LÍMITES DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Límiite de fun L ncio oness

C Christia am Hueertas w www.xhue rtas.blogsp pot.com

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

2 Christiam Huertas

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Introducción a límites En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, extremo o frontera.

En Matemáticas, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor (finito o infinito).

Consideremos el siguiente ejemplo.

Para hallar el área de una figura poligonal simplemente se divide en triángulos y se suman sus áreas ). ( www.xhuertas.blogspot.com

3

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Es mucho más difícil hallar el área de una región con lados curvos como el círculo. Una manera debido a Arquímedes es aproximar el área inscribiendo polígonos en la región (Método de exhausción).

6

8

10

12

Si es el área del polígono regular inscrito con lados, entonces se puede observar que cuando aumenta, se aproxima cada vez más al área del círculo.

4 Christiam Huertas

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área

í

lim

En caso de hallar un patrón para las áreas , entonces se podría determinar el límite de manera exacta.

Arquímedes tuvo esta idea hace más de dos mil años y es la base del concepto de límite de una función desarrollado en el siglo XVII por Newton. www.xhuertas.blogspot.com

5

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

El límite de una función.

Idea de límite de una función.

Consideremos la función

.

Veamos cómo se comporta la función cuando esta próximo a 2 La función cuyo dominio es Dom 2, la podemos expresar como 4 2 2 2 2 2 2; 2.

6 Christiam Huertas

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La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de varias elecciones de

para

próximo a 2.

… 1,8 1,95 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,05 2,1 … … 3,8 3,95 3,99 3,999 4 4,001 4,01 4,05 4,1 …

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7

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

8 Christiam Huertas

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LÍMITE DE FUNCIONES

Se observa que, a medida que

es un número cercano a 2,

esta muy próximo al número 4. Decimos entonces que “el límite de , cuando

esta próximo a 2, es 4” y escribimos lim

4 2

4

Definición informal de límite Cuando escribimos “lim

”, queremos decir que

esta

arbitrariamente cerca de (tan cerca a como se quiera) conforme esta arbitrariamente cerca (pero no igual) a . www.xhuertas.blogspot.com

9

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Definición formal de límite Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos. Sea : Dom una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contenga a , excepto posiblemente en el número mismo. Diremos que lim

0,

0:

D 0

|

|

Esta definición se denomina frecuentemente épsilon-delta de límite1.

1

La notación moderna de límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta ( ), que inicialmente fue intuido por el matemático francés Louis Cauchy.

10 Christiam Huertas

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Mathema

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Hay tres posibilidades del resultado: lim • Un número real: • Un valor infinito: • El límite no existe: www.xhuertas.blogspot.com

∞ 11

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LÍMITE DE FUNCIONES

Unicidad del límite El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si lim Teorema. Sean

y lim y

dos números reales. Entonces, lim

lim

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites. . lim 5 . lim

5 . lim 2 2 . lim

12 Christiam Huertas

2 1 www.xhuertas.blogspot.com

Determinación algebraica de límites.

Se usan métodos algebraicos para hallar límites de manera exacta.

Leyes de límites Se usan las siguientes propiedades de límites para calcular los límites.

Supongamos que existen.

es una constante y que los siguientes límites

lim Entonces

y lim

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

1. lim

lim

lim

í lim

2. lim

lim

. lim

.

lim

5. lim

lim

. lim

.

si

0 í

14 Christiam Huertas

ú

í

lim

. í

4. lim

í

3. lim .

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

6. lim

lim

í

7. lim

lim

√ Si es par,

0 í

í

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites.

2 . lim 1 Solución. Utilizamos las propiedades de límites

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15

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

lim

2

lim

2 1

lim

lim

1

. lim

3

lim

lim

0

0 0

2 1

lim 2

lim 1 2 1

2

1

Solución. Utilizamos las propiedades de límites lim

3

1

16 Christiam Huertas

lim lim

3

1 3 lim

lim 1 www.xhuertas.blogspot.com

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2

3 2

1

√9

3

Cálculo de límites Límites por sustitución directa Si es una función y esta en el dominio de , entonces lim Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en .

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites. . lim www.xhuertas.blogspot.com

3

1 17

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Solución. Como 2 esta en el dominio de la función √ entonces, lim

3

1

2

3

. lim

3 2

3

1,

es una función racional y

2

1

√9

3

2 1

Solución. La función esta en su dominio, entonces, lim

3

18 Christiam Huertas

2 1

2 2

3. 2 2

2 2 2 1

4 1

4

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LÍMITE DE FUNCIONES

. lim

tan cos

Solución. Como 0 esta en el dominio de la función

,

entonces, lim

tan cos

tan 0 cos 0

1

0 1

1

Problema 1. Calcule el valor del siguiente límite.

1 lim 2 sen

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19

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Resolución. Como

está en el dominio de

, entonces, por

sustitución directa se obtiene que lim

2

1 sen

1 2

sen

1 2

2

1

1 3

Indeterminaciones Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones: 0 ∞ , , ∞ 0 ∞

20 Christiam Huertas

∞, 0

∞, 1 , 0 , ∞

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LÍMITE DE FUNCIONES

A estas expresiones se les denomina indeterminaciones2, ya que, a simple vista, no está claro cuál puede ser el límite.

Por ejemplo

es una indeterminación, pues puede terminar dando

cualquier cosa; como lo muestra los siguientes límites.

0

lim 0 Sımplıfıcado

0

0

lim 1 0 Sımplıfıcado

1

0 1

lim 0 Sımplıfıcado

lim lim lim

∞

2

Una indeterminación es una operación matemática con resultado no conocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no. www.xhuertas.blogspot.com

21

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LÍMITE DE FUNCIONES

No son indeterminaciones 0 0 ∞ ∞

0 ∞ Se demuestra a partir de ∞ 0

.

Determinación de límites por medio de álgebra y leyes de límites.

1. Hallar un límite mediante cancelación de un factor común Para calcular el límite de una función racional que tiene una indeterminación

del

tipo

,

se

factoriza

numerador

y

denominador, y se simplifica el factor común.

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LÍMITE DE FUNCIONES

Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites.

1 1

. lim

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada

factorizamos numerador indeterminación. lim

1 1

. lim

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lim 7

y

1 1

1

denominador

lim

para

1

1 1

1

1

levantar

, la

1 2

6 2 23

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Solución. El límite lim factorizamos numerador indeterminación.

7

lim

6 2

lim

tiene la forma indeterminada , y

denominador

2

2 2

3

para

lim 2

levantar

2 2.2

3

la

3 5

2. Hallar un límite mediante cambio de variable Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim

√

2 8

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LÍMITE DE FUNCIONES

√

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada .

Hacemos el cambio: , entonces √ .

Además, si 8, entonces 2. Luego, lim

2 8

√

lim

2 8

. lim

1

√

1

√

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2

lim

2 1 2

lim

2

2

1 2.2

4

4 4

1 12

25

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

√ √

Solución. El límite lim Hacemos el cambio: Además, si 1, entonces lim

1

√

1

√

1 lim 1

, entonces √ 1. Luego,

lim

lim

2 3

26 Christiam Huertas

tiene la forma indeterminada .

1 1

y √

.

1 1

1 1

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LÍMITE DE FUNCIONES

3. Hallar un límite mediante simplificación Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim

3

9

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

entonces, lim

3

lim

9

6

9

6

lim

lim 6

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9

6 27

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

. lim

3

27

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

entonces, lim

3

27

27

27

9

lim

lim 27

28 Christiam Huertas

lim

3

9

9

27

27

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LÍMITE DE FUNCIONES

4. Hallar un límite mediante racionalización Consiste en multiplicar y dividir por el conjugado de la expresión a racionalizar.

Ejemplo. Halle el valor de los siguientes límites. . lim

√

9

3

Solución. El límite lim

√

tiene la forma indeterminada ,

entonces racionalizamos lim

√

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9

3

lim

√

9

3

·

√

9

3

√

9

3 29

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LÍMITE DE FUNCIONES

lim

. lim

2

8

√

2

9

lim

9 9

√

3

1

Solución. El límite lim

3

√0

9

√

1 9

√

lim

9

3

3

1 6

tiene la forma indeterminada ,

√

entonces racionalizamos lim

2

8

√

2

lim

30 Christiam Huertas

2

8

√

2

.

√

2

√

2

lim

2

4 √ 4

2

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

3

. lim

1

lim 2 √

2

8

6

√4

7

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

√

entonces racionalizamos lim

3 1

√4

6 7

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lim lim

3 1 3

√4

6 7

1

√4

7

1

√4

7

2 1 √4 1 4 7

7

31

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

lim lim

3

2 1 4

√4 2

3 1

√4 4

7

7 3 2 4

3 2

Límites laterales Algunas veces el valor de la función puede aproximarse a diferentes valores cuando se aproxima a un número desde los lados opuestos. Cuando esto sucede, el límite de conforme se aproxima a por la izquierda es el límite por la izquierda de en , y el límite de conforme se aproxima a por la derecha es el límite por la derecha de en .

32 Christiam Huertas

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Mathema

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lim www.xhuertas.blogspot.com

lim 33

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LÍMITE DE FUNCIONES

Teorema. Una función

tiene un límite conforme

se aproxima a

si, y solo si, los límites laterales derecho e izquierdo en son iguales. Esto es lim

si y sólo si lim

existen y

lim

Ejemplo 1. (Comparar los límites laterales derecho e izquierdo) Muestre que lim | | 0 Solución. Recuerde que | |

si si

34 Christiam Huertas

0 0 www.xhuertas.blogspot.com

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LÍMITE DE FUNCIONES

• Como | | lim | |

lim

• Como | | lim | |

0, se tiene que

para 0

0, se tiene que

para lim

Por lo tanto, lim | |

0

0

Ejemplo 2. (Comparación de los límites laterales) | | Pruebe que lim no existe. www.xhuertas.blogspot.com

35

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Solución. Puesto que | | tiene que lim lim

| | | |

lim lim

0y| |

para

lim 1 lim

0, se

para

1 1

1

Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que lim

| |

no existe.

A continuación se muestra la gráfica de la función

36 Christiam Huertas

| |

.

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LÍMITE DE FUNCIONES

Ejemplo 3. (Límite de una función definida por partes) Dada la función determine lim www.xhuertas.blogspot.com

√ 8

4 si 2 si

4 4

si es que existe.

37

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Solución.

• Puesto que lim

lim √

• Puesto que lim

4 para

√ 4 8 lim 8

√4

4, entonces 4

2 para 2

8

0 4, entonces

2 4

0

Como los límites laterales son iguales, entonces el límite existe y lim La gráfica de

se muestra a continuación.

38 Christiam Huertas

0

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LÍMITE DE FUNCIONES

Problema 2. Dada la función real Si lim

3 si si 1

1

existe, calcule el valor de .

Resolución. Como lim

existe, entonces, se debe cumplir

que www.xhuertas.blogspot.com

39

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

lim lim

lim

lim

lim 3

Luego,

lim

3

3 1

1

4

2

Teorema del Sándwich Sean , , : funciones con dominio común

2

de modo que

Si lim

lim

40 Christiam Huertas

, entonces lim www.xhuertas.blogspot.com

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Aplicación. Demuestre que lim

1.

Demostración. Consideremos el Círculo Trigonométrico

• Si 0 www.xhuertas.blogspot.com

se tiene que 0

sen

tan , luego 41

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

sen

cos • Si

0 (es decir, 0

1

) tenemos que, sen

cos

1

De todo esto concluimos que sen

cos Como lim cos

1 y lim 1

1

2

;0

0;

2

1;

por el teorema del Sándwich obtenemos sen

lim 42 Christiam Huertas

1 www.xhuertas.blogspot.com

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Límites de las funciones trigonométricas Los siguientes teoremas son útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas.

Teoremas. . lim sen θ θ

sen θ 0 . lim θ θ

1

. lim cos θ θ

1

Ejemplos (Límites trigonométricos) Halle el valor de los siguientes límites. . lim

sen 4

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43

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

entonces, lim

sen 4

4. sen 4 lim 4.

sen 4 4. lim 4

4 1

4

tan . lim sen Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

entonces, tan lim sen

sen

cos lim sen

44 Christiam Huertas

sen lim sen . cos

1 lim cos

1 1

1

www.xhuertas.blogspot.com

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

. lim

1

cos

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada ,

entonces, lim

1

cos

www.xhuertas.blogspot.com

lim lim 1

1

cos

1 1

sen 1 cos

·

1 1

1

cos cos

lim

lim sen

1

·

1

cos 1 cos

1 cos

1 2

45

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Problema 7. Si

; calcule el valor de lim

Resolución. Se piden calcular cot lim 2

lim

.

cos

sen 2 tiene la forma indeterminada , entonces, hacemos: lim

cos 2

sen

lim

cos . sen

2

2

46 Christiam Huertas

– sen lim . cos lim

sen

1 1 · 1

1 cos 1 www.xhuertas.blogspot.com

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Los infinitos y el límite Veremos situaciones como i lim

ii lim

∞ iii lim

∞

El símbolo ∞ llamado infinito3 no es un número real, es decir no es algebraico ni aritmético, pero si tiene un carácter posicional.

Podemos formar un nuevo sistema de números al cual lo llamaríamos sistema ampliado de los números reales y se denota por ∞ ∞ , debiendo cumplir las siguientes propiedades (o reglas).

3

El matemático John Wallis fue el primero en usar el símbolo ∞ para representar al infinito en su tratado De sectionibus conicus en 1655. www.xhuertas.blogspot.com

47

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

:

1.

2.

3.

4.

∞

: : ∞

∞,

∞ ∞ ∞

∞, ∞, ∞

∞

∞

∞,

∞ ∞ ∞,

∞. ∞. ∞

0.

∞

∞

Para el caso de los límites que contienen infinitos trabajaremos en el sistema definido ( ).

Observación. Carecen de significado las siguientes operaciones. ∞ ∞ ∞ , 0 ∞ , ∞

48 Christiam Huertas

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Límites infinitos 0 y observemos su

Consideremos la función

comportamiento alrededor de 0 mediante un cuadro de valores.

1 1 1 1 0,2 0,1 0,01 0,001 …

2 3 4 1 4 9 16 25 100 10000 1000000 …

1 1 1 1 0,2 0,1 0,01 0,001 …

2 3 4

∞

Este hecho lo podemos simbolizar de la siguiente manera. ∞ cuando www.xhuertas.blogspot.com

0 49

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.

Podemos denotar este caso de no existencia de límite como lim 50 Christiam Huertas

∞ www.xhuertas.blogspot.com

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Teoremas . Si . Si

, entonces, lim , entonces, lim

1

1

∞ ∞ si es par ∞ si es impar

Límites en el infinito Estudiaremos una clase especial de límite conocida como límite en el infinito. Se examina el límite de una función cuando aumenta el valor de

indefinidamente es decir,

Consideremos la función : www.xhuertas.blogspot.com

∞ .

definida por

.

51

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

La función lo podemos expresar como 2 2 1

2 1

Veamos algunos valores de la función en la siguiente tabla. ∞

0 1 2 3 4 5 10 100 1000 …

8 18 32 50 200 20000 2000000 0 1 …

5 10 17 26 101 10001 1000001 La gráfica de esta función (par) se muestra a continuación.

52 Christiam Huertas

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LÍMITE DE FUNCIONES

Observamos que cuando crece a través de valores positivos, los valores de la función se acercan cada vez más a 2. Es decir, podemos acercar el valor de tomando

suficientemente grande; y esto lo denotamos por lim

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a 2 tanto como queramos,

2 1

2 53

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Definición (Límite en el infinito). Sea ; ∞ . Entonces lim indica que los valores de cercanos a

si

Teoremas. Si cumplen

se pueden hacer arbitrariamente

toma valores suficientemente grandes. es cualquier número entero positivo, entonces se

lim

54 Christiam Huertas

una función definida en

1

0

lim

1

0

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LÍMITE DE FUNCIONES

Límites de funciones racionales con indeterminación Se factoriza la mayor potencia de en el numerador y denominador para luego hacer uso del teorema anterior.

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen).

5 3 . lim 1 2

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada

,

luego 5 lim 1 www.xhuertas.blogspot.com

3 2

lim

5 1

3 2

lim

5 1

3 2

5 0

0 2

5 2 55

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

3 . lim 2

2 4

1 1

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada

, entonces, 3 lim 2

2 4

1 1

56 Christiam Huertas

lim

lim

3 2

3 2

2 4

2

1

4

1

1 1

0 2

0 0

0 0

0 2

0

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LÍMITE DE FUNCIONES

3 . lim 2009

1 1

Solución. El límite lim

tiene la forma indeterminada

, luego 3 lim 2009

1 1

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lim

lim

1

1

2009

1

3

1

1

2009

1

3

57

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

3

0 0

0 0

3 0

∞

Teorema

lim

0 si

si

∞ si

0

Problema 5. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

: lim

1

2 2

58 Christiam Huertas

3 1

4

1 2 www.xhuertas.blogspot.com

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LÍMITE DE FUNCIONES

2

1 1

: lim

4

3

: lim

2 1

∞

2

Resolución. Aplicamos el teorema anterior y obtenemos

: lim

1

2 2

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2 ∞

1 1

: lim : lim

4

1

2

4

3

3

1 2

1 1 1 1 2 1

1 V 2

0 F ∞ V 59

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Límite de expresiones exponenciales El número de Neper Uno de los números más importantes de las Matemáticas es el llamado número de Neper, este número es denotado con la letra y su valor aproximado es 2,71828182845904523536028747135266249775724709369…

El número de neper es un número irracional, es decir, no puede ser escrito como el cociente de dos números enteros. Este número es llamado transcendente porque no puede ser raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

60 Christiam Huertas

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LÍMITE DE FUNCIONES

Teorema. Dadas las funciones : 1

y :

y

, definidas por

1

Entonces lim

1

y lim 1

Teoremas. Supongamos que lim

0 y lim

Entonces se cumple . Si y www.xhuertas.blogspot.com

, entonces lim 61

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

. Si

1 y

∞, entonces lim

. Si

1 y

∞, entonces lim

lim

lim 1 1

1

1

Ejemplos. Halle el valor de los siguientes límites (si es que existen). . lim

sen 2

Solución. Vemos que 62 Christiam Huertas

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

lim

sen 2

lim

2 y lim 1

sen 2

. lim

2

1, entonces 2

2 1

2

Solución. Vemos que

lim 2 lim

2

www.xhuertas.blogspot.com

2 1 2 1

1 2

1 y lim 1 2

∞, entonces 0 63

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

2 2

. lim

3 1

Solución. Vemos que 2 lim 2

3 1

2 2

3 1

lim

1 y lim

1

∞, entonces ·

·

64 Christiam Huertas

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LÍMITE DE FUNCIONES

Problema 6. Dados los números 3 lim 3

1 1

calcule el valor de ln

lim .

Resolución. Hallamos el valor de 3 lim 3

1 1

.

1 ·

lim 1

2 3

lim

1

1

2 3

1

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Utilizando el teorema anterior obtenemos ·

.

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LÍMITE DE FUNCIONES

Mathema

Otras técnicas de resolución de indeterminaciones.

1. Indeterminación 0 ∞ En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de una de las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo ó , vistas anteriormente.

2. Indeterminación ∞ ∞ • En algunos casos sencillos basta con simplificar la función, desapareciendo así la indeterminación.

• Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procede a su racionalización, multiplicando y dividiendo por el conjugado de la raíz. www.xhuertas.blogspot.com

67

Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

Continuación del problema 6.

Hallamos el valor de . lim

∞

∞

Racionalizamos la función lim

lim

lim

lim

√

√

68 Christiam Huertas

√

1

1

lim

√

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Mathema

LÍMITE DE FUNCIONES

lim

lim

1

| |. 1

1

1

lim

1 . 1

. 1

1

1

1 . √1

1

1

1 1 1

1 2

3. Indeterminación 0 , ∞ Se resuelve expresando las potencias de la forma lim

lim

lim

con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo 0 que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente. www.xhuertas.blogspot.com

∞, 69

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LÍMITE DE FUNCIONES

El concepto de Límite es fundamental en Matemáticas y sobre él se construye todo el Cálculo Infinitesimal.

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