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UM LOUCO TRABALHO DIRIGIDO!!!!
Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): ____________________________________________________________________ nยบ _______________ Data: ________/________/2009
ENCONTRO DE MATEMร TICA PROFESSOR: JUDSON SANTOS
MÓDULO DE PRODUTOS NOTAVEIS E FATORAÇÃO Produtos Notáveis e Fatoração Produtos notáveis são os que obedecem a leis especiais de formação e, por isso,não são efetuadas pela Regra Ordinária da Multiplicação" de polinômios. Esses produtos são numerosos e dão origem a conjunto de identidades de grande aplicação. Com isso, o nosso objetivo de ensinar os produtos notáveis é exatamente mostrar técnicas criadas pelos matemáticos para facilitar o desenvolvimento de um produto de expressões sem utilizar a multiplicação. Só uma perguntinha por que temos que saber isso? Podemos responder à pergunta da turma com duas observações: • O que estamos estudando são as regras da álgebra, isto é, como operar com expressões que envolvem letras (você já notou que essas expressões aparecem nas equações, nas funções, na geometria, o que mostra como são importantes); • Prosseguindo seus estudos, você verá que esses calculas algébricos continuarão importantes e úteis. Caro aluno, agora vamos estudar algumas técnicas de produtos notáveis e fatoração: 2 1.( x + y ) = x 2 + 2.xy + y 2 2.( x − y ) = x 2 − 2.xy + y 2 2
3.( x + y ) = x 3 + 3.x 2 y + 3 xy 2 + y 3 3
4.( x − y ) = x 3 − 3.x 2 y + 3 x. y 2 − y 3 3
( ) 6.(x − y ) = (x − y )(x + xy + y ) 7.(x − y ) = ( x − y )(x + x . y + x. y + y ) 8.(x − y ) = ( x − y )(x + x . y + ........ + x . y + y ) 9.(x + y ) = (x + y )(x − x. y + y ) 10.(x + y ) = ( x + y )(x − x . y + x . y − x. y + y ) ) = (x + y )(x − x . y + ............... − x . y 11.(x +y 5. x 2 − y 2 = ( x − y )(x + y ) 3
3
2
4
4
3
n
n
n −1
3
3
2
5
2 m +1
5
2
2
3
n− 2
1
n−2
n −1
2
4
2 m +1
2
3
2m
2
2
3
4
2 m −1
12.( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2.( xy + xz + yz ) 2
13.( x + y + z ) = x 3 + y 3 + z 3 + 3( x + y )( x + z )( y + z ) 3
1
2 m −1
+ y 2m
)
LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 1 x
1. Se x é um número real tal que tal que x + = 5, determine o valor de x 2 +
1 . x2
1 x
Solução: Elevando ambos os membros da equação x + = 5 ao quadrado, obtemos: 1 1 x 2 + 2 x ⋅ + 2 = 25, x x
e daí, x 2 +
1 = 23. x2
2. Fatore a expressão E = x3 − 5 x 2 − x + 5. Solução: Temos E = x3 − 5x 2 − x + 5
= x 2 ( x − 5) − ( x − 5) = ( x − 5)( x 2 − 1) = ( x − 5)( x − 1)( x + 1).
3. Simplifique a expressão A=
x2 y2 z2 + + . ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x) ( z − x)( z − y )
Solução: Note que podemos escrever a expressão acima da seguinte forma: A=
x2 y2 z2 − + . ( x − y )( x − z ) ( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z )
Assim, reduzindo a expressão ao mesmo denominador comum vem: A=
x2 ( y − z) − y 2 ( x − z) + z 2 ( x − y) . ( x − y )( y − z )( x − z )
Por outro lado, desenvolvendo o denominador, obtemos: ( x − y )( y − z )( x − z ) = ( xy − xz − y 2 + yz )( x − z )
= x 2 y − xyz − x 2 z + xz 2 − xy 2 + y 2 z + xyz − yz 2 = x 2 ( y − z ) − y 2 ( x − z ) + z 2 ( x − y ).
Portanto: A=
x 2 ( y − z ) − y 2 ( x − z ) + z 2 ( x − y) = 1. x 2 ( y − z ) − y 2 ( x − z ) + z 2 ( x − y)
4. Se x + y + z = 0, mostre que x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz.
Solução: Observe que 0 = ( x + y + z )3 = x3 + y 3 + z 3 + 3( x + y )( y + z )( x + z ).
Como x + y = − z , y + z = − x e x + z = − y, então: x3 + y 3 + z 3 + 3(− y )(− x)(− y ) = 0 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz.
5. Calcule o valor da expressão (2004)3 − (1003)3 − (1001)3 S = . 2004 ⋅ 1003 ⋅ 1001
Solução: Vamos tomar x = 1003 e y = 1001. Dessa forma, a expressão S se reduz a: S=
( x + y )3 − x 3 − y 3 . xy ( x + y )
Mas, como sabemos, ( x + y )3 = x3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 . Dessa forma, obtemos: S=
3x 2 y + 3xy 2 3xy ( x + y ) = = 3. xy ( x + y ) xy ( x + y )
6. Sabendo que x, y e z são reais satisfazendo xyz = 1, calcule o valor da expressão: A=
1 1 1 + + . 1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + xz
Solução: Como xyz = 1, então x ≠ 0, y ≠ 0 e z ≠ 0. Assim, A=
z x 1 + + z (1 + x + xy ) x(1 + y + yz ) 1 + z + xz
=
z x 1 + + z + xz + xyz x + xy + xyz 1 + z + xz
=
z xz 1 z x 1 = + + + + 1 + z + xz 1 + x + xy 1 + z + xz 1 + z + xz 1 + z + xz 1 + z + xz
=
1 + z + xz = 1. 1 + z + xz
7. Se ab = 1 e a 2 + b 2 = 3, determine
a2 b2 + + 2. b2 a 2
Solução: Temos: a 2 b2 a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ( a 2 + b 2 ) 2 + + = = 9. 2 = b2 a 2 a 2b 2 (ab)2
8. Prove que se
x y z x2 y 2 z 2 a b c + + =1 e + + = 0, então 2 + 2 + 2 = 1. a b c x y z a b c
Solução: Elevando a equação
x y z + + = 1 ao quadrado, obtemos: a b c x2 y 2 z 2 x y y z x z + 2 + 2 + 2 + + = 1, 2 a b c a b b c a c
ou seja, x2 y2 z 2 xyc + xzb + yza + + + 2 = 1. a2 b2 c2 abc
Por outro lado, da equação
a b c + + = 0, temos xyc + xzb + yza = 0. Logo, x y z x2 y 2 z 2 + + = 1. a2 b2 c2
9. Se a, b e c são três números distintos e satisfazem as equações: a 3 + pa + q = 0 3 b + pb + q = 0 3 c + pc + q = 0,
calcule a + b + c.
Solução: Multiplicando a segunda equação por – 1 e somando com a primeira, obtemos: a 3 − b3 + p(a − b) = 0,
ou ainda, (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) + p(a − b) = 0, (a − b)(a 2 + ab + b 2 + p ) = 0.
Como a − b ≠ 0, pois os números são distintos, obtemos: a 2 + ab + b 2 + p = 0. (*)
Analogamente, multiplicando a terceira equação por – 1 e somando com a primeira equação, obtemos: a 2 + ac + c 2 + p = 0. (**)
Agora, multiplicando (**) por –1 e somando com (*), obtemos: ab − ac + b 2 − c 2 = 0,
a (b − c) + (b − c)(b + c) = 0, (b − c)(a + b + c) = 0.
Daí, como b − c ≠ 0, segue que a + b + c = 0.
10. Sejam a, b e c números reais distintos e não nulos. Se a + b + c = 0, mostre que a b a − b b − c c − a c + + + + = 9. a b a − b b − c c − a c
Solução: Façamos x =
a −b b−c c−a , y= e z= . c a b
Assim, devemos provar que 1 1 1 ( x + y + z ) + + = 9, x y z
ou seja, x+ y+z x+ y+z x+ y+z + + = 9, x y z
ou ainda, 1+
Mas,
y+z x+z x+ y y+z x+z x+ y +1+ +1+ =9 ⇒ + + = 6. x y z x y z
x + y a − b b − c b a 2 − ab + bc − c 2 b ( a 2 − c 2 ) − b( a − c ) b (a − c)(a + c) − b(a − c) b = + ⋅ = ⋅ = ⋅ = z a c − a ac c−a ac c−a ac c−a c
=
(a − c)(a + c − b) b (−b − b)b 2b 2 ⋅ =− = . ac c−a ac ac
Analogamente, concluímos que
y + z 2c 2 x + z 2a 2 e . Logo, pelo exercício 4, segue que = = x ab y bc
a 3 + b3 + c 3 y + z x + z x + y 2a 2 2b 2 2c 2 3abc + + = + + = 2 = 2⋅ = 6, x y z bc ac ab abc abc
como queríamos provar. OBSERVAÇÃO: Essas questões comentadas acima foram feitas pelo professor Onofre Campos.
LISTA DE EXERCICIOS Problema 1. a) Sejam a, b e c números reais, tal que a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc . Prove que a = b = c. b) Determine todos os reais x e y tal que 5 x 2 + 5 y 2 + 8 xy + 2 y − 2 x + 2 = 0 . Problema 2. (EUA) Se a, b, c são números reais que satisfazem a 2 + 2b = 7 , b 2 + 4c = −7 , c 2 + 6a = −14 . Calcule o valor de a 2 + b 2 + c 2 . Problema 3. Sejam a, b e c números reais. Prove que: a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = (a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc
(
)
Problema 4. Dizemos que um número x é a soma de dois quadrados, se existem inteiros a e b tais que x = a2 + b2. Prove que se dois números são somas de dois quadrados, seu produto também o é. Problema 5.
x + y = 2 Determine todas as soluções reais (x,y,z) tais que . 2 xy − z = 1
Problema 6. 4 2005 − 1 é um número inteiro 3
(OMCAMPINENSE – 2005)Mostre que Problema 7. (HONG KONG – 1996)Se x = a) 0
b) 1
1 + 1996 , então 4x3 – 1999x – 1997 é igual a: 2 c) -1 d) 2 e) -2
Problema 8. Um aluno resolvendo uma questão de múltipla escolha chegou ao seguinte resultado , no entanto as opções estavam em números decimais e pedia-se a mais próxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo que o radicando da raiz de índice 4 é quarta potência de uma soma de dois radicais simples, sabendo que este resultado é da forma
p + q com ( p > q ) .Calcule o valor de p + q.
Problema 9.
(32 + 10 7 ) + (32 − 10 7 ) é:
(UFC - 2004) O valor exato de a) 12 b) 11 RESP.: C
c) 10
d) 9
e) 8
Problema 10. (O.C.M. - 1997) Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor numérico de: 2
2
2
1 2 1 3 1 27 1 x + + x + 2 + x + 3 + ......+ x + 27 x x x x RESP.: 54
2
Problema 11. α − 3α + 5α − 17 = 0 (EUA – 1997)Os números reais α e β são tais que 3 . Calcule α + β. β − 3β 2 + 5β + 11 = 0 RESP.: 02 3
Problema 12. (OMSE - 99)Fatorar 8 x 3 − 12 x − 9
(
RESP. : (2 x − 3) 4 x 2 + 6 x + 3 Problema 13.
)
2
(O.M.ARGENTINA - 1989)Calcule o valor da raiz quadrada do número 1111111111 − 22222. Problema 14. 2207 −
(CANADÁ) Calcule 8
1
. Expresse sua resposta na forma
1
2207 − 2207 −
a+b c , d
1
1 2207 − .... quando a, b, c e d são inteiros positivos. Calcule a + b + c + d . 2207 −
Problema 15. (CONE SUL - 1988)Calcule o produto das raízes inteiras da equação irracional 3 13 x + 37 − 3 13 x − 37 = 3 2 Problema 16. (EUA)Resolva a equação 2 x + 3 x − 4 x + 6 x − 9 x = 1 no conjunto dos números reais.