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UM LOUCO TRABALHO DIRIGIDO!!!!
Professor: Judson Santos Aluno(a): ____________________________________________________________________ nº _______________ Data: ________/________/2009
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A substituição trigonométrica é uma técnica muito utilizada nas integrações algébricas como também nas resoluções de equações e inequações algébricas no ensino médio. Ela se baseia no fato que as identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de uma função ou expressão algébrica por uma função trigonométrica, que levará a uma solução muito mas simples. Antes de resolvermos alguns problemas envolvendo substituição trigonométrica, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições, consiste no uso das seguintes fórmulas abaixo.
Algumas propriedades trigonométricas úteis
1) sen2 x + cos2 x = 1 2)
tg 2 x + 1 = sec 2 x para x ≠
3) cot g 2 x + 1 = cos sec 2 x
2 cos 2 x − 1 4) cos 2 x = 1 − 2sen 2 x cos 2 x − sen 2 x
π 2
+ kπ , k ∈ Z
para x ≠ kπ , k ∈ Z
5) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
6) tg 2 x =
2tgx 1 − tg 2 x
sen3x = 3senx − 4 sen3 x
e
tg 3x =
e
x 2tg 2 7) senx = x 1 + tg 2 2
3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x
x 1 − tg 2 2 cos x = x 1 + tg 2 2
e
8)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então tan A + tan B + tan C = tan A ⋅ tan B ⋅ tan C ;
9)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então tan
A B B C C A tan + tan tan + tan ⋅ tan = 1 2 2 2 2 2 2
10)
.
− 1 ≤ senx ≤ 1
− 1 ≤ cos x ≤ 1
e
SESSÃO NÓ CEGO. Problema 01. Determine todas as soluções de
8x 3 − 6x − 1 = 0 .
Problema 02. (EUA) Determine todas as soluções reais de
(
6x + 8 1 − x 2 = 5 1+ x + 1 − x
).
Problema 03. (BALTIC WAY) Determine o menor valor da expressão: xy + x 1 − y 2 + y 1 − x 2 − (1 − x 2 )(1 − y 2 )
Problema 04. (ITA) Determine para quais valores de a a inequação
1− x2 ≥ a − x
admite solução.
Problema 05. (CANADA – ADAPTADA) Se a e b são números reais não nulos tais que a2 + b2 = a.b ≤ 2 − 1. 4. Então prove que a+b+2 Problema 06. (CANADA) Determine todas as soluções reais de
x2 +
x2
(x + 1)2
=3.
Problema 07. (EUA) Resolva o sistema
1 1 1 3 x + = 4 y + = 5 z + , xy + yz + zx = 1 . x y z
Problema 08. (IME – 2009) Seja a uma constante real positiva. Resolva a equação
a . a + a 2 − x 2 + 3a . a − a 2 − x 2 = 2 2 .x , para x ∈ ℜ e 0 ≤ x ≤ a . a 3 2 Problema 09. RESP. : x =
(EUA) Defina f (x ) =
x 3 −1 x+ 3
. Determine g(x ) = f1of42 ofo... of (x ) . 43
Problema 10. Calcule o maior valor da expressão
2006 vezes
x −2 + 2 3− x .
RESP. : 5 Problema 11. (BULGARIA)A raiz real da equação 1 − x = 2 x 2 − 1 + 2 x. 1 − x 2 possui a forma
m+n p q
. Então o valor de m + n + p + q é igual a:
a) 13 RESP.: E
b) 14
c) 15
d) 16
Problema 12. (ROMENIA)Se 0 < x < 1 o valor máximo de x. 1 − x 2 é igual a:
e) 17
a )0
b)1
c)
1 2
d)
1 4
e)
1 8
RESP.: C
Problema 13. (MOLDAVIA)A diferença entre a maior e a menor raiz da equação 2+ x + 2−x 2 = é igual a: 2+ x − 2− x x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 RESP.: D Problema 14.
(
e) 5
)
(Bielorrússia) O número de raízes da equação 9 − x 2 = 2.x 10 − x 2 − 1 é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4 RESP.: D Problema 15. (AUSTRIA)Se x ∈ ℜ e 1 + mx = x + 1 − mx onde m é um parâmetro real, calcule os valores de m para os quais a equação admite solução não nula. RESP. : −1 ≤ m ≤ 1 Problema 16. (CANADA)O número de raízes reais da equação a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 RESP.: B
2 + 2 − 2 + x = x é igual a: e) 4
Problema 17. (MOLDÁVIA)Determine o valor máximo do produto x. y se os números reais x e y
(
)
(
)
satisfazem a relação: y. 1 + x 2 = x 1 − 4 y 2 − 1 .
Problema 18. (ARMÊNIA) Determine todas as soluções reais de RESP. :
1 x
2
+
(4 −
1 3x
)2
= 1.
2 3 2 3 , (1 − 2. cos 20°), 2 3 (1 + 2. cos 40°) e 2 3 (1 + 2. cos 80°) 3 3 3 3
Problema 19. Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mínimo de x2 + y2 . RESP.: 01 Problema 20.
x 2 + y 2 = 1 3 1+ x 4 x − 3 x = 2
Determine todas as soluções reais do sistema
Problema 21. Determine todas as soluções de 8x (2x 2 − 1)(8 x 4 − 8x 2 + 1) = 1 . Problema 22. Considere as seqüências definidas por x 1 = 2 , y 1 = 4 , z1 = 6 e 7
z n +1 =
2z n z n2 − 1
. Prove que, para todo n natural,
Problema 23. Dados x e y reais, prove que
−
.
x n +1 =
2x n x n2
−1
,
y n +1 =
2y n y n2 − 1
,
xn + y n + zn = x n y nzn .
1 (x + y )(1 − xy ) 1 ≤ ≤ . 2 1+ x2 1+ y 2 2
(
)(
)
Problema 24. (EUA) Se {xn } é uma seqüência que satisfaz a recorrência xn +1 =
3.xn − 1 , n ≥ 1. xn + 3
Prove que essa seqüência é periódica. Problema 25. (EUA) Resolva o sistema de equações nos reais. 1 x1 − x = 2 x2 1 1 x2 − x = 2 x3 2 x − 1 = 2x 4 3 x3 x − 1 = 2x 1 4 x4 kπ 2kπ 4kπ 8kπ RESP. : x1 = cot g , x2 = cot g , x3 = cot g , x4 = cot g para k = 1 , 2 , .... , 14. 15 15 15 15 Problema 26. (EUA) Determine todas as soluções do sistema
x 3 − 3x = y . 3 y − 3y = z 3 z − 3z = x
Problema 27. 2 2 (CHINA)Se x e y são números reais que satisfazem a equação ( x + 5) + ( y − 12 ) = 142 , então o valor mínimo de x 2 + y 2 é igual a: a)2
b)1
c) 3
d) 2
e) 5
RESP.: B Problema 28. Determine todas as soluções reais de
2 x + x 2 y = y 2 2 y + y z = z 2 2z + z x = x
.
Problema 29. (BELGICA) Se x , y , z são números reais que satisfaz a equação x + y + z = x.y.z. Prove que x 1 − y 2 1 − z 2 + y 1 − z 2 1 − x 2 + z 1 − x 2 1 − y 2 = 4.x. y.z
(
)(
) (
)(
) (
Problema 30. (CANADA) Resolva a equação x 3 − 3 x = 4π 1 RESP. : x = 2 , 2 cos , − 1+ 5 2 7
(
)
)(
)
x + 2 nos reais.
Problema 31. (PERU)Se a , b , c ∈ [0 , 1] . Então o valor máximo da expressão:
a.b +
(1 − a )(1 − b )
a )1
é igual a: 1 b) 2
c)2
d)
1 3
e)
1 4
RESP.: A
Problema 32. (BULGARIA) Calcule o valor mínimo da função f ( x) =
x 2 − x + 1 + x 2 − 3. x + 1
RESP. : 2 Problema 33. (ARGENTINA)Calcule o valor máximo e mínimo de x + y tal que x 2 + y 2 = 1 . RESP.: MÁXIMO = 2
E
MINIMO = − 2
Problema 34 (ESPANHA)Prove que a desigualdade − 1 ≤
3.senx ≤ 1 é válida para qualquer x real. 2 + cos x
Problema 35. Qual o valor mínimo da função f ( x) = p. cos 2 x + q.senx. cos x + r.sen 2 x ?
1 a ) p + r + 2 1 b) p + r − 2 1 c) p − r + 2 1 d ) p + r + 2 1 e) p + r + 2 RESP.: A
( p − r )2 + q 2
( p + r )2 + q 2
( p − r )2 + q 2
( p + r )2 − q 2
( p + r )2 − q 2
Problema 36. Dois retângulos iguais, ambos inscrito na circunferência x 2 + y 2 = 1 , com seus eixos de simetria sobre os eixos x e y, respectivamente, sobrepões-se formando um quadrado ABCD, que é comum a ambos os retângulos. Se θ é o ângulo agudo formado entre uma diagonal e o eixo de simetria maior em cada retângulo, ache o valor de tgθ para que a área total dos quatros retângulos exteriores ao quadrado ABCD seja máxima. a )1
b) 2
c) 2 − 1
d)
2 −1
2 +1 2
e)
RESP.: C Problema 37. (EUA)O valor da expressão cos210º + cos250º + cos270º é igual a: 1 1 1 3 a) b) c) d) 4 2 8 4 RESP.: E
e)
3 2
Problema 38. (EUA)Sabendo que β é o valor da expressão 2 sen2° + 4 sen 4° + 6 sen6° + ......... + 178sen178° . Então o valor de β é igual a: cot g1° a) 1 b) 90 c) 178 d) 180 e) 0
RESP.: B Problema 39. Sabendo que L = cos3 1° + cos3 3° + cos3 5° + .... + cos 3 59° . Então 16 .sen1° .L é igual a: 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 RESP.: C
o
valor
e) 5
de
Problema 40 n 3 1 4kπ 4 kπ O valor de H = ∑ + . cos é igual a: − sen 4 2n + 1 2n + 1 k =1 4 2n 6n − 5 5n − 5 n n a )3 − b) c) d) e) 5 32 16 16 16 RESP.: D