Projeto TEIA DO SABER 2006 Secretaria de Estado da Educação, SP. Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá
UNESP – Campus de Guaratinguetá Departamento de Matemática Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
O CONCEITO DE FUNÇÃO Profa. Dra. Maria Tereza de Lima Carvalho tereza@feg.unesp.br Departamento de Matemática FEG – UNESP
Novembro de 2006
TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática
FUNÇÕES
O estudo de função decorre da necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar interdependências e generalizar. Consideremos as seguintes situações: a)
A área de um círculo depende de seu raio r. A lei que relaciona r
e A é dada pela equação A = πr . A cada número r positivo corresponde um único valor de A, e dizemos que A é função de r. 2
b)
A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela abaixo fornece estimativas da população mundial P no instante t, para determinados casos. Por exemplo, em 1955, P ≅ 2.500.000.000
c)
O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso p. Embora não exista uma fórmula simples relacionando p e C, o correio tem uma fórmula que permite calcular C quando é dado p.
d)
A aceleração vertical a do solo registrada por um sismógrafo durante um terremoto é uma função do tempo t decorrido. A figura seguinte mostra o gráfico gerado pela atividade sísmica durante o terremoto de Norhridge, que abalou Los Angeles em 1994. Para um dado valor de t, o gráfico fornece o valor correspondente de a.
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Definição. Uma função é uma lei segundo a qual, para cada elemento x em um conjunto A corresponde um único elemento y em um conjunto B. O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é o contra-domínio. A variação de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia em todo o domínio. A definição de função pode ser esquematizada através de um diagrama de flechas.
X - variável independente y – variable dependente Gráfico Cartesiano O gráfico de uma função f consiste em todos os pontos (x,y) do plano coordenado Oxy, tais que x pertence ao domínio de f e y = f(x). O gráfico permite a visualização do comportamento da função.
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Representações de Funções -
verbalmente (descrevendo-a com palavras)
-
numericamente (através de tabela de valores)
-
visualmente (através de gráficos)
-
algebricamente (utilizando-se uma fórmula explícita)
A representação de uma função de maneiras diferentes é importante, pois possibilita uma maior compreensão sobre a função. Porém, algumas funções são descritas mais naturalmente de uma determinada forma que de outra. Exemplificando, vamos considerar as quatro funções descritas anteriormente. a)
A mais útil dentre as representações da área de um círculo em 2 função de seu raio é provavelmente a fórmula A(r ) = πr . É possível, também, elaborar uma tabela de valores bem como esboçar um gráfico (meia parábola). Como o raio do círculo é positivo, o domínio da função é {r ∈ ℜ; r > 0} = (0, ∞), e a variação é (o, ∞) .
b)
Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: P(t) é a população humana mundial no instante t. A tabela de valores da população mundial fornece uma representação conveniente dessa função.
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Se plotarmos esses valores vamos obter o gráfico abaixo, chamado mapa de dispersão. É também uma representação útil, já que nos possibilita visualizar todo o conjunto de dados.
A plotagem de dispersão pode ser visualmente realçada, unindo os pontos sucessivos com segmentos de reta, obtendo, nesse caso, um gráfico de linhas.
É evidente que não existe uma fórmula exata que forneça a população humana P(t) em qualquer momento t. Porém é possível determinar uma expressão aproximada. Existem métodos através dos quais obtemos a aproximação P (t ) ≅ (0,00836312)(1,013716)t e a figura abaixo mostra que o ajuste é bem razoável.
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c) Novamente a função é descrita verbalmente: C(w) é o custo de enviar pelo correio uma carta com um peso w. Nos EUA, em 1998, o serviço postal seguia a seguinte regra: até 1 onça (1onça ≅ 28,35 g ) , o custo era de 32 centavos de dólar, e mais 23 centavos para cada onça sucessivamente até 11 onças. A tabela de valores, mostrada abaixo, é a representação mais conveniente para essa função, embora seja possível esboçar o seu gráfico.
d) O gráfico é a representação mais natural da aceleração vertical a em função do tempo t. É possível compilar uma tabela de valores e até mesmo deduzir uma fórmula aproximada. Porém, as informações que o geólogo necessita – amplitude e padrões – podem ser facilmente obtidas do gráfico.
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Atividades 1. Verifique se o gráfico dado representa uma função y=f(x). Justifique a resposta. a)
b)
c)
d)
e)
f) Mapa de dispersão de pesos versus idade para uma amostra aleatória de 100 estudantes.
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2. Determine o domínio da função: a) f ( x) = 6 − 2 x
x2 + 5x + 6 b) g ( x ) = x+2
3. Critique o argumento seguinte: a função 1 − (1 x) f ( x) = 1 + (1 x) pode ser simplificada multiplicando-se numerador e denominador por x, obtendo-se x −1 f ( x) = x +1 Como você reescreveria o argumento para torna-lo correto? 4. Escreva uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada. a)
2 b) A parte de baixo da parábola x + ( y − 1) = 0.
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5. O gráfico em anexo mostra a renda familiar média dos EUA entre 1975 e 1995. Use o gráfico para responder as questões a seguir , fazendo aproximações razoáveis quando for necessário. a. Quando a renda média atingiu seu valor máximo e qual foi ele? b. Quando a renda média atingiu seu valor mínimo e qual foi ele? c. A renda média estava diminuindo durante os quatro anos do período de 1989 a 1993. Ela estava diminuindo mais rapidamente durante os dois primeiros anos ou nos dois segundos anos daquele período? Justifique a resposta.
6. Um estudante vai de carro para a escola. Após 5 minutos de percurso, percebe que esqueceu seu material. Ele volta rapidamente para casa, pega seu material e retorna para a escola em alta velocidade. Porém, 5 minutos após ter deixado a sua casa, bate em uma árvore. Esboce um gráfico aproximado que descreva razoavelmente a distância do estudante a sua casa em função do tempo, a partir do momento de sua primeira saída até o momento da batida.
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7. Duas partículas P1 e P2 são lançadas verticalmente, no instante t=0 (em verticais distintas). Os gráficos de suas alturas (em metros) em função do tempo (em segundos) estão representados na figura seguinte, o de P2 sendo tracejado. Determine: a. A altura máxima atingida pelas partículas e o instante em que isto sucedeu. b. O maior intervalo de tempo durante o qual que
P1 se manteve mais alta
P2 .
c. O instante em que
P1
e
P2
têm a mesma altura.
d. Qual a distância percorrida por
10
P1
no intervalo de tempo
[0,8]?
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8. Num campeonato de futebol, cada time joga contra todos os outros times duas vezes. a. Se nesse campeonato houver quatro times, quantas vezes cada time vai jogar? E cada par de times? Quantos jogos haverá no campeonato? b. Responda todas essas perguntas, para o caso de haver cinco times no campeonato. c. Determine uma expressão que forneça o número de jogos do campeonato em função do número de times. 9. Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerente vendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, se reduzisse o preço de cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana, resolveu experimentar e foi reduzindo o preço do livro de R$ 5,00 a cada semana. A que preço um livro deve ser vendido a fim de que o lucro seja máximo? 10.Nos EUA, em 1998, o serviço postal seguia o seguinte regulamento: até 1 onça (1 onça ≅ 28,34) o custo era de 32 centavos de dólar, e mais 23 centavos para cada onça sucessiva até 11 onças. Na tabela seguinte C(w) representa o custo para enviar pelo correio uma carta com um peso w.
Defina a função C(w) e represente-a graficamente.
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10. Uma companhia de táxi cobra R$ 5,00 pelo primeiro quilômetro (ou fração de quilômetro) e, após, 50 centavos para cada décimo de quilômetro (ou fração). Expresse o custo C (em reais) de uma de uma corrida como uma função da distância x percorrida (em quilômetros) para 0<x<2, e esboce o gráfico. 11. Na Figura (a) abaixo são mostrados os pontos A, B e C das margens de um rio. Um atleta vai de A até um ponto P entre A e C, caminhando sobre a margem, com velocidade v1 = 2,5m / s , e nada de P a B com velocidade v2 = 2m / s. a) Determine o tempo gasto no percurso APB. b) Calcule o tempo gasto se o percurso for ACB. c) Calcule o tempo gasto se o atleta nadar de A a B, em linha reta. d) O gráfico de t em função de x é representado na Figura (b). Na parte (c) da figura mostra-se um detalhe do gráfico. Determine a distância AP para que o tempo gasto seja o menor possível.
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12.Um fazendeiro deseja cercar parte de um campo, para formar dois pastos retangulares adjacentes, como mostrado na figura.
Ele tem o total de 600 pés de arame disponível, que deseja usar inteiramente. a)Escreva a área total cercada como uma função de x. b) Determine as dimensões de x e y que tornam máxima a área total cercada.
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MAC – TURMA 152 PROF.ª M. TEREZA
Não haverá aula terça-feira, 07/11.
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PLANO DE AULAS FUNÇÕES 11/11
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i. Definições: função, domínio, contra-domínio, variação. ii. Formas de Representação: verbal, numérica, gráfica, algébrica. iii. Gráficos: o plano cartesiano, interpretação e construção de gráficos. iv. Problemas. v. Problemas envolvendo as diversas formas de representação de função. vi. Determinação da expressão analítica de uma função através de generalização. vii. Sobre o ensino usual de função: dificuldades e obstáculos.
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Bibliografia. viii. BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral I, vol.1. São Paulo: Books Internacional, 1999. ix. HOWARD, A. Cálculo – um novo horizonte, vol.1. Porto Alegre: Bookman, 2000. x. STEWART, J. Cálculo, vol.1. São Paulo: Pioneira, 2001. xi. TINOCO, L. (coord.) Construindo o Conceito de Função. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/ UFRJ – Projeto Fundão,2002.
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