Equações Diofantinas Bom quem nunca se deparou com uma equação com mais de uma variável na hora da aula e o professor falou: “É gente chegamos em uma equação Diofantina” e na primeira vez, todos ficamos. AH! COMO? HEIN!? Equação diofantinas são equações normalmente tem mais de uma variável, levaram esse nome em Homenagem ao matemático grego Diofano, e que geralmente tem soluções inteiras.
FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS
Problema 1. Sejam os números formados de tal maneira que 3x + 2 y = 10 , determine todas as soluções inteiras. Solução: ⎧veja 10 é par ⎫ ⎪2 y é par log o ⎪ ⎪ ⎪ 3x + 2 y = 10 ⇒ ⎨ ⎬ ⎪3x deve também ⎪ ⎪⎩ ser par. ⎪⎭
Com isso:
21x + 48 y = 6 se ( x0 ; y0 ) são soluções de I são soluções de 2 x = 2k
⎧2 y = 10 − 6k 3 ( 2k ) + 2 y = 10 ⎨ ⎩ y = 5 − 3k assim nossa solução é ( x, y ) = ( 2k ;5 − 3k )
Podemos então generalizar para problema do tipo ax + by = c Vejamos então: Proposição: A equação ax + by = c , com a, b e c inteiros tem uma solução nos inteiros ( x; y ) se, e somente se, mdc ( a, b ) = d e divide c Entretanto se ( x0 ; y0 ) é solução inteira
bk ⎧ , ⎪⎪ x = x0 + d ⎨ ⎪ y, = y − ak 0 ⎪⎩ d
Observações importantes Veja os casos particulares, depois generalize Use sempre que possível as desigualdades Observe as propriedades das constantes das equações Assim ⎧1 = 3 − 2 ⎪ ⎪1 = 3 − (5 − 3) ⎪ ⎨1 = 3 × 2 − 5 ⎪1 = 2 18 − 5 × 3 − 5 ( ) ⎪ ⎪⎩1 = 2 × 18 − 5 × 7
Logo
⎧1 = 18 × ( 2 ) + 5 × ( −7 ) × ( 48 ) ⎪ ⎨temos : ⎪48 = 18 × 96 + 5 × −336 ( ) ( ) ⎩
( x0 ; y0 ) = (96; −336 )
x0 = 96 + 5t e y = −336 − 18t
Como queremos as positivas temos: 96 + 5t > 0
− 336 − 18t > 0
e
5t > −96 96 t>− 5
18t < −336
(I )
t<−
336 ( II ) 18
Por I e II temos t = −19 Assim ⎧⎪ x = 96 + 5 ( −19 ) = 1 ⎨ ⎪⎩ y = −336 − 18 ( −19 ) = 6
Problema 2. Encontre todas as soluções inteiras da equação 21x + 48 y = 6 Solução: 21x + 48 y = 6 se ( x0 ; y0 ) são soluções de I são soluções de 2 dm0 n0 + d = dm0 + dn0 ( I ) : 21x + 48 y = 6 d ( m0 n0 − m0 − n0 + 1) = 0 d ( m0 − 1)( n0 − 1) = 0
( ÷3)
7 x + 16 y = 2
d n d Se n0 = 1 → n0 = m Se m0 = 1 → m0 =
x=
2 − 16 y ⎛ 2 − 16 y0 ⎞ ; y0 ⎟ → ( x0 ; y0 ) = ⎜ 7 7 ⎝ ⎠
Problema 3. Resolva a equação Diofantina 39 x + 26 y = 105 Solução: o mdc (39; 26 ) = 13 e 13 não divide 105
Problema 4. (Rússia – 95)Sejam m e n inteiros positivos tais que Prove que um deles divide o outro. Solução:
mmc [m, n ] + mdc [m, n ] = m + n .
⎧m = dm
0 Seja d = mdc ( m, n ) então ⎨ com ( m0 , n0 ) = 1 n dn = 0 ⎩ Então a equação dada corresponde a
dm0 n0 + d = dm0 + dn0 d ( m0 n0 − m0 − n0 + 1) = 0 d ( m0 − 1)( n0 − 1) = 0
d n d Se n0 = 1 → n0 = m Se m0 = 1 → m0 =
Aplicação de congruência a polinômios Bom todos os polinômios divisíveis ou redutíveis podem ser escrito na notação de módulo.
por exemplo
(
)
x10 − 1 = ( x − 1). x9 + x8 + x7 + ... + x + 1 com isso :
(
)
D( x) = x9 + x8 + x7 + ... + x + 1
( x − 1).D( x) = ( x − 1)
× ( x − 1)
( x9 + x8 + x7 + ... + x + 1)
temos : x10 − 1 = ( x − 1).D( x) assim x10 ≡ 1 mod ( D( x) ) observamos que o polinômio p( x) = x999 + x888 + x777 + ... + x111 + 1 p( x) = x9 .x990 + x8 .x880 + x7 .x770 + ... + x.x110 + 1
( )
( )
( )
( )
99 8 10 88 77 11 p( x) = x9 . x10 +x . x + x7 . x10 + ... + x x10 +1 p( x) = x9 + x8 + x7 + ... + x + 1 mod ( D( x) )
(
)
x 4 − 1 = ( x − 1) x3 + x 2 + x + 1 assim teríamos
(
)
p( x) = x 4 − 1 = ( x − 1) x3 + x 2 + x + 1 contudo
(
)
x 4 − 1 ≡ 0 mod ( x − 1) ou x 4 − 1 ≡ 0 mod x3 + x 2 + x + 1
FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS
Problema 1. Calcular o reto da divisão de p( x) = x5 + x + 1 por x3 − 1 . Solução:
(
)
bom x3 ≡ 1 mod x3 − 1
⎛ ⎜ assim p ( x) = x5 + x + 1 ≡ x 2 ⎜ x3 { ⎜⎜ ≡1mod x3 −1 ⎝ p( x) ≡ x 2 + x + 1 mod x3 − 1
(
) (
)
(
)
⎞ ⎟ ⎟ + x +1 ⎟⎟ ⎠
Problema 2. Calcular o resta da divisão de p( x) = x10 + 3x8 + x7 − x3 + x 2 + 2 x − 1 por x3 + x Solução: Bom do mesmo modo temos:
(
x3 + x ≡ 0 mod x3 + x
)
( ) 3 2 2 p ( x ) = x ( x 3 ) + 3 x 2 ( x 3 ) + x ( x3 ) − x 3 + x 2 + 2 x − 1
x3 ≡ − x mod x3 + x
3 2 2 p ( x ) ≡ x ( − x ) + 3 x 2 ( − x ) + x ( − x ) − x3 + x 2 + 2 x − 1 p ( x ) ≡ x 2 + 3 x ( − x ) + x 3 − x3 + 2 x − 1 p( x) ≡ x 2 − 3x 2 + x 2 + 2 x − 1 p( x) ≡ − x 2 + 2 x − 1
Problema 3. (Ime)Provar que p( x) = x999 + x888 + x777 + ... + x111 + 1 é divisível pelo polinômio D( x) = x9 + x8 + x7 + ... + x + 1 .
Solução: De acordo com os artifícios matemáticos temos:
(
)
x10 − 1 = ( x − 1). x9 + x8 + x7 + ... + x + 1 com isso :
(
)
D( x) = x9 + x8 + x7 + ... + x + 1
( x − 1).D( x) = ( x − 1)
× ( x − 1)
( x9 + x8 + x7 + ... + x + 1)
temos : x10 − 1 = ( x − 1).D( x) assim x10 ≡ 1 mod ( D( x) ) observamos que o polinômio p( x) = x999 + x888 + x777 + ... + x111 + 1 p( x) = x9 .x990 + x8 .x880 + x7 .x770 + ... + x.x110 + 1
( )
( )
( )
( )
99 8 10 88 77 11 p( x) = x9 . x10 +x . x + x7 . x10 + ... + x x10 +1 p( x) = x9 + x8 + x7 + ... + x + 1 mod ( D( x) )
Calculo do resto e o algarismo das unidades por congruência Veja que as propriedades estudadas nas teoria das congruências tem como objetivo principal atender as necessidades dos bons alunos que não se interessam por olimpíadas de matemática (puro e simplesmente), mas querem descobrir novos métodos para tornar simples questões difíceis, que à priori exigiriam muito raciocínio e genialidade. Portanto, vamos desenvolver algumas técnicas para calcular o resto que vão ajudar muito na hora da resolução de questões mais elaboradas, pois a partir de agora será possível substituir números grandes, pelos seus restos na divisão em questão.
FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS
Problema 1.
(
)
2005 Calcular o resto da divisão de x 2 ( y − 1) + y 2 ( x − 1) = 1 20062006 + 20042004 por 5.
Solução: Vejamos que: 2006 5
( resto = 1)
2004 5
e
( resto = −1)
Portanto:
(20062006 + 20042004 )
2005 2006 2006 ⎞ ≡ ⎛⎜ (1) + ( −1) ≡ 22005 . Mas 16 = 24 ≡ 1 mod (5 ) , ⎟ ⎝ ⎠ 501 501 podemos escrever 22005 = 22004 .2 = 24 .2 ≡ (1) .2 ≡ 2 . 2005
(
Logo 20062006 + 20042004
)
(
) ( )
2005
deixa resto 2 na divisão por 5.
Problema 2. Demonstre que 22225555 + 55552222 é divisível por 7. Solução: 2222 ≡ 3 mod ( 7 )
5555 ≡ 4 mod ( 7 ) e 35 ≡ 5 mod ( 7 ) , agora vejamos
( )
( )
1111 1111 22225555 + 55552222 ≡ 35555 + 42222 ≡ 35 + 42 com isso : 22225555 + 55552222 ≡ 51111 − 51111 ≡ 0 mod ( 7 )
Problema 3. Mostre que 61987 − 31 é divisível por 37. Solução: Vejamos que: 62 ≡ −1 mod (37 ) então, podemos escrever
( )
993 993 61987 ≡ 6.61986 ≡ 6. 62 ≡ 6. ( −1) ≡ −6 ≡ 31 mod (37 )
Logo, 61987 − 31 ≡ 0 mod (37 ) . Problema 4. Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número
(
N = 20062007 + 2005.2007 2007
)
2007
.
Solução: Determinar o algarismo das unidades de um número qualquer é o mesmo que determinar o resto da divisão por 10, pois qualquer número inteiro N pode ser
escrito sob a forma N = 10k + b , com k e b inteiros. Logo, fazendo a congruência módulo 10 temos: ⎧60 ≡ 1 mod (10 ) ⎪ ⎪ 1 ⎨6 ≡ 6 mod (10 ) ⎪ ⎪62 ≡ 36 ≡ 6 mod (10 ) começa a repetir ⎩
Logo qualquer potência de 6 com expoente positivo e inteira deixa resto 6 na divisão por 10. Portanto: 1003 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 2007 ⎜ 2007 ⎟ 2007 2007 2 N = 2006 .7 ⎟ + 2005.2007 ≡ ⎜6 + 5. ⎜ 7{ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ≡−1⎠ ⎝ ⎠
(
)
2007
Assim:
( ) ( ) 2007 2007 N ≡ ( 62007 − 5 ) ≡ (6 − 5) ≡ 1 mod (10 ) N ≡ 62007 − 35
2007
≡ 62007 − 5
2007
Logo o algarismo das unidades de N é 1. Problema 5. Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número
(
)
(
)
33333 44444 N = 2222255555 + 5555522222 + 3333377777 + 7777733333 .
Solução: Caro aluno para encontrarmos o algarismos das unidades basta fazermos congruência de módulo 10. Observamos que: 44444 33333 ⎛ 3888 16666 ⎞ ⎞ 13888 ⎛ ⎛ ⎛⎛ ⎞⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ N = ⎜ ⎜ 2{4 ⎟ .23 + ⎜ ⎜ 51422222 .3 + ⎜ ⎜ 7{2 ⎟ .7 ⎟ ⎟ + ⎜ ⎜ 3{2 ⎟ 2 43 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ≡1 ⎠ ⎜ ⎝ ≡−1⎠ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ≡−1⎠ ⎝ ⎝ ≡ 5 ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝
Com isso: 33333 44444 33333 44444 N ≡ (8 + 5 ) + (3 + 7 ) ≡ (3) + (10 )
Assim 16666 ⎞ ⎛ ⎜⎛ 2 ⎞ ⎟ N ≡ ⎜ ⎜ 3{ ⎟ .3 ⎟ ≡ 3 . Logo o algarismo das unidades de N é 3. ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ≡−1⎠ ⎟ ⎝ ⎠
OBSERVAÇÃO: Veja que a grande vantagem de aprendermos teoria dos números é a possibilidade da substituição das bases pelos seus restos na divisão desejada que vai simplificar cada vez mais as nossas contas.
SESSÃO NÓ CEGO 01)(RUSSIA - 1997) Se a e b são reais tais que a3 – 3a2 + 5a = 1 e b3 – 3b2 + 5b = 5, determine a + b RESP.: 02 x2 2 02)(CANADÁ - 98) Resolva a equação x + =3 ( x + 1) 2 ⎧⎛ 1 ± 5 ⎞ ⎛ −3 ± i 3 ⎞ ⎫⎪ ⎟⎟ ; ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ 2 ⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
RESP.: S = ⎪⎨⎜⎜
03)(O.M.ISRAEL – 1997)Determine as soluções reais da equação 4 13 + x + 4 4 − x = 3 RESP.: S = {−12 ; 3} 04)(O.M.AUSTRIA – 1997)Sabe-se que o número de soluções reais do sistema ⎧⎪( y 2 + 6)( x − 1) = y ( x 2 + 1) é finito. Prove que ele é par. ⎨ 2 ⎪⎩( x + 6)( y − 1) = x( y 2 + 1)
05)(OMABCSP – 2004)Os números naturais não nulos a e b tais que a + ab + b = 322 são: a) 15 e 17
b) 17 e 19
c) 18 e 20
d) 16 e 18
e) 20 e 22
06)(OBM - 1997) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, ( x0 , y0) = (100, 1). Além desse, há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1 ,y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é: a) 23 RESP.: A
b) 52
c) 54
07)(OBM)Calcule o valor inteiro da equação x2 + a) 1 b) 2 c) 3 RESP.: D
d) 101
e) 1997
x – 18 = 0 é: d) 4
e) 5
08)(O.B.M – 1997)O número de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equação x + y + xy = 120 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 RESP.: E
09)(OBM – 2002) Qual é o dígito das unidades de A) 7
B) 9
C) 3
, onde aparecem 2002 setes D) 1
E) 5
10)(OMSE – 1999) Calcular 99999992.
11)(OMSE – 1999) Simplificar:
12)(OMSE – 1999) Determine com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal do número 13)(OBM – 1999) Qual o 1999o algarismo após a vírgula na representação decimal de ? a)0
b) 1
c) 2
d) 7
e) 8
14)(OBM – 1999) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que um número inteiro? a)5
b) 10
c) 20
d) 30
seja
e) 40
15)(OBM – 1999) O número N = 11111 . . . 11 possui 1999 dígitos, todos iguais a 1. O resto da divisão de N por 7 é: a)1
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
16)(OBM – 1999) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x +3y = 101 ? a)13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
17)(OBM – 2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1? A) 1.000
B) 10.000
C) 50.000
18)(OBM - 1997) A soma das raízes de x 3 + 3x 2 + 3x − 1 = 0 é : a) – 3 b) 1 − 3 2 c) 1
D) 100.000
d)
3
2 −1
E) 500.000
e) 3
19)(OBM-2001) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2001? A) 9
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
20)(EUA) Sabendo que a, b, c e d assume valores inteiros positivos na equação a5 = b4, c3 = d2 e c – a = 19. Determine d – b 2207 −
21)(CANADÁ) Sabendo que a expressão
1 2207 −
8
tem sua resposta na forma
1
2207 −
1 2207 −
1 2207 − ....
a+b c , quando a, b, c e d são inteiros. Calcule a + b + c + d
d. RESP.: 11 22)(OMRJ – 2005) Encontre todas as soluções inteiras de 4 x + x 2 − x 3 = 4 y + y 2 − y 3 . 23)(OMRJ – 1998) a) Encontre todas as soluções inteiras e positivas de primo [cada solução é um par ordenado (x; y ) ].
1 1 1 + = , onde p é um número x y p
b) Encontre pelo menos 5 soluções inteiras e positivas de
1 1 1 + = . x y 1998
24)(OMRJ – 2000) De quantas maneiras se pode escrever 2000 como a diferença de dois quadrados perfeitos (isto é, quadrados de números inteiros)? 25)(OMRJ – 2001) Achar o menor inteiro positivo que dividido por 29 deixa resto 5 e dividido por 31 deixa resto 28.
26)(OMCAMPINENSE – 1999)Quantos pares (m,n) de inteiros satisfazem a equação m .n = m + n ? a)2
b)1
c)3
d)4
e)mais que 4
27)(OMCAMPINENSE – 1999)Para quantos valores do coeficiente a as equações
têm uma raiz real comum? a)1
b)2
c)3
d)4
e)infinitos valores
28)(OMCAMPINENSE – 1999) Quantos pares (a,b) de números reais não nulos satisfazem a equação
a)1
b)2
1 1 1 + = ? a b a+b
c)um par para cada
d)dois pares para cada
e)nenhum
29)(OMCAMPINENSE – 2001) Quantos pares ( x, y ) de números inteiros não negativos são soluções da equação x + y + xy = 14 ? X) 4
B) 1
C) 8
D) 2
E) 3
30)(OMCAMPINENSE – 2001) Seja P um número inteiro. Encontre todos os valores de P de modo que a equação x 2 − Px + P = 0 tenha as duas raízes inteiras.
31)(OMCAMPINENSE – 2002) A quantidade de inteiros positivos a tais que
a a −1
também é inteiro positivo é igual a :
A) 2
B) 3
C) 4
X) 1
E) 5
32)(OMCAMPINENSE – 2004) Encontre todos os inteiros positivos n tal que
−54 + 55 + 5n seja um quadrado perfeito (isto é, quadrado de números inteiros). 33)(OMCAMPINENSE
–
2004)
Dada
a
equação
do
2o
grau
x 2 + (m + 1) x + 2m − 1 = 0. Quantos são os valores inteiros de m para que as raízes desta equação sejam inteiros? A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
34)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a expressão a b − ab = c, onde a e b são 3
3
números inteiros quaisquer. Então, o número c é sempre divisível por: A) 4
B) 2
C) 5
D) 7
E) 8
35)(OMCAMPINENSE – 2004) O número de pares de inteiros ( x, y ) que satisfazem a equação x + x + 10 = y + y é igual a: 2
A) 4
2
B) 5
C) 1
D) 8
E) 3
36)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a equação do 2o grau x + (m − 4) x + m = 0. 2
Determine os valores de m para que as duas raízes da equação sejam números inteiros. 37)(OBM – 2005) (a) Fatore a expressão x 2 − 9 xy + 8 y 2 . (b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais que 9 xy − x 2 − 8 y 2 = 2005 .
38)(OMRN – 1997) Os números 1, 2, 3, ...., 19, 20 são escritos no quadro negro. Apague quaisquer dois desses números e escreva o novo número a + b + ab. Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações? (a) 199.964 (b) 210 (c) 198.876 (d) 105 (e) Nenhuma correta 39)(OMRN – 1996)Dado f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, o resto da divisão de f(x5) por f(x) é: a) 1 b) x4 + 1 c) 3 d) x5 + 1 e) 5 4 2005 − 1 40)(OMCAMPINENSE – 2005)Mostre que é um número inteiro. 3 41)(OMMG – 2004)Seja x um número que satisfaz a equação x2 + x – 1 = 0, determine o valor da expressão x8 – 7x4 + 1. 42)(EUA) Calcule o valor de 3x2y2 tal que x e y são inteiros satisfazendo a equação y2 + 3x2y2 = 30x2 + 517 43)(O.M.IRLANDA – 1997)) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são soluções da equação 1 + 1996x + 1998y = xy 44)(OMRJ - 1998) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são 4 2 soluções da equação + = 1 x y 45)(EUA – 1983) Sabendo que g(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre os polinômios g(x12) por g(x) 46)(OMSP – 2002)Mostre que 4647 + 4847 é divisível por 472 47)(AIME – 87)Calcule : (10 4 + 324).(22 4 + 324).(34 4 + 324).(46 4 + 324)(58 4 + 324) (4 4 + 324)(16 4 + 324)(28 4 + 324)(40 4 + 324)(52 4 + 324) x + x 199 + 1 48)(PERU/2000)O resto da divisão é igual a: x5 −1 x −1 2 3 a) x (x – 1) b) x (x – 1) c) x(x + 1) d) –x2(x + 1) RESP.: D
e) x4(x + 1)
49)(EUA - 1989)Achar a se a e b são inteiros tais que x2 – x – 1 é fator de ax17 + bx16 + 1. 2 x119 + 1 50)(PERU-2002)Achar o resto da divisão: 2 x − x +1 a) x – 3 b) 4 -2x c) 3 – 2x
d) 2x – 3
e) 3 – x
51)(OBM – 1998)Para quantos valores reais de p a equação x3 – px2 + px – 1 = 0 tem todas as raízes reais e inteiras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais 52)(HONG KONG – 1990)O resto da divisão 13 + 23 + 33 + ...... + 19903 por 7 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 53)(HONG KONG – 1990)Se a n = 6n + 8n . Então o resto da divisão de a1989 por 49 é igual a: a) 1 b) 7 c) 14 d) 21 e) 35 54)(OMPARA – 2003) a) Determine dentre os 100 primeiros termos da seqüência an = n n, 1 n 100, quantos são quadrados perfeitos. b) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99. c) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + ... + 9898 + 9999. 55)(HONG KONG – 1992)O numero de soluções inteiras positivas que satisfaz a xy equação = 1992 é igual a: x+ y a) 36 b) 48 c) 54 d) 63 e) 72 56)(HONG KONG – 1995)Calcule o valor real de x que satisfaz a equação 1+ 1+ 1+ x = x
57)(ESTÔNIA)Sejam a e b inteiros positivos primos entre si tais que
a+b também seja a−b
um numero inteiro positivo. Prove que pelo menos um dos números ab+ 1 e 4ab + 1 é um quadrado perfeito. 58)(TORNEIO DAS CIDADES)Sejam a e b inteiros positivos. Se a 2 + b2 é divisível por ab, prove que a = b. 59)(INDIA)Determine todas as soluções inteiras e não – negativas ( x ; y ) que satisfaz a equação ( xy − 7 )2 = x 2 + y 2 60)(POLISH MATHEMATICAL OLYMPIAD)Encontre todas as soluções inteiras ( x ; y ) que satisfaz a equação x2 ( y − 1) + y 2 ( x − 1) = 1 .