MMATEMÁTICA ATEMÁTICA Discreta Discreta
FONSECA SÁENZ
DULCE
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE QUICHÉ FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS INGENIERÍA EN SISTEMAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MATEMÁTICA DISCRETA 010A PROYECTO FINAL II CICLO DULCE MARÍA FONSECA SÁENZ 1090-22-12401 M.A. ING. MARIELA TOBAR SÁENZ SANTA CRUZ DEL QUICHÉ 29 DE OCTUBRE 2022
ÍÍNDICE NDICE
IINTRODUCCIÓN NTRODUCCIÓN
De acuerdo con El National Center for Education Research, la matemática es una ciencia exacta, precisa, sistemática y sometidaalalógica;perolamatemáticadiscretaenespecífico, estudia un conjunto de estructuras, tales como algoritmos, grafos y teoría de números, que a su vez son el cimiento de las cienciasdelacomputación.
Las matemáticas discretas no son solo una rama de las matemáticas, sino, contienen un conjunto de campos dedicadosalestudiodeestructurasmatemáticas"discretas"en lugar de "continuas". Esto se hace de manera informal y con el único propósito de entender el concepto; para entender mejor este concepto, la matemática discreta reposa sobre la base de losnúmerosnaturales.
Las matemáticas discretas son el estudiode estructuras cuyos elementos se pueden contar uno por uno, como números enteros, grafos y sentencias lógicas utilizadas en varios camposdelaciencia,principalmenteeninformática.
Lalógicaeselestudiodelosprincipiosdelrazonamientoválido y la inferencia, como también de la consistencia y completitud. Y la combinatoria es la rama de la matemática que estudia colecciones finitas de objetos que pueden ser ordenados o combinados.
La matemática discreta es parte vital para el estudio de las ciencias de la computación, ya que las estructuras que analiza sonusadasparamodelaryresolverproblemasrealesmediante el diseño y programación tanto de algoritmos como de estructurasdedatos.
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PPRINCIPIOS RINCIPIOS FFUNDAMENTALES UNDAMENTALES DDELCONTEO ELCONTEO ADICIÓNY AMULTIPLICACIÓN DICIÓNY MULTIPLICACIÓN PPERMUTACIÓN ERMUTACIÓN YY TIPOS DE TPERMUTACIÓN IPOS DE PERMUTACIÓN CCOMBINACIONES OMBINACIONES 2
se puede utilizar
principio fundamental del conteo? Se puede utilizar para determinar los posibles resultadosuando hay dos o más características que pueden variar.
PRINCIPIO DE PLA RINCIPIO DE LA SSUMA UMA
Si un evento o suceso “D” ocurre de n maneras y otro “F” ocurre de m maneras, entonces existen n+m maneras en que puede ocurrir el evento D o el evento F si y solo si los eventos no suceden en simultaneo.
Ejemplo:
El domingo, queremos ir a ver un partido, ya sea de fútbol o de básquetbol, pero no ambos deportes a la vez, si hay 10 partidos de fútbol en la ciudad, y 8 de básquetbol, ¿Cuántas posibilidades tendremos?
PRINCIPIO DE PLA RINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN
Conocido también como el principio de análisis combinatorio
Si un evento D ocurre de n maneras diferentes seguido de otro evento F que ocurre de m maneras distintas, entonces existen n*m maneras en que puede ocurrir el evento Do el evento F si y solo si los eventos ocurren uno a continuación del otro.
Ejemplo:
La SAT, necesita elaborar nuevas placas de vehículos particulares, ¿Cuántas podrá elaborar si cuenta con tres letras y tres dígitos?
26
10 10
26 1,000 68276 ¿Cómo
el
10 8 10+8= 18 18 Formas de disfrutar el domingo *10* * *26* * 68,276,000 placas con 3 dígitos y 3 letras 3
{ }1 2 3 1 2 3 21 3 1 32 1 32 21 3 321 111 11 11 2 11 2 11 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 11 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 PPERMUTACIÓN ERMUTACIÓN Acción de cambiar un objeto por otro, en matemática, Refiere al procedimiento y el resultado de permutar, define los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto no infinito. Si sus elementos no se repiten en su orden existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: Siendo el conjunto Si sus elementos se repiten en su orden existe un total de 27 permutaciones para estos elementos: Formula: n! n! = 3! = 3*2*1= 6 Con repetición Sin repetición Formula = n^r donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas n^r=3^3=27 4
COMBINACIÓNES CCON OMBINACIÓNES CON REPETICIÓN REPETICIÓN
COMBINACIÓNES CSIN OMBINACIÓNES SIN REPETICIÓN REPETICIÓN
EJEMPLO: EJEMPLO:
¿De cuántas formas
4 cartas de una baraja de 40
devolviendo cada vez la
si no importa el orden en el
las
123,410
para
4 cartas de una baraja de
EJEMPLO: EJEMPLO:
Nos referimos a los subconjuntos conformados por una cantidad determinada de elementos de un conjunto y que difieren en al menos un elemento. En una combinación no importa el orden, sin embargo exige la presencia de los elementos una única vez. CCOMBINACIÓN OMBINACIÓN
En una clase de 15 alumnos, quieren formar grupos de 5, es decir, serán 15 alumnos tomados de 5 en 5 sin repetición.
Hay 3003 combinaciones para formar grupos de 5 con 15 alumnos
podemos sacar
cartas,
carta,
que
sacamos? Hay
combinaciones
sacar
40 5
TEORÍA TDE
EORÍA DE CCONJUNTOS ONJUNTOS LEYES DE LLA EYES DE LA TEORÍA TDE EORÍA DE CCONJUNTOS ONJUNTOS CCONTEO, ONTEO, PPRODUCTO RODUCTO CARTESIANO CY ARTESIANO Y RRELACIONES ELACIONES 6
¿Qué es un conjunto? Una colección o clase de objetos bien definidos y diferenciables entre si, llamados elementos del conjunto. Tipos de Conjuntos Para denotar los conjuntos utilizaremos letras mayúsculas después escribiremos el signo de igualdad y entre llaves, los elementos que formen parte del conjunto definido: D={f,s,m} Por extensión o notación de lista: Encierra entre llaves cada uno de sus elementos A = {1, 2, 3...n} Por compresión: Enunciando una propiedad característica de sus elementos. B = {p ∈ Z | p es par}. • U: Conjunto universal, contiene los elementos de todos los conjuntos • ∅: conjunto vacío que carece de elementos {} • N: conjunto de los números naturales. N = {1,2,3,...} • Z: conjunto de los números enteros. Z = {...,‐3,‐2,‐1,0,1,2,3,...} • Q: conjunto de los números racionales. Q = {m/n | m,n ∈ Z con n≠0} • C: conjunto de los números complejos. C = {a + b | a, b ∈ R} ¿Cómo denotar un conjunto? Sean A y B dos conjuntos Cuando A es un subconjunto de B se dice que A está incluido en B y se expresa como A ⊆ B (relación de inclusión) Ejemplo: Sean los conjuntos A = {v,y}, B = {v,x,y,z} y C = {v,z,y}. Claramente se verifica que: A ⊆ B y C ⊆ B. B ⊆ A; B ⊆ C SubConjuntos: Diagrama de Venn: Es una representación gráfica, normalmente óvalos o círculos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada óvalo o círculo es un conjunto diferente. A AB UB A C BA U B BUCAUC AUBUC 7
IFERENCIA
Sean los conjuntos A y B. Llamamos conjunto diferencia de A y B y lo representamos por A ‐B, al conjunto formado por todos los elementos que están en A pero no en B: Ejemplo: A = {a,b,c} y B = {b,c,x,y} A B = {a} mientras que B A = {x,y} CCOMPLEMENTO OMPLEMENTO Sea el conjunto A. El complementario de A, que se escribe A’, es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A, o que pertenecen a la diferencia U ‐ A (U conjunto universal fijado de antemano). Ejemplo: U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j} y A={b,d,f,h,j} A'={a,c,e,g,i} OPERACIONES ENTRE OCONJUNTOS PERACIONES ENTRE CONJUNTOS UUNIÓN NIÓNIINTERSECCIÓN NTERSECCIÓN La intersección de los conjuntos A y B, que representamos por A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos de A y de B. Si ambos conjuntos no tienen elementos en común se denomina disjunto Ejemplo: A = {x, y, 4} y B = {x, 4, 5}. A ∩ B = {x, y, 4} ∩ {x, y, 4} = {x, 4}. La unión de dos conjuntos A y B, que representamos por A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos de A o de B o de ambos. Ejemplo: A = {x, y, 4} y B = {x, 4, 5} A ∪ B = {x, y, 4, 5} DDIFERENCIA
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LEYES TEORÍA LDE EYES TEORÍA DE CCONJUNTOS ONJUNTOS IIDENTIDAD DENTIDAD IIDEMPOTENCIA DEMPOTENCIA a) A ∪ A= A b) A ∩ A=A AASOCIATIVAS SOCIATIVAS a) (A ∪ B) ∪ C= A ∪ (B ∪ C) b) (A ∩ B) ∩ C= A ∩ (B ∩ C)CCONMUTATIVAS ONMUTATIVAS a) (A ∪ B) = (B ∪ A) b) (A ∩ B) = (B ∩ A) DDISTRIBUTIVAS ISTRIBUTIVAS a) A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A∪ C) b) A ∩(B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A∩C)a) A∪ ∅= A b) A ∪ U = U c) A∩U=A d) A∩∅=∅ CCOMPLEMENTO OMPLEMENTO a) A ∪ A ^c=U b) (A ^c)^c c) A∩U=A d) A∩∅=∅ MMORGAN ORGAN a) (A ∪ B)^c=A^c∪ B^c a) (A ∩ B)^c=A^c ∩ B^c 9
CONTEO Y CPRODUCTO ONTEO Y PRODUCTO CCARTESIANO ARTESIANO Enunaencuestaaestudiantes,sedescubrióque: 80 estudiantes tienen laptops., 110 estudiantes tienen celulares. 125 estudiantes tienen iPods, 62 estudiantes tienen una laptop y un celular., 58 estudiantes tienen una laptop y un iPod., 98 estudiantes tienen un celular y un iPod., 50 estudiantestienenlostresobjetos. a.¿Cuántosestudiantestienensolouncelular? b. ¿Cuántos estudiantes no tienen ninguno de los objetos mencionados? c. ¿Cuántos estudiantes tienen un iPod y una laptop, pero nouncelular? a. Hay 0 estudiantes que solo tienen un celular. b. Hay 3 estudiantes con ningún objeto tecnológico mencionado. c. Hay 8 estudiantes con un iPod y una laptop pero no un celular. 10
ALGORITMO DE AEUCLIDES LGORITMO DE EUCLIDES
CD
TFUNDAMENTAL EOREMA FUNDAMENTAL DE LA DARITMÉTICA E LA ARITMÉTICA
DDEFINICIONES EFINICIONES
ECURSIVAS
PRINCIPIO DE PINDUCCIÓN RINCIPIO DE INDUCCIÓN MMATEMÁTICA ATEMÁTICA
TEOREMA
IINDUCCIÓN NDUCCIÓN MMATEMÁTICA ATEMÁTICA
MMCD
RRECURSIVAS
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ALGORITMO DE AEUCLIDES LGORITMO DE EUCLIDES
Procesocomúndeladivisión
Algoritmodedivisión: Dadosenterosa,bconb≠0existenenterosqyrtalesque a=bq+ry0<=r<|b| a=dividendob=divisor. q=cocienter=residuo. Teorema que asegura que el proceso habitual de división entre números enteros puede llevarse a cabo y que el resultado además es único. Es un método efectivo que produceuncocienteyunresiduo.
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TEOREMA FUNDAMENTAL TDE EOREMA FUNDAMENTAL DE LA LARITMÉTICA A ARITMÉTICA Afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos por Ejemplo: Aplicando el teorema fundamental de la aritmética represente 1986, 1500 y 2004 a través de sus factores primos 1986 2 993 3 331 331 1 1986=2*3*331 1500 2 750 2 375 3 125 5 25 5 5 5 1 1500=2^2*3*5^2 2004 2 1002 2 501 3 167 167 2004=2^2*3*167 13
MMCD CD Consisteenelmayornumeroquedivideatodoslos Z+exactamente. 72y16 72y16 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 72=2^2*3^2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 16=2^4 14
DEFINICIONES DRECURSIVAS EFINICIONES RECURSIVAS Enlafunciónrecursivaan+1=an-1+an-2+an-3, si a0=1, a1=2 y a2=3, encuentre los primeros seis términosdelasucesión a0=1, a1=2 a2=3 an+1=an-1+an-2+an-3 SeisTérminos: a3=3+2+1=6 a4=6+3+2=11 a5=11+6+3=20 a6=20+11+6=37 Dado un conjunto inductivo en el que sabemos exactamente cómo se construyen sus elementos, una definición recursiva asocia una función en su propia definición, es decir para calcular un elemento n de ella mismanecesitamosconocerelelementoanterior(n-1)y con ello calcular todos los demás, a este concepto asociamoslassucesiones. Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números)unadetrásdeotra,enunciertoorden. EJEMPLO 15
TEORÍA TDE EORÍA DE GGRAFOS RAFOS GRAFOS: GMATRICES, RAFOS: MATRICES, CCIRCUITOS IRCUITOS EEULERIANOS, ULERIANOS, TRAYECTORIAS TDE RAYECTORIAS DE HHAMILTON AMILTON ÁÁRBOLES RBOLES 16
TEORÍA DE TGRAFOS EORÍA DE GRAFOS Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamadosaristas(edgeseninglés)quepuedenserorientados ono.Típicamente,ungrafoserepresentamedianteunaserie depuntos(losvértices)conectadosporlíneas (lasaristas). UngrafoG=(V,E) V, el conjunto de vértices o nodos V={v1,v2,..vn} Representanlosobjetos E, el conjunto de arcos o aristas Representanlasrelaciones E ={vivj, vmvn, ..} Vértices Adyacentes: 2vérticesunidosporunarco 1 32 4 5 6 V={1,2,3,4,5,6} E={(1,2),(1,3)(3,4),(2,4)(4,5),(4,6),(5,6), (6,5),(6,4),(5,4),(4,2),(4,3),(2,1),(3,1)} 17
GRADO DE UN GGRAFO RADO DE UN GRAFO Grado de un NODO: Es el # de arcos que inciden en un vértice Caso especial (lazo): se considera 2 32 4 1 5 6 Grado(1): 2 Grado(2): 2 Grado(3): 2 Grado(4): 4 Grado(5): 2 Grado(6): 2 GradodelGrafo:14 18
TIPOS DE TGRAFOS IPOS DE GRAFOS
Todos los vértices tienen el mismo grado. Si el grado es
el grafo
en todas
SSIMPLE IMPLE
un grafo que tiene arcos
NNODIRIGIDOS ODIRIGIDOS
Si los pares de nodos de los arcos no son ordenados El arco se puede recorrer en ambos
grafo
dígrafo que no tiene
IRIGIDOS/DÍGRAFOS
los pares de nodos que Forman
tal forma que el arco se puede
en un
k,
es k-regular RREGULAR EGULAR Es un grafo simple, donde cada par de vértices está conectado por una arista CCOMPLETO OMPLETO Un grafo no completo ó incompleto, si no hay ninguna unión
sus aristas NNOCOMPLETO OCOMPLETO “Bipartito” significa que tiene 2 partes G={ V1 u V2, E} Sus vértices son la unión de dos grupos de vértices BBIPARTITO IPARTITO Es
múltiples (paralelos) o lazo MMULTIGRAFO ULTIGRAFO Es un
o
bucles y que no es multígrafo
sentidos
Si
arcos son ordenados, de
recorrer
solo sentido. DDIRIGIDOS/DÍGRAFOS
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GRADO DE UN GDÍGRAFO RADO DE UN DÍGRAFO En un grafo dirigido los arcos son pares ordenados. Implicaque(u,v)≠(v,u) Laslíneasseconviertenenflechas El grado de entrada de un nodo es el número dearcosentrantes El grado de salida de un nodo es el número de arcossalientes GrafosdeEntrada (A)=2 (B)=1 (C)=1 (D)=0 GrafosdeSalida (A)=1 (B)=0 (C)=1 (D)=1 20
GRAFOS GPONDERADOS RAFOS PONDERADOS CostooFactordePeso Valorquesepuedeasociarconunarco Dependedeloqueelgraforepresente Si los arcos de un grafo tienen un costo: Grafovaloradooponderado GrafoPonderadoDirigido GrafoPonderadoNoDirigido 21
CCONECTIVIDAD ONECTIVIDAD CostooFactordePeso Valorquesepuedeasociarconunarco Dependedeloqueelgraforepresente Si los arcos de un grafo tienen un costo: Grafovaloradooponderado Noexisteuncaminoentre cualquierparadenodos GRAFO GCONEXO RAFO CONEXO GRAFO NO GCONEXO RAFO NO CONEXO 22
TRAYECTORIA TGRAFOS RAYECTORIA GRAFOS Camino/recorrido Un camino P desde u hasta v en el grafo G es una secuencia finitadevérticesqueempiezaenuyacabaenv. Cadapardevérticesconsecutivossonadyacentes 32 4 1 5 6 Caminoentre1y6: T2={1,3,4,6} Longitud:4 T1={1,2,4,6} Longitud:4 CaminoSimple: Circuito/Ciclo 32 4 1 5 6 Esuncaminoqueiniciayterminaenelmismonodo. Noserecorredosvecesporlamismaarista Caminoentre1y1: P={1,2,4,3,1} 23
CAMINOS Y CICLOS DE CEULER AMINOS Y CICLOS DE EULER CAMINO DE CEULER: AMINO DE EULER: Recorre TODOS los ARCOS sin repetirlos Los vértices se pueden repetir CICLO DE CEULER ICLO DE EULER {a,b,e,d,c,f,g,d,h,h,i,g}= {g,i,h,h,d,g,f,c,d,e,b,a} Recorre TODOS los ARCOS sin repetirlos Los vértices se pueden repetir Inicia y termina en el mismo vértice {0,1,2,3,4} {2,1,0,3,4,0,2} 24
grafo conexo que admite un camino de Euler
GRAFO GEULERIANO RAFO EULERIANO
GRAFO GSEMIEULERIANO RAFO SEMIEULERIANO Es aquel
Es el aquel grafo conexo que admite un circuito de Euler 25
CAMINOS DE CHAMILTON AMINOS DE HAMILTON Recorre TODOS los VÉRTICES sin repetirlos GRAFO GHAMILTONIANO RAFO HAMILTONIANO Es el aquel grafo conexo que admite un circuito de Euler CICLO DE CHAMILTON ICLO DE HAMILTON Todos los vértices pasan una sola vez por cada uno de ellos (excepto por el vértice inicial y final). Nodos= ciudades Arcos=caminos entre ciudades Viajero que recorre ciudades 26
RRELACIONES ELACIONES EN EUN N UN DDÍGRAFO ÍGRAFOA = (1, 2, 3, 4) R = { (1, 2),(2, 2),(2, 3),(3, 4),(4, 3) } Conjunto Relación R: muestra todas las relaciones de conectividad (trayectorias de longitud 1) entre los nodos del grafo. 27
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 GRAFOS GREPRESENTACIÓN RAFOS REPRESENTACIÓN MMATRICIAL ATRICIAL MatrizdeAdyacencia[A] V(vértices)xV(vértices) MatrizdeIncidencia[M] V(vértices)xA(arcos) MatrizdeArcos[B] A(arcos)xV(vértices) Para representar un grafo en una computadora se puedeusar: MATRIZ DE MADYACENCIA ATRIZ DE ADYACENCIA Al ser un grafo de 5 vértices será una matriz de 5x5 Si A es la matriz de adyacencia, el elemento j de Anesigualalnúmerodecaminosdelongitud“n” delvérticei alvérticej 28
UDÍGRAFO N DÍGRAFO
DE INCIDENCIA DE MUN ATRIZ DE INCIDENCIA DE UN GGRAFO RAFO
MATRIZ DE ADYACENCIA MDE ATRIZ DE ADYACENCIA DE UN
Al ser un grafo de 4vértices será una matriz de 4x4 MATRIZ
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1 2 3 4 5 MATRIZ DE INCIDENCIA MDE ATRIZ DE INCIDENCIA DE UN UDÍGRAFO N DÍGRAFO Al ser un grafo de 5 vértices será una matriz de 5x5 MATRIZ DE MDISTANCIA ATRIZ DE DISTANCIA 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Está representado por una matriz de Vértices (V) x Vértices (V) Almacena las distancias de un vértice a otro 30
MATRIZ DE MARCOS ATRIZ DE ARCOS DadounGrafoG=(V,E) EstárepresentadoporunamatrizdeArcos(A) xVértices(V) Esta formada por los arcos del grafo representado 31
RBOLES
Un árbol es un tipo de grafo acíclico, y conexo, o sea quenotienelazosniaristasparalelas.
Los árboles representan las estructuras no lineales y dinámicas de datos más importantes en computación, y se dice que son dinámicas puesto queacadaelementodelárbolpuedenseguirlevarios elementos.
PROPIEDADES DE UN PÁRBOL ROPIEDADES DE UN ÁRBOL
Tienenunnodoalqueselellamaraízdelárbol
Todos los nodos, menos la raíz tienen una sola líneadeentrada,elraíznoposeeniuna.
Existe una única ruta del nodo raíz a los demás nodosdelárbol.
Si existe una ruta <8,3>, entonces a 3 se le denomina hijo de 8, y por consecuente es el nodoraízdeunsubárbol
ÁÁRBOLES
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CARACTERÍSTICAS DE CUN ARACTERÍSTICAS DE UN ÁÁRBOL RBOL
NODOindicaunelemento,oítem,deinformación.
Todoárbolquenoesvacío,tieneunúniconodoraíz.
Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodoXesapuntadoporelnodoY.XeshijodeY.
Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodoXapuntaalnodoY.XespadredeY.
Se dice que todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de un mismo nodo (padre), son hermanos.
Todo nodo que no tiene ramificaciones (hijos), se conoceconelnombredeterminaluhoja.
Todonodoquenoesraíz,niterminaluhojaseconoce conelnombredeinterior.
Grado es el número de descendientes directos de un determinadonodo.
Gradodelárboleselmáximogradodetodoslosnodos delárbol. Nivel es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Por definición, la raíztienenivelO.
Altura del árbol es el máximo número de niveles de todoslosnodosdelárbol.
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ÁRBOL ÁLIBRE RBOL LIBRE
RBOL RADICADO
ÁRBOL ÁRADICADO
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EJEMPLO DE UN EÁRBOL JEMPLO DE UN ÁRBOL
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CCONCLUSIÓN ONCLUSIÓN
Toda matemática es aplicable al desarrollo de la ingeniería de sistemas porque le permite al ingeniero mejorar sus procesos analíticos y habilidades de resolución de problemas, potenciando aún más su destreza en procesos que lo hacen más eficiente, sin embargo, como caso especial, la matemática discreta tiene una relación más sólida debido a la implementación de conceptos como la lógica y el análisis de procesosolosconjuntosfinitosenumerables.
Los conceptos y métodos utilizados en este campo del conocimiento han sido demostrados y utilizados para crear sistemas de software enfocadosaresolverproblemasdelmundoreal. Por esta razón, la naturaleza formativa de esta disciplina se debe no solo a los conceptos matemáticos generales discretos, sino también al lenguaje y las herramientas utilizadas en el campo que se encuentran comúnmente en la mayoría de las materias de ingeniería de software,comoprogramación,algoritmos,etc.
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CCOMENTARIOS OMENTARIOS Si bien puede pensarse que los contenidos que se abarcan en Matemática Discreta son relativamente sencillos, constituyen la base delascienciasdelacomputación. La teoría de grafos es utilizada en mapas como Google Maps o Waze, para encontrar larutamáscortaoconmenoscongestión. En redes sociales, Facebook e Instagram usan los nodos para sugerencias de amistadoseguimientos. Indirectamente, trabajamos bajo los grafos cuando usamos internet, ya que cada una de las computadoras es un nodo en la red gigantedelinternet. 37
