PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I
Lista de Exercícios – Funções 1) O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius.
( oF ) • (100 , 212 )
• ( 0 , 32 )
a) b)
( oC)
Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit.
2) Dada a função f (x ) = 3x + 5, determine
f (−3) + f (0) . −4
3) Considere f: IR → IR dada por f(x) = 3x – 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0. 4) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.
2
5) Numa câmara onde se desenvolve um processo químico, um termômetro marca a temperatura T no decorrer da experiência. Sendo t o tempo passado após o início, que se deu às 12 horas, tem-se T = 2t − 12t + 18t + 10 , 3
2
relação válida no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 4 , onde T está em graus Celsius, e t em horas. Baseando-se no gráfico a seguir, que representa a função acima definida, pede-se: a) a máxima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; b) a mínima temperatura atingida e a hora em que isso ocorreu; c) os valores máximo e mínimo da função, bem como os pontos de máximo e de mínimo; d) os (maiores) subintervalos de [0;4 ] onde a função é crescente e onde a função é decrescente; e) a temperatura às 14 horas; f) o número de vezes que a temperatura atingiu 16o e aproximadamente a hora que isso ocorreu pela primeira vez; g) verifica se a temperatura às 12h45min foi maior ou menor do que a temperatura às 14h30min.
6) Dadas as funções f e g definidas por :
⎧ x + 2 , se x < −1 ⎪⎪ f ( x) = ⎨ x 2 − 4 , se − 1 ≤ x ≤ 2 ⎪2 x − 1 , se x > 2 ⎪⎩ a) f ( 2) + f ( −1) ;
d)
⎛f⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (3) − g (2) ; ⎝g⎠
,
⎧⎪ − x , se x ≤ 0 g ( x) = ⎨ 3 , pede-se: ⎪⎩ x − 1 , se x > 0
f (3 2) ; g (−4)
b) f ( f ( −5)) ;
c)
e) ( f ⋅ g ) ( −2) ;
f) f ( g (1)) ;
g) o gráfico cartesiano e a imagem da função f ; h) o gráfico cartesiano e a imagem da função g . 7) Considerando o gráfico da função f (abaixo), esboçe o gráfico cartesiano das funções que seguem: a) y = − f ( x ) + 2 b) y =
c)
y
1 f ( x) 2
4
y = f ( x) − 1
d) y = f ( x + 2) − 1
1
−1
0
2
x
3
8) Dadas as funções definidas por f ( x ) = −1
a) h ( x)
b)
e) ( g o f ) ( x )
x + 4 , g ( x) =
⎛h+ g⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ (−1) ⎝ f ⎠
1 x e h( x ) = 3 − 1 , pede-se: x −4 2
c) Dom ( g o f )
d) Dom ( f ⋅ g )
g) g ( a + h)
f) o gráfico cartesiano de ( g o f )
9) Encontre a função inversa de f(t)= 50e0,1t 10) Relacione adequadamente um gráfico a cada situação relatada: (a) Eu tinha acabado de sair de casa, quando percebi que havia esquecido meus livros; então eu voltei para buscá-los. (b) Tudo ia bem até que o pneu furou. (c) Eu iniciei calmamente, mas aumentei a velocidade quando me dei conta de que iria me atrasar. (d) Saí rapidamente de casa, mas comecei a andar mais lentamente para poder apreciar as vitrines das lojas. (1)
(2)
Distância de casa
Distância de casa
tempo
(3)
tempo (4)
Distância de casa
Distância de casa
tempo
tempo
11) Determine e representa graficamente o domínio das seguintes funções, considerando x como variável real de entrada. a) y =
3− x
b)
f ( x) =
d) z =
x2 −1 x−2
e)
f ( x) =
5x 3
c) y ( x ) = 6 + x − x
x −2 2
2x − 1 − 4
f) y =
1 x+7
12) Determine o domínio das seguintes funções reais: a)
f ( x) =
x x−3
e) f ( x ) =
b)
f ( x) =
x +1 x2 − 7
f)
f ( x) =
x-2 x+2 - x 2 + 7 x + 44 −
1 x +1
2
4
c)
f ( x) =
d)
f ( x) =
4x + 2 x −4 2
g)
f ( x) =
h)
f ( x) =
1 1 + x − 6x + 5 x + 4 2
25 − x 2 + x 2 − 2 x
2x − 3
13) Uma panela contendo um pedaço de gelo a - 40oC, é colocada sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo mostra a evolução da temperatura T (em graus Celsius) em função do tempo t (em minutos). Expresse T em função de t, nos seguintes intervalos de t. a) 0 ≤ t < 4 b) 4 ≤ t < 8 c) 8 ≤ t < 12 d) 12 ≤ t ≤ 20
100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-40 14) Determine as funções g(x) e h(x), sabendo que f ( x ) = goh(x). a) f ( x ) =
x+2
b) f ( x ) = x − 3x + 5 2
c) f ( x ) =
1 x-3
15)Represente geometricamente cada função y = f(x). Determine seu domínio e sua imagem. a) y = x2
b) y = x2 –1
c) y = x2 + 2
d) y = ( x – 1 )2
e) y = ( x + 2 )2
f) y = ⏐ x ⏐
g) y = ⏐x ⏐- 1
h) y = ⏐ x ⏐+ 3
i) y = ⏐ x – 1 ⏐
j) y = ⏐ x + 2 ⏐
k) y = ⏐ x2 – 1 ⏐
l) y = x
m) y = x - 1
n) y = x + 1
o) y = - x
x2 − 4 q) y = x+2 1 t) y = x -1
x2 − x − 6 r) y = x−3 1 u) y = + 1 x
p) y = - x
1 x ⎧2x - 3, se x < 0 ⎪ v) y = ⎨x 2 − 3, se 0 < x ≤ 2 ⎪1 , se x > 2 ⎩
s) y =
16) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de habitantes. a) Qual é a população atual do país? b) Qual será a população, daqui a 30 anos?
5
17) Fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: a) y = sen ( 2t) b) y = sen( t/2) d) y = -3cos t
e) y= 2sen ( 2t)
c) y = 2cos t f) y= 1+ 2 sen t
Nota: Seja f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt): A é a amplitude: (metade da distância entre os valores máximo e mínimo) 2π Período : ( tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo) B
Respostas
(b) C ≅ − 17,77
1) ( a ) F (C ) = 1,8C + 32
o
2) –1/4 3) 2/3 4) (a) (d)
Dom f = [ −2,3)
(b)
Im f = [ −2,2) Dom f = ( −3,3)
(e)
Im f = [ −1,3] o
5) (a) 18 , às 13 h
(f)
Im f = ( −2,3] o
o
(c)
Im f = ( −2,3) Dom f = [−3,4] − {1}
(b) 10 , às 12 h
e às 16 h
máximo : 18 e mínimo : 10 pontos de máximo : 1 e 4 pontos de mínimo : 0 e 3 (d) crescente : 0 ;1 ∪ 3 ; 4
(c)
Dom f = (−2,4)
Dom f = [0,5] Im f = [0,2] Dom f = (−3,3) − {1}
Im f = ( −1,3)
e às 15 h
o
[ ] [ ] decrescente : [1; 3] o
(e) 14 C (f ) 3 vezes; primeira vez aproximadamente às 12 h 30 min (g) maior 6) (a)
−3
(b)
5
(c) −
7 8
(d) −
177 26 (h)
(e)
0
(f ) − 4
(− 1; + ∞ )
f o
o
•
g
• • o
(g)
[− 4 ; + ∞)
6
7) (a)
(b)
(c)
(d)
8) (a) log 3 ( x + 1)
(b) −
[− 4 ; + ∞ ) − { − 2 , 2 }
(d)
(g)
- 1/4
1 a + 2ah + h 2 − 4 2
(c) (e)
(f)
o
3 3
[− 4 ; + ∞ ) − { 0 } 1 ( x + 4)
2
−4
=
1 x
7
9) f
−1
(t ) = 10 ln t − ln 10 50
10) 1 → d 11) (a)
2→b
3→a
4→c
•
Dom f = (− ∞ ; 3]
3
{
(b) Dom f = IR − −
2; 2
}
Dom f = [− 2 ; 3 ]
(d)
Dom f = [− 1 ;1 ] ∪ ( 2 ; + ∞ ) 3⎤
⎡5
⎞
• 3 − 2
Dom f = IR − { 7 } (e) [2, + ∞ )
12) (a) IR - {3} (b) IR – { ±
7}
( f ) [-4, 11] – {-1}
(c) (- ∞ , -2)U(2, + ∞ ) (d) IR – {-4, 1, 5}
⎧10t − 40 , se ⎪ 0 , se ⎪ 13) T = ⎨ ⎪25t − 200 , se ⎪⎩ 100 , se
( g) [-5, - 2 ] U [ (h) (3/2, + ∞ )
0≤t <4 4≤t <8 8 ≤ t < 12 12 ≤ t ≤ 20
( a ) h( x) = x + 2 14)
g ( x) = x
(b)
h( x) = x 2 − 3 x + 5
g ( x) = x
(c )
h( x ) = x − 3
g ( x) =
16) a) 50 milhões
• 1
• −1
(e) Dom f = ⎜ − ∞ ; − ⎥ ∪ ⎢ ; + ∞ ⎟ 2⎦ ⎣ 2 ⎝ ⎠ (f)
• 3
• −2
(c)
⎛
o 2
o − 2
b) 91,11 milhões
1 x
2 , 5]
o 7
o 2
• 5 2