Límiite de fun L ncio oness
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Mathema
LÍMITE DE FUNCIONES
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!
2 Christiam Huertas
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Introducción a límites En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, extremo o frontera. En Matemáticas, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor (finito o infinito). Consideremos el siguiente ejemplo. Para hallar el área de una figura poligonal simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas ). ( www.xhuertas.blogspot.com
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Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera debido a Arquímedes es aproximar el área inscribiendo polígonos en la región (Método de exhausción).
6
8
10
12
Si es el área del polígono regular inscrito con lados, entonces se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada vez más al área del círculo. 4 Christiam Huertas
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área
í
lim
En caso de hallar un patrón para las áreas , entonces se podría determinar el límite de manera exacta.
Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por Newton. www.xhuertas.blogspot.com
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El límite de una función. Idea de límite de una función. Consideremos la función
.
Veamos cómo se comporta la función cuando esta próximo a 2 La función cuyo dominio es Dom 2, la podemos expresar como 4 2 2 2 2 2 2; 2. 6 Christiam Huertas
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La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de varias elecciones de
para
próximo a 2.
… 1,8 1,95 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,05 2,1 … … 3,8 3,95 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,05 4,1 …
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8 Christiam Huertas
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Se observa que, a medida que
es un número cercano a 2,
esta muy próximo al número 4. Decimos entonces que “el límite de , cuando
esta próximo a 2, es 4” y escribimos lim
4 2
4
Definición informal de límite Cuando escribimos “lim
”, queremos decir que
esta
arbitrariamente cerca de (tan cerca a como se quiera) conforme esta arbitrariamente cerca (pero no igual) a . www.xhuertas.blogspot.com
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Definición formal de límite Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos. Sea : Dom una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en el número mismo. Diremos que lim
0,
0:
D 0
|
|
Esta definición se denomina frecuentemente épsilon-delta de límite1. 1
La notación moderna de límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta ( ), que inicialmente fue intuido por el matemático francés Louis Cauchy.
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Hay tres posibilidades del resultado: lim • Un número real: • Un valor infinito: • El límite no existe: www.xhuertas.blogspot.com
∞ 11
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Unicidad del límite El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si lim Teorema. Sean
y lim y
dos números reales. Entonces, lim
lim
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites. . lim 5 . lim
5 . lim 2 2 . lim
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2 1 www.xhuertas.blogspot.com
Determinación algebraica de límites. Se usan métodos algebraicos para hallar límites de manera exacta. Leyes de límites Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los límites. Supongamos que existen.
es una constante y que los siguientes límites
lim Entonces
y lim
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1. lim
lim
lim
í lim
2. lim
lim
. lim
.
lim
5. lim
lim
. lim
.
si
0 í
14 Christiam Huertas
ú í
lim
. í
4. lim
í
3. lim .
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6. lim
lim
í
7. lim
lim
√ Si es par,
0 í
í
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites. 2 . lim 1 Solución. Utilizamos las propiedades de límites
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lim
2
lim
2 1
lim
lim
1
. lim
3
lim
lim
0
0 0
2 1
lim 2
lim 1 2 1
2
1
Solución. Utilizamos las propiedades de límites lim
3
1
16 Christiam Huertas
lim lim
3
1 3 lim
lim 1 www.xhuertas.blogspot.com
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2
3 2
1
√9
3
Cálculo de límites Límites por sustitución directa Si es una función y esta en el dominio de , entonces lim Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en . Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites. . lim www.xhuertas.blogspot.com
3
1 17
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Solución. Como 2 esta en el dominio de la función √ entonces, lim
3
1
2
3
. lim
3 2
3
1,
es una función racional y
2
1
√9
3
2 1
Solución. La función esta en su dominio, entonces, lim
3
18 Christiam Huertas
2 1
2 2
3. 2 2
2 2 2 1
4 1
4
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. lim
tan cos
Solución. Como 0 esta en el dominio de la función
,
entonces, lim
tan cos
tan 0 cos 0
1
0 1
1
Problema 1. Calcule el valor del siguiente límite. 1 lim 2 sen
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Resolución. Como
está en el dominio de
, entonces, por
sustitución directa se obtiene que lim
2
1 sen
1 2
sen
1 2
2
1
1 3
Indeterminaciones Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones: 0 ∞ , , ∞ 0 ∞
20 Christiam Huertas
∞, 0
∞, 1 , 0 , ∞
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A estas expresiones se les denomina indeterminaciones2, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite. Por ejemplo
es una indeterminación, pues puede terminar dando
cualquier cosa; como lo muestra los siguientes límites.
0 lim 0 Sımplıfıcado
0
0 lim 1 0 Sımplıfıcado
1
0 1 lim 0 Sımplıfıcado
lim lim lim
∞
2
Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no. www.xhuertas.blogspot.com
21
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No son indeterminaciones 0 0 ∞ ∞
0 ∞ Se demuestra a partir de ∞ 0
.
Determinación de límites por medio de álgebra y leyes de límites. 1. Hallar un límite mediante cancelación de un factor común Para calcular el límite de una función racional que tiene una indeterminación
del
tipo
,
se
factoriza
numerador
y
denominador, y se simplifica el factor común. 22 Christiam Huertas
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Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. 1 1
. lim
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada
factorizamos numerador indeterminación. lim
1 1
. lim
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lim 7
y
1 1
1
denominador
lim
para
1
1 1
1
1
levantar
, la
1 2
6 2 23
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Solución. El límite lim factorizamos numerador indeterminación. 7
lim
6 2
lim
tiene la forma indeterminada , y
denominador
2
2 2
3
para
lim 2
levantar
2 2.2
3
la
3 5
2. Hallar un límite mediante cambio de variable Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim
√
2 8
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√
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada .
Hacemos el cambio: , entonces √ . Además, si 8, entonces 2. Luego, lim
2 8
√
lim
2 8
. lim
1
√
1
√
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2
lim
2 1 2
lim
2
2
1 2.2
4
4 4
1 12
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√ √
Solución. El límite lim Hacemos el cambio: Además, si 1, entonces lim
1
√
1
√
1 lim 1
, entonces √ 1. Luego,
lim
lim
2 3
26 Christiam Huertas
tiene la forma indeterminada .
1 1
y √
.
1 1
1 1
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3. Hallar un límite mediante simplificación Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim
3
9
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
entonces, lim
3
lim
9
6
9
6
lim
lim 6
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9
6 27
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. lim
3
27
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
entonces, lim
3
27
27
27
9
lim
lim 27
28 Christiam Huertas
lim
3
9
9
27
27
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4. Hallar un límite mediante racionalización Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión a racionalizar. Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim
√
9
3
Solución. El límite lim
√
tiene la forma indeterminada ,
entonces racionalizamos lim
√
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9
3
lim
√
9
3
·
√
9
3
√
9
3 29
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lim
. lim
2
8
√
2
9
lim
9 9
√
3
1
Solución. El límite lim
3
√0
9
√
1 9
√
lim
9
3
3
1 6
tiene la forma indeterminada ,
√
entonces racionalizamos lim
2
8
√
2
lim
30 Christiam Huertas
2
8
√
2
.
√
2
√
2
lim
2
4 √ 4
2
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3
. lim
1
lim 2 √
2
8
6
√4
7
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
√
entonces racionalizamos lim
3 1
√4
6 7
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lim lim
3 1 3
√4
6 7
1
√4
7
1
√4
7
2 1 √4 1 4 7
7
31
Mathema
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lim lim
3
2 1 4
√4 2
3 1
√4 4
7
7 3 2 4
3 2
Límites laterales Algunas veces el valor de la función puede aproximarse a diferentes valores cuando se aproxima a un número desde los lados opuestos. Cuando esto sucede, el límite de conforme se aproxima a por la izquierda es el límite por la izquierda de en , y el límite de conforme se aproxima a por la derecha es el límite por la derecha de en . 32 Christiam Huertas
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lim www.xhuertas.blogspot.com
lim 33
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Teorema. Una función
tiene un límite conforme
se aproxima a
si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en son iguales. Esto es lim
si y sólo si lim
existen y
lim
Ejemplo 1. (Comparar los límites laterales derecho e izquierdo) Muestre que lim | | 0 Solución. Recuerde que | |
si si
34 Christiam Huertas
0 0 www.xhuertas.blogspot.com
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• Como | | lim | |
lim
• Como | | lim | |
0, se tiene que
para 0
0, se tiene que
para lim
Por lo tanto, lim | |
0
0
Ejemplo 2. (Comparación de los límites laterales) | | Pruebe que lim no existe. www.xhuertas.blogspot.com
35
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Solución. Puesto que | | tiene que lim lim
| | | |
lim lim
0y| |
para
lim 1 lim
0, se
para
1 1
1
Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que lim
| |
no existe.
A continuación se muestra la gráfica de la función
36 Christiam Huertas
| |
.
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Ejemplo 3. (Límite de una función definida por partes) Dada la función determine lim www.xhuertas.blogspot.com
√ 8
4 si 2 si
4 4
si es que existe. 37
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Solución. • Puesto que lim
lim √
• Puesto que lim
4 para
√ 4 8 lim 8
√4
4, entonces 4
2 para 2
8
0 4, entonces
2 4
0
Como los límites laterales son iguales, entonces el límite existe y lim La gráfica de
se muestra a continuación.
38 Christiam Huertas
0
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Problema 2. Dada la función real Si lim
3 si si 1
1
existe, calcule el valor de .
Resolución. Como lim
existe, entonces, se debe cumplir
que www.xhuertas.blogspot.com
39
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lim lim
lim
lim
lim 3
Luego,
lim
3
3 1
1
4
2
Teorema del Sándwich Sean , , : funciones con dominio común
2
de modo que
Si lim
lim
40 Christiam Huertas
, entonces lim www.xhuertas.blogspot.com
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Aplicación. Demuestre que lim
1.
Demostración. Consideremos el Círculo Trigonométrico
• Si 0 www.xhuertas.blogspot.com
se tiene que 0
sen
tan , luego 41
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sen
cos • Si
0 (es decir, 0
1
) tenemos que, sen
cos
1
De todo esto concluimos que sen
cos Como lim cos
1 y lim 1
1
2
;0
0;
2
1;
por el teorema del Sándwich obtenemos sen
lim 42 Christiam Huertas
1 www.xhuertas.blogspot.com
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Límites de las funciones trigonométricas Los siguientes teoremas son útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas. Teoremas. . lim sen θ θ
sen θ 0 . lim θ θ
1
. lim cos θ θ
1
Ejemplos (Límites trigonométricos) Halle el valor de los siguientes límites. . lim
sen 4
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43
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Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
entonces, lim
sen 4
4. sen 4 lim 4.
sen 4 4. lim 4
4 1
4
tan . lim sen Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
entonces, tan lim sen
sen cos lim sen
44 Christiam Huertas
sen lim sen . cos
1 lim cos
1 1
1
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. lim
1
cos
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada ,
entonces, lim
1
cos
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lim lim 1
1
cos
1 1
sen 1 cos
·
1 1
1
cos cos
lim
lim sen
1 ·
1
cos 1 cos
1 cos
1 2
45
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Problema 7. Si
; calcule el valor de lim
Resolución. Se piden calcular cot lim 2
lim
.
cos
sen 2 tiene la forma indeterminada , entonces, hacemos: lim
cos 2
sen
lim
cos . sen
2
2
46 Christiam Huertas
– sen lim . cos lim
sen
1 1 · 1
1 cos 1 www.xhuertas.blogspot.com
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Los infinitos y el límite Veremos situaciones como i lim
ii lim
∞ iii lim
∞
El símbolo ∞ llamado infinito3 no es un número real, es decir no es algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional. Podemos formar un nuevo sistema de números al cual lo llamaríamos sistema ampliado de los números reales y se denota por ∞ ∞ , debiendo cumplir las siguientes propiedades (o reglas). 3
El matemático John Wallis fue el primero en usar el símbolo ∞ para representar al infinito en su tratado De sectionibus conicus en 1655. www.xhuertas.blogspot.com
47
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:
1. 2. 3. 4.
∞
: : ∞
∞,
∞ ∞ ∞
∞, ∞, ∞
∞
∞
∞,
∞ ∞ ∞,
∞. ∞. ∞
0.
∞
∞
Para el caso de los límites que contienen infinitos trabajaremos en el sistema definido ( ). Observación. Carecen de significado las siguientes operaciones. ∞ ∞ ∞ , 0 ∞ , ∞
48 Christiam Huertas
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Límites infinitos 0 y observemos su
Consideremos la función
comportamiento alrededor de 0 mediante un cuadro de valores. 1 1 1 1 0,2 0,1 0,01 0,001 … 2 3 4 1 4 9 16 25 100 10000 1000000 … 1 1 1 1 0,2 0,1 0,01 0,001 … 2 3 4
∞
Este hecho lo podemos simbolizar de la siguiente manera. ∞ cuando www.xhuertas.blogspot.com
0 49
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La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.
Podemos denotar este caso de no existencia de límite como lim 50 Christiam Huertas
∞ www.xhuertas.blogspot.com
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Teoremas . Si . Si
, entonces, lim , entonces, lim
1
1
∞ ∞ si es par ∞ si es impar
Límites en el infinito Estudiaremos una clase especial de límite conocida como límite en el infinito. Se examina el límite de una función cuando aumenta el valor de
indefinidamente es decir,
Consideremos la función : www.xhuertas.blogspot.com
∞ .
definida por
. 51
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La función lo podemos expresar como 2 2 1
2 1
Veamos algunos valores de la función en la siguiente tabla. ∞
0 1 2 3 4 5 10 100 1000 … 8 18 32 50 200 20000 2000000 0 1 … 5 10 17 26 101 10001 1000001 La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.
52 Christiam Huertas
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Observamos que cuando crece a través de valores positivos, los valores de la función se acercan cada vez más a 2. Es decir, podemos acercar el valor de tomando
suficientemente grande; y esto lo denotamos por lim
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a 2 tanto como queramos,
2 1
2 53
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Definición (Límite en el infinito). Sea ; ∞ . Entonces lim indica que los valores de cercanos a
si
Teoremas. Si cumplen
se pueden hacer arbitrariamente
toma valores suficientemente grandes. es cualquier número entero positivo, entonces se
lim
54 Christiam Huertas
una función definida en
1
0
lim
1
0
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Límites de funciones racionales con indeterminación Se factoriza la mayor potencia de en el numerador y denominador para luego hacer uso del teorema anterior. Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen). 5 3 . lim 1 2
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada
,
luego 5 lim 1 www.xhuertas.blogspot.com
3 2
lim
5 1
3 2
lim
5 1
3 2
5 0
0 2
5 2 55
Mathema
LÍMITE DE FUNCIONES
3 . lim 2
2 4
1 1
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada
, entonces, 3 lim 2
2 4
1 1
56 Christiam Huertas
lim
lim
3 2
3 2
2 4
2
1
4
1
1 1
0 2
0 0
0 0
0 2
0
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3 . lim 2009
1 1
Solución. El límite lim
tiene la forma indeterminada
, luego 3 lim 2009
1 1
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lim
lim
1
1
2009
1
3
1
1
2009
1
3
57
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3
0 0
0 0
3 0
∞
Teorema
lim
0 si
si
∞ si
0
Problema 5. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
: lim
1
2 2
58 Christiam Huertas
3 1
4
1 2 www.xhuertas.blogspot.com
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2
1 1
: lim
4
3
: lim
2 1
∞
2
Resolución. Aplicamos el teorema anterior y obtenemos
: lim
1
2 2
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2 ∞
1 1
: lim : lim
4
1
2
4
3
3
1 2
1 1 1 1 2 1
1 V 2
0 F ∞ V 59
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Límite de expresiones exponenciales El número de Neper Uno de los números más importantes de las Matemáticas es el llamado número de Neper, este número es denotado con la letra y su valor aproximado es 2,71828182845904523536028747135266249775724709369… El número de neper es un número irracional, es decir, no puede ser escrito como el cociente de dos números enteros. Este número es llamado transcendente porque no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.
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Teorema. Dadas las funciones : 1
y :
y
, definidas por
1
Entonces lim
1
y lim 1
Teoremas. Supongamos que lim
0 y lim
Entonces se cumple . Si y www.xhuertas.blogspot.com
, entonces lim 61
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. Si
1 y
∞, entonces lim
. Si
1 y
∞, entonces lim
lim
lim 1 1
1
1
Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen). . lim
sen 2
Solución. Vemos que 62 Christiam Huertas
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lim
sen 2
lim
2 y lim 1
sen 2
. lim
2
1, entonces 2
2 1
2
Solución. Vemos que lim 2 lim
2
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2 1 2 1
1 2
1 y lim 1 2
∞, entonces 0 63
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2 2
. lim
3 1
Solución. Vemos que 2 lim 2
3 1
2 2
3 1
lim
1 y lim
1
∞, entonces ·
·
64 Christiam Huertas
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Problema 6. Dados los números 3 lim 3
1 1
calcule el valor de ln
lim .
Resolución. Hallamos el valor de 3 lim 3
1 1
.
1 ·
lim 1
2 3
lim
1
1
2 3
1
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65
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Utilizando el teorema anterior obtenemos ·
.
66 Christiam Huertas
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LÍMITE DE FUNCIONES
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Otras técnicas de resolución de indeterminaciones. 1. Indeterminación 0 ∞ En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de una de las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo ó , vistas anteriormente. 2. Indeterminación ∞ ∞ • En algunos casos sencillos basta con simplificar la función, desapareciendo así la indeterminación. • Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procede a su racionalización, multiplicando y dividiendo por el conjugado de la raíz. www.xhuertas.blogspot.com
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Continuación del problema 6. Hallamos el valor de . lim
∞
∞
Racionalizamos la función lim
lim
lim
lim
√
√
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√
1
1
lim
√
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Mathema
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lim
lim
1
| |. 1
1
1
lim
1 . 1
. 1
1
1
1 . √1
1
1
1 1 1
1 2
3. Indeterminación 0 , ∞ Se resuelve expresando las potencias de la forma lim
lim
lim
con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo 0 que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente. www.xhuertas.blogspot.com
∞, 69
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El concepto de Límite es fundamental en Matemáticas y sobre él se construye todo el Cálculo Infinitesimal.
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