EXERCICIOS GERAIS – PROFESSOR JUDSON SANTOS
Seção nó cego Nesta secção nó cego tem como objetivo principal aprofundar os seus conhecimentos, isto é, todos os problemas aqui contidos envolvem um raciocínio matemático apurado e uma certa dose de criatividade. Problema 1. (PERU)Sejam a, b, c, d, e, f números reais tais que 3 a = 4, 4 b = 5, 5 c = 6, 6 d = 7, 7 e = 8, 8 f = 9 . Então o valor numérico do produto abcdef é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Solução: 3a = 4
(3 )
a b
= 4b
3 ab = 5
(3 )
ab c
= 5c
3 abc = 6
(3 )
abc d
= 6d
3 abcd = 7
(3 )
abcd e
= 7e
3 abcde = 8
(3
)
abcde f
= 8f
3 abcdef = 9 = 3 2 por tan to : a.b.c.d .e. f = 2 Problema 02. (EUA) Sejam a e b números reais tais que 60a = 3, 60b = 5. Então o valor numérico da expressão 1− a − b 12 2(1− b ) é igual a: a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Solução: 1− a −b
1− a − b 2 (1− b )
60 2 (1−b ) 12 = 5 porém : 1− a − b
1− a − b 2 (1− b )
(
60 2(1−b ) 12 = 601−b = b 60 com isso : 12
1− a − b 2 (1− b )
= 60
1− a − b 2
=
1− a − b 2 1−b )
)(
60 60 .60 b a
por tan to : 12
1− a − b 2 (1− b )
=
60 =2 3 .5
Problema 03. (OBM) Seja n o número inteiro positivo dado por: n = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + (196883)2. Qual é o algarismo das unidades de n? SOLUÇÃO: Os algarismos das unidades dos quadrados dos números de 1 a 10 são, respectivamente, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 5 e 0. Ora, a soma dos números formados por esses algarismos é 45. Portanto, a soma 12 + 22 + 32 + 42 + ,,, + 102 tem como algarismos das unidades o número 5. De 11 a 20, os algarismos das unidades dos números se repetem na mesma ordem, portanto, o algarismo das unidades da soma de seus quadrados também é 5. Consequentemente, a soma dos quadrados dos números de 1 a 20 tem 0 como algarismo das unidades. Logo a soma 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 tem zero como algarismo das unidades se n é múltiplo de 20. Como n = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1968832 = 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1968802 + 1968812 + 1968832, concluímos que o algarismo das unidades de n é o mesmo do número 0 + 1 + 4 + 9 = 14, ou seja, 4. Problema 04. (ARGENTINA) Seja a a maior raiz da equação x3 – x2 – 2x – 1 = 0. Então o valor da expressão a
2a 4a 2 é igual a:
a)1
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
Solução: 2
1 a
2 .a
4 .a
a
a a
1
2 = 2 a .2 a .2 a 2
3
com isso : a 2 + 2 a +1 a
2. 4. 2 = 2 a
a3
a
mas, a é raíz da equação x 3 − x 2 − 2 x − 1 = 0, temos : a 3 = a 2 + 2a + 1 por tan to : a3 a
2. 4. 2 = 2 a = 2 a
3
a
Problema 05. (EUA) Seja N um número o qual, expresso em notação decimal, consiste de 88 uns, isto é, N = 111 ...4 11 . Mostre que N é um número composto, isto é, existe um número natural d que divide 1 42 3 88
N , com d ≠ 1 e d ≠ N . Solução:
11 ...1 = 1 + 10 + 10 + ... + 10 { 2
88
com isso, temos :
(10 ) 11...1 =
44 2
{
9
88
então :
(
)
44 99 ... 12 39. 10 + 1 44
9
− 12
=
(10 (
44
87
10 88 − 1 = 10 − 1
)(
)
− 1 10 44 + 1 99
)
= 11 ...1 10 44 + 1 { 44
Problema 06. (OMRJ) Seja N o menor inteiro positivo maior que 200, que é ao mesmo tempo a soma de 5 inteiros consecutivos, a soma de 6 inteiros consecutivos e a soma de 7 inteiros consecutivos. A soma dos algarismos de N é igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9.
Resolução: De acordo com o enunciado temos: N = ( x − 2) + ( x − 1) + x + ( x + 1) + ( x + 2) = 5.x N = (k − 2 ) + (k − 1) + k + (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) = 6.k + 3 = 3(2k + 1)
N = ( p − 3) + ( p − 2) + ( p − 1) + p + ( p + 1) + ( p + 2 ) + ( p + 3) = 7. p Logo, N é um número ímpar de 3, 5 e 7 e, portanto, de 105. O menor número com essa característica maior que 200 é 315. Portanto, a soma dos algarismos de N é igual a 3 + 1 + 5 = 9. Problema 07. x + 99 (OBM)Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um número inteiro? x + 19 a) 5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 Solução: x + 99 x + 19 + 80 80 = = 1+ x + 19 x + 19 x + 19 porem : 80 = 2 4.51
QD+ (80 ) = (4 + 1)(1 + 1) = 10 por tan to, o total de valores int eiros de x é 20.
Problema 08. (OMRJ - 1994) Se p é o maior fator primo do número 314 + 313 – 12, então p é igual a: a) 29 b) 47 c) 73 d) 97 e) 101 Solução: 314 + 313 − 12 = 3 2.312 + 3.312 − 12 = 12.312 − 12 = 12 312 − 1 com isso :
(
(
)(
)
(
)(
)([ )
314 + 313 − 14 = 12 3 6 − 1 3 6 + 1 = 12. 33 − 1 33 + 1 3 2
então :
(
)
3
+ 13
]
)
314 + 313 − 14 = 12.26.28.(9 + 1) 9 2 − 9 + 12 = 2 6 × 3 × 5 × 7 × 13 × 73
por tan to : p = 73 Problema 09. (MOLDAVIA)Se a, b e c ∈ N − {0} tais que a.b.c + a.b + a.c + b.c + a + b + c = 2000 . Ache o valor numérico de a + b + c Resposta : 52 Problema 10. n3 − 3 (Olimpíada Argentina) Determine todos os naturais n, n > 9 de modo que a fração seja um n−3 número inteiro. Resposta : n = 11, 15, 27