura 13). Notând cu F,G respectiv H vârfurile celorlalČ›i stâlpi, avem: A( ), B( ), C( ), D(0 E( ), F( ), G( ), H( ).

Planul (EFH) este determinat de trei puncte cunoscute și are ecuația |

pag. 7

|

),

.

Cristian Lăzureanu Din condiČ›ia de coplanaritate, coordonatele punctului G verifică ecuaČ›ia de mai sus, adică , astfel că se obČ›ine relaČ›ia:

.â–

Proiecții

đ?‘Łâƒ—

A

đ?‘Łâƒ—

đ?œ‹

A

đ?œ‹ Fig.15 ProiecČ›ia ortogonală

Fig.14 ProiecČ›ia cilindrică

Prin proiecČ›ia unui punct pe un plan după o direcČ›ie dată ⃗ (proiecČ›ia cilindrică, proiecČ›ia paralelă) ĂŽnČ›elegem punctul de intersecČ›ie dintre plan Č™i dreapta paralelă cu direcČ›ia dată dusă prin punctul ce se proiectează (Fig. 14). ĂŽn particular, dacă direcČ›ia de proiecČ›ie este perpendiculară pe plan se obČ›ine proiecČ›ia (ortogonală) a ⃗⃗ punctului pe un plan (Fig.15). Notăm proiecČ›ia punctului pe planul după direcČ›ia data de ⃗, respectiv proiecČ›ia ortogonală pe planul .

AplicaČ›ie. Fie punctul A(1,3,4) Č™i vectorul ⃗ ⃗⃗ .

⃗

⃗

⃗⃗. Să se determine

și

â–ş reprezintă proiecČ›ia verticală a punctului pe planul , adică abscisa Č™i ordonata se păstrează, iar cota devine nulă, rezultând Pentru proiecČ›ia după direcČ›ia dată de ⃗, scriem ecuaČ›ia dreptei ce trece prin Č™i are direcČ›ia lui ⃗ Č™i o intersectăm cu planul de ecuaČ›ie {

{

de unde obținem punctul

ProiecČ›ia unui punct pe un plan dintr-un punct dat V (proiecČ›ia conică, proiecČ›ia centrală) se realizează intersectând planul cu dreapta ce trece prin cele două puncte (Fig.16): .

pag. 8

V

â– A đ?œ‹

Fig.16 ProiecČ›ia conică

Cristian Lăzureanu Aplicație. Să se arate că proiecția conică din vârful pe planul este punctul ( ► Ecuația dreptei

a punctului ).

este

și atunci punctul de intersecție al dreptei cu planul

se obține rezolvând sistemul

{ { adică punctul căutat. ■ Proiecțiile cilindrice, respectiv conice ale unei figuri pe un plan se obțin ținând cont că proiecția unei figuri pe un plan este mulțimea proiecțiilor punctelor figurii pe acel plan (Fig.14-16, proiecția unui triunghi). Remarcăm aici că dacă figura ce se proiectează este conținută într-un plan paralel cu planul pe care proiectăm, proiecția cilindrică este o translație, iar proiecția conică o asemănare. În particular, proiecția cilindrică a unei drepte (D) este un punct dacă (D) este paralelă cu ⃗ și o dreaptă în rest, iar proiecția conică din punctul V a dreptei (D) este mulțimea vidă sau un punct dacă (D) trece prin V (și este paralelă sau neparalelă cu planul ), respectiv o dreaptă în rest. Pentru proiecția unei drepte se proiectează două puncte ale sale și se consideră dreapta ce trece prin cele două proiecții. În mod analog se pot face proiecții pe suprafețe, înlocuind planul cu o suprafață.

Exercițiul 1. Determinați proiecția ortogonală a punctului pe planul de ecuație .

Exercițiul 2. Fie punctele . Aflați proiecția centrală de centru a triunghiului pe planul .

Exercițiul 3. Justificați cazul în care proiecția conică este o asemănare folosind proiecția de vârf pe planul a triunghiului , ce este situat în planul .

pag. 9

IZOMETRIILE SPAČšIULUI Prin transformare geometrică ĂŽn spaČ›iul S ĂŽnČ›elegem o funcČ›ie bijectivă f : S ď‚Ž S ce asociază unui punct punctul . Transformarea geometrică I este o izometrie (deplasare sau congruenČ›Äƒ) dacă păstrează distanČ›ele, adică I( )=

, I(B)=

și (

) ď‚ş ( B).

Compunerea a două izometrii este tot o izometrie. ĂŽn continuare vom studia următoarele izometrii ale spaČ›iului (nu mai insistăm pe demonstrarea faptului că păstrează distanĹŁele): translaČ›ia, simetria axială, oglindirea, rotaČ›ia axială, simetria centrală, reflexia glisată, reflexia rotită, rototranslaČ›ia. ĂŽn urma deplasării dată de izometria I, un obiect geometric ĂŽČ™i păstrează forma Č™i dimensiunile. De obicei, izometria se aplică punctelor unei mulČ›imi de puncte din spaČ›iu (numită ĂŽn continuare figură), acestea fiind deplasate ĂŽn punctele mulČ›imii , congruentă cu .

TranslaČ›ia TranslaČ›ia de vector ⃗ din spaČ›iu este o transformare geometrică prin care toate punctele se deplasează pe aceeaČ™i direcČ›ie, ĂŽn acelaČ™i sens Č™i cu aceeaČ™i distanČ›Äƒ, date de ⃗: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( )

z

đ?‘Łâƒ—

O (doi vectori sunt egali dacă au aceeaĹ&#x;i direcĹŁie, y sens Ĺ&#x;i lungime). TranslaČ›ia este o izometrie deoarece orice două puncte din ĂŽmpreună cu x imaginile lor din formează un paralelogram, deci se păstrează distanČ›a dintre puncte (Figura 1).

Fig.1 TranslaČ›ia unui triunghi ⃗⃗ Dacă ⃗ ⃗ ⃗ , atunci imaginea punctului A( ) prin translaČ›ia de vector ⃗ este punctul ( ), Č›inând cont de regula triunghiului.

O figură prezintă simetrie translatorie ritmică dacă este invariantă la translaČ›ia de vector ⃗, ⃗⃗ ( ) (adică aplicând figurii translaČ›ia de vector ⃗ se obČ›ine tot figura ). Prin convenČ›ie, se consideră că imaginea ultimului obiect translatat este primul obiect, pentru figurile mărginite (Figura 2).

Cristian Lazureanu ExerciČ›iul 1. SchiČ›aČ›i faČ›ada unui bloc de locuinČ›e astfel ca ferestrele să fie translatate.

Fig.2 Simetria translatorie ritmică

ExerciČ›iul 2. DeterminaČ›i imaginea segmentului [AB], A(1,0,0), B(0,1,1), prin ⃗⃗ translaČ›ia de vector ⃗ ⃗ ⃗ ExerciČ›iul 3. Pe planul orizontal se aČ™ează o sferă cu raza R Č™i un con circular drept cu raza bazei r Č™i ĂŽnălČ›imea h. SecČ›ionaČ›i sfera Č™i conul cu un plan paralel cu astfel ca secČ›iunile să fie congruente. DiscuČ›ie.

Reflexia axială

d

Reflexia (simetria) axială de dreaptă d este izometria prin care orice punct este transformat ĂŽn simetricul lui ĂŽn raport cu dreapta d: ( )

A

C đ?œ‹

.

Notând cu C proiecČ›ia punctului A pe dreapta Fig.3 Simetria axială d, punctul se determină astfel ca C să fie mijlocul lui ( ) (Figura 3). C este punctul de intersecĹŁie dintre dreapta d Ĺ&#x;i planul perpendicular pe d ce trece prin A. Se deduce astfel că punctul este imaginea lui A prin simetria de centru C ĂŽn planul sau echivalent, imaginea prin rotaĹŁia plană de centru C Ĺ&#x;i unghi 180o. Evident, ( ) .

AplicaĹŁie. Să se determine coordonatele imaginii punctului A(1,0,0) prin reflexia de axă BC, unde B(0,-1,0) Č™i C(0,1,2). â–ş Vectorul ce dă direcČ›ia dreptei BC este ⃗ dreptei BC este

Planul

⃗

⃗

⃗⃗, iar ecuaČ›ia

ce trece prin punctul A și este perpendicular pe dreapta BC are ecuația (

)

(

)

(

)

-2-

Cristian Lazureanu Atunci proiecția punctului A pe dreapta BC este punctul de intersecție dintre dreapta BC și planul , notat D:

D: {

Cum D este mijlocul segmentului ( ⃗ adică

(

⃗

).

D(

⃗

), avem că )

2(

(

)

(

)

) ■

Figura are axa de simetrie d dacă este invariantă la reflexia axială de dreaptă d. Spunem că F prezintă simetrie axială (Figura 4).

d

Fig.4 Simetria axială

Observăm în Figura 4 că solidul din stânga nu are axă de simetrie, dar figura formată din ambele solide are axa de simetrie d. Rezultă următoarea proprietate: o figură reunită cu simetrica ei în raport cu dreapta d formează o nouă figură ce are axa de simetrie d. Într-adevăr, concluzia rezultă din egalitatea de mulțimi: (

( ))

( ),

ce rezultă imediat ținând cont că . ( ( )) Analog, are loc și proprietatea: o figură intersectată cu simetrica ei în raport cu dreapta d formează o nouă figură ce are axa de simetrie d.

Exerciţiul 1. Desenaţi ( ), în cazurile a) l şi d paralele; b) l şi d concurente; c) l şi d perpendiculare (coplanare, respectiv necoplanare). Folosiţi eventual un cub.

Exerciţiul 2. Studiaţi comutativitatea compunerii a două reflexii axiale de axe coplanare.

Exerciţiul 3. Este compunerea a două reflexii axiale de axe paralele o translaţie?

Justificare. Exemplificaţi grafic.

Exerciţiul 4. Poate avea o figură ce are simetrie translatorie ritmică axă de simetrie?

-3-

Cristian Lazureanu ExerciČ›iul 5. DeterminaČ›i coordonatele imaginii punctului A(1,0,0) prin reflexia de axă ExerciČ›iul 6. DeterminaČ›i axa de simetrie a figurii formată dintr-un plan Č™i o dreaptă. DiscuČ›ie.

Oglindirea Oglindirea (reflexia, simetria) ĂŽn raport cu un plan este izometria prin care orice punct este transformat ĂŽn simetricul lui ĂŽn raport cu planul : ( )

,

A

Notând cu C proiecČ›ia punctului A pe planul , punctul se determină astfel ca C să fie mijlocul lui ( ). Punctul C este chiar punctul de intersecĹŁie dintre planul Č™i dreapta ce este perpendiculară pe planul Planul se numeČ™te planul mediator al segmentului ( ) (Figura 5).

C đ?œ‹

Fig.5 Planul mediator

AplicaĹŁie. Să se determine ecuaČ›ia planului mediator al segmentului ( A(2,0,0) Č™i ( ). â–ş Vectorul ce dă direcČ›ia dreptei segmentului ( ) este punctul C cu ⃗

⃗

) adică ( EcuaČ›ia planului ( ) este

)

(

)

⃗

(

⃗

⃗⃗, iar mijlocul

)

ce trece prin punctul C și este perpendicular pe dreapta (

adică

(

⃗

este ⃗

), unde

)

(

)

(

)

â–

AplicaĹŁie. Fie un cub ABCDEFGH de muchie . Să se determine poziČ›ia simetricului punctului D faČ›Äƒ de planul (ACH). â–ş Considerăm sistemul cartezian de axe de coordonate ce are ca origine punctul A Č™i ca axe dreptele AB, AD, respectiv AE (Figura 6). ObČ›inem astfel coordonatele vârfurilor: A( ), B( ), C( ), D(0 ), E( ), F( ), G( ), H( ).

Planul (ACH) este determinat de trei puncte cunoscute și are ecuația

-4-

Cristian Lazureanu E |

H

|

Dreapta ce dă proiecția punctului D pe planul (ACH) este perpendiculară pe acest plan, deci are vectorul director ⃗

⃗

G

F

Q P A

⃗​⃗,

⃗

D

și, deoarece trece prin D, are ecuația B

C Fig. 6

Intersectând dreapta și planul obținem proiecția P: P: {

).

P(

Notând cu Q simetricul lui D față de planul (ACH), avem că P este mijlocul segmentului (DQ), deci ⃗ adică Q( distanța

⃗

⃗

2(

)

(

)

(

)

) Astfel punctul căutat este situat deasupra diagonalei [BD], la de baza cubului. ■

Figura F are planul de simetrie dacă este invariantă la oglindirea în raport cu planul . Spunem că F prezintă simetrie bilaterală (Figura 7).



Fig.7 Simetria bilaterală

Exerciţiul 1. Desenaţi o figură ce are simetrie axială, dar nu are simetrie bilaterală.

Exerciţiul 2. Desenaţi o figură ce are atât simetrie axială, cât şi simetrie bilaterală.

-5-

Cristian Lazureanu Exerciţiul 3. Desenaţi o figură ce nu are simetrie axială, dar are simetrie bilaterală.

Exerciţiul 4. Studiaţi comutativitatea compunerii a două oglindiri. În ce caz este o translaţie? Dar o reflexie axială?

Exercițiul 5. Arătați că orice reflexie axială de axă d este compunerea a două oglindiri de plane perpendiculare ce au pe d ca dreaptă de intersecție.

Exercițiul 6. Determinați coordonatele simetricului punctului A(1,0,0) față de planul Exercițiul 7. Fie A și B două puncte situate de aceeași parte a planului . Construiți punctul C ce aparține planului astfel ca suma AC+CB să fie minimă. Justificare.

Simetria centrală Simetria centrală de centru este izometria prin care orice punct este transformat în simetricul lui în raport cu : ( )

,

unde

este mijlocul segmentului ( ).

Figura are centrul de simetrie dacă este invariantă la simetria centrală de centru . Spunem că prezintă simetrie centrală (Figura 8).

Exerciţiul 1. Daţi exemplu de un solid F ce nu are centru de simetrie. Ştiind că ( ), respectiv ( ) sunt figuri ce au centrul de simetrie C, alegeţi un punct C (în diverse situaţii) şi apoi desenaţi aceste mulţimi.

Exerciţiul 2. Desenaţi o figură plană F ce are centrul de Fig.8 Simetria centrală simetrie şi d o dreaptă perpendiculară în C pe planul figurii. Ce simetrie spaţială are F ? Justificare.

Exerciţiul 3. Există figuri care au centru de simetrie şi nu au axă de simetrie?

Justificaţi grafic.

Exerciţiul 4. Există figuri care au centru de simetrie şi nu au plan de simetrie?

Justificaţi grafic. ) Exercițiul 5. Determinați ( ), unde ( ) și (

Rotaţia axială Fie d o dreptă în spaţiu şi un unghi orientat pozitiv (trigonometric).

Rotaţia axială de axă d şi unghi este izometria ce transformă punctul în punctul astfel încât: dacă aparţine planului  , perpendicular pe d în punctul O, atunci şi aparţine lui  cu şi (Figura 9).

Notăm , fiind axa de rotaţie, iar unghiul de rotaţie.

-6-

Cristian Lazureanu

d

A

O

đ?œ‹

Fig.9 RotaČ›ia axială

Din definiĹŁie deducem că imaginea rotaĹŁiei axiale de axă d Ĺ&#x;i unghi din spaĹŁiu aplicată unui punct A coincide cu imaginea rotaĹŁiei de centru O Ĺ&#x;i unghi din planul ď ° aplicată lui A. ĂŽn figura 9 (dreapta) este prezentată o rotaĹŁie de unghi de 90o Č™i axă verticală (situată pe o muchie a corpului rotit, deci la intersecĹŁia dintre corpul iniĹŁial, din dreapta, Ĺ&#x;i imaginea lui ĂŽn urma rotaĹŁiei).

Este uČ™or de văzut că .

Figura F are dreapta d ca axă de simetrie rotatorie de ordinul n dacă este invariantă la rotaĹŁia de axă d Ĺ&#x;i unghi Spunem că F are simetrie rotatorie de ordinul n.

Fig.10 Simetrie rotatorie de ordinul 4

Fig.11 Simetrie rotatorie de ordinul 2

ExerciĹŁiul 1. Fie cubul ABCDA’B’C’D’. DeterminaĹŁi imaginea ĂŽn urma rotaĹŁiei de axă BB’ Ĺ&#x;i unghi de 90o a lui: a) (AB); b) (BC); c) (CC’); d) (A’B’C’); e) (CBB’).

ExerciĹŁiul 2. AceeaĹ&#x;i cerinĹŁÄƒ ca la exerciĹŁiul precedent dar cu axa de rotaĹŁie OO’ (O,O’ sunt centrele bazelor ABCD, respectiv A’B’C’D’).

-7-

Cristian Lazureanu Exerciţiul 3. Compunerea a două oglindiri de plane concurente este o rotaţie de axă dreapta de intersecţie a celor două plane. Precizaţi unghiul de rotaţie. Exemplificaţi grafic, folosind o figură ce nu are simetrie bilaterală.

Exerciţiul 4. Studiaţi compunerea a două rotaţii axiale. Discutați ținând cont de poziția în spațiu a două drepte.

Exerciţiul 5. Studiaţi ce izometrii, respectiv simetrii apar în figurile 10, respectiv 11.

Reflexia glisată Dacă vectorul ⃗ este paralel cu planul atunci compunerea dintre translaţia de vector ⃗ şi oglindirea (reflexia) în raport cu planul este comutativă: ⃗​⃗

⃗​⃗

(justificaţi). Izometria rezultată în urma acestei compuneri se numeşte reflexie glisată (Figura 12).

Figura F invariantă la ⃗​⃗ are simetrie translatorie ritmică de tip reflexie glisată.

Exerciţiul 1. Desenaţi o figură care să arate că reflexia glisată poate să coincidă cu o simetrie centrală. Este acest fapt în general valabil?

Exerciţiul 2. Desenaţi o figură care să arate că reflexia glisată poate să coincidă cu o rotaţie şi o figură care să arate că această posibilitate nu este în general valabilă.

Exercițiul 3. Schițați fațada unui bloc de locuințe pe care balcoanele să fie dispuse prin reflexie glisată, în tandem cu ferestrele.

Fig.12 Reflexia glisată

-8-

Cristian Lazureanu

Reflexia rotită Dacă dreapta d este perpendiculară pe planul  atunci compunerea dintre rotaţia de axă d şi oglindirea (reflexia) în raport cu planul  este comutativă (justificaţi).

Izometria rezultată în urma acestei compuneri se numeşte reflexie rotită (Figura 13).

Figura F invariantă la Rd S are simetrie de tip reflexie rotită.

Fig.13 Reflexia rotită

Fig.14 Bi-piramida patrulateră

Exerciţiul 1. Dacă   180 , coincide reflexia rotită cu o simetrie centrală?

Exercițiul 2. În figura 14 este prezentată o bi-piramidă patrulateră regulată. Precizați ce simetrii prezintă.

Rototranslaţia Dacă vectorul ⃗ este paralel cu dreapta d atunci compunerea dintre translaţia de vector ⃗ şi rotaţia de axă d este comutativă (justificaţi). Izometria rezultată în urma acestei compuneri se numeşte rototranslaţie (deplasare elicoidală).

Figura F invariantă la ⃗​⃗ are simetrie rototranslatorie, ea fiind obţinută printr-o mişcare elicoidală (Figura 15).

Deoarece compunerea a două simetrii axiale de axe concurente este o translație, rezultă imediat că prin compunerea a două simetrii axiale de axe necoplanare se obține o rototranslație.

Exercițiul 1. În figura 15, primul și ultimul cuboid sunt pe aceeași verticală (în vedere de sus se suprapun). Câte grade are fiecare rotație?

-9-

Fig.15 Rototranslaţia

Cristian Lazureanu

POLIEDRE REGULATE Poliedrul este figura spaţială închisă, delimitată de feţe plane de formă poligonală.

Poliedrul se numește convex dacă pentru orice față a sa toate celelalte fețe sunt situate în același semispațiu delimitat de planul suport al feței alese. Amintim aici prismele şi piramidele (numite și solide elementare), respectiv trunchiurile de piramidă.

Aria unui poliedru este egală cu suma ariilor tuturor fețelor sale. Volumul unui poliedru poate fi calculat ținând cont că acesta poate fi obținut prin adiție de solide elementare, deci prin însumare de volume. În unele situații volumul poate fi calculat și ca diferență de volume cunoscute (de exemplu, la solidele obținute prin trunchiere). Amintim aici volumele cunoscute: volumul prismei este egal cu aria bazei înmulțită cu înălțimea acesteia (distanța dintre baze), respectiv volumul piramidei este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime (distanța de la vârf la bază).

Are loc următoarea Teoremă a lui Euler: dacă , , sunt respectiv numărul de vârfuri, muchii, fețe ale unui poliedru convex atunci .

Un poliedru în care toate fețele au același număr de laturi, iar în fiecare vârf al său se întâlnesc același număr de muchii se numește poliedru topologic regulat.

Piramida patrulateră regulată nu este un poliedru topologic regulat, baza fiind pătrat, iar fețele laterale triunghiuri isoscele.

Folosind Teorema lui Euler se demonstrează că există numai 5 tipuri de poliedre topologic regulate: tetraedrul, hexaedrul, octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul (ce au respectiv 4, 6, 8, 12, 20 de feţe).

Poliedrele regulate sunt poliedrele topologic regulate, convexe, având toate fețele poligoane regulate egale. În figura 1 sunt date două poliedre ce nu sunt regulate, chiar dacă toate fețele sunt poligoane regulate egale.

Fig.1 Poliedre neregulate cu feţe triunghiuri echilaterale

- 10 -

Cristian Lazureanu Primul poliedru (stelat) nu este convex, iar al doilea are vârfuri în care se întâlnesc un număr diferit de muchii (4, respectiv 5 muchii).

Din cele de mai sus obţinem cele cinci poliedre regulate, numite şi solidele lui Platon: tetraedrul regulat, cubul, octaedrul regulat, dodecaedrul regulat și icosaedrul regulat.

1. Tetraedrul regulat. Are 4 feţe, 4 vârfuri şi 6 muchii (Figura 2). În concepţia filozofică a lui Platon1, tetraedrul regulat semnifică focul.

Fig.2 Tetraedrul regulat şi desfăşurata lui

2 3 l , aria 12 6 6 totală At  3l 2 , raza sferei circumscrise R  l , raza sferei înscrise r  l, 4 12 iar unghiul diedru format de oricare două feţe alăturate este aproximativ 70 31' .

Dacă muchia tetraedrului regulat este l atunci volumul este V 

Tetraedrul Pei. 1

Mario Livio – Secţiunea de aur, Ed. Humanitas, 2005, pag.83

- 11 -

Cristian Lazureanu 2. Hexaedrul regulat (cubul). Are 6 feţe, 8 vârfuri şi 12 muchii. În concepţia filozofică a lui Platon, cubul semnifică pământul.

Dacă muchia cubului este l atunci volumul este V  l 3 , aria totală At  6l 2 ,

3 1 l , raza sferei înscrise r  l , iar unghiul diedru 2 2 format de oricare două feţe alăturate este de 90 . raza sferei circumscrise R 

Fig.12 Cubul şi desfăşurata lui

Apple’s cube store

- 12 -

Cristian Lazureanu 3. Octaedrul regulat. Este o bi-piramidă cu 8 feţe, 6 vârfuri şi 12 muchii. În concepţia filozofică a lui Platon, octaedrul regulat semnifică aerul.

Fig.13 Octaedrul regulat şi desfăşurata lui

Dacă muchia octaedrului regulat este l atunci volumul este V  totală

At  2 3l 2 , raza sferei circumscrise R 

2 3 l , aria 3

2 l , raza sferei înscrise 2

2 l , iar unghiul diedru format de oricare două feţe alăturate este aproximativ 6 109 21' . r

Pyramid Arena

- 13 -

Cristian Lazureanu

4. Icosaedrul regulat. Are 20 feţe, 12 vârfuri şi 30 muchii. În concepţia filozofică a lui Platon, icosaedrul regulat semnifică apa.

Fig.14 Icosaedrul regulat şi desfăşurata lui

Dacă muchia icosaedrului regulat este l atunci2 volumul său este

V

5(3  5) 3 l  2,18  l 3 , aria totală At  5 3l 2 , raza sferei circumscrise 12

5 5 3 3  15 l , raza sferei înscrise r  l , iar unghiul diedru format de 4 2 oricare două feţe alăturate este aproximativ 138 11' .

R

2

Dicţionar de matematici generale, Editura enciclopedică română, 1974

- 14 -

Cristian Lazureanu 5. Dodecaedrul regulat. Are 12 feţe, 20 vârfuri şi 30 muchii. În concepţia filozofică a lui Platon, dodecaedrul regulat semnifică universul, Quinta Essentia.

Fig.15 Dodecaedrul regulat şi desfăşurata lui

Dacă muchia icosaedrului regulat este l atunci3 volumul său este

(15  7 5) 3 l  7, 66  l 3 , aria totală At  3 25  10 5 l 2 , iar unghiul diedru 4 format de oricare două feţe alăturate este aproximativ 116 33' .

V

3

Dicţionar de matematici generale, Editura enciclopedică română, 1974

- 15 -

Cristian Lazureanu Unind centrele feţelor unui solid se obţine solidul dual (reciproc) acestuia. Observând numărul de feţe şi de vârfuri ale solidelor lui Platon, deducem că tetraedrul regulat este autodual (Figura 16), iar cubul şi octaedrul regulat, respectiv dodecaedrul regulat şi icosaedrul regulat sunt solide duale (Figura 17).

Fig.16 Tetraedrul regulat

Fig.17 Perechi de solide duale

- 16 -

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

POLIEDRE SEMIREGULATE Poliedrele semiregulate sunt poliedrele caracterizate de următoarele condiţii: toate feţele sunt poligoane regulate ( se utilizează mai mult de un tip de poligon regulat), toate muchiile sunt egale şi toate colţurile sunt identice (fiecare vârf are acelaşi aranjament al feţelor). Printre aceste solide amintim: n - prismele regulate cu feţele laterale pătrate ( n  4 ), n - antiprismele regulate ( n  4 ) şi solidele lui Arhimede.

Fig.1 5 – prisma regulatăcu feţele laterale pătrate

Fig.2 5 – antiprisma regulată

n - antiprisma regulată este un poliedru semiregulat, mărginit de două poligoane regulate cu n laturi (baze) şi 2n triunghiuri echilaterale (suprafața laterală). Cele două baze ale antiprismei sunt situate în plane paralele astfel încât dacă fixăm o bază, cealaltă se obţine 180 din aceasta printr-o rotaţie de unghi . Fiecare vârf al unei baze se uneşte cu două vârfuri n alăturate ale celeilalte baze.

Fig.3 Desfăşurata unei 5 – prisme regulate

Fig.4 Desfăşurata unei 5 – antiprisme regulate

Observăm că triunghiurile echilaterale ce formează suprafaţa laterală a unei antiprisme nu sunt situate în plane perpendiculare pe planul bazei. Proiecţiile vârfurilor unui astfel de triunghi pe bazele opuse “cad” în exteriorul bazelor, mai exact pe cercul circumscris fiecăreia dintre baze. O problemă ce rezultă de aici este calcul înălţimii antiprismei, adică a distanţei dintre cele două baze.

Vom considera n – antiprisma cu o latură a bazei A1A2 şi cu B1 vârful situat în cealaltă

-1-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

bază astfel ca triunghiul echilateral A1A2 B1 să fie o faţă laterală. Notăm cu N proiecţia lui B1 pe planul bazei şi cu M mijlocul laturii (A1A2).

Triunghiul B1NM este dreptunghic şi cu teorema lui Pitagora avem

hn2  B1M 2  MN 2 , unde MN este săgeata bazei, adică diferenţa dintre raza cercului circumscris bazei şi apotema bazei, iar B1M este înălţimea triunghiului echilateral.

Deci

hn  h2  sn2 , h 

ln 3 180 180 , ln  2r sin , sn  r  an  r  r cos .

2 n n

Exerciţiul 1. Reprezentaţi grafic o 3-antiprismă regulată şi arătaţi că este un octaedru regulat.

Exerciţiul 2. Mijloacele muchiilor laterale ale unei n – antiprisme regulate formează un poligon. Este acesta un poligon regulat? Aceste mijloace se proiectează pe planul bazei.

Conţine poligonul de proiecţie vârfurile bazei antiprismei? Justificaţi. ( n = 4 ).

Exerciţiul 3. Într-o n – antiprismă regulată se înlocuiesc triunghiurile echilaterale ce formează suprafaţa laterală cu triunghiuri isoscele egale. Se modifică vederea de sus a antiprismei rezultate? Dar înălţimea antiprismei? Ştiind noua înălţime h a antiprismei rezultate şi muchia bazei l, calculaţi latura unui triunghi isoscel (diferită de baza l ) . ( n = 6 ).

Un alt grup de poliedre semiregulate este dat de cele 13 solide ale lui Arhimede. Șapte dintre acestea se obţin prin trunchierea solidelor lui Platon. Aici, prin trunchiere înţelegem secţionarea prin plane a tuturor colţurilor poliedrului în mod identic astfel ca prin eliminarea acestor colţuri să rămână un solid semiregulat, adică toate poligoanele rezultate să fie regulate. Pentru aceasta, o primă condiţie este ca muchiile ce pleacă din acelaşi vârf să fie secţionate la aceeaşi distanţă faţă de acel vârf. Vom considera câteva exemple.

1. Tetraedrul trunchiat. Fiecare muchie a tetraedrului se împarte în 3 părți egale.

Rezultă feţele tetraedrului trunchiat: 4 triunghiuri echilaterale și 4 hexagoane regulate. Fiecare muchie a tetraedrului se împarte în 3 părți egale.

Fig.5 Tetraedrul trunchiat şi desfăşurata lui

Exerciţiul 4. Coloraţi tetraedrul trunchiat folosind numărul minim de culori posibil (două feţe ce au o muchie comună se colorează cu culori diferite).

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

2. Cubul trunchiat. Fiecare muchie a cubului se împarte în trei segmente proporţionale cu 1, 2,1 , rezultând pe fiecare faţă câte un octogon regulat, iar prin secţionarea fiecărui vârf rezultă câte un triunghi echilateral.

Fig.6 Cubul trunchiat şi desfăşurata lui

3. Octaedrul trunchiat. 8 feţe hexagoane regulate, 6 feţe pătrate.

Fig.7 Octaedrul trunchiat şi desfăşurata lui

Exerciţiul 5. Calculaţi volumul interior paralelipipedului şi exterior octaedrului trunchiat din figura 7. Se dă muchia octaedrului ce s-a trunchiat, l = 6cm.

4. Cuboctaedrul. Se obţine prin rectificarea cubului (metoda muchiei mediane): se unesc mijloacele a oricăror 2 muchii alăturate şi se elimină colţurile ce conţin vârfurile cubului.

Fig.8 Cuboctaedrul şi desfăşurata lui

-3-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Exerciţiul 6. Folosind eventual aceeaşi metodă, construiţi cuboctaedrul plecând de la un octaedru regulat. Ce raport există între muchia cubului şi muchia octaedrului regulat din care se obţin acelaşi cuboctaedru?

Exerciţiul 7. Ce se obţine prin rectificarea tetraedrului regulat?

6. Rombocuboctaedrul sau cuboctaedrul rombic. Se obţine dintr-un cuboctaedru prin metoda muchiei mediane. Se înscrie atât într-un octaedru regulat, cât şi într-un cub.

Fig.9 Cuboctaedrul rombic şi desfăşurata lui

Exerciţiul 8. Desenaţi, în vedere de sus, rombocuboctaedrul şi cubul în care este înscris.

Stabiliţi dacă feţele triunghiulare, respectiv pătrate ale rombocuboctaedrului, ce formează partea oblică a suprafeţei laterale, au aceeaşi înclinare faţă de planul orizontal (fig.9).

Exerciţiul 9. Calculaţi aria şi volumul rombocuboctaedrului obţinut dintr-un cub de muchie 4 2 cm.

Exerciţiul 10. Pentru solidele lui Platon există sfera circumscrisă cât şi sfera înscrisă, având acelaşi centru. Studiaţi existenţa acestor sfere pentru solidele lui Arhimede studiate mai sus.

SECŢIUNI PLANE ÎN POLIEDRE Pe lângă secţiunile plane folosite în cazul trunchierii (când secţiunea este un triunghi echilateral), pot să apară şi situaţii mai complicate, în care poligonul de secţiune are mai multe vârfuri.

Un prim aspect al acestui subiect este construcţia secţiunii: dându-se un poliedru şi trei puncte M,N,P pe muchiile sau feţele acetuia, se cere să se construiască secţiunea determinată în poliedru de planul (MNP) =  .

Secţiunea cerută este un poligon cu vârfurile pe muchiile poliedrului şi cu laturile incluse în feţele acestuia.

O metodă folosită constă într-o construcţie recursivă: - dreapta ce conține două puncte ale planului de secțiune intersectează dreapta suport a unei muchii a poliedrului într-un punct ce va aparține planului de secțiune - dreapta determinată de punctul găsit și un punct al secțiunii intersectează dreapta suport a unei alte muchii într-un nou punct al planului de secțiune - se continuă algoritmul până se “închide” poligonul de secţiune.

-4-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Ca restricţii generale considerăm că nu facem construcţii interioare poliedrului (e opac) şi nu folosim paralelism în spaţiu (eventual doar pe o faţă a poliedrului).

Vom exemplifica această metodă printr-o secţiune plană într-un paralelipiped.

Fie ABCDA’B’C’D’ un paralelipiped dreptunghic şi punctele M,N,P ca în figura 10.

Fig.10 Secţiune plană în paralelipiped: date iniţiale

Fig.11 Secţiune plană în paralelipiped: construcţie

-5-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

În planul feței ABB’A’: MN  AB  E , MN    E   În planul feței ABCD:

EP  (BC)  Q , EP    Q   EP  AD  F , EP    F  

În planul feţei ADD’A’: FM  (DD ')  R , FM    R   Deci MNQPR este poligonul de secţiune.

O altă cerinţă poate fi: cunoscând poziţiile exacte ale punctelor M,N,P pe muchii, se cere să se determine poziţiile exacte ale celorlate vârfuri ale poligonului de secţiune.

Aceste poziţii se află, după caz, folosind asemănarea sau teorema lui Menelaus: Fie un triunghi ABC şi o dreaptă d care intersectează AB, BC şi CA în R, T şi S. Atunci AR BT CS    1.

RB TC SA Vom exemplifica prin următoarea problemă: Fie tetraedrul ABCD şi punctele AM AN DP M  (AB), N  (AC), P  (BD), cu  m  1,  n  1,  p  1.

MB NC PB Se cere construcția secțiunii determinată în tetraedru de planul (MNP), tipul secțiunii și raportul în care un vârf nou al poligonului de secțiune împarte muchia pe care se află.

Secţiunea este patrulaterul ABCD. Acest patrulater devine unul particular în funcţie de poziţiile punctelor M,N,P şi în funcţie de lungimile muchiilor tetraedrului.

Teorema lui Menelaus în triunghiul ABC:

AM BE CN BE n   1  MB EC NA EC m Teorema lui Menelaus în triunghiul BCD:

DP BE CQ DQ n   1  p PB EC QD QC m Deci vârful Q al poligonului de secţiune n p împarte intern segmentul (DC) în raportul . m

Fig. 12 Secţiune plană în tetraedru

Exerciţiul 1. Fie tetraedrul ABCD şi punctele M,N,P respectiv mijloacele muchiilor (AB), (AC), (BD). Arătaţi că secţiunea determinată în tetraedru de planul (MNP) este un paralelogram. Când devine romb? Ce devine această secţiune în cazul tetraedrului regulat?

Exerciţiul 2. Fie tetraedrul ABCD în care triunghiurile ABC și DBC sunt congruente şi AM AN DP punctele M  (AB), N  (AC), P  (BD), cu Arătaţi că  m,  n,  m  n.

MB NC PB secţiunea determinată în tetraedru de planul (MNP) este un trapez isoscel.

Exerciţiul 3. Arătaţi că secţiunea plană într-un cub poate fi: un triunghi, un patrulater, un pentagon, un hexagon. Există situaţii când aceste poligoane de secţiune sunt regulate?

-6-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.13 Secţiuni plane în cub

O altă metodă ce poate fi folosită pentru găsirea punctelor de intersecţie dintre planul de secţiune şi muchiile poliedrului este dată de Geometria analitică în spaţiu.

Considerăm sistemul cartezian de axe de coordonate Oxyz, în care ecuaţia generală a unui plan este ax  by  cz  d  0, a, b, c, d  R. În particular, planele de coordonate au ecuaţiile: planul Oxy are ecuația z = 0, planul Oyz are ecuația x = 0, planul Oxz are ecuația y = 0.

Fig. 14 Planele şi axele de coordonate

Un punct P(a,b,c) este situat la intersecţia a trei plane paralele cu planele de coordonate, mai exact la intersecţia planelor de ecuaţii x  a, y  b, z  c , ce reprezintă respectiv, abscisa, ordonata şi cota punctului.

Ecuaţia planului determinat de trei puncte A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ),C( x3 , y3 , z3 ) este

x  x1 x2  x1 x3  x1

y  y1 y2  y1 y3  y1

z  z1 z2  z1  0. z3  z1

Exemplu: A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2)  x  y  z  2 (Fig.15).

Fig.15

O dreaptă în spaţiu poate fi dată ca intersecţia a două plane. În particular, axele de coordonate au ecuaţiile: y  0 x  0 x  0 Ox :  , Oy :  , Oz :  . z  0 z  0 y  0 O dreaptă ce conţine punctul P(a,b,c) şi este paralelă cu una din axele de coordonate are ecuaţiile aceleași ecuații dar cu a, b sau c în loc de zero.

Reamintim și ecuaţia dreptei ce conţine punctele A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) : x  x1 y  y1 z  z1 .   x2  x1 y2  y1 z2  z1 Aplicație: Determinați secțiunea în cubul ABCDA’B’C’D’ dată de planul (MNC), unde A'M A'N 1 M  (A'B'), N  (A'D') cu   .

MB' ND' 2

-7-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Vom considera sistemul de axe de coordonate astfel ca O=A, Ox=AB, Oy=AD, Oz=AA’ (Fig.16). Din raportul dat, luăm latura cubului egală cu 3. Atunci: M(1,0,3), N(0,1,3), C(3,3,0). Ecuația planului (MNC) este 3x  3 y  5 z  18 . x  3 Dreapta BB’ are ecuația:  . Intersecția dintre dreaptă și plan înseamnă rezolvarea y  0

x3   y0 sistemului:  . Rezultă punctul R(3,0,9/5), ce aparţine muchiei (BB’). 3x  3 y  5 z  18  Analog se obține Q(0,3,9/5) pe (DD’). Reprezentând pe muchii punctele găsite, rezultă BR DQ 9  9 9 6 3 că secțiunea este pentagonul MNQCR cu   :3   :  .

RB' QD' 5  5 5 5 2

Fig.16 secţiune în cub

Exerciţiul 4. Fie dreptunghiul OABC de lungime OC = 6cm şi lăţime OA = 4cm, situat în plan orizontal şi paralelipipedul dreptunghic OABCO’A’B’C’. Din punctele O,A,B,C se ridică perpendicularele OM = 1cm, AN = 2cm, CQ = 2cm şi BP. Aflaţi lungimea lui BP astfel ca punctele M,N,P,Q să fie coplanare. În acest caz calculaţi aria secţiunii în paralelipiped determinată de planul (MNQ).

-8-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

CERCUL

Vatican

Pe lângă formele “drepte” utilizate în arhitectură, o importanţă deosebită o au şi formele “rotunde”: curbele şi suprafeţele. Cercul este cea mai importantă formă rotundă.

Local, o curbă plană poate fi aproximată de un arc de cerc, iar curbe pe anumite suprafeţe sunt cercuri.

Cercul se circumscrie tuturor formelor plane ce au simetrie rotatorie, poligoanele regulate cu un număr din ce în ce mai mare de laturi tinzând la forma circulară, astfel încât, pe lângă unitate, cercul mai semnifică şi geneza formei1.

Cercul este mulţimea punctelor din plan egal depărtate de un punct fix C, centrul său.

Distanţa de la centru la oricare punct de pe cerc poartă numele de rază. Lungimea cercului este 2 r . În Geometria analitică plană, folosind formula distanţei dintre două puncte A(x1, y1) şi B(x2, y2), d (A,B)  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 ) 2 ,

se obţine că ecuaţia cercului cu centrul în punctul C(a,b) şi de rază r este

C (C; r ) : ( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2 .

Fig.1 Cercul de centru C(a,b) şi rază r

Notând cu d distanța de la centrul C(a,b) al cercului la dreapta mx+ny+p=0, adică

d

ma  nb  p m2  n 2

,

putem caracteriza poziţia unei drepte faţă de un cerc. În figura 2 sunt prezentate cele 3 posibilităţi.

1

Rachel Fletcher - Musings on the Vesica Piscis, NEXUS NETWORK JOURNAL – VOL. 6, NO. 2, 2004

-1-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.2 Poziţia unei drepte faţă de un cerc

Tangenta la cerc într-un punct al său este dreapta perpendiculară pe diametrul ce conține acel punct. Dintr-un punct P exterior cercului se construiesc două tangente la cerc. Construcţia cu rigla şi compasul a acestor tangente este dată în figura 3: punctele de tangenţă T şi T’ se află la intersecţia dintre cercul dat şi cercul cu centrul în P şi diametru CP. Dreptele PT și PT’ sunt tangentele căutate, deoarece (CP) fiind diametru implică CTP drept, adică PTCT.

Fig.3 Construcţia tangentelor dintr-un punct exterior

Notând cu l distanţa dintre centrele a două cercuri C  C1; r1  , C  C2 ; r2  , putem caracteriza poziţia unui cerc faţă de celălalt. Cele 6 posibilităţi sunt prezentate mai jos.

Fig.4 Poziţiile relative a două cercuri

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Cercuri concentrice Cercuri … circulare

Putem considera că cercurile concentrice sunt similare cu dreptele paralele. Atunci putem considera şi situaţia în care două cercuri sunt perpendiculare. Mai exact, două cercuri secante se numesc cercuri ortogonale dacă tangentele lor în cele 2 puncte de intersecţie sunt perpendiculare.

Cum tangenta este perpendiculara pe diametrul ce conţine punctul de tangenţă, rezultă că în cazul cercurilor ortogonale tangentele la un cerc conţin centrul celuilalt cerc (Fig.5).

Dat un cerc, apar 2 probleme de construcție: construirea cercului ortogonal Fig.5 Cercuri ortogonale cunoscând centrul, respectiv cunoscând raza.

Prima situaţie se reduce la construcţia tangentelor la cercul dat din punctul dat. Cealaltă situaţie se poate rezolva construind triunghiul dreptunghic de catete cele două raze, distanţa dintre cele două centre fiind ipotenuza.

Mulţimea formată din punctele unui cerc şi din punctele interioare acestuia se numeşte disc circular. În coordonate carteziene avem





D ((a, b); r )  ( x, y) : ( x  a) 2  ( y  b) 2  r 2 .

Aria discului circular este  r 2 .

Cu ajutorul unor segmente sau cercuri se obțin într-un disc circular porțiuni de disc: sectorul și segmentul circular, coroana circulară, ogiva și lunulele.

-3-

Fig.6 Discul circular

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Sectorul circular (Fig.7) este porțiunea dintr - un disc circular delimitată de 2 raze ce  r2 u . formează un unghi de măsură u . Aria sectorului este As  360 Segmentul circular (Fig.8) este porțiunea dintr-un sector circular delimitată de o coardă (segment ce uneşte două puncte ale cercului). Aria segmentului circular este r 2  sin u .

Asg  As  A , unde A  2 Coroana circulară (Fig.9) este porțiunea dintre 2 cercuri concentrice. Aria coroanei este egală cu aria discului mare minus aria discului mic.

Fig.7 Sector circular

Fig.8 Segment circular

Fig.9 Coroană circulară

Ogiva este porţiunea comună a două discuri circulare secante (Fig.10). Dacă cele două discuri au aceeaşi rază ogiva este regulată (Fig.11). Aria ogivei este suma celor două segmente circulare determinate de coarda comună celor două cercuri.

Fig.11 Ogiva regulată

Fig.10 Ogiva

Considerând o ogivă regulată astfel ca centrul unui cerc să fie pe celălalt cerc se obţine ogiva echilateră (aureolă ovală). Denumirea vine de la faptul că triunghiul ACD este echilateral. Cum unghiul ACB are 120o, obţinem  3 Aog .echi  2r 2    . 3 4  Ogiva echilateră, folosită în construcţia arcului gotic, se mai numeşte şi vesica piscis, având semnificaţie în simbolismul creştin (Fig.13).

-4-

The Chalice Well

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.12 Ogiva echilateră

Fig.13 Vesica piscis

Fig.14 Ogiva pătrată

Considerând o ogivă regulată astfel ca cele două cercuri să fie ortogonale se obţine ogiva   pătrată (Fig.14). Observăm că ACBD este pătrat. Obţinem Aog .dr .  r 2   1 . 2  Date 2 discuri circulare secante, lunula este porțiunea unui disc ce nu aparține celuilalt disc (Fig.15; în dreapta, lunulele lui Hipocrat).

Aria unei lunule este egală cu aria discului din care face parte minus aria ogivei.

Fig. 15 Lunule Exerciţiul 1. Înscrieţi într-un 3  dreptunghi o ogivă echilateră (arcele tangente lungimilor şi vârfurile pe lăţimi). Justificare.

Exerciţiul 2. Înscrieţi într-un dreptunghi roman (de argint) o ogivă pătrată. Justificare.

Exerciţiul 3. Construiţi o ogivă regulată, distanţa dintre centrele celor două cercuri de rază r 2r fiind . Arătaţi că această ogivă se înscrie într-un dreptunghi pătratic.

3 Exerciţiul 4. Construiţi o ogivă regulată, distanţa dintre centrele celor două cercuri de rază r fiind r 3 . Calculaţi apoi aria uneia dintre lunule.

Pe lângă vesica piscis, un alt element arhitectural obţinut folosind cercuri, bazat pe triunghiul echilateral, este trifolium gotic (Fig. 16). Aparţinând stilului gotic, el simbolizează trinitatea divină fiind format din reuniunea a trei arce de cerc.

Fig.16 Trifolium gotic

Pentru construcţia trifoliumului gotic vom considera 3 situaţii, în funcţie de poziţiile centrelor celor trei cercuri faţă de triunghiul echilateral, respectiv de deschiderile arcelor de cerc. În toate situaţiile, construim un triunghi echilateral ABC şi mediatoarele acestuia. În cazul “cerc înscris-cerc înscris (mijloc)”, centrele celor trei arce ce formează trifoliumul sunt situate pe cercul înscris în triunghiul ABC, la intersecţia cu mediatoarele,

-5-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

aceste arce fiind delimitate de mijloacele laturilor triunghiului (situate tot pe cercul înscris).

Cum raza cercului înscris este o treime din mediatoare, centrele considerate şi mijloacele triunghiului formează un hexagon regulat, rezultând trifoliumul din figura 17.

Fig.17 Trifoliumul cerc înscris-mijloc

Fig.18 Trifoliumul vârf-cerc circumscris

În cazul “vârf-cerc circumscris”, centrele celor trei arce ce formează trifoliumul sunt situate în vârfurile triunghiul ABC, aceste arce fiind delimitate de cercul circumscris triunghiului, la intersecţia cu prelungirile mediatoarelor. Cum vârfurile triunghiului şi intersecţiile mediatoarelor cu cercul circumscris formează un hexagon regulat, obţinem trifoliumul din figura 18.

Observăm că de fapt triunghiul ABC din cazul “vârf-cerc circumscris” este triunghiul PQR din cazul “cerc înscris-cerc înscris (mijloc)”. Astfel, pornind de la acelaşi triunghi echilateral, în cazul “vârf-cerc circumscris” se obţine un trifolium asemenea cu cel obţinut în cazul “cerc înscris-cerc înscris (mijloc)”, dar mai mare, raportul de asemănare fiind egal cu raportul de asemănare dintre triunghiurile ABC şi PQR, adică 2.

A treia posibilitate este cazul “vârf-mijloc”, în care centrele sunt în vârfurile triunghiului ABC, arcele fiind delimitate de mijloacele laturilor.

Fig.18 Trifoliumul vârf-mijloc

În imaginile alăturate sunt prezentate tetrafoliumul, pentafoliumul și hexafoliumul gotic.

-6-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Racordul a două curbe Punctul de intersecție a două curbe se numește punct de racord dacă în acel punct curbele au tangentă comună.

Fig.19 Racord ordinar

Fig.20 Racord singular

O dreaptă şi un cerc, respectiv două cercuri, au ca punct de racord punctul lor de tangenţă. Dacă nu au punct de tangenţă, aceste curbe pot fi racordate prin intermediul unei alte curbe, numită curbă de racord.

Spunem că două curbe se racordează printr-o a treia curbă (curbă de racord) atunci când curba de racord are cu ambele curbe respectiv câte un punct de racord. Vom studia racordul dintre două cercuri printr-o dreaptă, respectiv un cerc şi racordul dintre două drepte printr-un cerc sau reuniune de arce de cerc.

Două cercuri exterioare se racordează printr-o dreaptă dacă dreapta este chiar tangenta comună celor două cercuri. Vom construi tangentele comune a două cercuri exterioare.

Cazul I. Tangentele „exterioare” Considerăm cercurile C (C1, r1 ), C (C2 , r2 ), r1  r2 . Construim cercul C  C1; r1  r2  şi tangentele din C2 la C  C1; r1  r2  cu T şi T’ puncte de tangenţă (Fig.21). Avem că

(C1T  C  C1; r1  ={S} şi perpendiculara d pe C1S în S va fi tangenta comună căutată. Într-

adevăr, C2T  C1T, d  C1T  d || C2T  d(C2 ,d )  d(C2T,d )  TS  r2 , adică tangentă la al doilea cerc.

d

Fig.21 Tangentele exterioare comune a două cercuri

Cazul II. Tangentele „interioare” Se procedează analog, construind însă cercul C  C1; r1  r2  .

Fig.22 Tangentele interioare comune a două cercuri

-7-

este

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Racordarea a două cercuri printr-un cerc Considerând două cercuri date, se pune problema racordării lor printr-un cerc de rază dată.

Cercul de racord este tangent ambelor cercuri, fie exterior, fie interior, astfel că există mai multe situaţii.

A. Vom considera mai întâi situaţia în care cercurile ce trebuie racordate sunt exterioare, adică C  C1; r1  , C  C2 ; r2  cu l  C1C2 , unde, de exemplu r1  r2 . Se pune problema construirii unui cerc de rază dată r ce racordează cele două cercuri.

I. Racord cu tangenţă exterioară Observăm în figura 1 poziţia limită (de rază minimă) a cercului de racord. Se impune 1 1 condiţia l  r1  2r  r2 , adică r   l  r1  r2  . Pentru r   l  r1  r2  nu este posibilă 2 2 racordarea.

Fig.1 Racord cu cerc de rază minimă

Fig.2 Curbă rezultată prin racordare de arce de cerc

Deoarece tangenţa exterioară presupune condiţia ca distanţa între centre să fie egală cu suma 1 razelor, pentru cazul în care r   l  r1  r2  construim cercurile C  C1; r1  r  , C  C2 ; r2  r  2 (Fig.3), la intersecţia lor găsindu-se centrul C al cercului de racord (centrele celor două cercuri de racord).

Fig.3 Racord cu tangenţa exterioară

Fig.4 Curbă rezultată prin racordare de arce de cerc

II. Racord cu tangenţă interioară Observăm în figura 5 poziţia limită (de rază minimă) a cercului de racord. Se impune 1 1 condiţia l  2r  (r1  r2 ) , adică r   l  r1  r2  . Pentru r   l  r1  r2  nu este posibilă 2 2 racordarea.

-8-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.5 Racord cu cerc de rază minimă

Fig.6 Racord cu tangenţă interioară

Deoarece tangenţa interioară presupune condiţia ca distanţa între centre să fie egală cu 1 diferenţa razelor, pentru cazul în care r   l  r1  r2  construim cercurile 2 C  C1; r  r1  , C  C2 ; r  r2  (Fig.6), la intersecţia lor găsindu-se centrul C al cercului de racord (centrele celor două cercuri de racord).

III. Racord cu o tangenţă exterioară şi una interioară Observăm în figura 7 poziţia limită (de rază minimă) a cercului de racord. Se impune 1 1 condiţia l  r1  2r  r2 , adică r   l  r1  r2  . Pentru r   l  r1  r2  nu este posibilă 2 2 racordarea.

Fig.7 Racord cu cerc de rază minimă

Fig.8 Racord cu tangenţă combinată

Acest caz este o combinaţie a primelor două situaţii. Ca atare, pentru cazul în care 1 r   l  r1  r2  construim cercurile C  C1; r  r1  , C  C2 ; r  r2  (Fig.8), la intersecţia lor 2 găsindu-se centrul C al cercului de racord (centrele celor două cercuri de racord). În acestă situaţie, rolurile celor două cercuri (relativ la tipul tangenţei) pot fi inversate.

Observăm că pentru o rază r suficient de mare, cele două cercuri date pot fi racordate în toate cele trei din situaţiile prezentate.

Exerciţiul 1. Racordaţi cu un cerc de razǎ 3 douǎ cercuri date, de raze respectiv 2 şi 1, ce au distanţa dintre centre 4. Analizaţi toate cazurile posibile.

-9-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Exerciţiul 2. Date trei cercuri exterioare de raze egale, construiţi un cerc ce se racordeazǎ cu ele. Discuție.

B. Vom considera în continuare situaţia în care cercurile ce trebuie racordate sunt unul interior celuilalt, adică C  C1; r1  , C  C2 ; r2  cu l  C1C2 , unde, de exemplu r1  r2 . Se pune problema construirii unui cerc de rază dată r ce racordează cele două cercuri.

I. Racord cu o tangenţă exterioară şi una interioară Dat segmentul rază, r, putem avea (Fig.9): 1 2

1 2

1) r  (r1  r2  l ) sau r  (r1  r2  l ) ce reprezintă situaţiile limită, de rază minimă, respectiv maximă.

1 2

1 2

2) Dacă r  (r1  r2  l ) sau r  (r1  r2  l ) nu este posibil racordul.

1 1 (r1  r2  l )  r  (r1  r2  l ) atunci, procedând ca în cazul AIII, se obţin situaţiile 2 2

3) Dacă

intermediare (Fig.9).

Fig.9 Racord cu tangenţă combinată

Fig.10 Racord cu tangenţă interioară

II. Racord cu o tangenţă interioară Dat segmentul rază, r, putem avea (Fig.10): 1 2

1 2

1) r  (r1  r2  l ) sau r  (r1  r2  l ) ce reprezintă situaţiile limită, de rază minimă, respectiv maximă.

1 2

1 2

2) Dacă r  (r1  r2  l ) sau r  (r1  r2  l ) nu este posibil racordul.

3) Dacă

1 1 (r1  r2  l )  r  (r1  r2  l ) atunci, procedând ca în cazul AII, se obţin situaţiile 2 2

intermediare (Fig.10).

Exerciţiul 3. Fie două cercuri concentrice de raze 2 şi 4. Racordaţi cele două cercuri printr-un cerc de rază r, observând ce se întâmplă în situaţiile limită.

Exerciţiul 4. Folosind acelaşi tip de raţionament ca în cazurile A şi B prezentate, discutaţi racordul a două cercuri secante date printr-un cerc de rază r dată.

Exerciţiul 5. Racordaţi două cercuri de raze 4cm, ce formează o ogivă echilateră, printr-un cerc de rază 2cm şi apoi desenaţi diverse curbe rezultate prin racordarea unor arce de cerc.

Exerciţiul 6. Folosind acelaşi tip de raţionament ca în cazurile A şi B prezentate, discutaţi racordul printr-un cerc de rază r dată a două cercuri tangente exterior.

- 10 -

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Arce (de boltă) În studiul racordului a două segmente de dreaptă printr-un arc sau o reuniune de arce de cerc, apare şi situaţia în care cele două segmente reprezintă laturile opuse ale unui dreptunghi, considerate pe verticală. În această situaţie intră arcul de boltă.

Arcul de boltǎ reprezintǎ forma curbǎ de deasupra deschiderilor lǎsate ȋn zidǎrie pentru porţi, uşi sau ferestre. Cele douǎ ziduri verticale pe care se sprijinǎ arcul de boltǎ se numesc stȃlpi sau coloane. Linia determinatǎ de cele douǎ puncte de intersecţie ale arcului de boltǎ cu coloanele se numeşte baza arcului sau linia de naştere. Distanţa dintre feţele stȃlpilor, mǎsuratǎ pe linia de naştere se numeşte lățimea sau lumina arcului, iar distanţa de la punctul cel mai de sus (cheia arcului) pȃnǎ la linia de naştere se numeşte ȋnǎlţimea sau sǎgeata arcului. Lungimea L a arcului este suma lungimilor curbelor ce-l formează.

BVC = arc V = vârf (BC) = bază (AB) = coloană l = lățime h = înălțime c = lungime coloană L = lungime arc

Fig.11 Arc de boltă

Arcul este compus din unul sau mai multe arce de cerc, racordate sau nu între ele, respectiv cu coloanele, sau poate fi compus din porțiuni de curbe (parabolă, lănțișor, elipsă etc.).

Arcele pot fi clasificate în funcţie de numărul de arce de cerc ce îl compun, numite respectiv arce cu un centru, arce cu două centre etc. De asemenea, arcele mai pot fi clasificate şi în funcţie de înălţimea lor: arce turtite şi arce alungite, dacă înălţimea lui este mai mică, respectiv mai mare decât jumătatea lăţimii arcului.

Vom studia arce din punct de vedere al construcţiei şi din punct de vedere metric (calculul lungimii şi înălţimii arcului, calculul ariei delimitate de arc şi baza sa, cunoscând lăţimea arcului, precum şi determinarea lăţimii astfel ca arcul să aibă, de exemplu, o anumită înălţime).

1. Arcul segment de cerc Este un arc cu un centru, format dintr-un arc de cerc cu centrul O situat pe mediatoarea bazei arcului şi cu extremităţile B şi C (Fig.12). Acest arc nu se racordează cu coloanele. În triunghiul dreptunghic OMB, OB = r 

l 2sin

u 2

-1-

l u şi OM  ctg . Atunci 2 2

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

înălţimea

este

h

l 2sin

u 2

 u l 1  cos 2 l u  ctg   2 2 u 2sin

  .

2

Lungimea arcului este lungimea unui sector de u L  2 r  , iar aria delimitată de arc şi baza 360  u sin u unui segment de cerc, adică A       360 2 

cerc, adică sa este aria

 2   r . 

Fig12. Arc segment de cerc cu raza egală cu lăţimea

Fig.11 Arc segment de cerc

Exerciţiul 1. Cunoscând lungimea coloanei c, calculaţi lăţimea, înălţimea şi lungimea arcului segment de cerc din figura 12.

2. Arcul semicircular Este un arc cu un centru, format din semicercul cu centrul în mijlocul bazei arcului (Fig.13).

Arcul semicerc se racordează cu coloanele, acestea fiind tangente la cerc.

Fig.13 Arcul semicircular

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Înălţimea arcului este egală cu raza semicercului, adică l . Lungimea arcului este egală cu jumătate din lungimea 2 l cercului, L   r  . Aria delimitată de arc şi baza sa este 2 1 l2 jumătate din aria discului de cerc, A   r 2  .

2 8 h

În figura 14, pentru semicercul exterior, raza crește cu „grosimea” coloanei , centrele celor două semicercuri fiind în O (arce concentrice).

Fig.14 Arc semicircular cu grosime

3. Arcul ogivă (arcul gotic) Arcul ogivă este un arc alungit format din reuniunea a două arce de cerc, fiind un caz al arcelor cu 2 centre.

Considerăm centrele O1, O2 pe baza BC (ambele pe segment sau în exteriorul lui) cu BO1= CO2 = a, arcele cercurilor C(O1; O1C) și C(O2; O2B), ce formează arcul ogivă, intersectându-se pe mediatoarea lui (BC) în vârful V (Fig.15).

Fig.15 Arce ogivă

l 2

Cu teorema lui Pitagora în triunghiul O1MV obţinem h  O1V 2  O1M 2  O1C2  O1M 2  , unde O1M şi O1C se exprimă în funcţie de a şi l, în funcţie de poziţia lui O1: l 2 l - în exterior: O1C  l  a, O1M   a .

2

- în interior: O1C  l  a, O1M   a ;

Exerciţiul 2. Construiți cu rigla și compasul un arc ogivă dacă se dau segmentele l și h.

Calculați apoi a. Discuţie.

-3-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Caz particular 1: Arcul ogivă echilateră Este o jumătate de ogivă echilateră (intersecţia a două cercuri egale, un cerc conţinând centrul celuilalt cerc), adică este cazul cu a = 0, în care O1=B și O2=C (Fig.16). În acest caz triunghiul VBC este echilateral, deci înălţimea arcului ogivă echilateră este l 3 înălţimea triunghiului echilateral, h  . Cum unghiul VCB are 60o, rezultă că lungimea 2 2 l arcului este L  2lBV  . Aria delimitată de arc şi baza sa este egală cu dublul ariei 3

sectorului circular VBC 2 2  l l 3 4  3 3 2 A  2   l .

6 4 12

Fig.16 Arcul ogivă echilater

minus

Fig.17. Arcul quinto acuto

aria

triunghiului

echilateral:

Fig.18 Arcul ogivă pătrată

Caz particular 2: Arcul quinto acuto Este o situaţie întâlnită la unele construcţii aparţinând stilului gotic în care l 55 3l l şi h  .

O1 ,O2  (BC), cu BO1 =CO2  (Fig.17). Avem O1M= 5 10 10 Caz particular 3: Arcul ogivă pătrată Este jumătate din ogiva pătrată, adică triunghiul O1VO2 este dreptunghic isoscel.

Cunoscând l, avem BO1  CO2  a, O1C  a  l  r , O1O2  2a  l  r 2 , de unde a 

l 2 , 2

adică jumătate din diagonala pătratului de latură l. Rezultă construcţia din figura 18.

1 2  l , iar lungimea arcului este Înălţimea arcului este egală cu O1M, deci h  2

L  2

2 r 2  2   l .

4 2

Aria delimitată de arc şi baza sa este A 

  2   3  2 8

2

  l 2.

4. Arcul ogă Cunoscut şi sub numele de arc în acoladă, arcul ogă este format prin reuniunea a patru arce de cerc, vârful arcului fiind un punct de racord singular. Poate fi cu trei sau patru centre.

-4-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Arcul ogă cu trei centre Deşi acest arc în acoladă este format prin racordarea a patru arce de cerc, el este un arc cu trei centre deoarece două dintre arce aparţin aceluiaşi cerc. El poate fi construit ţinând cont de unghiul subîntins arcelor ce se racordează cu coloanele sau ţinând cont de înălţimea dorită a arcului.

Fie O1 mijlocul lui (BC).

Varianta 1. Controlul arcelor: Construim arcele de cerc egale C(O1;O1B) de la B la E și C(O1;O2C) de la C la F, unde E și F sunt alese pe semicercul de diametru (BC) la aceeași înălțime (EF||BC, mai sus sau mai jos), simetric față de mediatoarea lui (BC).

Dreptele BE și CF se intersectează în vârful V. Mediatoarea lui (EV) intersectează (O1E în O2, iar mediatoarea lui (FV) intersectează (O1F în O3.

Construim C(O2;O2E) și C(O3;O3F) ce se intersectează în V (O2,V,O3 coliniare pe orizontală).

Arcele sunt racordate datorită coliniarităţii centrelor şi punctelor de contact. Înălţimea depinde de alegerea punctului E.

Fig.1 Arcul ogă cu 3 centre

Varianta 2. Controlul înălțimii: Alegem vârful V pe mediatoarea lui (BC), la înălțimea dorită (h>l/2). La intersecţia dintre semicercul de diametru (BC) cu (BV) și (CV) se obţin punctele E, respectiv F (la aceeași înălțime). Construim arcele de cerc egale C(O1;O1B) de la B la E și C(O2;O2C) de la C la F. Mediatoarea lui (EV) intersectează (O1E în O2, iar mediatoarea lui (FV) intersectează (O1F în O3. Construim C(O2;O2E) și C(O3;O3F) ce se intersectează în V. La o înălţime mai mare, arcul VE devine mai „mare” decât arcul BE. Caz particular: oga echilateră Construim BCV echilateral și O1O2O3 echilateral, congruente, ce se intersectează în E și F (Fig.2). Arcele VE, VF, CF și BE sunt egale, adică EF este linie mijlocie, iar O2,V,O3 sunt coliniare. Se obţine:

h  h 

l 3 2

l2 3 A  A  4 1 l 2 L  4   2  l 6 2 3 Fig.2 Oga echilateră

Arcul ogă cu patru centre Se aleg primele 2 centre O1, O2 pe (BC) cu BO1=CO2 și se repetă raționamentele din cele două cazuri ale ogii cu 3 centre (cu O2F în loc de O1F).

-5-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.3 Oga cu patru centre

Fig.4 Oga pătrată

Caz particular: oga pătrată Cele patru centre formează un pătrat, centrele O1 şi O2 aflându-se la un sfert din lăţimea bazei de capetele arcului (Fig.4). Prin racordarea a patru sferturi de cerc egale se obţine oga pătrată. Avem: l l2 1 l  h  , A  ABVC  , L  4   2  l.

2 4 4 4 2

Exerciţiul 1. Construiți cu rigla și compasul un arc în acoladă cu 3 centre de lățime dată pentru care arcele de la bază subîntind un unghi de 45o.

Exerciţiul 2. Construiți cu rigla și compasul un arc în acoladă cu 4 centre, de înălțime egală cu lățimea, baza arcului fiind împărțită în trei părți egale de cele două centre situate pe ea.

5. Arce cu trei centre Arcul cu trei centre este format din reuniunea a trei arce de cerc, racordate între ele şi respectiv cu coloanele. În această categorie studiem arcele mâner de coş şi arcul ovoidal.

-6-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Arce mâner de coş Vom considera în cele ce urmează doar cazul în care cele trei arce subîntind un unghi de 60o.

Considerăm centrele O1, O2 pe baza (BC) cu BO1= CO2 = a şi O3 pe mediatoarea lui (BC) astfel ca triunghiul O1O2O3 să fie echilateral (Fig.5).

Construim respectiv arcele de cerc C(O1; O1B) de la B la semidreapta (O3O1, C(O2;O2C) de la C la semidreapta (O3O2 și C(O3;O3E) de la E la F, toate cu deschideri de 60o, rezultând arcul cu trei centre.

Arcele folosite se racordează datorită coliniarităţii centrelor şi punctului de contact.

Vom calcula înălţimea şi lungimea arcului, respectiv aria delimitată de arc şi baza sa.

Fig.5 Arcul mâner de coş cu trei centre

l Avem O1B  O2 C  a  , O1O2  l  2a şi înălţimea arcului este 2

h  O3V  h  O3E 

O1O2 3 3  l  a  (l  2a) .

2 2

l 3 1  h  (l  2a)  0 , deducem că arcul cu trei centre este turtit.

2 2 Lungimea arcului este 60 60  (l  a) L  lBVC  lBE  lEF  lFC  2  2 a   2 (l  a)   .

3 360 360

Cum

Aria delimitată de arcul cu trei centre şi baza sa este

Aria  As ( BO1E )  As ( EO3 F )  As ( FO2C )  AO1O2O3  2  a2  

60 360

  (l  a) 2 

60 360



(l  2a) 2 3 4

 2 (l  2a) 2 3 2a  (l  a) 2     6

4

Vom considera cazurile particulare în care centrele O1 şi O2 sunt la o treime, respectiv o pătrime din l faţă de B şi C. Exerciţiul 3. Construiţi un arc mâner de coş cu trei centre de înălţime dată pentru care l  3h .

Exerciţiul 4. Construiți cu rigla și compasul un arc mâner de coş cu 3 centre cunoscând lățimea și înălțimea. Discuție.

Caz particular 1: Arcul mâner de coş cu trei centre echilater

l , rezultă arcul din figura 3 4 l h 4 3 4  3 2 l, L l . Observăm că  0,378.

6. Rezultă imediat că h  , A 9 l 6 36 Împărţind segmentul (BC) în trei părţi egale, O1B  O2C  O1O2 

-7-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.6 Arcul mâner de coş echilater

Fig.7 Arcul mâner de coş cu O1 şi O2 la un sfert

Caz particular 2: Arcul mâner de coş cu trei centre cu O1 şi O2 la un sfert din lăţimea arcului l l Împărţind segmentul (BC) în patru părţi egale, O1B  O2C  , O1O2  , rezultă arcul din 4 2 5 l 3 3 11  6 3 2 figura 7. Rezultă imediat că h  , A l . Observăm că l, L 12 96 4 h  0,317. l Observăm că, păstrând simetria în raport cu mediatoarea bazei arcului, se pot considera cazuri în care unghiul sectoarelor de cerc nu mai este de 60o .

Arcul ovoidal Se obţine din arcul ogivă echilateră prin „rotunjirea” vârfului, astfel că cele trei arce ce-l formează sunt racordate. Pe l mediatoarea lui (BC) se consideră O cu MO  (Fig.8).

2 Arcele de cerc C(B;BC) de la C la F  (BO, C(C;BC) de la B la E  (CO şi C(O;OE) de la E la F formează arcul ovoidal. l 2

Înălţimea: h  MO  OV  (3  2) .

Lungimea: L 

l 4

(4  2) .

Aria:

1 A  As ( EOF )  2  As ( BCE )  ACOB  [ (5  2 2)  2]l 2 .

Fig. 8 Arcul ovoidal 8 Putem considera şi cazul general al unui arc de tip ovoidal, prin alegerea centrelor O1 şi O2 ca în cazul arcului ogivă.

Exerciţiul 5. Construiţi un arc de tip ovoidal pornind de la arcul ogivă pătrată.

Exerciţiul 6. Construiţi un arc de tip ovoidal în care arcele laterale subîntind unghiuri de 30o.

Calculaţi-i înălţimea.

Exerciţiul 7. Costruiţi un arc de tip ovoidal de înălţime egală cu lăţimea.

-8-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

5. Arce cu patru centre Se obţin prin reuniunea a patru arce de cerc.

Vom considera arcele cu patru centre asemănătoare arcelor mâner de coş cu trei centre, centrul situat sub baza arcului fiind înlocuit cu alte două centre, dispuse simetric faţă de mediatoarea bazei arcului.

Considerăm O1, O2 pe (BC) cu BO1=CO2 și P astfel ca O1O2P să fie echilateral și fixăm O3, O4 cu PO3=PO4 (Fig.9). Construim arcele de cerc C(O1;O1B) de la B la semidreapta (O3O1, C(O2;O2C) de la C la semidreapta (O4O2, C(O3;O3E) și C(O4; O4F) de la E, respectiv F ce se intersecteză în V, pe mediatoarea lui (BC).

Fig.9 Arcul cu patru centre Arcele se racordează, cu excepţia vârfului V. Pot fi considerate şi situaţii în care triunghiul O1O2P este doar isoscel.

O situaţie particulară este cea similară arcului mâner de coş echilater.

Caz particular: Arcul cu patru centre echilater Este cazul în care triunghiurile echilarerale BO1E, CO2F, O1O2P şi O4PO3 sunt congruente l (Fig.10), deci baza arcului este împărţită în 3 părţi egale, iar PO3=PO4= .

3

Fig.10 Arcul cu patru centre echilater Taj Mahal

-9-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

l 3 l 3 .  2 6 l 2 35l 2  Cum VRO3  dreptunghic, rezultă VR 2  O3V 2  O3R 2  l 2  . Atunci 36 36 l l 35 l 3 35  2 3 h  2  l. Observăm că h  0, 4l  , deci acest arc este turtit.

2 6 6 6 Exerciţiul 8. Construiţi un arc cu 4 centre de lăţime 8cm, distanţa dintre centrele de pe baza arcului fiind jumătate din lăţimea arcului, iar distanţa dintre celelalte două centre fiind 3 jumătate din lăţime. Arătaţi că înălţimea acestui arc este h  ( 7  3)  l .

8

Pentru calculul înălţimii, avem: h  VR  2PR , unde PR 

Un arc asemănător cu arcul cu patru centre este arcul Tudor.

Deosebirea constă în faptul că cele două arce ce se întâlnesc în V (Fig.9) sunt înlocuite cu tangentele în E, respectiv F, la arcele laterale (Fig.11).

Pot fi alese cazurile particulare în care cele două centre împart lăţimea arcului în trei părţi egale sau în care distanţa dintre ele este jumătate din lăţimea arcului.

Fig. 9 Arcul Tudor

Arcul rampant Este un arc asimetric, cu coloane inegale, utilizat la susţinerea rampelor. Arcul rampant este format din două arce de cerc racordate între ele, respectiv cu coloanele, tangenta comună în punctul de contact dintre ele fiind paralelă cu dreapta ce uneşte capetele superioare ale coloanelor.

Fig. 12 Arcul rampant

- 10 -

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Există mai multe posibilităţi de aflare a celor două centre ale arcelor. Considerăm punctul V pe mediatoarea lui (AD) cu VP = BP, P mijlocul lui (BC) (Fig.12). Perpendiculara pe BC din V intersectează orizontalele prin B, respectiv C, în O1 şi O2. Construim arcele de cerc C(O1; O1B) de la B la V și C(O2; O2C) de la C la V, ce formează arcul rampant.

Trebuie justificat că: O1B=VO1, O2C= O2V. Racordul în V este dat de coliniaritatea centrelor O1,O2 şi a punctului V. Tangenta comună în V este paralelă cu BC, având pe O1O2 perpendiculară comună.

Arcul trilobat Se poate obține, de exemplu, ca arcul mâner de coș cu trei centre cu deosebirea că arcul din mijloc se înlocuiește cu unul din arcele studiate.

- 11 -

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

CONICE Conicele sunt curbele plane rezultate în urma intersecției dintre un con circular drept și un plan: cercul, elipsa, hiperbola, parabola (Fig.1).

Fig.1 Conice

Raportat la sistemul cartezian de axe de coordonate Oxy, ecuația generală a unei conice este a11 x 2  a22 y 2  2a12 xy  b1 x  b2 y  c  0 .

1. Elipsa Elipsa este curba plană ce reprezintă locul geometric al punctelor cu proprietatea că suma distanțelor față de două puncte fixe, numite focare, este constantă (Fig.2).

M

F1

F2

Fig.2 Construcţia continuă a unei elipse

Fig.3 Axa mare a elipsei

Notând focarele cu F1 și F2 avem F1F2 = 2c. Pentru M aparținând elipsei, MF1+MF2 = constant = 2a.

Remarcăm că a și c determină unic elipsa, iar a > c .

Fie O mijlocul lui (F1F2) și punctele A1,A2 pe dreapta F1F2 cu O mijloc pentru (A1A2) și A1A2 = 2a (Fig.3). Atunci punctele A1 şi A2 aparţin elipsei. Într-adevăr, A1F1+A1F2=A1F1+A1F1+F1F2=A1F1+A2F2+F1F2 = 2a, adică A1 aparține elipsei.

-1-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Pe baza definiţiei, putem construi cu rigla şi compasul orice punct al elipsei. Deoarece trebuie ca MF1+MF2 = 2a = A1A2, alegem P  (A1A2) și construim C(F1;A1P) și C(F2;A2P), la intersecția lor găsindu-se punctul M al elipsei (de fapt două puncte) (Fig.4).

Fig.4 Construcţia prin puncte a elipsei

Fig.5 Elipsa şi elementele sale

Punctul M aparţine elipsei deoarece, din construcţie, suma distanţelor de la M la cele două focare este chiar 2a.

Cu teorema lui Pitagora rezultă imediat că distanţa dintre punctele elipsei situate pe mediatoarea lui (F1F2) este B1B2 = 2b, unde b  a 2  c 2 (Fig.5).

Folosind formula distanţei din geometria analitică plană şi definiţia elipsei se obţine ecuația carteziană a elipsei. Vom construi sistemul cartezian de axe de coordonate Oxy astfel: O este mijlocul segmentului (F1F2), iar F1F2 este axa Ox. Atunci ecuația elipsei de centru O, semiaxă mare a = OA2 şi semiaxă mică b = OB1 (Fig.5) este:

x2 2



y2 2

 1, b 2  a 2  c 2 .

a b Dăm în continuare o altă construcţie cu rigla şi compasul a unui punct al elipsei de semiaxe a şi b. Construim cercurile C(O;a), C(O;b) și o semidreaptă variabilă din O, ce va intersecta cele două cercuri în P și Q (Fig.6). Proiectăm P,Q pe OA2 în S, respectiv R și P pe QR în M. Atunci punctul M aparține elipsei. Într-adevăr, notând cu  unghiul dintre d și OA2, obţinem xM  OR  a cos  , yM  MR  PS  b sin   adică M aparţine elipsei de ecuaţie

x2 a2



y2 b2

2 xM

a

2



2 yM

b

2

 cos 2   sin 2   1,

 1.

Fig.6 Construcţia prin puncte a elipsei

Fig.7 Proiecţia unui cerc pe un plan oblic

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

 x  a cos  Relaţiile  ,   [0, 2 ), reprezintă ecuaţiile parametrice ale elipsei.  y  b sin  Observăm că .

b a este o elipsă de semiaxe a și b (Fig.7). Folosind legătura dintre aria ce se proiectează, aria proiecţiei şi unghiul de proiecţie (dintre plane), rezultă că aria discului de elipsă de semiaxe a b şi b este Ae  Ac  cos    a 2    ab . a Proiecția unui cerc de rază a pe un plan cu care face unghiul   arc cos



Aplicație. Să calculăm aria domeniului D  ( x, y )  R 2 | x 2  y 2  16, 

 x2 y 2   1, y  0  4 9 

1 AD  ( Acerc  Aelipsa ) 2 1  ( r 2   ab) 2  5

O proprietate practică importantă a elipsei este proprietatea optică: O rază de lumină ce trece printr-un focar se reflectă în elipsă, raza reflectată trecând prin celălalt focar (Fig.8).

Reflexia se realizează pe tangenta la elipsă în punctul de intersecție dintre rază şi elipsă, cu condiția ca unghiul de incidență i să fie egal cu unghiul de reflexie r.

Perpendiculara în M pe tangentă va fi bisectoarea unghiului F1MF2, rezultând de aici modul de construcţie al tangentei la elipsă într-un punct M al ei.

Fig.8 Proprietatea optică a elipsei

1

e

2

x0  x 

1

y0  y  1. a b2 Excentricitatea elipsei este raportul dintre distanţa focală F1F2 şi axa mare A1A2: Ecuaţia tangentei la elipsă în punctul M( x0 , y0 ) este

c b2  1  2  (0;1). a a

Ea caracterizează „alungirea” elipsei:

 1  Lungimea aproximativă a elipsei este L  2 a 1  e2  .  4 

-3-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Elipsa nu poate fi construită cu rigla şi compasul. Putem da, însă, o construcţie aproximativă a acesteia folosind arcul eliptic (Fig.9). Arcul eliptic se aseamănă cu un arc mâner de coş cu trei centre şi, construind şi simetricul lui faţă de baza sa, se obţine reprezentarea aproximativă a elipsei (cu albastru; punctat este reprezentată o elipsă generată de computer) (Fig.10).

Pornind de la semiaxele a și b (de exemplu a  5, b  3 ), construim 2a = A1A2 și 2b = B1B2 (Fig.9). Alegem P( B1B2) cu B1P < b (de exemplu 2). Fixăm pe (A1A2) punctele O1 și O2 cu A1O1=A2O2= B1P. Mediatoarea lui (O1P) intersectează B1B2 în O3. Construim arcele de cerc C(O1; O1A1) de la A1 la semidreapta (O3O1, C(O2; O2A2) de la A2 la semidreapta (O3O2 și C(O3; O3E) de la E la F, obţinând astfel arcul eliptic. Se observă uşor că punctul B1 aparţine arcului EF.

Fig.10 Comparaţie între elipsa aproximativă şi elipsă

Fig.9 Arcul eliptic

Exerciţiul 1. Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă înscris în elipsa de semiaxe a și b. Construiți apoi acest dreptunghi și, aproximativ, elipsa. x2 y 2   1 situat în Exerciţiul 2. Aflaţi coordonatele punctului M de pe elipsa de ecuaţie 16 9 primul cadran astfel ca unghiul dintre OM şi axa Ox să fie de 30o. Construiţi cu rigla şi compasul acest punct, precum şi, aproximativ, elipsa. x2 y 2   1 , situat în Exerciţiul 3. Aflaţi ordonata punctului M de pe elipsa de ecuaţie 25 9 primul cadran, ce are abscisa 3. Construiţi aproximativ elipsa, apoi punctul M şi tangenta la elipsă în punctul M.

-4-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

2. Hiperbola Hiperbola este curba plană ce reprezintă locul geometric al punctelor cu proprietatea că modulul diferenţei distanțelor față de două puncte fixe, numite focare, este constantă (Fig.2).

Notăm focarele cu F1 și F2 având distanţa dintre ele F1F2 = 2c. Punctele hiperbolei ce se găsesc pe axa dintre focare se numesc vârfurile hiperbolei.

Fig.1 Vârfurile şi focarele hiperbolei

Pentru M aparținând elipsei,

MF1  MF2  constant = 2a.

Remarcăm că a și c determină unic hiperbola, iar a < c .

Fie O mijlocul lui (F1F2) și punctele A1,A2 pe dreapta F1F2 cu O mijloc pentru (A1A2) și A1A2 = 2a (Fig.1). Atunci punctele A1 şi A2 aparţin hiperbolei. Într-adevăr, |A1F1-A1F2|=|A1F1-(A1A2+A2F2)|=A1A2 = 2a, adică A1 aparține hiperbolei.

Pe baza definiţiei, putem construi cu rigla şi compasul orice punct al hiperbolei.

Deoarece trebuie ca MF1  MF2  2a = A1A2, alegem P  A1A2 \ (A1A2) și construim C(F1;A1P) și C(F2;A2P), la intersecția lor găsindu-se punctul M al hiperbolei (de fapt două puncte) (Fig.2).

Fig.2 Construcţia prin puncte a hiperbolei

Punctul M aparţine hiperbolei deoarece, din construcţie, modulul diferenţei distanţelor de la M la cele două focare este chiar 2a.

-1-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Folosind formula distanţei din geometria analitică plană şi definiţia rezultă că, raportat la sistemul cartezian de axe Oxy, unde O este mijlocul segmentului (F1F2), iar F1F2 este axa Ox, ecuația hiperbolei de centru O este

x2 2



y2 2

 1, b 2  c 2  a 2 .

a b O proprietate practică importantă a hiperbolei este proprietatea optică: O rază de lumină ce trece printr-un focar se reflectă în hiperbolă după o dreaptă ce conţine celălalt focar (Fig.3).

Datorită proprietăţii reflexiei, bisectoarea unghiului F1MF2 este chiar tangenta în M la hiperbolă.

Fig.3 Proprietatea optică a hiperbolei

Fig.4 Asimptotele hiperbolei

Exprimându-l pe y din ecuaţia hiperbolei, se pot calcula ecuaţiile asimptotelor oblice b ale hiperbolei: y   x. De asemenea, ecuaţia tangentei la hiperbolă în punctul M( x0 , y0 ) a 1 1 este 2 x0  x  2 y0  y  1. a b Excentricitatea hiperbolei este raportul dintre distanţa focală F1F2 şi distanţa dintre vârfuri, A1A2:

e

c b2  1  2  (1; ). a a

Ea caracterizează „arcuirea” hiperbolei:

e    c a  b  c  hiperbola  dreapta verticala e  1  c  a  b  0  hiperbola  semidreapta orizontala

Fig.5 “Arcuirea” hiperbolei

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

3. Parabola Parabola este curba plană ce reprezintă locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix F, numit focar, și de o dreaptă fixă d, numită dreaptă directoare (Fig.7).

Pentru M aparținând parabolei, MF = d(M,d).

Pentru construcţia continuă a parabolei procedăm astfel: fixăm un echer ABC cu cateta AC (cateta mai scurtă) pe dreapta d (Fig.6). Un fir de lungime AB se prinde cu un capăt în B și celălalt capăt în F. Cu vârful unui creion, notat P, întindem firul astfel încât PB să fie de-a lungul catetei AB. În acest fel, PF = PA. Mișcând echerul astfel încât cateta AC să se sprijine pe dreapta d, punctul P descrie ramura de parabolă din figura 6 (cu focarul în F și dreapta directoare d). Schimbând echerul într-o poziție simetrică față de FO, obținem a doua ramură a parabolei, simetrică ramurii construite.

Fig.6 Construcţia continuă a parabolei

Fig7. Parabola. Elemente; construcţia unui punct

Fie D proiecția lui F pe dreapta d și O mijlocul lui (DF). Notăm distanța de la F la d cu 2c. Atunci punctul O verifică definiţia, deci aparţine parabolei (este vârful parabolei).

Pentru construcția cu rigla și compasul a unui punct al parabolei ţinem cont de definiţie: deoarece MF = d(M,d) = MP, pentru Pd oarecare construim mediatoarea m a segmentului (FP) ce intersectează perpendiculara dusă în P pe d în punctul M al parabolei (Fig.7). Construcţia mai multor astfel de puncte dă naştere la construcţia prin puncte a parabolei.

Raportat la sistemul cartezian de axe Oxy, cu OF ca axă Ox (axă de simetrie), se deduce ecuația că parabolei este y 2  4cx , iar ecuaţia tangentei la parabolă într-un punct M(x0,y0) este y0  y  2c( x  x0 ).

Dăm în continuare proprietatea optică a parabolei ce ne va permite să justificăm construcţia cu rigla şi compasul a tangentei la parabolă într-un punct al ei. Mai exact: O rază de lumină ce trece prin focar se reflectă în parabolă paralel cu axa de simetrie a acesteia (Fig.8).

Ca o consecinţă avem că tangenta la parabolă în M este perpendiculară pe bisectoarea unghiului format de raza incidentă și raza reflectată. Mai mult, această tangentă este chiar mediatoarea segmentului (FP) (Fig.7).

-3-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Fig.8 Proprietatea optică a parabolei

Fig.9 Segmentul de parabolă

Segmentul de parabolă (de săgeată h) este regiunea plană delimitată de parabolă și de o dreaptă perpendiculară pe axa de simetrie (Fig.9). Partea de parabolă formează un arc parabolic.

8 Vom deduce că aria segmentului de parabolă de săgeată h este A  h hc .

3 Pentru aceasta să ne reamintim că aria regiunii plane delimitată de axa Ox, dreptele b

verticale x = a și y = b și graficul unei funcții y = f(x) este A   | f ( x) | dx. a

Cum ecuaţia parabolei este y  4cx , rezultă că parabola este reuniunea graficelor 2

funcţiilor y  f ( x)  2 cx şi y   f ( x)  2 cx , iar pentru segmentul de parabolă considerat, a  0, b  h. Datorită simetriei faţă de axa Ox rezultă h

h

A  2   2 cx dx  4 c  0

0

1 x2

dx  4 c

x

1 1 2

h

1 1 2 0

3

4 c

h2 3 2

8  h ch .

3

Remarcăm că lui x  h îi corespunde pe parabolă 2 y  2 ch . Atunci aria segmentului de parabolă este din 3 produsul dintre lăţimea (baza) şi înălţimea arcului parabolic corespunzător.

-4-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Spirale în plan Spirala plană este curba plană descrisă de un punct ce se rotește după o anumită lege în jurul unui punct fix, numit centrul (polul) spiralei.

Cercul, fiind curba descrisă de un punct fixat pe o semidreaptă ce se rotește în jurul originii sale, este o spirală. Sunt interesante, de exemplu, situaţiile în care punctul nu este fixat pe semidreaptă.

Datorită mișcării de rotație, ecuațiile spiralelor (legile de mișcare) se reprezintă cel mai convenabil în coordonatele polare  şi  : considerând reperul polar de centru O și axă Ox, pentru punctul A din plan avem   OA (raza polara),   (OA,Ox) (Fig.1).

A 

 x Fig.2 Oscilaţia în jurul cercului

Fig.1 Coordonatele polare

În coordonate polare, ecuația unei curbe este  :   h( ),  [a; b] . Cercul are 1 ecuaţia polară   r , iar în figura 2 este reprezentată curba de ecuație   r  sin(n ), n   [0, 2 ) , n  3 .

Spirala lui Arhimede Spirala lui Arhimede este curba plană descrisă de un punct ce se îndepărtează uniform (cu viteza constantă v) de originea O a unei semidrepte ce se rotește uniform (cu viteza constantă  ) în jurul lui O (centrul spiralei) (Fig.3). Spira este arcul de spirală corespunzător unei rotații de la Ox la Ox (rotaţie de 360o) (Fig.4).

Fig.4 Prima spiră a spiralei lui Arhimede

Fig.3 Spirala lui Arhimede

Ecuația polară a spiralei lui Arhimede este   a  ,   [0, ).

-1-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Proprietatea caracteristică spiralei lui Arhimede este aceea că spirele sale determină pe o semidreaptă cu originea în O segmente egale (de lungime 2πa).

Fig.5 Creşterea constantă a spiralei lui Arhimede

Fig.6 O spirală de tip spirala lui Arhimede

Într-adevăr, fixând două puncte pe două spire consecutive, avem:

Pk :  k  ak Pk 1 :  k 1  ak 1  a(k  2 )  ak  2 a   k  2 a  Pk Pk 1   k 1  k  2 a.

Numărul 2πa se numește pasul spiralei lui Arhimede. El reprezintă rata de creștere a spiralei după un ciclu de lungime 2π. Deci, spirala lui Arhimede descrie creșterea ca o adunare.

Spirala lui Arhimede poate fi aproximată prin spirale obţinute prin racordări de arce de cerc. O astfel de aproximare este dată de spiralele cu n centre.

Să exemplificăm spirala cu 4 centre: se construiește un pătrat de latură r, vărfurile lui, în ordine trigonometrică, fiind, pe rând, centrele sferturilor de cerc ce se racordează, razele crescând în progresie aritmetică de rație r (Fig.7). Arcele de cerc sunt respectiv concentrice, deci distanţele dintre spire sunt aceleaşi, egale cu 4r.

Fig. 7 Spirala cu 4 centre

Fig.8 Spirala lui Arhimede vs. Spirala cu 4 centre

-2-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

Spirala logaritmică Spirala logaritmică este curba plană descrisă de un punct ce se îndepărtează, cu viteza direct proporțională cu raza polară, de originea O a unei semidrepte ce se rotește uniform în jurul lui O (centrul spiralei) (Fig.9). Este prezentă în natură, mai ales în formă spaţială, la cochiliile melcilor sau scoicilor, dar şi la coarnele unor animale (berbec) sau la unele legume şi fructe (brocoli, floarea soarelui). Şi unele galaxii au forma unei astfel de spirale.

Ecuaţia polară a spiralei logaritmice este   a eb ,   R, a, b  0, sau echivalent

ln

 a

 b , unde a este un factor de scară, iar b este un factor de proporţionalitate.

Următoarea proprietate ne arată diferenţa dintre spirala logaritmică şi spirala lui Arhimede. Mai exact, spirele spiralei logaritmice determină pe o semidreaptă cu originea în O 2πb segmente proporționale, ce cresc în progresie geometrică (de rație e ) (Fig.9).

Fig. 9 Creşterea proporţională a spiralei logaritmice

Fig.10 Creşterea proporţională a razelor polare

Într-adevăr, considerând trei spire consecutive, acestea intersectează o semidreaptă cu originea în O în punctele Pk, Pk+1, Pk+2. Avem:

k 1  k  2 ; k  2  k 1  2





Pk Pk 1  k 1  k  aebk 1  aebk  aebk e2b  1





Pk 1Pk  2  aebk 1 e2b  1

Pk 1Pk  2  eb(k 1 k )  e2b .

Pk Pk 1 2πb

Numărul e se numește rata de creștere în progresie geometrică a spiralei logaritmice (după un ciclu de lungime 2π). Deci, spirala logaritmică descrie creșterea proporțională (ca o înmulţire), fiind astfel numită și spirala de creștere organică.

O altă proprietate a spiralei logaritmice este aceea că parcurgând-o cu unghiuri egale  , razele polare cresc în progresie geometrică (Fig.10). Într-adevăr, se obţine imediat că

 k 1 b e . k

Cunoscând că unghiul dintre o dreaptă şi o curbă este unghiul dintre dreaptă şi tangenta la curbă în punctul de intresecţie dintre dreaptă şi curbă, se demonstrează că orice

-3-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

1 b (Fig.11). După această proprietate, spirala logaritmică se mai numeşte şi spirala echiunghiulară.

Folosind faptul că unghiul dintre două curbe în punctul lor de contact este unghiul dintre tangentele celor două curbe în punctul de intersecţie, se obţine că în orice punct P al spiralei logaritmice, unghiul u dintre spirala logaritmică şi cercul C(O;OP) este constant, u  arctan b (Fig.12). Acest unghi poartă numele de unghi pantă al spiralei logaritmice şi el caracterizează abaterea spiralei de la forma de cerc. Dacă b este aproape zero atunci spirala logaritmică se abate uşor (nu brusc) de la cerc. dreaptă ce trece prin origine intersectează spirala logaritmică sub același unghi   arctan

Fig.12 Abaterea de la cerc (unghiul pantă)

Fig.11 Proprietatea de echiunghiularitate

Se pot construi cu rigla şi compasul spirale ce aproximează spirala logaritmică, adică au aceleaşi proprietăţi (distanţele dintre spire, pe aceeaşi semidreptă, cresc în progresie geometrică sau razele polare cresc, la parcurgerea spiralei cu unghiuri egale, deasemenea în progresie geometrică, la îndepărtarea de originea spiralei). În figura 13 este construită o spirală de tip logaritmic din segmente1. Prin originea O se construiesc n axe de separare ce formează între ele același unghi. Se alege un punct pe o axă din care se duce o perpendiculară pe axa următoare etc. Notând cu  unghiul dintre două axe, obţinem imediat că razele polare scad în progresie geometrică de raţie cos  .

Fig.13 Spirală de tip logaritmic din segmente 1

Hilton, P.; Holton, D.; and Pedersen, J. Mathematical Reflections in a Room with Many Mirrors. New York: Springer-Verlag, 1997.

-4-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

O spirală foarte importantă ce aproximează spirala logaritmică şi care se obţine prin racordarea de arce de cerc este spirala de aur. Pentru obţinerea ei, se construiește un dreptunghi de aur ABCD (raportul dintre lungime şi lăţime este egal cu numărul de aur, 1 5 ) suficient de mare (Fig.14), ce se descompune într-un pătrat AMND și un dreptunghi 2 de aur mai mic MBCN (proprietatea de gnomon), care la rândul lui se descompune etc. Se trasează sferturi de cerc cu centre în colțurile pătratelor obținute. Observăm că razele sferturilor de cerc scad în progresie geometrică de raţie numărul de aur. Echivalent, putem face aceeaşi construcţie pornind de la un dreptunghi de aur suficient de mic căruia să-i alipim pe lungime un pătrat, rezultând un dreptunghi de aur. Acestuia i se alipeşte pe lungime un pătrat etc.

D

N

C

A

M

B

Fig.14 Spirala de aur

Spirala de aur aproximează spirala logaritmică ce are unghiul pantă u = 17,03239o, (b = 0,3063) (Fig.15).

Fig.15 Spirala logaritmică (albastru) vs. Spirala de aur

O altă spirală ce aproximează spirala logaritmică, asemănătoare cu spirala de aur, este spirala lui Fibonacci (Fig.16). Se construiesc alăturat pătrate dispuse în formă de spirală, având laturile egale cu termenii consecutivi ai șirului lui Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21 etc. Se trasează sferturi de cerc cu centrele în vârfurile pătratelor. Avem că razele sferturilor de cerc racordate cresc astfel ca rapoartele dintre ele tind la numărul de aur (proprietatea termenilor şirului lui Fibonacci).

O altă spirală de aur se poate obţine folosindu-ne de triunghiul de aur (triunghi isoscel cu raportul dintre latură şi bază egal cu numărul de aur) şi gnomonul lui, gnomonul de aur -5-

Cristian Lăzureanu – Matematici pentru studenţii arhitecţi

(triunghi isoscel cu raportul dintre bază şi latură egal cu numărul de aur). Se construiește un triunghi de aur ABC ce se descompune într-un triunghi de aur mai mic BCP și gnomonul de aur BPA. Triunghiul de aur BCP se descompune la rândul lui etc. Se racordează arce de cerc de 108o ce au centrele în P,Q etc. Şi în acest caz razele arcelor de cerc ce se racordează scad în progresie geometrică de raţie egală cu numărul de aur.

A 8

P

13

1 Q

2

1

5 B

3 Fig.16 Spirala lui Fibonacci

Fig.17 O altă spirală de aur

Dăm în continuare exemple de alte spirale.

Spirala lui Fermat (Fig.18):   a  ,   0. a ,   0.

Spirala Lituus (Fig.19):  



Spirala hiperbolică (Fig.20):  

a



,   0.

Fig.19 Spirala Lituus

Fig.18 Spirala lui Fermat Fig.20 Spirala hiperbolică

-6-

C

FRACTALI

Cristian Lﾄホureanu

Autosimilaritate • poate fi considerată ca o simetrie ce este invariantă în raport cu mărimea (simetrie la diferite scări de mărime).

• apare atunci când părțile mici sunt similare (asemenea) cu părțile mai mari care la rândul lor sunt asemenea cu întregul.

• în natură: norii, un copac, o ferigă, cochilia unui melc, iar în geometrie: spirala de aur.

Cristian Lăzureanu

• Benoit Mandelbrot a definit fractalul ca: • O formă geometrică fragmentată care poate fi subdivizată în părţi oricât de mici (având detalii infinite), fiecare din aceste părţi fiind (măcar aproximativ) o copie redusă ca dimensiuni a întregului.

• A dat numele de "fractal" în 1975 din latinul fractus (a rupe).

• fractalul matematic este definit recursiv • poate fi construit geometric sau folosind grafica pe calculator Cristian Lăzureanu

Cristian Lﾄホureanu

Cristian Lﾄホureanu

Cristian Lﾄホureanu

Cristian Lﾄホureanu

Cﾃ｢teva elemente repetate la scﾄビi diferite

Cristian Lﾄホureanu

rotit

Mulțimea Cantor • pornim de la un segment (n=0, inițiator) la care treimea din mijloc se elimină obținând generatorul (n=1).

• fiecărui nou segment i se aplică aceeași transformare.

Cristian Lăzureanu

Cristian Lﾄホureanu

Curba lui Koch

0

• pornim de la un segment (0, inițiator) la care treimea din mijloc se înlocuiește cu un triunghi echilateral fără bază, obținând generatorul (1).

• fiecărui nou segment i se aplică aceeași transformare.

• calculați lungimea curbei la fiecare iterație (lungimea inițială l)

1

2

3

4

5

Cristian Lăzureanu

Cristian Lﾄホureanu

Insula (fulgul) lui Koch 窶｢ curba Koch pe laturile unui triunghi echilateral

0

1

2

3

Cristian Lﾄホureanu

Curba pălărie • pornim de la un segment (0) la care treimea din mijloc se înlocuiește cu un pătrat fără bază, obținând generatorul (1).

• fiecărui nou segment i se aplică aceeași transformare.

Cristian Lăzureanu

0

1

2

3

• Altă regulă (dată la pasul 1).

Cristian Lăzureanu

Curba Hilbert

Curba lui Hilbert este un exemplu de curbă continuă, de lungime infinită, fără autointersecţii, care “umple” un pătrat.

Cristian Lăzureanu

Triunghiul lui Sierpinski •

• •

•

se pornește de la un triunghi echilateral mijloacele laturilor îl împarte în 4 triunghiuri echilaterale triunghiul din centru rămâne neschimbat, celelalte se împart ca la 1. se contiunuă procedeul

1

2

Cristian Lăzureanu

0

3

Cristian Lăzureanu

Încercați cu hexagon regulat în centrul fiecărui triunghi.

Pătratul lui Sierpinski • se aseamănă cu triunghiul lui Sierpinski • descrieți modul de obținere

Cristian Lăzureanu

Cristian Lﾄホureanu

• Alte exemple

• Explicați regulile de formare

Cristian Lăzureanu

Fractali arbore

Cristian Lăzureanu

• Spre deosebire de fractalii prezentați anterior, ce se dezvoltă în ’’interiorul’’ figurii inițiale, fractalii arbore ’’cresc’’ de la o ’’tulpină’’ inițială, respectând la fiecare pas modelul generator.

窶｢ Arborele T:

l 2

l 2

l 22

l

Cristian Lﾄホureanu

• Studiați dacă se vor suprapune ramurile, creșterea fiind infinită 1 • Calculați maximul factorului de creștere   pentru q









a nu avea suprapunere  l  l  q • Construiți un fractal arbore la care ramurile se înjumătățesc și unghiul dintre ele este de 120o.

Cristian Lăzureanu

Exemplu: arbore cu pătrate - cum se dezvoltă?

- cât de mare crește, la iterație infinită?

Cristian Lăzureanu

• Construiți un fractal arbore cu triunghiuri echilaterale, prin înjumătățirea laturilor de exemplu:

Calculați-i înălțimea maximă.

Cristian Lăzureanu

Fractalii și Arhitectura În natură unele fenomene apar haotic fără aparent nici o structură sau şablon, ocolind astfel matematica liniară. Haosul aparent a devenit lizibil grafic printr-o înţelegere clară a fractalilor naturii şi a geometriei neliniare.

Descoperirea acestui fenomen îi aparţine lui Mandelbrot care a descris-o în „Geometria fractală a naturii” (1977). Posibilităţile prezentate prin aplicarea principiilor de „ordine” din haosul aparent al naturii în proiectarea arhitecturală sunt impresionante. Mai exact, permite abordarea de direcţii noi înspre exprimări mai naturale ale formei construite. Acest lucru poate fi exprimat în asemănarea şi scara părţilor şi a întregului, care sunt caracteristicile geometriei fractale.

Cristian Lăzureanu

Arborii pot fi trasaţi fractal în două sau trei dimensiuni. Oriunde asemănarea cu sine e generată de-a lungul scalelor printr-o repetiţie a unei ramificari simple, apar structuri asemănătoare arborilor (exemple grafice fiind râurile cu canale de intrare vizibile, sau parcursul nervilor sau cursul sângelui în corpul uman). La o scară urbană structura multora dintre oraşele antice în general este asemănătoare unor arbori cu sisteme de străzi radiale convergând şi crescând în jurul centrului istoric, asemănător unor covoare fractale ( van Nlekerk 1999) .

Cristian Lăzureanu

• Exprimările geometriei fractale în arhitectură au un caracter esenţial organic îndreptându-se spre o continuitate sau o legătură continuă prin căi iterative şi asocieri cognitive. A încerca forma organică înseamnă a aprecia interconexiunile distincte la diferite scări. Jencks (1997) subliniază că majoritatea celor care se referă la arhitectură organică, inclusiv Groplus şi Wright, au insistat asupra unor lucrări care reflectă „auto-similaritate” fractală sau „unitate cu varietate”. Similar, compozitorii folosesc iterativ în muzică formulare tematică pentru ca întreaga compoziţie să fie în conformitate cu părţile sale şi viceversa.

Cristian Lăzureanu

• Geometria fractală este utilizată în arhitectură din două motive principale. În primul rând, unii au promovat geometria fractală ca pe o unealtă creativă. De exemplu, Carl Bovill [1996] utilizează ritmuri fractale, create prin dispunere centrală, pentru a genera o gamă largă de organizări arhitecturale, ca de exemplu grilaje, ferestre, abateri pentru zgomot şi altele. Nikos Salingaros [1998] a scos în evidenţă aplicaţii în trei dimensiuni ale fractalilor în arhitectură şi susţine frecvent recurenţa elementelor arhitecturale similare cu forma construită, la diferite scări.

Cristian Lăzureanu

• Un al doilea mod în care geometria fractală poate fi relaţionată cu arhitectura este utilizarea unora dintre tehnicile tipice de măsurare ale acesteia pentru a analiza structura clădirilor (de exemplu, metoda căsuţelor numărate, care este o măsură a recursivităţii detaliilor la scări mai mici). Carl Bovill [1996] a aplicat această metodă la diferite stiluri constructive. El a descoperit că arhitectura organică a lui Wright dezvăluie o „cascadă a detaliului” la diferite scări, în timp ce în arhitectura modernistă a lui Le Corbusier, curba fractală scade rapid la 1 pentru scări mai mici. Această descoperire este consecventă faptului că arhitectura organică a lui „Wright cerea ca materialele să fie utilizate într-un mod în care să capteze complexitatea şi ordinea naturii, în timp ce purismul lui Le Corbusier cerea ca materialele să fie utilizate într-un mod mult mai industrial, întotdeauna căutând eficienţa şi puritatea Cristian Lăzureanu utilizării”.

După cum notează George Hersey [1993], o organizare fractală este caracteristică pentru planul catedralei Sf. Petru din Roma.

Cristian Lăzureanu

Strânse simetric între colţurile interioare formate de braţele crucii, se găsesc patru cruci greceşti în miniatură care, împreună, dau cubul de bază al corpului bisericii.

Braţele acestor cruci mai mici sunt formate la rândul lor de alte miniaturi şi colţurile lor sunt umplute cu mici capele şi nişe. Cu alte cuvinte, planul lui Bramante poate fi numit fractal : se repetă ca unităţi la diferite scări.

Cristian Lăzureanu

•

Planul fractal care a primit probabil cea mai mare atenţie teoretică este “Palmer House” a lui Wright (Ann Arbor, Michigan). Pentru a putea înţelege caracterul ei fractal este important să notăm că arhitecţii utilizează uneori un modul ca element organizator principal. Într-un fel, un astfel de element poate fi înţeles ca şi “blocul constitutiv” conceptual al casei. Wright a aplicat adesea această procedură în cariera sa. Iniţial, geometria ce guverna arhitectura sa, creată cu ajutorul acestor module, rămânea euclidiană. În lucrările mai târzii, totuşi, aceste elemente erau câteodată atât de organizate încât dădeau clădirii o organizare fractală remarcabilă.

“Palmer House” pare să fie punctual culminant al acestei evoluţii. Aici, un modul geometric - un triunghi echilateral - este repetat în planul casei la nu mai puţin de 7 scări diferite [Eaton 1998].

Cristian Lăzureanu

• O altă clădire a lui Wright, a cărei natură fractală este vizibilă – dar în elevaţie - este “Town Hall” din Marin County (San Francisco). În această structură, deasupra fiecărui arc este plasat un alt arc care este mai mic decât precedentul.

Aceasta dă structurii o similitudine de până la cinci scări [Portoghesi 2000].

Cristian Lăzureanu

• Pentru alte exemple remarcabile de arhitectură fractală tridimensională, trebuie să ne întoarcem în timp: templele hinduse. Caracterul fractal al templelor hinduse este puternic legat de cosmologia hindusă [Trivedi 1989; Portoghesi 2000]. De fapt, aceste edificii ar trebui înţelese ca modele ale cosmosului hindus. În filozofia hindusă, cosmosul este (mai mult sau mai puţin) conceput ca o hologramă, în care fiecare parte a întregului este întregul însuşi. Credinţa unor şcoli hinduse aderă la viziunea conform căreia macrocosmosul se regăseşte în microcosmos: întregul cosmos poate fi văzut ca fiind conţinut într-o capsulă microcosmică, cu ajutorul conceptului elementelor subtile numite „tanmatras”. Întregul principiu cosmic este replicat din nou şi din nou la scări şi mai mici. Se spune că fiinţa umană conţine în interiorul ei întregul cosmos.

• În mod interesant, ambele concepte cosmologice pot fi strâns relaţionate cu auto-similaritatea fractalilor.

Aici, de asemenea, structura globală se regăseşte, la nesfârşit, în microstructură.

Cristian Lăzureanu

Cristian Lﾄホureanu

• Fractalitatea templului hindus poate fi dedusă dintr-o serie de intervenţii arhitecturale tipice. O privire asupra acestor metode nu este doar în mod teoretic interesantă, dar oferă de asemenea un set de linii de ghidare pentru înţelegerea caracterului fractal al arhitecturii: 1. Împărţirea sau ruperea unei forme, apoi repetarea ei în plan orizontal, vertical sau radial.

2. În plan, înlocuirea iterativă a laturilor alăturate plane ce conţin proiecţii interioare sau exterioare, sau mai multe detalii. Această metodă poate fi aplicată şi în trei dimensiuni.

3. Auto-similaritatea tridimensională a spiralei centrale a templului budist.

4. Repetarea formelor similare in plan orizontal sau vertical.

5. Impunerea elementelor arhitecturale tridimensionale („... motivele sunt înscrise în alte tipuri de motive şi o serie de teme diferite şi motive sunt condensate şi juxtapuse împreună într-o entitate nouă şi complexă” [Trivedi 1989].)

Cristian Lăzureanu

Asupra analizei unei clădiri

Înfăţişarea se referă la forma sau configuraţia unei clădiri. Forma şi opusul său, spaţiul, constituie elementele primare ale arhitecturii. Legătura reciprocă este esenţială şi e dată de intenţia arhitecturii de a furniza spaţiu pentru adăpostul activităţilor umane. Forma şi volumul sunt modele şi dimensiuni definite în procesul de design. În plus, un alt aspect important al relaţiei dintre formă şi spaţiu este acela că forma clădirii trebuie să fie în strânsă legătură cu locul pe care aceasta e amplasată şi cu celelalte clădiri care se află în vecinătate. Aşa cum spaţiul interior este creat de golurile din forma clădirii, aşa şi spaţiul exterior poate fi bine sau slab definit de forma acesteia.

De exemplu, considerăm diferenţa dintre o clădire bine îmbinată care se potriveşte exact cu limitele locului pe care e aşezată (nu lasă nici un loc liber pe site-ul pe care e aşezată, făcând poate excepţie o curte exterioară bine definită) şi o clădire independentă localizată pe un spaţiu imens. Fără ajutorul altor forme de definire ale spaţiului, cum ar fi copacii, gardurile, schimbările de nivel ş.a.m.d. este foarte greu pentru un spaţiu mare să fie definit sau să fie articulat satisfăcător de majoritatea formelor singulare.

Trebuie luat în considerare un număr de aspecte astfel încât să se analizeze sau să se proiecteze o formă arhitecturală, incluzând forma, masa sau mărimea, scara, proporţia, ritmul, articularea, textura, culoarea şi lumina.

Forma 1. forma se referă la configurarea suprafeţelor şi a marginilor unui obiect bidimensional sau tridimensional. Noi percepem forma mai degrabă prin contur sau siluetă, decât prin detalii. Vezi Fig.1.

2. formele primare: cercul, triunghiul şi pătratul sunt folosite pentru a genera volume. Un cerc generează sfera şi cilindrul, triunghiul produce conul şi piramida, iar pătratul generează cubul. Combinaţia acestor volume întemeiază baza majorităţii formelor arhitecturale. Vezi Fig.2 şi Fig.3. Progresele tehnologiei digitale au promovat design-ul şi reprezentarea unor forme mult mai complexe.

3. formele volumetrice conţin şi mase solide şi goluri. Unele forme rezultă dintrun proces aditiv, iar altele sunt în mod conceptual substrase din alte solide.

Vezi Fig.4.

4. preferinţa pentru forme poate fi bazată pe cultură sau pe rădăcinile memoriei personale, sau pe convenţii. De exemplu, un dom sau o turlă înaltă poate avea conotaţii religioase în arhitectură în anumite culturi, în timp ce desenul unui copil american ce reprezintă o casă deseori descrie o formă pătrată cu un acoperiş ţuguiat, o formă pe care multe din casele din cultura noastră nu o posedă.

Fig.1 formă distinctivă, aparte

Fig.3 adiții și substracții

Fig.2 formă cubică

Fig.4 cerc extras din volum cubic

Formele geometrice utilizate pot fi drepte sau curbe, plane sau spațiale: poligoane, arce de cerc, spirale, suprafețe riglate sau de rotație etc.

Masa/Mărimea Masa combinată cu aspectul, configuraţia definesc forma. Masa se referă la mărimea sau la creşterea în volum a unei clădiri şi poate fi percepută ca mărime reală, sau mărime relativă pentru context. Aici scara îşi intră în rol în modul în care percepem noi masa. Vezi Fig.5.

Fig.5 clădiri de diferite mărimi

Scara Scara nu este acelaşi lucru cu mărimea, dar se referă la mărimea relativă care este percepută de privitor. Această relaţie este în mod tipic stabilită de elementele familiare ale unor clădiri (uşi, scări, balustrade) sau de figura umană. Scara poate fi manipulată de arhitect pentru a face clădirea să pară mai mică sau mai mare decât mărimea sa reală. Pot exista scări multiple pe o singură faţadă a unei clădiri, pentru a realiza o complexitate vizuală la un nivel mult mai înalt.

Fig.6 scări multiple

Termenul de „scară umană” e folosit în mod frecvent pentru a descrie dimensiunile unei clădiri bazându-se pe mărimea corpului uman. La scara umană se mai numeşte şi „scară antropomorfică”.

Scara umană poate varia după cultură sau vârsta locatarului.

Partea dinspre drum a unei staţii rutiere, descrisă în Fig.7 combină scara umană şi cea a vehiculelor într-o singură faţadă.

Fig.7 scara umană şi cea a vehiculelor

Proporţia În general, proporţia în arhitectură se referă la relaţia dintre o parte a clădirii cu alte părţi ale acesteia şi cu întreaga clădire.

Fig.8 Dreptunghiuri asemenea - proporţiile materiale şi de manufactură: majoritatea clădirilor contemporane sunt proporţionate în funcţie de standardul industrial al mărimilor produselor primare de construcţie. Bazate pe proprietăţile moştenite ale fiecărui material au rezultat mărimi convenţionale şi proporţii. De exemplu, cărămizile, unităţile de zidărie din beton, lemnul ușor, furnirul şi placajul de gipscarton sunt întotdeauna unităţi de măsură cuprinse în clădire.

- proporţiile structurale: capacitatea structurală a unui anumit material rezultă în proporţii diferite. Deschiderea şi adâncimea maximă a unui buiandrug din piatră sunt foarte diferite de cele ale unuia din oţel din cauza proprietăţilor lor structurale diferite. Vezi Fig.9.

Fig.9 proporții materiale și structurale (cărămidă vs. oțel)

Ritmul Recurenţa sau repetiţia elementelor arhitecturale, a formelor, a bovindourilor structurale, a ferestrelor etc. stabileşte un ritm care poate fi regulat sau complex.

Fig. 10 ritm vertical dat de cele două balcoane (bovindouri)

În Fig. 11 ritmul este dat de simetrii translatorii ritmice.

Fig.11 ritmul geamurilor, coloanelor

Simetrii Transformările geometrice ce păstrează distanțele (izometriile) aplicate unor părți ale unei clădiri dau naștere unor simetrii, ce dau, poate, o notă de sobrietate.

Observăm simetria bilaterală, simetria centrală, simetria de tip reflexie glisată, ori simetria rotatorie, în ansamblu sau ca detaliu al unei clădiri.

Fig.12 Simetria bilaterală, respectiv centrală

Fig.13 Reflexie glisată

Articularea Modul în care suprafeţele clădirilor vin împreună pentru a defini o formă este în mod curent descris ca „articulaţie”. Modul în care se tratează colţurile, muchiile, suprafaţa de articulare a ferestrelor (orizontală, verticală, câmp static) şi greutatea vizuală a unei clădiri, toate contribuie la articularea formei. Vezi Fig.14.

Textură şi culoare Textura şi culoarea sunt legate de materiale şi pot fi folosite pentru a altera percepţia oricărei forme date. Ca exemplu considerăm modul în care schimbarea unei culori de la o vopsea deschisă la una închisă poate reduce radical mărimea aparentă a unei camere, sau cât de netedă este acoperirea cu stuc şi cât de grosolană cea făcuta cu ajutorul cărămizii, ambele alterând mărimea şi greutatea vizuală a unei case. În Fig.15 este ilustrat modul în care aceeaşi piatră netezită, învechită sau tăiată complex rezultă în diferite culori şi texturi.

Fig.14 articulare complexă

Fig.15 complexitate a culorilor şi a texturilor

Lumina Forma este percepută în mod diferit în funcţie de condiţiile de iluminare în care clădirea este percepută. Arhitectul modern Le Corbusier a accentuat relaţia importantă dintre lumină şi formă în faimoasa sa declaraţie: „Arhitectura este jocul meşteşugit, corect şi magnific al maselor aduse împreună la lumină. Ochii noştri sunt făcuţi să vadă formele în lumină; lumina şi umbra dezvăluie aceste forme.” Vezi Fig.16 ca exemplu semnificativ al rolului umbrei în perceperea unei clădiri.

Fig.16 Forma în lumină

Detalii Privită de aproape, o clădire poate fascina prin detaliile (geometrice) prezente.

Acestea completează imaginea de ansamblu. Exemplificăm aici arcele de boltă, coloanele, șarpanta, balconul, pavări, elemente decorative etc.

SUPRAFEȚE • pe grup sau: • https://portal.ct.upt.ro/matematica • Cristian Lăzureanu • Documente Publice

‘ Cristian Lăzureanu

London Aquatics Centre

nordpark railway station

Sydney Opera House

Lotus temple

Bard fisher center

Leaf House

Reprezentările suprafețelor • Suprafața este o figură geometrică în spațiu generată de mișcarea unui punct M, a cărui poziție depinde de doi parametri independenți reali u și v.

• În sistemul cartezian de axe Oxyz, ecuațiile x  x(u , v)    y  y (u , v)  z  z (u , v) 

(numite ecuațiile parametrice ale suprafeței) dau coordonatele lui M.

• Astroidul  x  a  cos3 u  cos3 v     3 3  y  b  sin u  cos v , u    ,  , v  [0,  ].  2 2  3  z  c  sin v

• Eliminând u și v din ecuațiile parametrice se obține o relație între x, y și z, numită ecuația implicită a suprafeței:

F ( x, y, z )  0.

• De exemplu, sfera, ca loc geometric al punctelor din spațiu egal depărtate de un punct fix, cu centrul în O(0,0,0) și rază r are ecuația

x2  y 2  z 2  r 2 .

• Exprimând z în funcție de x și y se obține ecuația explicită a suprafeței: z  f ( x, y ).

• Whitney Umbrella

x  y z  0, x  [-2, 2], y  [-2, 2], z  [-1,1].

2

2

•

Shoe Surface

1 3 1 2 z  x  y , x  [-3,3], y  [-6,6], z  [-5,10].

3 2

•

Monkey Saddle

z  x  3 xy , x  [-2, 2], y  [-1,1], z  [-11,8].

3

2

Suprafețe de rotație • Suprafața generată de rotirea unei curbe plane directoare Γ în jurul unei axe de rotație d se numește suprafață de rotație.

• Exemplu: sfera se obține prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului său.

• În timpul rotației, orice punct al curbei directoare descrie un cerc (de rotație) situat într-un plan perpendicular pe axa de rotație; reuniunea acestor cercuri dă suprafața de rotație.

• Intersecția dintre suprafața de rotație și un plan ce conține axa de rotație se numește meridian (curbă meridiană).

• Intersecția dintre suprafața de rotație și un plan perpendicular pe axa de rotație se numește paralelă (curbă paralelă).

meridian plan ce conține axa de rotație

cercul de rotație (paralelă)

axa de rotație

Rotația unei curbe din planul yOz în jurul axei Oz • desenăm sistemul de axe Oxyz • desenăm în planul yOz curba directoare Γ  g ( y, z )  0 : x  0 • desenăm simetrica lui Γ față de axa Oz (deoarece orice punct al lui Γ descrie un cerc, punctele de pe curba simetrică sunt diametral opuse punctelor de pe Γ) • simbolizăm cercurile de rotație prin elipse

z

Γ

O

x

y

• Exemplu: torul ( y  a ) 2  z 2  r 2 Rotim cercul  , 0r a x0  z

O

x

y

• Alte exemple  z  ( y  2) 2 , y  [0, 2] :  x  0

4

2

 z  1  sin y , y  [0, 2 ] : x  0

• Dacă suprafața de rotație se obține rotind în jurul axei Oz curba z b  y  f ( z) : , z  [ a, b] x  0

Γ a O

atunci aria suprafeței este dată de

x

b



A  2 f ( z ) 1  [ f ( z )]2 dz , a

iar volumul corpului de rotație având ca suprafață laterală, suprafața de rotație, și ca baze două plane perpendiculare pe axa b



de rotație (z=a, z=b) este V   f ( z ) dz. a

2

y

Cupole • Cupola este o suprafață asemănătoare cu o jumătate de sferă.

• Poate fi compusă din mai multe suprafețe identice alipite (cupolă fațetată) sau poate fi o cupolă ovală (în particular, suprafață de rotație).

• Aplicație. Rotiți în jurul lui Oz un arc în acoladă echilateră cu lățimea 2r. Calculați aria suprafeței de rotație.

• Rezolvare: pentru calculul ariei, să observăm că rotim în jurul lui Oz două arce de cerc 1 și  2

2 1

 r 3 1 : y  r  z  f ( z ), z  0,  2   2

2

r 3   2 : y  r  r  ( z  r 3)  g ( z ), z   ,r 3  2  2

2

A  A1  A2  r 3 /2

 2



r 3

f ( z ) 1  [ f ( z )]2 dz  2

0

 r 3 0  2 r  2 r  r arcsin t  r 2 



g ( z ) 1  [ g ( z )]2 dz

r 3 /2

r 3 2 2 2    r .

3 /2 2  3

• În exemplul precedent putem aplica și Teorema centrului de greutate a lui Pappus pentru arii: ’’Aria unei suprafețe de rotație este egală cu produsul dintre lungimea curbei directoare lΓ și distanța d parcursă în timpul rotației de centrul de greutate G al curbei.’’

G

2 r r 2 2 2 A  l  d  2   2   r .

6 2 3 r

• De asemenea, pentru calculul volumului corpului de rotație, putem aplica Teorema centrului de greutate a lui Pappus pentru volume: ’’Volumul corpului de rotație este egal cu produsul dintre aria domeniului rotit AΓ și distanța d parcursă în timpul rotației de centrul de greutate G al curbei.’’

V  A  d G

1 4r 2 3 3 3 r    2  r .

2 4 2 2

Suprafețe riglate • Suprafața generată de mișcarea unei drepte în spațiu se numește suprafață riglată.

• Exemplu: - planul se obține prin translația unei drepte; - cilindrul circular drept se obține prin rotația unei drepte.

Banda Mobius

Bandă cu o răsucire

Jumătate de bandă

Utilizarea porțiunilor din banda Mobius ca porțiuni de zid, podea, tavan, rampă, în combinație cu plane orizontale.

Cazuri particulare de suprafețe riglate I. Suprafețe cilindrice Suprafața generată de o dreaptă variabilă (dreaptă generatoare, g) ce se mișcă paralel cu o direcție dată d și se sprijină pe o curbă directoare Γ se numește suprafață cilindrică.

g Γ

d

• Exemplu: curba directoare este spirala lui Arhimede (de exemplu, în planul xOy), dreapta generatoare fiind perpendiculară pe planul spiralei (paralelă cu Oz).

Bolte cilindrice • Bolta cilindrică este o suprafață cilindrică ce are ca și curbă directoare un arc, iar dreapta directoare este perpendiculară pe planul arcului.

• Este mărginită de două plane perpendiculare pe dreapta directoare. arc director (Γ)

lungimea bolții (L)

• Aria unei bolte cilindrice este egală cu produsul dintre lungimea arcului și lungimea bolții.

• Volumul delimitat de baza bolții cilindrice (planul bazei), boltă și planele ce delimitează bolta (ca lungime) este egal cu produsul dintre lungimea bolții și aria delimitată de arc și baza sa.

• Problemă. Calculați aria și volumul pentru o boltă cilindrică de lungime L ce are ca arc director un arc ovoidal de lățime r.

II. Suprafețe conice Suprafața generată de o dreaptă variabilă (dreaptă generatoare, g) ce trece printr-un punct fix V (vârf) și se mișcă sprijinindu-se pe o curbă directoare Γ se numește suprafață conică. Γ

V g

III. Conoizi cu plan director Suprafața generată de o dreaptă variabilă (dreaptă generatoare, g) ce se mișcă paralel cu un plan fix (plan director), sprijinindu-se pe o dreaptă fixă (dreaptă directoare, d) și pe o curbă directoare Γ se numește conoid cu plan director. Γ

g

d

• Conoidul pentru care dreapta directoare este perpendiculară pe planul director se numește conoid drept.

• Exemplu: pana conică – este un conoid drept având curba directoare un cerc situat într-un plan paralel cu drepta directoare.

CUADRICE • pe grup sau: • https://portal.ct.upt.ro/matematica • Cristian Lăzureanu • Documente Publice

‘ Cristian Lăzureanu

CUADRICE • Mulțimea punctelor din spațiu M(x,y,z) ce verifică ecuația de gradul 2 cu coeficienți reali a11 x 2  a22 y 2  a33 z 2  2a12 xy  2a13 xz  2a23 yz  b1 x  b2 y  b3 z  c  0 formează o suprafață numită cuadrică.

• Acestea sunt: sfera, elipsoidul, hiperboloidul cu o pânză și cu două pânze, paraboloidul eliptic și hiperbolic, conul și cilindrul

Cuadrice cu ecuații reduse • 1. Sfera (cu centrul în origine)

x  y z r  x  r  cos u  sin v   y  r  sin u  sin v , u   0, 2  , v  [0,  ].  z  r  cos v z  2

2

2

2

v = unghi cu verticala

4 3 V  r 3 A  4 r 2

O

x

y

u = unghi de rotație

- Intersecțiile cu planele de coordonate sunt cercuri de rază r (cerc mare) - este suprafață de rotație - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

• 2. Elipsoidul de semiaxe a,b,c 2

2

2

x y z  2  2 1 2 a b c  x  a  cos u  sin v   y  b  sin u  sin v , u   0, 2  , v  [0,  ].  z  c  cos v z c  4 V   abc 3 a

x

O

b

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate sunt elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când două semiaxe sunt egale; se rotește o elipsă în jurul axei diferite - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

The National Grand Theatre, Beijing

The National Grand Theatre, Beijing

• 3. Hiperboloidul cu o pânză x2 y 2 z 2  2  2 1 2 a b c  x  a  cos u  cosh v   y  b  sin u  cosh v , u   0, 2  , v  R.  z  c  sinh v 

a

x

z

O

b

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt hiperbole, iar cu xOy, elipsă - Intersecțiile cu plane orizontale: elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când a = b; se rotește o hiperbolă în jurul axei Oz - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

• este suprafață riglată

• deoarece hiperbolele au asimptote, hiperboloidul cu o pânză tinde spre un con (cu generatoarele aceste asimptote).

Kobe tower

Mcdonnell Planetarium

Cathedral of BrasĂ­lia

• 4. Hiperboloidul cu două pânze 2 2 2 x y z  2  2  1 2 a b c  x  a  cos u  sinh v   y  b  sin u  sinh v , u   0,   , v  R.  z  c  cosh v 

z

O

x

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt hiperbole, iar cu xOy, mulțimea vidă - Intersecțiile cu plane orizontale: elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când a = b; se rotește o hiperbolă în jurul axei Oz - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

• 5. Paraboloidul eliptic x2 y 2 z 2  2 a b

 x  a  u  cos v   y  b  u  sin v , u  R , v   0, 2  .  2 z u  

z

O

x

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt parabole, iar cu xOy, un punct (O).

- Intersecțiile cu plane orizontale: elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când a = b; se rotește o parabolă în jurul axei Oz - nu are centru de simetrie, Oz este axă de simetrie, xOz și yOz sunt plane de simetrie

• 6. Paraboloidul hiperbolic x2 y 2 z 2  2 a b

x  a  u   y  b  v , u , v  R.  2 2 z  u  v 

Este o suprafață nemărginită. În funcție de intervalele de variație ale lui x,y (u,v) și z se obține imaginea paraboloidului hiperbolic (mărginită de plane paralele cu axele de coordonate).

IntersecČ&#x203A;ia cu plane paralele cu yOz, respectiv xOz = parabole

IntersecČ&#x203A;ia cu plane paralele cu xOy = hiperbole

O(0,0,0)

z0

Este suprafață riglată

Intersecția cu planul z = 0 este formată din 2 drepte ce trec prin origine.

• 7. Conul eliptic z 2 x2 y 2  2 2 2 c a b

 x  a  u  cos v   y  b  u  sin v , u  R, v   0, 2  . z  c  u  z

Este o suprafață conică (deci suprafață riglată), curba directoare fiind o elipsă.

O

x

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt drepte, iar cu xOy, un punct (O).

- Intersecțiile cu plane orizontale: elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când a = b (con circular); se rotește o dreaptă ce trece prin O în jurul axei Oz - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

• 8. Cilindrul eliptic x2 y 2  2  1, z  R 2 a b

 x  a  cos v   y  b  sin v , u  R, v   0, 2  . z  u 

z

Este o suprafață cilindrică (deci suprafață riglată), curba directoare fiind o elipsă, iar generatoarea este paralelă cu Oz.

b aO

x

y

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt drepte, iar cu xOy, elipsă.

- Intersecțiile cu plane orizontale: elipse - nu este suprafață de rotație (în general) - devine suprafață de rotație când a = b (cilindru circular); se rotește o dreaptă paralelă cu Oz în jurul axei Oz - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie

• 9. Cilindrul parabolic y 2  4cx  0, z  R

x  u2   y  2 c  u , u , v  R. z  v 

z

Este o suprafață cilindrică (deci suprafață riglată), curba directoare fiind o parabolă, iar generatoarea este paralelă cu Oz.

y

x

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz și xOz sunt axa Oz, iar cu xOy, parabolă.

- Intersecțiile cu plane orizontale: parabole - Intersecțiile cu plane paralele cu yOz: drepte - nu este suprafață de rotație - nu are centru de simetrie, Ox este axă de simetrie, iar xOz este plan de simetrie

• 10. Cilindrul hiperbolic x2 y 2  2  1, z  R 2 a b

 x  a  cosh v   y  b  sinh v , u, v  R. z  u 

z

Este o suprafață cilindrică (deci suprafață riglată) cu două pânze, curba directoare fiind o hiperbolă, iar generatoarea este paralelă cu Oz.

y

x

- Intersecțiile cu planele de coordonate: cu yOz, mulțimea vidă, cu xOz o dreptă, iar cu xOy, hiperbolă.

- Intersecțiile cu plane orizontale: hiperbole - nu este suprafață de rotație - originea este centru de simetrie, axele și planele de coordonate sunt axe, respectiv plane de simetrie.

- Problemă: Reprezentați grafic și precizați cum se numește cuadrica y  5  x 2  z 2 .

CURBE ÎN SPAȚIU • pe grup sau: • https://portal.ct.upt.ro/matematica • Cristian Lăzureanu • Documente Publice

‘ Cristian Lăzureanu

CURBE ÎN SPAȚIU • Curba în spațiu este o figură geometrică generată de mișcarea unui punct M, a cărui poziție depinde de un parametru real t.

• În sistemul cartezian de axe Oxyz, ecuațiile  x  x(t )   y  y (t )  z  z (t ) 

(numite ecuațiile parametrice ale curbei) dau coordonatele lui M. • Orice curbă plană (din xOy) este o curbă în spațiu cu z = 0.

Ex.

 x  1  cos t  , t  [0, 2 ].  y  sin t   z  1  cos t

• Exemplu: drepta determinată de punctele A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) are ecuațiile  x  x1  ( x2  x1 )  t   y  y1  ( y2  y1 )  t , t  R,  z  z  (z  z )  t 1 2 1 

iar segmentul de dreaptă [AB] are aceleași ecuații, dar cu t  [0,1].    • Notând cu i , j , k respectiv vectorii de lungime 1 ce dau direcțiile și sensurile axelor de coordonate Ox,Oy,Oz, orice vector din spațiu se scrie ca o     combinație de aceștia: v  ai  bj  ck , a, b, c fiind componentele vectorului.

Atunci ca vector ce dă direcția dreptei AB poate fi considerat

     v AB  AB  ( x2  x1 ) i  ( y2  y1 ) j  ( z2  z1 ) k ,          a

b

iar ecuația dreptei ia forma:

c

x  x1 y  y1 z  z1    t. a b c

• Definiție. Se numește tangentă la curbă în punctul M, dreapta ce reprezintă poziția limită a dreptelor MN atunci când N tinde la M, pe curbă.

M

(T) N

Prop. Vectorul tangentei la curbă în punctul M corespunzător parametrului t0 este      (t0 )  x(t0 )i  y (t0 ) j  z (t0 )k ,

x  x(t0 ) y  y (t0 ) z  z (t0 )   . iar (T ) : x(t0 ) y (t0 ) z (t0 )

• Definiție. Se numește plan normal la curbă în punctul M, planul ce conține punctul M și este perpendicular pe tangenta în M la curbă.

Prop. Ecuația planului normal la curbă în punctul M corespunzător parametrului t0 este

M

( PN ) : x(t0 ) ( x  x0 )  y (t0 ) ( y  y0 )  z (t0 ) ( z  z0 )  0.    a

b

c

    n  ai  bj  ck M(x0,y0,z0)

(P)

vectorul perpendicular pe planul normal este vectorul tangentei la curbă.

• Curbura unei curbe este funcția ce descrie rapiditatea de abatere a curbei de la forma de linie dreaptă (rapiditatea de încovoiere): K

( yz  yz)2  ( zx  zx)2  ( xy  xy)2 ( x 2  y  2 

3 z 2 ) 2

,

unde derivatele sunt în raport cu t.

• O curbă este conținută de o dreaptă dacă și numai dacă are curbura nulă.

• O curbă plană are curbura constantă (nenulă ) dacă și numai dacă este arc de cerc.

• Ex. Cu cât raza r a unui cerc crește cu atât curbura scade.  x  r cos t 1   y  r sin t  K  . r z  0 

• Torsiunea unei curbe este funcția ce descrie rapiditatea de abatere a curbei de la poziția de curbă plană (rapiditatea de răsucire).

• O curbă este conținută într-un plan dacă și numai dacă are torsiunea nulă.

Curbe pe suprafețe • Am observat la studiul cuadricelor că intersecțiile acestora cu planele de coordonate sau cu plane paralele cu acestea sunt conice sau drepte. Acestea sunt curbe plane, dar în același timp sunt și curbe pe suprafețele respective.

• Considerând două suprafețe, intersecția acestora este, în general, o curbă (în spațiu) situată pe ambele suprafețe:  F ( x, y , z )  0 : . G ( x, y, z )  0

• Ex: intersecția a doi cilindri ’’perpendiculari’’  x  cos t  x  cos t  x  y  1     y  sin t ,  y  sin t , t   0, 2  .  2 2  x  z  1  z  sin t  z   sin t   2

2

2 elipse

• Ex: curba Viviani = intersecția dintre o sferă și un cilindru ce conține centrul sferei  x  a  a cos t  x 2  y 2  z 2  (2a) 2  , t   0, 2    y  a sin t  2 2 2  ( x  a )  y  a t z 2 a sin    2

fereastra Viviani

• Ex: intersecția dintre un hiperboloid cu o pânză și un cilindru perpendicular a cărui axă conține centrul hiperboloidului  x  a cos t  x  y  z  (2a )  , t   0, 2    y  a sin t  2 2 2  x  y  a  2 2  z  4a  a cos 2t 2

2

2

2

Curbe de coordonate • Considerând planul xOy cu parametrizarea x  u   y  v , u, v  R, z  0 

orice punct se află la intersecția a două drepte paralele respectiv cu Ox și Oy:  x  u0  y  v z  0 



 x  u0 x  u   y  v    y  v0 .

0 z  0 z  0  

y

y=v0

• Aceste curbe dau coordonatele punctului.

O

x x=u0

• Definiție. Se numesc curbe de coordonate ale suprafeței  x  x(u , v)   :  y  y (u , v) , u  I , v  J  z  z (u , v) 

în punctul M(u0,v0) de pe suprafață, curbele  x  x(u , v0 )  u :  y  y (u , v0 ) , u  I ,  z  z (u , v ) 0 

 x  x(u0 , v)   v :  y  y (u0 , v) , v  J .  z  z (u , v) 0 

• Curbele de coordonate formează o rețea de curbe pe suprafață, prin fiecare punct al suprafeței trecând o singură pereche de astfel de curbe.

• Ex: curbe de coordonate pe sferă.

Considerăm sfera cu centrul în origine și rază r și un punct oarecare M pe aceasta:  x  r  cos u  sin v   :  y  r  sin u  sin v , u  [0, 2 ), v  [0,  ],  z  r  cos v  M(u0 , v0 ).

 x  r  cos u  sin v0  u :  y  r  sin u  sin v0 , u  [0, 2 ),  z  r  cos v 0 

z

v = v0 M

 x  r  cos u0  sin v   v :  y  r  sin u0  sin v , v  [0,  ].  z  r  cos v 

u = u0 O

x

y

Observăm că u este situată în planul z  r cos v0 , paralel cu xOy, deci este cercul de intersecție dintre sferă și acest plan. Aceste cercuri se numesc paralele.

Pentru  v , observăm că x sin u0  y cos u0  0 , adică este cercul de intersecție dintre acest plan și sferă. Aceste cercuri sunt meridiane, deoarece planul conține axa (de rotație) Oz. Dacă v0  0,   , u se reduce la un punct de pe Oz.

• Problemă. Fie porțiunea pozitivă din conul

z x y 2

2

2

cu parametrizările x  u  x  u  cos v   1 :  y  u  sin v , u  [0, ), v  [0, 2 ),  2 :  y  v , u , v  [0, ). z  u  2 2   z  u  v

Determinați curbele de coordonate în punctul M(u0,v0) în cele două cazuri și reprezentați-le pe suprafață.

• Caz particular: M(u0  1, v0  0).

• Stabiliți că natura curbelor de coordonate depinde de parametrizarea suprafeței.

• În general, suprafața de rotație obținută prin rotirea în jurul axei Oz a curbei x  0   y  g (t ) , t  [ a, b]  z  h(t ) 

din planul yOz ( ce nu intersectează Oz) are parametrizarea  x  g (v) cos u   y  g (v)sin u , u  [0, 2 ), v  [a, b].  z  h (v )  Atunci curbele de coordonate vor fi chiar paralelele (cercuri) și meridianele suprafeței de rotație.

Spirale în spațiu • O spirală în spațiu este curba descrisă de mișcarea de pseudorotație a unui punct în jurul unei axe.

• O elice este curba (spirala) din spațiu ale cărei tangente fac unghi constant cu o direcție fixă.

Elicea cilindrică •

Este curba descrisă de ecuațiile  x  r cos t   :  y  r sin t , t  R.  z  ht 

• Prop. a) este situată pe cilindrul x2  y2  r2, z R; b) este o elice, tangentele făcând unghi constant cu axa Oz; c) pasul elicei este constant, 2 h.

pasul 2 h

• Justificare: a) coordonatele oricărui punct de pe elice verifică ecuația cilindrului; b) unghiul dintre două drepte este unghiul dintre vectorii ce dau direcțiile lor, generalizând formula din cazul (din liceu):  plan   v1 

v1  v2 cos     v1  v2         v1  x1i  y1 j  z1k , v2  x2 i  y2 j  z2 k      v1  v2  x1 x2  y1 y2  z1 z2 , v1  v1  v1

       În cazul nostru, v1   (t )  x(t )i  y(t ) j  z (t )k , v2  k

obținând

cos  

h r h 2

2

.

c) pasul elicei cilindrice este distanța dintre două puncte consecutive de intersecție dintre elice și o generatoare a cilindrului. Cum generatoarele sunt verticale, două puncte consecutive ale elicei aflate pe aceeași verticală corespund valorilor t  t1 , t  t2  t1  2 , de unde rezultă concluzia.

• Mișcarea unui punct pe elicea cilindrică se obține compunând o rotație în plan cu centrul pe Oz cu o translație paralelă cu Oz – rototranslație • Elicea cilindrică prezintă simetrie rotatorie spațială în raport cu axa Oz

structura ADN modificarea pasului

Elicea conică •

Este curba descrisă de ecuațiile

 x  ae kt cos t   :  y  ae kt sin t , t  R.  kt z  be  • Prop. a) este situată pe conul

creșterea pasului

x2 y2 z2  2  2; 2 a a b

b) este o elice, tangentele făcând unghi constant cu axa Oz; c) pasul elicei conice crește în progresie geometrică de rație exponențială, e2k ; d) proiecția elicei conice pe planul xOy este spirala logaritmică.

Spirala conică •

Este curba descrisă de ecuațiile  x  at cos t   :  y  at sin t , t  [0,).  z  bt  • Prop. x2 y2 z2 a) este situată pe conul 2  2  2 ; a a b b) nu este o elice; c) pasul spiralei conice este constant, 2 a2  b2 ; d) proiecția spiralei conice pe planul xOy este spirala lui Arhimede.

Spirala paraboidală •

Este curba descrisă de ecuațiile  x  a t cos t   :  y  a t sin t , t  [0,).  z  bt 

• Prop. a) este situată pe paraboloidul

z x2 y 2  2  2; b a a b) proiecția spiralei parabolice pe planul xOy este spirala lui Fermat.

Geometria Suprafețelor • pe grup sau: • https://portal.ct.upt.ro/matematica • Cristian Lăzureanu • Documente Publice

‘ Cristian Lăzureanu

Planul tangent și normala la o suprafață • Fie o suprafață, un punct M al suprafeței și o curbă pe acestă suprafață ce trece prin M. Un vector din spațiu tangent în M la curbă se numește vector tangent în M la suprafață, iar tangenta în M la curbă se numește tangentă la suprafață în M. • Mulțimea tuturor tangentelor la suprafață în punctul M se numește plan tangent la suprafață în M. • Perpendiculara în M pe planul tangent se numește normala la suprafață în M.

normala planul tangent

tangente

curbe pe suprafaČ&#x203A;Ä&#x192;

• Considerăm suprafața dată parametric prin  x  x(u , v)   :  y  y (u , v)  z  z (u , v) 

și punctul arbitrar M(u0 , v0 )  .

Prin acest punct trec, în general, două curbe de coordonate, u ,  v :  x  x(u , v0 )  x(u )  u :  y  y (u , v0 )  y (u ) ,  z  z (u , v )  z (u ) 0 

 x  x(u0 , v)  x(v)   v :  y  y (u0 , v)  y (v) .  z  z (u , v)  z (v) 0 

• Vectorii tangenți în punctul M la aceste curbe sunt respectiv      u (u0 )  xu (u0 )i  yu (u0 ) j  zu (u0 )k ,     v (v0 )  xv (v0 )i  yv (v0 ) j  zv (v0 )k . 

• Dacă acești vectori sunt necoliniari, adică nu au componentele proporționale, ei, împreună cu punctul M, determină planul tangent la suprafață în punctul M. • Condiția de necoliniaritate a celor doi vectori este echivalentă cu  xu (u0 )  rang  yu (u0 )  z  (u )  u 0

xv (v0 )   yv (v0 )   2. zv (v0 ) 

• Schimbarea parametrizării duce la schimbarea rețelei de curbe de coordonate, dar păstrează planul tangent.

• O suprafață ce are plan tangent în fiecare punct al ei se numește suprafață netedă. Ea îndeplinește condiția  xu (u , v)  rang  yu (u , v)  z  (u , v)  u

xv (u , v)   yv (u , v)   2 , u , v. zv (u , v) 

• Putem scrie ecuațiile planului normalei la suprafață în punctul M.

tangent

și

Curbura Gaussiană a unei suprafețe • Este o mărime ce indică variația unei suparafețe în raport cu planele tangente.

• Se poate calcula în funcție de vectorii tangenți ai curbelor de coordonate.

• Vom observa legătura dintre semnul curburii K și forma suprafeței.

• Pentru un punct M de pe o suprafață netedă (diferită de o porțiune de plan), avem clasificarea: - punct eliptic, dacă K(M)>0 - punct hiperbolic, dacă K(M)<0 - punct parabolic, dacă K(M)=0

• Fie M un punct eliptic. Atunci există o vecinătate a lui M în care toate punctele suprafeței sunt de aceeași parte a planului tangent în M. • Fie M un punct hiperbolic. Atunci există o vecinătate a lui M în care punctele suprafeței sunt de ambele părți ale planului tangent în M.

• Dacă K>0 pentru toate punctele unei porțiuni de suprafață atunci planele tangente intersectează suprafața doar într-un singur punct. Suprafețele convexe și concave au această proprietate.

• Ex: sfera (cu K constant), elipsoidul, paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu două pânze.

concav convex

• Dacă K<0 pentru toate punctele unei porțiuni de suprafață atunci suprafața are formă de șa.

• Ex: hiperboloidul cu o pânză, paraboloidul hiperbolic, banda lui Mobius.

• Dacă K=0 pentru toate punctele unei porțiuni de suprafață atunci suprafața nu este nici convexă/concavă, nici nu are formă de șa.

• Ex: planul, suprafețele cilindrice, suprafețele conice.

• Prop. Suprafețele riglate au curbura 0 sau negativă.

K=0 Pseudosfera K=-1

• Folosind parametrizarea torului x  (a  r cos v)cos u   y  (a  r cos v)sin u , u, v [0,2 ), a > r, z  r sin v  cos v se obține curbura gaussiană K 

z

O

r (a  r cos v)

Determinați porțiunile din tor cu K>0, K<0, precum și liniile parabolice, caracterizate de condiția K=0.

r a

.

y

K>0

K<0 K=0

Suprafețe desfășurabile • Sunt suparafețele riglate care au în toate punctele unei generatoare același plan tangent.

• Au proprietatea că pot fi aplicate pe un plan fără distorsiuni(plieri, ruperi), deci pot fi construite prin curbarea unor porțiuni plane.

• Ex: cilindrul, conul.

• Suprafețele tangente sunt suprafețele formate de toate tangentele la o curbă. Sunt suprafețe desfășurabile. suprafața tangentă, plecând de la elicea cilindrică

• Suprafețele desfășurabile au curbura gaussiană nulă.

• Un exemplu de suprafață riglată ce nu este desfășurabilă este dat de elicoidul liniar cilindric.

• Se obține unind fiecare punct P al unei elice cilindrice cu punctul de pe axa Oz aflat la aceeași cotă.  x  v cos u   y  v sin u , u  R, v  [0, r ].  z  hu  h2 K  2 2 2 (v  h ) P

• În locul lui Oz putem considera un cilindru cu axa Oz, parametrul v variind între raza cilindrului interior și raza cilindrului exterior.

dublu elicoid

Geodezice • Geodezicele sunt curbe pe suprafață ce joacă rolul dreptelor în plan.

• Sunt caracterizate de proprietatea că cel mai scurt drum între două puncte ale unei suprafețe este situat pe geodezica ce trece prin cele două puncte.

• Geodezicele planului sunt drepte.

• Două suprafețe se numesc local izometrice dacă există o izometrie locală între ele (aplicație bijectivă ce păstrează distanțele).

• Prin izometria locală, geodezicele unei suprafețe sunt duse în geodezicele celeilalte suprafețe.

• Să deducem care sunt geodezicele cilindrului circular drept (adică, dându-se două puncte pe cilindru, cum găsim drumul cel mai scurt, pe cilindru, ce le unește).

• Cilindrul circular drept este local izometric cu planul (izometria este chiar desfășurarea cilindrului pe plan).

Atunci geodezicele planului (drepte) sunt duse în geodezicele cilindrului, și invers.

• Atunci, desenând o dreptă în plan și rulând planul pentru a obține cilindrul, obținem geodezicele cilindrului.

• Geodezicele cilindrului circular drept sunt: generatoarele, cercurile paralele (aflate în plane perpendiculare pe axa de rotație) și elicele cilindrice.

• În mod similar, încercați să deduceți care sunt geodezicele conului circular drept.

• Meridianele unei suprafețe de rotație sunt geodezice. În general, pe o suprafață de rotație există mai multe “familii” de geodezice.

• Sfera are o singură familie de geodezice: cercurile mari (meridianele sunt cercuri mari, iar axa de rotație poate fi orice dreaptă ce trece prin centrul sferei).

Generarea suprafețelor • Putem genera suprafețe cunoscând pozițiile unor puncte ale acestora, numite noduri, prin interpolare. Se obține un polinom de interpolare ce generează suprafața (adică avem și ecuația suprafeței). Putem folosi, de exemplu, soft-ul Mathematica 6.0TM. polinom gradul 1

(avem o rețea de puncte cu diverse cote)

polinom gradul 2