Teoria de conjuntos

La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

Conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos. Son dos los conceptos básicos de la Teoría de Conjuntos:

Conjunto: grupo de elementos u objetos que se pueden afirmar con certeza si cualquier objeto pertenece o no a la agrupación.

Representación simbólica: X1 el cual pertenece a un conjunto A

X1

e

A

Y1 el cual No pertenece a un conjunto A

e

Y1

A

.a

.i .o

.o

.u

Subconjunto:

Es cuando los elementos de un conjunto A están incluidos en un conjunto B y su simbología es A B y si no todos los elementos del conjunto A están incluidos en B se representa A B.

Representación Gráfica del enunciado anterior:

B

B

A

B

A

A

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

Cardinalidad de un Conjunto: Número de elementos que posee.

Simbolgía:

n o #.

Existen 4 formas de enunciar los conjuntos las cuales se enuncian a continuación:

1. Extensión o enumeración: Elementos encerrados con llaves y separados por comas

2. Comprensión: Elementos que se determinan a través de una condición que se establece entre llaves y se emplea el símbolo | que significa “tal que”.

A= { X | P(x)}

= { x1,x2,x3,…,xn }

Simbología: | = “tal que” A = Conjunto de todos los elementos P(x) = Condición verdadera

3.

Diagramas de Venn: Regiones cerradas empeladas para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos

4.

Descripción Verbal: Enunciado que describe a característica común para los elementos.

Ejemplo: Expresar “ El conjunto de las Vocales” Comprensión y Diagrama de Venn.

Extensión: V=

{a,e,i,o,u}

Comprensión: V=

{ x | x es una vocal}

Diagrama de Venn:

.a

.i .o

.o

.u

por: Extensión,

La notación son los elementos que se usan para enunciar un conjunto las cuales son a través de llaves { } o comas ,,,,, La notación puede ser por extensión o por comprensión

Simbología de conjuntos A continuación se muestran los símbolos usado en los conjuntos

Símbolo

Descripción

|

tal que encierra elementos de un conjunto

{}

e e P (x)

ho# f {} U ∩

= ≠ ≈ A' A-B

pertenece no pertenece condición verdadera subconjunto no es subconjunto cardinalidad conjunto vacío conjunto universal intersección de conjuntos conjuntos iguales conjuntos desiguales conjuntos equivalentes complemento de un conjunto diferencia de los conjuntos

Los conjuntos se pueden clasificar de acuerdo a los elementos que contiene cada uno de ellos.

Tabla de Tipos de Conjuntos

En los conjunto se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos.

Tabla de Operaciones con Conjuntos Operación de conjunto

Definición

Unión

Conjunto de todos los elementos de A y B

Intersección

Son los elementos de A que también pertenecen a B

Ajenos

Su intersección es el conjunto vacío. No tienen nada en común

El complemento del conjunto A con respecto al Universo U Complemento es el conjunto de todos los elementos que no están en A y se escribe

Simbología

A UB

Representación Gráfica

Ejemplo A = { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía} B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano} A U B = {mango,ciruela,uva,naranja, manzana,sandía,durazno,melón,uva,narnja,sandía,plát ano} A = { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía} B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano} = {uva,naranja,sandía}

f

N/A

A = { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía} B = {limón,fresa,pera,mandarina,cereza} = f

A = { mango,kiwi,uva,pera,naranja,cereza, manzana,sandía,durazno,limón,melón,plátano} B = {mango,ciruela,uvanaranja,manzana,sandía} A' = {kiwi,pera,cereza,durazno,limón,melón, plátano}

como A,

Diferencia

El conjunto de elementos de A no pertenecen a B

A- B

A = { mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía} B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía,plátano} A -B = { mango,ciruela,manzana} B - A = {durazno,melón,plátano}

Los conjuntos son los ladrillos fundamentales de las matemáticas y cuando se aplican en distintas situaciones se convierten en bloques con los que las matemáticas se construyen.

La importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorías.

Las matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente, álgebra abstracta, análisis complejo, álgebra lineal, etc, pero todas esas partes de las matemáticas tienen en común los conjuntos

¿Porqué es importantes los conjuntos?