SRP MAT DANSK Argumentation og logik by Bjørn Felsager

[Skolens

YY-Gymnasium

logo]

STUDIERETNINGSPROJEKTET I 3.G 2008-2009

Navn:

Klasse: XX

Brug blokbogstaver! Fag 1: Studieretningsfag på A-niveau Fag 2: Studieretningsfag på A-, B- eller C-niveau, dansk eller historie Evt. fag 3: Studieretningsfag på A-, B- eller C-niveau, dansk eller historie

Mat A Dan A

*skal udfyldes!

Opgaven skrives indenfor følgende område (fra side 1): Argumentationsteori og retorik

Hovedfag for opgaven (fra side 1): (studieretningsfag på A- eller B-niveau) Eventuelt hovedfag nr. 2: (studieretningsfag på A- eller B-niveau, dansk eller historie)

* Mat A

*skal udfyldes! 

Skolen har udpeget følgende 2 vejledere (pr. … 2008): Vejleder 1 (hovedvejleder) – underskrift + initial:

Vejleder 2 – underskrift + initial:

Opgaveformuleringen udleveres … 2008 kl. 13:30 (Det originale ark afleveres på kontoret med elevunderskrift. Eleven modtager en kopi.) Opgaveformulering (kan evt. vedhæftes som bilag):

Opgavebesvarelsen afleveres på skolens kontor i 4 daterede og underskrevne eksemplarer senest …

________________________________ Underskrift – elev

Dato:

__________________

[Skolens Logo]

Studieretningsprojekt – Elev NN Klasse XX Hovedfag Matematik A Inddragne fag Dansk A Område Argumentationsteori og logik Gødels sætning Du skal redegøre for moderne logik, herunder Gødels sætning om uafgørlige udsagn, dvs. udsagn, der ikke kan bevises indenfor rammerne af formel logik.

Opgave

Med udgangspunkt i ovenstående matematiske arbejde skal du udarbejde en populært formidlende artikel på 3-4 sider. Artiklens målgruppe skal være en typisk læser af fx Illustreret Videnskab. Opgaven skal endelig indeholde en meta-opgavedel hvor du –primært ud fra en danskfaglig vinkel – redegør for dine formidlingsmæssige overvejelser i forbindelse med artiklens indhold og udformning.

Bilag Omfang

Besvarelsens omfang forventes at være mellem 20 og 25 sider, hvortil kommer supplerende bilag i form af data, billeder, og lignende.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 3 af 27

Abstract In the assignment I will explain the modern logic and Gödel’s incompleteness theorem. In addition I will disseminate this in a popular scientific article, such as Illustreret Videnskab. At last I will present my thoughts of propagation in a meta-section. I will do so by studying Raymond Smullyan and others, for instance Leif Becker Jensen. Furthermore I will use methods such as reasoning, analysing and synthesising.1 To cover the subject from more angels, I have answered questions such as who, when, what and why. In my work I will study the syntax of propositions, for example the conjunctions and deduce such conjunctions from a profound cunjunction. I have also made considerations concerning the target group. I will have a deeper look into Gödel’s incompleteness theorem and I will promote all of this in an article, using agents such as imagery. From my study I can conclude that in every consistent axiomset, there will be propositions which we can not decide. This imply that we can not decide all questions by feeding true propositions to a computer and then let it do all of the calculations.

Leksikon siden metode samt Wikipedia-siden om Scietntific methods

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 4 af 27

Indholdsfortegnelse Opgaveformulering ............................................................................................................. 1 Problemformulering............................................................................................................. 2 Abstract ............................................................................................................................. 3 Indholdsfortegnelse............................................................................................................. 4 Indledning.......................................................................................................................... 5 En introduktion til logik........................................................................................................ 5 1.1 Et kort historisk overblik

1.2 Grundprincipperne i logik

Moderne logik..................................................................................................................... 8 1.3 De logiske bindeord

1.4 Leibniz og mængdelogik

1.5 Boole

1.6 Tautologier og absurditeter

Drømmen om svaret på alt ................................................................................................ 13 1.7 Maskiner

1.8 Gödel

Formidlingsmæssige overvejelser ....................................................................................... 20 3. 1 Forskelle på kommunikationsformerne

3. 2 Målgruppe

3.3 Indhold

3.4 Virkemidler

Afslutning......................................................................................................................... 23 Litteraturfortegnelse.......................................................................................................... 24 4. 1 Andre kilder

4.2 Billeder:

4.3 Bøger:

4.4 Figurer:

4.5 Internetsider:

4.7 Programmer:

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 5 af 27

Indledning I denne opgave vil jeg belyse den moderne logik, herunder Gödels sætning om uafgørlige udsagn. Dette vil jeg gøre fra en matematisk synsvinkel, hvor jeg vil bruge en rationalistisk tilgang. De metoder, jeg benytter, er primært, deduktion, ren tænkning samt at gå logisk til værks! Derudover vil jeg skrive en artikel, hvor jeg vil formidle nogen af ovennævnte problemstillinger. Samt skrive en metadel, hvor jeg skriftlig gør mig formidlingsmæssige overvejelser bl.a. omkring min målgruppe. Af materiale har jeg i den matematiske belysning primært benyttet På søndagstur i den

logiske have af Knud Nissen samt Raymond Smullyans to bøger, Forever Undecided a puzzle guide to Gödel samt Kvinden eller tigeren? Til selve artiklen har jeg fundet grafisk inspiration i forskellige Illustreret Videnskabs magasiner, og supplerede dette med fri grafisk fantasi. I metadelen har jeg især anvendt to bøger, Den sproglige dåseåbner af Leif Becker Jensen og Praktisk retorik af Kurt Johannesson. Jeg har i mit arbejde sporadisk stødt på flere analyser af udsagn i noveller og romaner. Eksempelvis bliver der i Knud Nissens bog gennemgået udsagn fra L. Holbergs Erasmus Montanus, der viser hvorfor Morlille trods alt ikke er en sten. Disse analyser er et godt eksempel på hvordan logik er uafhængig af kontekst og er en integreret del af flere forskellige fag.

En introduktion til logik 1.1 Et kort historisk overblik Indtil ca. 1700-tallet havde logikken stort set stået stille. Før end Leibniz (1646-1716), Boole (1815-1864) og de Morgan (1806-1871) var det man vidste om logik, det samme som det, man havde vidst lige siden oldtiden. Logikken var, også dengang, et udbredt emne, der blev studeret lige fra Kina til de muslimske lande og Grækenland, hvor bl.a. Aristoteles (384-322 f.v.t.) har arbejdet med logiske syllogismer. Dette vil sige to præmisser/forudsætninger efterfulgt af en konklusion,

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 6 af 27

for eksempel ”Alle løver er gule” og ”Nogle katte er løver”, hvorefter man kan konkludere at ”Nogen katte er gule!”. Dette samt Euklids aksiomer for geometrien er noget af det tætteste, vi kommer på det, vi forstår som logik i dag. Det er først da Leibniz og Lambert (1728-1777) begynder at behandle logikken algebraisk, at den moderne logik tager sit afsæt i den klassiske – og herefter begynder den moderne logik at tage form.2

1.2 Grundprincipperne i logik I den klassiske logik, udsagnslogikken, som er den Aristoteles arbejdede med, er der som førnævnt typisk to præmisser, som man drager en konklusion af, en syllogisme. Aristoteles fastlagde, at der fandtes i alt 256 syllogismer, men det var først i middelalderen, at man fastlagde at kun 19 af disse var gyldige. En gyldig syllogisme kunne være ovenstående eksempel med løverne, som let kunne omskrives til:

Alle løver er gule alle L er G Nogle katte er løver nogen K er L som kan forkortes til Nogen katte er gule nogen K er G

De udsagn der især kigges på i logikken er de såkaldte deklarative udsagn, altså et udsagn, der hævder noget og derfor enten vil være sandt eller falskt, for eksempel jeg

spiser af æblet eller, det regner i dag. Derudover skelnes der i stoicismen, som er den gren der koncentrerer sig om udsagn. Aristoteles’s logik derimod koncentrerer sig om mængder, imellem et simpelt og et udvidet udsagn. Et simpelt udsagn er et deklarativt udsagn og et sammensat udsagn er sammensætningen af flere simple udsagn. Man kan undersøge et sammensat udsagns sandhedsværdi, hvis man ved hvordan udsagnene forholder sig til hinanden. Eksempelvis

jeg er en pige (udsagn P) og Klaus er en dreng (udsagn Q). Ordet og betyder i denne sammenhæng ikke at man skal tage summen af de to udsagn, som når man Eksempelvis

Wikipedia-siden Matematik og logik

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 7 af 27

siger: tre og en er fire, men betyder her, at kun hvis P og Q begge er sande, vil udsagnet også være det.3

Fire af disse bindeord er: -

og (konjunktion)

betyder, at begge udsagn skal være sande for at få en logisk gyldig, sand, konklusion

eller (disjunktion)

betyder, at et af udsagnene, gerne begge skal være sande. Her er det det inklusive eller. Det eksklusive eller er et enten-eller, hvor enten det ene udsagn eller det andet er sandt, ikke begge.

hvis (implikation)

betyder, at det første udsagn medfører, at det sidste udsagn skal være sandt. Udsagnet er kun falsk i tilfælde af at det første udsagn er sandt og det næste falskt (se sandhedstavlerne nedenfor).

samt -

ikke (negation)

betyder at udsagnet er det modsatte af det oprindelige udsagn

Hvis man har to præmisser kan man med hvert af de 4 ovenstående bindeord lave en sandhedstavle, et diagram over hvornår et udsagn vil være logisk gyldigt. For og vil sandhedstavlen se således ud: Jeg er en pige (P) Sand Sand Falsk Falsk

Og Klaus er en dreng (Q) Sand Falsk Sand Falsk

For et inklusivt eller vil sandhedstavlen se således ud:

Nissen, Knud og Hendricks, Vincent F.

P og Q Sand Falsk Falsk Falsk

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 8 af 27 Jeg er en pige (P) Sand Sand Falsk Falsk

Eller Klaus er en dreng (Q) Sand Falsk Sand Falsk

P og Q

Så er Klaus en dreng (Q) Sand Falsk Sand Falsk

P og Q

Sand Sand Sand Falsk

For hvis så vil sandhedstavlen se således ud:

Hvis jeg er en pige (P) Sand Sand Falsk Falsk

Sand Falsk Sand Sand

For ikke vil sandhedstavlen se således ud:

Jeg er en pige (P) Sand Sand Falsk Falsk

Jeg er ikke en pige (Ikke P) Falsk Falsk Sand Sand

Moderne logik 1.3 De logiske bindeord Indtil videre har jeg introduceret fire bindeord. For de fire bindeord bruges tegnene: Og Eller

& V

Hvis (…) så (…)



Ikke

Et af de fire bindeord kan blive udledt ved hjælp af de resterende. Fx kan hvis (…) så (…) udledes af og og ikke, da ikke (p og ikke q) har samme betydning. Visningen af dette kan forgå i et Cas-værktøjet som Eksempelvis TI-Nspire:

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 9 af 27

1. Jeg indskriver den nye kommando4:

2. Derefter kan jeg i samme værktøj lave en sandhedstavle og på den måde tjekke min nye

hvis (…) så (…) kommando.5 På sandhedstavlen kan det ses at udsagnet kun er falsk, hvis præmissen er sand, men konklusionen ikke er det. Derimod kan konklusionen godt være sand, uden at Figur 1 Sandhedstavle for præmissen nødvendigvis også er sand (jf. figur 5 Venn hvis (...) så (…) diagram for P medfører Q og W medfører Q). Der findes også et femte bindeord, der ligesom de fire ovenstående, kan udledes ved brug af de andre bindeord. Hvis og kun hvis kommandoen betyder at P kun er sand hvis og kun

hvis Q også er det og skrives symbolsk med tegnet  . 1. Igen indskriver jeg den nye kommando6:

2. Igen kan jeg frembringe en sandhedstavle med min nye kommando hvis og kun hvis. Disse fem bindeord, lige fra og til hvis og kun hvis, kan alle udledes af et enkelt symbol, enten Sheffers stroke, der blev udledt af Henry M. Sheffer, eller joint denial. Sheffers stroke betyder at P og Q er Figur 2 Sandhedstavle for inkompatibel, en af dem vil altså nødvendigvis være

hvis og kun hvis

falsk, dette skrives som  P | Q  . De fire ovenstående bindeord kan også udledes fra joint denial, der skrives med tegnet . Dette bindeord, beviser at begge tegn er falske7.

Denne kommando har jeg, der hvor jeg definerer min kommando valgt at kalde for imply. Lærer MM: Samtale. YY-Gymnasium, 10.12.2008 6 Denne kommando har jeg, der hvor jeg definerer kommandoen valgt at kalde for ifandonlyif. 7 Fra Smullyan, Raymond (1988) og Hendricks, Vincent F. og Frederik Stjernfelt 5

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 10 af 27

1.4 Leibniz og mængdelogik Logik er uafhængigt af kontekst. Det betyder at det, ligegyldigt hvad udsagnene P og Q står for, vil være de samme logiske slutningsregler der bruges. Hvis man har opstillet et logisk gyldigt argument, vil konklusionen også være sand. Derfor er det underordnet hvilket sprog, du udtrykker udsagnet på, om det så være sig via algebra. Dette arbejdede Leibniz og Lambert med. Leibniz ønskede at oversætte ikke blot logiske udsagn til ligninger, men at oversætte alt. På den måde ville man kunne udregne sandheden af Figur 3 Et Venn diagram af udsagnet alle P er Q

Eksempelvis etiske spørgsmål.

Leibniz indså også, at Aristoteles’s logik er en mængdelogik, det vil sige, at når man har udsagnet om at alle P er Q betyder det at delmængden P er et punkt i sættet Q, eller at P er et område i Q. Dette kan vises grafisk i et diagram, hvor de to udsagn repræsenteres af hver deres cirkel (jf. figur 5). Disse

diagrammer

blev

ikke

introduceret

Leibniz

selv,

der

benyttede

linjediagrammer, men af logikkeren John Venn (1834-1923).

Man kan herefter aflæse gyldigheden af argumentet ved hjælp af diagrammerne, hvor Figur 4 Venn diagram for nogen P er Q

man

kan

visualiserer de forskellige mulige kombinationer af udsagn. På figur 3 (alle P er Q) kan man på den måde se at hele P (den røde cirkel) er en delmængde af Q (den blå cirkel), derfor vil det være sandt at alle P er Q, da alle punkter i P også ligger i Q. Analogt kan man se i figur 4,

nogen P er Q, at det denne gang ikke er alle

Figur 5 Venn diagram for alle P medfører Q og alle W medfører Q

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 11 af 27

udsagnene P, der er en delmængde af Q, men kun nogen. Samme argumentering gælder for nogen P er ikke Q. På samme måde kan man grafisk eftervise et udvidet udsagn opbygget af flere simple udsagn. Dog bruges flere cirkler. Et eksempel på dette kan ses i figur 5, alle P

medfører Q og alle W medfører Q, hvor man af diagrammet kan visualiserer at alle W ligger i Q og derfor er alle W Q, og tilsvarende med P. Det er også tydeligt at W ikke er P. Dette er i overensstemmelse med at P medfører Q, men at det ikke gælder omvendt.8

1.5 Boole Leibniz og Lamberts arbejde var ret isoleret og ukendt, og det er George Boole der af eftertiden tilskrives for alvor at have omskrevet Aristoteles’ mængdelogik til algebraiske udsagn. Boole omskrev de logiske udsagn til ligninger, hvor han gav de sande udsagn værdien 1 og de falske udsagn værdien 0, også kaldet en 2-status-indretning. Alle 2-statusindretninger er logiske systemer, fx togsignaler eller computere.

1  P 

betyder derfor alt i verden undtagen P, så hvis P stod for gule ting, ville 1  P 

betyde alt andet end det, der er gult. På den måde kom de fire klassiske sætninger til at hedde: Nogle P er Q

P 1  Q   0 PQ  0

Ingen P er Q

PQ  0

Nogle P er ikke Q

P 1  Q   0

Alle P er Q

Når alle P er Q vil P 1  Q  kun give 0, hvis P er en delmængde af Q. En analog forklaring hører til ingen P er Q, dog gælder der denne gang, at ligningen er falsk, da nogen P ikke er Q9. Dette kan også forklares vha. en sandhedstavle:

Hendricks, Vincent F. og Frederik Stjernfelt samt Wikipedia-siden Venn diagram Nissen, Knud samt Wikipedia-siden George Boole

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium Sandhedstavle for og 0 0 0 Q 1 0 Denne tabel svarer til en

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 12 af 27 P 1 0 1 multiplikationsmodel, og man kan i det grå felt aflæse de

forskellige sandhedsværdier for de forskellige udsagn. For eksempel hvis P er falsk, altså er 0, og Q er sand, altså 1, vil udsagnet også være falsk – ligesom vi så det i sandhedstavlerne i kapitel 1.2. Med samme princip kan de andre udvidede udsagn såsom ingen P er Q skrives ind i sandhedstavlen og udregnes10.

1.6 Tautologier og absurditeter Der findes udsagn der altid vil være sande, eksempelvis vil udsagnet ”enten kan man se stjernerne eller også kan man ikke”, som også kan skrives

 Pv ~ P 

altid være sandt –

kort sagt kan en tautologi siges at være en helgardering. Normalt afhænger sandheden af et udsagn af de aksiomernes sandhedsværdi. Dette gælder ikke for en tautologi, hvor konklusionen altid vil være sand. For en absurditet gælder næsten det samme, blot vil alle konklusioner ende med at være falsificeret. En tautologi skal, udover at være et deklarativt udsagn, også være et udsagn der, kan indskrives på en sandhedstavle. Nogen tautologier kan gennemskues intuitivt for eksempel at P er det samme som ~~P, ” ligesom at plus er det samme som minus gange minus, eller en mere kompliceret som ” R, ergo må P   P  Q  &  Q  R     P  R  , der siger at P medfører Q og Q medfører også medfører R. Tautologier kan derfor også siges at være eviggyldige sandheder, da de på trods af, at præmisserne måske er falske, altid selv vil ende som sande11.

10 11

Lærer MM: Samtale. YY-Gymnasium, 11.12.2008 Smullyan, Raymond. (1988).

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 13 af 27

Drømmen om svaret på alt 1.7 Maskiner Det, at man kan opskrive ligninger for de enkelte udsagn, giver også muligheden for at beregne sandhedsværdien for de udvidede udsagn. På den måde kunne man nu forestille sig, at man ved hjælp af computerkraft kunne udregne gyldigheden af mere komplekse udsagn. Altså ville det være et skridt tættere på Leibnizs drøm. Hvis vi nu forestiller os vi har en maskine A, der kan udregne alle de logisk gyldige udsagn i verden og derefter printer dem, kan vi opskrive et regelsæt for maskinen: ” - på et eller andet tidspunkt vil maskinen spytte alle tautologier i verden ud - maskinen må ikke skrive en sætning der er i modstrid med en af de tidligere printede sætninger, hvis den gør det, vil maskinen være inkonsistent12.”

Vi skal nu vælge et sæt aksiomer som vores maskine skal handle ud fra. Dette sæt aksiomer, T, skal vælges sådan at der vil komme flest mulige gyldige svar, som alle er konsistente. Vi vælger aksiom-sættet T i håbet om, at dette sæt vil være et konsistent sæt, og altså kun vil bevise sætninger der ikke modsiger hinanden. Vi får nu et problem hvis sætningen G ”udsagnet G kan ikke bevises indenfor sættet T” bliver spyttet ud. Hvis G ikke kan bevises indenfor sættet T, er sætningen sand – og da vores aksiom-sæt T, kan bevise alle sande sætninger i verden, bør den også kunne bevise denne, hvilket vi startede med at antage, at den ikke kunne. Vi har altså her en modsigelse. Hvis vi i stedet starter med at antage, at vores maskine godt kan løse sætningen G, bliver sætningen falsk, da den påstår, at G ikke kan løses indenfor T, og vores maskine vil derfor have bevist en falsk sætning, hvilket den ikke kan. Altså vil vores maskine blive inkonsistent hvis vi beder den om at udregne sætningen ”udsagnet G kan ikke bevises indenfor sættet T”. For at løse dette kan vi udvidede sættet T, så det bliver til T’, men også her indenfor vil der være en Gödel-sætning, der beviser at T’ er inkonsistent. En analog forklaring til dilemmaet udtrykt ved de udsagn, en maskine ikke vil kunne afgøre, er følgende: der findes et sted i det Indiske hav en eksotisk ø, hvor alle indbyggerne er enten

12 13

Altså et regelsæt der ender med at modsige sig selv. Smullyan, Raymond. (1988)

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 14 af 27

riddere (der kun kan tale sandt) og røvere (der altid lyver). Engang imellem sker det, at der kommer en skibbruden på øen, der derefter prøver at bestemme de forskellige indbyggeres type. Denne vil finde ud af, at der findes to former for riddere, de etablerede riddere, der udover altid at tale sand også altid overholder ridderkodekset, derimod er de vilde riddere, som navnet siger det vilde, men taler i øvrigt også altid sandt. På samme måde findes der to former for røvere, etableret røvere der opfører sig som det for en røver hør og bør og vilde røvere, der opfører sig som det passer dem. Det ovenstående paradoks genopstår, hvis en af ridderne siger: ”du vil aldrig kunne bevise, at jeg er en ridder”. Hvis vi antager at indbyggeren er en ridder, vil hvad han siger være sandt, og vi vil i virkeligheden aldrig kunne bestemme hans type, altså bliver han ubestemmelig. Hvis han derimod er røver, vil hans udsagn være falsk, og vi vil modsat hvad han siger, finde ud af at han er en ridder, og vi har altså igen en modsigelse. Her symboliserer de etablerede riddere de sætninger, vi ved er sande, og som vi kan bevise er sande, og de vilde riddere de sætninger vi ved er sande, men som vi aldrig vil kunne bevise er sande, som fx ovennævnte sætning. På samme måde befinder det sig med de etablerede røvere, som vi ved og kan bevise er falske, og de vilde røvere, som vi ved er falske men ikke kan bevise er det.14

1.8 Gödel Ovenstående udtrykker Gödels-sætning, der siger at ethvert system der er så stærkt at det kan have med de naturlige tal at gøre, ikke vil kunne være både konsistent og komplet. Her siges indirekte, at et system der har med de naturlige tal at gøre, også har med udsagn at gøre, da sætningerne kunne kodes om til tal, for eksempel med en binær kode. Gödel beviser sit teorem ved, at spejle sætningerne i de hele tal. Dette gør han ved at tildele alle tal et specifikt Gödel-tal, et tal der er unikt for lige præcis denne sætning. Dette kan for eksempel gøres ved hjælp af primtal. Ethvert af de syntaktiske tegn der bruges til at danne logiske udsagn, som p, q, &, ~, (), etc. tildeles hver et primtal. Et udsagns Gödelnummer vil da være produktet af primtallene, der indgår. Da ethvert naturligt tal kan opløses i en række primtal (ved mindre det selv er et primtal) og kun i en bestemt sekvens af primtal, vil dette tal være unikt for den specifikke sætning.

Smullyan, Raymond. (1988) og Wikipedia-siden Gödel’s incompleteness theorems

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 15 af 27

Gödelnummeret kunne også være bestemt ved at liste alle de mulige kombinationer af udsagn op, og derefter tildele dem et nummer. Vigtigst er det blot, at hvert udsagn har et nummer, der er specifikt for lige netop dette nummer og ikke deles af andre. Dog er det snedige ved primtalsopløsningen, at man ikke behøver et opslagsværk med lister af udsagn, da man

ud fra faktoropløsningen kan bestemme de syntaktiske tegn, der er

anvendt, og derefter genskabe sætningen. Efter spejlingen i de naturlige tal, kan Gödeltallet for sætningen p skrives G  p  . Herefter går beviset ud på at skabe en selvreference, altså en sætning, der vil sige noget om sig selv, og derefter vise at systemet er inkonsistent. Groft simplificeret er det, Gödel gør, at opstille en funktion, der beviser om et tal/udsagn p er bevisbart. Dette gør han ved funktionen Bew  G  p   15. Dette bevis kan dog også udtrykkes med et Gödeltal, da dette også er en sætning. Altså har Gödel nu en selvrefererende sætning. Ved sammenligning af disse to sætninger vil man finde at sammenhængen imellem de to tal er enkel aritmetik16. Det Gödel herved beviser er, at der indenfor ethvert aksiomsæt, der er udvidet nok til at kunne have med de naturlige tal at gøre, vil være sætningers sandhed/ugyldighed der ikke kan bevises. Den eneste måde at undgå Gödel-sætninger på, er hvis systemet er inkonsistent, men dette vil være et ubrugeligt og dermed uvæsentligt system. Gödel påpegede i starten af sin afhandling, om uafhgørellige sætninger,

hvordan

matematikken slutter nye regler ud fra aksiomer og følgeregler. Dette ændrede han i 1931, da han beviste at ikke alle sætninger, på trods af deres gyldighed, kan bevises.

Bew står for det tyske beweisbar, beviselig. Læren om tal samt de simple regneoperationer såsom addition og multiplikation. 17 Smullyan, Raymond (1938) 18 Lærer MM. Samtale: YY-Gymnasium. D. 15.12.2008., Raymond Smullyan (1988) og (1983) samt Wikipedia-siden Gödel’s incompleteness theorem 16

side 16

SANDHEDER DER IKKE KAN KAN BEVISES VI ER FRA HVERDAGEN VANT TIL, AT NÅR NOGET ER SANDT, SAND ER DET OGSÅ BEVISELIGT. EKSEMPELVIS VED VI FRA FYSIKKENS VERDEN AT FORSKELLIGEE LEGEMER TILTRÆKKER HINANDEN, OG .

VI KAN VED HJÆLP AF MÅLINGER EFTERVISSE DETTE. INDENFOR UBEVISELIGE, SELVOM VI VED DE ER SANDE! konklusionen ergo er

FRA ARISTOTELES TIL UNIVERSALSPROG

Aristoteles dødelig. Derudover er logik

Logikken har været en vi-

uafhængig af kontekst,

denskabelig diciplin lige si-

hvilket vil sige, at det

den oldtiden. Logikken

sprog den bliver formid-

blev studeret samtidig i det

let på er underordnet for

gamle Grækenland, Indien,

et udsagns sandheds-

de muslimske lande og Kina.

værdi.

Alligevel er det først indenfor de sidste 100-200 år at undervisningen deri er blevet adskilt fra undervisningen i retorik. Den klassiske logik,

I 1800-tallet fik den tyske logikker, Leibniz, den ide at omsætte logiske udsagn til algebra, og derefter regne på dem. På denne måde ville Leibniz kunne udregne sandheden af alle

også kaldet udsagnslo-

spørgsmål imel-

gik, består af syllogismer: en række præmisser efterfulgt af en konklusion. Eksempelvis alle

logik er uafhængig af kontekst

lem himmel og jord. Etiske spørgsmål som, hvorvidt man bør

mennesker er dødelige og

indføre dødsstraf, ville nu

Aristoteles er et menneske,

blot være et spørgsmål om

hvorefter man kan drage

regnekraft.

Aristoteles (384-322 f.kr.)

LOGIKKEN TALES DER DERIMOD OM LÆRERSÆTNINGER DER ER

• Elev på akademiet, havde Platon som sin lærer. • Blev Efter Platons død Alexander den stores lærer.

Senere kom mat matematikere som e eksempelvis George Boole Boole, der for alvor koblede logikken sammen med alg algebra, og syllogisme syllogismerne kunne nu skr skrives i form af ligninger.

side 17

LOGIKKENS SPROG

Og (&)

Logik har en fastlagt syntaks med

Eller (V)

tegn for udsagn, tegn for hvordan disse forholder sig til hinanden

Hvis (...) så (...) (→)

•Betyder Betyder at begge udsagn skal være sande, førend konklusionen er sand.

•Betyder Betyder at mindst et af udsagnene, gerne begge, skal være sande førend konklusionen er sand. •Betyder Betyder at det første udsagn medfører det næste, det første udsagn skal altså være sandt hvis det efterfølgende udsagn er det, men det behøver ikke at være omvendt.

osv. Dette giver mulighed for, som bl.a. Boole

Ikke (~)

•Betyder Betyder at konklusionen er det modsatte af udsagnet.

gjorde det, at ud-

les dødelig kan man opskri-

regne hvorvidt et udsagn er

ve udsagnet i en sandheds-

forskellige udsagn kan ant anta-

falskt eller sandt. Der tales

tavle.

ge, som altså ikke vil kunne

om hvilken sandhedsværdi et givet udsagn har. For at bestemme sandhedsværdien af udsagnet alle mennesker

er dødelige, udsagn P, og Aristoteles er menneske, udsagn Q, ergo er Aristote-

I en sandhedstavle overvejes alle de mulige kombinationer af sandhedsværdier for udsagnene, der enten kan være sande eller falske. På den måde ende-

værdier de

være både sande og falske. Når vi har to udsagn og to værdier for disse udsagn har vi i alt 22 mulige kombinationer, der opskrives som fø følgende:

lig at bestemme sandhedsværdien af et udsagn. Der findes altså 2

George Boole Det var George Boole der for alvor omskrev de logiske udsagn til algebra og dermed til ligninger. Han gav de sande udsagn værdien 1 og de falske 0. På denne måde kunne han med fire formler, alt efter hvilket bindeord bindeord, der blev brugt bestemme sandhedsværdien af udsagnet. Fx ville alle P er S komme til at hedde P(1 – S) = 0. Kun hvis begge udsagn er sande, og dermed begge har væ værdien 1, vil regnestykket gå op. Dette kan også ses af en Boolsksandhedstavle, hvor de to udsagn udgør siden af tabellen som derefter ganges sammen. Det kan nu afl aflæses af sandhedstavlen, at udsagnet kun er sandt, når begge præmisser er det.

side 18

RIDDERE OG RØVERE Der findes en eksotisk ø i det Indiske hav, hvor alle beboerne enten er riddere, der kun kan tale sandt, eller røvere, der altid lyver. Denne ø er et yndet feriested for logikkere, og især for Raymond Smullyan – der opdagede øen.

Indbyggerne Når man rigtig lærer indbyggerne at kende, vil man opdage at der er forskel på ridderne (og på røverne). Der er de etablerede riddere, som er galante på alle leder og kanter. Så er der de vilde riddere

ningen ”jeg er en røver” – da

gen kan derfor kun være sagt

røverne ville fortælle sandhe-

af en vild ridder.

den, hvilket de aldrig ville gøre. Ridderne ville derimod lyve, hvilket er et brud på deres æreskodeks. Altså er det en sætning kun turister ville kunne komme med.

gentlemen. På samme måde er det med røverne, men

Det er umuligt at bestemme en indbyggers type hvis denne siger: ”du vil aldrig finde ud af

der udover altid at tale sandt, ikke kan siges at være

Uafgørelige udsagn

at jeg er en etableret ridder”. Hvis han er ridder, som han

Et eksempel

påstår, vil sætningen være

En sætning der kan fastsætte

sand, og vi vil derfor aldrig

en indbyggers natur er sæt-

kunne bestemme at han er en

ningen: ”jeg er ikke en etable-

ridder. Hvis sætningen der-

ret ridder”. Hvis en røver,

imod er falsk fordi han er en

etableret eller vild, sagde det-

røver, vil det han siger være

te, ville det være en sand

forkert og vi vil finde ud af at

sætning – og han ville derfor

han er en ridder – men hvis

aldrig sige det. En etableret

han var en ridder, ville sæt-

Det sker at besøgende hører

ridder ville derimod lyve hvis

ningen havde været sand!

øens beboer sige forskellige

han påstod ikke at være en

Dette giver altså en modsi-

ting, men ingen af indbygger-

etableret ridder, hvilket er

gelse.

ne ville nogensi e sige sæt-

imod kodekset – osg sætnin-

fælles er det, for både de vilde røvere og de etablerede røvere, at de alle altid lyver.

Samtaler med indbyggerne

Riddere- og røvere-gåder: A: Hvis man på øen møder, to indbygger Rasmus og Ruben, og Ruben siger ”vi er begge røvere”, hvad kan man så slutte?

B: Hvis vi derefter går videre og møder endnu to beboere, Richard og Ronnie, og Richard siger ”en af os er ridder, den anden er røver” imens Ronnie siger ”jeg er ridder, Richard er røver” hvem kan vi så tro på nu? Løsningen findes på sidste side

side 19

HVIS DE VIL VIDE MERE: Det ses af skemaet at ud-

hvordan de to præmisser

sagnet kun er sandt, hvis

forholder sig til hinanden.

begge præmisser er det. Da

Skemaet ville på den måde

vi ved at begge præmisser er

have set helt anderledes ud

sande, vil konklusionen altså

hvis de to udsagn, P og Q,

også være det.

havde været forbundet med

Udformningen af sandhedstavlen afgøres af bindeordet og, der afgør

GÖDEL Disse vilde riddere svarer i virkeligheden til udsagn vi ved er

Forever Undecided a puzzle guide to Gödel af Raymond Smullyan

Logik 1 Boolsk algebra redigeret af Jørgen Terstrup

På søndagstur i den logiske have af Knud Nissen

biordet eller. Der findes fire basale af sådanne bindeord: og, eller, hvis (…) så (…) og ikke.

sådan bevis være sætninger

/NN: NN@gmail.com

der er sande, men som vi ikke kan bevises.

Gödels opda-

gelse knuste Leibnizs drøm om et universal-

berømte lærersætning om

sprog, som ville kunne bruges

systemer. Gödel påstår i sin

til at udregne sandheden af

sætning, at hvis et system er

alle udsagn. Svaret på alting

stærkt nok til at have med de

blev os ikke foræret, og det

naturlige tal at gøre (de hele

ser ud til, at vi bare lidt endnu,

tal, 1, 2, 3, …), vil der i et

stadig må bruge hovedet.

Svar: A: Dette er et udsagn af typen Ruben er falsk og Rasmus er falsk. Hvis Ruben var en ridder, ville han ikke lyve og påstå at han var en røver. Han må derfor være røver, hvilket gør at det han starter med at sige er rigtigt. For at det samlede udsagn skal være falsk, i overensstemmelse med at Ruben er en røver, må den sidste påstand altså være falsk, og Rasmus er derfor en ridder.

Dette er budskabet af Gödels

B: Hvis. Ronnie er ridder, og dermed taler sandt, må Richard være en røver, og hans påstand burde derfor være falsk. Det er den derimod ikke, så Ronnie må være røver, og hans påstand er derfor falsk, og Richard en ridder. Vi kan derfor stole på Richard.

sande, men ikke kan bevise.

STØVET LOGIK ANNO 2010 Hvad der lyder gammelt og støvet, er hver dag et værktøj, der bruges på de fleste kontorer! Logikken operer med to statusser, Enten er et udsagn sandt, ellers er det falskt. Dette kaldes også en 2-status-indretning der svarer til at en pære enten kan være tændt eller slukket. Netop pærer bruges inden for logistikken, hvor flere hundrede toge hver dag bliver styret af kontrolpaneler hvor netop pærer afgør, om der er fri passage, eller om der holder et tog i vejen! Også i hverdagen bruges denne 2-status-indretning, nemlig i enhver computer. Her arbejdes der med det binære talsystem, hvor man opererer med 1-taller og 0-er. Dette kan også ses i de problemstillinger Alan Turing, som er en vigtig profil inden for datalogien og især inden for kunstig intelligens, arbejde med, der ofte ligner de selvsamme problemstillinger Gödel beskæftigede sig med.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 20 af 27

Formidlingsmæssige overvejelser 3. 1 Forskelle på kommunikationsformerne Diskursen i min artikel vil primært være en faglig formidlings diskurs, efter L.F.'s definition. Det vil sige, at man som grundholdning går ud fra at de to aktører, modtageren og afsenderen, ikke har den samme basis af viden om emnet, at gå ud fra. Der vil altså være en asymmetrisk relation imellem de to. Man må derfor som afsender være særligt opmærksom på, at man udvælger den viden, som læseren har brug for, og starter ud fra modtagerens niveau. Modsat dette findes der eksempelvis den faglige eller den videnskabelige kommunikation, der begge bygger på en symmetrisk relation. Altså vil de to aktører have det samme vidensunivers. En arketypisk faglig formidling situation er for eksempel en samtale imellem en patient og dennes læge, som prøver at forklare et medicinsk begreb. Derimod er gode eksempler på en faglig eller en videnskabelig kommunikation hhv., en samtale imellem to læger der diskuterer en diagnose eller en doktorafhandling hvori, en læge prøver at finde frem til ny viden. Forskellen på en symmetrisk og en asymmetrisk relation kommer til udtryk i diskursen, som i en symmetrisk relation vil være præget af fagterminologi, og i en ideel asymmetrisk diskurs vil være præget af virkemidler, der skal gøre stoffet letforståeligt. Derudover er der også bundet faste regler til hver af de 3 kommunikationsformer. I den faglige kommunikationsform vil der ofte være bestemte dispositionsprincipper, empiri, teori og en fagspecifik metode. Dette kan fx ses i min matematiske afhandling hvor jeg har valgt en kronologisk disposition og bruger en naturvidenskabelig diskurs. Desuden har jeg brugt naturvidenskabelige metoder som eksempel hypotetisk deduktion, altså at jeg bl.a. ud fra præmisser har draget en konklusion. Derimod vil jeg i artiklen gøre brug af forskellige virkemidler (som jeg vil nævne senere) for at gøre teksten lettere at forstå.19

3. 2 Målgruppe Jeg har valgt min målgruppe til én meget lig Illustreret Videnskabs målgruppe. Altså er min læserprofil: en veluddannet person hvoraf to tredjedele er mænd. Min prototype er en person med

Jensen, Leif Becker

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 21 af 27

en højere indkomst, der er teknologisk interesseret og som rejser meget. Derudover er læseren kvalitetsbevidst og mellem 17-49 år.20 For at gøre min artikel relevant for min intenderede modtager, vil jeg overveje følgende 2 spørgsmål: 1. Hvad vil min målgruppe gerne vide? 2. Hvad er vigtigt ved dette emne for dem?21 Da min målgruppe er meget tekniske interesserede og veluddannet vil jeg i nogen grad give mig i kast med at forklarer formelsproget bag logik da jeg dels tror at netop disse egenskaber giver modtagergruppen kompetencer til at kunne følge argumentationen, og dels at dette, på grund af deres forudsætninger, er i modtagergruppens interessesfære. Baseret på min modtagergruppes interesse for teknologi tænker jeg, at de især vil være interesseret i datalogiens brug af logik. Dog er min modtagergruppe ikke en homogen gruppe, for eksempel vil 1/3 af læserne være kvinder. Dette gør, at jeg som afsender skal være opmærksom på, at jeg ikke udelukker enkelt individer ved eksempelvis at relatere til én for emne-specifik metafor, da dette vil ligge udenfor minoriteten af modtagergruppens vidensunivers. Dette kunne for eksempel være ved at lave metaforer om bilmotorer, hvor nogle af læserne kunne falde igennem, da de muligvis ikke har et indgående kendskab til dette emne. For at undgå dette vil jeg tilstræbe at mine metaforer handler om hverdagstemaer og er lette at følge. For at sikre mig en bred målgruppe vil jeg lave forskellige faktabokse i artiklen hvor jeg kan uddybe en problemstilling. På den måde vil jeg prøve at sikre mig, at jeg ikke i artiklen går for meget i dybden og derved mister nogen fra min målgruppe, men samtidig ikke keder andre. Disse faktabokse vil jeg adskille fra resten af teksten grafisk ved hjælp af en ændret font og ved at lave en fysisk adskillelse, sådan at læseren intuitivt vil være klar over at dette er ekstra informationsmateriale.

3.3 Indhold Indholdsmæssigt har jeg valgt at starte med en historisk del, og på den måde starte en kronologisk opbygning. Dermed kan jeg langsomt sætte læseren ind i de ydre rammer for logikken. Derefter har jeg valgt at redegøre for de specielle bindeord, jeg vil komme til at bruge,

20 21

Lærer PP: Hæfte om Formidlingsopgaver i dansk bl.a. indeholdende en læserprofil - SRP. 25.11.2008 Johanneson, Kurt.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 22 af 27

og deres betydning. Ved at gøre dette tidligt i artiklen giver jeg hurtigere mulighed for at bruge det symbolsprog, der anvendes i den algebraiske løsning af logik. Jeg vurderede, at det ville være for omfangsrigt at sætte læseren ind i problemstillingen omkring maskiner, og har derfor valgt at springe direkte til metaforen med ridderne og røverne, i min

artikel.

Dette

mente

jeg

højere

grad

ville

ligge

indenfor

modtagergruppens

forståelsesramme, samtidig med at det gør artiklen mere spændende og er en god variation af diskursen. Jeg synes en fortælling er en god måde at formidle et stof på, ligesom eksempelvis Jostein Gaarder gør det i Sofies Verden. Da det fremgår af læserprofilen, at min modtager er teknisk interesseret, har jeg valgt, kort at redegøre for hvordan logik bruges anno 2010. Ligesom jeg kort har valgt at sætte læseren ind i boolsk algebra. Til sidst har jeg valgt at slutte af med en opridsning af problematikken omkring Gödels sætning. På denne måde belyser jeg emnet fra flere sider, samtidig med at jeg dækker hvspørgsmålene som for eksempel hvem. Dette gør jeg i form af den historiske gennemgang, samt boksene med de vigtigste personer, indenfor de områder af logikken jeg benævner. Disse bokse belyser samtidig hvornår samt til dels hvad. Derudover belyser jeg spørgsmålene hvordan og hvorfor, ved at nævne hvordan denne viden bruges i nutidens teknologi og simplificeret og kort sætter læseren ind i de tekniker der bruges undervejs. På basis af min læserprofil har jeg derudover valg at opstille to gåder. Dette har jeg gjort for at udnytte ridderne og røverne mest muligt, da de på denne måde, ud over at være en god metafor, også vil være en måde at give læseren en ekstra chance for at få forståelse for logiske gåder, via en anden diskurs. Samtidig er gåderne med til at differentiere artiklen, da jeg vil starte med en lettere gåde hvor alle kan være med og derefter sætte niveauet op.

3.4 Virkemidler For at lette forståelsen af artiklen vil jeg relatere min viden om argumentationsteori og logik til konkrete ting i læserens vidensunivers. Dette vil jeg for eksempel gøre ved brug af billedsprog, eller ved at oplyse personens levealder eller med hvem personen har været i kontakt med af andre familiære personer. På denne måde sikrer jeg mig, at læseren kan knytte den nye viden til noget velkendt, og jeg udnytter derved den måde viden organiseres i kognitive skemaer. Altså at viden

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 23 af 27

af modtageren behandles og indtages ved at kigge på ligheder og forskelle imellem enkelt elementerne.22 Som et eksempel på hvordan jeg udnytter dette i min artikel, kan jeg nævne faktabokse, med oplysninger om nogle af de prominente skikkelser indenfor logik. Ved kort at opridse få detaljer om personen, håber jeg at læseren lettere vil kunne skelne i mellem de forskellige personer og bedre vil kunne overskue kronologien i hvornår de respektive informationer stammer fra. Sekundært virker faktaboksene som blikfang, der gerne skulle give læseren appetit til resten af artiklen. Desuden vil jeg sørge for at variere sproget, opbygge korte sætninger og skifte diskurs, sådan at artiklen rummer både en meget oplysende diskurs og en mere fortællende – samtidig med at den skal være let at forstå. Dette vil jeg gøre ved at bruge Raymond Smullyans fortælling om riddere og røvere. På den måde håber jeg at kunne bevæge mig på flere forskellige abstraktionsniveauer, sådan at jeg til tider også er meget konkret. Jeg håber også, at dette vil gøre artiklen mere spændende, og give læseren mulighed for identifikation med problemstillingerne. Efter fortællinge diskursen vil jeg drage konklusionerne, hvorved jeg spiller på modpolen for fortællingen, det statiske, og sikre at fortællingen ikke bliver misfortolket af læseren – og at alle pointerne bliver ført sikkert i havn.23 Da min modtagere er teknisk interesseret, vil jeg som sagt uddybe nogen af problemstillingerne. Hvor fagtermer og komplekse forklaringer er nødvendige, vil jeg benytte mig af sproglig redundans, og altså forklare samme begreb i to forskellige sprog, en formidlende og en videnskabelig diskurs. Derudover vil jeg benytte mig af små tricks som at holde mig til maximalt at nævne fire elementer ad gangen, eksempelvis fire personer, da dette er hvad hjernen husker ved gennemlæsninger24.

Afslutning I opgaven har jeg forklaret om først den klassiske logik, for derefter at redegøre for den moderne logik samt Gödels uafgørelige udsagn. Dette har jeg gjort ved at belyse hvilke grundlæggende

22 23 24

Jensen, Leif Becker. Og Johannesson, Kurt. Jensen, Leif Becker. Johannesson, Kurt.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 24 af 27

mekanismer, der ligger bag den moderne logik, som for eksempel de forskellige slutningsregler. For eksempel har jeg set på hvordan bindeordet og påvirker et udsagns sandhedsværdi. Jeg fandt i mit matematiske arbejde ud af hvordan logik er uafhængig af kontekst, og derfor kan omsættes til algebra – hvilket giver mulighed for at regne på udsagn. Derudover forklarer jeg hvordan Gödel beviser, at der indenfor ethvert aksiom-sæt, hvis det er stærkt nok til at handle om de naturlige tal, vil være et uafgøreligt udsagn. I min artikel har jeg skrevet en kort indførelse i den klassiske logik, samt en overfladisk introduktion til logikkens syntaks. Derudover har jeg eksemplificeret Gödels sætning ved hjælp af Smullyans ridder og røver metafor. Dette har jeg, som også skrevet i min meta-del, af formidlingsmæssige årsager, da jeg har tilstræbt mig at få denne viden tilknyttet modtagerens vidensunivers. På denne måde har jeg, forhåbentligt, formidlet redskaberne til at afgøre udsagns korrekthed videre til min læser, sådan at denne selv kan afgøre hvorfor Morlille ikke er en sten25.

________________________ Elev NN d. … 2008

Litteraturfortegnelse 4. 1 Andre kilder -

Lærer MM: Samtale. YY-Gymnasium.

Lærer PP: Hæfte om Formidlingsopgaver i dansk bl.a. indeholdende en læserprofil – SRP. 25.11.2008

Lærer PP: Samtale. YY-Gymnasium.

Lærer QQ: korrespondance. Lectio.

4.2 Billeder: -

(billede s. 15) Aristoteles. Ingen kunstner angivet. Set: http://images.google.dk/imgres?imgurl=http://www.biografiasyvidas.com/monografia/arist oteles/fotos/aristoteles_busto.jpg&imgrefurl=http://biografiasyvidas.com/monografia/aristo

Fra Knud Holbergs stykke Erasmus Montanus.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 25 af 27

teles/&usg=__fuqk34pTo46uS2PfSqWNgX3WEXQ=&h=321&w=340&sz=20&hl=da&start= &&um=1&tbnid=mj6ttz5FD98HEM:&tbnh=112&tbnw=119&prev=/images%3Fq%3Daristot eles%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN. 16.12.2008 (billede side 16) George Boole. Ingen kunstner angivet. Set:

http://wehner.org/primes/boole.gif. 16.12.2008. -

(billede side 17) Ridder og røver på eksotisk ø. Elev NN. Lavet i Photo Shop, ud fra nedenstående links. 14.12.2008 o

Blå Ridder med sværd. Ingen angivet. Set: http://www.netgiraffen.dk/produkter/Figurer/Schleich_70001__Blaa_Ridder_med_svaerd.aspx. 5.12.2008.

Knave of swords. Ingen angivet. Set: http://quatramaran.ens.fr/~madore/viscontitarots/large/swords-11-knave.jpg. 5.12.2008.

Palmtre på Cuba. Ingen angivet. Set: http://www.the123d.com/plants/123d/3d_palm_tree01.jpg. 5.12.2008.

4.3 Bøger: -

Boolsk algebra. Oversættelse, bearbejdelse og redaktion:, Jørgen Terstrup: I: Logik 1 Boolsk algebra. 1. udg. Open University/Gyldendal, 1971. side 31-35.

Grue, Malene: Politikens retskrivnings- og betydningsordbog. 4. udg. Politikens Forlag A/S, 2001.

Jensen, Leif Becker: Den sproglige dåseåbner - om at formidle faglig viden forståeligt. Side fra s. 7-30 1. udg. Roskilde Universitetsforlag, 2007.

Johannesson, Kurt: Praktisk retorik. 1. udg. Retorikforlaget, 2006. Side 7-103.

Laursen, Kjeld Bagger: Logik Matematisk fagprojekt. 1. udg. Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, 2005.

Nissen, Knud: På søndagstur i den logiske have, Aspekter. 1. udg. Abacus, 1991.

Smullyan, Raymond: Forever Undecided a puzzle guide to Gödel. 1. udg. Oxford University Press, 1988.

Smullyan, Raymond: Kvinden eller tigeren? - og andre opgaver i logik. 1. udg. Chr Erichsens Forlag, 1983.

Hendricks, Vincent F. og Frederik Stjernfelt: I: Tal en tanke. 1. udg. Forlaget Samfundslitteratur, 2007. side 17-50.

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 26 af 27

4.4 Figurer: -

Figur 1: Sandhedstavle for hvis (…) så (…). Elev NN, Skærmklip fra TINspire. 15.12.2008

Figur 2: Sandhedstavle for hvis og kun hvis. Elev NN. Skærmklip fra TINspire. 15.12.2008

Figur 3: Venn diagram for alle P er Q. Elev NN. Lavet i Word2007. 10.12.2008

Figur 4: Venn diagram for nogen P er Q. Elve NN. Lavet i Word2007. 10.12.2008

Figur 5: Venn diagram for P, Q og W. Elev NN. Lavet i Word2007. 10.12.2008

4.5 Internetsider: -

Leksikon: Metode. Udgivet af Elster, Jon. Internetadresse: http://www.leksikon.org/art.php?n=1726 - Besøgt d. 16.12.2008 (herefter refereret til som Leksikon siden metode).

Wikipedia, the free encyclopedia: Augustus De Morgan. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 17.11.2008. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_de_Morgan - Besøgt d. 8.12.20008

Wikipedia, the free encyclopedia: George Boole. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 20.11.2008 Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole - Besøgt d. 8.12.2008 (herefter refereret til som Wikipedia-siden George Boole).

Wikipedia, the free encyclopedia: Gödel’s incompleteness theorems. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 7.12.2008 Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del’s_incompleteness_theorem – Besøgt d. 12.12.2008 (herefter refereret til som Wikipedia-siden Gödel’s incompleteness theorem).

Wikipedia, the free encyclopedia: Mathematical logic. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 5.12.2008. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_logic - Besøgt d. 7.12.2008 (herefter refereret til som Wikipedia-siden Matematik og logik).

Wikipedia, the free encyclopedia: Scientific methods. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 23.11.2008. Internetadresse:

Elev NN Klasse XX YY-Gymnasium

Studieretningsopgave i matemtaik A og dansk A Side 27 af 27

http://en.wikipedia.org/wiki/Scientific_method#Relationship_with_mathematics - Besøgt d. 16.12.2008 (herefter refereret til som Wikipedia-siden om Scietntific methods) -

Wikipedia, the free encyclopedia: Venn diagram. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 4.12.2008. Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram - Besøgt d. 10.12.20008 (herefter refereret til som Wikipedia-siden Venn diagram)

Wikipedia, the free encyclopedia: Videnskabelig metode. Udgivet af GNU Free Documentation License. Sidst opdateret: 22.06.2008. Internetadresse: http://da.wikipedia.org/wiki/Videnskabelig_metode - Besøgt d. 15.12.2008

4.7 Programmer: -

TI-Nspire Cas version 1.4

Adobe Photoshop version 8.0