Matematik uddrag by FADL's Forlag

Den store fortælling om

matematikk n e

Den store fortælling om

Dette er fortællingen om de tænkere, drømmere, kunstnere, opfindere og håndværkere, der bid for bid har afdækket de skjulte sammenhænge bag alt fra cirkler i sandet til planeternes bevægelser og derigennem banet vejen for umådelige fremskridt. Men det er også også fortællingen om menneskers lidenskab og fascination, hvor de er blevet så opslugt af et spørgsmål, at de er forsvundet ind i tallenes verden og har glemt alt om det praktiske problem, de egentlig stod med.

MICKAËL LAUNAY

matematikk n

År 326 før vor tid. Alexander Den Store er draget ud på et felttog til grænsen af det nuværende Indien. I hans gigantiske følge finder vi nogle mærkelige skikkelser – gående til fods i en monoton rytme, mens de mumler indadvendt. De er bematister. Deres opgave er at tælle hvert eneste skridt, mens de lægger det mesopotamiske højland bag sig og passerer de mægtige bjerge i Hindu Kush. Og de gør det med bemærkelsesværdig præcision. To århundreder senere udtænker vismanden Erastothenes, hvordan man kan bruge sådanne målinger til at beregne hele Jordens omkreds uden at skulle sende de stakkels bematister hele vejen rundt. Ved at sammenholde afstanden mellem byerne Syene og Alexandria med forskellen i solstrålernes vinkel i de to byer når han frem til et mål for Jordens omkreds, der afviger mindre end to procent fra den faktiske afstand.

MICKAËL LAUNAY

rættelige Historien om menneskets ut livtag med verden mysterier

– fra forhistorisk tid til i dag

ISBN: 978-87-93590-03-8

FADL’S FORLAG

9 788793 590038

FADL’S FORL AG

Den store fortĂŚlling om

matematikk n e

â&#x20AC;&#x201C; fra forhistorisk tid til i dag

MICKAËL LAUNAY

Den store fortælling om

matematikk n e

– fra forhistorisk tid til i dag Oversat af Ole Lindegård Henriksen

FADL’S FORL AG

Den store fortælling om matematikken – fra forhistorisk tid til i dag 1. udgave, 1. oplag Mickaël Launay © 2018 FADL’s Forlag, København ISBN: 978-87-93590-03-8 Oversat fra fransk af Ole Lindegård Henriksen efter: Le grand roman des maths. De la préhistoire à nos jours. © Editions Flammarion, Paris, 2016. Forlagsredaktion og projektledelse: Carl-Albert Demidoff Omslag og layout: Julie Panton Omslagsillustrationer samt kapitelstartsillustrationer: Julie Panton Sats: Gitte Thorsted, Viborg Illustrationer: Mickaël Launay (undtagen s. 13#: Maurice Bourlon; s. 35#: ©The Royal Belgian Institute of Natural Sciences, Bruxelles; s. 250#, 266#: public domain). Tryk: Opolgraf Printed in Poland 2018 Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner eller virksomheder, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun inden for de rammer, der er nævnt i aftalen. Institutioner og virksomheder, der ikke har indgået aftale med Copydan, skal ved ønske om kopiering henvende sig til FADL’s Forlag. FADL’s Forlag Amagertorv 29B, 3. sal, 1160 København K www.fadlforlag.dk – redaktion@fadlsforlag.dk

FADL’s Forlag takker Statens Kunstfond for økonomisk støtte til oversættelsen.

Indhold INDLEDNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Kapitel 1

UFRIVILLIGE MATEMATIKERE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Hvordan genkender man de 7 kategorier af borter? . . . . . . . . 25 Kapitel 2

OG DER BLEV TAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kapitel 3

”LAD INGEN TRÆDE IND, SOM IKKE ER GEOMETRIKER”. 51 Nogle af epokens problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Kapitel 4

TEOREMERNES TID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kapitel 5

LIDT METODIK. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Kapitel 6

FRA Π TIL DET ALLERMINDSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Arkimedes’ metode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

Kapitel 7

INGENTING OG MINDRE END INGENTING . . . . . . . . . . . . 133 Hvorfor giver minus gange minus plus?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Kapitel 8

TREKANTERNES MAGT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Flisearbejdet i Alhambra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Kapitel 9

UD I DET UBEKENDTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Klassifikation af ligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 Kapitel 10

TALRÆKKER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Det gyldne tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Kapitel 11

IMAGINÆRE VERDENER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Opfind din egen matematiske teori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Kapitel 12

ET MATEMATISK SPROG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 De cartesianske koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Kapitel 13

MATEMATIKKEN SOM VERDENS ALFABET. . . . . . . . . . . . . 245 Krystallografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Kapitel 14

DEN LILLE UENDELIGHED. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Kapitel 15

OPMÅLING AF FREMTIDEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Pascals trekant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Kapitel 16

MASKINERNE KOMMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Teoremet om de fire farver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Kapitel 17

FREMTIDENS MATEMATIKERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 Gödels udsøgte katastrofe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

EPILOG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 LITTERATUR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

”Åh, jeg har altid været så dum til matematik!” Det må være tiende gang i dag, jeg hører den sætning. Men damen har alligevel stået næsten et kvarter ved min stand mellem de andre forbipasserende, og hun lytter opmærksomt, når jeg præsenterer forskellige geometriske kuriositeter. Det er i den sammenhæng, sætningen bliver udtalt. ”Og hvad er De ellers beskæftiget med?” spørger hun mig. ”Jeg er matematiker.” ”Åh, jeg har altid været så dum til matematik!” ”Virkelig? Men det, jeg lige har fortalt, så da ellers ud til at interessere Dem.” ”Ja – men det er jo heller ikke rigtig matematik – jeg forstod det jo.”

Den havde jeg aldrig hørt før. Matematik skulle altså per definition være et fag, man ikke kan forstå? Vi befinder os i den ene ende af cours Félix Faure i La Flotte-en-Ré. På det lille sommermarked har jeg til højre for mig en stand med hennatatovering og afrikansk hårfletning, til venstre for mig bliver der solgt tilbehør til mobiltelefoner, og over for mig er der en stand fuld af nips af enhver art. Midt i det hele har jeg så opslået min matematikstand. I den kølige aftenluft spadserer feriegæsterne fredeligt forbi. Jeg elsker at beskæftige mig med matematik på de mest usædvanlige steder. Steder, hvor folk ikke forventer det, og hvor de ikke prøver at undgå det. ”Hvad tror du mine forældre siger, hvis jeg fortæller dem, at jeg har lavet matematik i ferien?” råber en gymnasieelev til mig på sin vej tilbage mod stranden. Det er sandt nok, jeg har fanget ham i et uventet øjeblik. Men netop derfor er det et af mine bedste: Jeg lægger mærke til ansigtsudtrykkene hos mennesker, der opfatter sig som uhjælpeligt ude af kontakt med matematikken, når jeg fortæller dem, at det er de ikke længere om et kvarter. Og min stand ligger ikke menneskeforladt hen! Jeg viser papirklip, tryllekunster, spil og gåder. Der er noget for enhver smag og enhver alder.

Det morer mig nok lidt, men dybest set gør det mig fortvivlet. Hvordan er det kommet dertil, at man er nødt til at skjule for folk, at de beskæftiger sig med matematik, for at de skal kunne nyde det? Hvorfor virker det blotte ord så skrækindjagende? Det er fuldstændig sikkert, at hvis jeg havde anbragt et skilt under disken, hvorpå der stod ”Matematik” med samme tydelige skrift, som der på de omgivende stande står ”Smykker og halskæder”, ”Telefoner” og ”Tatovering”, så ville jeg ikke få en fjerdedel af de besøgende, jeg faktisk får. Folk ville simpelthen ikke standse op. De ville måske endda træde et skridt til siden og vende blikket bort. Men nysgerrigheden har de i behold. Det kan jeg konstatere hver eneste dag. Matematikken jager en skræk i livet på folk, men fascinerer dem endnu mere. De elsker ikke matematikken, men de ville elske at elske den. Eller i det mindste være i stand til at kaste et åbent blik ind midt i dens dunkle mysterier. Dem anser de for uigennemskuelige, men det passer ikke. Man kan sagtens holde af musik uden at være musiker eller elske et godt måltid uden at være den store madskribent. Hvorfor skulle det så være nødvendigt at være matematiker eller have en ekstremt høj intelligens for at lytte til fortællinger om matematikken eller holde af at lade sin sjæl udfordre af algebra og geometri? Det er slet ikke nødvendigt at gå ind på

de tekniske detaljer for at forstå de store linjer og undre sig over dem. Lige fra tidernes morgen har utallige kunstnere, skabende mennesker, opfindere, håndværkere eller blot drømmere og nysgerrige beskæftiget sig med matematik uden overhovedet at vide, at de gjorde det. ”Ufrivillige matematikere” kunne man kalde dem. Det er dem, der har stillet de første spørgsmål, foretaget den første udforskning, slået de første slag i bolledejen. Hvis vi vil forstå matematikkens ”hvorfor”, må vi følge i disse menneskers fodspor, for det var med dem, det hele begyndte. Så er det vist på tide, at vi begiver os ud på en rejse. Hvis du har lyst, så tillad mig på de følgende sider at tage dig med på en slentretur gennem en af de mest fascinerende og forbløffende discipliner, mennesker nogensinde har beskæftiget sig med. Lad os møde de mænd og kvinder, som har skabt matematikkens historie med deres uventede opdagelser og fantastiske ideer. Lad os sammen tage hul på den store fortælling om matematikken.

KAPITEL 1

Ufrivillige matematikere Da jeg er tilbage i Paris, beslutter jeg at indlede udforskningen på Louvre-museet i byens hjerte. Beskæftige sig med matematik på Louvre? Det hænger da ikke sammen? Den gamle kongelige residens, der i dag er omdannet til museum, forekommer at være et domæne for malere, skulptører, arkæologer og historikere i højere grad end for matematikere. Men det er altså her, vi forbereder os på at genfinde matematikkens første fodspor. Allerede mens jeg nærmer mig, virker den store glaspyramide på cour Napoléon som en geometrisk invitation. Men i dag gælder mit møde en langt ældre tid. Jeg går ind på museet, og tidsmaskinen går i gang: Jeg passerer de franske konger, og jeg fortsætter tilbage gennem renæssance og middelalder, indtil jeg når til oldtiden. Salene glider forbi mig, jeg passerer nogle romerske statuer, nogle græske vaser og nogle ægyptiske sarkofager. Men jeg skal længere ned. Så når jeg til

forhistorisk tid, og efterhånden som jeg går ned ad tidsstigens trin, må jeg skridt for skridt glemme det hele. Glemme tallene. Glemme geometrien. Glemme skrifttegnene. I begyndelsen vidste ingen noget. Man vidste ikke engang, at der var noget at vide. Første stop er Mesopotamien. Vi er nu ti tusind år tilbage i tiden. Når jeg tænker nærmere over det, kunne jeg godt være gået længere tilbage. En million år eller halvanden. På den tid havde man ikke engang lært at bruge ilden, og Homo sapiens er stadig et fremtidsprojekt. På den tid var det Homo erectus, der regerede i Asien, Homo ergaster i Afrika og måske også nogle andre nærtbeslægtede, som vi ikke har opdaget endnu. Det er den tilhuggede stens og stenøksens tid. I et hjørne af bopladsen er stenhuggerne i gang med arbejdet. En af dem griber en jomfruelig flintesten, som han har samlet op nogle timer tidligere. Han sætter sig på jorden, holder stenen nede med den ene hånd og slår så en stor sten, som han holder i den anden mod flintestenens kant. Den første splint går af. Han betragter resultatet, presser igen flintestenen mod underlaget og slår så den store sten mod den anden side af flintestenen. De to første slag skaber tilsammen et stykke skarp kant på flintestenen. Og så er det bare at

gentage operationen langs hele kanten. Nogle steder er stenen for tyk eller for stor, og der er behov for at fjerne større stykker, før genstanden har den ønskede form. Stenøksens form opstår nemlig ikke ved et tilfælde og heller ikke efter et øjebliks inspiration. Den er udtænkt, udformet og overført fra generation til generation. Man kan finde forskellige modeller, alt efter periode og tilblivelsessted. Nogle økser har form som en vanddråbe med en fremstikkende spids, mens andre er mere rundede og har samme profil som et æg, og atter andre nærmer sig en ligebenet trekants form med svagt buede sider.

Stenøkse fra palæolitisk tid.

Men de har alle sammen et fællestræk: en symmetriakse. Har der været et praktisk aspekt i denne geometri, eller har det simpelthen været en æstetisk hensigt, der har fået vores forfædre til at vælge disse former? Det er svært at vide. Det eneste sikre er, at denne symmetri ikke kan være et resultat af tilfældet. Stenhuggeren skal overveje sit slag på forhånd. Overveje formen, før han skaber den. Danne sig et mentalt, abstrakt billede af den genstand, der skal formes. Eller med andre ord: tænke matematisk.

Når stenhuggeren har færdiggjort sin genstand, betragter han den. Han holder den ud fra sig, ud i lyset, så han bedre kan se kurven og tilpasse formen med et par yderligere slag. Til sidst er han tilfreds. Hvad føler han i dette øjeblik? Føler han allerede denne formidable opstemthed over den videnskabelige skabelsesproces? Over at have formået at gribe og tilpasse den ydre verden til sin egen abstrakte idé? Det betyder ikke så meget, de store abstraktioners tid venter endnu forude. Med stenøksen kan man forme træ, skære i kød, flænse hud og skind eller grave i jorden. Men nej, så langt vil vi ikke gå. Lad os forlade disse ældgamle tider og vores måske hasarderede fortolkninger og i stedet gå tilbage til det, der bliver det egentlige udgangspunkt for vores opdagelsesrejse: det mesopotamiske område i 8. årtusind før vor tidsregning. I den frugtbare halvmåne i det område, der en dag i fremtiden skulle blive til Irak, er den neolitiske revolution i fuld gang. Her har mennesker slået sig ned igennem en årrække. På den nordlige højslette bliver koloniseringen en succes. Denne region bliver et laboratorium for alle de efterfølgende innovationer. Bosættelser på afgrænsede, uopdyrkede jordstykker giver stødet til de første landsbyer, og de dristigste husbyggere føjede endda allerede en etage til deres beboelse.

Landbruget er et hovederhverv. Det gavmilde klima giver mulighed for at dyrke afgrøder uden kunstvanding. Planter og dyr bliver lidt efter lidt tilpasset og tæmmet. Pottemageriet forbereder sin entré. Nej, hør nu! Taler vi helt seriøst om pottemagerhåndværk? Ja, fra disse epoker er en mængde vidnesbyrd uigenkaldeligt forsvundet i tidens uforudsigelige løb, men arkæologerne har samlet tusindvis af beviser: potter, vaser, krukker, tallerkener, skåle. Rundt om mig er Louvres montrer fulde af dem. De ældste er ni tusind år gamle, og fra sal til sal fører de os igennem århundrederne. De findes i alle størrelser, alle former og med diverse udformninger, dekorationer, bemalinger og indgraveringer. Nogle har fødder, andre ører eller håndtag. Nogle er intakte, nogle er revnede, nogle er gået i stykker, andre har man rekonstrueret. Keramik er den første brændte kunst – længe før bronze, jern og glas. Ud fra leret, denne formbare jordens dej, som findes i rigelige mængder i disse fugtige områder, har pottemagerne kunnet forme deres genstande efter deres egne ønsker. Når formen er tilfredsstillende, er det blot at lade genstanden tørre i nogle dage, før den brændes i et stort bål for blive hærdet. Denne teknik havde været kendt længe. Tyve tusind år tidligere lavede man allerede små statuetter af ler. Men det

er naturligvis først i nyere tid, i forbindelse med den fastboende livsform, at man har fået den idé at fremstille brugsgenstande til den daglige husholdning af ler. Den nye livsform nødvendiggør opbevaringsfaciliteter, og så fremstiller man store mængder keramik. Disse beholdere af brændt ler bliver hurtigt uundværlige i den daglige husholdning og i landsbyens kollektive organisation. Selvfølgelig vil man omgive sig med smukke ting, og inden længe bliver keramikken dekoreret. Også her er der flere skoler. Nogle stempler deres motiver ned i det våde, friske ler ved hjælp af en muslingeskal eller en kvist, før det brændes. Andre brænder tingene først og ridser derefter deres dekorationer ind i leret med egnede sten. Atter andre foretrækker at male på lerets overflade med naturlige pigmenter. Mens jeg går igennem salene i afdelingen for mellemøstlig oldtid, slår det mig, hvor stor en motivrigdom der præger de geometriske motiver, som mesopotamerne udtænkte. Ligesom det gjaldt for stenøksen fra vores ældgamle stenhugger, er visse af motiverne for komplicerede til ikke at være omhyggeligt udtænkt på forhånd. De borter, der løber som bånd langs kanten af vaserne, tiltrækker i særdeleshed min opmærksomhed. De dekorative bånd præsenterer det samme

motiv hele vejen rundt langs vasens kant. Blandt de hyppigste er savtakkede mønstre, og man finder også dekorationer bestående af to bånd, der snor sig rundt om hinanden. Og så er der takker, kanaler, parallelogrammer, stiplede trekanter og indlejrede cirkler. Når man går fra den ene epoke til den anden, får man øje på modernes skiften. Visse motiver er meget populære. De gentages, transformeres og udtyndes til forskellige varianter. Og så nogle århundreder senere bliver de opgivet som has beens og erstattet af andre, der er mere i tidens ånd. Jeg ser dem passere forbi, og mit matematiske blik lyser op. Jeg får øje på symmetrier, rotationer, transformationer. Jeg begynder mentalt at sortere og skabe orden. Nogle teoremer fra mine studieår rinder mig i hu. Klassifikation af geometriske transformationer – det er det, jeg har brug for. Jeg finder notesbog og pen og begynder at skrive. Først er der rotationerne. Jeg har lige foran mig en dekorativ bort bestående af en række S’er, der griber ind over hinanden. Jeg lægger hovedet på skrå for at blive helt sikker. Jo, den er god nok. Dette mønster er invariabelt ved en halv rotation. Hvis jeg tog denne vase og anbragte den med bunden i vejret, ville bortens mønster være fuldstændig uforandret:

Og så er der symmetri. Der findes flere forskellige typer. Lidt efter lidt fuldender jeg min liste, og en skattejagt kan begynde. For hver geometrisk transformation søger jeg en tilsvarende bort. Jeg går fra sal til sal, frem og tilbage. Visse genstande er defekte, og jeg må knibe øjnene sammen og forsøge at rekonstruere de motiver, der har løbet hen over dette bløde ler for årtusinder siden. Når jeg finder et nyt, krydser jeg det af på listen. Jeg ser også på dateringen og forsøger at opstille en kronologi for motivernes opdukken. Hvor mange skal jeg i alt finde? Det vidste meso potamerne ikke. Og af gode grunde. Den teori, der er tale om, blev først formaliseret fra og med renæssancens slutning. Men uden at have den mindste anelse om teori og uden andre hensigter end at dekorere deres pottemagerkunst med harmoniske og originale borter har disse forhistoriske pottemagere været i gang med de allerførste ræsonnementer inden for en fantastisk disciplin, som skulle opildne matematikerne flere tusind år senere. Jeg kigger i mine noter. Nu har jeg næsten dem alle sammen. Næsten? Ja, en af de syv friseka-

tegorier mangler jeg stadig. Det havde jeg på en måde forventet, for det er klart den mest komplicerede på listen. Jeg søger en bort som, hvis man vender den vandret, bevarer sit udseende, men forrykket en halv motivlængde. I dag kalder vi det en glidende symmetri (eller en glidende båndsymmetri). En enorm udfordring for vores mesopotamere. Men jeg er stadig langtfra færdig med alle salene, så jeg taber ikke håbet. Jagten fortsætter. Jeg iagttager den mindste detalje, det mindste indicium. De seks andre kategorier – dem, jeg allerede har observeret – bliver mere omfangsrige. I min notesbog blander dateringer, mønstre og andre smånotater sig i én forvirring. Men stadig intet spor af den mystiske syvende kategori. Men pludselig skyller en adrenalinbølge igennem mig. Bag denne glasrude har jeg lige opfattet et fragment, der umiddelbart ser lidt sølle ud. Men oppefra og ned løber der fire ufuldstændige, men fuldt synlige, indbyrdes overlejrede borter, og den ene af dem vækker straks min opmærksomhed. Det er den tredje oppefra. Den består af noget, der ligner fragmenter af skråtstillede rektangler, der løber sammen i spidser. Jeg blinker med øjnene.

Jeg betragter den opmærksomt og kradser skyndsomst motivet ned i min notesbog, som om jeg frygtede, at det skulle forsvinde for øjnene af mig. Geometrien er rigtig. Det drejer sig faktisk om en glidende symmetri. Den syvende kategori er fundet: Fragment af bæger med horisontal dekoration af bånd og romber med spids. Midten af 5. årtusind før vor tidsregning.

Jeg indplacerer den mentalt i min kronologi. Midten af 5. årtusind før vor tid. Vi er stadig i forhistorisk tid. Mere end tusind år før skrifttegnenes opfindelse har de mesopotamiske pottemagere allerede uden at vide det opregnet alle tilfælde af et teorem, som først skulle blive formuleret og bevist seks tusind år senere. Nogle sale længere fremme støder jeg på en krukke med tre hanke, der ligeledes hører til i den syvende kategori. Selv om motivet er transformeret til en spiral, er den geometriske struktur stadig den samme. Lidt længere fremme støder jeg på en mere. Jeg vil fortsætte, men pludselig skifter rummene karakter. Jeg har nået enden på samlingerne fra den orientalske forhistorie. Hvis jeg fortsætter, kommer jeg til Grækenland. Jeg kaster et sidste blik på mine notater. Eksemplerne på borter af typen glidende symmetri kan tælles på én hånd. Det var på et hængende hår.

HVORDAN GENKENDER MAN DE 7 KATEGORIER AF BORTER? Den første kategori er selve kategorien bort (eller frise), som ikke har nogen specifikt geometriske egenskaber. Det er simpelthen et motiv, der gentages uden symmetrier eller rotationscentre. Det gælder især friser, der ikke er baseret på geometriske figurer, men på figurative tegninger, for eksempel af dyr:

Den anden kategori omfatter de mønstre, hvor den horisontale linje (synlig eller ej), som deler borten i to, er en symmetriakse:

Den tredje kategori omfatter de mønstre, som har en vertikal symmetriakse. Eftersom borten består af et mønster, der gentages horisontalt, gentages symmetriaksen ligeledes:

25 25

Den fjerde kategori er de mønstre, som er invariable (uforanderlige) i forhold til en halv rotation. Hvad enten disse mønstre læses retvendt eller på hovedet, ser man hele tiden det samme:

Den femte kategori er den med de glidende symmetrier. Det var den famøse kategori, jeg til sidst fandt i nærheden af Mesopotamien. Hvis man spejler en af disse borter i en horisontal symmetriakse (ligesom i tredje kategori), vil den fremkomne spejling have samme mønster, blot forskudt med en halv motivlængde:

Den sjette og syvende kategori svarer ikke til yderligere geometriske transformationer, men kombinerer flere af de egenskaber, vi har mødt i de foregående kategorier. Et mønster af sjette kategori kombinerer således vertikal symmetriakse, horisontal symmetriakse og rotationscentrum for en halv rotation:

Og endelig omfatter den syvende kategori mønstre, som kombinerer vertikal symmetriakse, rotationscenter og glidende symmetri:

Det bør bemærkes, at disse kategorier kun forholder sig til borternes geometriske struktur og ikke udelukker variationer i motivernes form. Derfor tilhører de følgende mønstre, hvor forskellige de end er, alle kategori syv:

Alle de borter, man kan forestille sig, tilhører en af de syv kategorier. Andre kombinationer er geometrisk umulige. Mærkeligt nok er de to sidstnævnte kategorier de hyppigst forekommende. Det er åbenbart lettere spontant at tegne mønstre med mange symmetrier end mønstre med få.

Veloplagt efter min succes med mesopotamerne mødte jeg så frem den følgende dag, klar til at løbe storm mod den græske oldtid. Men allerede fra første færd blev jeg nærmet overvældet og vidste ikke længere, hvor jeg skulle vende blikket hen. Her var jagten på borter blevet en ren børneleg. Jeg behøvede kun at gå nogle få skridt, se på nogle få montrer og et par sorte amforaer med røde figurtegninger, så havde jeg allerede fundet samtlige syv kategorier på min liste. Konfronteret med en sådan overflod opgiver jeg hurtigt at føre statistik, som jeg havde gjort i den mesopotamiske afdeling. Disse kunsthåndværkeres kreativitet lammer mig. Nye motiver, mere og mere komplekse og udspekulerede, gør deres entré. Efter flere gentagelser bliver jeg nødt til at stoppe op og koncentrere mig for mentalt at kunne overskue alle disse bånd, der snor sig og hvirvler rundt om hovedet på mig. Da jeg gør en omvej gennem en anden sal, støder jeg på en græsk rødfigurvase, en såkaldt loutrofor, og jeg bliver helt stum. En loutrofor er en høj vase med to hanke, hvis funktion er transport af badevand. Dette eksemplar er næsten en meter højt. Der er mange borter, og jeg begynder at registrere dem efter kategori. 1, 2, 3, 4, 5. På få sekunder har jeg fundet fem af de syv kategorier. Vasen er fastgjort til væggen, men ved at bøje mig frem kan jeg konstatere, at

kategori 6 er repræsenteret på vasens bagside. Så mangler jeg kun én. Det er næsten for godt til at være sandt. Og forbløffende nok er den manglende kategori ikke den samme som den foregående dag. Tiden er skiftet, moden ligeså, og det er ikke længere den glidende symmetri, jeg mangler, men derimod kombinationen af horisontal symmetriakse, rotationscenter og glidende symmetri. Jeg leder som en vanvittig, lader mit blik løbe som en skanner hen over hver en stump af genstanden, men jeg finder ikke den sidste type. Let skuffet er jeg lige ved at forberede mig på at give op, da jeg får øje på en detalje. Midt på vasen er afbildet en situation mellem to personer. Ved første øjekast forekommer det mig, at der ikke er nogen bort på det sted. Men under billedet og lidt til højre tiltrækker en genstand sig min opmærksomhed: en vase, hvortil den centrale person støtter sig. En vase afbildet på en vase! Selvreferencen er nok til, at jeg allerede ler. Jeg glipper med øjnene. Billedet er en smule udtværet, men der er ingen tvivl: Denne vase på vasen har også en bort, og mirakuløst nok er det netop den, jeg står og mangler! Trods gentagne anstrengelser lykkes det mig ikke at finde andre genstande, som fremviser samme særkende. Denne loutrofor er tilsyneladende den eneste af sin type i Louvres samlinger. Den eneste, som rummer mønstre af alle syv kategorier.

Lidt længere fremme venter der mig endnu en overraskelse. Borter i 3D! Og jeg, som gik og troede, at perspektivet var en opfindelse fra renæssancen. Mørke og lyse zoner – dygtigt disponeret af kunstneren, så der opstår et spil mellem skygge og lys, der får de geometriske former til at virke rumlige – løber hele vejen rundt om det kæmpestore kar. Jo mere jeg ser, jo flere spørgsmål melder sig i mit sind. Visse af mønstrene har ikke indgået i borter, men har været at finde på teglfliser. Eller med andre ord: De geometriske motiver har ikke begrænset sig til at udgøre et fint bånd rundt om en genstand, men har efterhånden bredt sig til hele overfladen, hvorved mulighederne for geometriske kombinationer er blevet mangedoblet. Efter grækerne kommer ægypterne, etruskerne og romerne. Jeg støder på illuderede kniplinger skåret ud i sten. De fine stentråde snor sig skiftevis over og under hinanden i et fuldstændig regelmæssigt net. Og som om de udstillede arbejder ikke var tilstrækkeligt, får jeg pludselig øje på selve Louvres bygninger: lofterne, fliserne, dørindfatningerne. Og da jeg kommer hjem til mig selv, er det, som

om jeg ikke kan stoppe igen. Jeg iagttager altanerne pĂĽ husene i gaden, motiverne pĂĽ de forbipasserendes tĂ¸j, murene i metroens gange. Blot man vender blikket mod verden, ser man matematikken tone frem. Dens tendens til at danne mĂ¸nstre er fascinerende og uden ende. Og eventyret er fĂ¸rst lige begyndt.

1 2

www.fadlforlag.dk

FADL’S FORLAG Vi er passionerede og professionelle bogelskere, som sætter samarbejdet med vores forfattere, de studerende og andre samarbejdspartnere i højsædet. Dette skaber rammerne for FADL’s Forlags bøger.

Vores fagbøger skrives af professionelle, dygtige og entusiastiske fagfolk. Vores fokus er altid på at opnå højeste kvalitet i både bogens indhold og form: Bøgerne er til at forstå og klæder læseren optimalt fagligt på.

Vi udgiver bøger til studerende inden for de sundhedsprofessionelle uddannelser og til den almindelige læser.

Vores bøger til den almindelige læser dækker et bredt spektrum af emner med afsæt i sundhed og livsstil. Vi laver kogebøger, populærvidenskabelige bøger, sundhedsbøger til familien, bøger om kost og motion og meget andet.

Vores kerne er de medicinske fagbøger, og det har den været i over 60 år. Vi udgiver primært bøger til de medicinstuderende, men laver også bøger til den færdiguddannede læge, de sygeplejerskestuderende og andre sundhedsfaglige faggrupper.

FADL’s Forlag

•

Amagertorv 29B 3. sal

Vores mål er konstant at udgive de bedste bøger inden for disse områder. God fornøjelse med den bog, du sidder med nu.

•

DK-1160 København K

•

+45 3535 6287