[Skolens
YY-Gymnasium
logo]
STUDIERETNINGSPROJEKTET I 3.G 2008-2009
Navn:
NN Brug blokbogstaver!
Klasse: XX
Fag 1: Studieretningsfag på A-niveau Fag 2: Studieretningsfag på A-, B- eller C-niveau, dansk eller historie Evt. fag 3: Studieretningsfag på A-, B- eller C-niveau, dansk eller historie
Fys A Dan A
*skal udfyldes!
Opgaven skrives indenfor følgende område (fra side 1): Kaosteori
Hovedfag for opgaven (fra side 1): (studieretningsfag på A- eller B-niveau) Eventuelt hovedfag nr. 2: (studieretningsfag på A- eller B-niveau, dansk eller historie)
* Fys A
*skal udfyldes!
Skolen har udpeget følgende 2 vejledere (pr. … 2008): Vejleder 1 (hovedvejleder) – underskrift + initial:
Vejleder 2 – underskrift + initial:
MM
PP
Opgaveformuleringen udleveres … 2008 kl. 13:30 (Det originale ark afleveres på kontoret med elevunderskrift. Eleven modtager en kopi.) Opgaveformulering (kan evt. vedhæftes som bilag):
Opgavebesvarelsen afleveres på skolens kontor i 4 daterede og underskrevne eksemplarer senest …
________________________________ Underskrift – elev
Dato:
__________________
[Skolens Logo]
Studieretningsprojekt – Elev NN Klasse XX Hovedfag Fysik A Inddragne fag Dansk A Område Kaosteori Kaosteori Du skal redegøre for Feigenbaums tilgang til kaosteori eksemplificeret ved overgangen til kaos gennem periodefordobling og et konkret eksempel på et fysisk fænomen, der udviser kaotisk opførsel. Opgave
Med udgangspunkt i ovenstående fysik-arbejde skal du udarbejde en populært formidlende artikel på 3-4 sider. Artiklens målgruppe skal være en typisk læser af Illustreret Videnskab. Opgaven skal endelig indeholde en meta-opgavedel hvor du – primært ud fra en danskfaglig vinkel – redegør for dine formidlingsmæssige overvejelser i forbindelse med artiklens indhold og udformning.
Bilag Omfang
Besvarelsens omfang forventes at være mellem 20 og 25 sider, hvortil kommer supplerende bilag i form af data, billeder, og lignende.
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 3
Abstract The following pages deals with the scientific issue — Chaos. To understand this matter I have focused on two sub issues; Feigenbaum, named after Mitchell Feigenbaum, who is now known as one of the forefathers of the chaos theory because he found chaos in a very simple system, the logistic system, and a physical experiment that shows chaotic behaviour. The experiment I chose was that of a ball falling into a ditch where it is bound to bounce forever. Furthermore, my article about chaos, is concentrating on making it understandable for everyone and encouraging to further interest. The way, I wrote the article is finally justified in the third and last part of this work. The chaos theory has had a pioneering effect on traditional physics because in some ways it settles with determinism as Newton defined it. Getting acquainted with the chaos theory opens up for much thought about our world and the importance of mankind, it sets great store by the nature and its beauty. Above the fact that the chaos theory shows much more substance between earth and sky than classic physics does, it can be interpreted as the connecting link between scientists and religion, since it deals with Nature as a wonderful phenomenon instead of only asking why. Maybe that is the reason why we do not learn about it in school?
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 4
Indholdsfortegnelse
Abstract ....................................................................................................................... 3 Forord.......................................................................................................................... 5 1. Iterative systemer................................................................................................... 5 2. Feigenbaum ........................................................................................................... 6 2.1 Fikspunkter og cykler ...............................................................................................................6 2.2 Periodefordobling .....................................................................................................................8 2.3 Figentræer.................................................................................................................................9 2.4 Kaos........................................................................................................................................10
3. Bold i grøft......................................................................................................... 11 3.1 Klassisk fysik....................................................................................................................... 11 3.2 Kaotisk grøft .......................................................................................................................... 15 3.3 Poincaré ..................................................................................................................................16
Konklusion............................................................................................................... 17
Artikel.............................................................................................. 19 Metaopgave.............................................................................................................. 23 Kaosteorien................................................................................................................................. 23 Underholdning og Oplysning .......................................................................................................24 Konklusion ...................................................................................................................................28
Ordforklaring ............................................................................................................ 29 Litteraturfortegnelse.................................................................................................. 30
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 5
Forord I 60erne vandt de ulineære systemer1, specielt kaosteorien, for første gang for al alvor lydhørhed blandt videnskabsmændene. Denne opgave beskæftiger sig med kaosteorien og belyser emnet ved hjælp af to specifikke delemner Feigenbaum og et simpelt fysisk forsøg med kaotisk opførsel. Princippet bag såvel Feigenbaum, som det fysiske forsøg, en bold, der hopper ned i en grøft, er iterative systemer2. Mens Feigenbaum opdagede en helt ny sammenhæng indenfor en relativ simpel, men ikke-lineær lineær bevægelse, er boldens hop i en grøft en kombination af forskellige grundlæggende, lineære love efter den klassiske fysik3. Tilsammen giver disse simple love et komplekst system4, der har enorme konsekvenser for boldens opførsel. Udover kaotiske systemers gennemgående skønhed, fascineres vi af tanken om det uforudsigelige, der følger og, som står i direkte modsætning modsætning til den klassiske fysiks tankegang, ordet, der i den forbindelse har præget den relativt nye opdagelse er derfor paradigmeskift.
1. Iterative systemer Et system, der defineres ved en funktion af en variabel, f.eks. x, som lig med den næste xx-værdi efter en given tidsperiode, kaldes et iterativt system:ݔ system: ାଵ ൌ ݂ሺݔ ), hvor xn er den givne
situation efter n antal tidsperioder. I disse iterative systemer starter vi med situationen x0, hvor så x0+1 udregnes ved f(x0). I praksis vælges der numerisk en startværdi, der fremskrives til næste værdi ved denn givne funktion. Herefter vælges den nye x-værdi værdi til endnu en beregning og så videre. Dette kan dog også beregnes grafisk, hvortil vi benytter os af funktionen f (x) = x , som netop er stedet, hvor den
1 2 3 4
Se Se Se Se
ordforklaring ordforklaring ordforklaring ordforklaring
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 6
5 oprindelige y-værdi værdi oversættes til en x-værdi. x Dertil til vælger man ganske enkelt en graf, f.eks. en
parabel, som jeg senere, i forbindelse med Feigenbaum, vil komme nærmere ind på: ݔାଵ ൌ ܽ ȉݔ ȉሺͳ െ ݔ )
Dette er en parabel, der medd den traditionelle omskrivning ݔାଵ ൌ െܽ ȉݔ ଶ + ܽ ȉݔ viser, at
den skærer y-aksen aksen i koordinaterne (0,0) og toppunktet er foroven, et maksimumspunkt. Vi har altså her med f.eks. en todimensional bevægelse, en kasteparabel6 at gøre. Den ufuldendte iteration foroven viser, hvordan der, ved hjælp af vinkelrette linjer, overføres xx-værdier til yværdier og tilbage igen.
2. Feigenbaum 2.1 Fikspunkter og cykler ( ) = ݔi fikspunktet. Grafen for en parabel medd funktionen ݔାଵ ൌ ܽ ȉݔ ȉሺͳ െ ݔ ) skærer ݂()ݔ For en med 1 < a < 4 varierende parabel opfører fikspunkterne sig på helt forskellig vis:
Når hældningen a er mindre end 1, skærer grafen ݂( )ݔൌ ݔ
kun i koordinaterne (0,0) og det fikspunkt eer tiltrækkende: For a <1 gælder, at fikspunkt (0, 0) er tiltrækkende Så snart hældningen er 1 eller større, forefinder vi endnu et fikspunkt. I det tilfælde er fikspunktet (0,0) frastødende. Hvis hældningen over 1 er fikspunktet x* tiltrækkende. Dette gælder helt indtil hældning a=2.99..., lige før a=3.
Det betyder, at, ved 1 < a < 3 er fikspunkt x* tiltrækkende.7 Men hvad sker der så derover?
5 6 7
Jacobsen, 9-10, 23-28 Se ordforklaring Felsager, 15-21
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
Vigtigt er, at a ikke bliver større end 4. Hvis vi holder hældningen mellem 0 og 4 ligger maksimum på eller under er 1, dvs. hele den positive del af grafen ligger inden for koordinaterne (0,0) og (1,1), hvilket er vores interesseområde, da vi ønsker at holde iterationen under 1.8 Det spændende område er altså ved hældningen mellem 3 og 4. Sættes hældningen til at være ære 3 og derover, er fikspunktet frastødende, ligesom ved tilfældet til højre, hvor a=3.648. Her hersker der det rene kaos, en evig cykel af nye iterationsværdier. Men der er dog struktur ved hældningen mellem 3 og 4. Varieres a bliver det snart klart, at der ved nogle enkelte værdier er en fuldstændig konsistens: Mellem a=3,219 og a=3,236 itereres dataene konstant mellem to værdier. Mellem a=3,499 og a=3,504 springer værdierne mellem 4 punkter og ved a=3,628 springer de mellem 6 punkter. Det mest overraskende er dog, at ved a=3,831, efter en lang periode med kaos, opstår der en perfekt stolformet figur, hvor værdierne springer mellem 3 punkter. Disse figurer kaldes cykler. Når cyklerne er "pæne", som vist ovenfor, er de stabile, i perioderne imellem er de ustabile. Punkterne, værdierne springer imellem kaldes periode-punkter, punkter, seks. ved a=3.219 har vi en 2-cykel 2 med periode-2-punkter. punkter.9
8 9
Felsager, 7 Felsager, 19-21
7
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
2.2 Periodefordobling Til trods for, at cyklerne i afbildningen primært er ustabile, dvs. for at nå tilbage til udgangspunktet spunktet tager modellen den lange vej over mange andre værdier, hvilket vi ser som afbildningen på siden før med a=3,648, interesserer vi os mere for de stabile cykler som vist ovenfor. Mitchell Feigenbaum fandt netop ad denne vej frem til kaos. Allerede før før ham havde mange naturvidenskabsmænd undersøgt det fænomen, at naturens bevægelse ofte gennemgår en periodefordobling, hvilket betyder, at perioden, for at komme tilbage til udgangspunktet netop bliver fordoblet og dermed frekvensen halveret. Forskellen mellem dem og Feigenbaum var nu, at Feigenbaum opdagede denne sammenhæng ved den simple logistiske vækst10 ݔାଵ ൌ ܽ ȉݔ ȉሺͳ െ ݔ ).11
Med det udgangspunkt at naturen stræber efter stabile tilstande, anså Feigenbaum de ustabile
perioder for at være sekundære i en model til virkeligheden. Hans problemstilling var nu også en model til en biologisk populationsvækst, onsvækst, hvor alle hældninger mellem 3 og 4 fremkaldte nogle besynderlige resultater. Hældningen fra 0 til 1 havde for en population den indvirkning, at beholdningen ville uddø med tiden, da det eneste fikspunkt er (0,0), hvilket er tiltrækkende. Feigenbaum Feigenbaum indså derfor, at de interessante værdier lå ved en hældning mellem 1 og 4. Nu havde han bemærket, at populationstilvæksten med en hældning mellem 1 og 3, steg indtil en vis ligevægt, hvor naturlige årsager forhøjede dødeligheden og dermed udlignede den store formering, Værdierne nåede et fikspunkt. Men ved a=3 og op over fandt han til tider en meget speciel opførsel, f.eks. at populationen sprang frem og tilbage mellem to eller flere værdier, eller at populationen tilsyneladende sprang fuldstændig tilfældigt, ldigt, også det er naturligvis cyklerne og fikspunkterne om igen. Feigenbaum tog så det sidste og afgørende skridt for denne populationsbeskrivelse; han valgte dde
10 11
Se ordforklaring Bohr, 49-56
8
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 9
itererede værdier x„ som funktion af a.12 Resultatet heraf blev det karakteristiske figentræ, som Feigenbaum også har lagt navn til.
2.3 Figentræer Feigenbaums figentræ indeholdt nu akkurat disse bifurkationer13, det vil sige tvedelinger, der beskrev periodefordoblinger. Det, man allerede tidligere havde kendskab til, nemlig, at perioden bliver fordoblet, men frekvensen halveret blev omgående tydeligt på figentræet, dog med den forskel, at frekvensen ikke bliver halveret. Feigenbaum satte sig naturligvis til at regne på denne specielle sammenhæng, at selve grenen af figentræet synes at blive procentvist lige meget mindre for hver periodefordobling. Præcist som forventet fandt Feigenbaum en universel faktor, der forbandt grenens længde med periodefordoblingen. Han kaldte denne faktor for delta, 6, og regnede den bedste tilnærmede værdi ud til at være 8 = 4,669... Siden har mange naturvidenskabsmænd opstillet figentræer ud fra andre funktioner end den logistiske vækst14, i et forsøg om at teste Feigenbaums teori. Denne holdt dog stand, endda talværdien har til dags dato kun været bekræftet.15 Det betyder altså, at figentræet består af en uendelig mængde af bifurkationer bare på et endeligt areal. Det synes dog imidlertid forståeligt, hvad der dog er endnu mere forbløffende er den pludselige optræden er en fin periodicitet midt inde i uendeligheden.
12 13 14 15
Colding-Jørgensen, 52-57 Se ordforklaring Vækst med naturlig begrænsning, som ݔାଵ = ܽ ∙ ݔ ∙ (1 − ݔ ) Bohr, 49-56
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
Ser er man nøje på figentræet, som billedet ovenfor, der låntes fra internettet16, bliver det tydeligt, at processen gentager sig, så vi pludselig genkender miniature figentræer i midten af det store figentræ. Det fænomen kaldes selvsimilaritet17. Desuden kan mann følge linjerne gennem træet, der viser en højere koncentration af punkter.
2.4 Kaos Feigenbaum, der nu kan siges at blive betragtet som en af kaosteoriens fædre, forbløffede mange med sin tankegangs klarhed og enkelthed. Han havde succes med at bevise kaos, kaos, men ikke kaos som vi kender det fra daglig tale, derimod et højst ordentligt kaos, for det vi ikke kan genkende mere som andet end en flade med tilfældige punkter, der nærmest sværter alt til, består i 18 virkeligheden af den skønneste systematik, bifurkationsmekanikken bifurk .
Når vi nu tænker tilbage til Newton og de mere traditionelle fysikere, der skænkede os den klassiske fysik, der baserer på determinisme19, altså forudsigeligheden, så lader kaos til at være netop det paradigmeskift, der taltes om. Grunden til det er, at vi ud fra en given startsituation (begyndelsesbetingelse) ikke har nogen jordisk chance for at følge selve udviklingen igennem træet, for hvor ligger lige det punkt, jeg startede med, hvilket punkt startede jeg med og hvordan kan jeg vide, hvordan præcist det enkelte punkts "bane" er? Men alligevel er kaosset ikke mere kaotisk end, at vi faktisk kan regne ud, hvilket Feigenbaum hurtigt opdagede, hvor præcist bifurkationerne sker. Vi kalder det deterministisk kaos kaos.20
Det mest vidunderlige ved ed Feigenbaums figentræ er nok udseendet — billederne billede e ovenover ligger ikke ret langt fra hinanden. Figentræet 16 17 18 19 20
Se litteraturhenvisninger Se ordforklaring Se ordforklaring Forudsigelighed (se ordforklaring) Cloding-Jørgensen, 52-53
10
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 11
til venstre21, naturens skabelse, holder sig til stabile tilstande, de tilstande også Feigenbaum holdt sig til, hvilket resulterede i billedet til højre. Hvordan ville figentræet se ud med alle ustabile tilstande, hvordan ville grenene se ud? Billederne gør det tydeligt - det deterministiske kaos er nok den smukkeste af alle naturligheder. Fysikkens, og for den sags skyld også biologiens og kemiens, "opgave" har alle dage været at forstå naturen — vi kalder det ikke uden grund — naturvidenskaben. Med kaosteorien vender vi fra den teoretiske fysik tilbage til den mere jordbundne, hvor kaos, tæt knyttet til fraktaler22 (også figentræet har fraktal opførsel) er et forsøg på at beskrive den virkelige verden — ulineære sammenhæng, i modsætning til den teoretiske fysiks optimerede, og yderst sjældne, lineære sammenhæng.
3. Bold i grøft 3.1 Klassisk fysik Hvor finder man kaos? Kaos finder man i simple fysiske bevægelser, som f.eks. en bolds hop i en grøft. Hvis man forestiller sig, at man har en grøft, der består af to sideflader, som sammen danner en bestemt vinkel forneden. Så holder man en bold over grøften og slipper; bolden hopper og hopper og hopper, tilsyneladende tilfældigt frem og tilbage mellem siderne. Det er en meget simpel situation. Hvis vi så tænker på, hvad der i virkeligheden sker, når vi har denne situation, så ved vi, at tyngdekraften får bolden til at falde ned og elasticiteten får bolden til at hoppe op. To fysiske love, som Newton ville have betegnet som noget af det mest naturlige i verdenen. Der er dog den lille hage ved situationen, og det er, at bolden antages at være 100 % elastisk, hvilket betyder, at den ikke mister noget energi, der har den konsekvens, at bolden virkelig aldrig stopper med at hoppe. (I den virkelige virkelighed ville det naturligvis ikke være tilfældet, da også luftmodstanden (gnidningen) efterhånden bremser bevægelsen). Vi har altså for det første med en jævnt voksende bevægelse at gøre, hvor tyngdekraften trækker nedad:
21 22
Se litteraturhenvisning (lån af billeder) Se ordforklaring
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 12
ݏൌ
ଵ ଶ
ȉܽ ȉݐଶ ݒ ȉݐ ݏ, 23
hvor s er strækning (til tiden 0), t er tiden. Vores starthastighed v0 er dog 0, da vi holder bolden stille i starten. Desuden er accelerationen a netop tyngdeaccelerationen g. Tyngdekraften er givet ved: ܨ௧ ൌ ݉ ȉ݃, 24
hvor Ft er tyngdekraften, m er massen af bolden og g er tyngdeaccelerationen. Derudover er stødet elastisk, hvor den kinetiske energi, ଵ
ܧ = ଶ ∙ ݉ ȉݒଶ, 25
med massen m og hastigheden v, er bevaret. Det betyder, at hastigheden, hvormed bolden den rammer overfladen er bevaret; den forlader overfladen med samme hastighed26. Da den kinetiske og den potentielle energi tilsammen hele tiden er konstant, givet ved elasticiteten, nemlig, lig den potentielle energi inden vi giver slip på bolden, følger: 1 ȉ݉ ȉ൫ݒ௫ଶ + ݒ௬ ଶ൯ ݉ ȉ݃ ȉ ݕൌ ݉ ȉ݃ ȉ݄ 2 , hvor det første led er den kinetiske ܧൌ
energi, der er givet ved hastighedsvektoren (vx,vy), det andet led er den potentielle energi, der er givet ved højden den y, alt efter hvor bolden befinder sig, og tilsammen lsammen er det lig med den potentielle energi til at
23 24 25 26
Jacobsen, 17 Jacobsen, 21 Jacobsen, 19 Chistensen, 20-26
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 13
starte med, hvor vi slipper bolden fra højden h27. Forsøget kan simuleres på computeren, hvor variationen af starthøjden h, grøftvinklen a og hvor, i vandret retning, bolden slippes i forhold til grøften x0, er mulig. Bolden beskriver ved hvert eneste hop en kasteparabel, der dog ikke ligner den perfekte symmetriske kasteparabel, men derimod starter højere/lavere end den lander og dermed er dens "ben" ikke lige lange. Da vi tegner grafen til grøften ved )ݔ(ܵܤܣ ∙ ߙ = ݕ, to symmetriske, rette linjer på hver side af y-aksen med en variabel vinkel, må følgende hastighed, efter m'te opspring, følge ud fra formlerne: ݒ ଶ = ݒ௫ ଶ + ݒ௬ ଶ = 2 ∙ ݃ ∙ (ℎ − ߙ ∙ ݏ ∙ ݔ )
hvor sm er fortegnet til xm, dvs. alt afhængigt af, hvad fortegnet til x-dataene er (afhængigt af, om bolden rammer højre eller venstre grøftside) skifter dette. For at kunne gennemføre iterationen, skal der nu bestemmes, hvad stedet og hastigheden for den nye situation af bolden er. For nemhedens skyld sætter vi opspring m til at ske ved tiden t=0. Derfor har vi: ݒ௫(ݒ = )ݐ
ݒ௬ (ݒ = )ݐ௬ − ݃ ∙ ݐ
Boldens bevægelse er en todimensional bevægelse, hvilket betyder, at den i vandret retning beskriver en jævn bevægelse og i lodret retning en jævnt voksende bevægelse, givet ved tyngdeaccelerationen. Stedet er derfor: ݔ = )ݐ(ݔ + ݒ௫ ∙ ݐ
1 ∙ ݃ ∙ ݐଶ 2 Når der så skal itereres omskrives den vandrette bevægelse til xm+1 mens den lodrette bevægelse, ݕ = )ݐ(ݕ + ݒ௬ ∙ ݐ−
ifølge skråplanerne, skal tage hensyn til x's fortegn. Derfor har vi givet:
ݔ = )ݐ(ݔ ାଵ
ݕ = )ݐ(ݕ ାଵ = ߙ ∙ ݔ(ܵܤܣ ାଵ) = ߙ ∙ ݏ ାଵ ∙ ݔ ାଵ
Vi har nu to forskellige (for både beregningerne og bevægelsen yderst betydningsfulde) situationer. Vi har bolden, når den rammer samme skråplan, dvs. den højre, men vi har også bolden, når den rammer venstre skråplan og dermed skifter fortegn. 27
Voetmann Christiansen, 68-73
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 14
For at komme videre, er vi derfor nødt til at sætte den betingelse på, at hvis bolden rammer højre side (positivt fortegn), så er følgende givet: ݒ௧, ାଵ = ݒ௧ − 2 ∙ ߙ ∙ ݏ ∙ ݒ ݒ, ାଵ = ݒ
Hvor vi har anvendt to nye størrelser for hastighederne, nemlig tangential- og normalhastighederne, der retter sig efter grøften i stedet for koordinaterne. ݒ௫ =
ݒ௬ =
1
√1 + ߙଶ 1
√1 + ߙଶ
∙ (ݒ௧ − ߙ ∙ ݒ ∙ݏ )
∙ (ߙ ∙ ݒ ∙ݏ௧ + ݒ )
Hvis xm+1 og xm ligger på samme skråplan, altså har det samme fortegn, er det givet at: ݔ ∙ ݔ +
2 ∙ ݒ( ∙ ݒ௧ − ߙ ∙ ݏ ∙ ݒ )൨> 0 ݃
Ellers er vi landet på modsatte skråplan, hvilket betyder, at vi ved en lettere omstændelig omregning28 får situationen:
ݒ௧, ାଵ = ݒ௧, − ߙ ∙ ݏ ∙ ݒ + ݒ, ାଵ =
1
√1 + ߙଶ
ߙ
√1 + ߙଶ
∙ ඨ 4 ∙ ݃ ∙ ℎ − 2 ∙ ݒ ଶ +
∙ ඨ 4 ∙ ݃ ∙ ℎ − 2 ∙ ݒ ଶ +
1 − ߙଶ ∙ [(1 − ߙଶ) ∙ ݒ ଶ − 2 ∙ ݒ௧ଶ] + 4 ∙ ݒ ∙ ߙ ∙ݏ௧ ∙ ݒ 1 + ߙଶ
1 − ߙଶ ∙ [(1 − ߙଶ) ∙ ݒ ଶ − 2 ∙ ݒ௧ଶ] + 4 ∙ ݒ ∙ ߙ ∙ݏ௧ ∙ ݒ 1 + ߙଶ
Når disse beregninger skal anvendes, bruges de første data til startsituationen, der blot fastlægges, dernæst skal der i alle følgende iterationer tages hensyn til, om x-dataene er positive eller ikke, alt efter om de er, vælges derfor den ene eller den anden beregning for næste situation.29 Det betyder i sidste ende, at computeren beregner vores steder, hvor bolden rammer skråplanerne. Kasteparablerne beregnes og afsættes ved andengradspolynomiet ݔ ∙ ܽ = ݕଶ + ܾ ∙ ݔ+ ܿ 30.
28 29 30
Bilag 2 Voetmann Christiansen, 68-73, alle formlerne er direkte overtaget Bilag 3
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 15
Den perfekte simulation er nu givet, der kan frit ændres på højden, indtil en vis grad naturligvis, og ligesådan med vinklen og x0. Der er dog den betingelse, at højden skal være over x0, hvilket siger sig selv.
3.2 Kaotisk grøft Nu er omstændighederne skabte, for en perfekt simulation af det perfekte hop. Billedet ovenover viser, hvordan bolden springer — ved tilfældige indstillinger, har den en klar struktur, dvs. den hopper næsten ens hele tiden, men den hopper netop etop ikke ens, hvilket betyder, at dens parabler, når den fortsætter ud i det uendelige, fylder hele billedet (grøften) ud. Altså kaos. Nu er det muliggjort, at lege med bolden, og det varer ikke ret lang tid, før regelmæssighederne bliver meget tydelige.
Således giver et konstant forhold mellem h og x0 et ens billede blot med samme faktor mindre, som h og xo's formindskelse. Fuldstændig tilfældige variable kan til tider give forbløffen forbløffende præcise billeder, som var bevægelsen ikke periodisk, men man kan dog se, at linjerne ikke ligger helt perfekt oven på hinanden. Påfaldende er altså, at billedet svinger meget mellem at indeholde tilsyneladende tilfældige hop til regelmæssigheder med hårfine afvigelser. Det, der definerer kaosteorien er netop, op, at der er en lovmæssighed i al den uorden. Computerens begrænsning forhindrer mig desværre i, at gennemføre tilstrækkelige hop, til at man kan se de
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 16
forbavsende huller, der opstår der, hvor bolden aldrig passerer. Også dette er afhængigt af variablene. Ikke overraskende er det til gengæld, at vinklen =90° =90° fremviser en fuldstændig perfekt regelmæssighed. Afhængigt af de andre to variable hopper bolden i et mønster, der for det meste ikke gentager sig selv, men med enkelte hop, der ligger så tæt op ad den den foregående, så de til sidst fylder et rektangel. Det skyldes ganske enkelt, at bolden på hver side har en normalhastighed v. Ved vinklen =90° er denne normalhastighed konstant på hver side, fordi bolden pludselig er uafhængig af tangentialhastigheden31.
3.3 Poincaré Nu kan det omsider være svært at holde redde på kaosset i de tidligere afbildninger. Det gælder ikke blot for dette forsøg, tværtimod, mange kaosforskere har tidligere haft svært ved, at finde en overskuelig måde, at behandle kaos på. Henri Poincaré, der et halvt århundrede før kaosteoriens officielle fødsel, allerede beskæftigede sig med hvorvidt solsystemet er stabilt, opfandt en måde, hvorpå bevægelsens uendelige baner blev betydeligt lettere at gennemskue. Han indskød blot et plan i bane banen på tværs, så stedet, hvor genstanden nu måtte ramme planet næste gang altid blev noteret. Det synes meget simpelt, og det havde også stor succes, da det pludselig blev tydeligt, hvor 31
Voetmann Christiansen, 72-73 73
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 17
regelmæssige kaotiske bevægelser var, når man anvendte det trick.32 De smukkeste former kunne blive aftegnet på dette plan. Idéen lader sig også overføre til simulationen med bolden. Det kræver blot, at tangential tangential- og normalhastigheden for hvert eneste opspring bliver noteret og sat i en graf. Resultatet er meget forbløffende, e, igen, kaosteorien tro, opstår de fineste former: Ved en retvinklet grøft får vi, naturligvis, kun en vandret linje, eller alle punkter samlet til næsten et eneste punkt, normalhastigheden afhænger her ikke af tangentialhastigheden.
Derimod forefinder vi ved ganske tilfældige værdier for variablene fuldstændig systematiske billeder.
Konklusion Vi kan takke computere (eller computerens opfinder) for meget, men mest af alt nok for kaosteorien. 32
Colding-Jørgensen, 74-76
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
Naturligvis, spørgsmålet rejser sig, er det fysik? Og spørgsmålet er yderst berettiget, da fysikken har pligt til at beskrive vores omverden, og det har indtil nu mest været fænomener, der kunne erkendes med det blotte øje, fænomener, hvortil der krævedes praktiske fysiske instrumenter (termometer, vægt,...) til at undersøge og finde sammenhængen og lovmæssighederne til. Det er faktisk tvivlsomt, hvorvidt det er fysik, og ikke blot matematik, naturvidenskabens universalsprog, der muliggør præcis formulering og spekulation indenfor hvert eneste område. Grænsen bør, efter min overbevisning, omsider trækkes et andet sted. Fysikken har fjernet sig fra det håndgribelige, og er gået over til at anvende et så teoretisk redskab, som vores moderne computere. Men resultatet heraf har været højst fantastisk — det har muliggjort en beskrivelse af naturen. Naturen, som vi ser den når vi ser ud af vinduet. Og det er netop, hvad kaosteorien kan, nemlig vise os naturens uindskrænkede skønhed.
18
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 19
Artikel
MAGISK KAOS I midten af sidste århundrede skete der en markant forandring i verdensopfattelsen
set
med
naturvidenskabens Øjne. Fra at have ment, at man ville kunne kortlægge vores egen fremtid ved storre og forbedrede computere og endnu mere forskning, vandt de såkaldte ulineære systemer1,
dvs. processer, der kan have
en uforudsigelig udvikling, indpas i naturvidenskabens
dagligdag
og
pludselig var man tvunget til at nytænke. Og alligevel er kaosteorien, et ulineært system, ikke noget velkendt fænomen, hvilket er højst mærkværdigt, da den på mange måder vender den teoretiske fysik,
vække en fascination ved og indsigt i vores verden som unikum. Det har dog ikke altid stået så usselt til. Kaosteorien fungerede i sine første år efter det officielle gennembrud som modebevægelse, et faktum, der var på alles læber. "Specielt i halvfjerdserne blev der lavet en hel masse, da var det meget populært at studere kaos. Og i dag kan man så sige, at man har fundet ud af rigtig meget om kaotiske systemer, så nyhedsværdien er ikke så stor længere", siger matematikprofessor på Danmarks Tekniske Universitet, Mads Peter Sørensen2. Men det gør konsekvenserne - og dermed dens betydning - ikke mindre, skulle man mene. 3
eller naturvidenskaben som helhed i virkeligheden, ryggen, den ser tilbage på naturen som en vidunderlig skabelse og,
Kender man til kaosteorien, så synes det
omend den ikke kan forklare os eksi-
heller ikke mærkeligt, at kunstnere af en-
stensens mening, så kan den i hvert fald
hver slags finder naturvidenskaben mere 2
1
ordforklaring
3
Interview, se bilag 1 Se litteraturhenvisninger (lån fra internet)
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 20
tiltrækkende en nogen sinde før i verver
flere cirkler, der ligger tæt ved hinanden
denshistorien, for kaosteorien indebærer en
for at nå til startpunktet. Resultatet af
skønhed, man sjældent har set før, og som
hans undersøgelser blev omsider det
uden tvivl får de kreative sjæle til at
såkaldte "Feigenbaum" (det tyske ord for
blomstre og skabe glorværdige værker.
figentræ) der, udover at have forbavsende
Derfor kan man forundres, ligefrem
lighed med et figentræ altså også er
forarges over den sparsomme prioritet
synonymt med fysikerens navn.
kaosteorien nyder.
En af de helt store personligheder ersonligheder i
kaosteoriens begyndelse er en mand ved
Men hvad er det nu præcist, der
4karakteriserer
kaosteorien, og som gør den
navn Michell Feigenbaum. Han fik for
til det såkaldte "paradigmeskift"5, som
første rste gang gennemtrumfet en vej til kaos,
mange videnskabsmænd forud forudsagde?
der var enkel og tog udgangspunkt i kendte
Indenfor naturvidenskaben beskæftiger vi
problemstillinger.
os primært med de såkaldte lineære sys sys-
Hans teori baserede sig på periodefordobling, hvilket betyder, at en bevægelse, f.eks. en turbulens i skyen,
temer6, der godt nok
"Man har fundet ud af rigtig meget om kaotiske systemer, så nyhedsværdien er ikke så stor længere." M. P. Sørensen
kun udgø udgør en minimal procentdel af vores naturlige sys sys-
ning, i stedet eller opvarmet vands strømning, for at cirkulere i en kreds, bruger to eller
4 5 6
Se litteraturhenvisninger (lån fra internet) Gleick, 7-14 ordforklaring
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
21
temer, er, men som vi i århundrede har været i stand til at regne på, og specielt forudsige. "Elefanterne", som de lineære systemer også blev kaldt, da man sammenlignede sam mængden af elefanter i forhold hold til mængden af "Ikke-elefanterne", elefanterne", dvs. alt andet, med mængden af lineære systemer i forhold til mængden af de "ulineære Forudsigeligheden, determinismen, der har siden
naturvidenskabens begrebet
kaos.", siger Mads P. Sørensen og fortsætter: "Men hvis du spørger om den løsning (som du har regnet ud, anm. red.9) nu er nøjagtig, og om det er det, der vil ske i fremtiden, så, på grund af at systemet er kaotisk, vil vi sige, nej, det er det ikke." Vi kan bestemme sandsynligheden for, at noget vil ske, men hvor er visheden, der ellers er naturvidenskabens varemærke?
systemer". været
hoved hovedformål,
Kaosteorien synes virkelig, at have skabt kaos i videnskabsmændenes ndenes verden.
"naturvidenskab"
Et eksempel på et kaotisk system er en
defineredes første gang, falder sammen, så snart det omhandler "ikke--elefanter". Det
ganske almindelig
virker
bold, der hopper
som
et
paradoks,
at
natur natur-
videnskaben nærmest frygter kontakten til
i en grøft. Hvis
de allermest naturlige systemer. Og dog –
ikke det var for
det giver nok en forklaring på, hvorfor
luftmodstanden,
fysikere har været ræd d for denne udvikling.
som desværre
"Er enden nær for den teoretiske fysik?",
bremser bolden
var titlen på en af
kosmolog molog7
Stephen
med tiden, ville
Hawkings forelæsninger8.
bolden springe
"Vi ved, hvor periodedoblingerne sker
rundt i den grøft
henne, det kan man godt forudsige, og der
til evig tid. Omstændighederne, der sik sik-
er også nogle gange, hvor man kan
rer, at dette sker, er vores tyngde tyngde-
forudsige under der hvilke omstændigheder og
acceleration og boldens elasticitet. Hver
for hvilke parametre, der vil optræde
især af disse omstændigheder er fysiske
7 8
ordforklaring Gleick, 7-14
Dato
9
Anmærkning fra redaktionen
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 22
love, der allerede er godt "udtrådte".
typisk for kaosteorien, dvs. alt andet end
Denne
kaotisk.
kombination
til
gengæld
er
temmelig melig uberørt, vi har at gøre med et lille
Kaotiske systemer, er sammen med f.eks.
komplekst system10, med tydelig kaotisk
fraktaler11 et forsøg på at beskr beskrive naturens
opførsel. Afhængigt af grøftens vinkel
mesterværk.
hopper bolden forskelligt, men ikke
Et af de mest kaotiske systemer er vejret,
tilfældigt, derimod i flotte
baner, der
hvilket samtidig også er grunden til, at man
alligevel aldrig gentager sig selv. Banerne
aldrig vil komme til at forudsige vejret for
ender, for det meste, med at fylde
mere end højst 7 dage uanset hvor stor en
størstedelen af grøften ud. Størstedelen,
computer man har.
fordi
symmetriske
En "sensitiv afhængighed af begyndel begyndel-
områder, som bolden aldrig rig passerer.
sesbetingelsen"12, kalder Mads P. Søren Sørensen
Typisk kaotisk.
den kendsgerning, at en sommerfugl kan
Det såkaldte Poincare-snit, snit, opkaldt efter
baske med vingerne i den ene ende af
opfinderen, Henri Poincare, der muliggør
verdeners, og dermed udløse et uvejr i den
en
anden
der
tit
overskuelig
udelades
analyse
af
kaotiske
bevægelser,
har
ende.
sommerfuglen,
Ville så
man ville
indberegne man
kunne
også forbløffenforbløffen
forudsige vejret, men ingen computer, intet
de billeder af
måleinstrument for den sags skyld, er
denne bolds bebe
præcist nok til at måle de nøjagtige
vægelse, alt fra
begyndelsesbetingelser. "Det betyder så
former, der liglig
også, at livet er mere rigt end som så.",
ner blomsterbeblomsterbe
som Mads P. Sørensen så rigtigt siger.
de, til en kaotisk VIDERE LÆSNING James Gleick: Kaos - en ny videnskabs tilbliven Paul Davies: Det kreative kaos - nye opdagelser om naturens orden og uorden
samling prikker.
Netop den struktur, der er tydelig
på både figentræet og blomsterbedet, er
11 10
ordforklaring
12
ordforklaring ordforklaring
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 23
Metaopgave De første to delopgaver, hvor artiklen bygger på den fysiske afhandling i starten, handler begge om kaosteorien. Der er gode grunde, til at interessere sig for dette emne, men også at skrive på den tvedelte måde, jeg har gjort. I det følgende vil jeg gerne forklare mig og gøre rede for, hvorfor artiklen er en så vigtig del, som den er.
Kaosteorien Kaosteorien har på mange måder været spændene at beskæftige sig med, ikke mindst, fordi det sætter gang i en del spekulationer. Spekulationerne er såvel af naturvidenskabelig som af humanistisk karakter. Naturvidenskabeligt set betyder kaosteorien noget for den generelle verdensopfattelse. Vi mister med kaosteorien noget af kontrollen over fremtiden, for hvis vi kan forudsige fremtiden, kan vi naturligvis også gå ind og påvirke fremtiden, et privilegium, som mennesket historisk, specielt religiøse fundamentalister naturligvis, kun tilskrev Gud. Det er en af grundene til den evige strid mellem religion og naturvidenskab. Man kunne formode, at kaosteorien, der fascineres ved den vidunderlige natur, skaber en balance mellem religion og naturvidenskab ved at anerkende, at livet er et fantastisk værk. Det betyder, at man meget hurtigt kan blive bange for, at kaosteoriens eksistens tysses ned, for at undgå en konfrontation med religionens forkæmpere og for at undgå, at den fortolkes som naturvidenskabens svaghed. Humanistisk set rykker kaosteorien mennesket ud af spotlightet og naturen får igen en større betydning. Det afspejler sig naturligvis i kunsten, der opstår efter kaosteoriens definition og dens fortolkning af denne kunst. I den fysiske afhandling har jeg lagt meget vægt på fysik og mindre på matematik, hvilket er svært, da kaotiske forsøg kun muliggøres gennem computere, som kun forstår matematik. Det betyder, at jeg har fravalgt en nøjagtigere forklaring af, hvordan simulationerne opbyggedes, mens jeg har fremhævet de faktiske konsekvenser af fysiske love og kaos. Det gør det imidlertid svært at rekonstruere simulationerne efter afhandlingen som instruktionsbog, men fordi kaosteorien indeholder så mange dybere konsekvenser, hvilket også gør den til et banebrydende emne, har jeg fokuseret anderledes. Efter min overbevisning er kaosteorien meget mere end hvad fysiske forsøg viser, men de fysiske forsøg er yderst nødvendige, da de giver nærheden til virkeligheden og ikke fremstiller kaosteorien som en række teoretiske
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 24
spekulationer. Til trods for, at den fysiske afhandling netop er en afhandling, hvor jeg skal vise, hvad jeg kan, valgte jeg at give formidlingen lidt plads, hvilket ytrer sig i, at jeg har nedprioriteret matematiske formler, der kan afskrække enhver læser og derimod givet plads til noget tankevirksomhed. I artiklen har jeg inddraget mine to specifikke delemner, Feigenbaum og boldens hop i en grøft, men primært til visualisering og underbygning af hovedformålet — nemlig at bringe kaosteorien ud til befolkningen. Desuden har jeg tilføjet nogle andre delemner, f.eks. sommerfugleffekten, der med dens overdrivelse fremmer enhver forståelse.
Underholdning og Oplysning Uddannelse, uddannelse, uddannelse, det er, hvad vi konstant prædiker for Kina den, men hvad nytter det, når der ikke er nogen til at formidle visdom? I den sætning er der to afgørende ord; "formidle" og "visdom". Disse to ord er netop det, der definerer en populært formidlende artikel, hvis opgave det er, at underholde og oplyse. For sin egen overlevelse er artiklen tvunget til at underholde, da modtageren ellers fravælger den, hvilket betyder, at den ikke bliver solgt. Men for emnernes overlevelse er artiklen forpligtet til at oplyse, for kun et oplyst menneske kan skabe nye idéer og dermed kreative emner, der så skal skrives om. Formidlende artikler har den store fordel, at de vækker en interesse, læseren derefter kan fordybe sig i. Tidsskrifter, som Illustreret Videnskab, har en bred horisont, til den bredde befolkning, hvilket kræver, at sproget er nogenlunde simpelt, med ordforklaringer til fagord. Sproget alene kan holde læseren til - selv det mest oprivende emne kan fremstilles uendelig kedeligt med et dårligt sprog. Den store udfordring i sådanne artikler er, at fange læserens opmærksomhed. Det kan man gøre ved billeder, layout og sproget. Billederne, jeg har valgt, kendetegnes ved en simpelhed, der viser læseren, hvor naturlig kaosteorien er. Jeg har, som afsender, lagt meget vægt på, at billederne skulle virke interessante, men ikke komplicerede, så man animerer læseren til at udforske emnet, ved at give ham/hende selvtillid. Selvtilliden kommer af forståelse, hvis læseren umiddelbart forstår emnet og bliver grebet af det, vil han sandsynligvis videreorientere sig. At "blive grebet" kommer med nærhed, dvs. det opstår specielt ved, at man kan relatere givne situationer til sig selv. Også det har jeg forsøgt at lægge vægt på, ved at fremstille
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
naturen som tilgængelig for os alle. Det psykologiske der ligger i billederne af "figentræet" og "blomsterbedet" er ganske enkelt, at læseren, næste gang han støder på en blomst, et træ, eller lignende, begynder, at tænke andre tanker, end han/hun har gjort inden artiklen blev læst. Dette får mig umiddelbart til at vende tilbage med artiklers forpligtelse, for oplysningen, der kommer gennem dem, er fremgangsskabende og vi er i den grad afhængige af kreativitet og tankevirksomhed i et industrialiseret, og ikke mindst globaliseret, land, der skal opretholde sin konkurrencedygtighed. Desuden er et figentræ og et blomsterbed et symbol på hverdagens natur og står dermed i kontrast til naturvidenskabens teorier, da enkeltmennesket generelt beskæftiger sig meget lidt med naturvidenskaben. "Den teoretiske fysik", som Stephen Hawkings siger, har nemlig opnået et forskningsniveau, der hægter de fleste danske borgere af. Den kendsgerning står derimod i modsætning til kaosteorien, hvor jeg, også indholdsmæssigt, har givet kaosteorien en dybere mening; nemlig at beskrive vores natur, altså figentræer og blomsterbede, hvilket billedvalget symboliserer. Sproget er vores kommunikation og kommunikationen betyder alt i menneskets liv. Derfor er sprogvalget naturligvis enormt betydningsfuldt for en artikel, der gerne vil overbringe et budskab. Jeg har, i min artikel, brugt billedsprog(f.eks. elefanterne, blomsterbedet,...), der skulle gøre det nemmere for læseren at holde koncentrationen, da det ikke er svært at følge med i. Desuden har det en underholdende funktion, fordi det kan virke mystisk, at et så teoretisk emne, som fysikkens kaosteori, er sammenligneligt med elefanter. Gennemgående for min artikel er desuden, at den har en anklagende tone (imod naturvidenskabens udvikling). Det har forskellige funktioner. Den ene funktion er, at man, som læser, hurtigt bliver grebet af en artikel, hvis den angår én, og man er tendentielt forurettet, hvilket man er, hvis naturvidenskaben med vilje forholder én information, specielt noget så banebrydende, som kaosteorien. Den psykologiske effekt grunder altså i, at det er nemt at vinde venner ved at skabe en fælles fjende. Det vil sige, at jeg bruger patos, for en artikel kan godt ses som en slags tale, da begge har samme mål — at viderebringe noget til mennesker. Dernæst er der naturligvis også den faglige funktion ved, at tonen er anklagende. Som artikel, er teksten en del af den frie presse. Det betyder, at vi må, og skal, skrive om alt, hvad vi vil. En af demokratiets hovedpunkter. Vi har med vores ytringsfrihed muligheden for at skabe debat, hvilket er umådelig betydningsfuldt for et samfund. Faste former og regler skal op
25
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
og vende igen og igen, de skal reformeres og fornyes, for at undgå, at samfundets virksomhed bliver lammet. En måde at skabe debat på, er ved at anklage. Layoutet består af en overskrift, der både indholdsmæssigt og æstetisk er iøjnefaldende. "Magisk kaos" tiltrækker uden tvivl opmærksomhed alene fordi både "magi" og "kaos" er meget spændene begreber, der appellerer til vores nysgerrighed. Ved begge ord vil læseren med det samme forestille sig forskellige ting visuelt, mens kombinationen gør virkningen endnu mere gribende. Men "Magisk Kaos" er ikke blot et forsøg på at fange så mange øjne, som muligt, men derimod også et godt billede af, hvad artiklen handler om. Der ligger for det første et lille ordspil i "magisk", der ofte bruges i forbindelse med "tiltrækkende", hvor "attraktorer"33 er en gennemgående vigtig del af kaosteorien. Desuden er kaosteorien tiltrækkende for hvem som helst, ikke blot naturvidenskabsmænd, måske endda allermindst dem. Kunstnere, som der nævnes i artiklen, og ganske almindelige mennesker, som dem, der læser artiklen, bliver tiltrukket af kaosteoriens skønhed og vidde. Denne skønhed kan endda virke så utrolig, at det næsten er magi. I stedet for "Kaos" burde man, hvis ikke det havde været en populær artikel, have skrevet "Kaosteori", for det er det faglig korrekte navn. Men det har jeg ikke og det er der også grunde til, nemlig, at ordet i sig selv allerede rummer så meget, som ethvert menneske kan relatere sin egen hverdag til, så spændingen ved, at ordet er et videnskabeligt begreb, eller emne, er bindende. Layoutets overskrift, som jeg tidligere omtalte som iøjnefaldende, må dog ikke virke latterlig. Jeg har gjort mig umage, med at finde en mellemvej, der ikke stiller spørgsmålstegn ved artiklens autoritet, men samtidig fanger menneskets - der uden tvivl er sensationsliderligt opmærksomhed. I midten af én af siderne har jeg valgt at placere et citat fra en matematiker, jeg førte et interview med. Også det formidler autoritet. Jeg anklager naturvidenskabsmænd og får samtidig samtykke af en matematiker — et yderst virksomt middel. Hans ord er dog ikke anklagende, men den måde jeg anvender dem på, nemlig ved at placere dem i midten af en anklagende artikel, får selve meningen i sætningen til at virke ironisk; det er besynderligt, at et emne indenfor naturvidenskaben er nødt til at være afhængigt af "nyhedsværdien"34 Derpå 33 34
ordforklaring Citat, "Magisk kaos", Mads Peter Sørensen.
26
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
følger uvægerligt spørgsmålet, om pressen sætter dagsordenen på alt, såvel politik, som også naturvidenskaben. Men jeg bruger Mads Peter Sørensens citater i teksten ikke kun til at underbygge min egen teori, om naturvidenskabsmændenes ignorance, men også til faglig hjælp. Hans citaters autoritære funktion er yderst vigtig i artiklen, da de gør den mere troværdig. Man kunne sige, at jeg bruger etos, til en faglig troværdighed af artiklen. For at fuldende mit valg af retoriske virkemidler, så anvender jeg ikke specielt meget logos. Logos bruges for det meste blandt artsfæller, dvs. mennesker, der ved ligeså meget om et emne, som man selv gør, med hvem man er på øjenhøjde og derfor kan indlade sig på en diskussion med, altså indenfor faglig og videnskabelig kommunikation. Det er dog slet ikke tilfældet her. For at skrive en populært formidlende artikel lader man sig selv, afsenderen, synke ned på befolkningens niveau, for derefter at kunne lede dem igennem emnet. For stor brug af logos ville ofte frastøde læseren, da det kræver et større overskud, at følge en sådan argumentation. Argumentationen er struktureret på den måde, at jeg enten lægger ud med budskabet f.eks. "markant forandring", hvorefter jeg uddyber dette, eller jeg har en trinvis stigende argumentation, der ender op i en konklusion "Men det gør konsekvenserne — og dermed dens betydning — ikke mindre, skulle man mene". Begge former for argumentation har sin måde, at skærpe modtagerens opmærksomhed på. Startes der med selve "hovedbudskabet", så vækkes interessen for, hvad der ligger til grunde for det budskab. Startes der derimod med hentydninger og forklarende eksempler, hvorefter der følger et opsummerende argument, eller paradoks, som i dette tilfælde, så har vi en stigende spændingskurve, hvor læseren får lov til tænke samme tanker, som afsenderen. Mens den første måde er den mere "stilrene" facon, så virker den sidste måde manipulerende, da man styrer læserens tanker mod samme argument, hvilket gør argumentet mere virksomt — læseren kom jo selv på det! Da jeg generelt har nedprioriteret fysikken i artiklen, og kun anvendt den som supplerende med hensyn til, at læseren skulle synes emnet er interessant, men ikke vanvittig kompliceret, og dermed få en forhøjet selvtillid og ønsket om at fortsætte, virker teksten på mange måder fysisk overfladisk, men jeg har brugt konkretiseringer i forbindelse med forklaringer. Dette har jeg gjort ved f.eks. periodefordoblingen eller sommerfuglen, der begge skulle tjene til at anskueliggøre fysikken.
27
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato
Konklusion Min mening med såvel artiklen, som fysikken, har været, at fremme forståelsen og interessen for emnet, ikke blot ved at vise to specifikke emner, men ved at åbne op, så nogle konklusioner muligvis kan overdrages til andet. Personligt har jeg været overrasket over kaosteoriens omfang, da jeg først fik et indblik, og dermed også over, ikke at have hørt om det før. De tricks, der bruges til at holde fast i læseren er yderst ærlige, da det er vigtigt, at mennesket forstår emnet.
28
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Ordforklaring 1. Attraktorer: tiltrækker, områder, hvor punkterne og dermed udvikling vil bevæge sig hen imod 2. Bifurkationer: tvedelinger, hvor perioden bliver fordoblet og frekvensen halveret 3. Bifurkationsmekanik: princippet med tvedelingerne 4. Determinisme: forudsigelighed, beregning af udvikling til engang i fremtiden 5. Fraktal: uregelmæssige geometriske figurer, der går igen, hvis man forstørrer 6. Iterative systemer: systemer, hvor variablene fremskrives 7. Kasteparabel: kastes en bold i lu ften, flyver den i form af en parabel 8. Klassisk fysik: Newtons fysiklære 9. Komplekse systemer: systemer, der er sammensat af flere ligninger med mange variable 10. Lineære systemer: systemer, der udvikler sig forudsigeligt og konstant, klassisk fysik 11. Logistisk vækst: vækst (f.eks. eksponentiel) med en begrænsning, hvorved grafen flader ud. 12. Selvsimilaritet: fuldstændig ens former i forstørrede/formindskede udgaver 13. Sensitiv afhængighed af begyndelsesbetingelsen: en lille forandring i begyndelsen medfører en stor forandring i resultatet 14. Ulineære systemer: systemer, der ikke er lineære, dvs. ingen konstant udvikling
Dato 29
Elev NN, Klasse XX YY-Gymnasium MaA/KeB/FyA
Studieretningsprojekt FyA/DaA
Dato 30
Litteraturfortegnelse Bøger:
Bohr, Tomas: Bevægelsens uberegnelige skønhed - Om kaos, Gyldendal Intro. 1. udg. Nordisk Forlag A/S Copenhagen, 1992. Christiansen, Claus m.fl.: Fysikkens spor. 1. udg. Nordisk Forlag A/S Copenhagen, 1990. Colding-Jørgensen, Morten: Kaos og ikke-elefanter - et indblik i kaosforskningens hemmeligheder. 1. udg. Fremad A/S, 1998. Davies, Paul: Det kreative kaos - nye opdagelser om naturens orden og uorden. 1. udg. Orion Productions/Nordisk Bogproduktion A.S., 1988. Felsager, Bjørn og Jonny Schulz: Figentræer og Mandelbrød - et emnehæfte til datalogisk matematik, Matematiklærerforeningen 1990. Side 1-34. 1. udg. Fr. Weiss Bogtrykkeri A/S, 1990. Gleick, James: Kaos - en ny videnskabs tilbliven, Nysyn. 1. udg. Special Trykkeriet Viborg a-s, 1989. Jacobsen, Kurt m.fl.: Kompendium i Fysik, Fysik i overblik. Side 15-24. 1. udg. 2007 Fysikforlaget (Budolfi Tryk Aps), 2007. - Jacobsen, Kurt: Fra Lineær vækst til Kaos. 1. udg. Lademann Læremidler, 1989. Voetmann Christiansen, Peder: Grafisk fremstilling af Fraktaler og Kaos - et emnehæfte til datalogisk matematik, Matematiklærerforeningen 1990. Side 68-73. 1. udg. Fr. Weiss Bogtrykkeri A/S, 1990. Internet (lån af billeder)
- Fraktale. Udgivet af www.hro.shuttle.de. Internetadresse: http://images.google.dk/imgres?imgurl=http://www.hro.shuttle.de/hro/ebg/sproj ekte/MasterOf Chi/Chaos/Bilder/Feigenbaurn.gif&imgrefurl=http://www.hro.shuttle.de/hro/ebg/sprojekte/Ma sterOfChi/Chaos/fraktale.htm&usg= tddj3N3P1QpzWHoZAZwT - Besøgt d. 14.12.2008
Logistic Map. Udgivet af www.wikimedia.org. Internetadresse: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png -
Besøgt d. 14.12.2008 Feigenbaum. Udgivet af www.gottesdienst-werkstatt.de. Internetadresse: http://www.gottesdienst-werkstatt.de/feigenbaum.gif - Besøgt d. 14.12.2008