Exercícios de Geometria Plana retirados do Livro - Problemas sem Problema Vol.4 Eduardo Mauro 01- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC, como mostra a figura abaixo. Sabendo que BÂC = 120°. Calcular a soma das medidas dos ângulos BPI e PIC, sendo ICB = ABP = 10°. a) b) c) d) e)
80° 90° 100° 70° 69°
02- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC. A ceviana AS e a altura AH cortam a ceviana BP nos pontos M e N, respectivamente. Sabendo que AS é perpendicular a BP e que o ângulo AHM = 14°, calcular a medida do ângulo MÂB. a) b) c) d) e)
87° 122° 67° 76° 58°
03- Em um triângulo isósceles ABC com AB = AC, sejam K e L pontos sobre os lados AB e AC de modo que BK + LC = KL. Pelo ponto médio M do segmento KL traça-se uma reta paralela ao lado AC que intercepta o lado BC no ponto N. A medida do ângulo KNL é igual a: a) b) c) d) e) 04-
45° 60° 90° 100° 120°
Na figura abaixo, determinar o valor do lado AC em função de “a” e “b”.
a) 3 b) 3 1 2 3 2 3 1 d) 2 2 3 e) 2 06- Os lados de três pentágonos regulares são respectivamente 3cm, 4cm e 12cm. O lado do pentágono equivalente à soma dos três pentágonos é igual a: c)
a) b) c) d) e)
11 12 13 14 15
07- ABCD é um losango cujos lados medem 13cm. E, F e G são pontos sobre os lados BC, CD e DA, respectivamente, tais que BE = CF = DG = 8cm. A reta AB intercepta as retas FG e EG, respectivamente, nos pontos J e K. A medida do segmento JK é de: 337 cm 24 445 b) cm 24 227 c) cm 24 317 d) cm 24 443 e) cm 24 a)
08- Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 5cm e a base medindo 8cm. A distância entre o seu incentro e o seu ortocentro é de:
1 a) cm 3 5 b) cm 3 3 c) cm 2 d)4,5cm e)4 cm 09- Em um triângulo ABC, a bissetriz externa CF forma com a bissetriz interna BF um ângulo de 10° e a altura AH forma com a bissetriz interna AS um ângulo de 30°. O maior ângulo interno do triângulo ABC mede:
05- Em um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os catetos AB e AC medem respectivamente 6 3cm e 6cm , traça-se o segmento AM, sendo M pertencente e interno ao segmento BC. Sabendo-se que o ângulo MÂC = 15°, a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC, respectivamente é:
a) b) c) d) e)
O problema é impossível 110° 120° 130° 140°
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10- Em um triângulo acutângulo, a medida do segmento que une os pés de duas alturas mede 24cm e M o ponto médio desse segmento. A medida do lado que não é interceptado pelo segmento é igual a 26cm e N é o ponto médio desse lado. Determine a medida de MN. a) b) c) d) e)
BAS 76 MAB BAS 76
LETRA: D 3.
7cm 6cm 25cm 1cm 5cm
RESOLUÇÕES 1. Chamamos: BK x e CL y logo KL x y Sabe-se que ABC ACB a Tracemos KP / / AC é fácil observar que o quadrilátero
Tracemos BI. É fácil concluir que P é o ex-incentro do BAI triângulo ABI, Logo BPI BPI 30. 2 No quadrilátero PBCI (bumerangue), sabe-se que
PIC 30 20 10PIC 60 Como pede-se BPI PIC , temos: BPI PIC 60 30
KLCP é um trapézio e que MN é sua base média e que o xy triângulo BKP é isósceles KB KP x , então MN . 2 Percebe-se que MN vale a metade de KL . Como M é o ponto médio de KL , MN é uma mediana do triângulo KNL, logo, se vale a metade do lado, é uma mediana relativa a uma hipotenusa, então KNL 90 . LETRA: C 4.
BPI PIC 90
LETRA: B
2.
Chamemos AC x e CT m. É fácil concluir que os triângulos TOC e ABC são a m ax semelhantes, logo m b x b Aplicando Pitágoras no triângulo TOC tem-se:
Consideremos o triângulo ABS, é fácil observar que N é o seu ortocentro, então QHM 28 , logo 28 180 2BAS 2BAS 152
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(x a)² m² a² a² x ² x ² 2ax a² a² b² b² x ² 2axb² a² x ² 0(: x) b² x a² x 2ab² x(b² a²) 2ab² 2ab² 2ab² x logo AC b² a ² b² a ²
7.
5.
Se AB 6 3 e AC 6, a hipotenusa BC 12, é fácil observar que o triângulo AMB é isóscele, logo: MB 6 3 Sabe-e também que
S AMC 6 2 3 S ABC 12
S AMC 2 3 S ABC 2 LETRA: C 6.
Podemos afirmar que o triângulo GJA é semelhante ao triângulo GFD, logo: 5 8 25 x x 5 8 E que o triângulo KAG é semelhante ao triângulo KEB, 5 KA então, 8 KB 25 y 5 8 8 y 25 13 8 125 8y 25 5y 65 8 125 3y 40 8 24 y 125 320
y
Seja l o lado do quarto pentágono e S a sua área. Podemos afirmar que: S1 9 S l2 S2 16 S l2 S3 144 2 S l Somando-se membro a membro, tem-se: S1 S2 S3 169 2 mas, S1 S2 S3 S S l Logo: 169 1 l 2 169 l 13 l2
445 24
LETRA: B
8.
LETRA: C
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Se os lados medem 5cm, 5cm e 8cm, o triângulo é obtusângulo 64 > 25 + 25, sabe-se também que AH 3. Pelo teorema das bissetrizes internas tem-se: 5 4 5 4 x 15 5x 9 x 15 x x 3 x 3 Sabe-se que os triângulos HPB e HCA são semelhantes, então: 3 y 4 7 y 4 3 3 Logo:
Seja ABC o triângulo em questão. Se traçarmos NH será fácil concluir que é uma mediana relativa à hipotenusa AB do triângulo ABH, logo NH 13cm, a mesma coisa acontecendo com o segmento PN , logo o triângulo PNH é isósceles e MN uma de suas alturas (M é o ponto médio de PH ). Aplicando Pitágoras no MNH tem-se MN 5cm LETRA: E
PI x y 5 7 PI 3 3 12 PI PI 4 3 LETRA: E
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9.
É fácil concluir que o triângulo ABC é obtusângulo em B. A sabe-se que o ângulo BAC 20 10 . Como 2
HAB 20, conclui-se que ABC 90 20 (externo do triângulo ABH)
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ABC 110 LETRA: B 10.
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