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Geometria Plana Exercícios de Áreas e Razão entre Áreas 01 - As figuras abaixo representam, respectivamente, um 2 terreno com área de 4.000 m e uma maquete do mesmo terreno que está na escala de 1:50. A área da maquete é de:
Figura 1 - Terreno
a) b) c) d) e)
Figura 2 - Maquete
2
2,2 m 2 2,0 m 2 1,8 m 2 1,6 m 2 1,4 m
02 - Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC, inscrito em um semi-círculo de centro O e raio de medida 4 cm.
A razão entre as áreas dos triângulos ABO e AOC, nessa ordem, é a) b) c) d) e)
2 3 3 4 4 5 5 6
1
03 - Num triângulo ABC, M é ponto médio de AC e N,
A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale: a) 1/3 b) 1/4 c) 1/7 d) 1/12 e) 1/15 05 - O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD).
A seqüência de operações que representa essa fração está indicada na seguinte alternativa: a) 1 . 1 . 1 2 3 3 1 1 1 b) . 2 3 3 c) 1 . 1 1 2 3 3 d) 1 1 1 2 3 3 06 - A figura abaixo representa o brinquedo Piramix.
ponto médio de BC . A razão entre a área do triângulo MNC e do quadrilátero ABNM será: a) 2/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 2/5 e) 1/3
04 - No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e E dividem o lado AB em três partes iguais e os pontos F, G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais.
Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes.
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Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, restará um novo sólido. A razão entre as superfícies totais desse sólido e do Piramix equivale a: a) 4/9 b) 5/9 c) 7/9 d) 8/9
07 - Observe as figuras seguintes. A figura 1 foi ampliada para a figura 2 e esta também foi ampliada para a figura 3.
9 - Considere o trapézio ao lado onde se tem AB 10m e 2 DC 6m . Sabe-se que a área do trapézio é 32m . Nessas condições a área do triângulo ADC será:
a) b) c) d) e)
2
10m 2 12 m 2 8m 2 6m 2 16 m
10 - No círculo abaixo, a figura é formada a partir de semicircunferências e AC = CD = DE = EB.
S2
A
O fator de ampliação da figura 2 para a figura 3 é a) b) c) d) e)
7 4 3 2 4 3 5 4 7 6
C
D E
B
S1
Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas.
11 -Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado AB e a altura do triângulo ABC em relação a BC é . Nestas condições, o quociente entre a área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de , pela expressão:
08 - Sendo ABCD um quadrado, podemos afirmar que: A
B
S1
a) b)
S2 C 4
D
a) S1 = S2 b) S1 = 32 S2 2 c) S1 = S2 d) S1 = S2 e) nenhuma das respostas anteriores
c) d) e)
2 cos2 2 sen 2 2 2 sen2 2 cos 2 sen cos 2 2 sen 2 cos2
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13 - Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y loga x , com a 1 (figura abaixo). Suponha que B (x, 0) e C (x 1, 0) e A (x 1, 0) . Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é:
a)
1 3
b)
3
c) d) e)
2 3 1 2 1 4
16 - Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio do lado DA. Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é
A
a)
1 5 2 2
b)
1
c)
1 5 2
d) e)
Q
5 2
1 5 1 2 5 2
14 - A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22m e a altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h.
15- O mosaico da figura foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1. A razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a:
D a) b) c) d) e)
B P
C
2 dm. 3 2 dm. 5 3 dm. 5 1 dm. 2 4 dm. 7
17 - Na figura a seguir, a razão entre as áreas do triângulo AED e do quadrado ABCD é igual a:
a) b) c) d)
3 2 1 2 2 3 3 4
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e)
3 5
18 - O quadrado maior da figura 1 tem 9 cm de lado. Utilizando partes da figura 1, constrói-se a figura 2, que recebe o nome de coração partido.
Considerando a figura 2, marque a alternativa INCORRETA: a) A soma das áreas das regiões 1, 2, 3 e 5 é a metade da soma das áreas das regiões 4, 6, 7 e 8. b) A área da região 7 é igual à área da região 4. c) O coração partido tem perímetro 6( 2)cm . d) A área do coração partido é 9( 4)cm 2 . e)
O perímetro da região 8 é 3(4 2 )cm .
b)
9 2 / 16
c)
2( 2 1)
d)
(4 2 1) / 8
e)
(2 2 ) / 4
22 - Um televisor comum tem tela retangular plana com base e altura proporcionais a 4 e 3. Um televisor de tela larga (widescreen) tem tela retangular plana com base e altura proporcionais a 16 e 9. a) Tomando-se um televisor comum e um de tela larga, ambos com telas de mesma altura, obtenha a razão da área da tela do widescreen pela área da tela do comum. b) Um televisor de p polegadas (p in) tem a diagonal da sua tela medindo p polegadas. Obtenha a área, 2 em polegadas quadradas (in ), de um televisor comum de 20 polegadas.
23 - Na circunferência de centro C, indicada a seguir, DE e EF são cordas congruentes, e o menor arco é igual à sexta parte da circunferência.
19 - Em um trapézio ABCD, os pontos P , Q , M e N são médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. A razão entre a área do quadrilátero PQMN e a área do trapézio é a) b) c) d) e)
1 4 1 2 1 3 2 3 4 5
A razão entre a área do triângulo DEF e a área do triângulo BCA é a) 4.
20 - a) Calcule a área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio 1. b) Denotando por An a área do polígno regular de n lados (n 3) inscrito em uma circunferência de raio 1, prove que A n n . sen 360º . 2
n
b)
2 3.
c)
4 3 3
d)
3
e)
2 3 3
24 - No triângulo ao lado, x y 21 - Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a razão A1 / A2 é igual a a)
4 3 e x . y = 1. A razão 3
entre a área do triângulo e a área do círculo de diâmetro Z é igual a:
5/8
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a)
39 . 36
b)
9 3 . 21
c)
13 3 . 9
d)
12 3 . 13
e)
3 . 4
construída uma casa retangular que ocupará uma área 2 de 54 m , atendendo à exigência da prefeitura da cidade, de que seja construída mantendo 3 m de afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. Indique as dimensões de cada casa a ser construída, de modo que cada lote tenha o menor perímetro possível. 28 - Miguel pintará um painel retangular com motivos geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 (FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 (HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme figura abaixo, serão pintadas de vermelho. Sabe-se que a tinta utilizada para pintar uma região qualquer depende proporcionalmente de sua área.
25 - Um retângulo de base x está inscrito numa circunferência de raio 2. A medida da área desse retângulo, em função de x, é: a)
x 4 x2
b)
2 x2 x
c)
x 16 x 2 2x
d)
26 -Internamente ao quadrado ABCD foram construídos dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, conforme figura. A
B
29 - Um comício deverá ocorrer num ginásio de esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.
E
D
Se Miguel gastasse na pintura da região 1, 3/7 da tinta vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, para a pintura da região 2. b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente para a pintura da região 2. c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam 3/7 de tinta vermelha. d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria 1/7 de tinta vermelha.
C
A área do triângulo BCE é: a) 8 b)
4 3
c)
2
d)
2 2
e)
4 3 3
27 -Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em vários lotes retangulares de mesma área, 2 correspondente a 156 m . Em cada lote, será
Por segurança, a coordenação do evento limitou a 2 concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da partem preto na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento?
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a) b) c) d) e)
2 700. 1 620. 1 350. 1 125. 1 050.
30 - A figura ao lado representa três círculos concêntricos de raios 3m, 4m e 5m, respectivamente. Que porcentagem da área do círculo maior representa a área cinza?
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo é: a) 2 b) 7 c)
7 3
d)
8
e)
8 3
33 - Nesta figura, o triângulo eqüilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: a) b) c) d)
25 28 30 32
31 - Uma empresa tem o seguinte logotipo: Então, a área da região hachurada é:
Se a medida do raio da circunferência inscrita no 2 quadrado é 3 cm, a área, em cm , de toda a região pintada de preto é: a) b) c) d) e)
9 9 4 9 18 4 9 18 2 9 36 4 9 36 2
a)
4 3 3 3
b)
2 3 3 3
c)
3 4 3 3
d)
3 2 3 3
34 - Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é um dos lados do triângulo eqüilátero ABC intercepta os outros dois lados desse triângulo nos pontos D e E, conforme ilustra a figura abaixo. Sabendo que o diâmetro AB mede 16 cm, escolha apenas uma das opções a seguir e faça o que se pede, desconsiderando, para a marcação na folha de respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados. C
32 - Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical, está 3 3 completamente cheio com 30 m de água e 42m de petróleo.
D
E
A
B O
a) Calcule a medida, em graus, do ângulo AÔD. b) Calcule o comprimento, em mm, do segmento DE. c) Determine a porcentagem da área do triângulo ABC ocupada pelo quadrilátero ABED.
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35 - Se desejarmos duplicar a área de um quadrado de lado ‘a’ é necessário: a) acrescentar uma unidade à medida do lado do quadrado original. b) considerar um quadrado de lado igual à diagonal do quadrado original. c) triplicar a medida do lado do quadrado original. d) duplicar a medida do lado do quadrado original. e) quadruplicar a medida do lado do quadrado original.
“Ainda que os teus passos pareçam inúteis, vai abrindo caminhos, como a água que desce cantando da montanha. Outros te seguirão...” (Saint-Exupéry)
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Gabarito 1-D 2-E 3-E 4-D 5-A 6-D 7-C 8-D 9-B 10 -
S1 1 S2
11 - E 13 - A 14 - 77 15 - D 16 - B 17 - B 18 - A 19 - B 20 a)
3 3 ua 4
b)
Demonstração
22
a)
4 3 2
b) 192 n 23 - C 24 - B 25 - C 26 - E 27 - x = 6 m e y = 9 m 28 - D 29 - D 30 - B 31 - B 32 - B 33 - A 34 - a) 060 b) 080 c) 075 35 - B
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