CapĂtulo 5
APLICAÇÕES DA DERIVADA 5.1 Variação de Funçþes Definição 5.1. Seja 1.
uma função e
.
possui um ponto de mĂĄximo relativo ou de mĂĄximo local no ponto , se existe um pequeno intervalo aberto que contem tal que:
A imagem de , 2.
para todo
, ĂŠ chamada valor mĂĄximo local de .
possui um ponto de mĂnimo relativo ou de mĂnimo local no ponto , se existe um pequeno intervalo aberto que contem tal que:
A imagem de ,
para todo
, ĂŠ chamada valor mĂnimo local de . Max
Min
Figura 5.1: Pontos de mĂnimo e mĂĄximo. Em geral, um ponto de mĂĄximo ou de mĂnimo ĂŠ chamado ponto extremo. 191
CAP�TULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
192 Exemplo 5.1. [1] Seja todo
; ĂŠ um ponto de mĂĄximo relativo, pois para ĂŠ um ponto de mĂnimo relativo, pois , para todo , para todo "! , sĂŁo tambĂŠm pontos extremos . Observe que
, e ;
e de . De fato :
/ 2/
[2] Seja
.
,
. Na verdade
354
4,
;
2/
&% ' )( *,+ # $ 0/ ĂŠ um ponto de mĂnimo relativo, pois 1 / ĂŠ o Ăşnico ponto extremo de .
6/
4 42 /
; [3] Seja ĂŠ um ponto de mĂnimo relativo, pois / 2/ . Como no exemplo 2/ ĂŠ o Ăşnico ponto extremo de . para todo e
anterior, 7
para todo
e
[4] Seja ou mĂnimo relativos em . Se ĂŠ , . :9 nĂŁo possui pontos de mĂĄximo , entĂŁo possui o ponto mĂĄximo relativo. Se ĂŠ restrita ao restrita ao intervalo 8 / < , entĂŁo possui 0/ de mĂnimo de mĂĄximo de o ponto relativo e o ponto intervalo ; / , entĂŁo nĂŁo possui pontos de mĂĄximo relativo ou de relativo. Se ĂŠ restrita ao intervalo
mĂnimo relativo. Estes exemplos nos indicam a importância dos domĂnios das funçþes quando queremos determinar pontos extremos. Proposição 5.1. Se BA .2/ . , entĂŁo
Ê uma função derivåvel no intervalo
>=
@?
e
>=
@?
ĂŠ um extremo relativo de
A proposição nos indica que num ponto de mĂĄximo ou de mĂnimo relativo de uma função , a reta tangente ao grĂĄfico de nesses pontos ĂŠ paralela ao eixo dos . Para a prova veja o apĂŞndice.
Figura 5.2:
"
de EApontos Ê uma A proposição não garante a existência por exemplo: CA D # / D /extremos; / função derivåvel em e ; logo
, mas nĂŁo ĂŠ ponto de mĂĄximo nem GF / HF . A proposição nos dĂĄ uma condição de mĂnimo relativo de ; de fato,
necessĂĄria para que um ponto seja extremo.
5.1. VARIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES Definição 5.2. Seja ponto crĂtico de .
193
uma função derivåvel no ponto
. Se
A /
,
ĂŠ chamado
Pela proposição anterior, todo ponto extremo ĂŠ ponto crĂtico. A recĂproca ĂŠ falsa. (Veja exemplo anterior). Exemplo 5.2. [1] Calcule os pontos crĂticos de A devemos resolver a equação: ! , sĂŁo os pontos crĂticos. [2] Seja
2/
os pontos crĂticos da função ,
.% Para calcular 2/ . EntĂŁo, 1 , onde , ou seja, os pontos
; resolvemos CA # / ; entĂŁo / ĂŠ o Ăşnico ponto crĂtico de . # / # BA D # e sĂŁo os pontos ; resolvemos ; entĂŁo,
.
[3] Seja crĂticos de .
-1
1
Figura 5.3: Pontos crĂticos de
#
.
Na verdade um ponto "candidato"a mĂĄximo ou mĂnimo relativo de uma função derivĂĄvel sempre deve satisfazer Ă equação:
A /
Mais adiante saberemos descartar dos pontos crĂticos, aqueles que nĂŁo sĂŁo extremais. Definição 5.3. 1. O ponto onde uma função atinge o maior valor (se existe) ĂŠ chamado mĂĄximo absoluto da função.
. O ponto ĂŠ de mĂĄximo absoluto de quando para todo , tem-se 2. O ponto onde uma função atinge o menor valor (se existe) ĂŠ chamado mĂnimo absoluto da função.
. O ponto ĂŠ de mĂnimo absoluto de quando para todo , tem-se Um ponto de mĂĄximo absoluto ĂŠ um ponto de mĂĄximo local. A recĂproca ĂŠ falsa; analogamente para mĂnimo absoluto.
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
194
max. abs max. local
min. local
max. local min. local min. abs
Figura 5.4: Pontos de mĂĄximos e mĂnimos Exemplo 5.3.
/ < . O ponto ĂŠ um ponto de mĂĄximo absoluto de . De ; / < e / ĂŠ um ponto de mĂnimo absoluto de , pois D tal ,que para todo $; / / / < / , nĂŁo possui mĂĄximos nem
, para todo ; . Se ĂŠ definida em
mĂnimos. < . e sĂŁo pontos de mĂĄximos locais, mas [2] Seja tal que 6; G
< e / ĂŠ um ĂŠ mĂĄximo absoluto de , pois , para todo ;
/ / / <
mĂnimo absoluto de , pois , para todo ; . [1] Seja fato:
3
O teorema seguinte, devido a Weierstrass, garante a existência de pontos extremos de uma função, sem a hipótese de que a função seja derivåvel. A prova deste teorema serå omitida. Para mais detalhes veja a bibliografia avançada.
Teorema 5.1. (Weierstrass) Seja ; = @? < contĂnua. EntĂŁo existem
+ 3
3
+
e
em
; = @ ? <
tais que:
para todo
; = @ ? < @?
<
No teorema as hipĂłteses de que o domĂnio seja um intervalo do tipo ; = e de que a função seja contĂnua sĂŁo condiçþes essenciais. De fato, a função contĂnua nĂŁo possui &pontos + se de mĂĄximo nem de mĂnimo em qualquer intervalo aberto. A função descontĂnua / / . / < e
, nĂŁo possui ponto de mĂĄximo nem de mĂnimo no intervalo ; .
Teorema 5.2. (Rolle) Seja ; @? = @? < A contĂnua, '2/ derivĂĄvel em >= tal que .
>=
@?
e tal que
>=
D
?
. EntĂŁo, existe pelo menos um @?
,A 1 /
Prova: Se Ê uma função constante, então para todo >= , . Se não Ê constante, então, pelo Teorema de Weierstrass, possui pontos extremos. Suponha que Ê @?
? , terĂamos: , pois, caso contrĂĄrio, por exemplo se ponto de mĂĄximo; entĂŁo >= "
? ? @?
>=
. Mas pela hipĂłtese, >=
e2/ seria constante; logo, >= . A . Analogamente se ĂŠ ponto de mĂnimo. Portanto,
5.1. VARIAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES
195
Figura 5.5: Teorema de Rolle.
.
/ < ; ! . Verifique
. A função ĂŠ contĂnua / < / / tal que em ; em
; pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um
6/ A 3 e/ .derivĂĄvel A A + + . Por outro lado, ĂŠ equivalente 1 2/ / <
. O ponto divide o intervalo ; em segmentos a , donde,
& ; logo: de comprimentos e uma função definida no intervalo ; Aplicação: Seja / < na razão mos que existe um único ponto que divide o intervalo ;
&
Teorema 5.3. (do Valor MĂŠdio) ; = @? < contĂnua e derivĂĄvel em Seja
>=
A
@?
-
. EntĂŁo existe pelo menos um
? > = ? =
>=
@?
tal que:
Em outras palavras, existe um ponto no grĂĄfico de , onde a reta tangente nesse ponto ĂŠ paralela ? ? Ă reta secante que liga >=
>= e
. Para a prova do teorema, veja o apĂŞndice.
f(b)
f(a)
a
x0
Figura 5.6: Teorema do Valor MĂŠdio.
b
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
196
Sabemos que uma função constante tem derivada nula. O Teorema do Valor MĂŠdio nos fornece a recĂproca desta propriedade, como veremos a seguir. CorolĂĄrio 5.4. 1. Seja uma função contĂnua em entĂŁo ĂŠ constante. 2. Sejam
>=
; = @ ? <
e derivĂĄvel em
@?
>=
@?
. Se
<
funçþes contĂnuas em ; = e derivĂĄveis em >= . , entĂŁo , onde ĂŠ uma constante.
@? e
@?
A / A
. Se
>=
para todo
A
@?
,
para todo
F . Pelo Teorema do Valor MĂŠdio, temos + 0; = @? BA< ; suponha + que + ' CA '0/ .tal que
+ . Como, por hipĂłtese,
+
. Como + e sĂŁo arbitrĂĄrios, temos que ĂŠ constante. Para 2, basta considerar
e aplicar 1.
1. De fato. Sejam que existe + para todo , entĂŁo
Exemplo 5.4.
/
[1] Suponhamos que um carro percorre uma distância de
em horas. Denotando por a distância percorrida pelo carro apĂłs horas, a velocidade mĂŠdia durante esse perĂodo de tempo ĂŠ:
/ /
/ /
/
-
Do Teorema do Valor MĂŠdio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de /
pelo menos uma vez nesse perĂodo de tempo.
; / < . Determine / tal que BA 2/ . / < e derivĂĄvel em / ); / /;
Usamos o Teorema de Rolle ( ĂŠ contĂnua em ; / que BA D / ; mas EA D # . EA D / ĂŠ equivalente a entĂŁo, existe
2/ ou ; mas, somente / . # 2/ ; logo, tal . / # < . Determinar / # tal que a reta tangente ao [3] Seja definida em ; / / e # # . grĂĄfico de no ponto
seja paralela Ă secante que liga os pontos
/ # < e derivĂĄvel em / # ); entĂŁo existe Usamos o Teorema do Valor MĂŠdio ( ĂŠ contĂnua em ; / # , tal que:
[2] Seja
'
A
definida em
A
EA D # # Mas ; logo, temos / # . # ou ; mas, somente #
/ # # /
; resolvendo a equação, temos que #
5.2. FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES MONĂ&#x201C;TONAS
197
Figura 5.7: . [4] Verifique que Se
4
ĂŠ evidente. Suponha
Valor MĂŠdio, existe
4
F
4
4% sabendo que 5.2 Seja
4
A '
.
0 , obtemos o resultado.
; definamos a função
tal que
%
4 ; para todo
.
. Pelo Teorema do
; logo:
Funçþes Monótonas
uma função definida num domĂnio .
Definição 5.4. Ê crescente em
2.
ĂŠ decrescente em , se para todo
3. Em ambos os casos,
se para todo
1.
+
com
+
F
com
F + . + tem-se F + , tem-se + .
ĂŠ dita monĂłtona.
Figura 5.8: Funçþes crescente e decrescente, respectivamente.
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
198 Exemplo 5.5.
[1] Seja Sejam
+
Sejam crescente.
;
/ . F
tal que
decrescente. [2] Seja
+
+ ; entĂŁo:
; / . F + ; entĂŁo:
; tal que
F +
.
; F + F + / ; entĂŁo: Sejam tal que
0/ F + + em ; e + / . Logo,
/ em
e monĂłtona decrescente em
[3] Seja
F
F
. Logo,
+ . Logo,
+ , se /
.
+ F
F
/ F e / + em
;
e
ĂŠ monĂłtona
+
ĂŠ monĂłtona
F +
e
F /
, se e e ĂŠ monĂłtona crescente
O exemplo anterior nos mostra que, em geral, uma função pode ter partes do domĂnio onde ĂŠ crescente e partes onde ĂŠ decrescente. Proposição 5.2. Seja
A 1/ EA F1/ Se
1. Se 2.
uma função contĂnua em
para todo
>=
para todo
>=
@? @?
; = @ ? <
e derivĂĄvel em
@?
>=
; = @? < . @? < ĂŠ decrescente em ; = .
, entĂŁo
.
ĂŠ crescente em
, entĂŁo
Figura 5.9:
@?
F
Prova: 1. Sejam + >= tal que + ; como + + ĂŠ contĂnua + em
EA, pelo
do Valor MĂŠdio, existe Teorema / @? 3F tal +que Como para todo >= , temos que
. A prova de 2 ĂŠ anĂĄloga. Exemplo 5.6.
;
< .+ e derivĂĄvel + em A .
. [1] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de BA ' BA 1/ 1 / BA F1/ & Derivando temos se, e somente se e ; logo, F1/ . Logo, ĂŠ crescente em / e decrescente / ; note A / 'se,2/e somente
em
que
. se .
5.2. FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES MONĂ&#x201C;TONAS
199
[2] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
CA ' # # # ; logo, BA 2/ e decrescente em .
# .
.
se, e somente se
Derivando temos Logo, ĂŠ crescente em
.
3
2
1
-2
-1
1
-1
Figura 5.10: GrĂĄfico de
.
2
# .
[3] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de Derivando
temos
A
1 BA ' 2/ ; logo,
Intervalos
/ F G 7F
F 0 F1/ 0 F
ĂŠ crescente em
.
.
decrescente decrescente crescente crescente
.
se, e somente se
F / F / / /
e decrescente em
/
/ .
4
2
-2
-1
1
2
-2
-4
Figura 5.11: GrĂĄfico de
[4] Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
BA
Derivando temos 2/ , e .
.
; logo, EA
/
#
.
se, e somente se
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
200
Intervalos
7F /GF
ĂŠ crescente em
/
1/ F1/ 1/ F1/
crescente decrescente crescente decrescente
F0
e decrescente em
F
F1/
/
.
7 6 5 4 3 2 1 -2
[5] A função seu nome.
( (
#
1
Figura 5.12: GrĂĄfico de
-1
.
/ ) ĂŠ crescente se /
2
F / , o que justifica
e decrescente se
[6] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura
de um corpo Ê proporcional à diferença entre a temperatura ambiente (constante) e a temperatura
, isto ĂŠ:
1/
Se , entĂŁo F / , de modo que a temperatura ĂŠ decrescente. Logo, se a temperatura do corpo ĂŠ maior que a do ambiente, o corpo estĂĄ resfriando. / F , entĂŁo , de modo que a temperatura ĂŠ crescente. Logo, se a Se temperatura do corpo ĂŠ menor que a do ambiente, o corpo estĂĄ esquentando. / , entĂŁo , de modo que a temperatura ĂŠ constante. Se [7] Crescimento populacional inibido: Considere uma colĂ´nia de coelhos com população inicial numa ilha sem predadores. Seja a população no instante . Estudos ecolĂłgicos mostram que a ilha pode suportar uma quantidade mĂĄxima de + indivĂduos. Sabemos que este fenĂ´meno ĂŠ modelado pela função logĂstica que satisfaz Ă equação: 1/
+
/ cresce. + Se , então , de modo que a população
5.3. DETERMINAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE MĂ XIMOS E MĂ?NIMOS
F Se + Se +
, entĂŁo , entĂŁo
F / , de modo que a população
201
/ , de modo que a população
decresce.
fica estĂĄvel.
5.3 Determinação de MĂĄximos e MĂnimos Teorema 5.5. Seja ponto . 1. Se
EA
/
; = @? <
uma função contĂnua em
F
EA F1/
para todo
e
e derivĂĄvel em
para todo
>=
@?
, exceto possivelmente num
, entĂŁo ĂŠ ponto de mĂĄximo de .
fâ&#x20AC;&#x2122;(x0 ) =0
fâ&#x20AC;&#x2122;(x)> 0
fâ&#x20AC;&#x2122;(x) < 0
+
â&#x2C6;&#x2019; x0
Figura 5.13: MĂĄximo local. 2. Se
EA F /
para todo
F
EA
e
1/
para todo
, entĂŁo ĂŠ ponto de mĂnimo de .
fâ&#x20AC;&#x2122;(x) < 0
fâ&#x20AC;&#x2122;(x) > 0
x0
fâ&#x20AC;&#x2122;(x0) =0
â&#x2C6;&#x2019;
+
Figura 5.14: MĂnimo local.
BA
/
F
Prova: 1. Se para todo @?
>= e decrescente em ; logo, A prova de 2. ĂŠ anĂĄloga.
EA F6/ 3e F para todo , entĂŁo ĂŠ crescente em
para todo .
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
202
Do teorema 5.5 segue que num ponto de mĂĄximo ou de mĂnimo de uma função contĂnua nem sempre existe derivada. Exemplo 5.7.
4 4
[1] Seja , definida em 2/; claramente nĂŁo existe. De fato. Para todo , tem-se:
A .
/
ĂŠ um ponto de mĂnimo de , mas
CA /
1/ F1/ 2/ . A .2/ # [2] ponto crĂtico ĂŠ a solução da equação ou, equivalentemente, ; 6/ .. OPor CA D # / , se / entĂŁo, outro lado, ; logo, / nĂŁo ĂŠ ponto de mĂĄximo
se se
nem de mĂnimo de .
#
[3] . As soluçþes da equação A 1/ , se do parågrafo anterior,
+
CA 2/
â&#x2C6;&#x2019;
e . Do exemplo 2 F1/ : , se
sĂŁo A e
â&#x2C6;&#x2019; +
â&#x2C6;&#x2019;1
1
Figura 5.15: Esquematicamente EntĂŁo,
ĂŠ ponto de mĂĄximo e
ĂŠ ponto de mĂnimo de .
1
-2
-1
1
-1
Figura 5.16: GrĂĄfico de
[4] , . BA ' se De fato, /
. &
2
.
/ 0/ CA &F / Por outro lado, / .. ĂŠ ponto de mĂĄximo e
ĂŠ o valor mĂĄximo.
# .
nĂŁo ĂŠ derivĂĄvel em .
/ e EA
se
1.0
0.5
-2
-1
1
-0.5
2
Figura 5.17: GrĂĄfico de
D
.
/
se
F / . EntĂŁo,
5.3. DETERMINAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE MĂ XIMOS E MĂ?NIMOS Teorema 5.6. Seja 1. 2.
uma função duas vezes derivåvel e
BA A / , entĂŁo BA A F / , entĂŁo
Prova: 1. Como
203
um ponto crĂtico de . Se:
ĂŠ um ponto de mĂnimo relativo de . ĂŠ um ponto de mĂĄximo relativo de .
BA 2/
e:
EA
/ F A A .
/
entĂŁo existe A / , se tal eque:A mĂnimo local de . 2. A prova ĂŠ anĂĄloga.
F / / , para todo
, se
(veja o apĂŞndice); entĂŁo,
. Pelo teorema 5.5, temos que ĂŠ um ponto de
Dos teoremas 5.5 e 5.6 temos que os candidatos a pontos de mĂĄximos e mĂnimos sĂŁo nĂŁo sĂł pontos crĂticos, mas tambĂŠm, podem ser os pontos do domĂnio onde a função nĂŁo ĂŠ derivĂĄvel.
@?
<
, apĂłs determinar os pontos de mĂĄNo caso em que o domĂnio de ĂŠ um intervalo do tipo ; = @? ximo e de mĂnimo no intervalo >= , devemos calcular os valores da função nos extremos do intervalo e comparar estes valores com os valores mĂĄximos e mĂnimos obtidos anteriormente nos pontos crĂticos; o maior valor corresponderĂĄ ao mĂĄximo absoluto e o menor valor ao mĂnimo absoluto da função e os pontos correspondentes serĂŁo, respectivamente, os pontos de mĂĄximo e de mĂnimo absolutos.
BA A
/
, o teorema 5.6 nĂŁo afirma nada; quando acontecer isto, recomenNo caso em que damos usar o teorema 5.5. Exemplo 5.8.
? % ? % / . Como ĂŠ = ; = e = [1] Calcule os pontos extremos de A & = ? e A & / , diferenciavel ´ em todo ponto, calculemos os pontos crĂticos de . A A ' se, e somente, se: que ĂŠ o ponto crĂtico de . = ; entĂŁo,
A A 1/ A A 3F1/
Logo, o vĂŠrtice
1/ absoluto se =
.
? =
se
= 1/ = F1/
ĂŠ um ponto de mĂĄximo absoluto de
[2] Calcule os pontos extremos de Como
se
.
se
se =
F1/
e um ponto de mĂnimo
; < .
ĂŠ diferenciavel ´ em todo ponto, calculemos os pontos crĂticos de :
A
#
-
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
204
EA /
se, e somente, se:
segunda derivada:
logo,
teorema 5.5:
# BA
# A A '
e
#
/,
#
'
e
AA 8
#
, que sĂŁo os pontos crĂticos de . A
1/
#
AA 8
e
#
sĂŁo pontos de mĂnimo relativo de . Como
/ se F #
F /
mĂĄximo relativo de . Por outro lado
e
BA F /
e sĂŁo pontos de mĂĄximo absolutos,
#
e
#
/ F
se
/
,
F
/
#
/
A A / /
; logo, e
8
#
/
utilizamos o ĂŠ ponto de
; logo,
sĂŁo pontos de mĂnimo absolutos. Veja o
desenho: 4
2
-2
-1
1
Figura 5.18: GrĂĄfico de
[3] Calcule os pontos extremos de
.
Calculemos os pontos crĂticos de :
A / A H
Logo, derivada de :
BA A /
se, e somente se,
.
# # #
2
.
.
, que ĂŠ o ponto crĂtico de
A A # #
. Calculando a segunda
-
EntĂŁo
e o teorema 5.6 nĂŁo pode ser aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar A / , entĂŁo ĂŠ sempre crescente; a mudança do sinal da primeira derivada de . Como nĂŁo ĂŠ ponto logo, no ponto nĂŁo muda o sinal da primeira derivada de ; portanto de mĂĄximo nem de mĂnimo relativo de . Veja o desenho:
5.3. DETERMINAĂ&#x2021;Ă&#x192;O DE MĂ XIMOS E MĂ?NIMOS
205
4
2
1
2
Figura 5.19: GrĂĄfico de
#
3
.
4
.
+ . A A / se / ou
Calculemos os pontos crĂticos de ; entĂŁo, . Logo, A A # # . EntĂŁo a segunda derivada de : A A . Calculando / / 75/ A A
; logo, ĂŠ ponto de mĂnimo relativo de . e o teorema nĂŁo pode ser A BA / aplicado; mas usamos o teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal de . Como < , entĂŁo 2/ nĂŁo ĂŠ ponto de mĂĄximo nem de mĂnimo. Veja o desenho: para todo ; [4] Calcule os pontos extremos de
.
4
Figura 5.20: GrĂĄfico de
.
+ .
,
. Calculemos os pontos crĂticos de em . Derivando, A % . % 8 % % 1 8 % 1 8 % / EntĂŁo, os pontos crĂticos sĂŁo , . Calculando a segunda derivada de # e A A 8 # / ; logo, # ĂŠ ponto de A A F / A A
. 8 : e # mĂĄximo relativo e # ĂŠ ponto de mĂnimo relativo de . Por outro lado, A A / / , e o teorema nĂŁo pode ser aplicado; mas, usamos o teorema A para analisar a mudança do sinal de EA . Como BA &F / para todo pertencente a um intervalo de centro / contido em 8 # , / / 9 , entĂŁo 2/ nĂŁo ĂŠ ponto de mĂĄximo nem de mĂnimo. Por outro como, por exemplo, [5] Calcule os pontos extremos de
.
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
206
D /
lado
o desenho:
; logo, #
ĂŠ ponto de mĂnimo absoluto e #
ĂŠ ponto mĂĄximo absoluto. Veja
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Figura 5.21: GrĂĄfico de
.
,
.
5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funçþes
uma função derivåvel em Seja intervalos abertos. Definição 5.5. 1.
ĂŠ dita cĂ´ncava para cima em
2.
ĂŠ dita cĂ´ncava para baixo em
se se
, onde ĂŠ um intervalo aberto ou uma reuniĂŁo de
A ĂŠ crescente em . A ĂŠ decrescente em
.
Intuitivamente, quando um ponto se desloca ao longo do gråfico de uma função , da esquerda para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido anti-horårio, isto significa que o coeficiente angular dessa reta tangente cresce à medida que aumenta. Neste caso a função tem a concavidade voltada para cima.
Figura 5.22: Função côncava para cima. Analogamente, quando um ponto se desloca ao longo do gråfico de uma função , da esquerda para a direita e a reta tangente nesse ponto vai girando no sentido horårio, isto significa que o coeficiente angular dessa reta tangente decresce à medida que aumenta. Neste caso a função tem a concavidade voltada para baixo.
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXĂ&#x192;O DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES
207
Figura 5.23: Função côncava para baixo. Não confundir concavidade com crescimento ou decrescimento de uma função. No desenho a seguir, o gråfico de uma função crescente e côncava para cima e o de uma função decrescente e côncava para cima, respectivamente.
Figura 5.24: No desenho abaixo, o gråfico de uma função crescente e côncava para baixo e o de uma função decrescente e côncava para baixo, respectivamente.
Figura 5.25: Proposição 5.3. Seja
EA A 1/ A A F1/ Se
1. Se 2.
uma função duas vezes derivåvel em .
para todo
, entĂŁo ĂŠ cĂ´ncava para cima em .
para todo
, entĂŁo ĂŠ cĂ´ncava para baixo em .
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
208 A prova segue diretamente das definiçþes. Exemplo 5.9. Considere a função
.
.
[1] Determine, onde
ĂŠ cĂ´ncava para cima.
[2] Determine, onde
ĂŠ cĂ´ncava para baixo.
Calculando a segunda derivada:
Logo,
A A
/
se
cĂ´ncava para cima em
1 -
+ e A A F / se . EntĂŁo, . ĂŠ cĂ´ncava para baixo em .
A A
+
ĂŠ
1
-0.5
0.5
-2
Figura 5.26: Gråficos de Definição 5.6. Um ponto @? um pequeno intervalo >= 1. 2.
A
(vermelho) e
do gråfico de uma função @? tal que >= e:
>= e cĂ´ncava para baixo em ĂŠ cĂ´ncava para baixo em > = e cĂ´ncava para cima em
BA A
(azul).
ĂŠ um ponto de inflexĂŁo de , se existe
@?
ĂŠ cĂ´ncava para cima em
@?
, ou .
Se a função Ê duas vezes derivåvel, para obter os pontos , candidatos a pontos de inflexão, resolvemos a equação:
CA A
A A 2/ F e
CA A
/
e estudamos o sinal de para ( solução da equação). não
A EA implica em que seja abscissa de um ponto de inflexĂŁo; de fato, , ,A A / ; EA A / / / logo, se e ĂŠ um ponto de mĂnimo (verifique!). Note que se / , entĂŁo, ĂŠ um ponto de inflexĂŁo. Num D e ponto de inflexĂŁo, nĂŁo necessariamente 4 4 / temos ,A A & e se existe a segunda derivada da função. De fato, seja A A; se F / 7 / / A A temos ; entĂŁo, ĂŠ um ponto de inflexĂŁo e nĂŁo existe. Como exercĂcio esboce o grĂĄfico de .
5.4. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXĂ&#x192;O DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES Exemplo 5.10. [1] Seja logo,
2/
[2] Seja
A A
; entĂŁo:
ĂŠ ponto de inflexĂŁo de .
.
BA A ; entĂŁo:
A A 1/
A A F1/
EntĂŁo
e
1 -
8
se
8
se
.
, A A 8 A A 1/ se A A F1/ se
F
8
EntĂŁo
2/
,
/
se
8
/
F / A A 2
e
-0.5
0.5
= %:%
e
8
= %:%
1.0
.
Figura 5.27: GrĂĄfico de
sĂŁo os pontos de inflexĂŁo de .
-1.0
[3] Seja
A A
. Por outro lado,
209
.
F ; entĂŁo: 8 % = % % 8 / 8 = %:% 8 = %:% 8 8 / = %:% 8
sĂŁo os pontos de inflexĂŁo de .
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
Figura 5.28: GrĂĄfico de
0
,
F
F
.
se
F2/
;
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
210
5.5 Esboço do Gråfico de Funçþes Para obter o esboço do gråfico de uma função, siga os seguintes passos: a) Determine o
.
b) Calcule os pontos de interseção do grĂĄfico com os eixos coordenados. c) Calcule os pontos crĂticos. d) Determine se existem pontos de mĂĄximo e mĂnimo. e) Estude a concavidade e determine os pontos de inflexĂŁo. f) Determine se a curva possui assĂntotas. g) Esboço. Exemplo 5.11. Esboce o grĂĄfico das seguinte funçþes: [1] a)
.
.
1 .
.
/
b) Interseçþes com os eixos coordenados: Se / , / e / . curva passa pelos pontos
A
, entĂŁo
e se
/
2
A 7 /
c) Pontos crĂticos de : ; logo, resolvendo a equação / , e , que sĂŁo os pontos crĂticos de .
A A
, entĂŁo
BA A /
; a
, obtemos
/ /
d) MĂĄximos e mĂnimos relativos de :
. Logo,
e ĂŠ ponto CA A / e o teorema 5.6 nĂŁo pode ser aplicado; mas, usamos o de mĂnimo relativo de .
teorema 5.5 para analisar a mudança do sinal da primeira derivada de .
A F / para todo F / ; entĂŁo nĂŁo ĂŠ ponto extremo de nĂŁo ĂŠ ponto extremo de . entĂŁo A A
e) Estudemos a concavidade de :
A
.
/
/
para todo
implica em
/
; e
.
A A 1/
A A F1/
se
se
ĂŠ cĂ´ncava para cima em e cĂ´ncava para baixo em e . de sĂŁo f) A curva nĂŁo possui assĂntotas.
-
-
. As abscissas dos pontos de inflexĂŁo
5.5. ESBOĂ&#x2021;O DO GRĂ FICO DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES
211
passa pelos pontos
g) Esboço do grĂĄfico: O grĂĄfico de o ponto de mĂnimo de .
/
,
/
e
/ , onde /
ĂŠ
1
-1
1
-1
Figura 5.29: GrĂĄfico de [2] a)
% . <
; .
.
,
1 .
.
2/ , entĂŁo .2/ o que implica em / e / . A 7 *,+ CA 7 / , c) Pontos crĂticos de em
: ; logo, resolvendo a equação * que sĂŁo os pontos crĂticos de . obtemos &F / A A 3 + EA A d) MĂĄximos e mĂnimos relativos de em
:
* . Logo, A A 1/ relativo e ; entĂŁo de mĂĄximo relativo e DĂŠ ponto ĂŠ ponto de mĂnimo & / de . Por outro lado,
; logo, ĂŠ ponto de mĂĄximo absoluto e
Ê ponto b) Interseçþes com os eixos coordenados: se 2/ ; a curva passa pelos pontos / / , ou
de mĂnimo absoluto de .
e) Estudemos a concavidade de 2/ ; . EntĂŁo, logo,
em
A A / A A F /
ĂŠ cĂ´ncava para cima em do ponto de inflexĂŁo de .
/
e
f) A curva nĂŁo possui assĂntotas.
/ ,/ que ĂŠ o ponto de mĂĄximo de ĂŠ o ponto de inflexĂŁo de . de ;
g) Esboço do gråfico: O gråfico de
:
A A 2/
implica em
'0/
ou
%
;
/ / se se
ĂŠ cĂ´ncava para baixo em
/
; logo,
/
ĂŠ a abscissa
/ / / /
passa ,
pelos pontos ,
;
, que ĂŠ o ponto de mĂnimo
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
212 0.5
-3
-2
-1
1
2
3
-0.5
*
Figura 5.30: GrĂĄfico de
. . [3]
. a)
.
.
b) Interseçþes com os eixos coordenados: se / . ponto
c) Pontos crĂticos de . crĂtico de .
/
CA ; logo BA +
/
A A + +*
d) MĂĄximos e mĂnimos relativos de . relativo de .
AA
, entĂŁo
/
.
f) AssĂntotas.
EA A / F6/ ; logo, /
1 . Logo,
+
Logo,
e
g) Esboço do gråfico:
+
1
+
/
, que ĂŠ o ponto
ĂŠ ponto de mĂĄximo
8 , A A F /
se .
ĂŠ uma assĂntota horizontal da curva.
1
; logo, a curva passa pelo
implica em que
se 8 e) Concavidade de . ou ĂŠ cĂ´ncava para baixo em
e cĂ´ncava para cima em logo, o grĂĄfico de nĂŁo possui pontos de inflexĂŁo.
+
sĂŁo assĂntotas verticais da curva.
-
-
8 .
;
5.5. ESBOĂ&#x2021;O DO GRĂ FICO DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES
213
4
2 -2
-1
0
1
2
3
0
-2
-4
*, ++ .
Figura 5.31: GrĂĄfico de
[4] a)
.
.
&
.
.
/
2/
b) Interseçþes com os eixos coordenados: Se , então ; logo, a curva passa pelo ponto / / . Se 2/ , então 2/ ou ; logo, a curva / / , / e / . passa pelos pontos
c) Pontos crĂticos de : Se
'
+
2/ ; entĂŁo, A
D
.
A /
A função ĂŠ contĂnua para todo . Mas nĂŁo existe ; logo, no ponto / / foi observado no grĂĄfico do valor absoluto. Se
2/ do grĂĄfico deve existir uma "cĂşspide"como + e + . , os pontos crĂticos de sĂŁo
A A + D F / ; logo,
sinal da derivada de A F1/ , se + F F e) Concavidade de . f) AssĂntotas. ticais.
BA A F /
para todo
1
g) Esboço do gråfico:
A A .
0/
*,+
A A + F /
e . + e + sĂŁo pontos de mĂĄximos relativos de . Se / : ,A 6/ se, estudamos / F F + oe para valores Ă esquerda e Ă direita de / ; logo, 2/ ĂŠ um ponto de mĂnimo local de .
d) MĂĄximos e mĂnimos relativos de . Se
/
; entĂŁo,
/ .
. Logo,
ĂŠ cĂ´ncava para baixo em
/ .
nĂŁo possui assĂntotas horizontais e nem ver-
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
214
-1.0
-0.5
0.5
Figura 5.32: GrĂĄfico de
.
1.0
&
.
? /
, onde , representa uma famĂlia de curvas ĂŠ e chamada função [5] densidade de probabilidade normal padrĂŁo, que tem um papel relevante em Probabilidade e EstatĂstica. .
a)
.
/ @ A
b) A curva passa pelo ponto c) Pontos crĂticos de :
.
d) MĂĄximos e mĂnimos relativos de : ponto de mĂĄximo relativo de .
= ĂŠ o ponto crĂtico de . A A . 8 . A A >= F / ; logo, = ; logo,
= e) As abscissas dos pontos de inflexĂŁo sĂŁo: 2/ . Logo, 2/ ĂŠ a assĂntota horizontal da curva. f) AssĂntotas:
g) Esboço dos gråficos para =
2/ &? , =
?D , =
E ? e = D? .
1
1
[6]
% , (%
Figura 5.33: GrĂĄfico de
2
.
), que representa uma famĂlia de curvas.
ĂŠ
5.5. ESBOĂ&#x2021;O DO GRĂ FICO DE FUNĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES
215
%7 / D % ; entĂŁo, se % , , se ĂŠ a) A solução da equação % , . e se %7F0 , . . 2/ , entĂŁo + , se % 2/ b) Se . Neste caso, a interseção com o eixo dos ĂŠ / + . CA *, + c) Pontos crĂticos: * * A 2/ se , (% ). Neste caso, o ponto crĂtico ĂŠ + + . * * D D5 F / ; logo, 5 ĂŠ ponto A A A A
e
d) MĂĄximos e mĂnimos: * * + % de mĂĄximo relativo se . + BA A 2/ % 0 , temos dois pontos de inflexĂŁo. e) Resolvendo , obtemos . Se
f) AssĂntotas. AssĂntotas horizontais:
AssĂntotas verticais: % , Se +
e
% 2/
; entĂŁo,
2/
ĂŠ assĂntota horizontal.
+ +
. % % sĂŁo assĂntotas verticais da curva, para % e 7% F0 , respectivamente.
%7F , e se
g) Esboço dos gråficos: 5
4 1 -3
-2
-1
1
2
3
3
2 -1
1
-3
Figura 5.34: Esboço dos gråficos para
-2
% e % , respectivamente.
1
0.5
-3
[7]
% % % ,(
-2
-1
0
1
Figura 5.35: Esboço para
-1
%
2
3
.
), que representa uma famĂlia de curvas.
1
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
216 a)
.
.
/ / + * + *,+
+ * +
b) Interseçþes com os eixos coordenados: c) Pontos crĂticos de : de .
A
. ; se
% 6/
+
,
+
e
sĂŁo os pontos crĂticos
CA A EA A + . ; logo, + d) MĂĄximos e MĂnimos: ; BA A + . ; logo, relativo de e
ĂŠ ponto de mĂnimo relativo de . 2/ e) Pontos de inflexĂŁo: , e 2/ ĂŠ assĂntota horizontal da curva. f) AssĂntotas:
ĂŠ ponto de mĂĄximo .(
% 2/
).
g) Esboço dos grĂĄficos. Observe que a função ĂŠ Ămpar.
-3
-2
0.4
0.4
0.2
0.2
-1
1
2
-3
3
-2
-1
1
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
Figura 5.36: Esboço dos gråficos para
%D + , %& , e %
2
3
,%
5.6 Problemas de Otimização Nesta seção apresentaremos problemas de maximização e minimização aplicados Ă diversas ĂĄreas. O primeiro passo para resolver este tipo de problema ĂŠ determinar, de forma precisa, a função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressĂŁo de duas variĂĄveis, mas usando as condiçþes adicionais do problema, esta expressĂŁo pode ser reescrita como uma função de uma variĂĄvel derivĂĄvel e assim poderemos aplicar os teoremas. Exemplo 5.12. [1] Determine dois nĂşmeros reais positivos cuja soma ĂŠ possĂvel.
/
e tal que seu produto seja o maior
/ ; logo, ; / / < ; o produto ĂŠ: - Esta ĂŠ a função / , substituindo em : / ; / / < ĂŠ uma função derivĂĄvel. Derivando: A / # ; o ponto # . Analisando o sinal de A , ĂŠ claro que este ponto ĂŠ ponto de mĂĄximo para crĂtico ĂŠ
1/
Considere tal que que devemos maximizar. Como
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAĂ&#x2021;Ă&#x192;O
e
/
#
/ ; 'logo,/ .
Seja valente a minimizar
+ ; logo, obtemos a seguinte função:
derivada de :
"
e
. Note que
, obtem-se
. Calculando a segunda
/
, que ĂŠ sempre positiva; logo,
#
A 3
pontos mais prĂłximos da origem sĂŁo
. Minimizar ĂŠ equipertence Ă curva, temos que
; mas como
Derivando e igualando a zero:
mais prĂłximos da origem.
/ / um ponto da / / e considere: curva
A A
ĂŠ o produto mĂĄximo. Os nĂşmeros sĂŁo
[2] Determine os pontos da curva
217
sĂŁo pontos de mĂnimo; os
.
1
-1
1
-1
Figura 5.37: Exemplo [2]. [3] Determine as dimensþes do retângulo de maior årea que pode ser inscrito na elipse
? =
= ?
/-
y x
Figura 5.38: Exemplo [3].
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
218
Pela simetria da figura, estudaremos o problema no primeiro quadrante e multiplicaremos retângulo Ê , mas otimizaremos o quadrado de årea o resultado A årea do por quatro.
; como
? 8 & =
, entĂŁo:
.? 8 = 1/ = / ? # A Derivando e igualando a zero: , obtem-se . Estudan= 8 >= ? = do o sinal da derivada de temos que ĂŠ ponto de mĂĄximo de e ; logo, a ? ĂĄrea do maior = . As dimensĂľes do retângulo = retângulo que ? . pode ser inscrito na elipse ĂŠ: sĂŁo e % [4] Uma lata cilĂndrica sem tampa superior tem volume . Determine as dimensĂľes da lata,
de modo que a quantidade de material para sua fabricação seja mĂnima.
r
h
Figura 5.39: Exemplo [4].
+
e Devemos minimizar a ĂĄrea. A ĂĄrea do cilindro e da tampa inferior sĂŁo: respectivamente, onde e sĂŁo o raio e a altura do cilindro; logo, devemos minimizar:
Mas o volume ĂŠ ; logo, temos:
Derivando e igualando a zero:
-
e
na expressĂŁo a minimizar,
.
ĂŠ o ponto de mĂnimo e
,
; substituindo / '
A . / 2/ , obtem-se A A / 1/
+
. Logo, as dimensĂľes da lata sĂŁo
%
.
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAĂ&#x2021;Ă&#x192;O
219
[5] Quadrados iguais sĂŁo cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, me % % de comprimento. Uma caixa sem tampa ĂŠ construĂda virando os dindo de largura e lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume mĂĄximo. 15 15-2 x x
8-2 x
8
x
Figura 5.40: Exemplo [5].
D
A altura da caixa ĂŠ ; a largura ĂŠ Logo, devemos maximizar:
e o comprimento ĂŠ
D
, observando que
/GF
F
.
/ 7
A / / / , obtemos Derivando e igualando a zero: / ou # . Mas. ; entĂŁo, # ĂŠ o Ăşnico ponto crĂtico de ; logo, estudando o A - % e 6 / - % . (Verifique!). sinal de , ĂŠ ponto de mĂĄximo. EntĂŁo, '
[6] Calcule as dimensĂľes de um cone circular de volume mĂĄximo que pode ser inscrito numa esfera de raio = .
h a r
Figura 5.41: Uma vista bidimensional do exemplo [6].
Usando o teorema de PitĂĄgoras temos que ; logo, # 8 = , sendo
/ F
=
= = . O volume ĂŠ F = . Derivando e igualando a zero:
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
220
A
#
# 8=
2/ , obtemos 0/ = # .
ponto de mĂĄximo e
ou
#=
;
0/
não Ê solução; então,
/ / /
#=
ĂŠo
. Determine as dimensþes [7] Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de do tanque que minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação. r
r
h
l
h
l
Figura 5.42: Exemplo [7].
, onde na Ăşltima igualdade usamos o teorema de / / / / / /
; logo, Por outro lado, o volume do tanque ĂŠ de # e
A ĂĄrea do cone ĂŠ: PitĂĄgoras.
# / / /
+
; substituindo na expressĂŁo a minimizar:
# / / / + / / / # + Como antes, minimizaremos . Deri . Logo:
, onde / A & vando e igualando a zero:
, obtemos . Usando o teorema ( ĂŠ o ponto de mĂnimo e A, temos que . As dimensĂľes do tanque sĂŁo - # / - /
e
e +
[8] Um pescador estĂĄ a um depĂłsito de
# de um ponto de uma praia e deseja alcançar
de . Sua velocidade na ĂĄgua ĂŠ de por hora e na terra combustĂvel no ponto , a # por hora. Determine ĂŠ de o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao depĂłsito no tempo mĂnimo .
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAĂ&#x2021;Ă&#x192;O
221
x
A
B
2
y
Figura 5.43: Exemplo [8].
No desenho . A função a minimizar Ê: # . #
A # 2/ , obtemos e, calculando a Derivando e igualando a zero: / A A ' 1 / A A ĂŠ o ponto procurado. derivada segunda de : e * . Logo, 8
/
[9] Uma folha de aço de metros de comprimento e metros de largura Ê dobrada ao meio / para fazer um canal em forma de V de metros de comprimento. Determine a distância entre as margens do canal, para que este tenha capacidade måxima.
w/2 h 2
2 Îą Figura 5.44: Exemplo [9].
Observemos que
%
e
'
% e igualando a zero, obtemos que
. DF / como função de . De fato,
; logo,
. Então, podemos escrever a årea do triângulo % , / . Derivando
/
se
. Calculando a derivada segunda:
ĂŠ ponto de mĂĄximo e
.
metros.
& , a reta tangente Ă curva nesse ponto forma no primeiro
[10] Em que ponto da curva quadrante um triângulo de ĂĄrea mĂnima? Determine a ĂĄrea.
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
222
C
P
B A
Figura 5.45: Exemplo [10].
pelo ponto/ procurado. A equação da reta tangente à curva passando o ponto . Se , . Como , temos / / / / , Ê formado por , e se
8 . O triângulo / e
. A ĂĄrea ĂŠ: 1/ # 1 . Calculando a seDerivando, e igualando a zero, obtemos
Seja ĂŠ
gunda derivada:
como para todo
1/
1/ ,
,
#
ĂŠ ponto de mĂnimo. A ĂĄrea ĂŠ
8 .
[11] Um fĂłton (raio de luz) parte de um ponto para um ponto sobre um espelho plano, sendo refletido quando passa pelo ponto . Estabeleça condiçþes para que o caminho seja o mais curto possĂvel.
B A a
b Îą
x
β
dâ&#x2C6;&#x2019;x
P
Figura 5.46: Exemplo [11].
vando,
Devemos minimizar o comprimento
=
?
do percurso:
&
=
e igualando a zero, obtemos:
?
. Deri-
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAĂ&#x2021;Ă&#x192;O
=
?
223
=
?
= seja o mais curto. De fato, o ponto crĂtico = ? ĂŠ de mĂnimo, pois, ? = = ? 1/ = 1/ 8 ? em particular, . = que ĂŠ equivalente a
caminho
, donde obtemos que
. Esta Ê a condição para que o
[12] A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetĂłria que requer tempo mĂnimo. Suponha que a luz tenha velocidade de propagação + no ar e na ĂĄgua ( + ). Se a luz vai de um ponto no ar a um ponto na ĂĄgua, que lei determina este percurso?
P Îą a D
R
O
x
β b
β dâ&#x2C6;&#x2019;x
4
4 ?H 4
Figura 5.47: Exemplo [12].
4
4
Sejam = , , necessĂĄrios para o raio de luz ir de
+
4
4
4
a, e de a ,
= +
e
e sĂŁo, respectivamente:
2/
se
. Os tempos
?
a ĂŠ + . Minimizemos + = ? +
O tempo total de percurso de
Q
;/ <.
,
, equação conhecida como lei de Snell. Para verificar que a condição:
+
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
224
corresponde ao percurso de tempo mĂnimo, mostraremos que ponto. = ? ? + >=
A A 1/
+ > =
ĂŠ cĂ´ncava para cima em todo
?
-
para todo , pois todas as quantidades envolvidas sĂŁo positivas.
[13] Um quadro de altura a estĂĄ pendurado em uma parede vertical, de modo que sua borda inferior estĂĄ a uma altura acima do nĂvel do olho de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto ĂŠ, para que o ângulo visual seja mĂĄximo? Perfil do problema:
a
h ι β
+ * . EntĂŁo,
Figura 5.48: Exemplo [13]. Seja
. Logo,
.
'
.
= =
.
-
*
e
; logo:
Maximizemos a seguinte função:
* * *
= =
; observe que = e o BA Derivando : >= . O ponto crĂtico ĂŠ A sĂŁo positivos; logo, examinemos o numerador de A . ĂŠ crescente se F dominador de F ; entĂŁo, ĂŠ o ponto de mĂĄximo de . Para que o >= e ĂŠ decrescente se >= da parede. ângulo visual seja mĂĄximo, o observador deve colocar-se Ă distância de >= [14] Implante de Vasos SanguĂneos: Suponha que um cirurgiĂŁo necessite implantar um vaso sanguĂneo numa artĂŠria, a fim de melhorar a irrigação numa certa ĂĄrea. Como as quantidades envolvidas sĂŁo pequenas, podemos considerar que vasos e artĂŠrias tem formato cilĂndrico nĂŁo elĂĄstico. Denotemos por e o inĂcio e o final da artĂŠria e suponhamos que se deseje implantar o vaso num ponto da artĂŠria, de modo que a resistĂŞncia ao fluxo sanguĂneo entre e seja a menor possĂvel. A lei de Poiseuille ( , onde ĂŠ o comprimento do vaso, afirma que a resistĂŞncia do sangue no vaso ĂŠ:
5.6. PROBLEMAS DE OTIMIZAĂ&#x2021;Ă&#x192;O
225
Ê o raio do vaso e uma constante positiva que depende da viscosidade do sangue. Nossa estratÊgia serå determinar o melhor ângulo do implante. Para isto, consideremos o seguinte diagrama:
D r2
r1
Îą
A
B
C Figura 5.49: .
e
Sem perda de generalidade, podemos supor que + comprimento do segmento , + o comprimento do segmento e o ângulo segmento , o comprimento do segmento
/
. Denotemos por o , o comprimento do : D
d2
β
A
d0
Îą
B
C d1
x
Figura 5.50: Esquema.
8 + +
A resistĂŞncia total ĂŠ:
, ; logo,
+ , e são constantes. de . Do desenho: Escrevamos em função 7 7 + e
,
. 8 ; logo, +
% % % % 2% + 8 % , onde % + e % . + + % % % A 2% + % % 8 2/ +
Observamos que
EntĂŁo,
226
entĂŁo,
% 8 +
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
= :% % 8 8 + ĂŠ o ponto crĂtico. A A 2% + % % + +
+ %+ A A : % % D / , onde
Sabendo que
>= , temos que:
D
: % % 8 + . Logo, o melhor ângulo para fazer o implante Ê = . Por exemplo, supondo %:% 8 + + . e que + Ê 3 vezes , obtemos
=
e
5.7 Teorema de Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital Comumente, ao estudar limites, aparecem expressĂľes indeterminadas. Por exemplo:
onde a expressĂŁo indeterminada ĂŠ do tipo . O teorema de Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital nos indica um mĂŠtodo para fazer desaparecer estas indeterminaçþes e calcular limites de uma forma mais eficiente. Teorema 5.7. (Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital) Sejam e funçþes derivĂĄveis num domĂnio que pode ser um intervalo aberto ou uma reuniĂŁo de 2/ intervalos abertos, exceto possivelmente num ponto = e , para todo =. 1. Se
2. Se
.
.
2/
e
EAA
EAA
e
, entĂŁo:
EAA
, entĂŁo:
A
A
Para a prova do teorema veja o apĂŞndice. O teorema tambĂŠm ĂŠ vĂĄlido para laterais e EA A limites
A
para limites no infinito. Se
logo;
Em geral se
e
EA A A A
A
e
satisfazem Ă s hipĂłteses do teorema e
A
A
A A A A
.
satisfazem Ă s hipĂłteses do teorema e
A A
, entĂŁo:
, entĂŁo:
5.7. TEOREMA DE Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ&#x201D;PITAL
227
-
Se a função da qual estamos calculando o limite Ê vezes derivåvel, podemos derivar sucessivamente atÊ "eliminar"a indeterminação. Para indicar o tipo de indeterminação, denotamos
, , etc. Exemplo 5.13.
*
[1] Calcule
. Primeiramente observamos que o limite apresenta uma inde-
terminação do tipo . Aplicando o teorema, derivamos o numerador e o denominador da função racional duas vezes; então:
[2] Calcule ma:
[3] Calcule ma:
= 1
*
*
*
1
. O limite apresenta uma indeterminação do tipo
= 1 =
>=
. Aplicando o teore-
> = -
. O limite apresenta uma indeterminação do tipo
. Aplicando o teore-
%
5.7.1 Outros tipos de indeterminaçþes
O teorema de Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital nos indica somente como resolver indeterminaçþes do tipo e . / / Outros tipos, como
, , , e , podem ser resolvidos transformando-os nos tipos jĂĄ estudados no teorema.
Caso
/ ; entĂŁo fazemos:
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
ĂŠ uma forma indeterminada do tipo . Aplicando o teorema:
[1] Calcule
A 8 A 8
/-
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
228
[2] Um objeto de massa ĂŠ deixado cair a partir do repouso. Sua velocidade apĂłs segundos,
% , onde Ê aceleração devida tendo em conta a resistência do ar, Ê dada por:
* *
% 1/ . Calculemos
Ă gravidade e
entĂŁo fazemos:
*
%
/
;
que ĂŠ uma forma indeterminada do tipo . Aplicando o teorema: & % % % * * *
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
-
Como exercĂcio, interprete este limite.
Caso
[1] Calcule fazemos:
8
% . 1 %
%
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
8
8
% 8
& %
8 % .
; entĂŁo
. Aplicando o teorema: % 1 % %
ĂŠ uma forma indeterminada do tipo e novamente apli
camos o teorema ao Ăşltimo limite:
fazemos:
% .% 1
ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
Observamos que
[2] Calcule
%
%
%
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
8%
%
ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
& %
D %
; entĂŁo
-
e novamente aplicamos o teorema:
%
'
/-
5.7. TEOREMA DE Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ&#x201D;PITAL
229
Caso
8 2%
% 8 8
[1] Calcule
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
temos:
logo;
%
nio, temos:
8 8
Da Ăşltima igualdade:
entĂŁo,
* 8
*
8 8 8 0
*
; fazendo:
%
ĂŠ uma função contĂnua em seu domĂ-
8
-
; entĂŁo fazemos:
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
*
8 -
O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo . Aplicando o teorema: 8 * * O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo e novamente aplicamos o teorema:
Como
*
'
;
.
8
8
*
/
8
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo .
8 8 8
entĂŁo aplicamos o caso A:
. Aplicando o teorema:
. Como
[2] Calcule
ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
. Este limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
entĂŁo, aplicamos o caso A:
*
*
ĂŠ uma função contĂnua em seu domĂnio, temos:
-
/
;
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
230
Da Ăşltima igualdade:
Caso
entĂŁo,
*
[1] Calcule
*
* 8 8 * 8
8 -
8 *
.
; fazemos: . O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
8
* . O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo e novamen-
te aplicamos o teorema:
*
*
*
2/
ĂŠ uma função contĂnua em seu domĂnio, temos: 8 * 8 * Da Ăşltima igualdade: * . Como
[2] Calcule
8
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
entĂŁo,
%
te aplicamos o teorema:
8
8 8
8
% 8 8 8
Da Ăşltima igualdade:
[1] Calcule
; fazemos:
uma função contĂnua em seu domĂnio, temos:
2/ -
8 2/
8
Caso
%
8
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo e novamen-
Sendo
2/ -
.
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
/
; fazemos:
5.8. DIFERENCIAL DE UMA FUNĂ&#x2021;Ă&#x192;O
entĂŁo:
.
. O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
aplicamos o teorema:
231
'
e novamente
.2/ -
/
uma função contĂnua em seu domĂnio, temos: 2/ Da Ăşltima igualdade: . % . O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo / ; fazemos: [2] Calcule 8 ' 8 %
% . / entĂŁo: 8 8 . O limite ĂŠ uma forma indeterminada do tipo
Sendo
e novamente aplicamos o teorema:
Sendo
8
%
uma função contĂnua em seu domĂnio, temos: 8 8 % 8 % 8
2/ -
'
8%
8 % 0
Da Ăşltima igualdade:
8
2/ -
.
Em geral, nos casos de potĂŞncias indeterminadas, usamos a função logarĂtmica poder aplicar o teorema de Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital. A continuidade da função logarĂtmica permite resolver este tipo de limite. inversa
para
e de sua
5.8 Diferencial de uma Função A diferencial de uma função serå introduzida de maneira formal. Ao leitor interessado reco mendamos a bibliografia avançada. Seja
uma função definida num domĂnio . e diferenciĂĄvel no ponto . Denotemos por o nĂşmero (nĂŁo nulo), tal que
Definição 5.7.
no ponto ĂŠ denotada por ou , a diferencial de .
em ĂŠ denotado por e definido por 2. O incremento de
1. Para cada BA por
e definida
.
232
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
Para fixado, ĂŠ uma função linear sobre o domĂnio de todos os valores possĂveis de e ĂŠ uma função sobre o domĂnio de todos os valores possĂveis de . Seja , entĂŁo:
.
2/ - Se A 2/
EA
:
- temos que
, onde
Compare com linearização. Exemplo 5.14. Seja logo
.
Por outro lado,
;
1.
2.
5.9
e
Propriedades Sejam entĂŁo:
; no ponto :
2/
2/
Ê uma "boa"aproximação para
Ê uma função tal que
. EntĂŁo:
e
, entĂŁo
2/
:
.
;
e
.
funçþes definidas num domĂnio e diferenciĂĄveis no ponto ,
.
.
ExercĂcios
1. Verifique as condiçþes do teorema de Rolle e determine os do teorema:
/ < /
, no intervalo ; . , no intervalo ; < (b) 1 . (c) , no intervalo ; .0 % # (d)
, no intervalo ; (a)
.
correspondentes Ă conclusĂŁo
# < <
2. Verifique as condiçþes do teorema do valor mÊdio e determine os conclusão do teorema.
.
. (b) (a)
, no intervalo ; # < , no intervalo ; <
correspondentes Ă
5.9. EXERCĂ?CIOS
(d) (c)
233
. < , no intervalo ; . / <
, no intervalo ;
3. Calcule os pontos crĂticos (se existem) de:
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
# #
# #
(a)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
% 0 % 0
(i)
4
#4 # 1
>= ,
!
e=
/
4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funçþes:
(b) (c) (d) (e) (a)
(f) (g)
(h)
. .
/ #
. .
. #
.
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
# 1
0 0
(i)
5. Calcule os pontos de mĂĄximos e de mĂnimos relativos (se existem) de: (a)
(b)
(c)
# #
(d)
(e)
(f)
#
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
# # 1
# #
#
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
234 (m)
(n)
(o)
# #
(q)
(r)
(p)
6. Calcule os pontos de inflexĂŁo (se existem) e estude a concavidade de: (a) (b)
# / / # #
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
7. Esboce os grĂĄficos de:
8.
9.
# #
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(k)
(l)
(m)
(n)
#
(o)
(p)
#
(q)
(k)
(l)
(m)
(n)
2% +
(t)
(u)
1
(v)
(w)
(x)
(y)
#
(s)
*
Determine o valor de tal que a função . em % E? % ? = = Seja
(j)
(r)
(i)
(j)
(h)
1
1
admita um ponto de inflexĂŁo
2/ .
e=
(a) Determine o Ăşnico ponto de inflexĂŁo de . (b) Verifique que
# % 1/ ? tem um ponto de mĂĄximo e um ponto de mĂnimo se =
.
5.9. EXERCĂ?CIOS
10. Seja (a) Se
(b) Se
&
235
, onde
sĂŁo nĂşmeros naturais. Verifique:
ĂŠ par, tem um ponto de mĂnimo em ĂŠ par, tem um ponto de mĂnimo em
11. Esboce o grĂĄfico da famĂlia de curvas
2/ . .
% ,%
.
Problemas de Otimização
måximo, com base no eixo dos 1. Determine a årea do retângulo . sobre a paråbola
e vĂŠrtices superiores
2. Com uma quantidade de material dada deve-se construir um depĂłsito de base quadrada e paredes verticais. Determine as dimensĂľes que dĂŁo o volume mĂĄximo. 3. Uma reta passando por
Determine o triângulo
/
corta o eixo dos em ? >= e o eixo dos em de ĂĄrea mĂnima para = e positivos.
/.%
/ @ ? .
%
4. Um cartaz deve conter de matĂŠria impressa com duas margens de cada, na % parte superior e na parte inferior e duas margens laterais de cada. Determine as dimensĂľes externas do cartaz de modo que sua ĂĄrea total seja mĂnima. 5. Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume mĂĄximo. 6. Determine o ponto da curva
&
situado a menor distância da origem.
7. Determine o volume do maior cilindro circular reto que pode ser inscrito numa esfera de raio .
. Deter8. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a mine os valores do raio e da profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construida com a menor quantidade de material possĂvel.
9. Determine a altura do maior cone que pode ser gerado pela rotação de um triângulo % retângulo de hipotenusa igual a em torno de um dos catetos. 10. Determine o ponto do eixo dos cuja soma das distâncias a
e
#
ĂŠ mĂnima.
11. Entre todos os retângulos de ĂĄrea dada = , qual o que tem menor perĂmetro? 12. Determine os catetos de um triângulo retângulo de ĂĄrea mĂĄxima sabendo que sua hipotenusa ĂŠ .
CAPĂ?TULO 5. APLICAĂ&#x2021;Ă&#x2022;ES DA DERIVADA
236
13. Uma janela tem formato retangular com um semi-cĂrculo no topo. Determine as dimen sĂľes da janela de ĂĄrea mĂĄxima, se o perĂmetro ĂŠ de metros.
eixos 14. Determine a årea do maior retângulo com lados paralelos aos coordenados e que & 2/ e . pode ser inscrito na região limitada pelas curvas
15. Para fazer um cilindro circular reto de um retângulo de folha de aço colam-se duas bordas paralelas da folha. Para dar rigidez ao cilindro cola-se um arame de comprimento ao longo da diagonal do retângulo. Ache a tangente do ângulo formado pela diagonal e o lado não colado, de tal modo que o cilindro tenha volume måximo. 16. Um sólido Ê construido, colando um cilindro circular reto de altura e raio a uma semi-esfera de raio . Se a årea do sólido Ê , determine e para que o volume seja måximo.
, onde 17. Suponha que a resistĂŞncia de uma viga retangular ĂŠ dada pela fĂłrmula: e sĂŁo, respectivamente, a largura e a altura da seção da viga. Determine as dimensĂľes da viga mais resistente que pode ser cortada de um tronco de ĂĄrvore cilĂndrico de raio = .
18. Uma janela tem forma de um retângulo, tendo acima um triângulo equilĂĄtero. Sabendo que o perĂmetro da janela ĂŠ igual a metros, determine as dimensĂľes do retângulo que proporciona a ĂĄrea mĂĄxima para a janela. 19. A diferença de dois nĂşmero ĂŠ menor possĂvel.
/ . Determine os nĂşmeros de modo que o produto seja o
20. A soma de duas vezes um nĂşmeros e cinco vezes um segundo nĂşmero ĂŠ os nĂşmeros de modo que o produto seja o maior possĂvel.
/
. Determine
21. Determine as dimensĂľes do retângulo de maior perĂmetro que pode ser inscrito na elipse centrada
? ; = ? / . =
22. Suponha que numa experiĂŞncia realizada foram coletados os seguintes pares de dados:
+ + - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + , tais que os nĂŁo sĂŁo todos iguais.
A teoria subjacente Ă experiĂŞncia sugere que os dados devem estar ao longo de uma reta
. Devido a erros experimentais, os pontos nĂŁo sĂŁo colineares. O problema consiste em determinar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar
de modo que a soma dos desvios verticais seja mĂnima. O ponto sobre a reta que estĂĄ mais prĂłximo (distância vertical) dos pontos dados tem coordenadas ; logo 7 1 . o quadrado da distância vertical a estes pontos ĂŠ:
(a) Minimize a função:
.
+
--------
(b) Ache a reta que melhor se ajusta aos pontos
+
, / /
,
.
,
#
e
#
.
5.9. EXERCĂ?CIOS
237
23. Se a velocidade de uma onda de comprimento , em ĂĄguas profundas, ĂŠ dada por:
onde e sĂŁo constantes positivas, qual ĂŠ o comprimento da onda que minimiza a velocidade?
24. A taxa aerĂłbica de uma pessoa com anos de idade ĂŠ dada por:
sendo
0
/
. Em que idade a pessoa tem capacidade aerĂłbica mĂĄxima?
25. Com um fio de comprimento = constroi-se um arco de cĂrculo de modo que a ĂĄrea do segmento circular que determina seja mĂĄxima. Qual ĂŠ o raio?
26. Se uma droga ĂŠ injetada sanguĂnea, sua concentração minutos depois ĂŠ dada . na corrente
por , onde ĂŠ uma constante positiva.
(a) Em que instante ocorre a concentração mĂĄxima? (b) Que se pode dizer sobre a concentração apĂłs um longo perĂodo de tempo? 27. Determine o maior comprimento que deve ter uma escada para passar de um corredor de metros de largura a outro, perpendicular, de metros de largura? 28. Usando Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital, calcule os seguintes limites: (a) (b) (c) (d) (e) (f)
1 + # * 1 * & % * & % *
(g) (h) (i) (j)
(k) (l) (m) (n)
% % . * * +
(o)
(p) (q) (r) (s)
238 (t)
% # * * #
(u) (v) (w)
CAPÍTULO 5. APLICAÇÕES DA DERIVADA
(x) (y) (z)
% * *