La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.
Un objeto o valor genérico (a) en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico (b) del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.
Uno de los conceptos más importantes en Matemáticas es el de función, ya que se puede aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las relaciones que existen entre magnitudes tanto en Matemáticas, Físicas, Economía, etc., y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende.
Una funci贸n de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una funci贸n constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los n煤meros reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3.
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Ejemplo: F(x) = 2x - 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.
El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).
Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula: Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas. Ejemplo:
F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).
Una funci贸n racional es el cociente de dos funciones polin贸micas. As铆 es que es una funci贸n racional si para todo x en el dominio, se tiene:
Una sucesión(o progresión) es una lista de números en un orden específico. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión. Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo: en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión. Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4, ….., n, ….} de todos los números enteros positivos. Los números del contradominio de na función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi, pero dado que esta parte del cálculo es la más inocua, son mucho más destacadas sus aplicaciones en materia de cálculo numérico.
Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.
Límite = 0
Límite = 1
Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito. Límite = ∞
Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Ejemplo: 1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...
Se dice que una sucesi贸n es estrictamente creciente si cada t茅rmino es mayor que el anterior. Ejemplo:
2, 5, 8, 11, 14, 17,... 5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Ejemplo:
2, 2 , 4, 4, 8, 8,... 2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. Ejemplo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,... 1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior. Ejemplo: 2,2,-4,-4,6,6,… 2≤ 2; −4 ≤ 2; -4≤ −4; 6 ≤ −4, …
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k. Ejemplo: 5, 5, 5, 5, ...
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión. an ≥ k A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo . Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo. Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión. an ≤ k' A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo. Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.