COMANDO DA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE ENSINO ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR CONCURSO DE ADMISSÃO AO
3o ANO
DO CPCAR 2004
04 - Considere a semicircunferência C da figura abaixo e a função real f definida em A = ]–a, 0 [ N ] 0, a[ que associa a cada x0 ∈ A a área da região limitada pelos eixos coordenados, pela semicircunferência C e pela reta x = x0. Baseado nesses dados, pode-se afirmar que a imagem de f é igual a
PROVA DE MATEMÁTICA 12 de agosto de 2003 Transcreva estes dados para seu cartão de respostas.
VERSÃO: A
ANO: 3 A
ATENÇÃO! ESTA PROVA CONTÉM 30 QUESTÕES.
0
01 - Um conjunto M tem x elementos e p subconjuntos. Um conjunto N tem 3 elementos a menos do que o conjunto M. Se q é o número de subconjuntos de N, então 8 1 = p q d) q = p − q
a) q = 3p
c)
b) q = 8p
02 - Analise as proposições abaixo V ( verdadeira ) ou F ( falsa ). I)
classificando-as
em
− πa 2 πa2 , c) 4 4
πa2 b) 0, 4
− πa 2 πa2 , d) 2 2
05 - Seja k um número real negativo. Então, o conjunto dos números reais x tais que
Se A = {a g û* s a < 7} e 2 B = {(x, y) i A s mdc (x, y) = 2}, então, é correto afirmar que o número de elementos de B é igual a 4.
II)
Num conjunto de 30 pessoas onde 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas, tem-se 14 pessoas altas e magras.
III)
Se M, N e P são conjuntos não vazios tais que M – N = P, então, P N (M O N) = M.
A seqüência correta é a) F – F – V b) V – V – F
πa 2 a) 0, 4
c) V – F – F d) F – V – V
03 - A função real definida de A em B por y =
x −1 2−x
a) b) c) d)
x + k2 x −k ≥1 e <k+2 é k k
vazio. formado por um único elemento. ]4, + ∞[ ]–4, 2[
06 - A função f(x) = x + 2 + x + x – 5, definida de þ em þ+, a) possui conjunto imagem Im = {y ∈ þ s y ≥ 7} b) é sobrejetora. c) possui um máximo que se localiza em cima do eixo das ordenadas. d) é decrescente para todo x do intervalo [5, + ∞[ 07 - Sejam os gráficos das funções f, g , h (g // h) definidas em þ.
está
representada corretamente no seguinte gráfico: y
a)
c)
y
0
0
b)
x
x
y
y
d)
0 x
Analise as interseções de regiões do plano xOy, e assinale a alternativa correta. 0
x
a) x ≥ 0 ⇒ f(x) < g(x)
c) ∃ x i þ tal que, h(x) ≥ g(x)
b) x ≤ 0 ⇒ g(x) ≤ h(x)
h( x ) > f ( x ) d) ⇒2<x≤3 h( x ) ≤ 0
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PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”
08 - Num terreno em forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, conforme figura abaixo. O perímetro da casa, em metros, tendo a mesma ocupado a maior área possível, é igual a
10 - Analise as proposições classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). O
I)
produto
(
2 1 + log
x2
das
raízes 2
)
1 é igual a 10 = log x −1
da
equação
1 10
Se 5n = 2 , então log2 100 = 2(1 + n−1)
II)
Observando o gráfico de f ( x ) = logn x abaixo pode-se afirmar que o valor de f(256) = n
III)
a) 100 b) 150
2
0
c) 50 d) 25
A seqüência correta é 09 - Leia atentamente as seguintes afirmações:
Em radioatividade, define-se atividade A de uma amostra radioativa como sendo a velocidade de desintegração de seus átomos. A constante de desintegração λ representa a probabilidade de que um átomo do elemento se desintegre na unidade de tempo. A0 é a atividade de uma amostra no instante t0 e A é a atividade da amostra no instante t. –λ t
A função A = f(t) é representada por A = A0 . e o tempo e e = 2,7182...
, onde t é
a) V – V – V b) V – F – F
c) F – V – V d) F – V – F
11 - A solução real da equação 3x −
15
+ 3x −3 −
23
= 0 é um 3 x −2 a número racional irredutível escrito na forma , então a+b é b igual a
a) 2 b) 4
3
x −1
c) 7 d) 8
O gráfico que MELHOR representa A em função de t é: x
a)
12 - Se f ( x) =
c)
e +4 2
e −x
2
, então o domínio de f ( x ) é
Obs.: e = 2,7182... a) b) c) d)
0 b)
{x i þ s x < – e ou x > e} {x i þ s – e < x < e} {x i þ s x < –1 ou x > 1} {x i þ s –2 < x < 2}
0 d)
10 − y + 1
= x . Ao determinar y em função de x, 10 − y + 2 obtém-se uma função cujo o domínio é
13 - Seja a relação
a) IR *+
1 b) ,1 2 0
0
1 c) − ∞, 2 d) þ – {1}
∪ ] 1, + ∞[
14 - Analise as sentenças abaixo:
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I)
II)
PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”
π Seja f : [0, 1] → 0, a função 2 f ( x ) = arcsen x . Então pode-se g( x ) = cos(arcsen x ) é crescente;
definida
por
afirmar
que
Se x ∈ [0, 2 π] então, a igualdade 4cos2x.senx.cosx = 0 apresenta nove zeros no conjunto-solução;
18 - Com relação às matrizes A e B, quadradas de ordem n e não nulas, marque (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas.
I) II) III)
1− 2 sen x
III)
1 Se f: IR → IR é tal que f ( x ) = 2 1 assumido por f é ; 8
então, o mínimo
correto afirmar que seu Im = {y i þ –1 < y < 1}.
(sen x + cos x )2 − 1
1 − sen 2 x conjunto imagem
V–F–V F–V–V
c) F – V – F d) V – F – F
é é
Estão corretas apenas a) I e II b) II e III
Se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula. Se B possui uma linha ou uma coluna nula então ela é inversível. Sejam A e B matrizes inversíveis, de mesma ordem. Neste caso o produto AB é também inversível.
A seqüência correta é a) b)
IV) Em relação à função dada por y =
3
c) II e IV d) III e IV
4 5 A = . Determine a expressão do 2 1 determinante da matriz (A – αI), onde α i þ e I a matriz identidade. A soma dos valores de α para os quais det (A – αI) = 0 é dada por
19 - Seja a matriz
a) b)
15 - Se a curva da figura abaixo representa o gráfico de um período da função y = a + b cos (cx ) , (a,b,c i þ), então, o valor da área hachurada é
5 6
c) –1 d) –5
1 1 9 1 –1 20 - Sejam as matrizes A = e P a inversa de , P = 1 − 4 4 6 P. Se a matriz B é tal que B = P–1 A P, tem-se que a) b)
det B = 0 det B = –50
c) B é a matriz diagonal d) B = A
21 - Existem três tipos de aviões em uma empresa de aviação civil, sendo que:
1 π (1 + 3 ) 3 1 π (1 + 3 ) b) 2
c) 3π (1 + 3 )
a)
d) π (1 + 3 )
16 - São dadas: uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão positiva r; uma progressão geométrica de primeiro termo igual a –1 e razão negativa q. Somando-se os termos correspondentes das duas progressões, obtém-se a seqüência (0, 5, 1, 15, ...). O décimo primeiro termo dessa seqüência é a) –1003 b) –985
c) 843 d) 1185
9
3
são progressões aritmética e geométrica, respectivamente, então a diferença entre o décimo termo de an e o nono termo de bn é a) –756 b) –270
c) 702 d) 756
Um empresário necessita para o transporte de seus funcionários, 11 compartimentos de classe A, 9 de classe B, 20 de classe C e não quer compartimentos vazios nos aviões. Se o aluguel de cada avião do tipo I custa 60 mil reais, do tipo II, 10 mil reais, e do tipo III, também 10 mil reais, quantos aviões ele deverá alugar gastando exatamente 100 mil reais? a) b)
4 6
c) 7 d) 5
22 - Os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha mais de uma solução ou para que não tenha solução, são, respectivamente,
17 - Se an = (log 1; log 0,001; log 1 729 ; ...) e bn = ( − 1 ; − 1 ; − 1;... ) , 3
O avião do tipo I tem 1 compartimento de classe A, 3 de classe B e 4 de classe C. O avião do tipo II tem 2, 3 e 5 compartimentos respectivamente, de classes A, B e C. O avião III tem 3 compartimentos de classe A, 3 compartimentos de classe C e não contém compartimentos da classe B.
x + y − z = 1 2 x + 3 y + az = 3 x + ay + 3 z = 2
a) b)
a ≠ 2; a ≠ –3 a = 2; a = –3
c) a = –3; a = 2 d) a ≠ –3; a = 2
23 - De quantos modos 3 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos? a) b)
12 120
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c) 72 d) 32
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PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”
24 - Considere as proposições: Sendo A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos, existem 125 funções injetoras de A em B. II) O número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem é igual a 48. III) De um baralho de 12 cartas, das quais 4 são ases distintos (A-A-A-A), retiram-se 3 cartas ao acaso. A probabilidade de haver pelo menos um ás (A) entre as 41 cartas retiradas é de . 55
I)
29 - Pediu-se para calcular o volume de um cone circular reto, sabendo que as dimensões da geratriz, do raio da base e da altura estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Por engano, ao calcular o volume do cone, usou-se a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e de mesma 3 altura do cone. O erro obtido foi de 4π m . A altura H e o raio R do cone valem, respectivamente, a)
H=
1 1 meR= m 8 2
c) H = 2m e R =
b)
H=
3 m e R = 2m 2
d) H =
Analisando cada uma delas, pode-se afirmar que a) b)
todas são verdadeiras. todas são falsas.
c) apenas I é falsa. d) apenas III é verdadeira.
25 - Dois dados não viciados são lançados, registrando-se o resultado como (x1 , x2), onde xi é o resultado do i-ésimo dado, i = 1,2. Considerando-se os dois eventos seguintes: A = {(x1 , x2) s x1 + x2 = 10} e B = {(x1 , x2) s x1 > x2}, a probabilidade de ocorrer o evento A ∩ B é de a) b)
1 36 5 144
32π 2 cm ³; 24π cm 3
c) 10π cm ³; 40π cm
2
b)
256π 2 cm ³; 32π cm 3
d) 32π cm ³; 24π cm
2
3 6
26 - No desenvolvimento de (a + b) , segundo as potências decrescentes de a, a razão do coeficiente binomial de certo 4 termo para o termo seguinte é . Então, a posição do 3 primeiro desses termos é a) b)
a
1 a 2
a
c) 3 a d) 4
27 - Analise as afirmativas abaixo, classificando-as em (V) verdadeira ou (F) falsa. Se um plano é perpendicular a outro, então ele é perpendicular a qualquer reta desse outro. II) Duas retas reversas podem ser ambas perpendiculares a uma mesma reta t. III) Se dois planos distintos são paralelos entre si, então toda reta de um é paralela a toda reta do outro plano. IV) Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a qualquer reta do plano.
I)
A seqüência correta é a) V – F – F – V b) F – V – F – F
1 1 meR= m 2 8
a)
12 1
d)
3 m 2
30 - Dada uma cunha esférica de diedro 45° e raio 4 cm, tem-se que o volume da cunha e a área de sua superfície são, respectivamente,
1
c)
4
c) F – V – F – V d) V – F – V – F
28 - Seja P uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma das faces de um cubo de aresta a e cuja base é a face oposta. Então, pode-se afirmar que a) a área total da pirâmide é igual a área lateral do cubo. b) o volume da pirâmide é a metade do volume do cubo. c) o volume da região interna ao cubo e externa a pirâmide é 2 do volume do cubo. 3 d) a razão entre as áreas lateral da pirâmide e total do cubo é a2.
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