Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas

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CapĂ­tulo 11

RESPOSTAS 11.1 CapĂ­tulo 1 [1] "! # $ % &' ( $ ) +*-, .0/- ( 21 $ 43 8 5L

6 21 '87 9: 5 ;< := % > ? A@< # $ - B - - B DC E % )F5 GH7 I7 :JK M N0 7 O(P8 7 I 7 QR8P 7 I RS) LM ( T M8 UD VXW) Y7 87 0Z) % [ [2] \ ] R E (!$ &< V^/- _a`b G3 <_c`d fehg i _j`d k6 <_l`m on8 94 <_l`b i _j`p; [3] Falso _j`pq#`m e r `s > 8 Falso _T`h qt`u . [4] g ; 0 1 g -vw! 1 g ,x&' g ?'vw/y g T3 g z% ] ){ 6 g 1 1'v|9: g )} ,w= <; , @< 1> g 1 [8] Os pontos situados sobre a reta _~ q `j; , por exemplo 1 $ , 5 [;' , etc. [10] As retas sĂŁo paralelas, &€` . [11] )qt #_K ‚ X`ƒ G <qt € y_„ h Â…`ƒ G! ,)q #_„ € ) #`† ‡&< <_ˆ jq€`ƒ ‰/y <qt c )_t a Â…` Š3 <qG ‹_c`p . [12] 1 q^ j y_ˆ ‹;]`p , [13] yqG ,y_ c1X`p , [15] < &< parĂĄbola, 43 \ @< hipĂŠrbole, ! 494 4C Jt N0 cĂ­rculo, /y = \ 6 elipse, FÂŒ um ponto. [17] < k Â…1 g ~Â?€C Â?‹1<g < 4 Co`le|1<g , [18] Co` e HI , [19] ! S)ÂŽ Â? k Â…ÂŽ / N‡ Â?Â? !$ ÂŽ / ! Â?Â? &< ÂŽ / N‡ Â?Â? /- ! S)ÂŽ' Â?Â? 3 k Â…ÂŽ / N‡ Â?Â? ! S)ÂŽ Œ‘D [24] 7 8 M g Â’ HM g Â’! HM &' D [25] <qA f_ ^1>`# Š <qx o_ M ~v“`€8 ‡! <_ k_4”|M `# ‡&< <qA fq)” ` /y 1)qk` g 1 Â?_ 08 3 I <qk` _A K x6 <qŠ g 1y_ ` 9: <qt`• [26] a) – YX—c˜ — Y – b) Iu ‹ C<{ — _+n – 8 ‹ C<{ e 8 – # C { — _A™ H – ‹ C { b) 7 7 8 – —l˜ — Y – [27] a) – H M I I– šC<{ — _ – 8 „C<{ e – 8 šC<{ — _ I – „C<{ c) – Y š C<{ — _ Y – „ C<{ e n Y – „ C<{ — _ 7[7Y – š C<{ d) – H — _ — H – [28] – H [29] H 7 [30] 1 g milhas

11.2

CapĂ­tulo 2

8 H ›$Âœ ! <_ I { &< 7 ” › Âœ I – I – [2] V+ A 0 /y \ )UD V+ 0VX! V *$; .' V] * .A&< \ 0 5 $ /y V+ A E $ <3 ( Â? ( 6 ' „ 1 \ ( \ ] R94 E \ ] , = % ‰ 1 \ ] @< V+ A F5 Vo T* 8 I .' Vo T*$; . C # $ % G \ ] \ ] Jt , 5, \ VšN0 ( ž % [ T y ÂŒ V S) # [;' t 5? \ ] ( K <U: V+ 0V [3] V , 3x ‡`Â&#x; e 3x 8I ‡`c . [4] V„ š*' 8n . , 8 7 O › › 8 › Q0n › [5] Q(n ÂĄ O 7 7 O P Âœ 8 @< " ]¢ › Q H 8[ÂŁ M ¢ Y › › ¤ Qw7 Y ÂŁ [6] <_+  ÂŠ <_ 8 o y_" o; ! _B&' " ‹› 7 /y 3 + › H Q › ÂĄ 8 6 _ 8 )_+ ,+9: + › ÂĄ Q8 I › › Âœ Q(™ = P Âœ › QR › n O(7 <_  | _ 8 t'_ ˆ 8 ! _ ˆ" Â… ‡&< mÂĽ 7 › /- 23 ÂĽ › ÂĄ Q ›$ÂĽ ÂĄ 6 <_ 8 ˆ'_  8 Â… Š9: › ÂĄ Q ÂĽ ÂĽÂœ ›› ÂœQ ÂĽ ÂĄ = P Âœ ÂĽ QRÂĽ 7 O › P Âœ 7 Q › O ÂĄ ÂĄ @< k ΢ › Q ÂĽ ÂĽ ÂŁ ¤ ¢ › › ¤ Q ÂĽ ÂŁ [7] [1] <_

1.4

2

1.2

1 1.2

1.5

1

1

0.5

0.8

0.8 0.6

1

0.6

-1

-0.5

-1.5

0.5

1

-1

-0.5

0.5

0.4

0.4

0.5

0.2 0.5

1

1.5

2

!$

381

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5

&'

-0.5

-1

1

1.5

CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

382

1

2

2

2

0.75

1.75

0.5

1.5

1.5

1

1.25

0.25

1

1

-1

-0.5

0.5

1

-1

-0.25

2

3

0.75 0.5

0.5

-0.5

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1

3

-0.75 -1

6

-1

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4

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3

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2

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1

1

94

2

0.25 0.5

1

1.5

2

2.5

3

1.5

1 0.8

1

0.6

0.5

1

-1

0.4

1

0.75

=

@<

0.2

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1

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2

3

-1

1

2

3

-1

-2

C

0.25 -2

2

-1

0.5

-0.5

F

-3 -4

0.5

1

-0.5

-1

2

1 1.5 1

0.5 0.5 -2

-1

1

2

3

4

-2

-1

1

2

-0.5 -1

Jt [8] Não,

-0.5

N0

-1.5 -2

-1

S-J 3 ` V * . [9] 2

2

1

1

1.75

1.75

0.75

0.75

1.5

1.5

0.5

1.25

1.25

0.25

1

1

0.5 0.25 1

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25 -2

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0.25 -2

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2

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2

3

4

5

6

1

-0.25

-0.25

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-1

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2

3

4

5

6

-0.75

-1

8 y_ _ 8 ] y_w 5 _ 8 8 1)_G ] _~ 1 _ ] _o 0 1 _ ] _o ¡Q 8 [10] )_^ _ : I O 8 8 se _ ` % /y 7 Q ¤ O(7 Q ¤ 0 _ L 3 7 Q $ \7 O _R 7 se _ ` 26 7 _ 8 X_ I 0 7 X_ 8 Q _ I QR7 _ 7 _ l - se _ ` ^94 7 Q ¤ A7 O ¤ ( $7 ¤ se _ ` [11] _ 8 _ ! e¦ _ 8 1 _G , I I / N _D &< [12] k` 1 `h H ^`l 21 "` 8

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

[13] 8 P 7 O H i0 ;4 1 _K lvo g _ 8 ~! [14]

0.5

¡ Q H <& -vB z)_T h ¡ Qw7 3x _D "`l_ 8 6D _: "`j_ H 3x _: `j_ 8 ? 6D _: "`j_ F N _: 6D _: ` 6D _: w/y 3x _D ` 7 6D _: ` / 3 3x _: ` $7 ¡ 2

4

6

8

; _ 8 /y 8 se _ ` f3 h > )_ [15] O 7 8 O ! 3x _D "`h1)_k , <6D _: ` g ¤ _o&' 3x _: ` 6D _: ` F N _: [16] _k ]1)No ]1 [17]

1

6

1

4

0.75 4 0.5

0.5

2 2 -2

-1

1

2

-3

-2

-1

1

2

1 -6

-0.5

-1

-4

-2

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0.25

3

!

-4

2 -2

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-4

1

4

0.8

2 0.6

-6

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-2

2

4

6 0.4

-2

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-4

3

0.2

-2

-1

1

-0.25

2

-0.5 -0.75 -1

2

3

4

5

6

11.2. CAPĂ?TULO 2

383

[18] :* _

jV y_ ` – 8 N|{Â’ [N A.G ( ž A!$ \ &< Vj j* . /y :*$_ cV x7› ` 3 E $ )6 E GH 7 <87 <9: V„= )@< E C V~  * .|C g 1 g ) < o 5 g ' ‰Œ g 1 › › @< H › O M &< D + g _^ # +/- f A › I 8 , 3 2 g A Â…_f6 94 8 › › Q 8 = › I › Q I , C › ÂĄ O O 7 \ 7 O P 7 O

2

2

2

2

1.75

1.75

1.75

1.75

1.5

1.5

1.5

1.5

1.25

1.25

1.25

1.25

1

1

1

1

0.75

0.75

0.75

0.75

0.5

0.5

0.5

0.5

0.25 -1

-0.5

0.5

1

!$

0.25 -1

-0.5

0.5

1

0.25 -1

-0.5

0.5

1

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N“{Â’ N +i _ ` . –8 # [19] "› 7 › O › 8 ! g ¤ _ › O(7 F5 ÂĽ ÂĄ QR7 7 O ÂĽ ÂĄ O 7 [23]

0.25 -1

-0.5

0.5

1

[25] 1

1

1

0.5

0.5

0.5

1 0.75 0.5 0.25

-2

-1.5

-1

-0.5

-2

-1

1

0.5

2

1

1.5

2

0.5 -0.5

-0.5

-1

-0.5

!$

-1

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-1

1

1.5

2

-0.25 -0.5

1

1 0.8

0.5

0.6 -2

-1

1

2

0.4

/y

0.5

1

1.5

-0.5

3

0.2

2

-1

[27] ‰ – 8 – I [29] a) 'Z 6 ÂŽ / N09R Â?_: ĂŠ a função inversa da função ÂŽ / N090 _: ; q#`b'Z 6 ÂŽ / N09R Â?_: se e 8 Â… )/ _o ` -O 8 somente se _ `cÂŽ$/ N09R Â?q ; entĂŁo: _ ` , que ĂŠ equivalente a: / equação quadrĂĄtica 8 ; entĂŁo / `‹_f g _ 8 e qk`€FÂ?N‡ _> ]g _ 8 ; em / , cujas soluçþes sĂŁo: / `‹_fe g _ . Mas / analogamente obtem-se as outras funçþes hiperbĂłlicas inversas. Os respectivos grĂĄficos sĂŁo:

2

2

1.5 1

1.5

0.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

1 -3

-2

-1

1

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3

-1

-0.5

-0.5

-1.5 -2

1

2

3

4

!

1

-4

-2

2 -0.5

-1

-1

0.5

-1

0.5 -0.5

&<

-1.5 -2

4

-1.5 -2

3

3 2.5

2

2

1

1.5 -1 1

/y

-0.5

0.5

0.5

0.2

[30] 3 :3 Ê a identidade [31] 3x _: Š` Š_Ri

0.4

0.6

0.8

1

3

-2

›O O ›¼

-3

< [! nĂŁo. [32] 3 O 7 Â?_: A`

3

2

1

-3

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-1

1

2

3

4

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[35] 3

2

1

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<

-1

1 -1

-2

1

-1

2

!

[34]

"!

S-J„ Œ3 ‡` V+ Jš 53 ‡`

CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS

384

8 ¢ ›$ÂŁ ! / › › 7 8 8 › ÂĄ ¢ › ÂŁ [37] 5 - Â?;4 ;' |! -H 7 o™L [38] 3x Â?_: Â…` 2} _ˆ Â&#x;z e 7 Q 8 8 6 Â?_: `h )_ ]v-_^ ]; [41] E I y [42] 5 [?) ÂŒi 3x 5? "`l [43] !“` I [46] Sim, periĂłdica de periĂłdo , `b . [52] - ) Â’JG6 [53] Aprox. $1 ; anos. [54] G`s / 7 7O ” ” H ™ , vy }x6 [55] 1 1 dias [66] $? 1 , anos [57] -,)1 z', 8 )1 , , , )? } ? e , } ,)} z [58] a) vy1 ? , doentes, 1 z); ; v ,y; doentes, b) 1 dias. [60] z , , - $z „ $ 7 [36]

11.3 Capítulo 3 F5 [2] C~` ”M Y Ck`c 1‡!$ C~`€vy Š&' C^`€ [1] > „,2 A! %&' 2/y g %3 ;’6 B 7 ”[7 ” ” 9: <;2= ?+@< D +C % 7 M [3]M Não, os domínios são diferentes. Sim. [4] <;% 77[7 ! ’&< D ‡/y T 3  f6 ‡9: := (@< " G}ŠC D F5 Y JK ŠH7 N0 sM 7 Y S) yJ U: 12W) ’Z) g # "Ž d7 8 Š7 [5] “eXg ’ não existe ! X [6] a) não P ¼ ™

8 M existe b) existe c) existe ’&' M 7 /y + 7 I 3 D - w6 D R9: ‡ t (= ¼ @< [7] Š 1A!$ AI7 &< ‡/y ‡I7 3 + XI7 6 94 = "@' C “F5 Jt +N0 S) (U: “W) Z) D %Ž- 1 x_: [8] \ 4 ! 43 \ 49: R= \ 4C F5 )U: Z) > u&< \ 4/- 6 \ @< \ DJK \ N0 S) \ W) R B Ž- R B R B B [9] R 7 Y I 7[Y 7 !$ I7 &< D ‡/- 7 8 3 <;A6 0 |;A94 0 7 I [ L M 8 8 Y7 = G H @< ŠC D F5 H ’JK ’N0 [10] 1Š ‡! H &< ‡/y G j 3 6 Š94 / = g /4@< / C ‡F5 ’JK F N‡ 5, N0 f uS) (U: ŠW) D ‡Z) / O Ž / O(7 [11] Ambos os limites são iguais: \ 4 &' ;Š! \ :3 | … ^6 Š/- A87 9: | K;‡= D 4@< [15] a) 1 }); ; y; e ; -v b) ; ? 1 ?); [16] a) [17]

-1.5

-1

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

-0.5

0.5

1

1.5

-1.5

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1

1.5

-1.5

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-0.5

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1.5

-1.5

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-0.5

0.5

-1

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-1

-2

-2

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-3 -4

!

-3 -4

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-3 -4

1

1.5

-3 -4

1

4 0.75 0.5

2

0.25 -4

-2

2

-4

4

-2

2

4

-0.25

-2 -0.5

/-

3

-0.75 -1

H

I

/- ÂŽ$/ N‡ ŒŽ$/ N‡ 3 <8 ¢ [18] t l > P M ! /w&' – Desenhos correspondentes: 4

8ÂŁ

-4

[19] \ ! &< \ :94 contĂ­nuas /y \ 3 6 descontĂ­nuas.

1

1

1

0.75

3

0.8 0.5

0.5

2

0.25

1 -4

-2

2

4

-6

-4

-2

2

4

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6

-1

-2

0.6 1

2

0.4

-0.25

-1

-0.5

-3 -4

-0.5

!

-1

0.2

&'

-0.75 -1

8

-6

-4

-2

2

4

6

2

20

6 4

1

10

2 0.5

1

1.5

2

2.5

-3

3

-2

-1

1

2

3

-1

1

2

3

-2

-10

/- [21] < k

-4 -6 -8

3

-20

6

-1

-2

}2! \ 4/- 0&' %3 , . [22] \ 4 \ ! /y \ 43 , g) nĂŁo d) sim [23] \ ! /y V^ , &' V * . R 3 # ‡ E [24] \ : ! /y 3 sim. [25] 3x 5 o`m . [26] 3x 5 ~` – 8 [27] 3x 5 o` 87 3x 5 ~` ‡! 3x |` [28] 6 ĂŠ contĂ­nua pois 6 Â?_D ` _ [29] Por exemplo: › 7 e › ÂĄ › O(7 [31] Sim, considere a função 6 Â?_: A` 3x Â?_D x nI [33]

11.4. CAPÍTULO 4

385

2

1 14 12

0.8 1.5

10 0.6 8

1

0.5

3 ` 3x

-4

-2

2

4

6k`#6

4

6

0.4

0.2

-4

-2

2

4

2 -4

-2

2

4

[35] Tome 6 _: `c3x _D x _ e aplique o TVI a 6 . [36] Tome 9R _D `c3x _: 6 _D e aplique o TVI a 9 .

11.4 Capítulo 4 [1] <qf } _G $ G`a > y_o

qf j k`a ! <q~ ,)_~ ;t`a B&' y_t Xq~ ]}G`a >/- qf _ ` 3 q~ ; _X`¦ 6 <; q _ #1]` o94 )q~ _T #,X` ^= g 1)q y_T j T`d >@< <qo ¦ T`b C <qG )_ j X` ~F5 <q _ `m ~Jt qo l{ _h` N0 1)q #_T 1 ` oS) <; q c_T 1 ` BU: g -q c_T 1 ` oW) )qt #_K ` Z) yqo ; _ #, ` [2] `be|} . [3] qG } _ ? `p qo } _ c? ` . [4] _c` ;4 q ; z _K l )z ` 8 [5] <q^ c y_ # ` yqG _t K` <q / _ / ` / q^ _ / K` ! <qG c ` _ ` &< <qA K y_| 8 ` yq" o_| o{t` /y )qA o_| %` qA K )_ 1 ` 23 <q { _ {(F N {0 ` { q _ tF N {0 ` x6 <qt _ f F N 5 t`m qG c_T ¦ > F N 5 t` t94 q cz)_ jz `s z)q j_ h ]` [6] Uma reta 8 MH passando pela origem é da forma q ` C+_ ; use o fato que8 _4q 8 q ` 8 . $}' \ I <7 0 % [1);< . [7] q+ k; _+ %` qA ^; _" o;>` . [8] 6 5 5 ` ; . [9] 6 5 _: ` 3x _ )_ 3 _ . [10] < <6 5 5 ` 1' ` z . 8 O Q ¡ ¢ ¡ O £ [11] 7 ¡ c) [12] < ( ' >_: ' k,)_w $ )_

¤ ¡ ¡ ; _ I c $_ H v-_ M 1)_ 8 5,)_ 8 1 _ M _ I c - 8 !$ Y Q0 I Q H £ ¡ O 7 &< M O L O 8 7 Q I L ¡ OI £ ¡ O 7 8 $ Q( O 8 ¢ QR7 ¢ H O Y Y I ¡ H 8 I Y 8 [13] D , 51)_ , v )_ 1 ; _ #1 _K c - ! G # y;: }k 1 _: n &' 1 )_w 1)_ #;< /y ¢ H O Y O Q I O ¡ Q £ ¡ 3 _ 8 - _ I j )_: 5 _ 8 51)_ 8 j h; _R _ I l y_: [ 6 $z)_ 8 _ I c}' 8 $/-! 8 _ I c}' I 6 _ I c}' I ¡ ¡ ¤ 9: I Q I Y O:n8 R= M Y 8 ¢ I O £ 8 £ @< > ¡ 7 Q 8 £ ¡ C ¢ Qw7 I £ ¢ £ QR 7 £ $z' " ,'v-_f ]} 1 _ 8 y_ I ? ? _ H ]; -vy_ M O O ¢ QR7 ¢ QR7 ¢ Q Q(n £ _ Y $z)_ n X $_ L [14] < , O 7 F N 5, 0 7 O 8 , O 8 F N $ ' $ ] - - 8 R! 8 M £ &' 7 Q <H ¢ £ ¤ < ¢ ¢ /y 7 ¡ 3 6 90 _: '6 F N $ ' 09: 7 £ = / ! S) ' / :@< 7 / ! S) ' F N _D R X_: / N F N _D Q <¢ Q H £ ¢ Q 8 £ ¢ 8 ¡ Q 8 O 7 £ 3 _ 8 5 w F N _ 8 I ¡ 8 £ [15] 8 P Q 8 D $z ¢¢ Q(n £ ! _ O _4F N _: ' G_% K - D&' " 7 1 <¢ F N 1' D/- ¢ 8 QR7 £ ¡ ¡ 8 8 6 <_ Qw7 A ]F N _ x94 _ O F N _D 0= $/ N O 7 _: _4! S) _: ]F N 5 / N _D [ $/ N _: @< <_ O(7 / : _4F N _: [ C ! S) ¢ $£ O 7 _: ! S) 8 _D F N ! S) ' _D < o / N 8 _: [ F5 +¢ <¢ £ £ : GF N F N _: [ [16] + ¡ ¢ £ ¢ £ ! ¢ £ ¢ $£ ! $/-!) y_D 6 5 y_D (&< ! I ¢ £ g 7 O ¡ ¢ £ g 8 O ! ¡ ¢ £ /y ! S 6 5 )_: x y_%! S) $/-! 8 5 )_: w3 7 I ! S) H I [ /$N I ! S) M I x - 6 D - y_ /-! I 5 )_ 8 6 5 )_ 8 ¡ 9: % ¢ P 7 O¡ ¡ £ = 5! S 6D _: : t! S) /-!) 5 )_: 5 ! S 6D y_D ! S) /-!) 5 )_: : t! S) /-! 8 _: :@< 8 7 / N 5 g _ (C /-! 8 _: P P ¡ 7\O F5 8 ! ¡ ¢ £ JK k 8 ! S) ' A 7 ¡ 0N0 y_ /-!) _ 8 [ / ! 8 5 /-!) _ 8 6 _ 8 I ¢ ¡[£ S) k H $/-! 8 7 ¡ 6 7 ¡ U: k y_ ! S) / ! 8 5 /-!) _ 8 [ /-!) _ 8 6D _ 8 0W) ¥ 7 £ $£ Z) 7 £ [18] < f ¡ 7 QR7 ¢ ¢ <¢ ¥ " < ¢ ¡ £ ! ¤ 8 &' k ¡ 7 QR7 QR7 P 7 O /y ¡ 7 3 ~ M ¡ ! S) -90 M R6 } 5! S) -90 51)_D / N090 51)_: ! S) ' 1)_D / N 1 _: 94 D })_w ; _ 8 X1' /-! 9 8 ; _ 8 X1 8 w= ^ 8 ¢ ¡ O QR7 7 £ @< 'Z 6<! S) 9R _D xC H F5 8 JK 8 ¥ " ! ¢ ¡ £ H O $¤ 7\O $¤ ¢ ¡ Qw7 £ ¡ P $¤ O(7 8 8 I ¡ 8 8 N0 &< 8 Q I ¡ ¡ Q Y Q I \¤ /y | ¡ ! S) /-! 9R P 7 Q7 $¡ ! S 6 90 P 7 Q7 $¡ [19] | t_ q O 4 | ¡ Q Q 8 $!$ £ ¡ ¢ 7 Q ¡ ¡ ¡ ¡ R3 | 6 7 9: 7 QI 8 QI 8 8 £ = | @< ¢ 8 8 O ¡ 8 8 O 7 £ C ! ! ¢ £ O £ ! ¢ ££ £ F5 JK + ¡ $ # N0 | ¡ £ O O(7 ¡ ¢ Q O ¢ ¢ Q <¢ ¡ Q 7 Q ¡ Q £ ¥%" O £ 8 ¢ W) O 7 Q ¢ ¢ ) S D U k ) Z k % - \ 5 ( e 8 Q I ¡¢ £O 7 Q ¡ Q ¢ 7 Q ¡ £ ¥ " ¢ £ [20] k` ou ^` 1 [23] q<_4 + X_ q) `c ) . [24] q g _ + X_ g q ` g _ q) &4 &B $'k `l [21] L7 l7 7 Y . [22] M I !$ 5! S) ' _ 8 c y_ 8 / N _ 8 [ &< $/-! 8 _D 5 /-! 8 _D 2 h 6 8 _D /y ! S) y_D % c! S) ' _: [26] I Y (

386

CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS

I› = › Âœ 5 š )_f Â…_ 8 7 6 Y Q ›$¤ H › 94 ›¢ ÂĄ O 7 ÂŁ ÂĄ ¢ › QR7 ÂŁ Âœ ÂĄ ÂĄ @< k „! S)ÂŽ 8 Â?_D ! S)ÂŽ' 5ÂŽ / N‡ Â?_D w ]ÂŽ / N‡ Â?_D ÂŽ / N‡ 5ÂŽ / N‡ Â?_: [ xC f ›$ <ÂĄ ¢ ›$ÂĄ ÂŁ Qw›$7 ÂŁ >F5 f <¢ ›$ÂŁ ¢ 7 Q 8 ! ÂĄ ¢ › ›$ÂŁ ÂŁÂ?Q ÂŁ ÂĄ ¢ › ÂŁÂ?ÂŁ 7 Q ¢ ¢ ¢ ¤ JK ¢ P Âœ › ÂŁ g _DÂŽ / ! 8 g _D x Â?6D g _D 0 g _ Â?6 8 g _: [ N0 8 ¢ 7\O I › ÂŁ Âœ H › ÂĄ › ÂĄ ¢ › ¤ O 7 ÂŁ ÂĄ ™› &< › 8 H ÂŁ /y z / 8 › QR7 3 › Y ¤ 6 7 Y ÂŽ / N‡ ›8 94 # n ! S)ÂŽ 5'_: <= t › 8 Âœ S) › Y ÂĄ ¢ 8 8 › Âœ ›QwÂœ 7 ÂŁ ÂŁ ÂĄ [27] o v Â’! G I O › ÂĄ ÂŁ ÂĄ 7 ¢ Q ¢ O 7 ¢ ¤ QR7 ” › ÂĄ QR7 ÂŁ ¤ ” ÂĄ H › L M › @< Â?_^ v / C Antes de derivar simplique a expressĂŁo. ¢ › ÂĄ ÂŁ FÂŒ f 8 H › ¢ › › Q ÂĄ 8 › ÂŁ QR7 7 ÂŁ ¢ O 7 ” ¥¢ Q O(H 7 ¤ ÂŁ JK ! S)ÂŽ-9 Y Â?_D ÂŽ / N090 _: ÂŒ ,)! S)ÂŽ-9 8 Â?_D R ,) ;'ÂŽ / N09 8 _: RN0 ¢ 7\O 7 ¢ ÂĄ Qw7 ÂŁ ÂĄ S) k šz ÂŽ /-! 9 8 Â?_: Â?6 9R Â?_D ÂŒ ÂŽ /-! 9 8 Â?_D x Â?6 9 8 _: U: ÂŽ$/ N09R Â?_D ! S)ÂŽ-90 _: ! S)ÂŽ-9R Â?_: ! S)ÂŽ-90 5! S)ÂŽ-90 _: Â’ ]1 ÂŽ / N090 5! S)ÂŽ-90 _: [ ÂĄ W) k › 8 ÂĄ 5ÂŽ / N‡ FÂ?N‡ _: [ 0 X! S)ÂŽ 5FÂ?N‡ _: [ <Z) 8 ¢ 8 !O !Âœ › ÂŁ ¢ ›$ÂŁ [28] ; / 8 › ÂŒ3 5 5/ 8 › R X/ 8 › 3 5 5/ 8 › [ . [32] ˜ `ce“ ¢ I Â?_ 8 Â…q 8 q 8 w f 7 Q Y Q ÂĄ ! k 8 ¢ › ÂĄ O 7 ÂŁ ÂĄ Q ¢ H › Q I ÂŁ Q ÂĄ ¢ 7 Q Y ÂĄ ÂŁ &< Y › ¢ 7\O › ÂŁ O ÂĄ < k › H Âœ Q I ÂĄ Q 8 ¢ › ÂĄ O 7 ÂŁ O(7 I Âœ [34] Q › ÂŁ ÂĄ ÂĄ $ › ÂŁ › ÂŁ ÂŁ › ÂŁ ÂŁ 8 !

¢ O O Q 3 ! S)ÂŽ /-!) q 5ÂŽ / N‡ Â?_D " ! S)ÂŽ q q 8 [35] M 8[H M ™ Y I [36] I H 8™ [37] /y G ¢ O ¢ Q ! ¢ ÂŁ Q <› ¢ ! ¢ › ÂŁ ¢ ¢ <_0 ) -! <_0 )&< g 1% P Y I _ , /y D " š )_0 3 ›I 6 <_R y9: F N‡ 5, Â…_0 = _^ [38] < ,) 1 1 ! z<v-; &' 'v v) '/y D -, , )} ? <3 <; ', , [40] $ 1 ‡! J I [41] i) 2z O I y; O H =Â?= A`l [42] Aprox. } ” )9 [43] z ‡F -J [44] 6 \ 6 [45] )? ;ŠJ ÂŽ$/$6 [46] "C^P 8 I !\J 8 )9 [47] g x!\J )ÂŽ /$6 . [48] Aprox. } v),Â’! J ÂŽ$/$6 . [49] 5 ,Â’{0 O 7 ! J ÂŽ$/$6 [51] v< , , ,)} , E - e $} [52] J 9 3 f

11.5 CapĂ­tulo 5 M 08 P 7 ™ &< I –H I ! n < & 8 –H H – [2] I I [3] a) NĂŁo existe, b) 8 , c) , d) , e) , f) NĂŁo existe, g) 21 , h) – 8 ‹C<{ , i) ÂĽ C<{ , j) H – ‹C { , k) , l) , m) I NĂŁo existe , n) NĂŁo existe. o) _G`h _ `Â&#x; H 7 _G` L p) _t`# , _t`# e _G` Q I I [4] a) Cres. em 8 4 ˆ 5 \ ] , decres. em - K 8 , b) Cres. em 8 7 K 87 \ ] , decres. em 87 87 , c) Cres. em 5 \ ] , decres. em [ , d) Cres. em , decres. em [ ' , e) Cres. em BP 7 \ ] , decres. em 5 oP 7 , f) Cres. em [ ' , decres. em \ š , g) Cres. em V , h) 8 Decres. em V , i) Cres. em , decres. em - , j) Cres. em % x I , decres. 8 nI < „ nI , decres. em nI nI , l) Cres. em 8 I – 8 I – , decres em % I , k) Cres. em # $ 8 I – " € 8 I – m) Cres. em V , n) Dres. em V o) Cres. # $ , decres. \ ] , p) Cres. [ ' „ 5 \ ] decres. 5 $ „ . I , nĂŁo existe mĂ­n. c) MĂ­n. . mĂĄx. v , d) MĂ­n , nĂŁo existe mĂĄx. e) [5] a) 8 MĂ­n. n , nĂŁo existe mĂĄx. b) MĂĄx H I 8 MĂĄx Y ™ H , f) NĂŁo existem, g) MĂ­n. h) MĂ­n. % , mĂĄx , i) NĂŁo existem, j) MĂ­n. M , mĂĄx. % , k) MĂ­n. , mĂĄx M , l) MĂ­n. . m) MĂ­n. g | ‹ , mĂĄx g “ , n) MĂ­n. , mĂĄx eBg , o) MĂ­n. , mĂĄx ; p) MĂĄx , nĂŁo existe mĂ­n. q) MĂ­n. , nĂŁo existe mĂĄx. r) MĂ­n. ef , nĂŁo existe mĂĄx. M M M [6] a) Inf. I , cĂ´ncava para cima em # I , cĂ´ncava para baixo em I \ ] . b) Inf. I7 , cĂ´ncava para cima em I7 0 5 , cĂ´ncava para baixo em 8 I7 . c) NĂŁo existem; cĂ´ncava para cima 8 em ; , cĂ´ncava 8 para baixo em # $ ;' . d) Inf. I , cĂ´ncava para cima em I , cĂ´ncava para baixo em # $ I . e) Inf. ef , cĂ´ncava para cima em - x \ ] , cĂ´ncava para baixo em š \ ] . f) Inf. 2} , cĂ´ncava para cima em 2} $ 21 „ 1 , cĂ´ncava para baixo em 2}' . g) Inf. e P 8 8 , concava para cima em # $ P 8 8 $ “ P 8 8 ;cĂ´ncava para baixo em P 8 8 P 8 8 h) Inf. 2} , cĂ´ncava para cima em 2} \ ] , cĂ´ncava para baixo em 2} . i) NĂŁo possui pontos de I 8 , cĂ´ncava para cima inf. cĂ´ncava para cima em \ ] , cĂ´ncava para baixo em # . j) Inf. e e [1]

n8

H QRP n Y Y

!

11.5. CAPĂ?TULO 5

387

!

, cĂ´ncava para cima em 5 CB C , cĂ´ncava para em , cĂ´ncava para baixo em 5 $ . k) Inf. C ÂŒ

D C

x C t 5 baixo em . l) Inf. e . cĂ´ncava para cima em para baixo em [ ' - B I C ;7 cĂ´ncava M C I . 2 C C 5 | C ÂŒ

| C 7 8 com 8 8 ; cĂ´ncava para baixo em 8 8 . m) Inf. , cĂ´ncava para cima em n) NĂŁo possui pontos de inf. cĂ´ncava para cima em todo V .

!

[7] -1.5

-1

-0.5

0.5

1

1

3

1.5

2

-2

4

0.5

1

3 -6

-4

-2

2

-4

4

6

-1

1

2

2

3

4

1

2

3

1

1.2

5

6

-2

-6

-3

!

-8

&<

-4 -5

1

0.4

0.8

0.3

0.6

0.2

-10

-5

5

6

10

-1

0.4

5 4

0.3

3 0.2

0.1

0.4

-0.5

1

2 -1

0.2

-0.5

0.5

0.1

1

1

-0.1

-6

-4

-2

@<

2

4

-1

6

-0.2

C

-0.2 -0.4

-0.5

0.5

FŒ

-0.3 -0.4

1

N0

-0.1 -0.2

1.5

4

-2

-1

4

-1 -2

1

4

1.25

0.8

2

2

1

0.6 -2

-1

1

2

0.75

3

-4

-2

2

4

0.5

-2

U:

-2

W)

-4

ÂŽ

-4

2

0.25

-1.5

-1

-0.5

2 1.5

1.5

1

1

0.5 0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-0.5

-2

2

4

0.5

1

1.5

-1

0.4

0.2 0.175

0.3

0.15

0.25

0.125

0.2

0.1

0.15

0.075

-2

0.4

0.6

0.8

1.4

0.05

0.05 -3

0.2

0.35

0.1

|

-0.5

0.4 0.2

-1

1

2

3

_:

0.025 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.2 0.2 1 0.8

0.1

0.6 -1

q

-0.5

0.5

0.4

1

0.2

r

-0.1

-0.2

[8] C~`h 21 , [9] a) _ ” `Â&#x; I ÂĽ .

0.5

1

1.5

2

-0.2

[11] 1

0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

Exercicios de Otimização

H I I 8 œ œ Y œ , [3] ; , [5] ` ™\– P I [6] [ ' , [7] P ™ { Z , [8] Z>`j,xJ e 9G`j,xJ , [1] 1 , [2] Cubo de volume 8 [9] I g 1 , [10] H 7 [ ' , [11] Quadrado de lados g , [12] Comprimento de cada cateto P 8 , [13] 9c`bZX`

7 8 H J , [14] , [15] �6 ˜ |` – Q

P 8 8 , [16] Z `•9„`

. [17]largura 8 ÂĽ I P I , altura 8 ÂĽ P I 8 [18] largura Y H I , altura P O(P

388

CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

Y O 8P I 8¥¡ 8 ¡ Q ¡ Q ¡ ¡¡ ¡ Q Q Q Q ¡ b) qG`b7 I . [23] Y O P I [19] $ e $ , [20] n H e v , [21] P ¥ ¡ Q ¡ e P ¥ ¡ Q ¡ [22] a) Jd` ` ' . [24] Aprox. aos 20 anos. [25] _T` 8 e Zo` 8 ¥ [26] a) F N 1' XF N , b) a droga é completamente eliminada. [27] $z xJ

[28]

L’Hôpital: 1) , 2) , 3)] , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) 8 , 11) , 12) , 13) / , 19) / 8 , 20) / O , 21) 87 , 22) , 23) , 24) % , 25) I , 26) , 27) , 28)

11.6

8

/ 8 , 18) ¡ ,Q 14) , 15) , 16) , 17) 8 .

Capítulo 6

¤ M 8 I 8 [2] a) L _ - ! b) 8 F N _ c x

! c) 8I _o , ¡ ! d) ¥8 g 'q> !yi ` e) H7 5 \q 8 ]'q H x ! ¡ £ L H I f) I g _ Xz ! g) M O 7 I ¡ ! h) 8 ¥ ¢ Q 7 ¥ £ ¡ !yi `¦ i) Y 7 5> _ ¡ !yi4 `h j) 8 ¢ F N _D R ! k) Y7 ! S) I 5 )_: 0 ! l) /-! 8 8 0 X! m) ¥8 /$N 5'_: 0 ]!yi `c n) 7 £ ]! o) 87 g A X_ H ! p) I7 / ! q) <¢ £ 8 H7 Zy! / N q f! r) H7 'Zy! 6 ; / O f! s) 8 ¢ ! ¢ 7 £ O M £ ¡ f! t) 87 ¡ Q 7 Y f! u) F N F N _: [ f! v) / ¥%" <¢ f! w) 2! S) ' F N _D G! x) / N g _k $ G! y) 87 : _ Y ¡ ! z) <¢ II £ £ G! [3] a) g 'Zy! /-!) 8 G! b) _2 ~F N / ¢ P ) ! c) 8I g _k _ ~ ) ! d) g _ 8 ! e) A g _: ' ~ )F N g _+ ) ! f) 8M A _ zx k; _ 1)_ ¡ ) ! £ ! £ £ ! 8 ¢ <¢ ¡ QR7 O ¢ [4] a) / _% K - ! b) )_: / N _D _ ! S) ' _D ! c) 7 Q ! d) e) 87 _R /$N 5F N _: ¡ £ £ £ £ I I ! S) ' F N _D #! f) 87 g ; _ 8 _%'Zy! ! S) ' 5 )_: #! g) ¢ <¢ Q ! I £ ¢ £ ¡ ¢ ! h) ¢ QR7 £ ¥ 8 " ¢ $£ 8 #! i) 7 Q ¢ <¢ 8 8 87 5 /-!) _D 6 _: F N /-!) _: 6D _: ! j) _4/ O ! k) _ ! l) I7 g _ _ ! . Sugestão: Y 8 faça ` _ ¡ . m) _ ! S 6D _: F N / ¤ N _D ¡ ! n) _ /-!) _: 0 F N /-!) _D : 6D _: ! o) ! S) ' 5,)_: 7 8[M M D I I Y I I H I I 8 / N 5,y_D 8 M Y 8[M G! p) / N 5 y_D 8 8 H G! S) ' y_: _ 8 ! q) / _ ^; _ )_ o ); _+ y;< G! M H I 8 8 r) 2/ O _ ,y_ u ?)_ , vy_ u ,)_ u , ¦! s) ! S) -9R _: ( _ ¦ | l _ /$N09R _D 2 h! t) 7 7 Y [ f z)_ 8 Z 6 /$N09R 5 )_: ) > y_ g A X; _ 8 k! u) 2/ O _ H f; _ I G - y_ 8 ^ y; _x ^ );' $ k! v) _A B'Z-!$ $/ N _: g _ 8 k! w) _ 6 _D ^F N ! S) ' _: - ^! x) _> F N I _: >1 F N 8 _: - ^} F N _: >}' ^! y) 8 ¡ 1 F N _: f - ^! z) 8 M _ - ¡ 1 _A f ~! H 7 H H L 8 ` _ H . c) [5] a) 87 _ g _ # % 'Z 6 / N09R _: [ #! b) H 7 5 / N _ _ y_ ! S) ' _ [ #! . Sugestão: use ¤ ¡ 5! S) ' F N _: [ t / N F N _: [ ! ~_ 8 T ! 8 8 d) / P g _ K - ! e) 5 / N g _D g _4! S) ' g _: ' ! f) / . $ £

H £ ¢ 8 ! S) 8 _: y I _: y o! L H ¢ 51 ,)! S) ; _D ^ )z ! S) ' 5 y_D y o, v y ~! 6 ~ ! % ! ) S : _ $ D 7 I L

I 8 M [6] a)H b) c) d) 7 ! S) _D R ! e) ! S) ' _: R ]F N ! S) $/-!) _: ! S 6 _D R ! f) GY7 ! S 6 I y_D 0 ! g) GM7 ! S 6 M _: w X! h) L 7 ¥ 51 '_o 1 ! S) 5'_: / N '_D + / N I 5 _D ! S) ' 5 _D #!yi ` i) ! ¢ £ 5 / N 8 q x 8M ! j) M ¢ £ [7] a) GP 7 Y O $¡ n 'Zy! /$N H k! b) P L ¡ OD¡ M 7 H Zy! 6 I ¡ k! c) GP M M O ¡ k! d) F N _x g _ 8 Xv $ k! e) M7 F N M 8[M O ¡ $ k! f) 7 Q P OD P ¡ I8 Zy! / N < _: $ 8 7 _( B1 g )_~ T_ 8 ! g) ¢ 7 Y LO: £ ¡ ! h) H H O 8 $¡ ! i) 8 g _ 8 < F N _0 g _ 8 ] \ ! j) P O P 8 8 Zy! 6 P 8 ¡ \ ! k) P H 8 F N P 7 Q ¡¡ Q P 88 \ ! l) P H ¡ O H B! m) nL 8 H $¡ ¡ Q( ! n) 87 _ g A _ 8 _ 8 87 'Z-!$ $/ N _: \ Q( P 7\O P P 7 Q O P ! ¢ £ ! o) g / B! p) g _ 8 >F N _R g _ 8 B! q) GP H ¡ Q H [8] a) >! b) H ¢ $£ >! 8[M g 8[M O ! ¡ ¢ $£ g ¢ <¢ £ £ ¡ O H 8 <¢ £ Q g ¡ ¢ £ Q H + c! `d'Zy! / N090 <¢ $£ + j! 8 8 c) F N [9] a) 87 'Zy! / N 5 )_ + ! b) GI7 g 1 _ _k | £ I L I I 8 I 8 8 8 P L F N g 1)_ T_k 2 #g 1y_t aP Y ! c) H n ¡ ¢ I Q H ]}'g vx'Zy! 6D Q ! d) 'Z$6 / N090 Q I ! e) 7 Q Q P n P 7[7 F N y_R - g _ 8 T_o |! f) HM g ; _ 8 X1 _k Y 'Z 6 $= N090 L Q I [ |! g) 2 Zy! / N 5 _: h) g 12 y_k X_ 8 P n 8 I I 87 I 8 'Z 6 / N O 8 7 2 l! i) g ; 1)_f X_ 8 'Z 6 / N090 P O n h! j) g _ ]})_k ]1); 'Z 6 / N090 Q M h! [10] a) 8£¡ O(7 x )'Zy! 6D _: 0 ! I 8 8 8 7 H F N ¢¡ O Q 8 Q H 0 P 7 8 Zy! 6 P O I 7 0 ! b) F N QR c) 87 F N _ ] 0 ¢ ¡ Q 7 8 £ ¡ ]! d) 87 F N _ 7 A $¡ 7 #! e) 7 Zy! 6 _D #! f) F N g _ 8 A 87 'Zy! 6D _: " 8 $¡ £ #! g) F N O ¡ £ Q ¡ + I QR7 QR7 ¢ QR7 ¢ Qw7

11.7. CAPÍTULO 7

389

I 8 Zy! 6 8 O 7 ) o! 8 I h) 8 7 ¡ ^F N _D ) 87 F N _ ) ! i) 8 ¢ ¡ Q Q H Q M £ X87 'Zy! 6 _A G ) ! j) _A oF N P $¡ QR7 ) ! P I P I O 7 n # -,)'Zy! 6D X_D x F N , X; _~ _ 8 w ! I 8 k) 87 M O H l) F N P ¡ QQR 7 QR7 w P I 'Zy! 6D P QRI 7 w #! m) M 7 Q ¡ M P I 'Zy! 6 8 O(7 2 ¦! I 8 F N O( 7 8 7 £ ¡ ¦! p) 7 O I 7 7 j'Zy! 6 _D % h! n) 8 F N _ _ 4 I I o) ¢ O 7 ¤ P ¡ H £ 8 M ¡ ¤ 7 y ~F N O 7 - o! 8 o? 7 8 Y 'Z-! 6D y ~! Q 7 F N _ _ 5 ) z " _ ¢ x 'Z ! D 6 ¡ 8 £ ¡ - o! ^ , g ¡ H7 F N ¡ QR 8 I L 8 q) r) ¡ n 7 Q ¢ Q P 8 8 8 8 8 I 8 E Q F N P > ! 7 F N Q R Q 7 E f ! F N _ 7 F N w _ k , F N x _ o $ > ! ¡Q 8 Q M 8 ¢ ¡ Q 8 Q 8 £ 8 s) t) L u) M v) F N E _ ¢ ¡ Q 8 Q 8 £ ¤ 7 M I g _ 8 $ k'Zy! 6 _: k! [11] $/ N _: 5F N $/ N _: ) ~ k! ¡ ¢ M £ _ F N 5, y ~ - $ k! ! I7 ! S) ' _ $ £ $ £ _ I / N _ I B! &< I ¢ >! /- 87 5 / N _D <¢ n B! 3 7 >! 6 'Z 6 / N09R 8 o >! I ¢ ¡ Q H £ ¡ n 9: 87 5/ g ? / 8 o? 'Zy! / N I ) ! = I7 F N _ I o1 _ 8 o;' ) ! @< 87 F N _ 8 G y_A o;' ' H P I I 'Z-! 6D QRI 7 ) P ! C 8 ¡ F N ¡ < ! F g ,x Zy! 6 P M M ! S) ' _D 4 G! S) ' _: K! JK 8 8 7 £ ¡ F N _% K! QR7 QR7 ¢ Qw7 7 Y 5F N y_w B %F N y_( Bv) [ !:S) F N _D 87 F N _ 8 1 8 P I I 'Z-! 6D -P I I _: !4U: F N _w B 8 7 F N _ 8 k - N0 7 1 'Zy! 6 _: ) !xW) 8 I 5 )_ 8 ^1 _ 8 K - ¡ o! Z) g _ ~ 'Zy! 6 g _: ) ! s) 8 7 M F N 7 L L Q0n ¡ ¡ Q I I P M M P ¡ ¡ Q H H ) ! 7 P O 7 O:n Q P P Q 8 £ t) F N _^ - R F N 5 y_^ ]g _ ] )_~ ( ! u) 'Zy! 6D ! ¢ $£ <Q ¢ <¢ $£ ( X! v) F N _f X / N _: R ! w) F N / N 5 y_D G! x) g x'Zy! 6 P 8 O 7 G! [12] a) GP 8 8 F N g 6 _ g ( < ~F N g 6 _ < g 0 [ G! ¡ £ 8 8 ! ¢ 8 $£ ] / N _D 0 y_k M H , [15] 8 ¥ ¥ ¥ ¢ ` 0 C . 8 c) P 8 'Zy! 6 P 8 6D _ ) ( ]! . [14] qk`

11.7 Capítulo 7 [1] Método de substituição:

¡ 8 QR7

8 Q <¢ 8 £ ]/ O 7 i) )/ 8 / j) 7 k) 8 ¢ I £ l) 8 P 8 h) | 7 7 ;" F N 5 m) HI n) ! S) ' - 4 G! S) ' /y o) p) I7 / q) HI 5, ¡ ¡ r) L ¡ s) x GF N [ t) ! S) ' 5 4 G! S) ' 1' H M ¥ u) I v) F N I w) ! S) ' F N [ x) I7 F N -7 Qw8 P 8[Y a) I b) I7 c) F N 5/ c d) g > e) H 7 f) 87 F N

g)

[2] Método de integração por partes:

/ c) 2F N 1' I QR¡ 7 I £ d) );> ]}',)/ O 7 e) F N - )z I8 f) H7 { F N 5 g) 8I I P L I a) / O 7 b) 7 7 I 51>

7 Q 8 I O(7 ¢ ;'F N 5 I m) n) ) / 8 o) }> / p) { q) 8 l) G87 / c h) H 7 { #F N ;< i) 8 j) I F N -PP I Qw 7 k)

H H g 2 g yF N 5z [ I 7 8 H7 {t F N ;< r) 8 s) g 1 87 F N PP I QR v) I 8 w) I x) 7 M O 7 t) u) 8Q 8£ M M£O H M 8 [3] a) 8 P <8 ¢ h b) < ¢ ¡ ¢ M £ c) I d) nI e) f) 8 7 H P n M g) Z 6 $= N09R 5 " 'Z 6 $= N090 h) H 7 ? { ;<g ^ ¡ $z 'Z-!$ = N I7 [ i) F N M 8 j) HM F N 8I ML k) I8 )F N 5 0 F N , l) g ,y'Zy! 6D P M M m) ML XF N 5 n) 7 Y F N 8 n 7 7 7 I 8 M ( 1 'Zy! 6D 51 : 1 'Z-! 6D I I 8 8 512 g ;' r) 8 s) n t) u) P 8 v) M v)F N 5, D o) 87 F N 1 : lP { p) 8 F N q) ? F N 5 w h $} F N 1' w) ¥ H ¡ { x) H I {T Zy! ! S) v) [ [4] a) g _ 8 b) _ / N _D c) _%F N _: d) g _ H e) P / g A X/ 8 g _ 8 f) y_| $/ N _ H g) _ 8 1 h) I [5] ^` 3x _D `h [6] Pontos críticos: _G` N { . P 7 Q N par N { é ponto de mínimo; se N ímpar N { é ponto de máximo. [7] < 87 c) )F N 0 X d) <8 ¢ 8 £ e) Se H 8 _ 8 [10] a) , b) , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12] {~ f) /A [8] Use ¡ <_ ] ¡ £ ¡ £¡ [14] y_ j - O ¢ Qw7 X_ O ¢ Qw7 QR7 [15] 6 5 _: ` 7 6 87 |` [16] Use o método de substituição.

[18]

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-4

-2

2

4

CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS

390

Ă reas 0.4

1

0.5

0.8

0.2

0.5

0.6

0.4

;

E

0.2

1

-1

1

1.5

2

-0.5 -1

-0.5

0.5

y

1

-0.5

0.5

1

-0.2

1

1)

-0.4

-1 -1.5

-2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.1

0.05

-1

;) }

-0.5

0.5

1

0.4

0.4

0.2

0.2

-0.05

,-

-0.1

0.5

1

1.5

2

}) s{

2.5

1

2

6

3

4

5

6

3.5

15 3

5

12.5 2.5

4

10 2

3

7.5

2

v

1 }

2

4

6

8

$1 -

zy

1

10

1.5

5

1

0.2

0.4

0.6

0.8

$ g v2 g )

?y

2.5 1

0.5 1

2

3

4

5

6

8

2

5

6

1.5

4 3

4

yv g -v -

ž y

1

2

2

0.5

1

1.5

E

2

E y

1

-2

2

4

6

0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

15

0.1 12.5 10

-1

-0.5

0.5

1

7.5

E $1y

5

, } 1

2.5

-1

1

2

3

E ;

; ,

-0.1

-0.2

Calcule a ĂĄrea das regiĂľes limitadas pelas curvas dadas:

HM H

I 8 I 8 8 M YH 87 [6] I [7] 7 Y [8] v) [9] [10] 7 M [11] I [12] Y7 [13] $z [14] I7 [15] 'g %  [1] ™8 [2] I [3] ™8 [4] 7 Y [5] H I I g 1> – Y [17] Y7 [18] j [19] ™8 [20] 1 ; [21] / ]/ O [22] /“ X/ O 7 [23] / H , [24] 7 8[M L [25] M – } [29] ? [30] – 8 # [31] [32] {ˆ ] Â’FÂ?N‡ ÂŒ [33] {ˆ ] [34] 7 I Y [35] 7 7 M [36] 87 /% / O 7 ] [27] 7 H [28] 7 ” /| I8 [38] I7 ; g B ], R / O 7 [39] <¢ 7 ÂŁ ” O ÂŁ 7 [40] 7 HI L [41] HI [42] 8 H n [43] 7 8 M L [44] LI [45] !B`a % X1 / O 8 7 <¢ 7 !2`

P 8 8 87

Volumes 8 Y

8”Y

P

7 [47] !2` /' 87 [48] 8 I –

8

M 8

[1] I { [2] 7 M { [3] I M { [4] – 8 [5] 7 I – [6] M ¥ 8[M Y I [13] z){ [14] 7 8 – [15] M { [16] 8 – [17] }); { ,)/ 8 X; /" ] [25] 8[8 H 7M – [26] – Y [27] L I – [28]

Comprimento de Arco

P 8 I [49] - [50] {G I8

ÂĄ 7 ” – [7] M[M Y – [8] M 8 – L [9] – 8 ÂĄ [10] – ¢ H O 7 ÂŁ [11] I[8 I – [12] – 8 / H ] / O 8 ™ 8 M Y M YH 8 H [18] z { [19] 7 M – [20] P I – [21] 7 P M – [22] I – [23] – Y [24] – 8 / 7 YM { [29] Y H P M 8 – [30] Y H M L – 7 7

H H I I[L 87 F�N‡ 8 [5] 7 I [6] [7] I [8] I [9] 7 I P 8 7 I O L [13] ™ 8 [14] I Y 7 [15] F�N‡ �g 1' [16] F ‡ N 5 ‡ „g 1 [17] ™L [18] F N‡ Œg n ™ 8 �F N‡ 5/+ g /

M I [M I [1] ; g } [2] Y [3] Y [4] 2

[16] [26] [37] [46]

7 I H [10] 8 P I 8 Œ, g ,B € [11] ’ … - [19] g }+ˆ g ’  F�N‡

7 I P 87 I n MQ 8P IQ 8P

O L [12] Y 8 [20]

11.8. CAPĂ?TULO 8

391

LogarĂ­tmos

7 `Â&#x; 8 [2] SugestĂŁo: Escreva -QR 7

œ F�N‡ # E z } e — ); . [7] _ `l . Qw7 . [5]

Trabalho

7 ™[8 n y; ! 8 I ” &< I I 7 ” 7 /y { 3 6 87 | ]/ O M ” – [2] ; [3] M I ” [4] 7 8 H $› ¥ ¥ então z X / Z 6 [10] a) 87 M b) 7[7 7I [6] [8] Da segunda lei de Coulomb 3x �_: “` – L .

[1] ,

H ™ [5] 7 I c)

11.8 CapĂ­tulo 8 [1] a) b) 7 – 8 c) FÂ?N‡ ÂŒ d) 87 e) f) , diverge. g) , diverge. h) 8 <7 ¢ M ÂŁ i) , diverge. j) , diverge. 8ÂŁ k) { l) 7 Q – ÂĄ m) 87 n) diverge o) – 8 p) <8 ¢ q) 87 r) H 7 s) , diverge. t) L7 u) o limite nĂŁo existe. v) – 8 w) – , diverge. x) 7 ¢ 8 ÂŁ

8 M 8 7 ÂĄ c) P – 8 [3] a) ; b) 1 ÂŽ / N‡ c) – 8 d) B ÂĄ e) nM F N‡ 5 [ f) diverge. g) diverge. h) { i) I j) P H I k) – 8 l) diverge. m) diverge. n) { o) M 7 p) – I q) diverge. r) FÂ?N‡ ÂŒ s) o { X t) diverge. u) diverge. v) n diverge. ÂĄ ÂŁ 8 b) Para todo ÂŽ c) ÂŽ d) ÂŽ e) ÂŽ f) ÂŽ g) SugestĂŁo: Faça 7\O ! › ¢ › ÂŁ ` › ÂĄ › ¢ ÂĄ ÂĄ . [4] a) ÂŽ Utilize limites fundamentais e o teorema de comparação de integrais imprĂłpias. ÂŽBÂ? 1 . › › › ÂĄ h) SugestĂŁo: Faça ” – ¢ <¢ ›$ÂŁÂ?ÂŁ ` ” ¢ <¢ › ÂŁÂ?ÂŁ ÂĄ – ¢ <¢ › ÂŁÂ?ÂŁ e na segunda integral faça _K`c{t . Utilize limites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprĂłpias. ÂŽBÂ?c Q 3x _: & _ %` ÂĽ

[6]¼ K` 7 7 L [7] Utilize que a função 3x %`Œ / Ê par. CK` % [9] �_ , �_X�l %` x 3 : _ & _

} ?

1

[10] a) b) O [2] a) – 8 b) %

392

CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

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