Divisibilidad

Línea de Tiempo Leonhard Euler

1707

Nace Leonhard Euler en Basilea, Suiza.

1739

En su tratado introdujo el concepto de particula y de masa puntual.

Publica Introductio in analysis infinitorum.

1746 1748

José Antonio de Mendoza es el virrey del Perú.

Terremoto en Lima, sedestruye gran parte del templo de La Merced.

Publica Institutiones calculi differentialis.

1755 Fallece en San Petersburgo, Rusia.

José Antonio Manso de Velasco es el virrey del Perú.

1780 1783

Revolución de Túpac Amaru II

Divisibilidad Criterios de Divisibilidad Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten determinar su divisibilidad respecto a ciertos módulos (divisor).

DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par.

Si: ...abc es 2° ⇒ c = 0,2,4,6 ó 8 Ejemplo : 567328 es °2 porque 8 es° 2 DIVISIBILIDAD POR 4: Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras formanunmúltiplode4;también si el doble de la penúltima más la última resultan un4° .

Si: ° ...abc es 4° ⇒ 2b + c es 4 ó

...abcd es °8 ⇒ bcd = {000; 008; 016;...;992} También cuando: 4b+2c+d es 8°

3144 es °8 pues 4x1+2x4+1x4 es 16 que es°8.

DIVISIBILIDAD POR 3:

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8; también cuando el cuádruple de la antepenúltima ciframáseldobledelapenúltima, más la última cifra resulta un múltiplo de °8.

Lic. Feliciano Olarte Lima

24 es 6°

° (última cifra par) es 2 ° (suma de cifras 6) es 3

DIVISIBILIDAD POR 5:

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o cinco.

Si abcde es° 3 ⇒ a+b+c+d+e ° es 3.

Si ...abc es 5° ⇒ c = 0 ó 5

Ejemplo : Personaje del tema

543621 es °3 pues 5+4+3+6+2+1=21 es 3 ° DIVISIBILIDAD POR 9:

DIVISIBILIDAD POR 8:

Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez.

Ejemplo :

Ejemplo :

bc = {00, 04,...,96}

Ejemplo : ° pues 32 es°4.

132 es 4

DIVISIBILIDAD POR 6:

Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9.

Si abcdef es° 9 ⇒ a+b+c+d+e +f es 9.° Ejemplo : ° 1863 es 9 pues 1+8+6+3 es 18 que es 9.°

Carl Jacobi

(1804 – 1851) En 1834 probó que si una función univaluada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los períodos es imaginaria. Este resultado impulsó enormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy.

F. Cavalieri

(1804 – 1851) Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

⇒ h - (3g+4f+e)+(3d+4c+b)° 3a es 13

DIVISIBILIDAD POR 7: Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores: 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,...

Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el resultado es 7° el número será múltiplo de 7.

Ejemplo :

3 3 6 3 1 es 13° hacemos 3 - 1 - 4 - 3 1 pues 9 - 3 -24 -9 + 1 = - 26 es 13° DIVISIBILIDAD POR NÚMEROS COMPUESTOS Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce.

Si abcdefgh es°7 ⇒ a b c d e f g h ↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ ↓ 31 2 3 1 23 1 + + Ejemplo :

⇒h + 3 g+2 f - (e +3 d + 2c) + b + 3a = 7 °

356785 es 5° pues termina en 5.

Ejemplo :

DIVISIBILIDAD POR 25: Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25.

Si ...abc es °25 ⇒ bc = {00, 25, 50,75}° Ejemplo : ° 54325 es 25 pues termina en 25

1 0 2 1 3 es 7° hacemos: -3 -1 2 3 1; pues -3+0 +4+3+3 = 7 que es 7 ° DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11. ° ⇒ b+d-a-c es 11° Si abcd es 11 Ejemplo :

DIVISIBILIDAD POR 125: Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 125. ° ⇒bcd =000, Si ...abcd es 125 ° ó 125 Ejemplo : ° 8178375 es 125 ° pues 375 es 125

Lic. Feliciano Olarte Lima

Nivel I

1 0 0 1 es múltiplo de 11 hacemos: - + - + pues -1 + 0 - 0 +1 = 0 que es 11° DIVISIBILIDAD POR 13: Se multiplica cada cifra del número por el factor indicado de derecha a izquierda. ° Si: a b c d e f g h es 13 ↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ ↓ 31 4 3 14 3 1 (-) (+) (-) (+)

1) Calcula la suma de valores de x si 222xx es divisible por 7.

a) 8 b) 7 c) 9

d) 10 e) 11

2) Calcula x si x2xx5 es divisible por 7.

a) 2 b) 3 u 8 c) 3

d) 2 ó 9 e) 1 u 8

3) Halla «a» si 4a8a6 es múltiplo de 11.

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 6

4) Halla «a» si 5a782 es divisible por 11.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

5) Si CA (1x2x) es divisible por 9, calcula x.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 8 e) 0

6) ¿Qué valor toma «a» para que el complemento aritmético de aa37 sea divisible por 9?

a) 0 b) 3 c) 5

d) 6 e) 9

7) Si los numerales a43, ab2 y abc son, respectivamente, múltiplos de 7;9 y 11, calcula a + b + c.

a) 7 b) 11 c) 10

d) 9 e) 8

8) Halla (n+m) si 2n5n8 es divisible por 9 y 11, respectivamente.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10) ¿Cuál es el resto de dividir 282828...(50 cifras entre 11)?

a) 5 b) 7 c) 3

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

13) Calcula el resto de dividir 55...5 (120 cifras)entre 7.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

14) Al convertir 1212...(37 cifras)a base 9, la cifra de las unidades es:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

d) 8 e) 6

20) Indica (x + y) para que 7x36y5 sea divisible por 1375.

a) 5 b) 4 c) 8

d) 12 e) 3

21) A. Calcula «x» si: 4x + 5x+...+9x es divisible por 7.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

° + a2, calcula 16) Si a3aa1 = 13 «a».

a) 2 b) 5 c) 7

d) 9 e) 6

17) ¿Qué valor se debe reemplazar a x para que xx253x sea múltiplo de 13?

a) 3 b) 4 c) 7

d) 5 e) 2

a) 0 b) 1 c) 3

a) 9 b) 8 c) 7

d) 5 e) 6

22) A. Si 1a60ab es divisible por 99, calcula «b - a»

Lic. Feliciano Olarte Lima

d) 13 e) 8

B. Calcula «x» si: 1x + 2x+ 3x+...+10x es divisible por 9.

18) Si 5a10b es divisible por 72, calcula «a».

d) 7 e) 8

a) 15 b) 12 c) 9

15) Al convertir el número 4343...(28 cifras) al sistema nonario, la cifra de primer orden es:

11) Calcula el resto de dividir 5151...

(51 cifras)entre 11. a) 1 b) 5 c) 6

Nivel II

9) Al dividir 4x5x6x7x entre 9 el resto es 5. Calcula x.

19) Si el número 7xyx5y es divisible entre 88, halla el valor numérico de x + y.

12) Calcula el resto de dividir 222...

(68 cifras)entre 7.

d) 4 e) 8

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

B. Si a8a946b es múltiplo de 56, halla «a + b».

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

23) ¿Cuántos números de 3 cifras existe, tal que sean divisibles por el número formado por sus últimas cifras y éste a su vez divisible por 7?

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) Ninguno

Pierre de Fermat Nació el 17 de agosto 1601 en Beaumont de Lomages, Francia; Fermat fue abogado y un gobernante oficial.

Es más recordado por su trabajo,en la Teoría de Números, en particular por el último teorema de Fermat; las matemáticas eran para él su hobby.

En 1636, Fermat propuso un sistema de geometría analítica, similar a uno de Descartes quien lo propuso unos años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio, usado en el Álgebra de Viete. Similar trabajo dejó Fermat al descubrir métodos similares de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos.

Falleció el 12 de enero de 1665 en Castres, Francia.

24) Halla «a x b x c» si:

° ; cba =7 ° ; bac=9° abc =11

a) 144 b) 162 c) 186

d) 174 e) 214

25) Calcula la suma de a y b, tal que 26ab63 sea divisible por 31, además a y b son impares.

a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16

26) Del 1 al 500, ¿indica cuántos enteros son:

I. múltiplos de 5

II. múltiplos de 20

III.múltiplos de 7

Halla la suma de los 3 resultados.

a) 190 b) 192 c) 194

d) 196 e) 198

29) ¿Cuántos números de 3 cifras son ° 17?

Halla la suma de los 3 resultados.

a) 909 b) 910 c) 911

d) 912 e) 913

28) ¿Cuántos números de 3 cifras son ° 23?

a) 37 b) 38 c) 39

d) 40 e) 41

2

2

a) a x b b) a c) b

d) 22 e) 99

Nivel III

31) La expresión:

abc+acb+bac+bca+cab+cba

es siempre divisible por:

a) 23 b) 13 c) 11

d) 37 e) 33

32) El producto de 3 enteros positivos consecutivos: n (n+1)(n+2)es siempre múltiplo de:

a) 3 y 4 b) 2 y 5 c) 2 y 3

d) 3 y 5 e) 5 y 7

33) La expresión n2 (n2 - 1)es siempre divisible por:

a) 2 y 5 b) 3 y 5 c) 3 y 4

d) 4 y 5 e) 5 y 7

34) Si los alumnos de un colegio se agrupan de a 6; 8 y 11 siempre sobran 3; pero de a 7 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos como mínimo?

Lic. Feliciano Olarte Lima

d) 53 e) 54

30) La expresión ab - ba siempre es divisible por:

27) Del 1 al 779, ¿indica cuántos enteros :

I. no son °9 ° y 4°

II. son 3

III.son 4° pero no 3°

a) 50 b) 51 c) 52

a) 1059 b) 1323 c) 1587

d) 1851 e) 795

35) De un grupo mínimo de personas los 3/11 son viejos, los 5/18 son calvos. El menor número que conforman el grupo que tienen cabellos es:

a) 132 b) 143 c) 154

d) 198 e) 396

36) La edad en años de una persona es: 2° +1; 7°+ 6 y 10°- 1

Halla la suma de las cifras de la edad.

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14 37) El menor número de 4 cifras que sea: ° + 2 y 15° - 13 es: 9° - 7; 12

a) 1072 b) 1076 c) 1082

d) 1084 e) 1086

38) Halla la suma de los 25 primeros enteros positivos divisibles por 7.

a) 2075 b) 2025 c) 2135

d) 2275 e) 2125

40) Si n2n31 = 3, halla la suma de los posibles valores de n.

47) Si aaa2aa = 13° + aaa,

halla a.

a) 12 b) 9 c) 15

d) 18 e) 21

41) Si nn37 = 9°+ 4, halla n.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 7 e) 1

42) Si 2x858 = 9° y485y = 11°

6990z = 8° halla x + y +z.

a) 17 b) 18 c) 16

a) 9 b) 10 c) 11

d) 15 e) 19

a) 2 b) 3 c) 6

a) 4 b) 2 c) 6

d) 5 e) 3

d) 7 e) 4

° 45) Si nn + 52n = 7 +1n3,

halla n.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 1

° halla n.

46) Si nn97n = 13,

Lic. Feliciano Olarte Lima

a) 3 b) 4 c) 6

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 6 b) 5 c) 9

d) 8 e) 7

50) Halla a.b si 5a10b = 72°

a) 12 b) 24 c) 15

d) 48 e) 32

Reto

39) Si a2a53 = 9,° halla a.

d) 12 e) 13

44) Si 2n569 + n69n = 11,°

halla n.

° 48) Si 316a9a = 13,

halla a.

43) Si vvv3 = 7,° halla la suma de valores de v.

d) 7 e) 8

° 49) Halla a si 4a3bc = 1125

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

Dos viajeros van vendiendo vino por los pueblos. En su furgoneta llevan 3 barriles: uno de 8 litros lleno de vino, otros 2 vacíos de 3 y 5 litros; de capacidad.

A mitad del camino se pelean y deciden repartir el vino en partes iguales, pero sólo disponen de los barriles citados. ¿cómo podrán hacerlo?

° halla x.y.

2) Si x34y = 72,

1) Si a3a5 = 9,° halla a.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

a) 20 b) 24 c) 28

d) 16 e) 12

° 3) Halla a si 2a6bc = 1125.

° halla a.

4) Si 2a6a8 = 11,

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5) ¿Cuál es el resto de dividir 282828... (50 cifras) entre 9?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 7

a) 6 b) 8 c) 5

d) 2 e) 3