III.4.3. Grinda cu console și articulații (grinzi Gerber) - Grinzile Gerber sunt grinzi compuse static determinate ce se obțin prin legarea între ele cu articulații a unor grinzi cu console, grinzi simplu rezemate și a unor console. - Au un număr de reazeme intermediare - Articulațiile interioare corespund ca număr reazemelor intermediare - În general, la o grindă cu (n) deschideri trebuie introduse (n-1) articulații. - Grinzile Gerber sunt alcătuite din 2 tipuri de grinzi simple: - grinzi principale, care au un număr suficient de legături cu terenul prin care transmit solicitările la teren; - grinzi secundare, care au o parte de legături cu terenul și alte legături (rezemări) pe grinzile principale sau pe alte grinzi secundare.
III.4.3. Grinda cu console și articulații (grinzi Gerber) (2)
Concluzii: - În articulație, diagrama T are valoarea forțelor de legătură V2, ce acționează pe capetele celor două porțiuni 1-2 și 2-3-4. - În articulație, momentul încovoietor este nul, fapt ce permite calculul reacțiunilor din reazemele grinzii Gerber, adăugând la cele 3 ecuații de echilibru global, condiția de moment nul în articulația intermediară.
III.5. Cadre static determinate
- Cadrele sunt structuri obținute prin legarea mai multor bare prin intermediul nodurilor, rigide sau articulate - Din punct de vedere al rezemării:
- Determinarea eforturilor se face cu metoda secțiunilor, scriind echilibrul eforturilor în secțiune
III.5. Cadre static determinate (2)
- Spre exemplificare se tratează un cadru simplu rezemat încărcat cu o forță orizontală concentrată
III.5. Cadre static determinate (3)
- Spre exemplificare se tratează un cadru simplu rezemat încărcat cu o forță orizontală concentrată
III.6. Grinzi cu zăbrele
- Grinzile cu zăbrele sunt structuri alcătuite din bare articulate în noduri, astfel ca să asigure invariabilitatea geometrică şi fixarea în plan. - Grinzile cu zăbrele sunt utilizate frecvent ca structuri portante la: - poduri rutiere şi de cale ferată - săli de expoziţie şi de sport - acoperişurile construcţiilor industriale, etc. - Grinzile cu zăbrele se execută din lemn, metal sau beton armat - După forma conturului pot fi: - Barele grinzilor cu zăbrele poartă următoarele denumiri: - tălpi - reprezentând conturul superior şi inferior al grinzii; - diagonale – bare înclinate ascendente sau descendente, care unesc între ele tălpile; - montanţi – bare verticale, unind tălpile între ele.
III.6. Grinzi cu zăbrele (2) - Barele grinzilor cu zăbrele se intersectează în noduri - Porţiunea dintre 2 noduri consecutive se numeşte panou - Eforturile care apar în elementele grinzii cu zăbrele la care barele sunt articulate în noduri sunt eforturi de compresiune sau întindere - Pentru stabilirea eforturilor în bare se admit următoarele ipoteze simplificatoare: - nodurile sunt articulaţii perfecte; - barele sunt centrate perfect în noduri, axele barelor legate într-un nod fiind concurente; - încărcările sunt aplicate numai în noduri, sub formă de forţe concentrate - Calculul static al eforturilor în barele grinzilor cu zăbrele se face pe baza ecuaţiilor de echilibru global şi al părţilor izolate din grindă. - Procedeele de calcul static specifice grinzilor cu zăbrele sunt: - metoda izolării nodurilor - metoda secţiunilor
III.6.1. Metoda izolării nodurilor
- Pentru determinarea eforturilor în bare, se izolează pe rând fiecare nod prin secţionarea barelor ce concură în nod. - În secţiunile efectuate se introduce efectul restului grinzii prin forţele axiale din bare, alese iniţial arbitrar de sens pozitiv (forţa întinde bara), urmând ca din calcul să rezulte sensul real. - Se începe cu izolarea nodurilor în care concură cel mult două bare, continuându-se cu nodurile având necunoscute cel mult două eforturi.
III.6.1. Metoda izolﾄビii nodurilor (2)
III.6.1. Metoda izolﾄビii nodurilor (3)
III.6.1. Metoda izolării nodurilor (4)
- Neajunsul principal al metodei este că erorile comise la unul din noduri se transmit mai departe, verificarea făcându-se numai la sfârşitul calculelor.
III.6.1. Metoda secţiunilor
- Constă în efectuarea unor secţiuni complete în structură şi scrierea ecuaţiilor de echilibru ale părţii din stânga sau din dreapta, după ce s-a înlocuit efectul părţii îndepărtate prin eforturile din barele secţionate. - Cum în plan se pot scrie 3 ecuaţii distincte de echilibru static, rezultă că pentru determinarea acestor eforturi este necesar ca numărul de bare secţionate cu eforturi necunoscute să fie de maximum 3. - Cele 3 bare nu pot fi toate concurente într-un punct sau toate paralele între ele, deoarece în această situaţie numărul ecuaţiilor distincte de echilibru static se reduce la 2.
- Pentru acceaşi grindă cu zăbrele, având deja reacţiunile determinate din condiţii de echilibru global (H1=2P, V1=4P, V5=6P), se aplică secţiunile I-I şi II-II. - În secţiunile efectuate, forţele axiale din bare se aleg iniţial arbitrar, de sens pozitiv, sensul real rezultând din calcule.
III.6.1. Metoda secﾅ｣iunilor (2)
- Celelalte eforturi ﾃｮn bare se pot determina numai prin metoda izolﾄビii nodurilor
III.7. Arce static determinate
- Arcele sunt bare cu axă curbă plană, încărcate cu sarcini în planul lor. - Din p.d.v. al solicitărilor, la arce predomină eforturile axiale de compresiune față de momentele încovoietoare și forțele tăietoare. - Arcele se caracterizează prin faptul că dezvoltă împingeri laterale asupra rezemărilor, ceea ce conduce la o reducere importantă a momentelor încovoietoare, comparativ cu grinda simplu rezemată de aceeași deschidere. - Arcele se utilizează ca elemente portante la hale industriale, piețe, gări, poduri, săli de expoziție, etc. - Arcele static determinate mai des folosite în construcții sunt:
III.7. Arce static determinate (2)
- La arcul cu tirant, menținerea condiției de determinare statică se realizează prin transformarea unei articulații din reazem în reazem simplu. - Arcul triplu articulat se folosește îndeosebi la poduri unde împingerile laterale mari sunt preluate de fundațiile masive (culei), care susțin arcul podului. La construcțiile industriale însă, preluarea împingerilor laterale de către elementele de susținere (pereți, stâlpi) este dificilă, drept pentru care se introduce un tirant, care preia o parte din împingeri. - Terminologia specifică arcelor este următoarea: - secțiunile de la reazeme se numesc nașteri (1 și 2); - dreapta care unește nașterile se numește linia nașterilor; - secțiunea cea mai îndepărtată pe verticală de linia nașterilor se numește cheie (C); la cheie se prevede de regulă articulația intermediară (3).
III.7. Arce static determinate (3)
- distanța măsurată pe verticală (perpendicular pe linia nașterilor), de la linia nașterilor la cheie, se numește săgeată (f); - distanța dintre nașteri, măsurată pe orizontală, este deschiderea arcului (l); - raportul f/l se numește pleoștirea arcului, iar raportul invers l/f este coeficiientul de îndrăzneală; funcție de mărimea pleoștirii, există arce pleoștite (f/l ≤ 5) și arce cu săgeată mare (f/l > 5); - axa arcelor este mai ales parabolică și mai rar circulară.
III.7. Arce static determinate (4) - Se consideră cazul arcului cu trei articulații, cu o încărcare uniform distribuită pe orizontală p. - Necunoscutele din reazeme sunt reacțiunile verticale V și împingerile orizontale H. Întrucât ecuațiile de echilibru pentru arcul întreg nu sunt suficiente pentru determinarea acestor necunoscute, arcul se separă în două părți, evidențiindu-se reacțiunile și ecuațiile pentru fiecare parte. - Numărul ecuațiilor de echilibru și al reacțiunilor pentru fiecare parte fiind același (câte trei), problema este static determinată, reacțiunile rezultând din condiții de echilibru:
III.7. Arce static determinate (5) - Din echilibrul unei jumătăți de arc rezultă:
- Într-o secțiune curentă, situată la distanța z de reazemul A:
III.7. Arce static determinate (6)
- În privința momentului încovoietor se observă că primii doi termeni reprezintă chiar momentul unei grinzi simplu rezemate de aceeași deschidere și cu aceeași încărcare (vezi III.2.b): - Momentul Mz este nul în articulațiile A, B, C și are valori semnificative între aceste puncte. - Dacă forma arcului, caracterizată prin funcția săgeată f(z) se alege astfel ca momentele din arc să fie nule se obțin arce în care apar numai eforturi axiale: - Astfel, dacă forma arcului este afină cu diagrama de momente a unei grinzi simplu rezemate de aceeași deschidere și încărcare, momentele încovoietoare și forțele tăietoare din arce sunt nule. În acest caz alura corespunzătoare a arcului se numește formă de coincidență.
III.7. Arce static determinate (7)
III.7. Arce static determinate (8)
- Pentru cazul încărcării uniform distribuite pe orizontală, curba de coincidență este o parabolă , deoarece diagrama de momente a grinzii corespunzătoare este o parabolă. - Pentru alte tipuri de încărcări decât cea pentru care s-a determinat curba de coincidență (forță concentrată la mijlocul deschiderii, încărcare parțială a arcului, etc.), în arc aparși momente încovoietoare. - Prin urmare, încărcarea uniform distribuită pe toată deschiderea este avantajoasă pentru arce, conducând la momente încovoietoare reduse, în timp ce încărcările aplicate pe o parte a arcului produc momente încovoietoare mai importante. - Revenind la expresia împingerii:
se observă că mărimea împingerii este invers proporțională cu săgeata arcului. Arcele înalte produc împingeri mici, iar arcele turtite dau împingeri mari.
III.7. Arce static determinate (9)
- Analizând expresia momentului Mz în cazul arcului triplu articulat comparativ cu momentul încovoietor din secțiunea corespunzătoare a grinzii simplu rezemate cu aceeași deschidere și încărcare, este evident că arcul se comportă mai favorabil decât grinda simplu rezemată, ordonatele diagramei M ale arcului fiind mai reduse decât în cazul grinzii simplu rezemate. - Pe baza expresiei lui Mz, diagrama de momente în cazul arcului triarticulat se poate obține prin suprapunerea a două diagrame: cea a momentelor pentru grinda simplu rezemată Mz0 și cea a ordonatelor f(z), reprezentând forma arcului, înmulțite cu împingerea H. - Diferența dintre cele două diagrame, reprezintă diagrama Mz a arcului.
IV. CARACTERISTICI ALE SOLICITĂRILOR STRUCTURILOR (CALCULUL DE REZISTENȚĂ AL SOLICITĂRILOR) IV.1. Întinderea – compresiunea centrică - O bară este solicitată la întindere – compresiune centrică, dacă în secțiunea transversală există ca unic efort forța axială (de întindere sau compresiune). - Studiul solicitării (cap. II) se efectuează prin aspectele ei, respectiv aspectul geometric (distribuția deformațiilor specifice), aspectul static (determinarea eforturilor pe cale de rezistență) și aspectul fizic (legătura între deformațiile specifice și tensiuni).
IV.1.1. Aspectul geometric al solicitării - Se consideră un model din cauciuc supus la întindere centrică, pe mantaua căruia s-a trasat un caroiaj rectangular format din linii transversale și longitudinale echidistante:
IV.1.1. Aspectul geometric al solicitării (2) În urma deformării modelului se constată că: - liniile longitudinale rămân drepte, echidistante și paralele cu axa barei, dar își modifică lungimea inițială cu lungirea Dl; - liniile transversale rămân drepte și perpendiculare pe liniile longitudinale, dar nu mai sunt echidistante; - ochii caroiajului își păstreză unghiurile drepte; - lungirilor longitudinale le corespund contracții transversale neglijabile, care nu produc reduceri semnificative ale ariei secțiunii transversale (reducerea ariei secțiunii transversale se neglijează). Admițând că deformația vizibilă pe manta se menține și în interior, atunci în loc de linii transversale se poate vorbi de secțiuni transversale, care rămân plane și perpendiculare pe axa barei și după deformare. Aceasta este ipoteza secțiunilor plane (ipoteza lui Bernoulli).
IV.1.1. Aspectul geometric al solicitării (3) În baza acestei ipoteze, deformația barei poate fi descrisă prin translația relativă a secțiunilor transversale după axa barei. Rezultă că toate fibrele longitudinale suferă aceeași lungire totală, precum și aceeași lungire specifică:
Ddz z const dz
deci lungirea specifică z este uniform distribuită pe secțiunea transversală a barei.
Întrucât nu există deformații unghiulare în caroiaj, lunecarea specifică gzy este nulă: gzy = 0.
IV.1.2. Aspectul fizic
După cum s-a arătat în II.3.1, în cazul unui material cu comportare elastică, legătura dintre eforturile unitare și deformațiile specifice este liniară și se exprimă prin legea lui Hooke:
La întindere – compresiune centrică, lui z uniform distribuit și constant pe secțiunea transversală a barei îi corespunde conform legii lui Hooke, un sz constant și uniform distribuit pe secțiunea transversală: Eforturile unitare tangențiale sunt nule (tzy = 0), întrucât lunecarea specifică gzy = 0
IV.1.3. Aspectul static al solicitării
În cadrul aspectului static, se egalează solicitarea calculată pe cale statică cu cea calculată pe cale de rezistență. Calculul de rezistență poate fi efectuat, întrucât se cunoaște distribuția eforturilor pe secțiunea transversală:
Înlocuind pe sz în expresia legii lui Hooke și explicitând pe z: Relația de mai sus cuprinde sinteza aspectelor. Numitorul relației de mai sus (EA) exprimă rezistența pe care bara o opune la întindere și se numește modulul de rigiditate al barei la forțe axiale. Deformația totală la întindere – compresiune centrică (deplasarea relativă a capetelor barei) Dl se calculează plecând de la relația anterioară: z fiind constant pe lungimea barei: respectiv:
IV.2. Tăierea (forfecarea) pură
Utilizând și în acest caz modelul de cauciuc, se constată că se obțin numai deformații specifice unghiulare g. Practic, această solicitare se întâlnește la piese cu secțiune mică (nituri, pene, șuruburi), unde se admite o distribuție uniformă a tensiunilor tengențiale în secțiunea transversală. Pentru evidențierea solicitării, se consideră o bară acționată de două forțe concentrate egale și de sensuri opuse, apropiate una de alta. În secțiunea de forfecare, forța tăietoare este egală cu forța exterioară, ce acționează asupra piesei:
Calculul de rezistență al forței Ty se face cu relația:
Egalând forța tăietoare calculată pe cale de rezistență cu cea calculată pe cale statică, rezultă:
Unde P este forța tăietoare rezultată din calculul static.
IV.3. Încovoierea pură dreaptă
Încovoierea se numește pură, dacă singura solicitare distinctă în secțiunea urentă a barei este momentul încovoietor (forța tăietoare este nulă). Încovoierea pură este dreaptă, dacă linia forțelor coincide cu o axă de inerție principală a secțiunii transversale. Câteva cazuri de încovoiere pură dreaptă la bare:
Studiul se face pe baza celor trei aspecte (geometric, fizic, static), urmate de sinteza lor.
IV.3.1. Aspectul geometric
Se consideră un model de cauciuc solicitat la încovoiere pură. Pe mantaua modelului se trasează un caroiaj de linii ortogonale. După deformare se constată că liniile longitudinale se curbează, rămânând paralele între ele și echidistante.
Prin curbarea grinzii, liniile (fibrele) de la partea superioară se curtează, iar cele de la partea inferioară se lungesc. Deoarece trecerea de la lungire la scurtare se face continuu pe înălțimea secțiunii transversale există o fibră, care deși se curbează, nu își modifică lungimea. Această fibră se numește fibră neutră. Liniile transversale rămân drepte și după deformare și perpendiculare pe axa deformată a grinzii. Ochiurile caroiajului rămân rectangulare după deformare, fapt ce arată că lunecările specifice din planele longitudinale sunt nule (gzy=0).
IV.3.1. Aspectul geometric (2)
Presupunând că în interiorul barei deformația este identică cu cea de pe mantaua ei, se poate afirma că secțiunile transversale rămân plane și după deformare și perpendiculare pe axa deformată (ipoteza secțiunilor plane). Toate fibrele neutre pe lățimea barei constituie fâșia neutră. Dreapta de intersecție dintre secțiunea transversală și fâșia neutră se numește axă neutră. Deformația prin încovoiere a barei se poate descrie prin rotirea relativă a secțiunilor transversale în jurul axelor neutre corespunzătoare. Pentru analiza distribuției lungirilor specifice z se izolează din model un element diferențial de lungime dz. Se notează: - r – raza de curbură a fibrei neutre; - y – distanța de la fibra neutră la o fibră longitudinală curentă.
IV.3.1. Aspectul geometric (3)
Lungimea fibrei neutre care nu se modifică este dz. Fibra curentă, în urma deformării se alungește cu Ddz. Lungirea specifică z rezultă direct din asemănarea celor două triunghiuri hașurate:
Relația de mai sus arată că z variază liniar pe înălțimea secțiunii transverale, având valori maxime în fibrele extreme și fiind nul în fibra neutră. Pe lățimea secțiunii, la un curent y, z este constant în conformitate cu ipoteza secțiunilor plane. Curbura fibrei medii rezultă în modul următor:
Relația arată că deformația specifică a încovoierii este rotirea relativă a secțiunilor transversale. Rotirea relativă a două secțiuni aflate la distanța unitară (dz = 1) este egală cu curbura fibrei medii (neutre).
IV.3.2. Aspectul fizic al solicitării
În ipoteza unui material ideal elastic,, legătura dintre deformațiile specifice și tensiuni se face prin legea lui Hooke, respectiv:
În privința tensiunilor tangențiale, neavând lunecări specifice tensiunile tangențiale tzy = 0. În baza legii lui Hooke, tensiunile normale sz au aceeași lege de variație ca și deformațiile specifice z, adică o distribuție liniară pe înălțimea secțiunii transversale cu valori maxime în fibrele extreme și zero în dreptul axei neutre. Pe lățime, sz este constant la fiecare nivel y:
Formula de mai sus nu este de calcul întrucât r este o necunoscută.
IV.3.3. Aspectul static
În cadrul aspectului static se face și sinteza aspectelor identificând solicitarea calculată static cu solicitarea calculată pe cale de rezistență. Întrucât singurul efort secțional este momentul încovoietor Mx, din egalarea calculului de rezistență cu cel static rezultă:
Unde: EIx – modulul de rigiditate la încovoiere. Rezultă că curbura fibrei medii este direct proporțională cu momentul încovoietor din secțiune și invers proporțională cu modulul de rigiditate la încovoiere.
IV.3.3. Aspectul static (2)
Substituind expresia de mai sus a curburii în formula lui sz: Rezultă formula lui Navier:
Formula permite calculul tensiunilor normale în orice secțiune transversală dacă se cunosc geometria secțiunii (Ix) și momentul încovoietor calculat pe cale statică. Pentru determinarea tensiunilor extreme, se stabilește poziția c.d.g., momentul de inerție față de axa neutră (Ix) și distanțele de la axa neutră la extremitățile secțiunii transversale. Tensiunile extreme sunt: Introducând notația Wx, modulul de rezistență față de axa neutră: Se obține în final:
La secțiuni compuse, Wx nu reprezintă suma modulelor de rezistență ale figurilor componente, ci se calculează cu formula Wx = Ix / y.
IV.4. Încovoierea dreaptă cu tăiere - Această solicitare compusă este caracterizată de existența în secțiunea transversală a două eforturi: o componentă a momentului încovoietor (Mx sau My) și o componentă a forței tăietoare (Ty sau Tx). - Distribuția tensiunilor, în cazul acestei solicitări compuse, se obține evaluând separat acțiunea fiecărui efort și suprapunând apoi efectele acestora. - Din acțiunea momentului, bara suportă o încovoiere dreaptă, materializată în secțiunea transversală prin tensiuni normale sz, calculate cu formula lui Navier (vezi IV.3).
IV.4.1. Efectul forței tăietoare
Forța tăietoare produce două efecte: lunecări transversale și lunecări longitudinale, care au loc simultan, dar vor fi evidenșiate separat în cele ce urmează: a) Lunecările transversale se exemplifică pe un model de consolă scurtă, realizată din lamele transversale rigide, lipite între ele cu un adeziv. Modelul se supune întâi la încovoiere pură și apoi la încovoiere cu tăiere.
La încovoiere pură, consola se deformează ca un monolit.
IV.4.1. Efectul forței tăietoare (2)
La încovoiere cu tăiere se constată că adezivul cedează puțin, producându-se lunecări transversale relative între lamele. Astfel, porțiunea din stânga tinde să lunece în jos sub acțiunea lui P, iar ca urmare în secțiunea transversală apar tensiuni tangențiale tzy, care se opun acestei acțiuni (dirijate în sens invers tendinței de lunecare). Rezultă deci, ca un prim efect al forței tăietoare, apariția lunecărilor transversale și a tensiunilor tangențiale tzy în secțiunea transversală.
IV.4.1. Efectul forței tăietoare (3)
b) Lunecările longitudinale se exemplifică pe o grindă formată dintr-un pachet de lamele suprapuse, nelegate între ele. Grinda se supune întâi la încovoiere cu forță tăietoare.
La încovoiere pură, pachetul de lamele se curbează ca o grindă monolită, formată dintr-o singură bucată.
IV.4.1. Efectul forței tăietoare (4)
La încovoiere cu tăiere, sub acțiunea forței tăietoare lamelele se curbează independent, astfel încât, între ele, apar lunecări longitudinale; de exemplu, în stânga forței P o lamelă superioară lunecă spre stânga în raport cu lamela inferioară. Această tendință de lunecare spre stânga a jumătății din stânga a lamelei superioare este împiedicată de tensiunile tangențiale tyz din secțiunea de separație, ce acționează pe această lamelă în sens opus tendinței de lunecare. Rezultă deci, un al doilea efect al forței tăietoare, caracterizat de apariția lunecărilor longitudinale și a tensiunilor tangențiale tyz din secțiunile longitudinale.
IV.4.1. Efectul forței tăietoare (5) - Pentru evidențierea acestor două tipuri de lunecări care au loc simultan, se apelează la modelul de cauciuc, solicitat în poțiunea centrală la încovoiere pură și în porțiunile marginale la încovoiere cu tăiere - Modelul are trasat pe manta un caroiaj rectangular din linii transversale și longitudinale - În porțiunea centrală este valabilă ipoteza lui Bernoulli - În zonele marginale, secțiunile transversale nu mai rămân plane ci se deplanează pe înălțime în formă de S (vezi liniile transversale), în timp ce liniile longitudinale rămân echidistante și paralele cu axa barei - În urma acestor deplanări apar deformații unghiulare în caroiaj, variabile pe înălțimea secțiunii transversale. Deformațiile unghiulare sunt nule în dreptul fibrelor extreme (unde unghiurile au rămas drepte), crescând progresiv către fibra neutră, unde devin maxime.
IV.4.1. Efectul forței tăietoare (6) - Măsura deformației unghiulare este lunecarea specifică g, care are două componente: lunecarea transversală (prezentată la pct. a) și lunecarea longitudinală (vezi pct. b). - La un nivel dat, lunecarea specifică este constantă pe lățimea secțiunii transversale. - Tensiunile tangențiale tzy corespunzătoare lunecării transversale, respectiv tyz corespunzătoare lunecării longitudinale variază pe înălțimea secțiunii transversale la fel ca și lunecările specifice: sunt nule în dreptul fibrelor extreme și maxime în fibra neutră - Pentru un nivel dat, ele sunt constante pe lățimea pe lățimea secțiunii transversale. Conform legii dualității, între cele două componente tzy și tyz există egalitate:
IV.4.2. Formula lui Juravski
- Cu formula lui Juravski se calculează direct eforturile unitare tangențiale tyz=tzy - În acest scop se izolează din grindă un element diferențial prin trei secțiuni și anume două secțiuni transversale infinit vecine și una longitudinală la nivelul curent y.
IV.4.2. Formula lui Juravski (2)
- Pentru ca elementul diferențial izolat să rămână în aceeași stare de solicitare ca și în grinda nesecționată, se aplică în cele trei secțiuni efectuate acțiunea grinzii înlăturate. - În cele două secțiuni transversale, această acțiune nu poate fi reprezentată prin solicitările M și T, întrucât acestea se referă la toată înălțimea secțiunii transversale din care s- reținut o porțiune. Din acest motiv, acțiunea grinzii înlăturate se reprezintă prin eforturile unitare normale și tangențiale. - Pentru simplificarea calculelor se însumează eforturile unitare din cele trei secțiuni efectuate în rezultante parțiale: - Iy – rezultanta eforturilor unitare (tensiunilor) normale de întindere; - dLy – forța de lunecare elementară la nivelul y (rezultanta tensiunilor tzy din secțiunea Az)
IV.4.2. Formula lui Juravski (3) Unde:
f. lui Navier;
Syx – momentul static al secțiunii delimitate de nivelul y – (Ay) față de axa neutră x; - Integrarea se face față de Ay, care este secțiunea ce tinde să lunece longitudinal față de nivelul de calcul y - Diferențiind relația de mai sus se obține:
unde: Syx/Ix – constantă pe lungimea barei, întrucât bara are secțiune transversală constantă în lungul barei - Pentru calculul forței de lunecare dLy se observă că tensiunea tyz este uniform distribuită pe secțiunea longitudinală, întrucât este constantă pe lîțimea by și variază insensibil pe lungimea diferențială dz.
IV.4.2. Formula lui Juravski (4)
Formula lui Juravski rezultă din echilibrul elementului diferențial, scris din ecuația de proiecție după axa barei z:
respectiv:
sau: unde: T – forța tăietoare în secțiunea în care se calculează t luată după linia forțelor; S – momentul static al porțiunii din secțiunea transversală, delimitată de nivelul de calcul al lui t, luat față de axa neutră; b – lățimea secțiunii în dreptul nivelului de calcul; I – momentul de inerție al secțiunii întregi, calculat față de axa neutră.
IV.4.2. Formula lui Juravski (5)
Secțiunea care tinde să lunece longitudinal în raport cu nivelul de calcul este porțiunea hașurată Ay. Momentul static al acestei porțiuni față de axa neutră este:
Înlocuind aceste valori în formula lui Juravski rezultă:
Deci tensiunea tangențială variază parabolic pe înălțimea secțiunii transversale, fiind nulă în fibrele extreme (pentru y=±h/2) și maximă în dreptul axei neutre (pentru y=0):
Semnul și direcția tensiunii tangențiale coincide cu semnul și direcția forței tăietoare.
IV.4.3. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda grinzilor conjugate
- Aşa după cum s-a arătat, într-o structură încărcată se produc deformaţii interioare. Însumarea acestor deformaţii interioare duce la obţinerea unei deplasări exterioare ce poate fi măsurată. - În cazul barei supuse la încovoiere, forma curbă a axei barei reprezintă deformata acesteia. - Deplasarea unui punct de pe axa iniţial dreaptă pe deformata barei se numeşte săgeată (v). - Unghiul format de poziția inițială și de poziția rotită a secțiunii transversale reprezintă rotația din încovoiere (j)
IV.4.3. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda grinzilor conjugate (2) - Expresia curburii fibrei neutre este:
- In geometria analitică, ecuatia diferentiala a curburii este: - In exploatarea construcţiilor, deformaţiile fiind foarte mici, v’2 este neglijabil în raport cu 1 şi prin urmare: - Intrucât momentul încovoietor şi curbura sunt de semne contrare, expresia corectă a curburii devine: In practică, nu interesează întreaga deformată a grinzii, ci numai săgeata maximă şi rotaţia maximă. Determinarea simplă şi directă a acestor mărimi se face cu metoda grinzilor conjugate.
IV.4.3. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda grinzilor conjugate (3) - Metoda grinzilor conjugate face parte din analogiile matematice prin care un fenomen mai complicat se poate calcula prin metoda cunoscută pentru calculul unui fenomen mai simplu, dacă cele două fenomene distincte sunt analoage, adică se exprimă prin ecuații diferențiale de aceeași formă. - Cele două ecuații dierențiale analoage de la care se pornește sunt:
- Dacă se consideră membrul drept din (b), adică M/EI, identic ca mărime cu membrul drept al ecuației (a), adică drept p – intensitatea unei încărcări distribuite, atunci în anumite condiții, săgeata grinzii dintr-o secțiune curentă se poate calcula ca și momentul încovoietor corespunzător încărcării fictive M/EI. Astfel, pe baza analogiei enunțate, calculul săgeții se reduce la un calcul mai simplu de moment încovoietor.
IV.4.3. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda grinzilor conjugate (4) - Practic se procedează în felul următor:
- Se alege de obicei ca încărcare fictivă chiar diagrama de momente încovoietoare a grinzii AB reale, care devine încărcare pe grinda fictivă și se împarte cu produsul EI la sfârșit:
Rotația în secțiunea curentă j este egală cu forța tăietoare corespunzătoare încărcării fictive cu diagrama de momente încovoietoare împărțită cu EI.
IV.4.3. Calculul deformaţiilor la încovoiere prin metoda grinzilor conjugate (5)
- Identificând membrii drepți din ecuațiile a) și b), nu rezultă identitatea săgeții cu momentul încovoietor corespunzător încărcării fictive, ci numai identitatea derivatelor de ordinul II ale acestor funcții. - Identitatea = se realizează numai atunci când, în urma integrării celor două ecuații diferențiale, constantele de integrare respective rezultă din condiții de margine și de limită identice, atât pentru calculul săgeții cât și pentru calculul momentului încovoietor corespunzător încărcării fictive. - Identificarea condițiilor de margine și de limită se face prin aplicarea încărcării fictive pe o grindă diferită de grinda reală, numită grindă conjugată.
IV.4.3. Calculul deformaĹŁiilor la ĂŽncovoiere prin metoda grinzilor conjugate (6) - Exemple de grinzi conjugate
IV.5. Încovoierea cu forță axială
- În cazul general al solicitării compuse de încovoiere cu forță axială, în secțiunea compusă există componentele momentului încovoietor Mx și My și forța axială Nz. Înlocuind cele trei eforturi printr-o forță excentrică N aplicată în punctul P(x0,y0): x0=My/N, y0=Mx/N, rezultă solicitarea de întindere – compresiune excentrică.
IV.5.1. Întinderea – compresiunea excentrică produsă de o forță cu punctul de aplicație pe o axă de inerție principală - Un caz particular de întindere – compresiune excentrică se obține când punctul de aplicație al forței excentrice se află pe o axă de inerție principală.
IV.5.1. Întinderea – compresiunea excentrică produsă de o forță cu punctul de aplicație pe o axă de inerție principală (2) - Axa neutră nu mai trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. - Particularizând pentru secțiunea dreptunghiulară:
IV.5.2. Compresiunea excentrică. Sâmbure central. - Pornind de la cazul general când axa neutră taie secțiunea transversală și când pe secțiune există eforturi unitare normale de întindere și de compresiune, se observă că pe măsura apropierii punctului de aplicațieal forței excentrice de centrul de greutate (x0, y0 – scad în valoare), axa neutră se depărtează (xn, yn – cresc în valoare) putând ajunge exterioară secțiunii transversale. - În acest caz, în secțiunea transversală există numai eforturi unitare de compresiune. - La limită, pentru ca întreaga secțiune transversală să fie comprimată, este suficient ca axa neutră să fie tangentă la conturul secțiunii transversale. - Prin definiție, locul geometric al punctelor de aplicație, care corespund axelor neutre tangente la conturul secțiunii, formează un contur închis în interiorul secțiunii, numit sâmbure central. - Necesitatea cunoașterii sâmburelui central rezultă din particularitățile unor materiale (piatră, beton), care se comportă bine la compresiune, dar slab la întindere, astfel că în aceste cazuri se caută ca întreaga secțiune să rămână comprimată.
IV.5.2. Compresiunea excentrică. Sâmbure central. (2)
- În cazul secțiunii dreptunghiulare, sâmburele central se obține plecând de la pozițiile axelor neutre, tangente la cele patru laturi alec secțiunii: ix2=Ix/A=(bh3/12)/bh=h2/12 iy2=Iy/A=(hb3/12)/bh=b2/12
IV.5.3. Zona activă la secțiunea dreptunghiulară comprimată excentric - În practică, de mai multe ori, punctul de aplicație al forței de compresiune excentrice iese din sâmburele central. - În cazul concret al unei fundații așezate pe terenul de fundație, întinderile ce apar în acest caz nu pot fi preluate, întrucât nu se poate conta pe aderența dintre talpa fundației și teren. În zona întinsă, fundația se desprinde de teren păstrându-se contactul numai în dreptul zonei comprimate, numită zonă activă. - Axa din secțiune, care limitează zona activă, se numește axă zero, întrucât în dreptul ei sz=0. Axa zero nu coincide cu axa neutră.
IV.5.3. Zona activă la secțiunea dreptunghiulară comprimată excentric (2) - Pentru obținerea poziției axei zero și a valorii tensiunii maxime sz max se scrie echivalența statică între forța de compresiune excentrică N și rezultanta eforturilor de compresiune din secțiunea activă R: N = P trebuie să se găsească pe același suport