Didaktika matematiky. Jak učit matematiku zajímavě a užitečně

Josef Polรกk

DIDAKTIKA MATEMATIKY

Publikace vznikla za podpory projektu Modernizace obsahu a formy výuky matematiky pro přírodní a technické vědy, CZ.1.07/2.2.00/15.0377, spolufinancovaného Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Projekt byl realizován na KMA FAV ZČU v Plzni letech 2010–2013.

Autor: doc. RNDr. Josef Polák, CSc. Odborné recenze: doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. doc. RNDr. Miroslav Lávička, Ph.D. 1. vydání c Josef Polák, 2014

c Nakladatelství Fraus, Plzeň, 2014

ISBN 978-80-7238-449-5

Obsah

Obsah

1 Úvod

7

2 Množiny a matematická logika 2.1 Z historie množin a logiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Základní množinové a logické pojmy v českých středoškolských učebnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Didaktické aspekty výkladu základních množinových pojmů ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Didaktické aspekty výkladu základních pojmů matematické logiky a jejího užití ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . .

9 9

15

3 Reálná čísla 3.1 Historický vývoj pojmu čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Reálná čísla v českých středoškolských učebnicích matematiky 3.3 Rozšiřování pojmu čísla ve školské matematice . . . . . . . . .

3.4 Matematická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Elementární teorie čísel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Zajímavé úlohy z elementární teorie čísel . . . . . . . . . . . .

3.7 Výpočty s reálnými čísly v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Základy algebry ve středoškolské matematice . . . . . . . . . .

31 31 40 42 47 49 51 51 53

. . . . . . . .

. . . . . . . .

11 12

4 Funkce 4.1 Vznik a vývoj pojmu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Funkce a funkční myšlení ve školské matematice . . . . . . . . . .

4.3 Metodika zavedení pojmu funkce ve středoškolské matematice . .

4.4 Elementární funkce a některé neelementární funkce ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Specifické vlastnosti funkcí (druhy funkcí), rovnost funkcí, operace s funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6 Zajímavé aplikační úlohy o funkcích . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 61 66

5 Goniometrie 5.1 Historie geneze pojmu goniometrických (trigonometrických) funkcí 5.2 Vývoj pojetí výuky goniometrických funkcí ve středoškolských učebnicích matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Didaktické aspekty výkladu goniometrických funkcí ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4 Aplikace goniometrických funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93

69 79 86

98 101 118 123 3

Didaktika matematiky

6 Rovnice a nerovnice v oboru reálných čísel 125 6.1 Z historie rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2 Rovnice a nerovnice v českých středoškolských učebnicích . . . . . 128 6.3 Didaktické aspekty tématu rovnice ve středoškolské matematice . 130 6.4 Lineární a kvadratické rovnice ve středoškolské matematice . . . . 132 6.5 Lineární, resp. kvadratické rovnice s více neznámými a jejich soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.6 Aplikační slovní úlohy vedoucí k řešení rovnic . . . . . . . . . . . . 141 6.7 Zajímavé historické úlohy řešené pomocí rovnic . . . . . . . . . . . 150 6.8 Didaktické aspekty tématu nerovnice ve středoškolské matematice 156 7 Komplexní čísla a jejich užití, řešení rovnic v C 7.1 Historie pojmu komplexních čísel a jejich terminologie .

7.2 Komplexní čísla ve středoškolských učebnicích . . . . .

7.3 Didaktické aspekty zavedení komplexních čísel a operací 7.4 Úlohy o komplexních číslech a jejich užití . . . . . . . .

. . s .

. . . . . . nimi . . .

. . . .

. . . .

163 163 167 170 188

8 Kombinatorika 8.1 Historie (vznik a vývoj) kombinatoriky . . . . . . .

8.2 Kombinatorika v českých středoškolských učebnicích 8.3 Didaktické aspekty kombinatoriky . . . . . . . . . .

8.4 Zajímavé a aplikační kombinatorické úlohy . . . . .

8.5 Další kombinatorické principy . . . . . . . . . . . . .

8.6 Magické čtverce a latinské čtverce . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

203 203 205 207 221 230 231

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

9 Počet pravděpodobnosti a matematická statistika 233 9.1 Z historie počtu pravděpodobnosti a statistiky . . . . . . . . . . . 233 9.2 Počet pravděpodobnosti a statistika v českých středoškolských učebnicích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.3 Didaktické aspekty výuky počtu pravděpodobnosti ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.4 Historické a další zajímavé pravděpodobnostní úlohy . . . . . . . . 250 9.5 Statistika ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10 Posloupnosti a nekonečné řady 263 10.1 Historie posloupností a řad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.2 Posloupnosti a řady v českých středoškolských učebnicích . . . . . 265 10.3 Didaktické aspekty tématu posloupnosti a nekonečné řady . . . . . 266 10.4 Historické, zajímavé a aplikační úlohy o posloupnostech a nekonečných řadách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 11 Geometrie 11.1 Historický vývoj geometrie . . . . . . . . .

11.2 České středoškolské učebnice geometrie . .

11.3 Didaktické aspekty výuky planimetrie . . .

11.4 Příklady důkazů v planimetrii . . . . . . .

11.5 Důkazové a výpočetní planimetrické úlohy 4

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

285 285 291 292 296 300

Obsah

11.6 11.7 11.8 11.9 11.10

Konstrukční planimetrické úlohy . . . .

Didaktické aspekty výuky stereometrie Polohové stereometrické úlohy . . . . .

Metrické stereometrické úlohy . . . . .

Výpočetní stereometrické úlohy . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

311 322 326 327 328

12 Vektory a jejich užití 12.1 Historie geneze pojmu a terminologie vektorů . . . . . . . . . . .

12.2 Vektory v českých středoškolských učebnicích matematiky . . . .

12.3 Pojmy vektor a vektorový prostor v současné matematice . . . .

12.4 Didaktické aspekty výkladu vektorů ve středoškolské matematice 12.5 Aplikace vektorů v geometrii a ve fyzice . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

333 333 335 336 337 356

13 Analytická geometrie 13.1 Vznik a vývoj analytické geometrie . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2 Analytická geometrie v českých středoškolských učebnicích . .

13.3 Didaktické aspekty ve středoškolské výuce analytické geometrie 13.4 Analytické vyšetřování množin všech bodů dané vlastnosti . .

. . . .

365 365 367 369 380

. . . .

14 Matematická analýza 14.1 Historie vzniku a vývoje základních pojmů matematické analýzy .

14.2 Matematická analýza v českých středoškolských učebnicích . . . .

14.3 Didaktické problémy úvodních pojmů matematické analýzy ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.4 Didaktické aspekty diferenciálního počtu ve středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.5 Zajímavé úlohy z aplikací diferenciálního počtu . . . . . . . . . . .

14.6 Didaktické aspekty integrálního počtu ve středoškolské matematice

383 383 390

Literatura

429

392 401 414 418

5

Úvod

1 Kapitola 1

Úvod Vážení čtenáři, v naší literatuře je dlouhodobě postrádána souborná učebnice didaktiky matematiky a také historie matematiky pro učitele. Přitom v současnosti je v našem i světovém školství velmi aktuální a důležité řešení didaktických problémů: Jaké si klást cíle a jaké volit metody či prostředky ve výuce matematiky ve 21. století, aby byla účinná a vyhovovala jeho požadavkům?

Předložená kniha chce v tomto směru pomoci výuce didaktiky středoškolské matematiky a historie matematiky, ale hlavně být zdrojem inspirace pro středoškolské učitele matematiky, studenty učitelství i další zájemce o matematiku a její kvalitní výuku.

Kniha je rozdělena do tří částí: I. část Konkrétní didaktika matematiky Zahrnuje didaktické zpracování těchto středoškolských partií: Množiny a matematická logika. Reálná čísla. Funkce. Goniometrie. Rovnice a nerovnice. Komplexní čísla. Kombinatorika. Počet pravděpodobnosti a statistika. Posloupnosti a nekonečné řady. Geometrie. Vektory. Analytická geometrie.

Matematická analýza.

Zpracování všech partií má jednotnou strukturu: • historie vzniku a vývoje pojmů i metod, • přehled metodického zpracování látky v našich učebnicích v historickém vývoji, • didaktická analýza současného pojetí a metodika výkladu, • motivační a aplikační úlohy včetně netradičních zajímavých úloh, • konkrétní zpracování scénáře některých výukových hodin (v možném rozsahu publikace).

II. část Obecná didaktika matematiky Obsahuje stručně zpracovaná, avšak ve školské praxi bezprostředně využitelná témata: Didaktické zásady vyučování matematiky. Formy a metody výuky matematiky.

Prostředky matematického vzdělávání. Vzdělávací programy (RVP a ŠVP) matematiky pro SŠ.

III. část Stručná historie matematiky, významní matematici Poznámka. I. část publikace vychází jak v knižní tak elektronické podobě, II. a III. část z technických důvodů pouze v elektronické verzi.

7

Didaktika matematiky

Netradiční struktura a pojetí publikace vycházejí z přesvědčení i zkušeností autora, že vhodným základem didaktiky matematiky je didaktický rozbor konkrétních pojmů a metod matematiky. Teprve na tomto základu je účelný zobecňující pohled a rozbor forem, metod a prostředků vyučování.

Při promýšlení pojetí a zpracování knihy jsem měl (obdobně jako u svých předchozích knižních publikací) na mysli základní pravidlo knižní tvorby: „Psát to a tak, co a jak byste sami chtěli číst. Na zřeteli jsem ovšem měl také specifické atributy didaktiky matematiky i konkrétní zkušenosti s její výukou.

Již od starořeckého slavného matematika Eukleida se traduje výrok, že „k matematice nevede cesta královská , tedy snadná, bez větší námahy a úsilí při jejím studiu. S pravdivostí tohoto tvrzení ovšem velmi souvisí, že je důležité, jak je matematika vyučována. O kráse a užitečnosti matematiky musí být samozřejmě přesvědčen především učitel, aby byl schopen o nich každodenně přesvědčovat žáky. Tedy učit matematiku zajímavě a užitečně. Přitom je zásadní si uvědomit, že matematika nepředstavuje pouhý soubor výpočetních postupů, ale je především svébytným prostředkem poznávání a adekvátního vyjadřování, tedy specifickým jazykem. Tento její základní rys a význam je důležitý nejen z hlediska výuky samotné matematiky, ale také pro její zásadní význam v přírodních, technických a dalších vědách i aplikacích. Proto je nutné, i když nesnadné, soustavně pěstovat nejen výpočetní zručnost, ale také matematické vyjadřovací schopnosti žáků. Ve všech školských dokumentech se setkáváme s tezí, že základním cílem výuky matematiky je učit žáky logickému myšlení. Tuto zásadu ovšem nelze naplňovat jen tím, že v úvodu středoškolského studia matematiky se proberou více či méně podrobně základní poznatky matematické logiky, ale jen jejich soustavnou aplikací po celou dobu studia. Citovaný Eukleides je významný tím, že od jeho doby se matematika a její výuka zaměřuje nejen na odpovědi na otázky „Jak? , ale také „Proč? . Výuku matematiky nelze proto redukovat na pouhé paměťové učení a dosazování do neodvozených vzorců. Je důležité přiměřeně poznatky motivovat, matematické věty i odvozovat (s pomocným didakticky vhodným použitím vizualizace). Učit nejen konkrétní řešení úloh, ale zejména též metody řešení. Velmi důležité a často opomíjené je vhodné využívání učebnic (v knižní, příp. elektronické podobě) i dalších zdrojů. Budu velmi rád, když jedním z těchto zdrojů bude i tato kniha.

Velmi děkuji oběma recenzentům knihy doc. RNDr. Eduardu Fuchsovi, CSc., a doc. RNDr. Miroslavu Lávičkovi, Ph.D., za cenné připomínky a náměty na zlepšení. Nemenší můj dík patří kolegovi RNDr. Jiřímu Čížkovi, CSc., za pečlivé přečtení rukopisu, mnohé velmi podnětné náměty a rady na úpravy textu, jakož i provedenou revizi výsledků řešení příkladů. Mé poděkování patří i Mgr. Věře Fenclové za svědomitou jazykovou revizi.

Za počítačový přepis rukopisu knihy děkuji Mgr. Soně Königsmarkové a Bc. Vojtěchu Kohoutovi, který vzorně realizoval náročný přepis větší části rukopisu. Můj velký dík za vynikající počítačové zpracování obrázků a dlouhodobou přátelskou spolupráci upřímně náleží PaedDr. Přemyslu Šedivému. Velice též děkuji za finální zpracování počítačové sazby knihy Ing. Miloši Brejchovi a za účinnou redakční spolupráci Mgr. Miroslavě Novákové, redaktorce nakladatelství Fraus. Za velkou podporu a trpělivost při mé několikaleté práci na knize i za obětavou pomoc při korekturách srdečně děkuji své manželce Mgr. Mileně Polákové.

8

Množiny a matematická logika

Kapitola 2

2

Množiny a matematická logika 2.1

Z historie množin a logiky

Historie množin Pro současnou matematiku jako vědu, ale i pro školskou matematiku je charakteristické a zásadní její množinové pojetí. Je nyní zcela obvyklé a všeobecně rozšířené. Přitom pojem množiny byl zaveden a základy teorie množin byly vytvořeny až v sedmdesátých letech 19. století v díle německého matematika Georga Cantora.

Hlavní motivací pro Cantorovu teorii množin byla potřeba upřesnit názor (představu) o nekonečnu v matematice. S tímto pojmem (pocházejícím z názvu „bez konce ) pracovali již matematici ve starověkém Řecku, kteří si uvědomovali, že přirozených čísel 1, 2, 3, . . . je nekonečně mnoho. Tuto nekonečnost (a obdobně i nekonečnost jiných souborů prvků) lze chápat dvěma odlišnými způsoby: Buď jako nikdy nekončící (neomezený) proces jejich možného pokračování (vypisování), pro který se vžil termín potenciální nekonečno (z lat. potencialis = „možný , „uskutečnitelný ). Nebo jako úplný (uzavřený) nekonečný celek (v dnešní terminologii nekonečná množina) neboli „faktické („skutečné , nikoliv jen „potenciální ) nekonečno, pro něž se ujal termín aktuální nekonečno (z lat. actualis = „současný , „uskutečněný ). Starověcí Řekové dospívali z řady věcných i filozofických důvodů k pojímání nekonečna jako potenciálního nekonečna. Toto antické pojetí nekonečna se udrželo po mnohá staletí. Teprve náš matematik Bernard Bolzano v knize Paradoxy nekonečna (vydané posmrtně v r. 1851) zdůvodnil, proč je v matematice nutné pracovat s aktuálními nekonečny (tj. nekonečnými množinami v pozdější terminologii). B. Bolzano se v této práci velmi přiblížil k tomu, co uskutečnil Georg Cantor v práci z r. 1874 – vytvoření teorie množin. Název množina (něm. die Menge) Cantor ještě v této práci sice nepoužil (ten zavedl až v práci z r. 1879), ale použitý termín soubor (něm. Inbegriff) měl týž význam. Významným přínosem Cantora v práci z r. 1874 (v porovnání s Bolzanem) bylo, že dokázal: Existují nekonečné množiny (N a R), které nejsou ekvivalentní (tj. mezi nimi neexistuje bijekce neboli vzájemně jednoznačné zobrazení). Cantorova teorie množin se nazývá též intuitivní (či naivní) teorie množin, neboť její základní pojem množina není v ní definován, ale pouze intuitivně zaveden (vysvětlen). V práci z r. 1879 Cantor uvádí: Množinou rozumíme každý souhrn M určitých rozlišitelných objektů m našeho nazírání nebo našeho myšlení (zvaných prvky v M) shrnutých v jeden celek. Dále jsou v ní definovány pojmy podmnožina a množinové relace i další 9

Didaktika matematiky

množinové pojmy (mohutnost množiny, . . . ). Cantor uvažoval i takové množiny, u nichž prvky byly množiny.

Cantorova (intuitivní) teorie množin si postupně získávala v řadách matematiků stoupence (kromě některých počátečních odpůrců) a koncem 19. století dosáhla téměř všeobecného uznání a stala se základním prostředkem pro vybudování základů celé matematiky. Když však začátkem 20. století byly zjištěny některé antinomie teorie množin (tj. její tvrzení vedoucí ke sporu), vedlo to k tzv. 3. krizi matematiky. Nejznámější antinomie teorie množin publikovaná v r. 1903 je Russellova antinomie, jejímž autorem byl britský matematik, filozof a logik Bertrand Russell. (Nechť S je množina všech množin, které nejsou svým vlastním prvkem, tj. množin, jež neobsahují samy sebe. O této množině S nelze rozhodnout, zda je, anebo není prvkem množiny S. Obě možnosti totiž vedou ke sporu s její definicí.)

Východiskem z 3. krize matematiky se ukázala axiomatizace teorie množin, tj. její výstavba vycházející z vhodně zvolené soustavy axiomů, jež zabrání antinomiím. (První úspěšnou axiomatickou teorii množin vytvořil v letech 1904–1908 německý matematik Ernst Zermelo a později ji upravil izraelský matematik německého původu Abraham Adolf Fraenkel, nazývá se proto Zermelo-Fraenkelova teorie množin.) Tato problematika však zcela přesahuje rámec středoškolské matematiky.

Terminologická poznámka. Cantorův něm. termín „die Menge byl zprvu překládán do češtiny nevhodně slovem „množství (jež má jiný původní význam). Termín množina zavedl do naší matematiky už na konci 19. století český matematik Matyáš Lerch. (První české pojednání o množinách publikoval v r. 1884.) Později však převládlo zmíněné slovo „množství , až ve 30. letech 20. století se definitivně začal používat název množina. Zásluhu na tom měl zejména profesor Eduard Čech, který v r. 1936 vydal knihu Bodové množiny a též v dalších svých pracích rozsáhle uplatňoval množinové pojetí matematiky. I dnes se však kromě termínu množina užívá i jiných názvů v témž nebo příbuzném významu, zejména názvů soubor, souhrn, skupina, obor, systém a příp. třída (např. v logice, v matematice má však zpravidla tento termín specifický význam).

Historie logiky Za zakladatele logiky je všeobecně považován starověký učenec Aristoteles ze Stageiry (4. stol. př. n. l.), který zformuloval soustavu základních poznatků o formách logického myšlení a správného usuzování. Jeho dílo Organon (Nástroj ) má šest dílů (I. Kategorie, II. O vyjadřování, III. První analytiky, IV. Druhé analytiky, V. Topiky, VI. O sofistických důkazech). Tvoří základy klasické logiky, z nichž vycházeli myslitelé pro další dvě tisíciletí. Souběžně s Aristotelovými pracemi z logiky vznikaly také práce tzv. megarsko-stoické školy, za jejíhož prvního představitele je uváděn Eukleides z Megary (4. stol. př. n. l.). Hlavní rozkvět starořecké logiky trval asi 150 let. Název logika v dnešním významu se však objevuje až ve 3. stol. n. l. u Alexandra z Afrodisie, který komentoval a rozvíjel Aristotelovy ideje.

Na antické výsledky v logice navázali středověcí myslitelé, např. formulací dalších principů logiky. Aristotelovsky zaměřená středověká filozofie a logika se nazývá scholastická – školská. Vrcholu dosáhla středověká logika krátce po svém začátku, tj. do 13. stol., od 14. stol. nastává její útlum.

V 19. století začíná rozvoj matematické (symbolické) logiky, který byl vyvolán zejména potřebou upřesnit základy matematiky (zvláště matematické analýzy). Jejím základním rysem je formalizace (matematizace) logického usuzování 10

Množiny a matematická logika

(vyvozování). Za nejvýznamnější osobnosti počátků matematické logiky se považují irský matematik a logik George Boole, skotský matematik a logik Augustus de Morgan a německý logik, matematik a filozof Gottlob Frege. V matematické logice ve 20. století vynikli zejména již zmíněný britský matematik a logik Bertrand Russell a rakouský matematik a logik Kurt Gödel. Z jeho matematických výsledků je nejvýznamnější a nejproslulejší Gödelova věta o neúplnosti (z r. 1931): V libovolné bezesporné axiomatické teorii, ve které jsou zahrnuty axiomy aritmetiky (např. v axiomatické teorii množin), existuje vždy nerozhodnutelné tvrzení, tj. výrok, jehož pravdivost ani nepravdivost nelze dokázat.

2.2

Základní množinové a logické pojmy v českých středoškolských učebnicích

Sledování a zkoumání vývoje této problematiky v českých učebnicích od jejich počátků do současnosti je velmi zajímavé a podnětné. V prvních českých gymnaziálních učebnicích matematiky Franja Močnika: Arithmetika pro I. a II. třídu nižšího gymnasia (překlad M. Čulena do češtiny z r. 1854), Josefa Smolíka: Početní kniha pro nižší gymnasia (vyd. r. 1861) a Václava Šimerky: Algebra čili počtářství obecné pro vyšší gymnasia (vyd. r. 1863) se užívá pojem soujem ve významu soubor či skupina předmětů, z logických pojmů se používá termín poučka (věta). Teprve však učebnice Josefa Smolíka: Algebra pro střední školy (1870) zavádí v úvodu pojmy výměry (definice), zásady samozřejmé (axiomy), poučky (teoremy) a jejich důkazy. S obdobně důsledným použitím těchto pojmů se v 19. stol. ještě setkáváme v učebnici Františka Machovce: Algebra pro vyšší třídy škol středních (1886, 1888); poučky nazývá též tvrzení. Na začátku 20. stol. se souhrnně uplatnění logiky v matematice věnuje učebnice Bohumila Bydžovského a Jana Vojtěcha: Mathematika pro nejvyšší třídu reálek (1910) v kapitole Myšlení mathematické (úvahy logické, definice, klasifikace pojmů, soudy, úsudky, věty a jejich důkazy, axiomatická výstavba základů matematiky). Pojem množiny se v této i dalších Bydžovského a Vojtěchových středoškolských učebnicích neobjevuje. Nesetkáváme se s ním dokonce ještě ani ve středoškolských učebnicích Eduarda Čecha a kol. ze čtyřicátých a padesátých let 20. stol., užívá se zde jen termín soubor; z logických pojmů jsou používány definice, věty a důkazy vět. Přitom do r. 1954 byl na gymnáziích samostatný předmět Logika, ve kterém se studenti seznamovali s klasickou logikou (podle učebnice přeložené z ruštiny).

S termínem množina se setkáváme až v učebnicích algebry pro 9.–11. roč. jedenáctileté střední školy (1954) a posléze dvanáctileté střední školy, avšak bez zavedení množinových operací. V osnovách matematiky na těchto školách nebyla zařazena látka z logiky a též na nich již nebyl samostatný předmět Logika. Po následné školské reformě a vzniku tříletých středních všeobecně vzdělávacích škol (SVVŠ) s větví všeobecnou a přírodovědnou dochází zejména v přírodovědné větvi k podstatnému rozšíření množinového pojetí matematiky i logické problematiky. Učebnice Emila Kraemera a kol.: Matematika pro přírodovědnou větev I. ročníku SVVŠ (1965) obsahuje látku o množinách a množinových operacích, učebnice E. Kraemera a kol.: Matematika pro přírodovědnou větev III. ročníku SVVŠ (1967) látku o logice a jejím užití v matematice (axiomy, definice, výroky, složené výroky, výrokové formy, kvantifikátory, negování výroků, matematické věty a jejich důkazy).

V období tzv. „modernizace školské matematiky v šedesátých a sedmdesátých letech 20. stol. byly základními rysy tohoto celosvětového modernizačního úsilí důraz na množinové a strukturální pojetí matematiky, jakož i rozsáhlé využívání množinových a logických pojmů při řešení matematických úloh. (Viz knihu Jaroslav Šedivý: O modernizaci školské matematiky; 1. vyd. 1969, 2. rozšířené vyd. 1973.) S realizací těchto idejí se setká11

2

Didaktika matematiky

váme v kapitolách o množinách a matematické logice učebnice Jaroslava Šedivého a kol.: Matematika pro 1. ročník gymnázia – Sešit 1 (1977), kap. Proměnné, zápisy výroků pomocí proměnných, Množiny a výrokové formy; Sešit 2 (1978), kap. Operace s množinami, Operace s výroky a s výrokovými formami a jejich užití (důkazy matematických vět).

Rozsáhlé je též uskutečnění modernizačních ideí v učebnici Josefa Schmidtmayera a kol.: Matematika 1 pro SPŠ a SZTŠ (1979) v kapitole Úvodní poznatky z matematické logiky a teorie množin. Po zkušenostech z „modernizačního období byla tato látka ve zmenšeném rozsahu zpracována v učebnici Jozefa Smidy a kol.: Matematika pro I. ročník gymnázií (1984), v kap. Úvod (Proměnná, Výroky, Množiny a operace s nimi) a v učebnici Beloslava Riečana a kol.: Matematika pro IV. ročník gymnázií (1987) v kap. Systematizace základních poznatků z logiky. Paralelně je obdobná látka velmi stručně zpracována v učebnici Emila Caldy a kol.: Matematika pro SOŠ – 1. část (1984) v úvodní kapitole (Základní poučení o matematických větách, Základní množinové pojmy).

Současná učebnice Ivana Buška a Emila Caldy: Matematika pro gymnázia. – Základní poznatky (1992) v kap. Množiny obsahuje základní množinové pojmy, vztahy mezi množinami a množinové operace včetně Vennových diagramů pro ně, v kap. Základní poučení o výrocích se autoři zabývají jednoduchými a složenými výroky, jejich negacemi, kvantifikovanými výroky a jejich negováním, definicemi, větami a druhy důkazů vět. V této učebnici nejsou explicitně zavedeny (definovány) pojmy výroková formule a výroková forma (predikát), což znesnadňuje výklad a pochopení některých dalších pojmů (např. tautologie). Obdobnou obsahovou náplň s částečně odlišným metodickým zpracováním má učebnice Oldřicha Odvárka: Matematika pro SOŠ. – Základní poznatky (2009).

2.3

Didaktické aspekty výkladu základních množinových pojmů ve středoškolské matematice

Základní pojmy teorie množin Dlouholetým didaktickým výzkumem i praxí se ukazuje, že pro školskou matematiku plně postačují a vyhovují základní pojmy Cantorovy intuitivní teorie množin.

Vychází se z názorného pojmu soubor objektů (osob, předmětů, jevů apod. či abstraktních matematických objektů, např. čísel, bodů) chápaných jako jeden celek a pomocí něho se vysvětluje pojem množiny takto: Množinou rozumíme každý soubor různých (navzájem rozlišitelných) objektů chápaných jako jeden celek. Množinu pokládáme za určenou, jestliže o každém objektu z jistého základního souboru platí, že do uvažované množiny buď patří, anebo nepatří. Objekty, které do množiny patří, se nazývají prvky množiny. Žákům je třeba zdůraznit, že pro to, aby nějaký soubor objektů byl množina, je nutnou podmínkou různost (rozlišitelnost) všech objektů. Např. tedy soubor čísel 1, 1, 2, 3 je jen tříprvková množina. Prvky množiny mohou být i množiny.

Obvykle se množiny označují velkými písmeny A, B, . . . (resp. A, B, . . .), prvky množin pak malými písmeny. Zápis x ∈ A vyjadřuje, že objekt x je prvkem (elementem) množiny A, zápis y ∈ A vyjadřuje, že objekt y není prvkem (elementem) množiny A. Množina, která neobsahuje žádný prvek, se nazývá prázdná množina; označuje se symbolem ∅ (v zahr. literatuře obvykle ∅). Množina, která obsahuje alespoň jeden prvek, je neprázdná množina. Množiny, které obsahují konečný po12

Množiny a matematická logika

čet prvků, nazýváme konečnými množinami a množiny, jež mají nekonečně prvků, jsou nekonečnými množinami. Konečná množina M obsahující prvky x1 , x2 , . . . , xn se značí M = {x1 , x2 , . . . , xn }. Počet prvků konečné množiny M se značí |M|.

Charakteristická vlastnost prvků dané množiny je vlastnost, kterou mají všechny prvky této množiny a kterou nemají objekty, jež do ní nepatří. Množinu M prvků x s danou charakteristickou vlastností v(x) vyjadřujeme zápisem M = {x ∈ D; v(x)}, kde D je určitá daná základní (univerzální) množina; kromě uvedeného zápisu se lze v literatuře (zejména zahraniční) setkat též se zápisy M = {x ∈ D: v(x)}, resp. M = {x ∈ D| v(x)}.

Poznámka. Označení pro „býti prvkem (elementem) množiny symbolem ε (epsilon) zavedl v r. 1889 italský matematik a logik Giuseppe Peano; z toho se postupně vyvinulo dnešní označení ∈. V r. 1939 tento symbol uvedla do všeobecného používání významná skupina francouzských matematiků publikující pod pseudonymem Nicolas Bourbaki v 1. vydání jejich základního díla Theorie des ensembles (Teorie množin). Zavedli zde též symbol ∈ , jakož i symbol ∅ pro prázdnou množinu. Závorky {} k označení množiny použili již v r. 1878 Georg Cantor a v r. 1907 Ernst Zermelo.

Vztahy mezi množinami Množina A se nazývá podmnožina (část) množiny B, právě když platí, že každý prvek množiny A je zároveň prvkem množiny B; tento vztah mezi množinou A a množinou B se značí A ⊂ B a říká se mu inkluze množiny A v množině B (z lat. inclusio = „zahrnutí ).

Zřejmě pro libovolnou množinu M a prázdnou množinu ∅ platí: ∅ ⊂ M, tj. prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny M. Rovnost množin A, B značíme A = B a definujeme: A = B právě tehdy, když A ⊂ B a B ⊂ A. V literatuře (zejména zahraniční) se lze setkat s tím, že inkluzí A ⊂ B se rozumí jen případ A = B, tj. ostrá inkluze čili A je vlastní podmnožinou B. Pak inkluze (neostrá) se značí A ⊆ B. Poznámka. Symboly ⊂, ⊆ zavedl v r. 1816–1817 francouzský matematik a logik Joseph Gergonne.

Od něho je převzali G. Peano a další matematici.

Operace s množinami Na základě vhodných (matematických i mimomatematických) motivací definujeme: Průnik množin A, B (označovaný A ∩ B) je množina všech prvků, které patří do množiny A a zároveň do množiny B. Dvě množiny A, B, pro které platí A ∩ B = ∅, se nazývají disjunktní množiny.

Sjednocení množin A, B (označované A ∪ B) je množina všech prvků, které patří do množiny A nebo do množiny B (tj. do alespoň jedné z nich).

Rozdíl množin A, B v uvedeném pořadí (označovaný A \ B) je množina všech prvků množiny A, které nejsou prvky množiny B (x ∈ A a x ∈ B).

13

2

Didaktika matematiky

V případě, že je A ⊂ B, nazývá se rozdíl B \ A doplněk množiny A v množině B a značí se A B (příp. jen A , jestliže doplněk množiny A se tvoří v dané základní množině D; mluví se pak stručně jen o doplňku množiny A).

Poznámka. Symboly ∩ a ∪ pro průnik a sjednocení množin zavedl v r. 1888 G. Peano. Označení A \ B vzniklo až v novější době z původního A − B.

Vennovy diagramy Pro názornost se často množiny zobrazují v rovině pomocí tzv. Vennových diagramů (viz např. obr. 2.1 až 2.4). Dané množiny se v nich zobrazují kruhy, ovály, popř. jinými obrazci s hraničními křivkami protínajícími se právě ve dvou bodech a základní množina M obdélníkem.

Někdy též (např. v matematické logice) se dané množiny zobrazují kruhy, jejichž hraniční kružnice se nemusejí protínat. Těmto grafickým znázorněním množin se říká Eulerovy diagramy.

M A

M A

B

B A∩B A∪B

Obr. 2.1

Obr. 2.2

Poznámka. Venovy diagramy jsou nazvány po anglickém matematikovi a logikovi Johnu Vennovi, který žil na přelomu 19. a 20. století. Název Eulerovy diagramy pochází od jména Leonharda Eulera, význačného matematika a fyzika 18. století.

Příklad 1: Užitím Vennova diagramu pro dvě množiny A, B základní množiny M ukažte, že platí rovnosti množin: (A ∪ B) = A ∩ B ,

(A ∩ B) = A ∪ B .

Řešení: Viz obr. 2.3a,b.

Poznámka. Tyto dvě množinové rovnosti se nazývají de Morganovy množinové formule.

(A ∪ B) = A ∩ B

a)

(A ∩ B) = A ∪ B

b) M

A

M

B A\B

A A∩B

B\A

Obr. 2.3 14

B

Množiny a matematická logika

Příklad 2: Užitím Vennova diagramu pro tři množiny A, B, C základní množiny M zjistěte, zda platí rovnosti množin:

a) A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ C, b) A ∩ B ∪ C = A ∩ B ∪ (A ∩ C). Řešení: Viz obr. 2.4a, b, c; rovnost a) neplatí, rovnost b) platí.

A ∩ (B ∪ C)

a) A

(A ∩ B ) ∪ C

b) B

M

A

c) B

C

M

(A ∩ B ) ∪ (A ∩ C) A

C

B

M

C

Obr. 2.4 Poznámka. Vennův diagram lze nakreslit pro libovolný konečný počet n množin, přičemž obdélník zobrazující základní množinu M je jím rozdělen na 2n částí („polí ). Pro n > 3 ovšem již nelze všechny množiny zobrazovat pouze pomocí kruhů, ale musíme použít i jiné geometrické útvary (ohraničené složitějšími uzavřenými křivkami). Nakreslíme-li takto Vennův diagram pro n = 4, resp. n = 5 množin, je zřejmé, že pro velká n se Vennův diagram stává velmi nepřehledný a prakticky málo použitelný.

Příklad 3:

Pomocí Vennova diagramu na obr. 2.3b odvoďte vzorec pro |A ∪ B|.

Řešení: Z obr. 2.3b plyne, že platí: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|; speciálně když A ∩ B = ∅ je |A ∪ B| = |A| + |B|.

Příklad 4:

Pomocí Vennova diagramu na obr. 2.4 odvoďte vzorec pro |A ∪ B ∪ C|.

Řešení: Z obr. 2.4a, b, c plyne, že platí: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Poznámka. S aplikacemi vzorců z příkladů 3, 4 se setkáváme při řešení konkrétních množinových úloh, mj. v kombinatorice (viz kap. 8 čl. 8.5).

2.4

Didaktické aspekty výkladu základních pojmů matematické logiky a jejího užití ve středoškolské matematice

Již od doby svého zakladatele Aristotela je logikou nazývána věda o správném usuzování, tj. odvozování důsledků z daných předpokladů (premis). Na tomto logickém základu je založena matematika jako věda a také výuka matematiky, u níž jedním z hlavních cílů je právě rozvoj logického myšlení. Přitom oproti klasické logice je moderní logika silně ovlivněna ve své formě i metodách právě zejména matematikou a nazývá se matematická logika. Jejími základními částmi jsou výroková logika a predikátová logika, s jejichž některými poznatky seznamujeme v didakticky vhodné a přístupné formě studenty v úvodu do matematické logiky na začátku studia středoškolské matematiky.

15

2

Didaktika matematiky

Výroková logika Základním pojmem je výrok, kterým se nazývá každé sdělení (vyjádřené gramaticky oznamovací větou), u něhož má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé.

Nemusíme být schopni o pravdivosti rozhodnout, ale právě jedna z těchto možností musí nastat. Pravdivým výrokům se přiřazuje pravdivostní hodnota 1, nepravdivým hodnota 0.

Na příkladech je účelné vysvětlit, že pravdivost, resp. nepravdivost výroků může být časově, příp. lokálně (místně) podmíněná. Hypotézou nazýváme výrok, jehož pravdivostní hodnota v současnosti není známa.

Jednoduché výroky budeme označovat (jak je v logice obvyklé) písmeny p, q, r aj. Mohou představovat určité (dané) výroky nebo též výrokové proměnné (tj. proměnné výroky).

Z jednoduchých (elementárních) výroků je možné vytvářet složitější výroky, které se nazývají složené výroky. K jejich vytváření, tzv. logickým operacím se zpravidla užívají logické (výrokové) spojky vyjadřované určitými symboly, resp. slovními obraty. Základní logické spojky jsou ¬ („není pravda, že. . . , „neplatí, že. . . , předpona „ne- ke slovesu), ∧ (spojka „a ve smyslu „a zároveň ), ∨ (spojka „nebo ve smyslu „alespoň jeden ), ⇒ („ jestliže. . . , pak. . . , „ je-li. . . , potom. . . ), ⇔ („. . . , právě když. . . , „. . . tehdy a jen tehdy, když. . . ). Pomocí nich vytvořené základní složené výroky jsou tyto: Negace výroku p je výrok ¬p, který je pravdivý, právě když výrok p je nepravdivý.

Konjunkce výroků p, q je výrok p ∧ q, který je pravdivý, právě když jsou oba výroky p, q pravdivé.

Disjunkce výroků p, q je výrok p ∨ q, který je pravdivý, právě když je pravdivý alespoň jeden z výroků p, q.

Implikace výroků p, q v daném pořadí je výrok p ⇒ q, který je pravdivý vždy s výjimkou případu, že výrok p je pravdivý a výrok q je nepravdivý.

Ekvivalence výroků p, q je výrok p ⇔ q, který je pravdivý, právě když oba výroky p, q jsou zároveň pravdivé nebo zároveň nepravdivé.

Tabulka 2.1 Tabulka pravdivostních hodnot základních složených výroků p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

¬p 0 0 1 1

p∧q 1 0 0 0

p∨q 1 1 1 0

p⇒q 1 0 1 1

p⇔q 1 0 0 1

Poznámka. Označení výroků písmenem p zavedl v r. 1897 G. Peano a písmeny p, q, r je začal označovat v r. 1903 B. Russell v díle The Principles of Mathematics (Principy matematiky).

Nynější názvy a označení složených výroků vznikly takto: Název negace výroku pochází z lat. negatio = „popírání, zápor ; pro označení negace výroku p zavedl G. Peano v r. 1897 symbol ∼ p a nizozemský logik Arend Heyting v r. 1930 současný symbol ¬p. Název konjunkce výroků pochází z lat. conjugatio = „spojení ; označení konjunkce výroků p, q symbolem p ∧ q zavedl v r. 1930 A. Heyting. Název disjunkce výroků pochází z lat. disjunctio = „oddělení ; označení disjunkce výroků p, q symbolem p ∨ q zavedl v r. 1906–1907 B. Russell. Název implikace výroků pochází z lat. implicatio = „způsobení, podmínění, vyplynutí ; označení implikace výroků p, q (v uvedeném pořadí) symbolem p → q zavedl německý matematik David Hilbert v r. 1922 a nynější

16

Množiny a matematická logika (v matematice používané) symbolické označení p ⇒ q začali používat ve svých pracech jednotliví bourbakisté od 30. let 20. stol. V jejich společném základním díle Nicolas Bourbaki: Theorie des ensembles (Teorie množin) se však v 1. vydání z r. 1939 symbol ještě nevyskytuje, byl zaveden až v jeho 3. (přepracovaném) vydání z r. 1954 a poté se rozšířil ve všeobecné celosvětové používání v matematice. (Zajímavé je, že u nás byl tento symbol zaveden již v r. 1953 Vladimírem Kořínkem v 1. vydání učebnice Základy algebry.) Název ekvivalence výroků pochází z lat. aeque = „stejně , resp. aequitas = „stejnost, rovnost ; označení ekvivalence výroků p, q symbolem p ↔ q zavedl německý logik Albrecht Becker v r. 1933 a nynější (matematické) označení symbolem p ⇔ q zavedl v r. 1954 N. Bourbaki. (Kromě takto zavedených moderních symbolů pro složené výroky se dříve používaly i jiné symboly, s nimiž se lze ještě setkat v literatuře z logiky.) Tabulky pro pravdivostní ohodnocení složených výroků zavedl v r. 1880 americký matematik a logik Charles S. Peirce; k jejich všeobecnému rozšíření přispěl pak v r. 1920 rakouský filozof a logik Ludwig Wittgenstein. Tyto tabulky se stručně nazývají pravdivostní tabulky.

Oproti klasické (aristotelovské – scholastické) logice je pro moderní (matematickou, symbolickou) logiku charakteristické a významné rozsáhlé využití symbolického vyjadřování (po vzoru matematiky), jakož i skutečnost, že se ustupuje od požadavku, aby při vytváření složitých výroků dílčí (spojované) výroky spolu navzájem obsahově a významově souvisely. Pro formální zjednodušení a úplnost totiž výroková logika studuje výroky jen z hlediska jejich pravdivostního ohodnocení, nikoliv z hlediska jejich věcného významu. Tak například v ní lze vytvářet složené výroky typu „2 + 2 = 4 a Praha je hlavní město ČR . Tento výrok sice nemá valný věcný smysl, avšak z hlediska výrokové logiky je to pravdivý výrok (neboť jde o konjunkci dvou pravdivých výroků). Při výuce matematiky uvádíme ovšem příklady tohoto typu pouze jako logické kuriozity.

Z didaktického hlediska je velmi důležitý rozbor uvedených definic základních složených výroků. Jednoduchý a snadno pochopitelný je pojem negace výroku; jen je třeba vysvětlit a zdůraznit, že negace výroku musí v sobě zahrnout vždy všechny případy, které nejsou obsaženy v negovaném výroku. Např. pro výrok „Dívka má na sobě bílý svetr je negací výrok: „Dívka nemá na sobě bílý svetr (tj. může mít na sobě svetr kterékoliv jiné barvy, anebo nemá na sobě žádný svetr).

K matematickému výroku „Reálné číslo a je záporné je negací výrok „Reálné číslo a je nezáporné (tj. a > = 0). Také pochopení definice konjunkce výroku nepředstavuje obvykle žádné potíže, neboť logická spojka ∧ má zde týž slučovací význam jako běžně používaná gramatická spojka „a . U disjunkce výroků je nutné zdůraznit, že logická spojka ∨ zde odpovídá jazykové interpretaci gramatické spojky „nebo v nevylučovacím významu (tj. ve smyslu „alespoň jeden ).

V běžném životě se spojka „nebo spíše používá ve vylučovacím významu (tj. ve smyslu „právě jeden ), čemuž v moderní logice odpovídá logická spojka tzv. ostré (vylučující) disjunkce, která se značí ∨. (V gramatickém písemném vyjádření se pak před „nebo píše čárka a příp. se použije zvýrazňující slovní spojení „buď. . . , anebo. . . .) Ostrá disjunkce p ∨ q je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý právě jeden z výroků p, q. Je to tedy negace ekvivalence p ⇔ q (plyne z tab. 2.1).

Nejobtížnější bývá vysvětlení a pochopení definice implikace výroků. Nutné je k tomu využít vhodné motivační příklady.

Příklad 1 (motivační): Uvažte možnosti pro pravdivost či nepravdivost implikace z běžného života: „Jestliže prší, ulice jsou mokré. (Pravdivostní ohodnocení označte 1, resp. 0.) Řešení: Jsou čtyři možnosti: 1. prší. . . 1 a ulice jsou mokré. . . 1, 2. prší. . . 1 a ulice nejsou mokré. . . 0, 3. neprší. . . 0 a ulice jsou mokré (např. pokropené). . . 1, 4. neprší. . . 0 a ulice 17

2

Didaktika matematiky

nejsou mokré. . . 0. Je zřejmé, že uvažovaná implikace je nepravdivá jen ve druhém případě, ve všech ostatních je pravdivá, což je v souladu s definicí implikace.

Příklad 2 (motivační): Uvažte, jak je v souladu s definicí implikace matematická věta: „Jestliže je přirozené číslo n dělitelné šesti, pak je sudé (tj. dělitelné dvěma). Řešení: Zvolíme-li za n libovolné určité přirozené číslo, pak z hlediska dané věty může nastat jen jedna ze tří možností: Číslo n je dělitelné šesti a je sudé (např. n = 12). Číslo n není dělitelné šesti a je sudé (např. n = 14). Číslo n není dělitelné šesti a není sudé (např. n = 15). Protože uvažovaná věta platí pro každé přirozené číslo n, musíme zřejmě vzít všechny tyto tři možnosti jako pravdivé, což je opět v souladu s definicí implikace. (Případ, že pro některé přirozené n je uvažovaná implikace nepravdivá, tj. že n je dělitelné šesti a není sudé, nemůže nastat.)

Na základě takovéto i mnohé další motivace definuje moderní logika implikaci výroků tak, jak jsme výše uvedli. V implikaci výroků p ⇒ q se výrok p nazývá předpoklad (či premisa) implikace a výrok q se nazývá závěr (či tvrzení) implikace. V uvedeném moderním pojetí se (pro jednoduchost a všeobecnou platnost) nevyžaduje mezi předpokladem p a závěrem q implikace žádná věcná (obsahová) souvislost. Tak např. je pravdivá implikace: „Jestliže 2 + 2 = 4, pak Praha je hlavní město ČR .

Poznámka. Zajímavé je, že s obdobným pojetím implikace se lze setkat již u starořeckého filozofa a logika Filona z Megary ve 4. stol. př. n. l., který v tom byl ve sporu s jinými učenci té doby.

V aristotelovské a scholastické logice se pro pravdivost implikace zpravidla požadovala ještě podmínka, aby mezi předpokladem a závěrem implikace byl nějaký věcný (obsahový) vztah, tj. aby platnost (pravdivost) předpokladu byla důvodem pro platnost (pravdivost) závěru implikace. Toto klasické pojetí implikace více odpovídá přirozené interpretaci jazykového podmíněného souvětí tvaru „ jestliže. . . , pak. . . . Filonovo a moderní pojetí je však z hlediska logiky jednodušší, a proto v diskusích a sporech o formulaci definice implikace, které pokračovaly i v průběhu 20. století, byla tomuto pojetí dána přednost.

Při slovní formulaci implikace p ⇒ q v logice a zejména v matematice se často používá slovní vyjádření „z p plyne (či vyplývá) q , resp. „q plyne (či vyplývá) z p , anebo též „platnost p je podmínkou postačující pro platnost q a „platnost q je podmínkou nutnou pro platnost p . Užití těchto slovních formulací implikace p ⇒ q je však zpravidla vhodné jen tehdy, je-li předpoklad p pravdivý a mezi ním a závěrem implikace q je věcná (obsahová) souvislost. (V literatuře se lze ovšem setkat i s méně striktním použitím termínu „plyne , tj. nejen pro první řádek pravdivostní tabulky implikace, ale též pro její třetí a čtvrtý řádek.)

Příklad 3: Užijte všechna slovní vyjádření z předchozího odstavce pro implikace z příkladů 1 a 2.

Z pravdivostní tabulky základních složených výroků snadno ověříme, že ekvivalence výroků p ⇔ q je konjunkce implikací (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p); o takových výrocích p, q říkáme, že jsou logicky ekvivalentní výroky. Implikace q ⇒ p se nazývá obrácená implikace k implikaci p ⇒ q. Z následující pravdivostní tabulky je zřejmé, že obě tyto implikace nemají obecně tytéž pravdivostní hodnoty pro různá pravdivostní ohodnocení výroků p, q. (To nastává jen v případě, že výroky p, q jsou logicky ekvivalentní.) Z této pravdivostní tabulky dále vidíme, že implikace ¬q ⇒ ¬p, která se nazývá obměněná implikace k implikaci p ⇒ q 18

Množiny a matematická logika

(či obměna implikace p ⇒ q), má s ní totéž pravdivostní ohodnocení. Stejné pravdivostní ohodnocení má i disjunkce ¬p ∨ q.

2

Tabulka 2.2 Pravdivostní tabulka pro obrácení a obměnu implikace p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

p⇒q 1 0 1 1

q⇒p 1 1 0 1

¬p 0 0 1 1

¬q 0 1 0 1

¬q ⇒ ¬p 1 0 1 1

¬p ∨ q 1 0 1 1

Písmena p, q aj. mohou označovat buď určité (konstantní) výroky, které mají jedinou pravdivostní hodnotu, anebo výrokové proměnné (proměnné výroky).

Uvažujeme-li několik výrokových proměnných zároveň, pak pravdivostním ohodnocením výrokových proměnných rozumíme přiřazení pravdivostní hodnoty 1 nebo 0 každé z nich. Výrazy vytvořené z výrokových proměnných, logických spojek a příp. závorek se nazývají výrokové formule. Určení pravdivostních hodnot výrokové formule v závislosti na pravdivostním ohodnocení jejích výrokových proměnných (obvykle užitím pravdivostní tabulky) se nazývá pravdivostní ohodnocení výrokové formule.

Významným speciálním případem výrokových formulí jsou tzv. tautologie (tautologicky čili vždy pravdivé výrokové formule), které mají vždy pravdivostní hodnotu 1 pro všechna pravdivostní ohodnocení jejích výrokových proměnných. Tautologie jsou důležité zejména proto, že mnohé z nich vyjadřují zákony (pravidla) výrokové logiky. Negacemi tautologií jsou tzv. kontradikce (vždy nepravdivé výrokové formule), jež mají vždy pravdivostní hodnotu 0 pro všechna pravdivostní ohodnocení výrokových proměnných.

Každé dvě výrokové formule V1 , V2 s týmiž výrokovými proměnnými takové, že mají totéž pravdivostní ohodnocení, se nazývají logicky ekvivalentní výrokové formule, neboť jejich ekvivalence V1 ⇔ V2 je zřejmě tautologie.

Příklad 4: Z pravdivostních tabulek 2.1, 2.2 vyplývají tautologie: p ∨ ¬p zákon vyloučeného třetího, ¬(p ∧ ¬p) zákon sporu (či vyloučení sporu), (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) zákon obměny (kontrapozice) implikace.

Stejně lze získat tautologie (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p), (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) atd., které vyjadřují algebraické zákony konjunkce, disjunkce a ekvivalence výroků (jejich komutativnost a asociativnost; vzájemnou distributivnost ∧, ∨). Obdobně můžete odvodit tautologie pro negování základních složených výroků: ¬(¬p) ⇔ p zákon dvojité negace, ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q de Morganovy zákony výrokové logiky, ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q, ¬(p ⇔ q) ⇔ p ∨ q zákony negace implikace a ekvivalence.

Příklad 5:

Dokažte tautologie: [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q, [(p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p.

Řešení: První tautologie vyplývá z pravdivostní tabulky 2.1, druhá z tabulky 2.2.

Příklad 6: Užitím pravdivostní tabulky dokažte tautologii: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) zákon tranzitivnosti (tranzitivity) implikace.

19