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UM LOUCO TRABALHO DIRIGIDO!!!!
Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): ____________________________________________________________________ nº _______________ Data: ________/________/2009
ENCONTRO DE MATEMÁTICA Polinômios Simétricos
Polinômio Lagrange
PROFESSORES JUDSON SANTOS / LUCIANO SANTOS POLINÔMIOS SIMÉTRICOS OU FÓRMULA DE NEWTON I. Polinômios Simétricos Um polinômio f, a duas variáveis x, y, é dito simétrico quando f(x, y) = f (y, x) para todos os valores x, y. Exemplos: a) σ1 = x + y e σ2 = x · y, são evidentemente polinômios simétricos (chamados polinômios simétricos elementares). b) Os polinômios da forma Sn = xn + yn, com n ∈ N também são simétricos. Um fato importante a ser observado é que um polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em função de σ 1 e σ 2. Vejamos: Se Sn = xn + yn, n ∈ N, (n ≥ 2), então: Sn = xn + yn = (x + y) (xn–1 + yn–1) – xy (xn – 2 + yn – 2) = σ 1 · Sn – 1 – σ 2 · Sn – 2 (n ≥ 2) Mas, S 0 = x0 + y0 = 1 + 1 = 2 S 1 = x1 + y1 = x + y = σ 1 Assim temos que: S0 = 2 S1 = σ1 S2 = σ1 · S1 –σ2 · S0 = σ1 · σ1 –σ2 · 2 = σ12 – 2σ2 S3 = σ1 · S2 –σ2 · S1 = σ1 (σ12 – 2σ2) –σ2 · σ1 = σ13 – 3σ1 · σ2 E daí usando a lei de recorrência Sn = σ1 Sn – 1 – σ2 Sn – 2 (n ≥ 2) podemos determinar Sn em função de σ1 e σ2 para qualquer número natural n. Agora para garantirmos a afirmação anterior que todo polinômio simétrico f(x, y) pode ser representado como um polinômio em σ1 e σ2 observemos o seguinte fato: Num polinômio simétrico f(x, y) para os termos da forma a . xK . yK não temos nenhum problema pois a · xK · yK = a(x · y)K = a · σ 2K. Agora com os termos da forma b · xi · yK, com i < k devemos observar o seguinte fato: Como, por hipótese, f(x, y) é simétrico se b · xi · yk, com i < k estiver presente em f(x, y) temos que b · xk · yi também deve estar presente em f(x, y), visto que deve ser
satisfeita a condição f(x, y) = f(y, x). Assim se agruparmos os termos b · xi · yk + b · xk · yi (i < k) temos que: b · xi · yk + b · xk · yi = b · xi · yi (xk - i + yk - i) = b · σ2i · Sk – i , mas como já mostramos anteriormente Sk – i pode ser escrito como um polinômio em σ1 e σ2, pois k – i ∈ N, visto que i < k.
(Funções simétricas elementares a 3 variáveis) Definido: σ1 = x + y + z σ2 = xy + xz + yz σ3 = x · y · z Sn = xn + yn + zn, com n ∈ N (n ≥ 2) EXERCICIOS RESOLVIDOS 01)Mostre que: a) Sn = σ1 · Sn – 1 –σ2 · Sn – 2 + σ3 · Sn – 3 (n ≥ 3 , com n ∈ N ) b) S3 = σ13 – 3σ1σ2 + 3σ3 Resolução: Observe inicialmente que: xn + yn + zn = (x + y + z)(xn – 1 + yn –1 + zn – 1)–(xy + xz + yz)(xn – 2 + yn – 2 + zn – 2) + xyz (xn – 3 + yn - 3 + zn – 3) e daí temos que: Sn = σ1 · Sn – 1 –σ2 · Sn – 2 + σ3 · Sn – 3 (n ≥ 3, com n ∈ N) Agora temos que: S0 = x0 + y0 + z0 = 1 + 1 + 1 = 3 S1 = x + y + z = σ1 S2 = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz) = σ12 – 2σ2 Agora fazendo n = 3 temos na lei de recorrência Sn = σ1 · Sn – 1 –σ2 · Sn – 2 + σ3 · Sn – 3 temos que:
S3 = σ1 · S2 –σ2 · S1 + σ3 · S0 = σ1 (σ12 – 2σ2) –σ2 · σ1 + σ3 · 3 S3 = σ13 – 3σ1 · σ2 + 3σ3
LISTA DE EXERCICIOS 01) a)(OMRUSSIA)Fatore x3 + y3 + z3 – 3xyz b) Usando a fatoração obtida em (a), verifique a famosa desigualdade das médias aritmética e geométrica. Se a, b, c ∈ R+ então
3
abc ≤
a+b+c e a 3
igualdade ocorre, se, e somente se, a = b = c.
02) Fatore (x + y + z)3 – (x3 + y3 + z3) 03) Se x1 e x2 são as raízes da equação x2 – 6x + 1 = 0 determine o valor de x15 + x25. 04) Determine todas as soluções reais do sistema x + y + z =1 3 3 3 4 4 4 x + y + z + xyz = x + y + z + 1
05) Determine todas as raízes reais da equação abaixo: 4
272 − x + 4 x = 6
06)Determine o coeficiente c do polinômio x2 + x + c tais que x1 e x2 são as 2 x13 2 x 23 raízes que satisfaz a equação + = −1 2 + x 2 2 + x1 07)Calcule o valor de a є R tais que x1 , x2 e x3 são as raízes do polinômio x3 6x2 + ax + a que satisfaz a equação ( x1 − 3) 3 + ( x 2 − 3) 3 + ( x3 − 3) 3 = 0 08)Se α , β e γ são as raízes da equação x3 + 3x2 – 7x + 1 = 0. Determine o valor de α 3 + β 3 + γ 3 + α 4 + β 4 + γ 4 x+ y=a 09)Mostre que se o sistema x 2 + y 2 = b tem solução, então a3 – 3ab + 2c = 0 x3 + y 3 = c
10)Determine as raízes reais da equação
5
33 − x + 5 x = 3 .
11)(Croácia-2001) Se x + y + z = 0 , simplifique x7 + y7 + z 7 xyz x 4 + y 4 + z 4
(
)
12) Dados a, b e c números reais positivos tais que 3 3 3 log a b + log b c + log c a = 0 ,determine o valor de ( log a b ) + ( log b c ) + ( log c a ) . 13)Se α, β e γ são números complexos tais que α + β + γ = 1, α 2 + β2 + γ 2 = 3 e α3 + β3 + γ 3 = 7 , determine o valor de α 21 + β21 + γ 21 . 14)(TREINAMENTO PARA IBEROAMERICANA – 2004)Sejam a, b, c e d números reais tais que a = 45 − 21 − a , b = 45 + 21 − b , c = 45 − 21 + c e d = 45 + 21 + d .Calc ule o valor de a.b.c.d .
x + y + z = 1 4 é igual a: 15)(PERU/2001)A partir de x 2 + y 2 + z 2 = 9 . O valor de 4 4 4 x + y + z 3 3 3 x + y + z = 1 a) 1/33 b) 2/33 c) 4/33 d) 16/33 e) 64/33 α − 3α + 5α − 17 = 0 16)(EUA – 1997)Os números reais α e β são tais que 3 . β − 3β 2 + 5β + 11 = 0 Calcule α + β. 3
17)(O.M.ISRAEL – 4 13 + x + 4 4 − x = 3
1997)Determine
as
soluções
2
reais
da
equação
18)(HONG KONG – 1997)Se a, b e c são as raízes da equação x3 – 2x2 – 3x – a5 − b5 b5 − c5 c5 − a5 4 = 0. O valor da expressão + + é igual a: a−b b−c c−a a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184 19)(EUA)Se a, b e c são as raízes da equação x3 – x2 + 2 = 0. Calcule: a) a2 + b2 + c2
b) a3 + b3 + c3
c) a4 + b4 + c4
x5 + y 5 + z 5 20)Se x + y + z = 0, Calcule o valor da expressão 3 3 3 2 x + y + z x + y 2 + z 2
21)(C.N – 87) A equação do 2º grau x 2 − 2 x + m = 0 , m < 0 , tem raízes x1 e x 2 . Se x1n −2 + x 2n −2 = a e x1n −1 + x 2n −1 = b , então x1n + x 2n é igual a: a) 2a + mb b) 2b − ma c) ma + 2b d) ma − 2b e) m(a − 2b ) 22)(C.N – 94) Os números a , b e c são inteiros não nulos , tais que : 144a + 12b + c = 0 , 256 a + 16b + c = 0
(A) 151 (D) 154
logo b2 − 4 ⋅ a ⋅ .c pode ser
(B) 152 (E) 155
(C) 153