http://www.nauticacosmar.es/ejemplo

Universitat Oberta de Catalunya ASSIGNATURA:

ÀLGEBRA / MATEMÀTIQUES I

PAC Núm.:

2

Data de proposta:

Observacions:

Valoració:

15/10/2010 Data d´entrega: ≤ 25/10/2010 • Respon sobre aquest mateix enunciat sense eliminar el text original • Recorda que és necessari que justifiquis les respostes • El nom del fitxer ha de ser Cognom1_Cognom2_Nom.PDF • A la solució d´aquesta PAC es pot utilitzar la Wiris (en tal cas, caldrà il·lustrar-ho amb la corresponent captura de pantalla, afegint-hi els comentaris necessaris al document de resolució).

• A l´adreça d´Internet http://www.dopdf.com/ et pots descarregar un conversor gratuït a format pdf. Un altre conversor gratuït, en aquest cas online i per a documents amb format Word, el pots trobar a http://www.expresspdf.com/ • Justifica tots els passos donats a la resolució de cada exercici.

• Recorda que el límit d´entrega de la PAC són les 24.00h. del dia 25/10/2010 • Totes les preguntes tenen el mateix valor. En cada pregunta tots els apartats tenen el mateix valor.

RESOLUCIÓ 1) A l’espai vectorial R2 es consideren els sistemes de vectors A = {e1, e2} i B = {u1 ,u2} on e1=(1,1), e2=(1,-1), u1=(1,0) i u2=(1,1). a) Comproveu que efectivament els sistemes A i B són base de R2. b) Determineu les coordenades del vector v=2u1-u2 en la base A i en base B, i el vector w=2e1-e2 en la base A i la base B. Feu servir les matrius de canvi de base de A a B i la de B a A. Resolució: a) Per a comprovar que els conjunts A i B són base només cal comprovar que els 2 vectors de R2 (observem que tenim tants vectors com dimensió té l’espai) són linealment independents. Per això és suficient veure que el determinant de les matrius respectives és diferent de zero.

⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ i B = ⎜⎜ ⎟⎟ podem A = ⎜⎜ ⎝1 − 1⎠ ⎝ 0 1⎠ A = −1 − 1 = −2 ≠ 0 i B = 1 − 0 = 1 ≠ 0 .

Si

veure,

efectivament

que,

També es pot comprovar, per exemple triangulant les matrius pel mètode de Gauss, que les matrius A i B tenen rang 2.

b) En primer lloc calcularem les matrius de canvi de base respectives, que farem servir més tard.

La matriu del canvi de base de A a B és C AB = B −1 ⋅ A i quan fem els càlculs obtenim.

⎛ 1 − 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 0 2 ⎞ ⎟⎟·⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ C AB = B −1· A = ⎜⎜ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝1 − 1⎠ ⎝ 1 − 1⎠ La matriu del canvi de base de B a A és CBA = A−1·B i quan fem els càlculs obtenim.

1 ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ 1 ⎛1 2 ⎞ ⎟·⎜ ⎟= ⎜ ⎟ CBA = A−1·B = ⎜⎜ 2 ⎝1 − 1⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠ 2 ⎜⎝1 0 ⎟⎠ Ara per calcular el vector v=2u1-u2 en la base B no cal fer cap operació ja que simplement les seves coordenades són els coeficients de u1 i u2 ,així v=(2, -1) en la base B. Per calcular les coordenades de v en la base de A caldrà la matriu de canvi de base de la base de B a la de A, així C BAvB = v A i per tant:

1 ⎛1 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝1 0 ⎟⎠⎜⎝ − 1⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠ d’aquesta manera tenim v en la base de A v=(0,1) Ara per calcular vector w=2e1-e2 en la base A no cal fer cap operació ja que simplement les seves coordenades són els coeficients de e1 i e2 ,així w=(2, -1) en la base A. Per calcular les coordenades de w en la base de B caldrà la matriu de canvi de base de la base de A a la de B, així C AB wA = wB i per tant:

⎛ 0 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 − 1⎠⎝ − 1⎠ ⎝ 3 ⎠ d’aquesta manera tenim w en la base de B W=(-2,3)

2) El graf següent mostra els enllaços directes existents entre sis llocs web pertanyents a diverses companyies dedicades al desenvolupament de programari matemàtic:

a) Representeu matricialment la informació que proporciona el graf anterior sobre enllaços directes utilitzant per a això una matriu M de zeros i uns, i.e.: l’element (M)ij serà 1 si existeix un enllaç directe entre la companyia que ocupa la fila ièsima i la companyia que ocupa la columna j-èsima (amb i diferent de j ), essent 0 en cas contrari. b) Trobeu, fent ús de la matriu M, la matriu N que representa els enllaços de fins a dues connexions –i.e.: enllaços directes o d’una o de fins a dos connexions-, entre els llocs web. Interpreteu la matriu N resultant. c) Determineu el nombre mínim d’enllaços indirectes que es necessiten per anar del lloc F al lloc A. Justifiqueu la vostra resposta.

Resolució: a) Seguint les indicacions de com hem de construir la matriu M obtenim:

⎛0 ⎜ ⎜1 ⎜0 M =⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 1 1 0 0⎞ ⎟ 0 0 0 0 1⎟ 0 0 0 1 0⎟ ⎟ 1 1 0 0 0⎟ 0 0 1 0 0 ⎟⎟ 0 0 0 1 0 ⎟⎠

b) D’acord amb la resolució dels exercicis d’autoavaluació 14 i 17 (pàg 57-59, 6667 i 69-70) la matriu que representa els enllaços de fins a dos connexions és N = M + M 2 + M 3 essent M p , p > 1 la matriu que ens proporciona els enllaços indirectes a base de p-1 connexions.

Fent els càlculs obtenim:

La matriu N ens compta el total de camins, d’enllaç directe o de fins a dos enllaços indirectes entre dos qualssevol dels nodes. Per exemple, la primera columna els zero ens indica que no podem arribar, amb un màxim de dos

connexions, al node A des del node F o bé al node A des del node C (com és clar en el graf). c) Per a determinar el nombre mínim d’enllaços indirectes per anar de F fins a A, hem de veure en quin primer moment en calcular M p , p > 1 , hem obtingut un 1 en la 6a fila (F), 1a columna (A). Això s’obté quan p=4. Per tant, es necessiten un mínim de 3 enllaços indirectes per anar de F a A.

(

)

3. Sigui S un subespai generat pels següents vectors de R4, S=< a 2 , a·b , a·b , b 2 ,

(a·b , a

2

) (

2

2

2

) (

2

2

)

, b , a·b , a·b , b , a , a·b , b , a·b , a·b , a >. Determineu en funció de a i b

la dimensió del subespai S. Resolució: Seguint les indicacions de com hem de calcular el rang d’una matriu

Així per a ≠ −b i a ≠ b tenim que el seu determinat serà no nul i per tant tindrem el màxim nombre de vectors linealment independents. En aquest cas la dimensió és màxima, 4.

Cas que a = −b Tenim que els vectors són: b 2 ,−b 2 ,−b 2 , b 2 , − b 2 , b 2 , b 2 ,−b 2 , − b 2 , b 2 , b 2 ,−b 2 ,

(b

2

,−b ,−b , b 2

2

2

)

(

) (

) (

)

En aquest cas és senzill comprovar que tenim 4 vectors proporcionals i pertant l’espai generat per S és de dimensió 1 si b ≠ 0 , en el cas que b = 0 la dimensió serà zero.

Cas que a = b Per aquest cas sols cal comprovar que ens resten 4 vectors exactament iguals i que per tant l’espai generat serà el mateix que el generat per un de sol. D’aquesta manera tenim que S té dimensió 1 si b ≠ 0 , en el cas que b = 0 la dimensió serà zero.

4. Sigui el conjunt A = {(1, -1, 1), (2, m-1, 2), (1, m, m+2)}. a) Determineu, segons els valors de m, la dimensió i la base de l’espai generat per A. b) Per quins valors de m i n, el vector (1, n, n) pertany al l’espai generat per A? Resolució: a) En primer lloc calcularem la dimensió de l’espai generat per A:

Així per m ≠ −1 tenim que el seu determinat serà no nul i per tant tindrem el màxim nombre de vectors linealment independents. En aquest cas la dimensió és màxima, 3. La base d’aquest espai generat són els tres vectors donats.

Per m = −1 tenim un sol vector linealment independent i els altres són proporcionals a aquest. Per tant, en aquest cas ens serveix qualsevol dels tres vectors com a base, per exemple (1, -1, 1). b) Donat que per m ≠ −1 l’espai generat és de dimensió 3, els tres vectors donats són base. Així, per qualsevol valor de n el vector (1, n, n) el podrem posar en combinació lineal de la base.

Per m = −1 tenim un sol vector linealment independent a la base i no hi ha cap valor de n que faci que el vector (1, n, n) sigui combinació lineal de la base.

Equivalentment, l’equació (1, n, n)= x(1, -1, 1) no té solució.