Vývojová a konstrukční kancelář
JHV-ENGINEERING s.r.o. Nádražní 641 533 51 Pardubice
JHV-ENGINEERING s.r.o. Thámova 137/16 186 00 Praha 8
www.jhv.cz
TECHNICKÁ MECHANIKA Dynamika
Oldřich Šámal
TECHNICKÁ MECHANIKA Dynamika
PRAHA 2019
Učebnice je určena pro studenty středních průmyslových škol strojnických. Lze ji však využít také pro výuku žáků v učebních maturitních oborech strojního zaměření. Publikace se zabývá dynamikou hmotného bodu, dynamikou tělesa a dynamikou soustavy těles. Studenti si také objasní otázky týkající se vyvažování těles, kritických otáček hřídelů a rázů těles. Nově je zařazena i kapitola týkající se inerciálních a neinerciálních soustav a sil v nich působících. Podrobně je vysvětlena setrvačná síla a také Coriolisova síla a její vliv na působení na Zemi.
Za podporu vydání této učebnice děkujeme •
firmě Zima www.zima–engineering.cz
Všechna práva vyhrazena. Tato kniha ani její části nesmějí být rozmnožovány tiskem, fotokopiemi, elektronickými datovými soubory ani jiným způsobem bez předchozího písemného souhlasu vydavatele. Publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou v nakladatelství Informatorium.
Lektoroval: Ing. Jan Chlebný © Ing. Oldřich Šámal, 2019 © informatorium, spol s. r. o., 2019
ISBN 978-80-7333-140-5
5
Obsah
OBSAH PŘEHLED VELIČIN A JEJICH JEDNOTEK ������������������������������������������������������������������� 6 PŘEDMLUVA ���������������������������������������������������������� 10 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8
DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU ������������� 11 Newtonovy zákony ���������������������������������������������� 11 Zákon setrvačnosti ����������������������������������������������� 11 Zákon síly ������������������������������������������������������������ 12 Zákon akce a reakce ��������������������������������������������� 15 Hybnost hmotného bodu �������������������������������������� 15 Změna hybnosti a impuls síly ������������������������������ 15 Zákon zachování hybnosti ����������������������������������� 16 Inerciální vztažné soustavy ���������������������������������� 19 Neinerciální vztažné soustavy, setrvačné síly �������������������������������������������������������� 20 1.1.9 D´Alembertův princip ������������������������������������������ 22 1.1.10 Vliv setrvačných sil při pohybu tělesa spojeného s otáčející se Zemí ������������������������������ 22 1.1.11 Rotační pohyb hmotného bodu ���������������������������� 24 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 28
2
MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON, ÚČINNOST, MECHANICKÁ ENERGIE ��������������������������� 29 2.1 Mechanická práce stálé velikosti ������������������������� 29 2.2 Mechanická práce proměnné velikosti ���������������� 29 2.3 Výkon ������������������������������������������������������������������� 31 2.4 Účinnost mechanismů a strojů ������������������������������ 33 2.5 Mechanická energie ���������������������������������������������� 35 2.5.1 Kinetická energie ������������������������������������������������� 35 2.5.2 Potenciální energie ����������������������������������������������� 37 2.5.3 Zákon o zachování mechanické energie �������������� 37 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 41
3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5
DYNAMIKA TĚLESA ���������������������������������� 42 Dynamika posuvného pohybu tělesa ������������������� 42 Vázaný pohyb ������������������������������������������������������ 43 Kinetická energie tělesa při posuvném pohybu ������������������������������������������������ 46 Pohyb rychlého dopravního prostředku ��������������� 46 Dynamika rotačního pohybu tělesa ���������������������� 52 Základní rovnice dynamiky pro rotační pohyb ������������������������������������������������������� 52 Momenty setrvačnosti těles ��������������������������������� 53 Moment setrvačnosti tělesa k ose rovnoběžné s těžištní osou ����������������������������������� 57 Poloměr setrvačnosti �������������������������������������������� 60 Redukovaná hmotnost ������������������������������������������ 60
3.2.6 3.2.7 3.2.8 3.2.9 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5
Impuls momentu a moment hybnosti ������������������� 60 Kinetická energie rotujícího tělesa ����������������������� 61 Dynamika složeného pohybu tělesa ��������������������� 64 Zjišťování momentu setrvačnosti tělesa pokusem ����������������������������������������������������� 68 Odstředivá síla tělesa ������������������������������������������� 71 Odstředivá síla tělesa s osou souměrnosti kolmou na osu otáčení ��������������������� 71 Odstředivá síla tělesa s osou rovnoběžnou s osou rotace ����������������������������������� 71 Odstředivá síla tělesa s osou souměrnosti šikmou k ose otáčení �������������������������������������������� 72 Rotující věnec ������������������������������������������������������ 72 Rotující rameno ���������������������������������������������������� 73 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 75
4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.2
DYNAMIKA SOUSTAVY TĚLES ���������������� 76 Věty o pohybu soustavy těles ������������������������������ 77 Věta o změně momentu hybnosti soustavy ���������� 77 Věta o změně kinetické energie ��������������������������� 78 Metoda redukce hmotnostních a silových veličin ������������������������������������������������� 78 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 79
5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2
VYVAŽOVÁNÍ ������������������������������������������������� 80 Vyvažování rotujících hmot ��������������������������������� 80 Vyvažování statické ��������������������������������������������� 80 Dynamické vyvažování ���������������������������������������� 81 Vyvažování klikových hřídelů ����������������������������� 81 Vyvažování hmot pohybujících se přímočaře vratně �������������������������������������������������� 82 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 83
6
KMITÁNÍ TĚLES, KRITICKÉ OTÁČKY HŘÍDELŮ ��������������������������������������� 84 Kmitání soustav s jedním stupněm volnosti �������� 84 Krouživé kmitání hřídelů, kritické otáčky ����������� 85 Kontrolní otázky �������������������������������������������������� 87
6.1. 6.2
7 7.1
RÁZ TĚLES ������������������������������������������������������ 88 Dokonale nepružný ráz ���������������������������������������� 89
7.2
Ráz nedokonale pružných těles (polopružný ráz) �������������������������������������������������� 89 Ráz dokonale pružných těles ������������������������������� 89 Ztráta kinetické energie při rázu ������������������������� 90 Střed rázu �������������������������������������������������������������� 93 Kontrolní otázky ��������������������������������������������������� 94
7.3 7.4 7.6
POUŽITÁ LITERATURA ����������������������������� 95
6
Přehled veličin a jejich jednotek
PŘEHLED VELIČIN A JEJICH JEDNOTEK Název veličiny
Značka
Jednotka
t
s
l, L
m, mm
délka původní
l0
m, mm
délka ramene
a
m, mm
lred
m, mm
doba kmitu
T
s
doba kyvu
t
s
dráha
s
m, mm
dráha úhlová
φ
rad
energie kinetická
Ek
J, kJ
energie kinetická rotační
Ekr
J, kJ
energie kinetická translační
Ekt
J, kJ
energie mechanická
E
J, kJ
energie potenciální
Ep
J, kJ
energie potenciální tíhová
Ept
J, kJ
energie potenciální elastická
Epe
J, kJ
h
m
mred
kg
hmotnost
m
kg
hmotnost vývažku
mv
kg
hybnost
H
kg.m.s–1
hustota
ρ
kg.m–3
čas délka
délka redukovaná matematického kyvadla
hloubka hmota redukovaná
7
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
impuls síly
I
N.s
kvadratický moment průřezu
I
mm4, m4
modul průřezu v krutu
Wk
mm3
modul pružnosti v tahu
E
Pa, MPa
moment čepového tření
Mč
N.m
moment hybnosti
b
kg.m 2.s–1
moment impulsu
L
N.m.s
moment krouticí
Mk
N.m, N.mm
moment polární
Ip
mm4
moment setrvačnosti
I
kg.m 2
moment setrvačnosti k mimotěžištní ose
I0′
kg.m 2
moment setrvačnosti k těžištní ose
IT
kg.m 2
moment síly
M
N.m
moment valivého odporu
Mv
N.m
napětí v krutu (tečné)
τ
MPa
napětí normálové
σ
MPa
objem
V
m3
Fovzd
N
otáčky
n
s–1
otáčky kritické
nk
s–1
plocha
S
m2
plocha čelní vozidla
S
m2
r, R
m
poloměr setrvačnosti
i
mm
práce
A
J, kJ
odpor vzduchu
poloměr
8
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
práce přivedená
Apř
J, kJ
práce užitečná
Auž
J, kJ
průměr
d, D
m, mm
průhyb od statického zatížení
ystat
m, mm
průhyb maximální
ymax
m, mm
rameno valivého odporu
ξ
mm
rychlost
v
m.s–1
rychlost počáteční
v0, v1
m.s–1
rychlost konečná
v2
m.s–1
rychlosti těles před rázem
u1, u2
m.s–1
rychlosti těles po rázu
v1, v2
m.s–1
rychlost těles po rázu společná
v
m.s–1
rychlost v těžišti
vT
m.s–1
rychlost úhlová
ω
rad.s–1
rychlost úhlová kritická
ωk
rad.s–1
síla
F
N, kN
síla Coriolisova
FCor
N, kN
síla dostředivá
FD
N, kN
síla maximální
Fmax
N, kN
síla normálová
N
N, kN
síla odstředivá
Fo
N, kN
síla setrvačná
Fs
N, kN
síla třecí
T
N, kN
RA , RB
N, kN
S, FL
N, kN
síla vazbového uložení (reakce) síla v laně
9
Přehled veličin a jejich jednotek
Název veličiny
Značka
Jednotka
síla výsledná
Fv
N, kN
součinitel čepového tření
μč
1
součinitel odporový
cx
1
součinitel smykového tření
μ
1
součinitel trakční
μp
1
souřadnice těžiště
xT, yT
mm
teplota absolutní
T
K
teplota
t
°C
tíha
G
N, kN
tuhost pružiny
k
N.m–1, N.mm–1
třecí úhel
φ
rad
účinnost
η
1, %
úhlová rychlost
ω
rad.s–1
úhlová rychlost kritická
ωkr
rad.s–1
výkon
P
W, kW
výkon přivedený – příkon
Pp
W, kW
výstřednost
e
mm
výška
h
m, mm
zrychlení
a
m.s–2
aCor
m.s–2
zrychlení normálové (dostředivé)
an
m.s–2
zrychlení tečné
at
m.s–2
zrychlení tíhové
g
m.s–2
zrychlení úhlové
ε
rad.s–2
zrychlení Coriolosovo